Péndulos acoplados

I I. P´ endu endulo loss acop acopla lado doss M´ ecanica Cl´ asica Alonso Guerrero Llorente 19 de enero de 2013

1.

Intr Introd oduc ucci ci´ ´ on on

En este ensayo ens ayo estudiaremos estudiarem os un sistema sis tema de dos do s péndulos endulos acoplados acopla dos mediante medi ante un muelle, on on lagrangiana estudi´ ando a ndo el sistema en el Figur Figura a 1. Usaremos para ellos la formulaci´ régimen egi men de peque pe queñas n ˜ as oscilaciones y obtendremos sus frecuencias, modos y coordenadas normales. Tambi´ También en compararemos este sistema con un segundo formado por p or tres muelles, Figura 2 (pag. 4).

Figura Figu ra 1: Péndulos endu los f´ısicos ısi cos acoplad acop lados os

1

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2.

Dete Determ rmin inac aci´ i´ on on del lagrangiano

Para determinar el lagrangiano de nuestro sistema, empezaremos por determinar las energ ener g´ıas potenc po tencial iales: es: 1 2 U muelle on, la cual se puede escribir en función on, o n de la muelle = 2 ks ; donde s es la elongaci´ distancia l y los ángulos angulos ϕ y θ como s = l0 + (ϕ θ )l l0 , obtenie obt eniendo ndo as´ as´ı:

− −

1 2 kl (ϕ θ )2 2 Para Para obtener obtener la energ´ energ´ıa potencial potencial de las dos masas, que cuelgan cuelgan de los péndulos, endulos, debemos hallar la altura a la que se encuentran estas respecto del origen de potencial, h h la podemos hallar mediente la relación on cosθ = L− . L U muelle muelle =

−

U A = mgL (1

− cosϕ)

U B = mgL (1

− cosθ)

El términ erm inoo de la energ´ en erg´ıa ıa cin´ cin ética eti ca vendr´ ven drá dado por el movimiento de las dos masas M 1 . 1 2 1 1 mv = m(Lϕ˙ )2 = mI ϕ˙ 2 2 2 2 1 T B = mI ϕ˙ 2 2 Por lo tanto el lagrangiano nos quedará: a: T A =

L = T U = T A +T B U muelle muelle U A U B =

−

−

L=

− −

I (ϕ˙ 2 + θ˙2 )

2

I (ϕ˙ 2 + θ˙2 )

2

− 12 kl (ϕ−θ) −mgL(1−cosϕ)−mgL(1−cosθ) 2

2

− 12 kl (ϕ − θ) − M gL(2 − cosϕ − cosθ) 2

2

(1)

A partir del lagrangiano para obtener las ecuaciones de Lagrange debemos tener en cuenta que este sistema tiene dos grados de libertad, uno por péndulo, endulo, por lo que obtendremos dos ecuaciones, una para la variable ϕ y otra para θ . d ∂L ( ) dt ∂ ϕ˙ ∂L

= I ϕ˙ ;

d

( ∂L ) = I ϕ¨;

∂L

− ∂L =0 ∂ϕ

= I ϕ¨ + kl 2 (ϕ

(2)

− θ) + MgLsenϕ







I ϕ ¨ + kl 2 (ϕ

− θ) − MgLsenϕ = 0

d ∂L ( ) dt ∂ θ˙ ∂L ∂ θ˙

= I θ˙;

d ∂L ( ) dt ∂ θ˙

= I θ¨;

∂L ∂ϕ

=0 − ∂L ∂θ

= I θ¨ + kl 2 (θ

(3)

− ϕ) + MgLsenθ

I θ¨ + kl 2 (ϕ

− θ) − MgLsenθ = 0 I ϕ ¨ + kl (ϕ − θ) + MgLsenϕ = 0 I θ¨ + kl (θ − ϕ) + MgLsenθ = 0



2 2

Si volvemos a la expresión on del lagrangiano y estudiamos el caso en el que k que qu e que q ueda darr´ıa l´ım L =

I (ϕ2 + θ2 )

(4)

→ 0 vemos

M gL (2 cosϕ cosθ) 2 Es decir, se nos quedar´ quedar´ıa el lagrangiano equivalente equivalente a un sistema formado, unicamente, u ´ nicamente, por dos péndulos; endulos ; p pues ues desaparece desapa rece el término ermino correspondiente corresp ondiente al efecto del muelle. k→0

3.

−

−

−

Resoluci´ on de las ecuaciones de Lagrange on

Las ecuaciones de Lagrange (4) las puedo particularizar para oscilaciones pequeñas nas α. De forma que las ecuaciones de Lagrange quedan haciendo la aproximación on senα simplificadas:

≈

I ϕ ¨ + kl 2 (ϕ

− θ) + MgLϕ = 0 I θ¨ + kl (θ − ϕ) + MgLθ = 0 2



(5)

Dividimos por I para que no queden las derivadas segundas multiplicadas por una constante y sea as´ as´ı más as manejable el sistema. ϕ ¨+ θ¨ +

kl 2 (ϕ I kl 2 (θ I

− θ) + − ϕ) +

Mg L ϕ=0 I Mg L θ=0 I









RESTA

(ϕ¨

M gL θ¨) + (ϕ

2kl 2

θ) + (ϕ θ) = 0 I I Hacemos los cambios de variable u = ϕ + θ y v = ϕ θ .

−

u ¨+

v¨ + (

−

− −

M gL u=0 I

2kl 2 + M gL I

(6)

)v = 0

(7)

Vemos que las ecuaciones (6) y (7) son las ecuaciones de un M.A.S, con frecuencias 2 ωu = MI gL y ωv = 2kl +I Mg L respectivamente. Al ser las ecuaciones de un M.A.S sabemos resolverlas. ϕ(t)

≡ u +2 v = u2 cos(ω t + δ ) + v2 cos(ω t + δ )

(8)

θ(t)

≡ u −2 v = u2 cos(ω t + δ ) − v2 cos(ω t + δ )

(9)

0

0

u

u

0

v

v

0

u

u

v

v

Nos damos cuenta también en de que, de forma natural, hemos llegado a dos ecuaciones, (6) y (7), en unas coordenadas u y v que en un inicio no son para nada intuitivas. Llegamos a unas ecuaciones en las que el sistema se desacopla en dos osciladores armónicos, asociado cada uno a una de las nuevas coordenadas. Como veremos más as tarde, con un análisis alisis más as riguroso, estas nuevas coordenadas son las denominadas coordenadas normales del sistema y nos permiten descomponer el sistema en una serie de subsistemas mucho más sencillos.







4.

An´ alisis alisis de un sistema sistema de tres muelles muelles unidos unidos por p or dos masas

Figura 2: 2 : Puntos materiales acoplados entre paredes r´ıgidas (cf. apuntes ”Oscilaiciones pequeñas”, nas”, Jose Mar´ Mar´ıa Arroyo, curso cu rso 2007/8). 2007/ 8). En esta sección on analizamos el sistema que aparece en la Figura 2 , el e l cual c ual está forma f ormado do por tres muelles unidos con dos masas que están an entre dos paredes r´ıgidas. ıgidas . Procederemos Pro cederemos de la misma forma que en los dos apartados anteriores, planteando el lagrangiano, sus correspondientes ecuaciones de Lagrange y resolviendo las mismas. En primer lugar empezamos por hallar el lagrangiano del sistema. T =

1 2 (x˙ + y˙ 2 ) 2

1 2 1 2 1 kx + ky + k (x 2 2 2 Quedando el lagrangiano como: U =

L

≡ T − U = 12 (x˙

2

+ y˙ 2 )

2

− y)

− 12 kx − 12 ky − 12 k(x − y) 2

2

2

(10)

Este sistema tiene dos grados de libertad por lo que, al igual que en el anterior, también en obtendremos dos ecuaciones de Lagrange, una para x y otra para y : ∂L ∂ x˙

= mx˙ ;

∂L ∂x

∂L ∂ x˙

= my˙ ;

∂L ∂x

=

−kx − k(x − y) = −2kx + ky = −ky + k (x − y ) = kx − 2ky







Las podemos resolver de la misma forma que aparece en la segunda sección, es decir, tomando la suma y resta de las dos ecuaciones y haciendo los cambios de variable u = x + y y v = x y.

−

SUMA

m(¨ x + y¨) + k (x + y ) = mu ¨ + ku = 0 u ¨+

k u=0 m

→ω

2

u

=

k m

RESTA

m(¨ x

− y¨) + 3k(x − y) = mv¨ + 3kv = 0 v¨ +

3k m

v=0

→ω

2

v

=

3k m

Quedando Quedando una soluci´ soluci´ on on análoga aloga a las ecuaciones (8) y (9): x(t)

≡ u +2 v = u2 cos(ω t + δ ) + v2 cos(ω t + δ )

(12)

y (t)

≡ u −2 v = u2 cos(ω t + δ ) − v2 cos(ω t + δ )

(13)

0

0

u

u

0

v

v

0

u

u

v

v

Además, as, con el uso de las relaciones x2 + y 2 = u+2 v y x˙ 2 + y˙ 2 = una nueva forma de expresar el lagrangiano para este sistema. L=

m1

22

Tomamos

(u˙ 2 + v˙ 2 )

m 2

= m,

k 2

− k2 12 (u

2

= ku y

3k 2

+ v2)

− k2 v

2

=

1m 2 u˙ 22

− 12 k2 u

2

u˙ +v˙

+

2

podemos encontrar

1m 2 v˙ 22

− 12 32k v

2

= kv y nos queda:

1 2 1 1 1 mu˙ ku u2 + mv˙ 2 kv v 2 2 2 2 2 Donde podemos identificar Lu con los términos erminos que dependen de u y Lv con los que dependen dependen de v y nos queda finalmente L=

−

L(u, v ) = Lu + Lv

−

(14)

Hemos llegado a un sistema desacoplado en las variables u y v. Como podemos ver el









5.

Frecu recuen enci cias as,, modos modos y coor coorde dena nada dass norm normal ales es de ambos sistemas

Ahora lo que haremos será buscar, de forma sistemática, atica, las frecuencias, modos y coordenadas normales que ya hemos encontrado anteriormente de forma natural. Para ello usaremos un método etodo algebraico que nos permitirá hallar las frecuencias y coordenadas normales normales a trav´ través es de los autov autovalores y autovec autovectores tores que obtenemos obtenemos de la expresi´ expresión on matricial de las ecuaciones de Lagrange.

5.1.

P´ endulos endulos acoplados

Para encontrar las frecuencias, modos y coordenadas normales debemos expresar las M  q q¨ +k k q = ecuaciones de Lagrange, para oscilaciones pequeñas, nas, matricialmente de la forma M  0:

    −      −     −   I 0 0 I

ϕ ¨ θ¨

=

I 0 0 I

kl 2 kl 2

+

ϕ ¨ θ¨

+

kl 2 kl 2

ϕ θ

+

M gL

0

0

M gL

kl 2 + M gL kl 2 kl 2 kl 2 + M gL

ϕ θ

−

ϕ θ



=

=0

A partir de esta ecuación on matricial podemos conseguir las frecuencias, modos y coordenadas normales. En primer lugar hallamos las frecuencias normales del sistema, es decir, calculamos los autovalores:

  −    −  − M ω2

I 0 ω2 0 I

= (I ω 2

k =0

(15)

kl 2 + M gL kl 2 kl 2 kl 2 + M gL

LM g )(−2kl − LMg

2

+ I ω2

−



=

− LM g) = 0

Y obtenemos que las frecuencias normales son las mismas que obtuvimos al resolver







    − −  − − − −      → − → −         → ± √      → → −  −     −   −  −  → − ± √      ± √ −         ±√ −  −  I ω j2

 j = k )A

 0 = (M ω 2 j

kl 2

M gL kl 2

2

I ω j

kl 2 M gL

kl

2

a p1 b p1

Aplicamos la fórmula ormula para ω p1 en primer lugar, obteniendo obtenien do as´ as´ı: kl 2 kl 2

kl 2 kl 2

a p1 b p1

0 0

=

kl 2 a p1 + kl 2 b p1 = 0

a p1 = b p1

 t M  A δj k j M Ak = δjk

I 0 0 I

1 = a p1 a p1

a p1 a p1

= a p1 a p1

a p2 b p2

=

I a p1 I a p1

= 2a p21 I = 1

a p1 = b p1 =

1 2I

Y para ω p2 obtenemos: kl 2 kl 2 kl 2 kl 2

1 = a p2

a p2

I 0 0 I

a p2 a p2

0 0

kl 2 a p2 + kl 2 b p2 = 0

= a p2

a p2

I a p2 I a p2

a p1 b p1 a p2 b p2

=

1 1 2I 1

a p2 =

= 2a p22 I = 1

b p2

a p2 =

b p2 =

Y las coordenadas normales: A p =

 p = At M  Q q q = p

1 1 2I 1

 p = ((ϕ + θ) Q

5.2. 5.2.

M

ll

1 1

I , (ϕ

2

1 1

I 0 0 I

θ)

I

2

)

ϕ θ

(18)

1 2I







Si ahora buscamos los autovectores obtendremos los modos normales para cada una de las frecuencias normales.

−

 −      −− −       −  → ± √ −  − − −       → − −− −        − → − ± √ −       ± √ −         ±√ −  −  k

2k ( k )  Am1 = ( k ) k 2k

−− −

k k

am1 bm1

k k

0 0

=

De esta ecuación on nos queda am1 = bm1 y podemos obtener sus valores. k k

t A M A m1 = am1 am1 m1 M

am1 am1

k k

=1

am1 = bm1 =

1 2m

Procedemos Procedemos an´ alogamente alogamente para ωm2 :

am2 bm2

3k 2k ( k) k k A m2 = k k ( k ) 3k 2k

t A M A m2 = am2 m2 M

am2 am2

k k k k

am2

0 0

=

=1

am2 =

am2 =

bm2 =

bm2

1 2m

De esta forma podemos definir una matriz A que nos permitirá obtener las coordenadas normales del sistema: Am =

am1 bm1 am2 bm2

Q m = Atm M  q q =

1 1 2m 1

Q m = ((x + y )

5.3.

1 1 2m 1

1 1

1 1

m

0

0

m

=

m

2

, (x

y)

m

2

x y

)

(21)

Simili Similitud tudes es y difere diferenci ncias as entre entre ambos ambos sistema sistemass

Los resultados obtenidos para ambos sistemas los podemos comparar y/o analizar







las coordenadas coordenadas normales normales seguimos seguimos viendo viendo que estas tienen tienen una forma general general id´ entica entica c c Q = ((a + b) 2 , (a b) 2 ), donde a y b denotan coordenadas y c es una constante. En conclusión, on, haciendo un análisis alisis matemático atico de ambos sistemas vemos que son idénticos, enticos, pues su forma general es la misma tanto en las ecuaciones de Lagrange, como en sus modos y coordenadas co ordenadas normales, solo var´ var´ıa la notaci´ on empleada para la descripción on on de cada sistema.

 − 

Desde el punto de vista de la f´ısica vemos que la diferencia entre las constantes antes mencionada mencionadass es esencial esencial para la caracteri caracterizaci´ zaci´ on de cada sistema. Cada una de esas conson tantes representa un áspecto aspecto f´ısico como la frecuencia, la masa o el momento de inercia; los cuales son caracter´ caracter´ısticos del movimiento movimiento del sistema. Si partimos de las ecuaciones diferenciales vemos que las consantes ah´ ah´ı presentes son so n las frecuencias angulares del sistema. Teniendo que las frecuencias para el sistema de muelles dependen de las caracter´ caracter´ısticas de los mismos. Para los péndulos endulos acoplados la frecuencia de una de las ecuaciones nos da informaci´ on on sobre su oscilación on natural, mientras que la otra nos dice cómo omo es la acción on del acoplamiento debido al muelle. Con los valores de las aes y las bes en los modos normales, o tomando mejor la matriz A, que los recoge a todos, vemos que tenemos dos matrices id´ enticas enticas salvo las constantes m e I ; con estas constantes podemos descifrar que en el caso de los muelles tenemos un movimiento movimiento rectil´ rectil´ıneo mientras que para los péndulos endulos el movimiento movimiento es de rotación, on, en un caso tenemos la resistencia de un cuerpo a moverse, m, y en otro la resistencia de un cuerpo a rotar, I . Dicha analog´ analog´ıa se puede comprobar tambi´ en en observando observando las ecuaciones F = ma y M = I α. Pudiendo describir la primera la fuerza que necesitamos para mover un cuerpo con una aceleración on teniendo este una caracter´ıstica, ıstica, m, que determina la dificultad para que este cuerpo sea movido movido (en nuestro nuestro caso un movimien movimiento to rectil rectil´´ıneo) y en la segunda segunda como el momento de fuerza que debemos aplicar para hacer rotar un cuerpo con una aceleraci´ on on angular, siendo I el análogo alogo rotacional de la masa.



Tras estos dos análisis alisis queda claro que mientras que matemáticamente aticamente llegamos a resultados equivalentes equivalentes la f´ısica nos dice algo totalmente distinto.







Q21 + Q22 ϕ +θ = I 2

2

→

Q˙ 21 + Q˙ 22 2 ˙ ϕ˙ + θ = 2

I

Con estas relaciones entre coordenadas podemos desacoplar el lagrangiano para oscilaciones peque˜ nas, nas, tomando tomando los dos primeros primeros t´ erminos erminos del desarrollo desarrollo en serie de Taylor aylor 2 para el coseno cos(x) 1 x2 :

≈ −

L=

I

(ϕ˙ 2 + θ˙2 )

−

1 2 ϕ2 + θ 2 Q˙ 2 + Q˙ 22 kl (ϕ θ)2 M gL ( )= 1 2 2 2 

− −

        

2

˙ 2 +Q ˙2 Q 1 2 I

Q2

→L=

Q˙ 21

2

−

2

kl 2

− 2 (Q

 − 2

2

)2 M gL (

I

Q21 + Q22 ) 2I

2 Q2 +Q2 1 2I

I

M gL 2 Q˙ 22 Q + 2I 1 2

   

−

LQ1

kl 2 Q22 I

− M2gL Q I



LQ2

2 2

= LQ1 + LQ2

(22)



Si de esta expresión on del lagrangiano hallamos las correspondientes ecuaciones de Lagrange y obtenemos unas ecuaciones idénticas enticas a (6) y (7): ¨1 + Q

M gL Q1 = 0 I

2kl 2 + M gL ¨ Q2 + Q2 = 0 I

(23)

(24)

Con estas ultimas u ´ ltimas expresion expresiones es verificamo verificamoss que ya hab hab´´ıamos encontrado encontrado unas coordenadas denadas normales normales del sistema sistema que nos permit´ permit´ıan desacoplar desacoplar nuestras nuestras ecuaciones ecuaciones en dos coordenadas alternativas a ϕ y θ , sin embargo, hemos usado un método etodo algebraico más as general que nos ha permitido encontrar las mismas expresiones, además a s de los modos normales. De esta forma hemos visto que ambos caminos son válidos aunque el método etodo

→









2

2

Atendiendo a los parámetros ametros de los que depende λ = 2klI = MklL2 tenemos que este 2k términ erm inoo tender ten der´á a M conforme acerquemos el muelle a la masa M del péndulo. endu lo. En otras otra s palabras, el efecto máximo aximo del muelle lo conseguirmos para las posiciones de este más as próximas oximas a la masa pues tenemos l < L y para l = L lo que hará que el valor de sea λ es máximo. aximo. Además as podremos aumentar o disminuir el efecto del muelle colgando masas de distintos dis tintos valores en nuestro péndulo, endulo, para masas peque˜ peque nas n ˜ as el muelle tendrá una acción on mayor mayor que con masas grandes, para masas grandes las energ´ energ´ıas cinética etica y potencial serán an también en mayores mayore s mientras mie ntras que la energ ener g´ıa elástica astica del muelle será aproximadamente igual para todos los valores de M , pues en el régimen egimen de oscilacio os cilaciones nes peque˜ p equeñas nas la elongación on del muelle siempre es similar. Basándonos andono s en el mismo criterio energético etico vemos que también en aumentar´ aum entar´ıa ıa la acci´ acci on oń de este tomando un muelle con mayor constante elástica k , tamb ta mbi´ ién en se ve que λ es directamente proporcional al valor de k .

7.

Papel de de las las cond condici icione oness inici iniciale aless en los modos modos nornormales

Las condiciones iniciales juegan un papel imporante a la hora del estudio experimental de los péndulos endulos acoplados. acoplados. Partiend Partiendoo de unas condiciones condiciones iniciales u otras podemos p odemos conseguir que no actúe ue el muelle muelle y medir la frecuenci frecuenciaa angular natural de los péndulos endulos 2kl2 +M gL g ω p1 = L o podemos medir la otra frecuencia normal ω p2 = . En otras palabras, I de las condiciones iniciales depende que activemos un modo normal u otro. Si tomamos las condiciones iniciales ϕ(0) = θ(0) = ϕ0 y ϕ˙ (0) = θ˙(0) = 0 tendremos







modos normales, aunque uno de ellos m´ınimamente, ınimamente, por la imprecisi´ on on de las condiciones iniciales.

8.

Bibliograf´ Bibliograf´ıa on 2.10.1 [1] Mecánica anica lagrangiana lagran giana teor´ teor´ıa y práctica, actica, libro libre de Alqua versi´ [2] Apuntes de oscilaciones pequeñas, nas, Pablo M. Garc´ Garc´ıa Corzo

Péndulos acoplados

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