MOVIMIENTO TRIDIMENSIONAL TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO El movimiento tridimensional de un cuerpo rígido que se estudia en este apartado es considerablemente más complicado complicado que el movimiento bidimensional estudiado en apartados anteriores de este capítulo. No tan sólo los puntos del cuerpo se mueven en el espacio tridimensional sino que, además, varían con el tiempo las direcciones de los vectores velocidad angular y aceleración angular. El tratamiento vectorial no solamente es útil en la descripción del movimiento, sino que es absolutamente absolutamente necesario para describir el movimiento movimiento de cuerpos en tres dimensiones. Antes de entrar en el estudio de un movimiento tridimensional cualquiera de un cuerpo rígido o el caso particular de su rotación en torno a un punto fjo, será necesario considerar algunos aspectos de las rotaciones de cuerpos rígidos en le dimensiones.
TEOREMA DE EULER El teorema de Euler dice que ada cuerpo rígido sin alrededor del punto fjo, toda posición del cuerpo se puede obtener a partir de cualquier otra posición mediante una sola rotación en tormo a un cierto eje que pasa por dic!o punto fjo .
"ara demostrar el teorema de Euler. onsideremos el movimiento de un cuerpo rígido que gire alrededor de un punto fjo A. El punto B representa la posición de un punto arbitrario en cierto instante y el punto 8' representa su posición en un instante posterior #fg. $%&'(). omo el cuerpo es rígido, el punto B deberá moverse sobre una superfcie es*+rica de radio posicione s R centrada en A. a cáscara es*+rica indicada representa las posiciones posible- del punto B duran te el movimiento. Al punto que en la posición inicial del cuerpo ocupa el lugar B' le llamaremos C y pasará a C en la posición fnal fnal en virtud de este mismo movimiento. omo la pos$ción fnal de /es la misma que la posición inicial de . ambos puntos se !allan a la misma distancia de A y ambos ambos se moverán moverán sobre sobre la misma superfcie es*+rica. a confguración de un cuerpo rígido queda determinada por tres cuales quiera de sus puntos. "or tanto, la demostración del teorema e0ige
demostrar que el movimiento del cuerpo que lleva el punto R a 8' puede obtenerse mediante una sola rotación en torno a un cierto eje que pase por A y que esta misma rotación lleva el punto e a 1. omo los puntos B, B' 2 e y 1 se !allan sobre una misma superfcie es*+ri ca, los arcos de circulo má0imo Be #distancia entre los puntos B y en la posición inicial del cuerpo) y B'C' #distancia entre los puntos B y en la posición fnal del cuerpo) deberán ser iguales en virtud de la rigide3 de +ste. En la superfcie es*+rica de centro en 1\ y radio R, construyamos los círculos má0imos que buscan ortogonalmente a lo-.4 arcos BB' y .5ic!os círculos se cortan en dos puntos, uno de los cuales se !a rotulado 5en la fgura $%&'(. "or último tracemos los arcos de círculo má0imo /5, B'D 2eo y e1O .En virtud de su construcción, esto arcos serán iguales. "or tanto, los dos triángulos es*+ricos 88 de 1 serán iguales y el ángulo $67 que *orman las tangentes en O a B D y B'D será igual al que *orman las tangentes en O a CO y e1 O. Así pues, una rotación de magnitud lP en el sentido adecuado alrededor de AD llevará 8 sobre B' y sobre 1. 5eterminando ,a posición fnal del cuerpo a partir de suposición inicial. 8egún re3a el teorema de Euler. Rotaciones finitas (no son vectores) 5el teorema de Euler se deduce que el movimiento durante un intervalo de tiempo A6 de un cuerpo rígido que tenga un punto fjo puede considerarse que es una rotación t..9en tomo a un cierto eje. Esto podría representarse mediante un vector dirigido según el eje de rotación y de módulo igual a7 valor de la ro tación. "or ejemplo, para decignar la rotación de la fgura $%&'(podría utili3ar se la e0presión :; 2 *<;eA=;> 8in embargo. aun cuando estas e0presiones defnen módulo, dirección y sentido, no obedecen a las reglas de adición de vectores y no son vectores a menos que las rotaciones sean infnitesimales. ?ediante un ejemplo sencillo podemos mostrar que las rotaciones fnitas no obedecen a las reglas de adición de vectores. @omemos un libro y estable3camos un sistema de coordenadas como se indica en la fgura $%&''a. 8ean t..9 2BCi y t..B BCj, que representan rotaciones anti !orarias de BC alrededor de los ejes 0 e y respectivamente la rotación ?7r Dt..B$$ #es decir, la rotación j, 9 seguida de la rotación t.. #7v) da como resultado la poiaón fnal representada en la fgura $%&''b. En cambio. la rotación t..9y DA 9,0#es decir, la rotación t..$$ seguida de la rotación 7.9.0) da lugar a la posición fnal representada en la fgura $%&''c. Evidentemente, estas posiciones fnales no coinciden y la 11suma de las rotaciones depende del orden en que se escriban totales. Aun cuando pueden representarse mediante segmentos orientados 2
?ovimiento tridimensional de un cuerpo rígido
