Fizikalna geodezija

SARAJEVO

�� ć

��

��

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.



















































Predgovor

Zbog nedostatka literature na bosanskom jeziku s područja fizikalne geodezije, su autori pokušali predstaviti dio gradiva koji se predaje u okviru predmeta Fizikalna geodezija na diplomskom studiju (I godina) Geodetskog odsjeka Građevinskog fakulteta Univerziteta u Sarajevu. Ova skripta nije recenzirana tako da se ne može smatrati udžbenikom. Skripta neka služe studentima kao pomoć pri studiranju i pripremanju izpita, zajedno sa bilješkama, koje student sačini na predavanjima i vježbama. Za potpuniji pregled i studiranje, neka se student posluži literaturom, navedenom na kraju.

Ljubljana, Sarajevo, novembar 2009

Autori





















































Sadržaj

1 2

3

4

Predgovor Predgovor ............................................. .................................................................... ............................................. .............................................. ............................... ....... 1 Sadržaj................ Sadržaj....................................... ............................................... .............................................. .............................................. .......................................... .................. 3 Uvod............................ Uvod.................................................... .............................................. ............................................. .............................................. .................................. ........... 5 1.1 Kratak Kratak historijski historijski prikaz....................................................... prikaz............................................................................... .................................. .......... 5 Teorija Zemljinog Zemljinog polja sile teže .............................................. ...................................................................... ...................................... .............. 7 2.1 Značaj Značaj proučavanja proučavanja Zemljinog Zemljinog polja sile teže....................................................... teže....................................................... 7 2.1.1 Sila gravitacije gravitacije i potencijal......................................... potencijal............................................................... ......................................... ................... 7 2.1.2 Gravitacijs Gravitacijski ki potencijal potencijal kugle ........................................... .................................................................. ................................ ......... 11 2.1.3 Osobine Osobine gravitacijsko gravitacijskogg potencijala potencijala .............................................. .................................................................. .................... 14 2.1.4 Centrifugaln Centrifugalnii potencijal................... potencijal.......................................... ............................................. ........................................... ..................... 15 2.1.5 Sila teže, potencijal potencijal ubrzanja sile teže ............................................ ............................................................. ................. 16 2.2 Geometrija Geometrija polja sile teže.................... teže ........................................... ............................................. ........................................... ..................... 19 2.2.1 Nivo plohe i težišnica .............................................. .................................................................... ........................................... ..................... 19 2.2.2 Zakrivljeno Zakrivljenost st nivo ploha i težišnice težišnice ............................................. .................................................................. ..................... 21 2.2.3 Analitički prikaz nivo ploha........... ploha... ................ ................ ................ ................. ................. ................ ................ ................ ........... ... 22 2.2.3 Gradijent Gradijent ubrzanja sile teže................... teže .......................................... .............................................. .................................... ............. 22 2.2.4 Sistem prirodnih prirodnih koordinata.......................... koordinata................................................. ............................................. ............................ ...... 23 2.3 Razvoj gravitacijskog potencijala u red po sfernim funkcijama........... funkcijama... ................ ............ 25 2.4 Oblik Zemlje ............................................. ................................................................... .............................................. ........................................ ................ 30 2.4.1 Normalno Normalno polje sile teže..................... teže ............................................. .............................................. ....................................... ................. 31 2.5 Vremenske promjene polja sile teže ................ ........ ................ ................. ................. ................ ................ ................ ........... ... 33 2.6 Anomalijsko polje sile teže Zemlje........ Zemlje ................. ................. ................ ................ ................ ................ ................. .............. ..... 34 2.6.1 Otklon Otklon vertikale.................................... vertikale.......................................................... ............................................. ........................................ ................. 37 2.6.2 Anomalije sile teže ................ ....... ................. ................ ................ ................ ................ ................ ................. ................. ................ ............ .... 41 Sistemi Sistemi visina.................................................... visina.......................................................................... .............................................. ........................................ ................ 44 3.1 Morski Morski nivo ........................................... .................................................................. ............................................. ........................................... ..................... 54 3.1.1 Srednji Srednji nivo morske površine.................... površine ........................................... .............................................. ................................ ......... 54 3.2 Topografija Topografija morskog morskog nivoa ........................................... .................................................................. .................................... ............. 56 3.3 Nivelmanske Nivelmanske mreže u BiH ............................................ ................................................................... .................................... ............. 57 Određivanje Određivanje geoida (kvazigeoida) (kvazigeoida) ............................................ ................................................................... .................................... ............. 60 4.1 Vrste podataka za određivanje geoida (kvazigeoida) ................ ........ ................. ................. ................ ........ 61 4.2 Metode računanja računanja geoida.................... geoida ........................................... ............................................. ........................................... ..................... 62 4.2.1 Dinamičke Dinamičke satelits satelitske ke metode metode – globalni globalni geopotencijal geopotencijalni ni modeli modeli ................ 63 4.2.2 Gravimetrijs Gravimetrijska ka metoda....................................... metoda.............................................................. .............................................. ......................... 64 4.2.3 Astrogeodetska metoda............ metoda... ................. ................ ................ ................ ................ ................ ................. ................. ................ ........ 66 4.2.4 Geometrijska Geometrijska satelitska satelitska metoda metoda ........................................... ................................................................. ............................ ...... 71 4.2.5 Satelitska Satelitska altimetrija altimetrija .............................................. .................................................................... ........................................... ..................... 73 4.3 Prikaz izračunate izračunate plohe geoida (kvazigeoida (kvazigeoida).................................... )..................................................... ................. 74 4.3.1 Interpolacij Interpolacijaa geoidnih visina iz "grida" 78



























5.3.1 Izvori Izvori pogrešaka pogrešaka pri relativnim relativnim gravimetrijskim gravimetrijskim mjerenjima...................... mjerenjima...................... 87 5.4 Gravimetrijs Gravimetrijski ki premjer .............................................. .................................................................... ........................................... ..................... 89 5.4.1 Dosadašnji Dosadašnji gravimetrijski gravimetrijski radovi radovi u BiH.................................. BiH........................................................ .......................... 90 5.4.2 Gravimetrijs Gravimetrijske ke karte .............................................. .................................................................... ........................................... ..................... 93 6 Literatura.... Literatura........................... .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. ......................... 95





























1

Uvod

Prema klasičnoj definiciji F.R. Helmerta iz 1880. godine geodezija je znanost o izmjeri i kartiranju Zemljine površine. Moderna definicija proširuje njen zadatak i kaže da je geodezija znanost, koja se bavi određivanjem oblika i vanjskog polja sile teže Zemlje, njene orientacije u prostoru, sve to u funkciji vremena. Na taj se način geodezija ubraja ponajprije, pored inženjerskih znanosti, u geoznanosti. Fizikalna geodezija ima zadatak razmatranaj metoda i istraživanja Zemlje i kao fizikalnog i kao geometrijskog tijela. Zato se često fizikalna geodezija ubraja u geofiziku. Rezultati mjerenja ubrzanja sile teže zajednički su i geofizici i geodeziji. Načelno je razlika u tome da geofiziku (primijenjenu geofiziku) zanimaju vrijednosti ubrzanja na lokalnom nivou (manja područja), gdje se prate promjene ubrzanja na površini Zemlje kao odraz različite gustoće stijena u unutrašnjosti. Geodeziju zanimaju vrijednosti ubrzanja sile teže na globalnom i regionalnom nivou, prije svega sa ciljem određivanja plohe geoida.

1.1

Kratak historijski prikaz

Sve do XVI. vijeka je fenomen ubrzanja sile teže bio poznat preko rada Aristotela (IV. v. p.n.e.), prema pre ma kome je brzina tijela koje pada proporcionalna njegovoj težini. U XVI. vijeku je Galieo Galiei putem eksperimenata e ksperimenata objasnio pojave slobodnog pada i vremena periodičnog gibanja njihala, na osnovu čega je sto godina kasnije Christian Hyugens razvio teoriju matematičkog i fizikalnog njihala. On je bio i prvi koji je konstruirao sat sa njihalom. Govoreći o historiji gravimetrije ne možemo ne spomenuti Isaaca Newtona i njegovih aksioma klasične mehanike i zakona univerzalne gravitacije. Francoski astronom Richer je 1672 godine odkrio razliku u ubrzanju sile između Pariza i Francuske Gvajane. Njihalo njegovog sata, prilagođeno za mjerenja u Francuskoj je u Južnoj Americi kasnilo dvije minute in po na dan. Bouguer je iskoristio isk oristio ta otkrića za





























Sa teorijskog gledišta moramo spomenuti rad A.C. Clairauta (XVIII vijek) u kojem autor daje dokaz Newtonovog zakona gravitacije i formulira poznati teorem, koji kasnije po njemu dobiva i ime. Razvoju teorije potencijala mnogo su doprinijeli francuski matematičari J.L. Lagrange (1736-1813), P.S. Laplace (1749-1827), A.M. Legendre (1752-1833) i S.D. Poisson (1741-1840).





























2

Teorija Zemljinog polja sile teže

Rezultati gravimetrijskog premjera imaju velik značaj za fizikalnu geodeziju, satelitsku geodeziju itd., jer se sva geodetske mjerenja obavljaju u polju sile teže. Na primer nehorizontirani instrument znači neupoštivanje utjecaja sile teže na naša mjerenja. Bez poznavanja cjelovite teorije polja sile teže Zemlje naše je geodetsko znanje nepotpuno.

2.1

Značaj proučavanja Zemljinog polja sile teže

Značaj proučavanja polja sile teže Zemlje možemo najkraće rezimirati u sljedećem: • Vanjsko polje sile teže Zemlje predstavlja referentni refere ntni sistem za veliki broj geodetskih mjerskih veličina. To polje moramo dobro poznavati, ako želimo te veličine reducirati (prevesti) u geometrijski točno određen sistem. • U slučaju poznatog rasporeda vrijednosti polja sile teže na površini Zemlje, možemo, u kombinaciji sa drugim geodetskim mjerenjima, odrediti oblik zemljine površine (odrediti plohu, koja u najboljoj mjeri zorno prikazuje oblik Zemlje). • Geoid je najznačajnija referentna ploha za određivanje visina i visinskih razlika, i ona nije ništa drugo nego nivo ploha polja sile teže Zemlje. • Proučavanje kretanja umjetnih Zemljinih satelita je osnova satelitske geodezije. Sateliti kruže oko Zemlje kao posljedica djelovanja njene privlačne sile. Opis i računanje putanja gibanja umjetnih Zemljinih satelita nije moguće bez poznavanja gravitacijskog polja Zemlje. • Proučavanje vanjskog polja sile teže Zemlje nam daje i informacije o strukturi i karakteristikama Zemljine unutrašnjosti. Određivanjem pojedinih parametara polja sile teže geodezija doprinosi razvoju teorijske geofizike i geologije. 2.1.1

Sila gravitacije i potencijal

Sva tijela se međusobno privlače silom gravitacije. Ona djeluje i na daljinu i kroz vakuum. Gravitacijska sila tela zavisi od njihove mase i od njihove nj ihove međusobne udaljenosti. Što tijela imaju veću masu i što su bliža jedno drugom, to je gravitacijska sila između njih veća.





























između ponašanja neke mase kao izvora privlačenja (gravitacije) i ponašanja te iste mase kao odziva na privlačenje drugog tijela (mase). Prvi je konstantu gravitacije odredio 1798. godine Cavendish pomoću torzijske vage. Znanstvenici pokušavaju sadašnjim istraživanjima poboljšati relativnu točnost određivanja konstante, koja trenutno iznosi 10-4. Konstanta gravitacije se ubraja među fundamentalne fizikalne konstante. Iako se tijela privlače potpuno simetrično, običaj je da jedno telo zovemo "masa koja privlači" (attracting mass), a drugo tijelo, na koje djeluje privlačenje "privlačena masa", (attracted mass). Sva računanja su mnogo jednostavnija ako je "privlačena masa" jedinična masa, m=1. U vektorskom prikazu sila gravitacije ima smjer, koji je suprotan smjeru vektora l, koji je u smjeru narastanja koordinata (koordinatni početak je postavljen u izvor gravitacije, u tijelu koje privlači). Znak minus znači da sila djeluje u smjeru protiv tijela koje privlači. F = −G

m1m2 l2

l

Newtonov zakon gravitacije važi za sva tijela, također i za tijela na Zemljinoj površini. Gravitacijska sila između tijela je veoma slaba (samo neznatno utječe na gibanje tijela) i možemo je u većini primjera zanemariti u usporedbi sa drugim silama. Ta sila je bitna, samo ako je jedno tijelo astronomskih razmjera, na primjer Zemlja. Newtonov zakon možemo upotrijebiti za planete i Sunce. Njihova veličina je naime mala u odnosu na njihovu međusobnu udaljenost i zato je potpuno svejedno, odakle mjerimo udaljenost l, koja nastupa u zakonu. Kod tijela na Zemljinoj površini je pitanje, koja je to udaljenost l. Ako tijela nisu mala u odnosu na njihovu međusobnu udaljenost (znači da nisu točkasta tijela), gravitacijska sila između njih ovisi i od oblika, veličine i položaja tijela u prostoru. Za takva tijela gravitacijski zakon u obliku (2.1) ne vrijedi. Možemo si pomoći tako, da tijela u mislima razdijelimo na diferencijalno male dijelove, za koje onda vrijedi zakon u obliku (2.1). Izračunajmo pojedinačne gravitacijske sile između pojedinih parova točkastih dijelova oba tijela i potražimo njihovu rezultantu, koja sada predstavlja celokupnu gravitacijsku silu između oba tijela. Uzmimo sada Zemlju takvu kakva jeste, sa svom njenom nepravilnom fizičkom površinom in nehomogenom strukturom. Postavimo ishodište pravokutnog, kartezijevog koordinatnog sistema u središte (težište) Zemlje. Os Z neka neka bude u osi





























cosα F x= F cos Kosinusi kutova su jednaki: x − a cos α = ,

cosβ, F y= F cos

cosγ F z= F cos

y − b , l

cos γ =

cos β =

l

(2.3)

z −c . l

(2.4)

Z B(1) A(dm) O

b c

l y

z

Y

a x

X

slika 2.1: Privlačna sila F između između točaka A i B Putem zamjene (2.4) i (2.2) u (2.3) dobijamo (poštivajući da dužinu l izračunamo iz koordinata točaka): F x

− = Gm x 3 a

F y

= Gm y −3 b

F z

= Gm z

l

l

l = ( x − a )2

+ ( y − b)2 + ( z − c )2

(2.5)

−c l3

Pošto je gravitacijska sila vektor, znači da u okolini tijela, koje djeluje privlačnom silom na druga slična tijela, djeluje vektorsko polje sile. Polje gravitacijske, privlačne sile zovemo polje gravitacije (gravitacijsko polje). Sva računanja možemo u velikoj mjeri pojednostaviti ako sa vektorskog polja pređemo na skalarno polje. Skalarna funkcija, čije parcijalne derivacije su jednake































l = (x − a )2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 

1 2

−1 1  = (x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2  2

l

∂V ∂ V ∂l ∂ = = G m2 l = ∂x ∂l ∂x l ∂x = G m2 1 [( x − a )2 l 2

− 12

+ ( y − b)2 + ( z − c )2 ]

x − a 2( x − a ) = Gm 3 l

Slično je i za ostale dvije komponente odn. koordinate: ∂V − = Gm y 3 b ∂ y l ∂V z−c = Gm 3 ∂z l Očigledno je (2.5) jednako (2.7a) i (2.7b) odnosno: ∂V ∂V ∂V = F X = F Y = F Z . ∂x ∂ y ∂z

(2.7a)

(2.7b)

Vidimo da su parcijalne derivacije skalarne funkcije funkci je gravitacijskog potencijala jednake komponentama vektorske funkcije gravitacijske sile. Pomoću oznaka vektorske analize gornja veza se može prikazati kao: F (F X,F Y,FZ) = grad V (2.8) Gravitacijska sila je gradijent gravitacijskog potencijala. Često se za gradijent upotrebljava oznaka ∇ operator nabla *. To je simbolički vektor, čije su komponente u





























m V = G 1 l1

m +G 2 l2

n

m + ..... + G n ln

= G∑ i =1

mi li

(2.9)

Uz pretpostavku da su točkaste mase (elementi mase) u unutrašnjosti tijela raspoređene neprekinuto, možemo preći sa elementa mase m na neprekinuto raspoređene elemente u volumenu v sa gustoćom ρ:

ρ=

dm dv

dm je element mase, dv je element volumena. Sumu (2.9) možemo napisati u obliku trostrukog integrala: V = G

∫∫∫ v

dm l

= G ∫∫∫ v

ρ l

dv

(2.10)

pri čemu je l udaljenost između elementa mase dm i točke na koju utječe privlačenje. Slično vrijedi i za Zemlju: V

dm Zemlja l

= G ∫∫∫

= G ∫∫∫

Zemlja

ρ l

dv

U gornjoj jednadžbi polazimo od toga da nam je poznata funkcija rasporeda gustoće ρ=ρ(r '), '), (r ' je vektor položaja neke točke na površini Zemlje odn. u njenoj unutrašnjosti). U stvarnosti mi gustoću Zemlje poznajemo samo za pojedine gornje slojeve Zemljine kore. Zbog nepoznavanja stvarnog rasporeda gustoće u unutrašnnjosti Zemlje, gornja jednadžba geodetima ne pomaže mnogo u praksi. Zbog toga geodeti pokušavaju potencijal odrediti na drugačiji način.





























Izabrani koordinatni sistem je orientiran sukladno geocentričkim kartezijevim koordinatnim sistemom ( θ os je jednaka osi Z , koja se opet poklapa s osi rotacije Zemlje; λ os je jednaka osi X i i leži u ravnini meridijana Greenwicha; to znači da je sferna dužina jednaka geografskoj dužini). Pri tome vrijedi sljedeća transformacijska relacija:  x   sin θ cos λ       y  = r  sin θ sin λ       z   cos θ 

(2.11)

U sljedećim derivacijama će sferni koordinatni sistem biti orientiran tako da se θ os poklapa s spojnicom točaka O i P, u kojoj računamo gravitacijski učinak sferne ljuske (slika 2.3). Točka P ima koordinate ( r ,θ,λ), položaj ljuske f je je određen položajem prostorne parcele df odn. odn. točke P'( R R,θ',λ'). P(r,θ,λ)

l

r

λ i n θ 'd ' Rs i n

R d

P'(r,θ',λ')

θ'

R

θ '

d

Rdθ'

df





























pri tome se integracija vrši na području površine ljuske f (element (element df je je prostorna 2 parcela df = = R sinθ'dθ'dλ'). Razdvojimo područje integracije sa prostorne parcele df na sferne koordinate θ' in λ' (integriramo na području 0< θ'<π, 0<λ'<2π): V ' = G

σ df =

∫∫ l f

π 2π

R 2 sin θ' dθ' dλ' σ G l 0 0

∫∫

π

= 2πGσ∫ 0

R 2 sin θ' dθ' l

(2.13a)

Dužinu l između točke P i sferne ljuske f možemo možemo izračunati pomoću kosinusnog poučka za kutove iz trokuta P0 f : l

=

R2

+ r 2 − 2Rr cos θ '

Izračun potencijala ljuske f je je mnogo pregledniji, ako u jednadžbi (2.13a) uzmemo kao argument dužinu l, nego kut θ'. U izrazu za dužinu l potražimo derivaciju d l /d /dθ': dl dθ'

odn.

=

2 r sin θ' 2 R2

dl r

+ r 2 − 2Rr cos θ'

=

r sin θ' l

sin θ' dθ' l

=

Stavimo gornji izraz u (2.13a): l2

dl V' = 2πGσR r l1

∫

l

R2 R = 2πGρ dl = 2 πG σ (l2 − l1 ) r l1 r

∫

(2.13b)

Moguća su dva slučaja u odnosu na to, gdje se nalazi točka P. U prvom slučaju se točka nalazi izvan ljuske (kugle), a u drugom se točka nalazi u unutrašnjosti kugle. Za prvi slučaj važi:





























Ako u gornje jednadžbe stavimo vrijednosti za GM = 398,6×1012 m3s-2 (umnožak GM nazivamo geocentrička gravitacijska konstanta) i polumjer Zemlje R=6371 km, dobijamo vrijednost potencijala za točku na površini Zemlje, r = R, V =6,26 =6,26×107 m2s-2. Taj zaključak možemo uopćiti u sljedećem: ako nas zanima potencijal u nekoj točki izvan tijela, koje vrši privlačenje, ne možemo izvesti zaključak o obliku toga tijela. Homogena kugla, homogena sferna ljuska ili točkasta masa stvaraju jednak potencijal odn. privlačnu silu. Za točku u unutrašnjosti ljuske važi: θ = 0° < R, r < l1= R–r θ =180° l2= R+r l2 – l1 =2r V ' n = 2πGσ

r

2r

= 4πGσR

(2.15a)

odn. ako stavimo izraz za masu ljuske: V ' n = G

m' R

= konst.

(2.15b)

Potencijal je u tom slučaju konstanta i neovisan je od položaja točke P unutar kugle. Sama gravitacijska sila je nula. Potencijal u unutrašnjosti "Zemlje sastavljene iz homogenih ljuski" tvore dva člana: prvi član uzrokuju mase u untrašnjosti kugle r =const =const (jednadžba 2.14b); drugi član je potencijal ljuske debljne R–r ( ( R R je polumjer Zemlje u tom primjeru): V

π

4 G

r

∫

R 2

R dR

4 G

∫

RdR

(2.16)































Te osobine ne važe za druge derivacije potencijalne funkcije. Druge derivacije imaju diskontinuitete zbog brzog skoka u gustoći na rubnoj plohi između atmosfere i čvrste Zemlje. 1 (x -a )2 ∂ 2V = Vxx = −G ∫∫∫ 3 dm + 3G ∫∫∫ 5 dm ... l l ∂x 2 Zemlja Zemlja

Gravitacijski potencijal unutar Zemlja zadovoljava Poissonovu diferencijalnu jednadžbu: ∆V = = –4πGρ (2.18) U vanjskom prostoru Zemlje gdje je ρ=0, gravitacijski potencijal zadovoljava Laplaceovu diferencijalnu jednadžbu: ∆V = 0 (2.19) Znak ∆ je tkz. Laplaceov operator i predstavlja operaciju drugog reda, sumu drugih derivacija:

∂2 ∂2 ∂2 ∆= 2 + 2 + 2 ∂ x ∂y ∂z





























Slika 2.4: centrifugalna sila Centrifugalno ubrzanje kojeg osjeća tijelo jedinične mase računa se pomoću izraza: = ω2 p (2.20) f = gdje su ω kutna brzine rotacije Zemlje i p = x 2 + y 2 pravokutna udaljenost točke P od





























g = F + + f

(2.24)

Z

P

p

F

f

g

S=masno središce Zemlje

slika 2.5: Privlačna sila, centrifugalna sila i sila teže Sila teže je vektor, što znači da ima svoj smjer i intenzitet. Smjer vektora g je u svakodnevnom životu poznat kao smjer težišnice (što zorno prikazuje smjer vertikalne





























Važe sljedeće relacije: • 1 µms-2 = 0,1 mGal oz. 1 µms-2 = 100 µGal • 1 nms-2 = 0,1 µGal Zbog spljoštenosti Zemlje na polovima, promjena u gustoći Zemljine unotrašnjosti i zbog različitog centrifugalnog ubrzanja se vrijednosti ubrzanja sile teže g kreću između g=9,78 ms-2 (na ekvatoru) g=9,83 ms-2 (na polovima). Srednja vrijednost ubrzanja sile teže na površini Zemlje iznosi g=9,803 ms-2. Pri proučavanju geometrijskih osobina polja sile teže je dovoljno, ako posmatramo samo ubrzanje sile teže. Masa je pri tome samo faktor mjerila polja sile teže. Polje ubrzanja sile teže daje potpunu geometrijsku sliku polja sile teže. Potencijal sile teže se ponekad posmatra kao radnja, koju je potrebno uložiti da bi savladali silu teže m g, koja djeluje na jediničnu masu m. Sama jedinica za potencijal sile teže [m2s-2] ukazuje na odsustvo bilo kakve mase. Potencijal sile teže W , posmatramo kao radnju u kinematičkom smislu, bez uzimanja u obzir mase.





























2.2

Geometrija polja sile teže

Najednostavniji prikaz geometrije polja sile teže je pomoću ekvipotencijalnih ploha (nivo ploha) i njihovih "silnica". Lokalne karakteristike polja sile teže opisuje zakrivljenost nivo ploha i težišnica, a lokalnu geometriju polja određuju i prirodne koordinate točke posmatranja. 2.2.1

Nivo plohe i težišnica

Plohe s konstantnim potencijalom nazivamo ekvipotencijalnim plohama odn. nivo plohama: W (x,y,z)=C (x,y,z)=C =(konst.) (2.29) V slučaju potencijala sile teže zovemo ekvipotencijalne plohe i geopotencijalne nivo plohe odn. geope. Za kretanje po nivo plohi nije potrebno uložiti nikakvu radnju, znači da su nivo plohe plohe ravnoteže . L. Durang Clay je zadao sljedeću definiciju nivo plohe: "Nivo ploha je ploha koju možemo obići bez uspinjanja ili spuštanja i na































Ako je skalarni produkt dva vektora jednak nuli, znači da su vektori međusobno s)=90°, cos90°=0). S tim smo dokazali okomiti (kut koji vektor zatvaraju je 90°, ∠( g. s poznatu činjenicu da je vektor sile teže okomit na nivo plohe. Polje sile teže je vektorsko polje, zato kod njega važnu ulogu igraju silnice, smjerne krivulje vektorskog polja. Silnice su krivulje u vektorskom polju, za koje vrijedi, da se smjer tangente svake točke krivulje poklapa sa smjerom polja. Silnice se međusobno ne presijecaju. Grafički možemo predstaviti vektorsko polje i tako da nacrtamo silnice polja.





























Drugi oblik jednadžbe (2.31) je:

∂W (2.32) ∂ H Vidimo da je ubrzanje sile teže te že negativni vertikalni gradijent potencijala sile teže W , ili vertikalna komponenta vektora grad W . g = −

Ubrzanje sile teže je funkcija udaljenosti točke od centra Zemljinih masa, a u blizini Zemljine kore je i funkcija rasporeda površinskih masa. Zbog toga vrijednost ubrzanja sile teže na nivo plohama nije konstantna. Ako se ubrzanje sile teže mijenja na nivo





























Izuzeci su točke, gdje dolazi do neočekivanih promjena u gustoći, kao na primjer površina Zemlje. Nivo plohe u polju sile teže Zemlje zovemo takođe i geope odn. geopotencijalne plohe. 2.2.3

Analitički prikaz nivo ploha

Već letimičan pogled na jednadžbu (2.25) za potencijal sile si le teže nam daje na znanje da je nivo ploha W (x,y,z)= (x,y,z)=W u matematičkom pogledu veoma komplicirana ploha. Nivo





























gT=(grad W )T = (W X ,W Y ,W Z )

(2.35)

Totalnim diferenciranjem vektora ubrzanja sile teže dobija se tenzor gradijenta ubrzanja sile teže odn. tkz. Eötvösov tenzor (druge (druge derivacije potencijala sile teže): W xx grad g = grad(gradW )= )= W yx  W zx

W xy

W xz 

W yy

W yz 

W zy



(2.36)

W zz 

je linearni operator u vektorskom prostoru koji izvrši preslikavanje jednog Tenzor je





























Astronomske koordinate možemo odrediti neposredno putem mjerenja, potencijal sile teže se ne može neposredno mjeriti, ali možemo odrediti razlike potencijala pomoću geometrijskog nivelmana u kombinaciji sa gravimetrijskim premjerom. Položaj točke na nivo plohi može se izraziti koordinatama ( Φ, Λ). Koordinate možemo predstaviti putem jedinične kugle sa središtem u točki posmatranja. Ako povežemo koordinatni par ( Φ, Λ) sa središtem jedinične kugle, dobivamo za svaku točku jedinični vektor n, koji određuje smjer vertikale u točki posmatranja; on je funkcija geografskih koordinata Φ i Λ (slika 2.9). Vektor p je projekcija vektora n u ravnini, paralelnoj sa































gT = grad W(x,y,z) T = (W ,W ,W )T

(2.40)





























∫∫∫

dm

∫∫∫

ρ





























GM 

∞

 

n

n



























































G

∫∫∫

∫∫∫











































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































4

Određivanje geoida (kvazigeoida)

Određivanje geoida (kvazigeoida) znači određivanje oblika Zemlje odnosno određivanje točno određene nivo plohe Zemljinog polja sile teže. Tražimo odgovor na pitanje: da li možemo odrediti polje sile teže Zemlje u spoljnom prostoru, bez poznavanja rasporeda gustoće u njenoj unutrašnjosti, poznavajući samo potencijal na rubu područja (rub područja predstavlja Zemljina površina). Matematički gledano to je rješevanje problema rubnih uvjeta (PRU) iz teorije parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. U slučaju polja sile teže nastupaju Laplaceova diferencijalna jednadžba (koja vodi ka spoljnom PRU) i Poissonova diferencijalna jednadžba (koja vodi ka unutarnjem PRU). Nas zanima samo spoljnji problem. Uopćeno, kod riješavanja PRU poznata je rubna ploha S, ali ne i kod tkz. geodetskog problema rubnih uvjeta (GPRU). Riječ je o tkz. prostom GPRU, gdje moramo pored geometrije rubne plohe S, odrediti i potencijal W . Kod određivanja geoida nas u stvarnosti zanima samo rubna ploha S. Rubne uvjete nam tu određuje neprekidna rubna funkcija – potencijal sile teže. Potencijal se ne može neposredno izmjeriti, zato ga predstavljamo putem veličina, koje se mogu neposredno izmjeriti. Te veličine su ili tkz. anomalijske veličine polja sile teže ili tkz. poremećajne veličine polja sile teže (anomalija sile teže i poremećajna sila teže, otkloni vertikale (Helmertovi ili Pizzetijevi) i geoidne visine odn. anomalije visina). Sve te veličine se mogu izraziti u linearnom obliku kao derivacije poremećajnog potencijala T i i ujedno određuju rubne uvjete, čije rješenje je tražena ploha - približni oblik Zemlje. Razlikujemo dva pristupa riješavanju geodetskog problema rubnih uvjeta: tkz. "klasični" pristup, gdje kao riješenje dobijamo geoid i "pristup po Molodenskom", čijim riješenjem dobijamo kvazigeoid. Pristup se uglavnom razlikuju u odnosu na redukciju mjerenih veličina. Kod klasičnog pristupa mjerene veličine reduciramo na nultu nivoplohu (W o=const) i rješenje je geoid. U suprotnom primjeru, ako upotrebimo mjerene veličine takve kakve jesu (na fizičkoj fizi čkoj površini Zemlje), riješenje je kvazigeoid. Kod geoida su "mjerene veličine" anomalijske veličine, kod kvazigeoida su to "poremećajne veličine". U prvom primjeru moramo uzeti u obzir određene uvjete. Redukcija Re dukcija mjerenih veličina na geoid predpostavlja uvođenje hipoteza o gustoći masa unutar Ze mlje. Pored toga, redukcija na geoid znači da izvan rubne plohe - geoida ne postoje poremećajne mase (atmosfera i topografija). Pristup po Molodenskom ne zahtjeva uvođenje hipoteze o rasporedu gustoće, kao što nije potrebno izvršiti nikakve redukcije mjerenih veličina. Ali je sa matematičkog stanovišta taj postupak mnogo komplikovaniji. Konačni rezultat računanja geoida je ploha geoida (kvazigeoida) određenog oblika i veličine u odnosu na izabranu referentnu refere ntnu plohu elipsoida. U prostornom smislu, geoid (kvazigeoid) i izabrani referentni elipsoid su povezani preko geoidnih visina (kvazigeoidnih visina odn. anomalija visina). To su odstupanja pravilne plohe elipsoida od nepravilne plohe geoida. Zadatak određivanja oblika Zemlje je računanje tih



























Zemlje, kao što su GRS 80 i WGS 84. Relativne geoidne visine se odnose na relativno orijentirane referentne elipsoide (važi isto što smo napisali i za otklone vertikala). U kojim praktičnim zadacima geodezije se upotrebljavaju geoidne visine (odn. izračunati geoidni model)? • Relativne geoidne visine su neophodne za povezivanje satelitskih mjerenja (GPS) sa državnim mrežama, razvijenim i izmjerenim pomoću klasične geodetske tehnike. Na primjer, kod zadataka transformacije lokalnih GPS mreža u postojeću državnu geodetsku mrežu. Posebno je to značajno ako se državne koordinate odnose na relativni referentni elipsoid. • Apsolutne geoidne visine su osnova tkz. GPS nivelmana, gdje GPS mjerenja upotrebljavamo za određivanje nadmorskih visina točaka (na primjer u planinskim područjima kao zamjena za nivelman). Ako se državna mreža točaka odnosi na geocentrički elipsoid, onda se apsolutne geoidne visine takođe mogu upotrijebiti za zadatke transformacije koordinata. • I relativne i apsolutne geoidne visine su potrebne ako želimo teoretski ispravno klasično mjerene dužine (pomoću elektronskih daljinomjera) reducirati na nultu nivo-plohu. Geoid (kvazigeoid) se može izračunati na globalnom nivou za čitavu Zemlju, na lokalnom nivou samo za određeno područje jedne države ili više država, ili samo za jedno usko područje sa točno određenim ciljem (za potrebe geodinamike ili inženjerske inže njerske geodezije).

4.1

Vrste podataka za određivanje geoida (kvazigeoida)

Za račuanje plohe geoida (kvazigeoida) upotrebljavaju se sljedeće geodetske mjerne veličine: 1. Mjerenja ubrzanja sile teže: ubrzanje sile teže igra veoma važnu ulogu u fizikalnoj geodeziji. Upotrebljava se za određivanje anomalija ubrzanja sile teže, ortometrijskih visina iz niveliranihvisinskih razlika, u istraživanjima tektonskih pomaka i proučavanju promjena srednjeg nivoa morske površine.

2.

Globalni raspored točaka sa izmjerenim ubrzanje sile teže je neujednačen. Postoje područja sa veoma gustom mrežom točaka (Severna Amerika, Evropa, Avustralija), dok južni dio Zemljijne kugle sadrži relativno malo mjerenja ubrzanja sile teže. Pri tome ne smijemo zaboraviti da mora čine 70 procenata površine Zemlje. Astronomska mjerenja: putem astronomskih opažanja zvijezda i Sunca

određujemmo astronomske (geografske) koordinate točaka na Zemlji (astronomska širina Φ i astronomska dužina Λ) kao i azimute stranica u državnim mrežama (A). Astronomska opažanja upotrebljavamo za određivanje geoida posredno, preko izračunatih komponenti otklona vertikale (iz upoređenja astronomskih i geodetskih koordinata). Astronomska opažanja su veoma zahtjevna, dugotrajna i skupa, i ograničena su na kontinentalne dijelove Zemlje. Raspored i broj astronomsko određenih točaka je najređi od svih veličina koje se upotrebljavaju za određivanje geoida.



























koordinatni sistem i globalni Zemljin elipsoid. Upoređenje elipsoidne visine h sa ortometrijskom visinom, koja se odnosi na geoid, kao nultu nivo-plohu daje nam neposredno undulacije geoida. Jednako važi za normalne visine i anomalije visina. 4. Opažanja do umjetnih Zemljinih satelita i mjerenja između njih: Praćenjem pravilnosti trajektorija gibanja niskoletećih umjetnih Zemljinih satelita i putem analize dobijenih rezultata, moguće je odrediti model Zemljinog polja sile teže odn. tkz. geopotencijalni model. Najveća slabost tih modela je njihova mala rezolucija, jer oni ne sadrže lokalne, detaljne de taljne karakteristike polja. 5. Mjerenja satelitske altimetrije. Osnovu satelitske altimetrije predstavljaju visinomjeri (altimetri), koji se nalaze na krovu niskoletečih satelita. Altimetri šalju (emitiraju), radarske impulse okomito na površinu mora, koji se odbojijaju od morske površine i vraćaju nazad do satelitske antene. Orbite gibanja satelita se tretiraju kao zadane veličine, što znači da je poznata njihova visina nad referentnim elipsoidom. Za svaki trenutak mjerenja moguće je odrediti trenutni položaj morskog nivoa. Ako poznajemo nivo morske površine ("Sea Surface Topography" SST), moguće je neposredno odrediti visine geoida nad elipsoidom. Sve navedene geodetske veličine se u neposrednom računanju geoida upotrebljavaju u obliku svojih "anomalijskih" komponenti odn. "poremećajnih" komponenti u primjeru određivanja kvazigeoida: • Podaci o ubrzanja sile teže su predstavljeni u obliku anomalija ubrzanja sile teže odn. poremećajnih ubrzanja sile teže. • Astronomske koordinate su zadate preko komponenti otklona vertikale, znači sa meridijanskom komponentom ξ i komponentom v smjeru prvog vertikala η. • Tridimenzionalne koordinate točaka, određene putem satelitskih mjerenja, zadate su u eliposidnom koordinatnom sistemu, pri čemu je visinska komponenta elipsoidna visina. • Globalni geopotencijalni modeli su predstavljeni putem razvoja poremećajnog potencijala sile teže u red po sfernim funkcijama. • Geometriju nivoa morske površine predstavljaju visine nivo mora nad referentnim elipsoidom.

4.2

Metode računanja geoida

Metode računanja geoida se mogu razvrstati u više grupa, s obzirom na to, koje podatke upotrebljavamo za računanje plohe geoida: 1. U prvu grupu metoda spadaju one, koje upotrebljavaju samo terestričke podatke: 1. gravimetrijska metoda, 2. astrogeodetska metoda, 2. U drugu grupu spadaju tkz. satelitske metode određivanja geoida. 3. Treću grupu metoda predstavljaju integrirani pristupi određivanja geoida, gdje upotrebljavamo sve podatke koji nam stoje na raspolaganju.



























• • •

gravimetrijsko rješenje daje veoma dobru lokalnu rezoluciju, ali dugotalasna komponenta polja sadrži sistematsku pogrešku zbog nejednakog rasporeda mjerenih vrijednosti anomalija. Slabost sstrogeodetskog riješenje je malobrojnost podataka, jer su točke sa mjerenim otklonima vertikale na relativno velikim udaljenostima. Samo satelitsko rješenje ima dugotalasnu komponentu polja homogenu i bez sistematskih pogrešaka, ali su detalj odn. lokalna rezolucija slabiji.

Iz praktičnih i teoretskih razloga sve suvremene metode uzimaju u obzir barem tri vrste podataka: globalni geopotencijalni model, terestrička mjerenja (neposredno mjerene anomalije sile teže odn poremećajne anomalije sile teže, ili otklone vertikale i geoidne visine) i na kraju podatke o topografiji. Na taj način su i podaci podijeljeni prema tome, kakav utjecaj imaju na ukupnu geoidnu visinu. Dugovalni utjecaj imaju podaci globalnog geopotencijalnog modela ( N GM, valne dužine oko 100 km), terestrički podaci (anomalije sile teže, otkloni i mjerene geoidne visine → N g) imaju srednjevalni utjecaj (dužine 2–10 km); kratkovalni utjecaj imaju podaci o topografiji koji su dobijeni na osnovu digitalnog modela reljefa (N H), gdje valna dužina zavisi od rezolucije DMV-a. To nam ilustruje slika 4.1.

''detaljni'' geoid

NGM + N∆ NGM + N∆g + NH NGM

''gladak'' geoid 100km

elipsoid

Slika 4.1: Doprinos pojedinih vrsta podataka kod određivanja geoida Naravno, ako želimo odrediti geoid koji pokriva i morska područja, moramo uzeti u obzir i altimetrijska mjerenja. 4.2.1

Dinamičke satelitske metode – globalni geopotencijalni modeli

Praćenjem pravilnosti trajektorija gibanja niskoletećih umjetnih Zemljinih satelita i analizom dobijenih podataka, moguće je odrediti model Zemljinog polja sile teže odn. tkz. geopotencijalni model. Globalni geopotencijalni model predstavlja razvoj poremećajnog potencijala sile teže u red po sfernim funkcijama. Brunsova jednadžba



























Geoidna visina se može predstavitu u obliku reda sfernih funkcija: n

 GM  ∞ n  ae  N =   ∑ ∑   Pnm (cos θ)( δAnm cos mλ + δBnm sin mλ) γ a  e  n = 2 m =0  r 

gdje je koeficijent razvoja određen kao: δ Anm = Anm (koeficijent iz opažanja) δ Bnm = Bnm (koeficijent iz opažaanja)

(4.1)

– Anm (referentni koeficijent) – Bnm (referentni koeficijent)

Kod razvoja potencijala odn. geoidnih visina u red po sfernim funkcija bitno je odrediti nepoznate koeficijente razvoja. Možemo ih odrediti na više načina. Isključivo pomoću satelitskih mjerenja, ili u kombinaciji satelitskih mjerenja i terestričkih podataka. Samo satelitska mjerenja omogućuju određivanje koeficijenata razvoja do stupnja n=20,...36. Na određivanje koeficijenata utječe prije svega član (ae / r r )n+1. Zbog visina gibanja satelita je r ≥ 600 km), i sa narastanjem član n je sve manji. Kombinacijom različitih podataka moguće je odrediti koeficijente razvoja višeg stupnja, u ovom trenutku sve do stupnja i reda n=360. Taj stupanj razvoja odgovara reprezentaciji područja na Zemlji sa minimalnom valnom dužinom polja sile teže 110 km ° (360 / n=1°=110 km), odn. rezolucije geoidnih visina 55 km (180°/ n). Globalni geopotencijalni modeli imaju veliki značaj zbog svoje upotrebljivosti na području cijele Zemlje, jer nisu ograničeni samo na kontinente odn. oceane. Njihov nedostatak je relativno mala rezolucija u predstavljanju polja sile teže manjih područja na Zemlji. Doskora najrasprostanjeniji globalni geopotencialni model je bio EGM96 ("Earth Gravitational Model"). Zadat je u obliku razvoja u red po sfernim funkcijama gravitacijskog potencijala, do stupnje i reda n=m=360. Statistički pokazatelji geoidnih visina modela EGM96, izračunatih u pravilnoj mreži 15' ×15' za cijelokupnu Zemljinu kuglu su sljedeći: • srednja vrijednost: = –0,57 m • st. devijacija = 30,56 m • minimum = –106,99 m • maksimum = 85,39 m Standardna devijacija nam pokazuje tipičnu razliku između geoida i elipsoida. 4.2.2

Gravimetrijska metoda

Određivanje plohe geoida pomoću gravimetrijskih podataka predstavlja matematičko rješevanje problema geodetskoga rubnog uvjeta. Nakon 1849. godine, kada je G.G. Stokes prvi put opisao metodu, pa sve do današnjih dana, gravimetrijska metoda ima najvažniju ulogu u istraživanjima polja sile teže. Još uvijek su to najrealnije metode za





























Osnova metode je tkz. Stokes-ova jednadžba odn. integral koji daje vezu između geoidne visine N i i anomalije sile teže ∆ g u proizvoljnoj točki na geoidu (područje integracije je cjelokupna Zemlja), slika (4.2): N =

∫∫ S (ψ )∆gdσ

(4.2)

4πγ σ

gdje je ψ kut kut između geocentričkog radijusa površinskog elementa d σ i točke računanja P; R je radijus kugle, na kojoj se nalazi točka; γ je je vrijednost normalnog ubrzanja sile teže na kugli; S(ψ ) je Stokes-ova funkcija, definirana s jednadžbom: S(ψ ) = sin-1(ψ /2)–6sin(ψ /2)+1–5cosψ –3cos –3cosψ ln ln{sin(ψ /2)+sin2(ψ /2)}

(4.3)

PN

α P

ψ dσ d ψ sin ψ dα

Slika 4.2: Stokes-ov proces integracije Stokes-ova funkcija S (ψ ) zavisi samo od sferne dužine ψ između između točke računanja P i površinskim elementom d σ. Stokes-ova funkcija predstavlja "težinu" odgovarajuće anomalije ubrzanja sile teže (poremećajno ubrzanje sile teže). Za lim→ 0 funkcija postaje singularna odn. S(ψ )→ ∞ (slika 4.3).





























Rješenje jednadžbe (4.2) u praksi otežavaju određeni uvjeti: vrijednosti ∆ g moraju biti zadate na geoidu; geoid je kugla (s radijusom R); van geoida nema poremećajnih masa (atmosfera i topografija). Sve nabrojane uvjete možemo uzeti u obzir uvođenjem odgovarajućih popravaka odn. odgovarajućim načinom redukcije mjerenih podataka, naravno s različitom točnošću. Pristup riješenju geodetskoga rubnog uvjeta po Molodenskom je drugačiji. Tu umjesto ∆ g na geoidu koristimo vrijednosti poremećajnih anomalija ubrzanja sile teže δ g na Zemljinoj površini. Rezultat integracije su umjesto geoidnih visina, odgovarajuće "kvazigeoidne" visine odn. anomalije visine ζ. U praksi se Stokes-ov integral računa na različite načine: jednom od metoda numeričke integracije, pomoću brze Fourier-ove transformacije (FFT), ili pomoću kolokacije po metodi najmanjih kvadrata. Mjerene anomalije ubrzanja sile teže se mogu upotrebiti za određivanje vrijednosti komponenti otklona vertikale pomoću poznate jednadžbe Vening Meinesza: ξ dS (ψ )  cos α  1 ∆g    = d σ ∫∫ η πγ ψ α d 4 sin    0 σ

(4.4)

gdje je α azimut strane između točke računanja i središtem površinskog elementa d σ. S(ψ ) je Stokes-ova funkcija. Jednadžba je posljedica veze između komponenata otklona vertikale i poremećajnog potencijala. 4.2.3

Astrogeodetska metoda

Potražimo vezu između komponenata otklona vertikale i geoidne visine u nekoj točki. Otklon vertikale je ustvari nagib geoidne ravni u odnosu na elipsoid u posmatranoj točki. Taj nagib se posmatra u dva međusobno okomita smjera: u smjeru meridijana i smjeru prvog vertikala: (deriviramo na geoidu): 1 ∂ N 1 ∂N ξ=− η=− , (4.5) R ∂φ R cos φ ∂λ





























R je ovdje srednji radijus Zemlje. Da bi bilo teoretski korektno, morali bismo poznavati

otklone na samom geoidu, što znači da moramo mjerene astronomske koordinate reducirati na geoid za utjecaj zakrivljenosti težišnice. Negativan predznak je u skladu s dogovorom o predznacima komponenti otklona. Identična jednadžba povezuje komponente otklona po Molodenskom i kvazigeoidnu visinu ζ, s tim da su derivacije određene na površini Zemlje. Uvođenjem Brunsove jednadžbe dobijamo vezu između poremećajnog potencijala i komponenti otklona vertikale:

ξ=

T Rγ 02

∂γ 0 1 ∂T − , ∂φ Rγ 0 ∂φ

η=−

∂T 1 Rγ 0 cos φ ∂λ

(4.6)

Ako zanemarimo utjecaj zakrivljenosti težišnice vidimo vidi mo da nam astronomske koordinate ( Φ, Λ), zajedno sa geodetskim koordinatama ( φ, λ) u nekoj točki na površini Zemlje pružaju sve nužne informacije o nagibu plohe geoida u samoj točki: smjer otklona vertikale se poklapa sa smjerom najvećeg nagiba (gradijenta) plohe geoida; veličina otklona odgovara samom gradijentu (slika 4.5). LG x

ξ α

p l a s t n i c e l o k a l n e g a g e o i d a

θ

η

y LG

Slika 4.5: Geometrijsko značenje komponenti otklona vertikale Vrijednost komponente ξ predstavlja nagib geoida u smjeru sever – jug i vrijednost η je nagib geoida u smjeru istok i stok – zapad. Ako je nagib geoida ge oida na dole prema severu, tada je vrijednosti ξ pozitivna; ako je nagib na dole prema istoku, tada su vrijednosti η pozitivne i obrnuto. Očito je da se nagibi određeni na taj način odnose na geodetski referentni elipsoid, na kojeg se odnose izračunate geodetske elipsoidne koordinate.





























geoid

εo

εo εo

geoid

dN

-dN

dS

εo elipsoid

dS

N

dS

elipsoid

Slika 4.6: Princip astrogeodetske metode određivanja geoida (astronomski nivelman) Integracijom gornje jednadžbe moguće je odrediti tok plohe geoida između dvije točke: 2

2

∆ N12 = N2 − N1 = − ∫ ε0 dS = − ∫ (ξco cosα + ηsinα)dS 1

(4.8)

1

Ako otklone ε0 prikažemo grafički kao funkciju puta (dužine S), dobijamo odgovarajući integral površine ispod krivulje ε0 = f (s). Kod praktičnog računanja uvijek uzimamo Helmertove otklone na površini Zemlje. Tu metodu određivanja geoida je prvi predlagao i praktički izveo Helmert 1880. godine i od tada je poznata pod imenom astronomski odn. astrogeodetski nivelman . Geoid možemo na taj način određivati u profilima ili površinski. Bitno je da se na ovaj način određuju samo razlike geoidnih visina. U praksi su otkloni vertikale određeni samo na nekim točkama (tkz. geoidne točke). Točke sa poznatim otklonima spajamo u profile (slika 4.7).

P2

α1,2 αA,1 dS1 PA

dS2

P1 PB





























Profile možemo slično kao i kod nivelmanu ujediniti u mrežu geoidnih točaka i na odgovarajući način izravnati. S odgovarajućim izborom početne točke i s proizvoljno izabranom vrijednošću geoidne visine N 0, možemo izravnate visine pretvoriti u konačne geoidne visine. Ako se radi na nivou cijele države, za početnu točku izabere se izhodišna točka državne mreže (triangulacije). Geoidni profil između dvije date točke možemo aproksimirati s pravcem (slika 4.8). U skladu s jednadžbama (4.9) i (4.10) možemo napisati:

Slika 4.8: Geoidni profil između dvije točke A i B

∆ N AB= –1/2 ( ε A + εB )∆s U slučaju da je površina trapeza jednaka površini ispod krivulje, aproksimirana geoidna visinska razlika jednaka je točnom integralnom izrazu.

Slika 4.9: Geoidni profil sa dobro izabranim geoidnim točkama Ako su točke na profilu izabrane tako da nam tetiva u najboljoj mogućoj mjeri































∆ Nik = − 1 [(ξi + ξk )(φk − φi )M+(ηi + ηk )(λk − λi )N cos φm ] 2ρ " Ako uzmemo geoidnu visinu jedne točke kao datu, možemo razlike geoidnih visina izravnati po metodi posrednih mjerenja. Znači geoidne visinske razlike se ovdje uzimaju kao mjerenja, nepoznate su u tom slučaju geoidne visine na točkama mreže. Jednadžba mjerenja je: ∆ N ik = N k – N i (4.11a) Jednadžba popravki je onda: vik + δ N i – δ N k = N 0k – N 0i – ∆ N ik (4.11b) odn. u matričnom obliku: v + B∆ = f (f = približno – mjereno) (4.12) BTB∆ = Btf N∆ = t

N=BTB

t=BTf

∆ = N-1t Helmertova jednadžba za astronomski nivelman u slučaju kvazigeoida i anomalija visina jednaka je izrazu (slika 5.8): ∂ζ ∂ζ dζ = dS + dh (4.13) ∂ S ∂h površje Zemlje





























Vertikalni član možemo izračunati iz relacije normalnog i stvarnog ubrzanja sile teže u posmatranoj točki: ∂ζ ∆ g g−γ =− =− (4.14b) ∂h γ γ Na kraju dobijamo izraz: dζ = −ε ' dS +

g − γ dh

γ

(4.15)

Integracija nam daje jednadžbu sličnu Helmertovoj jednadžbi (4.8): B

∆ g dh γ A

B

ζ B −ζ − ζ A = − ∫ ε ' dS − ∫ A

(4.16)

Anomalije ubrzanja sile teže se u gornjoj jednadžbi odnose na površinu Zemlje. Prvi član je ustvari Helmertov integral s otklonima na površini Zemlje, drugi član je popravka Molodenskog za Helmertov integral. Popravka je nužna da bi smo mogli dobiti anomalije visine ζ. Zavisi od vrijednosti stvarnog ubrzanja sile teže na površini Zemlje. Geoidna točka je ona točka, na kojoj smo nekom od astronomskih metoda odredili

astronomske koordinate Φ i Λ s srednjom pogreškom manjom od ±1". Udaljenosti između susjednih geoidnih točaka bi trebalo da budu oko 15-25 km u ravničarskim krajevima, 5-10 km u brdovitim područjima, a čak 3-5 km u veoma brdovitim područjima. Astrogeodetska metoda se upotrebljava prije svega za određivanje geoida na manjim područjima. Nedostatak metode su relativno dugotrajna astronomska opažanja, koja su pored toga i dosta skupa i zavisna od vremenskih uvjeta.





























∆ N = = ∆h – ∆ H

(4.17b)

Slika 4.11 prikazuje vertikalni presjek kroz točku P o (referentna točka mreže) i točku P (proizvoljna točka u mreži). Visina točke P o je proizvoljno izabrana tako da kroz nju prolaze obje plohe, paralelne s lokalnim geoidom i referentnim elipsoidom. P

∆H ∆ h d o i d n i g e o k a l n l o

Po

∆N paralela z elipsoidom

Slika 4.11: Veza između elipsoidne, nadmorske i geoidne visine Sa dovoljno velikim brojem točaka moguće je za neko područje odrediti plohu lokalnog geoida. Tako izračunat geoid je obično dosta homogene točnosti, koja zavisi od točnosti i pouzdanosti elipsoidnih i prije svega nadmorskih visina odn. njihovih razlika. Poznato je da su ortometrijske (i normalne) visine točaka v brdovitim predjelima dosta nepouzdane i manje točnosti nego u ravničarskim područjima. Za manja područja, koja su obuhvaćena nekom GPS mrežom, moguće je analitički predstaviti plohu geoida na sljedeći način. Geoidnu plohu, određenu sa izračunatim geoidnim visinama N (iz (iz veze 4.17), posmatramo kao funkciju dvije promenljive: N = = N (y,x) (4.18) Ovdje su promjenljive y i x projekcijske koordinate točaka mreže. Obično se koordinate





























možemo izračunati (interpolirati) geoidne visine na točkama, koje imaju poznate samo elipsoidne visine).

d g e o i d dN=F(s)

elipsoid

Slika 4.12: Razlika nagiba između elipsoida i geoida Ako postoji veći broja datih točaka, moguće je nepoznate ne poznate koeficijente polinoma odrediti po metodi najmanjih kvadrata (jer postoje prekobrojna mjerenja). Rješenje za nepoznate koeficijente ravni su: ∆ = (BTB)-1 (BTf ) gdje je ∆ vektor ocjenjenih nepoznanica A, B i C ; matrica B je matrica koeficijenata; vektor f sadrži geoidne visine na danim točkama; y, x su Gauss-Krügerove koordinate točaka (preračunate na težište mreže):  A 

∆ =  B   C 

 y1 y 2 B=   y3   yn

x1 x2 x3 xn

1 1 1  1

 N 1   N  2 f =   N 3    N n 





























Slika 4.13: Satelitska altimetrija Sateliti sa najnovijim altimetrima na krovu mogu postići točnost mjerenih dužina do morske površi i do ±1 cm.































Ako geoid izračunamo u mnoštvu diskretnih točaka, možemo izračunate vrij ednosti geoidnih visina i predstaviti u obliku karte, ili to mnoštvo izračunatih točaka preračunati (pretvoriti) u pravilnu točkastu strukturu, ćelijsku mrežu točaka → grid. Uopćeno je "grid" pravilna mreža vertikalnih i horizontalnih koordinatnih linija; može biti zadata u pravokutnim ili geografskim koordinatama. U slučaju prezentacije plohe (geoid, površina Zemlje) potrebno je pored horizontalnih koordinata ( X , Y ili ili φ, λ), zadati i visinsku koordinatu Z odn. odn. H . Postupak računanja grida iz mnoštva diskretno raspoređenih točaka poznat je pod imenom "gridding". Predstavljanje plohe pomoću grida je iz računske točke gledišta veoma korisnu osobinu: pošto su horizontalne koordinate točaka u gridu zadate na jednakim rastojanjima (udaljenostima), planimetrijski položaj pojedine točke je potpuno određen s njenim položajem u matrici grida. U memoriji računara mora se čuvati samo prostorna Z koordinata. koordinata. Rezolucija grida ("resolution") predstavlja korak s kojim je definirana mreža (može biti jednak u oba smjera, zavisno od veličine i oblika dotičnog područja).





























globalni geopotencijalni modeli EGM2008. Geoidni model je izračunat za celu zemaljsku kuglu i to u rezoluciji 1' × 1'; pri tome je binarna datoteka "grida" veličine 940 MB. Grafički prikaz globalnog geoida iz modela EGM96 prikazan je na posebnoj strani (ekvidistancija izolinija je 2 m). Ploha geoida na području Bosne i Hercegovine prikazana je na slici 5.14 (autor prof. T. Bašić, Zagreb, 2000.)

























































4.3.1

Interpolacija geoidnih visina iz "grida"

U slučaju da je ploha geoida predstavljena u ćelijskoj mreži (gridu) i ako želimo izračunati vrijednosti geoidne visine u proizvoljnoj točki područja koje pokriva grid, moramo izvršiti "interpolaciju". Osnovni zadatak interpolacije je naći funkciju, čiji graf prolazi kroz zadati raspored točaka. U slučaju geoidnih gridova, upotrebljavaju se bilinearna interpolacija (manja točnost) ili jednodimenzionalna spline funkcija. Za računanje visine pomoću bilinearne interpolacije pogledajmo sljedeću sliku:





























5

Gravimetrija

Sama riječ gravimetrija znači mjerenje ubrzanja sile teže. Riječ potiče od latinske riječi "gravis" (težak) i grčke riječi "µετρειν" - metrein (mjeriti). Uže gledano, gravimetrija je grana geofizike koja se bavi proučavanjem metoda mjerenja ubrzanja sile teže i postupcima za računanje i korištenje dobivenih vrijednosti. Gravimetriju možemo posmatrati i šire, kao znanost u kojoj se objašnjavaju teoretska načela, metode rada i instrumenti za određivanje ubrzanja sile teže ali i metode vrednovanja dobivenih rezultata mjerenja, bilo u svrhu primijenjene geofizike ili zadataka fizikalne geodezije.

5.1 Metode mjerenja ubrzanja sile teže Iako brojne fizikalne pojave zavise od vrijednosti ubrzanja sile teže, samo neke od njih koristimo za njegovo određivanje. određivanje. Za određivanje ubrzanja sile teže koriste koriste se samo dvije fundamentalne veličine vezane za ubrzanje: vrijeme i dužina (to proizilazi i iz jednice za ubrzanje sile teže [ms-2]. Sve postojeće metode mjerenja ubrzanja sile teže































•

slobodni pad tijela.

Konstrukcija apsolutnih gravimetara može se izvesti kao: • njihalo, • balistički instrument. Balistički gravimetri su konstruirani na principu slobodnog pada tijela u vakuumu. Danas se za određivanje apsolutnih vrijednosti ubrzanja sile teže koriste isključivo balistički instrumenti. Točnost apsolutnog određivanja vrijednosti ubrzanja sile teže s slobodnim padom iznosi od ±10 -7 do ±10-9 g





























s, potrebno je poznavati njegovu dužinu s točnošću ±0,1 µm i izmjeriti periodu s točnošću ±0,1 µs. Takvu točnost možemo postići samo korištenjem posebnih naprava: • mjerenje dužina pomoću laserskih interferometara, • i mjerenje vremena elektronskim brojačima koje upravljaju vremenski signali. Uzevši u obzir sve nabrojano, gornja granica određivanja apsolutne vrijednosti ubrzanja sile teže je ±0,3-0,4 mgal (reverziona njihala). Točnost s početka XX vijeka je bila deset puta manja. Razvojem sve preciznijih načina registracije udaljenosti i vremena, metoda slobodnog pada od pedesetih godina prošlog vijeka postepeno potiskuje njihala iz upotrebe, dok je

























































različita stajališta. Veza između dvije vrijednosti ubrzanja sile teže i periode njihanja je: g2 g1

T 12 = 2 T 2

(5.5)

Ako nam je poznata vrijednost vri jednost g1, možemo izračunati izračunati nepoznatu vrijednost g2 pomoću izmjerenih perioda njihanja. Razliku ubrzanja g2– g1 možemo izračunati bez kalibracije: g2

2

2

 −( − )  −  =  T2 T2 T1  =  1 − T2 T 1  T T    

(5.6a)



















































































































5.3.1

Izvori pogrešaka pri relativnim gravimetrijskim mjerenjima













































































































































































































Fizikalna geodezija

Recommend Documents