MAKALAH PROGRAM LINIER Dosen : Nova Indah Saragih, S.T.,M.T.
Disusun Oleh : Fendi Adi Prasetyo 0516103010 Irham Ibadarrahman 0516103006 Iqbal Sulaeman A 0516103030 Ramadhani 0516103013
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIERSITAS UNIERS ITAS !ID"ATAMA !ID"ATAMA #ANDUNG $%&'
#A# I PENDAHULUAN &.& La(ar La(ar #e)a*ang #e)a*ang
Sebuah erusahaan atau or!anisasi erlu meren"ana#an strate!i yan! daat men!otimal#an hasil yan! in!in di"aai$ bai# itu berua #euntun!an ma#simal atau biaya minimal% Pada dasarnya setia erusahaan memili#i #eterbatasan atas sumber dayanya$ bai# #eterbatasan dalam ¨ah bahan ba#u$ mesin dan eralatan$ ruan!$ tena!a$ #er&a$ mauun mauu n model% Den!an #eterbatasan ini$ setia setia erusa erusahaa haan n mela#u# mela#u#an an bebera beberaaa "ara "ara untu# untu# mela#u mela#u#an #an otima otimasi si den!an den!an hasil hasil yan! yan! di"aai$ salah satunya den!an ro!ram linear '(inear Pro!rammin!)% Pemro Pemro!r !ram aman an linea linearr 'lin 'linea earr ror roram ammi min!) n!) adal adalah ah te#n te#ni# i# en! en!am ambi bila lan n #eut #eutus usan an untu untu# # meme"ah#an masalah men!alo#asi#an sumber daya yan! terbatas diantara berba!ai #eentin!an seotimal mun!#in% Pemro!raman linear merua#an salah satu metode dalam riset oerasi yan! memun!#in#an ara mana&er men!ambil #eutusan den!an men!!una#an ende#atan analisis #uantitati*% +e#ni# ini telah ditera#an se"ara luas ada berba!ai ersoalan dalam erusahaan$ untu# menyelesai#an masalah yan! ber#aitan den!an enu!asan #arya,an$ en!!unaan mesin$ distribusi distribusi$$ dan en!an!#utan$ en!an!#utan$ enentuan #aasitas #aasitas rodu#$ rodu#$ atauun atauun dalam enentuan orto*olio orto*olio in-estasi% (inear Pro!rammin! '(P) adalah suatu metode ro!ramasi yan! -ariabelnya disusun den!an ersamaan linier% linier% Oleh berba!ai analist$ ma#a (P diter&emah#an #e dalam .ahasa Indonesia men&adi /ro!ramasi linier$ /emro!raman !aris lurus$ /ro!ramasi !aris lurus atau lainnya% Seba!ai alat #uantitati* untu# mela#ua#n emro!raman$ ma#a metode (P &u!a ada #elebihan dan #elemahannya% Oleh #arena itu$ emba"a atau eneliti harus mamu men!identi*i#asi #aan alat ini dier!una#an dan #aan tida# dier!una#an%
&.$ R++san Masa)ah 1%%1 Aa yan! dima#sud den!an 2etode ra*i# dalam Pro!ram (inier '(inear Pro!ramin!)4 1%% .a!aimana "ara membuat ra*i# *un!si (inear 4 1%%3 Aa sa&a model Pemro!raman (inier 2etode ra*i# 4 1%% .a!aimana "ontoh soal dan embahasan *un!si ma#simalisasi #euntun!an dan
minimalisasi biaya4 &.- T++an 1%3%1 Daat memahami tentan! 2etode ra*i#% 1%3% 2en!erti "ara men!!ambar ra*i# *un!si (inear% 1%3%3 2en!erti dan memahami model Pemro!raman (inier 2etode !ra*i#% 1%3% 2emahami "ontoh soal dan embahasan men!!una#an metode !ra*i#%
#A# II PEM#AHASAN $.&
Me(ode Gra/i*
2etode ertama untu# menyelesai#an ersamaan nonlinear adalah metode !ra*i#% 2etode !ra*i# merua#an metode sederhana untu# mendaat#an a#ar er#iraan dari ersamaan *'7) 8 0 den!an membuat lot dari *un!si dan men!amatinya di mana *un!si tersebut memoton! sumbu 7% Di titi# ini$ yan! mereresentasi#an nilai 7 yan! membuat *'7) 8 0$ memberi#an hamiran #asar ba!i a#ar ersamaan itu% 2etode !ra*i# adalah satu "ara yan! daat di!una#an untu# meme"ah#an masalah otimalisasi dalam ro!ramasi linier% 9eterbatasan metode ini adalah -ariabel yan! bisa di!una#an terbatas 'hanya dua)$ en!!unaan 3 -ariabel a#an san!at sulit dila#u#an% Dalam men"ari a#ara#ar ersamaan #ara#teristi# orde dua #ita bisa men!!un a#an metode em*a#toran atau &u!a bisa men!!una#an rumus A.% Dimana bentu# umum dari ersamaan #ara#teristi# orde dua adalah : a 7 ; b 7 ; " 8 0 ' b ? a " ) @ a ) Dan = 8 ' b ? > ' b ? a " ) @ a ) Rumusan tersebut hanya bisa di!una#an untu# ersamaan #ara#teristi# orde dua sedan!#an untu# ersamaan #ara#teristi# orde lebih dari dua atau ersamaan non linier seerti : 73 ; 7 ? 15 8 0 7 ln'71) ; 7 8 0 ? 57 ; sin 7 8 0 tentu tida# bisa di!una#an untu# men"ari enyelesaian a#arnya% Persamaan #ara#teristi# berua olinomial$ tin!#at tin!!i$ ersamaan sinusioda$ ersamaan e#sonensial atau ersamaan lo!aritmi# yan! berbentu# *'7) 8 0$ &i#a tida# daat diselesai#an den!an analitis ma#a di!una#an metode eyelesaian ende#atan% Salah satunya #ita bisa men!!una#an metode !ra*is% 2etode !ra*i# adalah metode enyelesaian ersamaan non linier 'transendental) yan! alin! sederhana dan alin! mudah$ den!an "ara membuat dua buah !ra*i# dari ersamaan tersebut% Persamaan dari *un!si *'7) 8 0 die"ah men&adi dua ba!ian 'dua ersamaan)$ #emudian dilot @ di!ambar#an untu# di"ari titi# oton!nya% +iti# oton! tersebut merua#an a#ar ersamaannya% 2etode !ra*i# ini memili#i beberaa #e#uran!an yaitu : i#a *un!si *'7) memunyai beberaa a#ar 'titi#) enyelesaian$ a#ara#ar enyelesaian tida# bisa di"ari se"ara bersamaan% Penyelesaian 'titi# oton! yan! dihasil#an) san!at ter!antun! dari hasil en!!ambaran !ra*i# tersebut 'dien!aruhi oleh enye#alaan bidan! #oordinat)
2etode !ra*i# ini &u!a relati* sulit #eti#a usaha untu# membuat lot !ra*i# *un!sinya% 2etode ini #uran! "u#u a#urat dan Bilai ra#tis dari te#ni#te#ni# !ra*is san!at terbatas #arena #uran! teat% 2etode ini di!una#an Seba!ai ende#atan enyelesaian yan! #omle#s% 9endalanya bah,a metode ini +ida# a#urat$ san!at lama$ dan banya# me mbutuh#an ,a#tu% Cror enyelesaiannya masih relati* besar%
0ara e1+a( Gra/i* 2+ngsi Linear
Menggambar Grafk Fungsi Linear Fungsi linear adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu dengan grafik berupa garis lurus. Bentuk umum ungsi linear yaitu: f : x → ax + b atau f ( x ) = ax + b atau y = ax + b dengan:
variabel x disebut variabel bebas. variabel y atau f ( x ) disebut variabel terikat.
Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan grafik fungsi. Grafk ungsi adalah penyajian fungsi ke dalam bentuk diagram C artesius.
Cara I
Langkah-langkah menggambar grafk ungsi linear dengan cara adalah sebagai berikut. pasangan-pasangan berurutan ( x , y dengan x adalah angg!ta d!main dan y adalah bayangan dari x (range dengan menggunakan tabel fungsi. ✔ Tentukan
✔ Buatlah
sumbu mendatar dan sumbu tegak yang saling berp!t!ngan dengan:
angg!ta d!main berada "ada sumbu mendatar atau sumbu x . angg!ta range berada "ada sumbu tegak atau sumbu y .
letak pasangan berurutan ( x , y pada bidang k!!rdinat yang ditandai dengan titik atau n!ktah. ✔ Tentukan
✔ "ubungkan
titik-titik tersebut dengan sebuah garis lurus.
Contoh 1
#ambarkan grafik fungsi y $ x % & dengan x adalah bilangan bulat p!sitif antara ' dan .
Penyelesaian: )iketahui: fungsi y $ x % & x adalah bilangan bulat p!sitif antara ' dan *ni berarti, x $ +&, , , , /, 01. Tabel fungsi y $ x % & adalah:
#rafik fungsinya adalah sebagai berikut.
Cara II
Langkah-langkah menggambar grafk ungsi linear dengan cara adalah sebagai berikut. titik p!t!ng terhadap sumbu x dengan syarat y $ 2, sehingga diper!leh k!!rdinat A ( x #, 2. ✔Tentukan
titik p!t!ng terhadap sumbu y dengan syarat x $ 2, sehingga diper!leh k!!rdinat B (2, y #. ✔Tentukan
✔"ubungkan
titik A dan B sehingga membentuk suatu garis lurus.
Contoh 2
#ambarkan grafik fungsi y $ x % &.
Penyelesaian: )iketahui fungsi y $ x % &. Titik p!t!ng sumbu x ( y $ 2 y $ x % &
2 $ x % & ⇔ x $ 2 3 & ⇔ x $ -& ∴ Titik p!t!ng sumbu x adalah (-&, 2. ⇔
Titik p!t!ng sumbu y ( x $ 2 y $ x % & ⇔ y $ 2 % & ⇔ y $ & ∴ Titik sumbu y adalah (2, &. #rafik fungsi y $ x % & adalah sebagai berikut.
Catatan:
untuk menggambar grafk ungsi linear dibutuhkan minimal $ titik. untuk menggambar grafk ungsi linear% kamu bebas memilih cara atau cara karena a"a"un cara yang digunakan% hasilnya akan sama.
$.-
Mode) Perograan Linier Me(ode Gra/i*
2etode !ra*i# hanya bisa di!una#an untu# menyelesai#an ermasalahan dimana hanya terdaat dua -ariabel #eutusan%
Fun!si tu&uan : men!arah#an analisa untu# mendete#si tu&uan erumusan masalah Fun!si #endala : untu# men!etahui sumber daya yan! tersedia dan ermintaan atas sumber daya tersebut
(an!#ah ? lan!#ah enyelesaian den!an metode !ra*i#: 1% .uatlah model matemati#a @ #endala % +entu#an *un!si sasaran ')% 3% 2enyelesai#an *un!si ertida#samaan : a% adi#an setia #endala men&adi bentu# ersamaan$ b% .uat !ra*i# untu# setia #endala dan #emudian tentu#an daerah enyelesaian atau EP$ "% Setelah !ra*i# dibuat$ #emudian tentu#an himunan enyelesaian 'EP)% Setelah itu$ #ita menentu#an titi# ? titi# terluar yan! terdaat didalam !ra*i# tersebut% d% Setelah titi# ? titi# terluar ditentu#an$ <&i titi# ? titi# terluarnya untu# menentu#an nilai ma#simumnya% $.-.&
2+ngsi T++an Ma*sia)isasi
2a#simisasi daat berua mema#simal#an #euntun!an atau hasil% Contoh: P+% +ati#u"ant memrodu#si ma"am rodu# yan! di#er&a#an se"ara manual% Setia unit rodu# I memerlu#an ,a#tu 0 menit ada roses dan menit ada roses 3$ sedan!#an setia unit rodu# II memerlu#an ,a#tu 15 menit ada roses 1$ 16 menit roses $ dan 30 menit roses 3% Produ# I memberi#an #euntun!an sebesar R%10@unit dan R%1G0@unit untu# rodu# II% am #er&a er hari yan! tersedia untu# roses 1$ $ dan roses 3 masin!masin! 1050 menit$ 1600 menit$ dan 00 menit% .eraa#ah ¨ah rodu# I dan II harus dirodu#si a!ar #euntun!an ma#simal 4
Pen3e)esaian : Persoalan tersebut daat ditabulasi#an seba!ai beri#ut:
Proses
Prod+* I Prod+* II Ka4asi(as 5eni(6
&
15
1050
$
0
16
1600
-
30
00
Ke+n(+ngan 10
1G0
Lang*ah & : 2or+)asi*an
Sehin!!a dari hasil *ormulasi didaat#an ersamaan beri#ut : 2a#simum#an : 8 10 =1 ; 1G0 = Den!an #endala : 15 = H 1050 0 =1 ; 16 = H 1600 =1 ; 30 = H 00 =1$ = 0
Lang*ah $ : #+a()ah gra/i*n3a
2a#sudnya$ #ita membuat titi# ada sumbu = 'dimana nilai J 8 0) dan di sumbu J 'dimana nilai = 8 0) #emudian men!hubun!#an titi# tersebut den!an !aris% Sehin!!a didaat#an ersamaan !aris lurus suatu #endala% i#a terdaat 3 #endala$ ma#a otomatis a#an terdaat 3 !aris &u!a% adi ersamaan yan! didaat adalah :
15 = = 8 0 0 =1 ; =1 8 0 ⇾ = 8 0 ⇾ =1 8 L0 K D'L0$0) =1 ; =1 8 0 ⇾ = 8 0 ⇾ =1 8 100 K E'100$0)
8 16 =
8 30
=
8
1050
= 100
8 K
=
8 K
L0
1600 F'0$100) 00 C'0$L0)
adi &i#a dinyata#an dalam !ra*i# adalah seba!ai beri#ut :
Setelah didaat#an !aris!arisnya$ untu# men!etahui daerah mana yan! diarsir dari suatu ersamaan daat dilihat dari tanda ersamaan$ seerti :
+anda H berarti ba!ian sebelah #iri dari ersamaan !aris yan! diarsir% +anda berarti ba!ian sebelah #anan dari ersamaan !aris yan! diarsir% +anda 8 berarti hanya ada ba!ian ersamaan !aris 'hanya !aris)
Daerah yan! memenuhi ersyaratan adalah daerah yan! terarsir oleh semua #endala yan! ada%
.edasar#an ersamaanersamaan #endala diatas$ daerah yan! bersamaan memenuhi #eti!a #endala ditun&u#an oleh area !ambar di atas yan! di arsir yaitu OA.D% .a!ian yan! diarsir dinama#an daerah *easible% .a!ian OA.D dinama#an daerah *easible #arena memenuhi solusi dari semua embatas yan! ada%
Lang*ah - : Ten(+*an o+(4+(n3a
A
:
+iti# 8 10 'L0) ; 1G0 '0) 8 13%600
D
:
+iti# 8 10 '1$5) ; 1G0 '0) 8 15%5
.
:
+iti# 8 10 '00@G) ; 1G0 '00@G) 8 16%000
:
Dari hasil en!u&ian daerah *easible$ ma#a yan! memberi#an nilai otimum adalah titi# % adi ma#sudnya ¨ah rodu# 1 '=1) yan! harus dibuat adalah 00@G dan ¨ah rodu# '=) yan! harus dibuat adalah 00@G a!ar rodu#si ma#simal den!an nilai outut sebesar 16%000
$.-.$
2+ngsi T++an Miniisasi
2inimisasi daat berua meminimum#an biaya rodu#si% Solusi otimal ter"aai ada saat !aris *un!si tu&uan menyin!!un! daerah *easible yan! terde#at den!an titi# ori!in% Contoh : Perusahaan ma#anan ROJA( meren"ana#an untu# membuat dua &enis ma#anan yaitu Royal .ee dan Royal elly% 9edua &enis ma#anan tersebut men!andun! -itamin dan rotein% Royal .ee alin! sedi#it dirodu#si unit dan Royal elly alin! sedi#it dirodu#si 1 unit% +abel beri#ut menun&u##an ¨ah -itamin dan rotein dalam setia &enis ma#anan:
enis 2a#anan
>itamin
Protein
.iaya er unit
'
'
' ribu ruiah )
Royal .ee
100
Royal elly
1
3
L0
2inimum 9ebutuhan
L
1
.a!aimana menentu#an #ombinasi #edua &enis ma#anan a!ar meminimum#an biaya rodu#si% Langkah – langkah: 1%
+entu#an -ariabel
=1 8 Royal .ee = 8 Royal elly
%
Fun!si tu&uan
min 8 100=1 ; L0= 3%
Fun!si #endala
1)
=1 ; = L '-itamin)
)
=1 ; 3= 1 'rotein)
3)
=1
'¨ah minimal yan! harus di rodu#si 8 unit)
)
= 1
'¨ah minimal yan! harus di rodu#si 8 1 unit)
1%
2embuat !ra*i#
1)
=1 ; = 8 L
=1 8 0$ = 8 L = 8 0$ =1 8 aris isoquant titi# '$L) )
=1 ; 3= 8 1
=1 8 0$ = 8 = 8 0$ =1 8 6 aris isoquant titi# '6$) 3)
=1 8
)
= 8 1
Solusi otimal ter"aai ada titi# . 'terde#at den!an titi# ori!in)$ yaitu ersilan!an !aris #endala '1) dan ')% =1 ; =
8L
=1 ; 3=
8 1
NNNNNNNNNNNNNNNN N =
8
=
8
masu##an = #e #endala '1) =1 ; =
8L
=1 ;
8L
=1
8L?86
=1
83
masu##an nilai =1 dan = #e min
8 100=1 ; L0=
8 100'3) ; L0') 8 300 ; 160 8 60 Kesimpulan :
$.7
0on(oh soa) Dan Pe1ahasan
1% P+ (A
enis .ahan .a#u dan +ena!a 9! .ahan .a#u am 9er&a
2a#simum Penyediaan
+ena!a 9er&a
.enan! Sutra
3
60 9!
.enan! Qol
30 9!
+ena!a 9er&a
1
0 9!
(an!#ahlan!#ah: 1) +entu#an -ariabel =18#ain sutera =8#ain ,ol ) Fun!si tu&uan ma78 0=1 ; 30= 3) Fun!si #endala @ batasan 1% =1 ; 3= 60 'benan! sutera) % = 30 'benan! ,ol) 3% =1 ; = 0 'tena!a #er&a) ) 2embuat !ra*i# 1% =1 ; 3 = 860 =180$ = 860@3 8 0 =80$ =18 60@ 8 30 % = 30
=815 3% =1 ; = 0 =180$ = 8 0 =80$ =18 0@ 8 0
ara mendaat#an solusi otimal: 1% Den!an men"ari nilai setia titi# e#strim% Ti(i* A
=180$ =80 masu##an nilai =1 dan = #e 8 0 % 0 ; 30 % 0 8 0 Ti(i* #
=180$ =80 masu##an nilai =1 dan = #e 8 0 % 0 ; 30 % 0 8 L00 Ti(i* 0
2en"ari titi# oton! '1) dan '3) =1 ; 3= 8 60 =1 ; = 8 0
=80 =810 2asu##an = #e #endala '1) =1 ; 3= 8 60 =1 ; 3 % 10 8 60 =1 ; 30 8 60 =1 8 30 =1 8 15 masu##an nilai =1 dan = #e 8 0=1 ; 30= 8 0 % 15 ; 30 % 10 8 600 ; 300 8 G00 'otimal) Ti(i* D
= 8 30 = 8 15 masu##an = #e #endala '1) =1 ; 3 % 15 8 60 =1 ; 5 8 60 =1 8 15 =1 8 $5 masu##an nilai =1 dan = #e 8 0 % $5 ; 30 % 15 8 300 ; 50 8 50 Ti(i* E
= 8 15 =1 8 0
masu##an nilai =1 dan = #e 8 0 % 0 ; 30 %15 8 50 9esimulan : untu# memeroleh #euntun!an otimal$ ma#a =1 8 15 dan = 8 10 den!an #euntun!an sebesar R G00 &uta% % Perusahaan ma#anan ROJA( meren"ana#an untu# membuat dua &enis ma#anan yaitu Royal .ee dan Royal elly% 9edua &enis ma#anan tersebut men!andun! -itamin dan rotein% Royal .ee alin! sedi#it dirodu#si unit dan Royal elly alin! sedi#it dirodu#si 1 unit% +abel beri#ut menun&u##an ¨ah -itamin dan rotein dalam setia &enis ma#anan:
enis 2a#anan
>itamin
Protein
.iaya er unit
'
'
' ribu ruiah )
Royal .ee
100
Royal elly
1
3
L0
2inimum 9ebutuhan
L
1
.a!aimana menentu#an #ombinasi #edua &enis ma#anan a!ar meminimum#an biaya rodu#si% (an!#ah ? lan!#ah: 1% +entu#an -ariabel =1 8 Royal .ee = 8 Royal elly
% Fun!si tu&uan min 8 100=1 ; L0= 3% Fun!si #endala 1) =1 ; = L '-itamin) ) =1 ; 3= 1 'rotein) 3) =1 ) = 1 % 2embuat !ra*i# 1) =1 ; = 8 L =1 8 0$ = 8 L = 8 0$ =1 8 ) =1 ; 3= 8 1 =1 8 0$ = 8 = 8 0$ =1 8 6 3) =1 8 ) = 8 1
Solusi otimal ter"aai ada titi# . 'terde#at den!an titi# ori!in)$ yaitu ersilan!an !aris #endala '1) dan ')% =1 ; = 8 L =1 ; 3= 8 1 = 8 = 8 masu##an = #e #endala '1) =1 ; = 8 L =1 ; 8 L =1 8 6 =1 8 3 masu##an nilai =1 dan = #e min 8 100=1 ; L0= 8 100 % 3 ; L0 % 8 300 ; 160 8 60 9esimulan :
+iti# 2en"ari titi# oton! '1) dan '3) =1 ; 3= 8 60 =1 ; = 8 0 =80 =810 2asu##an = #e #endala '1) =1 ; 3= 8 60 =1 ; 3 % 10 8 60 =1 ; 30 8 60 =1 8 30 =1 8 15 masu##an nilai =1 dan = #e 0=1 ; 30= 8 0 % 15 ; 30 % 10 8 600 ; 300 8 G00
#A# III PENUTUP -.&
Kesi4+)an
Pemro!raman linear adalah sebuah alat deterministi#$ yan! berarti bah,a semua arameter model diasumsi#an di#etahui den!an asti% A#an +etai$ dalam #ehiduan nyata$ &aran! seseoran! men!hadai masalah di mana terdaat #eastian yan! sesun!!uhnya% +e#ni# P( men!#omonsasi /#e#uran!an ini den!an memberi#an analisis as"aotimum dn analisi arametri# yan! sistematis untu# memun!#in#an en!ambilan #eutusan yan! bersan!#utan untu# men!u&i sensi-itas eme"ahan otimum yan! /statis terhada erubahan dis#rit atau #ontinyu dalam berba!ai arameter dari model tersebut% Pada intinya$ te#ni# tambahan ini memberi#an dimensi dinamis ada si*at eme"ahan P( yan! otimum% 9eberhasilan sebuah te#ni# OR ada a#hirnya diu#ur berdasar#an enyebaran en!!unaannya seba!ai sebuah alat en!ambilan #eutusan% Jan! termasu# dalam #omonen model ro!ram linear adalah -ariable #eutusan$ *un!si tu&uan$ dan batasan model% Pro!ram linier bisa di selesai#an men!!una#an metode !ra*i# untu# menentu#an ersoalan ma#simum mauun minimum% -.$
Saran
Penulis menyadari bah,asanya ma#alah ini masih terdaat banya# #e#uran!annya% Oleh #arena itu$ #riti# dan saran yan! memban!un san!at dierlu#an untu# menyemurna#an ma#alah ini a!ar lebih bai# la!i% Semo!a ma#alah ini daat memberi#an en!etahuan dan ,a,asan mendalam ba!i enulis #hususnya dan ba!i emba"a umumnya
DA2TAR PUSTAKA
.u#u Riset Oerasi Cdisi 9elima ilid 1 Eamdy A +aha 1Eer&anto$ Cddy$ 00L$ 2ana&emen Oerasi Cdisi 9eti!a$ a#arta: rasindo% Sirin!orin!o$ Eotniar% Seri +e#ni# Riset Oerasional% Pemro!raman (inear% Penerbit raha Ilmu% Jo!ya#arta% 005 Sutrisno% 00L% 2ana&emen 9euan!an +eori$ 9onse dan Ali#asi% Jo!ya#arta : C9OBISIA%
