1. Movimiento de rotación en torno a un punto fijo 1.1 Teorema de Euler Este teorema establece que dos rotaciones componentes cuyos ejes pasan por un punto equivale a una rotación resultante alrededor de un eje que pasan por un punto equivalente a una sola rotación alrededor de un eje que pasa por el punto. Si se presentan dos o más rotaciones, se combinan en pares.
⃗= ⃗ + ⃗
(1)
Velocidad
⃗ = ⃗ ⃗⃗
(2)
Donde es la posición del punto P respecto al punto fijo O
Fig. 1.1 Eje instantáneo de rotación
Aceleración
⃗ = ⃗ ⃗ + ⃗⃗ ⃗⃗ (3) Donde se encuentra derivando la ⃗ ecuación 1, es decir
Fig. 1.2 Disco girando sobre una plataforma
Fig. 1.3 Identificación de los conos generados
1.2 Derivada de un vector con respecto al tiempo medido desde un sistema fijo y un sistema en traslación y rotación. Sea (X,Y,Z) sistema de coordenada fija, (x,y,z) Sistema de coordenada móvil, Ω la velocidad angular del sistema de coordenada móvil y A un vector en el espacio
La expresión del vector A respecto a sus componentes i,j,k está dado por
= + + La derivada de este vector respecto al sistema móvil, teniendo en cuenta que las componentes de A cambian de magnitud y las direcciones de sus componentes no cambian se tiene
̇ = ̇ + ̇ + ̇ (4) ̇ = ̇ + ̇ + ̇ + ̈ + ̈ + ̇
(5)
A continuación, veamos la derivada de los vectores unitarios. Como se observa en el gráfico 1.4 (b) el cambio de di es tangente a la trayectoria descrita por i, por lo tanto
= = ̈ Del mismo modo ̈ = y ̇ = Reemplazando en la ecuación (5)
Fig. 1.4 Sistema de coordenadas fijo y móvil
̇ = ̇ + + + (6) ̇ = ̇ + Esta ecuación es muy importante para analizar el movimiento de un vector en el espacio y que será muy utilizado en las siguientes secciones.
2. Movimiento Plano general Sea un cuerpo rígido sometido a movimiento de traslación y rotación en el espacio con velocidad angular w y aceleración angular α, para su estudio consideremos un sistema de coordenada fijo y un sistema de coordenada móvil sujeto sólo a traslación para de finir el . movimiento relativo.es decir, en este caso
=
Recordando:
/ = / / = / + / La velocidad y aceleración del punto están dada por:
= + / = + / + /
(7) (8)
Al resolver estas ecuaciones se tendrán tres ecuaciones y cuatro incógnitas imposible de resolver. Para encontrar la cuarta ecuación se supone que la velocidad de giro del elemento (varilla) AB respecto a su eje es cero; es decir
⃗. ⃗ /= 0
(9)
Una solución alternativa directa para obtiene considerando
y
/ = − = / El producto cruz indica que
/ /, o en su equivalente / ./ = (10) Derivando respecto al tiempo
( . ) = 0
/./ + / . /
(11)
se
3. Análisis del movimiento relativo por medio de ejes en traslación y rotación Sea (X,Y,Z) sistema de coordenada fija, (x,y,z) Sistema de coordenada móvil en traslación y rotación, Ω la velocidad angular del sistema de coordenada móvil x,y,z ,
̇ = la aceleración angular de coordenada móvil, la velocidad del punto A y la aceleración del punto A Posición
⃗ = ⃗ + ⃗/
(12)
Velocidad
⃗ ̇ = ⃗ ̇ + ⃗ ̇ / El último término de esta ecuación debe evaluarse mediante la derivada de un vector respecto a x,y,z, es decir con
̇ = ̇ +
(6 R )
Así
⃗ ̇/ = ⃗ ̇/ + ⃗ ⃗/ Por lo tanto
⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ⃗/ Ordenando
⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗/ + ⃗/ (13) Aceleración
Derivando la ecuación (13)
⃗ ̇ = ⃗ ̇ + ⃗ ̇ ⃗/ + ⃗ ⃗ ̇/ + ⃗/ El último término de esta ecuación lo evaluamos mediante la ecuación 6R, es decir
⃗ /
= ⃗ ̇/ + ⃗ ⃗/ = / + ⃗ ⃗/
̇/ aplicamos la ecuación 6R ⃗ ̇/ = ⃗ ̇/ + ⃗ ⃗/
Del mismo lo hacemos para
Reemplazando estos datos en la ecuación de la aceleración se tiene
= + ⃗ ̇ ⃗/ + ⃗ [⃗ ̇/ + ⃗ ⃗/]+/ + ⃗ ⃗/ Finalmente
= + ⃗ ̇ ⃗/ + ⃗ [ ⃗ ⃗/]+ ⃗ ⃗/ + /
(14)
