Cap´ıtulo 2
Normas de Vectores y Matrices
2.1. 2.1.
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
En este cap´ cap´ıtulo repasaremos repasa remos brevemente el concepto de norma de un vector para centrarnos en el estudio de las normas de matrices o, si se quiere, en las normas de los operadores lineales. El estudio de las normas de matrices es importante por varias razones. Es necesario, por ejemplo, para definir de forma precisa conceptos tales como series de potencias de matrices; y desde luego es b´ asico asico para precisar lo que se entiende por p or proximidad pr oximidad o lejan´ lejan´ıa entre matrices, aspectos asp ectos fundamentales en el an´alisis alisis de algoritmos en la computaci´ on on num´ erica. erica. Un par de ejemplos pueden servir para ilustrar estas ideas. Es conocido que si x es un n´ umero umero complejo de m´ odulo menor que 1 entonces odulo 1
x
I
A
1
1
x
x2
x3
I
A
A2
A3
...
Esto sugiere la f´ormula ormula 1
27
...
28
Normas de Vectores y Matrices
para calcular la inversa de la matriz I A. Pero ¿cu´ ando a ndo es tal f´ormula ormula v´alida?. alida?. Resulta que es suficiente que una norma de la matriz A sea menor que 1, y adem´as as cualquier norma sirve. De forma parecida se puede ver que bajo ciertas condiciones relativas a la norma de A la serie 1 k i
k 0
A
es convergente y sirve para definir la funci´ on on matricial eA . Por otra parte, el c´ alculo alculo num´erico erico con matrices mat rices que proceden de datos dat os experiexp erimentales, no es exacto; por lo general matrices est´ an sometidas, bien sea por errores an de redondeo o por imprecisi´ on en las mediciones,a peque˜ on nas perturbaciones. Cu´ nas an an peque˜ nas son estas perturbaciones, o lo que es lo mismo, cu´ nas an an lejos est´ a la matriz verdadera de la calculada son conceptos que se pueden hacer precisos utilizando normas. En todo este cap´ cap´ıtulo supondremos que F es el cuerpo o el cuerpo C de los n´ umeros umeros complejos. complejos.
2.2. 2.2.
Norm Normas as de Vecto ectore ress
2.2. 2.2.1. 1.
Defin Definic ici´ i´ on on y Ejemplos
R
de los n´ umeros umeros reales
Como es bien sabido, el concepto de norma de un vector es una generalizaci´ on on del concepto de valor absoluto o m´ odulo odulo de un n´ umero umero complejo.
espacio vectoria vectoriall sobre sobre F ( R o C). Una funci´ on ν : Definici´ on on 2.1 .-Sea V un espacio V R es una norma en V si ν satiface las siguientes propiedades: (i) x
0
ν x
(ii) ν αx (iii) ν x
0.
α ν x , y
ν x
α ν y ,
F.
x
desigualdad triangular ) V ( desigualdad
2.2 Normas de Vectores
29
Tres importante propiedades se siguen de forma inmediata de la Definici´ on 2.2. Para cualquier norma ν 1. ν 0 2. ν
0 porque ν 0 x
3. ν x
ν 0x
ν x porque ν ν y
x
0ν x 1 ν x
0. ν x
y . En efecto, hay dos posibilidades:
ν x
ν y . En este caso ν x ν y ν x ν y y por la desigualdad a) ν x triangular ν x ν x y y ν x y ν y . b) ν x ν y . Entonces ν x ν y ν y ν x y de nuevo por la ν y x ν x ν x y ν x . desigualdad triangular ν y
Ejemplo 2.2 Se puede definir una infinidad de normas en Fn , sin embargo las m´as utilizadas son las llamadas normas de H¨ older o normas p . En lo que sigue n n x1 , x2 , . . . , xn F es un vector de F . supondremos que x Para cada una de las normas dibujamos, a modo de ilustraci´ on la correspondiente 2 2 bola unidad en R ; i.e., el conjunto B 0, 1 x R x 1 .
(a)
La norma 1 : n
x 1
xi . i
(b)
1
La norma 2 o norma eucl´ıdea: n
x 2
xi 2 . i
1
30
Normas de Vectores y Matrices
(c)
La norma : x
(d)
m´ax xi .
1
i n
La norma p general ( p
2): 1
n
p
xi p
x p i
.
1
Demostrar que las normas p son, en efecto, normas es f´ acil salvo la desigualdad triangular que, en el caso general, se conoce como desigualdad de Minkowsky. ´esta a su vez, es consecuencia de otra desigualdad importante; la desigualdad de H¨older: Si p y q son n´ umeros reales tales que p1 1q 1 entonces x y
x p y q .
En el caso particular en que p 2 (y entonces tambi´en q H¨older se convierte en una desigualdad bien conocida: x y
2) la desigualdad de
x 2 y 2 ,
la desigualdad de Cauchy-Schwartz.
Aparentemente la norma no es una norma p . Sin embargo se la puede considerar como tal porque para cualquier x Fn se tiene que x
l´ım x p .
p
2.2 Normas de Vectores
31
Algo de esto ya se intuye en la forma que tienen las bolas unidad en R2 para las normas p . Tambi´en admite, claro est´a, una demostraci´ on rigurosa: Sea x1 p
x p
xn p
1
p
,
y supongamos que x
m´ax xi
xi
i n
1
x iq
1
m.
Es decir, que las componentes i1 , . . . , iq son, en m´odulo, mayores que todas las dem´as, y que en todas ellas el valor de dicho m´ odulo es el mismo e igual a m. As´ı, si j1 , . . . , jn q 1, . . . , n i1, . . . , iq tenemos que qm p
x p
m q x jk Como m
x j p x j p m
x jn q p 1 p x jn q p 1 p
1
1
x jk 1 conclu´ımos que l´ım p m
p
m
0 y l´ım x p p
. m
x , tal y
como se deseaba demostrar.
2.2.2.
Equivalencia de normas
Las normas son herramientas b´ asicas para definir y analizar la convergencia de una sucesi´on de vectores en espacios vectoriales. Como es habitual, una sucesi´on o n de n´ umeros xk V se dice que converge a x (y se escribe xk x) si la sucesi´ reales ν xk x converge a cero, ν xk x 0, siendo ν una norma definida en V . Esta definici´on depende de la norma ν . En principio podr´ıa suceder que una sucesi´on de vectores convergiera para una norma pero no para otra. De hecho, esto es perfectamente posible en espacios de dimensi´ on infinita, pero no en espacios de dimensi´on finita. Ello es consecuencia de que todas las normas en un espacio vectorial de dimensi´on finita son equivalentes en el siguiente sentido:
Definici´ on 2.3 Sean µ y ν normas definidas en V , espacio vectorial sobre F. Se dice que µ y ν son equivalentes si existen n´ umeros reales positivos c1 y c2 tales que c1
ν x µ x
c2 ,
x
V.
32
Normas de Vectores y Matrices
Debe notarse que as´ı se define, en efecto, una relaci´ on de equivalencia en el conjunto de todas las normas definibles en un espacio vectorial. (Se ver´a en los ejercicios que hay una infinidad de normas definibles en cualquier espacio vectorial). Nuestro objetivo es demostrar que todas las normas en un espacio de dimensi´on finita son equivalentes. Para ello debemos recordar algunos resultados b´asicos de topolog´ıa. En todo espacio normado, M, . podemos definir una distancia: d x, y
x
y ,
que hace de M, d un espacio m´etrico, y por lo tanto topol´ ogico con una base de abiertos dada por las bolas abiertas centradas en cada punto de M . Por consiguiente, si V es un espacio vectorial en el que tenemos definida una norma, autom´ aticamente tenemos en V estructuras de espacio m´etrico y topol´ ogico. Si en M tenemos definidas dos normas, las bolas abiertas definidas por ambas normas pueden ser diferentes (ve´ase el Ejemplo 2.2). A pesar de que las bases de abiertos determinadas por dichas normas sean diferentes, las topolog´ıas determinadas por ´estos pueden ser iguales. La propiedad de que las normas son equivalentes determina que, en efecto, las topolog´ıas inducidas por ellas son la misma; es decir, todo abierto respecto de una de las normas lo es respecto de la otra. En efecto, recordemos que si ν es una norma en M , un conjunto A M es abierto si para cada x A existe un n´ umero real ρ 0 tal que B x, ρ y V ν x y ρ est´a contenido en A. Ahora, si en M hay definidas dos normas equivalentes, digamos ν y µ, entonces existen constantes positivas c1 y c2 tales que c1 µ x ν x c2 µ x para todo x M . Supongamos que A es abierto respecto de la norma ν . Esto significa que para todo x A existe r 0 tal que ν x y r implica que y A. Veamos que A es abierto respecto de µ. Sea x A un elemento cualquiera y definamos s de modo que 0 s cr . Si µ x y s tenemos que 2
ν x
y
c2 µ x
y
c2
r c2
r.
Por lo tanto y A y A es abierto respecto a µ. La demostraci´ on de que todo abierto respecto a µ lo es respecto a ν se hace igual. As´ı pues, todas las normas equivalentes definidas en un conjunto M inducen la misma topolog´ıa en dicho conjunto. En consecuencia, todos los invariantes topol´ ogicos (compacidad, conexi´ on, . . . ) se mantienen. Es decir, si un conjunto es compacto o conexo respecto de una de las normas lo es respecto de la otra.
2.2 Normas de Vectores
33
Estas propiedades tienen un inter´es sobre todo te´ orico, pero nos ahorra tener que estar prestando atenci´ on continuamente a las normas empleadas cuando se prueban resultados topol´ ogicos. En cualquier caso, una primera consecuencia es que la convergencia de sucesiones de vectores en espacios de dimensi´on finita es independiente de la norma elegida. La demostraci´ on de que todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensi´on finita son equivalentes se puede hacer de diversas formas. La que adoptamos aqu´ı no es la m´ as directa pero tiene la virtud de poner de manifiesto una propiedad fundamental de los espacios vectoriales de dimensi´ on finita: estos espacios vectoriales est´ an caracterizados por el hecho de que las esferas unidades respecto de cualquier norma son conjuntos compactos. Demostraremos esta importante propiedad (que usaremos de manera significativa posteriormente) en el siguiente Lema. En la prueba usaremos que las normas 1 y 2 en Fn son equivalentes. En efecto, tal y como se propone demostrar en los ejercicios, se tiene la siguiente desigualdad para todo xıFn : (2.1) x 2 x 1 n x 2. Una u ´ ltima observaci´on: n´otese que la acotaci´ on no se conserva por homeomorfismo (el intervalo 0, 1 es homeormorfo a R) pero si dos normas son equivalentes y un conjunto es acotado respecto de una de ellas lo es, por la definici´ on de equivalencia de normas, respecto de la otra.
Lema 2.4 (a) Todas las normas definidas en V , espacio vectorial sobre F, son funciones continuas cuando en V se considera la topolog´ıa inducida por ν y en R la topolog´ıa habitual (la inducida por el valor absoluto). (b) Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita y ν una norma en V . La esfera unidad de V respecto de la norma ν , S ν 1 , es un conjunto x V ν x compacto con la topolog´ıa en V inducida por dicha norma.
Demostraci´ on.(a) Sea ν una norma definida en V y consideremos en V la topolog´ıa inducida por esta norma. Sea ε 0 un n´ umero real arbitrario. Escogemos 0 δ ε. Entonces, como para todo x, y V ν x
ν y
ν x
y ,
34
Normas de Vectores y Matrices
resulta que si ν x es continua.
y
(b) Supongamos que dim V siguiente funci´ on:
δ entonces ν x
n y sea v1 , . . . , vn una base de V . Definimos la Fn
g : a
ε. Esto demuestra que ν
ν y
V
a 1 , . . . , an
v
a 1 v1
an vn
donde el ´ındice ν indica que la topolog´ıa en V es la derivada de la norma ν . Esta aplicaci´ o n es un isomorfismo de espacios vectoriales; es decir, es una aplicaci´on lineal y biyectiva. Y desde el punto de vista topol´ogico es tambi´en un homeomorfismo cuando en V y Fn se consideran las topolog´ıas derivadas de las normas ν y 1 . Es decir, g es una aplicaci´ on continua con inversa continua. No obstante, para llegar al resultado deseado s´ olo necesitamos que g sea continua. Aunque, tal y como se acaba de decir, ´este es un hecho conocido, lo demostramos porque la demostraci´ on es muy sencilla y esta propiedad se usar´ a con frecuencia en este curso. Que la inversa de g tambi´en es continua requiere m´ as trabajo. Aunque no se va a utilizar, demostraremos esta propiedad al final de la secci´on. Sea ε 0 un n´ umero real dado. Tenemos que encontrar un n´ umero real δ tal que si a b 1 δ entonces ν g a g b ε. Ahora bien
0
n
ν g a
g b
ν
ai vi i
n
ai i
b i vi
1
bi ν vi
1
M a
b 1 ,
donde M m´ax ν v1 , . . . , ν vn . Observamos que M 0 porque vi todo i 1, . . . , n por ser vectores de una base de V . Basta escoger 0 para obtener el resultado deseado.
0 para δ
ε M
Sea S ν V la esfera unidad respecto de la norma ν : S ν x V ν x 1 . Este conjunto es acotado respecto de la m´ etrica determinada por ν . Y tambi´en es cerrado porque es la anteimagen por la aplicaci´ on continua ν del cerrado 1 de R. Como g es continua, g 1 S µ es cerrado. El conjunto g 1 S tambi´en es acotado. Esto es, en realidad, una consecuencia inmediata de un resultado que veremos en la pr´oxima lecci´on. Sin dicho resultado, necesitamos
2.2 Normas de Vectores
35
una demostraci´ on. Ya hemos visto que g : Fn continuas. Entonces, la composici´ on de ambas Fn
f :
V y ν : V
R
son funciones
R
a1 , . . . , an
ν a1 v1
;
an vn
tambi´en lo es. Sea S 1n 1 x Fn x 1 1 la esfera unidad de Fn respecto de la norma 1 . Este conjunto es cerrado y acotado respecto de la norma 1. Por (2.1) tambi´ en es cerrado y acotado respecto de la norma eucl´ıdea. Ahora bien, sabemos (Teorema de Heine-Borel) que ser cerrado y acotado en Fn (F R o C) respecto de la norma eucl´ıdea equivale a ser compacto. As´ı pues S 1n 1 es compacto. Consecuentemente, f restringida a S 1n 1 alcanza su m´ınimo. Sea m m´ıny S n f y . Notemos que m 0 porque si y S 1n 1 entonces y 0, por lo que vy y1v1 0. yn vn 0 y f y ν vy 1
1
Sea ahora a S y as´ı
a 1 , . . . , an
1
g
S ν . Esto significa que x
a1 v1
an vn
n
1
ν x
ν
a i vi i
1
n
a 1 ν i
Pero como
a1 , . . . aan1 a 1
S 1n
n
ai vi a 1
f
1
ν x
ν i
1
1
1
ai vi a 1
resulta que a1 an ,... a 1 a 1
m.
Por lo tanto y como m
0 obtenemos a
a 1 m,
1 1
m
. As´ı pues, g
1
a acotado en S ν est´
la norma 1 ( y por lo tanto en al norma 2 ). Y como tambi´en es cerrado R o C, g 1 S ν es compacto. en ambas normas por ser equivalentes, y F Finalmente, como g biyectiva, g g 1 S ν S ν . Ahora bien, la imagen de un compacto por una aplicaci´ on continua es compacto. Conclu´ımos entonces que S ν es compacto, tal y como se deseaba demostrar. El rec´ıproco del apartado (b) del lema anterior tambi´en es verdadero. Aunque no lo vamos a utilizar lo exponemos por completitud. La demostraci´ on usa el siguiente resultado de Riesz, que no demostramos:
36
Normas de Vectores y Matrices
Lema 2.5 (Lemma de Riesz) Sea E un espacio vectorial y ν una norma definida E un subespacio propio y 0 α E S tal que en ´el. Sea S 1. Existe xα 1 y ν s xα ν xα α para cada s S . Teorema 2.6 Un espacio vectorial V es de dimensi´ on finita si y s´ olo si la esfera unidad en V , respecto de cualquier norma, es un conjunto compacto. Demostraci´ on.- La necesidad de que la esfera unidad sea un conjunto compacto para que V sea de dimensi´on finita se ha probado en el Lema 2.4. Demostremos ahora la suficiencia. Sea ν una norma en V y supongamos que V es de dimensi´on infinita. Sea x1 V cualquier vector tal que ν x1 1. Sea V 1 el subespacio generado por x1 . x1 Como V es de dimensi´on infinita, V 1 es un subespacio propio de V , por el Lema de 1 Riesz, existe x2 V tal que ν x2 1 y ν x2 y para todo y V 1 . 2 Sea V 2 x1 , x2 el subespacio generado por x1 y x2 . De nuevo, V 2 V es un subespacio propio de V . Aplicando otra vez el Lema de Riesz, existe x3 V tal que 1 1 y ν x3 y para todo y V 2. ν x3 2 Siguiendo as´ı sucesivamente, constru´ımos una sucesi´ on de vectores xn con las siguientes propiedades: (a) ν xn (b) ν xn
1 para n xm
1 2
1, 2, . . .
para n
m, n, m
N.
Por lo tanto hemos constru´ıdo una sucesi´ on de vectores en la esfera unidad de V , respecto de la norma ν , que no admite una subsucesi´on convergente. Esto significa que la esfera unidad no es un conjunto compacto en V , contradiciendo la hip´otesis. Demostramos finalmente el resultado sobre la equivalencia de normas que busc´ abamos. on Teorema 2.7 Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensi´ finita son equivalentes.
2.2 Normas de Vectores
37
on finita sobre F, y sean Demostraci´ on.- Sea V un espacio vectorial de dimensi´ ν y µ dos normas definidas en V . Sea S µ x V µ x 1 . Por una parte, este conjunto es compacto con la topolog´ıa en V inducida por la norma µ. Hemos visto en la demostraci´on del Lema 2.4 que si gµ :
F
a
n
V
a1 , . . . , a n
v
a1 v1
an vn
entonces gµ 1 S µ es compacto en Fn con la topolog´ıa habitual (la derivada de la norma eucl´ıdea o de la 1 ). Tambi´en se ha demostrado gµ es continua cuando en V se considera la topolog´ıa derivada de la norma ν . Como la imagen de un compacto por una aplicaci´on continua es un compacto y gµ es biyectiva, conclu´ımos que S µ es compacto en V con la topolog´ıa inducida por la norma ν . As´ı pues, cuando en V consideramos la topolog´ıa inducida por ν tenemos que on continua y S µ un compacto. Por lo tanto, ν alcanza en S µ su ν es una aplicaci´ m´aximo y su m´ınimo. Pongamos c1 m´ın ν y y c2 m´ax ν y . Entonces, para x
x V , tenemos que µ x ν x
y S µ
y S µ
S µ y µ x ν
x µ x
µ x m´ın ν y y S µ
c2 µ x .
Y de la misma forma ν x
µ x ν
x µ x
ax ν y µ x m´ y S µ
c1 µ x .
Una consecuencia inmediata de la equivalencia de normas en espacios de dimensi´on finita es que los isomorfismos algebraicos de espacios vectoriales normados son isomorfismos topol´ ogicos u homeomorfismos:
Corolario 2.8 Sean V 1 y V 2 dos espacios vectoriales de dimensi´ on finita n sobre F y sea f : V 1 V 2 un isomorfismo. Sean ν y µ normas definidas en V 1 y V 2, respectivamente. Entonces f y f 1 son aplicaciones continuas cuando en V 1 y V 2 se consideran las topolog´ıas inducidas por estas normas. Demostraci´ on Probamos la continuidad de f , la de f
1
se demuestra igual.
38
Normas de Vectores y Matrices
R definida por En primer lugar, es f´ acil demostrar que la aplicaci´on η : V 1 η x µ f x es una norma en V 1 . Como V 1 es de dimensi´ on finita, η y ν son equivalentes. Existe una constante positiva c2 tal que η x c2 ν x para todo x V 1 .
Sea ahora ε Entonces, si x, y µ f x
0 un n´ umero real dado. Escojamos δ de modo que 0 V 1 cumplen que ν x y δ , se sigue f y
µ f x
y
η x
y
c2 ν x
y
c2 δ
δ
ε . c2
ε.
Esto demuestra que f es uniformemente continua en V 1 . Una consecuencia inmediata es el siguiente resultado anunciado en la demostraci´on del Lema 2.4: la inversa de Fn
g : a
a 1 , . . . , an
V v
a 1 v1
an vn
es una aplicaci´ on continua.
2.3. 2.3.1.
Normas de Matrices Definiciones, Ejemplos y Primeras Propiedades
Dado que Fm n es un espacio vectorial todo lo dicho en la secci´on anterior es de aplicaci´on a las matrices de tama˜ no m n con elementos en el cuerpo de los n´umeros reales o complejos. En particular, todas las normas definidas en Fm n son equivalentes; i.e. generan la misma topolog´ıa,y son funciones continuas. Debemos observar que las propiedades que definen una norma tienen en cuenta las operaciones propias de la estructura de espacio vectorial sobre el que se definen: el producto por escalares y la suma de vectores (desigualdad triangular). Sin embargo las matrices, en algunos casos, se pueden multiplicar. Una norma sobre Fn n se dir´a que es una norma de matriz cuando respecto al producto se verifica una propiedad similar a la desigualdad triangular para la suma. Tomar en consideraci´ on esta propiedad de las matrices nos conduce a la siguiente definici´ on:
2.3 Normas de Matrices
39
Definici´ on 2.9 .- Sean µ, ν y ρ normas definidas en Fm n , Fn p y Fm p , respectivamente. Diremos que µ, ν y ρ son consistentes si para todas matrices A Fm n y B Fn p se verifica ρ AB
µ A ν B .
En particular una norma ν definida en Fn ν A ν B para todas A, B Fn n .
n
se dice que es consistente si ν AB
Una norma ν definida en Fn tiva o submultiplicativa .
n
Una norma definida en Fn sistente.
se dice que es una norma de matriz si es con-
n
consistente tambi´en se dice que es multiplica-
Un caso particular importante es el de las normas consistentes (tambi´en llamadas en este caso compatibles) con las normas de vector: Si µ es una norma definida en Fn n y ν es una norma definida en Fn entonces se dice que µ es consistente o compatible con la norma de vector ν si para toda matriz A Fn n y todo vector x Fn se tiene que ν Ax
Ejemplo 2.10
µ A ν x
1. - La norma eucl´ıdea en Fm m
n
1
n
2
A
aij i
1 j
ser´a 2
1
A esta norma se le llama tambi´en norma de Frobenius y se suele representar por A F . En algunos sitios se le llama tambi´en norma de Schur o de HilbertSchmidt. Nosotros utilizaremos el nombre de norma eucl´ıdea o de Frobenius. La norma de Frobenius en Fn n es una norma de matriz . En efecto, teniendo en cuenta que la desigualdad de Cauchy-Schwartz y que n
aik bkj k
1
40
Normas de Vectores y Matrices
es el producto escalar de la i-´esima fila de A por la j-´esima columna de B , n
2
AB F
n
n
aik bkj i,j
1
aik
2
n i,k
2
n k
i,j
1
n j,k
2. - La norma en
F
2
bkj
1
m n
k
1
2
1
1
ser´a: m´ax ai,j
1
1
n
bkj
A 2F B 2F .
A Esta norma en Fn ejemplo:
k
1
n
2
aik
i m j n
no es una norma de matriz como lo demuestra el siguiente 1 1 1 1
A
A2
2 2 2 2
AA
y AA 3. - En general la norma p en
2
m n
F
A A
1
se definir´ a como: m
1
n
p
A
aij i
1 j
2
1
Utilizando la desigualdad de H¨o lder se puede demostrar que en norma es una norma de matriz si y s´olo si 1 p 2.
F
n n
esta
4. - Una peque˜ na modificaci´ on en la definici´on de la norma nos permite obtener una norma de matriz en Fn n : A
n m´ ax ai,j 1
En efecto, si a
m´ax aij y b
1
i,j
i,j
n
m´ax bij entonces
n
1
i,j
n
n
AB
ax n m´ 1
i,j
n
n
ax n m´ 1
i,j
n
n
ab k
1
aik bkj k
1
na nb
ax n m´ 1
i,j
n
A B
aik bkj k
1
2.3 Normas de Matrices
41
La norma de Frobenius se puede escribir alternativamente de cualquiera de las dos formas siguientes: a) A F
tr A A
b) A 2F a1 22 a2 22 . . . an 22 , donde A est´a escrita en t´erminos de sus vectores columna.
2.3.2.
a1 a2
an
Fn n
Normas de Matriz Inducidas
Una t´ecnica general para obtener normas de matriz a partir de normas vectoriales es la siguiente: Sea A Fm n y pensemos en A como una transformaci´ on u operador lineal: Fm A : Fn x
Ax
Consideremos en Fn y Fm normas n y m , respectivamente. Es un hecho conocido que las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales normados de dimensi´on finita son operadores acotados. Que un operador h : E 1 E 2 entre dos espacios normados M x es acotado significa que x E 1 existe una constante M 0 tal que h x donde hemos representado con el mismo signo, , y sin posibilidad de confusi´on,las dos normas definidas en E 1 y E 2 . Si E 1 y E 2 son espacios vectoriales de dimensi´on finita, hemos visto en el Corolario 2.8 que las aplicaciones lineales son continuas. x Si x E 1 entonces est´a en la esfera unidad S 1 de E 1 que, por el Lema 2.4, x
es un conjunto compacto en E 1 . Por consiguiente, si h es lineal entonces, como las normas son siempre funciones continuas, aximo h restringido a S 1 alcanza su m´ x x 1 M . Pero h x hx , y m´ınimo. Sea M m´ax h y . Entonces h x x y S 1
de donde se sigue que h x
M x .
En particular para la aplicaci´ on lineal A se tiene que x Fn existe una constante M 0 tal que Ax m M x n . Y esto significa que el conjunto Ax m :x x n
n
F
,x
0
est´a acotado superiormente. Consecuentemente, tiene un supremo. Podemos as´ı definir la siguiente funci´ on: f : Fm n R A
f A
42
Normas de Vectores y Matrices
donde f A
0
sup n x
F
Ax m x n
Es claro que el cociente Ax m x n es no negativo. Probaremos que f es una norma consistente con las normas de vector que sirven para definirla. Comenzaremos observando que el sup se alcanza y que, por lo tanto, podemos sustituir sup por max . Para ello probamos, en primer lugar, que (supondremos siempre x Fn ): sup Ax m . f A xn
En efecto si M
0
Ax m , x
Fn
te, si M
sup
x
Fn
xn
tal que x n 1
entonces M
1, con lo que M
un vector no nulo arbitrario; entonces sup
xn
1
Axm , xn
0. En particular M
x
sup
xn
1
xn
x
Ax m . Rec´ıprocame n-
1
Fn
Ax m , entonces M Ax m , x
que M A xxn m f A
Axm xn x
sup
1
tal que x n
1. Sea
es un vector unitario, de modo
xn
Ax m . Por lo tanto M
0
sup n x
F
Axm . xn
En conclusi´on
Ax n .
Ahora bien, m es una funci´on continua respecto de cualquier norma de Fn y tambi´en A es una funci´on continua (por ser una funci´ on lineal). Por otra parte, la esfera unidad es un conjunto compacto (respecto de cualquier norma) de Fn , y cualquier funci´ on continua alcanza sus valores m´ aximo y su m´ınimo en ella. As´ı pues f A
m´ax Ax m
xn
1
m´axn
0
x
F
Ax m . x n
Demostraremos ahora que f A es una norma vectorial consistente con las normas m y n.
Teorema 2.11 .- Sea n y m normas definidas en Fn y Fm , respectivamente.
2.3 Normas de Matrices
43
a) La funci´ on real f definida en Fm
n
por
m´ax Ax m
f A
xn
1
m´axn
0
x
F
Ax m x n
es una norma que denotaremos con m,n . m n
b) Si A
F
y B
F
n p
entonces AB
En particular, si m
m,p
A
m,n
B
n entonces la norma
n,p .
n,n
es una norma de matriz.
c) Las normas m,n , m y n son consistentes. d) Si µ es cualquier otra norma de matriz consistente con m y n , entonces A m,n µ A , A Fm n . En lo sucesivo, y para evitar una notaci´on excesivamente pesada, no escribiremos los sub´ındices que asocian cada norma al espacio en el que est´ a definida y representaremos todas las normas con el s´ımbolo . La raz´ on es que en todo momento es claro en qu´e espacio est´ a el vector o la matriz sobre el que act´ ua la norma. m n As´ı, escribiremos x y A en vez de x n o A m,n porque si A F entonces la m n norma en F es ındices; y, adem´ as, Ax s´olo m,n y no se necesita precisar los sub´ n tiene sentido si x F y no se precisa especificar el sub´ındice en el correspondiente s´ımbolo de la norma.
Demostraci´ on.- a) Debemos verificar todos los axiomas que definen las normas de matriz (i) Si A 0 existe x m´ax Ax 0. x
Fn
tal que Ax
0. Por lo tanto Ax
1
(ii) Para todo λ
F
λA
m´ax λAx v
x
1
λ m´ ax Ax x
1
m´ax λ Ax
x
λ A.
1
0y A
44
Normas de Vectores y Matrices
Fm n
(iii) Probamos ahora que si A, B efecto A
B
m´ax A
x
b) Sean A
Bx
1
A m n
F
B x
1
m´ax Ax
x
entonces A
B A
m´ax Ax
x
1
m´ax Ax
x
1
B . En
Bx
m´ax Bx
x
1
B.
yB
n p
F
. Por definici´on
AB
m´ax ABx . x
1
Sea x0 F p un vector con x0 1 donde se alcanza el m´ aximo: AB ABx 0 . Ahora bien, para cada matriz X X
Xy y
m´ax y
0
de donde resulta que Xy X y , y
0. As´ı
AB A Bx 0 A Bx 0 A B x0 A B , porque x0
1; que es lo que se quer´ıa demostrar.
En particular si m
Es decir,
n,n
n
n n
p y A, B
F
AB
A
n,n
n,n
entonces B
n,n .
es una norma de matriz.
c) Ya hemos visto que A
Fn n
y x
Fn ,
x
0, se tiene que
Ax m A m,n x n . Y para x 0 se obtiene la igualdad de forma evidente. Por consiguiente, las normas m,n , m y n son consistentes.
2.3 Normas de Matrices
45
Fn
d) Tambi´en hemos visto m´ as arriba que existe x0
con x0
1 tal que
A Ax0 . Como µ es consistente con m y n resulta que A Ax0 m
µ A x0 n
µ A ,
tal y como se deseaba demostrar.
Ejemplo 2.12 .- Vamos a ver c´omo se definen expl´ıcitamente las normas de matriz p para p 1, 2, . 1. - La norma de matriz 1 : Sea A Fm n y escribamos esta matriz en funci´ on de sus columnas A a1 a2 an . Vamos a probar que la norma de matriz inducida por la norma 1 es : m
m´ax
A 1
1
aij
j n
i
1
o, equivalentemente, A 1 En efecto, pongamos M
m´ax a j 1
1
j n
m´ax a j 1 . Vamos a demostrar que M
1
j n
Para ello probamos primero que M Ax 1 para todo x i.e. que M es una cota superior del conjunto Ax
1
: x
1, x
1
n
F
n
F
Fn
con x Ax
1
1
x
1
con x
1
1
Fn
tal que
1, y sean x1 , . . . , xn ) sus componentes. Entonces x1 a1 x1 a1 x1
xn an 1
xn
1
xn an 1 m´ax a j
1
j n
1
1;
,
Y a continuaci´on que esta cota se alcanza. Es decir, que existe x0 1 y M x0 Ax0 1 . Sea x
m´ax Ax 1 .
M x
1
M
46
Normas de Vectores y Matrices
Por lo tanto, M es una cota superior de Ax 1 : x 1 1, x Fn . Ahora, ak 1 . si el m´ ax a j 1 se alcanza, digamos, para la columna k entonces M 1
j n
k
Tomando x0
0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0
ek
M
ak
F
Aek
1
n
, tenemos que x0 Ax0 ,
1
de modo que M es una cota superior de Ax alcanza. Esto es m´ax a j 1 m´ax Ax 1 1
j n
x
1
: x A
1
1
1y
1
1
1, x
n
F
que se
1
2. - La norma de matriz : De forma similar a lo que hemos visto m´as arriba, vamos a demostrar que la norma de matriz inducida por la norma es n
A
m´ax
aij .
i n
1
j
1
n
Pongamos M
m´ax
1
i n j
aij . Por una parte 1
n
Ax
n
m´ax
1
i n
m´ax
aij x j j
1
1
i n j
aij x j 1
n
n
m´ax
1
i n j
M x
ax xk aij m´ 1
1
aij x
m´ax
k n
1
i n j
1
.
As´ı pues m´ax
A
x
Ax
1
M.
(2.2)
Para demostrar la desigualdad en sentido contrario vamos a probar que para cada i 1, . . . , n existe un vector xi con xi 1 tal que n
n
aij x ji .
aij j
1
j
1
(2.3)
2.4 Sucesiones y Series de Matrices
47
Supuesto esto demostrado es f´ acil ver que A i 1, . . . , n A
Axi
m´ax Ax
x
M . En efecto, para cada
1
n
aij x ji
m´ax
1
i n j n
1
m´ax
1
aij
i n j
M
1
As´ı pues, debemos demostrar (2.3). Basta encontrar xi tal que aij x ji Pero esta misma identidad nos sirve de definici´on: x ji
aij .
¯ij a aij
siempre que aij 0 y x ji 1 si aij 0. Con esta definici´ on de xi tenemos que 1 y se verifica (2.3) porque cada sumando aij x ji xi aij es positivo. En conclusi´ on n
A1
m´ax Ax
x
1
M
m´ax
1
i n
aij j
1
tal y como se deseaba demostrar. 3. - La norma de matriz 2 : A la norma de matriz inducida por la norma 2 se le llama tambi´en Norma Espectral. Veremos en un tema posterior que tiene un significado muy importante que todav´ıa no estamos en condiciones de comprender bien.
2.4.
Sucesiones y Series de Matrices
Tal y como hemos dicho en la secci´on anterior, el uso de normas nos permite hablar de convergencia de sucesiones de vectores y, por lo tanto, de matrices. El objetivo de esta secci´ on es introducir las serie de matrices y demostrar un resultado que necesitaremos en un tema posterior.
48
Normas de Vectores y Matrices
Sea Ak k 0 una sucesi´on infinita de matrices con elementos en Fn m , recordemos que F R o C. Con esta sucesi´on formamos otra, la de las sumas parciales k
S k
A j , j
Definici´ on 2.13 La serie
0.
k
0
on S k es convergente; i.e. si A j converge si la sucesi´ j
0
existe el l´ım S k . Adem´ as, si S
l´ım S k entonces escribiremos
k
k
A j j
La convergencia de la serie
S.
0
erica A j se puede reducir a la de la serie num´ j
0
A j de la siguiente forma: j
0
Proposici´ on 2.14 Si la serie num´erica
A j j
converge para alguna norma de
0
matriz, tambi´en converge la serie matricial
A j . j
0
umero real dado. Veremos que existe un entero Demostraci´ on.- Sea ε 0 un n´ on N 0 tal que si p, q N entonces S p S q ε. Esto demuestra que la sucesi´ on de Cauchy. Como Fm n es completo, S n S n de sumas parciales es una sucesi´ converge. En efecto q
S p
q
S q
A j j p
Ahora bien, si
p
A j j p
1
A j j
1
A j converge, existe N j
q
0
0 tal que si p, q
0
p
q
A j j
0
A j j
0
ε,
A j . j
0
N entonces
2.4 Sucesiones y Series de Matrices
49
que es lo que se quer´ıa demostrar. a j A j es conver-
En particular, para matrices cuadradas la serie de potencias j
gente si lo es la serie num´erica
A j . En realidad, este resultado no es un caso
a j j
0
0
particular de la Proposici´ on 2.14 pero se demuestra igual teniendo en cuenta que la norma elegida es una norma de matriz. En efecto, basta observar que si B j a j A j entonces B j
A j
a j
a j
A j,
donde la u ´ltima desigualdad se debe a que las normas de matriz tienen la propiedad submultiplicativa. Como muchas funciones escalares se pueden definir como series de potencias convergentes en ciertas regiones del plano complejo, la posibilidad de reducir la convergencia de una serie de potencias matriciales a la de sus correspondientes normas permite definir de forma sencilla algunas funciones matriciales. a j z j en un entorno de z
Concretamente, sea f z j
0 con un radio de
0
a j A j con A
convergencia R y consideremos la serie matricial j
alguna norma de matriz para la que A
n n
F
. Si hay
0
R, la serie
a j j
A
j
converge y
0
podemos definir a j A j .
f A j
0
En particular, cada una de las siguientes funciones est´ a perfectamente definidas: eA j
1 j A, ! j 0
A
1
sen A j
0
cos A j
0
Fn n .
j
A2 j
2 j 1 ! 1 j 2 j A , 2 j !
1
,
A
A
F
n n
.
Fn n .
De la misma forma se podr´ıan definir otras funciones matriciales como ln A, tan A ,
50
Normas de Vectores y Matrices
z j que sabemos que converge
etc. Nos interesa especialmente la serie geom´etrica j
a
1 1
1
z
z
1
si z
1:
n n
Proposici´ on 2.15 Si A
F
y A
1 para alguna norma de matriz, entonces
as, en tal caso I n A es invertible. Adem´
I n
0
A j y
1
A
j
1 1
A
I n
1
A
0
.
Demostraci´ on.- Si A
1 entonces la serie geom´etrica
A j
j
es convergen-
0
A j converge. Sea B
te, y por la Proposici´ on 2.14 la serie matricial j
pongamos
A j y j
0
0
k
A j .
S k j
0
Entonces I
Como l´ım S k
A S k
I n
A I n
Ak
A
I n
Ak
1
.
B resulta que
k
l´ım I n
A S k
k
I n
A B,
y tambi´en l´ım I n
A S k
k
Ahora bien, l´ım I n k
num´erica
A
k
Ak
1
l´ım I n
k
converge a cero por ser A
En consecuencia I n
Ak
I n porque I n
A B I n
Ak
1
1
I n
1.
I n y A
1
A j .
B j
0
. A
k
1
y la sucesi´on
