Ló g gi i c a a
L A S P R O P O S I CI O N E S Las oraciones so n expresiones lingüísticas que cumplen diversas funciones. Las oraciones pueden ser: ü
E x p r e s i v a s : son las que manifiestan estados de ánimo, deseos, aprobación o
desaprobación. Ejemplos: “¡Es magnífico!“ “Ojalá “Ojalá llueva” “¡Cómo nos divertimos!“ “¿No crees que me has hecho esperar demasiado?” ü
producir o impedir impedir D i r e c t i v a s o P r e s c r i p t i v a s : son aquellas que están encaminada s a producir una acción. acción. Las órdenes, los pedidos, los ru egos, las normas son ejemplo s de este tipo. Ejemplos: “Circule con precaución” “Alcánzame mi libro, por favor”
I n f o r m a t i v a s : son las que afirman o niegan algo. Ejemplos: “5 es un número impar” “9 es el cuadrado de 2” “Montevideo es la capital de Uruguay” A este tipo de expresiones lingüísticas se las denomina p r o p o s i c i o n e s y se caracterizan porque de ellas tiene tiene sentido decir que son ver daderas o falsa s. ü
Definición P r o p o s i c i ó n e s t o d a e x p r e s i ó n l i n g ü í sstt i c a q u e t i e n e u n a f u n c i ó n i n f o r m a t i v a : afirm a o niega algo, y t iene sentid o decir de ella que es verdad era o falsa.
Actividad 1 Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. “2 es mayor que 3” b. “16 es múltiplo múltiplo de 4 y 8 es divisor divisor de 2” c.
“2 < e
d. “Si n
Recordar que...
< 3 ”
=2
entonces n
2
e es un número rracional ri racional base de los logaritmos neperianos.
+ n − 6 = 0 ”
e. “18 puede ser escrito como la suma de dos números primos”
f.
“En la geometría euclidiana, la suma suma de los ángulos interiores de un triángulo triángulo es 180º”
1
I n s st t i t u t t o S u up p e e r i o r r d e l P r r o f f e s o or r a d o “ J u a an N . T e r r e r o ” ”
Se suelen utilizar letras minúsculas p , q , r , t , etc, para designar proposiciones. Por ejemplo:
p : ”Lógica proposicional es uno de los contenidos que abordaremos en este curso” q : “157 es un número primo” r : “La garza es un mamífero” t : “8 es el cubo de 2” Estas proposiciones se llaman s i m p l e s o a t ó m i c a s , ya que no pueden descomponerse o subdividirse en otras más simples. A partir de las proposiciones atómicas podemos obtener nuevas proposiciones llamadas p r o p o s i c i o n e s co co m p u e s t a s o m o l e c u l a r e s .
Las siguientes proposiciones son compuestas: a) “Llueve y hace frío” b) “Una función f admite inversa inversa si y s ólo si f es una función biyectiva” c) “Vamos de paseo, o al cine o a bailar” d) “Si n 2 + n − 6 = 0 entonces n = 2 o n = −3 ” e) “Puedes comunicarte con nosotros por e -mail o por teléfono” teléfono”
Actividad 2 Indicar cuáles son las proposiciones componentes de las proposiciones compuestas anteriores. a) b) c) d) e)
Las proposiciones compuestas se reconocen por la presencia de conectivos; se llama así a ciertas palabras o expresiones del lenguaje, como por ejemplo, y , o , si-entonces , etc. Estas conectivas tienen la función de relacionar las proposiciones que forman un enunciado compuesto. El “no ” es también un conectivo, pero a diferencia de las demás no relaciona dos proposiciones, sino que afecta a una única proposición. Se lo denomina c o n e c t i v o m o n á d i c o , mientras que los que relacionan dos proposiciones son c o n e c t i v o s d i á d i c o s o b i n a r i o s .
Definición Conectivo lógico es una expresión lingüística que, aplicado a uno o dos enun ciados, perm ite obt ener u na pr oposición com puesta.
Tablas de Verdad y Conectivo s Lógicos El valor de verdad de cada proposición compuesta está determinado por el valor de verdad de las proposiciones que la componen y de los conectivos que utiliza.
2
Ló g gi i c a a
1) Negación Muchas expresiones de nuestro lenguaje cotidiano son expresadas en términos de negaciones. La proposición “no todo hombre es honesto” es una proposición compuesta que consiste en la negación de la proposición “todo hombre es honesto”. La palabra no es la conectiva. El signo que utilizaremos para representar la negación es el guión “ – “ (suelen usarse también otros signos, como por ejemplo “ representa la proposición negada.
~ “) el cual se coloca antepuesto a la letra proposicional que
La negación de
p : todo hombre es honesto es − p : no todo hombre es honesto o bien − p : no es cierto que todo hombre es honesto − p : hay hombres que no son honestos − p : existen hombres deshonestos la cual es V ya que la primera es F .
Actividad 3 Construir la tabla de valores de verdad de la negación.
p
−p
Actividad 4 Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. “no es cierto que 2 es un entero negativo” b. “no es cierto que 101 es un número primo” c.
“no existen subconjunto s de los reales positivos que tienen primer elemento”
d. “no es cierto que el cuadrado de un número es siempre positivo”
2) Conjunción Sean " p" y " q" proposiciones. La conjunción de la proposición " p" con la proposición " q" es una nueva proposición que se denota " p ∧ q" y se lee " p y q" . La expresión “10 es múltiplo de 2 y de 6” es la conjunción de la proposición “10 es múltiplo de 2” con la proposición “10 es múltiplo de 6”. La proposición "
p ∧ q" e s v e r d a d e r a c u a n d o a m b a s , t a n t o " p" com o " q" s o n v e r d a d e r a s .
En c u a l q u i e r o t r o c a s o e s f a l s a .
La proposición “10 es múltiplo de 2 y de 6” es falsa porque es la co njunción de la proposición “10 es múltiplo de 2”, que es verdadera, con la proposición “10 es múltiplo de 6”, que es falsa.
3
I n s st t i t u t t o S u up p e e r i o r r d e l P r r o f f e s o or r a d o “ J u a an N . T e r r e r o ” ”
La conjunción es un conectivo diádico, ya que para poder definir la proposición compuesta " p ∧ q" se necesit an dos proposiciones atómicas. A las proposiciones que componen una conjunción se las denomina conjuntivos.
Actividad 5 Construir la tabla de valores de verdad de la conjunción.
p
q
p ∧q
Actividad 6 Distinguir los conjuntivos y determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. “la adición y la multiplicación son conmutativas en N ” b. “las expresiones decimales de
c.
1 30
y
1 3
son periódicas mixtas”
“la sustracción es cerrada en Z y la división es cerrada en Q ”
d. “
2 y
9 son irracionales”
3) Disyunciones Las proposiciones: a) “regalo los libros viejos o que no me sirven” b) “hoy es lunes o martes” son proposiciones compuestas que consisten en la disyunción de dos proposiciones simples. La palabra “o” es el conectivo. Las proposiciones que forman una disyunción se denominan disyuntivos. Pero hay dos sentidos que tiene la “o” en el lenguaje cotidiano. Consideremos los ejemplos anteriores: a) “regalo los libros viejos o que no me sirven” es la disyunción de las proposiciones r : “regalo los libros viejos” s : “regalo los libros que no me sirven” El sentido del o es incluyente, pues si en efecto regalo un libro que es viejo y que además no me sirve, entonces la proposición compuesta es verdadera. En el lenguaje diario suele indicarse escribiendo “y/o”
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Ló g gi i c a a
b) “hoy es lunes o martes” esta proposición compuesta es la disyunción de las proposiciones p : “hoy es lunes” q : “hoy es martes” En este caso el sentido es excluyente, ya que p y q no pueden ser simultáneamente verdaderas. Por lo tanto vamos a distinguir dos tipos de disyunciones: l a d i s y u n c i ó n i n c l u y e n t e y l a d i s y u n c i ó n e x c l u y e n t e o d i f e r e n c i a s i m é t r i c a .
Disyunción incluyente La expresión “ p ∨ q ” den ota una nueva proposición, que es la disyunción de “ p ” con “ q ” y se lee “ p o q ” . Aquí utilizamos la disyunción en sentido inclusivo. Es t o s i g n i f i c a q u e “ p ∨ q ” e s u n a proposición verd adera si una, la otr a, o am bas proposiciones son verdader as.
Disyunción excluyente La expresión “ p ∨ q ” denota una nueva proposición, que es la disyunción de “ p ” con “ q ” y se lee “ o p o q ” . L a p r o p o s i c i ó n c o m p u e s t a “ p ∨ q ” e s v e r d a d e r a s i u n a o l a o t r a e s verd adera, per o no am bas proposiciones son verd aderas.
Actividad 7 Construir la tabla de valores de verdad de la disyunción incluyente.
p
q
p∨q
Actividad 8 Construir la tabla de valores de verdad de la disyunción excluyente.
p
q
p
∨q
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I n s st t i t u t t o S u up p e e r i o r r d e l P r r o f f e s o or r a d o “ J u a an N . T e r r e r o ” ”
I
¡Atención!
A p a r t i r d e a h o r a , co n e l o b j e t o d e n o c o n f u n d i r l o s c o n e c t i v o s d e f i n i d o s p r e c e d en t e m e n t e , llam arem os d isyun ción a “ p
∨q”
y difer encia sim étr ica o disyunción exclu yent e a “ p
∨ q ”
Un uso muy frecuente de conjunciones y disyunciones está puesto en evidencia cuando resolvemos inecuaciones:
Actividad 9 Resolver las siguientes inecuaciones: a.
( x − 1) ( x + 2) > 0
c.
x − 1 ( x + 3) ≤ 0 2 x >3
d.
x
e.
x−5
b.
≤
5
R e co r d a r q u e . . .
∀
2
x∈ R:
≥4
x
x si x ≥ 0 = − x si x < o
4) Implicación Sean " p" y " q" proposiciones. La expresión “ p
⇒q ”
se utiliza para designar una nueva
proposición llamada i m p l i c a c i ó n o c o n d i c i o n a l de " p" con " q" . Se lee:
" p implica q"
o bien “ si p entonces q ”
La proposición " p" se denomina antecedente, hipótesis o premisa de la implicación y " q" se denomina consecuente o conclusión de la implicación. Enunciamos la siguiente proposición: “ si apruebo el examen, entonces te presto el apunte” Se trata de la implicación de las proposiciones
p : apruebo el examen q : te presto el apunte Interesa inducir la verdad o falsedad de la implicación, en términos de la v erdad o falsedad de las proposiciones p y q . Si p y q so n V , entonces la implicación es verdadera porque el compromiso se cumple. Si p es V , en cuyo caso apruebo el examen, y no presto el apunte, el compromiso no se cumple, y la implicación es entonces F .
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Ló g gi i c a a
Quedan por analizar dos casos: cuando el antecedente es falso y el consecuente verdadero y cuando ambos son falsos. Pero estos casos difícilmente se presentan en el uso de nuestro lenguaje; condicionales con antecedente falso resultan r aros o sin sentido en el lenguaje cotidiano y por eso es difícil inferir qué valores de verdad le corresponden. La lógica resuelve considerar verdaderos estos dos condicionales. Ello no es totalmente arbitrario, ni e ntra en conflicto con el lenguaje ordinario sino que más bien completa lo que éste deja sin decidir.
Volviendo a nuestro ejemplo veremos que la definición respeta el sentido común. Si p es F , es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso, y preste o no preste el apunte la implicación es V . Es decir, si el antecedente es F , la implicación es V . De este modo: l a i m p l i c a c i ó n s ó l o e s F c u a n d o e l a n t e c ed e n t e e s V y e l c o n s e c u e n t e e s F
Actividad 10 Construir la tabla de valores de verdad del condicional
p
q
p ⇒q
Actividad 11 a. Expresar en forma general un número natural par. ……………………………………………………………………………………………….. b. Expresar en forma general un número natural impar. …………………………………………………………………………………………………
Actividad 12 Demostrar: a. Si un número es par entonces su cuadrado es par. b. Si un número es impar entonces su cuadrado es impar.
5) Equivalencia Sean " p" y " q" proposiciones. La e q u i v a l e n c i a (también llamada b i c o n d i c i o n a l o d o b l e i m p l i c a c i ó n ) de dos proposiciones " p" con " q" ,
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es una nueva proposición que denotaremos
I n s st t i t u t t o S u up p e e r i o r r d e l P r r o f f e s o or r a d o “ J u a an N . T e r r e r o ” ”
" p ⇔ q" o “ p
≡ q ”
Se lee: “ p es equivalente a q ”
o
“ p si y sólo si q ”
La doble implicación se define como la conjunción de p
⇒q
y q
⇒p.
Actividad 13 Construir la tabla de valores de verdad del bicondicional
p
q
p ⇒q
q⇒p
p ⇒q
∧
q⇒p
Actividad 14 a. Completar la siguiente definición: El número natural n es divisor del entero x si y sólo si ............................ ………………………………………………………………………………………………………………………….. b. Expres ar la definición anterior en lenguaje simbólico . ……………………………………………………………………………………………………………………………………
Actividad 15 Demostrar:
1. Si un número divide a un entero, divide el producto de éste por cualquier entero . 2. Si un número divide a otros dos, entonces divide a su suma . 3. Si un número divide a otros dos, entonces divide a su diferencia. 4. Si un número divide a un entero, entonces divide a su o puesto.
8
Ayu da: expresar simbólicamente el enunciado y utilizar la definición de divisor.
Ló g gi i c a a
R e s u m i e n d o … .
Proposiciones Pueden ser
SIMPLES
COMPUESTAS
No contienen dentro de sí ninguna otra proposición
Contienen dentro de sí otras proposiciones (La negación es compuesta)
Conectivos Lógicos
♦
Negación Los valores de verdad para “
p ” y “ − p ” son
opuestos entre sí.
♦
Conjunción “ “
♦
p ∧ q ” es verdadera sólo cuando ambas p ” y “ q ” son verdaderas.
Disyunción o
Incluyente “
p ∨ q ” es falsa sólo si ambas
proposiciones son falsas. o
Excluyente
∨
q ” es verdadera cuando sólo “p una de ellas es verdadera”
♦
Implicación
⇒
q ” es falsa sólo cuando “p verdadera y “ q ” es falsa.
♦
“ p ” es
Doble implicación
⇔
q ” es verdadera cuando “ p ” y “ q ” “p tienen el mismo valor de verdad.
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Actividad 16 Construir la tabla de valores de verdad para ca da una de las siguientes proposiciones: a.
p ⇒ ( p ∨ q)
b.
p ⇒ (q ⇒ r )
c.
( p ⇒ q ) ⇔ r
d.
p ∧ −p
e.
[ p ∧ ( p ⇒ q )] ⇒ q
f.
( p ∧ q) ⇒
g.
[( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )
h.
( p ∧ q) ⇒
i.
[( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )
p
p
Actividad 1 7 Completar la siguiente tabla de verdad:
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p ⇒ ( p ∨ q)
− p∧q
p ∧ (− p ∧ q )
Claramente vemos en la tabla que existen proposiciones que son siempre verdadera s y otras qu e son siempre falsas, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones atóm icas que las componen. También existen proposiciones que no son siempre verdaderas y que tampoco son siempre falsas. Esto da lugar a las siguientes definiciones:
Definición 1 Una
proposición
lógica
es
una tautología si es verdadera para todas las
asignaciones posibles.
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Ló g gi i c a a
Definición 2 Una
proposición
lógica
una contradicción si
es
es
falsa
para
todas
las
asignaciones posibles.
Definición 3 Una proposición lógica que no es una tautología ni una contradicción se d e n o m i n a c o n t i n g e n c i a .
Implicaciones y equivalencias lógicas Existen dos tipos importantes de tautologías: las implicaciones lógicas y las equivalencias lógicas. Algunas reciben nombres especiales por ser de uso muy frecuente. Daremos a continuación una lista de las más importantes:
♦
Doble negación o Involución :
♦
Conmutatividad
♦
♦
♦
− (− p ) ≡ p
o
de la conjunción: ( p ∧ q ) ≡ ( q ∧ p )
o
de la disyunción: ( p ∨ q ) ≡ ( q ∨ p )
Asociatividad o
de la conjunción:
o
de la disyunción:
[( p ∧ q ) ∧ r ] ≡ [ p ∧ (q ∧ r )] [( p ∨ q ) ∨ r ] ≡ [ p ∨ (q ∨ r )]
Distributividad o
de la conjunción respecto de la disyunción:
o
de la disyunción respecto de la conjunción:
[( p ∨ q ) ∧ r ] ≡ [( p ∧ r ) ∨ (q ∧ r )] [( p ∧ q ) ∨ r ] ≡ [( p ∨ r ) ∧ (q ∨ r )]
De Morgan o
la negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones:
[− ( p ∧ q )] ≡ (− p ∨ −q ) o
la negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones:
[− ( p ∨ q )] ≡ (− p ∧ −q )
¨
Haciendo un poco de histo ria...
Así llamadas por haber sido formuladas por el matemático y lógico inglés Augustus De Morgan (1806-1871) si bien otros autores anteriores ya las habían adelantado. Su obra principal se titula “La lógica formal” (1847).
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♦
Definición de condicional : ( p ⇒ q ) ≡ [− ( p ∧ − q )]
( p ⇒ q ) ≡ (− p ∨ q )
⇔ q ) ≡ [( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
♦
Definición de bicondicional : ( p
♦
Modus Ponens:
[( p ⇒ q ) ∧ p ] ⇒ q
♦
Modus Tollens:
[( p ⇒ q ) ∧ −q ] ⇒ − p
♦
Transitividad o silogismo hipotético:
♦
Simplificación : ( p ∧ q ) ⇒ p
♦
Adición : p ⇒ ( p ∨ q )
[( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )
Las tautologías son las leyes de la lógica proposicional
Actividad 18 Verificar que las formas proposicionales de la lista anterior son tautologías.
Implicaciones asociadas Sea el condicional p ⇒ q , que llamaremos d i r e c t o . En conexión con él, se presentan otros tres, obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedente y consecuente:
q⇒ p − p ⇒ −q − q ⇒ −p
recíproco contrario contrarrecíproco
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Ló g gi i c a a
Las cuatro implicaciones propuestas se llaman conjugadas, y cualquiera de ellas puede tomarse como directa. El siguiente esquema nos proporciona la relación que las vincula:
p ⇒q
q⇒p
− p ⇒ −q
− q ⇒ −p
Actividad 19 Demostrar que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes.
Actividad 20 a.
Expresar simbólicamente el siguiente teorema: “ s i e l c u a d r a d o d e u n n ú m e r o e s p a r , ent onces el n úm ero es par” .
b. c.
Enunciar el contrarrecíproco, el contrario y el recíproco . Demostrar el teorema anterior.
Actividad 21 Completar: La negación de una imp licación es … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . . . .
……………………………………………………………………………………………..
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I n s st t i t u t t o S u up p e e r i o r r d e l P r r o f f e s o or r a d o “ J u a an N . T e r r e r o ” ”
Condiciones necesarias y suficientes
Analicemos la siguiente proposición: “Si T es equilátero, entonces T es isósceles” Se trata de una proposición compuesta de la forma p ⇒ q , cuyo valor de verdad es V . Las proposiciones atómicas que la componen son:
p : “ T es equilátero” q : “ T es isósceles” Que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que ese triángulo es isósceles. Diremos que p es condición suficiente para q . Por otra parte T es equilátero sólo si es isósceles; es decir, que un triángulo sea isósceles es condición necesaria para que sea equilátero. Diremos que q es condición necesaria para p .
Para justific ar lo dicho anteriormente, analizaremos la tabla de valores de verdad de la implicación
p
q
p⇒q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Hay tres casos en que p
⇒q
es V , y entre ellos hay uno en que p es V , en el cual resulta q
verdadera. Es obvio que nos referimos al primer renglón de la tabla, y se tiene que si p
⇒q
es V y
p es V , entonces q es V . Se dice entonces que el antecedente p es con dición suficiente para el consecuente q . En cambio, si p es F , nada podemos decir de q , puesto que puede ser V o F . Por otra parte, cuando p
⇒q
es V , si q es V , entonces p puede ser V o
F ; mas para que p se a V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p . Resumiendo: Si p
⇒q
es V , entonces p es condición suficiente para q y q es condición necesaria para p .
Estas condiciones suelen expresarse así: q si p (condición suficiente) p sólo si q (condición necesaria)
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Ló g gi i c a a
1) Determinar si las siguientes formas proposicionales son tautologías, contradicciones o contingencias: a) − p ⇒ ( q ∨ − p ) b) ( p ∧ q ) ≡ ( − p ∨ −q) c) [ p ⇒ (q ∨ − p )] ⇒ −q d) [( p ∧ q ) ⇒ p ] ⇒ q e) (− p ∨ −q ) ⇒ −( p ∧ q ) f) [( p ∧ q ) ⇒ r ] ≡ −[ p ⇒ (q ⇒ r )] 2) Si p
≡q
es verdadera, ¿qué valor de verdad tiene p ∨ −q ?
3) Si p ⇒ q es falsa, ¿qué valor de verdad tienen: a) p ∨ q ? b) ( p ⇒ q ) ⇒ r ? c) p ∧ q ? 4) Sabiendo que p ∨ q es V y
−q
es V , determinar el valor de verdad de:
[( p ∨ q ) ∧ −q ] ⇒ q 5) Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo. a) ( p ⇒ q ) ⇒ r ; r es V b) ( p ∨ q ) ≡ (− p ∧ −q ) ; q es V c) ( p ∧ q ) ⇒ ( p ∨ r ) ; p es V y r es F d) p ∧ (q ⇒ r ) ; p ⇒ r es V 6) Siendo p : a . b es impar q : a y b son impares
Demostrar: p ⇒ q
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FUNCIÓN P ROPOSICIONAL x
Oraciones como “ x es un número primo”, “ x es un número mayor que 5”, “el cubo de un número es el número y ” no son proposiciones. Tales expresiones se convierten en proposiciones cuando
se reemplaza a la(s) variable(s) por un valor correspondiente al dominio donde se encuentra(n) definida(s). Supongamos que en la oración “ x es un número mayor que 5” elegimos como dominio de la variable x el conjunto de los números naturales. Si sustituimos x por 2, obtenemos la proposición“2 es un número mayor que 5” que es falsa, mientras que si x es igual a 6, la oración “6 es un número mayor que 5” es una proposición verdadera. Vemos que es necesario especificar x para determinar la verdad o falsedad de la expresión “ x es un número mayor que 5”.
Definición U n a f u n c i ó n p r o p o s i ci o n a l e s u n a o r a c i ó n d e l t i p o
P( x ), x ∈ D
r e p r e s e n t a ci ó n d e u n a p r o p i e d a d r e l a t i v a a l o b j e t o i n d e t e r m i n a d o indicación de la pert enencia de x al d om inio
P( x )
es la
x∈D
es la
donde
x
y
D.
Veamos los siguientes ejemplos: a) En la Función proposicional
P( x ) : “ x es un n úmero par”, x ∈ N , x representa una variable
en el conjunto de los números naturales que es su dominio de definición y P( x ) : “ x es un número par”, representa la propiedad relativa al objeto x . b) En la Función proposicional expresión Q ( y ) : “ variable
I
Q( y ) : “ y es solución de la ecuación x 2 + x − 1 = 0 ”, y ∈ R , la
y es solución de la ecuación x 2 + x − 1 = 0 ” expresa un atributo o propiedad de la
y , y la expresión y ∈ R indica que el dominio para y es el conjunto de los números reales.
¡Atención!
N o p e r d e r d e v i s t a q u e l a s f u n c i o n e s p r o p o s i c i o n a l es n o s o n p r o p o s i c i o n e s, p e r o s e p u e d e n c o n v e r t i r e n p r o p o s i c i o n e s. U n a f o r m a e s s u st i t u i r l a ( s ) v a r i a b l e s ( s ) p o r u n e l e m e n t o p e r t e n e c i en t e a l d o m i n i o .
Veamos con un ejemplo el rol del dominio de una función proposicional. En la función proposicional Q( y ) : “ ser expresada como “
y es solución de la ecuación x 2 + x − 1 = 0 ”, y ∈ Z , que puede
y es solución entera de la ecuación x 2 + x − 1 = 0 ” observamos que para
16
Ló g gi i c a a
cualquier valor entero " a" que tome la variable
y , resulta Q(a ) : “ a es solució n de la ecuación
x 2 + x − 1 = 0 ” que es una proposición siempre falsa. Por ejemplo, son proposiciones falsas Q(− 5) , Q(0 ) , Q(3) . En cambio si elegimos como dominio el conjunto de los números reales la sustitución de
y
1 : “ 1 2 2 −1 − 5
Q
es
=
2
es solución de la ecuación x
− 1 − 2
resulta que Q
2
y por
1 2
+ x − 1 = 0 ”, que es una proposición falsa; pero si
5
es una proposición verdadera.
Concluimos diciendo que:
La verdad o falsedad de una proposición, obtenida al reemplazar un valor de la variable x ∈ D en una función proposicional depende del dominio D de la Función Proposicional.
Actividad 1 Simbolizar las siguientes proposiciones en términos de la lógica de funciones: a) b) c) d) e)
Si María viene, Pedro se va. Descartes fue un brillante matemático y un filósofo profundo. Si Jeremías estudia, obtendrá su título. Si Esteban y Diana no llegan, Eduardo no dará el concierto.
Si se desborda el Paraná , se inundarán Barranqueras y Corrientes.
Actividad 2 Sean las funciones proposionales:
P( x ) : x
≤ 2,
Q( x ) : x (x − 1) = 0 . ¿Cuáles son los valores de
verdad de las pro posiciones dadas si el dominio es el conjunto de los números enteros no negativos? a) P(1)
−
b) c) d) e) f)
P(0) ∧ Q(0) P(2 ) ∧ Q(2)
− [P(0) ∧ Q( 2)] P(5) ⇒ Q(2) − P(5) ⇒ Q(2)
Consideremos la siguiente función proposicional: P( x ) : “ x es impar”, x
∈ N
Hemos visto que una forma de transformar una función proposicional en proposición es sustituir la(s) variables(s) por un elemento perteneciente al dominio.
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I n s st t i t u t t o S u up p e e r i o r r d e l P r r o f f e s o or r a d o “ J u a an N . T e r r e r o ” ”
Así resultan proposiciones como P(4 ) : 4 es impar cuyo valor de verdad es F
P(11) : 11 es impar cuyo valor de verdad es V Otra forma de obtener pro posicion es a partir de f uncione s propo sicion ales es mediante un proceso llamado de c u a n t i f i c a c i ó n . Asociados a la variable x , introducimos los símbolos ∀x y ∃ x , llamados cuantificador universal y existencial en x , respectivamente. Las expresiones Para todo x , se verifica P( x ) Existe x , tal que se verifica P( x ) que se denotan mediante
∀x : P( x )
∃ x / P( x ) y corresponden a una función proposicional P( x ) cuantificada universalmente en el primer caso y existencialmente en el segundo.
Una función proposicional cuantificada adquiere el carácter de proposición. Si cuantificamos universalmente la función proposicional
P( x ) : “ x es impar”, x ∈ N ,
obtenemos: “Todos los números naturales son impares” Hemos enunciado una proposición relativa a todos los números naturales, cuyo valor de verdad es F . Si cuantificamos existencialmente la misma función proposicional, se tiene “Existen números naturales que son impares” Hemos obtenido una proposición cuyo valor de verdad es V .
Actividad 3 Expresar simbólicamente las siguientes proposiciones: a) Todos los números naturales múltiplos de seis son múltiplos de dos. b) Si a y b son número s reales cualesquiera entonces la suma de sus cuadrados es un número real no negativo. c) Existen dos números naturales tales que dos es igual a la suma de sus cuadrados.
Actividad 4 Dados los siguientes enunciados: I. “Si el producto de dos números reales cualesquiera es cero entonces alguno de ellos es cero” II. “Todo número real cuyo valor absoluto es mayor que 5 se encuentra a la derecha de 5 en la recta numérica” a) Expresar simbólicamente cada enunciado. b) Expresar simbólicamente y coloquialmente las proposiciones recíproca, contraria y contrarrecíproca de cada proposición dada.
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Ló g gi i c a a
I
¡Atención!
U n a f u n c i ó n c u a n t i f i c a d a u n i v e r s a l m e n t e e s V s i y s ó l o s i s o n V t o d a s l a s p r o p o s i c i o n e s p a r t i c u l a r e s a s o c i ad a s a a q u é l l a . P ar a a s e g u r a r l a v e r d a d d e u n a f u n c i ó n p r o p o s i c i o n a l c u a n t i f i c a d a e x i s t e n c i a lm e n t e , e s s u f i c i e n t e q u e s e a v e r d a d e r a p o r l o m e n o s u n a d e l a s p r o p o s i c i o n e s a s o c ia d a s a l a f u n c i ó n p r o p o s i ci o n a l .
Negación de una función proposicional cuantificada Consideremos nuevamente la función proposicional: P( x ) : “ x es impar, x
∈ N ”
si la cuantificamos universalmente obtenemos: “Todos los números naturales son impares” su negación es: “No todos los números naturales son impares” es decir: “Existen naturales que no son impares” y en símbolos
∃ x / − P( x) Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial y se niega la función proposicional. Si ahora la cuantificamos existencialmente obtenemos: “Existen naturales que son impares” su negación es: “No existen naturales impares” es decir: “Cualquiera sea el número natural, n o es impar” o lo que es lo mismo “Todo número natural es par” y en símbolos
∀ x : − P( x ) Entonces, para negar una función proposicional cuantificada existencialm ente se cambia el cuantificador en universal y se niega la función proposicional.
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I n s st t i t u t t o S u up p e e r i o r r d e l P r r o f f e s o or r a d o “ J u a an N . T e r r e r o ” ”
Actividad 5 Escribir en símbolos las equivalencias obtenidas anteriormente: I. II.
Actividad 6 Dadas las proposiciones: a) ”Todo el que lo conoce lo admira” b) “Todo entero admite un inverso aditivo” c) “Hay alumnos que estudian y trabajan" Escribirlas en lenguaje simbólico, negarlas y traducir las negaciones al lenguaje simbólico.
Actividad 7 Dadas las proposiciones: a) “Existen ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros cuyas soluciones no son enteras” b) “Todos los números enteros son múltiplos de tres” c) “Existen números enteros que son pares y no son divisibles por 4” d) “Para todo número real x , si x es irracional entonces su cuadrado también lo es” e) “Para todo número natural n , si n es impar entonces su cuadrado también lo es” Escribirlas en lenguaje simbólico, deter minar su valor de verdad, negarlas y traducir las negaci ones al lenguaje simbólico.
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Ló g gi i c a a
R e s u m i e n d o … .
Las Funciones Proposicionales
se pueden transformar en proposiciones
por sustitución
por cuantificación
Ejemplo: P( x ) : " x > −10, x ∈ Z " Para x = − 20 , obtenemos la proposición: "−20 es un número entero mayor que − 10" , cuyo valor de verdad es F
Universal
∀x : P( x )
Existencial ∃x / P( x )
Ejemplo:
Ejemplo:
P( x ) : " x > −10, x ∈ N " Si la cuantificamos universalmente: ∀x ∈ N : x > −10 obtenemos una proposición cuyo valor de verdad es V
P( x) : " x ≤ 100, x ∈ N " Si la cuantificamos existencialmente: ∃ x ∈ N / x ≤ 100 obtenemos una proposición cuyo valor de verdad es V
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I n s st t i t u t t o S u up p e e r i o r r d e l P r r o f f e s o or r a d o “ J u a an N . T e r r e r o ” ”
1) Expresar la negación de las siguientes proposiciones: a) ∃ x / [F (x ) ⇒ (P( x) ∧ Q(x))] b) ∀ x : [( F ( x ) ∨ Q(x )) ⇒ S ( x )] c) ∀ x : [P( x ) ∧ (Q(x) ⇒ R( x))] 2) Dadas las proposiciones: a) El cuadrado de todo número real es mayor que 2. b) Existen enteros cuyo cubo aumentado en 1 es igual al cubo del siguiente. c) Todo el que estudia triunfa. Escribirlas en lenguaje simbólico, negarlas y traducir las negaciones al lenguaje simbólico. 3) Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados: a) ∃ 1 ∈ Z / ∀x ∈ Z : x.1 = 1.x = x 1
1
1
b)
∀x ∈ Q : ∃ ∈ Q / x =
x =1 x x x c) ∀x, y ∈ N : x < y ⇒ x 2 < y 2
d)
∀x ∈ R : −(x − 3) 2 − 2 < 0 ∀n ∈ N : 3 (- 1)n+1 + 3 (− 1) n = 0 ∀x, y ∈ R : cos 2 x + sen 2 x = cos 2 y + sen 2 y ∃x ∈ Z / x > 5 ∧ x es solución de 2 x − 1 = 3 ∃x ∈ Z − {0}/ x 2 = x ∀p, q , r ∈ Z : [( p − q ) es imoar ∧ (q − r ) es impar ] ⇒ ( p − r ) es ∀x ∈ R : ∃y ∈ R / y = 2 x + 3 ∃x ∈ Z / ( x es par ∧ x esdivisible por 5) ∀n ∈ Z + : 2 es divisor de 3n 2 + 1 ∃ a, b , c ∈ Z − {0} / a 2 + b 2 = c 2
e) f) g) h) i) j) k) l) m)
par
4) En los espacios indicados completar con el cuantificador correspondiente a los efectos de obtener una proposición verdadera: a) ........ 1 ∈ N . . . . . . . . n ∈ N se verifica que n 1 = 1 n = n b) ........ a ∈ R......... b ∈ R se verifica que a 2 c) d)
+b2 ≥ 0 ........ m ∈ N ........ n ∈ N tales que 40 = m 2 + n 2 ......... n ∈ Z ........ − n ∈ Z tal que n + (− n) = −n + n = n
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Ló g gi i c a a
5) Considerar las funciones proposicionales P( x ) : x es equilátero Q( x ) : x es isoscéles R( x ) : x tiene solamente dos ángulos agudos S ( x ) : x tiene dos lados de igual longitud T ( x ) : x tiene los treslados desiguales V ( x ) : x es acutángulo siendo el universo U el conjuntode todos los triángulos del plano .
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ∀x ∈U : [P( x ) ⇒ Q( x)] b) ∃ x ∈ U / [Q(x ) ∧ R( x )] c) ∃ x ∈ U / [P( x ) ∧ R( x )] d) ∀ x ∈ U : [R (x ) ⇒ Q( x)] e) ∀ x ∈ U : [V (x ) ⇒ Q( x)] f) ∃ x ∈ U / [T ( x ) ∧ V ( x)] g) ∀ x ∈ U : [S (x ) ⇒ Q(x)]
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