GEODEZIJA

GEODEZIJA: KONCEPTI

GEODEZIJA: KONCEPTI

Petr VANÍÊK Edward J. KRAKIWSKY* Univerzitet New Brunswick Kanada

(*Sada na Univerzitetu Calgary)

BEOGRAD, 1999.

Naslov originala: GEODESY: THE CONCEPTS

Knjiga je u originalu izdata na engleskom jeziku od strane © Elsevier Science B.V., Sara Burgerhartstraat 25, P.O. Box 211, 1000 AE Amsterdam, The Netherlands.

Prevod na srpski jezik ura|en je na osnovu drugog izdanja , u pripremi © 1986 Elsevier Science B.V.

Preveo: Mr. Dragan Blagojevi}, dipl. geod. in`.

PREDGOVOR PREVODIOCA

Knjiga GEODEZIJA: KONCEPTI autora Prof. P. Vani~eka i Prof. E. Krakivskog pojavila se prvi put 1982. godine, da bi odmah zaokupila pa`nju me|unarodne geodetske javnosti i u kratkom roku doìvela drugo izdanje, a zatim i vi{estruko ponovljenu {tampu u periodu od 1987. do 1995. godine. Ovakvo interesovanje rezultat je prevashodno odli~no didakti~ki organizovane materije, jasnog i popularnog jezika i orijentacije autora na geodetske koncepte, zbog ~ega se knjiga u celini ili po delovima moè koristiti za tehnolo{ko ili univerzitetsko obrazovanje svih nivoa. U svojoj osnovnoj nameri da funkcionalizuju i demistifikuju geodeziju, autori su u potpunosti uspeli. Funkcionalizacija se jasno ogleda u strukturi knjige, nazivima i redosledu delova, poglavlja i podpoglavlja. Stilska i terminolo{ka jednoobraznost dosledno su sprovedene kroz celu knjigu, kao rezultat o~igledno velikog truda autora na ure|enju donekle nesre|ene terminolo{ke situacije u geodeziji i srodnim disciplinama. Ukupnom kvalitetu knjige znatno doprinose koncizni matemati~ki aparat i izvanredne ilustracije. Iako se ova knjiga u svom izvornom obliku ve} godinama koristi u nastavi na Geodetskom odseku Gra|evinskog fakulteta u Beogradu, a u odre|enoj meri i u na{oj geodetskoj praksi, njena puna vrednost nije dolazila do izraàja zbog relativno slabog poznavanja engleskog jezika na{ih studenata i geodetskih stru~njaka. Glavni podsticaj za prevo|enje ovako obimnog i kompleksnog dela bila je upravo èlja da se studentima, stru~njacima i svim zainteresovanim omogu}i da neposredno koriste ovu knjigu u svom formalnom ili li~nom obrazovanju. Prevod knjige na srpski jezik bio je povezan sa odre|enim te{ko}ama. Pre svega, bilo je potrebno odràti stilsku ujedna~enost prevoda jednog kombinovanog matemati~ko-tehni~kog teksta, obzirom na specifi~nu englesku re~eni~nu strukturu koja se razlikuje od na{e. Zbog èlje da se iz originala ni{ta ne izostavi, prilikom prevo|enja nisu vr{ena nikakva saìmanja niti skra}ivanja koja bi mo`da i bila primerena duhu srpskog jezika, tako da }e jedino upotreba prevoda tokom vremena

v

vi


omogu}iti da u nekoj narednoj eventualnoj {tampi stilski nedostaci budu korigovani. Poseban problem prilikom prevo|enja predstavljala je terminologija. Ona je za konvencionalnu geodetsku problematiku relativno dobro utemeljena u na{oj literaturi, ali je ekspanzija kosmi~ke i informati~ke tehnologije poslednje decenije donela sa sobom mno{tvo novih pojmova koji su dominantno engleski i nemaju adekvatan prevod ni na na{ ni na druge jezike. Stoga sve prevedene pojmove u ovoj knjizi treba shvatiti kao predlog koji mora izdràti probu vremena, a ne kao èlju prevodioca da u tom smislu postavlja standarde. U pripremi i realizaciji ovog prevoda u~estvovalo je vi{e ljudi kojima dugujem zahvalnost. Zahvajujem se pre svega Aleksandru Matovi}u dipl. in`., za podsticaj, posve}enost, energi~nost, neumorno is~itavanje rukopisa i u~injene primedbe i sugestije. \ur|a Jankovi} dipl. in`. i Marijana Kokanovi} dipl. in`. uloìle su ogroman trud i napor na uno{enju ovako te{kog matemati~kog teksta, bezbrojnim proverama, korekcijama i predlozima. Za izvanrednu obradu ilustracija i prevoda na njima zasluàn je Zoran Nedeljkovi} dipl. in`. Marijana Kokanovi} je izvr{ila prelom strane, i zajedno sa Zoranom Nedeljkovi}em osmislila i realizovala celokupni dizajn knjige. Sve pomenute koleginice i kolege posvetili su prevodu ove knjige mnoge sate sopstvenog slobodnog vremena, na ~emu im se jo{ jednom nesebi~no zahvaljujem. Prilikom rada na prevodu u~injen je svaki napor da rezultat u svakom smislu bude {to kvalitetniji. Za sve nedostatke, propuste i eventualne gre{ke, odgovornost me|utim snosi isklju~ivo prevodilac.

Beograd, decembar 1999.

Dragan Blagojevi}

PREDGOVOR AUTORA

Dugi niz godina ose}ali smo da postoji definitivna potreba za novim ud`benikom geodezije koji bi (a) obuhvatao celokupnost geodezije, (b) tretirao je konceptualno, i (c) uklju~io savremena dostignu}a u standardne geodetske teme. Iskustvo nas je navelo da verujemo da su nove ideje i tehnike, koje su uvedene u geodeziju u poslednje tri ili ~etiri decenije, tako zna~ajno promenile karakter geodezije, da to zahteva novo raslojavanje njenih ciljeva. To smo poku{ali da uradimo u podpoglavlju 4.1. Kao posledica ovog raslojavanja do{la je funkcionalizacija geodezije, koja se reflektuje u celoj strukturi knjige. Koncepti koji su neophodni za tri najva`nije funkcije geodezije opisani su u poslednja tri dela: pozicioniranje (IV), istraìvanje Zemljinog polja teè (V), i istraìvanje Zemljinih vremenskih deformacija (VI). Sekundarni cilj ove knjige bio je demistifikacija geodezije. U tom smislu poku{ali smo da razjasnimo terminologiju i u~inimo je jednoobraznom koliko god je to bilo mogu}e. Nema vi{e fizi~ke i geometrijske geodezije; ne postoji ni satelitska geodezija, ni vertikalna geodezija, ni kinemati~ka geodezija. Gde god je to bilo pogodno, poku{ali smo i da sintetizujemo i klasifikujemo iznete ideje. Kad su bili potrebni termini iz drugih disciplina, savesno smo se trudili da ih koristimo u njihovom izvornom obliku, pa smo npr. koristili izraz mareograf umesto medimareometar, i podru~je poverenja umesto elipsa gre{aka. Tako|e smo upotrebljavali preovla|uju}u terminologiju kao i postoje}e oznake. Izbor da se koncentri{emo na koncepte na~inili smo iz tri razloga: (a) da bi knjigu na~inili {to korisnijom za studente koji èle da sami u~e geodeziju, (b) da odrìmo knjigu jasnom, i (c) da predupredimo suvi{e brzo starenje njenog sadràja. Cena koju smo morali platiti bila je da su mnoge stvari morale biti izostavljene. Na primer, izostavljen je veliki broj dokaza, tako da ~italac ili predava~ koji koristi ovu knjigu, moè da popuni praznine. Smatrali smo da je ovakav pristup bolji nego da pi{emo sve dokaze pa da ~italac izdvaja koncepte iz mase tehnika. Poku{ali smo da popunjavanje praznina olak{amo ukazuju}i na usvojene pretpostavke, glavne korake u lancu zaklju~ivanja i neophodan matemati~ki aparat. Mnoge nove i netestirane ideje morale su na taj na~in pasti kao `rtve na{e politike jasno}e. Isto tako, za mnoge usputne ideje i manje va`ne koncepte mogla je biti samo data referenca na literaturu. vii

viii

PREDGOVOR AUTORA

Nismo ~inili poku{aje da uklju~ujemo opise mernih metoda i instrumenata. Smatramo da je ta materija dobro obra|ena u ud`benicima o premeru. Zbog toga smo samo pokazali koncepte neophodnih tehnika premera kako bi olak{ali razumevanje prirode razli~itih vrsta podataka koji se prikupljaju na terenu. S druge strane, uklju~ili smo ~itav deo (III) koji se bavi matemati~kom metodologijom geodezije. Skupljanjem svih potrebnih matemati~kih tehnika na jedno mesto, verujemo da smo u{tedeli u prostoru i ~itao~evom vremenu. Knjiga sadrì materiju koja je pogodna ili za tehnolo{ke kurseve ili univerzitetske diplomske i poslediplomske kurseve. Na primer, delovi I i II mogu ~initi uvodni geodetski kurs i na tehnolo{kom i na univerzitetskom nivou. Za tehnolo{ke {kole, takav kurs se moè dopuniti izabranom materijom iz dela IV. Za univerzitete, naredni kursevi se mogu sastojati od dela IV i izabranog materijala iz delova V i VI. S druge strane, deo VI }e verovatno ve}ina smatrati kao materiju prevashodno pogodnu za diplomske studije. Sva ova pitanja detaljnije smo prodiskutovali u podpoglavlju 4.4. Moramo pomenuti i izvesna svojstva knjige koja su posebno dizajnirana da pomognu studentima i predava~ima. Prvo, svako poglavlje ima nenumerisano uvodno podpoglavlje ~ija je svrha da pruì pregled materije sadràne u poglavlju. Uz to, ovi pregledi sadrè ponekad koncepte koji se vi{e nigde ne pominju. Najva`nije formule su uokvirene, i na te formule se poziva ~e{}e nego na ostale. Sli~no tome, klju~ne re~i koje se prvi put pominju pisane su italikom, i nabrojane su u indeksu pojmova pri ~emu se broj odnosi na stranicu na kojoj je pojam definisan. Po{to "dobra slika vredi vi{e od hiljadu re~i", mnogo napora i rada uloèno je u ilustracije, tako da je najve}i broj koncepata prikazan i grafi~ki. Tako|e smo se potrudili da izaberemo odgovaraju}e reference, rukovo|eni pravilom da budu na engleskom i u dostupnoj literaturi. Postojalo je ipak nekoliko neizbe`nih izuzetaka. Reference su skupljene na kraju svakog dela, zbog ~ega su neke publikacije morale biti navedene na nekoliko mesta. Jedna~ine, slike i tabele numerisane su zasebno u svakom poglavlju. Kada je pozivanje vr{eno na njih u okviru istog poglavlja, broj poglavlja je izostavljan. Ako je na jedna~ine, slike ili tabele pozivanje vr{eno izvan poglavlja, kori{}en je njihov pun broj. Osnovu za ovu knjigu ~inilo je ~etrnaest svezaka pisanih predavanja odrànih na Department of Surveying Engineering of the University of New Brunswick. Materijal predstavljen ovde bio je dakle testiran kroz u~enje na diplomskom i poslediplomskom nivou. Bezbrojne diskusije sa kolegama i studentima tokom svih ovih godina pomogle su nam da formiramo neka mi{ljenja i poglede predstavljene u ovoj knjizi. Naglasak smo uvek davali vi{e na jasno}u nego na originalnost. îtaocu bi to trebalo da bude o~igledno na osnovu referenci citiranih u knjizi, kojima smo poku{ali da izbegnemo autorstvo velikog broja prezentiranih ideja.

PREDGOVOR AUTORA

ix

Mnogi ljudi doprineli su na{im naporima svojim komentarima ili kritikama razli~itih delova rukopisa, kao i li~nom komunikacijom. Ovom prilikom odajemo priznanje na pomo}i Mr. J.R. Adams, Prof. E.G. Anderson, Prof. J.A.R. Blais, Dr. G. Blaha, Prof. C. Beaumont, Dr. J.D. Bossler, Mr. W.H. Falkenberg, Dr. K. Frankich, Prof. C. Gemael, Prof. E.W. Grafarend, Mr. L.F. Gregerson, Dr. B. Guinot, Prof. A.C. Hamilton, Prof. F. Hatschbach, Dr. R.C. Jachens, Prof. W.R. Knight, Mr. J. Kouba, Mr. M.P. Mepham, Dr. D. Nagy, Prof. N. Ní Chuív, Mr. B.G. Nickerson, Dr. M.K. Paul, Mr. A.J. Pope, Prof. S. Rinco, Prof. M.G. Rochester, Prof. K-P. Schwarz, Dr. R.A. Snay, Mr. R.R. Steeves, Prof. J.H. Thompson, Dr. D.B. Thomson, Prof. R.S. Turner, Prof. D.E. Wells, Dr. C.A. Whitten, Mr. T. Wray, i Dr. S. Yumi. Veliku zaslugu za knjigu dugujemo ovim ljudima. Svaki propust je me|utim isklju~ivo na{, mo`da ba{ zato {to ih nismo u svemu poslu{ali. Bi}emo zahvalni za svaku budu}u konstruktivnu kritiku. U zaklju~ku, èleli bismo da izrazimo posebnu zahvalnost Ms. Wendlynn Wells za pretvaranje rukopisa u ~itljivi engleski jezik, za njeno bezgre{no kucanje mnogih verzija rukopisa, i za konstantni pritisak kojem nas je izlagala. Bez tog pritiska knjiga verovatno ne bi ugledala svetlost dana. Zahvalnost za ilustracije dugujemo Mr. M. Anderson, Mrs. V. Rinco i Mrs. D. Jordan. Mnogi drugi ljudi zaslu`ni su za pripremu rukopisa, uklju~uju}i tu i na{e kolege koje su na sebe preuzele deo na{ih akademskih obaveza dok smo pisali knjigu. Svima njima iskreno se zahvaljujemo.

Petr Vani~ek Edward J. Krakiwsky Fredericton, N.B., Canada 26 September 1980

SADR@AJ


v

PREDGOVOR AUTORA

vii

DEO I. UVOD

1

1.

3

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

ISTORIJA GEODEZIJE Istorijski po~eci geodezije Nau~ni po~eci geodezije Geodezija u slu`bi kartografije Geodezija modernog doba

4 10 15 17

GEODEZIJA I DRUGE DISCIPLINE

20

Primene geodezije Simbioti~ka veza geodezije i nekih drugih nauka Teorijske osnove geodezije MATEMATIKA I GEODEZIJA

20 22 25 28

Algebra Analiza Geometrija Statistika

28 35 44 50

STRUKTURA GEODEZIJE

55

Funkcije geodezije Geodetska teorija Geodetska praksa Geodetska profesija

55 57 59 60

LITERATURA

62 xi

xii

S AD R@AJ

DEO II. ZEMLJA

65

5.

67

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 9. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

ZEMLJA I NJENO KRETANJE Zemljino godi{nje kretanje Zemljina rotacija, precesija i nutacija Zemljina slobodna nutacija Odre|ivanja kretanja pola i varijacija u brzini rotacije ZEMLJA I NJENO GRAVITACIONO POLJE

68 69 73 77 81

Gravitaciono polje Anomalije sile teè Potencijal sile teè Geoid i vertikalski otkloni

82 88 95 101

ZEMLJA I NJENA VELIÎNA I OBLIK

112

Stvarni oblik Zemlje Geoid kao Zemljina figura Dvoosni elipsoid kao figura Zemlje Ostale matemati~ke figure Zemlje

112 120 126 134

ZEMLJA I NJENE VREMENSKE DEFORMACIJE

141

Plimatski fenomeni Deformacije kore zbog optere}enja Tektonske deformacije Antropogene i ostale deformacije

142 149 158 164

ZEMLJA I NJENA ATMOSFERA Neka fizi~ka svojstva atmosfere Prostiranje talasa kroz atmosferu i vodu Vremenske promene atmosfere Polje teè atmosfere

LITERATURA

172 172 176 184 187 190

S ADR @A J

xiii

DEO III. METODOLOGIJA

197

10. ELEMENTI GEODETSKE METODOLOGIJE

199

10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

199 201 206 215

Op{ti postupak Formulacija matemati~kog modela Merne veli~ine i njihova svojstva Vektor mernih veli~ina

11. KLASE MATEMATI^KIH MODELA

218

11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

218 225 227 229

Klasifikacija modela Modeli sa jedinstvenim re{enjem Modeli sa neodre|enim re{enjem Modeli sa preodre|enim re{enjem

12. RE[AVANJE PREODRE\ENIH MODELA METODOM NAJMANJIH KVADRATA 232 12.1. 12.2. 12.3.

Formulisanje problema najmanjih kvadrata Re{enje problema najmanjih kvadrata Kovarijacione matrice rezultata

232 234 240

13. PROCENJIVANJE REZULTATA

247

13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5.

247 254 260 268 277

Hilbertov prostor i statistika Statisti~ko testiranje Ocena rezultata merenja jedne merne veli~ine Simultano procenjivanje opaànja i matemati~kih modela Procenjivanje odre|enih parametara

14. FORMULISANJE I RE[AVANJE PROBLEMA

281

14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6.

282 285 300 308 313 321

Projektovanje optimalne ta~nosti Analiza trenda Izravnanje opaànja Problemi sa prethodnim poznavanjem parametara Problemi sa ograni~enjima i singularitetima Sekvencijalni postupci u dinami~kim i stati~kim problemima

LITERATURA

331

xiv

S AD R@AJ

DEO IV. POZICIONIRANJE

335

15. APSOLUTNO POZICIONIRANJE

337

15.1. 15.2. 15.3. 15.4.

338 351 357 373

Osnove geodetske astronomije Astronomsko pozicioniranje Satelitsko pozicioniranje Transformacije terestri~kih poloàja

16. RELATIVNO POZICIONIRANJE

389

16.1. 16.2. 16.3. 16.4.

389 404 413 424

Relativno trodimenzionalno pozicioniranje Relativno horizontalno pozicioniranje na referentnom elipsoidu Relativno horizontalno pozicioniranje u konformnoj projekciji Relativno vertikalno pozicioniranje

17. TRODIMENZIONALNE MRE@E

436

17.1. 17.2. 17.3. 17.4.

436 444 448 454

Terestri~ke trodimenzionalne mreè Fotogrametrijske mreè Trodimenzionalne ekstraterestri~ke mreè Procenjivanje i povezivanje trodimenzionalnih mreà

18. HORIZONTALNE MRE@E

462

18.1. 18.2. 18.3. 18.4.

462 467 475 485

Horizontalni datum Matemati~ki modeli i njihova re{enja Procenjivanje, pro{irivanje i povezivanje horizontalnih mreà Marinsko pozicioniranje

19. VISINSKE MRE@E

493

19.1. 19.2. 19.3. 19.4.

493 499 511 514

Vertikalni datum Matemati~ki modeli nivelmana Procenjivanje i dizajn visinskih mreà Drugi koncepti odre|ivanja visina

LITERATURA

521

S ADR @A J

xv

DEO V. ZEMLJINO GRAVITACIONO POLJE

531

20. GLOBALNI TRETMAN GRAVITACIONOG POLJA

533

20.1. 20.2. 20.3. 20.4.

533 543 555 563

Osnovne jedna~ine potencijala teè Razvoj gravitacionog potencijala u sopstvene funkcije Modelsko polje teè Poreme}ajni potencijal

21. LOKALNI TRETMAN GRAVITACIONOG POLJA

570

21.1. 21.2. 21.3. 21.4.

570 579 587 592

Transformacija poreme}ajnog potencijala u druge parametre polja Vertikalni gradijent teè Krivina vertikale Topografski i izostati~ki efekti

22. ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ GRAVIMETRIJSKIH OPAŽANJA

600

22.1. 22.2. 22.3. 22.4.

600 613 622 628

Stouksov koncept Koncept Molodenskog Gravimetrija Re{avanje povr{inskih integrala

23. ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ SATELITSKIH OPAŽANJA

637

23.1. 23.2. 23.3. 23.4.

637 640 646 652

Sateliti i gravitaciono polje Predikcija orbita Analiza orbitalnih perturbacija Odre|ivanje parametara polja teè

24. ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ VERTIKALSKIH OTKLONA I

RAZNORODNIH

PODATAKA

658

24.1. 24.2. 24.3. 24.4.

658 664 668 672

Geometrijsko re{enje za geoid Transformacija parametara polja teè Progu{}enje i pobolj{anje vertikalskih otklona Re{enje za geoid iz raznorodnih podataka

LITERATURA

677

xvi

S AD R@AJ

DEO VI. VREMENSKE PROMENE

681

25. KOREKCIJE ZA VREMENSKE PROMENE

683

25.1. 25.2. 25.3. 25.4.

684 689 698 707

Elasti~na reakcija na plimatske sile Plimatske korekcije Korekcije za efekat plime mora Korekcije zbog deformacija usled kretanja polova i ostalih uzroka

26. ODRE\IVANJE VERTIKALNIH POMERANJA

712

26.1. 26.2. 26.3. 26.4.

712 716 721 728

Izvori informacija o vertikalnim pomeranjima Me|uzavisnost vremenskih varijacija teè i visina Profili vertikalnih pomeranja Povr{insko modeliranje vertikalnih pomeranja

27. ODRE\IVANJE HORIZONTALNIH POMERANJA

737

27.1. 27.2. 27.3. 27.4.

737 742 749 755

Izvori informacija o horizontalnim pomeranjima Upore|enje horizontalnih poloàja Direktno nalaènje horizontalnih pomeranja Strejn, modeli smicanja i drugi modeli

LITERATURA

764

DEO I

UVOD

POGLAVLJE 1

ISTORIJA GEODEZIJE

ôvek se interesovao za Zemlju jo{ od vremena kada je evoluirao u svesno bi}e. Razni prirodni fenomeni koje je, ~esto i sa strahom, oko sebe opaào, uglavnom su odre|ivali njegovo pona{anje i davali povoda za razvoj praznoverja, raznih rituala i kultova. Ali ovo je istovremeno stalno pro{irivalo njegova saznanja, {to je rezultiralo iznena|uju}e dubokim razumevanjem nekih prirodnih fenomena, koje su nam drevne kulture i civilizacije ostavile u tako o~iglednim oblicima kao {to su spomenici (Stonehenge u Wiltshire, ju`na Engleska i egipatske piramide), hramovi i gradovi (izgra|eni od strane centralnoameri~kih Indijanaca), kalendari, itd. Ti prirodni fenomeni ~esto su tesno povezani sa veli~inom, oblikom i gravitacionim poljem Zemlje, i njihovo razumevanje zahtevalo je odre|eno poznavanje geodezije. îtav niz vekova jedini na~in izu~avanja geometrije Zemlje predstavljala su opaànja Sunca, Meseca, planeta i zvezda. Stoga je isprva razvoj geodezije i{ao uporedo sa razvojem astronomije. Zajedno sa astronomijom geodezija spada u najstarije nauke uop{te, a nesumnjivo je najstarija geonauka. O~uvano je veoma malo dokumenata o geodetskim dostignu}ima najstarijih civilizacija Sumera, Egip}ana, Kineza i Indijaca. Postoje, me|utim, mnogi dokazi da su izvodili veoma ta~na merenja, barem u vezi osnovnih kretanja Zemlje [TOMPKINS, 1971]. Na{ pregled istorije geodezije ipak }emo zapo~eti prvim dokumentovanim konceptima iz gr~ke ere. Pri~a koju predstavljamo neizbe`no je subjektivna, i sa vi{e istorijskih naznaka nego istorijske ta~nosti. Za ~injenice i datume koji u tekstu nisu pomenuti izvor je ASIMOV [1972]. U ovom poglavlju koristi}emo modernu terminologiju koja sa istorijske ta~ke gledi{ta moè ponekad izgledati besmisleno. Me|utim druga~iji pristup bi zahtevao mnogo vi{e prostora. Ovo poglavlje podeljeno je na ~etiri hronolo{ka podpoglavlja. Prvo podpoglavlje se odnosi na period od Talesa do pada Rimskog carstva. Drugo podpoglavlje obuhvata srednji vek, renesansu i po~etak ere racionalizma pa sve do polovine osamnaestog veka kada je kona~no prihva}ena Njutnova teorija gravitacije. Tre}e podpoglavlje razmatra period od narednih dvesta godina, koji se zavr{ava sa drugim svetskim ratom, a obeleèn je prihvatanjem Ajn{tajnove teorije gravitacije. Poslednje podpoglavlje obuhvata razvoj u poslednjih ~etrdeset godina. Namerno smo odlu~ili da izbegavamo reference ìvih nau~nika osim u nekoliko izuzetnih slu~ajeva. 3

4

ISTORIJA GEODEZIJE

§ 1.1

1.1. Istorijski po~eci geodezije Za vreme gr~ke ere geodezija je smatrana jednom od najizazovnijih disciplina, i stoga su se njome bavili neki od najve}ih mislilaca tog perioda. Prvi dokumentovani tragovi geodezije poti~u od Talesa iz Mileta (625.-547. p.n.e), op{tepriznatog osniva~a trigonometrije. Njegov koncept Zemlje svodio se na telo oblika diska koje pliva po beskona~no velikom okeanu. Na{a interpretacija ove ideje prikazana je na slici 1. Anaksimandar iz Mileta (611.-545. p.n.e.), ina~e Talesov savremenik, imao je ne{to druga~iju predstavu. Smatrao je da je Zemlja cilindri~na (vidi sliku 2), sa osom orijentisanom u pravcu istok-zapad [ASIMOV, 1972]. On je bio i prvi koji je koristio koncept nebeske sfere. Ova ideja preìvela je vekove astronomskog mi{ljenja, i jo{ uvek vaì za korisnu idealizaciju u pozicionoj astronomiji (vidi podpoglavlje 15.1.). Anaksimen, Anaksimandarov u~enik, modifikovao je Talesov koncept kona~nim okeanom koji se u prostoru odràva pomo}u komprimovanog vazduha [BROWN, 1949]. Njegova ideja prikazana je na slici 3. U~enje Pitagore (580.-500. p.n.e.) prvo je koje je promovisalo sfernu Zemlju, {to je predstavljalo ideju koja }e preìveti preko dva milenijuma. Rad njegove {kole sintetizovao je kasnije Filolej (polovina petog veka p.n.e.), koji je tako|e i prvi koji je predloìo negeocentri~ni kosmos ~iji je centar Hestija (centralna vatra). Po{to se

SLIKA 1.1. Autorova interpretacija Talesovog koncepta Zemlje.

§ 1.1

Istorijski počeci geodezije

5

SLIKA 1.2. Autorova interpretacija Asimovog opisa Zemljinog oblika po Anaksimandaru.

po ovom konceptu Sunce i ostala nebeska tela okre}u oko centralne vatre, on se ne moè nazvati heliocentri~nim [DIJKSTERHUIS, 1950]. Krajem {estog veka p.n.e., Hekatej iz Mileta sastavio je jednu od prvih poznatih karata sveta, predstavljenu na slici 4 [BUNBURY, 1883]. Ona ìvopisno ilustruje ograni~eno znanje starih Grka, i predrasude koje su imali o svetu. Otprilike u isto vreme Feni~anin Hano (ro|en oko 530. p.n.e. u Kartagini) oplovio je Afriku [WELLS, 1961]. Kao {to je to slu~aj sa podvizima i otkri}ima mnogih istraìva~a kroz vekove, tako su i njegova zaboravljena narednih 2000 godina.

SLIKA 1.3. Autorova modifikacija Braunove interpretacije Anaksimenove Zemlje.

6

ISTORIJA GEODEZIJE

§ 1.1

SLIKA 1.4. Hekatejeva karta sveta.

Astronomija je nastavljala da se razvija iako se ~esto bazirala ne na opaànjima ve} na filozofskim pogledima na svet. Anaksagora (500.-428. p.n.e.) prvi je uo~io sferni oblik Meseca i objasnio dnevno kretanje Sunca i Meseca. Prvu kartu zvezdanog neba uradio je Eudoks (408.-355. p.n.e.), koji je tako|e znao skoro ta~no trajanje sun~ane godine (365.25 dana), {to je verovatno vrednost preuzeta od Egip}ana. Herakleid (388.-315. p.n.e.) je predlagao koncept po kojem se barem Zemlja, Merkur i Venera okre}u oko Sunca, modifikuju}i na taj na~in sto godina staro Filolejevo u~enje. Tako|e, smatrao je da se Zemlja okre}e oko svoje ose. Prvi nagove{taj postojanja gravitacije dugujemo Aristotelu (384.-322. p.n.e.), koji je uz to formulisao i danas vaè}i dokaz za sferni oblik Zemlje. Aristotelovo interesovanje za gravitaciju nasledio je Strato (ro|en oko 340. p.n.e.), nakon kojeg je dalje istraìvanje moralo ~ekati sve do renesanse. Pitej (ro|en oko 300. p.n.e.) je naslu}ivao da su nebeska tela uzrok morske plime, ali je stepen tada{njeg znanja bio nedovoljan da to poveè sa gravitacionim privla~enjem. Po{to je ideja o sfernom obliku Zemlje postepeno prihvatana, bilo je samo pitanje vremena kada }e se u upotrebu uvesti sferne (uglovne) koordinate. To je kona~no uradio krajem tre}eg veka Dikerh (umro oko 285. p.n.e.). On je tako|e izradio verodostojniju verziju karte sveta, na kojoj su prikazani krajevi ju`ne Azije istraèni

§ 1.1


7

8

ISTORIJA GEODEZIJE

§ 1.1

tokom vojnih pohoda Aleksandra Velikog. Ubrzo nakon toga Pitej je odredio prvu relativno ta~nu astronomsku {irinu (za Marsej). Dalji napredak u astronomiji povezan je sa imenom Aristarha (310.-250. p.n.e.), i njegovim poku{ajem da odredi dimenzije i rastojanja do Meseca i Sunca. Nekih pola veka kasnije, Eratosten (276.-194. p.n.e.) uvodi pojam nagnutosti Zemljine ose rotacije. Hiparh (190.-120. p.n.e.) nam je ostavio prvu ta~nu kartu zvezdanog neba izra|enu u sistemu uglovnih koordinata, koji je danas poznat kao nebeski ekvatorski sistem (vidi podpoglavlje 15.1.). On se pridruìo ideji precesije Zemljine obrtne ose (vidi podpoglavlje 5.2.), ali nikad nije prihvatio heliocentri~nu hipotezu Heraklida, Aristarha i vavilonskog astronoma i savremenika Seleuka. Pro{lo je nakon toga jo{ 1700 godina pre nego {to je iko ponovo po~eo da razmi{lja o heliocentri~nom kretanju Zemlje. Vratimo se ponovo Eratostenu koji je sa geodetskog stanovi{ta najzna~ajniji od svih pomenutih. Eratosten, ~ovek sa presti`nim poloàjem knjiàra ~uvenog Aleksandrijskog muzeja (institucija koja odgovara dana{njem univerzitetu), moè se nazvati pravim osniva~em geodezije. Rezultati njegovog odre|ivanja veli~ine Zemlje ~uvenim merenjem razlike astronomskih {irina Aleksandrije i Asuana [GROUEFF, 1974], predstavljeni su u podpoglavlju 7.3. u kontekstu nekih savremenijih radova. Danas se zna da je kasniji poku{aj Posejdona (135.-50. p.n.e.), koji se ina~e bavio i efektima atmosferske refrakcije, znatno lo{iji od Eratostenovog. Eratosten je verovao u postojanje ogromnih okeana, {to je na potvrdu ~ekalo ~itavih 17 vekova. Njegova vizija Zemljine povr{ine prikazana je na slici 5 [BUNBURY, 1883]. Sa Posejdonom se prakti~no zavr{ila era originalnih mislilaca i eksperimentatora. Nakon toga geodezija stagnira nekih 1500 godina, osim povremenih kompilacija ili sinteza gr~kih dostignu}a. Jedini zna~ajni izuzetak za vreme Rimskog carstva predstavlja uvo|enje Julijanskog kalendara od strane Sosigena pod Julijem Cezarom sredinom prvog veka p.n.e. [DURANT, 1944]. Ovaj kalendar, uz malu gregorijansku reformu 1582. godine, vaì i danas [PANNEKOEK, 1951]. Krajem gr~ke ere neke od veoma va`nih radova izvodio je gr~ki astronom Klaudije Ptolomej (75.-151.), i objavio ih u monumentalnom delu o astronomiji i geodeziji poznatom pod svojim arapskim imenom Almagest. U podjednako va`nom delu o geografiji objavljenom 150. godine, Ptolomej je predstavio i novu kartu sveta, neprevazi|enu narednih ~etrnaest vekova. Ona je ovde prikazana na slici 6 [THOMSON, 1966]. Karta me|utim ne predstavlja nikakvo su{tinsko pobolj{anje 300 godina stare Eratostenove karte. U jednom aspektu ~ak je i lo{ija. Ptolomej je, naime, umesto Eratostenove koristio neta~niju Posejdonovu vrednost Zemljinog

§ 1.1


9

10

ISTORIJA GEODEZIJE

§ 1.2

polupre~nika. Kao ilustracija nau~nog konzervatizma tog doba moè posluìti ~injenica da Ptolomej nikada nije prihvatio heliocentri~nu hipotezu u koju je verovalo nekoliko astronoma pre njega. Tako|e nije prihvatao ni sugestiju putopisca Straboa (ro|enog oko 63. p.n.e.) da mogu postojati i kontinenti za koje ~ovek jo{ ne zna. 1.2. Nau~ni po~eci geodezije Drevni narodi bili su sputavani u saznanjima o materijalnom svetu pre svega svojim filozofskim i religijskim verovanjima. U vekovima koji su sledili nakon pada Rimskog carstva, odnosno za vreme srednjeg veka, geodezija je zajedno sa mnogim drugim naukama tavorila pod skutima teologije. Gr~ko u~enje preìvelo je ovo mra~no doba uglavnom u arapskim verzijama, koje su u dvanaestom veku nekako prona{le put u Evropu preko [panije, i bile prevedene na latinski kao jezik onda{njih intelektualaca. Primer uticaja koji je Biblija imala na nau~nu misao u evropskom srednjem veku prikazan je na slici 7 [BROWN, 1949], koja predstavlja vi|enje sveta moreplovca Kozme godine 548. Kao {to }emo u nastavku videti, povremeni nau~ni bljesci za vreme srednjeg veka bili su veoma retki i uglavnom nezadovoljavaju}i. Persijanac Karazmi (ro|en oko 780.), od ~ijeg je arapskog imena Al-Kvarizmi nastala re~ algoritam, ponovo je odredio veli~inu Zemlje. Rezultat je bio 1.6 puta ve}i od Eratostenovog. AlKvarizmi, koji je tako|e objavio i kartu sveta sli~nu Ptolomejevoj, ipak zauzima trajno mesto u istoriji jer je uveo indijske cifre 1, 2, ... 9 u arapsku matematiku. Arapski astronom Albatenius (858-929) znao je duìnu godine mnogo ta~nije od Sosigena devet i po vekova ranije. To je znao i Englez Rodèr Bekon (1210-1292), koji je predlagao reformu julijanskog kalendara, odnosno dodavanje jednog prestupnog dana svake 128. godine. Stvari su po~ele da se pokre}u tek u ~etrnaestom veku karakteristi~nom po probu|enoj radoznalosti i narasloj nau~noj smelosti. Era velikih istraìvanja se pribliàvala i zahtevala je nepristrasnu istinu kao preduslov. Novu viziju sveta, (nesumnjivo pod uticajem istraìvanja Marka Pola u periodu 1271-1295), ponudio je Toskaneli (1397-1482), i ona je prikazana na slici 8 [HAPGOOD, 1966]. Ova karta, kao i Bekonova procena rastojanja od Evrope do isto~ne obale Azije, bili su glavni motiv Kolumbovog poku{aja da plovi zapadno, i na|e novi, svega 5000 km duga~ak put do Indije [DURANT, 1944]. Najve}a istraìvanja obavljena su krajem petnaestog veka, Kolumbovim prelaskom Atlantika 1492. godine, plovidbom Vaska de Game oko Afrike 1497. godine i

§ 1.2

Naučni počeci geodezije

11

SLIKA 1.7. Kozmina vizija sveta.

Magelanovom ekspedicijom oko sveta izme|u 1519. i 1522. godine. Sve bolje poznavanje geografije zahtevalo je brì razvoj profesije kartografa. Kartografija je umetnost prikazivanja finalnog proizvoda geodezije, pa se neki od poznatijih kartografa u istoriji moraju pomenuti. Me|u najpoznatijima je svakako Italijan Amerigo Vespu~i (1451-1512), koji nam je dao prvu kartu severnoameri~ke pacifi~ke obale i po kome je kontinent nazvan. Drugi dobro poznati kartograf, ~esto smatran ocem moderne kartografije, bio je Flamanac Merkator (1512-1594). On je veoma uspe{no odgovorio na potrebu navigatora za kartama sa najmanjim deformacijama (vidi podpoglavlje 16.3). Slika 9 prikazuje jednu od njegovih karata sveta, koja ilustruje izvanredni napredak ljudskog poznavanja Zemljine povr{ine u vreme renesanse [FITE AND FREEMAN, 1926]. Iako je Eratostenova vrednost Zemljinog polupre~nika bila kona~no prihva}ena nakon Magelanove ekspedicije, stare navike su te{ko napu{tane, pa su karte kao {to je ova prikazana na slici 10 jo{ uvek bile {tampane sredinom {esnaestog veka [NORDENSKJOELD, 1889]. Znaci ponovnog oìvljavanja geodezije mogu se uo~iti sredinom petnaestog veka, kada se pojavio niz mislilaca koji su utrli put za Kopernika i Keplera. Me|u poznatijima bili su nema~ki kardinal Nikola od Kuze (1401-1464), koji je pisao o dnevnom kretanju Zemlje i uveo pojam beskona~nog kosmosa, kao i italijanski umetnik Leonardo da Vin~i (1452-1519), koji je sugerisao mogu}nost postojanja izostazije (vidi podpoglavlje 8.2) [DURANT, 1944]. Kona~no, oko 1530. godine

12

ISTORIJA GEODEZIJE

§ 1.2

SLIKA 1.8. Toskanelijeva ideja zapadne hemisfere.

Poljak Kopernik (1473-1543) objavljuje svoju heliocentri~nu teoriju koja u samom po~etku uklju~uje sve planete. Ipak bitka sa teologijom jo{ nije bila gotova. Tako, godine 1600. italijanski astronom Bruno (1548-1600) umire izme|u ostalog i zbog toga {to je imao iste poglede kao i Nikola od Kuze i Kopernik pre njega. Pri~a o Galilejevom iznu|enom odricanju od heliocentri~ne teorije, tako|e je dobro poznata [WELLS, 1961]. Izvinjenje je kona~no stiglo u novembru 1979. godine od strane Pape Jovana Pavla II. Opaànja koja je vr{io danski astronom Tiho Brahe (1546.-1601.); pobolj{anje eksperimentalnih metoda zahvaljuju}i pre svega Italijanu Galileju (1564.-1642.); razvoj teorije vezan za ime Nemca Keplera (1571.-1630.); savr{eniji instrumenti (kao {to je teleskop), sve je to zajedno bilo potrebno da se kona~no pobede teolo{ki pogledi na svet. Ali u katoli~kim zemljama inkvizicija spaljuje knjige Kopernika, Keplera, Galileja i ostalih pristalica heliocentri~ne teorije sve do 1822. godine, kada su kona~no bili izbrisani iz Indeksa [DREYER, 1905].

§ 1.2

Naučni počeci geodezije

13

14

ISTORIJA GEODEZIJE

§ 1.2

SLIKA 1.10. Apijanova karta sveta.

[to se ti~e geodezije, bogatstvo ideja koje je u me|uvremenu naraslo predstavljalo je po~etak pravog nau~nog uvida u gravitaciju, pre svega eksperimentom Holan|anina Stevina (1548.-1620.), kojim je dokazao ekvivalentnost me|usobnog gravitacionog privla~enja dva odvojena tela, i Galilejevom formulacijom prvog zakona mehanike. Ipak, Njutnova ideja o gravitaciji kao sili bila je jo{ daleko. Godine 1615., Holan|anin Snelijus (1591.-1626.), izveo je prvu ta~nu triangulaciju [BOEHM, 1972] i sproveo prvo ozbiljno istraìvanje refrakcije. Francuz Pikar izvodi 1670. prvo moderno odre|ivanje veli~ine Zemlje. Njegova vrednost za polupre~nik Zemlje od 6275km, prvo je pobolj{anje Eratostena nakon 19 vekova [GROUEFF, 1974]. Tehnika koju je Pikar koristio opisana je u podpoglavlju 7.3. Scena je kona~no bila postavljena za najzna~ajnije otkri}e ove ere, Njutnov zakon univerzalnog privla~enja iz 1687. godine (vidi podpoglavlje 6.1), za koji se radovi Italijana Borelija (1608.-1679.) i Engleza Horoksa (1619.-1641.) mogu smatrati prethodnicom. Potreban matemati~ki aparat ve} su pripremili Dekart (1596.-1650.), Lajbnic (1646.-1716.) i sam Njutn (1642.-1727.), koji je pored ostalog bio i profesor matematike na univerzitetu u Kembridù. Napredak u razumevanju gravitacije iznedrio je i jo{ dva donekle povezana otkri}a. Krajem sedamnaestog veka Holan|anin Hajgens izumeo je prvi ure|aj na bazi klatna za ta~no odràvanje vremena, a Englez Bredli (1693.-1762.) otkriva nutaciju (vidi podpoglavlje 5.2).

§ 1.3

Geodezija u slu`bi kartografije

15

Njutnova teorija gravitacije nije bila prihva}ena preko no}i. Najugledniji protivnik bio je Njutnov francuski pandan, kraljevski astronom italijanskog porekla Kasini (1625.-1712.). Dok je Njutnova nova teorija predvi|ala da Zemlja bude spljo{tena na polovima zbog centrifugalne sile prouzrokovane rotacijom, Kasini je smatrao da treba da bude spljo{tena po ekvatoru. Nastavio je u to da veruje uprkos otkri}u Francuza Ri{era 1671. da je gravitacija slabija na ekvatoru ba{ kako je diktirala Njutnova teorija. Kako je teorija gravitacije sticala sve vi{e poklonika, moralo je uslediti kona~no razre{enje spora izme|u Njutna i Kasinija. U godinama 1735.-1743., francuska akademija nauka organizovala je dve ekspedicije za merenje meridijanskih lukova i odgovaraju}ih razlika {irina. Jednu je uputila na ekvator, a drugu bliè polu. Ekvatorska ekspedicija oti{la je u Peru (danas Ekvador) pod vo|stvom Bugea. Druga, predvo|ena Mopertiusom (1698.-1759.) uklju~uju}i i mladog Kleroa (1713.1765.), oti{la je u Laplandiju. Rezultati dve ekspedicije potvrdile su ispravnost Njutnove teorije. Uz to, Klero je u sklopu svoje teorije o rotiraju}im fluidnim telima izveo kasnije i jednostavnu vezu izme|u promene gravitacije du` meridijana i spljo{tenosti Zemlje (vidi podpoglavlje 7.4). 1.3. Geodezija u slu`bi kartografije Pionirski radovi Snelijusa, Pikara i dve francuske ekspedicije, pokazali su da su terestri~ka geodetska merenja uglova i duìna vredno oru|e za relativno pozicioniranje. Mreè ta~aka sa horizontalnim poloàjima odre|enim iz merenja uglova i povremeno duìna (vidi podpoglavlje 7.1), poznate kao trigonometrijske mreè, po~ele su da se {ire svim delovima Evrope kao osnova za izradu karata. Ta~no kartografisanje za vojne i civilne potrebe postalo je izvodljivo, jer je bilo mogu}e relativno lako pokriti veliku teritoriju trigonometrijskim ta~kama. Instrumenti potrebni za triangulaciju, tj. teodoliti i ure|aji za merenje duìna kao {to su ìce i pantljike, postajali su sve ta~niji, lak{i za rad i portabilniji. Metoda triangulacije, astronomsko odre|ivanje poloàja i azimuta, kao i nivelman, zna~ajno su usavr{eni (vidi deo IV). Odre|ivanja poloàja iz terestri~kih i astronomskih merenja bila su svakodnevni geodetski posao izme|u 1750. i 1950. godine. âk i danas mnogi geodeziju smatraju sinonimom ovih aktivnosti. U to vreme, osnovni geodetski zadaci predstavljaju intelektualni izazov najve}im misliocima, i pobu|uju interesovanje jednako onom u osvit civilizacije. Tako na primer, nailazimo na Gausa (1777-1855), priznatog kao najve}eg matemati~ara ranog devetnaestog veka, koji pronalazi heliotrop (ure|aj za signalizaciju geodetskih ta~aka odbijenim sun~evim zracima), i vr{i merenja u geodetskoj mreì kraljevine Hanover. U retko naseljenoj i prostranoj Americi, geodete kao {to je Dòrd` Vo{ington koriste posebne metode za re{avanje problema pozicioniranja.

16

ISTORIJA GEODEZIJE

§ 1.3

Tako je prva zadovoljavaju}a karta britanske i francuske severne Amerike bila je izra|ena 1755. godine [BOORSTIN, 1958]. Ukorak sa razvojem geodetskog pozicioniranja i{la su otkri}a i u drugim aspektima geodezije. Godine 1798. Englez Kevendi{ koristi Mi~elovu torzionu vagu i uspeva da izmeri “teìnu Zemlje“. Francuski matemati~ar Laplas (1749-1827) postavio je temelje moderne nebeske mehanike i teorije plime, a dao je i ogroman doprinos razvoju teorije verovatno}e. Nema~ki astronom Besel (1784-1846) odredio je prvu ta~nu vrednost za spljo{tenost Zemlje (vidi podpoglavlje 7.3) iz do tada poznatih poloàja geodetskih ta~aka. Gaus je definisao geoid (vidi podpoglavlje 6.3), i istovremeno sa Leàndrom prona{ao teoriju najmanjih kvadrata (vidi poglavlje 12). Njegov rad na teorijskim osnovama geodezije naveo je neke geodete da ga proglase ocem geodezije. On jeste uveo geodeziju u njeno zrelo doba, ali je podjednako bio eminentan i u drugim granama nauke. Kraj osamnaestog i celi devetnaesti vek bili su izvanredno plodonosni u oblasti matematike. Najve}i deo metoda primenjene matematike koje danas koristimo u geodeziji bio je prona|en tada. Stoga se neki od matemati~ara koji su najvi{e doprineli teorijskoj izgradnji geodezije moraju pomenuti. To su, na primer, [vajcarac Ojler (1707-1783) sa svojim radom na mehanici fizi~kih tela, i FrancuzItalijan Lagran` (1736-1813) osniva~ analiti~ke mehanike, koji se izme|u ostalog zalagao za uvo|enje metri~kog sistema u Francuskoj 1795. godine. Drugi Francuz, Furije (1768-1830), zapam}en je po svom radu na potencijalu, Gaus i Nemac Riman (1826-1866) po radu na diferencijalnoj geometriji, a Irac Hamilton (1805-1865) po tome {to je kona~no zaokruìo teorijsku analiti~ku mehaniku. U ovom periodu racionalizma razvijale su se podjednako brzo i ostale nau~ne oblasti povezane sa geodezijom. Geofizika zapo~inje teoriju evolucije Zemljine povr{ine koju formuli{e {kotski geolog Haton (1726.-1797.), Nemac Humbolt (1769-1859) izu~ava razli~ite fizi~ke aspekte Zemlje, a nema~ki geofizi~ar Vegener (1880-1930) objavljuje svoju teoriju o kretanju kontinenata (vidi podpoglavlje 8.3). Vrh îmborazo u Ju`noj Americi vaì kao najvi{i sve do merenja geodete Everesta u Himalajima [BOTTING, 1973]. Okeanografija napreduje od prvih merenja dubina engleskog istraìva~a Kuka (1728-1779), do izrade karte dna i morskih struja ameri~kog okeanografa Morija (1806-1873) i opaànja {vajcarskog istraìva~a Pikarda (1884-1962) izvr{enih iz podmornice. Kretanje elektromagnetnih talasa teorijski opisuje {kotski fizi~ar Maksvel (1831-1879), a njihovu brzinu prvi laboratorijski meri Francuz Fizo (1819-1896). Primenu elektromagnetnih talasa u merenju velikih duìna razra|uje nema~ko-ameri~ki fizi~ar Majkelson (1852-1931), koji je i prvi odredio geodetsku duìnu sa relativnom ta~no{}u boljom od 10 −6 .

§ 1.4

Geodezija modernog doba

17

Sav ovaj razvoj imao je i povratni stimulativni uticaj na geodeziju. Francuski fizi~ar Koriolis (1792-1843) objasnio je ukupno ubrzanje tela koja se kre}u po Zemljinoj povr{ini. Sredina devetnaestog veka svedo~ila je prvom merenju vertikalskih otklona (vidi podpoglavlje 6.4), i prvom poku{aju dva engleska fizi~ara Ejrija i Prata da odrede uticaj izostazije (podpoglavlje 8.2). U isto vreme francuski fizi~ar Fuko demonstrirao je okretanje Zemlje i izumeo ìroskop koji je kasnije Amerikanac Speri (1860-1930) adaptirao u ìro-kompas (vidi podpoglavlje 16.1). Godine 1880. nema~ki geodeta Helmert ~ini prvi poku{aj sintetizovanja i formalizovanja matemati~ke i fizi~ke osnove geodezije u svojoj knjizi “Matemati~ka i fizi~ka teorija geodezije“. Engleski fizi~ar Stouks objavljuje 1883. godine re{enje geodetskog grani~nog problema u zatvorenom obliku (vidi podpoglavlje 22.1). [kotlan|anin Kelvin (1824-1907), Englez Darvin (1845-1912, sin ârlsa Darvina) i Francuz Poenkare (1854-1912) razvijaju teoriju Zemljine plime (vidi podpoglavlje 8.1), a Kana|anin Njukomb (1835-1909) istraùje kretanje Zemljine ose rotacije (vidi podpoglavlje 5.4). Po~etkom dvadesetog veka dolazi do ogromne promene u shvatanjima fizi~ara, pre svega zbog teorije prostor-vreme Minkovskog, i naravno Ajn{tajnove specijalne i op{te teorije relativiteta koje predstavljaju uop{tenje Njutnove teorije gravitacije [CLARK, 1971]. Ideja da je gravitacija ustvari geometrija prostora i vremena [DAVIES, 1979], su{tinski je oblikovala fiziku, i iako nije direktno primenljiva u ve}ini geodetskih problema, uticala je u odre|enoj meri i na geodeziju. Svakako je imala udela u formiranju filozofskih pogleda autora ove knjige. U prvoj polovini dvadesetog veka ma|arski fizi~ar Etve{ izu~ava gradijente sile teè, a holandski geofizi~ar Vening Majnes zna~ajno usavr{ava teoriju izostazije. Engleski geofizi~ar Dèfriz uvodi koncept teluroida (vidi podpoglavlje 7.4), kojim zapo~inje novi trend u geodeziji, i koji kulminira strogim re{enjem geodetskog grani~nog problema ruskog fizi~ara Molodenskog (vidi podpoglavlje 22.2). Kona~no, mora se pomenuti i rad na teoriji normalnog gravitacionog polja italijanskih matemati~ara Picetija i Somiljane (vidi podpoglavlje 20.3). 1.4. Geodezija modernog doba Sredinom dvadesetog veka dolazi do tehnolo{ke revolucije. Na razvoj geodetskih instrumenata uti~e pre svega pronalazak radara, izazvan ina~e potrebama odbrane za vreme drugog svetskog rata. Otprilike u isto vreme pojavljuju se i prvi prakti~ni elektronski ra~unari, otvaraju}i do tada nezamislive horizonte u oblasti numeri~ke matematike. Uvo|enje kompjutera nije samo ubrzalo geodetska ra~unanja, ve} je i revolucionalizovalo razmi{ljanje geodeta. Re{enja problema, koja ranije zbog ogromne koli~ine ra~unskih operacija nisu ni poku{avana, postala su sada ne samo izvodljiva ve} i veoma laka.

18

ISTORIJA GEODEZIJE

§ 1.4

Vekovima su horizontalni uglovi imali prednost nad duìnama zbog ve}e ta~nosti i neuporedivo lak{eg izvo|enja merenja. Me|utim, ubrzo nakon rata, u {iroku geodetsku upotrebu ulaze dovoljno ta~ni i komercijalno dostupni elektromagnetni ure|aji za merenje duìna. Ovi instrumenti, zasnovani isprva na polarizovanoj svetlosti, zatim na radio talasima i kona~no na laseru, u potpunosti su izmenili sliku geodetskog pozicioniranja. Prethodnica vrtoglavog razvoja ekstraterestri~kih metoda bili su eksperimenti u radio-astronomiji koji su kulminirali otkri}em pulsara i kvazara. Ovi udaljeni radio objekti emituju signale sa frekvencijom velike stabilnosti, i danas se koriste za razvoj tehnike radiointerferometrije (vidi podpoglavlje 16.1). Lansiranje prvog ve{ta~kog satelita bio je slede}i dìnovski skok za geodeziju. Po prvi put su geodete mogle koristiti aktivna i pasivna ekstraterestri~ka tela za ta~no pozicioniranje ta~aka, a da se pri tome ne postavlja uslov njihovog dogledanja. Niske visine leta satelita pruìle su mogu}nost istraìvanja geometrije Zemljinog gravitacionog polja pomo}u direktnih merenja poreme}aja satelitskih putanja (poglavlje 23). Sateliti su istovremeno postavili i novi zahtev pred geodeziju: odre|ivanje gravitacionog polja iznad Zemlje za potrebe prognoze satelitskih putanja. Jo{ jednom je glavni korisnik ovih informacija bila vojska kojoj je poznavanje geometrije gravitacionog polja potrebno za ra~unanje putanja projektila. Drugo dostignu}e kosmi~kog programa predstavljaju sistemi inercijalne navigacije i pozicioniranja (vidi podpoglavlje 16.1). Ovi tehnolo{ki kompleksni sistemi ostvareni su zahvaljuju}i pre svega izvanrednom pobolj{anju ta~nosti ure|aja i senzora za merenje ubrzanja i odre|ivanje pravaca. Za pove}anje ta~nosti najzaslu`niji je spektakularni razvoj mikroelektronike. Lako}a i ta~nost kojom su geodete mogle odre|ivati poloàje ta~aka i parametre gravitacionog polja vodili su novim primenama, ali i postavili nove probleme. Ono {to je na primer ranije moglo biti zanemareno sada se pojavilo kao efekat koji se mora obra~unati. Druge discipline naglo su postale zainteresovane za geodetske metode i rezultate radi efikasnijeg istraìvanja svojih fenomena. Primeri takvih simbioti~kih veza geodezije su one sa geofizikom, kosmi~kim naukama, astronomijom i okeanografijom (vidi podpoglavlje 2.2). Veza geodezije sa geofizikom bila je posebno plodonosna jo{ iz jednog razloga. Naime, kasnih {ezdesetih godina kona~no je gotovo jednoglasno prihva}ena hipoteza o pomeranju kontinenata. U nekim delovima sveta (podpoglavlje 8.3), brzina relativnih tektonskih kretanja toliko je velika da se direktno moè meriti geodetskim putem. Geodezija je stoga postala glavni izvor geometrijskih informacija o ovom kretanju, i ta uloga joj je otvorila primenu i u drugim podru~jima geodinamike.

§ 1.4

Geodezija modernog doba

19

Poslednji zna~ajni razvoj geodezije koji moramo pomenuti odnosi se na more. Sve ve}a upotreba morskog okruènja u vidu eksploatacije resursa morskog dna postavila je pred geodeziju zadatak pozicioniranja pokretnih i stacionarnih objekata na moru. U okviru te svoje uloge geodezija danas ima veliki zna~aj i u zadovoljavanju naraslih potreba za ta~nom navigacijom. Savremena geodezija, koja iznova poprima nove dimenzije, neprekidno se suo~ava sa novim izazovima i stalno iznalazi nove tehnike i metode, to je geodezija koju smo poku{ali da predstavimo u ovoj knjizi.

POGLAVLJE 2


Za svakog ko prou~ava geodeziju izuzetno je instruktivno da upozna njene veze sa drugim disciplinama. Te veze su ono {to odre|uje stepen korisnosti i prakti~nosti bilo kog nau~nog polja, i u krajnjoj liniji diktira njegove ciljeve. Ovo poglavlje predstavlja na{ poku{aj da sagledamo povezanost geodezije sa drugim disciplinama, i to onako kako ih mi vidimo. Te veze ina~e variraju od zemlje do zemlje, a menjale su se i kroz vreme. Na{a je klasifikacija prema tome nu`no subjektivna, i nema sumnje da postoje geodete koje se ne}e s nama sloìti. Nismo uostalom ni poku{avali da klasifikujemo nau~na polja izvan geodezije niti da uspostavljamo njihovu hijerarhiju i me|uveze. Poku{ali smo samo da prikaèmo tok informacija u odnosu na geodeziju i upotrebimo ga kao na{ na~in klasifikacije. Prvo podpoglavlje razmatra discipline u kojima geodezija nalazi primenu. Drugo podpoglavlje ukratko opisuje simbioti~ku vezu koju geodezija ima sa drugim naukama. Tre}e podpoglavlje posve}eno je onim disciplinama koje obezbe|uju nau~nu osnovu geodezije. Me|u njima matematika ima dominatnu ulogu, i to tako dominantnu da je ustvari celo jedno poglavlje (3) posve}eno onim delovima matematike koji se naj~e{}e koriste u geodeziji. Suprotno na{oj nameri, morali smo zapo~eti sa primenom, a zavr{iti sa osnovama, kako bismo obezbedili logi~ki kontinuitet materije predstavljene kroz razna poglavlja. 2.1. Primene geodezije Pre nego {to zapo~nemo sa pregledom razli~itih primena geodezije, razjasnimo prvo vezu izme|u geodezije i premera. U ve}ini jezika nema posebne razlike izme|u ova dva pojma. Razlika svojstvena engleskom jeziku verovatno stvara vi{e problema nego {to ih re{ava. Bilo kako bilo, premer je po na{em mi{ljenju praksa pozicioniranja, a geodezija predstavlja njegovu teorijsku osnovu. Vekovima je uloga geodezije bila ona u slu`bi izrade planova i karata (vidi podpoglavlje 1.3), tako da to jo{ uvek ve}ina ljudi smatra njenim glavnim ciljem. Ovakvo redukovanje geodezije na takozvani kontrolni premer ~ija je jedina funkcija

20

§ 2.1

Primene geodezije

21

da obezbedi kontrolne poloàje za kartografisanje, vi{e jednostavno ne stoji. Iako zna~ajni deo informacija koje geodezija obezbe|uje spada u domen pozicioniranja, postoje i drugi jednako va`ni aspekti (vidi podpoglavlje 4.1). Vratimo se sada disciplinama kojima je potrebna geodetska poziciona ili neka druga informacija. Na{e istraìvanje usmerile su ideje sadràne uglavnom u slede}im publikacijama: KRAKIWSKY AND VANI~EK [1974], VANI~EK [1976], U. S. COMMITTEE ON GEODESY [1978], MUELLER [1978], HIEBER AND GUYENNE [1978], i RINNER [1979]. (a) Kartografija: Sasvim je jasno da su mreè odgovaraju}e raspore|enih ta~aka poznatog horizontalnog i vertikalnog poloàja (takozvana geodetska kontrola), neophodne da bi se izradile karte, i to kako sitnorazmerne za celu dràvu, tako i krupnorazmerne za npr. op{tine. Uspostavljanje ove kontrole je jasan geodetski zadatak i bi}e razmatran u delu IV. (b) Urbani menad`ment: U urbanom okruènju neophodno je definisati i dokumentovati lokacije raznih struktura kao {to su na primer podzemne instalacije. Potreba za kontrolnim ta~kama u ovakvim slu~ajevima jasno je istaknuta u {irokoj literaturi, npr. BLACHUT ET AL. [1979]. (c) Inènjerski projekti: Za vreme izgradnje velikih objekata kao {to su brane, mostovi ili fabrike, neophodno je obeleàvati i postavljati njihove komponente na prethodno definisananim lokacijama. U ove svrhe koriste se koordinate ove ili one vrste, tako da je ponovo neophodno postojanje kontrolnih ta~aka. Isto tako, ~esto je potrebno pratiti pomeranja tla i nivoa vode pre, za vreme i nakon izgradnje objekta. U slu~aju brana, vodenih tunela i irigacionih objekata, mora se poznavati i ta~an oblik gravitacionih ekvipotencijalnih povr{i. Odre|ivanje pomeranja (vidi poglavlja 26 i 27) i oblika ekvipotencijalnih povr{i (vidi deo V), tako|e su geodetski zadaci. (d) Razgrani~enja: Stroga definicija me|unarodnih i unutra{njih granica oduvek je imala izuzetnu va`nost. Od skora je tako|e na va`nosti dobilo i brzo i ta~no opisivanje granica nalazi{ta nafte i gasa, ~ak i u tako udaljenim i negostoljubivim podru~jima kao {to su Arktik, Severno more ili brojni kontinentalni zalivi. Pozicioniranje i obeleàvanje ovih granica najekonomi~nije se izvodi ako se odnosi na polje ta~aka sa poznatim horizontalnim poloàjima, odnosno na geodetsku mreù (vidi poglavlje 18). (e) Ekologija: Poslednjih nekoliko decenija uo~ena je va`nost ispitivanja efekata koje ljudska aktivnost ima na okolinu. Jedan od takvih efekata je pomeranje tla, koje nastaje kao posledica kori{}enja podzemnih resursa kao {to su

22


§ 2.2

voda, nafta i minerali (vidi podpoglavlje 8.4). Otkrivanje i pra}enje ovih pomeranja geodetski je problem (vidi poglavlja 26 i 27). (f) Upravljanje prostorom: Uo~eno je da uspostavljanje banki podataka o ljudskoj sredini koje bi sluìle kao integralni informacioni sistem za potrebe transporta, kori{}enja zemlji{ta, socijalne i komunalne slu`be, utvr|ivanja vlasni{tva, prikupljanje poreza i popisa, treba da se bazira na parcelama ~iji su poloàji jedinstveno definisani u vidu koordinata [HAMILTON, 1969]. U tu svrhu ponovo je najekonomi~nije da se te koordinate odnose na geodetsku mreù. (g) Geografija: Sve informacije o poloàjima potrebne geografiji obezbe|uje geodezija. Iako je ta~nost pozicionih i drugih geometrijskih informacija koje geografi koriste u op{tem slu~aju mnogo nià nego {to to zahtevaju do sada navedene discipline, ove informacije su globalnog karaktera, {to jedino geodezija moè obezbediti. (h) Planetologija: Moè se diskutovati o tome da li je to deo astronomije ili geofizike, ali bilo kako bilo, planetologija koristi metode istraìvanja geometrije, gravitacionog polja i deformacija planeta, koje su identi~ne ekstraterestri~kim geodetskim metodama. To prakti~no zna~i da je geodezija jednako primenljiva i u planetologiji. Zbog ove bliske veze planetologije i geodezije neke geodete smatraju odre|ivanje oblika, veli~ine i gravitacionog polja planeta delom geodezije. (i) Hidrografija: Neki ovo polje svrstavaju u okeanografiju, dok je drugi smatraju posebnom vrstom takozvanog marinskog premera. U oba slu~aja hidrografija ima donekle specijalnu vezu sa geodezijom. Hidrografija se naime moè posmatrati kao praksa pozicioniranja na moru, kombinovana sa odre|ivanjem dubine, i kao takva koristi mnoge geodetske metode (vidi podpoglavlja 18.4 i 19.4).

2.2. Simbioti~ka veza geodezije i nekih drugih nauka Jasno je da osim izrade planova i karata postoje i drugi ciljevi geodezije, zbog ~ega njena primena u mnogim nau~nim disciplinama ima za rezultat obostranu vezu. Naime, dok geodezija tim disciplinama obezbe|uje jednu vrstu informacija, one zauzvrat geodeziji obezbe|uju drugu vrstu informacija. Te discipline su slede}e: (a) Geofizika je kroz svoju istoriju imala verovatno najbliù vezu sa geodezijom, i to toliko blisku da se u nekim zemljama geodezija smatra granom geofizike. Zbog ove bliskosti ponekad je te{ko oceniti gde se geofizika zavr{ava, a geodezija po~inje. Shodno tome ne o~ekujemo da }e na{a gledi{ta deliti sve geodete i svi geofizi~ari.

§ 2.2

Smboli~ka veza geodezije i nekih drugih nauka

23

Geofizika, kao i mnoge druge oblasti, koristi poloàje i geometrijske informacije koje moè obezbediti geodezija. Naro~ito su joj potrebne geometrijske informacije o Zemljinim vremenskim deformacijama. Kao {to je obja{njeno u podpoglavlju 1.4, geodetske tehnike se danas rutinski koriste u otkrivanju tektonskih kretanja (vidi npr. SAVAGE AND BURFORD [1973], NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION (NASA) [1979]). Geodetski podaci koriste se isto tako i u prou~avanju geometrije deformacija i u drugim oblastima savremene geodinamike [VANI~EK, 1977]. Gravimetrija je jedan od najva`nijih izvora informacija koji se koristi u teorijskoj i primenjenoj geofizici [TELFORD ET AL., 1976]. Gravimetrijski podaci neophodni su za izu~avanje nepravilnosti u rasporedu podzemnih masa. Kako su geodete tako|e zainteresovane za gravimetrijske podatke radi izu~avanja geometrije gravitacionog polja (vidi podpoglavlje 4.1.), obe nauke polaù pravo na prikupljanje takvih podataka. Po jednoj donekle ve{ta~koj podeli, globalni gravimetrijski radovi pripadali bi geodeziji, dok bi regionalni i lokalni gravimetrijski premer predstavljao geofizi~ki zadatak. Vremenske promene gravitacionog polja pruàju vredne informacije o fizi~kim uzrocima vertikalnih pomeranja Zemljine kore. Ovi podaci ~esto se koriste u kontekstu savremene geodinamike (vidi podpoglavlje 26.1). Zauzvrat, geofizika obezbe|uje uvid u fizi~ku reakciju Zemlje na razli~ite sile (poglavlje 8), u mogu}u raspodelu gustina unutar Zemlje (podpoglavlje 6.1) i u uticaje unutra{nje Zemljine strukture na njeno kretanje (podpoglavlje 5.3). Ove informacije su potrebne za uspostavljanje raznih matemati~kih modela za geodetske svrhe. (b) Prostorne nauke u pore|enju sa geofizikom veoma su mlade. Od samog po~etka njihova veza sa geodezijom bila je jako bliska. Glavni razlog za to je {to je poznavanje geometrije Zemljinog spolja{njeg gravitacionog polja neophodno za predikciju orbita kosmi~kih objekata (podpoglavlje 23.2). Pored toga, poloàji stalnih satelitskih stanica moraju biti poznati sa visokom ta~no{}u [NASA, 1978] zbog ~ega se odre|uju isklju~ivo geodetskim putem. S druge strane prostorne nauke su razvile neke veoma mo}ne pozicione sisteme koji koriste Zemljine ve{ta~ke satelite, i oni se sada upotrebljavaju u geodeziji zajedno sa postoje}im terestri~kim tehnikama (vidi poglavlja 15 i 16). Analiza opaànja prema niskolete}im satelitima obezbe|uje ta~no odre|ivanje dugotalasnih karakteristika Zemljinog gravitacionog polja, uklju~uju}i i vrednost spljo{tenosti Zemlje (podpoglavlja 7.3 i 23.4). Pra}enjem kosmi~kih sondi dobija se najbolja ocena za vrednost mase Zemlje.

24


§ 2.2

(c) Astronomija kao jedna od najstarijih postoje}ih nauka dugo se razvijala zajedno sa geodezijom (poglavlje 1). Iako je u novije vreme me|uzavisnost geodezije i astronomije oslabila, poziciona astronomija jo{ uvek ima odre|enu ulogu u geodeziji (podpoglavlja 15.1 i 15.2). [tavi{e, budu}nost }e verovatno svedo~iti poja~anoj ulozi pozicione radio-astronomije (vidi podpoglavlje 16.1). Jedan drugi deo astronomije, nebeska mehanika, tako|e je neophodan geodeziji zbog izu~avanja satelitskih putanja (vidi podpoglavlje 23.1). Geodezija deli sa astronomijom interes i u laserskom odre|ivanju rastojanja do Meseca (vidi podpoglavlje 16.1). Ova rastojanja koriste se u astronomiji za ra~unanje Mese~eve orbite i libracije [COOK ET AL., 1977], dok ih geodete koriste za odre|ivanje poloàja. Od zajedni~kog interesa je tako|e i pra}enje rotacije Zemlje (podpoglavlje 5.4). (d) Okeanografija je jo{ jedna nauka sa kojom geodezija ima zajedni~ka interesovanja. Naime, i geodezija i okeanografija bave se pozicioniranjem i odre|ivanjem pomeranja obalskih linija. Geodezija obezbe|uje okeanografima relativne visine priobalnog nivoa mora pomo}u posebnih mernih ure|aja (mareografa), kao i njihova relativna vertikalna pomeranja [LENNON, 1974]. Okeanografima su tako|e va`ni geodetski odre|eni poloàji raznih morskih objekata, uklju~uju}i tu i sante leda, okeanografska plovila i sli~no (vidi podpoglavlje 18.4). Okeanografske informacije koje su od zna~aja za geodeziju podrazumevaju dinamiku morske povr{i (podpoglavlje 8.4) i odstupanja srednjeg nivoa mora od ekvipotencijalne povr{i Zemljinog gravitacionog polja (vidi podpoglavlje 7.2). Ove informacije neophodne su geodeziji za uspostavljanje vertikalnih datuma. (e) Atmosferske nauke, kao i do sada pomenute, koriste geodetske podatke o poloàjima i gravitaciji, naro~ito na lokacijama koje se odnose na meteorolo{ke stanice i sonde. One tako|e kao i geodezija imaju interesa za analizu satelitskih putanja. Dok geodezija interpretira satelitske orbitalne perturbacije kao posledicu gravitacionih efekata, atmosferskim naukama ovi poreme}aji sluè pre svega za istraìvanje efekata rasporeda vazdu{nih masa [JACCHIA AND SLOWEY, 1975]. Geodeziji su osim toga potrebni {to ta~niji modeli atmosferske refrakcije kao i odgovaraju}i meteorolo{ki podaci potrebni za ra~unanje (vidi podpoglavlje 9.2), {to ina~e predstavlja jedan od najteìh problema u mnogim geodetskim merenjima kao {to }e se videti u delu IV. Meteorolo{ki podaci su isto tako potrebni i za analizu vremenskih promena nivoa mora (podpoglavlja 8.4 i 19.1), a u posebnim slu~ajevima i za analizu vremenskih promena oblika Zemljine povr{i (podpoglavlje 8.4).

§ 2.3

Teorijske osnove geodezije

25

(f) Geologija koristi geodetske informacije i o horizontalnim i o vertikalnim poloàjima za izradu svojih karata. Zauzvrat, ona pruà geodeziji informacije o geomorfologiji i lokalnoj stabilnosti raznih geolo{kih formacija. Informacije o stabilnosti neophodne su geodetama pri izboru odgovaraju}ih mesta za postavljanje geodetskih belega i izgradnju raznih vrsta opservatorija (vidi podpoglavlje 7.1). 2.3. Teorijske osnove geodezije Poslednja grupa disciplina koje se moraju pomenuti su one koje obezbe|uju geodeziji teorijsku osnovu. Standardnu osnovu mnogih nauka, pa prema tome i geodezije, predstavljaju pre svega matematika, kompjuterske nauke i fizika. (a) Matematika je bez sumnje najva`niji gradivni elemenat geodezije. Ustvari, neki izvori smatraju geodeziju granom primenjene matematike (vidi npr. ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA [1970]). Mnogo toga se moè re}i u prilog ovom gledi{tu, jer je geodezija u su{tini geometrija primenjena na Zemlju. Da bi se istakao zna~aj matematike, celo poglavlje 3 posve}eno je opisu matemati~kih koncepata potrebnih u geodeziji - barem u geodeziji predstavljenoj u ovoj knjizi. Moramo napomenuti da smo statistiku uklju~ili u na{ tretman matematike u poglavlju 3, dok smo numeri~ku analizu pomenuli pod naslovom koji se odnosi na kompjuterske nauke. (b) Kompjuterske nauke nas u~e kako da koristimo kompjuterske sisteme, najmo}nije ra~unsko i analiti~ko oru|e kojim danas raspolaèmo. Mnogi problemi sa kojima se geodezija danas suo~ava zahtevaju kompjutersko re{enje. Geodete, kao i drugi nau~nici, moraju imati odgovaraju}e znanje barem jednog programskog jezika visokog nivoa i da budu upoznati sa interaktivnim i grafi~kim mogu}nostima kompjutera. Zbog ogromne koli~ine podataka potrebnih za re{avanje ve}ine geodetskih problema, geodete moraju imati i odgovaraju}e obrazovanje u ra~unarskom rukovanju bazama podataka. Kona~no, i razli~iti koncepti numeri~ke analize su isto tako potrebni u geodeziji. To se pre svega odnosi na teoriju aproksimacija obra|enu u odre|enoj meri u podpoglavlju 14.2. Numeri~ke metode linearne algebre obra|ene u poglavljima 12 i 14, i kori{}ene u celoj knjizi (naro~ito u podpoglavlju 18.2), tako|e su neophodne. Korisne su i numeri~ka integracija, diferencijacija i integracija diferencijalnih jedna~ina. (c) Fizika je geodetama va`na skoro isto toliko koliko i matematika. Jo{ od Njutna, gravitacija ima veliku ulogu u geodeziji (vidi poglavlje 6 i deo V). Ovaj zna~aj samo je porastao otkad je utvr|eno da je gravitacija u stvari geometrija prostora u kojem se izvode geodetska merenja (podpoglavlje 1.3). Danas se

26


§ 2.3

prou~avanje geometrije Zemljinog gravitacionog polja smatra delom geodezije a ne fizike (vidi podpoglavlje 4.1). Podjednako fundamentalni zna~aj za geodeziju ima i teorija kretanja elektromagnetnih talasa. Skoro svi geodetski instrumenti koriste principe ovog kretanja na ovaj ili onaj na~in, pa je razumevanje fizi~kih zakona kretanja (vidi podpoglavlje 9.2) od su{tinskog zna~aja za na{e razumevanje prirode prikupljenih podataka. Kako zna~ajan broj geodetskih instrumenata koristi vidljivi deo elektromagnetnog spektra, jasna je potreba i za geometrijskom optikom. Mehanika je u op{tem slu~aju neophodna za razumevanje kretanja Zemlje i njenih satelita (vidi poglavlja 5 i 25). U tom kontekstu koriste se dva dinami~ka koncepta. Jedan se odnosi na kretanje fizi~kih ~estica u potencijalnom polju (centralnom ili poreme}enom), a drugi na rotaciju deformabilnog tela. Stoga su jednako

SLIKA 2.1. Veza geodezije sa drugim disciplinama.

§ 2.3

Teorijske osnove geodezije

27

neophodne kako Keplerova i perturbaciona teorija [HAGIHARA, 1971], tako i teorija deformabilnih ìroskopa Lujvija [ROUTH, 1884]. U ovoj knjizi je, me|utim, predstavljena samo Ojlerova teorija ~vrstih ìroskopa (vidi podpoglavlje 5.3), koja se koristi za izu~avanje ìroskopske orijentacije (vidi podpoglavlje 16.1). Neki od elemenata mehanike kontinuuma i reologije potrebni su za izu~avanje Zemljine reakcije na razli~ite sile (vidi poglavlja 8 i 25). Iako razumevanje fizike Zemljinih deformacija nije neophodno za geodeziju, odre|eno poznavanje ovih fenomena joj svakako koristi. Osim toga rudimenti akustike nalaze primenu u marinskom pozicioniranju (vidi podpoglavlje 18.4), a poznavanje metrologije neophodno je u kalibraciji geodetskih instrumenata. Predstava svih do sada opisanih veza data je na sl.1. Primetimo da razli~ite senke ozna~avaju razli~ite veze.

POGLAVLJE 3

MATEMATIKA I GEODEZIJA

Kao {to je ve} konstatovano u poglavlju 2, geodezija ima posebne veze sa matematikom, i matematika se u njoj obilno koristi. Cilj ovog poglavlja je da opi{e matematiku potrebnu geodetama. Tome u prilog, odlu~ili smo da usmerimo izlaganje na one teme koje su od zna~aja za preostala poglavlja knjige. Osim toga definisali smo i neke nestandardne pojmove i oznake, i ukazali na veze izme|u tema za koje smo smatrali da }e biti od pomo}i ~itaocu. Najve}i deo upotrebljenog matemati~kog aparata moè se na}i u KORN AND KORN [1968] i HOGG AND CRAIG [1970]. No i pored toga, citirane su brojne reference koje mogu pomo}i u daljem izu~avanju izloène materije. Pregled koji smo ovde predstavili sluì samo za osveàvanje ~itao~evog pam}enja i kao takav ne sme se smatrati tekstom o matematici. Najve}i deo tema, iako ne sve, uobi~ajeni su deo kurseva matematike na univerzitetskim studijama. Teme su podvedene pod ~etiri, vi{e ili manje prirodna naslova, i to algebru, analizu, geometriju i statistiku. Nismo ~inili poku{aje da opravdamo didakti~ki redosled materije ili izbor jedne ili druge teme. Materija koja je previ{e specijalizovana, ili nije u okviru uobi~ajenih univerzitetskih kurseva matematike, tretirana je direktno u glavnom tekstu knjige. 3.1. Algebra U prvom delu ovog podpoglavlja razmatran je onaj deo matematike koji se bavi algebrom vektora i matrica. Kroz knjigu }e vektori biti ozna~avani malim zadebljanim slovima ( a, b, . . .) , a matrice velikim zadebljanim slovima ( A, B, . . .) . Ukoliko nije druga~ije napomenuto, vektori }e se smatrati kona~nim, ure|enim skupom realnih brojeva, i kao takvi pripada}e realnim vektorskim, odnosno linearnim prostorima. Za vektor a koji ima n komponenti (dim (a ) = n) onda vaì:

a ∈R n ,

(3.1)

28

§ 3.1

gde R

Algebra

29

ozna~ava skup realnih brojeva. Sli~no tome, ako je za matrice

dim( A) = (n, m) = (dim(col A), dim(row A)) , onda A pripada prostoru R( n ,m )

koji je izomorfan prostoru R nm . Naravno vektori uklju~uju i vektore poloàja u geometrijskom prostoru, ali razlike izme|u apstraktnih vektora i vektora koji imaju o~igledno geometrijsko zna~enje bi}e isticane na odgovaraju}im mestima u kasnijim poglavljima (vidi podpoglavlje 3.3). Matrice (pa prema tome i vektori) mogu imati jednu od slede}e dve uloge: one mogu biti smatrane objektima ili linearnim operatorima. Ako napi{emo:

b = Ba

(3.2)

onda se moè smatrati da B transformi{e a ∈ Va u b ∈ Vb kao transformacioni operator izme|u dva vektorska prostora Va i Vb . Gornja jednakost pretpostavlja kongruenciju izme|u a, b i B , tj. da je dim( B ) = dim(b), dim(a )) . Primer matrice koja se smatra operatorom je Jakobijan matrica (parcijalnih izvoda):

⎡ ∂f 1 ⎢ ∂l ⎢ 1 ∂f ∂f ⎢ 2 = ⎢ ∂l1 ∂l ⎢ ⎢ ⎢ ∂f m ⎢ ∂l ⎣ 1

∂f 1 ∂l 2 ∂f 2 ∂l 2 ∂f m ∂l 2

∂f 1 ∂l n ∂f 2 ∂l n

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ∂f m ⎥ ∂l n ⎥⎦

(3.3)

gde je f ∈ F vektor funkcija f i (vektorska funkcija vektora sa argumentima l j );

l ∈ L je vektorski argument, a F i L su vektorski prostori. Zamenom neke odre|ene vrednosti l1 za l , ∂ f/ ∂ l se moè smatrati transformacijom okoline l1 ∈ L u okolinu f (l1 ) = f 1 ∈F . Primer matrice koja je sama po sebi objekat je Vandermondova matrica:

⎡φ1 ( τ1 ) φ1 ( τ 2 ) ⎢ φ ( τ ) φ2 (τ 2 ) Φ (T ) = ⎢ 2 1 ⎢ ⎢ ⎢⎣φu ( τ1 ) φu ( τ 2 )

φ1 ( τ n ) ⎤ ⎥ φ2 ( τ n ) ⎥

⎥ ⎥ φu ( τ n ) ⎥⎦

,

(3.4)

30


§ 3.1

n funkcionalnih vrednosti u funkcija φi argumenta τ j ∈ T ≡ {τ 1 , τ 2 , . . . , τ n } . Navedene dve uloge matrica ~esto se prepli}u.

sastavljena

od

Navedimo sada neke naro~ite vrste matrica koje }emo koristiti u knjizi: (a) Kvadratna matrica Q je matrica za koju je dim(col Q ) = dim(row Q ) = dim(Q ) . (b) Simetri~na matrica S je kvadratna matrica za koju je s ij = s ji , i, j = 1, . . .

... , dim( S ) , gde su sij elementi od S . (c) Antisimetri~na matrica A je kvadratna matrica za koju je a ij = − a ji ,

i, j = 1, ..., dim( A) (d) Dijagonalna matrica D je kvadratna matrica za koju je d ij = 0 , za i ≠ j . Ona se ~esto ozna~ava sa D = diag (d ii ) = diag (d i ) . Matrica ~iji su nenulti elementi raspore|eni u n dijagonala simetri~no oko glavne dijagonale zove se n dijagonalna matrica. (e) Jedini~na matrica I je dijagonalna matrica za koju je d i = 1 , za i = 1, . . . , dim( I ) . (f) Gornja (donja) trouglasta matrica je kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod (iznad) glavne dijagonale jednaki nuli. (g) Pozitivno definitna matrica P je kvadratna matrica za koju je kvadratna forma a T Pa pozitivan broj pri bilo kojem a ≠ 0 . (h) Dijadi~ka matrica Y je matrica koja se dobija kao:

Y = aa T ,

(3.5)

gde je a proizvoljni vektor. Jasno je da je dim(Y ) = (dim(a ), dim(a )) . (i) Ortogonalna matrica je matrica R ~ije sve kolone (vrste) ci zadovoljavaju slede}u jednakost:

⎧0, i ≠ j , c iT c j = ⎨ ⎩1, i = j.

(3.6)

(j) Ako su elementi matrice H i sami matrice, tada je H hipermatrica. Svaka matrica B ~ija je ve}a dimenzija 2 ili vi{e, moè postati hipermatrica odgovaraju}om particijom.

§ 3.1

Algebra

31

Trag kvadratne matrice Q je broj definisan kao:

tr (Q ) =

dim (Q )

∑q

ii

.

(3.7)

i =1

Moè se pokazati da za pozitivno definitnu matricu P vaì:

(

)

a T Pa = tr aa T P .

(3.8)

Za bilo koje dve matrice A, B :

tr ( AB ) = tr (BA) ,

(3.9)

ako oba proizvoda postoje. Svakoj kvadratnoj matrici Q moè se pridruìti realni broj koji se zove determinanta det(Q ) . Po definiciji je:

det (Q ) =

dim( Q )

∑ ∏a (l )

j =1

jl j

,

(3.10)

gde indeks l j podrazumeva sve mogu}e vrednosti, tako da su zastupljene sve permutacije u kojima se svaka kolona pojavljuje samo jednom, a (l ) je broj zamena potrebnih da se vrednosti drugog indeksa dovedu u prirodni red. Matrica Q zove se regularna (nesingularna) ako i samo ako je det(Q ) ≠ 0 . Obrnuto, ako je det(Q ) = 0 , matrica Q je singularna. Ako je det(Q ) veoma mali broj, matrica Q je slabo uslovljena. Pozitivno definitna matrica je uvek regularna. Za dijagonalnu matricu D vaì:

det (D ) =

dim ( D )

∏d

i

.

(3.11)

i =1

Rang matrice B , u oznaci rank(B ) , je broj linearno nezavisnih vrsta ili kolona matrice B . Ako je P pozitivno definitna onda je BPB T tako|e pozitivno definitno kada je rank( B ) = dim(col B ) ≤ dim(row B ) . Ako je za kvadratnu

32


§ 3.1

matricu Q , rank(Q ) < dim(col Q ) = dim(row Q ) = dim(Q ) , onda Q ima defekt ranga:

def (Q ) = dim(Q ) − rank (Q ) .

(3.12)

Matrice sa defektom ranga su singularne [THOMPSON, 1969]. Ako postoji kvadratna matrica B takva da je:

BQ = I ,

(3.13)

tada je ona inverzija od Q u oznaci Q −1 . Svaka regularna (kvadratna) matrica ima jednu i samo jednu inverziju. Singularna matrica nema (regularnu) inverziju onako kako je to malo~as definisano. Ona me|utim moè imati druge inverzije poznate kao singularne ili uop{tene, a takve inverzije upozna}emo u delu III. Neke od posebnih vrsta matrica koje smo ve} pominjali imaju i posebne, regularne inverzije: (a) Inverzija simetri~ne matrice je simetri~na. (b) Inverzija regularne dijagonalne matrice diag (d i ) je:

(diag(d i ))−1 = diag(d i−1 ) .

(3.14)

(c) Kvadratna ortogonalna matrica R ima inverziju:

R −1 = R T .

(3.15)

(d) Za hipermatricu H vaì [FADDEEV AND FADDEEVA,1963]:

H gde je ili:

−1

⎡H = ⎢ 11 ⎣ H 21

H 12 ⎤ ⎥ H 22 ⎦

−1

(

⎡B = ⎢ 11 ⎣ B 21

B 22 = H 22 − H 21 H 11−1 H 12

)

−1

B12 ⎤ ⎥ . B 22 ⎦

(3.16)

, B 21 = − B 22 H 21 H 11−1 ,

B12 = − H11−1 H12 B22 , −1 −1 H 12 ) −1 postoje, ili: ako H11 i ( H 22 − H 21 H 11

B11 = H11−1 − H11−1 H12 B21 ,

(3.17)

§ 3.1

Algebra

(

−1 B11 = H 11 − H 12 H 22 H 21

)

−1

33

−1 , B12 = − B11 H 12 H 22 ,

−1 B 21 = − H 22 H 21 B11 ,

−1 −1 B 22 = H 22 − H 22 H 21 B12 ,

(3.18)

−1

−1 H 21 ) −1 postoje. O~igledna primena inverzija je u ako H 22 i ( H 11 − H 12 H 22 re{avanju sistema linearnih jedna~ina. Ako je:

Bx = l

(3.19)

takav sistem, onda je:

x = B −1 l

(3.20)

re{enje tog sistema, ako regularna inverzija B −1 postoji. Takvi sistemi i njihova re{enja detaljno su obra|eni u poglavljima 11 i 12. Ako regularne inverzije postoje, onda imaju slede}a dva, ~esto citirana svojstva:

( AB )−1 = B −1 A −1 , ( k A)−1 = k −1 A −1 .

(3.21)

Korisne su i slede}e dve matri~ne leme [MORRISON, 1969]:

(C (C

−1 −1

) A)

+ A T B −1 A

−1

+ A T B −1

−1

(

= C − CA T B + ACA T

(

)

−1

A T B −1 = CA T B + ACA

AC ,

)

T −1

.

(3.22) (3.23)

One vaè za proizvoljno A i pozitivno definitne B i C . Svaka simetri~na pozitivno definitna matrica P moè se dijagonalizovati, tj. transformisati u dijagonalnu formu na vi{e na~ina. Jedan od njih, poznat kao dijagonalizacija sopstvenim vrednostima, naro~ito je zna~ajan. On se zasniva na re{enjima ( λ 1 , λ 1 ,..., λ dim ( P ) ) = λ T sistema:

(λ I − P ) = 0 .

(3.24)

koja se zovu sopstvene vrednosti matrice P . Ovakve vrednosti su sve pozitivne. Vektori x i dati sa :

34


(λi I − P ) x i = 0, i = 1,..., dim (P ) ,

§ 3.1

(3.25)

zovu se sopstveni vektori matrice P . Ako su sopstvene vrednosti sve razli~ite, onda postoji po jedan sopstveni vektor za svaku od njih λ i . Svi ovi sopstveni vektori su me|usobno ortogonalni, tj.:

x i x Tj = 0, i ≠ j.

(3.26)

Ako je P realna i simetri~na matrica, tada je:

diag (λ i ) = X −1 PX ,

(3.27)

gde su kolone matrice X ustvari sopstveni vektori [THOMPSON, 1969]. Dijagonalizacija sopstvenim vrednostima moè se interpretirati kao transformacija matrice P u koordinatni sistem definisan sa sopstvenim vektorima kao vektorskom bazom. Interesantno je znati da za simetri~nu matricu S , jedna~ina:

x T Sx = q = const. > 0 ,

(3.28)

gde je x vektor poloàja, predstavlja ustvari jedna~inu centralne kvadrike. Ako je uz to S pozitivno definitna, onda je kvadrika hiperelipsoid. Za dim( x ) = 3 dobija se elipsoid, a za dim( x ) = 2 elipsa. Sopstveni vektori matrice S defini{u pravce osa, dok su 2λ1i / 2 njihove duìne za q = 1 . Kompleksni broj kojeg }emo u knjizi ozna~avati zvezdicom, predstavlja specijalni vektor sa dve komponente:

z ∗ = (a, b ) .

(3.29)

gde je a realni deo od z ∗ ; a = re( z ∗ ) ; a b je imaginarni deo b = im( z ∗ ) . Napisan u polarnom i eksponencijalnom obliku, kompleksni broj glasi:

z ∗ = A(cosψ + i sinψ ) = Aexp(iψ ), i = − 1 ,

(3.30)

§ 3.2

Analiza

35

gde se A zove amplituda ili apsolutna vrednost od z ∗ ; A = z ∗ , a ψ je argument od z ∗ , ψ = arg( z ∗ ). . Oni su dati sa:

z∗ =

(a

2

+ b2

)

( )

⎛

b ⎞ ⎟ ± 2kπ , k = 0, 1, 2, . . . ⎝ A+b⎠

, arg z ∗ = arctan ⎜

(3.31) Ako su a i b realne funkcije od x tada je z ∗ kompleksna funkcija od x . Par (a,−b) = A exp(−iψ ) = A(cosψ − i sinψ ) zove se konjugovani kompleksni broj od

z ∗ i ozna~ava sa z ∗ . Njegovom upotrebom dobija se : z∗ =

(z

∗

× z∗

)

,

( )

(

)

arg z ∗ = (1/ (2i )) ln ∗ z ∗ z ∗ ,

(3.32)

gde ln * ozna~ava glavnu granu kompleksnog algoritma. Neka od svojstava kompleksnih funkcija su slede}a: (a) Ako je a = k (a1 + a 2 ) i b = k (b1 + b2 ) , tada je z ∗ = (a, b) = k (z1∗ + z ∗2 ) gde je z1∗ = (a1 , b1 ) i z 2∗ = (a 2 , b2 ) . (b) Ako je z ∗ = z1∗ × z 2∗ ,tada je z ∗ = z1∗ z 2∗ i arg( z ∗ ) = arg( z1∗ ) + arg( z 2∗ ) ±

2kπ , k = 0, 1, 2, ... . (c) sin x = (exp(ix) − exp(−ix))/(2i) i cos x = (exp(ix) + exp(−ix))/2 , [CHURCHILL AND BROWN, 1974]. 3.2. Analiza Analiza je deo matematike u kojem osnovu predstavlja pojam grani~nih vrednosti. Stoga }emo ovde razmatrati samo veli~ine iz lokalno kompaktnih prostora, u kojima uostalom jedino ima smisla definisati kompaktnu okolinu neke ta~ke. Koristi}emo i nizove i redove elemenata lokalno kompaktnih prostora. Mesto elemenata u nizu ozna~ava}emo donjim indeksom. S druge strane, korake u nekom iterativnom procesu ozna~ava}emo gornjim indeksima u zagradi. Za funkcije }e se uvek smatrati da su jednozna~ne. Mogu postojati realne (skalarne), vektorske ili matri~ne funkcije, realnih (skalarnih) ili vektorskih argumenata. Jedna naro~ita vrsta funkcija mora se pomenuti. U kontekstu realnih funkcija, funkcija K koja preslikava R n × R n u R , tj.:

36


K∈{R n× R n→ R},

§ 3.2

(3.33)

zove se (realno) jezgro. Na primer, duìna:

ρ (Pi , Pj )∈ Ri

(3.34)

izme|u neke dve ta~ke Pi , Pj ∈ R n tipi~no je jezgro. Ako veza izme|u Pi i Pj koju opisuje jezgro K ne zavisi od lokacija Pi i Pj u R n , tada se radi o homogenom jezgru, a ako ta veza ne zavisi od pravca Pi Pj , jezgro je izotropno [KREYSZIG, 1978]. Ako R n nije geometrijski prostor, navedena dva pojma te{ko je interpretirati. Kroz ovu knjigu d }e biti kori{}eno za diferencijal, a δ ili ∆ ozna~ava}e male veli~ine. Izvodi funkcija po vremenu (brzine) ozna~ava}e se ta~kom iznad simbola funkcije, a drugi izvodi po vremenu (ubrzanja) sa dve ta~ke. Totalni diferencijal funkcije vi{e (skalarnih) promenljivih

f ∈ { R n → R }, ~ije su funkcionalne

vrednosti f ( x1 , x 2 , … , x n ) = f ( x ) , glasi:

df =

n

∂f

∑ ∂x dx . i

i =1

(3.35)

i

Ovde ∂f ∂xi ozna~ava parcijalni izvod f po x i . Ako su i sami argumenti funkcije drugih nezavisnih promenljivih, npr. :

z = f (x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )) ,

(3.36)

tada se totalni diferencijal defini{e kao:

df = dt

n

∂f dxi . i dt

∑ ∂x i =1

(3.37)

Primetimo da u posebnom slu~aju z = f ( x, y ( x)) vaì:

df ∂f ∂f dy . + = dx ∂x ∂y dx

(3.38)

§ 3.2

Analiza

37

Drugi i vi{i izvodi defini{u se na sli~an na~in [PROTTER AND MORREY, 1973]. êsto se barata sa funkcijama nekoliko vektorskih promenljivih, npr. f ( x1 , x 2 , … , x r ) . Pravila diferenciranja takvih funkcija ista su kao da su argumenti skalari. Tako, na primer, za simetri~nu matricu A , vaì:

(

)

∂ x1T Ax1 + Bx1 + Cx 2 = 2 x1T A+ B . ∂ x1

(3.39)

Jedan od standardnih problema povezan sa funkcijama vektorskih argumenata predstavlja odre|ivanje lokalnog ili apsolutnog ekstrema, bilo min x∈R n f ili

max x∈R n f . U op{tem slu~aju ovaj problem je veoma komplikovan. Ako se za funkciju f zna da ima samo po jedan ekstremum svake vrste u D ⊂ R n , tada slede}i sistem jedna~ina:

∂f = 0 , x∈D , ∂x

(3.40)

moè biti upotrebljen u poku{aju da se na|e re{enje x extr . Da li je to minimum ili maksimum, zavisi od vrednosti drugog izvoda [HANCOCK, 1917]. Za vektorske funkcije, tj. f ∈ { R n → R u }, ne mogu se koristiti obi~na pravila diferenciranja, ve} se re{enje mora traìti u vektorskoj analizi [WREDE, 1963], [WILLIAMSON ET AL., 1972]. Ova grana matematike bazira se na kori{}enju slede}a dva operatora:

⎛ ∂ ∂ ∂ ∇ = ⎜⎜ , ,…, ∂x n ⎝ ∂x1 ∂x 2 ∆ = ∇2 =

⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ; i = 1, … , n ⎟⎟ , ⎠ ⎝ ∂xi ⎠

∂2 ∂2 ∂2 … + + + = ∂x12 ∂x22 ∂xn2

U trodimenzionalnim krivolinijskim operatori glase:

n

∑ i =1

∂2 . ∂xi2

(3.41)

(3.42)

koordinatama (vidi podpoglavlje 3.3), ovi

⎞ ⎛ 1 ∂ ∇ q = ⎜⎜ ; i = 1, … ,3 ⎟⎟ , ⎠ ⎝ H i ∂q i

(3.43)

38


⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ H k 3 1 ∂ ⎜ k =1 ∂ ⎟ 2 , ∇q = 3 ⎜ 2 ∂q j ⎟⎟ j =1 ∂q j ⎜ H j Hi ⎜ ⎟ i =1 ⎝ ⎠

∏

∑

§ 3.2

∏

(3.44)

gde su H i = dS i dqi tzv. Lameovi koeficijenti, a S i je duìna du` qi koordinatne linije. Navedeni operatori mogu se primeniti na skalarne i vektorske funkcije na vi{e na~ina. Operator ∇ bi}e primenjivan u ovoj knjizi na jedan od slede}a ~etiri:

∇(a) = ∇a = grad (a ) (vektor); skalarni proizvod ∇ ⋅ a = div(a ) (skalar); vektorski proizvod ∇ × a = curl(a ) (vektor); matri~ni proizvod ∇ a

T

(3.45)

(matrica);

gde su a i a skalarna i vektorska funkcija vektorskog argumenta u R 3 . Operator ∇ ima mnogobrojna svojstva, pa }emo navesti samo nekoliko:

∇(ka) = k∇(a ) (linearnost), ∇(a + b) = ∇(a ) + ∇(b) (linearnost),

∇[a(b)] ⋅ b = ∂a / ∂ b (projektivnost),

(3.46)

∇ ⋅ r = div(r ) = 3 (divergencija radijus vektora) , ∇ rT = I , gde su a , b i b skalarne i vektorska funkcija, r je radijus vektor u R 3 (vidi podpoglavlje 3.3), a k je realni broj. Sli~na pravila vaè i za operator ∇ 2 , ali ovom prilikom nave{}emo samo dva:

∇ 2 (ka ) = k ∇ 2 (a ) , ∇ 2 (a + b ) = ∇ 2 (a ) + ∇ 2 (b ) .

(3.47)

Razvoj vektorske funkcije vi{e vektorskih promenljivih u Tajlorov red predstavlja direktno uop{tenje jednodimenzionog slu~aja. On glasi:

§ 3.2

Analiza

39

(

)

f ( x1 , x 2 , … , x r ) = f x1(0 ) , x 2(0 ) , … , x r(0 ) +

+

∂f ∂ x2

x2 = x2( 0 )

∂f ∂ x1

x1 = x1( 0 )

(x − x ( ) ) + … + ∂∂ xf 2

0 2

+ ~lanovi vi{eg reda.

(x − x ( ) ) 1

r xr = xr( 0 )

1

0

(x − x ( ) ) r

r

0

(3.48)

Primetimo da su parcijalni izvodi ustvari Jakobijan matrice koje vaè u ta~kama razvoja x1(0 ) , x 2(0 ) ,…, x r(0 ) [KORN AND KORN, 1968]. Dok smo jo{ na ovoj temi, bacimo pogled na jednu specijalnu skalarnu funkciju:

(

f (x; p ) = 1 + p 2 − 2 px

)

−1 2

,

(3.49)

gde je p parametar. Razvoj u jednodimenzionalni Maklorenov red (za x (0 ) = 0 ), daje:

(1 + p

2

− 2 px

)

−1 2

=

∞

∑p

n

Pn (x ) ,

(3.50)

n =0

gde su Pn ( x) poznate kao Leàndrove funkcije. Funkcija f ( x; p ) zove se generatorska funkcija za sistem Leàndrovih funkcija. Poznate su mnoge generatorske funkcije i odgovaraju}i sistemi funkcija [ABRAMOWITZ AND STEGUN, 1964]. Ovakvi sistemi su od fundamentalnog zna~aja za re{avanje diferencijalnih jedna~ina kao {to }emo kasnije videti. [to se ti~e integracije, u ovoj knjizi kori{}eni su samo Rimanovi integrali. Od postoje}ih specijalnih integrala naj~e{}e su potrebni elipti~ki integrali [REKTORYS, 1969]: b

∫(

)

q

y = 1 − k 2 sin 2 x dx .

(3.51)

a

Njihovo re{avanje obi~no se izvodi razvijanjem u red. Integrali vektorskih (matri~nih) funkcija ne predstavljaju poseban problem. Oni se mogu posmatrati kao vektori (matrice) integrala i re{avati individualno, komponentu po

40


§ 3.2

komponentu. Integral konvolucije je naziv za integral proizvoda funkcije i jezgra. Dok u tom slu~aju jedan argument jezgra postaje ve{ta~ka promenljiva, drugi postaje argument rezultata integracije. Teorema o srednjoj vrednosti }e tako|e biti potrebna u nekim delovima ove knjige. Linijski integrali su oni koji imaju krivu C za integracioni domen, i ozna~avaju se sa:

y=

∫ f dC .

(3.52)

C

Problem sa ovim integralima je u tome {to se mora na}i parametar koji se du` krive C monotono menja, kako bi bio iskori{}en kao ve{ta~ka promenljiva. Ako je C zatvorena kriva, integral se pi{e kao:

y=

∫ f dC .

(3.53)

C

Sli~no tome, povr{inski integrali imaju povr{ S

za domen integracije. Oni se

ako je S

zatvorena povr{. Zapreminski

ozna~avaju sa

∫∫ f dS ,

ili

S

∫∫ f dS S

integrali predstavljaju analognu situaciju. Jedna~ina koja povezuje povr{inski i zapreminski integral poznata je kao Gausova formula, i glasi:

∫∫ a⋅ n dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ a dB . S

(3.54)

B

U ovoj formuli a je proizvoljni vektor, S je povr{ tela B , a n je jedini~na normala na S . Gausova formula moè se napisati i u funkciji skalara P umesto vektora a . Neka je a = ∇P . Tada, koriste}i osobinu projektivnosti operatora ∇ (jedna~ina 46) dobijamo:

a ⋅ n = ∇P ⋅ n =

∂P , ∂n

(3.55)

i zamenom u Gausovu formulu rezultat glasi:

∂P

∫∫ ∂n dS = ∫∫∫∇ PdB . S

2

B

(3.56)

§ 3.2

Analiza

41

Razmatranje dve prizvoljne skalarne funkcije P i Q , primena Gausove formule na a = P∇Q i b = Q∇P , i oduzimanje druge od prve, daje Grinov drugi identitet:

⎛ P ∂Q Q ∂P ⎞ − ⎟ dS = ∂n ∂n ⎠

∫∫ ⎜⎝ S

∫∫∫ (P∇ Q − Q∇ P ) dB 2

2

(3.57)

B

i on vaì za bilo koje dve skalarne funkcije P i Q . êsto je potrebno zameniti ve{ta~ke promenljive u integralima. To se izvodi pomo}u slede}ih jednakosti:

∂x

∂x

f ( x ) d x = ∫ …∫ f ( x ( y )) d y = ∫ … ∫ g( y ) dy, ∫( … ∫ ∂ ∂ y y ) ( )

V x

( )

V x −1

V y

(3.58) gde je ∂ x ∂ y = det(∂ x ∂ y ) determinanta Jakobijan matrice [FLANDERS

AND

PRICE, 1978], V je zapremina po kojoj se integracija izvodi, a x −1 je funkcija inverzna funkciji x , tj. y = x −1 ( x ) . U fizi~kim naukama mnogo puta nije poznata funkcionalna veza izme|u dve veli~ine npr. x i y , pa se ~ak ne moè ni naslutiti. S druge strane, moè se formulisati veza izme|u diferencijala dx i dy . Ova veza zove se obi~na diferencijalna jedna~ina m -tog reda, u zavisnosti od najvi{eg ( m -tog) izvoda koji figuri{e u njoj. Uglavnom su najva`nije obi~ne diferencijalne jedna~ine drugog reda. Kada je obi~na diferencijalna jedna~ina m -tog reda formulisana, funkcionalna veza y = y ( x) traì se za x ∈ D ≡ a, b ⊂ R . Ona sadrì onoliko neodre|enih parametara koji se zovu konstante integracije, koliki je red obi~ne diferencijalne jedna~ine. Da bi se dobilo jedinstveno odnosno partikularno re{enje, m − 1 vrednosti funkcije y (ili njenih izvoda) mora biti poznato u intervalu a, b . To su obi~no po~etne vrednosti y (a), y ′(a), … ili grani~ne vrednosti y ( a ), y (b), … Stoga se govori ili o problemu po~etnih ili problemu grani~nih vrednosti. Ako je funkcija koja se traì vektorska funkcija skalarnog argumenta, vektorska diferencijalna jedna~ina moè se napisati kao sistem obi~nih diferencijalnih jedna~ina za svaku komponentu. Pomenu}emo jedan naro~it problem grani~nih vrednosti koji se zove [turmLujvijov. On se zasniva na slede}oj obi~noj diferencijalnoj jedna~ini:

42


(Ky ′)′ + (λρ − q ) y = 0 ,

§ 3.2

(3.59)

gde je K ( x) > 0, ρ ( x) ∈ 0, k , q( x) ≥ 0 na

a, b (i K , K ′ , q , ρ su neprekidni u

intervalu a, b ), a λ ∈ R nije specificirano. Grani~ne vrednosti su unapred date kao:

y (a ) = y (b ) = 0 .

(3.60)

Ovaj grani~ni problem ima partikularna re{enja samo za λ ≥ 0 , i ona se zovu sopstvene vrednosti problema. Partikularna re{enja koja odgovaraju pojedinim sopstvenim vrednostima zovu se sopstvene funkcije problema. Uvek postoji beskona~no mnogo sopstvenih vrednosti i sopstvenih problema. Potpuno re{enje [turm-Lujvijovog problema predstavlja linearna kombinacija ovih beskona~no mnogo sopstvenih funkcija. Razli~it izbor za K , ρ , q, a, b daje razli~ite sisteme sopstvenih vrednosti i sopstvenih funkcija. Leàndrove funkcije koje smo ve} pomenuli poti~u, na primer, od Leàndrove jedna~ine koja je specijalni slu~aj [turm-Lujvijovog problema za K ( x) = 1 − x 2 , ρ ( x) = 1, ρ ( x) = 0, D ≡ − 1, 1 . Za

K ( x) = ρ ( x) = 1, q( x) = 0 dobija se jedna~ina prostog harmonijskog kretanja. Specifikacija D ≡ ( −π , π ) ima za rezultat sistem sopstvenih vrednosti

λ = 0,1,4,9,16,…

i [GREENBERG, 1971].

sopstvenih

funkcija

{ cos λ x, sin λ x ; λ = 0,1,4, … }

Svi sistemi sopstvenih funkcija { φ n ; n = 1,2, … } su ortogonalni i sa teìnama W . To zna~i da je skalarni odnosno unutra{nji prizvod φ n i φ s jednak nuli za n ≠ s , ili formalno:

⎧0, ∫W (x )φ (x )φ (x ) dx = ⎨⎩ φ n

n ≠ s, 2

s

D

∫W (x )φ (x ) dx

gde se izraz φ n =

2 n

n

, n = s,

(3.61)

zove norma funkcije φ n . Svaka funkcija

D

f ∈ { D → R } moè se razviti u red sopstvenih funkcija kao: f (x ) =

∞

∑ c φ (x ) , n n

n =0

(3.62)

§ 3.2

Analiza

43

gde su:

cn = φ n

−1

∫ W (x )φ (x ) f (x ) dx . n

(3.63)

D

Primer predstavlja razvoj u Furijeov trigonometrijski red sa trigonometrijskim sopstvenim funkcijama koje smo ve} pomenuli. Redovi sopstvenih funkcija ponekad se zovu uop{teni Furijeovi redovi. Jasno je da red (50) predstavlja tako|e red sopstvenih funkcija sa generatorskom funkcijom (49) u kojoj je cn = p n . Kada su u pitanju funkcije vi{e promenljivih, formulacija diferencijalnih veza vodi pojmu parcijalnih diferencijalnih jedna~ina. U njihovom postavljanju, veliku ulogu ima vektorska analiza. Na primer, KOCHIN [1961] je pokazao da je vektorsko polje

f ∈ { R → R 3 } potpuno odre|eno ako su poznati njegov rotor i divergencija. U ovom kontekstu te dve diferencijalne operacije mogu se posmatrati kao ~etiri parcijalne diferencijalne jedna~ine prvog reda za f . Kao drugi primer navedimo:

∇ 2 f (r ) = g (r )

(3.64)

{to predstavlja nehomogenu parcijalnu diferencijalnu jedna~inu za skalarno polje

f ∈ { R n → R }, i koja se zove Puasonova jedna~ina. Kada je g ( r ) = 0 , rezultuju}a homogena jedna~ina zove se Laplasova. Ovo su dve najva`nije parcijalne diferencijalne jedna~ine koje se koriste u geodeziji. Re{enje Laplasove jedna~ine je harmonijska funkcija i ona ima mnoga korisna svojstva [MACMILLAN, 1930]. Kao i u slu~aju obi~nih diferencijalnih jedna~ina, za jedinstveno re{enje parcijalnih diferencijalnih jedna~ina potrebno je poznavati vrednosti èljenog re{enja f na granici S domena B . Ponovo se dakle radi o problemu grani~nih vrednosti. U slu~aju Laplasove jedna~ine to je Dirihleov problem grani~nih vrednosti. Ono ima jedinstveno re{enje f ako je S dovoljno glatka povr{ [LANDKOF, 1972]. U nekim slu~ajevima vrednosti f na granici S nisu poznata. Umesto toga poznate su vrednosti normalnih izvoda funkcije f (izvodi po normali na S ). Tada se radi o Nojmanovom problemu grani~nih vrednosti. Ponekad ~ak ni ove vrednosti nisu poznate ali se mogu formulisati njihove linearne kombinacije za povr{ S . To je onda grani~ni problem me{ovitog tipa.

44


§ 3.3

Mnogobrojni su na~ini re{avanja grani~nih problema u n dimenzija, ali se obi~no samo tri koriste u geodeziji. Prvi, metod razdvajanja promenljivih, zasniva se na ideji da se traèna funkcija izrazi kao proizvod n nezavisnih funkcija jedne promenljive. Ovakva zamena transformi{e parcijalnu diferencijalnu jedna~inu u sistem od n obi~nih diferencijalnih jedna~ina. A ako su ove jo{ i [turm-Lujvijevog tipa, onda je proizvod sistema njihovih sopstvenih funkcija, sistem sopstvenih funkcija (vi{e promenljivih) za parcijalnu diferencijalnu jedna~inu. Tada se re{enje grani~nog problema dobija kao ona linearna kombinacija sopstvenih funkcija koja zadovoljava grani~ne vrednosti. Ta linearna kombinacija je prosto razvoj grani~nih vrednosti u red sopstvenih funkcija (vi{e promenljivih), kao {to smo to ve} videli u jednodimenzionalnom slu~aju, pa se govori o Furijeovoj metodi [WYLIE, 1966]. Drugi metod je poznat kao Grinov. Ideja se sastoji u tome da se na|e jezgro, nazvano Grinova funkcija, koje u konvoluciji sa grani~nim vrednostima na S daje èljeno re{enje. Oblik Grinove funkcije zavisi od oblika povr{i S i ~esto ga je te{ko na}i [GREENBERG, 1971]. Poslednja tehnika zasniva se na Grinovoj formuli (54) pomo}u koje se grani~ni problem transformi{e u integralnu jedna~inu [HOHEISEL AND TROPPER, 1963]. Od ezultata ove transformacije, u ovoj knjizi pominjemo samo Fredholmove linearne integralne jedna~ine [JASWON AND SYMM, 1977]:

f (r ) + k K (r , r ′) f (r ′) dS = g (r ) .

∫

(3.65)

S

One se obi~no re{avaju diskretnom aproksimacijom kojom se problem svodi na re{avanje sistema linearnih algebarskih jedna~ina (vidi podpoglavlje 3.1). 3.3. Geometrija Pod ovim donekle uop{tenim naslovom bi}e razra|ene dve {ire matemati~ke teme bliske geodeziji: geometrijski tretman razli~itih vrsta koordinatnih sistema i diferencijalna geometrija. Sa metodolo{ke ta~ke gledi{ta, geodezija je prosto primenjena geometrija, tako da geodeta zaista mora koristiti sva oru|a koja geometrija moè pruìti. Navedene dve teme izabrane su samo zato {to se najvi{e koriste. Kada se govori o geometrijskom pristupu koordinatnim sistemima i njihovim transformacijama, korisno je zapo~eti sa pojmom trodimenzionalnih prostora E3 u klasi~nom Euklidskom smislu. U takvim prostorima mogu}e je, i obi~no poèljno, definisati kartezijanski koordinatni sistem, tj. ortonormalni sistem (sa istom razmerom du` sve tri ose) sa koordinatama kao segmentima koordinatnih osa u oznaci ( x, y , z ) ili ( x1 , x 2 , x3 ) . Kori{}enjem koordinatnog sistema, poloàj ta~ke

§ 3.3

Geometrija

45

P u prostoru E3 odre|en je pridruìvanjem realnih brojeva veli~inama x, y i z . Takva trojka brojeva zove se vektor poloàja ili radijus vektor ta~ke P , i ozna~ava se sa r = ( x, y, z ) . Prema tome r tako|e ozna~ava i ta~ku u E3 . Jasno je da je r samo specijalan slu~aj r iz podpoglavlja 3.1 i 3.2. Duìna izme|u dve ta~ke r1 ,r2 u

E3 meri se uobi~ajenom Euklidskom metrikom:

ρ ( r1 ,r2 ) =

( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 ) 2

2

2

.

(3.66)

Koordinate r u jednom kartezijanskom sistemu mogu se transformisati u drugi kartezijanski sistem razli~itog po~etka i orijentacije, ali iste polarnosti, pomo}u slede}eg izraza:

r ′ = R (ω1 ,ω 2 ,ω3 ) r + r0′ .

(3.67)

Ovde r0′ ozna~ava vektor poloàja po~etka prvog sistema u drugom, i zove se vektor translacije. Matrica rotacije R rotira prvi sistem u drugi oko osa prvog, i to za uglove ω1 ,ω 2 i ω 3 . Ona se ~esto pi{e kao:

R(ω1 , ω 2 , ω 3 ) = R1 (ω1 ) R2 (ω 2 ) R3 (ω 3 ) ,

(3.68)

gde su:

0 ⎡1 ⎢ R1 (ω 1 ) = ⎢0 cos ω1 ⎢⎣0 − sin ω1 ⎡ cos ω 3 ⎢ R3 (ω 3 ) = ⎢− sin ω 3 ⎢⎣ 0

⎤ ⎡cos ω 2 ⎥ ⎢ sin ω1 ⎥ , R2 (ω 2 ) = ⎢ 0 ⎢⎣ sin ω 2 cos ω1 ⎥⎦ 0

sin ω 3 cos ω 3 0

0⎤ ⎥ 0⎥ , 1⎥⎦

0 − sin ω 2 ⎤ ⎥ 1 0 ⎥, 0 cos ω 2 ⎥⎦

(3.69)

osnovne matrice rotacija koje opisuju rotaciju oko osa x, y i z , respektivno. One su ortogonalne matrice, pa imamo Ri−1 (ω i ) = RiT (ω i ) = Ri (−ω i ) , a transformacija inverzna transformaciji (67) glasi:

r = R3 ( −ω3 ) R2 ( −ω 2 ) R1 ( −ω1 ) ( r ′ − r0′ ) .

(3.70)

46


§ 3.3

Ako je polarnost dva sistema razli~ita, koristi se matrica polarnosti P2 :

⎡1 0 0⎤ ⎥ ⎢ P2 = ⎢0 − 1 0⎥ , ⎢⎣0 0 1⎥⎦

(3.71)

da se njome respektivno izmnoè r i r ′ − r0′ [THOMPSON, 1969]. Mora se ista}i da matrice rotacija nisu komutativne. Me|utim, lako ih je povezati kada je nekoliko sistema uklju~eno u transformaciju. One su asocijativne i mogu se grafi~ki prikazati u komutativnim dijagramima. Matrice rotacija su takodje prirodno oru|e za re{avanje problema sferne trigonometrije. Krivolinijske koordinate (q1 , q 2 , q 3 ) izvode se iz kartezijanskih pomo}u:

q i = qi (x, y , z ), i = 1,2,3 .

(3.72)

pri ~emu se zahteva da vaè i inverzne formule. Jedna~ine (72) mogu biti bez parametara, ili imati jedan ili vi{e parametara. Primer neparametarskog koordinatnog sistema je sistem sfernih koordinata. Jednoparametarski elipsiodni sistem sa parametrom kojeg predstavlja ì`na daljina E prikazan je na slici 20.4, a dvoparametarski geodetski elipsoidni sistem sa parametrima koje predstavljaju veli~ina i oblik elipsoida, i geodetskom {irinom φ i geodetskom duìnom λ kao koordinatama, prikazan je na slici 7.4. Ako nekoliko krivolinijskih sistema ima zajedni~ki po~etak i iste pravce osa, onda se ovi sistemi zovu familija koordinatnih sistema. Svakoj familiji moè se pridruìti jedan kartezijanski sistem. Ako je potrebna transformacija iz krivolinijskog sistema jedne familije u krivolinijski sistem druge familije, tada se ta transformacija izvodi preko odgovaraju}ih kartezijanskih sistema pomo}u (67) i (70). Za transformaciju u okviru jedne familije mogu biti upotrebljene jedna~ine (72) i njihove inverzije. U tu svrhu vr{i se njihova linearizacija kori{}enjem Tajlorovih redova, ako naravno moè da se dokaè validnost transformacionih formula u okolini ta~ke razvoja (vidi podpoglavlje 3.2). Onda transformacija x → q postaje lokalno linearna i ponovo se izvodi uz pomo} Jakobijan matrice. Ako Jakobijan matrica ima ortogonalne kolone, q sistem je lokalno ortonormalan. U tom slu~aju inverzna linearna transformacija izvodi se prosto transponovanom Jakobijan matricom. Pomenute rotacije, refleksije i translacije predstavljaju globalne ortogonalne transformacije, a prve dve su jo{ i linearne.

§ 3.3

Geometrija

47

Prostorna kriva moè se opisati na vi{e na~ina od kojih je najjednostavniji:

r = r ( S ) = ( x ( S ) , y ( S ) , z ( S )) ,

(3.73)

gde je S skalarni parametar krive, obi~no duìna luka. êsto se kriva moè formulisati samo u obliku vektorske diferencijalne jedna~ine kao {to je:

f1 (r )

d2r dr + f 2 (r ) = f 3 (r ) , 2 dS dS

(3.74)

ili u obliku diferencijalne jedna~ine projekcija r (S ) na koordinatne ravni:

dx dy dz = = f x (r ) f y (r ) f z (r )

za

f x (r ) ⋅ f y (r ) ⋅ f z (r ) ≠ 0 .

(3.75)

U ovom slu~aju, svaka jednakost predstavlja krivu u dve dimenzije npr. y = y (x) , koje se onda interpretiraju kao cilindri u tri dimenzije. Na sli~an na~in se kriva moè definisati kao presek dve povr{i z = z1 ( x, y ) i z = z 2 ( x, y ) (vidi jedna~inu (81)). Napomenimo uzgred da prostorne krive imaju i krivinu i torziju. Krivina se ra~una u oskulatornoj ravni definisanoj sa tri beskona~no bliske ta~ke krive. Torzija je definisana kao krivina u rektifikacionoj ravni, tj. ravni koja stoji pod pravim uglom i na oskulatornu i na normalnu ravan. Krivina κ i torzija τ povezane su Freneovim jedna~inama:

dt =κ n, dS

dn = −κ t + τ b , dS

db = −τ n , dS

(3.76)

u kojima su t , n , b jedini~ni vektori tangente, normale i binormale [PROTTER AND MORREY, 1973]. Po{to je:

t =

dr , dS

(3.77)

to zna~i da je krivina povezana sa drugim izvodom od r . Ovo je jo{ o~iglednije u izrazu za krivinu krive u ravni y = y (x) :

48


(

κ = y ′′ 1 + ( y ′)2

)

−3 2

.

§ 3.3

(3.78)

Polupre~nik krivine je inverzija od κ , i moè se napisati kao:

dS , dα

R = κ −1 =

(3.79)

gde dα ozna~ava promenu pravca normalnog vektora, koji odgovara promeni dS . Povr{ u trodimenzionalnom prostoru tako|e moè biti izraèna na nekoliko na~ina. U geodeziji se najvi{e koristi implicitna formula:

W ( r ) = W ( x ,y , z ) = 0 .

(3.80)

Eksplicitni izraz:

z = z ( x, y )

(3.81)

retko se koristi, osim kada je povr{ prikazana uop{tenim dvodimenzionalnim polinomom (jedna~ina (62)):

z ( x, y ) =

N

~ ∑ c φ ( x, y ) = Φ ( x, y ) c , n n

T

(3.82)

n=0

~

u kojem je Φ( x, y ) jedna od kolona Vandermondove matrice (jedna~ina (4)). Napomenimo i to da se eksplicitni oblik za ravan (81) uvek moè napisati u linearnom obliku:

z ( x, y ) =

∂z ∂z x+ y + const. ∂x ∂y

(3.83)

Veoma popularna u geodeziji je upotreba koordinatnih povr{i tj.

qi = const. ,

(3.84)

koje se nazivaju datumima za razli~ite namene. Jedan takav datum moè biti sfera ( r = a ) u sfernom koordinatnom sistemu, ili elipsoid ( h = 0 ) u ve} pomenutom geodetskom elipsoidnom sistemu.

§ 3.3

Geometrija

49

U op{tem slu~aju povr{ ima u nekoj ta~ki krivinu koja je razli~ita u razli~itim pravcima. Normalna ravan koja sadrì normalu na povr{ u ta~ki P , istovremeno je i oskulatorna ravan normalnog preseka kojeg pravi. Krivina normalnog preseka ustvari defini{e krivinu povr{i u ta~ki P i u pravcu normalne ravni. Ova veza me|utim u op{tem slu~aju vaì samo u ta~ki P . Kriva za koju ovo vaì svuda je geodetska linija. Geodetska linija nema krivinu u tangentnoj ravni. Ona je lokalno prava na povr{i. Geodetska linija ima jo{ jedno izuzetno svojstvo. To je ona kriva ~ C koja jedina predstavlja najkra}e rastojanje izme|u dve ta~ke na obi~noj povr{i S . Po definiciji je:

~ min dS ⇒ C ,

∫

(3.85)

C

gde je

∫ dS

(vidi jedna~inu (52)) naravno duìna krive C izme|u dve fiksne ta~ke

C

na S [SYNGE AND SCHILD, 1949]. Uzmimo sada tangentnu ravan povr{i S u ta~ki P , i nanesimo duìne polupre~nika krivina u razli~itim pravcima. U bilo kojoj regularnoj ta~ki na povr{i S , tako dobijen oblik bi}e u op{tem slu~aju elipsa. U nekim slu~ajevima bi}e kru`nica, hiperbola ili par paralelnih linija (za ta~ke na linearnim povr{inama). Ova figura se zove Dipenova indikatrisa, i ona sluì za razlikovanje elipti~kih, kru`nih i hiperboli~kih ta~aka na povr{i S . Njen oblik je onaj koji bismo dobili kada bi povr{ S presekli sa jednom ravni paralelnom tangentnoj, i od nje udaljene beskona~no malo. U bliskoj vezi je i Tisoova indikatrisa, koja se mnogo koristi u teoriji raznih projekcija (vidi podpoglavlje 16.3). Tisoova indikatrisa zadata je kvadratnom formom (jedna~ina (28)):

uTGu = const. , gde je u = (u1 , u 2 ) T

(3.86)

dvodimenzionalni vektor u tangentnoj ravni, ~ije su

komponente zadate parametrima u1 i u 2 na povr{i S . Oblik indikatrise isklju~ivo odre|uje matrica G ,

⎡e G=⎢ ⎣f

f⎤ ⎥, g⎦

sastavljena od Gausovih fundamentalnih veli~ina. One se odre|uju kao:

(3.87)

50

§ 3.4

MATEMATIKA I GEODEZIJA 2

2

∂r ∂r f = , ⋅ ∂u1 ∂u 2

∂r , e= ∂u1

∂r , g= ∂u 2

(3.88)

gde je r = r (u1 ,u2 ) jedna~ina povr{i S u formi dva parametra u1 i u 2 . Ako ozna~imo sa Rmin , Rmax minimalni i maksimalni polupre~nik krivine koji su ina~e u pravcima α min ,α max sopstvenih vektora Dipenove indikatrise, tada se polupre~nik krivine u pravcu α dobija Ojlerovom formulom [MCCONNEL, 1931]:

1 cos 2α sin 2α =± ± . Rα Rmin Rmax

(3.89)

Ako je polupre~nik krivine normalnog preseka R , tada je polupre~nik krivine R(θ ) preseka dobijenog pomo}u ravni koja je u odnosu na normalnu ravan nagnuta za ugao θ jednak:

R (θ ) = R cosθ

(3.90)

i ovaj izraz predstavlja Menjijeovu teoremu. 3.4. Statistika Niz N realnih brojeva li , obi~no dobijenih kao rezultat nekih merenja, zove se slu~ajni uzorak. Ovi se brojevi mogu grupisati prema svojoj veli~ini, i na taj na~in dobiti histogram ili poligon (vidi sliku 13.1). Empirijska sredina je data sa:

l=

1 N

N

∑

li =

i =1

M

~

∑ pr l

j j

,

(3.91)

j =1

a empirijska varijansa sa:

s2 =

1 N −1

∑ (l N

i =1

i

−l

) = ∑ pr (~l − l ) 2

M

j

j =1

j

2

,

(3.92)

§ 3.4

Statistika

51

gde su pr j = n j / N , j = 1, … , M ≤ N relativni brojevi elemenata u M grupa, a

~ l j su grupne vrednosti [WONNACOTT AND WONNACOTT, 1972]. Verovatno}a pr j

se tako|e moè posmatrati i kao eksperimentalna verovatno}a da }e li biti u grupi

j . Uzorci sa manjim s 2 , i samim tim manjom standardnom devijacijom s , ozna~avaju se kao ta~niji. Ne}emo praviti posebnu razliku izme|u ta~nosti i preciznosti jer je to stvar prisustva sistematskih gre{aka koje }e biti samo dotaknute u podpoglavlju 13.1. Veli~ina s l zove se relativna ta~nost. Stohasti~ka (slu~ajna) promenljiva l je promenljiva iz skupa R , takva da je svakoj vrednosti l ∈ R pridruèn nenegativni broj φ (l ) . Realna funkcija

φ ∈ { R → 0, ∞) } zove se funkcija gustine verovatno}e promenljive l . Uobi~ajeno je da funkcija gustine verovatno}e sadrì nekoliko parametara raspodele

θ1(l ) ,θ 2(l ) ,… ∈ R , pa se govori o jednoparametarskim, dvoparametarskim ili

vi{eparametarskim funkcijama gustine verovatno}e. Ovu funkciju ozna~ava}emo sa φ (ξ ;θ (l ) ,θ (l ) , …) , ili sa φ (ξ ) , φ ili ~ak i sa φ (l ) ako ne postoji opasnost od l

1

l

2

l

zabune. Normalna, ravnomerna, χ 2 (hi-kvadrat) funkcija gustine verovatno}e su neki od dobro poznatih primera. Funkcija slu~ajne promenljive je tako|e slu~ajna promenljiva, ali sa, u op{tem slu~aju, razli~itom funkcijom gustine verovatno}e. Realni brojevi:

(

)

(3.93)

(

)

(3.94)

µ l = ∫ φl ξ ; θ1(l ) , θ 2(l ) ,… ξ dξ , R

σ l2 = ∫ φl ξ ; θ1(l ) , θ 2(l ) ,… (ξ − µ l )2 dξ , R

zovu se srednja vrednost i varijansa funkcije gustine verovatno}e. O~igledno je da postoji sli~nost izme|u (91) i (93), kao i izme|u (92) i (94). Funkcija gustine verovatno}e koristi se za odre|ivanje vrednosti verovatno}e u iskazima verovatno}e kao {to je npr. pitanje koja je verovatno}a da l bude izme|u a i b . Odgovor je: b

pr (a < l < b ) = φ l (ξ ) dξ .

∫ a

Iz ove jedna~ine vidi se da uslov:

(3.95)

52


∫ φ (ξ ) dξ = 1

§ 3.4

(3.96)

l

R

mora biti zadovoljen za svaku funkciju verovatno}e. Stohasti~ka (slu~ajna) vi{edimenzionalna promenljiva l ∈ R n predstavlja direktno uop{tenje slu~ajne jednodimenzionalne promenljive u n dimenzija. Njena funkcija gustine verovatno}e φ ∈ { R

n

→ 0 , ∞) }, je funkcija n promenljivih i moè se

napisati u obliku φ l ( ξ ; θ1(l ) , θ 2(l ) , …) . Parametri raspodele su i sami vi{edimenzionalne veli~ine. Srednja vrednost vi{edimenzionalne funkcije gustine verovatno}e promenljive l data je sa (vidi jedna~inu (93)):

µl =

∫ φ (ξ ; θ l

R

(l )

1

)

, θ 2(l ) , … ξ d ξ .

(3.97)

n

Kada se posmatraju dve komponente li , l j promenljive l , moè se govoriti o njihovoj statisti~koj zavisnosti ili nezavisnosti [WONNACOTT AND WONNACOTT, 1972]. Statisti~ka zavisnost razli~itog stepena, unutra{nje je svojstvo promenljive l , i ima korene u prirodi ili na~inu izbora odnosno prikupljanja njenih komponenti. Dublji uvid u prirodu statisti~ke zavisnosti dat je u podpoglavlju 10.3. Operator matemati~kog o~ekivanja je operator koji se primenjuje nad funkcijom slu~ajne vi{edimenzionalne (uklju~uju}i i jednodimenzionalne) promenljive, i to na slede}i na~in:

E( f (l )) =

∫ φ (ξ ; θ l

R

(l )

1

)

, θ 2(l ) , … f (ξ ) d ξ ∈ R m .

(3.98)

n

Primetimo da dimenzionalnost ( m ) funkcije ne mora odgovarati dimenzionalnosti ( n ) vi{edimenzionalne promenljive. Uloga φ l u operatoru matemati~kog o~ekivanja je uloga parametarske funkcije. Koriste}i operator matemati~kog o~ekivanja, jedna~ine (93), (94) i (97) mogu se ponovo napisati u obliku:

µl = E(l ) ,

[

]

σ l2 = E (l − µ l ) 2 ,

µ l = E (l ) .

Matemati~ko o~ekivanje dijadi~ke matrice ( l − µ l )(l − µ l ) T , tj.:

(3.99)

§ 3.4

Statistika

[

C l = E (l − µ l )(l − µ l )

T

53

],

(3.100)

zove se kovarijaciona matrica promenljive l , i verovatno je najva`nija veli~ina u vi{edimenzionalnoj statistici koja se koristi u geodeziji. Koriste}i oznake (jedna~ina (99)):

[

σ i2 = E (l i − µ l ,i ) 2

],

(3.101)

i analogno tome:

[

σ ij = σ ji = E (l i − µ l ,i ) (l j − µ l , j )

],

(3.102)

kovarijaciona matrica moè se napisati kao:

⎡ σ 12 σ 12 ⎢ σ σ 22 C l = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣⎢σ n1 σ n 2

σ 1n ⎤ ⎥ σ 2n ⎥ ⎥ ⎥ 2 σ n ⎦⎥

.

(3.103)

Prirodno je zvati veli~ine definisane sa (101) varijansama komponenti promenljive l , a one definisane sa (102) kovarijansama. Kovarijanse σ ij predstavljaju odre|enu meru statisti~ke zavisnosti izme|u li i l j . Ako su li i l j statisti~ki nezavisne onda je σ ij = 0 . U suprotnom one su obi~no, ali ne uvek, statisti~ki zavisne [HOGG AND CRAIG, 1970]. êsto u praksi nije poznat stepen statisti~ke zavisnosti dve komponente li , l j slu~ajne vi{edimenzionalne promenljive, pa ga je potrebno oceniti iz odgovaraju}ih uzoraka (vidi podpoglavlje 13.1). Taj postupak je poznat kao odre|ivanje stepena korelacije. On nije kori{}en nigde u ovoj knjizi, ali napomenimo da se termin koeficijent korelacije odnosi na izraz:

ρ ij = σ ij (σ iσ j ) .

(3.104)

Operator E je linearan po pojedinim komponentama promenljive l , tj.:

(

)

( )

E li + l j = E(li ) + E l j .

(3.105)

54


§ 3.4

On je tako|e i komutativan obzirom na mnoènje sa konstantnom (neslu~ajnom) matricom, pa prema tome i vektorom pa ~ak i skalarom:

i

E[Kf (l )] = K E[ f (l )] ,

(3.106)

E(K ) = K .

(3.107)

Postoje i algebarska pravila za iskaze verovatno}e, sli~na onima za matemati~ka o~ekivanja [FREUND, 1971]. Ako sa ei ozna~imo doga|aje ~ije se verovatno}e pojava traè, kao npr. e ≡ a < l < b u jedna~ini (95), tada za zasebne ei vaì:

pr

∪ e = ∑ pr(e ) . i

(3.108)

i

i

i

U slu~aju doga|aja koji su statisti~ki nezavisni, verovatno}a istovremenog pojavljivanja iznosi:

pr

∩ e = ∏ pr(e ) . i

(3.109)

i

i

i

Uslovna verovatno}a pr(ei e j ) pojave doga|aja ei , pod uslovom da se doga|aj e j ve} pojavio, je:

(

)

(

) ( )

pr ei e j = pr ei i e j pr e j , i ima smisla samo ako je pr(e j ) ≠ 0 .

(3.110)

POGLAVLJE 4

STRUKTURA GEODEZIJE

U prethodna tri poglavlja bilo je mnogo govora o geodeziji, ali sve do sada niti smo je strogo definisali niti ~ak eksplicitno razgrani~ili njen domen. Poglavlje 1 je upravo tome posve}eno. U tom kontekstu prodiskutovana je i razlika izme|u klasi~nog i na{eg prilaza geodeziji. Drugo i tre}e podpoglavlje opisuje geodetsku teoriju i praksu, kao i me|unarodne organizacije koje okupljaju geodetske nau~nike i inènjere. Poslednje podpoglavlje bavi se geodetskom profesijom, njenim slojevima i obrazovanjem pojedinih nivoa geodeta. Ono tako|e razmatra i odnos izme|u geodezije i premera, a naro~ito ulogu koju geodezija igra u obrazovanju inènjera i tehni~ara. 4.1. Funkcije geodezije Do pre par decenija, geodezija je bila ograni~ena slede}om definicijom [HELMERT, 1880]: ″Geodezija je nauka merenja i predstavljanja Zemljine povr{i″. Onda su ljudi koji se bave geodezijom po~eli shvatati da ova definicija vi{e ne reflektuje u potpunosti ulogu koju ima savremena geodezija, i po~eli tragati za novom. Ovo istraìvanje je kulminiralo u novoj definiciji geodezije, prihva}enoj od strane Nacionalnog istraìva~kog ve}a Kanade (NRC), i koju ovde citiramo [ASSOCIATE COMMITTEE ON GEODESY AND GEOPHISICS, 1973]: Geodezija je disciplina koja se bavi merenjima i predstavljanjem Zemlje, uklju~uju}i i njeno gravitaciono polje, u trodimenzionalnom prostoru koji se menja sa vremenom. Na sastanku komisije za obrazovanje Me|unarodne geodetske asocijacije, odrànom u Grenoblu 1975. godine (vidi podpoglavlje 4.2), prihva}ena je gotovo identi~na definicija, uz dodatak i drugih nebeskih tela i njihovih gravitacionih polja [RINNER, 1979]. Kao {to je to slu~aj sa ve}inom nau~nih disciplina, i geodezija je podeljena na poddiscipline. Klasi~ne poddiscipline su geometrijska geodezija, fizi~ka geodezija, 55

56

STRUKTURA GEODEZIJE

§ 4.1

matemati~ka geodezija, dinami~ka geodezija. U poslednjih 30 godina nove tehnologije i primene izrodile su jo{ nekoliko ″geodezija″, na primer satelitsku geodeziju, inercijalnu geodeziju, marinsku geodeziju, kosmi~ku geodeziju, pa ~ak i horizontalnu i vertikalnu geodeziju. Previ{e geodezija da bi se sa njima moglo ìveti! Iako neki od ovih termina zvu~e logi~no, drugi su sasvim besmisleni. Jesmo li spremni da odre|ivanje koordinata teodolitom nazivamo ″teodolitskom geodezijom″? Ako prihvatimo vertikalnu geodeziju za{to ne bismo i ″kosu geodeziju″? Ho}e li se ″planinska geodezija″ baviti planinama, a ″ravni~arska geodezija″ ostatkom kopnenog dela Zemlje? Verujemo da je sindrom previ{e ″geodezija″ delimi~no odgovoran za nezahvalnost same discipline. [tavi{e, ne moèmo se oteti utisku da su same geodete najodgovornije za ovako àlosno stanje stvari, pre svega zato {to stalno promovi{u nove termine. Bilo kako bilo, ostaje ~injenica da je u nekim delovima sveta i od strane nekih ljudi geodezija mistifikovana, dok je u drugim delovima i od strane drugih ljudi predstavljena gotovo neva`nom. Nijedan od ovih ekstremnih stavova nije ispravan. Ube|eni smo da recept za ovakvu situaciju leì u funkcionalizaciji geodezije. Ona se moè izvesti sasvim prirodno ako se bliè pogleda definicija geodezije. Rezultat razdvajanja tri glavne funkcije geodezije predstavljaju slede}e tri poddiscipline [VANI~EK AND KRAKIWSKY, 1978]: (a) pozicioniranje, (b) Zemljino gravitaciono polje, i (c) vremenske promene (kako poloàja, tako i gravitacionog polja). Jasno je da u ovakvoj funkcionalnoj podeli geodezije nema mesta ni za kakve ve{ta~ki definisane ″geodezije″. To je na~in na koji je geodezija prikazana u ovoj knjizi. Pozicioniranje, odnosno odre|ivanje poloàja ta~aka, geodetski je zadatak koji zbog razloga obja{njenih u podpoglavlju 2.1, ve}ina ljudi najbolje razume. Ta~ke se mogu pozicionirati pojedina~no ili kao deo ~itave mreè ta~aka. Poloàji mogu biti apsolutni (u odnosu na koordinatni sistem) ili relativni (u odnosu na druge ta~ke). Koncepti koji se odnose na pozicioniranje obja{njeni su u delu IV ove knjige. Razlozi zbog kojih geodete izu~avaju geometriju Zemljinog gravitacionog polja pomenuti su u podpoglavlju 2.2, ali }emo ih objasniti malo detaljnije. Poznavanje geometrije gravitacionog polja potrebno je za transformaciju geodetskih opaànja izvedenih u fizi~kom prostoru (u kojem vlada gravitacija), u geometrijski prostor u kojem se obi~no defini{u poloàji. Osim toga, oblik ekvipotencijanih povr{i i pravci vertikala neophodni su u projektima koji se odnose na fizi~ko okruènje (npr.

§ 4.2

Geodetska teorija

57

vodeni tokovi). Metode istraìvanja i odre|ivanja gravitacionog polja Zemlje prikazani su u delu V ove knjige.

Vremenske promene poloàja i gravitacionog polja posledica su deformacija Zemlje (i njenog gravitacionog polja), kojima se mogu pripisati brojni uzroci. U geodeziji je neva`no da li je pomeranja uzrokovala Zemljina plima, optere}enje i rastere}enje Zemljine kore, tektonske sile ili drugi, mo`da i sasvim nepoznati fenomeni. Istraìvanje ovih uzroka s pravom pripada geofizici, ali geometrijski aspekti spadaju u domen geodezije. Ova poddisciplina tretirana je u delu VI ove knjige. I drugi su funkcionalizovali geodeziju na na~in sli~an opisanom. Na primer, U.S. COMMITTEE ON GEODESY [1978] isti~e, kao najva`nije, slede}e zadatke geodezije: 1.

Uspostavljanje i odràvanje nacionalnih i globalnih trodimenzionalnih geodetskih mreà uzimaju}i u obzir njihove promene tokom vremena. 2. Merenje i predstavljanje geodinami~kih fenomena (pomeranje polova, Zemljina plima, pomeranje Zemljine kore). 3. Odre|ivanje Zemljinog gravitacionog polja, uklju~uju}i i njegove vremenske promene. 4.2. Geodetska teorija Da bi ostvarila sve svoje ciljeve, geodezija mora obuhvatiti ~itav spektar aktivnosti, od ~isto teorijskog aspekta potrebnog za postavljanje teorijskih temelja geodetskih metoda, pa sve do terenskog prikupljanja podataka. Shodno tome, postoje geodete specijalizovane u geodetskoj teoriji, kao i oni koji se bave geodetskom praksom. Praksa uklju~uje oblasti kao {to su kontrolni premer ili gravimetrija. Naravno, linija razdvajanja nije o{tra, i ne dozvoljava neku ~vrstu klasifikaciju. Me|utim, odre|ena uop{tenja su ipak mogu}a. Globalna priroda geodezije name}e potrebu teorijskog rada ili na univerzitetima ili u okviru dràvnih institucija. Svega nekoliko privatnih instituta na{lo je da je rad na geodetskom istraìvanju ekonomski opravdan. Uobi~ajeno je da se geodetska teorija i praksa kombinuju u okviru iste institucije, mada postoje i specijalizovani geodetski istraìva~ki instituti. Veliki deo geodetskog istraìvanja obavlja se i u okviru prostornih nauka, geofizike, okeanografije i sli~no. Za geodetsku teoriju od velikog je zna~aja me|unarodna nau~na komunikacija. Komunikacioni kanali obezbe|eni su i formalizovani kroz Me|unarodno ve}e

58

STRUKTURA GEODEZIJE

§ 4.2

nau~nih unija organizacije UNESCO. Me|unarodne organizacije koje su na ~elu komunikacionih kanala prikazane su na slici 1, prema THE WORLD OF LEARNING 1981-82 [1981]. Organizacija direktno odgovorna za geodeziju je Me|unarodna geodetska asocijacija (IAG) [INTERNATIONAL UNION OF GEODESY AND GEOPHYSICS (IUGG), 1978]. Druge me|unarodne organizacije tako|e imaju interesa za geodeziju, ali kako je taj interes vi{e po inènjerskoj i tehnolo{koj liniji, ove organizacije bi}e predstavljene u slede}em podpoglavlju. IAG se sastaje svake ~etiri godine, i to obi~no zajedno sa ostalih {est IUGG asocijacija, kako bi u formi nau~nog simpozijuma prodiskutovala i donela rezolucije koje onda predstavljaju preporuke zemljama ~lanicama. Asocijacija je podeljena na nekoliko komisija, studijskih grupa, biroa i centara, koji se formiraju da bi se bavili aktuelnim problemima, i kao takvi menjaju se s vremena na vreme.

SLIKA 4.1. Me|unarodna organizacija geodezije.

§ 4.3

Geodetska praksa

59

Svaka od 61 zemlje ~lanice (stanje 1981. godine), daje jednog delegata za IAG. Ove delegate obi~no predlaù nacionalna stru~na i obrazovna udruènja, a biraju Akademije nauka ili sli~ne nacionalne institucije. Svaki delegat predstavlja jedan glas u ve}u IAG. Da bi se me|usobno informisale o geodetskim dostignu}ima i aktivnostima, zemlje ~lanice dostavljaju IAG ~etvorogodi{nje izve{taje, i to obi~no prilikom zasedanja IUGG. IAG izdaje tromese~no nau~ni ~asopis Bulletin Geodesique, i u~estvuje u objavljivanju IUGG dvomese~nog ~asopisa administrativnog karaktera - IUGG Chronical. Pored ovih, postoji mno{tvo nacionalnih i me|unarodnih ~asopisa koji u potpunosti ili delimi~no obra|uju geodetsku materiju. 4.3. Geodetska praksa Iz ve} opisanih razloga, geodetska praksa je u pojedinim dràvama uglavnom okrenuta potrebama izrade planova i karata. êsto se ovakva orijentacija odraàva na organizacionu strukturu geodezije, {to ima za posledicu da se ostale komponente geodetskih radova izvode pod vo|stvom drugih profesionalnih institucija. Iz istih razloga, geodetska praksa pojedinih zemalja skoro je u potpunosti u rukama vojske. Dok je u nekim slu~ajevima to prednost, u mnogim drugim predstavlja stagniranje struke, naro~ito ako se geodetske aktivnosti svedu samo na poslove vezane za izradu vojnih karata. Geodetska praksa po svojoj prirodi ne zahteva samo geodetske profesionalce nau~nike i inènjere - ve} tako|e i tehni~are i pomo}no osoblje. Ocenjeno je [BRANDENBERGER, 1976, 1977], da geodetski poslovi vezani samo za izradu planova i karata upo{ljavaju nekih 15000 profesionalaca, 45 000 tehni~ara i 90 000 pomo}nog osoblja {irom sveta. Od ukupnog broja 60% je u dràvnoj slu`bi, a 40% u privatnom sektoru. Vrednost radova iznosi oko $525 miliona (po US$ iz 1976. godine). Naàlost, ne postoje takve ocene i za druge geodetske aktivnosti, ali ne bi bilo ~udno da se i za njih godi{nje izdvaja sli~na koli~ina novca. Da bi ostvarila svoje ciljeve, geodezija koristi mno{tvo razli~itih mernih tehnika i sistema. One se kre}u od jednostavnih do komplikovanih, terestri~kih do ekstraterestri~kih, i od ~isto geodetskih do onih za koje se obi~no smatra da pripadaju geofizici, okeanografiji ili astronomiji. Koncepte ovih tehnika }emo svakako prodiskutovati, ali smatramo da bi opisi i detalji bili izvan okvira ove knjige.

60

STRUKTURA GEODEZIJE

§ 4.4

SLIKA 4.2. Me|unarodna organizacija premera.

Geodete koje se bave pozicioniranjem imaju pored IAG i odre|en forum u pojedinim komisijama me|unarodne strukovne organizacije poznate pod svojim francuskim imenom F›d›ration Internationale des G›om›tres - FIG. Veza izme|u FIG i drugih me|unarodnih organizacija prikazana je na slici 2, prema THE WORLD OF LEARNING 1981- 82 [1981]. Funkcije FIG sli~ne su funkcijama IAG, sa delegatima koje iz svake od pedeset dràva (stanje iz 1981. godine) predlaù nacionalna strukovna udruènja za svaku komisiju posebno. FIG se sastaje svake tri godine i nema sopstvenu publikaciju. Druge me|unarodne organizacije kao {to su Me|unarodno dru{tvo fotogrametrije (ISP), Me|unarodna kartografska asocijacija (ICA), ili kartografska sekcija Centra nacionalnih resursa, energije i transporta Ujedinjenih nacija, tako|e imaju odre|enog interesa za geodetsku materiju. 4.4. Geodetska profesija Kao {to je ve} pomenuto u prethodnom poglavlju, geodetska kadrovska struktura sastoji se od nau~nika, inènjera, tehni~ara i pomo}nog osoblja. Ove kategorije razlikuju se po obrazovanju, iskustvu, ili i po jednom i po drugom. Geodetski nau~nik po pravilu mora imati magisterijum ili doktorat, i to od univerziteta koji nudi specijalizaciju u geodeziji. Okviri znanja nau~nika kao i dubina razumevanja, moraju pokrivati u najmanju ruku sve teme obra|ene u ovoj knjizi. Inènjer je profesionalac koji premo{}uje prostor izme|u teoreti~ara (nau~nika) sa jedne, i tehni~ara sa druge strane. Ova osoba, prema tome, mora poznavati jezik obe grupe, i biti sposobna da sa njima komunicira. Geodetski inènjer mora imati zavr{en fakultet na kojem je geodezija vode}a oblast. On treba da poseduje poznavanje teorije kao i osnovnu obu~enost tehni~ara. Geodetski inènjer mora biti

§ 4.4

Geodetska profesija

61

sposoban da projektuje i nadgleda prikupljanje podataka, da izvodi rutinsku analizu podataka, pa ~ak i da re{ava manje probleme teorijske prirode. Napravimo malu digresiju i pogledajmo jo{ jednom vezu izme|u geodezije i premera koju smo ve} dotakli u poglavlju 2.1. To {to je geodezija teorijska osnova premera prakti~no zna~i da inènjer geodezije mora poznavati geodeziju kao {to inènjer elektrotehnike mora poznavati elektricitet, hemijski inènjer hemiju ili ma{inski inènjer mehaniku. Obrazovni okviri geodetskog inènjera moraju se otprilike poklapati sa domenom ove knjige. Dobro razumevanje osnova je neophodno, ali za razliku od nau~nika dubina razumevanja ostalih tema moè biti manja. Nedostatak geodetske komponente u obrazovanju svodi inènjera na nivo tehni~ara. Geodetski tehni~ar (geometar) treba da ima diplomu koledà ili geodetske srednje tehni~ke {kole. On mora biti verziran u rutinskom prikupljanju raznih podataka, i da ima izvesnog razumevanja za to {ta se sa podacima moè uraditi ili je ve} ura|eno. Prema tome, tehni~aru je neophodno sasvim povr{no poznavanje geodezije. Ipak, prema IXTH NATIONAL SURVEY TEACHERS′ CONFERENCE [1977], va`nije je budu}em tehni~aru dati potpuni pregled geodezije nego ga nau~iti nekoliko formula, ma kako pa`ljivo bile odabrane. Stoga deo II ove knjige predstavlja meru geodezije sa kojom bi tehni~ar trebalo da se upozna. Po na{em mi{ljenju, obrazovni koncept koji bi morao preovladati je onaj po kome dubina razumevanja treba da varira od nau~nika do tehni~ara, ali {irina razumevanja ne. Nacionalna obrazovna i profesionalna udruènja mogu uklju~ivati sve tri pomenute grupe, ali to obi~no nije slu~aj. Njihovi interesi su tako razli~iti da su uglavnom formirana po obrazovnoj a ne po profesionalnoj liniji. Kona~no, konstatujmo da su mogu}nosti zapo{ljavanja geodeta prili~no razgranate i relativno dobre u ovom momentu. O~ekujemo da }e te mogu}nosti postati jo{ ve}e u slede}ih nekoliko decenija. Dok geodetski nau~nici grade karijere uglavnom u akademskom svetu ili dràvnim institucijama, inènjeri i tehni~ari mogu na}i podjednako izazovne pozicije i u privatnim preduze}ima.

DEO I

LITERATURA

ABRAMOWITZ, M. AND I.A. STEGUN (EDS.) (1964). Handbook of Mathematical Functions. Dover reprint, 1965. ASIMOV, I. (1972). Biographical Encyclopaedia of Science and Technology. 2nd ed., Avon Books. ASSOCIATE COMMITTEE ON GEODESY AND GEOPHYSICS (1973). Minutes of the 60th meeting. National Research Council of Canada, Ottawa. BLACHUT, T.J., A. CHRZANOWSKI AND J.J. SAASTAMOINEN (1979). Urban Surveying and Mapping. Springer. BÖHM, J. (1972). Vy{{í Geodesie 1. ^VUT, Prague, Czechoslovakia. BOORSTIN, D.J. (1958). The Americans: The Colonial Experience. Random House. BOTTING, D. (1973). Humboldt and the Cosmos. Sphere Books. BRANDENBERGER, A.J. (1976). Study on the status of world cartography. United Nations Economic and Social Council, First United Nations Regional Cartographic Conference for the Americas, Panama. BRANDENBERGER, A.J. (1977). Educational trends in the mapping sciences. Proc. International Symposium on the Changing World of Geodetic Science, Ed. U.A. Uotila, Columbus, Ohio, October, 1976. Department of Geodetic Science Report 250, Vol. I, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 22 - 33. BROWN, L.A. (1949). The Story of Maps. BONANZA BOOKS. BUNBURY, E.H. (1883). A History of Ancient Geography . Vol. 1, Dover reprint, 1959. CHURCHILL, R.V. AND J.W. BROWN (1974). Complex Variables and Applications. 3rd ed., McGraw - Hill. CLARK, R.W. (1971). Einstein, the Life and Times. Nelson, Foster and Scott. COMMITTEE ON GEODESY (1978). Geodesy: Trends and prospects. U.S. National Research Council, Washington, D.C., U.S.A. COOK, A.H., D.G. KING-HELE, S.A. RAMSDEN AND A.R. ROBBINS (organizers) (1977). A discussion on methods and applications of ranging to artificial satellites and the moon. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 284 (1326), PP. 419 - 619. DAVIES, P.C.W. (1979). Einstein′s legacy. The Sciences 19 (3), pp. 25 - 28. DIJKSTERHUIS, E.J. (1950). The Mechanization of the World Picture. Translation by C. Dikshoorn of 1950 Dutch edition, Oxford University Press, 1961. DREYER, J.L.E. (1905). A History of Astronomy from Thales to Kepler. 2nd ed., Dover reprint, 1953. Durant, W. (1944). The Story of Civilization. Simon and Schuster, 11 vols. Encyclopaedia Britannica (1970). VOL. 10. FADDEEV, D.K. AND V.N. FADDEEVA (1963). Computational Methods of Linear Algebra. Translated from Russian by R.C. Williams, Freeman. FITE, E.D. AND A. FREEMAN (1926). A Book of Old Maps Delineating American History. Dover reprint, 1969. FLANDERS, H. AND J.J. PRICE (1978). Calculus with Analytic Geometry. Academic Press. FREUND, J.E. (1971). Mathematical Statistics. 2nd ed., Prentice-Hall. GREENBERG, M.D. (1971). Application of Green's Functions in Science and Engineering. Prentice-Hall. GROUEFF, S. (1974). L'Homme et la Terre. Larousse. HAGIHARA, Y. (1971). Perturbation Theory. Vol. II of Celestial Mechanics, The MIT Press.

62

LITERATURA, DEO I

63

HAMILTON, A.C. (1969). Problems in land registration and in filing environmental data in eastern Canada. Canad. Surv. 23 (1), pp. 12 - 29. HANCOCK, H. (1917). Theory of Maxima and Minima. Dover reprint, 1960. HAPGOOD, C.H. (1966). Maps of the Ancient Sea Kings. Chilton. HELMERT, F.R. (1880). Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie. Vol. I, Minerva G.M.B.H. reprint, 1962. HIEBER, S. AND T.D. GUYENNE (Eds.) (1978). Proceedings of the European Workshop on Space Oceanography, Navigation and Geodynamics. ESA, Council of Europe, EARSeL, Schloss Elmau, Germany, January. European Space Agency Report ESA SP-137, Paris, France. HOGG, R.V. AND A.T. CRAIG (1970). Introduction to Mathematical Statistics. 3rd ed., Macmillan. HOHEISEL, G. AND A.M. TROPPER (1963). Integral Equations. Translated from German by W. de Gruyter and Co., Berlin, 1968. INTERNATIONAL UNION OF GEODESY AND GEOPHYSICS (1978). IUGG year book 1978. IUGG Chronicle 126/127, May. JACCHIA, L.G. AND J.W. SLOWEY (1975). A catalogue of atmospheric densities from the drag on five balloon satellites. Smithsonian Astrophysical Observatory Special Report 368, Cambridge, U.S.A. JASWON, M.A. AND G.T. SYMM (1977). Integral Equation Methods in Potential Theory and Elastostatics. Academic Press. KOCHIN, N.E. (1961). Vektornoe Ischislenie I Nachala Tenzornogo Ischislenija. 8th ed., Publishing House of the USSR Academy of Sciences. KORN, G.A. AND T.M. KORN (1968). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. 2nd ed., McGraw- Hill. KRAKIWSKY, E.J. AND P. VANÍÊK (1974). Geodetic research needed for the redefinition of the size and shape of Canada. Proc. Geodesy for Canada Conference, National Advisory Committee on Control Surveys and Mapping, Ottawa, Canada, January. Surveys and Mapping Branch of the Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Canada. KREYSZIG, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley. LANDKOF, N.S. (1972). Foundations of Modern Potential Theory. Springer. LENNON, G.W. (1974). Mean sea level as a reference for geodetic levelling. Canad. Surv. 28 (5), pp. 524 530. MACMILLAN, W.D. (1930). The Theory of the Potential. Dover reprint, 1958. MCCONNELL, A.J. (1931). Applications of Tensor Analysis. Dover reprint, 1957. MORRISON, N. (1969). Introduction to Sequential Smoothing and Prediction. McGraw -Hill. MUELLER, I.I. (Ed.)(1978). Applications of geodesy to geodynamics. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION (1978). NASA directory of station locations. 4th ed., prepared by Computer Sciences Corporation for Goddard Space Flight Center, Greenbelt, U.S.A. NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION (1979). Application of space technology to crustal dynamics and earthquake research. NASA Technical Paper 1464, Washington, D.C., U.S.A. IXTH NATIONAL SURVEYING TEACHERS' CONFERENCE (1977). Proceedings, UNB, Fredericton, N.B., June. Department of Surveying Engineering, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. NORDENSKJÖLD, A.E. (1889). Facsimile-Atlas to the Early History of Cartography. Dover reprint, 1973. PANNEKOEK, A. (1951). A History of Astronomy. Translation of 1951 Dutch ed., George Allen and Unwin, 1961. PROTTER, M.H. AND C.B. MORREY JR. (1973). Calculus for College Students. 2nd ed., Addison-Wesley. REKTORYS, K. (Ed.) (1969). Survey of Applicable Mathematics. Translated from Czech by Dr. Rudolf Výborný et al., 1968, The MIT Press. RINNER, K. (1979). Report of the IAG Commission IX (education). Paper presented at the XVII IUGG General Assembly, Canberra, Australia. ROUTH, E.J. (1884). Dynamics of a System of Rigid Bodies. Part II, 4th ed., Dover reprint, 1955.

64

LITERATURA, DEO I

SAVAGE, J.C. AND R.O. BURFORD (1973). Geodetic determination of relative plate motion in central California. J. Geophys. Res. 78, pp. 832 - 845. SYNGE, J.L. AND A. SCHILD (1949). Tensor Calculus. University of Toronto Press. TELFORD, W.M., L.P. GELDART, R.E. SHERIFF AND D.A. KEYS (1976). Applied Geophysics. Cambridge University Press. THOMPSON, E.H. (1969). An Introduction to the Algebra of Matrices with some Applications. University of Toronto Press. THOMSON, D.W. (1966). Men and Meridians. Vol. 1, Queen's Printer, Ottawa. TOMPKINS, P. (1971). Secrets of the Great Pyramid. Appendix by L.C. Stecchini. Harper and Row. VANÍÊK, P. (1976). Papel de la geodesia en le sociedad. Proc. Annual Meeting of the National Congress of Photogrammetry, Photointerpretation and Geodesy, Mexico City, Mexico, May, pp. III-1 − III-9. VANÍÊK, P. (1977). Geophysical applications of geodesy. Proc. Symposium of the Geophysics Commission of the Pan American Institute of Geography and History, Ed. J.G. Tanner and M.R. Dence. Ottawa, Canada, September, 1976. Publication of the Earth Physics Branch of the Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Vol. 46, No. 3, pp. 45-48. VANÍÊK, P. AND E.J. KRAKIWSKY (1978). Geodesy reborn. Surveying and Mapping XXXVII (1), pp. 2326. WELLS, H.G. (1961). The Outline of History. Vols. I, IV, Garden City Books. WILLIAMSON, R.E., R.H. CROWELL AND H.F. TROTTER (1972). Calculus of Vector Functions. 2nd ed., Prentice-Hall. WONNACOTT, T.H. AND R.J. WONNACOTT (1972). Introductory Statistics. 2nd ed., Wiley. World of Learning 1981 - 82, The (1981). Vol. 1, 29th ed., Europa Publications. WREDE, R.C. (1963). Introduction to Vector and Tensor Analysis. Dover reprint, 1972. WYLIE, C.R., JR. (1966). Advanced Engineering Mathematics. 3rd ed., McGraw-Hill.

DEO II

ZEMLJA

POGLAVLJE 5

ZEMLJA I NJENO KRETANJE

Poznavanje Zemljinog kretanja me|u ostalim nebeskim telima neophodno je zbog toga {to razli~ite vrste ekstraterestri~kih merenja, kao {to su astronomska (opti~ka i radio), satelitska i merenja prema Mesecu, igraju sve va`niju ulogu u geodeziji. Poznato je da se Zemlja istovremeno kre}e na slede}i na~in: (a) (b) (c) (d)

zajedno sa na{om galaksijom u odnosu na druge galaksije, zajedno sa Suncem u okviru na{e galaksije, oko Sunca zajedno sa drugim planetama, oko svoje trenutne ose rotacije.

Prva dva kretanja imaju zna~aja za astronome koji se bave galakti~kim i me|ugalakti~kim fenomenima. Ali o njima se ne mora voditi ra~una ako je u pitanju samo Zemlja, zato {to se ve}ina nebeskih objekata prema kojima vr{imo opaànja nalaze u okviru na{e galaksije. Stoga }e na{a pa`nja biti usmerena na poslednja dva tipa kretanja, godi{nje (oko Sunca) i dnevno (oko Zemljine ose rotacije). Interesantno je da se za opisivanje godi{njeg i dnevnog kretanja Zemlje koriste dva potpuno razli~ita koncepta. Godi{nje kretanje se opisuje metodama nebeske mehanike, u kojima se Zemlja i druga nebeska tela smatraju tzv. ta~kastim masama, odnosno ~esticama bez dimenzija. Me|utim, za obja{njenje dnevnog kretanja i sporednih efekata kao {to su precesija i nutacija, Zemlja se mora posmatrati kao masivno telo odnosno ìroskop. Ovi dinami~ki modeli Zemlje ~ine sadràj prva dva podpoglavlja ovog poglavlja. U poslednja dva podpoglavlja razra|en je pojam kretanja polova, kao pojave koja poti~e od Zemljinog dnevnog obrtanja. Kretanje polova duboko je utemeljeno u geodeziji. Za njegovo opisivanje, koristi se sloèniji model Zemlje koji uzima u obzir i reologiju (pona{anje pod dejstvom sila), atmosferu, okeanske mase itd.

67

68


§ 5.1

5.1. Zemljino godi{nje kretanje Pri opisivanju godi{njeg kretanja, dimenzije Zemlje i drugih nebeskih tela mogu se smatrati bezna~ajnim u pore|enju sa veli~inom Sun~evog sistema. Pod tim uslovima vaè slede}a tri Keplerova zakona [KOVALEVSKY, 1967]: (a) Putanje planeta su elipti~ne, sa Suncem ( H ) u jednoj od ìà. (b) Planete se du` svojih putanja kre}u konstantnom povr{inskom brzinom, {to G zna~i da je povr{ina zahva}ena radijus vektorom planete r konstantna za dati vremenski interval (vidi sliku 1). (c) Kvadrati perioda obilaska planeta ( m ) odnose se kao kubovi velikih poluosa putanja ( a0 ):

m 2 / a 03 = const.

(5.1)

Ravan Zemljine orbite oko Sunca zove se ekliptika. Zbog drugog Keplerovog zakona Zemlja se kre}e brè kada je blià Suncu, a sporije kada je dalja od njega. Jedan pun obilazak u odnosu na zvezde, Zemlja obavi za vreme poznato kao zvezdana godina. U stvarnosti, prisustvo drugih planeta kao i Meseca uti~e na oblik Zemljine orbite, tako da ona niti je ta~no elipti~na, niti ~ak leì u jednoj ravni. Ovi poreme}aji su ipak mali u pore|enju sa dimenzijama orbite, tako da se za mnoge prakti~ne primene mogu zanemariti.

SLIKA 5.1. Godi{nje kretanje Zemlje.

§ 5.2

Zemljina rotacija,precesija i nutacija

69

Ta~ka u kojoj je Zemlja najblià Suncu zove se perihel (vidi sliku 1), i nalazi se na jednom kraju velike ose orbite. Ta~ka na drugom kraju, u kojoj je Zemlja najudaljenija od Sunca zove se afel. Slede}a va`na ta~ka na orbiti je ta~ka prole}ne ravnodnevnice ( E ), koja }e biti definisana u narednom podpoglavlju jer je za njenu definiciju potrebno razumevanje dnevnog Zemljinog kretanja. U sada{njosti Zemlja prolazi kroz perihel oko 3. januara, a kroz afel oko 3. jula [NASSAU, 1948]. Ova situacija se me|utim menja svake godine za nekoliko dana. Cela orbitalna elipsa kre}e se u odnosu na okolne zvezde u galaksiji, ali kretanje je tako sporo da se u najve}em broju slu~ajeva moè zanemariti. 5.2. Zemljina rotacija, precesija i nutacija Kada se prou~ava Zemljino obrtno kretanje, tada se njene dimenzije vi{e ne mogu zanemariti. U dinami~ki najjednostavnijem modelu, Zemlja se uzima kao ~vrsto telo koje se obr}e oko svoje ose putuju}i istovremeno oko Sunca. U mehanici se takvo telo zove ìroskop. Kao {to je poznato iz svakodnevnog ìvota, glavnu manifestaciju Zemljinog ìroskopskog kretanja, tj. dnevnog obrtanja oko njene polarne ose, predstavlja smena dana i no}i. Za vreme jedne zvezdane godine, odnosno jednog obilaska oko Sunca, Zemlja na~ini 366.2564 obrtaja u odnosu na zvezde, poznatih kao zvezdani dani, tj. 365.2564 obrtaja u odnosu na Sunce, poznatih kao srednji sun~ani dani. Trenutna osa rotacije se sa visokim stepenom ta~nosti poklapa sa Zemljinom osom maksimalnog momenta inercije koja prolazi kroz njen centar mase ( C ). Kao {to }emo videti u naredna dva podpoglavlja, razlika izme|u ovih osa je ipak zna~ajna sa geodetskog stanovi{ta i stoga se mora detaljnije objasniti. Kada na ìroskop deluje spoljni spreg sila, njegova obrtna osa opisuje konus sa temenom u centru mase ìroskopa. Ovo kretanje poznato je kao precesija. U slu~aju Zemlje, spreg sila poti~e od gravitacionog privla~enja drugih nebeskih tela. Situacija kada je to telo Sunce prikazana je na slici 2. Jasno je da Sunce ja~e privla~i bliù Zemljinu hemisferu, a slabije onu dalju. Da bi se dobio spreg sila u odnosu na ta~ku C koja je referentna za opisivanje precesije, sile koje deluju na bliù i dalju hemisferu moraju se umanjiti za silu koja deluje u C . Ista situacija javlja se i kod plimatskih sila, kao {to }emo videti u podpoglavlju 8.1. Spljo{tenost Zemlje je uslov da do|e do pojave precesije, jer da Zemlja nije spljo{tena spreg sila bi nestao po{to bi u tom slu~aju obe sile leàle u pravcu C − H .

70


§ 5.2

SLIKA 5.2. Spreg sila kod solarne precesije.

Ako se centar mase ìroskopa kre}e u ravni, onda je osa precesije (tj. osa precesionog konusa) normalna na tu ravan. Ovo je slu~aj i sa Zemljom na koju uglavnom deluju spregovi sila izazvani Suncem i Mesecom. Zbog toga Zemljina obrtna osa nema fiksnu orijentaciju u prostoru, ve} se polako kre}e du` konusa normalnog na ekliptiku (slika 3). Jedan pun precesioni obrt Zemljina osa rotacije obavi za pribli`no 26 000 godina. Ovaj period zove se Platonska godina. Obrtna osa Zemlje nagnuta je u odnosu na eklipti~ku ravan za skoro konstantni ugao od 66.5°, tako da ugao izme|u ekvatorske i eklipti~ke ravni iznosi oko 23.5°. Da nema ovog nagiba, Zemlja bi se o~igledno okretala oko ose normalne na ravan ekliptike, a dan i no} bili bi podjednako duga~ki 12 ~asova i to u svakom trenutku i na svakom mestu Zemlje. Me|utim, zbog postojanja nagiba, Sunce duè sija pola godine na severnoj hemisferi, a zatim pola godine na ju`noj hemisferi. Logi~no je onda da postoje dve ta~ke na Zemljinoj orbiti u kojima Sunce obasjava obe hemisfere podjednako dugo, tj 12 sun~anih ~asova. Datumi pridruèni ovim dvema ta~kama zovu se ekvinokcijumi, {to zna~i ″jednake no}i″. Datumi koji se odnose na ekvinokcijume jednostavno se odre|uju opaànjem vremena izlaska i zalaska Sunca. To je i razlog za{to je jedna od tih ta~aka (prole}na ravnodnevnica, odnosno trenutak kada na severnu hemisferu dolazi prole}e), izabrana kao referentna za razna merenja u ravni ekliptike. Du` koja u trenutku prolaska kroz ta~ku prole}ne ravnodnevnice spaja teì{ta Zemlje i Sunca istovremeno je i du` preseka ekvatorske ravni i ravni ekliptike. Ona je uperena u skoro konstantnom pravcu u odnosu na zvezde. Stoga je za opaà~a sa Zemlje,

§ 5.2

Zemljina rotacija,precesija i nutacija

71

SLIKA 5.3. Precesioni konus.

Sunce u ta~ki prole}ne ravnodnevnice uvek na jednom istom mestu me|u zvezdama. Nije te{ko uo~iti da se ta~ka prole}ne ravnodnevnice kre}e zbog precesije. Ona izvr{i jedan pun obrt za oko 26 000 godina, {to zna~i da se po ekliptici kre}e brzinom od pribli`no 0.014° godi{nje. Precizna astronomska odre|ivanja otkrila su da je ova brzina u stvari 50.3″ godi{nje [MUELLER, 1969], {to onda daje ta~niju vrednost od 25 765 godina za precesioni period (Platonsku godinu). Nesigurnost od 0.1″ u brzini odgovara nesigurnosti od 50 godina u duìni ovog perioda. Mentalna ve`ba uz pomo} slike 1 i slike 3 otkriva nam da se kretanje ta~ke prole}ne ravnodnevnice odvija u smeru suprotnom od kretanja Zemlje oko Sunca, dakle u smeru kretanja kazaljke na ~asovniku. Prisustvo Meseca dodatno komplikuje prou~avanje Zemljine kinematike. Prva va`na ~injenica je da se Mesec kre}e oko Zemlje po ravni koja je u odnosu na ekliptiku nagnuta za 5°11′ [MUELLER, 1969]. Presek ravni Mese~eve orbite i ravni

72


§ 5.2

SLIKA 5.4. Mese~eva orbita.

ekliptike zove se ~vorna linija (slika 4), i ona na~ini pun krug za 18.6 godina. Ovo je razlog dodatne periodi~ne promene u spregu sila koje deluju na Zemlju. Stoga Mesec poreme}ajno uti~e ne samo na Zemljinu godi{nju orbitu ve} i na samu precesiju. Ovaj poreme}aj rezultira jednim drugim tipom kretanja Zemljine obrtne ose koji se zove nutacija. Nutacioni konus je za razliku od precesionog mnogo uì. Ugao kod njegovog temena iznosi svega 18.42″ u pore|enju sa 47° kod precesije. Osim toga nutacija je o~igledno mnogo brà od precesije, jer jedan pun obrt zahteva 18.6 godina, a kod precesije 26 000 godina. Ukupno kretanje Zemljine ose rotacije u odnosu na ekliptiku shematski je prikazano na slici 5. O~ito je da nutacija uti~e i na poloàj ta~ke prole}ne ravnodnevnice, ali efekat je gotovo bezna~ajan.

SLIKA 5.5. Precesija i nutacija Zemljine obrtne ose.

§ 5.3

Zemljina slobodna nutacija

73

Matemati~ki opis ìroskopskog kretanja, precesije i nutacije, krajnje je sloèn. Po{to je lunisolarni spreg sila koji uzrokuje ova kretanja funkcija poloàja Sunca i Meseca, on se neprekidno menja. U ukupnom kretanju tj. lunisolarnoj precesiji i nutaciji, postoje jasno definisane periode koje su posledica promena lunisolarnih pozicija. Najva`nije su ve} pomenute (18.6 i 26 000 godina), i njihov uticaj ima najve}e amplitude. Druge periode koje tako|e zna~ajno doprinose ukupnom kretanju su (a) polugodi{nja sa amplitudom 0.5″ (u pore|enju sa 9.21″ za 18.6 godina); i (b) ~etrnaestodnevna sa amplitudom koja dostiè 0.1″ [MELCHIOR, 1973]. Neke od ovih perioda postoje i u plimatskom potencijalu koji }e biti opisan u podpoglavlju 8.1. Poloàj i orijentacija Zemlje u prostoru odre|eni su dakle u svakom momentu kao rezultat svih opisanih kretanja. Prema tome, sva ova kretanja imaju direktan uticaj na astronomska i satelitska merenja koja se izvode sa Zemlje, i kao takva moraju biti uzeta u obzir. Na~in na koji se to radi opisan je u raznim ud`benicima (npr. KAULA [1966B] i MUELLER [1969]), godi{njacima i zvezdanim katalozima sa astronomskim koordinatama zvezda koje se koriste u geodetskim opaànjima. Isto tako, detaljna teorija kretanja koju smo do sada pominjali razra|ena je u mnogim ud`benicima nebeske mehanike (npr. u NEWCOMB [1906], SMART [1956] i MELCHIOR [1973]). Stoga se ova tema ne}e dalje obra|ivati u ovoj knjizi. Me|utim, kretanje ose rotacije u odnosu na Zemljino telo predstavlja sasvim drugu materiju. U tom slu~aju je naime kretanje mnogo bliè vezano za samu Zemlju, pa }e ova materija biti ne{to detaljnije obra|ena u naredna dva podpoglavlja. 5.3. Zemljina slobodna nutacija Dinami~ki posmatrano, kretanje poznato kao Zemljina slobodna nutacija je nutacija bez uticaja sprega sila, i to je efekat koji prati bilo koje ìroskopsko kretanje. Da bismo izveli diferencijalne jedna~ine slobodne nutacije, usvojimo prvo najpogodniji prirodni sistem koordinata. Pod prirodnim sistemom misli se na sistem kojeg name}u fizi~ka svojstva Zemlje, a koji je nezavisan od bilo kakvih subjektivnih pogodnosti i preimu}stava. Prirodni sistem kojeg }emo u tu svrhu koristiti je geocentri~ni sistem koji se odnosi na glavne momente inercije. Njegove ose odre|ene su sopstvenim vektorima Zemljinog tenzora inercije J [SYMON, 1971]. Drugim re~ima, to je desno orijentisani kartezijanski sistem ( x, y , z ) , sa po~etkom u centru mase Zemlje C , i osama koje se poklapaju sa osama glavnog elipsoida inercije, tako da je z osa usmerena prema severu (slika 6). Kod ~vrstog tela ovaj koordinatni sistem je ~vrsto vezan za samo telo. Kod deformabilnog tela, poloàj sistema odre|en je u svakom momentu trenutnim rasporedom masa unutar tela.

74

§ 5.3


SLIKA 5.6. Glavni elipsiod inercije Zemlje.

Ozna~avaju}i tri glavna momenta inercije u odnosu na x, y , z sa I 1 , I 2 , I 3 respektivno, Ojlerova jedna~ina slobodne nutacije glasi [MACMILLAN, 1936]:

K K K K J ω + ω × J ω = 0 ,

(5.2)

odnosno

⎡ I1 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0

0 I2 0

0 ⎤ ⎡ω 1 ⎤ ⎡ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ω 2 ⎥ + ⎢ ω 3 I 3 ⎥⎦ ⎢⎣ω 3 ⎥⎦ ⎢⎣− ω 2

− ω3 0

ω1

ω 2 ⎤ ⎡I1 ⎥⎢ − ω1 ⎥ ⎢ 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 I2 0

0 ⎤ ⎡ω 1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ K 0 ⎥ ⎢ω 2 ⎥ = 0 I 3 ⎥⎦ ⎢⎣ω 3 ⎥⎦

K

gde su ω 1 , ω 2 , ω 3 komponente trenutnog vektora uglovne brzine ω u x, y, z

K

sistemu, a ω 1 , ω 2 , ω 3 njihovi izvodi po vremenu. O~igledno je da vektor ω (τ ) iz (2), uzet kao funkcija vremena τ , defini{e poloàj trenutne ose rotacije u geocentri~nom prirodnom sistemu. Jedna~ina (2) je vektorska diferencijalna jedna~ina prvog reda (vidi podpoglavlje 3.2). Opaànja pokazuju da su dva Zemljina ekvatorska momenta inercije I 1 , I 2 sa visokim stepenom ta~nosti me|usobno jednaka, ali zna~ajno razli~ita od polarnog momenta inercije I 3 . Stavljaju}i I 1 = I 2 u (2), dobijaju se slede}e tri obi~ne diferencijalne jedna~ine (vidi podpoglavlje 3.2), koje opisuju slobodnu nutaciju:

§ 5.3

Zemljina slobodna nutacija

ω 1 +

I 3 − I1 ω 2ω 3 = 0, I1

ω 2 −

75

I 3 − I1 ω 1ω 3 = 0, I1

ω 3 = 0 .

(5.3)

Iz tre}e jedna~ine vidi se da je polarna komponenta:

ω 3 (τ ) = const.

(5.4)

Ozna~imo ovu konstantu sa µ . Diferenciranjem (3) po vremenu, prve dve jedna~ine mogu se transformisati u slede}e diferencijalne jedna~ine drugog reda: 2

⎛I −I ⎞ ω1 + ⎜⎜ 3 1 ⎟⎟ µ 2ω 1 = 0, ⎝ I1 ⎠

2

⎛I −I ⎞ ω2 + ⎜⎜ 3 1 ⎟⎟ µ 2ω 2 = 0 . ⎝ I1 ⎠

(5.5)

Primetimo da su u ovim jedna~inama promenljive razdvojene. Jedna~ine (5) opisuju prosto harmonijsko kretanje (podpoglavlje 3.2). Uzimaju}i u obzir diferencijalne jedna~ine prvog reda (3), dve ekvatorijalne komponente ω 1 , ω 2 mogu se napisati kao:

⎛ I 3 − I1 ⎞ µτ + ψ ⎟⎟ , ⎝ I1 ⎠

ω 1 (τ ) = β ⋅ cos ⎜⎜

⎛I −I ⎞ ω 2 (τ ) = β ⋅ sin ⎜⎜ 3 1 µτ + ψ ⎟⎟ , ⎝ I1 ⎠

(5.6)

gde su β ,ψ integracione konstante sa prizvoljnim vrednostima. Povr{ni pogled na K tri komponente vektora ω (τ ) u ravnima xy, xz i yz (slika 7), pokazuje da trenutna osa rotacije opisuje kru`ni konus oko Zemljine polarne glavne ose inercije. Moè se pokazati pomo}u (6) da je smer ovog kretanja obrnut kretanju kazaljke na ~asovniku, kada se gleda sa severnog pola. To je ustvari trenutna osa ~iju smo precesiju i nutaciju opisivali u podpoglavlju 5.2. Primetimo tako|e da se ~ak i precesija moè matemati~ki opisati Ojlerovim jedna~inama kada se nula vektor s desne strane zameni spolja{njim spregom sila.

76


§ 5.3

SLIKA 5.7. Trenutna osa rotacije u geocentri~nom prirodnom koordinatnom sistemu.

Ojlerove jedna~ine i njihova re{enja ne mogu nam ni{ta otkriti u vezi vrednosti integracionih konstanti, tj. temenog ugla β , faznog ugla ψ ili perioda slobodne nutacije. One se moraju odrediti iz opaànja. Takva opaànja pokazuju da su komponente ω 1 , ω 2 veoma male u pore|enju sa ω 3 . Drugim re~ima, trenutna osa rotacije odstupa od Zemljine polarne ose inercije za veoma mali ugao ( β ), pa se

K ω 3 prakti~no moè smatrati jednakim intenzitetu vektora ω . Ovo zna~i i da se ω 3

moè uzeti kao Zemljina uglovna brzina (frekvencija):

ω 3 = µ = ω = 2π 1 zvezdani dan .

(5.7)

Kako je period slobodne nutacije P jednak 2π frekvencija , a frekvencija je jednaka (( I 3 − I 1 ) I 1 ) µ , (vidi jedna~inu (6)), sledi:

§ 5.4

Odre|ivanja kretanja pola i varijacija u brzini rotacije

P = 2π

I1 . (I 3 − I 1 )µ

77

(5.8)

Uzimaju}i vrednost 305 odre|enu iz opaànja precesije i nutacije, kao vrednost recipro~ne dinami~ke spljo{tenosti H −1 = I 1 ( I 3 − I 1 ) , za P se dobija 305 zvezdanih dana [MELCHIOR, 1966]. Ova vrednost se obi~no zove Ojlerova godina. Napomenimo da neki drugi autori, kao npr. HEISKANEN AND MORITZ [1967], defini{u dinami~ku spljo{tenost kao (( I 3 − I 1 ) I 3 ) . Kada su krajem pro{log veka bila izvedena prva dovoljno ta~na opaànja slobodne nutacije, otkriveno je da je stvarni period oko 40% duì od Ojlerovog perioda [CHANDLER, 1891]. Neslaganje, kako je to ubrzo objasnio NEWCOMB [1892], posledica je ~injenice da Zemlja nije ~vrsta. Deformabilnost Zemljinog tela teì da pove}a period slobodne nutacije, i za taj, takozvani êndlerov period, danas se zna da iznosi oko 435 sun~anih dana [ROCHESTER, 1973]. Nakon {to je utvr|eno da se Zemlja pona{a kao deformabilno a ne ~vrsto telo, postalo je neophodno teorijski obuhvatiti trenje i disipaciju energije unutar Zemljinog tela. Ali kad god se javi disipacija energije jednog dinami~kog sistema, rezultat je prigu{enje kretanja tog sistema. Stoga bi u na{em slu~aju trebalo teorijski da o~ekujemo prigu{enje amplitude β slobodne nutacije, tj. njeno eksponencijalno smanjenje sa vremenom. Tada matemati~ki opis slobodne nutacije deformabilnog tela vi{e nije dat Ojlerovom, nego Lujvijovom jedna~inom [MUNK AND MACDONALD, 1960]. 5.4. Odre|ivanja kretanja pola i varijacija u brzini rotacije Da bi odredila nepoznate parametre slobodne nutacije, Me|unarodna astronomska unija (IAU - vidi sliku 4.1) osnovala je Me|unarodnu slu`bu {irine (ILS) za opaànje stvarnog kretanja pola. Kao {to }emo videti u podpoglavlju 15.2, varijacije u poloàju pola mogu se direktno opaàti kao varijacije {irine. Pet stanica (Mizusawa, Japan; Kitab, Rusija; Carloforte, Italija; Gaithersburg i Ukiah, SAD), postavljenih pribli`no na istoj paraleli 39° 08′, zapo~ele su sa opaànjima ovog fenomena jo{ 1899. godine. Od tada, mreà stalnih opaà~kih stanica porasla je na preko stotinu. One sada rade pod nadzorom dve slu`be - Me|unarodne slu`be kretanja pola (IPMS) sa sedi{tem u Micusavi, i Me|unarodne slu`be vremena (BIH) sa sedi{tem u Parizu. Godine 1969. u Laboratoriji pomorskog oru`ja SAD po~ela je sa radom njihova sopstvena slu`ba kretanja pola - Dalgren slu`ba pra}enja pola (DPMS) - bazirana na svetskoj mreì TRANSIT satelitskih stanica (vidi podpoglavlje 15.3).

78


§ 5.4

Prema tome, danas je na raspolaganju ogroman opaà~ki materijal sastavljen od dugih i relativno homogenih serija merenja. [ta ove serije merenja otkrivaju? Pre svega, sada je poznato da je stvarno kretanje pola mnogo komplikovanije nego {to se ranije mislilo. Slika 8 pokazuje stvarno kretanje pola za period od 1962. do 1977. godine, u odnosu na konvencionalni me|unarodni po~etak (CIO) koji je definisan kao srednji poloàj pola u periodu od 1900. do 1905. godine. Na prvi pogled izgleda da to kretanje ne pokazuje nikakve znake da je prigu{eno. [iroko prihva}eno obja{njenje je da, pored prigu{enja, mora postojati i mehanizam koji povremeno ili kontinuirano pobu|uje slobodnu nutaciju. Za sada je najrealnija hipoteza po kojoj je pobu|ivanje slobodne nutacije povezano sa tektonskim zemljotresima [MANSINHA AND SMYLIE, 1967]. Me|utim, kvantitativna ocena parametara u vezi prigu{enja i pobu|ivanja bila je do sada veoma neprecizna i ne mnogo ubedljiva [JEFFREYS, 1970; PEDERSEN AND ROCHSTER, 1972].

SLIKA 5.8. Opaàno kretanje pola (ljubazno{}u DR. S. YUMI [1977], direktora IPMS)

§ 5.4

Odre|ivanja kretanja pola i varijacija u brzini rotacije

TABELA 5.1 Neki rezultati odre|ivanja êndlerovog perioda êndlerov Raspon period podataka (Sun~ani dani) Re{enje 433.15 1899-1967 JEFFREYS [1968] 435.1 1951-1966 VANI~EK [1969] 429.9 1890-1969 YUMI [1970] 439.4 1963-1969 416.6 1967-1970 ANDERLE [1970] 432.95 1900-1973 CURRIE [1974] 430.8 1960-1974 GRABER [1976]

79

Izvor podataka ILS BIH ILS ILS DPMS ILS IPMS

Odre|ivanje najverovatnije vrednosti êndlerovog perioda bilo je predmet brojnih istraìvanja. Rezultati nekih skorijih poku{aja navedeni su u tabeli 1. O~igledno je da je veoma te{ko dobiti stabilnu vrednost amplitude slobodne nutacije β , upravo zbog prigu{enja i pobu|ivanja. I zaista, razne analize prikupljenih podataka pokazuju {iroki raspon od 0.1″ do 0.2″. Ovim vrednostima odgovara pomeranje pola na povr{ini Zemlje u iznosu od 3 do 6 metara. Razli~ite analize postoje}ih podataka otkrile su tako|e i jo{ dve zna~ajnije komponente kretanja pola - sezonske i vekovne varijacije. Ta~an mehanizam koji kontroli{e ove komponente jos uvek nije sasvim poznat. Sezonske varijacije (sa godi{njim periodom) superponovane sa êndlerovom putanjom, pokazuju zna~ajne fluktuacije u amplitudi. Prema ORLOV [1961], amplituda se kre}e od 0.04″ do 0.12″ {to odgovara kretanju pola od 1 do 4 metra. Varijacije su verovatno u bliskoj vezi sa sezonskim promenama temperature, pritiska, sne`nih optere}enja, taloènja, itd. [MUNK AND MACDONALD, 1960]. Neki drugi autori (npr. VANI~EK [1971], WELLS AND CHINNERY [1973]) veruju da je deo sezonskih varijacija samo prividan, i da se pojavljuje u opaànoj putanji pola kao rezultat razli~itih sezonskih efekata na razli~itim opaà~kim stanicama. Vekovna varijacija je mo`da jo{ nejasnija. Ona se manifestuje kao konstantno kretanje pola brzinom od 0.002″ do 0.003″ godi{nje. Veruje se da su tome uzrok tektonska pomeranja (vidi podpoglavlje 8.3). Neki istraìva~i tvrde da su otkrili prisustvo dugoperiodi~ne komponente od oko 24 godine [MARKOWITZ AND GUINOT, 1968; VANI~EK, 1969]. U svakom slu~aju te{ko je odrediti u kojoj su meri ove superponovane varijacije povezane sa mehanizmom slobodne nutacije. U podpoglavlju 5.2 konstatovali smo da Zemlja na~ini pribli`no 366.2564 rotacija (zvezdanih dana) za vreme dok jednom obi|e oko Sunca (zvezdana godina). Brzina rotacije Zemlje smatrana je konstantnom u pro{losti, i to tako konstantnom da je

80


§ 5.4

sve do 1930. godine bila {iroko prihva}ena kao najbolji na~in odràvanja vremena. Me|utim, pove}anje ta~nosti merenja i sve savr{eniji ~asovnici otkrili su da postoje varijacije u brzini Zemljine rotacije. Osnivanjem BIH i uvo|enjem atomskih ~asovnika 1955. godine, ove varijacije su jo{ vi{e dobile na zna~aju. Danas se zna za tri vrste fluktuacija brzine obrtanja [MARKOWITZ, 1972]: vekovne, periodi~ne i nepravilne. Stalno (vekovno) usporenje Zemljine rotacije ~ije je poreklo uglavnom plimatsko trenje, razlog je pove}anju duìne dana (l.o.d.) u iznosu od 2 milisekunde po veku. Sezonske (sa godi{njim i polugodi{njim periodama) i druge periodi~ne varijacije (sa periodom od oko 1 meseca), mogu dosti}i veli~ine od nekoliko milisekundi. One su rezultat delom plimskih efekata, a delom uticaja vetrova [MUNK AND MACDONALD, 1960]. Postoji i visoka korelacija izme|u l.o.d. i atmosferskog uglovnog momenta za period od oko 50 dana [LANGLEY ET AL., 1981]. Najinteresantniji fenomeni u vezi Zemljine rotacije su nepravilne i nagle promene u brzini rotacije. One mogu dosti}i ~ak i 10 milisekundi dnevno. Ako su stvarne, ove varijacije mogu ukazivati na jo{ nepoznate mehanizme pobu|ivanja. Za razliku od kretanja pola, izgleda da u ovom slu~aju zemljotresi nisu obja{njenje [MARKOWITZ, 1972]. Primer opaànih fluktuacija u periodu od 1959. do 1976. godine prikazan je na slici 9.

SLIKA 5.9. Varijacije u brzini obrtanja Zemlje, u vidu duìne dana (razlike od 86400s), sa uklonjenim periodi~nim ~lanovima (ljubazno{}u DR. B. GUINOT [1977], direktora BIH).

POGLAVLJE 6

ZEMLJA I NJENO GRAVITACIONO POLJE

Na instrumente kojima se na Zemljinoj povr{ini i iznad nje izvode geodetska merenja, deluju razne fizi~ke sile. Da bi se pravilno interpretirali rezultati merenja, neohodno je razumeti efekte ovih sila. Merenja se izvode u fizi~kom prostoru, pa je poznavanje geometrije tog prostora od su{tinskog zna~aja za pravilno kori{}enje dobijenih rezultata. Kao {to je poznato iz svakodnevnog iskustva, najo~iglednija sila prisutna na povr{i Zemlje je gravitacija. Stoga je pri izu~avanju geometrije Zemlje, geodeta silom prilika zainteresovan i za Zemljino gravitaciono polje. To je razlog {to se istraìvanje geometrijskog aspekta gravitacionog polja smatra sastavnim delom geodezije. Po{to se u osnovi geodezija bavi stacionarnim objektima ili objektima koji se kre}u malim brzinama, potrebna gravitaciona teorija je Njutnova a ne Ajn{tajnova (vidi poglavlje 1). Ovo poglavlje je zami{ljeno vi{e kao uvod u temu, dok }e odgovaraju}e metode koje se koriste u istraìvanju gravitacionog polja biti predmet dela V. No ipak, smatramo da }e nakon ovog poglavlja ~italac imati dovoljan uvid u temu kako bi mogao razumeti odgovaraju}e argumente dela IV. Ovde je teì{te na terestri~kim aspektima Zemljinog gravitacionog polja, pri ~emu se misli na gravitaciono polje na Zemljinoj povr{ini i neposredno iznad nje. Izu~avanje gravitacionog polja spolja{njeg prostora podrazumeva ne{to naprednije metode i razmatra}e se u delu V. U okviru ovog poglavlja Zemlja }e se smatrati ~vrstim telom. Kada to bude trebalo, ista}i }e se kako deformabilnost Zemlje uti~e na izvedene zaklju~ke. U prvom podpoglavlju defini{e se Zemljino gravitaciono polje sa fizi~kog i matemati~kog stanovi{ta. Slede}e podpoglavlje posve}eno je opisu i tretmanu intenziteta gravitacije. Uvodi se tako|e i pojam normalnog gravitacionog polja i na~in njegove upotrebe. U tre}em podpoglavlju obja{njen je gravitacioni potencijal i definisani su pojmovi ekvipotencijalnih povr{i i vertikala. Poslednje podpoglavlje bavi se geoidom i vertikalskim otklonima.

81

82


§ 6.1

6.1. Gravitaciono polje Kao {to smo videli u podpoglavlju 1.2, ISAAC NEWTON [1687] je bio prvi koji je u svom zakonu univerzalnog privla~enja matemati~ki formulisao ~injenicu da se svaka dva fizi~ka tela me|usobno privla~e. Po tom zakonu, telo mase M privla~i drugo K telo mase m silom F ~iji je intenzitet upravo proporcionalan proizvodu dve mase, a obrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja izme|u njih ∆r :

F =G

Mm ∆r 2

.

(6.1)

Ova sila poznata je kao gravitaciona sila, a zove se jo{ i gravitaciono privla~enje ili Njutnovo privla~enje. Konstanta proporcionalnosti G koja se u literaturi ozna~ava i sa k, f ili K , zove se Njutnova gravitaciona konstanta. Ona se moè interpretirati i kao op{te svojstvo bilo koje mase. Fizi~ki gledano, ona je odnos izme|u pona{anja neke mase kao izvora gravitacije i pona{anja iste te mase kao objekta gravitacije. Njena vrednost, odre|ena iz mnogih eksperimenata iznosi

6.672 × 10 −11 kg −1 m 3 s −2 ili ekvivalentno 6.672 × 10 −8 g −1cm 3 s −2 sa precizno{}u od oko 0.001 × 10 −8 g −1cm 3 s −2 [INTERNATIONAL ASTRONOMICAL UNION, 1977]. Smatra se da se gravitaciono privla~enje prostire du` prave linije i to brzinom uporedivom sa brzinom svetlosti. Za na{e ciljeve odgovara}e da se ta brzina smatra beskona~no velikom, i da prema tome gravitacija ima trenutni efekat na bilo kojoj duìni koju razmatramo. Ovo je ina~e pretpostavka koja se usvaja i u klasi~noj mehanici. Za dva fizi~ka tela A i B sa masama m i M i dimenzijama koje se mogu smatrati zanemarljivo malim u odnosu na rastojanje izme|u njih, vaì slede}a jedna~ina gravitacione sile kojom B deluje na A (slika 1):

K Mm FB → A = G K K rB − rA

3

(rKB − rKA ) .

(6.2)

Da bi se dobio izraz za silu kojom A deluje na B potrebno je samo zameniti mesta indeksima.

§ 6.1

Gravitaciono polje

83

SLIKA 6.1. Gravitaciono privla~enje izme|u dve ~estice.

[ta se de{ava ako se dimenzije jednog od tela, recimo B , ne mogu smatrati zanemarljivim? Takav bi bio na primer slu~aj malog tela A i Zemlje B . U tom slu~aju se telo B smatra sastavljenim od brojnih malih elemenata mase zapremine dB , pa se istraùje privla~enje izme|u svakog od njih posebno i mase A (slika 2). K K Ako se nezavisna promenljiva ozna~i sa r , gustina mase unutar tela sa σ (r ) , a dB se izabere dovoljno malo da se σ u dB moè smatrati konstantnim, dobija se

SLIKA 6.2. Gravitaciono privla~enje fizi~kog tela.

84

§ 6.1


slede}a jednakost:

K K σ (r ) dB m K K FdB → A = G K K 3 (r − rA ) . r − rA

(6.3)

Brojnim eksperimentima je potvr|eno da je gravitaciona sila aditivna [MACMILLAN, 1930]. To zna~i da je zbir sila kojima deluju elementi dB jednak sili kojom deluje celo telo B . Smatraju}i zapremine dB beskona~no malim, definitivnana jedna~ina dobija se integracijom po telu B (vidi podpoglavlje 3.2):

K K K FB → A = F (rA ) = Gm

K

σ (r )

K K ∫∫∫ rK − rK (r − r ) dB 3

B

A

.

(6.4)

A

Ova jedna~ina moè se upotrebiti za izu~avanje gravitacione sile Zemlje na tela ~ije se dimenzije mogu smatrati zanemarljivim u odnosu na Zemlju. Ali za izu~avanje K gravitacije ipak je potrebno poznavati raspodelu gustina σ (r ) unutar Zemlje. Ta raspodela poznata je samo pribli`no. Slika 3 prikazuje jedan od postoje}ih modela raspodele gustina dobijen iz seizmi~kih opaànja [BULLEN, 1963]. Svi seizmi~ki modeli pretpostavljaju idealnu sfernu raspodelu prema kojoj je gustina funkcija samo rastojanja od centra mase ili dubine. Moè se videti da je gravitaciono polje generisano takvim modelom Zemlje radijalno, tj. da sila generisana takvim telom uvek ima pravac prema centru mase i intenzitet koji zavisi samo od rastojanja od centra mase. To zna~i da je gravitacija ovog modelskog tela na njegovoj povr{ini i iznad nje, jednaka gravitaciji ~estice locirane u centru mase tela i sa masom M

SLIKA 6.3. Promena gustine sa dubinom.

§ 6.1

Gravitaciono polje

85

koja je jednaka masi celog tela:

M=

K

∫∫∫σ (r ) dB .

(6.5)

B

Znamo ve} da je gravitacija takve ~estice data jedna~inom (2). Ako se za srednji Zemljin polupre~nik ( R ) uzme 6371.009 km , a za GM 3.986005 × 10 20 cm 3 s −2 [IAG, 1980], onda (2) daje za srednju vrednost gravitacionog privla~enja na povr{ini Zemlje:

[

K F = F = 982.022 cm s −2

] ×m,

(6.6)

gde je m masa ~estice na koju deluje privla~enje. Po{to je stvarna raspodela gustina unutar Zemlje funkcija ne samo dubine ve} i poloàja, a Zemlja nije sferna, to ni gravitaciono polje Zemlje nije radijalno. Vrednost gravitacije data sa (6) predstavlja samo globalni prosek. U nedostatku boljeg poznavanja stvarne raspodele gustina, jedna~ina (4) je od male vrednosti za geodeziju, osim {to teorijski pokazuje kako gravitacija zavisi od gustine. Jedna~ina (4) tako|e pokazuje da ako se gustina menja sa vremenom, menja se sa vremenom i gravitaciona sila. Ovo jeste slu~aj sa realnom Zemljom, ali promene su veoma male i te{ko ih je otkriti. Iz tog razloga uobi~ajeno je da se ove promene ignori{u u prakti~nim geodetskim radovima, sa izuzetkom promena plimatskog porekla (podpoglavlje 8.1 i poglavlje 25). U ovoj knjizi pretpostavlja}e se stacionarna raspodela gustina. înjenica da Zemlja rotira donekle komplikuje stvari, ~ak i uz pretpostavku da je

K

Zemlja ~vrsta. Rotacija Zemlje ima za rezultat pojavu dodatne sile. Ova sila ( f ), iako prividna u prirodi, deluje na sve objekte koji se okre}u zajedno sa Zemljom. Ona se zove centrifugalna sila. Njen pravac je uvek normalan na trenutnu osu rotacije, i moè se objasniti kao posledica obrtnog, pa prema tome i ubrzanog kretanja. Njena priroda je samo prividna, jer onog momenta kada telo prestane da se okre}e zajedno sa Zemljom nestaje i centrifugalna sila. Intenzitet f centrifugalne sile koja deluje na neku ~esticu jednak je [MACMILLAN, 1936]:

f = pω 2 m ,

(6.7)

86


§ 6.1

SLIKA 6.4. Centrifugalna sila.

gde je p normalno rastojanje ~estice od Zemljine obrtne ose, ω je Zemljina uglovna brzina, a m masa ~estice na koju sila deluje (slika 4). Ako se za uglovnu brzinu datu jedna~inom (5.7) uzme vrednost ω = 72.92115 × 10 −6 rad s −1 , a za p = 6378.137 km [IAG, 1980], tada se za vrednost centrifugalne sile na ekvatoru dobija:

[

f = 3.392 cm s − 2

] ×m,

(6.8)

{to predstavlja svega oko 0.35% od gravitacione sile. Na polovima je centrifugalna sila jednaka nuli. Centrifugalna sila menja se sa vremenom, i to kako po pravcu tako i po intenzitetu. Promene intenziteta brzine rotacije menjaju intenzitet sile, a promene pravca obrtne ose menjaju pravac sile. Ove promene su veoma male kao {to smo to ve} videli u podpoglavlju 5.3, i mogu se slobodno zanemariti. Bi}e ipak malo prodiskutovane u podpoglavlju 25.4. Zbir gravitacione i centrifugalne sile zove se sila teè. Polje ove sile shematski je prikazano crnim strelicama na slici 5. Lako je videti da je sila teè ja~a na polovima nego na ekvatoru. Ustvari ta bi razlika iznosila oko 0.35% da je Zemlja sferna.

§ 6.1

Gravitaciono polje

87

SLIKA 6.5. Sila teè.

Kako je Zemlja spljo{tena, razlika je jo{ izraènija, i iznosi oko 0.54% kao {to }emo to kasnije videti. Obi~no je pogodnije raditi sa ubrzanjem nego sa silom. Da bismo objasnili {ta pod tim podrazumevamo, napi{imo vektorsku jedna~inu za silu teè (zbir jedna~ine (4) i vektorskog ekvivalenta jedna~ine (7)), u ta~ki A :

K K K K F ′(rA ) = FB → A + f A ⎧⎪ = ⎨G ⎪⎩

K

σ (r )

∫∫∫ rK − rK B

A

⎫

(rK − rKA ) dB + pK Aω 2 ⎪⎬m . 3

(6.9)

⎪⎭

K

O~igledno je da se sila teè F A′ moè izraziti kao proizvod ~lana u zagradi i mase m ~estice A . Iz drugog Njutnovog zakona poznato je da je sila ina~e jednaka proizvodu ubrzanja i mase. Stoga izraz u zagradi mora predstavljati vektorski oblik K ubrzanja. Ovaj vektor ozna~ava se sa g i zove se vektor teè:

K K K K F ′(rA ) = g (rA ) m

K

U nekim publikacijama g se jo{ naziva vektorom ubzanja teè.

(6.10)

88


§ 6.2

SLIKA 6.6. Pravac sile teè.

K

U ispitivanju geometrijskih svojstava polja sile teè F ′ , dovoljno je skoncentrisati K se na ubrzanje g . Masa test ~estice m moè se jednostavno smatrati razmerom

K

K

polja F ′ (formula (10)), tako da polje ubrzanja teè g u potpunosti opisuje polje sile teè. Primetimo da se polje teè (ubrzanja) moè posmatrati i kao prognoza delovanja sile teè ako se u polju zatekne ~estica. Po{to je polje teè vektorsko, ono ima intenzitet (apsolutnu vrednost) i pravac (slika 6). Sa intenzitetom je jednostavnije manipulisati jer je u pitanju skalar. Njegova jedinica je gal, nazvana po ~uvenom fizi~aru Galileo Galileju (vidi podpoglavlje 1.2). Jedan gal jednak je jednom centimetru po kvadratnoj sekundi ( cm s 2 ). Srednji intenzitet ubrzanja teè na povr{ini Zemlje iznosi oko 980.3 Gal (uporedi sa srednjom vrednosti gravitacije u (6)). Pravac sile teè je ne{to komplikovaniji, i neophodno je prvo uvesti nekoliko dodatnih koncepata pre nego {to taj aspekt bude predstavljen u podpoglavlju 6.4. 6.2. Anomalije sile teè Intenzitet teè g meri se kori{}enjem nekog od postoje}ih tipova gravimetrijskih instrumenata (vidi podpoglavlje 22.3). Svetsku banku podataka ove vrste odràva Me|unarodni gravimetrijski biro u Parizu, koji predstavlja instituciju IUGG (vidi podpoglavlje 4.2). Nekoliko miliona opaànja do sada prikupljenih {irom sveta, pokazuju da intenzitet teè varira kako globalno i regionalno, tako i lokalno. Globalni raspon varijacija na povr{ini Zemlje iznosi 5 Gal , tj. vi{e od 0.5% od prose~nog g . Ove varijacije lako se opaàju ~ak i sa manje preciznim instrumentima. Moderni instrumenti mere sa ta~no{}u od nekoliko delova µGal ( 1µGal = 10 −6 Gal ), odnosno sa 10 −10 g .

§ 6.2

Anomalije sile teè

89

Pomenute varijacije imaju tri izvora: razli~ite visine ta~aka na kojima se meri, spljo{tenost Zemlje i nepravilnu raspodelu masa unutar Zemljinog tela. Kako se ove nepravilnosti gravitacionog polja mogu prikazati? Postoje dva razli~ita koncepta koja smo ovde koristili. Jedan se odnosi na prikazivanje nepravilnosti u prostoru iznad Zemlje (prostorne varijacije), a drugi na povr{ini Zemlje (terestri~ke varijacije). Kao {to je ve} napomenuto, prostorne varijacije ne}e biti razmatrane u ovom poglavlju, ve} samo terestri~ke. Ispitajmo prvo varijacije koje su rezultat uticaja visina. (a) Za utvr|ivanje promena teè sa visinom uobi~ajeno je zapo~eti sa aproksimacijom teè, koja prema (1) ima oblik:

g = G

M r2

,

(6.11)

gde je r rastojanje od Zemljinog centra mase. Direktno diferenciranje po r daje gradijent teè u radijalnom pravcu:

dg GM = −2 3 . dr r

(6.12)

Imaju}i u vidu da je prira{taj u radijalnom pravcu dr gotovo identi~an prira{taju visine dH , za promenu teè sa visinom dobija se slede}i izraz:

dg = −2

GM dH . r3

(6.13)

Zamenjuju}i odgovaraju}u vrednost za GM i uzimaju}i za r srednji Zemljin polupre~nik, dobija se pribliàn izraz za promenu teè na ili blizu Zemljine povr{ine:

[

dg = −0.308 mGal m −1

]

dH .

(6.14)

Primetimo pre svega da je dg negativno za pozitivno dH , {to zna~i da se intenzitet teè smanjuje sa pove}anjem visine. Do ovog zaklju~ka moè se do}i i direktno sa (11). Drugo, vidimo da se g smanjuje samo za 1% sa pove}anjem visine od oko 32 km, tj. teà }e se smanjiti samo za oko 0.28% pri, na primer, usponu na Mont Everest.

90

§ 6.2


Popravka teè za efekat visine data sa (14), zove se popravka slobodnog vazduha. U poglavlju 21 razmatra}e se i druge metode vrednovanja efekata visina. Me|utim, koja god popravka teè da se upotrebi, popravljena teà }e jo{ uvek globalno varirati sa {irinom (efekat spljo{tenosti), kao i regionalno i lokalno (efekat nepravilne raspodele masa). (b) Pre nego {to zapo~nemo sa ispitivanjem varijacija teè zbog spljo{tenosti Zemlje, mora se ista}i slede}e: sve nepravilnosti, iako su zna~ajne i lako se opaàju, jo{ uvek su minimalne u pore|enju sa samom teòm. Stoga je pogodno da se prvo analiti~kim izrazima modelira {to {iri dijapazon intenziteta teè, a da se zatim te vrednosti oduzimaju od stvarno opaànih vrednosti. Naj~e{}e kori{}enu tehniku predstavlja ve} pomenuto popravljanje opaàne teè za efekat visine, i njeno upore|enje sa analiti~ki definisanom referentnom teòm. Tako dobijena razlika uzima se ustvari kao mera varijacije intenziteta teè. Referentna teà se za geodetske potrebe moè usvojiti sasvim proizvoljno, ali pod uslovom da prose~na razlika od stvarne teè bude {to je mogu}e manja. O~igledno je da se za referentnu teù moè uzeti (11), koje se odnosi na radijalno polje. Na taj na~in }e sve veli~ine biti redukovane, ali }e glavne varijacije i dalje preovla|ivati. Naime, razlike reda veli~ine 5 Gal i dalje }e ostati kao posledica Zemljine spljo{tenosti. Ove se razlike mogu smanjiti za ~itav red veli~ine ako se izabere referentna teà koja izraàva i spljo{tenost Zemlje. To se moè uraditi ako se defini{e ″masivni″ dvoosni elipsoid (obrtni elipsoid), koncentri~an sa Zemljom (geocentri~an), i sa malom osom koja se poklapa sa polarnom osom inercije Zemlje. U tom slu~aju mogu}e je izvesti analiti~ki izraz za hipoteti~no polje teè koje takav elipsoid generi{e, pod pretpostavkom da se on okre}e oko svoje male ose istom uglovnom brzinom kao i Zemlja, i da ima rotaciono simetri~nu raspodelu mase (za detaljni prikaz vidi podpoglavlje 20.3). Takvo referentno polje teè zove se K normalno polje teè, a reprezentuje ga vektor normalne teè u oznaci γ . Normalno polje je funkcija i rastojanja od centra mase Zemlje i {irine φ . Ono je me|utim K K rotaciono simetri~no, tako da γ ne zavisi od duìne. Uobi~ajeno je da se γ izraàva kao funkcija {irine i visine h iznad geocentri~nog elipsoida. BOWIE AND AVERS [1914] su napravili jedan od prvih poku{aja definicije normalnog polja teè koje }e apsorbovati efekte Zemljine spljo{tenosti. Njihova formula za intenzitet normalne teè jo{ uvek se koristi za neke geodetske radove. Ona glasi:

(

γ = 980.624 1 − 0.002 644 cos 2φ + 0.000 007 cos 2 2φ − 0.308 h − 0.0002 h cos 2φ + 7.1 × 10 −8 h 2 Gal ,

)

(6.15)

§ 6.2

Anomalije sile teè

91

gde je h visina u metrima. Kao {to je ve} konstatovano, uobi~ajeno je da se redukovana teà tj. teà popravljena za efekte visina, upore|uje sa normalnom teòm. U ove svrhe koristi se normalna teà na povr{i geocentri~nog elipsoida i ozna~ava se u op{tem slu~aju sa γ 0 . Bowie-Avers normalna teà γ 0 data je jedna~inom (15) za h = 0 :

(

)

γ 0 = 980.624 1 − 0.002 644 cos 2φ + 0.000 007 cos 2 2φ Gal . (6.16) Drugi istraìva~i predlagali su razli~ite formule. Da bi se ujedna~ila definicija normalne teè na svetskom nivou, IAG (vidi podpoglavlje 4.2) usvaja na svojoj plenarnoj sednici u Stokholmu 1930. godine formulu za normalnu teù [CASSINIS, 1930]:

(

)

γ 0 = 978.0490 1 + 0.005 288 4 sin 2φ − 0.000 005 9 sin 2 2φ Gal , (6.17) i preporu~uje je svim zemljama ~lanicama za upotrebu u gravimetrijskim radovima. Formula naknadno postaje poznata kao me|unarodna gravimetrijska formula 1930. Godine 1967. Generalna skup{tina IAG odobrava nove parametre geocentri~nog dvoosnog elipsoida. Normalna teà za ovaj me|unarodni elipsoid ra~una se prema slede}oj pribli`noj formuli [IAG, 1971]:

(

)

γ 0 = 978.031 85 1 + 0.005 278 895 sin 2φ − 0.000 023 462 sin 4φ Gal , (6.18) sa maksimalnom gre{kom od 4 µGal . Jedna~ina (18) nazvana je me|unarodnom gravimetrijskom formulom 1967. Najnovija me|unarodna gravimetrijska formula 1980. [IAG, 1980] usvojena je od Generalne skup{tine IAG u Kanberi. Ova formula, preporu~ena za upotrebu svim IAG zemljama ~lanicama, ima ta~nost 0.7 µGal i glasi:

(

γ 0 = 978.032 7 1 + 0.005 279 041 4 sin 2φ

)

+ 0.000 023 271 8 sin 4φ + 0.000 000 126 2 sin 6φ Gal .

(6.19)

Razlika izme|u redukovane stvarne teè i normalne teè na elipsoidu zove se anomalija teè i ozna~ava se sa ∆g . U zavisnosti od na~ina korekcije stvarne teè

92


§ 6.2

SLIKA 6.7. Anomalije slobodnog vazduha isto~ne Kanade, koje se odnose na formulu 1967. Izolinije u miligalima. (Ljubazno{}u EARTH PHYSICS BRANCH, DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES [1977A], Ottawa, Canada.)

za efekat visine, razlikuje se vi{e vrsta anomalija teè. Upotrebom popravke slobodnog vazduha dobija se anomalija slobodnog vazduha. Ostale vrste anomalija razmotri}emo u poglavlju 21. U zavisnosti od izraza po kojem se ra~una normalna teà, anomalije teè mogu se odnositi na formulu 1930, 1967, itd. Regionalna karta anomalija slobodnog vazduha isto~ne Kanade koje se odnose na formulu 1967 prikazana je na slici 7. Slika 8 pokazuje anomalije slobodnog vazduha bazirane na formuli 1930 za celu Kanadu [NAGY, 1973]. Primetimo da su varijacije veoma male, sa izuzetkom nekoliko manjih podru~ja gde anomalije dostiù 100 mGal (0.01% od g ). Normalna teà apsorbovala je dakle varijacije uzrokovane Zemljinom spljo{teno{}u, ve}e od 5000 mGal . Ova ~injenica jo{ je bolje ilustrovana globalnom kartom anomalija teè izvedenih iz satelitskih opaànja [GAPOSHKIN, 1973] i prikazanih na slici 9. Na ovoj

§ 6.2

Anomalije sile teè

93

SLIKA 6.8. Anomalije slobodnog vazduha Kanade koje se odnose na formulu 1930. Izolinije u miligalima.

karti bile bi jasno izraène bilo koje globalne varijacije uzrokovane Zemljinom spljo{teno{}u da ih ima. Moè se ipak videti da su na sve tri karte jo{ uvek prisutne lokalne i regionalne nepravilnosti. U globalnim re{enjima lokalne nepravilnosti su prigu{ene pa izgledaju manje nego {to stvarno jesu. (c) [ta god da preostane nakon korekcije za visine i spljo{tenost Zemlje, predstavlja varijacije teè zbog nepravilne raspodele masa unutar Zemljinog tela. To je ustvari ~injenica koja gravimetrijska opaànja ~ini vrednim za druge geonauke. Pozitivna anomalija teè ( g > γ ) pokazuje da ispod povr{ine Zemlje postoji neka relativno gu{}a masa tj. da postoji pozitivna anomalija gustine. Negativnoj anomaliji teè ( g < γ ) odgovara negativna anomalija gustine. Nalaènje mogu}ih raspodela gustina koje odgovaraju opaànim varijacijama teè zove se gravimetrijska interpretacija, ali mi se njome ne}emo baviti u ovoj knjizi. Jedno se pravilo ipak moè formulisati. [ire karakteristike anomalija teè ukazuju na anomalije gustina na ve}im dubinama, dok su manje karakteristike posledica oblika

94


§ 6.2

§ 6.3

Potencijal sile teè

95

Zemljinog reljefa i anomalija gustina povr{inskih slojeva Zemlje [GARLAND, 1965; PICK ET AL., 1973]. Kao {to je napomenuto u podpoglavlju 6.1, kori{}enje intenziteta teè u obliku anomalija predstavlja jedan na~in prikazivanja polja Zemljine teè. Drugu mogu}nost predstavlja upotreba pravca vektora teè umesto njegovog intenziteta. Me|utim, pre nego {to objasnimo ovaj pristup, mora se prvo upoznati koncept potencijala. 6.3. Potencijal sile teè Po{to je polje teè vektorsko polje, to zna~i da je svakoj ta~ki prostora pridruèn vektor, odnosno trojka brojeva. Me|utim, mnogo je pogodnije raditi sa skalarnim poljem gde je za svaku ta~ku potreban samo jedan broj. Zato se postavlja pitanje da li je mogu}e vektorsko polje u potpunosti predstaviti pomo}u skalarnog polja? Odgovor je potvrdan barem za neka vektorska polja u koja spada i polje Zemljine teè.

K

Uo~imo u vektorskom polju v proizvoljnu, zatvorenu, prostornu krivu C . Ako za bilo koju takvu krivu C (slika 10) vaì slede}a jednakost:

K K

K

∫ v (r ) ⋅ dr = 0 ,

(6.20)

C

K

K

gde je dr upravljeno du` krive C (vidi podpoglavlje 3.2), tada je polje r bezvrtlo`no. A ako je polje bezvrtlo`no, onda postoji skalarno polje V takvo da je:

K K K K v ( r ) = ∇V ( r ) = grad V ( r ) .

(6.21)

K

Da bi gornja jednakost vaìla i u slu~aju da se razmatra vreme, polje r mora jo{ biti i konzervativno tj. nepromenljivo sa vremenom. Ovo skalarno polje V zove se K K potencijalna energija polja r , a polje r je onda gradijent skalarnog polja V (vidi podpoglavlje 3.2). Sa fizi~ke ta~ke gledi{ta, V je koli~ina rada potrebna da se

K

suprotstavi sili r . Njegove fizi~ke jedinice su g cm 2 s −2 . Dokazano je da je polje sile teè bezvrtlo`no [MACMILLAN, 1930], i da mu se kao takvom moè pridruìti potencijalna energija. [tavi{e, zbog toga {to se polje K ubrzanja teè g razlikuje od polja sile teè samo za razmeru m (vidi formulu

96

§ 6.3


SLIKA 6.10. Integracija vektorskog polja du` krive.

(10)), lako je videti iz (21) da se polje teè moè izraziti i kao:

K K F ′ = mg = ∇V = m∇W .

(6.22)

Drugim re~ima, postoji i skalarno polje W takvo da vaì:

K g = ∇W .

(6.23)

Ovo skalarno polje zove se potencijal teè. Potencijal teè W ponekad se defini{e kao negativna koli~ina rada, potrebna da se K suprotstavi sili teè mg koja deluje na jedini~nu masu m . Ali njegove fizi~ke jedinice su cm 2 s −2 , a u njima se ne vidi prisustvo mase. Stoga je pogodnije posmatrati W kao rad u kinemati~kom smislu, dakle bez obzira na masu. Po{to se potencijal W razlikuje od potencijalne energije V samo u razmeri m , odnosno masi ~estice koja se privla~i, geometrije skalarnih polja W i V su iste. Pogledajmo ponovo jedna~inu (9). Moè se videti da je ubrzanje teè jednako zbiru trostrukog integrala koji predstavlja ubrzanje sile privla~enja, i drugog ~lana koji predstavlja centrifugalno ubrzanje. Po{to je diferencijalni operator ∇ linearan, potencijal teè W se tako|e moè izraziti kao zbir potencijala privla~enja Wg i

K

centrifugalnog potencijala Wc . Ako se ubrzanje sile privla~enja ozna~i sa g g , a

K

centrifugalno ubrzanje sa g c , onda vaì (vidi podpoglavlje 3.2):

§ 6.3


(

97

)

K K K g = g g + g c = ∇W g + ∇W c = ∇ W g + W c .

(6.24)

Razvijaju}i gradijente i upore|uju}i ih sa (9), ~italac se moè uveriti da su dva potencijala data slede}im formulama:

K σ (r ) K Wg ( rA ) = G ∫∫∫ K K dB . r − rA B

(6.25)

K Wc ( rA ) = 12 p A2ω 2 .

(6.26)

Ispitivanje ovih formula vodi zaklju~ku da dok se Wg smanjuje iznad Zemlje (tj. za

K K K K rA > r ) jer je obrnuto proporcionalno rastojanju r − rA , Wc se istovremeno

pove}ava po{to je upravo proporcionalno kvadratu rastojanja p A od ose rotacije. Uzimaju}i za primer pravac od centra mase u ekvatorskoj ravni, vidimo da se potencijal menja sa rastojanjem onako kako je prikazano na slici 11. Pri interpretaciji ove slike mora se imati na umu da kombinovani potencijal W deluje samo na ~estice i tela povezana sa Zemljom. îm telo prestane da se okre}e zajedno sa Zemljom, centrifugalni potencijal Wc nestaje, a preostaje samo potencijal privla~enja Wg . Po{to potencijal teè W mora da sadrì sve informacije o polju teè, treba o~ekivati da pravilnom potencijalu odgovara pravilno polje teè, a nepravilnom

SLIKA 6.11. Potencijali teè i privla~enja.

98


§ 6.3

nepravilno. Na koji se onda na~in potencijal moè koristiti za prikazivanje nepravilnosti polja teè? Najjednostavniji na~in kori{}enja potencijala teè W predstavlja upotreba ekvipotencijalnih povr{i i linija sila. Ekvipotencijalna povr{ je povr{ na kojoj je potencijal teè konstantan. Op{ta jedna~ina ekvipotencijalne povr{i je:

K W ( r ) = const.

(6.27)

O~igledno je da se izborom razli~itih vrednosti potencijala moè definisati beskona~no mnogo ekvipotencijalnih povr{i. Linije sile su krive kod kojih je u svakoj ta~ki gradijent potencijala tj. vektor ubrzanja teè tangenta. Linije sile Zemljinog polja teè zovu se vertikale (slika 12). Postoji nekoliko svojstava Zemljinih ekvipotencijalnih povr{i koja su od zna~aja za geodeziju. (a) Pre svega, ekvipotencijalne povr{i nikad ne prelaze jedna preko druge. To su zatvorene povr{i, i obuhvataju jedna drugu. (b) One su tako|e i neprekidne. (c) Ekvipotencijalne povr{i nemaju nagle prelaze niti o{tre ivice, tj. tangentne ravni dve beskona~no bliske ta~ke iste ekvipotencijalne povr{i i same su beskona~no bliske. (d) Lokalni polupre~nici krivina ekvipotencijalnih povr{i sporo se menjaju od ta~ke do ta~ke, sa izuzetkom ta~aka u kojima gustina naglo menja svoju vrednost. Primer takvih singularnih ta~aka su ta~ke na povr{i Zemlje.

SLIKA 6.12. Ekvipotencijalne povr{i i linije sile Zemljinog polja teè.

§ 6.3


99

(e) Kona~no, ekvipotencijalne povr{i su svuda konveksne. To zna~i da nemaju nikakvih udubljenja, prolaza ili dolina. Iz didakti~kih razloga ovo svojstvo nismo uvek isticali na slikama u ovoj knjizi. Za vi{e detalja i precizni matemati~ki tretman, ~italac se upu}uje na literaturu (MACMILLAN [1930], LANDKOF [1972]). Pri kretanju po ekvipotencijalnoj povr{i nema promene potencijala, pa se stoga ne vr{i nikakav bilo pozitivni ili negativni rad u stati~kom smislu. Prema tome, ovo kretanje ne moè se izvoditi du` pravaca linija sila polja. Posledica toga je da linije sile moraju biti upravne na ekvipotencijalne povr{i. Po{to se pravac vertikale ina~e naziva vertikalnim pravcem, ekvipotencijalne povr{i defini{u horizontalni pravac i zato se jo{ nazivaju i nivoskim povr{ima. Suprotno popularnom verovanju, masivni konac viska ne prati vertikalu, kao {to je ne prati ni putanja tela koje slobodno pada. Obja{njenje se prepu{ta ~itaocu. Ako se nacrta popre~ni presek ekvipotencijalne povr{i, tj. presek sa ravni normalnom na vektor teè sa slike 5, moè se videti da je rezultat jedna spljo{tena kriva. Sve ekvipotencijalne povr{i imaju prostorno spljo{teni raspored (slika 12), koji podse}a na niz koncentri~nih elipsoida. Me|utim, zbog nepravilne raspodele gustina nepravilne su i ekvipotencijalne povr{i. Kako se njihovi polupre~nici krivina nepravilno menjaju od ta~ke do ta~ke i u razli~itim pravcima, sledi da su i vertikale zakrivljene u svim pravcima. Drugim re~ima, one imaju ne samo krivinu ve} i torziju, pa predstavljaju prostorne krive. Podsetimo se ipak da su sve ove nepravilnosti, iako zna~ajne, ustvari veoma male. Ve} smo videli da izme|u ekvipotencijalnih povr{i i pravaca teè postoji me|usobna upravnost. êsto se postavlja pitanje kakva veza postoji izme|u ekvipotencijalnih povr{i i intenziteta teè? Intenzitet teè direktno zavisi od rastojanja izme|u ekvipotencijalnih povr{i. [to su povr{i bliè, to je polje teè ja~e (ve}e g ), i obratno (slika 13). Ovo postaje jo{ o~iglednije ako se setimo da je g prosto odnos razlike potencijala dve beskona~no bliske ekvipotencijalne povr{i, i njihovog rastojanja:

g = ∇W = −

∂W . ∂h

(6.28)

Ovakvo zaklju~ivanje daje odgovor na jo{ jedno ~esto postavljano pitanje: da li je teà na ekvipotencijalnoj povr{i konstantna? Pogled na sliku 13 uverava nas da se u op{tem slu~aju intenzitet teè na ekvipotencijalnoj povr{i menja.

100


§ 6.3

SLIKA 6.13. Teà na ekvipotencijalnoj povr{i.

Drugo svojstvo o~igledno sa slike 12, odnosno ~injenica da ekvipotencijalne povr{i konvergiraju jedna drugoj prema polovima, sada se moè objasniti: to je posledica ja~e teè na polovima nego na ekvatoru. Uzimaju}i na primer formulu 1967 (jedna~ina (18)) kao model koji adekvatno opisuje globalno polje teè, dobijamo da je razlika izme|u vrednosti g E (za φ = 0° ) i g P (za φ = 90° ) pribli`no 5 Gal ili preciznije:

g P − g E = 5.186 Gal = 5.3 × 10 −3 g E .

(6.29)

Ako se (28) napi{e u obliku:

H P g P = H E g E = δW = const. ,

(6.30)

gde je H visina izabrane ekvipotencijalne povr{i iznad geoida, onda je visina na polovima ( H P ) jednaka 1 − 5.4 × 10 −3 = 0.9946 pomnoèno sa visinom na ekvatoru ( H E ). Konvergencija je prema tome 0.54%. Drugi na~in da se shvati ovo svojstvo Zemljinog polja teè je ~injenica da je potrebno izvr{iti ve}i rad na polu nego na ekvatoru da bi se podiglo telo konstantne mase. Obja{njenje za ovakvu tvrdnju ostavljamo ~itaocu. Do sada bi trebalo da bude jasno da se povr{ina homogenog fluida u ravnoteì poklapa sa delom odgovaraju}e Zemljine ekvipotencijalne povr{i. Pretpostavimo da se povr{ fluida razlikuje od ekvipotencijalne povr{i. Tada }e postojati razlika u potencijalu na povr{i fluida, ili drugim re~ima, postoja}e komponenta sile teè koja deluje du` povr{i fluida. Razlika u potencijalu, odnosno tangencijalna komponenta sile teè, uzrokova}e onda tok fluida u meri potrebnoj da njegova povr{ ponovo zauzme stanje ravnoteè, tj. da se poklopi sa ekvipotencijalnom povr{i.

§ 6.4

Geoid i vertikalski otkloni

101

To je ono {to se i doga|a na Zemljinoj povr{i, i to kako lokalno tako i globalno. Povr{i jezera i okeana teè da prate ekvipotencijalne povr{i sa eventualno malim odstupanjima koji su posledica nehomogenoti vode i spoljnih uticaja (poglavlje 7). âk se i Zemlja u celini pona{a pod konstantnim delovanjem sila kao viskozno telo, tj. kao da je sastavljena od visoko viskoznog fluida. Prema tome i ona teì da zauzme oblik ekvipotencijalne povr{i. Ne{to vi{e o ovoj temi bi}e re~eno u narednom poglavlju. 6.4. Geoid i vertikalski otkloni Ekvipotencijalna povr{ teè koja najbolje aproksimira srednji nivo mora za celu Zemlju zove se geoid. Gaus je definisao geoid kao matemati~ki oblik Zemlje (vidi podpoglavlje 1.3), i kao takav on predstavlja klju~nu povr{ u geodeziji, sa naro~ito va`nom ulogom u pozicioniranju, kao {to }e to biti pokazano u delu IV. U prvoj aproksimaciji, tj. sa pribliènjem od nekoliko metara, geoid predstavlja srednji nivo mora. U op{tem slu~aju on prolazi ispod kontinenata na dubini jednakoj visini terena iznad nivoa mora. Geoid naravno poseduje sva svojstva jedne ekvipotencijalne povr{i (podpoglavlje 6.3). Opaànja su pokazala da se geoid moè aproksimirati sa pribliènjem od nekoliko desetina metara i dvoosnim geocentri~nim elipsoidom ~ija se mala osa poklapa sa Zemljinom glavnom polarnom osom inercije. Zbog toga je sasvim prirodna upotreba koncepta sli~nog onom za normalnu teù, tj. usvajanje analiti~ki

SLIKA 6.14. Dvoosni elipsoid kao normalno Zemljino telo.

102


§ 6.4

definisanog normalnog ″Zemljinog tela″ u obliku geocentri~nog dvoosnog elipsoida koji najbolje aproksimira Zemlju, i kojeg neki autori nazivaju srednjim Zemljinim elipsoidom (vidi sliku 14). Geoid se obi~no odnosi na isti onaj elipsoid koji generi{e normalnu teù (podpoglavlje 6.2). U tom kontekstu govori se i o geocentri~nom referentnom elipsoidu. Vi{e o ovoj temi bi}e govora u poglavlju 7. Geocentri~ni referentni elipsoid je pogodno posmatrati kao telo koje ne samo da generi{e normalnu teù, ve} i potencijal koji odgovara normalnoj teì. Uz oznaku U za normalni potencijal, ponovo se dobija poznata veza:

G

γ = ∇U .

(6.31)

Da bi se stvarno i normalno polje teè doveli u jo{ bliù vezu, obi~no se zahteva da normalni potencijal na povr{i referentnog elipsoida bude konstantan, i {to je mogu}e bliì po vrednosti stvarnom potencijalu na geoidu. Povr{ elipsoida na taj na~in postaje jedna od ekvipotencijalnih povr{i polja normalne teè koju neki autori nazivaju i ekvipotencijalnim elipsoidom. Razlog za nastojanje za {to bliòm vezom stvarnog i normalnog polja leì u pogodnostima za razna istraìvanja i ra~unanja. Me|unarodni geocentri~ni referentni elipsoid 1967 ima po definiciji potencijal na svojoj

povr{i

u

iznosu

od

6.263 686 085 × 1011 cm 2 s −2 = 6.263 686 085 ×

10 6 kGal m [IAG, 1980]. Opisana definicija normalnog polja teè omogu}uje formulaciju raznih parova veli~ina: stvarno polje teè - normalno polje teè; stvarna ekvipotencijalna povr{ normalna ekvipotencijalna povr{; stvarna vertikala - normalna vertikala; geoid geocentri~ni elipsoid itd. U nastavku ovog podpoglavlja saèto }e biti razmotrena dva takva para: geoid - elipsoid i pravci stvarnih i normalnih vektora teè. Rastojanje izme|u geocentri~nog referentnog elipsoida i geoida zove se geoidna visina ili geoidna undulacija, i obi~no se ozna~ava sa N . Ono se ponekad naziva i apsolutnom geoidnom visinom zato {to odre|uje geoid u odnosu na ″apsolutni″ tj. geocentri~ni referentni elipsoid. Postoje i relativne geoidne visine koje odre|uju geoid u odnosu na referentni elipsoid koji nije geocentri~no lociran. Relativne geoidne visine bi}e obra|ene u delovima IV i V. Ovde }e biti dovoljno da pokaèmo primer (vidi sliku 15) relativnog geoida isto~ne Kanade [MERRY AND VANI~EK, 1974], koji se odnosi na negeocentri~ni referentni elipsoid pod imenom NAD 27 (podpoglavlje 7.3).

§ 6.4


103

SLIKA 6.15. Relativni geoid isto~ne Kanade koji se odnosi na NAD 27. Izolinije u metrima.

Primer apsolutnog geoida za celu Kanadu [VINCENT ET AL., 1972], dat je na slici 16. Ovo re{enje odnosi se na geocentri~ni elipsoid koji je za 34m manji po veli~ini od me|unarodnog elipsoida 1967 (pri ~emu je razlika u obliku bezna~ajna), i koji ima i odgovaraju}e manju masu. Stoga se geoidne visine koje se odnose na ova dva elipsoida mogu direktno upore|ivati. Vi{e o ovom specifi~nom re{enju bi}e re~eno u podpoglavlju 22.1. Kao i u slu~aju anomalija, moè se re}i da {ire karakteristike geoida predstavljaju posledicu razlika gustina na ve}im dubinama, dok kratkotalasne karakteristike odraàvaju podpovr{insku raspodelu gustina. Stoga se za globalna istraìvanja koriste globalna re{enja za geoid. Slika 17 prikazuje jedno od mnogih postoje}ih globalnih re{enja [RAPP, 1974]. Ovo re{enje je pribli`no zbog toga {to izraàva samo dugotalasne karakteristike geoida. Shodno tome geoid izgleda mnogo gla|i nego {to stvarno jeste. Razli~ite metode odre|ivanja geoida bi}e date u delu V.

104


§ 6.4

SLIKA 6.16. Apsolutni geoid u Kanadi. Izolinije u metrima.

Mora se imati u vidu da doline prikazane na kartama ustvari nisu konkavne. Kao {to smo ve} konstatovali, geoid je konveksna povr{. Prividno konkavne oblasti posledica su ″ispravljanja″ elipsoida u ravan. Primetimo da se najve}a geoidna visina (po apsolutnoj vrednosti), pojavljuje ju`no od Indije gde geoid prolazi oko 100 m ispod referentnog elipsoida. Postoji veoma interesantna, empirijski utvr|ena veza, izme|u amplitude i talasne duìne geoidnih oblika [KAULA, 1966A]. Ova veza najbolje se vidi na profilu geoida kao {to je onaj prikazan na slici 18. Kada se N razvije u trigonometrijski Furijeov red (vidi podpoglavlje 3.2), onda se u proseku (tj. za mnoge profile na razli~itim lokacijama i u raznim pravcima), amplitude An (Furijeovi koeficijenti) smanjuju sa pove}anjem talasnog broja n . Za detaljnija razmatranja ~italac se upu}uje na podpoglavlje 20.2. Ako se uzme da n = 1 odgovara talasnoj duìni od 40000km (jednom oko Zemlje), onda Kaulino pravilo glasi:

An = R / (n 2 10 5 ) ,

(6.32)

§ 6.4


105

106


§ 6.4

SLIKA 6.18. Geoidni profil.

gde je R ponovo srednji polupre~nik Zemlje. Ako je, na primer, karakteristika duga~ka 2000km ({to odgovara talasnoj duìni od 4000km ili n = 10 ), tada se moè o~ekivati da njena amplituda u proseku bude oko 64 centimetara. Naknadna istraìvanja potvrdila su da ovo pravilo vaì za karakteristike duìne od oko 500km [BROWN ET AL., 1972]. Kao {to je napomenuto na kraju podpoglavlja 6.1, sada je na redu tretman nepravilnosti pravaca Zemljinog polja teè. Za prikazivanje tih nepravilnosti koriste G se pravci stvarnog i normalnog polja teè. Slika 19 pokazuje dva vektora teè γ 0 i

G G g 0 na geoidu i geocentri~nom elipsoidu respektivno. Prostorni ugao izme|u γ 0 i G g 0 defini{e vertikalski otklon θ . Drugim re~ima, vertikalski otklon predstavlja

ugao izme|u stvarne vertikale na geoidu i elipsoidne normale, i obi~no se naziva apsolutnim otklonom na geoidu. Analogno geoidnim visinama mogu se definisati i relativni otkloni (vidi podpoglavlje 21.1) kori{}enjem elipsoida koji nije geocentri~an. Neke primene zahtevaju da otkloni budu definisani na povr{i Zemlje. U takvim prilikama potreban ugao je onaj izme|u stvarnog vektora teè uzetog na Zemljinoj povr{i i elipsoidne normale, i zove se povr{inski otklon. I on moè biti apsolutan ili

SLIKA 6.19. Vertikalski otklon.

§ 6.4


107

SLIKA 6.20. Komponente otklona vertikale.

relativan, ve} prema vrsti elipsoida koji se koristi (geocentri~ni ili negeocentri~ni). O~igledno je da se povr{inski i geoidni otklon u istoj ta~ki (za istu elipsoidnu normalu) me|usobno razlikuju, jer je stvarna vertikala zakrivljena u prostoru izme|u geoida i povr{i Zemlje. Po pravilu, te su razlike zna~ajnije u planinskim podru~jima. U Alpima su primera radi sra~unate vrednosti i do 12″ [KOBOLD AND HUNZIKER, 1962]. Vi{e o ovome na}i}e se u podpoglavlju 21.3. Po{to je otklon vertikale θ prostorni ugao, pogodno je razloìti ga na dve ortogonalne komponente ξ i η koje se zovu komponente otklona. Slika 20 prikazuje jednu osminu sfere centrirane u ta~ki ( T ) za koju je dat otklon (bilo na zemljinoj povr{i ili na geoidu). Prikazani kartezijanski koordinatni sistem paralelan je prirodnom sistemu koordinata definisanom u podpoglavlju 5.3. Prema tome, ξ je projekcija otklona θ na meridijansku ravan i zove se komponenta po meridijanu, a η je projekcija na ravan prvog vertikala i predstavlja komponentu po prvom vertikalu. Znak obe komponente dogovorno se usvaja kao pozitivan, ako je stvarna vertikala teè severnija i isto~nija od geodetske vertikale. Ovo je op{te pravilo i za severnu i za ju`nu hemisferu. Nije te{ko uvideti da se geoidni otklon θ moè posmatrati i kao maksimalni nagib geoida u odnosu na referentni elipsoid (slika 21). Analogno tome, ξ je nagib geoida u pravcu sever-jug, a η u pravcu istok-zapad. Ako se geoid sniàva prema severu, ξ je pozitivno i obratno. Sniàvanje geoida prema istoku zna~i da je η pozitivno. U Americi je ponekad znak za η obrnut, ali u ovoj knjizi ne}e biti kori{}ena takva konvencija.

108


§ 6.4

SLIKA 6.21. Otklon kao nagib geoida.

Vertikalski otkloni se mogu posmatrati kao da su sastavljeni od dva dela: jednog koji odraàva regionalnu raspodelu gustina, i drugog koji je posledica nepravilnosti Zemljine topografije i podpovr{inskih anomalija masa. Prvi deo je u op{tem slu~aju preovla|uju}i u ravnim i nizijskim oblastima. Drugi preovla|uje u planinskom reljefu. Najve}i povr{inski otkloni mogu se na}i u visokim planinama gde mogu dosti}i veli~inu reda 1′ [HEISKANEN AND VENING MEINESZ, 1958]. Otkloni su retko ve}i od 20″ u nizijama.

SLIKA 6.22. Lokalni relativni otkloni za Isto~nu Kanadu u odnosu na NAD 27.

§ 6.4


109

110


§ 6.4

§ 6.4


111

Lokalni relativni otkloni za isto~nu Kanadu, koji se odnose na negeocentri~ni elipsoid, prikazani su na slici 22 [MERRY AND VANI~EK, 1974]. Glatki, globalni (apsolutni) otkloni tj. njihove komponente koje se odnose na IAG referentni elipsoid 1967, dati su na slikama 23 i 24. Ovi otkloni dobijeni su iz opaànja prema satelitima 1960-ih godina [BUR{A, 1971]. îtaoci }e mo`da hteti da uporede veli~ine ove dve vrste otklona. Mnogo manje veli~ine globalnih otklona posledica su ugla~avanja globalnog polja. Istu situaciju ve} smo imali i sa globalnim anomalijama teè i globalnim geoidom.

POGLAVLJE 7


Odre|ivanje veli~ine i oblika Zemlje, jedan je od najva`nijih zadataka geodezije. Zbog toga je su{tinski va`no jasno razumevanje razli~itih zna~enja pojmova veli~ine i oblika koji se u geodeziji javljaju u vezi sa Zemljom. Kada se u geodeziji govori o Zemljinoj figuri, obi~no se Zemlja smatra ~vrstom. Vremenske promene njenog oblika i veli~ine tretiraju se zasebno. To je pristup koji smo i mi ovde usvojili. Svako od narednih ~etiri podpoglavlja opisuje po jednu vrstu povr{i koja se u geodeziji koristi za modeliranje geometrije Zemljine povr{ine. Prvo poglavlje bavi se najprirodnijom povr{i, koju predstavlja fizi~ka povr{ Zemlje tj. njen reljef kao i povr{ dna okeana. Ova je povr{ komplikovana, i kao takva nepogodna za matemati~ki tretman. Slede}a povr{ koja ima fizi~ko zna~enje je geoid kojeg smo ve} uveli kao pojam u prethodnom poglavlju, a ovde }e biti prodiskutovan u drugom podpoglavlju. Geoid je mnogo mirnija povr{ nego reljef, ali jo{ uvek suvi{e komplikovan da bi posluìo kao ra~unska povr{ za re{avanje geometrijskih problema kao {to je pozicioniranje. Sa te ta~ke gledi{ta mnogo pogodnije su elipsoidne povr{i koje su predmet tre}eg podpoglavlja. Poslednje podpoglavlje posve}eno je drugim, kompleksnijim matemati~kim povr{ima koje se koriste za re{avanje drugih geodetskih problema. 7.1. Stvarni oblik Zemlje Za prikazivanje oblika fizi~ke povr{i dela ili cele Zemlje koriste se grafi~ke ili digitalne topografske karte raznih vrsta i razmera. Njihova izrada predstavlja zajedni~ki interes geodezije i kartografije. Danas oko 72% Zemljine povr{ine prekriva voda dok je preostalih 28% suvozemno [GASS ET AL., 1972]. Iz o~iglednih razloga na{ interes je usmeren upravo na ovih 28%. Me|utim, iako je primarni cilj geodezije opisivanje geometrije reljefa, to nikako ne isklju~uje ni povr{inu ni dno mora i okeana. Da bi se reljef opisao matemati~ki, moè se na primer izabrati kona~an skup ta~aka koje su u tom smislu reprezentativne, stabilizovati ih i odrediti im poloàje u

112

§ 7.1

Stvarni oblik Zemlje

113

izabranom koordinatnom sistemu. Mreè ovih ta~aka mogu se onda smatrati jednom od mogu}ih predstava Zemljine fizi~ke povr{i. Tradicionalno, ovakve geodetske mreè spadaju u jednu od tri kategorije, u zavisnosti od toga kako su poloàji pojedinih ta~aka definisani. Mreè ta~aka definisanih samo jednom koordinatom ″visinom iznad nivoa mora″ H , poznate su kao geodetske visinske ili vertikalne mreè. Mreè ta~aka sa poznatim horizontalnim poloàjima npr. latitudom φ i longitudom λ zovu se geodetske horizontalne mreè. Razlozi za razdvajanje na horizontalne i vertikalne mreè uglavnom su istorijski. U pro{losti je bilo lak{e i ekonomi~nije odre|ivati horizontalne i vertikalne poloàje odvojeno. Oni su zahtevali razli~ite vrste terenskih merenja, a osim toga jedni na druge su uticali veoma slabo (deo IV). Kona~no, mreè ta~aka odre|enih sa tri koordinate zovu se trodimenzionalne mreè. Recimo sada ne{to vi{e o svakoj od pomenutih kategorija. O~igledno je da ~ak i ta~ke visinskih mreà tj. reperi, moraju imati odre|en neki horizontalni poloàj tako da im lokacija na povr{i Zemlje bude poznata barem pribli`no. Glavna razlika izme|u ta~aka vertikalnih i horizontalnih mreà leì u ~injenici da su za ta~ke vertikalnih mreà horizontalni poloàji slabo poznati, dok se za ta~ke horizontalnih mreà visine odre|uju samo pribli`no. Stoga je, {to se ta~nosti ti~e, teì{te u vertikalnim mreàma na visinama, a u horizontalnim mreàma na poloàjima.

SLIKA 7.1. Geodetske visinske mreè.

114


§ 7.1

Geodetske visinske mreè dele se u razli~ite redove. Vi{i red zna~i ve}u ta~nost, a u op{tem slu~aju i ve}a me|usobna rastojanja repera. Ta rastojanja variraju od zemlje do zemlje ali su za prvi (najvi{i) red obi~no 1 do 2 kilometra. Rastojanja izme|u susednih linija su me|utim obi~no ve}a. Globalni pregled vertikalnih mreà prvog reda uspostavljenih pre 1970. godine dat je na slici 1 [U.S. ARMY TOPOGRAPHIC COMMAND, 1971A]. Vertikalni poloàji (visine) H obi~no se odnose na nivo mora, ili preciznije na geoid koji se u ovom kontekstu naziva vertikalnim geodetskim datumom. Merenja su povezana sa nivoom mora pomo}u opaànja nivoa mora instrumentima poznatim kao mareografi (za detalje vidi podpoglavlje 19.1). U vertikalnim mreàma mogu se koristiti i druge referentne povr{i kao {to }e se videti u podpoglavlju 16.4. Do sada su na povr{i Zemlje odre|ene visine miliona repera prvog reda. Ove visine poznate su sa ta~no{}u boljom od metra, iako je ta~nost visinkih razlika izme|u susednih repera mnogo vi{a. Prema NASA [1973], standardna devijacija σ visine H iznad geoida raste sa duìnom S i to po slede}oj globalnoj empirijskoj formuli:

σ H = 1.8 × 10 −3 S 2 3 metara ,

(7.1)

gde je S u kilometrima. Prema tome visinska razlika izme|u dve ta~ke udaljene me|usobno 2000km ima ta~nost od oko σ H = 0.3 metara . Danas su visine najta~nije poznate geodetske koordinate. Geodetske horizontalne mreè sastoje se od stabilizovanih ta~aka ~ije su geodetske elipsoidne koordinate φ i λ poznate (vidi podpoglavlje 3.3). Koordinate se odnose na referentni elipsoid koji se naziva horizontalnim geodetskim datumom. Horizontalni poloàji mogu biti dati i u bilo kojem drugom dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu kao {to je npr. koordinatni sistem u projekciji, pod uslovom da je poznata njegova veza sa referentnim elipsoidom. U geodetskoj praksi se obi~no koriste konformne projekcije (vidi podpoglavlje 16.3). Visine ta~aka horizontalnih mreà odre|uju se pribli`no, ili se uop{te ne odre|uju. Horizontalne mreè tako|e se dele u razli~ite redove prema ta~nosti horizontalnih poloàja. Mreè prvog reda imaju najvi{u ta~nost relativnih poloàja (tj. horizontalnih koordinatnih razlika susednih ta~aka), i ona iznosi oko 1/100 000, tj. σ =10cm za koordinatne razlike od 10km. Savremene, stroìje uspostavljene mreè mogu me|utim imati ta~nost nekoliko puta ve}u. Niì redovi imaju niù ta~nost i ona varira od zemlje do zemlje. Red mreè obi~no izraàva rastojanje izme|u

§ 7.1


115

susednih ta~aka. Mreè vi{ih redova sastoje se od me|usobno udaljenijih ta~aka, dok se ta gustina pove}ava u mreàma niìh redova. Ako se uzmu u obzir samo terestri~ke merne metode, rastojanje u mreàma prvih redova tipi~no iznose nekoliko desetina kilometara pri ~emu su dogledanje i povoljni vremenski uslovi glavni ograni~avaju}i faktori. Sli~no visinskim mreàma, i horizontalne mreè predstavljaju primer diferencijalnih merenja koja se koriste u integracionom procesu. Shodno tome gre{ke merenja se akumuliraju uprkos svim mogu}im merama predostro`nosti. Ta~nost apsolutnih poloàja je neizbe`no lo{ija od ta~nosti relativnih poloàja, i smanjuje se sa pove}anjem rastojanja od unapred izabranog po~etka mreè (podpoglavlje 18.1). Tako je za horizontalne mreè u Americi SIMMONS [1950] na{ao da je standardna devijacija σ P koordinatnih razlika izme|u ta~aka mreè i po~etka mreè (Meade′s Ranch, Kansas), data slede}om empirijskom formulom:

σ P = 4 × 10 −2 S 2 3 metara ,

(7.2)

gde je S rastojanje u kilometrima. To pokazuje da na primer ta~ka locirana 2000km od Meade′s Ranch ima u odnosu na njega gre{ku poloàja od σ P = 6.4 m . Numeri~ki faktor u (2) vaì za mreè u Americi. U drugim delovima sveta vaì}e razli~iti numeri~ki faktori zbog razli~itih metoda merenja i ra~unanja.

SLIKA 7.2. Geodetske horizontalne mreè.

116


§ 7.1

§ 7.1


117

Slika 2 pokazuje globalni pregled geodetskih horizontalnih mreà uspostavljenih terestri~kim merenjima pre 1970. godine [U. S. ARMY TOPOGRAPHIC COMMAND, 1971B]. Treba primetiti da ove mreè imaju velikih praznina. Osim toga te mreè se odnose na mno{tvo razli~itih rerferentnih elipsoida ~iji relativni poloàji jo{ uvek nisu dobro poznati. Zbog toga je informacija koju ove mreè pruàju o Zemljinom obliku i veli~ini ograni~ene vrednosti. Vi{e o horizontalnim geodetskim datumima na}i}e se u podpoglavlju 7.3. Ovde pokazujemo samo regione u kojima se koriste glavni geodetski datumi prema NASA [1973] (slika 3). Nakon upoznavanja sa visinskim i horizontalnim mreàma jasno je da je njihova vrednost ograni~ena, jer prikazuju samo jednu odnosno dve dimenzije su{tinski trodimenzionalne Zemljine figure. Osim toga, preklapanje visinskih i horizontalnih mreà je naàlost minimalno. Ta~ke koje se postavljaju za horizontalno pozicioniranje (obi~no razna uzvi{enja) nisu pogodne za vertikalno pozicioniranje za koje se ta~ke postavljaju du` puteva i pruga, i obratno. Sa geodetske ta~ke gledi{ta, normalno je raditi sa ta~kama ~ije su trodimenzionalne koordinate poznate. Ovakve trodimenzionalne mreè mogu se uspostaviti na jedan od slede}a dva na~ina: (a) Mogu se kombinovati horizontalni (φ , λ ) i vertikalni ( H ) poloàji odgovaraju}ih ta~aka, kako bi se dobila trojka koordinata (φ , λ , h) ili ekvivalentna trojka ( x, y, z ) G (vidi podpoglavlje 3.3). Potpuno obja{njenje ovog koordinatnog sistema bi}e dato u podpoglavlju 15.4. Jasno je da je poznavanje geoidne visine N

Slika 7.4. Geoid kao veza izme|u jednodimenzionalnih, dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih poloàja.

118


§ 7.1

neophodno za odre|ivanje visine h iznad elipsoida (vidi sliku 4):

h=H +N.

(7.3)

Tek je u poslednjoj deceniji prikupljeno dovoljno podataka za odre|ivanje dovoljno ta~nih geoidnih visina potrebnih u ove svrhe. (b) Mogu se upotrebiti terestri~ke i ekstraterestri~ke metode da se trodimenzionalni poloàji ta~aka dobiju direktno. Jedna takva metoda terestri~kog tipa su visokoprecizni geodetski vlaci, koji su u po~etku razvijani kao kalibracioni poligoni za satelitsko pozicioniranje. Analiti~ka fotogrametrija i inercijalno pozicioniranje su dalji primeri terestri~kih pozicionih metoda za progu{}avanje trodimenzionalnih mreà. U ovom kontekstu naro~ito su pogodne satelitske metode. Jedna od njihovih velikih prednosti je {to se rastojanja izme|u ta~aka mogu proizvoljno pove}avati jer se dogledanje vi{e ne postavlja kao uslov za merenje. Sve ove tehnike bi}e prikazane u delu IV. Jedan od prvih sistematskih poku{aja da se satelitskom tehnologijom tj. fotografisanjem satelita na zvezdanom nebu uspostavi globalna geodetska trodimenzionalna mreà [SCHMIDT, 1974], imao je za rezultat odre|ivanje koordinata ta~aka prikazanih na slici 5. Smatra se da je ta~nost poloàja ovih ta~aka bolja od σ = 5m po svakoj koordinati. Relativni poloàji ta~aka mogu se

SLIKA 7.5. BC-4 svetska satelitska triangulaciona mreà.

§ 7.1


119

dana{njom satelitskom tehnologijom odre|ivati sa ta~no{}u boljom od metra, a postoje sasvim dobri uslovi da se pove}a za najmanje jedan red veli~ine. Primer regionalne trodimenzionalne mreè uspostavljene tehnologijom baziranom na Doplerovom efektu prikazana je na slici 6 [KOUBA AND BOAL, 1976]. Ovim zaklju~ujemo kratki pregled geodetskih mreà koje se koriste kao oru|e za odre|ivanje oblika Zemlje. Geodetske mreè tradicionalno su vezane za kopno zbog nedostatka tehnologije za pozicioniranje na moru, kao i zbog nedostatka motiva, jer je eksploatacija morskog dna jo{ uvek veoma ograni~ena. Od skora, tehnologija za ove ciljeve doìvela je nagli razvoj, tako da je sada i poèljno i izvodljivo pro{iriti geodetske mreè i na morsko dno [MCKEOWN AND EATON, 1974; CESTONE ET AL., 1976]. S druge strane, jo{ od starih Grka izvo|en je hidrografski premer za izradu batimetrijskih karata neophodnih za navigaciju [HYDROGRAPHER OF THE NAVY, 1965]. Kartiranje morskog dna danas izvode razne hidrografske institucije {irom sveta.

SLIKA 7.6. Kanadska Doplerska satelitska mreà.

120


§ 7.2

SLIKA 7.7. Zemljina topografija u sfernim harmonicima. Izolinije u metrima.

Za neke svrhe se Zemljin oblik moè izraziti i matemati~kim formulama. U tom slu~aju dobija se kontinualna predstava Zemljine povr{i za razliku od diskretne, ta~kaste predstave pominjane do sada. Po{to je Zemljina povr{ veoma nepravilna, jasno je da se moraju upotrebiti veoma dugi funkcionalni redovi da bi se dobila èljena ta~nost. Ve} su na~injeni poku{aji da se kori{}enjem funkcionalnih redova ograni~ene duìne predstave barem najizraèniji delovi Zemljine povr{i. Slika 7 prikazuje rezultat jednog takvog poku{aja [PREY, 1922]. Primetimo da je na slici prikazano dno, a ne povr{ina mora i okeana. Mnogo detaljnija predstava moè se na}i u LEE AND KAULA [1967]. 7.2. Geoid kao Zemljina figura U skladu sa ve} pominjanim Gausovim idejama, geoid se ~esto koristi za predstavljanje figure Zemlje. Kao {to smo videli u podpoglavlju 6.4, geoid je povr{ sa jasnim fizi~kim zna~enjem. Po{to je to ekvipotencijalna povr{, geoid prakti~no opisuje povr{ homogenog fluida. Morska voda je manje ili vi{e homogena, pa geoid pribli`no prati nivo mora, i na taj na~in vrlo verno predstavlja figuru Zemlje na 72% njene povr{ine. Razjasnimo sada {ta se misli pod tim da se geoid pribli`no poklapa sa nivoom mora. Jasno je, naravno, da je povr{ mora mnogo manje stabilna nego povr{ kopna. Ona se neprekidno menja tokom vremena pod uticajem raznih efekata (takvi efekti bi}e

§ 7.2

Geoid kao Zemljina figura

121

detaljno obra|eni u podpoglavljima 8.4 i 19.1). Da li se onda uop{te moè govoriti o nekom poklapanju geoida i nivoa mora? Da bi se dve povr{i mogle upore|ivati u stacionarnom smislu, kao {to je to slu~aj sa geoidom i suvozemnom povr{i Zemlje, koristi se stacionarna povr{ pod nazivom srednji nivo mora. Opaànja trenutnog nivoa mora pokazuju da se on moè menjati za nekoliko desetina metara u toku dana, ali zato mese~ne sredine ne variraju vi{e od nekoliko decimetara, a godi{nje sredine ~ak pokazuju stabilnost u okviru 10cm za period od nekoliko decenija [HILL, 1966]. Ova ~injenica predstavlja osnovu definicije srednjeg nivoa mora (MSL) kao sredine svih trenutnih morskih povr{i u okviru dugog perioda vremena. Oblik srednje morske povr{i odre|en je, prema tome, opaànjima trenutnog nivoa mora u nizu ta~aka lociranih na obalama i opremljenih mareografima. Stalna slu`ba srednjeg nivoa mora (PSMSL) sa sedi{tem u Bidston Observatory (Cheshire, U.K.) odgovorna je za prikupljanje i distribuciju podataka srednjeg nivoa mora {irom sveta. Globalna raspodela gustina morske vode pokazuje tzv. vekovne nehomogenosti zbog oblika obalskih linija i drugih faktora, kao {to je konstantno vi{a temperatura vode u ekvatorskom pojasu a nià u polarnim oblastima, zatim preovla|uju}i raspored vetrova, itd. Mnogi od ovih efekata mogu se meriti i na osnovu njih pribli`no oceniti odstupanja srednjeg nivoa mora od hipoteti~kog stanja koje bi odgovaralo neporeme}enom homogenom fluidu. Ova odstupanja nazivaju se topografijom morske povr{i kako bi se istakla analogija sa topografijom kopna tj.

SLIKA 7.8. Topografija morske povr{i. Izolinije u centimetrima.

122


§ 7.2

njegovim odstupanjem od geoida. Do sada je u~injeno nekoliko poku{aja odre|ivanja topografije morske povr{i. Slika 8 prikazuje rezultate koje su dobili HELA AND LISITZIN [1967]. Ova slika bi tako|e trebalo da pomogne u shvatanju pravog zna~enja definicije geoida, (podpoglavlje 6.4), po kojoj je on ekvipotencijalna povr{ koja prolazi kroz stacionarni srednji nivo mora u srednjem smislu. Vratimo se sada vezi izme|u geoida i geocentri~nog referentnog elipsoida. Moè se videti sa slike 6.17 da, relativno govore}i, geoid blisko prati geocentri~ni referentni elipsoid. Maksimalna geoidna visina je reda veli~ine 100m, {to u pore|enju sa srednjim polupre~nikom Zemlje ( R = 6371 km ) predstavlja oko 1.6 × 10 −5 R . Stoga se u mnogim geodetskim primenama geoidna visina N tretira kao relativno mala veli~ina u formulama za popravke u kojima se pojavljuje zajedno sa R . Ako se pak koristi referentna sfera, geoidna visina koja bi se na nju odnosila bila bi reda veli~ine 10.7 km , tj. 1.7 × 10 −3 R , {to je ve}e vi{e od sto puta nego kad se koristi dvoosni elipsoid. To zna~i da je aproksimacija geoida geocentri~nim referentnim elipsoidom dva reda veli~ine bolja od aproksimacije sferom. Povr{ geoida se sli~no reljefu moè predstaviti ili diskretno skupom ta~aka, ili kontinualno pomo}u matemati~kih formula. Iako je geoid svuda konveksan, on je jo{ uvek veoma komplikovana povr{, i samo ga beskona~ni funkcionalni redovi mogu ta~no opisati. U praksi se naravno koriste kona~ni redovi koji ga opisuju samo pribli`no. Jedan takav primer ve} je prikazan na sl. 6.17. Ne{to vi{e }e o ovoj temi biti re~i u poglavlju 20. Kao {to }emo videti kasnije (deo V), oblik geoida u odnosu na referentni elipsoid moè danas biti odre|en s ta~no{}u od 1 do 2m u regionima gde postoji odgovaraju}a pokrivenost podacima, kao {to su Evropa, Amerika i Australija. Geoidne visinske razlike za ta~ke udaljene me|usobno nekoliko stotina kilometara mogu se dobiti mnogo ta~nije. Ta~nost geoidnih visina u drugim delovima sveta je nià, a najnià je u polarnim oblastima zbog nedostatka podataka. Za dvodimenzionalna geometrijska ra~unanja neophodna u horizontalnom pozicioniranju, poèljno je koristiti povr{ {to bliù geoidu, ali istovremeno i {to jednostavniju za matemati~ke manipulacije. Iz dosada{njih opaànja jasno je da je geoid suvi{e kompleksna povr{ za ra~unanje, i da kao takav nije pogodan kao referentna povr{ za geodetske horizontalne mreè. Neki istraìva~i su predlagali pojednostavljenu verziju geoida za te svrhe. Pojednostavljenja se dobijaju ustvari uzimanjem nekoliko prvih glavnih ~lanova funkcionalnog reda koji opisuje geoid, i zanemarivanjem ostalih. Ove pojednostavljene povr{i poznate su kao sferoidi. Dva takva sferoida izveli su Helmert i Bruns [HEISKANEN AND MORITZ, 1967], ali ni

§ 7.2


123

jedan nije na{ao {iru upotrebu. Dok su sferoidi s jedne strane geometrijski mnogo komplikovaniji od dvoosnog elipsoida, oni istovremeno od njega ne odstupaju vi{e od nekoliko desetina metara. [tavi{e, dvoosni i troosni elipsoidi kojima }emo se dalje baviti mogu da se posmatraju kao sferoidi nièg reda. Matemati~ki pogodna povr{ bliska geoidu je povr{ troosnog elipsoida. Mnogi istraìva~i ocenjivali su parametre troosnog elipsoida koji najbolje aproksimira geoid. Takav troosni elipsoid ima tri me|usobno upravne ose, pozicionirane u Zemlji na slede}i na~in: mala osa se poklapa sa Zemljinom polarnom osom inercije, a srednja i velika osa leè u ekvatorskoj ravni. Prema tome, troosni elipsoid je definisan duìnama velike ose ( 2a ), male ose ( 2b ) i srednje ose ( 2c ), i orijentacijom velike ose u ekvatorskoj ravni. Obi~no se za definicione parametre uzimaju slede}e ~etiri veli~ine: (a) Polovina duìne velike ose a . (b) Polarna spljo{tenost f data sa:

f =

a−b a

(7.4)

(c) Ekvatorska spljo{tenost f e data sa:

fe =

a−c . a

(7.5)

(d) Geografska duìna velike ose λ a . Tri najpoznatija odre|ivanja ovih parametara data su u tabeli 1. TABELA 7.1. Troosni elipsoidi

a−c f e−1

λa

(m)

( °)

13 720

465

a Re{enje CLARKE [1878]

(km)

6 378.206

f

−1

293.2

8

zapadno zapadno

HEISKANEN [1938]

6 378.388

297.8

18 120

352

23

BUR{A [1971]

6 378.173

297.78

92 800

68

14.8 zapadno

124


§ 7.2

§ 7.2


125

SLIKA 7.10. Ekvatorski presek geoida. (Razmera odstupanja od elipsoida pove}ana je 104 puta).

Poklapanje Bur{inog elipsoida sa geoidom dato je na slici 9 kao ilustracija. Uo~ljivo je da ovaj geoid ne izgleda mnogo gla|i u pore|enju sa geoidom koji se odnosi na dvoosni elipsoid (vidi sliku 6.17). Ovo se obja{njava ~injenicom da je ekvatorska

SLIKA 7.11. Meridijanski presek geoida du` meridijana λ = 90 D . (Razmera odstupanja od elipsoida pove}ana je 104 puta).

126


§ 7.3

spljo{tenost veoma mala u odnosu na polarnu (Klarkovo i Hajskanenovo re{enje pokazuje nerealno velike vrednosti ekvatorske spljo{tenosti). To zna~i da se troosni elipsoid, sli~no sferoidu, razlikuje samo nekoliko desetina metara od odgovaraju}eg dvoosnog elipsoida ~ije su dve ekvatorske ose jednake. [irok raspon re{enja za pravac velike ose tako|e ilustruje ovu ~injenicu. Kao drugi primer, slike 10 i 11 prikazuju ekvatorski i meridijanski presek stvarnog oblika geoida. Ovi preseci, uzeti ina~e sa slike 6.17, pokazuju da odstupanje geoida od geocentri~nog dvoosnog elipsoida u ekvatorskoj ravni nije zna~ajno razli~ito od odstupanja u meridijanskoj ravni. Dok bi se odstupanja u ekvatorskoj ravni zna~ajno smanjila ako se koristi troosni elipsoid, odstupanja u meridijanskoj ravni bila bi manja samo za slu~aj da se izabere kru{koliko referentno telo. Prema tome, ostaje za diskusiju da li bi takvo jedno telo bilo odgovaraju}e onoliko koliko je to troosni elipsoid. 7.3. Dvoosni elipsoid kao figura Zemlje Kao {to smo ve} videli, niti troosni elipsoid, ni kru{koliko referentno telo ne odstupaju zna~ajno od dvoosnog elipsoida. S druge strane, ra~unanja na troosnom elipsoidu mnogo su komplikovanija nego na dvoosnom. Stoga se u praksi koriste isklju~ivo dvoosni elipsoidi, koji, iako ne aproksimiraju geoid tako dobro kao troosni, taj nedostatak umnogome nadokna|uju jednostavno{}u ra~unanja. Dvoosni elipsoidi jedinstveno su odre|eni sa dva parametra, i to obi~no velikom poluosom a i spljo{teno{}u f , datim sa (4). Problem nalaènja najboljeg dvoosnog elipsoida klasi~an je geodetski problem koji je nau~nike zaokupljao vekovima. Pomenimo ovde, barem u principu, glavne metode kori{}ene u pro{losti za re{avanje ovog problema. Eratosten (vidi podpoglavlje 1.1) je pretpostavljao da je Zemlja sfernog oblika tj. f = 0 , i izveo je polupre~nik Zemlje za koji se smatra da u dana{njim jedinicama iznosi oko 5950 km, tj. a = 5950 km [SCHWARZ, 1975], i to na osnovu direktnog merenja duìne luka meridijana i odgovaraju}e razlike {irina. Na sli~nom principu bazira se i drugo ~uveno odre|ivanje izvedeno od strane francuske akademije nauka (vidi podpoglavlje 1.2). Smatramo da }e prikazom koncepta francuskog eksperimenta biti ba~eno vi{e svetlosti na na~in razmi{ljanja u osamnaestom veku, jer su posledice ovog koncepta odre|ivale geodetski na~in razmi{ljanja vi{e od sto godina. Da bi se odredila dva parametra a i f , opaàna su dva meridijanska luka, jedan u Peruu i drugi na granici [vedske i Finske. Duìna S ij svakog luka izvedena je iz relativno kratke i direktno merene baze, i mreè

§ 7.3

Dvoosni elipsoid kao figura Zemlje

127

SLIKA 7.12. Odre|ivanje duìne luka meridijana.

trouglova u kojoj su izmereni svi horizontalni uglovi (triangulacija). Jedna takva tipi~na konfiguracija prikazana je na slici 12. [irine krajnjih ta~aka Pi i Pj odre|ene su iz astronomskih opaànja. Kada su {irine φ i i φ j i duìna luka meridijana S ij poznati, moè se formulisati jedna~ina koja zbog geometrije meridijanske elipse sadrì veliku poluosu a i spljo{tenost f traènog dvoosnog elipsoida (vidi sliku 13).

SLIKA 7.13. Geometrija meridijanske elipse. (Za zna~enje indeksa G vidi podpoglavlje 15.4).

128


§ 7.3

SLIKA 7.14. Polupre~nik krivine meridijanske elipse.

Duìna luka meridijana S ij povezana je sa {irinama φ i i φ j preko: φj

S ij = M (φ ) dφ ,

∫

(7.6)

φi

gde M (φ ) ozna~ava polupre~nik krivine meridijanske elipse, ili prosto meridijanski polupre~nik krivine koji se menja sa {irinom φ . Iz diferencijalne geometrije je poznato (podpoglavlje 3.3), da je M (φ ) dato slede}im izrazom:

M (φ ) =

dS . dφ

(7.7)

Da bismo izveli jedna~inu za M (φ ) u funkciji definicionih parametara (a, f ) elipsoida, izvedimo prvo jedna~inu za p koordinatu ta~ke Pi , tj. p iG (vidi sliku 14). Jedna~ina elipse u kartezijanskim koordinatama p G , z G glasi:

( p ) + (z ) G 2

a2

G 2

b2

=1.

(7.8)

S druge strane, veza izme|u {irine i kartezijanskih koordinata ta~ke na elipsi glasi:

tan φ = −

dp G dz G

.

(7.9)

§ 7.3


129

SLIKA 7.15. Veza izme|u dp G i dS .

Nalaènjem izvoda od (8) i zamenom dp G dz G u (9) dobija se: 2

G ⎛a⎞ z tan φ i = ⎜ ⎟ iG . ⎝ b ⎠ pi

(7.10)

Ako se ekscentricitet elipse ozna~i sa e , tj.:

e2 =

a2 − b2 , a2

(7.11)

i z G izrazi iz (8), zamena u (10) daje:

a 2 cos 2φ i

p iG =

1 - e 2 sin 2φ i

.

(7.12)

Sada se moè formulisati jedna~ina za M (φ ) . Po{to se dS moè napisati kao:

dS = −

dp G sin φ

(7.13)

(vidi sliku 15), nakon diferenciranja (12) dobija se:

M (φ ) =

(

) (1 − e sin φ ) a 1 − e2 2

2

32

.

(7.14)

130

§ 7.3


Jedna~ina (6) kona~no postaje:

(

S ij = a 1 − e

φj

2

)∫ (1 − e sin φ ) 2

2

−3 2

dφ .

(7.15)

φi

Identi~na jednakost moè se napisati i za drugi meridijanski luk. Dve jedna~ine koje povezuju dva meridijanska luka sa dva nepoznata parametra a , e (preko {irina krajnjih ta~aka) sadrè elipti~ke integrale. Ovi se integrali mogu re{iti samo razvojem u red (vidi podpoglavlje 3.2). Redovi se potom invertuju i iteriraju dok se ne dobiju re{enja za a i e . Potom se f ra~una iz e primenom formule:

f =1 − 1 − e2 ,

(7.16)

koja se izvodi iz (4) i (11). Kona~an rezultat opisanog francuskog eksperimenta, zajedno sa drugim rezultatima dat je u tabeli 2. TABELA 7.2 Dvoosni (geocentri~ni) elipsoidi

a −1

Primedba

Re{enje

(km)

f

Eratosten [SCHWARZ, 1975]

5950

∞

Pretpostavljena sfera

Francuski eksperiment [ BÖHM, 1972]

6376.568

310.3

Osnova za definiciju metra

1924 Me|unarodni [HAYFORD, 1909]

6378.388

297.0

1967 Me|unarodni [IAG, 1971]

6378.160

298.247

Smithsonian [GAPOSHKIN, 1973]

6378.140

298.256

U.S.Department of Defence [SEPPELIN, 1974]

6378.135

298.26

1980 Me|unarodni [IAG, 1980]

6378.137

298.257

Kori{}en i od drugih me|unarodnih institucija

Kori{}en i od drugih me|unarodnih institucija

§ 7.3


131

Odre|ivanja sprovedena krajem devetnaestog i po~etkom dvadesetog veka koristila su umesto meridijanskih lukova trigonometrijske mreè, tj. horizontalne geodetske mreè sa merenim horizontalnim uglovima i ponekom osnovicom. Koncepcijski, upotreba mreè ekvivalentna je pristupu sa meridijanskim lukovima, s tom razlikom {to se umesto u jednoj dimenziji, radi u dve dimenzije i na elipsoidnoj povr{i. Za ovu metodu mora se raspolagati i astronomski odre|enim duìnama. Kada su gravimetrijski podaci postali dovoljno brojni, pojavila se jo{ jedna mogu}nost odre|ivanja oblika Zemlje, i to uz pomo} Kleroove teoreme koja opisuje vezu izme|u teè i veli~ine i oblika Zemlje [HEISKANEN AND MORITZ, 1967]:

f =

5 ω 2a γ P − γ E − . 2 γE γE

(7.17)

Ovde γ E predstavlja normalno ubrzanje na ekvatoru, γ P normalno ubrzanje na

~

polovima, a veli~ina (γ P − γ E ) γ E = f poznata je kao gravimetrijska spljo{tenost. Po~etkom dvadesetog veka predlagani su mnogi dvoosni (geocentri~ni) elipsoidi. Ovo je bio razlog da IAG 1924. godine predloì svojim zemljama ~lanicama da elipsoid odre|en od strane ameri~kog geodete Hajforda (HAYFORD [1909]) bude usvojen za me|unarodni elipsoid. U to vreme smatralo se naime da taj elipsoid najbolje aproksimira geoid (vidi tabelu 2). Za ovaj elipsoid se tako|e smatralo da generi{e normalnu teù datu sa (6.17), i u tom smislu na~injen je preokret u vidu dvostruke uloge svih budu}ih geocentri~nih elipsoida. Naknadna istraìvanja su pokazala da me|unarodni elipsoid 1924 predstavlja samo aproksimaciju u pogledu prilago|enosti geoidu. Shodno tome IAG je 1967. godine [IAG, 1971] usvojila novi me|unarodni elipsoid (vidi tabelu 2). Upore|uju}i parametre referentnog elipsoida 1967 sa trenutno najboljim parametrima, npr. GAPOSHKIN [1973] ili SEPPELIN [1974] (tabela 2), IAG je ponovo odlu~ila 1979. godine da usvoji novi elipsoid [IAG, 1980]. S druge strane izgleda da je spljo{tenost me|unarodnog elipsoida izabrana veoma dobro. Upore|enje sa najnovijim rezultatima pokazuje da je vrednost f −1 = 298.257 ta~na oko 10 −2 , {to predstavlja ta~nost od oko 10 −7 za f . Da bismo uporedili ta~nost f sa ta~no{}u a , pogledajmo kako promena da u a uti~e na promenu df u f . Diferenciranjem (4), i smatraju}i b fiksnim, dobija se:

132


df =

b da . aa≅ 2 a a

§ 7.3

(7.18)

Kada se 10 −7 zameni za df , ta~nost f odgovara ta~nosti a boljoj od jednog metra. Razlog za{to se spljo{tenost moè odrediti mnogo ta~nije je {to se ona lako izvodi iz poreme}aja satelitskih putanja kao {to }emo to videti u poglavlju 23. âk je i prvo odre|ivanje f iz satelitskih opaànja od 1:297.9 (BUCHAR [1958]), zna~ajno ta~nije od rezultata dobijenih raznim terestri~kim merenjima. Duìna velike poluose a moè se izvesti iz duìna merenih na povr{i Zemlje. Na taj na~in dobija se veli~ina Zemlje sa razmerom odre|enom usvojenom vredno{}u za brzinu svetlosti. To je zbog toga {to se sve duìne u geodetske svrhe danas mere instrumentima koji se zasnivaju na registrovanju vremena proteklog izme|u odaslatog i primljenog odbijenog elektromagnetnog talasa. S druge strane bi}e pokazano u poglavljima 22 i 23 da kada se gravimetrijski podaci ili satelitske orbite koriste za odre|ivanje geoidnih visina, tada usvojena vrednost Zemljine mase odre|uje razmeru izvedenih veli~ina. Stoga u re{avanju nekih problema ta~nost u velikoj meri zavisi od kompatibilnosti ova dva usvojena standarda. U teoriji naravno postoji samo jedan dvoosni elipsoid koji najbolje aproksimira geoid u smislu teorije najmanjih kvadrata. To je elipsoid definisan sa a i f , koji zadovoljava slede}i uslov (vidi podpoglavlje 3.2):

min a, f

∫∫ N

2

dS ,

(7.19)

S

gde je N geoidna visina u odnosu na taj elipsoid, a S povr{ elipsoida. Pokazano je od strane HEISKANEN AND MORITZ [1967] da postavljanje sli~nog uslova:

min f

∫∫ (ξ

2

)

+ η 2 dS ,

(7.20)

S

gde su ξ i η vertikalske komponente u odnosu na isti elipsoid, dovodi do identi~nog rezultata za f ako je a fiksirano. Obratno, ako je f fiksirano, uslov (20) daje za a rezultat kompatibilan sa (19). U praksi se ovakav najbolji elipsoid moè samo pribli`no odrediti zbog nedostatka podataka. Do sada smo tretirali dvoosne elipsoide ~ija je funkcija da aproksimiraju geoid {to je mogu}e bolje na celoj Zemljinoj povr{ini. Za ovakve elipsoide se ili pretpostavlja,

§ 7.3


SLIKA 7.16. Geocentri~ni i geodetski elipsoid.

SLIKA 7.17. Geoid u odnosu na NAD 27. Izolinije u metrima.

133

134


§ 7.4

ili se postavlja uslov, da im se ose poklapaju sa glavnim osama inercije Zemlje. Iz tog razloga nazivaju se geocentri~nim. Postoji me|utim klasa elipsoida ~ija svrha nije da reprezentuju Zemljin oblik i veli~inu, ve} da sluè kao referentni elipsoidi za geodetsko pozicioniranje, tj. kao geodetski datumi. Ovi elipsoidi pomenuti su u podpoglavlju 7.1, a ovde ih ponovo pominjemo samo radi kompletnosti. Ovi geodetski referentni elipsoidi biraju se tako da aproksimiraju geoid samo na odre|enom podru~ju (kontinent, grupa dràva itd.), i nije neophodno da budu geocentri~ni. Oblik i veli~ina tih elipsoida obi~no se unapred bira, a aproksimiranje geoida postiè se njihovim pozicioniranjem u Zemljinom telu. Slika 16 ilustruje vezu izme|u ove dve vrste elipsoida. Razlog za{to geodetski datum treba dobro da aproksimira geoid u nekom regionu bi}e obja{njen u podpoglavlju 18.3. Po{to se od geodetskog datuma o~ekuje samo regionalno slaganje, njegova prilago|enost geoidu mnogo je bolja od geocentri~nog elipsoida. Ova ~injenica prikazana je na slici 17, na kojoj je istaknut deo geoidne povr{i Amerike, koji se odnosi na severnoameri~ki datum (NAD 27) [VANI~EK AND MERRY, 1973]. îtalac treba da ovo uporedi sa istim delom geoida koji se odnosi na geocentri~ni elipsoid (slika 6.16). Oblasti upotrebe glavnih datuma ve} su prikazane na slici 3. Mno{tvo drugih datuma koristi se u ostalim delovima sveta. U zaklju~ku ovog podpoglavlja , istaknimo da za neke svrhe u disciplinama kao {to su astronomija ili kartografija, Zemlja moè na odgovaraju}i na~in biti predstavljena i referentnom sferom. Kao {to je ve} pokazano u prethodnom podpoglavlju, odstupanje najbolje sfere od najboljeg elipsoida iznosi oko 10.7 km na polovima i ekvatoru. 7.4. Ostale matemati~ke figure Zemlje U modernoj geodetskoj teoriji koriste se jo{ dve povr{i (figure Zemlje) koje do sada nismo pominjali. One }e ovde biti ukratko opisane, a za detalje ~italac se upu}uje na poglavlje 22. Povr{ koja aproksimira fizi~ku povr{ Zemlje zove se teluroid. Teluroid je definisan kao povr{ ~ija je visina iznad geocentri~nog referentnog elipsoida ista kao visina reljefa iznad geoida [HIRVONEN, 1960]. Slika 18 pokazuje vezu izme|u teluroida, reljefa, geoida i geocentri~nog elipsoida. Jedna druga povr{ bliska geoidu zove se kvazigeoid. Njega je uveo MOLODENSKIJ ET AL. [1960], kao re{enje prakti~nih problema vezanih za odre|ivanje geoida. Kada

§ 7.4

Ostale matemati~ke figure Zemlje

135

Slika 7.18. Teluroid

se ra~una geoidna visina iz terestri~kih podataka, kao i kad se ra~unaju visine iznad geoida, mora se na~initi neka pretpostavka o raspodeli masa u gornjem sloju Zemlje. Ovakve hipoteze smanjuju poverenje u rezultate. S druge strane, kvazigeoid moè biti izveden bez ikakvih takvih pretpostavki (vidi podpoglavlje 22.2). Drugim re~ima, kvazigeoidne visine koje se obi~no nazivaju anomalijama visina i ozna~avaju sa ζ (vidi sliku 19), mogu teorijski ta~no da se izra~unaju. U sistemu Molodenskog teluroid se defini{e kao povr{ ~ija je visina iznad geocentri~nog elipsoida identi~na visini fizi~ke povr{i Zemlje iznad kvazigeoida. Moè se pokazati da je normalni potencijal U na teluroidu jednak stvarnom potencijalu W na odgovaraju}oj ta~ki Zemljine povr{i. O~igledni nedostatak kvazigeoida u pore|enju sa geoidom je {to on nema nikakvo fizi~ko zna~enje. To je ~isto matemati~ka tvorevina a ne ekvipotencijalna povr{ Zemljinog polja teè. Ipak, nije nedostatak koristiti kvazigeoid kao referentnu povr{ za visine, kao {to }emo videti u podpoglavlju 19.1. Visine koje se odnose na kvazigeoid koriste se danas u SSSR i ve}ini isto~noevropskih zemalja. Kvazigeoid se poklapa sa geoidom na otvorenom moru, gde je dakle geoidna visina N jednaka anomaliji visine ζ (vidi sliku 19). Na kopnu se ove dve povr{i razlikuju najvi{e nekoliko metara [ARNOLD, 1960]. Razlika N − ζ visoko je korelisana sa reljefom, pa se stoga najve}e vrednosti pojavljuju u planinskim podru~jima. U geofizici se ponekad kao figura koja predstavlja idealizovanu Zemlju koristi dvoosni elipsoid sa ne{to manjom spljo{teno{}u nego kod najboljeg elipsoida. To je takozvani elipsoid hidrostati~ke ravnoteè. Da bismo pravilno shvatili njegovu ulogu, vratimo se prvo najboljem geocentri~nom elipsoidu i njegovom normalnom polju teè. Kao {to je pokazano u podpoglavlju 6.4, ovo polje teè bira se tako da

136


§ 7.4

SLIKA 7.19. Kvazigeoid.

mu se jedna ekvipotencijalna povr{ poklapa sa samim elipsoidom. Kad bi Zemlja bila homogeni fluid u hidrostati~koj ravnoteì, zauzela bi oblik ekvipotencijalnog eliposida. Iz raznih izvora poznato je da je Zemljino jezgro fluidno, omota~ viskozan, a tanak sloj kore na vrhu ~vrst. Prema tome, pod dejstvom gravitacione sile ukupno pona{anje Zemlje trebalo bi da bude pona{anje visoko viskoznog fluida (podpoglavlje 6.3). Raspodela gustina σ i spljo{tenost f takvog fluidnog tela u hidrostati~koj ravnoteì povezani su Kleroovom jedna~inom [MELCHIOR, 1972]:

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ d2 f 2σ r 2 df ⎜ 2σ r 6 ⎟ + r +⎜ − 2 ⎟ f =0 , dr ⎜ r dr 2 r ⎟ 2 2 σ s ds ⎜⎜ σ s ds ⎟⎟ 0 ⎝0 ⎠

∫

(7.21)

∫

gde je r srednji polupre~nik tela. LEDERSTEGER [1967] i jo{ neki autori, smatraju da ne postoji razumna i slojevita raspodela gustina kompatibilna sa drugim geofizi~kim podacima, koja bi zadovoljavala jednakost (21) za poznatu spljo{tenost od 1: 298.25. Ovo mi{ljenje, me|utim, pobio je MORITZ [1973] zajedno sa nekim drugim nau~nicima. JEFFREYS [1963] je problemu pri{ao sa druge strane. On je izra~unao hidrostati~ku spljo{tenost Zemljinog modela koji ima iste fizi~ke karakteristike kao realna Zemlja, i do{ao do zaklju~ka da bi njena vrednost trebalo da bude 1: 299.67. Sli~ne vrednosti, npr. 1: 299.8 [HENRIKSEN, 1960], dobijene su iz dinami~ke spljo{tenosti

§ 7.4


137

H (podpoglavlje 5.3), izvedene pomo}u opaànja Zemljine precesije. Dinami~ka i geometrijska spljo{tenost f povezane su slede}om jedna~inom [MELCHIOR, 1972]: H=

f − 12 m

,

(7.22)

2 5m 1− −1 5 2f gde je:

m=

ω 2a3 GM

,

{to omogu}uje direktno odre|ivanje m poznat.

(7.23)

f

iz H , ako je geodetski parametar

Ovi rezultati pokazuju da se stvarna raspodela masa kao i spljo{tenost ne slaù sa pretpostavkom o hidrostati~koj ravnoteì i homogenosti mase Zemljinog tela. Obja{njenje neslaganja dve vrednosti za spljo{tenost na|eno je u pretpostavci da se Zemlja jo{ nije prilagodila dana{njoj manjoj brzini rotacije. Uve}ana spljo{tenost predstavlja prema tome ostatak iz vremena kada se Zemlja brè okretala. Me|utim, viskoznost potrebna da podrì teoriju o zaka{njenju prilago|avanja izgleda previ{e visoka u pore|enju sa vrednostima dobijenim drugim geofizi~kim istraìvanjima. Verovatnije je da ve}a spljo{tenost odgovara stvarnoj raspodeli masa, {to bi zna~ilo ve}u koncentraciju gu{}ih masa u ekvatorskom pojasu omota~a zbog uticaja centrifugalne sile. Neslaganje izme|u stvarne spljo{tenosti i spljo{tenosti u hidrostati~koj ravnoteì dostiè 100 m. To je uporedivo sa odstupanjem geoida od simetrije u ekvatorijalnoj ravni, odnosno sa tzv. kru{kolikim efektom (poglavlje 7.2), kao {to su to primetili GOLDREICH AND TOOMRE [1969]. KAULA AND O'KEEFE [1963] sugerisali su da se za potrebe geofizi~ke interpretacije Zemljinog polja teè, anomalije teè i geoid odnose na ovakav elipsoid a ne na najbolji. Razlog je u ovom slu~aju u ~injenici da dugotalasne meridijanske karakteristike, koje izraàvaju razliku izme|u teorijske i opaàne spljo{tenosti, bolje reprezentuju anomalije masa unutar Zemlje. Radi ilustracije date su dve predstave geoida na slikama 20 i 21 [GAPOSHKIN, 1973]. Tabela 3 predstavlja rekapitulaciju maksimalnih razlika u okviru razli~itih parova povr{i o kojima je bilo re~i u ovom poglavlju.

138


§ 7.4

§ 7.4


139

140


§ 7.4

TABELA 7.3 Odstupanja u okviru parova povr{i

Povr{i teren-geoid /srednji nivo mora srednji nivo mora-geoid/kvazigeoid geoid-kvazigeoid

geoid - elipsoid ⎫ ⎬ teluroid - teren ⎭ dvoosni-troosni elipsoid elipsoid-sfera

Red veli~ine maksimalnog odstupanja (m)

10 4 1 1 10 2 10 2 10 4

U zaklju~ku ovog poglavlja osvrnimo se jo{ jednom na povr{i kojima se predstavlja Zemlja. S jedne strane odre|ivanje oblika reljefa i njegova diskretizacija (mreè), predstavljaju jedan od najva`nijih ciljeva geodezije. Povr{ terena i njegova diskretna reprezentacija su me|utim najkompleksniji i najnepogodniji za rad. S druge strane, izuzimaju}i sferu, dvoosni elipsoid je najjednostavnija povr{. On se koristi kao referentna povr{ i u pozicioniranju (horizontalni geodetski datum) i u istraìvanju Zemljinog gravitacionog polja (geocentri~ni elipsoid). Negde izme|u, sa ulogom reljefa u slu~aju mora, i ulogom vertikalnog geodetskog datuma u slu~aju kopna, nalaze se geoid i kvazigeoid. Oni su negde izme|u i {to se kompleksnosti ti~e. Preostale povr{i tj. sfera, troosni elipsoid, elipsoid hidrostati~ke ravnoteè, analiti~ka predstava terena, sferoid i teluroid koriste se samo u posebne svrhe. Poslednje dve bi}e detaljno obra|ene u delu V.

POGLAVLJE 8


Jedan od najva`nijih ciljeva geodezije je, kao {to smo videli u poglavlju 6, odre|ivanje oblika Zemlje. Po{to se me|utim oblik Zemlje menja kroz vreme, i to kako lokalno tako i globalno, geodete su prinu|ene da vode ra~una o vremenskim promenama. U poglavlju 5 videli smo kako rotacija Zemlje varira vremenom i po pravcu i po brzini. U poglavlju 6 pomenute su vremenske promene polja teè. Ovo poglavlje bavi se sistematskim istraìvanjem dinami~kih fenomena koji menjaju oblik Zemlje, i shodno tome poloàj ta~aka na njoj. U pogledu vremenske zavisnosti, promene se mogu kategorisati kao vekovne (linearne, spore, sleù}e), periodi~ne (sa periodama od delova sekundi do desetina godina) i epizodne (iznenada ubrzane ili usporene). Po{to je sistematsko istraìvanje vekovnih i dugoperiodi~nih fenomena zapo~eto tek pre nekoliko decenija, jo{ nije postignuto zadovoljavaju}e kvalitativno i kvantitativno razumevanje. Zbog toga se ~esto ne zna da li je neki od fenomena po svojoj prirodi vekovan ili dugoperiodi~an. Na drugom kraju spektra nalaze se visokofrekventni fenomeni (seizmi~ki i ostali potresi), koji obi~no imaju malo uticaja na geodetske radove. Ipak, te{ko je tek tako zanemariti njihov zna~aj u geodeziji. Odre|ene vrste kretanja smatraju se bezna~ajnim u jednom kontekstu, ali se mogu pojaviti kao zna~ajne u drugom. Moè se ipak re}i da je na{e interesovanje vezano uglavnom za vekovna i niskofrekventna kretanja sa periodama od nekoliko ~asova i duè. Osim toga geodetama su najzna~ajnija takozvana savremena kretanja, tj. kretanja koja su nastupila u toku poslednjih stotinak godina. U tome se razlikuju u odnosu na ostale geo-nau~nike, koji mogu istraìvati istoriju kretanja od pre vi{e hiljada ili miliona godina. Da bismo bolje razumeli kako se menja oblik Zemlje, razmotrimo prvo kakva bi bila njena reakcija na sile kada bi bila fluidna. Lako je videti da bi se u tom slu~aju Zemljina povr{ pona{ala kao okeanska povr{. Ako bi s druge strane Zemlja bila potpuno ~vrsta, nikakvih deformacija ne bi ni bilo. Reakcija realne Zemlje je negde izme|u ova dva ekstrema. Osim toga, ako je dejstvo sile kratkotrajno ili se naglo 141

142


§ 8.1

menja, deformacija Zemlje je elasti~na. To zna~i da ona prakti~no uspostavlja svoj prvobitni oblik odmah po prestanku delovanja sile. Ali ako je dejstvo sile dugotrajno reakcija Zemlje je viskozna. Nakon prestanka delovanja sile uspostavljanje po~etnog oblika je postepeno. Sredina koja se pona{a na ovaj na~in (sa reakcijom koja zavisi od frekvencije sile deformacije), zove se visokoelasti~na. Neki od fenomena koje }emo opisati poznatiji su od drugih. Plimatski fenomen koji }e biti obra|en u prvom podpoglavlju, najistraèniji je, najduè poznat i sa najzna~ajnijim efektima. Fenomen optere}enja kore i izostazije obra|en je u slede}em podpoglavlju. Tektonska kretanja, tj. kretanja tektonskih plo~a Zemljine kore, u ìì su intenzivnog istraìvanja poslednje dve decenije i predstavljaju temu tre}eg podpoglavlja. U poslednjem podpoglavlju nabrojana su preostala kretanja ~iji su uzrok razne meteorolo{ke promene i ljudska aktivnost. 8.1. Plimatski fenomeni Pod plimatskom deformacijom podrazumeva se fenomen prouzrokovan varijacijama u sili privla~enja nebeskih tela. Odgovaraju}a sila zove se plimatska sila. U svakoj ta~ki Zemlje ili njene povr{ine sila privla~enja nekog nebeskog tela (recimo Meseca) moè da se razloì na dve komponente: prvu koja izjedna~ava silu

SLIKA 8.1. Plimatska sila Meseca.

§ 8.1

Plimatski fenomeni

143

privla~enja koja deluje na centar mase Zemlje, i drugu koja izjedna~ava ostatak (slika 1). Prvi deo predstavlja silu koja pokre}e Zemlju kao celinu, kao {to smo to videli u poglavlju 5. Drugi deo prikazan je na slici zadebljanim strelicama, i predstavlja plimatsku silu. Interesantno je primetiti da plimatska sila u D deluje u suprotnom pravcu od nebeskog tela. To je zbog toga {to Zemlja ubrzava prema telu koje je privla~i na isti na~in kao {to ubrzava njen centar mase C , samo {to blià strana ( A) ubrzava vi{e, a dalja strana (D ) ubrzava manje od centra mase. Na slici 1 tako|e se vidi da plimatska sila teì da deformi{e ekvipotencijalne povr{i tako da im se oblik izduàva u pravcu nebeskog tela. Preciznije re~eno, oblik }e biti izduèn u pravcu rezultante sila privla~enja svih nebeskih tela.

Koncentri{imo se prvo na Mesec kao najzna~ajnije telo. Deo plimatskog ubrzanja

G

koji poti~e od Meseca (lunarno plimatsko ubrzanje), ozna~ava se sa a t . Uz pomo} zakona univerzalnog privla~enja (6.1), moè se napisati slede}i izraz za apsolutnu

G

vrednost vektora a t u ta~ki A koja je na povr{i Zemlje i na liniji koja povezuje C i Mesec (vidi sliku 1):

a t ( A) =

(ρ

GM − rA

−

GM

−2 ⎤ rA ⎞ GM ⎡⎛ ⎢⎜1 − ⎟ − 1⎥ . = 2 ⎜ ⎢⎝ ⎥ ρ ⎟⎠ ρ ⎣ ⎦

) (ρ ) ( ) 2

2

Masa Meseca ozna~ena je sa M , ρ

(8.1)

predstavlja rastojanje od centra mase

Zemlje do centra mase Meseca, a rA je rastojanje od A do centra mase Zemlje. Ako je M = 7.38 × 10 25 g , prose~no ρ = 3.84 × 1010 cm [GODIN, 1972], i

rA = 6.371×108cm , tada se dobija da je a t ( A) = 0.111 mGal . Po{to je ukupno ubrzanje sile privla~enja Meseca na Zemlji oko 3.3 mGal , to zna~i da je plimatsko ubrzanje najvi{e 3.4% ove vrednosti. Sli~no tome, prora~un za B (slika 1) daje a t ( B ) = 0.055 mGal . Kao i u poglavlju 6, i ovde je pogodnije operisati sa potencijalom umesto sa ubrzanjem. Po{to je plimatsko ubrzanje definisano kao ubrzanje koje odgovara razlici dve sile (jedne koja deluje na centar mase Zemlje i druge koja deluje u ta~ki posmatranja), ono se zbog linearnosti operacije gradijenta moè izraziti kao gradijent razlike potencijala odgovaraju}ih ubrzanja, tj. kao gradijent plimatskog potencijala. Me|utim, da bismo mogli formulisati ta dva potencijala, oba ubrzanja se moraju posmatrati kao vektorska polja. Jedno je radijalno polje ubrzanja

144

§ 8.1


G

privla~enja a slede}i na~in:

G

Meseca, a drugo konstantno polje ubrzanja c , definisano na

G G c = a (C ) .

(8.2)

Za po~etak, formuli{imo prvi potencijal. Prema slici 2, ukupni lunarni potencijal u proizvoljnoj ta~ki A iznosi (poglavlje 6):

W

( A) = GM

ρA

=

GM

( )

⎛⎜ ρ ⎝

2

+

rA2

− 2 rA ρ cos Z A ⎞⎟ ⎠

12

.

(8.3)

gde Z A ozna~ava zenitnu daljinu Meseca u ta~ki A . Kada se imenilac razvije u red Leàndrovih funkcija Pn (cos Z A ) (vidi podpoglavlje 3.2), dobija se pogodniji izraz: ∝

W

⎛

( A) = GM ∑ ⎜⎜ rA ρ ρ n =0 ⎝

n

⎞ ⎟ Pn cos Z A . ⎟ ⎠

(

)

SLIKA 8.2. Plimatski potencijal.

(8.4)

§ 8.1

Plimatski fenomeni

145

G

Drugi potencijal je potencijal konstantnog polja c . îtalac moè proveriti

K

(direktnim ra~unanjem a t = ∇V ), da ovaj potencijal u proizvoljnoj ta~ki A iznosi:

V

( A) =

GM

ρ

+

GM

(ρ )

2

rA cos Z A =

GM

ρ

⎛ rA ⎜ ⎜ n =0 ⎝ ρ 1

∑

n

⎞ ⎟ Pn cos Z A . ⎟ ⎠

(

)

(8.5) Naredna formula za lunarni plimatski potencijal izvedena je na osnovu razlike dva prethodno formulisana potencijala:

W t ( A) = W

( A) − V ( A) =

GM

ρ

⎛ rA ⎜ ⎜ n=2 ⎝ ρ ∝

∑

n

⎞ ⎟ Pn cos Z A . ⎟ ⎠

(

)

(8.6)

Identi~ni izraz moè se napisati i za solarni plimatski potencijal W t ☼ , i to jednostavnom zamenom lunarne mase M Meseca ρ

solarnom masom M ☼ , rastojanja do

rastojanjem do Sunca ρ ☼ , i zenitnog odstojanja Z

zenitnim

odstojanjem Z ☼ . Iz astronomskih opaànja poznato je da je solarni potencijal u proseku oko 46% lunarnog potencijala. Uticaji ostalih nebeskih tela su mnogo manji. U tabeli 1, najva`nije komponente navedene su u opadaju}em redosledu. Uobi~ajeno je da se u obzir uzima samo lunisolarni plimatski potencijal

Wt = Wt + W t ☼ . [to je manji iznos r / ρ , to red (6) brè konvergira. Za prakti~ne svrhe, i sa ta~no{}u od nekoliko procenata, dovoljno je uzeti samo prve ~lanove za Mesec i Sunce. Dodavanje drugog lunarnog ~lana (W3 ) popravlja ta~nost na oko 0.03%.

TABELA 8.1 Relativno u~e{}e raznih nebeskih tela u plimatskom potencijalu Telo Plimatski potencijal Mesec

1.0

Sunce

0.461 8

Venera

0.000 054

Jupiter

0.000 005 9

Mars

0.000 001 0

146


§ 8.1

SLIKA 8.3. Plimatski nagib.

Plimatski potencijal lako se moè konvertovati u tri vrste plimatskih deformacija. Plimatska varijacija ubrzanja teè g t (odnosno vertikalna komponenta vektora

G a t ), jednostavno se dobija kao negativni radijalni izvod potencijala. Plimatski nagib

θ t ekvipotencijalnih povr{i u vezi je sa plimatskom teòm kao na slici 3. I kona~no, plimatsko izdizanje ekvipotencijalnih povr{i u t dobija se iz plimatskog potencijala preko odgovaraju}e formule (6.30). Detaljniji opis ova tri efekta bi}e dat u podpoglavlju 25.1. Lunisolarni potencijal u svakoj ta~ki Zemlje o~igledno menja svoju vrednost sa vremenom zato {to i rastojanja ρ , ρ ☼ i zenitna odstojanja Z , Z ☼ tako|e variraju sa vremenom. Glavne periode ovih varijacija, tj. one sa najve}im amplitudama su poludnevne i dnevne. Poreklo dnevnih perioda lako se razume kada se ima u vidu kretanje Meseca i Sunca. Prisustvo poludnevnih perioda obja{njava se ~injenicom da je potencijal isti bez obzira da li se nebesko telo nalazi u zenitu ili nadiru opaà~a. Ovo se lako vidi iz simetrije sa slike 1, jer bi sile prakti~no izgledale isto kad bi se na slici Mesec nalazio levo od Zemlje umesto desno. Dominantno u~e{}e u potencijalu ima lunarna poludnevna perioda koja se obi~no u literaturi ozna~ava sa M 2 , i koja ima duìnu polovine lunarnog dana, tj. polovinu rotacije Zemlje u odnosu na Mesec. Osim pomenute dve glavne, plimatski potencijal karakteri{u i druge frekvencije koje poti~u od periodi~nosti raznih parametara Mese~eve i Zemljine orbite, kao i njihove interakcije. Slika 4 prikazuje maksimalna relativna u~e{}a glavnih plimatskih frekvencija u ukupnom lunisolarnom potencijalu [GODIN, 1972]. Neke od najva`nijih komponenti ozna~avaju se velikim slovom sa indeksom 1 koji ozna~ava dnevno, i indeksom 2 koji ozna~ava poludnevno. Obi~no M ozna~ava

§ 8.1

Plimatski fenomeni

147

SLIKA 8.4. Maksimalne relativne amplitude komponenti plimatskih frekvencija.

Mese~evu, a S Sun~evu komponentu (podsetimo se ve} pomenute M 2 komponente). Ostala slova izabrana su iz razloga koji nam u ovoj knjizi nisu va`ni. Osim {to je funkcija vremena, plimatski potencijal je i funkcija poloàja, {to zna~i da poloàj opaà~a odre|uje veli~inu opaànog plimatskog potencijala, a samim tim i svih plimatskih fenomena. Po{to brzina Zemljinog obrtanja defini{e brzinu promene parametara ρ i Z u (6), longituda opaà~a uti~e samo na vreme tj. fazu pojedinih plimatskih komponenti. Efekat latitude je me|utim komplikovaniji. Latituda odre|uje srednju vrednost ugla Z (vidi sliku 2), i na taj na~in uti~e na veli~inu potencijala posebno za svaku frekvenciju. Relativne amplitude pojedinih plimatskih talasa prikazane na slici 4 menjaju se sa latitudom prema svojim frekvencijama. Na primer, amplituda dnevnog talasa je najve}a za {irinu φ = 45 °, a nula za ekvator i polove. Poludnevni talasi su najja~i na {irini φ = 0 °, a nestaju na polovima. Detaljnija diskusija data je u podpoglavlju 25.1. Potrebno je napomenuti da je permanentno plimatsko izdizanje (plima nulte frekvencije), odgovorno za pove}anje spljo{tenosti Zemljinih ekvipotencijalnih povr{i. Ono doprinosi sniènju od 28cm na polovima i izdizanju od 14cm du` ekvatora [MELCHIOR, 1966], {to je smanjenje od 0.006 u f −1 . Relativna amplituda permanentne plime iznosi oko 80% od M 2 (vidi sliku 4). Teorijski gledano

u t je istovremeno i veli~ina vodene plime. Kao {to je ve}

obja{njeno u poglavljima 6 i 7, izuzimaju}i za trenutak njenu nehomogenost, voda stalno izjedna~ava svoj nivo sa ekvipotencijalnom povr{i, i zbog toga prati kretanje ekvipotencijalne povr{i kada ona reaguje na plimatsku silu. Me|utim, u prirodi je to redak slu~aj. Po{to je dno nagnuto prema obali , dolaze}a plimska voda biva zarobljena i nagomilava se du` obale. Ovog efekta oslobo|ena su samo mala ostrva koja vertikalno {tr~e iznad morskog dna. Pomenuto nagomilavanje je naro~ito

148


§ 8.1

SLIKA 8.5. Karta raspona za M 2 plimatsku amplitudu. Izolinije u centimetrima.

izraèno u zatvorenim i plitkim oblastima kao {to su zalivi i tesnaci, gde se plima vode moè uve}ati nekoliko puta. Zaliv Fundy (Kanada), kanal Bristol i zaliv Liverpool (Engleska) poznati su po morskoj plimi koja prelazi 10 metara. Najve}i plimatski raspon od 16.3m zabeleèn je u Minas Basin (zaliv Fundy, Kanada) [MCWHIRTER AND MCWHIRTER, 1975]. U pomenutim zatvorenim oblastima mogu se opaziti i drugi dinami~ki fenomeni. Tako su, na primer, efekti rezonance i nelinearne interferencije karakteristi~ni za pojedine lokacije, i mogu uzrokovati zna~ajne amplitude i fazne deformacije pojedinih plimatskih talasa. Ovi efekti umnogome zavise od frekvencije. Stoga se amplitudne veze izme|u opaànih plimatskih talasa na ovim lokacijama zna~ajno razlikuju od teorijskih, takozvanih ravnote`nih talasa. Me|utim, istraìvanje ovakvih pitanja je van obima ove knjige. Zainteresovani ~italac upu}uje se na specijalizovanu okeanografsku literaturu, na primer DOODSON [1957], HILL [1966] i MACMILLAN [1966]. Morske plime beleène su, i dalje se beleè na hiljadama plimatskih stanica du` raznih obala. To omogu}ava da se istraì globalno pona{anje plime na osnovu prikupljenih podataka. Mnoga takva istraìvanja ve} su sprovedena, a ovde prikazujemo neka od skorijih [HENDERSHOTT, 1972]. Na primer, slika 5 prikazuje kartu plimatskog raspona za M 2 morsku plimu. Dinami~ke deformacije ovog plimatskog talasa jasno bi bile vidljive ~ak i u slu~aju da obalski regioni nisu ni kartirani. Sli~ne karte koje pokazuju vreme pojave maksimuma plimskog talasa zovu se plimske karte. Poslednji plimatski fenomen koji }emo pomenuti je

§ 8.2

Deformacije kore zbog optere}enja

149

TABELA 8.2 Maksimalni stvarni rasponi plimatskih deformacija Tip deformacije Maksimalni raspon 0.28 mGal varijacija teè ( g t ) relativni nagib Zemljine povr{ine ( θt )

0.017 ″

relativno izdizanje ekvipotencijalne povr{i ( u t )

53 cm

atmosferska plima. No po{to je poglavlje 9 posve}eno Zemljinoj atmosferi, ovaj fenomen ne}emo ovde dalje razra|ivati. Kao {to ve} znamo Zemlja nije ~vrsto telo. Zbog toga se pod dejstvom plimatskih sila ne menja samo polje teè ve} i oblik Zemljinog tela. Iako }e se detalji reakcije deformabilnog tela na plimatske uticaje detaljnije obuhvatititi u poglavlju 25, ovde se u tabeli 2 daju samo rasponi maksimalnih deformacija. U zaklju~ku napominjemo da plimatske promene Zemljinog tela uzrokuju i deformacije Zemljine povr{ine. Zbog toga se i duìne na povr{ini Zemlje skra}uju i produàvaju. Horizontalni uglovi prese~nih linija se tako|e menjaju. Relativne promene su veoma male, reda 10 −8 [MELCHIOR, 1978], i ne mogu se otkriti u rutinskim geodetskim operacijama. Promene duìna se, me|utim, mogu opaàti drugim metodama kao {to }e to biti pokazano u podpoglavlju 25.2. 8.2. Deformacije kore zbog optere}enja Prema savremenim saznanjima, Zemljina kora je sastavljena od plo~a lak{eg, ~vrstog materijala prose~ne gustine σ = 2.67 g/cm 3 , koje plivaju po gu{}oj materiji σ = 3.27 g/cm 3 , delimi~no otopljenoj zbog toplote i pritiska [HEISKANEN AND VENING MEINESZ, 1958]. Veoma je te{ko ta~no razgrani~iti gde prestaje ~vrsta kora a po~inje mek{i omota~. Dva izvora informacija o tome, seizmologija i reologija, ne slaù se u potpunosti. Prema tome, dubina grani~ne povr{i zavisi od usvojenih kriterijuma [OFFICER, 1974]. Obi~no se pojam kore vezuje za sloj debljine 10 do 30km [RUNCORN, 1967], a za ~vrste plo~e se kaè da ~ine litosferu. Iz reolo{kih ispitivanja je poznato da debljina litosfernih plo~a varira izme|u 10 i 80 km. Najvi{i sloj omota~a na dubini od nekih 300 do 400 km zove se astenosfera (vidi sliku 6). Za detalje ~italac se upu}uje na primer na GASS ET AL. [1972] i OFFICER [1974]. Litosferne plo~e su objekat optere}enja koja poti~u od raznih fenomena na povr{ini Zemlje. Svako takvo optere}enje ima za posledicu regionalnu vertikalnu

150


§ 8.2

SLIKA 8.6. Gornji slojevi Zemlje

deformaciju kore. Jasno je da optere}enje u jednoj ta~ki povr{i Zemlje ne izaziva reakciju kore samo na tom mestu, ve} i u njegovoj okolini, zbog bo~ne snage litosfere. Sleganje }e biti najve}e na mestu optere}enja a smanjiva}e se sa udaljenjem od njega. Da bi se odràla ista zapremina (osim one utro{ene elasti~nim pritiskom), sleganje prati izdizanje na periferiji podru~ja (slika 7). Veza izme|u veli~ine sleganja i rastojanja od mesta optere}enja zavisi od reologije litosfere i omota~a, kao i od veli~ine optere}enja. Elasti~na reakcija bi}e detaljno obra|ena u podpoglavlju 25.3.

SLIKA 8.7. Reakcija na optere}enje.

§ 8.2


151

Ako se vratimo sada postoje}im izvorima optere}enja i pore|amo ih po va`nosti, moramo kao najo~igledniji izvor optere}enja ista}i velike mase leda. Da bi razumeli zna~aj optere}enja, pomenimo da je ocenjeno da 3 × 10 7 km 3 leda pokriva Antarktik. Ovaj led predstavlja optere}enje od 2.7 × 1019 kg u pore|enju sa teìnom leda koji prekriva Grenland, a koja je ocenjena na 3 × 1018 kg [WALCOTT, 1975]. U vezi sa pomeranjima Zemljine povr{i najva`nije optere}enje odnosi se na led koji je pokrivao velike delove Kanade, Skandinavije, Sibira, Himalaja i Ju`ne Amerike za vreme poslednjeg ledenog doba. Smatra se da je poslednje ledeno doba zavr{eno pre nekih 6000 do 10000 godina. Na vrhuncu ledenog doba debljina leda dostizala je maksimum od nekoliko kilometara. Procenjeno je da se kora slegla za oko 500m u centralnim delovima zale|ene severne hemisfere. Otprilike ista procena vaì danas za Grenland. Jednako vaàn izvor optere}enja predstavlja voda kao rezultat topljenja pomenute ogromne mase leda. Ukupna teìna ove vode je naravno ista kao teìna otopljenog leda, i smatra se da je reda veli~ine oko 3 × 1019 kg . Me|utim, voda se prostire na mnogo {irem podru~ju nego {to je to slu~aj sa gle~erima. Ako se za povr{inu podru~ja pokrivenog vodom uzme oko 3.7 × 10 8 km 2 , i ako se voda istopljenog leda rasporedi ravnomerno ({to ina~e nije slu~aj kao {to }emo videti kasnije), tada bi nivo svetskog mora porastao za nekih 80m. PELTIER ET AL. [1978] je istraìvao reakciju Zemlje na optere}enje vodom nastalom topljenjem leda nakon poslednjeg ledenog doba. Slika 8 prikazuje procenu porasta nivoa mora nakon topljenja leda, u odnosu na slegnutu koru.

SLIKA 8.8. Globalni rast nivoa mora u odnosu na slegnutu koru. Izolinije u metrima.

152


§ 8.2

Nanosi ~vrstih ~estica u sedimentnim basenima velikih reka predstavljaju slede}i izvor optere}enja. Reka Misisipi (SAD), kao dobro istraèni primer, nanosi oko 2 × 1011 kg mulja godi{nje. Ova cifra se pove}ava na 8 × 1011 kg za vreme godina velikih poplava [MUELLER, 1975], tako da se u predelu u{}a pojavljuje sleganje od oko 10cm. Naravno, sedimentacija je odgovorna za pojavu mnogih sli~nih sedimentnih basena {irom sveta tokom geolo{ke istorije. Kao {to smo u prethodnom podpoglavlju videli, zna~ajni izvor optere}enja predstavlja plimatska voda. Tipi~ni poludnevni plimatski talas visine 5m, na povr{ini od 10 4 km 2 predstavlja zna~ajno optere}enje od 5 × 1013 kg . Proizvedeni pritisak od 5 × 10 2 g/cm 2 je me|utim od manjeg zna~aja. Zbog plimatske frekvencije optere}enja, reakcija kore se moè smatrati elasti~nom i kao takva modelirati. Ovde }e za ilustraciju biti dovoljno da prikaèmo elasti~nu deformaciju kore kao reakciju na M 2 komponentu optere}enja morske plime, dobijenu za podru~je zaliva Fundy integracijom optere}enja sa plimatskih karata (slika 9). Ovu deformaciju tretira}emo zasebno u podpoglavlju 25.3. Sticajem okolnosti ova vrsta deformacije je jedna od svega nekoliko koje se mogu prognozirati sa izvesnim stepenom sigurnosti.

SLIKA 8.9. Vertikalno pomeranje zbog M 2 plimatskog optere}enja. Izolinije u milimetrima. (Ljubazno{}u THE EARTH PHYSICS BRANCH, DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES [1977B], Ottawa, Canada).

§ 8.2


153

Podjednako va`na su i optere}enja izazvana velikim vodenim rezervoarima. Jedan od najve}ih svetskih ve{ta~kih rezervoara [MCWHIRTER AND MCWHIRTER, 1975], jezero Kariba na reci Zambezi (Afrika), zaprema oko 1.5 × 1014 kg vode na povr{ini od 6650 km 2 [GOUGH AND GOUGH, 1970]. Kratka ra~unica pokazuje da to zna~i pritisak od oko 2 × 10 3 g/cm 2 . Nakon {to je jezero napunjeno, otkriveno je sleganje od 13 cm. Koliki deo ukupnog sleganja predstavlja ustvari konsolidacija tla, te{ko je re}i. Optere}enje sli~no godi{njem taloènju moè poticati i od velikih gradova. Ostale ljudske tvorevine suvi{e su lagane da bi zasluìle pa`nju u ovom smislu. Od prirodnih uzroka jo{ treba pomenuti magmu iz aktivnih vulkana. Me|utim, malo se zna o efektima njenog optere}enja. Kona~no, radi upore|enja pomenimo i sisteme velikog barometrijskog pritiska. Njihov efekat optere}enja merljiv je samo veoma osetljivim instrumentima, i istog je reda veli~ine kao za obilne padavine, odnosno oko dva reda veli~ine manji od efekta sedimentacije. Akumulacija snega moè dovesti do optere}enja koje je jedan red veli~ine ve}e od optere}enja ki{nom vodom. Da bi se sada razumelo pona{anje kore nakon dejstva viskoelasti~ne deformacije i prestanka optere}enja, neophodno je prvo pomenuti teoriju stati~ke ravnoteè Zemljine kore, odnosno princip izostazije. Ako su ~vrste litosferne plo~e u ravnoteì, i plivaju na slabom astenosferskom materijalu, tada varijacije u dubini njihovog uranjanja moraju biti uravnoteène sa gustinom i debljinom litosfere (uklju~uju}i i reljef). Ovo stanje ravnoteè je ono ~emu litosfera teì nakon {to se ukloni optere}enje. Postoje tri radne hipoteze koje modeliraju vezu izme|u debljine i gustine kore. Po prvom modelu (PRATT [1855]), granica izme|u litosfere i astenosfere je ravna, tako da je njena dubina u odnosu na nivo mora konstantna. Da bi kora bila u ravnoteì, oni delovi koji su vi{i moraju imati manju gustinu ( σ ), i obratno. Za ra~unanje odgovaraju}ih gustina zami{lja se da se litosfera sastoji od nezavisnih blokova kao {to to pokazuje slika 10. Blokovi moraju vr{iti isti pritisak na omota~ na konstantnoj dubini D da bi ostali u ravnoteì. Iz ovog uslova dobija se gustina kontinentalne litosfere kao funkcija srednje visine bloka H i iznad nivoa mora:

σi =σ0

D . D + Hi

(8.7)

154


§ 8.2

SLIKA 8.10. Pratov model.

Sli~na jedna~ina:

σi =

σ 0D − σ wdi D − di

,

(8.8)

gde je σ w = 1.07 g/cm 3 gustina morske vode, opisuje vezu izme|u gustine okeanske litosfere i njene prose~ne dubine d i . Uz normalu vrednost dubine

D = 30 km , i prose~nu gustinu σ 0 = 2.67 g/cm 3 , dobijaju se gustine u rasponu od 2.06 do 3.76 g/cm 3 . Ovaj raspon je me|utim suvi{e velik da bi se slagao sa nezavisnim geolo{kim nalazima.

Za razliku od ovog, Ejrijev model (AIRY [1855]), ne predvi|a varijacije gustina ve} dubina. Da bi se odràla ravnoteà, litosfera mora biti deblja ispod vi{eg reljefa i tanja ispod okeana. Iz numeri~kih razloga, litosfera se i u ovom modelu smatra sastavljenom od blokova. Ako je S normalna dubina uranjanja u omota~, onda se uz pomo} Arhimedovog zakona mogu izvesti slede}i izrazi za odstupanje Ri od normalne dubine litosfere D (vidi sliku 11):

σ mS =σ 0D , σ m (S + Ri ) = σ 0 (D + H i + Ri ) , σ m (S − Ri′ ) = σ 0 (D − d i − Ri′ ) + σ w d i ,

(8.9)

§ 8.2


155

SLIKA 8.11. Ejrijev model.

gde je σ m gustina gornjeg omota~a. Sada se jedna~ina za korene kontinentalnih blokova lako dobija kao:

Ri =

σ0

σ m −σ0

Hi .

(8.10)

Sli~no tome za antikorene okeanskih blokova vaì:

Ri′ =

σ0 −σw di . σm −σ0

(8.11)

Zamena vrednosti za σ 0 , σ w , σ m u gornje jedna~ine daje:

Ri = 4.45 H i ,

Ri′ = 2.73 d i .

(8.12)

Ako se uzme da je normalna dubina oko 30 km, izra~unate litosferne dubine dobro se slaù sa dubinama odre|enim seizmolo{kim metodama. Ono {to me|utim smeta je neophodnost da se kora smatra sastavljenom od nezavisnih blokova. U stvarnosti je litosfera uglavnom neprekidna, sa izuzetkom granica izme|u nekoliko velikih blokova kao {to }e to biti pokazano u narednom podpoglavlju.

156


§ 8.2

SLIKA 8.12. Vening Majnesov model.

Iz ovih razloga Vening Majnes je izvr{io modifikaciju Ejrijeve metode [VENING MEINESZ, 1931]. U svom modelu on pretpostavlja da su blokovi me|usobno povezani, i da reaguju kao neprekidni elasti~ni sloj na optere}enje topografskih masa. To zna~i da je uranjanje litosfere u omota~ raspore|eno preko ve}eg kompenzacionog regiona kao {to to pokazuje slika 12.

SLIKA 8.13. Postglacijalno izdizanje u Skandinaviji. Izolinije u milimetrima godi{nje.

§ 8.2


157

Sa fizi~ke ta~ke gledi{ta, ni jedan od pomenutih modela nije u potpunosti zadovoljavaju}i. Iz razli~itih izvora je poznato da varira i gustina i debljina litosfere. Isto tako, litosfera se u nekim podru~jima pona{a kao elasti~ni sloj, dok je u drugim izlomljena. Za podru~ja gde je litosfera neprekidna, moderni viskoelasti~ni modeli (vidi npr. PELTIER ET AL. [1978]), izgledaju sasvim uspe{ni u opisivanju njenog stvarnog pona{anja. Prodiskutujmo sada najpoznatije fenomene izdizanja Zemljine kore. Kada se led na kraju ledenog doba istopio, elasti~na reakcija kore bila je trenutna. Neelasti~ni deo deformacije je me|utim ostao. Litosfera se na{la, i ostala u stanju neravnoteè. Od tog doba se kora, zahvaljuju}i svojoj mo}i da se odrì na povr{ini, polako izdiè da bi dostigla stanje izostati~ke ravnoteè. Ovaj proces poznat je pod imenom postglacijalno izostati~ko izdizanje kore.

SLIKA 8.14. Izdizanje regiona jezera Bonneville. Izolinije u centimetrima.

158


§ 8.3

Brzina izdizanja uslovljena je pre svega viskozno{}u gornjeg omota~a. Teorijski je pokazano da ova brzina opada sa vremenom, i smatra se da je do sada kora povratila tri ~etvrtine svog stanja pre deformacije [HEISKANEN AND VENING MEINESZ, 1958]. Slika 13 ilustruje dana{nju brzinu postglacijalnog izdizanja u Skandinaviji [KUKKAMAKI, 1975]. Postoje indicije da su brzine sli~ne i u regionu zaliva Hudson u Kanadi [WALCOTT, 1972]. Pomenimo samo da postglacijalno izdizanje prati spu{tanje kore u periferijskim podru~jima. Ovaj fenomen je u stvari slika u ogledalu glacijalne deformacije prikazane na slici 7. Uklanjanje nekog zna~ajnog optere}enja uvek uzrokuje izdizanje kore. Poznati primer je izdizanje zabeleèno oko Great Salt Lake, Utah, U.S.A. Slika 14 pokazuje izmereno vertikalno pomeranje nastalo nakon isparavanja vode teìne nekih 8.2 × 1015 kg i prose~ne dubine od 330 m [GILBERT, 1890]. Erozija materijala u duèm vremenskom periodu ima uporediv efekat, mada stvarni primeri ovog efekta nisu bili dostupni autorima. Sve ove pomenute promene raspodele masa prati i promena teè. Da bismo ocenili veli~inu tih promena uzmimo za primer postglacijalno izdizanje kao najzna~ajniji dana{nji fenomen optere}enja. Zaliv Hudson karakteri{u prose~ne anomalije od oko 30mGal (slike 6.8 i 6.9), za koje se veruje da su posledica preostale glacijalne depresije. Ako se prihvati 5 × 10 3 godina kao vremenski period potreban da nestanu preostale deformacije, za prose~nu godi{nju promenu teè moè se proceniti iznos od 6 µ Gal . Radi kompletnosti, treba napomenuti da deformacije kore usled optere}enja izazivaju promene uglova i duìna. Ove su promene me|utim tako male da ne uti~u na geodetske radove. 8.3. Tektonske deformacije Kao {to smo u prethodnom poglavlju videli, litosfera je izlomljena u vidu plo~a, i pliva po materijalu gornjeg omota~a. Iako je ideja o litosfernim plo~ama (sa kontinentima i okeanskim basenima na njima), koje se kre}u po gornjem omota~u predlagana jo{ po~etkom ovog veka [WEGENER, 1929], sve do skora ona nije bila predmet ozbiljnih nau~nih razmatranja. Danas je pojam kretanja litosfernih plo~a ~vrsto ustanovljen, i preduzimaju se intenzivna istraìvanja kako bi se odredile relativne brzine, mehanizam koji upravlja njihovim kretanjem i njihove ta~ne me|usobne granice.

§ 8.3

Tektonske deformacije

159

SLIKA 8.15. Promene u drevnom kontinentalnom rasporedu.

Oblik i poloàj kontinenata pre 75 miliona, 50 miliona i 25 miliona godina, onako kako ih je rekonstruisao IRVING [1977], prikazani su na slici 15. Granice glavnih plo~a danas se prili~no pouzdano znaju. Slika 16 prikazuje njihov dana{nji raspored prema LEPICHON ET AL. [1973]. Na istoj slici se nalaze i procene brzina relativnih kretanja, koje se kre}u od nule do 1.1cm godi{nje u jugozapadnom Atlantiku i 14.5cm godi{nje oko podru~ja Nove Gvineje. Dana{nja saznanja o pokreta~kim silama litosfernih plo~a jo{ uvek su neodgovaraju}a. Verovatno je da termalna konvekcija u okviru astenosfere na jedan ili drugi na~in doprinosi kretanju plo~a. Slika 17 ilustruje jedan takav mogu}i koncept [GASS ET AL., 1972].

160


§ 8.3

SLIKA 8.16. Granice i kretanja plo~a.

Po{to se plo~e kre}u, mogu}e su tri razli~ite vrste kontakata njihovih granica: smicanje, konvergencija i divergencija, kao {to se to vidi na slici 18. U stvarnosti se pojavljuju i kombinacije smicanja sa su~eljavanjem i {irenjem.

SLIKA 8.17. Konvekcija u omota~u.

§ 8.3


161

SLIKA 8.18. Tipovi kontakata plo~a.

Divergentne ili {ire}e granice karakteristi~ne su po otvaranju kore i probijanju materijala omota~a, koji potom o~vr{}ava i formira novu litosferu. Ovaj fenomen prati jaka vulkanska aktivnost zbog ~ega nastaju grebeni karakteristi~ni za ove granice. Primer verovatno najbolje prou~ene granice ove vrste je Srednjeatlanski greben. Prose~na brzina {irenja ovog grebena je oko 2cm godi{nje [COULOMB, 1972]. Na konvergentnim granicama du` kojih se dve plo~e razli~itog tipa su~eljavaju, jedna od plo~a je po pravilu nadmo}nija. Gu{}a i tanja okeanska plo~a uvek se podvla~i pod lak{u kontinentalnu plo~u, i eventualno biva uni{tena tope}i se u omota~u. Ovakva aktivnost uvek stvara rov du` granice i savijanje du` ivice

SLIKA 8.19. Konvergentni tip granice.

162


§ 8.3

kontinentalne plo~e, kao {to se vidi na slici 19. Dobro prou~eni Japanski rov na primer pokazuje relativno horizontalno kretanje od 7.5cm godi{nje. Seizmi~ka pomeranja mogu dosti}i desetine metara horizontalno i nekoliko metara vertikalno. Radi ilustracije, horizontalna pomeranja koja je odredio WHITTEN [1970] nakon tektonskog zemljotresa u Aljasci 1964. godine, prikazani su na slici 20. Zna~ajna vertikalna kretanja na ivicama kontinentalnih plo~a u iznosu od nekoliko decimetara za nekoliko decenija, otkrio je TSUBOI [1933]. Dve vrste tih kretanja, preseizmi~ka i postseizmi~ka prikazana su shematski na slici 21 [RIKITAKE, 1976]. Kolizija dve kontinentalne plo~e glavni je (orogeni) proces stvaranja planina. Po{to se pri koliziji nijedna od plo~a ne podvla~i pod drugu zahvaljuju}i svojoj mo}i odràvanja na povr{ini, dolazi do ogromnog savijanja. Poslednji tip granica plo~a su transkurentne granice. Relativno kretanje takvih plo~a moè biti ili neometano, ili privremeno zaustavljeno usled sile trenja. Zaustavljeno kretanje rezultira akumulacijom napona u grani~nom pojasu, koji se ranije ili kasnije osloba|a u vidu zemljotresa. Ovo je naravno ta~no i u slu~aju konvergentnih granica (sa slike 19), i stoga se najve}i broj zemljotresa odigrava u

SLIKA 8.20. Horizontalna pomeranja nakon zemljotresa 1964. godine u Aljasci (SAD).

§ 8.3


163

SLIKA 8.21. Kompresija i odskok kontinentalne plo~e.

SLIKA 8.22. Geosinklinale.

zonama oko ovakvih granica. Nagomilavanje napona moè se opaàti na povr{ini Zemlje kao deformacija ili vertikalno pomeranje - tj. izdizanje i sleganje tla. Ovaj fenomen predstavlja osnovu ideje o upotrebi geodetskih metoda za prognoziranje zemljotresa. U slu~aju najpoznatijeg primera transkurentne granice - raseda San Andreas du` obale Kalifornije - izmerena je brzina kretanja od 3.2cm godi{nje [SAVAGE AND BURFORD, 1973]. Na pojedinim mestima nakon zemljotresa u San Francisco 1905. godine, horizontalno pomeranje prelazilo je vrednost od 5m [HAYFORD AND BALDWIN, 1907].

164


§ 8.4

SLIKA 8.23. Grebeni.

SLIKA 8.24. [karpe.

Recimo i to da postoje i druge o~igledne manifestacije kretanja plo~a. Jedna od njih je razvoj geosinklinala, sinklinala ili antiklinala (slika 22), kao rezultat bo~nih pritisaka u kori. O ovom razvoju se malo zna, ali postoji mno{tvo geolo{kih dokaza iz pro{losti. Takozvani smi~u}i pritisak odgovoran je za rasedanje plo~a. Geometrija aktivnih raseda moè mnogo re}i o rasporedu pritisaka u kori, {to s druge strane pomaè ne samo u lociranju granica plo~a, ve} i u odre|ivanju smera relativnih kretanja plo~a (izuzev u slu~aju kada se rased pojavi du` strukturno slabe oblasti iste plo~e). Rasedanje ipak nije svojstveno samo regionima du` granica plo~a. Razvoj raseda odigrava se i unutar pojedina~nih plo~a, verovatno opet zbog njihovog kretanja. Neki nau~nici kao npr. MENARD [1973], smatraju da se moè dogoditi da litosferne plo~e prelaze preko nepravilne granice gornjeg omota~a. Takvo kretanje podleè dodatnom smi~u}em pritisku koje rezultira rasedanjem unutar plo~a. Dve karakteristi~ne forme koje tom prilikom nastaju su grebeni (slika 23) i {karpe (slika 24). Me|utim, i o ovim se procesima malo zna. MENARD [1973] procenjuje da je maksimalna brzina vertikalnog pomeranja nastala prelaskom plo~a preko nepravilne granice sa astenosferom i dodatnim efektom hla|enja omota~a, manja od 2cm za sto godina. 8.4. Antropogene i ostale deformacije Jedna druga vrsta deformacije koju moramo pomenuti, a koja se odigrava u najvi{im slojevima Zemljine kore, posledica je sabijanja tla. Ova deformacija se

§ 8.4

Antropogene i ostale deformacije

165

SLIKA 8.25. Sleganje grada Londona. Izolinije u centimetrima.

ogleda uglavnom u lokalnom ili regionalnom sleganju. Osim optere}enja o kojem smo govorili u podpoglavlju 8.2, glavni razlog sabijanju tla moè biti uklanjanje fluida iz tla. Intenzivno crpljenje podzemnih voda, na primer, obi~no rezultira zna~ajnim sleganjem relativno velikog podru~ja.

SLIKA 8.26. Sleganje doline San Joaquin, Kalifornija. Izolinije u centimetrima.

166


§ 8.4

Radi ilustracije, slika 25 prikazuje sleganja u gradu Londonu za period od 1865. do 1931. godine [WILSON AND GRACE, 1942]. Promene u vertikalnim poloàjima nisu zanemarljive i moraju biti uzete u obzir pri geodetskim radovima ili u drugim projektima. Kalifornija predstavlja drugi primer regionalnog sleganja zbog ekstrakcije podzemne vode. U dolini San Joaquin, sleglo se podru~je povr{ine 15000km2. Veli~ina sleganja u severnom delu doline za vreme od 1959. do 1969. godine, pri ~emu je maksimum dostigao preko 2.5 metara, prikazano je na slici 26 [HOLDAHL, 1969]. Sli~ne veli~ine sleganja zabeleène su i u Mexico City. Sleganje do 1.5m (slika 27), pojavilo se za vreme od 1952. do 1957. godine [COMISION HIDROLOGICA DE LA CUENCA DEL VALLE DE MEXICO, 1961]. Od 1891. godine akumuliralo se ~itavih 7.5m kao rezultat isu{ivanja okolnih jezera i pove}ane potro{nje podzemne vode. Sleganje se i dalje odvija velikom brzinom. Sleganje tla u blizini aktivnih nalazi{ta nafte i gasa u izvesnoj meri je istog porekla. Slika 28 pokazuje veli~inu sleganja na naftnom polju Wilmington u Los Angeles, nastalog kao posledica va|enja nafte u periodu od 1928. do 1962. godine [YERKERS AND CASTLE, 1971]. Iznena|uju}i rezultat ovog istraìvanja je horizontalno pomeranje od nekoliko metara koje se pojavilo istovremeno sa vertikalnim. Ova deformacija je verovatno posledica stvaranja podzemnih {upljina zbog va|enja

SLIKA 8.27. Sleganje Mexico City. Izolinije u centimetrima.

§ 8.4


167

SLIKA 8.28. Deformacije tla u naftnom polju Wilmington, Kalifornija.

nafte. Opaànja su pokazala da se neka od sleganja mogu anulirati ubrizgavanjem fluida nazad u tlo [POLAND AND DAVIS, 1969]. Uru{avanje podzemnih {upljina, kako prirodnih tako i antropogenih, je slede}i dobro poznati izvor sleganja koji moè obuhvatiti relativno {iroko podru~je Zemljine povr{ine. Suprotan efekat, tj. izdizanje tla, opaàno je u vezi sa prisustvom velike koli~ine podzemnih fluida. Kada taj fluid prodre u dublje slojeve kore, izdizanje tla moè zahvatiti veliku povr{inu. Jedan od najo~iglednijih fenomena koji drasti~no menja oblik Zemlje je zemljotres. Najve}i zemljotresi povezani su sa kretanjem litosfernih plo~a, kao {to smo to ve} videli u podpoglavlju 8.3. Ipak, ne pojavljuju se svi zemljotresi du` granica plo~a. Klizi{ta razli~itog porekla su po dramati~nim efektima sasvim uporediva sa zemljotresima. Po{to se tom prilikom pokre}u velike mase, klizi{ta mogu uzrokovati znatan lokalni efekat optere}enja. I zemljotresi i klizi{ta imaju za posledicu promenu lokalnog polja teè. Na kraju spiska zna~ajnijih deformacija treba pomenuti da se povremeno otkrivaju regionalna sleganja ili izdizanja ~ije poreklo nije poznato. Takvo izdizanje pojavilo se na primer na granici ameri~kih dràva Misisipi i Alabama. Geodetski podaci prikupljani od 1900. godine ukazuju na brzinu ovog izdizanja od preko 50cm za sto godina [HOLDAHL AND MORRISON, 1974]. Druga takva oblast otkrivena je u podru~ju Lac St. Jean u Kvebeku, Kanada [FROST AND LILLY, 1966]. Naknadna ispitivanja potvrdila su ove nalaze (GALE, [1970]; VANI~EK AND HAMILTON, [1972]). Rezultati kasnije analize prikazani su na slici 29 u obliku vertikalnih brzina. Nema op{teprihva}enog geofizi~kog obja{njenja za ova anomalijska kretanja. înjenica da nisu obja{njiva zna~i da ova kretanja ne mogu da se predvi|aju, {to ih ~ini veoma

168


§ 8.4

SLIKA 8.29. Sleganje u Kvebeku (Kanada). Izolinije u milimetrima godi{nje.

nepogodnim za geodetske operacije. Ne moè se odbaciti mogu}nost da su ova pomeranja barem jednim delom tektonskog porekla. Postoji jo{ ~itav niz fenomena, ali su oni od manjeg zna~aja za geodeziju. Od teorijskog interesa su prevashodno razne vibracije, i oscilacije razli~itog porekla. Najpoznatiji efekat predstavljaju seizmi~ki talasi kao posledica zemljotresa koji se mogu osetiti {irom sveta. Seizmi~ki i drugi doga|aji stvaraju na moru ogromne talase pod nazivom cunami (vidi sliku 31). Podrhtavanje tla usled ljudske aktivnosti i drugih uzroka su uglavnom lokalne pojave. One po pravilu predstavljaju visokofrekventni {um u preciznim geodetskim merenjima. Deformacije Zemlje i njenog polja teè, ~ije je poreklo kretanje polova, tako|e su oscilatorne prirode. Pomeranje polova samo po sebi ne menja oblik Zemlje, ali zato na oblik uti~e rezultuju}a promena centrifugalnog potencijala (podpoglavlje 6.3). Efekat je veoma mali i bi}e obra|en u podpoglavlju 25.3. Slobodne oscilacije Zemlje su vibracije celog Zemljinog tela. Njih mogu proizvesti zemljotresi ili drugi iznenadni {okovi. Slika 30 prikazuje spektar slobodnih oscilacija izvedenih iz varijacija teè [NAKAGAWA ET AL., 1968]. Na slici se lako moè uo~iti osnovna karakteristika sa periodom od oko 54 minute. Sve do sada opisane deformacije uti~u na gravitaciono polje Zemlje, i stoga se mogu prepoznati u varijacijama teè kao {to }emo videti u poglavlju 26. Vremenske promene teè tako|e nas navode da pomenemo jo{ dva fenomena koji direktno uti~u na teù. Prvi su gravitacioni talasi koje emituju nebeska tela izvan na{eg solarnog sistema [MISNER ET AL., 1973]. Ovi talasi su tako slabi da se mogu otkriti

§ 8.4


169

SLIKA 8.30. Slobodne oscilacije Zemlje.

samo specijalno konstruisanim instrumentima. Drugi fenomen je vekovna promena gravitacione konstante G (vidi podpoglavlje 6.1), koju predvi|aju neke kosmolo{ke teorije [WILL, 1971]. Ako i postoje, ove promene su veoma spore i izuzetno male. Oba efekta su samo od akademskog interesa. Ve}ini opisanih fenomena vrati}emo se u delu VI, sa detaljnijom i sistemati~nijom diskusijom o tome kako uti~u na geodetske radove, i kakvu ulogu geodezija ima u njihovom otkrivanju. Ipak iz razloga kompletnosti, recimo nekoliko re~i o vremenskim promenama nivoa mora, ~ije je razumevanje potrebno zbog vertikalnog pozicioniranja (podpoglavlje 19.1). Op{ti dvodimenzionalni spektar koji prikazuje frekvencije, amplitude i prostorni obim razli~itih vrsta varijacija nivoa mora, dat je na slici 31 [STOMMEL, 1963]. Primetimo da ovaj spektar uklju~uje i plimatske ~lanove, kao i varijacije zbog topljenja leda sa kraja ledenog doba. On tako|e sadrì razne vrste kratkotalasnih i kratkotrajnih fenomena koji su posledica meteorolo{kih i drugih efekata. Oni me|utim imaju malo uticaja na geodeziju i dalje ih ne}emo diskutovati. S druge strane, dugoperiodi~ne a naro~ito vekovne promene nivoa mora imaju veliki zna~aj u geodeziji. Vekovne promene direktno uti~u na definiciju geoida a samim tim indirektno i na druge veli~ine. Naravno da vaì i obrnuto, i zbog toga se diskusija u vezi slike 8 uvek mora imati na umu kada se govori o vekovnim promenama nivoa mora. Globalne srednje vekovne (eustati~ke) varijacije nivoa mora u periodu od 1860. do 1960. godine, prikazane su na slici 32 [FAIRBRIDGE AND KREBS, 1962]. Najverovatniji uzrok eustati~kom porastu nivoa mora je

170


§ 8.4

SLIKA 8.31. Vremenske varijacije nivoa mora.

topljenje antarkti~kog i drugog leda, i neprestano izjedna~avanje sistema litosfera astenosfera sa optere}enjem vode oslobo|ene nakon topljenja iz poslednjeg ledenog doba. Druge interesantne dugoperiodi~ne varijacije su godi{nje varijacije. One na pojedinim mestima mogu iznositi po nekoliko decimetara, i zna se da poti~u od godi{njih promena temperature, pritiska, pravca vetrova i njihove snage. Opaànja mareografa sme{tenih u blizini re~nih u{}a pokazuju izraène polugodi{nje varijacije za koje se veruje da su posledica ciklusa taloènja. Druge frekvencije vezane za razli~ite meteorolo{ke efekte tako|e se mogu videti na spektru prikazanom na slici 33 [QURAISHEE AND VANI~EK, 1970].

SLIKA 8.32. Globalne srednje (eustati~ke) promene nivoa mora.

§ 8.4


171

SLIKA 8.33. Spektar mese~nih sredina nivoa mora u Baltimoru, Merilend (SAD).

SLIKA 8.34. Karakteristi~na vertikalna pomeranja ~iji su uzrok najpoznatiji fenomeni.

Na kraju ovog poglavlja ilustrativno je uporediti maksimalna vertikalnih pomeranja razli~itog porekla, koja se mogu pojaviti na Zemljinoj povr{ini. Najo~iglednija pomeranja koja se danas mogu barem pribli`no kvantifikovati, prikazana su na slici 34.

POGLAVLJE 9

ZEMLJA I NJENA ATMOSFERA

Geodetskih merenja, kako terestri~ka tako i ekstraterestri~ka, izvode se po pravilu na povr{i Zemlje i u prisustvu njene atmosfere. Shodno tome, neophodno je imati barem elementarna znanja o procesima koji se odigravaju u atmosferi. Ovo poglavlje sastoji se od ~etiri podpoglavlja. Prvo opisuje atmosferu i njene osnovne fizi~ke karakteristike. Drugo se bavi prostiranjem elektromagnetnih talasa kroz atmosferu i prostiranjem zvu~nih talasa kroz vodu. U njemu se nalaze i fizi~ki zakoni na osnovu kojih se izvode formule za refrakciju koje se koriste u geodeziji. Tre}e podpoglavlje sadrì osnove dinamike atmosfere. Autori veruju da je razumevanje ove teme korisno za svakog ko namerava da preduzme ozbiljna istraìvanja u vezi nivoa mora i kretanja Zemljine kore. U poslednjem podpoglavlju bavimo se savremenijim pitanjima u vezi polja teè atmosfere i efekata koja ona ima na Zemljino polje teè. 9.1. Neka fizi~ka svojstva atmosfere Pojam atmosfera predstavlja usvojeno ime za vazdu{ne mase koje okruùju Zemlju. Poznato je da gustina vazduha opada sa visinom. Na visinama od 600 km do 1000 km smatra se da vazduha prakti~no nema. Kao {to je obja{njeno u poglavlju 6, Zemljino gravitaciono privla~enje tako|e slabi sa visinom. Me|utim, sa pove}anjem visine raste intenzitet Zemljinog magnetnog polja, i u prostoru koji se obi~no naziva gornjom atmosferskom granicom postaje dominantan kada je u pitanju uticaj na vazdu{ne ~estice. Razlozi za{to je to tako bi}e obja{njeni kasnije. Atmosfera se uglavnom sastoji od tri gasa: azota (pribli`no 78%), kiseonika (oko 21%) i argona (oko 1%) [PETTERSSEN, 1969]. Pored njih prisutni su tragovi drugih gasova i ~estica kao {to su ugljendioksid i ozon. U atmosferi kao celini, ve}ina atoma je elektri~no inertna. Me|utim neki bivaju jonizovani zbog razli~itog zra~enja koje dolazi iz kosmosa. Stoga koncentracija jona u op{tem slu~aju raste prema spolja{njem prostoru.

172

§ 9.1

Neka fizi~ka svojstva atmosfere

173

Razmotrimo prvo temperaturu vazduha kao najo~igledniji fizi~ki parametar atmosfere. Kao {to to dobro znamo, atmosferska temperatura na povr{ini Zemlje varira od ta~ke do ta~ke. Ona varira sa vremenom tako|e, i to uglavnom u okviru dva ciklusa - sezonskog (godi{njeg) zbog kretanja Zemlje oko Sunca, i dnevnog zbog obrtanja Zemlje oko svoje ose. Najnià temperatura na Zemljinoj povr{ini izmerena u ovom veku bila je - 89.2 °C (- 128.6 °F), zabeleèna 21. jula 1983. godine u Vostoku na Antarktiku. Najvi{a vrednost od 58.0 °C (136.4 °F) zabeleèna je 13. septembra 1922. godine u el-Azizia u Libiji [THE WORLD ALMANAC AND BOOK OF FACTS 1984, 1983]. Atmosferska temperatura tako|e varira sa visinom. Slika 1 prikazuje globalnu srednju raspodelu temperature [PETTERSSEN, 1969]. Temperatura je parametar koji defini{e op{teprihva}enu podelu atmosfere na slojeve. Najniì sloj debljine 8 do 17km zove se troposfera, i s gornje strane je ograni~ena tropopauzom. Ve}ina poznatih fenomena kao {to su vetrovi, oblaci, magla itd. pojavljuju se u ovom sloju. Vazduh je ovde nemiran i njegova gornja granica zna~ajno varira sa {irinom i godi{njim dobima. Slede}i sloj koji se prostire od tropopauze do oko 50km visine zove se stratosfera, i sa gornje strane je ograni~ena stratopauzom. Raspodela vazduha u stratosferi je veoma stabilna i vazduh je suv. Prvih 30km atmosfere sadrì oko 99% molekula vazduha. Mezosfera je sloj iznad stratosfere i karakteristi~na je po turbulentnom kretanju vazduha. Ona se prostire do visine od 80km gde se nalazi mezopauza. Iznad je jonosfera, karakteristi~na po visokoj koncentraciji jonizovanih

SLIKA 9.1. Vertikalna raspodela temperature u atmosferi.

174


§ 9.1

gasova. Od visine oko 400km pa do granice magnetnog polja Zemlje nalazi se sloj poznat kao magnetosfera. Istaknimo da neki drugi autori koriste ne{to druga~iju nomenklaturu podele atmosfere na slojeve. Za re{avanje raznih problema vezanih za troposferu, potreban je vertikalni temperaturni gradijent. Njegova globalna, srednja, troposferska vrednost je oko 0.0065 °C po metru. Me|utim, on lokalno moè znatno varirati sa poloàjem i vremenom. Drugi fizi~ki parametar koji je potrebno prou~iti je gustina vazduha atmosfere. Kao i temperatura, tako i gustina varira od mesta do mesta i sa vremenom. Najo~iglednija ~injenica je da se ona brzo smanjuje sa visinom. Razne institucije predlagale su stacionarne modele globalne raspodele gustine vazduha, kao npr: COSPAR (International Reference Atmosphere) - CIRA [COSPAR, 1965], U.S. National Advisory Committee for Aeronautics - NACA [DIEHL, 1948], Smithsonian Astrophysical Observatory - SAO [LIST, 1958], U.S. Air Research and Development Command - ARDC [MINZNER ET AL. , 1959]. Ovi modeli obi~no sadrè i druge parametre kao {to su raspodele temperatura i pritisaka. Slika 2 ilustruje raspodelu gustine kori{}enu u NACA modelu. Primetimo da je ~ak i najgu{}i deo atmosfere svega 0.12% gustine vode, odnosno 0.04% gustine povr{inskih stena ( podpoglavlje 8.2).

SLIKA 9.2. Vertikalna raspodela gustine u atmosferi.

§ 9.1

Neka fizi~ka svojstva atmosfere

175

Gustina vazduha moè se odrediti merenjem vazdu{nog pritiska koji predstavlja ustvari hidrostati~ki pritisak, odnosno teìnu stuba vazduha jedini~nog popre~nog preseka. Lako je videti da je teìna ∆w stuba vazduha visine ∆h data sa:

∆w = mean(σ a g)∆h ,

(9.1)

gde je σ a gustina vazuha, a sredina se uzima du` visine ∆h stuba. Integracijom teìne du` vertikale od date visine h do granice atmosfere (ili npr. sa ta~no{}u 99.7% do 40 km), dobija se pritisak na visini h : 40 km

p =

∫σ

a

g dh .

(9.2)

h

Po{to je smanjenje pritiska sa visinom uvek regularno u svakom trenutku vremena, pritisak se moè koristiti i kao pribli`na mera visine, uz uslov da se vodi ra~una o ~injenici da se pritisak menja sa vremenom zbog varijacija u gustini vazduha. Barometrijsko odre|ivanje visina (vidi podpoglavlje 19.4) zasniva se na ovom principu. Barometrijski pritisak se obi~no meri u barima (1 bar jednak je 10 −5 Ncm −2 ili 100 kPa , i ekvivalentan je pritisku od 0.75006 m ìve). Normalni pritisak na

SLIKA 9.3. Srednji globalni pritisak za mesec januar. Izolinije u milibarima.

176


§ 9.2

Zemljinoj povr{ini iznosi oko 1bar ili 1000mbar. Povr{i jednakog pritiska zovu se izobarne povr{i. Linije redukovane na nivo mora koje spajaju ta~ke istog pritiska na povr{i Zemlje zovu se izobare. Zbog vremenskih varijacija gustine, i izobarne povr{i i izobare variraju sa vremenom. Kao primer, slika 3 prikazuje srednji globalni pritisak za mesec januar, prema MEDALLION WORLD ATLAS [1973]. Temperatura T (apsolutna u stepenima K) i pritisak p povezani su jedna~inom stanja idealnog gasa, koji glasi [MENZEL, 1955]:

p =σa

R T, m

(9.3)

gde je R univerzalna gasna konstanta jednaka 8.316 96 × 10 7 erg mol −1 K −1 , a m je molekularna teìna vazduha. Ova jedna~ina, strogo govore}i, vaì samo za suv vazduh za koji je odnos R / m jednak 2.8704 × 10 6 cm 2 s −2 K −1 [LIST, 1958]. U troposferi je me|utim vazduh vrlo retko sasvim suv. Obi~no postoji vlaga u vazduhu, i ona se pod odre|enim uslovima manifestuje kao oblak, magla, izmaglica itd. Za vla`ni vazduh jedna~ina stanja vaì samo pribli`no. Vi{e odgovara izraz oblika:

p = σ a

T R ⋅ , 1 − 0.378 03 e/p m

(9.4)

gde je vla`nost izraèna u vidu parcijalnog pritiska vodene pare e . Koli~ina vazdu{ne vlage moè se izra~unati i iz temperatura suvog i vla`nog vazduha, ili se moè odrediti higrometrom. 9.2. Prostiranje talasa kroz atmosferu i vodu Elektromagnetni talasi koji se koriste za geometrijska merenja u atmosferi, kre}u se u opsegu od radiofrekventnih talasa, preko mikrotalasa pa do vidljive svetlosti, i imaju frekvenciju u rasponu od 10 4 do 1015 Hz . Zvu~ni talasi (sa frekvencijom izme|u 10 i 10 4 Hz), koji se koriste za merenja rastojanja u vodi, pona{aju se u odre|enoj meri sli~no elektromagnetnim talasima. Stoga }e u ovom podpoglavlju biti obra|en koncept prostiranja obe ove vrste talasa. Usmerimo na{u pa`nju prvo na prostiranje elektromagnetnih talasa kroz atmosferu. U zavisnosti od frekvencije f , mogu se prepoznati tri razli~ite karakteristike

§ 9.2

Prostiranje talasa kroz atmosferu i vodu

177

prostiranja kao {to je to prikazano na slici 4. Talasi svih frekvencija prostiru se kao direktni talasi kada se predajnik i prijemnik dogledaju, ali talasi male frekvencije (velike talasne duìne), u stanju su da se kre}u i kao povr{inski talasi. Za direktna odre|ivanja o~igledno su najpogodniji direktni talasi. Ipak i povr{inski talasi se isto tako mogu koristiti ako se npr. pravci otkrivaju prema ja~ini signala. Za odre|ivanje duìna podjednako sluè i direktni i povr{inski talasi. Prema tome, odre|ivanje duìna i pravaca nije u op{tem slu~aju ograni~eno dogledanjem krajnjih ta~aka. Odbijeni talasi (slika 4), predstavljaju po pravilu smetnju u geodetskim merenjima [BURNSIDE, 1971]. Nedavno je me|utim pokazano da talasi odbijeni od jonosfere mogu korisno posluìti u odre|ene svrhe [WELLS, 1979]. Talasi niè frekvencije odbijaju se od najniìh slojeva jonosfere, tako da ne mogu prodreti u spolja{nji prostor. S druge strane, prostiranje talasa visoke frekvencije ( preko 3 × 10 7 Hz ), nije ograni~eno jonosferom. Svi se talasi odbijaju u odre|enoj meri od tla, iako se za niskofrekventne talase ne moè zaista govoriti o pravom odbijanju. Mo`da bi kotrljanje bio pogodniji izraz. Sa izuzetkom veoma niskih frekvencija, nivo odbijanja raste sa talasnom duìnom, provodljivo{}u zemlji{ta i upadnim uglom, {to zna~i da je gotovo idealan u slu~aju frekvencija ispod 1010 Hz koje poga|aju vodenu povr{inu pod pravim uglom [HILL, 1966]. Kao {to smo konstatovali u podpoglavlju 7.3, sva savremena odre|ivanja duìna zasnivaju se na merenju vremena prostiranja elektromagnetnih talasa izme|u dve ta~ke. Naàlost, brzina prostiranja zavisi od sredine. Najvi{a brzina c , ocenjena na 299 792 458 ± 12 ms −1 , postiè se u vakumu [TERRIEN, 1974]. Pravac prostiranja talasa koji se koristi u merenju pravaca tako|e se menja, tako da se ~ak i direktni talasi savijaju pri prolazu kroz odre|enu sredinu. Savijanje direktnih talasa i promena njihove brzine u tesnoj su vezi, i obi~no se zajedni~ki razmatraju pod

SLIKA 9.4. Prostiranje elektromagnetnih talasa kroz atmosferu.

178


§ 9.2

pojmom refrakcije. Pod refrakcijom povr{inskih talasa podrazumeva se samo promena brzine, jer nema smisla govoriti o refrakciji njihovih pravaca. Uvedimo sada pojam indeksa refrakcije n definisanog kao:

n=c v .

(9.5)

Po{to je stvarna brzina talasa v uvek manja od c , n je uvek ne{to ve}e od 1. Njegova vrednost zavisi pre svega od gustine sredine σ (u na{em slu~aju vazduha), i u manjoj meri od talasne duìne talasa. Kao {to }e kasnije biti pokazano, u jonosferi je indeks refrakcije modulisanih talasa manji od 1 zato {to se njihova brzina defini{e ne{to druga~ije. Veza izme|u n i σ data je Lorenc-Lorenc jedna~inom [MENZEL, 1955]:

n2 −1 = σr , n2 + 2

(9.6)

gde je r specifi~na refraktivnost sredine koja je skoro konstantna za uobi~ajeni raspon talasnih duìna. Iz eksperimenata izvedenih u troposferi, sledi da treba o~ekivati da n ima vrednost izme|u 1 i 1.0003 [HOTINE, 1969]. Za ovaj raspon vrednosti, odnos (6) se s velikom ta~no{}u moè predstaviti kao 23 (n − 1) , tako da se za troposferu s gustinom σ a dobija:

n − 1 = 32 σ a r .

(9.7)

Po{to je stvarna brzina v manja od c , vreme prostiranja elektromagnetnih talasa koji se koriste za merenje rastojanja duè je nego {to bi bilo u vakuumu. Stoga su rastojanja prividno duà nego stvarno, i to tim duà {to su blià tlu gde je vazduh gu{}i. Stvar se komplikuje ~injenicom da se gustina σ a donekle nepravilno menja, a s njom naravno i indeks refrakcije. Op{ti zakon geometrijskog oblika putanje direktnih talasa formulisao je Ferma, i on predstavlja varijaciju jo{ op{tijeg Hamiltonovog principa minimuma energije [CONDON AND ODISHAW, 1967]. Po Fermaovom principu, vreme putovanja talasa kroz neku sredinu izme|u dve zadate ta~ke mora biti minimalno. Ako posmatramo beskona~no mali prira{taj puta dS , tada je trenutna brzina prostiranja data sa:

§ 9.2


v=

179

dS . dτ

(9.8)

Zamenom v sa c / n iz (5), i integracijom du` bilo koje putanje C izme|u dve ta~ke P1 , P2 dobija se slede}i izraz za vreme putovanja τ 2 − τ 1 :

(τ 2 − τ 1 )C

=

1 n dS . cC

∫

(9.9)

~

Direktni elektromagnetni talasi kre}u se onom putanjom C koja minimalizuje gornji izraz (vidi sliku 5). Proizvod c(τ 2 − τ 1 )C~ predstavlja putanju minimalne duìne.

G

Prostorna kriva r (S ) dobija se re{enjem varijacionog problema (9). Ako usvojimo proizvoljni kartezijanski koordinatni sistem i izrazimo indeks refrakcije kao funkciju G poloàja (tj. n(r ) ), dolazimo do slede}e diferencijalne jedna~ine [MENZEL, 1955]:

d ⎛⎜ d r ⎞⎟ n − grad n = 0 . dS ⎜⎝ dS ⎟⎠

(9.10)

G

Rezultuju}a kriva r (S ) (vidi podpoglavlje 3.3) o~igledno zavisi od n , i ima kako krivinu tako i torziju. Njena duìna sledi iz (9). Ono {to je ustvari od najve}eg zna~aja u odre|ivanju pravaca je odstupanje najkra}e putanje od prave linije koja spaja P1 sa P2 . Kada se poku{a re{enje jedna~ine (10), vidi se da je pored talasne duìne elektromagnetnog talasa

SLIKA 9.5. Fermaov princip.

180


§ 9.2

SLIKA 9.6. Vertikalna i horizontalna refrakcija.

neophodno i poznavanje gustine vazduha σ a du` putanje. Po{to nije direktno merljiva, gustina se ra~una iz (4) pomo}u izmerene temperature, pritiska i parcijalnog pritiska vodene pare. U praksi nije lako obezbediti sve te informacije, pa se pribegava pojednostavljenjima. Za po~etak posmatrajmo vertikalnu i horizontalnu ravan koje sadrè dve krajnje ta~ke putanje P1 i P2 (slika 6). Ve} smo videli u podpoglavlju 9.1 da se gustina vazduha najvi{e menja u vertikalnom smislu. Prema tome, projekcija putanje na vertikalnu ravan mnogo je vi{e savijena od projekcije na horizontalnu ravan. ~ Drugim re~ima, refrakcioni ugao, tj. ugao izme|u prave linije i stvarne putanje C , ve}i je u vertikalnom smislu. Opaànja zaista potvr|uju da je vertikalna refrakcija u op{tem slu~aju jedan red veli~ine ve}a od horizontalne. Zabeleène su vrednosti refrakcionog ugla θ veli~ine jednog lu~nog minuta, ali mogu biti i mnogo ve}e [PELIKAN, 1967]. Tipi~ne veli~ine refrakcionih uglova su reda 10″. U prvoj aproksimaciji gustina vazduha se moè smatrati horizontalno slojevitom. Ako se prihvati ovakav model atmosfere du` putanje prostiranja, onda se krivina putanje u vertikalnoj ravni moè izvesti na slede}i na~in. Po Snelijusovom zakonu, prolazak kroz granicu izme|u dva sloja (slika 7) sa indeksima refrakcije n1 , n 2

SLIKA 9.7. Refrakcija na granici dva sloja.

§ 9.2


181

moè se opisati slede}om jedna~inom [DRUDE, 1959]:

n1sinZ 1 = n 2 sinZ 2 .

(9.11)

Ako se uzme beskona~no tanak sloj dh , i usvoji da se indeks refrakcije menja neprekidno, tj. da je n 2 − n1 = dn , dobija se:

Z 2 − Z 1 = dZ = −

dn tan Z . n

(9.12)

S druge strane, polupre~nik krivine R , koja obavija putanju u ta~ki P iznosi:

1 dZ = . R dS

(9.13)

Po{to je dScosZ = dh , kona~no se dobija:

1 1 dn = − sinZ . n dh R

(9.14)

Primetimo da je vertikalna refrakcija, kao i usporenje brzine prostiranja, najizraènija kada talas putuje u horizontalnom pravcu ( Z → 12 π ) , ali za razliku od usporenja brzine gotovo potpuno nestaje (u prvoj aproksimaciji) kada se talas kre}e u vertikalnom pravcu ( Z → 0) .

SLIKA 9.8. Pojednostavljeni model vertikalne refrakcije.

182


§ 9.2

U mnogim prakti~nim situacijama dovoljno je putanju direktnog elektromagnetnog talasa izme|u dve ta~ke bliske povr{ini Zemlje smatrati kru`nom. Ovo zna~i da je krivina putanje izme|u ta~aka konstantna, i ta je situacija prikazana na slici 8. Sasvim je jasno da je fenomen refrakcije najizraèniji u donjim slojevima atmosfere. To je razlog da se ~esto naziva troposferskom refrakcijom. Iznad visine od 30km refrakcija je neznatna i moè se u potpunosti zanemariti. Me|utim, kada elektromagnetni talasi dostignu jonosferske visine i na|u se u podru~ju bogatom jonizovanim vazduhom, nastupa jedan drugi fenomen. Naime, ako je frekvencija talasa vi{a od 3 × 10 7 Hz , tada prilikom prolaska kroz jonosferu njihova brzina prostiranja u odre|enoj meri postaje frekventno zavisna. Ovaj fenomen zove se disperzija. Disperzivni indeks refrakcije dat je sa [WEIFFENBACH, 1967]:

n = 1−

f N2 , αf 2

(9.15)

gde je f N rezonantna frekvencija elektronske plazme koja zavisi od koncentracije elektrona i menja se sa vremenom i poloàjem, f je frekvencija elekromagnetnog talasa, a α je funkcija pravca prostiranja talasa i nagiba i ja~ine Zemljinog magnetnog polja. Po{to se disperzija odigrava prevashodno u jonosferi, ~esto se naziva jonosferskom refrakcijom. Interesantno je primetiti da je jonosferski indeks refrakcije za modulisane talase manji od 1 kao {to smo to ve} pomenuli. To bi zna~ilo brzinu prostiranja ve}u od c , {to je suprotno osnovnim fizi~kim postulatima. Obja{njenje je da je kod modulisanih talasa upravo modulaciona obvojnica nosilac informacija. Po{to je obvojnica rezultat grupe prostih talasa, brzina njenog prostiranja zavisi od brzine modulisanog talasa, kao i od relativnog usporenja talasa koji ~ine grupu. Brzina modulacione obvojnice, ili takozvana grupna brzina, je ustvari brzina koja je ve}a od c [LE MEHAUTE, 1976]. Ve} smo videli da je voda veoma efikasna kao povr{ odbijanja elektromagnetnih talasa. Kako se me|utim ona pona{a kao sredina rasprostiranja? Ne ba{ najbolje! Po{to je mnogo provodljivija od vazduha, ona veoma brzo prigu{uje rasprostiranje. [to je ve}a frekvencija talasa ve}e je i prigu{enje, tako da nema zna~ajnijeg rasprostiranja kroz vodenu masu, osim za frekvencije uporedive sa frekvencijom zvu~nih talasa. Isto tako, za razliku od vazduha, brzina prostiranja zavisi od frekvencije ω [HILL, 1966], tj:

§ 9.2


v = 2ω (λµ ) ,

183

(9.16)

gde λ ozna~ava provodljivost, a µ permeabilnost. Za frekvencije od 1Hz brzina je gotovo ista kao brzina zvuka. Zvuk se ne{to bolje rasprostire kroz vodu. Brzina prostiranja iznosi oko 1550 m/s , i menja se sa temperaturom vode i, u ne{to manjoj meri, sa promenama pritiska i saliniteta. Nisu poznate teorijske veze izme|u brzine i navedena tri parametra. Umesto toga koriste se empirijske formule kao {to }emo videti u podpoglavlju 19.4. Prigu{enje zbog disperzije i apsorpcije energije tj. njenog pretvaranja u toplotu, manje je u slu~aju zvuka nego u slu~aju elektromagnetnih talasa. Glavni izvor prigu{enja je rasipanje zbog nepravilnog dna i u manjoj meri zbog nepravilne povr{ine vode. Rasipanje zbog mehuri}a vazduha tako|e moè biti zna~ajno. Zakoni odbijanja i refrakcije zvuka u vodi analogni su onima za elektromagnetne talase. Prema tome postoji odbijanje zvuka i od dna i od povr{ine, kako je to prikazano na slikama 9 i 10. Pod posebnim okolnostima, kada se zbog me{anja vode pojavi sloj manjih brzina dublje ispod povr{ine, zvuk se kre}e tim slojem izbegavaju}i prigu{enje koje dolazi od rasipanja (slika 11). Na taj na~in on moè pre}i stotine ili hiljade kilometara kao {to su to primetili mnogi okeanografi.

SLIKA 9.9. Prostiranje zvuka kada se brzina smanjuje sa dubinom.

SLIKA 9.10. Prostiranje zvuka kada se brzina pove}ava sa dubinom.

184


§ 9.3

SLIKA 9.11. Prostiranje zvuka kroz sloj niske brzine

9.3. Vremenske promene atmosfere Pod vremenskim promenama atmosfere, odnosno atmosferskom dinamikom, podrazumeva se kretanje ~estica vazduha ili vremenske promene gustine vazduha. To su ustvari dva na~ina da se opi{e isti fenomen. Varijacije u gustini prate promene u temperaturi i pritisku, {to se manifestuje vetrovima. Polje atmosferske dinamike je u celini veoma kompleksno, a po{to nije direktno vezano za geodeziju bilo kakve dublje diskusije ovih tema bile bi sasvim neprimerene. Zainteresovani ~italac upu}uje se na MALONE [1951] i druge publikacije koje su tamo citirane. Ono {to sledi samo je skica fenomena koji imaju odre|ene veze sa geodetskim radovima. Globalno kretanje atmosfere opisuje se pribli`no sa ~etiri jedna~ine. Prva je hidrodinami~ka jedna~ina kretanja [MENZEL, 1955]:

G G G 1 G G v = −2ω × v − ∇p − g + F ,

σa

(9.17)

G

G

gde je v brzina ~estica vazduha, F ubrzanje koje je rezultat unutra{njih napona i viskoznosti atmosfere, dok preostali simboli imaju isto zna~enje kao i u prethodnim G poglavljima ( ω je Zemljina brzina rotacije kao u podpoglavlju 5.3). Prva dva ~lana desne strane jedna~ine su dominantna u kretanju atmosfere. Prvi ozna~ava Koriolisovo ubrzanje, dok je drugi tzv. ubrzanje gradijenta pritiska. Druga jedna~ina zove se jedna~ina kontinuiteta, i njena uloga je da garantuje o~uvanje mase atmosfere za vreme kretanja. Ona glasi:

G ∂p + ∇σ a v = 0 . ∂t Tre}u jedna~inu predstavlja prvi zakon termodinamike [MENZEL, 1955]:

(9.18)

§ 9.3

Vremenske promene atmosfere

dq = C p dT −

1

σa

185

dp ,

(9.19)

gde je dq specifi~na toplota dodata atmosferi, a C p specifi~na toplota vazduha na konstantnom pritisku p . êtvrta jedna~ina je ve} poznata jedna~ina stanja (formula (3) odnosno (4)).

G

Analiti~ko re{enje ovog sistema od ~etiri diferencijalne jedna~ine po v ne bi imalo mnogo fizi~kog smisla, jer one ne opisuju stvarnost kompletno. Osim toga, ne postoje ni informacije o grani~nim vrednostima. Stoga se obi~no poku{avaju samo parcijalna re{enja koja se izvode uz pomo} stvarnih merenja izvr{enih u troposferi. Poznato je, na primer, da je u op{tem slu~aju vertikalno ubrzanje vazduha u troposferi veoma malo [CHAPMAN AND LINDZEN, 1970]. Zanemarivanjem internog

G

G

ubrzanja F , i ograni~avanjem samo na horizontalnu komponentu brzine v , jedna~ina (17) redukuje se na:

G G G 1 v hor = −2(ω × v )hor − (∇p )hor .

(9.20)

σa

U mirnom toku koji preovla|uje u atmosferi, ubrzanje na levoj strani postaje jednako nuli, a ono {to preostane predstavlja jedna~inu geostrofnog vetra. O~igledno je da geostrofni vetar odgovara situaciji u kojoj su Koriolisovo ubrzanje i ubrzanje gradijenta pritiska izjedna~eni, i gde se promene u temperaturi mogu zanemariti. Geostrofni vetar je dosta dobra reprezentacija stvarnog stanja. Prema PETTERSSEN [1969], geostrofni vetrovi predstavljaju oko 70% kretanja vazduha iznad mora. Ostatak su ubrzana kretanja koja ne}emo obra|ivati u ovoj knjizi. Jedna~ine geostrofnog vetra mogu se i znatno jednostavnije napisati. Biranjem lokalnog kartezijanskog desno orijentisanog koordinatnog sistema sa osom y uperenom prema severu i osom x prema istoku, ~italac moè proveriti da se jedna~ine svode na:

vN =

∂p , 2σ a ω sinφ ∂x 1

⋅

vE =

∂p −1 ⋅ , 2σ a ω sinφ ∂y

(9.21)

gde su v N i v E horizontalne brzine vetra u pravcu sever-jug i istok-zapad, a φ je {irina.

186


§ 9.3

SLIKA 9.12. Globalni raspored cirkulacija na severnoj hemisferi.

Interesantno je baciti pogled na globalni raspored cirkulacije vazduha koji oslikava i geostrofne i termalne vetrove. Slika 12 prikazuje glavne karakteristike ovog rasporeda na severnoj hemisferi, prema ROSSBY [1941]. Primetimo efekat Koriolisove sile koji se ogleda u zapadnom kretanju toka ograni~enog sa severa i isto~nom kretanju toka ograni~enog s juga. Savetujemo zainteresovanog ~itaoca da uporedi ovu sliku sa slikom 3. U stvarnosti su na ovaj globalni raspored superponovane i razli~ite druge cirkulacije.

SLIKA 9.13. Amplitude solarne poludnevne atmosferske plime. Izolinije u mikrobarima.

§ 9.4

Polje teè atmosfere

187

Poslednji fenomen koji vredi pomenuti je atmosferska plima. To je zajedni~ki pojam za plimatske i druge periodi~ne deformacije vazdu{nih masa. Atmosferska plima je termalnog porekla [CHAPMAN AND LINDZEN, 1970], i glavna frekvencija joj je solarna poludnevna, dakle S 2 (vidi podpoglavlje 8.1). Veli~ina promene pritiska sa ovom frekvencijom prikazana je na slici 13 [HAURWITZ, 1965]. Ostale plimatske frekvencije su tako|e prisutne, ali njihove male amplitude sakrivaju varijacije uzrokovane drugim fenomenima. 9.4. Polje teè atmosfere Po{to atmosfera ima masu ocenjenu na oko 5.24 × 1018 kg [COSPAR, 1965], ona poseduje i izvesno gravitaciono privla~enje. Masa atmosfere iznosi 0.89 × 10 −6 od mase Zemlje (vidi podpoglavlje 6.1). Kao {to smo to ranije videli, i gravitaciono ubrzanje i gravitacioni potencijal linearne su funkcije mase tela koje privla~i. Prema tome gravitacioni efekti Zemlje sa atmosferom na satelite van atmosfere ve}i su 1.000 000 89 puta nego {to bi bili da Zemlja nema atmosferu. Kada se istraùje Zemljino polje teè na i iznad njene povr{ine, ~esto je poèljno (kao {to }emo videti u delu V) smatrati prostor izvan Zemlje potpuno praznim. Stoga je za izvesne svrhe potrebno korigovati gravimetrijska opaànja izvr{ena na povr{ini Zemlje za uticaj prisustva atmosfere. Ova korekcija se naro~ito mora ra~unati ako se upore|uju terestri~ka i satelitska opaànja.Takozvana prva atmosferska korekcija teè iznosi 0.87mGal za sva gravimetrijska opaànja izvr{ena na nivou mora. Dodavanje takve popravke zna~i matemati~ki transfer mase atmosfere u centar mase Zemlje. Prva atmosferska korekcija potencijala teè prevedena u vertikalno izme{tanje ekvipotencijalnih povr{i iznosi oko 5m. Ovo me|utim nema zna~aja za geoid jer se on defini{e pomo}u srednjeg nivoa mora, kao {to smo videli u podpoglavlju 6.4. Prema tome, gravitacioni efekat atmosfere samo konstantno menja vrednost potencijala na povr{i geoida. [ta se moè uraditi sa gravimetrijskim opaànjima izvedenim na ve}im visinama? Ova opaànja treba korigovati samo za efekat dela atmosfere iznad ta~ke merenja. Efekat sloja ispod ta~ke merenja ve} je sadràn u izmerenoj vrednosti. Ista korekcija primenjuje se i na gravimetrijska merenja izvr{ena iz aviona. Tabela ovih korekcija u funkciji visine moè se na}i u IAG [1971]. Moè se pokazati da je potencijal unutar sferne ili elipsoidne ljuske, bo~no homogene gustine, konstantan [MACMILLAN, 1930]. Prema tome, ako se atmosfera

188


§ 9.4

SLIKA 9.14. Drugi atmosferski efekat privla~enja. Izolinije u mikrogalima.

moè smatrati sastavljenom od homogenih sfernih ili elipsoidnih slojeva, onda }e se na svim ta~kama iste visine ose}ati isti atmosferski efekat privla~enja. Ovaj efekat bi se onda u potpunosti mogao opisati prvom korekcijom koju smo ve} pomenuli. Stvarna atmosfera me|utim niti je bo~no homogena, niti je pravilnog oblika. Njena donja granica je naro~ito nepravilna, i ustvari ima oblik Zemljine topografije. Zbog toga efekat privla~enja atmosfere nije isti ~ak ni za ta~ke sa istom visinom. Ova

SLIKA 9.15. Drugi atmosferski efekat na terestri~ki gravimetrijski geoid. Izolinije u centimetrima.

§ 9.4

Polje teè atmosfere

189

~injenica razlog je postojanja takozvane druge atmosferske korekcije teè. Njena veli~ina prikazana je na slici 14 [ANDERSON ET AL., 1975]. Iako je na slici korekcija veoma uop{tena, jasno je vidljiva negativna korelacija sa visinom. Efekat drugog reda menja}e nepravilno i potencijal, i stoga rezultirati promenom oblika geoida. Zaklju~ak je da drugu atmosfersku korekciju potencijala teè treba primeniti na geoid. Njena veli~ina iznosi najvi{e 10% efekta prvog reda i prikazana je na slici 15 [ANDERSON ET AL., 1975]. Primetimo ponovo negativnu korelaciju sa topografijom. Okolnosti pod kojima su ova kao i prva korekcija neophodne, zavisi od nameravane upotrebe geoida. Vi{e o ovome bi}e re~eno u podpoglavlju 24.4.

DEO II

LITERATURA

AIRY, G.B. (1855). On the computations of the effect of the attraction of the mountain masses as disturbing the apparent astronomical latitude of stations in geodetic surveys. Trans. Roy. Soc. London Ser. B 145. ANDERLE, R.J. (1970). Polar motion determinations by U.S. Navy Doppler satellite observations. U.S. Naval Weapons Laboratory Technical Report 2432, Dahlgren, U.S.A. ANDERSON, E.G., C. RIZOS AND R.S. MATHER (1975). Atmospheric effects in physical geodesy. School of Surveying, Unisurv. No. G23, University of New South Wales, Kensington, Australia. ARNOLD, K. (1960). Numerische Beispiele zur strengen Theorie der Figur der Erde. Veröffentlichungen des Geodätischen Instituts Potsdam, Neue Serie Nr. 16, Germany. BÖHM, J. (1972). Vy{{í Geodesie 1. ^VUT, Prague, Czechoslovakia. BOWIE, W. AND H.G. AVERS (1914). Fourth general adjustment of the precise level net in the U.S. U.S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 18, Washington, D.C., U.S.A. BROWN, R.D., S. VINCENT, W.E. STRANGE (1972). Undulation spectra for the marine geoid. Paper presented at the 53rd annual meeting of the American Geophysical Union, Washington, D.C., U.S.A. BUCHAR, E. (1958). Motion of the nodal line of the second Russian earth satellite and flattening of the earth. Nature 182, pp. 198-199. BULLEN, K.E. (1963). Introduction to the Theory of Seismology. 3rd ed., Cambridge University Press. BURNSIDE, C.D. (1971). Electromagnetic Distance Measurement. Crosby Lockwood. BUR{A, M. (1971). Fundamental geodetic parameters of the earth's figure and the structure of the earth's gravity field received from satellite data. Paper presented at the 15th General Assembly of the International Union of Geodesy and Geophysics, Moscow, U.S.S.R. CASSINIS, G. (1930). Sur l'adoption d'une formule internationale pour la pésanteur normale. Bull. Géod. 26, pp. 40-49. CESTONE, J.A., R.J. CYR, G. ROESLER AND E. ST. GEORGE JR. (1976). Latest highlights in acoustic underwater navigation. Proc. International Navigational Congress, U.S. Institute of Navigation, Boston Museum of Science, Boston, U.S.A., August, pp. 109-133. CHANDLER, S.C. (1891). On the variation of latitude. Astronom. J. 11, pp. 59-61, 65-70, 75-79, 83-86. CHAPMAN, S. AND R.S. LINDZEN (1970). Atmospheric Tides. Gordon and Breach. CLARKE, A.R. (1878). On the figure of the earth. Philos. Mag. and J. Sci. London Ser. 5 6, pp. 81-93. COMISION HIDROLOGICA DE LA CUENCA DEL VALLE DE MÉXICO (1961). Boletin de Mecanica de Suelos, No. 3, June 1956-June 1959. Secretaria de Recursos Hidraulicos, Oficina de Estudios Especiales, Mexico City, Mexico. CONDON, E.U. AND H. ODISHAW (EDS.)(1967). Handbook of Physics. 2nd ed., McGraw-Hill. COSPAR (1965). COSPAR International Reference Atmosphere. North-Holland. COULOMB, J. (1972). Sea Floor Spreading and Continental Drift. Reidel. CURRIE, R.G. (1974). Period and Qw of the Chandler wobble. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 38, pp. 179-185. DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES (1977a). Personal communication. Earth Physics Branch, Ottawa, Canada. September. DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES (1977b).Personal communication. Earth Physics Branch, Ottawa, Canada. September.

190

LITERATURA, DEO II

191

DIEHL, W.S. (1948). Standard atmospheric tables and data. National Advisory Committee for Aeronautics, U.S.A. DOODSON, A.T. (1957). The analysis and prediction of tides in shallow water. Internat. Hydrogr. Rev. 33, pp. 85-126. DRUDE, P. (1959). The Theory of Optics. Dover. FAIRBRIDGE, R.W. AND O.A. KREBS (1962). Sea-level and the southern oscillation. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 6 (4), pp. 532-545. FROST, N.H. AND J.E. LILLY (1966). Crustal movement in the Lake St. John area, Québec. Canad. Surv. 20 (4), pp. 292-299. GALE. L.A. (1970). Geodetic observations for the detection of vertical crustal movements. Canad. J. Earth Sci. 7, pp. 602-606. GAPOSHKIN, E.M. (1973). 1973 Smithsonian standard earth (III). Smithsonian Astrophysical Observatory Special Report 353, Cambridge, U.S.A. GARLAND, G.D. (1965). The Earth's Shape and Gravity. Pergamon. GASS, I.G., P.J. SMITH AND R.C.L. WILSON (EDS.) (1972). Understanding the Earth. 2nd ed., M.I.T. Press. GILBERT, G.K. (1890). Lake Bonneville. U.S. Geological Survey. GODIN, G. (1972). The Analysis of Tides. University of Toronto Press. GOLDREICH, P. AND A. TOOMRE (1969). Some remarks on polar wandering. J. Geophys. Res. 74. (10), pp. 2555-2567. GOUGH, D.I. AND W.I. GOUGH (1970). Stress and deflection in the lithosphere near Lake Kariba. Geophys. J. Roy. Asronom. Soc. 21, Part I, pp. 65-78, Part II, pp. 79-101. GRABER, M.A. (1976). Polar motion spectra based upon Doppler, IPMS, and BIH data. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 46, pp. 75-85. GUINOT, B. (1977). Personal communication. Director of Bureau International de l'Heure, Paris, France. September. HAURWITZ, B. (1965). The diurnal surface pressure oscillation. Arch. Met. Geophys. Biokl. A 14, pp. 361379. HAYFORD, J.F. (1909). The figure of the earth and isostasy from measurements in the United States. U.S. Coast and Geodetic Survey, Washington, D.C., U.S.A. HAYFORD, J.F. AND A.L. BALDWIN (1907). The earth movements in the California earthquake of 1906. U.S. Coast and Geodetic Survey Report for 1907, Append. 3, Washington, D.C., U.S.A. HEISKANEN, W.A. (1938). Investigations of the gravity formula. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 51 (8), 22 pages. HEISKANEN, W.A. AND H. MORITZ (1967). Physical Geodesy. Freeman. HEISKANEN, W.A. AND F.A. VENING MEINESZ (1958). The Earth and its Gravity Field. McGraw-Hill. HELA, I. AND E. LISITZIN (1967). A world mean sea level and marine geodesy. Proc. 1st Marine Geodesy Symposium, Battelle Memorial Institute, Columbus, U.S.A., September, 1966. Covernment Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 71-73. HENDERSHOTT, M.C. (1972). The effects of solid earth deformation on global ocean tides. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 29, pp. 389-402. HENRIKSEN, S.W. (1960). The hydrostatic flattening of the earth. Ann. of the IGY 12 (1), pp. 197-198. HILL, M.N. (ED.) (1966). The Sea. Vol. I, Wiley Interscience. HIRVONEN, R.A. (1960). New theory of the gravimetric geodesy. Publications of the Isostatic Institute of the IAG, No. 32, Helsinki, Finland. HOLDAHL, S.R. (1969). Geodetic evaluation of land subsidence in the central San Joaquin Valley of California. In: Reports on Geodetic Measurements of Crustal Movement, 1906-71. U.S. Department of Commerce, Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., 1973. HOLDAHL, S.R. AND N.L. MORRISON (1974). Regional investigations of vertical crustal movements in the U.S. using precise relevellings and mareograph data. Tectonophysics 23, pp. 373-390. HOTINE, M. (1969). Mathematical Geodesy. ESSA Monograph 2. U.S. Department of Commerce, Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A. HYDROGRAPHER OF THE NAVY (1965). Admiralty manual of hydrographic surveying. Vol. I, Royal Navy, London, England. INTERNATIONAL ASSOCIATION OF GEODESY (1971). Geodetic reference system 1967. IAG Special Publication No. 3, Paris, France.

192

LITERATURA, DEO II

INTERNATIONAL ASSOCIATION OF GEODESY (1980). The geodesist's handbook. Ed. I.I. Mueller, Bull. Géod. 54(3). INTERNATIONAL ASTRONOMICAL UNION (1977). Proceedings of the Sixteenth General Assembly. Ed. A. Muller, A. Jappel. IAU, Grenoble, 1976. Trans. of the IAU, Vol. XVIB, Reidel. IRVING, E. (1977). Drift of the major continental blocks since the Devonian. Nature 270, pp. 304-309. JEFFREYS, H. (1963). On the hydrostatic theory of the figure of the earth. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 8, pp. 196-202. JEFFREYS, H. (1968). The variation of latitude. Mon. Not. Roy. Astronom. Soc. 141, pp. 255-268. JEFFREYS, H. (1970). The Earth. 5th ed., Cambridge University Press. KAULA, W. (1966a). Global harmonic and statistical analysis of gravity. In: Extension of Gravity Anomalies to Unsurveyed Areas, Ed. H. Orlin. American Geophysical Union Monograph 9, Washington, D.C., U.S.A., pp. 58-67. KAULA, W. (1966b). Theory of Satellite Geodesy: Applications of Satellites to Geodesy. Blaisdell. KAULA, W. AND J.A. O'KEEFE (1963). Stress differences and the reference ellipsoid. Science 142, p. 382. KOBOLD, F. AND E. HUNZIKER (1962). Communication sur la courbure de la verticale. Bull. Géod. 65, pp. 265-267. KOUBA, J. AND J.D. BOAL (1976). The Canadian Doppler satellite network. Proc. International Geodetic Symposium on Satellite Doppler Positioning, DMA and NOA of the NOAA, New Mexico State University, Las Cruces, U.S.A., October. Physical Science Laboratory of the New Mexico State University, pp. 187-206. KOVALEVSKY, J. (1967). Introduction to Celestial Mechanics. Vol. 7 in: "Astrophysics and Space Science Library". Translated by Exspress Translation Service. Springer/Reidel. KUKKAMÄKI, T.J. (1975). Report on the work of the Fennoscandian subcommission. Proc. 4th International Symposium on the Problems of Recent Crustal Movements, Ed. Yu. D. Boulanger. IUGG, Moscow, U.S.S.R., August. Valgus, Tallinn, pp. 25-29. LANDKOF, N.S. (1972). Foundations of Modern Potential Theory. Springer. LANGLEY, R.B., R.W. KING, I.I. SHAPIRO, R.D. ROSEN AND D.A. SALSTEIN (1981). Atmospheric angular momentum and the length of day: A common fluctuation with a period near 50 days. Nature 294 (5843), pp. 730-732. LEDERSTEGER, K. (1967). The equilibrium figure of the earth and the normal spheroid. Analysed Proceedings of the International Symposium on the Figure of the Earth and Refraction, Ed. K. Ledersteger. Austrian Geodetic Commission, Vienna, Austria, March, pp. 20-22. LEE, W.H.K. AND W. KAULA (1967). A spherical harmonic analysis of the earth's topography. J. Geophys. Res. 72, pp. 753-758. LE MÉHAUTÉ, B. (1976). An Introduction to Hydrodynamics and Water Waves. Springer. LEPICHON, X., J. FRANCHETEAU AND J. BONNIN (1973). Plate Tectonics. Elsevier. LIST, R.J. (ED.) (1958). Smithsonian meteorological tables. 6th ed., The Smithsonian Institution, Washington, D.C., U.S.A. MACMILLAN, D.H. (1966). Tides. CR Books. MACMILLAN, W.D. (1930). The Theory of the Potential. Dover reprint, 1958. MACMILLAN, W.D. (1936). Dynamics of Rigid Bodies. Dover reprint, 1960. MALONE, T.F. (ED.) (1951). Compendium of meteorology. American Meteorological Society, Boston, U.S.A. MANSINHA, L. AND D.E. SMYLIE (1967). Effects of earthquakes on the Chandler wobble and the secular polar shift. J. Geophys. Res. 72, pp. 4731-4743. MARKOWITZ, W. (1972). Rotational accelerations. Proc. International Astronomical Union Symposium No. 48 on the Rotation of the Earth, Eds. P. Melchior and S. Yumi. Morioka, Japan, May, 1971. Reidel, pp. 162-164. MARKOWITZ, W. AND B. GUINOT (EDS.) (1968). Continental drift, secular motion of the pole and rotation of the earth. Proc. International Astronomical Union Symposium No. 32, Stresa, Italy, March, 1967. Springer/Reidel. MCKEOWN, D.L. AND R.M. EATON (1974). An experiment to determine the repeatability of an acoustic range-range position system. Proc. International Symposium on the Applications of Marine Geodesy. Battelle Memorial Institute, Columbus, U.S.A., June, pp. 197-208.

LITERATURA, DEO II

193

MCWHIRTER, N. AND R. MCWHIRTER (EDS.) (1975). Guinness Book of World Records. 13th ed., Bantam Books. Medallion World Atlas (1973). Hammond Inc. MELCHIOR, P. (1966). The Earth Tides. Pergamon. MELCHIOR, P. (1972). Physique et Dynamique Planetaires. Vol. 3, Vander. MELCHIOR, P. (1973). Physique et Dynamique Planetaires. Vol. 4, Vander. MELCHIOR, P. (1978). The Tides of the Planet Earth. Pergamon. MENARD, H.W. (1973). Epirogeny and plate tectonics. EOS, Trans. Am. Geophys. Union 54 (12), pp. 1244-1255. MENZEL, D.H. (1955). Fundamental Formulas of Physics. Vol. 2, Dover reprint, 1960. MERRY, C.L. AND P. VANÍÊK (1974). A technique for determining the geoid from a combination of astrogeodetic and gravimetric deflection. Canad. Surv. 28 (5), pp. 549-554. MINZNER, R.A., K.S.W. CHAMPION AND H.L. POND (1959). The ARDC model atmosphere 1959. Air Force Surveys in Geophysics, No. 115, Washington, D.C., U.S.A. MISNER, C.W., K.S. THORNE AND J.A. WHEELER (1973). Gravitation. Freeman. MOLODENSKIJ, M.S., V.F. EREMEEV AND M.I. YURKINA (1960). Methods for Study of the External Gravitational Field and Figure of the Earth. Translated from Russian by the Israel Program for Scientific Translations for the Office of Technical Services, Department of Commerce, Washington, D.C., U.S.A., 1962. MORITZ, H. (1973). Ellipsoidal mass distribution. Department of Geodetic Science Report 206, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. MUELLER, I.I. (1969). Spherical and Practical Astronomy as Applied to Geodesy. Ungar. MUELLER, I.I. (Ed.) (1975). Proceedings of the Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conferences, 1972-1974. Department of Geodetic Science Report 231, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. MUNK, W.M. AND G.F.K MACDONALD (1960). The Rotation of the Earth. Cambridge University Press. NAGY, D. (1973). Free air anomaly map of Canada from piece-wise surface fittings over half-degree blocks. Canad. Surv. 27 (4), pp. 293-300. NAKAGAWA, J., P. MELCHIOR AND H. TAKEUCHI (1968). Free oscillations of the earth observed by a gravimeter at Brussels. Observatoire Royale Belgique Communication # 1, Brussels, Belgium. NASSAU, J.J. (1948). Practical Astronomy. 2nd ed., McGraw-Hill. NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION (1973). NASA directory of observation station locations. Vols. 1 and 2, 3rd ed., Goddard Space Flight Center, Greenbelt, U.S.A. NEWCOMB, S. (1892). Remarks on Mr. Chandler's law of variation of terrestrial latitudes. Astronom. J. 12, pp. 49-50. NEWCOMB, S. (1906). A Compendium of Spherical Astronomy. Dover reprint, 1960. NEWTON, I. (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. 3rd ed., Cambridge University Press reprint, 1972. OFFICER, C.B. (1974). Introduction to Theoretical Geophysics. Springer. ORLOV, A.YA. (1961). §15, Izbranye Trudy. Sluzhba Shiroty, Kiev, U.S.S.R. (English translation: §15, Collected works. Latitude Service of the U.S.S.R. Kiev). PEDERSEN, G.P.M. AND M.G. ROCHESTER (1972). Spectral analysis of the Chandler wobble. Proc. International Astronomical Union Symposium No. 48 on the Rotation of the Earth, Eds. P. Melchior and S. Yumi. Morioka, Japan, May, 1971. Reidel, pp. 33-38. PELIKÁN, M. (1967). The calculation of refraction angles by means of the refractive index and the radii of curvature of the refractional curve. Analysed Proceedings of the International Symposium on the Figure of the Earth and Refraction, Ed. K. Ledersteger. Austrian Geodetic Commission, Vienna, Austria, March, pp. 211-219. PELTIER, W.R., W.E. FARRELL AND J.A. CLARK (1978). Glacial isostasy and relative sea level: A global finite element model. Tectonophysics 50, pp. 81-110. PERMANENT SERVICE FOR MEAN SEA LEVEL (1976). Monthly and annual mean heights of sea level. Vol. 1, Institute of Oceanographic Sciences, Birkenhead, England. PETTERSSEN, S. (1969). Introduction to Meteorology. 3rd ed., McGraw-Hill. PICK, M., J. PÍCHA AND V. VYSKOÎL (1973). Theory of the Earth's Gravity Field. Elsevier.

194

LITERATURA, DEO II

POLAND, J.F. AND G.H. DAVIS (1969). Land subsidence due to withdrawal of fluids. Reprinted from Reviews in Engineering Geology: II, pp. 187-269, by The Geological Society of America Inc., Boulder, U.S.A. PRATT, J.H. (1855). On the attraction of the Himalaya Mountains and of the elevated regions beyond upon the plumb-line in India. Trans. Roy. Soc. London Ser. B 145, pp. 53-100. PREY, A. (1922). Darstellung der Höhen- und Tiefenverhältnisse der Erde durch eine Entwickelung nach Kugelfunctionen bis zur 16 Ordnung. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen II, Part 1. QURAISHEE, G.S. AND P. VANÍÊK (1970). A search for low frequencies in residual tide and mean sea level observations by means of the least-squares spectral analysis. Report on the Symposium on Coastal Geodesy, Ed. R. Sigl. IUGG, IAG, Munich, West Germany, July. Institut für Angewandte Geodäsie, pp. 485-493. RAPP, R.H. (1974). The geoid: Definition and determination. EOS, Trans. Am. Geophys. Union 55 (3), pp. 118-126. RIKITAKE, T. (1976). Earthquake Prediction. Elsevier. ROCHESTER, M.G. (1973). The earth's rotation. EOS, Trans. Am. Geophys. Union 54 (8), pp. 769-781. ROSSBY, C.G. (1941). The scientific basis of modern meteorology. In: Climate and May Yearbook of Agriculture, U.S. Department of Agriculture, Washington, D.C., U.S.A. RUNCORN, S.K. (ED.) (1967). International Dictionary of Geophysics. Vol. I, Pergamon. SAVAGE, J.C. AND R.O. BURFORD (1973). Geodetic determination of relative plate motion in central California. J. Geophys. Res. 78 (5), pp. 832-845. SCHMID, H.H. (1974). Worldwide geocentric satellite triangulation. J. Geophys. Res. 79 (35), pp. 53495376. SCHWARZ, K.P. (1975). Zur Erdmessung des Eratosthenes. Allgem. Vermessungs-Nachr. 82 (1), pp. 1-12. SEPPELIN, T.O. (1974). The Department of Defense world geodetic system 1972. Canad. Surv. 28 (5), pp. 496-506. SIMMONS, L.G. (1950). How accurate is first-order triangulation? J. U.S. Coast and Geod. Surv. 3, pp. 5356. SMART, W.M. (1956). Text-book on Spherical Astronomy. Cambridge University Press. STOMMEL, H. (1963). Varieties of oceanographic experience. Science 139, pp. 572-576. SYMON, K.R. (1971). Mechanics. 3rd ed., Addison-Wesley. TERRIEN, J. (1974). International agreement on the value of the velocity of light. Metrologia 10 (9). TSUBOI, C. (1933). Investigation on the deformation of the earth's crust found by precise geodetic means. Jap. J. Astronom. Geophys. 10, pp. 93-248. U.S. ARMY TOPOGRAPHIC COMMAND (1971a). Fundamental geodetic networks (vertical control). Department of Defense, Washington, D.C., U.S.A. U.S. ARMY TOPOGRAPHIC COMMAND (1971b). Fundamental geodetic networks (horizontal control). Department of Defense, Washington, D.C., U.S.A. VANÍÊK, P. (1969). New analysis of the earth pole wobble. Stud. Geoph. et Geod. 13, pp. 225-230. VANÍÊK, P. (1971). An attempt to determine long-periodic variations in the drift of horizontal pendulums. Stud. Geoph. et Geod. 15, pp. 416-420. VANÍÊK, P. AND A.C. HAMILTON (1972). Further analysis of vertical crustal movement observations in the Lac St. Jean area, Québec. Canad. J. Earth Sci. 9 (9), pp. 1139-1147. VANÍÊK, P. AND C.L. MERRY (1973). Determination of the geoid from deflections of the vertical using a least-squares surface fitting technique. Bull. Géod. 109, pp. 261-279. VENING MEINESZ, F.A. (1931). Une nouvelle méthode pour la réduction isostatique régionale de l'intensité de la pésanteur. Bull. Géod. 29, pp. 33-45. VINCENT, S., W.E. STRANGE AND J.G. MARSH (1972). A detailed gravimetric geoid from North America to Eurasia. Goddard Space Flight Center Report X-553-72-94, Greenbelt, U.S.A. WALCOTT, R.I. (1972). Late quaternary vertical movements in eastern North America: Quantitative evidence of glacio-isostatic rebound. Rev. Geophys. and Space Phys. 10 (4), pp. 849-884. WALCOTT, R.I. (1975). Recent and late quaternary changes in water level. EOS, Trans. Am. Geophys. Union 56 (2), pp. 62-72. WEGENER, A. (1929). The Origin of Continents and Oceans. Translation of 1962 printing of 4th rev. German ed., Friedr Vieweg and Sohn, Dover reprint, 1966.

LITERATURA, DEO II

195

WEIFFENBACH, G.C. (1967). Tropospheric and ionospheric propagation effects on satellite radioDoppler geodesy. Proc. Symposium on Electromagnetic Distance Measurements. Oxford, England, September, 1965. University of Toronto Press, pp. 339-352. WELLS, D.E. (1979). Personal communication. Department of Surveying Engineering, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. WELLS, F.J. AND M.A. CHINNERY (1973). On the separation of the spectral components of polar motion. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 34, pp. 179-192. WHITTEN, C.A. (1970). Crustal movement from geodetic measurements. Proc. NATO Advanced Study Institute Conference on Earthquake Displacement Fields and the Rotation of the Earth, Eds. L. Mansinha, D.E. Smylie and A.E. Beck. University of Western Ontario, London, Canada, June, 1969. Springer/Reidel, pp. 255-268. WILL, L.S. (ED.) (1971). Studies of Space Experiments to Measure Gravitational Constant Variations and Eötvös Ratio. M.I.T. Press. WILSON, G. AND H. GRACE (1942). The settlement of London due to underdrainage of the London clay. J. Inst. Civ. Eng. 19 (2), pp. 100-127. World Almanac and Book of Facts 1984, The (1983). Newspaper Enterprise Association, Inc. YERKES, R.F. AND R.O. CASTLE (1971). Surface deformation associated with oil and gas field operations in the U.S. Proc. Conference on Land Subsidence, Ed. L.J. Tison. Tokyo, Japan, 1969. Association Internationale d'Hydrologie Scientifique n. 89, pp. 55-66. YUMI, S. (1970). Polar motion in recent years. Proc. NATO Advanced Study Institute Conference on Earthquake Displacement Fields and the Rotation of the Earth, Eds. L. Mansinha, D.E. Smylie and A.E. Beck. University of Western Ontario, London, Canada, June, 1969. Springer/Reidel, pp. 45-53. YUMI, S. (1977). Personal communication. International Polar Motion Service, Mizusawa, Japan. September.

DEO III

METODOLOGIJA

POGLAVLJE 10

ELEMENTI GEODETSKE METODOLOGIJE

U ovom uvodnom poglavlju dela III dajemo pregled metodologije koja se koristi u geodeziji. Prvo podpoglavlje opisuje op{te postupke uobi~ajene pri izvo|enju geodetskih radova. Nakon njega sledi podpoglavlje koje se bavi najva`nijim principima u formulisanju matemati~kih modela. Poslednja dva podpoglavlja posve}ena su karakteristikama izmerenih veli~ina, tj. onih veli~ina pomo}u kojih se odre|uju nepoznati parametri. Prvo su data svojstva pojedinih merenja, a nakon toga tretirani su vektori opaànja. Poslednja dva podpoglavlja sluè i kao osnova za formalizovanje tretmana problema najmanjih kvadrata. Smatrali smo da obimu ove knjige ne odgovara razmatranje instrumentalnih detalja ili detalja mernih metoda. Za ova pitanja ~italac se upu}uje na izvore citirane u tekstu. 10.1. Op{ti postupak Geodetska metodologija je skup usvojenih postupaka pomo}u kojih se vr{i odre|ivanje veli~ina koje, direktno ili indirektno, doprinose opisivanju geometrije Zemlje i njenog gravitacionag polja. Svaki eksperiment odnosno projekat mora biti dizajniran shodno specifikacijama postavljenim za veli~ine koje su predmet istraìvanja. Dizajn prema tome obuhvata kako odre|ivanje vrste i koli~ine podataka koje treba prikupiti, tako i njihovu ta~nost. Nakon toga ovi se podaci prikupljaju, svode, pregledaju i analiziraju, kako bi se utvrdilo da li ispunjavaju napred postavljene specifikacije ta~nosti. Kada su pregledani i analizirani, podaci se obra|uju i na taj na~in dobijaju traène veli~ine. Kona~ni rezultati se na kraju vrednuju i prezentiraju u odgovaraju}oj formi. Iako je metodologija koja se koristi u geodeziji sli~na metodologiji drugih eksperimentalnih nauka, odre|ene okolnosti u geodeziji postavljaju ograni~enja po pitanju broja i vrste pretpostavki koje se mogu napraviti, i name}u specifi~ne postupke koji se moraju po{tovati. Najzna~ajniji faktor koji odre|uje geodetsku praksu kao uostalom i praksu drugih nauka je ekonomi~nost. Geodetski radovi ~esto pretpostavljaju upotrebu skupih instrumenata i obimne terenske aktivnosti, {to ima za rezultat visoke tro{kove. Na primer, uspostavljanje geodetske mreè kontinentalnih razmera (vidi podpoglavlje 199

200


§ 10.1

7.1), bilo gravimetrijske, horizontalne ili vertikalne, moè ko{tati desetine miliona dolara. Prema tome, ponovna merenja u mreì ne mogu se preduzimati tako brzo kako se moè ponavljati neki laboratorijski eksperiment. Da bi se dakle maksimalno povratila investicija, geodetski postupci moraju podrazumevati optimizaciju dizajna i planiranje, pa`ljivo prikupljanje podataka, njihovo kriti~ko procenjivanje i strogo vrednovanje rezultata. Drugi faktor svojstven geodeziji je da se obi~no prikuplja vi{e podataka nego {to je potrebno za jednozna~no odre|ivanje èljenih veli~ina. To se naravno namerno radi da bi se obezbedili na~ini za procenu ta~nosti i pouzdanosti rezultata. Matemati~ki modeli koji se u geodeziji koriste za opisivanje veze prikupljenih podataka sa odre|enim nepoznatim parametrima dobro su poznati, jer se zasnivaju na geometrijskim i jednostavnim fizi~kim zakonima. Ova situacija je sasvim obrnuta na primer u dru{tvenim naukama, u kojima se zbog nepoznatog matemati~kog modela moraju koristiti specijalne metode za njegovo formulisanje. Dalje, modeli koji se upotrebljavaju u geodeziji ~esto su nelinearni i iziskuju kori{}enje naprednijih matemati~kih metoda za njihovo re{avanje. Sve do sada re~eno predstavlja osnovu za formulaciju slede}ih faza geodetske metodologije: (a) Na po~etku se identifikuju veli~ine od interesa koje se zovu nepoznati parametri, i propisuje njihova èljena ta~nost. Ovo mora biti ura|eno na osnovu su{tinskog poznavanja projekta, jer ne postoji neki drugi op{teutvr|eni na~in. (b) Po{to nepoznati parametri u op{tem slu~aju nisu direktno merljivi, potrebno je formulisati funkcije koje ih povezuju sa veli~inama koje se mogu meriti (mernim veli~inama). Prema tome, druga faza se odnosi na formulaciju ovih funkcija, odnosno na matemati~ki model, koji predstavlja osnovu za odre|ivanje nepoznatih parametara. Formulacija matemati~kih modela je ono za {ta bi ova knjiga trebalo da osposobi ~itaoca. (c) Pre nego {to se izvedu merenja mora se propisati njihova ta~nost. Naravno ovu ta~nost diktiraju èljena ta~nost nepoznatih parametara i formulisani matemati~ki model. Dizajn optimalne ta~nosti poznat je kao prethodna analiza, i na njoj se zasniva izbor postupaka merenja. Problem prethodne analize tretiran je u podpoglavlju 14.1. (d) Nakon toga izvode se merenja i rezultati se pa`ljivo procenjuju kako bi se utvrdilo da li ispunjavaju prethodno postavljene kriterijume ta~nosti. Ako ih ne

§ 10.2

Formulacija matemati~kog modela

201

ispunjavaju, merenja se ponavljaju. Pitanje izvo|enja merenja nije obra|ivano u ovoj knjizi, ali procena opaànja predstavljena je u podpoglavlju 13.3. (e) Proverena i analizirana opaànja uvode se potom u matemati~ki model i odre|uju se nepoznati parametri i njihova ta~nost. Iako numeri~ke metode za re{avanje sistema jedna~ina nisu tema ove knjige, na~ini prevo|enja matemati~kih modela u takve re{ive sisteme dati su u poglavljima 11 i 12. (f) Slede}a faza je ispitivanje kompletnosti matemati~kog modela zajedno sa testiranjem korektnosti opaànja. Ovaj zadatak detaljno je obra|en u podpoglavlju 13.4. (g) Zavr{na faza podrazumeva procenjivanje izra~unatih nepoznatih parametara i ispitivanje njihove saglasnosti sa vrednostima dobijenim nezavisnim odre|ivanjima ukoliko takva postoje. Postupci koji se koriste u ovoj fazi opisani su u podpoglavlju 13.5, a na neke od specijalnih metoda moè se nai}i u raznim delovima knjige. 10.2. Formulacija matemati~kog modela Formulacija funkcionalne veze izme|u nepoznatih parametara i opaànih veli~ina ima klju~nu ulogu u geodetskoj metodologiji. Model predstavlja centralni element i u dizajnu eksperimenta, i u obradi rezultata merenja. Matemati~ki model je jednostavno veza izme|u odre|enih veli~ina, koja se zasniva na odre|enim zakonima. U simboli~kom obliku, matemati~ki model se moè napisati kao:

f (q ) = 0 ,

(10.1)

gde f ozna~ava vektor pojedinih funkcija f i , i = 1, … , m , koje povezuju N veli~ina q i ozna~enih vektorom q . Po{to se modeli baziraju na prirodnim ili geometrijskim zakonima, neki ~lanovi vektora q mogu se smatrati poznatim odnosno statisti~ki govore}i bez gre{ke. Ove veli~ine poznate su kao konstante, i ozna~avaju se sa vektorom c . Primeri takvih konstanti su Njutnova gravitaciona konstanta (jedna~ina (6.1)), zbir uglova u ravnom trouglu, ili brzina svetlosti u vakuumu (vidi podpoglavlje 9.2). U op{tem slu~aju fundamentalne konstante se smatraju poznatim, i cilj geodezije nije da odre|uje njihove ta~nije vrednosti. Nasuprot konstantama, postoje veli~ine za koje ima veoma malo informacija ili ih nema uop{te. To su nepoznati parametri x i , i = 1, … , u ozna~eni vektorom x . U

202


§ 10.2

ovoj knjizi smatra}e se da su parametri me|usobno nezavisni, odnosno da je ra~unanje jednog pomo}u ostalih nemogu}e, osim u slu~aju da je u tekstu jasno nagla{eno da se izme|u parametara postavljaju odre|eni matemati~ki uslovi. Neki primeri parametara su visine ili druge koordinate, vertikalski otkloni, geoidne visine, ili promene koordinata. Negde izme|u konstanti i nepoznatih parametara nalaze se merne veli~ine. Kao {to je ve} konstatovano, merna veli~ina je fizi~ka ili geometrijska veli~ina koja se moè meriti, odnosno veli~ina kojoj se sa odre|enom ta~no{}u moè pridruìti broj. Opaànje

l i , i = 1, … , n je upravo broj pridruèn mernoj veli~ini. Proces

pridruìvanja broja mernoj veli~ini naziva se merenjem, i izvodi se pomo}u instrumenata ili senzora. Matemati~ki model (1) moè se sada ponovo napisati u vidu konstanti c , parametara x i opaànja l :

f (q ) = f (c, x , l ) = 0 ,

(10.2)

gde je, o~igledno, vektor q razdvojen na tri dela. Od ovog mesta na dalje ne}emo eksplicitno izraàvati postojanje konstanti c , ve} }e se smatrati da su one deo same funkcije odnosno modela. Osim toga, smatra}e se da se nepoznati parametri u op{tem slu~aju ne mogu direktno meriti. Oni se obi~no indirektno odre|uju iz opaànja, preko matemati~kog modela. Iz ovog razloga x se ~esto naziva re{enjem, misle}i pri tome na re{enje problema kojim se bavimo. Opaànja koja nisu funkcionalno povezana ni sa jednim nepoznatim parametrom potpuno su neupotrebljiva. Trima komponentama matemati~kog modela (2) odgovaraju tri matemati~ka prostora: prostor parametara, opaànja i modela (slika 1 - A, B, G , H i njihove uloge bi}e obja{njene kasnije u ovom poglavlju). Prostor parametara ili prostor re{enja definisan je kao skup svih mogu}ih vektora x , i ozna~en je sa X pri ~emu je dim X = u . Prostor opaànja definisan je kao skup svih mogu}ih vektora l , i ozna~en je sa L pri ~emu je dim L = n . Prostor modela definisan je kao skup svih mogu}ih vektora f , i ozna~en je sa F pri ~emu je dim F = m . Modeli mogu biti direktni, indirektni ili implicitni, mogu biti linearni ili nelinearni, i mogu postojati sami ili u kombinacijama. U slu~aju grupe od nekoliko modela, neki od njih imaju primarnu, a ostali samo sekundarnu ulogu.

§ 10.2


203

SLIKA 10.1. Linearne veze izme|u prostora parametara, opaànja i modela.

(a) Model eksplicitan po x pi{e se kao:

x = g (l ) ,

(10.3)

gde je g eksplicitna funkcija. Po{to g transformi{e L u X , obe strane jedna~ine (3) pripadaju prostoru X , i za model se kaè da je formulisan u prostoru parametara X . Linearna verzija eksplicitnog oblika je linearni model eksplicitan po x : x = Gl + w , (10.4) gde je G matrica koja transformi{e L u X (vidi sliku 1), i zove se dizajn matrica. Njeni elementi kao i elementi konstantnog vektora w su poznati jer i G i w moraju odraàvati poznati fizi~ki ili geometrijski dizajn eksperimenta. Pri tome je dim G = (u, n) i dim w = u = m . Primer linearnog eksplicitnog modela je:

⎡ l1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 − 2 1⎤ ⎢ ⎥ ⎡2⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢l 2 ⎥ + ⎢ ⎥ . ⎣ x 2 ⎦ ⎣ − 3 4 5⎦ ⎢ l ⎥ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3⎦ Trivijalni slu~aj eksplicitnog modela pojavljuje se onda kada je mogu}e direktno izmeriti nepoznate parametre. U tom slu~aju (4) dobija oblik:

204


x=l,

§ 10.2

(10.5)

tako da je G = I , gde je I jedini~na matrica (vidi podpoglavlje 3.1), w = 0 , a u=n=m. Pod odre|enim okolnostima nepoznati parametri mogu biti potpuno odsutni iz eksplicitnog modela. Tada model postaje:

g (l ) = 0 ,

(10.6)

i poznat je kao uslovni model, jer izraàva fizi~ke ili geometrijske uslove izme|u samih mernih veli~ina. Njegova linearna verzija je linearni uslovni model:

Gl + w = 0 ,

(10.7)

gde je dim G = (m, n) , dim l = n i dim w = m . Na primer, u slu~aju tri ugla ravnog trougla α , β i γ , dizajn matrica je:

G = [1, 1, 1] , vektor mernih veli~ina:

l = [α , β , γ ] , T

a konstantni vektor koji u ovom slu~aju ima samo jedan ~lan:

w = [− π ] . (b) êsto je lak{e izraziti opaànja kao funkciju parametara nego obrnuto. Ovakve eksplicitne funkcije predstavljaju model eksplicitan po l , odnosno:

l = h( x ) .

(10.8)

Po{to h transformi{e X u L , za ovakav tip modela kaè se da je formulisan u prostoru opaànja. Kao ilustraciju ovog modela uzmimo slede}i primer:

⎡ l1 ⎤ ⎡ h1 (x1 , x 2 )⎤ ⎡3x12 + cos x 2 ⎤ ⎢l ⎥ = ⎢h (x , x )⎥ = ⎢ x − sin x ⎥ . 2 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2 1 2 ⎥ ⎢ 1 ⎢⎣l 3 ⎥⎦ ⎢⎣ h3 (x1 , x 2 )⎥⎦ ⎢ x12 + x 2 ⎥ ⎣ ⎦

§ 10.2


205

U ovom primeru je o~igledno da za svako opaànje l i postoji jedna jedna~ina hi koja sadrì dva nepoznata parametra x1 i x 2 . Kada ima vi{e jedna~ina nego nepoznatih za model se kaè da je preodre|en. Ako je jedna~ina manje nego nepoznatih model je neodre|en, a kada je broj jedna~ina jednak broju nepoznatih za model se kaè da je jedinstveno odre|en. Tretman ovih modela je tema poglavlja 11. Ako se opaànja mogu napisati kao linearne funkcije parametara onda se govori o linearnim modelima eksplicitnim po l :

l = Hx + w ,

(10.9)

gde je H ponovo dizajn matrica koja transformi{e X u L (slika 1), a w je vektor poznatih elemenata. Pri tome je dim H = (n, u ) i dim w = n = m . (c) U nekim slu~ajevima merne veli~ine i nepoznati parametri u~estvuju u istim vezama. Takav oblik zove se implicitni model, i njegova jedna~ina glasi:

f ( x, l ) = 0 .

(10.10)

Ovo je formulacija u prostoru modela, sa elementima koje predstavlja m funkcija i pri ~emu je dim f = m . Takav je recimo slede}i primer u kojem je m = n = u = 2 :

⎡ f 1 (l1 , l 2 , x1 , x 2 )⎤ ⎡l12 sin x1 + (l 2 x 2 )1 2 ⎤ ⎡0⎤ ⎥=⎢ ⎥. ⎢ ( ⎥=⎢ ⎣ f 2 l1 , l 2 , x1 , x 2 )⎦ ⎢⎣ l1 exp (x 2 ) + l 2 x1 ⎥⎦ ⎣0⎦ Linearni implicitni model pi{e se kao:

Ax + Bl + w = 0 ,

(10.11)

gde se A zove prva dizajn matrica i dim A = (m, u ) , B je druga dizajn matrica i dim B = (m, n) , dok je w ponovo poznati konstantni vektor sa dim w = m . Matrice A, B i vektor w poznati su iz dizajna eksperimenta. Primetimo da A transformi{e X u F , a B transformi{e L u F (vidi sliku 1). Dimenzije matrica A i B kao i njihovi rangovi, odre|uju da li je model preodre|en, neodre|en ili jedinstven (vidi poglavlje 11). Jasno je da je implicitni model najop{tiji, dok su eksplicitni oblici (a) i (b) samo njegovi specijalni slu~ajevi.

206


§ 10.3

Usmerimo sada na{u pa`nju na modele pomo}u kojih je mogu}e uvo|enje pomo}nih informacija, tj. informacija koje ne sadrè primarni modeli g , h i f . Ove informacije uvek su u obliku funkcionalnih veza izme|u samih parametara ili samih mernih veli~ina. Te funkcije poznate su u literaturi kao funkcije ili modeli ograni~enja. Model ograni~enja za parametre moè se npr. napisati kao:

h( x ) = 0 ,

(10.12)

dok je jedan drugi oblik koji se odnosi na merne veli~ine ve} dat sa (6). Modeli ograni~enja koji sadrè i parametre i merne veli~ine su specijalni slu~ajevi implicitnog modela datog sa (10). I modeli ograni~enja mogu biti linearni ili nelinearni. Sa izuzetkom uslovnog modela, modeli ograni~enja se ne tretiraju samostalno kao ostali, ve} obi~no koegzistiraju sa drugim modelima kao {to to pokazuje slede}i primer kombinacije modela:

f ( x, l ) = 0 , (10.13)

h( x ) = 0 , u kojem se f i h nazivaju primarnim i sekundarnim modelom. Re{enje ovakvih linernih ili nelinernih kombinacija modela posebna je tema podpoglavlja 14.5. 10.3. Merne veli~ine i njihova svojstva Postoji mnogo fizi~kih i geometrijskih veli~ina u geodeziji koje se mogu klasifikovati kao merne veli~ine. Horizontalni uglovi i pravci su dve najuobi~ajenije merne veli~ine i obi~no se mere teodolitima [COOPER, 1974]. Druge poznate merne veli~ine izme|u terestri~kih ta~aka su horizontalne duìne dobijene npr. ravnja~om [SMITH, 1970; HODGES AND GREENWOOD, 1971], ili prostorne duìne merene pantljikom, ìcom ili elektromagnetnim daljinomerom (EDM) [BURNSIDE, 1971]. Nivelane visinske razlike ili vertikalni uglovi su tako|e primeri konvencionalnih terestri~kih mernih veli~ina [BOMFORD, 1971]. Merenja do objekata u kosmosu postaju sve va`nija u geodeziji, tako da se duìne i pravci od Zemlje do Meseca i ve{ta~kih Zemljinih satelita danas ve} rutinski mere. Pravac ka satelitu moè se, na primer, dobiti fotografisanjem satelita na zvezdanom nebu uz pomo} specijalnih satelitskih kamera [VEIS, 1963; MUELLER, 1964]. Duìna do satelita dobija se ta~nim merenjem vremena prostiranja elektromagnetnih talasa kao {to je laser [LEHR ET AL., 1974]. Tako|e je mogu}e i merenje razlike rastojanja od Zemaljske stanice do dva uzastopna satelitska poloàja kori{}enjem promene satelitske

§ 10.3

Merne veli~ine i njihova svojstva

207

frekvencije koja nastupa zbog Doplerovog efekta [GUIER AND WEIFFENBACH, 1960]. Vertikalni i horizontalni uglovi prema zvezdama obi~no se mere posebno konstruisanim teodolitima [MUELLER, 1969; ROBBINS, 1976]. Merne veli~ine vezane za Zemljino gravitaciono polje posebno su zna~ajne za geodeziju. Dve takve merne veli~ine, teà i razlike teè, mere se instrumentima kao {to su gravimetri [COOK, 1973], klatna, ili aparati koji se zasnivaju na slobodnom padu tela u vakuumskoj komori [FALLER, 1965]. Gradijenti teè mere se instrumentima poznatim kao torzione vage [MUELLER, 1963], ili gradiometrima [FORWARD, 1974]. Merne veli~ine koje se menjaju vremenom, upotrebljavaju se za odre|ivanje promene geometrije Zemlje. Primer takve merne veli~ine je varijacija nivoa mora. Podvodni mareografi su odnedavno znatno pro{irili mogu}nosti prikupljanja podataka, koje su do tada bile ograni~ene na obalske pojaseve i upotrebu suvozemnih mareografa [LENNON, 1970; 1974]. Varijacija duìna je tako|e postala va`na merna veli~ina. Ona se moè meriti strejnmetrima [VALI ET AL., 1965] ili drugim instrumentima. Druga merna veli~ina, varijacija nagiba, meri se naj~e{}e horizontalnim klatnima [MELCHIOR, 1978] ali postoje i druge konstrukcije. Merenje samog vremena je naravno neophodno, bilo da je u sastavu mernog procesa, ili je vezano za odre|ivanje epohe opaànja prema ekstraterestri~kim objektima. Da bi se u potpunosti razumeo koncept merne veli~ine, neophodno je upoznati pojmove vremena i prostora, kao i merenja jedne ili vi{e mernih veli~ina u prostoru i vremenu. To zna~i da se jedna merna veli~ina kao {to je duìna izme|u para terestri~kih ta~aka moè neprestano meriti, i na taj na~in dobiti serija opaànja u vremenu. S druge strane, mogu}e je i meriti duìne izme|u razli~itih parova ta~aka jedne mreè, i na taj na~in dobiti seriju opaànja u prostoru. [tavi{e, diskusija ne sme biti ograni~ena na samo jednu vrstu merne veli~ine, ve} mora dozvoliti istovremeni tretman raznorodnih mernih veli~ina kao {to su npr. duìne i pravci. Izrazimo sada sve ovo matemati~ki, posmatraju}i prvo jednu vrstu merne veli~ine l , merene u vremenu τ i sa opaànjima:

l (τ i ), i = 1, … , N .

(10.14)

Ovaj izraz predstavlja na primer duìnu izme|u dve terestri~ke ta~ke, izmerenu u N trenutaka vremena τ i ∈ T ≡ { τ 1 , τ 2 , … , τ N }. Parametar τ isto tako moè biti i prostorna koordinata opaànja l (τ i ) . Ako je razlikovanje zna~enja ovog parametra

208


§ 10.3

va`no, to }e biti napomenuto u tekstu. Vrednosti τ i vremenskog (prostornog) parametra τ za koje je izvr{eno opaànje, zovu se ta~ke uzorka. U gornjem primeru, ta~ke uzorka τ i odgovaraju vremenskim trenucima opaànja, a re|e su to lokacije duìna u mreì. Slu~aj vi{e mernih veli~ina, eventualno razli~ite vrste i razdvojenih u prostoru, ozna~ava}emo sa:

l = [l1 , l 2 , … , l n ] , T

(10.15)

gde je svaka komponenta l j ovog vektora rezultat saìmanja N j elemenata serija datih sa (14) u jednu reprezentativnu vrednost merne veli~ine. Pre ovog saìmanja mora naravno postojati tabela opaànja:

⎧ l1 (τ 11 ) l1 (τ 12 ) ⎪ 2 2 ⎪l (τ ) l 2 (τ 2 ) L=⎨ 2 1 ⎪ ⎪l n (τ 1n ) l n (τ 2n ) ⎩ U praksi, svaka vrsta

l1 (τ 1N1 )

l 2 (τ N2 2 )

(10.16)

l n (τ Nn n )

( l j (τ i ) , i = 1, … , N j ) ove tabele zamenjuje se jednom j

reprezentativnom vredno{}u i dalje se razmatra samo rezultuju}i vektor l . Moramo me|utim ista}i dve napomene. Prvo, l1 (τ i1 ) je verovatno izmereno u trenutku razli~itom od l 2 (τ i2 ) , {to zna~i da vrednosti τ i u svakoj od kolona nisu u op{tem slu~aju identi~ne: τ i ≠ τ ik za j ≠ k . Drugo, broj elemenata u svakoj vrsti je u op{tem slu~aju razli~it. j

Kako se dobija reprezentativna vrednost za l u svakoj od vrsta tabele L ? To se postiè u tri koraka: a) modeliranjem l (τ ) ; b) analizom saglasnosti modela sa l (τ ) ; c) ra~unanjem vrednosti za l koja moè ili ne mora odgovarati specifi~noj vrednosti parametra τ . Vrednost odre|ena na ovaj na~in koristi se onda u vektoru mernih veli~ina l . U najjednostavnijoj situaciji reprezentativna vrednost se ra~una direktno kao

§ 10.3


209

aritmeti~ka sredina svih l (τ ) , {to predstavlja upotrebu jednog prostog pomo}nog modela. Kada je, me|utim, pomo}ni model nepoznat, on se mora pretpostaviti. Takvom pretpostavkom dobija se deterministi~ki model koji po pravilu ne}e u potpunosti da opi{e varijacije l sa τ . Taj nedostatak se onda prevazilazi upotrebom stohasti~kog modela. Stoga je pogodno smatrati l (τ ) sastavljenim od deterministi~ke i stohasti~ke (slu~ajne) komponente (vidi podpoglavlje 3.4), koje se zovu trend t i reziduum r . Negativna vrednost reziduuma ~esto se naziva odstupanjem:

l (τ ) = t (τ ) − r (τ ) .

(10.17)

Pojam reziduum treba shvatiti kao ostatak od t nakon oduzimanja l . Sam trend se dalje moè rastaviti na:

ˆ t (τ ) = lˆ (τ ) + p (τ ) ,

(10.18)

gde lˆˆ (τ ) ozna~ava o~ekivanu vrednost merne veli~ine (ta~no zna~enje o~ekivane vrednosti bi}e dato u podpoglavlju 13.1), a p (τ ) je sistematska komponenta, tj. varijacija merne veli~ine koja se moè izraziti odre|enom formulom koja sadrì parametre. Ti parametri karakteri{u sistematski trend koji je uticao na opaànja, a nije uspe{no otklonjen za vreme merenja. Sistematska komponenta se dakle moè napisati kao linearna kombinacija:

~

ρ (τ ) = Φ(τ )λ ,

(10.19)

~

gde je Φ(τ ) jedna kolona Vandermondove matrice (vidi podpoglavlje 3.1). Funkcije upotrebljene u ovoj matrici nazivaju se baznim funkcijama, i o njima }e biti vi{e re~i u podpoglavlju 14.2. U literaturi se veli~ine λ ponekad nazivaju parametrima smetnje. Tako se npr. kod obrade EDM merenja mogu uvesti parametri smetnje u model kako bi se na taj na~in eliminisali uticaji refrakcije. Ako je pomo}ni model nekompletan, u obra|enim podacima treba o~ekivati sistematske gre{ke. U slu~aju da se problem dobro poznaje, sistematske gre{ke se u okviru primarnog modela mogu obuhvatiti na taj na~in {to se pored odre|ivanja nepoznatih parametara vektora x odre|uju i parametri smetnje λ .

210


§ 10.3

Stohasti~ki reziduum se moè razloìti na slede}i na~in:

r (τ ) = v(τ ) + s (τ ) ,

(10.20)

gde su v i s dve vrste reziduuma, ~ije je postojanje posledica fizi~kih fenomena koje ne poznajemo u potpunosti. Statisti~ki nezavisni reziduumi v (za definiciju statisti~ke nezavisnosti vidi podpoglavlje 3.4), koji se ina~e mogu prognozirati samo u statisti~kom smislu, ~esto poti~u od mernih ure|aja ali im ne moraju biti svojstveni. Pretpostavlja se da je srednja vrednost ovih reziduuma nula. Statisti~ki zavisni reziduumi s imaju poreklo izvan mernog sistema, i moè se smatrati da su u vezi sa specijalnim pona{anjem merne veli~ine u odre|enom okruènju. âk i nakon odgovaraju}eg modeliranja efekata okoline kao {to je popravka za refrakciju EDM duìna, rezidualne gre{ke jo{ uvek preostaju zbog neobra~unatih smetnji. Reziduum s se smatra slu~ajnim i sa srednjom vredno{}u nula. U pore|enju sa v , s je me|utim statisti~ki zavisno, tako da postoji kovarijacija izme|u bilo koja dva elementa (vidi podpoglavlje 3.4). Statisti~ki zavisan reziduum ponekad se zove signal (npr. MORITZ [1972]). Prema teoriji informacija, veli~ina se smatra {umom ako je nepoèljna, a signalom ako sadrì korisnu informaciju [GOLDMAN, 1953]. Po{to je dakle odluka o tome da li je veli~ina {um ili signal subjektivna, mi }emo ovde koristiti druge nazive. U obja{njenju prirode veli~ine s , pogodno je zapo~eti posmatranjem serije vrednosti s (τ i ) kao diskretnog uzorka dinami~kog procesa u vremenu τ . Dinami~ki proces se u op{tem slu~aju opisuje slede}im diferencijalnim jedna~inama:

s (τ ) = F (τ ) s (τ ) ,

(10.21)

gde je F funkcija, a ta~ka ozna~ava izvod od s po vremenu τ . Re{enje ove jedna~ine dato je izrazom [LIEBELT, 1967]:

s (τ ) = S (τ , τ 0 ) s (τ 0 ) ,

(10.22)

gde je τ 0 po~etno vreme procesa. Jezgro S ove jedna~ine (vidi podpoglavlje 3.2) zove se funkcija tranzicije procesa. Za vektorski dinami~ki proces s moè se napisati ekvivalentna jedna~ina:

s (τ ) = S (τ , τ 0 ) s (τ 0 ) .

(10.23)

§ 10.3


211

Jedina razlika je {to u ovom slu~aju funkcija tranzicije postaje matrica tranzicije S . Uobi~ajeno je govoriti o s kao vektoru stanja u vremenu ili prostoru. Takav koncept bi}e kori{}en u podpoglavlju 14.6. Vi{e nau~nika pokazalo je da matrica tranzicije ima slede}a svojstva [LIEBELT, 1967; PARTHASARATHY AND SCHMIDT, 1972]: a) b) c) d) e)

S (τ , τ ) = F (τ ) . S (τ 1 , τ 1 ) = I . S (τ 1 , τ 2 ) = S −1 (τ 2 , τ 1 ) . S (τ 1 , τ 2 ) S (τ 2 , τ 3 ) = S (τ 1 , τ 3 ) . S (τ 1 , τ 2 ) je uvek regularna matrica.

Ova svojstva jednako vaè i za funkciju tranzicije, jer je ona ustvari matrica sa jednim elementom. Vratimo se sada jedna~ini (22) i ispitajmo njenu diskretnu formu:

(

)( )

s (τ i ) = S τ i , τ j s τ j

(10.25)

koja se ~esto naziva Markovljevim lancem [REVUZ, 1975]. Ova jedna~ina se moè transformisati u oblik koji sadrì varijanse i kovarijanse. Tom prilikom se koristi koncept operatora E kojeg smo upoznali u podpoglavlju 3.4. Ovaj koncept nosi sa sobom neke probabilisti~ke konotacije koje nam jo{ uvek nisu od zna~aja. One }e me|utim biti od zna~aja u poglavlju 13 gde je predstavljena statisti~ka interpretacija. Ovde }emo E koristiti jednostavno kao matemati~ki mehanizam. Mnoènjem gornje jedna~ine sa s (τ j ) i primenom operatora matemati~kog o~ekivanja dobija se:

[

( )]

E s (τ i ) s τ j

[(

) ( ) ( )]

= E S τ i ,τ j s τ j s τ j

(10.26)

Kori{}enje definicija kovarijanse i varijanse iz podpoglavlja 3.4 daje:

σ si s j = S (τ i , τ j )σ s2j .

(10.27)

O~igledno je da ako su varijansa od s u oznaci σ s2 i kovarijansa poznati, funkcija tranzicije moè da se izra~una iz:

212

§ 10.3


(

)

S τ i , τ j = σ si s j σ s−2 .

(10.28)

U ovom kontekstu S (τ i , τ j ) poznata je kao tranziciona funkcija verovatno}e, i njena vrednost je uvek manja ili jednaka jedinici (vidi sliku 2). Drugim re~ima, funkcija tranzicije moè se posmatrati kao verovatno}a prelaska iz stanja s (τ j ) u stanje s (τ i ) . Shodno (22), s se moè prognozirati ako mu je tranziciona funkcija verovatno}e (28) poznata. Nastavimo sada sa daljom transformacijom izraza (28). Ako zbog jednostavnosti usvojimo homogenost i izotropiju (vidi podpoglavlje 3.2), ima}emo u tom slu~aju da je S (∆τ ij ) = S ( ∆τ kl ) = S ( ∆τ ) , gde je ∆τ = ∆τ kl = τ l − τ k = ∆τ ij =

τ j − τ i (primetimo da izotropno S nema svojstvo (24(c)) ), i moèmo pisati: S (∆τ ) = σ ij σ s−2 .

(10.29)

Ovaj izraz predstavlja naro~ito pogodnu formu tranzicione funkcije verovatno}e, i ona je prikazana na slici 2. U ovom obliku, kovarijanse σ ij postaju funkcije od ∆τ i kao takve poznate su pod nazivom autokovarijacione funkcije (homogene i izotropne), koje }emo prosto zvati kovarijacionim funkcijama. Kovarijaciona funkcija se obi~no obeleàva sa C , tako da (29) postaje:

SLIKA 10.2. Kovarijaciona funkcija C (∆τ ) i tranziciona funkcija verovatno}e S (∆τ ) .

§ 10.3


C (∆τ ) = S (∆τ ) σ s2 .

213

(10.30)

Kovarijaciona funkcija standardizovana sa σ s2 daje tranzicionu funkciju verovatno}e (slika 2). Primetimo da je ovde τ tj. ∆τ jedini parametar (npr. vreme), ali da mogu postojati i kompleksnije situacije. Veoma vaàn koncept povezan sa probabilisti~kom kovarijacionom funkcijom odnosi se na njene grani~ne slu~ajeve. Slika 3 pokazuje slu~aj potpune statisti~ke zavisnosti (konstantna kovarijaciona funkcija) koja odraàva potpuno predvidivo pona{anje sistematskih efekata, i slu~aj statisti~ke nezavisnosti koju karakteri{e:

⎧C (0) ≠ 0, ∆τ = 0, C (∆τ ) = ⎨ ∆τ ≠ 0. ⎩0,

(10.31)

Kovarijaciona matrica C s statisti~ki zavisnih reziduuma s (vidi podpoglavlje 3.4), je puna matrica. Po pretpostavkama koje smo na~inili, sve varijanse su jednake, tj. σ s2 = σ s2 = … = σ s2 = σ s2 . U op{tem slu~aju to ne mora biti tako, i tada se koristi 1

2

N

pristup opisan u podpoglavlju 10.4. Vandijagonalni ~lanovi, odnosno kovarijanse, mogu se dobiti na dva na~ina, ili direktno iz C , ili iz tranzicione funkcije verovatno}e S (∆τ ) koja mnoènjem sa σ s2 daje σ ij (jedna~ina (30)). Kovarijaciona matrica C v statisti~ki nezavisnih reziduuma v je jednostavnija od

C s . U njoj nema vandijagonalnih elemenata, jer je cov [ v(τ i ), v(τ j ) ] = 0 i

C v = diag(σ v2i ) pri ~emu su svi σ vi jednaki. Ako nisu, mora se primeniti pristup iz podpoglavlja 10.4.

SLIKA 10.3. Grani~ni slu~ajevi kovarijacione funkcije.

214


§ 10.3

SLIKA 10.4. Sastav merne veli~ine. Opaànja l (τ ) ; o~ekivana vrednost merne veli~ine lˆˆ (τ ) ; sistematska komponenta p (τ ) ; statisti~ki nezavisni reziduum v(τ ), E(v) = 0 ; statisti~ki zavisan reziduum

s (τ ), E( s ) = 0 ; tako|e E(t − l ) = 0 .

Uvedimo sada nekoliko konvencija. Prvo, pretpostavi}emo da su o~ekivane vrednosti od r i od s nula. Izostavljaju}i τ zbog pogodnosti, dobija se:

i

E(r ) = E(v + s ) = E(v ) + E(s ) = 0 ,

(10.32)

E (s ) = 0 .

(10.33)

Shodno tome:

ˆ E(t − l ) = E⎛⎜ lˆ + p − l ⎞⎟ = 0 , ⎝ ⎠

(10.34)

kao {to je prikazano na slici 4. Dalje, pretpostavimo da nema statisti~ke zavisnosti izme|u v i s . Uz ove konvencije, varijansa reziduuma r ra~una se kao (podpoglavlje 3.4):

§ 10.4

Vektor mernih veli~ina

[

]

σ r2 = E ( r 2 ) = E (v + s )2 = E(v 2 ) + E (s 2 ) = σ v2 + σ s2 .

215

(10.35)

Ovde ponovo ne isti~emo probabilisti~ku konotaciju operatora E . Po{to je stohasti~ki sadràj od l sav u kontekstu r , onda nesigurnost u r merena sa

σ r2

predstavlja istovremeno i meru nesigurnosti od l . Stoga ima smisla

definisati varijansu od

l , tj. σ l2 kao ekvivalentnu σ r2 .

Sve u svemu, kompletna dekompozicija merne veli~ine u ~etiri komponente glasi:

ˆ l (τ ) = t (τ ) − r (τ ) = lˆ(τ ) + p (τ ) − v(τ ) − s(τ ) .

(10.36)

Treba napomenuti da se razdvajanje na gornje komponente moè izvr{iti samo ako postoji dovoljno informacija o svakoj od njih. Povremeno moè biti efikasnije razmatrati nekoliko komponenti zajedno, {to je naro~ito slu~aj sa v i s . Primetimo da je ta~na dekompozicija merne serije l (τ ) nemogu}a zbog stohasti~ke prirode nekih komponenti. Prema tome, ta~na (istinita) vrednost merne veli~ine nikad nije poznata, i dalje je ne}emo ~ak ni spominjati. Ona se me|utim moè oceniti postupcima koje }emo opisati u ovoj knjizi. Takva ocenjena vrednost merne veli~ine bi}e ozna~ena sa lˆ . 10.4. Vektor mernih veli~ina Iskoristimo ovu priliku da sa opaànja jedne merne veli~ine pre|emo na opaànja vi{e mernih veli~ina, kako bi pomirili dve prividno suprotstavljene ideje, ideju o dekompoziciji merne veli~ine i ideju matemati~kog modela. S jedne strane uop{tenje formule za dekompoziciju (36) rezultira sa:

ˆ l = lˆ + p − v − s .

(10.37)

S druge strane, uz model (8), i uvo|enje o~ekivane vrednosti merne veli~ine, dobijamo:

ˆ lˆ = h ( x ) , ili u linearnom obliku:

(10.38)

216


ˆ lˆ = Hx + w .

§ 10.4

(10.39)

Sli~no tome, sistematska komponenta u vi{e dimenzija glasi:

p = ΦT (T ) λ .

(10.40)

Zamenom (40) za p i (39) za lˆˆ u (37), dobija se:

l = Hx + ΦT (T ) λ − v − s + w .

(10.41)

Ovaj izraz predstavlja kompletnu dekompoziciju vektora mernih veli~ina l u vidu dva parametra x i λ , dva rezidualna vektora v i s i konstantnog vektora w . Veoma je va`no razumeti razliku izme|u H i Φ(T ) u gornjem izrazu. Dizajn matrica H je tesno vezana za nepoznate parametre koji se odre|uju, i zato odraàva fizi~ke i geometrijske aspekte na kojima se zasniva eksperiment ili projekat. S druge strane, bazne funkcije Φ(T ) (vidi podpoglavlje 14.2) biraju se tako da adekvatno karakteri{u onaj deo sistematskog pona{anja l , koji nije od direktnog zna~aja za x . Ilustraciju predstavljaju npr. EDM duìne sa neobra~unatim sistematskim delom refrakcije, pri ~emu se statisti~ki zavisan slu~ajni deo modeluje sa s . Vratimo se sada svojstvima rezidualnih vektora v , s i r . Kao i ranije:

E( v ) = E( s ) = 0 , pa je stoga:

E( r ) = E( v + s ) = 0 .

(10.42)

jer se v i s ponovo smatraju me|usobno nezavisnim. Svaka komponenta rezidualnog vektora odgovara odre|enoj mernoj veli~ini koja ima sopstveno fizi~ko zna~enje. Podsetimo se da su u jednodimenzionalnom slu~aju (vrsta izraza (16)), ponovljena merenja iste fizi~ke merne veli~ine bila ta koja su rezultirala sa N opaànja u funkciji od τ . U vi{edimenzionalnom slu~aju, dakle slu~aju vektora mernih veli~ina, samo jedna vrednost odgovara svakom l j , i stoga se samo jedna vrednost reziduuma dobija za svaku od n vrednosti l j . Ovi reziduumi mogu biti funkcija poloàja i prirode mernih veli~ina, ali po pravilu nisu funkcija vremena.

§ 10.4

Vektor mernih veli~ina

217

Komponente vektora v se ponovo smatraju statisti~ki nezavisnim. Stoga je kovarijaciona matrica C v vektora v dijagonalna, dok se za kovarijanse uzima nula. Me|utim, varijanse u ovoj matrici sada imaju druga~ije zna~enje. Ovog puta, varijansa nije mera rasipanja u smislu ponovljenih merenja iste veli~ine, ve} mera kvaliteta predstavljanja serija opaànja (14) reprezentativnom vredno{}u li . Iz ovog razloga je u op{tem slu~aju σ v2 ≠ σ v2 ≠ … ≠ σ v2 . 1

2

n

Statisti~ki zavisan rezidualni vektor s je direktno uop{tenje statisti~ki zavisnog reziduuma s . Ne}emo izvoditi paralelne izraze za ovo uop{tenje, ve} }emo samo konstatovati posledice. Prvo, kovarijaciona funkcija C ( ∆τ ) moè imati razli~itu razmeru za svaku komponentu si vektora s . Prema tome, u op{tem slu~aju je

σ s21 ≠ σ s22 ≠ … ≠ σ s2n . Zna~enje pridruèno ∆τ

je sada tipi~no prostorna

koordinata, tj. duìna, ali ipak napominjemo da ∆τ moè biti i neki kompleksniji entitet. Za dve komponente si , s j sa razli~itim varijansama σ i2 , σ 2j , kovarijansa

σ ij se izvodi iz slede}e jedna~ine: σ ij = Cij ( ∆τ ) = σ iσ j cov(∆τ )

(10.43)

gde je Cij kros-kovarijaciona funkcija od si i s j [LIEBELT, 1967]. Nakon toga moè se formirati kompletna kovarijaciona matrica C s . Zaklju~ujemo da postoje dve alternative u dekompoziciji merne veli~ine. Prva se odnosi na celu tabelu merne veli~ine L (16), i re{ava dekompoziciju u jednom koraku. Druga tretira svaku seriju l j (τ i ) (14) zasebno, a onda konstrui{e vektor l (15) koji }e biti kori{}en u glavnom matemati~kom modelu. Ova druga alternativa predstavlja uobi~ajenu praksu, a njen prvi korak zove se analiza serija podataka (vidi podpoglavlje 14.2), pomo}u koje je mogu}e ispitati odvojeno pona{anje svake merne veli~ine u vremenu. Cilj ove analize serija je da se ne{to sazna o npr. seriji merenja duìne ili seriji mareografskog o~itavanja nivoa mora, pre nego {to se zajedno sa drugim veli~inama uvedu u glavni model. Rezultat analize serija podataka bi}e jedna vrednost li za svaku mernu veli~inu, zajedno sa njenom varijansom i kovarijansama ukoliko postoje. Prema tome, kovarijaciona matrica vektora l : Cl = Cv + C s , (10.44) predstavlja rezultat pomenute analize.

POGLAVLJE 11

KLASE MATEMATI^KIH MODELA

U ovom poglavlju prvo je izvr{ena klasifikacija matemati~kih modela, a zatim je svaki ponaosob prodiskutovan. Prvo podpoglavlje sadrì {emu klasifikacije svih modela koji se koriste u geodeziji. U njemu se doti~u i pitanja ocene kvaliteta re{enja, kao i pojmovi metri~kog i Hilbertovog prostora. Drugo podpoglavlje bavi se najjednostavnijom klasom modela, tj. modelima sa jedinstvenim re{enjem, zajedno sa zakonom o prostiranju gre{aka (kovarijacionim zakonom). Pregled neodre|enih modela dat je u tre}em podpoglavlju, uz jedan poseban metod rada sa njima. Poslednje podpoglavlje postavlja temelje za tretman preodre|enih modela. Me|utim, metode koje su u naj{iroj upotrebi kada je u pitanju rad sa ovom klasom modela ostavljene su za poglavlje 12. 11.1. Klasifikacija modela Mogu}e forme matemati~kih modela ve} su bile pomenute u podpoglavlju 10.2. Sada }emo tu diskusiju nastaviti, ali ovog puta sa tipom re{enja kao osnovom za klasifikaciju modela. Definicija re{enja je u uèm smislu odre|ivanje vektora parametara x i eventualno λ . Po{to su geodete zainteresovane i za ta~nost vektora x , definicija obuhvata i odre|ivanje kovarijacione matrice C x . Prema tome, re{enje u {irem smislu re~i obuhvata par veli~ina ( x , C x ) . Re{avanje matemati~kog modela je onda ekvivalentno transformaciji:

(l , C l ) → ( x, C x ) .

(11.1)

Iz konteksta }e biti jasno koji se smisao re{enja podrazumeva. Postoje tri mogu}e klase re{enja linearnih ili linearizovanih modela: jedinstvena, neodre|ena i preodre|ena. Modeli koji ne mogu biti linearizovani koriste razli~ite tehnike za re{enje. Kao {to se vidi na slici 1, tretman modela bazira se na njihovom obliku, mogu}nosti linearizacije i odre|enosti. Prvo se proverava da li je model eksplicitan po x . Ako jeste, onda je to model sa jedinstvenim re{enjem jer se iz

218

§ 11.1

Klasifikacija modela

219

SLIKA 11.1. Tretman modela. Ovde u i n ozna~avaju broj nepoznatih parametara i opaànja.

njega x direktno ra~una. U tom slu~aju jedine te{ko}e povezane su sa odre|ivanjem C x , o ~emu }e biti vi{e re~i u podpoglavlju 11.2. Ako model nije eksplicitan po x i ima nelinearnu formu, mora biti prvo linearizovan. Prema tome slede}i korak je ispitivanje mogu}nosti linearizacije modela, koji u ovoj formi moè biti ili eksplicitan po l ili implicitan. Ako se model ne moè linearizovati, re{enje se mora traìti u domenu nelinearnih re{enja. Modeli ove klase karakteristi~ni su po tome {to su nepoznati parametri zarobljeni funkcionalnim izrazima, i ne mogu se dovesti u linearni oblik linearizacijom.

220

§ 11.1


Potrebne su posebne matemati~ke metode, kao {to je spektralna analiza, da se ovakvi modeli re{e (vidi podpoglavlje 14.2). Da bi se linearizovao op{tiji implicitni oblik f ( x , l ) = 0 , model se aproksimira vi{edimenzionalnim linearnim Tejlorovim redom (vidi podpoglavlje 3.2):

(

)

f ( x , l ) = f x (0 ) , l ( 0 ) +

∂ f ∂ x

(x − x ( ) ) + ∂∂ fl 0

x = x (0 ) l = l (0 )

(l − l ( ) ) = 0 . 0

x = x (0 ) l = l (0 )

(11.2) Ova jedna~ina identi~na je po obliku jedna~ini (10.10) ako stavimo da je:

A= i

∂ f ∂x

B=

,

∂ f ∂l

,

(11.3)

w = − Ax (0 ) − Bl (0 ) + f x (0 ) , l (0 ) .

(11.4)

x = x (0 ) l =l (0 )

(

x = x (0 ) l = l (0 )

)

Ovde je x (0 ) ta~ka razvoja u prostoru parametara X , a l (0 ) ta~ka razvoja u prostoru opaànja L . Matrice A i B mogu se smatrati Jakobijan matricama transformacije (vidi podpoglavlje 3.1), iz prostora parametara i opaànja u prostor modela F , koja vaì za okolinu ta~aka x (0 ) i l (0 ) . Za uobi~ajene funkcije f , re{enje linearizovanog modela vaì u okolini dve ta~ke x (0 ) i l (0 ) . Po{to su ~lanovi vi{eg reda u (4) zanemareni, moè se ispostaviti da su potrebne iteracije kao one opisane u podpoglavlju 12.1, kako bi se dobila bolja aproksimacija re{enja. Po istom principu, i za model eksplicitan po l (10.8) vaì jedna~ina identi~na jedna~ini (10.9), pri ~emu je:

H=

∂h ∂ x

x = x (0 )

i

w = − Hx (0 ) + l (0 ) .

(11.5)

Primetimo da ~lan Hx (0 ) moè imati zna~enje Ax ili Φ T (T )λ ili oba odjednom, kao {to je obja{njeno u podpoglavlju 10.4. Tako|e je jasno, da je model eksplicitan po l samo specijalan slu~aj linearnog modela u kojem je H = A i − I = B .

§ 11.1


221

Ako je model linearan, bilo originalno ili posle linearizacije, slede}e pitanje je da li je eksplicitan po l ili implicitan. Implicitni model jednostavno se transformi{e u

~

eksplicitni definisanjem kvaziopaànja l u vidu linearne kombinacije opaànja l :

~ l = − Bl .

(11.6)

Zamenom u (10.11) dobija se:

~ l = Ax + w ,

(11.7)

~

{to predstavlja model eksplicitan po l koji se dalje moè tretirati na isti na~in kao (10.9). Ponekad je me|utim pogodnije raditi sa implicitnim modelom, jer on omogu}uje dublji uvid u prirodu vektora opaànja l kao {to }emo to videti u poglavlju 12. U ovoj fazi neophodno je ispitivanje mogu}nosti dobijanja jedinstvenog re{enja. Ako je u = n , a H je regularna matrica (vidi podpoglavlje 3.1), onda model ima jedinstveno re{enje:

x = H −1 (l − w ) .

(11.8)

Ako je me|utim H singularno, ne postoji jedinstveno re{enje, i moraju se upotrebiti uop{tene inverzije kao {to }emo pokazati u podpoglavlju 14.5. Ako je u < n imamo slu~aj preodre|enog re{enja x , koji je obra|en u podpoglavlju 11.4. Za u > n govorimo o neodre|enom re{enju, i jedno od njih opisano je u podpoglavlju 11.3. U okviru klase modela neodre|enih re{enja mogu se pojaviti dve situacije, da je rank H = n < u ili da je rank H < n < u . Obe situacije su mogu}e i u okviru klase preodre|enih re{enja. Prema tome, o~igledno je da problem defekta ranga ( rank H < min dim H ) postoji u sve tri klase modela. Detaljna razrada ovog problema bi}e data u podpoglavljima 11.4 i 14.5, ali samo za preodre|ene modele. Dok modeli sa u = n nemaju problem jedinstvenosti kada H ima pun rang, to nije slu~aj sa modelima sa neodre|enim re{enjem. Tu naime postoji beskona~no mnogo re{enja x koja zadovoljavaju jedna~ine ~ak i kad je H punog ranga. Sve {to se moè uraditi je re{avanje nekih nepoznatih parametara u funkciji ostalih. Kada je re{enje preodre|eno, ne postoji x koje u op{tem slu~aju zadovoljava sistem

222


§ 11.1

jedna~ina, i moraju biti preduzeti posebni koraci da bi se situacija prevazi{la (vidi podpoglavlje 11.4). U slu~aju da se suo~imo sa beskona~no mnogo re{enja, ~inimo poku{aj da izaberemo najbolje. Izbor najboljeg re{enja je uvek donekle prizvoljan, ali ako se po{tuju neka op{ta pravila mogu se dobiti smisleni rezultati. Ova pravila su formulisana u matematici u okviru teorije metri~kih prostora, ~iji }emo koncept sada ukratko opisati. Po~nimo sa pretpostavkom da postoji kona~ni ili beskona~ni prostor u kojem je mogu}e izmeriti duìnu ρ (a, b) izme|u bilo koja dva njegova elementa a i b . Za svaki prostor, ova duìna moè da se izabere na mnoge na~ine. Ipak da bi imala smisla, svaka takva duìna ρ (a, b) mora zadovoljavati slede}e uslove: (a) ρ (a, b) je nenegativni realni broj sa ρ (a, b) = 0 ako i samo ako je a = b ; (b) ρ (a, b) = ρ (b, a ) ; (c) ρ (a, b) ≤ ρ (a, c) + ρ (c, b) . Ove veze poznate su kao metri~ki aksiomi. Prostor u kojem je definisana neka metrika zove se metri~ki prostor. Ako je prostor ve} normiran, tj. ako je u njemu definisana operacija norme (obi~no u oznaci a ; setimo se da smo jedan na~in definisanja norme ve} pominjali u podpoglavlju 3.2), tada se zbog svojih svojstava norma tako|e moè koristiti kao metrika [DAVIS, 1963; CHENEY, 1966]. Norma i metrika povezane su slede}im relacijama:

a = ρ (a,0) , i

a − b = ρ (a, b ) ,

(11.9)

gde je 0 nula element. Mi }emo ravnopravno koristiti i normu i metriku. Da bi sada izabrali najbolje od beskona~no mnogo re{enja matemati~kog modela, prvo mora biti izabran prostor u kojem }e se meriti kvalitet re{enja, a zatim se mora definisati metrika kojom }e se taj kvalitet meriti. Drugim re~ima, mora se izabrati metri~ki prostor koji odre|uje najbolje re{enje. Kada je metri~ki prostor jednom izabran, izbor najboljeg re{enja svodi se na postavljanje uslova minimuma duìne ili minimalne norme.

§ 11.1


223

Naj~e{}e kori{}ena metrika je Euklidska metrika iz obi~nog Euklidskog geometrijskog prostora. U {irem kontekstu, Euklidska duìna se za ortonormalnu koordinatnu osnovu defini{e kao:

⎡ n ⎤ ρ (a, b ) = ⎢ (a i − bi )2 ⎥ ⎣ i =1 ⎦

∑

12

,

gde je pretpostavljeno da je prostor linearan, vektorski, i sa dimenzijom n [COTLAR AND CIGNOLI, 1974], pa su prema tome a i b vektori. Ova pretpostavka ne predstavlja nikakvo ograni~enje, jer se u geodeziji i ina~e uvek radi sa vektorima ( x , l , r , itd.). Primetimo da po{to su a i b vektori (ozna~imo ih sa a i b ), gornja jedna~ina moè da se napi{e i u matri~nom obliku kao kvadratni koren skalarnog proizvoda dva vektora:

[

]

ρ (a , b ) = (a − b )T (a − b )

12

.

(11.10)

Lako je proveriti da ova duìna, poznata i kao srednja kvadratna duìna, zadovoljava metri~ke aksiome. U literaturi se izraz srednja kvadratna duìna ~esto zamenjuje izrazom kvadratna norma. Primeri drugih metrika koje se ~esto koriste u matematici su: (a) uniformna (êbi{evljeva) metrika

ρ (a , b ) = max a i − bi ,

(11.11)

i =1,…, n

(b) q - metrika

⎛ n ρ (a, b ) = ⎜⎜ a i − bi ⎝ i =1

∑

q

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1q

.

(11.12)

Pokazano je da su srednja kvadratna i uniformna metrika specijalni slu~ajevi q metrike za q = 2 i q → ∞ . Slu~ajevi sa q ≠ 2 nisu uobi~ajeni u geodeziji i njima se ne}emo baviti. Zainteresovani ~italac upu}uje se na DAVIS [1963] i SINGER [1970]. Vratimo se Euklidskoj metrici i interpretirajmo je geometrijski. To {to su a i b vektori poloàja u n -dimenzionalnom prostoru sa istom razmerom du` svih n osa,

224


§ 11.1

omogu}uje nam da konstrui{emo vektorski poligon ove situacije u dvodimenzionalnom Euklidskom prostoru (vidi sliku 2). U op{tem slu~aju, kada razmere du` koordinatnih osa nisu iste, govori se o ortogonalnoj koordinatnoj osnovi. U tom slu~aju kvadrat duìne postaje:

ρ 2 (a , b ) = a − b = (a − b )T P (a − b ) , 2

(11.13)

gde je P dijagonalna matrica. Elementi matrice P su razli~ite konstante koje predstavljaju kvadrate razmera du` pojedinih osa. Desna strana jednakosti (13) je kvadratna forma (vidi podpoglavlje 3.1). Ako se u Euklidskom prostoru posmatra jo{ op{tija koordinatna osnova, matrica P postaje komplikovanija, odnosno nedijagonalna, pozitivno definitna i simetri~na. No bez obzira na komplikovanost koordinatne osnove srednja kvadratna duìna ostaje kao kvadratni koren skalarnog proizvoda (a− b) sa samim sobom. Matrica P ima ulogu metri~kog tenzora razmatranog prostora , {to je koncept pozajmljen iz diferencijalne geometrije (npr. SYNGE AND SCHILD [1949]; WREDE [1963]). Uo~imo da je prvi Euklidski oblik za duìnu (jedna~ina (10)), specijalni slu~aj gornje jedna~ine za P jednako I , tj. kada je metri~ki tenzor jednak jedini~noj matrici. Ako se duìna izme|u dva elementa kompletnog Euklidskog prostora moè napisati kao kvadratni koren skalarnog prizvoda razlike ova dva elementa sa samom sobom, tj. ako je na taj na~in definisan skalarni prizvod, tada se takav prostor zove Hilbertov prostor. Matemati~ka teorija Hilbertovih prostora veoma je razvijena, i u literaturi se moè na}i mno{tvo korisnih teorema (npr. LUENBERGER [1969]; SINGER [1970]). Minimalizacija duìna izme|u raznih elemenata Hilbertovog prostora naziva se ponekad optimizacijom Hilbertovog prostora. Ovu terminologiju smo i mi usvojili. Razlozi zbog kojih su metode Hilbertovog prostora naro~ito pogodne u geodeziji obja{njeni su u podpoglavlju 13.1. Treba napomenuti da se kompletno analogna struktura moè definisati i za kompaktne prostore beskona~nih dimezija, u kojima se srednja kvadratna norma

SLIKA 11.2. Duìna u Euklidskom prostoru.

§ 11.2

Modeli sa jedinstvenim re{enjem

225

defini{e sa (3.42). Prostori sa ovakvom normom nazivaju se L2 prostorima [COTLAR AND CIGNOLI, 1974]. Minimalizacija ove vrste normi ustvari dovodi do teorije uop{tenih Leàndrovih redova (razvoj u red sopstvenih funkcija), pomenute u podpoglavlju 3.2. Primer primene u geodeziji bi}e dat u podpoglavlju 20.2 i na nekoliko drugih mesta u knjizi. 11.2. Modeli sa jedinstvenim re{enjem U ovom podpoglavlju tretiramo i eksplicitni i implicitni oblik modela sa jedinstvenim re{enjem. Za svaki oblik bi}e dato re{enje za parametre x i odgovaraju}a kovarijaciona matrica C x . (a) Re{enje x modela eksplicitnog po x (10.3) ili (10.4), dobija se direktno jer je l poznato. Izvo|enje kovarijacione metrice C x zahteva da model bude linearan ili da se linearizuje. Po~nimo sa eksplicitnim modelom koji je ve} linearan (10.4), i primenimo na njega operator matemati~kog o~ekivanja E . Dobija se:

E( x ) = E (Gl + w ) = G E(l ) + w ,

(11.14)

jer su G i w poznate i nisu promenljive za operator o~ekivanja. Oduzimanje (14) od (10.4) daje:

x − E( x ) = G [l − E (l )] .

(11.15)

Koriste}i definicionu jedna~inu (3.100) za C x , i oduzimanjem od (15) dobija se:

{

}

C x = E G [l − E(l )] [l − E (l )] G T , T

(11.16)

{to se moè napisati kao:

{

C x = G E [l − E(l )] [l − E(l )]

T

}G

T

,

ili

C x = GC l G T ,

(11.17)

po{to je kovarijaciona matrica opaànja l jednaka:

{

C l = E [l − E (l )] [l − E(l )]

T

}

.

(11.18)

226

§ 11.2


Jedna~ina (17) poznata je kao kovarijacioni zakon. Nesigurnosti u vektoru l predstavljeni kovarijacionom matricom C l prenose se na x i karakteri{e ih

Cx . Za specijalni slu~aj x = g (l ) u kojem x ima samo jedan elemenat x , a pojedini elementi u vektoru l su statisti~ki nezavisni, pa je matrica C l dijagonalna, vaì:

x = g (l ) ,

(11.19)

sa varijansom: 2

σx

2

2

2

⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞ = ⎜⎜ σ l1 ⎟⎟ + ⎜⎜ σ l2 ⎟⎟ + ... + ⎜⎜ σ ln ⎟⎟ = ⎝ ∂l1 ⎠ ⎝ ∂l 2 ⎠ ⎝ ∂l n ⎠

⎛ ∂g ⎜⎜ σ li i =1 ⎝ ∂l i n

∑

2

⎞ ⎟⎟ . ⎠

(11.20) Ovaj izraz zove se zakon prenosa slu~ajnih gre{aka. Ako je model (19) ve} linearan, tj: x = Gl + w , (11.21) gde je G = [g1 , g 2 , K , g n ] , tada se za varijansu direktno dobija: 2

σ x = ∑ (g iσ li ) . n

2

(11.22)

i =1

Ako je na primer model za x jednostavno sredina pojedinih, statisti~ki nezavisnih l koji su iste ta~nosti, tj. ako je:

x=

1 n

n

∑l

i

,

(11.23)

1

tada je:

1 n

σ x2 = σ l2 . Za slu~aj opisan jedna~inom (21) prenos sistematskih gre{aka dat je sa:

(11.24)

§ 11.3

Modeli sa neodre|enim re{enjem

δx =

227

n

∑ g δl i

i

,

(11.25)

i =1

gde je δx ukupna sistematska gre{ka dok su δli sistematske gre{ke pojedinih opaànja. Ovo sledi iz pravila totalnog diferenciranja (podpoglavlje 3.2). (b) Re{enje modela eksplicitnog po l isto tako zahteva linearizaciju ako model nije ve} linearan. Jedna~ina (8) dobija se iz linearizovane forme (10.9), gde H −1 postoji jer je H kvadratna i po pretpostavci regularna matrica. Odgovaraju}e kovarijacione matrice dobijaju se primenom kovarijacionog zakona na (8). Rezultat je:

(

C x = H −1C l H −1

)

T

.

(11.26)

(c) Re{enje implicitnog modela tako|e zahteva linearizaciju. Pomo}u (7) dobija se:

(

)

~ x = A −1 l − w ,

jer je A kvadratna i regularna matrica. Kori{}enjem jednakosti (6) dobija se:

x = − A −1 (Bl + w ) .

(11.27)

Kao {to ~italac moè proveriti, odgovaraju}a kovarijaciona matrica ponovo sledi iz direktne primene kovarijacionog zakona:

( )

T

C x = A −1 BC l B T A −1 .

(11.28)

11.3. Modeli sa neodre|enim re{enjem Modeli sa neodre|enim re{enjem pojavljuju se onda kada njihova linearizovana forma ima manje jedna~ina nego nepoznatih parametara, tj. kada je n < u . Oni su rezultat broja opaànja koji je nedovoljan za odre|ivanje parametara, {to se u geodeziji veoma retko de{ava. S druge strane, kao {to }emo videti u podpoglavlju 11.4, reformulacija modela sa preodre|enim re{enjem vodi neodre|enom slu~aju, i kao takva bi}e detaljno obra|ena kasnije. Zbog toga }emo ovde dati samo kratak osvrt na neodre|ene slu~ajeve: Problem se dakle sastoji u re{avanju x iz jedna~ine (10.9), koja se moè druga~ije napisati kao:

228


Hx = l − w ,

§ 11.3

(11.29)

i to jo{ pod uslovom da je n < u . Posmatra}emo samo eksplicitni model, jer smo u podpoglavlju 11.1 videli da se svaki implicitni model moè transformisati u eksplicitni. Po{to dizajn matrica H nije regularna, njena (regularna) inverzija ne moè biti izra~unata. Bez obzira na to, postoji beskona~no mnogo re{enja za x , i pitanje se svodi na to koje od re{enja treba izabrati. Ovde }emo kao na~in pokazati samo ortogonalnu dekompoziciju matrice H , jer se taj postupak moè upotrebiti da x bude sra~unato tako da ima minimalnu normu. Ovakav kriterijum ima smisla jedino kada postoje matemati~ki ili fizi~ki razlozi da o~ekujemo da vektor x bude mali. Postupak se svodi na slede}e [LAWSON AND HANSON, 1974]: (a) Prvo se defini{e vektor y ( dim y = dim x = u ), takav da je:

x = Qy ,

(11.30)

gde je Q ortogonalna matrica sa dim Q = (u , u ) . (b) Zamenom x u model (29) dobija se:

HQy = l − w .

(11.31)

(c) Q se bira tako da je:

HQ = [R 0] ,

(11.32)

gde je R donja trouglasta nesingularna matrica sa dim R = (n, n) . Ovaj izbor se zove ortogonalna dekompozicija matrice H , i predstavlja jedinstvenu operaciju. (d) Re{enje sistema (31) je:

y1 = R −1 (l − w ) . Ova jednakost obezbe|uje jedinstvene vrednosti za prvih n komponenti vektora y ozna~enih sa y1 , ali ne daje nikakve vrednosti za preostalih n − u komponenti u oznaci y 2 . Prema tome, kompletno re{enje glasi:

§ 11.4

Modeli sa preodre|enim re{enjem

⎡y ⎤ y = ⎢ 1⎥, ⎣ y2 ⎦

229

(11.33)

i u njemu y 2 moè biti proizvoljno izabrano. (e) êsto se y 2 bira kao nula vektor. Ovaj izbor obezbe|uje minimalizaciju norme

y , a ako je metrika prostora X Euklidska, jo{ i minimalizaciju norme

x . Ipak, takav izbor ima smisla samo ako kriterijum minimalne norme x ima smisla. Primetimo da u ovom pristupu nije potrebna kovarijaciona matrica C l . Pomenimo sada samo jedno, naro~ito elegantno svojstvo opisanog metoda. Iako je H singularno, moè se dobiti posebna vrsta njene inverzije, takozvana psudoinverzija

H + (vidi npr. RAO AND MITRA [1971]; BEN-ISRAEL AND GREVILLE [1974]), takva da je:

x = H + (l − w ) .

(11.34)

Re{enje x dobijeno na ovaj na~in ima identi~na svojstva kao prvo re{enje. Neki drugi alternativni na~ini izbora pogodnog re{enja bi}e dati u podpoglavlju 14.5. 11.4. Modeli sa preodre|enim re{enjem Kada linearizovani model ima vi{e jedna~ina nego nepoznatih parametara, re{enje je preodre|eno. Prema tome, preodre|eni modeli ukazuju na to da je dato vi{e opaànja nego {to je to neophodno za odre|ivanje nepoznatih. Rezultat je da je nemogu}e dobiti bilo kakvo re{enje x . Da bismo razumeli za{to, posmatrajmo linearizovani model (10.9) u kojem je n > u i rank H = u < n . Izberimo proizvoljno u od n jedna~ina, i re{imo po x . Onda izaberimo drugi podskup od u jedna~ina i ponovo re{imo po x . Ova dva re{enja su u op{tem slu~aju razli~ita, {to zna~i da su dva podskupa od u jedna~ina matemati~ki nekonzistentna. Dilema se produàva ako se nastavi sa izborom podskupova od u jedna~ina. Modeli sa preodre|enim re{enjem su svakodnevnica geodeta, pa }e ova tema biti obra|ivana i ovde i u poglavlju 12. Kao {to je ve} pomenuto u podpoglavlju 11.1, problem preodre|enosti moè se prevazi}i reformulacijom modela, koja se sastoji od upotrebe o~ekivanih a ne opaànih vrednosti mernih veli~ina:

230

§ 11.4


ˆ lˆ = l + r = Hx + w .

(11.35)

Nepoznati rezidualni vektor r uvodi se da bi jedna~ine postale konzistentne, tj. da bi se opaànjima dozvolila promena sa l na l+ r . Primetimo da se reformulacija modela u vidu o~ekivanih vrednosti lˆˆ slaè sa dekompozicionom {emom (10.37) kada se pretpostavi da je p = Hx . Prema tome, (35) je ekvivalentno (10.41) za λ = 0 i v + s = r . Ova formulacija ponovo vodi ka beskona~nom broju re{enja jer su sada i x i r nepoznati vektori. Pre reformulacije situaciju je karakterisala redundanca n − u , a nakon nje redundanca se smanjuje za n jer se uvodi n novih veli~ina za re{avanje, ~ime broj jedna~ina postaje manji od broja nepoznatih, tj. ( n − u ) − n < 0 . Pod ovim okolnostima najbolje {to se moè uraditi je da se odre|ene nepoznate re{e u funkciji ostalih. Ponovo smo se dakle na{li u situaciji neodre|enih re{enja. Najbolje re{enje se obi~no traì u prostoru opaànja. Metrika koja se bira obi~no je srednja kvadratna duìna, tako da L postaje matemati~ki prostor sa srednjom kvadratnom metrikom. Izuzetno svojstvo ovakvog metri~kog prostora je da je sa matemati~ke ta~ke gledi{ta re{enje relativno lako, kao {to }emo videti u poglavlju 12, i da veli~ine koje se koriste omogu}uju jasnu statisti~ku interpretaciju kao {to }emo videti u poglavlju 13. Srednje kvadratno re{enje dobija se minimalizacijom duìne izme|u r i 0 , ili ekvivalentno, izme|u Hx i l − w (formula (35)). Ovo se moè napisati kao:

min ρ ( Hx, l − w) ,

x∈X , r∈L

ili kra}e:

min ρ ( r , 0) = min r . x, r

(11.36)

x, r

Primetimo da nakon reformulacije imamo dva nepoznata vektora x i r , i da se minimalizacija mora sprovesti s obzirom na oba. Prostor L je sada afini euklidski prostor, i njegov metri~ki tenzor se bira tako da bude jednak inverziji kovarijacione matrice C l vektora l . Razlog za ovaj izbor je statisti~ke prirode, i o njemu }e biti vi{e diskusije u podpoglavlju 13.1. Jedna~ina (36) sada se moè napisati kao:

[

]

min (Hx − l + w ) C l−1 (Hx − l + w ) = min r T C r−1 r . x, r

T

x, r

(11.37)

§ 11.4

Modeli sa preodre|enim re{enjem

231

pri ~emu je ve} poznato da je C l ≡ C r (jedna~ina (10.44)). Primetimo da se uslov minimalne duìne svodi na minimalizaciju reziduuma merenja r . To je razlog da se gornji uslov u literaturi pominje i kao minimalna kvadratna forma teìnskih reziduuma, ili kao minimalna suma kvadrata teìnskih reziduuma. Ovaj drugi naziv je ta~an samo kada s nije prisutno u r tako da je r = v , odnosno kada je matrica C r dijagonalna. Razne srednje kvadratne tehnike koje se mogu na}i u literaturi, samo su varijacije na temu uslova minimuma datog sa (37). Ove tehnike se dobijaju formulisanjem kvadratnih formi uz upotrebu razli~itih vektora i metri~kih tenzora, kao {to }emo to kasnije pokazati na odgovaraju}im mestima. Koja god srednjekvadratna tehnika da se upotrebi, ona se uvek moè posmatrati kao vrsta optimizacije Hilbertovog prostora, zbog ~ega smo koncept Hilbertovih prostora i diskutovali u podpoglavlju 11.1. Moèmo se zapitati za{to i modeli sa neodre|enim re{enjima ne bi bili tretirani na isti na~in? Zaista mogu! Razlika je me|utim u tome {to, dok postoji jasno opravdanje zahteva da r bude minimalizovano na ovaj ili onaj na~in, takvo opravdanje retko moè da se na|e kada je u pitanju minimalizacija parametara. To je razlog da se dve klase modela tretiraju potpuno razli~itim metodama. Do sada je u matemati~kim modelima pre}utno smatrano da su merne veli~ine fizi~ke ili geometrijske prirode. Ovo me|utim ne moraju biti jedine mogu}nosti. Prilikom dizajniranja modela mogu se uzeti u obzir i drugi aspekti eksperimenta, kao {to su logistika i tro{kovi. Ovakvi slu~ajevi menjaju zna~enja mernih veli~ina, ali ne i opisane matemati~ke koncepte. Kada se dakle uklju~e i takvi ekonomski parametri, ~esto je potrebno postaviti izvesna ograni~enje za re{enja, kao {to je pomenuto u podpoglavlju 10.2. A kada se ta ograni~enja formuli{u kao nejednakosti, prelazi se u oblast linearnog odnosno kvadratnog programiranja. Za upoznavanje sa ovim disciplinama ~italac se upu}uje npr. na HADLEY [1964].

POGLAVLJE 12

RE[AVANJE PREODRE\ENIH MODELA METODOM NAJMANJIH KVADRATA

U ovom poglavlju obja{njeni su glavni koncepti i izvedene najva`nije jedna~ine metode najmanjih kvadrata (MNK) za re{avanje preodre|enih modela. U prvom podpoglavlju formulisan je problem najmanjih kvadrata kod preodre|enih modela. Re{enje tako formulisanog problema dato je u drugom podpoglavlju. U njegovom prvom delu kratko su prodiskutovana neka alternativna re{enja, da bi u nastavku bio prikazan standardni Lagranòv model nalaènja re{enja pod uslovom najmanjih kvadrata. Poslednje podpoglavlje posve}eno je izvo|enju kovarijacionih matrica rezultata. U ovom poglavlju kori{}en je uglavnom implicitni matemati~ki model kao najop{tiji. îtalac zainteresovan za dublje izu~avanje metode najmanjih kvadrata upu}uje se na HIRVONEN [1971], BJERHAMMAR [1973] i MIKHAIL [1976]. 12.1. Formulisanje problema najmanjih kvadrata Kao {to je pokazano u podpoglavlju 11.4, preodre|eni modeli sastoje se u op{tem slu~aju od nekonzistentnog sistema jedna~ina, tako da je neophodna reformulacija modela kako bi se nekonzistentnost otklonila. Shodno tome (10.10) postaje:

)

(

ˆ f ⎛⎜ x, lˆ ⎞⎟ = f x, l + rˆˆ = 0 , ⎝ ⎠

(12.1)

gde su rˆˆ o~ekivani reziduumi. Po{to u ovom poglavlju ne moè do}i do zabune, koristi}emo oznaku r umesto rˆˆ . Da bi se olak{alo re{enje, gornji model se obi~no aproksimira linearnim delom Tajlorovog reda, i to na na~in analogan linearizaciji u podpoglavlju 11.1. Za ta~ke razvoja koriste se opaànja i pribli`ne vrednosti nepoznatih parametara x (0 ) , ~ime se dobija (uporedi sa (11.2)):

( ) ∂f ∂f ( = f (x ( ) , l ( ) ) + x− x ( ) ) + ∂x ∂l

f ( x , l ) = f x (0 ) + δ , l ( 0 ) + r 0

0

0

x = x (0 ) l =l ( 0 )

232

(l − l ( ) ) = 0 0

x = x (0 ) l =l ( 0 )

§ 12.1

Formulisanje problema najmanjih kvadrata

233

ili jednostavno:

A δ + Br + w = 0 .

(12.2)

Prime}ujemo da je ova jedna~ina ustvari diferencijalna forma originalnog nelinearnog matemati~kog modela, i da opisuje veze izme|u veli~ina u okolinama x (0 ) , l (0 ) i w (vidi sliku 1). Dizajn matrice A , B date su sa (11.3). Njihovo prisustvo ovde je razumljivo, jer je diferencijalna forma modela formulisana u m - dimenzionalnom prostoru modela F , pa i ostale veli~ine moraju biti transformisane u prostor F . Ovo je jo{ jasnije ako se uo~i da su svi ~lanovi od (2), naime A δ , Br i w , ustvari m - dimenzionalni vektori. Veli~ine A , B i w su poznate, dok su δ i r nepoznate. Vektor prira{taja δ pribli`nih vrednosti x (0 ) je posebna vrsta vektora, a konstantni vektor:

(

w = f x (0 ) , l (0 )

)

(12.3)

zove se u ovom kontekstu vektor nezatvaranja. U ovom poglavlju ne}e se posebno razmatrati dalja dekompozicija vektora r . U podpoglavlju 14.3 pojavi}e se potreba za dekompozicijom r u v i s , dok }e se ovde on posmatrati kao jedan vektor.

SLIKA 12.1. Linearizacija.

234


§ 12.2

Da bi se dobilo re{enje po δ , moè se minimalizovati ili duìna vektora r u prostoru L , ili duìna njegove projekcije:

~ r = − Br

(12.4)

(uporedi sa (11.6)) u prostoru F . Prvi slu~aj vodi ka :

(

)

min r T C r−1 r , δ, r

(12.5)

dok drugom slu~aju odgovara:

(

)

~ min r T C ~r−1~ r . ~ δ, r

(12.6)

Uz drugi pristup linearizovani model postaje:

~ r = A δ+ w .

(12.7)

Kovarijaciona matrica C ~r koja ima ulogu metrike prostora modela, izvodi se iz r primenom kovarijacionog zakona (4):

C ~r = BC r B T = M −1 .

(12.8)

Primetimo da formulacija u prostoru F omogu}ava pisanje uslova minimuma r u (6), zajedno sa (7) daje: pomo}u δ . Zamena za ~

[

]

~ ( Aδ+ w ) C ~r−1 ( Aδ+ w ) . min r T C ~r−1 ~ r = min ~ ~ δ, r

δ, r

T

(12.9)

Formulacija u prostoru L ne dopu{ta takvu direktnu zamenu i mora se tretirati na drugi na~in. U slede}em podpoglavlju bi}e pokazano da ustvari obe formulacije vode identi~nim rezultatima. 12.2. Re{enje problema najmanjih kvadrata Minimalizacija kvadratne forme (9) je u matematici problem nalaènja ekstremuma. Standardni metod nalaènja ekstrema opisan je u podpoglavlju 3.2, tako da ovde prikazujemo samo rezultat:

§ 12.2

Re{enje problema najmanjih kvadrata

(

)

[

235

]

∂ ~ T −1 ~ ∂ ( Aδ+ w )T C ~r−1 ( Aδ+ w ) = 0 . r C ~r r = ∂~ ∂δ r Diferenciranjem se dobija (vidi podpoglavlje 3.2):

(

)

C ~r−1~ rˆ = AT C ~r−1 A δˆ + AT C ~r−1 w = 0 .

(12.10)

Zamenom ~ rˆ iz (7) u levi izraz, i mnoènjem sa A T , dobija se desni izraz. Jasno je da ako se minimizira jedna od duìna (kvadratna forma), minimizira se istovremeno i druga, tako da nije va`no koja se koristi da se to postigne. Jedna~ina (10) je matri~na jedna~ina koja se zove sistem normalnih jedna~ina, i u kojoj je A T C ~r−1 A matrica koeficijenata, a A T C ~r−1 w je konstantni vektor. Da bi odredili da li je u pitanju minimum ili maksimum, potrebno je na}i drugi −1

izvod jedne od kvadratnih formi. On iznosi A Cr A , {to je jedna pozitivno T

definitna matrica, jer je u C ~r = BC r B T po definiciji C r pozitivno definitna matrica, i A ima rank u ≤ n (vidi podpoglavlje 3.1). Prema tome, ekstremum predstavlja minimum, {to smo i èleli. U (10) je kori{}ena kapica iznad δ kako bi se razlikovalo od δ bez kapice u npr. (2). Razlog za to je {to postavljanje uslova minimalne kvadratne duìne defini{e re{enje po najmanjim kvadratima (MNK re{enje) δˆ , koje je jedinstveno izme|u beskona~no brojnih re{enja δ . Sli~no tome:

xˆ = x (0) + δˆ

(12.11)

zove se MNK ocena nepoznatih parametara x , ili prosto izravnati parametri. Poku{ajmo sada da na|emo re{enje δˆ minimalizacijom duìne rezidualnog vektora u prostoru opaànja, tj. kori{}enjem uslova (5) umesto uslova (6). Kao {to je istaknuto u podpoglavlju 11.1, re{enje u prostoru opaànja ima tu prednost {to se r . Reziduumi ~ r se ina~e ne dobijaju vrednosti direktno reziduuma r umesto ~ mogu uvek transformisati u r , jer u op{tem slu~aju B nije regularna matrica. Po{to zamena za r u (5) iz (2) nije mogu}a, potreban je drugi pristup. Lagranòv pristup [KORN AND KORN, 1968], koji se obi~no koristi, zasniva se na uvo|enju novih veli~ina u model uz pomo} jednog matemati~kog trika. Naime, vektorska jedna~ina (2) mnoì se proizvoljnim vektorom k iz prostora F . Rezultuju}i skalarni proizvod je nula za bilo koje kona~no k , jer je desna strana nula vektor, i

236


§ 12.2

moè se dakle dodati kvadratnoj formi (r T C r−1 r ) a da joj ne promeni vrednost. Prema tome vaì slede}i izraz:

r T C r−1r = r T C r−1r + 2 k T ( Aδ + Br + w) = φ .

(12.12)

U literaturi se izraz koji se minimalizuje, tj. suma dva skalarna proizvoda φ zove varijaciona funkcija. Po{to je vektor Lagranòvih korelata k iz prostora F , zna~i da ima dimenziju m . On je u po~etku neodre|en, pa ima istu ulogu kao nepoznati vektori δ i r . Pokazano je [HANCOCK, 1917; HADLEY, 1964], da dodavanje skalarnog proizvoda korelata varijacionoj funkciji ne menja poloàj njenog ekstrema. Prema tome normalne jedna~ine se ponovo dobijaju nalaènjem izvoda od φ po δ , r i k , i njihovim izjedna~avanjem sa nulom. Rezultat je (vidi podpoglavlje 3.2):

1 2 1 2 1 2

∂φ = rˆ T C r−1 + kˆ T B = 0 , ∂r ∂φ ˆ T = k A = 0, ∂δ ∂φ = Aδˆ + Brˆ + w = 0 . ∂k

(12.13) (12.14) (12.15)

Transpozicija od (13) i (14), zajedno sa (15) ~ini èljeni sistem normalnih jedna~ina:

C r−1rˆ + B T kˆ = 0 , AT kˆ = 0 ,

(12.17)

Aδˆ + Brˆ + w = 0 .

(12.18)

(12.16)

Primetimo da je znak kapice ponovo upotrebljen kako bi se istaklo da su to MNK ocene nepoznatih vektora. Normalne jedna~ine se mogu napisati u obliku hiper matrice (vidi podpoglavlje 3.1) kao:

⎡C r−1 ⎢ ⎢ B ⎢ 0 ⎣

BT 0 AT

0 ⎤ ⎡ rˆ ⎥⎢ A⎥ ⎢ kˆ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ δˆ

⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ + ⎢ w⎥ = ⎢ 0 ⎥ , ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

(12.19)

§ 12.2


237

sa matricom koeficijenata dimenzija n + m + u . Hipervektor sastavljen od rˆ , kˆ i

δˆ moè se onda odrediti inverzijom matrice koeficijenata. To je me|utim neekonomi~no zbog njene veli~ine i prisustva nula matrica. Zato }emo sada izvesti sistem normalnih jedna~ina za koji su matri~ne inverzije manje, i u kojem nema nula matrica. Za po~etak elimini{imo rezidualni vektor rˆ iz sistema uz pomo} metode particije re{enja (vidi podpoglavlje 3.1). Rezultat je:

⎡− M −1 ⎢ T ⎣ A

A⎤ ⎡ kˆ ⎤ ⎡ w ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥ . 0 ⎦ ⎣ δˆ ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦

(12.20)

Eliminacija kˆ istom metodom daje:

( AT MA) δˆ + AT Mw = 0 .

(12.21)

Ovo je sistem normalnih jedna~ina izveden Lagranòvom metodom. Upore|enje sa (10) pokazije da minimalizacija u prostoru L daje identi~an rezultat δˆ kao i minimalizacija u prostoru F . MNK re{enje dakle glasi:

δˆ = −( A T MA) −1 A T Mw .

(12.22)

Primetimo da je re{enje jedinstveno samo ako je rang matrice koeficijenata:

N = A T MA = A T ( BC r B T ) −1 A ,

(12.23)

jednak u . Ako je manji, mora se koristiti uop{tena matri~na inverzija kao {to }emo pokazati u podpoglavlju 14.5. Radi kratko}e uve{}emo slede}u oznaku:

u = AT Mw ,

(12.24)

gde je M o~igledno matrica teìna opaànja transformisana u prostor F . Uz uvedenu notaciju normalne jedna~ine glase:

Nδˆ + u = 0 ,

(12.25)

238


§ 12.2

a re{enje je:

δˆ = − N −1 u .

(12.26)

Korelate kˆ se re{avaju pomo}u prve jedna~ine iz (20):

− M −1kˆ + Aδˆ + w = 0 ,

(12.27)

kˆ = M ( Aδˆ + w) .

(12.28)

pa je:

Do MNK reziduuma rˆ dolazi se uz pomo} (16):

rˆ = − C r B T kˆ = − C r B T M ( Aδˆ + w) .

(12.29)

I kona~no, MNK ocene opaànja glase:

lˆ = l + rˆ .

(12.30)

Sada je na redu diskusija o takozvanom efektu nelinearnosti pomenutom u podpoglavlju 11.1. On se javlja zbog toga {to se nelinearni model zamenjuje svojom linearnom aproksimacijom. Kada je analizirao ovo pitanje, POPE [1974] je koristio Njutn-Gausov iterativni metod za re{avanje nelinearnih problema, i otkrio da se do nelinearnog re{enja moè do}i serijom ponovljenih linearnih re{enja. Linearizovani model u n -toj iteraciji dat je sa:

A( n ) ( x ( n +1) − x ( n ) ) + B ( n ) ( l ( n +1) − l ( n ) ) + f ( x ( n ) , l ( n ) ) = 0 ,

(12.31)

gde je ( x ( n ) , l ( n ) ) poslednja ta~ka razvoja u kojoj se ra~unaju A ( n ) i B ( n ) (vidi sliku 2). Re{enja za δ ( n ) = x ( n +1) − x ( n ) i r ( n ) = l ( n +1) − l ( n ) se jo{ uvek dobijaju kori{}enjem (26) i (30), ali ovog puta sa w ( n ) = f ( x ( n ) , l ( n ) ) + B ( n ) (l (0) - l ( n ) ) gde je l ( 0) vektor opaànja. Uo~imo prisustvo drugog ~lana koji n - tu iteraciju ~ini razli~itom od po~etnog re{enja, jer ako se uzme l ( n ) = l = l ( 0) , tada se izraz za w ( n ) = w ( 0) redukuje na jedna~inu (3). Iteracije treba izvoditi sve dok dva sukcesivna vektora prira{taja δ ( n ) i δ ( n +1) ne postanu nula [POPE, 1974].

§ 12.2


239

SLIKA 12.2. Iteracije linearizovanog implicitnog modela.

Aùriranje i parametara i opaànja iterativnim postupkom svojstveno je implicitnim nelinearnim modelima jer su oni nelinearni po obe veli~ine. Modeli eksplicitni po l iteriraju se samo po x , jer su po l ve} linearni. Iteracije modela eksplicitnog po l izvode se sve dok je veli~ina prira{taja x , tj. δ ( n ) , signifikantna [MIKHAIL, 1976]. Uslovni modeli iteriraju se po l na isti na~in na koji se parametarski modeli iteriraju po x . Pomenuti na~in re{avanja MNK problema pomo}u normalnih jedna~ina, samo je jedna od nekoliko mogu}nosti. Postoje druge ra~unske metode koje ne koriste normalne jedna~ine, ve} se primenjuju direktno na dizajn matricu A . Takve su recimo Hausholderova ortogonalna transformacija i singularna analiza (npr. LAWSON AND HANSON [1974]). Glavna razlika izme|u metoda koje koriste normalne jedna~ine i metoda koje se primenjuju direktno na dizajn matricu je {to ove prve zahtevaju upola manje ra~unskih operacija nego druge. Ali zato je kod metode normalnih jedna~ina potrebna ra~unska preciznost koja je kvadratno ve}a od preciznosti potrebne za Hausholderov algoritam. Mi smo ovde koristili metod normalnih jedna~ina delom zbog njegovih prednosti, ali pre svega zato {to je uobi~ajen u geodeziji. Razlog za{to se ovoj metodi daje prednost u geodeziji leì u ~injenici da je ona mnogo pogodnija od drugih kada se izvode i ra~unaju kovarijacione matrice rezultata. Isto tako potrebno je ista}i da i u okviru pristupa normalnim jedna~inama ima vi{e alternativa. Tako na primer, nije uop{te neophodno linearizovati nelinearni

240


§ 12.3

matemati~ki model, ve} se mogu formirati normalne jedna~ine u nelinearnom obliku. One predstavljaju jednostavno parcijalne izvode nelinearnog modela tj.:

i:

δ f = 0, δr

(12.32)

δ f = 0. δx

(12.33)

Re{enje ovako dobijenog sistema nelinearnih jedna~ina moè se onda poku{ati nekom od brojnih metoda (vidi npr. BERZEIN AND ZHIDKOV [1962]), uklju~uju}i i ve} pomenutu Njutn-Gausovu metodu. Za re{avanje linearnih normalnih jedna~ina najvi{e se koristi Holeskijev metod [THOMPSON, 1969], jer je naro~ito pogodan za pozitivno definitne, simetri~ne matrice kakve se javljaju u MNK problemima (npr. KNIGHT AND STEEVES [1974], HANSON [1976]). Mnoge druge tehnike se tako|e koriste u praksi, naro~ito kada su u pitanju veoma veliki sistemi sa retkim matricama. Vi{e re~i o ovome bi}e u podpoglavlju 18.2. 12.3. Kovarijacione matrice rezultata Po dobijanju re{enja za nepoznate parametre i reziduume postavlja se pitanje odre|ivanja kovarijacionih matrica koje karakteri{u njihovu ta~nost. Ove kovarijacione matrice su nezaobilazne kod statisti~ke interpretacije rezultata kao {to }emo to videti u poglavlju 13. U ovom podpoglavlju bi}e izvedene kovarijacione matrice vektora nezatvaranja w , prira{taja δˆ , reziduuma rˆ i izravnatih opaànja

lˆ . (a) Vektor nezatvaranja definisan je sa (3). Primena kovarijacionog zakona na ovu jedna~inu daje:

C w = BC r B T = M −1 ,

(12.34)

gde je B = ∂ f ∂ l obi~no druga dizajn matrica definisana u podpoglavlju 11.1, a

C r = C l . Interesantno je da je C w = C ~r kao {to to pokazuje upore|enje (34) sa (8). Ova matrica moè se odrediti pre re{avanja MNK problema, i ima zna~enje samo ako se w moè smatrati statisti~ki smislenom veli~inom. Ovo pitanje bi}e detaljnije obra|eno sa statisti~kog stanovi{ta u podpoglavlju 13.4.

§ 12.3

Kovarijacione matrice rezultata

241

(b) MNK ocena parametara ((26) i (11)), moè se napisati kao:

xˆ = x (0 ) − N −1 AT Mw .

(12.35)

Primenom kovarijacionog zakona na ovu jedna~inu dobija se:

(

)

(

C xˆ = − N −1 A T M M −1 − N −1 A T M

)

T

,

i nakon sre|ivanja rezultat je:

(

C xˆ = N −1 = AT MA

)

−1

= C δˆ .

(12.36)

Kovarijaciona matrica vektora δˆ identi~na je onoj za vektor xˆ , jer je x (0 ) konstantni vektor i njegova kovarijaciona matrica je nula matrica. Na neki na~in C xˆ kompletira transformaciju u (11.1) koju smo traìli. Postoje me|utim i druge veli~ine koje se tako|e mogu izvesti. (c) Zamenom δˆ u (29) iz (26) dobija se:

(

)

rˆ = C r B T MAN −1 A T M − M w = − C r B T Lw ,

(12.37)

{to je izraz sa samo jednom nazavisnom promenljivom w . Interesantno je da je L matrica koja povezuje vektor nezatvaranja sa korelatama, tj. kˆ = Lw . Primena kovarijacionog zakona na (37) daje:

(

)

T

C rˆ = C r B T LC w C r B T L . Zamenom C w i sre|ivanjem izraza dobija se:

(

C rˆ = C r B T LBC r = C r B T M ⎡ I − A A T MA ⎢⎣

)

−1

A T M ⎤ BC r . ⎥⎦ (12.38)

Ova kovarijaciona matrica je uvek singularna, i ima va`nu ulogu u postupku nalaènja i odbacivanja grubih gre{aka. Ona }e se detaljnije obraditi u podpoglavlju 13.4.

242


§ 12.3

(d) Izraz za izravnata opaànja (30) moè se napisati i u vidu:

(

)

lˆ = l − C r B T M A δˆ + w . Zamenom za δˆ iz (26) u w iz (3) dobija se:

(

)

lˆ = l − C r B T Lf x (0 ) , l ,

(12.39)

{to je ponovo izraz koji sadrì samo jednu nezavisnu promenljivu l . Primenom kovarijacionog zakona dobija se: T

⎛ ∂ lˆ ⎞ ⎛ ∂ lˆ ⎞ C lˆ = ⎜⎜ ⎟⎟ C l ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ ∂l ⎠ ⎝ ∂l ⎠ gde je:

⎛ ∂ lˆ ⎞ ⎜ ⎟ = I − C r B T LB . ⎜ ∂l ⎟ ⎝ ⎠

(12.40)

Zamena daje slede}i rezultat:

C lˆ = C r − C r B T LBC r . Upore|enje ove kovarijacione matrice sa C rˆ otkriva da je:

C lˆ = C l − C rˆ = C r − C rˆ ;

(12.41)

{to je i o~ekivano, jer varijanse izravnatih opaànja treba da budu manje od varijansi opaànja pre izravnanja. Tako|e je mogu}e izvesti i odgovaraju}e kros kovarijacione matrice kojima se opisuje stepen statisti~ke zavisnosti izme|u parova vektora. Tako na primer C rˆδˆ

ˆ . Po{to ove matrice nemaju neku konkretnu opisuje kros kovarijansu rˆ i δ upotrebu, ne}emo izvoditi izraze za njih. Jedna ograni~ena upotreba kros kovarijacionih matrica bi}e prikazana u podpoglavlju 14.3, pa }e tamo biti izvedeni i odgovaraju}i izrazi.

§ 12.3


243

Treba napomenuti da su sve do sada pomenute kovarijacione matrice ta~ne samo za linearne modele. Kod nelinearnih modela mora se uzeti u obzir efekat nelinearnosti. Ovo me|utim rezultira komplikovanim izrazima sa Hesijan matricama, tj. matricama drugih izvoda [CELMINS, 1973; POPE, 1974]. U najve}em broju slu~ajeva linearni izrazi koje smo ovde izveli predstavljaju dobru meru ta~nosti. Prakti~na upotreba metode najmanjih kvadrata ~esto je povezana sa nepoznavanjem razmere kovarijacione matrice opaànja, tj. sa situacijom kada su poznate samo relativne veli~ine ~lanova matrice C l . Da bismo razre{ili ovaj problem, ozna~imo inverziju matrice proizvoljno urazmerenih elemenata sa Pl . Tada vaì:

Pl = σ 02 C l−1 = σ 02 C r−1 ,

(12.42)

gde se faktor razmere σ 02 zove varijansni faktor, a matrica Pl matrica teìna. Pogledajmo sada posledice nepoznavanja σ 02 pre izravnanja.

Ispitivanje jedna~ine (26) dovodi do zaklju~ka da poznavanje σ 02 nije neophodno

ˆ , jer je: za dobijanje korektne vrednosti za δ

(

δˆ = − A T MA

)

−1

(

A T Mw = − ⎡ A T BPl −1 B T ⎢⎣

)

−1

A⎤ ⎥⎦

−1

(

A T BPl −1 B T

. Isto tako, iz (29) sledi:

)

−1

w

(12.43)

(

)

(

rˆ = − C r B T M A δˆ + w = − Pl −1 B T BPl −1 B T

) (A δˆ + w ) , −1

(12.44)

{to pokazuje da ni rˆ ne zavisi od prethodnog poznavanja σ 02 . Me|utim, sve ~etiri

kovarijacione matrice C w , C δˆ , C rˆ i C lˆ zavise od σ 02 , i direktno su pogo|ene nepoznavanjem ovog faktora razmere. Zaklju~ak je da se vrednost σ 02 mora znati barem pre ra~unanja kovarijacionih matrica. Sre}om, iako se σ 02 prethodno ne poznaje, njena vrednost se moè oceniti iz rezultata.

Pre nego {to se izvede ocena za σ 02 moraju se preduzeti tri me|ukoraka. Prvo, iz normalnih jedna~ina (25) sledi:

244


(

§ 12.3

)

A T M A δˆ + w = 0 , i nakon transponovanja dobija se:

(A δˆ + w )

T

MA = 0 .

(12.45)

Drugo, gornja jeda~ina moè se tako|e napisati kao:

A T M w = − A T MA δˆ .

(12.46)

Tre}e, kvadratna forma reziduuma (12) moè da se transformi{e pomo}u (28) i (29) za kˆ i rˆ na slede}i na~in:

( ) MBC C C B M (A δˆ + w ) = (A δˆ + w ) MA δˆ + (A δˆ + w ) Mw .

rˆ T C r−1 rˆ = A δˆ + w

T

r

−1 r

T

r

T

T

Kada se iskoriste jedna~ine (45) i (46) dobija se:

rˆ T C r−1 rˆ = −δˆ T A T MA δˆ + w T Mw = −δˆ T N δˆ + w T Mw .

(12.47)

Po{to je w T Mw = tr( ww T M ) (vidi podpoglavlje 3.1), o~ekivana vrednost kvadratne forme dobija se operacijom matemati~kog o~ekivanja na svaki od dva ~lana kvadratne forme. Pre svega, vaì:

) [(

(

E w T Mw = E tr ww T M

)]

[(

) ]

= tr E ww T M .

Po definiciji je:

{

E [w − E(w )] [w − E (w )]

T

}= E(ww ) − E(w ) E(w ) = C T

tako da je:

(

)

( )

E ww T = M −1 + E(w )E w T . Prema tome, o~ekivana vrednost gornje kvadratne forme je:

T

w

= M −1 ,

§ 12.3


(

) [

) (

( ) ]

E w T Mw = tr M −1 M + tr E (w )E w T M

245

= m+ c,

(12.48)

gde je c realni broj. Sli~no tome:

) [(

[( ) ] = tr (N N ) + tr [E (δˆ ) E (δˆ ) N ] = u + d .

(

E δˆ T N δˆ = E tr δˆ δˆ T N

)]

= tr E δˆ δˆ T N

−1

(12.49)

T

Pokazano je da je c = d [BLAHA, 1978], tako da ostaje:

(

)

E rˆ T C r−1 rˆ = m − u .

(12.50)

Napi{imo sada ovaj izraz u funkciji matrice teìna Pl koriste}i jedna~inu (42):

⎛ 1 ⎞ E⎜ 2 rˆ T Pl rˆ ⎟ = m − u . ⎜σ ⎟ ⎝ 0 ⎠

ˆ 02 za E(σ 02 ) , Nalaènjem matemati~kog o~ekivanja, uz poznato rˆ i oznakom σ kona~an izraz za aposteriorni varijansni faktor glasi: ˆ 02 = σ gde:

rˆ T Pl rˆ , m−u

m−u =v

(12.51) (12.52)

defini{e broj stepeni slobode odnosno redundancu. Kada je varijansni faktor ocenjen mogu se oceniti i kovarijacione matrice rezultata. Napi{imo prvo kovarijacionu matricu vektora nezatvaranja w . Upotreba (34) i (42) daje:

~ C w = B σ 02 Pl −1 B T = σ 02 M −1 ,

~

(12.53)

gde je M −1 neodgovaraju}e urazmerena kovarijaciona matrica koja je rezultat upotrebe Pl−1 umesto C r . Po{to u ovom kontekstu σ 02 nije poznato, moè se dobiti samo ocena za C w :

246


~ ˆ 02 M −1 . Cˆ w = σ

§ 12.3

(12.54)

Sli~ni izrazi vaè i za preostale kovarijacione matrice:

~ ˆ 02 N −1 , Cˆ xˆ = σ ˆ 02 Pl −1 B T LBPl −1 , Cˆ rˆ = σ Cˆ ˆ = C − Cˆ . l

r

rˆ

(12.55) (12.56) (12.57)

ˆ 02 umesto σ 02 Najzna~ajnije posledice upotrebe aposteriori varijansnog faktora σ leè u oblasti statistike, i detaljno }e biti razmotrene u podpoglavlju 13.

POGLAVLJE 13

PROCENJIVANJE REZULTATA

Cilj ovog poglavlja je da pokaè kako se moè statisti~ki proceniti kvalitet rezultata dobijenih re{avanjem preodre|enih modela metodom najmanjih kvadrata. To se postiè ve} u prvom podpoglavlju, demonstracijom me|uveze statistike i optimizacije Hilbertovog prostora. Drugo podpoglavlje bavi se op{tim konceptom testiranja, koji se jednako moè primeniti na izravnata opaànja, modele i parametre. U tre}em, ~etvrtom i petom podpoglavlju prikazani su individualni testovi u vezi sve tri veli~ine tj. opaànja, modela i parametara. 13.1. Hilbertov prostor i statistika Metod izu~avanja pona{anja stohasti~kih veli~ina u izvo|enju eksperimenata podrazumeva upotrebu matemati~ke statistike. Statistika se koristi u tretiranju promenljivih samo onda kada ne postoji nikakav ~isto deterministi~ki metod. Uspeh nekog eksperimenta moè se proceniti samo ako se dovedu u vezu matematika i stvarni svet koji se tim eksperimentom doti~e. Me|utim, potrebna je pa`nja. Statistika se mora koristiti obazrivo, u skladu sa zdravim razumom, prakti~nim iskustvom i nezavisnim dokazima. U op{tem slu~aju, statistika se koristi samo da bi se ustanovio stepen poverenja u re{enja. Ona se ipak moè koristiti i u cilju ispitivanja saglasnosti sa drugim ve} postoje}im re{enjima istih parametara. Matemati~ka teorija statistike ima korene u tzv. parametarskoj statistici [GAUSS, 1809]. U parametarskoj statistici je potrebno poznavati ili pretpostaviti oblik raspodele verovatno}a opaànja l iz matemati~kog modela, pre nego {to se izvr{i statisti~ka interpretacija rezultata. Uobi~ajene statisti~ke tehnike koje }emo obra|ivati u ovom poglavlju zahtevaju, na primer, da opaànja l odnosno reziduumi r budu normalno raspore|eni. [to je manje ovaj zahtev ispunjen, to manje vaè tehnike koje }emo opisati. Zahtev za normalnom raspodelom u statisti~kim metodama ne treba me{ati sa zahtevima metode najmanjih kvadrata obra|ene u podpoglavlju 12. Metoda najmanjih kvadrata u su{tini ne zahteva pretpostavku normalnosti sve dotle dok se ne èle izvla~iti probabilisti~ki zaklju~ci.

247

248


§ 13.1

Termin robusna statistika koristi se za statisti~ke metode koje pribli`no ostaju u va`nosti ~ak i kad statisti~ke veli~ine nisu normalno raspore|ene. Iako ovaj segment statistike izgleda izazovno mi ga ne}emo primenjivati jer se ne koristi rutinski u geodeziji. Postoji mno{tvo eksperimentalnih dokaza da su geodetska opaànja po svom rasporedu bliska normalnom [BAARDA, 1967, 1976]. Bilo kako bilo, poèljno je testirati pretpostavku o normalnosti kad god je to mogu}e. S druge strane, neparametarska statistika uop{te ne zahteva poznavanje verovatno}a opaànja [WONNACOTT AND WONNACOTT, 1972]. To obja{njava za{to se ponekad za neparametarsku statistiku govori kao o statistici bez raspodele. Obimnu bibliografiju o neparametarskoj statistici sastavio je SAVAGE [1953], a izvanredan tekst o ovoj temi napisao je SIEGEL [1956]. U ovoj knjizi poziva}emo se na neparametarsku statistiku samo onda kada se parametarska statistika pokaè neodgovaraju}om. Parametarska i neparametarska statistika nazivaju se objektivnim, jer za njihovu primenu nije unapred potrebna nikakva prethodna informacija. Nepoznati parametri tretiraju se kao da se o njima ni{ta prethodno ne zna, a do re{enja se dolazi isklju~ivo na osnovu opaànja. Kada èlimo da nam rezultati oslikavaju prethodno poznavanje parametara, tj. kada se prethodno ocenjeni x i C x koriste zajedno sa opaànjima l i C l , tada se primenjuje Bajesova statistika, zasnovana na radovima BAYES [1763] i JEFFREYS [1961]. Neki aspekti Bajesovog ocenjivanja bi}e dati u podpoglavlju 14.4. Da bismo videli kako se statistika uklapa u do sada razvijenu metodologiju, po~nimo sa interpretacijom matemati~kog modela (12.7) i uslova najmanjih kvadrata (12.9) sa ta~ke gledi{ta verovatno}e. Jasno je da je duìna koja se r u prostoru modela F ~iju minimizuje ustvari duìna rezidualnog vektora ~ metriku predstavlja metri~ki tenzor C ~r−1 . [ta ovo zna~i u smislu verovatno}e? Dokazuje se da se Hilbertov prostor F sa metrikom C ~r−1 moè posmatrati i kao prostor verovatno}e u F [WILKIS, 1962]. U takvom prostoru verovatno}e onda ima smisla traìti statisti~ku interpretaciju raznih veli~ina. Ne}emo davati kompletan dokaz ovih tvrdnji. Umesto toga da}emo jednu heuristi~ku demonstraciju ~injenice da se C ~r−1 moè smatrati merom verovatno}e u prostoru F . Matrica C ~r−1 ima ulogu matrice teìna, i to kako u re{avanju implicitnih modela, tako i u re{avanju modela eksplicitnih po l . Ovo se jasno vidi kada je C ~r

§ 13.1

Hilbertov prostor i statistika

249

dijagonalna, zato {to svaki reziduum (12.9) u~estvuje u kvadratu ukupne duìne ~ r T C ~r−1 ~ r sa:

pi ~ ri 2 = ~ ri 2 σ i2 .

(13.1)

Prema tome, teìne p i obrnuto su proporcionalne varijansama σ i2 . Kao {to je to poznato iz osnova statistike, ovo je zaista slu~aj sa statisti~kim teìnama. S druge strane, poznato je da su eksperimentalne statisti~ke teìne p i opaànja koja pripadaju jednom uzorku opaànja, jednake njihovim eksperimentalnim verovatno}ama pri (vidi podpoglavlje 3.4). Po{to u oblasti diskretne statistike postoji ova jednakost eksperimentalnih teìna i eksperimentalnih verovatno}a, opravdano je verovati da takva jednakost izme|u odgovaraju}ih veli~ina postoji i u oblasti kontinualne statistike, na osnovu ~ega onda sledi da su 1 σ i2 u (1), pa ~ak i dijagonalna matrica C ~r−1 ustvari mere verovatno}e. Uop{tenje na nedijagonalnu matricu C ~r−1 onda sledi prirodno, ~ime zavr{avamo ovaj heuristi~ki dokaz. Iskoristimo sada ovaj dokaz da ispitamo statisti~ku prirodu re{enja preodre|enog modela metodom najmanjih kvadrata. Statisti~ka veza izme|u prostora F i X osigurana je kroz upotrebu kovarijacione matrice C ~r . Transformacija (jeda~ina (11.1)): (~r , C ~r ) → ( xˆ, C xˆ ) , (13.2) osigurava da statisti~ka informacija C ~r u F , a koja ina~e poti~e iz prostora opaànja L kao C l = C r , bude transformisana u prostor re{enja X pomo}u prostora modela F . Metri~ki tenzor C xˆ−1 postaje na taj na~in mera verovatno}e u prostoru X . Ostale kovarijacione matrice izvedene u podpoglavlju 12.3 mogu se statisti~ki interpretirati na sli~an na~in. Da bi dalje ilustrovali vezu izme|u kovarijacione matrice i verovatno}e, pogledajmo vezu izme|u standardne devijacije i verovatno}e. Ako su date pomenute kovarijacione matrice, pa prema tome i varijanse pojedinih elemenata, {ta to zna~i re}i da na primer merna veli~ina ima vrednost l sa standardnom devijacijom σ l ?

ˆ Obi~no se pod ovim podrazumeva da o~ekivana vrednost lˆ leì negde u intervalu [ l − σ l , l + σ l ], {to se skra}eno pi{e kao l ± σ l . Koliko je ta~na ova tvrdnja? Po{to se merenja ne mogu izvesti bez gre{aka, potpuna sigurnost ne moè nikad biti postignuta. Da bi se kompenzovala uvek prisutna nesigurnost, ~ini se poku{aj da se

250


§ 13.1

odredi verovatno}a sa kojom je tvrdnja lˆˆ ∈ (l ± σ l ) ta~na. Ali, kako se ta verovatno}a odre|uje i kako se dalje koristi? Ako se takva verovatno}a moè pridruìti iskazu koji sadrì opaànja, da li je to mogu}e uraditi i za nepoznate parametre? Za odgovor na ova dva pitanja koristi se rezidualni vektor r tj. stohasti~ki deo opaànja, i to na isti na~in na koji se r koristi za izvo|enje matrice C l . Bez posledica po op{tost, moè se pretpostaviti da se serija podataka l (τ i ), i = 1, … , N , sastoji od serije konstanti ( t (τ i ) = const. ) i serije reziduuma ( r (τ i ) ). Osim toga,

pretpostavlja se jo{ i da su reziduumi me|usobno nezavisni tj. da je r (τ ) = v(τ ) . U tom slu~aju moè se nacrtati histogram odnosno poligon opaànja l (τ i ), i = 1, … , N , koji pokazuje raspodelu eksperimentalnih verovatno}a (slika 1).

Pod odre|enim uslovima, i za neke merne veli~ne, moè se izvesti veliki broj ponovljenih merenja, {to onda dozvoljava konstrukciju histograma ve}e rezolucije. Me|utim, tako brojna merenja izvode se samo za potrebe kalibracije instrumenata, jer u rutinskim geodetskim radovima jednostavno nije ekonomski isplativo prikupljati mno{tvo podataka samo radi konstrukcije boljeg histograma. Pa ~ak i u takvim slu~ajevima, histogram predstavlja samo geometrijsku predstavu numeri~ke diskretne funkcije, i nije pogodan za analiti~ki tretman. Mnogo je pogodnije raditi sa kompaktnom idealizacijom diskretnog elementa, zbog ~ega se konstrui{e glatka kriva koja aproksimira histogram odnosno poligon. Pretpostavka koja opravdava ovu aproksimaciju je da postoji beskona~na populacija sa glatkim histogramom, u

SLIKA 13.1. Poligon i histogram.

§ 13.1


251

kojoj na{ih N opaànja predstavljaju samo uzorak. Ovo je osnovni postulat matemati~ke statistike. Po{to histogram oslikava raspodelu eksperimentalnih verovatno}a, prirodno je ovo zna~enje primeniti i na glatku krivu, i posmatrati je kao zadatu funkciju gustine verovatno}e (vidi podpoglavlje 3.4). Uz upotrebu funkcije gustine verovatno}e, odgovor na ranije postavljeno pitanje ( pr (l − σ l < lˆˆ < l + σ l ) = ? ) glasi (vidi sliku 2): l +σ l

ˆ pr ⎛⎜ l − σ l < lˆ < l + σ l ⎞⎟ = φ l (ξ ) dξ , ⎝ ⎠ l −σ

∫

(11.3)

l

gde se sada σ l2 interpretira kao varijansa funkcije gustine verovatno}e (vidi podpoglavlje 3.4). Krajnji cilj, tj. pisanje iskaza verovatno}e (3) za nepoznate parametre jo{ ne moèmo dosti}i, ve} moramo sa~ekati do podpoglavlja 13.5. Razlog je {to se statisti~ke ideje koje smo do sada razvili moraju jo{ pro{iriti i formalizovati, jer su komponente vektora x zajedno povezane sa svim opaànjima, odnosno celim vektorom opaànja l . Prilikom pretpostavljanja funkcije gustine verovatno}e koja aproksimira histogram opaànja l , moraju biti poznati i njen oblik φ l i vrednosti njenih parametara. Poznavanje oblika i parametara koji se u ovom kontekstu nazivaju parametrima populacije θ i , i = 1, 2, … , mora biti obezbe|eno iz spolja{njih nezavisnih izvora. Ta~nije, uvek mora biti poznat oblik φ l , a ako nema nikakve druge osnove za pretpostavke o parametrima, tada se njihove vrednosti mogu oceniti iz uzoraka.

SLIKA 13.2. Histogram i funkcija gustine verovatno}e.

252

§ 13.1


Da bismo pokazali kako se to radi, ograni~imo se na dvoparametarsku funkciju gustine verovatno}e, i pretpostavimo dalje da je θ 1 = µ i θ 2 = σ 2 (vidi podpoglavlje 3.4). [to je u praksi manje parametara, to bolje, i redukcija dva parametra na sredinu i varijansu gotovo da uvek moè biti postignuta. Onda je izjava ″poznato θ 1 ″ ekvivalentna izjedna~avanju o~ekivane vrednosti veli~ine l sa µ = θ (l ) , i sli~no tome ″poznato θ ″ zna~i σ 2 = θ (l ) .

lˆˆ merne

U slu~aju 2 ( ) ( ) l l nepoznatih θ i , funkcija gustine verovatno}e je oblika φ l (ξ ; θˆ1 , θˆ 2 ) , gde je θˆ1(l ) = l i θˆ 2(l ) = s l2 (vidi podpoglavlje 3.4). Naravno, mogu}e su kombinacije oba slu~aja, npr. φ l (ξ ; θ 1(l ) , θˆ 2(l ) ) . l

1

2

l

Upotreba poznatih ili ocenjenih vrednosti parametara ne zna~i automatski da funkcija gustine verovatno}e opisuje adekvatno stvarnost predstavljenu histogramom. Onda se prirodno postavlja pitanje koliko se moè verovati vrednosti b

verovatno}e pr = φ l (ξ ; θ 1(l ) , θ 2(l ) ) dξ ? Neke od gre{aka koje se mogu napraviti

∫ a

ilustrovane su na slikama 3 i 4. O~igledno je da postavljena funkcija gustine verovatno}e nije konzistentna sa histogramom, pa kori{}enje φ (ξ ; θ (l ) , θ (l ) ) u l

1

2

ra~unanju verovatno}e moè voditi neta~nim zaklju~cima o statisti~kom pona{anju opaànja. Kada se φ l (ξ ; θ 1(l ) = θˆ1(l ) , θ 2(l ) ) postavi korektno u odnosu na θ 1(l ) , tada se ona smatra nepomerenom u odnosu na θ 1 . U literaturi se obi~no kaè da je θˆ1 nepomerena ocena od θ 1 , jer je E(θ 1 ) = θˆ1 [HAMILTON, 1967]. Ekvivalentnost ova dva pristupa je o~igledna kada se razvije izraz za o~ekivanje ∞

∫

E(θ 1 ) = ξφ (ξ ; θˆ1 , θ 2 ) dξ = θˆ1 (vidi podpoglavlje 3.4). Sli~no tome, funkcija −∞

gustine verovatno}e je nepomerena u odnosu na θ 2 ako se φ l (ξ ; θ 1(l ) , θˆ 2(l ) ) postavi korektno. Ako ocene nisu nepomerene, onda se zovu pomerenim. Primetimo, na primer, da ako se φ l (ξ ; lˆ , σ l2 ) postavi kao funkcija gustine verovatno}e opaànja

l , onda je ona nepomerena jer je lˆˆ = lˆ . Statisti~ko testiranje u {irem smislu predstavlja na~in da se otkrije da li je neka situacija u skladu sa osnovnim postulatom. Na jednodimenzionalne i vi{edimenzionalne situacije moè se primeniti niz razli~itih testova. Oni zavise od toga da li se testira oblik funkcije gustine verovatno}e, parametri populacije ili i jedno i drugo.

§ 13.1


253

SLIKA 13.3. Primeri nekorektnog izbora oblika φl (ξ ) .

U poglavlju 12 izvedene su ocene ( lˆ , rˆ i xˆ ) o~ekivanih vrednosti mernih veli~ina, reziduuma i nepoznatih parametara, kao i kovarijacione matrice ( C lˆ , C rˆ i C xˆ ) koje karakteri{u ta~nost ovih ocenjenih veli~ina. Ako posmatramo parove (lˆ , C lˆ ) ,

(rˆ , C rˆ ) i ( xˆ , C xˆ ) , jasno je da svaki par predstavlja ocenu dva parametra vi{edimenzionalne populacije ( θ1 , θ 2 ), koji se koriste u vi{edimenzionalnim ˆ 1(l ) , θˆ (2l ) ), φ r (ξ; θˆ 1(r ) , θˆ (2r ) ) i φ x (ξ; θˆ 1( x ) , θˆ (2x ) ) . funkcijama gustine verovatno}e φ l (ξ; θ

(l ) (l )

SLIKA 13.4. Primeri nekorektnog izbora θ 1 , θ 2 .

254


§ 13.2

Instruktivno je zavr{iti ovo podpoglavlje slede}im svojstvima re{enja preodre|enih modela metodom najmanjih kvadrata, koja su dali HAMILTON [1967] i GRAYBILL [1976]: (a) Ocena po metodi najmanjih kvadrata xˆ (12.11) veli~ine xˆˆ je jedinstvena, ako je N (12.23) nesingularno. (b) xˆ je nepomerena ocena o~ekivane vrednosti xˆˆ veli~ine x , ako je E(r ) = 0 (formula (10.42)). (c) xˆ je ocena o~ekivane vrednosti od x sa najmanjom varijansom u smislu da je trag od C xˆ (12.36) minimalan. (d) xˆ je najverodostojnija ocena o~ekivane vrednosti x ako su reziduumi r normalno raspore|eni. (e) rˆ (12.37) je nepomerena ocena o~ekivane vrednosti rˆˆ veli~ine r . (f) σˆ 02 (12.51) je nepomerena ocena o~ekivane vrednosti od σ 02 , ~ime su i Cˆ xˆ (12.55), Cˆ rˆ (12.56) i Cˆ lˆ (12.57) tako|e ocene o~ekivanih C xˆ , C rˆ i C lˆ . Ovo vaì samo pod uslovom da je matrica teìna u jedna~ini (11.37) inverzna kovarijacionoj matrici opaànja, tj. P = C l−1 . To je ustvari razlog na{eg ranijeg izbora u podpoglavlju 11.4, kojeg smo tek sada mogli objasniti.

13.2. Statisti~ko testiranje Zadatak statisti~kog testiranja je da odgovori na slede}a pitanja: (a) Da li je pretpostavljena korektna funkcija gustine verovatno}e za eksperiment (uzorak); (b) Koliko se moè imati poverenja u ocenjene vrednosti parametara populacije; (c) Da li je ocenjena vrednost parametara populacije konzistentna sa apriori poznatom vredno{}u tog parametra, ako takva vrednost postoji. Pre nego {to pre|emo na dalju diskusiju potrebno je uvesti nekoliko definicija. Statistika je specijalna slu~ajna promenljiva koja je funkcija jedne ili vi{e drugih slu~ajnih promenljivih (vidi podpoglavlje 3.4), i ona ne zavisi ni od kakvog nepoznatog parametra populacije. Ovde }e statistike biti funkcije populacionih parametara funkcije verovatno}e koja pripada mernim vrednostima ili parametrima. Funkcija gustine verovatno}e statistike y izvodi se iz funkcije gustine verovatno}e veli~ine npr. l pomo}u slede}eg izraza [HAMILTON, 1967]:

§ 13.2

Statisti~ko testiranje

(

)

φ y ξ ; θ1( y ) , θ 2( y ) = det J φl (ξ ; θ1l , θ 2l )

255

,

(13.4)

gde je J Jakobijan matrica transformacije (vidi podpoglavlje 3.1), i to iz prostora verovatno}e L koji sadrì l u prostor verovatno}e Y koji sadrì y , a φ l je pretpostavljena funkcija gustine verovatno}e od l . Identi~na veza postoji i za vi{edimenzionalni slu~aj (vidi podpoglavlje 13.4). Statisti~ka hipoteza je kvantitativna tvrdnja o pretpostavljenoj funkciji gustine verovatno}e i njenim parametrima. Ako je u hipotezi pretpostavljena kompletna funkcija gustine verovatno}e, tada je re~ o prostoj statisti~koj hipotezi [HOGG AND CRAIG, 1970]. Ako to nije slu~aj, govori se o sloènoj statisti~koj hipotezi. Ako su za ο

ο

parametre populacije θ 1 , θ 2 pretpostavljene konkretne vrednosti θ 1 , θ 2 onda je to nulta hipoteza H 0 . Nulta hipoteza moè biti restriktivna tj. da pretpostavlja samo jedan populacioni parametar, ili op{ta, kada pretpostavlja konkretne vrednosti za sve populacione parametre. Za svaku nultu hipotezu postoji beskona~no mnogo alternativnih hipoteza, od kojih svaka tvrdi da populacioni parametri imaju neke druge vrednosti. Naravno i alternativna hipoteza moè biti prosta ili sloèna. U ovoj knjizi }emo, me|utim, koristiti samo proste hipoteze. Svaka hipoteza H ima pridruènu statistiku y . Funkcija gustine verovatno}e takve statistike ozna~ava}e ( ) ( ) se sa φ y / H , ili sa φ y (ξ ; θ 1 y , θ 2 y ) , ili prosto sa φ y . Svaka statisti~ka hipoteza moè se testirati. Test statisti~ke hipoteze H 0 je algoritam koji vodi ka statisti~koj odluci o vaènju H 0 . Potpuno slaganje izme|u diskretnog i kompaktnog pristupa, a samim tim i kona~na odluka o H 0 , moè se posti}i samo na osnovu beskona~no velikog uzorka, koji naravno nikad nije na raspolaganju. Prema tome, odluci baziranoj na kona~nom uzorku moè se verovati samo u odre|enoj meri. To zna~i da je takva odluka samo od ograni~enog poverenja. Postoje dva mogu}a rezultata testa, i to prihvatanje H 0 ili odbacivanje H 0 . Sli~no tome postoje i dva mogu}a rezultata istog testa za alternativnu hipotezu H 1 . Po{to ni jedna hipoteza ne mora biti ta~na, test bi barem morao pokazati koja je od njih bolja. Sinteza cele ove situacije prikazana je u tabeli 1. Verovatno}a α odbacivanja H 0 kada je H 0 ta~no, ~ime se pravi takozvana gre{ka prve vrste, zove se nivo zna~ajnosti. Vrednost α koja se bira pre testiranja mora leàti u intervalu od 0 do 1, i treba da bude {to manja. Ipak, kada su u pitanju kona~ni uzorci, ne postoji H 0 koje je prihvatljivo za α = 0 , tj. bez ikakvog rizika. U geodeziji se obi~no biraju

256

§ 13.2


vrednosti 0.01 i 0.05. Komplemetarna verovatno}a 1 − α zove se nivo poverenja i predstavlja meru poverenja u donetu odluku. O~igledno je da se kad se izabere α , 1 − α dobija automatski. Na slici 5 je prikazana veza izme|u ove dve verovatno}e, i uloga funkcije gustine verovatno}e statistike y kori{}ene u testiranju H 0 . Primetimo da je ξ y , 1−α = ξ φ y , 1−α vrednost apscise koja je fiksirana izborom vrednosti za α . Ako je H 0 prosta hipoteza, tada se za dve povr{ine ispod krive φ y / H 0 = φ y (ξ ; θ 1( y ) , θ 2( y ) ) moè napisati:

pr ( y > ξ y , 1−α ) =

∞

φ (ξ ; θ ( ) , θ ( ) ) dξ = α , ∫ ξ y

1

y

2

y

(13.5)

y , 1−α

i:

pr ( y < ξ

ξ y , 1−α

( ) ( ) , θ ) dξ = 1 − α . α ) = ∫ φ (ξ ; θ

y , 1−

y

1

y

2

y

−∞

Ispitajmo sada situaciju u kojoj je H 1 istinito, ili drugim re~ima kada je H 0 neta~no. Ponovo postoje mogu}nosti prihvatanja

H 0 ili odbacivanja H 0 .

Verovatno}a β prihvatanja H 0 kada je ona pogre{na, ~ime se pravi takozvana gre{ka druge vrste, povezana je sa mo}i testa 1 − β u o~igledno komplementarnom obliku. Iz istog razloga kao ranije, β treba da bude {to manje. Vrednost za β moè biti sra~unata samo ako je postavljena alternativna prosta hipoteza H 1 sa potpuno pretpostavljenom funkcijom gustine verovatno}e njene statistike y1 , tj. φ y1 / H1 = φ y1 (ξ ; θ 1( y1 ) , θ 2( y1 ) ) . Obi~no funkcija gustine verovatno}e za y1 ima isti oblik kao ona za y , a od nje se tipi~no razlikuje u vrednostima parametara θ 1 , θ 2 . Da bi bila korisna, alternativna hipoteza H 1 mora biti razumno postavljena, tako da su obe alternative mogu}e. To zna~i da H 1 treba da bude zna~ajno, ali ne

SLIKA 13.5. Nivo zna~ajnosti ( α ) i nivo poverenja ( 1 − α ).

§ 13.2


257

TABELA 13.1 Testiranje nulte hipoteze H 0 protiv alternativne hipoteze H1 Odluka Situacija H 0 je ta~no

H 0 nije ta~no

( H1 je ta~no)

Po testu se H 0 prihvata

Po testu se H 0 odbacuje

Ispravna odluka: pr = 1 − α (nivo poverenja) Gre{ka druge vrste: pr = β

Gre{ka prve vrste: pr = α (nivo zna~ajnosti) Ispravna odluka: pr = 1 − β (mo} testa)

nelogi~no razli~ita od H 0 . Slika 6 prikazuje H 1 koja u odre|enoj meri preklapa

H 0 ako se gledaju njihove funkcije gustina verovatno}a. Jedna~ina za povr{inu β moè se napisati kao:

pr ( y < ξ y , 1−α ) =

ξ y , 1−α

( ∫ φ (ξ ; θ y1

1

y1 )

)

, θ 2( y1 ) dξ = β .

(13.6)

−∞

Ako se sada vratimo vezi izme|u α i β , primeti}emo da se smanjenjem α pove}ava β , i obrnuto, pa je prema tome njihov izbor rezultat kompromisa. O~igledno je da i H 0 i H 1 moraju biti proste hipoteze da bi to bilo omogu}eno. Najmo}niji test je onaj test koji koristi alternativnu hipotezu H i koja od svih ostalih ima najmanju gre{ku druge vrste ( β ) za isti nivo zna~ajnosti α . Na slici 7 je jasno da je od dve prikazane alternativne hipoteze H 1 , H 2 , bolji test koji koristi H 1 nego test koji koristi H 2 , jer je za izabrano α odnosno ξ y , 1−α , β 1 < β 2 . Matemati~ki ekvivalentna alternativa statisti~kom testiranju je koncept podru~ja poverenja [WONNACOTT AND WONNACOTT, 1972]. On se u geodeziji vi{e koristi od statisti~kog testiranja, jer je retko mogu}e postaviti dve jasno razdvojene alternativne hipoteze po{to je stvarno stanje obi~no negde izme|u njih. Da bismo

SLIKA 13.6. Veza izme|u gre{aka prve i druge vrste.

258

§ 13.2


SLIKA 13.7. Najmo}niji test. ο

objasnili ovaj koncept, formuli{imo prostu nultu hipotezu H 0 : θ 1(l ) = θ 1 , i ο

θ 2(l ) = θ 2 . Za testiranje ove hipoteze potrebno je formirati statistiku:

(

)

y = y φ l ; θ 1(l ) , θ 2(l ) ,

(13.7)

( ) ( ) sa funkcijom gustine verovatno}e φ y (ξ ; θ 1 y , θ 2 y ) . O~igledno je da za svaku ο

ο

ο

θ 1 , θ 2 postoji odgovaraju}a vrednost za y . Ozna~imo vrednost

vrednost ο

y (φ l ; θ 1 , θ 2 ) sa ξ 0 . Sada se moè izvesti verovatno}a 1 − α c da je H 0 ta~no. Ona, kao {to smo videli, iznosi: ∞

∫ (

)

pr ( y > ξ 0 ) = φ y ξ ; θ1( y ) , θ 2( y ) dξ = α c .

(13.8)

ξ0

ο

ο

Stvarna vrednost verovatno}e α c , koja je funkcija samo od θ 1 i θ 2 preko izabrane statistike y , zove se kriti~ni nivo zna~ajnosti. Komplement 1 − α c je kriti~ni nivo

poverenja. Ako je α c > α onda je H 0 prihvatljivo pri α nivou zna~ajnosti (vidi

sliku 8). Za α = α c prihvatljivost na nivou zna~ajnosti α je otvoreno pitanje, pa je odatle i pridev kriti~no. Naravno, ako je α c < α onda H 0 nije prihvatljivo sa nivoom zna~ajnosti α .

SLIKA 13.8. Kriti~ni nivo zna~ajnosti α c i nivo zna~ajnosti α (jednostrani)

§ 13.2


259

Do sada je pre}utno podrazumevano da je za procenjivanje vrednosti hipoteze H 0 va`na samo gornja (desna ) granica izabrane statistike y . Prema tome bavili smo se jednostranim vrednostima verovatno}e α . U praksi se tako|e sre}e op{tiji slu~aj u kome su va`ne i gornja i donja granica. Naravno, ako se hipoteza odnosi na pitanje ο

ο

(y) da li je vrednost θ 1 jednaka θ 1 , vrednosti manje od θ 1 su sa tog stanovi{ta ο

jednako nekorektne kao i one ve}e od θ 1 . Ova situacija predstavljena je na slici 9. Funkcija gustine verovatno}e od y koja se koristi, moè biti simetri~na (a), ili nesimetri~na (b), u zavisnosti od formulacije statistike. Shodno tome, govori se o

SLIKA 13.9. Dvostrani interval poverenja.

260

§ 13.3


dvostranim vrednostima verovatno}e, a odgovaraju}i iskaz verovatno}e glasi:

pr (ξ y , α / 2 < y < ξ y , 1−α / 2 ) = 1 − α ,

(13.9)

gde se normalno polovina zahtevane verovatno}e α uzima na desnoj strani, a polovina na levoj. Interval ξ y ,α / 2 , ξ y ,1−α / 2 zove se interval poverenja (i to

[

]

poverenja 1 − α ), ili kratko 1 − α -interval poverenja (vidi sliku 9(c)). Kriti~na vrednost α c tretira se na sli~an na~in, a to za dvostrani test zna~i da se yαc / 2 izjedna~ava sa ξ 0 da bi se tako dobila

1 2

α c . Onda se α c upore|uje sa α kao {to je

to obja{njeno za jednostrani test. Iskaz verovatno}e (9) defini{e odgovaraju}i 1 − α - interval poverenja:

ξ y , α / 2 < y < ξ y , 1−α / 2 .

(13.10)

Ako y 0 pada u ovaj interval, H 0 se odbacuje sa unapred propisanim nivoom poverenja 1 − α . Prednost pristupa intervalima poverenja nad testiranjem hipoteza ο

je {to se moè videti koliko ξ 0 kao funkcija pretpostavljenih θ i pada unutar ili izvan intervala. ο

Kada je hipoteza koja se testira H 0 : θ i = θ i za i = 1 , ili 2, ili oba odjednom, interval poverenja se obi~no moè formulisati tako da vaì za θ i a ne za y . Ovaj pristup se {iroko koristi u geodeziji kao {to }emo to pokazati u nastavku. 13.3. Ocena rezultata merenja jedne merne veli~ine Razlog zbog kojeg se vr{i procenjivanje opaànja je kontrola kvaliteta. Iz dobrih opaànja dobijaju se dobri rezultati, tj. vrednosti parametara u koje se moè imati poverenje, dok se iz lo{ih opaànja mogu dobiti samo lo{i rezultati. Naravno da ~ak ni dobra opaànja ne mogu dati dobre rezultate ako matemati~ki model nije korektno formulisan. Kao {to smo ve} videli (koraci (d) i (f) u podpoglavlju 10.1), opaànja se procenjuju u dva navrata. Prvi put se procenjuju nakon {to su prikupljeni i pregledani, a drugi put nakon njihovog uvo|enja u matemati~ki model. Shodno tome postoje dve grupe razli~itih, ali donekle povezanih testova. U ovom podpoglavlju obradi}emo testiranje samih opaànja, a u narednom njihovo procenjivanje u svetlu saglasnosti sa modelom.

§ 13.3

Ocena rezultata merenja jedne merne veli~ine

261

Po~nimo sa malo detaljnijim ispitivanjem reziduuma r . Oni su sastavljeni od dve komponente, v i s . Po{to jednodimenzionalna funkcija gustine verovatno}e sadrì samo jednu varijansu σ 2 a ne sadrì kovarijanse, statisti~ki zavisne s po definiciji ne mogu da se koriste u jednodimenzionalnoj shemi. Za njihovo procenjivanje neophodne su vi{edimenzionalne metode, kao {to }emo videti u podpoglavlju 13.4. U ovom podpoglavlju pretpostavi}emo da se l moè predstaviti kao l = t + r , gde je t = µ l = const. , a r = v . âk i u ovom pojednostavljenom slu~aju opaànja se mogu testirati na dva na~ina a da oba koriste jednodimenzionalne testove. Po prvom na~inu, serija l (τ i ) tretira se kao celina i ispituje se korektnost pretpostavljene funkcije gustine verovatno}e. Po drugom na~inu ispituje se da li je svaka opaàna vrednost pojedina~no saglasna sa ostalim. Za obe ove familije testova preporu~uje se kombinovanje objektivne statisti~ke procene sa subjektivno procenom, imaju}i u vidu informacije o merenim serijama kao {to su o~itavanja, vreme, uslovi pri opaànju, upotrebljeni instrumenti, operatori, itd. Testovi cele merne serije sumarno su prikazani u tabeli 2. Predstavljeno je ukupno {est situacija koje se u praksi naj~e{}e sre}u. One poti~u od toga da li su sredina populacije µ i varijansa populacije σ 2 poznati ili ne. Ako su nepoznati, ocenjuju se sredinom uzorka l i varijansom uzorka s 2 . Slede}i primeri mogu ilustrovati ove razlike: (a) poznato µ odgovara situaciji kada se meri poznata duìna; (b) poznato σ 2 odgovara situaciji kada se meri instrumentom poznate ta~nosti; (c) nepoznato µ odgovara situaciji kada se meri duìna koja nije poznata; (d) nepoznato σ 2 odgovara situaciji kada se meri instrumentom ~ija ta~nost nije poznata. Glavni cilj χ 2 testa saglasnosti (pod rednim brojevima 1 i 2), je testiranje saglasnosti histograma sa pretpostavljenom funkcijom gustine verovatno}e (obi~no normalnom). To je fundamentalni test jer su svi ostali testovi zasnovani na pretpostavci o normalnosti. Me|utim, sam test podjednako vaì i za ostale funkcije gustine verovatno}e. Test χ 2 varijanse (pod rednim brojevima 3 i 4) odre|uje da li je pretpostavljena populaciona varijansa ( σ 2 ) zaista saglasna sa vredno{}u s 2 ocenjenom iz uzorka. Ponekad se σ 2 moè posmatrati kao dizajn varijansa tj. varijansa opaànja koja je potrebna da se postigne odre|ena ta~nost parametara (korak (c) u podpoglavlju 10.1), a s 2 kao varijansa opaànja uzorka. Ako test pokaè da su σ 2 i s 2 nekompatibilni, onda se moè re}i da postoji dokaz koji sugeri{e da opaànja nisu

262


§ 13.3

§ 13.3


263

bila izvedena prema projektu i da je potrebna ponovna procena mernog procesa. Me|utim, ~ak i da test pro|e, σ 2 se koristi u daljem radu kao veli~ina koja karakteri{e ta~nost podataka. Drugim re~ima, ovaj test predstavlja jedan na~in kalibracije ta~nosti mernog procesa ili upotrebljenog instrumenta. Normalni i Studentov test sredine (pod rednim brojevima 5 i 6) sluè za ispitivanje srednje vrednosti serije podataka. Ovim testovima se proverava kompatibilnost µ sa l , odnosno utvr|uje ima li sistematskih gre{aka u opaànom uzorku. Testovi nabrojani u tabeli 2 ne}e pro}i iz jednog od slede}ih razloga: (a) nenormalnosti rasporeda histograma; (b) nekompatibilnosti s 2 sa σ 2 , ili l sa µ , ili i jednog i drugog; (c) prisustva sistematskih gre{aka u l ; (d) statisti~ke zavisnosti pojedinih l , tj. prisustva statisti~ki reziduuma s .

zavisnih

Osim testova nabrojanih u tabeli 2, postoje i drugi testovi koji se mogu upotrebiti za procenjivanje serija opaànja l (τ i ), i = 1, … , N . Za testove kojima se moè proveravati kompatibilnost dve ili vi{e serije opaànja iste merne veli~ine l j , zainteresovani ~italac se upu}uje na literaturu (npr. CROW WONNACOTT AND WONNACOTT [1972]).

ET AL.

[1960],

Usmerimo sada na{u pa`nju na pojedina opaànja l (τ i ) serije opaànja, kako bismo poku{ali da identifikujemo i odbacimo gruba opaànja, tj. ona opaànja koja se mogu smatrati statisti~ki nekompatibilnim sa ostalima. Ovu nekompatibilnost uzrokuje obi~no neka gruba gre{ka pri merenju ili iznenadni poreme}aj u funkcionisanju mernog sistema. Brojni autori su bili posve}eni diskusiji o odbacivanju grubih opaànja (npr. CHAUVENET [1871], WILLKE [1965], HAMILTON [1967], POPE [1976]), i mi }emo ovde predstaviti sintezu njihovih radova u vidu najdirektnijih testova za procenjivanje pojedinih opaànja. Svi testovi se baziraju na pretpostavci o normalnosti rasporeda, i prikazani su sumarno u tabeli 3. Zainteresovani ~italac upu}uje se na literaturu bogatiju drugim specijalizovanijim testovima (npr. QUESENBERRY AND DAVID [1961], DIXON [1962]). Ponovo se mogu pojaviti ~etiri zasebne situacije sli~ne poslednjim ~etiri iz tabele 2. Prakti~no govore}i, ove situacije mogu imati isto zna~enje kao i pre. U tabeli 3 podrazumevaju se definicije o~ekivanih i ocenjenih reziduuma. O~ekivani reziduumi vˆˆ i = l i − µ nalaze se u prve dve statistike, dok su ocenjeni reziduumi

264


§ 13.3

§ 13.3


265

vˆ i = l i − l u poslednje dve statistike. Instruktivno je napomenuti da su statistike ustvari standardizovani reziduumi (uloga standardizacije bi}e detaljno obja{njena u podpoglavlju 13.4). U svakom od nabrojanih slu~ajeva, imenilac je standardna devijacija reziduuma. U prva dva slu~aja ova ~injenica je o~igledna. Dokaz da je to istina i za tre}i i ~etvrti slu~aj, leì u kovarijacionoj matrici ocenjenih reziduuma, datoj sa (12.38). Pretpostavljaju}i radi jednostavnosti da je model eksplicitan po l , tj. B = − I , dobija se: C vˆ = C v − AC xˆ A T .

(13.11)

Uzimaju}i sada C v = σ 2 I , dizajn matricu A = [1,1, … ,1] i kovarijacionu matricu

C xˆ ocenjene nepoznate sredine l , zbog ~ega C xˆ postaje C l = σ 2 N , dobija se: ⎡( N − 1) N ⎢ −1 N C vˆ = σ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −1 N

−1 N

( N − 1)

N

−1 N

−1 N ⎤ ⎥ −1 N ⎥ . ⎥ ( N − 1) N ⎥⎦

(13.12)

O~igledno je da varijansa i -tog ocenjenog reziduuma iznosi ( N − 1) N σ 2 kao {to smo i tvrdili. Kada je σ 2 nepoznato kao u ~etvrtoj statistici tabele 3, varijansa i tog ocenjenog reziduuma iznosi ( N − 1) N s 2 . Jedna~ina (12) tako|e pokazuje da su ocenjeni reziduumi za razliku od o~ekivanih statisti~ki zavisni. Za sada ne}emo koristiti kovarijanse σ 2 N i s 2 N jer se odjednom ispituje samo po jedan reziduum. U ~etiri testa data u tabeli 3, svako l i je razmatrano zasebno izvan konteksta, dok je prisustvo ostalih elemenata serije namerno zanemarivano. To je razlog {to se ovi testovi nazivaju testovima izvan konteksta. Pojedini l i ili ri mogu se ispitivati i u kontekstu ~injenice da predstavljaju ~lanove serije, zbog ~ega }emo sada uvesti pojam testova u kontekstu. U tu svrhu pogodnije je raditi sa standardizovanim reziduumima tj. statistikama y iz tabele 3, nego sa samim reziduumima. Po{to je cilj utvr|ivanje granice ispod i iznad koje }e se standardizovani reziduumi odbacivati, potrebno ih je prvo sortirati u opadaju}i niz unutar serije. Iskaz verovatno}e koji odgovara ovoj situaciji glasi:

(

pr ξ y ,α 2 < y < ξ y ,1−α

2

)=1− a ,

(13.13)

266

§ 13.3


gde y predstavlja bilo koju statistiku iz tabele 3, a a ozna~ava novi nivo zna~ajnosti razli~it od α , kojim se uzima u obzir simultanost svih testiranih elemenata serije. Pogodan na~in za tretman ovog problema bio bi da se izvede nova funkcija gustine verovatno}e za svako y , a da se istovremeno koristi uobi~ajena vrednost nivoa zna~ajnosti α . Me|utim, to nije uvek mogu}e izvesti direktno (za izvo|enje jedne takve funkcije φ za vrstu 4 tabele 3, vidi STEFANSKY [1972]). Mi }emo ovde, umesto toga, slediti pristup THOMPSON [1935] i POPE [1976], koji se odnosi na op{tu situaciju koja vodi modifikaciji nivoa zna~ajnosti α . U pristupu van konteksta, nivo zna~ajnosti α povezan je sa verovatno}om da y bude u intervalu ξ y ,α 2 , ξ y ,1−α

2

preko jedna~ine (9). Po{to su sve funkcije gustine

verovatno}e iz tabele 3 simetri~ne, (9) se moè napisati i kao:

(

1 − α = pr y i < ξ y ,1−α gde je ξ y ,1−α

2

2

),

(13.14)

= −ξ y ,α 2 . Ono {to je potrebno uraditi ja da se svi y i posmatraju

zajedno, tj. da se posmatra verovatno}a da svi y i budu simultano u intervalu

ξ y ,α 2 , ξ y ,1−α 2 , ili eventualno, da verovatno}a nejednakosti

y i < ξ y ,1−α

2

vaì

za sve y i . Ozna~avaju}i ovu simultanu verovatno}u sa 1 − a , dobija se:

⎛N 1 − a = pr⎜⎜ ⎝ i =1

∩(y

i

< ξ y ,1−α

2

)⎞⎟⎟ .

(13.15)

⎠

Ako su y i statisti~ki nezavisni (vrste 1 i 2 tabele 3), onda vaì slede}a jednakost (vidi podpoglavlje 3.4):

⎛N pr⎜⎜ y i < ξ y ,1−α ⎝ i =1

∩(

)⎞⎟⎟ = ∏ pr( y N

2

⎠

i =1

i

< ξ y ,1−α

N

2

) = ∏ (1 − α ) = (1 − α )

N

i =1

(13.16) pa onda iz (15) sledi da je:

1 − a = (1 − α ) . N

(13.17)

§ 13.3


267

Moè se videti da je verovatno}a 1 − a da svi y i budu simultano u intervalu

ξ y ,α 2 , ξ y ,1−α 2 teorijski mnogo manja (za 1 − α < 1 ) za svaki y i uzet izolovano van konteksta. Shodno tome, ako se u pristupu u kontekstu koristi uobi~ajen nivo zna~ajnosti α , onda se mora koristiti manja vrednost nivoa zna~ajnosti za pojedine komponente. Iz (17) sledi da se za nivo poverenja 1 − a dobija odgovaraju}i nivo zna~ajnosti u kontekstu:

α =a N,

(13.18)

tako da se (15) moè sada napisati kao:

⎛N pr⎜⎜ y i < ξ y ,1−α (2 N ) ⎝ i =1

∩(

)⎞⎟⎟ = ∏ (1 − α N ) = 1 − α . N

⎠

(13.19)

i =1

Primetimo da pristup u kontekstu postavlja stroìje granice za α , jer i 1 − α i 1 − α (2 N ) moraju biti pozitivni. êtiri testa u kontekstu paralelno odgovaraju testovima van konteksta iz tabele 3. Na slici 10 prikazani su faktori razmere C 0.05 kojima je potrebno pomnoìti standardnu devijaciju s ili σ da bi se dobio odgovaraju}i 95% interval poverenja za testove van konteksta i testove u kontekstu. Jasno je da testovi u kontekstu koriste intervale poverenja koji su skoro dva puta ve}i nego kod testova van konteksta.

SLIKA 13.10. Faktori razmere C0.05 za intervale poverenja u otkrivanju grubih opaànja. (Brojne oznake odgovaraju vrstama tabele 3).

268

§ 13.4


Po{to poslednje dve statistike u tabeli 3 sadrè ocenjene reziduume koji nisu me|usobno nezavisni, za njih jedna~ina (15) strogo gledano ne vaì. Korelacija (vidi podpoglavlja 3.4) izme|u bilo koja dva ocenjena reziduuma je sre}om mala jer (vidi (12)):

ρ=

−1 N

((N − 1) N ) ((N − 1) N ) 12

12

=−

1 . N −1

(13.20)

U svakom slu~aju, po{to je korelacija negativna, upotreba Bonferonijeve nejednakosti (npr. MILLER [1966], FELLER [1968]):

⎛N pr⎜⎜ y i < ξ y ,1−α (2 N ) ⎝ i =1

∩(

)⎞⎟⎟ ≥ 1 − ∑ α N

⎠

N =1−α ,

(13.21)

i =1

utvr|uje da je simultana verovatno}a ocenjenih reziduuma barem onolika kolika je za o~ekivane reziduume, pa testovi gre{e takore}i u korist na{e pa`nje. U op{tem slu~aju Bonferonijeva nejednakost moè se koristiti kad god se pojavi potreba procene gre{ke koja se ~ini ako se zanemari statisti~ka zavisnost. 13.4. Simultano procenjivanje opaànja i matemati~kih modela Do sada smo odjednom ispitivali samo jednu vrstu matrica opaànja (10.16). Me|utim, nema razloga da se nekoliko, ili svi elementi vektora opaànja ne

analiziraju simultano. Simultana analiza svih elemenata vektora l = [l1 , l 2 , ..., l n ] naziva se vi{edimenzionalnom analizom. Analiza podskupa od j elemenata ( j < n ) ponekad se naziva vi{edimenzionalnom analizom podskupa. Cilj vi{edimenzionalne analize je da odredi koliko je jedna kolekcija opaànja saglasna sa matemati~kim modelom (korak (f) u podpoglavlju 10.1). Za po~etak T

posmatrajmo samo dva opaànja l = [l1 , l 2 ] sa vi{edimenzionalnom normalnom funkcijom gustine verovatno}e [HOGG AND CRAIG, 1970]: T

(

)

φ l ξ 1 , ξ 2 ; θ 1(l1 ) , θ 2(l1 ) , θ 1(l2 ) , θ 2(l2 ) = n (ξ ; µ1 , µ 2 , σ 1 , σ 2 , σ 12 ) =

1

(

2πσ 1σ 2 1 − ρ 2

)

1/ 2

⎧ 1 ⎪ exp ⎨− 2 ⎪⎩ 2 1 − ρ

(

)

⎡⎛ ξ − µ ⎞ 2 1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ σ ⎢⎝ 1 ⎠ ⎣

⎛ ξ − µ1 ⎞⎛ ξ 2 − µ 2 ⎟⎟⎜⎜ − 2 ρ ⎜⎜ 1 ⎝ σ 1 ⎠⎝ σ 2

⎞ ⎛ ξ2 − µ2 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ σ2

(13.22)

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎫⎪ ⎥⎬ , ⎥⎪ ⎦⎭

§ 13.4

Simultano procenjivanje opaànja i matemati~kih modela

269

gde µ1 i µ 2 predstavljaju pretpostavljene sredine dve merne veli~ine sa pridruènim varijansama σ 12 , σ 22 i koeficijentom korelacije ρ . Uz oznake:

⎡µ ⎤ µ = ⎢ 1⎥, ⎣µ2 ⎦

⎡ σ 2 σ 12 ⎤ C=⎢ 1 , 2⎥ ⎣σ 21 σ 2 ⎦

(13.23)

dvodimenzionalna normalna funkcija gustine verovatno}e postaje:

φ l (ξ ) = n (ξ ; µ, C ) =

1 ⎡ 1 ⎤ T exp ⎢ − (ξ − µ ) C −1 (ξ − µ )⎥ , K ⎣ 2 ⎦

(13.24)

gde je (vidi podpoglavlje 3.1):

(

K = 2πσ 1σ 2 1 − ρ 2

)

1/ 2

(

2 = 2π σ 12σ 22 − σ 12

)

1/ 2

= 2π (det C )

1/ 2

,

i gde µ ozna~ava dvodimenzionalnu populacionu sredinu ( E(l ) = µ ), a C je dvodimenzionalna kovarijaciona matrica. Izraz za funkciju gustine verovatno}e napisan je tako da se moè odmah uop{titi za bilo koji broj mernih veli~ina n , smatraju}i prosto ξ , µ i C n -dimenzionalnim veli~inama. U tom slu~aju konstanta K postaje K = (2π ) n / 2 (det C )1 / 2 [HAMILTON, 1967]. Razmotrimo sada svet eksperimenta. MNK re{enje (poglavlje 12) obezbe|uje samo ocene lˆ o~ekivanih vrednosti lˆˆ u smislu metode najmanjih kvadrata. To zna~i da se rezidualni vektor r u funkciji gustine verovatno}e mora zameniti sa ocenom rˆ , a isto vaì i za kovarijacionu matricu C i sredinu µ . Prema tome, umesto da se radi

sa

normalnom

gustinom

n( ξ ; µ l , C l )

ili

{to

je

isto

sa

n(ξ ; µl − µ = 0, C l ) = n( ξ ; µ r = 0, C r ) , jedini mogu}i izbor je da se opaànja karakteri{u MNK reziduumima rˆ , i njihovom kovarijacionom matricom C rˆ . Na taj na~in dobijamo:

φ lˆ (ξ ) = n(ξ , µ lˆ , C lˆ ) ,

(13.25)

ili ekvivalentno:

φ rˆ (ξ ) = n(ξ , µ l −lˆ = 0, C l − lˆ ) .

(13.26)

270


§ 13.4

Odatle sledi:

φ rˆ (ξ ) =

1 ⎡ 1 ⎤ exp ⎢− ξ T C rˆ−1 ξ ⎥ , ˆ K ⎣ 2 ⎦

(13.27)

gde je: n/2 1/ 2 Kˆ = (2π ) (det C rˆ ) .

(13.28)

Primetimo da u slu~aju da je σ 02 nepoznato mora da se koristi σˆ 02 , pa se i C rˆ mora zameniti sa Cˆ rˆ (vidi formulu (12.56)). Potrebno je ista}i da gornja funkcija gustine verovatno}e nema nikakvog smisla jer je C rˆ uvek singularno. To je razlog {to se u praksi zanemaruju vandijagonalni ~lanovi matrice C rˆ (ili Cˆ rˆ ) kada se barata sa φ lˆ . Ovaj aspekt ispita}emo bliè malo kasnije. Sada }e pomo}i bliì uvid u vektor rˆ i upore|enje njegove φ rˆ sa jednodimenzionalnom funkcijom gustine verovatno}e. Pre svega, kao i u podpoglavlju 13.3, moè se pretpostaviti da je svaki ~lan rî vektora rˆ slu~ajna promenljiva, i da u rˆ nema sistematskih efekata. Drugo, ~lanovi rî su korelisani bez obzira na to da li su originalna opaànja li bila statisti~ki zavisna ili ne. Ova korelacija poti~e od upotrebe matemati~kog modela. Istu smo situaciju imali u prethodnom podpoglavlju u kojem su ocenjeni reziduumi vˆ i bili korelisani zbog matemati~kog modela. Va`no je shvatiti da kad se govori o MNK rezidualnom vektoru rˆ , da se ustvari govori o opaànjima u matemati~kom modelu. Stoga je pona{anje vektora rˆ indikacija pona{anja i l i f . U op{tem slu~aju nije ih mogu}e razdvojiti. Ovo je ustvari obja{njenje naslova ovog podpoglavlja. Interesantno je da je kvadratna forma u φ rˆ prosto norma odnosno duìna od 0 , upotrebljena u kontekstu metode najmanjih kvadrata (podpoglavlje 12.1). Kada se izjedna~i sa konstantom, o ovoj kvadratnoj formi se moè razmi{ljati i kao o hiperelipsoidu u n dimenzija (podpoglavlje 3.1). Ovo va`no svojstvo upotrebi}emo u narednom podpoglavlju. Dalje, µ je u op{tem slu~aju nepoznato osim u slu~aju kada se za µ o~ekuje da bude nula vektor. Stoga }e se komentari koje ovde predstavljamo ograni~avati na slu~aj nepoznatog µ .

§ 13.4


271

Ponekad je pogodnije u vi{edimenzionalnim testovima koristiti neke druge veli~ine umesto reziduuma. Ako je na primer mogu}e odrediti koliko se ta~no opaànja ne uklapaju u model, tj. ako je mogu}e izra~unati vektor nezatvaranja w ′ u smislu (10.6) odnosno w ′ = g ( l ) , tada su ova nezatvaranja naro~ito pogodna za upotrebu u procenjivanju opaànja. âk i ako se w ′ ne moè izra~unati za ceo vektor l , moè biti mogu}e izra~unati ga za podvektore od l . Mora se napomenuti da nezatvaranja w koja su rezultat linearizacije (12.3) predstavljaju sasvim razli~itu vrstu. Ona ne mogu da se upotrebe za testiranje jer im vrednosti zavise od proizvoljno izabranih ta~aka razvoja x (0 ) , l (0 ) . Vi{edimenzionalni testovi padaju u dve kategorije. Prva kategorija odnosi se na testove pretpostavljene funkcije gustine verovatno}e i zbog toga koristi sve elemente vektora rˆ ili w ′ (vidi tabelu 4). Druga kategorija ti~e se otkrivanja grubih opaànja i bi}e tretirana kasnije. Kada se formuli{e vi{edimenzionalni test, prvi problem je {to se za svako rî (ili wi′ ) mora pretpostaviti da pripada razli~itoj populaciji. U tom kontekstu ima smisla govoriti o funkciji gustine verovatno}e svakog rî (ili wi′ ), jer su oni komponente vektora rˆ (ili w ′ ), i prema tome predstavljaju slu~ajne jednodimenzionalne promenljive. Me|utim, uvek se mora pri tome imati na umu razlika izme|u ovog slu~aja i slu~aja iz podpoglavlja 13.3 gde su ri bili individualne vrednosti serija. Vektor rˆ (ili w ′ ) ima prema tome u op{tem slu~aju statisti~ki nehomogene elemente. Dokaz za to moè se na}i u kovarijacionoj matrici C rˆ (ili C w′ ) ~iji su dijagonalni elementi u op{tem slu~aju razli~iti. Ovaj problem se prevazilazi tako {to se komponente homogenizuju standardizacijom. Po{to se za sve komponente pretpostavlja da pripadaju populacijama sa razli~itim normalnim ( t ili τ ) rasporedom, standardizacija je direktno mogu}a. Ona se izvodi dobro poznatom transformacijom [HOGG AND CRAIG, 1970]:

~ li − µ i li = ,

σi

(13.29)

koja je shematski prikazana na slici 11. A po{to, kao {to je ranije konstatovano, nisu poznate ni sredine µ i ni standardne devijacije σ i , transformacija ima oblik:

l − lˆ rˆ ~ ri = i i = i ,

σ l −lˆ i

i

σ rî

(13.30)

272


§ 13.4

gde je σ rî kvadratni koren i -tog dijagonalnog elementa matrice C rˆ , i E(rî ) = 0 , a kovarijanse se zanemaruju. Nezatvaranja se transformi{u na sli~an na~in, naime ~ ′ ) je ~ ′ = w′ / σ w i E( wi′ ) = 0 . Gustina verovatno}e svakog ri (ili w i i wi′ i

standardizovana normalna gustina, tj. n (ξ ; 0, 1) .

U dosada{njem razmatranju podrazumevano je da je faktor razmere σ 02 kovarijacione matrice C rˆ (ili C w′ ) poznat, tj. da su sve varijanse pravilno urazmerene. Ako je σ 02 nepoznato i zameni se sa σˆ 02 situacija se menja. Standardizovani reziduumi:

rˆ ~ ri = i , σˆ rî

(13.31)

imaju sada τ funkciju gustine verovatno}e sa ν stepeni slobode koji su jednaki redundanci m − u u jedna~ini (12.51) upotrebljenoj za ra~unanje σˆ 02 . Kada se po shemi istaknutoj na slici 11 objedine sve individualne τ promenljive, dobija se nova τ funkcija sa istim brojem stepeni slobode. Standardizovana nezatvaranja

~ ′ = wi′ w i σˆ wi′

(13.32)

imaju Studentovu t funkciju gustine verovatno}e sa ν stepeni slobode. To je zbog toga {to je µ i = 0 poznato. Kod Studentove t funkcije neophodno je da razmera ( σˆ 02 ) standardnih devijacija σˆ w′i bude odre|ena iz nekog izvora nezavisnog od w′ .

Kada se pojedina nezatvaranja objedine, dobija se nova t funkcija sa istim brojem stepeni slobode. Mora se ista}i da je pri pomenutim transformacijama vi{edimenzionalnih u jednodimenzionalne probleme, statisti~ka zavisnost (kovarijanse) izme|u pojedinih rî (ili wi′ ) prosto zanemarivana. Kao alternativa moè se C rˆ (ili C w′ )

dijagonalizovati , (vidi podpoglavlje 3.1), transformisati rˆ (ili w ′ ) u tako dobijeni prostor sopstvenih vektora da bi se dobilo m − u nezavisnih promenljivih, a zatim sa njima dalje raditi. Zbog kompleksnosti i neekonomi~nosti ovaj postupak se vrlo retko primenjuje. Umesto njega koristi se pristup pomo}u Bonferonijeve nejednakosti (21).

§ 13.4


273

274


§ 13.4

SLIKA 13.11. Redukcija vi{edimenzionalne u jednodimenzionalnu funkciju gustine verovatno}e.

~ ) standardizovanih na opisani na~in (prvi r (ili w Test χ 2 saglasnosti reziduuma ~ test u tabeli 4), identi~an je jednodimenzionalnom slu~aju (tabela 2). Drugi test koji se moè formulisati je test kvadratne forme nezatvaranja. Pojavljuju se dva razli~ita slu~aja ( vrste 3 i 4 tabele 4). Za poznato σ 02 vaì χ 2 statistika, a za nepoznato vaì F statistika. Interesantno je da kada je σ 02 poznato, odgovaraju}i test se moè sprovesti za bilo koji podskup od w′ pre nego {to se dobije kompletno re{enje po

najmanjim kvadratima. To o~igledno nije mogu}e kada je σ 02 nepoznato. Test kvadratne forme reziduuma (vrsta 5 tabele 4) korisna je za testiranje pretpostavljene vrednosti za σ 02 u (12.42). Validnost ove hipoteze moè se testirati jer se zna da statistika y = νσˆ 02 σ 02 ima χ 2 (ξ ; ν ) funkciju gustine verovatno}e.

Test je poznat i kao χ 2 test varijanse.

Testovi ne prolaze iz jednog od slede}ih razloga:

§ 13.4

(a) (b) (c) (d)


275

nenormalnost rasporeda r (ili w′ ), nekorektnost matemati~kog modela, prisustvo sistematskih gre{aka u opaànjima, nekorektna apriori kovarijaciona matrica opaànja.

Poslednji razlog intenzivno su istraìvali MAGNESS AND MCGUIRE [1962]. Vi{edimenzionalni test kvadratne forme reziduuma, uklju~uju}i drugu nezavisnu ocenu od σ 02 , moè se na}i u HAMILTON [1967]. Vratimo se sada drugoj kategoriji vi{edimenzionalnih testova (tabela 5), posve}enih otkrivanju grubih gre{aka u komponentama vektora r i w ′ . Postoje dva mogu}a testa za reziduume r (vrsta 1 i 2) i dva za nezatvaranja w ′ (vrste 3 i 4 tabele 5), u zavisnosti od toga da li je σ 02 poznato ili nepoznato. Testovi su potpuno analogni jednodimenzionalnim testovima tabele 3. Primetimo da kad se testiraju van konteksta pojedine komponente ri (ili wi′ ), kovarijanse ne moraju da se razmatraju, ali je zato neophodno poznavanje ocenjenih vrednosti. One se naravno preuzimaju iz Cˆ rˆ (ili Cˆ w ′ ). POPE [1976] je istraìvao op{ta svojstva matrice Cˆ rˆ , i pokazao da aproksimacija standardne devijacije σˆ rˆ moè da se dobije a da Cˆ rˆ ~ak nije ni na raspolaganju. On je za model eksplicitan po l (10.8) dobio:

⎛ n − u⎞ σˆ rî = ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠

1/ 2

σˆ 0 σr σ0

i

.

(13.33)

Analogna jedna~ina moè se dobiti i za druge matemati~ke modele. Da bi se komponente vektora rˆ (ili w ′ ) procenile u kontekstu celog vektora moramo se podsetiti rezultata dobijenih u podpoglavlju 13.3. Jednostavno, u tabeli 5 se α svuda zamenjuje sa a = α / n gde je n broj komponenti vektora rˆ (ili w ′ ). U ovakvim testovima se ponovo zanemaruju kovarijanse izme|u komponenti od rˆ (ili w ′ ). Dobro je znati da su apsolutne vrednosti kovarijansi izme|u MNK reziduuma vˆ veoma male, kao {to je to pokazano na jednostavnom primeru jednodimenzionalne situacije (20). Me|utim, kada se radi o statisti~ki zavisnom rezidualnom vektoru s (vidi podpoglavlje 10.4), problem zanemarivanja kovarijansi moè biti mnogo ozbiljniji jer moè postojati statisti~ka zavisnost izme|u komponenti dok jo{ nije ni zapo~eto sa izravnanjem. U tom slu~aju kovarijaciona matrica vektora sˆ treba da se dijagonalizuje, ili da se upotrebi Bonferonijeva nejednakost.

276


§ 13.4

§ 13.5

Procenjivanje odre|enih parametara

277

13.5. Procenjivanje odre|enih parametara Nakon {to su opaànja proverena i matemati~ki model ispitan, na redu je procenjivanje parametara x (ili ekvivalentno λ ) odre|enih kroz proces najmanjih kvadrata (korak (g) u podpoglavlju 10.1). Procenjivanje se sastoji u uspostavljanju podru~ja poverenja za parametre, koji predstavljaju stepen poverenja u ocenjene vrednosti vektora x (ili λ ). Ispitivanje saglasnosti nezavisnih odre|ivanja istih nepoznatih parametara tako|e moè biti deo procesa procenjivanja. Krajnji cilj postavljen u podpoglavlju 13.1 bio je da se nesigurnosti u xˆ izraze pomo}u verovatno}e, jer verovatno}a obezbe|uje direktnu meru poverenja koje se moè imati u rezultate. Shodno tome, mi }emo sada razmatrati vi{edimenzionalnu funkciju gustine verovatno}e parametara, jer ona opisuje gustinu verovatno}e u u dimenzionalnom prostoru. Za funkciju gustine verovatno}e opaànja bilo je pretpostavljeno da je vi{edimenzionalna normalna, i data je sa (25). Po{to su parametri x linearne kombinacije opaànja l (slika 12.1), to se i oni mogu smatrati stohasti~kim veli~inama, i zna se da je njihova funkcija gustine verovatno}e tako|e vi{edimenzionalna normalna [HAMILTON, 1967]. Prema tome (uporedi sa (24)):

φ x (ξ ) = n(ξ ; µ x , C x ) =

1 ⎡ 1 ⎤ T exp ⎢− (ξ − µ x ) C x−1 (ξ − µ x )⎥ , (13.34) K ⎣ 2 ⎦

gde je:

K = (2π )

u/2

(det C x )1 / 2 .

U gornjem izrazu, µ x je vektor o~ekivanih vrednosti parametara, a C x je o~ekivana kovarijaciona matrica parametara. U stvarnosti mogu se dobiti jedino ocene xˆ za µ x i C xˆ (ili Cˆ xˆ ) za C x . Zbog toga se funkcija verovatno}e mora postaviti kao :

φ x (ξ ) = n(ξ ; xˆ , C xˆ ) =

1 ⎡ 1 ⎤ T exp ⎢ − (ξ − xˆ ) C xˆ−1 (ξ − xˆ )⎥ , ˆ 2 K ⎣ ⎦

gde je: u/ 2 1/ 2 Kˆ = (2π ) (det C xˆ ) .

(13.35)

278

§ 13.5


Traèna mera poverenja u xˆ dobija se onda pomo}u u -dimenzionalne integracije po okolini od xˆ , na potpuno isti na~in kao za jednodimenzionalni slu~aj (podpoglavlje 13.1). Dva testa koja }emo pokazati predstavljaju prakti~nu alternativu merenju stepena poverenja u xˆ . Oni se odnose na slu~ajeve poznatog ili nepoznatog σ 02 . (a) Posmatrajmo prvi slu~aj kada je σ 02 poznato, tj. kada je C l poznato pa se moè dobiti C xˆ . Onda je statistika koja se moè upotrebiti:

y = ( x − xˆ ) C xˆ−1 ( x − xˆ ) . T

(13.36)

Ako su x i xˆ normalno raspore|eni, funkcija gustine verovatno}e statistike y je

χ 2 (ξ ; u ) [GRAYBILL, 1976]. Za odre|enu vrednost nivoa zna~ajnosti α dobija se odre|ena vrednost za y koju }emo ovde ozna~avati sa ξ y , 1−α . Zamena ove vrednosti u (36) pretvara jedna~inu u jedna~inu u -dimenzionalnog hiperelipsoida {to smo ve} napomenuli u prethodnom podpoglavlju. Ovaj hiperelipsoid se moè razumeti kao u -dimenzionalno podru~je poverenja centrirano u xˆ . Bilo koja testirana vrednost x koja pada unutar hiperelipsoida mora se dakle smatrati kompatibilnom sa xˆ na nivou verovatno}e 1 − α . Koncept hiperelipsoida bi}e intenzivno kori{}en u delu IV. (b) Slu~aj nepoznatog σ 02 najbolje se testira uz pomo} slede}e statistike: T T x − xˆ ) C x−ˆ 1 ( x − xˆ ) u x − xˆ ) Cˆ x−ˆ 1 ( x − xˆ ) ( ( y= = u [(m − u )σˆ 02 σ 02 ] (m − u )

.

(13.37)

Ona ima F (ξ ; u , v) funkciju gustine verovatno}e [HOGG AND CRAIG, 1970]. Ova statistika se na isti na~in moè upotrebiti i za proveru kompatibilnosti pretpostavljenih vrednosti za x sa vrednostima xˆ . Oba testa su stroga, jer na~in formulisanja statistike uzima u obzir sve varijanse i kovarijanse. Do te{ko}a me|utim dolazi onda, kada se zasebno ispituju podvektori odre|enih parametara, {to se ~esto ~ini u praksi. Da bismo istraìli ovu situaciju koncentri{imo se na slu~aj (a) jer je drugi slu~aj analogan, i napi{imo kvadratnu formu (36) kao ∆ x T C xˆ−1 ∆ x . Ozna~avaju}i podvektor od xˆ indeksom k , a njegovu

§ 13.5

Procenjivanje odre|enih parametara

279

odgovaraju}u kvadratnu formu sa ∆ x kT C x−ˆ 1 ∆ x k , gde je C x−ˆ 1 odgovaraju}a k

podmatrica matrice

C x−ˆ 1 ,

k

iskaz verovatno}e za takav podvektor glasi:

(

)

pr ∆ x kT C xˆ−k1 ∆ x k ≤ ξ y , 1−α = 1 − α ,

(13.38)

gde se ξ y , 1−α odre|uje iz χ 2 (ξ ; q) u kojem je q < u i jednako dim ( xˆ k ) . Simultana verovatno}a kvadratne forme svih N zasebnih podvektora je manja shodno argumentima iznetim u podpoglavlju 13.4, pa Bonferonijeva nejednakost glasi: N ⎛N ⎞ pr ⎜ ∩ ∆ xkTCˆx−k1 ∆ xk ≤ ξ y , 1−α ⎟ ≥ 1 − ∑α = 1 − Nα . k =1 ⎝ k =1 ⎠

(

)

(13.39)

Ona pokazuje da ako se za testiranje podvektora u kontekstu kompletnog re{enja zahteva verovatno}a 1 − α , tada intervali poverenja pojedinih podvektora moraju da se pove}aju u svetlu promene sa ξ y , 1−α na ξ y , 1−α / N . Jasno je da ovo ograni~ava izbor za α jer i 1 − α i 1 − Nα moraju biti pozitivni. Veoma je instruktivno bliè ispitati nejednakost (39). Ako se posmatra poseban slu~aj za q = 1 , tj. slu~aj podvektora koji se sastoje od po jednog ~lana vektora x (ili λ ), i ako je N = u , iskaz simultane verovatno}e moè se napisati kao:

⎛ u ⎞ pr ⎜ ∩ ∆ xk2 σ ˆx2k ≤ ξ y , 1−α / u ⎟ ≥ 1 − α , ⎝ k =1 ⎠

(

)

ili

⎛ u ⎞ pr ⎜ ∩ ∆ xk σ ˆxk ≤ ξ y , 1−α / u ⎟ ≥ 1 − α , ⎝ k =1 ⎠

(

)

(13.40)

gde y ima χ 2 (ξ , 1) funkciju gustine verovatno}e. Moè se videti da kvadratni koren apscisne vrednosti, tj.

ξ y , 1−α / u = C α (u)

predstavlja faktor razmere kojim

je potrebno pomnoìti standardni interval poverenja npr.

xˆ k − σ xˆ k , xˆ k + σ xˆ k

da bi se dobio 1 − α interval poverenja u kontekstu:

x k − xˆ k ≤ C α (u ) σ xˆ k .

(13.41)

280


§ 13.5

SLIKA 13.12. Faktori razmere C0.05 za interval poverenja rezultata. • ozna~ava poznato σ 02 , __ ozna~ava nepoznato σ 02 , vrednosti za u ozna~ene na krivama.

Na slici 12 prikazani su faktori razmere C 0.05 za q = 1 i razli~ite vrednosti za u , kao funkcije stepeni slobode izravnanja v = m − u . Vidi se da sa porastom broja stepeni slobode v , vrednosti za Cα bazirane na F rasporedu ( σ 02 nepoznato), teè odgovaraju}im vrednostima baziranim na χ 2 rasporedu ( σ 02 poznato). Interesantno je uporediti ovu sliku sa slikom 10. Na slici 12, kriva za u = 1 ta~no odgovara krivoj van konteksta ozna~enoj sa 2 na slici 10.

POGLAVLJE 14

FORMULISANJE I RE[AVANJE PROBLEMA

Ovo poglavlje bavi se tipovima problema koji se naj~e{}e sre}u u geodeziji. U uvodnom podpoglavlju razmatran je problem geodetskog projektovanja, tj. dobijanja èljenih rezultata uz minimalnu ta~nost opaànja. Dekompozicija merne veli~ine (10.41) izabrana je kao najprirodniji kriterijum za klasifikaciju preostalih standardnih problema. Prisustvo ili odsustvo pojedinih ~lanova u dekompoziciji odre|uje razli~ite modele koji su pogodni za re{avanje odgovaraju}ih problema. Postoji 16 mogu}ih slu~ajeva od kojih 15 ima smisla. Slu~aj l = 0 nema smisla. Od 15 slu~ajeva, tri situacije u kojima je v = s = 0 ne}emo razmatrati jer one o~igledno odgovaraju slu~ajevima sa konzistentnim jedna~inama. Takvi modeli ve} su obra|eni u podpoglavlju 11.2. Dalje, slu~ajevi statisti~ki nezavisnog ( l = v ) i statisti~ki zavisnog {uma ( l = s ) ne predstavljaju zasebne probleme. Jedina logi~na pitanja koja bi se za ove slu~ajeve mogla postaviti odnose se na statisti~ke aspekte uzoraka v i s . Po{to su ove situacije bile detaljno obra|ene u poglavljima 10 i 13, ovde }e biti izostavljene. Preostalih 10 slu~ajeva nabrojano je u tabeli 1. U op{tem slu~aju prisustvo ~lana Φ T λ ozna~ava regresioni problem koji }e zajedno sa jo{ nekim srodnim problemima biti obra|en u drugom podpoglavlju ovog poglavlja. Prisustvo ~lana Hx (ili Ax ) odgovara problemu izravnanja koji predstavlja temu tre}eg podpoglavlja. Istovremeno prisustvo v i s u modelu, izdvaja podklasu problema sa dve slu~ajne komponente, koja je tako|e obra|ena u tre}em podpoglavlju. Preostali deo ovog poglavlja bavi se te{ko}ama u formulisanju i re{avanju problema. êtvrto podpoglavlje posve}eno je te{ko}ama koje se javljaju pri kori{}enju apriornih subjektivnih ili objektivnih informacija o nepoznatim parametrima. U petom podpoglavlju dotaknuti su problemi sa ograni~enjima i singularitetima. Poslednje podpoglavlje posve}eno je metodama odre|ivanja nepoznatih parametara kada se ne raspolaè odjednom svim opaànjima, ili kada se nepoznati parametri menjaju sa vremenom.

281

282

§ 14.1


TABELA 14.1 Standardni problemi (1 ozna~ava prisustvo ~lana, 0 ozna~ava odsustvo ~lana)

Prosta regresija Regresija

Hx 0 0

Dvokomponentna regresija Prosto izravnanje Izravnanje Dvokomponentno izravnanje Prosto izravnanje i regresija Izravnanje i regresija Dvokomponentna regresija i izravnanje Dekompozicija slu~ajnih serija

0 1 1 1 1 1 1 0

Naziv

ΦT λ 1 1

1 0 0 0 1 1 1 0

s 0 1

v 1 0

1 0 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

Podpoglavlja 14.2

14.3

14.1. Projektovanje optimalne ta~nosti Glavni cilj projektovanja optimalne ta~nosti odnosno prethodne analize, je specifikacija neophodne i dovoljne ta~nosti predloènog skupa mernih veli~ina ako je zadata èljena ta~nost nepoznatih parametara (korak (c) u podpoglavlju 10.1). Prethodna analiza se naravno izvodi pre bilo kakvih merenja. Koristi od prethodne analize su o~igledne, i nije ih potrebno posebno isticati. Postoje tri posebna slu~aja op{teg problema prethodne analize: (a) U slu~aju koji se zove problem dizajna prvog reda, date su kovarijacione matrice C xˆ , C l , a potrebno je odrediti dizajn matricu G (vidi (10.4)), ili A , ili A, B (vidi (10.11)). (b) U slu~aju koji se zove problem dizajna drugog reda, date su C xˆ i G (ili A , ili A, B ), a potrebno je odrediti kovarijacionu matricu opaànja C l . (c) U slu~aju koji se zove problem kombinovanog dizajna, dato je C xˆ , a potrebno je odrediti i dizajn matricu i kovarijacionu matricu opaànja. U su{tini postoje dva pristupa za re{avanje ovih dizajn problema. Prvi je direktni, a drugi se naziva metodom probe i pogre{ke. Na{a diskusija direktnog pristupa bi}e ograni~ena na slu~aj (b). Bilo koje re{enje ostala dva problema zahteva posebne matemati~ke metode, tj. linearno i kvadratno programiranje, za koje smatramo da su izvan okvira ove knjige. Zainteresovani ~italac upu}uje se na literaturu (npr. GRAFAREND AND HARLAND [1973], GRAFAREND [1974], i CROSS AND THAPA [1979]). S druge strane metod probe i pogre{ke moè da se koristi za re{avanje sva tri slu~aja.

§ 14.1

Projektovanje optimalne ta~nosti

283

Po~nimo sa direktnom metodom re{avanja kovarijacione matrice opaànja. Radi jednostavnosti posmatra}emo model eksplicitan po l (10.9). Po{to je w konstantno, kovarijacioni zakon daje izraz:

C lˆ = HC xˆ H T ,

(14.1)

iz kojeg se moè izra~unati kovarijaciona matrica opaànja. U vezi C lˆ moramo ista}i napomenu koja se u literaturi ~esto ignori{e. Strogo govore}i, to je kovarijaciona matrica izravnatih opaànja datih sa (12.41). Izvo|enje merenja sa ovom ta~no{}u bio bi suvi{e strog zahtev, jer su kovarijanse opaànja koja se izvode na terenu ne{to ve}e. Uz (12.41) i (12.38), i sa B = − I , moèmo napisati:

C l − C l LC l = HC xˆ H T ,

(14.2)

{to je jedna~ina drugog stepena po C l . Po{to je ~lan drugog stepena mnogo manji od linearnog, jedna~ina bi mogla iterativno da se re{i po C l , ali se to obi~no ne radi. Interesantna su svojstva tako izvedene kovarijacione matrice C ~l . Ona je puna,

kvadratna, simetri~na i singularna za n > u . Poslednje svojstvo poti~e od ~injenice da se u -dimenzionalni prostor parametara pro{iruje u n -dimenzionalni prostor opaànja posredstvom matrice H . Za matricu teìna izravnatih opaànja se, uz pomo} pseudo inverzije iz podpoglavlja 11.3, moè dobiti:

(

Plˆ = C lˆ+ = HC xˆ H T

) = (H ) +

T +

C xˆ−1 H + .

(14.3)

BOSSLER ET AL. [1973], koji je do ovog izraza do{ao drugim putem, pokazao je tako|e da u op{tem slu~aju ne postoji nikakva inverzija koja bi dala dijagonalnu, pozitivno definitnu matricu teìna Plˆ . Pod odre|enim uslovima ipak se moè dobiti pribli`no re{enje za dijagonalno Plˆ . Mi }emo ovde pokazati metod koji je skicirao GRAFAREND [1974], a razradio STEEVES [1978]. Prvo napi{imo jedna~inu za kovarijacionu matricu parametara (12.36) na slede}i na~in:

(

C xˆ = N −1 = H T Pl H

)

−1

.

(14.4)

284


§ 14.1

Iz nje je mogu}e napisati r nezavisnih linearnih jedna~ina za elemente Pkl matrice P: n

n

∑ ∑h hki

k =1

tj Pkt

− nij = 0 ; i, j = 1,..., u; i ≤ j ,

(14.5)

t =1

u funkciji elemenata hkj dizajn matrice i elemenata nij matrice N = C xˆ−1 . Ozna~avaju}i vektor od r = 12 u (u + 1) elemenata gornjeg trouglastog dela matrice

~ ~ N sa N , vektor od q ≤ r nepoznatih elemenata matrice Pl sa P , i odgovaraju}u ( r , q ) matricu sastavljenu od proizvoda koeficijenata hij sa E , dobija se

[MIKHAIL, 1976]:

(

~ P = ETE

)

−1

~ ETN .

(14.6)

Primetimo da se ovim postupkom dobija direktno inverzija kovarijacione matrice opaànja. Na taj na~in je problem sa inverzijom kovarijacione matrice izravnatih opaànja eliminisan. Ostaju me|utim te{ko}e u realnom pretpostavljanju kovarijansi u matrici C xˆ . Nije na primer dovoljno jednostavno predvideti dijagonalnu C xˆ matricu. Na ovom polju potrebno je jo{ istraìvanja. U postupku probom i pogre{kom, istovremeno ili zasebno se probaju razli~ite dizajn matrice ili kovarijacione matrice, ili i jedne i druge ( H , C l ), dok se ne dobije zadovoljavaju}e re{enje za C xˆ . Radi ilustracije pogledajmo problem dizajna drugog reda u kojem su C xˆ i H date, a traì se C l . Prvo se izabere odgovaraju}e C (0 ) , a C (0 ) se izra~una iz (12.36). Ovaj postupak se ponavlja ( t − 1 ) puta sve dok l

xˆ

() () se sa zahtevanom C l t ne postigne C xˆt koje je dovoljno blisko unapred datom.

Jasno je da se H moè menjati istovremeno sa C l ako se radi o kombinovanom dizajn problemu. Me|utim, te{ko je posti}i konvergenciju iteracija ka najboljem re{enju, jer nema objektivnih kriterijuma koji bi se postavili. Oru|e kojim se ovi problemi mogu prevazi}i predstavlja interaktivna kompjuterska grafika [NICKERSON ET AL., 1978]. Jasno je da rezultati dobijeni ovom metodom nisu strogo govore}i optimalni, mada su u praksi obi~no prihvatljivi.

§ 14.2

Analiza trenda

285

14.2. Analiza trenda Problem analize trenda pojavljuje se u ispitivanju serija podataka (podpoglavlje 10.3). Serija podataka moè biti skup ponovljenih opaànja l (τ i ) iste veli~ine u vremenu, ili skup opaànja raspore|enih u prostoru, pri ~emu je τ prostorna koordinata. Najva`nija karakteristika analize trenda je {to ona koristi odre|eni vremenski ili prostorni niz prikupljenih podataka. To zna~i da trend u matrici opaànja (vidi (10.16)) moè biti analiziran ili po vrstama tj. po l (τ ) , ili po kolonama tj. po vektoru l . Uobi~ajeno je da se prvo analizira trend po vrstama, a nakon uvo|enja u matemati~ki model i dobijanja re{enja da se analizira trend u npr. rezidualnom vektoru rˆ kako bi se otkrilo eventualno prisustvo sistematskih efekata. Prvi korak u ispitivanju pona{anja serije opaànja l (τ i ) je njena dekompozicija na trend komponentu t (τ i ) i rezidualnu komponentu r (τ i ) (slika 1). U op{tem slu~aju dekompozicija se moè izvesti samo ako je analiti~ki oblik trenda poznat, ili pretpostavljen. Pretpostavimo onda da je analiti~ki oblik od t poznat. Ovo zna~i da je poznato sistematsko pona{anje merne veli~ine u odnosu na koordinatu τ . Bez posledica po op{tost, model se onda moè napisati u linernom obliku (uop{teni polinom) (uporedi sa (10.17) i (10.19)):

t (τ i ) = l (τ i ) + r (τ i ) =

u

∑ λ φ (τ ) , j

j

i

(14.7)

j =1

gde je

[φ1,φ2,… ,φu ]

= φ T vektor funkcija od τ , a [λ1 , λ 2 , … , λu ] = λ T je

vektor konstantnih koeficijenata koje treba odrediti. Kada se posmatra N mernih veli~ina zajedno, l (τ i ) postaje l , i dobija se:

t = l + r = Φ T (T ) λ ,

(14.8)

pri ~emu se skalarni proizvod vr{i u u -dimenzionalnom prostoru i funkcija je od τ . Matrica Φ T (T ) je naravno Vandermondova matrica (vidi podpoglavlje 3.1).

~

~

Linearni oblik Φ T (τ i ) λ , gde je Φ(τ i ) i -ta kolona od Φ zove se obi~no aproksimant veli~ine t (τ i ) .

286


§ 14.2

SLIKA 14.1. Serija opaànja.

Primetimo da je Vandermondova matrica konstantna kada je prostor uzoraka T ≡ { τ 1 , τ 2 , … , τ N } dat i kada su funkcije φ i izabrane. Prema tome, ako se vektor koeficijenata posmatra kao specijalni slu~aj nepoznatih parametara x , a Vandermondova matrica kao specijalni slu~aj dizajn matrice H , tada se opaànja mogu napisati kao:

l = Hx − r , ili

r = Hx + w , w = − l .

(14.9) (14.10)

Ovo je model eksplicitan po l kojeg smo ranije ve} diskutovali. Po{to smo uspostavili vezu izme|u trend analize i modela, upoznajmo se prvo sa problemom interpolacije serije podataka. Ako je broj izabranih funkcija ( u ) jednak broju ta~aka uzoraka ( N ), onda je Vandermondova matrica kvadratna i mi smo u oblasti interpolacije. Ako su uz to funkcije φ linearno nezavisne u T , takve funkcije se obi~no nazivaju baznim funkcijama, a Vandermondova matrica je tada regularna, {to zna~i da njena inverzija postoji. U tom slu~aju, re{enje, odnosno vektor koeficijenata, dato je sa:

(

λ = Φ T (T

))−1 t .

(14.11)

Ovo re{enje je poznato kao interpolacija serije t = l + r . U literaturi postoji mno{tvo metoda za re{avanje gornje jedna~ine (vidi npr. DAVIS, [1963]). Interpolacija dakle reprodukuje t u ta~kama uzorka T , ali ni{ta ne govori o r . Moè se diskutovati o tome da li se ustvari interpolacijom dobija posebno re{enje za r , konkretno trivijalno re{enje r = 0 , i to bez obzira na svojstva vektora r . Me|utim ovakvo gledi{te je te{ko dokazati kada su l opaànja, a elementi vektora r se interpretiraju kao gre{ke ({um) u opaànjima za koje se o~ekuje da budu razli~ite od nule. Iz tog razloga interpolacija se retko upotrebljava u geodeziji.

§ 14.2

Analiza trenda

287

Ako je broj baznih funkcija ve}i od broja ta~aka uzoraka, tj. u > N , problem je neodre|en. On se moè svesti na interpolacioni problem uz pomo} tehnike opisane u podpoglavlju 11.3. Mnogo interesantniji je slu~aj kada je u < N . Ovaj problem naziva se problemom aproksimacije [DAVIS, 1963; DRAPER AND SMITH, 1967]. Mogu}nosti da se dobije jedinstveno λ ako je model (8) preodre|en, ve} su bile prodiskutovane u podpoglavlju 11.4. Kao {to je tamo pokazano, u zavisnosti od izabrane metrike prostora, moèmo imati uniformnu (êbi{evljevu) aproksimaciju, srednju kvadratnu aproksimaciju ili neku drugu. Osim ovih, postoje i dodatne mogu}nosti zasnovane na raznim konceptima. Pomenimo barem splajn aproksimaciju [AHLBERG ET AL., 1967], a mnoge ostale ideje mogu se na}i u literaturi (npr. DAVIS, [1963]; CHENEY [1966]). U mno{tvu postoje}ih tehnika, geodezija favorizuje aproksimaciju metodom najmanjih kvadrata, koju }emo ovde nazvati regresijom. Regresijom se dobija re{enje λˆ koje minimalizuje {um r u prostoru L koji ima srednjekvadratnu metriku. Metod najmanjih kvadrata ve} je detaljno obja{njen u poglavlju 12, i moè se ovde primeniti bez ikakvih izmena. Ako prostor opaànja L (obuhva}en sa l ) ima metriku C r−1 (dijagonalnu ili punu), onda C r−1 moè izraàvati ili èljeni stepen saglasnosti aproksimacije za razne vrednosti τ i , ili apriori poznat kvalitet opaànja l . Metod se naziva prostom regresijom ako je C r dijagonalno, ili samo regresijom ako nije (tabela 1). Ako znamo ili pretpostavljamo statisti~ka svojstva vektora v i s zajedno u vidu C v i C s , ulazimo u oblast dvokomponentne regresije koju }emo obraditi u podpoglavlju 14.3. Jednu od veoma va`nih tema ovde predstavlja srednja kvadratna regresija sa ortogonalnim bazama. U poglavlju 12 ve} je izveden sistem normalnih jedna~ina metode najmanjih kvadrata. Identi~ni sistem vaì i za λˆ :

(Φ(T )C

−1 r

Φ T (T

)) λˆ = Φ(T ) C r−1 l = − u .

(14.12)

U ovom kontekstu matrica normalnih jedna~ina zove se Gramova matrica. Ona se pi{e kao:

~ G = Φ(T ) C r−1 Φ T (T ) ,

(14.13)

i o~igledno je jednaka skalarnom proizvodu svih mogu}ih parova vektora baznih funkcionalnih vrednosti [φ i (τ 1 ), φ i (τ 2 ), … , φ i (τ N )] u prostoru sa metrikom C r−1 .

288


§ 14.2

Dijagonalni elementi su skalarni prizvodi baznih funkcija sa samim sobom, tj. jednaki su kvadratima intenziteta vektora funkcionalnih vrednosti. Ostavljamo ~itaocu da dokaè da su ovi elementi isto tako kvadrati normi odgovaraju}ih funkcija u smislu jedna~ine (11.9). O~igledno je da sistem me|usobno ortogonalnih baznih funkcija (vidi podpoglavlje 3.2), daje normalne jedna~ine dijagonalne forme, sa vandijagonalnim elementima koji su jednaki nuli. Osim toga, dijagonalni ~ elementi g ii u G su svi pozitivni. Prednost takvog sistema je {to jedna~ine nisu me|uzavisne, pa se mogu re{avati individualno. Prema tome, imamo:

λˆ i = − u i g ii , i = 1, … , u .

(14.14)

Svaki ortogonalni sistem je ortogonalan samo za poseban raspored ta~aka uzorka, i mnogi od njih mogu se na}i u ABRAMOWITZ AND STEGUN [1964]. Isto tako, bilo koji sistem baznih funkcija moè se transformisati u ortogonalni sistem nekim od brojnih ortogonalizacionih postupaka, od kojih je najpoznatiji Gram-[mitov metod (CHENEY, [1966]). Ortogonalni sistem funkcija za koje je Gramova matrica jedini~na, zove se ortonormalni. Svaka ortogonalna baza moè se transformisati u ortonormalnu, deljenjem funkcija φ i sa ( g ii )

12

= φi .

Kona~no, recimo nekoliko re~i o izboru baznih funkcija φ . Kao {to je pomenuto u podpoglavlju 10.4, bazne funkcije se biraju u skladu sa razumevanjem mernih veli~ina i njihove uloge u mernom procesu. U nekim slu~ajevima, bazne funkcije mogu biti numeri~ke funkcije dobijene merenjem nekih drugih prirodnih fenomena koji imaju uticaja na mernu veli~inu ili merni instrument. Takav primer nalazi se u podpoglavlju 19.1. U drugim slu~ajevima, izbor moè reflektovati pona{anje veli~ine l , koje predvi|aju zakoni fizike ili geometrije. Takav primer nalazi se u podpoglavlju 20.2. Ako ni jedan od pristupa nije mogu}, bazne funkcije se moraju prizvoljno usvojiti. Takav primer nalazi se u podpoglavlju 27.4. U kori{}enju srednje kvadratne regresije ~esto nismo u potpunosti sigurni da li je model, tj. izbor baznih funkcija opravdan. U takvom slu~aju mora se smatrati da reziduumi r (τ i ) ili r ne izraàvaju samo nesigurnosti vektora l kao {to smo do sada podrazumevali, ve} i nesigurnosti modela. Ekstremni slu~aj pojavljuje se kada serije l (τ i ) uop{te nisu rezultat merenja, i tada su r (τ i ) ~ista mera nesaglasnosti modela sa l (τ i ) . Prema tome, svako statisti~ko testiranje r mora se izvoditi imaju}i na umu pomenute ~injenice. Dalje, ~esto je poèljno testirati da li je odre|eni parametar λi statisti~ki zna~ajan, jer nije sigurno da φ i u modelu treba uop{te uzimati u obzir. Takvo testiranje moè se izvesti upotrebom (13.41) gde λˆ zamenjuje xˆ , a 0 zamenjuje

§ 14.2

Analiza trenda

289

x . Testom se onda ispituje da li je odre|eno λˆ zna~ajno razli~ito od nule da bi moglo da se uklju~i u model. Do sada se radilo o serijama podataka definisanim na skupu ta~aka τ i vremenskog ili prostornog uzorka. U nekim slu~ajevima potrebno je posmatrati jednu komponentu serije, obi~no trend ili statisti~ki zavisan {um s , u ta~kama koje nisu ta~ke uzorka T . Drugim re~ima, èlimo omogu}iti da se serija moè posmatrati kao diskretni uzorak funkcionalnih vrednosti koje pripadaju funkciji neprekidnog parametra τ , za koju su τ i , i = 1, … , N samo neke izabrane vrednosti. Pro{irenje va`nosti takvih serija na ta~ke koje nisu ta~ke uzorka zove se predikcija ili prognoza. Te druge ta~ke nazivaju se predikcionim ta~kama, i one ~ine region P koji moè a i ne mora da sadrì i ta~ke uzorka, tj. T moè a i ne mora da bude sadràno u P . Da bi komponenta serije mogla da se prognozira, ona mora biti signal, dakle veli~ina koja sadrì dovoljno korisnu informaciju da zasluùje da bude modelirana (podpoglavlje 10.3). Desna strana jedna~ine (8) moè posluìti kao primer prognoze t , ako je aproksimant definisan u domenu P tako da T ⊂ P . Drugi, sasvim razli~it primer bi}e dat u podpoglavlju 14.3. Druga operacija koja se moè izvr{iti nad serijom podataka je gla~anje, koja se defini{e kao operacija razdvajanja signala od {uma [GOLDMAN, 1953]. Po{to definicija signala i {uma zavisi od toga {ta }e se interpretirati kao korisni deo serije podataka a {ta ne, to ni pojam gla~anja nema jedinstveno zna~enje. Shodno tome, bilo koja vrsta aproksimacije moè se posmatrati i kao operacija gla~anja. Na primer, aproksimant Φ T (T ) λˆ moè da se smatra glatkim delom analizirane serije podataka. Filtriranje je operacija blisko vezana za gla~anje. Ono se ustvari i defini{e kao automatsko gla~anje [GOLDMAN, 1953], pa se kao pojam ~esto pogre{no koristi umesto pojma gla~anja. Op{ti izraz koji opisuje proces filtracije je:

l ′ = f (l ) ,

(14.15)

gde l ′ predstavlja ugla~anu seriju podataka, a funkcija f je poznata kao filter. Naj~e{}e upotrebljavani filter je linearni filter, u kojem je ugla~ana serija linearna funkcija originalne serije. Linearni filter se moè napisati kao:

l ′ = Fl ,

(14.16)

290


§ 14.2

gde je F prosto matrica. Srednja kvadratna regresija se na primer moè razumeti kao linearno filtriranje, ako se trend t posmatra kao ugla~ana verzija serije l . Zamenom za λˆ iz (12) u (8) dobija se:

~ l ′ = t = Φ T (T )G −1 Φ(T ) C r−1 l = Fl , gde F zavisi samo od T , C r i izbora funkcija

(14.17)

φ.

Linearni filteri mogu biti konvolutivni ili rekurzivni [GOLD AND RADER, 1969; OTNES AND ENOCHSON, 1972]. Konvolutivni filter radi tako da je svaka vrednost l ′(τ i ) data kao konvolucija od l sa drugim vektorom vrednosti, dakle kao linearna kombinacija vrednosti l . U slu~aju (16), linerna kombinacija je:

l ′(τ i ) =

N

∑ f l (τ ) . ij

j

(14.18)

j =1

Rekurzivne filtere karakteri{e slede}a jedna~ina [GODIN, 1972]:

l ′(τ i ) = F1 (F2 (… (Fk l ))) ,

(14.19)

koja izraàva vi{estruku primenu filtera Fi koji pri tome mogu a i na moraju biti isti. O~igledno je da se rekurzivni filteri mogu smatrati specijalnom vrstom konvolutivnih filtera, pri ~emu su konvolutivni filteri proizvod rekurzivnih filtera. Glavna primena filtera je u domenu oscilatornih fenomena, tj. u domenu fenomena ponavljaju}ih ili periodi~nih karakteristika. U mnogim primenama za {um koji se treba filtrirati moè se pretpostaviti da se oscilatorno pona{a, tj. da je sastavljen od jedne ili vi{e sinusnih krivih sa frekvencijama iz odre|enog frekventnog opsega. U takvim slu~ajevima mogu}e je konstruisati konvolutivni filter sekvencijalnog tipa, u kojem se svaka vrednost filtrirane serije l ′(τ i ) dobija kao linerna kombinacija dela originalne serije podataka l (τ i − k ), … , l (τ i + n ) . Da bi to bilo mogu}e, i originalna i filtrirana serija podataka moraju imati isti korak, tako da se ta~ke uzorka τ i mogu

izraziti kao τ i = τ 0 + i∆τ , i = 0, … , N , gde su τ 0 i ∆τ konstante. Onda se sekvencijalni filter moè napisati u obliku:

l ′(τ i ) =

m

∑f

j =−k

j + k +1

l (τ i + j ) , i = 0, … , N .

(14.20)

§ 14.2

Analiza trenda

291

Primetimo da elementi filtrirane serije l ′(τ 0 ), … , l ′(τ k −1 ), l ′(τ N − m +1 ), … , l ′(τ N ) nisu definisani, tako da gubimo k elemenata na po~etku i m elemenata na kraju. U matri~noj formi takav sekvencijalni filter moè se predstaviti kao:

(14.21) pri ~emu niz od k + m + 1 elemenata f j u ovoj matrici ostaje isti za sve vrste. U praksi se naro~ito koriste dve posebne vrste sekvencijalnih filtera, predikcioni i simetri~ni. Predikcioni filteri koriste samo prethodne vrednosti originalne serije l za dobijanje filtrirane serije l ′ , tako da je m ≤ 0 u (20). Ovim filterima ne gube se elementi na kraju serije. Primer takvog filtera za m = 0 glasi:

(14.22) Simetri~ni filteri definisani su tako da je m = k i f q = f − q za q = 1, … , k . Oni skra}uju filtriranu seriju za isti broj elemenata na oba kraja. Za linearni sekvencijalni filter kaè se da je normalizovan, ako je ispunjen uslov:

292

§ 14.2

FORMULISANJE I RE[AVANJE PROBLEMA m

∑f

j + k +1

=1.

(14.23)

j =−k

U slu~aju normalizovanih filtera, amplituda signala l ′ dobijenog iz originalne serije nije deformisana, {to je jedno zaista poèljno svojstvo. Primetimo da se normalizovani filter moè posmatrati i kao osrednjavanje originalne serije u intervalu i − k , i + m uz upotrebu proporcionalnih f j , zbog ~ega se upotreba ovih filtera ponekad naziva metodom pokretnih sredina. Na slici 2 prikazan je izgled prostog normalizovanog simetri~nog filtera definisanog kao:

l ′(τ i ) = 0.1l (τ i − 2 ) + 0.2l (τ i −1 ) + 0.4l (τ i ) + 0.2l (τ i +1 ) + 0.1l (τ i + 2 ) . (14.24) êsto je pogodno posmatrati filter kao crnu kutiju, sa originalnom serijom l kao ulazom, i ugla~anim signalom l ′ kao izlazom. Ovo je shematski prikazano na slici 3. U ovom kontekstu, l ′ se naziva odzivom filtera na originalnu seriju l [GOLDMAN, 1953]. êsto se govori i o fazi odziva filtera. Odziv o~igledno moè biti u fazi sa originalnom serijom, moè da ùri, ili da kasni za originalnom serijom. Nije te{ko uo~iti da jedino simetri~ni filteri ne proizvode faznu deformaciju. S druge strane, predikcioni filteri imaju ka{njenje faze, pa je njihov odziv fazno deformisan. Po{to je glavna upotreba filtera vezana za domen oscilatornih fenomena, va`no je znati koje se frekvencije mogu filtrirati upotrebom razli~itih filtera. Drugim re~ima, kakav je odziv filtera u frekventnom domenu? Odgovor na ovo pitanje i preporuke za konstrukciju filtera odgovaraju}ih frekventnih karakteristika, zahtevaju prethodno upoznavanje sa spektralnom analizom.

SLIKA 14.2. Izgled normalizovanog simetri~nog filtera.

SLIKA 14.3. Filter kao crna kutija.

§ 14.2

Analiza trenda

293

Pretpostavimo prvo da se trend serije t moè u celini ili delimi~no modelirati trigonometrijskim funkcijama razli~itih perioda (frekvencija) i amplituda. U tom slu~aju vaì: k

( ) ∑ (a cosω τ

tτj =

s

s

j

m

) ∑ λ φ (τ ) .

+ bs sinω sτ j +

s =1

s

s

(14.25)

j

s =1

O~igledno je da ako su frekvencije ω s , s = 1, … , k poznate, problem odre|ivanja t prelazi u problem odre|ivanja vektora koeficijenata

λ ′ = [a1 , b1 , … , a k , bk ; λ1 , λ 2 , … , λ m ] , T

gde

dim(λ ′) = u = 2k + m .

je

ozna~imo [cosω 1τ , sinω 1τ , … , cosω k τ , sinω k τ ; φ1 (τ ), … , φ m (τ )] sa (18) se dobija:

~ t (τ ) = Φ ′ T (τ ) λ ′ ,

Ako

φ ′ (τ ), T

iz

(14.26)

{to je opet problem linearne regresije kojeg smo ve} re{avali. Situacija se kompikuje ako frekvencije u (25) nisu unapred poznate. Po{to su frekvencije u (25) ugra|ene u trigonometrijske funkcije, to je nelinearni problem za koji u op{tem slu~aju ne postoji re{enje (podpoglavlje 11.1). Da bi se poku{alo re{enje moraju postojati dobre pribli`ne vrednosti za koje se zna ili pretpostavlja da su prisutne u signalu. Po{to to obi~no nije slu~aj, odre|ivanje nepoznatih frekvencija vr{i se spektralnom analizom, {to je pojam koji obuhvata ~itavu familiju metoda. Osnovna tehnika koja se koristi kao aproksimacija spektralne analize je harmonijska analiza (npr. ZYGMUND [1968]). Da bismo je bolje razumeli, pretpostavimo da postoji serija podataka l (τ j ) , opaàna istom ta~no{}u, koja se sastoji od trenda (signala) koji se moè izraziti u vidu trigonometrijskog polinoma:

( )

l τ j = a0 +

k

∑ (a cos sτ s

j

)

+ bs sin sτ j ,

(14.27)

s =1

gde je a 0 konstantni ~lan. Uz to, pretpostavimo da su opaànja uzeta u 2n ekvidistantnih ta~aka, tj.:

T ≡ {− π + (π n ) j; j = 1, … ,2n} .

(14.28)

294


§ 14.2

Ovo nije strog zahtev jer se bilo koji argument koji se sastoji od 2n ekvidistantnih ta~aka, npr. { τ ′j = c + ((d − c) 2n) j; j = 1, … ,2n }, moè redukovati na gornji jednostavnom linearnom transformacijom:

τj =

2π τ ′j − c − π , j = 1, … ,2n . d −c

(

)

(14.29)

Pokazano je (npr. LANCZOS [1957]), da na ovom domenu T , skup funkcija:

φ (τ ) ≡ {1,cos sτ , sin sτ ; s = 1,…,k < 12 ( n − 1)} ≡ {φ0 (τ ) ,φ1 (τ ) ,… ,φ2 k (τ )} ,

(14.30)

predstavlja ortogonalnu bazu za metriku jednaku jedini~noj matrici I . Prema tome, koeficijenti se u smislu metode najmanjih kvadrata:

{

}

λˆ ≡ aˆ 0 , aˆ s , bˆ s ; s = 1, … , k ,

(14.31)

mogu odrediti iz normalnih jedna~ina (12). Osim toga, zahvaljuju}i ortogonalnosti funkcija φ , normalne jedna~ine redukuju se na (14), pa o~igledno imamo da je:

us = −

2n

∑ l (τ )φ (τ ) , j

s

s = 0, … ,2k ,

j

(14.32)

j =1

i moè se dokazati da je:

⎧ 2 n, s = 0 , g ss = ⎨ ⎩ n, s > 0 .

(14.33)

Prema tome dobija se:

aˆ 0 = aˆ s =

1 2n 1 n

2n

∑( )

lτj =

j =1

1 2n

2n

∑ l (τ ) cos sτ j

j,

s = 0,

j =1

2n

∑ l (τ ) cos sτ

j,

j

(14.34)

j =1

s = 1, … , k

1 bˆ s = n

2n

∑ l (τ ) sin sτ j

j =1

j

§ 14.2

Analiza trenda

295

Iz trigonometrije je poznato da se za s -ti trigonometrijski ~lan u (27) moè napisati: a s cos sτ + bs sin sτ = As cos(sτ − ψ s ) , (14.35) gde je As amplituda ~lana, a ψ s njegova faza. Ovo je razlog za{to se trigonometrijski ~lan ~esto naziva talasom. Veza izme|u koeficijenata s jedne strane i amplitude i faze s druge strane moè se izvesti iz (35) i pomo}u formule za tangens polovine ugla kao:

As = a s2 + bs2 , ψ s = 2arctan [bs

( As + a s )] .

(14.36)

[to je ve}a amplituda, ve}e je u~e{}e talasa u opaànoj seriji. Prema tome, crte` moè sluìti kao indikator va`nosti pojedinih talasa. U pojedinim primenama, na crte` se nanosi ψ naspram s . Primetimo da se amplituda A nanosi naspram frekvencije s , tako da se to moè posmatrati i kao transformacija originalnih serija l (τ ) u novi, frekventni prostor. Eksplicitni izraz za transformaciju iz prostora obuhva}enog argumentom τ (geometrijskog ili vremenskog prostora) u frekventni prostor, dobija se kombinacijom (36) i (34):

ˆ (s ) A l

1 = n

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

2n

∑ l (τ ) j

j =1

2

⎞ ⎛ cos sτ j ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

2n

∑ l (τ ) j

j =1

2

⎞ sin sτ j ⎟ , s = 0, … , k . ⎟ ⎠ (14.37)

Rezultat takve transformacije u frekventni prostor, zove se Furijeov spektar veli~ine l. U prirodi se me|utim ne moè o~ekivati da fenomeni koji uti~u na opaànja imaju celobrojne frekvencije u bilo kom intervalu uzorka c, d . Ako frekvencije nisu celobrojne, harmonijska analiza daje deformisane rezultate, jer model dat sa (27) neadekvatno opisuje seriju. Za prevazilaènje ovog problema, prirodno je pro{iriti ideju harmonijske analize i na necelobrojne frekvencije ω s . Trigonometrijski polinom u modelu (27) zamenjuje se uop{tenim trigonometrijskim polinomom kao {to je onaj u (25). Odgovaraju}a jedna~ina za transformaciju u kompaktni frekventni prostor postaje po analogiji sa (37):

A(ω ) l

1 = n

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

2n

∑ l (τ ) j

j =1

2

⎞ ⎛ cos ωτ j ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

2n

∑ l (τ ) j

j =1

2

⎞ sin ωτ j ⎟ . ⎟ ⎠

(14.38)

296

§ 14.2


SLIKA 14.4. Harmonijska analiza.

Ova jedna~ina je poznata kao diskretna Furijeova transformacija. Ona je neprekidna za sve vrednosti ω ∈ 0, n . Najvi{a frekvencija za koju se transformacija izvodi je ω = n i zove se Najkvistova frekvencija. Spektar dobijen Furijeovom transformacijom zove se Furijeov spektar ili periodogram. Primer periodograma koji odgovara rezultatima harmonijske analize sa slike 4 dat je na slici 5. Jedan drugi oblik blizak periodogramu dat je ranije na slici 8.30. U mnogim primenama pogodno je izraziti Furijeovu kompleksnom obliku. To se izvodi pomo}u slede}e definicije:

transformaciju

Z ∗ (ω ) = A(ω )exp[− iψ (ω )] = (a (ω ),−b(ω )) ,

u

(14.39)

gde je i = − 1 , a a (ω ), b(ω ) su dati kao (uporedi sa (34)):

a(ω ) =

1 n

2n

∑( )

l τ j cos ωτ j ,

j =1

b(ω ) =

1 n

2n

∑ l (τ ) sin ωτ j

j

.

(14.40)

j =1

Odmah se vidi da je spektar ustvari apsolutna vrednost kompleksne funkcije Z ∗ (ω ) (vidi podpoglavlje 3.1):

A(ω ) = a 2 (ω ) + b 2 (ω ) ,

(14.41)

dok je faza argument od Z ∗ (ω ) :

ψ (ω ) = 2 arctan{b(ω ) [A(ω ) + a (ω )] } .

(14.42)

§ 14.2

Analiza trenda

297

SLIKA 14.5. Periodogram.

Ako se uz pomo} Moavrove teoreme (vidi podpoglavlje 3.1) izraze cosωτ i sinωτ u kompleksnom obliku, dobija se kompleksna Furijeova transformacija:

Z ∗ (ω ) =

1 n

2n

∑ l (τ ) exp(− iωτ ) . j

j

(14.43)

j =1

Kompleksno konjugovana Furijeova transformacija glasi:

Z ∗ (ω ) =

1 n

2n

∑ l (τ ) exp(iωτ ) . j

j

(14.44)

j =1

Uz njenu upotrebu mogu se napisati slede}i izrazi:

A(ω ) = Z ∗ (ω )Z ∗ (ω ),

ψ (ω ) =

[

]

1 ln Z ∗ (ω ) Z ∗ (ω ) . 2i

(14.45)

Moglo bi se pomisliti da vrhovi u periodogramu ozna~avaju necelobrojne frekvencije koje imaju najve}e u~e{}e u analiziranoj seriji podataka, dakle upravo frekvencije koje se traè pomo}u spektralne analize. Strogo govore}i, to bi bio slu~aj samo za beskona~no duga~ke serije podataka. Kona~nost stvarnih serija uvek uzrokuje odre|enu deformaciju spektra i {irenje spektralnih vrhova, koji bi ina~e teorijski trebalo da budu beskona~no tanki. Spektar beskona~no duga~ke serije sastavljene samo od trigonometrijskih ~lanova zove se linijski spektrum, i jedan takav primer pokazivala je slika 8.4. Drugi izvori deformacija su interferencija i preklapanje razli~itih frekvencija. Za diskusiju i obja{njenje ovih fenomena, ~italac se upu}uje na literaturu (npr. BLACKMAN AND TUKEY [1958]; JENKINS AND WATTS [1968]).

298


§ 14.2

Postoji me|utim jedna klasa deformacija koju bi ovde trebalo da prodiskutujemo. To su deformacije uzrokovane prisustvom i drugih ~lanova osim trigonometrijkih u modelu serije podataka. Pretpostavimo da se serija moè razloìti na slede}a tri dela:

ˆ l = lˆ + p − r ,

(14.46)

gde je lˆˆ ~isti uop{teni trigonometrijski polinom, p neki drugi polinom kao {to je drugi ~lan u (25), a r rezidualni vektor. Sa stanovi{ta spektralne analize i p i r mogu se smatrati {umom. Po{to je kompleksna Furijeova transformacija od l , linearna funkcija od l (vidi (43)), sledi da je (vidi podpoglavlje 3.1):

Z ∗ (ω ) l = Z ∗ (ω ) ˆˆ + Z ∗ (ω ) p − Z ∗ (ω ) r . l

Shodno tome, spektar A(ω )

(14.47)

izraàva}e efekat obe komponente {uma p i r . [to

l

se ti~e efekta r , spektar reziduuma r zavisi}e od svojstava r . Ako je slu~ajni {um r statisti~ki nezavisan, on }e po definiciji imati konstantni odnosno ravni spektar. Takvo r ozna~ava se kao beli {um. U nekim ud`benicima upravo se konstantnost koristi za razlikovanje ~isto slu~ajne od neslu~ajne serije. Ako r nije sasvim slu~ajno, onda se mora tretirati kao sistematski {um u okviru p . U oba slu~aja bi}e dakle izostavljen iz nastavka ove diskusije. Komponenta p ozna~ava sistematski {um. Njegova kompleksna Furijeova transformacija moè se napisati u obliku:

Z ∗ (ω )

p

=

m

∑ λ Z (ω ) φ s

s =1

∗

s

,

(14.48)

zato {to je transformacija linearna. Da bi se izvr{ila korekcija za ovaj efekat moraju se poznavati veli~ine λ s i transformacije Z ∗ (ω ) φ s pojedinih funkcija. Iako se transformacije za razli~ite oblike funkcija φ s relativno lako izvode [GODIN, 1972], veli~ine se obi~no ne znaju. Da se znaju onda bi se sistematski efekat oduzeo od serije podataka l , i na taj na~in eliminisao. Obi~no se veli~ine λ prethodno ocenjuju, a ocenjene p se oduzimaju od l . Ovakav postupak, me|utim, nije zadovoljavaju}i, jer ta~nost ocenjenih λ jo{ uvek ~ini spektar korigovanih l zaga|enim. Zadovoljavaju}e re{enje dobija se primenom spektralne analize po

§ 14.2

Analiza trenda

299

metodi najmanjih kvadrata [VANI~EK, 1971], koja elimini{e efekat ignorisanja veli~ina. Primer takvog jednog spektra ve} je bio dat na slici 8.33. Vratimo se sada na vezu izme|u linearnih filtera i Furijeove spektralne analize. Do sada bi ve} trebalo biti jasno da bilo kakva spektralna analiza pomaè u prvom odre|ivanju opsega frekvencija sadrànih u seriji, a koje je potrebno filtrirati. U ovom kontekstu, naravno, periodi~ni deo serije koji je potrebno filtrirati treba smatrati {umom. Ono {to je jo{ va`nije je da se odziv filtera moè procenjivati u frekventnom prostoru upotrebom Furijeove transformacije. Moè se pokazati (npr. JENKINS AND WATTS [1968]), da je kompletna Furijeova transformacija sekvencijalne serije (vidi (20)), data sa:

Z ∗ (ω ) l ′ = Z ∗ (ω ) l ⋅ Z ∗ (ω ) f , gde je Z ∗ (ω )

f

(14.49)

Furijeova transformacija koeficijenata filtera koji u ovom slu~aju

predstavljaju numeri~ke funkcije definisane na bilo kojem podskupu susednih ta~aka uzorka iz skupa T . Na taj na~in je dat efekat filtera na spektar filtrirane serije, imaju}i u vidu da je amplituda prizvoda dva kompleksna broja jednaka prizvodu amplituda ova dva broja (vidi podpoglavlje 3.1):

A(ω ) l ′ = A(ω ) l ⋅ A(ω )

f

.

Svaki izabrani niz koeficijenata f i ima spektar A(ω )

(14.50)

f

koji odre|uje odziv

linearnog filtera predstavljenog ovim koeficijentima. Za primer uzmimo ponovo jednostavni filter dat sa (24). Koeficijenti f − 2 = f 2 = 0.1 , f −1 = f 1 = 0.2 , f 0 = 0.4 , interpretirani kao numeri~ke funkcije, prikazani su na slici 6. Primetimo da je poloàj pet nenultih vrednosti na osi τ nevaàn kada je u pitanju spektar. Spektar ove funkcije prikazan je na slici 7. Moè se primetiti da ovaj filter ne uti~e na niskofrekventne talase, ali da smanjuje ili elimini{e talase visoke frekvencije. Filteri ovih karakteristika zovu se niskopropusni filteri. U praksi se jo{ koriste visokopropusni i pojasnopropusni filteri. Pomenimo u zaklju~ku da Furijeova transformacija nije jedina tehnika spektralne analize. Pored ve} pomenute spektralne analize metodom najmanjih kvadrata postoji jo{ niz tehnika specijalnih karakteristika koje su pogodne za analizu serija koje imaju posebna svojstva. Iako diskusija tih tehnika ovde ne dolazi u obzir, ~italac treba da zna da postoji npr. metoda mo}i spektra [JENKINS AND WATTS, 1968], meto da maksimalnog preseka [BURG, 1967] i metoda maksimalne

300


§ 14.3

SLIKA 14.6. Linearni, normalizovani, simetri~ni filter kao numeri~ka funkcija.

SLIKA 14.7. Spektar niskopropusnog filtera sa slike 6.

verodostojnosti [CAPON, 1969]. Postoje i metode za simultano ispitivanje dve i vi{e serija podataka. One su obra|ene u standardnim ud`benicima, npr. WILKS [1962], JENKINS AND WATTS [1968]. 14.3. Izravnanje opaànja Prosto izravnanje statisti~ki nezavisnih opaànja l koristi slede}i matemati~ki model:

f ( x, l + v ) = 0 ,

(14.51)

koji je karakteristi~an po odsustvu s . Prosto izravnanje sastoji se u ocenjivanju nepoznatih parametara metodom najmanjih kvadrata i korekciji (izravnanju) opaànja tako da postanu konzistentna u okviru modela. Prema tome, uz pretpostavku C l ≡ C r ≡ C v ≡ diag (σ l2 ) , odmah se mogu primeniti sve jedna~ine i

iz poglavlja 12. Izravnanje statisti~ki zavisnih opaànja karakteri{e metrika prostora L , koju predstavlja puna kovarijaciona matrica opaànja. U tom slu~aju vaì

§ 14.3

Izravnanje opaànja

301

C l ≡ C r ≡ C s , samo {to je po definiciji C s puna matrica (podpoglavlje 10.4). Situacija u kojoj su prisutne obe slu~ajne komponente v i s , re{ava se ili posmatraju}i ih odvojeno, ili kombinuju}i ih u jedan vektor. U drugom slu~aju, kovarijaciona matrica kombinovanog rezidualnog vektora r je zbir odgovaraju}e dve kovarijacione matrice (formula (10.44)), tako da smo ponovo u oblasti izravnanja. Komplikacije se javljaju onda kada prethodno nisu uspe{no uklonjeni sistematski uticaji na opaànja. Tada je neophodno ukloniti preostale sistematske uticaje u momentu izravnanja opaànja u glavnom matemati~kom modelu. To se postiè jednostavno uvo|enjem u model nepoznatih parametara smetnje λ u vidu dodatnog ~lana Φ T (T ) λ (formula (8)). Krajnji rezultat je simultano izravnanje sa regresijom, sa normalnim jedna~inama:

⎡ Nx ⎢ ⎣N λ x

N x λ ⎤ ⎡ δˆ ⎤ ⎡u x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥= N λ ⎦ ⎣ λˆ ⎦ ⎣ uλ ⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

(14.52)

~iji su formulacija i re{enje diskutovani detaljno u ne{to druga~ijem kontekstu u podpoglavlju 14.4. Okre}u}i se dvokomponentnom izravnanju opaànja, posmatrajmo bez gubitka op{tosti, implicitni matemati~ki model ~ija je op{ta forma (formula 12.1)):

ˆ f ⎛⎜ x, lˆ ⎞⎟ = f ( x, l + s + v ) = 0 , ⎝ ⎠

(14.53)

i ~ije su kovarijacione matrice C s i C v . Za kros-kovarijacionu matricu C sv pretpostavi}emo da je nula. Diferencijalni oblik modela moè se napisati u obliku (formula (12.2)):

A δ + Bs + Bv + w = 0 ,

(14.54)

pri ~emu je iz w izostavljen gornji indeks (0). U jo{ op{tijem slu~aju s nije iz prostora opaànja L , ve} iz drugog prostora statisti~ki zavisnih opaànja S , takvog da za okolinu ta~ke razvoja s , vaì slede}a transformacija (vidi sliku 8):

T ∈ {S → L } .

(14.55)

Ozna~imo originalno s sa s ′ , pa imamo:

s ′ = Ts ,

(14.56)

302


§ 14.3

SLIKA 14.8. Prostori koji se koriste u dvokomponentnom izravnanju opaànja.

gde S moè a i ne mora imati iste dimenzije kao L . Zamenom (56) u (54), i ozna~avaju}i B sa Bv i BT sa Bs , dobija se uop{teniji dvokomponentni linearni model: A δ + Bv v + Bs s + w = 0 . (14.57) Varijaciona funkcija iz koje slede normalne jedna~ine glasi:

φ = s T C s−1 s + v T C v−1v + 2 k T ( A δ + Bs s + Bv v + w ) .

(14.58)

O~igledno oba skupa reziduuma imaju svoju ulogu u kvadratnim formama zajedno sa svojim kovarijacionim matricama. Ilustrativno je uporediti ovu jedna~inu sa jedna~inom (12.12). Normalne jedna~ine dobijaju se po postupku iz podpoglavlja 12.2. Veli~ine δˆ , xˆ , C xˆ i kˆ izvode se iz (12.26), (12.11), (12.36) i (12.28), gde se C r i B zamenjuju sa C r′ :

i sa B ′ :

⎡C C r′ = ⎢ s ⎣0

0⎤ ⎥ , Cv ⎦

(15.59)

B ′ = [B s

Bv ] .

(14.60)

§ 14.3

Izravnanje opaànja

Po{to je rˆ ′ = [sˆ

303

vˆ ] , iz (12.29) se dobija: T

⎡C rˆ ′ = − ⎢ s ⎣0

0 ⎤ ⎡ B sT ⎤ ˆ ⎥ ⎢ ⎥k , C v ⎦ ⎣ BvT ⎦

(14.61)

i:

sˆ = − C s BsT Lw,

(14.62)

vˆ = − C v BvT Lw .

(14.63)

Njihove kovarijacione matrice slede direktno iz (12.38):

⎡ Cˆ C r′ˆ = ⎢ s ⎣C vˆ sˆ

C sˆ vˆ ⎤ T ⎥ = C r′ B ′ LB ′C r′ . C vˆ ⎦

sa pojedinim ~lanovima:

C sˆ = C s BsT LBs C s ,

(14.64)

C vˆ = C v BvT LBv C v ,

(14.65)

(

C sˆ vˆ = C vˆTsˆ = C s BsT LBv C v = C v BvT LBs C s

)

T

(14.66)

.

U svim ovim jedna~inama, efekat dodavanja drugog reziduuma ose}a se kroz matricu L . Jedna~ine (59) i (60) direktno uti~u na M , menjaju}i je u:

⎛ M = ⎜ [B s ⎜ ⎝

⎡C Bv ] ⎢ s ⎣0

0 ⎤ ⎡ B sT ⎤ ⎢ ⎥ C v ⎥⎦ ⎣ BvT ⎦

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−1

(

= B s C s B sT + B v C v BvT

)

−1

,

(14.67) a preko M se promene transformi{u u promene N i L . I kona~no, aposteriori varijansni faktor σˆ 02 izvodi se iz (12.51) kada se naravno rˆ i Pl = σ 02 C r−1 promene

u rˆ ′ i Pl′ = σ 02 C r′ −1 . Moè se ~ak javiti i situacija kada je potrebno tretirati nekoliko slu~ajnih promenljivih zasebno. Takav slu~aj ne}emo razmatrati jer je on generalizacija problema kojeg smo upravo tretirali. Interesantno je pogledati rezultate dvokomponentnog izravnanja sa stanovi{ta analize serije podataka. Zbir:

l ′ = l + vˆ

(14.68)

304


§ 14.3

SLIKA 14.9. Prostori koji se koriste za predikciju kolokacijom po metodi najmanjih kvadrata.

moè se proglasiti ugla~anom serijom opaànja. Zamenom za vˆ iz (63) i w iz (12.3) dobija se:

(

)

l ′ = l − C v BvT Lf x (0 ) , l ,

(14.69)

{to predstavlja jedna~inu specijalnog filtera koji se zove kovarijacioni filter. Dvokomponentno izravnanje kombinovano sa prognozom signala s , zove se u literaturi kolokacija po metodi najmanjih kvadrata [KRARUP, 1969]. Sa stanovi{ta gla~anja i filtriranja, dvokomponentno izravnanje je isto kao dve mnogo jednostavnije vrste izravnanja koje smo ve} obradili u ovom podpoglavlju. Svako od ovih izravnanja razdvaja signal ( x ) od {uma ( v ili s ili v+ s ). Ono {to izdvaja kolokaciju je {to se u njoj statisti~ki zavisna komponenta s tako|e smatra signalom, tako da postoje dve vrste signala, x i s . Prvi signal ( x ) prirodno se ne prognozira jer je x definisano u prostoru parametara X i obi~no izraàva neku specifi~nu mernu veli~inu, tako da nema smisla prognozirati x na nekom drugom mestu. S druge strane, s se ~esto smatra uzorkom efekta koji se moè modelirati u prostoru P {irem od prostora opaànja S . Stoga se predikcija sp statisti~ki zavisnog signala s moè traìti u prostoru predikcije P takvom da je S ⊂ P (vidi sliku 9).

§ 14.3

Izravnanje opaànja

305

Predikcija se matemati~ki moè ugraditi u dvokomponentno izravnanje prostim pro{irenjem druge dizajn matrice u B ′′ , kao:

B ′′ = [ 0 B s i usvajanjem:

[

rˆ ′′ = sˆ pT

sˆ T

Bv ] ,

(14.70)

]

(14.71)

vˆ T

T

.

Primetimo da nula matrica u hipermatrici B ′′ sluì kao mehanizam pomo}u kojeg se predikcija ugra|uje u shemu. Model (57) ne menja se ovim matemati~kim trikom. To se moè proveriti zamenom izraza za B ′′ i r ′′ u (12.2) i upore|enjem sa (57). Predikcija je omogu}ena pretpostavljanjem da su stohasti~ke osobine nove veli~ine sp iste kao za s . To se izraàva pro{irenom kovarijacionom matricom C s′ :

⎡ Cs C s′ = ⎢ p C ⎣⎢ ssp

C sp s ⎤ , C s ⎥⎥ ⎦

(14.72)

koja opisuje kovarijaciju izme|u s u ta~ki opaànja i sp u ta~ki prognoze. Ovde je

C sp s jednako C ssT p , tako da je simetrija o~uvana za C s′ . Kovarijansa izme|u ovih komponenti signala, izraèna u obliku kovarijacione funkcije (formula (10.30)), je ono {to posreduje u predikciji, dovo|enjem u vezu s sa sp . Sve jedna~ine za dvokomponentno izravnanje ostaju u va`nosti kada se koriste pro{irene verzije za B (70) i r (71). Menja se samo (62) koja nakon zamene C s′ umesto C s daje novu jedna~inu prognoziranog signala:

sˆp = − C sp s BsT Lw .

(14.73)

Sli~no tome, ista zamena u (64) daje dve nove jedna~ine, i to za kovarijacionu matricu prognoziranog signala:

C sˆp = C sp s BsT LBs C ssp ,

(14.74)

306

§ 14.3


i za kros-kovarijacionu matricu izme|u prognoziranog i ocenjenog signala u ta~kama uzorka:

C sˆsˆp = C sˆTp sˆ = C s BsT LBs C ssp .

(14.75)

Po analogiji sa (66) moè se na}i i kros-kovarijaciona matrica izme|u prognoziranog signala i ocenjenog statisti~ki nazavisnog reziduuma u ta~kama uzorka:

(

C vˆ sˆp = C sˆTp vˆ = C v B vT LB s C ssp = C sp s B sT LBv C v

)

T

.

(14.76)

Po{to predikcija ne uti~e na matemati~ki model, nepoznati parametri x se mogu prvi oceniti uz C r = C s + C v . Nakon toga, s se moè prognozirati pomo}u (73) uz poznavanje kros-kovarijacione matrice C sp s . Interesantno je da je matrica C sp neophodna za definiciju C s′ (72), tj. mora se pretpostaviti da postoji, ali zato nije prisutna u formuli za prognozirani signal sp . Razlog za to je {to C sp ne sadrì nikakvu informaciju korisnu sa stanovi{ta predikcije. Aposteriori varijansni faktor σˆ 02 je u slu~aju predikcije kolokacijom dat uobi~ajenim izrazom (12.51). înjenica da se predikcija vr{i zajedno sa izravnanjem ili nakon njega, nema naravno nikakvog uticaja na ta~nost samog izravnanja. Svi izrazi izvedeni u ovom podpoglavlju vaè za implicitni model. Ako se umesto njega koristi model eksplicitan po l , jedina razlika }e biti {to je Bs = Bv = − I , ~ime se sve formule zna~ajno pojednostavljuju. Matrica L na primer postaje:

(

L = C r−1 − C r−1 A A T C r−1 A

)

−1

A T C r−1 .

(14.77)

Ako se koristi uslovni model, formule se dalje pojednostavljuju jer je A = 0 i :

L = C r−1 .

(14.78)

U oba slu~aja C r = C l je dato sa (10.44). I na kraju, primenimo ideje ovog podpoglavlja na problem dekompozicije slu~ajnih serija sastavljenih i od statisti~ki zavisnih i od statisti~ki nezavisnih komponenti, ali bez kovarijacija izme|u njih. To je u su{tini problem razdvajanja slu~ajnog signala

§ 14.3

Izravnanje opaànja

307

(korisni deo) od slu~ajnog {uma, i moè se vizuelizovati slikom 9 samo bez prostora re{enja. Sledi da je (formula (10.36)):

l (τ ) = − r (τ ) = − s (τ ) − v (τ ) .

(14.79)

U vektorskom obliku model glasi:

l + s+ v = 0 .

(14.80)

Koriste}i terminologiju ovog podpoglavlja, Bs = Bv = − I , A = 0, w = − l , model o~igledno postaje specijalni slu~aj uslovnog modela (jedna~ina (10.7)). Jedna~ina (62) onda daje slede}i izraz za ocenjeni signal:

sˆ = − C s C r−1l .

(14.81)

Jedna primena ove jedna~ine mogla bi biti razdvajanje na dva dela rezidualnog vektora rˆ dobijenog izravnanjem u kojem je kori{}eno C r = C s + C v . Ovo je jo{ jedan dokaz da se izravnanje sa C r i dvokomponentno izravnanje sa C r′ mogu izvoditi sekvencijalno. Primetimo da je − sˆ (= l + vˆ ) isto kao serija l ′ ugla~ana kovarijacionim filterom (69). Dokaz prepu{tamo ~itaocu. Ugla~ane serije mogu se onda prognozirati u prostoru P pomo}u:

sˆp = − C sp s C r−1l .

(14.82)

Ovaj izraz poznat je kao Viner-Kolmogorov formula [LIEBELT, 1976], koja predstavlja naro~ito jednostavnu i popularnu primenu kolokacije. Statisti~ko testiranje hipoteza koje se odnose na varijansni faktor σˆ 02 , komponente

sˆ, sˆ p , vˆ i njihove kovarijacione matrice, izvode se metodologijom razra|enom u poglavlju 13, i to bez obzira da li ove veli~ine poti~u iz prostog izravnanja, izravnanja, dvokomponentnog izravnanja, ili ~ak iz izravnanja kombinovanog sa predikcijom pomo}u kolokacije. Izmena odgovaraju}ih formula je jednostavna, i prepu{ta se ~itaocu.

308


§ 14.4

14.4. Problemi sa prethodnim poznavanjem parametara Tehnike izravnanja prikazane u podpoglavlju 14.3 pre}utno podrazumevaju da je apriori vrednost matrice teìna C x−1 jednaka 0 . Ovu pretpostavku razjasni}emo malo kasnije. Me|utim, premisa ove pretpostavke je u odre|enoj meri pogre{na sa statisti~ke ta~ke gledi{ta, jer se u izvesnim granicama uvek zna pribli`na vrednost vektora x . Pribli`na vrednost se u krajnjoj liniji mora poznavati zbog linearizacije, jer je x (0 ) neophodno za numeri~ko odre|ivanje svih dizajn matrica. âk i kada je model linearan, poèljno je odrediti pribli`ne vrednosti od x , koriste}i minimalni skup opaànja potreban da se dobije jedno re{enje za x . Statisti~ki govore}i, pribli`noj vrednosti x (0 ) treba dodeliti neku teìnu, tako da je C x−1 razli~ito od 0 od samog po~etka. Cilj ovog podpoglavlja je da pokaè kako da se C x−1 ≠ 0 ugradi u izravnanje ili regresiju i na taj na~in dobije odgovaraju}e re{enje. Prostori koji }e nam biti potrebni su L , X i F iz poglavlja 12. Jedina razlika sastoji se u tome {to se metrika prostora X izvodi od samog po~etka iz C x−1 , a ne pomo}u metrike prostore L . Po{to se mogu pojaviti dve razli~ite situacije, postoje i dve {kole po pitanju teme ovog podpoglavlja. Bajesova {kola [BAYES, 1763] bavi se situacijom u kojoj se C x subjektivno bira, dok {kola uop{tenog izravnanja tretira slu~aj kada je C x objektivno poznato, tj. kada se C x zna iz nekog prethodnog nezavisnog odre|ivanja x [SCHMID AND SCHMID, 1965]. BOSSLER [1972] je izu~avao ova dva pristupa, i mi }emo ovde pratiti glavne zaklju~ke njegovog istraìvanja. Zajedni~ko i za Bajesovu metodu i metodu uop{tenog ocenjivanja je apriori prisustvo dve kovarijacione matrice C x i C l . Su{tinsko pitanje je da li su one pravilno urazmerene sa σ 02, x i σ 02, l ili ne. Mogu se pojaviti ~etiri razli~ita slu~aja (vidi tabelu 2): (a) σ 02, x i σ 02, l su poznati. Oni mogu narvno biti jednaki ili razli~iti. (b) σ 02, x i σ 02, l su nepoznati ali jednaki. Prema tome, potrebno je re{enje samo za jedan zajedni~ki faktor. (c) σ 02, x je poznat, a σ 02, l nepoznat, ili obratno. Ponovo se traì re{enje samo za jedan faktor. (d) σ 02, x i σ 02, l su nepoznati i verovatno razli~iti. Ovaj slu~aj zahteva re{enje za dve nepoznate.

§ 14.4

Problemi sa prethodnim poznavanjem parametara

309

Ispitajmo ova ~etiri slu~aja prvo kroz pristup uop{tenog izravnanja, a potom kroz Bajesov pristup. U slu~aju uop{tenog izravnanja (a), postoje najmanje dve tehnike za dobijanje re{enja, i instruktivno je pogledati obe. Prvom tehnikom razmatra se uslovni matemati~ki model (vidi (10.6)):

f (l ′) = 0 ,

(14.83)

gde je hipervektor l ′ oblika:

[

l′ = l T

x (0 ) T

]

T

.

(14.84)

Linearizovani model dat je sa (12.2) u kojem je ~lan A δ jednak nuli, i gde je r

[

zamenjeno sa r ′ = r T

B ′ = [B

δ T ] , a B sa B ′ , tako da je: T

A] .

(14.85)

Pod pretpostavkom da je kros-kovarijaciona matrica C lx = 0 , tj. da su l i nulta aproksimacija parametara x (0 ) statisti~ki nezavisni, odgovaraju}a kovarijaciona matrica od l ′ je:

⎡C C r′ = ⎢ l ⎣0

0⎤ ⎥. Cx ⎦

(14.86)

Zamenom prim veli~ina za odgovaraju}e veli~ine u (12.26) i (12.36) dobijaju se formule iz tabele 2. Upore|enje ovih formula sa re{enjem standardnog problema izravnanja koje je radi pogodnosti ponovo dato u tabeli, uverava nas da standardno izravnanje ima ugra|enu pretpostavku C x−1 = 0 kao {to smo i tvrdili na po~etku ovog podpoglavlja. Druga tehnika koja uklju~uje apriori poznato C x−1 , koristi slede}a dva modela:

f l ( x, l ) = 0, C l ,

(

)

f x x, x (0 ) = x − x (0 ) = 0, C x .

(14.87) (14.88)

310


§ 14.4

§ 14.4

Problemi sa prethodnim poznavanjem parametara

311

U prvom modelu odsutno je apriori poznavanje C x , dok drugi predstavlja situaciju kada se apriori poznavanje x (0 ) vektora x izraàva u vidu odgovaraju}e kovarijacione matrice C x . Kao {to ~italac moè sam izvesti , linearizovani matemati~ki modeli su:

⎡B ⎢ ⎣0

A⎤ ⎡ r ⎤ ⎡ w ⎥⎢ ⎥+⎢ I⎦⎣δ⎦ ⎣ 0

⎤ ⎡0⎤ ⎥=⎢ ⎥. ⎦ ⎣0⎦

(14.89)

dok su odgovaraju}e kovarijacione matrice ve} date sa (86). Re{enje se ponovo dobija direktno jedna~inama iz poglavlja 12 uz pomo} ovako redefinisanih matrica i vektora. Krajnje formule su zaista identi~ne onima koje se dobijaju prvom tehnikom (vrsta (a) u tabeli 2). Slu~aj (b) razlikuje se od slu~aja (a) onoliko koliko se u standardnom izravnanju razlikuje slu~aj nepoznatog varijansnog faktora σ 02 od slu~aja poznatog varijansnog faktora. Razlika je u tome {to se σ 02 ocenjuje aposteriori pomo}u σˆ 02 , i umesto

C xˆ dobija se Cˆ xˆ . Ocena se izvodi iz (12.51):

σˆ 02 =

rˆ T Pl rˆ + δˆ T Px δˆ

ν

,

(14.90)

gde redundanca iznosi:

ν = m − u = (n + u) − u = n .

(14.91)

Slu~aj (c) istovetan je su~aju (b), samo {to C x−1 ne mora biti urazmereno. Razmera od Pl tj. σ 02, l ocenjuje se pomo}u (12.51) kori{}enjem samo modela f l

i

ν = n − u . Ako je C l−1 poznato, a σ 02, x treba da se oceni, onda se koristi model f x sa istim ν = n − u . Izraz za kovarijacionu matricu Cˆ xˆ koji je dat u tabeli 2 je pribliàn. THEIL [1963] je pokazao da je nesigurnost ove formule reda 1 / n . THEIL [1963] je isto tako predloìo drugo re{enje, primenljivo kada apriori varijanse i kovarijanse parametara teè svojim granicama 0 i ∞ , koje u nekim slu~ajevima rezultuju lo{e uslovljenim modelima. Ta~no re{enje za slu~aj (d) nije mogu}e. Ocena bazirana na pojmu nepomerenosti predloèna je od GRAFAREND AND D′HONE [1978]. Re{enje prikazano u tabeli 2 je samo pribli`no.

312


§ 14.4

Pre nego {to pre|emo na Bajesov pristup, pogledajmo situaciju u kojoj postoji apriori informacija samo za neke od parametara. Ozna~imo ovaj deo vektora x sa x 2 , a njegovu kovarijacionu matricu sa C x2 , pri ~emu su x1 parametri za koje nema apriori informacija, tj. C x−1 = 0 . Normalne jedna~ine u vezi ove situacije 1

slede iz normalnih jedna~ina (12.25) po analogiji sa vrstom (a) tabele 2:

⎡ N1 ⎢ ⎣ N 21

N 12 ⎤ ⎡ δˆ1 ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ . = ⎥⎢ ⎥+ N 22 + C x−21 ⎦ ⎢⎣ δˆ 2 ⎥⎦ ⎢⎣u2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

(14.92)

Primetimo da apriori informacija u obliku C x2 , ulazi u matemati~ki model kao {to ulaze i opaànja. Vi{e o ovome bi}e re~eno u podpoglavlju 14.5 i 14.6. Odavno je poznato da apriori verovanje u svojstva parametara moè igrati zna~ajnu ulogu u odre|ivanju parametara [WONNACOTT AND WONNACOTT, 1972]. U su{tini, Bajesov pristup formalizuje ovu ideju na taj na~in {to kvantifikuje pomenuto verovanje. Izuzetno svojstvo ovog pristupa je eksplicitna upotreba funkcije gustine verovatno}e za razli~ite veli~ine. U pitanju su tri funkcije gustine verovatno}e: φ x (ξ ; x (0 ) , C x ) , φ l / x (ξ ; l , C l ) i φ x / l (ξ ; xˆ , C xˆ ) . Prva funkcija je izraz apriori statisti~ke informacije o parametrima x . Druga funkcija, koja se zove funkcija maksimalne verodostojnosti, opisuje uslovnu verovatno}u l pod uslovom da je x dato (podpoglavlje 3.4). Prosto govore}i, to zna~i da opaànja imaju oslonac u odre|ivanju parametara. Oblik ove funkcije gustine mora biti pretpostavljen. Obi~no se uzima da je to vi{edimenzionalna normalna funkcija (vidi (13.25)) zajedno sa svojim parametrima l i C l . Tre}a funkcija je nepoznata aposteriori funkcija gustine verovatno}e, tj. stohasti~ka predstava parametara koji se traè. Bajesova teorema [WONNACOTT AND WONNACOTT, 1972]:

φ x/l (ξ ; xˆ, C xˆ ) =

(

)

φ l/x (ξ , l , C l )φ x ξ , x (0 ) , C x , ψ

(14.93)

je matemati~ki instrument koji se koristi za re{avanje nepoznate funkcije gustine verovatno}e φ x/l (ξ ; xˆ , C xˆ ) zajedno sa njenim parametrima xˆ i C xˆ . Realni broj ψ sluì samo kao faktor normalizacije i ima malo zna~aja sa konceptualne ta~ke gledi{ta. Primetimo da se Bajesovim pristupom ne odre|uju samo xˆ i C xˆ , ve} za razliku od pristupa uop{tenog izravnanja, jo{ i funkcija gustine verovatno}e parametara.

§ 14.5

Problemi sa ograni~enjima i singularitetima

313

BOSLER [1972] je koriste}i Bajesovu teoremu, demonstrirao da slu~aj bez apriori informacije o parametrima ( C x−1 = 0 ) i sa poznatim varijansnim faktorom σ 02, l daje identi~ne rezultate kao standardno izravnanje (tabela 2). On je tako|e pokazao da za ostala ~etiri slu~aja, Bajesovi rezultati za xˆ i C xˆ predstavljaju rezultate identi~ne pristupu uop{tenog izravnanja. Za slu~ajeve nepoznatog varijansnog faktora σ 02 me|utim, Bajesova ocena za σ 02 je (m − u ) / (m − u − 2) puta ve}a od vrednost izvedena iz (12.51). Prema tome, Bajesova ocena razlikuje se od standardne za faktor 2 u imeniocu. Bajesova ocena je dakle konzistentna sa op{tim principom da se po jedan stepen slobode gubi za svaki parametar funkcije gustine koji se ocenjuje. U ovom slu~aju 2 odgovara sredini i kovarijacionoj matrici pretpostavljene vi{edimenzionalne normalne funkcije gustine verovatno}e. Naravno da za veliki broj stepeni slobode ova razlika nije zna~ajna. Napomenimo da je u slu~aju Bajesovog pristupa mogu}e koristiti sva statisti~ka dostignu}a iz poglavlja 13. Jedina razlika koja se pojavljuje odnosi se na broj stepeni slobode koji postaje manji za dva. Posledica toga je da intervali poverenja za isti nivo poverenja postaju {iri. Ovaj rezultat je intuitivno zadovoljavaju}i. Bajesov pristup se u krajnjoj liniji bazira na subjektivnom verovanju, i zaista treba o~ekivati rezultate u koje se ima ne{to manje poverenja u pore|enju sa rezultatima baziranim na nekim objektivnim kriterijumima. 14.5. Problemi sa ograni~enjima i singularitetima U praksi se ~esto sre}u problemi koji su kompleksniji od onih koje smo do sada opisivali. Postoje dve vrste takvih problema: problemi u kojima se o nepoznatim parametrima zna vi{e nego {to je to izraèno glavnim matemati~kim modelom f , i problemi koji nakon formulacije matemati~kog modela jo{ uvek namaju re{enje zbog singulariteta. Zajedni~ko za obe vrste problema je koncept ograni~enja. Postojanje dodatnih informacija za prvu kategoriju problema moè se posmatrati kao postojanje ograni~enja glavnog matemati~kog modela, dok se istovremeno i neki singularni problemi tako|e mogu re{iti postavljanjem ograni~enja. Po~nimo sa problemima prve vrste. Formulacija ograni~enja koja poti~u od dodatnih informacija o nepoznatim parametrima, svodi se na formulaciju dodatnog matemati~kog modela za kojeg }emo ovde podrazumevati da sadrì samo nepoznate parametre. Prema tome, problem sa ograni~enjima formuli{e se u vidu dva modela:

314

§ 14.5


f ( x, l ) = 0 , fc (x ) = 0 .

(14.94) (14.95)

Podrazumeva}e se da se re{enja za x mogu dobiti upotrebom samo modela f . Pomo}ni model f c sastoji se od mc funkcija ograni~enja, koje odraàvaju neke matemati~ke ili fizi~ke zakone. Takva ograni~enja nazivaju se apsolutnim. Za razliku od njih, teìnska ograni~enja baziraju se na opaànjima a ne teorijskim vezama izme|u parametara, i kao takva obi~no sadrè i opaànja. Teìnskim ograni~enjma se moè verovati samo u odre|enom stepenu, pa im se zato pridruùju kona~ne teìne. O njima ne}emo ovde raspravljati, a zainteresovani ~italac se upu}uje na SCHWARZ [1969] i MIKHAIL [1976]. Navedeni modeli se linearizuju da bi se dobilo (vidi sliku 10):

A δ + Br + w = 0 ,

(14.96)

D δ + wc = 0 .

(14.97)

Varijaciona funkcija za nalaènje MNK re{enja sli~na je (12.12):

φ = r T C r−1r + 2 k T ( A δ + Br + w ) + 2 kcT (D δ + wc ) ,

(14.98)

gde je C r ≡ C l kovarijaciona matrica opaànja. Ovog puta me|utim imamo dva skupa Lagranòvih korelata k , kc , koja odraàvaju prisustvo dva modela. Minimum po r nalazi se kao u podpoglavlju 12.2. Nakon eliminacije rezidualnog vektora rˆ i prvog skupa korelata kˆ , sistem jedna~ina koji opisuje kombinaciju f i f c postaje:

D T ⎤ ⎡ δˆ ⎤ ⎡ u ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥ , 0 ⎦ ⎣⎢ kˆ c ⎦⎥ ⎣ w c ⎦ ⎣ 0 ⎦

⎡N ⎢ ⎣D

(14.99)

gde je N dato sa (12.23) a u sa (12.24). Po{to je pretpostavljeno da postoji re{enje samo iz f , zna~i da matrica N mora biti regularna, i δˆ se onda moè eliminisati iz (99). Preostale jedna~ine glase:

(

kˆc = DN −1 D T

) (w − DN u) . −1

c

−1

(14.100)

§ 14.5


315

SLIKA 14.10. Prostori koji se koriste za re{avanje problema sa ograni~enjima.

Iz (99) se tako|e dobija:

N δˆ + D T kˆc + u = 0 ,

(14.101)

a zamenom za kˆ c iz (100), gornja jedna~ina glasi:

(

δˆ = δ (1) − N −1 D T DN −1 D T gde:

δ (1) = − N −1u

) (w + Dδ ( ) ), −1

c

1

(14.102) (14.103)

predstavlja re{enje dobijeno samo na osnovu glavnog modela f . Primetimo da korektivni ~lan δˆ − δ (1) poti~e od forsiranja ograni~enja. Zamenom unazad dobijaju se re{enja za ostale vektore. Najva`nija re{enja su re{enja za rezidualni vektor r (1) koja opisuju saglasnost l samo sa modelom f , i re{enje rˆ koje se odnosi na kombinaciju modela f i fc . Oba rezultata dobijaju se iz (12.29) kada se redom upotrebe δ ( 1) i δˆ . Kovarijaciona matrica vektora r (1) data je sa (12.38), dok se izvo|enje kovarijacione matrice za rˆ ostavlja ~itaocu za ve`bu.

316

§ 14.5


Slede}i zadatak je nalaènje kovarijacione matrice parametara. Jedna~ina (102) moè se napisati u obliku:

(

)

δˆ = −⎛⎜ N −1 − N −1 D T DN −1 D T ⎝

−1

DN −1 ⎞⎟ A T Mw + const. ⎠

(14.104)

gde je prvi ~lan funkcija opaànja (preko w ), dok je drugi konstantan i odnosi se na l . Po{to je:

C w = M −1 ,

(

DN −1 A T MA = D, DN −1 A T M DN −1 A T

)

T

= DN −1 D T ,

primena kovarijacionog zakona na (104) daje:

(

)

−1

C δˆ = N −1 − N −1 D T DN −1 D T

DN −1 .

Ozna~avaju}i N −1 sa C δ(1) , kona~no se dobija:

(

C δˆ = C δ(1) − C δ(1) D T DC δ(1) D T

)

−1

DC δ(1) .

(14.105)

U situaciji kada je razmera matrice C l , tj. σ 02 nepoznata, do nje se dolazi pomo}u (12.51) sa brojem stepeni slobode:

ν = (m + mc ) − u .

(14.106)

Sada je na redu interpretacija glavnih rezultata ((102) i (105)). Jasno je da su ono {to imamo, ustvari sekvencijalni izrazi. Da bi se naime odredio vektor re{enja δˆ ili njegova kovarijaciona matrica C , prvo se sra~unaju δ (1) i C (1) samo iz modela δˆ

δˆ

f , a zatim oduzme korektivni ~lan. Ovaj va`ni koncept detaljno }emo razmatrati u podpoglavlju 14.6. Vratimo se sada problemima sa singularitetima. Kao {to je ve} konstatovano, singularitet se sa sigurno{}u otkriva tek nakon uspostavljanja matemati~kog modela, tako da se strogo govore}i radi ustvari o singularnim matemati~kim modelima. Singularitet modela javlja se iz slede}ih razloga: problem je slabo postavljen zato {to su postavljena pogre{na pitanja ili se traè pogre{ni odgovori; model je neodgovaraju}e formulisan zbog zavisnih jedna~ina ili previ{e nazavisnih parametara. Problem moè biti slabo postavljen zbog toga {to se previ{e o~ekuje od

§ 14.5


317

raspoloìvih opaànja, ili zato {to ih je nedovoljno, ili su pogre{nog tipa. Bilo kako bilo, ponekad je te{ko predvideti da je problem slabo postavljen. Pogre{na formulacija modela isto tako moè biti te{ka za otkrivanje. Iz ovih razloga poèljno je imati dijagnosti~ki mehanizam koji }e ukazati na singularitet u {to ranijoj fazi re{avanja. Dijagnoza singulariteta obi~no se izvodi ispitivanjem defekta ranga dizajn matrice A linearizovanog modela, ili matrice normalnih jedna~ina N . Ako je:

rank A = rank N < u ,

(14.107)

dobija se det N = 0 , i matrica N je singularna. Po{to postoji beskona~no mnogo re{enja takvog linearizovanog modela, i matemati~ki model je singularan. Jedna klasa singularnih modela zajedno sa mogu}im re{enjem ve} je prikazana u podpoglavlju 11.3. Mora se ista}i da ~ak i nesingularni modeli mogu imati veoma malu vrednost determinante matrice N . Takvi slu~ajevi ukazuju na slabo uslovljenu matricu N (vidi podpoglavlje 3.1) zbog ~ega je ponekad onemogu}eno dobijanje ispravnog re{enja. Singularitet je ustvari grani~ni slu~aj slabe uslovljenosti, pa se metode za prevazilaènje singularnih problema podjednako dobro mogu primeniti i na slabo uslovljene probleme. Kada je singularitet otkriven, neophodan je povratak u fazu formulacije problema kako bi se matemati~ki model pravilno postavio. Ako se pogre{na formulacija modela moè odbaciti kao uzrok singulariteta ili slabe uslovljenosti, mora se pretpostaviti da je problem slabo postavljen. Svi mogu}i razlozi za slabo postavljeni problem svode se na to da se ustvari traì odre|ivanje pogre{nog tipa parametara. Iz poznavanja problema mora biti omogu}ena identifikacija neodredivih parametara, ili barem razlozi njihove neodredivosti. Ako su na primer u trouglu mereni samo uglovi, njegove strane su neodredive. Kompleksnije situacije bi}e prikazane u delu IV i podpoglavlju 27.2. Ozna~imo sada defekt matrice N sa d (vidi podpoglavlje 3.1):

d = def N = u − rank N .

(14.108)

Nakon otkrivanja uzroka singulariteta, beskona~ni skup re{enja moè da se dobije na jedan od slede}a dva na~ina [THOMPSON, 1969]: izraàvanjem prvih u − d nepoznatih u funkciji preostalih d nepoznatih, ili izraàvanjem svih nepoznatih u funkciji d zajedni~kih veli~ina za koje se zna da su uzrok neodredivosti. U pomenutom primeru trougla to bi zna~ilo da se dve strane izraze u funkciji varijabilne tre}e, ili da se sve tri strane izraze u funkciji zajedni~kog varijabilnog faktora razmere.

318


§ 14.5

Drugi na~in re{avanja singularnih problema je postavljanje odre|enog skupa ograni~enja. Ova ograni~enja, ma {ta da predstavljaju, uvek se mogu napisati kao ograni~enja s po~etka ovog podpoglavlja, tj. kao (95), ili u linearizovanom obliku kao (97). Stoga se rang defektna dizajn matrica A moè pro{iriti na slede}i na~in:

⎡ A⎤ A→⎢ ⎥ , ⎣ D⎦

(14.109)

pa shodno tome matrica normalnih jedna~ina postaje:

⎡N N →⎢ ⎣D

DT ⎤ ⎥ . 0 ⎦

(14.110)

Da bi postojalo re{enje, rang pro{irene matrice mora zadovoljiti slede}u nejednakost:

⎡N ⎡ A⎤ rank ⎢ ⎥ ≡ rank ⎢ ⎣ D⎦ ⎣D

DT ⎤ ⎥≥u . 0 ⎦

(14.111)

Ako je rang ve}i od u , za problem se kaè da ima preograni~eno re{enje, i to je situacija koju smo imali na po~etku ovog podpoglavlja. Treba napomenuti da je u preodre|enim re{enjima sasvim mogu}e da rang od D bude manji od broja jedna~ina ograni~enja, a istovremeno ve}i od defekta ranga matrice A . Ovakva situacija moè se javiti kada se koriste zavisna ograni~enja. Pogledajmo sada slu~aj kada je rang od D jednak broju jedna~ina ograni~enja i istovremeno defektu ranga od A . Tada vaì:

⎡ A⎤ rank ⎢ ⎥ = rank A+ rank D m = (u − d ) + d = u . ⎣ Dm ⎦

(14.112)

Ograni~enja koja zadovoljavaju ovu jedna~inu zovu se minimalna ograni~enja, a njihova dizajn matrica ozna~ava se sa Dm . Pomo}u njih se dobijaju re{enja minimalnim ograni~enjima, i to po istim op{tim principima koji su kori{}eni u prvom delu ovog podpoglavlja. Jedina razlika je, kao {to }emo videti kasnije, {to je neophodan specijalni algoritam da se izbegne singularitet matrice N .

§ 14.5


319

Naro~ito popularna vrsta minimalnih ograni~enja su takozvana unutra{nja ograni~enja, koja zadovoljavaju slede}i uslov:

ADiT = 0 .

(14.113)

Iako na prvi pogled izgleda apstraktno, mogu}e je dokazati [BLAHA, 1982] da ovaj uslov vodi slede}em svojstvu:

min tr Cδˆ ,

(14.114)

Di ∈Dm

{to zna~i da ovaj naro~iti izbor Dm vodi u op{tem slu~aju manjim varijansama parametara u celini. Formalno, svojstvo dato sa (114) predstavlja definiciju dizajn matrice unutra{njih ograni~enja Di . Glavna privla~nost unutra{njih ograni~enja leì naravno u ~injenici da su ona saglasna op{tem pona{anju MNK re{enja (svojstvo (c) u podpoglavlju 13.1). Korisno je napomenuti da se ~itava familija ograni~enja H i moè dobiti iz Di prostim mnoènjem sa nekom matricom J :

H i = JDi ,

(14.115)

pri ~emu J mora biti saglasno sa Di i regularno. U ovom kontekstu, za Di se kaè da predstavlja osnovni skup unutra{njih ograni~enja, za koji }e poseban primer biti dat u podpoglavlju 17.1. U praksi, J se obi~no bira kao jedini~na matrica. U nekim primenama me|utim J se bira kao:

J = Da−1 ,

(14.116)

gde je Da prva d puta d unutra{njih ograni~enja:

Di = [D a

Db ] .

podmatrica particionisane d

puta u matrice

(14.117)

BLAHA [1982] je je koristio ovaj oblik da pokaè ekvivalentnost izme|u metode unutra{njih ograni~enja [PERELMUTER, 1979], i standardne metode unutra{njih ograni~enja kod koje je J = I .

320

§ 14.5


Singularni slu~aj sa upotrebljenim unutra{njim ograni~enjima moè se napisati kao (uporedi sa (99)):

⎡ δˆ ⎤ ⎡N ⎢ ˆ ⎥ = −⎢ ⎣ Di ⎣⎢k c ⎦⎥

−1

DiT ⎤ ⎡ u ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ , 0 ⎦ ⎣w c ⎦

(14.118)

gde je wc obi~no nula vektor. Ovakav izbor ne uti~e na svojstvo min tr C δˆ , ve} samo na odre|eni na~in pomera re{enja. Zainteresovani ~italac se za detalje upu}uje na BOSSLER ET AL., [1973]. Moè se videti da (118) ne moè biti re{eno na isti na~in kao (99) jer je N sada singularno. Re{enje se nalazi pomo}u slede}e zamene [THOMPSON, 1969]:

⎡N ⎢ ⎣ Di

DiT ⎤ ⎥ 0 ⎦

gde je:

−1

⎡R =⎢ ⎢⎣ Di DiT

(

(

R = ⎡ N + KDiT Di DiT ⎢⎣

)

)

−1

(

DiT Di DiT

−1

Di −1

)

⎤ ⎥ , ⎥⎦

−1

0

(

Di ⎤ ⎡ I − DiT Di DiT ⎥⎦ ⎢⎣

)

−1

Di ⎤ , ⎥⎦

(14.119)

(14.120)

a K je proizvoljna nesingularna matrica. Iz (118) i (119) sledi:

δˆ = − Ru .

(14.121)

BLAHA [1971] je dokazao da je uz to:

Cδˆ = R ,

(14.122)

gde je R simetri~no i jedinstveno uprkos kori{}enju proizvoljne matrice K . Naravno da je povoljno izabrati K tako da je K = K I ( K > 0 ), ili jo{ prostije K = I ( K = 1 ). Za posebna ograni~enja mogu se birati odgovaraju}e forme matrice K . Do re{enja singularnog ograni~enog problema (118) moè se do}i i upotrebom uop{tenih matri~nih inverzija. Razlog ovakvog izbora ponovo je singularitet matrice

N . Uop{tena ili g-inverzija S − singularne pravougaone matrice S defini{e se kao:

S − ⇔ SS − S = S .

(14.123)

§ 14.6

Sekvencijalni postupci u dinami~kim i stati~kim problemima

321

RAO AND MITRA [1971] su izveli niz mogu}ih g- inverzija od kojih samo pominjemo g- inverziju minimalne norme ( S m− ) i MNK g-inverziju ( Sl− ). Najrestriktivnija ginverzija je ve} pomenuta pseudoinverzija (podpoglavlje 11.3), poznata kao MurPenrouzova g-inverzija ( S + ), i definisana kao:

S + ⇔ SS + S = S i S + SS + = S + .

(14.124)

Ustvari, moè se pokazati da je ranije pomenuta matrica R pseudoinverzija matrice N :

R= N+ .

(14.125)

Shodno tome, re{enja pseudoinverzijama daju jedna~ine identi~ne ve} izvedenim ((121) i (122)). Kao {to je ranije konstatovano, re{enje pseudoinverzijom δˆ p ima svojstvo min δˆ δˆ T δˆ = min δˆ δˆ zato {to je pseudoinverzija istovremeno i g-inverzija minimalne norme. Ovo je dodatno svojstvo, pored ve} pomenutog min δˆ tr C δˆ (114) i o~iglednog min δˆ rˆ . Osim toga, pseudoinverzija je i MNK g-inverzija. Primetimo da su obe norme u razli~itim prostorima i da se odnose na razli~ite metrike. Metrika u prostoru X je I , dok je u L C r−1 . Postoje i druge matemati~ki ekvivalentne metode primene unutra{njih ograni~enja. 14.6. Sekvencijalni postupci u dinami~kim i stati~kim problemima Op{ti tranzicioni odnosno sekvencijalni postupak ve} je bio opisan u podpoglavlju 10.3 jedna~inom (10.23), gde je S ozna~avalo matricu tranzicije od stanja do stanja, a s je ozna~avalo vektor stanja. U op{tem slu~aju s moè biti stati~ko (vidi sliku 11), ili se moè menjati od koraka do koraka. O prvom slu~aju moè se razmi{ljati kao o op{tem iterativnom postupku. U vremenski zavisnom slu~aju, vektoru se dodeljuju indeksi k − 1, k , k + 1, … , koji ozna~avaju pojedine korake u vremenu. Ovi onda odgovaraju epohama τ k −1 , τ k , τ k +1 , … , i svaki vektor stanja pripada tada razli~itom prostoru re{enja (vidi sliku 12).

322


§ 14.6

SLIKA 14.11. Sekvencijalni (iterativni) proces sa stati~kim vektorom stanja x .

SLIKA 14.12. Sekvencijalni proces sa promenljivim vektorom stanja x .

Primer sekvencijalnog postupka u stati~koj situaciji, gde indeksi nisu ozna~avali vremenske epohe, bio je predstavljen u podpoglavlju 14.5, jedna~inom (102), koja je mogla biti napisana i kao:

δˆ (k ) = S k , k −1 δ (k −1) + const. za k = 2 .

(14.126)

§ 14.6


323

U tom primeru tranziciona matrica S k , k −1 imala je poseban oblik, oblik inverzije

N −1 i dizajn matrice ograni~enja D , a konstantni ~lan bio je tako|e funkcija od D , N i w c . Jedna~ina pokazuje primenu samo jednog ograni~enja, ali nije te{ko videti da moè postati iterativni proces sukcesivnom primenom vi{e ograni~enja. Sli~no tome, o iterativnom procesu uklanjanja efekata nelinearnosti diskutovanom u podpoglavlju 12.2, moè se razmi{ljati kao o jednom sekvencijalnom postupku stati~kog tipa. Drugi primer sekvencijalnog postupka bio je dat u podpoglavlju 14.4, gde je kombinacija dva matemati~ka modela ((87) i (88)) mogla biti napisana i kao:

f k −1 ( x k −1 , l k −1 ) = 0 , f k ( x k , l k ) = 0 .

(14.127)

U toj jedna~ini kori{}ena su dva skupa opaànja, l k −1 = l i l k = x (0 ) , kako bi se ocenili isti nepoznati parametri xˆ . Ni re{enje xˆ nije bilo napisano u sekvencijalnom obliku. To }e biti ura|eno u ovom podpoglavlju, kao ilustracija jednog op{tijeg vremenski promenljivog, tj. dinami~kog slu~aja, ~ija je diskusija sada na redu. Zahvalno je znati da sve sekvencijalne metode opisane u geodetskoj literaturi, predstavljaju samo specijalne slu~ajeve jednog kompleksnijeg slu~aja poznatog pod imenom Kalmanovo filtriranje. Mi }emo dati pregled izvo|enja jedna~ina Kalmanovog filtera uz pomo} koncepata predstavljenih u poglavljima 12 i 14. îtalac moè na}i alternativne izvode u MORRISON [1969] i MORITZ [1973]. Originalni izvod je mnogo komplikovaniji [KALMAN, 1960]. Za po~etak, parametri x i opaànja l smatraju se promenljivim sa vremenom. Ozna~avaju}i trenutnu epohu sa τ k , a prethodnu epohu sa τ k −1 , tri modela koji ~ine filter glase:

f ( x k −1 , l k −1 ) = 0 f (x k , l k ) = 0

f k −1, k ( x k −1 , x k ) = 0

za τ k −1 ,

(14.128)

za τ k ,

(14.129)

za τ k −1 , τ k ,

(14.130)

pri ~emu prva dva predstavljaju primarne modele za dve epohe τ k i τ k −1 , uzete ovde da su istog oblika f . Funkcija f k −1, k je sekundarni ili dinami~ki model koji opisuje funkcionalnu vezu (ograni~enje) izme|u vektora stanja dve sukcesivne epohe τ k −1 , τ k . Ovaj dinami~ki model ve} smo predstavili u podpoglavlju 10.3 pod imenom modela dinami~kog procesa. Dva vektora opaànja l k −1 , l k smatraju se me|usobno nezavisnim, sa regularnim kovarijacionim matricama C lk −1 i C lk .

324


§ 14.6

Njihova kros kovarijaciona matrica je C lk −1 , lk = 0 . Osim toga pretpostavlja se da je

dim f k −1, k = dim x = u . Primarni modeli imaju slede}e linearizovane verzije:

f ( x k −1 , l k −1 ) = w k −1 + Ak −1 δk −1 + B k −1 rk −1 = 0 , f ( x k , l k ) = w k + Ak δk + B k rk = 0 , gde je:

(

)

w = f x (0 ) , l , δ = x− x

(0 )

(14.131) (14.132) (14.133)

.

(14.134)

Nakon linearizacije dinami~ki model postaje:

f k −1, k = u k −1, k +

∂ f k −1, k ∂ x k −1

δk −1 +

Ozna~avaju}i Jakobijan matricu ∂ f ∂ x k regularna, dobijamo:

∂ f k −1, k ∂ xk

δk = 0 .

(14.135)

sa D k , i pretpostavljaju}i da je

δk = − Dk−1 Dk −1 δk −1 + Dk−1 uk −1, k ,

(14.136)

δk = S k −1, k δk −1 + ε k −1, k .

(14.137)

ili

Primetimo da kad se koristi eksplicitni dinami~ki model x k = g ( x k −1 ) umesto implicitnog (130), {to je ina~e ~esto slu~aj, nije potrebna nikakva matri~na inverzija, pa prema tome ni pretpostavka o regularnosti D k . Interesantno je uporediti ovu jedna~inu sa (10.23). Imaju}i u vidu da δ ima ulogu s iz podpoglavlja 10.3, i da je S k −1, k tranziciona matrica dobijena samo iz dinami~kog modela, dve jedna~ine se razlikuju za vektor:

(

)

ε k −1, k = D k−1 f k −1, k x k(0−)1 , x k(0 ) ,

(14.138)

ili u slu~aju eksplicitnog modela za vektor:

( )

ε k −1, k = g x k(0−)1 − x k(0 ) ,

(14.139)

§ 14.6


325

koji se zove gre{kom dinami~kog modela. O~igledno je da je ova gre{ka projekcija nezatvaranja u k −1, k dinami~kog procesa u prostor parametara X . Ako je izbor ta~ke razvoja x (0 ) slu~ajan, onda je i ε slu~ajno. Obi~no se pretpostavlja da k −1, k

k

kada se ta~ka razvoja dobija iz:

x k(0 ) = g ( xˆ k −1 ) ,

(14.140)

( )

(14.141)

sledi da je:

ε k −1, k = g x k(0−)1 − g ( xˆ k −1 ) ,

i da je matemati~ko o~ekivanje E(ε ) nula, sa regularnom apriori kovarijacionom matricom C ε k −1, k . Jedna~ine koje daju re{enje kombinacije gornja tri modela dobijaju se na uobi~ajeni na~in konstrukcijom varijacione funkcije. Po{to postoje tri slu~ajna vektora rk −1 , rk , ε k −1, k ~ije norme treba minimalizovati, kao i tri modela, postoje i tri kvadratne forme, tri linearizovana modela i tri vektora korelata u varijacionoj funkciji φ :

φ = rkT−1C l−k 1−1 rk −1 + rkT C l−k 1 rk + ε kT−1, k C ε−k1−1, k ε k −1, k + 2 k kT−1 ( Ak −1 δk −1 + B k −1 rk −1 + w k −1 ) + 2 k kT ( Ak δk + B k rk + w k ) + 2 k kT−1, k (− S k −1, k δk −1 + δk − ε k −1, k ) .

(14.142) Po nalaènju parcijalnih izvoda varijacione funkcije i njihovim izjedna~avanjem sa nulom dobijaju se MNK normalne jedna~ine koje u razvijenom obliku glase:

326

§ 14.6


⎡C l−1 ⎢ k −1 ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ B k −1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0

0

0

B kT−1

0

0

0

C l−k1

0

0

B kT

0

0

−1

0 0 0

0 0 0

−I

0 Ak −1 0

0 AkT−1 0

0 0 AkT

0 − S kT−1, k I

0 0 Bk

C ε k −1, k

0 0 0

−I

0 0 0 0

0 0

− S k −1, k

0 0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ Ak ⎥ ⎥ I ⎥ ⎥ 0⎥ 0 ⎥⎦

⎡ rˆk −1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ rˆ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ k ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ εˆ k −1, k ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ˆ ⎥ ⎢ ⎥ k k −1 ⎥ ⎢ w k −1 ⎥ ⎢ × ˆ + =0 . ⎢ k ⎥ ⎢w ⎥ k k ⎢ˆ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢k k −1, k ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ δˆ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ k −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ δˆ k ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥

(14.143)

Prvi korak u dobijanju izraza za Kalman filter je eliminacija prva ~etiri vektora uz pomo} tehnike prikazane u podpoglavlju 3.1. Ozna~avaju}i ponovo matricu teìna opaànja transformisanu u prostor modela F sa M , i preure|enjem dobijene matri~ne jedna~ine, dobija se slede}i rezultat:

⎡ N k −1 ⎢ ⎢− S k −1, k ⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0

− S kT−1, k − C ε k −1. k

0 I

I 0

0 Ak

⎤ ⎡δˆ k −1 ⎤ ⎡u k −1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ˆ ⎥ ⎥ ⎢k k −1, k ⎥ + ⎢0 ⎥ = 0 . ⎥ ⎢0 ⎥ AkT ⎥ ⎢δˆ k ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −1 − M k ⎦⎥ ⎣⎢kˆ k ⎦⎥ ⎣ w k ⎦ 0 0

(14.144)

Ovde je kao i obi~no (uporedi sa (12.23)):

(

N k −1 = AkT−1 B k −1C lk −1 B kT−1

)

−1

Ak −1 = AkT−1 M k −1 Ak −1 ,

a nova desna strana jedna~ine je (uporedi sa (12.24)):

(14.145)

§ 14.6


u k −1 = AkT−1 M k −1 w k −1 .

327

(14.146)

Prva jedna~ina gornjeg sistema daje slede}e re{enje za prira{taj vektora stanja u (k − 1) koraku:

δˆ k −1 = δk(1−)1 + N k−−11 S kT−1, k kˆ k −1, k ,

(14.147)

gde je δk(1−)1 = − N k−−11 u k −1 parcijalno re{enje za δk −1 iz f k −1 (uporedi sa (12.26)). Veli~ina δˆ k −1 ponekad se naziva ugla~anom vredno{}u veli~ine δk −1 , jer se trenutna informacija l koristi za popravljanje δ (1) ocenjenog u pro{losti. k −1

k

Vratimo se sada glavnom problemu, tj. izraàvanju vektora xˆ k u funkciji poznatih veli~ina. U te svrhe koristi se (134), gde je x (0 ) dato sa (140), a δˆ treba oceniti iz k

k

(144). Uzimanjem (144), i eliminacijom redom δˆ k −1 , kˆ k −1, k i kˆ k uz pomo} tehnike pokazane u podpoglavlju 3.1, dobija se:

(

gde je:

)

δˆ k = δk(1) − G k w k + Ak δk(1) ,

(14.148)

δk(1) = S k −1, k δˆ k −1 .

(14.149)

Matrica G k zove se dobitna matrica i jednaka je:

(

G k = C x (0 ) AkT B k C lk B kT + Ak C x (0 ) AkT k

k

)

−1

,

(14.150)

pri ~emu je C x ( 0 ) kovarijaciona matrica prognoziranog vektora stanja x k(0 ) , koja se k

dobija primenom kovarijacionog zakona na (140):

C x (0 ) = C ε k −1, k + S k −1, k C xˆ k −1 S kT−1, k . k

(14.151)

I kona~no, kovarijaciona matrica ocenjenog vektora stanja xˆ k = x k(0 ) + δˆ k dobija se upotrebom kovarijacionog zakona na (134). Posle sre|ivanja, rezultat je:

C xˆ k = (I − G k Ak ) C x (0 ) . k

(14.152)

328

§ 14.6


SLIKA 14.13. Jedan korak Kalmanovog filtera.

Jedna~ine (140), (148) i (152) ~ine jedna~ine Kalmanovog filtera. One se koriste rekurzivno i to redosledom kako su navedene. Na~in funkcionisanja Kalmanovog filtera dat je na slici 13. Ostaje da pomenemo da proces Kalmanovog filtriranja otpo~inje izborom pogodne vrednosti za x (0 ) i ra~unanjem δˆ , xˆ i C iz (131), 0

0

0

xˆ 0

(134) i (152). Od tog momenta, proces se nastavlja prema opisanom na~inu. MORRISON [1969] je dao alternativne jedna~ine poznate kao Bajesov filter, koje su pod odre|enim uslovima ra~unski mnogo efikasnije nego {to su to Kalmanovi izrazi. One su u su{tini iste kao Kalmanove jedna~ine, osim matrice dobitka koja glasi:

G k = C xˆ k AkT M k ,

(14.153)

i jedna~ine za kovarijacionu matricu vektora stanja:

(

C xˆ k = C xˆ−k1−1 + N k

)

−1

.

(14.154)

Bajesove i Kalmanove jedna~ine filtera ekvivalentne su matemati~ki, ali se razlikuju sa aspekta ra~unanja jer zahtevaju razli~iti broj operacija. Njihova matemati~ka

§ 14.6


329

ekvivalentnost lako se dokazuje matri~nim lemama (3.22) i (3.23). Primena prve leme na Bajesov izraz za kovarijacionu matricu (154) daje rezultat koji ta~no odgovara Kalmanovom izrazu (152). Jednakost dve dobitne matrice (150) i (153) dokazuje se drugom lemom. Kao {to je napomenuto na po~etku ovog podpoglavlja, stati~ki postupci u kojima je vektor stanja fiksiran, predstavljaju samo specijalni slu~aj dinami~kog postupka. Sekvencijalne jedna~ine [SCHMID AND SCHMID, 1965], slede direktno iz Kalmanovih jedna~ina, ako se uo~i da dinami~ki proces (137) postaje stati~ki kada je: x (0 ) = xˆ , (14.155) k

k −1

tako da je S k −1, k = I , ε k −1, k = 0 i C ε k −1, k = 0 . Na taj na~in dobija se:

(

δˆ k = δˆ k −1 − G k w k + Ak δˆ k −1

),

(14.156)

gde je

(

G k = C xˆ k −1 AkT B k C lk B kT + Ak C xˆ k −1 AkT

)

−1

,

(14.157)

i

C xˆ k = (I − Gk Ak ) C xˆ k −1 .

(14.158)

Ovde se δˆ 0 , C xˆ 0 odre|uju samo iz prvog modela (131). Pokazano je [KRAKIWSKY, 1975] da su ove sekvencijalne jedna~ine ekvivalentne jedna~inama koje je izveo TIENSTRA [1956]. Primetimo da je u izrazima od (156) do (158), efekat novih podataka dat kroz dodatni ~lan. Primena istog postupka na jedna~ine Bajesovog filtera daje isti izraz (156) za δˆ k , gde je G k dato sa (153), a C xˆ k sa (154). Jedna~ine (156) i (154) zajedno sa gornjim jedna~inama za δˆ k −1 i C xˆ k −1 konstitui{u takozvane fazne jedna~ine. Uvedimo sada skup jedna~ina koje se nazivaju zbirnim jedna~inama, i koje su matemati~ki ekvivalentne i sekvencijalnim i faznim jedna~inama. One slede direktno iz (128) i (129). Koriste}i istu tehniku kao malopre, dobija se:

330


§ 14.6

−1 δˆ k = −( N k −1 + N k ) (u k −1 + u k ) = − N −1 u ,

(14.159)

C δˆ = ( N k −1 + N k ) = N −1 .

(14.160)

i −1

k

Pogledom na ove jedna~ine postaje jasno za{to se one nazivaju zbirnim. Primetimo da matrice ( N k −1 , N k −1 + N k , …) koje su reda u , moraju biti invertovane u svakom koraku procesa. Po{to su Kalmanov i Bajesov filter matemati~ki ekvivalentni za tretman dinami~kih procesa, a sli~no tome su sekvencijalne, fazne i zbirne jedna~ine ekvivalentne za tretman stati~kih slu~ajeva, ostaje pitanje da li ima razlike u upotrebi jednog ili drugog procesa. Razlike ima, ali samo sa stanovi{ta ra~unanja, jer je za razli~ite procese potrebno invertovati matrice razli~itih dimenzija u svakom koraku. Pregled ovih razlika, sa izuzetkom ra~unanja xˆ 0 , C xˆ 0 , dat je u tabeli 3. Ona pokazuje da je Kalmanov filter ekonomi~niji od Bajesovog, a da je sekvencijalni postupak ekonomi~niji od ostala dva pristupa kada su u pitanju statisti~ki zavisna opaànja. Situacija je obrnuta kada se razmatraju statisti~ki nezavisna opaànja i eksplicitni modeli. A kada su u upotrebi retke matrice, situacija se ponovo menja. Zainteresovani ~italac se za detalje upu}uje na KNIGHT AND MEPHAM [1978]. TABELA 14.3 Veli~ine matrica koje je potrebno invertovati ( m = dim f , u = dim x , n = dim l ) Implicitni ili eksplicitni modeli puna matrica Clk

Eksplicitni modeli dijagonalna matrica Clk

Kalman Bajes

m m, u

m u

Sekvencijalne Fazne Zbirne

m m, u n, u

m u u

DEO III

LITERATURA

ABRAMOWITZ, M. AND I.A. STEGUN (EDS.) (1964). Handbook of Mathematical Functions. Dover reprint, 1965. AHLBERG, J.H., E.N. NILSON AND J.L. WALSH (1967). The Theory of Splines and their Applications. Academic Press. BAARDA, W. (1967). Statistical concepts in geodesy. Netherlands Geodetic Commission, Publications on Geodesy, New Series 2 (4), Delft, Netherlands. BAARDA, W. (1976). Reliability and precision of networks. Delft Geodetic Institute, Publications of the Computing Centre, Delft, Netherlands. BAYES, T. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Reprinted in Biometrika 45, pp. 293-315, 1958. BEN-ISRAEL, A. AND T.N.E. GREVILLE (1974). Generalized Inverse: Theory and Applications. WileyInterscience. BEREZIN, I.S. AND N.P. ZHIDKOV (1962). Computing Methods. Vol. I. Translated from Russian 2nd ed., 1965. Addison-Wesley. BJERHAMMAR, A. (1973). Theory of Errors and Generalized Matrix Inverses. Elsevier. BLACKMAN, R.B. AND J.W. TUKEY (1958). The Measurement of Power Spectra from the Point of View of Communications Engineering. Dover reprint, 1959. BLAHA, G. (1971). Inner adjustment constraints with emphasis on range observations. Department of Geodetic Science Report 148, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. BLAHA, G. (1978). Personal communication. BLAHA, G. (1982). Notes on equivalent forms of the general least-squares solution. Bull. Géod. 56, pp. 220-230. BOMFORD, G. (1971). Geodesy. 3rd ed., Oxford University Press. BOSSLER, J.D. (1972). Bayesian inference in geodesy. Ph.D. dissertation, Department of Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. Revised, 1976. BOSSLER, J.D., E. GRAFAREND AND R. KELM (1973). Optimal design of geodetic nets, 2. J. Geophys. Res. 78 (26), pp. 5887-5897. BURG, J.P. (1967). Maximum entropy spectral analysis. Paper presented at the 37th Meeting of the Society of Exploration Geophysicists, Oklahoma City, U.S.A., October 31. BURNSIDE, C.D. (1971). Electromagnetic Distance Measurement. In series "Aspects of Modern Land Surveying", Ed. J.R. Smith, Crosby Lockwood. CAPON, J. (1969). High resolution frequency-wavenumber spectrum analysis. Proc. IEEE 57 (8), pp. 1408-1418. CELMINS, A. (1973). Least squares adjustment with finite residuals for non-linear constraints and partially correlated data. U.S. Ballistic Research Laboratories Report 1658, Maryland, U.S.A. CHAUVENET, W. (1871). A Manual of Spherical and Practical Astronomy: Theory and Use of Astronomical Instruments. Method of Least Squares. Vol. II, 4th ed., Lippincott. CHENEY, E.W. (1966). Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill. COOK, A.H. (1973). Physics of the Earth and Planets. Macmillan. COOPER, M.A.R. (1974). Fundamentals of Survey Measurement and Analysis. Crosby Lockwood Staples.

331

332

LITERATURA, DEO III

COTLAR, M. AND R. CIGNOLI (1974). An Introduction to Functional Analysis. Translation from Spanish by A. Torchinsky and A. Gonzalez Villalobos of 1974 ed. by Editorial Universitaria de Buenos Aires, North-Holland. CROSS, P.A. AND K. THAPA (1979). The optimal design of levelling networks. Surv. Rev. XXV (192), pp. 68-79. CROW, E.L., F.A. DAVIS AND M.W. MAXFIELD (1960). Statistics Manual. Dover. DAVIS, P.J. (1963). Interpolation and Approximation. Dover reprint, 1975. DIXON, W.J. (1962). Rejection of observations. In: Contributions to Order Statistics, Eds. A.E. Sarhan and B.G. Greenberg, Wiley. DRAPER, N.R. AND H. SMITH (1967). Applied Regression Analysis. Wiley. FALLER, J.E. (1965). An absolute interferometric determination of the acceleration of gravity. Bull. Géod. 77, pp. 203-204. FELLER, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and its Applications. Vol. I, 3rd ed., Wiley. FORWARD, R.L. (1974). Review of artificial satellite gravity gradiometer techniques for geodesy. Proc. International Symposium on the Use of Artificial Satellites for Geodesy and Geodynamics, Ed. G. Veis. IAG and COSPAR, Athens, Greece, May 1973. National Technical University, pp. 157-192. GAUSS, K.F. (1809). Theory of the Motion of the Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections. Translation by Charles Henry Davis of Little Brown 1857 ed. Dover reprint, 1963. GODIN, G. (1972). The Analysis of Tides. University of Toronto Press. GOLD, B. AND C.M. RADER (1969). Digital Processing of Signals. McGraw-Hill. GOLDMAN, S. (1953). Information Theory. Dover reprint, 1968. GRAFAREND, E.W. (1974). Optimization of geodetic networks. Canad. Surv. 28 (5), pp. 716-723. GRAFAREND, E. AND A. D'HONE (1978). Gewichtsschatzung in Geodätischen Netzen. Deutsche Geodätische Kommission, Reihe A, Heft Nr. 88, Munich, Germany. GRAFAREND, E. AND P. HARLAND (1973). Optimales Design geodätischer Netze, 1. Deutsche Geodätische Kommission, Reihe A: Höhere Geodäsie, Heft Nr. 74, Munich, Germany. GRAYBILL, F.A. (1976). Theory and Application of the Linear Model. Duxbury. GUIER, W.H. AND G.C. WEIFFENBACH (1960). A satellite Doppler navigation system. Proc. IRE 48, April, pp. 507-516. HADLEY, G. (1964). Nonlinear and Dynamic Programming. Addison-Wesley. HAMILTON, W.C. (1967). Statistics in Physical Science. 2nd ed., Ronald. HANCOCK, H. (1917). Theory of Maxima and Minima. Dover reprint, 1960. HANSON, R.H. (1976). The new adjustment of the North American horizontal datum. ACSM Bull. 55, pp. 21-22. HIRVONEN, R.A. (1971). Adjustment by Least Squares in Geodesy and Photogrammetry. Ungar. HODGES, D.J. AND J.B. GREENWOOD (1971). Optical Distance Measurement. Butterworths. HOGG, R.V. AND A.T. CRAIG (1970). Introduction to Mathematical Statistics. 3rd ed., Macmillan. JEFFREYS, H. (1961). Theory of Probability. 3rd ed., Clarendon. JENKINS, G.M. AND D.G. WATTS (1968). Spectral Analysis and its Applications. Holden-Day. KALMAN, R.E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. J. Basic Engrg.-Trans. ASME, March, pp. 35-45. KNIGHT, W. AND M.P. MEPHAM (1978). Report on computer programs for solving large systems of normal equations: Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 357-363. KNIGHT, W. AND P. STEEVES (1974). Partial solution of the variance-convariance matrix of geodetic networks. Canad. Surv. 28 (5), pp. 686-689. KORN, G.A. AND T.M. KORN (1968). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. 2nd ed., McGraw-Hill. KRAKIWSKY, E.J. (1975). A synthesis of recent advances in the method of least squares. Department of Surveying Engineering Lecture Note 42, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. KRARUP, T. (1969). A contribution to the mathematical foundation of physical geodesy. Danish Geodetic Institute Publication No. 44, Kopenhagen, Denmark.

LITERATURA, DEO III

333

LANCZOS, C. (1957). Applied Analysis. Pitman. LAWSON, C.L. AND R.J. HANSON (1974). Solving Least Squares Problems. Prentice-Hall. LEHR, C.G., C.R.H. TSIANG, G.M. MENDES AND R.J. ELDRED (1974). Laser pulse analysis. Proc. International Symposium on the Use of Artificial Satellites for Geodesy and Geodynamics, Ed. G. Veis, IAG and GOSPAR, Athens, Greece, May 1973. National Technical University, pp. 109-118. LENNON, G.W. (1970). Sea level instrumentation, its limitations and the optimisation of the performance of conventional gauges in Great Britain. Report on the Symposium on Coastal Geodesy, Ed. R. Sigl. IUGG, IAG, Munich, Germany, July. Institut für Angewandte Geodäsie, pp. 181-200. LENNON, G.W. (1974). Mean sea level as a reference for geodetic leveling. Canad. Surv. 28 (5), pp. 524530. LIEBELT, P.B. (1967). An Introduction to Optimal Estimation. Addison-Wesley. LUENBERGER, D.G. (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley. MAGNESS, T.A. AND J.B. MCGUIRE (1962). Comparison of least squares and minimum variance estimates of regression parameters. Ann. Math. Statist. 33 (2), pp. 462-470. MELCHIOR, P. (1978). The Tides of the Planet Earth. Pergamon. MIKHAIL, E.M. (1976). Observations and Least Squares. IEP−A dun-Donnelley Publisher. MILLER, R.G. (1966). Simultaneous Statistical Inference. McGraw-Hill. MORITZ, H. (1972). Advanced least squares methods. Department of Geodetic Science Report 175, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. MORITZ, H. (1973). Stepwise and sequential collocation. Department of Geodetic Science Report 203, The Ohio State University, U.S.A. MORRISON, N. (1969). Introduction to Sequential Smoothing and Prediction. McGraw-Hill. MUELLER, I.I. (1963). Geodesy and the torsion balance. J. Surv. Map. Div. Proc. Am. Soc. Civ. Engrg. 89, pp. 123-155. MUELLER, I.I. (1964). Introduction to Satellite Geodesy. Ungar. MUELLER, I.I. (1969). Spherical and Practical Astronomy as Applied to Geodesy. Ungar. NICKERSON, B.G., E.J. KRAKIWSKY, D.B. THOMSON, M.L. SYVERSON-KRAKIWSKY AND J.M. CRAWFORD (1978). Design of survey networks using interactive computer graphics. Proc. 38th Annual Meeting of the American Congress on Surveying and Mapping, Washington, D.C., U.S.A., February, pp. 378-388. OTNES, R.K. AND L. ENOCHSON (1972). Digital Time Series Analysis. Wiley. PARTHASARATHY, K.R. AND K. SCHMIDT (1972). Positive Definite Kernels, Continuous Tensor Products, and Central Limit Theorems of Probability Theory. In series "Lecture Notes in Mathematics", Eds. A. Dold and B. Eckmann, Springer. PERELMUTER, A. (1979). Adjustment of free networks. Bull. Géod. 53 (4), pp. 291-295. POPE, A.J. (1974). Two approaches to nonlinear least squares adjustments. Canad. Surv. 28 (5), pp. 663669. POPE, A.J. (1976). The statistics of residuals and the detection of outliers. NOAA Technical Report NOS 65 NGS 1, U.S. Department of Commerce, Rockville, U.S.A. QUESENBERRY, C. AND H. DAVID (1961). Some tests for outliers. Biometrika, 48, pp. 379-390. RAO, C.R. AND S.K. MITRA (1971). Generalized Inverse of Matrices and its Applications. Wiley. REVUZ, D. (1975). Markov Chains. North-Holland. ROBBINS, A.R. (1976). Military engineering: Field and geodetic astronomy. Vol. 13, Part 9, Ministry of Defence Army Code No. 71091, School of Military Survey, Hermitage, Newbury, Berkshire, U.K. SAVAGE, I.R. (1953). Bibliography of nonparametric statistics and related topics. J. Am. Statist. Assoc. 48, pp. 844-906. SCHMID, H.H. AND E. SCHMID (1965). A generalized least squares solution for hybrid measuring systems. Canad. Surv. 19 (1), pp. 27-41. SCHWARZ, C.R. (1969). The use of short arc orbital constraints in the adjustment of geodetic satellite data. Department of Geodetic Science Report 118, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. SIEGEL, S. (1956). Nonparametric Statistics: For the Behavioral Sciences. McGraw-Hill. SINGER, I. (1970). Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Translated from Russian by R. Georgescu, Springer.

334

LITERATURA, DEO III

SMITH, J.R. (1970). Optical Distance Measurement. In series "Aspects of Modern Land Surveying", Ed. J.R. Smith, Crosby Lockwood. STEEVES, R.R. (1978). A note on the optimal design of geodetic networks. Personal communication, Department of Surveying Engineering, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. STEFANSKY, W. (1972). Rejecting outliers in factorial designs. Technometrics 14 (2), pp. 469-479. SYNGE, J.L. AND A. SCHILD (1949). Tensor Calculus. University of Toronto Press. THEIL, H. (1963). On the use of incomplete prior information in regression analysis. J. Am. Statist. Assoc. 58, pp. 401-414. THOMPSON, E.H. (1969). An Introduction to the Algebra of Matrices with some Applications. University of Toronto Press. THOMPSON, W. (1935). On the criterion for the rejection of observations and the distribution of the ratio of deviation to sample standard deviation. Ann. Math. Statist. 6, pp. 214-219. TIENSTRA, J.M. (1956). Theory of the Adjustment of Normally Distributed Observations. Edited by his friends. N.V. Uitgeverij Argus. VALI, V., R.S. KROGSTAD AND R.W. MOSS (1965). Laser interferometer for earth strain measurement. Rev. Sci. Instrum. 36, pp. 1352-1355. VANÍÊK, P. (1971). Further development and properties of the spectral analysis by least-squares. Astrophys. and Space Sci. 12, pp. 10-33. VEIS, G. (ED.) (1963). The Use of Artificial Satellites for Geodesy. Proceedings of the First International Symposium on the Use of Artificial Satellites for Geodesy. GOSPAR IUGG, Washington, D.C., U.S.A., April, 1962. North-Holland. WILKS, S.S. (1962). Mathematical Statistics. Wiley. WILLKE, T.A. (1965). Useful alternatives to Chauvenet's rule for rejection of measurement data. Statistical Engineering Laboratory Report, U.S. National Bureau of Standards, Washington, D.C., U.S.A. WONNACOTT, T.H. AND R.J. WONNACOTT (1972). Introductory Statistics. 2nd ed., Wiley. WREDE, R.C. (1963). Introduction to Vector and Tensor Analysis. Dover reprint, 1972. ZYGMUND, A. (1968). Trigonometric Series. Vol. 1 and 2, Cambridge University Press.

DEO IV

POZICIONIRANJE

POGLAVLJE 15

APSOLUTNO POZICIONIRANJE

Apsolutnim pozicioniranjem naziva se odre|ivanje koordinata ta~aka na kopnu, moru ili u prostoru, u odnosu na odre|eni koordinatni sistem. Problem apsolutnog pozicioniranja neke ta~ke moè se ovako formulisati: ako su date koordinate opaànih ekstraterestri~kih objekata kao {to su zvezde ili sateliti, i merenja za veli~ine koje povezuju terestri~ku ta~ku sa ovim objektima, izra~unati koordinate ta~ke. Pozicioniranje ta~ke u odnosu na druge terestri~ke ta~ke obra|eno je u poglavlju 16. Po{to se pozicioniranje ta~ke moè izvesti na tri razli~ita na~ina, potrebne su tri klase koordinatnih sistema: terestri~ki koordinatni sitem za pozicioniranje ta~aka na Zemlji, nebeski koordinatni sistem za vidljive zvezde, i orbitalni koordinatni sistem za opaànje satelita. Kretanja Zemlje i satelita predstavljaju osnovu za definisanje ovih koordinatnih sistema. Sama Zemlja ima dva periodi~na kretanja koja su u ovom kontekstu va`na: kre}e se oko Sunca, i obr}e se oko svoje ose rotacije (vidi poglavlje 5). Jedini prirodni satelit (Mesec) i mnogobrojni ve{ta~ki sateliti kre}u se nezavisno oko Zemlje. Terestri~ki koordinatni sistemi vezani su za Zemlju, pa se obr}u i kre}u oko Sunca zajedno sa njom. Nebeski koordinatni sistemi ne kre}u se oko Sunca, ali se mogu obrtati istom brzinom kao Zemlja. Orbitalni koordinatni sitemi se ne okre}u sa Zemljom, ali se zajedno sa njom kre}u oko Sunca. Prvo podpoglavlje ovog poglavlja sadrì osnove astronomskog pozicioniranja, i sastoji se uglavnom od definicija glavnih nebeskih koordinatnih sistema. Drugo podpoglavlje obra|uje matemati~ke modele koji se koriste u astronomskom odre|ivanju koordinata, pri ~emu je predstavljen i model astronomskih azimuta. Tre}e podpoglavlje bavi se matemati~kim modelima odre|ivanja poloàja ta~ke iz opaànja prema satelitima. êtvrto podpoglavlje obra|uje pozicioniranje referentnog elipsoida, transformaciju poloàja sa jednog elipsoida na drugi i preslikavanje elipsoida na ravan. U modelima koji }e biti predstavljeni ne}e se podrazumevati nikakve vremenske deformacije Zemlje. Ta~ka koja se pozicionira smatra}e se stacionarnom u odnosu na Zemlju, a pozicioniranje pokretnih ta~aka bi}e obra|eno u poglavlju 16 kao deo navigacije. 337

338


§ 15.1

15.1. Osnove geodetske astronomije Po~nimo diskusiju sa nebeskim sistemima koordinata. Po{to je rastojanje od Zemlje do najbliè zvezde (isklju~uju}i Sunce) preko 10 9 puta ve}e od Zemljinog polupre~nika, dimenzije Zemlje se o~igledno mogu u tim odnosima smatrati zanemarljivo malim. Zvezde u na{oj galaksiji su skoro nepokretne, iako se veruje da same galaksije putuju brzinama koje su uporedive sa brzinom svetlosti. Ipak, za opaà~a sa Zemlje ~ak i ova kretanja izgledaju jako spora, jer izazivaju pomeranja koja retko prelaze jednu lu~nu sekundu godi{nje. Stoga se moè smatrati da su zvezde i galaksije sme{tene na povr{ini sfere ogromnih dimenzija koja se zove nebeska sfera (vidi podpoglavlje 1.1), sa Zemljom u njenom centru, na isti na~in kao {to je to bilo u podpoglavlju 5.1. U tom slu~aju, pravci na Zemlji i u solarnom sistemu mogu biti produèni do nebeske sfere. Ta~ke i krive na nebeskoj sferi dobijene na ovaj na~in, ~ine osnovu za definisanje svih nebeskih koordinatnih sistema. Zemljina trenutna osa rotacije (vidi podpoglavlje 5.2) probija nebesku sferu u severnom nebeskom polu (NCP) i ju`nom nebeskom polu (SCP) - vidi sliku 1.

SLIKA 15.1. Nebeska sfera.

§ 15.1

Osnove geodetske astronomije

339

Zemljina ekvatorska ravan, tj. ravan koja je normalna na obrtnu osu i sadrì centar mase Zemlje C , se~e nebesku sferu po nebeskom ekvatoru. Ravan paralelna nebeskom ekvatoru se~e nebesku sferu po maloj kru`nici koja se zove nebeska paralela. Svaka velika kru`nica koja sadrì polove i normalna je na ekvator i paralele, zove se astronomski (nebeski) meridijan. Vektor teè opaà~a g , produèn navi{e, probija nebesku sferu u ta~ki koja se zove zenit opaà~a, a produèn naniè defini{e ta~ku koja se zove nadir opaà~a. Velika kru`nica dobijena pomo}u ravni upravne na vektor teè opaà~a zove se nebeski horizont. Male kru`nice dobijene ravnima paralelnim nebeskom horizontu su almukantarati. Svaka ravan koja sadrì vektor teè je vertikalna, i njen presek sa nebeskom sferom zove se vertikalni krug. Vertikalna ravan normalna na astronomski meridijan zove se prvi vertikal, i on preseca nebeski horizont defini{u}i na taj na~in pravac istoka i zapada. Da bi se definisao poloàj zvezde na nebeskoj sferi, jedino {to je potrebno je pravac ka njoj. Pravac se najjednostavnije defini{e kao jedini~ni vektor u polarnim koordinatama ( r , θ , λ - vidi podpoglavlje 3.3), ali po{to je prva koordinata r uvek jednaka jedinici, vektor se ustvari defini{e samo sa dva ugla. To je pristup kojeg smo mi ovde usvojili. Svi nebeski sistemi smatra}e se sfernim, a definisa}e ih poloàj i orijentacija osa reprezentativnog kartezijanskog sistema. Po~nimo sa nebeskim ekvatorskim sistemom (RA), najva`nijim od svih nebeskih sistema (vidi podpoglavlje 1.1). On je heliocentri~an, tj. njegov po~etak je u Suncu ( H ), z RA osa uperena je prema NCP, x RA osa prema ta~ki prole}ne (vidi podpoglavlje 5.2), i sistem je desne orijentacije (slika 2). ravnodnevnice Deklinacija δ zvezde ( S ) je ugao izme|u nebeske ekvatorske ravni i pravca od H

SLIKA 15.2. Nebeski ekvatorski sistem.

340


§ 15.1

prema S , meren u ravni astronomskog meridijana zvezde S . Rektascenzija α zvezde S je ugao u ekvatorskoj ravni izme|u i astronomskog meridijana zvezde S , meren u smeru obrnutom od smera kretanja kazaljke kada se gleda sa NCP. Jedini~ni vektor koji opisuje pravac ka S u ovom sistemu je :

e RA

⎡ x⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ y⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦

RA

⎡cos δ cos α ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ cos δ sin α ⎥ , ⎢⎣ sin δ ⎥⎦

(15.1)

dok su uglovi u slede}oj vezi sa kartezijanskim komponentama:

δ = arcsin z RA ,

(15.2)

α = arctan ( y RA / x RA ) .

Po{to α ∈ 0, 2π ) , druga jedna~ina nosi sa sobom nesigurnost koja iznosi π . Zato je bolje koristiti ekvivalentnu jedna~inu za polovinu ugla:

y RA

α = 2arctan x

RA

+

(x ) + (y ) RA 2

RA 2

,

(15.3)

koja je u potpunosti odre|ena. Ovo je sistem u kojem se publikuju poloàji zvezda. Postoje me|utim izvesne komplikacije u vezi ovog sistema. Zbog precesije i nutacije (vidi podpoglavlje 5.2), NCP koji je definisan Zemljinom trenutnom osom rotacije, kre}e se me|u zvezdama u funkciji vremena. Prema tome i koordinatni sistem se menja sa vremenom kao i koordinate ( α , δ ) zvezda. Stoga je pri publikovanju poloàja zvezda neophodno specificirati epohu τ 0 na koju se koordinate odnose. Uobi~ajeno je da se za potrebe zvezdanih kataloga koristi RA sistem sa precesijom ali bez nutacije. Takav RA sistem zove se srednji nebeski ekvatorski sistem MRA( τ 0 ). Slede}i vaàn koordinatni sitem je onaj u kojem se izvode merenja prema zvezdama. Ovaj sistem defini{e se pomo}u vektora teè opaà~a i pravca konvencionalne Zemljine ose rotacije. Ova dva pravca mogu detektovati astronomski instrumenti kojima se mere vertikalni uglovi ν , zenitna odstojanja Z i astronomski azimuti A (vidi sliku 3). Vektor teè defini{e negativnu z LA osu, a zajedno sa konvencionalnom obrtnom osom (vidi podpoglavlje 5.4) defini{e ravan sistema xz LA . Osa y LA kompletira levo orijentisani sistem. Taj sistem zove se

§ 15.1


341

SLIKA 15.3. Lokalni astronomski sistem.

lokalni astronomski (LA), i njegov po~etak nalazi se na mestu opaà~a na povr{i Zemlje ( T ) pa se zbog toga jo{ naziva i topocentri~nim. U ovom sistemu jedini~ni vektor u pravcu S je:

e LA

⎡ x⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ y⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦

LA

⎡cos ν cos A⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ cos ν sin A ⎥ . ⎢⎣ sin ν ⎥⎦

(15.4)

dok je veza izme|u uglova i kartezijanskih koordinata:

ν = 12 π − Z = arcsin z LA ,

y LA

A = 2 arctan x

LA

+

(x ) + (y ) LA 2

LA 2

. (15.5)

Primetimo da sistem nije definisan za ta~ke ~iji se pravac vektora teè poklapa sa pravcem konvencionalne ose rotacije. Opaànja se dakle izvode u topocentri~nom LA sistemu koji se obr}e sa Zemljom i istovremeno sa njom obilazi oko Sunca. S druge strane, poloàji zvezda zadaju se obi~no u MRA( τ 0 ) sistemu koji se odnosi na epohu razli~itu od epohe opaànja, i koji je zaklju~no sa precesijom nepokretan. Problem u astronomskom odre|ivanju poloàja sastoji se u pomirenju ova dva sistema. Ovaj problem normalno se re{ava serijom transformacija iz jednog sistema u drugi. Ta~nije re~eno, opaànja i poloàji

342


§ 15.1

zvezda transformi{u se u tre}i sistem koji se zove sistem prividnih mesta, a definisa}emo ga ne{to kasnije. Poloàj opaà~a na Zemljinoj povr{i odre|uje se onda kao nusprodukt ovih transformacija. Pro|imo sada kroz ove transformacije korak po korak ((a) do(f) na slici 12), zapo~inju}i sa LA sistemom. (a) Prvi koordinatni sistem koji je potreban za transformaciju LA sistema u sistem prividnih mesta je konvencionalni terestri~ki sistem (CT). CT sistem je najblià prakti~na aproksimacija geocentri~nog prirodnog sistema opisanog u podpoglavlju 5.3, i verovatno najva`niji sistem u geodeziji. Njegov po~etak je u centru mase Zemlje, osa z CT uperena je prema CIO (vidi podpoglavlje 5.4), ravan xz CT sadrì srednju Grini~ku opservatoriju [ROBBINS, 1976], a y CT osa kompletira desno orijentisani sistem (slika 4). Jedini~ni vektor u pravcu lokalnog zenita ponovo je dat formulama sli~nim za RA i LA sistem, koje sadrè i astronomsku {irinu Φ i astronomsku duìnu Λ (vidi sliku 4). Ova dva ugla koriste se za astronomsko definisanje poloàja ta~ke. Sada se

SLIKA 15.4. Konvencionalni terestri~ki sistem.

§ 15.1


343

mogu primeniti poznati principi transformacije (podpoglavlje 3.3), kako bi se dobio opaàni jedini~ni vektor u pravcu S (jedna~ina (4)) u CT sistemu. Sledi:

e CT = R3 (π − Λ ) R2 ( 12 π − Φ ) P2 e LA ⎡− sin Φ cos Λ − sin Λ cos Φ cos Λ ⎤ = ⎢⎢ − sin Φ sin Λ cos Λ cos Φ sin Λ ⎥⎥ e LA ⎢⎣ cos Φ 0 sin Φ ⎥⎦

(15.6)

Treba primetiti da ravan astronomskog meridijana opaà~a sadrì i vektor teè opaà~a i CIO. Ona je dakle paralelna konvencionalnoj osi rotacije, ali u op{tem slu~aju ne sadrì centar mase Zemlje. (b) CT sistem se sada transformi{e u trenutni terestri~ki sistem (IT), koji se od CT sistema razlikuje po tome {to se osa z IT poklapa sa trenutnom a ne konvencionalnom osom rotacije. Prema tome, jedina razlika je u tome {to se z IT osa kre}e oko z CT ose, a to kretanje se opisuje sa dva parametra x P , y P u uglovnim jedinicama (vidi podpoglavlje 5.4). Ova situacija prikazana je na slici 5. Transformacija se izvodi slede}im izrazom:

e IT = R1 ( y P ) R2 (x P )e CT .

(15.7)

Razvojem trigonometrijskih funkcija u red i zanemarivanjem ~lanova drugog i vi{ih redova, jer su x P , y P kao {to je ve} pokazano reda desetih delova lu~ne sekunde, dobija se:

e IT

⎡1 ⎢ =⎢0 ⎢⎣ x P

0 1 − yP

− xP ⎤ ⎥ y P ⎥ e CT . 1 ⎥⎦

(15.8)

Sistem IT menja svoj poloàj unutar Zemlje sa vremenom. âk se i njegova x IT osa menja sa vremenom kako bi omogu}ila ravni xz IT da pro|e kroz trenutnu Grini~ku opservatoriju [ROBBINS, 1976], tako da epoha IT sistema treba da bude epoha kada su vr{ena opaànja. Isto tako, ako je opaàn trenutni astronomski azimut A(τ ) koji se odnosi na trenutnu osu rotacije a ne na CIO, onda merenja u LA sistemu moraju da se transformi{u direktno u IT( τ ) sistem pomo}u (6), gde umesto e CT treba uzeti e IT . Kao {to }emo kasnije pokazati, postoje merni sistemi kojima se direktno dobija A(τ ) .

344


§ 15.1

SLIKA 15.5. Konvencionalni i trenutni terestri~ki sistem.

(c) Poslednja potrebna transformacija je iz IT( τ ) sistema u sistem prividnih mesta AP( τ ). Sistem AP( τ ) je drugi geocentri~ni sistem u kojem se z AP osa poklapa sa z IT osom, x AP osa je uperena prema ta~ki , a y AP osa kompletira desno orijentisani sistem. Situacija je prikazana na slici 6. Transformacija iz IT( τ ) sistema u AP( τ ) sistem sastoji se u rotaciji IT sistema oko zajedni~ke z ose za ugao koji se zove Grini~ko prividno zvezdano vreme (GAST):

e AP = R3 (− GAST) e IT . Ostale oznake sa ove slike bi}e obja{njene kasnije.

(15.9)

§ 15.1


345

SLIKA 15.6. Zvezdano vreme, ~asovni ugao, rektascenzija i longituda.

(d) Vratimo se sada sistemu MRA( τ 0 ), i pratimo ponovo putanju transformacije do AP( τ ) sistema, ali sa druge strane (vidi sliku 12). Prvi korak je transformacija MRA sistema iz epohe τ 0 za koju je publikovan katalog, u epohu τ kada su izvr{ena opaànja. Da bi se koordinate α MRA (τ 0 ), δ MRA (τ 0 ) svele na epohu τ , mora se obra~unati efekat precesije za period τ − τ 0 (vidi sliku 7), i

SLIKA 15.7. Putanja nebeskog pola.

346

§ 15.1


efekat sopstvenog kretanja zvezda za isti period. Veli~ina precesije P (τ 0 , τ ) za vremenski interval τ 0 , τ

obi~no se izraàva u vidu

tri precesione konstante ζ 0 , θ , z , kao {to je prikazano na slici 8. Izrazi za ove elemente u funkciji vremena izvedene su s po~etka ovog veka [NEWCOMB, 1906]. Uglovi ( 12 π − ζ 0 ) i ( 12 π + z ) su rektascenzije uzlaznog ~vora srednjeg ekvatora u

epohi τ , merene respektivno u dva srednja sistema u epohama τ 0 i τ . Ugao θ je inklinacija izme|u srednjih ekvatora u epohama τ i τ 0 . Transformacija α , δ iz τ 0 u τ izvodi se tako {to se α i δ prvo transformi{u u kartezijanske komponente odgovaraju}eg jedini~nog vektora (1), zatim njegovom rotacijom prema izrazu:

e MRA(τ ) = R3 (− z ) R2 (θ ) R3 (− ζ 0 )e MRA(τ 0 ) , a onda kona~no nazad u α i δ pomo}u jedna~ine (2).

SLIKA 15.8. Srednji nebeski ekvatorski sistem i precesija.

(15.10)

§ 15.1


347

Pored prividnog kretanja MRA sistema zbog precesije, postoji i kretanje samih zvezda koje se zove sopstveno kretanje. Po{to se u svim prakti~nim situacijama sopstveno kretanje moè smatrati linearnim, najpogodnije je obuhvatiti ga u nekom sistemu koji se kre}e skoro linearno. Shodno tome, o sopstvenim kretanjima, koja se ina~e obi~no tabuli{u kao konstantne promene rektascenzija i deklinacija zvezda, vodi se ra~una u okviru transformacije MRA( τ 0 )→MRA ( τ ) [MUELLER, 1969]. (e) Slede}i korak u aùriranju koordinata zvezda je obra~unavanje nutacije N (τ ) (slika 7). Ovim korakom defini{e se pravi nebeski ekvatorski sistem za epohu

τ , u oznaci TRA( τ ), ~ija se z TRA osa poklapa sa trenutnom osom rotacije Zemlje, dok prava ta~ka prole}ne ravnodnevnice defini{e pravac ose x TRA . Efekat nutacije N (τ ) obi~no se izraàva u vidu nutacije u longitudi ∆ψ i nutacije u nagibu ∆ε (slika 9). Transformacija α i δ iz MRA( τ ) sistema u sistem TRA( τ ) izvodi se prvo rotacijom kartezijanskih komponenti odgovaraju}eg jedini~nog vektora:

e TRA(τ ) = R1 (− ε − ∆ε ) R3 (− ∆ψ ) R1 (ε )e MRA(τ ) ,

(15.11)

a zatim transformacijom nazad u α i δ pomo}u jedna~ine (2). Ugao nagiba ε ve} je definisan u podpoglavlju 5.2.

SLIKA 15.9. Pravi i srednji nebeski ekvatorski sistem.

348


§ 15.1

SLIKA 15.10. Aberacija.

Poslednji korak u transformacijama koje nas ponovo dovode do AP( τ ) sistema, je obra~unavanje efekta koji je posledica toga {to se zvezda ne opaà iz po~etka H sistema RA (tj. centra Sunca), ve} sa Zemlje. Heliocentri~ne vrednosti za α i δ moraju se korigovati za vrednost godi{nje paralakse, koja se moè izraziti kao paralakti~ki ugao pod kojim se polupre~nik Zeljine orbite vidi sa zvezde. Paralakti~ke popravke za α i δ dobijaju se dakle iz jednostavnih izraza, i zavise od poloàja i udaljenja zvezde. Za najbliù zvezdu korekcija iznosi oko 0.8″ [MUELLER, 1969]. Osim toga, zbog ~injenice da se opaànja izvode sa pokretne Zemlje, izgleda}e da svetlost zvezde dolazi iz ne{to druga~ijeg pravca nego {to je to stvarno (vidi sliku 10). Ovaj efekat zove se godi{nja aberacija, i ne prelazi vrednost od 20″. Ona se ra~una pomo}u konstantne godi{nje aberacije v / c , gde je v brzina Zemlje pri kretanju oko Sunca, a c je brzina svetlosti . U najve}em broju slu~ajeva ova vrednost je nekoliko lu~nih sekundi, a zavisi od relativne konfiguracije Sunca, Zemlje i konkretne zvezde [SMART, 1962]. Treba napomenuti da sve pomenute korekcije postaju suvi{ne ako se koristi katalog prividnih mesta fundamentalnih zvezda (APFS) umesto standardnih fundametalnih kataloga (vidi npr. APFS, 1979 [1977]). Vratimo se sada na prvi korak (a) transformacionog lanca LA( τ )→AP( τ ) (slika 12), i posmatrajmo {ta je sve potrebno uraditi sa opaànjima da bi bila kompatibilna sa prividnim mestima zvezda. Postoje tri efekta koja u ovom kontekstu moramo

§ 15.1


349

razmotriti: dnevna aberacija, dnevna paralaksa i refrakcija. Dnevna aberacija je posledica toga {to se opaànja izvode sa stanice koja se obr}e sa Zemljom. Translaciona brzina v stanice je uzrok prividnog pomeranja zvezde analognog onom prikazanom na slici 10. Konstanta dnevne aberacije v / c ( v < 2πR / day = 463 ms −1 ), odgovara maksimalnoj korekciji od 0.3″ na ekvatoru. Ona jeste veoma mala, ali po{to ima sistematski karakter treba je ukloniti iz opaànja. Dnevna paralaksa je posledica paralakti~kog ugla pod kojim se Zemljin polupre~nik vidi sa zvezde, i uvek je zanemarljivo mala. Astronomska refrakcija, odnosno savijanje svetlosnih zraka po ulasku u Zemljinu atmosferu (podpoglavlje 9.2), ozbiljno uti~e na merenje zenitnih daljina, i u manjoj meri astronomskih azimuta. Ovaj efekat razmorti}emo u okviru matemati~kih modela u podpoglavlju 15.2. Ponekad postoji potreba za koordinatnim sistemom koji je nepokretan u odnosu na galaksije. Takav sistem naziva se inercijalnim, i ima svojstvo da objekti na koje se odnosi nemaju ubrzanja. Dobra aproksimacija inercijalnog sistema je eklipti~ki sistem (E). On je heliocentri~an, osa z E poklapa se sa Zemljinom precesionom osom (vidi podpoglavlje 5.2), osa x E uperena je prema ta~ki , a y E osa kompletira desno orijentisani sistem (vidi sliku 11). U njemu se kao koordinate koriste eklipti~ka {irina β i eklipti~ka duìna λ E . Ovaj sistem je skoro inercijalan osim uticaja planetarne precesije planeta solarnog sistema (vidi podpoglavlje 5.2), i veoma sporog kretanja sa galaksijom (vidi podpoglavlje 5.1). On bi ina~e bio najbolji za publikovanje poloàja zvezda, ali razlika izme|u inercijalnog MRA i E sistema je bezna~ajna u praksi, pa se E sistem obi~no ne koristi.

SLIKA 15.11. Eklipti~ki sistem.

350


§ 15.1

Poslednji koncept koji je su{tinski u astronomskom pozicioniranju je koncept vremena. Iako deluje neobi~no, vreme se u astronomiji moè interpretirati kao ugao izme|u odgovaraju}ih osa dva koordinatna sistema, kao {to smo ve} videli na slici 6 za slu~aj GAST. âsovni ugao h zvezde S je ugao izme|u astronomskog meridijana S i astronomskog meridijana opaà~a. Lokalno prividno zvezdano vreme (LAST) je ~asovni ugao prave ta~ke prole}ne ravnodnevnice . Sli~no tome, GAST je ~asovni ugao prave ta~ke prole}ne ravnodnevnice, ra~unat za Grini~. GAST i LAST povezani su izrazom:

LAST = GAST + ΛIT .

(15.12)

Interesantno je primetiti da je x TRA osa fiksna u prostoru (osim precesije i nutacije), dok je x IT osa vezana za Zemlju i obr}e se zajedno sa njom stvarnom, nepravilnom, obrtnom brzinom Zemlje (vidi podpoglavlje 5.4). U praksi se GAST meri pomo}u svetskog vremena (UT), koje se od standardnog svakodnevnog vremena razlikuje za celi broj ~asova u zavisnosti od zone. Nekoliko razli~itih UT su u upotrebi [MUELLER, 1969]: (a) UT odraàva stvarno, nepravilno obrtanje Zemlje. Ono je optere}eno efektom kretanja polova onoliko koliko je pomeren lokalni astronomski meridijan koji defini{e UT pomo}u Λ (vidi podpoglavlje 15.2). (b) UT1 tako|e odraàva nezavisno obrtanje Zemlje ali bez efekta pomeranja polova. (c) UTC je emitovano vreme koje predstavlja uniformnu rotaciju Zemlje, ali nije popravljeno za ka{njenje signala predajnika. (d) UT2 je najuniformnije UT sa svim primenjenim korekcijama. O~igledno je da je UT1 ono {to odgovara GAST potrebnom za transformaciju iz TRA u IT u svakom trenutku vremena. Korekcije za dobijanje GAST iz emitovanog vremena date su u svakom standardnom ud`beniku astronomije. Pretvaranje atomskog i efemeridskog vremena (vremenske skale koje se ne baziraju na rotaciji Zemlje) u bilo koje UT je tako|e mogu}e, i izvodi se pomo}u korekcija koje nedeljno publikuje BIH (vidi podpoglavlje 5.4). UTC se odràva saglasnim sa UT1 u okviru 0.7s uvo|enjem prestupnih sekundi. Bi}e korisno da ovo podpoglavlje zavr{imo rekapitulacijom koordinatnih sistema i transformacija izme|u njih. To je ura|eno na slici 12.

§ 15.2

Astronomsko pozicioniranje

351

SLIKA 15.12. Aùriranje koordinata zvezde α , δ i redukcija opaànja A, ν , ( z ).

15.2. Astronomsko pozicioniranje Kao {to je ve} konstatovano, pod astronomskim pozicioniranjem podrazumeva se odre|ivanje astronomske {irine Φ i duìne Λ neke ta~ke, pomo}u opaànja l ka zvezdama. Odre|ivanje astronomskog azimuta A prema nekoj drugoj ta~ki tradicionalno se smatra integralnim delom astronomskog pozicioniranja, pa }e i ono biti obra|eno u ovom podpoglavlju. Uobi~ajeni matemati~ki modeli koji povezuju merne veli~ine l sa astronomskim poloàjima ili azimutima spadaju u jednu od slede}e tri klase: (a) modeli {irine: f 1 (Φ, l ) = 0 , (b) modeli duìne: f 2 (Λ, l ) = 0 , (c) modeli azimuta: f 3 ( A, l ) = 0 . [irina Φ i duìna Λ mogu se odre|ivati odvojeno ili zajedno, u zavisnosti od oblika modela i mernih veli~ina l . Opaànja se prikupljaju razli~itom ta~no{}u, pa se govori o ta~nosti prvog, drugog, itd. reda, sli~no redovima geodetskih mreà (vidi podpoglavlje 7.1). Koordinate zvezda implicitno su sadràne u svim pomenutim

352


§ 15.2

modelima. U ovom podpoglavlju smatra}emo da su koordinate zvezda α , δ poznate u AP sistemu, i da su dobijene npr. iz APFS (vidi podpoglavlje 15.1). U naj~e{}e upotrebljavanim modelima {irine koriste se opaànja dve veli~ine: zenitnog odstojanja Z (ili vertikalnog ugla v ) i ~asovnog ugla zvezde h . âsovni ugao se ipak ne moè direktno meriti, pa se odre|uje kao zbir rektascenzije zvezde α iz zvezdanog kataloga i merenog vremena (slika 6). Modeli duìne zahtevaju samo poznavanje h tj. vremena, i rektascenzije zvezde α . Simultani modeli za Φ i Λ zahtevaju merenje zanitnih daljina ( Z 1 i Z 2 ) i ~asovnih uglova ( h1 i h2 ) do najmanje dve zvezde. Modeli azimuta koriste Z ili h , ili horizontalni ugao izme|u pravca ka zvezdi i pravca ka èljenoj ta~ki. Postoje i modeli koji ne spadaju u ovu klasifikaciju, pa se za njih ~italac upu}uje npr. na MUELLER [1969]. Osnovni instrument kojim se mere zenitna odstojanja je univerzalni teodolit. Za visoku ta~nost upotrebljavaju se specijalno konstruisani teodoliti. Ostali instrumenti koji se koriste pomenuti su u kontekstu matemati~kih modela. Za precizno merenje vremena neophodan je hronometar i HF radio prijemnik opremljen poja~iva~em i hronografom. Koristi se i pomo}na oprema za merenje temperature vazduha i pritiska, jer su te veli~ine potrebne za odre|ivanje popravke zenitnih odstojanja za vertikalnu refrakciju. (a) Matemati~ki model {irine dobija se iz transformacije izme|u AP i LA sistema. Zamenom odgovaraju}ih kartezijanskih komponenti iz (1) i (4) dobija se:

e LA = R3 (π ) R2 ( 12 π − Φ ) P2 R3 (LAST) e AP .

(15.13)

Nakon sre|ivanja dobija se jedna~ina za tre}u komponentu jedna~ine (4) u obliku:

sin Φ sin δ + cos Φ cos δ cos h − cos Z = 0 .

(15.14)

Pre nego {to se u ovaj ili bilo koji drugi model uvede, zenitno odstojanje Z se mora popraviti za efekat astronomske refrakcije. Popravka ∆Z sledi iz (9.12): n0

∆Z = − tan Z

∫ 1

dn , n

(15.15)

gde se integracija vr{i od spolja{njeg prostora (gde je n = 1 ) do opaà~a (gde je n = n0 ). Po{to n nije ta~no poznato kao funkcija vremena i poloàja, to ni integral nije mogu}e ta~no re{iti. Do prakti~nog re{enja dolazi se usvajanjem modela

§ 15.2


353

strukture atmosfere, ~ime se obi~no integral aproksimira u vidu reda. Za detalje se ~italac upu}uje na GARFINKEL [1944] i SAASTAMOINEN [1973]. Kona~an rezultat ove aproksimacije koji vaì za Z ≤ 75°, ima oblik:

∆Z = C B C T ∆Z m ,

(15.16)

gde je ∆Z m srednja vrednost popravke za refrakciju izvedena za odre|eni model atmosfere, a C B , C T su koeficijenti kojima se uzimaju u obzir barometrijski pritisak i temperatura u trenutku opaànja. Za ove veli~ine postoje razne tablice, npr. HOSKINSON AND DUERKSEN [1952] i MUELLER [1969]. Pitanje koje }emo sada postaviti je gde zvezda treba da bude locirana pa da se odre|ivanjem {irine dobije najta~niji rezultat? Da bismo odgovorili na to pitanje izvedimo prvo izraz za azimut zvezde A u funkciji Φ , δ i h . Za ovaj izraz se iz (1), (4) i (6) dobija:

tan A =

sin h . sin Φ cos h − tan δ cos Φ

(15.17)

Kada se totalni diferencijal druge jedna~ine (14) iskombinuje sa (17), rezultat je:

dΦ = −sec AdZ − cos Φ tan Adh .

(15.18)

Po{to se zenitno odstojanje moè meriti ta~nije nego vreme, tj. dZ < dh , nalazimo da se najpovoljnija konfiguracija odnosno najmanje dΦ pojavljuje kada A → 0 ili π . Ovo se doga|a kada se opaànja vr{e prema zvezdama koje u svojoj donjoj ili gornjoj kulminaciji prolaze kroz meridijan opaà~a, ili kada se opaànja vr{e prema cirkumpolarnim zvezdama. Pod ovakvim uslovima, gre{ka u merenju vremena dh ima}e zanemarljiv uticaj na Φ , pa }e dΦ → −dZ . Preostali efekti vezani su uglavnom za uticaj rezidualne astronomske refrakcije na zenitna odstojanja. Ovaj uticaj moè se skoro eliminisati opaànjem parova zvezda u blizini zenita, i simetri~nih u odnosu na njega. Rezidualna refrakcija zenitnih daljina prema ovakvim zvezdama skoro se poni{tava zbog simetri~ne strukture atmosfere u odnosu na zenit. Metod baziran na ovakvom postupku zove se metod odre|ivanja {irine pomo}u meridijanskih zenitnih odstojanja, i u {irokoj je upotrebi. Za par zvezda u gornjoj kulminaciji (severno i ju`no od zenita) model postaje [MUELLER, 1969]:

354


Φ=

1 2

(δ S

+δN )+

1 2

(Z S

− Z N ),

§ 15.2

(15.19)

dok je za par zvezda u donjoj kulminaciji (severno i ju`no od zenita):

Φ=

1 2

(δ S

−δN )+

1 2

(Z S

− Z N ) + 12 π .

(15.20)

Modelima (19) i (20) postiè se ta~nost prvog reda ( σ φ = 0.2 ″) uz upotrebu preciznih instrumenata i metoda merenja. Umesto merenja razlika zenitnih odstojanja pomeranjem durbina i oduzimanjem ~itanja na limbu, one se mogu direktno meriti bezli~nim mikrometrom montiranim na durbin univerzalnog teodolita. To zna~i da par zvezda mora biti tako izabran da svaka zvezda naizmeni~no bude vidljiva u vidnom polju durbina po njegovom okretanju za 180°. Da bi se osiguralo da durbin bude u meridijanskoj ravni za vreme merenja zenitnog odstojanja, upotrebljava se Horrebow libela za merenje nagiba obrtne ose durbina. Opaà~ki program za postizanje ta~nosti prvog reda obi~no se sastoji od 20 parova zvezda. Za ta~nost drugog reda ( σ φ = 0.2 ″) opaà se {est do osam parova zvezda [ROBBINS, 1976]. Postoje i druge metode kojima se postiè ta~nost drugog reda. Jedna od najpopularnijih je odre|ivanje {irine pomo}u zenitne daljine Severnja~e. U odre|ivanju {irine koriste se i drugi instrumenti kao {to su zenit teleskop, cirkumzenital i moderni Danònov astrolab [MUELLER, 1969]. (b) Matemati~ki model duìne bazira se na upotrebi jedna~ine (12), gde se GAST dobija preko UT sinhronizacijom lokalnog ~asovnika (npr. kvarcnog hronometra) sa vremenskim standardom pomo}u HF radio vremenskih signala, a LAST se dobija iz opaànih veli~ina. Sa slike 6 sledi:

LAST = h + α ,

(15.21)

a h se dobija iz jedna~ine (13) kao:

cos h =

cos Z − sin δ sin Φ , cos δ cos Φ

(15.22)

tako da je:

Λ = arccos

cos Z − sin δ sin Φ + α − GAST . cos δ cos Φ

Naravno, {irina Φ mora biti poznata, a Z se opaà.

(15.23)

§ 15.2


355

Odredimo sada optimalnu konfiguraciju za odre|ivanje duìne. Totalni diferencijal izraza za longitudu iznosi:

dΛ = −sec Φ cos A dΦ − sec Φ cosec A dZ − dT − d∆T .

(15.24)

Postoje dve mogu}nosti : opaàti zvezdu van meridijana u kom slu~aju se h ra~una iz (22), ili opaàti zvezdu u meridijanu u kom slu~aju je h = 0 h ili 12 h . U prvom slu~aju koji se zove odre|ivanje duìne pomo}u zenitnih odstojanja, efekat gre{ke {irine dΦ moè se eliminisati, a efekat dZ minimalizovati opaànjima u ravni prvog vertikala gde je A = 12 π ili A = 12 π . Za minimalizaciju efekata refrakcije traè se parovi zvezda istok-zapad, iste visine i simetri~ne u odnosu na meridijan. Ova konfiguracija je veoma popularna jer mno{tvo zvezda stoji na raspolaganju. Jedini nedostatak je dugotrajna priprema komplikovanog opaà~kog programa [THORSON, 1965]. Gre{ka vremena dT (vreme reakcije) ne moè se smanjiti nikakvom metodom kao ni sistematska gre{ka merenja vremena d∆T . Vreme reagovanja opaà~a, koje se naziva li~nom jedna~inom, odre|uje se iz opaànja na stanici sa poznatom duìnom. Odre|ivanje duìne pomo}u vremena prolaza je naziv metode pomo}u koje se opaàju zvezde u trenutku prolaza kroz meridijan. Matemati~ki model je isti kao (23). Glavno ograni~enje ta~nosti ove metode je nemogu}nost da se instrument postavi ta~no u meridijan. Ovaj efekat odre|uje se iz posebnih opaànja pre odre|ivanja duìne, npr. pomo}u pra}enja niskih zvezda dok ne dostignu izra~unato vreme kulminacije. Koriste se i duga~ke libele za merenje nagiba obrtne ose durbina. Ovaj metod je direktniji nego {to su ranije spomenuti, a obezbe|uje istu ta~nost ako se preduzmu sve potrebne mere. Druge metode odre|ivanja duìne kao i kombinovane metode odre|ivanja {irine i duìne mogu se na}i u MUELLER [1969] zajedno sa opisom jo{ nekih instrumenata koji se mogu koristiti za odre|ivanje duìne, kao {to je meridijanski krug. (c) Model astronomskog azimuta koristi jedna~inu (17). U njoj {irina Φ mora biti poznata, a ~asovni ugao h se dobija iz (12) i (21) uzimaju}i ΛIT kao poznato, a GAST kao dobijeno iz UT. Horizontalni ugao izme|u zvezde S i èljene terestri~ke ta~ke direktno se meri univerzalnim teodolitom (prvi red) ili geodetskim teodolitom (drugi red), i dodaje azimutu A zvezde S . Optimalna opaà~ka konfiguracija nalazi se pomo}u totalnog diferencijala jedna~ine (17):

dA = sin A cot Z dΦ + cos Φ (tan Φ − cos A cot Z ) dh .

(15.25)

356

§ 15.2


O~igledno je da se efekat gre{ke dΦ minimalizuje opaànjem u blizini meridijana ili horizonta. Gre{ka vremena dh elimini{e se kada je:

tan Φ = cos A cot Z ,

(15.26)

{to je u astronomiji uslov za elongaciju zvezde, odnosno situaciju u kojoj su astronomski meridijan i vertikalni krug zvezde me|usobno upravni. Naravno da se oba gornja uslova ne mogu ispuniti simultano. Minimalizacija oba efekta ponovo se postiè opaànjima parova zvezda koje ispunjavaju odre|ene uslove. Na osnovu ovih uslova STOCH [1963] je pripremio kartu dizajniranu za pomo} u izboru zvezda. MUELLER [1963] je sastavio uputstvo za odre|ivanje azimuta pomo}u ~asovnog ugla zvezde blizu kulminacije, i to na slede}i na~in: - Za Φ < 15° zvezde koje treba opaàti blizu opaà~evog meridijana treba da imaju zenitna odstojanja:

Z 1 = 75 o ,

(

)

Z 2 = arccot 2 tan Φ + cot 75 o .

(15.27)

- Za Φ > 15° potrebno je opaàti Severnja~u u svakom ~asovnom uglu. Alternativa je da se opaàju dve severne zvezde blizu meridijana, iznad i ispod pola, a da njihove zenitne daljine zadovoljavaju slede}u jednakost:

cot Z 1 + cot Z 2 = 2 tan Φ .

(15.28)

Kada je {irina ta~no poznata, jedina gre{ka o kojoj treba voditi ra~una je gre{ka vremena, a ona se elimini{e opaànjem u elongaciji. Isto tako, Z treba odràvati {to ve}im da bi se smanjile instrumentalne gre{ke. Ovaj metod poznat je kao odre|ivanje duìne pomo}u ~asovnog ugla zvezda blizu elongacije. Na kraju ovog podpoglavlja napomenimo da sve prikazane metode daju astronomske veli~ine ( Φ , Λ i A terestri~ke ta~ke) u IT sistemu, jer su opaànja iz LA sistema bila transformisana direktno u sistem AP pomo}u jedna~ina (6) i (9). Ako su potrebni Φ CT , ΛCT , A CT u CT sistemu, koristi se tranformacija inverzna transformaciji (8). Po{to je jedini~ni vektor u CT sistemu dat sa:

§ 15.3

Satelitsko pozicioniranje

e CT

357

⎡cos Φ CT cos ΛCT ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ cos Φ CT sin ΛCT ⎥ , ⎢ ⎥ sin Φ CT ⎣ ⎦

(15.29)

a sli~no vaì i za IT sistem, transformacija daje za npr. tre}u komponentu:

(

)

sin Φ CT = sin Φ IT + cos Φ IT y p sin ΛIT − x p cos ΛIT .

(15.30)

Deljenje sa Φ IT i razvoj sin Φ CT u Tajlorov red oko Φ IT daje:

Φ CT = Φ IT + y p sin Λ − x p cos Λ .

(15.31)

Jedna~ina za duìnu dobija se na sli~an na~in iz transformacije prve dve komponente:

(

)

ΛCT = ΛIT − x p sin Λ + y p cos Λ tan Φ .

(15.32)

Odgovaraju}a jedna~ina za azimut izvodi se zaklju~ivanjem da je astronomski meridijan opaà~a pomeren zbog kretanja pola. Takvo zaklju~ivanje dovodi do slede}eg jednostavnog rezultata [MUELLER, 1969]:

(

)

A CT = A IT − x p sin Λ + y p cos Λ sec Φ .

(15.33)

Primetimo da su u nekim ~lanovima gornje tri jedna~ine indeksi CT i IT izostavljeni jer je neva`no koja se vrednost koristi za ra~unanje korektivnog ~lana. Sli~no tome, u nastavku ovog poglavlja, gornji indeks CT bi}e izostavljen. 15.3. Satelitsko pozicioniranje Satelitske metode odre|ivanja koordinata opaà~ke stanice sastoje se u merenju duìna, razlika duìna, pravaca, i njihovih kombinacija, do ve{ta~kih Zemljinih satelita. Satelitsko pozicioniranje ta~ke za razliku od drugih satelitskih metoda koje }emo obraditi u podpoglavlju 16.1 i 17.3, zahteva da koordinate (poloàji) satelita budu poznate. Te su koordinate obi~no date u orbitalnom koordinatnom sistemu. U definisanju tog sistema smatra se u prvoj aproksimaciji da se satelit pokorava Keplerovim zakonima (podpoglavlje 5.1), i da se kre}e du` orbitalne elipse sa

358


§ 15.3

Zemljinim centrom mase u jednoj od ìà (slika 13). Kada je satelitska orbita blizu Zemlje, ona postaje poreme}ena zbog nepravilnog gravitacionog polja Zemlje, i odstupa od ravne elipse (vidi poglavlje 23). Bez obzira na to, pogodno je u prvoj aproksimaciji smatrati orbitu Keplerovom, tj. ravnom i elipti~nom, a poreme}aje tretirati kao vremenske varijacije {est elemenata koji opisuju Keplerovo kretanje. U na{em pristupu }e ovih {est orbitalnih elemenata biti u funkciji vremena. Ta~ka u kojoj je satelit najbliì Zemlji zove se perigeum, a ta~ka u kojoj je najdalje apogeum. Perigeum i apogeum leè na krajevima velike ose orbitalne elipse koja se zove apsidna linija. Veli~ina i oblik orbitalne elipse obi~no se defini{u pomo}u velike poluose a 0 i ekscentriciteta e , na isti na~in kao za meridijansku elipsu u podpoglavlju 7.3. Veza izme|u ovih veli~ina i male poluose b data je sa (7.11). Neka je sada satelit u ta~ki S orbite. Uglovno rastojanje izme|u perigeuma i S zove se satelitska anomalija. Postoje tri vrste anomalija koje su u upotrebi. Prava anomalija f (slika 13) je ugao izme|u apsidne linije i prave koja spaja centar Zemlje sa satelitom, i ra~una se od perigeuma u smeru obrnutom kretanju kazaljke kad se gleda sa NCP ili sa ta~ke prole}ne ravnodnevnice za orbitalne ravni koje sadrè NCP i SCP (polarne orbite). Ekscentri~na anomalija E je ugao izme|u apsidne linije i prave koja spaja geometrijski centar elipse sa projekcijom satelita

SLIKA 15.13. Jedna ~etvrtina satelitske orbitalne elipse.

§ 15.3


359

S ′ na koncentri~noj kru`nici polupre~nika a 0 . Srednja anomalija µ , koja nije prikazana na slici 13, je prava anomalija koja odgovara jednom zami{ljenom satelitu koji ima uniformnu uglovnu brzinu, tako da je µ = 0 u perigeumu, a zatim linearno raste sa vremenom brzinom od 2π po revoluciji. Veza izme|u prave i ekscentri~ne anomalije dobija se sa slike 13 kao:

(1 − e ) tan f =

2 1/ 2

sin E . cos E − e

(15.34)

Veza izme|u ekscentri~ne anomalije E i srednje anomalije µ data je Keplerovom jedna~inom [KAULA, 1966]:

µ = E − e sin E .

(15.35)

êsto je srednja anomalija µ data, a potrebno je odrediti ekscentri~nu anomaliju E iz (35). To se moè izvesti iterativno, ili razvojem sin E u stepeni red i invertovanjem dobijene jedna~ine [BROUWER AND CLEMENCE, 1961]. Sada moèmo definisati orbitalni koordinatni sistem (OR) na slede}i na~in (slika13): po~etak je u centru mase Zemlje C , osa x OR poklapa se sa apsidnom linijom, y OR osa odgovara f = π / 2 , a osa z OR kompletira desno orijentisani sistem. Prema tome, trenutni vektor poloàja satelita dat je sa:

r OR

⎡ x⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ y⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦

OR

⎡cos f ⎤ ⎡ a0 (cos E − e ) ⎤ 1/ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = r ⎢ sin f ⎥ = ⎢a0 (1 − e 2 ) sin E ⎥, ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 0

(15.36)

gde r , f , a0 , e, E u op{tem slu~aju variraju sa vremenom. Da bi se mogle vr{iti transformacije, neophodno je da orijentacija OR sistema bude fiksirana u odnosu na neki drugi sistem, a za to su potrebna jo{ tri parametra. Uobi~ajen na~in izbora tih parametara prikazan je na slici 14. Ravan orbite se~e nebesku sferu po projekciji orbite, a ona preseca nebeski ekvator u uzlaznom ~voru, tj. ta~ki u kojoj satelit pri kretanju prelazi iz ju`ne u severnu hemisferu. Analogno, silazni ~vor je ta~ka gde satelit prelazi iz severne u ju`nu hemisferu (podpoglavlje 5.2). Ugao izme|u nebeskog ekvatora i orbitalne ravni zove se inklinacija i . Ugao

360


§ 15.3

SLIKA 15.14. Keplerovi orbitalni elementi.

izme|u ~vorne linije uzlaznog ~vora i apsidne linije ra~unat obrnuto kretanju kazaljke kada se gleda prema koordinatnom po~etku, zove se argument perigeuma ϖ . Ugao izme|u ose x AP i ~vorne linije ra~unat suprotno kretanju kazaljke od pozitivne z OR ose u ekvatorskoj ravni, je rektascenzija uzlaznog ~vora . Ove tri veli~ine zajedno sa onima koje defini{u orbitalnu elipsu i kretanje satelita po orbiti, ~ine {est Keplerovih orbitalnih elemenata. Po{to oni predstavljaju veoma va`nu parametrizaciju orbite, ponovo ih eksplicitno navodimo: a0 velika poluosa

e ekscentricitet

ϖ argunet perigeuma rektascenzija uzlaznog ~vora i inklinacija

µ srednja ili neka druga anomalija

⎫ ⎬ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

}

oblik i veli~ina orbite

poloàj orbite u AP sistemu

poloàj satelita na orbiti

§ 15.3


361

Postoje i druge alternativne i ekvivalentne parametrizacije orbite. Na primer, geocentri~na kartezijanska predstava ( x, y , z , x, y , z ) koja opisuje poloàj satelita ( x, y , z ) zajedno sa njegovim vektorom brzine ( x, y , z ) u nekom trenutku vremena, bi}e kori{}ena u podpoglavlju 17.3. Jedan drugi kartezijanski sistem prikazan je u podpoglavlju 23.2. Pozicioniranje ta~ke zahteva transformaciju poloàja satelita koji su obi~no poznati unapred i emituje ih sam satelit, i to iz OR sistema u terestri~ki sistem (obi~no CT), gde se koriste za ra~unanje koordinata opaà~ke stanice. Va`no je zapamtiti da orbitalna ravan ne rotira sa Zemljom, ve} u prvoj aproksimaciji ostaje fiksirana u AP sistemu, i da i OR i AP sistem imaju po~etak u centru mase Zemlje (slika 14). Transformacija iz OR u CT sistem izvodi se u tri koraka: OR→AP, AP→ IT i IT→CT. Prvi i drugi korak jasni su sa slike 14. Tre}i korak predstavlja inverzija od (8). Kada se sve ove transformacije objedine rezutat glasi:

(

) (

)

r CT = R2 − x p R1 − y p R3 (GAST ) R3 (− ) R1 (− i ) R3 (− ϖ ) r OR . (15.37) OR

dato sa (36). Prema tome, nije te{ko videti da su ~ak i CT Primetimo da je r koordinate satelita funkcija vremena τ , i u tom smislu se govori o vremenski promenljivim poloàjima ili efemeridama satelita. Na~in na koji se do efemerida dolazi predikcijom ili interpolacijom bi}e pokazan u poglavlju 23. Sada sa satelitskim poloàjem izraènim u CT sistemu moèmo formulisati razne modele pozicioniranja: (a) Matemati~ki model duìna moè se na primer napisati kao (vidi sliku15):

ei j ri = ei j r j − ρ i j ,

(15.38)

gde je ρ i = ρ ( ri , r j ) duìna merena od opaà~ke stanice Pi do satelitskog j

poloàja S j , (x , y , z ) = r j

j

j

j

su poznate kartezijanske koordinate satelita u

trenutku τ j dobijene iz (37) , a xi , yi , zi = ri su nepoznate kartezijanske koordinate opaà~ke stanice, i sve to u CT sistemu. Za svaku merenu duìnu moè se napisati jedna vektorska jedna~ina, tako da tri takve linearno nezavisne jedna~ine daju jedinstveno re{enje za nepoznate koordinate ri . Konfiguraciju satelitskih poloàja koja ne obezbe|uje jedinstveno re{enje, odnosno takozvanu kriti~nu konfiguraciju, intenzivno je izu~avao BLAHA [1971b]. Opaànja vi{e od tri duìne imaju za posledicu preodre|eni sistem jedna~ina koji se moè tretirati metodom najmanjih kvadrata kao {to je to pokazano u delu III.

362


§ 15.3

SLIKA 15.15. Merenje duìna do satelita.

Zna~ajno je uo~iti da kada su satelitske efemeride date u OR sistemu umesto u CT sistemu, koordinate trenutnog pola x p , y p i GAST mogu da se tretiraju kao nepoznate, i da se odrede zajedno sa ri . Merenje duìna izvodi se ustvari merenjem vremena puta elektromagnetnih talasa izme|u opaà~ke stanice i satelita (vidi podpoglavlje 9.2). Izvor moè biti vezan za Zemlju dok su retroreflektori na satelitu, ili obrnuto. Do sada se kao najta~niji izvor elektromagnetnih talasa pokazao laser koji emituje kratke impulse monohromatske svetlosti trajanja nekoliko nanosekundi (ns), i obi~no je stacioniran na Zemlji. Danas se vreme puta laserskog impulsa do satelita sa reflektorima kao {to je npr. LAGEOS, moè elektronski odrediti sa ta~no{}u od 0.15 do 0.30ns, {to odgovara ta~nosti od 5 do 10cm u duìni ρ [SMITH ET AL., 1979]. Metod se naziva laserskim odre|ivanjem duìna do satelita (SLR). Ograni~avaju}i faktor je nemogu}nost elektronskih kola da ta~nije detektuju krajeve ili sredinu povratnog impulsa. Naravno, merenje duìna nije ograni~eno na ve{ta~ke satelite. Kada je nekoliko reflektora bilo postavljeno na povr{inu Meseca, lasersko odre|ivanje duìna do Meseca (LLR) postalo je prakti~na i zna~ajna alternativa. Drugi na~in merenja duìna danas podrazumeva merenje vremena puta radio signala. Radio signali koji se koriste za radio odre|ivanje duìna do satelita (SRR)

§ 15.3


363

moraju imati frekvenciju ve}u od 30MHz da bi mogli da pro|u kroz jonosferu (podpoglavlje 9.2). Oni tako|e moraju biti {to je mogu}e koherentniji {to podrazumeva upotrebu visoko stabilnih oscilatora. U tu svrhu se koriste cezijumski (Ce) i rubidijumski (Rb) atomski oscilatori, kao {to je to slu~aj u npr. satelitima NAVSTAR globalnog pozicionog sistema (GPS). Po{to su emitovani radiotalasi kontinualni, merenje vremena puta ne izvodi se kao kod diskretnih laserskih impulsa. Merenje vremena puta vr{i se satelitskim prijemnicima ~iji oscilatori pored visoke ta~nosti moraju jo{ i biti sinhronizovani sa satelitskim oscilatorima, tako da budu u stanju da dovedu u vezu prijem vremenskih oznaka sa vremenskim periodom izme|u emitovanja i prijema. Sinhronizacija se obi~no ne moè izvesti sasvim ta~no, tako da gre{ka sinhronizacije ∆t i predstavlja razliku izme|u Zemaljskog i satelitskog vremena, i kao takva mora biti uklju~ena u model (38) kao dodatna nepoznata u vidu − c∆ti na levoj strani, gde je c brzina svetlosti. Jasno je da pod ovim uslovima mora biti izmereno vi{e od tri duìne da bi se dobilo re{enje modela ( ri , ∆ti ). Po{to GPS brzo postaje najva`niji geodetski pozicioni sistem budu}nosti, opi{imo ga ne{to detaljnije. U svojoj definitivnoj konstelaciji planiranoj za kasne 1980-e, sistem }e imati 18 satelita, i to po 6 me|usobno podjednako udaljenih u svakoj od tri orbitalne ravni ~ije su inklinacije jednake i iznose i = 55 o [JORGENSEN, 1980]. Za svih 18 satelita orbitalni period iznosi 12 ~asova, a visina leta 20000km. Ovakva konstelacija izabrana je da bi 24 ~asa dnevno i sa svake ta~ke Zemljine povr{i bila vidljiva najmanje 4 satelita. GPS sateliti emituju visoko koherentne transverzalno polarizovane nose}e signale na frekvencijama L1=1227.60MHz i L2=1575.42MHz. Oni su modulisani sa dva pseudo slu~ajna niza nula i jedinica, koji se zovu P-kod i C/A-kod, a ~ije frekvencije iznose 10.23MHz i 1.023MHz, s tim {to je C/A- kod prisutan samo na L1. Prijemnici onda moraju biti u stanju da generi{u barem jedan od kodova, kako bi upore|enjem tako generisanog niza sa primljenim nizom mogli meriti razliku izme|u vremena emitovanja τ i vremena prijema t . Ova razlika, popravljena za pomenutu gre{ku sinhronizacije i pomnoèna brzinom svetlosti daje èljenu duìnu. Pomenimo da duìne nisu jedine merne veli~ine koje se mogu dobiti iz GPS. Upotrebljavaju se i druge kao {to }e biti prodiskutovano u podpoglavlju 16.1. Poslednja modulacija nose}eg signala svakog satelita odnosi se na niskofrekventni (50Hz) niz podataka koji opisuju takozvane komercijalne efemeride svakog satelita. Prijemnik moè biti konstruisan tako da de{ifruje ovu poruku koja pored efemerida sadrì i informacije o ~asovniku i op{tem stanju svakog satelita, i prera~una je u

364


odgovaraju}i satelitski poloàj r

j

§ 15.3

u trenutku merenja duìne τ j . Pored

komercijalnih koriste se i takozvane precizne efemeride. Pre uvo|enja duìna ρ u matemati~ki model (38), moraju se obra~unati korekcije za astronomsku refrakciju. Op{ta formula za popravku duìne zbog refrakcije, koja se naziva i popravkom ka{njenja, ima oblik (vidi formulu(9.9)):

Oρ =

∫ (n − 1) dS

,

(15.39)

C

gde je n indeks refrakcije du` putanje C izme|u Pi i S j (jedna~ina (9.5)). Po{to su indeksi prelamanja troposfere i jonosfere potpuno razli~iti, integral se razdvaja na dva dela, zbog ~ega se obi~no govori o troposferskoj popravci ka{njenja O ρT i jonosferskoj popravci ka{njenja O ρI . Gornji integral ina~e zahteva da n bude poznato u svakoj ta~ki putanje. Nekoliko istraìva~a doprinelo je razvoju formula za troposfersku popravku ka{njenja (vidi npr. HOPFIELD [1969] i YIONOULIS [1970]), a iscrpan pregled njihovih radova moè se na}i u WELLS [1974]. Izraz za troposfersku korekciju u op{tem slu~aju glasi:

Oρ = T

∑K

i =d, w

i

(

/ sin ⎡ ν 2 + θ i2 ⎢⎣

)

1/ 2

⎤, ⎥⎦

(15.40)

gde je ν vertikalni ugao prema satelitu. Indeks d ozna~ava suvu komponentu vazduha, a K d je funkcija temperature T , pritiska P i visine opaà~ke stanice H . Indeks w ozna~ava vla`nu komponentu, a K w je ponovo funkcija od T , P, H i uz to jo{ i pritiska vodene pare e . Korekcije za vertikalni ugao ν iznose θ d = 2.5o i

θ w = 1.5o . Za K d i K w mogu se usvojiti i prose~ne vrednosti. Za mediteransku klimu na primer, MOFFETT [1971] daje srednju vrednost u iznosu K d =2.31m i

K w =0.20m. Postoje i druge formule [SAASTAMOINEN, 1973], ali su sve u op{tem slu~aju vaè}e samo za ν ve}e od 10 o , i imaju ta~nost od oko 0.2m. Jonosferska korekcija ka{njenja dobija se izraàvanjem n u obliku reda:

n = 1+

c1 c + 24 + L , 2 f f

(15.41)

§ 15.3


365

gde je f frekvencija signala, a koeficijenti c su funkcije putanje talasa i vremena, i nezavisni su od f . Jedna~ina (39) onda daje:

Oρ = I

∫ (n − 1) dS =

C

b1 b + 24 + L , 2 f f

(15.42)

pri ~emu su koeficijenti b tako|e nezavisni od f . Po{to je ova korekcija funkcija frekvencije, ona se moè odrediti ako se duìne mere simultano na dve frekvencije kao {to je slu~aj sa NAVSTAR sistemom. Vrati}emo se ovoj korekciji ponovo kasnije. Gre{ka poloàja odre|enog merenim duìnama moè se razdvojiti u dve glavne komponente: gre{ku duìne i gre{ku efemerida koja se jo{ zove orbitalna gre{ka ili gre{ka satelitskih poloàja. Za GPS na primer, gre{ka komercijalnih efemerida iznosi oko 2m [Anderle, 1980], dok gre{ka duìne zavisi od toga koji je kod upotrebljen za merenje duìna. P-kod duìne imaju standardnu devijaciju od oko 1.5m, dok C/A-kod duìne imaju ta~nost ne{to bolju od 10m. Unutra{nja ta~nost poloàja odre|enog iz nekoliko ~asova opaànja P-kod duìna iznosi oko 0.5m [WELLS ET AL., 1981]. S druge strane, standardna devijacija poloàja odre|enog iz vi{emese~nih SLR opaànja dostiè 2 do 3cm [CHRISTODOULDIS AND SMITH, 1983]. Do sada nisu na|eni uporedivi podaci za GPS. (b) Slede}i logi~ki model je matemati~ki model pravca. Da bi se dobio pravac ka satelitu on se fotografi{e naspram zvezdanog neba. Nakon {to se identifikuju zvezde i satelit, na snimku se vr{e merenja poloàja satelita u odnosu na zvezde. Po{to su α i δ za zvezde poznati, mogu se oceniti α i δ za satelit. Ova prividno jednostavna tehnika povezana je sa nekoliko problema koji joj ograni~avaju ta~nost, i ~ine je ustvari komplikovanom. Najve}u te{ko}u predstavlja modeliranje distorzije so~iva kamere, {to se moè izvesti samo uz mnoga redundantna opaànja. Ta~nost poloàja iz kataloga zvezda predstavlja dodatno ograni~enje. Problem atmosferske refrakcije (jedna~ina (15)) je tako|e ozbiljan [MUELLER, 1964]. Daljoj nesigurnosti doprinose i orbitalne gre{ke kao i u modelu duìna. Nije mogu}e odrediti trodimenzionalni poloàj opaà~ke stanice samo iz opaànja pravaca. Razmeru mora obezbediti barem jedna duìna na Zemlji ili do satelita. Pravce }emo prema tome smatrati samo delom slede}eg modela koji podrazumeva simultano merenje duìna i pravaca, i koji je konceptualno mnogo jednostavniji. Ostale upotrebe pravaca ka satelitima obradi}emo u podpoglavlju 16.1 i 17.3.

366

§ 15.3


(c) Matemati~ki model simultanih duìna i pravaca moè se napisati u obliku (vidi sliku 16):

ri = r j − ρ i j , gde su ri i r

j

(15.43)

radijus vektori opaà~ke ta~ke i satelita. Topocentri~ni vektor ρ i

j

dat je u CT sistemu kao:

ρi

j CT

(

) (

= R2 − x p R1 − y p

)

⎡cosδ j cosα j ⎤ ⎥ ⎢ R3 (GAST )ρ i ⎢ cosδ j sinα j ⎥ . ⎥ ⎢ sinδ j ⎦ ⎣ j

(15.44)

Jasno je da je dovoljno samo jedno opaànje vektora ρ i da bi se jednozna~no j

odredio poloàj ri opaà~ke stanice. Kada je opaàno vi{e satelitskih poloàja, jedna~ina (43) postaje jedna od nekoliko jedna~ina opaànja, pa je neophodno osrednjavanje da bi se dobile tri komponente vektora ri . U tom slu~aju model postaje eksplicitan po parametrima ( xi , y i , z i ), a tretman takvih modela ve} je bio diskutovan u poglavlju 11. Po{to se ovakav na~in pozicioniranja ne koristi ~esto, ne postoje pouzdane ocene ta~nosti koja se moè posti}i.

SLIKA 15.16. Simultano merenje duìna i pravaca do satelita.

§ 15.3


367

SLIKA 15.17. Varijacija primljene talasne duìne.

(d) Kada pokretni objekat kao {to je to satelit, emituje elektromagnetni signal odre|ene konstantne frekvencije f T = 2π / λT , opaà~ prima signal frekvencije

f R = 2π / λR koja varira u zavisnosti od brzine oda{ilja~a u odnosu na prijemnik (vidi sliku 17). Primljena talasna duìna λR u vezi je sa konstantnom emitovanom talasnom duìnom λT preko Doplerove jedna~ine [MENZEL, 1955]:

⎛

λ R = λ T ⎜1 + ⎝

ρ ⎞⎛

ρ2 ⎞ ⎟⎜1 + 2 ⎟ c ⎠⎝ c ⎠

1/ 2

,

(15.45)

gde je c brzina svetlosti, a ρ brzina promene duìne (vidi sliku 18). Jedna~ina (45) opisuje takozvani Doplerov efekat.

SLIKA 15.18. Brzina promene duìne ρ .

368

§ 15.3


Iz jedna~ine (45) vidi se da je λR = λT samo ako je ρ = 0 . Ova situacija javlja se samo kada se satelit kre}e brzinom r normalnom na vektor duìne ρ (slika 18). Ta~ka satelitske orbite u kojoj je brzina satelita normalna na vektor duìne do satelita zove se ta~ka najblièg prilaza (PCA). Samo frekvencija f T emitovana kada je satelit u PCA biva kasnije primljena kao nedeformisana. TRANSIT satelitski sistem bio je projektovan da na savremeni na~in koristi Doplerov efekat. Sistem se sastoji od pet satelita sa skoro kru`nom ( e = 0 ) polarnom ( i = π / 2 ) orbitom na prose~noj visini od oko 1074 km (tj. a0 = 6371 km + 1074 km = 7445 km ). Ova visina leta podrazumeva orbitalni period od oko 107 minuta (vidi jedna~inu (5.1)) i translatornu brzinu r od oko 7.3km s −1 . Po{to je

ρ

uvek manje od r , relativisti~ki efekat ( ρ / c) 2 u jedna~ini

(45) iznosi manje od 3 × 10 −10 od talasne duìne, pa se normalno zanemaruje. Zamenom frekvencija za talasne duìne u jedna~ini (45) dobija se:

fR =

2π = f T (1 − ρ / c ) . λT (1 + ρ / c )

(15.46)

Sada je jednostavno izraziti brzinu promene duìne ρ kao funkciju dve frekvencije:

ρ = c(1 − f R / f T ) .

(15.47)

I kona~no, razlika duìna ∇ρ izme|u dva satelitska poloàja S (τ j ) = S

S (τ k ) =

Sk

j

i

iznosi:

∇ρ =

c fT

τk

∫(f

T

− f R ) dτ .

(15.48)

τj

Pod pretpostavkom da razlika frekvencija f T − f R moè da se meri i integrali, postavlja se pitanje kako se razlike duìna ∇ρ mogu upotrebiti za dobijanje poloàja prijemnika? Opaàne ∇ρ koriste se u konceptu poznatom kao hiperboli~ko pozicioniranje. Pretpostavimo da su dva poloàja satelita S 1 , S 2 poznata, i da je u ta~ki Pi opaàno ∇ρ i12 . Iz geometrije je poznato da Pi mora leàti na jednoj od dve hiperboli~ke povr{i H 1, H 2 prikazane na slici 19, jer je svaka

§ 15.3


369

SLIKA 15.19. Hiperboli~ko pozicioniranje.

hiperboli~ka povr{ ustvari geometrijsko mesto ta~aka sa konstantnom razlikom duìna do dve ìè S 1 , S 2 . Ako imamo drugu razliku duìna npr. ∇ρ i23 koja ta~ku

Pi dovodi u vezu sa drugim parom hiperboli~kih povr{i, onda Pi mora leàti na jednoj od kriva preseka odgovaraju}ih hiperboli~kih povr{i. Tre}a razlika duìna onda obezbe|uje ta~ku kao presek takve dve krive. TRANSIT sistem je projektovan tako da koristi ~itav niz satelitskih poloàja jednog satelitskog prolaza. Pod satelitskim prolazom obi~no se podrazumeva vidljivi deo orbite koji obuhvata dva uzastopna prolaza kroz almukantarat z = 82 o . Satelitski poloàji u svakom prolazu raspore|eni su ekvidistantno u vremenu, a upotrebljeni vremenski interval ∆τ zavisi od konstrukcije prijemnika. Optimalnom vredno{}u smatra se interval od oko 30s. Da bi se razumelo kako se dobijaju TRANSIT razlike duìna, moraju se poznavati barem osnovni principi rada sistema. Svaki satelit emituje signale sa dva stabilna kristalna oscilatora frekvencija 150MHz i 400MHz. Ova dva signala primaju se antenom prijemnika i upore|uju sa sli~nim internom generisanim frekvencijama. Pogledajmo na primer takvo upore|enje za frekvenciju 400MHz. Prvo se emituju}a frekvencija f T namerno smanjuje za oko 32kHz (399.968MHz) u odnosu na frekvenciju prijemnika

f G = 400 MHz . Slika 20 prikazuje obe primljene

frekvencije f R koje zavise od brzine satelita, i situaciju koja se pojavljuje za vreme jednog satelitskog prolaza. Razlika od oko 32kHz emituju}e frekvencije obezbe|uje da razlika izme|u f G i f R bude uvek pozitivna, i sa vredno{}u izme|u 24 i 40kHz.

370


§ 15.3

SLIKA 15.20. Frekvencije koje se koriste u TRANSIT pozicioniranju.

Ako se f T i f G mogu smatrati dovoljno stabilnim za vreme jednog prolaza koje obi~no iznosi izme|u 10 i 18 minuta, onda se moè napisati:

f T = f G − ∆f ,

(15.49)

gde je razlika frekvencija ∆f konstantna za vreme jednog prolaza, ili se u op{tem slu~aju menja od prolaza do prolaza oko vrednosti od 32kHz. Zamenom za f T iz jedna~ine (48) dobija se:

∇ρ =

c fT

τk

∫τ ( f j

G

− f R ) dτ −

c ∆f∆τ . fT

(15.50)

gde Doplerova frekvencija f G − f R ∈ 24 kHz, 40 kHz predstavlja ustvari veli~inu koju prijemnik prati. Doplerova frekvencija u vremenu daje broj ciklusa Doplerovog signala, {to je jedna bezdimenzionalna veli~ina koja se zove i Doplerov broj. Njegov integral po vremenskom intervalu τ j , τ k je veli~ina koju prijemnik registruje, a koja se zove integralni Doplerov broj D . Lako je videti da za vreme intervala od 30s, prijemnik akumulira oko 10 6 Doplerovih brojeva, koji pomnoèni sa c / f T = 75 cm daju prvi deo razlike duìna ∇ρ iz jedna~ine (50). Drugi deo koji je konstantan za ceo prolaz, moè se dobiti samo nakon {to je nepoznata konstanta ∆f odre|ena. Istovetan postupak primenjuje se i za frekvenciju od 150MHz.

§ 15.3


371

Pretpostavimo sada da je poznata frekventna konstanta za jedan prolaz, a samim tim i da su poznate razlike duìna svih susednih satelitskih poloàja razdvojenih za ∆τ . Po{to je luk gotovo planaran, sve hiperboli~ke povr{i ~iju prese~nu ta~ku traìmo se}i}e se po familiji prostornih krivih, koje }e sa velikim stepenom pribliènja imati zajedni~ku tangentu upravnu na orbitalnu ravan. Stoga }e odre|ivanje poloàja ri biti veoma slabo, i ako bi satelitski prolaz bio strogo planaran, odre|ivanje ri iz jednog prolaza bilo bi nemogu}e. To zna~i da se re{enje za ri moè dobiti samo iz najmanje dva prolaza sa dovoljno nagnutim orbitalnim ravnima. U praksi se obi~no koriste brojni prolazi za odre|ivanje poloàja. Matemati~ki model razlike duìna potreban za odre|ivanje poloàja prijemne antene dobija se jednostavno formulisanjem dva matemati~ka modela duìna (jedna~ina (38)) za Pi i dva razli~ita satelitska poloàja S j , S k . Oduzimanjem prve od druge dobija se:

(e

k i

)

(

− ei j ri = eik r k − ei j r

j

) − ∇ρ

jk i

.

(15.51)

Zamenom za razliku duìna kona~no sledi:

(e

k i

)

− ei j ri −

(

c ∆τ∆f i l = eik r k − ei j r fT

j

) − fc

Di jk .

(15.52)

T

gde ∆f i l ozna~ava frekventnu konstantu za l -ti prolaz opaàn sa ta~ke Pi . Da bi se izra~unao poloàj ri i m nepoznatih frekventnih konstanti za isto toliko prolaza, ne samo da moraju biti opaàni integralni Doplerovi brojevi Di jk , ve} moraju biti poznati i poloàji r j , r k satelita u trenucima emitovanja vremenskih markera. Ovi poloàji odre|uju se ili iz prognoziranih orbitalnih informacija koje emituje sam satelit, ili iz naknadno sra~unatih orbitalnih informacija. Komercijalne efemeride daju se u vidu koordinata veoma bliskih Keplerovim orbitalnim elementima, i u vidu brzina njihove promene. Satelitski poloàji izra~unati iz komercijalnih efemerida imaju ta~nost 25m du` putanje, 15m radijalno i 5m upravno na putanju. Alternativa su precizne efemeride koje su oko dva puta ta~nije od komercijalnih efemerida. Pomenimo da se ista merna veli~ina tj. integralni Doplerov broj moè dobiti i iz GPS. Me|utim takav reìm GPS rada nema dovoljnu geometrijsku snagu zbog neuporedivo sporijeg uglovnog kretanja GPS satelita [VANI~EK ET AL., 1984].

372

§ 15.3

APSOLUTNO POZICIONIRANJE jk

Pre nego {to se Doplerovi brojevi Di uvedu u model moraju se primeniti troposferske i jonosferske korekcije. Pomo}u (52) nalazimo da je troposferska jk

korekcija Doplerovog broja Di :

ODi jkT =

(

)

fG δρ ikT − δρ i jT , c

gde su δρ ikT i δρ i (40)).

jT

(15.53)

troposferske korekcije za duìne ρ ik i ρ i (vidi jedna~inu j

Jonosferska korekcija Doplerovog broja Di

jk

sledi iz (42). Za svaki od dva

Doplerova broja opaàna na frekvencijama f1 i f 2 moè se napisati:

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ a1 1 a1 ⎪ = KD (vac) + , D( f 2 ) = KD(vac) + f2 K f 1 ⎪⎭ D( f 1 ) = D(vac) +

a1 , f1

(15.54)

gde je D(vac) ta~an Doplerov broj, K = f 2 / f1 , a a1 je konstanta. Za TRANSIT sistem K =

3 8

(vidi npr. WELLS [1974], i:

OD I = D (400) − D (vac ) =

24 55

(D(150) − 83 D(400)) ,

(15.55)

gde su D(150) i D (400) opaàni Doplerovi brojevi na dva frekventna kanala.

SLIKA 15.21. Korelacija izme|u Doplerovih brojeva.

§ 15.4

Transformacije terestri~kih poloàja

373

Va`no je ista}i da su kontinualna Doplerova merenja korelisana jer se dobijaju iz razlika izme|u akumuliranih brojeva dva uzastopna trenutka vremena τ j i τ k . Drugim re~ima, po{to dva susedna Doplerova broja imaju zajedni~ki jedan akumulirani broj, oni su ovom vredno{}u korelisani. To zna~i da }e kovarijaciona matrica opaànja biti tridijagonalna (vidi podpoglavlje 3.1) [KRAKIWSKY ET AL., 1972]. Pokazano je da se korelacija moè eliminisati transformacijom jedna~ina razlika duìna u jedna~ine duìna [BROWN, 1970]. U ovom slu~aju duìna od stanice do satelta ρ i0 na po~etku merenja τ 0 postaje dodatna nepoznata. Akumulirani

Doplerovi brojevi Di01 , Di02 ,... u uzastopnim epohama τ 1 , τ 2 ,... (vidi sliku 21) daju nekorelisane duìne za dve epohe (formula (50)):

ρ ik = ρ i0 +

[

]

c Di0 k − ∆f i l ∆τ . fT

(15.56)

i imaju tu prednost {to je kovarijaciona matrica opaànja, tj. akumuliranih Doplerovih brojeva Di0 k dijagonalna. Jasno je da ta~nost poloàja ri zavisi od ta~nosti orbite ( r k , r j ) i ta~nosti jk

opaànih Doplerovih brojeva Di . U slu~aju TRANSIT sistema orbitalna ta~nost je reda nekoliko metara [ANDERLE, 1974]. Originalni Doplerski satelitski prijemnici (sa ∆τ = 120 s ) registruju Di u ∇ρ i

jk

jk

do na jedan ciklus, {to odgovara ta~nosti od 0.75m

za f s = 400 MHz . Najnovija generacija prijemnika poseduje bolji broja~ i

Di se sada moè meriti do na 0.4 ciklusa i manje, {to odgovara ta~nosti ∇ρ i jk od jk

oko 0.3m ili ~ak i bolje ako nema refrakcije [KOUBA, 1980]. Sve u svemu, pozicioniranje ovim sistemom uz oko 50 prolaza moè biti ta~no 1m za komercijalne efemeride, i oko 20cm za precizne efemeride [KRAKIWSKY ET AL., 1972]. Ta~nost pozicioniranja tehnikom razlika duìna nije se mnogo popravila od 1972 godine. 15.4. Transformacije terestri~kih poloàja êsto se ukazuje potreba da se poloàj neke ta~ke na Zemljinoj povr{i, transformi{e iz jednog koordinatnog sistema u drugi. Prirodno je formulisati matemati~ki model i na}i re{enja za koordinate u jednom odre|enom koordinatnom sistemu. Kasnije se moè èleti da se koordinate iste ta~ke odnose na neki drugi koordinatni sistem, i to je situacija u kojoj je potrebna transformacija. U podpoglavlju 15.2 imali smo slu~aj da su astronomski odre|ene koordinate Φ , Λ

374

§ 15.4


bile re{ene u IT sistemu, a kasnije transformisane u CT sistem. Ono {to je ovde najzna~ajnije kada su u pitanju transformacije poloàja, je koncept dvoosnog referentnog elipsoida sa krivolinijskim koordinatama φ , λ , h (podpoglavlje 7.1). Ovo podpoglavlje sadrì slede}e teme: (a) Transformaciju

geodetskih

krivolinijskih

koordinata

(φ , λ , h) G

u

reprezentativne kartezijanske koordinate ( x, y, z) G , i obrnuto (vidi podpoglavlje 3.3). (b) Transformaciju CT koordinata ( x, y, z) CT u negeocentri~ne koordinate

(φ , λ , h) G i obratno. (c) Transformaciju astronomskih koordinata (Φ, Λ ) u geodetske krivolinijske koordinate (φ , λ ) zajedno sa transformacijom astronomskog azimuta ( A) u geodetski azimut (α ) , i ortometrijske visine ( H ) u geodetsku visinu (h) i obratno. U okviru ovih transformacija diskutovani su i na~ini pozicioniranja geodetskog referentnog elipsoida u okviru Zemlje. (d) Transformaciju trojke geodetskih krivolinijskih koordinata (φ , λ , h)1 , koje se odnose na elipsoid (a1 , b1 ) , u drugu trojku (φ , λ , h) 2 koja se odnosi na drugi elipsoid (a 2 , b2 ) . (e) Transformaciju horizontalnih geodetskih krivolinijskih koordinata (φ , λ ) u projekcione koordinate ( x, y ) M i obratno. U ovom spisku postoje dve klase transformacija. Prva klasa u koju spada transformacija (a), je transformacija u okviru jedne familije koordinatnih sistema (vidi podpoglavlje 3.3). Druga klasa su transformacije izme|u familija koordinatnih sistema razli~itih lokacija i orijentacija. Pre nego {to pre|emo na prvu transformaciju, izvedimo izraz za jo{ jednu veli~inu vezanu za dvoosni elipsoid. Iz (3.90) se za svaku ta~ku elipsoida P0 dobija (vidi sliku 22):

N 0 cos φ 0 = p 0 ,

(15.57)

§ 15.4


375

SLIKA 15.22. Geometrija dvoosnog elipsoida.

gde je N 0 polupre~nik krivine po prvom vertikalu ta~ke P0 , i moè se izvesti iz (7.10) i (7.12) kao:

N0 =

(a cos φ 2

a2

2

0

+ b 2 sin 2φ 0

)

12

.

(15.58)

On je o~igledno sli~an polupre~niku M datom sa (7.14). (a) Po{to reprezentativni kartezijanski sistem (G) koordinata odgovara krivolinijskom sistemu koordinata, vaì:

x 0G = p 0 cos λ 0 ,

y 0G = p 0 sin λ 0 ,

(15.59)

i moèmo napisati vektor poloàja normalne projekcije P0 ta~ke Pi na elipsoid jednostavno kao:

r0G = r G (φ 0 , λ 0 ) = r G (φ i , λi ) ⎡ cos φ 0 cos λ 0 ⎤ ⎡ cos φ i cos λi ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = N 0 ⎢ cos φ 0 sin λ 0 ⎥ = N i ⎢ cos φ i sin λi ⎥ , ⎢⎣ b 2 a 2 sin φ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ b 2 a 2 sin φ i ⎥⎦

(

)

(

)

(15.60)

376


§ 15.4

SLIKA 15.23. Ta~ke na i iznad referentnog elipsoida.

gde je z G komponenta data sa (7.10). Da bi se dobio vektor poloàja ta~ke Pi locirane iznad ta~ke P0 elipsoida, dva vektora se sabiraju na slede}i na~in (vidi sliku 23):

ri G = r G (φ i , λi ) + hi n G (φ i , λ i ) ,

(15.61)

⎡cos φ i cos λi ⎤ ⎢ ⎥ e = n (φ i , λ i ) = ⎢ cos φ i sin λ i ⎥ , ⎢⎣ sin φ i ⎥⎦

(15.62)

gde je: G

G

jedini~ni vektor normale na elipsoid u P0 , dok je hi geodetska visina ta~ke Pi (podpoglavlje 7.1). Rezultuju}i vektor poloàja iznosi:

ri

G

⎡ xi ⎤ ⎡(N i + hi ) cos φ i cos λi ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ y i ⎥ = ⎢ (N i + hi ) cos φ i sin λi ⎥ . ⎢⎣ z i ⎥⎦ ⎢⎣ N i b 2 a 2 + hi sin φ i ⎥⎦

(

)

Ovo je jedna~ina transformacije iz (φ , λ , h) u G sistem.

(15.63)

§ 15.4


377

Inverzna transformacija izvodi se iterativno ili u zatvorenom obliku. Oba pristupa koriste duìnu p do manje poluose, koja za bilo koju ta~ku P iznosi:

(

p = x2 + y2 ili iz (63):

)

12

,

(15.64)

p = (N + h ) cos φ .

(15.65)

Iz (63) i (7.10) sledi:

(

)

z = N + h − e 2 N sin φ ,

(15.66)

⎛ z e2 N ⎞ ⎟. = tan φ ⎜⎜1 − p N + h ⎟⎠ ⎝

(15.67)

i kona~no:

Od ove formule nadalje razdvajaju se dva pristupa. Iteracije obi~no zapo~inju re{avanjem za φ iz gornje jedna~ine [HEISKANEN MORITZ, 1967]. Stavljaju}i h = 0 , dobija se:

(

⎛z 1 − e2 p ⎝

φ (0 ) = arctan ⎜⎜

)

−1 ⎞

⎟⎟ . ⎠

AND

(15.68)

Onda se k -ta iteracija sastoji u sukcesivnom odre|ivanju N (k ) = N (φ (k −1) ) iz (58), h (k ) = h(φ (k −1) , N (k ) ) iz (65), i φ (k ) = φ ( N (k ) , h (k ) ) iz (68). Iteracije se ponavljaju dok se ne zadovolje slede}e nejednakosti:

h (k ) − h (k −1) < aε

i

φ (k ) − φ (k −1) < ε ,

(15.69)

za neku unapred izabranu vrednost ε . Kada se φ i h odrede, λ se ra~una ili iz prve dve jedna~ine (63) ili po izrazu:

λ = 2 arctan

y x + x2 + y2

.

Re{enje u zatvorenom obliku koristi (65) i (66) za dobijanje jedna~ine:

(15.70)

378


p tan φ − z = e 2 N sin φ .

§ 15.4

(15.71)

U ovoj jedna~ini φ je jedina nepoznata, s tim {to je i N funkcija od φ . Zamenom iz (58) jedna~ina (71) menja se u:

p tan φ − z =

ae 2 sin φ

(cos φ + (b 2

2

)

a 2 sin 2φ

)

12

(15.72)

Deljenjem brojioca i imenioca desne strane sa cos φ i kvadriranjem cele jedna~ine, dobija se:

⎛ p 2 − a 2e 4 p 2 tan 4φ − 2 pz tan 3φ + ⎜⎜ z 2 + 1 − e2 ⎝

⎞ 2 2 pz z2 ⎟ tan φ − tan φ + =0. 2 2 ⎟ e e 1 − 1 − ⎠ (15.73)

Ovo je bikvadratna jedna~ina po tan φ , u kojoj su svi koeficijenti poznati. Postoje standardne metode za re{avanje jedna~ina ~etvrtog stepena [KORN AND KORN, 1968], i kada se dobije re{enje za tan φ , tada se N i h re{avaju pomo}u (58) i (65) respektivno. Longituda λ sledi direktno iz (63) ili (70), ~ime je inverzna transformacija kompletna. PAUL [1973] je pokazao da je re{enje u zatvorenom obliku oko 25% brè od iterativnog. Treba napomenuti da je (φ , λ , h) dvoparametarski sistem koordinata (podpoglavlje 3.3), i da se prema tome dva parametra a, b (ili a, e ili neka druga kombinacija) pojavljuju u svim pomenutim transformacijama. (b) Druga transformacija iz CT u G sistem zahteva poznavanje poloàja i orijentacije referentnog elipsoida unutar Zemlje. Zadatak pozicioniranja i orijentisanja referentnog elipsoida poznat je kao uspostavljanje horizontalnog geodetskog datuma [YEREMEYEV AND YURKINA, 1969; MATHER, 1970; PICK ET AL., 1973]. Referentni elipsoid definisan vrednostima parametara a, b postaje onda datum, odnosno specifi~na koordinatna povr{ (podpoglavlje 3.3). Pozicioniranje elipsoida zahteva jo{ {est parametara da bi se eliminisalo njegovih {est stepeni slobode, odnosno {est na~ina na koje se elipsoid moè kretati relativno u odnosu na Zemlju. Uz ovih {est, ukupan broj datumskih parametara iznosi osam. Po{to smo zainteresovani za transformaciju (φ , λ , h) u CT sistem, prirodno je definisati {est datumskih parametara u centru mase Zemlje (geocentri~ni skup datumskih parametara), u vidu tri CT koordinate centra elipsoida koje se zovu datumske komponente translacije x E , y E , z E , i tri datumska ugla rotacije ε x , ε y , ε z potrebnih da se defini{e neparalelnost osa oba sistema (vidi sliku 24). Na~ini na

§ 15.4


379

SLIKA 15.24. Geocentri~ni skup datumskih parametara.

koje se datumi pozicioniraju u praksi bi}e pokazani u podpoglavljima 17.1 i 18.1. Izvo|enje inverzne transformacije prepu{ta se ~itaocu. Transformacija iz (φ , λ , h) G

u ( x, y, z ) CT

izvodi se u dva koraka: prvo

(φ , λ , h) G → ( x, y, z ) G koriste}i (63), a onda ( x, y , z ) G → ( x, y, z ) CT upotrebom slede}e formule:

r CT

⎡ x⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ y⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦

CT

G

( )

= R1 (ε x ) R2 ε y

⎡ xE ⎤ ⎡ x⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ R3 (ε z ) ⎢ y ⎥ + ⎢ y E ⎥ ⎢⎣ z E ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

CT

.

(15.74)

O~igledno je da bi bilo pogodnije da su ose dva sistema paralelne, tj. ε x = ε y = ε z = 0 , jer onda gornja jedna~ina postaje mnogo jednostavnija i svodi se na:

r CT = r G + rECT .

(15.75)

380


§ 15.4

U transformaciji CT koordinata dobijenih npr. satelitskim pozicioniranjem, u G sistem, ta~nost rezultata zavisi od ta~nosti ri

CT

, koja je oko 2m (podpoglavlje 15.3).

Dana{nja ta~nost {est transformacionih parametara poznatih za neke svetske datume (vidi podpoglavlje 7.1), dodaje jo{ 1 ili 2m ukupnoj nesigurnosti [THOMSON, 1976]. (c) Slede}a transformacija treba da omogu}i prevo|enje astronomski odre|enih poloàja (Φ, Λ ) u geodetske poloàje (φ , λ ) . Ona nije tako geometrijski jasna kao dosada{nje, i zahteva odre|ena prethodna znanja. Naro~ito je va`no pravilno razumevanje poloàja G sistema u odnosu na Zemljino gravitaciono polje koje predstavlja okvir za koordinate Φ, Λ . Obja{njenje zahteva definisanje jo{ dva koordinatna sistema: LA sistema pomenutog u podpoglavlju 15.1, i lokalnog geodetskog sistema. Lokalni geodetski sistem definisan je na slede}i na~in (vidi sliku 25): on je topocentri~an (T), osa z LG predstavlja spolja{nju elipsoidnu normalu u ta~ki T, osa x LG uperena je prema geodetskom severu, tj. leì u ravni geodetskog meridijana definisanoj elipsoidnom normalom u T i malom poluosom ( z G ) referentnog elipsoida, i y LG osa kompletira levo orijentisani sistem. Primetimo da LG sistem gradi uglove φ i λ sa G sistemom. O~igledno je da je veza izme|u LG i G sistema analogna vezi izme|u LA i CT sistema, u {ta se ~italac moè uveriti upore|enjem slika 25 i 4. Analogija izme|u LG i LA sistema ide jo{ dalje. Analogno astronomskim veli~inama (vidi podpoglavlje 15.1), ovde se mogu definisati geodetski vertikalni ugao v ′ , geodetsko zenitno odstojanje Z ′ i geodetski azimut α (slika 25). Me|utim, dok je LA sistem prirodan jer ga diktiraju fizi~ka svojstva Zemlje, LG sistem nije. Ispitajmo sada sve veze izme|u ~etiri koordinatna sistema (CT, LA, G, LG) prikazana na slici 26. Jedini~ni vektor e LA moè se rotirati u CT sistem na slede}i na~in. Iz jedna~ine (74) sledi:

(

)

e CT = R ε x , ε y , ε z e G .

(15.76)

Obzirom na analogiju izme|u parova sistema CT, LA i G, LG, jedna~ina analogna jedna~ini (6) moè se iskoristiti za transformaciju e LG u e G . Kona~no, iz slike 26 sledi:

e LG = R3 (∆α ) R2 (− ξ ) R1 (η ) e LA = R T (∆α ,−ξ ,η ) e LA ,

(15.77)

§ 15.4


381

SLIKA 15.25. Lokalni geodetski sistem.

tako da je:

⎛π ⎞ e CT = R ε x , ε y , ε z R3 (π − λ ) R2 ⎜ − φ ⎟ P2 R T (∆α ,−ξ ,η ) e LA . ⎝2 ⎠

(

)

(15.78) Da bi se odràla konzistencija izme|u ~etiri sistema, ova jedna~ina mora biti ekvivalentna jedna~ini (6) koja opisuje istu transformaciju ali pomo}u drugih transformacioih parametara. Stoga mora vaìti slede}a jedna~ina:

⎞ ⎛π R3 (π − Λ ) R2 ⎜ − Φ ⎟ P2 ⎝2 ⎠

(

= R ε x ,ε y ,ε z

)

⎛π ⎞ R3 (π − λ ) R2 ⎜ − φ ⎟ P2 R T (∆α ,−ξ , η ) . 2 ⎝ ⎠

(15.79)

382

§ 15.4


SLIKA 15.26. Uslovi paralelnosti.

U ovoj jedna~ini, ε x , ε y , ε z , ∆α , ξ , η , Λ − λ , Φ − φ po pravilu su male veli~ine. Zbog toga se njihove trigonometrijske funkcije mogu razviti u red i zadràti samo prvi ~lanovi. Na taj na~in dobijaju se uslovi [VANI~EK AND CARRERA, 1985]:

(

)

(

)

⎡∆α ⎤ ⎡ (Λ − λ ) sin φ ⎤ ⎡ cos φ ε x cos λ + ε y sin λ + ε z sin φ ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ε x sin λ − ε y cos λ ⎥ , ⎥−⎢ ⎢ ξ ⎥ = ⎢ Φ −φ ⎢ ⎢⎣ η ⎥⎦ ⎢⎣(Λ − λ ) cos φ ⎥⎦ − sin φ ε x cos λ + ε y sin λ + ε z cos φ ⎥ ⎦ ⎣ (15.80) koje moraju zadovoljiti sve uklju~ene veli~ine, i to geodetske ε x , ε y , ε z , φ , λ , α , astronomske Φ, Λ, A , i komponente povr{inskih vertikalskih otklona ξ , η . Jedna~ina (80) moè se pojednostaviti tako da ima oblik:

§ 15.4


383

⎡ε x ⎤ ⎡∆α ⎤ ⎡ (Λ − λ ) sin φ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Φ −φ ⎥ − R2 (φ − π ) R3 (λ − π ) ⎢ε y ⎥ . ⎢ ξ ⎥=⎢ ⎢⎣ε z ⎥⎦ ⎢⎣ − η ⎥⎦ ⎢⎣− (Λ − λ ) cos φ ⎥⎦

(15.81)

Treba napomenuti da ako je G sistem zajedno sa pridruènim elipsoidom pozicioniran i orijentisan u odnosu na CT sistem lokalno u ta~ki T0 , onda je neophodan topocentri~ni skup datumskih parametara. Ovih {est nezavisnih parametara mogu biti npr. φ 0 , λ 0 , α 0 , ξ 0 , η 0 , N 0 [VANI~EK AND WELLS, 1974]. U slu~aju da se koristi ovaj na~in pozicioniranja i orijentisanja datuma, jedna~ina (81) mora imati poseban oblik:

⎡cos φ 0 cos λ 0 ⎤ ⎡∆α ⎤ ⎡ (Λ − λ ) sin φ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Φ −φ ⎥ − R2 (φ − π ) R3 (λ − π ) ⎢ cos φ 0 sin λ 0 ⎥ ∆ 0 , ⎢ ξ ⎥=⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ sin λ 0 ⎢⎣ − η ⎥⎦ ⎢⎣− (Λ − λ ) cos φ ⎥⎦ (15.82) gde je ∆ 0 ugao neparalelnosti ra~unat oko elipsoidne normale u ta~ki T0 . Primetimo da ako je G sistem paralelan CT sistemu, tj. ako je ε x = ε y = ε z = 0 , tada nema drugog ~lana na desnoj strani jedna~ina (81) i (82). U tom slu~aju ostao bi sistem od tri jednostavne, ali veoma va`ne jedna~ine:

∆A = A − α = (Λ − λ ) sin φ ,

(15.83)

poznate kao Laplasova jedna~ina za azimute, i:

Φ −φ =ξ , (Λ − λ ) cos φ = η ,

(15.84) (15.85)

koje defini{u jedna~ine za komponente vertikalskih otklona (podpoglavlje 6.4) za slu~aj paralelnosti, u funkciji od astronomskih i geodetskih koordinata. Po{to su jedna~ine formulisane za ta~ku na Zemljinoj povr{i, jasno je da u njima figuri{u povr{inski vertikalski otkloni. Ako je ta~ka na geoidu, onda imamo geoidne vertikalske otklone.

384


§ 15.4

Gornje jedna~ine predstavljaju topocentri~ne uslove paralelnosti G i CT sistema. Ako se èli paralelnost, onda jedna~ine od (83) do (85) moraju biti zadovoljene za sve ta~ke na Zemljinoj povr{i, uklju~uju}i i po~etak T0 , imaju}i pri tome u vidu da se Φ, Λ, A mogu direktno opaàti. Va`no je shvatiti da je ∆A ugao izme|u x LG i x LA ose. Uz pomo} (85) Laplasova jedna~ina se moè napisati u jo{ jednom obliku:

A − α = ∆A = η tan φ .

(15.86)

Alternativni skup jedna~ina uslova paralelnosti dobija se ako se u obzir uzmu merne veli~ine A i Z . Rotacijom jedini~nog vektora LA sistema u LG sistem (vidi slike 3.25 i 26) dobija se:

e LG = R3 (∆A) R2 (− ξ ) R1 (η ) e LA ,

(15.87)

ili:

∆A ξ ⎤ ⎡cos A sin Z ⎤ ⎡cos α sin Z ′⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ′ ⎢ sin α sin Z ⎥ = ⎢− ∆A 1 η ⎥ ⎢ sin A sin Z ⎥ . ⎢⎣ cos Z ′ ⎥⎦ ⎢⎣ − ξ − η 1 ⎥⎦ ⎢⎣ cos Z ⎥⎦ Razvijanjem leve strane u Tajlorov red u ta~ki ( A, Z ) , dobija se:

⎡ cos A sin Z ⎤ ⎡− cos A cos Z ⎤ ⎢ ⎥ ( A − α ) ⎢− cos A sin Z ⎥ + (Z − Z ′) ⎢⎢ − sin A cos Z ⎥⎥ = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 sin Z ∆A ξ ⎤ ⎡cos A sin Z ⎤ ⎡ 0 ⎢ = ⎢− ∆A 0 η ⎥⎥ ⎢⎢ sin A sin Z ⎥⎥ . ⎢⎣ − ξ − η 0 ⎥⎦ ⎢⎣ cos Z ⎥⎦

(15.88)

Tre}a jedna~ina daje direktno:

Z − Z ′ = −ξ cos A − η sin A .

(15.89)

Mnoènjem prve jedna~ine sa sin A , druge sa cos A , oduzimanjem druge od prve i zamenom za ∆A iz jedna~ine (86) sledi:

§ 15.4


A − (ξ sin A − η cos A) cot Z − α = η tan Φ .

385

(15.90)

Ove jedna~ine se mogu upotrebiti kada se precizno mere zenitna odstojanja u mreì, tj. u takozvanom trodimenzionalnom pristupu (vidi podpoglavlje 17.1). Primetimo da je drugi ~lan leve strane jedna~ine (90) jednostavno popravka astronomski opaànog azimuta kako bi se odnosio na istu elipsoidnu normalu kao geodetski azimut α (vidi sliku 25). Ovim skupovima uslova paralelnosti vrati}emo se ponovo u kontekstu trodimenzionalnih (vidi podpoglavlje 17.1) i horizontalnih mreà (podpoglavlje 18.1). Kona~no moèmo formulisati transformaciju prirodnih astronomskih fizi~ki u geodetske konvencionalne veli~ine zna~ajnih veli~ina (Φ, Λ, A, Z , H )

(φ , λ , α , Z ′, h) . Ako su zadovoljeni uslovi paralelnosti, transformacije φ ↔ Φ i λ ↔ Λ date su sa (84) i (85), a transformacije α ↔ A i Z ′ ↔ Z sa (90) i (89). Ta~nost tako dobijenih φ , λ , α i Z ′ zavisi od ta~nosti Φ, Λ, A i Z (oko 0.1″ do 0.2″ kao {to smo videli u podpoglavlju 15.2), i od ta~nosti ξ i η (oko 1″, vidi podpoglavlje 24.3). Inverzna transformacija gotovo nikad nije potrebna. Treba napomenuti da se tako dobijene geodetske koordinate odnose na isti referentni elipsoid (istog oblika i istog poloàja unutar Zemlje), na koji se odnose ξ i η . Isto tako, ako referentni elipsoid nije paralelan sa CT sistemom u kojem su dati Φ i Λ , tada se uglovi neparalelnosti moraju uzeti u obzir na na~in koji }emo uskoro pokazati. Visina iznad elipsoida u vezi je sa visinom iznad nivoa mora H preko N u jedna~ini (7.3). Ta~nost transformacije h ↔ H ograni~ena je ta~no{}u N koja iznosi oko 1m, i ta~nostima h (podpoglavlje 16.1 i 17.1) i H (podpoglavlje 16.4 i poglavlje 19). (d) Slede}a transformacija je ona izme|u koordinata koje se odnose na dva razli~ita datuma. U ovoj transformaciji neophodno je uzeti u obzir razliku u lokacijama geometrijskih centara referentnih elipsoida, razliku u obliku i veli~ini elipsoida i razliku u njihovoj orijentaciji. Posmatrajmo elipsoide sa oblikom i veli~inom definisanom sa (a1 , f 1 ) i (a 2 , f 2 ) , ili alternativno sa (a1 , b1 ) i (a 2 , b2 ) , i lokacijama njihovih geometrijskih centara u

rE1 i rE2 . Neka su njihovi uglovi neparalelnosti u odnosu na CT sistem (ε x1 , ε y1 , ε z1 ) i (ε x 2 , ε y 2 , ε z 2 ) . odnosu na centar mase Zemlje, definisanim vektorima

386

§ 15.4


Ozna~imo koordinate ta~ke koje se odnose na prvi datum sa (φ1 , λ1 , h1 ) . @elimo da na|emo koordinate iste ta~ke (φ 2 , λ 2 , h2 ) koje se odnose na drugi datum. Postoje dva na~ina dobijanja (φ 2 , λ 2 , h2 ) u funkciji (φ1 , λ1 , h1 ) . Prvi, direktni na~in, je da se na|u CT koordinate pomo}u (63) i (64), a onda prevedu u (φ 2 , λ 2 , h2 ) ili iterativno ili u zatvorenom obliku kao {to je ve} pokazano pod (a) u ovom podpoglavlju. Drugi metod koji }emo ovde pokazati je diferencijalna tehnika koja se moè primeniti kada su razlike parametara δa = a 2 − a1 , δf = f 2 − f1 , δx E = x E 2 − x E1 , … , δε z = ε z 2 − ε z1 ova dva datuma dovoljno male. Neka su sa (74) date CT koordinate ta~ke koje se odnose na geodetski datum. Za male uglove neparalelnosti moè se napisati:

⎡ 0 − z y ⎤ ⎡ε x ⎤ ⎡ x E ⎤ ⎡ x⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 − x ⎥ ⎢ε y ⎥ + ⎢ y E ⎥ = ⎢ y⎥ + ⎢ z ⎢⎣− y x ⎢⎣ z ⎥⎦ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ε z ⎥⎦ ⎢⎣ z E ⎥⎦ G

r CT

G

CT

(15.91)

= r G + T G ε + rECT , kao {to ~italac moè i sam proveriti. Identi~na jedna~ina moè se napisati i za drugi datum. Dodeljuju}i indekse za datume i oduzimaju}i prvu jedna~inu od druge, dobija se: CT r2G − r1G + T G (ε 2 − ε 1 ) + rECT 2 − rE1 = 0 .

(15.92)

Izraàvaju}i sada geodetske kartezijanske koordinate r1G , r2G u odgovaraju}im krivolinijskim geodetskim koordinatama, iz jedna~ine (63) dobija se posle sre|ivanja:

r2G

−

r1G

⎡φ 2 − φ1 ⎤ ⎡δa ⎤ ⎢ ⎥ = J ⎢λ 2 − λ1 ⎥ + B ⎢ ⎥ , ⎣δf ⎦ ⎢⎣ h2 − h1 ⎥⎦

(15.93)

pri ~emu uz sfernu aproksimaciju ( f = 0, N = M = a, h = 0) vaì:

⎡− a sin φ cos λ ⎢ J = ⎢ − a sin φ sin λ ⎢⎣ a cos φ

− a cos φ sin λ cos φ cos λ ⎤ ⎥ a cos φ cos λ cos φ sin λ ⎥ . 0 sin φ ⎥⎦

(15.94)

§ 15.4


⎡cos φ cos λ ⎢ B = ⎢ cos φ sin λ ⎢ sin φ ⎣

387

a sin 2φ cos φ cos λ ⎤ ⎥ a sin 2φ cos φ sin λ ⎥ a sin 2φ − 2 sin φ ⎥⎦

(

(15.95)

)

Zamena jedna~ine (93) u jedna~inu (92) daje:

⎛ ⎡φ 2 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎞ ⎡δx E ⎤ ⎡δε x ⎤ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎡δa ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ J ⎜ ⎢λ 2 ⎥ − ⎢λ1 ⎥ ⎟ + B ⎢ ⎥ + ⎢δy E ⎥ + T ⎢δε y ⎥ = 0 δ f ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎣ ⎦ ⎢δz ⎥ ⎢⎣δε z ⎥⎦ ⎣ E⎦ ⎝ ⎣ h2 ⎦ ⎣ h1 ⎦ ⎠

(15.96)

a èljena jedna~ina transformacije kona~no glasi:

⎛ ⎡δx E ⎤ ⎞ ⎡φ 2 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡δε x ⎤ ⎜ ⎡δa ⎤ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ −1 ⎢ ⎢λ 2 ⎥ = ⎢λ1 ⎥ − J ⎜ ⎢δy E ⎥ + T ⎢δε y ⎥ + B ⎢δf ⎥ ⎟ ⎜⎢ ⎣ ⎦⎟ ⎢⎣ h2 ⎥⎦ ⎢⎣ h1 ⎥⎦ ⎢⎣δε z ⎥⎦ ⎝ ⎣δz E ⎥⎦ ⎠

(15.97)

gde je:

J

−1

⎡ − sin φ cos λ a ⎢ = ⎢− sin λ (a cos φ ) ⎢⎣ cos φ cos λ

− sin φ sin λ a

cos λ (a cos φ ) cos φ sin λ

cos φ a ⎤ ⎥ 0 ⎥ . sin φ ⎥⎦

(15.98)

Matrice B, J i T mogu se izraziti za bilo koji od dva datuma, jer je pretpostavljeno da su razlike u elipsoidima male. Matrica T glasi:

0 ⎡ ⎢ sin φ T = a⎢ ⎢⎣− cos φ sin λ

− sin φ 0 cos φ cos λ

cos φ sin λ ⎤ ⎥ − cos φ cos λ ⎥ . ⎥⎦ 0

(15.99)

(e) Direktna i inverzna transformacija geodetske {irine i duìne (φ , λ ) u dvodimenzionalne kartezijanske projekcione koordinate ( x, y ) M i obratno, mogu se napisati u vidu jedna~ina preslikavanja:

x = x(φ , λ ) , y = y (φ , λ ) , φ = φ ( x, y ) , λ = λ ( x, y ) .

(15.100) (15.101)

388


§ 15.4

SLIKA 15.27. Komutativni dijagram transformacija terestri~kih poloàja.

Po{to op{ta teorija preslikavanja i projekcija spada u matemati~ku kartografiju, ona se ne}e razra|ivati u ovoj knjizi. Dovoljno je re}i da postoji mno{tvo projekcija koje se mogu upotrebiti za predstavljanje horizontalnih geodetskih koordinata, i zainteresovani ~italac se upu}uje na literaturu (npr. HOTINE [1946, 1947], RICHARDUS AND ADLER [1972], MALING [1973]). Za geodeziju su od zna~aja naro~ito konformne projekcije jer se koriste za razna geodetska ra~unanja, i bi}e obra|ene na odgovaraju}i na~in u podpoglavlju 16.3. Na kraju, slika 27 prikazuje komutativni dijagram svih transformacija obra|enih u ovom podpoglavlju. Primetimo da je AP sistem, ustvari veza izme|u terestri~kog i ostalih sistema. Simetrija parova (CT, LA) i (G, LG) koju smo ranije pominjali, tako|e je vidljiva na dijagramu. Kona~no, prime}ujemo i ~injenicu da transformacije izme|u ova ~etiri sistema ~ine zatvoreni dijagram, {to obja{njava za{to se datum (6) moè pozicionirati kao {to je pokazano pod (c), na dva razli~ita na~ina, globalno i lokalno.

POGLAVLJE 16

RELATIVNO POZICIONIRANJE

Relativno pozicioniranje je odre|ivanje poloàja jedne ta~ke u odnosu na drugu, bilo direktnim merenjem izme|u ta~aka, ili indirektnim merenjem sa ta~aka prema ekstraterestri~kim objektima. Dalje, tip prikupljenih opaànja i vrsta èljenih koordinata odre|uju da li }e matemati~ki model biti formulisan u trodimenzionalnom, dvodimenzionalnom ili jednodimenzionalnom prostoru. U prvom podpoglavlju obra|eno je relativno trodimenzionalno terestri~ko i ekstraterestri~ko pozicioniranje. U drugom i tre}em podpoglavlju tretirano je relativno dvodimenzionalno horizontalno pozicioniranje na referentnom elipsoidu i u ravni konformne projekcije. Sadràj ~etvrtog podpoglavlja je relativno jednodimenzionalno vertikalno pozicioniranje. Problem inverzan relativnom pozicioniranju moè se definisati kao nalaènje pravca i rastojanja izme|u dve ta~ke ~ije su koordinate poznate. Inverzni problem u tri i dve dimenzije tretiran je odmah posle direktnog problema u prva tri podpoglavlja. 16.1. Relativno trodimenzionalno pozicioniranje Direktni problem terestri~kog relativnog trodimenzionalnog pozicioniranja glasi: Ako su date koordinate ( x i , y i , z i ) CT i astronomske koordinate Φ i , Λ i ili ekvivalentno komponente vertikalskog otklona ξ i , η i za ta~ku Pi , zajedno sa opaànjima astronomskog azimuta Aij , vertikalnog ugla ν ij ili zenitne daljine Z ij , i prostorne duìne ρ ij do ta~ke Pj , sra~unati CT koordinate ta~ke Pj . Pre nego {to prikaèmo re{enje, prodiskutujmo malo pomenute veli~ine. Pre svega, pretpostavi}emo da su date astronomske veli~ine

Φ i , Λ i , Aij

popravljene za kretanje pola, tako da se odnose na konvencionalnu osu rotacije Zemlje CIO (podpoglavlje 15.1). Pomenimo i to da se astronomski azimut A moè dobiti bilo astronomskim opaànjima (podpoglavlje 15.2), bilo pomo}u ìro teodolita. Dok je ta~nost prve metode σ A = 0.4′′ [MUELLER, 1969], najnovija postignuta ta~nost ìroskopski odre|enog A iznosi σ A = 1′′ [GREGERSON, 1980]. 389

390


§ 16.1

Vertikalni uglovi ili zenitna odstojanja mere se geodetskim teodolitima sa ta~no{}u od oko σ ν = 2′′ [RAMSAYER, 1971], ako se primeni korekcija za vertikalnu refrakciju kao {to je to obja{njeno u podpoglavlju 15.2. Po{to u rezultatima merenja obi~no ostane rezidualna sistematska vertikalna refrakcija, stvarno postignuta ta~nost jo{ je manja. Ova sistematska komponenta moè se gotovo u potpunosti eliminisati ako se koriste instrumenti sa dvobojnom svetlo{}u [HUGGETT AND SLATER, 1978]. Drugi na~in da se elimini{e rezidualna refrakcija je da se ona matemati~ki obuhvati, ali se to moè uraditi samo u okviru specijalno projektovanih mreà ta~aka (vidi podpoglavlje 17.2). Prostorne duìne odre|ene distomatima tako|e treba da budu korigovane za instrumentalne gre{ke i refrakciju uz pomo} formule (15.39) ili jedne od mnogih drugih postoje}ih pribli`nih formula. îtalac zainteresovan za detalje, upu}uje se na SAASTAMOINEN [1967]. Horizontalni uglovi ili pravci mere se teodolitima, i ta~nost im moè biti bolja od 1′′ [BOMFORD, 1971]. Re{enje postavljenog direktnog problema dobija se transformacijom vektora iz LA u CT sistem, i to u tri koraka: (a) Opaàni topocentri~ni vektor poloàja, poznat i pod imenom me|ustani~ni vektor ta~ke Pj u odnosu na ta~ku Pi , formuli{e se prvo kao (vidi sliku 15.3 i jedna~inu (15.4)):

⎡cos ν ij cos Aij ⎤ G LA G LA ⎢ ⎥ rij = ∆rij eij = ∆rij ⎢ cos ν ij sin Aij ⎥ . ⎢ ⎥ sin ν ij ⎣ ⎦

(16.1)

Ova jedna~ina daje relativan poloàj ta~ke Pj u odnosu na Pi u LA sistemu ta~ke

Pi ≡ T . G

(b) Zatim se rijLA transformi{e u CT sistem sa (15.6) upotrebom datih Φ i , Λ i . (c) Vektor poloàja ta~ke Pj u CT sistemu, sada se lako ra~una jednostavnim vektorskim zbirom:

G CT G CT G CT G CT G LA r j = ri + ∆rij = ri + R3 (π − Λ i ) R2 ( 12 π − Φ i ) P2 rij (16.2)

G CT

gde je ri

= (xi , yi , zi )CT dato. U podpoglavlju 15.4 pokazano je kako se onda

G G rjCT transformi{e u r jG i dalje u krivolinijske geodetske koordinate ( φi , λi , hi ) ako

je to potrebno.

§ 16.1

Relativno trodimenzionalno pozicioniranje

391

Ako je dato ξ i , ηi umesto Φ i , Λ i , onda se re{enje ponovo dobija transformacijom LA u CT sistem, ali ovog puta pomo}u LG i G sistema. Ovaj postupak se moè primeniti samo ako su poznati uglovi neparalelnosti izme|u G i CT sistema. Mi }emo ovde pretpostaviti da su dva sistema paralelna (podpoglavlje 15.4). Re{enje se dobija u slede}im koracima:

G

(a) Opaàni topocentri~ni vektor poloàja rijLA ponovo se defini{e sa (1). (b) On se onda transformi{e u LG sistem pomo}u (15.87), gde su ξ i i ηi komponente povr{inskog vertikalskog otklona (vidi podpoglavlje 6.4), a ∆Aij = Aij − α ij je dato kao funkcija od ηi preko Laplasove jedna~ine (15.83). (c) Topocentri~ni vektor poloàja se dalje transformi{e u G sistem formulom (uporedi sa (15.6)):

G G ∆rijG = R3 (π − λ i ) R2 ( 12 π − φ i ) P2 rijLG .

(16.3)

Naravno, φi i λi moraju biti one iste koordinate ta~ke Pi koje su kori{}ene za definisanje ξ i i η i . (d) Vektor poloàja ta~ke Pj u geodetskom sistemu ponovo se dobija jednostavnim sabiranjem vektora:

G G G r jG = ri G + ∆rijG ,

(16.4)

G

gde ri G mora biti poznato. (e) I kona~no, izvodi se po potrebi transformacija u CT sistem (vidi (15.74)), odnosno u krivolinijske geodetske koordinate. Inercijalno pozicioniranje je slede}i na~in dobijanja relativnih trodimenzionalnih poloàja. Ono se zasniva na merenju ubrzanja, koje se izvodi senzorima pod G nazivom akcelerometri. Kao {to znamo, ubrzanje a neke mase rezultat je delovanja sile na tu masu. Ove tri fizi~ke veli~ine povezane su drugim Njutnovim zakonom, koji predstavlja osnovu matemati~kog modela inercijalnog pozicioniranja.

392


§ 16.1

SLIKA 16.1. Trokomponentni akcelerator.

Akcelerometar detektuje samo komponentu ubrzanja u pravcu svoje longitudinalne G ose. Prema tome, da bi se dobio vektor ubrzanja a , tri takve komponente ( a x , a y , a z ) moraju biti izmerene (slika 1). Po Ajn{tajnovom principu ekvivalencije, trodimenzionalni akcelerometar koji nepomi~no stoji na Zemljinoj povr{ini registrova}e ubrzanje svog instrumentalnog okvira u iznosu od oko 981Gal (podpoglavlje 6.1) u pravcu lokalnog zenita. To je posledica akcije sile teè na masu akcelerometra, tako da }e o~itavanje instrumenta pokazati reakciju te mase koja se moè interpretirati kao kretanje instrumentalnog okvira uzrokovano ovom silom. Ovakvo pona{anje opisuje tre}i Njutnov zakon po kojem svakoj sili akcije odgovara jednaka, ali suprotna po smeru sila reakcije.

G

Akcelerator montiran na pokretno vozilo registruje zbir ubrzanja teè ( g ) i G ubrzanja vozila ( a ) u odnosu na gravitaciono polje odnosno Zemlju (vidi sliku 2). On isto tako registruje i solarno i lunarno plimatsko ubrzanje (podpoglavlje 8.1), ubrzanje zbog plime mora i okeana (vidi podpoglavlje 25.3) i ubrzanje zbog pomeranja polova (vidi podpoglavlje 25.4). Ako se akcelerometar kre}e, onda na njegovu reakciju uti~e tako|e i Koriolisovo ubrzanje (vidi (9.17)). Prva tri ubrzanja veoma su mala, i u prvoj aproksimaciji obi~no se zanemaruju [KAYTON, 1960]. Za pozicioniranje je jedino potrebno ubrzanje u odnosu na Zemlju. To zna~i da se G vektor ubrzanja teè g kao funkcija poloàja vozila, kao i vektor Koriolisovog ubrzanja moraju oduzeti od ukupnog ubrzanja koje se o~itava na izlazu akcelerometra. Vektor teè treba dakle poznavati, a po{to je njegovo odre|ivanje tema dela V, ovde se ne}e dalje razra|ivati.

§ 16.1


393

SLIKA 16.2. Ubrzanje vozila i ubrzanje teè.

Kada se ubrzanje teè i Koriolisovo ubrzanje oduzmu, preostali vektor ubrzanja G vozila menja se sa vremenom zbog ~ega se ozna~ava sa a ( τ ). Sada se moè G formulisati veza izme|u opaànog ubrzanja a ( τ ) i nepoznatog vektora poloàja G G G r ( τ ). Prvo se brzina vozila v ( τ ) dovodi u vezu sa r ( τ ) pomo}u:

G G G dr (τ ) , v (τ ) = r (τ ) = dτ

(16.5)

i obrnuto: τ

1 G G G r (τ 1 ) = r (τ 0 ) + v (τ ) dτ ,

∫ τ

(16.6)

0

G

gde je r ( τ 0 ) po~etni poloàj u trenutku τ 0 . Na sli~an na~in se ubrzanje dovodi u vezu sa brzinom pomo}u:

G G G dv (τ ) G d 2 r (τ ) = r (τ ) = a (τ ) = , dτ dτ 2 i obrnuto:

(16.7)

394

§ 16.1


G G G r (τ 1 ) = r (τ 0 ) + v (τ 0 )(τ 1 − τ 0 ) +

τ1

G

∫ τ∫ a (τ ) dτ dτ

.

(16.8)

0

Ako je po~etna brzina v(τ 0 ) jednaka nuli, tj. ako vozilo zapo~ne sa kretanjem iz stacionarnog poloàja u trenutku τ 0 , gornja jednakost se pojednostavljuje:

G G r (τ 1 ) = r (τ 0 ) +

τ1

G

∫ τ∫ a (τ ) dτ dτ .

(16.9)

0

Ovo je osnovni matemati~ki model inercijalnog pozicioniranja, i on je eksplicitan po nepoznatim parametrima (vidi podpoglavlje 10.2).

G

Pretpostavka da se a (τ ) dobijeno pomo}u trokomponentnog akcelerometra vezanog za vozilo uvek meri u istom koordinatnom sistemu, je ustvari pogre{na. Instrumentalni okvir u trenutku τ nije u op{tem slu~aju paralelan okviru u trenutku τ 0 , jer se vozilo rotira po sve tri ose za vreme kretanja. Pra}enje ovog kretanja moè se, na primer, izvesti sa tri slobodna ìroskopa. Teorijski, ako se obrtna osa ìroskopa moè slobodno kretati, ona onda odràva stalni fiksni pravac u inercijalnom prostoru (vidi podpoglavlje 15.1), dokle god se ìroskopski to~ak okre}e [SCARBOROUGH, 1958]. Tri slobodna ìroskopa sa neparalelnim obrtnim osama mogu prema tome obezbediti sistem fiksnih referentnih pravaca za potrebe pokretnog instrumentalnog okvira. Sve {to nakon toga treba uraditi sastoji se u pra}enju vremenski promenljive neparalelnosti instrumentalnog okvira u odnosu na sistem fiksiranih referentnih pravaca. Prostorna neparalelnost jedinstveno je odre|ena sa tri nezavisna ugla koji na primer opisuju rotacije oko pravouglih osa instrumentalnog okvira x, y, z (podpoglavlje 3.3), kao {to se vidi na slici 3. Lako je videti da ako se rotacije registruju na isti na~in kao {to se registruju G komponente vektora a (τ ) , mogu}a je rekonstrukcija promenljivog pravca vektora G a (τ ) u odnosu na inercijalni okvir u svakom trenutku τ pomo}u tri vremenski G promenljive matrice rotacije. Prema tome, a (τ ) i poslednji ~lan (dvostruki integral) u (9) odnosi}e se na fiksni koordinatni sistem kroz proces merenja. Sistem G se naj~e{}e odràva paralelnim sa LA sistemom, dok se izlaz a (τ ) matemati~ki transformi{e u izabrani G sistem modeliranjem uglovnih promena izme|u LA i G sistema od ta~ke do ta~ke. Modeliranje podrazumeva simulaciju kretanja vozila u odnosu na èljeni referentni elipsoid i Zemljino gravitaciono polje. Vektor poloàja vozila (ta~ke) u recimo G sistemu definisan je kao:

G G G r G (τ ) = r G (τ 0 ) + ∆r G (τ ) ,

(16.10)

§ 16.1


395

SLIKA 16.3. Rotacija instrumentalnog okvira.

GG

GG

gde je r (τ 0 ) vektor poloàja po~etne ta~ke, a ∆r (τ ) je dvostruki integral iz (9). U stvarnosti se gore opisani model mora pro{iriti raznim parametrima smetnje: tri sistematske konstante komponentnog akcelerometra i sistematske gre{ke ìroskopa u odnosu na instrumentalni okvir, uz dodatak i onih koji modeliraju nesavr{enost instrumenta, {to sve dovodi do 27 nepoznatih veli~ina. Kako se sve ove nepoznate mogu re{iti pomo}u samo tri eksplicitne jedna~ine (9)? Jedna~ine koje opisuju varijacije raznih parametara smetnje sa vremenom [ADAMS, 1977] mogu biti dodate jedna~inama koje opisuju potrebne parametre gravitacionog polja. Rezultuju}i sistem jedna~ina ima formu Kalmanovog filtera pomenutog u podpoglavlju 14.6. Za kalibraciju sistema, odnosno eliminisanje parametara smetnje potrebno je vi{e ta~aka sa poznatim poloàjima, pri ~emu se dakle sistem koristi samo kao interpolaciono oru|e izme|u poznatih ta~aka. Isto tako, zahtevaju se ~esta zaustavljanja (ZUPT) radi aùriranja nulte brzine i eliminisanje drugih parametara. Pre 1975. godine postizana je ta~nost relativnog odre|ivanja koordinatnih razlika od oko σ = 1 do 2m na rastojanjima preko 50km [GREGERSON, 1975]. Danas je uz

396


§ 16.1

odre|ene terenske mere predostro`nosti ta~nost bolja ~itav red veli~ine. Za vi{e detalja ~italac se upu}uje na BRITTING [1971] i DRAPER [1977]. Vratimo se sada direktnom problemu relativnog pozicioniranja ekstraterestri~kim metodama. Zajedni~ko postoje}im metodama je {to se izvode simultana merenja sa dve ta~ke prema jednom ili vi{e kosmi~kih objekata. U zavisnosti od upotrebljene metode, mogu}e je dobiti samo pravac me|ustani~nog vektora (kosinusi pravca), ili kompletan vektor (koordinatne razlike). Relativno pozicioniranje pomo}u pravaca ka satelitima u osnovi je veoma jednostavno. Simultano merenje pravaca sa dve stanice Pi , Pj do prvog satelitskog

G G

poloàja S1 daje dva jedini~na vektora ei1 , e 1j koji leè u ravni Pi Pj S1 (vidi sliku 4). Uz (15.44) dobija se:

⎡cos δ 1 cos α 1 ⎤ G 1CT ⎢ ⎥ ei = R2 − x p R1 − y p R3 (GAST ) ⎢ cos δ 1 sin α 1 ⎥ , ⎢⎣ sin δ 1 ⎥⎦

(

) (

)

(16.11)

gde su x p , y p i GAST ve} definisani u podpoglavlju 15.1, a α i δ su prividna

G

mesta odre|ena fotografisanjem poloàja satelita S1 sa ta~ke Pi . Vektor e 1j defini{e se na sli~an na~in. Vektorski proizvod dva jedini~na vektora defini{e normalu na ravan, tj:

G G G n1 = ei1 × e 1j .

(16.12)

Sli~no tome, druga ravan se defini{e svojim jedini~nim vektorom normale G G G n 2 = ei2 × e j2 . Me|ustani~ni jedini~ni vektor mora biti ortogonalan sa oba vektora

SLIKA 16.4. Relativno pozicioniranje pomo}u pravaca do satelita.

§ 16.1


397

normala, pa je prema tome dat sa:

G G G G G G G eij = n1 × n 2 = (ei1 × e 1j ) × (ei2 × e j2 ) .

(16.13)

Ako su na raspolaganju simultana opaànja do vi{e od dva satelitska poloàja, tada G se za eij moè napisati sistem jedna~ina ove vrste.

G

Vektor eij izveden na ovaj na~in izraèn je o~igledno u CT sistemu. Da bi se dobio

G

G

astronomski azimut i vertikalni ugao vektora eij , potrebno je rotirati eij u LA sistem jedna~inama inverznim (15.6), i razloìti njegove komponente u Aij i ν ij upotrebom (15.5). Duìna me|ustani~nog vektora ∆rij ne moè se dobiti samo na osnovu merenja pravaca. U SAO je ranije kori{}en ovaj pristup i rutinski dobijana G ta~nost od σ = 1′′ za pravac vektora eij izme|u terestri~kih ta~aka [AARDOOM ET AL.,

1967]. To odgovara poloàjnoj ta~nosti od oko 5m za nepoznate duìne ∆rij

reda 1000 kilometara. Razmotrimo sada relativno pozicioniranje pomo}u satelitskih razlika duìna. Ovaj pristup u kombinaciji sa TRANSIT sistemom postao je poznat kao translokacioni metod [WESTERFIELD AND WORSLEY, 1966]. Ponovo je potrebno sa najmanje dve ta~ke pratiti zajedni~ki satelit tj. vr{iti niz simultanih merenja (slika 5). Obi~no se izvede vi{e od ~etiri takva merenja na svakoj stanici. Razlog simultanosti merenja je dobijanje sistematskih gre{aka koje sli~no uti~u na obe stanice, da bi se poni{tile u G postupku formiranja me|ustani~nog vektora ∆rij . Glavni izvori sistematskih gre{aka su satelitske orbite i neodgovaraju}e modelirana troposferska i jonosferska ka{njenja. Po{to se smatra da je pona{anje refrakcije simetri~no u odnosu na zenit, razlike duìna se ~esto biraju simetri~no u odnosu na sredi{nju ta~ku satelitskog prolaza (vidi sliku 5), kako bi se gre{ke ka{njenja poni{tile. Podacima prikupljenim G G na stanicama Pi , Pj ra~unaju se vektori poloàja ri i r j upotrebom matemati~kog modela pozicioniranja ta~ke (15.52) dva puta, jednom za Pi a drugi put za Pj .

G

G

G

Onda se formira ∆rij = r j − ri i ono se odnosi na CT sistem, jer se i vektori poloàja odnose na taj sistem. Translokaciona metoda doìvela je mnoga pobolj{anja [KOUBA AND WELLS, 1976]. U jednom od pristupa, svakoj orbiti dozvoljeno je paralelno pomeranje tako da se me|ustani~ni vektor odre|en iz ~itave familije orbita najbolje prilago|ava svim

398


§ 16.1

SLIKA 16.5. Translokacioni metod.

opaànjima. Ovakva tehnika postala je poznata kao poludinami~ka translokaciona metoda, i ona ~ini osnovu kompjuterskog programa GEODOP. Program je pro{iren tako da moè obuhvatiti nekoliko parova stanica, dozvoljavaju}i na taj na~in da ~itava mreà bude simultano izravnata (vidi podpoglavlje 17.3). Poludinami~ka translokaciona metoda bazirana na TRANSIT sistemu dostigla je ta~nost od oko σ = 0.4 m po sve tri komponente me|ustani~nog vektora [WELLS ET AL., 1976; KOUBA 1980]. Pomenimo da integralni Doplerovi brojevi dobijeni pomo}u GPS dozvoljavaju da ista tehnika bude upotrebljena sa NAVSTAR sistemom. Rezultati su ipak mnogo manje ta~ni od GPS diferencijalne metode koju }emo malo kasnije opisati. Translokacioni koncept je tako|e bio primenjen u relativnom pozicioniranju pomo}u laserski odre|enih duìna [LATIMER AND GAPOSHKIN, 1977]. Postignuta je ta~nost bolja od 1m za duìnu me|ustani~nog vektora. Nema nikakvog razloga da se u iste svrhe ne upotrebe i duìne do Meseca. Naro~ito zna~ajno je relativno pozicioniranje pomo}u GPS, poznato kao diferencijalno GPS pozicioniranje. Po{to je sistem NAVSTAR fleksibilniji od

§ 16.1


399

sistema TRANSIT jer je uvek vidljivo nekoliko satelita, postoji ve}i izbor razli~itih mernih veli~ina kod GPS. Uz pomenute razlike duìna koje se mogu koristiti u translokacionom reìmu, simultano opaàne P-kod ili C/A-kod duìne mogu se koristiti za formiranje diferencijalnih duìna definisanih kao:

∆ρ ijk = ρ kj − ρ ik .

(16.14)

Za kreiranje diferencijalnih duìna mogu se me|utim upotrebiti i nose}i signali, i one su u tom slu~aju mnogo ta~nije od kodnih diferencijalnih duìna. Osim toga, one se mogu meriti bez poznavanja bilo kakvih kodova, osloba|anjem nose}ih talasa svih modulacija npr. kvadriranjem. Cena koja se za to pla}a je gubljenje vremenskih informacija zbog ~ega diferencijalne duìne postaju neodre|ene. Dok se naime njihove vrednosti mogu znati do na 1 do 2mm, ostaje nesigurnost u pogledu celog broja polutalasnih duìna sadrànih u diferencijalnim duìnama, a koje ina~e iznose 12.2cm odnosno 9.5cm za dva nose}a talasa. Ovaj problem se ipak moè prevazi}i [COUNSELMAN AND GOUREVITCH, 1981]. Matemati~ki model relativnog pozicioniranja diferencijalnim duìnama sasvim je jednostavan. On glasi [BOSSLER ET AL., 1980; VANI~EK ET AL., 1984]:

(eG

k i

( )

⎛ G G G G ωk + e jk ∆rij = − 1 + eik e jk ∆ρ ijk = −⎜⎜ 2 − 2 ⎝

)

(

)

2

⎞ ⎟ ∆ρ ijk , ⎟ ⎠

(16.15)

G

gde je ω k paralakti~ki ugao pod kojim se sa S k vidi ∆rij . Ovde je ve} pretpostavljeno da su diferencijalne duìne korigovane za razlike u atmosferskim ka{njenjima. Ovu korekciju je daleko lak{e modelirati nego ukupnu popravku ka{njenja. Razra|eni su i modeli razlike diferencijalnih duìna, razlika razlika duìna itd., [GOAD AND REMONDI, 1984] koji dalje redukuju refrakciju i gre{ke orbita uz izvesno slabljenje geometrije konfiguracije. U bliskoj budu}nosti relativna ta~nost ovog na~ina pozicioniranja dosti}i}e 10 −7 za sesije od jednog ~asa i manje [LANGLEY ET AL., 1984]. Slede}i metod relativnog trodimenzionalnog pozicioniranja kojeg }emo ovde prodiskutovati je astronomska radiointerferometrija, poznata i kao dugobazisna radiointerferometrija (LBI ili VLBI) [BROTEN ET AL., 1967]. Metod koristi signale koje emituju ekstraterestri~ka tela zvana kvazari, a koji su periodi~ni u {irokom radio frekventnom opsegu od nekoliko MHz do nekoliko GHz. Signali sa kvazara su mnogo slabiji od satelitskih signala tako da su za njihov prijem potrebni

400


§ 16.1

kompleksniji prijemnici i {iroke antene. Po{to su toliko daleko, kvazari su prakti~no bez dimenzija tako da su naro~ito pogodni kao referentne ta~ke. Princip LBI ili VLBI metode prikazan je na slici 6. Razlika, odnosno vremensko ka{njenje τ u vremenu dolaska talasnog fronta na dve ta~ke ili preciznije na radio centre antena Pi , Pj , koristi se za ra~unanje projekcije duìne baze na pravac ka

G

severu. Za dati jedini~ni vektor e s u pravcu izvora, i za dati me|ustani~ni vektor

G ∆rij , skalarni proizvod daje:

G G G G e s ⋅ ∆rij = e ∆rij cos ψ = τ c ,

(16.16)

gde je ψ prostorni ugao izme|u baze i pravca ka izvoru, a c je brzina svetlosti. Matemati~ki model je onda:

G 1G τ = e s ⋅ ∆rij . c

(16.17)

G

Za vektor e s smatra se da je u CT sistemu, i dat je sa (11). Jedno opaàno vremensko ka{njenje daje naravno jednu jedna~inu opaànja (17). Za odre|ivanje G tri nepoznate komponente vektora ∆rij , neophodno je izmeriti najmanje tri

G

vremenska ka{njenja do tri razli~ita kvazara. Za postizanje ve}e ta~nosti ∆rij obi~no se izvodi vi{e merenja i koristi vi{e razli~itih kvazara. Tako|e se meri i kombinuje sa vremenskim ka{njenjem Doplerov pomak kvazarskog signala. Rastojanja od nekoliko hiljada kilometara mogu se danas meriti sa ta~no{}u od oko σ = 2cm [NASA, 1984]. Treba napomenuti da razlika izme|u tehnike LBI i VLBI leì u na~inu sinhronizacije vremena. LBI koristi direktnu vezu (kabl), dok se kod VLBI primljeni signali moduli{u, a vremenska sinhronizacija se postiè naknadnim korelacionim procesom. Prethodna obrada i korelacija signala sa razli~itih opservatorija je naporan i skup posao. Radio astronomske tehnike su tako|e veoma zahtevne u pogledu instrumenata i opreme, ali su ve} dostupni i mobilni sistemi sposobni za postizanje ta~nosti na nivou od nekoliko centimetara [MACDORAN ET AL., 1978]. Za sada je zbog dimenzija i visokih tro{kova opreme, pra}enje kvazara van dometa najve}eg broja prakti~nih geodetskih stru~njaka.

§ 16.1


401

SLIKA 16.6. Relativno pozicioniranje radio astronomskom interferometrijom.

Nakon diskusije direktnog problema relativnog trodimenzionalnog pozicioniranja terestri~kim i ekstraterestri~kim metodama, na redu je inverzni problem relativnog trodimenzionalnog pozicioniranja. Za date G koordinate dve ta~ke Pi i Pj potrebno je izra~unati prostornu duìnu, azimut i vertikalni ugao (zenitno odstojanje) izme|u ove dve ta~ke. Re{enje se dobija prvo izvo|enjem

G

me|ustani~nog vektora ∆rij . Ovaj vektor se onda transformi{e u LG sistem ta~ke G

Pi pomo}u formula inverznih (3). Kona~no, èljene veli~ine se ra~unaju na osnovu slede}ih jednakosti:

(

G ∆rij = ∆rij = ∆x ij2 + ∆y ij2 + ∆z ij2

(

)

ν ij′ = 12 π − Z ij′ = arcsin zijLG / ∆rij

1/ 2

)

,

,

(16.18) (16.19)

a α ij se dobija iz jedna~ine identi~ne sa (15.5), osim {to se koriste LG a ne LA koordinate. Ako se traè astronomske a ne geodetske veli~ine, onda se me|ustani~ni vektor prvo transformi{e u LA sistem (vidi (15.6) i (15.87)) kao:

402

§ 16.1


G G rijLA = P2 R2 (Φ i − 12 π ) R3 (Λ i − π )∆rijCT G = R1 (− η i ) R2 (ξ i ) R3 − ∆Aij rijLG .

(

)

(16.20)

Astronomski azimut i vertikalni ugao dati su onda sa (15.5), dok se duìna ra~una iz (18). Ako se èli azimut i vertikalni ugao sa Pj na Pi , onda je samo potrebno da u gornjim jedna~inama indeksi i i j zamene mesta. Do sada smo namerno izbegavali diskusije formalnog na~ina na koji se moè proceniti ta~nost poloàja, ali }emo sada to uraditi. Trojka ocenjenih koordinata G vektora r j ta~ke Pj , kojeg }emo ovde prosto obeleìti sa xˆ , ima kovarijacionu matricu C xˆ koja se pojavljuje kao deo MNK re{enja (poglavlje12). Kao {to smo ve} videli ((13.35) i naredne jedna~ine), vi{edimenzionalna funkcija gustine

verovatno}e za x sadrì kvadratnu formu ( x − xˆ ) C x−ˆ 1 ( x − xˆ ) ~ija vrednost odre|uje vrednost verovatno}e ograni~ene hiperpovr{i funkcije gustine verovatno}e. U na{em slu~aju, kada x ima samo tri komponente, jedna~ina: T

(x − xˆ )T C xˆ−1 (x − xˆ ) = Cα2 ,

(16.21)

moè da se interpretira kao jedna~ina troosnog elipsoida sa centrom u ta~ki xˆ . Zapreminu ovog elipsoida koja je jednaka verovatno}i 1 − α kontroli{e vrednost Cα . Ovaj elipsoid poznat je kao elipsoid poverenja ta~ke Pj . Ispitajmo malo dublje prirodu ovog elipsoida. Sistem u kojem se ra~unaju koordinate nije najprirodniji za ovaj elipsoid jer se ne poklapa sa njegovim osama (podpoglavlje 3.1). Sistem pogodniji za izraàvanje elipsoida je sistem sopstvenih vektora matrice C xˆ koji su naravno u pravcu osa elipsoida. Ozna~avaju}i sa

z1 , z 2 , z 3 koordinate u sistemu sopstvenih vektora i to u rastu}em redosledu veli~ina sopstvenih vrednosti σ 1−2 , σ 2−2 , σ 3−2 , dobija se jedna~ina elipsoida poverenja u slede}em obliku:

⎡σ 12 0 0⎤ ⎢ 2 [z1 , z2 , z3 ] ⎢ 0 σ 2 0 ⎥⎥ ⎢0 0 σ 32 ⎥⎦ ⎣

−1

⎡ z1 ⎤ ⎢z ⎥ = C 2 . α ⎢ 2⎥ ⎢⎣ z 3 ⎥⎦

(16.22)

§ 16.1


403

SLIKA 16.7. Elipsoid poverenja ta~ke.

Ova jedna~ina ekvivalentna je jedna~ini (21), i moè se napisati i kao:

z12 Cα2σ 12

+

z 22 Cα2σ 22

+

z 32 Cα2σ 32

=1 ,

(16.23)

{to je o~igledno jedna~ina troosnog elipsoida sa malom poluosom jednakom Cα σ 1 ,

srednjom poluosom Cα σ 2 i velikom poluosom Cα σ 3 , kao {to je pokazano na slici 7.

Veza izme|u faktora Cα i verovatno}e 1 − α da ta~na vrednost pada unutar elipsoida iznosi (vidi (13.36)):

(

Cα = ξ χ 2 , 1−α 3

)

1/ 2

.

(16.24)

Za Cα = 1 koja defini{e takozvani standardni elipsoid poverenja, odgovaraju}a verovatno}a 1 − α iznosi 0.20. Obratno, ako se èli na primer verovatno}a od 95%, onda je odgovaraju}e C 0.05 jednako 2.80.

404


§ 16.2

Sve prethodne diskusije podjednako vaè za apsolutno i relativno pozicioniranje. Ako se kovarijaciona matrica C xˆ odnosi na pozicioniranje ta~ke, tada neki autori govore o apsolutnim elipsoidima poverenja, a ako se odnosi na relativno pozicioniranje onda se govori o relativnim elipsoidima poverenja. Ustvari nema ni~eg apsolutnog u elipsoidima poverenja prve vrste. Elipsoid pokazuje stepen poverenja u odre|ivanje poloàja, relativno u odnosu na koordinatni sistem definisan upotrebljenom metodom. 16.2. Relativno horizontalno pozicioniranje na referentnom elipsoidu Postoje tri vrste mernih veli~ina koje se koriste u relativnom horizontalnom pozicioniranju: astronomski azimut A , horizontalni ugao ω ili pravac d , i prostorna duìna ∆r . Vide}emo da ostale merne veli~ine ulaze u model indirektno. Ako se izvede strogo, ra~unanje horizontalnih poloàja upotrebom trodimenzionalnog ili dvodimenzionalnog pristupa mora dati identi~ne rezultate (do gre{aka zaokruìvanja). Kada se radi u tri dimenzije kao {to smo to uradili u prethodnom podpoglavlju, opaànja se ne koriguju, osim za instrumentalne efekte i refrakciju, zato {to se ra~unanja izvode u istom prostoru u kojem su i merenja. Ali je zato pre ra~unanja horizontalnih poloàja u dvodimenzionalnom prostoru neophodno primeniti korekcije na opaànja. Pri ra~unanju na referentnom elipsoidu na primer, merenja izvedena na povr{i Zemlje prvo je potrebno redukovati na elipsoid. Redukcija opaànja na ra~unsku povr{ je integralni deo direktnog problema odre|ivanja poloàja. S druge strane, nakon re{enja inverznog problema na elipsoidu, izvedene veli~ine kao {to su duìne i azimuti treba transformisati nazad na povr{ Zemlje upotrebom negativnih korekcija. Shodno tome, teme ovog podpoglavlja bi}e redukcije opaànja na referentni elipsoid, matemati~ki modeli direktnog i inverznog problema na elipsoidu, redukcije rezultata inverznog problema sa elipsoida na povr{ Zemlje, i kona~no procenjivanje ta~nosti relativnog pozicioniranja na elipsoidu. Postoje dve grupe efekata koje treba uzeti u obzir prilikom redukcije na elipsoid: geometrijski efekti i efekti Zemljinog gravitacionog polja. Geometrijski efekti poti~u od geometrijskih svojstava dvoosnog elipsoida. Gravitaciono polje se mora uzeti u obzir zbog toga {to se geodetski instrumenti pri merenju upravljaju prema njemu, dok se ra~unanja izvode u geometrijskom prostoru. Redukcije su ~esto u funkciji poloàja koji se traì, zbog ~ega je neophodan iterativni pristup u ra~unanju korekcija. Me|utim, po{to su korekcije veoma male, prva iteracija je obi~no dovoljno ta~na.

§ 16.2

Relativno horizontalno pozicioniranje na referentnom elipsoidu

405

SLIKA 16.8. Primer Laplasove korekcije ∆α (pretpostavljeno: ξ > 0, η < 0, z > 1 π , φ > 0 ). 2

Po~nimo sa ispitivanjem efekata gravitacionih polja na opaàni astronomski azimut A . Setimo se da se A opaàno na povr{i Zemlje odnosi na LA sistem (slika 15.3), dok se geodetski azimut α odnosi na LG sistem (slika 15.25). Razlika izme|u ova dva azimuta data je kompletnom Laplasovom jedna~inom (15.90), za koju se moè smatrati da predstavlja Laplasovu korekciju ∆α = α − A , poznatu i kao korekcija za vertikalski otklon:

(

∆α ij = −η i tan φ i − ξ i sin α ij − η i cos α ij

)

cot Z ij = +C1 + C 2 . (16.25)

Ako je otklon jednak nuli i popravka je jednaka nuli, a za horizontalne vizure ( Z = 90°) drugi ~lan je nula. Mogu}i primer Laplasove korekcije prikazan je na slici 8. Popravljeni astronomski azimut je jednostavno geodetski azimut α koji smo ve} definisali u podpoglavlju 15.4. Geodetski azimut dobijen na ovaj na~in ~esto se naziva Laplasovim azimutom. Ono {to je zaista potrebno za ra~unanje na elipsoidu je azimut na elipsoidu. Defini{imo ovaj azimut α ij′ prvo kao ugao izme|u ravni geodetskog meridijana i ravni koja sadrì elipsoidnu normalu u Pi i projekciju Pj′ ta~ke Pj na elipsoid (vidi sliku 9). Ova druga ravan se~e elipsoid po normalnom preseku, i moè se smatrati

406


§ 16.2

SLIKA 16.9. Efekat neparalelnosti normala.

da se α ij′ odnosi na njega. Razlika izme|u α ij′ i α ij zove se korekcija zbog neparalelnosti, i o~igledno je da ona poti~e od ~injenice da dve elipsoidne normale u Pi i Pj nisu koplanarne. Korekcija se ra~una kao [ZAKATOV, 1953]:

α ij′ − α ij =

hj 2M m

e 2 sin 2α ij cos 2φ m ,

(16.26)

gde je φ m = 12 (φ i + φ j ) , M m = 12 ( M i + M j ) , a h j je visina ta~ke Pj iznad elipsoida, zbog ~ega se ova korekcija ponekad naziva popravkom zbog visine vizurne ta~ke. Stoga se moè napisati:

α ij′ = α ij + C 3 = Aij + C1 + C 2 + C 3 . Zavisnost C 3 od α ij data je na slici 10.

(16.27)

§ 16.2


407

SLIKA 16.10. Primer korekcije zbog neparalelnosti normala za φi = 40° i φ j = 41°.

SLIKA 16.11. Razlika izme|u normalnih preseka i geodetske linije.

U konfiguraciji od npr. tri ta~ke moè se identifikovati {est normalnih preseka (slika 11), {to zna~i da kori{}enje normalnih preseka uvodi neodre|enost u definiciju elipsoidnog trougla. Problem se otklanja kori{}enjem geodetske linije (vidi podpoglavlje 3.3), koja predstavlja krivu sa lokalno najmanjom duìnom od svih krivih na elipsoidu izme|u dve ta~ke. Njena oskulatorna ravan sadrì elipsoidnu normalu u svakoj ta~ki. Ona je obi~no, ali ne uvek, ograni~ena direktnim (sa Pi na Pj ) i obrnutim (sa Pj na Pi ) normalnim presekom (vidi sliku 11). Azimut α E koji se odnosi na geodetsku liniju naziva se elipsoidnim azimutom.

408

§ 16.2


SLIKA 16.12. Popravka za prelaz sa normalnog preseka na geodetsku liniju za {irinu 45°.

Popravka koja se dodaje na geodetski azimut direktnog normalnog preseka, ra~una se kao [BOMFORD, 1971]:

α ijE − α ij′ = −

e 2 ∆rij2 cos 2φ m sin 2α ij 12 N m2

,

(16.28)

gde su sve veli~ine ve} bile definisane osim N m = 12 ( N i + N j ) . Kompletna korekcija za azimut je dakle:

α ijE − Aij = C1 + C 2 + C 3 + C 4 .

(16.29)

Promena vrednosti C 4 u funkciji ∆r i α data je na slici 12. Opaàni pravci d , od kojih je azimut samo posebna vrsta, redukuju se na elipsoid upotrebom istih korekcija. Prema tome, (29) se primenjuje na sve opaàne pravce, i kao takva predstavlja op{tu korekciju horizontalnih pravaca. Horizontalni ugao ω redukuje se na elipsoid primenom (29) na dva pravca koji ~ine ugao. Jasno je da se C1 poni{tava (vidi (25)), tako da preostaju samo razlike ostale tri korekcije. Rezultat, tj. korekcija horizontalnog ugla, moè se napisati kao:

ω E − ω = ∆C 2 + ∆C 3 + ∆C 4 .

(16.30)

§ 16.2


409

SLIKA 16.13. Redukcija prostornih duìna.

Prostorna duìna ∆r ≡ ρ redukuje se na elipsoidnu duìnu S E (vidi sliku 13) po slede}oj formuli [HEISKENEN AND MORITZ, 1967]:

⎛ l ij0 S ijE = 2 R arcsin ⎜ ⎜ 2 Rm ⎝ gde su:

l ij0

=

Rm =

(

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

∆rij2 − h j − hi

(1 + hi 1 2

(

(16.31)

)

2

Rm ) 1 + h j Rm

)

(R (α ) + R (α )) , i

,

(16.32)

(16.33)

j

a radijus krivine u azimutu α = α ij dat je jedna~inom (3.89) koju }emo ovde napisati u obliku:

Ri (α ) =

M i Ni M i sin α + N i cos 2α 2

.

(16.34)

Relativna popravka duìne (S − ∆r )/∆r pribli`no je 10 −6 za svakih 6.4m visine. Na slici 14 prikazane su gre{ke u duìnama ako se za redukciju koriste ortometrijske umesto elipsoidnih visina [VANI~EK AND MERRY, 1973]. O~igledno je da se za mreù prvog reda moraju uzeti u obzir geoidne visine. S druge strane, E

410


§ 16.2

SLIKA 16.14. Efekat zanemarivanja geoidnih visina N u redukciji duìna u Kanadi. Izolinije u jedinicama 10 −6 .

razlika izme|u normalnog preseka i geodetske linije ne mora se uzimati u obzir jer iznosi najvi{e 0.74 × 10 −5 m za duìne od 600km [ZAKATOV, 1953]. U mnogim slu~ajevima veli~ine korekcija su male zbog ~ega se dolazi u isku{enje da se uop{te ne primenjuju. Me|utim, po{to akumulacija sistematskih gre{aka ima {tetniji efekat nego akumulacija slu~ajnih gre{aka, ~ak i najmanja zanemarena korekcija moè dovesti do zna~ajnije akumulacije deformacija ako su ta~ke me|usobno povezane, kao {to }e biti pokazano u podpoglavlju 18.3. Geodetskom stru~njaku se prepu{ta da proceni zna~ajnost ovih korekcija za svaki pojedini projekat. Nakon redukcije opaànja na elipsoid, moè se formulisati direktni problem na slede}i na~in: za date (φ i , λ i ) ta~ke Pi , elipsoidni azimut (α ijE ) i elipsoidnu duìnu

( S ijE ) ka ta~ki Pj , sra~unati (φ j , λ j ) za ta~ku Pj . Postoji mno{tvo re{enja direktnog problema. Ona se mogu podeliti na tri grupe prema tome koju krivu koriste: geodetsku liniju, normalni presek, ili normalni presek lokalne sferne aproksimacije elipsoida. Pre bilo kakvih formula dajemo prvo kratak pregled ove tri familije re{enja. Najta~nija re{enja poznata kao formule za velika rastojanja, baziraju se na upotrebi geodetske linije, i zahtevaju re{avanje elipti~kog integrala (podpoglavlje 3.2). Od

§ 16.2


411

ovih re{enja pomenimo Beselov [JORDAN AND EGGERT, 1962], Rejnsfordov [RAINSFORD, 1955] i Sodanov [SODANO, 1965] metod. Ta~nost bilo koje od ovih metoda ograni~ena je samo brojem ~lanova u razvijanju u red. Jedina razlika izme|u Beselovog i Rejnsfordovog pristupa je {to ovaj drugi koristi f umesto e 2 , a {to rezultira bròm konvergencijom iterativnog procesa koji na ovaj ili onaj na~in uvek mora biti upotrebljen. Glavna prednost tre}e metode je {to je Sodano re{io direktni i inverzni problem bez iteracija. Formule se ustvari interno iteriraju tako da mogu da se upotrebe direktno. Ostale zatvorene formule mogu se na}i u THOMAS [1972]. Druge dve familije sadrè pribli`ne formule, i kao takve ne mogu se upotrebiti za duà rastojanja ili na svakoj lokaciji. Formule koje koriste normalne preseke na elipsoidu mogu se na}i u ROBBINS [1962], a one sa lokalnom sfernom aproksimacijom, poznate i kao formule za kratka rastojanja date su u npr. BOMFORD [1971]. Me|utim, zbog njihovog komplikovanog izvo|enja, ovde }emo dati samo Puasonove formule koje se naj~e{}e koriste. Ovo re{enje ima relativnu ta~nost od 10 −6 za duìne od 100km, ali se ta~nost naglo sniàva na 40 × 10 −6 za duìne od 250km i za φ ≥ 60°. Puasonovo re{enje se prvo traì u obliku razlike {irina. Izostavljaju}i indeks E za S i α , sledi:

⎛ S ij cos α ij S ij2 tan φ i sin 2α ij ∆φ (k +1) = ⎜ − ⎜ Mi 2M i N i ⎝

(

)

2 S ij3 cos α ij sin 2α ij 1 + 3 tan 2φ i ⎞ ⎛⎜ ⎟ 1 − 3e sin 2φ i − ⎟⎜ 6M i N i2 4 1 − e 2 sin 2φ i ⎠⎝

(

)

⎞ ∆φ ( k ) ⎟ . ⎟ ⎠ (16.35)

Po{to je u gornjoj jedna~ini ∆φ = ∆φ ij tako|e prisutno u korektivnom ~lanu na desnoj strani, re{enje za ∆φ moè se dobiti samo iterativno. Iteracije se nastavljaju sve dok ∆φ (k +1) − ∆φ (k ) ne padne ispod odre|ene granice, npr. 10 −9 rad , {to odgovara nesigurnosti od oko 6mm u horizontalnom poloàju. Rezultuju}a {irina je onda data sa φ j = φ i + ∆φ (k +1) , a duìna kao λ j = λ i + ∆λ , gde se ∆λ ra~una direktno iz:

412

§ 16.2


S ij sin α ij ⎡ S ij2 ⎢1 − ∆λ = N j cos φ j ⎢ 6 N 2j ⎣

⎛ sin 2α ij ⎜1 − ⎜ cos 2φ j ⎝

⎞⎤ ⎟⎥ . ⎟⎥ ⎠⎦

(16.36)

Ra~unanje obrnutog azmuta α Eji sa Pj na Pi smatra se delom direktnog problema, i izvodi se pomo}u slede}e formule:

α Eji − α ijE − π = ∆λ

sin φ m sin 3φ m ⎤ ∆λ3 ⎡ sin φ m − + ⎢ ⎥. cos 12 ∆φ 12 ⎢⎣ cos 12 ∆φ cos 3 12 ∆φ ⎦⎥ (16.37)

Izostavljanje ~lanova ve}eg reda od jedan, daje Gausovu formulu za srednje {irine koja vaì samo za duìne do 40km [ALLAN ET AL., 1968]. Pristup koji se bazira na opaànju dva astronomska azimuta A1 j i A2 j ili dve prostorne duìne ∆r1 j i ∆r2 j (umesto jednog azimuta i jedne duìne), sa dve poznate ta~ke P1 i P2 do nepoznate ta~ke Pj , tako|e se moè upotrebiti, i detaljno je obra|en u podpoglavlju 18.4. Puasonovo re{enje za inverzni problem na elipsoidu glasi:

⎡ N ∆λ j

⎛ 3e 2 sin 2φ i cos φ j ⎜1 − ⎜ ⎢ M i ∆φ 4 1 − e 2 sin 2φ i ⎝ ⎣

α ijE = arctan ⎢

(

)

⎞⎤ ⎟⎥ , ⎟⎥ ⎠⎦

(16.38)

i:

S ijE =

∆φ cos α ij

Mi 1−

3e sin 2φ i ∆φ 2

(

4 1 − e 2 sin 2φ i

.

(16.39)

)

Duìna i azimut mogu se potom transformisati nazad na Zemljinu povr{inu primenom redukcionih formula ((29) i (31)) u obrnutom smislu. Ta~nost relativnih poloàja na elipsoidu procenjuje se na na~in analogan trodimenzionalnom slu~aju. Jedna~ine s kraja podpoglavlja 16.1 ovde se mogu primeniti uz izostavljanje jedne dimenzije. U ovom slu~aju imamo par koordinata xˆ = (φˆ , λˆ ) T zajedno sa odgovaraju}om kovarijacionom matricom C xˆ dimenzija

dim (2,2) , koja se moè interpretirati kao elipsa poverenja ta~ke. Faktor Cα za 1 − α elipsu poverenja definisan je kao (podpoglavlje 13.5):

§ 16.3

Relativno horizontalno pozicioniranje u konformnoj projekciji

(

Cα = ξ χ 2 ,1−α 2

)

12

.

413

(16.40)

Kada je Cα = 1 odgovaraju}a verovatno}a iznosi 0.39, {to defini{e standardnu elipsu poverenja ta~ke. Obratno, ako je èljena verovatno}a recimo 95%, odgovaraju}e C 0.05 iznosi 2.45, dakle ne{to manje od trodimenzionalnog slu~aja (podpoglavlje 16.1). Kao i u trodimenzionalnom slu~aju i ovde se moè govoriti o relativnim i apsolutnim elipsama poverenja, sa zna~enjem koje smo ve} objasnili. 16.3. Relativno horizontalno pozicioniranje u konformnoj projekciji U podpoglavlju 15.4 koncept preslikavanja bio je uveden u kontekstu transformacija poloàja, ali }emo ga sada detaljnije razraditi. Preslikavanje zatvorenog domena D1 na povr{i S1 u zatvoreni domen D 2 na drugoj povr{i S 2 dato je sa (15.100) ili (15.101), {to se moè jednostavno napisati kao:

x = x (u) .

(16.41)

Koordinate ( u, v ) su definisane na S1 , a ( x, y ) na S 2 , s tim {to je izostavljen indeks M. Pomo}u (41) su ta~ke P (u , v) ∈ D1 u funkcionalnoj vezi sa ta~kama

P ( x, y ) ∈ D 2 , pa se kaè da je region D1 ⊂ S 1 preslikan na region D 2 ⊂ S 2 . Da bi se mogle koristiti u geodeziji, jedna~ine preslikavanja (41) moraju ispunjavati slede}e uslove: one moraju biti jedinstvene, kona~ne, dva puta diferencijabilne u svim ta~kama domena D1 , i Jakobijan ∂ x / ∂ u mora biti razli~it od nule u D1 (vidi podpoglavlje 3.1). Transformacija sa ovim svojstvima (osim dvostruke diferencijabilnosti), zove se difeomorfna. Primenimo sada difeomorfnu transformaciju na preslikavanje elipsoida ( S1 ) u ravan ( S 2 ). Preslikavanje elipsoidnog trougla Pi Pj Pk prikazano je na slici 15, i na njoj se vidi da se preslikavanjem deformi{e oblik trougla i geodetskih linija izme|u parova ta~aka. Preslikana geodetska linija naziva se projektovanom. Duìna projektovane geodetske linije S M u op{tem slu~aju nije jednaka duìni geodetske linije S E na elipsoidu. Projektovana geodetska linija obi~no nije prava linija tj. nije geodetska linija u ravni projekcije. Isto tako, par projektovanih geodetskih linija ne se~e se pod istim uglom kao na elipsoidu. To je razlog za{to elipsoidni ugao ω E , definisan kao ugao izme|u tangenti dve geodetske linije na elipsoidu, nije jednak odgovaraju}em uglu u projekciji ω M definisanom kao ugao izme|u tangenti na dve projektovane geodetske linije (vidi sliku 15). Tre}i ugao koji }e nam biti potreban je

414


§ 16.3

SLIKA 16.15. Preslikavanje elipsoida u ravan.

ugao izme|u dve tetive nazvan ravnim uglom ω P , koji se zajedno sa duìnom tetive l koristi za ra~unanje u projekciji. Prema tome, redukcijama sa Zemljine povr{i u ravan projekcije potrebno je na kraju dobiti uglove ω P i duìne l . Zapo~nimo ispitivanjem deformacija duìna. Veli~ina deformacije duìna u odre|enom pravcu i u ta~ki koja je u ravni projekcije, opisuje se faktorom razmere k u ta~ki:

k=

dS M . dS E

(16.42)

Ovde je dS E diferencijal duìne na elipsoidu, koji se defini{e pomo}u:

dS E = ψ E (u, v ) du 2 + dv 2 ,

(16.43)

gde je ψ E funkcija razmere od u, v koja se u op{tem slu~aju menja sa poloàjem, a u, v su odre|eni parametri na elipsoidu (vidi podpoglavlje 3.3). Diferencijal duìne dS M u projekciji dat je sa:

dS M = ψ M (x, y ) dx 2 + dy 2 ,

(16.44)

gde je ψ M funkcija razmere od x, y . Ulogu funkcije razmere razjasni}emo kasnije. Izraàvanjem diferencijala dx, dy u (44) u funkciji du, dv iz (41), i zamenom (43) i (44) u (42) dobija se:

§ 16.3


k2 =

(

)

ψ M2 (x, y ) edu 2 + 2 fdudv + gdv 2 , ψ E2 (u, v ) du 2 + dv 2

415

(16.45)

gde su e, f i g Gausove fundamentalne veli~ine definisane kao (vidi podpoglavlje 3.3): 2

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ e =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ , ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y f = + , ∂u ∂v ∂u ∂v 2

(16.46) (16.47)

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ g =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠

(16.48)

U saètoj formi napisano, imamo da je:

k2 =

ψ ψ

2 M 2 E

[du, dv ]G ⎡⎢

du ⎤ ⎥ ⎣ dv ⎦ , du [du, dv ] ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣ dv ⎦

(16.49)

gde je G dato sa (3.87). O~igledno je da je (49) jedna~ina elipse sa maksimalnim faktorom razmere u pravcu velike poluose i minimalnim faktorom razmere u pravcu male poluose. Veli~ina, oblik i orijentacija ove elipse dobijaju se uobi~ajenom transformacijom (49) u koordinatni sistem sopstvenih vektora (podpoglavlje 3.1). Geometrijska interpretacija jedna~ine (49) je op{tija forma Tisoove indikatrise (vidi podpoglavlje 3.3) koja uklju~uje jo{ i odnos funkcija razmere. Za preslikavanja koja se koriste u geodeziji, indikatrisa je elipti~kog oblika. Ponekad je od naro~ite va`nosti vrednost k u odre|enom pravcu . Ovaj pravac se ra~una u smeru kazaljke od pravca y T maksimalne razmere (vidi sliku 16), i to bilo na elipsoidu ( t ) ili u ravni projekcije ( t ′ ). Dok je Tisoova indikatrisa geometrijsko mesto ta~aka k (t ′) , geometrijsko mesto ta~aka k (t ) zove se pedalna kriva Tisoove indikatrise. Pedalna kriva je matemati~ki data sa:

k 2 (t ) =

ψ M2 T q (t )Gq(t ) , ψ E2

(16.50)

416

gde je:


q(t ) = [cos t , sin t ] . T

§ 16.3

(16.51)

Sada smo kona~no u poloàju da moèmo definisati konformno preslikavanje i pokaèmo zna~aj konformnosti. Konformno preslikavanje je preslikavanje kod kojeg je razmera u ta~ki k funkcija samo poloàja a ne i azimuta, tj. za koje je k izotropno. Pod ovim uslovima su naravno Tisoova indikatrisa i pedalna kriva kru`ne. îtalac se moè uveriti (vidi (45)), da definicija podrazumeva slede}e potrebne i dovoljne uslove konformnosti:

f = 0,

e=g.

(16.52)

Alternativne ekvivalentne uslove konformnosti predstavljaju Ko{i-Rimanove jedna~ine koje se mogu izvesti iz jedna~ina (46) do (48) [HOTINE, 1946; 1947], i

SLIKA 16.16. Tisoova indikatrisa i pedalna kriva u ta~ki Pi .

§ 16.3


417

koje za dva sistema iste orijentacije ( u, v ) i ( x, y ) glase:

∂x ∂y = ∂u ∂v

i

∂x ∂y , =− ∂v ∂u

(16.53)

ili u slu~aju razli~ite orijentacije:

∂x ∂y = ∂v ∂u

i

∂x ∂y . =− ∂u ∂v

(16.54)

Projektovani ugao ω M je u svakoj ta~ki ravni konformne projekcije jednak odgovaraju}em uglu ω E na elipsoidu. Stoga se kaè da konformna projekcija o~uvava uglove, iako ustvari ona o~uvava oblik beskona~no male konfiguracije odakle joj i dolazi ime. Po{to je, kao {to }emo kasnije videti, relativno lako dobiti ravni ugao ω P iz projektovanog ugla ω M , mogu} je lak prelazak sa horizontalnih uglova ω merenih na povr{i Zemlje, na ravni ugao ω P u projekciji, pomo}u ω E = ω M i obratno. Ovo je o~igledno velika prednost koju nemaju nekonformne projekcije. Zbog toga je upotreba konformnih projekcija u geodeziji ustvari stvar ra~unske pogodnosti. Ina~e, izbor idealne projekcije za kartografske svrhe je sasvim druga materija, i ~italac se po tom pitanju upu}uje na npr. MALING [1973]. Da bi se do sada izvedene formule mogle {to direktnije koristiti, pogodno je definisati specijalni parametar q koji se zove izometrijska {irina na elipsoidu. Razmotrimo pre toga diferencijal duìne dS E na elipsoidu. Prema slici 17, sledi:

(dS )

E 2

⎛ M 2 dφ 2 ⎞ 2 2 = (Mdφ ) + (N cosφ dλ ) = N 2 cos 2φ ⎜⎜ 2 + dλ2 ⎟⎟ . 2 ⎝ N cos φ ⎠ (16.55)

Defini{u}i diferencijal novog parametra kao:

dq =

M dφ , N cosφ

(16.56)

jedna~ina (55) moè se napisati i u obliku:

(dS )

E 2

(

)

= N 2 cos 2φ dq 2 + dλ2 .

(16.57)

418

§ 16.3


SLIKA 16.17. Diferencijal duìne na elipsoidu.

Vidi se da ova jedna~ina odgovara jedna~ini (43) ako je u = q, v = λ . Izometrijska {irina q je funkcija samo geodetske {irine φ , i dobija se integracijom (56). Ona predstavlja alternativni parametar elipsoida umesto geodetske {irine φ , koji dozvoljava direktnu upotrebu (45). Rezultat je [HOTINE, 1946]: φ

q=

∫ 0

e/ 2

⎛ 1 − esinφ ⎞ M ⎟⎟ dξ = ln tan ( 14 π + 12 φ ) ⎜⎜ N cosξ ⎝ 1 + esinφ ⎠ = arctanh(sin φ ) − e arctanh(e sinφ ) ,

(16.58)

gde je e ekscentricitet referentnog elipsoida. Direktno ra~unanje pokazuje vrednosti za q u tabeli 1.

TABELA 16.1 Varijacije izometrijske {irine Izometrijska {irina [irina q φ < 11o <φ

≤ 90 o

→ 90 o

<φ >φ →∞

§ 16.3


419

Ako se parametri q, λ posmatraju u takozvanoj izometrijskoj ravni, tada se elipsoidne paralele preslikavaju kao prave linije promenljivog me|usobnog rastojanja. Meridijani se preslikavaju kao prave linije normalne na paralele i na jednakom me|usobnom rastojanju. Izometrijska ravan ponekad se naziva Merkatorovom projekcijom. Konformno preslikavanje elipsoida mora naravno zadovoljiti slede}e jedna~ine (vidi (53) i (54)):

∂x ∂y = ∂q ∂λ

∂y ∂x , =− ∂q ∂λ

i

(16.59)

za istu orijentaciju sistema ( q, λ ) i ( x, y ), odnosno:

∂x ∂y =− ∂q ∂λ

∂y ∂x , = ∂q ∂λ

i

(16.60)

za razli~itu orijentaciju. Za bilo koje konformno preslikavanje onda sledi (vidi (49)):

k 2 (q, λ ) =

1

edq 2 + edλ 2

N 2 cos 2φ dq 2 + dλ2

=

1

gdq 2 + gdλ2

N 2 cos 2φ

dq 2 + dλ 2

, (16.61)

gde su e i g fundamentalne veli~ine. Ove se jedna~ine mogu napisati kao: 2

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ k (q, λ ) = = N cosφ

2

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂q ⎠ ⎝ ∂q ⎠ . N cosφ

(16.62)

Druga veli~ina koja karakteri{e konformno preslikavanje je konvergencija geodetskog meridijana projektovanog u ravan projekcije. Konvergencija meridijana γ defini{e se kao ugao izme|u tangente na projektovani meridijan i y -ose projekcije (slika 18). Da bi dobili formulu za γ , napi{imo prvo op{ti izraz za projektovani meridijan kao:

y = y (x ) .

(16.63)

420

§ 16.3


SLIKA 16.18. Konvergencija meridijana i T − t korekcija.

Njegov nagib je:

cot γ = −

dy , dx

(16.64)

i izraàvaju}i dx, dy kao totalne diferencijale jedna~ina preslikavanja, imamo:

∂y ∂y dq + dλ ∂λ ∂q . cot γ = ∂x ∂x dq + dλ ∂q ∂λ

(16.65)

Po{to je du` geodetskog meridijana λ = const. , i prema tome dλ = 0 , kona~no se dobija:

cot γ = −

∂y ∂q

∂x ∂x = ∂q ∂λ

∂y , ∂λ

(16.66)

§ 16.3


421

gde se druga jedna~ina dobija kada se uvrste Ko{i-Rimanovi izrazi. Tako je na primer, konvergencija meridijana za Merkatorovu projekciju nula. Opi{imo sada malo detaljnije geometriju krivih projektovanih sa elipsoida u ravan konformne projekcije. Pored ve} pomenutog geodetskog meridijana, slika 18 tako|e prikazuje i projektovanu geodetsku liniju koja spaja projektovane poloàje ta~aka Pi , Pj , i njihovu vezu sa koordinatnim sistemom projekcije. Projektovani azimut α M je ugao izme|u tangente na projektovani meridijan i tangente na projektovanu geodetsku liniju. On je naravno jednak elipsoidnom azimutu α E jer je projekcija konformna. Direkcioni ugao ( T ) projektovane geodetske linije je ugao izme|u y M -ose i tangente projektovane geodetske linije. Direkcioni ugao tetive ( t ) je ugao izme|u y M -ose i tetive Pi , Pj . Ako ra~unanja u konformnoj projekciji treba da budu jednostavna, onda se moraju odnositi na tetivu i veli~ine s njom u vezi. Veli~ine vezane za tetivu dobijaju se na slede}i na~in: (a) Elipsoidni azimut redukuje se na direkcioni ugao projektovane geodetske linije oduzimanjem konvergencije meridijana (66):

Tij = α ijE − γ i .

(16.67)

Direkcioni ugao projektovane geodetske linije dalje se redukuje popravkom za prelazak sa luka na tetivu koja se ~esto naziva T − t korekcijom, kako bi se dobio direkcioni ugao tetive:

tij = Tij − (T − t )ij .

(16.68)

Izvo|enje izraza za T − t korekciju je komplikovano. Ono podrazumeva rad sa parametarskim jedna~inama projektovane geodetske linije i nalaènje krivine ove krive. Zainteresovani ~italac upu}uje se na THOMAS [1952]. (b) Elipsoidni pravac d E redukuje se na ravni pravac d P istom korekcijom (vidi sliku 18):

d ijP = d ijE − (T − t )ij .

(16.69)

422


§ 16.3

SLIKA 16.19. Redukcija uglova i pravaca.

(c) Elipsoidni ugao ω E redukuje se pomo}u (vidi sliku 19): P E ω ijk = ω ijk + (T − t )ij − (T − t )ik .

(16.70)

(d) Duìna geodetske linije na elipsoidu S E transformi{e se u duìnu projektovane geodetske linije pomo}u linijskog faktora razmere k , tako da se dobija: l ij = S ijM = k S ijE , (16.71) gde je linijska razmera srednja vrednost faktora razmere ta~ke du` linije. Za kratke i linije srednje duìne, razlika izme|u duìne projektovane geodetske linije i tetive je tako mala da ne zasluùje poseban tretman. Naravno da izrazi za γ , T − t i k variraju od jedne do druge konformne projekcije. Razrada svih ovih projekcija je izvan obima ove knjige. îtalac se upu}uje na LEE [1976].

§ 16.3


423

Nakon {to su sve potrebne merne veli~ine redukovane u ravan konformne projekcije, mogu se ra~unati relativni poloàji. Direktni problem u ravni projekcije izraàvaju slede}e direktne jedna~ine: M xM j = x i + lij sin t ij ,

M yM j = y i + lij cos t ij .

(16.72)

Re{enje se dobija iterativno, jer su linijska razmera k i ( T − t ) korekcija koji su M potrebni da se dobiju lij i tij , tako|e funkcije od x M j i y j . Prva aproksimacija (1) M (1) ra~una se iz (72) upotrebom S i T umesto l i t . Ta~nost (x M j ) , (y j ) ij ij ij ij M relativnih poloàja x M j , y j procenjuje se na isti na~in kao u podpoglavlju 16.2.

Inverzni problem u ravni projekcije tako|e izraàvaju direktne jedna~ine:

lij =

(x

M j

− xiM

) + (y 2

M j

− y iM

)

2

,

(16.73)

i:

t ij = 2arctan

M xM j − xi M yM j − yi +

(x

M j

− xiM

) + (y 2

M j

− y iM

)

2

.

(16.74)

Ove se veli~ine naravno odnose na ravan projekcije, i mogu se redukovati na elipsoid (tj. u S ijE i α ijE ) pomo}u formula inverznih formulama (71), (68) i (67). Redukcija sa elipsoida na povr{ Zemlje da bi se dobilo ∆rij i Aij ve} je diskutovana u podpoglavlju 16.2. Na taj na~in dobili smo potpuno zatvoreni sistem redukcija tj. teren-elipsoid-ravan projekcije- elipsoid-teren. Povremeno, moè se pokazati efikasnom upotreba transformacije q → φ sa izometrijske ravni na elipsoid. To zna~i transformaciju inverznu transformaciji (58), ali po{to se (58) ne moè invertovati tj. φ se ne moè izraziti eksplicitno kao funkcija od q , mora se upotrebiti iterativni postupak. Tako npr. Njutn-Rapsonov iterativni metod daje [CONTE AND DE BOOR, 1972]:

φ (k ) = φ (k −1) −

f (φ (k −1) ) (k −1) = φ (k −1) − (∆φ ) . ( k −1) f ′(φ )

(16.75)

424


§ 16.4

Iz (58) sledi:

f (φ ) =

[ln(1 + sinφ ) − ln(1 − sinφ ) + eln(1 − esinφ ) − eln (1 + esinφ )] − q ,

1 2

(16.76)

gde je e ekscentricitet referentnog elipsoida, i

f ′(φ ) =

(

df (φ ) 1 − e2 = dφ 1 − e 2 sin 2φ

(

) )

cosφ

.

(16.77)

Invertovani proces zapo~inje aproksimacijom izraza (58) sa:

(

)

q = ln tan 14 π + 12 φ (0 ) ,

(16.78)

φ (0 ) = 2arc tan exp(q ) − 12 π .

(16.79)

i ra~unanjem:

Iteracije se nastavljaju dok ∆φ

(k −1)

< ε , gde je ε neka unapred izabrana vrednost.

Za ε {to odgovara ta~nosti u poloàju boljoj od 0.1mm, konvergencija se postiè nakon tri iteracije za bilo koje φ < 89 o .

= 10 −12

16.4. Relativno vertikalno pozicioniranje Pod relativnim vertikalnim pozicioniranjem smatra se odre|ivanje vertikalnog poloàja (visine) jedne ta~ke u odnosu na drugu, tj. odre|ivanje visinskih razlika. Ovde }emo prodiskutovati samo neke od poznatih metoda. Ostale }e biti tretirane u podpoglavlju 19.4, jer su pogodnije za odre|ivanje kontinualnih visinskih profila. Trigonometrijsko odre|ivanje visinskih razlika zahteva zenitna odstojanja Z ij i Z ji opaàna geodetskim teodolitom na ta~kama Pi i Pj , kao i poznavanje otklona vertikala θ i i θ j projektovanih u ravan koja sadrì C, Pi i Pj , gde je C centralna ta~ka elipsoidnih normala ~ije su duìne Ri i R j (vidi sliku 20). Projekcija ε ij vertikalskog otklona θ i na ravan CPi Pj ~iji je azimut α ij , izvodi se pomo}u komponenti otklona kao:

§ 16.4

Relativno vertikalno pozicioniranje

ε ij = ξ i cos α ij + η i sin α ij ,

425

(16.80)

kao {to se moè videti sa slike 21 (uporedi sa (15.89)). Geodetsko zenitno odstojanje Z ij′ koje se odnosi na elipsoidnu normalu, odre|uje se kao:

Z ij′ = Z ij + ε ij = Z ij + ξ i cos α ij + η i sin α ij ,

(16.81)

a sli~no vaì i za Z ′ji . Primetimo da su na slici 20 znaci za ε ij i ε ji pozitivni. Pomo}u geodetskih zenitnih odstojanja mogu se dobiti geodetske visinske razlike u odnosu na elipsoid ∆hij = h j − hi . Za linije do 10km, dovoljno je ta~no smatrati geodetsku liniju S E izme|u ta~aka Pi i Pj sfernim lukom, sa polupre~nikom

Rm = 12 ( Ri + R j ) , gde su Ri i R j polupre~nici krivina u ta~kama Pi , Pj po azimutu α ij , dati sa (3.89) [HEISKANEN AND MORITZ, 1967]. Primena tangensnog

SLIKA 16.20. Trigonometrijske visinske razlike.

426

§ 16.4


SLIKA 16.21. Projektovani vertikalski otklon u èljenom pravcu α ij .

zakona na ravni trougao CPi Pj daje:

(R (R

m

m

) tan (π − Z ′ − π + Z ′ ) = +h ) tan (π − Z ′ + π − Z ′ )

+ h j − Rm − hi + h j + Rm

i

1 2

1 2

ij

ji

ij

.

(16.82)

ji

Po{to je ( Z ij′ + Z ′ji ) − π = ψ ij = S ijE Rm , razvoj tangensne funkcije imenioca u red daje:

∆hij =

⎛

S ijE ⎜1 − ⎜ ⎝

S ijE2 hm + Rm 12 Rm2

⎞ Z ′ − Z ij′ ⎟ tan ⎛⎜ ji ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

(16.83)

gde je hm = 12 ( hi + h j ) . Naàlost, po{to su opaàna zenitna odstojanja obi~no bliska

1 2

π , ona su veoma

osetljiva na atmosfersku refrakciju kao {to smo videli u podpoglavlju 15.2. Ovaj problem se donekle ublaàva simultanim opaànjem zenitnih odstojanja. Ovakav postupak pod najpovoljnijim uslovima obezbe|uje ta~nost σ Z = 1 ″ i σ ∆h = 10cm za linije duga~ke S E = 10km [HEISKANEN AND MORITZ, 1967]. U praksi je ta~nost zna~ajno nià. Problem refrakcije detaljnije }emo tretirati u kontekstu mreà (podpoglavlje 17.1). Za sada recimo samo da zbog ovog problema trigonometrijske

§ 16.4


427

SLIKA 16.22. Princip geodetskog nivelmana i karakter refrakcije.

visinske razlike nisu ni blizu ta~ne kao geometrijske visinske razlike, i kao takve ne upotrebljavaju se ni u preciznim radovima niti za uspostavljanje visinskih mreà. Pogledajmo sada visinske razlike odre|ene geodetskim nivelmanom. Nivelanje (za opis instrumenata i metode merenja vidi RAPPLEYE [1948]) nije toliko optere}eno efektom refrakcije kao {to su zenitna rastojanja. Kada je duìna do prednje letve ∆S F jednaka duìni do zadnje letve ∆S B (vidi sliku 22), poni{tava se efekat prvog reda, tj. efekat prouzrokovan konveksnom ili konkavnom vizurom, {to ina~e zavisi od vertikalnog temperaturnog gradijenta ∆t . Po{to je δ B ∼ δ F , ono {to preostaje je rezidualni refrakcioni efekat kao posledica nepravilne slojevitosti vazduha, za koji se zna da je mnogo manji. Vi{e o ovom efektu bi}e re~i u podpoglavlju 19.2. Nivelanje je kao i trigonometrijsko odre|ivanje visinskih razlika zavisno od gravitacionog polja. Da bismo to pokazali, posmatrajmo nivelmansku liniju od ta~ke P0 na nivou mora do ta~ke Pi na vrhu planine (vidi sliku 23). Ekvipotencijalne povr{i su prikazane kao neparalelne (podpoglavlje 6.3). Pretpostavimo sada da je prvo nivelanje izvr{eno sa leve, a drugo sa desne strane planine. Za svaku stanicu kao na slici 22, visinska razlika δh dobija se kao razlika ~itanja prednje i zadnje letve. Visina ta~ke Pi iznad mora (podpoglavlje 7.1), dobija se kao zbir visinskih razlika δh , prvi put sa leve, a drugi put sa desne strane planine. O~igledno je da se dobijaju dve razli~ite vrednosti jer su visinske razlike δh izme|u ekvipotencijalnih povr{i ve}e na desnoj nego na levoj strani. Koju od ove dve vrednosti treba upotrebiti kao visinu ta~ke Pi ?

428


§ 16.4

SLIKA 16.23. Nivelman.

Neodre|enost se elimini{e pretvaranjem rezultata nivelanja koji su zavisni od puta u jedinstvene visinske razlike nezavisne od puta. Ovo se moè uraditi na vi{e na~ina. Po~nimo s tim kako se to moè uraditi upotrebom potencijala Zemljine teè. Prema (6.28), razlika potencijala izme|u dve bliske ekvipotencijalne povr{i moè se napisati u obliku:

δW = − gδh .

(16.84)

Kao {to je obja{njeno u podpoglavlju 6.3, kroz jednu ta~ku prolazi samo jedna ekvipotencijalna povr{, i prema tome jednoj ta~ki se moè pridruìti samo jedna vrednost potencijala W . Zbog toga potencijal predstavlja mogu}i na~in jedinstvenog definisanja vertikalnog poloàja. Ako se izmeri lokalno rastojanje izme|u ekvipotencijalnih povr{i δh (od sada }emo ga obeleàvati sa δl ), i ako je na istom mestu poznato ubrzanje g , razlika potencijala δW se moè izra~unati iz (84). Umesto potencijala Wi ta~ke Pi , pogodnije je koristiti geopotencijalni broj C i kojeg je uveo Tardi [BAESCHLIN, 1960]. On je definisan kao negativna razlika potencijala izme|u ta~ke Pi i geoida: Pi

Pi

C i = −(Wi − W0 ) = gdl = g ′dh ′ ,

∫

P0

∫

(16.85)

P0′

pri ~emu se integracija sprovodi ili du` terena ( dl ) izme|u geoida i ta~ke Pi , ili du` vertikale ( dh ′ ) ta~ke Pi (vidi sliku 24). Sli~no tome, razlika geopotencijalnih brojeva ∆C ij izme|u dve ta~ke Pi , Pj iznosi:

§ 16.4


429

Pj

∫

∆C ij = gdl .

(16.86)

Pi

Jedinica za geopotencijalne brojeve, usvojena od strane Generalne skup{tine IAG u Rimu septembra 1954. godine, je kilogal metar. Razlog za ovu konvenciju je {to su vrednosti geopotencijalnih brojeva u ovim jedinicama bliske visinama H iznad mora u metrima, ili jo{ preciznije iznose C = 0.98H . Geopotencijalni brojevi imaju nekoliko korisnih svojstava ali je najva`nije da su jedinstveni za svaku ta~ku kao {to smo to ve} konstatovali. Osim toga, po{to je polje potencijala bezvrtlo`no (vidi podpoglavlje 6.3), integral po zatvorenoj krivoj C je nula:

∫ dC =∫ gdl =0 .

C

(16.87)

C

Ovo o~igledno nije ta~no za nivelane visinske razlike. Dalje, geopotencijalni brojevi su pozitivni iznad geoida, nula na geoidu i negativni ispod njega, i jo{ konstantni na istoj ekvipotencijalnoj povr{i. Kona~no, razlika geopotencijalnih brojeva moè se odrediti merenjima izvedenim na povr{i Zemlje.

SLIKA 16.24. Geopotencijalni broj.

430


§ 16.4

U praksi, niti je l ni g poznato kao neprekidna funkcija poloàja. Zbog toga se integrali ne mogu odrediti analiti~ki, ve} je neophodno okrenuti se diskretizaciji uz pomo} merenih vrednosti za g i δl du` puta nivelanja. Sledi:

∆C ij =

j

∑ g δl k

k

,

(16.88)

k =i

gde je:

gk =

1 2

(g k −1 + g k ) ,

(16.89)

zatim δl k je opaàna visinska razlika izme|u susednih repera, a g k je opaàno ubrzanje na k -tom reperu. S prakti~ne ta~ke gledi{ta, niti je isplativo niti neophodno imati vrednost g opaànu za svaki reper. Jedini zahtev je da g bez obzira na koji na~in dobijeno, ima dovoljnu ta~nost. Gre{ke zbog neodgovaraju}e gustine i ta~nosti ubrzanja istraìvali su mnogi, npr. HELMERT [1880] i LEVALLOIS [1964]. Oni su na{li da gustina i ta~nost vrednosti ubrzanja koji odgovaraju visinskim razlikama δl , zavise od prirode terena i varijacija gravitacionog polja. Efekte gravitacije bliè }emo razraditi u podpoglavlju 19.2. Da bi se prevazi{ao nedostatak {to geopotencijalni brojevi nemaju linerne jedinice, uvode se dinami~ke visine H D . One se dobijaju deljenjem geopotencijalnih brojeva konstantnom vredno{}u referentnog ubrzanja g R , tj.:

H iD = C i g R .

(16.90)

Ovde se g R moè smatrati vredno{}u normalnog ubrzanja na srednjem Zemljinom elipsoidu (vidi podpoglavlje 6.2) za referentnu {irinu φ R izabranu tako da g R predstavlja prose~no ubrzanje za dato podru~je. Referentno ubrzanje se moè posmatrati i kao faktor razmere potreban da se geopotencijalni brojevi pretvore iz jedinica potencijala u jedinice duìne. Datum dinami~kih visina jo{ uvek je geoid. Me|utim, treba paziti da se dinami~ke visine ne interpretiraju kao geometrijska rastojanja od geoida do ta~aka. Na slici 25 je l i ≠ l1 ≠ l 2 ≠ l 3 , ali je zato

H iD = H 1D = H 2D = H 3D . S druge strane, po{to su dinami~ke visine ta~aka jedne ekvipotencijalne povr{i jednake, dinami~ke visine su korisne isto koliko i geopotencijalni brojevi u projektima (kao {to su hidrolo{ki) u kojima je potrebno poznavanje fizi~kog okruènja. âk se razmi{lja i o tome da se jedan od ova dva

§ 16.4


431

SLIKA 16.25. Dinami~ke visine.

sistema upotrebljava i za projektovanje visina za krivine autoputeva, jer su srodne ubrzanjima koja se tamo javljaju. Dinami~ka visinska razlika ∆H ijD izme|u ta~aka Pi , Pj defini{e se kao:

∆H ijD = H Dj − H iD =

Cj gR

−

C i ∆C ij = . gR gR

(16.91)

Alternativna formula za dinami~ku visinsku razliku dobija se ako se izrazi u vidu zbira nivelane visinske razlike ∆l ij i popravke:

∆H ijD = ∆l ij + DC ij .

(16.92)

Dinami~ka popravka DC ij data je o~iglednom jedna~inom:

DC ij =

j

∑ k =i

gk − gR δl k . gR

(16.93)

Ni za ra~unanje ove popravke nije potrebno imati ubrzanje opaàno na svakom reperu. Kriterijumi gustine i ta~nosti ubrzanja isti su kao i u slu~aju geopotencijalnih brojeva.

432


§ 16.4

SLIKA 16.26. Ortometrijska visina.

Ve}ini ljudi je ipak intuitivno jasniji geometrijski koncept visina. Ortometrijska visina H iO ta~ke Pi defini{e se kao geometrijsko rastojanje izme|u geoida i ta~ke mereno po vertikali ta~ke Pi (vidi sliku 26). Formula za H iO glasi: Pi

H iO

∫

= dh ′ ,

(16.94)

P0

pri ~emu se integracija izvodi du` vertikale. Zamenom za dh ′ iz (84) i ozna~avaju}i ubrzanje du` vertikale sa g i′ , dobija se: Pi

H iO = −

∫

P0

Pi

Pi

g dW dC dl . = = g i′ P g i′ P g i′

∫

0

∫

(16.95)

0

Poreklo druge i tre}e jedna~ine jasno je iz prethodnih diskusija. Formula za ra~unanje ortometrijske visine sledi direktno iz teoreme o srednjoj vrednosti integrala (vidi podpoglavlje 3.2). U ovom kontekstu teorema tvrdi da postoji vrednost ubrzanja g i′ izme|u geoida i Pi , takva da je:

H iO =

1 g i′

Pi

∫ gdl .

P0

(16.96)

§ 16.4


433

Ovo g i′ je srednja vrednost ubrzanja du` vertikale ta~ke Pi u integralnom smislu. Sada kona~no moèmo napisati:

H iO = C i g i′ ,

(16.97)

gde je C i geopotencijalni broj ta~ke Pi . Prakti~no je nemogu}e odrediti g i′ jer g i′ du` vertikale nije poznato zbog nepoznatog rasporeda masa unutar Zemlje. Postoje brojni pristupi aproksimacije g i′ , i svaki od njih daje posebnu vrstu ortometrijskih visina koje se obi~no nazivaju prema predlaga~u kao {to je Nithamer, Mader ili Helmert. Za svaki od pristupa neophodna je pretpostavka o raspodeli gustina unutar Zemlje, zbog ~ega su svi oni pribli`ni. Od svih predloènih najvi{e se koriste Helmertove ortometrijske visine. One su definisane kao:

H iH = C i g iH ,

(16.98)

gde se srednja vrednost ubrzanja g iH uzima po formuli:

g iH = g i + 0.0424 H i ,

(16.99)

u kojoj je g i ubrzanje u ta~ki Pi na povr{i Zemlje. Numeri~ki koeficijent sledi direktno iz Poenkare-Prej gradijenta ubrzanja (vidi (21.38)), za kojeg se smatra da je konstantan du` vertikale izme|u geoida i terena. Po{to se gradijent smatra konstantnim, g i′ se onda izvodi direktno za sredi{nu ta~ku vertikale ta~ke Pi . Fizi~ke jedinice drugog ~lana su mGal za H i u metrima, pri ~emu H i moè biti opaàna visina. Glavni nedostatak ortometrijskih visina je {to iz navedenih razloga nikad ne mogu da se odrede ta~no. Drugim re~ima, ortometrijske visine se nikad ne odnose zaista na geoid ve} na drugu referentnu povr{ blisku geoidu, definisanu vrstom g ′ koja se upotrebi za ra~unanje. Ipak, kada H O teì nuli, to vaì i za razliku izme|u referentne povr{i i geoida, {to zna~i da se oni poklapaju barem na otvorenom moru. Tako|e, zbog same definicije ortometrijskih visina, ta~ke iste ekvipotencijalne povr{i (izuzev geoida) nemaju u op{tem slu~aju iste ortometrijske visine, tako da voda moè te}i uzbrdo.

434


§ 16.4

SLIKA 16.27. Normalna visina.

Po{to se teorijski nikad ne moè do}i do ta~nih ortometrijskih visina, godine 1954 su MOLODENSKIJ ET AL. [1960] predloìli da se one zamene normalnim visinama H N . Njihova definicija je:

H iN = C i γ i ,

(16.100)

gde je γ i normalni pandan za g i′ , tj. srednje normalno ubrzanje du` vertikale ta~ke

Pi . Razlika je u tome {to se srednje stvarno ubrzanje g i′ ra~una produènjem naniè stvarnog povr{inskog ubrzanja g i , a srednje normalno ubrzanje γ i se ra~una produènjem na vi{e normalnog ubrzanja γ 0i sa geocentri~nog referentnog elipsoida. Dok se srednje stvarno ubrzanje traì na stvarnoj vertikali izme|u ta~aka visine H (teren) i 0 (geoid), srednje normalno ubrzanje se traì na normalnoj vertikali izme|u ta~aka sa visinom 0 (geocentri~ni referentni elipsoid) i H (teluroid) - podpoglavlje 7.4. Situacija je prikazana na slici 27. Da bi dobio γ i iz γ 0i , Molodenski je upotrebio ta~nu formulu (vidi (21.30)) za vertikalni gradijent normalnog ubrzanja. On je tako|e pokazao [MOLODENSKIJ ET AL., 1960], da se normalne visine definisane na ovaj na~in odnose na kvazigeoid (vidi podpoglavlje 7.4), i da se mere du` normalne vertikale. Stoga se za sve potrebe normalne visine mogu smatrati posebnom vrstom ortometrijskih visina koje se odnose na kvazigeoid kao referentnu povr{, a koja je za razliku od referentnih povr{i ostalih ortometrijskih sistema odrediva, kao {to }e biti pokazano u podpoglavlju 22.2. Vinjal [VIGNAL AND KUKKAMAKI, 1954] je predloìo sli~an sistem visina u kojem se srednje normalno ubrzanje izvodi iz γ 0i pomo}u pribli`nog vertikalnog gradijenta

§ 16.4


435

normalnog ubrzanja (vidi (21.32)), koji se poklapa numeri~ki sa gradijentom u slobodnom vazduhu (vidi (6.14)). Vinjalove visine date su sa:

H iV =

γ 0i

Ci . − 0.1543H i

(16.101)

Vinjalove visine i visine Molodenskog su numeri~ki sasvim bliske. Vinjalove visine usvojene su za unifikaciju Evropske nivelmanske mreè [SIMONSEN, 1963], dok se normalne visine Molodenskog koriste u SSSR i isto~noevropskim zemljama. Vinjalove visine su tako|e predloène za upotrebu u Severnoj Americi [KRAKIWSKY AND MUELLER, 1966]. Zajedni~ki problem za sva tri sistema, tj. dinami~ki , ortometrijski i normalni, bio je, a u nekim zemljama je jo{ uvek, nedostatak stvarnih podataka ubrzanja na Zemljinoj povr{i, neophodnih za ra~unanje potrebnih korekcija. Ovaj problem je re{avan upotrebom normalnog ubrzanja γ (φ , H ) umesto stvarnog g . Visinske razlike (dinami~ke, ortometrijske ili normalne) bazirane na normalnom ubrzanju i odre|ene na ovaj na~in, ne odstupaju zna~ajno od stvarnih vrednosti kada se posmatraju samo dva susedna repera. Efekat ove aproksimacije u mreì ta~aka je me|utim ozbiljan, i bi}e detaljno obra|en u podpoglavlju 19.2. Visinske razlike odre|ene trodimenzionalnim metodama (podpoglavlje 16.1) dobijaju se na taj na~in {to se prvo relativni poloàj izme|u dve ta~ke izrazi u G sistemu. Zatim se transformi{u u razlike po φ , λ , h upotrebom jedne od dve metode opisane u podpoglavlju 15.4. Jedan od tri rezultata ove transformacije je i visinska razlika ∆hij u odnosu na referentni elipsoid. U ovom pristupu mogu se koristiti klasi~ni terestri~ki, ekstraterestri~ki, trodimenzionalni kao i inercijalni rezultati. U tom kontekstu interesantan je metod Doplerovog nivelmana [KOUBA, 1976] u kojem se koristi koncept translokacije (podpoglavlje 16.1), dok se re{enje ograni~ava na nalaènje geodetskih visinskih razlika u odnosu na elipsoid. Ako su poznate razlike geoidnih visina ∆N ij , onda se mogu odrediti i ortometrijske visinske razlike ∆H ijO . Ta~nost visinskih razlika dobijenih ovom metodom je reda 1m.

POGLAVLJE 17

TRODIMENZIONALNE MRE@E

Trodimenzionalne mreè ve} su bile definisane u podpoglavlju 7.1. One spadaju u jednu od tri prirodne kategorije: mreè uspostavljene upotrebom standardnih terestri~kih mernih veli~ina (horizontalni uglovi i duìne) i astronomskih veli~ina; fotogrametrijske mreè koje se uspostavljaju uz pomo} fotografija iz vazduha; i mreè koje se zasnivaju na opaànjima izvr{enih sa stanica prema satelitima. Ove tri klase mreà obra|ene su redom u prva tri podpoglavlja. Problem stroge definicije poloàja i orijentacije koordinatnog sistema kojim se mreà matemati~ki opisuje, nije trivijalan. Obi~no se upotrebljava geodetski koordinatni sistem (G), i njegov poloàj i orijentacija u odnosu na Zemlju mora biti fiksiran. Neki od na~ina da se to uradi ve} su pominjani u podpoglavlju 15.4. Ostali na~ini bi}e obja{njeni ovde u odgovaraju}em kontekstu. Razumevanje koncepta pozicioniranja i orijentacije koordinatnog sistema naro~ito je potrebno u kontekstu povezivanja razli~itih nezavisno uspostavljenih trodimenzionalnih mreà. Ova tema je obra|ena u ~etvrtom podpoglavlju, u kojem su iznete i neke ideje u vezi dizajna i procenjivanja trodimenzionalnih mreà. U celom ovom poglavlju Zemlja se smatra ~vrstom, odnosno bez deformacija tokom vremena. Odre|ivanje ovih deformacija tretirano je zasebno u delu VI. 17.1. Terestri~ke trodimenzionalne mreè U podpoglavlju 16.1 pokazano je kako se moè izra~unati relativni poloàj jedne ta~ke u odnosu na drugu u tri dimenzije, upotrebom standardnih geodetskih mernih veli~ina kao {to su prostorne duìne, zenitna odstojanja i astronomske {irine, duìne i azimuti. U ovom podpoglavlju metod se pro{iruje na ~itavu mreù ta~aka, i dozvoljava uklju~ivanje dve dodatne merne veli~ine: horizontalnih pravaca ili uglova i visinskih razlika. Za razliku od ra~unanja u dve dimenzije na elipsoidu ili u ravni konformne projekcije (podpoglavlje 16.2 i 16.3), ovde nisu neophodne redukcije mernih veli~ina osim za instrumentalne gre{ke i refrakciju. Instrumentalne gre{ke se u najve}oj meri elimini{u metodom merenja. Ve}i deo efekta refrakcije obi~no se modelira, a rezidualna refrakcija moè se

436

§ 17.1

Terestri~ke trodimenzionalne mreè

437

parametrizovati i eliminisati u fazi re{avanja. Teorijske osnove modeliranja trodimenzionalnih mreà postavili su BRUNS [1878], HOTINE [1969] i drugi. Osnovna jedinica matemati~kog modela izravnanja trodimenzionalnih mreà (podpoglavlje 14.3) je me|ustani~ni vektor definisan u podpoglavlju 16.1. Me|ustani~ni vektori svih parova susednih ta~aka Pi , Pj konstitui{u mreù. Matemati~ka formula za me|ustani~ni vektor u LA sistemu ve} je data sa (16.1). Ona se u op{tem obliku moè napisati kao:

(17.1) Kartezijanske koordinate ta~aka Pi i Pj su nepoznati parametri koje treba odrediti, a merne veli~ine su astronomska {irina Φ i , duìna Λ i i azimut Aij , vertikalni ugao ν ij (ili zenitno odstojanje Z ij ), i prostorna duìna ∆rij . O~igledno da Φ i i Λ i defini{u pravac vertikale u ta~ki Pi i na taj na~in sluè kao referentni

pravac u prostoru na kojeg se Aij i ν ij (ili Z ij ) odnose. Za obratni me|ustani~ni vektor sa Pj na Pi , izvode se merenja ( A ji ,ν ji (ili Z ji ), Φ j , Λ j , ∆r ji = ∆rij ) na drugom kraju linije, a indeksima u (1) je potrebno zameniti mesta. Gornji modeli su implicitni. Iz prakti~nih razloga pogodniji su eksplicitni modeli (podpoglavlje 10.1), tako da izostavljanje nekog merenja jednostavno zna~i brisanje odgovaraju}e jedna~ine opaànja bez ikakvih daljih posledica. VINCENTY [1973] je formulisao eksplicitni model i u kartezijanskim ( x, y , z ) G i u krivolinijskim (φ , λ , h ) koordinatama. Ovaj eksplicitni model podrazumeva tako|e i horizontalne pravce d ili uglove ω , kao i visinske razlike ∆h . Model se zatim linearizuje, a re{enje se traì u vidu prira{taja δφ , δλ i δh za pribli`ne vrednosti nepoznatih φ (0 ) , λ(0 ) i h (0 ) . Pribli`ne vrednosti se dobijaju uzastopnim relativnim pozicioniranjem kao {to je opisano u podpoglavlju 16.1, ili nekom drugom ekvivalentnom metodom. Linearizovane jedna~ine opaànja koje sa~injavaju model, dobijaju se linearizacijom iz (16.1) transformisanih u (φ , λ , h ) koordinatni sistem (vidi podpoglavlje 12.2). Jedna~ina opaànja astronomskog azimuta za me|ustani~ni vektor ∆rij glasi:

438


§ 17.1

§ 17.1


rijA = a1δφ i + a 2δλi + a 3δhi + a 4δφ j + a5δλ j + a 6δh j + a 7δΦ i + a8δΛ i + Aij(0 ) − Aij .

439

(17.2)

Koeficijenti a i , i = 1, ...,8 , su funkcije nepoznatih i mernih veli~ina, i prikazani su u tabeli 1 zajedno sa koeficijentima drugih jedna~ina opaànja koje ~ine dizajn matricu. Pribli`na vrednost za A potrebna za linearizaciju obeleèna je sa A (0 ) , a ij

ij

rijA je reziduum od Aij . Primetimo da se astronomske koordinate tako|e tretiraju kao nepoznati parametri. Jedna~ina opaànja pravca sledi direktno iz prethodne, zamenom Aij sa d ij + Ω i (vidi sliku 1), gde je Ω i orijentaciona nepoznata u ta~ki Pi , a d ij je pravac meren teodolitom koji se odnosi na proizvoljnu referencu. Imamo:

rijd = a1δφ i + a 2δλi + a 3δhi + a 4δφ j + a5δλ j + a 6δh j + a 7δΦ i + a8δΛ i − δΩ i + Aij(0 ) − d ij − Ω i(0 ) ,

(17.3)

gde je Aij(0 ) vrednost za Aij upotrebljena u linearizaciji. Dodavanje Ω i opaànom pravcu transformi{e referencu teodolita u astronomski sever. Pribli`na vrednost orijentacione nepoznate Ω i(0 ) je sra~unati pribli`ni geodetski azimut ovog referentnog pravca. Na svakoj stanici na kojoj su mereni pravci pojavljuje se najmanje jedna orijentaciona nepoznata.

SLIKA 17.1. Orijentacija horizontalnih pravaca.

440


§ 17.1

SLIKA 17.2. Horizontalni ugao.

Horizontalni ugao ω ijk moè se jednostavno posmatrati kao razlika izme|u dva pravca d ik i d ij (vidi sliku 2). Jedna~ina opaànja horizontalnog ugla dobija se prema tome razlikom dve jedna~ine opaànja pravaca koje se odnose na linije Pi Pj i Pi Pk :

rijkω = (a1 (k ) − a1 ( j )) δφ i + (a 2 (k ) − a 2 ( j )) δλi + (a 3 (k ) − a 3 ( j )) δhi + a 4 ( j ) δφ j + a5 ( j ) δλ j + a6 ( j ) δh j + a 4 (k ) δφ k + a5 (k ) δλk

(0 ) + a6 (k ) δhk + (a7 (k ) − a 7 ( j )) δΦ i + (a8 (k ) − a8 ( j )) δΛ i + ω ijk − ω ijk .

(17.4) Jedna~ina opaànja vertikalnog ugla glasi:

rijν = b1δφ i + b2 δλ i + b3δhi + b4 δφ j + b5 δλ j + b6 δh j + b7 δΦ i + b8 δΛ i − δν + ν ij(0 ) −ν ij ,

(17.5)

gde δν ozna~ava korekciju za nepoznatu rezidualnu refrakciju koju }emo ne{to kasnije detaljnije razraditi. Jedna~ine za bi , i = 1,...,8 date su u tabeli 1. Jedna~ina opaànja prostorne duìne glasi:

§ 17.1


441

rij∆r = c1δφ i + c2δλi + c3δhi + c4δφ j + c5δλ j + c6δh j + ∆rij(0 ) − ∆rij , (17.6) sa koeficijentima ~ije su formule tako|e date u tabeli 1. Jedinice svih koeficijenata su takve da se korekcije uglovnih veli~ina, uklju~uju}i i orijentacione nepoznate i rezidualnu refrakciju, dobijaju u radijanima. U praksi je uobi~ajeno da se te jedinice konvertuju u lu~ne sekunde. Prema VINCENTY [1973], ako su pribli`ne koordinate φ (0 ) , λ(0 ) , h (0 ) ta~aka u mreì poznate do na 1m, koeficijenti a 4 , a5 , b4 , b5 i b6 su oni dati u tabeli 1. Ako nakon eventualnih iteracija pribli`ne vrednosti postanu poznate na 0.1m ili bolje, tada se za sve koeficijente moè staviti M + h = N + h = R . Kovarijaciona matrica opaànja C l sastavljena je jednostavno od varijansi i kovarijansi pojedinih opaànja. Za varijanse je uputno uzeti iste jedinice kao za apsolutne ~lanove modela, tako da u tim jedinicama budu i reziduumi. Ako su astronomske koordinate Φ , Λ tako|e opaàne, linearizovanom modelu se dodaju jo{ dve vrste jedna~ina opaànja nazvanih jedna~inama opaànja astronomskih koordinata:

riφ = δΦ i + Φ i(0 ) − Φ i ,

(17.7)

riλ = δΛ i + Λ(i0 ) − Λ i .

(17.8)

Ako su umesto astronomskih koordinata na raspolaganju komponente povr{inskih vertikalskih otklona ξ , η , sli~an sistem jedna~ina opaànja moè se napisati i za njih. On glasi:

riξ = δΦ i − δφ i ,

riη = secφ i δΛ i − secφ i δλi .

(17.9)

Kao {to je ve} pomenuto, mogu}e je uklju~iti i merene visinske razlike ∆h u trodimenzionalne mreè. Ovaj tip informacije poti~e ili od geometrijskog nivelmana ili ekstraterestri~kih metoda kao {to je pokazano u podpoglavlju 16.4. Jedna~ina opaànja visinske razlike je:

rij∆h = −δhi + δh j + ∆hij(0 ) − ∆hij ,

(17.10)

gde se sve visine odnose na odre|eni referentni elipsoid (podpoglavlje 16.4). Tako|e je mogu}e raditi i direktno sa ortometrijskim visinama [CHOVITZ, 1974], ali

442

§ 17.1


se u tom slu~aju mora uzeti u obzir undulacija geoida. Primetimo da se taj postupak moè primeniti u povezivanju horizontalnih i visinskih mreà u trodimenzionalne mreè kao {to je pomenuto u podpoglavlju 7.1. Treba znati da nije neophodno opaàti sve merne veli~ine u mreì, ali je neke obavezno meriti da model ne bi postao singularan (podpoglavlje 14.5). Izbor neophodnih opaànja vr{i se na osnovu geometrije mreè. Jednostavni slu~aj tri ta~ke u dve dimenzije bi}e diskutovan u podpoglavlju 18.4. Kada su izmerene sve merne veli~ine uklju~uju}i i astronomske koordinate, kompletan model predstavlja kombinaciju dva modela (podpoglavlje 14.4):

f1 ( x1 , x 2 , l1 ) = 0 , f2 ( x2 , l2 ) = 0 .

(17.11) (17.12)

gde su upotrebljene slede}e oznake: x1 = [φ , λ , h ] , x 2 = [Φ, Λ ] , l1 = [ A, ν , ∆r ] T

T

T

i l 2 = [Φ, Λ ] . Astronomske koordinate tretiraju se kao nepoznati parametri u prvom modelu, a u drugom i kao nepoznati parametri i kao direktno opaàni parametri. Prema tome, ako Φ i Λ nisu mereni, f 2 se jednostavno bri{e, a T

nepoznate δΦ i δΛ se re{avaju iz f 1 . Sli~an argument vaì i za opaàne visinske razlike. FUBARA [1972] je na{ao da se visine iznad elipsoida mogu sra~unati sa otprilike istom ta~no{}u kao horizontalne koordinate (geodetska {irina i duìna) pod uslovom da se upotrebi strog matemati~ki model i obezbedi ispravna metoda merenja. Do ovog otkri}a vertikalna komponenta je uvek bila pod znakom pitanja zbog efekata refrakcije. Sada je na redu detaljnija diskusija o efektu refrakcije na ν (ili Z ). Postoje tri osnovne opcije za obuhvatanje ovog efekta: (a) Prva je da se opaàno ν popravi za ceo efekat, a nepoznata δν izbri{e iz modela. (b) Druga je da se opaànja poprave za efekat prvog reda upotrebom jednostavnijeg modela refrakcije, a da se nepoznata δν ostavi da apsorbuje rezidualnu refrakciju (vidi sliku 3). Efekat prvog reda ∆ν moè se pouzdanije odrediti ako su na raspolaganju simultana merenja vertikalnih uglova (zenitnih daljina) na oba kraja linije. Sa slike 16.20 sledi:

∆ν ij ≡ ∆ν ji = 12 π − 12 (Z ij + Z ji −ψ ) ,

(17.13)

§ 17.1


443

SLIKA 17.3. Popravka prvog reda i rezidualna refrakcija.

gde su dva zenitna odstojanja ve} popravljena za vertikalski otklon (vidi (16.81)). (c) Poslednja opcija podrazumeva upotrebu razli~itih mernih tehnika za brzo merenje redundantnih vertikalnih uglova sa iste ta~ke Pi na nekoliko susednih. Detalje o ovoj opciji, kao i druge nedoumice u vezi merenja vertikalnih uglova u trodimenzionalnim mreàma ~italac moè na}i u npr. HRADILEK [1972]. U ovom momentu potrebno je ista}i da se trodimenzionalna mreà moè izgraditi od horizontalne mreè sa poznatim geodetskim horizontalnim koordinatama φ , λ , i visinske mreè sa poznatim ortometrijskim visinama H O ili normalnim visinama H N . Osnovni zahtevi pri tome su da ta~ke dve mreè budu zajedni~ke, {to je ina~e redak slu~aj (podpoglavlje 7.1) osim kada se o tome vodi ra~una pri projektovanju, i da geoidne visine N ili anomalije visina ζ koje se odnose na isti referentni elipsoid kao φ i λ , budu poznate u svakoj ta~ki. Ta~ke trodimenzionalne mreè se onda opisuju trojkom geodetskih koordinata ( φ , λ , h ) gde je

h = HO + N = H N +ζ . Kako se koordinatni sistem na kojeg se trodimenzionalna mreà odnosi, pozicionira i orijenti{e u odnosu na Zemlju? Eksplicitno pozicioniranje i orijentacija ovog koordinatnog sistema vr{i se ili geocentri~no specificiranjem translacionog vektora i tri ugla rotacije u odnosu na npr. CT sistem (vidi podpoglavlje 15.4), ili topocentri~no specificiranjem {est parametara (podpoglavlje 15.4) u jednoj ta~ki mreè. Ta ta~ka se naziva po~etkom mreè ili po~etnom ta~kom mreè, i izabranih {est parametara se odràvaju fiksnim za vreme izravnanja. Eksplicitno pozicioniranje detaljno je razradio HOTINE [1969]. Kod implicitnog pozicioniranja i orijentacije koordinatnog sistema, pozicija i orijentacija su implicitno odre|eni koordinatama nekih ili svih ta~aka mreè [KOLACZEK AND WEIFFENBACH, 1975]. Koordinate ovih ta~aka poti~u ili iz nekih

444

§ 17.2


prethodnih geodetskih radova, ili iz izravnanja singularnog modela pomo}u uop{tenih matri~nih inverzija odnosno unutra{njih ograni~enja (vidi podpoglavlje 14.5). Matrica ograni~enja Di potrebna za izravnanje sa unutra{njim ograni~enjima u kartezijanskim koordinatama x, y , z glasi [BLAHA, 1971A]:

⎡ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 Di = ⎢ ⎢ 0 ⎢ − z1 ⎢ ⎣⎢ y1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

z1

− y1

0

z2

− y2

0

zn

0

x1

− z2

0

x2

− zn

0

− x1

0

y2

− x2

0

yn

− xn

0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎥, − yn ⎥ xn ⎥ ⎥ 0 ⎦⎥ (17.14)

gde je n broj ta~aka u mreì. Detaljnija razrada implicitnog pozicioniranja referentnog elipsoida bi}e data u podpoglavlju 18.1. 17.2. Fotogrametrijske mreè Fotogrametrijske metode odavno se koriste za progu{}avanje mreà (vidi podpoglavlje 7.1). Fotogrametrijski blok je sastavljen od delimi~no preklopljenih vazdu{nih snimaka koji sadrè neke od ta~aka mreè koja treba da bude progu{}ena, a koje se nazivaju kontrolnim ta~kama. Poznati poloàji ovih ta~aka u koordinatnom sistemu obezbe|uju neophodne informacije za dobijanje koordinata ostalih ta~aka vidljivih na snimku u istom koordinatnom sistemu. Za fotokoordinate ( x, y ) P , tj. koordinate èljenih i poznatih kontrolnih ta~aka mreè na fotografskoj plo~i, moè se postaviti strog matemati~ki model. Takav model obi~no eksplicitno uklju~uje transformacione parametre izme|u koordinatnog sistema snimka i koordinatnog sistema kontrolnih ta~aka. U nekim slu~ajevima uklju~uju se i pomo}ne informacije za ograni~enje izravnanja, ili kalibracioni parametri kojima se pobolj{ava formulacija modela. Fotografski snimak trodimenzionalnog dela Zemljine povr{ine rezultat je centralne projekcije tog dela na fotografsku plo~u kroz perspektivni centar. Fotokoordinate ( x, y ) P se odnose prema terestri~kim koordinatama npr. ( x, y, z ) G na slede}i na~in: G

⎡ x⎤ ⎡ a11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y ⎥ = ⎢a 21 ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ a 31

a12 ⎤ P ⎥ ⎡ x⎤ a 22 ⎥ ⎢ ⎥ , y a 32 ⎥⎦ ⎣ ⎦

(17.15)

§ 17.2

Fotogrametrijske mreè

445

SLIKA 17.4. Geometrija vazdu{nog snimka.

gde je {est koeficijenata a ij ustvari {est stepeni slobode takve projekcije. [est stepeni slobode projekcije u prostoru objekta mogu se vizualizovati preko poloàja perspektivnog centra r0G = ( x 0 , y 0 , z 0 ) G i orijentacije k snopa zrakova oko glavne ose ~iji je pravac dat jedini~nim vektorom (vidi sliku 4):

⎡cosµ cosβ ⎤ ⎢ ⎥ e = ⎢ cosµ sinβ ⎥ . ⎢⎣ sinµ ⎥⎦ P

(17.16)

446


§ 17.2

SLIKA 17.5. Stereomodel.

Model se sada moè formulisati tako da uklju~uje {est parametara za svaku fotografiju odnosno snop zrakova. Model moè da sadrì i nekoliko parametara smetnje u vezi ì`ne daljine kamere, definicije koordinatnog sistema ( x, y ) P u odnosu na kameru [WOLF, 1974], i fotokordinata i geodetskih koordinata kontrolnih ta~aka. Drugi pristup zasniva se na rekonstrukciji trodimenzionalnog stereomodela (slika 5) fotografisanog dela Zemljine povr{ine iz para snimaka (stereosnimci). Veza izme|u prostora stereomodela i prostora objekta je prostorna sli~nost, jer je stereomodel ta~na rekonstrukcija snimljene situacije osim za razmeru, orijentaciju i poloàj. Stereomodel posmatran zasebno, ima sedam stepeni slobode: tri rotacije, tri translacije i jedan faktor razmere. Oni odgovaraju stepenima slobode transformacije sli~nosti u trodimenzionalnom prostoru. Linearizovana transformacija sli~nosti izme|u koordinatnog sistema stereomodela (S) i koordinatnog sistema kontrolnih ta~aka npr. G sistema, moè se napisati u obliku:

⎡ x⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦

G

⎡a b ⎢ = ⎢b a ⎢⎣ c − d

S

− c⎤ ⎡ x ⎤ ⎡e⎤ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ d ⎥ ⎢ y⎥ + ⎢ f ⎥ ⎢⎣ g ⎥⎦ a ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

G

,

(17.17)

§ 17.2

Fotogrametrijske mreè

447

u kojima su a, b, c, d , e, f i g ekvivalentni pomenutim parametrima. Izravnanje fotogrametrijskog modela moè se izvr{iti direktno u jednom koraku (a) ili fazno (b). (a) Direktni pristup se obi~no zove izravnanje zrakovnog snopa, jer se njime eksplicitno re{avaju projektivni snopovi zrakova koji odgovaraju vazdu{nim snimcima. Od 1960. godine razvijeno je vi{e razli~itih matemati~kih modela i kompjuterskih programa za izravnanje zrakovnog snopa, npr. KELLER [1967] i SCHUT [1968]. (b) Fazni pristup je poznat kao izravnanje bloka stereomodela. Izravnanje se obi~no sprovodi u tri faze: - Faza formiranja stereomodela sastoji se u algebarskoj eliminaciji svih parametara smetnje koji se odnose na orijentaciju fotografija koje ~ine stereomodel. - Faza izravnanja bloka sastoji se u izravnanju rezultuju}eg stereomodela uklju~uju}i i sve korelacije, kako bi se {to bolje prilagodio terestri~kim kontrolnim ta~kama. - Faza povratne zamene sastoji se u odre|ivanju parametara eliminisanih u prvoj fazi, pomo}u izravnatih vrednosti transformacionih parametara dobijenih u drugoj fazi. Kao {to smo videli u podpoglavlju 14.6, fazni pristup je potpuno ekvivalentan simultanom, ako se koriste ista opaànja i ako se kovarijacione matrice strogo formuli{u. Druga va`na napomena je da se fazni pristup moè koristiti na vi{e na~ina, jer se moè raditi odjednom sa tri, ~etiri ili vi{e stereomodela. Izbor se mora zasnivati na drugim faktorima kao {to su instrumenti, obrada podataka, osoblje, itd. Stereomodeli se tako|e mogu formirati analognim ili poluanalognim postupcima pored ve} pomenutog analiti~kog metoda. U takvom slu~aju se neka opaànja i kovarijacione matrice izostavljaju. Me|utim, brzina i efikasnost eliminacije odre|enih parametara smetnje u stereomodelu nadokna|uju taj nedostatak. Ustvari, nekoliko eksperimenata sa stvarnim snimcima je pokazalo da su pod odre|enim uslovima poluanaliti~ka izravnanja stereomodela u znatnoj prednosti nad izravnanjem zrakovnog snopa [ACKERMANN, 1974]. Uop{teno govore}i, praznina izme|u analiti~kih i analognih metoda premo{}ena je uvo|enjem metode samokalibracionog izravnanja snopa, koja uzima u obzir sistematske efekte kao i korelacije [EBNER, 1975].

448


§ 17.3

SLIKA 17.6. Prostiranje slu~ajnih gre{aka u fotogrametrijskoj mreì u funkciji rastojanja od grani~nih kontrolnih ta~aka [EBNER, 1975].

Prilago|avanje blokova stereomodela terestri~kim kontrolnim ta~kama po metodi najmanjih kvadrata moè se izvesti ili po horizontalnim koordinatama sa nivelisanim modelima [VAN DEN HOUT, 1966], ili sekvencijalno po horizontalnim koordinatama i visinama [ACKERMANN, 1968], ili direktno u trodimenzionalnom prostoru [BLAIS, 1979]. Broj nepoznatih parametara transformacije sli~nosti je respektivno ~etiri, ~etiri plus tri, i sedam. Ra~unarski zahtevi naglo rastu sa brojem nepoznatih parametara svakog modela, naro~ito ako se izravnanje izvodi simultano. Nakon izravnanja snopa ili stereomodela, geodetske koordinate ta~aka za progu{}avanje dobijaju se veoma jednostavno. Ove ta~ke se prvo identifikuju na snimku ili u modelu, a zatim se izmere njihove koordinate ( x, y ) P ili ( x, y, z ) S (vidi sliku 5). Primena (15) i (17) onda daje èljeni rezultat, tj. koordinate ( x, y , z ) G . Prenos slu~ajnih gre{aka u fotogrametrijskim mreàma prikazan je na slici 6. Ta~nost fotogrametrijski odre|enih horizontalnih koordinata u okviru bloka koji se sastoji od brojnih stereomodela okruènih gustom mreòm grani~nih kontrolnih ta~aka ~ija je ta~nost σ g , predstavljena je velikom poluosom σ standardne elipse gre{aka ta~ke. Moè se videti da σ logaritamski raste sa udaljavanjem od grani~nih ta~aka i da asimptotski dostiè 1.5σ g . 17.3. Trodimenzionalne ekstraterestri~ke mreè Satelitsko pozicioniranje ta~ke (podpoglavlje 15.3) i satelitsko relativno pozicioniranje (podpoglavlje 16.1) podrazumevaju samo jednu odnosno dve ta~ke. Sa ovako jednostavnom konfiguracijom, nije bilo mogu}e prikupiti podatke sa takvom distribucijom da omogu}i modeliranje sistematskih gre{aka orbite ili merne metode. Me|utim, sa mreòm ta~aka mogu}e je pobolj{ati orbite i modelirati uspe{no sistematske gre{ke, {to za rezultat ima ta~nije koordinate ta~aka u mreì. Diskusija koja sledi bazira se na upotrebi satelita, ali podrazumeva i slu~aj upotrebe bilo kakvog ekstraterestri~kog objekta.

§ 17.3

Trodimenzionalne ekstraterestri~ke mreè

449

Dva na~ina koja se upotrebljavaju za uspostavljanje trodimenzionalnih mreà pomo}u ekstraterestri~kih opaànja su geometrijski (a) i kinemati~ki ograni~en metod (b). (a) Pogledajmo prvo malo bliè geometrijski metod simultanog pozicioniranja. On je karakteristi~an po simultanim merenjima sa grupe ta~aka, od kojih su neke poznate, a neke nepoznate. Ideja metode sastoji se u tome da se iz merenja sa poznatih ta~aka mogu odrediti satelitski poloàji, a zatim pomo}u njih poloàji nepoznatih ta~aka (vidi sliku 7). Neka τ j ozna~ava epohu pojedina~nog merenja

l ij (duìna, pravac ili razlika duìna) sa ta~ke Pj do satelitskog poloàja S (τ j ) = S j . Svako opaànje daje jednu jedna~inu opaànja op{teg oblika:

(

)

l ij = f ri , r j ,

(17.18)

koji ne zavisi eksplicitno od vremena. Sa mreòm ta~aka Pi poznatih ili nepoznatih

SLIKA 17.7. Geometrijski metod satelitskog pozicioniranja. (#= poznata ta~ka; )= nepoznata ta~ka; = satelitski poloàj).

450


§ 17.3

koordinata ri , nizom nepoznatih satelitskih poloàja S j sa koordinatama r

j

i

simultanim opaànjima l , gornji model postaje:

l = f ( x , x ′) .

(17.19)

Ovde vektor x ozna~ava trojku ( x, y , z ) i a vektor x ′ trojku ( x, y, z ) j . Posebni oblici modela f koji odgovaraju razli~itim vrstama ekstraterestri~kih opaànja ve} su pominjani u podpoglavljima 15.3 i 16.1 i ovde se ne}e ponavljati. Linearizacijom nelinearnih modela f dobija se:

r = A δ x + A ′ δx ′ + w ,

(17.20)

gde su A i A′ dizajn matrice (vidi podpoglavlje 12.1) koje se odnose na poloàj ta~aka ( x ) i satelita ( x ′ ). Veli~ine δx i δx ′ su prira{taji odgovaraju}ih pribli`nih vrednosti poloàja ta~aka i satelita. Prira{taji δx ′ su parametri smetnje kojih obi~no ima mnogo vi{e nego δx , pa se kao takve elimini{u iz normalnih jedna~ina pre re{avanja po δx , po postupku upotrebljenom u podpoglavlju 12.2. Prira{taji δx su dvojaki: δx1 se odnose na nepoznate ta~ke, a δx 2 su prira{taji vrednosti poloàja poznatih ta~aka. Oni imaju pridruènu apriori kovarijacionu matricu C x2 , pa se re{enje traì po postupku iz podpoglavlja 14.4. Kao {to je pomenuto u podpoglavlju 15.3, i ovde mora biti izbegnuta kriti~na konfiguracija. Na primer, ~etiri ta~ke i satelit ne smeju leàti na povr{ini jedne sfere ako se mere pravci ka satelitima, ili poznate i nepoznate ta~ke ne smeju leàti u istoj ravni. Za detalje ~italac se upu}uje na primer na BLAHA [1971b]. (b) Kod geometrijskog na~ina simultanost opaànja je od primarnog zna~aja jer ne postoji matemati~ki mehanizam koji bi povezao opaànja izvr{ena u dva razli~ita vremenska trenutka. Ovu sinhronizaciju merenja ponekad je te{ko ostvariti zbog vremenskih uslova ili instrumentalnih ograni~enja. Ovaj problem prevazilazi se kinemati~ki ograni~enom metodom simultanog pozicioniranja. Metod se bazira na ~injenici da su pojedini satelitski poloàji S j du` datog orbitalnog luka povezani fizi~kim zakonima kojima se pokorava satelitsko kretanje (vidi podpoglavlje 23.2). Da bi se formulisao matemati~ki model kinemati~ki ograni~ene metode, mora se na neki na~in kodirati satelitska orbitalna informacija. To je najpogodnije uraditi u vidu vektora stanja sa {est parametara z k (podpoglavlje 10.3), koji se sastoji od tri komponente poloàja i tri komponente brzine satelita. Kao {to }e biti pokazano u

§ 17.3


451

podpoglavlju 23, poloàj i brzina zajedno jedinstveno odre|uju satelitsko kretanje barem na kratkom orbitalnom luku. Vektor stanja za k -ti kratki luk moè se formulisati ili u kartezijanskim koordinatama:

z k = (x(τ ), y (τ ), z (τ ) ; x(τ ), y (τ ), z (τ ))k ,

(17.21)

ili u vidu Keplerovih orbitalnih elemenata (podpoglavlje 15.3):

z k = (a, e, i, ϖ , , µ (τ ))k .

(17.22)

Keplerovi elementi, izuzev µ , mogu se smatrati prakti~no konstantnim za vreme od jedne osmine orbitalnog obilaska satelita [BROWN, 1970], i to je ustvari zna~enje izraza kratki luk. Prema tome, za vreme kratkog luka, srednja anomalija µ je jedini parametar koji varira sa vremenom, pa i ta varijacija je samo linearna (podpoglavlje 15.3). Za nekoliko kratkih lukova sa brojnim poznatim satelitskim poloàjima, ima nekoliko {estorki orbitalnih elemenata, pa se vektor svih satelitskih poloàja x ′ moè napisati u njihovoj funkciji:

x ′ = g ( z1 , z 2 , … , z n ) = g ( z ) .

(17.23)

Nakon linearizacije i ozna~avaju}i ∂ g ∂ z sa B , imamo:

rg + δx ′ = Bδ z ,

(17.24)

gde je rg vektor modelskih gre{aka zbog toga {to se i za vreme kratkog luka Keplerovi elementi ipak malo menjaju sa vremenom. Ako su modelske gre{ke rg male u pore|enju sa gre{kama merenja, tada priroda ograni~enja postaje jo{ eksplicitnija. Ovaj pristup istraìvao je SCHWARZ [1969]. Jedna~ine (24) zajedno sa inverzijom matrice C g = E [ rgT rg ] predstavljaju kinemati~ka ograni~enja za model (20) kojeg istraùjemo. Primena tehnike modela sa ograni~enjima (vidi podpoglavlje 14.5) i eliminacija δx ′ daju:

(

)

r = A δx + A′ Bδ z − rg + w .

(17.25)

452


§ 17.3

~ Ozna~avaju}i r + A′rg sa ~ r i A′B sa A dobija se kona~no:

~ ~ r = Aδ x + A δz + w .

(17.26)

Moè se naravno oti}i jo{ jedan korak napred i eliminisati δz tako da preostane samo δx . Tretman δx i za poznate i za nepoznate ta~ke identi~an je onom u kontekstu geometrijske metode. Ova verzija kinemati~ki ograni~enog pozicioniranja postala je poznata kao metoda kratkog luka. Kratki luk se moè pridruìti satelitskom prolazu iznad ta~aka, u kojem slu~aju se pojavljuje situacija na slici 8. Interesantno je da ako se barem neke vremenske varijacije Keplerovih elemenata (podpoglavlje 23.2) uklju~e u vektor stanja z k , onda opisana metoda postaje primenljiva i na duga~ke orbitalne lukove. Duga~ki lukovi mogu da sadrè vi{e orbitalnih revolucija. Primetimo tako|e da je kinemati~ki ograni~en metod pozicioniranja u bliskoj vezi sa poludinami~kom metodom translokacije opisanom u podpoglavlju 16.1. Dok se prvim na~inom satelitski poloàji na jednom luku ograni~avaju zajedni~kim Keplerovim elementima, drugi na~in ograni~ava poloàje konstantnim sistematskim parametrom za svaki luk.

SLIKA 17.8. Kinemati~ki ograni~en metod satelitskog pozicioniranja. (#=poznata ta~ka; )=nepoznata ta~ka).

§ 17.3


453

Glavna razlika izme|u geometrijskog i kinemati~ki ograni~enog metoda je {to se geometrijskim na~inom nezavisno re{avaju koordinate za svaki satelitski poloàj, dok su kod kinemati~ki ograni~enog metoda satelitski poloàji na istom orbitalnom luku povezani analiti~ki. Uprkos o~iglednim prednostima druge metode, tj. ~injenici da uklju~enje orbitalnih informacija poja~ava re{enje i da se opaànja ne moraju vr{iti simultano, vi{e se koristi geometrijski metod. Ovo je naro~ito slu~aj kod merenja pravaca ka satelitskim balonima koji zbog svoje veli~ine, oblika i teìne imaju veoma nepravilne orbite [VEIS, 1960]. MUELLER [1974] je opisao nekoliko satelitskih pozicionih sistema koji upotrebljavaju geometrijski metod. Dizajn matrice pomenutih modela date su detaljno za razli~ita merenja ka satelitima u npr. MUELLER [1964] i KAULA [1966]. Zainteresovani ~italac upu}uje se na BROWN AND TROTTER [1969] za primer TRANSIT satelitske mreè odre|ene metodom kratkog luka sa postignutom ta~no{}u od σ x = σ y = σ z = 0.25 cm . Koordinatni sistem u kojem je trodimenzionalna mreà pozicionirana dat je koordinatama poznatih ta~aka. Ovo je o~igledno mogu}e ako su poloàji nekih ta~aka poznati. Ali kako ceo proces po~inje? Prvo se mora zapo~eti pozicioniranjem ta~ke metodama iz podpoglavlja 15.2 i 15.3, a zatim odre|ivanjem jo{ nekoliko ta~aka metodama podpoglavlja 16.1. Uloga koordinatnih sistema u ovim metodama ve} je prodiskutovana. Sateliti se mogu koristiti i u dinami~koj metodi. Ovaj metod, me|utim, ima sasvim druge ciljeve od geometrijske i kinemati~ki ograni~ene, jer se umesto za odre|ivanje najboljih koordinata ta~aka, koristi za pobolj{anje poznavanja gravitacionog polja, plimatskih fenomena, raspodele vazdu{nih gustina, itd. na osnovu opaànih perturbacija orbita. Metod koristi duga~ke lukove, i pomo}u njega se mogu odrediti CT koordinate opaà~ke stanice. Ovoj temi }emo se na kratko vratiti u podpoglavlju 23.4. Poslednja tema iz konteksta ekstraterestri~kih trodimenzionalnih mreà koju treba prodiskutovati, je uspostavljanje mreè pomo}u parova ta~aka relativno pozicioniranih radiointerferometrijom, satelitskom translokacijom ili inercijalnim metodama (vidi podpoglavlje 16.1). Ako pretpostavimo da su koordinatne razlike merene u redundantnim kombinacijama, mogu}e je konstruisati homogenu mreù ta~aka. Model:

∆rij = r j − ri ,

(17.27)

454

§ 17.4


SLIKA 17.9. Trodimenzionalna mreà sastavljena od parova ta~aka sa opaànim koordinatnim razlikama. (#=poznata ta~ka; )=nepoznata ta~ka).

povezuje me|ustani~ni vektor ∆rij opaànih koordinatnih razlika i vektore ri i r j sastavljene od koordinata koje treba odrediti. Na primer, mreà sa jednom poznatom ta~kom na slici 9, ima 6 × 3 = 18 opaànja i 3 × 3 = 9 nepoznatih, {to rezultira redundancom od 9 . Uz datu kovarijacionu matricu opaànih koordinatnih razlika, mogu se upotrebiti metode date u poglavlju 12 i direktno dobiti re{enja za koordinate. 17.4. Procenjivanje i povezivanje trodimenzionalnih mreà Kovarijaciona matrica C xˆ parametara (koordinata) xˆ sadrì sve informacije o ta~nosti poloàja opisanih ovim koordinatama xˆ . U slu~aju relativnog pozicioniranja (16.1), bili smo u mogu}nosti da interpretiramo kovarijacionu matricu kao elipsoid poverenja za ta~ku koja se odre|uje. Ovde je situacija komplikovanija jer traìmo informaciju o ta~nosti poloàja za mno{tvo ta~aka u mreì. Kako moèmo dobiti tu informaciju? O~igledno je da izvor ponovo mora biti kovarijaciona matrica C xˆ . U okviru ove matrice moè se posle eventualnog preure|enja vrsta i kolona na}i podmatrica dimenzija (3,3) C Pˆ koja pripada ta~ki i

Pi . Ova podmatrica onda ima istu ulogu kao matrica C xˆ u (16.21). Koja se interpretacija onda treba dati za elipsoid poverenja opisan sa (16.21)? Dok je odgovor na ovo pitanje bio sasvim jasan u slu~aju relativnog pozicioniranja jedne ta~ke u odnosu na drugu, ovde nije. Da bismo razjasnili ovu situaciju, uzmimo slu~aj prvo terestri~ke mreè. Kada govorimo o poloàju ta~ke Pi , na {ta se on odnosi?

§ 17.4

Procenjivanje i povezivanje trodimenzionalnih mreà

455

456


§ 17.4

(a) Ako je koordinatni sistem eksplicitno pozicioniran i orijentisan u po~etku mreè P0 , onda se za sve ta~ke moè smatrati da su pozicionirane u odnosu na P0 . Po~etna ta~ka P0 onda ima ulogu fiksne ta~ke u smislu relativnog pozicioniranja, a elipsoidi poverenja opisuju nesigurnost relativnog poloàja ta~aka u odnosu na po~etak. Uprkos njihovom relativnom karakteru, oni su poznati kao apsolutni elipsoidi poverenja ta~aka mreè. Op{ta tendencija apsolutnih elipsoida poverenja je da se pove}avaju sa udaljenjem od P0 , a elipsoid u P0 pretvara se u ta~ku. Ovo }e biti ilustrovano na slici 18.2 za slu~aj elipsi gre{aka. (b) Ako je koordinatni sistem pozicioniran i orijentisan na neki drugi na~in (vidi podpoglavlje 17.1), elipsoidi poverenja pona{aju se razli~ito. Kada je na primer mreà bila izravnata upotrebom unutra{njih ograni~enja umesto fiksiranja nekih parametara u izravnanju, elipsoidi poverenja odnose se na poloàje s obzirom na teì{te mreè. U ovom slu~aju je trag matrice C xˆ minimalan (podpoglavlje 14.5). Apsolutni elipsoidi poverenja za kanadsku TRANSIT satelitsku mreù prikazani su na slici 10. Ako je od interesa ta~nost relativnog poloàja bilo koje dve ta~ke Pi , Pj mreè, ponovo se mora upotrebiti kovarijaciona matrica. Razlika izravnatih koordinata ta~ke Pi i Pj moè se napisati kao:

⎡ ∆xˆ ij ⎤ ⎡ xˆ j − xˆ i ⎤ ⎡rˆ ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ˆ ∆rij = ⎢∆yˆ ij ⎥ = ⎢ yˆ j − yˆ i ⎥ = G ⎢ j ⎥ , ˆ ⎣⎢ ri ⎦⎥ ⎢ ∆zˆ ij ⎥ ⎢ zˆ j − zˆ i ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ gde je G = [I

(17.28)

T − I ] , i rˆk = [ ˆxk ,ˆyk ,ˆzk ] za k = i, … , j . Primena kovarijacionog

zakona daje:

C ∆rîj = GC Pˆ Pˆ G T ,

(17.29)

j i

gde je C Pˆ Pˆ kovarijaciona matrica dimenzija (6,6): j i

⎡ C Pˆ j C Pˆ Pˆ = ⎢ j i ⎢⎣ C ij

C ji ⎤ ⎥ . C Pˆ ⎥ i ⎦

(17.30)

§ 17.4


457

Hipermatrica C Pˆ Pˆ sastoji se od dve kovarijacione matrice dimenzija (3,3) ta~aka j i

Pi i Pj , izabranih iz C xˆ na opisan na~in, i dve kros kovarijacione matrice C ij i C ji tako|e izabrane iz C xˆ . Razvijanje izraza (29) daje:

C∆rîj = CPˆ + CPˆ − Cij − C ji . i j

(17.31)

Ova matrica dimenzija (3,3) moè se interpretirati na isti na~in kao C xˆ u podpoglavlju 16.1. Ovako dobijeni elipsoid poverenja je relativni elipsoid poverenja ta~ke Pj u odnosu na ta~ku Pi , ili obratno. Uloga faktora Cα kao mere verovatno}e identi~na je onoj u podpoglavlju 16.1. Uzimanje u obzir postojanja svih ta~aka mreè pri izu~avanju elipsoida poverenja, bilo relativnih ili apsolutnih, zahteva pristup u kontekstu koji je razra|en u podpoglavlju 13.4. Rezultuju}i faktor za 1 − α u kontekstu, ili simultanog elipsoida poverenja, je (uporedi sa (13.41)):

(

Cα = ξ χ 2 ,1−α 3

N

)

12

,

(17.32)

ako se upotrebi σ 02 , ili:

(

Cα = 3ξ F3, m −3 N ,1−α

N

)

12

,

(17.33)

ako se upotrebi σˆ 02 . Ovde je N broj nepoznatih ta~aka u mreì, a m broj mernih veli~ina upotrebljenih u izravnanju. Vrednosti za C 0.05 za razli~ite slu~ajeve izgledale bi sli~no onima na slici 13.12. Za mreù od N = 50 ta~aka i veliko m , vrednost C 0.05 teì 4.4. Veli~ina simultanog elipsoida je oko 1.5 puta (2.8) elipsoida poverenja ta~ke van konteksta. Treba zapamtiti da je prema Bonferonijevoj nejednakosti (13.21) verovatno}a pridruèna simultanim elipsoidima poverenja u op{tem slu~aju ve}a od 1 − α zbog zanemarenih kros kovarijansi izme|u ta~aka mreè u iskazu simultane verovatno}e. Na primer, ako dva nezavisno odre|ena skupa koordinata istih ta~aka mreè ne ulaze simultano u granice odre|ene elipsoidima poverenja, onda obja{njenje moè leàti u suvi{e strogom (tj. niskom) nivou zna~ajnosti α koji je bio izabran.

458


§ 17.4

U praksi se ~esto nalaze trodimenzionalne mreè razli~ite vrste koje pokrivaju isto podru~je. Jedan takav slu~aj imali smo u podpoglavlju 17.2 gde je postojala osnovna terestri~ka mreà i popunjavaju}a fotogrametrijska mreà. Poèljno je naravno iskoristiti prednosti svake vrste mreè (npr. lokalnu konzistenciju terestri~ke mreè nasuprot regionalno homogene ta~nosti ekstraterestri~ke mreè) njihovim povezivanjem. Po{to koordinate ta~aka mreè obi~no poti~u iz razli~itih izvora, pojedine mreè mogu se odnositi na razli~ite koordinatne sisteme. Povezivanje trodimenzionalnih mreà po pravilu se izvodi serijom transformacija kao {to smo videli u podpoglavlju 17.2. Kada je transformacija zajedno sa svojim parametrima poznata, povezivanje je jednostavan zadatak. Da bi to ispravno objasnili, uzmimo bez {tete po op{tost, da koordinatni sistem prve mreè bude geocentri~an (N), a druge geodetski (G) (vidi sliku 11). Tada se poloàj ri

G

bilo koje ta~ke Pi druge mreè moè transformisati u

koordinatni sistem prve mreè slede}om jedna~inom:

(

)

ri N = rEN + (1 + k ) R ε x , ε y , ε z ri G ,

(17.34)

gde su ε x , ε y , ε z uglovi neparalelnosti dva sistema, a k je razlika razmere dve

SLIKA 17.11. Transformacija koordinata pri povezivanju mreà.

§ 17.4


459

mreè. Ovo je poznata transformacija sli~nosti (17) napisana u eksplicitnijoj formi. Kada su ta~ke obe mreè poznate u jednom koordinatnom sistemu (N), zajedni~ke ta~ke se mogu izravnati upotrebom odgovaraju}ih teìna. Svaka zajedni~ka ta~ka Pi daje {est jedna~ina opaànja slede}eg oblika:

ri N + vˆ iN = rî N , gde su ri′

N

ri ′ N + vˆ i′ N = rî N ,

(17.35)

ta~ke koje pripadaju drugoj mreì.

U praksi je ~e{}i slu~aj da transformacioni parametri rE ,k ,ε x ,ε y ,ε z nisu poznati, N

a ako i jesu da im ta~nost nije odgovaraju}a. U takvom slu~aju vrednosti parametara se ocenjuju u procesu povezivanja mreà. Ako je dovoljno ta~aka zajedni~ko za obe mreè, tj. ako postoji dovoljan broj odgovaraju}e raspore|enih ta~aka ~ije su koordinate poznate u oba sistema, parametri se mogu odrediti. Tada sama transformacija postaje deo modela i povezuje kvaziopaànja tj. koordinate zajedni~kih ta~aka sa nepoznatim transformacionim parametrima. U prakti~noj primeni koriste se razli~iti modeli, ve} prema tome kakvu ulogu ima po~etak P0 druge mreè u transformaciji. BUR{A [1962] predlaè model (34) {to podrazumeva rotacije oko osa G sistema u E . MOLODENSKIJ ET AL. [1960] daje prednost rotaciji mreè oko osa paralelnih osama G sistema u P0 . Njegov model glasi (slika 11):

(

)

ri N = r0N + (1 + k ) R ε x , ε y , ε z ∆r0Gi .

(17.36)

VEIS [1960] koristi model identi~an modelu Molodenskog, s tim {to se rotacije vr{e oko osa LG sistema u P0 . Pomenuti modeli su nelinearni po parametrima i implicitni. Re{enje takvih modela diskutovano je u poglavlju 12. Sva tri modela daju identi~ne rezultate za rotacije i razlike razmera. MUELLER AND KUMAR [1975] isti~u da je Bur{in model naro~ito pogodan za globalne mreè. U slu~aju manjih mreà (npr. nacionalnih terestri~kih mreà) bolje je upotrebiti model Molodenskog ili Vajsa i odrediti rotacije oko po~etka mreè. Ponekad se moè smatrati da je me|usobna orijentacija dva koordinatna sistema poznata. To je pribli`no slu~aj kada je npr. N sistem CT sistem, i ako je G sistem

460


§ 17.4

druge mreè izravnat sa CT sistemom pomo}u metode opisane u podpoglavlju 15.4. Tada nema potrebe za uvo|enjem rotacija u model. Ipak, ~esto postoje rotacione deformacije druge mreè u odnosu na prvu zbog prisustva sistematskih gre{aka. Srednja vrednost takve deformacije moè se modelirati istim modelom kao ranije, samo {to je sada u pitanju druga~ija interpretacija uglova rotacije. To je ura|eno za razne kombinacije mreà i zainteresovani ~italac se upu}uje na ANDERLE [1974], SCHMID [1974], MUELLER [1974], THOMSON [1976] i HOTHEM ET AL. [1978]. Ako su sistematske gre{ke prisutne u jednoj od mreà i ako se orijentacija dva sistema ne moè smatrati poznatom, postoja}e potreba za vi{e od sedam parametara trensformacije u modelu. Da bi se izbeglo da se gre{ke mreè poistovete sa rotacijama koordinatnog sistema ε x , ε y , ε z , u model se moè uklju~iti i drugi skup rotacija kojima se modeliraju takve deformacije. Prirodu deformacija odre|uje na~in na koji je mreà uspostavljena. Trodimenzionalne terestri~ke mreè (podpoglavlje 17.1) ima}e u op{tem slu~aju sasvim razli~ite sistematske gre{ke od onih uspostavljenih kombinacijom horizontalnih i vertikalnih mreà. Pod takvim okolnostima, HOTINE [1969] je predloìo upotrebu slede}eg modela:

( )

ri N = rEN + R1 (ε x ) R2 ε y R3 (ε z )

[

× r0G + (1 + k ) R3 (π − λ 0 ) R2 ( 12 π − φ 0 ) P2 RH P2 R2 (φ 0 − 12 π )

]

× R3 (λ 0 − π )∆r0Gi ,

(17.37) gde je:

1 ⎡ ⎢ RH = ⎢ δα ⎢⎣− δZ cos α 0i

− δα

1 0

cos α 0i δZ ⎤ ⎥ sin α 0i δZ ⎥ , ⎥⎦ 1

(17.38)

zatim α 0i je azimut sa po~etne na proizvoljnu ta~ku Pi , a δα i δZ su deformacije u azimutu i zenitnoj daljini po~etka druge mreè. Hotin isti~e da je potrebna posebna tehnika ocenjivanja da bi se razdvojila dva skupa rotacija tj. ε x , ε y , ε z i

δα , δZ . THOMSON [1976] je razradio tehniku ocenjivanja po kojoj se mreà razdvaja na dve zone: unutra{nju zonu oko po~etka koja se koristi za ocenjivanje ε x , ε y , ε z i preostali deo mreè za ocenjivanje δα , δZ .

§ 17.4


461

KRAKIWSKY AND THOMSON [1974] predloìli su model istog op{teg koncepta kao Hotinov, s tom razlikom da je RH zamenjeno sa:

⎡ 1 ⎢ RK = R1 (δψ ) R2 (δµ ) R3 (δA) = ⎢ δA ⎢⎣− δµ

− δA

1

δψ

δµ ⎤ ⎥ − δψ ⎥ .

(17.39)

1 ⎥⎦

U ovom modelu su pored uobi~ajenih {est parametara za G sistem prisutna i ~etiri parametra (jedna razlika razmere k i tri ugla rotacije δψ , δµ , δA ) kojima se modeliraju sistematske gre{ke u terestri~koj (drugoj) mreì. Kao i kod Hotinovog modela, i ovde je neophodna specijalna tehnika ocenjivanja da se razdvoje dva skupa rotacija.

POGLAVLJE 18

HORIZONTALNE MRE@E

Horizontalne mreè ve} su bile uop{teno opisane u podpoglavlju 7.1. U ovom poglavlju tretira}emo ih detaljnije. Prvo podpoglavlje opisuje kako se uspostavlja horizontalni datum, {to je zadatak koji podrazumeva izbor veli~ine i oblika referentnog elipsoida i utvr|ivanje njegovog poloàja u odnosu na Zemlju. Drugo podpoglavlje sadrì matemati~ke modele pomo}u kojih se dobijaju horizontalne koordinate iz opaànih duìna, pravaca i azimuta. U tom kontekstu dotaknuti su i numeri~ki problemi koji se javljaju u obradi velikih mreà. U tre}em podpoglavlju diskutovano je procenjivanje mreà, projektovanje, pro{irenje i progu{}avanje. Uz to su prikazani i koncepti povezivanja horizontalnih mreà razli~itog porekla. Poslednje podpoglavlje posve}eno je kratkom osvrtu na marinsko pozicioniranje, odnosno odre|ivanje horizontalnih poloàja stacionarnih ili pokretnih objekata na morskoj povr{ini. 18.1. Horizontalni datum U podpoglavlju 7.1, horizontalni datum bio je definisan kao odgovaraju}e pozicioniran geodetski referentni elipsoid na kojeg se odnose horizontalne koordinate ta~aka mreè φ , λ . Poloàj horizontalnog datuma mora biti poznat da bi koordinate mogle da se transformi{u u druge koordinatne sisteme. Op{ta ideja pozicioniranja horizontalnog datuma u odnosu na Zemlju istaknuta je u podpoglavlju 15.4(b) i (c). Osim toga, u podpoglavlju 17.1 prikazano je topocentri~no pozicioniranje datuma pomo}u po~etka mreè P0 u kontekstu trodimenzionalnih mreà. Ovakva tehnika bila je standardna za horizontalne mreè u pro{losti [BOMFORD, 1971]. Po{to se ova tehnika pozicioniranja horizontalnog datuma jo{ uvek koristi, pogledajmo je ovde malo bliè. Potrebnih {est topocentri~nih paramatara (vidi podpoglavlje 15.4) mogu se napisati kao φ 0 , λ0 , h0 , ξ 0 , η 0 , α 0 , i oni imaju slede}e uloge:

462

§ 18.1

Horizontalni datum

463

(a) Parametri φ 0 , λ0 , h0 su tri geodetske koordinate po~etne ta~ke T0 ≡ P0 , gde je h0 zbir ortometrijske visine H 0O i relativne geoidne visine N 0 koja se

odnosi na datum koji se pozicionira (vidi (7.3)). Prva dva parametra φ 0 , λ0 odre|uju normalu na referentni elipsoid. Po{to je LA sistem (vidi sliku 15.3) fiksan u odnosu na gravitaciono polje Zemlje, tada iz definisanih ξ 0 i η 0 sledi da je i

normala na referentni elipsoid, data sa φ 0 , λ0 , tako|e fiksna u odnosu na Zemlju.

Izborom h0 onda je fiksirana i dubina elipsoidne povr{i ispod ili iznad po~etne ta~ke ( Φ 0 , Λ 0 , H 0O ). U ovoj fazi elipsoid ima samo slobodu rotacije oko normale. (b) Parametar α 0 je geodetski azimut jedne geodetske linije koja povezuje P0 sa nekom drugom ta~kom mreè. Ovaj azimut mora zadovoljavati (15.83), pri ~emu se Λ 0 i A0 odnose na projekciju ta~ke P0 na geoid. Izborom α 0 uklanja se i poslednji stepen slobode referentnog elipsoida. (c) Parametri ξ 0 i η 0 su dve komponente relativnog geoidnog vertikalskog otklona u P0 koji se odnose na referentni elipsoid. Ovih {est parametara ekvivalentno je sa {est geocentri~nih parametara, tri translacije x E , y E , z E i tri ugla neparalelnosti ε x , ε y , ε z iz podpoglavlja 15.4(b). Me|utim, oni se ne mogu dobiti jedni iz drugih. Samo se uglovi neparalelnosti mogu sra~unati iz φ 0 , λ0 , α 0 , ξ 0 , η 0 upotrebom jedna~ine (15.81) ili jo{ direktnije iz (15.82), ako su poznati Φ 0 , Λ 0 , A0 . Tri translacije se najdirektnije i najta~nije mogu dobiti iz geocentri~nog i geodetskog re{enja za geoid (vidi podpoglavlje 24.2). Prednost topocentri~nih nad geocentri~nim parametrima ogleda se u tome {to su u direktnoj vezi sa veli~inama koje se mere na povr{i Zemlje. Kako se dobija ovih {est po~etnih parametara? Sa ta~ke gledi{ta pozicioniranja datuma, potpuno je svejedno odakle parametri poti~u sve dotle dok se smatraju konstantnim. U pro{losti je bio obi~aj da se oni biraju tako da referentni elipsoid, unapred izabranog oblika i veli~ine, {to bolje aproksimira geoid na odabranom podru~ju (podpoglavlje 7.3 i 24.2). Ovako se postupalo da bi se mogle zanemariti sve redukcije geodetskih opaànja zbog efekata N , ξ , η (vidi podpoglavlje 16.2). Ako se uz opisani izbor α 0 izaberu i komponente vertikalskog otklona ξ 0 , η0 tako da zadovoljavaju (15.84) i (15.85) {to je ina~e redovno ra|eno, tada proces automatski osigurava paralelnost male poluose elipsoida sa z -osom CT sistema, kao {to smo to ve} videli u podpoglavlju 15.4(c). Pod ovim uslovima Laplasova

464

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.1

SLIKA 18.1. Neparalelnost horizontalnog datuma.

jedna~ina (15.83) vaì u svakoj ta~ki mreè, i moè se upotrebiti za dobijanje Laplasovog azimuta iz opaànog astronomskog azimuta (vidi (16.25)). To pomaè u oja~avanju mreè ali ne osigurava paralelnost geodetskog koordinatnog sistema sa CT sistemom. Vidimo ustvari da se paralelizam postiè bez potrebe za mreòm ta~aka. Prethodna diskusija isti~e va`nost pravilnog izbora α 0 da bi se postigla paralelnost. VANI~EK AND WELLS [1974] daju razloge zbog kojih se u praksi paralelizam ne moè ta~no posti}i, i zbog ~ega treba o~ekivati malu rotaciju ∆ 0 G sistema oko elipsoidne normale ( φ 0 , λ0 ) u odnosu na CT sistem (vidi sliku 1). Tako je, na primer, za NAD 27 ocenjena vrednost za ∆ 0 izme|u − 0.2′′ i − 0.3′′ [WELLS AND VANI~EK, 1975]. Veza izme|u ∆ 0 i uglova rotacije bila je pokazana jedna~inom (15.82). U prvoj aproksimaciji nije neophodno specificirati topocentri~ne parametre N 0 , ξ 0 , η 0 . To je mogu}e zato {to ove veli~ine u ta~kama mreè nisu potrebne za ra~unanje horizontalnih koordinata φ , λ iz geodetskih merenja u po~etnoj fazi razvijanja mreè. U prvoj aproksimaciji, naime, efekti malih geoidnih visina i vertikalskih otklona na geodetska opaànja mogu se zanemariti. Preostala tri

§ 18.1

Horizontalni datum

465

parametra φ 0 , λ0 , α 0 me|utim moraju biti zadata, kako bi se iz opaànja duìna i uglova izvedenih na Zemljinoj povr{i mogle sra~unati prve aproksimacije horizontalnih koordinata ta~aka mreè. U tom slu~aju, za redukciju duìna koriste se ortometrijske visine umesto geodetskih visina iznad elipsoida, a korekcije horizontalnih uglova ne ra~unaju se. Dok je geodetska aktivnost bila ograni~ena samo na jedan G sistem nije uop{te bilo potrebno ta~no odre|ivanje njegovog poloàja. Ali kada su simultano po~eli da se upotrebljavaju i drugi koordinatni sistemi kao geocentri~ni ili geodetski koji pripadaju drugoj familiji, morali su biti odre|eni odgovaraju}i transformacioni parametri, a samim tim su i ξ 0 , η 0 , N 0 morali biti specificirani. Kona~no, moè se videti da opisani klasi~ni metod pozicioniranja datuma ne fiksira strogo poloàj G sistema u odnosu na Zemlju. To je zbog toga {to je LA sistem fiksiran za Zemlju samo do vremenskih varijacija gravitacionog polja. Bez obzira na to smatra se da je G sistem fiksan u odnosu na Zemlju, i da se poloàji ta~aka geodetskih horizontalnih mreà odnose na fiksni koordinatni sistem. U tom slu~aju {ta god da se radi sa mreòm, to ne uti~e na poloàj koordinatnog sistema. Neizbe`ne gre{ke koordinata koje poti~u od gre{aka opaànja, nedovoljno ta~nih ra~unanja i zanemarivanja raznih efekata, interpretiraju se tada jednostavno kao gre{ke u poloàjima tih ta~aka. Primer takvih gre{aka dat je na slici 2. Smatra se da dodavanje ta~aka ili ponovno izravnanje tako|e ne uti~u na poloàj koordinatnog sistema, sve dok se ne promeni vrednost nekog od fundamentalnih parametara. Primetimo da gre{ke u astronomskim koordinatama uti~u samo na ra~unanje geoida, i ulaze u pomenute argumente samo kao gre{ke koordinata drugog reda. Alternativa koja se predlaè eksplicitno, npr. U.S.DEPARTMENT OF COMMERCE [1973] i JONES [1973], ili implicitno, npr. BUR{A [1965] i LAMBECK [1971], je takozvani plivaju}i datum. U ovoj opciji smatra se da sve ta~ke mreè podjednako defini{u poloàj geodetskog datuma a samim tim i geodetskog koordinatnog sistema. Problem sa ovim pristupom je {to iako izgleda da je geodetski koordinatni sistem pozicioniran u odnosu na fizi~ki objekat, tj. mreù ta~aka sa pridruènim vrednostima koordinata, to ustvari nije slu~aj. Pozicioniranje je stvarno izvedeno ustvari kroz geometrijsku predstavu fizi~kog objekta. Stoga se bilo koje gre{ke po~etnog odre|ivanja ovih koordinatnih vrednosti prenose na poloàj datuma, tako da korektivne mere dovode do promene poloàja koordinatnog sistema u odnosu na Zemlju. Uz to postoji i negativna posledica ovakve definicije, koja se ogleda u tome {to poloàj geodetskog datuma u odnosu na Zemlju fluktuira sa dodavanjem novih ta~aka, lokalnim preravnanjem itd. Zbog toga su jedna~ine transformacije izme|u plivaju}eg datuma i nekog drugog koordinatnog sistema zavisni od epohe.

466

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.1

SLIKA 18.2. Elipse gre{aka izravnanja u oktobru 1977. (Ljubazno{}u Geodetic Survey of Canada, DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES [1979], Ottawa, Canada.)

Treba me|utim ne{to re}i i u prilog pristupu sa plivaju}im datumom. U standardnim metodama sve gre{ke u poloàjima, bilo sistematske ili slu~ajne, pridruène su samo mreì. Drugim re~ima, samo se geometrijska predstava realnosti smatra deformisanom. S druge strane, u pristupu sa plivaju}im datumom, gre{ke se slu~ajno raspodeljuju izme|u koordinatnog sistema i mreè. Kompromisna alternativa koju savetuju neki geodeti je pozicioniranje datuma pomo}u skupa izabranih ta~aka, na taj na~in da se za skup dobro raspore|enih ta~aka proglasi da njihove koordinatne vrednosti defini{u datum unapred izabranog oblika i veli~ine. Zna~enje ove definicije je da se fizi~ki objekat koji se sastoji od markera izabranih ta~aka uzima kao referenca u odnosu na koju se koordinatni sistem pozicionira. Duh ove definicije identi~an je definiciji CIO (vidi podpoglavlje 5.4). Obi~no se podrazumeva da se koordinate ovih izabranih ta~aka ne menjaju naknadnim ra~unanjma, izravnanjima ili dodavanjem novih ta~aka mreì. Ovo je tehnika pozicioniranja koja se danas koristi kada se povezuju satelitske i terestri~ke

§ 18.2

Matemati~ki modeli i njihova re{enja

467

mreè (vidi podpoglavlje 18.3). Ovo je tako|e prirodna tehnika za slu~aj da se datum pozicionira geocentri~no. 18.2. Matemati~ki modeli i njihova re{enja Merne veli~ine u horizontalnim mreàma su horizontalni uglovi ω ili pravci d , prostorne duìne ∆r i astronomski azimuti A . Koordinate ta~aka mreè traè se obi~no izravnanjem mreè (podpoglavlje 14.3) u G sistemu, tj. kao φ i λ na horizontalnom datumu. Alternativno, ponekad se umesto njih traè koordinate u projekciji ( x, y ) M . Ako su (φ , λ ) ta~aka mreè nepoznate veli~ine, postoje dva na~ina formulisanja matemati~kog modela koji ih povezuje sa mernim veli~inama: model se formuli{e u trodimenzionalnom prostoru, ili direktno na referentnom elipsoidu. U prvom slu~aju, opaànja se uvode u model onakva kakva su izvedena na povr{i Zemlje, osim {to se koriguju za instrumentalne gre{ke i refrakciju. Druga formulacija koristi opaànja redukovana na referentni elipsoid, na na~in pokazan u podpoglavlju 16.2. Ako se traì re{enje u ravni projekcije, opaànja se moraju prvo redukovati u tu ravan (vidi podpoglavlje 16.3). U bilo kojem od tri pristupa potrebne su samo pribli`ne geodetske visine h ta~aka mreè. Zauzvrat, ni jedan od modela ne vra}a informaciju o vertikalnim koordinatama, {to je glavna razlika u odnosu na trodimenzionalne mreè tretirane u poglavlju 17. Korisno je znati da kada su horizontalne koordinate i pribli`ne visine ta~aka mreè poznati, mogu biti izra~unati odgovaraju}i horizontalni uglovi, duìne i azimuti na povr{i Zemlje. To je inverzni problem pokazan u podpoglavljima 16.2 i 16.3. Matemati~ki model horizontalne mreè u tri dimenzije dobija se direktno iz modela trodimenzionalne mreè (podpoglavlje 17.1). Po{to se u horizontalnim mreàma obi~no ne opaàju ta~ni vertikalni uglovi v (ili zenitna odstojanja Z ) i astronomske koordinate Φ, Λ , njihove jedna~ine opaànja se ne koriste. Preostale jedna~ine, tj. one za astronomske azimute (17.2), pravce (17.3) i prostorne duìne (17.6) sadrè me|utim koeficijente koji su funkcija od v . Ovi koeficijenti dakle moraju biti izraèni kao funkcije drugih poznatih veli~ina. Jedna~ina opaànja astronomskog azimuta za horizontalnu mreù u tri dimenzije glasi:

rijA = a1δφ i + a 2δλ i + a 4δφ j + a 5δλ j + Aij(0 ) − Aij ,

(18.1)

468

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.2

gde su a1 , a 2 , a 4 , a 5 dati izrazima u tabeli 17.1, sa slede}im zamenama (za izvo|enje vidi (15.4)):

sin A cos v = y LA ∆r , cos A cos v = x

LA

∆r .

(18.2) (18.3)

Jedna~ine opaànja pravca i horizontalnog ugla dobijaju se na isti na~in iz odgovaraju}ih izraza tabele 17.1. Jedna~ina opaànja prostorne duìne glasi:

rij∆r = c1δφ i + c 2 δλ i + c 4δφ j + c 5δλ j + ∆rij(0 ) − ∆rij .

(18.4)

Koeficijenti c1 , c 2 , c 4 , c 5 tako|e su dati u tabeli 17.1, pri ~emu se funkcije od

A, A′, v i v ′ transformi{u prema formulama (2) i (3). Koordinatne razlike u LA sistemu ocenjuju se iz pribli`nih koordinata i prognoziranih komponenti vertikalskih otklona (vidi podpoglavlje 24.3), pri ~emu se pribli`ne koordinate dobijaju uzastopnim relativnim pozicioniranjem parova ta~aka mreè (podpoglavlje 16.2). Ovaj pristup testiran je u U.S. National Geodetic Survey [VINCENTY AND BOWRING, 1978] u kontekstu redefinicije ameri~ke horizontalne mreè. Interesantno je da se u ovom pristupu parametri gravitacionog polja N , ξ , η koriste za ra~unanje vrednosti koeficijenata, dok se u ostala dva pristupa upotrebljavaju za redukciju opaànja na referentni elipsoid. Matemati~ki model horizontalne mreè na referentnom elipsoidu bazira se na upotrebi geodetske linije izme|u dve ta~ke na elipsoidu. Prema tome, azimuti, pravci i duìne moraju se redukovati tako da se odnose na geodetsku liniju. Jedna~ine opaànja onda se formuli{u na elipsoidu. Pri tome se koristi poseban postupak jer je, kao {to smo videli u podpoglavlju 16.2, te{ko formulisati jedna~ine eksplicitno po mernim veli~inama. Na primer, te{ko je izraziti elipsoidnu duìnu kao funkciju u zatvorenom obliku od φ , λ krajnjih ta~aka, a zatim je linearizovati da bi se dobila jedna~ina opaànja u diferencijalnom obliku. Odgovaraju}e diferencijalne jedna~ine moraju se na elipsoidu formulisati direktno. Elipsoidna duìna izme|u Pi i Pj formalno se moè napisati uz izostavljanje indeksa E kao:

(

)

S ij = S φ i , λ i , φ j , λ j .

Aproksimacija linearnim delom Tajlorovog reda daje:

(18.5)

§ 18.2


(

469

)

S ij = S φ i(0 ) , λ(i0 ) , φ (j0 ) , λ(j0 ) + δS = S (0 ) + δS ,

(18.6)

gde je S (0 ) vrednost elipsoidne duìne sra~unata iz pribli`nih koordinata φ i(0 ) , λ(i0 ) i φ (0 ) , λ(0 ) . Totalni diferencijal δS jednak je: j

j

δS =

∂S ∂S ∂S ∂S δφ i + δλ i + δφ j + δλ j ∂λ j ∂φ j ∂λi ∂φ i

(18.7)

= c1′δφ i + c 2′ δλ i + c 4′ δφ j + c5′ δλ j , sa koeficijentima datim u tabeli 1. Jedna~ina opaànja elipsoidne duìne za horizontalnu mreù na elipsoidu je prema tome:

rijS = c1′δφ i + c 2′ δλ i + c 4′ δφ j + c5′ δλ j + S ij(0 ) − S ij ,

(18.8)

pri ~emu je S ij opaàna vrednost elipsoidne duìne dobijena redukovanjem prostorne duìne ∆rij pomo}u (16.31) sa povr{i Zemlje na elipsoid. Jedna~ina opaànja geodetskog azimuta izvodi se na sli~an na~in uz pomo} totalnog diferencijala azimuta. Rezultat je (vidi npr. TOBEY [1928]):

rijα = a1′δφ i + a 2′ δλ i + a 4′ δφ j + a 5′ δλ j + α ij(0 ) − α ij ,

(18.9)

pri ~emu su koeficijenti dati u tabeli 1. Veli~ina α ij(0 ) je vrednost azimuta sra~unata iz pribli`nih koordinata, a α ij

je opaàna vrednost dobijena redukcijom

astronomskog azimuta Aij na elipsoid pomo}u (16.29). TABELA 18.1 Koeficijenti dizajn matrice horizontalnih mreà na referentnom elipsoidu. Prema HELMERT [1880]. (Prim ozna~ava veli~ine koje se odnose na drugu ta~ku P j ). Opaàno α ili d (ili ω )

Opaàno S

Nepoznata

Indeks

a′

c′

φi

1

M sin α S

− M cos α

λi

2

N ′ cos α ′cos φ ′ S

N ′ cos α ′cos φ ′

φj

4

M ′ sin α ′ S

− M ′ cos α ′

λj

5

− N ′ cos α ′cos φ ′ S

− N ′ cos α ′cos φ ′

470

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.2

SLIKA 18.3. Orijentacija horizontalnih pravaca na referentnom elipsoidu.

Jedna~ina opaànja pravca je jednostavno:

rijd = a1′δφ i + a 2′ δλ i + a 4′ δφ j + a 5′ δλ j − δΩ i + α ij(0 ) − d ij − Ω i(0 ) , (18.10) gde orijentaciona nepoznata Ω i = Ω i(0 ) + δΩ i (vidi sliku 3) ima istu ulogu kao u (17.3). Iz gornje jedna~ine dobija se jedna~ina opaànja horizontalnog ugla kao:

rijkω = (a1′ (k ) − a1′ ( j ))δφ i + (a ′2 (k ) − a 2′ ( j ))δλ i + a ′4 (k )δφ k (0 ) + a 5′ (k )δλ k − a 4′ ( j )δφ j − a 5′ ( j )δλ j + ω ijk − ω ijk

(18.11)

(0 ) ozna~ava vrednost ugla na elipsoidu izra~unatu iz pribliÂnih pri ~emu ω ijk

koordinata, a ω ijk je opaàna vrednost nakon redukcije sa povr{i

Zemlje na

elipsoid. Gornja familija jedna~ina opaànja za horizontalne mreè kori{}ena je u kompjuterskom programu GALS [MCLELLAN ET AL., 1970] i paketu LRIS [KNIGHT AND MEPHAM, 1978]. Poslednji je matemati~ki model horizontalne mreè u konformnoj projekciji, koji je i najjednostavniji. Po{to je duìna tetive l ij (podpoglavlje 16.3) izme|u ta~aka Pi i

§ 18.2


471

SLIKA 18.4. Matemati~ki model u ravni projekcije.

Pj data kao (vidi sliku 4):

[(

l ij = x j − xi

) + (y 2

j

− yi

)] 2

12

,

(18.12)

nakon linearizacije dobija se slede}a jedna~ina opaànja duìne za horizontalnu mreù u ravni konformne projekcije:

rijl = −sin t ij δx i − cos t ij δy i + sin t ij δx j + cos t ij δy j + l ij(0 ) − l ij . (18.13) Ovde je t ij direkcioni ugao tetive, l ij(0 ) je duìna tetive sra~unata iz pribli`nih koordinata x (0 ) , y (0 ) i x (0 ) , y (0 ) , a l je merena vrednost duìne svedena sa povr{i i

i

j

j

ij

Zemlje u ravan projekcije po postupku istaknutom u podpoglavljima 16.2 i 16.3. Jedna~ina opaànja direkcionog ugla tetive je:

rijt = −

cos t ij l ij

δx i +

sin t ij l ij

δy i +

cos t ij l ij

δx j −

sin t ij l ij

δy j + t ij(0 ) − t ij , (18.14)

gde je t ij opaàna, a t ij(0 ) sra~unata vrednost azimuta. Ova jedna~ina dobijena je kao linearizovana verzija dobro poznate jedna~ine za direkcioni ugao:

[(

t ij = arctan x j − xi

) (y

j

− yi

)] .

(18.15)

472

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.2

Jedna~ine opaànja za pravce i horizontalne uglove onda slede iz (14) na na~in istovetan prethodnom modelu. Poslednji model za razli~ite konformne projekcije predstavlja osnovu za nekoliko kompjuterskih programa kao {to su GANET [BEATTIE, 1978] i TRAV10 [SCHWARZ, 1978]. Sada bi se moglo postaviti pitanje koji je od tri modela najpogodniji. Pre svega, lako je pokazati da su modeli na elipsoidu i u ravni projekcije ekvivalentni (do efekta linearizacije) ako su elementi duìne dx i dy jednaki elementima duìne dS φ i

dS λ na elipsoidu (vidi sliku 16.17). Prva dva modela, tj. trodimenzionalni i elipsoidni moraju biti ekvivalentni jer izraàvaju veze izme|u istih mernih veli~ina i koordinata u istom sistemu. Jedina razlika je u tome {to prvi model podrazumeva gravitacione efekte a drugi ne. U drugom modelu efekti gravitacionog polja ve} su uzeti u obzir pri redukciji opaànja na referentni elipsoid. Prema tome, rezultati tj. poloàji ta~aka mreè dobijeni iz tri modela moraju biti ekvivalentni, iako tre}i model daje koordinate u razli~itom koordinatnom sistemu. U praksi je uobi~ajeno da se koriste ili lu~ne sekunde za uglovne veli~ine sa metrima ili centimetrima za linearne veli~ine, ili radijani zajedno sa relativnim bezdimenzionalnim jedinicama za duìne. Ove jedinice odràvaju veli~ine uporedivim, i spre~avaju da matrica normalnih jedna~ina bude lo{e uslovljena. Gornji matemati~ki modeli mogu se pro{iriti dodatnim parametrima koji parametrizuju odre|ene sistematske gre{ke mreà. Jedna takva parametrizacija ve~ je bila pokazana u podpoglavlju 17.3 u kontekstu trodimenzionalnih mreà. U horizontalnim mreàma, sistematski efekti koji zahtevaju parametrizaciju mogu biti npr. efekti refrakcije na horizontalne pravce i prostorne duìne. Ve} dugo se zna da su duìne merene razli~itim instrumentima ili u razli~ito vreme razli~ito optere}eni refrakcijom. Ovaj efekat obuhvata se jednostavno uvo|enjem jedne ili vi{e nepoznatih u svaku jedna~inu opaànja duìne [ANGUS-LEPPAN, 1972]. Ti parametri se mogu smatrati parametrima smetnje, i eliminisati zajedno sa orijentacionim nepoznatama Ω i pre re{enja za prira{taje koordinata. Tehnika eliminacije prikazana je u podpoglavlju 14.5. Neki kontinenti ili dràve imaju veoma razvijene horizontalne mreè (slika 7.2). U pore|enju sa trodimenzionalnim mreàma, broj ta~aka u horizontalnim mreàma moè biti zaista velik. Na primer, mreà Canadian Maritime Province obuhvata oko 40000 ta~aka raznih redova [FILA AND CHAMBERLAN, 1978], a ameri~ka nacionalna mreà ima skoro 250000 ta~aka prvog reda [ISNER AND YOUNG, 1978]. Po{to svaka ta~ka zna~i dve nepoznate δφ , δλ (ili δx, δy ), pojavljuje se potreba za odre|ivanjem nekoliko stotina hiljada nepoznatih, ~ak i ako su parametri smetnje

§ 18.2


473

SLIKA 18.5. Helmertovi blokovi mreè (%=zajedni~ka ta~ka; #=unutra{nja ta~ka).

ve} eliminisani. Ovo nije trivijalan zadatak ni za najsavremenije ra~unare, i stoga se mora usvojiti posebna strategija re{enja. Helmert [WOLF, 1978] je bio prvi koji je istakao re{enje problema, poznato kao Helmertovi blokovi. Ono se moè opisati u pet koraka: (a) U prvom koraku razmatraju se samo normalne jedna~ine koje pripadaju jednom bloku (npr. blok 1 na slici 5). One se razdvajaju na dva dela:

⎡ Nx ⎢ ⎣ N yx

N xy ⎤ ⎡ δˆ x ⎤ ⎡ u x ⎤ ⎡ 0 ⎤ , ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥= N y ⎦ ⎣δˆ y ⎦ ⎣u y ⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

(18.16)

pri ~emu indeks x ozna~ava ta~ke u bloku, dok y ozna~ava ta~ke zajedni~ke za susedne blokove (vidi y1 i y 2 na slici 5). (b) Zatim se formiraju redukovane normalne jedna~ine za zajedni~ke ta~ke y , eliminacijom unutra{njih ta~aka x (vidi podpoglavlje 3.1):

N y δˆ y + u y = 0 ,

(18.17)

N y = N y − N yx N x−1 N xy ,

(18.18)

gde je:

474

§ 18.2

HORIZONTALNE MRE@E

i:

u y = u y − N yx N x−1 u x .

(18.19)

Primetimo da je u ovoj fazi mogu}e kompletno re{enje za blok bez uklju~ivanja narednih blokova. Koordinate zajedni~kih ta~aka y dobijaju se iz (17), a zamena u prvu jedna~inu (16) daje re{enje za unutra{nje nepoznate δx . (c) Kada se radi sa celom mreòm umesto samo sa jednim blokom, razlikuju se zajedni~ke ta~ke razli~itih nivoa, u zavisnosti od toga kolikom broju blokova pripadaju. Tako imamo zajedni~ke ta~ke prvog nivoa y1 , drugog nivoa y 2 i tako dalje (slika 5). Svaki blok moè u~estvovati u vi{e od jednog nivoa (na primer blok 2 na slici 5), tako da je pogodno deliti sistem (16) ~ak i dalje. Za i -ti blok sa zajedni~kim ta~kama drugog nivoa sledi:

⎡ N xi ⎢ ⎢ N y1xi ⎢N y x ⎣ 2i

N xi y1 N y1 N y2 y1

N xi y2 ⎤ ⎡ δˆ x i ⎤ ⎡ u xi ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ N y1 y2 ⎥ ⎢ δˆ y1 ⎥ + ⎢ u y1 ⎥ = ⎢0⎥ . N y2 ⎥⎦ ⎢δˆ y 2 ⎥ ⎢⎣u y2 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎣ ⎦

(18.20)

(d) Kao i ranije, prvi korak u radu sa ovim novim sistemom je eliminacija δˆ x1 ~ime se dobija glavni sistem normalnih jedna~ina za nepoznate zajedni~ke ta~ke prvog nivoa. Sli~an redukovani sistem moè se dobiti za iste zajedni~ke ta~ke iz drugih odgovaraju}ih blokova. Na ovom nivou se povezuju glavni sistemi normalnih jedna~ina redukovani na ovaj na~in, sa sistemima iz drugih blokova koji sadrè iste zajedni~ke ta~ke y1 . Postupak se ponavlja za sve blokove koji sadrè zajedni~ke ta~ke prvog nivoa. Na kraju se dobija glavni sistem normalnih jedna~ina kao:

~ ~ =0 , N y1 δˆ y1 + u y1 gde je:

~ N y1 =

∑ (N )

y1 i

(18.21) i

~ = u y1

i

∑ (u )

y1 i

,

(18.22)

i

{to uklju~uje sve y1 zajedni~ke ta~ke. (e) Zatim se y1 elimini{e kako bi se dobio glavni sistem normalnih jedna~ina za zajedni~ke ta~ke drugog nivoa. Ponovo je mogu}e dodati redukovane normalne jedna~ine koje poti~u od drugih blokova koji sadrè zajedni~ke ta~ke drugog nivoa. Ovaj postupak se nastavlja do zajedni~kih ta~aka najvi{eg nivoa. Zamenom nazad u

§ 18.3

Procenjivanje, pro{irivanje i povezivanje horizontalnih mreà

475

neredukovan sistem jedna~ina rekonstrui{u se u obrnutom redosledu zajedni~ke ta~ke niìh nivoa sve do eventualno ~ak i unutra{njih ta~aka. Matrice normalnih jedna~ina za horizontalne mreè sadrè mnogo nula elemenata. Stoga je mogu}e preure|enjem redosleda ta~aka u mreì minimalizovati {irinu pojasa du` glavne dijagonale koji sadrì nenula elemente, a koji se naziva profilom matrice, tako da ra~unanje bude mnogo ekonomi~nije [SNAY, 1976]. Isto tako, redukcija matri~nih sistema sastavljenih od Helmertovih blokova treba da se izvede metodom Holeskog kako bi se minimalizovale gre{ke zaokruìvanja [MEISSL, 1978]. Kompjuterske programe koji koriste strategiju Helmertovih blokova i druge postupke za minimalizaciju vremena ra~unanja, uspe{no je razvio npr. ISNER [1978]. KNIGHT AND MEPHAM [1978] razradili su alternativni pristup zasnovan na sabiranju normalnih jedna~ina (vidi podpoglavlje 14.6). Ne postoji razlog za{to Helmertovi blokovi ili pristup sa sabiranjem normalnih jedna~ina ne bi bili upotrebljeni za re{avanje modela trodimenzionalnih mreà. Do sada se ta potreba nije pojavila jer je broj nepoznatih koordinata ta~aka jo{ uvek znatno manji od horizontalnih mreà. 18.3. Procenjivanje, pro{irivanje i povezivanje horizontalnih mreà âk i kada su poloàji ta~aka mreè odre|eni, mreà moè i dalje biti predmet raznih promena. Ona moè biti progu{}ena, pro{irena na nova podru~ja, ili povezana sa drugom mreòm koja pokriva isti prostor. Sve ove situacije nisu svojstvene naravno samo horizontalnim mreàma. One se prirodno javljaju i kod trodimenzionalnih mreà kao {to smo videli u podpoglavlju 17.4, kao i kod visinskih mreà. Ideje u vezi progu{}avanja i pro{irivanja nisu ranije bile isticane jer je njihov formalizam istorijski bio razvijan u kontekstu horizontalnih mreà. Za bilo koji od ova tri zadatka neophodno je prvo imati procenu ta~nosti mreè. Procena se obi~no vr{i paralelno za efekte slu~ajnih gre{aka i efekte sistematskih deformacija. Po~nimo sa procenom slu~ajnih gre{aka. Kao i u slu~aju trodimenzionalnih mreà (podpoglavlje 17.4), ove gre{ke potpuno karakteri{e kovarijaciona matrica C xˆ ocenjenih koordinata. Zauzvrat, ova matrica se moè interpretirati u vidu apsolutnih ili relativnih elipsi poverenja, kao {to je to pokazano u podpoglavlju 16.2. I ovde apsolutne elipse poverenja imaju tendenciju rasta sa porastom odstojanja od po~etka mreè, i ova je tendencija lepo ilustrovana u primeru kanadske terestri~ke horizontalne mreè prvog reda na slici 2.

476

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.3

Upravo ta tendencija rasta koja nadvladava ostale informacije sadràne u njima, ~ini apsolutne elipse poverenja nepogodnim za procenjivanje slu~ajnih gre{aka u mreàma. Mnogo va`nije u tom smislu su relativne elipse poverenja. One se dobijaju iz kovarijacione matrice po postupku pokazanom u podpoglavlju 17.4, osim {to je ovde broj dimenzija dva. Jedna mogu}a geometrijska interpretacija relativne elipse poverenja prikazana je na slici 6. Interesantno je da relativna elipsa poverenja tako|e istovremeno odraàva standardnu devijaciju σ lˆ izravnate duìne

lˆ i σ αˆ izravnatog azimuta αˆ . êsto se klasifikacija mreà vr{i na osnovu relativne ta~nosti σ l / l [DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES, 1973]. Kao i apsolutna elipsa poverenja, tako ni relativna elipsa poverenja ne uzima u obzir ostale relativne ta~nosti u mreì. Da bi se simultano postojanje drugih ta~aka u mreì uzelo u obzir, i dobile simultane elipse poverenja bilo apsolutne ili relativne, potrebno je primeniti pristup u kontekstu izveden u podpoglavlju 13.3. Jedino {to se menja predstavljaju faktori razmere C ((13.36) i (13.37)) koji glase:

(

Cα = ξ χ 2 , 1−α / N 2

)

1/ 2

,

(18.23)

ako se koristi σ 02 , ili:

(

Cα = 2ξ F2 , m − 2 N , 1−α / N

)

1/ 2

,

(18.24)

ako se koristi σˆ 02 . Ovde je N broj ta~aka (ili broj parova ta~aka za slu~aj relativnih elipsi), a m je broj upotrebljenih mernih veli~ina.

SLIKA 18.6. Apsolutne i relativne elipse poverenja.

§ 18.3


477

SLIKA 18.7. Apsolutne elipse poverenja. (... standardne elipse; --- 0.95 elipse van konteksta; − 0.95 simultane elipse).

Faktori razmere C 0.05 za razli~ito N i m izgledaju sli~no slici 13.12. Na primer,

C 0.05 za N = 50 i veliko m iznosi oko 3.8, {to je 1.5 puta ve}e od 2.45 za elipse van konteksta (podpoglavlje 16.2). Veli~ine razli~itih apsolutnih elipsi gre{aka date su na slici 7. Kona~no, prisetimo se da Bonferonijeva nejednakost (13.21) pokazuje da je verovatno}a pridruèna simultanim elipsama ~ak i ve}a od 1 − α / N . Slika 8 pokazuje raspored prenosa slu~ajnih gre{aka u horizontalnim mreàma razli~itog oblika i vrsta mernih veli~ina. Simulirani oblici su evidentni sa slike kao i vrste mernih veli~ina: rastojanja, pravci i azimuti (ozna~eni strelicama). Ta~ke ~ije su koordinate poznate sa standardnom kru`nicom poverenja polupre~nika 0.5m ozna~ene su crnim trouglovima. Kada su dve takve ta~ke u pitanju, podrazumevana je kru`nica poverenja polupre~nika 22cm. Za standardnu devijaciju opaànih pravaca i azimuta usvojena je vrednost od dve lu~ne sekunde {to iznosi oko 10 −5 radijana, a za relativnu ta~nost duìna usvojeno je 10 −5 . Za svaku mreù je u vidu kontinualnog dijagrama prikazana vrednost velike poluose 95% apsolutnih i relativnih elipsi poverenja za svaku ta~ku, odnosno za svaki par ta~aka.

478

HORIZONTALNE MRE@E

SLIKA18.8. Prostiranje gre{aka u mreì. (Za obja{njenje vidi tekst).

§ 18.3

§ 18.3


479

SLIKA 18.9. Prostiranje gre{aka poloàja.

Jasno se vidi da je sa ta~ke gledi{ta mo}i mreè prema ASHKENAZI AND CROSS [1972], najbolja povr{inska konfiguracija, jer se slu~ajne gre{ke rasprostiru sporo i vrlo uniformno. U op{tem slu~aju, mreà kontrolisana poznatim ta~kama po periferiji pogodnija je od mreè vezane za samo jednu ta~ku. Ovakav raspored jo{ je jasniji na rekapitulaciji ta~nosti poloàja ta~ke prikazanoj na slici 9. Brzina rasta apsolutnih elipsi poverenja u realnoj mreì trebalo bi da se nalazi izme|u dve donje krive na slici 9 (a). Za druge primere, ~italac se upu}uje na CHRZANOWSKI AND KONECNY [1965]. Vratimo se sada za trenutak analizi optimalnog dizajna horizontalnih mreà. Kao {to je re~eno u podpoglavlju 14.1, mogu}e je prognozirati kovarijacionu matricu C x nepoznatih horizontalnih koordinata pre nego {to se izvr{e merenja. Ovo se izvodi jednostavno utvr|ivanjem oblika mreè (preko dizajn matrice A ) i ta~nosti opaànja (preko matrice C l ). Postoje i obratni postupci, gde se za dato C x traè

A i C l . Njihov nedostatak je {to pristup putem proba i pogre{aka zahteva mnogo vremena, ali se brzina znatno pove}ava upotrebom interaktivne kompjuterske grafike (vidi podpoglavlje 14.1), tako da je na monitoru mogu}e videti konfiguraciju mreè i elipse poverenja za svaku ta~ku u realnom vremenu i za svaki poku{aj. Za kraj diskusije o gre{kama, pomenu}emo jo{ dva koncepta povezana sa karakterizacijom ta~nosti mreè pomo}u elipsi poverenja. Kao {to smo ve} rekli, apsolutne elipse rastu sa udaljavanjem od po~etne ta~ke koja se drì fiksnom u izravnanju, i prema tome zavise od izbora po~etka mreè. Postoji li na~in da se izbegne ovo neèljeno svojstvo osim upotrebe relativnih elipsi? Jedan na~in je da se po~etak izostavi iz modela mreè. Rezultuju}a rang defektna mreà izravnava se onda sa unutra{njim ograni~enjima (vidi podpoglavlje 14.5). Dizajn matrica ograni~enja Di ima oblik (17.14), samo {to je razlika u dimenzionalnosti. Na taj na~in se dobija min xˆ tr C xˆ (14.114), i sve apsolutne elipse

480

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.3

poverenja odnose se na teì{te mreè. Me|utim, relativna ta~nost ostaje nepromenjena. O~igledno je da unutra{nja ograni~enja ili pseudoinverzija ne re{avaju problem zavisnosti apsolutnih elipsi od izbora po~etne ta~ke, ve} samo preme{taju po~etnu ta~ku u teì{te mreè. BAARDA [1973] je problemu pri{ao sa druge strane. On je formulisao S transformacije, {to su u stvari matrice koje transformi{u elipse poverenja iz jednog oblika i veli~ine u drugi, preme{tanjem po~etne ta~ke ili zamenom jedne ili vi{e po~etnih ta~aka drugim po~etnim ta~kama. Ova druga transformacija naravno menja ~ak i relativne elipse gre{aka u mreì (vidi sliku 10). Do{li smo do ta~ke kada ima smisla istraìti i druge metode analize mo}i horizontalnih mreà. Ove su metode podjednako primenljive i na trodimenzionalne i jednodimenzionalne mreè. Metode se zasnivaju na ~injenici da normalne jedna~ine prira{taja koordinata u mreàma pravilnog oblika imaju istu formalnu strukturu kao kona~ne razlike parcijalnih diferencijalnih jedna~ina elipti~kog tipa sa konstantnim koeficijentima [BARTELME AND MEISSL, 1974]. Prema tome, tehnika za re{avanje parcijalnih diferencijalnih jedna~ina moè se upotrebiti za dobijanje re{enja i ocenu gre{aka simuliranih dvodimenzionalnih mreà.

SLIKA 18.10. Promena elipsi poverenja sa promenom po~etne ta~ke mreè %.

§ 18.3


481

Ovaj pristup je naro~ito pogodan za ispitivanje pona{anja veoma velikih mreà. Na primer,

standardna

devijacija

σ lˆ

izravnate

duìne

lˆ

u

beskona~noj

jednakostrani~noj trilateracionoj mreì sa duìnama merenim sa standardnom devijacijom σ , asimptotski teì ka [DUFOUR, 1970]:

⎛ 8 ⎞ σ lˆ = ⎜⎜ ln l + 0.699 ⎟⎟ ⎝3 3 ⎠

1/ 2

σ

(18.25)

Efekat grani~ne kontrole odre|ene ta~nosti, kao i efekat praznina u mreì tako|e mogu da se analiziraju ovom tehnikom ako se mreà posmatra kao problem grani~ne vrednosti (podpoglavlje 3.2). Zainteresovani ~italac se upu}uje na BORRE [1978]. Postoji jasna analogija izme|u trilateracione mreè i zglobne konstrukcije elasti~nih {ipki. Ova analogija predstavlja osnovu ideje upotrebe uslova stati~ke ravnoteè i jedna~ina elasti~nosti za dalje ispitivanje mo}i horizontalnih mreà. Pristup se naziva apstraktnom elasti~no{}u mreè, a za detalje videti npr. HALMOS AND KADAR [1977] i BORRE [1977]. Ostali na~ini kvantifikovanja mo}i horizontalnih mreà su faktorska analiza [HARMAN, 1967] i konturisanje kovarijacione matrice [ALBERDA, 1974]. DARE AND VANI~EK [1982] su nedavno formulisali novi pristup analizi mo}i koriste}i definiciju da je mo} mera otpora promeni. Njihov ra~unski postupak zasniva se na filozofiji da je mreà jaka onoliko koliko je jaka najslabija veza. Oni su predloìli tri nezavisne mere mo}i: u razmeri, u diferencijalnoj rotaciji i u smicanju (za definicije vidi podpoglavlje 27.4). Vratimo se sada procenjivanju sistematskih deformacija u horizontalnim mreàma. Najbolji na~in izu~avanja ovih efekata je po mogu}stvu njihova matemati~ka formulacija. U tom slu~aju dobijaju se numeri~ke vrednosti koje karakteri{u rezultuju}e distorzije mreè. Na primer, slika 11 prikazuje distorzije triangulacionog lanca u Labradoru (Kanada) zbog zanemarivanja geoidnih visina (a) i zanemarivanja vertikalskih otklona prilikom redukcije opaànja na horizontalni datum NAD 27 (b), prema THOMSON ET AL., [1974]. Interesantno je da u prvom slu~aju imamo samo jednostavnu distorziju razmere od − 1.7 × 10 −6 po{to je samo jedna duìna u lancu bila izmerena. Druga distorzija je mnogo nepravilnija zbog nepravilnog polja vertikalskih otklona i oblika lanca. Ona se ipak moè aproksimirati kombinacijom distorzije razmere od − 1.2 × 10 −6 i rotacije od − 0.065′′ oko P0 . îtalac zainteresovan za alternativne metode analize

482

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.3

SLIKA 18.11. Sistematske distorzije mreè zbog (a) zanemarivanja geoidnih visina; (b) zanemarivanja vertikalskih otklona.

sistematskih distorzija simuliranih mreà pravilnih oblika, upu}uju se na MEISSL [1974]. Ako se istraùju lokalne distorzije u mreì korisno je upotrebiti metode diferencijalne geometrije, i interpretirati distorzije u vidu napona mreè. Po{to }emo se naponima baviti prirodnije u podpoglavlju 27.4 u kontekstu horizontalnih pomeranja, bilo bi suvi{no da razmatramo detalje ovde. Dovoljno je re}i da su tehnike analize napona, onako kako su opisane u podpoglavlju 27.4, podjednako primenljive i ovde. One su naro~ito pogodne za izu~avanje distorzija uzrokovanih jednim opaànjem ili grupom opaànja koja su sa ostalima nekompatibilna kao ni sa mreòm [VANI~EK ET AL., 1981]. Objasnimo sada na~ine na koje se mreà moè pro{iriti. Pod pro{irenjem mreè podrazumeva se dodavanje novih blokova ta~aka ve} postoje}oj izravnatoj mreì. Kako se ovaj problem re{ava? Jasno je da se moè upotrebiti tehnika Helmertovih blokova onako kako je opisano u prethodnom podpoglavlju, pri ~emu se ta~ke postoje}e mreè za koje se vezuje blok smatraju zajedni~kim ta~kama. O~igledno je

§ 18.3


483

SLIKA 18.12. Pro{irenje horizontalne mreè.

da }e se ve} izravnate koordinate postoje}e mreè promeniti pod uticajem novododatih opaànja pro{irenog dela mreè (vidi sliku 12). U geodetskoj praksi, me|utim, ne odgovara da se koordinate postoje}ih ta~aka menjaju svaki put kada se mreà pro{iruje. Stoga se primenjuju drugi pristupi od kojih }emo jedan ovde prodiskutovati. On se sastoji u dodavanju redukovanih originalnih normalnih jedna~ina samo zajedni~kih ta~aka normalnim jedna~inama pro{irenog dela mreè, i traènju re{enja za ta~ke pro{irenog dela uklju~uju}i i zajedni~ke ta~ke. To je ustvari postupak uop{tenog izravnanja ~ije je matemati~ko re{enje pokazano u podpoglavlju 14.4, i koje je izraèno u vidu glavnog sistema jedna~ina u metodi Helmertovih blokova iz podpoglavlja 18.2. Ovakav pristup dozvoljava preno{enje slu~ajnih gre{aka mreè u novu mreù. S druge strane originalne koordinate zajedni~kih ta~aka u originalnoj mreì ne menjaju svoje vrednosti ako se novi poloàji ne udaljavaju suvi{e od postoje}ih. Zna~ajnost tih razlika potrebno je statisti~ki testirati postupcima iz poglavlja 13. Me|utim, ~est je slu~aj da su originalni poloàji suvi{e deformisani i zna~ajno se razlikuju od novoodre|enih poloàja. to je posledica sistematskih gre{aka starih ili novih opaànja, ili pribli`nih postupaka modeliranja i izravnanja originalne mreè. U tim uslovima ima smisla traìti analiti~ki model distorzija u vidu npr. linearnog oblika. MNK regresija je prirodno oru|e za upotrebu u ovakvim situacijama. Distorzija se onda moè prognozirati za bilo koju postoje}u ta~ku u oblasti, i oduzeti od koordinata ta~ke kako bi se dobila korektna pozicija. Pro{ireni deo moè pokrivati novo podru~je ili popunjavati praznine postoje}e mreè, ali matemati~ka formulacija ostaje ista. Kada se pro{irenjem popunjavaju praznine govori se o progu{}avanju horizontalne mreè. Istorijski, progu{}enje je izvo|eno opaànjima manje ta~nosti nego {to je u originalnoj mreì. Danas se mogu

484

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.3

koristiti opaànja iste ili ~ak i ve}e ta~nosti. U Americi je npr. izvr{eno ponovno izravnanje horizontalnih mreà kori{}enjem podataka iz mreà svih redova [DRACUP, 1978]. Poslednja tema ovog podpoglavlja je povezivanje horizontalnih mreà razli~itih vrsta koje pokrivaju isto podru~je. Koncepcijski gledano, nema mnogo razlike izme|u povezivanja dve mreè i pro{irenja stare mreè, samo {to su sada zajedni~ke ta~ke raspore|ene po staroj i novoj mreì. Matemati~ke tehnike povezivanja horizontalnih mreà iste su kao u podpoglavlju 17.4 u kontekstu trodimenzionalnih mreà. Horizontalni poloàji ta~aka obe mreè izraàvaju se u trodimenzionalnim koordinatama kao da leè na odgovaraju}im referentnim elipsoidima. Nakon toga problem se tretira u tri dimenzije sa ograni~enjem da rezultuju}i poloàji moraju ponovo biti na odgovaraju}em elipsoidu.

SLIKA 18.13. Rezultati povezivanja TRANSIT satelitske i terestri~ke mreè u Kanadi. (Ljubazno{}u Geodetic Survey of Canada, DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES [1979], Ottawa, Canada).

§ 18.4

Marinsko pozicioniranje

485

Treba ista}i da ako je jedna od mreà satelitska mreà u kojoj su horizontalni poloàji odre|eni projektovanjem trodimenzionalnih koordinata na geocentri~ni referentni elipsoid izabrane veli~ine i oblika, tada se ovaj referentni elipsoid moè forsirati kao horizontalni datum terestri~ke mreè kroz povezivanje. Rezultuju}e ta~nosti poloàja su interesantne. Sa poloàjem novog horizontalnog datuma realizovanog satelitski dobijenim koordinatama, tendencija apsolutnih elipsi gre{aka da rastu sa udaljavanjem od po~etne ta~ke terestri~ke mreè uveliko je spre~ena. Centralna uloga po~etne ta~ke nestaje. Za ilustraciju vidi sliku 13. 18.4. Marinsko pozicioniranje Do sada smo se bavili pozicioniranjem na kopnu {to normalno podrazumeva pozicioniranje fiksnih stabilizovanih ta~aka. Marinsko pozicioniranje, tj. pozicioniranje u morskom okruènju, ima druga~iji karakter. Sa izuzetkom ta~aka na morskom dnu, postoji veoma malo fiksnih objekata na povr{ini mora, a i oni su ograni~eni na ostrva, formacije stena i sli~no. Obi~no ovakve fiksne ta~ke postaju izuzetno retke sa udaljavanjem od obale. Prema tome, objekti koje treba pozicionirati su uglavnom sve vreme pokretni. Oni mogu pripadati dvema vrstama: (a) objekti koji su vezani za dno kao {to su bove, bu{otine, usidrena plovila, itd. (b) plove}i objekti kao {to su plovila, ledeni bregovi, ledene sante, itd. Usidreni objekti se obi~no nepravilno kre}u u okviru fiksnog polupre~nika oko nekog srednjeg poloàja, zbog promene morskih struja, talasa i drugih kretanja morske vode (podpoglavlje 8.4). U zavisnosti od svrhe, moè biti od interesa srednji poloàj objekta, ili je dovoljan bilo koji od trenutnih poloàja (vidi sliku 14), ili pod posebnim okolnostima moè biti zahtevana vremenska serija poloàja. S druge strane, plove}i objekti prate neki kurs i obi~no je od interesa da se odredi poloàj objekta kao funkcija vremena da bi se znalo gde je objekat u odre|enom trenutku vremena. Ovo je naro~ito slu~aj kada je u pitanju pozicioniranje brodova, gde je pozicioniranje osnovni deo navigacije. Da bi se shvatio su{tinski zna~aj pozicioniranja u navigaciji, dovoljno je pogledati sliku 15 koja ilustruje definiciju navigacije. Navigacija se moè opisati kao povratna petlja ~iji cilj je da usmerava kretanje plovila efikasno od jedne do druge pozicije [BOWDITCH, 1977]. Postoje i sli~nosti i razlike u pozicioniranju tri familije objekata koje smo definisali. Obi~no se ne moè upotrebiti ni jedna terestri~ka tehnika koja se bazira na direktnom dogledanju ta~aka. Moè se koristiti samo pozicioniranje ta~ke i tehnika relativnog pozicioniranja. Zbog dinami~ke prirode marinskog pozicioniranja, koncept mreè ne dolazi u obzir. Glavna razlika izme|u pozicioniranja fiksnih i

486

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.4

SLIKA 18.14. Poloàj usidrenog objekta.

SLIKA 18.15. Navigacija.

usidrenih objekata s jedne strane, i plove}ih objekata s druge strane je {to u prvom slu~aju sukcesivna odre|ivanja poloàja obezbe|uju redundancu i mogu}nost da se oceni ta~nost odre|ivanja. U drugom slu~aju, sukcesivna odre|ivanja u realnom vremenu daju kurs plove}eg objekta kao funkciju vremena, i ako se ne vr{e simultana opaànja nema redundance niti ponovljenog odre|ivanja poloàja. Isto tako, zbog razli~ite svrhe navigacije, pozicioniranje koje se izvodi samo za navigaciju obi~no je mnogo niè ta~nosti, {to dozvoljava upotrebu razli~itih metoda.

§ 18.4


487

U kontekstu marinskog pozicioniranja govori se o trodimenzionalnom pozicioniranju onda kada se odre|uje i dubina. Ovo je slu~aj u hidrografiji ~iji je zadatak kartiranje morskog dna (podpoglavlje 7.1). Tre}a dimenzija me|utim moè da se tretira zasebno. Na merenje dubina vrati}emo se u podpoglavlju 19.4. U ovom podpoglavlju tretira}emo samo horizontalno pozicioniranje, tj. pozicioniranje na povr{ini mora. Pozicioniranje ta~aka na morskom dnu zahteva prenos horizontalnih poloàja sa morske povr{ine naniè, {to je materija koja je izvan obima ove knjige. Koncentri{u}i se dakle na pozicioniranje na morskoj povr{ini, moèmo se zapitati kakva je razlika izme|u opaà~kih i matemati~kih tehnika ovde i onih koje se koriste za pozicioniranje na kopnu? O~igledno je da se poloàji fiksnih objekata mogu odrediti na isti na~in kao na kopnu. Ako izme|u tih objekata i fiksnih ta~aka na obali ili ostrvima nema dogledanja, moraju se upotrebiti ekstraterestri~ke metode. Sa usidrenim ili plove}im objektima situacija je sli~na. Ako je objekat koji se pozicionira vidljiv sa dve ta~ke na obali ili na ostrvima, njegov poloàj moè se dobiti presecanjem kao {to je pokazano na slici 16. U tom slu~aju, ili dva horizontalna ugla ω 123 i ω 213 mogu biti merena na obali, ili {to je mnogo ~e{}i slu~aj dve duìne ∆r13 i ∆r23 mogu biti odre|ene. Pokaza}emo kako se matemati~ki model lu~nog preseka za opaàne duìne moè formulisati na elipsoidu. Formulacija za opaàne uglove nalazi se npr. u BOMFORD [1971]. Prvo se odre|uju pribli`ne koordinate φ 3(0 ) , λ(30 ) ta~ke P3 upotrebom sferne ili ravne aproksimacije. Zatim se za svaku opaànu duìnu formuli{e linearizovana jedna~ina opaànja (4). Ako nema redundance ne mogu se traìti reziduumi r∆r , pa

SLIKA 18.16. Metoda preseka sa dve poznate ta~ke.

488

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.4

se prira{taji δφ1 , δλ 1 , δφ 2 , δλ 2 izjedna~avaju sa nulom. Rezultuju}i sistem od dve jedna~ine sa dve nepoznate δφ = δφ 3 , δλ = δλ 3 onda glasi:

c 4 (P1 , P3 )δφ + c5 (P1 , P3 )δλ = ∆r13 − ∆r13(0 ) = w13 ,

c 4 (P2 , P3 )δφ + c5 (P2 , P3 )δλ = ∆r23 − ∆r23(0 ) = w23 , gde su

(18.26)

∆r ( 0) prostorne duìne izme|u P1 i P3(0 ) , odnosno P2 i P3(0 ) . U izrazima za

koeficijente c 4 i c5 , visine h i vertikalni uglovi v mogu se izjedna~iti sa nulom, tako da se nakon sre|ivanja dobija: (0 ) ⎛ sin α 32

(0 ) ⎞ cos α 32 ⎟ w − 13 (0 ) (0 ) (0 ) w23 ⎟ , N 3 cos φ 3 ⎝ M3 ⎠ (0 ) (0 ) ⎞ cos α 31 (0 ) ⎛⎜ − sin α 31 ⎟ w + δλ = cosec ω 321 13 (0 ) (0 ) w23 ⎟ . ⎜ M (0 ) N cos φ 3 3 3 ⎝ ⎠ (0 ) ⎜ δφ = cosec ω 321 ⎜

(18.27)

Ovde se sve veli~ine sa indeksom (0) odre|uju iz pribli`nih koordinata ta~ke P3(0 ) . Naravno, ako je P3(0 ) suvi{e daleko od korektne pozicije, ove veli~ine }e se promeniti u narednoj iteraciji. U marinskom pozicioniranju, ovaj pristup zove se duìna-duìna pozicioniranje. Kada je opaàno vi{e od dve duìne, matemati~ki model postaje preodre|en i traì se MNK re{enje. Ako se obalski uglovi i duìne ne mogu meriti ve} se zamene uglovima merenim sa morske povr{ine, situacija postaje mnogo komplikovanija. Prvi problem je nedostatak ~vrste platforme za instrument za merenje uglova, jer se opaà~ka stanica na moru konstantno pomera. Ona ili oscilira po nekoliko metara kao u slu~aju platforme za bu{otine, ili se kre}e po kursu brzinom od nekoliko metara u sekundi ako je na brodu i moè se obrtati u svim pravcima zajedno sa plovilom. Opaànja se onda obi~no izvode ru~nim sekstantom [ANDERSON, 1966]. Ako je potrebna ve}a ta~nost mogu se koristiti stabiliziraju}e platforme [VON ARX, 1967]. Tako|e je neophodno opaàti najmanje tri obalske kontrolne ta~ke, i u tom slu~aju se govori o matemati~kom modelu preseka pravaca [CLARK, 1969], kojeg ovde ne}emo dalje razra|ivati. Slede}a alternativa koja se ~esto koristi u marinskom pozicioniranju je merenje razlika duìna. Moè se pokazati da je geometrijsko mesto ta~aka u ravni sa istom razlikom duìna do dve poznate ta~ke P1 , P2 hiperbola (vidi sliku 17). Ako se

§ 18.4


489

SLIKA 18.17. Merenje razlika duìna.

razlika duìna meri do drugog para poznatih ta~aka (npr. P1 i P3 na slici 17), dobija se druga hiperbola, a pozicionirani objekat tada je u preseku dve hiperbole. Ovo se moè izraziti i matemati~ki, i u tom slu~aju dobija se matemati~ki model hiperboli~kog pozicioniranja [INGHAM, 1974]. Zna~ajni deo marinskog pozicioniranja izvodi se na duìnama mnogo ve}im od onih koje su uobi~ajene na kopnu. Ovo isklju~uje upotrebu visokih frekvencija uklju~uju}i i vidljivu svetlost, osim za pozicioniranje blizu obale, ve} se umesto njih moraju koristiti niske frekvencije u reìmu povr{inskog prostiranja (podpoglavlje 9.2). Postoje}i sistemi za srednje duìne kao {to su Hi-Fix, Argo i Raydist koriste srednje frekvencije. Sistemi za velike duìne kao {to su Decca i Loran-C koriste niske frekvencije, a globalni sistem Omega koristi veoma niske frekvencije [THOMSON AND WELLS, 1977]. Kao posledica velikih rastojanja, ta~nost duìna i razlika duìna zna~ajno je manja nego na kopnu. Relativna ta~nost ovih sistema je tipi~no reda 10 −4 u pore|enju sa 10 −5 do 10 −6 na kopnu. Interesantno je da je, uprkos niòj ta~nosti, pozicioniranje velikim duìnama (Shoran, Aerodist) bilo upotrebljeno u Kanadi pre nekoliko decenija za uspostavljanje prvih geodetskih mreà u nepristupa~nim oblastima [DEPARTMENT OF MINES AND TECHNICAL SURVEYS, 1955].

490

§ 18.4

HORIZONTALNE MRE@E

TABELA 18.2 Zone pozicioniranja. Zona

Duìna

Reprezentativna dubina

Unutarobalska (luke, reke i u{}a)

0-30km

40m

Obalska (zalivi, rukavci i tesnaci)

30-150km

100m

150-1000km

200m

>1000km

1000m

Vanobalska (do ivice kontinentalne plo~e) Duboko more

Ta~nost mernih sistema u op{tem slu~aju opada sa rastojanjem od obale. Zahtevi za ta~no{}u tako|e opadaju sa dubinom vode, dakle ponovo sa udaljenjem od obale. Shodno tome, zahtevi se mogu podeliti u zone, i jedna takva podela prikazana je u tabeli 2 [THOMSON AND WELLS, 1977]. Ta~nost marinskog pozicioniranja zavisi od ta~nosti instrumenata, poznavanja brzine prostiranja, uticaja sredine, geometrijske konfiguracije, eliminacije sistematskih gre{aka i korektnosti matemati~kih modela koji se koriste za ra~unanje poloàja. Kao {to morsko okruènje zahteva da instrumenti i metode merenja budu razli~ite u odnosu na kopno, ono tako|e odre|uje i tretman opaànja. Za merenja pravaca i uglova izvr{enih sa obale do marinskog objekta, ne ra~una se ni jedna od popravaka iz podpoglavlja 16.2, jer su popravke veoma male u pore|enju sa ta~no{}u opaànja. Uglovna merenja sa marinskog objekta ka obalskim ta~kama koriguju se popravkom za visinu vizurne ta~ke samo ako vertikalni ugao prelazi jedan lu~ni stepen. Elektromagnetski merene duìne i razlike duìna tretiraju se kao kopnene, iako su u mnogim slu~ajevima dozvoljene aproksimacije jer su popravke ponovo zna~ajno manje od ta~nosti merenja. Efekat troposferske refrakcije (vidi podpoglavlje 9.2), koji se ovde zove primarno ka{njenje faze, sastoji se u usporenju signala. On se moè obra~unati uz pretpostavku konstantne refraktivnosti du` putanje prostiranja. Efekti provodljivosti Zemljine povr{i, krivine Zemlje i drugih fenomena na prostiranje talasa mnogo su komplikovaniji [BREMMER, 1949; JOHLER ET AL., 1956]. Njihov kombinovani uticaj tretira se u vidu popravke za sekundarno ka{njenje faze. Vr{ena su zna~ajna istraìvanja merenja i prognoziranja faze talasa du` homogenih i me{ovitih voda-zemlja putanja prostiranja, npr. BRUNAVS AND WELLS [1971]. Upotreba srednjih i niskih frekvencija za merenje duìna izme|u ta~aka koje se ne dogledaju uvodi jedan novi faktor. Kod razmatranja prostiranja povr{inskih talasa preko Zemljine povr{i, bila je va`na provodljivost i propusnost Zemljinih povr{inskih slojeva. Tlo deluje kao kondenzator i otpornik u provo|enju elektri~nih

§ 18.4


491

struja indukovanih povr{inskim talasima. Ove struje se smanjuju sa dubinom, a dubina prodiranja talasa pove}ava se sa frekvencijom i provodljivo{}u. Po{to je Zemljina povr{ slab provodnik, povr{inska ivica talasnih frontova bi}e usporena zbog ~ega }e talas biti nagnut unapred (slika 18). Nagib se smanjuje sa frekvencijom i provodljivo{}u. Na morskoj vodi nije nikad ve}i od nekoliko stepeni, ali na kopnu dostiè 20 do 30 stepeni. Ovo usporenje ima za posledicu fazno ka{njenje povr{inskih talasa, koje se pove}ava sa rastojanjem od oda{ilja~a i smanjuje se provodljivo{}u i frekvencijom. Postoji niz drugih tehnika pozicioniranja na moru koje se zasnivaju na razli~itim principima. Najuspe{niji sistemi kratkih duìna koriste kontrolu na morskom dnu. Po{to se elektromagnetni talasi ne prostiru kroz vodu dovoljno dobro kao {to smo videli u podpoglavlju 9.2, umesto njih se koriste zvu~ni talasi, pa se takav metod naziva akusti~kim pozicionim sistemom [MACPHEE, 1976]. Druga familija pozicionih ure|aja zasniva se na merenju horizontalne brzine, horizontalnog ubrzanja ili i jednog i drugog, kojim se plovilo kre}e. Oni se koriste isklju~ivo u navigacione svrhe. Senzori koji se tom prilikom koriste su inercijalni (podpoglavlje 16.1), magnetni, ili oni koji mogu meriti trenutnu brzinu plovila u odnosu na okolnu vodu. Ovi sistemi su poznati kao autonomni pozicioni sistemi, i njihov opis se moè na}i npr. u BOWDITCH [1977]. Od ekstraterestri~kih tehnika koje se koriste u marinskom pozicioniranju, treba pomenuti astronomsko odre|ivanje marinskog poloàja, {to je familija najstarijih i jo{ uvek ~esto kori{}enih tehnika poznatih navigatorima. Ove astronomske tehnike baziraju se na lako}i kojom se zenitna odstojanja mogu meriti sekstantom i vreme hronometrom. Bilo koji od matemati~kih modela prikazanih u podpoglavlju 15.2 moè se ovde koristiti [BOWDITCH, 1977], iako je ta~nost opaànja mala. Ako se èli ve}a ta~nost, mora se upotrebiti univerzalni teodolit montiran na stabilizuju}oj platformi [VON ARX, 1967].

SLIKA 18.18. Nagib radio talasa zbog usporenja na Zemljinoj povr{i.

492

HORIZONTALNE MRE@E

§ 18.4

Od satelitskih pozicionih sistema, danas se koristi samo TRANSIT sistem merenja razlika duìna, koji je originalno bio i projektovan za marinsko pozicioniranje. Merna oprema potrebna za druge tehnike (npr. satelitske kamere, laseri, antene), ili je velikih dimenzija ili suvi{e osetljiva za marinsko okruènje. âk se ni TRANSIT sistem (vidi podpoglavlje 15.3) ne moè koristiti u potpunosti zbog kretanja plovila, jer se ovo kretanje me{a sa Doplerovim efektom satelitskog kretanja i dodaje mu ve{ta~ku komponentu. Kretanje tako|e onemogu}ava kori{}enje vi{e od jednog satelitskog prolaza za pozicioniranje. Uzimaju}i u obzir sve izvore gre{aka, EATON ET AL., [1976] ocenili su da je ta~nost TRANSIT pozicioniranja na otvorenom moru od 60 do 600 metara. Situacija }e se zna~ajno promeniti kada NAVSTAR globalni pozicioni sistem dostigne punu konstelaciju (vidi podpoglavlje 15.3). Po{to je projektovan pre svega kao navigaciono oru|e, GPS }e prirodno prevazi}i TRANSIT sistem, naro~ito u marinskom okruènju. Perspektive GPS u tom smislu analizirali su WELLS ET AL., [1982]. Ako su tro{kovi opravdani, upotrebljavaju se kombinacije mernih sistema, pri ~emu se dobija ve}i broj i vi{e vrsta opaànja nego {to je to potrebno za jedinstveno odre|ivanje poloàja. Tada se moè izvr{iti izravnanje i statisti~ka analiza. Kad se upotrebe najmanje dva razli~ita, komplementarna poziciona sistema u dinami~kom odnosno navigacionom reìmu rada, mogu}a je upotreba tehnike Kalmanovog filtriranja (vidi podpoglavlje 14.6). Ovakav pristup primenjen je u nedavno razvijenim integralnim navigacionim i pozicionim sistemima kao {to je BIONAV [WELLS AND GRANT, 1977].

POGLAVLJE 19

VISINSKE MRE@E

Iako su metode merenja i tretman visinskih mreà konceptualno jednostavniji nego kod horizontalnih ili trodimenzionalnih mreà, postizanje visoke ta~nosti visina ta~aka mreè geodetskim nivelmanom zahteva dobro razumevanje prate}ih fizi~kih procesa. To je zato {to su visine odre|ene nivelmanom prisnije vezane za Zemljino gravitaciono polje nego {to su to horizontalni poloàji. Atmosferska refrakcija tako|e ima va`niju ulogu u nivelmanu nego u horizontalnom pozicioniranju. Svi ovi efekti akumuliraju se manje ili vi{e na sistematski na~in. Navedeni problemi detaljno su razra|eni u ovom poglavlju, i na taj na~in je pro{irena uvodna diskusija o vertikalnim mreàma iz podpoglavlja 7.1. Jedan drugi ~isto fizi~ki problem predstavlja realizacija vertikalnog datuma, i ona je obra|ena u prvom podpoglavlju. Drugo podpoglavlje posve}eno je matemati~kim modelima koji se koriste u visinskim mreàma i prirodi sistematskih i slu~ajnih gre{aka u nivelmanu. Tre}e podpoglavlje bavi se konceptima procenjivanja, projektovanja i progu{}avanja visinskih mreà. Poslednje podpoglavlje se samo delimi~no odnosi na visinske mreè. Ono se naime bavi odre|ivanjem visina du` profila, i to u razli~itim okruènjima i uz upotrebu razli~itih koncepata. 19.1. Vertikalni datum Kao {to je ve} konstatovano u podpoglavljima 7.1 i 16.4, ortometrijske i donekle dinami~ke visine koriste geoid kao vertikalni datum, dok je datum za normalne visine kvazigeoid. Tako|e je pokazano da su sa izuzetkom manje ta~nih metoda kao {to je trigonometrijski nivelman, nivelmanske visinske razlike veli~ine koje se mogu meriti i konvertovati u ortometrijske, dinami~ke ili normalne visinske razlike primenom odgovaraju}ih popravaka (podpoglavlje 16.4). Sada se postavlja pitanje kako se moè realizovati nulta referenca za ove visine? Uobi~ajeni na~in da se dobiju visine iz visinskih razlika je da se zapo~ne od morske obale gde je geoid tj. kvazigeoid dostupan. Na okeanima se geoid i kvazigeoid poklapaju (podpoglavlje 7.4), pa ako se jedno od njih locira u ta~ki na obali, automatski je locirano i drugo. Zbog jednostavnosti mi }emo ovde govoriti samo o geoidu.

493

494

VISINSKE MRE@E

§ 19.1

Do pre nekoliko decenija pre}utno je podrazumevano da je srednji nivo mora (podpoglavlje 7.2) teorijski identi~an geoidu, tj. da je razlika izme|u ove dve povr{i zanemarljiva. Stoga je zadatak lociranja vertikalnog poloàja vertikalnog datuma tj. geoida u odnosu na referentni obalski reper bio ograni~en na odre|ivanje poloàja srednjeg nivoa mora. U te svrhe beleèn je trenutni lokalni nivo mora H ISL u odnosu na nulu mareografa. Lokalni srednji nivo mora H MSL je ra~unat, a visina referentnog repera srednjeg nivoa mora H MSL + ∆H BM-TG uspostavljana je na na~in prikazan na slici 1. Visine svih ostalih ta~aka u mreì dobijane su zatim pomo}u visina ovakvih referentnih repera i visinskih razlika akumuliranih du` povezanih nivelmanskih linija [CANNON, 1929]. Iako se visine iznad lokalnog srednjeg nivoa jo{ uvek koriste {irom sveta, one su kao {to znamo pribli`no jednake visinama iznad geoida (kvazigeoida). Razlika je uzrokovana topografijom morske povr{i (slika 1) koja je pomenuta u podpoglavlju 7.2. Njena veli~ina lako moè dosti}i nekoliko decimetara. Izjedna~avanjem visine lokalnog srednjeg nivoa mora sa nulom, tj. zanemarivanjem topografije morske povr{i, visinska mreà se deformi{e uzrokuju}i distorziju visina svih ta~aka.

SLIKA 19.1. Uspostavljanje visine referentnog repera.

§ 19.1

Vertikalni datum

495

SLIKA 19.2. Primer konstantne sistematske gre{ke.

Postoji i drugi problem sa odre|ivanjem lokalnog srednjeg nivoa mora. Naime, u op{tem slu~aju opasno je izvesti srednji nivo ra~unanjem direktne srednje vrednosti uzorka. Takav postupak moè rezultirati konstantnom sistematskom gre{kom ~ija je ilustracija data na slici 2. Stoga se preporu~uje kompletniji tretman. Za njegovu formulaciju moraju se bliè poznavati uzroci varijacija nivoa mora. Kratkoperiodi~ne varijacije zbog cunamija, talasa, poludnevne i dnevne plime, diskutovane su u podpoglavlju 8.4, i efikasno se mogu filtrirati upotrebom niskopropusnih filtera (podpoglavlje 14.2). Problemati~niji su vekovni i dugoperiodi~ni efekti, jer deluju na mese~ne ili godi{nje sredine koje se obi~no koriste u odre|ivanju lokalnog srednjeg nivoa mora. MONTGOMERY [1937-38] je definisao slede}e dugoperiodi~ne uzroke oscilacija nivoa mora: (a) varijacije atmosferskog pritiska, (b) dinami~ki efekti promena morskih struja, (c) promene vetrova, (d) promene temperature i saliniteta, (e) fluktuacije re~nih nanosa, (f) promene batimetrijskih konfiguracija, (g) topljenje leda i (h) dugoperiodi~ne plime. Uz to, postoji jo{ i periodi~na varijacija uzrokovana kretanjem polova, koja }e biti obja{njena u podpoglavlju 25.4. (a) Promene zbog varijacija atmosferskog pritiska mogu pod odre|enim uslovima dosti}i nekoliko decimetara [RODEN, 1966]. [to je ve}i pritisak, ve}a je depresija nivoa vode, s tim {to koeficijent proporcionalnosti varira sa lokacijom oko vrednosti od 1 centimetra po milibaru. (b) vremenskim varijacijama morskih struja malo se zna. Kao {to }emo kasnije videti, te{ko je ~ak i do}i do podataka za odre|ivanje stacionarnog ~lana prvog reda odgovornog za topografiju morske povr{i. To zna~i da je pogotovu te{ko modelirati vremenske promene tj. ~lanove vi{ih redova. (c) Pritisak vetrova intenzivno je izu~avan pre svega zbog opasnosti od olujnih talasa koji mogu dosti}i nekoliko metara [MILLER, 1958]. Dugoperiodi~ni efekti su za razliku od olujnih mnogo manji. Na primer, za luku Halifaks u Kanadi, ANDERSON [1978] je na{ao da je efekat komponente vetra koja je normalna na obalu, maksimalno nekoliko decimetara u mese~nim sredinama.

496

VISINSKE MRE@E

§ 19.1

(d) Struktura temperature i saliniteta morske vode je verovatno jedan od najva`nijih uzroka dugoperiodi~nih promena nivoa mora. Sre}om, ona je uglavnom stabilna, sa eventualnim sezonskim varijacijama termalnog porekla u najvi{im slojevima vode. RODEN [1966] je izra~unao da je termalni efekat izme|u 1 i 3 centimetra po stepenu Celzijusa du` zapadne Amerike. O vremenskim promenama saliniteta vode malo se zna. (e) Fluktuacije re~nih nanosa mogu zna~ajno doprineti dugoperiodi~nim varijacijama i znatno zavise od lokacije. Doprinos moè dosti}i decimetarski nivo [VANI~EK, 1978]. MEADE AND EMERY [1971] su ocenili da su nanosi du` obale isto~ne Amerike odgovorni za 7%-21% varijacija nivoa mora. (f) Efekte morskog dna je za razliku od prethodnih prakti~no nemogu}e kvantifikovati bez numeri~kog modeliranja. (g) Za topljenje leda i reakciju Zemlje na optere}enje istopljenog leda smatra se da su glavni ~inioci vekovnog izdizanja nivoa mora pomenutog u podpoglavlju 8.4. Stvarna vrednost vekovnog porasta je jo{ uvek nesigurna, i procenjuje se izme|u 6 i 10 centimetara po stole}u. (h) Veli~ina dugoperiodi~nog plimskog ~inioca je toliko mala da nema nikakvih prakti~nih posledica. Godi{nja plima ima teorijsku amplitudu od oko 0.5cm [ROSSITER, 1966], ali se stvarna amplituda ne moè dobro odrediti jer je superponovana sa temperaturskim efektima. Ravnote`na vrednost polugodi{nje plimske amplitude je oko 3cm [ROSSITER, 1966], ali je i njena stvarna vrednost nepoznata zbog interferencije sa meteorolo{kim efektima. Kretanja Mese~evog perigeuma (perioda 8.85 godina) i ~vora (perioda 18.6 godina), proizvode varijacije reda 1cm [VANI~EK, 1978]. Interesantno je da je vladalo mi{ljenje da je neophodno imati najmanje 18.6 godina registracija nivoa mora kako bi se eliminisao uticaj ciklusa ~vora. Danas izgleda da ovakva predostro`nost vi{e nije opravdana zbog male amplitude 18.6 godi{njeg ~inioca. Jo{ dva fenomena potrebno je pomenuti: varijacije sa êndlerovim periodom (vidi podpoglavlje 5.4) koje se mogu detektovati [CURRIE, 1975] ali su zanemarljivo male, i vertikalna pomeranja Zemljine kore lokalnog i regionalnog karaktera koja uti~u na mareografske registracije. Oba efekta bi}e detaljno razmotrena u poglavlju 26, a ovde je dovoljno re}i da je neophodno eliminisati uticaj pomeranja ako je to uop{te mogu}e. Kona~no smo u poloàju da moèmo formulisati mogu}i filter za dobijanje vrednosti srednjeg lokalnog nivoa mora. Ozna~avaju}i n vremenskih serija

§ 19.1

Vertikalni datum

497

meteorolo{kih i drugih pomo}nih podataka (temperatura vode, pritisak itd. na lokaciji mareografa) sa Pi (τ ), i = 1, … , n , moè se napisati slede}i linearni filter:

H MSL (τ 0 ) = l (τ ) − c E (τ − τ 0 ) −

n

∑ c (P (τ ) − mean P ) i

i

i

i =1

−

(19.1)

∑ (a cos ω τ + b sin ω τ ) . 5

j

j

j

j

j =1

Ovde je l (τ ) diskretizovana registracija nivoa mora u ta~kama τ (npr. vremenska serija sastavljena od mese~nih sredina), τ 0 je epoha za koju se traì srednji nivo mora, c E je brzina vekovnog izdizanja nivoa mora kombinovana sa lokalnim linearnim pomeranjem kore, ω j ( j = 1, … ,5) su frekvencije dugoperiodi~nih plimskih

~inilaca

i

ve}

pomenute

c E , ci (i = 1, … , n), a j , b j ( j = 1, … ,5) , i

êndlerove

H MSL (τ 0 )

frekvencije. Koeficijenti mogu se odrediti MNK

regresijom razra|enom u podpoglavlju 14.2. U ovoj konkretnoj situaciji, samo se konstanta H MSL (τ 0 ) smatra signalom, dok su svi ostali ~lanovi {um ~ije vrednosti nisu od interesa. Mora se napomenuti da vrednost H MSL zavisi od izabrane epohe τ 0 . Za ilustraciju, slika 3 pokazuje registracije nivoa mora u luci Halifaks u Kanadi, zajedno sa reziduumima nastalim nakon filtracije {uma linearnog trenda, temperature vode, barometrijskog pritiska, re~nih nanosa, efekta vetra i pet periodi~nih ~inilaca [ANDERSON, 1978]. Srednja kvadratna gre{ka Andersonovog odre|ivanja H MSL za epohu τ 0 = 1926 bila je 0.3 centimetra.

SLIKA 19.3. Registracija nivoa mora u luci Halifaks, Kanada. (Ljubazno{}u ENVIRONMENT CANADA [1979], Ottawa, Canada).

498

VISINSKE MRE@E

§ 19.1

Postoji dodatni problem u vezi eustati~kog porasta nivoa mora koji poti~e od definicije geoida upotrebljene u ovom poglavlju. O~igledno, ako se srednji nivo mora menja sa vremenom, menja se i geoid i potencijal koji ga defini{e. U kontekstu visina to bi bila jedna neprijatna ~injenica. Stoga se i srednji nivo mora i vertikalni datum uzimaju kao konstantni za vreme ìvotnog veka vertikalne mreè [CASTLE AND VANI~EK, 1980]. Od tri pomenuta problema (topografija morske povr{i, vremenske varijacije MSL i vremenske varijacije geoida), prvi je najozbiljniji i ne moè se naàlost zadovoljavaju}e re{iti sa dana{njim poznavanjem stvarnog pona{anja okeana. Postoje ~etiri konceptualno razli~ita pristupa u odre|ivanju topografije morske povr{i: prostorni nivelman, izu~avanje globalnih cirkulacija, satelitska altimetrija i tehnika lokalnog odziva. Prostorni nivelman je tehnika kojom se sa broda meri u velikom broju ta~aka varijacija gustine vode sa dubinom. Zatim se na osnovu problemati~ne pretpostavke da horizontalnih okeanskih struja nema na dubinama ve}im od nekoliko kilometara, topografija morske povr{i izvodi direktno integracijom profila gustina u svakoj ta~ki [BJERKNES AND SANDSTROM, 1910]. Raspored globalnih cirkulacija moè se dobiti merenjem trodimenzionalne vremenski promenljive raspodele brzina vodene mase. Na osnovu ovih podataka mogu}e je formulisati i re{iti diferencijalne jedna~ine kretanja morske vode, pri ~emu se topografija morske povr{i dobija kao nusprodukt. Ovu su tehniku npr. koristili HELA AND LISITZIN [1967] u istraìvanju koje smo ve} ilustrovali na slici 7.8. Satelitska altimetrija, jedina moderna kosmi~ka tehnika koja se moè iskoristiti u ove svrhe, bi}e opisana u podpoglavlju 19.4. Prva tri pristupa imaju zajedni~ki nedostatak {to daju samo razliku trenutnog nivoa mora i geoida, tj. trenutnu topografiju morske povr{i. Topografija morske povr{i koja bi bila reprezentativna za duì vremenski period, moè se dobiti samo ako se merenja i ra~unanja ponove vi{e puta tokom vremena. [tavi{e, ta~nost prve dve okeanografske tehnike opada sa pribliàvanjem obali. Prostorni nivelman ne moè se upotrebiti uop{te u plitkim vodama, a priobalne oblasti mora i okeana upravo imaju najve}i zna~aj za geodeziju. êtvrti prstup, tehnika lokalnog odziva, zasniva se na ideji nalaènja permanentne reakcije lokalnog nivoa mora na razne lokalne uticaje kao {to su temperatura, atmosferski pritisak, re~ni nanosi, pritisci vetrova, itd. Ra~unanjem lokalnih anomalija ovih efekata u odnosu na njihove globalne sredine, dobija se lokalna vrednost topografije morske povr{i. MERRY AND VANI~EK [1983] izvestili su o ohrabruju}im rezultatima primene ove tehnike na primeru isto~ne Kanade.

§ 19.2

Matemati~ki modeli nivelmana

499

Lako je videti za{to je topografija morske povr{i uglavnom nepoznata, i za{to nije uzimana u obzir pri uspostavljanju vertikalnog datuma. Alternativa opisanoj metodi koja se zasniva na mareografima je izbor jedne ta~ke u sredini mreè kao po~etka vertikalne mreè. Tada se mogu izvesti visine lokalnih nivoa mora u svim povezanim mareografima. Visine svih ostalih ta~aka, uklju~uju}i i po~etnu, zatim se koriguju za konstantnu veli~inu odre|enu tako da lokalni srednji nivoi mora svuda izgledaju realno. Ova alternativa treba da se izabere samo onda kada je nesigurnost u topografiji morske povr{i toliko velika da ne dozvoljava da se visine referentnih repera koriste kao teìnska ograni~enja u izravnanju. Poslednja tema koja treba da bude prodiskutovana je pogodnost geoida kao datuma nasuprot kvazigeoidu, ili drugim re~ima, pogodnost ortometrijskih visina nasuprot normalnim visinama. Ono {to je u prakti~nim primenama potrebno su visinske razlike jedne ili druge vrste na Zemljinoj povr{ini, pri ~emu uop{te nije va`no gde je ispod lociran vertikalni datum. Osim toga, treba imati u vidu da ni ortometrijske ni normalne visinske razlike nemaju fizi~ko zna~enje, pa se po tom osnovu ne moè opredeljivati koje su bolje. Jedina primena u kojoj je izbor datuma vaàn, je slu~aj kada se visine zajedno sa horizontalnim poloàjima konvertuju u trodimenzionalne koordinate ili obrnuto. U takvoj situaciji mora se poznavati ili geoidna visina N , ili anomalija visine ζ kao {to smo to videli u podpoglavlju 15.4. 19.2. Matemati~ki modeli nivelmana Jedna~inom (16.87) pokazano je da je integral geopotencijalnih brojeva po zatvorenoj krivoj jednak nuli. Isto vaì naravno i za dinami~ke visine, pa imamo:

∫ dH

D

C

=

1 dC = 0 . gR C

∫

(19.2)

Za svaku ortometrijsku visinu tako|e se dobija:

∫ dH

O

=0 .

(19.3)

C

Da bi to dokazali, napi{imo prvo:

H iO = H iD

g − g i′ gR = H iD + H iD R . ′ gi g i′

(19.4)

Sa sli~nom jedna~inom za H Oj , i oduzimanjem jedna~ine (4) od nje, dobija se (uporedi sa (16.92)):

500

§ 19.2

VISINSKE MRE@E

∆H ijO = ∆H ijD + ∆H Dj

g R − g ′j g ′j

− H iD

g R − g i′ = ∆lij + OC ij , g i′

(19.5)

gde je OC ij ortometrijska korekcija. Dalje, smatra}emo bez {tete po op{tost da je zatvorena kriva C sastavljena od dve linije kao {to je pokazano na slici 4. Tada se dobija:

∫ dH

O

= ∆H ijO + ∆H Oji ;

(19.6)

C

Zamena za ortometrijske visinske razlike iz (5) daje:

∫ dH

O

= ∆H ijD + ∆H Dji ,

(19.7)

C

jer se drugi ~lan poni{tava. Ovo je jednako nuli jer je integral du` C diferencijala dinami~kih visina jednak nuli (uporedi sa (2)). O~igledno je da se moè govoriti i o normalnim visinskim razlikama i normalnim korekcijama nivelanih visinskih razlika. îtaocu se ostavlja da izvede izraz za normalnu korekciju jednostavnom zamenom γ i umesto g i′ u (5). Sli~no tome, ~italac bi morao biti u stanju da dokaè da je:

∫ dH

N

=0

(19.8)

C

istim zaklju~ivanjem kao i za ortometrijske visine. Prema tome, svaki se visinski sistem moè koristiti u izravnanju nivelmanskih mreà ako su visinske razlike izvedene upotrebom ubrzanja teè izmerenog na povr{i Zemlje. To je zbog toga {to zbir visinskih razlika u svim ovim sistemima daje teorijsku nulu za zatvoren poligon, i ta se ~injenica moè iskoristiti kao osnova za izravnanje. Ako stvarno ubrzanje na povr{i Zemlje nije poznato ve} se koristi

SLIKA 19.4. Zatvoreni nivelmanski poligon.

§ 19.2


501

normalno ubrzanje γ (podpoglavlje 16.4), visine definisane na ovaj na~in postaju zavisne od puta, i zbir njihovih diferencijala u zatvorenom poligonu nije nula u op{tem slu~aju. Veli~ina razlike izme|u visinskih razlika baziranih na stvarnom i visinskih razlika baziranih na normalnom gravitacionom polju zavisi od razlike izme|u stvarnog ubrzanja g i normalnog ubrzanja γ , od visinske razlike, i u slu~aju ortometrijskih i normalnih visina od srednje visine podru~ja nivelanja izme|u repera linije. Formule za ove razlike, koje se jo{ nazivaju gravitacionim popravkama, izveli su NASSAR AND VANI~EK [1975] za podru~je Amerike. Primer gravitacionih popravaka du` nivelmanske linije dat je na slici 5. Primetimo da nema smisla govoriti o gravitacionim popravkama visina zbog njihove zavisnosti od puta, ve} samo o gravitacionim popravkama visinskih razlika. Sada se postavlja pitanje da li je potrebno sistematski primenjivati gravitacione poravke na pribli`ne visinske razlike. Odgovor mora biti potvrdan ako se èli o~uvati ta~nost merenih visinskih razlika. Iako se na duga~kim linijama gravitacione popravke pona{aju slu~ajno, to nije slu~aj za srednje i kratke linije duìna nekoliko desetina do nekoliko stotina kilometara. Nekoliko istraìva~a je potvrdilo da su na srednjim linijama odstupanja dominantna u odnosu na kumulativne slu~ajne gre{ke nivelanja (npr. VIGNAL AND KUKKAMAKI [1954], KRAKIWSKY AND MUELLER [1966]).

SLIKA 19.5. Pona{anje gravitacionih popravaka du` nivelmanske linije u Alberti, Kanada [NASSAR, 1977].

502

§ 19.2

VISINSKE MRE@E

U nekoliko poslednjih decenija, pokrivenost gravimetrijskim podacima je na nekim kontinentima postala dovoljna da se vrednosti ubrzanja du` nivelmanskih linija mogu dobiti interpolacijom. Pokazano je [VANI~EK ET AL., 1980], da ako se èle odrediti popravke za dinami~ke i Vinjalove visine sa ta~no{}u odnosno standardnom devijacijom koja je manja nego sama popravka, neophodno je da standardna devijacija upotrebljenih anomalija slobodnog vazduha zadovolji slede}u nejednakost:

σ ∆g < ∆g .

(19.9)

U slu~aju Helmertovih visina, formula je ne{to komplikovanija:

σ ∆g <

∆g B − ∆g A − 0.2238∆h AB

.

2(1 − cov(∆g))

(19.10)

Po{to je u ovom slu~aju klju~na veli~ina horizontalni gradijent ubrzanja ∇ s g du` nivelmanskog segmenta S , formula (10) se moè napisati i kao:

σ ∇ s g < ∇ s g − 0.2238β ,

(19.11)

gde je 0.2238 u mGal m −1 , a β je nagib terena. Jednako zna~ajan kao efekat zanemarivanja stvarnog gravitacionog polja je efekat rezidualne refrakcije (vidi podpoglavlje 16.4). Njegovo poreklo leì u ~injenici da je slojevitost temperature vazduha nepravilna kao {to se vidi na slici 6. Prema KUKKAMAKI [1938], popravka za nivelmansku refrakciju δH R iznosi:

δH R = A∆t∆S 2δl .

(19.12)

Ovde je δl merena visinska razlika u metrima, ∆S je duìna vizure u metrima, a ∆t je temperaturna razlika u stepenima Celzijusa na dve izabrane visine z1 , z 2 iznad tla. Dalje je:

A=

4.76 × 10 −4 z1c − z 2c

(

)

⎡ − 1 c +1 ⎤ c +1 c ⎢1 + c z1 − z 2 + z 0 (z1 − z 2 )⎥ ⎣ ⎦

(19.13)

§ 19.2


503

SLIKA 19.6. Karakter rezidualne refrakcije.

u milimetrima po kubnom metru i po stepenu Celzijusa, za z 0 , z1 , z 2 u metrima. Ovde je z 0 visina instrumenta iznad tla, a c je eksponent u uobi~ajeno podrazumevanoj relaciji:

t = a + bz c

(19.14)

izme|u temperature i visine iznad tla. Za c se tipi~no usvaja vrednost − 1 / 3 za dnevni period, tako da se za z1 = 0.5m , z 0 = 1.5m i z 2 = 2.5m , za A dobija

− 6.46 × 10 −5 mm/(m 3 o C) . Za reprezentativne vrednosti ∆S = 50m , δl = 2m i ∆t = −0.25 o C , dobija se δH R = 0.08 milimetara. Glavni problem u primeni ove korekcije je dobijanje prave vrednosti za vertikalni prira{taj temperature ∆t . On se moè ili meriti na terenu ili oceniti iz poznatih meteorolo{kih podataka [HOLDAHL, 1980]. Postoje i formule alternativne formuli (12) [BRUNNER, 1980]. Tako|e se primenjuju i korekcije za temperatursko {irenje letve i nepravilnost njene podele. Po{to ove korekcije pripadaju mernom procesu, ovde ih ne}emo dalje razmatrati. Zainteresovani ~italac upu}uje se na RAPPLEYE [1948] i BOMFORD [1971]. Plimatske korekcije i korekcije za plimatsko optere}enje bi}e obra|ene u poglavlju 25. Korekcije za ostale deformacije kore tako|e treba da budu primenjene ako su izvori poznati, {to je naàlost retko slu~aj. [to se ti~e samog matemati~kog modela izravnanja, on se moè formulisati kao parametarski ili uslovni slu~aj. Mi }emo se ovde baviti samo parametarskim pristupom, ostavljaju}i da uslovni pristup ~italac sam izvede. Jedna~ina opaànja za

504

VISINSKE MRE@E

§ 19.2

SLIKA 19.7. Tipi~na nivelmanska mreà.

nivelmansku liniju izme|u susednih ~vornih ta~aka Pi , Pj moè se napisati kao (vidi sliku 7):

rij∆H = H j − H i − ∆H ij(0 ) ,

(19.15)

gde je ∆H ij(0 ) opaàna vrednost visinske razlike u bilo kojem visinskom sistemu iz podpoglavlja 16.4, korigovana za sve do sada pomenute efekte. Za izravnanje ovih jedna~ina opaànja, potrebno je poznavati kovarijacionu matricu C ∆H opaànih ∆H , i nju }emo prvo prodiskutovati. Ozna~imo visinsku razliku izme|u dva susedna repera sa δH (slika 8). Standardna praksa je da se teìna visinske razlike ∆H ra~una obrnuto proporcionalno duìni S nivelmanske linije ~ija je to visinska razlika. To je opravdano samo ako su visinske razlike δH susednih segmenata statisti~ki nezavisne. Pod ovim uslovom, za varijansu od ∆H vaì: n

σ ∆2H = ∑σ δ2H i .

(19.16)

i =1

Ako se sve visinske razlike δH i jedne linije mere istom ta~no{}u, pogodno je standardizovati sve varijanse σ δ2H izraàvaju}i ih u vidu varijanse nivelane visinske

razlike na jedini~noj duìni ( ∆S = 1 ). Jedini~na varijansa se ozna~ava sa σ 12 , i odre|uje se normalno za duìnu od 1 kilometra. Pod pretpostavkom statisti~ke nezavisnosti, bi}e:

σ δ2H = σ 12 ∆S ,

(19.17)

§ 19.2


505

SLIKA 19.8. Nivelmanska linija.

tako da (16) postaje: n

σ ∆2H = σ 12 ∑ ∆S i = σ 12 S ,

(19.18)

σ ∆H = σ 1 S ,

(19.19)

i =1

ili:

{to se ponekad naziva zakonom kvadratnog korena (vidi npr. BOMFORD [1971]). Za vi{e nivelmanskih linija koje formiraju zatvoreni poligon (slika 4), moè se napisati jedna~ina za nivelmansko nezatvaranje:

w=

m

∑ ∆H

.

i

(19.20)

i =1

O~igledno je da je njegova o~ekivana vrednost nula, tj. E( w) = 0 , a varijansa: m

σ w2 = σ 12 ∑ S i .

(19.21)

i =1

gde je

∑

m

i =1

S i obim poligona. Standardizovano nezatvaranje je: ~= w

w

σ 1 ⎛⎜ ⎝

∑

S ⎞⎟ i =1 i ⎠ m

1/ 2

.

(19.22)

Standardizovana nezatvaranja imaju normalnu raspodelu n(ξ ; 0, 1) ako originalna nezatvaranja w imaju normalnu raspodelu n(ξ ; 0, σ w2 ) .

506

§ 19.2

VISINSKE MRE@E

Kod ve}ine postoje}ih nacionalnih visinskih mreà, standardna devijacija standardizovanih nezatvaranja poligona ima vrednost zna~ajno ve}u od 1 [LUCHT, 1972]. Ta ~injenica je dugo bila poznata, pa ~ak i priznata u specifikacijama razli~itih redova mreà [U.S. FEDERAL GEODETIC CONTROL COMMITTEE, 1974]. Od nekoliko razli~itih obja{njenja ovog fenomena koja se mogu na}i u literaturi, najverovatnija je ona po kojoj osnovna pretpostavka o statisti~koj nezavisnosti visinskih razlika δH izme|u susednih repera du` nivelmanske linije nije zadovoljena [LUCHT, 1972; REMMER, 1975; VANI~EK AND GRAFAREND, 1980]. Kao {to }emo videti, ovo obja{njenje tako|e podrazumeva mogu}nost prisustva nemodeliranih sistematskih efekata. Napi{imo visinsku razliku izme|u dve ~vorne ta~ke kao:

∆H =

n

∑ δH

i

= uδ H ,

(19.23)

i =1

i njenu varijansu:

σ ∆2H = uC δH u T ,

(19.24)

gde je u vektor jedinica, a C δH je kovarijaciona matrica visinskih razlika δH . Pretpostavimo sada radi jednostavnosti da su duìne segmenata ∆S i jednake. Koeficijenti korelacije ρ i ( ρ i = σ kl / σ k σ l i i = k − l ) ~ine u tom slu~aju ~lanove kovarijacione matrice koja ima slede}i oblik:

C δH

ρ1

⎡ 1 ⎢ ⎢ ρ1 2 = σ1 ⎢ ρ2 ⎢ ⎢ ⎢ ρ n −1 ⎣

ρ2

ρ n −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥⎦

1 1

(19.25)

Zamenom (25) u (24) dobija se:

⎡

n −1

⎤

⎣

i =1

⎦

σ ∆2H = σ 12 ⎢n + 2∑ (n − i )ρ i ⎥ .

(19.26)

Za ρ i = 0 dobija se statisti~ki nezavisan slu~aj (19), a za ρ i = 1 dobija se potpuna statisti~ka zavisnost visinskih razlika, {to je drugi grani~ni slu~aj za kojeg vaì:

§ 19.2


σ ∆2H = σ 12 n 2 = σ 12 S 2 .

507

(19.27)

Prema tome, moè se napisati slede}a nejednakost koja izraàva granice u kojima se moè na}i varijansa nivelmanske linije (vidi tako|e i sliku 9):

σ 12 S ≤ σ ∆2H ≤ σ 12 S 2 .

(19.28)

Ono {to je jo{ preostalo za diskusiju je konstrukcija kovarijacione matrice CδH . Kao {to je obja{njeno u podpoglavlju 10.4, ova matrica je u bliskoj vezi sa kovarijacionom funkcijom. Jedna posebna familija kovarijacionih funkcija primenljiva ovde predloèna je od strane LUCHT [1972] i jo{ nekih autora, i glasi (slika 10):

cov (λ ; S − S ′ ) = λ

S −S ′

= λS S ,

(19.29)

gde je λ jedini parametar funkcije, a S − S ′ = S s je duìna izme|u npr. dve sredi{ne ta~ke nivelmanskih segmenata koji su u pitanju. O~igledno je da familija krivih prenosa gre{aka, odgovaraju}ih familija kovarijacionih funkcija, ima granice

S i S sa slike 9. Zbog toga geodete smatraju da stepeni zakon:

σ ∆H / σ 1 = S α , 0.5 ≤ α ≤ 1 ,

(19.30)

adekvatnije opisuje prenos statisti~ki zavisnih gre{aka [MUELLER AND SCHNEIDER, 1968].

SLIKA 19.9. Familija zakona prenosa gre{aka.

508

VISINSKE MRE@E

§ 19.2

SLIKA 19.10. Familija kovarijacionih funkcija.

Uz upotrebu gore formulisanog stepenog zakona i usvojenu familiju kovarijacionih funkcija, mogu}e je izra~unati elemente matrice CδH na slede}i na~in: (a) Za datu ocenu srednje vrednosti veli~ine σ ∆H / σ 1 na odre|enom podru~ju jednakih op{tih klimatskih uslova, i odre|enu vrednost S , veli~ina S α se moè izra~unati pomo}u (30), a zatim i varijanse pomo}u:

(

σ i2 = σ 1 S iα

)

2

, i = 1,..., n

(19.31)

(b) Ponovo pomo}u op{te vrednosti za σ ∆H / σ 1 i odre|eno S , moè da se dobije vrednost za λ sa nomograma (slika 11), a veli~ina:

cov (λ ; S − S ′ ) = λS S ,

(19.32)

se ra~una uz pomo} S s . To omogu}ava odre|ivanje kovarijacionih elemenata iz (uporedi sa (10.43)):

σ ij = σ iσ j cov (λ ; S − S ′ ) i, j = 1,..., n.

(19.33)

Moramo naglasiti da je sve ovo samo koncept za tretiranje problemati~nih statisti~ki zavisnih gre{aka u nivelmanu. Potrebno je istraìvanje da bi se utvrdila najpogodnija vrsta kovarijacione funkcije za dati region. Sli~an pristup treba upotrebiti i za dobijanje kovarijacione matrice C ∆H koja odgovara linijama izme|u

§ 19.2


509

SLIKA 19.11. Odre|ivanje srednjeg parametra statisti~ke zavisnosti.

~vornih ta~aka. Ovako pune kovarijacione matrice koriste se onda u izravnanju mreè. Nakon izravnanja visinskih razlika ∆H izme|u ~vornih ta~aka, potrebno je popraviti individualne visinske razlike δH u okviru svake nivelmanske linije. U ovoj situaciji govori se o povratnoj raspodeli reziduuma iz izravnanja. Po{to je sli~an problem prisutan svuda u geodeziji, npr. u progu{}avanju horizontalnih mreà vlakovima ili u dinami~kom izravnanju visinskih mreà (vidi podpoglavlje 26.4), pogledajmo ga ovde malo bliè.

ˆ i Hˆ . Za izravnatu visinu Hˆ ta~ke Ozna~imo izravnate visine za P1 i P2 sa H 1 2 s na rastojanju S od P1 (vidi sliku 12), moè se napisati:

(

S δHˆ 12 − δH 12 Hˆ S = Hˆ 1 + δH 1S + S12

)

S −S ˆ S ˆ S = 12 H1 + H 2 + δH 1 S − δH 12 S12 S12 S12

(19.34)

510

§ 19.2

VISINSKE MRE@E

SLIKA 19.12. Izravnanje nivelmanske linije.

Ozna~avaju}i S / S12 sa q ∈ 0, 1 , formula (34) moè se napisati kao:

[

Hˆ S = [1 − q, q] Hˆ 1 , Hˆ 2

] + ∑ δH T

ks

i , i +1

S S12

−

i =1

[

= [1 − q, q] Hˆ 1 , Hˆ 2

]

T

+ (1 − q )

ks

∑ δH

i , i +1

i =1

n

∑ δH

i , i +1

i =1

−q

(19.35)

n

∑ δH

i , i +1

.

i =ks

Primenjuju}i kovarijacioni zakon (11.17) na prvi ~lan, i zakon prenosa gre{aka (11.20) na druga dva, tj. pretpostavljaju}i zbog jednostavnosti statisti~ku nazavisnost svih δH , dobija se:

σ H2ˆ S = [1 − q, q] C Hˆ 1Hˆ 2 [1 − q, q] + σˆ 02 (H )(1 − q ) S + σˆ 02 (H ) q 2 (S12 − S ) . T

2

(19.36)

ˆ , Hˆ deo kovarijacione matrice nakon Po{to je kovarijaciona matrica za H 1 2 izravnanja:

⎡ σˆ 2 C Hˆ Hˆ = ⎢ 1 1 2 ⎣σˆ 12

σˆ 12 ⎤ ⎥ . σˆ 22 ⎦

(19.37)

kona~no sledi:

σ H2ˆ S = (1 − q )2 σˆ 12 + 2q(1 − q ) σˆ 12 + q 2σˆ 22 + q (1 − q ) σˆ δ2H12 ,

(19.38)

§ 19.3

Procenjivanje i dizajn visinskih mreà

511

gde je σˆ δ2H = S12σˆ 02 (H ) aposteriori ocena varijanse veli~ine δH 12 . 12

Interesantno je bliè pogledati pona{anje veli~ine σ H2ˆ

S

za S = 0 (tj. za P1 ),

S = 12 S12 (tj. za sredi{nu ta~ku) i S = S12 (tj. za P2 ). Iz (38) direktno se moè napisati:

σ H2ˆ

S

⎧σˆ 12 , S=0, ⎪1 2 = ⎨ 4 σˆ 1 + 2σˆ 12 + σˆ 22 + σˆ δ2H12 , S = 12 S12 , ⎪ 2 S = S12 . ⎩σˆ 2 ,

(

)

(19.39)

Evidentno je da se za obe ~vorne ta~ke P1 , P2 dobija o~ekivani odgovor. [to se ti~e sredi{ne ta~ke, za prva tri ~lana se moè pokazati da predstavljaju ustvari varijansu veli~ine

1 2

( Hˆ 1 + Hˆ 2 ) , a za poslednji ~lan da je varijansa od

1 2

δHˆ 12 . Prema tome,

gre{ka sredi{ne ta~ke ve}a je od gre{aka bilo koje ~vorne ta~ke, {to potvr|uje sli~ne zaklju~ke za vlakove (uporedi sa slikom 18.9). 19.3. Procenjivanje i dizajn visinskih mreà Procenjivanje vertikalnih mreà sastoji se u vrednovanju slu~ajnih i sistematskih uticaja na izravnate visine. [to se ti~e slu~ajnih gre{aka, jasno je da je situacija analogna situaciji sa horizontalnim mreàma (podpoglavlje 18.3). Jedina razlika je u tome {to je ovde region poverenja predstavljen intervalom, dok je u horizontalnim mreàma to bila elipsa. Interval poverenja van konteksta za ta~ku mreè Pi dat je sa:

H i − Hˆ i ≤ Cα σˆ H i ,

(19.40)

ˆ , σˆ MNK ocene visine ta~ke P i njene standardne devijacije. gde su naravno H i i Hi Faktor razmere Cα dat je sa:

Cα = ξ χ 2 , 1−α ,

(19.41)

1

ako se koristi σ 02 , odnosno:

Cα = ξ F1, m −u , 1−α ,

(19.42)

512

VISINSKE MRE@E

§ 19.3

ako se koristi σˆ 02 . Ovde je m broj opaànih visinskih razlika izme|u susednih ~vornih ta~aka, a u broj ~vornih ta~aka. Simultani interval poverenja (u kontekstu) razlikuje se od intervala poverenja van konteksta samo u tome {to se verovatno}a α zamenjuje sa α / N . Relativne elipse gre{aka iz podpoglavlja 18.3 ovde se zamenjuju relativnim intervalima poverenja, koji su ustvari intervali poverenja individualnih visinskih razlika. Imamo:

∆H ij − ∆Hˆ ij ≤ Cα σˆ ∆H ij .

(19.43)

Oni tako|e mogu biti van konteksta ili simultani. Kao i ranije, zanemarivanje kovarijacija u kovarijacionim matricama vodi Bonferonijevoj nejednakosti. Procenjivanje sistematskih distorzija mreè je me|utim mnogo teì zadatak. On se moè izvesti modeliranjem distorzija kao {to je pomenuto u podpoglavlju 19.2, ili istraìvanjem nezatvaranja nivelmanskih poligona i stepena statisti~ke zavisnosti nivelanih visinskih razlika. Pomenimo jedno takvo istraìvanje koje je vodio REMMER [1975]. On je prona{ao visok stepen korelacije izme|u nivelanja napred i nazad ( ρ = 0.72 ) u danskoj mreì prvog reda. Ovaj pristup moè me|utim samo otkriti prisustvo distorzija, ali ne i njihovo poreklo. I istraìvanje statisti~ke raspodele razlika nivelanja u dva smera otkrilo je nesimetriju [WASSEF AND MESSIH, 1960] i bimodalnost [VANI~EK AND HAMILTON, 1972]. Obratimo sada pa`nju na dizajn visinskih mreà. Uobi~ajeno je da se mreà dizajnira tako da minimalizira efekte slu~ajnih gre{aka, pod pretpostavkom da se sistematske distorzije mogu otkloniti. Mi }emo ovde ispitati preno{enje gre{aka za tri konfiguracije: linije, lance poligona i povr{insku mreù poligona. Na slici 13 prikazani su relativni intervali poverenja i akumulirani apsolutni standardni intervali poverenja za svaku konfiguraciju, izvedeni za konstantnu varijansu opaànih visinskih razlika jednaku jedinici. Relativna ta~nost u jedinicama σˆ ∆H varira izme|u 0.57 i 1, i kao {to je o~ekivano, najbolja je za povr{insku konfiguraciju. Koriste}i teoriju slu~ajnog hoda, BORRE AND MEISSL [1974] su dokazali da je za beskona~nu povr{insku mreù pravilnih kvadratnih poligona najve}a relativna ta~nost koja se moè posti}i 0.5, dok je za trougaone poligone ta vrednost 0.33. Klju~ za dobijanje visoke relativne ta~nosti je pove}anje broja linija koje se susti~u u istoj ta~ki. Korisno je znati da manja odstupanja od idealnih formi konfiguracije, ne menjaju zana~ajno rezultate koje smo dali.

§ 19.3

Procenjivanje i dizajn visinskih mreà

513

SLIKA 19.13. Prostiranje slu~ajnih gre{aka u vertikalnoj mreì. (Za obja{njenje vidi tekst).

Vertikalnu mreù mogu}e je oja~ati uklju~ivanjem teìnskih ograni~enja u izravnanju, u vidu visinskih razlika izme|u repera sa suprotnih strana jezera. Ove visinske razlike odre|uju se pomo}u vodenog transfera, {to je tehnika koja koristi jezerske mareografe. Ovom tehnikom mogu se simultano odre|ivati visinske razlike dve obale, na isti na~in kao {to se odre|uje lokalni srednji nivo mora (podpoglavlje 19.1). Ideja se zasniva na ~injenici da nivo jezerske vode varira podjednako na svim obalama. Ta~nost ove metode je skoro kao kod nivelmana prvog reda.

514

VISINSKE MRE@E

§ 19.4

Na naro~ito slabim mestima mreè mogu se koristiti visinske razlike izvedene iz trodimenzionalnih poloàja odre|enih terestri~kim ili ekstraterestri~kim opaànjma. Glavni problemi sa ovakvim visinskim ograni~enjma su poznavanje geoidnih visina, i naravno odgovaraju}a procena njihove ta~nosti u okviru formiranja teìna nivelanih visinskih razlika. Potrebna metodologija data je u podpoglavlju 14.6. Poslednja tema ovog podpoglavlja je progu{}avanje visinskih mreà. Filozofija progu{}avanja i matemati~ki aparat isti su kao za horizontalne mreè. Konstatujmo samo da se za razliku od horizontalnih mreà, ovde mnogo manje dobija uklju~ivanjem progu{}enih mreà u izravnanje visinskih mreà vi{ih redova. Oja~anje koje se time postiè skoro je bezna~ajno. Kona~no, treba napomenuti da se danas najve}i deo progu{}avanja visinskih mreà radi aerotriangulacijom (vidi podpoglavlje 17.2). 19.4. Drugi koncepti odre|ivanja visina U ovom podpoglavlju, koje je veoma slabo povezano sa prethodna tri, bi}e pomenuti koncepti odre|ivanja visina nekim drugim metodama. Te metode koriste razli~ite fizi~ke principe u odre|ivanju visina okeanskog dna, povr{i mora, ili povr{i reljefa u odnosu na neku datumsku povr{. Po~e}emo opisivanje od dna navi{e, diskusijom o (a) batimetriji, (b) barometrijskom nivelmanu, (c) vazdu{nom profilisanju i (d) altimetriji. (a) Batimetrija, odnosno odre|ivanje dubine, koristi akusti~ne talase (vidi podpoglavlje 9.2), koji se emituju sa plovila prema morskom dnu [INGHAM, 1974]. Datum na koji se odnosi izmerena dubina je trenutna morska povr{, ali kako se ona menja sa vremenom, merenja je potrebno redukovati na stacionarnu povr{. Dve glavne stacionarne povr{i koje se koriste su akusti~ni datum, tj. povr{ na koju se odnose merenja, i kartografski datum, tj. povr{ na koju se merenja redukuju za potrebe korisnika [HYDROGRAPHER OF THE NAVY, 1965]. Glavni kriterijum za izbor kartografskog datuma je da i u slu~aju niskih plima, stvarni nivo vode ne bude ispod njega. To zna~i da je u ovom smislu istraìvanje morskih plima od najve}eg zna~aja. Dubina d u bilo kojoj ta~ki putanje plovila moè se odrediti iz: τr

1 d= c(τ ) dτ , 2τ

∫ t

(19.44)

§ 19.4

Drugi koncepti odre|ivanja visina

515

gde je c(τ ) stvarna brzina zvu~nih talasa kroz stub vodene mase, a τ t i τ r su vremena emitovanja i prijema talasa. U praksi, c(τ ) se izraàva kao funkcija temperature t , saliniteta s i hidrostati~kog pritiska p u vidu [HILL, 1966]:

c(τ ) = c 0 + ∆c s (τ ) + ∆ct (τ ) + ∆c p (τ ) + ∆c s ,t , p (τ ) .

(19.45)

Ovde je c 0 neka standardna brzina, dok ostali ~lanovi izraàvaju odstupanja od nje. Glavni problem u odre|ivanju stvarne brzine je kvalitet informacija o salinitetu, temperaturi i pritisku. One se mogu dobiti direktnim merenjem, ili iz modela. Slika 14 prikazuje idealizovani i dva ekstremna primera stvarnih varijacija zvu~nih talasa sa dubinom. Za duboke okeane, brzina je tabulisana kao funkcija poloàja [MATTHEWS, 1939]. Batimetrijski instrument sastoji se od visokofrekventnog uskopojasnog sonara tj. ehosondera, ~ija {irina zraka odre|uje njegove karakteristike [MACPHEE, 1976]. Ehosonderi sa zracima {irokim 30° koriste se za kartiranje plitkih voda za potrebe navigacije, i u takvoj primeni najva`nije je nalaènje najpli}eg dela. Ehosonderi sa zracima {irine 5° ili manje, daju ta~nije rezultate, i koriste se za odre|ivanje dna na ve}im dubinama. Danas je ta~nost odre|ivanja dubina jedan red veli~ine bolja od ta~nosti marinskog horizontalnog pozicioniranja (vidi podpoglavlje 18.4), i za faktor ~etiri bolja od rutinske batimetrije [COMMITTEE ON GEODESY, 1978]. THOMSON

SLIKA 19.14. Profili brzina zvuka (prema THOMSON AND WELLS, [1977]).

516

§ 19.4

VISINSKE MRE@E

WELLS [1977] navode slede}e tipi~ne ta~nosti za razli~ite dubine: d = 10m, 0.3m < σ d < 1.0m; d = 30m, 0.3m < σ d < 1.1m; i d = 100m, 0.6m < σ d < 2.3m .

AND

Postoji jo{ jedan na~in odre|ivanja dubina plitke vode. On podrazumeva fotografije dva medija (vazduha i vode) snimljene sa letelice ~iji poloàj se prati inercijalnim ure|ajem [REID ET AL., 1977]. Potom se koristi fotogrametrijski postupak pomo}u analiti~kog stereopara koji izme|u ostalog ima mogu}nost kori{}enja analiti~ke korekcije za refrakciju dva medija. Pomo}u ove metode dubina obalske vode moè se odrediti sa ta~no{}u oko σ = 1 metar. (b) Barometrijsko odre|ivanje visina zasniva se na poznatim fizi~kim vezama izme|u atmosferskog pritiska p , gravitacije g , gustine vazduha ρ i visine H (vidi podpoglavlje 9.1). Pod pretpostavkom da je temperatura vazduha konstantna u razmatranom podru~ju, dobija se:

p = f (g , ρ , H ) .

(19.46)

[to se ti~e varijacija pritiska, visina H je najva`niji parametar u gornjoj formuli. Ta ~injenica dozvoljava da se napi{e slede}a diferencijalna forma (uporedi sa (9.2)):

dH = −

dp . gρ

(19.47)

Upotrebom zakona idealnog gasa dobija se:

H 2 − H1 =

H2

p2

H1

p1

∫ dH = ∫

p s Tdp H T = s g s ρ s Ts p Ts

p2

∫

p1

dp . p

(19.48)

Kona~no:

H 2 − H1 = H s

T (ln p1 − ln p 2 ) , Ts

(19.49)

gde se indeks s odnosi na standardne atmosferske uslove, a T je stvarna temperatura. Gornji model predstavlja Laplasovu barometrijsku jedna~inu koja vaì ako vaì pretpostavka o izotermalnosti. U gornjem izvo|enju za dve ta~ke je pretpostavljeno da leè na istoj vertikali. Kada to nije slu~aj, neophodno je pretpostaviti da su izobarne povr{i ove dve ta~ke

§ 19.4


517

paralelne (podpoglavlje 9.1). Ova pretpostavka obi~no vaì za podru~je od nekoliko kilometara. ALLAN ET AL., [1968] dali su kompletan matemati~ki model koji predvi|a prostornu varijaciju ubrzanja teè, i uzima u obzir ~injenicu da vazduh nije idealan gas ve} da sadrì vodenu paru. Za kalibraciju barometara i detalje terenskih postupaka, ~italac se upu}uje na ALLAN ET AL., [1968]. Kada se upotrebi odgovaraju}a merna metoda, tipi~na ta~nost barometrijskog odre|ivanja visina iznosi oko σ = 2m u ravnom i blagom terenu. U planinskim predelima dolazi do velikih promena u svim relevantnim veli~inama, tako da se ta~nost znatno smanjuje. Barometrijsko odre|ivanje visina je diskretna operacija kojom se ne mogu dobiti kontinualni visinski profili kao sa prethodnom batimetrijskom tehnikom. (c) Vazdu{na registracija profila (APR), kao {to ime sugeri{e, predstavlja tehniku registracije kontinualnog profila terena ispod letelice. THOMSON [1966] opisuje postupak na slede}i na~in: Avion se prvo penje na visinu od oko 3000m iznad terena. Onda se sistem kalibri{e iznad podru~ja sa poznatim visinama, obi~no iznad jezerske povr{ine (slika 15), i diferencijalni barometar se postavlja na vrednost odgovaraju}eg referentnog pritiska. Avion se zatim usmerava na povr{ izabranog referentnog pritiska u granicama od oko 20m, i profil terena se registruje. U isto vreme registruju se varijacije pritiska jer se one mogu pretvoriti u odstupanja u visini leta od referentne povr{i pritiska. Na kraju postupka sistem se ponovo kalibri{e.

SLIKA 19.15. Vazdu{no profilisanje.

518

VISINSKE MRE@E

§ 19.4

Dana{nji registratori profila koriste impulse mikrotalasa i imaju ta~nost od σ = 3 metra. Ta~nost je donekle ograni~ena relativno velikom uglovnom disperzijom zraka koja iznosi oko 1.5°. Zbog toga se talas prima odbijen sa povr{ine od oko jednog hektara. U tom smislu govori se o {irokoj stopi sistema. Mikrotalasi se po prirodi stvari ne mogu bolje fokusirati, pa se danas eksperimenti{e sa laserom. Cilj je da se veli~ina stope smanji na samo nekoliko kvadratnih centimetara kako bi ta~nost bila σ = 0.5m ili bolja. Glavno ograni~enje APR postupka je ta~nost kojom se moè u nekoj ta~ki locirati izobarna povr{. Kada su atmosferski uslovi stabilni a izobarne povr{i ravne, ta ta~nost iznosi oko σ = 5m. Sa laserskim APR sistemima [HURSH ET AL., 1977] testirane su mogu}nosti pozicioniranja aviona inercijalnim ure|ajima ili satelitima. Avion se moè pozicionirati i upotrebom fotografskih traka [WISE, 1979]. Takvo pozicioniranje aviona bi u svakom slu~aju re{ilo problem ta~nosti lociranja izobarnih povr{i. (d) Satelitska altimetrija je tehnika pri kojoj satelit koji obilazi oko Zemlje emituje prema njoj kratke impulse elektromagnetnih talasa, i registruje vreme potrebno da reflektovani impuls ponovo do|e do njega. Iz ovog vremena izvodi se vertikalno rastojanje izme|u satelita i Zemljine povr{i odnosno povr{i mora i okeana (slika 16). U me|uvremenu, satelit se prati sa Zemaljskih stanica poznatog poloàja, kako bi se odredila njegova orbita (vidi podpoglavlje 23.2).

SLIKA 19.16. Satelitska altimetrija.

§ 19.4


519

Kada su visina hs satelitske orbite iznad referentnog elipsoida i satelitska visina a iznad morske povr{i poznati, pomo}u njih se moè odrediti visina hi trenutnog nivoa mora iznad referentnog elipsoida (vidi sliku 17).

hi = hs − a

(19.50)

Da bi se to postiglo neophodno je izvr{iti korekcije zbog satelitske orbite, anomalijskog stanja mora zbog meteorolo{kih uslova itd. [RUMMEL AND RAPP, 1977]. Najjednostavniji na~in odre|ivanja srednje morske povr{i je upotreba mreè prese~nih ta~aka, tj. ta~aka u kojima se pojedine orbite seku, i u kojima se zahteva da korigovana topografija morske povr{i bude ista u dve epohe [MATHER ET AL., 1979]. Ako je jo{ i geoidna visina N poznata, moè se dobiti trenutna visina morske povr{i H i iznad geoida (podpoglavlje 19.1), i to jednostavnim oduzimanjem N od

hi . Obratno, ako se zanemari trenutna topografija morske povr{i, onda se hi moè posmatrati kao prva aproksimacija geoidnih visina. Za ovu primenu, uputno je korigovati hi barem za efekat plime mora. A ako se vrednosti trenutne topografije morske povr{i odre|uju u~estano i pri tome koriguju za plimatski uticaj, moè se izvesti srednja topografija morske povr{i.

SLIKA 19.17. Model satelitske altimetrije.

520

VISINSKE MRE@E

§ 19.4

SLIKA 19.18. Globalna topografija morske povr{i iz SEASAT altimetrije. Izolinije u centimetrima.

Prvi altimetar instaliran je u SKYLAB i imao je ta~nost od oko 10m [MCGOOGAN ET AL., 1974]. GEOS-3 satelitski altimetar bio je ta~an oko σ = 1m [STANLEY,1979; AGU, 1979], a SEASAT [AGU, 1982; 1983] oko jedan red veli~ine bolje. Skori rezultati sugeri{u da se dugotalasni ~lanovi topografije morske povr{i mogu dobiti sa ta~no{}u σ = 15cm upotrebom satelitske altimetrije. Slika 18 pokazuje globalne rezultate iz SEASAT [CHENEY AND MARSH, 1982]. îtalac se savetuje da uporedi ove rezultate sa slikom 7.8.

DEO IV

LITERATURA

AARDOOM, L., A.G. GIRNIUS AND G. VEIS (1967). Determination of the absolute space directions between Baker−Nunn camera stations. Proc. 2nd International Symposium on the Use of Artificial Satellites for Geodesy, Ed. G. Veis, IAG and COSPAR, Athens, Greece, April, 1965. National Technical University, Vol. II, pp. 315-344. ACKERMANN, F. (1968). Gesetzmässigkeiten der absoluten Lagegenauigkeit von Blöcken. Bildmessung und Luftbildwesen 36 (1), pp. 3-15. ACKERMANN, F. (1974). Results of recent experimental investigations in aerial triangulation. Proc. 40th Annual Meeting of the American Society of Photogrammetry, St. Louis, U.S.A., March, pp. 216-234. ADAMS, G.W. (1977). Inertial survey data reduction using maximum likelihood estimation. Proc. 1st International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, IAG and CIS, Ottawa, Canada, October. Canadian Institute of Surveying, pp. 380-387. ALBERDA, J.E. (1974). Aspects of large leveling nets. Canad. Surv. 28 (5), pp. 643-652. ALLAN, A.L., J.R. HOLLWEY AND J.H.B. MAYNES (1968). Practical Field Surveying and Computations. Heinemann. AMERICAN GEOPHYSICAL UNION (1979). Journal of Geophysical Research 84(B8), July, pp. 3779-4082. AMERICAN GEOPHYSICAL UNION (1982). SEASAT Special Issue I. Reprinted from Journal of Geophysical Research 87(C5), April. AMERICAN GEOPHYSICAL UNION (1983). SEASAT Special Issue II. Reprinted from Journal of Geophysical Research 88(C3), February, pp. 1529-1952. ANDERLE, R.J. (1974). Transformation of terrestrial survey data to Doppler satellite datum. J. Geophys. Res. 79 (35), pp. 5319-5331. ANDERLE, R.J. (1980). The global positioning system. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 294, pp. 395-406. ANDERSON, E.G. (1978). Modelling of physical influences in sea level records for vertical crustal movement detection. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, An International Symposium on the Applications of Geodesy to Geodynamics, Ed. I.I. Mueller. IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 145-152. ANDERSON, E.N. (1966). Principles of Navigation. Hollis and Carter. ANGUS-LEPPAN, P.V. (1972). Adjustment of trilateration using length ratios. Surv. Rev. XXI (166), pp. 355-368. Apparent Places of Fundamental Stars, 1979 (1977). Astronomisches Rechen-Institut, Heidelberg, Germany. ASHKENAZI, V. AND P.A. CROSS (1972). Strength analysis of block VI of the European triangulation. Bull. Géod. 103, pp. 5-25. BAARDA, W. (1973). S-transformations and criterion matrices. Netherlands Geodetic Commission, Publications on Geodesy, New Series 5 (1), Delft, Netherlands. BAESCHLIN, C.F. (1960). Das Geopotential, metrische Höhen und Gebrauchshöhen. Schweizerische Zeitschrift für Vermessung, Kulturtechnik und Photogrammetrie 58 (6). BARTELME, N. AND P. MEISSL (1974). Strength analysis of distance networks. Geodetic Institute of the Technical University Report 15, Graz, Austria.

521

522

LITERATURA, DEO IV

BEATTIE, D.S. (1978). Documentation of program GANET (geodetic adjustment of networks). Publication of the Geodetic Survey of Canada, Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Canada. BJERKNES, V. AND J.W. SANDSTRÖM (1910). Dynamical meteorology and hydrography. Part I, statistics. Publications of the Carnegie Institute 88, pp. 1-146, Washington, D.C., U.S.A. BLAHA, G. (1971a). Inner adjustment constraints with emphasis on range observations. Department of Geodetic Science Report 148, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. BLAHA, G. (1971b). Investigations of critical configurations for fundamental range networks. Department of Geodetic Science Report 150, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. BLAIS, J.A.R. (1979). Least-squares block adjustment of stereoscopic models and error analysis. Ph.D. dissertation, Department of Surveying Engineering, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. BOMFORD, G. (1971). Geodesy. 3rd ed., Oxford University Press. BORRE, K. (1977). Geodetic elasticity theory: its matter and an application. Bull. Géod. 51 (1), pp. 63-71. BORRE, K. (1978). Error propagation in absolute geodetic networks ⎯ a continuous approach. Studia Geoph. et Geod. 22, pp. 213-223. BORRE, K. AND P. MEISSL (1974). Strength analysis of leveling-type networks. An application of random walk theory. Danish Geodetic Institute Report 50, Copenhagen, Denmark. BOSSLER, J.D., C.C. GOAD AND P.L. BENDER (1980). Using the Global Positioning System for geodetic positioning. Bull. Géod. 54, pp. 553-563. BOWDITCH, N. (1977). American Practical Navigator: An Epitome of Navigation. Defense Mapping Agency Hydrographic Center Publication 9, DMA stock no. NVPUB9V1, Washington, D.C., U.S.A. BREMMER, H. (1949). Terrestrial Radio Waves ⎯ Theory of Propagation. Elsevier. BRITTING, K.R. (1971). Inertial Navigation Systems Analysis. Wiley. BROTEN, N.W., T.H. LEGG AND J.L. LOCKE (AND OTHERS) (1967). Long base line interferometry: a new technique. Science 156 (3782), pp. 1592-1593. BROUWER, D. AND G.M. CLEMENCE (1961). Methods of Celestial Mechanics. Academic Press. BROWN, D.C. (1970). Near term prospects for positional accuracies of 0.1 to 1.0 metres from satellite geodesy. Report prepared by DBA Systems, Inc. for Air Force Cambridge Research Laboratories, Report AFCRL-70-0501, Bedford, U.S.A. BROWN, D.C. AND J.E. TROTTER (1969). SAGA, a computer program for short arc geodetic adjustment of satellite observations. Prepared by DBA Systems, Inc. for Air Force Cambridge Research Laboratories, Report AFCRL-69-0080, Bedford, U.S.A. BRUNAVS, P. AND D.E. WELLS (1971). Accurate phase lag measurements over seawater using Decca Lambda. Unpublished manuscript, Atlantic Oceanographic Laboratory, Bedford Institute, Dartmouth, Canada. BRUNNER, F.K. (1980). Systematic and random atmospheric refraction effects in geodetic levelling. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition on North American Vertical Geodetic Networks, Ed. G. Lachapelle, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, CIS, NSERC, Ottawa, Canada, May, pp. 691-704. BRUNS, H. (1878). Die Figur der Erde. Publication des Königlichen Preussischen Geodätischen Institutes, Berlin, Germany. BUR[A, M. (1962). The theory of the determination of the non-parallelism of the minor axis of the reference ellipsoid, polar axis of inertia of the earth, and ititial astronomical and geodetic meridians from observations of artificial earth satellites. Translated from Russian by the National Translation Center, The John Crerar Library, Chicago, U.S.A., from Stud. Geoph. et Geod. 6, pp. 209-214. BUR[A, M. (1965). Determination of the direction of the minor axis of the reference ellipsoid and the plane of the initial geodetic meridian from the artificial satellite data. 1973 translation from Russian by the National Research Council of Canada, from Stud. Geoph. et Geod. 9 (1), pp. 14-22. CANNON, J.B. (1929). Adjustment of the precise level net of Canada 1928. Geodetic Survey of Canada Special Publication 28, Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Canada.

LITERATURA, DEO IV

523

CASTLE, R.O. AND P. VANÍÊK (1980). Interdisciplinary considerations in the formulation of the new North American vertical datum. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Vertical Geodetic Networks, Ed. G. Lachapelle, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, CIS, NSERC, Ottawa, Canada, May, pp. 285-300. CHENEY, R.E. AND J.G. MARSH (1982). Global ocean circulation from satellite altimetry. EOS Trans. AGU 63 , p. 997. CHOVITZ, B. (1974). Three-dimensional model based on Hotine's Mathematical Geodesy. Canad. Surv. 28 (5), pp. 568-573. CHRISTODOULIDIS, D.C. AND D.E. SMITH (1983). The role of satellite laser ranging through the 1990's. Proc. IAG Symposia, IAG, IUGG, Hamburg, FRG, August, Dept. of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., Vol. 2, pp. 408-431. CHRZANOWSKI, A.J. AND G. KONECNY (1965). Theoretical comparison of triangulation, trilateration and traversing. Canad. Surv. XIX (4), pp. 353-366. CLARK, D. (1969). Plane and Geodetic Surveying for Engineers. Vol. II, 6th ed., Constable. COMMITTEE ON GEODESY (1978). Geodesy: trends and prospects. U.S. National Research Council, Washington, D.C., U.S.A. CONTE, S.D. AND C. DE BOOR (1972). Elementary Numerical Analysis. McGraw-Hill. COUNSELMAN, C.C. AND S.A. GOUREVITCH (1981). Miniature interferometer terminals for Earth surveying: Ambiguity and multipath with Global Positioning System. IEEE Trans. on Geoscience and Remote Sensing GE-19(4), October. CURRIE, R.G. (1975). Period, Qp and amplitude of the pole tide. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 43, pp. 73-86. DARE, P. AND P. VANÍÊK (1982). Strength analysis of horizontal networks using strain. Survey Control Networks, Proc. of meeting of Study Group 5B, Ed. K. Borre, W.M. Welsch. FIG, Aalborg University Centre, Denmark, July. Hochschule der Bundeswehr, München, Heft 7, pp. 181-196. DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES (1973). Specifications and recommendations for control surveys and survey markers. Surveys and Mapping Branch Misc. Ser. 73/3, Ottawa, Canada. DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES (1979). Personal communication. Geodetic Survey of Canada, Ottawa, Canada. DEPARTMENT OF MINES AND TECHNICAL SURVEYS (1955). Geodetic application of Shoran. Geodetic Survey of Canada Publication 78, Ottawa, Canada. DRACUP, J.F. (1978). Net adjustment of the NAD and the surveyor. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks. U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 481-486. DRAPER, C.S. (1977). Inertial technology for surveying and geodesy. Proc. 1st International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, IAG and CIS, Ottawa, Canada, October. Canadian Institute of Surveying, pp. 5-41. DUFOUR, H.M. (1970). Générations et applications des tableaux de variance des systèmes de moindres carrés. Bull. Géod. 98, pp. 309-339. EATON, R.M., D.E. WELLS AND N. STUIFBERGEN (1976). Satellite navigation hydrography. Internat. Hydrogr. Rev. LIII (1), pp. 99-116. EBNER, H. (1975). Selfcalibrating block adjustment by independent models. Proc. 41st Annual Meeting of the American Society of Photogrammetry, Washington, D.C., U.S.A., March, pp. 30-38. ENVIRONMENT CANADA (1979). Personal communication. Marine Environmental Data Service Branch, Marine Information Directorate, Ocean and Aquatic Sciences, Ottawa, Canada. FILA, K. AND C. CHAMBERLAIN (1978). Integration of secondary networks in the Maritime Provinces. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 519-527. FUBARA, D.M.J. (1972). Three-dimensional geodesy for terrestrial network adjustment. J. Geophys. Res. 77 (5), pp. 796-807.

524

LITERATURA, DEO IV

GARFINKEL, B. (1944). An investigation in the theory of astronomical refraction. Astronom. J. 50 (8). GOAD, C.C. AND B.W. REMONDI (1984). Initial relative positioning results using the Global Positioning System. Bull. Géod. 58, pp. 193-210. GREGERSON, L.F. (1975). Inertial geodesy in Canada. Paper presented at the Fall Meeting of the American Geophysical Union, San Francisco, U.S.A., December. GREGERSON, L.F. (1980). Personal communication. HALMOS, F. AND I. KÁDÁR (1977). An attempt to interpret physically the notion-system of geodetic information. Bull. Géod. 51 (1), pp. 1-16. HARMAN, H.H. (1967). Modern Factor Analysis. 2nd ed. rev., University of Chicago Press. HEISKANEN, W.A. AND H. MORITZ (1967). Physical Geodesy. Freeman. HELA, I. AND E. LISITZIN (1967). A world mean sea level and marine geodesy. Proc. 1st Marine Geodesy Symposium, Battelle Memorial Institute, Columbus, U.S.A., September, 1966. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 71-73. HELMERT, F.R. (1880). Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie. Vol. I, Minerva G.M.B.H. reprint, 1962. HILL, M.N. (ED.) (1966). The Sea. Vol. I, Wiley Interscience. HOLDAHL, S.R. (1980). A model of temperature stratification for correction of levelling refraction. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Vertical Geodetic Networks, Ed. G. Lachapelle, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, CIS, NSERC, Ottawa, Canada, May, pp. 647-676. HOPFIELD, H.A. (1969). Two-quartic tropospheric refractivity profile for correcting satellite data. J. Geophys. Res. 74, pp. 4487-4499. HOSKINSON, A.J. AND J.A. DUERKSEN (1952). Manual of geodetic astronomy-determination of longitude, latitude, and azimuth. U.S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 237, Washington, D.C., U.S.A. HOTHEM, L.D., D.S. ROBERTSON AND W.E. STRANGE (1978). Orientation and scale of satellite Doppler results based on combination and comparison with other space systems. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 167-180. HOTINE, M. (1946). The orthomorphic projection of the spheroid. Emp. Surv. Rev. 8, pp. 300-311. HOTINE, M. (1947). The orthomorphic projection of the spheroid. Emp. Surv. Rev. 9, pp. 25-35, 52-70, 112-123, 157-166. HOTINE, M. (1969). Mathematical Geodesy. ESSA Monograph 2. U.S. Department of Commerce, Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A. HRADILEK, L. (1972). Refraction in trigonometric and three-dimensional terrestrial networks. Canad. Surv. 26 (1), pp. 59-70. HUGGETT, G.R. AND L.E. SLATER (1978). Recent advances in multiwavelength distance measurement. Proc. International Symposium on Electromagnetic Distance Measurement and the Influence of Atmospheric Refraction, Ed. P. Richardus. IAG, Wageningen, The Netherlands, May, 1977. Rijkscommissie voor Geodesie, Delft, The Netherlands, pp. 141-152. HURSH, J.W., G. MAMON AND J.A. SOLTZ (1977). Aerial profiling of terrain. Proc. 1st International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, IAG and CIS, Ottawa, Canada, October. Canadian Institute of Surveying, pp. 121-130. HYDROGRAPHER OF THE NAVY (1965). Admiralty manual of hydrographic surveying. Vol. I, II, Royal Navy, London, U.K. INGHAM, A.E. (1974). Hydrography for the Surveyor and Engineer. Granada. ISNER, J.F. (1978). Helmert block initial level system. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 405-416. ISNER, J.F. AND G.M. YOUNG (1978). Horizontal data entry. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of

LITERATURA, DEO IV

525

Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 233-246. JOHLER, J.R., W.G. KELLAR AND L.C. WALTERS (1956). Phase of the low radio frequency ground wave. (U.S.) National Bureau of Standards Circular 573. JONES, H.E. (1973). Geodetic datums in Canada. Canad. Surv. 27 (3), pp. 195-207. JORDAN, W. AND O. EGGERT (1962). Handbuch der Vermessungskunde. Bd. III. Translated from German by the U.S. Army Map Service, Washington, D.C., U.S.A. JORGENSEN, P.S. (1980). NAVSTAR/Global Positioning System 18-satellite constellation. Navigation, Journal of the (U.S.) Institute of Navigation, 27(2), pp. 89-100. KAULA, W. (1966). Theory of Satellite Geodesy: Applications of Satellites to Geodesy. Blaisdell. KAYTON, M. (1960). Coordinate frames in inertial navigation. Ph.D. dissertation, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, U.S.A. KELLER, M. (1967). Block adjustment operation at C&GS. Photogr. Engrg. XXXIII (11), pp. 1266-1275. KNIGHT, W. AND M.P. MEPHAM (1978). Report on computer programs for solving large systems of normal equations. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 357-363. KOLACZEK, B. AND G. WEIFFENBACH (EDS.) (1975). Proceedings of Colloquium No. 26 on Reference Coordinate Systems for Earthdynamics. IAU, Toruń, Poland, August, 1974. Polish Academy of Sciences, Toruń, Poland. KORN, G.A. AND T.M. KORN (1968). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. 2nd ed., McGraw-Hill. KOUBA, J. (1976). Doppler leveling. Canad. Surv. 30 (1), pp. 21-32. KOUBA, J. (1980). Geodetic satellite Doppler positioning and application to Canadian test adjustment. Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A 294, pp. 271-276. KOUBA, J. AND D.E. WELLS (1976). Semidynamical Doppler satellite positioning. Bull. Géod. 50 (1), pp. 27-39. KRAKIWSKY, E.J. AND I.I. MUELLER (1966). Proposed establishment of a first-order height system in the U.S.A. Paper presented at the 47th Annual Meeting of the American Geophysical Union, Washington, D.C., U.S.A., April. KRAKIWSKY, E.J. AND D.B. THOMSON (1974). Mathematical models for the combination of terrestrial and satellite networks. Canad. Surv. 28 (5), pp. 606-615. KRAKIWSKY, E.J., D.E. WELLS AND B.P. KIRKHAM (1972). Geodetic control from Doppler satellite observations. Canad. Surv. 26 (2), pp. 146-162. KUKKAMÄKI, T.J. (1938). Über die Nivellitische Refraktion. Finnish Geodetic Institute Publication 25, Helsinki, Finland. LAMBECK, K. (1971). The relation of some geodetic datums to a global geocentric reference system. Bull. Géod. 99, pp. 37-53. LANGLEY, R.B., G. BEUTLER, D. DELIKARAOGLOU, B. NICKERSON, R. SANTERRE, P. VANÍÊK AND D.E. WELLS (1984). Studies in the application of the Global Positioning System to differential positioning. Department of Surveying Engineering Technical Report 108, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. LATIMER, J.H. AND E.M. GAPOSCHKIN (1977). Scalar translocation using laser range data. Paper presented at the Spring Annual Meeting of the American Geophysical Union, Washington, D.C., U.S.A., June. LEE, L.P. (1976). Conformal Projections Based on Elliptic Functions. Cartographica Monograph 16, B.V. Gutsell, Toronto, Canada. LEVALLOIS, J.J. (1964). Sur la fréquence des mesures de pesanteur dans les nivellements. Bull. Géod. 74, pp. 317-325. LUCHT, H. (1972). Korrelation im Präzisionsnivellement. Wissenschaftliche Arbeiten der Lehrstuhle für Geodäsie, Photogrammetrie und Kartographie an der Technischen Universität Nr. 48, Hannover, Germany.

526

LITERATURA, DEO IV

MACDORAN, P.F., A.E. NIELL, K.M. ONG AND G.M. RESCH (1978). Radio interferometric geodetic networks. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 149-165. MACPHEE, S.B. (1976). Acoustics and echo sounding instrumentation. Canadian Hydrographic Service Technical Report 1976-1, Department of Fisheries and Oceans, Ottawa, Canada. MALING, D.H. (1973). Coordinate Systems and Map Projections. George Philip and Son Ltd. MATHER, R.S. (1970). The geocentric orientation vector for the Australian geodetic datum. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 22, pp. 55-81. MATHER, R.S., C. RIZOS AND R. COLEMAN (1979). Remote sensing of surface ocean circulation with satellite altimetry. Science 205, pp. 11-17. MATTHEWS, D.J. (1939). Tables of the velocity of sound in pure water and sea water for use in echosounding and sound-ranging. Hydrographic Department of the Admiralty Manual HD-282, His Majesty's Stationery Office, London, U.K. MCGOOGAN, J.T., C.D. LEITAO, L.S. MILLER AND W.T. WELLS (1974). SKYLAB S-193 altimeter experiment performance, results and applications. Proc. International Symposium on Applications of Marine Geodesy, Battelle Memorial Institute, DMA, NASA, NOAA, NSF, ONR, Columbus, U.S.A., June. Marine Technology Society, Washington, D.C., U.S.A., pp. 291-300. MCLELLAN, C.D., A.E. PETERSON AND G. KATINAS (1970). GALS: geographic adjustment by least squares. A computer program to adjust horizontal control surveys. Report of the Geodetic Survey of Canada, Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Canada. MEADE, R.H. AND K.O. EMERY (1971). Sea level as affected by river runoff, eastern U.S. Science 173 (3995), pp. 425-428. MEISSL, P. (1974). The strength of continental terrestrial networks. Canad. Surv. 28 (5), pp. 582-589. MEISSL, P. (1978). A priori prediction of roundoff error accumulation during the adjustment of the United States ground control network by the Helmert blocking technique. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 333-345. MENZEL, D.H. (1955). Fundamental Formulas of Physics. Vol. 2, Dover reprint, 1960. MERRY, C.L. AND P. VANÍÊK (1983). Investigation of local variations of sea-surface topography. Marine Geodesy 7(1-4), pp. 101-126. MILLER, A.R. (1958). The effects of winds on water levels on the New England coast. Limnology and Oceanogr. 3 (1), pp. 1-14. MOFFETT, J.B. (1971). Program requirements for two minute integrated Doppler satellite navigation solution. Applied Physics Laboratory Technical Memorandum TG-819-1, The Johns Hopkins University, Silver Spring, U.S.A. MOLODENSKIJ, M.S., V.F. EREMEEV AND M.I. YURKINA (1960). Methods for study of the external gravitational field and figure of the earth. Translated from Russian by the Israel Program for Scientific Translations for the Office of Technical Services, U.S. Department of Commerce, Washington, D.C., U.S.A., 1962. MONTGOMERY, R.B. (1937-38). Fluctuations in monthly sea level on eastern U.S. coast as related to dynamics of western North Atlantic ocean. J. Mar. Res. 1 (2), pp. 165-185. MUELLER, I.I. (1964). Introduction to Satellite Geodesy. Ungar. MUELLER, I.I. (1969). Spherical and Practical Astronomy as Applied to Geodesy. Ungar. MUELLER, I.I. (1974). Global satellite triangulation and trilateration results. J. Geophys. Res. 79 (35), pp. 5333-5347. MUELLER, I.I. AND M. KUMAR (1975). The OSU 275 system of satellite tracking station coordinates. Department of Geodetic Science Report 228, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. MÜLLER, K. AND E. SCHNEIDER (1968). Nivellementswidersprüche in Statistischer Sicht. Z. Vermessungstechnik 16, pp. 8-15.

LITERATURA, DEO IV

527

NASSAR, M.M. (1977). Gravity field and levelled heights in Canada. Department of Surveying Engineering Technical Report 41, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. NASSAR, M.M. AND P. VANÍÊK (1975). Levelling and gravity. Department of Surveying Engineering Technical Report 33, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION (1984). Geodynamics. Proc. of a Workshop, Ed. L.S. Walter. NASA, Airlie, VA, U.S.A., February, 1983. NASA Conference Publication 2325. NEWCOMB, S. (1906). A Compendium of Spherical Astronomy. Dover reprint, 1960. PAUL, M.K. (1973). A note on the computation of geodetic (Cartesian) coordinates. Bull. Géod. 108, p. 135. PICK, M., J. PICHA AND V. VYSKOÎL (1973). Theory of the Earth's Gravity Field. Elsevier. RAINSFORD, H.F. (1955). Long geodesics on the ellipsoid. Bull. Géod. 37, pp. 12-22. RAMSAYER, K. (1971). Untersuchung der Genauigkeit eines Raumpolygonzugs. Z. Vermessungswesen 96 (10), pp. 429-439. RAPPLEYE, H.S. (1948). Manual of geodetic leveling. U.S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 239, Washington, D.C., U.S.A. REID, D.B., S.E. MASRY AND J.R. GIBSON (1977). An inertially aided photobathymetry system. Proc. 1st International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, IAG and CIS, Ottawa, Canada, October. Canadian Institute of Surveying, pp. 361-369. REMMER, O. (1975). Levelling errors in Statu Nascendi. Geodaetisk Institut Report 51, Copenhagen, Denmark. RICHARDUS, P. AND R.K. ADLER (1972). Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. North-Holland. ROBBINS, A.R. (1962). Long lines on the spheroid. Emp. Surv. Rev. 16 (125), pp. 301-309. ROBBINS, A.R. (1976). Military engineering: field and geodetic astronomy. Vol. 13, Part 9, Ministry of Defence Army Code No. 71091, School of Military Survey, Hermitage, Newbury, Berkshire, U.K. RODEN, G.I. (1966). Low frequency sea level oscillations along the pacific coast of North America. J. Geophys. Res. 71 (9), pp. 4755-4776. ROSSITER, J.R. (1966). Long-term variations in sea level. In: The Sea, Vol. I, Ed. M.N. Hill, Wiley Interscience. RUMMEL, R. AND R.H. RAPP (1977). Undulation and anomaly estimation using GEOS-3 altimeter data without precise satellite orbits. Bull. Géod. 51 (1), pp. 73-88. SAASTAMOINEN, J.J. (1967). Electromagnetic Distance Measurement. Hilger and Watts. SAASTAMOINEN, J.J. (1973). Contributions to the theory of atmospheric refraction. Bull. Géod. 107, pp. 13-34. SCARBOROUGH, J.B. (1958). The Gyroscope: Theory and Applications. Interscience. SCHMID, H.H. (1974). Worldwide geometric satellite triangulation. J. Geophys. Res. 79 (35), pp. 53495376. SCHUT, G.H. (1968). Review of strip and block adjustment during the period 1964-1967. Photogr. Engrg. XXXIV (4), pp. 344-355. SCHWARZ, C.R. (1969). The use of short arc orbital constraints in the adjustment of geodetic satellite data. Department of Geodetic Science Report 118, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. SCHWARZ, C.R. (1978). TRAV10: horizontal network adjustment program. NOAA Technical Memorandum NOS NGS-12, National Geodetic Survey, Rockville, U.S.A. SIMONSEN, O. (1963). Report for the period September 1960-July 1963 on REUN. Danish Geodetic Institute Report, Copenhagen, Denmark. SMART, W.M. (1962). Spherical Astronomy. 5th ed., Cambridge University Press. SMITH, D.E., R. KOLENKIEWICZ, P.J. DUNN AND M.H. TORRENCE (1979). The measurement of fault motion by satellite laser ranging. Proc. 6th International Symposium on Recent Crustal Movements, Eds. C.A. Whitten, R. Green, B.K. Meade. Commission on Recent Crustal Movements, IAG, Stanford University, Palo Alto, U.S.A., July, 1977. Tectonophysics 52 (1-4), pp. 59-67. SNAY, R.A. (1976). Reducing the profile of sparse symmetric matrices. Bull. Géod. 50 (4), pp. 341-352. SODANO, E.M. (1965). General non-iterative solution of the inverse and direct geodetic problems. Bull. Géod. 75, pp. 69-89. STANLEY, H.R. (1979). The GEOS 3 project. J. Geophys. Res. 84 (B8), pp. 3779-3783.

528

LITERATURA, DEO IV

STOCH, L. (1963). Selecting stars for azimuth determination. Bull. Géod. 69, pp. 293-298. THOMAS, P.D. (1952). Conformal projections in geodesy and cartography. U.S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 251, Washington, D.C., U.S.A. THOMAS, P.D. (1972). Long lines on the ellipsoid. Special publication of the National Ocean Survey of the NOAA, U.S. Department of Commerce, Washington, D.C., U.S.A. THOMPSON, M.M. (ED.) (1966). Manual of Photogrammetry. 3rd ed., Vol. I, American Society of Photogrammetry. THOMSON, D.B. (1976). Combination of geodetic networks. Department of Surveying Engineering Technical Report 30, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. THOMSON, D.B. AND E.J. KRAKIWSKY (1976). Concepts of the combination of geodetic networks. Proc. International Geodetic Symposium on Satellite Doppler Positioning, DMA and NOS of the NOAA, New Mexico State University, Las Cruces, U.S.A., October. Physical Science Laboratory of the New Mexico State University, pp. 727-746. THOMSON, D.B. AND D.E. WELLS (1977). Hydrographic surveying I. Department of Surveying Engineering Lecture Note 45, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. THOMSON, D.B., M.M. NASSAR AND C.L. MERRY (1974). Distortions of Canadian geodetic networks due to the neglect of deflections of the vertical and geoidal heights. Canad. Surv. 28 (5), pp. 598-605. THORSON, C.W. (1965). Second-order astronomical position determination manual. U.S. Coast and Geodetic Survey Publication 64-1, Washington, D.C., U.S.A. TOBEY, W.M. (1928). Geodesy. Geodetic Survey of Canada Publication 11, Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Canada. U.S. DEPARTMENT OF COMMERCE (1973). The North American datum. Publication of the National Ocean Survey of the NOAA, Rockville, U.S.A. U.S. FEDERAL GEODETIC CONTROL COMMITTEE (1974). Classification, standards of accuracy, and general specifications of geodetic control surveys. Report of the National Ocean Survey of the NOAA, Rockville, U.S.A. VAN DEN HOUT, C.M.A. (1966). The ANBLOCK method of planimetric block adjustment: mathematical foundation and organization of its practical application. Photogrammetria 21, pp. 171-178. VANÍÊK, P. (1978). To the problem of noise reduction in sea level records used in vertical crustal movement detection. Phys. of the Earth and Planetary Interiors 17 (3), pp. 265-280. VANÍÊK, P. AND G. CARERRA (1985). Reference ellipsoid misalignment, deflection components and geodetic azimuth. Canad. Surv., 39(2), pp. 123-130. VANÍÊK, P. AND E.W. GRAFAREND (1980). On the weight estimation in levelling. NOAA Technical Report NOS 86 NGS 17, U.S. Department of Commerce, Rockville, U.S.A. VANÍÊK, P. AND A.C. HAMILTON (1972). Further analysis of vertical crustal movement observations in the Lac St. Jean area, Québec. Canad. J. Earth Sci. 9 (9), pp. 1139-1147. VANÍÊK, P. AND C.L. MERRY (1973). Determination of the geoid from deflections of the vertical using a least-squares surface fitting technique. Bull. Géod. 109, pp. 261-279. VANÍÊK, P. AND D.E. WELLS (1974). Positioning of horizontal geodetic datums. Canad. Surv. 28 (5), pp. 531-538. VANÍÊK, P., R.O. CASTLE AND E.I. BALAZS (1980). Geodetic leveling and its applications. Rev. Geophys. and Space Physics 18 (2), pp. 505-524. VANÍÊK, P., K. THAPA AND D. SCHNEIDER (1981). The use of strain to identify incompatible observations and constraints in horizontal geodetic networks. Manuscripta Geodaetica VI (3), pp. 257-281. VANÍÊK, P., R.B. LANGLEY, D.E. WELLS AND D. DELIKARAOGLOU (1984). Geometrical aspects of differential GPS positioning. Bull. Géod. 58, pp. 37-52. VEIS, G. (1960). Geodetic uses of artificial satellites. In: Smithsonian Contributions to Astrophysics 3 (9), pp. 95-161, Smithsonian Institution Astrophysical Observatory, Cambridge, U.S.A. VIGNAL, J. AND T.J. KUKKAMÄKI (1954). Comptes rendus des travaux de la section des nivellements de précision. Bull. Géod. supplement to Vol. 34, pp. 401-426.

LITERATURA, DEO IV

529

VINCENTY, T. (1973). Three-dimensional adjustment of geodetic networks. DMAAC Geodetic Survey Squadron, F.E. Warren AFB, Wyoming, U.S.A. VINCENTY, T. AND B.R. BOWRING (1978). Application of three-dimensional geodesy to adjustments of horizontal networks. NOAA Technical Memorandum NOS NGS-13, National Geodetic Survey, Rockville, U.S.A. VON ARX, W.S. (1967). Relationship between marine geodesy and oceanographic measurements. Proc. 1st Marine Geodesy Symposium, Battelle Memorial Institute, Columbus, U.S.A., September, 1966. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 37-42. WASSEF, A.M. AND F.Z.A. MESSIH (1960). On the statistical distribution of levelling errors. Bull. Géod. 55, pp. 201-210. WELLS, D.E. (1974). Doppler satellite control. Department of Surveying Engineering Technical Report 29, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. WELLS, D.E. AND S. GRANT (1977). Reliable navigation through system integration. Proc. 16th Annual Canadian Hydrographic Conference, CHS and CHA, Burlington, Canada, May. Special ed. of Lighthouse, Journal of the CHA. WELLS, D.E. AND P. VANÍÊK (1975). Alignment of geodetic and satellite coordinate systems to the average terrestrial system. Bull. Géod. 117, pp. 241-257. WELLS, D.E., D. DELIKARAOGLOU AND P. VANÍÊK (1982). Marine navigation with NAVSTAR/Global Positioning System (GPS) today and in the future. Canad. Surv. 36(1), pp. 9-28. WELLS, D.E., P. VANÍÊK AND D. DELIKARAOGLOU (1981). Application of NAVSTAR/GPS to geodesy in Canada: Pilot study. Department of Surveying Engineering Technical Report 76, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. WELLS, D.E., E.J. KRAKIWSKY, D.B. THOMSON AND J. KOUBA (1976). Review of Doppler satellite positioning in Canada. Bull. Géod. 50 (4), pp. 307-321. WESTERFIELD, E.E. AND G. WORSLEY (1966). Translocation by navigation satellite. APL Tech. Dig. 5 (5), pp. 2-10. WISE, P.J. (1979). Laser terrain profiler. Division of National Mapping Technical Report 26. Department of National Development, Canberra, Australia. WOLF, H. (1978). The Helmert block method − its origin and development. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 319-326. WOLF, P. (1974). Elements of Photogrammetry. McGraw-Hill. YEREMEYEV, V.F. AND M.I. YURKINA (1969). On orientation of the reference geodetic ellipsoid. Bull. Géod. 91, pp. 13-15. YIONOULIS, S.M. (1970). Algorithm to compute tropospheric refraction effects on range measurements. J. Geophys. Res. 75, pp. 7636-7637. ZAKATOV, P.S. (1953). A Course in Higher Geodesy. Translated from Russian by the Israel Program for Scientific Translations for the National Science Foundation and the Department of Commerce, Washington, D.C., U.S.A., 1962.

DEO V

ZEMLJINO GRAVITACIONO POLJE

POGLAVLJE 20

GLOBALNI TRETMAN GRAVITACIONOG POLJA

Cilj ovog poglavlja je da razvije matemati~ki aparat neophodan za tretman Zemljinog gravitacionog polja u globalnom smislu. U ~etiri podpoglavlja predstavljene su ~etiri standardne komponente ovog aparata. U prvom podpoglavlju obra|en je osnovni problem grani~nih vrednosti za potencijal teè, zajedno sa alternativnim pristupom koji koristi integralne jedna~ine. Drugo podpoglavlje razmatra izbor odgovaraju}eg koordinatnog sistema, i pokazuje kako se moè upotrebiti klasi~ni metod razdvajanja promenljivih da se potencijal izrazi u obliku beskona~nih redova. U tre}em podpoglavlju na~injena je retrospektiva normalnog polja teè kao referentnog sistema obra|enog u poglavlju 6. Ovog puta me|utim dati su i detalji uspostavljanja ovog sistema. êtvrto podpoglavlje posve}eno je definiciji poreme}ajnog potencijala kao jedne veoma va`ne veli~ine koja omogu}ava prirodnu linearizaciju mnogih modela iz ovog dela knjige. 20.1. Osnovne jedna~ine potencijala teè Kao {to je pokazano u podpoglavlju 6.3, vektorsko polje teè g moè se u potpunosti i jedinstveno predstaviti skalarnim poljem, potencijalom teè W . Kada je potencijal W poznat na nekom podru~ju, iz njega se mogu izvesti sve ostale veli~ine koje karakteri{u polje teè. Po{to }emo se ovde koncentrisati na na~ine da se dobije W , metode transformacije W , ili ta~nije re~eno transformacije njegovog nepravilnog dela (poreme}ajnog potencijala) u druge parametre, tretira}emo u podpoglavlju 21.1. Da bismo izveli osnovne parcijalne diferencijalne jedna~ine koje opisuju pona{anje potencijala teè W , pogledajmo prvo lokalno pona{anje vektora ubrzanja sile privla~enja g g (podpoglavlje 6.1). Njegovo pona{anje u nekoj ta~ki u potpunosti je opisano njegovim rotorom i divergencijom datim u okolini ta~ke (podpoglavlje 3.2). Po{to je polje potencijala sile privla~enja bezvrtlo`no i u prvoj aproksimaciji konzervativno (podpoglavlje 6.3), to zna~i da se odmah moè napisati:

533

534

§ 20.1


curl ∇W g (rA ) = curl g g (rA ) = ∇ × g g (rA ) = 0 ,

(20.1)

za bilo koju ta~ku A , gde je rA vektor poloàja u proizvoljnom sistemu koordinata. S druge strane, divergencija vektora g g (rA ) moè biti napisana kao grani~ni slu~aj Gausove formule (3.54), tj. kao:

div g g (rA ) = ∇ ⋅ g g (rA ) = lim

V A →0

∫∫ g (r ) ⋅ ndS g

S

VA

,

(20.2)

gde je V A zapremina ograni~ena sa povr{i S , a n je jedini~ni vektor spolja{nje normale na S

(vidi sliku 1). Ako je integral gravitacionog fluksa g g ⋅ n dS

pozitivan, ta~ka A se naziva izvorom, a ako je integral negativan onda se A zove ponor. U slu~aju da je integral nula, g g nije divergentno u A . Na samom po~etku ustvari najva`nije pitanje je da li je divergencija ubrzanja sile privla~enja pozitivna, negativna ili nula. Da bismo odgovorili na to pitanje, ozna~imo prvo masu ograni~ene sa povr{i S kao:

M = V Aσ (rA ) ,

M zapremine V A

(20.3)

sa pretpostavkom da se za dovoljno malu zapreminu V A , gustina σ moè smatrati konstantnom u V A . Ako se radi jednostavnosti po~etak koordinatnog sistema postavi u centar zapremine V A , otkri}emo da V A generi{e ubrzanje g g dato sa (vidi jedna~ine (6.2) i (6.10)):

SLIKA 20.1. Gravitacioni fluks.

§ 20.1

Osnovne jedna~ine potencijala teè

g g (rA ) =

GM rA

3

535

rA .

(20.4)

Moè se dalje pokazati da kada se posmatra grani~ni slu~aj (2), oblik povr{i S postaje nevaàn sve dotle dok potpuno obuhvata zapreminu V A . Stoga moèmo opet radi jednostavnosti izabrati sfernu povr{. U tom slu~aju jasno je da je g g koje generi{e zapremina V A svuda normalno na S , i g g ⋅ n je onda jednako g g . Gravitacioni fluks se tada moè napisati kao:

g g ⋅ n dS = g g dS = −

GM r

2

dS = −

Gσ (rA )V A r

2

dS ,

(20.5)

gde je r radijus sfere S . Kada se uzme u obzir da je povr{ina sfere radijusa r jednaka 4πr 2 , nije te{ko videti da integral gravitacionog fluksa iznosi:

∫∫ g

g

⋅ n dS = −4πGσ (rA )V A ,

(20.6)

S

a da se deljenjem sa V A i uzimanjem grani~ne vrednosti dobija:

div g g (rA ) = −4πGσ (rA ) .

(20.7)

Ova jedna~ina, koja se tako|e mogla dobiti direktno iz definicije divergencije uzimanjem grani~ne vrednosti za r → 0 , vaì naravno u bilo kojem koordinatnom sistemu. Njena interpretacija je slede}a: po{to je σ (rA ) nenegativna veli~ina, A moè biti ili ponor gravitacionog ubrzanja g g (rA )

(za σ (rA ) > 0 ), ili je

divergencija od g g (rA ) nula u A (za σ (rA ) = 0 ). Po{to smo utvrdili lokalno pona{anje gravitacionog ubrzanja, vratimo se sada centrifugalnom ubrzanju g c (rA ) (podpoglavlje 6.1). Ponovimo da je centrifugalno polje bezvrtlo`no, i da je:

curl g c (rA ) = 0 .

(20.8)

536


§ 20.1

Divergencija od g c (rA ) lako se izvodi izborom koordinatnog sistema ( x, y, z ) tako da se z -osa poklapa sa osom rotacije Zemlje. Uzimaju}i u obzir (6.7), i imaju}i u vidu da je p =

x 2 + y 2 = a cos φ , sledi:

g c (rA ) = ω 2 (x A i + y A j ) ,

(20.9)

i za divergenciju se dobija:

div g c (rA ) = 2ω 2 ,

(20.10)

slede}i pravila vektorske analize (podpoglavlje 3.2). Vrednost div g c ne sme se menjati u slu~aju transformacije u neki drugi koordinatni sistem, po{to je u pitanju skalarno polje, i zato {to pona{anje vektora g c ne zavisi od koordinatnog sistema. Stoga otkrivamo da je divergencija centrifugalnog ubrzanja konstantna u prostoru i iznosi 2ω 2 . Po{to je ubrzanje teè g (rA ) zbir pomenuta dva ubrzanja, zbog linearnosti operatora ∇ sledi:

∇ ⋅ g (rA ) = div g (rA ) = −4πGσ (rA ) + 2ω 2 .

(20.11)

Dakle, po{to je g = ∇W , kona~no se dobija:

∇ 2W (rA ) = −4πGσ (rA ) + 2ω 2 .

(20.12)

Ovo je osnovna parcijalna diferencijalna jedna~ina drugog reda za potencijal teè, koju smo od samog po~etka èleli izvesti. Za nju se zna da je Poasonovog tipa (podpoglavlje 3.2). Iako (12) vaì u tom obliku u celom prostoru, ponekad je pogodno da se izrazi u dva posebna oblika: (a) Za prazan prostor ( σ = 0 ) vaì:

∇ 2W (r ) = 2ω 2 .

(20.13)

Zanemaruju}i gustinu atmosfere koja je mala u pore|enju sa gustinom Zemlje (podpoglavlje 9.1), moè se re}i da (13) vaì izvan Zemlje.

§ 20.1


537

(b) Drugi specijalni slu~aj jednakosti (12) formuli{e se za povr{inu Zemlje. Za ta~ku A sme{tenu na povr{ini Zemlje moè se smatrati da ima gustinu jednaku delu gustine ta~ke koja je u potpunosti u Zemlji. Drugim re~ima, svaka diferencijalna okolina ta~ke A na Zemljinoj povr{i delimi~no je puna a delimi~no prazna. Stoga je:

∇ 2W (r ) = − kπGσ (rA ) + 2ω 2 ,

(20.14)

gde je σ ( rA ) gustina materijala Zemljine povr{ine, a k ∈ (0,4) (vidi sliku 2). Ove dve jedna~ine pokazuju ~injenicu da je drugi izvod potencijala teè prekidan na granici izme|u dve sredine, pri ~emu je Zemljina povr{ina o~igledan primer. Ova ~injenica bi}e intenzivno kori{}ena u poglavlju 21. Isto tako, treba napomenuti da je osnovna diferencijalna jedna~ina za potencijal privla~enja W g izvan Zemlje tj. u praznom prostoru, tako|e Laplasovog tipa:

∇ 2W g = 0 .

(20.15)

Potencijal privla~enja u praznom prostoru je harmonijska funkcija (podpoglavlje 3.2). O~igledno je da se problem odre|ivanja Zemljinog polja teè moè razdvojiti na odre|ivanje polja privla~enja tj. gravitacionog polja i odre|ivanje centrifugalnog polja. Dok je prvi zadatak veoma ozbiljan, drugi nije, jer je g c prosta funkcija poloàja, a brzina rotacije Zemlje poznata je veoma ta~no (podpoglavlje 5.2). Shodno tome, u ovom podpoglavlju i uop{te ovom delu knjige, koncentrisa}emo se na gravitaciono polje.

SLIKA 20.2. Ta~ka na Zemljinoj povr{i. (a) k = 2 ; (b) 0 < k < 2 ; (c) 2 < k < 4 (prema KOUBA [1979]).

538


§ 20.1

Geodetski interes leì prevashodno u prostoru neposredno iznad Zemlje do visine od nekoliko hiljada kilometara, prostoru Zemljine povr{ine i u prostoru gornjih slojeva Zemljine kore. Zbog karaktera diferencijalnih jedna~ina pogodno je podru~je interesovanja razdvojiti na deo unutar i deo van Zemlje. Shodno tome za W g izvan Zemlje ~esto se govori kao o Zemljinom spolja{njem gravitacionom potencijalu, a unutar Zemlje kao o Zemljinom unutra{njem gravitacionom potencijalu. Na prvi pogled, odre|ivanje gravitacionog potencijala Zemlje W g van Zemlje ne izgleda te{ko. Spolja{nji potencijal W g zadovoljava Laplasovu jedna~inu van Zemlje, i prema tome, bilo bi dovoljno dobiti vrednosti gravitacionog potencijala W g na povr{ini Zemlje kao grani~noj povr{i regiona, i re{iti W g van Zemlje upotrebljavaju}i tehniku re{avanja Laplasovog problema grani~nih vrednosti (podpoglavlje 3.2). Spolja{nji gravitacioni potencijal je ono na {ta }emo se koncentrisati u ovoj knjizi. Naàlost, Zemljina povr{ina nije dovoljno glatka da obezbedi jedinstvenost takvog spolja{njeg re{enja (vidi podpoglavlje 3.2). Mogu}i na~ini prevazilaènja ove prepreke bi}e pokazani u poglavlju 22 zajedno sa na~inima uspostavljanja grani~nih vrednosti. Za sada usvojimo da je to mogu}e, i obratimo pa`nju na postoje}e tehnike re{avanja problema grani~nih vrednosti. Od mno{tva postoje}ih tehnika pomenu}emo dve: transformaciju u integralne jedna~ine i metod razdvajanja promenljivih (Furijeov metod). Da bismo formulisali integralne jedna~ine koje odgovaraju na{em problemu grani~nih vrednosti, podsetimo se prvo Grinovog drugog identiteta (3.57), i uzmimo da je Q (r ) = W g (r ) i P (rA ) = 1 / r − rA = 1 / ρ (vidi sliku 3). îtalac moè lako proveriti da je druga funkcija ustvari jezgro, tj. P ( rA , r ) = 1 / ρ , i da je harmonijska

SLIKA 20.3. Osnovna harmonijska funkcija.

§ 20.1


539

svuda osim za ρ = 0 . Ona se naziva osnovnom harmonijskom funkcijom. Shodno tome dobija se izraz:

⎡ 1 ∂W g (r )

∫∫ ⎢⎣ ρ S

=−

∂n

∫∫∫ B

− W g (r )

∂ 1⎤ ⎥ dS − ∂n ρ ⎦

1 ∫∫∫ ρ ∇ W (r ) dB 2

g

B

⎛1⎞ W g (r ) ∇ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ dB , ⎝ρ⎠

(20.16)

koji je poznat kao Grinov tre}i identitet. On se moè pojednostaviti ako primetimo da je gravitacioni potencijal uzet samo za unutra{njost Zemlje, i kao takav on je funkcija samo promenljive r . S druge strane, po{to je osnovna harmonijska funkcija jezgro (podpoglavlje 3.2), ona je funkcija i od r i od rA . U zavisnosti od

poloàja ta~ke A , desna strana jedna~ine (16) je 4πW g (rA ) za A unutar S ,

2πW g (rA ) za A na glatkoj povr{i S , i 0 za A van S [MACMILLAN, 1930]. Prema tome, tre}i Grinov identitet postaje:

∫∫ S

⎛ 1 ∂W g ∂ρ −1 ⎞ 1 2 ⎜ ⎟ dS − W − ∇ W g dB = g ⎜ ρ ∂n ⎟ ∂n ⎠ ρ ⎝ B 4 W r , A unutar S , π ( ) ⎧ g A ⎪ = ⎨2πW g (rA ), A na glatkoj S , ⎪0, A van S . ⎩

∫∫∫

(20.17)

Po{to je ∇ 2W g (r ) = −4πGσ (r ) unutar Zemlje, zapreminski integral postaje

4πG

∫∫∫ [σ (r ) ρ ] dB , {to je jednostavno

4πW g (rA ) (uporedi sa (6.25)). Tako

B

kona~no dobijamo:

∫∫ S

⎧ 0, A unutar S , ⎛ 1 ∂W g ∂ρ −1 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ρ ∂n − W g ∂n ⎟ dS = ⎨− 2πW g (rA ), A na glatkoj S , ⎝ ⎠ ⎪− 4πW (r ), A van S . g A ⎩ (20.18)

Ovo je re{enje Poasonovog problema grani~nih vrednosti za W g u integralnoj formi. U slu~aju van Zemlje ( A van S ), gornja integralna jedna~ina ekvivalentna

540

§ 20.1


je Laplasovom problemu grani~nih vrednosti. Me|utim, primedba u vezi nedovoljne glatko}e granice S i ovde vaì. Primena ovog pristupa bi}e diskutovana u poglavlju 22. Slede}a tehnika re{avanja problema grani~nih vrednosti je razdvajanje promenljivih (vidi podpoglavlje 3.2). Da bi se re{enje dobilo u najjednostavnijem obliku, pogodnije je umesto kartezijanskog izabrati neki drugi koordinatni sistem. Upotrebljavaju se obi~no dva takva sistema, sferni i elipsoidni. Podpoglavlje 3.2 pokazalo je da je oblik Laplasijana ∇ 2 razli~it u razli~itim koordinatnim sistemima. U sfernim koordinatama (r , θ , λ ) , jedna~ina (15) poprima slede}i oblik:

2r

∂W g ∂r

+ r2

∂ 2W g ∂r 2

+ cot θ

∂W g ∂θ

+

∂ 2W g ∂θ 2

+ sin − 2 θ

∂ 2W g ∂λ2

= 0. (20.19)

Pristup sa elipsoidnim koordinatama je kompleksniji. Razumljivo, geodetske koordinate (φ , λ , h) mogu se upotrebiti u tu svrhu. Me|utim, kao {to je pomenuto u podpoglavlju 3.3, ovaj sistem je dvoparametarski, pa su rezultuju}i izrazi prili~no nepregledni. Iz tog razloga koristi se jednoparametarski elipsoidni sistem (EL). Za elipsoidni sistem koji koristi ì`nu daljinu E kao parametar:

E = a 2 − b 2 = ae ,

(20.20)

dobijaju se relativno jednostavni izrazi. Tri koordinate u , Θ, λ prikazane su na slici 4. Primetimo da kada je E fiksirano u ovom sistemu, ta~ke sa razli~itom u koordinatom leè na razli~itim elipsoidima. Da bismo se bolje upoznali sa ovim jednoparametarskim elipsoidnim sistemom, izvedimo transformacione jedna~ine za transformaciju u i iz reprezentativnog kartezijanskog sistema (vidi podpoglavlje 3.3). One se dobijaju sa slike 4:

⎡ x⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦

EL

⎡ u 2 + E 2 sin Θ cos λ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ u 2 + E 2 sin Θ sin λ ⎥ . ⎢u cos Θ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

(20.21)

§ 20.1


541

SLIKA 20.4. Jednoparametarski elipsoidni koordinatni sistem.

Izostavljaju}i indeks EL, za inverznu transformaciju vaì:

⎡ 2 2 2 2 ⎢ r − E 1 + 1 + 4z E ⎢ 2 r2 − E2 ⎢ ⎡u ⎤ ⎢ ⎢Θ⎥ = ⎢arccos (z u ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ λ ⎥⎦ ⎢ ⎢ ⎢arctan ( y x ) ⎢ ⎣

(

)

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(20.22)

542

§ 20.1


gde je r =

x 2 + y 2 + z 2 , a u je radi jednostavnosti upotrebljeno u drugoj

jedna~ini. Izvo|enje se prepu{ta ~itaocu. Tako|e se prepu{ta ~itaocu da pokaè da su transformacione jedna~ine za transformaciju u i iz sfernog sistema iste familije:

⎡ r ⎤ ⎡ u 2 + E 2 sin 2 Θ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢θ ⎥ = ⎢arccos((u r ) cos Θ )⎥ , ⎥ ⎢⎣λ ⎥⎦ ⎢λ ⎣⎢ ⎦⎥

(20.23)

i:

⎡ 2 2 2 2 2 ⎢ r − E 1 + 1 + 4r E cos θ 2 ⎢ 2 r2 − E2 ⎢ ⎡u ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Θ⎥ = ⎢arccos ((r u ) cos θ ) ⎢⎣ λ ⎥⎦ ⎢ ⎢ ⎢λ ⎢ ⎣

(

)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(20.24)

gde su opet radi jednostavnosti u i r kori{}eni u drugoj jedna~ini. Veze izme|u geodetskih i elipsoidnih koordinata su mnogo komplikovanije, a transformacije je najbolje izvesti preko kartezijanskog koordinatnog sistema. Konstatujmo samo da ako ta~ka P leì na referentnom elipsoidu (a, b) geodetskog sistema, onda je

u =b,

u 2 + E 2 = a , i moè se pokazati da je [BOMFORD, 1971]: a tan Θ = cot φ , b

(20.25)

a da su longitude λ ponovo identi~ne.

Laplasovu jedna~inu za W g u elipsoidnim koordinatama izveli su npr. HEISKANEN AND MORITZ

2u

∂W g ∂u

(

[1967]. Rezultat glasi:

+ u2 + E2

)∂ W 2

∂u 2

g

+ cot Θ

∂W g ∂Θ

+

∂ 2W g ∂Θ 2

+

2 u 2 + E 2 cos 2 Θ ∂ W g

(u

2

)

+ E 2 sin 2 Θ ∂λ2

= 0. (20.26)

§ 20.2

Razvoj gravitacionog potencijala u sopstvene funkcije

543

Jedna~ine (19) i (26) su dve osnovne diferencijalne jedna~ine Zemljinog spolja{njeg gravitacionog polja koje }emo ovde koristiti. One su ekvivalentne tre}oj jedna~ini (18). Primetimo da ako je EL sistem definisan tako da je E = 0 , on postaje identi~an sfernom sistemu, jer u postaje r , Θ postaje θ i (26) se zaista transformi{e u (19). Prema tome, do ta~nosti e 2 , elipsoidne koordinate se mogu zameniti sfernim u bilo kojem izrazu. Sada smo spremni za primenu metode razdvajanja promenljivih na jedna~ine (19) i (26). Po{to je ovo veoma vaàn korak, posve}eno mu je celo naredno podpoglavlje. 20.2. Razvoj gravitacionog potencijala u sopstvene funkcije Kada se primenjuje metod razdvajanja promenljivih (vidi podpoglavlje 3.2) prvo se razmatra jednakost (19), a gravitacioni potencijal W g ( r , θ , λ ) traì se u vidu proizvoda slede}e tri funkcije:

W g (r ,θ , λ ) = R(r ) ⋅ T (θ ) ⋅ L(λ ) .

(20.27)

Pogodno je proizvod zadnje dve funkcije ozna~iti sa J (θ , λ ) . Ako se sferni koordinatni sistem (r , θ , λ ) izabere tako da mu je po~etak u blizini centra mase Zemlje, povr{ina Zemlje bi}e bliska sferi r = R . Tada }e prva funkcija R opisivati pona{anje W g u pravcu pribli`no normalnom na Zemljinu povr{, dok }e funkcija J odraàvati varijacije potencijala na Zemljinoj povr{i. Ta~nije re~eno, ako uzmemo sferu S polupre~nika r = a koja se naziva Brijonovom sferom (vidi sliku 5), a koja obuhvata celokupnu masu Zemlje, onda }e na ovoj sferi R biti

SLIKA 20.5. Brijonova sfera.

544


konstantno, a sve varijacije potencijala W g na S

§ 20.2

karakterisa}e funkcija J .

[tavi{e, za potrebe ovog podpoglavlja, ova sfera se moè uzeti kao donja granica za spolja{nji problem grani~nih vrednosti i kao gornja granica za unutra{nji problem. Ako se zanemari atmosfera, jedna~ina (19) vaì van ove sfere. Prva primena Furijeovog metoda na (19) daje:

r 2 R ′′ + 2rR ′ − c1 R = 0 ,

(20.28)

i:

cot θ

2 ∂J ∂ 2 J −2 ∂ J + + sin + c1 J = 0 . θ ∂θ ∂θ 2 ∂λ 2

(20.29)

Jedna~ina (28) je obi~na diferencijalna jedna~ina drugog reda, pri ~emu prim ozna~ava izvod po r . Jedna~ina (29) je jo{ uvek parcijalna diferencijalna jedna~ina po θ i λ . Druga primena Furijeovog metoda na (29) daje:

(

i:

)

sin 2θ T ′′ + sin θ cos θ T ′ + c1sin 2θ − c 2 T = 0 ,

(20.30)

L ′′ + c 2 L = 0 .

(20.31)

U ovim dvema jedna~inama, promenljive θ i λ su razdvojene. Sistem tri obi~ne diferencijalne jedna~ine (28), (30) i (31) ekvivalentan je jedna~ini (19) (vidi podpoglavlje 3.2). Njihova me|uveza osigurana je dvema zajedni~kim konstantama c1 , c 2 . Tri obi~ne diferencijalne jedna~ine daju op{te re{enje za funkcije R, T i L . Pogledajmo najpre poslednje dve jedna~ine. Jedna~ina (31) je o~igledno jedna~ina prostog harmonijskog kretanja, ~ije su sopstvene vrednosti m = c 2 i sopstvene funkcije ve} bile diskutovane u podpoglavlju 3.2. Svaka linearna kombinacija L ovih sopstvenih funkcija zadovoljava (31). Zamenjuju}i t za cos θ i m 2 za c 2 u (30), dobija se:

(1 − t )T ′′ − 2tT ′ + ⎛⎜⎜ c 2

⎝

1 −

m2 ⎞ ⎟T = 0 , 1 − t 2 ⎟⎠

(20.32)

gde se sada izvodi uzimaju po t . Ovo je Leàndrova funkcija drugog reda za T (podpoglavlje 3.2). Ona ima re{enja samo za one vrednosti m za koje (31) ima

§ 20.2


545

re{enja, a to zna~i za sopstvene vrednosti od (31). Pokazano je da (32) daje re{enja samo za slede}e sopstvene vrednosti c1 [HOBSON, 1931]:

c1 = n(n + 1) , n = m, m + 1, m + 2, …

(20.33)

kada θ ∈ (0, π ) . Ovo su takozvane dozvoljene sopstvene vrednosti Leàndrove jedna~ine. Odgovaraju}e sopstvene funkcije su Leàndrove pridruène funkcije n tog stepena i m -tog reda, i date su sa:

(

Pnm (t ) = 1 − t 2

)

dm

m2

dt m

Pn (t ) ,

(20.34)

)

(20.35)

gde:

Pn (t ) =

dn

1 n

n! 2 dt

n

(t

2

−1

n

predstavljaju Leàndrove funkcije ve} vi|ene u podpoglavlju 3.2 i 8.1. Njihova svojstva detaljno su prikazana npr. u ABRAMOWITZ AND STEGUN [1964]. Ponovo napominjemo da su sopstvene funkcije ortogonalne za t ∈ (−1, 1) tj. za θ ∈ (0, π ) , sa teìnama W (t ) = 1 . Pogled nazad na (29) otkriva da je ta jedna~ina zadovoljena za svaku funkciju J koja je proizvod linearne kombinacije trigonometrijskih funkcija sa linearnom kombinacijom sopstvenih funkcija (34) za dozvoljene vrednosti m i n . Takav proizvod uop{teno se moè napisati kao:

J (θ , λ ) =

∞

n

∑∑ ( A

nm cos

mλ + Bnm sin mλ )Pnm (cos θ )

n =0 m =0

=

∑∑ ( ∞

n

c Anm Ynm

+

s Bnm Ynm

),

(20.36)

n =0 m =0

c = cos mλP (cos θ ) i Anm , Bnm proizvoljni brojevi . Funkcije Ynm nm = sin mλPnm (cos θ ) zovu se povr{inske sferne harmonijske funkcije. One se

gde su s Ynm

mogu smatrati sopstvenim funkcijama Laplasove jedna~ine u sfernim koordinatama na povr{i sfere. Celi brojevi m = 0 , 1 , 2 , … ; n = m , m + 1 , m + 2 , … , ili {to je isto, n = 0, 1, 2, … ; m = 0, 1, … , n su onda sopstvene vrednosti Laplasove jedna~ine.

546


§ 20.2

Po{to su sferni harmonici sopstvene funkcije, oni su zaista ortogonalni na sfernoj povr{i S , tj. za bilo koje (θ , λ ) ∈ (0, π ) × ( −π , π ) . To zna~i da je slede}a jedna~ina:

∫∫ Y (θ , λ ) Y (θ , λ ) dv = 0 , k nm

l ij

(20.37)

S

gde je dv element prostornog ugla, zadovoljena za i ≠ n ili j ≠ m ili k ≠ l . Prostorni ugao koristi se umesto elementa povr{ine da bi se dobio bezdimenzionalni rezultat integracije. [tavi{e, moè se pokazati da su njihove norme (uporedi (3.61) i podpoglavlje 11.1), za indeks c i s [HOBSON, 1931]:

Ynm

2

=

∫∫ S

⎧ 4π , m =0, ⎪⎪ 2 Ynm dv = ⎨ 2n + 1 2π (n + m )! ⎪ , m≠0. ⎪⎩ 2n + 1 (n − m )!

(20.38)

~

Funkcije Ynm = Ynm Ynm su onda ortonormalne, tj.:

~ Ynm = 1 ,

(20.39)

pa se nazivaju potpuno normalizovanim sfernim harmonijskim funkcijama. Sferne harmonijske funkcije se za m = 0 zovu zonalni harmonici, a ostale se nazivaju teseralnim harmonicima. Vra}aju}i se sada spolja{njem problemu za W g (izvan Brijonove sfere), mogu se za re{avanje koristiti sferni harmonici. Uzimaju}i u obzir (27) i (36), re{enje je dato sa:

∑∑ (A ∞

W g (r ,θ , λ ) = R(r )

n

c nm Ynm

(θ , λ ) + BnmYnms (θ , λ )) .

(20.40)

n =0 m =0

Ovde koeficijenti Anm i Bnm moraju biti odre|eni tako da zadovoljavaju grani~ne vrednosti W g ( r = a, θ , λ ) na sferi. To zna~i da mora biti zadovoljena slede}a jedna~ina:

∑ ∑ (A

W g (a,θ , λ ) = R (a )

∞

n

n =0 m =0

gde je naravno R (a ) konstantno.

c nm Ynm

(θ , λ ) + BnmYnms (θ , λ )) ,

(20.41)

§ 20.2


547

Sada smo spremni da se skoncentri{emo na tre}u obi~nu diferencijalnu jedna~inu (28). I ovde ima smisla traìti re{enje samo za dozvoljene vrednosti konstanti c1 = n(n + 1) . Jedna~ina je Ojlerovog oblika, i jednostavno se re{ava zamenom

exp (t ) za r . Nalazimo da slede}e dve familije funkcija R1 i R2 : R1 (r ) = exp(nt ) = r n ,

R1 (r ) = exp((− n − 1) t ) = r − (n +1) ,

(20.42)

zadovoljavaju jedna~inu za svako dozvoljeno n [HOCHSTADT, 1964]. Prva funkcija teì beskona~nosti kada r teì beskona~nosti, {to nije saglasno sa o~ekivanim fizi~kim pona{anjem gravitacionog potencijala (podpoglavlje 6.3). Prema tome, kada se traì re{enje spolja{njeg problema mora se uzeti druga jedna~ina da bi re{enje bilo saglasno sa fizi~kim zahtevima. Iz sli~nih razloga R1 se uzima kod re{avanja unutra{njeg Laplasovog problema. Pogodno je u~initi radijalnu funkciju R = R2 bezdimenzionalnom, tako da samo koeficijenti Anm , Bnm u (40) budu nosioci fiizi~kih jedinica. To se radi urazmeravanjem sfernog koordinatnog sistema i dovo|enjem polupre~nika grani~ne sfere na jedini~nu vrednost, tako da se umesto r koristi r / a . U ovom koordinatnom sistemu radijalne funkcije postaju: − ( n +1) n +1 ⎛r⎞ ⎛a⎞ =⎜ ⎟ , n = 0, 1, … (20.43) ⎜ ⎟

⎝a⎠

⎝r⎠

Takvo urazmeravanje naravno uti~e i na vrednosti koeficijenata u (40), i na taj na~in o~uvava korektnu globalnu veli~inu potencijala W g . Napi{imo sada jedna~inu (40) u definitivnom obliku. Za spolja{nji gravitacioni potencijal imamo: ∞

⎛a⎞ W g (r , θ , λ ) = ⎜ ⎟ n =0 ⎝ r ⎠

∑

n +1 n

∑ (A

nm cos

mλ + Bnm sin mλ ) Pnm (cos θ ) .

m =0

(20.44) Ova jedna~ina identi~na je jedna~ini (6.25), s tom razlikom {to je ovde umesto nepoznate gustine σ beskona~no mnogo nepoznatih koeficijenata Anm i Bnm koji su u jedinicama potencijala. Jedna~ina (44) predstavlja razvoj gravitacionog potencijala u sferne harmonike, odnosno razvoj u sopstvene funkcije Laplasove jedna~ine u sfernim koordinatama.

548


§ 20.2

SLIKA 20.6. Modeliranje ekvatorskog ispup~enja i kru{kolikog oblika.

Oblik ekvipotencijalnih povr{i potencijala W g predstavljenog sa (44) zavisi od dominantnosti odgovaraju}ih ~lanova reda. Ekvatorsko ispup~enje posledica je prisustva ~lana (2,0) , i modeliranje tog ispup~enja pomo}u zonalnog harmonika

P2,0 pokazano je na slici 6(a). Kru{koliki oblik posledica je prisustva ~lana (3,0) , (vidi sliku 6(b)). Za teseralne harmonike moè se smatrati da su stvoreni meridijanskim profilom 2 + B 2 ) sa R 2 koji je onda longitudinalno modulisan. Ozna~avaju}i ( Anm nm nm i

Bnm / Anm sa tan κ nm , moè se napisati:

( Anm cos mλ + Bnm sin mλ )Pnm (cos θ ) = Rnm Pnm (cos θ ) cos(mλ − κ nm ) .

(20.45)

O~igledno je da je osnovna meridijanska komponenta Rnm Pnm (cos θ ) modulisana sa cos (mλ − κ nm ) . Slika 7 ilustruje slu~aj za m = 2 .

§ 20.2


549

SLIKA 20.7. Modeliranje longitudinalne varijacije modulacijom sa cos (2λ − κ n 2 ) .

Pre nego {to pre|emo na odre|ivanje nepoznatih koeficijenata, osvetlimo za trenutak ulogu radijalnih ~lanova (a / r ) n +1 . Van grani~ne sfere njihova veli~ina se smanjuje sa porastom reda n jer je a / r < 1 . To zna~i da sa porastom visine, obele`ja potencijalnog polja koja imaju vi{u frekvenciju ( n i m ) imaju tendenciju prigu{enja. Ovo je veoma va`na ~injenica i njene posledice bi}e prodiskutovane u poglavlju 23. Moè se postaviti pitanje {ta je dobijeno izvo|enjem jedna~ine (44) umesto (6.25), jer je umesto jedne nepoznate funkcije poloàja (gustina σ ) sada prisutan ~itav niz nepoznatih koeficijenata. Napredak se ustvari ogleda u tome {to je nepoznate koeficijente mogu}e odrediti iz podataka sa povr{i Zemlje ili iznad nje, umesto da se zavisi od poznavanja raspodele masa unutar Zemlje. Ako su vrednosti gravitacionog potencijala poznate na grani~noj sferi S (r = a ) , tj. ako je poznato:

V (θ , λ ) = W g (a, θ , λ )

(20.46)

550

§ 20.2


tada se potencijalni koeficijenti Anm , Bnm mogu dobiti standardnim postupkom razvoja V u sferne harmonike. Jedna~ine za potencijalne koeficijente u slu~aju normalizovanih sfernih harmonijskih funkcija glase [HOBSON, 1931]:

~ Anm =

~ ∫∫ V (θ , λ ) Y (θ , λ ) dv , c nm

S

~ Bnm =

∫∫

(20.47)

~s (θ , λ ) dv . V (θ , λ ) Ynm

S

Komplikovanije formule za obi~ne sferne harmonijske funkcije razlikuju se od ovih samo po tome {to su podeljene odgovaraju}im kvadratnim normama (38). Pogledajmo sada bliè vezu izme|u gustine σ i potencijalnih koeficijenata Anm , Bnm . Da li nam na primer poznavanje potencijalnih koeficijenata moè ne{to re}i o unutra{njoj raspodeli masa? Jedna~ina (6.25) moè se napisati kao:

W g (rA ) = G

σ (r )

∫∫∫ ρ (r , r ) dB

.

(20.48)

A

B

Ozna~avaju}i prostorni ugao izme|u rA i r sa ψ , za recipro~nu vrednost duìne

ρ izme|u ta~ke A i teku}e ta~ke r dobija se (uporedi sa (8.3) i (8.4)): ρ

−1

(rA , r ) = (

+ r − 2rrA cos ψ

rA2

2

)

−1 2

1 = rA

∞

⎛ r ⎜⎜ n = 0 ⎝ rA

∑

Izraàvaju}i cos ψ pomo}u sfernih koordinata θ A , λ A koordinata θ , λ teku}e ta~ke, iz sferne trigonometrije sledi:

cos ψ = cos θ A cos θ + sin θ A sinθ cos(λ -λ A ) .

n

⎞ ⎟⎟ Pn (cos ψ ) . ⎠ (20.49)

ta~ke

A i sfernih

(20.50)

Komplikovanim izvo|enjem moè se dokazati da zamena za cos ψ iz (50) u (49) daje [HOBSON, 1931]:

Pn (cos ψ ) = Pn (cos θ A )Pn (cos θ ) +2

(n − m )! ∑ (n + m)! (Y (θ n

c nm

m =1

A,

)

c (θ , λ ) λ A )Ynm

s (θ A , λ A )Ynms (θ , λ ) . + Ynm

(20.51)

§ 20.2


551

Ova formula bila je poznata jo{ Leàndru, i ovde }e biti nazivana Leàndrovom dekompozicionom formulom. Zamenom ovog rezultata u (48) i zamenom redosleda sabiranja i integraljenja, dobija se dvostruki red istog oblika kao (44). Izjedna~avanjem redova ~lan po ~lan kona~no se dobija:

An 0 =

G a

⎛r⎞ ⎝a⎠

n

c ∫∫∫σ (r ) ⎜ ⎟ Yn0 (θ ) dB ,

B

⎧ Anm ⎫ 2G (n − m )! ⎨ ⎬= ⎩ Bnm ⎭ a (n + m )!

∫∫∫ B

(20.52)

n c ⎛ r ⎞ ⎧Ynm (θ , λ )⎫ σ (r ) ⎜ ⎟ ⎨ s ⎬ dB . ⎝ a ⎠ ⎩Ynm (θ , λ )⎭

Ovo su jedna~ine koje direktno dovode u vezu potencijalne koeficijente u jedinicama potencijala sa raspodelom gustina σ . Re{enje inverznog problema, tj. re{enje za σ (rA ) kao funkciju potencijalnih koeficijenata, nije mogu}e. Indirektni uvid u raspored gustina ipak je donekle mogu} na osnovu potencijalnih koeficijenata, jer postoji veza izme|u nekih potencijalnih koeficijenata i koordinata centra mase Zemlje, glavnih momenata inercije i njihovih proizvoda. Da bi izveli te veze, usvojimo proizvoljni kartezijanski sistem vezan za Zemlju. Transformacijom sfernih koordinata r , θ , λ teku}e ta~ke iz (52) u ovaj kartezijanski sistem r ′ ≡ ( x ′, y ′, z ′) , ~italac se moè uveriti da prvih dvanaest sfernih harmonijskih funkcija ima oblik:

Y0c, 0 (x ′, y ′, z ′) = 1 ,

Y0s,0 (x ′, y ′, z ′) = 0 ,

z′ , r′ x′ Y1c,1 (x ′, y ′, z ′) = , r′

Y1s,0 (x ′, y ′, z ′) = 0 ,

Y1c,0 (x ′, y ′, z ′) =

Y1s,1 (x ′, y ′, z ′) =

y′ , r′

(20.53) − x′ 2 − y ′ 2 + 2 z ′ 2 s ′ ′ ′ ( ) Y x y z , , , 0 , = 2 , 0 2r ′ 2 3 y ′z ′ 3x ′z ′ Y2c,1 (x ′, y ′, z ′) = 2 , Y2s,1 (x ′, y ′, z ′) = 2 , r′ r′ 2 2 3 x′ − y ′ 6 x ′y ′ Y2c,2 (x ′, y ′, z ′) = Y2s,2 (x ′, y ′, z ′) = 2 . , 2 r′ r′

Y2c, 0 (x ′, y ′, z ′) =

(

)

Zamenom nazad u (52) otkrivamo da prvih dvanaest potencijalnih koeficijenata imaju slede}i oblik:

552

§ 20.2


G M, a G A1,0 = 2 Mz c′ , a G A1,1 = 2 Mx c′ , a ⎞ G ⎛ I ′x + I ′y − I z′ ⎟⎟ , A2 ,0 = 3 ⎜⎜ a ⎝ 2 ⎠ G A2 ,1 = 3 I ′xz , a G A2 ,2 = 3 I ′y − I ′x , 4a A0 ,0 =

(

)

B0,0 = 0 , B1,0 = 0 , B1,1 =

G My c′ , a2

B2,0 = 0 , G I ′yz , a3 G = 3 I ′xy , 2a

B2,1 = B2,2

(20.54)

i da su svi u jedinicama potencijala. Ovde su x c′ , y c′ , z c′ koordinate centra mase Zemlje u usvojenom koordinatnom sistemu, npr. x c′ = M −1

∫∫∫ x ′σ (r ) dB

(vidi

B

sliku 8). Momenti inercije Zemlje u odnosu na ose prim koordinatnog sistema su

I x′ , I ′y , I z′ npr. I x′ =

∫∫∫ ( y ′

2

′ , I xz ′ , I ′yz su proizvodi inercije + z ′ 2 ) σ ( r ) dB , a I xy

B

Zemlje, npr.

I ′xy =

∫∫∫ x ′y ′σ (r ) dB

u odnosu na isti koordinatni sistem

B

[MACMILLAN, 1936]. O~igledno je da potencijalni koeficijenti nièg reda pokazuju ne samo lokaciju centra mase Zemlje, ve} i orijentaciju i dimenzije elipsoida inercije u po~etku usvojenog koordinatnog sistema. Potencijalni koeficijenti vi{eg reda imaju sli~no, ali mnogo kompleksnije dinami~ko obja{njenje. Veze (54) su prema tome od velikog zna~aja ako je potrebno realizovati prirodni geocentri~ni koordinatni sistem pomenut u podpoglavlju 5.3. Ako je koordinatni sistem izabran tako da je A1,0 = A1,1 = B1,1 = 0 , tada je on geocentri~an. Ako je uz to A2,1 = B2,1 = B2,2 = 0 , sistem je koaksijalan sa glavnim elipsoidom inercije, i postaje prirodni geocentri~ni sistem. U tom slu~aju je I x′ = I 1 , I ′y = I 2 , I z′ = I 3 , i vaì:

A2,0 =

G ⎛ I1 + I 2 ⎞ − I3 ⎟ , ⎜ 3 a ⎝ 2 ⎠

A2,2 =

G (I 2 − I 1 ) . 4a 3

(20.55)

§ 20.2


553

SLIKA 20.8. Lokalni elipsoid inercije.

Novi prirodni geocentri~ni sistem odnosi se prema originalno usvojenom sistemu po slede}im transformacionim jedna~inama:

r = R(ω 1 , ω 2 , ω 3 )(r ′ − rc′ ) ,

(20.56)

gde je rc′ = ( xc′ , y c′ , z c′ ) , a R(ω 1 , ω 2 , ω 3 ) je matrica rotacije (podpoglavlje 3.3). Tri ugla rotacije dobijaju se dijagonalizacijom sopstvenim vrednostima (vidi podpoglavlje 3.1) glavnog tenzora inercije izvedenog za centar mase Zemlje:

⎡ Ix ⎢ ⎢ I yx ⎢ I zx ⎣

I xy Iy I zy

I xz ⎤ ⎡ I 1 ⎥ ⎢ I yz ⎥ → ⎢ 0 I z ⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 I2 0

0⎤ ⎥ 0⎥ . I 3 ⎥⎦

(20.57)

Kao {to smo ve} videli, svi potencijalni koeficijenti su u fizi~kim jedinicama potencijala, npr. cm 2 s −2 . êsto je me|utim pogodnije raditi sa bezdimenzionalnim potencijalnim koeficijentima. U tu svrhu, gravitacioni potencijal (44) pi{e se u obliku:

554


GM W g (r , θ , λ ) = r

n ∞ ⎡ ⎛a⎞ n (J nm cos mλ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎢⎣ n =1 ⎝ r ⎠ m = 0 + K nm sin mλ )Pnm (cos θ )] ,

∑

∑

§ 20.2

(20.58)

gde je o~igledno J nm = − Anm a / (GM ) i K nm = − Bnm a / (GM ) . Primetimo da se zanemarivanjem svih potencijalnih koeficijenata dobija sferna aproksimacija gravitacionog potencijala:

W gS (r ) =

GM , r

(20.59)

koja odgovara formuli (4). Opaànja su pokazala da je J 2,0 = 1082.63 × 10 −6 , {to je vrednost mnogo ve}a od ostalih potencijalnih koeficijenata koji su najvi{e reda veli~ine 10 −6 [IUGG, 1976]. Vide}emo u narednom podpoglavlju da ~lan J 2 = J 2,0 odraàva elipti~nost Zemlje, dok ostali koeficijenti odraàvaju preostale nepravilnosti. U prirodnom koordinatnom sistemu definisanom sa (56) vaì (podpoglavlje 5.3):

J 2,0 = J 2 = −

⎛1 ⎞ ⎜ (I 1 + I 2 ) − I 3 ⎟ ⎝2 ⎠ Ma

2

=

I 3 − I1 Ma 2

.

(20.60)

Stoga elipsoidna aproksimacija gravitacionog potencijala glasi:

GM G (I 3 − I 1 ) P2 (cos θ ) − r r3 I − I ⎞ 3G (I 3 − I 1 ) GM ⎛ cos 2θ . = ⎜⎜1 + 3 21 ⎟⎟ − r ⎝ 2 Mr ⎠ 2r 3

W gS (r , θ ) =

(20.61)

Do sada je na{a pa`nja bila usmerena na razvoj gravitacionog potencijala u sferne harmonike. Sli~ni argumenti se mogu upotrebiti za razvoj W g u elipsoidne harmonijske funkcije, ali to ne}emo raditi, ve} }emo samo citirati slede}i rezultat [HOBSON, 1931]:

W g (u , θ , λ ) =

∑∑ q (u, E , b) (A ∞

n

nm

c nm Ynm

(Θ, λ ) + BnmYnms (Θ, λ )) ,

n =0 m =0

(20.62)

§ 20.3

Modelsko polje teè

555

gde je q nm (u , E , b) = Qnm (i u/E )/Qnm (i b/E ), i = -1 , a Qnm su Leàndrove funkcije druge vrste [ABRAMOVITZ AND STEGUN, 1964]. Ova jedna~ina vaì van grani~nog elipsoida ( E , b) . Potencijalni koeficijenti izvode se formulama sli~nim (47). Ovde elipsoid ( E , b) ima istu ulogu koju je imala sfera r = a u sfernom slu~aju. Primetimo tako|e da redovi (44) i (62) imaju veoma sli~nu strukturu. Glavna razlika je u radijalnim ~lanovima koji su u elipsoidnom slu~aju mnogo komplikovaniji. Zavr{imo ovo podpoglavlje konstatacijom da jo{ nije ni postavljen problem grani~nih vrednosti za W g . Slu~aj koji je do sada razmatran je ~isto hipoteti~ki, jer nema na~ina da se dobiju vrednosti gravitacionog potencijala za odre|ivanje potencijalnih koeficijenata ni na sferi ni na grani~nom elipsoidu. Na~in ra~unanja potencijalnih koeficijenata iz mernih veli~ina bi}e diskutovan u poglavljima 22 i 23. 20.3. Modelsko polje teè U nizu situacija pogodnije je raditi sa modelskim poljem teè kao {to je ura|eno u podpoglavljima 6.2. i 17.4. Stepen kojim ovo modelsko polje treba da aproksimira stvarno polje teè zavisi od svrhe u koju se upotrebljava. Najjednostavniji model je radijalno polje. Za njega se moè smatrati da ga generi{e ~estica zanemarljive veli~ine ali mase uporedive sa masom Zemlje, ili sfera sa slojevitim rasporedom mase. Potencijal takvog polja dat je jedna~inom (59), koja pokazuje da je polje funkcija samo rastojanja od centra polja. Njegove ekvipotencijalne povr{i su koncentri~ne sferne povr{i. Ovaj model ve} je kori{}en u podpoglavlju 6.2 za odre|ivanje pribli`ne vrednosti vertikalnog gradijenta teè. On se tako|e intenzivno koristi u radu sa satelitima, kao {to }e biti vi|eno u poglavlju 23. Aproksimacija koja je blià realnosti je elipsoidno modelsko polje. Ovaj model U (φ , λ , h) ve} je pomenut u podpoglavlju 6.2, ali }e sada biti detaljnije razmotren. U geodeziji je uobi~ajeno traìti modelsko polje koje: (a) ima istu uglovnu brzinu ω kao i stvarno polje, tj. Zemlja, (b) generi{e najbolji geocentri~ni dvoosni elipsoid definisan sa a i b (podpoglavlje 7.3), (c) ima ekvipotencijalnu povr{ koja se poklapa sa elipsoidnom povr{i, i na kojoj je potencijal U 0 jednak potencijalu W0 stvarnog polja na geoidu. Model sa ovakvim svojstvima naziva se normalnim poljem teè, a njegov potencijal se ozna~ava sa U (podpoglavlje 6.2).

556


§ 20.3

Naravno, takvo normalno polje moè se dobiti samo sa onim stepenom pribliènja koji odraàva poznavanje stvarnog polja teè. Stoga ne postoji idealno normalno polje teè, pa se postoje}a normalna polja (podpoglavlja 6.2 i 7.3) moraju smatrati samo aproksimacijom teorijskih ideja. Treba tako|e imati na umu da definicija normalnog polja niti sadrì niti predvi|a jedinstvenu raspodelu mase unutar generatorskog elipsoida. Situacija je prema tome sli~na onoj sa pomenutim radijalnim poljem, gde razli~ite raspodele masa generi{u jedno isto polje. Sada }emo pokazati da gornji zahtevi defini{u jedinstveno normalno polje. Za dokazivanje je pogodno koristiti EL koordinatni sistem obja{njen u podpoglavlju 20.1. Da bi se uspostavio prvi zahtev (a), normalni potencijal U (u , Θ) mora biti izraèn kao suma centrifugalnog potencijala Wc (u , Θ) i potencijala WgN koji predstavlja deo potencijala Wg (u , Θ) potreban da budu zadovoljena ostala dva zahteva:

U (u, Θ) = WgN (u, Θ) + Wc (u, Θ)

(20.63)

Potencijal Wc (u , Θ) lako se formuli{e uz pomo} slike 9:

(

)

Wc (u, Θ) = 12 ω 2 u 2 + E 2 sin 2 Θ

(20.64)

Shodno drugom (b) i tre}em (c) zahtevu, i normalni potencijal teè U i normalni gravitacioni potencijal WgN imaju simetriju zbog koje nisu funkcija od λ . Tre}i zahtev (c) utvr|uje da mora biti:

U (b, Θ) = W0 .

(20.65)

Ova jedna~ina se moè posmatrati kao jedna~ina geocentri~nog elipsoida datog sa b i E , ili bilo koja druga dva ekvivalentna parametra. Zamenom za U iz (63) i (64), jedna~ina (65) se moè napisati u obliku:

WgN (b, Θ) + 12 ω 2 a 2 sin 2 Θ = W0 .

(20.66)

Sve {to sada treba uraditi je da se na|e WgN (b, Θ) koje zadovoljava ovu jedna~inu.

§ 20.3

Modelsko polje teè

557

SLIKA 20.9. Centrifugalni potencijal u elipsoidnim koordinatama.

Po{to WgN mora biti simetri~no, svaki red kao {to je (62) moè imati samo ~lanove sa m = 0 , tj. zonalne ~lanove. Zbog toga }e op{ti izraz za WgN u elipsoidnim koordinatama biti:

WgN (u, Θ) =

∞

∑ q (u, E , b) A P (cosΘ) . n

n n

(20.67)

n =0

Ali na elipsoidu (b, E ) je u = b , i svi su radijalni ~lanovi jednaki jedinici, jer je:

⎛ b⎞ ⎛ b⎞ qn (b, E , b ) = Qnm ⎜ i ⎟ Qnm ⎜ i ⎟ = 1 . ⎝ E⎠ ⎝ E⎠

(20.68)

Prema tome jedna~ina elipsoida (66) postaje: ∞

∑ A P (cosΘ) = W n n

n =0

0

− 12 ω 2 a 2 sin 2 Θ

= W0 P0 (cosΘ) − 12 ω 2 a 2

2 3

[P0 (cosΘ) − P2 (cosΘ)]. (20.69)

558


§ 20.3

Jedini na~in da ova jedna~ina bude zadovoljena za bilo koju vrednost Θ je da svi zonalni koeficijenti pomnoèni odgovaraju}im Leàndrovim funkcijama s leve i desne strane jednakosti budu jednaki. To zna~i:

A0 = W0 − A2 =

ω 2a 2 3

ω 2a 2 3 ,

,

A1 = 0, (20.70)

An = 0, n = 3, 4,...

tako da normalni gravitacioni potencijal postaje:

⎛ ω 2a 2 WgN (u, Θ) = q0 (u, E , b ) ⎜⎜W0 − 3 ⎝

⎞ ω 2a 2 ⎟ + q2 (u, E , b ) P2 (cosΘ) . ⎟ 3 ⎠ (20.71)

Izrazimo kona~no normalni potencijal teè U kao funkciju od GM koje se moè odrediti, umesto kao funkciju od W0 koje ne moè. Drugim re~ima, poku{ajmo da elimini{emo W0 iz (71). U tu svrhu q0 se izraàva kao funkcija od r , pa se:

⎛E⎞ ⎛E⎞ E ⎛E⎞ q 0 (u , E , b ) = arctan⎜ ⎟ arctan⎜ ⎟ = arctan −1 ⎜ ⎟ ⎝u⎠ ⎝b⎠ r ⎝b⎠

(20.72)

dobija sa ta~no{}u od (1 / r ) 3 . Upore|enjem WgN sa Wg , s tim da se oba potencijala uzmu sa ta~no{}u od (1 / r ) 3 , dobija se èljena veza:

E ω 2 a 2 ⎞ GM ⎛ E ⎞⎛ arctan −1 ⎜ ⎟⎜W0 − . ⎟= r 3 ⎠ r ⎝ b ⎠⎝

(20.73)

Izraàvanjem W0 u funkciji GM , i zamenom u (66), normalni potencijal u elipsoidnim koordinatama ima slede}i oblik:

GM ⎛ E ⎞ ω 2 (u 2 + E 2 ) (1 − P2 (cosΘ)) arctan⎜ ⎟ + E 3 ⎝u⎠ ω 2a2 P2 (cosΘ ) . + q 2 (u , E , b ) 3

U (u , Θ ) =

(20.74)

§ 20.3

Modelsko polje teè

559

O~igledno je da je normalni potencijal definisan za svaku ta~ku (u , Θ) kada su zadati GM , ω i referentni elipsoid (b, E ) . Ovim je dokazano da pomenuti zahtevi (od (a) do (c)) jedinstveno defini{u normalno polje. Za mnoge primene pogodno je izraziti normalni potencijal u sfernim koordinatama. Da bi dobili odgovaraju}e izraze, po~nimo sa razvojem gravitacionog potencijala Wg ( r , θ , λ ) u sferne harmonike (58), i potraìmo normalni deo WgN . Ovaj deo mora zadovoljavati definicionu jedna~inu (uporedi sa (63)):

U (r , θ ) = WgN (r ,θ ) + Wc (r, θ ) ,

(20.75)

kao i zahteve (od (a) do (c)) postavljene na po~etku ovog podpoglavlja. Po{to normalni gravitacioni potencijal mora biti simetri~an, razmatra}emo samo zonalne ~lanove. [tavi{e, po{to je normalno polje simetri~no u odnosu na ekvator, svi harmonici neparnog stepena ( n = 2k + 1, k = 0, 1, ... ) moraju biti nula. Normalni gravitacioni potencijal se onda traì u slede}em obliku:

GM U (r , θ ) = r

n ∞ ⎛ ⎞ ⎛a⎞ N ⎜1 − ⎜ ⎟ J n Pn (cosθ )⎟ , ⎜ n =2, 4, 6, ... ⎝ r ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(20.76)

gde su normalni potencijalni koeficijenti J nN = J nN0 funkcije svih zahtevanih parametara tj. veli~ine i oblika geocentri~nog referentnog elipsoida, brzine rotacije Zemlje i mase Zemlje. Na primer J 2N koji sadrì centrifugalni ~lan, ima oblik [DE SITTER, 1924]:

J 2N =

2 3

2 f − 13 m − 13 f 2 + 21 fm ,

(20.77)

gde je m geodetski faktor definisan sa (7.23). Iz prakti~nih razloga dozvoljeno je uzeti samo nekoliko normalnih potencijalnih koeficijenata, kao {to je to ura|eno za Me|unarodni geodetski referentni sistem 1967 [IAG, 1971]. Ovi koeficijenti zajedno sa GM , a i ω (uporedi sa (76)) onda jedinstveno odre|uju normalni potencijal teè i ~ak i normalno polje teè. Treba ista}i da se za potrebe definisanja normalnog polja teè u masu Zemlje uklju~uje i masa atmosfere, tj. masa Zemlje se pove}ava za oko 0.89 × 10 −6 ⋅ M (podpoglavlje 9.4). To se radi da bi se moglo smatrati da se normalno polje teè prostire u praznom prostoru iznad povr{ine generatorskog elipsoida.

560


§ 20.3

Pre nego {to pre|emo na normalnu teù, razjasnimo jo{ jedan detalj. Do sada su razmatrana samo radijalna i elipsoidna modelska polja. Iako je u najve}em broju slu~ajeva elipsoidno normalno polje sasvim adekvatno, postoje slu~ajevi u kojima je potrebna jo{ bolja aproksimacija stvarnog polja teè, zbog ~ega se onda mora `rtvovati matemati~ka jednostavnost. U takvim slu~ajevima, kao model se mogu koristiti kona~ni sferni ili elipsoidni redovi, ~iji se potencijalni koeficijenti odre|uju iz stvarnih terenskih podataka (podpoglavlje 24.4). Ekvipotencijalne povr{i takvih modelskih polja ne}e biti tako glatke kao one normalnog polja, ali se zato s druge strane malo razlikuju od ekvipotencijalnih povr{i stvarnog polja. Treba napomenuti tako|e da takva referentna polja ne moraju biti osno simetri~na tj. mogu zavisiti i od λ , i ne moraju biti simetri~na u odnosu na ekvator, tj. mogu imati harmonike neparnog stepena. Na primer, kru{kolika referentna povr{ ima}e ~lan (3,0) (podpoglavlje 20.2). Svako modelsko polje teè ima pridruènu teù. Ona je naravno definisana kao gradijent potencijala modelskog polja (formula (6.31)). Ve} smo radili sa teòm generisanom radijalnim poljem (jedna~ina (6.11)), a tako|e je pomenuto i nekoliko formula za normalnu teù (formule od (6.15) do (6.19)). Sada }emo pokazati kako se ovi izrazi izvode za normalnu teù. Najpogodniji koordinatni sistem za ove svrhe je EL sistem. U traènju gradijenta normalnog potencijala teè datog sa (74), operator gradijenta se mora prvo izraziti u elipsoidnom sistemu. Rezultat je:

∂U u2 + E2 eu 2 2 2 u + E cos Θ ∂u ∂U ∂U 1 1 + eΘ + eλ . 2 2 2 2 2 u + E cos Θ ∂Θ (u + E ) sinΘ ∂λ

γ (u, Θ ) = ∇U (u , Θ ) =

(20.78) Tre}i ~lan desne strane jedna~ine mora biti nula jer U ne zavisi od λ . Osim toga, u blizini geocentri~nog referentnog elipsoida normalna teà je upravljena pribli`no du` u kada je spljo{tenost elipsoida mala, kao {to se moè videti na slici 10. Ta razlika nigde nije ve}a od 13 lu~nih minuta. Prema tome, sa ta~no{}u boljom od 0.2 µGal , moè se izostaviti drugi ~lan koji sadrì brzinu promene sa Θ , i za veli~inu normalne teè onda sledi:

§ 20.3

Modelsko polje teè

γ (u , Θ ) = −

u2 + E2 ∂U . 2 2 2 u + E cos Θ ∂u

561

(20.79)

pri ~emu je negativan predznak uzet zato {to su eu i γ suprotnih smerova. Nalaènjem parcijalnog izvoda od U iz (74), pri ~emu je sa relativnom ta~no{}u boljom od e 4 izvod od q 2 (u , b, E ) jednak − 3b 3 / u 4 , dobija se:

γ (u , Θ ) = −

u2 + E2 GM a 2ω 2 b 3 ⎡ − − P2 (cos Θ ) u 2 + E 2 cos 2 Θ ⎢⎣ u 2 + E 2 u4 +

2ω 2 u (1 − P2 (cos Θ))⎤⎥ . 3 ⎦ (20.80)

Kada se radi sa normalnom teòm, obi~no se ona prvo izvede za povr{ geocentri~nog referentnog elipsoida, a potom koriguje za efekat visine nad elipsoidom kao {to je ura|eno u podpoglavlju 6.2. To je zbog toga {to se vertikalni gradijent normalne teè izvodi veoma lako kao {to }emo videti u narednom podpoglavlju. Prema tome, prvi zadatak je da se izvede formula za normalnu teù na elipsoidu tj. za γ 0 . Kao {to je ve} poznato, na elipsoidu je u = b , i (80) daje posle sre|ivanja:

SLIKA 20.10. Pravac normalne teè.

562


γ 0 (Θ ) = γ (b, Θ ) =

§ 20.3

⎞ ⎛ 2 2 ⎞ ⎛ a2 ⎜⎜1 − m + ⎜ m + m ⎟ P2 (cosΘ )⎟⎟ , 2 3 3 ⎠ a a 2 cos 2 Θ + b 2 sin 2 Θ ⎝ ⎝b ⎠ GM

(20.81) gde je m ponovo ve} pomenuti geodetski faktor. Iz (81) se elementarnim operacijama moè izvesti Kleroova teorema (podpoglavlje 7.3). Ovde }emo me|utim navesti Somiljaninu formulu koja glasi:

γ 0 (Θ ) =

aγ P cos 2 Θ + bγ E sin 2 Θ a 2 cos 2 Θ + b 2 sin 2 Θ

.

(20.82)

Ona ima istu ta~nost kao (74). Zna~enje γ P i γ E isto je kao u podpoglavlju 7.3. Druga Somiljanina formula koristi (25) da izrazi normalnu teù kao funkciju geodetske latitude umesto druge elipsoidne koordinate Θ :

γ 0 (φ ) =

aγ E cos 2φ + bγ P sin 2φ a 2 cos 2φ + b 2 sin 2φ

.

(20.83)

Da bi se ova jedna~ina transformisala u oblik koji je Kasini upotrebio za prvu me|unarodnu formulu (vidi jedna~inu (6.17)), prvo se cos 2φ izraàva kao

1 − sin 2φ , i koriste se geometrijska i gravimetrijska spljo{tenost. Nakon nekoliko koraka rezultat je:

γ 0 (φ ) = γ E

(

)

~ ~ 1 + f − f − f f sin 2φ 1+ (f

2

− 2 f ) sin 2φ

.

(20.84)

Razvojem imenioca u stepeni red i zanemarivanjem ~lanova vi{eg reda, kona~no se dobija:

γ 0 (φ ) = γ E (1 + α sin 2φ + β sin 2 2φ ) , ~

(20.85)

~

gde je α = f gravimetrijska spljo{tenost (podpoglavlje 7.3), a β = f ( f − f )/4 . Ova formula ima ta~nost reda e 2 tj. oko 50 µGal . Aproksimacije vi{eg reda mogu se na}i u npr. IAG [1971].

§ 20.4

Poreme}ajni potencijal

563

Na kraju ovog podpoglavlja konstatujmo da se sli~ne formule za normalnu teù mogu tako|e izvesti iz (76) upotrebom sfernih umesto elipsoidnih koordinata. LEVALLOIS [1970] je na primer izveo izraze za α , β kao funkcije normalnih potencijalnih koeficijenata dobijenih na taj na~in. 20.4. Poreme}ajni potencijal Glavna primena normalnog polja teè je dobijanje anomalijskog ili poreme}ajnog potencijala T , koji je definisan kao:

T (rA ) = W (rA ) − U (rA ) .

(20.86)

Veli~ina T odraàva regionalne i lokalne nepravilnosti potencijala W . Po{to U modelira najve}i sadràj stvarnog polja teè W , poreme}ajni potencijal je mnogo manji od oba potencijala, i stoga je svaka aproksimacija u nalaènju T mnogo manje kriti~na u odnosu na aproksimacije pri nalaènju pomenuta dva potencijala. Zbog definicije normalnog polja teè, poreme}ajni potencijal zadovoljava Laplasovu jedna~inu van Zemlje. To se lako dokazuje zamenom za U u (86) iz (63) i razdvajanjem W na gravitacioni i centrifugalni potencijal:

(

)

T (rA ) = Wg (rA ) + Wc (rA ) − WgN (rA ) + Wc (rA )

( )

= Wg rA + WgN

(rA ) .

(20.87)

Zanemaruju}i atmosferu, (formule (15)), dobija se:

∇ 2 T ( rA ) = 0

(20.88)

svuda van Zemlje. Za mnoge primene pogodno je traìti poreme}ajni potencijal u sfernim harmonicima. Zamenom u (86) iz (58) i (76) sledi:

GM T (r , θ , λ ) = r −

GM r

GM − r

∞

∑

n

∞

n

(

)

⎛a⎞ N ⎜ ⎟ J n − J n Pn (cosθ ) r ⎝ ⎠ n = 2, 4,... ⎛a⎞ ⎜ ⎟ J n Pn (cosθ ) n =1, 3,... ⎝ r ⎠

∑

∞

⎛a⎞ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ r ⎠

∑

n ∞

∑ (J

nm cos m

λ + K nm sin mλ ) Pnm (cosθ ) .

m =1

(20.89)

564

§ 20.4


Ova jedna~ina se ~esto pi{e u obliku:

T (r , θ , λ ) =

∞

∑T (r, θ , λ ) ,

(20.90)

n

n =1

gde se Tn smatra komponentom od T odgovaraju}eg reda n , kao na primer:

GM ⎛ a ⎞ T5 (r , θ , λ ) = − ⎜ ⎟ r ⎝r⎠

5 5

∑ (J

5 m cos m

λ + K 5m sin mλ ) P5m (cos θ ) .

m =0

Primetimo da je za odgovaraju}e izabrano normalno polje J 2N jednako J 2 . Tako|e, ako se sferni koordinatni sistem poklapa sa prirodnim geocentri~nim sistemom, neki potencijalni koeficijenti postaju nula (podpoglavlje 20.2), pa se na primer dobija:

T (r , θ , λ ) =

GMa 2 J 2,2 cos 2λP2,2 (cos θ ) r3

GM + r GM − r −

GM r

∞

n

∞

n

(

)

⎛a⎞ N ⎜ ⎟ J n − J n Pn (cos θ ) r n = 4, 6, ... ⎝ ⎠

∑

⎛a⎞ ⎜ ⎟ J n Pn (cos θ ) n =3, 5, ... ⎝ r ⎠

∑

∞

⎛a⎞ ⎜ ⎟ n =3 ⎝ r ⎠

∑

n n

∑ (J

λ + K nm sin mλ ) Pnm (cos θ ) .

nm cos m

m =1

(20.91) Ovo se moè napisati kao:

T (r , θ , λ ) =

∞

∑T (r, θ , λ ) , n

(20.92)

n =2

s tim {to T2 sadrì samo J 2, 2 ~lan, koji je u svakom slu~aju veoma mali jer je kao {to smo videli u podpoglavlju 5.3, I 1 = I 2 (vidi formulu (55)). U ovoj fazi interesantno je videti {ta se de{ava sa poreme}ajnim potencijalom ako se masa geocentri~nog elipsoida M N koji generi{e normalno polje pogre{no proceni. U tom slu~aju }e (90) i (92) imati dodatni apsolutni ~lan:

§ 20.4


δT = −δU = T0 =

565

(

)

GM GM N G G − = − M N − M = − δM . r r r r (20.93)

dana{njim saznanjima, ta~nost vrednosti za GM bolja je od 10 −6 GM [IUGG, 1976], pri ~emu }e odgovaraju}a gre{ka T0 uzrokovati

Prema

sistematsku globalnu gre{ku u anomalijama teè reda 1mGal najvi{e. Uporedive relativne gre{ke reda 10 −6 u drugim parametrima normalnog polja, npr. u ω , a i

J 2 imaju mnogo manji uticaj na T kao {to se moè videti iz (89). Vratimo se sada alternativnoj formulaciji za poreme}ajni potencijal, baziranoj na integralnoj jedna~ini (17). Zbog jednostavnosti, razmatra}emo samo formulaciju za povr{ Zemlje S . Do traène jedna~ine stiè se primenom tre}eg Grinovog identiteta na normalni deo WgN potencijala Wg . Rezultat je:

∫∫ S

⎛ 1 ∂WgN ∂ρ −1 ⎞⎟ ⎜ − WgN dS − ⎜ ρ ∂n ∂n ⎟⎠ ⎝

1

∫∫∫ ρ ∇ W 2

N g dB

= 2πWgN (rA ) ,

B

(20.94) za A na S , pri ~emu je n ponovo spolja{nja normala na Zemljinu povr{. Primetimo da se za pisanje ove formule normalnom gravitacionom potencijalu WgN mora dati druga~ije zna~enje, a istovremeno zadràti njegov analiti~ki oblik razvijen u podpoglavlju 20.3. Ovog puta je naime pretpostavljeno da normalni gravitacioni potencijal generi{e sama Zemlja a ne geocentri~ni elipsoid. Stoga se mora pretpostaviti da postoji modelska Zemlja koja je po obliku i veli~ini identi~na sa stvarnom Zemljom, ali se od nje razlikuje u rasporedu masa. Ovo je dozvoljeno ako se ima u vidu da je normalno gravitaciono polje ~isto konvencionalna veli~ina za koju nije ~ak ni potrebno specificirati telo koje ga generi{e. Ponovo se moè napisati (jedna~ina (12)):

∇ 2WgN (r ) = −4πGσ N (r ) ,

(20.95)

gde je σ N (r ) gustina mase Zemlje koja bi generisala zahtevani normalni gravitacioni potencijal. Zamenom u (94) dobija se:

566


∫∫ S

⎛ 1 ∂WgN ∂ρ −1 ⎞⎟ ⎜ − WgN dS = −2πWgN (rA ) , ⎜ ρ ∂n ⎟ ∂n ⎠ ⎝

§ 20.4

(20.96)

pri ~emu je:

G

σ N (r ) dB = WgN (rA ) . ∫∫∫ ρ (r , rA ) B

(20.97)

Posle oduzimanja (96) od (18), i uzimaju}i u obzir (87), dobija se nakon sre|ivanja:

T (rA ) −

1 2π

∫∫ S

⎡ ∂ρ −1 1 ∂T (r ) ⎤ − ⎥ dS = 0 . ⎢T (r ) ρ ∂n ⎦ ∂n ⎣

(20.98)

Ovo je poznata integralna jedna~ina Molodenskog za poreme}ajni potencijal T [MOLODENSKIJ ET AL., 1960]. Ona je stroga, i vaì za povr{ Zemlje. Zna~enje pojedinih oznaka jasno je sa slike 11. U nekim geodetskim primenama pogodno je izraziti poreme}ajni potencijal kroz jo{ jednu fizi~ku idealizaciju, tj. kroz beskona~no tanki sloj kona~ne povr{inske gustine. Da bi razumeli ovaj koncept, razmotrimo prvo ljusku E kona~ne uniformne debljine, koja obuhvata praznu Zemlju. Mogu}e je zamisliti takvu raspodelu gustine σ E u okviru ljuske, koja spolja ima isti potencijal kao stvarna Zemlja [KOCH AND MORRISON, 1970; OFFICER, 1974]. Izraèn matemati~ki, potencijal je:

SLIKA 20.11. Poreme}ajni potencijal na povr{ini Zemlje.

§ 20.4


W (rA ) = G

σ E (r )

∫∫∫ ρ (r , r ) dE

.

567

(20.99)

A

E

Neka je sada dozvoljeno da debljina ljuske E bude beskona~no mala. U isto vreme σ E se menja u σ S da bi se odrào isti potencijal W . Izraz za W tada postaje:

W (rA ) = G

σ S (r ) ∫∫S ρ (r , rA ) dS ,

(20.100)

pri ~emu se integracija vr{i po povr{i Zemlje S . Interesantno je da su fizi~ke jedinice za σ E g cm −3 , dok su za σ S g cm −2 , tako da su to dve razli~ite fizi~ke veli~ine. To se de{ava zato {to je σ S samo fizi~ka apstrakcija koja je kona~na a ne beskona~na kao {to bi se intuitivno pomislilo. Moè se pokazati da je veza izme|u W i σ S jedinstvena ako je povr{ S dovoljno glatka [MORRISON, 1972]. Sli~na formulacija moè se upotrebiti i za poreme}ajni potencijal. Po{to je poreme}ajni potencijal T mnogo manji od W , onda je i povr{inska gustina potrebna da generi{e T mnogo manja nego σ S u (100). U ovom kontekstu pogodno je definisati funkciju povr{inske gustine Φ (r ) koja predstavlja proizvod povr{inske gustine i gravitacione konstante [PICK ET AL., 1973]. Pomo}u nje se poreme}ajni potencijal moè napisati kao:

T (rA ) =

Φ (r )

∫∫ ρ (r , r ) dS . S

(20.101)

A

Primetimo da su fizi~ke jedinice od Φ jedinice ubrzanja, tj. centimetri po kvadratnoj sekundi. Iako je povr{inska gustina korisno matemati~ko oru|e, fizi~ka interpretacija mora biti veoma pa`ljiva, naro~ito u neposrednoj blizini povr{i. Poslednji na~in prikazivanja poreme}ajnog potencijala kojeg }emo ovde prodiskutovati upotrebljava takozvane uronjene ~estice pogodno izabrane mase koje se zovu maskoni. Da bi objasnili koncept maskona zamislimo normalni potencijal U zajedno sa potencijalima P1 , P2 dve uronjene ~estice pozitivne i negativne mase m1 , m2 . Potencijal koji je posledica superpozicije ova tri polja prikazan je na slici 12. O~igledno je da se mogu specificirati poloàji i mase beskona~no mnogo takvih ~estica, tako da njihov kombinovani potencijal bude jednak stvarnom poreme}ajnom potencijalu T .

∑

∞ i =1

Pi

568


§ 20.4

SLIKA 20.12. Maskoni.

Ovo se matemati~ki moè dokazati na slede}i na~in: gravitacioni potencijal Pi svakog maskona mi u ta~ki A je dat kao (uporedi sa (6.25)):

Pi (rA ) =

Gmi

ρ

,

(20.102)

gde je zna~enje simbola jasno sa slike 13, a mi moè biti pozitivno ili negativno. Sada se ρ −1 moè izraziti Leàndrovim funkcijama po cos ψ (formula (3.53)), i svaka Leàndrova funkcija razviti u red sfernih harmonika (formula (51). Sabiranjem p potencijala Pi , i oznakom: p ⎫ 2G (n − m )! p ⎧ Anm ⎛ r ⎞ ⎧Y c (θ i , λ i )⎫ mi ⎜⎜ i ⎟⎟ ⎨ nm ⎬, ⎨ p ⎬= s ⎩ Bnm ⎭ a (n + m )! i =1 ⎝ a ⎠ ⎩Ynm (θ i , λ i )⎭ n

∑

(20.103)

dobija se izraz: p

Pp

(rA , θ A , λ A ) = ∑ Pi (rA ) i =1

∞

⎛ a = ⎜⎜ n = 0 ⎝ rA

∑

⎞ ⎟⎟ ⎠

n +1 n

∑ (A

p c nm Ynm

(θ A , λ A ) + Bnmp Ynms (θ A , λ A )).

m =0

(20.104) Ovde je a izabrano proizvoljno, a sli~nost izme|u (103) i (52) je evidentna.

§ 20.4


569

SLIKA 20.13. Potencijal maskona.

Lako je videti da ako je A0,0 = 0 , onda je oblik (104) identi~an sa (90) za p

poreme}ajni potencijal, pri ~emu je po definiciji B0,0 = 0 (formula (103)). p

Intuitivno je jasno da je A0,0 = 0 ako i samo ako je p

∑

p

i =1

mi = 0 , tj. ako je suma

pozitivnih uronjenih masa jednaka sumi negativnih uronjenih masa. Ako je ovaj uslov ispunjen, tada se (90) i (104) mogu izjedna~avati ~lan po ~lan po n , i na taj na~in dobiti sistem jedna~ina po mi . Izborom lokacija ri uronjenih masa mogu se re{iti mase mi , ili se prethodnim izborom masa mi mogu re{iti jedna~ine po radijalnim rastojanjima ri ovih masa [BALMINO, 1972]. Mora se naravno izabrati beskona~no mnogo lokacija (r , θ , λ ) da bi se poreme}ajni potencijal (89) izrazio ta~no. Ako je potrebna aproksimacija, upotrebljava se kona~an broj maskona. Prednost ovog pristupa u izraàvanju poreme}ajnog potencijala sastoji se u tome {to se maskoni mogu vizualizirati kao anomalije ta~kastih gustina unutar Zemlje. Tada je lak{e interpretirati poreme}ajni potencijal T u vidu varijacija gustina unutar Zemljine kore ili omota~a, u zavisnosti od dubina koje se izaberu za postavljanje maskona.

POGLAVLJE 21

LOKALNI TRETMAN GRAVITACIONOG POLJA

Razni lokalno opaàni parametri Zemljinog polja teè obi~no se mogu transformisati u druge parametre, daju}i tako vredan izvor informacija o polju. Isto tako, lokalne karakteristike Zemljinog polja teè imaju odre|enu ulogu u geodetskom pozicioniranju kao {to smo to videli u delu IV. Prema tome, razumevanje lokalnog pona{anja polja teè i lokalnih veza ime|u razli~itih parametara polja, ima zna~aja u re{avanju niza problema. U ovom podpoglavlju zapo~injemo sa definicijama parametara polja i njihovim vezama sa stvarnim potencijalom teè. U drugom podpoglavlju diskutovan je vertikalni gradijent teè i mesto koje zauzima u re{avanju mnogih geodetskih problema. Pitanje krivine vertikala obra|eno je u tre}em podpoglavlju. Sadràj ~etvrtog podpoglavlja su reljef i izostazija, kao dominantni uzroci lokalnih varijacija polja teè. îtalac }e primetiti da je matemati~ki aparat upotrebljen u ovom poglavlju zna~ajno razli~it od prethodnog. Osim toga, u ovom poglavlju upotrebljene su oznake koje su pogodnije za lokalni tretman. 21.1. Transformacija poreme}ajnog potencijala u druge parametre polja U poglavlju 6 istaknuta su tri osnovna parametra polja koji se koriste u geodeziji: anomalija teè, vertikalski otklon i geoidna visina. Sada }emo pokazati razli~ite vrste ovih parametara koje se mogu definisati i upotrebljavati. Anomalija teè defini{e se kao skalar ~ija je vrednost jednaka razlici izme|u veli~ine stvarne teè na geoidu g 0 i normalne teè na geocentri~nom elipsoidu

γ 0 (slika 1): ∆g = g 0 − γ 0 .

(21.1)

570

§ 21.1

Transformacija poreme}ajnog potencijala u druge parametre polja

571

SLIKA 21.1. Geoidna anomalija teè.

Kada se ∆g defini{e na ovaj na~in, naziva se anomalijom teè na geoidu ili geoidnom anomalijom teè. Kada je zna~enje jasno iz konteksta, ~esto se izostavlja pridev geoidna. O~igledno je da je na kopnu potrebno da se g 0 u op{tem slu~aju izvede iz vrednosti

g A opaàne na povr{i Zemlje. Analogno tome, teà opaàna na morskom dnu treba da se konvertuje u g 0 odgovaraju}om korekcijom. U zavisnosti od na~ina na koji se opaàna teà redukuje na geoid, postoji nekoliko vrsta geoidnih anomalija, od kojih su anomalije slobodnog vazduha pomenute u podpoglavlju 6.2, samo jedna. U narednom podpoglavlju bi}e pokazani razli~iti vertikalni gradijenti teè za koje se pretpostavlja da vaè u prostoru izme|u povr{i Zemlje i geoida. Oni vode razli~itim redukcionim postupcima, i samim tim razli~itim anomalijama teè.

~ , koja se defini{e kao Pandan geoidnoj anomaliji je povr{inska anomalija teè ∆g razlika izme|u veli~ine opaàne teè na povr{i Zemlje i normalne teè na teluroidu (vidi podpoglavlje 7.4): ∆g~ = g A − γ A′ .

(21.2)

Ova vrsta anomalija teè ne zahteva poznavanje vertikalnog gradijenta stvarne teè unutar Zemlje. Ta~na vrednost normalne teè na teluroidu moè se dobiti iz npr. (6.15) kada se upotrebi visina H N umesto h (vidi sliku 2). Prema tome, za razliku od geoidnih anomalija ne postoje razli~ite vrste povr{inskih anomalija, jer je ra~unanje γ A′ jedinstveno i nema potrebe za redukcijom opaàne teè g A .

572


§ 21.1

SLIKA 21.2. Povr{inska anomalija teè.

Sli~na situacija postoji i kod vertikalskih otklona. Otkloni u podpoglavlju 6.4 bili su definisani kao prostorni ugao izme|u normalnog vektora teè na referentnom elipsoidu i stvarnog vektora teè na geoidu. Ova vrsta θ naziva se geoidnim otklonima. Kao {to je prikazano na slici 6.21, one se mogu interpretirati i kao maksimalni nagib geoida u odnosu na referentni elipsoid u nekoj ta~ki. Ako se posmatra ugao izme|u normalnog vektora teè na referentnom elipsoidu i stvarnog vektora teè na Zemljinoj povr{i, onda se govori o povr{inskim otklonima i ozna~avaju se sa θ ′ (vidi sliku 3). Ova dva otklona razlikuju se za veli~inu koja je posledica krivine vertikala, kao {to je ve} vi|eno u podpoglavlju 6.

SLIKA 21.3. Geoidni i povr{inski otklon.

§ 21.1


573

SLIKA 21.4. Vertikalski otklon Molodenskog.

Tre}a vrsta otklona koji se koriste u geodeziji defini{e se kao ugao izme|u stvarnog vektora teè na Zemljinoj povr{i i normalnog vektora teè na teluroidu (slika 4). ~ Ovaj ugao naziva se otklonom Molodenskog i ozna~ava se sa θ . Upore|enjem θ ′ i ~ θ na slikama 3 i 4, vidi se da se razlika izme|u njih javlja zbog krivine vertikale normalnog polja, tj. krivine normalne vertikale u prostoru izme|u referentnog elipsoida i teluroida. Vi{e o krivini stvarne i normalne vertikale bi}e re~eno u podpoglavlju 21.3. Sve tri pomenute vrste otklona odnose se na geocentri~ni elipsoid koji generi{e normalnu teù. Njihova tri pandana koja se odnose na negeocentri~ni geodetski referentni elipsoid upotrebljen u delu IV, tako|e se mogu definisati. Poglavlje 24 }e pokazati kako se ove veli~ine mogu upotrebiti u istraìvanju Zemljinog gravitacionog polja. Pomenimo za sada samo da se geodetski otkloni ~esto koriste, a da nije uobi~ajeno definisati anomalije teè koje se odnose na geodetski referentni elipsoid. Razlog za to je {to se geodetski referentni elipsoid ne smatra modelom Zemlje, i prema tome nema pridruèno polje teè. Veliki zna~aj geoidne visine N koja je ve} obra|ivana u delovima II i IV, razlog je da je ovde ponovo uvedemo. U isto vreme mora se pomenuti i kvazigeoidna visina ζ koja se naziva i anomalijom visine (podpoglavlje 7.4). U kontekstu istraìvanja polja teè, kvazigeoid se ~esto tretira kao aproksimacija geoida i kao takav ima mesto u ovoj knjizi, iako nije ekvipotencijalna povr{ i nema nikakvu direktnu vezu sa teòm. Pogledajmo sada kako se sve ove veli~ine odnose prema Zemljinom potencijalu teè, a naro~ito prema poreme}ajnom potencijalu. Po~nimo sa vezom geoidne

574


§ 21.1

SLIKA 21.5. Brunsova formula.

visine. Slika 5 opisuje situaciju. Pod pretpostavkom da je vertikalni gradijent normalnog potencijala U konstantan izme|u elipsoida i geoida, vaì slede}a jedna~ina:

U B − U B0 = U B − W0 =

∂U ∂n

N = −γ 0 N .

(21.3)

B0

Po{to je W0 − U B poreme}ajni potencijal T u ta~ki B , moè se napisati:

N =T γ0 ,

(21.4)

pri ~emu je indeks B izostavljen i pri ~emu se podrazumeva da je T uzeto na geoidu. Ovo je poznata Brunsova formula koja se intenzivno koristi u geodeziji. U gornjem izvo|enju bilo je pretpostavljeno da je normalno polje teè bilo odgovaraju}e definisano, tako da je normalni potencijal U na elipsoidu jednak stvarnom potencijalu na geoidu. Kao {to je ve} istaknuto u podpoglavlju 20.4, gre{ka δM u usvojenoj vrednosti mase Zemlje ne moè se eliminisati. Gre{ka δM u M N }e uzrokovati ne samo gre{ku δT u poreme}ajnom potencijalu T (formula (20.93)), ve} }e i γ 0 imati gre{ku:

δγ 0 = −

δT GδM δU = =− . 2 r r r

(21.5)

§ 21.1


575

SLIKA 21.6. Slu~aj neta~no procenjenog normalnog potencijala.

Zbog toga }e se situacija sa slike 5 promeniti u situaciju prikazanu na slici 6. Shodno tome, (3) }e se promeniti u :

U B − (W0 − δU ) = −(γ 0 + δγ 0 )(N + δN ) ,

(21.6)

a uop{tena Brunsova formula glasi}e:

N + δN =

T + δT . γ 0 + δγ 0

(21.7)

Ovde je:

δN =

δT ⎛ N ⎞ δ T , ⎜1 + ⎟ = γ0 ⎝ r ⎠ γ0

(21.8)

i jednostavno ra~unanje nas uverava da relativna gre{ka od 10 −6 u proceni GM (podpoglavlje 20.4), ima za posledicu konstantnu gre{ku od δN = 6 metara. To se onda mora interpretirati kao gre{ka u veli~ini upotrebljenog geocentri~nog referentnog elipsoida, i ovo je jo{ jedna ilustracija me|usobne povezanosti fizi~kih i geometrijskih veli~ina (podpoglavlje 7.3). Formula sli~na Brunsovoj moè se izvesti i za anomalije visine. Prema slici 7, moè se napisati:

U A − WA =

∂U ∂n

ζ = −γ A′ζ A′

.

(21.9)

576


§ 21.1

SLIKA 21.7. Brunsova formula za anomaliju visine.

Zamenom T A za levu stranu jedna~ine, dobija se:

ζ = TA γ A′ ,

(21.10)

gde se T A uzima na Zemljinoj povr{i, a γ A′ je na teluroidu. Izvo|enje uop{tenog slu~aja sli~no je ve} izvedenoj uop{tenoj Brunsovoj formuli. U vezi relacije izme|u geoidne anomalije teè i potencijala teè W , moè se napisati o~igledna formula (uporedi sa (1)):

∆g = ∇W

B

− ∇U

B0

.

(21.11)

Me|utim, interesantnija je veza izme|u ∆g i T , a ona zahteva ne{to komplikovanije izvo|enje. Prvo se izvod od (3) uzima u pravcu elipsoidne normale K n . Izvod prvog ~lana je sa visokim stepenom ta~nosti jednak − γ B , dok je izvod drugog ~lana jednak ta~no − γ 0 . Po{to N nije funkcija visine pa je njegov izvod du` normale jednak nuli, dobija se (slika 8):

− γ B + γ 0 = −

∂γ ∂H

N . B0

(21.12)

§ 21.1


577

SLIKA 21.8. Geoidna anomalija teè i potencijal.

Zatim se uzima definiciona jedna~ina za T (20.86) u ta~ki B na geoidu, i ponovo traì izvod po H . Rezultat je:

− g 0 + γ B =

∂T ∂H

.

(21.13)

B

Sabiranjem (12) i (13) i upotrebom Brunsove formule, kona~no se dobija:

g 0 − γ 0 = ∆g = −

∂T 1 ∂γ + T , ∂H γ 0 ∂H

(21.14)

pri ~emu se oba izvoda ra~unaju za geoid. Ovo je takozvana osnovna gravimetrijska jedna~ina geodezije. îtalac se moè uveriti da se za slu~aj da M N nije ta~no procenjeno, gornja jedna~ina svodi na:

∆g − δγ = −

∂T 1 ∂γ (T + δT ) . + ∂H γ 0 ∂H

(21.15)

Potpuno analogna formula vaì i za povr{inske anomalije teè:

∆g~ = −

∂T 1 ∂γ + T , ∂H γ ∂H

(21.16)

s tom razlikom {to se izvodi i γ ra~unaju na teluroidu, dok se T uzima na povr{i Zemlje [MOLODENSKIJ ET AL., 1960]. Osim toga, izvodi se ra~unaju po normali na normalnu ekvipotencijalnu povr{ koja prolazi kroz A′ (vidi sliku 7).

578


§ 21.1

Kona~no, za vertikalski otklon θ kao funkciju Zemljinog potencijala teè postoji o~igledna formula:

K K

K

γ ⋅ g γ ∇W cos θ = = , γ ⋅ g γ ∇W

(21.17)

koja se moè upotrebiti za sve tri vrste otklona. Veza izme|u otklona i poreme}ajnog potencijala tako|e se moè izvesti iz (17), ali je to komplikovaniji na~in. Ovde }emo prikazati jednostavniji na~in. Uspostavimo prvo vezu izme|u komponenti geoidnih vertikalskih otklona ξ , η i geoidne visine N . Po{to se komponente otklona u nekoj ta~ki mogu posmatrati kao nagibi geoida u odnosu na referentni elipsoid u pravcu meridijana i prvog vertikala, sledi (slika 9):

ξ =−

1 ∂N , R ∂φ

η=−

∂N 1 , R cos φ ∂λ

(21.18)

gde je R srednji polupre~nik Zemlje. Negativni znaci su konvencija koja se koristi u geodeziji [BOMFORD, 1971], ali napominjemo da je u Americi konvencija za η obrnuta. Identi~ne formule povezuju komponente otklona Molodenskog sa ζ ,

SLIKA 21.9. Komponente otklona i geoidna visina.

§ 21.2

Vertikalni gradijent teè

579

kada se izvodi traè na Zemljinoj povr{i. O ovome }e biti vi{e re~i u podpoglavlju 22.2. Sada se moè zameniti N Brunsovom formulom, i imaju}i u vidu da γ 0 nije funkcija od λ , dobija se:

ξ=

1 ∂T T ∂γ 0 , − 2 Rγ 0 ∂φ Rγ 0 ∂φ

η=−

1 ∂T . Rγ 0 cos φ ∂λ

(21.19)

Izvo|enje komponente vertikalskog otklona u proizvoljnom azimutu α moè se uraditi prema (16.80). Intuitivno je jasno da konstantna gre{ka δM koja uti~e na U ne uti~e na komponente otklona. Sli~ne veze za ostale vrste otklona nemaju zna~ajnu primenu u geodeziji i ovde ne}e biti obra|ivane. Formule koje povezuju ∆g , N , ξ i η direktno sa raspodelom povr{inske gustine ili maskonima umesto sa poreme}ajnim potencijalom, mogu se na}i u literaturi (npr. KOCH AND MORRISON [1970]; BALMINO [1972]). 21.2.Vertikalni gradijent teè Ve} smo u nekoliko prilika isticali neophodnost poznavanja stvarnog ili normalnog vertikalnog gradijenta unutar Zemlje ili van nje. Ovu }emo temu sada detaljno obraditi. Po~nimo sa istraìvanjem stvarnog polja teè. Razmotrimo lokalni, desno orijentisani kartezijanski sistem koordinata, takav da mu se z -osa poklapa sa spolja{njom normalom na ekvipotencijalnu povr{ W = W A u ta~ki A (vidi sliku 10). Neka je x -osa uperena prema severu tako da je sistem ekvivalentan LA sistemu (uporedi sliku 15.3), s tom razlikom da je pravac y -ose obrnut. Veli~ina koju traìmo je:

∂g ∂g ∂g ∂ 2W = = =− 2 . ∂h ∂H ∂z ∂z

(21.20)

Ovo se upotrebom (20.12) moè napisati kao:

∂g ∂H

=− A

∂ 2W ∂z 2

A

⎛ ∂ 2W ∂ 2W = 4πGσ A − 2ω 2 + ⎜⎜ 2 + ∂y 2 ⎝ ∂x

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

, A

(21.21)

580

§ 21.2


SLIKA 21.10. Lokalni kartezijanski sistem (LA sistem sa obrnutom y -osom).

gde se gustina σ A ra~una shodno poloàju ta~ke A (uklju~uju}i i delimi~nu gustinu za ta~ke na granici izme|u slojeva razli~ite gustine), i gde bi svi ~lanovi trebalo da budu ve} poznati osim poslednjeg. Za interpretaciju poslednjeg ~lana koji predstavlja zbir drugih izvoda potencijala po horizontalnim pravcima, moèmo upotrebiti trik koji podrazumeva jedna~inu ekvipotencijalne povr{i:

W ( x, y , z ) = W A .

(21.22)

Ova implicitna jedna~ina moè se i eksplicitno napisati kao:

z = z ( x, y ) .

(21.23)

Shodno pravilima totalnog diferenciranja (vidi podpoglavlje 3.2), totalni drugi diferencijal potencijala W po, na primer, x iznosi: 2

∂W d 2 z d 2W ∂ 2W ∂ 2W dz ∂ 2W dz ∂ 2W ⎛ dz ⎞ . + + + + = ⎜ ⎟ ∂z dx 2 ∂x∂z dx ∂z∂x dx ∂z 2 ⎝ dx ⎠ dx 2 ∂x 2 (21.24) Me|utim, ovaj totalni izvod je jednak nuli jer je u pitanju ekvipotencijalna povr{. Po{to ekvipotencijalna povr{ ima lokalni ekstrem u ta~ki A u izabranom koordinatnom sistemu, ~ak je i dz / dx jednako nuli. Stoga se (24) redukuje na:

∂W d 2 z d2z ∂ 2W = − = . g ∂z dx 2 dx 2 ∂x 2

(21.25)

Iz diferencijalne geometrije je poznato (podpoglavlje 3.3) da je drugi izvod d 2 z / dx 2 u ta~ki A jednak direktno krivini kWx profila z = z ( x) , jer z = z ( x)

§ 21.2


581

ima ekstremum u ta~ki A . Sli~na jedna~ina vaì za profil z = z ( y ) . Ozna~avanjem srednje vrednosti krivina kWx i kW y sa − J , jedna~ina (21) postaje:

∂g = −2 gJ + 4πGσ − 2ω 2 . ∂H

(21.26)

Ovu jedna~inu prvi je definisao BRUNS [1878], i ona vaì u svakoj ta~ki prostora ako se ta~kama na granici izme|u dva medija razli~ite gustine dodeli odgovaraju}a (delimi~na) gustina. Primetimo da postoji prekid izvoda ∂g / ∂H na granici izme|u slojeva razli~ite gustine σ . Jedna~ina (26) moè se primeniti i na normalno polje teè. Ograni~avanjem na prostor izvan geocentri~nog elipsoida gde je gustina jednaka nuli, dobija se:

∂γ = −2γ J N − 2ω 2 , ∂H

(21.27)

pri ~emu je J N srednja krivina odgovaraju}e normalne ekvipotencijalne povr{i. Na referentnom elipsoidu se srednja krivina moè izvesti primenom Ojlerove formule (vidi podpoglavlje 3.3) kao:

J 0N =

1⎛ 1 1⎞ + ⎟ , ⎜ 2⎝M N ⎠

(21.28)

gde su M i N polupre~nici krivine elipsoida po meridijanu i prvom vertikalu (podpoglavlje 16.2). Oni su kao {to je prikazano, funkcije veli~ine i oblika elipsoida i latitude φ . Zamenom za M i N u (28) dobija se posle sre|ivanja [MOLODENSKIJ ET AL., 1960]:

J 0N =

b a

2

(1 + 2 f cos φ ) , 2

(21.29)

sa ta~no{}u reda e 2 . Zamenom nazad u (27) i izraàvanjem malog korektivnog ~lana 2ω 2 preko geodetskih parametara m i γ , dobija se kona~no formula za normalni gradijent teè u obliku koji se koristi u geodeziji:

∂γ ∂H

= − 0

(

)

2γ 0 1 + m + 2 f cos 2φ . a

(21.30)

582

§ 21.2


Negativni znak u ovoj jedna~ini kao i u jedna~ini (26) pokazuje da se gradijent smanjuje sa porastom visine kao {to je i o~ekivano. Primetimo da se ovaj gradijent, koji je ina~e ve} pomenut u podpoglavlju 16.4, koristi kada se traì vrednost normalne teè iznad elipsoida. Formula (30) se u nekoliko koraka moè transformisati u:

∂γ ∂H

= − 0

(

2γ E 1.006 73 1 − 0.001 415 sin 2φ a

)

(

)

= −0.308 745 [mGal m] 1 − 0.001 415 sin 2φ .

(21.31)

Za srednju vrednost sin 2φ u iznosu od 0.4, dobija se:

∂γ ∂H

= −0.3086 mGal m .

(21.32)

0

Ovo je pribli`na vrednost gradijenta koja se koristi u definisanju Vinjalovih visina (vidi podpoglavlje 16.4). Ista vrednost se dobija za gradijent slobodnog vazduha ako se uzme da je intenzitet teè:

g =

GM r

2

− ω 2 r cos 2φ .

(21.33)

Primetimo da se ova jedna~ina razlikuje od (6.11) u centrifugalnom ~lanu. Diferenciranje po r daje:

∂g ∂g 2GM = = − 3 − ω 2 cos 2φ . ∂r ∂H r

(21.34)

Zamenom vrednosti srednjeg polupre~nika Zemlje R umesto r daje:

(

)

∂g = − 0.3083 − 0.000 532 cos 2φ mGal m . ∂H

(21.35)

Za srednju vrednost cos 2φ od 0.6, pribli`no se dobija ista vrednost kao u (32). Ista srednja vrednost se naravno dobija i iz (26) kad se uzme σ = 0 , J = 1 / R i kad se uzme srednja vrednost teè. Jedna~ina (26) ne moè se upotrebiti za nalaènje normalnog gradijenta teè unutar referentnog elipsoida, jer normalna raspodela masa σ N unutar elipsoida nije definisana (podpoglavlje 20.3).

§ 21.2


583

SLIKA 21.11. Krivina ekvipotencijalnih povr{i.

Stvarni gradijent polja teè regionalno i lokalno varira zbog nepravilnog rasporeda masa, tj. zbog reljefa i varijacija gustina ispod Zemljine povr{i. Zbog varijacija gustina, varira srednja krivina J odgovaraju}ih ekvipotencijalnih povr{i (slika 11). Vrednosti J koje regionalno vaè mogu se dobiti iz regionalnog oblika geoida. Lokalne vrednosti moraju se me|utim odrediti direktno. Ni polupre~nik krivine niti sama krivina J ne mogu se meriti. Postoje me|utim metode kojima se mere druge veli~ine iz kojih se onda J izvodi. Jedna od tih veli~ina je vertikalski otklon. Druge lokalne karakteristike stvarnog polja teè mogu se direktno meriti torzionim vagama. Pomo}u tehnike koju je razvio Etve{, mogu se dobiti slede}e veli~ine:

∂g ∂g ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W , , , − ∂x ∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2

(21.36)

i to u koordinatnom sistemu pokazanom na slici 10 [MUELLER, 1963]. Za odre|ivanje ∂g / ∂H neophodno je usvojiti neku hipotezu o rasporedu gustina. Predloèno je mnogo takvih hipoteza koje su kori{}ene u razli~ite svrhe. U ovom podpoglavlju pokaza}emo dva takva gradijenta koji se {ire koriste: prvi se pripisuje Poenkareu i Preju, a drugi je razvio Buge. (a) Poenkare-Prej gradijent se zasniva na pretpostavci da je proizvod gJ za stvarno polje teè u proseku isti kao γ J N za normalno polje [HEISKANEN MORITZ, 1967]. Pod ovom pretpostavkom, oduzimanje (27) od (26) daje:

∂g ∂γ = + 4πGσ . ∂H ∂H

AND

(21.37)

584


§ 21.2

∂γ / ∂H = −0.3086 mGal m i da je prose~na gustina σ = 2.67 g cm −3 , dobija se:

Uzimanjem da je

∂g = −0.0848 mGal m . ∂H

(21.38)

Ovaj gradijent se koristi za ra~unanje Helmertovih ortometrijskih visina (podpoglavlje 16.4), i moè se smatrati dobrom aproksimacijom za slojeve bliske Zemljinoj povr{ini, kao {to su sa vredno{}u od − 81µGal potvrdili MCCULLOH [1965] ili STRANGE [1982]. (b) Da bi razumeli osnovnu ideju Bugeovog gradijenta, pogledajmo sliku 12. Za odre|ivanje gradijenta teè izme|u ta~ke A na povr{i Zemlje i odgovaraju}e ta~ke A0 na geoidu, pretpostavimo da je geoid sfera polupre~nika R . Gradijent se onda nalazi u dva koraka: prvo se dobija deo gradijenta za pretpostavljani oblik geoida, a potom se odre|uje gradijent sferne ljuske E debljine H A i uniformne gustine σ 0 . Prvim korakom ponovo se dobija gradijent slobodnog vazduha ako se pretpostavi bo~no homogena raspodela masa. Drugi korak je ne{to komplikovaniji. Gravitaciono ubrzanje

K g Eg

sferne ljuske, izraèn u geocentri~nim sfernim

koordinatama, zadovoljava u ta~ki A slede}u jedna~inu (uporedi sa (20.7) i (20.14)):

K K div g Eg = ∇ ⋅ g Eg (r ,θ , λ )

A

= −2πGσ 0 .

SLIKA 21.12. Bugeov gradijent.

(21.39)

§ 21.2


585

K

Po{to je ljuska sferna, g Eg je u ovom koordinatnom sistemu funkcija samo od r ,

K

dok su izvodi po θ i λ jednaki nuli. Imaju}i u vidu da je pravac vektora g Eg suprotan pravcu r , (39) se redukuje na:

∂g Eg 2 E g g (rA ) + rA ∂r

= 2πGσ 0 ,

(21.40)

A

pri ~emu je drugi ~lan gradijent kojeg traìmo. Gravitaciono polje g Eg sferne ljuske lako se odre|uje jer je polje ljuske radijalno. Rezultat je:

g Eg (rA ) =

GM E

(R + H A )2

,

(21.41)

gde je M E dato sa:

[

M E = 43 πσ 0 (R + H A ) − R 3 3

] = 4πσ

0R

2

HA .

(21.42)

Gradijent u ta~ki A je prema tome:

∂g Eg ∂H

= +2πGσ 0 − 8πGσ 0 A

HA . R

(21.43)

Prvi ~lan se naziva gradijentom Bugeove plo~e. On se moè jednostavno dobiti kao gradijent ravne plo~e gustine σ 0 koja se prostire u beskona~nost. Izborom

K

koordinatnog sistema na slici 13, za gravitaciono ubrzanje g Pg u ta~ki A odmah se dobija:

G ∇ ⋅ g Pg = −2πGσ 0 ,

(21.44)

a po{to polje ne zavisi ni od x ni od y , dobija se izraz za prvi ~lan u (43). Drugi ~lan u (43) logi~no sledi iz ~injenice da je ljuska ustvari ravan obavijena oko geoida. Zato se naziva gradijentom krivine. Interesantno je da je gradijent krivine veoma mali i iznosi + 0.000 12mGal/m za svaki kilometar visine H , pa se kao takav obi~no zanemaruje. Prema tome, gradijent na povr{i ljuske je za sve prakti~ne primene identi~an gradijentu Bugeove plo~e.

586


§ 21.2

SLIKA 21.13. Bugeova plo~a.

Po{to je odre|en gradijent ljuske, potrebno je dodati ga na gradijent slobodnog vazduha. Pod pretpostavkom da je gustina Zemljine kore σ 0 oko 2.67 g cm -3 , kona~no se dobija kompletan Bugeov gradijent:

∂g = −0.1967 mGal m . ∂H

(21.45)

Na kraju ovog podpoglavlja na~inimo jo{ nekoliko primedbi u vezi gradijenta teè. Pre svega, primetimo da je Bugeov gradijent ta~no aritmeti~ka sredina gradijenta slobodnog vazduha i Poenkare-Prej gradijenta. Obja{njenje ove ~injenice je K jednostavno kada se sva tri gradijenta posmatraju kao divergencije vektora g . Dok K je gradijent slobodnog vazduha divergencija od g u praznom prostoru ( σ = 0 ), a K Poenkare-Prej gradijent divergencija od g unutar Zemlje, dotle se Bugeov gradijent izvodi na povr{i Zemlje (za σ / 2 ). Prema tome, Bugeov gradijent nije reprezentativan ni za unutra{njost Zemlje ni za spolja{nji prostor i kao takav retko se koristi u geodeziji. On je me|utim veoma koristan u razli~itim geofizi~kim istraìvanjima, i u njima se intenzivno koristi. Veza izme|u gradijenata na, iznad i ispod Zemljine povr{ine prikazana je na slici 14.

SLIKA 21.14. Vertikalni gradijent teè.

§ 21.3

Krivina vertikale

587

Brojni istraìva~i predlagali su i druge modele za vertikalni gradijent teè, ali ni jedan nije na{ao {iru primenu. Zainteresovani ~italac upu}uje se na LAMBERT [1930] i HEISKANEN AND MORITZ [1967]. 21.3. Krivina vertikale Slede}a va`na karakteristika polja teè lokalnog karaktera je krivina stvarne ili normalne vertikale, ~ija je uloga tako|e pomenuta u nekoliko navrata (npr. podpoglavlja 6.4 i 21.1). Da bi istraìli kako je ova veli~ina povezana sa drugim parametrima polja, pogledajmo prvo situaciju na slici 15. Ono {to èlimo istraìti je ugao δε , odnosno njegove projekcije na ravan meridijana i prvog vertikala. Matemati~ki aparat potreban za istraìvanje analogan je onom iz prethodnog podpoglavlja. Prvo se bira pogodni, lokalni, desno orijentisani katrezijanski sistem, takav da mu je z -osa tangenta na vertikalu u ta~ki A i pozitivna navi{e. Zatim se x -osa bira da bude uperena na sever, tako da ponovo imamo ekvivalent LA sistema sa obrnutom y -osom. Koncentri{imo se prvo na krivinu u meridijanskoj ravni ( x, z ) (vidi sliku 16). Jedna~ina projekcije vertikale na ravan ( x, z ) moè se napisati kao:

x = x (z ) .

(21.46)

O~igledno je da ova funkcija ima ekstrem u ta~ki A , tj.:

SLIKA 21.15. Krivina vertikale.

588

§ 21.3


dx dz

=0 .

(21.47)

A

Prema tome, krivina k x projekcije vertikale data je sa (uporedi sa (25)):

kx

A

=

d2 x dz 2

.

(21.48)

A

Za nalaènje drugog izvoda u A , pogodno je prvo formulisati diferencijalnu jedna~inu vertikale. To se lako moè uraditi uzimanjem beskona~no malog vektora G da :

G G G G da = dx i + dy j + dz k ,

(21.49)

G

i njegovim dovo|enjem u poloàj paralelan sa stvarnim vektorom teè g :

G ∂W G ∂W G ∂W G g = ∇W = i + j+ k . ∂x ∂y ∂z

(21.50)

∂W ∂W ∂W = dy = dz , ∂x ∂y ∂z

(21.51)

Dobija se:

dx

{to je diferencijalna jedna~ina koja je traèna (podpoglavlje 3.3). Prvi izvod od x po z jednak je:

dx ∂W = dz ∂x

∂W . ∂z

(21.52)

Drugi izvod dobija se kao totalni izvod prvog izvoda (vidi podpoglavlje 3.2): −2 d 2 x ⎛ ∂W ⎞ ⎡ ∂W ⎛ ∂ 2W ∂ 2W dx ⎞ ∂W ⎛ ∂ 2W ∂ 2W dx ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ . ⎜ ⎟− + + =⎜ ⎟ ⎢ dz 2 ⎝ ∂z ⎠ ⎢⎣ ∂z ⎜⎝ ∂x∂z ∂x 2 dz ⎟⎠ ∂x ⎜⎝ ∂z 2 ∂z∂x dz ⎟⎠⎥⎦

(21.53) Po{to je x -osa tangenta na ekvipotencijalnu povr{ W = W A (slika 16), imamo da je ∂W / ∂x = 0 , i uzimaju}i u obzir (47), jedna~ina (53) se redukuje na:

kx

A

=

∂ 2W ∂x∂z

∂W ∂z

. A

(21.54)

§ 21.3

Krivina vertikale

589

SLIKA 21.16. Lokalni kartezijanski sistem (LA sistem sa obrnutom y -osom).

Pretpostavljaju}i da je W du` vertikale dovoljno glatko, argumenti u drugom izvodu mogu zameniti mesta, pa se kona~no dobija:

kx

A

=

1 ∂g g ∂x

.

(21.55)

A

O~igledna jedna~ina za pretvaranje krivine u diferencijalnu promenu dξ meridijanske komponente otklona ξ , glasi (vidi sliku16):

dξ = −k x dH ,

(21.56)

pri ~emu negativan znak sledi konvenciju za komponente otklona (uporedi sa (18)). Ukupna promena δξ u ξ zbog krivine vertikale izme|u A i B (slika 15) dobija se integracijom diferencijalne promene izme|u A i B : B

δξ = − ∫

A

1 ∂g dH . g ∂x

(21.57)

Potpuno analogna formula izvodi se za komponentu po prvom vertikalu: B

δη = + ∫

A

1 ∂g dH . g ∂y

(21.58)

590


§ 21.3

Ilustrativno je primeniti ove formule na normalno polje teè iznad geocentri~nog elipsoida. Odmah se vidi da je ∂γ / ∂y = 0 jer ne postoji promena normalne teè u pravcu istok-zapad. Normalno polje je simetri~no i ne zavisi od λ . Stoga:

δη N = 0 .

(21.59)

S druge strane, normalna teà se menja u pravcu sever-jug jer normalno polje zavisi od φ . Uzimaju}i samo prva dva ~lana iz (20.85), za normalnu teù se moè napisati:

γ (φ , h ) = γ 0 (φ ) +

(

)

∂γ ~ ∂γ h = γ E 1 + f sin 2φ + h. ∂h ∂h

(21.60)

U prvoj aproksimaciji ∂γ / ∂h = ∂γ / ∂H je konstantno (uporedi sa (30)), i dobija se:

∂γ 1 ∂γ γ E ~ = = f sin 2φ . ∂x R(φ ) ∂φ R

(21.61)

Za oblast odmah iznad referentnog elipsoida imamo: B

δξ

N

= −

γE ~

∫ γR

f sin 2φ dH = 0.17 ′′ sin 2φ ∆H AB ,

(21.62)

A

pri ~emu je ∆H AB u kilometrima. Krivina normalne vertikale je o~igledno mala, i u slaboj je vezi sa krivinom stvarne vertikale. Krivina stvarne vertikale je s druge strane mnogo nepravilnija i izraènija. Stoga je za razliku od krivine normalne vertikale, odre|ivanje krivine stvarne vertikale veoma teàk zadatak. Da bi izra~unali ovaj efekat, uzmimo ta~ku A na povr{i Zemlje i drugu beskona~no blisku ta~ku udaljenu za dS . Projekcija promene δε otklona ε zbog krivine vertikale, projektovane na vertikalnu ravan koja sadrì obe ta~ke iznosi:

δε =

dH − dl , dS

(21.63)

gde je dH diferencijalni prira{taj ortometrijske visine du` dS , a dl je prira{taj opaàne visine du` dS (vidi sliku 17). Me|utim, dH − dl je prosto promena ortometrijske korekcije iz podpoglavlja 16.4 du` dS , tj. dOC .

§ 21.3

Krivina vertikale

591

SLIKA 21.17. Veza izme|u krivine vertikale i visine.

Iz definicije ortometrijske visine se u nekoliko koraka izvodi:

dOC = H A

g ′A − g ′ g − g′ + dl , g′ g′

(21.64)

gde je g ′A srednja teà u A , a g ′ srednja teà za drugu ta~ku, i to obe u smislu definicije ortometrijskih visina. Srednja povr{inska teà izme|u dve ta~ke ozna~ena je sa g . Napi{imo

sada

g ′A = g A − 12 (∂g / ∂H ) H A ,

g = g A − 12 (∂g / ∂S ) dS ,

i

g ′ = g − (∂g / ∂H ) H . Dalje, pretpostavimo da je ∂g / ∂H konstantno, ili da je 1 2

drugim re~ima ∂ 2 g / (∂H∂S ) jednako nuli. Onda (64) postaje:

∂g ∂g H dH − H dS ∂ H ∂ S . dOC = 2g Na vertikalski otklon u èljenom pravcu onda uti~e:

(21.65)

592


δε = −

H ⎛ ∂g ∂g dH ⎞ − ⎜ ⎟, 2 g ⎝ ∂S ∂H dS ⎠

§ 21.4

(21.66)

gde se sve veli~ine osim ∂g / ∂H mogu opaàti na povr{i Zemlje. Op{tije formule koje ne podrazumevaju konstantnost vertikalnog gradijenta teè mogu se na}i u BODEMUELLER [1957]. Neki drugi autori su ponudili alternativne pristupe, od kojih }emo jedan videti u poglavlju 22. Da bismo uporedili krivine stvarne vertikale izme|u geoida i terena i normalne ∂g / ∂S = −50 µGal/m (uporedi sa vertikale, uzmimo slede}i slu~aj:

∂γ / ∂S ≤ 0.5µGal/m ), ∂g / ∂H = −85µGal/m i dH / dS = 0.2 , pri ~emu se dva ~lana iz (66) pribli`no poni{tavaju zbog negativne korelacije izme|u g i H . Dobija se δε = 3.3′′ po km visine, {to se slaè po redu veli~ine sa izve{tajima KOBOLD AND HUNZIKER [1962] za podru~je Alpa. Horizontalni gradijent teè ∂g / ∂S iz (66) moè se odrediti iz gravimetrijskih opaànja, postoje}ih karata ili direktnim merenjem. Direktno se moè meriti gradiometrima [FORWARD, 1974] ili torzionim vagama [MUELLER, 1963]. Ta~nost (66) je pone{to problemati~na zbog nesigurnosti u ∂g / ∂H . 21.4. Topografski i izostati~ki efekti Lokalno pona{anje stvarnog polja teè odraàva lokalne i regionalne nepravilnosti u rasporedu masa. Najsloènije nepravilnosti uzrokuje nepravilan oblik Zemljine povr{i, i u ne{to manje o~iglednoj meri izostazija. Stoga ova dva fenomena zasluùju posebnu pa`nju u ovom podpoglavlju. Kao {to je pomenuto u podpoglavlju 8.2, Zemljina kora je na ve}em delu svoje povr{ine u stanju izostati~ke ravnoteè. To zna~i da na geoid kao ekvipotencijalnu povr{ ne uti~u mnogo nepravilnosti topografije, jer se efekat masa iznad geoida kompenzuje manjim gustinama ispod. Na morima i okeanima je situacija obrnuta, i nedostatak masa kompenzuju ve}e gustine. Oblik ekvipotencijalnih povr{i i vertikala shematski je dat na slici 18. S druge strane, na opaànja koja se vr{e na povr{i Zemlje, topografija veoma mnogo uti~e, i to tim vi{e {to je udaljenost od geoida ve}a. Primer takvog efekta vidi se u (66) gde je dH / dS jednostavno nagib terena. Moè se re}i da drugi ~lan u (66) izraàva topografski uticaj na krivinu stvarne vertikale. To o~igledno ne zna~i da je krivina jednaka nuli u ravnim terenima.

§ 21.4

Topografski i izostati~ki efekti

593

SLIKA 21.18. Topografski i izostati~ki efekti.

Reljef tako|e uti~e i na teù. Da bi to pokazali, pogledajmo sliku 19. Lako je videti da prisustvo topografije u okolini ta~ke A uzrokuje ubrzanje privla~enja koje je uvek usmereno navi{e, i to bez obzira da li je u pitanju vi{ak ili manjak mase. Prema tome, prisustvo topografije ima za posledicu smanjenje teè u ta~ki A , tako da je u op{tem slu~aju vrednost teè koja je opaàna na Zemljinoj povr{i uvek manja nego {to bi bila da je Zemljina povr{ apsolutno horizontalna.

SLIKA 21.19. Uticaj topografije na opaànu teù.

594


§ 21.4

SLIKA 21.20. Kru`na {ema.

Ovaj fenomen se najefikasnije vrednuje pomo}u topografskog efekta δg T na opaànu teù. Po{to je topografija nepravilna, njen efekat se ne moè izraziti u analiti~kom obliku, ve} se mora upotrebiti numeri~ka integracija po Zemljinoj povr{i. U tom smislu se Zemlja deli u }elije, obra~unava se uticaj topografije u okviru svake }elije zasebno, a zatim se svi uticaji sabiraju da bi se dobio ukupni efekat. Po{to se sli~na numeri~ka integracija ~esto koristi u geodeziji i u drugom kontekstu (vidi podpoglavlje 22), bi}e korisno da vidimo kako se izvode odgovaraju}e formule. Slika 20 pokazuje jedan mogu}i oblik {eme koja se moè upotrebiti za podelu povr{ine na }elije. Mnoge {eme se mogu koristiti, ali je za manualna ra~unanja najpogodnija kru`na {ema u kombinaciji sa cilindri~nim koordinatnim sistemom. Da bi odredili uticaj jedne }elije takve kru`ne {eme, pogledajmo sliku 21 koja

SLIKA 21.21. Privla~enje jedne }elije.

§ 21.4


595

pokazuje jednu tipi~nu }eliju srednje visine ∆H iznad ta~ke opaànja A . Njeno ubrzanje privla~enja δf moè se dobiti integracijom beskona~no malih ubrzanja privla~enja dδf izazvanih elementima mase dm u okviru }elije. Efekat teè }elije

δg T se onda izvodi projektovanjem δf na vertikalnu z -osu. U na{em izvo|enju uradi}emo ne{to druga~ije, i to u tom smislu da }emo prvo odrediti diferencijalni efekat teè dδg T a zatim ga integraliti. Diferencijalno ubrzanje privla~enja dato je sa:

dδf = G gde je

dm

ρ2

,

(21.67)

ρ 2 = r 2 + z 2 . Odgovaraju}i diferencijalni efekat teè je: dδ g T = dδ f sin β = G

(r

σ dV 2

+z

2

) (r

z 2

+ z2

)

1/ 2

.

(21.68)

Smatraju}i sada da je gustina σ cele }elije ∆a × ∆H × a∆α konstantna, moè se napisati ukupni efekat teè: ∆α ∆H a + ∆a

δg T = Gσ

∫ ∫ ∫ (r α =0 z =0 r = a

zr 2

)

dr dz dα .

)

dr dz .

+ z2

3/ 2

(21.69)

Integracija po α daje: ∆H a + ∆a

δg T = Gσ∆α

∫ ∫ (r

z =0 r =a

Zamenom

ρ 2 = r2 + z2

zr 2

+ z2

3/ 2

(21.70)

i integracijom po ρ dobija se:

δg T = Gσ∆α

a + ∆a ⎛

∫ a

r ⎜1 − ⎜ r 2 + ∆H 2 ⎝

(

)

1/ 2

Ovaj integral se moè re{iti ponovnom zamenom

δg T = Gσ∆α ⎡ ∆a − ⎢⎣

⎞ ⎟ dr . ⎟ ⎠

(21.71)

ρ 2 = r 2 + ∆H 2 , ~ime se dobija:

(a + ∆a )2 + ∆H 2 +

a 2 + ∆H 2 ⎤ . ⎥⎦

(21.72)

596


§ 21.4

Sada se moè izvr{iti numeri~ka integracija svih }elija. Ako se efekat svake }elije ozna~i sa dva indeksa l , j , od kojih prvi ozna~ava radijalni poloàj odgovaraju}eg prstena a drugi poloàj }elije u okviru prstena, i ako se smatra da je gustina σ konstantna, dobija se:

[

]

δg T = Gσ ∑∑ ∆α j al +1 − al + al2 + ∆H 2j , l − a l2+1 + ∆H 2j , l . l

j

(21.73) Primetimo da dva ~lana u uglastim zagradama teè poni{tavanju kako a raste. Zbog toga nije potrebno izvoditi integraciju na rastojanjima ve}im od nekoliko desetina kilometara. Gornja formula vaì kada se ne uzima u obzir krivina zemlje. Osim toga, primetimo da ako je ∆H svuda jednako nuli, tj. kada je povr{ Zemlje ravna, efekat δg T tako|e postaje nula kao {to bi se i o~ekivalo. U stvarnosti, nalaze se vrednosti i od preko sto miligala u planinskim podru~jima [HEISKANEN AND VENING MEINESZ, 1958]. Zbog toga topografski efekat na opaànu teù moè biti veoma vaàn. Pogledajmo granice topografskog efekta, odnosno dva ekstremna slu~aja. Jedna~ina (26) za povr{ Zemlje glasi (uporedi sa (20.14)):

∂g = kπGσ − 2ω 2 − 2 gJ , (21.74) ∂H i odmah se vidi da se za k = 0 dobija gradijent u slobodnom vazduhu koji vaì van Zemlje, a za k = 4 Poenkare-Prej gradijent koji vaì unutar Zemlje. Ovde vrednost za k me|utim zavisi od oblika Zemljine povr{i (vidi sliku 20.2). Situacije koje se mogu javiti prikazane su na slici 22. Po{to je Bugeov gradijent (∂g / ∂H ) B dat jedna~inom (74) sa k = 2 (podpoglavlje 21.2), jedna~ina (74) moè se napisati kao: B

∂g ⎛ ∂g ⎞ =⎜ ⎟ + (k − 2 ) πGσ , ∂H ⎝ ∂H ⎠

(21.75)

pri ~emu je drugi ~lan na desnoj strani topografski gradijent teè (∂g / ∂H ) T . On se dakle mora dodati na Bugeov gradijent da bi se dobio ukupni povr{inski gradijent. Topografski gradijent teè zadovoljava slede}u nejednakost: T

⎛ ∂g ⎞ − 0.1119 mGal/m ≤ ⎜ ⎟ ≤ 0.1119 mGal/m , ⎝ ∂H ⎠

(21.76)

§ 21.4


597

SLIKA 21.22. Topografski efekat na vertikalni gradijent teè.

tako da ukupni povr{inski gradijent zaista bude izme|u Poenkare-Prej vrednosti od − 0.0848mGal/m i vrednosti za slobodni vazduh − 0.3086mGal/m (vidi sliku 23). Vrednost za slobodni vazduh dobija se za k = 0 , a Poenkare-Prej vrednost za k =4.

SLIKA 21.23. Varijacija teè sa visinom i topografijom. Slu~aj Zemlje bez topografije je osen~en.

598


§ 21.4

Da bi se na{ao topografski efekat δg T opaàne teè, topografski gradijent se mora pomnoìti sa visinom terena ∆H relativno u odnosu na ta~ku opaànja (vidi sliku 22). Taj proizvod: T

⎛ ∂g ⎞ ⎟ ∆H , ⎝ ∂H ⎠

δg T = ⎜

(21.77)

je pozitivan broj, bez obzira da li je u pitanju uzvi{enje ili dolina, kao {to smo ve} pomenuli. U geofizi~kim primenama, topografski efekat se obi~no dodaje na Bugeovu anomaliju teè koja se dobija kao:

∆g

(B )

B

⎛ ∂g ⎞ = g −⎜ ⎟ H −γ0 , ⎝ ∂H ⎠

(21.78)

pri ~emu je g vrednost teè opaàna u ta~ki P na Zemljinoj povr{i, γ 0 je normalna teà na elipsoidu ra~unata za latitudu ta~ke P , a H je ortometrijska visina H 0 ta~ke P . Bugeove anomalije pokazuju zna~ajno veliku regionalnu negativnu korelaciju sa topografijom [HEISKANEN AND VENING MEINESZ, 1958], {to zna~i da je teà redukovana na geoid Bugeovim gradijentom suvi{e mala ispod planinskog podru~ja. Ovo }e biti obja{njeno u podpoglavlju 22.1. Kao {to je bilo konstatovano na po~etku podpoglavlja, topografija ne uti~e mnogo na oblik geoida. Stoga je korelacija geoidnih anomalija teè sa topografijom obrnuta o~ekivanju, kada se posmatra sa stanovi{ta izostazije. Takve anomalije ukazuju na neravnoteù u raspodeli masa {to je u suprotnosti sa fizi~kim principom izostazije. To je zbog toga {to svi rezultati ovog podpoglavlja vaè samo na povr{i Zemlje i odmah ispod nje. Kada se istraùju karakteristike polja teè na nivou geoida, mora se obra~unati kompenzacija zbog efekta izostazije {to jo{ nije uzeto u obzir. Efekat izostazije se ogleda u smanjenju vrednosti teè na geoidu ispod planina, i pove}anju te vrednosti na moru, u odnosu na vrednosti koje bi se dobile u odsustvu izostazije. To zna~i da izostazija teì da smanji apsolutnu vrednost vertikalnog gradijenta teè sa vrednosti u slobodnom vazduhu na Poenkare-Prej vrednost. Efekat se moè obra~unati na sli~an na~in kao topografski efekat. Pretpostavljaju}i da je gustina kore poznata ili usvojena, Zemljina kora se ponovo moè podeliti na }elije. Efekat svake }elije ra~una se zasebno, a ukupni efekat dobija se numeri~kom integracijom preko podru~ja istraìvanja.

§ 21.4


599

Kada se odre|uju izostati~ki kompenzovane anomalije teè, uobi~ajeno je koristiti Bugeove anomalije kao osnovu. To je zbog toga {to su Bugeove anomalije obi~no dostupne u raznim oblicima. Za raspodelu mase unutar svake }elije mora se usvojiti neka hipoteti~ka vrednost. Sva tri modela raspodele gustina iz podpoglavlja 8.2 kori{}ena su u prakti~nim poku{ajima odre|ivanja efekta izostazije. HAYFORD AND BOWIE [1912] koristili su Pratov model sa uniformnim dubinama kore od 113.7km i 122km, {to su ne{to ve}e vrednosti od onih koje danas znamo. Ejrijev model koristio je HESKANEN [1938], koji je u svojim istraìvanjima pretpostavljao normalnu debljinu kore od 20, 30, 40 i 60km. VENING MEINESZ [1939] je koristio dubine od 10, 20, 40, 60 i 80km u radu sa sopstvenim modelom. Rezultati istraìvanja efekta izostazije obi~no se predstavljaju u obliku tabela ili karata. Sinteti~ki pregled moè se na}i u HEISKANEN AND VENING MEINESZ [1958]. Izostazija uti~e naravno i na sve ostale parametre polja teè. Efekat na N i ζ diskutova}emo u podpoglavlju 22 zajedno sa topografskim efektom, ali je za te svrhe prvo potrebno razviti neophodni matemati~ki aparat. Konstatujmo za sada samo da je izostati~ki uticaj kriti~niji u planinskim podru~jima i oblastima dubokih mora i okeana. U ravnim i nizijskim oblastima izostati~ki modeli ne odstupaju mnogo od slojevitog modela Zemlje. Za takva podru~ja mogu se slobodno koristiti sve formule ovog podpoglavlja, bez uzimanja u obzir efekta izostazije.

POGLAVLJE 22

ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ GRAVIMETRIJSKIH OPA@ANJA

U prethodna dva poglavlja predstavljene su razne teorijske veze koje postoje izme|u parametara Zemljinog polja teè, ali je malo toga re~eno o na~inima odre|ivanja vrednosti tih parametara. Tako|e nije na~injen poku{aj da se formuli{e matemati~ki model koji povezuje ove parametre sa mernim veli~inama. U ovom poglavlju bi}e obra|en klasi~ni problem Zemljinog polja teè, koji se sastoji u tome da se dobije puna informacija o polju na osnovu opaànja intenziteta teè. Prvo podpoglavlje predstavlja standardnu tehniku, predloènu od strane engleskog matemati~ara Stouksa (podpoglavlje 1.3) sredinom devetnaestog veka. Drugo podpoglavlje posve}eno je modernom pristupu kojeg je zastupao ruski fizi~ar Molodenski nekih sto godina kasnije (podpoglavlje 1.4). Interesantno je da je ~ak i ovom pristupu impuls dao drugi Englez, geofizi~ar Dèfriz oko 1930. Tre}e podpoglavlje bavi se na~inima na koje se gravimetrijski podaci prikupljaju i transformi{u u srednje anomalije pogodne za nalaènje drugih parametara polja. Poslednje podpoglavlje pokazuje kako se mogu prevazi}i problemi na koje se nailazi pri re{avanju neophodnih povr{inskih integrala. 22.1. Stouksov koncept Stouksov klasi~an pristup odre|ivanja parametara polja teè iz opaànja intenziteta teè [STOKES, 1849], bazira se na re{enju spolja{njeg problema grani~nih vrednosti za poreme}ajni potencijal T . Da bi pokazali ovaj pristup zapo~nimo sa re{enjem hipoteti~kog problema koji je ve} bio postavljen u poglavlju 20. Ako se pretpostavi da nema masa van geoida, onda je (20.88) zadovoljeno svuda u prostoru van geoida. Po{to vrednost poreme}ajnog potencijala T na elipsoidu nije poznata niti se moè izmeriti, moraju se upotrebiti druge grani~ne vrednosti, tj. mora se formulisati problem grani~nih vrednosti drugog tipa. Ovo je situacija u kojoj se koristi osnovna gravimetrijska jedna~ina (21.14). Upotrebom gradijenta normalne teè (21.30) i zanemarivanjem ~lanova koji su reda veli~ine spljo{tenosti, jedna~ina (21.14) se moè napisati kao: 600

§ 22.1

Stouksov koncept

∆g = −

601

2 ∂T , T− R ∂H

(22.1)

gde R ponovo ozna~ava srednji Zemljin polupre~nik. Ova jedna~ina obezbe|uje grani~ne vrednosti i moè se zajedno sa (20.88) upotrebiti kao problem grani~nih vrednosti kombinovanog tipa (podpoglavlje 3.2), koji sadrì traènu funkciju T i njen izvod ∂T / ∂H , pri ~emu se oboje odnose na geoid. Naravno, grani~ne vrednosti ∆g izvode se iz opaànih vrednosti za g i H u nekoliko koraka, i mogu se tretirati kao merne veli~ine. U literaturi se ovaj problem ~esto naziva geodetskim problemom grani~nih vrednosti. Mi }emo sada poku{ati da ga re{imo. Najpogodnije je traìti re{enje geodetskog problema grani~nih vrednosti u obliku elipsoidnih harmonijskih redova (uporedi sa (20.62)):

T (u A , Θ A , λ A ) =

∞

n

∑ ∑ q (u ) [A (T ) cos mλ nm

A

n =0 m =0

nm

A

+ Bnm (T ) sin mλ A ] Pnm (cos Θ A ) . (22.2)

Smatrajmo za trenutak da su grani~ne vrednosti ∆g date na elipsoidu, tako da se njihovim razvojem u elipsoidni harmonijski red dobija:

∆g (Θ A , λ A ) =

∞

n

∑∑ [A (∆g ) cos mλ nm

A

+ Bnm (∆g ) sin mλ A ] Pnm (cos Θ A ) ,

n =0 m =0

(22.3) gde su koeficijenti dati sa (uporedi sa (20.38) i (20.47)):

⎧ Anm (∆g )⎫ (n − m )! 2n + 1 ⎨ ⎬= ⎩ Bnm (∆g )⎭ (n + m )! 2π

⎧cos mλ ⎫ ∫∫ ∆g (Θ, λ ) ⎨⎩sin mλ ⎬⎭ P (cos Θ) dv . nm

E

(22.4) Primetimo da je za m = 0 , potrebno zameniti 2π sa 4π . Integracija se izvodi po celom elipsoidu E , a dv je ponovo element prostornog ugla. Na ovom elipsoidu sve radijalne funkcije q nm (u ) jednake su jedinici. Sa izuzetkom vrednosti koeficijenata, red (2) na elipsoidu identi~an je redu (3).

602


§ 22.1

Da bi uspostavili vezu izme|u dva skupa koeficijenata tako da se re{enje geodetskog problema grani~nih vrednosti moè izraziti u funkciji grani~nih vrednosti ∆g , potrebno je jedna~ine (2) i (3) zameniti u (1). Rezultat je:

⎧ Anm (∆g )⎫ 2 ⎧ Anm (T )⎫ ∂q nm (u ) ⎧ Anm (T )⎫ ⎨ ⎬=− ⎨ ⎬− ⎨ ⎬, ∂H ⎩ Bnm (T )⎭ R ⎩ Bnm (T )⎭ ⎩ Bnm (∆g )⎭ n = 0, … , ∞; m = 0, … , n .

(22.5)

S ta~no{}u do na spljo{tenost, izvod elipsoidnog radijalnog ~lana jednak je izvodu sfernog radijalnog ~lana, tj.:

∂q nm (u ) ∂ ⎛ a ⎞ = ⎜ ⎟ ∂r ⎝ r ⎠ ∂H

n +1

⎛a⎞ = −⎜ ⎟ ⎝r⎠

n +1

(n + 1) r

,

(22.6)

i na elipsoidu ili geoidu dobija se:

∂q nm (u ) n +1 . =− R ∂H

(22.7)

Prema tome, èljena veza je pribli`no:

⎧ Anm (T )⎫ R ⎧ Anm (∆g )⎫ ⎨ ⎬. ⎨ ⎬= ⎩ Bnm (T )⎭ n − 1 ⎩ Bnm (∆g )⎭

(22.8)

Za n = 1 , veza o~igledno nije definisana. Ako se u obzir uzme odgovaraju}e orijentisani geocentri~ni elipsoid, onda su koeficijenti sa n = 1 , tj. A1 (T ), A1,1 (T ), B1 (T ), B1,1 (T ) svakako jednaki nuli, u {ta se zainteresovani ~italac moè uveriti prate}i argumente podpoglavlja 20.2. Za ovaj geocentri~ni elipsoid moè se dakle napisati:

T (Θ A , λ A ) = − RA0 (∆g ) +

∞

R n [Anm (∆g ) cos mλ A n = 2 n − 1 m =0

∑

∑

+ Bnm (∆g ) sin mλ A ] Pnm (cos Θ A ) ,

(22.9)

gde se sa ta~no{}u do na spljo{tenost, cos Θ A moè zameniti sa sin φ A . ^lan nultog reda:

§ 22.1

Stouksov koncept

T0 = − RA0 (∆g ) = −

R 4π

603

∫∫ ∆g dv = − R∆g

0

,

(22.10)

E

je veli~ina poznata iz podpoglavlja 20.4, tj. konstantna gre{ka u T zbog neta~ne procene ukupne mase M N referentnog elipsoida potrebnog u normalnom potencijalu. Veli~ina ∆g 0 predstavlja globalnu sredinu anomalija teè. Vredi pomenuti da se ova globalna sredina moè upotrebiti za procenu ta~nosti vrednosti za masu Zemlje. Kombinuju}i (10) i (20.93) dobija se:

∆g 0 =

GδM . R2

(22.11)

Pretpostavljaju}i da je δM = 0 , i uz upotrebu oznaka iz jedna~ine (20.90), kona~no sledi:

T (φ A , λ A ) =

∞

R ∑ n − 1∆g (φ n

A,

λA ) .

(22.12)

n=2

Po{to re{enje ne sme da sadrì harmonike prvog reda, oni se ponekad nazivaju zabranjenim harmonicima. Ovo je ustvari drugi na~in da se kaè da re{enje postoji samo za odgovaraju}e orijentisani geocentri~ni elipsoid. Red kao re{enje za poreme}ajni potencijal, koji vaì za geocentri~ni referentni elipsoid sa masom jednakom masi Zemlje, moè se sada transformisati u zatvoreni oblik. U tu svrhu zamenimo povr{insko integraljenje u izrazima za koeficijente Anm (∆g ), Bnm (∆g ) sa sabiranjem. Rezultat je:

T (φ A , λ A ) =

R 4π ×

∫∫ E

n

∆g (φ , λ )

(n − m )!

k (2n + 1) n −1 n=2 ∞

∑

∑ (n + m)! (cos mλ

A cos

mλ + sin mλ A sin mλ )

m =0

⎧1 × Pnm (sin φ A )Pnm (sin φ ) dv , k = ⎨ ⎩2

za m = 0 za m > 0 . (22.13)

pri ~emu se integracija izvodi po argumentima φ , λ na elipsoidu E . Upotrebom (20.51) dobija se:

604

§ 22.1


T (φ A , λ A ) =

R 4π

∫∫ E

∆g (φ , λ )

∞

2n + 1 Pn (cos ψ ) dv , n=2 n − 1

∑

(22.14)

gde je ψ uglovno rastojanje izme|u (φ A , λ A ) i (φ , λ ) . U jedna~ini (14), red je samo funkcija od ψ . Zatvoreni oblik glasi [HOBSON, 1931]: ∞

2n + 1 1 Pn (cos ψ ) = S (ψ ) = 1 + − 6 sin 12 ψ 1 n − 1 sin ψ n=2 2

∑

(

)

− 5 cos ψ − 3 cos ψ ln sin 12 ψ + sin 2 12 ψ . (22.15) Ova funkcija poznata je kao Stouksova funkcija, i njen oblik prikazan je na slici 1. Zamenom ove funkcije nazad u (14) kona~no se dobija zatvoreno re{enje hipoteti~kog problema grani~nih vrednosti, i to u slede}oj formi:

T (φ A , λ A ) =

R 4π

∫∫ ∆g (φ , λ ) S (ψ (φ

A,

λ A , φ , λ )) dv ,

(22.16)

E

koja se zove Stouksov integral. Sa stanovi{ta re{enja problema grani~nih vrednosti, Stouksova funkcija je jednostavno Grinova funkcija [MYINT-U, 1973]. Ona se tako|e moè posmatrati i kao homogeno i izotropno jezgro. Prema tome, Stouksov integral je Grinov tip re{enja geodetskog problema grani~nih vrednosti (podpoglavlje 3.2).

SLIKA 22.1. Stouksova funkcija.

§ 22.1

Stouksov koncept

605

Iako je ∆g jezgro i funkcija dve ta~ke od kojih je jedna na elipsoidu a druga na geoidu, za grani~nu vrednost koju predstavlja mora se smatrati da je formulisana na geoidu, da bi anomalija teè bila prava kombinovana grani~na vrednost u funkciji od T [HEISKANEN AND MORITZ, 1967; BOMFORD, 1971]. Ta~nost Stouksovog integrala je reda veli~ine f (ili e 2 ), tj. 0.3%, zbog kori{}enih aproksimacija. Razni istraìva~i izveli su i ta~nije formule, npr. MATHER [1973]. Ozbiljniji problem odnosi se na osnovnu pretpostavku pri formulisanju problema grani~nih vrednosti, a to je da nema masa van geoida. O~igledno je da tako formulisan problem moè da se re{i samo pribli`no, i to uvo|enjem daljih pretpostavki. Pre nego {to pokaèmo puteve i na~ine da se matemati~ki obra~unaju mase izvan geoida, obratimo pa`nju na druge parametre polja kao {to su geoidne visine i vertikalski otkloni. Ako pretpostavimo da je problem masa iznad elipsoida eliminisan odgovaraju}im popravkama primenjenim na ∆g , tada se poreme}ajni potencijal (16) moè transformisati u geoidnu visinu primenom Brunsove formule (21.4):

N (φ A , λ A ) =

R 4πγ 0

∫∫ ∆g (φ , λ ) S (ψ ) dv ,

(22.17)

E

gde γ 0 moè da se zameni srednjom teòm g (podpoglavlje 6.1) bez degradacije ta~nosti. Ova jedna~ina poznata je kao Stouksova formula, i ona je najva`nija formula u ovom poglavlju. îtalac moè sam pokazati da ako geocentri~ni referentni elipsoid ima masu koja se od mase Zemlje razlikuje za δM , tada geoidna visina postaje:

N + N0 = − =−

GδM R + Rγ 0 4πγ 0 R∆g 0

γ0

+

R 4πγ 0

∫∫ ∆g S (ψ ) dv E

∫∫ ∆g S (ψ ) dv .

(22.18)

E

Primetimo da svaki miligal za koji se globalna sredina anomalija teè razlikuje od nule uzrokuje konstantnu gre{ku od oko 6.4m u geoidnoj visini. Geoidni vertikalski otklon moè se dobiti iz geoidne visine zamenom za N u (21.18), ~ime se dobija:

606


ξ (φ A , λ A ) = −

1 4πγ 0

∫∫ ∆g E

1 η (φ A , λ A ) = − 4πγ 0 cos φ A

∂S (ψ ) dv . ∂φ A

∫∫ E

∂S (ψ ) dv . ∆g ∂λ A

§ 22.1

(22.19)

Izvodi se u ovim jedna~inama nalaze kao izvodi sloène funkcije, pri ~emu je implicitna zavisnost ψ od φ i λ data sa (20.50) nakon {to se θ zameni sa 1 2

π − φ . Rezultat je: cos φ A sin φ − sin φ A cos φ cos(λ − λ A ) d S ∂S (ψ ) = , ∂φ A − sin ψ dψ cos φ A cos φ sin (λ − λ A ) d S ∂S (ψ ) = . ∂λ A − sin ψ dψ

(22.20)

S druge strane, rotacija u p u u (vidi sliku 2) daje:

⎛π ⎞ u = R2 (φ A ) R1 (− α ) R2 ⎜ − ψ ⎟ u p . 2 ⎝ ⎠

SLIKA 22.2. Sferni trougao.

(22.21)

§ 22.1

Stouksov koncept

607

Druga komponenta iznosi:

sin ψ sin α = −cos φ sin (λ − λ A ) .

(22.22)

Mnoè}i prvu komponentu sa sin φ A , tre}u sa − cos φ A i njihovim sabiranjem, dobija se: sin ψ cos α = cos φ A sin φ − sin φ A cos φ cos(λ − λ A ) . (22.23) Grupisanje svih ovih jedna~ina ima za kona~an rezultat:

⎧ξ (φ A , λ A )⎫ 1 ⎨ ⎬= ⎩η (φ A , λ A )⎭ 4πγ 0

⎧cos α ⎫ dS (ψ ) dv . dψ

∫∫ ∆g (φ , λ ) ⎨⎩sin α ⎬⎭ E

(22.24)

Ove jedna~ine obi~no se nazivaju Vening Majnesovim jedna~inama. Normalna teà i ovde se moè zameniti srednjom teòm g bez degradacije ta~nosti. Izvod Stouksove funkcije je anizotropno jezgro poznato kao Vening Majnesova funkcija, i moè se napisati u zatvorenom obliku kao [VENING MEINESZ, 1928]:

dS (ψ ) cos ψ =− + 8 sin ψ − 6 cos 12 ψ 2 1 dψ 2 sin 2 ψ −3

1 − sin 12 ψ sin ψ

(

+ 3 sin ψ ln sin 12 ψ +

sin 2 12

)

(22.25)

ψ .

Njen oblik prikazan je na slici 3. Jasno je da konstantna gre{ka T0 nema uticaja na komponente vertikalskog otklona.

SLIKA 22.3. Vening Majnesova funkcija.

608


§ 22.1

Kona~no se moèmo okrenuti pitanju validnosti svih do sada izvedenih formula u pogledu zanemarenih redukovanih masa. Uobi~ajeni na~in da se prevazi|e problem redundantnih masa je da se njihov efekat kompenzira odgovaraju}om promenom anomalija teè ∆g . Kako ∆g reaguje na uklanjanje, tj. zanemarivanje neèljenih masa? Zanemarivanje ovih masa rezultira redukcijom povr{inske teè g , pa prema tome i redukcijom ∆g . U ta~ki A ova redukcija je u prvoj aproksimaciji jednaka privla~enju Bugeove plo~e (uporedi sa (21.44)), debljine H A0 i gustine σ :

δg P (φ A , λ A ) = 2πGσH A0 .

(22.26)

Prime}ujemo da bi kompletan izraz trebalo da uklju~uje i topografski efekat δg T (jedna~ina (21.73)) kao i efekat krivine (uporedi sa (21.43)), ali oba efekta su veoma mala. Da bi kompenzirali zanemarene mase, zamenimo ih sa beskona~no tankim slojem gustine σ S = H 0σ na geoidu (podpoglavlje 20.4). Ovaj sloj ne kr{i zahtev da van geoida nema masa, i moè se smatrati rezultatom kondenzovanja neèljenih masa na geoid. Interesantno je da sloj ima gotovo isti efekat na ∆g kao zanemarene mase. Uz pomo} slike 7 moè se izraziti efekat privla~enja u ta~ki A diferencijalnog dela sloja dS :

dg L =

GσH 0 H A0 ⋅ dS . 2

ρ

(22.27)

ρ

Zanemaruju}i ponovo topografski efekat, odnosno smatraju}i da je H 0 = H A0 i zanemaruju}i efekat krivine odnosno smatraju}i geoid beskona~nom ravni, privla~enje sloja postaje: 2π

dg

L

∞

(φ A , λ A ) = ∫ ∫

α =0 r =0

( )

2

Gσ H A0 r

ρ3

dr dα ,

(22.28)

gde je dS izraèno kao r dr dα . Integracija prvo po α a zatim po r daje izraz identi~an jedna~ini (26). U ta~ki A je efekat beskona~ne ravni gustine σH A0 i Bugeove plo~e debljine H A0 i gustine σ , isti. Strogo gledano, pri zamenjivanju masa van geoida odgovaraju}im slojem, trebalo bi obra~unati razlike u topografskim efektima i efektima krivine. Ove su razlike me|utim manje od samih efekata. Zamena neèljenih masa slojem dozvoljava da se smatra da je ta~ka, koja je ina~e na povr{i Zemlje, u vazduhu. Drugim re~ima, situacija je ekvivalentna slu~aju

§ 22.1

Stouksov koncept

609

negativne topografije uniformne debljine, diskutovane u podpoglavlju 21.4. Tamo je otkriveno da u tom slu~aju vertikalni gradijent teè postaje gradijent slobodnog vazduha iz podpoglavlja 6.2. Efekat sloja na gradijent slobodnog vazduha je zanemarljiv. Sada je pitanje {ta se de{ava sa potencijalom Zemlje i drugim parametrima kada se redundantne mase jednostavno zanemare. Ni{ta naro~ito! Kao {to je obja{njeno u podpoglavlju 21.4, na nivou geoida je uticaj redundantnih masa na oblik geoida dosta dobro kompenzovan efektom nepravilne raspodele masa izazvane izostazijom. U izvo|enju formule za gradijent slobodnog vazduha bila je pretpostavljena slojevita i bo~no homogena raspodela masa, ~ime je izostazija bila zanemarena. Ova dva zanemarivanja su u stvari dosta uravnoteèna. Kako ta ravnoteà izgleda, prikazuje slika 4. Vidi se da redukcija teè sa povr{i Zemlje na geoid pomo}u gradijenta slobodnog vazduha daje pribli`no iste rezultate koji bi se dobili u odsustvu topografije i izostati~ke kompenzacije, a to su upravo vrednosti koje nas interesuju. Geoid sra~unat iz anomalija slobodnog vazduha, koji se naziva geoidom slobodnog vazduha (slika 5), pokazuje slabu korelaciju sa topografijom [VINCENT ET AL., 1972]. To je ono {to bi se o~ekivalo pod pretpostavkom o izostaziji, ~ime je pogodnost anomalija slobodnog vazduha za ove svrhe i eksperimentalno potvr|ena. Druga mogu}nost je da se upotrebe izostati~ki kompenzovane anomalije diskutovane u podpoglavlju 21.4. Argument za upotrebu ovih anomalija je slede}i: Po{to polje teè na nivou geoida treba da se pona{a kao da iznad nema masa, i ako

SLIKA 22.4. Varijacije teè u realnoj i idealizovanoj Zemlji. (Realna Zemlja je osen~ena).

610


§ 22.1

SLIKA 22.5. Geoid slobodnog vazduha. Izolinije u metrima.

su podzemne mase odgovaraju}e raspore|ene, tada se moè re}i da ako se teà redukuje na geoid obra~unavaju}i i topogarfiju i izostaziju, onda se ne moraju uzimati u obzir redundantne mase. Ovaj argument ima smisla za oko 90% Zemljine povr{i koja je u izostati~koj ravnoteì. Odstupanja treba o~ekivati na preostalih 10%. Za ilustraciju, prikazujemo na slici 6 izostati~ki kompenzovani geoid koji je sra~unao HEISKANEN [1957]. Uprkos razli~itim elipsoidima vidi se da oba re{enja imaju iste globalne karakteristike. Razlike verovatno odraàvaju statisti~ku nesigurnost u oba re{enja, pre nego su{tinsku razliku izme|u dve vrste anomalija. Treba ista}i da postoje drugi mogu}i na~ini definisanja anomalija koje zadovoljavaju osnovne zahteve problema grani~nih vrednosti. Oni me|utim nisu na{li {iru upotrebu. Zainteresovani ~italac se upu}uje na HEISKANEN AND MORITZ [1967].

SLIKA 22.6. Izostati~ki kompenzovani geoid. Izolinije u metrima.

§ 22.1

Stouksov koncept

611

Na kraju, usmerimo pa`nju na efekat koji pominjana kondenzacija neèljenih masa na geoidu, ima na re{enje T i rezultuju}i geoid. Ovaj efekat poznat je kao indirektni efekat na sra~unato T ili N , a geoid za koji je indirektni efekat eliminisan zove se kogeoid. Zbog toga bi ustvari trebalo govoriti o kogeoidu slobodnog vazduha ili izostati~ki kompenzovanom kogeoidu. Indirektni efekat na T

moè se na}i kao razlika δW M izme|u potencijala

zanemarenih masa (kako bi se rekonstruisao njihov uticaj na T ) i δWL sloja (kako bi se anulirao njegov uticaj na T ). Upotrebom cilindri~nih koordinata, za prvi potencijal dobija se o~igledna jedna~ina (slika 7):

δWM (φ A , λ A ) = Gσ

2π

∞ H 0 ( r ,α )

∫ ∫ ∫ α =0 r =0

z =0

r

ρ′

dz dr dα .

(22.29)

Za drugi potencijal moè se napisati sli~na jedna~ina:

δWL (φ A , λ A ) = Gσ

2π

∞

∫ ∫ H (r ,α ) dr dα . α 0

(22.30)

=0 r =0

Nalaènje unutra{njeg integrala u (29) po z , i razlikom dva gornja izraza dobija se:

⎧ ⎡ 0 ⎪ ⎢ H (r , α ) + δT (φ A , λ A ) = Gσ ⎨r ln ⎢ r ⎪ α =0 r =0 ⎩ ⎢⎣ 2π

I

∞

∫ ∫

}

(

)

2 0 ⎛ ⎜1 + H (r , α ) ⎜ r2 ⎝

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦

− H 0 (r , α ) dr dα .

(22.31)

SLIKA 22.7. Indirektni efekat na anomaliju slobodnog vazduha.

612


§ 22.1

Korekcija za kogeoidnu visinu N dobija se iz jedna~ine (31) primenom Brunsove formule (21.4). Korekcija ima maksimalnu vrednost od nekoliko metara, dok indirektni efekat izostati~ki kompenzovanih anomalija dostiè 10m [HEISKANEN AND VENING MEINESZ, 1958]. Alternativni postupak je da se anomalije koriguju pre nego {to se upotrebe u Stouksovoj formuli za kogeoid. Radi ilustracije, rezultati za indirektni efekat izostati~ki kompenzovanih anomalija prikazani su na slici 8 [HEISKANEN AND NISKANEN′S, 1941]. Formalno se moè govoriti i o Bugeovom i Poenkare-Prej kogeoidu. Oni se jednostavno nalaze iz Bugeovih i Poenkare-Prej anomalija teè (vidi podpoglavlje 21.2), primenom Stouksove formule, bez obzira na njihovo fizi~ko zna~enje. Me|utim, takvi kogeoidi bi previ{e odstupali od geoida. Prema HEISKANEN AND VENING MEINESZ [1958], indirektni efekat Bugeovih anomalija moè dosti}i vi{e od 500m, tj. nekoliko puta vi{e nego {to je sama geoidna visina. Poenkare-Prej kogeoid je u tom smislu jo{ nepovoljniji. Razlog za tako veliki indirektni efekat ove dve vrste anomalija je {to su one o~igledno u suprotnosti sa osnovnom pretpostavkom geodetskog problema grani~nih vrednosti, da nema masa van geoida. U praksi se ni Stouksova ni Vening Majnesova formula ne nalaze povr{inskom integracijom. Zbog prirode opaànja teè pa prema tome i diskretne prirode anomalija teè, povr{inski integrali zamenjuju se zbirovima. Ovi zbirovi se mogu smatrati numeri~kim tehnikama nalaènja povr{inskih integrala, i bi}e prodiskutovani u podpoglavlju 22.4.

SLIKA 22.8. Indirektni efekat na izostati~ki kompenzovane anomalije. Izolinije u miligalima.

§ 22.2

Koncept Molodenskog

613

22.2. Koncept Molodenskog Alternativa Stouksovom odnosno Grinovom re{enju problema grani~nih vrednosti je pristup Molodenskog, koji podrazumeva upotrebu integralnih jedna~ina. I ovde se re{enje traì u funkciji poreme}ajnog potencijala T . Poreme}ajni potencijal se ~ onda transformi{e u anomaliju visine ζ i vertikalski otklon Molodenskog θ (podpoglavlje 21.1). Glavna razlika u odnosu na Stouksov prilaz je {to se problem formuli{e za povr{ Zemlje a ne za geoid. înjenica da se problem formuli{e za povr{ Zemlje glavna je prednost ovog pristupa, jer se problem re{ava po T bez hipoteza u vezi sa raspodelom masa unutar Zemlje. Za po~etak podsetimo se jedna~ine (20.98) za poreme}ajni potencijal. Ova se jedna~ina evidentno moè konvertovati u jedna~inu za anomaliju visine ζ pomo}u (21.10) a onda je i re{iti po ζ . Me|utim, efikasnije je prvo re{avati po T , a konverziju u ζ izvr{iti nakon toga. Za re{enje po T uvedimo prvu od niza aproksimacija, tj. pretpostavimo da (20.98) vaì na teluroidu a ne na Zemljinoj povr{ini. Ozna~avaju}i teluroid sa S ′ imamo:

T (rA ) =

1 2π

⎛ ∂ρ −1 1 ∂T (r ) ⎞ ⎟ dS ′ , ⎜ T (r ) − ⎜ ρ ∂n ′ ⎟⎠ ∂n ′ S′⎝

∫∫

(22.32)

gde je n ′ spolja{nja normala na teluroid. Ova aproksimacija je dozvoljena zato {to je podintegralna funkcija mala. To je ustvari postupak ekvivalentan postupku iz podpoglavlja 22.1 sa Stouksovom teorijom kada je indirektni efekat bio prvo zanemaren. Po{to teluroid odstupa od Zemljine povr{i onoliko koliko otprilike i geoid od elipsoida (podpoglavlje 7.4), indirektni efekat kao i gre{ka aproksimacije bi}e skoro isti. Primetimo tako|e da normala na Zemljinu povr{ n odstupa od normale na teluroid n ′ za iznos koji je jednak nagibu kvazigeoida (vidi sliku 9), tj.

~

za veli~inu vertikalskog otklona Molodenskog θ . Vratimo se sada jedna~ini (32). MOLODENSKIJ ET normalni izvod od T moè dobro aproksimirati sa:

(

∂T ⎡ ∂T ~ =⎢ + γ ξ tan β 1 + η~tan β 2 N ∂n ′ ⎣ ∂H

AL.

[1960] pokazali su da se

)⎤⎥ cos β , ⎦

(22.33)

gde se γ i ∂T / ∂H N odnose na teluroid, H N je normalna visina po normalnoj

~

vertikali (podpoglavlje 16.4), ξ , η~ su komponente otklona Molodenskog, β 1 , β 2

614

§ 22.2


SLIKA 22.9. Normale na teren i teluroid.

su nagibi profila teluroida u pravcu sever-jug i istok-zapad, a β je maksimalni nagib teluroida u ta~ki razvoja. Izraàvaju}i ∂T / ∂H N iz (21.16), tj. iz verzije osnovne gravimetrijske jedna~ine Molodenskog, i zamenom u (32) dobija se:

T−

1 2π

1 = 2π

⎛ ∂ρ −1 cos β ∂γ ⎜ ⎜ ∂n ′ − ργ ∂H N ′ S ⎝

∫∫

⎞ ⎟ TdS ′ = ⎟ ⎠

(

⎛ cos β ~ γ cos β ~ ⎜⎜ ∆g − ξ tan β 1 + η~tan β 2 ρ ρ S′⎝

∫∫

)

⎞ ⎟⎟ dS ′ . ⎠

(22.34)

Ovo je integralna jedna~ina Fredholmovog tipa za T (podpoglavlje 3.2), u kojoj se sve veli~ine mogu opaàti sa odre|enim stepenom ta~nosti osim T . Stoga bi

~

~, ξ , η~ bili poznati svuda teorijski ona mogla da se re{i po T ako bi β 1 , β 2 , β , ∆g po Zemljinoj povr{ini. Ipak, jedna~ina je veoma sloèna i obi~no se traè odre|ena pojednostavljenja. Jedno takvo pojednostavljenje moè se posti}i upotrebom funkcije povr{inske gustine (vidi podpoglavlje 20.4). Izrazimo poreme}ajni potencijal na teluroidu pomo}u (20.101). Rezultat je:

T (rA ) =

Φ

∫∫ ρ dS ′ . S′

(22.35)

§ 22.2

Koncept Molodenskog

615

Izvod po normalnoj vertikali u A daje:

∂T ∂H N

=

∫∫ S′

A

1 ∂Φ ρ ∂H N

dS ′ + A

∫∫ S′

Φ

∂ρ −1 ∂H N

dS ′ ,

(22.36)

A

pri ~emu se za prvi ~lan moè pokazati da iznosi [MOLODENSKIJ ET AL., 1960]:

∫∫ S′

1 ∂Φ ρ ∂H N

A

⎧0 za A koje nije na teluroidu, ⎪ dS ′ = ⎨− 2πΦcos β za A na spolja{njoj strani teluroida, ⎪2πΦcos β za A na unutra{njoj strani teluroida. ⎩ (22.37)

Ograni~avaju}i se na spolja{nju stranu teluroida, jedna~ine (35) i (36) mogu se zameniti u (21.16), ~ime se posle sre|ivanja dobija:

Φ (rA ) −

1 2πcos β A

⎛ ∂ρ −1 1 ∂γ ⎜ ⎜ ∂H N − γρ ∂H N S′⎝

∫∫

⎞ ∆g~ A ⎟ Φ dS ′ = . ⎟ 2πcos β A ⎠

(22.38) Dodatno pojednostavljenje moè se posti}i izraàvanjem ρ u funkciji poloàja ra~unske i teku}e ta~ke iz (20.49). Kao {to je konstatovano u podpoglavlju 20.3, razlika izme|u elipsoidne normale i radijus vektora nikad nije ve}a od 13 lu~nih minuta. Zbog toga je i razlika δ izme|u normalne vertikale i radijus vektora rA istog reda veli~ine (vidi sliku 10). Sa ta~no{}u boljom od e 2 , izvod po H N moè

SLIKA 22.10. Pribli`ni izraz za jezgro Molodenskog.

616


§ 22.2

biti zamenjen izvodom po rA . Nakon nekoliko operacija dobija se:

r − rcos ψ ∂ρ −1 =− A . (22.39) N ∂H ρ3 S druge strane, uzimaju}i ∂γ / ∂H N iz (21.30), drugi ~lan pod integralom (38) postaje:

2γ 0 ∂γ (1 + m + fcos 2φ ) = − 2 . =− N N γρ (a + H ) ρ rA γρ ∂H 1

(22.40)

Prema tome, jezgro se moè napisati u obliku:

K (rA , r ) =

r − rcos ψ ∂ρ −1 1 ∂γ 2 − = − A . N N ∂H γρ ∂H ρ rA ρ3

(22.41)

Koriste}i ponovo (20.49) dobija se:

K (rA , r ) =

r2 − r2 3 − A . 2 rA ρ 2 rA ρ 3

(22.42)

I kona~no, oblik jezgra moè se u~initi pogodnijim sfernom aproksimacijom. Elemenat povr{ine teluroida dS ′ moè se napisati kao (slika 11):

dS ′ =

r2 dν , cos β

(22.43)

gde je dν element prostornog ugla. Sa istim stepenom aproksimacije, tj. sa e 2 , moèmo napisati:

SLIKA 22.11. Prostorni ugao i element povr{ine.

§ 22.2

Koncept Molodenskog

rA = R + H AN ,

617

r=R+HN ,

(22.44)

pri ~emu je R = 3 a 2 b , a H N su normalne visine teluroida iznad elipsoida. Ozna~avaju}i Φ / cos β sa Φ ′ , kona~an izgled (38) je:

Φ ′(rA ) − −

(

R 4π cos 2 β A

3 H N − H AN

)

∫∫

2

2 ρ 03

{

gde ρ 0 = ρ 2 − ( H N − H AN ) 2

(

)

⎛ 3 2 R H N − H AN ⎜ + ⎜ρ ρ 03 S′⎝ 0 ⎞ ∆g~ A + ⎟ Φ ′dν = , ⎟ 2π cos 2 β A ⎠

}1 / 2

(22.45)

ozna~ava duìnu tetive izme|u projekcija

ta~aka rA , r na kvazigeoid. Re{enje jedna~ine (45) obi~no se izvodi iterativno (vidi podpoglavlje 3.2). Moè se primetiti da je prvi ~lan podintegralne funkcije, sa izuzetkom neposredne okoline ta~ke A , ve}i od preostala dva ~lana. Stoga }e i integral po prvom ~lanu biti ve}i od integrala po drugom i tre}em . Osim toga, ako je teren oko A ravan, cos 2 β A bi}e blisko 1. Zbog toga je pogodno izabrati da nulta integracija Φ ′ (0 ) podrazumeva samo prvi ~lan i pretpostavku da je teren ravan. Na taj na~in se dobija:

Φ ′ (0 ) (rA ) =

∆g~ A 3R + 2π 4π

∫∫ S′

Φ ′ (0 ) (r ) dν . ρ 0 (rA , r )

(22.46)

Uz jedna~ine (35) i (16) formulisane na teluroidu, moè se pokazati da je:

∫∫ S′

Φ ′ (0 )

ρ0

dν =

1 4πR

∫∫ ∆g~S (ψ ) dν

,

(22.47)

S′

tako da nulta iteracija postaje:

Φ ′ (0 ) (rA ) =

∆g~ A 3 + 2π 16π 2

∫∫ ∆g~S (ψ ) dν S′

.

(22.48)

618

§ 22.2


Prva iteracija Φ ′ (0 ) se za ravan teren moè onda na}i iz (45) uzimanjem prva dva podintegralna ~lana. Ozna~avaju}i Φ ′ (1) = Φ ′ (0 ) + δΦ ′ (1) , i zanemaruju}i proizvod drugog ~lana sa δΦ ′ (1) , dobija se:

Φ ′ (1) (rA ) =

N N ′ (0 ) ∆g~ A R (3 Φ dν + 2 R H −3 H A Φ ′ (0 )dν + 2π 4π S ′ ρ 0 ρ0 S′

∫∫

+3

∫∫

⎞ δΦ ′ (1) ⎟. d ν ∫∫ ⎟ ρ 0 S′ ⎠ (22.49)

Oduzimanjem nulte iteracije, i upotrebom oznake:

∆g A(1) = R 2

∫∫

H N − H AN

ρ 03

S′

Φ ′ ( 0 ) dν ,

(22.50)

dobija se integralna jedna~ina za δΦ ′ (1) u slede}em obliku:

δΦ ′ (1) (rA ) =

∆g (A1) 3R + 2π 4π

δΦ ′ (1) dν . ∫∫ ρ0 S′

(22.51)

~ zamenjeno sa ∆g (1) , re{enje Po{to je oblik (51) identi~an sa (46) osim {to je ∆g δΦ ′ (1) mora biti dato jedna~inom koja je ekvivalentna jedna~ini (48):

δΦ ′ (1) (rA ) =

∆g (A1) 3 + 2π 16π 2

() ∫∫ ∆g S (ψ ) dν 1

.

(22.52)

S′

Prva iteracija onda postaje:

Φ ′ (1) (rA ) =

∆g~ A + ∆g (A1) 2πcos β A 2

+

3 16π cos 2 β A 2

() ∫∫ (∆g~ − ∆g ) S (ψ ) dν , 1

S′

(22.53) Ovo je integralna veza izme|u funkcije povr{inske gustine i povr{inske anomalije teè.

§ 22.2

Koncept Molodenskog

619

Anomalije vi{eg reda lako se izvode slede}i istu logiku. Me|utim, po{to je tre}i podintegralni ~lan u (45) mnogo manji od prva dva, prva aproksimacija je adekvatna za relativnu ta~nost e 2 . Ako se re{enje traì za planinska podru~ja, tada moè da se pojavi potreba da se i tre}i ~lan uzme u razmatranje [MOLODENSKIJ ET AL., 1960]. Poku{ajmo sada da na|emo re{enje za anomaliju visine ζ . Kombinacijom (21.10) i (35) dobija se:

ζ =

Φ

1

γ ∫∫ ρ

dS ′ =

S′

R2

γ

Φ′

∫∫ ρ S′

dν .

(22.54)

0

Kada se traì samo prva aproksimacija ζ (1) , dovoljna je samo prva aproksimacija od Φ ′ , tj. Φ ′ (1) . Tada se (47) moè upotrebiti za Φ ′ (0 ) a sli~na jedna~ina i za δΦ ′ (1) kako bi se dobilo:

ζ (1) = ζ (0 ) + δζ (1) =

R 4πγ 0

() ∫∫ (∆g~ + ∆g ) S (ψ ) dν 1

,

(22.55)

S′

pri ~emu je upotrebljena normalna teà na elipsoidu γ 0 umesto γ . Primetimo da se ∆g (1) moè posmatrati i kao efekat topografije ( H N − H AN ) na povr{inske anomalije teè. Za detaljniju diskusiju ovog efekta i njegove veze sa topografskom korekcijom (podpoglavlje 21.4), ~italac se upu}uje na MORITZ [1968]. Evidentno je da se δζ (1)

tako|e moè posmatrati i kao efekat topografije na anomalije visina. Po{to na geoid i kvazigeoid topografija slabo uti~e, δζ (1) se mora

~ . Postoji li posmatrati kao implicitni efekat topografije na povr{inske anomalije ∆g onda na~in da se ∆g (1) na|e bez ra~unanja funkcije povr{inske gustine? Da. Moèmo izraziti Φ ′ (0 ) iz jedna~ine (50) upotrebom (48) gde je integral linearna funkcija od ζ (0 ) , i dobiti:

∆g (A1) =

R2 2π

∫∫ S′

H N − H AN ⎛ ~ 3γ (0 ) ⎞ ζ ⎟ dν , ⎜ ∆g + 2R ρ 03 ⎝ ⎠

(22.56)

620

§ 22.2


{to je mnogo pogodnija formula. U najve}em broju slu~ajeva dovoljno je uzeti samo prvi podintegralni ~lan [HEISKANEN AND MORITZ, 1967]. Podintegralna funkcija se brzo smanjuje sa rastom imenioca, tako da se integracija ne mora vr{iti daleko od neposredne okoline ta~ke A . Primetimo da je (55) ekvivalent Molodenskog Stouksovoj formuli (17), i da zahteva referentni elipsoid sa dobro procenjenom masom. Ako to nije slu~aj, re{enju se mora dodati apsolutni ~lan ζ 0 sli~an ~lanu N 0 (uporedi sa (18)). U pristupu Molodenskog postoje i ekvivalenti Vening Majnesovim formulama za komponente geoidnih otklona. Tako odre|ene komponente otklona su tipa Molodenskog (podpoglavlje 21.1). Citirajmo MOLODENSKIJ ET AL., [1960] za kona~ni rezultat:

⎧ξ~ ⎫ 1 ⎨~⎬ = ⎩η ⎭ 4πγ 0

∆g ⎧ tan β ( ) ⎧cos α ⎫ dS (ψ ) ∫∫ (∆g~ + ∆g ) ⎨sin α ⎬ dψ dν − γ ⎨tan β ~

1

⎩

S′

⎭

0

⎩

1⎫

⎬

2⎭

(22.57) Interesantno je uporediti geoid i kvazigeoid koji su odre|eni iz istih opaànih gravimetrijskih podataka na povr{i Zemlje. Uzimaju}i u obzir (17) i (55), i zamenom za dve vrste anomalija teè (pomo}u (21.30) i (21.32)), dobija se

N −ζ =

R 4πγ 0

⎛

∫∫ ⎜⎜⎝ 0.3086H

O

S′

−

(

)

2γ 0 ⎞ 1 + m + 2 fcos 2φ H N − ∆g (1) ⎟⎟ S (ψ ) dν , a ⎠ (22.58)

gde je H O ortometrijska, a H N normalna visina. Zamenjuju}i H O g ′ / γ za H N iz (16.97) i (16.100), dobijamo:

N −ζ = −

⎛ ⎞ H O ∆g (B ) ⎜ 0.3086 + ∆g (1) ⎟⎟ S (ψ ) dν , ⎜ 4πγ 0 S ′ ⎝ γ0 ⎠ R

∫∫

(22.59)

pri ~emu je H O u metrima, γ 0 , ∆g (1) u miligalima, a ∆g (B ) je Bugeova anomalija tako|e u miligalima. Jasno je vidljiva visoka korelacija ove razlike sa topografijom. Razlika moè dosti}i nekoliko metara u planinskim podru~jima kao {to je ve} konstatovano u podpoglavlju 7.4. Primetimo da (59) dozvoljava ra~unanje geoida ili kvazigeoida iz bilo kojih anomalija, pod uslovom da su odgovaraju}e popravljene za topografski efekat. Ova popravka sledi iz (56). Sli~no upore|enje komponenti geoidnih otklona i otklona Molodenskog daje:

§ 22.2

Koncept Molodenskog

~

⎛ ⎞ H O ∆g (B ) ⎜ 0.3086 + ∆g (1) ⎟⎟ ⎜ γ0 ⎠ S′⎝ ~ ⎧cos α ⎫ dS (ψ ) ∆g ⎧ tan β 1 ⎫ ×⎨ dν + ⎬ ⎨ ⎬. γ 0 ⎩tan β 2 ⎭ ⎩ sin α ⎭ dψ

1 ~ ⎧ξ ⎫ ⎧ξ ⎫ θ − θ = ⎨ ⎬ − ⎨ ~⎬ = − 4πγ 0 ⎩η ⎭ ⎩η ⎭

621

∫∫

(22.60)

Ova se formula moè upotrebiti za odre|ivanje efekta krivine stvarne vertikale na komponente otklona. Kao {to je re~eno u podpoglavlju 21.1, ako se sve tri vrste otklona odnose na isti referentni elipsoid, razlika izme|u otklona Molodenskog i povr{inskog otklona data je veli~inom krivine normalne vertikale izme|u elipsoida i teluroida (formule (21.59 i (21.62)). Tada razliku izme|u povr{inskog i geoidnog

~

otklona diktira krivina stvarne vertikale (podpoglavlje 21.3). Zbog toga nam θ − θ , nakon popravljanja za normalnu krivinu moè dati veli~inu stvarne krivine. Ova situcija je sintetizovana na slici 12. Formule (59) i (60) daju dakle osnovnu vezu izme|u Stouksovog pristupa i pristupa Molodenskog. Postoje i drugi pristupi odre|ivanja parametara polja iz podataka teè. Oni me|utim nisu jo{ na{li {iru primenu pa ih ovde ne}emo obra|ivati. Zainteresovani ~italac upu}uje se npr. na HIRVONEN [1960], BJERHAMMAR [1963], KRARUP [1973] i MORITZ [1979].

Slika 22.12. Otkloni i efekti krivine naneti na tangentnu ravan na elipsoid u ta~ki P .

622


§ 22.3

22.3. Gravimetrija U prethodna dva podpoglavlja pokazano je kako se opaànja intenziteta teè konvertuju u druge parametre Zemljinog polja teè. Do sada ni{ta nije re~eno o tome kako se podaci teè prikupljaju i obra|uju, kako bi se dobio konzistentan skup globalnih anomalija odgovaraju}ih za upotrebu u jednom od dva opisana pristupa. Teà odnosno ubrzanje moè se na Zemljinoj povr{i direktno odrediti klatnima ili ure|ajima zasnovanim na slobodnom padu. [to se ti~e instrumentalnih aspekata, ~italac se upu}uje na standardne ud`benike, ili posebne radove kao {to su FALLER [1965], VALLIANT [1971], ili TELFORD ET AL. [1976]. Dovoljno je samo re}i da je u oba slu~aja potrebno ta~no merenje vremena kretanja, i da se mereni vremenski interval konvertuje u vrednost g upotrebom odgovaraju}ih jedna~ina kretanja. Ta~nost umnogome zavisi od kontrole instrumentalne okoline i broja ponovljenih merenja, i reda je veli~ine 100 µGal za klatna, i oko jedan red veli~ine bolja za ure|aje sa slobodnim padom. Obe vrste instrumenata mere apsolutnu vrednost ubrzanja. Mnogo vi{e se koriste portabilni operativni gravimetri, instrumenti kojima se mere razlike ubrzanja izme|u ta~aka. Postoji mno{tvo konstrukcija, za ~iji opis se ~italac upu}uje na MORELLI [1963]. Po{to se gravimetrima vr{e relativna merenja ubrzanja, njihova ta~nost je zna~ajno vi{a od apsolutnih instrumenata. Ta~nost koja se rutinski postiè iznosi 50 µGal , ali postoje i instrumenti ~ija je ta~nost deo µGal [GOODKIND, 1978]. Inercijalni pozicioni ure|aji u posebnom reìmu rada tako|e imaju mogu}nost merenja lokalnih varijacija ubrzanja izme|u ta~aka na kojima je ubrzanje poznato. Ta~nost ovako prognoziranih ubrzanja iznosi oko σ g = 3 mGal [GREGERSON, 1979]. U praksi se obi~no kombinuju prednosti obe tehnike. To se izvodi uspostavljenjem mreè gravimetrijskih ta~aka uz pomo} i apsolutnih i relativnih merenja. Stanice sa apsolutnim odre|ivanjem ubrzanja predstavljaju fiksne ta~ke, dok se relativnim merenjima uspostavljaju veze izme|u ta~aka. Uspostavljanje ovakvih globalnih gravimetrijskih mreà koordinira se me|unarodno jo{ od po~etka ovog veka. Oko 1909. godine IAG je usvojila me|unarodni Potsdamski gravimetrijski sistem, tj. mreù koja je kori{}ena u nizu zadataka. Ovaj sistem je nedavno zamenjen Me|unarodnom gravimetrijskom standardizacionom mreòm 1971 (IGSN 71) [IAG, 1974], prikazanom na slici 13.

§ 22.3

Gravimetrija

623

SLIKA 22.13. Me|unarodna gravimetrijska standardizaciona mreà 1971.

Kada se apsolutna i relativna merenja izvedu i proceni njihova ta~nost, moè se izvr{iti izravnanje bilo kojom tehnikom diskutovanom u delu III. Izravnanje rezultuje ocenjenim vrednostima ubrzanja za sve stanice zajedno sa ocenom ta~nosti. U IGSN 71, ta~nost ubrzanja na svakoj stanici je u proseku 36 µGal [IAG, 1974]. Postupak izravnanja prakti~no je istovetan izravnanju nivelmana (podpoglavlje 19.2). Nakon uspostavljanja globalne mreè, progu{}avanje se obi~no vr{i relativnim merenjima. To se prakti~no izvodi uspostavljanjem nacionalnih gravimetrijskih mreà izravnatim tako da budu povezane sa globalnom mreòm. Detaljne gravimetrijske ta~ke se potom povezuju sa mreòm izravnanjem pojedinih gravimetrijskih vlakova u okviru nacionalne mreè. Primer pokrivenosti gravimetrijskim podacima na nacionalnom nivou, dat je za Kanadu na slici 14. Detaljne ta~ke opaàju se na kopnu, morskoj povr{ini i morskom i jezerskom dnu. Odre|ivanje koordinata ovih ta~aka je neophodan deo postupka prikupljanja podataka. Od koordinata je najva`nija visina, zbog ve}e zahtevane ta~nosti u vertikalnom smislu. Postoji mnogo ve}a zavisnost g od visine nego od poloàja. Dok se ta~nost od 50 do 200 metara u horizontalnom poloàju smatra odgovaraju}om, dotle je visine potrebno meriti {to je mogu}e ta~nije. U praksi ta~nost visina varira od nekoliko decimetara kada se visine odre|uju nivelanjem, do nekoliko metara za barometarsko odre|ivanje visina.

624


§ 22.3

SLIKA 22.14. Pokrivenost Kanade gravimetrijskim podacima, (Ljubazno{}u Earth Physics Branch, DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES [1977], Ottawa, Canada).

Nakon izravnanja ubrzanja na detaljnim ta~kama, u njima se mogu ra~unati anomalije. U tu svrhu, povr{insko ubrzanje g mora se redukovati na geoid ( g 0 ) upotrebom odgovaraju}eg gradijenta teè (podpoglavlje 6.2):

g0 = g +

∂g O H . ∂H

(22.61)

Drugim re~ima, povr{insko ubrzanje potrebno je popraviti za uticaj visine ta~ke H O . Svaka gre{ka u odre|ivanju visine ta~ke transformi{e se preko vertikalnog gradijenta teè u gre{ku anomalije. Upotrebom zakona o prenosu gre{aka (vidi (11.20)), dobija se: 2

σ

2 ∆g

⎛ ∂g ⎞ 2 =σ +⎜ ⎟ σH , ⎝ ∂H ⎠ 2 g

(22.62)

§ 22.3

Gravimetrija

625

gde je σ oznaka za standardnu devijaciju odgovaraju}e veli~ine. Uzimaju}i za primer anomaliju slobodnog vazduha, lako je izra~unati da gre{ka od 1m u visini doprinosi {est puta vi{e gre{ki anomalije nego gre{ka u g koja obi~no iznosi oko 50 µGal . Sra~unate anomalije se onda memori{u i u tom obliku koriste za razna geofizi~ka i geodetska istraìvanja. Za geodetske primene potrebna je i globalna pokrivenost sa {to je mogu}e ve}om homogeno{}u (vidi podpoglavlja 22.1 i 22.2). Iz tog razloga koriste se srednje anomalije, pri ~emu se svaka pridruùje povr{inskom elementu izbrane veli~ine i ograni~enog geodetskim koordinatama φ i λ . Ovakve }elije obi~no imaju veli~inu 5′ × 5′ , 20′ × 20′ , 1o × 1o , 5 o × 5 o ili 10 o × 10 o . Dostupne srednje anomalije za celu Zemlju prikazane su na slici 15 [RAPP, 1977]. Srednje anomalije ∆g nalaze se iz ta~kastih anomalija ∆g u okviru svake }elije kori{}enjem bilo koje postoje}e metode. Ovde dajemo kao primer integralnu formulu:

∆g =

1 D

∫∫ ∆gdD ,

(22.63)

D

gde je D povr{ina }elije D . Zainteresovani ~italac moè na}i druge formule npr. u MORITZ [1963] ili RAPP [1964]. One zavise i od raspodele ta~kastih anomalija u okviru svake }elije, i obi~no se prikazuju zajedno sa srednjim anomalijama.

SLIKA 22.15. Dostupne srednje 1o × 1o anomalije.

626


§ 22.3

Glavni problem sa globalnom pokriveno{}u gravimetrijskim podacima je nehomogenost. U zavisnosti od veli~ine }elije, veliki procenat povr{inskih elemenata uop{te ne sadrì gravimetrijska opaànja. Ova situacija ~esto se pojavljuje na morima, ali se odnosi i na udaljena nenaseljena podru~ja. Kada se identifikuju relativno izolovane prazne }elije, pojavljuje se zadatak prognoze srednjih anomalija za njih. On podrazumeva premo{}avanje praznina izme|u susednih }elija, i izvodi se bilo regresijom (vidi podpoglavlje 14.2) ili kolokacijom (vidi podpoglavlje 14.3). Matemati~ki model za regresiju glasi:

~ ∆g (φ , λ ) = Φ T (φ , λ ) c ,

(22.64)

gde je ∆g poznata ili prognozirana srednja anomalija, Φ T (φ , λ ) je kolona Vandermondove matrice sastavljene od izabranih baznih funkcija (podpoglavlje 3.1), a c je vektor koeficijenata koje je potrebno odrediti iz poznatih anomalija. Bazne funkcije biraju se proizvoljno, ali su to obi~no algebarske funkcije

~

1, x, y, xy, x 2 , ... gde su x, y lokalne kartezijanske koordinate: x = R(φ − φ 0 ) ,

y = R cos φ 0 (λ − λ 0 ) ,

(22.65)

a ( φ 0 , λ0 ) je ta~ka po mogu}stvu bliska teì{tu ispitivanog podru~ja. Primetimo da je ovo aproksimacija LG sistema (vidi sliku 15.23), samo {to je pravac y -ose obrnut. Ako je broj baznih funkcija tj. dimenzija vektora c manji od broja okolnih poznatih srednjih anomalija, radi se o preodre|enom problemu koji se re{ava npr. metodom najmanjih kvadrata. Standardne devijacije poznatih anomalija koriste se tom prilikom za konstrukciju matrice teìna na uobi~ajen na~in. Alternativa je da se srednje anomalije smatraju slu~ajnim veli~inama sa sredinom nula. Poznate anomalije postaju tada dvodimenzionalne serije slu~ajnih podataka sa argumentom ( φ , λ ), koje se mogu dekomponovati u (podpoglavlje 14.3):

∆g (φ , λ ) = s (φ , λ ) + v(φ , λ ) ,

(22.66)

gde je s statisti~ki zavisan deo od ∆g , a v njegov statisti~ki nezavisan deo. Statisti~ki zavisan deo moè se prognozirati pomo}u (14.82) ako je poznata kovarijaciona funkcija:

(

(

C ∆g (φ i , λ i ), ∆g φ j , λ j

)) ,

(22.67)

§ 22.3

Gravimetrija

627

HIRVONEN [1962] je predloìo da se za rastojanja do 100km upotrebi homogena i izotropna kovarijaciona funkcija koja zavisi samo od rastojanja d izme|u bilo koje dve anomalije, i koja ima oblik:

C (d ) =

337

1 + (d / 40 )

2

mGal 2 ,

(22.68)

pri ~emu je d u kilometrima. Za globalnu kovarijansu, KAULA [1963] je izveo oblik prikazan na slici 16. Oblik odraàva proporcionalno pravilo za harmonike polja teè niìh redova, kao {to je ve} pomenuto u podpoglavlju 6.4. Alternativni izrazi mogu se na}i u TSCHERNING AND RAPP [1974]. Problem sa statisti~kim pristupom je {to se, osim u slu~aju znatnog dela Zemljine povr{ine, ne moè sa sigurno{}u ___

pretpostaviti da je E(∆g ) = 0 , tako da nije ispunjena osnovna pretpostavka za primenu MNK kolokacije (vidi podpoglavlje 10.3 i 14.3). Ovaj problem prevazilazi se kombinacijom kolokacije sa MNK regresijom, pri ~emu se kolokacija koristi za analizu reziduuma preostalih nakon regresije. Druga alternativa je da se od postoje}ih anomalija oduzmu harmonici niìh redova, a da se kolokacijom tretira preostali visokofrekventni deo za koji je realnije pretpostaviti da ima sredinu nula [SCHWARZ AND LACHAPELLE, 1980]. Treba ista}i da su Bugeove anomalije najpogodnije za predikciju novih srednjih anomalija. To je zbog toga {to one mirnije variraju od ostalih. Kada se Bugeova anomalija prognozira, ona se naravno lako konvertuje u bilo koju drugu vrstu anomalije ako je odgovaraju}a visina poznata.

SLIKA 22.16. Globalna korelacija anomalije teè.

628


§ 22.4

Situacija postaje ozbiljnija kada treba prognozirati srednje anomalije za velika podru~ja, a pri tome su poznate anomalije veoma udaljene. U takvom slu~aju se }elije ostavljaju prazne, ili se srednje anomalije prognoziraju na osnovu poznavanja geologije i fizike Zemljine kore i gornjeg omota~a za to podru~je. Zainteresovani ~italac upu}uje se npr. na ORLIN [1966]. Radi kompletnosti treba pomenuti da je za neke primene pogodnije imati anomalije izraène globalno u sfernim harmonicima a ne u vidu srednjih vrednosti. Na~in da se to postigne pokazan je u podpoglavlju 22.1. Jedan takav razvoj dao je RAPP [1977]. 22.4. Re{avanje povr{inskih integrala U okviru odre|ivanja polja teè iz opaànja teè, javlja se potreba re{avanja dve vrste konvolutivnih povr{inskih integrala:

∫∫ f (r ) S (ψ (r , r )) dv , A

S

∫∫ S

⎧cos α (rA , r )⎫ dS (ψ ) f (r ) ⎨ dv , ⎬ ⎩ sin α (rA , r )⎭ dψ

(22.69)

gde je f ( r ) kona~na funkcija definisana na elipsoidu ili teluroidu S . Kada su vrednosti podintegralne funkcije poznate na celoj povr{ini S , moè se smatrati da se integarcija izvodi po povr{i jedini~ine sfere. Prvo pitanje koje zasluùje diskusiju je singularnost povr{inskih integrala za ψ = 0 , tj. r = rA (podpoglavlje 22.1). Moè se pokazati da je ova singularnost otklonjiva. Ona ili nestaje izborom odgovaraju}eg koordinatnog sistema, ili se moè ukloniti upotrebom nekog elementarnog matemati~kog oru|a. Po~nimo sa integralima koji imaju Stouksovo jezgro S (ψ ) , i pokaìmo kako se oni mogu re{avati kada se upotrebi polarni koordinatni sistem (ψ , α ) na povr{i jedini~ne sfere (vidi sliku 17). U ovom koordinatnom sistemu, element prostornog ugla dv postaje (vidi podpoglavlje 3.2):

dv = sin ψ dψ dα ,

(22.70)

pa se povr{inski integral moè napisati kao:

∫∫ S

f ( r ) S (ψ ) dv =

2π

π

∫ ∫ f ( r ) S (ψ ) sin ψ

α = 0 ψ =0

dψ dα . (22.71)

§ 22.4

Re{avanje povr{inskih integrala

629

SLIKA 22.17. Polarne koordinate na jedini~noj sferi.

Ozna~avaju}i novo jezgro S (ψ ) sin ψ sa F (ψ ) , dobija se (uporedi sa (15)):

[

(

(

F (ψ ) = 2 cos 12 ψ − sin ψ 6 sin 12 ψ − 1 + cos ψ 5 + 3 ln sin 12 ψ + sin 2 12 ψ

))] . (22.72)

Ovo je funkcija koja nema singulariteta na intervalu

0, π , i njen dijagram je

2π π

prikazan na slici 18. Sada se izraz

∫ ∫ f (ψ , α ) F (ψ ) dψ dα

lako re{ava.

0 0

U nekim situacijama, povr{inske funkcije f (ψ , α ) , bilo da su u pitanju anomalije teè ili ne{to drugo, mogu da se smatraju funkcijama od isklju~ivo ψ . Ovaj slu~aj se

SLIKA 22.18. Funkcija F .

630


§ 22.4

SLIKA 22.19. Funkcija χ .

~esto sre}e kada se podrazumevaju idealne situacije. Tada jedna~ina (71) postaje:

∫∫

π

f (r ) S (ψ ) dv = 2π f (ψ ) F (ψ ) dψ .

∫

S

(22.73)

0

Ako se f (ψ ) pored toga moè jo{ smatrati konstantnom barem po delovima, pogodnije je koristiti kumulativnu funkciju χ (ψ ) funkcije F (ψ ) . Ozna~avaju}i: ψ

χ (ψ ) = ∫ F (x ) dx ,

(22.74)

0

ponovo se dobija veoma pogodna funkcija ~iji dijagram je dat na slici 19, prema LAMBERT AND DARLING [1936]. Sli~an tretman moè se primeniti i na Vening Majnesovo jezgro [SOLLINS, 1947], ali mi taj postupak ne}emo ovde razra|ivati. Umesto toga, pokaìmo na primeru Vening Majnesovog jezgra kako se moè tretirati singularnost upotrebom geodetskih a ne polarnih koordinata. U ovom slu~aju uklanjanje singulariteta zahteva sasvim druga~iji pristup. Radi jednostavnosti, uzmimo samo meridijansku komponentu otklona vertikale, za koju se moè napisati (uporedi sa (24)):

ξ (φ A , λ A ) =

1 4πγ 0

2π

π

∫ φ ∫ π∆g (φ , λ ) cos α λ =0

=−

dS (ψ ) cos φ dφ dλ . dψ (22.75)

§ 22.4


631

SLIKA 22.20. Unutra{nji blok.

Pretpostavimo dalje da je ta~ka interesovanja A sme{tena na bloku D I ~ije su granice φ 1 , φ 2 , λ1 , λ 2 (vidi sliku 20). Ovaj blok naziva se unutra{njim blokom, i zasluùje posebnu pa`nju zbog singulariteta jezgra:

K (φ A , λ A , φ , λ ) =

dS (ψ (φ A , λ A , φ , λ )) cos α (φ A , λ A , φ , λ ) cos φ . dψ (22.76)

Zbog toga se integral (75) razdvaja na dva integrala, pri ~emu jedan obuhvata unutra{nji blok D I , a drugi ostatak Zemljine povr{i D O :

ξ = ξ I + ξO =

1 4πγ 0

1

∫∫ K∆g dφ dλ + 4πγ ∫∫ K∆g dφ dλ . DI

(22.77)

0 D O

Vening Majnesova funkcija se u unutra{njem bloku moè razviti u stepeni red po ψ:

dS (ψ ) 2 3 9 = − 2 − − + 8ψ + … . dψ ψ 2 ψ

(22.78)

Ako unutra{nji blok nije ve}i od npr. 30′ sa 30′, onda je ψ < 0.014 radijana, i sa ta~no{}u boljom od 0.045% dovoljno je uzeti samo prva dva ~lana u (78). Prelazom na kartezijanske koordinate definisane sa (65), pri ~emu se po~etak poklapa sa A , dobija se:

632


ξI =−

y 2 x2

1 4πγ 0

⎛

x

∫ ∫ ⎜⎜⎝ ∆g p

y1 x1

3

+

3 x ⎞ ⎟ dx dy , ∆g 2 Rp 2 ⎟⎠

§ 22.4

(22.79)

gde je p = ( x 2 + y 2 )1 2 , tako da ψ postaje p / R . Anomalija teè u D I moè se sada aproksimirati pomo}u povr{i:

∆g (x, y ) = ∆g A + x∆g x + y∆g y + … .

(22.80)

Dovoljno dobra aproksimacija za malo D I postiè se samo sa tri ~lana, tj. modeliranjem anomalija teè pomo}u ravni. O~igledno, ∆g A je anomalija u ta~ki

A , a ∆g x , ∆g y su horizontalni gradijenti anomalije po meridijanu i prvom vertikalu. Zamena za ∆g iz (80) i (79) daje {est dodatnih ~lanova, ~ijom se integracijom dobija:

ξI =− − =−

1 4πγ 0

(∆g

1 4πγ 0 R 1 4πγ 0

A e11

(∆g

(∆g

+ ∆g x e 21 + ∆g y e31

A e12

A e1

)

+ ∆g x e 22 + ∆g y e32

)

(22.81)

)

+ ∆g x e 2 + ∆g y e3 .

Koeficijenti e1 , e 2 i e3 su funkcije od R i granica x1 , x 2 , y1 , y 2 [MERRY AND VANI~EK, 1974A]. Potpuno analogna jedna~ina moè se izvesti za komponentu otklona po prvom vertikalu η . U praksi se integracija po spolja{njem bloku D O zamenjuje sabiranjem doprinosa pojedina~nih }elija bloka Di . U tom smislu, integracija se moè posmatrati kao sabiranje teìnskih srednjih anomalija, pri ~emu je teìnsko jezgro dato sa:

w (φ A , λ A , φ , λ ) =

dS (ψ ) ⎧cos α ⎫ ⎨ ⎬ cos φ . dψ ⎩ sin α ⎭

(22.82)

Teìna se ra~una za centar odgovaraju}e }elije Di . Situacija je ne{to komplikovanija za }elije koje su bliè od 1.5° ra~unskoj ta~ki. Za ove }elije vrednost w sra~unata za centar }elije ne}e biti dovoljno ta~na, pa se teìna mora ra~unati kao integralna sredina }elije Di , tj.:

§ 22.4


w (φ A , λ A , φ i , λ i ) =

1 Di

∫∫

D

i

dS (ψ ) ⎧cos α ⎫ ⎨ ⎬ cos φ dD , dψ ⎩ sin α ⎭

633

(22.83)

pri ~emu je D i povr{ina }elije. Ponekad se konvolutivni integrali ne mogu re{avati integracijom po celoj Zemljinoj kugli S . Umesto toga integracija se izvodi samo po kru`noj oblasti S c sfernog radijusa ψ c , tako da je:

∫∫ ∆gS (ψ ) dv = ∫∫ ∆gS (ψ ) dv . S

(22.84)

Sc

Ova ograni~ena integracija ima za posledicu gre{ku ~ija veli~ina zavisi od ψ c . Da bi se ova gre{ka {to je mogu}e vi{e smanjila, integraciono jezgro se modifikuje na odgovaraju}i na~in. Postoji nekoliko modifikacija, ali je najpoznatiji na~in modifikacije koeficijentima ograni~enja Qn [MOLODENSKIJ ET AL., 1960]. Stouksova funkcija modifikovana na ovaj na~in glasi (uporedi sa (15)):

~ S (ψ ) =

∞

2n + 1 Qn (ψ c )Pn (cos ψ ) , 2 n =0

∑

(22.85)

gde je:

Qn (ψ c ) =

cos ψ c

∫ S (ξ ) P (ξ ) dξ n

.

(22.86)

−1

Ostale alternative mogu se na}i npr. u JEKELI [1980]. Kao {to ~italac moè videti, svi konvolutivni integrali izvedeni do sada u ovom poglavlju daju samo diskretne vrednosti traènih parametara polja teè. Drugim re~ima, svaka integracija po celoj Zemljinoj povr{ini daje samo jednu vrednost parametra. Da li postoji na~in da se upotrebom ovih formula simultano odrede èljene veli~ine za celo jedno podru~je? Ne direktno. Ako je potrebno poznavanje parametara, onda je pogodnije odrediti potencijalne koeficijente iz globalnih anomalija (uporedi sa (12)), i generisati èljenu veli~inu pomo}u reda sfernih harmonika. Ali ako je interesovanje upravljeno na ra~unanje parametara samo za manji deo Zemljine povr{i, i ako je potrebno odrediti ograni~en broj vrednosti tih parametara, mora se ra~unati sa neodgovaraju}e velikim brojem ~lanova reda sfernih harmonika. U slu~aju takvog regionalnog odre|ivanja polja teè, moè biti

634


§ 22.4

korisno da se geoidne visine, komponente otklona, itd., traè u obliku uop{tenog dvodimenzionalnog polinoma koji vaì samo za tu oblast. Ovaj pristup je o~igledno analogan prognozi anomalija pomo}u regresije, diskutovanoj u podpoglavlju 22.3. Da bi tehniku dalje razradili, ozna~imo traèni parametar sa P i modelirajmo ga na slede}i na~in:

~ P (φ A , λ A ) = Φ T (φ A , λ A ) c ,

(22.87)

~

gde je Φ T (φ A , λ A ) jedna kolona Vandermondove matrice, koja pripada n izabranim baznim funkcijama (algebarskim ili nekim drugim), a c je n vektor koeficijenata koje treba odrediti. S druge strane, za isti parametar moè se napisati slede}i integral:

P (φ A , λ A ) =

∫∫ f (φ , λ ) K (φ

A,

λ A , φ , λ ) dv ,

(22.88)

S

gde je K odgovaraju}e jezgro, a f je poznata opaàna funkcija, tipi~no anomalija teè jedne ili druge vrste. Sada se desne strane obe jedna~ine mogu pribli`no izjedna~iti na izabranom gridu od m ta~aka ( T ≡ {φ i , λ i ; i ∈ I } ) koje pokrivaju ispitivano podru~je, ~ime se dobija:

~ Φ T (φ i , λ i ) c =

∫∫ f (φ , λ ) K (φ , λ , φ , λ ) dv , i = 1, … , m . i

i

(22.89)

S

Ovih m jedna~ina mogu se napisati u matri~nom obliku:

Φ T (T ) c =

∫∫ f (φ , λ ) K dv ,

(22.90)

S

gde je Φ(T ) puna Vandermondova matrica, a K je vektorsko jezgro sa m komponenti. Za m > n imamo linearni problem koji se po c moè re{iti metodom najmanjih kvadrata. Ozna~avaja}i kovarijacionu matricu veli~ine P izra~unatu za ta~ke grida sa C p , dobija se:

[Φ(T )C

−1 p

]

Φ T (T ) cˆ = Φ(T ) C −p 1

∫∫ f K dv S

.

(22.91)

§ 22.4


Inverzija matrice Φ(T ) C −p 1 Φ T (T )

635

i zamena mesta matri~nog mnoènja i

integracije daje kona~an izraz za ocene koeficijenata:

cˆ =

∫∫ f (φ , λ ) [Φ(T )C S

=

∫∫

−1 p

Φ T (T

)]

−1

Φ(T ) C p−1 K dv (22.92)

~ f (φ , λ ) K dv ,

S

~

gde je K sada novo anizotropno vektorsko jezgro. Na taj na~in se ocenjeni koeficijenti cˆ i mogu odrediti direktno iz sopstvenih globalnih povr{inskih konvolutivnih integrala, na isti na~in kao npr. potencijalni koeficijenti. Primetimo da iako se gustina i konfiguracija grida ne pojavljuju eksplicitno u jezgru, oni ipak uti~u na njegov oblik kao i izbor baznih funkcija i kovarijacione matrice C p . Problem regionalne prognoze èljenog parametra P na bazi opaàne teè moè se naravno isto tako re{avati i kolokacijom, ili jo{ bolje kombinacijom kolokacije i regresije. Kovarijacione funkcije veli~ina N , ξ , η dobijaju se analiti~ki iz kovarijacione funkcije anomalija ∆g (vidi podpoglavlje 22.3). îtalac moè na}i odgovaraju}e jedna~ine npr. kod LACHAPELLE [1978] i TSCHERNING AND FORSBERG [1978]. Jedna druga metoda koja podrazumeva kombinaciju sfernih harmonika i povr{inskih integrala bi}e pokazana u podpoglavlju 24.4. Poslednje pitanje za diskusiju u ovom poglavlju predstavlja odre|ivanje gre{aka odre|enih parametara polja. Da bismo istraìli ove gre{ke, napi{imo vrednost traènog parametra P u ta~ki A u slede}em obliku:

P (φ A , λ A ) =

∑ f (φ , λ ) w (φ i

i

A,

λ A , φ i , λi ) ,

(22.93)

i

gde je f opaàna funkcija, a w je teìnsko jezgro. Ova jedna~ina u matri~nom obliku glasi:

P = wT f .

(22.94)

Ozna~avaju}i kovarijacionu matricu opaànih funkcija sa C f

i primenjuju}i

kovarijacioni zakon, za standardnu gre{ku veli~ine P se dobija:

(

σ p = w TC f w

)

12

.

(22.95)

636


§ 22.4

Kovarijaciona matrica C f se moè sastaviti od varijansi individualnih vrednosti f i njihove kovarijacione funkcije (npr. (68) ili slika 16) postupkom primenjenim u poglavlju 10. Naravno, ako je doprinos opaànih podataka iz neposredne okoline ta~ke A obra~unat zasebno, tada se i doprinos gre{ke neposredne okoline ta~ke A tako|e obra~unava zasebno, i to prenosom gre{aka funkcija f pomo}u upotrebljenih

formula. Odre|ivanje matrice C p

~itavog niza parametara

sra~unatih iz formula za odre|ivanje u ta~kama, ili pomo}u (87) ili (92), ostavlja se ~itaocu za ve`bu. Prakti~ni rezultati pokazuju da ta~nost sra~unatih parametara varira sa lokacijom, kao {to se to i o~ekuje. U podru~jima gde oko ra~unske ta~ke postoji gusta i homogena gravimetrijska pokrivenost, geoidna visina ili anomalija visine moè se odrediti sa ta~no{}u od nekoliko metara. Shodno tome za ta~nost komponenti vertikalskih otklona dobija se jedna ili dve lu~ne sekunde. S druge strane u blizini ve}ih praznih podru~ja ili podru~ja sa nepouzdano prognoziranim anomalijama, ta~nost moè biti lo{ija ~itav red veli~ine. Veli~ina }elije tako|e uti~e na ta~nost. [to ve}e }elije to lo{ija ta~nost. Za detaljniju diskusiju i uop{tenije formule ocene ta~nosti, ~italac se upu}uje na KAULA [1959], GROTEN AND MORITZ [1964] i MORITZ [1979].

POGLAVLJE 23

ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ SATELITSKIH OPA@ANJA

Odre|ivanje parametara polja teè iz opaànja prema satelitima zahteva razumevanje kretanja satelita u gravitacionom polju. Istraìvanje satelitskog kretanja podrazumeva upotrebu dinamike kao dela fizike (vidi podpoglavlje 2.3). U okviru ovog poglavlja smatra}emo da su osnove dinamike poznate ~itaocu. Radi pojednostavljenja matemati~kih simbola, koristi}emo ta~ku iznad simbola da bismo ozna~ili brzinu promene doti~ne veli~ine. Indeksi operatora ∇ ozna~ava}e koordinatni sistem u kojem se operator izraàva (vidi podpoglavlje 3.2). U prvom podpoglavlju bi}e opisane osnove satelitske dinamike sa naglaskom na visokolete}e orbitalne satelite. Bi}e tako|e pokazan i koncept odre|ivanja mase Zemlje. Drugo podpoglavlje sadrì osnove dinamike niskolete}ih satelita i prognoze satelitskih orbita. U poslednja dva podpoglavlja obra|en je inverzni problem satelitske dinamike, tj. odre|ivanje parametara polja teè. Podpoglavlje tri uvodi perturbacionu teoriju kao osnovno matemati~ko oru|e, pri ~emu je naro~ita pa`nja usmerena na vekovne perturbacije i odre|ivanje spljo{tenosti Zemlje. Poslednje podpoglavlje tretira koncepte potrebne za odre|ivanje preostalih parametara. 23.1. Sateliti i gravitaciono polje I prirodni i ve{ta~ki sateliti mogu se podeliti u dve grupe prema svojoj visini leta. Kada im je visina znatno ve}a od vrednosti Zemljinog polupre~nika, govori se o visokolete}im satelitima. Ostali se smatraju niskolete}im ili bliskim satelitima. Ekstremni slu~aj visokolete}ih satelita su svemirske sonde konstruisane da potpuno napuste Zemljino gravitaciono polje. Kretanjem satelita upravlja njegova sopstvena kineti~ka energija i sile koje na njega deluju. U blizini Zemlje dominantna sila koja deluje na satelit je Zemljino gravitaciono privla~enje, na koje satelit reaguje kre}u}i se po putanji koja odraàva oblik gravitacionog polja. Na velikim visinama gravitaciono polje prelazi u pribli`no radijalno polje. Ova ~injenica se jasno moè videti iz npr.(20.61), gde drugi elipti~ki 637

638


§ 23.1

~lan brè smanjuje vrednost sa pove}anjem rastojanja r nego {to to ~ini prvi radijalni ~lan. Na malim visinama polje je nepravilno, sa elipti~kim ~lanom koji predstavlja najzna~ajnije odstupanje od radijalnosti (vidi sliku 1). [to je visina manja, to je polje nepravilnije. Da bi se adekvatno opisalo kretanje visokolete}ih satelita ili svemirskih sondi, moè se upotrebiti klasi~na Keplerova teorija pomenuta u podpoglavlju 5.1. Po teoriji, satelitska orbita u radijalnom polju je planarna, tako da pet od {est Keplerovih orbitalnih elemenata (vidi podpoglavlje 15.3) k = { a 0 , e, i, µ , ϖ , } ostaju konstantni, dok se samo jedan, i to srednja anomalija µ , menja linearno sa vremenom. Ovo me|utim nije slu~aj sa niskolete}im satelitima, koji se, kao {to }emo videti u narednom podpoglavlju, moraju tretirati na drugi na~in. Kretanje satelita u radijalnom polju moè se u potpunosti opisati integralom uglovnog momenta [KOVALEVSKY, 1967]. Ovaj integral povezuje kineti~ku energiju T satelita sa karakteristikama radijalnog polja:

T (r ) =

r 2 GM ⎛ 2 1 ⎞ ⎜ − ⎟, = 2 2 ⎜⎝ r a 0 ⎟⎠

(23.1)

gde je r brzina promene r sa vremenom, a a 0 je velika poluosa satelitske orbitalne elipse (vidi sliku 2). Ova formula vaì ne samo za radijalno, ve} i za bilo

SLIKA 23.1. Odstupanja stvarnog polja teè od radijalnosti.

§ 23.1

Sateliti i gravitaciono polje

639

SLIKA 23.2. Keplerova orbita.

koje drugo polje, i intenzivno se koristi u nebeskoj mehanici. Po{to ova formula dovodi u vezu geometriju orbite i brzinu kretanja satelita sa masom Zemlje, ona se moè upotrebiti za odre|ivanje M odnosnoo GM iz opaànja ka visokolete}im satelitima. Najta~nije odre|ivanje vrednosti GM ovim pristupom, zasniva se na pra}enju svemirskih sondi [ESPOSITO AND NG, 1976]. Treba napomenuti da masa Zemlje odre|ena na ovaj na~in uklju~uje i masu atmosfere (podpoglavlje 9.4). Po{to su ostala odstupanja stvarnog polja od radijalnosti relativno mala, mala su i odstupanja stvarne od Keplerove orbite. Stoga je pri radu sa niskolete}im satelitima pogodno tretirati njihove orbite kao poreme}ene Keplerove orbite. U tu svrhu potencijal se obi~no pi{e kao:

W (r ) =

GM + P(r ) , r

(23.2)

gde je P deo stvarnog potencijala koji opisuje odstupanje od radijalnosti. On se naziva perturbacionim potencijalom, i predstavlja neradijalni deo Zemljinog gravitacionog polja datog harmonicima vi{eg reda u (20.58). Iako se perturbacioni potencijal razlikuje od poreme}ajnog potencijala (20.90), oni su u bliskoj vezi kao {to }emo videti u podpoglavlju 23.4. Negravitacioni deo perturbacije orbite sastoji se od perturbacija zbog vazdu{nog usporenja, elektromagnetnih sila, pritiska Sun~evog zra~enja, plimatskih uticaja i relativisti~kih efekata. (a) Vazdu{no usporenje je sila prouzrokovana vazdu{nim trenjem. Ona deluje nasuprot satelitskom kretanju, i proporcionalna je satelitskoj brzini. Vazdu{no usporenje je najva`nije kod bliskih satelita, kod kojih predstavlja najzna~ajniju od svih negravitacionih sila. Trenje vazduha je te{ko modelirati, zbog ~ega na sve

640


§ 23.2

ve}em zna~aju dobijaju sateliti oslobo|eni trenja. Ovakav satelit je ustvari satelit u {upljoj kugli, i kada je {uplja kugla prinu|ena da sledi istu trajektoriju kao unutra{nji satelit o~igledno je da je uticaj vadu{nog usporenja eliminisan. (b) Perturbacije zbog elektromagnetnih sila su sli~ne prirode. One su prouzrokovane interakcijom satelitskog naelektrisanja prikupljenog kretanjem kroz jonosferu, i Zemljinog magnetnog polja. (c) Efekat pritiska Sun~evog zra~enja prouzrokovan je efektom koji deluje iz pravca Sunca, i ima veli~inu proporcionalnu odnosu popre~nog preseka satelita i gustine materijala od kojeg je satelit napravljen. Ovaj uticaj je naro~ito zna~ajan za lake i velike satelite na velikim visinama. (d) Plimatske perturbacije izazivaju sile koje su ve} pomenute u podpoglavlju 8.1 i koje je relativno lako obra~unati kao {to }emo videti u poglavlju 25. Mnogo komplikovanije je obra~unavanje indirektnog efekta okeanske plime [LAMBECK ET AL., 1974]. (e) Relativisti~ki efekti poti~u od ~injenice da je brzina satelita, koja iznosi oko 3 × 10 −4 puta brzina svetlosti, relativno velika i da prema tome treba da bude opisivana upotrebom relativisti~ke dinamike. Po{to se upotrebljava Njutnova dinamika, moraju se formulisati popravke. Detaljniji tretman svih negravitacionih efekata moè se na}i u KING-HELE [1967] i MORANDO [1970]. Neke od negravitacionih sila uti~u ~ak i na visokolete}e satelite. Stoga i ove orbite moraju biti korigovane da bi se mogle smatrati Keplerovim. Treba napomenuti da Zemljina centrifugalna sila ne uti~e na kretanje satelita jer oni nisu ~vrsto vezani za Zemlju ve} se slobodno kre}u oko Zemlje koja rotira. Kona~no, treba konstatovati da je ~esto pogodno smatrati da je gravitacioni perturbacioni potencijal P sastavljen od tri dela: PE zbog elipti~nosti Zemlje, PZ zbog zonalnih nepravilnosti (podpoglavlje 20.2) i PT zbog teseralnih nepravilnosti. Razlog za ovu klasifikaciju posta}e o~igledan u narednom podpoglavlju. 23.2. Predikcija orbita Intuitivno je jasno da bi standardnim pristupom bilo veoma te{ko formulisati jedna~ine kretanja bliskih satelita, tj. tri obi~ne diferencijalne jedna~ine drugog reda koje povezuju komponente satelitskog ubrzanja sa komponentama sila koje deluju na njega. Mnogo je jednostavnije upotrebljavati oru|a analiti~ke mehanike kao {to su uop{tene koordinate, Hamiltonove funkcije i kanonske jedna~ine kretanja [SYMON, 1971].

§ 23.2

Predikcija orbita

641

Po{to je kretanje satelita u datom potencijalnom polju u potpunosti opisano sa tri obi~ne diferencijalne jedna~ine drugog reda, mogu se odabrati tri uop{tene koordinate, npr. neke krivolinijske koordinate q = { q1 , q 2 , q 3 } (vidi podpoglavlje 3.3) za opisivanje kretanja. Odgovaraju}i uop{teni moment p tada je dat sa:

p = ∇ q (T + W ) ,

(23.3)

gde je T kineti~ka energija satelita, a W je potencijal polja. Moè se pokazati da ako W ne zavisi eksplicitno od vremena u q koordinatnom sistemu, tada vaè slede}e kanonske jedna~ine kretanja:

p = −∇ q H ,

q = ∇pH ,

(23.4)

gde se:

H = T −W

(23.5)

zove Hamiltonova funkcija satelita. Jedna~ine (4) su {est obi~nih diferencijalnih jedna~ina prvog reda u { p q } koordinatnom sistemu, koje su matemati~ki ekvivalentne trima obi~nim diferencijalnim jedna~inama potrebnim za opisivanje kretanja. Delani je pokazao da se poslednja tri orbitalna elementa q ≡ { µ , ϖ , } mogu upotrebiti kao uop{tene koordinate [KOVALEVSKY, 1967]. Odgovaraju}i uop{teni momenti su:

p = GMa 0 {1, ν , ν cos i} ,

(23.6)

pri ~emu je ν 2 = 1 − e 2 . Uop{teni momenti su o~igledno funkcije samo od preostala tri orbitalna elementa a 0 , e, i . Primetimo da ovaj uop{teni koordinatni sistem nije pogodan za kru`ne orbite definisane sa e = 0 , ili za ekvatorske orbite definisane sa i = 0 , za koje je p2 = p1 i p2 = p3 respektivno, tako da ovi momenti ne mogu da se upotrebe kao koordinate u kanonskim jedna~inama kretanja. Za ovakve specijalne orbite moè se na primer upotrebiti slede}i modifikovani koordinatni sistem [KAULA, 1962]:

q ′ ≡ {q1 + q2 + q3 , q2 + q3 , q3 koji daje:

}

(23.7)

642


p ′ = {p1 , p2 − p1 , p3 − p2 } .

§ 23.2

(23.8)

Mi }emo ovde koristiti samo originalne Delanijeve koordinate. Zanemaruju}i za sada negravitacione efekte, Hamiltonova funkcija postaje:

H=

GM 2

⎛ 2 1 ⎞ ⎛ GM ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎜ + P⎟ , ⎠ ⎝ r a0 ⎠ ⎝ r

(23.9)

gde je kineti~ka energija data integralom uglovnog momenta (1), a gravitacioni potencijal je uzet iz (2). Izraàvaju}i H u { p q } koordinatnom sistemu, dobija se:

1 ⎛ GM H ( p, q ) = − ⎜⎜ 2 ⎝ p1

2

⎞ ⎟⎟ − P ( p, q ) . ⎠

(23.10)

Kanonske jedna~ine kretanja sada se lako izvode, i glase:

p = ∇q P ,

q1 =

∂P GM − , 3 a0 ∂p1

(23.11)

q2 = −

∂P , ∂p 2

q3 = −

∂P . ∂p 3

(23.12)

Da bi dva skupa jedna~ina (11) i (12) bila kompatibilna, ozna~imo:

δµ = µ − GM / a 03 ,

(23.13)

GM a 03 moè pokazati da je to srednja anomalija Keplerovog kretanja ~, sa orbitalnim parametrima a 0 , e, i, ϖ , . Ozna~avaju}i trojku { δµ , ϖ , } sa q gde se za

drugi skup kanonskih jedna~ina (12) moè se napisati kao:

q~ = −∇ p P .

(23.14)

Jedna~ine (11) i (14) su osnovne jedna~ine kretanja koje se koriste u dinamici bliskih satelita. Primetimo da je u radijalnom polju P = 0 , i da se ne pojavljuju ~ ni u p , tako da kretanje postaje Keplerovo kao {to se i o~ekuje. promene ni u q

§ 23.2

Predikcija orbita

643

Dva izvedena sistema jedna~ina jo{ uvek su nepogodna za upotrebu zbog prisustva uop{tenog momenta p . Zbog toga se one obi~no reformuli{u u funkciju od

a 0 , e, i

orbitalnih parametara. Ozna~imo trojku

sa

s, i

~ k ≡ { s q~ } ≡

{ a 0 , e, i, δµ , ϖ , }. Sada se moè napisati:

∂P = ∂p j

3

∂si ∂P , j ∂si

∑ ∂p i =1

j = 1, 2, 3,

(23.15)

ili jednostavno:

∇pP =

∂s ∇s P , ∂p

(23.16)

gde je ∂ s / ∂ p Jakobijan transformacije izme|u s i p koordinatnog sistema (podpoglavlje 3.1). S druge strane:

pj =

dp j dτ

=

3

∑ i =1

∂p j ds i = ∂s i dτ

∂p j

3

∑ ∂s i =1

si ,

j = 1, 2, 3,

(23.17)

i

ili: T

p=

⎛ ∂s ⎞ ∂p ⎟⎟ s . s = ⎜⎜ ∂s ⎝∂ p⎠

(23.18)

Stoga vaì:

⎡ ∂s ⎢ ∂p s ⎡ ⎤ ~ k = ⎢−−− ⎥ = ⎢ ⎢⎣ q~ ⎥⎦ ⎢ 0 ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎡∇ q P ⎤ ⎥ ⎢ −−− ⎥ = B ∇ k P . ∂ s ⎥ ⎢∇ P ⎥ − ⎣ s ⎦ ∂ p ⎥⎦ 0

(23.19)

Ostavlja se ~itaocu da pokaè da je:

⎡ ⎢2a 0 ⎢ ∂s 1 ⎢ 0 = ∂p GMa 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

ν2 e −

ν e

0

⎤ ⎥ ⎥ cot i ⎥ . ν ⎥ 1 ⎥ − νsin i ⎥⎦ 0

Reformulisane jedna~ine kretanja sada u punom obliku glase:

(23.20)

644


a 0 = (GMa 0 )

−1 / 2

2a 0

∂P , ∂µ

ν 2 ∂P ν ∂P ⎞⎟ ⎜ ⎜ e ∂µ − e ∂ϖ ⎟ , ⎝ ⎠ 1 ∂P ⎞ −1 / 2 ⎛ cot i ∂P i = (GMa0 ) − ⎜ ⎟, ⎝ ν ∂ϖ νsin i ∂ ⎠ e = (GMa 0 )

§ 23.2

−1 / 2 ⎛

∂P ν 2 ∂P ⎞ ⎟, ⎜ − 2a 0 δµ = (GMa 0 ) − ⎟ ⎜ ∂ a e ∂ e 0 ⎠ ⎝ ⎛ ν ∂P cot i ∂P ⎞ − ϖ = (GMa 0 )−1 / 2 ⎜ ⎟, ν ∂i ⎠ ⎝ e ∂e 1 ∂P −1 / 2 = (GMa 0 ) . νsin i ∂i −1 / 2 ⎛

(23.21)

Ove jedna~ine se tako|e mogu smatrati jedna~inama brzina promena Keplerovih orbitalnih parametara. Za istraìvanje efekta negravitacionih poreme}ajnih sila, potrebno je izraziti brzine orbitalnih elemenata kao direktne funkcije ovih sila F . Da bi izveli ove veze, defini{imo prvo kartezijanski orbitalni koordinatni sistem ξ ≡ { ρ , κ , η } koji se kre}e zajedno sa satelitom (vidi sliku 3). Neka je ρ -osa upravljena prema centru mase Zemlje, κ -osa u pravcu kretanja u trenutnoj orbitalnoj ravni, a η -osa kompletira desno orijentisani sistem. Primetimo da se za malo e pravac κ -ose prakti~no poklapa sa tangentom na orbitu.

SLIKA 23.3. Trenutni orbitalni kartezijanski sistem koordinata.

§ 23.2

Predikcija orbita

645

Sada se mogu napisati slede}e transformacione jedna~ine za gradijente:

∇s =

∂ξ ∇ξ , ∂s

∇q =

∂ξ ∇ξ . ∂q

(23.22)

Kombinuju}i ove jedna~ine sa (19) dobija se:

s=−

∂s ∂ξ F , ∂ p ∂q

(23.23)

∂s ∂ξ q~ = F , ∂ p ∂s

(23.24)

{to predstavlja vezu poreme}ajnih sila sa brzinama orbitalnih elemenata. Kona~an rezultat je:

⎡ ∂s ∂ξ ⎤ ⎢− ⎥ ~ ⎢ ∂ p ∂q⎥ k = − − − − − − − − − − F = DF . ⎢ ∂s ∂ξ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ ∂ p ∂ s ⎦⎥

(23.25)

Razvojem odgovaraju}eg Jakobijana dobijamo [TUCKER ET AL., 1970]:

⎛ 2a 02 e ⎞ 2a 03ν 2 ⎜ ⎟, a0 = Q sin f Fρ + F κ 2 ⎜ r ⎟ r ⎝ ⎠ 2 ⎡a ν ⎛ ⎛ a ν2 e = Q ⎢ 0 sin f Fρ + ⎜ e + ⎜1 + 0 ⎜ ⎜ r ⎢⎣ r ⎝ ⎝ i = Qcos (ϖ + f )Fη , ⎡⎛

δµ = Qν ⎢⎜⎜ 2 − ⎢⎣⎝

⎞ ⎛ a 0ν 2 a ν2 cos f ⎟ Fρ − ⎜1 + 0 ⎟ ⎜ re r ⎠ ⎝

⎡ a 0ν 2 ⎛ a ν2 cos f Fρ + ⎜1 + 0 ⎜ r ⎢⎣ re ⎝ sin (ϖ + f ) Fη , =Q sin i

ϖ = Q ⎢−

⎞ ⎟cos ⎟ ⎠

⎞ ⎤ f ⎟ Fκ ⎥ , ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ ⎤ ⎞ sin f ⎟ Fκ ⎥ , ⎟ e ⎥⎦ ⎠

⎞ sin f sin (ϖ + f ) ⎤ ⎟ Fκ − Fη ⎥ , ⎟ e i tan ⎥⎦ ⎠

(23.26)

646

gde je

§ 23.3


Q = (r / ν )(GMa0 )

−1 / 2

, a

f

je prava anomalija definisana u

podpoglavlju 15.3. Alternativno izvo|enje ovih formula, bazirano na jednostavnom vektorskom opisu orbitalne dinamike, moè se na}i u POLLARD [1976]. Ako je perturbacioni potencijal P poznat, i zanemare se negravitacioni efekti, zadatak predikcije orbite odnosno predikcije {est orbitalnih elemenata satelita u

~

proizvoljnom trenutku τ postaje veoma jednostavan. Znaju}i poloàj k satelita u po~etnom trenutku τ 0 , poloàj u trenutku τ je: τ

τ

~ ~ ~ ~ k (τ ) = k (τ 0 ) + k dτ = k (τ 0 ) + B (τ )∇ k Pdτ .

∫

τ0

∫

(23.27)

τ0

Integracija se izvodi numeri~ki ili analiti~ki. Ako je perturbacioni potencijal poznat, predikcija se moè produìti na nekoliko satelitskih revolucija, i tada se govori o predikciji duga~kog luka. Predikcija kratkog luka se izvodi sa ili bez eksplicitnog poznavanja P . Ako je P nedovoljno poznato, varijacije pojedinih orbitalnih elemenata mogu se

~

ekstrapolovati upotrebom npr. uop{tenih polinoma Φ T (τ )λ ~iji koeficijenti λ se odre|uju iz poznatog (opaànog) dela orbite (podpoglavlje 14.2). Prognozirane vrednosti za trenutak τ dobijaju se onda iz:

~ ~ ~ k i (τ ) = k i (τ 0 ) + Φ iT (τ − τ 0 ) λ ,

i = 1, ...., 6.

(23.28)

Za primere ~italac se upu}uje na VEIS AND MOORE [1960]. Orbitalni parametri su bez sumnje jedine upotrebljive koordinate za predikciju orbita. U tu svrhu mogu se upotrebiti razli~iti kartezijanski koordinatni sistemi. Treba ista}i da PT deo perturbacionog potencijala P nije eksplicitno nezavisan od vremena kako to zahteva Hamiltonova teorija, pa njegov doprinos potencijalu P mora biti korigovan na odgovaraju}i na~in. Ovakva pitanja su van obima ove knjige, i zainteresovani ~italac se upu}uje npr. na KAULA [1966]. 23.3. Analiza orbitalnih perturbacija Pretpostavimo za sada da su svi negravitacioni uticaji uzeti u obzir u vidu korekcija opaàne orbite. Tada }e odstupanja tako korigovane orbite od Keplerove orbite predstavljati samo posledicu nepravilnosti Zemljinog gravitacionog polja.

§ 23.3

Analiza orbitalnih perturbacija

647

Integrisana odstupanja, poznata kao orbitalne perturbacije, mogu se dobiti direktno iz (27) u funkciji orbitalnih elemenata:

~

~

τ

~

δ k (τ ) = k (τ ) − k (τ 0 ) = ∫ B (τ )∇ k P dτ .

(23.29)

τ0

~

Ova jedna~ina daje matemati~ki model koji povezuje opaàne perturbacije δ k sa gravitacionim potencijalom P . U principu, P se moè na}i iz (29). Prakti~no, problem inverzan predikciji orbite postavlja izvesne te{ko}e pri re{avanju. Za po~etak, P mora biti izraèno u funkciji orbitalnih parametara k , kako bi se mogao na}i gradijent ∇ k P . U geocentri~nim koordinatama r ≡ { r , φ , λ }, perturbacioni potencijal glasi (uporedi sa (20.58)):

P (r ) = −

GM r

∞

⎛a⎞ ⎜ ⎟ n=2 ⎝ r ⎠

∑

n n

∑ (J

nm cos

mλ + K nm sin mλ ) Pnm (sin φ ) .

m =0

(23.30) Transformacija ovog izraza u orbitalne parametre veoma je komplikovana, i mi }emo se ovde zadovoljiti samo citiranjem krajnjeg rezultata [KAULA, 1966; CAPUTO, 1967]:

GM P (k ) = − a0

∞

⎛ a ⎜⎜ n=2 ⎝ a0

∑

⎞ ⎟⎟ ⎠

n

∞

n

∑ F (i ) ∑ G (e) S nmp

m, p =0

mpq

nmpq

(µ ,ϖ , ,θ ) .

q = −∞

(23.31) U obe gornje jedna~ine, a je velika poluosa geocentri~nog referentnog elipsoida, a Fnmp (i ) i G nmq (e) su komplikovane funkcije od i i e . Funkcija S nmpq ima slede}i oblik:

⎧− J cos ψ − K nm sin ψ , n − m neparno, S nmpq = ⎨ nm ⎩− J nm sin ψ + K nm cos ψ , n − m parno,

(23.32)

ψ = (n − 2 p )ϖ + (n − 2 p + q ) µ + m ( − θ ) ,

(23.33)

gde je:

pri ~emu θ ozna~ava GAST (vidi podpoglavlje 15.1) koje opisuje brzinu Zemljine rotacije. Ilustrativno je pokazati specijalne oblike jedna~ine (32) za PE i PZ . îtalac moè lako proveriti da je:

648


PE = −

§ 23.3

2 ∞ GMa 2 J F20 p (i ) G 2 pq (e ) cos [(2 - 2p )ϖ + (2 − 2 p + q )µ ] , 2 a 03 p = 0 q = −∞

∑∑

(23.34) i:

GM PZ = − a0

∞

⎛ a ⎜⎜ n =3 ⎝ a 0

∑

n

n ∞ ⎞ ⎟⎟ J n Fn 0 p (i ) G npq (e ) ⎠ p = 0 q = −∞

∑∑

⎧⎪cos [(2 − 2 p )ϖ + (n − 2 p + q )µ ] ×⎨ ⎪⎩ sin [(2 − 2 p )ϖ + (n − 2 p + q )µ ]

⎫⎪ , n neparno, ⎬ ⎪⎭ n parno .

(23.35)

P je o~igledno linearna funkcija od potencijalnih koeficijenata J nm i K nm . Shodno tome, njegov gradijent po k , kao i perturbacije, moraju tako|e biti linearne funkcije ovih koeficijenata. Zbog toga svaka opaàna perturbacija orbitalnog elementa daje jednu jedna~inu opaànja za odre|ivanje potencijalnih koeficijenata. Primetimo da je P alternativno moglo biti izraèno u CT sistemu, a (29) reformulisano da vaì u istom sistemu. U tom slu~aju bi se me|utim izgubila mogu}nost upotrebe Keplerove orbite za nultu aproksimaciju stvarne orbite. Po{to je koeficijent J 2 mnogo ve}i od ostalih (podpoglavlje 20.2), simultano re{enje za sve koeficijente nije u potpunosti stabilno. Iz tog razloga J 2 se prvo nalazi nezavisno od ostalih. Kad se re{ava po J 2 , vidi se da PE iz (34) ne zavisi od

. Tako|e se moè pokazati da je zavisnost PE od µ veoma slaba tako da u prvoj aproksimaciji moè da se zanemari [KAULA, 1966]. To istovremeno zna~i da koeficijent (2 − 2 p + q ) pored µ u (34) teì nuli, zbog ~ega treba uzeti u obzir samo slede}e tri kombinacije od p i q : 0,-2; 1,0; 2,2. Za prvu i tre}u kombinaciju nalazimo da je G 20 − 2 (e) = G 222 (e) = 0 , {to zna~i da preostaje samo druga kombinacija. Za p = 1, q = 0 nalazimo:

G 210 (e ) = v −3 , F201 (i ) = 34 sin 2 i −

1 2

,

(23.36)

tako da prva aproksimacija potencijala PE postaje:

PE =

GMa 2 v 3 a 03

(

3 4

sin 2 i −

1 2

)J

2

.

(23.37)

Iz ove jedna~ine jasno je da je:

∇ q PE = 0 ,

(23.38)

§ 23.3


649

zbog toga {to u prvoj aproksimaciji PE ne zavisi ni od µ ni od ϖ ni od . Prema (19) sledi dalje da je:

s=0 ,

(23.39)

tako da otkrivamo da u prvoj aproksimaciji prva tri orbitalna parametra a 0 , e, i nemaju perturbacija zbog elipti~kog potencijala PE . Po{to je hipermatrica B funkcija samo ova tri parametra (uporedi sa (21)), B se ne menja sa vremenom kada je PE u pitanju. S druge strane, gradijent ∇ s PE postaje:

∇ s PE = 3

2 3 1 ⎫⎪ sin 2 i − 12 GMa 2 ⎧⎪ 4 sin i − 12 4 , , − 14 sin 2i ⎬ . J − e 2⎨ 3 3 2 a0 v a0 v ⎪⎩ ⎪⎭

(23.40) Zamenom u (21) i integracijom po vremenu kona~no se dobija:

( ) Q δϖ (τ ) = (1 − 5 cos i ) J τ , 4v

δδµ (τ ) = Q 34 sin 2 i − 12 J 2τ , 2

(23.41)

2

δ(τ ) =

Q cos i J 2τ , 2v

gde je Q = −(3 / v 3 ) GM / a 03 (a / a 0 ) 2 . Ove veli~ine poznate su kao vekovne perturbacije, i koristi se za pribli`no nalaènje J 2 . Gre{ka prve aproksimacije za

J 2 je istog reda veli~ine kao ostali potencijalni koeficijenti, zbog ~ega se prira{taj pribli`ne vrednosti J 2 ra~una zajedno sa njima. Kada je efekat Zemljine elipti~nosti na orbitu ocenjen i izvr{ena korekcija pomo}u pribli`ne vrednosti J 2 , nalaze se preostali potencijalni koeficijenti. Da bi pokazali kako, razvi}emo samo prvu aproksimaciju perturbacionih jedna~ina smatraju}i hipermatricu B nezavisnom od vremena. Napi{imo (31) u slede}em obliku:

GM P= a0

∑∑∑∑ n

m

p

q

⎛ a ⎜⎜ ⎝ a0

n

⎞ ⎟⎟ Fnmp G npq S nmpq = Pnmpq . ⎠ n,m, p ,q

∑

(23.42)

650

§ 23.3


Svaka komponenta Pnmpq moè se zasebno tretirati tako da dobijamo:

~ k=

∑B∇

k Pnmpq

n,m, p ,q

~

=

∑k

nmpq

.

(23.43)

n ,m, p ,q

~

~

Prema tome, doprinos svake komponente Pnmpq je deo k nmpq ukupne brzine k . Sli~no tome vaì: τ

~ δ k nmpq (τ ) = B ∇ k Pnmpq dτ .

∫

(23.44)

τ0

Izostavljaju}i indekse radi jednostavnosti, sada se mogu izvesti izrazi za pojedine doprinose. Perturbacija u a 0 data je slede}om formulom: τ

τ

τ0

τ0

δa 0 (τ ) = ∫ a 0 dτ = ∫ (GMa0 )

−1 2

a0 ∂P 2a 0 dτ = 2 GM ∂µ

τ

∂P

∫ ∂µ dτ τ

.

0

(23.45)

∂P / ∂µ kao (∂P / ∂ψ )(∂ψ / ∂µ ) , i uzimaju}i u obzir da je ∂ψ / ∂µ = n − 2 p + q , sledi:

Pi{u}i

τ

τ

∂P ∂P ∫τ ∂µ dτ = (n − 2 p + q )τ∫ ∂ψ dτ . 0 0

(23.46)

Zamenom promenljivih, poslednji integral postaje: τ

∫ τ

0

τ

∂P dτ = ψ −1 dP , ∂ψ τ

∫

(23.47)

0

i imaju}i u vidu da:

ψ = (n − 2 p )ϖ + (n − 2 p + q )µ + m( − θ )

(23.48)

zavisi u prvoj aproksimaciji samo od a 0 , e, i i J 2 , dobija se:

δa 0 (τ ) =

a0 P 2 (n − 2 p + q ) . GM ψ

Zamena za P kona~no daje:

(23.49)

§ 23.3


a0 δa 0 (τ ) = 2 GM

⎛ a ⎜⎜ n,m, p ,q ⎝ a 0

∑

651

⎞ Fnmp (i ) G npq (e )(n − 2 p + q ) ⎟⎟ S nmpq (ψ ) . ψ ⎠ n

(23.50) Sli~nim izvo|enjem dobija se za preostalih pet orbitalnih parametara [KAULA, 1966]: n

⎛ a a0 v ⎜ δe(τ ) = GM a 0 e n , m, p , q ⎜⎝ a 0

⎞ ⎟⎟ ⎠ Fnmp (i ) G mpq (e ) [v(n − 2 p + q ) − (n − 2 p )]

∑

×

ψ

⎛ a a0 1 ⎜ δ i (τ ) = GM a 0 v sin i n ,m , p ,q ⎜⎝ a 0 ×

ψ ⎛ a GM ⎡ ⎢τ − ⎜⎜ 3 a0 ⎢ n,m, p ,q ⎝ a 0 ⎣

δµ (τ ) =

∑

×

n

⎞ ⎟⎟ ⎠ Fnmp (i ) G npq (e ) [(n − 2 p ) cos i − m]

∑

[

⎞ ⎟⎟ ⎠

S nmpq (ψ ) ,

S nmpq (ψ ) ,

n

(

)

]

′ (e ) Fnmp (i ) 2(n + 1) G npq (e ) − v e G npq 2

ψ

⎤ S nmpq (ψ )⎥ , ⎦⎥

(23.51)

n

⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ δϖ (τ ) = 3 a 0 n ,m , p ,q ⎜⎝ a 0 ⎟⎠ ′ (e ) − (1 v ) cot i Fnmp ′ (i ) G npq (e ) (v e ) Fnmp (i ) G npq × S nmpq (ψ ) , GM

∑

ψ

δ(τ ) =

GM a 03

⎛ a 1 ⎜ v sin i n , m, p ,q ⎜⎝ a 0

∑

′ (i ) G npq (e ) ⎞ Fnmp ⎟⎟ S nmpq (ψ ) , ψ ⎠ n

gde je F ′ = dF di , G ′ = dG de , i (uporedi sa (32)):

⎧− J sin ψ + K nm cos ψ , n − m neparno, S nmpq (ψ ) = ⎨ nm ⎩+ J nm cos ψ + K nm sin ψ , n − m parno .

(23.52)

652

§ 23.4


Po{to je sistem perturbacionih jedna~ina (51) relativno komplikovan, dajemo ga u ne{to preglednijem obliku:

~ ∂k j (τ ) =

∞ n ⎡ A j , nmpq (a 0 , e, i ) σ (ψ ) ⎢ J nm = = −∞ 0 n = 2 m =0 ⎢ p q ⎣ ∞

n

∑∑

∑∑

⎤ + K nm A j , nmpq (a 0 , e, i ) σ (ψ )⎥ , p = 0 q = −∞ ⎦⎥ n

∞

∑∑

gde su A j , nmpq razli~ite funkcije od a 0 , e, i, GM

(23.53)

j = 1, … ,6,

i a za razli~ite orbitalne

parametre, a σ , σ su kosinusna ili sinusna funkcija od ψ uzeta sa odgovaraju}im znakom i podeljena sa ψ . Ovo su takozvane jedna~ine linearnih perturbacija. Potrebno je da one budu korigovane za vremensku zavisnost PT i B , kao i za efekat gre{ke koeficijenta J 2 odre|enog iz vekovnih perturbacija. Izvo|enje izraza za ove korekcije je veoma kompleksno i bi}e ovde izostavljeno. Dovoljno je konstatovati da korekcije menjaju samo funkcije A , ali ne uti~u na op{ti oblik jedna~ine (53). 23.4. Odre|ivanje parametara polja teè Moè se pokaziti da su funkcije

A j, n m p q

pribli`no proporcionalne

e

q

[GAPOSHKIN AND LAMBECK, 1970]. Za tipi~ne geodetske satelite ( e ~ 10 −2 ), veli~ina A se smanjuje sa pove}anjem apsolutne vrednosti q . Stoga se sabiranje po q u (53) ne mora izvoditi do kraja, ve} je u prvoj aproksimaciji dovoljno i q = 0 . Tako|e, A zavisi od vremena preko a 0 , e, i . Po{to oni sporo variraju sa vremenom, A je pribli`no konstantno ~ak i za duga~ke orbitalne lukove.

~

Vremenska zavisnost veli~ine δ k izraèna je u osnovi preko trigonometrijskih ~lanova σ , σ , ~iji argumenti µ , ϖ , i θ (uporedi sa (33)) variraju sa vremenom manje ili vi{e linearno. Stoga je ψ uzrok periodi~nosti perturbacija. U ψ je:

µ > −θ >ϖ

(23.54)

jer je µ orbitalna frekvencija satelita od nekoliko obrta po danu, − θ je reda frekvencije Zemljinog obrtanja, tj. jednom dnevno jer je θ >> , a ϖ je frekvencija kretanja satelitskog perigeuma, i mnogo je manja od ostale dve frekvencije. Ovakav redosled sugeri{e slede}u terminologiju:

§ 23.4

Odre|ivanje parametara polja teè

653

~

(a) kratkoperiodi~ne varijacije u δ k odgovaraju frekvencijama reda jednom dnevno i vi{e, tj.> θ ; (b) dugoperiodi~ne varijacije predstavljaju frekvencije izme|u θ i ϖ ; (c) vekovne periodi~ne varijacije, kao {to smo videli u podpoglavlju 23.3, opisuju promene u A . Lako se vidi iz (48) da su samo za kombinacije:

(n, m, p, q ) = (2k , 0, k , 0),

k = 1, 2, ...

(23.55)

svi koeficijenti uz ϖ , µ i − θ nula, tako da samo za ove kombinacije odgovaraju}e parcijalne perturbacije variraju ~isto vekovno. Bliè razmatranje otkriva da kombinacije (55) pripadaju zonalnim harmonicima neparnog reda ( m = 0 , n neparno), za koje je u podpoglavlju 20.3 pokazano da su u vezi sa elipti~no{}u Zemlje. Po{to dominantni deo perturbacije (za q = 0 ) koji poti~e od zonalnih harmonika neparnog reda ima ψ = 0 , on ne moè biti analiziran pomo}u (53) jer koeficijenti J n m i K n m postaju nedefinisani. U tu svrhu moraju se upotrebiti linearne jedna~ine sli~ne jedna~inama (41). Zonalni harmonici parnog reda ( m = 0, n parno) i teseralni harmonici ( m ≠ 0 ) uvek uzrokuju kratkoperiodi~ne perturbacije. Jasno se moè videti da za neke kombinacije od n, m, p, q , faktor ψ postaje mali, a koeficijenti uz J n m , K n m postaju uve}ani. Shodno tome, posebne frekvencije za koje ψ postaje malo nazivaju se rezonantnim frekvencijama. One su naro~ito korisne u nalaènju odgovaraju}ih potencijalnih koeficijenata. Najja~a reakcija satelita na gravitaciono polje pojavljuje se za rezonantne frekvencije, tako da je svaki satelit najosetljiviji na sopstvene rezonantne frekvencije. Nakon pregleda perturbacionih jedna~ina, sada se moè ista}i pristup u re{avanju po potencijalnim koeficijentima. Prvo, najve}i deo vrednosti za J 2 odre|uje se iz vekovnih perturbacija. Zatim se ponovo uz pomo} vekovnih perturbacija odre|uje prva aproksimacija za zonalne koeficijente neparnog reda i za prira{taj za J 2 . Poslednji korak se sastoji u harmonijskoj analizi preostalih perturbacija po ψ . O~igledno je da je uvek ceo skup potencijalnih koeficijenata vezan za odre|enu vremensku frekvenciju, i obratno, ~itav red vremenskih perioda vezan za svaki koeficijent. Zbog toga amplitude pojedinih periodi~nih ~inilaca, dobijene harmonijskom analizom perturbacija, odgovaraju razli~itim linearnim kombinacijama potencijalnih koeficijenata. Uobi~ajeno je da se perturbacije orbita

654


§ 23.4

nekoliko razli~itih satelita analiziraju simultano. U tom slu~aju mogu se linearne kombinacije razdvojiti, a potencijalni koeficijenti odrediti iz sistema nezavisnih linearnih algebarskih jedna~ina. Jedno takvo re{enje opisali su GAPOSHKIN AND LAMBECK [1970]. Treba napomenuti da ako negravitacioni efekti nisu obra~unati pre harmonijske analize, mogu biti odre|eni zajedno sa potencijalnim koeficijentima. Koliko potencijalnih koeficijenata moè biti odre|eno iz perturbacija? Ne ba{ mnogo. Sa izuzetkom koeficijenata koji odgovaraju rezonantnim frekvencijama, granica za n je oko dvadeset. Razlog za ovako nisku granicu nalazi se u faktoru n

geometrijskog prigu{enja ( a / r ) (vidi (30)), koji reguli{e pona{anje gravitacionog polja u vertikalnom smislu. Ovaj faktor efikasno filtrira visoke prostorne frekvencije sa pove}anjem visine, kao {to je ve} istaknuto u podpoglavlju 23.1. Da bi ilustrovali snagu prigu{enja uzmimo kao primer niskolete}i satelit na visini od 300km. Za ovu visinu faktor prigu{enja iznosi pribli`no: n

⎛a⎞ n ⎜ ⎟ = (1 − 0.05) , r ⎝ ⎠

(23.56)

i za n = 20 , tj. za karakteristike polja reda 2000km, relativna amplituda na satelitskoj visini iznosi svega 40% od vrednosti na Zemljinoj povr{ini (vidi sliku 4). Kada su potencijalni koeficijenti poznati, odre|ivanje parametara polja je jednostavno. Perturbacioni gravitacioni potencijal (30) definisan ovim koeficijentima prvo se konvertuje u poreme}ajni potencijal T upotrebom (20.89). Vrednosti za GM , a i J nN , n = 2, 4, ..., biraju se prema upotrebljenom referentnom elipsoidu. Onda se pomo}u (20.90) i (22.12) dobija:

Tn =

R ∆g n n −1

(23.57)

i tada:

∆g =

∞

n −1 Tn n=2 R

∑

(23.58)

vaì na referentnom elipsoidu. Zamenom za Tn dobija se:

∆g = −

GM rR

n n

⎛a⎞ ∑ (n − 1) ⎜⎝ r ⎟⎠ ∑ [(J nm − J nmN ) cos mλ l

n=2

m =0

+ K nm sin mλ ] Pnm (sin φ ) ,

(23.59)

§ 23.4


655

SLIKA 23.4. Smanjenje geometrijskog efekta prigu{enja sa visinom orbite. N za pri ~emu je l najve}i odre|eni stepen koeficijenata, a J nN za n = 3, 5, ..., i J nm m ≠ 0 jednaki su nuli (podpoglavlje 20.3).

Na Zemljinoj povr{i moè se upotrebiti sferna aproksimacija r = a = R , ~ime se dobija:

∆g =

GM R2

l

n

n=2

m =0

∑ (n − 1) ∑ [(J nm − J nmN ) cos mλ + K nm sin mλ ] Pnm (sin φ ) . (23.60)

Ova aproksimacija uvodi maksimalnu gre{ku od oko 1 mGal [RAPP, 1972], {to je manje od danas dosti`ne ta~nosti ovako izvedenih anomalija, a koja iznosi oko 5 mGal . Jedno takvo re{enje ve} je prikazano na slici 6.9. Za izvo|enje jedna~ine za geoidnu visinu koristi se pristup upotrebljen u poglavlju 22, tj. Brunsovom formulom (21.4) konvertuje se poreme}ajni potencijal T u N . Uz istu sfernu aproksimaciju kao malo~as, sledi:

N = −R

∑ ∑ [(J l

n

nm

)

]

N − J nm cos mλ + K nm sin mλ Pnm (sin φ )

n= 2 m=0

(23.61) Maksimalna gre{ka aproksimacije je oko 1m [RAPP, 1972] {to je uporedivo sa 3 do 5m ta~nosti koja se danas postiè za N . Dva primera takvih satelitskih re{enja za dva razli~ita referentna elipsoida bila su prikazana na slikama 7.20 i 7.21. Komponente vertikalskih otklona dobijaju se iz N upotrebom (21.18). Rezultat je:

656

§ 23.4

ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ SATELITSKIH OPA@ANJA l

ξ =∑

∑ [(J n

n= 2 m=0 l

η=∑

nm

∑ [− (J

)

N − J nm cos mλ + K nm sin mλ

n

n = 2 m =0

nm

−J

N nm

)

] ∂P

nm

(sin φ )

∂φ

,

mPnm (sin φ ) sin mλ + K nm cos mλ . cos φ

]

(23.62)

Za primere numeri~kih rezultata vidi slike 6.23 i 6.24. Generalno, treba zapamtiti da re{enje opisano u ovom poglavlju, koje se naziva satelitskim dinami~kim re{enjem za potencijalne koeficijente, daje rezultate koji su globalno homogeniji od rezultata dobijenih iz terestri~kih podataka ubrzanja (poglavlje 22). S druge strane, satelitska re{enja su uop{tenija, i nemaju detalje koje obezbe|uju terestri~ka re{enja. Stoga je kombinacija dve tehnike koja koristi njihove prednosti uvek pogodnija od svake tehnike zasebno. O ovoj alternativi govori}emo u narednom poglavlju. Me|utim ovaj argument ne stoji kada je u pitanju satelitsko odre|ivanje GM i J 2 , jer su satelitski odre|ene vrednosti ovih parametara najta~nije vrednosti koje su nam danas dostupne. Satelitski odre|eni geocentri~ni poloàji tako|e se mogu upotrebiti za nalaènje parametara polja teè. Ovaj pristup. koji se moè nazvati satelitskim geometrijskim re{enjem za geoid, odre|uje geoidne visine N kao razlike izme|u geodetskih visina h i ortometrijskih visina H O (podpoglavlje 16.4). Geoidna visina sli~no se moè odrediti ~ak i na moru, kao razlika visine nivoa mora iznad referentnog elipsoida odre|ene satelitskom radarskom altimetrijom (vidi podpoglavlje 19.4) i topografije morske povr{i (podpoglavlje 7.2). Za detalje videti npr. RAPP [1979]. Kada je geoidna visina poznata, ona se moè konvertovati u komponente vertikalskih otklona uz pomo} ideja Vening Majnesa (vidi podpoglavlje 22.1). Konverzija N u ∆g je ne{to komplikovanija. Izraz koji povezuje ∆g sa N dobija se invertovanjem Stouksove formule (22.17), ~ime se dobija [MOLODENSKIJ ET AL., 1960]:

∆g (φ A , λ A ) = −

γ N (φ A , λ A ) R

+

γ M (ψ ) [N (φ , λ ) − N (φ A , λ A )] dν , 4πR ∫∫ E (23.63)

pri ~emu je jezgro jednako:

M (ψ ) = − 14 cosec 3 12 ψ − 3cosψ , a ψ je uglovno rastojanje izme|u ( φ A , λ A ) i ( φ , λ ).

(23.64)

§ 23.4


657

SLIKA 23.5. Jezgro M .

O~igledno je da je konverzija N u ∆g globalni problem kao i konverzija ∆g u N . Sre}om, jezgro M veoma brzo se smanjuje (slika 5), tako da nije neophodno poznavati geoidne visinske razlike za celu Zemljinu kuglu. Anomalije teè mogu se dobiti iz geoidnih visina poznatih za relativno malo podru~je interesovanja [COLEMAN AND MATHER, 1976]. S druge strane, anomalije ∆g variraju mnogo vi{e od N , tako da je proces nestabilan. To se moè videti iz ja~e singularnosti M (ψ ) za ψ = 0 u pore|enju sa npr. Stouksovim jezgrom. Upore|enje satelitskog dinami~kog pristupa sa satelitskim metodama pozicioniranja mreè ta~aka (vidi podpoglavlje 17.3) otkriva da oba matemati~ka modela imaju zajedni~ko to {to koriste opaànu orbitu. Prema tome, pod odre|enim okolnostima ima smisla kombinovano pozicioniranje i odre|ivanje potencijalnih koeficijenata. Takvo kombinovano re{enje opisano je u npr. GAPOSHKIN [1973] ili SEPPELIN [1974]. U zaklju~ku ovog poglavlja pomenimo jo{ jedan koncept ~ija se implementacija danas razmatra. To je satelitska gradiometrija sa trodimenzionalnim akcelerometrom (vidi podpoglavlje 16.1) montiranim na satelitu. Satelitska ubrzanja se registruju akcelerometrom, a onda integri{u sa drugim orbitalnim informacijama kako bi se pobolj{alo poznavanje orbite [CHOVITZ ET AL., 1973].

POGLAVLJE 24

ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ VERTIKALSKIH OTKLONA I RAZNORODNIH PODATAKA

U ovom poglavlju akcenat je stavljen na jednostavni geometrijski koncept odre|ivanja geoidnih visina iz vertikalskih otklona. Nasuprot re{enju opisanom u prethodna dva poglavlja, ovaj pristup je lokalnog ili regionalnog karaktera. Prvo podpoglavlje posve}eno je geometrijskom re{enju za geoidne visine koje se odnose na geodetski, a ne na geocentri~ni referentni elipsoid. Slede}e podpoglavlje sadrì transformacije parametara polja teè sa jednog elipsoida na drugi. Ono tako|e doti~e problem odre|ivanja najboljeg referentnog elipsoida. U tre}em podpoglavlju date su mogu}nosti progu{}enja vertikalskih otklona upotrebom razli~itih dodatnih informacija. Poslednje podpoglavlje sadrì osnovne koncepte kombinovanog re{enja za parametre polja teè iz raznorodnih podataka. 24.1. Geometrijsko re{enje za geoid Ve} je pokazano u podpoglavlju 21.1 da je geoidni vertikalski otklon prosto maksimalni nagib geoida u odnosu na referentni elipsoid. Tako|e smo videli u podpoglavljima 21.3 i 22.2 da se geoidni otkloni mogu dobiti iz povr{inskih otklona korekcijom za krivinu stvarne vertikale izme|u Zemljine povr{i i geoida. Zauzvrat, povr{inski otkloni izvode se iz geodetskih i astronomskih latituda i longituda zajedni~kih ta~aka (vidi (15.84) i (15.85)), pa se zato u praksi nazivaju astrogeodetskim otklonima. Zanemaruju}i za trenutak krivinu vertikale, astronomske koordinate Φ , Λ i geodetske koordinate φ , λ ta~ke na Zemljinoj povr{i pruàju nam sve neophodne informacije o nagibu geoida u toj ta~ki. Pravac otklona poklapa se sa pravcem maksimalnog nagiba (gradijenta), a veli~ina otklona jednaka je veli~ini gradijenta (vidi sliku 1). Nagib ustanovljen na ovaj na~in odnosi se na geodetski referentni elipsoid, na kojeg se odnose i geodetske koordinate. Ako se astronomske koordinate poklapaju sa geodetskim, onda je nagib geoida nula, i geoid je u toj ta~ki paralelan sa geodetskim referentnim elipsoidom. 658

§ 24.1

Geometrijsko re{enje za geoid

659

SLIKA 24.1. Komponente otklona i nagib geoida.

Kao {to smo videli u podpoglavlju 18.1, referentni elipsoid potreban za geodetsko pozicioniranje retko je geocentri~an. Stoga se geoid odre|en iz astrogeodetskih otklona retko kad odnosi na geocentri~ni elipsoid, za razliku od gravimetrijskog (poglavlje 22) i satelitskog geoida (poglavlje 23). Osim toga, po{to je veza izme|u komponenti otklona i geoidne visine strogo lokalna, potrebno je poznavati jedino otklone na podru~ju interesovanja da bi se za to podru~je odredio geoid. Iz otklona se mogu dobiti samo geoidne visinske razlike. Jedna~ina koja povezuje nagib geoida ε u bilo kom pravcu (slika 16.21) sa prira{tajem geoidne visine dN , je uop{tenje jedna~ine (21.18). U skladu sa konvencijom za znake ξ i η , moè se napisati:

ε =−

dN dS

(24.1)

Veza izme|u ε i komponenti otklona data je sa (16.80). Pretpostavimo sada da su poznate komponente otklona du` neke krive na geoidu. Tada se geoidna visinska razlika izme|u krajnjih ta~aka te krive A, B , dobija kao:

660

ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ VERTIKALSKIH OTKLONA I RAZNORODNIH PODATAKA B

B

B

N B − N A = dN = − εdS = − (ξ cos α + η sin α ) dS .

∫

∫

A

§ 24.1

∫

A

(24.2)

A

U praksi su komponente otklona poznate samo u nekim geodetskim kontrolnim ta~kama koje se nazivaju ta~kama otklona, i najbolje {to se moè uraditi je da se dve krajnje ta~ke poveù vlakom ta~aka sa poznatim otklonima, kao {to je to prikazano na slici 2. Geoidna visinska razlika se onda nalazi pribli`nom formulom:

N B − N A = −

n

∑ ε dS i

i

,

(24.3)

i =1

pri ~emu se moè uzeti:

εi =

1 2

[(ξ i−1 + ξ i ) cos α i−1, i + (ηi−1 + ηi ) sin α i−1, i ].

(24.4)

Ovu tehniku prvi je predloìo HELMERT [1880], i ona je poznata kao astrogeodetski nivelman. U jednoj horizontalnoj mreì moè se izabrati niz razli~itih vlakova koji se mogu onda spojiti u mreù, kao {to se to radi u nivelmanskim ili gravimetrijskim mreàma. Astrogeodetska nivelmanska mreà izravnava se zatim tehnikom identi~nom onoj pokazanoj u podpoglavlju 19.2. Za prevo|enje izravnatih geoidnih visinskih razlika u geoidne visine, mora biti poznata geoidna visina barem jedne ta~ke, i to po mogu}stvu ta~ke otklona. Prirodno je za te svrhe uzeti po~etnu ta~ku horizontalne mreè, po{to je njena geoidna visina N 0 poznata po definiciji, i fiksira odstupanje referentnog elipsoida od geoida (podpoglavlje 18.1). Moè se naravno usvojiti i bilo koja druga ta~ka koja ima geoidnu visinu. Primer takvog astrogeodetskog geoida za Ameriku dat je na slici 3 [FISCHER ET AL., 1967]. Ovo re{enje odnosi se na NAD 27 (podpoglavlje 6.4).

SLIKA 24.2. Astrogeodetski nivelmanski vlak.

§ 24.1


661

SLIKA 24.3. U. S. Army Map Service geoid 1967 u odnosu na NAD 27. Izolinije u metrima.

Lako je videti da upotrebom vertikalskih otklona za dobijanje nagiba geoida du` utvr|enih vlakova, nije u potpunosti iskori{}ena sva informacija koju otkloni sadrè. Mnogo pogodnije je nalaènje varijacija geoidnih visina u povr{inskom reìmu pomo}u dvodimenzionalnog pristupa. Takvim pristupom geoidna visina N se izraàva kao funkcija poloàja x, y , gde su x, y npr. koordinate u lokalnom kartezijanskom sistemu definisanom sa (22.65). Geoidna visina N se onda modelira dvodimenzionalnom linearnom formom:

~ ~ N ( x , y ) = Φ T ( x , y ) c + c0 = N ( x , y ) + c0 ,

(24.5)

kori{}enjem bilo kojeg sistema φ od n baznih funkcija. Po{to je poznat nagib geoida u pravcu meridijana ξ i prvog vertikala η , moè se napisati:

− ξ (x, y ) =

∂N (x, y ) = ∂x

∂N (x, y ) − η (x, y ) = = ∂y

n

∑ i =1 n

∑ i =1

∂Φi (x, y ) ci = BξT (x, y )c , ∂x ∂Φi (x, y ) ci = BηT (x, y )c . ∂y

(24.6)

Ovo su linearne jedna~ine opaànja iz kojih se koeficijenti c odre|uju upotrebom MNK regresije (podpoglavlje 14.2) ili kolokacije (podpoglavlje 14.3). Normalne jedna~ine za MNK regresiju, na primer, glase:

662


(B C ξ

−1

ξ

)

BξT + Bη Cη−1 BηT cˆ = − Bξ Cξ−1 ξ − Bη Cη−1 η .

§ 24.1

(24.7)

Ni u ovom slu~aju, kao ni u slu~aju Helmertovog astrogeodetskog nivelmana, nije mogu}e direktno dobiti geoidne visine zbog prirode mernih veli~ina tj. nagiba.

~

Sra~unata povr{ N ( x, y ) proizvoljno je locirana, odnosno ima proizvoljnu vrednost

~ N (0, 0) u po~etku koordinatnog sistema (0, 0) . Apsolutni ~lan povr{i c0 mora se odrediti zasebno. Najjednostavniji na~in da se to uradi je da se c0 odredi iz slede}e jedna~ine:

~ c0 = N 0 − N ( x 0 , y 0 ) ,

(24.8)

gde je N 0 = N ( x 0 , y 0 ) definisana vrednost geoidne visine u po~etnoj ta~ki mreè

~ ~ ( x 0 , y 0 ) , a N ( x 0 , y 0 ) je vrednost sra~unata iz Φ T ( x 0 , y 0 ) c .

Konstrukcija odgovaraju}ih kovarijacionih matrica Cξ , Cη predstavlja zaseban problem. U tu svrhu trebalo bi da se uzmu u obzir gre{ke i astronomskih i geodetskih koordinata (vidi podpoglavlje 15.2 i 18.3). U Americi su standardne devijacije komponenti astrogeodetskih otklona reda 1″ za ta~ke otklona prvog reda i oko 1.5″ za ta~ke otklona drugog reda. Vrednosti standardnih devijacija rastu sa rastojanjem od po~etne ta~ke mreè jer se smanjuje ta~nost geodetskih koordinata φ , λ (vidi (7.1)). Glavni doprinos pojedinim kovarijansama daju kovarijanse geodetskih koordinata koje se mogu dobiti iz kovarijacione matrice izravnatih geodetskih koordinata. Kao primer takvog dvodimenzionalnog re{enja pominjemo sliku 7.17. Ona prikazuje geoid koji se odnosi na NAD 27, i koji je sra~unat MNK regresijom, upotrebom algebarskog polinoma reda 8 ( n = 63 ). Ovo re{enje moè posluìti i kao primer kako astrogeodetsko odre|ivanje geoida degradira sa rastojanjem od po~etne ta~ke mreè. Prema (12.36), kovarijaciona matrica C cˆ ocenjenih geoidnih koeficijenata c data je sa:

(

C cˆ = Bξ Cξ−1 BξT + Bη Cη−1 BηT

)

−1

,

(24.9)

a standardna devijacija izra~unatih geoidnih visina je (uporediti sa (11.17)):

σ Nˆ (x, y ) =

(Φ~

T

~ (x, y )C cˆ Φ (x, y ))

.

(24.10)

§ 24.1


663

SLIKA 24.4. Standardna devijacija astrogeodetskog geoida. Izolinije u metrima.

Standardna devijacija pomenutog geoida data je na slici 4 [VANI~EK AND MERRY, 1973]. Bez obzira koji pristup da se koristi, {to vi{e ima astrogeodetskih otklona u ispitivanom podru~ju to bolje. Da bi dvodimenzionalni pristup dao istu ta~nost kao astrogeodetski nivelman, rastojanje izme|u ta~aka moè da se pove}a pribli`no dvaput [MERRY, 1975]. Treba pomenuti i da analiti~ki dvodimenzionalni pristup ima tu prednost {to nakon ra~unanja koeficijenata geoida c , komponente otklona mogu jednostavno da se odrede pomo}u (6) u bilo kojoj ta~ki ( x, y ). U svakom slu~aju, ova metoda mora se primeniti sa pa`njom. Polje povr{inskih otklona ima vi{e kratkotalasnih karakteristika od geoida zbog zna~ajnog efekta koji topografija ima na povr{inske otklone. Direktna transformacija (ξ , η → N ) rezultuje glatkom povr{i N , dok obrnuti postupak ( N → ξ , η ) ne moè regenerisati detalje u polju otklona. Ovo svojstvo moè se posmatrati kao gla~anje topografskog {uma u otklonima, i kao takvo nije ograni~avaju}e sve dok se otkloni koriste za korigovanje horizontalnih uglova u geodetskim mreàma (vidi podpoglavlje 18.3). Me|utim, za druge primene ovo svojstvo ne mora biti tako bezazleno.

664


§ 24.2

U praksi se korekcija astrogeodetskih otklona za krivinu stvarne vertikale retko primenjuje zbog obimnog numeri~kog ra~unanja. Zanemarivanje ove korekcije zna~i da su upotrebljeni otkloni ustvari povr{inski otkloni θ ′ (vidi 21.1), a ne geoidni otkloni θ . Po{to su povr{inski otkloni numeri~ki bliì otklonima Molodenskog nego geoidnim otklonima, to je i povr{ sra~unata iz povr{inskih otklona blià kvazigeoidu nego geoidu. Ona se dakle moè zna~ajno razlikovati od geoida u planinskim podru~jima kao {to smo videli u podpoglavlju 22.2. Uprkos tome, astrogeodetsko re{enje danas predstavlja najta~niju aproksimaciju stvarnog geoida. Treba ista}i da u geodeziji nije uobi~ajeno transformisati otklone u anomalije teè. To je zbog toga {to se anomalije teè odre|uju direktno iz gravimetrijskih opaànja koja su brà i jeftinija za razliku od opaànja otklona. Ako se ipak pojavi potreba za takvom transformacijom, anomalije se mogu odrediti iz astrogeodetskih undulacija N postupkom opisanom u podpoglavlju 23.4, zajedno sa svim njegovim nedostacima. 24.2. Transformacija parametara polja teè Kao {to smo videli u prethodnom poglavlju, geoidne visine dobijene iz astrogeodetskih otklona odnose se na isti geodetski referentni elipsoid kao i geodetske koordinate upotrebljene u izvo|enju tih otklona. S druge strane, re{enja opisana u poglavljima 22 i 23 odnose se na geocentri~ni elipsoid. Da bi se dva re{enja mogla upore|ivati, neophodna je transformacija N kao i ξ , η , sa jednog elipsoida na drugi. Transformacija ∆g se obi~no ne izvodi, jer nema smisla definisati anomalije teè koje se odnose na geodetski elipsoid. Da bi izveli transformacione jedna~ine, po~nimo sa jedna~inom (15.97). Imaju}i u vidu da je promena latitude δφ = φ 2 − φ1 ekvivalentna promeni komponente otklona po meridijanu − dξ = ξ1 − ξ 2 , promena longitude δλ − δη / cos φ , i promena δh ekvivalentna δN , moè se napisati:

⎡δx E ⎤ ⎡ − δξ ⎤ ⎢ − δη / cos φ ⎥ = − J −1 ⎢δy ⎥ − J −1 B ⎡δa ⎤ − J −1T ⎢δf ⎥ ⎢ E⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣δz E ⎥⎦ ⎢⎣δN ⎥⎦

ekvivalentna

⎡δε x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢δε y ⎥ . ⎢δε ⎥ ⎣ z⎦

Mnoènjem prve komponente sa − 1 i druge sa − cos φ odmah se dobija:

(24.11)

§ 24.2

Transformacija parametara polja teè

⎡δx E ⎤ ⎡δξ ⎤ ⎢δη ⎥ = D ⎡δa ⎤ + E ⎢δy ⎥ + F ⎢δf ⎥ ⎢ E⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣δz E ⎥⎦ ⎢⎣δN ⎥⎦

⎡δε x ⎤ ⎥ ⎢ ⎢δε y ⎥ , ⎢δε ⎥ ⎣ z⎦

665

(24.12)

pri ~emu je sa istim stepenom ta~nosti kao i B, J −1 i T (podpoglavlje 15.4):

⎡ 0 − 2 sin φ cos φ ⎤ ⎢ ⎥ D = ⎢ 0 0 ⎥, 2 ⎢⎣− 1 a sin φ ⎥⎦

(24.13)

⎡− sin φ cos λ/a − sin φ sinλ/a cos φ/a ⎤ ⎢ ⎥ E = ⎢ − sin λ/a cos λ/a 0 ⎥, ⎢⎣ − cos φ cos λ − cos φ sin λ − sin φ ⎥⎦

(24.14)

cos λ ⎡ − sin λ ⎢ F = ⎢sin φ cos λ sin φ sin λ ⎢⎣ 0 0

(24.15)

i:

⎤ ⎥ − cos φ ⎥ . 0 ⎥⎦ 0

Analizom jedna~ine (12) moè se primetiti nekoliko stvari. Prvo, uticaj promene δa veli~ine referentnog elipsoida povezana je samo sa geoidnom visinom a ne i sa komponentama otklona. Drugo, razlika u orijentaciji δε z po z -osi uti~e samo na komponentu η . I na kraju razlike u orijentaciji nemaju uticaj prvog reda na geoidne visine. Ova ~injenica je poznata ve} neko vreme [MERRY AND VANI~EK, 1974B], i svojstvo geoidnih visina da nisu osetljive na promene orijentacije ~ini upore|enje geoida pomenutog u podpoglavlju 18.1, najta~nijom metodom za odre|ivanje translacionih komponenti. Objasnimo sada ovu metodu. Pretpostavimo da su geoidne visine N 1 (φ i , λ i ) koje se odnose na geocentri~ni elipsoid (a1 , f 1 ) poznate u nizu ta~aka (φ i , λ i ) . Ove geoidne visine tipi~no se dobijaju gravimetrijskim, satelitskim ili kombinovanim re{enjem. Pretpostavimo dalje da su za iste ta~ke poznate geoidne visine N 2 (φ i , λ i ) koje se odnose na geodetski elipsoid (a 2 , f 2 ) sa komponentama translacije ( x E 2 , y E 2 , z E 2 ) i orijentacije (ε x 2 , ε y 2 , ε z 2 ) . Ove geoidne visine dobijaju se iz astrogeodetskih otklona. Onda iz jedna~ine (12) sledi:

666


§ 24.2

δN (φ i , λi ) = N 2 (φ i , λi ) − N 1 (φ i , λi ) = −δa + a1sin 2φ i δf − cos φ i cos λi δx E − cos φ i sin λi δy E − sin φ i δz E

= a1 − a 2 − a1sin 2φ i ( f 1 − f 2 ) − cos φ i cos λi x E 2 − cos φ i sin λi y E 2 − sin φ i z E 2 , (24.16) pri ~emu uglovi orijentacije o~igledno nisu prisutni. Jedna~ina (16) je linearna jedna~iina opaànja koja povezuje nepoznate translacione komponente sa poznatim opaànim geoidnim visinskim razlikama. Direktna primena metode najmanjih kvadrata onda daje ocene translacionih komponenti. U praksi se moè dogoditi da je me|usobni poloàj dva datuma za koje traìmo transformaciju otklona i geoidnih visina, poznat samo u zajedni~koj po~etnoj ta~ki ( φ 0 , λ0 , h0 ). Pretpostavimo radi jednostavnosti da je svaki datum pozicioniran i orijentisan u odnosu na CT sistem pomo}u skupa topocentri~nih parametara φ 0 , λ0 , α 0 , ξ 0 , η 0 , h0 , od kojih su prva tri zajedni~ka, a poslednja tri se razlikuju za

δξ 0 , δη 0 , δN 0 . Da li se transformacione jedna~ine uvek mogu formulisati? Mogu,

ali samo ako se razlike u orijentaciji ili razlike u translaciji smatraju zanemarljivo malim. Da bi formulisali transformacione jedna~ine, postupamo na slede}i na~in. Prvo se pi{e jedna~ina (12) za po~etnu ta~ku:

⎡δε x ⎤ ⎡δξ 0 ⎤ ⎡δx E ⎤ ⎡δa ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δη 0 ⎥ = D0 ⎢δf ⎥ + E 0 ⎢δy E ⎥ + F0 ⎢δε y ⎥ , ⎣ ⎦ ⎢δε ⎥ ⎢⎣δN 0 ⎥⎦ ⎢⎣δz E ⎥⎦ ⎣ z⎦

(24.17)

pri ~emu indeks 0 zna~i da se matrice nalaze za ( φ 0 , λ0 ). Sada se jedna~ina (12) mnoì sa E −1 , jedna~ina (17) sa E 0−1 , oduzima se (17) od (12) i rezultat mnoì sa E . Na taj na~in dobija se:

⎡δξ 0 ⎤ ⎡δξ ⎤ ⎢δη ⎥ = EE −1 ⎢δη ⎥ + D − EE −1 D 0 ⎢ 0⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣δN 0 ⎥⎦ ⎢⎣δN ⎥⎦

(

)

⎡δa ⎤ −1 ⎢δf ⎥ + F − EE0 F0 ⎣ ⎦

(

)

⎡δε x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢δε y ⎥ , ⎢δε ⎥ ⎣ z⎦ (24.18)

§ 24.2

Transformacija parametara polja teè

667

pri ~emu su sve veli~ine poznate osim razlika orijentacije, tako da se jedna~ina moè upotrebiti samo ako se te razlike mogu smatrati zanemarljivim. Prepu{ta se ~itaocu da dokaè da vaì i slede}a jedna~ina:

⎡δξ 0 ⎤ ⎡δξ ⎤ ⎢δη ⎥ = FF −1 ⎢δη ⎥ + D − FF −1 D 0 ⎢ 0 ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣δN 0 ⎥⎦ ⎢⎣δN ⎥⎦

(

)

⎡δa ⎤ −1 ⎢δf ⎥ + E − FF0 E 0 ⎣ ⎦

(

)

⎡δx E ⎤ ⎥ ⎢ ⎢δy E ⎥ . ⎢⎣δz E ⎥⎦ (24.19)

Ova jedna~ina se moè upotrebiti ako se razlike translacije mogu smatrati zanemarljivim. U zaklju~ku ovog podpoglavlja pokaza}emo kako se parametri polja teè koriste za odre|ivanje parametara najboljeg horizontalnog datuma (podpoglavlje 15.4). Iako su razlozi za upotrebu najboljeg elipsoida uglavnom nestali, njegovo odre|ivanje predstavlja ilustrativni problem. Najbolji elipsoid se moè traìti na dva na~ina, minimalizacijom kvadrata geoidnih visina ili minimalizacijom kvadrata vertikalskih otklona u podru~ju istraìvanja. Obratimo pa`nju na prvi pristup, koji zahteva da bude ispunjen uslov: n

min

a , f , xE , y E , zE

∑ N (φ , λ ) 2

i

i

(24.20)

i =1

Ozna~avaju}i parametre postoje}eg elipsoida indeksom 1, iz (16) se dobija:

N (φ i , λi ) = N 1 (φ i , λ i ) + a1 − a − a1sin 2φ i ( f 1 − f ) + cos φ i cos λ i (x E1 − x E )

+ cos φ i cos λ i ( y E1 − y E ) + sin φ i (z E1 − z E ) , i = 1, ..., n . (24.21) Ove linearne jedna~ine opaànja zajedno sa uslovom (20) daju MNK ocene parametara najboljeg elipsoida a, f , x E , y E , z E . Jasno je da ako se koriste otkloni umesto geoidnih visina, mogu da se dobiju sli~ne jedna~ine opaànja, pri ~emu je uslov minimuma dat sa (7.20). Problem nastaje zato {to se na taj na~in ne moè odrediti velika poluosa a . Treba tako|e ista}i da za razliku od najboljeg globalnog geocentri~nog elipsoida (podpoglavlje 7.3), dva uslova minimuma ovde daju dva razli~ita skupa parametara, pa }e u op{tem slu~aju dva najbolja elipsoida biti razli~ita.

668


§ 24.3

Najbolji horizontalni datum moè se tako|e traìti i u funkciji topocentri~nih pozicionih parametara (podpoglavlje 15.4), tj. u vidu a , f , ξ 0 , η 0 , N 0 . U tom slu~aju koristi se (18) ili (19). U ovom pristupu treba o~ekivati visoku korelaciju izme|u a i N 0 . Odre|ivanje najboljeg geocentri~nog elipsoida konceptualno se ne razlikuje od geodetskog elipsoida. Ali po{to je spljo{tenost poznata sa visokom ta~no{}u iz satelitskog pra}enja, a komponente translacije jednake su nuli po definiciji, u tom slu~aju jedino velika poluosa a predstavlja traènu veli~inu. Na kraju treba napomenuti da je neprakti~no odre|ivati orijentacije geodetskog elipsoida u odnosu na CT sistem pomo}u parametara polja, jer oni nisu osetljivi na male uglovne promene. Ovo svojstvo smo ve} upoznali, a moè se objasniti ~injenicom da je elipsoid odgovaraju}e spljo{tenosti ustvari veoma blizak sferi. Uglovi orijentacije najbolje se odre|uju metodama pomenutim u podpoglavlju 17.4. 24.3. Progu{}enje i pobolj{anje vertikalskih otklona U podpoglavlju 22.3 ve} je pomenuto da je za pojedine primene potrebno progustiti pokrivenost podataka teè. Isto vaì i za vertikalske otklone. U mnogim oblastima ta~ke otklona su ili geografski suvi{e udaljene, ili otkloni nisu poznati sa dovoljnom ta~no{}u. U ovom podpoglavlju pokaza}emo razli~ite koncepte predikcije otklona pomo}u dodatnih spolja{njih informacija. Obratimo prvo pa`nju na mogu}nost progu{}enja astrogeodetskih otklona. Najo~igledniji pomo}ni podaci koji se mogu u tom smislu upotrebiti su anomalije teè. One su najjeftiniji direktno merljivi parametri polja teè, i ~esto su dostupne u odgovaraju}im koli~inama. Kao {to smo videli, za bilo koju ta~ku moè se odrediti geoidni otklon koji se odnosi na elipsoid pomo}u jedna~ine (22.24), koja zahteva poznavanje anomalija teè po celoj Zemljinoj kugli. Ovi otkloni, koje }emo nazivati gravimetrijskim otklonima, mogu se konvertovati u otklone koji se odnose na geodetski referentni elipsoid pomo}u (12), (18) ili (19). Ovi se dalje mogu korigovati za uticaj krivine stvarne vertikale, kako bi se dobili povr{inski otkloni kompatibilni sa astrogeodetskim otklonima. Problemi sa ovim pristupom su mnogobrojni. Prvo, gravimetrijski otkloni nemaju veliku ta~nost. Iako njihove lokalne varijacije mogu biti sasvim realne, dugotalasne karakteristike su obi~no pomerene zbog nehomogene globalne pokrivenosti podacima teè. Drugo, me|usobni poloàj dva uklju~ena elipsoida moè biti nedovoljno poznat. Tre}e, ra~unanje gravimetrijskih otklona podrazumeva primenu korekcije za indirektni efekat (podpoglavlje 22.1). Kona~no, ra~unanje korekcije za krivinu uvek je mukotrpno. Iz ovih razloga MOLODENSKIJ ET AL. [1960] je predloìo

§ 24.3

Progu{}enje i pobolj{anje vertikalskih otklona

669

ne{to jednostavniju alternativu baziranu na slede}oj proceni: kada se za malo podru~je sra~unaju gravimetrijski otkloni, efekat udaljenih anomalija teè varira veoma slabo od ta~ke do ta~ke. Stoga, ako se Vening Majnesova integracija (22.24) izvede za dovoljno veliku okolinu podru~ja istraìvanja od npr. nekoliko stotina kilometara, dobi}e se nekompletni gravimetrijski otkloni koji se od ta~nih razlikuju za skoro konstantni iznos. Isto tako, za malo podru~je }e korekcije gravimetrijskih otklona za razliku dva elipsoida i za indirektni efekat biti prakti~no konstantne. Za bilo koje dve susedne ta~ke otklona, sumarni uticaj pomenuta tri izvora moè se smatrati linearnim, i pojavljuje se situacija prikazana na slici 5. îtalac lako moè proveriti da je veza izme|u projektovanih nekompletnih gravimetrijskih otklona ε i i projektovanih povr{inskih otklona ε ′ , uzetih u vertikalnoj ravni koja sadrì dve ta~ke otklona PA , PB :

ε ′ = ε i − (ε iA − ε ′A ) +

S (ε iA − ε ′A − ε iB − ε B′ ) . S AB

(24.22)

Da bi se povr{inski otkloni ε ′ prognozirali gornjom formulom, astrogeodetski otkloni ε ′A , ε B′ moraju biti poznati. Opisana prognoza du` prave linije koja povezuje dve ta~ke otklona ima istu redukciju dimenzionalnosti kao Helmertov astrogeodetski nivelman. Pogodnije je dakle koristiti dvodimenzionalnost obe vrste otklona, i modelirati njihove razlike pomo}u ravni ili glatke povr{i nièg reda. Takva povr{ se naravno koristi za podru~je koje ima nekoliko ta~aka otklona, a ne za liniju koja povezuje samo dve ta~ke otklona. Situacija je shematski prikazana na slici 6, na kojoj θ ′ ozna~ava astrogeodetski, a θ i nekompletni gravimetrijski otklon. Izolinije povr{i razlika su isprekidane linije.

SLIKA 24.5. Predikcija povr{inskih otklona.

670


§ 24.3

SLIKA 24.6. Razlike izme|u astrogeodetskih i nekompletnih gravimetrijskih otklona.

Odre|ivanje povr{i razlika podrazumeva regresione jedna~ine sli~ne jedna~inama (6), s tom razlikom {to se umesto ξ , η koriste razlike ξ ′ − ξ i i η ′ − ηi . Primer ovog dvodimenzionalnog pristupa sa prostom regresijom dat je na slici 6.22, na kojoj su neki otkloni, naro~ito na moru, bili prognozirani. Treba napomenuti da u tom primeru astrogeodetski otkloni nisu bili redukovani na geoid zbog male visine ispitivanog podru~ja. âk i tada je ta~nost prognoziranih otklona veoma dobra. Ako je pokrivenost astrogeodetskim otklonima dovoljno gusta, sa rastojanjima izme|u ta~aka manjim od recimo 50km, standardna devijacija prognoziranih otklona je samo malo ve}a od standardne devijacije originalnih astrogeodetskih otklona [MERRY AND VANI~EK, 1974C]. Tehnika MNK kolokacije tako|e se moè upotrebiti, i to zasebno ili zajedno sa regresijom, daju}i veoma dobre rezultate [TSCHERNING AND FORSBERG, 1978]. Treba napomenuti da po{to su povr{inski otkloni u odre|enoj meri korelisani sa anomalijama masa podpovr{inskih slojeva (podpoglavlje 6.4), tj. sa reljefom, poznavanje topografije i podpovr{inskih gustina moè da se upotrebi za predikciju lokalnih otklona. Poku{aji te vrste mogu se na}i u npr. HELMERT [1900] i FISCHER [1974]. Inercijalni pozicioni sistemi u posebnom reìmu rada tako|e mogu meriti varijacije komponenti povr{inskih otklona du` putanje koja povezuje dve ta~ke otklona. Ta~nost otklona progu{}enih na ovaj na~in iznosi oko 1″ [GREGERSON, 1980]. Jeftini izvor podataka o geoidnim otklonima predstavljaju satelitski potencijalni koeficijenti (vidi (23.62)) korigovani za gravitacioni efekat atmosfere (vidi

§ 24.3

Progu{}enje i pobolj{anje vertikalskih otklona

671

podpoglavlje 9.4). Ovako odre|eni otkloni suvi{e su glatki da bi bili korisni za geodetsku primenu kao {to smo to videli u poglavlju 23. Terestri~ke anomalije teè me|utim mogu da se upotrebe za odre|ivanje detaljne strukture polja. Postoji nekoliko metoda takvog pobolj{anja geoidnih otklona. (a) Prvo, satelitski izvedeni geoidni otkloni mogu se sra~unati u gridu odgovaraju}e rezolucije. Ovi otkloni predstavljaju dugotalasnu komponentu, i igraju istu ulogu kao {to su igrali astrogeodetski otkloni u ve} pominjanom progu{}avanju povr{inskih otklona, tako da je postupak identi~an. (b) Alternativno, satelitski izvedeni potencijalni koeficijenti nièg reda mogu se kombinovati sa potencijalnim koeficijentima vi{eg reda izvedenim iz anomalija teè (uporedi sa (22.8)). Zbog globalne ortogonalnosti sfernih harmonika (uporedi sa (20.37)), ova dva skupa su statisti~ki nezavisna, i mogu se tretirati zajedno pod uslovom da se odnose na isti geocentri~ni elipsoid. Rezultuju}i skup potencijalnih koeficijenata se onda konvertuje u geoidne otklone pomo}u (23.62). Situacija je prikazana na slici 7. (c) Interesantnu alternativu razvio je LACHAPELLE [1978] upotrebom satelitski izvedenih potencijalnih koeficijenata kojima je sra~unao dugotalasni deo geoidnih otklona (23.62). Ovaj deo je zatim kombinovao sa kratkotalasnim delom dobijenim iz anomalija teè upotrebom Vening Majnesove formule i MNK kolokacije i sa astrogeodetskim otklonima. Ta~nost ovako pobolj{anih otklona je izme|u 1.0″ i 1.5″. Vi{e o ovoj vrsti pristupa bi}e re~eno u podpoglavlju 24.4.

SLIKA 24.7. Pobolj{anje geoidnih otklona.

672


§ 24.4

24.4. Re{enje za geoid iz raznorodnih podataka U prethodnim podpoglavljima ovog dela videli smo da se geoidne visine mogu odrediti ili direktno iz opaànja (podpoglavlje 23.4), ili izvesti iz drugih parametara polja teè (iz ∆g u podpoglavlju 22.1 i 22.2, iz satelitski odre|enih potencijalnih koeficijenata u podpoglavlju 23.4 i iz ξ , η u podpoglavlju 24.1). Ova odre|ivanja nisu ekvivalentna. (a) Videli smo da gravimetrijsko re{enje ( ∆g → N ) obezbe|uje dobre lokalne detalje, ali je zato dugotalasni sadràj pomeren zbog nepravilne raspodele gravimetrijskih opaànja na Zemljinoj povr{i. (b) Satelitsko re{enje ( T → N ) ima nepomerene i homogene dugotalasne karakteristike, ali nema detaljnost. (c) Astrogeodetsko re{enje ( ξ , η → N ) bazira se na retkim podacima o otklonima, pa je i geoid dobijen iz direktno merenih geoidnih visina takav. Osim toga, ta~nost astrogeodetskog re{enja nije homogena, ve} se smanjuje sa pove}anjem rastojanja od po~etne ta~ke geodetske horizontalne mreè. Ove ~injenice sugeri{u da bi trebalo koristiti kombinaciju razli~itih vrsta podataka, kao {to je to ura|eno u podpoglavlju 24.3 za slu~aj komponenti otklona. Odgovaraju}om kombinacijom raznih vrsta podataka, odnosno kori{}enjem bolje globalne homogenosti jedne vrste i vi{e lokalne ta~nosti druge vrste, mogu}e je pobolj{ati kvalitet rezultata. Postoje brojni na~ini kombinovanja podataka i bilo bi nemogu}e ~ak i da se nabroje ovde, zbog ~ega }emo samo ista}i koncepte i opisati neke od popularnijih mogu}nosti. Kada je geoid potreban samo za pozicioniranje (vidi podpoglavlje 16.2), najpogodnije je direktno odre|ivati geoidne visine koje se odnose na lokalni geodetski referntni elipsoid. U tom slu~aju su astrogeodetski otkloni i direktno odre|ene geoidne visine iznad geodetskog referentnog elipsoida prirodni osnovni podaci za tu svrhu. Oni se mogu kombinovati sa, na primer, progu{}enim otklonima odre|enim gravimetrijski (podpoglavlje 24.3). U ovoj kombinaciji otklanja se dugotalasna pomerenost gravimetrijskog re{enja, dok se istovremeno diskretne vrednosti astrogeodeskih otklona odgovaraju}e premo{}uju. Geoid sra~unat iz kombinovanih otklona po postupku istaknutom u podpoglavlju 24.1, poznat je pod imenom astrogravimetrijski geoid. Primer takvog geoida bio je prikazan na slici 6.15 [MERRY AND VANI~EK, 1974C].

§ 24.4

Re{enje za geoid iz raznorodnih podataka

673

Astrogravimetrijski geoid mogao je naravno biti sra~unat i drugim pristupima. Ako se na primer geoid traì u linearnoj formi (uporedi sa (5)), onda se mogu odrediti dva skupa koeficijenata, jedan iz normalnih jedna~ina (7) dobijenih iz astrogeodetskih otklona, i drugi iz normalnih jedna~ina (22.91) formulisanih za anomalije teè. Pomerenost gravimetrijskog odnosno parcijalnog gravimetrijskog re{enja mora se ukloniti upotrebom povr{i razlika, sli~noj onoj upotrebljenoj za uklanjanje pomerenosti nekompletnih gravimetrijskih otklona i opisanoj u podpoglavlju 24.3. Uticaj udaljenih anomalija teè na geoidne visine ne smanjuje se tako brzo kao za otklone. Zbog toga integracija u Stouksovoj formuli mora pokrivati {ire podru~je nego integracija u Vening Majnesovim formulama, i jezgro u (22.92) treba da se bazira na Stouksovoj a ne na Vening Majnesovoj funkciji. Treba napomenuti da ako je geodetski referentni elipsoid pozicioniran u okviru Zemlje pomo}u satelitski odre|enih koordinata ta~aka (vidi podpoglavlje 18.1), tada postaje prirodnije da se direktno odre|ene geoidne visine u ovim ta~kama upotrebe kao osnovni podaci. U tom slu~aju se sistematska pomerenost geoidnih visina odre|enih iz nekog drugog izvora efikasno uklanja njihovim {to je mogu}e boljim uklapanjem u direktno odre|ene geoidne visine. Preostala sistematska pomerenost u rezultuju}im geoidnim visinama postaje konzistentna sa pomereno{}u poloàja geodetskog elipsoida, i vi{e nema negativni efekat na ra~unanja poloàja. Ni{ta nas naravno ne spre~ava da upotrebimo i dodatne vrste podataka u ra~unanju geoida koji se odnosi na geodetski referentni elipsoid, ukoliko su ti podaci dostupni. Kada se traè geoidne visine koje se odnose na geocentri~ni elipsoid najpopularniji izbor podataka za te svrhe predstavljaju satelitski izvedeni potencijalni koeficijenti korigovani za efekat atmosfere, i terestri~ke anomalije slobodnog vazduha. To je ista ona kombinacija koja se koristi i za odre|ivanje geoidnih vertikalskih otklona (podpoglavlje 24.3). U ovom pristupu, korigovani potencijalni koeficijenti ′ (T ), K nm ′ (T ) do stepena l , koriste se da defini{u referentni sferoid stepena l J nm (podpoglavlje 7.2). Njegove sferoidne visine N l definisane su sa (23.61). Onda se moè pisati:

N (φ , λ ) = − R

∑ ∑ [(J ′ (T ) − J ) cos mλ + K ′ (T ) sin mλ ]P (sin φ ) l

n

nm

N nm

nm

nm

n = 2 m =0

−R

∑ ∑ [(J (T ) − J ) cos mλ + K (T ) sin mλ ]P (sin φ ) ∞

n

nm

N nm

nm

nm

n =l +1 m = 0

= N l (φ , λ ) + δN l (φ , λ ) , (24.23)

674


§ 24.4

gde se potencijalni koeficijenti J nm (T ), K nm (T ) od stepena l + 1 pa navi{e nalaze iz terestri~kih anomalija teè upotrebom (22.8) i mnoènjem sa − a / (GM ) (vidi podpoglavlje 20.3). Interesantno je da kao posledica ortogonalnosti sfernih harmonika koeficijenti J nm (∆g ), K nm ( ∆g ) ostaju isti kada se bilo koja linearna kombinacija ~lanova

(a ij cos jλ + bij sin jλ ) Pij (sin φ ) , za i ≠ n i j ≠ m doda anomalijama ∆g . Ovo

svojstvo se moè iskoristiti da se dobiju najmanje apsolutne anomalije teè, i na taj na~in maksimalno olak{a nalaènje potencijalnih koeficijenata. O~igledno je da se najmanje apsolutne vrednosti dobijaju oduzimanjem korigovanih, satelitski odre|enih harmonijskih komponenti nièg reda anomalijskog polja dobijenih iz (23.60). Sledi:

δ∆g l = ∆g −

GM R2

∑ (n − 1)∑ [(J nm′ (T ) − J nmN ) cos mλ l

n

n=2

m=0

′ (T ) sin mλ ] Pnm (sin φ ) + K nm

(24.24)

l

= ∆g − ∆g . Za n > l imamo naravno:

(

)

(

)

J nm (∆g ) = J nm δ∆g l , K nm (∆g ) = K nm δ∆g l .

(24.25)

êsto je poèljno da se geoidne visine δN l koje se odnose na referntni sferoid stepena l , izraze u zatvorenom obliku. Transformacija drugog reda u formuli (23) u zatvoreni oblik moè se izvesti slede}i Stouksov pristup (vidi podpoglavlje 22.1), ~ime se dobija:

δN l =

R 4πγ 0

∫∫

∞

2n + 1 Pn (cos ψ ) dv . n =l +1 n − 1

∆g (φ , λ )

E

∑

(24.26)

Prvo, prime}ujemo da po{to je ova formula ekvivalentna drugom redu u formuli (23), ona mora dati identi~an rezultat δN l ako se δ∆g l zameni umesto ∆g . Dalje, red u formuli (26) moè se tako|e napisati i u kona~nom obliku (vidi (22.15)), kao:

S l (ψ ) = S (ψ ) −

l

2n + 1 Pn (cos ψ ) , n=2 n − 1

∑

(24.27)

§ 24.4

Re{enje za geoid iz raznorodnih podataka

675

gde je S (ψ ) Stouksova funkcija. Mi }emo S l (za koje je naravno S 2 = S ) zvati sferoidnom Stouksovom funkcijom. Formula za geoidnu visinu iznad referentnog sferoida stepena l onda glasi:

δN l =

R

∫∫ δ∆g (φ , λ ) S (ψ ) dv . l

4πγ 0

l

(24.28)

E

Neke sferoidne Stouksove funkcije prikazane su na slici 8, prema WONG AND GORE [1969]. Detaljniji tretman ovih funkcija moè se na}i u LACHAPELLE [1977]. Sferoidne Stouksove funkcije teè nuli brè nego elipsoidne Stouksove funkcije. [to je ve}i stepen referentnog sferoida, brà je konvergencija. Zna~aj brè konvergencije ogleda se u tome {to se uticaj udaljenih anomalija smanjuje sa pove}anjem l , tako da integracija u (28) ne mora da se izvodi na {irokom podru~ju. Ovaj rezultat samo potvr|uje dobro poznato pona{anje veli~ine δN l . Po{to su dve komponente ovako odre|enog N statisti~ki nezavisne, varijansa veli~ine N jednaka je zbiru varijansi od N l i δN l . U kombinovanim re{enjima mora se uzeti u obzir indirektni efekat anomalija slobodnog vazduha (podpoglavlje 22.1). Kao {to je konstatovano u podpoglavlju 24.3, povr{ razlika upotrebljena u prvoj kombinovanoj metodi koju smo opisali, uklanja sistematsku pomerenost koja poti~e od indirektnog efekta. U drugoj kombinovanoj metodi imaju zna~aja samo komponente indirektnog efekta vi{e frekvencije ( n > l ). Sre}om, izgleda da je ve}i deo indirektnog efekta skoncentrisan u niskofrekventnom opsegu.

SLIKA 24.8. Sferoidne Stouksove funkcije.

676


§ 24.4

SLIKA 24.9. GEM 10 u Kanadi. Izolinije u metrima.

I ostale vrste podataka mogu se koristiti zajedno sa satelitski izvedenim potencijalnim koeficijentima i terestri~kim gravimetrijskim podacima. Ostavlja se ~itaocu da razvije matemati~ke modele za takve kombinacije. Zaklju~imo ovo poglavlje konstatacijom da smo na slici 6.16 ve} videli jedno re{enje za geoid, izvedeno iz satelitskih i terestri~kih podataka polja teè [VINCENT ET AL., 1972]. Novije re{enje izvedeno u Goddard Space Flight Center [LERCH ET AL., 1977], poznato kao GEM 10, prikazano je na slici 9 prema LACHAPELLE [1980]. Ono se odnosi na srednji Zemljin elipsoid sa parametrima a = 6 378 135 m i f = 1 / 298.257 .

DEO V

LITERATURA

ABRAMOWITZ, M. AND I.A. STEGUN (EDS.) (1964). Handbook of Mathematical Functions. Dover reprint, 1965. BALMINO, G. (1972). Representation of the earth potential by buried masses. Proc. 3rd International Symposium on the Use of Artificial Satellites for Geodesy, Eds. S.W. Henriksen, A. Mancini and B.H. Chovitz. AGU, NOAA, Washington, D.C., U.S.A., April, 1971. American Geophysical Union Monograph 15, pp. 121-124. BJERHAMMAR, A. (1963). A new theory of gravimetric geodesy. Geodesy Division Report of the Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden. BODEMÜLLER, H. (1957). Beitrag zur Schwerekorrektion geometrischer Nivellements. Deutsche Geodätische Kommission, Reihe A, Höhere Geodäsie, Heft Nr. 26, Munich, Germany. BOMFORD, G. (1971). Geodesy. 3rd ed., Oxford University Press. BRUNS, H. (1878). Die Figur der Erde. Publication des Königlichen Preussischen Geodätischen Institutes, Berlin, Germany. CAPUTO, M. (1967). The Gravity Field of the Earth. Academic Press. CHOVITZ, B., J. LUCAS AND F. MORRISON (1973). Gravity gradients at satellite altitudes. NOAA Technical Report NOS 59, U.S. Department of Commerce, Rockville, U.S.A. COLEMAN, R. AND R.S. MATHER (1976). Computational procedures for the use of the inverse of Stokes' operator. Department of Geodesy, Unisurv No. G24, University of New South Wales, Sydney, Australia, pp. 123-139. DEPARTMENT OF ENERGY, MINES AND RESOURCES (1977). Personal communication. Gravity Division, Earth Physics Branch, Ottawa, Canada. DE SITTER, W. (1924). On the flattening and the constitution of the earth. Bull. Astr. Inst. Neth. 55. ESPOSITO, P.B. AND A.T.Y. NG (1976). Geocentric gravitational constant determined from spacecraft radiometric data. Phys. of the Earth and Planetary Interiors 12, pp. 283-289. FALLER, J.E. (1965). An absolute interferometric determination of the acceleration of gravity. Bull. Géod. 77, pp. 203-204. FISCHER, I. (1974). Deflections at sea. J. Geophys. Res. 79 (14), pp. 2123-2128. FISCHER, I., M. SLUTSKY, R. SHIRLEY AND P. WYATT (1967). Geoid charts of North and Central America. U.S. Army Map Service Technical Report 62, Washington, D.C., U.S.A. FORWARD, R.L. (1974). Review of artificial satellite gravity gradiometer techniques for geodesy. Proc. International Symposium on the Use of Artificial Satellites for Geodesy and Geodynamics, Ed. G. Veis. IAG, COSPAR, Athens, Greece, May, 1973. National Technical University, pp. 157-192. GAPOSHKIN, E.M. (1973). 1973 Smithsonian standard earth (III). Smithsonian Astrophysical Observatory Special Report 353, Cambridge, U.S.A. GAPOSHKIN, E.M. AND K. LAMBECK (1970). 1969 Smithsonian standard earth (II). Smithsonian Astrophysical Observatory Special Report 315, Cambridge, U.S.A. GOODKIND, J.M. (1978). High precision tide spectroscopy. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, An International Symposium on the Applications of Geodesy and Geodynamics, Ed. I.I. Mueller. IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 309-311. GREGERSON, L.F. (1979). Personal communication.

677

678

LITERATURA, DEO V

GREGERSON, L.F. (1980). Personal communication. GROTEN, E. AND H. MORITZ (1964). On the accuracy of geoid heights and deflections of the vertical. Department of Geodetic Science Report 38, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. HAYFORD, J.F. AND W. BOWIE (1912). The effect of topography and isostatic compensation upon the intensity of gravity. U.S. Coast and Geodetic Survey Report 10, Washington, D.C., U.S.A. HEISKANEN, W.A. (1938). New isostatic tables for the reduction of the gravity values calculated on the basis of Airy's hypothesis. Publications of the Isostatic Institute of the IAG, No. 2, Helsinki, Finland. HEISKANEN, W.A. (1957). The Columbus geoid. EOS, Trans. Am. Geophys. Union 38 (6), pp. 841-848. HEISKANEN, W.A. AND H. MORITZ (1967). Physical Geodesy. Freeman. HEISKANEN, W.A. AND E. NISKANEN (1941). World maps for the indirect effect of the undulations of the geoid on gravity anomalies. Publications of the Isostatic Institute of the IAG, No. 7, Helsinki, Finland, reprinted from Annales Academiae Scientiarum Fennicae Ser. A 57 (4). HEISKANEN, W.A. AND F.A. VENING MEINESZ (1958). The Earth and its Gravity Field. McGraw-Hill. HELMERT, F.R. (1880). Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie. Vol. I., Minerva G.M.B.H. reprint, 1962. HELMERT, F.R. (1900). Zur Bestimmung kleiner Flächenstücke des Geoides aus Lotabweichungen mit Rücksicht auf Lotkrümmung. Sitzungsberichte Preuss. Akad. Wiss., Berlin, Germany. HIRVONEN, R.A. (1960). New theory of the gravimetric geodesy. Publications of the Isostatic Institute of the IAG, No. 32, Helsinki, Finland. HIRVONEN, R.A. (1962). On the statistical analysis of gravity anomalies. Publications of the Isostatic Institute of the IAG, No. 37, Helsinki, Finland. HOBSON, E.W. (1931). The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics. Cambridge University Press. HOCHSTADT, H. (1964). Differential Equations. Dover reprint, 1975. INTERNATIONAL ASSOCIATION OF GEODESY (1971). Geodetic Reference System, 1967. IAG Special Publication No. 3, Paris, France. INTERNATIONAL ASSOCIATION OF GEODESY (1974). The international gravity standardization net, 1971. Special Publication No. 4, Paris, France. INTERNATIONAL UNION OF GEODESY AND GEOPHYSICS (1976). IUGG Chronicle. No. 108, Paris, France. JEKELI, C. (1980). Reducing the error of geoid undulation computations by modifying Stokes's function. Department of Geodetic Science Report 301, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. KAULA, W. (1959). Statistical and harmonic analysis of gravity. J. Geophys. Res. 64, pp. 2401-2421. KAULA, W. (1962). Celestial geodesy. In Vol. 9 of Advances in Geophysics, Eds. H.E. Landsberg and J. van Mieghem. Academic Press, pp. 192-293. KAULA, W. (1963). Determination of the earth's gravitational field. Rev. Geophys. and Space Phys. 1 (4), pp. 507-551. KAULA, W. (1966). Theory of Satellite Geodesy: Applications of Satellites to Geodesy. Blaisdell. KING-HELE, D.G. (ORGANIZER) (1967). A discussion on orbital analysis. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 262. KOBOLD, F. AND E. HUNZIKER (1962). Communication sur la courbure de la verticale. Bull. Géod. 65, pp. 265-267. KOCH, K.R. AND F. MORRISON (1970). A simple layer model of the geopotential from a combination of satellite and gravity data. J. Geophys. Res. 75, pp. 1483-1492. KOUBA, J. (1979). Personal communication. Geodetic Survey of Canada, Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Canada. KOVALEVSKY, J. (1967). Introduction to Celestial Mechanics. Vol. 7 in "Astrophysics and Space Science Library". Translated by Express Translation Service. Springer/Reidel. KRARUP, T. (1973). On potential theory. Danish Geodetic Institute Report No. 6, Copenhagen, Denmark. LACHAPELLE, G. (1977). Physical geodesy research at the Geodetic Survey of Canada. Proc. Symposium of the Geophysics Commission of the Pan American Institute of Geography and History, Eds. J.G. Tanner and M.R. Dence. Ottawa, Canada, September, 1976. Publication of the Earth Physics Branch, Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Vol. 46, No. 3, pp. 121-135.

LITERATURA, DEO V

679

LACHAPELLE, G. (1978). Estimation of the geoid and deflection components in Canada. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 103-116. LACHAPELLE, G. (1980). Redefinition of Canadian geodetic networks. Geodetic Seminar on the Impact of Redefinition and New Technology on the Surveying Profession. Geodesy and Control Surveys Committee of the CIS, Ottawa, Canada. LAMBECK, K., A. CAZENAVE AND G. BALMINO (1974). Solid earth and ocean tides estimated from satellite orbit analysis. Rev. Geophys. and Space Phys. 12 (3), pp. 421-434. LAMBERT, W.D. (1930). The reduction of observed values of gravity to sea level. Bull. Géod., 26, pp. 107181. LAMBERT, W.D. AND F.W. DARLING (1936). Tables for determining the form of the geoid and the indirect effect on geodesy. U.S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 199, Washington, D.C., U.S.A. LERCH, F.J., S.M. KLOSKO, R.E. LAUBSCHER AND C.A. WAGNER (1977). Gravity model improvement using GEOS-3 (GEM 9 and 10). Goddard Space Flight Center Report X-921-77-246, Greenbelt, U.S.A. LEVALLOIS, J.J. (1970). Géodésie Génerale. Vol. III, Eyrolles. MACMILLAN, W.D. (1930). The Theory of the Potential. Dover reprint, 1958. MACMILLAN, W.D. (1936). Dynamics of Rigid Bodies. Dover reprint, 1960. MATHER, R.S. (1973). A solution of the geodetic boundary value problem to order e 3. Goddard Space Flight Center preprint X-592-73-11, Greenbelt, U.S.A. MCCULLOH, T.H. (1965). A confirmation by gravity measurements of an underground density profile based on core densities. Geophysics XXX (6), pp. 1108-1132. MERRY, C.L. (1975). Studies towards an astrogravimetric geoid for Canada. Department of Surveying Engineering Technical Report 31, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. MERRY, C.L. AND P. VANÍÊK (1974a). A method for astrogravimetric geoid determination. Department of Surveying Engineering Technical Report 27, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. MERRY, C.L. AND P. VANÍÊK (1974b). The geoid and datum translation components. Canad. Surv. 28 (2), pp. 56-62. MERRY, C.L. AND P. VANÍÊK (1974c). A technique for determining the geoid from a combination of astrogeodetic and gravimetric deflections. Canad. Surv. 28 (5), pp. 549-554. MOLODENSKIJ, M.S., V.F. EREMEEV AND M.I. YURKINA (1960). Methods for Study of the External Gravitational Field and Figure of the Earth. Translated from Russian by the Israel Program for Scientific Translations for the Office of Technical Services, U.S. Department of Commerce, Washington, D.C., U.S.A., 1962. MORANDO, B. (ED.) (1970). Dynamics of Satellites (1969). Springer. MORELLI, C. (1963). The first order and absolute world gravity nets. Boll. Geof. Teor. Appl. 19, pp. 195216. MORITZ, H. (1963). Interpolation and prediction of point gravity anomalies. Publications of the Isostatic Institute of the IAG, No. 40, Helsinki, Finland. MORITZ, H. (1968). On the use of the terrain correction in solving Molodenskij's problem. Department of Geodetic Science Report 108, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. MORITZ, H. (1979). Advanced Physical Geodesy. Herbert Wichmann. MORRISON, F. (1972). Density layer models for the geopotential. Am. Scientist 60 (2), pp. 229-236. MUELLER, I.I. (1963). Geodesy and the torsion balance. J. Surv. Map. Div. Proc. Am. Soc. Civ. Engg. 89, pp. 123-155. MYINT-U, T. (1973). Partial Differential Equations of Mathematical Physics. American Elsevier. OFFICER, C.B. (1974). Introduction to Theoretical Geophysics. Springer. ORLIN, H. (ED.) (1966). Extension of gravity anomalies to unsurveyed areas. American Geophysical Union Monograph 9, Washington, D.C., U.S.A. PICK, M., J. PICHA AND V. VYSKOÎL (1973). Theory of the Earth's Gravity Field. Elsevier.

680

LITERATURA, DEO V

POLLARD, H. (1976). Celestial Mechanics. No. 18 in: "Carus Mathematical Monographs". Mathematical Association of America. RAPP, R.H. (1964). The prediction of point and mean gravity anomalies through the use of a digital computer. Department of Geodetic Science Report 43, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. RAPP, R.H. (1972). Satellite orbit computations using gravity anomalies. Studia Geoph. et Geod. 16, pp. 1-9. RAPP, R.H. (1977). Potential coefficient determination from 5° terrestrial gravity data. Department of Geodetic Science Report 251, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. RAPP, R.H. (1979). GEOS 3 data processing for the recovery of geoid undulations and gravity anomalies. J. Geophys. Res. 84 (B8), pp. 3784-3792. SCHWARZ, K.P. AND G. LACHAPELLE (1980). Local characteristics of the gravity anomaly. Bull. Géod. 54 (1), pp. 21-36. SEPPELIN, T.O. (1974). The Department of Defense world geodetic system 1972. Canad. Surv. 28 (5), pp. 496-506. SOLLINS, A. (1947). Tables for the computation of deflections of the vertical gravity anomalies. Bull. Géod. 6, pp. 286-300. STOKES, G.G. (1849). On the variation of gravity at the surface of the earth. Trans. Cambridge Philos. Soc. VIII, pp. 672-695. STRANGE, W.E. (1982). An evaluation of orthometric height accuracy using bore hole gravimetry. Bull. Géod. 56(4), pp. 300-311. SYMON, K.R. (1971). Mechanics. 3rd ed., Addison-Wesley. TELFORD, W.M., L.P. GELDART, R.E. SHERIFF AND D.A. KEYS (1976). Applied Geophysics. Cambridge University Press. TSCHERNING, C.C. AND R. FORSBERG (1978). Prediction of deflections of the vertical. Proc. 2nd International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, U.S. Department of Commerce, Canadian Department of Energy, Mines and Resources, Danish Geodetic Institute, Arlington, U.S.A., April. U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., U.S.A., pp. 117-134. TSCHERNING, C.C. AND R.H. RAPP (1974). Closed covariance expressions for gravity anomalies, geoid undulations, and deflections of the vertical implied by anomaly degree variance models. Department of Geodetic Science Report 208, The Ohio State University, Columbus, U.S.A. TUCKER, R.H., A.H. COOK, H.M. IYER AND F.D. STACEY (1970). Global Geophysics. Elsevier. VALLIANT, H.D. (1971). The Canadian pendulum apparatus, design and operation. Publications of the Earth Physics Branch, Vol. 41, No. 4, Department of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Canada. VANÍÊK, P. AND C.L. MERRY (1973). Determination of the geoid from deflections of the vertical using a least-squares surface fitting technique. Bull. Géod. 109, pp. 261-279. VEIS, G. AND C.H. MOORE (1960). SAO differential orbit improvement program. JPL Seminar Proceedings on Tracking, Programs, and Orbit Determination, Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, U.S.A., pp. 165-184. VENING MEINESZ, F.A. (1928). A formula expressing the deflection of the plumbline in the gravity anomalies and some formulae for the gravity field and the gravity potential outside the geoid. Proc. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap 31 (3), pp. 315-331. VINCENT, S., W.E. STRANGE AND J.G. MARSH (1972). A detailed gravimetric geoid of North America to Eurasia. Goddard Space Flight Center Report X-553-72-94, Greenbelt, U.S.A. WONG, L. AND R. GORE (1969). Accuracy of geoid heights from modified Stokes kernels. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 18, pp. 81-91.

DEO VI

VREMENSKE PROMENE

POGLAVLJE 25

KOREKCIJE ZA VREMENSKE PROMENE

Kao {to smo videli u poglavlju 8, neke vremenske promene poloàja i polja teè bolje su poznate nego druge. Kada se dakle ukaè potreba za korekcijom raznih geodetskih veli~ina kao {to su opaànja, poloàji ili parametri polja teè, samo su dva fenomena u osnovi tako dobro poznata da dozvoljavaju ra~unanje popravaka. Ta dva fenomena su plima i pomeranje Zemljine obrtne ose. U oba slu~aja pokreta~ke sile ne predstavljaju problem, ve} samo nesigu rnosti u kvantifikovanju Zemljine reakcije. Od pomenuta dva fenomena plima je daleko najva`nija, i njoj su posve}ena prva tri podpoglavlja. U prvom podpoglavlju obja{njeno je modeliranje plimatskog pona{anja stvarne deformabilne Zemlje kao reakcije na plimatske sile, koje se naziva plimom Zemljinog tela kako bi se razlikovalo od Zemljine reakcije na plimu mora i okeana. Drugo podpoglavlje nabraja i tretira pojedine geodetske veli~ine koje je potrebno korigovati. U njemu su razvijeni i prodiskutovani matemati~ki modeli popravaka. Tre}e podpoglavlje bavi se korekcijama za efekte morske plime. U svim ovim podpoglavljima ~vrsto smo se oslanjali na koncepte obja{njene u podpoglavljima 8.1 i 8.2. Poslednje podpoglavlje obja{njava korekcije za efekte kretanja polova. Samo kretanje ve} je obja{njeno u podpoglavljima 5.3 i 5.4, dok su njegovi efekti na koordinatne vrednosti i geodetski azimut obja{njeni u podpoglavlju 15.2. Ovde govorimo pre svega o deformacijama prouzrokovanim kretanjem polova. Tako|e je pokazano da postoje}e varijacije u brzini Zemljine rotacije nemaju merljivi uticaj na geodetske veli~ine. Ostali fenomeni diskutovani u poglavlju 8 nisu dovoljno poznati, pa se korekcije zbog njihovih efekata u op{tem slu~aju ne uzimaju u obzir. U vezi ovih fenomena moè se re}i da je geodezija promenila svoju ulogu od potro{a~a informacija o vremenskim promenama na snabdeva~a geometrijskim podacima. Ova druga uloga geodezije {ire je obuhva}ena u poslednja dva poglavlja ovog dela.

683

684

§ 25.1


25.1. Elasti~na reakcija na plimatske sile Po~nimo ovo podpoglavlje podse}anjem na jedna~inu (8.6) koja defini{e linearni plimatski potencijal Wt . Bi}e pokazano da sva tri osnovna plimatska fenomena mogu biti opisana preko plimatskog potencijala. Prvo, lunarna plimatska varijacija teè g dobija se iz (8.6) nalaènjem izvoda plimatskog potencijala du` vertikale. Zamenjuju}i pravac vertikale sa pravcem radijus vektora r ta~ke interesovanja, i uzimaju}i u obzir znak, pribli`no vaì: ∞

⎛ r n⎜⎜ n=2 ⎝ ρ

∂W GM g t = − t = − ∂r rρ

∑

n

(

)

⎞ ⎟⎟ Pn cos Z . ⎠

(25.1)

Ekvivalentna formula se moè napisati i za solarni doprinos g t☼ . Za izvo|enje jedna~ine za plimatsku varijaciju nagiba, podsetimo se slike 8.3 koja G G prikazuje vezu izme|u vektora Zemljine teè g , plimatskog vektora teè at i plimatskog nagiba θ t u ravni koja sadrì dva vektora. U prvoj aproksimaciji θ t se moè izraziti kao odnos izme|u horizontalne

G

komponente vektora a t i veli~ine g Zemljine teè, pri ~emu je ova prva mnogo manja. Sa slike 8.2 za horizontalnu komponentu se moè napisati:

(aG )

t hor

=

1 ∂Wt . r ∂Z

(25.2)

Prema tome, za lunarni doprinos θ t plimatskom nagibu vaì:

GM θ t = rgρ

⎛ r ⎜ ⎜ n=2 ⎝ ρ ∞

∑

n

(

⎞ ∂Pn cos Z ⎟ ⎟ ∂Z ⎠

).

(25.3)

Potpuno analogna formula vaì i za solarni doprinos θ t☼ . Mora se napomenuti da je plimatski nagib θ t prostorni ugao i treba da bude tretiran kao takav (slika 1). Dve komponente nagiba ξ t , η t posmatraju se na isti na~in kao stacionarne komponente vertikalskog otklona u podpoglavlju 6.4. Vide}emo kasnije kako se ove komponente nalaze.

§ 25.1

Elasti~na reakcija na plimatske sile

685

SLIKA 25.1. Trenutni vertikalski otklon.

Plimatsko izdizanje Zemljinih ekvipotencijalnih povr{i dobija se iz (6.28) smatraju}i Wt malim prira{tajem δW potencijala W , traèno izdizanje u t malim vertikalnim pomeranjem δh (vidi sliku 2), i menjaju}i znak zbog toga {to Wt raste dok se W smanjuje. Na taj na~in se za Mesec dobija:

W GM ut = t = g gρ

⎛ r ⎜ M ⎜ n=2 ⎝ ρ ∞

∑

n

(

)

⎞ ⎟ Pn cos Z . ⎟ ⎠

(25.4)

Identi~na formula vaì i za Sunce. Pre nego {to se vratimo geodetskim posledicama plimatskih efekata, pogledajmo bliè vremensko i geografsko pona{anje plimatskog potencijala. Da bi to uradili,

SLIKA 25.2. Plimatsko izdizanje ekvipotencijalne povr{i

686


§ 25.1

ograni~i}emo se na dominantni ~lan izraza za lunarni plimatski potencijal (8.6), tj. harmonijski ~lan drugog reda:

GM ⎛ r ⎜ W2 = ρ ⎜⎝ ρ

2

(

⎞ ⎟ P2 cos Z ⎟ ⎠

) = 3GM 2ρ

1⎞ r2 ⎛ 2 ⎜ cos Z − ⎟ . 3 3⎠ ⎝

(25.5)

U tom smislu pogodno je uvesti slede}u konstantu [DOODSON, 1922]:

D=

R2

3 GM 4

(C )

3

= 2.6277 × 10 7 cm mGal ,

(25.6)

gde je R ponovo srednji polupre~nik Zemlje, a C je srednje odstojanje Meseca od Zemlje. Numeri~ka vrednost Dudsonove plimatske konstante odre|ena je iz vrednosti fundamentalnih astronomskih konstanti prihva}enih od IAU 1977 godine [IAU, 1977]. Upotrebom ovih konstanti, formula (5) se moè napisati kao:

⎛r⎞ W2 = 2 D ⎜ ⎟ ⎝R⎠

2

⎛C ⎜ ⎜ρ ⎝

3

⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ cos 2 Z − ⎞⎟ , ⎟ ⎝ 3⎠ ⎠

(25.7)

pri ~emu se odnosi r / R i C / ρ me|usobno razlikuju tako malo da se ta razlika u prvoj aproksimaciji moè zanemariti. Periodi~ni ~lan cos 2 Z −

1 3

sada se moè napisati u funkciji opaà~ke latitude φ ,

deklinacije δ i ~asovnog ugla meseca h (15.14) i zamenom Φ sa φ , dobija se:

(podpoglavlje 15.1). Kvadriranjem

cos 2 Z = sin 2φ sin 2δ + 2sinφ cosφ sinδ cosδ cos h + cos 2φ cos 2δ cos 2 h . (25.8) Nakon sre|ivanja ovog izraza sledi:

[

W2 = D cos 2φ cos 2δ cos 2h + sin 2φ sin 2δ cos h

(

)(

)]

+ 3 sin 2φ − 13 sin 2δ − 13 . Deklinacija δ

(25.9)

varira sa vremenom veoma sporo, tako da vremenske varijacije

W2 odre|uje prevashodno h . Prvi ~lan tj. sektorski doprinos S odgovoran je za

§ 25.1

Elasti~na reakcija na plimatske sile

687

lunarne poludnevne varijacije, drugi ~lan, tj. teseralni doprinos T odgovoran je za lunarne dnevne varijacije, a poslednji zonalni doprinos Z sporo varira oko konstantne vrednosti takozvane stalne plime. îtaoca savetujemo da uporedi ovu terminologiju sa terminologijom podpoglavlja 20.2. Identi~ni izraz moè se izvesti i za solarni plimatski potencijal prostom zamenom oznaka za Mesec oznakama za Sunce. Razlika je samo u tome {to je vrednost Dudsonove konstante za Sunce oko 46% vrednosti za Mesec (podpoglavlje 8.1). Kombinacijom oba potencijala dobija se plimatski spektar prikazan na slici 8.4. Dalje, formula (9) pokazuje i kako se plimatski potencijal menja sa latitudom. Ove promene su za glavne frekvencije nanete na slici 3. Do sada je u izvo|enjima pre}utno bilo podrazumevano da je Zemlja ~vrsta, tj. da sama Zemlja ne reaguje na plimatske sile i da nema nikakvih efekata tako generisanih deformacija. Stoga se postavlja pitanje kolika je veli~ina plimatskog fenomena opaànog na povr{i stvarne deformabilne Zemlje. Kao {to je ve} pomenuto u uvodu za poglavlje 8, veruje se da se deformacije kratkoperiodi~ne prirode pona{aju u skladu sa elasti~nim modelom. Viskoelasti~ni model koristi se samo za dugoperiodi~ne sile. Ovde prikazani elasti~ni model prvi je primenio LOVE [1911]. Da bi pokazali kako se model koristi, uzmimo za primer plimatsko izdizanje po{to je najilustrativnije. Odnos izme|u radijalnog pomeranja elementa mase stvarne Zemlje i radijalnog pomeranja odgovaraju}eg elementa mase hipoteti~ke fluidne zemlje poznat je kao prvi Lav broj i ozna~ava se sa h . To zna~i da fluidnu Zemlju karakteri{e h = 1 , a potpuno ~vrstu Zemlju h = 0 . Stvarna Zemlja ima Lav brojeve izme|u 0 i 1, i oni zavise od stepena sfernog harmonika deformacione sile. Za stepen 2, globalna vrednost broja h , u oznaci h2 , odre|ena je iz poludnevne reakcije na hemisfernu plimatsku silu, i pod pretpostavkom homogenosti iznosi 0.62 [MELCHIOR, 1978]. Dnevna reakcija daje uporedive rezultate. Oni su me|utim manje pouzdani zato {to rezonanca Zemljinog te~nog jezgra ima ve}i efekat na dnevno pona{anje Zemlje. Radi upore|enja, h3 odre|eno iz reakcije na harmonik tre}eg reda plimatske sile iznosi 0.34 ± 0.10 (sra~unato iz podataka na|enih u MELCHIOR [1978]). Prvi Lav broj tako|e varira i sa dubinom. U geodetskoj praksi va`ne su me|utim samo vrednosti za Zemljinu povr{inu, i njih }emo ovde koristiti. Odnos izme|u horizontalnog pomeranja stvarnog elementa mase i horizontalnog pomeranja odgovaraju}eg elementa hipoteti~ne fluidne Zemlje zove se [ida broj i ozna~ava se sa l . U tu svrhu Zemlja se smatra ne samo homogenom ve} i izotropnom, tako da reaguje isto u svim pravcima u okviru svakog horizontalnog sloja. Takvi izotropni [ida brojevi variraju onda samo sa dubinom i sa redom harmonika deformacione sile, na isti na~in kao i h . Na Zemljinoj povr{i vrednost

688


§ 25.1

SLIKA 25.3. Varijacije komponenti plimatskog potencijala sa latitudom.

za l 2 iznosi oko 0.08 [OZAWA, 1961], i odre|ena je tako|e iz analize plimatskih deformacija za poludnevne frekvencije. Oblik Zemlje menja se kao reakcija na plimatske sile. Drugim re~ima, masa Zemlje se pod dejstvom plimatske sile preraspore|uje. Preraspodela posledi~no uti~e na Zemljino sospstveno gravitaciono polje. Ova promena, izraèna u vidu promene Zemljinog potencijala, zove se deformacioni potencijal Wd . Njegov efekat se tako|e najjasnije vidi na primeru plimatskog izdizanja. On uve}ava sra~unatu vrednost u t za faktor 1+k>1. Upotrebom (6.28), za izdizanje izazvano preraspodelom masa moè se napisati:

u t (1 + k ) =

Wt + Wd g

(25.10)

§ 25.2

Plimatske korekcije

689

SLIKA 25.4. Plimatska reakcija deformabilne Zemlje.

odakle sledi:

k = Wd / Wt

(25.11)

Ovaj odnos zove se drugi Lav broj i njegova uloga vidi se na slici 4. S pravom se moè primetiti da reagovanjem na deformacioni potencijal Zemlja menja svoj oblik, ~ime se tako|e menja efekat plimatske sile. Ova promena zauzvrat uzrokuje dodatni deformacioni potencijal i tako u beskona~nost. I zaista, ono {to opaàmo su kona~ne deformacije nakon postizanja ravnoteè. Stanje ravnoteè odraàvaju vrednosti svih Lav brojeva i [ida broja koji se ~esto naziva i tre}im Lav brojem. Vrednost za k 2 eksperimentalno odre|ena iz poludnevnih frekvencija, iznosi 0.29. Radi upore|enja, harmonik tre}eg reda deformacija daje k 3 = 0.14 ± 0.07 (iz podataka na|enih u MELCHIOR [1978]). U na{im primenama koristi}emo samo Lav brojeve koji se odnose na harmonik deformacije drugog stepena, a indeks 2 izostavlja}emo radi jednostavnosti. 25.2. Plimatske korekcije O~igledno je da plimatski fenomeni na povr{i Zemlje uti~u manje ili vi{e na sve geodetske veli~ine. Ve} smo videli kakav je uticaj na teù, geoidne visine i nagib ekvipotencijalnih povr{i. Sada }emo pokazati plimatske promene i korekcije drugih geodetskih veli~ina. Po~nimo sa najjednostavnijim efektom, tj. plimatskim varijacijama geodetske visine h neke ta~ke na reljefu iznad geocentri~nog referentnog elipsoida. Ona se o~igledno menja za:

δrt = δht = hu t

,

(25.12)

690

§ 25.2


kao {to se to moè videti na slici 4. Ozna~avaju}i W2 + W2☼ sa W2 , korekcija trenutne geodetske visine da bi se dobila srednja geodetska visina, glasi:

Oht = −

[

]

0.62 W2 = −0.63 × 10 −6 mGal −1 W2 . g

(25.13)

Plimatska varijacija geoidne visine N iznad fiksnog geocentri~nog elipsoida data je sa (10). Prema tome, korekcija trenutnog geoida kako bi se dobio srednji geoid, glasi:

ON t = −

[

]

1.29 W2 = −1.32 × 10 −6 mGal −1 W2 . g

(25.14)

Uzimaju}i u obzir plimatski efekat na geodetsku visinu i geoid, dolazi se do plimatske varijacije ortometrijskih ili normalnih visina H iznad geoida. Ona je data sa:

δH t = [h − (1 + k )] u t ,

(25.15)

~ime se za korekciju trenutne ortometrijske (normalne) visine dobija:

[

]

OH t = 0.68 × 10 −6 mGal −1 W2 .

(25.16)

Naravno, plimatska varijacija dinami~ki neporeme}enog nivoa mora, opaàna sa obale iznosi u t kao i za ortometrijske visine, osim {to je znak suprotan. Ovo je me|utim donekle neva`no saznanje jer nivo mora nikad nije neporeme}en. Dinami~ki fenomeni su uvek prisutni i problem odre|ivanja srednjeg nivoa mora re{ava se postupkom pomenutim u podpoglavlju 19.1. Izvo|enje izraza za korekciju trenutne teè je ne{to komplikovanije. Za po~etak, pretpostavimo da smo u stanju da merimo teù u ta~ki koja nije vezana za Zemlju. Plimatska varijacija takve apsolutne vrednosti teè g ′ data je o~iglednom jedna~inom:

g ′t = −

∂ (Wt + Wd ) . ∂r

Ograni~avaju}i se na W2 , moè se napisati:

(25.17)

§ 25.2

Plimatske korekcije

g ′t = −

691

∂W ∂W2 ∂ (kW2 ) ∂k = −(1 + k ) 2 − W2 . − ∂r ∂r ∂r ∂r

Moè se pokazati [LOVE, 1911] da je k za W2 pribli`no proporcionalno r

(25.18) −5

, tako

da je ∂k / ∂r = −5k / r . Po{to je ∂W2 / ∂r = 2W2 / r , kona~no se dobija:

3 ⎞ ∂W2 ⎛ . g ′t = −⎜1 − k ⎟ 2 ⎠ ∂r ⎝

(25.19)

Na povr{i Zemlje ( r = R ), za korekciju apsolutne teè vaì:

[

]

3 ⎞ 2W2 ⎛ = 0.18 × 10 −8 cm −1 W2 . Og ′t = ⎜1 − k ⎟ 2 ⎠ R ⎝

(25.20)

Za izvo|enje varijacije teè opaàne na povr{i Zemlje, tj. plimatske varijacije opaàne teè g , mora se uzeti u obzir ~injenica da se i opaà~ tako|e izdiè kroz polje teè za veli~inu

δ rt .

Opaàna promena teè zbog ovog pomeranja iznosi

(uporedi (12) i (6.12)):

δ rt

∂g W 2g 2W = −h 2 = −h 2 . ∂r g R R

(25.21)

Prema tome ukupni plimatski efekat je:

3 ⎞ 2W2 ⎛ , g t = ⎜1 + h − k ⎟ 2 ⎠ R ⎝

(25.22)

a odgovaraju}a korekcija glasi:

[

]

Og t = 0.37 × 10 −8 cm −1 W2 .

(25.23)

Istraìvanje plimatskih efekata na duìne i uglove zahteva specijalni matemati~ki aparat. Ozna~imo prvo vektor pomeranja elementa mase u okviru Zemlje sa K v = (v x , v y , v z ) T . Simetri~na matrica koja opisuje diferencijalnu deformaciju u kartezijanskim koordinatama:

692

§ 25.2


(

K K ε = 12 ⎡∇v T + ∇v T ⎢⎣

) ⎤⎥⎦ T

⎡ ∂v x ⎢ ∂x ⎢ ⎢ 1 ⎛ ∂v y ∂v ⎞ = ⎢ ⎜⎜ + x ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎢ 2 ⎝ ∂x ⎢ 1 ⎛ ∂v ∂v ⎢ ⎜ z + x ⎞⎟ ∂z ⎠ ⎢⎣ 2 ⎝ ∂x

1 ⎛ ∂v x ∂v y ⎜ + 2 ⎜⎝ ∂y ∂x ∂v y

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

∂y 1 ⎛ ∂v z ∂v y ⎞ ⎟ ⎜ + 2 ⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠

1 ⎛ ∂v x ∂v z + ⎜ 2 ⎝ ∂z ∂x 1 ⎛ ∂v y ∂v z ⎜ + 2 ⎜⎝ ∂z ∂y ∂v z ∂z

⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎥ ⎞⎥ ⎟⎥ , ⎟ ⎠⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(25.24)

zove se tenzor napona [CONDON AND ODISHAW, 1967]. Kad se radi o Zemljinim deformacijama, kartezijanski koordinatni sistem nije najpogodniji. Mnogo je bolje raditi sa naponom u sfernim, ili jo{ bolje u geodetskim koordinatama. U geodetskim koordinatama, tenzor napona nakon zamene druge sferne koordinate sa 12 π − φ , glasi [LOVE, 1927]:

⎡ ∂v r ⎢ ∂r ⎢ ∂ v v ∂v ⎢ φ φ − + r ε = ⎢ ∂r r r∂φ ⎢ ⎢ 1 ∂v r ∂v λ v λ ⎢ r cos φ ∂λ + ∂r − r ⎣

∂vφ ∂r

− ∂vφ

vφ r +

+

∂v r r∂φ

vr r

r∂φ v ∂v λ 1 ∂vφ − tan φ λ + r∂φ r r cos φ ∂λ 1 ∂v r ∂v λ v λ + − r cos φ ∂λ r ∂r v ∂v λ 1 ∂vφ − tan φ λ + r∂φ r r cos φ ∂λ vφ v r 1 ∂v λ + tan φ + r cos φ ∂λ r r

⎡ e rr ⎢ = ⎢ eφr ⎢eλr ⎣

e rφ eφφ eλφ

e rλ ⎤ ⎥ eφλ ⎥ . eλλ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (25.25)

Ako je u pitanju samo Zemljina povr{ina, ima smisla govoriti samo o povr{inskom ili horizontalnom naponu, kojeg izraàva dvodimenzionalni tenzor sastavljen od slede}ih elemenata:

§ 25.2

Plimatske korekcije

⎡ eφφ ε′ = ⎢ ⎣eλφ

693

eφλ ⎤ ⎥ . eλλ ⎦

(25.26)

K

Komponente plimatskog vektora pomeranja v sada u geodetskim koordinatama glase [MELCHIOR, 1978]:

vr = δ rt = hut = h

Wt l ∂Wt l ∂W t , vφ = , vλ = , g ∂φ g cos φ ∂λ g

(25.27)

pri ~emu se izvodi po λ nalaze preko ~asovnog ugla koji je funkcija isklju~ivo od λ . Zamenom u (26) dobija se posle sre|ivanja:

ε ′ =

h l Wt I + D 2 (Wt ) , Rg Rg

(25.28)

gde je D 2 slede}i diferencijalni operator simetri~ne matrice:

⎡ ∂2 ⎢ ∂φ 2 D2 = ⎢ ⎢ 2 ∂2 ⎢ ⎣ cos φ ∂φ∂λ

⎤ ∂2 2 ⎥ cos φ ∂φ∂λ ⎥ , ∂ ⎥ 1 ∂2 + tan φ ⎥ ∂φ ⎦ cos 2φ ∂λ2

(25.29)

a I je jedini~na matrica. Numeri~ko izra~unavanje daje

[

]

[

ε ′ = 1.0 × 10 −15 cm −1 mGal −1 Wt I + 1.3 × 10 −16 cm −1 mGal −1

]

D 2 (Wt ) . (25.30)

U ovim izrazima, eφφ je relativna deformacija (ekstenzija ili kompresija) u pravcu meridijana. Sli~no tome, eλλ je relativna deformacija po prvom vertikalu. Prema

tome, relativna deformacija eα u pravcu azimuta α data je izrazom (vidi (16.50)):

eα = q T (α ) ~ ε q(α ) ,

(25.31)

gde je:

⎡ eφφ ~ ε = ⎢1 ⎣⎢ 2 eλφ

1 e 2 φλ

eλλ

⎤ ⎥ , ⎦⎥

⎡cos α ⎤ q(α ) = ⎢ ⎥ . ⎣ sin α ⎦

(25.32)

694

§ 25.2


Nalaènje prvog i drugog izvoda od Wt vodi izrazima koji su komplikovaniji nego nalaènje radijalnog izvoda. Iz (9) se moè videti da ovi izvodi imaju razli~iti oblik za svaku frekvenciju. Stoga plimatski horizontalni napon ima razli~it karakter za razli~ite frekvencije, i (28) ne moè dalje da se pojednostavi. Na primer, deformacija po meridijanu data je sa:

[

]

e0 = eφφ = 1.0 × 10 −15 cm −1 mGal −1 Wt

[

+ 1.3 × 10 −16 cm −1 mGal −1

]

∂ 2Wt ∂φ 2

(25.33)

,

a za M 2 frekvenciju dobija se:

e0( M 2 ) = 2.6 × 10 −8 S + 0.34 × 10 −8

(

∂2S ∂φ 2

)

= 2.6 × 10 −8 cos 2φ − 0.7 × 10 −8 cos 2φ cos 2δ cos 2h .

(25.34)

[ema horizontalnog napona u svim pravcima α za M 2 frekvenciju prikazana je na slici 5. Ova {ema je ustvari pedalna kriva (slika 16.16) elipse sa osama eφφ i eλλ , i

SLIKA 25.5. [ema horizontalnog napona za M 2 frekvenciju za latitudu φ = 45°.

§ 25.2

Plimatske korekcije

695

predstavlja grafi~ki oblik jedna~ine (31). Postoje i drugi na~ini da se prikaè horizontalni napon, npr. pomo}u elipsi napona kao {to }emo videti u podpoglavlju 27.4. Svi efekti napona, pa prema tome i plimatske varijacije horizontalnih duìna S , reda su veli~ine najvi{e 10 −8 . Stoga se plimatske korekcije duìna primenjuju samo na veoma precizna merenja kao {to su radiointerferometrijska (podpoglavlje 16.1). Korekcija za horizontalnu duìnu moè se napisati kao:

OS t = − q T (α )

∑ ~ε q(α ) S κ

,

(25.35)

κ

εκ povr{inski tenzori napona (uporedi sa (32)) odre|eni za sve èljene gde su ~ plimatske frekvencije κ . Izvo|enje formula za elemente povr{inskog tenzora napona za sektorske, teseralne i zonalne ~inioce ostavlja se ~itaocu. Plimatske varijacije horizontalnih uglova ω daleko su ispod nivoa {uma same merne metode. Slede}a geodetska veli~ina na koju uti~u plimatske sile je astronomski otklon vertikale. Moè se smatrati da se plimatska varijacija astronomskog vertikalskog otklona θ ′ (slika 21.3) sastoji od dve komponente: (a) nagiba ekvipotencijalne povr{i koji je o~igledno jednak (1 + k ) θ t , (b) pomeranja terestri~ke ta~ke. Dok se ekvipotencijalna povr{ menja od W = const. na W + Wt + Wd = const. ,

opaà~ka stanica P na Zemljinoj povr{i preme{ta se u P ′ zbog horizontalnog pomeranja R lθ t (vidi sliku 6). Stoga je ukupni efekat na Zemljinoj povr{i u ravni koja sadrì nebesko telo koje indukuje plimu, jednak (uporedi sa (3)):

θ t′ = (1 + k − l )θ t =

1 + k − l ∂Wt . gR ∂Z

(25.36)

Uzimaju}i u obzir konvenciju za znakove otklona (21.18), korekcije astronomskih otklona po meridijanu i prvom vertikalu glase:

[

] ∂∂Wφ

[

] cos∂Wφ ∂λ .

Oξ t′ = −1.94 × 10 −15 cm −1mGal −1 Oη t′ = −1.94 × 10 −15 cm −1mGal −1

2

, 2

(25.37)

696

§ 25.2


SLIKA 25.6. Plimatski efekat na astronomski vertikalski otklon.

Na nagib terena u odnosu na ekvipotencijalnu povr{ tako|e uti~e distorzija ekvipotencijalnih povr{i i Zemljine povr{i. Efekat prve distorzije je nagib (1 + k ) θ t . Drugi je nagib dat slede}om formulom:

∂ (hu t ) = h ∂Wt = hθ t , ∂S g ∂S

(25.38)

gde se izvod traì po pravcu po kojem se nagib meri. Zavisnost od [ida broja koju smo imali kod astronomskih otklona nestaje zbog relativne prirode nagiba. Ukupna plimatska varijacija nagiba terena θ ″ data je prema tome sa (1 + k − h) θ t . Odgovaraju}a korekcija glasi:

Oθ t′′ = −

(1 + k − h ) ∂Wt g

∂S

[

= −0.68 × 10 −6 mGal −1

]

∂Wt ∂S

,

(25.39)

pri ~emu se izvod traì po duìni S . Pogodno je izraziti nagib po azimutu α kao funkciju nagiba po meridijanu i prvom vertikalu. To se moè uraditi pomo}u (16.80), a mi }emo to uraditi u kontekstu naredne geodetske veli~ine. Plimatska varijacija nivelane visinske razlike δ l moè se na}i iz nagiba terena

§ 25.2

Plimatske korekcije

697

SLIKA 25.7. Plimatski efekat na nivelanu visinsku razliku.

koriste}i prostu geometriju. Situacija je prikazana na slici 7. Pomo}u (16.80) i (39) dobija se odgovaraju}a korekcija kao [VANI~EK, 1980]:

Oδ l t =

⎛ ∂W2 ∂W2 ⎞ 1+ k − h ⎟ + sin α 2∆S ⎜⎜ cos α ∂φ gR cos φ ∂λ ⎟⎠ ⎝

[

]

⎛ ∂W2 ∂W2 ⎞ ⎟. = 2.14 × 10 −15 cm −1mGal −1 ∆S ⎜⎜ cos α + sin α ∂φ cos φ ∂λ ⎟⎠ ⎝ (25.40) Treba napomenuti da je plimatska varijacija vertikalnog ugla v sastavljena od varijacije otklona vertikale i varijacije nagiba Zemljine povr{i. Izvo|enje odgovaraju}ih korekcija prepu{ta se ~itaocu. Konstatujmo samo da pod dana{njim okolnostima primena takvih korekcija nije neophodna, jer je opaà~ka ta~nost nekoliko redova veli~ine manja nego {to je maksimalna vrednost korekcije. Tabela 1 sumarno prikazuje maksimalne mogu}e raspone svih varijacija za Mesec i Sunce. Treba imati na umu da svi ovi rasponi zavise od latitude, a neki i od azimuta. Stoga navedeni maksimumi nisu univerzalno primenljivi. Za ra~unanje bilo koje pomenute korekcije neophodno je numeri~ki odrediti ili plimatski potencijal, ili neki od njegovih horizontalnih izvoda. To se mora uraditi za svaku ta~ku interesovanja i za epohu opaànja, a jedna~ina (9) se moè upotrebiti u tu svrhu. Za ra~unanje je potrebno poznavati deklinaciju i ~asovni ugao Meseca i Sunca u trenutku opaànja. Koncept jedne od tehnika koja je korisna za rutinska ra~unanja ovih korekcija bi}e obja{njen u slede}em podpoglavlju u kontekstu efekata morske plime. Tako|e treba napomenuti da se u praksi postiè odgovaraju}a ta~nost uzimanjem u obzir samo pet dominantnih frekvencija

698


§ 25.3

{ M 2 , S 2 , N 2 , O1 , K 1 }. Me|utim, postoje mnogo bolji algoritmi sposobni da generi{u plimatski potencijal bez ikakve diskriminacije frekvencija. Podsetimo se da je u ovom podpoglavlju podrazumevano da je Zemljina reakcija bo~no homogena i izotropna. U realnosti moè biti odstupanja od homogenosti i izotropije zbog lokalne topografije i horizontalnih varijacija u Zemljinim elasti~nim svojstvima, koja se ne mogu zanemariti. Ova odstupanja uti~u na nagib i horizontalni napon vi{e nego teà. Za detalje videti npr. BAKER AND LENNON [1976]. 25.3. Korekcije za efekat plime mora U podpoglavlju 8.2 bio je pomenut efekat optere}enja litosfere plimatskom vodom. Me|utim, to optere}enje nije jedini efekat koji plimatska voda ima na fenomene ~vrste Zemlje. Postoje jo{ dva efekta koji se moraju uzeti u obzir kada se istraùju vremenske varijacije geodetskih veli~ina. To su gravitaciono privla~enje plimatske vode i gravitacioni efekat deformacija izazvanih optere}enjem, koji se naziva

§ 25.3

Korekcije za efekat plime mora

699

indirektnim efektom plimatske vode. O~igledno je da je ovaj drugi efekat povezan sa efektom deformacionog potencijala diskutovanog u prethodna dva podpoglavlja. Sva tri efekta plimatske vode obi~no se tretiraju zajedno, i to na isti na~in kao razne manifestacije plime Zemljinog tela obra|ene u poslednja dva podpoglavlja. Efekat koji je najlak{i za nalaènje je gravitaciono privla~enje. On zahteva samo poznavanje raspodele plimatske vode (podpoglavlje 8.1), i poloàj ta~ke posmatranja u odnosu na ovu vodenu masu. O~igledno je da Zemljina reologija nema zna~aja za kvantifikovanje ovog efekta. Kao {to }emo videti, to je razlog za{to ovaj efekat sluì kao referentni efekat za ostala dva, na na~in sli~an reakciji fluidne Zemlje u teoriji plime Zemljinog tela. Da bi pokazali kako se ova tri fenomena tretiraju, po~nimo ponovo sa vertikalnim pomeranjima. Vertikalno pomeranje Zemljine povr{i pod uticajem optere}enja ozna~i}emo sa u1 , pomeranje ekvipotencijalnih povr{i teè pod uticajem privla~enja vode sa ua , i pomeranje ekvipotencijalnih povr{i zbog indirektnog efekta sa ui . Onda se elasti~ni model reakcije Zemlje i njenog polja teè na plimatsku vodu karakteri{e sistemom funkcija sli~nim Lav brojevima. Ove funkcije predloìli su MUNK AND MACDONALD [1960], i zovu se brojevima optere}enja u oznaci h ′ , k ′ i l ′ . I brojevi optere}enja definisani su kao odnosi:

h ′ = u1 / ua ,

k ′ = ui / u a ,

(25.41)

i sli~no tome:

l ′ = v1 / v a , gde v ozna~ava horizontalno pomeranje u pravcu nagiba. Brojevi optere}enja, sli~no Lav brojevima, funkcije su i dubine i horizontalnih dimenzija optere}enja, tj. stepena sfernih harmonijskih funkcija kojima se moè opisati optere}enje. U na{im primenama koristi}emo samo povr{insku reakciju, i prema tome samo povr{inske brojeve optere}anja. Shodno uobi~ajenoj praksi, zavisnost brojeva optere}enja od talasne duìne ozna~ava}emo indeksom n . Za elasti~nu reakciju na ta~kasto optere}enje odnosno optere}enje zanemarljivih horizontalnih dimenzija koristi}emo oznake h∞′ , k ∞′ , l ∞′ . Sva tri efekta su me|usobno izme{ana i ne mogu se jasno razdvojiti. Kao i u slu~aju Lav brojeva, optere}enja }e odraàvati situaciju u pogledu ravnoteè.

700

§ 25.3


U ovom momentu pogodno je uvesti gravitacioni potencijal plimatske vode Ww , koji se prosto naziva potencijalom morske plime. Ozna~avaju}i amplitudu morske G plime u ta~ki r i trenutku τ sa Z , moè se napisati slede}i izraz za potencijal u ta~ki A (uporedi sa (22.30)):

G Ww (rA , τ ) = −G

∫∫ G

G G Z (r , τ ) σ w (r , τ ) dG , G G ρ (rA , r )

(25.42)

gde je Z jednako nuli na kopnu, ρ je duìna tetive, a integracija se izvodi po celoj Zemljinoj povr{ini G . Smatraju}i da je gustina σ w konstantna, {to je za ove potrebe dovoljna pretpostavka, jedna~ina (42) se moè napisati za trenutak τ za koji vaì Z kao:

Ww (φ A , λ A ) = −Gσ w R 2

∫∫ ρ (φ G

Z (φ , λ ) dν , A , λA ,φ, λ)

(25.43)

pri ~emi je dν element prostornog ugla, a R je srednji polupre~nik Zemlje. Koriste}i istu tehniku kao za izvo|enje (8.4) za Wt (ili (20.48) za Wg ), i koriste}i sfernu aproksimaciju, formula (43) se moè napisati u funkciji integrala beskona~nog reda Leàndrovih polinoma po cosψ , gde je ψ sferni ugao izme|u ta~ke posmatranja ( φ A , λ A ) i teku}e ta~ke ( φ , λ ):

Ww (φ A , λ A ) = −Gσ w R

∫∫

Z (φ , λ )

∞

∑ P (cos ψ ) dν n

.

(25.44)

.

(25.45)

n =0

G

Zamenjuju}i redosled sabiranja i integracije dobija se:

Ww (φ A , λ A ) = −

∞

∑ Gσ

wR

n =0

∫∫ Z (φ , λ )P (cos ψ ) dν n

G

Uz upotrebu Leàndrove dekompozicione formule (20.51) za Pn (cos ψ ) , kona~no se dobija potencijal morske plime kao red sfernih harmonika:

Ww (φ A , λ A ) =

∞

n

∑ ∑ (W ) n =0 m =0

w nm

,

(25.46)

§ 25.3


701

pri ~emu su potencijalni koeficijenti dati sa (uporedi sa (20.52)):

⎧ Anm (Ww )⎫ (n − m)! ⎨ ⎬ = −2Gσ w R (n + m)! ⎩ Bnm (Ww )⎭ ⎧cos mλ ⎫ × Z (φ , λ ) ⎨ ⎬ Pnm (sin φ ) dν . ⎩ sin mλ ⎭ G

∫∫

(25.47)

Ovde zonalni koeficijenti ( m = 0 ) moraju da se pomnoè jednom polovinom. Jedna~ina (44) moè se ekvivalentno napisati u zatvorenom obliku:

Ww (φ A , λ A ) = −

Gσ w R 2

∫∫ Z (φ , λ )(1 − cos ψ )

−1 / 2

dν ,

(25.48)

G

kada se ima u vidu da je (uporedi sa (20.49) za r = rA = 1 ): ∞

∑ P (cosψ ) =

1

n

2

n =0

(1 − cosψ )−1 / 2

.

(25.49)

Po{to je Ww potencijal privla~enja, lako je videti da je (uporedi sa (4)):

u a = Ww / g .

(25.50)

Vertikalno pomeranje zbog gravitacionog privla~enja plimatske vode evidentno se moè na}i iz reda sfernih harmonika upotrebom (46) ili (48), pomo}u slede}eg konvolutivnog integrala:

u a (φ A , λ A , τ ) =

∫∫ K (φ a

A,

λ A ,φ , λ )Z(φ , λ , τ ) dν ,

(25.51)

G

pri ~emu je homogeno i izotropno integralno jezgro (vidi sliku 8):

Ka = −

Gσ w R 2g

(1 − cos ψ )−1 / 2 = −0.0315(1 − cos ψ )−1 / 2 .

(25.52)

Prema tome, za datu raspodelu vode u okviru mora u èljenom trenutku τ , gornja integracija se moè izvesti, i na taj na~in dobiti pomeranje zbog privla~enja u

702


§ 25.3

SLIKA 25.8. Integralno jezgro K a za gravitaciono privla~enje.

èljenoj ta~ki ( φ A , λ A ). Za ilustraciju, deo mora veli~ine 3000 km sa 3000 km sa plimom visokom jedan metar na rastojanju od ψ = π / 2 ima gravitacioni efekat koji uzrokuje pomeranje ekvipotencijalne povr{i u iznosu od − 0.7 centimetara. O~igledno je da se druga pomeranja mogu napisati kao (vidi (41)):

ul = ui =

1 g 1 g

∞

∑ h ′ (W ) n

n =0 ∞

∑ n =0

w n

,

kn′ (Ww )n

vl =

i

1 g

∞

∑ l′

n

n =0

∂ (Ww )n . ∂ψ

(25.53)

Ne postoji dovoljno dostupnih opaànja potrebnih da se eksperimentalno odredi Zemljina reakcija, i prema tome brojevi optere}enja. Umesto toga brojevi optere}enja dobijaju se iz reolo{kih modela Zemlje. Rezultati koje je dobio FARRELL [1972] iz standardnog Guttenberg-Bullen A reolo{kog modela Zemlje (vidi npr. ALTERMAN ET AL. [1961]), prikazani su na slici 9. Alternativni oblik formule (53) moè se izvesti zamenom redosleda sabiranja i integracije, kao {to je to ura|eno za Ww . Onda se za npr. ul moè napisati:

u l (φ A , λ A , τ ) =

∫∫ K (φ l

G

A,

λ A , φ , λ ) Z (φ , λ , τ ) dν ,

(25.54)

§ 25.3


703

SLIKA 25.9. Brojevi optere}enja.

gde je integralno jezgro ponovo homogeno i izotropno, i glasi:

Kl = −

Gσ w R ∞ hn′ Pn (cosψ ) . g n =0

∑

(25.55)

îtalac se savetuje da izvede za ve`bu odgovaraju}e jedna~ine za ui i vl . Kao i u podpoglavlju 22.1, i ovde se moè primetiti da su, sa stanovi{ta problema grani~nih vrednosti, integraciona jezgra ustvari Grinove funkcije, i kao takva se ~esto pominju u literaturi. Najve}i broj razli~itih Grinovih funkcija za elasti~na pomeranja, nagibe, napone i reakcije teè na povr{insko optere}enje, odredio je FARRELL [1972] oslanjaju}i se na otkri}a LONGMAN [1962; 1963]. Farel je upotrebio tri Zemljina modela da bi generisao Grinove funkcije: Guttenberg-Bullen A model za Grinove funkcije vertikalnih pomeranja (vidi sliku 10), i dve dodatne varijante istog modela [HARKRIDER, 1970]. Dve varijante razlikuju se od prvog modela samo u gornjih

SLIKA 25.10. Grinova funkcija K l normalizovana sa Gσ w / ( gh∞ ) izraèna kao funkcija rastojanja od optere}enja.

704


§ 25.3

1000km koji su zamenjeni okeanskim i kontinentalnim strukturama respektivno. Rezultati pokazuju da, sa izuzetkom najbliìh 500 km od optere}enja, razlike u modelima a samim tim i u brojevima optere}enja ne igraju nikakvu ulogu. Istraìvanja drugih autora kao npr. BEAUMONT AND LAMBERT [1972] i ZSCHAU [1976] vode istom zaklju~ku. Za udaljena optere}enja tri modela su ekvivalentna do na nekoliko procenata. Za kra}a rastojanja, Grinove funkcije se vi{e ne mogu smatrati homogenim, jer variraju po nekoliko desetina procenata u zavisnosti od lokalne geologije. Ostali problemi javljaju se u modeliranju Zemljine reakcije u regionima na obali, dakle u blizini optere}enja. U takvim podru~jima va`na je ne samo lokalna geologija ve} i oblik reljefa. Osim toga, ni ta~nost karata morskih plima ni modela plima nije suvi{e velika. Danas se jo{ uvek malo zna o mogu}oj anizotropiji Zemljine reakcije i samim tim o realnijim Grinovim funkcijama. Uzimaju}i sve u obzir, efekti morske plime danas se mogu obra~unati sa ta~no{}u od nekoliko desetina procenata. To je naravno jo{ uvek bolje nego ni{ta, naro~ito ako se ima u vidu da efekti mogu biti veoma zna~ajni. Na primer, efekat morske plime na nagib blizu obale moè biti jedan red veli~ine ve}i od nagiba plime Zemljinog tela [LENNON AND VANI~EK, 1970]. Po{to su brojevi optere}enja definisani na isti na~in kao i Lav brojevi, efekti morske plime na razli~ite geodetske veli~ine dati su jedna~inama ekvivalentnim onima u podpoglavlju 25.2, s tim {to se naravno Wt zamenjuje sa Ww . Korekcije se izraàvaju u obliku istih kombinacija brojeva optere}enja kao plimatske korekcije u slu~aju Lav brojeva. Glavna razlika je u tome {to se jedna~ine moraju primeniti na sve talasne brojeve n pojedina~no, a zatim sabrati. Alternativno se mogu koristiti konvolutivni integrali. Nema nikakvog razloga da se ne upotrebi kombinacija ograni~enog reda za udaljena podru~ja i konvolutivni integral po rezidualnoj morskoj plimi u okolini ta~ke interesovanja, na isti na~in kao {to je nalaèn kombinovani geoid u podpoglavlju 24.4. Ekonomi~niju alternativu koja se bazira na prethodnoj integraciji Grinovih funkcija predloìo je GOAD [1979]. Neophodnost da se postupak odre|ivanja èljenog efekta ponavlja za svaki razli~iti trenutak vremena moè se prevazi}i istraìvanjem morske plime Z u vidu kompleksne funkcije poloàja ( φ , λ ). Za svaku frekvenciju κ koja odgovara M 2 ,

S 2 , O1 itd., veli~ina plime Z u trenutku τ moè se napisati kao: Z κ (φ , λ , τ ) = Aκ (φ , λ ) cos[κτ − β κ (φ , λ )] ,

(25.56)

§ 25.3


705

gde se amplituda Aκ i faza β κ dobijaju iz plimatskih karata kao funkcije poloàja. Ozna~avaju}i:

Z κ∗ (φ , λ ) = Aκ (φ , λ ) exp ∗ (− iβ κ (φ , λ )) , i = − 1 ,

(25.57)

jedna~ina (56) moè se napisati u obliku (podpoglavlje 3.1):

[

]

Z κ (φ , λ ,τ ) = re Z κ∗ (φ , λ ) exp ∗ (− iκτ ) .

(25.58)

Dakle poznavaju}i Z κ∗ , moè se odrediti veli~ina plime Z κ za neki trenutak τ

mnoènjem Zκ∗ kompleksnom funkcijom vremena exp ∗ (iκτ ) . Primetimo da se ista tehnika moè upotrebiti i za ra~unanje plimatskog potencijala Wt u plimatskoj korekciji u podpoglavlju 25.2. Ozna~imo bilo koji efekat e morske plime sa f e (φ , λ ,τ ) . Sada se moè napisati formula sli~na (58):

f e (φ , λ , τ ) = re

f κ (φ , λ ) exp (iκτ ) , ∑ κ e∗

∗

(25.59)

i sve {to je potrebno da se odredi ukupan efekat e za ta~ku u nekom trenutku su funkcije f κe ∗ (φ , λ ) za sve razmatrane frekvencije. Ove kompleksne funkcije poloàja ra~unaju se iz uobi~ajenih konvolutivnih integrala:

f κe ∗ (φ , λ ) =

∫∫ K (φ , λ , φ ′, λ ′) Z κ (φ ′, λ ′) dν , e

∗

(25.60)

G

gde je K e odgovaraju}a Grinova funkcija za efekat e . Konvolutivni integrali numeri~ki se izra~unavaju uz pomo} neke od brojnih postoje}ih metoda ( vidi npr. BOWER [1970], GOAD [1979]), ili se u potpunosti ili delimi~no zamenjuju odgovaraju}im ograni~enim redovima sfernih harmonika kao {to smo to ranije videli. âk se i direktno izra~unavanje f κe ∗ za svaku ta~ku moè izbe}i. Prostorna raspodela ovih kompleksnih efekata moè se aproksimirati linearnom formom sa proizvoljno izabranom bazom φ :

~ f κe ∗ (φ , λ ) = Φ T (φ , λ )cκe ∗ ,

(25.61)

706

§ 25.3


i to na isti na~in kao za geoid u podpoglavlju 22.4. Razlika je samo u tome {to su sada koeficijenti kompleksni. Na ovaj na~in potrebno je memorisati samo vektore kompleksnih koeficijenata cκe ∗ , jer su oni u op{tem slu~aju razli~iti za svaku frekvenciju κ i svaki efekat e . Koeficijenti se mogu odrediti MNK regresijom ili nekom drugom tehnikom (podpoglavlje 22.4). Kada su koeficijenti poznati, svaka potrebna korekcija odre|uje se lako iz o~igledne formule:

Oe(φ , λ , τ ) = − f e (φ , λ , τ ) = −re

~ exp (iκτ ) Φ (φ , λ ) cκ ∑ κ ∗

e∗

T

, i = −1. (25.62)

Kao {to smo to videli u prethodnim podpoglavljima, nisu sve korekcije geodetskih veli~ina me|usobno nezavisne. Stoga pod odre|enim okolnostima moè biti poèljno da se sa~uvaju informacije kao {to su ve} pomenuti koeficijenti, samo za minimalni skup nezavisnih efekata. Nezavisni efekti biraju se na razne na~ine. Tako na primer, ozna~avaju}i vertikalno pomeranje ekvipotencijalne povr{i sa u g , tj.

ug = ua + ui ,

(25.63)

najprirodniji skup nezavisnih efekata je { u l , u g , vl , g w }. Oni zavise od slede}ih linearnih

kombinacija

brojeva

optere}enja:

hn′ ,

1 + k n′ ,

l n′

i

1 + (2 / n) hn′ − ((n + 1)/n) k n′ (uporedi sa (13), (14), (25) i (22)). Svi drugi efekti, a to zna~i i sve druge korekcije, mogu se izvesti iz ovog minimalnog skupa. Na primer, korekcija relativnog vertikalnog izdizanja Zemljine povr{ine za plimatsku frekvenciju κ , koja je ina~e ekvivalentna korekciji trenutne ortometrijske visine (16), iznosi:

(OH w )κ

= −(ul )κ + (u g )κ .

(25.64)

Sli~no tome, korekcija nivelane visinske razlike u pravcu α i za frekvenciju κ glasi:

( Oδ lw )κ

=

∂ ( OH w )κ ∂ ( OH w )κ 2∆S ⎛ + sin α ⎜⎜ cos α gR ⎝ ∂φ cosφ ∂λ

⎞ ⎟⎟ . (25.65) ⎠

Izvo|enje ostalih formula prepu{ta se ~itaocu. Kona~no, ako se posmatra pet glavnih frekvencija κ ≡ { M 2 , S 2 , N 2 , O1 , K1 }, onda se mora memorisati samo dvadeset kompleksnih vektora cκe ∗ da bi se generisala

§ 25.4

Korekcije zbog deformacija usled kretanja polova i ostalih uzroka

707

bilo koja korekcija za bilo koju ta~ku u bilo kom trenutku vremena. Zbir doprinosa ovih pet frekvencija aproksimira}e morsku plimu dovoljno dobro za bilo koju geodetsku svrhu. 25.4. Korekcije zbog deformacija usled kretanja polova i ostalih uzroka Kinemati~ki aspekti kretanja pola obja{njeni su u podpoglavljima 5.3 i 5.4, a deformacije usled kretanja pola pomenute su u podpoglavlju 8.4. Me|utim, jo{ ni{ta nismo rekli o tome kako to kretanje uzrokuje bilo kakve deformacije. Da bi opisali deformacije kojima Zemlja i njeno polje teè reaguju na kretanje pola, podsetimo se prvo formule za centrifugalni potencijal Wc (6.26). On se moè napisati kao funkcija vremena u pogodnijoj formi:

Wc (τ ) = 12 ω 2 r 2 cos 2φ (τ ) .

(25.66)

Ova se formula odnosi naravno na ~vrstu Zemlju. Vide}emo kasnije kako se koriguje ovo pojednostavljenje. Latituda u (66) moè se posmatrati kao zbir srednje latitude φ u CT sistemu koordinata (podpoglavlje 15.1) i promene δφ (τ ) zbog kretanja pola. Onda se (66) moè napisati i kao:

Wc (τ ) = 12 ω 2 r 2 (cos 2φ − sin 2φ δφ (τ )) .

(25.67)

Prvi ~lan je o~igledno stacionarni deo centrifugalnog potencijala, dok se drugi ~lan moè nazvati potencijalom kretanja pola Wp :

Wp (τ ) = − 12 ω 2 r 2sin 2φ δφ (τ ) .

(25.68)

Promena latitude δφ lako se izraàva kao funkcija opaànih vremenski promenljivih koordinata trenutnog pola ((15.7) i (15.63)). Njena amplituda je oko 0.5′′ (vidi sliku 5.8) i ima dve glavne periode, êndlerovu i godi{nju. Uticaj Wp na ekvipotencijalne povr{i Zemljinog polja teè prikazan je na slici 11. Dvodimenzionalni izraz za Wp kao funkciju od φ i λ upotrebio je npr. LAMBECK [1980], i on se moè smatrati alternativom jedna~ine (68).

708


SLIKA 25.11. Potencijal kretanja pola

§ 25.4

Wp .

Smatraju}i jo{ uvek Zemlju ~vrstom, moè se postupiti kao u podpoglavlju 25.1 sa plimatskim efektima, i izvesti jedna~ine za tri efekta kretanja pola koji su od zna~aja za geodeziju. Za izdizanje ekvipotencijalnih povr{i u p zbog kretanja pola, dobija se:

up =

Wp g

= −

ω 2R2 2g

sin 2φ δφ .

(25.69)

Zamena za ω , R, g daje :

u p = −11.0 [km] sin 2φ δφ .

(25.70)

Primetimo da je izdizanje na ekvatoru i na polovima jednako nuli. Za φ = 45o i za raspon od 0.5′′ u δφ , maksimalni raspon za u p iznosi 2.7cm {to je samo nekoliko procenata od u t . Varijacije teè zbog kretanja pola date su za povr{ Zemlje kao:

§ 25.4


g p = −

∂Wp ∂r

= ω 2 Rsin 2φ δφ .

709

(25.71)

Zamena za ω i R daje:

g p = 3.4[Gal] sin 2φ δφ .

(25.72)

I ovde su promene du` ekvatora i na polovima jednake nuli. Maksimalni raspon pojavljuje se za φ = 45o , i iznosi oko 8.2 µGal za maksimalni raspon δφ , {to je opet svega nekolko procenata od plimatskih varijacija. Poslednji efekat je varijacija ekvipotencijalnih povr{i zbog kretanja pola. Za ~vrstu Zemlju dobija se:

θp =

(δg )

p hor

g

=

∂Wp gR∂φ

= −

ω 2R cos 2φ δφ . g

(25.73)

Nakon zamene sledi:

θ p = −0.0034 cos 2φ δφ .

(25.74)

Ovog puta nema nagiba na {irini 45o , ve} se maksimalni raspon od 0.0017′′ dostiè na polovima i ekvatoru. Ra~unanje horizontalnog napona zbog kretanja pola nije ni vredno truda. Po{to je plimatski horizontalni napon ve} sam po sebi veoma mali, napon uzrokovan kretanjem pola je sigurno zanemarljiv u bilo kojoj geodetskoj primeni. Za nalaènje efekata kretanja pola na realnu deformabilnu Zemlju, neophodno je uzeti u obzir Zemljinu reologiju. Ako je elasti~na reakcija dovoljno dobra aproksimacija, onda Lav brojevi h2 , k 2 , i l 2 adekvatno opisuju situaciju, pri ~emu je talasni broj deformacione sile 2, dakle isti kao i dominantni deo plimatske sile. U tom slu~aju sve formule za plimatske korekcije razvijene u podpoglavlju 25.2 mogu da se upotrebe zamenom Wp za Wt (ili za W2 ). Izvo|enje se prepu{ta ~itaocu. Viskoelasti~na reakcija na pritisak uzrokovan kretanjem pola nije poznata. Samo jedan efekat kretanja pola je realno opaàn, a i on samo za êndlerovu frekvenciju. To je varijacija nivoa mora (vidi npr. HOLLAND AND MURTY [1970], CURRIE [1975]). Uzimaju}i da je amplituda êndlerove komponente od δφ oko 0.2′′ , opaàna varijacija nivoa mora na elasti~nu Zemljinu povr{inu bila bi

710


§ 25.4

(1 + k 2 − h2 ) u p , {to daje amplitudu od oko 0.7[cm] sin 2φ . VANI~EK [1978] je odredio srednju amplitudu od 0.97 ± 0.30 cm iz stvarnih podataka nivoa mora du` ameri~ke obale na prose~noj latitudi φ = 45o . Varijacija teè sa êndlerovom frekvencijom i amplitudom od 0.7 µGal koju je odredio GOODKIND [1978] je po autorovom mi{ljenju pod znakom pitanja. O~igledno je da su efekti kretanja pola mali i da nemaju zna~aja za rutinske geodetske radove. Me|utim, ovi efekti se mogu osetiti u veoma preciznim merenjima globalne prirode baziranim na opaànjima prema ekstraterestri~kim objektima. Kada pozicioniranje i gravimetrijska merenja budu u budu}nosti jo{ preciznija, korekcije zbog kretanja pola i posledi~nih deformacija primenjiva}e se rutinski. Primetimo da je k 2 g p gravitacioni efekat na satelite. Sateliti ose}aju samo efekat privla~enja deformacija jer nisu vezani za Zemlju. Da li varijacije u brzini Zemljine rotacije imaju neki efekat na Zemljine deformacije? Da bi odgovorili na ovo pitanje uzmimo ponovo za primer centrifugalni potencijal Wc . Ako se zanemare promene u a i φ kao reakcije na varijaciju brzine rotacije Zemlje δω (τ ) , onda je promena potencijala Wc kao reakcija na δω (τ ) data sa:

Wr (τ ) = 2Wc

δω (τ ) . ω

(25.75)

Ova veli~ina moè se nazvati potencijalom zbog varijacija brzine rotacije. Ako je najve}a promena u Zemljinoj rotaciji 10µs dnevno (podpoglavlje 5.4), gornja granica relativne promene iznosi:

δω (τ ) < 1.2 × 10 −10 . ω

(25.76)

Imaju}i u vidu veli~inu potencijala Wc (vidi podpoglavlje 6.1), i dozvoljavaju}i da i promene u a i φ zna~ajno doprinose potencijalu Wr , ukupni efekat je jo{ uvek zanemarljiv. Ustvari, deformacije zbog varijacija Zemljine brzine rotacije nisu merljive ni najpreciznijim instrumentima, pa se stoga slobodno mogu zanemariti u svim geodetskim radovima. Na geodetske veli~ine uti~u naravno i drugi fenomeni nabrojani u poglavlju 8. Nijedan od njih me|utim nije dovoljno poznat niti se moè modelirati kao fenomeni iz ovog poglavlja. Prema tome, kada su efekti i zna~ajniji nego efekti iz

§ 25.4


711

ovog poglavlja, njihova predikcija moè biti problemati~nija. Bilo koja odluka za ra~unanje korekcija ili ne treba da se zasniva na proceni da li je povoljnije korigovati slabo poznatim korekcijama ili ne korigovati uop{te. Ne verujemo da postoji op{ti recept, i svakako je potrebno konsultovati kvalifikovanog geofizi~ara pre bilo koje odluke.

POGLAVLJE 26

ODRE\IVANJE VERTIKALNIH POMERANJA

Vrste pomeranja koja se detektuju i kvantifikuju geodetskim metodama bile su opisane u podpoglavljima 8.2 do 8.4. Ova pomeranja mogu biti u prostoru kontinualna (npr. postglacijalno izdizanje) ili diskontinualna (npr. jedna vrsta kretanja dve susedne tektonske plo~e). Ona tako|e mogu biti i u vremenu kontinualna (npr. pomeranja zbog ekstrakcije vode iz tla) ili diskontinualna odnosno epizodna (npr. koseizmi~ka kretanja). Osim toga, ponekad je pogodno podeliti traèna pomeranja na linearna po vremenu (npr. pomeranja zbog optere}enja sedimentacijom) i ubrzana (npr. pomeranja koja prethode zemljotresima). Postoje tako|e i razne vrste geodetskih podataka koji sadrè informacije o pomeranjima. Ovi podaci mogu biti diskretni ili kontinualni u vremenu, relativni ili apsolutni, i mogu se odnositi na ta~ku, liniju ili povr{inu. Podaci koji mogu biti sasvim razli~itih ta~nosti, prikupljaju se ili za potrebe otkrivanja i kvantifikovanja pomeranja, ili u sasvim druge svrhe. Do sada re~eno defini{e ustvari glavni problem, koji se ovde sastoji u tome da se objedine razni tipovi podataka zajedno sa modelima dizajniranim da otkriju i opi{u razli~ite vrste pomeranja. Prvo podpoglavlje diskutuje postoje}e tipove geodetskih podataka, njihovu dostupnost i ta~nost. Drugo podpoglavlje posve}eno je istraìvanju veze izme|u vremenskih varijacija teè s jedne, i vremenskih varijacija visina i vertikalnih pomeranja s druge strane. Ono tako|e specificira referentni sistem u kojem se odre|uju vertikalna pomeranja. Tre}e podpoglavlje bavi se modelima za profile pomeranja, a ~etvrto obra|uje povr{inski pristup modeliranju. 26.1. Izvori informacija o vertikalnim pomeranjima Kao {to je ve} konstatovano, sa vremenske ta~ke gledi{ta geodetski podaci mogu biti kontinualni ili diskretni, pri ~emu su ovi prvi pogodniji ali skuplji. Sa prostorne ta~ke gledi{ta, bolja je povr{inska pokrivenost ali je istovremeno i ona tako|e skuplja. Po pravilu, podataka nikad nema dovoljno, i zato je u procesu otkrivanja 712

§ 26.1

Izvori informacija o vertikalnim pomeranjima

713

vertikalnih pomeranja kore neophodno koristiti sve dostupne podatke ~ak i kada su originalno bili prikupljani u sasvim druge svrhe. Postoje ~etiri osnovne vrste podataka koji su pogodni za odre|ivanje vertikalnih pomeranja: (a) varijacije nivoa mora, (b) ponovljene vertikalne pozicije, (c) promene nagiba i (d) promene teè. (a) Najdirektniji tip podataka su varijacije nivoa mora registrovane automatskim mareografima. One se registruju u osnovi za okeanografske potrebe. Ve} smo imali diskusiju tih registracija u kontekstu odre|ivanja vertikalnog datuma (podpoglavlje 19.1), a sada }emo ih bliè opisati sa stanovi{ta otkrivanja vertikalnih pomeranja. Videli smo da se {um u registracijama zbog varijacija nivoa vode moè u odre|enoj meri filtrirati ako su dostupni pomo}ni podaci kojima se moè konstruisati linearni filter. Sa stanovi{ta pomeranja kore, signal je sastavljen od linearnog ~lana c E (τ − τ 0 ) , nakon oduzimanja eustati~kog porasta nivoa mora, i epizodnih pomeranja skrivenih u reziduumima (uporedi sa (19.1)). Linearni ~lan korigovan za eustati~ki porast nivoa mora, reflektuje naravno linearna vertikalna pomeranja kopna u odnosu na srednji nivo mora, na lokalitetu mareografa. Ako za trenutak pretpostavimo da je eustati~ki porast ta~no poznat, linearna pomeranja mogu se odrediti sa ta~no{}u od oko σ = 2 cm po stole}u. To vaì pod uslovom da postoje registracije nivoa mora u trajanju od bar 30 godina, i da su dostupne barem glavne vrste pomo}nih podataka (podpoglavlje 19.1) za konstrukciju filtera [VANI~EK, 1978]. Reziduumi (slika 19.3) su zna~ajno zaga|eni nemodeliranim efektima odnosno nefleksibilno{}u ranije opisanog linearnog modela. Uprkos tome, registracije nivoa mora predstavljaju vrednu informaciju o ubrzanom kretanju. Signal (tj. epizodna pomeranja) trajanja ~etiri ili vi{e meseci, i sa amplitudom od najmanje 10cm trebalo bi da bude vidljiv i prepoznatljiv u {umu. (b) Slede}a vrsta podataka su ponovljeni vertikalni poloàji. Nije te{ko videti da se, ako se ta~ka vertikalno pomeri izme|u dva odre|ivanja njenog vertikalnog poloàja, to pokazuje direktno kao promena poloàja. I obratno, ako se otkrije promena poloàja to je indikator vertikalnog pomeranja. Za sada ne postoje sistemi sposobni za kontinualno merenje varijacija u vertikalnim poloàjima. Kao {to smo videli u podpoglavlju 15.3, postoje}e tehnike za vertikalno pozicioniranje ta~ke imaju ta~nost koja omogu}uje istraìvanje samo najizraènijih vertikalnih pomeranja kao {to su koseizmi~ka. Isto vaì i za ve}inu terestri~kih metoda relativnog pozicioniranja (podpoglavlja 16.1 i 16.4).

714


§ 26.1

SLIKA. 26.1. Ponovno nivelani segment.

(c) Samo rezultati nivelmana vi{ih redova imaju op{tu vrednost u kontekstu ovog poglavlja. Elementarni deo korisnih podataka je visinska razlika ∆lij izme|u dva repera, nivelana u dve razli~ite epohe τ 1 i τ 2 . Interpretacija takvog ponovno nivelanog segmenta data je na slici 1. O~igledno je da ponovno nivelani segment daje vremenski diskretnu informaciju o promeni nagiba izme|u doti~na dva repera. Segmenti se mogu nivelati za potrebe istraìvanja pomeranja kore, ali je to obi~no u kontekstu odre|ivanja vertikalnih poloàja. Zbog toga njihov raspored u prostoru i vremenu nije optimalan za istraìvanje pomeranja. Prostorna konfiguracija moè biti rasuta, linearna ili povr{inska. Vremenska odre|ivanja mogu biti slu~ajna, ili ograni~ena na usko definisane vremenske intervale. Sve ove karakteristike moraju se uzeti u obzir kada se formuli{u matemati~ki modeli pomeranja. Postoji nekoliko va`nih pitanja vezanih za podatke nivelmana, koja je potrebno prodiskutovati. Kao {to smo videli u podpoglavlju 16.4, da bi se dobila bilo koja vrsta visinskih razlika iz opaànih visinskih razlika, potrebno je uzeti u obzir efekat stvarnog polja teè. To se realizuje dodavanjem korekcija nivelanim visinskim razlikama ((16.93) i (19.5)). Prema tome, vrednost razlika visinskih razlika u bilo kom sistemu visina:

δ∆H ij (τ 1 , τ 2 ) = ∆H ij (τ 2 ) − ∆H ij (τ 1 ) ,

(26.1)

zavisi ne samo od relativnog vertikalnog pomeranja Pj u odnosu na Pi i sistematskih i slu~ajnih gre{aka procesa merenja, ve} i od razlike dve korekcije za ∆l ij (τ 1 ) i ∆l ij (τ 2 ) zbog stvarnog efekta teè. Jedan od na~ina da se prakti~no elimini{e efekat teè (za detaljnu diskusiju vidi podpoglavlje 26.2) i zna~ajno smanje neke od drugih gre{aka, jeste da dva nivelanja slede istu putanju izme|u Pi i Pj i da imaju uporedive duìne vizura. Kad su ovi zahtevi zadovoljeni zna~ajno se smanjuju gre{ke vezane za geografsku lokaciju (npr. sleganje nivelmanskih papu~a i

§ 26.1

Izvori informacija o vertikalnim pomeranjima

715

podmeta~a), visinu i visinski gradijent (npr. rezidualna refrakcija iz podpoglavlja 19.2) i pravac nivelanja (npr. efekti Sun~evog zra~enja). Ali i pored toga preostaju gre{ke zbog kojih se interpretacija razlika visinskih razlika mora izvoditi pa`ljivo i uz konsultaciju geofizi~kih dokaza (vidi npr. CHI ET AL. [1980]). O ovome }e vi{e re~i biti u podpoglavlju 26.3. Postoje i drugi podaci o promenama nagiba. Najo~iglednije su mareografske registracije varijacija nivoa vode jezera. Ovi mareografi kontinualno registruju podatke za hidrolo{ke svrhe. Registracije nivoa jezerske vode ne mogu se koristiti na isti na~in kao registracije nivoa mora, jer su fluktuacije nivoa jezera iz godine u godinu kao i okviru jedne godine mnogo izraènije nego u slu~aju morske vode. Razlog su uglavnom taloènje i ljudska aktivnost. Registrovani podaci su stoga upotrebljivi samo u diferencijalnom smislu. Razlika registracija dva mareografa predstavlja razliku u njihovim vertikalnim pomeranjima. Kao i u slu~aju nivoa mora, i ovde je potrebno eliminisati sve {umove koji poti~u od dinamike vode. Ali ovaj zahtev nije tako strog kao kod nivoa mora, jer se najve}i deo {uma koji je zajedni~ki za oba mareografa elimini{e u formiranju razlika. Nalaènje razlike dva vremenski linearna vertikalna kretanja konceptualno je prikazano na slici 2. Deljenjem razlike sa rastojanjem izme|u dva mareografa dobija se linearna varijacija nagiba koja se odnosi na lokalnu ekvipotencijalnu povr{. Za ilustraciju upotrebe podataka nivoa jezerske vode u istraìvanjima pomeranja kore, ~italac se upu}uje na COORDINATING COMMITTEE ON GREAT LAKES BASIC HYDRAULIC AND HYDROLOGIC DATA [1977].

SLIKA 26.2. Varijacije nivoa jezerske vode.

716


§ 26.2

Varijacije ta~kastih nagiba mere se tiltmetrima. Ovi instrumenti zasnivaju se na razli~itim fizi~kim principima, i mere varijacije me|usobnog nagiba stene na kojoj su montirani i lokalne ekvipotencijalne povr{i. Tiltmetri moraju biti dovoljno osetljivi da bi bili upotrebljivi. Uobi~ajen zahtev je da osetljivost bude najmanje 1ms (lu~no), tj. 5 nanoradijana. Na ovom nivou osetljivosti uvek je me|utim diskutabilno da li su registrovani dugoperiodi~ni i vekovni nagibi realni ili prividni. Oni ~esto reflektuju pona{anje samog instrumenta ili mikro okruènja, i nisu reprezentativni za {iru okolinu [CABANISS, 1978; BRAGARD, 1980]. Ne{to bolja situacija je kod duga~kih hidrostati~kih tiltmetara [BOWER, 1973]. Ovi instrumenti mere i registruju nagib dve ta~ke udaljene me|usobno od nekoliko metara do nekoliko stotina metara. Stabilnost ovih instrumenata je bolja, a registrovani nagib moè se smatrati reprezentativnim za celo okolno podru~je. (d) Poslednja vrsta podataka o vertikalnim pomeranjima su ponovljena opaànja teè. Varijacije u teì uzrokovane su ili vertikalnim pomeranjem ta~ke opaànja ili preraspodelom masa unutar Zemlje. Pitanje me|uveze varijacija teè i visina bi}e detaljnije obra|eno u narednom podpoglavlju. Ovde je dovoljno re}i da su promene teè obi~no indikator vertikalnih pomeranja. Po{to su varijacije teè najjeftiniji dostupni podaci [LAMBERT AND VANI~EK, 1979] obi~no se koriste za detekciju pomeranja. Ponovljena gravimetrijska merenja su diskretna u prostoru i vremenu, i povezana sa projektima koji obi~no nemaju nikakve veze sa vertikalnim pomeranjima. Precizni gravimetri se ponekad koriste za opaànja u posebno projektovanim lokalnim gravimetrijskim mreàma [LAMBERT AND BEAUMONT, 1977]. Postoje tako|e i gravimetri sa kontinualnom registracijom i ta~no{}u od delova mikrogala. Neki od njih imaju i veoma dobru dugoro~nu stabilnost od npr. 3µGal godi{nje [GOODKIND, 1978]. 26.2. Me|uzavisnost vremenskih varijacija teè i visina U podpoglavlju 8.2 pokazano je koliko se teà moè promeniti kao rezultat postglacijalnog izdizanja. Plimatske varijacije teè diskutovane su podpoglavljima 8.1 i 25.2, varijacije zbog optere}enja plimatskom vodom u podpoglavlju 25.3, i fluktuacije prouzrokovane pomeranjem polova u podpoglavlju 25.4. Kao {to znamo postoje i drugi uzroci promene teè: tektonika plo~a, lokalna sleganja, fluktuacije podzemnih voda itd. Sa izuzetkom koseizmi~kih varijacija, najspektakularnije promene povezane su sa preseizmi~kim kretanjem u regionima akumulacije napona du` aktivnih raseda. One mogu dosti}i stotine mikrogala u toku jedne godine [BEAUMONT, 1976]. Promene teè uzrokovane lokalnim sleganjem imaju istu brzinu kao one povezane sa postglacijanim izdizanjem, tj. oko deset mikrogala godi{nje [BEAUMONT, 1976]. Fluktuacija podzemnih voda zna~ajno varira u veli~ini

§ 26.2

Me|uzavisnost vremenskih varijacija teè i visina

717

od ta~ke do ta~ke, kao i promene teè uzrokovane ovom fluktuacijom. Prema LAMBERT AND BEAUMONT [1977], ove promene koje su uglavnom sezonskog karaktera, mogu dosti}i desetine mikrogala. Kona~no, tektonska kretanja unutar plo~a litosfere imaju za posledicu varijacije od nekoliko stotina delova mikrogala godi{nje [BEAUMONT, 1976], {to nije mogu}e meriti dana{njim instrumentima. Situacija je prikazana na slici 3. Glavni problem sa opaànim varijacijama teè vezan je za interpretaciju. Koliko je opaàna promena rezultat preraspodele masa unutar Zemlje, a koliko stvarnog vertikalnog pomeranja? Kao odgovor, JACHENS [1978] je izveo granice za odnose promena teè i visina, koji odgovaraju razli~itim fizi~kim fenomenima. Rezultati do kojih je do{ao numeri~kim modeliranjem prikazani su na slici 4. Radi upore|enja dodat je odnos za plimu Zemljinog tela, sra~unat za opaàne promene teè (uporedi sa (25.23)) i geodetskih visina (uporedi sa 25.13). Pomo}u ovog dijagrama mogu}e je konvertovati opaàne promene teè u vertikalna pomeranja ako je fizi~ki uzrok pomeranja poznat. Treba primetiti da efekti fluktuacije podzemnih voda i vulkanskog popunjavanja podzemnih pe}ina kao i drugih sli~nih fenomena ne mogu biti prikazani na dijagramu, jer odgovaraju}i odnosi teè beskona~nosti po{to nema promena visina ( δh = 0 ).

SLIKA 26.3. Karakteristi~ne dugoro~ne varijacije teè.

718


§ 26.2

SLIKA 26.4. Odnosi promena teè i visina za razli~ite fizi~ke fenomene. (Ljubazno{}u Dr. R. C. JACHENS [1979], U. S. Geological Survey.)

O~igledno je da se malo toga moè zaklju~iti na osnovu opaànih promena teè, osim da je mogu}e vertikalno pomeranje. S druge strane, opaàne promene visina mogu se smatrati pouzdanim reprezentima stvarnih vertikalnih pomeranja, po{to je uticaj varijacija teè na opaàne promene visina relativno mali. Da bi to dokazali, pokaìmo prvo da je promena u opaànoj visinskoj razlici ∆l za sve prakti~ne potrebe ekvivalentna promeni u ortometrijskoj visinskoj razlici ∆H O , ~ak i kada su varijacije teè ekstremne. (a) Imaju}i u vidu (1), promena u ortometrijskoj visinskoj razlici izme|u dva repera Pi , Pj moè se napisati kao (uporedi sa (16.92) i (19.5)):

δ∆H ijO = δ∆lij + δDCij + δOCij ,

(26.2)

§ 26.2

Me|uzavisnost vremenskih varijacija teè i visina

719

gde je δDC ij promena u dinami~koj korekciji, a δOC ij promena u ortometrijskoj korekciji. Ako je ponovno nivelanje sledilo istu putanju kao prvo, ova promena moè biti samo rezultat razlike δg u teì i razlike u visinama. Diferenciranje zbira dinami~ke i ortometrijske korekcije, i zamena za srednju teù du` vertikale daje [VANI~EK ET AL., 1980]:

∆l ij

∇g i H ⎛ ⎞H + ⎜⎜ δg i + δ∇g i i + δH i ⎟⎟ i g 2 2 ⎝ ⎠ g H j ∇g j ⎛ ⎞Hj − ⎜⎜ δg j + δ∇g j + δH j ⎟⎟ , 2 2 ⎝ ⎠ g

δDC ij + δOC ij = δg ij

(26.3) gde je δg ij prose~na promena povr{inske teè izme|u Pi , Pj , ∇g je vertikalni gradijent teè, a g je srednja globalna vrednost teè. îtalac se moè uveriti da je i pod ekstremnim okolnostima zbir δDCij + δOCij reda najvi{e 1mm. (b) Do sada ni{ta nije re~eno o efektu promene teè na geoid. Pomenute ortometrijske visinske razlike ∆H ijO se u svakoj epohi τ odnose na trenutni geoid. Koliko se trenutni geoid razlikuje od srednjeg geoida, pitanje je na koje èlimo sada odgovoriti. Uzmimo Stouksovu formulu (22.17) koja daje geoidnu visinu N iznad geocentri~nog referentnog elipsoida kao funkciju anomalija slobodnog vazduha ∆g . Ozna~avaju}i srednju anomaliju u prstenu na sfernoj udaljenosti ψ od ta~ke ra~unanja sa ∆g , sledi:

1 ∆g (ψ ) = 2π

2π

∫ ∆g (ψ ,α ) dα .

(26.4)

0

Upotreba funkcije F (vidi (22.72)) daje: π

N =

R ∆g (ψ )F (ψ ) dψ . 2g 0

∫

(26.5)

Sada je promena u N zbog promene teè jednaka: π

R δN = δ ∆g (ψ )F (ψ ) dψ . 2g 0

∫

(26.6)

720

§ 26.2


gde je δ ∆g (∆g ) srednja promena anomalije teè u okviru sferne duìne ψ . Neka se promene teè i visine javljaju samo u okviru radijusa ψ max ta~ke posmatranja, tj. δ ∆g = 0 za ψ > ψ max . Integracija formule (6) po delovima daje [VANI~EK ET AL., 1980]:

R 2g

δN = −

ψ max

∫ 0

∂ δ ∆g (ψ )χ (ψ ) dψ , ∂ψ

(26.7)

pri ~emu je χ bilo definisano sa (22.74). Za ψ < 10° , χ (ψ ) se moè aproksimirati sa 2.3ψ [LAMBERT AND DARLING, 1936]. [tavi{e, imaju}i u vidu anomalije slobodnog vazduha, sledi:

δ ∆g (ψ ) = δg (ψ ) + 0.31[mGal m −1 ]δH (ψ ) ,

(26.8)

gde je δg (ψ ) srednja promena povr{inske teè, a δH (ψ ) srednje vertikalno pomeranje, oboje na sfernom rastojanju ψ . Zamenjuju}i ovaj rezultat u (7) kona~no se dobija:

δN = −7.4 [

ψ max

mGal −1

m]

∫ 0

∂δg (ψ ) ψ dψ − 2.3 ∂ψ

ψ max

∫ψ 0

∂δH (ψ ) dψ . ∂ψ (26.9)

Radi ilustracije, pretpostavimo konusni model za δg i δH , pri ~emu se maksimum

δg max , δH max dostiè u ta~ki posmatranja (ψ = 0 ), a δg i δH se linearno smanjuju na nulu za ψ = ψ max ≤ 10° (slika 5). Gornja formula se u tom slu~aju redukuje na:

(

)

δN = 7.4 [mGal −1 m] δg max + 2.3 δH max ψ max . Za

male

konusne

oblike

reda

100km,

promena

geoida

(26.10) je

mala.

Za

δg max = 100µGal, ψ max = 1° dobija se δN = 1.3 cm + 0.04 δH max . Modeli drugih oblika daju ~ak i manje vrednosti za δN .

Poslednje pitanje koje je potrebno razjasniti odnosi se na vremenske promene geoida koje su rezultat njegove definicije pomo}u srednjeg nivoa mora. Kao {to je ve} istaknuto u podpoglavlju 19.1, posledica standardne definicije je da se oblik,

§ 26.3

Profili vertikalnih pomeranja

721

SLIKA 26.5. Konusni model vertikalnih pomeranja i promene teè.

potencijal, pa ~ak i veli~ina geoida menjaju sa eustati~kim porastom nivoa mora, smanjuju}i tako sve visine u svetu za 0.6mm do 1mm svake godine. Naravno, ~ak i da je potencijal geoida fiksan, oblik bi se jo{ uvek menjao kao reakcija na preraspodelu vode i leda na Zemlji. U kontekstu vertikalnog pozicioniranja pogodno je dràti geoid fiksnim u odnosu na mareografe (vidi podpoglavlje 19.1), ali to oteàva druge primene. Za potrebe istraìvanja vertikalnih pomeranja bolje je prihvatiti ~injenicu da geoid varira sa vremenom. 26.3. Profili vertikalnih pomeranja Od izvora informacija diskutovanih u podpoglavlju 26.1, merenja ta~kastog nagiba su od male vrednosti, tehnike koje koriste opaànja ka ekstraterestri~kim objektima nisu jo{ uvek dovoljno ta~ne, varijacije teè name}u problem interpretacije, a podaci o nivou jezerske vode su retki. Sledi da su ponovno nivelani segmenti zajedno sa registracijama nivoa mora primarni podaci za otkrivanje vertikalnih pomeranja. U mnogim slu~ajevima ponovno nivelani segmenti tako su povezani da ~ine kontinualni profil. Ova situacija se javlja kada je na primer cela nivelmanska linija ponovno nivelana. Ako je prvo nivelanje izvedeno u epohi τ 1 , a drugo u epohi τ 2 , relativno vertikalno pomeranje zajedni~kih repera moè se jednostavno naneti na kumulativni profil relativnog pomeranja (vidi gornji deo slike 6). Po{to nivelana linija nije u op{tem slu~aju prava, ponekad je pogodno crtati profil u perspektivi. To je radi ilustracije ura|eno u donjem delu slike 6. Ako je linija povezana sa mareografom A za koji postoje registracije u periodu τ 1 , τ 2 , onda se relativna vertikalna pomeranja mogu konvertovati u apsolutna vertikalna pomeranja uzimanjem u obzir apsolutnog

722

§ 26.3


SLIKA 26.6. Profil relativnog vertikalnog pomeranja.

pomeranja δH A mareografa A (vidi sliku 7). Jasno je da ovo pomeranje mareografa A , koje se ina~e smatra linearnim u periodu τ 1 , τ 2 , iznosi:

δH A (τ 1 , τ 2 ) = −(c E − rE )(τ 2 − τ 1 ) ,

(26.11)

gde je c E bilo definisano u podpoglavlju 19.1, a rE je eustati~ki porast nivoa mora. Primetimo da je predznak negativan. Kao {to je istaknuto u podpoglavlju 26.1, ponovno nivelane visinske razlike optere}ene su gre{kama. Ne izraàvaju sve varijacije u profilima samo vertikalno pomeranje repera. Stoga se preporu~uje ne samo nano{enje akumuliranih pomeranja δH n ve} i akumuliranih standardnih devijacija σ δH n (slika 7). Po{to je

δH n dato o~iglednom jedna~inom (uporedi sa (1)): n

n

n

i =1

i =1

i =1

δH n = δH A + ∑δ∆H i = δH A + ∑ ∆H i (τ 1 ) − ∑ ∆H i (τ 2 ) ,

(26.12)

§ 26.3


723

SLIKA 26.7. Profil apsolutnih vertikalnih pomeranja sa granicama gre{aka.

onda se njena standardna devijacija σ δH n moè napisati kao:

σ δ2H n = σ δ2H A + uCδ∆H uT = σ δ2H A + u(C ∆H (τ 1 ) + C ∆H (τ 2 ) )uT ,

(26.13)

pri ~emu je u vektor od ( n − 1 ) jedinica. Kada se kovarijanse bliske nuli, tj. kada su odre|ivanja ∆H statisti~ki nezavisna {to se u praksi obi~no pretpostavlja, onda se (13) redukuje na: n

σ δ2H = σ δ2H + ∑ ⎡⎣σ ∆2H (τ ) + σ ∆2H (τ ) ⎤⎦ n

A

i =1

i

i

1

2

.

(26.14)

Ako je uz to svako nivelanje bilo izvedeno posebnom ta~no{}u σ 12 obzirom na

jedini~nu duìnu (vidi podpoglavlje 19.2), onda se aposteriori ocena σˆ 12 od σ 12 moè koristiti da se dalje pojednostavi gornja jedna~ina:

[

]

n

σ δ2H n = σ δ2H A + σˆ 12 (τ 1 ) + σˆ 12 (τ 2 ) ∑ ∆S i i =1

ili

[

]

σ δ2H n = σ δ2H A + S n σˆ 12 (τ 1 ) + σˆ 12 (τ 2 ) , gde je S n akumulirana duìna n -tog repera Pn u odnosu na A .

(26.15)

724

§ 26.3


Interesantno je da ako su dva nivelanja istog segmenta ( ∆H i (τ 1 ) i ∆H i (τ 2 ) ) statisti~ki pozitivno zavisni, tada je gre{ka od δ∆H i

manja. Ozna~avaju}i

kovarijansu izme|u dva rezultata sa σ i (τ 1 , τ 2 ) a njihove varijanse sa σ i2 (τ 1 ) i

σ i2 (τ 2 ) , za koeficijent korelacije ρ12 moè se napisati: ρ12 = σ i (τ 1 , τ 2 ) (σ i (τ 1 ) , σ i (τ 2 )) .

(26.16)

S sruge strane kovarijacioni zakon daje:

σ δ2∆H i = σ i2 (τ 1 ) − 2σ i (τ 1 , τ 2 ) + σ i2 (τ 2 ) .

(26.17)

Pretpostavljaju}i sada bez {tete po op{tost da je σ i (τ 1 ) = σ i (τ 2 ) = σ i , sledi:

σ δ2∆H i = 2σ i2 (1 − ρ12 ) ,

(26.18)

{to je o~igledno ( 1 − ρ12 ) puta manje nego {to bi bilo da nema statisti~ke zavisnosti. Na osnovu utvr|ene statisti~ke zavisnosti izme|u nivelanja napred i nazad (vidi podpoglavlje 19.3) logi~no je o~ekivati da stepen statisti~ke zavisnosti izme|u dva nivelanja po istom terenu bude veoma visok. Ovu statisti~ku zavisnost izazivaju zajedni~ki sistematski efekti koji zavise od visine, gradijenta visine, tipa tla, azimuta pravca nivelanja itd. Prema tome, vertikalna pomeranja dobijena iz ponovno nivelanih segmenata ta~nija su nego nivelane visine. Ostaje me|utim pitanje kakav efekat ima rezidualna refrakcija (vidi podpoglavlje 19.2) na δ∆H i . Da bi istraìli ovaj efekat, napi{imo (19.12) upotrebom nagiba terena β = δ l / ∆S kao:

δH R = A∆tβ∆S 3 .

(26.19)

Efekat refrakcije na δ∆H i (τ 1 , τ 2 ) onda se pribli`no dobija kao razlika:

δ (δ∆H i )R = Aβ i [∆t (τ 2 )∆S i3 (τ 2 ) − ∆t (τ 1 )∆S i3 (τ 1 )] .

(26.20)

Ako se ni duìne vizura ∆S i ni temperaturni gradijenti ∆t nisu zna~ajno promenili u dva nivelanja, efekat je o~igledno zanemarljiv. Sre}om ovo drugo je obi~no slu~aj na strmom terenu (za veliko β i ), gde najve}u duìnu vizure diktira nagib. S druge strane, ako se pojavi sistematska promena u duìnama ∆S zbog npr. promene

§ 26.3


725

terenskog postupka merenja, moè se nagomilati sistematski efekat na visinske razlike. O~igledno da ako su na raspolaganju samo dva nivelanja iste linije, jedino {to se moè uraditi je da se vertikalna pomeranja du` nivelmanske linije interpretiraju kao rezultat neubrzanog odnosno linearnog vertikalnog kretanja nastalog u periodu izme|u τ 1 i τ 2 . Za sada pretpostavimo da su pomeranja linearna i razmotrimo ne{to komplikovaniji slu~aj poligona. Ako je poligon nivelan u dva dela, A do B i B do A u dve razli~ite epohe τ 1 i τ 2 , onda se vi{e ne moè o~ekivati da zbir visinskih razlika u poligonu bude nula. Nezatvaranje koje se naziva kinemati~kim nezatvaranjem poligona indikator je veli~ine diferencijalnog kretanja izme|u A i B koje se pojavilo u periodu τ 1 , τ 2 . Me|utim iz njega se ni{ta ne moè saznati o pomeranjima du` poligona. To postaje mogu}e tek kada se poligon ili njegov deo ponovo nivela. Ako je poligon u celini bio nivelan dva puta u epohama τ 1 , τ 2 , onda se moè prosto tretirati kao zatvoreni profil. Jedina razlika je {to se dve krajnje ta~ke zatvorenog profila poklapaju i nemaju relativno pomeranje. Situacija postaje komplikovanija kada su pojedine linije poligona nivelane u razli~itim epohama. Jedan takav jednostavni primer prikazan je na slici 8. Dok prvo nivelanje izvedeno u epohi τ 1 daje nezatvaranje koje se moè raspodeliti du` poligona, to nije mogu}e sa ponovnim nivelanjem izvedenim u epohama τ 2 i τ 3 jer se ona ne mogu sastaviti. Visinska razlika ∆H AB (τ 2 ) razlikuje se u op{tem slu~aju od ∆H AB (τ 3 ) (vidi sliku 8). Me|utim, pod pretpostavkom linearnog kretanja,

SLIKA 26.8. Poligon nivelan u tri razli~ite epohe i dijagram relativnih pomeranja.

726


§ 26.3

slede}i uslov mora biti zadovoljen:

δ∆H AB (τ 1 , τ 3 ) δ∆H AB (τ 1 , τ 2 ) − = v B − v A = δv AB = const. τ 2 −τ1 τ 3 −τ1

(26.21)

gde je konstantna vertikalna brzina od A ozna~ena sa v A , a od B sa v B . Ako je prvo nivelanje poligona izravnato na zatvaranje, onda razlika δ∆H AB (τ 1 , τ 2 ) − δ∆H AB (τ 1 , τ 3 ) nije ni{ta drugo nego nezatvaranje akumulirano za period τ 2 , τ 3 . Slu~ajevi sa vi{e od dva prekida poligona i slu~ajevi sa poligonima sastavljenim od linija razli~itih redova ostavljaju se ~itaocu za ve`bu. Ideja o upotrebi kinemati~kih nezatvaranja za izravnanje relativnih brzina direktno se moè pro{iriti na celu mreù ponovno nivelanih poligona [KORHONEN, 1961]. Ovu temu detaljno }emo razraditi u narednom podpoglavlju. Ono {to treba ista}i je da se standardno stacionarno izravnanje vertikalnih poloàja (podpoglavlje 19.2) ne sme sprovoditi sa poligonima koji nisu nivelani u jednoj epohi. Takvo izravnanje bilo bi opravdano samo pod pretpostavkom da su razlike vertikalnih brzina jednake nuli. U protivnom }e rezultirati distorzijom visina koje se onda ne mogu pridruìti jednoj kona~noj epohi. Name}e se o~igledno pitanje: Ako je poligon kompletno nivelan u dve razli~ite epohe, mogu li se visine jednostavno izravnati za prvu i drugu epohu, a vertikana pomeranja izvesti kao razlika dva skupa visina dobijenih na taj na~in? Odgovor je da! Me|utim, nedostatak ovog pristupa je {to je potrebno veoma pa`ljivo formulisati pravilan model gre{aka. Standardna formulacija vodi precenjivanju gre{aka odnosno podcenjivanju ta~nosti rezultuju}ih pomeranja. Razlozi }e biti navedeni u narednom poglavlju u kontekstu horizontalnih mreà. U regionima za koje se zna ili sumnja da postoje nelinearna kretanja pojavljuje se problem ubrzanih kretanja, i njihovo odre|ivanje zahteva da se nivelanje vr{i u vi{e od dve epohe. Ova se potreba javlja pre svega u seizmi~kim podru~jima. Dobro su razra|eni geodetski programi za seizmi~ki aktivne zone u Japanu, i u odre|enoj meri u Americi [RIKITAKE, 1976]. Ovi programi, ~iji je cilj razumevanje mehanizma zemljotresa, skoncentrisani su na merenje preseizmi~kih, koseizmi~kih i postseizmi~kih kretanja du` granica tektonskih plo~a (podpoglavlje 8.3). Rezultati ponovljenih nivelanja za odre|ivanje ubrzanih kretanja mogu se naneti kao skup prostornih profila. Slika 9 pokazuje jedan takav skup profila opaànih u periodu od 1961. do 1971. godine, koji obuhvata i zemljotres ja~ine 6.4 koji se 9.

§ 26.3


SLIKA 26.9. Prostorni profili preseizmi~kih i koseizmi~kih vertikalnih pomeranja.

SLIKA 26.10. Vremenski profili preseizmi~kih i koseizmi~kih vertikalnih pomeranja.

727

728

§ 26.4


SLIKA 26.11. [ema koseizmi~kih i postseizmi~kih vertikalnih pomeranja.

februara 1971. godine desio u San Fernando, California [CASTLE ET Koseizmi~ka i preseizmi~ka kretanja jasno su vidljiva na ovim profilima.

AL.,

1974].

Umesto prostornih alternativno se mogu koristiti i vremenski profili. Slika 10 sadrì seriju takvih vremenskih profila za pet ta~aka koje pokrivaju lokaciju zemljotresa ja~ine 7.5 u Niigata, Japan, 1964. godine [TSUBOKAWA ET AL., 1968]. Profili lepo pokazuju vertikalna pomeranja koja su prethodila zemljotresu. Radi upore|enja pogledajmo karakter koseizmi~kih i postseizmi~kih vertikalnih polmeranja kod zemljotresa koje karakteri{e vertikalno klizanje delova plo~a. Slika 11 pokazuje opaàna kretanja za vreme i nakon zemljotresa ja~ine 8.2 u Nankaido, Japan, 1946. godine, prema NUR AND MAVKO [1974]. 26.4. Povr{insko modeliranje vertikalnih pomeranja Vratimo se jo{ jednom linearnim kretanjima, i formuli{imo matemati~ki model za kinemati~ko izravnanje visinske mreè pomenuto u prethodnom podpoglavlju. Pod pretpostavkom da su opaàne relativne brzine δv (0 ) , koje se mogu napisati i kao ij

(uporedi sa (21)):

δvij(0 ) =

δ∆H ij (τ 1 , τ 2 ) ∆H ij (τ 2 ) − ∆H ij (τ 1 ) , = τ 2 − τ1 τ 2 − τ1

(26.22)

statisti~ki nezavisne, inverzije njihovih varijansi mogu se upotrebiti za teìne. Varijanse su date formulom (vidi (15)):

§ 26.4

Povr{insko modeliranje vertikalnih pomeranja

σ δ2vij =

∆S ij

(τ 2 − τ 1 )2

[σˆ

2 1

(τ 1 ) + σˆ 12 (τ 2 )] = ∆Sijσˆ 12 (v ) .

729

(26.23)

Sada je prisutno sve {to je potrebno da se napi{e jedna~ina opaànja za ponovno nivelani segment:

rijδv = v j − vi − δvij(0 ) ,

(26.24)

koja je linearna i eksplicitna po mernim veli~inama, tako da se moè izvr{iti izravnanje kompletno prenivelane mreè. Informacija o nivou mora, tj. vertikalnoj brzini vi mareografa (uporedi sa (11)), daje jedna~inu opaànja za brzinu ta~ke:

riv = vi −

δH i (τ 1 , τ 2 ) = vi + (c E − rE ) , τ 2 −τ1

(26.25)

koja se lako moè pridruìti ostalim jedna~inama opaànja. Teìne ovih brzina odre|uju se pomo}u varijansi na uobi~ajeni na~in:

σ v2i = σ δ2H i (τ 2 − τ 1 ) = σ c2E + cr2E . 2

(26.26)

Tipi~an primer takve kinemati~ki izravnate mreè je nivelmanska mreà Finske [KAARIAINEN, 1953]. Iako ova mreà prevashodno sluì kao vertikalna kontrola, ona je tako|e postala i mo}no oru`je za istraìvanje postglacijalnog izdizanja Skandinavskog poluostrva (podpoglavlje 8.2). Ve} na po~etku ovog veka odlu~eno je da se nivelanje ponavlja svakih ~etrdeset godina. Sli~ne odluke donete su i u jo{ nekim zemljama, npr. Engleskoj [EDGE, 1959]. Izbor frekvencije ponovljenih nivelanja nije kriti~an sve dok se moè pretpostaviti linearnost kretanja. Obratimo sada pa`nju na uticaj kinemati~kog izravnanja na profile pomeranja du` pojedinih nivelmanskih linija, tj. na problem sli~an raspodeli reziduuma u nivelmanu tretiranoj u podpoglavlju 19.2. Kada su poznate izravnate brzine vˆ ~vornih repera, mogu se izvesti brzine me|urepera. To se uglavnom radi pod pretpostavkom statisti~ke nezavisnosti ponovno nivelanih visinskih razlika. Raspodela kinemati~kih reziduuma rijδv je stvar linearne interpolacije po duìni prema (19.35). Ocena gre{ke izravnatih brzina pojedinih repera dobija se onda kombinacijom ocena gre{aka izravnatih brzina ~vornih ta~aka P1 , P2 (vidi sliku 19.12) i prenosa gre{aka du` profila (uporedi sa (19.38)).

730


§ 26.4

SLIKA 26.12. Predikcija prostornih linearnih kretanja u Chesapeake Bay, USA. Izolinije u centimetrima po stole}u.

Lako je videti da se izravnate brzine ~vornih ta~aka i ta~aka u okviru linija mogu naneti kao diskretno polje brzina. Ako postoje fizi~ki razlozi da se veruje da pomeranja predstavljena brzinama nisu samo linearna u vremenu ve} i variraju sa lokacijom, onda se moè poku{ati prostorna predikcija vertikalnih brzina u drugim ta~kama posmatranog podru~ja. Uobi~ajen na~in da se to uradi je ru~no iscrtavanje izolinija. Primer takve predikcije bazirane na kinemati~kom izravnanju ponovno nivelane mreè prikazan je na slici 12 [HOLDAHL AND MORRISON, 1974]. Predikcija ru~no iscrtanim izolinijama moè se naravno zameniti automatskim procesom kompjuterskog iscrtavanja. [tavi{e, povr{ vertikalnih brzina moè se uklopiti u diskretno polje brzina. Tom prilikom nema potrebe za interpolacijom, tj. nema zahteva da povr{ brzina ta~no pro|e kroz sve diskretne ta~ke koje

§ 26.4


731

predstavljaju brzine vi , jer su ove brzine odre|ene sa ograni~enim stepenom ta~nosti σ vi . Stoga se umesto interpolacije koriste metode aproksimacije da bi se prognozirala povr{ brzina. Najjednostavniji postupak koji se moè primeniti je MNK regresija. Po{to je ovaj postupak ve} bio prikazan (vidi podpoglavlja 22.3, 24.1, 25.3), ne}emo ga dalje razra|ivati. Interesantno je da ako se povr{ brzina moè smatrati dovoljno dobrom reprezentacijom stvarnih vertikalnih pomeranja, vi{e nije neophodno da ponovno nivelani segmenti budu povezani u linije a linije u mreù. Glatka povr{ brzina moè se konstruisati iz rasutih prenivelanih segmenata. Svaki segment smatra se elementom nagiba tj. horizontalnim gradijentom brzine izme|u krajnjih ta~aka. Da bi pokazali kako se to moè uraditi pretpostavimo da se povr{ brzina èli u obliku:

v (x, y ) =

u

∑φ ( x , y ) c l

l

~ = Φ T (x, y ) c ,

(26.27)

l =1

gde su φ l izabrane bazne funkcije (podpoglavlje 14.2), a x, y su u lokalnom koordinatnom sistemu kao {to je npr. (22.65). Sada se za svaki ponovno nivelani segment Pi , Pj moè napisati slede}a jedna~ina opaànja [VANI~EK AND CHRISTODULIDES, 1974]:

(~

)

δvij = v(x j , y j ) − v(xi , y i ) = Φ T (x j , y j ) − Φ T (xi , y i ) c , ~

(26.28)

ili u kompaktnom obliku:

δvij = ∆Φ T (xi , y i , x j , y j )c . ~

(26.29)

Interesantno je da je ova formulacija sli~na predstavljanju parcijalne diferencijalne jedna~ine prvog reda metodom kona~nih razlika. Kada je na raspolaganju dovoljno prenivelanih segmenata, i to raspore|enih tako da su izabrane bazne funkcije linearno nezavisne, koeficijenti c se mogu oceniti metodom najmanjih kvadrata. Matrica teìna Pt smatra se dijagonalnom, i konstrui{e se pomo}u inverzija varijansi sra~unatih za svaki segment formulom (23). Normalne jedna~ine onda glase:

~ ~ ~ ∆Φ Pt ∆Φ T c = ∆Φ Pt δ v .

(26.30)

732


§ 26.4

Pitanje koje se sada postavlja je kako se prenivelani segmenti mogu kombinovati sa drugim podacima u postupku konstrukcije povr{i brzina? O~igledno je da se nagibi jezerskog nivoa mogu upotrebiti isto kao prenivelani segmenti tj. kao elementi nagiba. Oni daju jedna~inu opaànja istog tipa kao (29). Jedina razlika je u teìnama. Varijansa nagiba jezerskog nivoa data je prosto kao:

σ δ2vij = σ v2i + σ v2j , gde

su

σ vi , σ v j

standardne

(26.31) devijacije

linearnih

trendova

odre|enih

iz

mareografskih registracija. Situacija je ne{to druga~ija sa registracijama nivoa mora. Svaki mareograf daje jedna~inu opaànja tipa (27), pri ~emu je opaàna brzina data sa (25). Varijansu opaànja izraàva formula (26). Dva sistema jedna~ina opaànja, tj. jedna~ine za elemente nagiba i jedna~ine za brzine ta~aka, kombinuju se postupkom opisanim u podpoglavlju 14.5 da bi se dobilo:

[∆Φ~

T

~ ΦT

]

T

c = [δ v v ] . T

(26.32)

Odgovaraju}a matrica teìna P sistema normalnih jedna~ina je:

⎡P P=⎢ t ⎣0

0⎤ ⎥ , Pv ⎦

(26.33)

gde je Pv matrica teìna za brzine ta~aka. Pro{irene normalne jedna~ine sada glase:

[∆Φ~ Φ~ ]P [∆Φ~

T

~ ΦT

]

T

[

]

~ ~ T c = ∆Φ Φ P [δ v v ] .

(26.34)

Kao {to znamo iz podpoglavlja 12.3, kovarijaciona matrica C c rezultuju}ih koeficijenata c dobija se jednostavno kao odgovaraju}e urazmerena inverzija matrice normalnih jedna~ina. Ona se moè upotrebiti za nalaènje standardne devijacije povr{i brzine u bilo kojoj ta~ki ( x, y ). Iz (27) kovarijacioni zakon daje:

σ v (x, y ) = Φ T (x, y )C c Φ(x, y ) . ~

~

(26.35)

§ 26.4


733

SLIKA 26.13. MNK predikcija linearnih pomeranja u Chesapeake Bay, USA. Izolinije standardnih devijacija su ta~kaste. Izolinije u centimetrima po stole}u.

Radi upore|enja, slika 13 prikazuje povr{ vertikalnih brzina i njene standardne devijacije sra~unate ovom metodom i upotrebom pribli`no istih podataka kao onih upotrebljenih za sliku 12. Kao bazne funkcije kori{}ene su dvodimenzionalne algebarske funkcije ~etvrtog stepena [VANI~EK AND CHRISTODULIDES, 1974]. Mogu se naravno koristiti i druge bazne funkcije, npr. kvadrike [HOLDAHL AND HARDY, 1979].

734

§ 26.4


Kada se pomeranja ne mogu smatrati linearnim, npr. u tektonski aktivnim podru~jima, pomenuti prilaz daje samo prose~ne vrednosti brzina. Ako su uz to jo{ i epohe merenja suvi{e rasute, rezultati su prakti~no neupotrebljivi. Tehnika se ipak moè uop{titi i za slu~aj ubrzanih kretanja. Takva generalizacija postiè se uvo|enjem vremena u model. Tada je pogodnije nalaziti vertikalna pomeranja umesto brzina. Ozna~avaju}i vertikalno pomeranje ta~ke ( x, y ) za period ( τ 0 , τ ) sa u ( x, y , τ ), i pretpostavljaju}i da je:

u (x, y , τ 0 ) = 0

(26.36)

moè se napisati ~etvorodimenzionalni model za vertikalna pomeranja:

~ u (x, y , τ ) = u T Φ(x, y )T T (τ )c~u .

(26.37)

Ovde je T vektor mT baznih funkcija po vremenu tako da je:

T (τ 0 ) = 0 ,

(26.38)

~ Φ je vektor mΦ baznih funkcija po prostoru, c~ je matrica mT × mΦ koeficijenata koje treba odrediti, a u je ponovo vektor od mΦ jedinica. Iz nivelmana se dobija samo razlika vertikalnih pomeranja dve krajnje ta~ke Pi , Pj prenivelanog segmenta za period ( τ 1 , τ 2 ), tj.:

δuij (τ 1 , τ 2 ) = u (x j , y j , τ 2 ) − u (x j , y j , τ 1 ) − u (xi , y i , τ 2 ) + u (xi , yi , τ 1 ) = ∆H ij (τ 2 ) − ∆H ij (τ 1 ) = δ∆H ij (τ 1 , τ 2 ) .

(26.39) Prema tome, matemati~ki model za jedan prenivelani segment postaje:

[

][

]

~ ~ δu ij (τ 1 , τ 2 ) = u T Φ(x j , y j ) − Φ(xi , y i ) T T (τ 2 ) − T T (τ 1 ) c~u . (26.40) Napisan u kompaktnijem obliku rezultat glasi:

δu ij (τ 1 , τ 2 ) = u T ∆Φ (xi , y i , x j , y j ) ∆ T T (τ 1 , τ 2 ) c~u ~

(

)

= B T xi , y i , x j , y j , τ 1 , τ 2 c ,

(26.41)

gde je c ( mT × mΦ ) ×1 vektor kolona matrice c~ , a B je ( mT × mΦ ) ×1 vektor koji predstavlja jednu kolonu Vandermondove matrice proizvoda dva sistema

§ 26.4


735

736


§ 26.4

baznih funkcija. Za ovakvo ~etvorodimenzionalno modeliranje pogodno je imati prenivelane segmente rasute i u prostoru i u vremenu. Spajanjem gornjih jedna~ina opaànja sa jedna~inama opaànja za ubrzane varijacije nivoa mora:

~ u A (τ 1 , τ 2 ) = u T Φ(x A , y A ) ∆ T T (τ 1 , τ 2 ) c~u = D T (x A , y A , τ 1 , τ 2 ) c , (26.42) dobija se kompletni model (podpoglavlje 14.5). Model se zatim re{ava po c , koje se onda koristi za predikciju izdizanja u bilo kojoj ta~ki prostora i vremena ( φ , λ , τ ). Standardna devijacija ovako prognoziranog izdizanja nalazi se na isti na~in kao za linearna kretanja. Slika 14 prikazuje povr{inska pomeranja prognozirana za ju`nu Kaliforniju kori{}enjem gornjeg modela [VANI~EK ET AL., 1979]. Bazne funkcije kori{}ene u ovom konkretnom modelu bile su algebarske funkcije stepena dva po y , tri po x , i tri po τ . Referentna epoha bila je τ 0 = 1897 .

POGLAVLJE 27

ODRE\IVANJE HORIZONTALNIH POMERANJA

U op{tem slu~aju malo toga razdvaja horizontalna i vertikalna pomeranja osim pravca i veli~ine jer horizontalna pomeranja mogu biti mnogo ve}a. Prema tome, ve}ina konstatacija o vertikalnim pomeranjima iz uvoda u poglavlje 26 vaì i ovde. Naravno, i raspored podpoglavlja odgovara u velikoj meri rasporedu u prethodnom poglavlju. Jedina zna~ajna razlika pojavljuje se u tretmanu referentnog datuma za dve vrste pomeranja. Dok polje teè obezbe|uje visinski datum, horizontalni datum uop{te od njega ne zavisi. Ova razlika se naravno reflektuje u na~inu tretmana pomeranja, i kao rezultat ovde nema podpoglavlja koja bi bilo ekvivalentno podpoglavlju 26.2. Problem me|uzavisnosti varijacija poloàja i polja teè ovde je zamenjen problemom neodredivosti raznih parametara koji opisuju horizontalna pomeranja. Pitanje neodredivosti je ustvari veza zajedni~ka svim tehnikama diskutovanim u ovom poglavlju. Prvo podpoglavlje sadrì diskusiju i procenu dostupnih izvora podataka o horizontalnim pomeranjima. Pristup baziran na upore|enju horizontalnih poloàja odre|enih u razli~itim epohama intuitivno je najo~igledniji, i predstavlja sadràj drugog podpoglavlja. Tre}e podpoglavlje tretira direktniji, ali ne{to komplikovaniji pristup odre|ivanja horizontalnih pomeranja bez prethodnog izravnanja poloàja. Poslednja grupa modela kojima se nalaze lokalne diferencijalne karakteristike pomeranja, prikazana je u ~etvrtom podpoglavlju. Ovi modeli, iako manje bliski geodetama, verovatno imaju najvi{e zna~aja za geofizi~are ~iji je cilj da otkriju fizi~ke uzroke opaànih pomeranja. 27.1. Izvori informacija o horizontalnim pomeranjima Kao i vertikalni podaci, tako bi i idealni horizontalni podaci trebalo da budu povr{inski i kontinualni u vremenu. Naàlost, ne postoji tehnika koja obezbe|uje takvu vrstu podataka. Prema tome, iako su horizontalna pomeranja u op{tem slu~aju mnogo ve}a od vertikalnih, njihovo odre|ivanje je teè od odre|ivanja vertikalnih pomeranja.

737

738


§ 27.1

Postoje ~etiri vrste izvora o horizontalnim pomeranjima: (a) ponovljena pozicioniranja ta~aka, (b) ponovo merene horizontalne mreè, (c) mreè za pra}enje i (d) registracije napona. (a) Apsolutno ili relativno ponovljeno pozicioniranje ta~aka je najo~iglednija tehnika za upotrebu. Naàlost, kao {to smo videli u poglavljima 15 i 16, ta~nost pozicioniranja ta~aka za odre|ivanje regionalnih i lokalnih pomeranja nije dovoljno visoka. Ova situacija }e se promeniti u bliskoj budu}nosti jer se planira upotreba pozicioniranja pomo}u opaànja ka ekstraterestri~kim objektima za potrebe otkrivanja horizontalnih pomeranja [NASA, 1979]. Moè se pomisliti da je za kretanje globalnih ili kontinentalnih plo~a mogu}e nisku ta~nost zameniti duìm vremenskim periodom izme|u pozicioniranja. Ali i za globalna tektonska pomeranja koja su reda nekoliko centimetara godi{nje, postoje}e tehnike ne omogu}avaju izvo|enje zaklju~aka na godi{njoj ili kra}oj bazi, tako da su potrebni mnogo duì vremenski intervali kako bi akumulirana relativna pomeranja dostigla nivo otkrivanja. Od nadolaze}ih tehnika najvi{e obe}ava NAVSTAR (podpoglavlje 15.3). Tako|e se o~ekuje da lasersko odre|ivanje duìna do visokolete}ih satelita, ~ak i uz upotrebu mobilnih sistema, bude dovoljno ta~no da moè posluìti u ove svrhe [BENDER ET AL., 1979]. Jedina postoje}a tehnika sa dovoljnom ta~no{}u je radiointerferometrija pomenuta u podpoglavlju 16.1. Na slici 1 je prikazana situacija kada se simultano koriste dva radio teleskopa. Kada je aktivno vi{e radio teleskopa mogu se dobiti relativna horizontalna pomeranja svih u odnosu na jedan izabrani referentni teleskop.

SLIKA 27.1. Odre|ivanje horizontalnih pomeranja pomo}u radiointerferometrije.

§ 27.1

Izvori informacija o horizontalnim pomeranjima

739

Ovakav reìm rada donekle je sli~an situaciji koju smo imali kod trilateracionih geodetskih mreà (podpoglavlje 18.3). (b) Ponovno merene horizontalne geodetske mreè predstavljaju danas najve}i dostupni izvor podataka. To je zbog toga {to se podaci, tj. ponovno opaàne duìne, uglovi i azimuti prikupljaju prevashodno za potrebe horizontalne kontrole, tako da su dostupni za periode koji se proteù unazad vi{e decenija. Me|utim ovako slobodno dostupni podaci ~esto ne mogu odgovoriti ovoj nameni, jer ogromna ve}ina mreà nije naravno dizajnirana za potrebe odre|ivanja pomeranja. Prirodno, veoma je va`no imati sistematski prilaz ponovnom merenju u mreàma. Obi~aj je da se ponovna merenja vr{e samo u regionima pogo|enim zna~ajnim zemljotresima kod kojih su koseizmi~ka pomeranja bila dovoljno velika da izazovu signifikantne promene koordinata nekih kontrolnih ta~aka. U prirodi je geodetskih mreà da je sadràj njihovih informacija regionalnog karaktera. Slika 2 jasno ilustruje ovu ~injenicu pokazuju}i horizontalna pomeranja kontrolnih ta~aka prvog, drugog i tre}eg reda u podru~ju Tango u Japanu, za period

SLIKA 27.2. Horizontalna pomeranja kontrolnih ta~aka u podru~ju Tango, Japan, za period od 1900 do 1930.

740


§ 27.1

od 1900. do 1930. godine, koji sadrì i zemljotres ja~ine 7.4 iz 1927. godine prema TSUBOI [1932]. Najve}i deo primera odre|ivanja pomeranja odnosi se na takva ve}a seizmi~ka pomeranja (uporedi sliku 8.20), ali uobi~ajena relativna ta~nost ta~aka prvog reda (podpoglavlje 7.1) dovoljno je velika da dozvoljava otkrivanje i drugih vrsta pomeranja. Na primer, deformacije koje se akumuliraju du` granica aktivnih plo~a odgovorne su za relativnu ekstenziju i kontrakciju do 3 × 10 −7 godi{nje [SAVAGE, 1978]. Uobi~ajeno je da se ove deformacije kvantifikuju bezdimenzionalnim jedinicama, tako da se govori o maksimalnom redu veli~ine od 0.3 µstrain godi{nje. Takve deformacije mogu se jasno odrediti, i radi ilustracije ~italac se upu}uje na sliku 9 koja pokazuje horizontalne deformacije u ju`noj Kaliforniji. Treba ista}i da ako je mreà ponovno merena nekoliko puta onda postoji mogu}nost odre|ivanja i ubrzanih pomeranja. Takva situacija je ekvivalentna onoj kod vertikalnih pomeranja. (c) U regionima od posebnog interesa u kojima se zna ili sumnja da ima pomeranja, koriste se mreè za pra}enje i sli~ne prostije konfiguracije. Iz o~iglednih razloga, zone akumulacije napona du` granica aktivnih plo~a su ponovo glavni, ali ne i jedini primeri takvih regiona. Po{to su mreè za pra}enje mnogo manjih dimenzija, one se mogu ~e{}e preopaàti nego obi~ne geodetske mreè. Isto tako, postiè se i visoka ta~nost, jer je mogu}e posvetiti punu pa`nju merenjima. CHRZANOWSKI [1980] je za svoju mreù za pra}enje u Peruu izvestio o ta~nosti oko 10 −6 , postignutu standardnom mernom opremom. SAVAGE AND PRESCOTT [1973] tvrde da su postigli ta~nost za jedan red veli~ine bolju u mreì za pra}enje U.S. Geological Survey, du` raseda San Andreas u Kaliforniji. Ova ta~nost postignuta je kori{}enjem laserskih distomata uz pa`ljivo prikupljanje podataka o gustini vazduha du` vizurnih linija. Poznavanje gustine vazduha umnogome je pomoglo u nalaènju refrakcione korekcije iz (15.39). Dodatna prednost mreà za pra}enje u pore|enju sa obi~nim geodetskim mreàma je da se one sa geometrijske ta~ke gledi{ta mogu ta~no dizajnirati da odgovore svojoj nameni. Slika 3 na primer pokazuje lanac mreà za pra}enje, dizajniranih da detektuju prostornu {emu akumulacije napona du` San Andreas rasednog sistema [MEADE AND SMALL, 1966]. Povremeno prostorna {ema ne mora biti glavni objekat interesovanja. Ako je interes u izu~avanju bo~nog klizanja du` aktivnog raseda onda se moè dizajnirati jednostavnija konfiguracija za pra}enje. Slika 4 pokazuje jednu takvu konfiguraciju upotrebljenu za rased San Andreas [MEADE, 1973], u kojoj su azimuti, uglovi i duìne bili vi{e puta preopaàni u periodu od 1957. do 1963. godine. Za istu svrhu, VACQUIER AND WHITEMAN [1973] koristili su jo{ jednostavniju figuru. Njihova

§ 27.1

Izvori informacija o horizontalnim pomeranjima

741

SLIKA 27.3. Mreè za pra}enje San Andreas rasednog sistema.

konfiguracija sastojala se od tri horizontalno kolinearne ta~ke postavljene preko Californija Bay, a pomeranje ta~aka van kolinearnosti bilo je fotografski registrovano. Na taj na~in registrovane su ustvari promene horizontalnih uglova izme|u ta~aka.

SLIKA 27.4. Konfiguracija za otkrivanje brzine klizanja du` San Andreas raseda u blizini Hollster, California.

742


§ 27.2

(d) Kad je od interesa samo brzina ekstenzije ili kontrakcije u jednom pravcu, onda tu informaciju obezbe|uje ponovljeno merenje duìne odgovaraju}e orijentisane linije. Radiointerferometrijsko odre|ivanje duìna sluì kao primer ovog pristupa. Glavni problem je {to napon odre|en na ovaj na~in predstavlja srednju vrednost du` ponovo opaàne linije, zbog ~ega su pogodnije kra}e linije. Veoma visoka ta~nost u detekciji napona postiè se ponovljenim kalibracijama geodetskih osnovica, pri ~emu npr. Vejsela interferometrijska metoda obezbe|uje relativnu ta~nost duìne od 10 −7 odnosno 0.1 µstrain [BOMFORD, 1971]. Kada se govori o detekciji napona u jednom pravcu, moraju se tako|e pomenuti i strejnmetri. Ovo su instrumenti posebno konstruisani da registruju vremenske promene kratkih duìna. Oni se baziraju na fizi~kim principima ~ije je opisivanje van obima ove knjige. Strejnmetri variraju u duìni od nekoliko metara do nekoliko stotina metara, i predstavljaju jedine specijalizovane instrumente koji su u stanju da vr{e kontinualne registracije. Ta~nost strejnmetara danas dostiè nivo od 1 nstrain [LEVINE, 1978], {to je dovoljno visoko da se rutinski detektuju ~ak i plimatski naponi (podpoglavlje 25.2). Strejnmetri se koriste i za pra}enje akumulacije napona i sleganja usled kretanja unutar tektonskih plo~a. Radovi kao {to je [BURFORD ET AL., 1978] mogu se citirati kao reprezentativni primeri merenja napona streinmetrima {irom sveta. 27.2. Upore|enje horizontalnih poloàja Vra}aju}i se sada na mogu}e analiti~ke tehike za nalaènje horizontalnih pomeranja, prirodno je zapo~eti sa metodom upore|enja horizontalnih poloàja. Ovaj pristup bazira se na prividno o~iglednoj ideji da ako je horizontalni poloàj ta~ke odre|en dva puta u razli~itim epohama, onda razlika poloàja odraàva pomeranje ta~ke izme|u dve epohe. Ovaj metod izgleda direktan samo zato {to nije kompletan. Ono {to se mora dodati je da se on zasniva na pretpostavci da se dve pozicije odnose na isti koordinatni sistem. Donekle sli~nu situaciju imamo u podpoglavlju 26.2, gde je trebalo dokazati da je referentni sistem koji je baziran na Zemljinom polju teè dovoljno stabilan da se opaàne promene visina mogu interpretirati kao vertikalna pomeranja. U diskusiji koncepta upore|enja horizontalnih poloàja bi}e pretpostavljeno da se radi o ~itavoj mreì ta~aka. Druge konfiguracije kao {to su parovi ta~aka, trouglovi itd. smatra}e se jednostavnim slu~ajem mreè. Dalje, usvoji}emo da je svaka opaà~ka kampanja izvedena gotovo trenutno u epohama τ 1 i τ 2 . Shodno tome, prvi skup koordinata bi}e ozna~en sa l (τ 1 ) ili prosto sa l1 , a drugi skup sa l (τ 2 ) ili

§ 27.2

Upore|enje horizontalnih poloàja

743

l2 . Ako uslov simultanosti nije ispunjen, opisani postupak se ne moè primeniti. Odgovaraju}e alternativne tehnike bi}e diskutovane u podpoglavlju 27.3. I kona~no, radi jednostavnosti bi}e pretpostavljeno da su izvedene horizontalne pozicije izraène u koordinatnom sistemu konformne projekcije ( x, y ) M , tj. da su opaànja potrebna za odre|ivanje poloàja redukovana u ravan konformne projekcije. Pod ovim uslovima moè se primeniti matemati~ki model razvijen u podpoglavlju 18.2. Ozna~avaju}i prira{taje pribli`nih koordinata x (0 ) sa δ , a dizajn matricu sa A (formule (18.13), (18.14) i jedna~ine opaànja za horizontalne uglove), dobija se (uporedi sa (12.7)):

r j = A j δ ( j ) + w j , j = 1, 2.

(27.1)

Imaju}i u vidu kovarijacione matrice C l(1) , C l(2 ) MNK re{enja xˆ (1) = x (0 ) + δˆ (1) i xˆ (2 ) = x (0 ) + δˆ (2 ) mogu se dobiti po postupku istaknutom u podpoglavlju 12.2. Kovarijacione matrice C (1) i C (2 ) tako|e se lako izvode metodologijom xˆ

xˆ

pokazanom u podpoglavlju 12.3. Ovaj proces nije ni{ta drugo do rutinsko izravnanje poloàja koje se u geodetskoj praksi svakodnevno izvodi. Prednost ovog postupka je upravo u tome {to se koristi standardna tehnika izravnanja. S ta~ke gledi{ta detekcije pomeranja dodatna prednost javlja se zato {to izravnanje poloàja pobolj{ava opaànja u tom smislu {to ih usagla{ava sa geometrijom mreè. Ovo ne mora uvek biti slu~aj jer su zahtevi mreè za pozicioniranje i mreè za otkrivanje pomeranja u op{tem slu~aju razli~iti. Na primer, liniju na koju uti~e bo~na refrakcija treba izbegavati u pozicionoj kontrolnoj mreì, dok to nema zna~aja kada se odre|uju pomeranja sve dok efekat refrakcije ostaje manje ili vi{e stacionaran. Horizontalno pomeranje ra~una se kao razlika izme|u dva skupa pozicija. Za vektor horizontalnih pomeranja ∆ xˆ moè se napisati:

∆ xˆ = xˆ (2 ) − xˆ (1) .

(27.2)

Po{to je vektor pomeranja ta~ke Pj dat kao par brojeva:

v x j = x (j2 ) − x (j1) ,

v y j = y (j2 ) − y (j1) ,

(27.3)

pogodno je smatrati da je ravan projekcije kompleksna. Onda je svaka ta~ka Pj opisana kompleksnim brojem z ∗j = x j + iy j , i (2) se moè napisati kao:

744

§ 27.2


∆ zˆ ∗ = zˆ ∗(2 ) − zˆ ∗(1) .

(27.4)

Ovi vektori kompleksnih brojeva o~igledno imaju onoliko komponenti koliko je ta~aka u mreì, odnosno upola manje nego realni vektori u (2). Sada smo spremni da se suo~imo sa problemom neodredivosti pomeranja: (a) Za po~etak posmatrajmo mreù u kojoj oba skupa mernih veli~ina l1 i l2 sadrè opaànja duìna, uglova ili pravaca i azimuta. Sva ova opaànja odraàvaju samo relativne poloàje susednih ta~aka i orijentacije pojedinih linija u vreme opaànja. Izvedeni poloàji su naravno relativne prirode bez obzira koji koordinatni sistem da se upotrebi. Drugim re~ima, moè se smatrati da se izravnate koordinate odnose na jednu od ta~aka mreè. Ozna~imo ovu ta~ku sa P1 i napi{imo bez {tete po op{tost:

zˆ 1∗(1) = ˆz1∗(2 ) = 0∗ .

(27.5)

Ali kako znamo da se ta~ka P1 nije pomerila u periodu ( τ 1 , τ 2 )? Ne znamo! Ne postoji na~in da se pomo}u opaànja l1 , l2 odredi da li se P1 pomerila u odnosu na upotrebljeni koordinatni sistem. Ovo svojstvo koje se moè nazvati neodredivo{}u po translaciji, posledica je invarijantnosti oblika horizontalne mreè u odnosu na horizontalne translacije (vidi podpoglavlje 18.1, i slobodu da se φ 0 , λ0 proizvoljno izabere). Kada je dato posebno re{enje izravnanja poloàja ∆ zˆ p∗ pri kojem je za proizvoljnu ta~ku pretpostavljeno da je fiksna, kompletno re{enje ∆ zˆ c∗ dato je sa:

∆ zˆc∗ = ∆ zˆ p∗ + u(∆x0 + i∆y 0 ) , i = − 1 ,

(27.6)

gde je u vektor jedinica sa dimenzijom jednakom broju ta~aka u mreì, a ∆x 0 , ∆y 0 su

proizvoljni

brojevi.

vektorskom funkcijom

Smatraju}i

z 0∗ (∆x 0 , ∆y 0 ) ,

proizvod

u(∆x 0 + i∆y 0 )

kompleksnom

dobija se:

∆ zˆ c∗ = ∆ zˆ p∗ + z 0∗ (∆x 0 , ∆y 0 ) .

(27.7)

(b) Situacija postaje komplikovanija kada u skupovima l1 ili l 2 nedostaju azimuti. Pretpostavimo za po~etak da skup l1 nema nijedan opaàni azimut. Onda

§ 27.2


745

je re{enje za poziciju zˆ ∗(1) neodredivo ne samo u odnosu na translacije ve} i na rotacije oko po~etka koordinatnog sistema (vidi podpoglavlje 18.1 i slobodu da se α 0 proizvoljno izabere). Kompletno re{enje za zˆ ∗(1) glasi u tom slu~aju:

(

) (

)

zˆ c∗(1) = zˆ p∗(1) exp − iψ (1) + z 0∗ x 0(1) , y 0(1) ,

(27.8)

sa ukupno tri proizvoljne konstante ψ (1) , x0(1) , y 0(1) . Sli~ne jedna~ine mogu se ( ) napisati za kompletno re{enje zˆ c∗ 2 ako skup l 2 ne sadrì nijedan azimut.

(

)

(

∆ zˆc∗ = zˆc∗(2 ) − zˆc∗(1) = zˆ p∗(2 ) exp − iψ (2 ) − zˆ p∗(1) exp − iψ (1)

(

)

(

)

+ z0∗ x0(2 ) , y 0(2 ) − z0∗ x0(1) , y 0(1) .

)

(27.9)

Ozna~avaju}i ψ (2 ) − ψ (1) sa ∆ψ (pri ~emu ψ (1) ili ψ (2 ) mogu biti jednaki 0, ako l1 ili l2 sadrì opaàni azimut), x 0(2 ) − x 0(1) sa ∆x 0 i y 0(2 ) − y 0(1) sa ∆y 0 , sledi da je:

∆ zˆc∗ = ∆ zˆ p∗ + zˆ p∗(1) [exp(− i∆ψ ) − 1] + z0∗ (∆x0 , ∆y 0 ) .

(27.10)

Ilustrativno je pogledati mogu}e manifestacije ovih neodredivosti. Slika 5 pokazuje dva posebna re{enja kompatibilna sa istim opaànjima, koja se mogu redukovati na sistem bez ikakvog pomeranja.

SLIKA 27.5. Dva posebna re{enja za isti problem bez pomeranja. Re{enje (a) dobijeno pomo}u translacije paralelne x ; re{enje (b) dobijeno rotacijom za π / 7 obrnuto kazaljci oko ( x = 0, y = 0 ), i translacijom pokazanom isprekidanom strelicom.

746

§ 27.2


(c) Najkomplikovaniji slu~aj pojavljuje se kada pored azimuta, jedan ili oba skupa ne sadrè opaàne duìne. Ostavlja se ~itaocu da pokaè da je u tom slu~aju kompletno re{enje dato sa:

[

]

∆ zˆ c∗ = ∆ zˆ p∗ + zˆ p∗(1) (exp(− i∆ψ ) − 1) + z 0∗ (∆x 0 , ∆y 0 )

(1 − ∆κ ) , (27.11)

pri ~emu je ∆κ dodatni proizvoljni parametar koji odraàva neodredivost u razmeri. Postoji li ne{to {to se moè uraditi da se ukloni ova neodredivost? Ne postoji, osim ako na raspolaganju nije neka dodatna informacija o opaànom fenomenu. Na primer, znanje da se jedna ta~ka npr. Pj nije pomerila u odnosu na referentni okvir izme|u epoha τ 1 , τ 2 , tj. (∆ zˆ ∗j ) c = 0 ∗ omogu}uje odre|ivanje veli~ina ∆x 0 , ∆y 0 . Na taj na~in otklanja se neodredivost translacije. Ako se jedna ta~ka drì fiksnom, a drugoj ograni~i pomeranje u odre|enom pravcu, onda se moè pored translacije odrediti i rotacija ∆ψ . Kada se dve ta~ke drè fiksnim sve ~etiri nepoznate mogu se eliminisati. Dokaz se prepu{ta ~itaocu. Druga mogu}nost je da se ograni~i posebno re{enje zahtevom da na primer zbir kvadrata pomeranja bude minimum, tj.:

min

∑ ∆zˆ ψ

∆x 0 , ∆y0 , ∆

i

2 ∗ i p

⇒ ∆x 0 , ∆y 0 , ∆ψ .

(27.12)

Ovo je ekvivalentno uslovu:

min

∆x 0 , ∆y0 , ∆ψ

∑ (vˆ i

2 xi

)

+ vˆ 2yi ⇒ ∆x0 , ∆y 0 , ∆ψ .

(27.13)

Primetimo da se ovom minimalizacijom ne moè odrediti ∆κ , ve} se moè dobiti samo trivijalno re{enje ∆κ = 1 . Sa geofizi~ke ta~ke gledi{ta postavljanje uslova kao {to je (12) nema mnogo smisla, i prema tome ne re{ava generalno problem neodredivosti. Jedna~ina (11) obezbe|uje pogodno oru|e za istraìvanje efekata nekih sistematskih gre{aka u opaànjima. Kada su duìne i azimuti opaàni oba puta, onda se mogu zameniti ∆κ i ∆ψ poznatim prose~nim sistematskim gre{kama njihovog merenja, i na taj na~in na}i efekat na sra~unata pomeranja. Vi{e o sistematskim gre{kama i njihovim efektima moè se na}i u BURFORD [1965].

§ 27.2


747

Ocena ta~nosti sra~unatih pomeranja najbolje se vr{i iz kovarijacionih matrica veli~ina xˆ (1) i xˆ (2 ) . Primenom kovarijacionog zakona na (2) dobija se:

C ∆xˆ = C xˆ(1) + C xˆ(2 ) .

(27.14)

Ova kovarijaciona matrica moè se interpretirati u vidu apsolutnih elipsi poverenja pomeranja, na isti na~in kao u slu~aju horizontalnog pozicioniranja (podpoglavlje 18.3). Kada se koriste apsolutne elipse poverenja mora se imati na umu da one zavise od izbora usvojenih ograni~enja. Ako se na primer zajedni~ki po~etak koordinatnog sistema upotrebljenog za oba re{enja xˆ (1) i xˆ (2 ) drì fiksnim, onda se elipsa poverenja po~etka svodi na nulu ukoliko se ne specificira druga~ije. Ova situacija odgovara onoj kod pozicioniranja diskutovanoj u podpoglavlju 18.3. Apsolutne elipse poga|a i neodredivost re{enja. Razli~ita posebna re{enja imaju razli~ite apsolutne elipse poverenja. Primer upotrebe apsolutnih elipsi poverenja za pomeranja kada je ta~ka P0 fiksna, prikazan je na slici 6 [MILLER ET AL., 1969].

SLIKA 27.6. Apsolutne elipse poverenja pomeranja. Ta~ka P0 je fiksna.

748


§ 27.2

SLIKA 27.7. Relativne elipse poverenja pomeranja.

Kao i u pozicioniranju, i ovde je pogodnije raditi sa relativnim elipsama poverenja pomeranja. Do njih se dolazi na isti na~in kao za relativne elipse poverenja kod pozicioniranja (vidi podpoglavlje 18.3). Interpretacija takve elipse koja se odnosi na ta~ke Pj , Pl je da ona predstavlja granice poverenja za relativno pomeranje ta~ke

Pl u odnosu na Pj , ili obratno. Ove dve ekvivalentne situacije prikazane su na slici 7. Relativne elipse poverenja ne poga|a neodredivost po translaciji. Ostale dve neodredivosti imaju efekta, i ako se ograni~enja trebaju postaviti za rotaciju i razmeru, to mora biti geofizi~ki opravdano da bi relativne elipse poverenja bile od ikakve realne vrednosti. Upotreba jedne ili druge vrste elipsi poverenja omogu}uje da se zna~ajnost izvedenih pomeranja proceni sa statisti~ke ta~ke gledi{ta. Postupak procenjivanja identi~an je sa postupkom u pozicioniranju (podpoglavlje 18.3) i ovde se ne}e ponavljati. Postoji me|utim dodatni problem o kome se mora voditi ra~una. Prilikom kori{}enja postupka upore|enja poloàja obi~no se zanemaruje kros kovarijansa izme|u l1 i l 2 . Ovo zanemarivanje vodi situaciji sli~noj onoj u kontekstu vertikalnih pomeranja, tj. podcenjivanju ta~nosti detektovanih pomeranja. Ovaj nedostatak bi}e detaljno obra|en u narednom podpoglavlju. Pod kojim okolnostima se koristi ovaj pristup? Samo pod uslovom da postoje jasni geofizi~ki razlozi za postavljanje ograni~enja koja }e omogu}iti re{enje. âk i tada se mora osigurati takva konfiguracija mreè da pobolj{anje opaànja kroz izravnanje bude istovremeno i pobolj{anje ta~nosti detektovanih pomeranja. Ako neki od ova dva uslova nije ispunjen, potrebno je primeniti jednu od tehnika opisanih u naredna dva podpoglavlja.

§ 27.3

Direktno nalaènje horizontalnih pomeranja

749

27.3. Direktno nalaènje horizontalnih pomeranja U prethodnom podpoglavlju bilo je podrazumevano da je zadovoljen o~igledan zahtev da x (1) i x (2 ) predstavljaju pozicije istog skupa ta~aka, tj. da budu iz istog prostora parametara:

x (1) , x (2 ) ∈ X .

(27.15)

S druge strane, l1 i l 2 mogu predstavljati dva razli~ita skupa mernih veli~ina, tj. mogu spadati u dva potpuno razli~ita prostora opaànja L1 i L2 . U ovom podpoglavlju }e radi jednostavnosti biti pretpostavljeno da vektori opaànja opisuju iste merne veli~ine, tj. da pripadaju istom prostoru opaànja:

l1 , l2 ∈ L .

(27.16)

To zna~i da ne samo da je u pitanju ista mreà ta~aka ve} i iste merne veli~ine u mreì. Prema tome, dva sistema linearizovanih jedna~ina opaànja:

A1 δ (1) = w1 ,

A2 δ (2 ) = w2 ,

(27.17)

imaju iste dizajn matrice. Jakobijan matrice (podpoglavlje 12.1) su iste kada su iste pribli`ne vrednosti x (0 ) izbrane za obe epohe τ 1 , τ 2 . Ozna~avaju}i A1 = A2 = A , prva jedna~ina iz (17) moè se oduzeti od druge i dobiti:

(

)

A δ (2 ) − δ (1) = l2 − l1 ,

(27.18)

uzimaju}i f ( x (0 ) , l1 ) u oba slu~aja. Ozna~avaju}i dalje l 2 − l1 sa ∆ l , i imaju}i u vidu da je δ (2 ) − δ (1) ustvari ∆ x (uporedi sa (2)), jedna~ina (18) moè se napisati kao jednostavni model opaànja:

A∆ x = ∆ l .

(27.19)

Sada se moè na}i MNK re{enje ∆ xˆ . Prvo je potrebno formulisati kovarijacionu matricu za ∆ l . Pomo}u kovarijacionog zakona lako se dobija:

C ∆l = C l1 − 2 C l1l2 + C l2 ,

(27.20)

gde je C l1l2 kros kovarijacija za dva skupa opaànja koja se za razliku od podpoglavlja 27.2 sada mora razmatrati. MNK re{enje dato je sistemom normalnih jedna~ina:

750


AT C ∆−l1 A ∆ xˆ = N ∆ xˆ = AT C ∆−l1 ∆ l .

§ 27.3

(27.21)

Interesantno je uporediti ovo re{enje sa re{enjem koje bi se dobilo iz istih podataka upotrebom pristupa iz prethodnog podpoglavlja. Uradimo ovo upore|enje sistematski: (a) Prvo, ostavlja se ~itaocu da pokaè da ako je C l1 l2 ≠ 0 ili C l1 ≠ C l2 (osim kada je C l2 = k C l1 , k > 0 ), ili oboje istovremeno, tada rezultati dva pristupa budu sasvim razli~iti. (b) Dalje, pretpostavimo da je C l1 = k C l2 gde je k > 0 i C l1l2 = 0 . Ovo je jedini slu~aj koji dozvoljava direktno upore|enje ove tehnike sa tehnikom opisanom u podpoglavlju 27.2. Rezultat je:

C ∆ l = (k + 1)C l2 = 2 C l ,

(27.22)

i ~italac se moè uveriti da obe tehnike daju identi~no re{enje:

(

∆ xˆ = AT C l−1 A

)

−1

A T C l−1 ∆ l .

(27.23)

Ocenjena kovarijaciona matrica re{enja ∆ xˆ tako|e je identi~na u obe metode:

(

)

−1 Cˆ ∆ xˆ = σˆ 02 A T C l−1 A .

(27.24)

Ako je k = 1 ~ak su i kovarijacione matrice C ∆ xˆ identi~ne. Prema tome, pod ovim uslovima obe tehnike su ekvivalentne. (c) Neka je dalje C l1 = C l2 = C l i C l1l2 ≠ 0 . Kovarijaciona matrica od ∆ l sada je data sa (20). Pi{u}i:

(

C ∆−l1 = 2 C l − 2 C l1l2

)

−1

= 12 C l−1 + δ W ,

(27.25)

tehnika direktnog nalaènja pomeranja daje:

(A C T

−1 ∆l A +

)

(

)

A T δ WA ∆ xˆ = A T C ∆−l1 + A T δ W ∆ l ,

(27.26)

{to je o~igledno razli~ito od rezultata dobijenih tehnikom upore|enja poloàja.

§ 27.3


751

(d) Kona~no, jedan slu~aj (c) zasluùje posebnu pa`nju jer nudi uvid u strukturne razlike dva pristupa. Neka je C l dijagonalno:

( )

C l = diag σ l2i ,

(27.27)

i neka je C l1l2 tako|e dijagonalno:

(

)

C l1l2 = diag σ l (1)l l ( 2 ) . i

i

(27.28)

Ovo je prili~no realna pretpostavka koja zna~i da statisti~ka zavisnost postoji samo izme|u opaànja iste merne veli~ine u dve razli~ite epohe. Ako se koeficijent korelacije ozna~i sa ρ i , dobija se:

(

)

C l1l2 = diag ρ i σ l2i = C l diag ρ i ,

(27.29)

C ∆l = 2(C l − C l diag ρ i ) = 2 C l (I − diag ρ i ) .

(27.30)

i:

Zamenjuju}i srednju vrednost ρ umesto pojedina~nih ρ i , dobijaju se slede}e jedna~ine (uporedi sa (26.18)):

C ∆l = 2 C l (1 − ρ ) ,

(27.31)

i:

C ∆l−1 =

1 C l−1 . 2(1 − ρ )

(27.32)

Dakle u ovom posebnom slu~aju obe tehnike daju identi~ni rezultat ∆ xˆ . Kovarijaciona matrica C ∆ xˆ izvedena iz jednostavnog modela pomeranja je me|utim ( 1 − ρ ) puta manja nego kad je ocenjena iz upore|enja poloàja, {to je isto kao u slu~aju ponovno nivelanih segmenata (podpoglavlje 26.3). Kad se uzme u obzir pozitivna statisti~ka zavisnost, ona pove}ava ta~nost rezultata. Tada je jednostavni model pomeranja matemati~ki superioran nad izravnanjem ponovljenih pozicija, jer dozvoljava korisniku da iskoristi prednosti gotovo sigurne pozitivne statisti~ke zavisnosti izme|u opaànja iste merne veli~ine u razli~itim epohama. Prakti~no, procena statisti~ke zavisnosti u pore|enju sa njenom inkorporacijom predstavlja mnogo teì problem koji zasluùje posebno istraìvanje.

752

§ 27.3


Problem neodredivosti ostaje naravno i u modelu pomeranja. Ipak ovde se javlja dodatna opcija da se neodredivost tretira kao problem sa singularitetom (podpoglavlje 14.5), i da se upotrebi tehnika singularnih inverzija [BRUNNER, 1979]. POPE AND STEARN [1964] pokazali su na primer da je pseudoinverzija ekvivalentna pristupu opisanom u prethodnom podpoglavlju jedna~inom (12). Nikakva singularna inverzija ne moè na~initi rezultat fizi~ki smislenim dok ne postoji fizi~ko opravdanje njene upotrebe. Vratimo se sada op{tijem slu~aju kada se opaànja ne prikupljaju u dve jasno definisane epohe τ 1 , τ 2 , ve} u duèm periodu vremena. Tada nema smisla govoriti o l1 , l 2 , i model mora uzeti u obzir svako pojedina~no opaànje l j izvr{eno u tenutku τ . Jedini na~in da se formuli{e takav model je da se pretpostave odre|ena svojstva polja pomeranja. Da bi pokazali kako ova tehnika radi, po~nimo sa pretpostavkom da su horizontalna pomeranja linearna u vremenu. Onda se veza izme|u horizontalnih brzina z ∗ za koje se pretpostavlja da su konstantne, i pomeranja ∆ z ∗ moè formulisati na slede}i na~in: za ta~ku Pj imamo:

z ∗j = x j + iy j ,

(27.33)

i traèna veza je o~igledno:

∆ z ∗ (∆τ ) = z ∗ ⋅ ∆τ .

(27.34)

Brzine mogu biti vezane i za promene mernih veli~ina. Jedna~ine za ove veze lako se dobijaju iz jedna~ina opaànja koje se koriste u pozicioniranju. Uzimaju}i na primer linearizovanu jedna~inu za opaànu duìnu tetive l jk (18.13) dobija se:

[

l jk = A jk (l ) δx j , δy j , δx k , δy k

]

T

+ l (jk0 ) − r jkl ,

(27.35)

gde je A jk (l ) funkcija azimuta linije. Kada se uzmu u obzir vremenske promene u opaànoj duìni, diferenciranje po vremenu daje:

[

ljk = A jk (l ) δx j , δy j , δx k , δy k

]

T

[

= A jk (l ) x j , y j , x k , y k

]

T

. (27.36)

Po{to pretpostavljena linearna pomeranja zna~e linearne promene mernih veli~ina, jedna~ina opaànja za vremensku promenu opaàne duìne glasi:

§ 27.3


l jk (τ 2 ) − l jk (τ 1 )

τ 2 − τ1

[

= A jk (l ) x j , y j , x k , y k

]

T

753

[

= re A ∗jk (l ) z ∗j , z k∗

]

T

, (27.37)

gde su l jk (τ 1 ) , l jk (τ 2 ) opaàne vrednosti duìne tetive l jk u epohama τ 1 , τ 2 , a

A ∗jk (l ) je kompleksna forma od A jk (l ) koju ~italac moè lako da izvede. Analogne jedna~ine mogu se napisati i za uglove, pravce i azimute. Ceo sistem jedna~ina opaànja onda se prikuplja da bi se kreirao model konstantnih brzina pomeranja:

Ax = re A ∗ z ∗ = l .

(27.38)

Treba primetiti da se mnoènjem sa ∆τ ovaj model redukuje na oblik jednostavnog modela pomeranja (19). Jedina razlika je {to se ovde svaka komponenta vektora opaànih brzina moè odnositi na vremenski interval razli~ite duìne. Pomeranja ∆ zˆ ∗ onda se nalaze na isti na~in kao i u slu~aju jednostavnog modela pomeranja. Kada su pojedine merne veli~ine ponovno opaàne vi{e puta, mogu se odrediti ne samo horizontalne brzine ve} i ubrzanja. Rezonovanjem sli~nim malopre|a{njem, formuli{e se model konstantnih ubrzanja pomeranja:

Ax = re A ∗ z∗ = l ,

(27.39)

Ova jedna~ina zajedno sa (38) daje kompletnu informaciju o kretanju koje je karakteristi~no po konstantnom ubrzanju i vremenu. Izraàvaju}i izvode drugog reda pomo}u kona~nih razlika [NORRIE AND DE VRIES, 1978], j -to kvaziopaànje postaje:

l = j

l j (τ 3 ) − 2l j (τ 2 ) + l j (τ 1 )

(τ 3 − τ 2 )(τ 2 − τ 1 )

.

(27.40)

Ovde je pre}utno podrazumevano da su opaànja prikupljena u sukcesivnim epohama, tj. da je:

τ1 < τ 2 < τ 3 .

(27.41)

Modeli konstantnih brzina i konstantnih ubrzanja mogu se posmatrati kao dva specijalna slu~aja vremenski ograni~enih modela pomeranja. Alternativna familija

754


§ 27.3

SLIKA 27.8. Smanjenje veli~ine horizontalnih pomeranja sa rastojanjem od raseda.

modela koji se mogu upotrebiti u slu~aju rasutih opaànja, su prostorno ograni~eni modeli pomeranja. U literaturi se nalazi {irok izbor ovakvih modela, npr. [POPE AND STEARN, 1964]. Svaki izbor modela trebalo bi da poti~e od poznavanja ili pretpostavljanja fizi~kih zakona koji diktiraju kretanje. Na primer, moè se pretpostaviti kretanje u vidu ~istog klizanja u odre|enom pravcu koji je obi~no paralelan aktivnom rasedu. Specifi~nosti ovakvog modela pomeranja mogu se videti npr. u FRANK [1966]. Drugi primer prostorno ograni~enog modela je onaj koji propisuje da se veli~ina pomeranja menja sa lokacijom prema nekom unapred pretpostavljenom modelu. Takvi modeli pomeranja ograni~ene veli~ine koriste se kada se istraùju koseizmi~ka kretanja unutar litosfernih plo~a. Kod njih je veli~ina pomeranja funkcija odstojanja od raseda i dubine epicentra. Ilustracija takvog pona{anja pomeranja za ve} pominjani Tango zemljotres prema KASAHARA [1957] data je na slici 8. Svi ovi modeli su ograni~eni modeli u smislu diskusije iz podpoglavlja 14.5. Njihovo matemati~ko izvo|enje prepu{ta se stoga ~itaocu. Poslednji modeli koje }emo pomenuti predstavljaju podfamiliju prostorno ograni~enih modela pod nazivom prostorni kontinualni modeli pomeranja. Ideja na kojoj se baziraju ovi modeli analogna je onoj kod povr{inskih modela za vertikalna pomeranja (podpoglavlje 26.4). Ovim modelima se obi~no traè horizontalna pomeranja u vidu reda algebarskih funkcija poloàja [KASAHARA AND SUGIMURA, 1964; WHITTEN, 1967]:

( ) ∑c z

∆z ∗ z ∗ =

m

∗ ∗j j

.

(27.42)

j =0

Algoritam odre|ivanja koeficijenata c ∗j isti je kao u podpoglavlju 26.4 i ne}e biti ponavljan ovde. Interesantno je ipak pogledati neke rezultate dobijene ovom metodom. Slika 9 pokazuje horizontalna pomeranja u Imperial Valley, Californija koja su odredili SNAY AND GERGEN [1978]. Treba napomenuti da su ovde autori

§ 27.4

Strejn, modeli smicanja i drugi modeli

755

SLIKA 27.9. Srednja godi{nja pomeranja u Imperial Valley, Californija, sra~unata iz podataka koji pokrivaju period od 1941 do 1975.

pretpostavili prostorni kontinuitet samo u okviru prostora izme|u dva aktivna raseda. Uobi~ajeni nedostatak direktnog pristupa pomeranjima u pore|enju sa pristupom ponovljenih odre|ivanja poloàja je {to opaànja koja nisu ponovljena u kasnijoj epohi ne mogu da se uklju~e u model. S druge strane, ocena gre{aka kod modela pomeranja smatra se superiornom u odnosu na model upore|enja poloàja zbog ve} obja{njenih razloga. Direktni pristup je i ra~unski pogodniji jer se traì manje nepoznatih veli~ina i nije potrebno nalaziti poloàje. Nijedan od ograni~enih modela nije oslobo|en neodredivosti koja uvek postoji u jednom ili drugom obliku. Prisustvo neodredivosti je o~igledan simptom ~injenice da pomeranja nisu najprirodnije veli~ine koje treba odre|ivati. Neke mnogo prirodnije alternative pomeranjima bi}e pokazane u poslednjem podpoglavlju. 27.4. Strejn, modeli smicanja i drugi modeli O~igledan na~in da se prevazi|e neodredivost je da se traè druge veli~ine koje opisuju horizontalna pomeranja, a direktnije su vezane za merne veli~ine. Naj{ire prihva}ena takva veli~ina je strejn tenzor (podpoglavlje 25.2). Da bi pokazali kako se koristi u istraìvanjima horizontalnih pomeranja, napi{imo dvodimenzionalni strejn tenzor (25.26) u koordinatnom sistemu projekcije ( x, y ) M . Ova operacija daje :

756


⎡ ∂v x ⎢ e xy ⎤ ⎢ ∂x = ⎥ e yy ⎦ ⎢ 1 ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ ⎟ + ⎢ ⎜⎜ ∂y ⎟⎠ ⎢⎣ 2 ⎝ ∂x

⎡ e xx ε′ = ⎢ ⎣e yx

1 ⎛ ∂v x ∂v y ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ + ∂x ⎟⎠⎥ 2 ⎜⎝ ∂y . ⎥ ∂v y ⎥ ∂y ⎥⎦

§ 27.4

(27.43)

Ozna~avaju}i dvodimenzionalni ∇ operator sa ∇′ moè se tako|e napisati:

ε′ =

1 2

[∇′vG

T

]

G T + (∇ ′v T ) ,

(27.44)

G

gde je v = (v x , v y ) T vektor pomeranja definisan sa (3). Interesantno je da se strejn tenzor moè smatrati simetri~nim delom Jakobijan matrice transformacije prostora vektora poloàja u prostor vektora pomeranja, ili alternativno kao mera simetri~ne deformacije. Preciznije, za male deformacije moè se napisati [JAEGER, 1971]:

G G G v = (Ω ′ + ε ′) r + v 0 ,

(27.45)

G

gde je Ω ′ antisimetri~ni deo Jakobijan matrice, a v0 je proizvoljna translacija.

G

Simetri~ni deo pomeranja, tj. ε ′ r opisuje onaj deo deformacije koji nije posledica rotacije. To je deo na koji }emo se sada skoncentrisati. Antisimetri~ni deo obradi}emo kasnije. Koriste se i drugi na~ini dekompozicije matrice gradijenta pomeranja Ω ′ + ε ′ . U nekim primenama pogodnije je na primer razdvajanje na konformni i antikonformni deo [SCHNEIDER, 1982].

G

Po{to je diferenciranje vektora v uklju~eno u definiciju ε ′ , translaciona G neodre|enost koja optere}uje v nestaje (uporedi sa (7)), tj. ε ′ je invarijanta translacija. Neodredivost rotacije karakteri{e ~lan z p∗(1) (e −i∆ψ − 1) (uporedi sa (10)). U ovom kontekstu pogodnije je rotacije izraàvati pomo}u matrica:

(R1 (∆ψ ) − I ) rG = S (∆ψ ) rG

,

(27.46)

gde se o matrici S (∆ψ ) moè razmi{ljati kao o jednoparametarskom operatoru rotacionog pomeranja. Primetimo da je S (0) = 0 . Sa ovom notacijom, za

G

kompletno pomeranje vc neke ta~ke moè se napisati:

G G G G v c = v p + S (∆ψ ) r + v 0 ,

(27.47)

§ 27.4


757

G

pri ~emu je v p partikularna vrednost vektora pomeranja. Zamena kompletnog re{enja u (44), za strejn tenzor daje:

(

G G ε c′ = 12 ⎧⎨∇ ′ v p + S r ⎩

)

T

[ (

G G + ∇′ vp + S r

)

] ⎬⎭ .

T T⎫

(27.48)

Primena pravila vektorskog diferenciranja daje (vidi podpoglavlje 3.2):

(

G G ∇′ vp + S r

)

T

G = ∇ ′v pT + S T ,

(27.49)

i shodno tome:

ε c′ =

1 2

[∇′vG + (∇′vG ) ] + T p

T T p

1 2

(S + S T ) .

(27.50)

Kratko ra~unanje pokazuje da je : 1 2

[S (∆ψ ) + S T (∆ψ )] = (cos ∆ψ − 1) I

,

(27.51)

tako da kompletno re{enje za strejn tenzor glasi:

ε c′ =

1 2

[∇′vG + (∇′vG ) ] − (1 − cos ∆ψ ) I . T p

T T p

(27.52)

Jedna~ina (52) pokazuje da se neodredivost rotacije pomeranja transformi{e u neodredivost dijagonalnih komponenti strejn tenzora, tj. u neodredivost strejna u pravcu x i y . Kad se u realnosti pojavi rotacija oko po~etka koordinatnog sistema, ona je sasvim mala tako da se nesigurnost moè napisati kao:

− (1 − cos ∆ψ ) = 12 ∆ψ 2 .

(27.53)

Ona prema tome predstavlja efekat drugog reda u pore|enju sa efektom prvog reda na pomeranja kojeg karakteri{e prisustvo sin ∆ψ . Na primer, zanemarena rotacija od jednog lu~nog minuta uzrokuje gre{ku manju od 5 × 10 −8 u re{enju za strejn u pravcu x i y . Stoga je strejn tenzor invarijanta translacija i pribli`no invarijanta malih rotacija, {to su ustvari ~injenice zbog kojih je tenzor tako atraktivan izbor za opisivanje horizontalnih kretanja. [to se ti~e neodredivosti razmere, otkrivamo da ona uti~e na strejn tenzor na isti na~in kao i na pomeranja (vidi jedna~inu (11)). Kompletno re{enje za strejn tenzor za malo ∆ψ kona~no glasi:

758


ε ′c =

1 2

[∇′vG

T p

(

G + ∇ ′v pT

)

T

+ ∆ψ 2 I

] (1 − ∆κ ).

§ 27.4

(27.54)

O~igledna je dodatna vrednost ove jedna~ine za istraìvanje efekta sistematskih gre{aka u azimutima (prose~na gre{ka u α = ∆ψ ) i duìnama (prose~na gre{ka u ∆r = ∆κ ) na na|eni strejn tenzor. Kako se strejn tenzor dobija iz opaànih duìna, uglova i azimuta? Najpogodniji G na~in je da se prvo na|u vektori pomeranja v p za sve ta~ke u mreì koriste}i jednu od tehnika opisanih u podpoglavlju 27.3. Onda se iz pomeranja susednih ta~aka mogu numeri~ki na}i parcijalni izvodi koji ~ine strejn tenzor. Konfiguracija susednih ta~aka za ove svrhe nalazi se na niz na~ina. Prirodno je izabrati trougao kao osnovnu konfiguraciju mreè. Uzimaju}i trougao Pi , Pj , Pk kao osnovnu konfiguraciju, suo~eni smo sa situacijom prikazanom na slici 10. âk i kada je izabrana osnovna konfiguracija, ~etiri parcijalna izvoda potrebna za ε ′ jo{ uvek se mogu na}i na vi{e na~ina. Direktnu tehniku predstavlja linearna interpolacija izme|u Pi , Pj , Pk ~iji rezultat se onda pridruùje teì{tu Pijk . Ovaj pristup predloìli su prvi TERADA AND MIYABE [1929], i on moè se opisati na slede}i na~in. Napi{imo prvo jedna~inu ravni koja predstavlja x - komponentu vektora pomeranja u trouglu (vidi podpoglavlje 3.3):

v x (x, y ) =

∂v x ∂v x + x y + const. ∂x ∂y

(27.55)

Zamenom vrednosti x, y , v x ( x, y ) za tri ta~ke, dobijaju se tri simultane jedna~ine

SLIKA 27.10. Osnovna strejn konfiguracija kao kona~ni element.

§ 27.4


759

za ∂v x / ∂x, ∂v x / ∂y i za konstantni ~lan. Sli~an sistem se onda pi{e za v y . Ova dva linearna sistema re{avaju se po sva ~etiri parcijalna izvoda i dva konstantna ~lana koji u ovom slu~aju nemaju zna~aja. Drugi izbor osnovne konfiguracije je upotreba svih ta~aka povezanih sa ta~kom interesovanja Pi opaànjima jedne ili druge vrste. Ova konfiguracija prikazana je na slici 11. Ovde se karakteristi~ne vrednosti parcijalnih izvoda dobijaju MNK ocenjivanjem [VANI~EK ET AL., 1981], i pridruùju ta~ki Pi . Razlike izme|u dva pristupa su analogne razlici izme|u kona~nih elemenata i kona~nih razlika u numeri~kom re{avanju problema grani~nih vrednosti. Za ostale mogu}nosti ~italac se upu}uje npr. na TSUBOI [1930]. Treba primetiti da se kovarijaciona matrica Cε koja odgovara elementima strejn tenzora moè na}i pomo}u kovarijacionog zakona. Izvo|enje se prepu{ta ~itaocu. Kada je strejn tenzor izveden, on moè pruìti sve informacije o prose~nom stanju napona u trouglu Pi , Pj , Pk ili ta~ki. Ova informacija se predstavlja konusnom formom koja odgovara strejn tenzoru, ili njenom pedalnom krivom, na isti na~in kao u podpoglavlju 16.3 za distorzije projekcije (Tisoova indikatrisa) ili u podpoglavlju 25.2 za plimatski napon. Ova tehnika je sli~na konstrukciji elipsi poverenja iz dva puta dva podmatrica matrice teìna (podpoglavlje 18.3), i ne}e se ovde ponavljati. S druge strane, interpretacija takve strejn konike je potrebna.

SLIKA 27.11. Osnovna strejn konfiguracija kao kona~na razlika.

760


§ 27.4

SLIKA 27.12. Strejn elipsa.

Slika 12 pokazuje elipse kao jednu mogu}u strejn koniku. One su upravljene prema sopstvenim vektorima strejn tenzora, a maksimalni i minimalni strejn ε1 , ε 2 , tj. sopstvene vrednosti strejn tenzora ( a ne ε1−2 , ε 2−2 ) prikazane su kao poluose. Za razliku od kovarijacionih matrica ili njihovih dijagonalnih podmatrica, strejn tenzori mogu imati pozitivne ili negativne sopstvene vrednosti. Pozitivne vrednosti ozna~avaju ekstenziju u pravcu odgovaraju}e ose, a negativne vrednosti kontrakciju [DERMANIS AND LIVIERATOS, 1983]. Naravno, strejn konika je elipsa samo kada su obe sopstvene vrednosti pozitivne. Kada je jedna pozitivna a druga negativna, konika je dvograna hiperbola. U tom slu~aju obi~no se crta rozeta sli~na onoj prikazanoj na slici 14. Kada je jedna sopstvena vrednost jednaka nuli konika postaje segment, a kad su ε1 i ε 2 negativni imamo imaginarnu elipsu. Mnogi autori ipak ne prave razliku izme|u elipsi i hiperbola, i crtaju elipse za sve slu~ajeve kad je ε1 ε 2 ≠ 0 . Tako|e je uobi~ajeno da se crtaju samo glavne strejn ose umesto cele strejn konike. Da bi se do~arao razli~it karakter strejna du` ovih osa upotrebljavaju se razli~ite linije, npr. pune linije za ekstenziju i isprekidane za kontrakciju. Slika 13 prikazuje {emu strejna koji je odredio TSUBOI [1932] koriste}i iste podatke pomo}u kojih je konstruisana slika 2. îtalac se savetuje da uporedi ove dve vrste prikaza. Veoma popularan na~in prikazivanja strejna je pomo}u deformacija smicanja. Ove veli~ine su definisane kao:

γ 1 = e xx − e yy ,

γ 2 = 2e xy ,

(27.56)

i predstavljaju smicanje u pravcima koji su u odnosu na ose x i y pod uglom od 1 4

π . Interesantno je da su deformacije smicanja potpuno neosetljive na rotacije

§ 27.4


761

SLIKA 27.13. Glavne strejn ose. Pune linije ozna~avaju ekstenziju, isprekidane kontrakciju.

(uporedi sa (54)). Deformacije smicanja nestaju u pravcu glavnih strejn osa, a dostiù maksimum koji se naziva ukupnim smicanje:

γ m = γ 12 + γ 22 , u pravcima pod uglom od

1 4

(27.57)

π u odnosu na glavne ose. O~igledno je da smicanje

nestaje ako je strejn konika kru`nica. Naneta promena smicanja sa azimutom naziva se rozeta smicanja i prikazana je na slici 14. Vi{e detalja o deformaciji smicanja moè se na}i npr. u JAEGER [1971]. Radijalna ekspanzija:

ρ=

1 2

(ε1 + ε2 ) ,

(27.58)

koja se naziva dilatacijom tako|e se moè izra~unati. Zainteresovani ~italac se savetuje da pogleda primere grafi~ke interpretacije svih ovih veli~ina npr. u RIKITAKE [1976].

762


§ 27.4

SLIKA 27.14. Rozeta smicanja.

Svi navedeni oblici strejn pona{anja mogu se izvesti naravno iz strejn tenzora, i svi oni opisuju simetri~nu deformaciju. Kao takvi, oni su neosetljivi na translaciju i skoro neosetljivi na rotaciju. Situacija je druga~ija za Ω′ koje opisuje antisimetri~nu deformaciju. Iz (45) se moè napisati:

⎡ 0 ⎢ ⎢ Ω′ = ⎢ 1 ⎛ ∂v y ∂v x − ⎢ ⎜⎜ ∂y ⎣⎢ 2 ⎝ ∂x

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 ⎛ ∂v x ∂v y ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ − 2 ⎜⎝ ∂y ∂x ⎟⎠⎥ ⎡ 0 ω ⎤ = , ⎥ ⎢⎣ − ω 0 ⎥⎦ 0 ⎥ ⎦⎥

(27.59)

gde je ω poznato kao prose~na diferencijalna rotacija okoline ta~ke P u odnosu na koordinatni sistem (vidi sliku 15). Moè se pokazati sli~no izvo|enju formule (52), da kompletno re{enje za Ω′ glasi:

⎡ 0 ⎢ ⎢ Ω ′c = ⎢ ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂v ⎢ ⎜ y − x ⎟ − sin ∆ψ ∂y ⎟⎠ ⎢⎣ 2 ⎜⎝ ∂x ω + ∆ψ ⎤ 0 ⎡ . = ⎢ 0 ⎥⎦ ⎣ − ω − ∆ψ

⎤ 1 ⎛ ∂v x ∂v y ⎞ ⎜ ⎟ + sin ∆ψ ⎥ − ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎥ ⎥ ⎥ (27.60) 0 ⎥⎦

To zna~i da je prose~na diferencijalna rotacija optere}ena neodredivo{}u rotacije kao i vektori pomeranja. Treba pomenuti da se sve veli~ine u vezi strejna mogu izvesti direktno iz opaànja bez nalaènja pomeranja. Prakti~ne formule za opaàne promene uglova izveo je FRANK [1966]. Varijacije Frankovog pristupa predlagao je BIBBY [1975].

§ 27.4


763

SLIKA 27.15. Prose~na diferencijalna rotacija.

Na kraju, konstatujmo da je poèljno koristiti kombinaciju horizontalnih i vertikalnih informacija kako bi se do{lo do trodimenzionalnog opisa deformacija. Takav trodimezionalni model lak{e se konvertuje u geofizi~ki zna~ajne veli~ine kao {to su pritisci i sile (vidi npr. NYLAND [1977]). Naàlost, podaci koji stoje na raspolaganju su obi~no vertikalni ili horizontalni, ali veoma retko oboje.

DEO VI

LITERATURA

ALTERMAN, Z., H. JAROSCH AND C.L. PEKERIS (1961). Propagation of Rayleigh waves in the earth. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 4, p. 219. BAKER, T.F. AND G.W. LENNON (1976). Spatial coherency and tidal tilts. Proc. 7th International Symposium on Earth Tides, Ed. C. Szádeczky-Kardoss. Hungarian Academy of Sciences, Sopron, Hungary, September, 1973. E. Schweizerbart'sche Verlagsbuchhandlung, pp. 479-493. BEAUMONT, C. (1976). Personal communication. Dalhousie University, Halifax, Canada. BEAUMONT, C. AND A. LAMBERT (1972). Coastal structure from surface load tilts using a finite element model. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 29, pp. 203-226. BENDER, P.L., J.E. FALLER, J. LEVINE (AND OTHERS) (1979). Possible high-mobility LAGEOS ranging station. Tectonophysics 52, pp. 69-73. BIBBY, H.M. (1975). Crustal strain from triangulation in Marlborough, New Zealand. Tectonophysics 29, pp. 529-540. BOMFORD, G. (1971). Geodesy. 3rd ed., Oxford University Press. BOWER, D.R. (1970). Some numerical results in the determination of the indirect effect. Proc. 6th International Symposium on Earth Tides, Ed. R. Dejaiffe. IUGG and IAG, Strasbourg, France, September, 1969. Observatoire Royal de Belgique, pp. 106-112. BOWER, D.R. (1973). A sensitive water level tiltmeter. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 274 (1239), pp. 223-226. BRAGARD, L. (1980). Personal communication. University of Liege, Belgium. BRUNNER, F.K. (1979). On the analysis of geodetic networks for the determination of the incremental strain tensor. Surv. Rev. XXV (192), pp. 56-67. BURFORD, R.O. (1965). Strain analysis across the San Andreas fault and Coast Ranges of California. Proc. 2nd Symposium of the Commission on Recent Crustal Movements, IAG and IUGG, Aulanko, Finland, August. BURFORD, R.O., R.D. NASON AND P.W. MARSH (1978). Studies of fault creep in central California. Earthquake Inf. Bull. 10 (5), pp. 174-181. CABANISS, G.H. (1978). The measurement of long period and secular deformation with deep borehole tiltmeters. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, An International Symposium on the Applications of Geodesy to Geodynamics, Ed. I.I. Mueller. IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 165-169. CASTLE, R.O., J.N. ALT, J.C. SAVAGE AND E.I. BALAZS (1974). Elevation changes preceding the San Fernando earthquake of February 9, 1971. Geology 2, pp. 61-66. CHI, S.C., R.E. REILINGER, L.D. BROWN AND G.A. JURKOWSKI (1980). Geodetic leveling and crustal movement in the U.S., Part II, Non-tectonic influences. Paper presented at the 1980 Spring Meeting of the American Geophysical Union, May 22-27, Toronto, Canada. CHRZANOWSKI, A. (1980). Personal communication. Department of Surveying Engineering, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. CONDON, E.U. AND H. ODISHAW (EDS.) (1967). Handbook of Physics. 2nd ed., McGraw-Hill. COORDINATING COMMITTEE ON GREAT LAKES BASIC HYDRAULIC AND HYDROLOGIC DATA, THE (1977). Apparent vertical movement over the Great Lakes. U.S. Army Corps of Engineers, Detroit District, U.S.A.

764

LITERATURA, DEO VI

765

CURRIE, R.G. (1975). Period, Qp and amplitude of the pole tide. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 43, pp. 73-86. DERMANIS, A. AND E. LIVIERATOS (1983). Applications of deformation analysis in geodesy and geodynamics. Reviews of Geophysics and Space Physics 21(1), pp. 41-50. DOODSON, A.T. (1922). The harmonic development of the tide-generating potential. Proc. Roy. Soc. London Ser. A 100, pp. 305-329. EDGE, R.C.A. (1959). Some considerations arising from the results of the second and third geodetic levellings of England and Wales. Bull. Géod. 52, pp. 28-36. FARRELL, W.E. (1972). Deformation of the earth by surface loads. Rev. Geophys. and Space Phys. 10 (3), pp. 761-797. FRANK, F.C. (1966). Deduction of earth strains from survey data. Bull. Seismol. Soc. Amer. 56 (1), pp. 3542. GOAD, C.C. (1979). Gravimetric tidal loading computed from integrated Green's functions. NOAA Technical Memorandum NOS NGS-22, National Geodetic Survey, Rockville, U.S.A. GOODKIND, J.M. (1978). High precision tide spectroscopy. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, An International Symposium on the Applications of Geodesy to Geodynamics, Ed. I.I. Mueller. IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 309-311. HARKRIDER, D.G. (1970). Surface waves in multilayered elastic media 2, higher mode spectra and spectral ratios from point sources in plane layered earth models. Bull. Seismol. Soc. Amer. 60, p. 1937. HOLDAHL, S.R. AND R.L. HARDY (1979). Solvability and multiquadric analysis as applied to investigations of vertical crustal movements. Tectonophysics 52, pp. 139-155. HOLDAHL, S.R. AND N.L. MORRISON (1974). Regional investigations of vertical crustal movements in the U.S. using precise relevellings and mareograph data. Tectonophysics 23, pp. 373-390. HOLLAND, G.L. AND T.S. MURTY (1970). On the pole tide and related Chandler oscillations. Report on the Symposium on Coastal Geodesy, Ed. R. Sigl. IUGG and IAG, Munich, Germany, July. Institut für Angewandte Geodäsie, pp. 369-389. INTERNATIONAL ASTRONOMICAL UNION (1977). Proceedings of the Sixteenth General Assembly. Ed. A. Muller, A. Jappel. IAU, Grenoble, 1976. Trans. of the IAU, Vol. XVIB, D. Reidel Publishing. JACHENS, R.C. (1978). The gravity method and interpretive techniques for detecting vertical crustal movements. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, An International Symposium on the Applications of Geodesy to Geodynamics, Ed. I.I. Mueller. IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 153-155. JACHENS, R.C. (1979). Personal communication. U.S. Geological Survey, Menlo Park, U.S.A. JAEGER, J.C. (1971). Elasticity, Fracture, and Flow: With Engineering and Geological Applications. 3rd ed., Halsted Press. KÄÄRIÄINEN, E. (1953). On the recent uplift of the earth's crust in Finland. Publication of the Finnish Geodetic Institute No. 42, Helsinki, Finland. KASAHARA, K. (1957). The nature of seismic origins as inferred from seismological and geodetic observations (1). Bulletin of the Earthquake Research Institute, University of Tokyo, Japan, Vol. 35, pp. 511-530. KASAHARA, K. AND A. SUGIMURA (1964). Horizontal secular deformation of land deduced from retriangulation data, 1. Land deformation in central Japan. Bulletin of the Earthquake Research Institute, University of Tokio, Japan, Vol. 42, pp. 479-490. KORHONEN, J. (1961). Adjustment of levellings in region of slow vertical movement. Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. AIII, Geologica-Geographica, pp. 128-142. LAMBECK, K. (1980). The Earth's Variable Rotation: Geophysical Causes and Consequences. Cambridge University Press. LAMBERT, A. AND C. BEAUMONT (1977). Nano variations in gravity due to seasonal groundwater movements: Implications for the gravitational detection of tectonic movements. J. Geophys. Res. 82, pp. 297-306. LAMBERT, A. AND P. VANÍÊK (1979). Contempory crustal movement in Canada. Canad. J. Earth Sci., 16 (3), part 2, pp. 647-668.

766

LITERATURA, DEO VI

LAMBERT, W.D. AND F.W. DARLING (1936). Tables for determining the form of the geoid and the indirect effect on geodesy. U.S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 199, Washington, D.C., U.S.A. LENNON, G.W. AND P. VANÍÊK (1970). Calibration tests and the comparative performance of horizontal pendulums at a single station. Proc. 6th International Symposium on Earth Tides, Ed. R. Dejaiffe. IUGG and IAG, Strasbourg, France, September, 1969. Observatoire Royal de Belgique, pp. 183-193. LEVINE, J. (1978). Multiple wavelength geodesy. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, An International Symposium on the Applications of Geodesy to Geodynamics, Ed. I.I. Mueller. IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 99-102. LONGMAN, I.M. (1962). A Green's function for determining the deformation of the earth under surface mass loads I. J. Geophys. Res. 67 (2), pp. 845-850. LONGMAN, I.M. (1963). A Green's function for determining the deformation of the earth under surface mass loads II. J. Geophys. Res. 68 (2), pp. 485-496. LOVE, A.E.H. (1911). Some Problems of Geodynamics. Dover reprint, 1967. LOVE, A.E.H. (1927). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. 4th ed., Dover reprint, 1944. MEADE, B.K. (1973). Report of the sub-commission on recent crustal movements in North America. In: "Reports on Geodetic Measurements of Crustal Movement, 1906-1971", Paper No. 65, U.S. Department of Commerce, Rockville, U.S.A. MEADE, B.K. AND J.B. SMALL (1966). Current and recent movement on the San Andreas fault. Geology of Northern California, Bulletin 190, Division of Mines and Geology, pp. 385-391. MELCHIOR, P. (1978). The Tides of the Planet Earth. Pergamon. MILLER, R.W., A.J. POPE, H.S. STETTNER AND J.L. DAVID (1969). Crustal movement investigations triangulation, Taft-Mojave area, California, supplement. U.S. Coast and Geodetic Survey Operational Data Report C & GS Dr-6, Rockville, U.S.A. MUNK, W.M. AND G.F.K. MACDONALD (1960). The Rotation of the Earth. Cambridge University Press. NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION (1979). Application of space technology to crustal dynamics and earthquake research. NASA Technical Paper 1464, Washington, D.C., U.S.A. NORRIE, D.H. AND G. DE VRIES (1978). An Introduction to Finite Element Analysis. Academic Press. NUR, A. AND G. MAVKO (1974). Postseismic viscoelastic rebound. Science 183, pp. 204-206. NYLAND, E. (1977). Repeated geodetic surveys as experiments in geophysics. Canad. Surv. 31 (4), pp. 347-360. OZAWA, I. (1961). On the observations of the earth tide by means of extensometers in horizontal components. Disaster Prevention Research Institute Report 46, Kyoto University, Japan. POPE, A.J. AND J.L. STEARN (1964). Matrix algebra applied to horizontal earth movement analysis. Paper presented at the 45th Annual Meeting of the American Geophysical Union, Washington, D.C., April. RIKITAKE, T. (1976). Earthquake Prediction. Elsevier. SAVAGE, J.C. (1978). Strain patterns and strain accumulation along plate margins. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, An International Symposium on the Applications of Geodesy to Geodynamics, Ed. I.I. Mueller. IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 93-97. SAVAGE, J.C. AND W.H. PRESCOTT (1973). Precision of geodetic distance measurements for determining fault movements. J. Geophys. Res. 78, pp. 6001-6008. SCHNEIDER, D. (1982). Complex crustal strain approximation. Department of Surveying Engineering Technical Report 91, University of New Brunswick, Fredericton, Canada. SNAY, R.A. AND J.G. GERGEN (1978). Monitoring regional crustal deformation with horizontal geodetic data. Proc. 9th Geodesy/Solid Earth and Ocean Physics (GEOP) Research Conference, An International Symposium on the Applications of Geodesy to Geodynamics, Ed. I.I. Mueller. IAG/IUGG and COSPAR, Columbus, U.S.A., October. Department of Geodetic Science Report 280, The Ohio State University, Columbus, U.S.A., pp. 87-92.

LITERATURA, DEO VI

767

TERADA, T. AND N. MIYABE (1929). Deformation of the earth crust in Kiransai District and its relation to the orographic feature. Bulletin of the Earthquake Research Institute, University of Tokyo, Japan, Vol. 7, pp. 223-241. TSUBOI, C. (1930). A note on the analytical treatments of the horizontal deformation of the earth crust. Bulletin of the Earthquake Research Institute, University of Tokyo, Japan, Vol. 8, pp. 384-392. TSUBOI, C. (1932). Investigation on the deformation of the earth's crust in the Tango District connected with the Tango earthquake of 1927 (Part 4). Bulletin of the Earthquake Research Institute, University of Tokyo, Japan, Vol. 10, pp. 411-436. TSUBOKAWA, I., T. DAMBARA AND A. OKADA (1968). Crustal movements before and after the Niigata earthquake. In: General Report on the Niigata Earthquake of 1964, Tokyo Electrical Engineering College Press. VACQUIER, V. AND R.E. WHITEMAN (1973). Measurement of fault displacement by optical parallax. J. Geophys. Res. 78 (5), pp. 858-865. VANÍÊK, P. (1978). To the problem of noise reduction in sea level records used in vertical crustal movement detection. Phys. of the Earth and Planetary Interiors 17 (3), pp. 265-280. VANÍÊK, P. (1980). Tidal corrections to geodetic quantities. NOAA Technical Report NOS 83 NGS 14, U.S. Department of Commerce, Rockville, U.S.A. VANÍÊK, P. AND D. CHRISTODULIDES (1974). A method for the evaluation of vertical crustal movement from scattered geodetic relevellings. Canad. J. Earth. Sci. 11 (5), pp. 605-610. VANÍÊK, P., R.O. CASTLE AND E.I. BALAZS (1980). Geodetic leveling and its applications. Rev. Geophys. and Space Phys. 18 (2), pp. 505-524. VANÍÊK, P., M.R. ELLIOTT AND R.O. CASTLE (1979). Four-dimensional modelling of recent vertical movements in the area of the southern California uplift. Tectonophysics 52, pp. 287-300. VANÍÊK, P., K. THAPA AND D. SCHNEIDER (1981). The use of strain to identify incompatible observations and constraints in horizontal geodetic networks. Manuscripta Geodaetica VI(3), pp. 257-281. WHITTEN, C.A. (1967). Geodetic networks versus time. Bull. Géod. 84, pp. 109-116. ZSCHAU, J. (1976). Tidal sea load tilt of the coast and its application to the study of coastal and upper mantle structure. Geophys. J. Roy. Astronom. Soc. 44, pp. 577-593.

GEODEZIJA

Recommend Documents