Ampliación
UNIDAD 4 / Tema 6 Física
Movimiento de un cuerpo extenso y B
B
r 1
B B A
A
A
A
A
A
A
A
r 3
r 12
B
A
r 2
A B
r 4
r 11
r 5 x
B
B B
A
B
A
r 9
B B B
¿Cómo podemos describir el movimiento en un plano de un cuerpo que no es un punto, es decir, cuya dimensión no es despreciable? Lo primero que podemos decir, aunque pueda parecer ingenuo, es que un cuerpo grande está formado por muchos cuerpos pequeños. Entonces, podríamos establecer que, para describir su movimiento, alcanza con describir el movimiento de cada uno de sus pedacitos. ¿Y cuántos pedacitos hay en una llave francesa, por ejemplo? Tantos como se nos antoje… Más aún; podemos po demos dividirla indefinidamente, hasta conseguir un conjunto “infinito” de puntos. Pero resolver las ecuaciones de movimiento para cada pedacito parecería una complicación innecesaria. Debemos usar alguna información que permita evitar esto. Hay algo que sabemos; la llave francesa no cambia de forma, ni sus puntos intercambian el lugar que ocupan mientras se desplazan como un todo. Podemos entonces elegir un punto de la llave francesa, determinar cómo se mueve y luego referir el movimiento de todos los otros puntos a este punto de referencia, sabiendo que la distancia que separa a cada punto del punto en cuestión se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento. La cuestión ahora es elegir un punto de referencia dentro del cuerpo que haga que la descripción del movimiento de todos los otros puntos resulte lo más sencilla posible. De todos los puntos que componen un cuerpo, existe uno que es sumamente especial, llamado centro de inercia o de masa. ¿Por qué decimos que es especial? Porque todo el cuerpo, mientras se traslada, rota alrededor de ese punto. Entonces, para estudiar el movimiento de un cuerpo rígido, basta con estudiar cómo se traslada el centro de inercia y cómo es la rotación de los otros puntos alrededor de él. En la fotografía vemos las posiciones que ocupó una llave francesa, lanzada sobre la superficie de una mesa pulida y lubricada (para evitar, que la llave roce con la superficie). Miren atentamente la trayectoria que describe el punto A: se mueve sobre una recta, recorriendo espacios iguales en tiempos iguales. El movimiento del punto
r 6
r 10
A
r 8
r 7
A es rectilíneo y uniforme, no describe rotaciones, de la misma manera en que lo haría un cuerpo puntual lanzado con cierta velocidad inicial sobre la mesa. El pun to A es el centro de inercia de la llave francesa. Estudiemos, ahora, el movimiento de otro punto de la llave; el punto B, por ejemplo. Como nos interesa describir el movimiento de este punto con respecto al centro de inercia del cuerpo, traslademos los vectores posición a un origen común. ¿Qué es lo que observamos? El punto B rota uniformemente alrededor del punto A, mientras se traslada como un todo. Es decir que para describir el movimiento de los infinitos puntos de un cuerpo rígido necesitamos ne cesitamos conocer sólo dos magnitudes: • La velocidad con que se traslada el centro de inercia del cuerpo. • La velocidad de rotación del cuerpo alrededor del centro de inercia.
Propuesta de trabajo 1.
¿En qué otro caso particular se produce el movimiento de un cuerpo extenso?
2.
Fundamenta por qué en el siguiente gráfico se produce movimiento de un cuerpo extenso. 2 3 3 ° °
e t r s e r r e T e j E S e n nt t i i d do r o o o
t a t ac i c i ó ón
Polo Sur
Polo Norte
UNIDAD 4 / Tema 6 Física
Centro de masas (CM)
Fuerza total sobre un cuerpo extenso
El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema.
Si se considera un cuerpo extenso como un sistema constituido por una agregación de partículas o masas puntuales, la fuerza total que actúa sobre el mismo puede considerarse como la suma de todas y cada una de las fuerzas que se ejercen sobre sus constituyentes elementales:
En Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masas, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masas y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los cuales no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.
Centro de masas de un cuerpo extenso En la mecánica clásica se habla comúnmente de masas puntuales que se mueven en el espacio y el tiempo. Este concepto es una aproximación ideal que permite describir con sencillez la dinámica del movimiento, aunque de hecho los cuerpos no son puntuales (salvo, acaso, las partículas elementales), sino que ocupan una superficie con una cierta extensión. Por tanto, el estudio de los cuerpos extensos forma parte fundamental de la mecánica.
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F = F1 + F2 + … + FN = Ʃ F1 (b) (a)
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F ext = m g
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F ext =mg 1
En (a) se aprecia la acción de las fuerzas gravitatorias sobre pequeños fragmentos de un cuerpo extenso. En (b) se considera una sola fuerza global equivalente a todas las anteriores. De esta forma, la fuerza total externa que se aplica sobre un cuerpo es la que se ejercería sobre una partícula puntual cuya masa fuera igual a la masa total del cuerpo.
Sólido rígido En el movimiento de un cuerpo extenso tiene importancia la distribución interna de las partículas que lo constituyen. Un caso ideal es aquel en el que se considera que todas las partículas del cuerpo mantienen entre sí distancias constantes y posiciones fijas, sean cuales sean las fuerzas que actúen sobre el cuerpo. Un sistema de estas características recibe el nombre de sólido rígido, y su estudio constituye uno de los problemas clásicos de la mecánica.
Propuesta de trabajo 1.
¿Es lo mismo centro de masas, centroide y centro de gravedad?
2.
¿Cómo describirías el movimiento de una llave francesa arrojada al vacío formando cierto ángulo con la horizontal?
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