Primjenjena geodezija IV Z.Šimić
Kružni luk L – duljina kružnog luka centralni kut α
α R
R
polumjer kružnog luka
Kružni luk je dio kružnice. Koristi se u projektiranju i izgradnji prometnica (cesta i željezničkih pruge), kanala…
Elementi kružnog luka T β Ta
Tb
b SK
t
PK
R
t
R
α S
• točke kružnog luka S – središte zakrivljenosti kružnog luka T – tjeme kružnog luka • glavne točke kružnog luka: PK – početak kružnog luka SK – sredina kružnog luka KK KK – kraj kružnog luka • detaljne točke kružnog luka • elementi kružnog luka R – polumjer Ta=Tb – tangente b – bisektrisa t – polovica tetive α – centralni kut β – tjemeni kut xSK , ySK – koordinate SK
Računanje tjemenog i centralnog kuta
1 T1 A
α
12
B
β
T2
R α A S
1A 12 180
Usvajanje polumjera R R se usvoji pri projektiranju i ograničen je s Rmin
T
α
β
α + β= 180˚
Ta Tb
SK KK
PK R
R α/2
t R tg α
: L 360 : 2 R R L 180
2 b TS R
S
b
R cos
R 2
T
x1 R sin
β
2
y1 R a y1 R R cos SK v
α/2
KK
PK
te
B R
A a
R
α/2
S
te 2 R sin
2
2
Ortogonalna metoda od tangente
T
x1 R sin y1 R a y1 R R cos SK 2 1
KK
PK
a
R
ω
ω
α/2
S
R
te 2 R sin
2
T
Polarna metoda od tangente
1
1 PK
2
2 2
2 1
2
21
SK
2
t2 KK
t1
t1 2 R sin ω
R
α/2
ω
S
R
2 2 t 2 2 R sin 2
T
Polarna metoda po obodu kruga
180º+2δ
δ
2
1 t
t
PK
KK ω
R
ω α
S
T
α1 10
11
α2
α3
12 d
α4
SK 1
2
15
14
13 3
PK
4
KK
R
R α
1 360 (11S 1110 )
S Poligonska metoda
d1 (y) 2 (x) 2
Računanje koordinata glavnih točaka kružnog luka kao male točke
xSK A
PK
T1 ySK
SK
Računanje koordinata središta kružnog luka kao male točke
t A
PK
R
S
T1
Računanje koordinata detaljnih točaka kružnog luka kao male točke
x2 –x1
x1 A
PK
T1
1 2 SK
Računanje koordinata glavnih točaka trase pomoću poligonskog vlaka S2
T1 t1 PK1
SK1
R1 A
β1
R2
S1
R2
t1 KK1 PK2 R1
α1
α2
B
SK2
t2
β2 T2
KK2
t2
Poligonski vlak za računanje koordinata glavnih točaka trase
β2
S2
T1 b PK1
A
α2/2 β1/2
SK1
R1
α1/2
t1
KK1
PK2
t2
SK2 β2/2 b T2
S1
B
R2
KK2
T1
Kružnica
D
R
A
S
R R
C
T2
1 R ε S
2
ε ε
α
B
d 3 4
102
Elipsa
C 270º
101 b
B
0º 00′ 00″
180º a
α
a
S b 90º D
A
Y - os C
1 2 3 y1
y2 X - os
B
α
S
x
A
x2 lanac ili vrpca
D x – proizvoljno odrediti ( x = 5,10, 20, … m) Ortogonalna metoda iskolčenja elipse
b y a2 x2 a
C
ω
α1
2ω
1
1′ d1
ω b B
α
S
ω
α2
a
2′
d2
2
A
d1 a b sin
d 2 a b sin 2
d n a b sin n
D
Polarna metoda iskolčenja elipse
1 180 90 2 180 90 2 n 180 90 n 270 n
S krivina S2
T1 t1 PK1
SK1
R1 A
β1
R2
α2
B R2
t1 KK1 PK2 R1
α1
SK2
t2
β2
KK2
t2
T2
S1
t1 R1 tg 1
t 2 T1T2 t1
R2
t2 tg 2
Serpentina
Serpentina
Serpentina 180 ( ) 540 (180 ) 360 ( )
tg
2
A
R R t t tg 2
φ
a
m
PK
d
T1 t β
T
b
S
α
γ1
SK e
C
γ2
R
n
T2 KK b
c
R sin
2
R
a TA t c TB t e TC b
ψ
B Duljine za iskolčenje glavnih točaka serpentine
Stacionaža
Računanje stacionaže glavnih točaka kružnog luka
T
t
B
A
Stacionaža
Prijelazne krivine
Prijelazne krivine Koltoida
R L C
Y
x Lx C O
R
τ
x
PPK
KPK=PK
Lx X
Prijelazne krivine R LX C
Kubna parabola
Y
x lx C O
R
τ
x
KPK=PK
PPK
X lx
Prijelazne krivine Lemniskata
Rt C
Y
x tx C O
R
τ
x
PPK
KPK=PK
tx
X
Umetanje prijelaznice
T β
∆R
∆R
PPK
PPK
α
α O
Klotoida
C cos x d 2 0
C sin y d 2 0
A 2 RxL const, A RxL
OdreĎivanje kuta
C L C RL
Y
O
dy
R τ
KPK=PK
dL L SPK PPK
C dL L dL C d L d
L dL C d 0
YKPK=Yl
L
0
0
LdL C d 0 X
XKPK=l
C L
dL 2R dL 360 d 2R d 360 dL 360 dL R R d 2 d
dx
d
R
L2 L2 L2 C 0 C 2 2 2C C LR
L2 L 2C 2 R
OdreĎivanje koordinata KPK :
Y
l; yl dx cos dL dy sin dL
O
dy
dx R
d
τ
L
y sin 0
L
X cos 0
YKPK=Yl
L
Y sin 0
PPK
L2 x cos dL 2C 0 L2 dL 2C
KPK=PK
dL L SPK
L
L2 dx cos dL 2C L2 dy sin dL 2c
L2 dL 2C
L2 dL 2C
X XKPK=l
L5 L9 X L ... 40 C 2 3456 C 4 Y
L3 L7 L11 ... 6C 336 C 3 42240 C 5
XKPK=l YKPK=Yl
Klotoida - elementi Yo Yl R cos
Y
X o l R sin R Yo R Yl R(cos 1)
O
X SPK X o l R cos
R
YSPK
KPK=PK
R 2
Tk
φ
Yo
dt YSPK
PPK
ΔR
ω
XSPK=Xo Td
XKPK=l
L SPK
Td l Yl ctg
YKPK=Yl
e
Yl sin
d t l 2 Yl 2
X tg
Yl l
e y l ctg
yl tg
Prijelaznica kao tlocrtni element ceste služi za: • postupan prijelaz zakrivljenosti iz pravca u kružni luk, a time i za postupnu promjenu radijalnog ubrzanja, odnosno za prijelaz iz jedne zakrivljenosti u drugu, • za osiguranje dovoljne duljine vitoperenja kolnika za prijelaz iz poprečnog nagiba u pravcu na poprečni nagib u kružnom luku, • za postupno proširenje kolnika iz širine u pravcu na širinu u kružnom luku.
Duljina prijelaznice odreĎena je: • voznodinamičkim zahtjevima • konstruktivnim zahtjevima • vizualnim (estetskim) zahtjevima
Voznodinamički zahtjevi za duljinu prijelaznice Lmin (m) 30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
X (m/sec3)
0.875
0.800
0.725
0.650
0.575
0.500
0.450
0.400
0.350
0.300
0.250
Lmin (m)
25
30
35
45
50
60
65
75
85
95
115
Amin
25
37
51
73
94
122
150
184
226
267
313
Rmin (m)
25
45
75
120
175
250
350
450
600
750
850
Vp (km/h) ceste
Konstruktivni zahtjevi Vp (km/h) ceste
40
60
80
smax (%)
1.5
1.0
0.75
Proširenje kolnika
Najmanja duljina prijelaznice Lmin = f (R)
Prema projektnoj brzini “Pravilnika za projektiranje” odreĎuju se veličine tlocrtnih elementa trase. Tlocrtne elemente trase čine pravac, kružnica i njihova veza klotoida, a njihove granične vrijednosti date su u tablici:
Kao mjerodavna veličina najmanje dozvoljene duljine prijelazne krivine Lmin uzima se najveća od tri vrijednosti dobivene prema navedenim zahtjevima.
Optimalna duljina prijelaznice : Lprije. : Lkr.luka : Lprije. = 1 : 1 : 1 τ: α : τ = 1 : 2 : 1 Tk : Td približno 1: 2
Y
Klotoida izmeĎu pravca i kružnog luka – simetrične klotoide
xsk xo R sin
2
y sk yo R cos
2
O R cos
R
2
t x o y o tg
SK
Yo
R sin
Ysk
b
b
2
yo cos
KPK=PK
ΔR SPK PPK
R
α/2
Yl
β/2
XSPK=X o
2
R
2
T X
l Xsk
t LKRIVINE 2 LPR
R 2 180
Detaljne točke Y
NPR – detaljna točka na klotoidi
l NPR STN PR STPPK O τ
R
R cos N
y NPR δN
Yo
R sin N
YNKL
NKL
NPR
T
YNPR
PPK
l 2 ) ...) 2R 3 2 x NPR x NPR (1 0,23( ) 2 ...) 6 LRl 2 Rl
x NPR l (1 0,10 (
XSPK=X o
X NKL – detaljna točka na kružnom luku
XNPR XNKL
l N STNKL STKPK
N
lN R
x NKL xo R sin( N ) y NKL yo R cos( N )
Stacionaža krivine T
t
B
A
Uzdužni profil i poprečni profili – tehnički i detaljni nivelman
b
c detaljni nivelman a tehnički nivelman R
Vezne točke (a,b,c,..) se postavljaju na stacioniranim točkama osi trase
Uzdužni profil H - kote
niveleta uzdužni presjek terena
usjek
LT – lomna točka nivelete nasip
stacionaže - ST M = 100 / 1000 Za visine M = 1:100 Za duljine M = 1: 1000
Uzdužni profil
Uzdužni profil
Uzdužni profil
Poprečni profili
Zaobljenje nivelete LT1
HLT2
t Δh1
HA
HLT1
A
Δh'
PZ t'
φ1
α
Δh" t"
t
φ2 Δh2
KZ
φ1
φ2
d1 d2
ST1
LT2
ST2
Stacionaža i visina početka i kraja zaobljenja
t t cos1
t t cos 2
STPZ STLT 1 t
STKZ STLT 2 t
h t sin 1
h t sin 2
H PZ H LT 1 h
H KZ H LT 2 h
Visine detaljnih točaka
y2
LT1
y3
HLT2
H2 1
H1 HA
2
PZ
Δh2
Δh3 3
KZ d3
d2
4
Δh1
A
LT2
Δh4
d1
HLT1
d4
ST1 STPZ
ST2
STLT1 ST3
STKZ ST4
STLT2
Računanje visina stacioniranih detaljnih točaka trase • Detaljne točke 1 nalazi se na usponu, a detaljna točka 4 nalaze se na padu. • Računanje visina točaka uspona ili pada trase. d1 ST1 STA h1 d1 tg1 H 1 H A h1
d 4 STLT 2 ST4 h4 d 4 tg 2 H 4 H LT 2 h4
Računanje visina točaka u zaobljenju • Detaljne točke 2 i 3 nalaze se na zaobljenju. d 2 ST2 STPZ h2 d 2 tg1
d2 x2 cos1 x 22 y2 2 R
H 2 H PZ h2 y 2
d3 STKZ ST3 h3 d3 tg 2
x3
d3 cos 2
x32 y3 2 R
H 3 H KZ h3 y 3
ISKOLČENJE PROJEKTIRANIH POPREČNIH PROFILA • Iskolčenje poprečnog profila na terenu znači odrediti mjesta u kojima projektirani profil prometnice siječe teren. • Prema kategoriji prometnice poprečni profil može biti različite širine. • Radi odvodnje kolnička površina je u odreĎenom nagibu (od 1.5 % - 2,5 %) • Bankine imaju poprečni nagib do 2 % veći od nagiba kolnika.
usjek
nasip
galerija tunel
Poprečni profili
usjek
nasip
os
os kota terena K.N.
kota nivelete K.T.
os K.N.
zasjek K.T.
Poprečni profili
Poprečni nagib
Širine kolnika
Poprečni presjek - profil
2,5%
4%
4 cm habajući sloj
37 cm 52 cm
zastor gornji nosivi sloj donji nosivi sloj - podloga
12 cm
8 cm BNS
25 – 40 ( 45 ) cm
posteljica Auto ceste – debljina kolnika 80 cm habajući sloj 5cm vezni sloj 8 cm BNS 10 cm
Asfaltni slojevi - zastor
betonska stabilizacija 22 cm tampon 35 cm posteljica
Debljine slojeva kolničke konstrukcije
Poprečni profil berma bankina
širina kolnika q% 4%
posteljica
širina planuma (posteljice)
debljina kolnika
c Š c hy d mh z q
os ceste
Širina posteljice
jarak ili rigol
Usjek K.T.
KTlijevo
L
d
c Δh
q% p%
K.N. z
KNlijevo debljina slojeva iznad posteljice š K .N .lijevo KN z š p
Š - širina posteljice C – širina ceste u usjeku
Δh= KTlijevo - KNlijevo
d h m
Nasip os ceste
KN lijevo KN z š p h KN lijevo KTlijevo q% KNlijevo
P%
K.N. z
posteljica Δh š L
K.T. d
KTlijevo
d h n
Postupak na terenu • na širini posteljice - š • izmjeri se visna terena KTlijevo • izračuna duljinu d tj. mjesto presjeka usjeka ili nasipa s terenom (točka L ) • tu se napravi pokosna letva ( B)
Pokosna letva
RAČUNANJE KUBATURE ZEMLJANOG MATERIJALA •
To je računanje volumena (zapremine ) pravilnih ili nepravilnih tijela • Točnost računanja kubature ovisi o načinu odreĎivanja podataka za računanje: 1. podaci dobiveni očitavanjem s plana - najmanja točnost 2. podaci dobiveni iz crtanih profila - veća točnost 3. podaci dobiveni iz podataka mjerenja na terenu - najveća točnost
Računanje kubature • Kubatura se računa : – pomoću visinskih razlika – pomoću poprečnih profila – pomoću slojnica
1. RAČUNANJE KUBATURE NA OSNOVU VISINSKIH RAZLIKA •
•
Koristi se za računanje kubature za izravnavanje veće površine terena pri gradnji: aerodroma, sportskih objekata , zgrada … Na terenu koji se treba izravnati obave se slijedeće radnje:
1. iskolči se mreža kvadrata ili pravokutnika 2. detaljnim nivelmanom odrede se visine vrhova kvadrata ili pravokutnika 3. izračunaju radne visinske razlike tj. ΔN = HP - HN
a) Računanje kubature kad su visinske razlike istog predznaka • nasipavanje cijelog kvadrata za pozitivne visinske razlike (+Δ ) • iskop cijelog kvadrata za negativne visinske razlike ( - Δ) V B
V B
1 2 3 4 4
1 2 3 3
za četverostrane prizme za trostrane prizme
V = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + … ukupna kubatura zemljane mase na cijelom gradilištu
1.6 0.5 3.5
Δ=2.6
20
m
20m
V1 20 20
2,6 3,4 1,6 0,5 8,1 400 810m 3 4 4
b) Računanje kubature kad su visinske razlike različitog predznaka •
prvo se račun razlika zapremine iskopa i nasipa - zapremina trostrane prizme VR B
•
1 2 3 3
Zatim se računa zapremina trostrane piramide (zapremina iskop ili nasip ) VN ( I )
a 2 33 6 ( 3 1 ) ( 3 2 )
iskop
Δ2
Δ1 a
a z
x
φ
y c
Δ3
nasip
iskop
Δ2=-3.4
Δ1=-2.6 20m
20
m
Δ3= 0.5 nasip
VR B
1 2 3 2.6 3.4 0.5 200 366.7m 3 3 3
a 2 33 400 0.53 VN 0,8m 3 6 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 6 (0.5 2.6) (0.5 3.4)
VI VR V N 367 .5m 3
2. RAČUNANJE KUBATURE NA OSNOVU PROFILA • Ova metoda pogodna je za sve uzdužne objekte, ako je obavljena izmjera uzdužnih i poprečnih profila. Nakon izračuna površine profila, mogu se izračunati volumeni – mase iskopa i nasipa • približna formula po Winkleru P1 P2 V d 2
Trapezoidna prizma – tijelo izmeĎu dva poprečna profila
P2
P1
d
P1
P2
P2
Pk P4
P3
P2
P3 = P4
Pk
P4
Računalno odreĎivanje površina iz koordinata Gauss-ova trapezna formula +z 1
2 +
5
-y
3
4
6
za nasip – točke se numeriraju u smjeru kazaljke na satu
z6
z1 z5
z4
z2
z3
y6
y 1 y5
y4=0,00
y2
y3 +y
y – horizontalna udaljenost z - visina +z 5
6
4 -
1
-y
za iskop – točke se numeriraju u suprotnom smjeru.
3 2
z6
z1
z5
z4
z2
z3
y6
y1
y5
y4=0,00
y2
y3
+y
