METODE SIMPLEKS
PENDAHULUAN
Metode Simpleks adalah metode penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (sama dengan solusi grafk) satu persatu dengan cara perhitungan iterati sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi kei hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i!). "da beberapa istiilah yang sangat sering kita gunakan delam metode simpleks# diantaranya iterasi# $ariabel non basis# $ariabel basis# solusi atau nilai kanan# $ariabel slack# $ariabel surplus# $ariabel buatan# kolom pi$ot# baris pi$ot# elemen pi$ot# $ariabel masuk dan $ariabel keluar.
BENTUK BAKU
%ungsi kendala dengan pertidaksamaan & dalam bentuk umum# diubah men'adi persamaan () dengan menambahkan satu $ariabel slack. %ungsi kendala dengan pertidaksamaan dalam bentuk umum# dirubah men'adi persamaan () dengan mengurangkan satu $ariabel surplus. %ungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum ditambahkan satu artifcial $ariable ($ariabel buatan).
CONTOH KASUS
Minimumkan
/endala
* +,! - # ,+
,! - ,+ 01
1#11!,! - 1#11+,+ & 1.0 1#10,! - 1#2,+ +3 1#1+,! - 1#12,+ & 4 ,!# ,+ 1 5entuk di atas adalah bentuk umum pemrograman linear. 5entuk tersebut dapat diubah ke dalam bentuk baku6standar dengan menambahkan $ariabel buatan# $ariabel slack dan $ariabel surplus sebagai berikut 7
Minimumkan * +,! - #,+ 8erhadap 7 ,! - ,+ - s! 01 1#11!,! - 1#11+,+ - s+ 1#0 1#10,! - 1#2,+ 9 s: +3 1#1+,! - 1#12,+ - s4 4# ,!# ,+# s!# s+# s:# s4 1
%ungsi kendala pertama mendapatkan $ariabel buatan (s!) karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. %ungsi kendala kedua dan keempat (s+ dan s4) mendapatkan $ariabel slack karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan &# sedangkan ungsi kendala ketiga mendapat surplus $ariabel (s :) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan .
CONTOH KASUS 2
Maksimumkan * +,! - :,+ 8erhadap 7
!1,! - ,+ & 211
2,! - +1,+ & 211 ;,! - !,+ & 211 ,!# ,+ 1 5entuk di atas 'uga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan $ariabel slack# karena semua ungsi kendalanya menggunakan bentuk pertidaksamaan & dalam bentuk umumnya.
5entuk bakunya adalah sebagai berikut 7 Maksimumkan * +,! - :,+ - 1s! - 1s+ - 1s: 8erhadap 7
!1,! - ,+ - s! 211
2,! - +1,+ - s+ 211 ;,! - !,+ - s: 211 ,!# ,+# s!. s+# s: 1 dimana s!# s+# dan s: merupakan $ariabel slack.
PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS
Gunakan kasus di atas maka tabel a
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Periksa apakah tabel layak atau tidak. /elayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negati# maka tabel tidak layak. 8abel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan. 8entukan kolom pi$ot. Penentuan kolom pi$ot dilihat dari koefsien ungsi tu'uan (nilai di sebelah kanan baris *) dan tergantung dari bentuk tu'uan. Jika tu'uan berupa maksimasi# maka kolom pi$ot adalah kolom dengan koefsien negati terbesar. Jika tu'uan minimasi# maka kolom pi$ot adalah kolom dengan koefsien positi terkecil. 8idak digunakan kata kata nilai terkecil dan terbesar karena dalam
Jika kolom pi$ot ditandaui dan ditarik ke atas# maka kita akan mendapatkan $ariabel keluar. Jika nilai negati terbesar (untuk tu'uan maksimasi) atau positi terbesar (untuk tu'uan minimasi) lebih dari satu# pilih salah satu secara sembarang. 8entukan baris pi$ot. 5aris pi$ot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pi$ot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). =alam hal ini# nilai negati dan 1 pada kolom pi$ot tidak diperhatikan# artinya tidak ikut men'adi pembagi. 5aris pi$ot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. >asio pembagian tidak mungkin bernilai negati# karena nilai kanan tidak negati demikian 'uga dengan nilai kolom pi$ot. Jika baris pi$ot ditandai dan ditarik ke kiri# maka kita akan mendapatkan $ariabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu# maka pilih salah satu secara sembarang.
8entukan elemen pi$ot. ?lemen pi$ot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pi$ot. 5entuk tabel simpleks baru. 8abel simpleks baru dibentuk dengan pertama kali menghitung nilai baris pi$ot baru. 5aris pi$ot baru adalah baris pi$ot lama dibagi dengan elemen pi$ot. 5aris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pi$ot baris yang bersangkutan dikali baris pi$ot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom 'uga. Periksa apakah tabel sudah optimal. /eoptimalan tabel dilihat dari koefsien ungsi tu'uan (nilai pada baris *) dan tergantung dari bentuk tu'uan. @ntuk tu'uan maksimasi# tabel sudah optimal 'ika semua nilai pada baris * sudah positi atau 1. Pada tu'uan minimasi# tabel sudah optimal 'ika semua nilai pada baris * sudah negati atau 1. Jika belum# kembali ke langkah no.+# 'ika sudah optimal baca solusi optimalnya.
Penyelesaian pada kasus + A
B+ adalah $ariabel masuk dan s + adalah $ariabel keluar. ?lemen pi$ot adalah +1
Iterasi 1
Perhitungan dilan'utkan ke iterasi +. Cariabel masuk adalah ,! dan $ariabel keluar adalah s:
8abel sudah optimal sehingga perhitungan iterasi dihentikan.
TABEL OPTIMAL
Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. "da beberapa hal yang bisa dibaca dari tabel optimal D !. Solusi optimal $ariabel keputusan. +. Satus sumber daya :. Earga bayangan (dual 6shado< prices).
Solusi optimal 7 ,! 4+#;3 A ,+ !3#!:+0 dan * 04#+;3# artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar F04#+;3 maka sebaiknya perusahaan memproduksi produk ! sebesar 4+#;3 unit dan produk + sebesar !3#!:+0 unit
Status sumber daya 7 sumber daya pertama dilihat dari keberadaan $ariabel basis a
Earga bayangan 7 harga bayangan dilihat dari koefsien $ariabel slack atau surplus pada baris ungsi tu'uan. /oefsien s! pada baris ungsi tu'uan tabel optimal 1# dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 1. /oefsien s+ pada baris ungsi tu'uan tabel optimal 0631# dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 0631. /oefsien s: pada baris ungsi tu'uan tabel optimal !6: dengan demikian harga bayangan sumber daya ketiga adalah !6.
