KOLINEARNOST VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA B
a A
a
Dva ne nula vektora su kolinearni ako imaju isti pravac. Dva vektora a i b su kolinearni ako samo ako je za neko
0
R,
a
ax , a y , az
b a
b
b , b x
y
bx
ax
,b
z
by ay
bz az
b ,b ,b x
y
b a.
0,
z
a , a , a x
y
Uslov kolinearnosti dva vektora
z
PRIMER Vektori
a
b
( 1, 2, 3)
(2, 4, 6)
Su kolinearni zato što je 2
1
4
2
6 3
2
Vektori
a
( 1, 2, 3)
b
( 2, 4, 3)
nisu kolinearni zato što je 2 1
4
2
3 3
PRIMER
Odrediti vrednosti parametre
a
( , 3, 2) i
i
b
( 4, 6, )
2,
kolinearni.
4
6 3
2
4
tako da su vektori
UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA
Ugao izmedju dva vektora je ugao za koji treba zarotirati jedan od njih da bi se poklopio po pravcu I smeru sa drugim vektorom.
( b , a )
( a , b )
b
b
a
a
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA
Skalarni proizvod
z
a b
dva
B A
vektora a i b je skalar, koji je jedanak proizvodu intenziteta vektora i kosinusa ugla izmedju njih.
a
b
x
O
a
y
b
a b
a b cos
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA z
a b
B
a b cos
A
Osobine skalarnog proizvoda
a
b
x
a b
O
b a
y
a b
a a
a b
a
2
a
2
a b
0
a b c
a a
0
a b a c
a
0
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA z
B A
j
i
k
i j
1
0
0
0 0
1 0
0 1
k
a
b
x
O y
a
ax , a y , az
a
axi
ay
b
j az k
b
b , b x
y
, bz
bx i
by
a b
a x bx
a y b y a z bz
j bz k
PRIMER Izračunati skalarni proizvod datih vektora:
a
b
(1,1, 2)
(1, 1, 4)
a b
1 1 1 ( 1) ( 2) 4 8
a
(1, 5, 2)
b
(1, 1, 4)
a b
1 1 5 ( 1) ( 2) 4 12
a
(1, 2, 2)
b
(1, 1, 3)
a b
1 1 ( 2) (1) ( 2) 3 3
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ‐ USLOV ORTOGONALNOSTI DVA VEKTORA z
a b
a b cos
B A
Dva nenula vektora su ako ortogonalni ako I samo je njihov skalarni proizvod jednak nuli.
b
a
x
a b
O
0
y
Uslov ortogonalnosti vektora zadatih pomoću koordinata
a
ax , a y , az
b
b , b x
y
, bz
a b
0 a x bx
a y b y a z bz
0
90 0
PRIMER Vektori
a
( 3, 3, 2)
b
( 4, 6, 3)
Su ortogonalni zato sto je
a b
( 3) 4 3 6 2 ( 3) 12 18 6
0
Vektori
a
( 3, 3, 2)
b
( 4, 6, 2)
nisu ortogonalni zato sto je
a b
( 3) 4 3 6 2 ( 2) 12 18 4
20
PRIMER
Odrediti vrednost parametra
a
( , 3, 2) i
b
a
b
tako da su vektori ortogonalni.
( 4, 6, )
a b
0
a b
4 3 6 2
6 18 0
3
0
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ‐ UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA z
a B
ax , a y , az
b , b
b
A
x
y
, bz
a b
a
b
x
O y
a b cos
a b
cos
a b cos a x bx
ax
2
2
a y b y a z bz
a y az
2
bx
2
by
ab 2
bz
2
a x bx
a y b y a z bz
PRIMER Data je kocka osnovne ivice a 1 sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena koje leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OA je dijagonala te kocke. OB je dijagonala donje osnove te kocke. Odrediti kosinus ugla izmedju vektora OA i OB z
a
az E
OA (1,1,1)
b
OB (1,1, 0)
a
k
a
A
b
3
2
cos
a b
i
j
ay y
D
O
ax C
B
ab x
cos
1 1 1 1 1 0 2 3
6 3
PRIMER
Odrediti ugao izmedju vektora
a
(1, 0,1)
i
b
(0, 1, 1)
cos
a b a b
cos
1 0 0 ( 1) 1 1
3
12 0 2 12
60 0
02
2
2
( 1) 1
1 2 2
1 2
.
ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA z
B
A
Prb a
b A
0
a
x
y
O
b
ort b
Prb a
b
a cos
a ort b
ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA z
B
Prb a
b
0
a
O
x
A y
A
b
ort b
Prb a
b
a cos
a ort b
VEKTORSKI PROIZVOD
aib
Vektorski proizvod vektora je vektor
c
c
a b
a b
čiji je intezitet jednak površini
paralelograma konstruisanog nad
a
vektorima
a
i
b,
pravac normalan na ravan odredjenu tim vektorima, a smer je takav da vektori
b
a, b , c
čine trijedar iste orjentacije kao i
koordinatni sistem.
VEKTORSKI PROIZVOD
c
a b
P c
a b
a b sin a , b
a
c P
b
a, c
b
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ OSOBINE
c
a b
ba
a
a b
a b a b
a b
b
a b c
a b a c
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE
k
i
i
j
0
i
j
k
0
k
k j i
0
i j
j k
k
i
a
ax , a y , az
a
b , b
b
axi
ay
j az k
j
b
a b
a b
x
y , bz
axi
ay
i a y bz
bx i
j az k
bx i
j a b
a z by
x
z
by
j bz k
by
j bz k
a z bx k
a b x
y
a y bx
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE
a b
i
a
a
y
z
by
bz
i
j
ja bx
x
a b
k
k
a
a x
y
bx
by
i
j
k
ax bx
ay by
az bz
ax
ay
bx
by
a bz
z
ax
ay
az
bx
by
bz
i
ay
az
by
bz
j
ax
az
bx
bz
k
DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA Izracunati determinantu, drugog I treceg reda a11
a12
a21
a22
1
3
3
4
a11 a22
a12 a22
( 1) 4 3 ( 3) 5
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
2
1
2
1
3
2
3
4
1
2
3
2
4
1
a11
1
2
3
1
2
a22
a23
a32
a33
1
3
3
4
a12
a21
a23
a31
a33
a13
22 7 10 19
a21
a22
a31
a32
PRIMER Izračunati vektorski proizvod vektora
a
(1, 1, 2)
c a b
b
( 1, 1, 0)
i
j
k
1
1
2
1
1
0
a b
a
a b
i
1
2
1
0
j
2i 2
1
2
1
0
j
a b
b
( 2, 2, 0)
k
1 1
1
PRIMER
Za date vektore
a
(1,1, 2)
Izračunati
a b i
j
1
1
1
0
k
a b
(1, 0, 2)
b a .
a b
i
b
2
2
1
2
0
2
j
1
2
1
2
k
2i
( 2, 4, 1)
4
i
j k
a b
b a
a b ( 2, 4, 1) ( 2, 4, 1)
1 1 1 0
PRIMER Izračunati površinu paralelograma konstruisanog nad datim vektorima:
a
(1, 5, 2)
a b
a b
i
a b
(1, 0, 2)
i 1
j 5
k 2
1
0
2
5
2
0
2
b
j
a
1
2
1
2
k
P
1 5
1 0
b
10i 5k
a b
(10, 0, 5)
P a b
10 2 0 2
( 5)
2
125
5
5
PRIMER Izračunati površinu trougla konstruisanog nad datim vektorima:
a
(1, 5, 2)
a b
a b
i
b
(1, 0, 2)
i 1
j 5
k 2
1
0
2
5
2
0
2
j
a
1
2
1
2
k
P
1 5
1 0
b
a b
P
10i 5k
1 2
a b
1 2
a b
10 2 0 2
(10, 0, 5)
( 5)
2
1 2
125
5 5 2
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA Mašoviti proizvod tri vektora
a, b , c
je skalarni proizvod
vektora a b
c
i vektora
c:
[a , b , c ] (a b ) c a
b
O
a b c a b c cos B H V
a, b , c
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA
Mešoviti prozvod tri vektora a , b , c je skalar, čija je apsolutna vrednost jednaka zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektoraima. Znak mešovitog proizvoda označava orjentaciju trijedra koji grade ti vektori u odnosu na orjentaciju koordinatnog sistema. Pozitivan rezultat označava da je trijedar orjentisan isto kao i koordinatni sistem, a negativan rezultat označava da je njegova orjentacija suprotna od orjentacije koordinatnog sistema.
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA
Cikličkom permutacijom vektora, vrednost mešovitog proizvoda se ne menja.
[ a , b , c ] [ b , c , a ] [c , a , b ]
(a b ) c
(b c ) a
(c a ) b
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA
a
ax , a y , az
b
b , b
c
x
y
, bz
cx , c y , cz
ax
ay
az
[ a , b , c ] bx
by
bz
cx
cy
cz
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA – USLOV KOMPLANARNOSTI
Tri vektora a , b , c su komplanarni ako i samo ako je njihov mešoviti proizvod jednak nuli. USLOV KOMPLANARNOSTI TRI VEKTORA
a
b
c
ax , a y , az
b , b x
y
, bz
[a , b , c ] (a b ) c
cx , c y , cz
ax
ay
az
b
b
0
[a , b , c ] b x
y
z
cx
cy
cz
0
PRIMER
Vektori
a (1, 2,1)
b
( 2, 2, 2)
c
(0, 2, 1)
su nekomplanarni zato sto je 1
2
1
[a , b , c ] 2
2
2 2
0
2
1
(1, 2, 3)
1 2
1
2
1 2
2 86
2
20
Vektori
a
b
c
(2, 3, 2)
(3,1,1)
su komplanarni zato sto je 1
2
[a , b , c ] (a b ) c
2 3
[a , b , c ] 5 16 21 0
3
3 1
2 1
1
3
2
1
1
2
[a , b , c ]
2
2
3
1
2 3
3
3 1
PRIMER Izračunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima
a
b
(1, 1, 2)
c
( 1, 1, 0)
(1, 2, 0)
i odrediti orjentaciju u odnosu na orjentaciju koordinatnog sistema. 1
1
2
1
1
0
1
2
0
[a , b , c ] (a b ) c
[a , b , c ] 2
1
1
1 2
c
a
b
2 3 6
O
V
[a , b , c ]
6
6
[ a , b , c ] 6 0
Trijedar a , b , c koordinatni sistem.
suprotne orjentacije u odnosu na
PRIMER
V paralelopipeda
[a , b , c ]
V paralelopipeda
c
c
a
a
b
V piramide Vtetraedra
b
O
1 3 1 3
BH B1 H
1
V paralelopipeda
3 11 32
BH
1 6
1
O
[a , b , c ]
3
V paralelopipeda
1 6
[a , b , c ]
BH
