12- Circuitos Acoplados Magnéticamente 1.
Inductancia mutua
2.
Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente
3.
Convención de punto
4.
Modelo equivalente T
5.
Transformador lineal
6.
Transformador ideal
7.
Autotransformador
1 Inductancia mutua Hasta ahora, cuando analizamos circuitos con más de una bobina, consideramos que las mismas no estaban acopladas (es decir, el flujo de cada bobina no llegaba hasta las demás). demás). Consideremos ahora las las siguientes bobinas acopladas magnéticamente:
! " # representan la autoinductancia o inductancia propia de cada bobina, mientra que $ representa la inductancia mutua , el cual es un parámetro que relaciona el %oltaje inducido en un circuito con la corriente %ariable en el tiempo de otro circuito. &e define como: donde ' se conoce como el coeficiente de acoplamiento " es una medida del grado en el que el flujo producido por una bobina enlaza a la otra ( ' !). &i las bobinas no están acopladas, entonces '. a principal aplicaci*n de la inductancia mutua en los circuitos eléctricos se encuentra en los transformadores. Arriba
2 Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente magnéticamente
+ado un circuito con un par de bobinas acopladas magnéticamente, " siguiendo la con%enci*n de signo pasi%o, se asignan las corrientes " %oltajes como se obser%a en la figura:
+e esta manera, resulta que el %oltaje inducido %!(t) (o simplificando la nomenclatura: %!) está formado por el generado por la inductancia ! " el producido por la inductancia mutua $. gualmente, el %oltaje inducido %# está formado por el generado por la inductancia # " el producido por la inductancia mutua $.
Si sólo interesa la solución en estado estacionario, aplicando la Transformada Fasorial el sistema de ecuaciones se convierte en:
l si!no del se!undo t"rmino es posi#vo cuando los $u%os se suman:
& ne!a#vo si se restan:
-ara simplificar este tipo de análisis se emplea la con%enci*n de punto. Arriba
! Convención de punto a con%enci*n de punto nos permite esquematizar el circuito sin tener que preocuparnos por el sentido de los arrollamientos. +ada más de una bobina, se coloca un punto en algn terminal de cada una, de manera tal que si entran corrientes en ambas terminales con puntos (o salen), los flujos producidos por ambas corrientes se sumarán. &iguiendo esta con%enci*n, las bobinas acopladas presentadas pre%iamente pueden esquematizarse de la siguiente manera:
"egla general# si ambas corrientes entran (o salen) de los puntos, el signo del %oltaje mutuo será el mismo que el del %oltaje autoinducido. /n otro caso, los signos serán opuestos. Ejemplo 1: &i %(t)!0.!0 cos(! pi 1 #2), encontrar $2%rms& , I2%rms& " la potencia media consumida en la carga:
/n la representaci*n fasorial:
&egn los sentidos elegidos para las corrientes, I1 entra a un punto e I2 sale del otro, por lo tanto el signo del %oltaje mutuo será el opuesto al del %oltaje autoinducido:
n 'at(ema#ca:
Nota: la manera más rápida de obtener los %alores eficaces solicitados consiste en trabajar directamente con el %oltaje eficaz de la fuente n )Spice:
Notas:
en -&pice siempre el terminal de entrada de la bobina es el terminal con punto
al igual que en $athematica, en la fuente se ingresa como magnitud el %alor rms para obtener directamente los %alores rms de 3# e #
la fase de 3ac es la misma de %(t). Como no se realiza un análisis transitorio del circuito, no es necesario tener en cuenta que aunque %(t) es una funci*n cosenoidal, 3ac es una fuente senoidal.
/n el archi%o .out se obtiene la siguiente informaci*n: FREQ 5.000E+01
IM(V_PRINT4) 1.282E-02
IP(V_PRINT4) 1.034E+02
..... FREQ 5.000E+01
VM(V2) 3.080E+00
VP(V2) 7.970E+01
que coincide con los resultados obtenidos en $athematica. /n cuanto a la potencia media en la carga: - .!#4#56.45cos(78.79!6.0)6.# ;m<= /ste %alor también se puede obtener gráficamente en -&pice >+ si se ingresa la siguiente e?presi*n: V(V2)* I(R2)* COS((P(V(V2))-P(I(R2)))*p!180)
Ejemplo 2:
&i %(t)!0.!0 cos(! pi 1 #2), encontrar $2%rms& e I2%rms&:
&egn los sentidos elegidos para las corrientes, I1 entra a un punto e I2 entra en el otro, por lo tanto el signo del %oltaje mutuo será el mismo al del %oltaje autoinducido:
n 'at(ema#ca:
n )Spice:
/jemplo#
/n el archi%o .out se obtiene la siguiente informaci*n: FREQ 5.000E+01
IM(V_PRINT4) 1.282E-02
IP(V_PRINT4) -7.""2E+01
..... FREQ 5.000E+01
VM(V2) 3.080E+00
VP(V2) -1.003E+02
que coincide con los resultados obtenidos en $athematica. Arriba
' Modelo equivalente T @n par de bobinas acopladas magnéticamente también pueden ser modelas a partir de 6 bobinas sin acoplamiento magnético:
+emostraci*n a partir de la comparaci*n de los sistemas de ecuaciones que surgen de aplicar mallas a ambos circuitos:
Como se mencionó al inicio, la principal aplicación de la inductancia mutua en los circuitos eléctricos se encuentra en los transformadores. A continuación vamos a analizar dos modelos de transformadores: el lineal y el ideal. Arriba
( Transformador lineal @n transformador puede ser o no lineal. &e dice que es lineal cuando e?iste una relaci*n lineal entre el flujo magnético " las corrientes en las bobinas. /sto ocurre cuando las bobinas no se de%anan sobre ncleos magnéticos. /jemplo: transformador con ncleo de aire.
/l siguiente modelo permite analizar el comportamiento de un transformador lineal:
donde: A!1j! impedancia del primario B! A#1j# impedancia del secundario B# >hora analicemos un circuito básico, donde el transformador acopla una fuente sinusoidal 3s(t) (con impedancia interna Bs) con una carga B:
-lanteando mallas:
donde, para simpli*car:
+el sistema de ecuaciones sur!e la impedancia vista por la fuente ideal:
uiere decir que el circuito puede reemplazarse por:
donde Br se conoce como la impedancia del secundario reflejada en el primario, o simplemente impedancia refle)ada . Como la inductancia mutua aparece ele%ada al cuadrado, n*tese que Br es independiente de la polaridad magnética del transformador. +esarrollando el término B##, Br puede e?presarse de otra manera:
donde la reactancia de la carga, D oad , lle%a su propio signo (positi%o si la carga es inducti%a " negati%o si es capaciti%a). &i no estu%iera presente el transformador, la fuente real %erEa solamente la impedancia de carga. /l resultado anterior nos indica la manera en que el transformador afecta al circuito. >hora, la fuente real %e la conjudada de la impedancia total del secundario afectado por un factor de escala. Arriba
* Transformador ideal @n transformador de F! espiras en el primario " F# espiras en el secundario, se considera ideal si %erifica las siguientes condiciones:
'!
! #
A! A# (pérdidas insignificantes en los de%anados)
/n la práctica, el comportamiento de un transformador con ncleo ferromagnético se apro?ima bastante al de un transformador ideal. /n este tipo de transformadores se puede demostrar que:
siempre " cuando los %oltajes $1 " $2 sean ambos positi%os o negati%os en las terminales con punto, caso contrario F#GF! 9 $2 G$1 F#GF! se conoce como raz*n de transformaci*n de un transformador ideal. >demás también se cumple que:
siempre " cuando ambas corrientes I1 e I2 entren o salgan de las terminales con punto, caso contrario F#GF! I1 GI2 Ejemplo:
+bservación#
/n los transformadores de ncleo ferromagnético debe tenerse en cuenta los efectos de la frecuencia. &egn se trabaje en baja, media o alta frecuencia, el modelo del transformador cambia para tener en cuenta los parámetros de ma"or peso correspondiente a cada rango de f (ma"ores detalles en o"lestad 9 secci*n #I.7).
Arriba
, Autotransformador /ste tipo de transformador emplea un de%anado comn para la entrada " salida del circuito:
+es%entaja: no e?iste aislamiento entre primario " secundario.
3entaja: menor tamaJo, peso " costo para determinada potencia que su equi%alente comn. &e puede obtener un autotransformador si se conectan en serie los de%anados de un transformador comn. Arriba
Teora de Circuitos I - .ltima modificación# $a"o #4, ##
