OBJETIVO El programa de la asignatura de matemáticas de educación secundaria tiene como objetivo el desarrollo de competencias en los adolescentes; las cuales a través de cada contenido se desarrollan ciertas habilidades y destrezas que van formando parte de las competencias matemáticas. El tema de sucesiones y series numéricas se desarrolla durante los tres grados escolares de educación secundaria. Por lo que es importante que los alumnos afiancen muy bien estos contenidos como una técnica en la resolución de problemas. Así como también, para el pensamiento lógico y el razonamiento. En el manejo de sucesiones es relevante destacar el uso eficiente de las operaciones básicas tales como la adición, sustracción, sustracción, multiplicación, división entre otras. otras. Que el alumno ya conoce y seguirá desarrollando. En primer grado los estudiantes resolverán sucesiones para encontrar los términos que falten y la regla general de la sucesión. En segundo grado resolverán sucesiones de números con signo. Y en tercer grado sucesiones de números cuadrados, triangulares, etc.
METODOLOGIA
Una sucesión es un conjunto ordenado de números formado de acuerdo con alguna regla o patrón. Ejemplos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 10, 15, 20, 25, 4, 9, 15, 22, 30,
Una serie es una suma indicada de los términos de una sucesión. Ejemplos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 4 + 9 + 15 + 22 + 30 +
Cada elemento de una sucesión o serie recibe el nombre de término. Ejemplo:
En la sucesión 5, 10, 15, 20, 5 es el primer término, 10 es el segundo término, 15 es el tercer término, etc.
El término general es un término arbitrario. En este caso nos referiremos al término general como el n-ésimo término. El n-ésimo término describe una regla. Ejemplo:
Si el n-ésimo termino de una sucesión es 2n + 5, el primer término(n = 1) es 2(1) + 5 o 7, el segundo término(n = 2) es 2(2) + 5 o 9, el tercer término(n = 3) es 2(3) + 5 u 11, el centésimo termino(n = 100) es 2(100) + 5 o 205, el n-ésimo termino (n = n) es 2(n) + 5
En la tabla de valores siguiente n representa el numero del término de la sucesión (primero, segundo, tercero, cuarto, , n-ésimo). La letra T representa el valor del término. La tabla representa la sucesión 7, 9, 11, 13, 15, , 2n + 5.
n
T
1 2 3 4 5 . . . n
7 9 11 13 15 . . . 2n + 5
Cuando se resuelven problemas, en ocasiones resulta útil conocer una regla general. Encontrar el n-ésimo término de una sucesión, es encontrar la regla general para todos los términos de la sucesión. Ejercicios: Completa cada sucesión y encuentra el n-ésimo termino.
n-ésimo termino
a) 2, 4, 6, 8, 10, ____, ____, ____,
_____________
b) 1, 3, 5, 7, 9, ____, ____, ____,
_____________
c) 3, 6, 9, 12, 15, ____, ____, ____,
_____________
d) 7, 10, 13, 16, 19, ____, ____, ____,
_____________
e) 5, 10, 15, 20, 25, ____, ____, ____,
_____________
Carl Friedrich Gauss, uno de los g randes matematicos de todos los tiempos, ya estaba descubriendo patrones matematicos a la edad de 11 a ños. La anécdota nos dice que en Alemania, por el año de 1787, un profesor daba su clase a niños de 11 años y para mantenerlos ocupados mientras el trabajaba les planteo un problema. Les dijo que encontraran la suma de todos los números del 1 al 100. Aunque anonadados por esta tediosa tarea, los estudiantes eran demasiado temerosos para contradecir a su estricto maestro. Todos empezaron la laboriosa suma excepto uno-. Carl Friedrich Gauss pensó que debía haber una manera mucho mas sencilla de calcular la respuesta, que escribir todos los números y sumarlos. Busco un patrón. Imaginate la sorpresa del maestro cuando Gauss le presento la respuesta correcta, momentos después de que el problema había sido propuesto. ¿Puedes establecer un método para calcular la r espuesta? Gauss usó uno de los dos métodos mostrados abajo. METODO
1
Escribe los números en orden: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 97 + 98 + 99 + 100 Forma parejas con el primero y el ultimo, el segundo y el penúltimo, etc. Encuentra la suma de cada pareja. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 97 + 98 + 99 + 100 101 101 101 101 De esto resultan 50 parejas, que suman cada una 101. La suma de los números del 1 al 100 es entonces 50 x 101, o bien 5050. METODO
2
Escribe la serie del 1 al 100. Debajo de ella, escribe la serie del 100 al 1. Suma cada pareja de números. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 97 + 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + . . . + 4 + 3 + 2 + 1 101 101 101 101 101 101 101 101 101 De esto resultan 100 sumas de 101. La mitad de esas parejas contiene todos los números del 1 al 100. La suma de todos los números del 1 al 100 es entonces
x 101, o bien, 5050.
Estas son formas para encontrar la suma de una serie especial tal como la de los números para
contar. En general la suma de n números de este tipo es n(n+1). Debido a que el patrón de los
números para contar ocurre frecuentemente en otros problemas, es útil recordar esta técnica. La formula también será útil. PATRONES Y TECNICAS PARA ENCONTRAR LAS SOLUCIONES DE LAS SUCESIONES Y SERIES. METODO
1 RECONOCIENDO NU MEROS ESPECIALES
A veces en una sucesión de números notaras que todos los números poseen alg una propiedad especial. Algunos ejemplos son: Sucesión
Propiedad
Regla 2
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
Todos son números cuadrados
n
1, 8, 27, 64, 125,
Todos son números cúbicos
n
3, 6, 9, 12, 15, 18,
Todos son múltiplos de tres
3n
3
1, 3, 5, 7, 9, 11,
Todos son números impares consecutivos
(2n-1)
Conforme los problemas se van haciendo más complicados no puede esperarse que puedas reconocer la relación inmediatamente por la simple observación de los números. Probablemente necesitaras buscar otro tipo de patrones. METODO
2 EL TERMINO COMO UNA SERIE
Puede ser de utilidad el descomponer los números de una sucesión en una serie de números que revelen un patrón. Por ejemplo, veamos el problema de encontrar el n-ésimo número pentagonal. Números pentagonales 1
2
3
4
5
6
7...
n
1
5
12
22
35
51
70 . . . ____
La tabla podría escribirse como sigue: n
P
1 2 3 4 5 6 . . . n
1 5 12 22 35 51 . . .
(1) (1+4) (1+4+7) (1+4+7+10) (1+4+7+10+13) (1+4+7+10+13+16)
(1+4+7+10+13+16+ . . .+ ____)
Notándose una diferencia de 3 entre los términos, los números podrían escribirse de la sig uiente forma: n
P
1 2 3 4 5 6
1 5 12 22 35 51
(1) (1+1+3) (1+1+3+1+2*3) (1+1+3+1+2*3+1+3*3) (1+1+3+1+2*3+1+3*3+1+4*3) (1+1+3+1+2*3+1+3*3+1+4*3+1+5*3)
. . . n
. . . (1+1+3+1+2*3+1+3*3+ . . .+1+(n-1)3)
El patrón podría escribirse también en esta forma: n
P
1 2 3 4 5 6 . . . n
1 5 12 22 35 51 . . .
(1*1) (2*1)+(1*3) (3*1)+(1*3)+(2*3) (4*1)+(1*3)+(2*3)+(3*3) (5*1)+(1*3)+(2*3)+(3*3)+(4*3) (6*1)+(1*3)+(2*3)+(3*3)+(4*3)+(5*3)
(n*1)+(1*3)+(2*3)+(3*3)+ . . .+(n-1)3
Usando la propiedad distributiva los números podrían escribirse así: n
P
1 2 3 4 5 6 . . . n
1 5 12 22 35 51 . . .
1+3(0) 2+3(1) 3+3(1+2) 4+3(1+2+3) 5+3(1+2+3+4) 6+3(1+2+3+4+5)
n+3[(1+2+3+4+. . .+(n-1)] o n+3[
]o
Una vez más aparece la serie de los números para contar. La regla general se encontró escribiendo cada termino de la sucesión como una serie de números y descubriendo un patrón en la forma en que los términos se desarrollaron.
