4. Predavanje MT

Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan

str. 1 4. predavanje

DEFORMACIJE I NAPREZANJA, EFEKTIVNA NAPREZANJA, POTENCIJALI U MIRNOJ VODI

1.

D eformaci eformacije je i napr napreza ezanja nja

1.1. Pomaci Tlo je aproksimirano neprekidnom sredinom. Uvećana slika pomaka s (x , y ) ispod kružnog spremnika koji opterećuje tlo jednoliko podijeljenim opterećenjem p (slika 4-1). pomaci točaka (x, y, z ) neprekidne sredine: vektori s

s (x, y, z )

komponente pomaka u smjeru koordinatnih osi: sx (x, y, z ) , s y (x , y, z ) , sz(x, y, z )

opterećenje (kPa) pomak s (x , y )

20

y ( m )

10

0

-5

0

10

20

30

x (m)

Slika 4-1. 4-1. Uvećana slika pomaka (50 x) u sloju tla ispod kružnog spremnika tekućine ( x = 0 je os rotacijske simetrije); proračunato programom SIGMA/W, GeoSlope 2001.

40



1.2. Relativne deformacije Relativne deformacije: (funkcije od x , y , z ) : normalne deformacije

x

posmične deformacije

,

xy ,

,

y

z

,

yz ,

xz

bezdimenzionalne veličine Interpretacija deformacija (slika 4-2): normalne deformacije: skraćenja jediničnih dužina u smjeru koordinatnih osi (u mehanici tla skraćenje je pozitivno): s x

x

x

s y

,

y

y

,

s z

z

z

(4.1)

posmične deformacije: s x

s y

xy

1 2

y

x

s y

yz

1 2

s z

z

y

xz

1 2

sx

s z

z

x

(4.2)

„inženjerske“ posmične deformacije, tangens promjene kuta među okomitim dužinama: xy

2

xy

,

yz

2

yz ,

xz

2

xz

(4.3)


str. 3 4. predavanje y

xy

y



1

y x



1

y s

1 s x

x

x

1

Slika 4-2. Interpretacija relativnih deformacija (označene pozitivne deformacije prema dogovoru u mehanici tla)

1.3. Naprezanja Naprezanje: Naprezanje: prijenos sile između dva infinitezimalno mala susjedna dijela tijela preko zamišljene ravnine prereza, izraženog kao sila podijeljena po površini prereza (jednice: 2 sila/površina; kN/m ) Naprezanja u točki (funkcije od x , y , z ): ): normalna naprezanja:

x,

posmična naprezanja:

xy

z,

y

,

yz

,

zz

(ponekad označena s

umjesto

)

tlačna naprezanja su u mehanici tla pozitivna Interpretacija matrice (s komponentama

x,

xy

, ...,

z)

tenzora naprezanja (slika 4-3)



 y

 yz

 yx  xy 

 xz

 x

 zx= xz  xy  z

 zy  yz 

x

 g 

z

Slika 4-3. 4-3. Interpretacija komponenti matrice naprezanja (označeni pozitivni smjerovi prema dogovoru u mehanici tla)

1.4. Mohrova kružnica naprezanja Mohrova kružnica: prikaz komponenti vektora naprezanja, normalne komponente komponente , na proizvoljnoj ravnini.

i posmične

Slika 4-4 prikazuje značenje značenje pojedinih veličina na Mohrovoj kružnici, njena svojstva svojstva i primjenu te definiciju predznaka posmičnih naprezanja. Ovi su predznaci tipični samo za Mohrovu kružnicu naprezanja te predznaci posmičnih naprezanja na Mohrovoj kružnici ne odgovaraju predznacima posmičnih naprezanja koji se koriste u mehanici tla, tla, a prikazani su na slici 4-3. Na slici 4.4(b 4.4(b) prikazano je opće stanje naprezanja na horizontalnoj i vertikalnoj ravnini te glavna naprezanja  1 (veće glavno naprezanje) i  3 (manje glavno naprezanje). Veće glavno naprezanje djeluje na ravninu koja je nagnuta pod kutom  u u odnosu na horizontalu. Na glavnim ravninama, na koje djeluju glavna naprezanja, posmična su naprezanja nula. U dijagramu ( , ), u kojem se crta Mohrova kružnica, glavna se naprezanja, dakle ucrtavaju na apscisi. Polovica razlike glavnih naprezanja daje radijus Mohrove kružnice, a polovica zbroja glavnih naprezanja njeno središte. Zatim se kroz točku u kojoj je zadan  1 provuče pravac paralelan s ravninom na koju djeluje, dakle pod kutom  . Točka u kojoj ovaj pravac siječe Mohrovu kružnicu kružnicu definira njen pol P pol P . Pol Mohrove kružnice ima svojstvo da svaki pravac kroz njega, a siječe Mohrovu kružnicu u točki, npr. ( n, n), definira normalno i posmično naprezanje na ravninu paralelnu s tim pravcem.


str. 5 4. predavanje 







m





m







( c)

1

 1

3





P

( ,  ) m

3

n

 



m

n





n

n



( 3 ,0)

( 1 ,0) 



3



 1



 m

( ,  ) n

n

 m

(a )

(b)

Slika 4-4. (a (a) Mohrova kružnica naprezanja i pol P pol P ; (b (b) komponente naprezanja i glavna naprezanja,

1,

3;

(c) definicije predznaka komponenti naprezanja za Mohrovu kružnicu.

2. K r utos t: ovi ov i s nos no s t naprezanja napr ezanja o deforma defor macc i j ama Krutost : opiranje materijala deformaciji; ako je to opiranje reverzibilno govorimo o elastičnosti, ako je i linearno i izotropno (jednako u svim smjerovima), govorimo o linearnoj i izotropnoj elastičnosti. elastičnosti. Konstitucijska jednadžba jednadžba (odnos naprezanja i deformacija) izotropnog linearno elastičnog tijela sadrži dva parametra: E Youngov modul elastičnosti i Poissonov koeficijent. koeficijent. Sljedeći parametri ovise o E i  : G modul posmika posmika (ili posmični modul, ili modul smicanja), E oed edometarski modul stiščjivosti, stiščjivosti, K 0 koeficijent tlaka mirovanja (ili koeficijent bočnog tlaka, ili koeficijent mirovanja):



1 x

E

x

(

y

z)

y

(

x

z)

z

(

x

y)

1 y

E

1 z

E

1 xy

G

1

xy ,

xz

1

xz ,

G

(4.4)

yz

G

yz

E

G

2(1

)

ili obratno xx

E oe d

xx

K 0(

yy

zz )

yy

E oe d

yy

K 0 (

xx

zz )

zz

E oe d

zz

K 0(

xx

yy )

xy

G

E oe d

E

xy ,

yz

1 (1

)(1

yz ,

G

2 )

,

G

xz

K 0

(4.5)

xz

1

3. Princip efektivnih naprezanja za vodom zasićena tla 3.1. Ukupna i efektivna naprezanja Vodom zasićeno tlo (potpuno saturirano tlo) sastoji se iz skeleta tla i vode koja u potpunosti ispunjava pore. Princip efektivnih naprezanja definira koji se dio opterećenja prenosi skeletom, a koji tlakom vode u porama. Princip je prvi predložio K. Terzaghi 1923. godine. Ta se godina smatra početkom moderne mehanike tla. U nastavku će se, prema prethodnim oznakama, oznakama,  nazivati ukupnim (totalnim) naprezanjem: naprezanjem: normalna ukupna naprezanja  x,  y,  z, posmična naprezanja  xy =  yx,  yz =  zy,  zx=  xz. Princip efektivnih naprezanja može se iskazati na sljedeći način: definicija efektivnih naprezanja: naprezanja:


str. 7 4. predavanje x

x

u

y

y

u

z

u

z xy

xy ,

zy ,

yz

zx

(4.6)

xz

Efektivna naprezanja prenosi skelet tla, a porni tlak u tlak u prenosi voda. Iz definicije efektivnih naprezanja proizlazi da voda ne preuzima posmična naprezanja. naprezanja. Deformacije tla rezultat su isključivo isključivo promjene efektivnih naprezanja (ne promjene ukupnih naprezanja). Tijekom deformacije, volumen čvrstih čestica ostaje stalan, jer su same čvrste čestice tla nestišljive. To znači da se promjena volumena tla odvija na račun promjene volumena pora. Ako su pore pore potpuno ispunjene vodom, a i voda je nestišljiva, pa ne mijenja volumen, voda prvo treba isteći („izaći“) iz pora, što prouzročuje strujanje vode kroz tlo, o kojem će biti riječi naknadno. Promjenu volumena tla V opisuje volumna deformacija V /V v za koju se može lako pokazati da vrijedi

x

v

z

y

(4.7)

Iz stalnosti volumena čvrstih čestica i definicije koeficijenta pora e slijedi da je: e v

1

e 0

(4.8)

Princip efektivnih naprezanja čini čini temelj moderne mehanike vodom zasićenih tala. tala. Princip i dodatne tvrdnje nisu neki temeljni zakon mehanike, već dovoljno dobre aproksimacije potvrđene nizom neposrednih i posrednih eksperimenata. Oni ne vrijede općenito za sve geomaterijale, već prvenstveno za tlo u kojem je skelet čvrstih čestica relativno mekan u odnosu na veliku krutost vode prema promjeni volumena. Kako su efektivna naprezanja samo dobar i pogodan koncept koji je približno u skladu s nebrojenim provedenim eksperimentima, ona se ne mogu neposredno mjeriti. Mogu se mjeriti ukupna ukupna napr naprezan ezanja ja ( ) kao kao i porni porni tlak tlakovi ovi (u ), dok se efektivna naprezanja određuju iz njihove razlike. Ako je tlo izotropno i linearno elastično elastično, tada jednadžbe elastičnosti, izrazi (4.4) ili (4.5), vrijede za efektivna naprezanja, tj.



1 x

E

x

(

y

z)

y

(

x

z)

z

(

x

y)

1 y

E

1 z

E

1 xy

1

xy ,

G

xz xz

G

xz ,

(4.9)

1 yz yz

yz

G

E

G

2(1

)

odnosno

x

E oed

x

K 0 (

y

z)

y

E oed

y

K 0 (

x

z)

z

E oe d

z

K 0(

x

y)

xy

G

E o ed

E

xy ,

yz ,

yz

G

)(1

2 )

1 (1

,

xz

K 0

G

(4.10)

xz

1

U gornjim izrazima posmičnim naprezanjima i modulu posmika nije dodana gornja crtica, jer su ukupna i efektivna posmična naprezanja uvijek jednaka. Ostalim elastičnim konstantama (Youngovom modulu, Poissonovom koeficijentu, edometarskom modulu stišljivosti i stišljivosti i koeficijentu bočnog naprezanja) dana je oznaka efektivnih naprezanja kako bi se naglasilo da su to parametri koji se odnose samo na efektivna naprezanja.

3.2. Naprezanja u vodoravno uslojenom tlu s mirnom podzemnom vodom, uronjena obujamska težina Vodoravno uslojeno tlo nastalo je postupnom sedimentacijom tijekom koje se debljina slojeva jednoliko jednoliko povećavala. U povećavala. U tom su slučaju svi dijelovi tla iste dubine u geološkoj prošlosti doživjeli ista opterećenja od težine viših slojeva. Ako se taj proces odvijao i u uvjetima mirne vode (u kojoj vladaju hidrostatički tlakovi) i ako se za taj slučaj izabere izabere pravokutni koordinatni sustav s osi y uspravno prema dolje (u smjeru djelovanja vektora akceleracije sile teže g ), tada su svi ostvareni pomaci tla nastali opterećenjem viših slojeva samo funkcija te koordinate. Iz definicije relativnih deformacija slijedi da je od svih šest komponenti deformacija, deformacija, samo vertikalna normalna deformacija y različita različita od nule. Iz izraza za odnos efektivnih naprezanja i deformacija (4.10), slijedi da je u vodoravno uslojenom tlu:


str. 9 4. predavanje E oed K 0

x

z

y

E oed x

y

y

K 0

z

(4.11)

y

Navedeni odnosi efektivnih naprezanja i K 0 u izrazu (4.11) vrijede samo ako je površina terena horizontalna. Veličina ukupnog horizontalnog naprezanja je tada

x

K0

z

Veličina vertikalnog efektivnog naprezanja

y

u

y

y slijedi

iz definicije efektivnih naprezanja

u

y

(4.12)

(4.13)

dok veličina ukupnog vertikalnog naprezanja (koje djeluje na vodoravne vodoravne ravnine) slijedi iz diferencijalne jednadžbe ravnoteže za ravnoteže za vertikalni smjer , uz pretpostavku da je ishodište koordinate y na površini terena te da je ta vertikalna koordinata pozitivna iznad površine tla, a negativna s dubinom tla:

d

y

dy

(4.14)

g zapreminska težina tla, jednaka umnošku gustoće gdje je gustoće tla Ako se kombiniraju izrazi (4.13) i (4.14), slijedi

d

du dy

y

dy No, kako je u mirnoj vodi du / dy

d

wg

w,

y

dy

w

i akceleracije sile teže g .

(4.15)

slijedi konačno

(4.16)

Veličina zapreminskom težinom tla tla i posljedica je poznatog w naziva se uronjenom zapreminskom Arhimedovog zakona da je tijelo u vodi lakše za težinu istisnute tekućine. Za ukupno vertikalno naprezanje iz izraza (4.14) slijedi



y (y )

(y )d y

(4.17)

0

U slučaju konstantne zapreminske težine tla, slijedi jednostavan izraz za vertikalno ukupno naprezanje y

y

(4.18)

Tada je, u slučaju kada je voda na površini terena, vertikalno efektivno naprezanje:

y

y

(4.19)

Kada voda nije na površini, efektivna se naprezanja uvijek mogu izračunati iz razlike ukupnih naprezanja i tlaka vode, što je korisno, za provjeru, učiniti i kada je voda na površini terena. U hidrostatičkim je uvjetima tlak vode uvijek: u

w y

(4.20)

pri čemu je jako važno v ažno naglasiti da se za z a proračun p roračun tlaka vode, ishodište vertikalne koordinate y postavlja na razinu podzemne vode vode (ne na površinu terena). Efektivna se naprezanja mijenjaju ako voda struji kroz tlo. U sljedećem sljedećem će pot poglavlju poglavlju biti riječi tek o mirnoj vodi u tlu. tlu .

4. Pot P otencij encija ali i tla tlak vode u mir mirnoj noj vodi Prije razmatranja strujanja vode kroz tlo, definirat ćemo potencijale, koji su relevantni za strujanje, a mogu se definirati i u mirnoj vodi, gdje nema strujanja vode. Promotrimo sliku 4-5. Površina jezera na dubini je d u u odnosu na vodoravnu površinu vodoravnu površinu okolnoga okolnoga tla. Budući da se radi o mirnoj vodi u tlu, razina podzemne vode vode (ili vodno lice) lice) također je na dubini d u odnosu na površinu tla. Za razinu podzemne vode, odnosno vodno lice, vrijedi da je duž nje tlak vode nula. Ispod ove razine tlak vode linearno raste s dubinom, a konstanta proporcionalnosti je 3 zapreminska težina vode w , koja iznosi 9,81 kN/m . Za definiciju geodetske definiciju geodetske visine, visine, potrebno je postaviti mjernu ravninu. ravninu. Kao što će naknadno biti pokazano zašto, mjerna se ravnina može može postaviti proizvoljno u odnosu na geometriju tla. Ovdje je mjerna ravnina postavljena na razini površine terena. terena. Vertikalna Vertikalna je koordinata y pozitivna prema pozitivna prema dolje, znači ispod ispo d mjerne ravnine, a negativna je iznad nje. Na slici 4-5 4-5 promatramo točku A. Razmak između točke A i mjerne ravnine definira geodetsku visinu h gA točke točke A, koja je negativna veličina. Veličinu tlaka podzemne vode na nekoj dubini može se mjeriti uređajem koji se naziva piezometrom. piezometrom. Razvijeno je niz vrsti takvih uređaja koji tlak vode mjere na različite načine.



Najjednostavniji je, ali ne uvijek i prikladan, u obliku obične uspravne cijevi koja je otvorena na dnu i na vrhu. Da bi opisani piezometar mjerio tlak vode na svom dnu mora u njegovu cijev doteći dovoljno vode da bi se tlak vode na njegovu dnu izjednačio s tlakom vode u okolnom tlu. Ako je propusnost tla mala, kao što je slučaj sa sitnozrnatim sitnozrnatim tlima, dotjecanje vode u piezometar do izjednačenja tlakova može potrajati više mjeseci. U međuvremenu se tlak vode u tlu može promijeniti ili dio vode ispari iz piezometra, pa piezometar s uspravnom cijevi nije u praksi prikladan za mjerenje tlaka vode u sitnozrnatom tlu. Za mjerenje tlaka vode u takvim tlima razvijeni su posebni (hidraulički (hidraulički i električni) piezometri koji za izjednačenje tlakova između 3 mjernog uređaja i vode u tlu trebaju dotjecanje vrlo malih volumena vode (reda veličine 1 mm ili manje). Na slici 4-5 4-5 prikazano je 6 piezometara, koji mjere tlak vode u točkama na raznim raznim dubinama u tlu i jezeru. Budući da je voda u tlu mirna, ona će se u svim piezometrima dignuti do razine podzemne vode, odnosno do površine jezera. Uz Uz piezometre definiramo piezometarsku visinu neke točke. To je visina dizanja vode u piezometru iznad promatrane točke. Primjerice, točke. Primjerice, za točku A, visina vode u piezometru određena je udaljenošću između vertikalne koordinate točke A i razine podzemne vode. Piezometarska visina uvijek ima pozitivnu vrijednost i za točku A ga označavamo s h pA . Piezometarska visina povezana je povezana je s tlakom vode u toj točki, tako da je u točki A tlak vode: uA

wh p A

(4.21)

što vrijedi za sve točke u tlu ispod tlu ispod razine podzemne vode. Na samoj razini podzemne vode tlak vode je nula, a smatrat ćemo ćemo da je tlak vode nula i iznad razine podzemne vode (unatoč kapilarnom dizanju vode). Izraz (4.21) analogan je izrazu (4.20). Sada definiramo hidraulički potencijal kao kao zbroj piezometarske i geodetske visine. visine. Za točku A hidraulički je potencijal: hA

hgA

h pA

d

(4.22)

Iz ovih razmatranja proizlazi zaključak da je u mirnoj podzemnoj vodi, vodi, vodno lice vodoravno, a hidraulički je potencija je potencijall konstantan u čitavom području u kojem vlada režim mirne vode.



piezometri

mjerna ravnina

zrak

d

h

0

u

0

C

vodno lice

F E jezero D B

tlo

h =-d

+

h gA gA<0 y A

A

h pA pA>0

y

potencijali

y

u A=

 wh pA pA

tlakovi

Slika 4-5. Tlakovi i potencijali u mirnoj podzemnoj vodi; u : tlak vode, h : hidraulički potencijal, h p : piezometarska visina, h g : geodetska visina; mjerna ravnina: y = = 0

Reference Geo-Slope (2001). Programski paket SIGMA/W. Calgary, Calgary, Kanada

4. Predavanje MT

Recommend Documents