11. Predavanje MT

Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan

str. 1 11. predavanje SLIJEGANJE PLITKIH TEMELJA

1.

Uvod

Iz razloga ekonomičnosti plitke temelje treba ih oblikovati štedljivo, ali da još uvijek dovoljno sigurno zadovolje bitne uvjete svoje namjene. Najvažniji među tim uvjetima je ograničenje pomaka izazvanih opterećenjem konstrukcije, a uvjetovanim krutošću temeljnoga temeljnoga tla. Zbog prevladavajućeg vertikalnog trajnog opterećenja građevinskih konstrukcija, koje izaziva i prevladavajuće vertikalne pomake temelja, najveća se pozornost posvećuje određivanju upravo vertikalnih pomaka temelja. Ti se vertikalni pomaci nazivaju slijeganjem. slijeganjem. Tako je proračun slijeganja temelja prisutan gotovo u svakom građevinskom projektu. projektu. Iako je proračun slijeganja u praktičnoj provedbi relativno jednostavan, pouzdanost prognoze slijeganja temelja u praksi je često problematična. problematična. Osnovni razlog toj problematičnosti obično nisu nis u neminovna pojednostavljenja izazvana idealizacijom problema koji se rješava, već nepouzdanost u utvrđivanju profila tla sa tla sa svim njegovim geometrijskim karakteristikama kao i nepouzdanost u određivanju parametara mehaničkih svojstava tla koji bi trebali biti dovoljno vjerna slika mehaničkih svojstva realnog tla na razmatranoj lokaciji buduće građevine. Izvori tih nepouzdanosti su brojni i sežu od prirodne heterogenosti tla, koju je ponekad teško detaljno utvrditi, preko sastava i svojstava tla, koji ograničavaju tehnološke postupke za njihovo utvrđivanje, zatim financijskih i vremenskih ograničenja nametnutih posebnostima svakog sv akog građevinskog zahvata, pa do našeg još uvijek ograničenog znanja o nekim bitnim vidovima ponašanja ponašanja nekih vrsta tla. Razumno sagledavanje ovog stanja nameće potrebu da se predviđanju slijeganja temelja u praksi pristupi odmjereno: preciznost postupka pr oračuna oračuna slijeganja prilagoditi razumnoj mogućnosti određivanja mehaničkih svojstava svojstava tla na svakoj pojedinoj lokaciji, a određivanju mehaničkih svojstava tla pridati najveću moguću pozornost. moguću pozornost.

2. Primjena teorije elastičnosti u mehanici tla Tradicionalno se u mehanici tla za proračun slijeganja temelja koriste rješenja teorije elastičnosti. Osnovna je zadaća teorije elastičnosti rješavanje elastičnih diferencijalnih jednadžbi za zadane rubne uvjete. Za neke jednostavnije slučajeve rubnih problema nađena su analitička rješenja, dok se za složenije slučajeve koristi princip koristi princip superpozicije ili se rješenja traže numeričkim postupcima, kao što je na primjer metoda konačnih elemenata. Princip superpozicije praktički se svodi na to da je rješenje za dva različita opterećenja istog


str. 2 11. predavanje

elastičnog tijela s istim rubnim uvjetima pomaka jednako zbroju rješenja za svako opterećenje posebno. Mnoga su rješenja složenijih problema tako dobivena iz poznatih rješenja nekoliko temeljnih rješenja. Jedno takvo temeljno rješenje, od posebne važnosti u mehanici tla, je Boussinesqovo rješenje (Boussinesq 1885) za vertikalnu koncentriranu silu na površini linearno elastičnog izotropnog i homogenog poluprostora. Elastični poluprostor poluprostor je elastično tijelo s jedne strane omeđeno omeđeno horizontalnom ravninom, a neprekidno u svim ostalim smjerovima. Taj poluprostor može poslužiti kao idealizacija tla na terenu s horizontalnom površinom. U okviru linearne teorije elastičnosti, poluprostor može biti izotropan, izotropan, kad su svojstva elastičnog materijala u svim smjerovima jednaka, a može biti i homogen, homogen, kad su mu mehanička svojstva u svim točkama tijela jednaka. Opterećenje na površini deformira elastični poluprostor i u njemu izaziva dodatna (dodatna u odnosu na moguća postojeća naprezanja od već postojećeg opterećenja) naprezanja. Slika 9-1 prikazuje jedan takav primjer. Temeljna traka širine B jednoliko opterećuje temeljno tlo opterećenjem p. p. Pretpostavlja se da je temeljno tlo homogen i izotropan linearno elastičan poluprostor. Na horizontalnim presjecima kroz poluprostor amplituda dodatnog vertikalnog naprezanja  y pada, a njegova se raspodjela širi, što je presjek dublje od površine. To je tipično ti pično za raspodjelu dodatnih naprezanja u poluprostoru od površinskog opterećenja. Približno se ova pojava može opisati „širenjem“ dodatnog vertikalnog naprezanja po osnovicama zamišljenih piramida, piramida, čije su stranice nagnute pod nagibom V:H=2:1. V:H=2:1. Prosječno dodatno vertikalno naprezanje na osnovici zamišljene piramide, piramide, na promatranoj dubini, jednako je opterećenju na površini p p podijeljenom s površinom osnovice piramide.

Slika 9-1. Raspodjela vertikalnih dodatnih naprezanja

 

y

/ p  na horizontalnim presjecima poluprostora od

jednolikog opterećenja na trakastoj površini (opterećenje i naprezanja prikazana su u istom mjerilu)

Drugi način prikaza „širenja“ normaliziranih dodatnih vertikalnih naprezanja u dubinu i širinu linearno elastičnog izotropnog i homogenog poluprostora ilustriraju slike 9-2 i 9-3, za jednoliko opterećenu trakastu plohu i rezultantno linijsko opterećenje opterećenje (slika 9-2) te za jednoliko opterećenu kvadratnu plohu kvadratnu plohu i rezultantnu koncentriranu silu (slika 9-3), na površini poluprostora. Iz ovih se slika, bez obzira što se odnose samo na jednu od šest komponenti komponenti dodatnih naprezanja, mogu izvesti sl jedeći jedeći zaključci: 

Dodatno se naprezanje naprezanje širi u širinu i dubinu elastičnog poluprostora. poluprostora. Pri tome mu veličina pada veličina pada s porastom udaljenosti od njegova izvora na površini poluprostora.

Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan 


Dodatna naprezanja naprezanja od opterećenja temeljne trake, odnosno linijskog linijskog opterećenja na površini poluprostora manje opadaju s dubinom od naprezanja izazvanih opterećenjem na kvadratnoj plohi, plohi , odnosno od koncentrirane sile.

Slika 9-2. Linije jednakih dodatnih vertikalnih naprezanja

 

y

/ p  ispod jednolikog normalnog opterećenja

na trakastoj površini širine B širine B (desno) i ispod rezultantnog linijskog opterećenja (lijevo) na površini linearno elastičnog izotropnog i izotropnog i homogenog poluprostora


Slika 9-3. Linije jednakih normaliziranih dodatnih vertikalnih naprezanja


 

y

/ p 

ispod jednolikog

normalnog opterećenja na kvadratnoj površini širine B B (desno) i ispod rezultantne koncentrirane sile (lijevo), na površini linearno elastičnog izotropnog i homogenog poluprostora

Većina projektnih profila tla u prirodi karakterizira uslojenost pa se ne može opisati kao homogeni poluprostor. Međutim, istraživanja su pokazala da, za mnoge praktične slučajeve, uslojenost najviše utječe na raspodjelu deformacija, deformacij a, a time i na pomake, dok je njen utjecaj utj ecaj na raspodjelu dodatnih naprezanja često moguće zanemariti. Ovaj zaključak najviše doprinosi praktičnoj primjeni teorije elastičnosti u mehanici mehanici tla.



3. Neka osnovna rješenja teorije elastičnosti za homog homog eni eni i izotropni izotropni polupros polupros tor U prikazima koji slijede, koriste koriste se Kartezijev i cilindrični koordinatni cilindrični koordinatni sustav, kako prikazuje slika 9-4. z

r

O

x y e e r

r y

e y

Slika 9-4. Kartezijev ( x ( x,, y, y, z ) i cilindrični (r ,  , y) y) koordinatni sustav te jedinični vektori ( vektori (eer , e, ey) cilindričnog sustava

Jedno od temeljnih rješenja teorije elastičnosti je ranije spomenuto Boussinesqovo rješenje za koncentriranu vertikalnu silu na površini linearno elastičnog, homogenog i izotropnog, elastičnog poluprostora. Pripadne izraze za naprezanja i pomake ( pomake ( sy i s i sr ) prikazuje slika 9-5. 9-5. Rješenje ima singularnu točku na mjestu djelovanja koncentrir ane ane sile gdje naprezanja i pomaci teže u beskonačnost. Integracijom Boussinesqovog rješenja po raznim konturama na površini poluprostora, a koristeći princip superpozicije, dobivena su mnoga druga praktična rješenja. Tako je prikazano rješenje za linijsko vertikalno opterećenje na površini poluprostora (slika (sl ika 9-6), za opterećenje kružnog temelja (slika 99-7) i za opterećenje pravokutnog temelja (slika 9-8). 9 -8).

Koncentrirana sila V

V

yy

3Vy 3 2 R5

rr

V 3r 2y 2 R2 R3

(1

R

y

R

r2

2 )V 2 R2

r ry

(r , y )

s y

y 2

s r

(1

2 )R

R

y

y

y R

R R

3Vry 2 2 R5 V (1 ) 2(1 2 ER V (1 ) ry 2 ER R 2

) (1 R

y 2 R2

2 )r

y

Slika 9-5. Boussinesqovo rješenje za koncentriranu vertikalnu silu na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora (Boussinesq 1885)



Linijsko opterećenje p (sila po jedinici dužine)

2py 3

yy

R4 2px 2y R4 2p y R2 2pxy 2 R4 2py (glavno naprezanje u smjeru R ) R2

xx

p

zz

xy

x R

y

1

(x , y ) x2

R

0

2

py R2

max

y 2

(gla (glavn vnoo napr naprez ezan anje je okom okomit itoo na R )

Slika 9-6. Rješenje za linijsko vertikalno opterećenje na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora

Kružno opterećenje p

(sila po jedinici površine) yy

2a

D

y

0 ):

ispod središta kružnog opterećenja ( r

(y / a )2 1 (y / a )2

p 1

p r

(1

2 )



2

A

(y / a )2

1

y sy

2pa (1

2(1

)(y / a )

1 (y / a )2 (y / a )3

p rr

3/2

2)

1

E

y /a

1/2

3/2 2

y /a

y / a

1 2(1 za y / a

) 1 0 : s y

y / a

2

2pa (1

2)

E

Slika 9-7. Rješenje za vertikalno jednoliko opterećenje na kružnoj plohi na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora homogenog poluprostora za točke ispod središta kružne plohe

Treba uočiti da je na slici 9-7, 9-7, za y za y = = 0, vertikalni pomak

s y

pD E

(1

2

)

(9.1)

Na osnovi izraza (9.1), vertikalni pomak ispod središta jednoliko opterećenog kružnog temelja (za y (za y > > 0) može se izraziti u obliku


str. 7 11. predavanje sy

pD E

2

(1

)I sy

(9.2)

gdje je I sy sy utjecajni koeficijent za slijeganje. Prikaz tih utjecajnih koeficijenata, za tri vrijednosti Poissonovog koeficijenta, dan je na slici 9-8. 0 .0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1 .0

0.01

0.01

0.02

0.03

0.05

0 .1

D / y , a n i b u d a n a r i z i l a m r o n

0 .1

0 .2

0 .3

0 .5

1

1

2

  

3

  

5

  

10

10 0 .0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1 .0

n o r m a l i z i ra ra n i v e r t i k a l n i p o m a k t oč k e A , I sy = ( s y / D )  ( E / p )  [1/(1 -   

Slika 9-8. Utjecajni koeficijent I sy sy za proračun vertikalnih pomaka ispod s redišta jednoliko opterećene kružne plohe na površini linearno elastičnog, izotropnog izotropnog i homogenog poluprostora



Pravokutno ispod vrha pravokutnika ( x 0 , z 0 ): opterećenje p (sila po p mn(1 m 2 m 2n 2 ) arctan yy 2 (1 n 2 )(m 2 n 2 ) 1 m 2 n 2 jedinici površine) n 1 m2 mn

2

p xx

b

2

(1

z l

2 ) arctan

x

m2

1

n2

m

zz

2 (1 (1

2

yz

2 p

xy

2

(1 n 2m n 2

1

p xz

sy A B

2 pb E

n2) 1

2

1 n2

(1

(m 2

2 )(A

1

n 2

n

n 1

n 2) 1

m2

n2

m2

n 2

1

n2

n

n2 n

m2 2n

m2

1 ln

n

n 2 1 m2 m2

n

1 2 B ) 1 m2 n 2 )2m (m 1 m2 (1 n 2 )(m 2 n 2 )m m

1in

n 2

m m2

n

n2

2 ) ln

arctan

m2

1

n2 1 n 2 n

(1

n 2

n 1

m 1

n 2) 1

1

1

n2

1

n2 m 2

(1

za m

arctan

m2

n 1

mn

arctan

n 2

2 ) arctan m

1 (1 ln 2 n

m 2

n2

m

m2

1

arctan

mn

p

y

n 2) 1

p p

y

(m 2

arctan

m2

0:

n 2 s y

,

m

0, 561

l / b, pb(1

n2

n2

n 2 )2

n

y /b

2)

E

Slika 9-9. Rješenje Newmarka (1935) i Steinbrennera (1934) za raspodjelu naprezanja i pomaka ispod vrha pravokutne plohe na površini linearno linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora opterećenog opterećenog jednoliko rasprostrtim vertikalnim opterećenjem (prema Poulos i Davies 1974).

Rješenje Newmarka i Steinbrennera za za proračun dodatnih vertikalnih naprezanja ispod vrha pravokutne plohe (slika 9-9), 9-9 ), može se prikazati u obliku dijagrama sa slike 9-10, 9 -10, za koji se koristi izraz

y

p I

gdje je I je I   utjecajni koeficijent za vertikalna naprezanja, prikazan na apscisi slike 9-10.

(9.3)

Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan 0.05

0

str. 9 11. predavanje 0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.05

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

/ b = b l /

0.5

. 1 0 1

0.3 0.5

2 0.

1 b / y

5 0.

2

1

1

3

b / y

2

2

3

5

5

5

10

10 0 1

20

20

30

30 

50

50

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

I  Slika 9-10. Utjecajni koeficijent za dodatno vertikalno naprezanje ispod vrha pravokutne plohe odnosa stranica , na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora opterećenog jednolikim vertikalnim opterećenjem (Steinbrenner 1934, Ne wmark 1935, Poulos i Davies 1974, Milović 1974)

Rješenje Newmarka Rješenje Newmarka i Steinbrennera za dodatna naprezanja ispod vrha pravokutne plohe na površini elastičnog, elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora, može poslužiti za proračun dodatnih naprezanja ispod bilo koje druge točke na površini površini temeljnoga tla. Pri tome se koristi princip superpozicije, kako prikazuje slika 9-11.

(a )

I a

II

A

III A A AA

(b)

IV

b

I

A

a

a

II

b

A A

III

A

IV

A

b c

d

b c

c

d d

fA (y )

fAI (y )

a

fAII (y )

fAIII (y )

d

fAIV (y ) fA(y )

fAI (y )

fAII (y )

c

fAIII (y )

fAIV (y )

Slika 9-11. 9-11. Superpozicija rješenja za pr avokutna opterećenja na površini elastičnog poluprostora, za odr eđivanje dodatnih naprezanja



Za proračun vertikalnih pomaka ispod vrha pravokutnog opterećenja prema rješenju Newmarka i Steinbrennera, kao i za kružni temelj, može se koristiti izraz (9.2), izraz (9.2), s tim da se u izrazu (9.2) promjer kružnog temelja D temelja D zamijeni zamijeni stranicom pravokutnika b. Za ovaj su slučaj utjecajni koeficijenti I koeficijenti I sy sy prikazani na slici 9-12. 0

0.2

0.4

0.6

0. 8

1

1. 2

1.4

0.01

0.01 odnos stranica, l/b =

1

2

3

5

10

20

0.02

0.02

0.03

b

0.05

0.1

y

0.03

z l

p

0.05

x

0.1

A ) ( b / y , a n i b u d a n a r i z i l a m r o n

0.2

0.2

y

0.3

0.3

0.5

0.5

1

1

2

2

3

3

5

5

10

10 

20

20   

30

30   

50

50

100

100 0

0.2 0.4 0. 6 0.8 1 1. 2 normalizirani vertikalni pomak to čke A, I sy = ( s s y /b)( E / p)[1/(1 - 

1.4

Slika 9-12. Utjecajni koeficijent I koeficijent I sy sy za proračun vertikalnih pomaka ispod vrha pravokutne plohe na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog po luprostora opterećenog jednolikim vertikalnim opterećenjem prema rješenju Newmarka (1935) i Steinbrennera (1934) (Poulos i Davies 1974, Milović 1974)



4. P roračuni s lijeg anja 4.1. Tradicionalni proračun slijeganja Tradicionalni proračun slijeganja temelji se na već spomenutoj postavci o približnoj jednakosti raspodjele dodatnih naprezanja u homogenom homogenom i u nehomogenom nehomogenom tlu. Deformacije i slijeganja se tada računaju iz raspodjele dodatnih naprezanja koristeći odnose deformacija i naprezanja i odgovarajuće parametre parametre krutosti pojedinog sloja u profilu tla. Raspodjela vertikalnih normalnih deformacija po dubini ispod točke (x 0 , y 0 ) dobije se iz izraza ds y y

dy

(9.4)

gdje je s y vertikalni vertikalni pomak promatrane točke. točke . Prema teoriji elastičnosti je

y (y )

1 E (y )

y (y )

(

x (y )

z (y ))

(9.5)

gdje se dodatna efektivna naprezanja računaju da su (nakon što eventualan višak tlaka vode padne na nulu) jednaka ukupnim ukupnim dodatnim naprezanjima. Tada je slijeganje slije ganje površine terena jednako

s y (y

0)

y (y ) 0

0

1 E (y )

y (y)

(

x (y)

z(y))

dy

(9.6)

Ovaj se integral obično integrira numerički i to do dubine iza koje je utjecaj deformacije dubljih slojeva zanemariv, zanemariv, koja se obično zove utjecajnom dubinom. dubinom . Ta Ta dubina iznosi obično nekoliko širina temelja na površini poluprostora, a jedan od uobičajenih kriterija je i dubina na kojoj dodatno vertikalno naprezanje bude manje od, recimo, 10% efektivnog vertikalnog naprezanja na toj dubini, tj. do dubine d za koju vrijedi

y/

0, 1 . U tom slučaju

y0

(9.6) (9.6) postaje približno d

s y (y

0) 0

1 E (y )

y (y )

(

x (y )

z (y ))

dy

(9.7)



Izraz (9.7) u praksi se još pojednostavljuje pojednostavljuje zanemarivanjem utjecaja dodatnih bočnih 0 ), u kojem slučaju Youngov naprezanja (ili pretpostavkom da je Poissonov koeficijent Youngov modul E poprima vrijednost edometarskog modula E oed pa dobijemo d

s y (y

0) 0

y (y )

E oed (y )

dy

(9.8)

Ovaj posljednji izraz uobičajeno se koristi u geotehničkoj praksi. Osim prednosti zbog svoje jednostavnosti, ovaj pristup ima, međutim, niz mana. Među glavnima su zanemarivanje bočnih deformacija i nemogućnost proračuna trenutačnog slijeganja u nedreniranim uvj etima. Metoda opisana u sljedećem poglavlju uklanja oba ova nedostatka bez potrebe za složenijim proračunima.

4.2. Metoda Maynea i Poulosa Poulosa Metoda Maynea i Poulosa (Mayne i Poulos 1999) uvažava prihvatljivo pojednostavljenje da je raspodjela naprezanja u nehomogenom tlu približno jednaka raspodjeli u homogenom poluprostoru. Budući da to ne vrijedi za deformacije, nehomogeno se tlo podijeli na n homogenih slojeva. Za vertikalno slijeganje s yi , i-tog od ukupno n slojeva u profilu tla tada vrijedi syi

s ygi

s ydi

(9.9)

gdje je s ygi vertikani pomak točke na gornjoj granici, a s ydi vertikalni pomak točke na donjoj granici i-tog sloja. Ove se veličine, veličine, za drenirano i nedrenirano stanje, mogu izračunati za točke ispod središta kružne plohe promjera D, D, opterećene vertikalnim jednolikim opterećenjem prema izrazu (9.2)

s yi

p D

2 i

1 E i

I syi

(9.10)

I sydi

(9.11)

gdje je I syi

I sygi

a I sygi i I sydi su utjecajni koeficijenti za slijeganje točke na gornjoj, odnosno donjoj granici sloja. Raspodjelu veličina I sy po dubini za kružnu plohu opterećenu vertikalnim jednolikim opterećenjem prikazuje slika 9-8. Za pravokutnu plohu opterećenu vertikalnim jednolikim o pterećenjem, pterećenjem, promjer kružnog temelja D D iz izraza (9.10) treba zamijeni stranicom pravokutnika b, a slika 9-12 prikazuje odgovarajuću raspodjelu veličina I sy po dubini. Ako



se slojevi počnu brojati od najveće dubine prema površini tla , tada je za najdublji sloj i = 1, kojemu je donja granica niži potpuno kruti sloj ili daleka granica poluprostora, pa vrijedi 0. I sydi Ukupno slijeganje točke na površini nehomogenog poluprostora dobije se kao zbroj deformacija svih n slojeva u profilu tla n

s y (y

0)

n

s yi i 1

pD

2 i

1

i 1

E i

I syi

(9.12)

U izrazu (9.12) (9.12) treba uvrstiti odgovarajuće elastične efektivne ili nedrenirane parametre tla. Mayne i Poulos pokazuju da se ovaj izraz za kružni temelj može, uz prihvatljivo malo odstupanje, koristiti i za temelje općeg oblika ako s e umjesto promjera D promjera D uzme

D

4A

(9.13)

gdje je A je A površina površina osnovice temelja.

Reference

Boussinesq, J. (1885). Application des potentiels a l'étude de l'équilibr et du mouvement des solides élastiques. Gauthier-Villars, Gauthier-Villars, Paris. Kany, Kany, M. (1964). Baugrundverformungen infolge waagerechter Schubbelastung der Baugrundoberfläche. Die Baugrundoberfläche. Die Bautechnik , Heft 10, Berlin. Mayne, P. P. W., Poulos, H. G. (1999). Approximate dispalcement influence factors for elasic shallow foundations. Journ. Geotechnical and Geoenvironmental Geoenvironmental Engineering , Engineering , ASCE, Vol. Vol. 125, No. 6, 453-460 . Milović, Milović, M. D. (1974). Analiza (1974). Analiza napona i deformacija u mehanici tla. Institut za građevinarstvo SAP Vojvodine, Subotica. Poulos, H. G., and Davis, E. (1974). Elastic solutions for soil and rock mechanics mechanics.. Wiley, New York.

11. Predavanje MT

Recommend Documents