Modul Program Linier

MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 2012 TAHUN AJARAN 2011/2012

MATERI PROGRAM LINIER UNTUK KALANGAN MA AL-MU’AWANAH

MADRASAH ALIYAH AL-MU’AWANAH BEKASI SELATAN 2012

Jalan RH. Umar Kp. Ceger Rt. 002/018 No. 61 Jakasetia Bekasi Selatan 17147 Website: http://www.ma-almuawanah.sch.id Telp. (021) 82416835

BAB XVII. PROGRAM LINEAR Pengertian Program Linear :

x

Bukti :

+

b

y − y1 y 2

− y1

=

Daerah Penyelesaian:.

Dalam penyelesaian persoalan program linear adalah pemahaman dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear yaitu penentuan daerah himpunan penyelesaian dari suatu system pertidaksamaan linear. Yang perlu diingat dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear ini yaitu mengenai persamaan garis.

y − 0 a−0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

1. Persamaan garis melalui suatu titik (x 1 , y 1 ) dengan gradien m adalah: (y - y 1 ) = m (x - x 1 )

(x 1 , y 1 )

2. Persamaan garis melalui titik (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ) adalah:

− y1

x − x1 x 2

⇔

ax + by = a.b

x − x1 x 2

− x1

⇔

y

=

=





(x 1 , y 1 )

(x 2 , y 2 )

x − b

0−b x − b

−b a - by = a(x-b)

- by = ax – ab ab = ax + by ax + by = ab  terbukti

4. Dua gradien sama apabila dua garis saling sejajar.

•

p

y 2

=1

Persamaan garis melalui (b,0) dan (0, a)

=

a

Gunakan persamaan 2 di atas :

Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan suatu tujuan) yang dapat digunakan untuk mencari keuntungan maksimum seperti dalam bidang perdagangan, penjualan dsb

y − y1

y

m1 = m 2 h1 h2

•

− x1

(x 2 , y 2 )

•

(x 1 , y 1 )

5. Hasil perkalian dua gradien adalah – 1 apabila dua garis saling tegak lurus m 1 . m 2 = -1

p 3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x (y=0) di titik (b,0) dan memotong sumbu y (x=0) di titik (0, a) adalah: x y + = 1 ⇔ ax + by = a.b b a

h1

y (0,a)

h2

ax + by = a.b

(b,0)

x www.belajar-matematika.com - 1

Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear:

Contoh: Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini :

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan menggunakan metoda grafik dan uji titik.

Langkah-langkahnya ( ax + by

≥

c) yaitu :

1. Gambar garis ax + by = c 2. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang (x,y) yang terletak di luar garis ax + by= c, kemudian substitusikan substitusika n ke dalam persamaan ax + by ≥ c. a. Jika benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah

Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear:

Contoh: Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini :

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan menggunakan metoda grafik dan uji titik.

Langkah-langkahnya ( ax + by

persamaan garis h1 (gunakan rumus +

x b

+

y a

=1 )

y

= 1 |x 6| 3 2 persamaan garis h1 ⇒ 2x + 3y = 6

Tanpa melakukan uji titik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat dilihat dari gambar berikut dimana garis membagi bidang menjadi 2 bagian : untuk a >0 dan b>0 y

3y = -2x + 6 2 y=- x+6 3

ax + by

≤

3

maka m 2 =

x (b,0) ax + by =c

3 2

untuk a > 0 dan b <0

melalui (1,0)

y

(y - y 1 ) = m 2 (x - x 1 ) y–0= y =

3 2

ab

ab

persamaan garis h2 : h1 ⊥ h2 sehingga m 1 . m 2 = -1 m1 = -

≥

(0,a) ax + by

2

c) yaitu :

1. Gambar garis ax + by = c 2. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang (x,y) yang terletak di luar garis ax + by= c, kemudian substitusikan substitusika n ke dalam persamaan ax + by ≥ c. a. Jika benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c b. Jika salah, titik tersebut bukan himpunan penyelesaiannya

garis h1 melalui (3,0) dan (0,2) ; garis h1 ⊥ h2 dan melalui (1,0).

x

≥

(x–1)

ax - by

≤

-ab

(0,a)

3

(x–1) 2 2y = 3x – 3

ax - by

≥

-ab

x (-b,0)

persamaan garis h2 adalah 3x-2y = 3

www.belajar-matematika.com - 2

Untuk a < 0 dan b > 0 -ax + by

≥

x=2 titik potong dengan sb y jika x = 0  2y = 8 y= 4 didapat koordinat (2,0) dan (0,4)

-ab (b,0) x

4 (0,-a)

-ax + by ≤ -ab

4x+2y=8 2

titik potong 2x+3y=6

y Untuk a < 0 dan b <0

2

3

Untuk a < 0 dan b > 0 -ax + by

≥

x=2 titik potong dengan sb y jika x = 0  2y = 8 y= 4 didapat koordinat (2,0) dan (0,4)

-ab (b,0) x

4 (0,-a)

-ax + by ≤ -ab

4x+2y=8 2

titik potong 2x+3y=6

y Untuk a < 0 dan b <0

2 -ax – by

x

≤

3

ab

(-b,0)

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian, ujilah titik (0,0). Titik(0,0) memenuhi pertidaksamaan 2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, maka (0,0) merupakan anggota himpunan penyelesaian. (0,-a)

-ax – by

≥

Daerah yang diarsir menunjukkan himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan linear.

ab y

Contoh: Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan : 2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y untuk x dan y ∈ R

≤8

;x

≥0

Tambahan: Titik potong dua persamaan adalah: Substitusikan persamaan 1 dan 2 : 2x + 3y 3y = 6 | x 4 | ⇒ 8x + 12y = 24 4x + 2y 2y = 8 | x 2 | ⇒ 8x + 4y = 16 8y=8 y=1

-

; y≥0 2x + 3y = 6 2x + 3. 1 = 6 1 x=1 2 1 titik potongnya adalah (1 , 1 ) 2

jawab:

Langkah 1: gambar persamaan 2x +3y ≤ 6 Buat garis 2x +3 y = 6 titik potong dengan sb x jika y=0  2x = 6 x=3 titik potong dengan sb y jika x = 0  3y = 6 y=2

Nilai Optimum (Maksimum dan Minimum) dalam daerah penyelesaian Untuk menentukan nilai optimum dalam daerah penyelesaian, dapat ditentukan dengan menggunakan metode titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik.

didapat koordinat (3,0) dan (0,2) Langkah 2 : gambar persamaan 4x +2y ≤ 8 Buat garis 4x +2y = 8 titik potong dengan sb x jika y=0  4x = 8

Contoh: Jika diketahui system pertidaksamaan 2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 untuk x dan y ∈ R, Tentukan nilai optimum untuk A = x +3y dan B= 2x+5y dimana x,y ∈ R


Model Matematika

Jawab: Model matematika adalah penerjemahan dari situasi yang disajikan dalam bahasa sehari-hari menjadi bahasa matematika (pertidaksamaan linear)

y

Contoh: Q (0,2)

P= (1

1 2

2

,1) x

O

R(2,0) (3,0)

Tempat parkir di suatu gedung mempunyai luas 800m , untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas 10m 2 dan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempat seluas 20m 2 . Tempat parkir tersebut maksimal hanya dapat menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos

Model Matematika

Jawab: Model matematika adalah penerjemahan dari situasi yang disajikan dalam bahasa sehari-hari menjadi bahasa matematika (pertidaksamaan linear)

y

Contoh: Q (0,2)

P= (1

1

2

Tempat parkir di suatu gedung mempunyai luas 800m , untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas 10m 2 dan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempat seluas 20m 2 . Tempat parkir tersebut maksimal hanya dapat menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos parkir untuk mobil adalah Rp.2000,- dan untuk bus/truk Rp.4000,- berapa ongkos maksimal parkir yang didapat ?.

,1)

2

x O

R(2,0) (3,0)

titik P merupakan titik potong garis

2x + 3y 3y = 6 | x 4 | 4x + 2y 2y = 8 | x 2 |

⇒ ⇒

8x + 12y = 24 8x + 4y = 16 8y=8 y=1

-

Jawab: langkah 1 : buat model matematika dalam bentuk table

2x + 3y = 6 2x + 3. 1 = 6 1 x=1 2 titik potongnya adalah titik P (1

1 2

Jenis Mobil Bus Tersedia

,1)

Luas 10 20 800

Banyak X Y 50

Diperoleh model matematika:

Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan. Titik-titik 1 ekstrimnya adalah P( 1 ,1), Q(0,2), R(2,0) dan 2 O(0,0).

10x + 20y ≤ 800 x+y ≤ 50 x ≥ 0 y ≥ 0

⇔

x + 2y

≤

80

fungsi tujuannya adalah f(x,y)=2000x + 5000 y dengan syaratsyarat di atas.

Tabel.

Langkah 2: menggambar daerah penyelesaian

Titik

O 0

X Y A=x+3y

0 0

B=2x+5y

1

4

0

P 1 2 1

1

Q 0

R 2

2 6

0 2

Daerah 1  x + 2 y = 80 X Y Titik

2 8

10

0 50 (0,50)

50 0 (50,0)

4 X Y Titik


Titik potong garis x + 2 y = 80 dan x + y = 50 x + 2 y = 80 x + y = 50 y = 30 x + y = 50 x = 50 – 30 = 20 titik potongnya (30,20)

(0,40)

80 0 80,0)

daerah 2  x + y = 50

dari tabel dapat disimpulkan bahwa : nilai maksimum dari A adalah 6 , minimum adalah 0 nilai maksimum dari B adalah 10, minimum adalah 0

(0,50)

0 40 (0,40)

titik potong (20,30)

Titik potong garis x + 2 y = 80 dan x + y = 50 x + 2 y = 80 x + y = 50 y = 30 x + y = 50 x = 50 – 30 = 20 titik potongnya (30,20)

(0,50)

titik potong (20,30)

(0,40)

(0,0) (50,0) (80,0) Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaianya peny elesaianya

Langkah 3 : Menentukan nilai optimum fungsi tujuannya Dengan menggunakan metoda titik-titk sudut : Terdapat 4 titik sudut yaitu (0,0), (50,0), (20,30) dan (0,40) Titik X Y 2000x+4000y

(0,0)

(50,0)

(20,30)

(0,40)

0 0 0

50 0 100.000

20 30 160.000

0 40 160.000

Jadi ongkos maksimal yang didapat adalah Rp.160.000 dengan jumlah parkir untuk mobil sebanyak 20 mobil dan untuk bus/truk sebanyak 30 bus/truk catatan: nilai untuk titik (0,40) jumlahnya sama dengan untuk (20,30) tetapi tidak mungkin satu lahan parkir hanya digunakan untuk bus/truk saja sehingga nilai tersebut diabaikan.


KUMPULAN SOAL UN MATEMATIKA

2012

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL (UN) TAHUN 2012 MADRASAH ALIYAH (MA) AL-MU’AWANAH KELAS XII PROGRAM IPS No 2

Standar Kompetensi Lulusan Memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, persamaan dan

Indikator 2.7 Menentukan penyelesaian dari system persamaan linear dua variable 2.8 Menentukan nilai optimum fungsi obyektif


2012

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL (UN) TAHUN 2012 MADRASAH ALIYAH (MA) AL-MU’AWANAH KELAS XII PROGRAM IPS No 2

No 1

Standar Kompetensi Lulusan Memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, system persamaan linear, program linier, matriks, barisan dan deret, serta menggunakanny dalam pemecahan masalah

Indikator 2.7 Menentukan penyelesaian dari system persamaan linear dua variable 2.8 Menentukan nilai optimum fungsi obyektif dari daerah himpunan penyelesaian system persamaan kuadrat 2.9 Merancang atau menyelesaikan model matematika dari masalah program linear

Soal

Penyelesaiannya Penyelesaiannya

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear:

2 x + 3 y = 2  4 x − 3 y =1 adalah {(x0,y0)}. Nilai 2x 0 + 3y0 = .... A. -1 B. 1

C. 2 13 8 D. 2 15

2

3

E. 5 Ana membayar Rp 115.000,00 untuk membeli 3 kue dan 7 permen. Adit membeli 2 kue dan 3 permen dengan harga Rp 60.000,00. Jika Bayu membeli 6 kue dan 2 permen kemudian dia membayar dengan 2 lembar uang ratusan ribu maka uang kembali yang harus diterima sebesar ..... A. Rp 80.000,00 B. Rp 90.000,00 C. Rp 100.000,00 D. Rp 110.000,00 E. Rp 120.000,00 Himpunan pemyelesaian sistem pertidaksamaan 7x + 2y ≥ 14; 4x + 3y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 pada gambar di bawah terdapat pada daerah.... y

7 II

4

I

V IV III

2 A. I B. C. D. E.

x

3

II III IV V

SKL2|KI 2.5-2.6

Madrasah Aliyah Al-Mu’awanah |1


No 4

Soal

2012


Perhatikan gambar di bawah ini ! y 3

2

3

4

x

Nilai maksimum dari fungsi f ( x , y ) = 4 x + y

5

adalah … . A. – 2 B. 0 C. 7 D. 9 E. 12 Pak Aji mempunyai usaha membuat pakaian jadi. Untuk membuat pakaian jenis I dibutuhkan 2 m bahan satin dan 5 m bahan tile. Sedang untuk membuat jenis II dibutuhkan 3m bahan satin dan 2 m bahan tile. Bahan satin yang tersedia hanya 6 m dan bahan tile 10 m. Model matematikanya adalah … . A. 2 x + 3 y ≤ 6;5 x + 2 y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0

2 x + 3 y ≥ 6;5 x + 2 y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 C. 2 x + 3 y ≤ 6;5 x + 2 y ≥ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 D. 2 x + 3 y ≤ 6;5 x + 2 y < 10; x ≥ 0; y ≥ 0 E. 2 x + 3 y ≥ 6;5 x + 2 y ≥ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 B

6

Penyelesaian dari system persamaan linear

{ x x+−2yy ==14 adalah x

1

A. B. C. D. E.

dan y1. Nilai x1 + y1 = ….

3 1 – 1 – 3 – 5

SKL2|KI 2.5-2.6



No 11

12

13

14

Soal

2012


3 x − 2 y = 2 Jika  , maka x + 2y = .....  − x + y = 0 A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 E. 2 Seorang pedagang rokok memiliki modal sebesar Rp1.200.000,00 akan membeli 2 rokok untuk dijual kembali. Tempat rokok hanya memuat 200 bungkus rokok. Sedangkan harga rokok jenis 1 dan jenis II perbungkus adalah Rp4.000,00 dan Rp6.000,00. Keuntungan tiap bungkus rokok jenis I dan II masing-masing Rp1.500,00 dan Rp1.200,00. Kendala dari masalah program linear di atas adalah .... A. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 200 ; 2x + 3y ≤ 600 B. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 200 ; 2x + 3y ≥ 600 C. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 200 ; 3x + 2y ≥ 600 D. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 200 ; 3x + 2y ≤ 600 E. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≥ 200 ; 2x + 3y ≤ 600 Lina membeli 4 roti dan donat 3, ia harus membayar Rp12.000,00. Popi membeli 2 roti dan 4 donat, ia harus membayar Rp9.000,00. Jika Sishi membeli sebuah roti dan sebuah donat, ia harus membayar sebesar .... A. Rp2.900,00 B. Rp3.200,00 C. Rp3.300,00 D. Rp5.500,00 E. Rp4.400,00 Nilai maksimum fungsi objektif: 4x + y dari grafik penyelesaian berikut adalah ... y 12

6 x 6

0

A. B. C. D. E.

12

4 8 12 20 24

SKL2|KI 2.5-2.6



No 15

16

17

Soal

2012


Pak Toni membeli 2 potong baju anak-anak dan 3 potong baju dewasa, ia harus membayar Rp 260.000,00. Ibu Doni membeli 5 potong baju anak-anak dan 2 potong baju dewasa, ia harus membayar Rp 320.000,00. Jika Pak Toni membeli 1 potong baju anak-anak dan 1 potong baju dewasa, maka ia harus membayar .... A. Rp 100.000,00 B. Rp 110.000,00 C. Rp 120.000,00 D. Rp 140.000,00 E. Rp 160.000,00 Himpunan penyelesaian dari sistem 2 x + y + z = 0 persamaan :  x+ 2 y+ z = 5 , maka nilai x – 3 x + y + z = −2 y = .... A. – 5 B. – 4 C. 2 D. 5 E. 7 Diberikan sistem pertidaksamaan 2 x+ y ≥ 4; 3 x + 4 y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 , maka nilai minimum untuk f(x, y) = 15x + 10y adalah …. A. 12 B. 24 C. 36 D. 40 E. 44

18

Harga 2 buku gambar dan 1 buku tulis adalah Rp 2.700,00. dan harga 2 buku b uku gambar dan 3 buku tulis adalah Rp 4.100,00. Jika Pak Salim membeli 1 buku gambar dan 1 buku tulis, maka ia harus membayar sebesar .... A. Rp 1.700,00 B. Rp 1.800,00 C. Rp 1.900,00 D. Rp 2.400,00 E. Rp 3.400,00

19

Jika x0, y0 dan z0 adalah penyelesaian dari  x+ 2 y+ 3 z = 12 sistem persamaan : 2 x+ 3 y+ 5 z = 21 , maka x+ y + z = 5  nilai y0 – z0 = … A. 3 B. 2 C. – 3 D. – 2 E. – 1 Nilai minimum dari f(x, y) = 2x + 6y untuk pertidaksamaan berikut 5 x+ 3 y ≥ 15; 2 x + 3 y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah

20

.... A. B. C. D. E.

6 8 12 24 30

SKL2|KI 2.5-2.6



No 21

22

Soal

2012


Seorang siswa SMA mencoba berdagang Roti dan Donat. Roti dibeli dengan harga Rp 2000,00 per buah dan dijual dengan harga Rp 2500,00 per buah. Donat dibeli dengan harga Rp 1500,00 per buah dan dijual dengan harga Rp 1800,00 per buah. Siswa tersebut mempunyai modal Rp 850.000,00. Jika tokonya hanya dapat menampung roti dan donat sebanyak 500 buah, maka keuntungan maksimum yang didapat siswa tersebut adalah … A. Rp 150.000.,00 B. Rp 172.000.,00 C. Rp 190.000.,00 D. Rp 210.000.,00 E. Rp 212.000.,00 Nilai maksimum maksimum fungsi maksimum pada grafik di bawah adalah ... 6 2 3

23

24

5

A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 E. 20 Tempat parkir seluas 100 m2 hanya mampu menampung 18 mobil besar dan mobil kecil, tiap mobil besar membutuhkan 10 m2 dan mobil kecil membutuhkan 5 m2. biaya parkir tiap mobil Rp . 2 000 dan mobil kecil Rp 1 500. Jika parkir penuh, penghasilan maksimum petugas parkir tersebut adalah .... A. Rp 18 000 B. Rp 20 000 C. Rp 28 000 D. Rp 38 000 E. Rp 40 000 Nilai maksimum

2

f ( x) = x − 4 x pada interval

0 ≤ x ≤ 6 adalah …

25

A. – 4 B. – 2 C. 0 D. 12 E. 24 Harga 4 unit komputer dan 3 unit LCD adalah 55.000.000,-. Harga 3 unit komputer dan 2 unit LCD adalah Rp 38.250.000,-. Harga 1 unit komputer adalah .... A. Rp 4.500.000,B. Rp 4.750.000,C. Rp 5.000.000,D. Rp 5.250.000,E. Rp 5.500.000,-

SKL2|KI 2.5-2.6



No 26

27

Soal

2012


Nilai maksimum fungsi obyektiif 3x + 2y pada himpunn penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y ≤ 5, 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, adalah ... A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 E. 18 Daerah yang dairsir pada gambar disamping merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan y

4

2 x 1 A. B. C. D. E.

x x x x x

≥ ≥ ≥ ≥ ≥

0, 0, 0, 0, 0,

y y y y y

SKL2|KI 2.5-2.6

≥ ≥ ≥ ≥ ≥

0, 0, 0, 0, 0,

2 4x 4x 4x 4x 4x

+ + + + +

y y y y y

≤ ≥ ≤ ≥ <

4 4 4 4 4

; ; ; ; ;

x x x x x

+ + + + +

y y y y y

≥ ≤ > ≥ ≥

2 2 2 2 2


Modul Program Linier

Recommend Documents