UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA. Becerra Santiago. Circuitos Acoplados Magnéticamente.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
Circuitos Acoplados Magnéticamente. Becerra Santiago.
[email protected] Quito-Ecuador
1. Índice: 2.
Objetivos............................................................. ............................................................................................................................... ......................................................................................... ...................... 1
3.
Circuitos Acoplados Magnéticamente. Magnéticamente. ............................................................ ........................................................................................................ ............................................ 2
3.1.
Acoplamiento Magnético. ............................................................................................................. ...................... 2
3.2. 3.3.
Inductancia Mutua. .......................................................... ........................................................................................................................... .................................................................................... ................... 2 Energía en Circuitos Acoplados. .............................................................................................................. ........... 5
3.4.
Transformador Ideal. ....................................................... ........................................................................................................................ .................................................................................... ................... 7
3.5.
Transformador Lineal. ..................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................... ................... 8
4.
Conclusiones.................................................................. ....................................................................................................................................... ............................................................................ ...... 10
5.
Bibliografía..................................................................... .......................................................................................................................................... ............................................................................ ...... 10
2. Objetivos.
Conocer las características sobre los circuitos acoplados magnéticamente. Conocer las ventajas y desventajas de un transformador ideal y lineal. Conocer sobre el fenómeno físico que ocurre en este tipo de circuitos, y sus aplicaciones.
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3. Circuitos Acoplados Magnéticamente. 3.1. Ac opla mi en to Ma gn étic o.
Hasta el momento los circuitos estudiados serían circuitos acoplados conductivamente, es decir por medio de conducción de corriente, cuando dos mallas con o sin contacto entre ellas se afectan mutuamente por medio del campo magnético generado por una de ellas, se dice que están acopladas magnéticamente. El acoplamiento magnético se produce cuando el campo magnético de un objeto, interactúa con un segundo objeto e induce una corriente eléctrica en el interior o en ese objeto, si este fenómeno ocurre de forma indeseada, se denomina como diafonía.
Fig. 1: Acoplamiento magnético en un transformador.
La ley de Ampère explica que la corriente eléctrica variable en el tiempo creara un campo magnético proporcional también variable en el tiempo, la ley de Faraday nos indica que todo flujo magnético variable en el tiempo que atraviesa una superficie cerrada por un circuito induce una diferencia de potencial en este circuito, por lo que el acoplamiento magnético se explica combinando las leyes de Ampère y de Faraday. Un dispositivo diseñado en base al concepto de acoplamiento magnético es el transformador, ya que este tiene bobinas magnéticamente acopladas para transferir energía de un circuito a otro.
3.2. Inductancia Mutua.
Se conoce como inductancia mutua, cuando el campo magnético de una bobina, producido por el paso de una corriente eléctrica variable en el tiempo, interactúa con una segunda bobina e induce una corriente eléctrica en esa bobina, produciendo a su vez una diferencia de potencial entre los dos extremos de la bobina. En pocas palabras la inductancia mutua es la capacidad de un inductor de inducir una tensión en un inductor cercano, medida en henrios (H). 2
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Considerando un solo inductor (Fig. 2), una bobina de N vueltas:
Fig. 2: Flujo magnético producido por una sola bobina.
Cuando la corriente i fluye por la bobina, alrededor de ella se produce un flujo magnético , teniendo en cuenta la ley de Faraday, la tensión v inducida en la bobina es proporcional al número de vueltas N y a la tasa de cambio del flujo magnético en el tiempo, es decir:
(2.1)
El flujo es producido de la corriente i, de modo que cualquier cambio en , da por resultado un cambio de la corriente, por lo que la ecuación (2.1) puede escribirse como:
(2.2)
(2.3)
Es decir:
A partir de las ecuaciones (2.2) y (2.3) al igualar se obtiene que:
(2.4)
Esta inductancia se llama comúnmente autoinductancia, porque relaciona la tensión inducida en una bobina por una corriente variable en el tiempo en la misma bobina.
Ahora considerando dos bobinas cercanas (Fig. 3) con autoinductancias L1 yL2:
3
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Fig. 3: Inductancia mutua de dos bobinas .
Suponiendo que en el segundo inductor no existe corriente, el flujo de la bobina 1 tiene dos componentes: una componente enlaza sólo a la bobina 1, y otra componente enlaza ambas bobinas, por lo tanto:
Las dos bobinas están acopladas magnéticamente, ya que el flujo completo bobina 1, la tensión inducida en la bobina 1 es:
Sólo el flujo
(2.5)
se une a la (2.6)
enlaza a la bobina 2, de modo que la tensión inducida en la bobina 2 es: (2.7)
Como los flujos son causados por la corriente i que fluye en la bobina 1, la ecuación (2.6) puede escribirse como:
(2.8)
Asi como la ecuación (2.4), se tiene que la inductancia de la bobina 1 es:
La ecuación (2.7) puede escribirse como:
(2.9)
Igualando de ecuación (2.9) se tiene que:
(2.10)
se conoce como la inductancia mutua de la bobina 2 respecto a la bobina 1, el subíndice 21 indica que la inductancia relaciona la tensión inducida en la bobina 2 con la corriente en la bobina 1.
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Así la tensión mutua o tensión inducida para la bobina 2 es:
(2.11)
De igual forma se puede obtener la tensión mutua o tensión inducida de la bobina 1:
(2.12)
M es la inductancia mutua entre dos bobinas, se mide en henrios (H), se debe tener presente que existe acoplamiento mutuo solo si los inductores o bobinas están en estrecha proximidad, y los circuitos son excitados mediante fuentes variables en el tiempo. 3.3. Energía en Circuitos Acoplados.
Se sabe que la energía almacenada en un inductor está dada por la ecuación:
(3.1)
Pero ahora nos interesa determinar la energía almacenada en bobinas magnéticamente acopladas.
Fig. 4: Circuito para obtener la energía almacenada en un circuito acoplado.
Considerando la Fig. 4, tendríamos dos potencias:
Entonces suponiendo los siguientes efectos:
Aumentando la corriente desde cero hasta , mientras se mantiene =0, la potencia en la bobina 1 es:
()
(3.2)
Por lo que la energía almacenada en el circuito es:
∫ ∫
(3.3) 5
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Aumentando la corriente desde cero hasta , mientras se mantiene = , la tensión en la bobina 1 es , en mientras que la tensión en la bobina 2 es de cero, ya que no cambia. Por lo que la potencia en las bobinas es ahora:
()
(3.4)
Por lo que la energía almacenada en el circuito es:
(3.5)
Por lo que la ecuacion resultante de nuestra energía esta dada por:
(3.6) Si se aumenta la corriente desde cero hasta , manteniendo , y luego mantenemos constante y aumentamos la corriente desde cero hasta , queda la ecuación como: (3.7) Esto debido a que la energía almacenada debe de ser la misma, se debe cumplir que:
(3.8)
La inductancia mutua no puede ser mayor que la media geométrica de las autoinductancias de las bobinas, la medida en que la inductancia mutua M se acerca al límite superior es especificada por el coeficiente de acoplamiento k, dado por:
Despejando se tiene que:
√ √
(3.9) (3.10)
El coeficiente de acoplamiento k es una medida del acoplamiento magnético entre dos bobinas, es decir es la fracción del flujo total que emana de una bobinaque se enlaza con la otra bobina.
Además k depende de la proximidad de las bobinas, su núcleo, su orientación y su devanado. 6
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M es la inductancia mutua entre dos bobinas, se mide en henrios (H), se debe tener presente que existe acoplamiento mutuo solo si los inductores o bobinas están en estrecha proximidad, y los circuitos son excitados mediante fuentes variables en el tiempo.
3.4. Transformador Ideal.
En si un transformador ideal es aquel con acoplamiento perfecto (k=1), consta de dos (o más) bobinas con gran número de vueltas devanadas en un núcleo común de alta permeabilidad, a causa de esta alta permeabilidad del núcleo, el flujo enlaza a todas las vueltas de ambas bobinas, lo que da por resultado un acoplamiento perfecto, sin pérdidas en el que las bobinas primaria y secundaria tienen autoinductancias infinitas. Un transformador ideal se aproxima mucho a lo que sería un transformador acoplado de forma muy estrecha y en el que las reactancias inductivas del primario y secundario son muy grandes en comparación con las impedancias de la terminación. Estas características se obtienen con mucha precisión mediante la mayor parte de los transformadores de núcleo de hierro bien diseñados, sobre un intervalo razonable de frecuencias para un intervalo razonable de impedancias a nivel terminal.
Fig. 5: Diagrama y simulación de un transformador ideal.
Para realizar el análisis aproximado de un circuito que tiene un transformador de núcleo de hierro podría lograrse con mucha facilidad sustituyéndolo por un transformador ideal, que podría pensarse como un modelo de primer orden de un transformador de núcleo de hierro. Por la ley de Faraday se tiene que la tensión en el devanado primario es:
(4.1)
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Mientras que a través del devanado secundario es:
(4.2)
Al dividir la ecuación (4.2) entra la ecuación (4.1) se tiene que:
(4.2)
Donde n es la relación de vueltas o relación de transformación, además se pueden usar las tensiones fasoriales en lugar de los valores instantáneos quedando la ecuación como:
(4.3)
Por efecto de la conservación de la potencia, la energía suministrada al devanado primario debe ser igual a la energía absorbida por el devanado secundario, ya que en un transformador ideal no hay pérdidas, por lo que:
(4.4)
Con esto nuestra ecuación (4.3) queda como:
(4.5)
Dando como resultado que las corrientes primaria y secundaria se determinan con la relación de vueltas en forma inversa que las tensiones, quedando:
(4.6)
Los resultados de n podrían indicarnos diferentes casos:
n=1 : Se conoce como transformador de aislamiento. n>1 : Se tiene un transformador elevador. n<1 : Se tiene un transformador reductor.
3.5. Transformador Lineal.
La bobina directamente conectada con la fuente de tensión se llama devanado primario y La bobina conectada a la carga se llama devanado secundario.
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Fig. 6: Transformador Lineal.
Las resistencias R1 y R2 se incluyen para tomar en cuenta las pérdidas, que a diferencia de un transformador ideal esta si tiene pérdidas, que en este caso sería la disipación de potencia en las bobinas. Se dice que el transformador es lineal si las bobinas están devanadas en un material lineal magnéticamente, en el que la permeabilidad magnética es constante. Entre esos materiales están aire, plástico, baquelita y madera, de hecho, la mayoría de los materiales son magnéticamente lineales, a los transformadores lineales también se les llama transformadores de núcleo de aire, aunque no todos ellos son de núcleo de aire y se les emplea en radios y televisores como en las figuras 7 y 8.
Fig. 7: Transformadores de audiofrecuencia.
Fig. 8: Transformador de potencia seco.
Para su análisis se requiere obtener la impedancia de entrada ya que esta rige el comportamiento del circuito primario.
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La impedancia comprende dos términos, el primero la impedancia primaria y el segundo término se debe al acoplamiento entre los devanados primario y secundario, esta impedancia se ve reflejada en la primaria, por lo que se la conoce como impedancia reflejada: Normalmente por la dificultad de estos circuitos, en este caso se remplaza un circuito magnéticamente acoplado por un circuito equivalente sin acoplamiento, ya sea por un circuito T o П (Fig. 9) equivalente ya que carece de inductancia mutua.
Fig. 9: Circuito T y circuito П equivalente, respectivamente.
Un transformador lineal también puede concebirse como uno cuyo flujo es proporcional a las corrientes en sus devanados.
4. Conclusiones.
Los transformadores son elementos clave de circuitos, se usan en sistemas eléctricos para aumentar o reducir tensiones o corrientes de ca, también se les emplea en circuitos electrónicos, como en receptores de radio y televisión, para propósitos tales como acoplamiento de impedancias, aislamiento de una parte de un circuito respecto de otra. Se puede definir la inductancia mutua M como la proporción entre la fuerza electromagnética generada en una de las bobinas, y el cambio en la corriente en la bobina que origina dicha fuerza electromagnética. Un transformador ideal sirve simplemente como modelo para realizar cálculos en diferentes aplicaciones, ya que siempre van a existir perdidas en la vida real aunque sean mínimas.
5. Bibliografía.
1. Hayt, William H. Análisis de Circuitos en Ingeniería. [ed.] Pablo E. Roig. Séptima. s.l. : McGraw-Hill Interamericana, 2007. págs. 491-510. 970-10-6107-1. 2. Boylestad, Robert L. Introducción al Análisis de Circuitos. Décima. México : Pearson Educación, 2004. págs. 935-959. 970-26-0448-6. 3. Sadiku, Matthew N. O. Fundamentos de Circuitos Eléctricos. Tercera. México : McGraw-hill Interamericana, 2006. págs. 555-573.
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