REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJÍAS” SISTEMAS ELECTRICOS II
CIRCUITOS ACOPLADOS
Integrantes: Medina, Jorge exp: 2010200052 Sayago, Keyler exp: 2010200069 Luis Briceño exp: 2009100233 Brahian Martínez exp: 2009200056 Emely Viallard exp: 2010200059 Abril Guevara exp: 2009103009 Luis Lara exp: 2007203038 Ing. De Sistemas Caracas, Julio Del 2012 Introducción
Siempre que la corriente fluye a través de un conductor. Ya sea de corriente alterna alterna o de corriente directa, directa, se genera un campo magnético magnético alrededor de él. En el contexto de los circuitos, uno se refiere a menudo al flujo magnético a través de un lazo de alambre, que no es más que la componente normal promedio del
campo magnético que emana del lazo. Multiplicada por el área del mismo. Cuando un campo magnético variable en el tiempo generado por un lazo penetra un segundo lazo, se induce una tensión entre los extremos de este último. Para distinguir distinguir este fenómeno de la “inductancia” “inductancia” que se definió antes, denominada denominada de mane manera ra más más adec adecua uada da “aut “autoi oind nduc ucta tanc ncia ia”, ”, se defi defini nirá rá un nuev nuevo o term termin ino: o: inductancia mutua.
Los circuitos considerados considerados hasta aquí pueden concebirse como acoplados acoplados cond conduc uctitiva vame ment nte, e, porq porque ue una una mall malla a afec afecta ta a la cont contig iguo uo por por medi medio o de la conducción de corriente. Cuando dos mallas con o sin contacto entre ellas se afectan mutuamente por medio del campo magnético generado por una de ellas, se dice que están acoclados magnéticamente.
El tran transf sfor orma mado dorr es un dispo disposit sitiv ivo o eléc eléctr tric ico o dise diseña ñado do con con base base en el concept concepto o del acopla acoplamie miento nto magnét magnético ico.. Se sirve sirve de bobinas bobinas magnét magnética icamen mente te acopladas para transferir energía de un circuito a otro. Los transformadores son elementos clave de circuitos. Se usan en sistemas eléctricos para aumentar o reducir tensiones o corrientes en corriente alterna. También se les emplea en circuitos electrónicos, como en receptores de radia y televisión, para propósitos tales como acoplamiento acoplamiento de impedancias impedancias,, aislamiento aislamiento de una parte de un circuito circuito respe respect cto o de otra otra y, de nueva nueva cuent cuenta, a, aume aument nto o o reduc reducci ción ón de tensi tension ones es y corrientes de corriente alterna.
Inductancia Mutua
Cuando dos inductores (o bobinas) están en proximidad estrecha entre sí, el flujo magnético magnético causado causado por la corriente en una bobina se relaciona con la otra bobina lo que induce tensión en esta última. Considérese primeramente un solo
inductor, una bobina con N vueltas. Cuando la corriente fluye por la bobina. Alrededor de ella se produce un flujo magnético Φ.
La cual es la relación tensión-corriente en el inductor. A partir de la ecuación anterior la inductancia L del inductor la proporciona entonces Esta inductancia se llama comúnmente autoinductancias, porque relaciona la tensión inducida en una bobina por una corriente variable en el tiempo en la misma bobina. Considérese ahora dos bobinas con autoinductancias L1 y L2 en estrecha proximidad entre sí. La bobina 1 tiene N 1 vueltas, mientras que la bobina 2 tiene N 2 vueltas. En el segundo inductor no circula corriente a través de él. El flujo magnético Φ 1 que emana de la bobina 1 tiene dos componentes: una componente Φ 11 enlaza solo a la bobina 1 y otra componente Φ 12 enlaza a ambas bobinas. Por lo tanto, Φ 1 = Φ 11 + Φ 12
Aunque las dos bobinas están físicamente separadas, se dice que están acopladas magnéticamente. Puesto que el flujo completo Φ 1 se une a la bobina 1,
la tensión inducida en la bobina 1 es
solo el flujo Φ 12 enlaza a la
bobina 2, de modo que la tensión inducida en la bobina 2 es De nueva cuenta, dado que los flujos son causados por la corriente i 1 que fluye en la bobina 1, la ecuación puede escribirse como Donde
es la autoinductancia de la bobina
1. De igual manera, la ecuación del segundo inductor puede escribirse como Donde M21 se conoce como la inductancia mutua de la bobina 2 respecto a la bobina 1. El subíndice 21 indica que la inductancia M 21 relaciona la tensión inducida en la bobina 2 con la corriente en la bobina 1. Así, la tensión mutua de circuito abierto para la bobina 2 es
Supóngase que ahora se permite que la corriente i 2 fluya en la bobina 2, mientras que la bobina 1 no conduce corriente. El flujo magnético Φ 2 que emana de la bobina 2 comprende al flujo Φ 22 que vincula solo a la bobina 2 y al flujo Φ 21, que enlaza a ambas bobinas.
Por consiguiente, Φ 2 = Φ 21 + Φ 22 el flujo completo Φ 2 enlaza a la bobina 2, de manera que la tensión inducida en la bobina 2 es Donde
es la autoinductancia
de la bobina 2. Puesto que solo el flujo enlaza a la bobina 1, la tensión inducida en la bobina 1 es
donde
la
cual es la inductancia mutua de la bobina 1 respecto a la bobina 2. De este modo, la tensión mutua de circuito abierto para la bobina 1 es
En la siguiente sección se verá que
son iguales, es decir
y M se llama la inductancia mutua entre las dos bobinas. Los mismo que la autoinductancia L, la inductancia mutua M se mide en henrys (H). Téngase presente que solo existe acoplamiento mutuo cuando los inductores o bobinas están en estrecha proximidad y los circuitos se excitan mediante fuentes variables en el tiempo. Recuérdese que los inductores actúan como cortocircuitos en cd. De los dos casos se concluye que hay inductancia mutua si una tensión se induce mediante una corriente variable en el tiempo en el otro circuito. Una inductancia tiene la propiedad de producir una tensión en otra inductancia acoplada como reacción a una corriente variable en el tiempo. Así la inductancia mutua es la capacidad de una bobina de inducir una tensión en una bobina cercana, medida en herys (H).
Convención del punto
El inductor es un elemento de dos terminales y se puede utilizar la convención pasiva de signos para elegir el signo correcto de la tensión L di/dt o jw LI. Si la corriente entra en la terminal donde se ubica la referencia de tensión positiva, se usa el signo positivo. Sin embargo, no se puede tratar la inductancia mutua exactamente de la misma manera, porque implica cuatro terminales. La elección de un signo correcto se establece mediante el empleo de una de varias posibilidades que incluyen la “convención del punto”, o mediante la inspección de la forma particular en la que se devana cada bobina. Se utilizara la convención del punto y tan solo se observara con brevedad la construcción física de la bobinas; el
empleo de otros símbolos especiales no se requiere cuando solo se acoplan dos bobinas.
Como es impráctico mostrar los detalles de conformación de bobinas en un diagrama de circuitos, se aplica la conversión, se coloca una marca en un extremo de cada una de las dos bobinas acopladas magnéticamente de un circuito para indicar la dirección del flujo magnético si entra una corriente en la terminal marcada de colocadas junto a las bobinas, de modo que no es necesario que no es necesario molestarse en como marcarlas .Estos puntos se emplean junto con la convención de las marcas para determinar la polaridad de la tensión mutua. La convención de las marcas de polaridad se formula de esta manera:
Si una corriente entra a la terminal marcada de la bobina, la polaridad de referencia para la tensión mutua en la segunda bobina es positiva en la terminal con la marca de la segunda bobina.
Alternativamente, si una corriente sale de la terminal marcada de una bobina, la polaridad de referencia de la tensión mutua en la segunda bobina es negativa en la terminal con la marca de la segunda bobina.
Así, la polaridad de referencia de la tensión mutua depende de la dirección de referencia de la corriente inductora y de las marcas en las bobinas acopladas. La aplicación de la convención del punto se ilustra en los cuatro pares de bobina acopladas de la figura a), el signo de la tensión mutua u2 está determinado por la polaridad de referencia para u2 y la dirección de i 1.Puesto que i1 entra en la terminal marcada en la bobina 2, la tensión mutua es +M dj 1 /dt . En cuanto a las bobinas de la figura b), la corriente i 1 entra por la terminal marcada de la bobina 1 y u2 es negativa en la terminal con la marca en la bobina 2.Por lo tanto, la tensión mutua es –M dj 1 /dt. El mismo razonamiento se aplica a las bobinas de la figura c) y de la figura d). En la figura 13.6 se muestra la conversión de las marcas para bobinas acopladas en serie. En relación con las bobinas de la figura 13.6 a), la inductancia total es:
En relación con las bobinas de la figura 13.6 b)
Ahora que se sabe cómo determinar la polaridad de la tensión mutua, se tiene la preparación necesaria para analizar circuitos que implican inductancia mutua. Como primer ejemplo, considérese el circuito de la figura 13.7.La aplicación de la LTK a la bobina 1 da como resultado.
En la bobinas 2, la LTK da por resultado
La ecuación (13.20) puede expresarse en el dominio frecuencial como (13.21.a) (13.21.b)
Como segundo ejemplo, considérese el circuito de la figura 13.8. Este circuito se analiza en el dominio frecuencial. Al aplicar la LTK a la bobina 1 se obtiene
En la bobina 2, la LTK produce
Las ecuaciones (13.21) y (13.22) se resuelven en la forma usual para determinar las corrientes. En este nivel introductorio no interesa la determinación de las inductancias mutuas de las bobinas ni la colocación de las marcas. A semejanza de R , L y C , el cálculo de M implicaría aplicar la teoría electromagnética a las propiedades físicas reales de las bobinas. En este libro se supone que la inductancia mutua y la colocación de los puntos son los que están “dados” en el problema de circuitos, a la manera de los componentes de circuitos R , L y C.
Energía en un circuito acoplado
Antes de determinar la energía almacenada en bobinas acopladas magnéticamente, debemos tener en cuenta la fórmula que expresa la energía almacenada en un inductor:
También es importante conocer el siguiente circuito que nos servirá de base para el cálculo de la energía almacenada en un circuito acoplado:
Ahora, suponiendo que las corrientes son inicialmente cero, siendo la energía almacenada en ambas bobinas igual a cero; si decimos que aumenta de cero a mientras , la potencia en la bobina 1 es:
Recordando que:
Para obtener la energía almacenada en el circuito integramos en ambos lados de la ecuación de la potencia tomando los límites “0” e “ ”
Si ahora
se mantiene y se aumenta
inducida en la bobina 1 es puesto que
de cero a
, la tensión mutua
y la tensión mutua en la bobina 2 es cero,
no cambia.
La potencia en las bobinas es,
y la energía almacenada en el circuito es,
La energía total almacenada en las bobinas cuando tanto alcanzado valores constantes es:
como
han
Si se invierte el orden aumentando primero a de cero a y después se aumenta a de cero a , la energía total almacenada en las bobinas es:
Dado que la energía total almacenada debe ser la misma en ambos casos, comparando las “w” concluimos que:
Entonces, Esto se cumple si ambas corrientes de bobina entran en los terminales con la marca ( ) como en el ejemplo de la figura
Si una corriente entra por un terminal con marca mientras la otra sale de su terminal correspondiente con marca, la tensión mutua es negativa y por ende la energía mutua también es negativa, donde:
Luego podemos obtener la expresión general de la energía instantánea almacenada en el circuito, donde se elegirá el signo de la energía mutua tomando en cuenta las condiciones antes mencionadas:
Tomando en cuenta que estamos hablando de un circuito pasivo, la energía almacenada en el circuito no puede ser negativa, por lo cual se establece la siguiente condición:
Coeficiente de acoplamiento
El coeficiente de acoplamiento es la fracción de flujo total que es emanado de una bobina que se enlaza con otra bobina. También este coeficiente mide el acoplamiento magnético entre dos bobinas. En la siguiente figura
el coeficiente de acoplamiento (k) es:
En la siguiente figura
el coeficiente de acoplamiento (k) es:
Para realizar los cálculos del coeficiente de acoplamiento también necesitamos buscar la relación entre la inductancia mutua (M) y este, por lo cual tomaremos en principio la condición:
Utilizando la completación de cuadrado se suma y se resta miembro derecho de la inecuación:
en el
Como el término que está elevado al cuadrado nunca es negativo y al menos es cero, entonces debe ser mayor o igual a cero:
Despejando,
La medida en que la inductancia mutua (M) se acerca al límite superior es especificada por el coeficiente de acoplamiento (k), dado por:
ó
Seguido de esto, tomando la condición
, decimos que
También es importante acotar que si el flujo completo producido por una bobina se enlaza con la otra bobina, entonces k=1, es decir que las bobinas están perfectamente acopladas. Para , se dice que están acopladas holgadamente; y para , están acopladas estrechamente.
Ejercicios resueltos 1) Calcule las corrientes fasoriales I 1 e I2 del circuito
Solución: En relación con la bobina 1, la LTK da como resultado -12 + (-j4 +j5) I1 = 0 Es decir: jI1 – j3I2 = 12
(1)
En la bonina 2, la LTK da por resultado: -j3I1+ (12 + j6) I 2 = 0 Es decir: I1=
= (2 – j4) I2
(2)
Al sustituir esto en la ecuación (1) se obtiene: (j2 + 4 – j3) I 2 = (4 - j) I2 =12 Es decir I2 =
= 2.91 /14.04° A
Con las ecuaciones (1) y (2) I1 = (2 – j4) I 2 = (4.472/-63.43°) (2.91/14.04°) I1 = 13.01/-49.39° A
2) Calcule las corrientes de malla del siguiente circuito:
Solución: La clave para analizar un circuito magnéticamente acolado es conocer la polaridad de la tensión mutua. Se debe aplicar la regla del punto. Supóngase que la bobina 1 es aquella cuya resistencia es de 6Ω, y la bobina 2 aquella cuya reactancia es de 8Ω. Para deducir la polaridad de la tensión mutua en la bobina 1 debida a la corriente I2, se observa que I 2 sale de la terminal de la bobina 2. Puesto que se está aplicando la LTK en el sentido de las manecillas del reloj, esto implica que la tensión mutua es negativa, es decir –j2 I2. Alternativamente, podría ser mejor deducir la tensión mutua redibujando la porción pertinente del circuito, como se muestra en la figura a) donde resulta claro que la tensión mutua es V 1 = -2jI2.
Así, en cuanto al lazo 1 del circuito, la LTK da como resultado
-100 + I1 (4 – j3 + j6) – j6I 2 - j2 I2 = 0 Es decir 100 = (4 + j3) I 1 – j8 I2
(1)
De igual forma, para deducir la tensión mutua en la bobina 2 debida a la corriente I1, considérese la correspondiente porción del circuito, como se muestra en la figura 13.12. La aplicación de la convención de las marcas produce la tensión mutua como V2 = -2jI1. Asimismo la corriente I 2 ve a las bobinas acopladas en serie del circuito; como sale de las terminales como sale de las terminales con unto en ambas bobinas, se aplica la ecuación L=L 1 + L2 + 2M (conexión en serie aditiva). En consecuencia, en relación con la malla 2del circuito, la LTK produce
0 = -2j I 1 – j6 I1 + (j6 +j8 +j2 x 2 + 5) I 2 Es decir 0 = -j5 I 1 + (5 + j18) I 2
(2)
Al colocar las ecuaciones (1) y (2) en forma matricial se obtiene
=
Los determinantes son
∆=
∆1 =
= 30 +j87
= 100(5 + j18)
∆2 =
= j800
Así, las corrientes de lazo se obtienen como
I1 =
=
I2=
=
=
=
= 20.3 /3.5° A
= 8.693 /19° A
3) Considere el circuito de la figura. Determine el coeficiente de acoplamiento, calcule la energía almacenada en los inductores acoplados en el momento
, si
Para calcular el coeficiente de acoplamiento, como tenemos “M” que es la inductancia mutua, podemos utilizar la siguiente ecuación:
Como
entonces los inductores están acoplados estrechamente.
Para hallar la energía almacenada, antes hay que calcular la corriente. Para ello obtenemos el circuito equivalente en el dominio de la frecuencia:
Ahora aplicando análisis de mallas con la LVK: -
Malla 1:
-
Malla 2:
Despejando de la ecuación 2:
Sustituyendo
en la ecuación 1:
Entonces,
En el dominio temporal,
En el momento
,
y con
La energía total almacenada en los dos inductores acoplados es:
Ejercicios Propuestos 1)
Determine la tensión V 0 en el circuito de la figura
Respuesta: 0.6/-90 V
2)
Determine las corrientes fasoriales I1 e I2 en el siguiente circuito.
Respuesta: 2.15 /86.56 A; 3.23 /86.56 A
3) En referencia al circuito, determine el coeficiente de acoplamiento y la energía almacenada en los inductores acoplados en t=1.5s.
Respuesta: 0.7071 J ; 9.85 J
4)
5)
Las bobinas de la figura 13.75 tienen L 1 = 40 mH, L 2 = 5 mH y el coeficiente de acoplamiento K=0.6. Halle i 1 (t) y V2 (t), dado que V1(t) = 10 cos (wt) e i2(t) = 2 sen (wt), w=2000 rad/seg.
En relación con el circuito de la figura halle V 0
6)
Determine las corrientes I1, I2, e I3 en el circuito. Halle la energía almacenada en las bobinas acopladas en t=2 ms considere w=1000 rad/seg
7) En el siguiente Circuito a) Halle el coeficiente de acoplamiento. b) Calcule V0. c) Determine la energía almacenada en los inductores acoplados en t=2s.
Conclusión
Los circuitos magnéticamente acoplados poseen inductores para poder transmitir la energía de un lugar a otro del circuito gracias a un fenómeno conocido como inductancia mutua. El valor de la inductancia mutua depende únicamente de los valores de las inductancias del primario y el secundario, en cambio el valor del voltaje mutuo, depende de varios factores, tales como el voltaje auto inducido, también como de la polaridad relativa de los devanados. Debido al efecto magnético generado en las bobinas, generado a partir del paso de corriente por ellas, se tiene un acoplamiento magnético entre dos o más bobinas, cercanas entre sí, por las cuales este pasando una corriente variable. En estos casos, el voltaje total de cualquier bobina ya no estará limitado únicamente por su autoinductancia, sino que tendrá una componente de más, añadida por la inducción de las bobinas cercanas.
El flujo magnético a través de un lazo de alambre no es más que la componente normal promedio del campo magnético que emana del lazo. Multiplicada por el área del mismo. Cuando un campo magnético variable en el tiempo generado por un lazo penetra un segundo lazo, se induce una tensión entre los extremos de este último. Para distinguir este fenómeno de la “inductancia” que se definió antes. Denominada de manera más adecuada autoinductancia; es una medida de la oposición a un cambio de corriente de un inductor o bobina que almacena energía en presencia de un campo magnético, y se define como la relación entre el flujo magnético (ф) y la intensidad de corriente eléctrica (I) que circula por la bobina y el número de vueltas (N) del devanado.
Bibliografía
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku (2006). Fundamentos de Circuitos Eléctricos. Tercera Edición. México: McGraw-Hill.
Kemmerly Jack E. (2007). Análisis de Circuitos En Ingeniería. Séptima Edición. México: McGraw-Hill.
