PROGRAM LINIER MATERI A.
Sistem Pe Pertidaksamaan Li Linier
1. Bentuk Bentuk-ben -bentuk tuk pertida pertidaksa ksama maan an linier dengan dengan z variab variabel el x dan y, serta serta angka sebagai konstanta, contohnya adalah …. 2x + y !" x # y $ %" &x + 'y # 2 %" x %" y $ 1 dan sebagainya 2. (abungan (abungan dua atau lebih pertidak pertidaksama samaan an linier dengan dengan 2 variabel variabel disebut sistem pertidaksamaan linier 2 variabel '. )impunan )impunan *enyelesa *enyelesaian ian )* atau atau daerah penyelesa penyelesaian ian * dari dari sistem pert pertid ida aksa ksamaa maan lin linier ier 2 vari varia abel bel adala dalah h iris irisa an dar dari him himpuna unan penyele penyelesai saian an pertida pertidaksa ksamaa maan n linier linier terseb tersebut ut dan ditun ditunukk ukkan an dengan dengan daerah yang bersih putih
B.
PROG PROGR RAM LINI LINIER ER DAN MODEL ODEL MATE TEM MATIKA TIKA
1. *rogr *rogram am linier linier adalah adalah suatu suatu cara cara untuk untuk menye menyeles lesaik aikan an suatu suatu masal masalah ah optimasi yang mengandung kendala-kendala atau batasan-batasan yang dapat dituangkan dalam sistem pertidaksamaan linier dua variabel 2. /uuan uuan progr program am linier linier adalah adalah untuk untuk menent menentuk ukan an penye penyeles lesaia aian n optimum optimum dari suatu persoalan program linier yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum suatu 0ungsi tuuan0ungsi sasaran0ungsi obyekti0 '. ntuk ntuk menye menyeles lesaik aikan an persoa persoalan lan progr program am linier, linier, terleb terlebih ih dahulu dahulu diubah diubah soal biasanya dalam bentuk bentuk uraian uraian menadi menadi model model matematik matematika a yaitu yaitu suatu rumusan rumusan matematik matematika a berubah berubah persamaa persamaan, n, pertidaksa pertidaksamaan maan atau 0ungsi yang did apat dari hasil teremahan suatu masalah program linier. linier. !. C.
NILA NILAII OPT OPTIM IMUM UM SU SUA ATU BE BENT NTU UK OB OBYE YEK KTIF TIF
1. *engert *engertian ian bentuk bentuk obyekti0 obyekti0 ax ax + by Bentuk obyekti0 ax + by adalah suatu bentuk yang diperoleh dari suatu permasala permasalahan han program program linier, yang akan diambil diambil nilai maksimum maksimum atau m i n i mu mn ya. 3emudi an 4x, y 5 6 5 ax + by.
di nyatakan
7ontoh 8 iketahui sistem pertidaksamaan linier x %, y %, x + 2y $ !, x, y 9 :
seb ag ai
su at u
0u n g si
0ungsi obyekti0 8 maksimum 6 5 'x + 2y
2. >enentuka >enentukan n nilai optimum optimum bentuk obyek obyekti0 ti0 ntuk ntuk menye menyeles lesaik aikan an persol persolan an progr program am linier linier dilak dilakukan ukan langka langkahhlangkah 8 a. >erumu umuskan progra gram linie inierr ke dalam lam model matematika b. >e n g g amb ar d ae rah p e n yel e sai an se s u ai si st e m pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas c.
>enen tu kan
p e n yel e sai an
minimum d. >enen tu kan
permasalahan ntu ntuk k mena mena0s 0sir irk kan
ni l ai nila nilaii
op ti mu m
mak si mu m
opti optimu mum, m,
mak si mu m
at au
sete setela lah h
*
mi n i mu m dipe diperroleh oleh
menggunakan dua cara yaitu 8 a. i t i t i k p o ok s u d u t b. >e t od e g ari s se l i d i k 7ontoh 8 iketahui sistem pertidaksamaan pertidaksamaan linier 8
•
x %" y % 2x + 'y $ 12 2x + y $ ; >aksimumkan >aksimumkan 8 0ungsi obyekti0 6 5 'x + 'y ?a@ab 8 x % B =
y %
x 5 % y
y 5 %
*2x + 'y $ 12
2x + y $ ;
x y
!
2x + ' y 5 12 x y %
/iti B 8 2x + 'y 5 12 2x + y 5 ;
6 0 ;
2x + y 5 ;
engan i titik pook
0 4 0 8 !
4 0
x <
at au se su ai dapa dapatt
2y 5 ! y 5 2 x 5'
titik O (0, 0) A (4, 0) B (3, 2) C (0, 4)
Z = 3x + 3y 0 12 15 12
?adi 6 max 5 1& saat x 5 ' dan y 5 2
Denan aris se!idik
*erhatikan *erhatikan 0ungsi obyekti0 6 5 'x + 'y =nggap garis g 8 'x + 'y 5 k atau
7
x+y5k 1<
B
y
*
garis g dialankan ke ke ba@ah dan keatas keatas ! terus, buat garis-garis seaar = yang disentuh garis g paling ba@ah 5 minimum dan yang disentuh paling akhir 5 maximum
adi ad i 6 max di titik B ', 2
6 max 5 A + < 5 1&
%
!
<
;
SOAL UN UN "#$#%"#$$ A. eoang anak diharuskan minum dua enis tablet setiap hari. /ablet C mengandung D unit vitamin = dan ' unit vitamin B. /ablet CC mengandung 1% unit vitamin = dan 1 unit vitamin B. alam 1 hari anak itu butuh 2& unit vitamin = dan & uint vitamin B. ika harga tablet C :p. !.ooo,- dan harga tablet CC :p. ;.%%%,-. Berapakah pengeluiaran minimum si anak per hariE
UN "##&%"#$# 12. )arga tiket masuk ke ruangan pameran untuk balita :*.2.%%%,%% dan untuk de@asa :p.'.%%%,%%. *ada hari minggu terual &!% tiket dengan hasil penualan :p1.2<%.%%%,%%. Banyak masing-masing tiket masuk balita de@asa terual berturut-turut adalah adalah . . . 1'. /empat parker seluas
600 m
2
hanya mampu menampung bus dan mobil
sebanyak &; buah. /iap mobil memerlukan tempat
6m
2
dan bus
24 m
2
. Biaya
parker tiap mobil :p&.%%%,%% dan bus :pF.&%%,%%. ?ika tempat parker penuh maka hasil dari biaya parker paling banyak adalah . . .
UN "##'%"##& 2&. >enelang hari raya Cdul =dha, *ak >ahmud hendak berualan sapi dan kerbau. )arga seekor seekor sapi dan kerbau di ?a@a /engah berturut # turut :pA.%%%.%%% dan :p;.%%%.%%%. >odal yang ia miliki adalah :p 12!.%%%.%%%. *ak >ahmud menual sapi dan kerbau di ?akarta dengan harga berturut-turut :p. 1%.'%%.%%% dan :pA.2%%.%%%. 3andang yang ia miliki hanya dapat manampung tidak lebih dari 1& ekor. =gar mencapai keuntungan yang maksimum maka banyak sapid an kerbau yang harus dibeli *ak >ahmud adalah …
UN "##(%"##' 1!.aerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Gilai maksimum dari 0x,y 5 Fx +
UN "##)%"##*
21. eorang pedagang menual buah mangga dan pisang pi sang dengan menggunakan gerobak. *edagang tersebut membeli mangga dengan harga :p. ;.%%%,%%kg dan pisang :p. <.%%%,%%kg. >odal yang tersedia :p. 12%%.%%%,%% dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 1;% kg. ?ika harga harga ual mangga :p.A2%%,%%kg :p.A2%%,%%kg dan pisang pisang :p.F%%%,%%kg, :p.F%%%,%%kg, maka laba laba maksimum yang diperoleh adalah…..
PEMBA+ASAN UN "#$#%"#$$ A. >isalkan 8 Tablet 1 x dan Tablet 2 y =
=
>aka 8 &x + 1%y 5 2& ….. 1 'x + y 5 &
y 5 & # 'x ….. 2
ubtitusikan persamaan 2 ke persamaan 1 &x + 1%y 5 2& &x + 1%& # 'x 5 2& &x + &% # '%x 5 2& &x 5 2& x 5 & …. ' ubtitusikan persamaan ' ke persamaan 1 &x + 1%y 5 2& && + 1%y 5 2& 1%y 5 % y5% *engeluaran minimum adalah 8 0x,y 5 !.%%%x + ;.%%%y 5 !.%%%& + % 5 2%.%%%
?a@aban 8 H
UN "##&%"#$# 12. >isalkan 8 Jumlah Jumlah anak balita balita x dan Jumlah orangdewasa orang dewasa y =
=
>aka, 2%%%x + '%%%y 5 1.2<%.%%%
|
x x
1 1000
|
2x + 'y 5 1.2<% …. 1
x + y 5 &!%
x 5 &!% #y …. 2
ubtitusi *ersamaan 2 3e *ersamaan 1 2&!% #y + 'y 5 1.2<% 1%;% # 2y + 'y 5 12<% y 5 1;% …. ' ubtitusi *ersamaan ' 3e *ersamaan 1 2x + '1;% 5 1.2<% 2x 5 1.2<% # &!% x 5 '<% ?adi, masing # masing tiket tiket yang terual terual adalah '<% '<% dan 1;% 1;%
?a@aban 8
1'. >isalkan 8 Jumlah Jumlah mobil= x dan Jumlah bus = y
>aka, x + y 5 &;
x 5 &; # y ….1
?a@ ?a@aban ban 8
UN "##'%"##& 2&. >isalkan 8 Hargasapi = x dan Harga Harga kerbau = y
>aka 8 A.%%%.%%%x + ;.%%%.%%%y 5 12!.%%%.%%% x + y 5 1&
|
x x
1 1000
|
Ax + ;y 5 12!…. 1
y 5 1& #x …. 2
ubtitusikan persamaan 2 ke persamaan 1 Ax + ;1& #x 5 12! Ax + 12% # ;x 5 12! x 5 ! ….' ubtitusikan persamaan ' ke persamaan 2 y 5 1& # x
x + y =
y 5 1& # ! y 5 11
9x + 8
=
?adi, keuntungan keuntungan maksimum maksimum bila sapi sebanyak ! ekor dan kerbau sebanyak 11 ekor.
UN "##(%"##' 1!. Berdasarkan gambar pada soal, 2%x + 12y 5 2%.12
| | x x
1
&x + 'y 5 <% …. 1
4
| | 1
1&x + 1;y 5 1&.1;
x
3
&x +
Hliminasikan kedua persamaan
?a@aban 8 B
&x + 'y 5 <% &x +
−¿
% # 'y 5 # '% y 5 1% ….' ubtitusi persamaan ' ke persamaan 2 &x + <1% 5 A% &x 5 '% x5< ?adi, nilai maksimum maksimum adalah adalah 8 4x,y 5 Fx +
?a@aban 8 7
1&. >isalkan 8 Banyak kue A = x dan dan banyak kue B = y
>aka,
| | x x
2%x + 2%y 5 !%%%
| |
1
10
2x + 2y 5 !%% …. 1
1
<%x + !%y 5 A%%%
x
20
'x + 2y 5 !&% … 2
Hliminasikan kedua persamaan 2x + 2y 5 !%% 'x + 2y 5 !&%
−¿
-x 5 -&% x 5 &% ….' ubtitusi persamaan ' ke persamaan 2 '&% + 2y 5 !&% 2y 5 '%%
y 5 1&% ?adi, pendapatan pendapatan maksimum adalah 8 4x,y 5 !%%%x + '%%%y 4x,y 5 !%%%&% + '%%%1&% 4x,y 5 !%%%x + '%%%y
?a@aban 8 B
UN "##)%"##* 21. eorang pedagang menual buah mangga dan pisang pi sang dengan menggunakan gerobak. *edagang tersebut membeli mangga dengan harga :p. ;.%%%,%%kg dan pisang :p. <.%%%,%%kg. >odal yang tersedia :p. 12%%.%%%,%% dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 1;% kg. ?ika harga harga ual mangga :p.A2%%,%%kg :p.A2%%,%%kg dan pisang pisang :p.F%%%,%%kg, :p.F%%%,%%kg, maka laba laba maksimum yang diperoleh adalah….. =. :p.1&%.%%%,%% 7. :p.1A2.%%%,%% H. :p.21<.%%%,%% B. :p.1;%.%%%,%% . :p.2%!.%%%,%% ?a@ab8 >isal 8 x 5 mangga " y 5 pisang >odel matematikanya8 x I % " yI % ;%%%x + <%%%y J 12%%.%%% K dibagi 2%%% L !x + 'y J <%% ….1 x + y J 1;% ….2 Maba penualan mangga 5 A2%% # ;%%% 5 12%% Maba penualan pisang 5 F%%% # <%%% 5 1%%% Maba maksimum 5 12%%x + 1%%%y
2%%
1;% <%,12% 1&% 1;% /itik potong8 potong8 ari pers 1 dan 2 eliminasi x !x + 'y 5 <%% x1 N !x + 'y 5 <%% x + y 5 1;% x! N !x + !y 5 F2% - y 5 - 12% y 5 12% x + y 5 1;% x 5 1;% # 12% 5 <% titik potong 5 <%,12% /itik pook pook 12%%x 12%%x + 1%%%y 1%%%y %, % % 1&%, % 1;%.%%% <%, 12% 1A2.%%% %, 1;% 1;%.%%% Maba maksimum adalah 1A2.%%%
?a@aban 8 7
