Sucesiones y Series

Moisés Villena Muñoz

Cap. 5 Sucesiones y Series

5 5.1 SUCESIONES 5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 5.3 SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 5.3.1 LA SERIE GEOMÉTRICA. 5.3.2 SERIES TELESCÓPICA 5.3.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 5.3.3.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL 5.4 SERIES ALTERNANTES 5.5 SERIES DE POTENCIAS 5.5.1 SERIE DE TAYLOR 5.5.2 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de sucesiones. • Conozca las propiedades de la notación sigma. • Determine convergencia o divergencia de series geométricas, Telescópicas, y series de términos positivos aplicando el criterio de la integral. • Determine series de potencias para funciones, aplicando Taylor.

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5.1 SUCESIONES 5.1.1 DEFINICIÓN.

Sucesión es una función, denotada como {a n }, cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y su rango son números reales. Es decir: IN 6 X ⊆ IR n 6 f ( n) = a n

Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se presenta

como una secuencia de términos {a1 , a 2 , a3, ,"}. Si la sucesión tiene una cantidad determinada de términos se la llamará SUCESIÓN FINITA. Si la sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN INFINITA.

Ejemplo

{an } = ⎧⎨

n ⎫ ⎧1 2 3 n ⎫ ,"⎬ ⎬ = ⎨ , , ," , 2n + 1 ⎭ ⎩ 2n + 1 ⎭ ⎩ 3 5 7

La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión. Ejemplo a1 = 1; a n = a n −1 + 3; n ≥ 2 Es decir:

a 2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4 a3 = a 2 + 3 = 4 + 3 = 7 Y así sucesivamente.

59



5.1.2 Convergencia y Límite

Una sucesión {an } , es convergente si y sólo si lim an existe. Caso contrario; es decir, si n →∞

lim an no existe, se dice que la sucesión es n →∞

divergente. Si

lim an n →∞

existe, es decir si

lim a = L, n→∞ n

significa que: ∀ξ > 0, ∃N > 0 talque n > N ⇒ an − L < ξ Ejemplo ⎧ n ⎫ Determinar si {an } = ⎨ ⎬ es convergente o divergente. ⎩ 2n + 1 ⎭ SOLUCIÖN: Para determinar si es convergente o divergente se halla

lim a n .

n →∞

n 1 n n = lim = lim 2 n→∞ 2n + 1 n→∞ 2n 1 + n n Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a

1

2

TEOREMA

Si an y bn son sucesiones convergentes, entonces: 1. lím kan = k lím an ; k ∈ IR n →∞ n →∞

60



(an ± bn ) = lím 2. lím an ± lím bn n →∞ n →∞ n →∞ (an bn ) = lím 3. lím an lím bn n →∞ n→∞ n→∞ an ⎛ an ⎞ lím n →∞ ⎜ ⎟= 4. lím si n →∞ ⎜ b ⎟ bn ⎝ n ⎠ lím n→∞

lím bn ≠ 0

n →∞

Ejercicios propuestos 5.1 1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes. 2 ⎪⎧ 3n + 1 ⎪⎫ d. a. ⎨ 2 ⎬ ⎪ ⎪ b.

c.

⎩ 2n − n ⎭ ⎧⎪ 2n 2 + 1 ⎫⎪ ⎨ ⎬ ⎪⎩ 3n − 1 ⎪⎭ ⎧ 2n + 1 ⎫ ⎨ 2 ⎬ ⎩ 3n − n ⎭

⎧ ln n ⎫ ⎨ 2 ⎬ ⎩n ⎭

e.

⎧⎪⎛ 3 ⎞ n ⎫⎪ ⎨⎜1 + ⎟ ⎬ ⎪⎩⎝ n ⎠ ⎪⎭

f.

n ⎧⎪⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ + 1 ⎟ ⎬ ⎨⎜ ⎪⎩⎝ 2n ⎠ ⎪⎭

5.1.3 SUCESIONES MONOTONAS

Una sucesión {a n } es monótona si sus términos son no decrecientes, es decir: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ " ≤a n ≤ an+1 ≤ " ;

ó si sus términos son no crecientes; es decir: a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ " ≥ a n ≥ an+1 ≥ " .

61



a n +1 ≥ 1 será una an a n +1 ≤1 sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que a n ≥ a n +1 o an Lo anterior quiere decir que si se cumple que a n ≤ a n +1 o

será una sucesión DECRECIENTE. Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 12 y la máxima cota inferior es 13 . PREGUNTA: ¿POR QUÉ MÁXIMA COTA SUPERIOR?

SE DICE

MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR

QUÉ SE DICE

TEOREMA

Una condición necesaria y suficiente para que una sucesión monótona sea convergente, es que sea acotada.

5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Sea la secuencia a1 , a2 , a3 ," an . La suma de estos números, puede ser expresada mediante una notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma:

∑a n

a1 + a 2 + a3 + " a n =

i

i =1

Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita.

62



Ejemplo 1

∑ 4

i =1

1 2 3 4 i = + + + 2 5 10 17 i +1 N N N N 2

i =1

i=2

i =3

i=4

Ejemplo 2 ∞

1+ 2 + 3 + 4 +" + n +" =

∑

n

n =1

5.2.1 Propiedades

Sean {ai } y {bi } dos sucesiones y sea C una constante, entonces 1. ∑ Cai = C ∑ ai n

n

i =1

i =1

2. ∑ (ai ± bi ) = ∑ ai ± ∑ bi n

n

n

i =1

i =1

i =1

Alguna formulas que se necesitarán más adelante son: n

∑i = 1 + 2 + 3 + 4 + " + n =

1.

i =1

n

2.

∑i

2

= 12 + 2 2 + 32 + " + n 2 =

i =1

n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6

⎡ n(n + 1)⎤ 3. ∑ i = 1 + 2 + 3 + " + n = ⎢ i =1 ⎣ 2 ⎥⎦ n

3

3

3

3

2

3

n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1) 4. ∑ i = 1 + 2 + 3 + " + n = 30 i =1 n

4

4

4

4

4

63



5.3 SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

5.3.1 Definición

Sea {an } una sucesión infinita. Y sea S n = a1 + a2 + a3 + " + an .

La sucesión de suma de parciales

{S n } = {S1 , S 2 , S 3 ,"} = {a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3," }, ∞

∑a

denotada como

n

, se llama Serie

n =1

Infinita. Ejemplo ⎧ 1 ⎫ Sea la sucesión {a n } = ⎨ ⎬ ⎩2n ⎭

⎧1 1 1 ⎫ Algunos términos de la sucesión serían ⎨ , , , "⎬ ⎩2 4 8 ⎭ La sucesión de sumas parciales sería

{S1 , S 2 , S 3 , "} = ⎧⎨ 1 , 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , "⎫⎬ = ⎧⎨ 1 , 3 , 7 , "⎫⎬ ⎩2 2

4 2

4

8

⎭

⎩2 4 8

⎭

5.3.2 Convergencia de Series

Una serie

Sn =

∑a

n

, es convergente si y

sólo si lim S n existe. Caso contrario; es n →∞

64



decir, si lim S n no existe, se dice que la n →∞

sucesión es divergente.

En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma S , es decir ocurrirá que lim S n = S . n→∞

Si tuviésemos S n o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series telescópica que si se les puede determinar S n , y luego mencionaremos criterios para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos S n

5.3.3 LA SERIE GEOMÉTRICA. Una serie geométrica es de la forma

a + ar + ar 2 + ar 3 + " + ar n −1 La suma parcial de los n términos está dada por

Sn =

a (1 − r n ) . ¡Demuéstrela! 1− r

Para determinar su convergencia, deberíamos obtener

a (1 − r n ) . lím S n = lím n →∞ n →∞ 1− r Observe que si r ≥ 1 entonces lím n →∞

a(1 − r n ) = ∞ (¿POR QUÉ?) y por tanto la 1− r

serie geométrica es divergente

a(1 − r n ) a = la serie es convergente. Si r < 1 , entonces lím n →∞ 1− r 1− r

65



Ejemplo Determinemos si la serie

1 1 1 + + + es convergente o no. 2 4 8

SOLUCIÓN: Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con a = ∞

que

∑ n =1

1 1 y r = es decir una serie tal 2 2

1

1 y por tanto converge a S = 2 = 1 2n 1 − 12

5.3.4 SERIES TELESCÓPICA Para este tipo de serie también es posible obtener S n , se lo hace empleando fracciones parciales. Ejemplo ∞

Sea la serie

∑

1 ( n +1)( n + 2 )

. Obtener S n .

n =1

SOLUCIÓN: Empleando fracciones parciales, tenemos: 1 A B = + (n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2 1 = A(n + 2 ) + B(n + 1) Si n = −1 entonces: 1 = A(−1 + 2) + B(−1 + 1) 1= A Si n = −2 entonces: 1 = A(−2 + 2) + B(−2 + 1) 1 = −B B = −1 Por tanto: ∞

∑ n =1

∞

1 = (n + 1)(n + 2)

∑ n =1

1 ⎞ ⎛ 1 − ⎜ ⎟ ⎝ n +1 n + 2 ⎠

Obteniendo algunos términos de su desarrollo ∞

∑ n =1

1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 − − ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ +"+ ⎜ + + n 1 n 2 2 3 3 4 4 5 n 1 n 2⎠ + + ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝

Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el último término. 1 2

Entonces S n = −

1 ⎞ 1 1 ⎛1 , por tanto lím Sn = lím ⎜ − ⎟= n →∞ n →∞ 2 n+2⎠ 2 n+2 ⎝

Entonces la serie es convergente

66



5.3.5 CRITERIO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA 5.3.5.1 TEOREMA

∑ a converge entonces lim a = 0 Es decir si lim a ≠ 0 entonces la serie ∑ a diverge Si la serie

n

n →∞

n

n

n →∞

n

Ejemplo ∞

La serie

∑

n n es divergente debido a que lím =1 n →∞ n + 1 n +1

n =1

Verifique que en los ejemplos anteriores de series convergentes se cumple el teorema. No olvide que lim a n = 0 es una condición necesaria pero no suficiente. n →∞

Ejemplo. ∞

La serie

∑ n =1

embargo lím

n →∞

1 , llamada Serie Armónica, es divergente (lo demostraremos más adelante), sin n

1 =0 n

5.3.6 PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES.

Si

∑a

n

y

∑b

n

convergen y si C es una

constante, entonces también convergen Ca n y (an ± bn ) y además

∑

∑ 1. ∑ Ca = C ∑ a 2. ∑ (a ± b ) = ∑ a ± ∑ b n

n

n

n

n

n

67



5.3.7 TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE

Si

∑ a diverge n

y

es una constate

C

diferente de cero, entonces la serie C también diverge.

∑a

n

Ejercicios Propuestos 5.2 1.Encuentre S n y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente determine su suma: +∞

+∞

a)

∑( ∑( ∑( n =1 +∞

c)

n =1 +∞

e)

n =1

1 n n + 1)

b)

1 3n − 1)(3n + 2)

d)

∑ ∑ n =1 +∞

n =1

n

⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 4⎞ ⎛ 1 ⎜ n + n⎟ 3 ⎠ ⎝2

1 n + 2 )(n + 3)

2. Sin hallar S n , determine si las series son convergentes o divergentes. +∞

a)

∑ n =1

68

⎛ 2⎞ ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠

n

+∞

b)

∑ 23nn +−13 n =1



5.3.8 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 5.3.8.1 TEOREMA

Una serie

∑a

n

de términos no negativos

converge si y sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba.

5.3.8.2 CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE SERIES POSITIVAS. 5.3.8.2.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea f una función continua positiva, no creciente, definida en el intervalo [1, ∞ ) y suponga que an = f (n ) para todo entero positivo n . Entonces la seria

∞

∑a

n

converge

n =1

si y sólo si la integral impropia

∞

∫ f ( x)dx 1

converge. Ejemplo 1 ∞

Determine si la SERIE ARMÓNICA

∑ n =1

1 converge o diverge n

SOLUCIÓN: Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes. ∞

∫ 1

N

1 = lím x n →∞

∫

1 = lím [ln x ]1N = lím ln N = ∞ n →∞ x n →∞

1

Por tanto la serie diverge.

69



Ejemplo 2. ∞

Sea la serie “p”

∑ n =1

1 nP

, determine para qué valores de “ p ” converge y para que valores

diverge. SOLUCIÓN: ∞

Analizando la integral

∫

N

1 = lím x P n→∞

1

∫

1 xP

1

Si P = 1 , tenemos la serie armónica, que es divergente Si p ≠ 1 , la integración es diferente N

lím

N →∞

∫ 1

N

⎡ x − P +1 ⎤ ⎡ N − P +1 1− P +1 ⎤ 1 lím lím = = − x P N →∞ ⎢⎣ − p + 1 ⎥⎦1 N →∞ ⎢⎣ − p + 1 − p + 1 ⎥⎦

⎡ N 1− P 1 ⎤ lím ⎢ + N →∞ 1 − P P − 1 ⎥⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⎢ ∞ 1− P 1 ⎥ 1 Ahora, si P > 1 , ⎢ + ⎥ = p − 1 , la integral converge 1 P P 1 − − ⎢

⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ∞1− P 1 ⎥ + Si P < 1 , ⎢ = ∞ la integral diverge −

1 P P − 1 ⎥⎥ ⎢ ⎣ ∞ ⎦ 1 ⎧ ⎪Si P > 1 converge a p −1 =⎨ ⎪Si P ≤ 1 diverge ⎩

∞

En conclusión, la serie

∑ n =1

1 nP

Ejemplo 3 ∞

Determine si la serie

∑ n =2

1 converge o diverge. n ln n

SOLUCIÖN: Aplicando el criterio de la integral ∞

∫

N

1 = lím x ln x N →∞

2

∫

1 x ln x

2

∞

= lím ⎡⎣ln ( ln x ) ⎤⎦ 0 N →∞

= lím ⎡⎣ln ( ln N ) − ln ( ln 2 ) ⎤⎦ = ∞ N →∞ Por tanto diverge

70



Ejercicios propuestos 5.3 Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie numérica +∞

1)

∑(

1

n ln n )2

n =2 +∞

2)

∑

ne − n

n =1 +∞

3)

∑(

1

n + 1) ln (n + 1)

n =1

5.3.9 SERIES ALTERNANTES Ahora se estudiará series que presenten sus términos con signos alternados, ∞

es decir series de la forma

∑ (− 1)

n +1

∞

a n o también

n =1

5.3.9.1

TEOREMA DE ALTERNANTES

∑ (− 1) a n

n

n =1

CONVERGENCIA

PARA

LAS

SERIES

Una serie alternante con an ≥ an+1 > 0 . Si lím an = 0 entonces la serie converge. n →∞ Ejemplo 1 ∞

Sea la serie

∑ (−1)

n +1

n =1

1 1 1 1 = 1 − + − + " Determine si es convergente o divergente. n 2 3 4

SOLUCIÓN. Primero, veamos si los términos, en valor absoluto, son no crecientes. 1 1 . Se observa que: Comparamos a n = con a n+1 = n n +1 1 1 < n +1 n los términos son decrecientes. Segundo, veamos si lím a n = 0 n →∞

1 =0 n →∞ n Por tanto la serie armónica alternante es convergente.

Se observa que: lím

71



Ejemplo 2 ∞

Sea la serie

∑ (− 1) n =1

n +1

1

Determine si es convergente o divergente.

2n

SOLUCIÓN. 1

Primero. En este caso a n = 1

2

y a n+1 =

n

1 2

n +1

1

< n los términos son decrecientes. 2 2n 2 1 Segundo. lím n = 0 n →∞ 2 Por tanto la serie es convergente.

Se observa que

( )

A continuación analicemos el teorema 5.3.9.2 TEOREMA

Si

∑a

converge, entonces

n

converge.

∑a

n

también

Esto quiere decir que si la serie de términos positivos converge entonces la serie alternante también converge, mientras que si la serie alternante converge no necesariamente la serie de términos positivos converge. 5.3.9.3 CONVERGENCIA ABSOLUTA.

5.3.9.4 DEFINICIÓN.

∑a

Una serie

∑a

n

n

converge absolutamente si

converge

Ejemplo ∞

La serie

∑ n =1

convergente

72

(− 1)n+1

1 2

n

∞

es absolutamente convergente, debido a que

∑ 21

n

n =1

es



5.3.9.5 DEFINICIÓN.

Una

∑a

serie

convergente si diverge.

n

es

∑a

n

condicionalmente converge y

∑a

n

Ejemplo ∞

La serie

∑

(− 1)n+1 1

n

n =1

∞

es condicionalmente convergente, debido a que

∑ 1n es divergente, n =1

mientras que ella es convergente.

Las series convergentes

de

términos

positivos

convergentes

son

absolutamente

Los criterios que mencionaremos a continuación ayudan a concluir rápidamente en situaciones cuando el término general de la serie presenta formas especiales.

5.3.10 SERIES DE POTENCIAS. Ahora estudiaremos series cuyos términos ya no son numéricos. 5.3.10.1 DEFINICIÓN.

Una serie de potencia en “ x ” tiene la forma: ∞

∑a x n

n

= a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + "

n =0

Una serie de potencia en “ x − x0 ” tiene la forma: ∞

∑ a (x − x )

n

n

0

= a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + a3 (x − x0 ) + " 2

3

n =0

Algo importante aquí es determinar los valores de “ x ”, para los cuales la serie numérica correspondiente sea convergente.

73



5.3.10.2 SERIE DE TAYLOR Una serie de potencia particular es la serie de Taylor. Suponga que: ∞

f ( x) =

∑ a (x − x )

n

n

0

= a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x0 ) + " 2

3

n=0

Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función f Evaluando en x = x0

f ( x0 ) = a0 + a1 [x0 − x0 ] + a 2 [x0 − x0 ]2 + a3 [x0 − x0 ]3 + " + a n [x0 − x0 ]n Obtenemos: a 0 = f ( x0 ) Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en x = x0

f ´(x) = a1 + 2a 2 [x − x0 ] + 3a3 [x − x0 ]2 + " + na n [x − x0 ]n −1 f ´(x0 ) = a1 + 2a 2 [x0 − x0 ] + 3a3 [x0 − x0 ]2 + " + na n [x0 − x0 ]n −1 Entonces: a1 = f ´(x0 ) Obteniendo la segunda derivada y evaluando en x = x0

f ´´(x) = 2a 2 + (3)(2)a3 [x − x0 ] + " + (n )(n − 1)a n [x − x0 ]n −2 f ´´(x0 ) = 2a 2 + (3)(2 )a3 [x0 − x0 ] + " + (n )(n − 1)a n [x0 − x0 ]n −2 f ´´(x0 ) = 2a 2 De la última expresión, se tiene a 2 =

f ´´(x0 ) 2

Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en x = x0

f ´´´(x) = (3)(2)a3 + " + (n )(n − 1)(n − 2 )a n [x − x0 ]n −3 f ´´´(x0 ) = (3)(2)a3 + " + (n )(n − 1)(n − 2)a n [x0 − x0 ]n −3 f ´´´(x0 ) = (3)(2)a3

74



De la última expresión, se tiene a3 =

f ´´´(x0 ) 3!

Por lo tanto:

f ´´ ( x0 ) f ´´´ ( x0 ) 2 [x − x0 ] + [x − x0 ]3 + " f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )[x − x0 ] + 2! 3! ∞ n f ( x0 ) [x − x0 ]n f ( x) = n! n =0

∑

Si x0 = 0 se llama Serie de Maclaurin, es decir: ∞

f ( x) =

∑ n =0

′′ ′′′ f n (0) n [x] = f (0) + f ′(0) x + f (0) x 2 + f (0) x 3 + " n! 2 6

Ejemplo 1 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e x , alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN:

f ( x) = e x Obtenemos primero

f ′( x) = e x

⇒

f ′′( x) = e x f ′′′( x) = e x

f ( 0) = 1 f ′(0) = 1 f ′′(0) = 1 f ′′′(0) = 1

Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x + Resulta e x = 1 + x +

1 2 1 3 1 4 x + x + x +" = 2 3! 4!

f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +" 2 6 ∞

∑ xn! n

n =0

Observe que podemos tener una buena aproximación de e 0.1 utilizando la serie:

e 0.1 ≈ 1 + 0.1 +

1 1 (0.1) 2 + (0.1) 3 2 6

e 0.1 ≈ 1.10517

Ejemplo 2 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e − x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: Empleando la serie anteriormente encontrada: ∞

ex =

∑ n =0

xn n!

Sería cuestión de reemplazar − x por x , es decir:

75


Cap. 5 Sucesiones y Series ∞

e

−x

=

∑

(− x )n n!

n =0

e −x = 1− x +

∞

=

∑

(− 1)n

n =0

1 1 1 xn =1 + (− x) + (− x) 2 + (− x) 3 + (− x) 4 + " 4! 3! 2 n!

1 2 1 3 1 4 x − x + x +" 2 3! 4!

Ejemplo 3 2

Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: Ahora, es cuestión de reemplazar x ∞

2

ex =

∑ n =0

ex

2

(x )

2 n

n!

2

por x , es decir:

∞

=

∑ n =0

1 1 1 x 2n = 1+ x 2 + (x 2 ) 2 + (x 2 )3 + (x 2 ) 4 + " 2 3! 4! n!

1 1 1 = 1+ x 2 + x 4 + x6 + x8 +" 2 3! 4!

Ejemplo 4 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = sen x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN:

f ( x) = sen x f ′( x ) = cos x

f (0) = 0 f ′(0) = 1

f ′′( x) = − sen x

f ′′(0) = 0 f ′′′(0) = −1

f IV ( x) = sen x

f IV (0) = 0

f V ( x) = cos x

f V (0) = 1

Obtenemos primero f ′′′( x) = − cos x ⇒ /

Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x +

f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +" 2 6

Se obtiene: senx = 0 + x + 0 −

1 3 1 x + 0 + x5 + " 3! 5! ∞

senx = x −

76

1 3 1 5 1 7 x + x − x +" = 3! 5! 7!

∑ n =0

(− 1)n x 2n +1 (2n + 1)!



Ejemplo 5 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = cos x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN:

f ( x) = cos x f ′( x) = − sen x Obtenemos primero f ′′( x) = − cos x

f ( 0) = 1 f ′(0) = 0

f/ ′′′( x) = sen x

f ′′(0) = −1 f ′′′(0) = 0

f IV ( x) = cos x

f IV (0) = 1

⇒

Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x +

f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +" 2 6

Se obtiene:

cos x = 1 + 0 x + cos x = 1 −

(−1) 2 0 3 1 4 x + x + x +" 2! 3! 4!

1 2 1 4 1 6 x + x − x +" = 2 4! 6!

∞

∑ n=0

(− 1)n x 2n (2n )!

Ejemplo 6 Hallar la serie de de Taylor para f ( x) = e ix alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: Sería cuestión de reemplazar ix por x , en la serie de f ( x) = e x es decir: ∞

eix =

∑ n =0

(ix )n n!

∞

=

∑ n =0

(i )n x n n!

= 1 + (ix ) +

1 1 1 1 (ix) 2 + (ix )3 + (ix) 4 + (ix )5 + " 2 3! 4! 5!

1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 i x + i x + i x + i x +" 2 3! 4! 5! 1 2 1 3 1 4 1 5 = 1 + ix − x − ix + x + ix + " 2 3! 4! 5! 1 1 ⎛ 1 2 1 4 ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜1 − x + x + " ⎟ + i ⎜ x − x 3 + x 5 + " ⎟ 2 4 ! 3 ! 5 ! ⎝

⎠ ⎝

⎠ = 1 + ix +

cos x

senx

i = −1 2

Recuerde que:

i 3 = i 2 i = (− 1)i = −i i 4 = i 2 i 2 = (− 1)(− 1) = 1

Por lo tanto, se concluye que e = cos x + i sen Esta última expresión es la llamada IDENTIDAD DE EULER ix

x

77



5.5.2 DERIVACIÓN POTENCIAS.

E

INTEGRACIÓN

DE

SERIES

DE

Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia, aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia. Ejemplo 1 Obtener la serie de f ( x) = cos x a partir de la serie del seno. SOLUCIÓN: La serie del seno es: ∞

senx =

∑( ( ) n =0

− 1 n x 2 n +1 2n + 1)!

Derivándola se tiene: ⎡ ∞ (− 1)n x 2 n +1 ⎤ ⎥= cos x = D x (senx ) = D x ⎢ ⎢ ( 2n + 1)! ⎥ ⎣ n=0 ⎦

∞

∑

∑ n =0

(− 1)n (2n + 1)x 2n +1−1 (2n + 1)(2n!)

∞

=

∑ n =0

(− 1)n x 2n (2n )!

Ejemplo 2. a)

Encuentre una serie de potencia para f ( x) =

1 1+ x

La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer término igual a 1 y razón r = − x entonces: ∞

1 f ( x) = = 1+ x

b)

− x) =

n =1

∞

∑(

− 1)n x n

n =1

Emplee la serie anterior para obtener la serie de f ( x ) = ln (x + 1)

Integrando f ( x) = ln (x + 1) =

78

∑(

n

∫

1 dx = 1+ x

⎡ ⎢ ⎢ ⎣⎢

∞

∫∑ n =1

⎤

(− 1)n x n ⎥⎥ = ⎦⎥

∞

∑ n =0

(− 1)n x

n +1

n +1



Ejercicios Propuestos. 5.4 1. Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para f ( x) = ln x alrededor de x0 = 1 . 2. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x a.

f ( x) = ln( x + 1)

b.

f ( x) =

c.

f ( x) = x 2 ln( x + 1)

d.

f ( x) =

∫ ∫

e − x dx

x

e.

f ( x) =

f.

f ( x) = x 3 cos x 2

g.

f ( x) =

2

senx dx x

1+ x2 e x + e −x 2

3. Calcular usando series de potencias: 1

1

a.

∫

e

−x 2

dx

c.

0

π

b.

2

∫ sen

x dx

0

2

∫ e senxdx x

0

4. Considere la función f ( x) = xe − x . Determine una representación para f en series de potencia de x . 2

79

Sucesiones y Series

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