SUCESIONES Y SERIES Suce Sucesione siones: s: Definición 1: Una sucesión es una función de f :
, donde
es el conjunto de
números enteros positivos. Si f (n) an , entonces a esta sucesión la denotaremos por an ,
an n1
o
presentando
a1 , a2 , a3 , a4 ,
sus
términos
en
donde el término
, an ,
orden
creciente
de
los
subíndices:
a1 es el primer elemento, a2 el segundo,
a3 es el tercer término, y an es el n-ésimo término o término general. Toda sucesión, al igual que una función, tiene una representación gráfica; donde se evidencia que es una variable discreta y no continua.
Definición 2: Una sucesión an es acotada si a1 , a2 , si existe un k
tal que an k para todo n
es un conjunto acotado. Es decir,
.
tal que Definición 3: Una sucesión an es acotada superiormente si existe un M an M para todo n
.
D efinici fi nició ón 4: 4: Una sucesión an es acotada inferiormente si existe un m tal que an m para todo n
.
acotada si y sólo si an es acotada superiormente e Proposición 1: Una sucesión an es acotada si inferiormente.
T eorema orema 0: C ondició ndici ón N ecesa cesarr i a de de Conver Conver g encia. nci a. Toda sucesión convergente es acotada. O lo que es equivalente, toda sucesión no acotada es divergente. El recíproco es falso.
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Límite de una Sucesión: La idea de límite de una sucesión es paralela a la de límite de una función en el infinito. Intuitivamente se dice que una sucesión tiene límite L si los términos de la sucesión se aproximan tanto como queramos a L tomando n suficientemente grande, formalmente,
Definición 5: Límite de una Sucesión Sea L un número real. El límite de una sucesión an es L, escrito como lim an n
para todo
L , si
0 , existe M 0 tal que n M an L .
Si el límite de una sucesión existe, entonces la sucesión converge a L. Si el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge. Es decir, si una sucesión an coincide con una función f en cada entero positivo, y si f ( x) tiende a un límite L a medida que x , la sucesión debe converger al mismo límite L. En términos más precisos, esta definición se expresa así: lim an L 0 M 0 n M an L n
Teorema 1: Variable Discreta – Variable Continua. Sea L un número real. Sea f una función de una variable real definida en un intervalo
f ( x) L . b, tal que xlim Si an es una sucesión tal que f (n) an para cada entero n, entonces lim an n
L.
Obs.: El resultado anterior permite utilizar la regla de L'Hôpital para sucesiones. No obstante, el recíproco no es cierto como lo muestra la sucesión an sen2 n , es evidente que dicha sucesión es constantemente cero y por tanto converge a cero. En cambio
f ( x) sen2 n no posee límites cuando x .
Teoremas 2: Uni cidad del límite Si una sucesión es convergente, su límite es único.
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Teorema 3: Algebra de Límites de una sucesión. Si lim an A y lim bn B y c n
n
*
entonces
a. lim can c lim an cA n
b. lim an bn lim an lim bn A B
n
n
an lim bn A B an bn lim c. lim n n n
p
e. lim an lim an n
n
p
A
p
d. lim n
p 0, an 0
n
an bn
lim an
n
lim bn
n
bn
an f. lim n
n
A
B 0
B
lim an n
lim bn
n
A B
A 0, an 0
si r 1 0 si r 1 1 n lim r n si r 1 noexiste si r 1
g.
Teoremas 3: Teorema del Sándwich o E mparedado. Este teorema es útil para estudiar la convergencia de algunas sucesiones. Sean an , bn y cn tres sucesiones. Se verifica que Si lim an lim bn L y an cn bn entonces lim cn L n
n
n
Donde se evidencia que la sucesión cn es convergente y su límite vale L.
Teorema 3: Si lim an L y L 0 entonces las sucesiones: n
(1) a y (1) a son Divergentes. n 1
n
n
n
Sucesiones Monótonas y Acotadas Definición 6: Una sucesión an es a.
Creciente si an1 an n
b.
Estrictamente Creciente si an1 an n
c.
Decreciente si an1 an n
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d.
Estrictamente Decreciente si an1 an n
e.
Monótona si an Creciente o Decreciente.
f.
Estrictamente Monótona si an Estrictamente Creciente o Estrictamente Decreciente. Es claro que una sucesión estrictamente creciente es creciente, que una sucesión
estrictamente decreciente es decreciente y que una sucesión estrictamente monótona es monótona.
Monotonía y Convergencia Se relacionan a continuación condiciones de monotonía y de convergencia: a.
Toda sucesión convergente es acotada.
b.
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
c.
Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente.
d.
Toda sucesión decreciente y no acotada inferiormente es divergente.
Series Numéricas Sea an una sucesión, entonces una serie, viene dada por:
a
n
a1 a2 a3
an
n1
Donde an es una sucesión infinita de números reales. Los puntos suspensivos al final
indican que los sumandos continúan indefinidamente. Se usa el símbolo
a
n
para
n 1
abreviar la suma infinita de la derecha. Los números a1 , a2 , a3 , a4 ,
, an ,
, son los términos de la serie, siendo an el
término general o término n-ésimo de la serie. A partir de la sucesión an construimos una nueva sucesión S n llamada la sucesión de sumas parciales, del modo siguiente:
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S1 a1 S2 a1 a2 S3 a1 a2 a3 Sn a1 a2 a3
an
Definición: La serie infinita
a
n
converge y tiene como suma al número real S si la
n 1
sucesión S n de sumas parciales converge a S .
En este caso, se tiene:
a
n
S lim Sn lim an n
n1
n
n 1
Si S n diverge, entonces la seri e diverge. Una serie diverge si no tiene suma.
Polinomios de Taylor y Maclaurin Si f tiene n derivadas en a, entonces el polinomio Pn ( x) f (a) f ´( a)( x a)
f ´´( a) 2!
( x a) 2
f n ( a) n!
( x a) n
f n ( a) n!
n 1
( x a) n
Se llama Polinomio de Taylor de grado n para f en el punto a. Si a 0 , entonces Pn ( x) f (0) f ´() x
f ´´(0) 2!
x 2
f n (0) n!
x n
f n (0)
n 1
n!
xn
También se le llama Polinomio de Maclaurin de grado n para f.
Series de Potencias Si x es una variable, entonces una serie infinita de la forma
a x n
n
a0 a1 x a2 x2 a3 x3
an xn
n 0
Se llama seri e de potencias. De manera más general, una serie infinita de la forma
a ( x c) n
n
a0 a1 ( x c) a2 ( x c)2 a3 ( x c)3
an ( x c)n
n 0
Se llama seri e de potencias centrada en c , donde c es una constante
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Resumen de Criterios para Series Serie
Criterio
Converge
Termino n-ésimo
n 1
an
Diverge
Comentari o
lim an 0
Este criterio no sirve para
n
demostrar la convergencia
Seri es Geométri ca
r 1
ar n
r 1
Suma: S
n 0
Seri es Telescópicas
b
n
lim bn L
bn1
1
n
Seri es P Seri es Alternadas o Alternantes
p 1
p
n 1
1
n 1
positiva y decreciente)
n1
n
a n 1
n
n 1
n 1
1
an , bn 0
lim n an 1
n
lim n an 1
n
n 1
n
límite
an
an1
lim n
an
1
lim
n
a
n
N
f ( x)dx
no
b n 1
bn
n 1
n
concluyente si lim
n 1
n
L 0
1
no
n
b an
b
an
criterio
0 bn an y n
Diverge lim
an
n
y
an1
n
an
lim n 1
criterio
es
concluyente si lim n an 1 El
Converge
Comparación en el
Resto: 0 R N
n
f ( x)dx
Diverge
0 an bn y
Comparación Directa
El
Cociente o Razón
f ( x)dx
Converge
an f (n) 0
a
1
Raíz
Resto: R N aN 1
lim an 0
I ntegr al ( f continua,
p 1
0 an1 an an
1 r
Suma: S b1 L
n
n 1
a
bn
L 0
Diverge
y
b Diverge n 1
n
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an1 an
es
1
