Ejercicios Propuestos: 1)
Se unen dos dos péndulos péndulos idénticos idénticos mediante mediante un muelle muelle de acoplami acoplamiento ento ligero. ligero. Cada Cada péndulo tiene tiene una longitud de 0,4 m y están situados en un lugar donde g !," m#s$. Estando conectado el muelle de acop acoplo lo,, se suje sujeta ta uno uno de los los pénd péndul ulos os y se encu encuen entr traa %ue %ue el peri period odo o del del otro otro es de 1,$& 1,$& s. e'actamente.
a) +)
$)
Si ninguno ninguno de los péndulos péndulos está está sujeto sujeto (Cuáles (Cuáles son los los perodos perodos de los dos dos modos modos normales* normales* (Cuál es el interalo de tiempo entre dos amplitudes posi+les má'imas sucesias de un péndulo después %ue uno de ellos se retira lateralmente y luego se deja en li+ertad*
-os oscila osciladore doress armnico armnicoss / y , de masa m y constan constantes tes / y , respectiamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante C. 2alla las 3recuencias normales 5 y 6 y descri+e los modos
k C $ normales de oscilacin si se cumple la relacin:
7)
= k A k B .
Se conectan conectan dos dos o+jetos, o+jetos, / y , cada uno de de ellos de masa masa m, mediant mediantee muelles, muelles, seg8n seg8n se e en la 3igura. El muelle de acoplo tiene una constante c, y los otros dos tienen una constante 0. Si se sujeta , / i+ra con una 3recuencia de 1,"1 s91. a 3recuencia ;1 del modo normal in3erior es 1,14 s91.
a)
Comprue+a Comprue+a person personalme almente nte %ue las ecuac ecuaciones iones del del moimiento moimiento de / y son:
m m ω 0
+)
=
d $ x A dt $ d $ x B dt $
= −k 0 x A − k c ( x A − x B ) = −k 0 x B − k c ( x B − x A )
k 0 m
Si , demuestra %ue las 3recuencias angulares 1 y $ de los modos normales ienen dadas por: ω 1
= ω 0 < ω $ = [ω 0$ + ( $k c
m) ]
1
$
= %ue la 3recuencia angular de / cuando se sujeta >' 0 siempre) iene dada por: ω A
c)
= [ω 0$ + ( k c
m) ]
1
$
?tili@ando ?tili@ando los los datos numéri numéricos cos anterior anteriores es calcula calcula la 3recuenc 3recuencia ia esperada esperada >;$) del modo normal más alto. >El alor o+serado 3ue de $,$As91)
k c k 0 d)
/ partir partir de estos mismos mismos datos datos calcul calculaa el cociente cociente
, de las dos constantes de los muelles.
4) a mo moléc lécula ula de de CB CB$ puede asemejarse a un sistema constituido por una masa central m$ unida por muelles iguales de constante a dos masas m1 y m7 >siendo m7 m1).
a)
Plantea Plantea y resuele resuele las ecuacion ecuaciones es de los dos modos modos normale normaless en los cuales cuales las masas masas oscilan oscilan a lo lar largo de la recta ecta %ue %ue une une sus centr ntros. os. >a >a ecua ecuaccin in de moim oimie ient nto o par para m7 es
m7 ( d $ x7 dt $
= −k ( x7 − x$ )
θ
+)
y pueden escri+irse ecuaciones semejantes para m1 y m$) 2aciendo m1 m7 1 unidades y m$ 1$ unidades (Cuál será el cociente de las 3recuencias de am+os modos, admitiendo %ue 3uese aplica+le la descripcin clásica*
&) El es% es%ue uema ma mue muest stra ra una una mas masaa D1 so+re un plano sin ro@amiento unida a un soporte B mediante un muelle de rigide@ . a masa D$ está sujeta a D1 mediante una cuerda de longitud l.
a)
?tili@ando ?tili@ando la apro'imac apro'imacin in de oscilacion oscilaciones es pe%ueas: pe%ueas:
sin sin θ ≈ tan θ =
x $
− x1 l
= partiendo de F ma, deduce las ecuaciones de moimiento de D1 y D$:
M 1 x1
+)
g
= −kx1 − M $ ( x $ − x1 ) l
M $ x $
=−
M $ g l
( x $ − x1 )
Para D1 D$ D7, utili@a las ecuaciones para o+tener las 3recuencias normales del sistema.
g l >> k M c)
(Cuáles (Cuáles son los los moim moimientos ientos de modo modo normales normales para D1 D$ D y
*
)
Se sujeta sujeta por sus e'trem e'tremos os a dos soportes soportes 3ijos 3ijos una cuerda cuerda de longitud longitud 7l y masa masa desprecia+ desprecia+le. le. a tensin de la cuerda es G.
A pn
= C n sin sin θ
a)
Se sujeta sujeta una una partcul partculaa de masa m a una distan distancia cia l de un e'tremo e'tremo de la cuerda, cuerda, como como está está indicado. indicado. Escri+e la ecuacin ecuacin para las oscilacion oscilaciones es transers transersales ales pe%ueas de m y Halla el perodo. +) Se une una partcula adicional de masa m a la cuerda como se e en la 3igura, diidiéndola en tres segmentos iguales cada uno de ellos con tensin G. -i+uja el aspecto de la cuerda y la posicin de las masas masas en los dos modos normales normales separados de las las oscilaciones transersales. transersales. c) Calcula Calcula para el modo modo normal normal %ue tenga tenga mayor mayor 3recuencia 3recuencia.. A)
Considera Considerando ndo un sistema sistema de I oscila osciladore doress acoplados acoplados asociados asociados a una una 3recuencia 3recuencia J $ $0, es decir,
y 0
= 0< y N +1 = h cos ω t . 2alla las amplitudes resultantes de los I osciladores.
Kndic Kndicac acio ione nes: s:
as as ecu ecuac acio ione ness di3 di3er eren enci cial ales es del del mo moim imie ient nto o son son las las mis misma mass %ue %ue en el caso caso sin sin impuls impulsar ar,, slo slo son di3ere di3erente ntess las condic condicion iones es lmite lmite.. -e a%u a%u %ue pueda pueda
A p
sin α p = C sin
ensayarse , y determinar as los alores necesarios de L y C. Si J $0, L es complejo y las ondas se amortiguan e'ponencialmente en el espacio.
Ejercicios Mesueltos: 1)
Se unen dos péndulos idénticos mediante un muelle de acoplamiento ligero. Cada péndulo tiene una longitud de 0,4 m y están situados en un lugar donde g !," m#s$. Estando conectado el muelle de acoplo, se sujeta uno de los péndulos y se encuentra %ue el periodo del otro es de 1,$& s. e'actamente.
a)
Si ninguno de los péndulos está sujeto (Cuáles son los perodos de los dos modos normales*
Seg8n imos en clase, los dos modos normales de i+racin son:
$
ω 0
= g l
-onde , %ue será la elocidad angular de los péndulos. En el primero los dos péndulos oscilan en 3ase y por tanto no inducen elongacin en el muelle %ue los une, mientras %ue en el π
segundo los dos péndulos tienen un des3ase de muelle %ue los une.
$ y por tanto am+os inducen elongacin en el
Por tanto las ecuaciones dinámicas para este sistema serán:
d $ x $ ma = m dt $ − ( − ω 0 x d $ x $ ma = m dt $ − ( − ω 0 x
A
A
B
B
$ d x ) = −kx + kx ⇒ m $ + mω 0$ x + kx − kx = 0 dt $ d x ) = −kx + kx ⇒ m $ + mω 0$ x + kx − kx = 0 dt A
A
B
B
A
A
A
B
B
B
A
B
Si reordenamos las ecuaciones del sistema o+tendremos:
m m
d $ x A $
dt
d $ x B $
dt
+m
$ ω 0 A
+m
x
$ ω 0 B
x
+ kx A − kx B = m + kx B − kx A = m
d $ x A $
dt
d $ x B $
dt
+ mω 0$ x A + k ( x A − x B ) = 0 + mω 0$ x B − k ( x A − x B ) = 0
Como los sistemas de ecuaciones di3erenciales simultáneas son, en general di3ciles de resoler, +uscamos com+inaciones lineales %ue nos permitan resoler cada sistema por separado.
m m m
d $ x A $
dt d $ x B dt $ d $ ( x A
+m
$ ω 0
x A
+ k ( x A − x B ) = 0
m
+ x B )
dt
$
dt d $ x B
+ mω 0$ x A + k ( x A − x B ) = 0
− m $ + mω 0$ x B − k ( x A − x B ) = 0 dt $ d ( x A − x B ) m + mω 0$ ( x A − x B ) + $k ( x A − x B ) = 0 $
+ mω 0$ x B − k ( x A − x B ) = 0 $
d $ x A
+ mω 0$ ( x A + x B ) = 0
dt
Nue son los modos normales de i+racin, por lo %ue todo el sistema %ueda reducido a estas dos ecuaciones di3erenciales:
$ ( ) + + = 0 m x x ω ⇒ m d $ q1 + mω $ q = 0 A B 0 $ dt 0 1 dt $ q1 = ( x A + x B ) m
m
d $ ( x A + x B )
d $ ( x A − x B )
dt $ q$ = x A − x B
+ mω 0$ ( x A − x B ) + $k ( x A − x B ) = 0 d $ q$ $ ⇒ m $ + mω 0 q$ + $kq$ = 0 dt
Si resolemos estos sistemas emos %ue la solucin para %1 y %$ será: d $ q1 q1 = ( x A + x B ) ⇒ m + mω 0$ q1 = 0 $ dt $ d q $ m + mω 0$ q $ + $kq$ = 0 $ dt $ d q $ d $ q $ k $ q $ = ( x A − x B ) ⇒ ⇒ + ω 0 q$ + $ q$ = $ + ω 0$ q $ + $ω c$ q$ $ m dt dt $ $ = d q $ + (ω $ + $ω $ ) q = d q $ + ω O $ q = 0 c 0 $ $ dt $ dt $
⇒
d $ q1 $
dt
+ ω 0$ q1 = 0
d $ q $ = ⇒ $ + ω O $ q$ = 0 dt
Por lo tanto tendremos %ue los alores de la elocidad angular para cada modo normal será:
ω 0
=
g l
ω O
=
$
ω 0
+ $ω c$ ⇒ ω c =
k m
El alor del periodo del primer modo normal de i+racin es muy sencillo, será el mismo %ue el de un péndulo con la misma longitud %ue nos indican en el enunciado: ω 0 ω 0
l ⇒ $π = $π f = T =
g
g l
=
$π
T
⇒ T = $π
l g
= $π
0,4 !,"
= 1,$A s
El segundo modo normal es un poco más di3cil por%ue me@cla el periodo del oscilador armnico con el periodo del péndulo. Podemos o+tener éste a partir del periodo del sistema, manteniendo 3ijo uno de los péndulos, dado %ue si se mantiene 3ijo uno de los péndulos el péndulo restante se comporta como si no estuiera acoplado. El sistema %uedará:
Si planteamos la ecuacin dinámica para este sistema o+tendremos:
d $ x B d $ x B $ ma = m − ( − ω 0 x B ) = −kx B ⇒ m $ + mω 0$ x B + kx B = 0 ⇒ $ dt dt
⇒
d $ x B $
dt
+
$ ω 0 B
x
+
k m
x B
=0⇒
⇒
d $ x B
d $ x B $
dt
+
$
dt
$ ω 0 B
x
+
=0⇒
$ ω c
x B
+ ω P$ x B = 0 ⇒ ω P =
d $ x B $
dt
+ (ω 0$ + ω c$ ) x B = 0 ⇒
+ ω c$
$
ω 0
Como ya sa+emos el alor de G0 y G6, podemos o+tener el alor de Gc: ω P
$
$
$
$
$ $π 1 1 $π + ω c ⇒ = π + ⇒ = $ π T T + T ⇒ T P T T P 0 c 0 c $ $ $ $ $ 1 1 1 1 $ 1 1 ⇒ = + ⇒ = − ⇒ T P T T T T P T 0 c c 0
=
$ ω 0
⇒ T c =
$π
$
1 $
1 T P
$
1 − T 0
1
=
$
1 T P
$
1 − T 0
1
=
1 !," $π 0,4
−
= 0,&& s
1
(1,$&) $
Por tanto una e@ Hemos o+tenido Gc, ya podemos o+tener el periodo del segundo modo normal de i+racin. ω O ω c
+ $ω c$ $π k $π T O = = = m T c
=
$
ω 0
⇒ T O =
$
$
$π $π + $ T = $π T 0 c 1 1
T 0$
+
$
T c$
=
1 $ 0
T
+
1 1 !," $π 0,4
+
$
( 0,&&) $
$ $ c
T
= $π
= 0,71 s
1 g $π l
+
$
T c$
⇒
+)
(Cuál es el interalo de tiempo entre dos amplitudes posi+les má'imas sucesias de un péndulo después %ue uno de ellos se retira lateralmente y luego se deja en li+ertad*
El moimiento del sistema corresponderá a la superposicin de las ecuaciones de moimiento de los dos modos normales de i+racin. Si resolemos las ecuaciones di3erenciales para cada una de las coordenadas normales, o+tendremos:
C e i t − C e −i t ⇒ q = C sin ( ω t ) = − q i 1 0 1 $ t $ ⇒ q O1 = C e i t + C e −i t ⇒ qO1 = C cos( ω 0 t ) $ $ D D q $ = −i e i Ot − e −i Ot ⇒ q $ = D sin ( ω O t ) Ot $ $ ⇒ D D qO $ = e i Ot + e −i Ot ⇒ q O $ = D cos( ω O t ) $ $ ω 0
q1
= Ce i
ω 0
ω 0
ω 0
ω 0
ω
q$
= Ce i
ω
ω
ω
ω
Como %uiera %ue el moimiento real de los péndulos es una superposicin de estas coordenadas, o+tenemos el moimiento de los péndulos desHaciendo la com+inacin lineal %ue usamos para o+tener %1 y %$:
x A
x B
x = 1 ( C sin ( ω t ) + D sin ( ω O t ) ) 0 A $ 1 = ( q1 + q$ ) ⇒ $ x A = 1 ( C cos( ω 0 t ) + D cos( ω O t ) ) $ x = 1 ( C sin ( ω t ) − D sin ( ω O t ) ) 0 B $ 1 = ( q1 − q$ ) ⇒ $ x B = 1 ( C cos( ω 0 t ) − D cos( ω O t ) ) $
Esta adicin9sustraccin de senos y cosenos la podemos desarrollar como un producto de senos y cosenos.
x x x x
A
A
B
B
1 1 1 1 1 = ( A0 sin ( ω 0t ) + A0 sin ( ω O t ) ) = A0 $ sin ( ω 0t + ω O t ) cos ( ω 0t − ω O t ) = A0 sin ( ω 0 + ω O) t cos ( ω 0 − ω O) t $ $ $ $ $ $ 1 1 1 1 1 A0 = ( A0 cos( ω 0t ) + A0 cos( ω O t ) ) = $ cos ( ω 0t + ω O t ) cos ( ω 0t − ω O t ) = A0 cos ( ω 0 + ω O) t cos ( ω 0 − ω O) t $ $ $ $ $ $ 1 1 1 1 1 = ( A0 sin ( ω 0t ) − A0 sin ( ω O t ) ) = A0 $ cos ( ω 0t + ω O t ) sin (ω 0t − ω O t ) = A0 cos ( ω 0 + ω O) t sin ( ω 0 − ω O) t $ $ $ $ $ $ 1 1 1 1 1 A0 = ( A0 cos( ω 0t ) − A0 cos( ω O t ) ) = $ sin ( ω 0t − ω O t ) sin ( ω 0t + ω O t ) = A0 sin ( ω 0 − ω O) t sin ( ω 0 + ω O) t $ $ $ $ $ $
En cual%uier caso emos %ue el moimiento de los péndulos presenta una pulsacin con una elocidad angular :
1
∆ω = ( ω 0 − ω O) $
= una enolente %ue tiene una elocidad angular: ω
1
= ( ω 0 + ω O) $
Si representamos grá3icamente el moimiento de los péndulos, emos %ue el interalo entre dos amplitudes má'imas es el periodo de la enolente:
T = $π
T = $π
∆ω
∆ω
2.00
Q/
1.00
2.00
Q
1.00
0.00 -1.00
0.00 0.00 -1.00
0.00
10.00
10.00
-2.00
-2.00
Como regla mnemotécnica piensa %ue la elocidad angular más pe%uea será la de la enolente, dado %ue es la %ue oscila menos eces por unidad de tiempo. Por tanto, lo %ue nos están pidiendo en el ejercicio es:
1 ∆ω = ( ω 0 − ω O) $ $π = 1 $ $π − $π T ⇒ = = 1 1 $π T T T $ O 0 − ω = T 0 T O T
$ 1 0,71
−
1
= 0,"1 s
1,$A
Como %uiera %ue, a priori, es imposi+le decidir cuál de los dos periodos será mayor, el orden de éstos se decide cuándo se reduce al alor numérico de tal manera %ue el resultado Ha de ser siempre positio.
$)
-os osciladores armnicos / y , de masa m y constantes / y , respectiamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante C. 2alla las 3recuencias normales 5 y 6 y descri+e los modos
k C $
= k A k B
normales de oscilacin si se cumple la relacin:
.
os dos modos normales %ue encontramos para este sistema serán:
En el primer modo normal se estiran los muelles / y , aun%ue des3asados, pero no el muelle C, y en cam+io en el segundo modo normal se estiran todos los muelles, i+rando en 3ase los muelles / y y estando el muelle C des3asado con respecto a / y . Por tanto las ecuaciones dinámicas serán:
m m xC
d $ x A $
dt
d $ x B dt $
= −k A x A − k C xC = −k B x B − k C xC
= ( x A − x B )
x C
Si consideramos %ue , con respecto a '/, pero entonces o+tendremos las siguientes ecuaciones dinámicas:
m m
d $ x A dt $ d $ x B $
dt
= −k A x A − k C ( x A − x B ) ⇒ m = −k B x B − k C ( x B − x A ) ⇒ m
d $ x A dt $ d $ x B $
dt
= ( x B − x A ) , con respecto a '
= −k A x A − k C ( x A − x B ) = −k B x B + k C ( x A − x B )
/ partir de estas ecuaciones dinámicas podemos o+tener las coordenadas normales del sistema, %ue serán las %ue e'presan los modos normales de i+racin:
m m m
d $ x A $
dt d $ x B dt $ d $ ( x A
= −k A x A − k C ( x A − x B ) = −k B x B + k C ( x A − x B ) + x B )
dt $
= −k A x A − k B x B
m
d $ x A dt $ d $ x B
= −k A x A − k C ( x A − x B )
− m $ = −k B x B + k C ( x A − x B ) dt $ d ( x A − x B ) m = −k A x A + k B x B − $k C ( x A − x B ) $ dt
Pero como emos no es posi+le ir más allá, por%ue para aan@ar por este método necesitaramos %ue se cumpliera la condicin adicional %ue / .
Para sortear este escollo y resoler el sistema, recurriremos a un método algo más general. Proponemos las siguientes 3unciones de prue+a:
x A
= C A e
x B
= C B e i
iω t
ω t
dx A dt dx B dt
= iC Aω e
iω t
= iC B ω e i
ω t
d $ x A
= −C Aω $ e i
ω t
$
= −C B ω $ e i
ω t
$
dt d $ x B dt
Kntroducimos aHora estas 3unciones de prue+a en la ecuacin di3erencial: $
m m
d x A $
dt
d $ x B dt $
= −k A x A − k C ( x A − x B ) ⇒ − mC Aω $ei t = −k AC Aei t − k C ( C Aei t − C Bei t ) ⇒ −mC Aω $ = −k AC A − k C ( C A − C B ) ω
ω
ω
ω
= −k B x B + k C ( x A − x B ) ⇒ −mC Bω $ei t = −k BC Bei t + k C ( C Aei t − C Bei t ) ⇒ −mC Bω $ = −k BC B + k C ( C A − C B ) ω
ω
ω
ω
/ partir de estas ecuaciones o+tenemos el alor de C/ y C:
− mC Aω $ = −k A C A − k C ( C A − C B ) − mC Aω $ = −k A C A − k C C A + k C C B ⇒ ⇒ $ $ − mC Bω = −k B C B + k C ( C A − C B ) − mC B ω = −k B C B + k C C A − k C C B − mC Aω $ + k A C A + k C C A = k C C B − mC Aω $ + k AC A + k C C A = k C C B ⇒ ⇒ ⇒ − mC B ω $ + k B C B + k C C B = k C C A − mC B ω $ + k B C B + k C C B = k C C A k C C A = ( − mω $ + k A + k C ) C A = k C C B C B − mω $ + k A + k C ⇒ ⇒ ( − mω $ + k B + k C ) C B = k C C A C A − mω $ + k B + k C C B = k C Podemos utili@ar la e'presin de estos cocientes para o+tener el alor de como el resultado de una ecuacin de segundo grado:
C A C B
=
k C
=
− mω $ + k B + k C
⇒ k C $ = ( − mω $ + k B + k C )( − mω $ + k A + k C ) ⇒
k C − mω + k A + k C ⇒ k C $ = m $ω 4 − mk Aω $ − mk C ω $ − mk B ω $ + k A k B + k B k C − mk C ω $ + k A k C + k C $ ⇒ 0 = m $ω 4 − m( k A + k B + $k C )ω $ + ( k A k B + k B k C + k A k C ) $
Por lo tanto la ecuacin de segundo grado %ue Hay %ue resoler será:
0 = m ω $
4
− m( k A + k B + $k C )ω $ + ( k A k B + k B k C + k A k C )
/ partir de esta ecuacin o+tenemos los alores de , %ue serán la elocidad angular de los modos normales de i+racin:
$
ω
=
=
m( k A
+ k B + $k C ) ± ( m( k A + k B + $k C ) ) $ − 4m $ ( k A k B + k B k C + k A k C ) $m
m( k A
+ k B + $k C ) $m
=
k A
+ k B + $k C $m
( m( k A + k B + $k C ) ) $ − 4m $ ( k A k B + k B k C + k A k C )
±
$
±
$m
m $ ( k A
+ k B + $k C
=
k A
=
k A
$
$m
+ k B + $k C $m
+ k B + $k C ) $ 4m
±
4
( k A + k B + $k C ) $ 4m
+ k B k C + k A k C )
$
−
$
4m
−
=
$
4m ( k A k B
k A k B
4
+ k B k C + k A k C m$
=
=
=
$ k A + k B + $k C k A k B + k B k C + k A k C ± − $m m$
-e donde las elocidades angulares de los modos normales de i+racin serán: $ k + k + $k k A + k B + $k C k A k B + k B k C + k A k C A B C + ω O = − $ $m $m m $ k + k + $k k A + k B + $k C k A k B + k B k C + k A k C A B C ω P = − − $ $ $ m m m
k C $ Si se cumple la condicin de
1
$
1
$
= k A k B entonces el sistema %ueda simpli3icado: 1
$ $ k + k + $k k A + k B + $k C k A k B + k B k C + k A k C A B C ω O = + = − $ $m $m m 1
k A + k B + $k C ( k A + k B ) $ + $( k A + k B ) k C + 4k C $ k A k B + k B k C + k A k C $ = = + − $ $m m ( $m ) $ 1
k A + k B + $k C ( k A + k B ) $ + $k A k C + $k B k C + 4k C $ k A k B + k B k C + k A k C $ = = + − $ $ $m 4m m 1 k A + k B + $k C ( k A + k B ) $ + $k A k C + $k B k C + 4k C $ − 4( k A k B + k B k C + k A k C ) $ = = + $ $m 4m 1
k A + k B + $k C ( k A + k B ) $ + $k A k C + $k B k C + 4k C $ − 4k A k B − 4k B k C − 4k A k C $ = = + $ $m 4m 1 k A + k B + $k C ( k A + k B ) $ + 4k A k B − 4k A k B − $k B k C − $k A k C $ = = + $ $m 4m 1 1 k A + k B + $k C ( k A + k B ) $ − $k B k C − $k A k C $ k A + k B + $k C k A$ + k B$ + $k A k B − $k B k C − $k A k C $ = = + + = $ $ $m 4m $m 4m k + k + $k C = A B + $m
1
$
k A
$ k A + k B + $k C + k B$ + $k C $ − $k B k C − $k A k C = + $ $m 4m
$
k A
+ k B$ + $k C ( k C − k B − k A ) $ 4m
1
$
= por tanto %uedan los dos modos normales:
k A + k B + $k C + ω O = $m k A + k B + $k C P − ω = $m
$ A
k
$ A
k
+ k + $k C ( k C − k B − k A ) $ 4m
1
$ B
+ k
$ B
+ $k C ( k C − k B − k A ) $ 4m
$
1
$
7)
Se conectan dos o+jetos, / y , cada uno de ellos de masa m, mediante muelles, seg8n se e en la 3igura. El muelle de acoplo tiene una constante c, y los otros dos tienen una constante 0. Si se sujeta , / i+ra con una 3recuencia de 1,"1 s91. a 3recuencia ;1 del modo normal in3erior es 1,14 s91.
a)
Comprue+a personalmente %ue las ecuaciones del moimiento de / y son: $
d x A
m
$
dt
d $ x B
m
dt $
= −k 0 x A − k c ( x A − x B ) = −k 0 x B − k c ( x B − x A )
Kgualmente %ue el sistema del pro+lema anterior, presentará los siguientes modos normales de i+racin:
Por tanto las ecuaciones dinámicas del sistema serán:
m m xC
d $ x A dt $ d $ x B dt $
= −k 0 x A − k C xC = −k 0 x B − k C xC
= ( x A − x B )
xC
Si consideramos %ue , con respecto a ' /, pero a ' entonces o+tendremos las siguientes ecuaciones dinámicas:
= ( x B − x A ) , con respecto
$
m
d x A dt $
= −k 0 x A − k C ( x A − x B )
$
m
d x B dt $
= −k 0 x B − k C ( x B − x A )
Nue son las ecuaciones dinámicas %ue nos indica+an al principio. ω 0
+)
=
k 0 m
Si , demuestra %ue las 3recuencias angulares 1 y $ de los modos normales ienen dadas por: ω 1
= ω 0 < ω $ = [ω 0$ + ( $k c
m) ]
1
$
= %ue la 3recuencia angular de / cuando se sujeta >' 0 siempre) iene dada por:
ω A
= [ω 0$ + ( k c
m) ]
1
$
Para Hallar los modos normales de i+racin del sistema Hemos de o+tener las ecuaciones dinámicas, en 3uncin de las coordenadas normales del sistema:
m m m
d $ x A
= −k 0 x A − k C ( x A − x B )
dt $ d $ x B dt $ d $ ( x A
= −k 0 x B + k C ( x A − x B ) + x B )
m
dt $ d $ x B
= −k 0 x A − k C ( x A − x B )
− m $ = −k 0 x B + k C ( x A − x B ) dt $ d ( x A − x B ) = −k 0 x A + k 0 x B − $k C ( x A − x B ) m $ dt
+ x B )
d ( x A $
m
= −k 0 x A − k 0 x B
dt $
d $ x A
= −k 0 ( x A + x B )
$
dt
d ( x A $
m
− x B )
dt $
= −k 0 ( x A − x B ) − $k C ( x A − x B )
Por tanto las ecuaciones dinámicas en 3uncin de las coordenadas normales serán:
q1
= ( x A + x B ) ⇒ m
d $ q1 dt $
= −k 0 q1
q$
= ( x A − x B ) ⇒ m
d $ q $ dt $
= −k 0 q $ − $k C q $
Si reordenamos estas ecuaciones di3erenciales o+tendremos:
d $ q1 dt $
+
k 0
q1
m
d $ q $
=0
dt $
+ ( k 0 + $k C ) q $ = 0
Por tanto las soluciones de estas ecuaciones di3erenciales serán: ω 1
= ω 0 =
k 0 m
ω $
=
k 0 m
+
$k C
m
=
$
ω 0
+
$k C
m
Si se sujeta una de las masas tendremos el siguiente es%uema:
= por tanto la ecuacin dinámica de la masa restante será:
m
d $ x A dt $
= −k 0 x A − k C x A = −( k 0 + k C ) x A ⇒
d $ x A dt $
+ 0+ m k
k C x A m
=0
a solucin a esta ecuacin di3erencial es por tanto: ω
=
k 0 m
+
k C m
=
$
ω 0
+
k C m
-e acuerdo con lo %ue Ha+amos isto antes. c)
?tili@ando los datos numéricos anteriores calcula la 3recuencia esperada >;$) del modo normal más alto. >El alor o+serado 3ue de $,$As91) El alor de ;1 nos da el alor de la 3recuencia de los osciladores de los e'tremos: ω 1
= ω 0 =
k 0 m
⇒ ω 1 = $πν 1 = $πν 0 ⇒ ν 1 = ν 0 = 1,14s −1
k C m a 3recuencia de oscilacin del sistema tra+ado nos indica el alor del cociente del %ue podemos o+tener el alor de ;$: ω
ω $
=
$
ω 0
+
=
$k C
m
$
ω 0
+
k C m
⇒ ω $ = ω 0$ +
k C m
⇒ ( $π ) $ν $ = ( $π ) $ν 0$ +
= ( $π ) $ν 0$ + $( $π ) $ (ν $ − ν 0$ ) = $π ⇒ ν $ =
$
ν 0
$
ν 0
k C m
⇒
k C m
, a partir
= ( $π ) $ (ν $ − ν 0$ )
+ $(ν $ − ν 0$ ) ⇒ $πν $ = $π
$
ν 0
+ $(ν $ − ν 0$ ) ⇒
+ $(ν $ − ν 0$ ) = (1,14) $ + $((1,"1) $ − (1,14) $ ) = $,$! s −1 k c k 0
d)
/ partir de estos mismos datos calcula el cociente
, de las dos constantes de los muelles.
Como no sa+emos el alor de m, no podemos determinar el alor de C y 0, pero podemos determinar el cociente entre las dos constantes elásticas:
= ( $π ) $ (ν $ −ν 0$ ) ⇒ k C = ( $π ) $ (ν $ −ν 0$ ) = ν $ −ν 0$ = 1,"1$ − 1,14$ = 1,&$ m $ $ k 0 1,14 ν 0 k 0 ( $π ) $ν 0$ $ $ = ( $π ) ν 0 m k C
4) a molécula de CB$ puede asemejarse a un sistema constituido por una masa central m$ unida por muelles iguales de constante a dos masas m1 y m7 >siendo m7 m1).
a)
Plantea y resuele las ecuaciones de los dos modos normales en los cuales las masas oscilan a lo largo de la recta %ue une sus centros. >a ecuacin de moimiento para m7 es
m7 ( d $ x7 dt $ )
= −k ( x7 − x$ ) y pueden escri+irse ecuaciones semejantes para m1 y m$)
-e acuerdo con lo %ue Hemos estado iendo en los sistemas anteriores, tam+ién presentará dos modos normales de i+racin en la direccin %ue une los centros de los átomos.
En el primer modo normal consideramos el átomo de car+ono estático y los átomos de o'geno en moimiento, en cam+io en el segundo, los átomos de o'geno estarán estáticos y el de car+ono en moimiento. as ecuaciones dinámicas por tanto serán:
m1 m$ m7
d $ x1 dt $ d $ x $ dt $ d $ x7 $
dt
= −k ( x1 − x$ ) = −k ( x$ − x1 ) − k ( x$ − x7 ) = −k ( x7 − x$ )
Como la primera y la segunda ecuacin se re3ieren a los átomos de o'geno son la misma, puesto %ue son indistingui+les uno de otro, por lo tanto el sistema %ueda reducido a:
m1 m$
d $ x1 dt $ d $ x $ $
dt
= −k ( x1 − x $ ) = −$k ( x $ − x1 )
/ partir de a%u podemos o+tener las ecuaciones en coordenadas normales:
d $ x1 = − ( − ) m$ m1 k x x 1 $ $ dt d $ x$ $ = ( − ) m1 m$ k x x 1 $ $ dt d $ ( x1 + x $ ) = −( m$ − $m1 ) k ( x1 − x$ ) m1m$ $ dt
d $ x1 = − ( − ) m$ m1 k x x 1 $ $ dt d $ x $ − m1 m$ $ = $k ( x1 − x $ ) dt d $ ( x1 − x $ ) = −( m$ + $m1 ) k ( x1 − x $ ) m1m$ $ dt
/l igual %ue en el pro+lema $ el método de las coordenadas normales no nos permite resoler el sistema, por lo tanto no %ueda más solucin %ue o+tener la solucin por el método general. Se plantean las 3unciones de prue+a:
x1
= C 1e
x $
= C $ e i
dx1
iω t
= iC 1ω e
dt dx$
ω t
iω t
= iC $ω e i
dt
ω t
d $ x1 $
= −C 1ω $ e i
$
= −C $ω $ e i
dt $ d x $ dt
ω t
ω t
Kntroducimos estas 3unciones de prue+a en las ecuaciones dinámicas de los n8cleos atmicos:
− m1C 1ω $ e i t = −k ( C 1e i t − C $ e i t ) − m1C 1ω $ = −k ( C 1 − C $ ) ⇒ ⇒ − m$ C $ω $ e i t = −$k ( C $ e i t − C 1e i t ) − m$ C $ω $ = −$k ( C $ − C 1 ) − m1C 1ω $ = −kC 1 − kC $ − m1C 1ω $ + kC 1 = −kC $ ⇒ ⇒ ⇒ − m$ C $ω $ = −$kC $ − $kC 1 − m$C $ω $ + $kC $ = −$kC 1 k C 1 = − C − m1ω $ + k $ ⇒ $ C 1 = − m$ω + $k C $ − $k ω
ω
ω
ω
ω
ω
/ partir de a%u podemos o+tener el alor de $ mediante una ecuacin de segundo grado:
− m$ω $ + $k =− = − $k C $ − m1ω $ + k − $k $ = ( − m$ω $ + $k )( − m1ω $ + k ) − $k $ = m1m$ω 4 − $m1k ω $ − m$ k ω $ + $k $ C 1
k
Por lo tanto la ecuacin %ue Hay %ue resoler es:
0 = m1 m$ω
4
− ( m$ + $m1 ) k ω $ + 4k $
= a partir de a%u ya podemos o+tener el alor de $ como resultado de esta ecuacin de $R grado.
ω
$
= = =
( m$ + $m1 ) k ± ( m$ + $m1 ) $ k $ − 1Cm1m$ k $ $m1 m$
( m$ + $m1 ) k ± k ( m$ + $m1 ) $ − 1Cm1 m$ $m1 m$
m$
+ $m1
$m1 m$
k ±
( m$ + $m1 ) $ − 1Cm1 m$ $m1 m$
=
=
k =
$ m$ + $m1 ( ) + − 1Cm1m$ m m $ $ 1 k = = ± $ $ $m1 m$ 4m1 m$ $ m + $m m m $ + 4 $ 1 $ 1 k = ± − m m m m m m $ $ 1 $ 1 $ 1 $
-e donde o+tenemos los alores para las elocidades angulares de los modos normales de i+racin:
m + $m $ 1 + ω O = $m1m$ m + $m $ 1 ω P = − $m1m$ +)
1
$ m$ + $m1 4 − k m m m m $ 1 $ 1 $ 1 $ $ m$ + $m1 4 k − m m $ m m 1 $ 1 $ $
2aciendo m1 m7 1 unidades y m$ 1$ unidades (Cuál será el cociente de las 3recuencias de am+os modos, admitiendo %ue 3uese aplica+le la descripcin clásica* Io podemos determinar el alor a+soluto de las 3recuencias por%ue no sa+emos la 3uer@a relatia del enlace de la molécula de CB$, pero si podemos o+tener los alores relatios de las 3recuencias:
m + $m 1 $ + $m1 m$ ω O = ω P m + m $ $ 1 − $m1m$ m + $m 1 $ + $m1m$ = m$ + $m1 − $m1 m$ 1$ + $S1C + $S1CS1$ = 1$ + $S1C − $S1CS1$
1
$
m$ + $m1 4 − $m1 m$ m1 m$ $
m$ + $m1 4 − $m1 m$ m1 m$
$ k = 1 $ k 1
$
m$ + $m1 4 − $m1m$ m1m$ $
m$ + $m1 4 − $m1m$ m1m$
$ = 1
$ − $S1CS1$ 1$S1C = $ 1$ + $S1C − 4 $S1CS1$ 1$S1C $
1$ + $S1C
1
4
0,11 + ( 0,11) − 0,0$ 0,11 + ( 0,11) − 0,0$ = = $ $ 0 , 11 0 , 11 0 , 0$ 0 , 11 0 , 11 0 , 0$ − − − − ( ) ( ) $
$
$
1
$
&)
El es%uema muestra una masa D1 so+re un plano sin ro@amiento unida a un soporte B mediante un muelle de rigide@ . a masa D$ está sujeta a D1 mediante una cuerda de longitud l.
a)
?tili@ando la apro'imacin de oscilaciones pe%ueas:
sin θ ≈ tan θ =
x $
− x1 l
= partiendo de F ma, deduce las ecuaciones de moimiento de D1 y D$:
M 1 x1
g
= −kx1 − M $ ( x $ − x1 ) l
=−
M $ x $
M $ g l
( x $ − x1 )
Si planteamos el sistema de 3uer@as:
as ecuaciones dinámicas serán:
M 1 M $
d $ x1 $
dt
d $ x $ dt $
= −kx1 − M $ g sin θ = − M $ g sin θ
Si planteamos la apro'imacin para ángulos pe%ueos, encontraremos:
M 1 M $
d $ x1 dt $ d $ x $ $
dt
x = −kx1 − M $ g $ x $
= − M $ g
− x1 l
− x1 l
⇒
M 1
⇒
M $
Nue son las ecuaciones %ue nos proponan inicialmente.
d $ x1 dt $ d $ x $ $
dt
g
= −kx1 − M $ ( x $ − x1 ) l
g
= − M $ ( x $ − x1 ) l
+)
Para D1 D$ D, utili@a las ecuaciones para o+tener las 3recuencias normales del sistema. Com+inamos aHora las dos ecuaciones anteriores para o+tener las ecuaciones dinámicas en 3uncin de las coordenadas normales del sistema:
M 1
d $ x1
M 1
dt $
= − kx1 − M $ ( x$ − x1 )
dt $
M $ d $ x1
g
M 1
l
d $ x $ dt $
+ M $
= − M $ ( x$ − x1 ) l
dt $
dt $
g
= − kx1 − M $ ( x$ − x1 ) l
d $ x $ g − M $ $ = − M $ ( x $ − x1 ) l dt
g
d $ x $
d $ x1
g
= −kx1 − $ M $ ( x$ − x1 ) l
d $ x1
M 1
dt $
− M $
d $ x $ dt $
= −kx1
Si D1 D$ D el sistema se simpli3ica enormemente, %uedando: $
M M
d x1
$
$
+ M
$
− M
dt $ d x1 dt
d x $ $
= −kx1 − $ M ( x $ − x1 ) ⇒
$
= −kx1
dt $ d x $ dt
+ x $ )
d ( x1 $
g l
⇒
$
=−
$
=−
dt $ d ( x1 − x $ ) dt
k M k M
x1
g
− $ ( x $ − x1 ) l
x1
Sin em+argo, nueamente >pro+lema $) no es posi+le resoler este sistema por el método de las coordenadas normales, puesto %ue no es posi+le Hallar una com+inacin lineal %ue nos separe completamente am+as. Io %uedará más solucin %ue recurrir al método general:
x1
= C 1e
x $
= C $ e i
iω t
ω t
dx1 dt dx$ dt
= iC 1ω e
iω t
= iC $ω e i
ω t
d $ x1 $
= −C 1ω $ e i
$
= −C $ω $ e i
dt $ d x $ dt
ω t
ω t
Kntroducimos estas 3unciones de prue+a en las ecuaciones iniciales, con la apro'imacin D1 D$ D
d $ x1 g g i t i t i t $ i t M dt $ = −kx1 − M l ( x $ − x1 ) − MC 1ω e = −kC 1e − M l ( C $ e − C 1e ) ⇒ ⇒ $ g d x g M $ = − M ( x − x ) − MC $ω $ e i t = − M ( C $ e i t − C 1e i t ) $ 1 dt $ l l − MC ω $ = −kC − M g ( C − C ) − MC ω $ = −kC − M g C + M g C 1 1 $ 1 1 1 $ 1 l l l ⇒ ⇒ ⇒ g g g $ $ − MC $ω = − M ( C $ − C 1 ) − MC $ω = − M C $ + M C 1 l l l − MC ω $ = −kC − M g C + M g C − MC ω $ + kC − M g C = − M g C 1 1 $ 1 1 1 1 $ l l l l ⇒ ⇒ ⇒ g g g g − C $ω $ = − C $ + C 1 − C $ω $ + C $ = C 1 l l l l g − M C 1 l = g g g $ C $ − C 1 = − M C $ M ω $ + k − M − M ω + k − M l l l ⇒ ⇒ g g − ω $ + g $ − ω + C $ = C 1 C 1 l l l = g C $ l ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
/ partir de estos cocientes e'traemos el alor de , a partir de una ecuacin de $R grado:
C 1
− M
=
− ω $ + g l =
g l
g − M ω $ + k − M g l l $ g g g − M = − ω $ + − M ω $ + k − M l l l $ $ g g g 4 $ $ g $ g − M = M ω − ω k + M ω − M ω + k − M l l l l l $ $ g g g 4 $ 0 = M ω − ω k + k − M + M l l l C $
g
0 = M ω
− ω $ k + k
4
l
Esta es la ecuacin de $R grado %ue Hay %ue resoler, por lo tanto:
k ± k $ $
ω
=
− 4k $ g l
$ M
1 − 4 g k $ g k ± k 1 − 4 l l = =
k ±
=
$ M
$ M
k $ M
±
k $ M
1− 4
g l
= as las 3recuencias de los modos normales de i+racin serán:
k k + ω O = $ M $ M
1− 4
k k $πν O = + $ M $ M k k ν O = + $π $ M $ M 1
g
1
k k − ω P = $ M $ M
$
l
1− 4
g
1− 4
1
k k $πν P = − $ M $ M
$
l g
l
1
1− 4
$
k k ν P = − $π $ M $ M 1
g
1
$
l
1− 4
g
1− 4
1
$
l g
1
$
l
g l >> k M c)
(Cuáles son los moimientos de modo normales para D1 D$ D y
*
g l >> k M Si , la 3recuencia de los modos normales de i+racin se conierte en imaginaria, por lo %ue el sistema se comportará como un péndulo 3ijo. o %ue estará sucediendo es %ue D es muy grande, comparado con la constante elástica del muelle y entonces no podrá i+rar, por lo %ue desaparece el acoplamiento, el 8nico moimiento posi+le, por tanto será el del péndulo.
)
Se sujeta por sus e'tremos a dos soportes 3ijos una cuerda de longitud 7l y masa desprecia+le. a tensin de la cuerda es G.
A pn a)
= C n sin θ
Se sujeta una partcula de masa m a una distancia l de un e'tremo de la cuerda, como está indicado. Escri+e la ecuacin para las oscilaciones transersales pe%ueas de m y Halla el perodo. El sistema de 3uer@as para el primer caso será:
a ecuacin dinámica por tanto será:
T cos α n +1 − T cos α n−1 = 0 d $ yn 0,−m $ = ( T cos α n+1 − T cos α n−1 , T sin α n +1 − T sin α n−1 ) d $ yn dt − m dt $ = T sin α n+1 − T sin α n−1 a ecuacin %ue nos interesa es la de la direccin ertical, ya %ue da un resultado di3erente de 0. Si aplicamos la apro'imacin para ángulos pe%ueos:
sin α ≈ tan α =
y n
− y n+1 l
Por tanto nos %uedará la ecuacin di3erencial: d $ y n
−m 7
= T sin α n +1 − T sin α n −1 = T
$
dt
T $l
y n
−
T $l
T $l
y n
−
− y n+1
− T
l
T $l
$ y n −1
T
−
$l
y n −1
− y n
$l
y n +1
⇒−
T
=
$l
d $ y n
( $ y n − $ y n+1 − y n −1 + y n ) =
=7
$
dt
T $lm
y n
−
T $lm
$ y n −1
−
T $lm
y n +1
d $ y n $ $ − dt $ = 7ω 0 y n − ω 0 ( $ y n −1 + y n+1 ) $ $ $ = 7ω 0 yn − $ω 0 y n −1 − ω 0 y n+1 ⇒ ω 0$ = T $lm
$
d y n
⇒−
( $ y n−1 + y n +1 ) = 7
y n
dt $
Como yn91 y ynT1 son los e'tremos de la cuerda están 3ijos, por lo %ue la ecuacin di3erencial %ueda:
$ 7 ω y = 0 n dt $ ⇒ ω $ = 7ω 0$ ⇒ ω = T $ ω 0 = $lm −
d $ y n
=
$ ω 0
7
7T
⇒
$lm
$π
T
=
7T $lm
⇒ T = $π
$lm
7T
+)
Se une una partcula adicional de masa m a la cuerda como se e en la 3igura, diidiéndola en tres segmentos iguales cada uno de ellos con tensin G. -i+uja el aspecto de la cuerda y la posicin de las masas en los dos modos normales separados de las oscilaciones transersales.
c)
Calcula para el modo normal %ue tenga mayor 3recuencia. a ecuacin di3erencial para una cuerda con n masas e%uiespaciadas será:
−m $
T l
d $ yn
= T sin α +1 − T sin α −1 = T n
$
dt
yn
n
T
− ( y −1 + y +1 ) = $ l
n
n
T l
yn
−
T l
yn
− y +1 n
l
yn −1 −
T l
− T
yn +1
yn −1 − yn
⇒−
l
T
= ( y − y +1 − y −1 + y ) = n
l
d $ yn dt $
=$
T lm
yn
n
−
T lm
⇒−
dt $
n
= $ω 0$ y − ω 0$ y n
n
yn −1 −
d $ y − $ = $ω 0$ y − ω 0$ ( y −1 + y +1 ) dt $ −1 − ω 0 y +1 ⇒ ω 0$ = T lm n
$
d yn
n
n
n
n
n
T $lm
yn +1
A pn
= C n sin θ
Si introducimos
A pn
como 3uncin de prue+a:
dA pn
= C n sin θ
= C n
dt
d θ dt
d $ A pn
cos θ
dt $
$
d θ = −C n sin θ dt
Kntroducimos aHora esta serie de ecuaciones en la ecuacin di3erencial:
C nω $ sin θ = $ω 0$ C n sin θ − ω 0$ ( C n−1 sin θ + C n+1 sin θ )
= $ω 0$ C n − ω 0$ C n−1 + ω 0$ C n+1 C n ω $ − $ω 0$ C n = −ω 0$ C n −1 + ω 0$ C n +1 $ $ ω − $ω 0 C − C = n+1 n−1 $ C nω $
C n
ω 0
a cuerda tiene 4 nodos, de los cuales el nodo 1 y el 4 están inmiles, por lo %ue los modos normales de i+racin serán: $
ω
− $ω 0$ $
ω 0 $
ω
− $ω 0$ $
ω 0 $
ω
− $ω 0$ $
ω 0 $
ω
− $ω 0$ $
ω 0
=
C $
=
C 7
=
C 1
=
C $
− C 1
C $ 0 − C $
C 7
=−
C 7
=∞
0
=
−0
C $
=1
= −1
=−
C 4
C 7
C 7
=∞
0
En los e'tremos la e'presin no es álida, por%ue están estacionarios, por lo tanto las soluciones del sistema serán: ω
$
− $ω 0$ $
ω 0
= ±1 ⇒ ω − $ $
$ ω 0
=±
$ ω 0
⇒ ω = $ $
$ ω 0
±
$ ω 0
ω $ = $ω 0$ + ω 0$ = 7ω 0$ ⇒ ω = 7ω 0 $ ω = $ω 0$ − ω 0$ = ω 0$ ⇒ ω = ω 0
a solucin %ue nos están pidiendo será la del modo normal %ue tenga mayor 3recuencia: ω
=
7ω 0
=
7T
lm
A)
Considerando un sistema de I osciladores acoplados asociados a una 3recuencia J $0, es decir,
y 0
= 0< y N +1 = h cos ω t . 2alla las amplitudes resultantes de los I osciladores.
Kndicaciones:
as ecuaciones di3erenciales del moimiento son las mismas %ue en el caso sin impulsar, slo son di3erentes las condiciones lmite. -e a%u %ue pueda
A p
= C sin α p
ensayarse , y determinar as los alores necesarios de L y C. Si J $0, L es complejo y las ondas se amortiguan e'ponencialmente en el espacio. En el ejercicio anterior o+tuimos la ecuacin di3erencial para un sistema con n masas e%uiespaciadas:
−
d $ y n dt $
= $ω 0$ y n − ω 0$ ( y n −1 + y n +1 )
$
ω 0
=
T lm
Kntroducimos aHora la e'presin %ue proponen en el enunciado. En primer lugar calculamos las deriadas:
A p
dA p
= C cos α p
dt
= . − Cp
d α dt
sin α p
d $ A p $
dt
= −Cp $ω $ cos α p
/Hora ya podemos introducir estas e'presiones en la ecuacin di3erencial:
= $ω 0$ C cos α p − ω 0$ ( C cos α ( p − 1) + C cos α ( p + 1) ) ( p $ω $ − $ω 0$ ) cos α p = −ω 0$ ( cos α ( p − 1) + cos α ( p + 1) ) p $ω $ − $ω 0$ cos α ( p − 1) + cos α ( p + 1) − = $
Cp $ω $ cos α p
cos α p
ω 0
− −
p $ ω $
− $ω 0$ $
ω 0
−
p $ω $
− $ω 0$
$ ω 0
=
=
cos( α p − α ) + cos( α p + α ) cos α p
cos α p cos α + sin α p sin α + cos α p cos α − sin α p sin α
p $ω $
cos α p
− $ω 0$ $
ω 0
=
cos α p cos α + cos α p cos α cos α p
= cos α
Por lo tanto o+tenemos %ue el alor de L será:
cos α =
−
p $ω $
− $ω 0$ $
ω 0
⇒ α = arccos −
− $ω 0$ $ ω 0
p $ω $
Si se Ha de cumplir %ue J $0, entonces p$ 1, y entonces %uedará:
ω $ − $ω 0$ α = arccos − $ ω 0 Como el e'tremo de la cuerda está li+re L de+e ser m8ltiplo de U en ese punto, para %ue se
y N +1 = h cos ω t cumpla %ue
:
( N + 1)α = pπ ⇒ α =
pπ
( N + 1)
