Program Linier, Metode Grafik

1

BAB I
PENDAHULUAN

Latar belakang
Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumber daya yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel input. Penerapan program linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, sosial dan lain-lainnya, misalnya periklanan, industri manufaktur (penggunaan tenagakerja kapasitas produksi dan mesin), distribusi dan pengangkutan, dan perbankan (portofolio investasi).
Program linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear. Pemrograman linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya.
Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear. Pemrograman linear meliputi perencanaan aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai tujuan terbaik (menurut model matematika) diantara semua kemungkinan alternatif yang ada.
Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program linear, salah satunya adalah metode grafik, yang cukup banyak digunakan. Oleh karena itu kita akan membahas lebih dalam tentang metode grafik ini.

Rumusan Masalah
Secara umum, apakah metode grafik itu dan bagaimana penerapannya?
Bagaimana cara membuat grafik dari suatu permasalahan program linear?
Bagaimana menyelesaikan permasalahan program linear dengan menggunakan uji titik pojok?
Bagaimana menyelesaikan permasalahan program linear dengan menggunakan garis selidik?
Bagaimana pengaplikasian metode grafik dalam menyelesaikan masalah program linear dalam kehidupan sehari-hari?

Tujuan
Makalah ini dibuat dengan tujuan untuk:
Mengenal metode grafik untuk menyelesaikan permasalahan program linear.
Mengetahui cara menggambar grafik dari permasalahan program linear.
Memahami metode uji titik pojok untuk mencari nilai optimal dari suatu permasalahan program linear.
Memahami metode garis selidik untuk mencari nilai optimal dari suatu permasalahan program linear.
Memahami pengaplikasian metode grafik dalam menyelesaikan permasalahan program linear dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II
PEMBAHASAN

Pengertian Metode Grafik
Metode grafik adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program linear, dan merupakan salah satu metode yang sering digunakan, karena metode ini cukup mudah dan tidak memakan terlalu banyak waktu. Akan tetapi, penggunaan metode grafik ini terbatas, karena metode ini hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program linear dengan dua variabel. Karena untuk menyelesaikan permasalahan program linear dengan tiga variabel diperlukan grafik dalam bentuk tiga dimensi, dan akan cukup rumit. Sedangkan untuk permasalahan program linear dengan empat atau lebih variabel tidak dapat dibuat grafiknya.
Dalam metode grafik ini, penentuan titik optimum memiliki dua alternatif cara, yaitu dengan uji titik pojok dan dengan garis selidik. Kedua cara tersebut akan dibahas dalam materi ini.

Cara Pembuatan Grafik
Adapun tata cara pembuatan grafik adalah sebagai berikut:
Apabila soal yang ada berbentuk soal cerita, tentukanlah fungsi tujuan dan fungsi kendalanya.
Gambarkanlah setiap fungsi kendala dengan mencari titik potong fungsi tersebut dengan sumbu X dan sumbu Y (x1 merupakan titik pada sumbu X dan x2 merupakan titik pada sumbu Y).
Untuk menentukan daerah penyelesaian, kita dapat menggunakan salah satu cara berikut:
Dengan pengujian tanda.
Ambil sembarang titik yang ada di luar garis (untuk lebih memudahkan, sebaiknya ambil titik (0, 0)).
Masukkan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan
Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka daerah penyelesaian adalah daerah di mana titik tersebut berada, dan sebaliknya.
Dengan cara alternatif.
Lihat tanda di depan variabel x2 (+ atau -)
Lihat tanda pertidaksamaan, tanda " " berarti "-" dan tanda " " berarti "+"
Lakukan perkalian antara kedua tanda tersebut. Bila hasil perkalian tanda adalah positif, maka daerah penyelesaian berada di atas garis, dan sebaliknya.
Carilah titik potong setiap fungsi kendala yang ada dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
Grafik telah selesai dan siap dicari titik optimumnya.

Adapun contoh cara pembuatan metode grafik adalah sebagai berikut:

Pembuatan metode grafik untuk maksimisasi.
Fungsi tujuan : Z=3x1+x2
Fungsi kendala : 2x1+x2 4
x1+6x2 12
x1 0
x2 0

Untuk fungsi kendala pertama:
2x1+x2=4
x1
0
2
x2
4
0
Sehingga didapat koordinat (0,4) dan (2,0). Selanjutnya tentukan daerah penyelesaian:

Dengan pegujian tanda
Kita ambil titik (0, 0)
2x1+x2=2 0+0=0<4
Karena hasil pengujian sesuai, maka daerah penyelesaian berada di daerah tempat titik (0, 0) berada, yaitu di bawah garis.

Dengan cara alternatif
Tanda pada variabel x2 : +
Tanda pertidaksamaan : -
+ -=(-)
Karena hasil perkalian tanda negatif, maka daerah penyelesaian berada di bawah garis.

Selanjutnya kita gambarkan grafiknya.
2x1+x2=4x1x2420
2x1+x2=4
x1
x2
4
2
0

Untuk fungsi kendala kedua:
x1+6x2=12
x1
0
12
x2
2
0
x1+6x2=0+6 0=0<12
Karena hasil pengujian sesuai, maka daerah penyelesaian berada di daerah tempat titik (0, 0) berada, yaitu di bawah garis.

Tanda pertidaksamaan : -
+ -=(-)
Karena hasil perkalian tanda negatif, maka daerah penyelesaian berada di bawah garis.

x1+6x2=12x1x22120
x1+6x2=12
x1
x2
2
12
0

Selanjutnya, apabila kedua grafik di atas kita satukan, maka akan kita dapatkan daerah penyelesaiannya:
x1+6x2=12x1x221202x1+x2=42Daerah Penyelesaian4
x1+6x2=12
x1
x2
2
12
0
2x1+x2=4

2
Daerah Penyelesaian
4

Lalu kita cari titik potong dari kedua fungsi kendala di atas dengan menggunakan metode eliminasi.
2x1+x2= 4

×1

2x1+x2=4

x1+6x2=12

×2

2x1+12x2=24
-

-11x2=-20

x2=-20-11

x2=2011

2x1+x2=4 x1 =4-x22
=4-20112
=1211

Sehingga diperoleh titik potong antara kedua fungsi kendala pada titik 1211 , 2011, dan grafiknya adalah:
2x1+x2=42, 0x1+6x2=12x1x20, 2120Daerah Penyelesaian1211, 20114
2x1+x2=4

2, 0
x1+6x2=12
x1
x2
0, 2
12
0
Daerah Penyelesaian
1211, 2011
4

Pembuatan metode grafik untuk minimisasi.
Fungsi tujuan : Z=3x1+5x2
Fungsi kendala : x1+3x2 3
x1+x2 2
x1 0
x2 0

Untuk fungsi kendala pertama:
x1+3x2=3
x1
0
3
x2
1
0
x1+3x2=0+3 0=0<3
Karena hasil pengujian tidak sesuai, maka daerah penyelesaian berada di daerah selain tempat titik (0, 0) berada, yaitu di atas garis.

Tanda pertidaksamaan : +
+ +=(+)
Karena hasil perkalian tanda positif, maka daerah penyelesaian berada di atas garis.

x1+3x2=3x1x2130
x1+3x2=3
x1
x2
1
3
0

Untuk fungsi kendala kedua:
x1+x2=2
x1
0
2
x2
2
0
x1+x2=0+0=0<2
Karena hasil pengujian tidak sesuai, maka daerah penyelesaian berada di daerah selain tempat titik (0, 0) berada, yaitu di atas garis.

Tanda pertidaksamaan : +
+ +=(+)
Karena hasil perkalian tanda positif, maka daerah penyelesaian berada di atas garis.

x1+x2=2x1x2220
x1+x2=2
x1
x2
2
2
0

Selanjutnya, apabila kedua grafik di atas kita satukan, maka akan kita dapatkan daerah penyelesaiannya:
x1+3x2=313x1+x2=2x1x2220Daerah Penyelesaian
x1+3x2=3
1
3
x1+x2=2
x1
x2
2
2
0
Daerah Penyelesaian

Lalu kita cari titik potong dari kedua fungsi kendala di atas dengan menggunakan metode eliminasi.
x1+3x2=3

x1+x2=2
-
2x2=1

x2=12

x1+x2=2 x1 =2-x2
=2-12
=32

Sehingga diperoleh titik potong antara kedua fungsi kendala pada titik 32 , 12, dan grafiknya adalah:
0, 23, 0x1+3x2=31x1+x2=2x1x220Daerah Penyelesaian32, 12
0, 2
3, 0
x1+3x2=3
1

x1+x2=2
x1
x2

2
0
Daerah Penyelesaian
32, 12

Menentukan Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok
Dalam menentukan nilai optimum, dapat dilakukan pengujian titik pojok dengan cara memasukkan nilai-nilai titik pojok ke dalam fungsi tujuannya, dan dicari nilai maksimum atau minimumnya.

Menentukan nilai maksimum dengan uji titik pojok
x1+6x2 12
x1 0
x2 0
Sebagaimana telah digambarkan sebelumnya, grafik dari permasalahan ini adalah:
A 2, 0B 1211, 2011C 0, 22x1+x2=4x1+6x2=12x1x212Daerah Penyelesaian4O 0, 0
A 2, 0
B 1211, 2011

C 0, 2

2x1+x2=4

x1+6x2=12
x1
x2

12

Daerah Penyelesaian

4
O 0, 0
Masukkan titik pojok yang telah didapat ke dalam fungsi tujuan
Fungsi Tujuan : Z=3x1+x2
Titik Pojok
Nilai Z
A 2, 0
Z=3 2+0=6
B 1211, 2011
Z=3 1211+2011=3611+2011=5611=5,09
C 0, 2
Z=3 0+2=2
O 0, 0
Z=3 0+0=0

Dari tabel di atas, didapat nilai maksimumnya 6, pada titik A 2, 0.

Menentukan nilai minimum dengan uji titik pojok
x1+x2 2
x1 0
x2 0
C 0, 2A 3, 0x1+3x2=31x1+x2=2x1x22Daerah PenyelesaianB 32, 12
C 0, 2
A 3, 0
x1+3x2=3
1

x1+x2=2
x1
x2

2

Daerah Penyelesaian
B 32, 12

Masukkan titik pojok yang telah didapat ke dalam fungsi tujuan
Fungsi Tujuan : Z=3x1+5x2
Titik Pojok
Nilai Z
A 3, 0
Z=3 3+5 0=9
B 32, 12
Z=3 32+5 12=92+52=142=7
C 0, 2
Z=3 0+5 2=10

Dari tabel di atas, didapat nilai minimumnya 7, pada titik B 32, 12.

Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik
Dalam menentukan nilai optimum dengan garis selidik, kita menggunakan fungsi tujuan Z=ax1+bx2, dan menjadikannya menjadi garis selidik ax1+bx2=k. Garis selidik ax1+bx2=k merupakan suatu garis yang berfungsi untuk menyelidiki dan menentukan sampai sejauh mana fungsi tujuan Z maksimum atau minimum. Aturan penggunaan garis selidik antara lain:
Gambar garis ax1+bx2=ab yang memotong sumbu X1 di titik b,0 dan memotong sumbu X2 di titik 0,a.
Tarik garis-garis sejajar dengan ax1+bx2=ab hingga nilai Z maksimum atau minimum, dengan memperhatikan hal-hal berikut:
Jika ax1+bx2=k1 sejajar dengan garis ax1+bx2=ab dan berada di paling atas atau berada di paling kanan pada daerah penyelesaian, maka Z=k1 merupakan nilai maksimumnya.
Jika ax1+bx2=k2 sejajar dengan garis ax1+bx2=ab dan berada di paling bawah atau berada di paling kiri pada daerah penyelesaian, maka Z=k2 merupakan nilai minimumnya.

Contoh penyelesaian masalah program linear dengan garis selidik:
Menentukan nilai maksimum dengan garis selidik
x1+6x2 12
x1 0
x2 0
2x1+x2=42, 0x1+6x2=12x1x20, 2120Daerah Penyelesaian1211, 20114
2x1+x2=4

2, 0
x1+6x2=12
x1
x2
0, 2
12
0
Daerah Penyelesaian
1211, 2011
4

Tentukan titik-titik untuk garis selidik:
Fungsi Tujuan : Z=3x1+x2
Nilai Z
x1
x2
Titik Koordinat
3
1
3
(1, 0) dan (0, 3)
6
2
6
(2, 0) dan (0, 6)
9
3
9
(3, 0) dan (0, 9)

Kemudian kita gambarkan garis selidik tersebut:
42x1+x2=42, 0x1+6x2=12x1x20, 2120
1211, 2011
4
2x1+x2=4

2, 0
x1+6x2=12
x1
x2
0, 2
12
0

1211, 2011

Dari tabel di atas, didapat titik maksimumnya adalah titik (2, 0), dan nilai maksimumnya =3 2+0=6.

Menentukan nilai minimum dengan garis selidik
x1+x2 2
x1 0
x2 0
0, 23, 0x1+3x2=31x1+x2=2x1x220Daerah Penyelesaian32, 12
0, 2
3, 0
x1+3x2=3
1

x1+x2=2
x1
x2

2
0
Daerah Penyelesaian
32, 12

Tentukan titik-titik untuk garis selidik:
Nilai Z
x1
x2
Titik Koordinat
15
5
3
(5, 0) dan (0, 3)
7
73
75
73 , 0 dan 0 , 75
32
12
310
12 , 0 dan 0 , 310

Kemudian kita gambarkan garis selidik tersebut:
x1+3x2=31x1+x2=2x1x22032, 12
x1+3x2=3
1

x1+x2=2
x1
x2

2
0
32, 12
Dari tabel di atas, didapat titik minimumnya adalah titik 32, 12, dan nilai maksimumnya =3 32+5 12=7.

Aplikasi Metode Grafik pada Permasalahan Program Linear dalam Kehidupan Sehari-hari
Contoh aplikasi metode grafik pada persoalan maksimum.
Bu Ilyas akan mengadakan acara syukuran dan berencana membuat dua macam kue. Kue pertama akan membutuhkan 30 ons tepung terigu dan 10 ons tepung beras, sedangkan kue kedua akan membutuhkan 10 ons tepung terigu dan 20 ons tepung beras. Jumlah tepung terigu yang tersedia adalah 60 ons dan jumlah tepung beras yang tersedia adalah 40 ons. Jika tiap resep kue pertama dapat memenuhi kuota untuk 40 orang dan tiap resep kue kedua dapat memenuhi kuota untuk 10 orang, maka jumlah maksimum orang yang dapat diundang oleh Bu Ilyas adalah:
Jawab:
x1 = Kue jenis pertama
x2 = Kue jenis kedua

Jenis Tepung
Kue I
Kue II
Tersedia
Terigu
30
10
60
Beras
10
20
40
Jumlah undangan
40
10

Fungsi kendala : 30x1+10x2 60
10x1+20x2 40
x1 0
x2 0

Penentuan titik potong fungsi kendala pada sumbu x1 dan x2
30x1+10x2=60

10x1+20x2=40
x1
0
2

x1
0
4
x2
6
0

x2
2
0
Titik
(0, 6)
(2,0)

Titik
(0,2)
(4,0)
+ -=(-)
Daerah penyelesaian di bawah garis

+ -=(-)
Daerah penyelesaian di bawah garis

Untuk mencari titik potong kedua fungsi kita gunakan eliminasi
30x1+10x2= 60

×2

60x1+20x2=120

10x1+20x2=40

×1

10x1+20x2=40
-

50x1=80

x1=8050

x2=85

30x1+10x2=60 x2 =60-30x210
=60-30 8510
=65

Sehingga diperoleh titik potong antara kedua fungsi kendala pada titik 85, 65, dan grafiknya adalah:
630x1+10x2=602, 010x1+20x2=40x1x20, 24085, 65Daerah Penyelesaiann
6
30x1+10x2=60
2, 0
10x1+20x2=40
x1
x2
0, 2
4
0
85, 65
Daerah Penyelesaiann

Selanjutnya kita tentukan nilai maksimumnya, dengan cara berikut:

Uji titik pojok
630x1+10x2=60A 2, 010x1+20x2=40x1x2C 0, 24O (0,0)B 85, 65Daerah Penyelesaiann
6
30x1+10x2=60
A 2, 0
10x1+20x2=40
x1
x2
C 0, 2
4
O (0,0)
B 85, 65
Daerah Penyelesaiann

Titik Pojok
Nilai Z
A 2, 0
Z=40 2+10 0=80
B 85 , 65
Z=40 85+10 65 =64+12=76
C 0, 2
Z=40 0+10 2=20
O 0, 0
Z=40 0+10 0=0

Dari hasil uji titik pojok di atas, kita dapatkan bahwa jumlah undangan maksimum adalah 80 orang, dengan membuat 2 resep kue pertama.

Garis selidik
Titik-titik untuk garis selidik:
Nilai Z
x1
x2
Titik Koordinat
120
3
12
(10, 0) dan (0, 40)
80
2
8
(2, 0) dan (0, 8)
40
1
4
(1, 0) dan (0, 4)

Adapun grafiknya adalah sebagai berikut:
630x1+10x2=602, 010x1+20x2=40x1x20, 2085, 65
6
30x1+10x2=60
2, 0
10x1+20x2=40
x1
x2
0, 2
0
85, 65

Dari tabel di atas, didapat titik maksimumnya adalah titik (2, 0), dan nilai maksimumnya =40 2+10 0=80. Sehingga jumlah maksimum undangan adalah 80 orang dengan membuat 2 resep kue pertama.

Contoh aplikasi metode grafik pada persoalan minimum.
Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp. 400/butir dan tablet kedua Rp. 800/butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah . . . .
Jawab:
x1 = Tablet jenis pertama
x2 = Tablet jenis kedua

Kandungan
Tablet Pertama
Tablet Kedua
Konsumsi perhari
Vitamin A
5 unit
10 unit
20 unit
Vitamin B
3 unit
1 unit
5 unit
Harga per butir
Rp. 400
Rp. 800

Fungsi kendala : 5x1+10x2 20
3x1+x2 5
x1 0
x2 0

Penentuan titik potong fungsi kendala pada sumbu x1 dan x2
5x1+10x2=20

3x1+x2=5
x1
0
4

x1
0
53
x2
2
0

x2
5
0
Titik
(0, 2)
(4,0)

Titik
(0,5)
53, 0
+ +=(+)
Daerah penyelesaian di atas garis

+ +=(+)
Daerah penyelesaian di atas garis

Untuk mencari titik potong kedua fungsi kita gunakan eliminasi
5x1+10x2=20

×3

15x1+30x2=60

3x1+x2=5

×5

15x1+5x2=25
-

25x2=35

x2=3525

x2=75

3x1+x2=5 x1 =5-x23
=5-753
=65

Sehingga diperoleh titik potong antara kedua fungsi kendala pada titik 65, 75, dan grafiknya adalah:
0, 54, 05x1+10x2=20x1x25303x1+x2=52Daerah Penyelesaian65, 75
0, 5
4, 0
5x1+10x2=20
x1
x2
53
0
3x1+x2=5
2
Daerah Penyelesaian
65, 75

Selanjutnya kita tentukan nilai minimumnya, dengan cara berikut:

Uji titik pojok
C 0, 5A 4, 05x1+10x2=20x1x25303x1+x2=52Daerah PenyelesaianB 65, 75
C 0, 5
A 4, 0
5x1+10x2=20
x1
x2
53
0
3x1+x2=5
2
Daerah Penyelesaian
B 65, 75

Titik Pojok
Nilai Z
A 4, 0
Z=400 4+800 0=1600
B 65 , 75
Z=400 65+800 75 =480+1120=1600
C 0, 5
Z=400 0+800 5=4000

Dari hasil uji titik pojok di atas, kita dapatkan bahwa pengeluaran minimum untuk membeli tablet perhari adalah Rp. 1.600,- dengan membeli 4 butir tablet jenis pertama. Walaupun pada titik potong B juga meraih hasil minimum, akan tetapi jumlah butirnya tidak utuh, sehingga jika kita ingin membeli tablet tersebut, maka harus membeli 2 butir tablet pertama dan 2 butir tablet kedua, dengan harga total:
400 2+800 2=800+1600=Rp. 2.400,-

Garis selidik
Titik-titik untuk garis selidik:
Nilai Z
x1
x2
Titik Koordinat
2400
6
3
(6, 0) dan (0, 3)
1600
4
2
(4, 0) dan (0, 2)
800
2
1
(2, 0) dan (0, 1)

Adapun grafiknya adalah sebagai berikut:
0, 54, 05x1+10x2=20x1x25303x1+x2=52Daerah Penyelesaian65, 75
0, 5
4, 0
5x1+10x2=20
x1
x2
53
0
3x1+x2=5
2
Daerah Penyelesaian
65, 75

Dari garis selidik di atas, kita dapatkan dua titi minimum, yaitu titik (4, 0) dan titik 65 , 75. Akan tetapi, karena kita membutuhkan hasil yang utuh (genap), maka tidak kita hanya akan menggunakan titik yang utuh, yaitu titik (4, 0). Ini berarti, dengan membeli 4 butir tablet jenis pertama, maka pengeluaran akan minimum, sebesar:
400 4+800 0=Rp. 1.600,-

BAB III
PENUTUP

Kesimpulan
Metode grafik adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah program linear. Meskipun sering digunakan karena kemudahannya, metode ini hanya terbatas pada permasalahan dengan dua variabel saja. Dalam menggunakan metode ini, sangat penting untuk menggambar grafik dengan tepat, karena ketepatan gambar sangat mempengaruhi hasil yang akan diperoleh.
Dalam menggunakan metode grafik, terdapat dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum, yaitu cara uji titik pojok dan cara garis selidik. Kedua cara ini akan memberikan hasil yang sama, dan dapat digunakan untuk memecahkan berbagai permasalahan program linear dengan dua variabel.

Saran
Penulis menyarankan kepada pembaca agar mempelajari lebih dalam tentang metode grafik, serta agar menggunakan metode grafik ini untuk menyelesaikan berbagai permasalahan program linear dengan dua variabel, karena metode ini cukup mudah untuk diterapkan.
Penulis juga menerima berbagai kritik dan saran dari pembaca untuk perbaikan diri penulis ke depannya.

DAFTAR PUSTAKA

Sukino. 2007. Matematika Jilid 3a untuk SMA Kelas XII Semseter 1. Jakarta: Erlangga.
Supranto, J. 1983. Linear Programming. Jakarta: Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Indonesia.
Website:
http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Penny%20Rahmawaty,%20M.Si./Modul%20OR%20-%20LINEAR%20PROGRAMMING.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:03.
http://directory.umm.ac.id/Data%20Elmu/pdf/bab1-C.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:04.
http://vidyagata.files.wordpress.com/2012/09/modul-12-1-2-program-linear.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:03.
http://sumadiklaten.files.wordpress.com/2008/10/program_linear.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:02.
http://yusufa3.files.wordpress.com/2009/10/bab-ii.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:15.
http://masbied.files.wordpress.com/2011/05/modul-matematika-program-linear.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:08.
http://mgmpmatsatapmalang.files.wordpress.com/2011/11/programlinear.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:17.
http://mtksmancir.files.wordpress.com/2011/11/02_bab11.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:09.
http://taufiqurrahman.blog.esaunggul.ac.id/files/2012/03/3-LP-Grafik-R1.pdf?11b1cb, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 16:20.
http://jeryfrl.files.wordpress.com/2013/03/bab-03-metode-grafik-program-linier.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 15:27.
http://dwijanto77.files.wordpress.com/2013/03/5-bab-ii-_pengenalan-program-linear.pdf, diakses pada hari Rabu, 21 Mei 2014, pukul 19:23.

Program Linier, Metode Grafik

Recommend Documents