Modelado de Movimiento de Un Submarino

Universidad de Costa Rica Fac acul ultad tad de In Ingen genie ierr´ıa Escu Es cuel ela a de In Inge geni nier er´ ´ıa Eléctr ectric ica a

IE-0409 IE-0409 An´ alisis alis is de Sistema Sistemass

Modelado de movimiento de un submarino

Por: Emmanuel Barr Barrantes antes Santamar Santama r´ıa, B20868 B2086 8 Deni Deniss Jim´ Ji m´ enez enez Alp Alp´ızar ız ar,, B334 B33476 76 Manuel Pol Grijalba, B35343

Ciudad Universitaria “Rodrigo Facio”, Costa Rica Octubre 2016

Resumen El siguiente trabajo consiste en el modelado del movimiento de un submarino, donde se presentarán a n las bases teóricas oricas necesarias para comprender las leyes que rigen el movimiento del mismo, y un modelo capaz de simular la respuesta del submarino ante diferentes situacio s ituaciones, nes, as a s´ı como los conceptos c onceptos detrás as de los resultados obtenidos, con el objetivo de que el lector no solo sea capaz de apreciar los resultados, si no comprender que es lo que está sucediendo y como se justifica.

ii

Índice 1. Nomenclat Nomenclatura ura

1

2. Introducci Introducci´ on o ń

3

3. Marco Marco te´ te´ orico orico 3.1. Historia Historia del del submar submarino ino . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.2. Clasifi Clasificac caci´ i´ on y partes de los submarinos . . . . . . . on 3.3. Principios Principios que rigen rigen el movimien movimiento to de un submarino submarino 3.4. Variables ariables que describen describen el movimiento movimiento de un AUV . 3.5. Control a través es de lazos de retroalimentaci´ retroalimentación on . . .

. . . . .

4 4 5 5 7 8

4. Modelado Modelado y simulaci´ simulaci´ on on 4.1. 4.1. Introd Introducc ucci´ i´ on on al modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. 4.2. Ecuaci Ecuacione oness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Linealizac Linealizaci´ i´ on on del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 9 15

5. An´ An ´ alis al isis is 5.1. 5.1. Mapa Mapa de de polos polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Respuesta Respuesta del sistema sistema ante ante entrada entrada escal´ on on . . . . . . 5.3. Respuesta Respuesta del sistema sistema ante ante entrada entrada impulso impulso . . . . . 5.4. Respuesta del sistema ante entradas determin´ determin´ısticas . 5.5. 5.5. Diagra Diagramas mas de Bode Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

16 17 20 22 25 30

6. Conclusi´ Conclusi´ on on 6.1. Recomendac Recomendaciones iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33

7. Anexos Anexos

34

Bibl Bi blio iogr graf´ af´ıa ıa

35

iii

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

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. . . . .

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. . . . .

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Índice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 18. 19. 20. 20.

´ Angulos que describen el movimiento rotacional. (Moreno,2014) . . . . 6 Mapa Mapa de de polos polos y cer ceros os par paraa el cabe cabece ceo. o. Cre Creac aci´ ión on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Mapa Mapa de de polos polos y cer ceros os par paraa el ala alabeo beo.. Crea Creaci ci´ón on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Mapa Mapa de polos polos y cero ceross par paraa la la gui˜ gui˜ nada. nada. Creación on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Mapa Mapa de de polos polos y cer ceros os par paraa el sis siste tema ma.. Crea Creaci ci´ón on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Resp Respue uest staa al esca escal´ l´ on para el cabeceo. Creación on on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Resp Respue uest staa al esca escal´ l´ on para el alabeo. Creación on on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Resp Respue uest staa al esca escal´ l´ on o n para la gui˜ nada. nada. Creación on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Respue Respuesta sta al impu impulso lso para para el cabeceo cabeceo.. C Crea reaci´ ci´ on propia con el software on MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Respue Respuesta sta al impuls impulsoo para el alabeo. alabeo. Creaci Creaci´ón on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Respue Respuesta sta al al impuls impulsoo para para la gui˜ gui˜ nada. nada. Creación on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Respue Respuesta sta a entra entrada da u1 (t) para el cabeceo. Creación on propia con el software MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Respue Respuesta sta a entra entrada da u on propia con el software u1 (t) para el alabeo. Creación MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Respue Respuesta sta a entra entrada da u nada. Creación on propia con el soft u 1 (t) para la guiñada. ware MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Respue Respuesta sta a entra entrada da u2 (t) para el cabeceo. Creación on propia con el software MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Respue Respuesta sta a entra entrada da u on propia con el software u2 (t) para el alabeo. Creación MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Respue Respuesta sta a entra entrada da u nada. Creación on propia con el soft u 2 (t) para la guiñada. ware MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Diag Diagra rama ma de Bode Bode para para el cabec cabeceo eo.. Crea Creaci ci´ón on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Diagrama Diagrama de Bode para el alabeo. Creaci´ Creaci´ on propia con el software MATLAB. 31 on Diag Diagra rama ma de Bode Bode para para la gui˜ gui˜ nada. nada. Creación on propia con el software MATLAB. MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iv

Índice de tablas 1. 2. 3.

Notación internacional de la SNAME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de masa y momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coeficientes de fuerzas y momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

10 34 34

1 Nomenclatura

1.

1

Nomenclatura m

Masa

g

Gravedad

I xx

Momento de inercia en x

I yy

Momento de inercia en y

I zz

Momento de inercia en z

X

Fuerza en x

Y

Fuerza en Y

Z

Fuerza en Z

K

Momento en X

M

Momento en Y

N

Momento en Z

u

velocidad en X

v

velocidad en y

ω

velocidad en z

p

velocidad angular en x

q

velocidad angular en y

r

velocidad angular en z

C(v)

Matriz de Coriolis

D(v)

Fuerzas viscosas

g(n)

Fuerzas de restitución

C G

Centro de masa

C b

Centro de flotabilidad

aG

Aceleración del centro de masa

ρ

Densidad del fluido

D

Fuerza de arrastre

Af

´ Area frontal del casco

C L

Razón de cambio del coeficiente de elevación

1 Nomenclatura

2

W

Peso del submarino

K u˙

Coeficiente de masa añadida

X p˙

Masa a˜ nadida

X uu

Arrastre

X uv

Arrastre

X uw

Arrastre

X ww

Arrastre

X wq

Término de masa añadida

M uw

Momento de inercia de la aleta

M uq


M q˙

Masa a˜ nadida

N v˙

Masa a˜ nadida

N uv


2 Introducci´ on

2.

3

Introducci´ on

Para poder analizar y modelar el movimiento de una veh´ıculo autónomo submarino se deben estudiar los principios básicos de sistemas lineales. Es importante destacar que ning´ un sistema real es lineal pero a través de métodos estudiados un sistema se puede linealizar para poder aplicar los fundamentos básicos que ya conocemos y as´ı obtener el comportamiento del sistema. Para el caso del submarino es importante conocer su traslaci´ on y rotación a través de sus ejes transversal, longitudinal y vertical. Estos se estudian con más profundidad en la parte del análisis, donde usando el software de MATLAB y las ecuaciones que caracterizan el movimiento del veh´ıculo se modela el comportamiento del mismo.

3 Marco teórico

3. 3.1.

4

Marco te´ orico Historia del submarino

Según Saso (2007), el desarrollo de los submarinos tiene una fuerte relación con los periodos de guerra, ya que su desarrollo está impulsado por la necesidad de poseer buques con ventaja militar sobre sus adversarios. De acuerdo con Saso (2007), los primeros submarinos eran instrumentos mediocres de un funcionamiento limitado e incierto. Los primeros intentos de construcción de aparatos submarinos, los cuales fueron muy rudimentarios, se dieron en la época de Alejandro Magno, unos 330 a.C descritos por Aristó teles. En 1620 se da el primer intento serio de construcción de un submarino, por el holandés Cornelius van Drebbel, el cual era un bote de madera sumergible, con propulsión a remos. Pod´ıa sumergirse hasta 20 metros y recorrer una distancia de 6 millas, con lo cual fue el primer submarino que pudo efectuar navegaciones de unas pocas horas. Según Saso (2007), a finales del siglo XVIII se da la aparición de dos artefactos que revolucionaron el arte de navegar bajo el agua, el Turtle de D. Bushnell en 1776 y el Nautilus de R. Fulton en 1797. El Turtle ten´ıa forma de ovoide y era de madera forrada con planchas de cobre, ten´ıa ventanillas circulares y una escotilla de acceso en la parte superior. Dispon´ıa de dos hélices, una para el movimiento horizontal y otra para el movimiento vertical, ambas se mov´ıan a mano con pedales y manivelas. El impulso definitivo al desarrollo de los submarinos se dio después de la mitad del siglo XIX con la revolución industrial y las crecientes guerras de los pa´ıses europeos. Se empezó a utilizar para el casco hierro en lugar de madera, lo que le daba resistencia estructural, adem´ as de la utilización de sistemas de propulsión utilizando la energ´ıa del vapor. De acuerdo con Saso (2007), en Espa˜ na en 1887, Isaac Peral inventa un submarino construido con plancha de acero, muy similar a los actuales por su forma, con timones de buceo y de dirección. Es el primer submarino que dispone de bater´ıas, motor eléctrico y preparado para disparar torpedos. En 1889 se crea el Narval, la primera unidad con propulsi´ on mixta: máquina de vapor y motores eléctricos. Con esto se abandona el concepto de propulsión única y se generaliza el uso de la propulsión mixta del submarino autónomo, dando como resultado el desarrollo de varios submarinos basados en el Narval. Según Saso (2007), se probaron diferentes tipos sistemas de propulsión, como la máquina de vapor o el motor de gasolina, pero finalmente se adoptan los motores de diésel, por ser más económicos y tener un mejor rendimiento. Además, en cuanto al tema estructural se hizo la distinción entre submarinos de un solo casco y los submarinos de casco doble. Después de la primera guerra mundial y hasta el final de la segunda guerra mundial se le agregó el snorkel a los submarinos, con lo cual les permit´ıa tomar aire de

3 Marco teórico

5

la atmósfera y expulsar los gases de escape, estando el submarino en inmersión. Para el siglo XXI aparecen los submarinos con tecnolog´ıa nuclear que les permite obtener el ox´ıgeno necesario del agua de mar.

3.2.

Clasificaci´ on y partes de los submarinos

De acuerdo a Moreno y otros (2014), los submarinos se pueden clasificar por su nivel de autonom´ıa, el tipo de misión a realizar y su sistema de propulsión, aunque la principal manera de clasificarlos es de acuerdo a su autonom´ıa, ya que estos se separan dos clases, los que deben ser operados, y los que se operan automáticamente, ROV s y AUV s respectivamente. Los submarinos son creados con todo tipo de finalidad, por ejemplo, cumplen misiones de inspección, cuando no intervienen con el medio, y manipulación, cuando a través de instrumentos intervienen con el medio que los rodea. Es importante para comprender el funcionamiento de los submarinos, conocer las partes que los conforman, y si bien son una gran cantidad, se pueden obtener las mas importantes de todas, por ejemplo, la cabina o el casco, la cual es el recubrimiento del sumergible y sobre la cual se montan las demás partes del submarino, de ella depende la profundidad y velocidad que pueden alcanzar el submarino, los sensores de posicionamiento, ubicaci´ on y velocidad, son fundamentales ya que es a través de ellos que se controlan la ubicaci´ on y dirección del submarino, ademas de los sensores que se encargan de medir el consumo, el aire, la presión y la visión exterior, y los propulsores utilizados por el submarino, existen muchos tipos de propulsores, algunos de ellos son los magnetohidrodin´ amicos, los de inyección, los impulsados por hélices y los bioinspirados, los cuales están inspirados en la fisiolog´ıa de algunos peces, y es por eso que tienen forma de aleta y ayudan al submarino a desplazarse en el agua. 

3.3.



Principios que rigen el movimiento de un submarino

La orientación de un objeto móvil, usualmente un veh´ıculo, normalmente se describe ´ utilizando los Angulos de Euler, los cuales según el Teorema de Rotación de Euler, que afirma que cualquier movimiento de rotación puede ser descrito mediante tres ángulos, uno respecto al eje x, otro respecto al eje y, y uno mas respecto al eje z, o con respecto a los ejes verticales, transversales y longitudinales del objeto. Los ángulos que describen el movimiento respecto al eje x, y y z son, respectivamente [ φ,θ,ψ]. (Diebel, 2006). Cuando se está hablando de veh´ıculos, se utiliza el término de ángulos de navegación, los cuales son una representación de los ángulos de Euler, y se utilizan para describir la posición de un veh´ıculo como un avión, un submarino o un helicóptero con respecto a un eje de coordenadas. De estos tres ángulos, se derivan los tres tipos de movimientos que realiza un submarino para desplazarse, los cuales son el cabeceo, el alabeo, y la guiñada.

3 Marco teórico

6

´ Figura 1: Angulos que describen el movimiento rotacional. (Moreno,2014) Estos tres movimientos consisten en las tres rotaciones que controlan al sumergible, y son explicadas a continuación: Cabeceo: Consiste en un movimiento rotacional respecto al eje transversal del submarino, es decir, se encarga de controlar el movimiento hacia arriba o abajo del veh´ıculo. Alabeo: Es una rotación respecto a eje longitudinal, se puede expresar como una inclinaci´ on que realiza el veh´ıculo a la hora de girar, para facilitar su entendimiento, se puede expresar como el peralte en una carretera que ayuda a un carro a doblar. Gui˜ nada: Es una variación respecto a eje vertical, es decir, controla el movimiento hacia la izquierda o hacia la derecha del submarino. Un punto importante para comprender el funcionamiento de un submarino es el entendimiento de la flotabilidad del mismo, la cual según Mott (2006) es la tendencia que tiene un fluido a ejercer una fuerza de apoyo a un cuerpo que esta sobre él, y esta se basa en dos principios fundamentales, tales como lo son el Principio de Pascal y el Principio de Arqu´ımedes, ambos aplicados a la teor´ıa de un submarino y explicados a continuación: Principio de Pascal: El principio de Pascal respecto a un submarino indica que, sobre cada uno de los puntos del casco de un submarino sumergido, ejerce el agua una presión perpendicular a la superficie del casco, cuyo valor expresado en Kg/cm2 , es una décima parte del que expresa en Kg/m respecto a la superficie del agua. (de los Reyes, 2011).

3 Marco teórico

7

Principio de Arqu´ımedes: Todo submarino en superficie ó en inmersión, experimenta un ”empuje” hacia arriba, cuyo valor (en toneladas), es igual al peso (tambi´ en en toneladas) del volumen de agua desplazada por el submarino. (de los Reyes, 2011).

3.4.

Variables que describen el movimiento de un AUV

Según da Silva y otros (2007) en su art´ıculo ”Modeling and Simulation of the LAUV Autonomous Underwater Vehicle”los veh´ıculos autónomos submarinos o (AUV) por sus siglas en inglés se caracterizan por ser sistemas no lineales. Para poder definir un modelo que corresponda al sistema se consideran dos marcos de coordenadas: con respecto al cuerpo y con respecto a tierra. Los movimientos con respecto a al cuerpo se describen en 6 componentes de velocidad los cuales son Avance, desv´ıo, movimiento vertical, alabeo, cabeceo y guiñada relativo a un marco de referencia a que se mueve a velocidad constante con la corriente del océano. Los movimientos con respecto a la tierra describen posición y altitud. Los movimientos se pueden relacionar por medio de una transformación de Euler. Usualmente para modelar un sistema hidrodinámico se consideran tres efectos principales: 1. Fuerzas de restauració n – Son las más simples de analizar depende únicamente del peso vehicular, la fuerza boyante y posición relativa de los centros de gravedad 2. Masa agregada – Describe variables en fuerzas o momentos inducidos por presión. 3. Amortiguamiento – causado por fricci´ on laminar y turbulento. El modelado contiene ecuaciones con matrices que lo describen algunas de estas matrices son: 1. M – matriz de constante de inercia y masa agregada 2. C(v) – Coriolis matriz centr´ıpeta 3. D(v) – Matriz de amortiguamiento 4. L(v) – Matriz de levantamiento 5. g(n) – Vector de fuerza restauradora Si consideramos el AUV sim´ etrico en sus ejes las matrices M y D(v) son diagonales. Otros factores que juegan un papel importante son velocidad de la hélice, inclinación horizontal de la aleta e inclinación vertical de la aleta

3 Marco teórico

3.5.

8

Control a trav´ es de lazos de retroalimentación

En el presente trabajo se modelará el control de un submarino a través de lazos de retroalimentaci´ on, pero es importante comprender lo que estos significan y representan para el modelado de un sistema. Cualquier sistema autom´ atico de control, necesita señales de retorno o retroalimentación para reducir el error o la perturbación y as´ı mantener la estabilidad del sistema. Munárriz (1994). De acuerdo a Ridley y otros (2003), mediante controladores PID, proporcional integrador derivador, se pueden controlar los tres movimientos rotacionales de un submarino, a trav´ es de tres señales, una de ganancia proporcional, una derivada y otra integral, las cuales predicen y recuerdan informaci´ on con tal de mantener la estabilidad en el sistema. (Bahón y Giner, 2004). Utilizando estos controladores es posible controlar tanto la dirección y la profundidad del submarino.

4 Modelado y simulaci´ on

4. 4.1.

9

Modelado y simulaci´ on Introducci´ on al modelado

De acuerdo a Ridley y otros (2003), a través de experimentación y medidas a entradas escal´ on, las respuestas mostraron un sobrepaso antes de estabilizarse en un valor dado, lo cual es caracter´ıstico de un sistema de segundo orden, por lo que se entiende que la función de transferencia es de segundo orden, lo que nos indica que cuenta con una ganancia en estado estacionario y un factor de amortiguamiento. Dicho factor de amortiguamiento aumentara conforme aumente la velocidad del submarino hasta alcanzar un valor constante. Para realizar el modelado del movimiento de un submarino, Ridley y otros (2003) proponen que basándose en las ecuaciones de Euler, las cuales describen el movimiento de un sólido r´ıgido en rotación con seis grados de libertad, que a través de cálculos matemáticos son linealizadas, se puede obtener un modelo lo suficientemente exacto, el cual permite controlar el movimiento rotacional y la posición del submarino. Como Ridley y otros (2003) mencionan, con la implementación de ciertos instrumentos y a través de los lazos de realimentación es posible mantener el control del submarino, por ejemplo, incorporar un inclinómetro, un dispositivo que permite conocer la inclinación de un objeto respecto al eje horizontal, al lazo de realimentación permite tener control automá tico del ángulo de cabeceo, de la misma manera que la incorporaci´ on de giroscopios y magnetoscopios proporcionan datos en los tres ejes para controlar la dirección, ya que la simetr´ıa del submarino dicta que las fuerzas de amortiguamiento en el cabeceo y la guiñada son iguales, permitiendo mantener el control sobre la dirección del submarino.

4.2.

Ecuaciones

´ Como ya se sabe, la posició n de un cuerpo móvil se describe utilizando los Angulos de Euler y los movimientos traslacionales del cuerpo, los cuales vienen dados cada uno respecto a un marco de referencia, en los cuales se encuentran el centro de flotabilidad y centro de gravedad del submarino, C b y C g respectivamente, y dado que el submarino esta diseñado para que ambos coincidan, solo es necesario utilizar un marco de referencia. En navegación mar´ıtima se suele utilizar la convención internacional de la SNAME, del inglés Society of Naval Architects and Marine Engineers, para expresar la posición del veh´ıculo y las fuerzas que actuán sobre él, los cuales se expresan en la Tabla 1.


10

Tabla 1: Notación internacional de la SNAME Movimiento Nombre Posició n Velocidad Fuerza Traslación en x Avance x u X Traslación en y Desv´ıo y v Z Traslación en z Movimiento Vertical z w Y Rotaci´ on en x Alabeo p K φ Rotaci´ on en y Cabeceo q M θ Rotaci´ on en z Gui˜ nada r N ψ A continuación se muestran la forma en la que las fuerzas, momentos de inercia, velocidades y velocidades angulares, respectivamente, serán expresadas: F =

[X

Y

Z ]T

(4.1)

M =

[K

M

N ]T

(4.2)

V =

[u v w]T

(4.3)

ω =

[ p q r]T

(4.4)

Las ecuaciones del movimiento de Euler para un cuerpo r´ıgido con seis grados de libertad nos ayudan a entender el comportamiento del submarino.De acuerdo a Moreno y otros (2014), el modelo de un submarino sumergido puede escribirse de la siguiente manera: Mv + C (v)v + D(v)v + g(n) = τ + g + w

(4.5)

Donde M contiene los elementos de la matriz inercia y la matriz de la masa añadida, C(v) representa la matriz de Coriolis, D(v) representa las fuerzas viscosas o de amortiguamiento y el vector g(n) representa las fuerzas de restitución. Por su parte τ representa las fuerzas impulsoras que recibe el submarino por parte de sus propulsores. A continuación se expresan las ecuaciones de Euler-Newton para un cuerpo r´ıgido: d(mv) dt d(Iω) n = dt

f =

(4.6)

(4.7)


11

Partiendo de la Segunda Ley de Newton, podemos encontrar una expresió n para la aceleraci´ on del submarino, a G :



F =

maG

(4.8)

Donde m es la masa total del submarino, y descomponiendo la aceleración del submarino tal y como lo expresan Ridley y otros (2003): aG =

∂V + ω × V + ω˙ × rG + ω × ω × rG ∂t

(4.9)

Y recordamos que de acuerdo a Mott (2006):



˙

ω = φ ˙ θ˙ ψ

T

(4.10)

Combinando las ecuaciones de fuerza y velocidades, además de las ecuaciones 3.8, 3.9 y 3.10, obtenemos:



˙ + Z G ( pr + q ˙) X ext = m u˙ − vr + ωq − X G (q 2 + r 2 ) + Y G ( pq − r)



(4.11)



˙ + X G (qp + r) ˙ Y ext = m v˙ − ωp + ur − Y G ( p2 + r 2 ) + Z G (qr − p)



(4.12)



˙ Z ext = m ω˙ − uq + vp − Z G ( p2 + q 2 ) + X G (rp − q ˙) + Y G (rq + p)

(4.13)









Adem´ as, la sumatoria de momentos para un cuerpo r´ıgido con seis grados de libertad viene dada por:



˙ + r × maG M = H

(4.14)

Donde la razón de cambio del momento angular respecto al centro de gravedad viene dada por la siguiente ecuación: ˙ = [I ] ω + ω ×  I  ω ˙ H

(4.15)

Con I una matriz 3x3 de inercia diagonal, formada por las inercias principales respecto al centro de gravedad del cuerpo, es decir,  I xx I yy I zz . Sustituyendo ahora las ecuaciones de momentos de inercia y velocidades, con las ecuaciones 3.8, 3.9 y 3.10, obtenemos las siguientes ecuaciones:




12

˙ (I zz − I yy )qr − m[Y G (ω˙ − uq + vp) − Z G (v˙ − ωp + ur)] K ext = I xx p +

(4.16)



M ext = I yy ˙q + (I xx − I zz )rp − m[Z G (u˙ − vr + ωq ) − X G (ω˙ − uq + vp)]

(4.17)



N ext = I zz ˙r + (I yy − I xx ) pq − m[X G (v˙ − ωp + ur) − Y G (u˙ − vr + ωq )]

(4.18)

Pero hay otras fuerzas que actúan sobre el casco, entre ellas están las fuerzas hidroestáticas, las de masa añadida, hidrodin´ amicas y los momentos exteriores, a continuación se explican con mas detalle. Cada una de ellas viene acompañada por su respectivo sub´ındice. Fuerzas Hidroestáticas: estas están constituidas por el peso y la flotabilidad, las cuales actúan sobre el centro de gravedad y el centro de flotabilidad respectivamente, y las ecuaciones que las describen se muestran a continuación. X HE = − (W − B)sin θ

(4.19)

Y HE

= (W − B)cos θ sin φ

(4.20)

Z HE

= (W − B)cos θ cos φ

(4.21)

K HE = − Y G W cos θ cos φ − Z G W cos θ sin φ

(4.22)

M HE = − Z G W sin θ − X G W cos θ cos φ

(4.23)

N HE = −Y HS W cos θ sin φ − Z G W sin θ

(4.24)

Fuerzas de masa añadida: De acuerdo a Moreno y otros (2014) son las fuerzas que se oponen al movimiento del cuerpo en un fluido y depende de la velocidad y aceleraci´ on del mismo, es por esto que esta no es constante. Las ecuaciones que rigen estas fuerzas se muestran a continuación.


13

X A = X u˙ ˙u + X wq ωq + X qq q 2 + X vr vr + X rr r2

(4.25)

Y A = Y v ˙v + yr˙ ˙r + . Y ura ur + Y wp ωp + Y pq pq

(4.26)

Z A = Z ω˙ ˙ω + Z q˙ ˙q + Z uqa uq + Z vp vp + Z rp rp

(4.27)

˙ K A = K p˙ p

(4.28)

M A = M ω˙ ˙ω + M q˙ ˙q + M uωa uω + M vp vp + M rp rp + M uqa uq N A = N v˙ ˙v + N r˙ ˙r + N uva uv + N wp wp + M pq pq + N ura ur

(4.29)

(4.30)

Donde X u˙ y K p˙ son masas a˜ n adidas y momentos de masa a˜ nadida respectivamente, mientras que Y v˙ , Z ω˙ , M ω˙ y demás términos, son correspondientes a evaluaciones realizadas por Newmann, de acuerdo a Ridley y otros (2003). Fuerzas hidrodinámicas: De acuerdo con Ridley y otros (2003), la fuerza de arrastre está relacionada con la densidad del fluido ρ, con el área frontal del casco, Af , y con la velocidad V del fluido, como se muestra a continuación: D =

1 ρC D Af V 2 2

(4.31)

Donde C D está relacionado con el ángulo de incidencia de la siguiente manera: C D = aα 2 + bα + c

(4.32)

Hay que mencionar que el desv´ıo (v), es decir movimiento en el eje y, y el movimiento vertical (ω) son muy pequeños comparado con el avance, es decir con el movimiento en x, del submarino, por lo que el ángulo de incidencia puede ser expresado en el plano xz como α = ωu , o en el plano xy como β = uv . Fuerzas y momentos de la superficie del casco: La posición del submarino es controlada por dos planos de popa horizontales y dos timones verticales, asumiendo que ambas aletas se mueves simult´ aneamente, las ecuaciones para la elevación a causa de estas son: Laleta = 0,5ρC L S aleta δ e V e 2

(4.33)


14

M aleta = x aleta Laleta

(4.34)

Donde C L es la razón de cambio del coeficiente de elevación, S aleta es el área de la aleta, δ e es el angulo de aleta efectivo, el cual se expresa en radianes, V e es la velocidad de la aleta y x aleta es la posición axial de la aleta. De acuerdo a Ridley y otros (2003), para el timón se tienen las siguientes ecuaciones: δ e =

δ e =

v + xaleta r u

δ s −

ω − xaleta u

(4.35)

(4.36)

Estas ecuaciones permiten obtener los coeficientes hidrodinámicos de las ecuaciones de la elevación a causa de las aletas: 1 Y r = ρC L S aleta u2 δ r + uv + xaleta ur 2





(4.37)

Z s =

−1 ρC L δ f S aleta u2 δ s − uv + xaletauq 2



(4.38)

M s =

−1 ρC L δ f S aleta u2 δ s − uω + xaleta uq 2



(4.39)

N s =

−1 ρC L δ f S aleta u2 δ s + uv + xaleta ur 2



(4.40)



 

Las cuales se pueden descomponer en: Y udr = Y uvf = ρC L S aleta Z uds = −Z uωf = − ρC L S aleta Y urf = −Y uqf = − ρC L S aleta X aleta

(4.41)

(4.42)

(4.43)

Y a la vez se obtiene los momentos de los coeficientes de la aleta, mostrados a continuación: M vds = − M uωf = − ρC L S aleta X aleta

(4.44)


4.3.

15

N udr = N uvf = − ρC L S aleta X aleta

(4.45)

M uqf = N urf = − ρC L S aleta x2 aleta

(4.46)

Linealizaci´ on del sistema

Como se pudo observar en las ecuaciones no lineales 3.11, 3.12, 3.13, 3.16, 3.17 y 3.18, describen la posición del submarino sumergido, pero si se asume que los cambios en los ańgulos (φ θ ψ) son pequeños, los momentos hidroestáticos expresados en las ecuaciones 3.22, 3.23 y 3.24 se puede expresar de la siguiente manera: K HE = − Y G W − Z G W φ

(4.47)

M HE = − Z G W θ − X G W

(4.48)

N HE = −Y HS W φ − Z G W θ

(4.49)

Y si se combinan de nuevo con las ecuaciones 3.11, 3.12, 3.13, 3.16, 3.17 y 3.18, además de tomar en cuenta la ecuación 3.10, la cual establece que φ˙ = p, θ˙ = q y ψ˙ = r, y si se ignoran los coeficientes que pueden considerarse despreciables, se pueden obtener las ecuaciones linealizadas que caracterizan el cabeceo, alabeo y la guiñada del submarino, las cuales se muestran a continuación: ψ(s) = δ timon(s)

θ(s) = δ popa(s)



 

I zz −N r˙ N uv V 2



I yy −M q˙ Z G W −M uω V 2

φ(s) = δ aleron (s)

s + 2

 

2N timon

N uv



−mX G −N ur N uv V 2 2

2M popa V

Z G W −M uω V 2

s + 2

 





(4.50) Vs+1



mX G −M uq Z G W −M uω V 2

4K aleron

Z G W

I xx −K p˙ Z G W







s2 + 1



Vs+1

(4.51)

(4.52)

5 Análisis

5.

16

An´ alisis

Al ingresar en Matlab los valores de los cuadros 2 y 3, en las ecuaciones 55, 56 y 57, se obtuvieron las siguientes funciones de transferencia:

−0,5067 ψ(s) = δ timn(s) 0,1073s2 + 0,1395s + 1

(5.1)

−0,4989 θ(s) = δ popa(s) 0,1057s2 + 0,1253s + 1

(5.2)

20,21 φ(s) = 0,1282s2 + 1 δ alern (s)

(5.3)

Ahora, con estas funciones de transferencia se realizará una análisis de las respuestas al impulso, a entradas escalones, entradas al azar, as´ı como el análisis de la respuesta en frecuencia, como los diagramas de Bode y los polos del sistema. Algo que podemos apreciar de estas funciones de transferencia es que ninguna posee ceros. El código en Matlab generado para obtener las funciones de transferencia es el siguiente: %% Variables del modelo %Para funcion de transferencia 1 Ntimon= -6.08; Nuv= 24; Izz= 1.77; Nr= -4.34; V= 1.54; m= 18.826; Xg= -0.012; Nur= -4.93; %Para funcion de transferencia 2 Mpopa= -6.08; Zg= 0.0048; W= 184.7; Muw= -24; Iyy= 1.77; Mq= -4.34; Mvq= -4.93; %Para funcion de transferencia 3 Kaleron= 4.48; Ixx= 0.0727;

5 Análisis

17

Kp= -4.10*10^-2; %Funciones de transferencia %Para el cabeceo Gc=tf([0 0 (2*Ntimon)/Nuv],[(Izz-Nr)/(Nuv*V^2) ((-m*Xg-Nur)/(Nuv*V^2))*V 1]); %Para la alabeo Ga=tf([0 0 (2*Mpopa*V^2)/(Zg*W-Muw*V^2)],[(Iyy-Mq)/(Zg*W-Muw*V^2) ((m*Xg-Mvq)/(Zg*W-Muw*V^2))*V 1]); %Para el guinada Gg=tf([0 0 (4*Kaleron)/(Zg*W)],[(Ixx-Kp)/(Zg*W) 0 1]);

5.1.

Mapa de polos

En las figuras 2 y 3 podemos observar que los polos que caracterizan al cabeceo y al alabeo se encuentran en el semi-plano izquierdo, es decir, que tienen parte real negativa, lo que significa que ambos son un sistema estable. Esto se puede corroborar con las figura 6 y la figura 7 que corresponden a la respuesta de estos ante una entrada escalón. Adem´ as como se aprecia en la figura 4, los polos de la guiñada se encuentran justo sobre el eje imaginario lo que significa que es marginalmente estable y esto conlleva a una respuesta sinusoidal pura, lo cual no representa un verdadero problema dado que la respuesta obtenida es acotada, lo que significa que el sistema continua siendo estable. Lo anterior corresponde al criterio de estabilidad de acuerdo a la posición de los polos de un sistema expuesta por José David Rojas Fernández (2016), en la cual se expresa que un sistema es estable si y solo si, sus polos cuentan con parte real negativa.

Figura 2: Mapa de polos y ceros para el cabeceo. Creación propia con el software MATLAB.

5 Análisis

18

Figura 3: Mapa de polos y ceros para el alabeo. Creación propia con el software MATLAB.

Figura 4: Mapa de polos y ceros para la guiñada. Creación propia con el software MATLAB. Como se puede observar, los polos del alabeo y cabeceo se encuentran en el semi-plano izquierdo, pero los polos de la guiñada se encuentran sobre el eje imaginario.

5 Análisis

19

Figura 5: Mapa de polos y ceros para el sistema. Creación propia con el software MATLAB. La obtención de estos polos mediante Matlab se realizó haciendo uso del comando pzmap como se muestra en el siguiente código: %Mapa de polos %Cabeceo figure; pzmap(Gc); legend('Cabeceo'); %Alabeo figure; pzmap(Ga); legend('Alabeo'); %Guinada figure; pzmap(Gg); legend('Guinada'); %Todos en una misma figure pzmap(Gc,Ga,Gg); legend('Cabeceo','Alabeo','Guinada');

5 Análisis

5.2.

20

Respuesta del sistema ante entrada escal´ on

Para analizar la respuesta ante el escalón unitario para la función de transferencia que corresponde al cabeceo del submarino es muy importante tomar en cuenta el mapa de polos y ceros y ver espec´ıficamente la posición de los polos. Si observamos el mapa de la figura 2 los polos que pertenecen al cabeceo se ubican en el semi-plano izquierdo, esto nos indica que el sistema es estable y en este caso se puede determinar que es sub-amortiguado, es decir, que la respuesta transitoria es oscilatoria y en r´ egimen permanente el sistema de estabiliza, como se observa en la figura 6. Esto se puede determinar analizando el ξ del sistema que se puede calcular analizando la función de transferencia correspondiente al cabeceo. Desarrollando el denominador de tal forma que normalizamos el primer término podemos comparar término a término con la forma estándar de una función de transferencia de segundo orden y as´ı obtener varios valores entre ellos el de interés ξ . Para este caso el ξ encontrado corresponde a 0.2129, lo cual tiene sentido ya que para determinar que el sistema es sub-amortiguado el valor teórico de ξ debe estar entre cero y uno.

Figura 6: Respuesta al escal´ o n para el cabeceo. Creació n propia con el software MATLAB. Para el caso del alabeo se busca hacer un análisis similar al del cabeceo, ya que también presenta una similar respuesta sub-amortiguada ante el escalón, como se observa en la figura 7. Como se menciona anteriormente el valor teórico de ξ debe estar entre cero y uno para que esta respuesta sub-amortiguada tenga sentido realizando el mismo análisis con la función de transferencia correspondiente al alabeo al comparar los t´ erminos semejantes se calculó un valor de ξ de 0.1926, lo cual obedece la teor´ıa. Es importante destacar que este sistema también posee polos en el semi-plano izquierdo, tal y como se observó en la figura 3.

5 Análisis

21

Figura 7: Respuesta al escal´ o n para el alabeo. Creació n propia con el software MATLAB. El caso de la guiñada difiere a los del alabeo y cabeceo en que la respuesta al escalón no es sub-amortiguada sino que no es oscilante como muestra la figura 8. Esto corresponde a que los polos del sistema se encuentren sobre el eje imaginario como se puede observar en el mapa de polos y ceros de la figura 4 mostrado anteriormente. La señal mostrada corresponde a una respuesta sinusoidal como dicta la teor´ıa sobre un caso sin amortiguamiento. Teóricamente el valor de ξ para este caso debe ser cero. Usando la función de transferencia de la guiñada se verificó que este dato fuera cierto de tal forma que ξ es igual a cero.

Figura 8: Respuesta al escal´ o n para la gui˜ nada. Creaci´ o n propia con el software MATLAB.

5 Análisis

22

El código generado en Matlab para realizar estas simulaciones ante la entrada escalón es el siguiente: %Respuestas a entrada escalon %Cabeceo figure; step(Gc); legend('Respuesta a entrada escalon para el cabeceo'); %Alabeo figure; step(Ga); legend('Respuesta a entrada escalon para el alabeo'); %Guinada t1=0:0.1:10; u=heaviside(t1); figure; lsim(Gg,u,t1); legend('Respuesta a entrada escalon para la guinada');

5.3.

Respuesta del sistema ante entrada impulso

Ante una entrada impulso el sistema reacciona de una manera similar que ante una entrada escalón. El tipo de respuesta para cada caso se mantiene. Entre las pocas diferencias se puede destacar la amplitud de la señal en comparaci´ on a la del escalón, en el caso del cabeceo sigue siendo una respuesta sub-amortiguada que sufre una perturbación a la hora de activación del impulso pero luego la señal se estabiliza, como se muestra en la figura 9. El análisis correspondiente es el mismo de un caso clásico de sub-amortiguaci´ on donde el ξ debe estar entre cero y uno y en este caso el valor es de 0.2129.

5 Análisis

23

Figura 9: Respuesta al impulso para el cabeceo. Creació n propia con el software MATLAB. Para el caso del alabeo igual se mantiene la respuesta sub-amortiguada, como se ve en la figura 10 e igual presenta algunas variaciones en la amplitud en comparación al escal´ on, sin embargo se puede volver a hacer el mismo análisis de averiguar que el ξ correspondiente para este caso es de 0.1926 lo cual concuerda con la teor´ıa sobre la respuesta sub-amortiguada. En régimen permanente se estabiliza la señal.

Figura 10: Respuesta al impulso para el alabeo. Creaci´ o n propia con el software MATLAB.

5 Análisis

24

La respuesta al impulso de la guiñada se mantiene sinusoidal debido a que el valor de ξ es cero. Esto significa que posee los polos sobre el eje imaginario. Este caso no tiene amortiguamiento y el sistema es marginalmente estable, como se observa en la figura 11, donde la escala de tiempo es muy grande pero se logra observar la forma sinusoidal de la respuesta.

Figura 11: Respuesta al impulso para la gui˜ nada. Creación propia con el software MATLAB. El código en Matlab para este caso es: %Respuestas a entrada impulso %Cabeceo figure; impulse(Gc); legend('Respuesta a entrada impulso para el cabeceo'); %Alabeo figure; impulse(Ga); legend('Respuesta a entrada impulso para el alabeo'); %Guinada figure; impulse(Gg); legend('Respuesta a entrada impulso para la guinada');

5 Análisis

5.4.

25

Respuesta del sistema ante entradas determin´ısticas

Una vez analizadas las respuestas del sistema ante las entradas escalón e impulso se procedió a obtener la respuesta ante dos entradas distintas, dadas por escalones consecutivos con diferente amplitud y tiempo de activación, como se realiza en el texto de Ridley y otros (2003). Se utilizan entradas de esta forma ya que las entradas del sistema representan el movimiento angular del timón, la popa y el alerón que son los que dictan el movimiento del submarino, por tanto se consideran con amplitud pequeña ya que estos veh´ıculos no producen movimientos bruscos además de que se colocan los escalones consecutivos para realizar una trayectoria para el veh´ıculo submarino. Las entradas del sistema se definieron de la siguiente forma:

u1 (t) = 0u(t) − 0,09u(t − 9) + 0,09u(t − 22,5) + 0,09u(t − 33)

(5.4)

−0,09u(t − 42) − 0,09u(t − 48) u2 (t) = 0u(t) + 0,05u(t − 13) − 0,07u(t − 28) − 0,07u(t − 37)

(5.5)

+0,09u(t − 44) + 0,02u(t − 49) Al realizar la simulación en MATLAB de la respuesta del cabeceo, alabeo y guiñada ante la entrada u 1 (t) se obtuvo un comportamiento igual que la respuesta al escalón de las figuras 6, 7 y 8. Para el caso del cabeceo y el alabeo, la señal de salida se perturba al ingresar la se˜ nal de entrada y llega a estabilizarse después de un corto tiempo, dando una respuesta sub-amortiguada para cada uno de los escalones que componen la entrada u1 (t), como se puede observar en las figuras 12 y 13, comprobando la caracter´ıstica de estabilidad para el cabeceo y el alabeo, donde ante una entrada acotada se obtiene una respuesta acotada también.

5 Análisis

26

Figura 12: Respuesta a entrada u 1 (t) para el cabeceo. Creación propia con el software MATLAB.

Figura 13: Respuesta a entrada u1 (t) para el alabeo. Creación propia con el software MATLAB. Se puede observar un aspecto interesante de estas dos respuestas, donde su señal de salida es inversa con respecto a la señal de entrada debido a la ganancia negativa que poseen sus funciones de transferencia. Para el caso de la guiñada sucede algo distinto con la señ al de salida, ya que no se genera una respuesta sub-amortiguada si no que brinda una respuesta sinusoidal pura para cada escalón que compone la entrada, como se observa en la figura 14.

5 Análisis

27

Esta caracter´ıstica de la señal de salida se obtiene ya que, como se explicó anteriormente, la posición de los polos de su funci´ on de transferencia se encuentran sobre el eje imaginario y esto ocasiona una estabilidad marginal para la guiñada.

Figura 14: Respuesta a entrada u 1 (t) para la guiñada. Creación propia con el software MATLAB. Para el caso de la respuesta ante la señal de entrada dada por u2 (t) se obtuvo un comportamiento similar al obtenido con la entrada u1 (t) para cada una de las funciones de transferencia, donde para el caso del cabeceo y el alabeo se obtuvo un señal subamortiguada para cada escalón que compone la entrada u2 (t) y para la guiñada una señal sinusoidal pura para cada escal´ on de esta entrada, como se observa en las figuras 15, 16 y 17. En este caso se obtuvo la misma caracter´ıstica de la señal de salida del cabeceo y el alabeo, que es inversa con respecto a la señal de entrada aplicada debido a la ganancia negativa de la función de transferencia para cada uno. Por otro lado la ganancia de la función de transferencia de la guiñada es positiva por tanto la respuesta se da sobre la señal de entrada.

5 Análisis

28

Figura 15: Respuesta a entrada u 2 (t) para el cabeceo. Creación propia con el software MATLAB.

Figura 16: Respuesta a entrada u2 (t) para el alabeo. Creación propia con el software MATLAB.

5 Análisis

29

Figura 17: Respuesta a entrada u 2 (t) para la guiñada. Creación propia con el software MATLAB. El código que se realizó en Matlab para obtener las simulaciones anteriores ante las entradas u 1 (t) y u 2 (t) es: %Entradas deterministicas t=0:0.1:50; u1=0*heaviside(t)-0.09*heaviside(t-9)+0.09*heaviside(t-22.5)+ 0.09*heaviside(t-33)-0.09*heaviside(t-42)-0.09*heaviside(t-48); u2=0*heaviside(t)+0.05*heaviside(t-13)-0.07*heaviside(t-28)0.07*heaviside(t-37)+0.09*heaviside(t-44)+0.02*heaviside(t-49); %Cabeceo figure; lsim(Gc,u1,t); legend('Respuesta figure; lsim(Gc,u2,t); legend('Respuesta %Alabeo figure; lsim(Ga,u1,t); legend('Respuesta figure; lsim(Ga,u2,t); legend('Respuesta %Guinada figure; lsim(Gg,u1,t); legend('Respuesta

a entrada u1 para el cabeceo');

a entrada u2 para el cabeceo');

a entrada u1 para el alabeo');

a entrada u2 para el alabeo');

a entrada u1 para la guinada');

5 Análisis

30

figure; lsim(Gg,u2,t); legend('Respuesta a entrada u2 para la guinada');

5.5.

Diagramas de Bode

A la hora de realizar la simulación en Matlab, se obtuvieron los diagramas de Bode para el cabeceo, alabeo y guiñada, los cuales pueden observarse en las figuras 18, 19 y 20. En las gráficas de magnitud se pueden observar los sobresaltos caracter´ısticos de los sistemas de segundo orden, con excepción del diagrama de la guiñada, la cual presenta un cambio repentino, tanto en fase como en magnitud. Puede observarse en los tres diagramas que se tiene mas ganancia en bajas frecuencias, lo que significa que los sistemas presentan un rechazo a la perturbación, una caracter´ıstica importante en sistemas estables.

Figura 18: Diagrama de Bode para el cabeceo. Creació n propia con el software MATLAB.

5 Análisis

31

Figura 19: Diagrama de Bode para el alabeo. Creación propia con el software MATLAB.

Figura 20: Diagrama de Bode para la gui˜ nada. Creaci´ o n propia con el software MATLAB. Por u ´ ltimo para realizar los diagramas de Bode en Matlab se utilizó el siguiente código: %Diagramas de bode %Cabeceo figure; bode(Gc); legend('Cabeceo');

5 Análisis

%Alabeo figure; bode(Ga); legend('Alabeo'); %Guinada figure; bode(Gg); legend('Guinada');

32

6 Conclusión

6.

33

Conclusi´ on

Según los principios del análisis y modelado de sistemas se logra a través de la utilización del software MATLAB establecer un modelo matemático que describe el movimiento de un submarino. Se usaron ecuaciones brindadas que obedecen las caracter´ısticas principales del análisis de sistemas. Se lograron determinar tres funciones de transferencia que describen la posición del submarino a través de sus tres ejes transversales. El movimiento a través de cada uno de estos ejes se denominan cabeceo, alabeo y guiñada. Una vez establecida la funci´ on de transferencia se pudo estudiar con mas profundidad la dinámica del sistema y como se iba a comportar ante diferentes tipos de entrada, como por ejemplo una entrada tipo escalón, impulso y una serie de escalones seguidos que simulan casos que podr´ıan afectar a un submarino. De las respuestas obtenidas se pueden concluir que el alabeo y el cabeceo siempre dieron una respuesta sub-amortiguada, es decir en régimen permanente, estos dos se mantienen estables. La guiñada siempre presentó una respuesta sin amortiguación y permanentemente estará marginalmente estable. Esto se respalda con datos presentados en los mapas de polos de cada caso, en el cual el alabeo y el cabeceo presentan polos estables del lado del semi-plano izquierdo lo cual implica una respuesta sub-amortiguada y la guiñada presenta sus polos justo encima del eje imaginario lo cual implica una respuesta sinusoidal pura.

6.1.

Recomendaciones

Durante la realización de este trabajo, se presentaron una serie de dificultades, pero una sobresale por encima de las demás, el manejo de fórmulas matemáticas tan complicadas encargadas de representar situaciones reales, y que son caracter´ısticas de sistemas sumergidos, algo a lo que no se esta acostumbrado, y luego simular dichas ecuaciones en el software de MATLAB, son dos tareas que requirieron de mucho tiempo y esfuerzo para poder obtener los resultados deseados, por lo que para futuros trabajos, se recomienda comenzar con suficiente tiempo al igual que nosotros, y asegurarse de leer y entender la gran cantidad de información que existe sobre el tema, para as´ı lograr comprenderlo y poder realizar el trabajo de la mejor manera posible. De la misma manera, el buen uso que se le puede dar a MATLAB facilita mucho el trabajo a realizar. El trabajo realizado por Ridley y otros (2003), facilita el avance del proyecto, dado que ellos presentan un modelo en el cual se desprecian ciertas situaciones en la cuales el comportamiento no hubiese sido lineal, y muestran una manera de linealizarlo, permitiendo as´ı obtener un modelado exitoso.

7 Anexos

7.

34

Anexos

Tabla 2: Valores de masa y momentos Parámetro S´ımbolo Valor Unidades Masa m 18.826 kg Momento de inercia Ixx 0.0727 Kgm2 Momento de inercia Iyy=Izz 1.77 kKgm2 Largo L 1.391 m Radio del casco R 0.076 m Distancia de la aleta al cento de flotabilidad Xfin 0.537 m Centro de masa (posición) [Xg, Yg, Zg] [-0.012 0 0.0048] m

Tabla 3: Coeficientes de fuerzas y momentos Pará metro Valor Unidad -3.11 kg/m X uu 42.1 kg X u˙ 30.1 kg/m X uw 301 kg/m X uv -51.9 kg/m X vv -51.9 kg/m X ww -27.2 kg/m X wq -410 K p kgm 2 /rad2 Kprop -0.540 Nm Kalerón 4.48 kg/rad Mpopa -6.08 kg/rad 24 kg M uw -4.93 kgm/rad M uq -4.34 kgm 2 /rad2 M q Ntimón -6.08 kg/rad -24 kgm/rad N ur -4.93 kgm/rad N ur -4.34 kgm/rad N r

Modelado de Movimiento de Un Submarino

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