Descripción: Cinemática tridimensional de cuerpos rígidos
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CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO
OBJETIVOS 1. Anali naliza zarr la cinem inemát átic ica a de un cuerp uerpo o some someti tido do a rota rotaci ción ón alrededor de un eje o punto fijo y movimiento plano general. 2. Analizar Analizar el movimient movimiento o relativo relativo de un cuerpo cuerpo rígido mediante mediante ejes ejes trasladantes y rotatorios.
1. IN INTR TROD ODUC UCCI CIÓN ÓN En el presente documento se desarrollara el análisis con respecto a la cinemática tridimensional de un cuerpo rígido: a) otación otación alrededor alrededor de un eje fijo. fijo. !) "eri "eriva vada da con con resp respec ecto to al tiem tiempo po de un vect vector or medi medido do con con respecto a un sistema fijo a un sistema trasladante#rotatorio. c) $ovi $ovimi mient ento o general general d) Análisis Análisis del movimiento movimiento relativo relativo por medio medio de ejes trasladantes trasladantes y rotatorios.
2. MA MARC RCO O TEOR TEORIC ICO O 2. 2.1. 1.
ROTACIÓN ALRE LREDEDOR DE DE UN UN EJ EJE FI FIJO
%uando un cuerpo gira alrededor de un eje o punto fijo& la distancia distancia r del punto de una partícula partícula localizada localizada en un cuerpo es la mism misma a en cual'u cual'uie ierr posic posició ión n del cuerpo cuerpo.. Enton Entonce ces s la trayectoria de la partícula 'ueda en la superficie de una esfera de radio r con su centro en un punto fijo.
(igura 2.1 Ejemplo de movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.
Teorema e E!"er Este ste teore eorema ma nos nos dic dice 'ue 'ue cuand uando o un cuer cuerpo po rígi rígido do gira gira alrededor de un punto fijo& toda posición del cuerpo se puede o!tener a partir de cual'uier otra posición mediante una sola rotación en torno a un cierto eje 'ue pasa por dico dico punto fijo. otaciones finitas *no son vectores) "el teorema de Euler se deduce 'ue el movimiento durante un intervalo intervalo de tiempo tiempo +t de un cuerpo cuerpo rígido rígido 'ue tenga un punto fijo puede considerarse 'ue es una rotación + θ en torno a un cierto eje. Ejemplo: ,omemos un li!ro y esta!lezcamos un sistema de coordenadas como como se ve en la figu figura ra.. -ean -ean rotación
∆ θ x
∆ θ y
∆ θ x
/0 i y
∆ θ y
da como resultado lo siguiente: siguiente:
/0 j. a
En cam cam!io !io la rot rotació ación n
∆ θ y
∆ θ x
da como como resu result ltad ado o lo
siguiente:
Es evidente 'ue las posiciones finales no coinciden y la suma de las rotaciones depende del orden en 'ue se escri!an lo 'ue finalmente da como resultado: ∆ θ x
∆ θ y ≠ ∆ θ y ∆ θ x
Por lo tanto las rotaciones finitas no son vectores.
Ro#a$%o&e' %&(%&%#e'%ma"e' Estas rotaciones pueden considerarse como vectores& por'ue se pued pueden en suma sumarr vect vector oria ialm lmen ente te de cual cual'u 'uie ierr mane manera ra.. 3ara 3ara demos demostr trarl arlo& o& con con el fin fin de simp simpli lifi fica carr& cons consid idere eremo mos s 'ue 'ue el cuerpo rígido mismo sea una esfera a la cual se le permite girar con con resp respec ecto to a su punt punto o cent centra rall fijo fijo 4. -i se efec efect5 t5an an dos dos rotaciones infinitesimales d θ
1 d θ 2 con el cuerpo& se ve
'ue el punto 3 se mueve a lo largo de la trayectoria trayectoria *d θ 1 d θ
2) 6 r y termina estando en 37. %omo el producto vectorial
o!edece a la ley distri!utiva& por comparación& *d θ 1 d 2) 6 r *d θ
2 d
infini infinites tesima imales les d θ
θ
θ
1) 6 r. 3or lo tanto& las rotaciones
son son vect vectore ores& s& por'u por'ue e esas esas cant cantida idades des
tienen tanto magnitud como dirección& para las cuales el orden de la suma *vectorial) *vectorial) no es importante& importante& es decir& decir& *d θ θ
1 d
2) *d θ 2 d θ 1) .
Ve"o$%a Ve"o$%a a&)!"ar -i el cuerpo se somete a una rotación angular d θ alrededor de un punto fijo& su velocidad angular está dada por:
a línea 'ue especifica la dirección de
ω
& la cual es colineal
con d θ & se conoce conoce como eje de rotación rotación instantáneo instantáneo.. %omo dθ
y
ω
son cantidades cantidades vectoriales vectoriales&& su velocidad velocidad angular
resultante es
ω =ω 1 + ω 2
A$e"era$%*& a&)!"ar a aceleración angular de un cuerpo está dada por la derivada con respecto al tiempo de su velocidad angular.
Ve"o$%a %on
ω
especi especific ficada& ada& la veloci velocidad dad en cual'ui cual'uier er punto punto en un
cuerpo 'ue gira alrededor de un punto fijo se determina por la siguiente ecuación:
A$e"era$%*& -i en un instante dado
ω
y 8 son conocidas entonces a
ecuación de la aceleración está definida por:
2.2. DERIVADA CON RESPECTO AL TIEMPO DE UN VECTOR MEDIDO CON RESPECTO A UN SISTEMA FIJO A UN SISTEMA TRASLADANTE+ROTATORIO E9is E9iste ten n vari varios os pro!l pro!lema emas s 'ue impl implic ican an el movim movimien iento to de un cuerpo con respecto a un punto fijo en la 'ue la velocidad angular tiene sus componentes
ωs
y
ω p
& y en el caso 'ue se
'uiera encontrar la aceleración angular con respecto al tiempo y con respecto al punto !ase. El vecto vectorr A está definido como una ecuación derivada con respecto al tiempo a referencia al punto !ase& y su derivada con respecto al tiempo a referencia al punto fijo por lo tanto el vector A = A x i + A y j + A z k el vector A va a tener sus componentes en i, j, k
.
%uando %uando la deriva! deriva!a a con respect respecto o al tiempo del vector vector A consi onside dera ra con res respect pecto o direcciones direcciones de
i, j, k
se
al marco arco de refe refere renc nciia fij fija& las las
cam!ian de!ido a la rotación de Ω
de
los ejes y de!ido a su traslación. ´ = A ´ x i + A ´ y j + A ´ z k + A x ´´i + A y j´´ + A z k ´ A na na vez vez 'ue 'ue se deriv derivo o el vecto vectorr
A
respecto al tiempo& se
considera la derivada del vector unitario 'ue es la dirección del cam!io con respecto respecto al tiempo& tiempo& el cam!io de
di
a la trayectoria descrita por la punta de fleca de 'ue i se oscila a la rotación Ω . ´ ) +Ω × A ´ =( A A xyz
es tangente i
a medida
2.,.
(igura 1
MOVIMIENTO GE GENERAL
En la figu figura ra se mues muestr tra a un cuer cuerpo po some someti tida da a movi movimi mien ento to gene genera rall en tres tres dima dimana naci cion ones es&& el cual cual tien tiene e una una velo veloci cida dad d angular ω y una aceleración angular α . El punto A tiene un movimiento
V A
y
a A
& el movimiento de cual'uier otro punto
; se all alla a por por medi medio o de un anál anális isis is de movi movimi mien ento to rela relati tivo vo *sistema de coordenadas trasladante).
(igura %omo el cuerpo es rígido& el movimiento del punto ; medido por un o!servador localizado en A es por lo general el mismo 'ue la rotación del cuerpo respecto de un punto fijo. Este movimiento relativo se define como: V B / A = ω× r B / A a B / A =α × r B / A + ω × ( ω × r B / A )
3ara ejes trasladantes& los movimientos relativos se relacionan con los movimientos a!solutos& es decir: V B =V A + V B/ A
a B=a A + a B / A
a velocidad y aceleración a!solutas respecto al punto ; 'uedan determinadas por:
,ener presente 'ue α mide el cam!io tanto de magnitud como de dirección de ω .
2.-. ANÁL NÁLISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES TRASLADANTES ROTATORIOS
na manera general de analizar un movimiento tridimensional es u!icar u!icar un marco marco X , Y , Z . En el cual el cuerpo re'uiere un eje de refere referenci ncia a x , y , z en los 'ue se va a determinar los movi movimi mient entos os de dos dos punt puntos os A
< B
'ue 'ue se encu encuen entr tran an
separados en un mecanismo para definir el movimiento relativo de dos partículas 'ue se mueven a lo largo de una trayectoria en rotación. rotación. En la figura 2 los puntos Ay ; están visto desde el punto fijo *=&< *=&<&>) se encuen encuentra tran n separad separados os mediante mediante los vector vectores es de posición
r A
y
rB
? el punto A es considerado punto !ase la
cual se traslada y gira con respecto al punto fijo.
En el punto A se considera la velocidad y la aceleración& así tam! tam!i@ i@n n la velo veloci cidad dad angul angular ar y acel acelera eraci ción ón angul angular ar 'ue 'ue son son medidos desde el punto fijo tam!i@n pueden ser e9presados con componentes cartesianos.
F%)!ra 2. Po'%$%*&.+ la posición de
B
es la suma vectorial de la posicion
A
mas la posición relativa r B =r A + r B / A
Ve"o$%a Ve"o$%a.+ .+ -e o!tiene derivando la posición con respecto al tiempo y la velocidad relativa e medida entre dos puntos& se tiene 'ue: r B´/ A=( r B´/ A ) xyz + Ω × r B / A =( V B / A ) xyz + Ω × r B / A xyz
3or lo tanto: V B =V A + Ω × r B / A + ( V B / A ) xyz
A$e"era$%*&.+ así como se determinó la velocidad mediante la derivada de la posición para o!tener la aceleración tenemos 'ue derivar la velocidad. El cuarto termino 'ue es a velocidad relativa es d =( ´V B / A ) xyz + Ω × ( V B / A ) xyz =( aB / A ) xyz + Ω × ( V B / A ) xyz ( V B / A ) xyz xyz xyz xyz dt
por lo tanto la ecuación completa de la aceleración es: + a xyz a B=a A + ´ Ω × r B / A + Ω × Ω × r B + 2 Ω × ( V B / A ) xyz xyz ( B / A ) xyz
(
A
)
otación alrededor de un punto fijo:
%uando %uando un cuerpo cuerpo gira alrededo alrededorr de un punto punto fijo 4& entonce entonces s los puntos en el cuerpo siguen una trayectoria 'ue 'ueda en la superficie e una esfera con su centro en 4. er figura
(igura %omo %omo la acel acelera eraci ción ón angula angularr es un cam! cam!io io con respe respect cto o al tiempo de la velocidad angular& entonces es necesario tener en cuenta los cam!ios de magnitud y dirección de B cuando se determine su derivada con respecto al tiempo. 3ara acer esto& a menudo se especifica la velocidad angular en función de sus movimientos componentes& de modo 'ue la dirección de algunos de estos componentes permanezcan constantes con respecto a ejes rotatorios rotatorios 9&y&z 9&y&z.. si este es el caso& entonces la derivada derivada con ( ) respecto al eje fijo puede determinarse con A = A xyz + Ω Χ A na vez conocidas ω y α & entonces entonces pueden determinarse determinarse la velocidad y aceleración de cual'uier punto 3 del cuerpo.
$ovimiento general -i el cuer cuerpo po e9pe e9peri rime ment nta a movi movimi mien ento to gene genera ral& l& ento entonc nces es el movimiento de un punto ; del cuerpo puede relacionarse con el movimiento de otro punto A mediante un análisis de movimiento relativo& con ejes trasladantes fijos en A.
Análisis del de l movimiento relativo por p or medio de ejes trasladantes y rotatorios El movimiento de dos puntos A y ; de un cuerpo& una serie de cuerpos conectados& o cada punto localizado en dos trayectorias dife difere rent ntes es&& puede puede relac relacion ionar arse se por por medi medio o de un análi análisi sis s de movimiento relativo con ejes rotatorios y trasladantes en A. %uando se aplican las ecuaciones para determinar
V B
y
aB
/
es impo import rtan ante te tene tenerr en cuen cuenta ta los los cam!ios de magnitud y dirección de r A , ( r B / A ) xyz , Ω , Ω xyz
respecto
al
cuan cuando do se cons consid ider eran an sus sus deri deriva vada das s con tiempo
para
determinar
V A
&
a A
/
( V B / A ) xyz , ( a B/ A ) xyz Ω , Ω xyz . 3ara ace acer est esto de mane anera corre rrecta de!emos utilizar la ecuación:
