2
MAKALAH
PROGRAM LINIER
Kelompok I
Ivan Sada Regi 4013002
M. Nanda Putra Pratama 4013026
Rapy Haryani 4013027
Aryati Aprilia 4013039
Radha Tania Dewi 4013019
Harumi Citra Pertiwi 4013057
Elisa Susanti 4013016
Elsa Octaviani 4013015
Dosen Pengampuh :
Donna Ningrum, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU
2014/2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT. Yang telah melimpahkan taufik dan hidaya Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini. Tujuan utama dibuatnya makalah ini adalah untuk mamenuhi tugas pada mata kuliah program linear.
Dalam penulisan makalah ini, kami membahas tentang metode simpleks dengan rujukan buku bahan ajar program linear karya yetri ningsih ,M.Pd. tahun 2013.
Mudah-mudahan makalah ini dapat memenuhi syarat. Besar harapan kami kepada pembaca, sekurangnya dapat memberikan kritik dan saran yang membangun kearah perbaikan makalah ini, sehingga makalah ini menjadi lebih sempurna.
Lubuklinggau, Maret 2015
Penyusun
DAFTAR ISI
Kata pengantar. 2
Daftar isi. 3
BAB I: PENDAHULUAN. .4
Latar Belakang. 4
Rumusan masalah. 4
Tujuan. 5
BAB II: PEMBAHASAN. 6
Pengertian metode simpleks 6
Penentuan maksimum 6
Penentuan minimum 18
Variabel slack tiruan 20
Merancang program awal 20
Prosedur penentuan struktur persyaratan 23
BAB III: PENUTUP 27
Kesimpulan 27
Saran 28
DAFTAR PUSTAKA. 29
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam matematika terdapat metode untuk mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan yang optimal. Metode ini adalah pemrograman linier. Pemograman linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial, dan lain-lain.
Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. Pemrograman linier meliputi perencanaan aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai tujuan terbaik (menurut model matematika) diantara semua kemungkinan alternatif yang ada.
Karateristik-karakteristik pada pemrograman linier adalah: fungsi tujuan (untuk memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu), fungsi pembatas yang membatasi tingkatan pencapaian tujuan, adanya beberapa alternatif tindakan yang bisa dipilih, fungsi tujuan dan kendala dalam permasalahan diekspresikan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan linier.
Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang dimungkinkan ke pemecahan dasar yang lainnya dan ini dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi (dengan jumlah iterasi yang terbatas) sehingga pada akhirnya akan tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih optimal atau sama dari langkah-langkah sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan permasalahan yang dibahas didalam makalah ini, sebagai berikut:
Bagaimana menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks?
Bagaimana menentukan kerangka dasar perhitungan nilai maksimum dari tabel simpleks?
Bagaimana merancang program awal yang memuat atas variabel "slack"?
Bagaimana siswa memperbaiki program awal dan program-program berikutnya hingga tercapai program maksimum?
Bagaimana menentukan kerangka dasar perhitungan nilai minimum dari tabel simpleks?
Bagaimana merancang program awal yang hanya terdiri atas variabel "slack tiruan"?
Bagaimana siswa memperbaiki program awal dan program-program berikutnya hingga tercapai program minimum?
Tujuan Penulisan
Dalam setiap penulisan makalah pastilah ada tujuan yang ingin dicapai oleh penulis, adapun tujuan dari penulisan makalah ini:
Memenuhi tugas mata kuliah Program Linear.
Dapat menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks.
Dapat menentukan kerangka dasar dari tabel simpleks.
Dapat merancang program awal yang memuat atas variabel "slack" atau "slack tiruan".
Dapat memperbaiki program awal dan program-program berikutnya hingga tercapai program maksimum.
Dapat memperbaiki program awal dan program-program berikutnya hingga tercapai program minimum.
BAB II
PEMBAHASAN
Pengertian
Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumber daya secara optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal dari program linier yang melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel (lebih dari dua variable). Penemuan metode ini merupakan lompatan besar dalam riset operasi dan digunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program komputer.
Program Linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. LP (linear programming) banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, indutri, militer, sosial dan lain-lain.
Dari berbagai metode penyelesaian program linier, metode simpleks merupakan metode yang paling ampuh dan terkenal. Metode simpleks didasarkan atas pengertian bahwa solusi optimal dari masalah program linier, jika ada, selalu dapat ditemukan disalah satu dari "solusi dasar yang berlaku". Oleh sebab itu dalam metode simpleks, langkah pertama adalah untuk memperoleh solusi dasar yang berlaku.
Penentuan Maksimum
Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut:
Ukuran waktu pemprosesan oleh departemen
Departemen
Ukuran
Kapasitas per-periode waktu
A
B
C
Pemotongan
10,7
5,0
2,0
2705
Pelipatan
5,4
10,0
4,0
2210
Pengepakan
0,7
1,0
2,0
445
Keuntungan/unit
$10
$15
$20
Langkah pertama adalah menentukan model matematika untuk data-data yang tertera dalam tabel.
Misalnya bahwa diproduksi sejumlah x unit dari produksi A, sejumlah y unit dari produksi B dan sejumlah z unit dari produksi C.
Fungsi objektif:
Maksimumkan : f=10x + 15y + 20z
Syarat : 10,7x + 5y + 2z 2705
5,4x + 10y + 2z 2210
0,7x + 1y + 2z 445
x 0, y 0, z 0
Dengan penambahan variabel "slack" S1, S2, S3, pertidaksamaan tersebut dapat diubah menjadi persamaan. Pembuatan produksi imaginer S1, S2, S3, melibatkan keuntungan nol perunitnya. Sehingga Model matematikanya dapat ditulis kembali sebagai berikut :
Maksimumkan : fo = 10x + 15y + 20z + 0S1 + 0S2+ 0S3
Syarat : 10,7x + 5y + 2z + 1 S1 + 0 S2 + 0 S3 2705
5,4x + 10y + 2z + 0S1 + 1S2 + 0S3 2210
0,7x + 1y + 2z + 0S1+ 0S2+ 1S3 445
x 0, y 0, z 0 S1 0, S2 0, S3 0
Metode simpleks melangkah dengan mengadakan perbaikan-perbaikan terhadap solusi dasar yang memenuhi syarat sehingga dicapai suatu solusi optimal. Setiap program yang akan dibuat berikut, diberikan dalam bentuk matrik atau tabel.
Kerangka dalam simpleks ditampilkan sebagai berikut:
Baris objektif, diatas setiap variabel, koefisien obyektif bersangkutanKolom objektif menunjukan koefisien obyektif dari variabel dalam program
Baris objektif, diatas setiap variabel, koefisien obyektif bersangkutan
Kolom objektif menunjukan koefisien obyektif dari variabel dalam program
Baris Variabel, menunjukan semua variabel dalam program
Baris Variabel, menunjukan semua variabel dalam program
Variabel dalam solusi
Koefisien fungsi objektif
Besarnya variabel
10
15
20
0
0
0
X
Y
Z
S1
S2
S3
S1
0
2705
10,7
5
2
1
0
0
S2
0
2210
5,4
10
4
0
1
0
S3
0
445
0,7
1
2
0
0
1
Identitas setiap solusi dalam metode simpleks harus menunjukan suatu matriks identitasBadan utama terdiri atas koeeefisien kerangka atau subtitusi rasioKolom ini menunjukan besarnya variabel dalam program.Kolom ini menunjukan variabel program, variabel lain bernilai nol
Identitas setiap solusi dalam metode simpleks harus menunjukan suatu matriks identitas
Badan utama terdiri atas koeeefisien kerangka atau subtitusi rasio
Kolom ini menunjukan besarnya variabel dalam program.
Kolom ini menunjukan variabel program, variabel lain bernilai nol
Net evaluation row
10
15
20
0
0
0
Bilangan di "Net evaluation row", dibawah setiap kolom dari "badan utama" dan "identitas" mewakili "opportunity cost" dari tidak memiliki satu unit dari variabel kolom bersangkutan dalam solusi. Bilangan tersebut mewakili kemampuan peningkatan dalam fungsi obyektif yang dihasilkan jika memasukan satu unit dari variabel kolom bersangkutan dalam program.
Merancang Program Awal
Program pertama dalam metode simpleks adalah program yang hanya melibatkan variabel slack. Arti dari data-data yang tertera pada tabel simpleks diatas harus dimengerti sepenuhnya agar dapat menghayati metode simpleks. Oleh sebab itu marilah kita bahas tabel berikut ini:
Program
Keuntungan Perunit
Kuantitas
$10
$15
$20
$0
$0
$0
x
y
z
S1
S2
S3
S1
0
2705
10,7
5
2
1
0
0
S2
0
2210
5,4
10
4
0
1
0
S3
0
445
0,7
1
2
0
0
1
Keterangan:
Dalam kolom "program" terdaftar variabel-variabel khusus dalam solusi (produksi yang dihasilkan). Maka dalam program awal kita produksi S1, S2, dan S3.
Dalam kolom "Keuntungan per unit" terdaftar koefisien (dalam fungsi objektif) dari variabel-variabel yang tercakup dalam program tersebut. Dapat dipastikan dari fungsi objektif, koefisien dari S1, S2, dan S3 adalah nol
Dalam kolom "Kuantitas" terdaftar besarnya variabel yang tercakup dalam solusi. Program awal mencakup produksi 2705 unit S1, 2210 unit S2, dan 445 unit S3.
Kontribusi keuntungan total yang dihasilkan dari program yang dimiliki dapat dihitung dengan mengalikan angka-angka dalam kolom "keuntungan per unit" dan kolom "kuantita" bersangkutan dan kemudian menjumlahkan hasil perkaliannya. Dalam program pertama kontribusi keuntungan total adalah : 0(2705) + 0(2210) + 0(445) = 0
Bilangan-bilangan dalam bagian utama (bilangan-bilangan dibawah kolom x, y dan z) dapat dijelaskan memiliki arti fisik. Misalnya, bilangan 10,7 menunjukan perbandingan pertukaran antara x dan S1, berarti memproduksi 1 unit x harus mengorbankan 10.7 unit S1 . Pada kolom dibawah y berarti memproduksi 1 unit y harus mengorbankan 5 unit S1 , 10 unit S2 ,dan 1 unit S3 .
Menguji Keoptimalan Program yang sedang Berlangsung
Program awal memberikan keuntungan nol , karena melibatkan x = 0 , y = 0 , z = 0 , S1= 2705 , S2= 2210 , S3= 445 dengan keuntungan :
f0 = 10(0) + 15(0) + 20(0) + 0(2705) + 0(2210) + 0(445) = 0
Perbaikan terhadap program awal dilakukan dengan mengikutsertakan z dalam program. Dipilih z karena 1 unit z memberikan keuntungan $20, yang lebih tinggi dari keuntungan yang diberikan oleh 1 unit x atau 1 unit y.
Pemasukan unit dalam program mengubah fungsi keuntungan menjadi + 1(20) – 2(0) – 4(0) – 2(0) = + 20
Tabel 4.1
Tabel Program 1
Program
Profit
Perunit
Kuantitas
$10
x
$15
y
$20
z
$0
S1
$0
S2
$0
S3
S1
S2
S3
0
0
0
2705
2210
445
10.7
5.4
0.7
5
10
1
2
4
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
27052=1352,5
22104=552,5
4452=222,5
Net Evaluation Row
10
15
20
0
0
0
Kolom kunci ( variabel masuk )Bilangan kunciBaris Kunci ( variabel keluar )
Kolom kunci ( variabel masuk )
Bilangan kunci
Baris Kunci ( variabel keluar )
Jika dalam "net evaluation row "masih terdapat bilangan positif, berarti solusi belum optimal; dan program masih memerlukan perbaikan.
3. Perbaikan Program yang Sedang Berlangsung
3.1 Mengeneli kolom kunci
Tiga bilangan positif (10, 15, 20 ) dalam "baris penilaian" menunjukkan besarnya keuntungan jika mengikutsertakan 1 unit x, 1 unit y, dan 1 unit z. Nilai terbesar 20 terletak dibawah kolom z, maka variabel (produk) z adalah variabel yang pertama-tama harus diikutsertakan. Kolom inin disebut kolom kunci.
3.2 Mengenal baris kunci dan bilangan kunci
Setelah ditentukan bahwa variabel (produk) z akan diikutsertakan dalam program untuk menggantikan salah satu dari variabel (produk) S1, S2, atau S3 ; tibul pertanyaan berapa z dapat diikutsertakan tanpa melanggar persyaratan-persyaratan yang teleh ditetapkan.
Dari tabel terlihat bahwa memasukkan 1 unit z berarti harus mengeluarkan 2 unit S1, 4 unit S2, dan 2 unit S3. Program yang sedang berlaangsung memproduksi 2705 unit S1, 2210 unit S2, dan 445 unit S3. Bagilah bilangan dalam kolom "kuantitas" dengan bilangan "bukan negatif" bersangkutan dari kolom kunci, kemudian bandingkan hasil bagi yang terkecil menjadi "barisan kunci".
Perhitungan untuk menentukan barisan kunci adalah:
Barisan S1 : 27052 = 1352,5 unit
Barisan S2 : 22104 = 552,5 unit
Barisan S3 :4452 = 222,5 unit
Barisan S3 merupakan barisan kunci
Setelah kolom kunci dan barisan kunci ditemukan, selanjutnya menentukan bilangan kunci. Bilangan yang terletak pada perpotongan kolom kunci dan barisan kunci disebut "bilangan kunci". Dalam contoh diatas, bilangan kunci adalah 2.
3.3 Menurunkan Tabel
Penentuan kolom kunci dan barisan kunci menunjukkan bahwa variabel (produk) z akan menggantikan variabel (produk) S3 dan tidak lebih dari 222,5 unit z dapat diproduksi tanpa melenggar kapasitas. Tugas kita selanjutnya adalah menentukan penurunan S1 dan S2 karena 222,5 unit z dimasukkan dalam perbaikan program. Kapasitas yang tersisa untuk S1 adalah 2705 – ( 222,5 x 2 ) = 2260 dan untuk S2 adalah 2210 – ( 222,5 x 4 ) = 1320 unit.
Program kedua melibatkan x = 0, y = 0, z = 222,5 , S1 = 2260, S2 = 1320, dan S3 = 0, sehingga program II akan memiliki tabel baru yang ditransformasikan dari tabel program I. Transformasi dari tabel lama ke tabel baru mengikuti aturan-aturan yang telah ditetapkan.
Aturan : Bagilah semua bilangan dalam baris kunci dengan bilangan kunci
Maka, barisan ketiga dalam tabel (barisan z) diturunkan dari barisan ketiga dari tabel 4.1 (barisan S3) dengan membagi setiap bilangan dengan 2. Barisan baru dari z (tabel program II) adalah:
222,5 0,35 0,5 1 0 0 0,5
3.5 Transformasi Bukan Baris Kunci
Aturan :
Bilanganberkaitan rasiotertentudalambariskunci bersangkutanXBil.barisbaru = bil.barislama –
Bilanganberkaitan rasiotertentu
dalambariskunci bersangkutan
X
Bil.barisbaru = bil.barislama –
Dimana : rasio tertentu = bilangan baris lama dalam kolom kunci bilangan kunci
Berdasarkan aturan tersebut , maka barisan S1 baru dalam tabel program II diturunkan sebagai berikut :
Rasio tertentu bersangkutanBil. berkaitandalam baris kunci XRasio tertentu = 22 = 1
Rasio tertentu
bersangkutan
Bil. berkaitan
dalam baris kunci
X
Bilangan baris lama – = Bil. Baris baru
2705 - ( 445 x 1 ) = 2260
10,7 - ( 0,7 x 1 ) = 10
5 - ( 1 x 1 ) = 4
2 - ( 2 x 1 ) = 0
1 - ( 0 x 1 ) = 1
0 - ( 0 x 1 ) = 0
0 - ( 1 x 1 ) = -1
Sesuai perhitungan di atas, baris baru S2 dapat diturunkan sebagai berikut:
Rasio tertentu = 4/2 = 2
Bilangan berkaitan rasio tertentu
Bil.baris lama - x = Bil. baris baru
dalam baris kunci bersangkutan
2210 - ( 445 x 2 ) = 1320
5,4 - ( 0,7 x 2 ) = 4
10 - ( 1 x 2 ) = 8
4 - ( 2 x 2 ) = 0
0 - ( 0 x 2 ) = 0
1 - ( 0 x 2 ) = 1
0 - ( 1 x 2 ) = -2
Dari hasil perhitungan transformasi baris kunci dan transformasi baris bukan kunci, diperoleh tabel program 11,secara lengkap dapat dilihat pada tabel 4.2
Tabel 4.2
Tabel Program II
Pro gram
Profit perunit
Kuan titas
$ 10
X
$ 15
Y
$ 20
Z
$ 0
S1
$ 0
S2
$ 0
S3
S1
0
2260
10
4
0
1
0
-1
2260/4 = 565
S2
0
1320
4
8
0
0
1
-2
1320/8 =165
Z
20
222,5
0,35
0,5
1
0
0
0,5
222,5 = 445
Net Evaluation Row
3,0
5,0
0
0
0
-10
Produk akan keluar
Produk akan masuk
Program 11 melibatkan produksi dari S1 = 2260, S2 =1320 , dan Z = 222,5 Unit. Variabel S3 , X dan Y tidak ada dalam program.Keuntungan total dari program 11 adalah : 2260 (0) + 1320 (0) + 222,5 (0) = $ 4450
4. Perbaikan Program II
Dalam program II, baris penilaian masih mempunyai dua bilangan positif, maka program ini belum optimal dan masih memerlukan perbaikan.Penurunan program III dari program II menggunakan langkah-langkah seperti yang telah dilakukan pada trans- formasi dari program 1 ke program II.
Perhitungan pada tabel 11 menunjukkan bahwa baris S2 merupakan baris kunci dan variabel (produk) y harus masuk dalam program,karena memberikan keuntungan tertinggi.Jadi kolom y menjadi kolom kunci dengan bilangan kunci = 8.
Baris y dalam tabel program 111 menjadi :
165 0,5 1 0 0 0,125 -0,25
Untuk baris S1 baru dalam tabel program 111 diturunkan sebagai berikut:
Rasio tertentu = 4/8 = 0,5
Bilangan berkaitan rasiao tertentu
Billangan baris lama X = bilangan baru
Dalam baris kunci bersangakutan
2260 - ( 1320 x 0,5 ) = 1600
10 - ( 4 x 0,5 ) = 8
4 - ( 8 x 0,5 ) = 0
0 - ( 0 x 0'5 ) = 0
1 - ( 0 x 0'5 ) = 1
0 - ( 1 x 0'5 ) = -0,5
-1 - ( -2 x 0'5 ) = 0
Perhitungan untuk garis z pada program ke llldapat diturun kan sebagai berikut ;
Rasio tertentu =0,5/8 = 0,0065
Bilangan berkaitan rasio tertentu
Bilangan baris lama x = Bil. Baris baru
Dalam baris kunci bersangkutan
222,5 -( 1320 x 0'0625) = 140
0,35 -(4 x 0,0625) = 0,1
0,5 -(8 x 0,0625) = 0
1 -(0 x 0,0625) = 1
0 -(0 x 0,0625) = 0
0 -(1 x 0,0625) = -0;0625
0,5 -(-2 x 0,0625) = 0,0625
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh tabel program ke lll yang secara lengkap dapat di lihat pada tabel 4.3.
Tabel 4.3
Tabel Program III
Pro gram
Profit perunit
Kuan titas
$10
x
$15
y
$20
Z
$0
S1
$0
S2
$0
S3
S1
0
1600
8
0
0
1
-0,5
0
1600/8=200
y
15
165
0,5
1
0
0
0,125
-0,25
165/0,5=330
z
20
140
0,1
0
1
0
-0,062
0,625
140/0,1 =1400
Net evolution row
0,5
0
0
0
-0,062
-8,75
Produk akan keluar produk akan masuk
Program ke tiga memproduksi s1 = 1600, y =165 , dan z =140 unit .
Keuntungan total yang dihasilkan dari program ke tiga adalah ;
1600 (0) + 165 (15) + (20) = $ 5275
5. Perbaikan Program lll
Dalam program ke lll, baris penilaian mempunyai satu bilangan pasitif yaitu didalam kolom x . berarti program ini belum optimal dan masih memerlukan perbaikan . penurunan tabel program lV dari tabel program lll menggunakan langkah -langkah seperti yang telah di lakukan pada tranformasi dari program ll ke program III .
Perhitungan pada tabel program menunjukan bahwa baris S1 merupakan baris kunci dan variabel (produk) x menjadi kolom kunci = 8
Baris x dalam tabel program 1V menjadi ;
200 1 0 0 0,125 -0,0625 0
Untuk baris y baru dalam tabel program 1V diturun kan sebagai berikut ;
Rasio tertentu = 0,5/8 = 0,0625
Bil. baris lama –bilangan berkaitandalam baris kunci×rasio tertentubersangkutan= Bil. baris baru
165 1600 × 0,0625= 65
0,5 8 × 0,0625= 0
1 - 0 × 0,0625= 1
0 0 × 0,0625= 0
0 1 × 0,0625= -0,062
0,125 -0,5 × 0,0625= 156
-0,25 0 × 0,0625 = -0,25
Perhitungan untuk baris z pada tabel program IV dapat diturunkan sebagai berikut :
Rasio tertentu =0,18=0,0125
Bil. Baris lama bilangan berkaitandalam baris kunci×rasio tertentubersangkutan= Bil. baris baru
140 1600 × 0,0125= 120
0,1 8 × 0,0125= 0
0 0 × 0,0125= 0
1 0 × 0,0125= 1
0 1 × 0,0125= -0,012
-0,062 -0,5 × 0,0125= -0,056
0,625 0 × 0,0125= -0,625
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh tabel program IV yang secara lengkap dapat dilihat pada tabel 4.4.
Tabel 4.4.
Pro gram
Profit perunit
Kuan titas
$10
x
$15
y
$20
z
$0
S1
$0
S2
$0
S3
x
y
z
10
15
20
200
65
120
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0,125
-0,062
-0,012
-0,062
156
-0,056
0
-0,25
0,625
16008=200
1650,5=330
1400,1=140
Net Evaluation Row
0
0
0
0
-0,625
-8,75
Tabel program IV
Program IV melibatkan produksi x = 200, y = 65, dan z = 120 unit, dengan keuntungan total sebesar :
200 (10) + 65 (15) + 120 (20) = $ 5375
Program IV ini telah optimal, karena pada baris penilaian dalam tabel IV tersebut tidak mempunyai bilangan positif lagi.
6. Program Optimal
Bars penilaian (net evaluation row) mempunyai bilangan-bilangan yang bernilai nol atau negatif. Kenyataan ini menunjukkan bahwa program optimal teah diproleh.
Penemtuan Minimum
Kasus mencari nilai minimum akan dijelaskan dengan sebuah masalah serupa dengan masalah diet yang sangat terkenal. Marilah kita merumuskan masalah dimana seseorang memerlukaan sejumlah tertentu dari masing-masing vitamin setiap harinya.
Vtamin A dan B terdapat dalam dua makanan yang berbeda M1 dan M2. Jumlah vitamin disetiap makanan dan vitamin yang diperlukan setiap harinya dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel Persiapan Penyusunan Model Matematika
Vitamin
Makanan
Keperluan
Sehari
M1
M2
A
2
4
40
B
3
2
50
Harga Makanan/Unit
3
2.5
Dalam menunjukkan bahwa 1 M1 mengandung 2 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, serta 1 unit M2 mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B. Keperluan sehari akan vitamin A paling sedikit 40 unit dan vitamin B sejumlah 540 unit. Tujuan kita adalah menentukan jumlah optimal dari makanan M1 dan M2 sehingga keperluan vitamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah mungkin.
Misalkan bahwa untuk memenuhi tujuan ini dibeli x makanan M1 dan sejumlah y dari makanan M2. Secara aljabar masalah inni dapat ditulis sebagi berikut:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y
Syarat : 2x + 4y 40
3x + 2y 50
x 0 , y 0
Metode simpleks II menangani persyaratan "lebih besar atau sama" dengan suatu nilai. Untuk merubah pertidaksamaan menjadi persamaan memerlukan "pengurangan" dengan variabel "slack". Misalkan sejumlah x dan y dari vitamin A dan B diperlukan seharinya,maka model matematikanya dapat ditulis kembali sebagai berikut:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2
Syarat : 2x + 4y - S1 = 40
3x + 2y – S2 = 50
x 0 , y 0 , S1 0 , S2 0
Variabel Slact Tiruan (Artificial)
Jika variabel kerangka (struktual) x dan y dimisalkan nol seperti pada program awal metode simpleks, maka diperoleh nilai-nilai negatif dari S1 dan S2 yang tidak memenuhi persyaratan. Untuk tidak melanggar persyarataan-persyaratan yang telah ditetapkan dalam program-program metode simpleks maka diciptakan variabel slack tiruan.
Model matematika dilengkapi dengan variabel slack tiruan A1 dan A2 sampai An, sehingga jika x dan y bernilai nol, persamaan-persamaan persyaratan masih memiliki variabel slack yang bernilai positif. Maka model matematika secara lengkap ditulis:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Syarat : 2x + 4y - S1 + A1 = 40
3x + 2y – S2 + A2 = 50
x 0 , y 0 , S1 0 , S2 0 , A1 0 , A2 0
Perlu diperhatikan bahwa variabel "slack" S memiliki koefisien biaya sebesar nol, sedangkan variabel "slack tiruan" A memiliki koefisien biaya M yang tak terhingga besarnya. Dengan mengaitkan nilai M yang tak terhingga besarnya pada koefisien slack tiruan A, kita yakin bahwa variabel ini tidak akan pernah masuk dalam penyelesaian optimal.
Merancang Program Awal
Dalam metode simpleks, program awl hanya melibatkan S1 dan S2, sedangkan x dan y sebagai variabel kerangka benilai nol. Untuk suatu masalah berdimensi dua, ini berarti menyatakan vektor persyaratan P0 dalam vektor basis 10 dan 01 .
Dalam contoh yang ditampikan diatas, vektor persyaratan P0 = 4050 dapat dinyatakan dengan vektor-vektor basis 10 dan 01 .
Untuk memudahkan penyusunan program awal dari metode simpleks II, maka dengan menggunakan variabel slack A1 dan A2, model matematika perlu dituliskan kembali selengkapnya.
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Syarat : 2x + 4y - 1.S1 + 0.S2 + 1. A1 + 0.A2 = 40
3x + 2y + 0.S1 – 1.S2 + 0. A1 + 1.A2 = 50
x 0 , y 0 , S1 0 , S2 0 , A1 0 , A2 0
Program awal dengan memilih x, y, S1, S2 bernilai nol. Dari persamaan diatas, mudah dipahami bahwa ini berkaitan dengan nilai-nilai A1 = 40 dan A2 = 50. Oleh sebab itu tabel yang digunakan untuk perhitungan simpleks II pada program awal dapat dilihat pada tabel dibawah ini.
Tabel Program I
Program
Biaya/ Unit
Kuan titas
3
X
2,5
Y
0
S1
0
S2
M
A1
M
A2
A1
M
40
2
4
-1
0
1
0
40/4=10
A2
M
50
3
2
0
-1
0
1
50/2=25
Baris Penilaian: 3-5 M 52 -6 M M M 0 0
Variabel keluar Variabel masuk
Program awal ini melibatkan biaya 90 M yang jelas besar sekali, sehingga program harus diperbaiki.
Perhitungan dari baris penilaian.
mengenali kolom kunci
mengenali bariskunci dan bilangan kunci
Transformasi dari baris kunci dan baris bukan kunci untuk memperoleh program yang diperbaiki
Adapun perbedaan yang perlu diperhatikan dalam simpleks II, bahwa dalam kasus mencari minimum, nilai "negatif terbesar" dalam baris penilaian menentukan kolom kunci dan bukan positif terbesar seperti dalam kasus mencari nilai minimum.
Dalam kasus mencari nilai minimum, jika bilangan dari baris penilaian dibawah suatu kolom variabel adalah negatif, maka jelas bahwa keikutsertaan variabel ini dalam baris baru akan menurunkan nilai dari fungsi objektifnya.
Penghitungan dari baris penilaian sudah dijelaskan dalam kegiatan belajar 1. Memasukan satu unit y akan menurunkan biaya total dengan 2,5M – 6M yang diperoleh dari [+1(2,5) – 4M – 2M]
Nilai 2,5M – 6M jelas lebih negatif dari pada 3 – 5M, maka y adalah variabel yang harus masuk dengan mengeluarkan variabel A1. Hasil perbaikan tabel program I dapat dilihat pada tabel 5.3
Tabel 5.3
Tabel program II
Pro gram
Biaya per unit
Kuan titas
3
2,5
0
0
M
M
X
Y
S1
S2
A1
A2
Y
2,5
10
0,5
1
-0,25
0
0,25
0
100,5=20
A2
M
30
2
0
0,5
-1
-0,5
1
302=13
Baris penilaian:
74-2M
0
58-12M
M
-58+32M
0
Variabel KeluarVariabel Masuk
Variabel Keluar
Variabel Masuk
Tabel program II jelas belum optimal karena masih memiliki nilai negatif dalam baris penilaian. Perbaikan program akan melibatkan pergantian variabel A2 oleh x. Dalam transformasi baris lama ke baris baru dalam program yang telah diperbaiki kita berpedoman kepada aturan – aturan yang telah berlaku, yaitu:
Baris kunci dibagi dengan bilangan kunci menghasilkan baris baru.
Bil. baris lama – (bilang berkaitan dalam baris kunci x rasio tertentu bersangkutan) = Bilangan baris baru
Rasio tertentu = bilangan baris lama dalam kolom kuncibilangan kunci
Tabel 5.4
Tabel program III
Pro gram
Biaya perunit
Kuan titas
3
2,5
0
0
M
M
0
1
S1
S2
A1
A2
Y
2,5
52
0
1
-38
14
38
-14
X
3
15
1
0
14
-12
-14
12
Baris penilaian
0
0
316
78
M-316
M-78
Tabel program III sudah merupakan program optimal, karena baris penilaian tidak memiliki nilai negatif lagi.
Program optimal ini berkaitan dengan pembelian 15 unit makan M1 dan 52 unit makanan M2 seharinya, dengan biaya 51,25 dollar sen.
Prosedur Penentuan Struktur Persyaratan
Karakteristik dari masalah program linier dapat dicakup dalam 3 jenis yang berbeda.
persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan dari jenis "kurang dari atau sama dengan", jenis .
persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan dari jenis "lebih besar atau sama dengan", jenis .
persyaratan yang dalam bentuk aslinya merupakan campuran dari persamaan dan pertidaksamaan.
Penyusunan kembali model matematika diperlukan untuk siap dan dapat digunakan dalam perancangan program awal dari metode simpleks.
Kasus 1:
Jenis ( . ) "lebih kecil dari atau sama dengan"
Setiap pertidaksamaan "kurang dari atau sama dengan" diubah menjadi persamaan dengan menambah "variable slack" yang tidak negatif dan memiliki koefesien 0 dalam fungsi objektif.
Contoh:
Maksimumkan: f = 10x + 15y
Syarat : 4x + 60y . 60
3x + 4y . 80
X 0, y 0
Persamaan yang diperlukan untuk table simpleks adalah:
4x + 6y + 1S1 + 0S2 = 60
3x + 4y + 0S1 + 1S2 = 80
Fungsi Objektif:
f = 10x + 15y + 0S1 + 0S2
kasus 2:
Jenis ( ) "lebih besar atau sama dengan"
Setiap pertidaksamaan dari jenis "lebih besar atau sama dengan" diubah menjadi persamaan dengan mula-mula mengurangi dengan variabel slack yang tidak negative dan memiliki koefesien onkos 0, kemudian menambahkan dengan variabel slack tiruan yang tidak negative dan memiliki koefesien onlos M yang bernilai tak hingga.
Contoh:
Minimunkan: f = 300x + 180y
Syarat : 8x + 5y 80
4x + 2y 70
x 0, y 0
Persamaan-persamaan yang diperlukan untuk tabel simpleks adalah:
8x + 5y +1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 80
4x + 2y +0S1 + 1S2 + 0A1 + 1A2 = 70
Fungsi Objektif:
f: 300x + 180y +0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Kasus 3:
Kasus campuran
Masalah yang digolongkan kedala kasus 3 adalah masalah yang memiliki persamaan disamping pertidaksamaan. Persamaan ditangani dengan melengkapinya dengan menambahkan variabel slack tiruan yang tidak negative.
Contoh:
Minimumkan: f = 7x + 15y
Syarat : 2x + 4y 20
5x + 8y = 30
x 0 , y 0
Persamaan-persamaan yang diperlukan untuk tabel simpleks adalah:
2x + 4y +1S1 + 1A1 + 0A2 = 20
5x + 8y +0S1 + 0A1 + 1A2 = 30
Fungsi Objektif:
f: 7x + 15y +0S1 + MA1 + MA2
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Langkah-langkah yang dapat di tempuh dalam menentukan solusi optimal permasahan program linear dengan metode simpleks adalah :
Menentukan medel matematika untuk data-data yang terdapat pada permasalahan program linier
Menambahkan dan melakukan pengurangan dengan variabel "slack" (S1,S2,S3), sehingga model matematika dapat diubah menjadi persamaan linear
Membuat kerangka tabel simpleks, merancang program awal, menguji ke optimalan yang sedang berlangsung
Supaya tidak melanggar syarat yang telah ditetapkan, maka di tambahkan variabel "slack tiruan" (A1,A2,A3)
Melakukan perbaikan-perbaikan terhadap program yang berlangsung sampai diperoleh program optimal.
Langkah- langakah yang dilakukan dalam perbaikan program tersebut adalah:
Menetukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai "negatif terbesar" pada baris penilaian.
Menentukan baris kunci yaitu baris yang mempunyai bilangan hasil bagi terkecil (bilangan pada kolom kuantitas dibagi dengan bilangan negatif pada kolom kunci)
Menentukanbilangan kunci, yaitu bialangan yang terdapat pada persilangan antar kolom kunci dan baris kunci
Menurunkan tabel dari tabel program awal ketabel program berikut nya hasil perbaikan dengan cara:
Melakukan transpormasi baris kunci, yaitu membagi semua bilangan dalam baris kunci dan bilangan kunci
Melakukan transpormasi bukan baris kunci, dengan rumus "bilangan baris baru"
Program sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki bilangan nol atau negatif.
Kritik dan Saran
Kami sebagai penyusun menyadari bahwa masih terdapat kekurangan di dalam makalah kami, maka dari itu kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat kami harapkan.
DAFTAR PUSTAKA
Ningsih,Yetri.2013.Bahan Ajar Program Linier.Lubuklinggau
