Modul Metode Simpleks

BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG 1.1.1 L inear (Metode (Metode Simpleks) inear Programming Programming

Sebuah perusahaan pada dasarnya memerlukan perencanaan strategi yang dapat mengoptimalkan hasil yang ingin dicapai, baik itu berupa keuntungan yang maksimal maupun biaya yang minimal. Setiap perusahaan memiliki keterbatasan sumber daya, baik keterbatasan dalam jumlah bahan baku, mesin dan peralatan, ruang, tenaga kerja, maupun model. Adanya keterbatasan ini, setiap perusahaan melakukan beberapa cara untuk melakukan optimasi dengan hasil yang dicapai, salah satunya dengan linear programming metode simpleks. Metode simpleks digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi yang melibatkan tiga variabel atau lebih yang tidak dapat diselesaikan oleh metode grafis. Metode simpleks digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang memiliki lebih dari dua variabel dengan menggunakan alat bantuan yaitu tabel. Metode simpleks dapat menyelesaikan permasalahan maksimasi untuk mencari keuntungan maksimal dan minimasi untuk mencari biaya yang minimal. Modul kali ini akan membahas mengenai Linear mengenai Linear Programming Programming yang mana nantinya praktikan mencoba memecahkan kasus yang sama seperti modul sebelumnya dengan menggunakan metode simpleks. Metode simpleks mampu memecahkan permasalahan pada suatu perusahaan perusahaan dengan batasan-batasan yang dapat dikatakan banyak. Adanya metode simpleks diharapkan dapat membantu suatu perusahaan untuk mencapai tujuannya, baik itu berupa keuntungan yang maksimum ataupun biaya operasional yang minimum namun mampu memberikan keuntungan yang sebesar-besarnya.

1

UNIVERSITAS WIDYATAMA

PRAKTIKUM MODEL OPTIMASI

1.2 TUJUAN PRAKTIKUM 1.2.1 L inear Programming (Metode Simpleks)

Tujuan dari Modul Linear Programming (Metode Simpleks) adalah sebagai berikut: 1. Memahami bagaimana merumuskan atau memformulasikan permasalahan yang terdapat dalam dunia nyata. 2. Menyelesaikan

permasalahan

maksimasi

dan

minimasi

dengan

menggunakan metode simpleks. 3. Menarik kesimpulan yang tepat berdasarkan hasil optimasi (maksimasi dan minimasi) yang didapat.

2

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 LI NEAR PROGRAM M I NG (METODE SIMPLEKS) 2.1.1 Definisi L inear Programming

Pemrograman linear (linear programming ) merupakan suatu teknik pengambilan keputusan untuk memecahkan masalah mengalokasikan berbagai sumber daya yang terbatas diantara berbagai kepentingan seoptimal mungkin. Teknik ini memformulasikan masalah ke dalam dua fungsi utama, yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan menunjukkan model matematika dari tujuan permasalahan, sedangkan fungsi kendala berisikan persamaan matematika atas berbagai kendala yang ada dalam mencapai tujuan permasalahan. Teknik ini telah diterapkan secara luas pada berbagai persoalan dalam perusahaan, misalnya untuki menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penugasan karyawan, penggunaan mesin, distribusi dan pengangkutan, penentuan kapasitas produk, ataupun dalam penentuan portofolio investasi (Nachrowi, 2005:65). Linear

Programming

adalah

suatu

cara

untuk

menyelesaikan

persoalan

pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Program linier ini menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Sifat “linier” disini member arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linier (tidak ada yang memiliki sifat kuadratik), sedangkan kata ‘programa” merupakan sinonim untuk perencanaan. Program linier adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara alternative yang fisibel (Tampubolon, 2004:257). 2.1.2 Definisi dan Tahap Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumberdaya secara optimal. Metode simpleks

3



digunakan untuk mencari nilai optimal dari program linier yang melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel (lebih dari dua variabel). Penemuan metode ini merupakan lompatan besar dalam riset operasi dan digunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program komputer. Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya. Tahap paling awal yang diperhatikan dalam metode simpleks ini adalah tiga tahap yang dilakukan pada linear programming yaitu: 1. Masalah harus dapat diidentifikasi sebagai sesuatu yang dapat diselesaikan dengan linear programming. 2. Masalah yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan dalam model matematika, sehingga menjadi terstruktur. 3. Model harus diselesaikan dengan teknik matematika yang dibuat Tahap selanjutnya merupakan tahap teknis yang secara umum ada dalam linear programming. Tahap tersebut akan dijelaskan sebagai berikut: 1.

Menentukan variabel keputusan, dimana maksud dari variabel keputusan ini merupakan simbol matematika yang menggambarkan tingkatan aktivitas perusahaan. Tahap ini sebenarnya untuk mempermudah dalam menggunakan metode matematik, dengan memutuskan memakai simbol matematik untuk hal yang ingin dihitung.

2.

Membuat fungsi tujuan, yang dimaksudkan dari fungsi tujuan ini adalah hubungan matematika linier yang menjelaskan tujuan perusahaan dalam terminologi variabel keputusan. Setelah ditentukan variabel keputusan, kemudian digunakan dalam membuat fungsi (persamaan matematika) dari tujuan yang ingin dicapai perusahaan.

4

UNIVERSITAS WIDYATAMA 3.


Membuat batasan (kendala) model, maksud dari fungsi batasan adalah hubungan linier dari variabel keputusan yang menunjukkan keterbatasan perusahaan dalam lingungan operasi perusahaan.

2.1.3 Bentuk Baku Model Matematis

Sebelum melakukan perhitungan iterative untuk menentukan solusi optimal, langkah pertama adalah mengubah bentuk umum linear programming ke dalam bentuk baku simpleks terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan dan variabel keputusan masih bernilai 0. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku atau standar, yaitu: 1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variable slack . 2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variable surplus. 3. Fungsi kendala dengan persamaan (=) dalam bentuk umum, ditambahkan satu variable buatan (artificial variable). 2.1.4 Langkah Penyelesaian Metode Simpleks

Penyelesaian masalah linear programming dilakukan melalui perhitungan iterasi dengan menggunakan tabel. Tabel awal yang dibuat berdasarkan model baku matematika yang ada dinamakan Tabel Awal Simpleks selanjutnya dilakukan perhitungan iterasi. Tahap-tahap yang ada yaitu: 1.

Membuat bentuk baku model matematik.

2.

Membuat tabel awal simpleks berdasarkan bentuk baku yang sudah ada.

3.

Memeriksa kelayakan tabel awal dengan melihat nilai kanan. Bila ada yang bernilai negatif maka tidak layak diselesaikan.

5



Cara menentukan kolom pivot adalah sebagai berikut: a. Bila fungsi tujuannya maksimisasi maka pilih kolom dengan nilai negatif terbesar. b. Bila fungsi tujuannya minimalisasi maka pilih kolom dengan nilai positif terkecil. c. Bila nilai-nilai tersebut jumlahnya lebih dari satu, pilih sembarang. Bila kolom pivot ditarik ke atas maka akan ditemukan variabel keluar. 1. Menentukan baris pivot dengan melihat hasil bagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian. Pilih yang mempunyai nilai bagi terkecil. Bila baris pivot ditarik ke kiri maka akan diperoleh variabel keluar. 2. Menentukan elemen pivot dengan mencari perpotongan kolom pivot dan baris pivot . 3. Lakukan perhitungan-perhitungan untuk membuat iterasi selanjutnya. 4. memeriksa keoptimalan dengan melihat nilai koefisien fungsi tujuan di mana: a. Bila maksimisasi maka nilai solusi sudah positif atau nol. b. Bila minimisasi maka nilai solusi sudah negatif atau nol.

6

BAB IV PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA 4.1 PENGUMPULAN DATA 4.1.1 L in ear Programming (Metode Simpleks)

4.1.2.1 Kasus 1 Terdapat model pemrograman linear yang dirumuskan sebagai berikut: Minimasi  = 2 + 3 Dengan pembatas-pembatas:

 −  ≤ 1  +  ≥ 4    ≥ 0 Tentukan solusi optimal dengan metode simpleks dan nilai fungsi tujuan yang berasosiasi dengan solusi optimal. 4.1.2.2 Kasus 2 Sebuah perusahaan sepatu merencanakan untuk memproduksi dua jenis produk, yaitu produk PANS dan KONPERS. Kedua produk menggunakan suatu jenis bahan. Kebutuhan bahan per satuan produk PANS dan KONPERS masing-masing adalah 2 meter dan 3 meter. Ketersediaan bahan per hari adalah 24 meter. Kuantitas bahan yang digunakan untuk memproduksi kedua produk tidak boleh melebihi ketersediaan yang ada. Pihak manajemen menetapkan batasan bahwa perbedaan antara kuantitas produk KONPERS dengan produk PANS tidak boleh lebih dari 1 satuan. Selanjutnya, terdapat pembatas bahwa kuantitas penjualan produk KONPERS tidak lebih dari 3 satuan. Keuntungan per satuan untuk produk PANS dan KONPERS masing-masing adalah Rp 30.000 dan Rp 50.000. Manajemen perusahaan ingin menentukan kuantitas produk A dan B yang harus diproduksi selama satu minggu kedepan agar diperoleh keuntungan total per minggu yang maksimum. Terdapat asumsi bahwa kuantitas produk yang dijual sama dengan kuantitas produk yang diproduksi.

7



4.2 PENGOLAHAN DATA 4.2.1 L in ear Programming (Metode Simpleks)

4.2.1.1 Penyelesaian Kasus 1 A. Fungsi Tujuan Minimasi:

 = 2 + 3 B. Fungsi Kendala Constraint : 1)  −  ≤ 1 2)  +  ≥ 4 3)  ≥ 0 4)  ≥ 0 C. Mengubah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala Fungsi Tujuan:

 = 2 + 3 →  − 2  − 3 = 0 Fungsi Kendala:

 −  ≤ 1 →  −  +  = 1  +  ≥ 4 →  +  +  = 4 D. Interasi 0 Tabel 4. 1 Iterasi Ke-0 Basis

Z

RK

Rasio

Z

1

-2

-3

0

0

0

-

0

1

-1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

4

4

(Sumber: Pengolahan Data)

Keterangan: Warna Hijau

= Entering Variable

Warna Biru

= Leaving Variable

Warna Merah

= Pivot Element

Contoh perhitungan:

1−

(− 2 × 0) 1

=1

−3 −

(− 2 × − 1) 1

= −5

0−

(− 2 × 1) 1

=2

8



E. Iterasi 1 Tabel 4. 2 Iterasi Ke-1 Basis

Z

RK

Rasio

Z

1

0

-5

2

0

2

-

0

1

-1

1

0

1

-1

0

0

2

-1

1

3

1,5



= Entering Variable

Warna Biru

= Leaving Variable

Warna Merah

= Pivot Element

Contoh perhitungan:

1−

(− 5 × 0)

2 F. Iterasi 2

=1

0−

(− 5 × 0) 2

=0

2−

(− 5 × − 1) 2

= −0,5

Tabel 4. 3 Iterasi Ke-2 Basis

Z

RK

Z

1

0

0

-0,5

2,5

9,5

0

1

0

0,5

0,5

2,5

0

0

2

-0,5

0,5

1,5


 = 2,5  = 1,5  = 2 + 3 = 2(2,5) + 3(1,5) = 5 + 4,5 = 9,5 ∴ Solusi optimal dari model pemrograman linear diatas yaitu  = 2,5 dan  = 1,5 dengan nilai  = 9,5 untuk mendapatkan fungsi tujuan minimasi.

9



4.2.1.2 Penyelesaian Kasus 2 A. Fungsi Tujuan Maksimasi

 = 30 + 50 B. Fungsi Kendala Constraint :

2 + 3 ≤ 24  −  ≤ 1 Diasumsikan  ≥ 0

 ≤ 6 C. Mengubah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala Fungsi Tujuan:

 = 30 + 50 →  − 30 − 50 = 0 Fungsi Kendala:

2 + 3 ≤ 2 4 → 2  + 3 +  = 24  −  ≤ 1 → − +  +  = 1 D. Interasi 0 Tabel 4. 4 Iterasi Ke-0 Basis

Z

RK

Rasio

Z

1

-30

-50

0

0

0

-

0

2

3

1

0

24

8

0

-1

1

0

1

1

1



= Entering Variable

Warna Biru

= Leaving Variable

Warna Merah

= Pivot Element

Contoh perhitungan:

1−

(− 5 0 × 0) 1

=1

−30 −

(−50 × −1) 1

= −80

0−

(− 5 0 × 0) 1

=0

10



E. Iterasi 1 Tabel 4. 5 Iterasi Ke-1 Basis

Z

RK

Rasio

Z

1

-80

0

0

50

50

-

0

5

0

1

-3

21

4,2

0

-1

1

0

1

1

-1



= Entering Variable

Warna Biru

= Leaving Variable

Warna Merah

= Pivot Element

Contoh perhitungan:

1−

(− 8 0 × 0)

5 F. Iterasi 2

=1

0−

(− 8 0 × 1) 5

= 16

50 −

(−80 × −3) 5

=2

Tabel 4. 6 Iterasi Ke-2 Basis

Z

RK

Z

1

0

0

16

2

386

0

1

0

0,2

-0,6

4,2

0

0

1

0,2

0,4

5,2


 = 4 , 2 ≈ 4 × 5 hari kerja = 20 unit (PANS)  = 5,2 ≈ 5 × 5 hari kerja = 25 unit (KONPERS)  = 30.031 + 50.031 = 30.031(20) + 50.031(25) = 600.620 + 1.250.775 = 1.851.395 ∴ Solusi optimal dari model pemrograman linear diatas yaitu  = 20 unit PANS (5 hari kerja) dan  = 25 unit KONPERS (5 hari kerja) dengan nilai  =

1.851.395 untuk mendapatkan fungsi tujuan maksimasi.

11

BAB V ANALISIS 2.1 LI NEAR PROGRAM M I NG (METODE SIMPLEKS)

Metode simpleks adalah metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan manajerial yang telah diformulasikan terlebih dahulu ke dalam persamaan matematika program linear yang mempunyai variable keputusan mulai dari lebih besar atau sama dengan dua sampai multivariable. Metode grafik hanya dapat digunalan apabila jumlah variable keputusan maksimal 2 buah. Dapat disimpulkan bahwa suatu persoalan linear programing yang diselesaikan dengan metode grafik juga dapat diselesaikan dengan metode simpleks, sebaliknya suatu persoalan yang hanya bisa diselesaikan dengan metode simpleks tidak dapat diselesaikan dengan metode grafik. Modul 2 mengenai Linear Programming (Metode Simpleks) kali ini memecahkan permasalahan yang serupa dengan Modul 1 Linear Programming (Metode Grafis), akan tetapi terdapat perbedaan metode yang digunakan. Metode pada Modul 2 ini menggunakan metode simpleks. Kasus 1 memiliki persoalan optimasi minimasi dengan persamaan  = 2 + 3 yang harus diselesaikan permasalahannya melalui metode simpleks. Tabel 5. 1 Iterasi Ke-2 Kasus 1 Basis

Z

RK

Z

1

0

0

-0,5

2,5

9,5

0

1

0

0,5

0,5

2,5

0

0

2

-0,5

0,5

1,5


Berdasarkan Tabel 5.1 iterasi ke-2 pada kasus 1 terlihat bahwa solusi optimal (minimasi) yaitu dengan nilai  = 2,5 dan  = 1,5 yang menghasilkan nilai  sebesar 9,5. Solusi optimal pada metode simpleks serupa dengan metode yang digunakan pada Modul 1 yaitu metode grafis, hal tersebut menunjukkan bahwa proses penyelesaian pada permasalahan kasus 1 dapat dikatakan berhasil.

12



Perbedaan kedua metode tersebut salah satunya terlihat dari penambahan variabel slack pada pertidaksamaan fungsi pembatas sehingga mengubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan. Kasus 2 memiliki persoalan optimasi maksimasi dengan

persamaan

 = 30 + 50

yang

harus

diselesaikan

permasalahannya melalui metode simpleks. Tabel 5. 2 Iterasi Ke-2 Kasus 1 Basis

Z

RK

Z

1

0

0

16

2

386

0

1

0

0,2

-0,6

4,2

0

0

1

0,2

0,4

5,2


Berdasarkan Tabel 5.2 kasus 2 diatas menunjukkan bahwa solusi optimal berada pada iterasi ke-2. Solusi optimal maksimasi pada kasus 2 menghasilkan nilai  =

20 unit PANS (5 hari kerja) dan  = 25 unit KONPERS (5 hari kerja) dengan keuntungan maksimum sebesar Rp 1.851.395. Solusi optimal pada metode simpleks memiliki hasil yang serupa seperti metode grafis pada Modul 1, hal tersebut menunjukkan bahwa proses penyelesaian pada kasus 2 ini dapat di katakan berhasil. Perbedaan kedua metode tersebut salah satunya terlihat dari penambahan variabel slack pada pertidaksamaan fungsi pembatas sehingga mengubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan. Penggunaan metode simpleks dan metode grafis sangat berguna bagi perusahaan untuk memecahkan permasalahan permasalahan yang ada untuk menghasilkan keuntungan yang maksimum dengan biaya yang seminimum mungkin.

13

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 KESIMPULAN 6.1.1 L in ear Programming (Metode Simpleks)

Berdasarkan praktikum yang telah dilakukan, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa: 1. Solusi optimal minimasi pada kasus 1 yaitu terletak pada iterasi ke-2. 2. Solusi terbaik (optimal) minimasi dari kasus 1 yaitu dengan nilai  = 2,5 dan  = 1,5 yang menghasilkan nilai Z sebesar 9,5. 3. Solusi optimal maksimasi pada kasus 2 yaitu terletak pada iterasi ke-2. 4. Solusi terbaik (optimal) minimasi dari kasus 2 yaitu dengan  = 20 unit PANS (5 hari kerja) dan  = 25 unit KONPERS (5 hari kerja) dengan keuntungan total perminggu yang maksimum sebesar Rp 1.851.395. 5. Solusi optimal yang dihasilkan pada metode simpleks serupa dengan solusi optimal pada metode grafis. 6. Perbedaan penggunaan metode simpleks dan metode grafis salah satunya terletak dari penambahan variabel slack pada pertidaksamaan fungsi pembatas sehingga mengubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan. 6.2 SARAN 6.2.1 L in ear Programming (Metode Simpleks)

Penyusunan laporan akhir praktikum Modul 2 tentang Linear Programming (Metode Simpleks) memang terdapat banyak kelebihan dan kekurangan, adapun yang ingin disampaikan oleh praktikan adalah: 1. Praktikan diharapkan memahami terlebih dahulu materi yang digunakan pada Modul 2 ini. 2. Saat pengolahan data berlangsung, diharapkan praktikan lebih teliti agar menghindari kesalahan pada iterasi-iterasi selanjutnya. 3. Penggunaan software

seperti Microsoft

mempermudah perhitungan.

14

Excel dianjurkan

untuk

DAFTAR PUSTAKA

Wirdasari, Dian. “Metode Simpleks dalam Program Linier”. 1 Januari 2009. https://www.academia.edu/11561691/METODE_SIMPLEKS_DALAM_PROGR AM_LINIER Setiawan,

Anwar.

“Metode

Simpleks”.

26

Maret

2012.

https://anwarsetiawan.wordpress.com/2012/03/26/pengertian-metode-simpleks/

15

Modul Metode Simpleks

Recommend Documents