MINISTERIO DEDUCACION
Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias Sociales y Educación
CAP. I.: LOGICA FORMAL
ENUNCIADO CERRADO:
ENUNCIADO Se llama llama enuncia enunciado do a toda toda frase, frase, oració oraciónn o expresión matemática Ejemplos: 5 – 2 = 3 ¡Te necesito Ven!. A boca cerrada no entra mosca.
Es todo enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos simultáneamente. Ejemplos: 5 – 2 = 3 Paris es la capital de Francia. x 2 – y 2 = (x + y) (x – y)
OBSERV OBS ERVACI ACIÓN ÓN : (a) Se
consideran como proposiciones: - Las oraciones oraciones aseverativas a) Informativas b) Descriptivas c) Explicativas - Las leyes científicas - Las fórmulas matemáticas - Las formulas y/o esquemas lógicos - Los enunciados cerrados (definiciones)
(b) No son con consider iderad adoos como como proposiciones - Las oraciones oraciones no aseverativas aseverativas a) Exclamativas b) Imperativas c) Desiderativas d) Interrogativas Los hechos o personajes literarios Los proverbios, modismos y refranes Creencias religiosas, supersticiones y mitos Enunciados abiertos o indefinidos. ABIERTO
Se considera como enunciado cerrado a todo concepto bien definido. Ejemplo La historia es una ciencia social que estudia, analiza e interpreta los hechos importantes del pasado a través del tiempo y el espacio.
Nota:
PROPOSICIÓN (Proposición lógica)
ENUNCIADO Proposicional):
Las expresiones que contienen la palabra “El” y “Ella” “Ella” también también se consideran consideran como enunciado abierto. Ejemplos: x + 2 = 3 Ciert iertoo día el Perú Perú ent entro en crisis. x 2 + y 3 = 3
(Función
Llamados Llamados también también enunciados enunciados indefinid indefinidos, os, son aquellos que contienen una variable o variables y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso.
-
-
Toda proposición es un enunciado pero no viceversa. Todo enunciado cerrado es una proposición verdadera.
CAP. II.: CLASES DE PROPOSICIONES PROPOSICIONES PROPOSICIONES SIMPLES: Llamadas Llamadas también atómicas atómicas o singulare singulares, s, son aquellos aquellos enunciado enunciadoss que no llevan llevan conectivo conectivos s lógicos es decir tienen un solo sujeto y un solo predicado. Ejemplos La biología es una ciencia. Los Los Chanc Chancas as fueron fueron gran grandes des guerreros. 3 < 6
CLASES DE PROPOSICIONES SIMPLES a) Proposiciones Simples Predicativas: Son aquel aquellas las expre expresio siones nes que que atribuy atribuyen en o afirman un predicado a un sujeto. Generalmente obedecen a la fórmula:
S
es P
Ejemplos
La biología es una ciencia. Los Los Chanc Chancas as fueron fueron gran grandes des
guerreros.
2, es un número primo
b) Proposiciones Simples Relacionales:
Son Son aque aquell llas as expr expres esion iones es en N las las cual cuales es se e tienen relaci relaciona onann dos o más sujet sujetos os que tienen la mism mismaa cate catego goría ría gram gramat atica ical. l. g (sus (susta tant ntiv ivo, o, adjetivo, etc.) a Obedecen a la fórmula
d o r Ejemplos: e Isabel es prima de Juana. Juana. s 2 + 2 = 5 – 1 3 < 6 - E PROPOSICIONES PROPOSICIONES COMPUESTAS: COMPUESTAx S: Llamadas Llamadas también también molecular moleculares, es,t coligativa coligativass o comple complejas jas,, son aquell aquellas as expres expresion iones es que se e obti obtien enen en de la combi combina naci ción ón de dos dos o más más S 1 R S 1 y S 2 2
S 2 2 R
proposiciones simples enlazadas por conectivos lógicos. Ejemplos: “O pedro viaja a Europa o Asia” Si práct práctico ico deport deportee entonc entonces es tendré buen estado físico.
CLAS CLASES ES DE COMPUESTAS a) Negativa
PRO PROPOSI POSICI CION ONES ES
Son aquellas en donde el adverbio negativo “no” o sus expresiones equivalentes afectan a una o más proposiciones. Ejemplos: Es falso que Juan sea peruano. No es cierto que sea utilitarista y naturalista a la vez. Conector: ∼ , ¬ , – Formalización: ∼ p
Jamás A Es absurdo que A Es inconcebible que A No ocurre que A No es cierto que A Es imposible que A No es verdad que A Es mentira que A Es inadmisible que A No acaece que A No es innegable que que A De ninguna forma se da A Es erróneo que A Es incierto que A Nadie que sea A Es incorrecto que A No es inobjetable que A No siempre que A No es que A En modo alguno A En forma alguna A
b) Conjuntiva Son aquellas aquellas proposiciones proposiciones que se relacionan relacionan mediante mediante la conjunció conjunciónn gramatical gramatical copulati copulativa va “Y” o expresiones equilvalentes. Ejemplo: La UNP UNP forma forma profesi profesionale onaless y es un centro de investigación. Conector: ∧; . ; & ; x
Formalización: p ∧q EL CONJUNTOR Símbolos: A∧B;A.B;A& B;AxB B;AxB Traducción Verbal: se lee A y B A incluso B
EL NEGADOR Símbolos: ∼ A, ¬ A, A, - A Traducción Verbal: se lee No A Nunca A (negadores internos)
2
A pero B A aunque B A al igual que B A tal como B A tanto como B A también B A así como B A vemos que también B A al mismo tiempo que B A sin embargo B A es compatible con B A aún cuando B A del mismo modo B A de la misma manera B A no obstante B A empero B Tanto A como, cuanto B Siempre ambos A con B A sino B No sólo A sino también B A asimismo B A a pesar de B A a la vez B A igualmente B A de la misma manera B Sin que A tampoco B Cierto que A lo mismo que B Simultáneamente A con B
Símbolos: A∨ B,A+B Traducción Verbal: se lee lee A o B A a menos que B a menos que A B A salvo que B A y bien, o también B A excepto B A o incluso B A o a la vez B A ya bien B A y/o B
Disyuntiva excluyente Se vincula a través del conector ”o ………o…….” Ejemplo O estas desp espiert iertoo o est estas durmiendo.
Conector: ∨ ; ≡ ; ↔ , Formalización: p ∆ q
Símbolos: A ∨ B;A B;A ≡ B; A ↔ B, A>-
Son aquellas aquellas proposi proposiciones ciones que se relaciona relacionan n medi median ante te la conj conjun unci ción ón disy disyun unti tiva va “o” “o” su expresión equivalente “u”. Pueden ser:
Disyuntiva Incluyente ………….. ………….... o
Ejemplo
Conector:
>-<
EL DISYUNTOR EXCLUYENTE
c) Disyuntiva
Se vincul vinculaa a través través del del conector conector ……………….
∆, ⊕ ,
O A o B O bien A o bien B A o B (en sentidos excluyentes) A o solamente B A o únicamente B A o solo B A no es equivalente a B No es equivalente A con B A no biimplica a B
Mónica es poeta o deportista ∨ ,
+
Formalización: p ∨ q q
EL DISYUNTOR INCLUYENTE INCLUYENTE
d) Condicional Son aquellas aquellas proposiciones proposiciones que se relacionan relacionan medi median ante te la conj conjun unció ciónn cond condici icion onal al “si… “si…… … entonces………… ……………” …” o sus expresi esiones equivalentes. Ejemplo: Si prácti práctico co deport deportee entonc entonces es tendré buen estado físico. La prop propos osic ición ión cond condic icio iona nall cons consta ta de dos dos elementos, el antecedente y el consecuente. Las proposiciones condicionales pueden ser:
Condicional directa ( Implicador ) Antecedente y consecuente van en ese orden respectivo. Ejemplo
3
Si estaré triste. A
te vas
Conector:
→ ; ⊃
enton entonces ces C
; ⇒
Formalización: p → q EL IMPLICADOR Símbolos: A → B; A ⊃ B; A ⇒ B Traducción Verbal: se se lee Si A entonces B Siempre que A por consiguiente B Ya que A bien se ve que B Con tal que A es obvio que B Cuando A así pues B Toda vez que A en consecuencia B Ya que A es evidente B De A deviene B De A derivamos B A implica B Como quiera que A por lo cual B En el caso de que A en tal sentido B Una condición necesaria .para A es B A es condición suficiente para B A sólo si B De A deducimos (inferimos, concluimos, llegamos) en B, etc.
Condicional inversa (Replicador) Consecuen Consecuente te y antecedente antecedente van en ese orden respectivo. Ejemplo
iré de vacaciones siempre que acabe con el trabajo C A Conector: ← ; ⊂
Símbolos: A ← B; A ⊂ B; B; B → A Traducción Verbal: se lee lee Sólo si A B A si B A porque B A siempre que B Es condición necesaria A para B A para B Para A es suficiente B A puesto que B A dado que B A supone que B A pues B A en vista que B, etc.
e) Bicondicional Son aquellas aquellas proposiciones proposiciones que se relacionan relacionan mediante la conjunción compuesta “si y sólo si” o sus expresiones equivalentes. equivalentes. Ejemplo: La pera es dulce si y sólo si está madura. Conector: ↔ , ≡ Formalización: p ↔ q
EL BIIMPLICADOR Símbolos: A ↔ B, A ≡ B Traducción Verbal: se se lee A si y solo si B A siempre y cuando B A se define lógicamente como B A es equivalente, equivale B A por lo cual mismo que B A si de la misma forma B A es idéntica a B A es igualmente (es igual, entonces )B A cada vez que y sólo si B A es equipotente a B A es condición necesaria y suficiente para B A siempre que y solo cuando B
Formalización: p ← q
EL REPLICADOR
CAP. III.: FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES 4
Definición: Es el proc proces esoo por por el cual cual una una prop propos osic ición ión escrita en el lenguaje natural es traducida a un lenguaje simbólico. Para ello cada proposición se reemplaza por una variable proposicional ( p, q, r, etc.) y el conector lógico por el operador correspondiente.
CARA CARACT CTER ERÍS ÍSTI TICA CAS S FORMALIZADO a) Es simbólico b) Es universal c) Es convencional d) Es abstracto e) No es ambiguo
DEL DEL
Negación Conjunción Disyunción Débil Disyunción Fuerte Condici dicion onal al Bicondicional
Son: ( ) : paréntesis [ ] : corchete { } : llaves
NOTA: 1)
2)
para reemplazar a cualquier fórmula o proposición, de allí el nombre de variables. Tenemos los siguientes tipos de variables: Variables Variables Proposicio Proposicionale nales: s: Son Son símbo ímbolo loss que que reemplazan a las proposiciones simples y para ello se utilizan las letras minúsculas a partir de la: p, q, r, s, ....
Constantes: Llamado también operador o conectivo lógic ógicoo, son símbo ímbollos que ree reempla mplazzan a los conjunciones gramaticales y al adverbio de negación. Se clasifican: A) Monádicos: Cuando afecta a una variable o un esqu esquema ema.. Espe Especí cífi fica came ment ntee se trat trataa de la negación ( ∼ ∼ ). Ejemplos: * ∼ p (la negación afecta a la variable p) * ∼ [(p → (r ↔ s )] (la negación afecta a todo el →q) ∨ (r ↔s)] esquema que esta dentro del corchete) B) Diádicos: Cuando relaciona a dos variables o dos esquemas. En este rubro se encuentran todos los demás operadores lógicos. Ejemplos * (p → (El condicional “ → →q) →” relaciona a dos variables p, q) * (p ∨ ∨q) ↔ (p → →q)
* p ∨ ∨(q ∧r)
(La bicondicional “ ↔ ” ↔” relaciona dos esquemas)
(La disyunción “ ∨ ∨” relaciona a un esquema y a una variable)
CONSTANTES CONSTANTES U OPERADORES OPERADORES LÓ GICOS GICOS
∼ p p ∧ q p ∨ q q ∨ p ⊕ q ⊕ p → q p ↔ q
SIGNOS DE AGRUPACIÓN:
LEN LENGUAJ GUAJE E
ELEMENTOS DEL LENGUAJE FORMALIZADO Variables: Son símbolos que pueden ser utilizados
no p pyq poq opoq si p ent entonce oncess q p si y solo si q
El opera operado dorr lógico lógico de mayor mayor jera jerarq rquí uíaa dentr dentro o de un esque esquema ma molecu molecular lar es aquel aquel que esta fuera o entre menos signos de agrupación. Cada Cada esqu esquem emaa molecu molecula larr tiene tiene un nombr nombre, e, el cual esta determinado por la constante lógica de mayor jerarquía
PASOS PARA FORMALIZAR: 1)
Determinar Determinar las proposicio proposiciones nes simple simpless que que se se encuentran en toda la expresión y reemplazarlos con las variables prepos preposicio icional nales, es, cada cada propos proposició iciónn con una una variable. 2) Identific Identificar ar las conjunciones conjunciones gramaticales gramaticales y los adverbios de negación para reemplazarlos por sus respectivas c onstantes. onstantes. 3) Jerarq Jerarquiz uizar ar las const constant antes es lógica lógicas, s, para para ello ello debemos analizar los signos de agrupación y el sentido de la expresión.
Recomendaciones I)
La formali formalización zación debe ser ser literal literal (tal (tal y como esta escrito no valen equivalencias) Ejemplos: - Es falso que Manuel Manuel no es millonario millonario ∼ ( ∼ ∼ p) - La cucaracha cucaracha y el tiburón tiburón comen comen cualquier cualquier cosa p ∧q II) Las expresiones expresiones lingüísticas lingüísticas de doble doble negación (innegable, inobjetable, etc.) Se formaliza como tal Ejemplo: Es inneg innegabl ablee que que los los verteb vertebra rado doss son son reptiles ∼ ∼ p III) Las negaciones por por prefijos prefijos se se formalizan formalizan Ejemplo: * Carmen es infeliz : ∼ p
OBSERVACIÓN Los términos: Ni p ni q ≡ ∼ p ∧∼ q ≡ p ↓ q No p o no q ≡ ∼ p ∨∼ q ≡ p | q
5
CAP. IV.: VERDAD FORMAL FUNCIÓN DE VERDAD: Es la corre corresp spon onde denc ncia ia que que exis existe te entr entree el conjun conjunto to de propo proposic sicion iones es y sus valore valoress de verdad. f
A
p q r . .
B
V F
o
COMBINACIÓN DE PROPOSICIONES
UNA
O
MAS
Obedece a la siguiente fórmula:
Número de Combinaciones
=
DEFINIC INICIÓ IÓN N COMPUESTAS La Negación
DE
PROPOSICI SICIO ONES
o
o
o
o
p
p
V F
F V
q
V V F F
V F V F
V V F F
V F V F
p
q V V F V
La Disyunción Excluyente p
q
V V F F
V F V F
p
q F V V F
La Bicondicional p
q
V V F F
V F V F
p
q V F F V
TAUTOLOGÍA Cuand Cuandoo en el esquem esquemaa molecu molecular lar todos todos son son verdaderos.
CONTRADICCIÓN Cuand Cuandoo en el esquem esquemaa molecu molecular lar todos todos son son falsos.
CONTINGENCIA
La Conjunción p
q
2 n
Donde: n = número número de variables proposicionales proposicionales
o
o
p
p
q V F F F
Cuan Cuando do en el esqu esquem emaa mole molecu cula larr resu result ltan an verdaderos y falsos.
La Disyunción Incluyente p
q
V V F F
V F V F
p
q V V V F
El Implicador p
q
V V F F
V F V F
p
q V F V V
El Replicador
6
PROBLEMAS PROPUESTOS
Practiquemos en el aula
1.
A continuación se te presenta cuatro tarjetas, cada una con cinco alternativas. Selecciona la(s) que consideres correcta y completa en De las siguientes los espacios en blanco: Son ejemplos de
expresiones:
proposiciones:
1.1 2. 3.
¡Buenas Noches! ¿Cómo estas? El Perú es un país sudamericano. 4. Vete a comprar al mercado. 5. Te deseo suerte en tu examen. Son enunciados: ____ Todas Todas _________ ____________________________ ______________________________ __ De las siguientes expresiones: 3 Dios mío. El Perú es un país latinoamericano. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. X es un eminente profesor del Pronafcap. El “Tungsteno” es una obra de Vallejo. No son proposiciones:_____________ __________________________ ______________________________ ____
2.
1.
2
Tres res mas mas dos es may mayor que que dos dos mas uno. 2. ¡Hola! 3. El cuadrado es un paralelogramo. 4. Deseo viaj iajar al Cuzco. 5. La An Antárt tártic ica a es es un un con conti tine nent nte e perdido. Son ciertas: ____ 1,3,5 1,3,5 _________
4
De los siguientes enunciados, no son proposiciones:
A grandes males, grandes remedios. remedios. Julio y Enrique son amigos. 3,1416 es mayor que 3,11112 Mañana es sábado si hoy es viernes. El Huascarán tiene 6768mts de altura. ________ ________ Son correctas:____________ correctas:____________
Se te presenta presentann un tablero tablero que contiene, contiene, proposici proposiciones ones simples simples y compuestas. Identifica Identifica cuales son y formalice formalice dichos enunciados. enunciados.
1.- Julio y Dante son
2.- El número 1332 es
3.- Justo al igual que
4.- El 28 de julio de de 1821
5.- Roberto es político pero es 7
Hermanos. P. Compuesta PΛQ
divisible por 11.
Gerardo son profesores.
P. Simple
P. Compuesta PΛQ
se celebra el honesto. P. Compuesta día de la Independencia P Λ Q del Perú. P. Simple
6.- No ocurre que, las aguas de las corriente peruana sean calientes. ¬p
7.- El Huascarán se encuentra en la cordillera Oriental de los Andes o se encuentra en la cordillera Occidental.
8.- La tierra es un planeta del sistema planetario solar. P. Simple
9.-El que llueva 10.-.El Perú posee es condición una extensión de suficiente 1 285 215,60 km 2 para obtener P. Simple buenas cosechas. P. Compuesta P→Q
P. Compuesta PVQ
11.- Piura es una ciudad calurosa y emprendedora.
3.
12.-La neurona es la unidad biológica del sistema nervioso.
13.-Todo vegetal realiza la fotosíntesis cuando y sólo cuando tiene clorofila.
14.- Es falso que, los políticos sean honestos.
15.- Mariela estudia sin embargo trabaja.
Analiza los siguientes párrafos o argumentos, descomponlos en sus proposiciones simples e identifica identifica los conectores. a.
Si la pena de muerte se implanta en el Perú por violación a niños menores de edad, las personas que cometen este delito serian sentenciadas a pena de muerte. Pero las personas que cometen violación a niños menores de edad no son sentenciados a pena de muerte, salvo que la pena de muerte se implante en el Perú por este delito.
b.
Si Lima no es la capital del Perú y Buenos Aires es la capital de Bolivia, entonces ambas no son capitales de Chile.
c.
O bien el asma afecta a los pulmones o bien al corazón y a los huesos; pero no es el caso que afecta al corazón del mismo modo a los pulmones. 8
Thales de Mileto fue matemático tal como filósofo.
d.
Calvino fue protestante si y solamente si no se sometió a la ortodoxia católica. En consecuencia Thales fue matemático salvo que también también Calvino fue fue protestante. protestante. 4. Decida Decida si cada una una de las oracion oraciones es siguientes siguientes es o no una propos proposición ición.. a. Teng Tengaa un un feli felizz día. día. b. Lev Levánt ántese ese y pase pase a que que lo cue cuente nten. n. c. 8+15=23. d. No todos todos los los númer números os son posi positiv tivos. os. e.
El deporte es saludable.
f. Desde 1950, más personas han muerto en accidentes automovilísticos que de cáncer. a.
5. Decida Decida si cada una una de las proposi proposicione cioness siguientes siguientes es compuesta compuesta.. Mi hermana contrajo matrimonio en Chiclayo.
b.
Yo leo novelas y leo periódicos.
c.
Se regarán las flores.
d.
El nombre de su tía es Lucía
e.
Hoy no llovió en el sur de Tumbes. 6.
Represente con p con p aa la proposición “Ella tiene ojos azules” y con q a q a “El tiene 43 años de edad”. Traduzca cada proposición compuesta a palabras. a. ~p b.
~q
c. pνq d.
p Λq
e.
~p q →
a)
7. Formaliza Formalizarr las las siguient siguientes es proposi proposicione cioness Verónica y Claudia son contemporáneas __________________
b)
Perú Perú y Chi Chile le son son paí paíse sess con con de demo mocr crac acia ia ____ ______ ____ ____ ____ ____ ____ __
c)
Cuat Cuatro ro y Seis Seis son son múlt múltip iplo loss de de dos dos ___ _____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ __ 9
d)
La Lógica es una ciencia formal, la Matemática también ________
e)
Mari Mariát áteg egui ui fue fue eesc scri rito tor, r, revo revolu luci cion onar ario io y per perio iodi dist staa ___ _____ _____ _____ ____ __
f)
Es fals falsoo que, que, voy voy a la la cap capac acit itac ació iónn y no no a la la bib bibliliot otec ecaa ____ ______ ____ ___ _
g)
Para Para que que un cuer cuerpo po se se cali calien ente te es es sufi sufici cien ente te que que se dil dilat ate_ e___ ____ ___ _ Es imposible pensar que Martin cometió este crimen a no ser
h)
que lo hizo por por despecho. despecho. Sin embargo embargo nunca nunca tuvo problemas problemas con con su es espo posa sa,, dado dado que que ella ella fue fue una una muje mujerr inte intelilige gent nte. e. _______________ i)
Si es ab absurdo que que Mor Morropón o Piura son son la ca capital del del departamento de Piura, luego se ve que Morropón o Chiclayo son la capital de Lambayeque _______________________
8. Evaluar Evaluar los los siguientes siguientes esque esquemas mas molecul moleculares. ares. j) p V V F F
p → ¬ ( p ∨ q ) ↔ ¬ p
q V F V F k) [ ( p ∨ ¬ q ) ∧ ¬ ( p ∨ ¬ q )] ∧ ¬ q
p
q
V V F F
V F V F l) [ p ∆ ( ¬ p ∆ ¬ q )]
A
↔
[ (¬ p ∆ ¬ q ) ∆ q ]
B
10
V V F F 9.
V F V F Sean las proposiciones p proposiciones p yy q falsas q falsas y r verdadera. r verdadera. encontrar el valor de verdad de: ¬ ( p ∨
r) → ( ¬r ∨ ¬q )
a) V b) F c) Tautología Contingencia
d) Contradicción e)
10. Si
el esquema ( p → ¬ q ) es falso falso y ( p ∧ q ) ∨ r verdadera, hallar el valor de verdad de ( r ↔ q ) → ( p ∨ ¬ q ) .
a) V b) F c) Tautología Contingencia 11. Si
d) Contradicción e)
p , q , r son proposiciones verdaderas y s es falso. Hallar el valor de
verdad de las siguientes proposiciones. [( p ∧ q ) ∧ r ] → s ( p → q ) → r [( p ∧ q ) → (r ∧ s )] → (q ∧ s )
• • •
a) VVV 12. Si
b) FFF
c) VFV
d) FVF
e) FVV
¬ p ∨ ¬ q
es ve verd rdaade dera ra y ( p ∧ q ) ↔ ( p ∨ q ) tamb tambié iénn es verdadera. ¿Cuales son los valores de verdad de p y q ?
a) VV
b) FF
c) FV
13. Si el esquema ( p ∧ ¬ r ) ↔ ( s ( ¬ w → ¬ s ) es falso. Hallar
→
w
d) VF ) es verdadera y el esquema
el valor de verdad de:
•
( p ∨ q ) ∨ (r
•
( s ↔ ¬ w) → ( r ∨ ¬ p ) [T → ( w ∨ ¬ p ) ] ∧ ¬ ( p → r ) , (T es verdadero)
•
a) VVV
∨ s)
b) FFF
c) VFF
d) VVF
e) FVV
11
14. Por
la tabla de verdad, determina si cada una de los esquemas es tautológico, contradictorio o consistente. a) ¬ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( q → ¬ p ) b) ( p → q ) → [ ¬ q → ( r ∨ ¬ p ) ] c) [ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ r → q ) ] → ( r ∧ ¬ p )
15.Diga cual(es) son proposiciones condicionales. a) No só sólo hay deuda ta también ha hay pobreza. b) Es in inadmisib sible qu que la va vaca no es es he herbívoro ni ni mamífer fero. c) Dante no es rico pero es feliz. d) Si hay motivación, hay aprendizaje. e) Es falso qu que los pr precios no no suben todos lo los dí días. f) No es es ve verdad qu que el el etanol no no se sea un un alcohol. Bibliografía
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