5.1 autoinducción. El flujo magnético que atraviesa un circuito puede relacionarse con la corriente en el mismo y con las corrientes que circulan en circuitos próximos (suponemos que no hay imanes permanentes en los alrededores). Consideremos una bobina por la que circula una corriente I. La corriente produce un campo magnético que varía de un punto a otro, pero en todos los puntos B es proporcional a I. Hasta ahora hemos estudiado circuitos acoplados conductivamente. Veamos otro tipo de acoplamiento: el magnético. Si la corriente que circula por una bobina varía, en el transcurso del tiempo, también lo hace el flujo magnético que lo abraza, induciéndose en dicha bobina una tensión. Suponiendo que la permeabilidad magnética es constante, la tensión inducida es proporcional a la variación de dicha corriente, esto es:
La constante de proporcionalidad L se llama coeficiente de autoinducción de la bobina. En el sistema internacional la unidad de autoinducción se llama henrio (H) y corresponde al coeficiente de un elemento que al ser recorrido por una corriente variable a razón de 1 amperio por segundo (A/s), se induce en sus extremos una tensión de 1 voltio.
En una bobina de N espiras, la tensión inducida viene dada por:
en donde Ndφ es el flujo que abraz a al circuito o flujo de acoplamiento, que recibe el nombre de flujo concatenado. Hay que tener en cuenta que una bobina por la que circula una corriente variable en el tiempo, crea un flujo variable en el tiempo, pero a su vez, el conductor de la bobina está sometido a dicho flujo, por lo que en el se origina la tensión inducida expresada anteriormente. De las dos expresiones, (12) y (13), podemos obtener:
De donde:
Y la equivalencia de:
5.2 Inductancia mutua. Sabemos que siempre que fluye una corriente por un conductor, se genera un campo magnético a través de este conductor. Además, cuando un campo magnético variable en el tiempo generado por un lazo penetra un segundo lazo, se induce una tensión entre los extremos de este último. Los inductores acoplados son un dispositivo magnético que consta de dos o más bobinas de vueltas múltiples devanadas en un núcleo común. En la siguiente figura se muestran dos bobinas de alambre devanado alrededor de un núcleo magnético. Se dice que estas bobinas están acopladas magnéticamente. Un voltaje aplicado en una de las bobinas, produce un voltaje a través de la segunda bobina.
El voltaje V1(t) genera una corriente i1(t) en la bobina 1. Sabemos que la relación entre la corriente y el voltaje es:
Donde L1 es la inductancia de la bobina 1. La corriente i1(t) produce un flujo en el núcleo magnético. Este flujo se relaciona con la corriente por:
Donde σ1 es una constante que depende de las propiedades magnéticas y de la geometría del núcleo y N1 es el número de vueltas de la bobina 1. La cantidad de vueltas de una bobina indica el número de veces que el alambre se enrolla alrededor del núcleo. El flujo, Φ, está
contenido dentro del núcleo magnético. El voltaje a través de la bobina 1 se relaciona con el flujo por:
En los terminales de la segunda bobina se induce un voltaje V2 debido a que Φ fluye por la segunda bobina. Este voltaje se relaciona con el flujo por:
donde σM es una constante que depende de las propiedades magnéticas y de la geometría del núcleo, N2 es el número de vueltas de la segunda bobina, y M = σM N1 N2 es un número positivo llamado Inductancia Mutua. La unidad de la inductancia mutua es el Henrio (H). La polaridad del voltaje V2 con respecto al voltaje V1 depende de la forma en que se devanan las bobinas en el núcleo.
Hay dos casos distintos, mostrados en la siguiente figura: La diferencia en las dos figuras anteriores es la dirección en que se devana la bobina 2 alrededor del núcleo. Se emplea una convención de punto para indicar la manera en que se ha hecho el devanado de las bobinas en el núcleo. Observe que cada bobina está marcada con un punto. Los puntos en los extremos de las bobinas indican que los extremos con punto tienen un voltaje
positivo al mismo tiempo. Por ejemplo, en el caso de la figura 2.1.2A, donde las corrientes de ambas bobinas entran en los extremos con punto de las mismas,
Los voltajes en las bobinas se relacionan con las corrientes de la siguiente forma:
Para el caso de la figura 2.1.2B, donde una corriente de una bobina entra en el extremo con punto mientras que la corriente de la otra bobina entra en el extremo sin punto, tenemos:
Por lo tanto, puede verse que la inductancia mutua induce un voltaje en una bobina debido a la corriente que circula en la otra bobina. Siendo los inductores acoplados parte de un circuito lineal con una entrada senoidal, dicho circuito puede analizarse en el dominio de la frecuencia utilizando fasores. Los inductores acoplados de la figura anterior se representan por las siguientes ecuaciones: Para el caso de la figura 2.1.2A, tenemos:
Para el caso de la figura 2.1.2B, tenemos:
De manera definitiva podemos establecer que:
5.3 coeficiente de acoplamiento magnético el flujo del acoplamiento depende de la separación y orientación de los ejes de las bobinas y de la permeabilidad magnética del medio donde se encuentran dichas bobinas. La fracción del flujo total que abraza o acopla a las dos bobinas se llama coeficiente de acoplamiento magnético K:
Por ser φ 12≤ φ 11 y φ 21 ≤φ 22, el valor máximo de K es la unidad. El coeficiente M se puede expresar en función de las autoinducciones L1 y L2 operando de la forma siguiente, multiplicando (17) por (18):
Que, ordenándola convenientemente, sería:
Pero como:
Tendríamo s: `
5.4 regla de los puntos. (para bobinas con acoplamiento magnetico) La polaridad relativa en el caso de tensiones de inducción mutua se puede determinar partiendo de esquemas del núcleo en el que se vean los sentidos de los devanados, pero éste no es un método práctico. Para simplificar la representación esquemática de circuitos con acoplamiento magnético se señalan los terminales con puntos (figura 11.35).
En cada bobina se marca un punto en los terminales que tienen la misma polaridad instantánea, considerando solamente la inducción mutua. Por tanto, para aplicar esta notación hay que saber a qué terminal de las bobinas se asigna el punto. Hay que determinar, además, el signo asociado con la tensión en la inducción mutua cuando se escriben las ecuaciones en las corrientes de malla. Para asignar los puntos a un par de bobinas acopladas se elige un sentido para la corriente en una de ellas y se coloca un punto en el terminal por el que la corriente entra en el arrollamiento. Aplicando la regla de la mano derecha se determina el flujo correspondiente. Ahora, en la segunda bobina (figura 11.35b), según la ley de Lenz, el flujo ha de oponerse al creado por la variación de la corriente. Utilizando nuevamente la regla de l a mano derecha se determina el sentido de la corriente natural, colocando el otro punto en el terminal por el que dicha corriente sale del arrollamiento. No es preciso, pues, dibujar los núcleos y el diagrama queda como indica la figura 11.35c. Para determinar el signo de la tensión de inducción mutua en las ecuaciones de las corrientes de malla se utiliza la regla de los puntos, que dice: 1. Si las dos corrientes supuestas, entran o salen de las bobinas acopladas por los terminales con punto, los signos de los términos en M son los mismos que los de los términos en L. 1. Si una corriente entra por un terminal con punto y la otra sale por el otro terminal con punto, los signos de los términos en M son opuestos a los de los términos en L.
La figura 11.36 (a) y (b) muestra cuando los signos de los términos en M y en L son opuestos. En las figuras (c) y (d) se representan los casos en los que dichos signos son iguales. Veamos otro ejemplo de las polaridades relativas en relación con los circuitos con acoplamiento mutuo; consideremos el circuito de la figura 11.37, en el que se han señalado los puntos y elegidas las corrientes en la forma representada
Puesto que una corriente entra por un terminal con punto y la otra sale por el punto, el signo de los términos en M son opuestos a los de L. Para este circuito, el sistema de ecuaciones de malla, expresado en forma matricial, es:
En la figura 11.38 aparece un circuito simple con acoplamiento conductivo de dos mallas, indicándose los terminales positivos. El sistema de ecuaciones de las corrientes de malla, expresado en forma matricial, es:
La impedancia Z común a varias corrientes tiene signo negativo, ya que las intensidades I 1 , e I 2 la recorren en sentidos contrarios. Prescindiendo del interior de los recuadros, en las figuras 11.37 y 11.38, ambos circuitos tienen el mismo aspecto, salvo en los puntos en uno y los signos en el otro.
Comparando los sistemas de ecuaciones (21) y (22) se ve como el signo negativo de jωM corresponde con el de Z .
5.5 Transformador ideal En la siguiente figura se muestran inductores acoplados utilizados como un transformador para conectar una fuente a una carga. A la bobina conectada a la fuente se la llama bobina primaria, y a la bobina conectada a la carga se le llama bobina secundaria.
El circuito #2 se conecta al circuito #1 a través del acoplamiento magnético del transformador, pero no existe ninguna conexión física entre ambos circuitos. Si el circuito anterior era alimentado por una fuente de voltaje senoidal, y representamos la carga por una impedancia equivalente, podemos representarlo en el dominio de la frecuencia:
Las dos ecuaciones de malla para este circuito son:
De la ecuación de malla 2, despejamos I1 en función de I2:
Sustituyendo en la ecuación de malla 1:
Donde n = N2/N1 se denomina la relación de vueltas del transformador. Un transformador ideal es el modelo de un transformador con un coeficiente de acoplamiento igual a la unidad y en el que las reactancias inductivas del primario y el secundario son muy grandes con respecto a la terminación. Estas características están presentes generalmente en transformadores con núcleo de hierro y diseño especial. Se aproximan al transformador ideal en un intervalo de frecuencias. Se dice que un transformador ideal no tiene pérdidas, ya que la potencia instantánea que absorbe es cero. Un uso importante de los transformadores es en la distribución de potencia de corriente alterna. Hemos visto que poseen la capacidad de elevar o reducir voltajes y corrientes de corriente alterna. Además son útiles en circuitos electrónicos y de
comunicaciones, ya que proporcionan también la capacidad de aislar un circuito de otro.
En la siguiente figura se muestra el símbolo del transformador ideal. Su operación es la misma en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
Las dos ecuaciones que definen un transformador ideal son:
• V2 = V1 n • I2 = -I1 / n
La impedancia que ve el secundario del transformador es:
La impedancia en el primario del transformador es:
La fuente experimenta la impedancia Z1 que es igual a Z2 escalada por el factor 1/n².
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.
Hayt, Kemmerly y Durbin (2003).; Análisis de Circuitos en Ingeniería, 6ta. Edición, MC Graw Hill . • Alexander y Sadiku (2000), Fundaments of Electric Circuits, McGraw Hill. Bruce Carlson, Circuito, Thomson Learning (2001) Johnson Hilburn y Johnson, (1991). Análisis Básico de Circuitos Eléctricos, 4ta. Edición, Prentice Hall. http://www.uco.es/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_11/tema_11_25.pdf http://www.uco.es/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_11/tema_11_20.pdf
