Movimiento de un Cuerpo Rígido.docx

5.4 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGODO Limitaremos nuestro estudio de cinética plana a cuerpos rígidos los que, junto con sus cargas, se consideran simétricos con respecto respecto a un plano de referencia fijo. Aquí el origen del marco de referencia inercial x, y, z  coincide con el punto arbitrario P con el cuerpo. Por definición, estos ejes no giran y están fijos o se trasladan tr asladan a velocidad constante.

Ecuaciones de movimiento de trasaci!n

∑ F =m a

G

∑

 F =m aG La ecuac cuació ión n se cono conoce ce como como ecua ecuaci ción ón de movi movimi mien ento to de traslación del centro de masa de un cuerpo rígido. Plante que la suma de todas las fueras e!ternas que act"an en el cuerpo es igual a su masa por la aceleración de su centro de masa #.

Ecuaci!n de movimiento de rotaci!n

 A partir partir de la figura, si sumamos los momentos momentos alrededor de P, P, obtenemos$

r % "i & r  !  ! # i ' r  !  ! miai o (Mp)i ' r  !  ! miai

∑ M  = I  G

G

α 

*sta *sta ecua ecuaci ción ón de movi movimi mien ento to de rota rotaci ción ón plan planet eta a que que la suma suma de los los momentos de todas las fueras e!ternas con respecto al centro de masa del cuerpo # es igual al producto del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pasa por # y a la l a aceleración angular del cuerpo. +uando los momentos de las fueras e!ternas se suman con respecto al punto P, equivalen a la suma de los momentos cinéticos- de las componentes de ma# con respecto a P más el momento cinético de  #$-. +omo #$ y ma# no son lo mismo que una fuera o un momento de par. *n cambio son provocados por los efectos e!ternos de las fueras y momentos de par que act"an en el cuerpo. +on esto en mente planteamos la siguiente ecuación$

∑ M  =∑ ( M  )  p

k   p

Ecuaciones de movimiento% Trasaci!n /n cuer cuerpo po rígid rígido o lleva lleva movi movimi mien ento to de tras trasla laci ción ón cuan cuando do todo todo segm segmen ento to rectilíneo del cuerpo se mantenga paralelo a su posición inicial a lo largo del movimie movimiento nto.. +uando +uando un cuerpo cuerpo rígido rígido e!peri e!perimen menta ta trasla traslació ción, n, todas todas sus sus part partíc ícul ulas as tien tienen en la mism misma a acel aceler erac ació ión. n. Adem Además ás $&'( en consecue consecuencia ncia

� M 

G

=

0

.

Traslación rectilínea

+uando un cuerpo se somete a traslación rectilínea, todas sus partículas viajan a lo larg largo o de tray trayec ecto tori rias as de línea línea rect recta a paral arale elas. las. 0endr endre emos mos las las sigu iguien ientes tes  F  x = m ( aG ) x ecuaciones$

∑ ∑ ∑ F  =∑ m ( a ∑ M  =0  y

)

G  y

G

Traslación curvilínea

+uando un cuerpo rígido se somete a traslación curvilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias curvas para parale lela las. s. 0endr endrem emos os tres ecuaciones escalares$

∑ F  =m (a ) ∑ F  = m( a ) ∑ M  =0 n

G n

t 

G t 

G

1i se suman los momentos con respecto a un punto arbitrario 2, es necesario ( M k ) B ( de las componentes m ( aG )n ) tener en cuenta los momentos

∑

m ( aG )t 

con respecto a este punto.

E*EMP+O , /n automóvil tiene una masa de 3 4g y un centro de masa en #. 5etermine la aceleración si las ruedas traseras propulsoras- siempre patinan, en tanto que las delanteras ruedan libremente. gnore la masa de las ruedas. *l coeficiente de fricción cinética entre las ruedas y la carretera es 67'8.39.

5iagrama de cuerpo libre

∑ F  =∑ m( a ) ∑ F  =∑ m ( a ) ∑ M  =0  x

G  x

-

−0.25 N B=( 200 kg ) aG

 y

G  y

-

 N  A + N B−2000 ( 9.81 ) N =0

G

− N  A (1.25 m ) −0.25 N B ( 0.3 m) + N B ( 0.75 m) =0

:esolviendo$ aG =1.59

m 2

s

 N  A =6.88 kN   N B =12.7 kN 

E*EMP+O  /na motocicleta tiene una masa de ;39 7g y un centro de masa # ;, mientras que el motociclista tiene una masa de <9 7g y un centro de masa # 3. 5etermine el coeficiente mínimo de fricción estática entre las ruedas y el pavimento para que que el moto motoci cicl clis ista ta real realic ice e un cab cabal allit litoo-,, es deci decirr, que que leva levant nte e la rued rueda a delantera. =>ué aceleración se requiere para ?acer eso@ gnore la masa de las ruedas y suponga que la rueda delantera gira libremente.

5iagrama de cuerpo libre y cinético

/e considerar0 a a motociceta ) a motocicista como un soo sistema. /e considerar0 e 1eso de a motociceta ) de motocicista 1or se1arado. +as inc!2nitas ser0n N3( "3 y a#

*cuaciones de movimiento

∑ F  = m( a ) ∑ F  =m ( a ) ∑ M  =∑ ( M  )  x

G  x

 y

G  y

B

 F B=( 75 kg + 25 kg ) a G  N B −735.75 N −126.75 N =0

k  B

-

75 kg.a 125 kg.a

( ¿¿ G )( 0.6 m ) ( ¿¿ G)( 0.9 m )−¿ )−¿ −(735.75 ) ( 0.4 m ) −( 1226.25 N  ) ) ( 0.8 m )=+¿ =+ ¿ :esolviendo las ecuaciones anteriores obtenemos  m aG =8.95 2 s  N  A = 1962 N   N B =1790 N 

Para encontrar el coeficiente de fricción estática

( μk )min =

 F B

 N B

=

1790  N  1962  N 

=0.912