PROGRAM LINIER
Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. Metode Pemrograman linier pertama kali ditemukan oleh ahli statistika Amerika Serikat yang bernama Prof. George Dantzig (Father of the Linear Programming).
a. Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
b. Pembentukan model matematik
Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan ( atau ). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.
Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sumber daya yang membatasi :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = / / b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = / / b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = / / bm
x1, x2, …, xn 0
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bmmenunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
Lambang matematika dalam kalimat bahasa indonesia:
Lambang
Kalimat
=
sama dengan
tidak sama dengan
>
lebih dari
<
kurang dari
minimal
minimum
lebih dari dan sama dengan
tidak kurang dari
sekurang-kurangnya
sedikitnya
paling sedikit
... dan ke atas
maksimal
maksimum
kurang dari dan sama dengan
tidak lebih dari
selebih-lebihnya
banyaknya
paling banyak
... dan ke bawah
x
antara x dan z
x y z
tidak antara x dan z
x
antara x dan tidak z
x y
antara tidak x dan z
Tahapan dalam penyelesaian optimasi dari Linear programming ini adalah sebagai berikut :
Menentukan decision of variables
Membuat objective function
Memformulasikan constraints
Menggambarkan dalam bentuk grafik
Menentukan daerah kemungkinan/ "feasible"
Menentukan solusi optimum.
Dua jenis pendekatan yang sering digunakan dalam metode pemrograman linier ini, yaitu:
Metode Grafik
Digunakan untuk menyelesaikan optimasi dengan maksimum 2 variabel.
Untuk variabel lebih dari 2, penyelesaiannya menggunakan metode kedua.
Metode Simpleks
Digunakan untuk proses dengan jumlah variabel lebih dari 2.
Tahapan dalam metode simpleks ini lebih kompleks dibandingkan dengan metode grafik.
PROGRAM LINIER DENGAN METODE GRAFIK
Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :
pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi
identifikasikan tujuan dan kendalanya
definisikan variabel keputusannya
Metode grafik adalah satu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi dalam programasi linier. Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa digunakan terbatas (hanya dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit dilakukan.
Dua macam fungsi Program Linear:
Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.
METODE GRAFIK
Setelah dapat membuat Model Matematika (merumuskan) persoalan Program Linier, maka untuk menentukan penyelesaian Persoalan Program Linier dapat menggunakan 2 metode, yaitu: Metode Grafik dan Metode Simpleks.
Catatan : Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber "dimensi" : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam "menyampaikan" sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).
FUNGSI TUJUAN MAKSIMISASI
A. FORMULASI PERMASALAHAN
Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :
1. Indentifikasi variabel keputusan
2. Indentifikasi fungsi obyektif
3. Identifikasi kendala-kendala
4. Menggambarkan bentuk grafik dari semua kendala
5. Indentifikasi daerah solusi yang layak pada grafik
6. Menggambarkan bentuk grafik dari fungsi obyektif dan menentukan titik yang memberikan nilai obyektif optimal pada daerah solusi yang layak.
7. Mengartikan solusi yang diperoleh
Contoh Soal :
"PT. Rakyat Bersatu" menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan "PT. Rakyat Bersatu" sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ?
* Tabel 1
Jawab:
1. Langkah Pertama (Identifikasi Variabel Keputusan)
Misalkan: produk I = X1
produk II =X2
2. Langkah Kedua (Identifikasi Fungsi Obyektif/Tujuan)
Max Z = 3000 X1 + 3000 X2
3. Langkah Ketiga (Identifikasi Kendala-Kendala) *Lihat tabel 1.
2X1 + X2 30 ...........i)
2X1 + 3X2 60 ..........ii)
4X1 + 3X2 72 .........iii)
X1 0; X2 0 (Syarat Non Negatif)
4. Langkah Keempat (Menggambarkan Bentuk Grafik)
a) Untuk persamaan 2X1 + X2 = 30 ….. (i)
à 2X1 + X2 = 30
X2 = 0, X1 = 15
X1 = 0, X2 = 30
\ didapat titik potong = (15 , 30)
b) Untuk persamaan 2X1 + 3X2 = 60 ....(ii)
à2X1 + 3X2 = 60
X2 = 0, X1 = 30
X1 = 0, X2 = 20
\ didapat titik potong = (30 , 20)
c) Untuk persamaaan 4X1 + 3X2 = 72 ....(iii)
à4X1 + 3X2 = 72
X2 = 0, X1 = 18
X1 = 0, X2 = 24
\didapat titik potong = (18 , 24)
*Lihat grafik 1.
5. Langkah Kelima (Identifikasi Daerah Solusi yang Layak)
Titik-titik yang layak memenuhi semua keterbatasan sumber daya tersebut berada di daerah bergaris pada Gambar grafik tersebut. Daerah yang layak ini dikelilingi oleh titik-titik pojok (titik ekstrim) 0, A, B, C, D.
6. Langkah Keenam (Menentukan Titik Yang Memberikan Nilai Obyektif Optimal Pada Daerah Solusi Yang Layak)
Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik-titikO(0,0), A(15,0), D(0,20), titik B yaitu titik potong antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72 , dan titik Cadalah titik potong antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72.
n Titik B perpotongan antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X1, dapat dihitung :
2X1 + X2 = 30 "*2 4X1 + 2X2 = 60 ........i)
4X1 + X2 = 72 "*1 4X1 + 3X2 = 72 ….....iii)
__________________ -
- X2 = - 12 à X2 = 12
à X1 = 9 maka titik B adalah (9,12)
n Titik C perpotongan antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung :
2X1 + 3X2 = 60 ............i)
4X1 + 3X2 = 72 ............iii)
____________________ -
- 2X1 = - 12 à X1 = 6
à X2 = 16 maka titik C adalah (6,16)
Jadi titik-titik sudutnya adalah : O(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20).
Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 X1 + 3000 X2) di setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala, sehingga:
n Titik O (0,0) à Z (0,0) = 3000.(0) + 3000.(0) = 0,
n Titik A (15,0) à Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.(0) = 45.000
n Titik B (9,12) à Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000
n Titik C (6,16) à Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000
n Titik D (0,20) à Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000
7. Langkah Ketujuh (Mengartikan Solusi yang diperoleh)
Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah :
n Terletak pada titik C(6,16)
n Dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00
Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka Pimpinan "PT. Rakyat Bersatu" harus memproduksi :
n Produk I sebanyak 6 unit dan
n Produk II sebanyak 16 unit
sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00
FUNGSI TUJUAN MINIMISASI
Permasalahan minimisasi dapat juga diselesaikan secara grafik. Langkah-langkah penyelesaian permasalahan sama dengan penyelesaian permasalahan untuk fungsi tujuan maksimisasi yaitu: formulasi permasalahan, menentukan area layak, serta menentukan solusi optimal. Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi.
Contoh soal:
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:
*Tabel 2
Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah – langkah:
1. Langkah Pertama (Menentukan Variabel)
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2. Langkah Kedua (Menentukan Fungsi Tujuan)
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Syarat Ikatan (Menentukan Fungsi Kendala) :
à 2X1 + X2 8 (vitamin)
è 2X1 + 3X2 12 (protein)
è X1 2 *Lihat tabel 2
è X2 1
4. Langkah Keempat (Membuat grafik)
à2X1 + X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
à2X1 + 3X2 = 12 * Lihat grafik 2
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
àX1 = 2
àX2 = 1
5. Langkah Kelima (Identifikasi Daerah Solusi yang Layak)
Titik-titik yang layak memenuhi semua keterbatasan sumber daya tersebut berada di daerah bergaris pada Gambar grafik tersebut. Daerah yang layak ini dikelilingi oleh titik-titik A, B, C.
6. Langkah Keenam (Menentukan Titik Yang Memberikan Nilai Obyektif Optimal Pada Daerrah Solusi Layak)
· Titik A yaitu titik potong antara X2 = 1dengan garis 2X1 + 3X2 = 12, untuk mencari nilai X1 dengan menggunakan metode Substitusi sebagai berikut :
2X1 + 3X2 = 12
2X1 + 3(1) = 12
2X1= 9
X1 = 4.5
TITIK A = (4.5 , 1)
· Titik B yaitu titik potong antara garis 2X1 + X2 = 8 dan garis 2X1 + 3X2 = 12, Adapun cara menghitung titik B dengan menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi sebagai berikut:
2X1 + X2 = 8........i)
2X1 + 3X2 = 12 ….....ii)
__________________ -
-2X2 = -4 « X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 « X1 = 3
TITIK B = (3 , 2)
· Titik C yaitu titik potong antara X1 = 2dengan garis 2X1 + X2 = 8, untuk mencari nilai X1 dengan menggunakan metode Substitusi sebagai berikut :
2X1 + X2 = 8
2(2) + X2 = 8
X2 = 4
TITIK C = (2 , 4)
Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran
(Z min = 100X1 + 80X2 ) , sehingga:
· Titik A (4.5 , 1) :
Z min = 100X1 + 80X2
= 100 . 4,5 + 80 . 1
= 450 + 80 = 530
· Titik B (3 , 2):
Z min = 100X1 + 80X2
= 100 . 3 + 80 . 2
= 300 + 160 = 460
· Titik C (2 , 4):
Z min = 100X1 + 80X2
= 100 . 2 + 80 . 4
= 200 + 320 = 520
7. Langkah Ketujuh (Mengartikan Solusi yang diperoleh)
Fungsi Tujuan adalah mencari nilai minimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah :
n Terletak pada titik B (3 , 2)
n Dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 460.000
Sehingga untuk meminimumkan biaya produksi maka Perusahaan Makanan Royal memproduksi:
n Royal Bee sebanyak 3 unit dan
n Royal Jelly sebanyak 2 unit Dengan biaya sebesar Rp.460.000
GRAFIK 1
GRAFIK 2
Kesimpulan :
Metode grafik merupakan salah satu teknik dalam linear programming yang dalam hal ini membantu perusahaan dalam pengambilan keputusan untuk memperoleh keuntungan maksimum atau minimum kerugian yang mungkin terjadi melalui grafik pada sistem koordinat (bidang cartesius).
