1. Vrste geodetskih mreža. Metode uspostavljanja geodetskih mreža.
Poznato je da pod geodetskom mrežom podrazumevamo skup tačaka čije su koordinate odreñene u nekom koordinatnom sistemu i koje su meñusobno povezane. Geodetske mreže tačaka imaju namenu da se na osnovu njihovih poznatih pozicija u datom koordinatnom sistemu definišu položaji drugih tačaka u istom sistemu. - Postoje: visinske, horizontalne i trodimenzionalne mreže. Visinske mreže su skup tačaka (repera) sa poznatim kotama (visinom iznad nivoa mora) Horizontalne mreže predstavljaju skup tačaka sa poznatim 2D koordinatama u datom kkordinatnom sistemu (X i Y, latituda i longituda i sl.) Ovakva podela mreža je samo okvirna jer je poznato da i reperi moraju imati odreñen neki horizontalni položaj, kao što i tačke horizontalne mreže moraju imati odreñenu kotu. Razlika je samo u tačnosti odreñivanja ovih koordinata. Razvoj geodezije i globalnog pozicioniranja kao i potreba za predstavljanjem prostora u 3D dovodi do potrebe za trodimenzionalnim mrežama, čije tačke imaju definisane sve tri prostorne koordinate. - Sa aspekta inženjerskog pristupa važna je podela na državne i lokalne mreže. Ove mreže se razlikuju po: tačnosti, geometriji i rasprostranjenosti. Državna mreža pokriva područje cele države ili veći njen deo, dok LGM pokriva samo zonu grañevinskog objekta. Dok je geometriju državne mreže lakše isprojektovati, to geometriju LGM diktira topografija terena na kom se gradi objekat. I u pogledu tačnosti LGM je mnogo tačnija jer se zahteva i veća tačnost obeležavanja sa LGM zbog čega se uglavnom i razvija a ne koristi se državna.
2. Lokalne geodetske mreže. Namena i opšte karakteristike. Lokalne geodeske mreže (LGM) se razvijaju za jedan manji deo prostora, obično sa namerom da pokriju zonu grañenja objekata za koji se razvijaju. Namena ovih mreža je da služe za prostorno lociranje objekata, obeležavanje istog, praćenje grañenja i praćenje objekata tokom održavanja i eksploatacije. Projektuju se u zavisnosti od vrste i veličine objekta za koji se razvijaju i tražene tačnosti koju treba da obezbede. Oblik LGM je često uslovljen konfiguracijom terena, jer se objekti često grade na veoma nepristupačnim terenima. Stoga LGM mora da se projektuje tako da bude funkcinalna tokom celog perioda grañenja i eksploatacije objekata. Mora se obezbediti da tačke LGM budu dovoljno blizu objekata kako bi se sa tačaka mreže moglo vršiti obeležavanje i snimanje, ali i dovoljno daleko da se pri grañenju objekta ne ugrozi stabilnost tačaka mreže. Mreža se mora uspostaviti tako da projektovani objekti pri grañenju ne zaklone vidljivost izmeñu tačaka mreže. Dizajn i oblik mreže kao i tačnost odreñivanja koordinata mreže moraju se postaviti tako da se sa sigurnošću obezbedi projektom tražena tačnost obeležavanja. Polazi se sa ciljem da tačnost odreñivanja pozicija tačaka mreže bude bar tri puta veća od potrebne tačnosti obeležavanja. To se proverava i projektantu i investitoru garantuje na osnovu prethodne ocene tačnosti. U slučaju da prethodna ocena tačnosti pokaže da ovaj uslov nije zadovoljen moraju se menjati oblik mreže ili tačnost merenja merenih veličina. Dakle u tom slučaju potrebno je pogustiti mrežu ili promeniti njen dizajn ili meriti neke nove veličine ili meriti instrumentima koji obezbeñuju veću tačnost i sl. Pošto grañenje i praćenje nekih objekata traje dug vremenski period moguće je projektovati LGM različite tačnosti za različite faze radova kako se nebi morala obezbeñivati visoka tačnost kad to nije potrebno (zemljani radovi i sl.) što se definiše sa projektantom. Namena LGM: - Definiše matematičku osnovu za prostorno lociranje objekata - Za obeležavanje karakterističnih tačaka, linija i površi grañevinskih objekata - Za kontrolu geometrije u toku gradnje - Za praćenje pomeranja objekata - mreža se proširuje i tačkama van zone očekivanih deformacija kao i tačkama na objektu. Opšte katrakteristike LGM su: - Mreža se projektuje u fazi idejnog projekta na osnovu pozicije objekata - Projekat mreže treba da obuhvati celo radilište i da služi u svim fazama rada - Mreža se kod većih objekata razvija po nivoima a kod visokih po spratovima - Tačnost mreže mora biti 1/3-1/5* PTO - Oblik mreže, plan opažanja i tačnost merenja zavise od: karakteristika objekta, konfiguracije terena i zahtevane tačnosti – Tačke objekta i tačke mreže moraju biti u istom koordinatnom sistemu –
3. Modeli lokalnih geodetskih mreža. Od modela LGM imamo: - LGM Tunela (nadzemne, portalne, podzemne) - LGM mostova - LGM Brana - LGM linijskih objekata - LGM za delove objekata - LGM za ostale manje objekte 4. Datumi lokalnih geodetskih 1D, 2D i 3D mreža. Datum mreže je u stvari broj koji pokazuje koliko parametara definiše mrežu u datom koordinatnom sistemu. Parametri datuma definišu mrežu po položaju, obliku i veličini. Ako se parametri datuma dobijaju merenjem tada je reč o neslobodnim mrežama dok se u slučaju kad se parametri datuma definišu proizvoljno radi o slobodnim mrežama. Datum 1D mreža je 1 i to je definicija visinske mreže po visini. Datum 2D mreža je 4 i to su dva parametra translacije, rotacija i razmera. Datum 3D mreža je 7 i to su tri parametra translacije, tri parametra rotacije i razmera. Broj nedostajućih parametara datuma je defekt mreže. 5. Projekat LGM. Postupak izrade i realizacija. Projekat LGM podrazumeva: - Obezbeñenje topografskih podloga za projektovanje - Georeferenciranje pozicija projektovanih objekata - Definisanje PTO i kontrole objekta - Projekat geometrije mreže (da obuhvati ceo objekat, da tačke mreže budu blizu zbog obeležavanja i daleko zbog zaštite od oštećenja) - Prethodnu ocenu tačnosti simulacionom metodom (TTM/3
6. Geodetska mreža za brane. Prethodna ocena tačnosti. Geometrija mreže za potrebe projektovanja i obeležavanja brane zavisi od njene složenosti odnosno od rasporeda i veličine njenih sastavnih delova. Oblik geodetske mreže je mreža trouglova, geodetskih četvorouglova ili centralni sistem koji čine malu trigonometrijsku mrežu i u najviše slučajeva samostalnu. Tačnost mreže mora biti velika. Uticaj grešaka u dužini osnovice ima veliki značaj, pa se postavljaju dve osnovice. Kod ovakvih objekata se obavezno osovina objekta uključuje u geodetsku mrežu kao jedna trigonometrijska strana, ili ako je osovina objekta krivojinijska onda se uključuju glavne osovine ili temna krivina. Metod koji se primenjuje kod obeležavanja je metod presecanja pravaca napred ili konbinovanog presecanja. Pogušćavanje mreže na gradilištu vrši se poligonometrijskim vlacima sa kojih se obeležavaju temeljne jame i temelji objekta. Moramo imati u vidu pre svega da li se radi o nasutoj brani ili betonskoj brani. Nasute se grade u slojevima po celoj dužini dok se betonske grade po lamelama pa moramo voditi računa da nam raspored tačaka za obeležavanja bude takav da može stalno da pokriva pravcima za presecanje sve lamele na svim visinama grañenja. Zbog ove činjenice tačke se moraju nalaziti dosta visoko na padinama brda jedne i druge strane reke. Za nasute brane karakteristično je da su u nižim delovima vrlo široke. Mreža za obeležavanje treba da ima oblik pravougaonika pri čemu su stranice pravougaonika orijentisane tako da su paralelne i upravne glavnoj podužnoj osovini brane. Tačke koje definišu mrežu pravougaonika se rasporeñuju prema projektu brane u zavisnosti od terenskih uslova i najčešće imaju nepravilan raspored. Njihovo odreñivanje se najjednostavnije može izvesti u vlaku koji se oslanja na trigonometrijske tačke. Nivelmanska mreža čini visinsku osnovu gradilišta. Mora se razviti na obe strane reke i povezati u jedinstven visinski sistem. Kod velikih gradilišta treba razviti nivelmansku mrežu 1 reda gde je srednja kvadr. Greška mha po 1 km dužine vlaka oko 1-2 mm, a stranice m hs oko 0.25 mm. Razmak repera mreže 1 reda je od 1.5-2 km. Kod dugačkih akumulacija mora biti odreñeno najmanje 3-5 visinskih razlika preko reke za povezivanje mreže leve i desne obale. Projekat nivelmanske mreže 2. Reda treba da se uklopi u sastavne delove hidrotehničkog čvora na primer krajevi profila na akumulaciji za ispitivanje nanosa, osnovni reperi u zoni brane, reperi kod preliva. Nivelmanska mreža 2 reda treba da je kategorije preciznog nivelmana srednja kv. Greska po 1 km od 1.5-3mm. Na kraju ostaje nivelmanska mreža 3 reda koju čine radni reperi koji se postavljaju u blizini objekata u sklopu hidrotehničkog čvora i služe da se direktno sa njh vrše visinska obeležavanja i kontrole u procesu grañenja. Mreža tačaka za ispitivanje deformacija i pomeranja u procesu grañenja i docnije u periodu održavanja se nalazi neposredno uz grañevinu koju treba ispitati na pr. Branu. Njena glavna karakteristika je da se mora sastojati od apsolutno stabilnih tačaka koje se pri deformacionim merenjima nazivaju osnovnim tačkama. Nastoji se da tačke predviñene za odreñivanje pomeranja u horizontalnoj ravni služe i kao osnovni reperi. Nivelmanska mreža za velike objekte treba da bude podeljena u dva reda. 1 red osnovne stabilne tačke locirane dalje od objekta koji pružaju garanciju stabilnosti.
Mikrotrigonometrijska mreža za ispitivanje pomeranja i deforamacija u horizontalnoj ravni sastoji se od sistema tačaka projektovanih u dve zone. Prva grupa tačaka nalazi se na terenu neposredno pored objekta a druga dalje nizvodno od brane. Prethodna ocena taчnosti se radi simulacionim metodom baziranim na sledećim parametrima: - Moguća geometrija lokalne mreže - Pretpostavljena tačnost merenja elemenata mreže - Metoda posrednog izravnanja sa ocenom tačnosti merenih i nemerenih parametara mreže - Kriterijumi kvaliteta parametara mreže u funkciji potrebne tačnosti obeležavanja ( po pravilu TTM/3
7. Geodetska mreža za mostove. Prethodna ocena tačnosti. Oblik geodetske mreže za obeležavanje mostova je mreža trouglova ili geodetskih četvorouglova koji čine malu trigonometrijsku mrežu. Tačnost mora biti velika jer uticaj greške u dužini osnovice ima veliki značaj pa se u navećem broju slučajeva postavljaju dve osnovice. Obavezno se osovina objekta uključuje u mrežu kao jedna trigonometrijska strana ili ako je osovina krivojinijska uključuju se glavne osovine ili temena krivuna. Metod koji se oristi za obeležavanje je metod presecanja napred ili metod kombinovanog presecanja. Mostovska triangulacija se tretira kao samostalna mreža, gde se za početnu koordinatu jedne tačke uzima koordinata odreñena sa najbliže tačke koja je korišćena pri snimanju zemljišta, a za pravac jedne koordinatne osovine obično osovina mosta. Izravnanje se izvodi po načinu posrednih merenja. U izravnanje se uključuju sve izmerene dužine. Ocena tačnosti se odnosi na dužinu osovine kod pravolinijskih mostova, dok se kod krivolinijskih ocenjuju dužine tangenata i skretni ugao koji se dobija kao razlika direkcionih uglova pravaca. Tačke mostovske triangulacije treba da su i reperi sa apsolutnim kotama. I blizini obalnih stubova i stubova na suvom mogu se postaviti radni reperi koji služe za neposredna visinska obeležavanja – povremeno treba kontrolisati stabilnost radnih repera. Ova visinska osnova se koristi za obeležavanje mosta i ispitivanje deformacija. Problem je povezivanje repera jedne i druge obale, izvodi se geometrijskim (prepreka do 100m), tigonometrijskim, hidrostatičkim i hidrodinamički nivelmanom. Zadatak obeležavanja sastoji se u obeležavanju stubova pošto se prethodno odredi dužina osovine mosta izmeñu tačaka A i B ako je most pravolinijski. Kod krivolinijskih mostova potrebno je teme krivine uključiti u triangulaciju kao i po jedna tačka na jednom i drugom pravcu trase. Opažanja pravaca u mostovskoj triangulaciji izvodi se metodom zatvaranja horizonta ili girusnom metodom. Osim pravaca treba izmeriti i nekoliko dužina. Prethodna ocena taчnosti se radi simulacionim metodom baziranim na sledećim parametrima: - Moguća geometrija lokalne mreže - Pretpostavljena tačnost merenja elemenata mreže - Metoda posrednog izravnanja sa ocenom tačnosti merenih i nemerenih parametara mreže - Kriterijumi kvaliteta parametara mreže u funkciji potrebne tačnosti obeležavanja ( po pravilu TTM/3
Za samu prethodnu ocenu tačnosti nije potrebno imati nikakva merenja, potrebno je samo raspolagati nekom geometrijom lokalne mreže, šta planiramo da merimo u mreži i kojim instrumentom ćemo to meriti Iz procesa izravnanja se dobijaju najverovatnije vrednosti traženih veličina, bez obzira da li se radi o posrednom ili uslovnom izravnanju. Imamo veci broj merenja od trazenih velicina-nepoznatih i tada se koristi metoda najmanjih kvadrata, koja omogucava da se sistem jednačina popravaka za svaki mereni elemenat lok geod mreže prevede u sistem normalnih jednačina čijim rešenjem uz ispunjenje uslova minimuma se dobijaju najverovatnije vrednosti traženih koordinata, koje nisu tačne ali su najverovatnije, sto znači da izmedju tačnih i onih najverovatnih kada se napravi razlika suma kvadrata svih odstupanja mora da bude minimum. Iz procesa izravnanja proističe da izravnanje po metodi najmanjih kvadrata posredno izravnanje daje te najverovatnije vrednosti traženih veličina. Pored poznavanja najverovatnijih vrednosti traženih veličina potrebno je i znati i sa kojom tačnošću su te tražene veličine dobijene, znači da to podrazumeva takozvanu ocenu parametara procesa izravnanja. Ocenjuje se tačnost koordinata, srednja greška koordinata jedne tačke elipse grešaka, kada je u pitanju ocean tačnosti svih merenih elemenata geod mreže, ocena tačnosti posrednih nemerenih elemenata i mnoge druge ocene parametara i definisanje korelacione zavisnosti izmedju merenih i traženih parametara mogu biti korišćeni u analizi kvaliteta lok geod mreže. Kada je u pitanju ocena tačnosti izvršenih merenih i dobijenih vrednosti, ona je takodje veoma važna u procesu izravnanja da bismo znali šta smo dobili iz izravnanja jedne lok geod mreže ili ako se radi o predhodnoj oceni tacnosti odredjivanja koordinata lok geod mreže da bismo znali šta će se dobiti ukoliko će se takva geod mreža koristiti.
8. Klasifikacija tunelskih mreža. Prethodna ocena tačnosti proboja tunela. Kod tunelskih mreža razlikujemo tri LGM i to: nadzemnu, portalnu i podzemnu. Specifičnost geodetskih mreža kod tunela je u tome što postoji nadzemni deo mreže koji se nalazi van tunela i podzemni deo mreže koji se nalazi u tunelu. Podzemni deo mreže se realizuje uporedo sa napredovanjem proboja tunela. Dugo vremena je taj deo mreže imao oblik slepog vlaka sa oba kraja tunela (portali). Vremenom je ustanovljeno da poligonski vlak a pogotovo slepi ima malu pouzdanost pa se za podzemni deo mreže primenjuje dupli poligonski vlak, zatvoreni vlak, lanac trouglova i lanac četvorouglova. Tako je povećana pouzdanost geodetske mreže u tunelu koja služi za proboj tunela. Koji oblik mreže će se koristiti zavisi od toga da li je tunel pravolinijski ili krivolinijski. Nadzemnu mrežu čini tunelska triangulacija koja prati trasu tunela i to je osnovna mreža za obeležavanje tunela i postavlja se u uzanom pojasu u obliku lanca trouglova, lanca četvorouglova ili lanca centralnih sistema. Tunelska triangulacija za tunele zavisi od dužine tunela, pa se i ova triangulacija razvija po bazisima i izravnava se kao slobodna mreža. Za dobijanje početne koordinate jedna od tačaka tunelske triang. vezuje za tačke državne triangulacije ili ako državna mreža ne postoji onda tačke geodetske osnove koja je postavljena u tu svrhu. U lancu trouglova vezni uglovi moraju biti veći od 40stepeni. Treba voditi računa da je mreža obezbeñena sa dva bazisa, rasporeñena na krajevima mreže. Portalne mreže se postavljaju da bi povezale nadzemnu i podzemnu mrežu i obezbedile što bolji prenos koordinata i direkcionoih uglova sa površine - osnovne mreže na podzemnu mrežu. Trigonometrijske tačke pred portalom treba postavljati na stabilnim mestima odreñenim prethodnim proučavanjem svih pretportalnih zemljanih i grañevinskih radova i analizom pred portalne organizacije gradilišta. Tunelska mreža se izravnava kao slobodna samostalna mreža po metodu izravnanja uslovnih merenja. U procesu izravnanja treba u potpunosti predvideti ocenu tačnosti dobijenih rezultata, što je potrebno da bi se proračunali uticaji tunelske triangulacije na grešku proboja tunela. Greške svih mreža (nadzemne, portalne i podzemne) utiču na tačnost proboja tunela. Pošto je tolerancija za nesusret radnih osovina tunela pri proboju vrlo mala, proizilazi da ukupan zbir grešaka ovih mreža mora biti takav da se susret suprotnih radnih osovina tunela ostvari u granici usvojenog dozvoljenog odstupanja. Proračunom i detaljnom analizom obrasca za grešku pri proboju tunela, doćićemo do zaključka o tačnosti koju treba postići pri merenju uglova i dužina u mrežama. Najčešće se za prethodnu ocenu tačnosti proboja tunela koristi relativna elipsa grešaka koja definiše relativnu tačnost izmeñu dve tačke.
9. Geodetska mreža za saobraćajnice. Prethodna ocena tačnosti. Kod saobracajnica osnova za snimanje je poligonski vlak koji se postavlja pod odreñenim uslovima na terenu i zove se operativni poligon. Operativni pologon se sastoji od staničnih tačaka koje polaže onaj koji na mestu rukuje radom na izradi idejnog projekta trase. On je drugo približenje ka putu po kome će proći buduća trasa (prvo približenje je generalna trasa). Za odreñivanje tačaka operativnog poligona koristi se uzdužni profil trase. Kao početna tačka poligona uzima se tačka na trasi čija je visina data. Operativni poligon služi za snimanje pojasa najveće širine 0.5km u kome se može položiti trasa saobracajnice. U slucajevima snimanja padine za polaganje trase nagib pojasa terena treba da odgovara predviñenim nagibu trase na padini. Stoga i vlak mora da ima nagib sličan nagibu trase. Operativni poligon se vezuje za državnu triangulaciju. Za odreñivanje visinskog položaja trase postavljaju se reperi koji obrazuju nivelmanski vlak i zovu se stalne tačke. Udaljenost izmeñu repera zavisi od konfiguracije terena. Na ravnom i blago nagnutom terenu udaljenost je izmeñu 3-4km. Na strmim terenima od 1.5-2km. Izmeñu ovih repera postavljaju se radni reperi. Na mestima gde se planiraju stalni objekti obavezno se postavljaju reperi. Svi reperi se postavljaju van osovine trase bar na 20-30m van zone zemljanih radova. Nivelmanski vlaci duž trase moraju da se oslanjaju na nivelmanske repere državnog premera. Koristi se metod tehničkog nivelmana sa tačnošću od ±8mm po 1 km. Prethodna ocena tačnosti i ovde ima za cilj da pokaže da li projektovana mreža, i način merenja njenih elemenata može da garantuje projektovanu tačnost obeležavanja. 10. Model i parametri lokalne geodetske mreže. Od modela LGM imamo: - LGM Tunela (nadzemne, portalne, podzemne) - LGM mostova - LGM Brana - LGM linijskih objekata - LGM za delove objekata - LGM za ostale manje objekte Parametri su: -Date veličine - merene dužine - mereni uglovi - nepoznati parametri
11. Kriterijumi kvaliteta geodetskih mreža Геодетска мрежа је потребна за свако геодетско снимање и пројектовање. Када геодетски задатак изискује већу тачност и када државна мрежа не задовољава постављену тачност због свог положаја и начина стабилизације ми пројектујемо локалну геодетску мрежу тј. мрежу за посебне намене. Разлике између локалне геод.мреже и државне су у ТАЧНОСТИ И ГЕOМЕТРИЈИ. Тачност локалне г.м. зависи од потребне тачности обележавања коју дефинише пројектант и унапред је задаје у пројектном задатку. Геометрија је прилагођена објекту , тачке су довољно близу да се са њих може извршити обележавање и прађење стабилности, а да се заштите од оштећења. Када пројектант дефинише потребну тачност обележавања треба испројектовати лок.г.м. са потребним критеријумом квалитета 1- КРИТЕРИЈУМ ТАЧНОСТИ Треба дефинисати општи критеријум тачности и поузданости -одређујемо грешку положаја геодетске тачке – дефинишемо средњу грешку и елипсу грешака - одређујемо релативну елипсу грешака којом се дефинише однос тачности између две суседне тачке (апсолутна елипса грешака се односи на тачку , релативна елипса грешака се односи на страну у мрежи) - одређујемо грешке мерених елемената мреже (дужине, углови, висинске раѕлике) рачунамо средње грешке из изравнања – средња грешка јединице тежине- стандардна девијација - одређујемо грешке немерених елеманата (дирекциони угао, угао, вис.раз) тачност непознатих параметара зависи зависи од тачности мерених величина , рачунамо стандардну девијацију непознатих елемената 2- КРИТЕРИЈУМ ПОУЗДАНОСТИ су параметри који се рачунају из процеса изравнања. Постоји два критеријума поузданости : ХОМОГЕНОСТ мрежа је хомогена ако су елипсе грешака уједначене ИЗОТРОПНОСТ мрежа је изотропна ако елипсе грешака теже кругу Може се десити да поправка није увек највећа код тачке која има најмању тачност. Пројектујемо мрежу и унапред дефинишемо критеријум тачности. Дефинишемо тачност геодетске мреже и тачност обележавања. Дефинишемо тачност мерења углова и дужина и срачунавамо утицај неоткривене грешке на поправку мерења да не буде разбацана на остале мерене величине. Ако желимо да постигнемо високу тачност тада мењамо геометрију мреже тј. погушћавамо мрежу, или повећавамо критеријум тачности. СИМУЛАЦИОНОМ МЕТОДОМ ОДРЕЂУЈЕМО ОЦЕНУ ТАЧНОСТИ ПА ТЕК ОНДА ВРШИМО ПРОЈЕКТОВАЊЕ МРЕЖЕ.
12. Kriterijumi pouzdanosti geodetskih mreža. Teorija i analiza pouzdanosti КРИТЕРИЈУМИ ПОУЗДАНОСТИ су параметри који се рачунају из процеса изравнања. Постоји два критеријума поузданости : - ХОМОГЕНОСТ мрежа је хомогена ако су елипсе грешака уједначене - ИЗОТРОПНОСТ мрежа је изотропна ако елипсе грешака теже кругу Теорија поузданости геодетских мрежа- омогућује идентификовање грубих грешака коришћењем статистичких тестова као и утицаја неоткривених грубих грешака на коначне резултате изравнања. Анализа поузданости геодетских мрежа- указује на могућност откривања грубих грешака или на утврђивање њиховог утицаја на оцене тражених величина уколико нису откривене грубе грешке. Анализа поузданости се односи на унутрашњу и спољашњу поузданост. Унутрашња поузданост- значи могућност откривања грубих грешака на основу поправака резултата мерених величина добијених из изравнања. Спољашња поузданост – бави се утицајем неоткривених грубих грешака на коначне резултате добијене после изравнања геодетских мрежа (координата тачака, изравнате вредности, функције чији су аргументи непознате величине).
13. Unutrašnaj pouzdanost. Lokalni i globalni kriterijumi Унутрашња поузданост- значи могућност откривања грубих грешака на основу поправака резултата мерених величина добијених из изравнања. Ово је веома сложен проблем, јер поправке мерених величина садрже грешке свих мерених величина које су учествовале у изравнању. Једноставно је утврдити које поправке не задовољавају жељену тачност, али је веома тешко, а некада немогуће утврдити мерену величину чија је груба грешка изазвала велику вредност поправке. Грубе грешке се могу идентификовати ако је испуњено више услова: - да буде добра геометрија мреже - да тачност мерења буде сагласна са одговарајућим стандардним девијацијама односно да се поправке налазе у границама дозвољених одступања. - да грешке мерења имају нормалну расподелу Да би се извршила елиминација грубих грешака из резултата мерених величина у процесу изравнања користе се методе које пружа математичка статистика. Постоје локални и глобални критеријуми. Локални- служе за откривање грубих грешака у појединим опажањима. Глобални- служе за утврђивање утицаја грубих грешака на целу мрежу. Мрежа која задовољава ове критеријуме, омогућава највећу поузданост откривања грубих грешака. Већу унутрашњу поузданост имају оне мреже које омогућавају најлакше откривање грубих грешака. Критеријуми за комплементарни. ui min = = min ri max
унутрашњу ri → max ui → min
и
спољашњу
поузданост
међусобно
су
(ri = 1 − ui )
Како се вредности ri налазе у интервалу 0 ≤ rii ≤ 1 онда се у истом интервалу налазе и . 0 ≤ rii ≤ 1 Утицај грубе грешке на непознате величине односно изравнате вредности мерених rii → 1 величина ће бити најмањи ако rii има што већу вредност односно uii што мању uii → 0 . У оваквим случајевима најлакше је открити грубу грешку. Овај услов у највећој мери испуњавају хомогене изотропне мреже.
14. Spoljašnja pouzdanost. Lokalni i globalni kriterijumi Спољашња поузданост – бави се утицајем неоткривених грубих грешака на коначне резултате добијене после изравнања геодетских мрежа (координата тачака, изравнате вредности, функције чији су аргументи непознате величине). На спољашњу поузданост утичу: - тачност непознатих параметара - коефицијенти rii и uii (дизајн мреже) - квантил t p који је у функцији вероватноће p При томе се користе методе које пружа математичка статистика.Постоје локални и глобални критеријуми. Локални- служе за откривање грубих грешака у појединим опажањима. Глобални- служе за утврђивање утицаја грубих грешака на целу мрежу Критеријуми за комплементарни. ui min = = min ri max
унутрашњу ri → max ui → min
и
спољашњу
поузданост
међусобно
су
(ri = 1 − ui )
Како се вредности ri налазе у интервалу 0 ≤ rii ≤ 1 онда се у истом интервалу налазе и . 0 ≤ rii ≤ 1 Утицај грубе грешке на непознате величине односно изравнате вредности мерених rii → 1 величина ће бити најмањи ако rii има што већу вредност односно uii што мању uii → 0 . У оваквим случајевима најлакше је открити грубу грешку. Овај услов у највећој мери испуњавају хомогене изотропне мреже.
15. Matematički modeli izravnanja. Osnovne komponente У теорији изравнања геодетских мрежа, која се базира на примени метода најмањих квадрата, постоји широк спектар различитих математичким метода изравнања. То су: изравнање по методи посредних мерења, изравнање по методи условних мерења, изравнање по методи условних мерења са непознатим параметрима, изравнање по методи посредних изравнања када су параметри у одређеним математичким условима. Основне компоненте методе изравнања су: - мерене величине - стохастички модел - функционални модел - алгоритам изравнања - оцене параметара - оцена тачности - контрола квалитета Мерене величине- То су физичке величине (углови, правци, дужине, висинске разлике и др.) које се мере да одговарајућом тачности.Мерене величине су случајне величине које се изражавају одговарајућим нумеричким вредностима. Мерене величине имају норамалан распоред вероватноће, У геодетским мрежама се за мерене величине формира вектор и коресподентна коваријациона матрица. Стохастички модел- је идентичан за све методе изравнања јер се односи на вектор мерених величина. Када су мерене величине у геодетским мрежама стохастички зависне величине треба користити коваријациону матрицу, а ако су независне онда су сви елементи ван главне дијагонале коваријационе матрице једнаки нули. Функционални модел изравнања - Облик функционалног модела зависи од метода изравнања геодетске мреже и њене геометрије. - Изравнање по методи посредних мерења – функционални модел дефинише функционалну везу између мерених величина и непознатих параметара. - Изравнање по методи условних мерења- дефинисан је мереним величинама у оквиру независних математичких условних једначина. - Изравнање по методи условних мерења са непознатим параметрима дефинисан је мереним величинама и непознатим параметрима у оквиру независних математичких условних једначина.' Алгоритам изравнања – најзначајнија компонента изравнања где се примењује метода најмањих квадрата.Добијају се највероватније вредности за непознате параметре које су најближе истинитим вредностима. Оцена параметара- дају потпуну информацију о резултатима мерења. Применом МНК се поред јединствене оцене за вектор непознатих параметара, вектор изравнатих резултата мерења, вектор поправке одређује и њихова тачност. Оцена тачности- се добија на основу експерименталне стандардне девијације јединице тежине. Контрола квалитета – Примењује се у анализи геодетских мрежа након изравнања и односи се на примену теорије поузданости (унутрашње и спољашње) и одређивања оцена вредности појединих величина и њихове оцене тачности.
16. Metode izravnanja geodetskih mreža У теорији изравнања геодетских мрежа, која се базира на примени метода најмањих квадрата (МНК), постоји широк спектар различитих математичких модела изравнања. • Изравнање посредних мерења • Изравнање условних мерења • Изравнање условних мерења са непознатим параметрима • Изравнање посредних мерења када су параметри у одређеним математичким условима. Код модела посредног изравнања непознати параметри xi , yi ,…, t одређују се на основу низа мерених величина l 1, l 2,.... l n под условом да сума квадрата поправака мерених величина v i ( i =1, 2,.....,n) буде минимална. v T ⋅ Pl ⋅ v = min за независне мерене величине v T ⋅ Q l−1 ⋅ v = min за зависне мерене величине где је: v - вектор поправака мерених величина, Pl - матрица тежина мерених величина, Q 1 - матрица коефицијента мерених величина. Број мерених величина n увек је већи од броја непознатих параметара u (n > u) .Разлика r = n – u представља број сувишно мерених величина или број степени слободе. Када је n = u решења су јединствена и тада не егзистира изравнање, а за n < u проблем није дефинисан и не постоје решења и изравнање. Код изравнања геодетских мрежа неопходно је дефинисати дате величине, мерене величине и непознате параметре. Непознати параметри су најчешће координате тачака на пр. 2Д мрежама ( xi , yi ) или 3Д мрежама ( xi , y i ,z i ) . Вредности координата се одређује посредним путем преко величина које се мере на терену (углови, дужине, висинске разлике и др. величине). Између мерених величина и непознатих параметара успоставља се функционалана веза која се за конкретни случај може изразити одговарајућом математичком функцијом. Када мерене величине стоје у неком математичком односу таква мерења називају се условна мерења а поступак одређивања изравнатих вредности мерених величина назива се изравнање по методи условних мерења. Увек резултати мерења стоје у неким математичким односима који због сувишних мерења неће бити задовољени. Изравнате вредности мерених величинаизражавају се у функцији мерених величина и поправака ˆl =li + vi i
Задатак условног изравнаwа састоји се у томе да се yа све мерене величине li одреде кореспондентне поправке vi и изравнате вредности мерених величина lˆi Општи облик изравнања представља изравнање по методи условних мерења са непознатим параметрима. Оно настаје када мерене величине и непознати параметри учествују у истим математичким условима Могу се појавити случајеви изравнања по методи посредних мерења када непознати параметри треба да испуне одређене математичке услове.Овакво мешовито изравнање може имати примену при изравнању мрежа у геодетском премеру а нарочито оних које се користе у инжењерској геодезији када се захтева да неки елементи у тој мрежи буду константни у процесу изравнања, односно да после изравнања задрже вредности које су имале пре изравнања
17. Stohastički model posrednog izravnanja i kovarijaciona matrica nezavisnih merenja Stohastički model je identičan za sve metode izravnanja jer se odnosi na vektor merenih veličina . Kada su merene veličine u geodetskim mrežama stohastički zavisne veličine treba koristiti kovarijacionu matricu Kl ili matricu kofaktora Ql. 2 Kl = σ 0 Ql Gde je σ 0 standardna devijacija jedinice težine (a priori standardna devijacija) merenih veličina. Kada su merene veličine stohastički nezavisne onda su svi elementi van glavne dijagonale matrice K1 jednaki nuli . Kod stohističkih nezavisnih veličona kofaktorska matrica Q1 prelazi u recipročnu matricu težina P l-1 ( Ql→ P l-1 ), odnosno (Ql-1→P1), a kada su merenja iste tačnosti (Pl→I)
18. Funcionalni model posrednog izravnanja Oblik funkcionalnog modela zavisi od metoda izravnanja geodetske mreže I njene geometrije. U izravnanju po metodi posrednih merenja funkcionalni model definiše funkcionalnu vezu izmeñu merenih veličina l i nepoznatih parametara X. U opštem sličaju funkcije veze su nelinearne i pišu se u inplicitnom vektorskom obliku Î=l+v=F( Xˆ ) –opšti nelinearni funkcionalni model izravnanja po modelu posrednih merenja Î -vektor izravnnja (ocenjenih) veličina, l –vekter merenih veličina, v –vektor popravaka merenih veličina, F( Xˆ ) –vektor nelinearnih matematičkih funkcija Xˆ -vektor izravnatih (ocenjenih) parametara
19. Vektor izravnatih parametara Vektor izravnatih parametara Xˆ predstavlja zbir vektora privremenih vrednosti parametara X0 i vektora priraštaja xˆ Xˆ = X0 + xˆ , gde su xˆ x0 dx yˆ y dy 0 Xˆ = X 0 = xˆ = . . . dt t tˆ 0 20. Funkcionalni model uslovnog izravnanja. Linearizacija funcionalnog modela U izravnanju po metodi uslovnog merenja funkcionalni model je definisan merenim veličinama u okviru nezavisnih matematičkih uslovnih jednačina.. U opštem slučaju uslovne jednačine su nelinearne F lˆ = F (l + v) = T -opšti nelinearni funkcinalni model izravnanja F (lˆ) -vektor nelinearnih matematičkih uslovnih jednačina
()
T-vektor teorijskih vrednosti funkcija U svim metodama izravnanja nelinearni funkcionalni modeli prevode se u linearne modele aproksimacijom linearnog dela Tajlorovog reda gde se za tačke razvoja koriste Rezultati merenja l I privremene vrednosti nepoznatih parametara X0 ∂F ∂F F( lˆ, Xˆ )=F(l+v,X0+dx)=F(l,X0)+ v+ dx = T ∂X 0 ∂l 21.Функције везе мерених и тражених величина код посредног изравнања.Приближне вредности параматара Код посредног изравнања непознате величине (х,у...t) одређују се преко низа мерених величини (l-1,l-2...l-n),уз услов да сума квадрата њихових поправака (vi) буде минимум. Број мерених величина треба да буде увек већи од броја тражених величина,које се немогу непосредно измерити,већ се њихове вредности одређују посредним путем преко величина које меримо на терену(дужине,углови...),и између мерених и тражених величина мора постојати функционална зависност која се за конкретни случај може изразити одговарајућом математичком функцијом. Свака мерена величина(l-i),односно њена највероватнија вредност (l*i) може се изразити као функција тражених величина и облика је:l*i=li+vi=Fi(xo+dx,yo+dy… to+dt),где је Fi линеарна или нелинеарна функцуја везе мерених и немерених параметара мреже.Облик функције зависи од облика и врсте геодетске мреже,и ако су функције нелинеарног облика,морају се свести на линеарни облик развијањем у Тајлоров ред у облику приближних вредности параметара (тражених величина: xo,yo…),или у облику li+vi=Fi(xo + x , yo+ y…to+ t ) ,где се поправке мерених величина добијају као: vi=ai
x+bi
y+…+ti
t + fi.
i=1,2,…n, где су ai,bi…ti, коефицијенти(константе),а
fi-слободни чланови (приближно минус мерено),а тражене(изравнате) величине су: X= xo + x, Y= yo + y, T= to + t. Функција везе по непознатим параметрима ai,bi… ti, рачуна се из парцијалних извода. Вредности коефицијената зависе од облика и размере мреже,а не од резултата мерења. При одређивању тражених величина прво се одређују њихове приближне врености пре изравнања,a њихови прираштаји из изравнања. Приближне вредности несмеју да се много разликују од вредности тражених величина,а могу се утврдити дозвољене разлике између приближних вредности параметара и њихових оцена.Под образовањем једначина поправака подразумева се одређивање коефицијената ai,bi…ti и слободних чланова fi,а као непознате величине фигуришу поправке и прираштаји, формирани систем једначина има вишезначна решења,а изравнањем се обезбеђују једнозначни резултати,применом методе најмањих квадрата уз услов минимума: v*Pv=min.Тиме се добијају највероватније вредности тражене величине,а једначине одступања се могу у краћем матричном облику записати : v=Ax+f,гд су A-матрица коефицијената, x-вектор прираштаја, f – вектор слободних чланова и v - вектор поправака.
22. Метод најмањих квадрата: Метод најмањих квадрата састоји се у минимизацији суме квадрата нормираних одступања опажања од њихове праве вредности,односно од њиховог математичког очекивања.Када су мерене величине стохастички независне примењује се овај метод у скраћеном матричном облику v*Pl v=min,и диференцирањем и изједначавањем са нулом добија се минимум. dv*Pl v+v*Pl dv=0,и одговарајућом заменом добијају се нормалне једначине A*Pl A х+А Pl f=0.Основне компоненте ове методе су: мерене величине,стохастички модел,функционални модел,алгоритам изравнања(примена МНК),оцене параметара,оцене тачности и контрола квалитета. Мерене величине и њихова тачност су прва важна компонента у изравнању по методи најмањих квадрата,где се обављају мерења различитих физичких величина са одговарајућом тачношћу(углови,дужине,висинске разлике...).За мерене величине у геодетским мрежама формира се вектор мерених величина l и коресподентна коваријациона матрица Kl.Стохастички модел се односи на вектор мерених величина l,и када су мерене величине стохастички зависне величине треба користити коваријациону матрицу Kl,или матрицу кофактора Ql.Када су мерене величине стохастички независне онда су сви елементи ван главне дијагонале матрице Kl једнаки нули.Функционални модел зависи од методе изравнања и од геометрије мреже и он дефинише функционалну везу између мерених величина и непознатих параметара и у векторском облику је l*=l+v,где су l* вектор изравнатих(оцењених) величина, l вектор мерених величина и v вектор поправака мерених величина.Најзначајнија компонента метода изравнања је алгоритам изравнања,односно МНК којом се обезбеђују једнозначни резултати,односно најбоља решења применом услова минимума,(за независне мерене величине), v*Pl v=min,на овај начин се добијају највероватније вредности непознатих параметара.Оцена параметара и њихова тачност даје потпуне информације о резултатима изравнања.Примена МНК код решавања несагласних система линеарних једначина који се преводе у системе нормалних једначина који су саглани и из којих се одређују јединствене оцене за вектор непознатих параметара,вектор изравнатих резултата мерења и вектор поправака.Контрола квалитета односи се на примену теорије поузданости геодетских мрежа након примене МНК и одређивања оцена вредности појединих величина и њихове оцене тачности.Поузданост даје могућност идентификације евентуалних грубих и систематских грешака у резултатима мерења статистичким тестовима,и утицај ових грешака на резултате изравнања.Квалитет геодетских мрежа се односи на глобалне и локалне мере тачности и поузданости тачака или функција.Концепт квалитета примењује се у анализи геодетских мрежа након изравнања,при пројектовању у оквиру претходне анализе тачности и оптимизације мрежа.
23.Нормалне једначине и њихово решење: Након рачунања коефицијената из приближних вредности непознатих параметара и слободних чланова, формирају се нормалне једначине поправака,које се формирају у следећем облику Vi=aidx+bidy+…+uidt+fi, и то за све мерене величине(правце,дужине или висинске разлике),које су у матричном облику: v=Ax+f,односно N x+n=0,где се N добија множењем транспоноване матрице А са матрицом тежина P и матрицом А, n множењем са матрицом тежина P и матрицом слободних чланова f,а x је вектор непознатих параметара(у матричном облику је x= -Qx n),где je Qx- кофактор матрица непознатих.Решавањем нормалних једначина добијају се вредности поправака и врености прираштаја који се сабирају са срачунатим приближним вредностима и тиме се добијају коначне вредности непознатих величина.Задатак изравнања је да нађемо статистичку оцену компоненти вектора поправака. После примене МНК потребно је одредити тачност величина које се добијају из модела изравнања и њихове статистичке особине варијансе и коваријансе,а вектори изравнатих величина могу се изразити као функције мерених величина,и одређује се стандардна девијација јединице тежина одређена из изравнања So,матрица кофактора мерених величина l, траг производа матрица,коваријациона матрица непознатих параметара,коваријациона матрица изравнатих величина, и коваријациона матрица поправака.
24. Анализа тачности у геодетским мрежама.Експериментална стандардна девијација јединице тежине. У математичким моделима изравнања геодетских мрежа ,после изравнања обавља се оцена тачности добијених резултата из изравнања коришћењем експерименталне стандардне девијације јединице тежине и коваријационе матрице изравнатих величина.Анализа тачности се односи на тачност тачака и функција геодетских мрежа.Оцена тачности може бити глобална ако се одређује једна вредност целог скупа величина у геодетској мрежи,или локална ако се односи на поједине величине.На тачност геодетске мреже утичу: дизајн мреже(зависи од теренских услова,врсте и величине објекта и способности и искуства стручњака),тачност мерених величина (зависи од инструмента,методе рада,атмосферских услова...),и грешке датих величина (на које није могуће утицати,зато се код прецизних радова мреже изравнавају у локалном координатном систему,а затим се трансформишу у државни координатни систем. Експериментална стандардна девијација јединице тежине So даје оцену тачности мерених величина након изравнања геодетске мреже,и то је глобална оцена тачности мерења у геодетској мрежи,а зависи од поправака мерених величина и броја степени слободе(сувишних мерења) у мрежи.Ако су вредности поправака мање по апсолутном износу и број сувишних мерења већи,онда се добија и већа тачност мерених величина.У моделима изравнања се одређује стандардна девијација јединице тежине So као оцењена вредност стандардне девијације јединице тежине (сигма о). Експерименталне стандардне девијације непознатих параметара дају информације о оцени тачности добијених вредности непознатих параметара из изравнања,где су : So експериментална стандардна девијација ,а Qxixi коефицијенти на главној дијагонали симетричне матрице кофактора непознатих непознатих параметара (координате тачака,висине параметара.Тачност тачака...),зависи од тачности мерених величина у геодетској мрежи и њеног дизајна. У 1-Д мрежи у изравнању учествују као непознати параметри висине тачака,а из изравнања се одређују њихове емпиријске стандардне девијације,које дају информације о тачности изравнатих вредности висина тачака. У 2-Д мрежи у изравнању учествују непознате координате тачака,а из изравнања се одређују њихове одговарајуће експерименталне стандардне девијације изравнатих вредности координата тачака,које дају информације о тачности изравнатих координата Sxi , Syi по координатним осама (X,Y).У 3-Д мрежама у изравнању учествују све три непознате координате,а из изравнања се одређују њихове одговарајуће експерименталне стандардне девијације изравнатих вредности координата тачака по све три координатне осе Sxi , Syi Szi.
25. Утицај на тачност мерења у геодетској мрежи. У процесу мерења појављују се многе грешке које настају услед несавршености конструкције инструмента,грешака оператора и спољних услова у којима се врше мерења.Те грешке по свом карактеру могу бити случјајне,систематске и грубе.Отклањање и смањивање ових грешака из резултата мерења се постиже методом рада,ректификацијом инструмента и уношењем одговарајућих поправки.Вредности мерених величина у погледу тачности морају да одговарају одређеним критеријумима који се унапред утврђују(тачност са којом је потребно обавити мерења).Као критеријум за утврђивање да ли квалитет мерења одговара унапред усвојеној тачности служе дозвољена одступања,чији је задатак да вредности мерења преко дозвољених одступања одбаци.Број мерених величина треба увек да буде већи него што је неопходно потребно,и та прекобројна мерења се називају сувишна мерења,која имају вишеструку улогу: служе као контрола при раду,повећавају тачност коначно усвојених резултата,омогућавају оцену тачности резултата мерења и повећавају поузданост геодетских мрежа.Тачност резултата мерених величина може се повећати :савременијом методом рада,прецизнијом мерном техником,мерењем под повољнијим мерним условима,већим бројем мерења исте величине,правилнијом геометријом геодетске мреже и већим искуством и знањем стручњака. Од геометрије геодетске мреже зависи и тачност и поузданост добијених резултата непознатих параметара,зато при пројектовању мреже потребно је да геодетске тачке буду тако постављене да формирају правилне геометријске фигура,а тиме ће се добити и поузданији и тачнији резултати из изравнања. 26. ТАЧНОСТ НЕПОЗНАТИХ ПАРАМЕТАРА У 1Д, 2Д И 3Д МРЕЖАМА Експериментална стандардна девијација јединица тежине So даје оцену тачности мерених величина након изравнања геодетске мреже. Експерименталне стандардне девијације непознатих параметара Sxi даје нам информацију о оцени тачности добијених вредности непознатих параметара из изравнања. Формула експерименталне стандардне девијације непознатих параметара : (i = 1, 2, ..., u ) s xi = so ⋅ Qxi xi Из овога можемо закључити да тачност непознатих параметара зависи од тачности мерених величина у геодетској мрежи и њеног дизајна. ТАЧНОСТ ПАРАМЕТАРА У 1Д МРЕЖИ У овим мрежама у изравнању учествују као непознати параметри висине тачака., из изранања се одређују њихове емпиријске стандардне девијације S Hi и оне дају ¶ информацију o тачности изравнатих вредности висина тачака Hi
H
sHi i (Hi) 0
ТАЧНОСТ ПАРАМЕТАРА У 2Д МРЕЖИ У овој мрежи учествују координате тачака као непознати параметри. Из изравнања се одређује емпиријска стандардна девијација ( S Xi , SYi ) изравнатих вредности координата µ ) Оне дају информацију о тачности координата по x и y оси. тачака i ( ¶Xi, Yi X
sx i s yi i (x i , y i )
o
Y
ТАЧНОСТ ПАРАМЕТАРА У 3Д МРЕЖАМА Код ових мрежа у изравнању учествују непознате координате тачака (x,y,z) а из изравнања се одређују њихове експерименталне стандардне девијације S Xi SYi изравнатих вредности координата тачака. Експериментална стандардна девијација нам даје информацију о тачности изравнатих координата по x, y и z оси. Z
s Zi i(xi , yi , z i )
syi
sx i o
Y
X
27. ВРСТЕ ЕЛИПСИ ГРЕШКА У току изравнања одређују се експерименталне стандардне девијације положаја тачака и оне зависе од експерименталних стандардних девијација по координатним осама. Често се круг полупречника S pi назива круг грешака.2где 2је s pi = s xi + s yi = so ⋅ Qxi xi + Q yi yi
X
sx i i (x i , yi )
sp i
sy i
o
Y
У пракси се често истовремено проучава више случајних величина нпр. координате тачака у простору или равни. Ако проучавамо X и Y координате као две случајне величине и ако се те координате рачунају у правоуглом координатном систему (X ,0, Y) тада се тачка са таквим X и Y координатама налати у равни X,0, Y и њене координате се сматрају случајним величинама. Када се површина 2д нормалног распореда пресече са равни X,0, Y добија се елипса са центром у тачки µ x , µ y чије осе нису паралелне са осома координатног система XY.
X A
y B
x Y 0
Када се координатни систем у коме се налази елипса заротира за угао θ тада се координатне осе XY поклапају са главним осама ξ и η . X A
y
B
x Y 0
Ово се зове канонски облик елипсе грешака, помоћу које се добија први степен поверења, где је А велика полуоса елипсе грешака а В мала полуоса. Осе означавају екстремне грешке положаја тачке. Остале грешке се налазе између ова вда екстрема. Полуосе А и В су пропорционалне стандардним девијацијама σ ξ и σ η . добиајмо израз А= t ⋅σ ξ и В= t ⋅σ η . Облик , димензије и орјентације елипсе грешака зависе од међусобног положаја тачака у мрежи и тачности мерених величина. Елипсе грешака представљају линије једнаких
густина распореда вероватноће срачунатих координата. Параметри елипсе грешака се одрешују Qпомоћу карактеристичне функције матрице кофактора xx Qxy Qxˆ = Q yx Q yy Релативна елипса грешака даје информацију о међусоној тачности положаја две тачке у 2д геодетској мрежи. Разлике координата тачака добијених из изравнања су у облику вектора. Рачуна се средња грешка дужине од средње грешке функције. ∆xij xˆ j − xˆi ∆xij = x j − xi = = = Gij ⋅ xˆ ∆yij yˆ j − yˆ i Коваријациона матрица се рачуна : K ∆x = so2 ⋅ Q∆x где се помоћу матрице Q∆x уместо матрице Qxˆ израчунавају параметри релативне елипсе грешака.
Apsolutna elipsa gresaka
Relativna elipsa gresaka
У практичним примерима релативне елипсе грешака се најчешће одређују у геодетским 2д мрежама инжењерске гедезије за пробоје тунела, у деформационој анализи, тј у случајевима када нисмо у могућности да направимо слободно изравнање, ако имамо развучену мрежу. тада се рачунају локалне релативне елипсе грешака- даје се релативни однос између тачака- одређује се колика је грешка је дне тачке у односу на другу. Код тунела је веома мала раздаљина између две тачке и рачунате су из две епохе мерења. Помоћу релативне елипсе грешака код пробоја тунела добијамо непристрасну предходну оцену тачности пробоја тунела. 1 AR = so ⋅ (Q∆x∆x + Q∆y∆y + k R ) 2 1 (Q∆x∆x + Q∆y∆y − k R ) 2 Ово су елементи релативне елипсе грешака где су Q∆x∆x + Q∆y∆y одговарајући кофактори координатних разлика измећу две тачке за које се прави релативна елипса грешака. Апсолутна елипса грешака се односи на положајну тачносе појединачне тачке. BR = so ⋅
28. РАЧУНАЊЕ ПАРАМЕТАРА ЕЛЕПСИ ГРЕШАКА (СЛУЧАЈ КАДА ЈЕ ПОЗНАТА И КАДА ЈЕ НЕПОЗНАТА СТАНДАРДНА ДЕВИЈАЦИЈА ЈЕДИНИЦА ТЕЖИНЕ) Експериментална стандардна девијација јединица тежине So даје оцену тачности мерених величина након изравнања геодетске мреже, она је а posteriori стандардна девијација јединице тежине. Ова оцена је ГЛОБАЛНА мера тачности мерења тј. мерених величина у геодетској мрежи а зависи од поправака мерених величина односно тачности мерених величина и броја степени слободе у геодетској мрежи. so =
v TQl−1v n−u
so =
v TQl−1 v tragQ−l 1Qv
Већа тачност мерених величина у геодетској мрежи се добија ако су вредности поправака мање по апсолутном износу и број степени слободе већи. То се види из предходне једначине. Математичко очекивање Експерименталне варијансе јединице тежине So2 једнако 2 2 2 је варијанси σ 0 тј. E ( s0 ) = σ 0 што значи да се у моделима изравнања одређује експериментална стандардна девијација јединице тежине So као оцењена вредност стандардне девијације јединице тежине σ 0 у случајевима када стандардна девијација није позната, тада се параметри елипсе грешака који се односе на једну тачку, у 2д мрежи за вероватноћу (1 − α ) да би се тачка нашла у области елипсе поверења рачунају : за случај када је u=2 AF = so ⋅ 2 ⋅ λ A ⋅ F2,r ,1−α = A ⋅ 2 ⋅ F2,r ,1−α BF = so ⋅ 2 ⋅ λB ⋅ F2,r ,1−α = B ⋅ 2 ⋅ F2,r ,1−α
1 2
θ F = θ = arctg
2Q xy Qxx − Q yy
λi - сопствене вредности матрице кофактора ¤ x θ - угао који гради велика полуоса са X осом тј. показује орјентацију ел.грешака Закључак, када није позната стандардна девијација јединице тежине, користимо у рачунању So тј. експерименталну стандардну девијацију јединице тежине. У случају када је позната стандардна девијација јединице тежине σ 0 (мера коју користимо у одређивању расипања вредности око његове средине је варијанса σ 2 а њен квадратни корен је стандардна девијација које се користи као процена одговарајућих карактеристика резултата за једна податак) тада се користе формуле за израчунавање основних елеманата елипсе: 2 2Qxy 1 Aχ = σ o ⋅ λ A ⋅ χ 2,1 −α θ χ = θ = arctg Qxx − Q yy 2 2 Bχ = σ o ⋅ λB ⋅ χ 2,1 −α
29. ПРИМЕНА РЕЛАТИВНИХ ЕЛИПСИ ГРЕШАКА КАО МЕРЕ ТАЧНОСТИ
Релативне елпсе грешака дају информацију о међусобној тачности положаја две тачке у геодетској 2д мрежи. Разлике координата тачака добијених из изравнања су у облику вектора. Рачуна се средња грешка дужине од средње грешке функције. ∆xij xˆ j − xˆi ∆xij = x j − xi = = = Gij ⋅ xˆ ∆yij yˆ j − yˆ i Коваријациона матрица се рачуна : K ∆x = so2 ⋅ Q∆x где се помоћу матрице Q∆x уместо матрице Qxˆ израчунавају параметри релативне елипсе грешака.
Apsolutna elipsa gresaka
Relativna elipsa gresaka
У практичним примерима релативне елипсе грешака се најчешће одређују у геодетским 2д мрежама инжењерске гедезије за пробоје тунела, у деформационој анализи, тј у случајевима када нисмо у могућности да направимо слободно изравнање и ако имамо развучену мрежу. тада се рачунају локалне релативне елипсе грешака- даје се релативни однос између тачака- одређује се колика је грешка је дне тачке у односу на другу. Код тунела је веома мала раздаљина између две тачке и рачунате су из две епохе мерења. Помоћу релативне елипсе грешака код пробоја тунела добијамо непристрасну предходну оцену тачности пробоја тунела. 1 AR = so ⋅ (Q∆x∆x + Q∆y∆y + k R ) 2 1 (Q∆x∆x + Q∆y∆y − k R ) 2 Ово су елементи релативне елипсе грешака где су Q∆x∆x + Q∆y∆y одговарајући кофактори координатних разлика измећу две тачке за које се прави релативна елипса грешака. BR = so ⋅
Релативне елипсе грешака нису зависне од датума мреже. Уколико се да минимални траг, тада мере тачности тачака умерено расте у односу на центар мреже и представља унутрашњу поузданост мреже.
30. ЕЛИПСОИД ГРЕШАКА. ЈЕДНАЧИНА ЕЛИПСОИДА ГРЕШАКА У математичким моделима изравнања геодетских 3-д мрежа као параметри јављају се координате (x,y,z) у правоуглом просторном координатном систему. Једначина елипсоида: 2
x − µx y − µ y z − µz + + =1 tσ x tσ y tσ z 2
2
Параметри троосног елипсоида су A = t ⋅ σ x , B = t ⋅ σ y , C = t ⋅ σ z полуосе троосног елипсоида грешака A = s λ o A у тродимензионалном изравнању за B = so λB једну тачку геод. мреже се одређују: C = so λC Орјентација троосног елипсоида у просторном координатном систему подразумева одређивање углова које образују полуосе елипсоида A,B, C са осама правоуглог 3д координатног система. Угловне вредности не зависе од координатног система већ него од елеманата кофакторске матрице Q x . Полуосе елипсоида грешака за u=3 у 3д Z
C
C
B B
T(
x,
y,
Y
z )
A A
X
мрежи и за вероватноћу 1 − α су облика :
2 Aχ = σ o ⋅ λ A ⋅ χ 3,1 −α 2 Bχ = σ o ⋅ λB ⋅ χ 3,1 −α 2 Cχ = σ o ⋅ λC ⋅ χ 3,1 −α
31. Metode identifikacije grubih grešaka. Data snooping test za otkrivanje grubih grešaka Za otkrivanje grubih grešaka u merenjima kod realizacije projekata geodetskih mreža geodete koriste različite postupke (zatvaranje trouglova, zatvaranje poligona, uporedjivanje rezultata višestrukih merenja itd.) koji se primenjuju pre postupka izravnanja. I pored primene tih postupaka u formiranom GMM ostaju izvesne neotkrivene "male" grube greške. Odgovor na pitanje da li u formiranom modelu ima grubih grešaka ili ne daje takozvani globalni test modela. Grube greške mogu se identifikovati ako je ispunjeno više uslova: da bude dobar dizajn mreže, da greške merenja imaju normalnu raspodelu, da tačnost merenja bude saglasna sa odgovarajućim standardnim devijacijama Globalna test statistika H 01 : ∇ i = 0
H 02 : E(s ) = E(σ ) 2 o
Lokalna test statistika −υ H A : ∇i ≠ 0 ωi = i =
συ
i
2 o
− υi − υi = σ o Qυiυi σ li ⋅ rii
Ako je vrednost test statistikeω i
vT Pv σˆ o2 χ r2 T= = ~ Fr ,∞ (≡ ) rσ o2 σ o2 r
ωi ~ N (0, 1)
ωi ≤ k
onda se prihvata Ho ili u suprotnom Ha. Kvadriranjem test statistike vi wi2 = σ 0 Qv v i i
2
−1 = vi Qvi vi vi ~ F 1,∞ σ o2
START <
<
<
MNK
s o2
< F1 - , r , oo <
2 o
F1 - ,1, oo
<
i
>
Interpretacija i
>
Odluka o ponovnim opazanjima?
Ponovna > opazanja
>
> <
> i
Poboljsanje F1 - ,1, oo > matematickog > modela
<
>
<
Druga hipoteza Ha: formirana?
<
Statisticki model korektan?
Poboljsanje statistickog modela
>
Ho: verovatno odbacena pogresno sa verovatnocom <
> END
"Data snooping". •
32. Optimizacija geodetskih mreža. Strategija rešavanja problema
Optimizacija je nauka čiji je cilj da odredi "najbolja" rešenja za izvesne matematički definisane probleme, koji su često fizička realnost. Metode optimizacije se primenjuju u projektovanju geodetskih mreža u cilju dobijanja optimalnih odnosno, najboljih rešenja za realizaciju projekata. Metode optimizacije omogućavaju: dobijanje neophodnih numeričkih podataka na osnovu proračuna prema odreñenim matematičkim modelima, donošenje odluka u slučajevima varijantnih rešenja, ocena kvaliteta geodetskih mreža i rešavanju drugih zadataka neophodnih za realizaciju projekata. Primena metoda optimizacije u savremenim projektovanjima često može biti veoma kompleksna. Ova kompleksnost prisutna je kada se zahteva dobar kvalitet geodetske mreže. Pod kvalitetom geodetske mreže podrazumeva se najčešće tačnost, pouzdanost, osetljivost, ekonomičnost ili neki posebni parametri kvaliteta u zavisnosti od namene mreže. U procesu projektovanja kada se primenjuju metode optimizacije neophodno je definisati kriterijume kvaliteta geodetske mreže. Izbor i primena metoda optimizacije u projektovanju geodetskih mreža pre svega zavisi od vrste i namene
mreže. U projektovanju mreža geodetskog premera, 1-D, 2-D i 3-D najčešće se primenjuje optimizacija dizajna prvog ili drugog reda. U okviru optimizacije dizajna prvog reda uglavnom se primenjuje prethodna analiza geodetske mreže. Prethodna analiza ima najširu primenu u projektovanju geodetskih mreža, jer se zasniva na dobro poznatim matematičkim modelima i na dobro razvijenoj računarskoj podršci, tako da se rešenja dobijaju veoma efikasno. U okviru optimizacije dizajna drugog reda najčešće se koristi modifikovani metod najmanjih kvadrata. U projektovanju mreža specijalnih namena i mreža inženjerske geodezije mogu se koristiti ove ili ostale metode optimizacije s tim da se kod izbora optimizacionog metoda mora uvek imati u vidu namena mreže. U pristupu rešavanja optimizacionih problema postoji obično faza: Definisanje optimizacionog problema Kreiranje matematickog modela koji reprezentuje realni sistem i analiza optimalnih kriterijuma Utvrdjivanje algoritma metode i analiza strukture metode Testiranje modela i dobijenih resenja implementacija. Može se globalno reći da se pri optimizaciji geodetskih mreža koriste uglavnom dve strategije u kojima se kao izvor informacija upotrebljava varijans-kovarijans matrica izravnatih parametara geodetske mreže jer se ona može formirati još u fazi njenog projektovanja. Te strategije su: I. Matematičkim metodama se minimiziraju odredjene funkcije koje su invarijantne na izabrani koordinatni sistem. Većina do sada publikovanih metoda ove strategije ovaj problem rešava iterativnim postupcima jer su procesi optimizacije konvergentni (u svakoj sledećoj iteraciji dobija se rešenje bolje od prethodnog). II. Aproksimira se najbolja moguća kriterijum matrica koja reprezentuje pretpostavljeni kvalitet mreže i do rezultata se dolazi direktnim rešenjem. U zavisnosti od stepena aproksimacija zavisi i kvalitet dobijenih rezultata i njihova primenljivost u praksi.
•
33. Optimizacije tačnosti. Problem linearnog i nelinearnog programiranja
Problem linearnog i/ili nelinearnog programiranja • Pojedinacne mere tacnosti = min = Cilj funkcija • Srednje greske kota i koordinata tacaka • Elipse gresaka tacaka • Srednje greske merenih elemenata • Srednje greske nemerenih elemenata • Relativne elipse gresaka • Globalne mere tacnosti = min • Funkcije ogranicenja - min
34. Klasifikacija optimalnog projektovanja geodetskih mreža
Projekat 0. reda - predstavlja izbor optimalnog koordinatnog sistema za parametre geodetskih mreža. Najčešće se pod optimalnim rešenjem podrazumeva izravnanje slobodnih geodetskih mreža uz pomoć generalizovane inverzije, odnosno njenim specijalnim oblikom pseudoinverzije. • Projekat 1. reda - dovodi do rešenja optimalnog dizajna geodetske mreže. Problem se svodi na odreñivanje optimalnih pozicija tačaka mreže, kao i optimalnog plana opažanja u mreži. • Projekat 2. reda - dovodi do rešenja optimalnih težina ili tačnosti planiranih merenja u mreži. Ovi podaci su od velike važnosti za izbor optimalnih metoda merenja i instrumenata za merenje, jer se u mreži mogu javiti opažanja različitih fizičkih veličina. • Projekat 3. reda - omogućava optimalno poboljšanje postojećih mreža u pogledu dizajna i tačnosti. Ovo se najčešće odnosi na pogušćavanje mreže dodatnim opažanjima ili tačkama u delovima mreže gde je slaba tačnost ili pouzdanost.
35. Optimizacija projektovanja nultog reda
Problem se resava izborom Datum-a – datih parametara mreze • 1d – mreža: d=1 tz – pomeranje u z- pravcu • 2d – mreža: d=4 tx – translacija duž x- ose ty – translacija duž y- ose rz – rotacija oko z- ose s – faktor razmere (bez dužine) • 3d – mreža:d=7 tx – translacija duž x- ose ty – translacija duž y- ose tz – translacija duž z- ose rx – rotacija oko x- ose ry – rotacija oko y- ose rz – rotacija oko z- ose s – faktor razmere (bez dužine) U optimizaciji dizajna nultog reda, za poznat dizajn geodetske mreže, odrenuje se optimalni datum mreže. Odrenivanje optimalnog datuma geodetske mreže zavisi od vrste i namene mreže. Na ovaj način za planirana merenja u geodetskoj mreži, poznata je matrica dizajna A kao i tačnost planiranih merenja u okviru matrice težina l P . Pod optimalnim rešenjem za datum geodetske mreže podrazumeva se iznalaženje optimalnih rešenja za matricu kofaktora nepoznatih parametara x Qˆ ili vektor nepoznatih parametara xˆ . Sva rešenja dobijaju se prema funkcionalnom i stohastičkom modelu posrednog izravnanja a globalno se mogu podeliti na optimizaciju dizajna nultog reda slobodnih i neslobodnih mreža. U matematičkim modelima izravnanja neslobodnih geodetskih mreža definišu se date tačke odnosno, datum geodetske mreže uvek je definisan a nepoznati parametri su koordinate tačaka u mreži koje se odrenuju, tako da u linearnom funkcionalnom modelu posrednog izravnanja matrica dizajna A ima potpun rang kolona Primenom metoda najmanjih kvadrata
dobija se optimalno rešenje
gde je x Qˆ matrici kofaktora nepoznatih parametara. Kod razvoja novih mreža za potrebe izrade i održavanja državnog premera optimalni izbor datuma geodetske mreže definiše se projektom u zavisnosti od vrste i namene mreže. Pod ovim se podrazumeva izbor datih tačaka koje treba da pokriju oblast premera tako da se može razviti nova kvalitetna mreža. Jedna od mera kvaliteta geodetske mreže je tačnost koordinata tačaka pa je potrebno imati u vidu pri projektovanju, da izbor datuma geodetske mreže utiče na tačnost odrenivanja koordinata tačaka koja je sadržana u matrici kofaktora x Qˆ . U matematičkim modelima izravnanja slobodnih geodetskih mreža, nepoznati parametri su koordinate svih tačaka u mreži, tako da u linearnom funkcionalnom modelu posrednog izravnanja matrica dizajna A ima nepotpun rang kolona
Primenom metoda najmanjih kvadrata i minimalne norme vektora nepoznatih parametara
U postupku projektovanja slobodnih mreža neophodno je odrediti defekt datuma geodetske mreže .Pored ostalih informacija neophodno je odrediti namenu slobodne mreže. Ako je mreža namenjena rešavanju inženjerskih zadataka ili lokalnog geodetskog premera sa ciljem da se kasnije izvrši transformacija koordinata slobodne geodetske mreže i tačaka premera dobijenih nekom od metoda geodetskog snimanja, onda se projektom mora predvideti neophodan broj identičnih tačaka slobodne mreže sa tačkama postojećih referentnih geodetskih mreža. Ovo je veoma važno obuhvatiti u procesu projektovanja kako bi se kasnije nakon završetka geodetskog premera u slobodnoj mreži mogla uspešno primeniti adekvatna transformacija koordinata tačaka u referentni koordinatni sistem. U savremenim projektovanjima 3-D lokalnih geodetskih mreža, planiraju se i realizuju merenja globalnim pozicionim sistemom, izravnanje i odrenivanja koordinata se obavlja u okviru slobodne mreže pa je neophodno identifikovati odrneni broj identičnih tačaka u referentnim sistemima u cilju transformacije koordinata tačaka. 36. Izravnanje slobodnih geodetskih mreža U slučaju slobodnih geodetskih mreža matrica N =(ATPA) je realna, simetrična i pozitivno definitna. Njena inverzija je definisana izrazima NQ=E; (3.3)
QN=E;
det N=0
Povezanost matrice N i njene inverzije Q se sagledava razlaganjem sa odgovarajućim spektralnim i modalnim matricama S gde su i sopstvene vrednosti matrice N. Za spektralnu matricu i modalnu važe sledeći stavovi STS=E;
SST=E;
det N=det L; tragN=tragL
(3.5)
Pseudoinverzija Q matrice N je definisana sa izrazima NQN=N;
QNQ=Q;
NQ=(NQ)T ; QN=(QN)T
(3.6)
Ako je r rang matrice N a d njen defekt tada će ona imati r sopstvenih vrednosti različitih od nule a d jednakih nuli. Sopstveni vektori koji odgovaraju ne nula sopstvenim vrednostima mogu formirati matricu S1 a sopstveni vektori koji odgovaraju sopstvenim vrednostima jednakim nula formiraju matricu S2 . S obzirom da se sopstvene vrednosti i njihovi odgovarajući vektori matrice N mogu sračunati to se njena pseudoinverzija Q računa po formuli Q=S1L1-1S1T
(3.8)
Kod jednačine (3.8) se javlja problem velikog broja numeričkih operacija u cilju izračunavanja sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrice N. S obzirom da se singularitet matrice N javlja zbog odredjenih defekata (datum-ski defekt, konfiguracijski defekt) koji su poznati tada se matrica S2 može lako i unapred odrediti. U tom slučaju se dobija regularna matrica M oblika L1−1 M = [ S1 S 2 ]
S1T T T = N + S2 S 2 E S2
(3.9)
Njena inverzija će biti L−1 M −1 = [ S1 S 2 ] 1
S1T T T = Q + S2 S2 E S2
(3.10)
Na osnovu toga sledi da je Q=(N+S2S2T)-1-S2S2T Ovaj izraz je veoma pogodan za računanje zato što se za defekte koji se najčešće javljaju u geodetskim mrežama lako može odrediti matrica S2 . Ne sme se samo zaboraviti da vrsta i uzrok defekta moraju unapred biti poznati. Na osnovu (3.9) i (3.10) sledi sledeća matematička veza: N S2 Q S2 (3.13) S ⋅ =E 2 0 S2 0 ili oblik koji omogućuje inverziju singularne matrice N
Q S 2
S2 N = 0 S 2
S2 0
−1
(3.14)
Jednačina (3.14) je osnovna za rešavanje problema izravnanja slobodnih geodetskih mreža sa poznatom vrstom defekta. Ona je po obliku slična rešenjima nekih drugih autora jer se do matrice S2 , koja omogućava inverziju singularnih sistema, dolazi primenom nekih drugih numeričkih postupaka. Jedan od veoma efikasnih postupaka je računanje pseudoinverzije Q=N+ . Pseudoinverzija Qx singularne matrice N se računa
takozvanom s transformacijom pomoću koje se od proizvoljne datum-ske odredjenosti mreže prelazi na datum slobodne mreže. Numerički postupak se izvodi pomoću formula:
Q x = MN −1 M T = MQx M T
(3.15)
M=E-GT(GGT)-1G
(3.16)
gde je
Matrica G ima odredjen oblik koji zavisi od vrste defekta geodetske mreže i njene dimenzije A. - Kod jednodimenzionalnih mreža matrica G je vektor oblika GT=|1,1,...,1|m
m – broj repera
(3.17)
koji rešava problem translacije težišta izravnatih u odnosu na težište približnih kota. B. - Kod dvodimenzionalnih mreža nepoznati parametri datum-ske odredjenosti su rotacija, razmera i translacija po x i y osi. U zavisnosti od nepoznatih parametara mogu se javiti sledeći slučajevi: B.1 Defekt ranga d = 2 se javlja u slučajevima kada se u mreži mere dužine i azimuti. Matrica G u tom slučaju ima oblik: 1 0 . . 1 0 GT = m - broj tačaka mreže 0 1 . . 0 . 2,2 m
(3.18)
B.2 Defekt ranga d = 3 se javlja u slučajevima kada se u mreži mere dužine i pravci (najčešći slučaj) i tada matrica G ima oblik: 0 . . 1 0 1 T G = 0 1 . . 0 1 m - broj tačaka mreže (3.19) − X 1 Y1 . . − X m Ym 3,2 m B.3 Defekt ranga d = 4 se javlja u slučajevima kada se u mreži mere samo pravci i matrica G ima oblik 1 0 T G = − X 1 Y1
0 1 Y1
. . 1 . . 0 . . −Xm
X1 . .
Ym
m - broj tačaka mreže X m 4,2 m 0 . Ym
(3.20)
C. - U trodimenzionalnim mrežama defekt ranga matrice N može biti 3 do 7.
C.1 Ako je u mreži predvidjeno opažanje dužina, azimuta, astronomskih latituda i langituda obezbedjeni su parametri razmere i tri rotacije a nepoznati su parametri translacije duž osa prostornog koordinatnog sistema. Matrica G ima oblik: 1 0 0 . . 1 0 0 G = 0 1 0 . . 0 1 0 0 0 1 . . 0 0 1 3,3m
m - broj tačaka mreže
(3.21)
C.2 Ako su u mreži predvidjena merenja dužina zenitnih uglova i horizontalnih pravaca obezbedjeni su parametri razmere i dva parametra rotacije, a nepoznati su parametri jedne rotacije i tri parametra translacije (defekt ranga d = 4). Matrica G u tom slučaju ima oblik: 0 1 0 1 G= 0 0 − X 1 Y1
0 . .
1
0 0 m - broj tačaka mreže 1 0 4,3m
0
0 . . 0 1 1 . . 0 0 0 . . − X m Ym
(3.22)
C.3 Kada se u mreži realizuju merenja zenitnih uglova i horizontalnih pravaca obezbedjena su dva parametra rotacije. Defekt ranga je d = 5 pa je potrebno obezbediti parametar razmere, jedne rotacije i tri parametra translacije. Matrica G ima oblik: 1 G= − X1 Y1
1
. . . .
. 1 . . . −Xm
Y1
1 0
X1
Z1 . .
Y
1 Ym Xm
1 m - broj tačaka mreže 0 Z m 5,3m
(3.23)
C.4. Kada se u mreži mere samo linearne veličine tada je obezbedjen samo parametar razmere (defekt d = 6) a nepoznati su parametri tri rotacije i tri translacije. Matrica g u tom slučaju ima oblik: 0 0 . . 1 0 0 1 0 1 0 . . 0 1 0 0 0 1 . . 0 0 1 G= m - broj tačaka mreže (3.24) − Z1 X 1 . . 0 −Z m X m 0 Z1 0 −Y1 . . Z m 0 −Ym 0 . . − X m Ym 0 6,3m − X 1 Y1 C.5. Ako su u mreži planirana merenja samo pravaca tada se javlja slučaj sa defektom d=7 (razmera + tri rotacije + tri translacije) i matrica G ima oblik:
1 0 0 G= 0 Z1 − X 1 Y 1
0 1 0 − Z1 0 Y1 X1
0 0 1
. . . . . .
1 0 0
0 1 0
X1 . . −Y1 . .
0 Zm
−Z m 0
0
. . −Xm
Z1 . .
Ym
Ym Xm
X m m - broj tačaka mreže (3.25) −Ym 0 Z m 7,3m 0 0 1
Koristeći navedene izraze moguće je odrediti inverziju Qx i ako je zbog raznih vrsta defekata, matrica N singularna. U opštem slučaju taj problem se rešava takozvanom Ginverzijom, odnosno njenim specijalnim oblikom pseudoinverzijom. Praktično se numerički postupak može sprovesti i takozvanom "tehnikom proširenja" koja se sastoji od sledećih faza: - sračunavanje ATPA=N koja je singularna i ne može se invertovati - proširenje formirane matrice N sa odgovarajućim transformacionim matricama S2 (u zavisnosti od defekta mreže) −1 N S2 Q= (3.26) S2 0 - invertovanje proširene matrice koja je regularna i korišćenje odgovarajuće sublimacije za sračunavanje priraštaja približnih vrednosti nepoznatih i kompletnu ocenu tačnosti. 37. Kriterijumi tacnosti. Lokalne i globalne mere tacnosti Kriterijum tačnosti je na današnjem nivou razvoja geodezije kao nauke još uvek nepotpuno definisan pojam. Kriterijumi u velikoj meri zavise od vrste mreža (državne, lokalne,mreže inženjerske geodezije itd.) i njihove namene. Zbog veoma širokog spektra mogućih primena i zahteva za tačnošću, koja iz toga proističe, onemogućeno je lako jednoznačno definisanje kriterijuma tačnosti. Obično se formirani kriterijumi dele na lokalne, odnose se na pojedine tačke mreže, i globalne kriterijume koji se odnose na kvalitet mreže kao celine. I lokalni i globalni kriterijumi tačnosti su izvedeni iz varijanskovarijacione matrice K xˆ = σ 02 Qxˆ
LOKALNE MERE TAČNOSTI 2 Korelaciona matrica nepoznatih Qxˆ (Qxˆ = K xˆ za σ 0 = 1) ima sledeću strukturu
q11 q 21 ... qi1 Qxˆ = ... q j1 ... qn1
q12 q22 ... qi 2 ... q j2 ... qn 2
... ... ... ... ... ... ... ...
q1i q2 i ... qii ... q ji ... qni
... ... ... ... ... ... ... ...
q1 j q2 j ... qij ... q jj ... qnj
... ... ... ... ... ... ... ...
q1n q2 n ... qin ... q jn ... qnn
(2.18)
U dvodimenzionalnoj mreži korelaciona matrica se može izdeliti na 2 x 2 blokove koji odgovaraju jednoj ili paru tačaka q( K ) QK K = xx( K ) q yx
qxy( K ) q (yyK )
ili
q ( K L ) QK L = xx( K L ) q yx
q xy( K L ) ( KL ) q yy
(2.19)
Iz ovih blok matrica se može dobiti standardna devijacija koordinata, uz uslov da je 2 poznato σ 0 , kao mere lokalne tačnosti.
σ x = σ 0 qxx
σ y = σ 0 q yy
(2.20)
2 gde su qxx i qyy odgovarajući dijagonalni elementi. Ukoliko je σ 0 nepoznato tada se 2 koristi sračunato m0 i dobijaju se srednje greške koordinata kao mere lokalne tačnosti.
mx = m0 qxx
my = m0 q yy
(2.21) Ako se parametri x razmatraju kao slučajne veličine sa normalnim rasporedom tada razlike ( x − xˆ ) takodje treba da imaju normalnu raspodelu, tj. ( x − xˆ ) : N (0, σ x ) (2.22) to je moguće (2.20) odnosno (2.21) zameniti sa odredjenim intervalom poverenja definisanim sa x − xˆ P −Cα / 2 < < Cα / 2 = 1 − α (2.23) σx odnosno P {xˆ − Cα / 2σ x < x < xˆ + Cα / 2σ x } = 1 − α (2.24) Time je definisan interval u kojem će se, sa verovatnoćom (1−a), nalaziti parametar x. Za standardne vrednosti verovatnoće 1-a=95° (a= 5%) iz tabele normalne raspodele dobija se Ca/2= 1.96 2 2 Ako se umesto σ x koristi mx tada se interval konfidencije dobija pomoću t-raspodele
(
x − xˆ ) : t (n − u ) m
(2.26)
gde je sa (n-r) označen broj stepeni slobode. Analogno sa (2.24) dobija se P {xˆ − tα / 2 mx < x < xˆ + tα / 2 mx } = (1 − α )
(2.27)
Vrednost ta/2 zavisi od izabranog nivoa konfidencije i broja stepeni slobode GMM i može se naći u svakoj knjizi o statistici. Za (n- r)=∞, t a/2=1.96 i odgovara vrednosti Ca/2 normalne raspodele. U mrežama posebne namene često je od interesa unapred znati tačnost pojedinih funkcija čiji su argumenti parametri x. Ukoliko funkcije nisu linearne one moraju biti linearizovane i prikazane u formi f ( xˆ ) = f 0 ( xˆ ) + f1 x1 + f 2 x2 + ... + f 2 x2 (2.28) ∂f ( xˆ ) fi = ∂xi jer je ona pogodna za primenu zakona o rasprostiranju varijansi. Koeficijent težine a zatim i standard ili srednja greška proizvoljne funkcije dobija se po formulama q f = f T Qxˆ f
(2.29)
σ f = σ 0 q f odnosno m f = m0 q f Kao mere lokalne tačnosti u praksi se najčešće koriste izrazi (2.20) ili (2.21) kojima su definisana standardna odstupanja ili srednje greške pojedinih tačaka. Pored toga kao lokalna mera tačnosti dvodimenzionalnih mreža mogu se koristiti standardne odnosno elipse konfidencije tačaka mreže. Standardne elipse se mogu interpretirati kao generalizovana standardna odstupanja (jednačine (2.20) i (2.21)) čije konfidentne elipse su ekvivalent intervala definisanog jednačinama (2.24) i (2.27). Elipse se nazivaju apsolutnim ako se odnose na jednu tačku ili relativne ako se odnose na definisanje tačnosti relativnog položaja dveju tačaka. Radi lakše geometrijske interpretacije prikazanih mera tačnosti one se često prikazuju kružnim regijama. Krugovi grešaka se dobi jaju od standardnih odstupanja ili intervala konfidencije sa korišćenjem teorijskih i realnih varijansi. U 1iteraturi se mogu naći sledeći tipovi krugova grešaka: 1. Standardna kružna greška sa verovatnoćom p~39% 1 (mx + my ) 2 2. Verovatna kružna greška sa verovatnoćom p~50% mp =
(2.40)
m p = 0.59(mx + my )
(2.41) 3. Srednja kvadratna položajna greška (Helmert-ova greška tačke) sa verovatnoćom koja zavisi od odnosa mx i my m p = (mx + my ) = a 2 + b 2 = m ⋅ (λ1 + λ2 ) = m0 tragQKK
(2.42)
4. Generalizovana greška tačke sa verovatnoćom koja zavisi od odnosa m x i my (Werkmeister-ova greška tačke) mp =
a ⋅b = m0 ⋅ (λ1 ⋅ λ2 ) = m0 det QKK m0
(2.43)
Sve napred navedene mere tačnosti imaju veliki nedostatak jer zanemaruju kovarijanse koje objektivno izmedju tačaka postoje. Taj nedostatak se delimično eliminiše kod izračunavanja elemenata relativnih elipsi grešaka. Relativnom elipsom se definiše tačnost medjusobnog položaja dveju tačaka P1 i P2 koje su definisane koordinatama u geodetskoj mreži sa poznatim datum-om. Sračunate relativne elipse se mogu koristiti kao kriterijumi kvaliteta za uporedjivanje dve varijante projektovane mreže sa istom datum-skom odredjenošću. Obično se ucrtaju na sredini linije izmedju dveju tačaka čija se relativna položajna tačnost traži. Posebno korisna mogućnost primene relativnih elipsi grešaka je kod izrade orojekta deformacija ili proboja tunela. U tim slučajevima računaju se relativne elipse grešaka položaja izmedju tačaka na diferencijalno malim rastojanjima (položaji jedne tačke u dve serije merenja odnosno ista tačka proboja tunela obeležavanog sa dve strane od tačaka koje pripadaju istoj mreži). U tom slučaju formirani kriterijumi kvaliteta su invarijantni u odnosu na datum-sku odredjenost geodetske mreže i mogu se koristiti za uporedjivanje različitih varijanti mreža deformacionih modela i tunelskih mreža. Nepristrasna prethodna ocena tačnosti proboja tunela se jedino može dobiti pomoću relativne elipse greške proboja tunela . Poprečna σP i podužna σL greška proboja tunela se ačunaju po formulama
σ P2 = A2 sin 2 (t − θ ) + B 2 cos2 (t − θ ) σ L2 = A2 cos2 (t − θ ) + B 2 sin 2 (t − θ )
(2.45)
Korišćenjem ovih formula dobija se objektivna procena tačnosti proboja tunela koja je invarijantna na datum-sku odredjenost tunelske mreže. Sve druge metode ili daju približne rezultate ili što je još gore "frizirane" podatke (slučaj sa uzimanjem nadzemne mreže kao apsolutno tačnom i datom) koji projektante može dovesti u konfuziju i zabludu. Sve napred navedene mere lokalne tačnosti su zavisne od datum-ske odredjenosti mreže. Tačke koje definišu konvencionalni datum smatraju se apsolutno tačnim i imaju standardne devijacije, elipse i krugove grešaka jednake nuli. Za sve ostale tačke pokazatelji tačnosti se menjaju sa povećanjem rastojanja od datum-skih tačaka. Efekti
tih menjanja su manji kod korišćenja relativnih elipsi grešaka. U slučaju njihovog računanja za diferencijalno male dužine (bliske tačke) elementi elipsi su nezavisni od datum-ske odredjenosti. Ako se koristi datum-ska odredjenost minimalnog traga povećanje vrednosti pokazatelja tačnosti se dobija udaljavanjem tačaka od težišta mreže. Takav prikaz tačnosti se obično naziva unutrašnja tačnost mreže. Zbog te datum-ske zavisnosti prikazane lokalne mere tačnosti se vrlo često nedovoljno jasno mogu interpretirati jer veće vrednosti pokazatelja tačnosti jedne tačke ne znače uvek i njeno lošije odredjivanje u mreži. O njenom položaju u odnosu na tačke koje definišu datum-sku odredjenost mora se voditi računa. U slučaju uporedjivanja lokalnih mera tačnosti u različitim varijantama jedne mreže ta zavisnost od datum-a se znatno smanjuje pa se napred navedeni kriterijumi mogu uspešno koristiti u te svrhe. GLOBALNE MERE TAČNOSTI Kao najopštija mera globalne tačnosti može se koristiti srednja varijansa odredjivanja parametara GMM 1 mx−ˆ 2 = trag k xˆ (2.46) u Ona se ponekad zamenjuje srednjom položajnom greškom tačke mP = mxˆ 2
(2.47)
Kao i mere lokalne tačnosti mreža i napred navedene globalne su zavisne od datum-ske odredjenosti mreže. Za uporedjenje varijanti mreže sa istim datum-om napred navedeni kriterijum ima svoju realnu vrednost ali se ponekad i njegovim korišćenjem mogu izvesti pogrešni zaključci. Pretpostavimo da su za odredjivanje koordinata jedne tačke predvidjena dva plana opažanja i da su po oba dobijene srednje varijanse 1 1 mx−ˆ 2 = trag K A = trag K B = 25 2 2 Na osnovu toga sledi da su oba plana opažanja jednako dobra ali ako se sračunaju elipse grešaka (lokalna mera) može se videti da ta dva olana opažanja daju bitno različite rezultate. Želeći da eliminišu taj nedostatak srednje varijanse mnoge geodete favorizuju kao meru globalne tačnosti generalizovanu verijansu koja se računa po formuli mx−ˆ 2 =u det K x = u λ1 ⋅ λ2 ....λu (2.48) što predstavlja u-ti koren determinante Kx. Nedostatak ovog kriterijuma je taj da kod singularnih Kx je det Kx =0. U tom slučaju se det Kx zamenjuje proizvodom od nule različitih sopstvenih vrednosti. Generalizovana varijansa ima jednostavno značenje jer predstavlja zapreminu elipsoida odnosno njegovu površinu u slučaju ravanskih mreža.
Kao mera globalne tačnosti varijante neke mreže koristi se max – maksimalna sopstvena vrednost Kx . Teorijska osnova za ovako formiran kriterijum leži u činjenici da se standard proizvoljne funkcije fk, nezavisne od datum-ske odredjenosti, nalazi izmedju limita
σ 0 f K λmin < σ f < σ 0 f K λmax K
(2.49)
koji su u direktnoj vezi sa ekstremnim sopstvenim vrednostima Kx . S obzirom da su σ0 i norma vektora fk proizvoljne funkcije (za konkretnu merenu veličinu) konstantne to će gornji limit u (2.49) direktno zavisiti od max . U tom slučaju varijanta mreže, sa istom datum-skom odredjenošću, koja ima manju max imaće manje standarde svih proizvoljnih funkcija. Na osnovu toga proističe da se kao globalna mera tačnosti može koristiti izraz max→min (2.50) Ukoliko se od jedne mreže želi da ima homogenu tačnost tada se kriterijum može formirati kao q=
λmax →1 λmin
(2.51)
varijanta mreže koja bolje zadovoljava (2.51) se može smatrati homogenijom. Navedeni kriterijumi globalnih mera tačnosti, iako su zavisni od datum-ske odredjenosti mreže, mogu se koristiti kao mere uspešnosti procesa optimalnog projektovanja geodetskih mreža.
38. Metode optimizacije projektovanja I-og i II-og reda Metode matematičke optimizacije projektovanja I i II reda se veoma često prožimaju i zbog toga se obradjuju zajedno. Optimizacija projektovanja prvog reda dovodi do optimalne konfiguracije geodetske mreže (fiksni parametri izravnanja matrica težina P i korelaciona matrica Qx a nepoznata matrica A). Ovaj tip optimizacije, ukoliko se primenjuje samostalno, kao rezultat daje pravilnu geometriju geodetske mreže i uglavnom se, zbog topografskih prepreka, ne može realizovati. Projekat drugog reda dovodi do optimalnih težina (matrica P) ili tačnosti opažanja polazeći od usvojene konfiguracije (definisane matricom A) i korelacione matrice nepoznatih Qx. Vrlo često se javljaju metode matematičke optimizacije kojima su obuhvaćena oba reda projektovanja. Za rešavanje ovih problema optimalnog projektovanja koriste se obe strategije koje baziraju na primeni raznih matematičkih metoda. PODELA MATEMATIČKIH METODA OPTIMIZACIJA PROJEKTOVANJA I I II REDA
Pri rešavanju problema projektovanja I i II reda uz pomoć matematičkih metoda optimizacije mogu se, kao i za optimizaciju uopšte, koristiti dve moguće strategije. Po prvoj strategiji rešavanja unapred se odredjuju pojedine funkcije parametara geodetskih mreža koje se mogu minimizirati ili maksimizirati. Matematičke metode odredjivanja ekstremnih vrednosti takvih funkcija (obično se nazivaju cilj-funkcijama) mogu biti veoma različite i uglavnom zavise od oblika i složenosti postavljenih zahteva kao i ograničavajućih uslova za promenljive parametre mreže. Ove matematičke metode su uglavnom iz oblasti linearnog ili nelinearnog matematičkog programiranja kojima se, polazeći od odgovarajućeg početnog rešenja odredjuje potrebna ekstremna vrednost pomoću odredjenih iterativnih metoda. Proces iteracija se završava kada postavljena cilj-funkcija dostigne svoju traženu ekstremnu vrednost uz poštovanje svih uslova ograničenja za promenljive parametre mreže. Algoritamska šema mogućih matematičkih modela za proizvoljne sisteme koji se žele optimirati.
Metode matematičke optimizacije I i II reda
Linearni problemi
Simulacione metode
aproksimacija
nelinearni problemi
Simpleks metode Strategija I
Nelinearno programiranje
Strategija II Direktno rešenje
Dinamičko programiranje
Kanonsko rešenje
Kvadratno programiranje
Gradijentna metoda
Lagrange-ova funkcija
Ostale metode
Ostale metode
Na šemi se vidi da se problemi optimizacije po prvoj strategiji mogu svesti na linearne ili nelinearne probleme. U suštini problemi optimizacije su uvek nelinearni ali se mogu, uz pomoć raznih uopštavanja ili aproksimacija, prevesti u linearni oblik direktno ili iz već formiranog nelinearnog modela. Korišćena uopštavanja i aproksimacije kod dobijanja linearnog problema iz nelinearnog moraju biti tako izabrani da nemaju bitnog uticaja na rezultate dobijene rešavanjem linearnog problema. Na algoritmu matematičke optimizacije problema projektovanja prikazane su i najčešće korišćene matematičke metode za rešavanje pojedinih navedenih problema po prvoj i drugoj strategiji. Za rešavanje linearnih problema najčešće se može veoma uspešno koristiti simpleks metoda linearnog programiranja. Za rešavanje problema po prvoj strategiji najčešće se koriste razne metode nelinearnog i dinamičkog programiranja. Najčešće korišćene metode nelinearnog programiranja su: metode kvadratnog programiranja, metode projekcije gradijenta i metoda minimizacije LAGRANGE-ove funkcije. Za rešavanje problema po drugoj strategiji koriste se metode direktnog, kanonskog rešenja ili neke druge metode. Za rešavanje problema optimalnog projektovanja I i II reda veoma često se koristi metoda simulacija gde se od početnog iskustvenog rešenja sa proizvoljnim brojem merenja ide na poboljšanje dobijenih rezultata uvodjenjem dodatnih opažanja u mreži. Izbor tih dodatnih opažanja zavisi od dobijenin rezultata prethodne simulacije i intuicije projektanta mreže koji mora aktivno učestvovati u projektovanju. Rešavanje problema optimalnog projektovanja I i II reda uz pomoć strategije II se uglavnom ograničava na odredjivanje optimalnih vrednosti elemenata matrice P. U tom slučaju smatraju se matrica koeficijenta jednačina popravaka A i korelaciona matrica nepoznatih parametara mreže Qx poznatim. Matrica A je u potpunosti definisana usvojenom konfiguracijom mreže. Za primenu ove strategije neopnodno je odrediti i elemente korelacione matrice Qx nepoznatih parametara mreže. Za odredjivanje njenih elemenata za sada postoje samo metode koje odredjuju njihove aproksimativne vrednosti. U ovim aproksimacijama i leži glavni nedostatak korišćenja ove strategije optimizacije.
39. Modeli optimizacije III-eg reda Optimizacijom dizajna trećeg reda odreñuju se optimalne težine planiranih merenja u geodetskim mrežama sa dodatnim dizajnom u odnosu na dizajn postojeće mreže. Dodatni dizajn sadrži nove tačke i nova planirana merenja, ili samo nova planirana merenja. Na ovaj način optimizacijom dizajna trećeg reda rešavaju se problemi poboljšanja, proširenja i pogušćavanja geodetskih mreža. Optimalna rešenja se dobijaju primenom modifikovanog metoda najmanjih kvadrata pri čemu je poznata matrica kriterijuma kofaktora koordinata. Postoje tri različita osnovna matematička modela: • dinamički model,
• •
statički model, model sa hibridnom normom.
Dinamički model daje optimalna rešenja težina dodatno planiranih merenja u pogušćenoj ili proširenoj mreži. Opšti model dinamičkog izravnanja, proširene mreže u dinamičkom smislu, zasnovan je na funkcionalnom modelu posrednog izravnanja podeljenog u dve grupe: v1 = A11 xˆ1 + A12 xˆ2 + 0 xˆ3 + f1 v2 = 0 xˆ1 + A12 xˆ2 + A23 xˆ3 + f 2 i stohastičkom modelu P P= 1 P2
(9.171)
(9.172)
Gde je: l1 vektor starih merenja postojeće mreže, l2 vektor novih merenja matrica težina starih merenja P1 P2 matrica težina novih merenja. Matrica dizajna sastavljena je od submatrica A12 0 A A = 11 0 A22 A23 a vektor ocena koordinata je podeljena u tri subvektora: xˆ T =T1 ( xˆ1T xˆ2T xˆ3T ) Dinamički model izravnanja pogušćene mreže karakterističan je po tome što druga grupa novih merenja utiče na ocene koordinata svih tačaka i njihovu tačnost. Na isti način u optimizaciji, dizajn novih merenja utiče na promene težina realizovanih ili planiranih merenja. Zbog toga, u dinamičkom pristupu rešenju optimizacije trećeg reda, odreñuju se težine svih merenja kao nepoznati parametri. Dinamički model optimizacije specijalno je prilagonen za optimizaciju mreža u postupku projektovanja odnosno u fazi kada je samo poznat dizajn. Na ovaj način kada nisu realizovana merenja, za izražen dizajn i dobijena rešenja u prvoj fazi (postojeće rešenje), mogu se u drugoj fazi dodati nova planirana merenja a iznalaženje rešenja za novi dizajn je pojednostavljeno jer se koriste rezultati računanja iz prve faze. Statički model omogućuje dobijanje optimalnih težina dodatno planiranih merenja a težine merenja u postojećem dizajnu ostaju nepromenjene. Statički model optimizacije dizajna trećeg reda, zasnovan je na teorijskim razmatranjima modifikovanog metoda njamanjih kvadrata, opštem polaznom sistemu i rešenjima dobijenim u dinamičkom modelu optimizacije. Statički model omogućava odrenivanje težina planiranih novih merenja pod uslovom da težine vektora p1 u postojećem delu mreže ostanu konstantne.
Imajući u vidu postavljene zahteve, statički model optimizacije dizajna trećeg reda definiše se: p p = 1 , q x vec(Qx+1/ 2/ 3 ) p2 sa sistemom jednačina u obliku Katri-Rao proizvoda ( AT e AT ) ⋅ p = qx
(9.129)
I uslovima ( I 0 ) ⋅ p = p1
(9.193) Uvonenjem vektora popravaka r u nesaglasan sistem (9.192), kao kod modifikovanog metoda najmanjih kvadrata sistem se rešava pod uslovom: r T r + 2k T ( I ⋅ p1 − p1 ) = min (9.194) Gde je k vektor korelata. Rešenjem sistema (9.192) pod uslovom (9.194) dobija se sistem normalnih jednačina odakle se dobijaju subvektori gde su u vektoru p2 sadržana tražena rešenja za težine planiranih novih merenja. Poreñenjem izraza uočava se, da se rešenja za vektor p2 kod dinamičkog i statičkog modela, razlikuju samo zbog različitih matrica N22 i N22. Model sa hibridnom normom zasniva se na rešenjima razmatranim u okviru dinamičkog i statičkog modela optimizacije dizajna trećeg reda. Model sa hibridnom normom sačinjen je od dva različita dela, sa korespondentnim matricama težina. Jedan deo sadrži popravke iz aproksimacije inverzne matrice kriterijuma kofaktora koordinata, a drugi kvadratnu formu promena u težinama merenja postojećeg dizajna. Veoma veliki problem primene modela sa hibridnom normom predstavlja izbor pogodnog odnosa težina n>1 i n>2 u postojećoj i dodatnoj geodetskoj mreži. Od pravilnog izbora ovih veličina zavisi stepen slaganja vektora sa njegovom vrednošću iz prethodnog izravnanja Pj postojećeg dela mreže i pretpostavljenog oblika inverzne korelacione matrice. Taj problem nije u dovoljnoj meri istražen i praktič no onemogućuje njegovu primenu. Na osnovu prikaza nekoliko metoda koje su do sada razvijene za rešavanje problema projektovanja III reda može se zaključiti da neku veću praktičnu vrednost ima samo simulaciona metoda. Ona predstavlja srećan spoj iskustva projektanta geodetske mreže i savremene računarske i kompjuterske tehnike koja je već svuda prisutna. Ostale razvijene metode uglavnom imaju samo teorijski značaj i tek će njihova buduća razrada dati neka inženjersko tehnički vrednija rešenja.
40. *Kriterijumi kvaliteta geodetskih mreža kao cilj funkcije procesa optimizacije* Rešavanja problema optimalnog projekta I i II reda po prvoj strategiji može da se vrši i po originalnoj metodi. Metoda se bazira na korišćenju kriterijuma kvaliteta geodetskih mreža, izraženih pomoću sopstvenih vrednosti korelacione matrice Q x , kao cilj funkcije problema nelinearnog programiranja. Analizirajući kriterijume kvaliteta geodetskih mreža zaključuje
se da se kao cilj funkcija kriterijuma tačnosti i pouzdanosti geodetskih mreža može koristiti izraz za maksimalnu sopstvenu vrednost korelacione matrice (max) Qx =min
(3.123)
Korelaciona matrica Qx ima poznati oblik Qx=(ATPA)-1
(3.124)
gde su u procesu optimizacije drugog reda jedine promenljive elementi dijagonalne matrice P P =diag(p1, p2,..., pn )
(3.125)
P =diag(1/σ12, 1/σ22,..., 1/σn2)
(3.126)
jer je Pi =1/σn2
(3.127)
pa bi se problem nelinearnog programiranja mogao predstaviti kao max(σ12, σ22,..., σn2)→min
(3.128)
Uz uslove ograničenja. σmin ≤ σi ≤ σmax
(3.129)
Predloženom metodom je nadjen postupak menjanja i σi svakog pojedinačnog opažanja li tako da se iterativnim putem dobija željena vrednost postavljene cilj funkcije. Menjajući σi u granicama (σmin , σmax ) menjaće se i vrednost max (Qx) u funkciji uticaja tačnosti tog merenja na cilj funkciju. Uvodjenjem granica za i σi eliminiše se mogućnost dobijanja, u optimalnom planu opažanja, nerealno malih i (σi)opt odnosno vrednosti koje se ne mogu realizovati sa raspoloživim instrumentarijem. U ovom slučaju max se može predstaviti kao jedna nelinearna funkcija čija se ekstremna ili željena vrednost može postići menjajući vrednosti i σi. U ovom slučaju cilj funkcija i uslovi ograničenja se mogu predstaviti izrazima (3.128) i (3.129). Sada je potrebno rešiti prolem kako i za koliko menjati vrednosti kako bi se u konačnom broju iteracija dobila željena vrednost max odnosno željena tačnost u mreži. U rešavanju tog zadatka polazi se od činjenice da će opažanja li , sa σi = σmin (početno rešenje) dati max =(max )min odnosno dobiće se minimalno moguća vrednost maksimalne sopstvene vrednosti korelacione matrice mreže te konfiguracije. Drugim recima ni jedan drugi raspored tačnosti merenja u mreži ne može dati manju vrednost za max max. Sada se mogu kod rešavanja ovakvih problema javiti dva slučaja: a) Prvi slučaj: (max)min [(Ai)max]2 <<K =AK2 (3.130)
<<- mnogo manje gde su - (Ai )max - maksimalni standard tačke mreže (za o σ0 = 1) u jednodimenzionalnoj mreži (maksimalni poluprečnik elipse grešaka u dvodimenzionalnoj mreži) koju će dati početno rešenje. K =AK2 -vrednost koja definiše željenu tačnost u mreži. U ovom slučaju tačnost koja se postiže početnim rešenjem je daleko veća nego što je to potrebno za primenu te mreže u praksi. U tom slučaju je potrebno naći takav raspored tačnosti merenja koji će dati max<<K a) Drugi slučaj: (max)min [(Ai)max]2=K =AK2
(3.131)
Drugim rečima potrebno je u mreži postići maksimalno moguću tačnost parametara mreže kao da su sva merenja realizovana sa maksimalno mogućom tačnosti. Tu se javlja problem odredjivanja koja merenja, a ona sigurno postoje, se ne moraju izmeriti sa maksimalno mogućom tačnosti jer se tu kriju moguće uštede u vremenu, radu ili sredstvima koja opravdavaju primenu optimizacije. Za rešavanje oba slučaja postavljenog problema u ovoj metodi se polazi od pretpostavke da je moguće odrediti uticaj promene standarda merenja σi za priraštaj σ na vrednost cilj funkcije. Posle odredjivanja tog uticaja jednim iterativnim postupkom, menjajući standarde opažanja (ne ravnomerno kao u do sada realizovanim prethodnim ocenama tačnosti u mrežama) obrnuto proporcionalno njihovom uticaju na vrednost cilj funkcije, može se postići da λ max bude približno jednako unapred definisanoj vrednosti λ K, tj. (max) j-ta-iteracija =K
(3.132)
Drugim rečima može se reći da se vrednost σi onih elemenata mreže koji imaju mali uticaj na vrednost cilj funkcije max→λ K mogu više povećavati u svakoj iteraciji.
