Metode Simpleks Yang Direvisi

METODE SIMPLEKS YANG DIREVISI 1. Bentuk Standar Dalam Matriks

Maksimumkan atau minimumkan:

Z = CX

Batasan:

(A,I)X = b

Contoh: Maksimumkan:

Z = 3X1 + 2X2

Batasan:

X1 + 2X2 ≤ 6 2X1 + X2 ≤ 8 -X1 + X2 ≤ 1 X2 ≤ 2

Bentuk standar simpleks: Maksimumkan:

Z = 3X1 + 2X2 + 0X3 – 0X4 + 0X5 + 0X6

Batasan:

X1 + 2X2 + X3 = 6 2X1 + X2 + X4 = 8 -X1 + X2 + X5 = 1 X2 + X6 = 2

Bentuk standar matriks matri ks:

Maksimumkan:

Batasan:

⎡ X 1 ⎤ ⎢ X ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ X 3 ⎥ Z = (3 2 0 0 0 0) ⎢ ⎥ ⎢ X 4 ⎥ ⎢ X 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ X 6 ⎦⎥ ⎡1 ⎢2 ⎢ ⎢− 1 ⎢ ⎣0

2 1 0

0

1 0 1 0 1 0

0 1

1 0

0

0

⎡ X 1 ⎤ ⎢ ⎥ 0⎤ ⎢ X 2 ⎥ ⎡6 ⎤ ⎥ ⎢8 ⎥ 0 ⎢ X 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ X 4 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎢ X 5 ⎥ ⎣2⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ X 6 ⎥⎦

2. Pemecahan Dasar dan Basis

(A,I)X = b memiliki m persamaan dan n variable yang tidak diketahui. Sebuah pemecahan dasar diperoleh dengan menetapkan n – m variable sama dengan nol dan

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009

Page 1

lalu memecahkan m persamaan dengan m variable yang tidak diketahui. Secara matematis anggaplah: n

( A, I ) X = ∑ P j X J j

Dimana P j adalah vector kolom ke – j dari (A,I). Dari contoh diatas, dimana kita memiliki m = 4 dan n = 6. Ini berarti basis terdiri dari m = 4 vektor dan n – m = (6 – 4 = 2) variable yang berkaitan, dengan vector sisanya ditetapkan sama dengan nol. Dengan menganggap X3 = X4 = X5 = X6 = 0, kita menemukan bahwa vector:

⎡1 ⎤ ⎢0⎥ P3 = ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦

⎡ 0⎤ ⎢1 ⎥ P4 = ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0⎦

⎡1 ⎢0 B = (P3 , P4 , P5 , P6 ) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

⎡ 0⎤ ⎢ 0⎥ P5 = ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0⎦ 0

0

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ P6 = ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦

0⎤

⎥ ⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

1 0

0

3. Table Simpleks Dalam Bentuk Matriks

Maksimumkan atau minimumkan:

Z = CX

Batasan:

(A,I)X = b

Bagi vector X kedalam X I dan XII, dimana XII bersesuaian dengan elemen-elemen dari X yang berkaitan dengan basis awal B = I. Bagi C kedalam C I dan CII untuk bersesuaianan dengan XI dan XII. Jadi bentuk standar dapat ditulis sebagai: Maksimumkan :

Z = CX; menjadi: Z – CIXI – CIIXII = 0

Batasan:

(A,I)X = b;

Karena XII bersesuaian dengan elemen-elemen dari X yang berkaitan dengan basis awal B = I, sehingga:

AXI + IXII = b

⎡ Z ⎤ ⎡1 − C I − C II ⎤ ⎢ ⎥ ⎡0⎤ ⎢0 A ⎥ ⎢ X I ⎥ = ⎢b⎥ I ⎣ ⎦ ⎢ X ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ II ⎦ Disetiap iterasi, anggaplah XB mewakili variable dasar saat ini dengan B basis yang berkaitan dengannya. Berarti XB mewakili m elemen dari X dengan B mewakili vector


Page 2

(A,I) yang berkaitan dengan X B. Anggaplah C B adalah elemen C yang berkaitan dengan XB, sehingga: Z = CBXB; sama dengan Z - C BXB = 0, dan BXB = b

⎡1 − C B ⎤ ⎡ Z ⎤ ⎡0⎤ ⎢0 B ⎥ ⎢ X ⎥ = ⎢b⎥ sama dengan: ⎣ ⎦ ⎣ B ⎦ ⎣ ⎦ 1 1 ⎡ Z ⎤ ⎡1 C B B − ⎤ ⎡0⎤ ⎡C B B − b⎤ = ⎢ −1 ⎥ ⎢ X ⎥ = ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥ b ⎣ B ⎦ ⎢⎣0 B ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ B b ⎥⎦

Table simpleks yang bersesuaian dengan X B diperoleh dengan mempertimbangkan:

⎡ Z ⎤ ⎡1 C B B −1 ⎤ ⎡1 − C I − C II ⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 C B B −1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ X I ⎥ = ⎢ 1 −1 ⎥ ⎢ ⎥ I ⎦ ⎢ B 0 ⎢⎣0 B − ⎥⎦ ⎣0 A ⎢ ⎥⎦ ⎣b⎦ ⎢⎣ X II ⎥⎦ ⎣ ⎡ Z ⎤ ⎡1 − C i + C B B −1 A − C II + C B B −1 I ⎤ ⎢ ⎥ ⎡C B B −1b⎤ ⎢ ⎥ ⎢ X I ⎥ = ⎢ −1 ⎥ −1 −1 B A B I ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ B b ⎥⎦ ⎣ X II ⎦ Ingat: XII bersesuaian dengan elemen-elemen dari X yang berkaitan dengan basis awal B = I, sehingga iterasi simpleks umum dalam bentuk matriks: Dasar

XI

XII

Pemecahan

Z

CBB-1A - CI

CBB-1 – CII

CBB-1 b

XB

B-1A

B-1

B-1 b

4. Langkah-Langkah Metode Simpleks Primal Yang Direvisi. Langkah 1: Penentuan variable masuk P j.

Hitung Y = CBB-1 untuk setiap vector non dasar P j, hitung Z j – C j = YP j - C j Untuk program maksimalisasi (minimalisasi), vector P j dipilih yang memiliki Z j – C j paling negative (positif) (tentukan sembarang jika terdapat lebih dari satu yang sama). Jika semua Z j – C j ≥ 0 (≤ = 0), pemecahan optimal telah dicapai dan diketahui dengan XB = B-1 b dan Z = CBXB


Page 3

Langkah 2. Penentuan variable keluar P r .

a. Nilai variable dasar saat ini yaitu: XB = B-1 b b. Koefisien batasan dari variable masuk yaitu: j

-1

α = B P j

variable keluar Pr (baik maksimalisasi maupun minimalisasi) harus berkaitan dengan:

⎡ ( B −1b )k j ⎤ , 0 ≥ θ = min ⎢ α ⎥ k j ⎣ α k ⎦ Langkah 3. Penentuan basis berikutnya.

dimana:

⎡− α 1 j / α r j ⎤ ⎢ j j ⎥ ⎢− α 2 / α r ⎥ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ξ = j ⎢+ 1 / α r ⎥ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ j j ⎢− α / α ⎥ ⎣ m r ⎦

Dari contoh berikut, maka langkah-langkah perhitungan metode simpleks primal yang direvisi adalah sebagai berikut: Maksimumkan:

Z = 3X1 + 2X2 + 0X3 – 0X4 + 0X5 + 0X6

Batasan:

X1 + 2X2 + X3 = 6 2X1 + X2 + X4 = 8 -X1 + X2 + X5 = 1 X2 + X6 = 2

Pemecahan Awal:

XB = (X3,X4,X5,X6) CB = (0,0,0,0)

⎡1 ⎢0 B = (P3 , P4 , P5 , P6 ) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

0

0⎤

⎥ ⎥ = I 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

1 0

0

B-1 = I


Page 4

Iterasi Pertama: Langkah 1. Perhitungan Z j – C j untuk non dasar P 1 dan P2

⎡1 ⎢0 -1 Y = C B B = (0, 0, 0, 0) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

0⎤

0

0⎥

1 0

⎥ = [0, 0, 0, 0] 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

Z1 – C1, Z2 – C2 = Y(P1,P2) – (C1,C2)

⎡1 ⎢2 Z1 - C1 , Z 2 - C 2 = [0,0,0,0] ⎢ ⎢- 1 ⎢ ⎣0

2⎤

⎥ ⎥ − [3,2] 1⎥ ⎥ 1⎦ 1

Z1 – C1, Z2 – C2 = (-3,-2) Karena P1 memiliki nilai paling negative, maka P 1 ditetapkan sebagai vector masuk. Langkah 2. Penentuan vector keluar dengan diketahui bahwa P 1 memasuki basis.

⎡6⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢8 ⎥ 1 0 0 8 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ 0 1 0⎥ ⎢1 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1⎦ ⎣2⎦ ⎣2⎦ ⎡1 0 0 0⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢2 ⎥ ⎢2 ⎥ 1 −1 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ α = B P1 = IP1 = P1 = ⎢ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢− 1⎥ ⎢− 1⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦

⎡1 ⎢0 −1 X B = B b = Ib = b = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

0

0⎤ ⎡6 ⎤

Perhitungan untuk langkah 1 dan 2 dapat diringkaskan sebagai berikut: Dasar

X1

X2

X3

X4

X5

X6

Pemecahan

Z

-3

-2

0

0

0

0

0

X3

1

6

X4

2

8

X5

-1

1

X6

0

2

Jadi: θ = min (6/1, 8/2, --, --) = (6, 4, --, --) = 4, yang bersesuaian dengan X 4, dengan demikian P4 adalah vector keluar dengan nilai α 21 = 2 , sehingga:


Page 5

Langkah 3. Penentuan inverse basis berikutnya.

⎡− 1 / 2 ⎤ ⎡− 1 / 2⎤ ⎢+ 1 / 2 ⎥ ⎢1 / 2 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ξ = ⎢ ⎢− (− 1 / 2 )⎥ ⎢1 / 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ − 0 / 2 ⎦ ⎣0 ⎦ Maka basis berikutnya:

−1

Bnext = EB

−1

⎡1 ⎢0 = EI = E = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

0

0⎤ ⎡1 − 1 / 2

⎥ ⎢0 1 / 2 ⎥⎢ 0 1 0⎥ ⎢0 1 / 2 ⎥⎢ 0 0 1⎦ ⎣0 0

1 0

0

⎡1 ⎥ ⎢0 0 0 ⎥=⎢ 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 1 ⎦ ⎣0 0

0⎤

− 1/ 2 0 0⎤ ⎥ 1/ 2 0 0 ⎥ 1/ 2 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

Basis baru ini berkaitan dengan vector dasar: XB = (X3,X1,X5,X6) CB = (0,3,0,0)

⎡1 ⎢0 B = (P3 , P1 , P5 , P6 ) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

− 1/ 2 0 0⎤ ⎥ 1/ 2 0 0 −1 ⎥ = B next 1/ 2 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

Iterasi Kedua: Langkah 1. Perhitungan Z j – C j untuk non dasar P 2 dan P4

⎡1 ⎢0 -1 Y = C B B = (0, 3, 0, 0) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 Y = C B B-1 =

− 1/ 2 0 0⎤ ⎥ 1/ 2 0 0 ⎥ 1/ 2 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

{(0*1 + 3*0 + 0*0 + 0*0), (3*-1/2 + 3*1/2 + 3*1/2 + 3*0), (0*0 + 0*0 + 0*1 + 0*0), (0*0 + 0*0 + 0*0 + 0*1)}

Y = C B B-1 =

(0, 3/2, 0, 0)

Z2 – C2, Z4 – C4 = Y(P2,P4) – (C2,C4)

⎡2 ⎢1 Z 2 - C 2 , Z 4 - C 4 = [0, 3/2, 0, 0] ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1

0⎤

⎥ ⎥ − [2, 0] 0⎥ ⎥ 0⎦

1

Z2 – C2, Z4 – C4 = {(0*2 + 3/2*1 + 0*1 + 0*1), (0*0 + 3/2*1 + 0*0 + 0*0)} – (2, 0) Z2 – C2, Z4 – C4 = (3/2, 3/2) – (2, 0) = (-1/2, 3/2) JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009

Page 6

Karena P2 memiliki nilai paling negative, maka P 2 merupakan vector masuk. Langkah 2. Penentuan vector keluar dengan diketahui bahwa P 2 memasuki basis.

⎡1 ⎢0 −1 X B = B b = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡1 ⎢0 2 −1 α = B P2 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

− 1 / 2 0 0 ⎤ ⎡6 ⎤ ⎡(1 * 6) + (−1 / 2 * 8) + (0 *1) + (0 * 2)⎤ ⎡2⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢(0 * 6) + (1 / 2 * 8) + (0 *1) + (0 * 2) ⎥ ⎢4⎥ 1/ 2 0 0 8 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥ 1/ 2 1 0 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢(0 * 6) + (1 / 2 * 8) + (1 * 1) + (0 * 2) ⎥ ⎢5 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 ⎦ ⎣2⎦ ⎣(0 * 6) + (0 * 8) + (0 *1) + (1 * 2) ⎦ ⎣2⎦ − 1 / 2 0 0 ⎤ ⎡2⎤ ⎡(1 * 2) + (−1 / 2 * 1) + (0 * 1) + (0 *1)⎤ ⎡3 / 2⎤ 1/ 2 0 0⎥ ⎢1 ⎥ ⎢(0 * 2) + (1 / 2 *1) + (0 *1) + (0 *1) ⎥ ⎢1 / 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥ 1/ 2 1 0 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢(0 * 2) + (1 / 2 * 1) + (1 *1) + (0 *1) ⎥ ⎢3 / 2⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣(0 * 2) + (0 *1) + (0 *1) + (1 * 1) ⎦ ⎣1 ⎦

Perhitungan untuk langkah 1 dan 2 dapat diringkaskan sebagai berikut: Dasar

X1

X2

X3

X4

X5

X6

Z

0

-1/2

0

3/2

0

0

Pemecahan

X3

3/2

2

X1

1/2

4

X5

3/2

5

X6

1

2

Jadi: θ = min (2/(3/2), 4/(1/2), 5/(3/2), 2/1) = (4/3, 8, 10/3, 2) = 4/3, yang bersesuaian dengan X3, dengan demikian P3 adalah vector keluar dengan nilai α 12 = 4 / 3 , sehingga: Langkah 3. Penentuan inverse basis berikutnya.

⎡+ 1 /(3 / 2) ⎤ ⎡ 2 / 3 ⎤ ⎢− 1 / 2 /(3 / 2) ⎥ ⎢ − 1 / 3 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ξ = ⎢ ⎢− 3 / 2 / (3 / 2)⎥ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 1 /(3 / 2) ⎦ ⎣ − 2 / 3⎦ Maka basis berikutnya: 0 0 0⎤ ⎡1 ⎡2 / 3 ⎢− 1 / 3 1 0 0 ⎥ ⎢0 −1 ⎥⎢ Bnext = ⎢ ⎢− 1 0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥⎢ ⎣− 2 / 3 0 0 1 ⎦ ⎣0

− 1/ 2 0 0⎤ ⎥ 1/ 2 0 0 ⎥ 1/ 2 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦


Page 7

= (2/3*1+0+0+0), (2/3*-1/2+0+0+0), (0), (0) = (-1/3*1+0+0+0), (-1/3*-1/2+1*1/2+0+0), (0), (0) = (-1*1+0+0+0), (-1*-1/2+0+1*1/2+0), (0+0+1+0), (0) = (-2/3*1+0+0+0), (-2/3*-1/2+0+0+0), (0), (1) −1 Sehingga: Bnext

=

2/3

-1/3

0

0

-1/3

2/3

0

0

-1

1

1

0

-2/3

1/3

0

1

Basis baru ini berkaitan dengan vector dasar: XB = X2, X1, X5, X6 CB = (2, 3, 0, 0) Iterasi Ketiga: Langkah 1. Perhitungan Z j – C j untuk non dasar P 3 dan P4

⎡2 / 3 − 1 / 3 ⎢− 1 / 3 2 / 3 -1 Y = C B B = (2, 3, 0, 0 ) ⎢ ⎢− 1 1 ⎢ ⎣− 2 / 3 1 / 3

0

0⎤

0

0

⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦

Y = C B B-1 =

{(2*2/3 + 3*-1/3 + 0 + 0), (2*-1/3 + 3*2/3 + 0 + 0), (0), (0)}

Y = C B B-1 =

(1/3, 4/3, 0, 0)

Z3 – C3, Z4 – C4 = Y(P3,P4) – (C3,C4)

⎡1 ⎢0 Z 3 - C 3 , Z 4 - C 4 = [1/3, 4 / 3, 0, 0] ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0⎤

⎥ ⎥ − [0, 0] 0⎥ ⎥ 0⎦

1

Z3 – C3, Z4 – C4 = {(1/3*1 + 0 + 0 + 0), (0 + 4/3*1 + 0 + 0)} – (0, 0) Z3 – C3, Z4 – C4 = (1/3, 4/3) – (0, 0) = (1/3, 4/3) Karena semua Z j – C j ≥ 0, basis terakhir ini optimal.


Page 8

Pemecahan Optimal:

⎡ X 2 ⎤ ⎡2 / 3 − 1 / 3 ⎢ X ⎥ ⎢− 1 / 3 2 / 3 1 1 − ⎢ ⎥ = B b = ⎢ ⎢ X 5 ⎥ ⎢− 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣− 2 / 3 1 / 3 ⎣ X 6 ⎦

⎡(2 / 3 * 6 + −1 / 3 * 8 + 0 + 0) ⎤ ⎡4 / 3 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢(−1 / 3 * 6 + 2 / 3 * 8 + 0 + 0) ⎥ ⎢10 / 3⎥ 0 0 8 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎢3 ⎥ 1 0 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢(−1 * 6 + 1 * 8 + 1 *1 + 0) ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 ⎦ ⎣2⎦ ⎣(−2 / 3 * 6 + 1 / 3 * 8 + 0 + 1 * 2) ⎦ ⎣2 / 3 ⎦ 0

0⎤ ⎡6 ⎤

⎡4 / 3 ⎤ ⎢10 / 3⎥ ⎥ = [2 * 4 / 3 + 3 * 10 / 3 + 0 + 0] = 38 / 3 = 12 2 Z = C B X B = ( 2, 3, 0, 0) ⎢ ⎢3 ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎣2 / 3 ⎦ Kesimpulan: X1 = 10/3 X2 = 4/3 Z = 38/3

REFERENSI 1. Taha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1, Jakarta: Binarupa Aksara, 1996


Page 9

Metode Simpleks Yang Direvisi

Recommend Documents