Predavanje 2.1

NAPONSKO STANJE OKO ŠUPLJINE 

PRIMARNO STANJE NAPONA

- Puasson-ov koeficijent Za realnu stenu / tlo Za rude

NAPONSKO STANJE OKO ŠUPLJINE PRIMARNO I SEKUNDARNO RAVNO STANJE NAPONA OKO KRUŽNOG OTVORA - ELASTIČNA SREDINA 

NAPONSKO STANJE OKO ŠUPLJINE PRIMARNO I SEKUNDARNO RAVNO STANJE NAPONA OKO KRUŽNOG OTVORA - ELASTIČNA SREDINA 

PRIMARNO STANJE NAPONA

σor =

Pv [(1 + λ ) + (1 − λ ) cos 2θ] 2

σoθ =

Pv [(1 + λ ) − (1 − λ ) cos 2θ] 2

τor θ = −

Pv (1 − λ )sin 2θ 2

u r

radijalno pomeranje


VEZE KOMPONENTALNIH NAPONA 1

1

σn = 2 (σr + σθ ) + 2 (σθ − σr )cos 2α + τr θ sin 2α 1

τn = 2 (σθ − σr )sin 2α + τr θ cos 2α


REDISTRIBUCIJA NAPONA OKO OTVORA KIRSCH Pv GRANICA ZONE REDISTRIBUCIJE ZONA SMANJENIH

σho (σθ )

Ph = λ x Pv

ZON ZONA UVE] UVE] ANIH

σvo (σθ )

ZONA SMANJENIH Pv

σr o


REDISTRIBUCIJA NAPONA OKO OTVORA KIRSCH

RASPORED SEKUNDARNIH

RASPORED SEKUNDARNIH


REDISTRIBUCIJA NAPONA OKO OTVORA KIRSCH σr =

⎛ a ⎞ ⎛ Pv ⎡ a ⎜ ⎟ ⎜ ( ) ( ) + − λ − 1 + λ 1 − 1 1 4 ⎢ ⎜ ⎜ r 2 ⎟ 2 2 ⎢⎣ r ⎝ ⎠ ⎝

σθ =

⎤ ⎛ a ⎞ ⎛ ⎞ Pv ⎡ a ⎢(1 + λ )⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ − (1 − λ )⎜⎜1 + 3 4 ⎟⎟ cos 2θ⎥ 2 ⎣⎢ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎝ ⎦⎥

2

2

2

4

⎤ ⎞ + 3 4 ⎟⎟ cos 2θ⎥ r ⎠ ⎥⎦ a

4

τr θ =

KIRSCH (1898)

⎛ Pv ⎡ − ⎢(1 − λ ) × ⎜⎜1 + 2 a2 2 ⎢⎣ r ⎝

2

⎤ ⎞ − 3 4 ⎟⎟ sin 2θ⎥ r ⎠ ⎥⎦ a

4

za r >> a

za r r

a

r

0

a

r

0

0



σθ (r = a ) = Pv [(1 + λ ) − 2(1 − λ )cos 2θ] max τr θ(θ = π / 4 )

=

2 ⎛ Pv a (1 − λ )⎜⎜1 + 2 2 2 r ⎝

⎞ − 3 4 ⎟⎟ r ⎠ a

4

za r = a

zatezanje u kaloti i invertu



POMERANJA U USLOVIMA RAVNE DEFORMACIJE

moduo klizanja G

moduo elastičnosti E u smeru radijus vektora ( r ) u smeru suprotnom kazaljke sata 2⎧ 2⎤ ⎫⎪ ⎡ × P a v a ⎪ ⎨(1 + λ ) − (1 − λ )⎢2(1 − 2ν ) + 2 ⎥ cos 2θ⎬ u r = − 4G × r ⎪ ⎪⎭ r ⎦ ⎣ ⎩

2⎧ 2⎤ ⎫⎪ ⎡ × ⎪ a P a v ⎨(1 − λ )⎢2(1 − 2ν ) + 2 ⎥ sin 2θ⎬ uθ = 4G × r ⎪ ⎪⎭ r ⎦ ⎣ ⎩

NAPONSKO STANJE OKO ŠUPLJINE SEKUNDARNO NAPONSKO STANJE - ELIPSASTI OTVOR 

a ⎞ ⎛ λ − 1 + 2λ b ⎞ ⎛ = 1 2 ⎟ σAθ = Pv ⎜ − λ + b ⎟ σBθ Pv ⎜ a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

σAr = σBr = 0

optimalni oblik ⎛ 1 − λ + 2 a ⎞ = ⎛ λ − 1 + 2λ b ⎞ ⇒ λ = a = ⇒ ⎟ ⎜ ⎟ σAθ σBθ ⎜ b ⎠ ⎝ a ⎠ b ⎝

NAPONSKO STANJE OKO UPLJINE 



KARAKTERISTIČNE RELACIJE –- KRUŽNI OTVOR SLOM STENE

σθA > σoθA σrA = 0 τr θA = 0

slom stene

σθA > β


KARAKTERISTIČNE RELACIJE - KRUŽNI OTVOR



POJAVA PRSLINA

σθB = Pv (3λ − 1) σ'θB = Pv ⎛ ⎜ λ − 1 + 2λ a + Δa ⎞⎟ a ⎠ ⎝ iz uslova

σθB ≥ 0 ⇒ λ − 1 + 2λ '

sledi

Δa ≥ a

1 − 3λ 2λ

a + Δa a

≥0




KARAKTERISTIČN E RELACIJE – KRUŽNI OTVOR MAX SMIČUĆI NAPON

⎛ ⎞ P a a v ⎜ τr θ θ = 45 = − 2 (1 − λ )⎜1 + 2 2 − 3 4 ⎟⎟ r r ⎠ ⎝

(

o

max τr θ

a

2 2

r

1

)

4

2 4 ⎞ ⎛ a a = ⎜⎜1 + 2 2 − 3 4 ⎟⎟ ⇒ max r r ⎠ ⎝

= ⇒ r = a 3

2

3 ⇒ max τr θ

2

= × Pv (1 − λ ) 3


KARAKTERISTIČNE RELACIJE – KRUŽNI OTVOR 1

 



1

ε1o = E [ p1 − ν( p v + p h )] ≅ E [σ1 − ν(σr + σθ

DEFORMACIJE deformacija u geološkoj prošlosti uslov jednakosti deformacija: )] dobija se:

σ1 = p1 + ν (σr + σθ ) − ( pv + ph ) σ = p [λ − ν(1 + λ )] + pv ν ⎡2(1 + λ ) − 4(1 − λ ) a 2 cos 2 2θ⎤ 1 ⎢ ⎥ v 2 2 ⎣



u r =

r

POMERANJA - ANALOGIJA KIRSCH

1 − ν 2 p v × a ⎧ ⎪

uθ = −

⎫⎪ ⎡ a ⎛ ν ⎞ a ν ⎞ a 3 ⎤ ⎛ ⎟ + (1 − λ )⎢4 − ⎜1 + ⎟ 3 ⎥ cos 2θ⎬ ⎨(1 + λ )⎜1 + 2 ⎪ ⎝ 1 − ν ⎠ r ⎪⎭ ⎢⎣ r ⎝ 1 − ν ⎠ r ⎥⎦ ⎩

E

1 − ν 2 p v × a E

2

⎡ ⎛ ν ⎞ a ⎛ ν ⎞ a 3 ⎤ (1 − λ )⎢2⎜1 − ⎟ + ⎜1 + ⎟ 3 ⎥ sin 2θ ⎢⎣ ⎝ 1 − ν ⎠ r ⎝ 1 − ν ⎠ r ⎥⎦  

⎦

Konvencija pomeranja u smeru ka osi iskopa

NAPONSKO STANJE OKO ŠUPLJINE SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVOR 



HIDROSTATIČKO PRIMARNO I RADIJALNO REAKTIVNO OPTEREĆENJE

NAPONSKO STANJE OKO ŠUPLJINE SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVOR 



HIDROSTATIČKO PRIMARNO I RADIJALNO REAKTIVNO OPTEREĆENJE pv = ph = po HIDROSTATIČKO PRIMARNO NAPONSKO STANJE pe RADIJALNO REAKTIVNO OPTEREĆENJE 2 2 ⎛ a 2 ⎞ ⎛ a 2 ⎞ a a σr = po ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + pe 2 σθ = po ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ − pe 2 r r ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠

τr θ = 0

POMERANJE NA KONTURI r = a

u re (a ) =

1+ ν

a ( po − pe )

NAPONSKO STANJE OKO UPLJINE SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVOR   



KASTNER-OVO REŠENJE USLOV LOMA COULOMB – MOHR ČVRSTOĆA NA ZATEZANJE PRIVIDNA ČVRSTOĆA NA ZATEZANJE

_

σc =

_

2 c cos Φ _

1 − sin Φ _



1

σn = 2 (σ1 + σ3) + 2 (σ1 − σ3)cos 2β 1

_

β z = c ctg Φ

MOHR-OV KRUG

1

_

τn = 2 (σ1 − σ3)sin 2β

NAPONSKO STANJE OKO UPLJINE SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVOR 

KASTNER-OVO REŠENJE






SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVOR KASTNER-OVO REŠENJE COULOMB-OV USLOV LOMA _



SLEDI σ1 = σ3

1 + sin Φ

_

cos Φ + 2c _ _ 1 − sin Φ 1 − sin Φ _

max τn

_

= σn tg Φ +

_

c _



ODRE ĐIVANJE ZONE U GRANIČNOJ RAVNOTEŽI (r r o) USLOV RAVNOTEŽE ∂ σ r σr − σθ + = 0 ∂ σθ = 0 r ∂r ∂θ



USLOV LOMA



_

⎛ π ⎞ π π Φ 2β = π − ⎜⎜ − Φ ⎟⎟ = + Φ ⇒ β = + 4 2 ⎝ 2 ⎠ 2 _

_ ⎞ _ ⎞ _ _ ⎛ ⎛ σθ ⎜⎜1 − sin Φ ⎟⎟ = σr ⎜⎜1 + sin Φ ⎟⎟ + 2 c cos Φ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠




SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVOR KASTNER-OVO REŠENJE


SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVOR






KONTURNI USLOVI

za r a i r r o

IZVEDENO JE REŠENJE _

_

GDE JE

⎢⎣⎝ ⎠

_

χ=

χ −1 ⎡ ⎤ r σ ⎛ ⎞ c σgθ = χ − 1 ⎢χ⎜ a ⎟ − 1⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦

χ−1 ⎡ ⎤ σ r ⎛ ⎞ c σgr = χ − 1 ⎢⎜ a ⎟ − 1⎥

1 + sin Φ _

1 − sin Φ

_

σc =

⎥⎦

_

_

2 c cos Φ _

1 − sin Φ


SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVO






ZA ZONU U ELASTIČNOM STANJU

r > r o

Pv= Ph =Po ( =1) – HIDROSTATIČKO STANJE ( KIRSCH) 2 ⎞ ⎛ r o σer = Po ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ r ⎠

2 ⎞ ⎛ r o σeθ = Po ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎝ r ⎠

LAME- OVO REŠENJE ZA DEBELU CEV

σ = σr (r o ) × e r

r o

2

r 2

r r o

σθ = − σr (r o ) × e

r o

2

r 2

τ =0 e r θ




SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI OTVOR KASTNER-OVO REŠENJE








GRANIČNO REŠENJE ( r = r o) _





r

χ−1 2 ⎡ ⎤ ⎛ r o 2 ⎞ ⎛ ⎞ σ r r o c o ⎟ + σr (r o ) × 2 = po ⎜⎜1 − ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ 2 ⎟ χ − 1 ⎢⎣⎝ a ⎠ r o ⎥⎦ ⎝ r o ⎠ _

χ−1 ⎡ ⎤ ⎛ r o ⎞ ⎛ ⎞ σ r r o c o ⎟ − σr (r o ) × 2 = ⎢χ ⎜ ⎟ − 1⎥ po ⎜⎜1 + 2 ⎟ χ − 1 r o ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ ⎝ r o ⎠ 2

2

τr θ = 0 _

⎡ σ c ⎛ r o ⎞ σr (r o ) = χ − 1 ⎢⎜ a ⎟ ⎢⎣⎝ ⎠

χ −1

⎤ − 1⎥ ⎥⎦

_

χ−1 ⎡ ⎤ ⎛ σ r o ⎞ c 2 po − σr (r o ) = ⎢χ ⎜ ⎟ − 1⎥ χ − 1 ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦




SEKUNDARNO STANJE NAPONA - KRUŽNI _ OTVOR χ−1 ⎤ σ ⎡⎛ r ⎞ KASTNER-OVO REŠENJE

2 po =

c

⎢⎜ o ⎟ χ − 1 ⎢⎣⎝ a ⎠

(1 + χ ) − 2⎥ ⎥⎦ 1

_ ⎤ χ−1 ⎡ 2 p (χ − 1) + 2 σ c ⎥ = 2 po = ⎢⎢ o ⎥ _ ⎢⎣ (χ + 1)σ c ⎥⎦



IZ ČEGA SE DOBIJA:



REAKTIVNI OTPOR PODGRADE Pe





(a r r o)

r = r o

r

r o a

r ⎞ ⎛ σ = pe ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠

χ−1

g r

⎛ r ⎞ ( ) = p σr r o e ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ 2 po − σr (r o )

χ −1

r ⎞ ⎛ σθ = χ× pe ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ g

χ−1








COULOMB – MOHR-OV USLOV: (

1=

;

χ−1

_

_

σθ = σr × χ + σ c ⎛ r ⎞ 2 po − σr (r o ) = χ × pe ⎜ o ⎟ ⎝ a ⎠ 2 p o

⎛ r o ⎞ = (1 + χ ) × p e ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ a ⎠ 1

SLEDI

r o a

_ ⎤ χ −1 ⎡ 2 po − σ c ⎥ ⎢ =⎢ (1 + χ ) pe ⎥ ⎢ ⎥

χ −1

+ σc _

+ σc

3

=

r )

pri

r = r o


SEKUNDARNO STANJE NAPONA -KRUŽNI OTVOR







PLASTIČNO PONAŠANJE STENA

ELASTOPLASTI ČNA STENA



UTICAJ PLASTIČNOG PONAŠ ANJA STENSKE MASE NA NAPONSKO STANJE OKO TUNELA KRUŽNOG PRESEKA PRETPOSTAVKA PLASTIČNOG PONAŠ ANJA – DEFORMACIJA POSTAJE BESKONAČNA KADA RAZLIKA NAPONA DOSTIGNE GRANIČNU

σr -σt = σo σ

VREDOST:





-

-

USLOVI PLASTIČNOSTI

PONAŠ ANJE STENSKE MASE U OBLASTI GRANIČNIH STANJA: POVEĆANJE DEFORMACIJE BEZ PRIRASTA OPTEREĆENJA PLASTIČNU DEFORMACIJU PRATI POVEĆANJE ZAPREMINE LOM USLED SMICANJA U PODRUČJU GRANIČNOG STANJA

TENZOR NAPONA

f(

1

,

2

,

3

) =0 ; f ( i1, i2, i3) =0

PRVA INVARIJANTA TENZORA NAPONA

i1 =

1

+

2

+

3

DRUGI MOMENAT DEVIJATORA TENZORA NAPONA i2 =

1

2 2 2 [ σ 1 + σ2 + σ3 − (σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1)] 3

TREĆI MOMENAT DEVIJATORA NAPONA i3 = −

1

3(σ1 σ2 2 + σ2 σ3 2 + σ3 σ12 + σ2 σ12 + σ3 σ2 2 + σ1 σ3 2 ) − 12 σ1 σ2 σ3 − 2(σ12 + σ2 2 + σ3 2 )] [ 27


-

PLASTIČNO PONAŠANJE STENA USLOVI PLASTIČNOSTI



HUBER –- MIZESOV USLOV ( POVRŠINA CILINDAR) F = IIσ'− K 2



IIσ' =

K =

1

=0

( σ 1 + σ2 + σ3 ) 2 2

σo

2

2

DRUGA INVARIJANTA DEVIJATORA NAPONA GRANICA TEČENJA

3

POLARNI KOORDINATNI SISTEM

(σr − σθ )2 + (σθ − σz )2 + (σz − σr )2 = GDE JE 1

σz = (σr + σθ) 2

DALJE SLEDI

σθ − σr = σo 2

3

2 σo



- USLOVI PLASTIČNOSTI



TEČENJE POČINJE KADA GLAVNI SMIČUĆI NAPON

1

τmax = 2 (σθ − σr ) 

DOSTIGNE VREDNOST

σo 3









ANALIZA STANJA NAPONA U ELASTO PLASTIČNOJ SREDINI

PRETPOSTAVKA: ROTACIONO SIMETRIČNO POLJE NAPONA USLOV PLASTIČNOSTI " "

σθ − σr = 2K

STANJE RAVNOTEŽE ZA PLASTIČNU ZONU (POLARNE KOORDINATE)

∂ σ"r σ"θ − σ"r = r ∂r 

STANJE RAVNOTEŽE ZA ELASTIČNU ZONU (POLARNE KOORDINATE)

∂ σ'r σ'θ − σ'r = r ∂r 

USLOV KOMPAKTIBILNOSTI

⎛ ∂ 2 1 ∂ ⎞ ' ⎜ ⎟(σr + σ'θ ) = 0 + ⎜ ∂r 2 r ∂r ⎟ ⎝ ⎠


GRANIČNI USLOVI PLASTIČNO " ' " ' ' = = 0 = σ σ σ r r =r r r =r σθ r =∞ σr r =∞ = p PONAŠANJE r r =a GDE JE: " ' STENA = σ σ θ θ r =r r = r a –- POLUPREČNIK TUNELA 

o

o



ANALIZA STANJA NAPONA U ELASTO - PLASTIČNOJ SREDINI

o a –- POLUPREČNIK TUNELA r o - POLUPREČNIK GRANICE PLASTIČNE ELASTIČNE ZONE p –- GEOSTATIČKI PRITISAK IZ USLOVA PLASTIČNOSTI I " ∂ 2K r RAVNOTEŽE: =

σ

∂r

INTEGRACIJOM I ZAMENOM r=a

r ⎞ ⎛ σ = 2K ln a σθ = 2K ⎜⎝ 1 + ln a ⎠⎟ " r

σr = A +

B 2

r

σθ = A −

r

"

REŠENJE DIFERENCIJALNIH B JEDNAČINARAVNOTEŽE I USLOVA r 2 KOMPAKTIBILNOSTI:

r

o


AKO JE A=p i r=r o sledi PLASTIČNO PONAŠANJE (σ'r )r =r = p + B2 = 2K ln r o (σ'θ)r =r = p − B2 = 2K ⎛ ⎜1 + ln r o ⎞⎟ a a ⎠ r r ⎝ STENA 

o



o

REŠENJE PRETHODNIH JEDNAČINA (pretpostavka k=n x p za ravno stanje napona)

ANALIZA STANJA B = − K × a 2 × e ( p− K ) K r o = a × e ( p − K ) 2 K NAPONA U ELASTO ZA ELASTIČNU ZONU NAPON U PRAVCU - PLASTIČNOJ OSOVINE TUNELA SREDINI 

' z

' ' = ∂ + σ σr σθ



ZA PLASTIČNU ZONU NAPON U PRAVCU OSOVINE TUNELA " z

σ =

1

(σ"r + σ"θ)





KONAČNO REŠENJE ZA PRORAČUN NAPONA OKO KRUŽNOG TUNELSKOG PRESEKA

⎛ 1 + ln r ⎞ = 2 np ⎜ ⎟ σθ a ⎠ ⎝ "



r

σ = 2np ln a " r

a< r ≤ r o

r ⎞ ⎛ σ = np⎜1 + 2 ln a ⎟ ⎝ ⎠ " z

ANALIZA STANJA NAPONA U ELASTO 2 ⎡ ⎤ na 2 (1− n ) n ' - PLASTIČNOJ ⎥ ' = p ⎡⎢1 + na × e (1−n ) n ⎤⎥ σr = p ⎢1 − 2 × e ⎢⎣ r ⎥⎦ σθ ⎢ r 2 ⎥⎦ ⎣ SREDINI 

r o 

r o < r

= a × e (1−n ) 2n

n=1 ⇒ KIRCH:

⎛ a 2 ⎞ σ = p⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ r ⎠ ' r



⎛ a 2 ⎞ ' σθ = p⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

rešenje za elastičnu sredinu






REŠENJEM JEDNAČINA ( K=n x p R.S. NAPONA) p −K

p − K

B = −K × a 2 × e 

K

r o

= a×e

2 K

ZA ELASTIČNU ZONU NAPON U PRAVCU OSOVINE TUNELA

σz ' = ∂(σr '+ σθ ' 

ZA PLASTIČNU ZONU NAPON U PRAVCU OSOVINE TUNELA

1

σz " = 2 (σr "+ σθ ")





KONAČNO REŠENJE ZA PRORAČUN NAPONA OKO KRUŽNOG TUNELSKOG PRESEKA

⎛ 1 + ln r ⎞ = 2 np ⎜ ⎟ σθ a ⎝ ⎠ "



r

σ = 2np ln a " r

a< r ≤ r o

⎛ 1 + 2 ln r ⎞ np = ⎜ ⎟ σ a ⎝ ⎠ " z

ANALIZA STANJA NAPONA U ELASTO ' = p ⎡1 − na 2 × e (1−n ) n ⎤ ⎥ σr ⎢ 2 2 - PLASTIČNOJ r ⎣⎢ ⎦⎥ σ' = p ⎡⎢1 + na × e (1−n ) n ⎤⎥ θ r 2 ⎢ ⎥⎦ ⎣ SREDINI (1−n ) 2 n σz ' = 2∂ p r = a × e 

r o < r

o



n=1 ⇒ KIRCH:

⎛ a 2 ⎞ σ = p⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ r ⎠ ' r



⎛ a 2 ⎞ ' σθ = p⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

rešenje za elastičnu sredinu





USLOV PLASTIČNOSTI K =

1 2

(σ1 − σ2 )

__

AO = σ2 +




1 2

__

AB = C × ctgϕ 1

(σ1 − σ2 ) = (σ1 + σ2 ) 2

KOORDINATE TAČKE Q

1

1

2

2

σQ = (σ1 + σ2 ) − (σ1 − σ2 )sin ϕ 1

τQ = 2 (σ1 − σ2)cos ϕ 

1 2

Q ∈ ANVELOPI LOMA ⇒

(σ1 − σ2 )cos ϕ = C + tg ⎡⎢ (σ1 + σ2) − (σ1 − σ2)sin ϕ⎤⎥ 1

1

⎣2

2

⎦

(

)





USLOV RAVNOTEŽE I USLOV PLASTIČNOSTI (PLASTIFIKOVANA ZONA)

∂ σr σθ − σr = r ∂r 


REŠENJE ( UZ USLOV

σr (r =a ) = 0

):

2 sin ϕ ⎡ ⎤ 2C × cos ϕ ⎢⎛ r ⎞ 1−sin ϕ − 1⎥⎥ σr = 2 sin ϕ × ⎢⎜ a ⎟ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦

2 sin ϕ ⎧ ⎡ ⎤⎫ 2C × cos ϕ ⎪ 1 + sin ϕ ⎢⎛ r ⎞ 1−sin ϕ ⎪ ⎥ − 1⎥ ⎬ σθ = 1 − sin ϕ × ⎨1 + 2 sin ϕ × ⎢⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎭ ⎩






NA GRANICI IZME\U PLASTIČNE I ELASTIČNE ZONE:

σθ − σr = p ⎡ 2C cos ϕ ⎤ σr = 2 sin ϕ × ⎢ p − 1 − sin ϕ ⎥ ⎣ ⎦ 1 − sin ϕ





-




IZ USLOVA C ≅ 0 σv = γ x z z –- dubina EFEKTIVNI VERTIKALNI PRITISAK



σvr ' =σv x uo



uo

STANJE NAPONA U GLINAMA r o

GDE JE

PORNI PRITISAK VODE (SLIKA)

Kada su poznate vrednosti ukupnog napona σv , otpornost na smicanje Su i unutrašnji pritisak pi , Deere je odredio poluprečnik plastične zone: − p − S a - poluprečnik tunela

= a exp σv

i

u

2S u

RADIJALNI NAPON

r

σr = p i + 2S u ln a

TANGENCIJALNI NAPON

σθ = σr + 2Su


-

PLASTIČNO PONAŠANJE STENA STANJE NAPONA U GLINAMA


-






1

STANJE NAPONA U GLINAMA

r

σz = 2 (σr + σθ) = p i + S u = 2S u ln a 

-

NAPON U PRAVCU OSE TUNELA

IZVAN ZONE r>r o (zona između B i B’' (SLIKA)) 2

⎛ σv − p i ⎞ σr = σv − S u ⎜ r ⎟ exp⎜⎜ S − 1⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ u ⎠ ⎛ a ⎞

2

⎛ σv − p i ⎞ σθ = σv + S u ⎜ r ⎟ exp⎜⎜ S − 1⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ u ⎠ ⎛ a ⎞


-


 





Efekti kod građenja: relativno velika zona sa plastičnim svojstvima značajna redukcija pornog pritiska - može postati negativan konačni, efektivni naponi se razlikuju od inicijalnih, poluprečnik plastične zone se smanjuje, pa čak vremenom može imati minimalnu vrednost


SEIZMIČKO NAPONSKO STANJE

  

prostiranje talasa talas koji izaziva pritisak i zatezanje - podužni talas (p) talas koji izaziva smicanje - poprečni talas (s) brzine prostiranja talasa:

V p

=

D × g × (1 − ν )

γ (1 + ν )(1 − 2ν )

Vs

=

D×g 2 × γ (1 + ν )

= V p

(1 − 2ν ) 2(1 − ν )

D - modul deformacije g - gravitacija ν - Puasson-ov koeficijent γ - zapreminska masa stene

kvazistatički problem:

σ

τ

max min

max min

=±

=±

1 2π

1

A × K 1 × γ × VP

× To × K h

A × K 1 × γ × V

× T × K h



- A - koeficijent zavisan od stepena seizmičkog opterećenja Stepen seizmičnosti prema MSS Koeficijent A

7

8

9

0.1

0.2

0.4

K1 - koeficijent oštećenja podgrade (uzima se 0.25) To - period sopstvenih oscilacija čestica stenske mase Kh - koeficijent dubine prostorije: za H ≤ 100 m Kh = 1 - 0.005 H za H > 100 m Kh = 0.5 H Vp - brzina podužnih talasa Vs - brzina poprečnih talasa

Zahtev iz kvazistatičkog uslova:

E × g × To

2

20 γ × (1 + ν ) E - modul elastičnosti stenskog materijala g - ubrzanje (gravitacija) D - prečnik prostorije

≥D

2



Odre . đivanje ekstremnih vrednosti normalnog i smičućeg napona

τx 'y' = τmax

' = σ σmax σy = λ σmax

' x

σ'x

- normalni napon u pravcu x' ose

' y

- normalni napon u pravcu y' ose

σ

τx ' y ' λ=

- smičući napon

ν - koeficijent horizontalnog naprezanja 1− ν

Proračun glavnih napona:

θ=

- ugao glavnih napona: - ekstremne vrednosti napona: - ukupni naponi:

min θ max

σ

1 2

arctg

2 τx 'y'

σ'x − σ'y

= (σ1 + σ2 ) ± 2(σ1 − σ2 )

+ σseizmicko σukupno = σgravitacio



Predavanje 2.1

Recommend Documents