TUGAS KELOMPOK RISET OPERASI
METODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN
KELOMPOK 1
RINI ANGGRAINI S (H121 11 010) NURUL MUTHIAH (H121 11 252) RAINA DIAH GRAHANI (H121 11 268) FATIMAH ASHARA (H121 11 278)
PRODI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2013
METODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN
Metode simpleks diperkenalkan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode ini menjadi terkenal ketika ditemukannya alat hitung elektronik dan menjadi popular ketika munculnya komputer. Proses perhitungan metode simpleks adalah dengan menggunakan iterasi berulang-ulang sampai tercapai hasil optimal. Proses perhitungan metode simpleks menjadi lebih mudah dengan menggunakan komputer, karena komputer dirancang untuk melakukan pekerjaan berulang-ulang yang mungkin akan membosankan jika dilakukan oleh manusia. Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagian dari jumlah solusi basis dalam bentuk tabel. Tabel simpleks hanya menggambarkan masalah program linier dalam bentuk koefisien saja, baik koefisien fungsi tujuan maupun koefisien fungsi kendala. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Ada 2 kasus yang dapat kita cari solusinya yaitu Kasus Memaksimumkan dan Kasus Meminimumkan, dalam pembahan ini kita akan membahas Kasus memamaksimumkan. Dalam kasus memaksimumkan kita harus memenuhi syarat yaitu model program linear harus diubah dulu ke dalam suatu bentuk umum yang dinamakan “bentuk baku”. Perlu diperhatikan bahwa Metode Simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga jika tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dahulu ke bentuk standar. Untuk memudahkan dalam melakukan transformasi ke bentuk standar, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan : a. Fungsi pembatas, suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda ≤ diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variabel (variable pengurang). b. Fungsi Tujuan, dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur
slack variable
ini,
karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.
1
Contoh soal.
Fungsi tujuan: Maksimumkan
= 85000 + 75000 + 70000
Fungsi pembatas:
+ + 2 ≤ 17 2 + 2 + ≤ 22 3 + 2 + 2 ≤ 30 ,, ≥ 0
Langkah 1
Ubah system pertidaksamaan ke dalam system persamaan linear dengan menambahkan variable tiruan atau disebut slack. Fungsi tujuan: Maksimumkan
= 85000 + 75000 + 70000
Fungsi pembatas:
+ + 2 + = 17 2 + 2 + + = 22 3 + 2 + 2 + = 30
Langkah 2.
Menyusun semua persamaan ke dalam table simpleks. Iterasi 0 CB
VDB
NK
85000
75000
70000
0
0
0
Rasio
Keterangan. CB
: koefisien variable basis yang masuk pada fungsi tujuan
VDB : variabel basis yang masuk 2
NK
: nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda “=”
: nilai fungsi tujuan, yaitu jumlah dari hasil kali variable ke- dan CB : koefisien variable pada fungsi tujuan (bilangan yang terletak di atas variabel)
dan sebagai berikut. VARIABEL NK 17 ∙ 0 + 22 ∙ 0 + 30 ∙0 = 0 1∙ 0+ 2∙ 0+ 3∙ 0 = 0 1∙ 0+ 2∙ 0+ 2∙ 0 = 0 2∙ 0+ 1∙ 0+ 2∙ 0 = 0 1∙ 0+ 0∙ 0+ 0∙ 0 = 0 0∙ 0+ 1∙ 0+ 0∙ 0 = 0 0∙ 0+ 0∙ 0+ 1∙ 0 = 0
Hitung nilai
0 85000 = 85000 0 75000 = 75000 0 70000 = 70000 00 =0 00 =0 00 =0
Selanjutnya kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks. Iterasi 0 CB 0 0 0
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
17
1
1
2
1
0
0
22
2
2
1
0
1
0
30
3
2
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
85000 75000 70000
Rasio
Langkah 3.
Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio.
paling kecil
Kolom kunci
: suatu kolom yang nilai
Baris kunci
: baris yang memiliki rasio positif paling kecil
Bilangan kunci : bilangan yang terletak pada pertemuan antara kolom kunci dan baris kunci
Rasio
: bilangan yang ditentukan oleh perbandingan antara NK dan kolom kunci
3
Rasio untuk baris pada variabel:
= = 17 = = 17 = = 10 Iterasi 0
CB 0 0 0
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
Rasio
17
1
1
2
1
0
0
17
22
2
2
1
0
1
0
11
30
3
2
2
0
0
1
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
85000 75000 70000
Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci. Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu 3 (bilangan dengan text berwarna merah).
Langkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjuntya
menggantikan , CB pada baris ketiga kita isi dengan 85000.
Iterasi 1 CB 0 0 85000
85000
75000
70000
0
0
0
VDB
NK
10
1
2 3
2 3
0
0
1 3
Rasio
Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.
4
Langkah 5.
Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris selain baris kunci melalui operasi
= 0.
baris elementer (OBE) ,sehingga nilai-nilai kolom kunci Dapat juga melalui perhitungan sebagai berikut.
nilai baris baru = nilai baris lama – (KAKK x NBKK)
Dimana, KAKK : Koefisien Angka Kolom Kunci (nilai setiap baris kolom kunci) NBBK : Nilai Baris Baru Kunci
Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 1 CB 0 0 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
17
1
1
2
1
0
0
22
2
2
1
0
1
0
10
1
2 3
2 3
0
0
1 3
Rasio
Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.
Baris baru
Baris lama
KAKK x NBBK Baris baru
1
[
17
1
10
1
7
0
1
2
2 3 1 3
2 3 4 3
1
0
0
0
1
0
0
1 3 13
]
5
Baris baru
Baris lama
KAKK x NBBK
2
[
Baris baru
Input nilai baris baru
22
2
10
1
2
0
2
1
2 2 3 3 2 1 3 3
0
1
0
0
0
1
0
1 3 23
]
dan ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti
berikut. Iterasi 1 CB
VDB
0 0 85000
85000
75000
70000
0
0
0
NK
0
1
0
2
0
0
1
10
1
4 3 13 2 3
7
1 3 2 3 2 3
0
0
13 23 1 3
Rasio
dan sebagai berikut. 7 ∙ 0 + 2 ∙ 0 + 10 ∙ 85000 = 850000 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 85000 = 85000 85000 85000 = 0 1 ∙ 0 + 2 ∙ 0 + 2 ∙ 85000 = 170000 170000 75000 = 55000 3 3 3 3 3 3 4 ∙ 0 + 1 ∙ 0 + 2 ∙ 85000 = 170000 170000 70000 = 40000 3 3 3 3 3 3 1 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 85000 = 0 00 =0 0 ∙ 0 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 85000 = 0 00 =0 85000 0 = 85000 13 ∙ 0 + 23 ∙ 0 + 13 ∙ 85000 = 85000 3 3 3
Selanjutnya kita hitung nilai VARIABEL NK
6
Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks. Iterasi 1 CB 0 0 85000
VDB
85000 NK
7
0
2
0
10
1
85000
85000 0
75000
70000
0
0
0
1 4 1 3 3 2 1 0 3 3 2 2 0 3 3 170000 170000 0 3 3 40000 0 55000 3 3
13 23 1 3 85000 3 85000 3
0 1 0 0 0
Rasio
Mengulangi langkah 3 sampai langkah 5 Langkah 3
Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. Rasio untuk baris pada variabel:
= = 21 = = 3 = = 15
7
Iterasi 1 CB
VDB
0 0
85000
85000 NK
7
0
2
0
10
1
85000
85000 0
75000
70000
0
0
0
4 1 1 3 3 1 0 3 2 2 0 3 3 170000 170000 0 3 3 40000 0 55000 3 3
13 23
0 1
0
0 0
Rasio
1 3 85000 3 85000 3
Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci. Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu
(bilangan
dengan text berwarna merah).
Langkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjutya
menggantikan , CB pada baris kedua kita isi dengan 75000.
Iterasi 2 CB 0 75000 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
3
0
1
12
0
3 2
1
Rasio
Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.
8
Langkah 5.
Membuat baris baru. Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 2 CB 0 75000 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
0
1
0
3
0
0
3 2
10
1
4 3 12 2 3
7
1 3 1 2 3
0
0
13 1 1 3
Rasio
Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.
Baris baru
Baris lama KAKK x NBBK
1 3
[
Baris baru
7
0
3
0
6
0
10
1
3
0
8
1
1 3 1 0
4 3 12 3 2
2 3 1 0
2 3 12 1
1 0 1
13 3 1 2 12 0 0
]
Baris baru
Baris lama KAKK x NBBK Baris baru
2 3
[
0 0 0
1 3 3 1 2 1 1 0
]
9
Input nilai baris baru
dan ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti
berikut. Iterasi 2 CB
VDB
0 75000 85000
85000
75000
70000
0
0
0
NK
3
0
8
1
12 3 2 1
0
3 2 12 1
6
0 1 0
1 0 0
dan sebagai berikut. 6 ∙ 0 + 3 ∙ 75000 +8 ∙ 85000 = 905000 0 ∙ 0 + 0 ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 85000 0 ∙ 0 + 1 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 75000
Rasio
0
1 1
Selanjutnya kita hitung nilai VARIABEL NK
85000 85000 = 0 75000 75000 = 0 47500 70000 = 22500 00=0 27500 0 = 27500 10000 0 = 10000
3 ∙0+( 1) ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 47500 2 2
1 ∙ 0 + 0 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 0
12 ∙ 0 + 32 ∙ 75000+ 1∙ 85000 = 27500 0 ∙ 0 + 1 ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 10000
Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks. Iterasi 2 CB 0 75000 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
3
0
8
1
12 3 2 1
0
3 2 12 1
6
0 1 0
1 1
90500
85000
75000
47500
0
27500
10000
0
0
22500
0
27500
10000
1 0 0
Rasio
0
10
Ulangi kembali langkah 3 sampai langkah 5 Langkah 3
Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. Rasio untuk baris pada variabel:
= = 4 = − = 6 = = 8 Iterasi 2
CB 0 75000 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
Rasio
0
4
3
0 1
1 1
6
8
12 3 2 1
0
12 1
6
0 1 0
90500
85000
75000
47500
0
27500
10000
0
0
22500
0
27500
10000
1 0 0
8
Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci. Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu
(bilangan
dengan text berwarna merah).
11
Langkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjutnya
menggantikan , CB pada baris kedua kita isi dengan 70000.
Iterasi 3 CB 70000 75000 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
0
1
2 3
34
4
0
Rasio
0
Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.
Langkah 5.
Membuat baris baru. Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 3 CB 70000 75000 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
0
2 3
3
0
8
1
1 12 1
34 3 2 1
4
0 1 0
0 0
Rasio
0
1 1
Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.
12
Baris baru
Baris lama
KAKK x NBBK
12
[
Barisbaru
Baris baru
3
0
4
0
5
0
8
1
4
0
4
1
1 12 0 32 1 0 1 23 34 0 1 9 1 1 0 3 8
Baris lama
KAKK x NBBK
1
[
Barisbaru
Input nilai baris baru
]
0 1 0 1 1 0 1 23 34 0 0 0 23 14 1
]
dan ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti
berikut. Iterasi 3 CB 70000 75000 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
0
1
5
0
1
0
4
1
0
0
2 3 1 3 23
34 9 8 14
4
0
Rasio
0
1 1
13
dan sebagai berikut. 4 ∙ 70000 + 5 ∙ 75000 +4 ∙ 85000 = 995000 0 ∙ 70000 + 0 ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 85000 85000 85000 = 0 0 ∙ 70000 + 1 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 75000 75000 75000 = 0 1 ∙ 70000 + 0 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 70000 70000 70000 = 0 2 ∙70000+ 1 ∙75000+( 2) ∙ 85000 = 15000 15000 0 = 15000 3 3 3 34 ∙ 70000 + 98 ∙75000+ 14 ∙ 85000 = 10625 10635 0 = 10625 0∙70000+1∙75000+1∙85000 = 10000 10000 0 = 10000
Selanjutnya kita hitung nilai VARIABEL
NK
Kemudian kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks. Iterasi 3 CB 70000 75000 85000
VDB
85000
75000
70000
0
0
0
NK
0
1
5
0
1
0
4
1
0
0
2 3 1 3 23
34 9 8 14
4
0
995000
85000
75000
70000
15000
10625
10000
0
0
0
15000
10625
10000
Rasio
0
1 1
sudah tidak ada yang negatif, maka
Dari tabel di atas terlihat bahwa baris evaluasi
program telah optimal. Dengan demikian, dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa
= , = , dan = dengan nilai maksimum = .
14
