Operaciones con fracciones
25
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO
O bO j eB t iJ v oE T I V O 1. Desarrollar Desarrollar la capacida capacidadd de abstracción abstracción en el uso de fraccione fracciones. s. 2. Familiarizar al lector en el manejo adecuado, adecuado, vía operaciones matemáticas de las fracciones fracciones y sus múltiples aplicaciones. 3. Relacionar correctamente correctamente una cantidad respecto respecto a otra con criterios de proporcionalidad. proporcionalidad. 4. Desarrollar la habilidad del lector para resolver problemas relacionados con el tema de fracciones.
Introducción La noción acerca de fracción es muy antigua y su remoto origen se pierde en la bruma de los l os tiempos. Se deriva del latín "fractum" que significa "roto" o "quebrado". En el transcurso de la lucha por llaa supervivencia, constantemente constantemente surgía el problema de repartir la presa capturada; entre una determinada cantidad de individuos, dividir los productos agrícolas recogidos de forma mancomunada; aquí el surgimiento de las fracciones, acto que nace por necesidad. Los textos matemáticos más antiguos que se han conservado hasta nuestros días, tales como las tablillas de arcilla en la antigua Babilonia de caracteres cuneiformes (Babilonia queda en la actualidad en Irak) y los papiros de Egipto antiguo, demuestran que ya en los siglos III y II a.C. existían símbolos para las fracciones los cuales se utilizaban utili zaban como elemento de cálculo; los escribas, empleados de la administración del reino, eran los pocos que dominaban este arte considerado muy difícil en aquel tiempo. Si nos fijamos en la forma antigua de escribir las fracciones, ésta varía de acuerdo a la civilización. Por ejemplo, para escribir una fracción, en Egipto (1800 a.C.) se representaba así: 1 = 3
;
1 = 4
y como puede notarse, marcaban el numerador con una "tilde" y el denominador con dos o colocando el denominador como un exponente, aunque cabe señalar que los matemáticos griegos no consideran a la fracción como número, sino como razones de "números" positivos. Lo que llamamos en nuestros días "cálculo de fracciones", se trataba tr ataba por medio de proporciones, con su ayuda se explicaban tanto la simplificación como la amplificación am plificación de las fracciones. Solamente a fines de la antigüedad esta estrecha identificación del concepto de "número" con el de número natural fue parcialmente separado. Fracción Se denomina así a la división indicada de la forma: numerador Fracción:
a b
denominador
donde: - "a" y "b" "b" pertene pertenecen cen a los enteros enteros positivos positivos (Z (ZZ +) - Al dividi dividirr "a" entr entree "b" el el resultad resultadoo no es exac exacto; to; es es o decir a b Ejemplo:
Con este peculiar sistema, resolvían los problemas de la vida diaria: distribución del pan, la medida de la tierra, construcción de pirámides, etc.
- Las sigu siguien ientes tes expr expresi esione oness no son son fracci fraccione ones: s:
En Babilonia la fracción 1/2 se representaba mediante una copa hasta su mitad. En la antigua Grecia y el Imperio Romano, las fracciones se representaban usando letras let ras del alfabeto latino: por ejemplo, los griegos escribieron: 2 1 II = I I = 10 5
- Las sigu siguien ientes tes expr expresi esione oness sí son son fracc fraccion iones: es: 8 2 72 5 1111 ; ; ; ; 6 8 13 4 3395
I II
Organización Educativa TRILCE
a b
3 -2 -5 2 1 / 2 12 5 ; ; ; ; ; ; ; -5 7 -8 4 3 5 5 2
211
Operaciones
con
fracciones
Clasificación de las fracciones I) Por la comparació comparación n de su valor valor respecto respecto de la unidad
Son aquellas en la cual el numerador es menor que el denominador. denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad. a a < b b
fracción propia:
3 4 2 8 ; ; ; ;... 7 11 20 9
Son aquellas en la cual el numerador es mayor que el denominador. denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad. fracción impropia:
a a > b b
5 16 21 17 ; ; ; ;... 3 12 11 3
3 25 5 7 11 ; ; ; ; ;... 7 101 3000 20 290
III) Por la razón de igualdad o desigualdad entre sus denominadores a. Fracc Fraccion iones es homogéne homogéneas as Es un conjunto de fracciones que tienen igual denominador. Ejemplo:
b. Fracc Fracción ión improp impropia ia
Ejemplos:
Cuando su denominador no es una potencia de 10. Ejemplos:
a. Fracc Fracción ión propia propia
Ejemplos:
b. Fracc Fracció ión n ordina ordinari riaa
3 5 1 101 ; ; ; 7 7 7 7
b. Fraccion Fracciones es hetero heterogéne géneas as Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplo:
3 5 8 12 ; ; ; 4 7 9 5
IV) Por los divisores de sus términos a. Fracc Fracción ión reduct reductib ible le
Nota: De las fracciones impropias se derivan los números mixtos: 17 3 15 5 2 17 2 =5 3 3
5 23 se denomina número mixto, porque tiene una parte entera y una parte fraccionaria. II) Por su denominador
Cuando su numerador y denominador poseen factores en común (no son primos entre sí). Ejemplos:
12 100 3 21 ; ; ; ;... 6 30 144 384
b. Fracción Fracción irreduct irreductible ible Cuando su numerador y denominador no poseen factores en común (son primos entre sí). Ejemplos:
13 7 5 101 ; ; ; ;... 7 20 3 11
a. Fracc Fracción ión decima decimall Cuando su denominador es una potencia de 10. Ejemplos:
212
11 21 32323 9 ; ; ; ; ... 100 10 1000 10000
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Fracciones equivalentes Son aquellas fracciones que utilizando términos diferentes expresan una misma parte de la unidad.
Fracciones equivalentes
1 2
<>
2 4
<>
4 8
Segundo caso: caso: La suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso: 1º.Se obtiene el mínimo común múltiplo de los dos denominadores. 2º.Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador). Ejemplo: 3 4 + 4 2
Las tres fracciones representan la mitad del todo.
1º.Calcula 1º. Calculamos mos el mínimo común múltiplo (mcm): (mcm):
Se observa que:
El m.c.m. de (4; 2) = 4. fracción canónica (irreductible)
×4
×2
×k
1 2 4 1k < > < > . .. < > ; k = 1 ; 2 ; 3 ;. . . 2 4 8 2k ×2
×4
×k
Ejemplo: 21 Halle una fracción equivalente a , tal que su 36
numerador y su denominador sean primos entre sí.
2º.Calculamos 2º. Calculamos los numeradores: numeradores:
mcm
Numerador de la primera fracción: 3 × 4 ÷ 4 = 3 Numerador de la segunda fracción: 4 × 4 ÷ 2 = 8 3º.TTenemos pues las fracciones: 3º. 3 8 + 4 4
como los denominadores son idénticos podemos sumarla como en el caso 1. 4º.Sumamos:
Resolución:
3 8 11 + = 4 4 4
21 La fracción debe ser irreductible, como no lo es, 36
tenemos que simplificarla hasta hacerla irreductible: 21 7 <> 36 12
7 Entonces, la fracción equivalente es: 12
Operaciones con fracciones
II) Sustracción de fracciones Hay dos casos: - Fraccione Fraccioness que que tienen tienen un un mismo mismo denominad denominador or.. - Fraccione Fraccioness que tienen tienen distinto distinto denomina denominador dor..
I) Adición de fracciones
Primer caso: caso: la resta de dos o más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, solo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común.
Hay dos casos:
Ejemplo:
• Fracciones que tienen el mismo denominador. denominador. • Fracciones que tienen distinto denominador denom inador.. Primer caso: caso: La suma de dos o más fracciones que tienen tien en el mismo denominador es muy sencilla, solo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo: 4 2 6 + = 5 5 5
Organización Educativa TRILCE
7 2 5 - = 9 9 9
Segundo caso: caso: la resta de dos o más fracciones con distinto disti nto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso: 1º.Se obtiene el mínimo común múltiplo de los dos denominadores. 2º.Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador). 213
Operaciones
con
fracciones
Ejemplo:
III) Multiplicación de fracciones 6 1 4 2
1º.Calcula 1º. Calculamos mos el mínimo común múltiplo (m.c.m): (m.c.m):
¡Es muy sencillo! Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. denominador. Ejemplo:
El m.c.m. de (4; 2) = 4.
7 21 3 37 × = = 8 2 4 24
2º.Calculamos 2º. Calculamos los numeradores: Numerador de la primera fracción: 6 × 4 ÷ 4 = 6 Numerador de la segunda fracción: 1 × 4 ÷ 2 = 2 3º.TTenemos pues las fracciones: 3º. 6 2 4 4
como los denominadores son idénticos podemos restarlos.
IV) División de fracciones ¡Es muy sencillo! Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (ya tenemos el numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador). denominador). Ejemplo:
4º.Restamos:
12
4 12 3 36 49 ÷ = = = 36 = 15 5 9 15 5 53
6 4 2 - = = 1 4 4 4
5
O también podemos aplicar el criterio de "producto de extremos entre producto de medios", de la siguiente manera:
×
4 5 3 9
12
12 49 36 × = 5 3 = 15 = 5 5
est d e Aprendizaje de Aprendi zaje e pr TT es t de apr pren endizaj dizaje previ evio o Efectuar: 1.
2.
3.
5.
2 3 5 7
6.
6 15 10 9
1 4 3 3
3 7 2 4
7 5 6 6
4.
7.
5 3 12 8
8.
214
4 5 8 20
6 3 4 Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2
9.
3 1 1 3 5 7 2 4
1
1
10.
1 1 2
PractEjercicios iquemos Resolver las siguientes operaciones con fracciones: Adició Adición n
2 5
4. 7 - 4
1 7
1.
1 3 2 2
5. 11 - 10
2.
2 7 5 5
6. 6 - 5
3 4
3 7
2 5
2 3
Multiplicación 3.
4.
5.
7 37 11 11 3 2 5 3 2 3 7 14 1 3
6. 2 3
7. 17
1 4
5 2 74 11 3
1.
3 2 5 7
2.
7 12 5 11
3.
36 14 7 9
4. 5
5.
11 5 5 33
6.
7 26 121 13 11 14
Sustracción 1.
3 4
2 1 - 3 2
1 3
7. 2 3 2.
7 5 11 11
5 4
División 3.
4 7 - 5 8
Organización Educativa TRILCE
1.
7 2 5 3 215
Operaciones 1 3
con
fracciones
1 5
2. 2
5. 1 5
3. 7 2
3 4
2 4 1 5 5 6 2 Resolución:
1 3
4. 6 2
5.
16 8 5 3
1 1 1
1
6. 2 - 3 2 3
Operaciones Operaciones combinadas
Resolución:
Efectuar los ejercicios que se proponen a continuación: 1 3
2 3
1. 2 4 Resolución:
3 2
1 5 4
7. 3 5 16 8 Resolución:
2.
5 2 3 3 3 4
1
Resolución:
1 1 2 3 3 4 3. 1 1 2 3 5 2
1 9 4. 9 2 5
1
Resolución:
9.
1 1
1 3
Resolución:
Resolución:
3
1
8. 1 3 2 3 3 3 (7)
10.
1 1-
1 4
Resolución:
Resolución:
216
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 16.Efectuar:
7 1 14 11. 3 2 6
1 1 3 4 2 1 3 5
Resolución: Resolución:
12.Calcular:
3 1 12 1 1 1 5 2 Resolución:
17. 17. Efectuar: Efectuar:
1 1-
1 3
Resolución:
13.Efectuar:
18.Calcular:
2 1 1 1 12 3 Resolución:
1
2 1
1 1-
1 2
Resolución:
14.Calcular:
19.Efectuar:
2 1 24
3
2
2 13
1-
1 3
3 1
2 3
Resolución:
Resolución:
20.Efectuar:
15.Efectuar:
1 1 1 2 3 4 1 1 1 2 3 4
3 2 3 - 7 5 2 1 1 1 2 3 5 Resolución:
Organización Educativa TRILCE
Resolución:
217
Operaciones
con
fracciones
21.Efectuar:
26.Efectuar:
1 1 1 1 5 3 2 3 2
3 5 3
1 1 7
1 1 1 1 2 3 2 3 4
1 1 1 2 3 4 Resolución:
Resolución: 27. 27. Efectuar: Efectuar:
1
3 22.Efectuar:
1-
1 1
1
1 3
Resolución:
1 4
Resolución:
28.Efectuar: 23.Efectuar:
2 1 1 1 - 3 2 3 6
2
1 2 2
1 4
Resolución:
29.Efectuar:
1 1
4 1-
Resolución:
24.Efectuar:
3
1
1
2 3 1 1 10 25 40 6
1 1 2
1 1 8 12
Resolución: Resolución:
25.Efectuar:
Resolución:
218
1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 3 1 4 5 1 2
30.Calcular:
7 1 3 4 1 - 8 4 2 9 1 1 1 7 2 - 2 10 14 5 Resolución:
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Efec Efectu tuar ar::
4. Efec Efectu tuar ar:: 1 1 7 5 2 8 8 12 1 1 5 5 1 1 1 5 1 5
3 5 1 1 7 2 8 6 18 5 2 5 1 3 1 5 7 7 3 12 4 24 9
2. Efec Efectu tuar ar::
3 4 3 2 1 3 1 8 5 10 9 6 2 1 1 2 4 7 4 3 6 15 6 5 3 9 12
5. Efec Efectu tuar ar::
1 24 1 1 1 36 48 7 26 4 9 1 35 12 3 7 20 12
3. 1 5
25 1 1 5 3 2 3 4 7 37 9 3 1 2 3 25 1 0 2 2 1 1 2 3 2 3
Tea areado domiciliaria iaia Tar area ddomiciliar omiciliar ari 1.
1 1 3 2
7. 3 1
2.
2 1 5 2
8. 2
3.
7 37 11 11
9.
1 3
4. 2 3 3 4
1 4
5. 11 - 10
6.
2 5
1 5 14 5 7 3
9 5
1 4 2 5
1 3
1 1 1 1 5 6 15
10. 3 2 1 1 1
1
11. 2 - 3 2 3
1 1
3
12. 3 5 2 4
Organización Educativa TRILCE
6 4 8 16 11 13
219
Operaciones
con
fracciones
1 1 1 2 3 4 13. 1 1 1 2 3 4
1 1 1 1 5 3 14. 2 3 2
15.
3 5 3
21.
ab c
a b
22.
1 1 7
4 2 1 9 3 3
2 3 1 1 3 2 5 10 15 20
b c
23.(a - 2b)(c - 1) Si: x =
2 3 4 ; y = ; z = ; hallar el resultado de: 4 5 3
xyz 24. 3 5 y-z 25. x - y
16. -
26.
17. 17.
1 3 5 8 - 2 2 3 3
4 1 5 5
Efectuar los siguientes ejercicios: 27. 27.
2 3 4 1 - 9 2 6 2 18. 3 2 1 2 5 19. 2 5
3 2
1 1
28.
1 1 1 1 1 1 3 2 4 20. 1 1 1 2 3 4 1 1 1 Si: a = ; b = ; c = , hallar el resultado de: 4 2 5
1 2
2 2
1 1 1 - 2 3 12
29.
220
3 x 4 y 5z 1 y 4
3 4 1
1-
1 1-
1 2
2
30. 2-
2 2-
1 2
Primer Año de Secundaria
26
Fracciones I
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO
O bO j eB t iJ v oE T I V O En este capítulo aprenderemos: - A repre represen sentar tar gráf gráfica icamen mente te una una frac fracció ción. n. - A relac relacion ionar ar la la parte parte respec respecto to a un total. total. - A resolver resolver problem problemas as utilizando utilizando el criterio criterio denomin denominado ado fracción fracción de fracción fracción..
En la siguiente figura:
M N
¿Qué fracción representa el área de la región sombreada respecto del área de la región no sombreada, si "M", "N", "P" y "Q" son puntos medios?
Q P
Situaciones básicas I. Represent Representación ación gráfica gráfica de fraccione fraccioness Podemos usar gráficos para representar fracciones. Ejemplo 1 Partimos una unidad cualquiera (podría ser una manzana, un chocolate, un pan, etc.) en cinco partes iguales y tomamos dos partes. Empleando Em pleando un rectángulo que represente a dicha unidad tendremos: t endremos: El todo <> 5 partes iguales 1 5
1 5
1 5
1 5
1 5
Ejemplo 2 La cuadra de un estadio tiene siete cubículos y se ha limpiado cinco de ellos. Podemos decir que están aseados 5 los de la cuadra. Así: 7
5 partes iguales 5 7
1 7
1 7
dos quintos y escribiremos:
2 5
1 7
1 7
1 7
1 7
7 partes iguales <> 7 <> 1 7 Ejemplo 3 Una pizza se ha partido en ocho partes y se ha echado salsa de tomate sobre tres porciones. Según los datos, la pizza quedaría expresada así:
tomamos 2 partes
Con respecto al total, lo sombreado representará los
1 7
3 8
1 8 1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8 1 8
8 partes iguales <> 8 <> 1 8 Organización Educativa TRILCE
221
Fracciones I Ejemplo 4 A un bloque cúbico de madera se le hace seis cortes rectos, resultando así 27 cubos más pequeños. Después, José ha seleccionado dos de ellos para un trabajo manual. Gráficamente sería:
2 27
Podríamos hacernos entonces algunas preguntas como las siguientes: a) ¿Qué parte parte del helado helado representa representa la porción de de leche? b) El chocolate, chocolate, ¿qué porción porción es respecto respecto del helado? helado? c) ¿Qué fracci fracción ón es el chocolate chocolate respect respectoo de la porción porción de leche? Bien, resolveremos estas preguntas ateniéndonos a un criterio lógico para luego deducir una relación rel ación general y adecuada, veamos: Resolución:
27 partes iguales II. Relación parte-todo Es común encontrarnos a veces con preguntas como: ¿qué parte de la botella de chicha te has bebido? ¿qué parte del premio me tocó? ¿qué parte de tu dinero se llevaron? ¿qué parte me dejaste? etc. Éste es el resultado result ado de una simple comparación de objetos de igual o diferente clase. Veamos el siguiente ejemplo: Ana tiene ocho caramelos de diferentes sabores:
Tomando como referencia y comparando comparan do los caramelos de Ana y Claudia, podríamos interpretarlo así: "De lo que tiene Claudia, ¿qué parte representa de los caramelos 1
de Ana?". La respuesta sería la mitad 2 , cuyo 4
producto es la comparación de 4 y 8 ó 8 . Ahora, resolverem resolveremos os un ejemplo ejemplo del cual extraemos extraemos una conclusión muy interesante y útil. Ejemplo Observe la siguiente representación: representación: Hemos partido una barra de helado (H) compuesta de chocolate (C) y leche (L) en siete partes iguales. i guales.
(7 partes iguales)
222
4 del helado. 7
Note que la base de comparación es todo el helado con respecto al cual estamos comparando la porción de leche.
La porción de chocolate es
3 del helado. 7
c) ¿Qué fracción fracción es es “C” de “L”? “L”? Ahora, estamos comparando comparando la porción porción de chocolate chocolate con la porción de leche. El texto pregunta, "¿Qué fracción es “C” de “L”?", es como decir: "¿Qué parte es “C” respecto de la porción de leche?", l eche?", luego como la porción de chocolate es 3 partes y la porción de leche es 4 partes, el chocolate será 3 partes, respecto de las 4 partes de leche, es decir: Chocolate 3 Leche 4 La porción de chocolate representa los
3 de la 4
porción de leche. Ahora ya podemos establecer lo siguiente:
H
L
La porción de leche es
b) "C", ¿qué ¿qué porción porción es de de “H”? Análogamente a la pregunta anterior diremos: Chocolate 3 Helado 7
Claudia tiene cuatro caramelos:
(4 partes iguales)
a) ¿Qué parte de “H” es “L”? “L”? Se nota que la porción de leche es 4 partes de un total de 7, esto se puede representar de la siguiente manera: Leche 4 Helado 7
C
* En la relación parte - todo se establece:
lo que hace de parte f = lo que hace de todo
(3 partes iguales)
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo
Juan: "Claro, a ti te tocó
Pregunta
Respuesta 9 1 <> 27 3
- ¿Qué Qué par parte te de 27 es 9? - ¿Qué ¿Qué frac fracci ción ón de “b “b”” es es “c” “c”??
c b
- ¿“M” ¿“M” repre represen senta ta qué fracc fracción ión de “N”? “N”?
M N
- ¿Qué ¿Qué fra fracc cció iónn es 24 24 resp respec ecto to de de 60? 60?
24 2 <> 60 5
1 del total". 21
Bien, ahora sistematizamos toda la información. Calcularemos, un tercio de un séptimo de la unidad, lo cual se escribe así: 1 1 1 1 1 de de 1 <> = × × 1 21 3 3 7 7 ¿Qué papel está cumpliendo la proposición de, de, que están escritas entre las fracciones? fraccio nes? Si te das cuenta, cada una de ellas denota multiplicación. Análogamente, la misma operación denota de, de, los, los, de las y del. del. Ejemplo 1
III. Fracción de fracción fra cción
Hallar los
En la vida diaria es común encontrarnos en situaciones en las que habiendo tomado una porción de la unidad nos vemos en la necesidad de reducir a partes menores m enores de la porción considerada, tenemos por lo tanto una noción práctica de lo que es fracción de fracción. Consideremos el siguiente ejemplo: Papá compró un panetón y lo partió en siete partes iguales. Yamilet recibió una de las partes y ella a su vez lo dividió en tres porciones iguales quedándose con una y compartiendo el resto con Agustina y Juan. Respecto del total, ¿cuánto recibió Agustina?
para Yamilet
para Juan para Agustina
4 de 21. 7
Resolución:
Ejemplo 2 16 3 5 Hallar los de los de los de 57.. 19 8 5 Resolución:
3 porciones Resolución: Aquí el panetón es nuestra unidad, la cual va a partirse en siete partes iguales. Al tomar una de las porciones podríamos considerarlo como una nueva unidad. unidad. Luego la porción que recibe Yamilet es para ella una nueva unidad la unidad la cual ha de compartir con Agustina y Juan partiendo su porción en tres partes iguales. De acuerdo a esto puede darse el siguiente diálogo: Yamilet: “La porción del panetón panetón que recibí, la partí en tres partes iguales; cada una de ellas constituyen un tercio de la misma; es decir, cada una de ellas es un tercio de un séptimo del panetón” panet ón”.. Agustina: “Es verdad. Si partes en 3 cada uno de los demás pedazos, tendrás en total: 7 × 3 = 21 pedazos; y como recibí 1 pedazo del total puedo decir que recibí 1 de éste. ¿No es cierto Juan?”. Juan?”. 21 Organización Educativa TRILCE
223
Fracciones I
Test de Aprendizaje Tes t de apr pren endizaj dizaje e pr previ evio o En las siguientes figuras que se proponen a continuación, ¿qué parte del total se encuentra sombreado?
6. Hall Hallar ar los los
2 de 21. 7
1.
Rpta.: ________ 7. Hall Hallar ar los los
2.
8 3 de los de 48. 9 4
Rpta.: ________
Rpta.: ________ 8. ¿Cuánt ¿Cuántoo le falta falta a los
3 de 21 para ser igual a 20? 7
Rpta.: ________ 3.
Rpta.: ________ 9. ¿Qué ¿Qué par parte te de de 80 80 es
1 de 100? 5
Rpta.: ________ 4. ¿Qué ¿Qué parte parte de 5 es 3? 3?
Rpta.: ________
Rpta.: ________
10.¿Cuánto le sobra a 6 400 respecto a los
2 5 de de 3 4
2 400?
5. ¿Qué ¿Qué parte parte de de 36 es 24? 24?
Rpta.: ________
224
Rpta.: ________
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ¿Qué parte de “A” es “B”?
PractEjercicios iquemos Nivel I En las siguientes figuras que se proponen a continuación, ¿qué parte del total se encuentra sombreado?
1.
................
11.¿Qué parte de 40 es 15? ................ 12.¿Qué parte de 60 es 12? ................ 13.¿Qué parte de 120 es 30? ................
2.
................
14.¿Qué parte de la zona sombreada es la zona no sombreada? 3.
................
................
4.
................
15.En una fiesta hay 15 hinchas de la "U", 40 hinchas de "Muni" y 5 hinchas de Alianza Lima. ¿Qué parte del total son hinchas de la "U"? ................
5.
6.
7.
................
No te olvides que las palabras de, del, de los, etc signifi significan can una multiplicación.
................
................
8.
................
9.
................
16.Hallar los
3 de 40. 5
................
17. 17. Hallar los
7 de 260. 13
................
18.Hallar los
2 de 260. 5
................
19.Andrea 19. Andrea tiene S/.240 y decide gastar su dinero en la tienda "TRIPLAY": 5 - Con los del dinero compró un jean "TRONCO". 12 - Con los
3 del dinero compró unas zapatillas "LIKE". 8
- Con lo que que sobr sobróó le compró compró un relo relojj a Jorge Jorge.. 10.
................
¿Cuánto gastó en cada artículo?
S /. Organización Educativa TRILCE
JEAN
S /.
ZAPATILLAS
S /.
RELOJ
225
Fracciones I 20.Adela tiene S/.500 y decide gastar su dinero en "POLVOS PLATEADOS": 3 - Con los del dinero compró un pantalón "TOÑO 10 HILFIGER". - Con los
8.
Rpta.:...............
9.
Rpta.:...............
10.
Rpta.:...............
3 del resto compró un polo "PLÁTANO 7
REPUBLIC". - Con la la cuarta cuarta parte parte de lo que que le qued quedaa compra compra un reloj "KCIO". - Con lo que que sobr sobróó compr compróó un regalo regalo a Gonzal Gonzalo. o. ¿Cuánto gastó en cada artículo?
S /.
PANTALÓN
S /.
POLO
S /.
RELOJ
S /.
REGALO
Nivel II En las siguientes figuras adjuntas, ¿qué parte del área total está sombreada? 1.
Rpta.:...............
2.
Rpta.:...............
Nivel III 1. Calc Calcul ular ar los los a) 616 d) 1 232
Rpta.:...............
5.
6.
7. 226
Rpta.:...............
Rpta.:...............
Rpta.:...............
Rpta.:...............
c) 1 212
b) 60 e) 70
c) 50
3. Gildder Gildder desea desea embotellar embotellar 60 litros litros de gaseos gaseosaa "DON CHOLITO KOLA" en envases de 2/3 de litro. ¿Cuántos envases necesita? a) 80 d) 12 120
4.
b) 836 e) 1 032
2. Lourdes Lourdes gastó gastó la tercera tercera parte de su dinero dinero comprand comprandoo un celular "CALRO"; la cuarta parte en un CD de "SKÁNDALO" y la sexta parte en una entrada al circo de la "CHOLA CHABUCA". CHABUCA ". Si le sobran S/.75, ¿cuánto gastó en el CD de "SKÁNDALO"? a) S/.80 d) 75
3.
11 16 3 7 de los de los de de 460. 4 23 5 3
b) 90 e) 15 150
c) 100
4. Si gasto gasto los 3/5 de de lo que no no gasto, ¿qué parte parte del total total gasto? a)
5 7
b)
3 7
d)
3 8
e)
2 3
c)
5 8
5. Si un TV me costó costó $300 $300 y lo vendo vendo a $340, $340, ¿qué ¿qué parte del costo representa la ganancia obtenida en la venta del TV? a)
7 15
b)
13 15
d)
15 17
e)
15 13
c)
2 15
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Si me deben deben una cantida cantidadd igual a los 5/9 de 720 y me me pagan los 3/4 de lo que me deben, ¿cuánto me deben aún? a) 150 d) 20 200
b) 100 e) 12 120
4. Hallar Hallar una fracción fracción tal que sisi le agregamos agregamos su cubo, cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 34/9.
c) 125
2. ¿Qué parte parte de 2/3 de los los 5/4 de 30 es 1/2 1/2 de los los 2/3 de 8? a)
13 75
b)
8 75
d)
15 13
e)
3 17
c)
11 75
d)
1 10
b) 4
4 7
e)
1 16
c) 8
3 4
b)
3 5
d)
4 7
e)
3 7
c)
8 17
5. Betty distra distraída ída como siempr siempree perdió 2/7 2/7 del dinero dinero que le encargaron. ¿Qué parte de los que queda servirá para reponer lo perdido?
3. ¿Cuánto se debe debe quitar a los los 2/3 de de los 5/7 5/7 de los 6/5 de los 3/4 de 21 para que sea igual a la mitad de 1/3 de 2/5 de 3/4 de 14? a) 3
a)
a)
2 3
b)
3 5
d)
2 5
e)
5 7
c)
2 7
8 17
3 7
Tarea domiciliaria Tarea domiciliaria * Efectuar:
5.
1 1-
1.
2.
3.
4.
1 1 1 1 - 2 3 2 3
1 3 5
5 16
6.
7 1 14 3 2 6
7.
1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 2 3 4
4 8
1 1 1 1 2 3 (7) 3 3 3
1 4
1 1
1 3
Organización Educativa TRILCE
227
Fracciones I 1 1 1 1 5 3 2 3 2
8.
3 5 3
Indicar la fracción que representa la parte sombreada del total:
1 1 7 1
14.
* Graficar: 9.
5 7
15.
a
a
2a 2a
10.
3 8
16.
11.
5 6
17. 17.
12.
5 16 18.
cuadrado
13.
11 16
19.
triángulo equilátero
228
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 20.
26.
21.
Hallar en cada gráfico la relación parte-todo: 27. 27.
22. 28.
23. 29.
24.
30.
25.
Organización Educativa TRILCE
229
27
Fracciones II
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO
O bO j eB t iJ v oE T I V O En este capítulo utilizaremos diversas situaciones razonadas para plantear y resolver problemas con fracciones.
Si gasté la tercera parte de lo que no gasté e inicialmente tenía $ 200, ¿cuánto me queda?
Situaciones razonadas elementales • Situación 1: Hallar lo que le falta a una cantidad respecto a otra a. ¿Cuánto ¿Cuánto le falta falta a 8 para ser ser igual igual a 15? 15? La idea es ¿sumar o restar? El orden es: 8 15 ó 15 8 ¿Por qué? ............. ........................... ............................ ............................ ....................... .........
e. ¿Cuánto le falta a la talla talla de Jhon Jhon que es 120 ser igual a la de Rony que es 158
1 cm? cm? 3
3 cm para 4
• Situación 2: Hallar lo que le sobra a una cantidad respecto a otra a. ¿Cuánto ¿Cuánto le sobra a 11 respecto respecto a 7?
.................. ...................................... ........................................ ........................................ ....................
Se tiene que: ¿sumar o restar? 11 7 ó 7
.................. ...................................... ........................................ ........................................ ....................
¿Por qué? ........... ......................... ........................... ......................... .......................... ..............
1 b. ¿Cuánt ¿Cuántoo le le falt faltaa a para ser igual a 3? 2
.................... ........................................ ........................................ ...................................... .................. .................... ........................................ ........................................ ...................................... .................. b. ¿Cuánto ¿Cuánto le sobra a 3 respec respecto to a
c. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo le falt faltaa a
11
1 ? 3
2 7 para ser igual a ? 5 8
d. ¿Cuánt ¿Cuántoo le falta falta a 3
c. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo le sobr sobraa a
5 3 respecto a ? 7 7
d. ¿Cuánt ¿Cuántoo le le sobr sobraa a
4 1 respecto a ? 3 9
1 1 para ser igual a 5 ? 4 2
Organización Educativa TRILCE
231
Fracciones II • Situación 3: Si a una cantidad se le quita (o agrega) una parte de ella, ¿cuánto resulta? Ejemplo: Si gasté
1 de mi dinero, ¿qué parte me queda? 3
7 de un salón son mujeres, ¿qué parte son 12 hombres?
b. Los
Rpta.: ___________
Resolución:
dinero
c. Se agreg agregóó a una una cantid cantidad ad sus sus
1/3 1/3 1/3 gasto queda
2 , ¿qué parte resulta? 5
Rpta.: ___________ d. Juan Juan rec recib ibió ió los los
3 1 2 3 3
3 de lo que tenía, ¿cuánto resulta? 7
Rpta.: ___________
• Ejercicios: a. Si han han transc transcurr urrido ido los los
4 del día, ¿qué parte del día 9
queda? Rpta.: ___________
Test d e Aprendizaje de Aprendi zaje e pr Tes t de apr pren endizaj dizaje previ evio o 1. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo le fal falta ta a
5 1 para ser igual a ? 3 6
3. Artu Arturo ro me me debe debe los los
4 2 de S/. 30 y me paga los de 5 7
S/.21. ¿Cuánto me debe aún?
* Se sabe que: 3 10 2. ¿Cua ¿Cuant ntoo le sob sobra ra a para ser igual a ? 4 7
Hinchas de Universitario Universitari o = 50 Hinchas de Alianza Lima = 30 Hinchas de Sporting Cristal = 20 4. ¿Qué parte parte del total son son hinchas hinchas de Universita Universitario? rio?
232
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5. ¿Qué fracción fracción de de los hinchas hinchas de Alianza Lima representan representan 4 los hinchas de Sporting Cristal? 9. En una una reu reuni nión ón los los son hombres. ¿Qué parte de los 7
reunidos son las mujeres?
6. ¿A cuánto cuántoss tercios tercios es igual igual a 18?
10.Si ya han transcurrido los
3 del día, ¿qué parte falta 10
aún por transcurrir?
7. ¿Cuánto ¿Cuánto le falta falta a 40 con con respecto respecto a los
3 de 160? 8
PractEjercicios iquemos Ahora pongamos en práctica lo aprendido en esta clase y también lo aprendido en la clase pasada, resolviendo los problemas que se proponen a continuación. Nivel I 1. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo le sob sobra ra a
8. ¿Cuánto ¿Cuánto le sobra sobra a 100 100 con con respecto respecto a los
7 de 45? 9
a)
68 11
b)
34 7
d)
68 9
e)
34 2
2. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo le fal falta ta a con
Organización Educativa TRILCE
15 1 1 respecto a la suma de y ? 2 2 5 c)
34 5
3 2 para ser igual al producto de 3 4
9 ? 4
a)
3 2
b)
4 3
d)
1 9
e)
3 4
c)
2 3
233
Fracciones II 3. Si tengo tengo $6 000 y perdí $2 $2 000, ¿qué ¿qué parte parte de lo que que tenía perdí? a)
2 3
b)
1 3
d)
1 4
e)
1 6
4. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo es es los los a) 58 d) 56
c)
1 2
5. De $1 000 000 pier pierdo do
5 9
e)
11.Si me pagan los a) $30 d) 45
2 3 de 30 más los de 200? 10 5 b) 57 e) 60
d)
c) 59
queda?
2 2 de los de $150, ¿cuánto recibiré? 3 5
b) 40 e) 35
b) 660 e) 65 655
c) 67 670
3
3
b) 70 70 e) 95
c) 90 90
13.De una finca de 4 200 hectáreas se venden los y se alquilan los
a) $6 $650 d) 64 640
c) 50
12.Si me debían los de S/.840 y me pagan los de los 4 8 5 de S/.840, ¿cuánto me deben? 14 a) S/ S/.7.80 d) 100
1 , luego me roban $150. ¿Cuánto me 5
4 9
3 4 de los de la finca. ¿Cuántas 4 5
hectáreas quedan?
2 6. ¿Cuánto ¿Cuánto le falta falta a 60 para ser ser igual igual a los de 400? 5
a) 1 280 ha d) 1 250
b) 1 270 e) 1 290
c) 1 300 3
a) 200 d) 100
b) 150 e) 80
c) 120
7. ¿Cuánto ¿Cuánto le sobra a 2 000 000 respecto respecto a los
5 3 de de 3 2
600? a) 600 d) 40 400 8. Si teng tengoo
b) 500 e) 45 450
c) 550
1 3 8 de de de S/.360, ¿cuánto me falta 4 2 6
para tener S/.630? a) S/ S/.400 d) 38 380
b) 50 500 e) 45 450
c) 550
pagar? b) 2 400 e) 2 100
c) 2 200
2 10.¿Qué parte de 3 600 es los de 600? 3
a)
234
1 9
b)
2 9
2
14.Si vendo una casa por los de los de $7 200 y un 8 5 1 1 1 caballo por de de de $2 400, ¿cuánto recibiré 2 4 3 en total? a) $1 170 d) 1 165
b) 1 160 e) 1 180
c) 1 190
15.De una finca de 6 300 hectáreas se venden primero los 5 2 2 5 9 de los y más tarde los de los de los . 6 3 9 7 5
¿Cuánto me queda? a) 1 010 ha d) 1 000
b) 990 e) 1 030
c) 1 020
Nivel II
4 9. Debo Debo $3 000 000 y pago pago de $1 000. ¿Cuánto me falta 5
a) $ 2 300 d) 2 500
2 1 de 3 7
c)
1 3
1. ¿Cuánto ¿Cuánto pierdo pierdo cuando cuando vendo vendo por los
9 2 de los del 10 5
costo de lo que me ha costado S/.50 000? a) S/.32 000 d) 32 500
b) 33 000 e) 31 500
c) 31 000
2. Una persona persona tiene derech derechoo a recibir recibir los los Si cobra a) $430 d) 45 455
7 de $2 000. 20
1 1 de de $2 000, ¿cuánto le deben? 4 2
b) 440 e) 45 450
c) 46 460
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3. Con los $65 $65 que tenía tenía compré compré libros por por $15 y gasté gasté en 7 un traje los del resto. ¿Cuánto me queda? 10 a) $16 d) 15
b) 17 e) 20
c) 18
2 3
4. ¿Cuánt ¿Cuántoo le le falta falta a 3 para ser igual a
a)
5 6
b)
1 2
d)
1 3
e)
2 3
c)
3 1-
1 ? 3
4 5
1 4
5. Césa Césarr tiene tiene S/. S/.17 17 y Norma tiene S/.8
3 . ¿En cuánto 4
excede lo que tiene César a lo que tiene Norma? a) S/.
15 4
17 d) 2
b)
7 8
c)
12 5
23 e) 4 3 1 de S/.252 y me pagan de 7 9
6. Si me me debe debenn los los
S/.252, ¿cuánto me deben aún? a) S/ S/.80 d) 14 140
b) 10 100 e) 12 125
7. Al vende venderr un TV en en $910 $910 gano gano los los
c) 12 120 5 de la venta. Hallar 13
el costo. a) $650 d) 48 480
b) 520 e) 60 600
c) 56 560
1
8. Fern Fernan ando do dedi dedica ca del día a jugar en la computadora, 8 1 1 del día lo dedica a comer y del día lo dedica a 16 4 dormir. Si el resto del día lo dedica a cumplir con los trabajos del colegio, ¿qué fracción del día dedica a esta última labor? a)
3 16
b)
5 16
d)
9 16
e)
1 16
c)
7 16
9. ¿Qué parte parte del costo costo se pierde pierde cuando cuando se vende vende en S/.15 lo que ha costado S/.20? a)
1 4
b)
3 4
d)
1 8
e)
3 8
c)
1 2
10.Un padre reparte S/.100 entre sus tres hijos. A uno le da S/.50, a otro S/.40 y a otro el resto. r esto. ¿Qué parte de su dinero ha dado al que recibió el resto? a)
3 10
b)
1 10
d)
2 5
e)
1 2
c)
3 8
Nivel III 1. Si me debe debenn los los
3 2 de $500 y me pagan los de $300, 5 3
¿qué parte de lo que me debían me han pagado? a)
3 4
b)
3 5
d)
2 5
e)
1 3
c)
2 3
2. Una hacienda hacienda pertene pertenece ce a tres propietari propietarios. os. Al primero primero 5 1 1 le corresponde ; al segundo y al tercero . Si 4 12 3 se vende en 75 000 dólares, ¿cuánto le corresponde al segundo? a) $18 750 d) 48 000
b) 25 000 e) 36 000
c) 31 250
3. Lady compró compró manzanas, manzanas, naranjas naranjas y plátanos. plátanos. En manzanas gastó el doble que en naranjas y en plátanos el triple que en manzanas. ¿Qué parte del gasto total, gastó en plátanos? a)
3 4
b)
2 5
d)
3 5
e)
1 3
c)
2 3
4. Un vendedor vendedor de enciclope enciclopedias dias recibe recibe como comisión, comisión, 3 del total de las ventas de li bros de Geografía y 16 los 5 del total de las ventas de libros de Matemá18 tica. Si luego de una jornada jornada vendió S/.400 S/.400 en libros de Geografía y S/.576 en libros de Matemática, ¿cuánto recibió de comisión el vendedor?
Organización Educativa TRILCE
235
Fracciones II a) S/ S/.235 d) 27 270
b) 13 135 e) 31 315
c) 255
5. ¿Cuál es es el número número por el que que hay que que dividir dividir 18 para para 1 3
a) 5
1 5
b) 5
7 9
d) 5
1 9
e) 5
1 3
obtener 3 ?
c) 5
2 5
AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Una propiedad propiedad es de dos dos hermanos, hermanos, la parte parte del del primero es 7/16 de la propiedad y el valor de la parte correspondiente al otro hermano es S/. 63 000. ¿Qué valor tiene la propiedad? a) S/. 120 000 b) 150 000 d) 112 000 e) 140 000
c) 108 000
2. Se extra extraen en 400 400 de un tanque que estaba lleno hasta sus 2/3 quedando hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros faltan para llenar el tanque? a) 3 600 d) 2 400
b) 6 000 e) 2 000
c) 1 200
3. Un cartero dejó 1/5 de las cartas cartas que lleva lleva en una una oficina, oficina, los 3/8 en un banco, si aún le quedaban 34 cartas para distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir? a) 60 d) 90
b) 70 e) 100
c) 80
4. En un salón salón de 50 alumnos alumnos se observa observa que que la séptima séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes? a) 22 d) 20
b) 28 e) 4
c) 2
5. Se distribuye distribuyenn 300 litros de de leche entre entre tres depósitos depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros? a)
1 6
b)
1 2
d)
1 3
e)
3 4
c)
2 3
Tea areado domiciliaria iaia Tar area ddomiciliar omiciliar ari
1. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo le sob sobra ra a
5 3 1 1 12 ¿Cuánto le sobra sobra a 2 000 000 respecto respecto a los los de de respecto a la suma de y ? 5. ¿Cuánto 3 2 5 2 5 600?
2. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo le fal falta ta a
3 2 para ser igual al producto de 4 3
9 con ? 4
3. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo es es los los
3 son hombres, ¿qué fracción 15
serán mujeres? 2 7 de los de 300? 3 5
4. ¿Cuánto ¿Cuánto le falta falta a 60 para ser ser igual igual a los
236
6. Si en en una una reun reunión ión los
7. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo le sob sobra ra a 2 de 400? 5
4 1 respecto de ? 9 3
8. Si tenía $6 000 y perdí perdí $2 000, 000, ¿qué ¿qué parte de lo que tenía perdí?
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 9. Tengo engo los los
2 de 600, ¿cuánto me falta para obtener 5
20.Hallar los
3 2 de los de 140. 7 5
21.Gasté los
3 4 de los de S/.3 000, ¿cuánto me queda? 5 8
800? 10.De $2 000 pierdo
1 , luego de lo que me queda me 5
roban $200, ¿cuánto me queda? 11.Tengo S/.120 y gasto las 12.Mariana 12.Mari ana me debía los
3 partes, ¿cuánto me queda? 5
22.Hallar qué parte del total es la parte sombreada, si la figura mostrada es un cuadrado. 2a a a
3 de S/.420 y me acaba de pagar 7
7 de S/.220, ¿cuánto me debe ahora? 11
los
13.En una reunión la cuarta parte son hombres, de los cuales la tercera parte son solteros y los 20 restantes son casados. ¿Cuántos hombres hay? 14.Según el problema anterior, anterior, ¿cuántas personas hay en la reunión? 15.¿Cuánto le falta a 5 ? 2
3 7 para ser igual al producto de y 5 3
11 16 3 7 16.Calcular los de los de los de los de 460. 5 3 4 23
17.Pirulín desea embotellar 80 litros de gaseosa "DON 2 CACHITO KOLA" en envases de litros. ¿Cuántos 3
1 3
23.¿En cuánto excede 3 a la diferencia de 2 24.¿En cuánto es excedido el producto de 1 5
25.Si vendo un polo en S/.30, el cual me costó S/.18, ¿qué parte del costo estoy ganando? 26.Efectuar: 6 3 1 2 - 3 3 2 3 3
27. 27. Efectuar: Efectuar: 1 2 1 2 3 5 1 2 1 2 3 5
18.Un padre deja una herencia a sus cuatro hijos, la cual es distribuida de la siguiente manera: 3 partes. 7 2 Sergi ergioo rec recibe ibe las las partes. 9
-
- Mari Marian anaa rec recib ibee las las
4 3 con por 10 5
1 ?
envases necesita?
- Sandr andraa reci recibe be las las
28.Efectuar: 1 1 3 1 3 - 4 1 - 9 2 4 3
4 partes. 21
- Césa Césarr rec recib ibee el el res resto to..
1 7 con ? 2 3
29 ¿Cuánto ¿Cuánto le sobra a 1 000 respect respectoo a los
4 15 de de 9 12
720? ¿Qué parte recibió César?
30.¿Qué parte de 120 es 48?
19.Si un TV me costó $300 y lo vendo a $340, ¿qué parte del costo representa la ganancia obtenida por la venta del TV?
Organización Educativa TRILCE
237
28
Solución de ecuaciones
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO
- Ecuación
+
=
Es una igualdad de expresiones, donde una de ellas encierra cantidades desconocidas (incógnita), y al resto corresponden valores condicionales pero determinados. Ejemplo:
Definiciones previas - Enun Enunci ciad ados os abie abiert rtos os Son aquellos en que aparece por lo menos una letra o palabra, llamada variable, variable, que al sustituirla por valores determinados se transforma en una proposición. Como observas, la variable en estos ejemplos es la letra x.
Ejemplos: * * * *
Resolución de ecuaciones Se llama resolución de una ecuación, al procedimiento por el cual se halla el valor de la incógnita. Resolver una ecuación o despejar la incógnita es aplicar este procedimiento. A. Ecuación de primer grado con una variable
3+x=8 x>6 4x - 1 < 9 5x + 2 = 12
- Proposición Es una expresión de nuestro lenguaje a la que se le puede asignar el calificativo de verdadero o bien de falso, falso, pero no ambos a la vez.
Aquí hay proposic proposiciones iones verdader verdaderas as y falsas. Averiguar cuáles son. Ejemplo: * * * *
* 5x = 20 * 3x + 6 = 15 * 2x - 9 = 17
10 > 4 Migu Miguel el Grau Grau nac nació ió en en Piur Piura. a. 3>8 6 es es un un núm númer eroo imp impar ar..
ax
+
b
1er miembro (lado izq.)
=
c
2do miembro (lado der.)
Pasos para resolver: 1. Se trasladan trasladan todos todos los términos términos con con variable variable a un miembro de la ecuación y todos los números al otro miembro. Cualquier término que se traslade de un miembro cambia de signo. Ejemplo:
9x + 6x + 4 - 3x = 8 + 2x + 16 9x + 6x - 3x - 2x = 8 + 16 - 4 2. Se reduce reducenn términos términos semejantes. semejantes. Del ejemplo anterior: 15x - 5x = 24 - 4 10x = 20
Organización Educativa TRILCE
239
Solución
de
ecuaciones
3. El coeficien coeficiente te de la variable variable pasa pasa a dividir dividir al número número (o se le extrae el máximo factor si es posible), luego se simplifica. 20 x= 10
Resolución: Aplicando la propiedad distributiva: distributiva: a(b + c) = ab + ac
ó 10x = 20
2x + 10 = 14 2x = 14 - 10 2x = 4
x = 2
4. Se reemplaza reemplaza el valor valor obtenido obtenido en la ecuació ecuaciónn original original para comprobar si es correcto; si lo es debe verificar la igualdad. 9(2) + 6(2) + 4 - 3(2) = 8 + 2(2) + 16 28 = 28 x = 2 ¡es correcto! 5. Si es que hubiera hubiera fraccio fracciones nes en la ecuación ecuación se se multiplicará a ambos miembros de la ecuación por el MCM de los denominadores y luego se aplicará las reglas anteriores. Ejemplo:
x=
4 x = 2 2
4. Hall Hallar ar "x" "x":: x x + = 20 2 3
Resolución: Obteniendo el MCM de los denominadores 2 y 3: MCM(2; 3) = 6 Luego: 3x 2 x = 20 6
3 7 2 x - 2 = + x 4 2 5
MCM(2; 4; 5) = 20
5x = 20 5x = 120 6
se tiene: 5 3 10 4 20 4 x - 20(2) = 20 72 + 20 25 x 1 1 1 15x - 40 = 70 + 8x 7x = 110 x=
x=
120 x = 24 5
5. Hall Hallar ar "x": "x": x 1 x 5 2 3
110 7
Resolución: Multiplicando en aspa: x+1 = x+5 P r o b l e m a s R e u e l t o s 2 3 Problem as res u elt el ts os 1. Hall Hallar ar "x" "x"::
x+3=7
Resolución: Restando a ambos miembros (3): x + 3 - 3 = 7 - 3 x =4 2. Hall Hallar ar "x" "x"::
240
6. Hall Hallar ar "x" "x"::
2x + 10 = x + 28
Resolución:
2x + 10 = x + 28 2x - x = 28 - 10 x = 18
2x - 6 = x + 10
Resolución: Tener la variable en un solo miembro: 2x - x = 10 + 6 x = 16 3. Hall Hallar ar "x" "x"::
3(x + 1) = 2(x + 5) 3x + 3 = 2x + 10 3x - 2x = 10 - 3 x =7
7. Calc Calcul ular ar "x": "x": x 20 + 10 = x + 3 3
2(x + 5) = 14
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución:
3
x 20 + 10 = 3 x + 3 3
x + 30 = 3x + 20 30 - 20 = 3x - x 10 = 2x 10 = x 2 5 =x
Tes t d e Aprendizaje aprendizaj dizaje e previ evio o Test de Hallar "x" en cada una de las ecuaciones propuestas.
5) 5 (x (x + 8) 8) = 60
1) x + 3 = 5
6)
2x 6 3
7)
x 1 x 3 3 4
8)
x x 14 2 5
2) 2x - 1 = 7
3) 3x + 6 + x = 10
4) 4 (x (x - 2) 2) = 16 16
Organización Educativa TRILCE
241
Solución
de
ecuaciones
9) 6x + 7 (x (x - 1) = 32
3) 3x - 3 = 7 - 2x 2x
10) 2 (x + 9) - 8 (x - 3) = 51 - 9x 4) x + 3(x 3(x - 2) = 2x - 4
PractEjercicios iquemos Hallar "x" en cada una de las ecuaciones dadas a continuación.
5) 2(x 2(x + 5) = 14 14
1) 2x + 8 = 26 26
6) 3(x 3(x - 6) 6) = 27 27
2) 3x - 7 = 14 14
242
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 7) 5(x 5(x + 8) = 50 50
11) 2(x + 3) = 5(x - 1) - 7(x - 3) + 2
8) 2(x 2(x - 9) + 4 = 30 30
12)
3x + 4( 4(x - 2) = 3( 3(2x - 1) 1) - 5
9) 4(x 4(x + 1) 1) - 20 20 = 28 28
13)
x - 3 - 2(6 2(6 - 2x) 2x) = 2(2x 2(2x - 5) 5)
10) 2(x - 5) + 3(x + 5) = 20
14)
3x = 18 2
Organización Educativa TRILCE
243
Solución
de
ecuaciones
15)
7x = 28 3
19)
2x x - = 9 5 4
16)
3( x - 8 ) = 21 5
20)
3x +
17)
4x 2 = 7 6
21)
x 1 x 5 2 3
18)
x x = 20 2 3
22)
2 x - 8 3 x - 10 3 4
244
2x = 77 3
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 23)
4x - 9 + x = 2x + 8 - x + 3
27)
4(5x 4(5x + 2) 2) - 7(3x 7(3x + 5) 5) = x - 31
24)
x + 13 - 2x 2x - 20 20 - 3x = 40 40 + 2x - 80 80 - x - 7
28) 28)
7 + 4x - 5 + 6x 6x - 15 - x = -x -x + 18 - 2x 2x + 29
25)
4(2x 4(2x + 3) + 5(3x (3x - 6) = 5
29)
x+2x+ x+2x+3x 3x+4 +4xx-66-77-8-9 8-9 = 10+11 10+11+1 +122-xx-2x 2x-3 -3x+ x+11
26)
3(4x 3(4x - 7) - 2(x 2(x - 9) = 37 37
30)
x+10x+10-x+ x+2020-2x+ 2x+30+ 30+2x+ 2x+30 30+5 +50+ 0+3x 3x+6 +60-3 0-3x+ x+4x 4x = 210
Organización Educativa TRILCE
245
Solución 31) 31)
32)
33)
246
de
ecuaciones
5(x 5(x + 4) 4) - 6(x 6(x - 7) + 3(2 3(2xx + 9) 9) = 4(x 4(x + 20) 20) + 10 10
(x
+
3
)
34)
(x + 2)2 - x = 2x 2 - (x - 2) 2
35)
x 25 x 45 + = + 18 24 26 60
2 = (x - 2) 2 - 5
(x + 2)2 = 32 + (x - 2) 2
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Autoevaluaciòn Ac epta ept a el ret reto o TRILCE...! Hallar "x" en cada una de las ecuaciones propuestas.
4. 16x - [3x [3x - (6 - 9x)] = 30x 30x + [-(3x [-(3x + 2) 2) - (x + 3)]
1. 30x - (-x + 6) + (-5x (-5x + 4) = -(5x -(5x + 6) + (-8 (-8 + 3x) a)
3 4
b)
4 7
d)
1 2
e)
1 5
c) -
a) -
3 7
d)
5.
2. 15x + (-6x (-6x + 5) - 2 - (-x (-x + 3) = -(7x -(7x + 23) - x + (3 - 2x) 2x) a) - 1
b) 2
d) 1
e) 4
1 c) 2
1 2
1 2
b) - 1
3 4
e) 0
x6 2(x 8)3(x 7
a) 3 d) 6
c)
5)24
x3 9
b) 4 e) 7
c) 5
3. 16x - [3x [3x - (6 - 9x)] = 30x + [-(3x + 2) - (x + 3)] a) 2 d)
b)
1 2
3 4
c)
1 4
e) 1
Tarea Tar area ea do ddomiciliaria omiciliar ariia 1. Calcul Calcular ar “x” en: 2x + 9 = 17
11.Calcular “x” en: 2x = 18 3
2. Calcul Calcular ar “x” en: 4x - 16 = 48 3. Calcul Calcular ar “x” en: 2x + 9 = 49
12.Calcular “x” en:
4. Calcul Calcular ar “x” en: 3x + 18 18 = x + 42
3( x 8) 21 5
5. Calcular Calcular “x” en: 4x - 9 + x = 2x + 8 - x + 3 6. Calcul Calcular ar “x” en: 3(x - 6) 6) = 27 7. Calc Calcul ular ar “x” “x” en: en: 5(x 5(x + 8) = 50 50
13.Calcular “x” en:
4x 2 7 6
8. Calcul Calcular ar “x” “x” en: en: 2(x - 9) + 4 = 30
14.Calcular “x” en: 2(x - 5) + 3(x 3(x + 5) = 20
9. Calc Calcul ular ar “x” “x” en: en: 4(x 4(x + 1) - 20 = 28 28
15.Calcular “x” en: 4(2x + 3) + 5(3x - 6) = 5
10.Calcular “x” en:
16.Calcular “x” en: 3(4x - 7) - 2(x - 9) = 37 5x = 10 2
17. 17. Calcular Calcular “x” en: 4(5x + 2) - 7(3x 7(3x + 5) = x - 31 18.Calcular 18.Calcular “x” “x” en: 3(x + 2) - 2(x 2(x - 2) = 10
Organización Educativa TRILCE
247
Solución
de
ecuaciones
19.Calcular “x” en:
25.Calcular “x” en:
2x x 9 5 4
x + 10 - x + 20 - 2x + 30 + 2x + 50 + 3x + 60 - 3x + 4x = 210 26.Calcular “x” en:
20.Calcular “x” en:
3x 2x 77 3
5(x + 4) - 6(x - 7) + 3(2x + 9) = 4(x + 20) + 10 27. 27. Calcular “x” en:
21.Calcular “x” en:
3x 2 x x 8 2 5 10 22.Calcular “x” en: x + 13 - 2x - 20 - 3x = 40 + 2x - 80 - x - 7 23.Calcular “x” en: 7 + 4x - 5 + 6x - 15 - x = -x + 18 - 2x + 29 24.Calcular “x” en: 6x - 13 + 4x - 17 = 33 - 6x + 1
248
3 3x - 6 = (x + 1) 2 4
28.Calcular “x” en: 3 2 (x + 1) = (x + 2) 10 5 29. Calcular “x” en: 3(x + 1) - 3(x - 1) =
x 2 2
30.Calcular “x” en: 2 1 (x + 2) + (x + 2) = 2x + 1 3 3
Primer Año de Secundaria
29
Planteo de ecuaciones I
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO
El producto de tres números enteros consecutivos es 48 veces el intermedio. ¿Cuáles son los números?
¿Qué es plantear una ecuación? Plantear una ecuación es transformar una forma verbal a una forma simbólica
¿Qué significa eso? Significa que vas a traducir oraciones o enunciados utilizando expresiones matemáticas, como las variables y las constantes
Un ejemplo de plantear una ecua ción es el conocido problema de la adivinadora, a continuación lo proponemos.
Organización Educativa TRILCE
249
Planteo de ecuaciones I
La adivinadora Un ejemplo de plantear una ecuación es el conocido problema de la adivinanza, a continuación lo propondremos:
Piensa un número, multiplícalo por 5, súmale 8 y dime el resultado 58
¡Ah!... entonces pensaste en el número 10 ¡Si!... adivinaste
Dat Datos refe eferenc renciiale ales dict dictad ados os por por el adivi divina nado dorr Piensa un número Multiplícalo por 5 Súmale 8 Dime el resultado. Respuesta: 58 El número que pensaste es 10
Representa ntación simbólica del del adivinador x 5x 5x + 8 5x + 8 = 58 x = 10
I. Transformació Transformación n del lenguaje natural natural (forma verbal) verbal) al lenguaje simbólico simbólico (forma (forma matemática) matemática) A continu continuació aciónn se presenta presentann diverso diversoss enuncia enunciados dos en lenguaj lenguajee natural natural y hay que hacer hacer su correspo correspondie ndiente nte represen representaci tación ón en el lenguaje matemático. Las incógnitas incógn itas se representa rep resentann con las letras: let ras: “x”, “y”, “y”, “z”, “n”, “n”, “m”, etc. FORMA VERBAL Un número El duplo de un número Dos veces un número El triple de un número Tres veces un número núm ero El cuádruple de un número Cuatro veces un número El cuadrado de un número El cubo de un número Dos números enteros consecutivos Tres números pares consecutivos Cuatro números impares consecutivos consecutivos El doble de un número es aumentado en 5 El triple de un número es disminuido en 7 El doble de la suma de un número con 9 El triple de la diferencia de un número con 8 Un número excede a 6 en 2 El exceso de un número sobre 10 es 40 Un número es excedido por 45 en 25 La cuarta parte de un número Un número disminuido en su quinta parte. 250
FORMA SIMBÓLICA
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II. Escribir Escribir un enunciado verbal verbal para las siguientes expresiones expresiones matemáticas: LENGUAJE SIMBÓLICO x+6 3y - 8 n(n + 1) = 42 2(m + 7) p - 5 = 20 5r2 4(a - 9) x - 10 = 30 - x Si: "n" es par n + (n + 2) + (n + 4) = 60
ENUNCIADO VERBAL
n 6
Pasos para resolver problemas de planteo de ecuaciones Paso 1 • Leer cuidado cuidadosame samente nte el el problem problema. a. Si es es necesar necesario, io, hágalo más de una vez. • Elabore Elabore una una síntes síntesis is de sus sus partes partes princ principa ipales les.. • Sepa Separe re los los dat datos os del del pro probl blem ema. a. • Elabore Elabore un esque esquema ma y ubiq ubique ue los los dato datos. s.
P r o b l e m a s R e s u e l t o s Problem as r es u elt el t os A continuación veremos algunos problemas resueltos de formas verbales comunes usadas en el planteo de una ecuación: 1. La edad de de Juan aumentad aumentadaa en 8 es 27. 27. ¿Cuál es la la edad de Juan? Resolución: Sea:
Paso 2 • Defina Defina sus sus incógnit incógnitas as (repres (representa entadas das por las variab variables) les),, las cuales generalmente se encuentran en la pregunta del problema. • Transforme ransforme el el enunciad enunciadoo verbal verbal a lenguaje lenguaje simbólico simbólico o matemático. • Fíjese Fíjese que el número número de de incógni incógnitas tas sea sea igual igual al al número número de ecuaciones planteadas. Paso 3 • Resuelva Resuelva la(s) la(s) ecuación(e ecuación(es) s) que responde(n) responde(n) la(s) la(s) pregunta(s) del problema.
No te olvides que las palabras: * Nos da * Resulta * Equivale * Tanto como * Es, será, sería, son, etc. significan igual (=)
Edad = x
Por dato del problema: x + 8 = 27 x = 27 - 8 x = 19 La edad de Juan es 19.
2. El doble de de un número número es disminuido disminuido en 70 y resulta resulta 48. ¿Cuál es el número? Resolución: Sea:
Número = N
Por dato del problema: 2N - 70 = 48 2N = 70 + 48 2N = 118 N = 59 El número es 59.
Organización Educativa TRILCE
251
Planteo de ecuaciones I 3. El triple de de la suma de un un número con con 6 es 48. ¿Cuál ¿Cuál es el número? Resolución: Sea:
Número = N
5. El exceso exceso de 15 sobre sobre 8 es igual igual al exceso de de "A" sobre sobre 2. ¿Cuánto vale "A"? Resolución: Por dato del problema: 15 - 8 = A - 2 7=A-2 7+2=A A = 9
Por dato del problema: 3(N + 6) = 48 3N + 18 = 48 3N = 30 N = 10 El número es 10.
4. El número número de hombres hombres es cinco cinco veces veces el número número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay? Resolución: Número de mujeres = x Número de hombres = 5x Por dato del problema: x + 5x = 42 6x = 42 x =7
El valor de "A" es 9.
6. El dinero dinero que tengo tengo aumentado aumentado en su mitad es es S/.45. S/.45. ¿Cuánto tengo? Resolución: Sea:
Dinero = D
Por dato del problema: D+
D = 45 2
3D = 45 2 D = 30
El número de mujeres es 7. Tengo Tengo S/.30 S/ .30
Tes t de apr pren endizaj dizaje e pr previ evio o Test de Aprendizaje 1. El doble de de un número aumenta aumentado do en 3 es 7. 7. Hallar 2. El doble doble de la suma suma de un un número número con 5 resulta resulta 12. dicho número. Hallar dicho número.
252
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3. El triple de de un número número disminuido disminuido en 8 es 25. Hallar Hallar el número mencionado.
7. La quinta quinta parte de de un número número aumentada aumentada en en 4 resulta resulta 18. Hallar dicho número.
4. El triple de de la diferencia diferencia de un número número con con 6 resulta resulta 39. Hallar el número mencionado.
8. La mitad de de un número número sumada sumada con su tercera tercera parte resulta 30. Hallar dicho número.
5. El exceso exceso de un número número sobre sobre 10 es 20. 20. Hallar Hallar dicho número.
9. La suma de dos dos números números consecutiv consecutivos os es 25. Hallar Hallar el mayor de ellos.
6. En una fiesta fiesta se observ observaa que el número número de hombres hombres es el cuádruple del número de mujeres. Si hay un total de 100 personas, ¿cuántas son las mujeres?
10.La suma de tres números pares consecutivos es 72. Hallar el menor de ellos.
Organización Educativa TRILCE
253
Planteo de ecuaciones I
PracEjercicios t iquemos A continuación contin uación se presentarán present arán enunciados enunci ados y tu labor estimado alumno de primer año será resolver las ecuaciones para llegar a la respuesta del problema. Nivel Nivel I 1. ¿A qué número número debemos debemos sumar 8 para para obtener obtener 15? 15? a) 7 d) 10
b) 8 e) 24
c) 23
2. ¿De qué qué número debemo debemoss restar restar 4 para obtener obtener 9? a) 9 d) 18
b) 13 e) 4
c) 5
3. Si a un número número entero entero le agregamos agregamos 80 80 unidades unidades resulta resulta su quíntuple. ¿Cuál es el número? a) 20 d) 40
b) 60 e) 100
c) 80
4. Si a 240 le restamos restamos el triple triple de un un número resulta resulta el séxtuple de 25. ¿Cuál es el número? a) 30 d) 70
b) 40 e) 60
c) 50
5. Dos números números consecut consecutivos ivos suman suman 71. ¿Cuáles ¿Cuáles son son los números? a) 35; 36 d) 40; 41
6.
7.
8.
9.
b) 36; 37 e) 38; 39
c) 34; 35
10.El cociente entre dos números naturales consecutivos es 4/5. ¿Cuál es el producto entre ellos? a) 20 d) 12
b) 80 e) 14
c) 10
11.Un número natural se aumenta en 124 unidades, resultando cinco veces el número. ¿Cuál es el número? a) 30 d) 33
b) 31 e) 34
c) 32
12.El producto entre un número entero y el mismo número aumentado en 5 es equivalente a su cuadrado aumentado en 50. ¿Cuál es el número? a) 10 d) 16
b) 12 e) 18
c) 14
13.El doble de un número, aumentado en 23 es 75. Halla dicho número. a) 32 d) 25
b) 26 e) 30
c) 28
14.El cuádruple de un número, disminuido en 36 es 88. Hallar dicho número. a) 29 d) 30
b) 28 e) 31
c) 34
15.El triple de la suma de un número con 10 es 45. Hallar dicho número. a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
16.El quíntuple de la diferencia de un número con 8 es 70. Hallar dicho número. Cuatro números números naturales naturales consec consecutivo utivoss suman 110. ¿Cuál ¿Cuál es el mayor número? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 a) 26 b) 28 c) 30 d) 27 e) 29 17. 17. La cuarta parte de un número, disminuido en 6 es 17. ¿Cuál es el número? Tres números números pares consecu consecutivos tivos suman suman 102. ¿Cuál ¿Cuál es el menor de ellos? a) 90 b) 91 c) 92 d ) 9 3 e ) 9 4 a) 32 b) 34 c) 36 d) 30 e) 38 18.La cuarta parte de la diferencia entre un número con 6 es 24. ¿Cuál es el número? Tres números números impares consecutiv consecutivos os suman 159. ¿Cuál ¿Cuál es el mayor de dichos números? a) 100 b) 102 c) 110 d) 11 112 e) 10 108 a) 51 b) 53 c) 55 d) 57 e) 56 19.Un número excede en 24 a 38. Hallar dicho número. Un número número par más cuatro cuatro veces veces su par par consecutiv consecutivoo a) 64 b) 6 c) 60 suma 58. ¿Cuál es el número? d) 50 e) 62 a) 10 b) 12 c) 14 d) 8 e) 16
254
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 20.Un número ha sido excedido por 70 en 40. Hallar dicho número. a) 30 d) 80
b) 50 e) 110
c) 90
a) 190 d) 19 197
Nivel II 1. La suma de de tres números números consecutivos consecutivos es 144. ¿Cuál es el número menor? a) 46 d) 49
b) 48 e) 47
c) 50
2. La suma de cuatro cuatro números pares consecutivo consecutivoss es 132. ¿Cuál es el número mayor? a) 36 d) 38
b) 32 e) 34
c) 30
b) 53 e) 59
c) 55
4. ¿Cuál es es el número número que excede excede a 49 49 tanto como como es excedido por 87? a) 66 d) 69
b) 67 e) 70
c) 68
5. Hallar un un número, número, tal que su su doble excede excede a 60 tanto tanto como su triple excede a 96? a) 42 d) 36
b) 38 e) 34
c) 40
6. ¿Cuál es es el número número cuyo cuyo cuádruple cuádruple excede excede a 46 46 tanto como su doble excede a 18? a) 17 d) 12
b) 14 e) 11
c) 15
7. El exceso exceso del triple triple de un número número sobre sobre 52 52 equivale equivale al exceso de 240 sobre el número. ¿Cuál es el número? a) 75 d) 70
b) 71 e) 73
c) 69
8. El triple del del exceso exceso de un número número sobre sobre 20 equiv equivale ale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 30. Hallar el mencionado número. a) 60 d) 64
b) 57 e) 59
b) 188 e) 18 181
c) 176
10.A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto número de espectadores, pagando cada uno S/.5 por entrada. En el encuentro de revancha asistió el triple de espectadores que la primera vez y cada uno pagó ahora S/.8 por entrada. Si en la segunda recaudación se recibió S/.380 000 más que en la primera, ¿cuántos espectadores espectadores asistieron al segundo encuentro? a) 6 000 d) 4 000
b) 2 000 e) 4 500
c) 60 000
Nivel III
3. La suma de cinco cinco números números impares impares consecut consecutivos ivos es 275. 275. ¿Cuál es el número intermedio? a) 51 d) 57
9. Tres cestos cestos contienen contienen 575 manzanas. manzanas. El primer primer cesto tiene 10 manzanas más m ás que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto?
c) 50
Organización Educativa TRILCE
1. Hallar Hallar el número de de pelotas que tiene tiene Jorge, tal que que si se multiplican por 7 y luego se le agrega 20 resulta el quíntuple de ellas, aumentada en 60. a) 10 d) 25
b) 18 e) 35
c) 20
2. A la cantidad cantidad de soles soles que que tiene Eva Eva le agregamos agregamos S/.8 S/.8 para luego el resultado duplicarlo, y sumarle 9, a este último resultado se le divide por 7 y se obtiene cinco unidades menos que la cantidad inicial. ¿Cuál es dicha cantidad? a) S/.10 d) 18
b) 12 e) 20
c) 13
3. María reparte reparte su fortun fortunaa entre sus sus tres novios: novios: al primero le da el doble de lo que le dio al segundo y al tercero $ 2 000 más que al segundo. segu ndo. Si su fortuna fue de $22 000, ¿cuánto le tocó al tercero? a) $ 8 000 d) 7 000
b) 6 000 e) 9 000
c) 5 000
4. El sapito de de Vanesa Vanesa da cuatro cuatro saltos saltos recorriendo recorriendo en cada cada salto 3 cm más que el anterior. anterior. Si el sapito recorrió un total de 74 cm, ¿cuánto recorrió en el segundo salto? a) 6 cm d) 14
b) 8 e) 17
c) 11
5. Si ganase ganase $ 700 700 tendría tendría el quíntup quíntuple le de lo que que me quedaría si hubiera perdido $ 100. ¿Cuánto tengo? a) $ 80 d) 45 450
b) 200 e) 60 600
c) 300
255
Planteo de ecuaciones I
Autoevaluaciòn Ac epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Blas reparte reparte su fortuna fortuna del modo modo siguiente siguiente:: a Fernando Fernando le da la mitad, a Alfredo la séptima parte y a Letty los 2000 dólares restantes. ¿Cuál era la fortuna de Blas? a) S/. 5 600 d) 2 800
b) 6 000 e) 5 800
c) 4 200
2. Hallar un un número tal tal que, si si lo elevamos elevamos al cuadrado cuadrado,, luego le agregamos 11 al resultado, y le sacamos ahora la raíz cuadrada, para luego aumentar 4 unidades al resultado, obtenemos 10. a) 7 d) 4
b) 6 e) 8
c) 5
3. En un corral corral hay cierto cierto número de gallinas. gallinas. Tres Tres quintos de dicho número son gallinas de color blanco, blan co, la tercera parte son negras y las 40 restantes son marrones. ¿Cuántas gallinas había en dicho corral? a) 600 d) 42 420
b) 550 e) 50 500
4. Compré cierto cierto número número de caramel caramelos os y luego luego observé observé que si hubiera tenido diez veces dicha cantidad y hubiera regalado 48 caramelos me hubiera quedado 60 caramelos más que la cantidad que compré originalmente. ¿Cuántos caramelos compré? a) 12 d) 40
b) 16 e) 8
c) 26
5. Al hallar la diferencia diferencia entre el triple del del dinero que tiene Mauricio y su cuarta parte; observamos que se obtiene la quinta parte de lo que Mauricio tiene aumentado en S/. 5 100. ¿Cuánto tiene Mauricio? a) S/. 2 040 d) 2 000
b) 3 200 e) 4 000
c) 8 000
c) 280
Tarea Tar area ea do ddomiciliaria omiciliar ariia 1. Hallar la edad de de Jackeline, Jackeline, sisi al duplicarla duplicarla y aumentarle aumentarle 36, nos da 64.
9. ¿Qué edad edad tiene Christian, Christian, si sabemos sabemos que al cuadruplicarla y agregarle 44 años obtendremos su séxtuplo disminuido disminuid o en cuatro años?
2. ¿Cuál es el el número, cuyo cuyo triple triple disminuido disminuido en 100, 100, nos da el mismo número aumentado en 30? 10.El doble de la suma de un número con 5 es 20. Hallar dicho número. 3. El séxtuple séxtuple de la diferenc diferencia ia de un número número con 30, es es tanto como el cuádruple de la suma del mismo número 11.El cuádruple de la suma de un número con 15 es 84. con 10. Hallar dicho número. Hallar dicho número. 4. Hallar dos dos números números consecutiv consecutivos, os, tal que al sumarlos sumarlos obtenemos 59.
12.El quíntuple de la diferencia de un número con 20 es 100. Hallar el mencionado número.
5. La suma de de tres números números consecutiv consecutivos os es 72. 72. Dar como como respuesta el intermedio.
13.La suma de cinco números consecutivos es 145. Dar como respuesta el menor de ellos.
6. Hallar cuatro cuatro números números consec consecutivo utivos, s, sabiendo sabiendo que la suma nos da 174.
14.Hallar dos números consecutivos, tales que si al doble del menor le agregamos el triple t riple del mayor, mayor, obtendremos 58.
7. ¿Cuál es el el número de de cuadernos cuadernos que hay hay en un aula, si el quíntuple de ellos disminuido disminuid o en 20 resulta 80 más su triple? 8. Hallar la edad edad de Patty Patty,, si sabemos sabemos que al restarle restarle 12 años años obtenemos el triple de dicha edad disminuida en 62 años.
256
15.Se tiene dos números consecutivos. consecutivos. Si al triple del mayor le disminuimos el doble del menor obtendríamos 59. Hallar el e l número mayor.
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 16.¿Cuál es la edad de Rodolfo tal que, si sumamos los años que tiene con los que tendrá dentro de 20 años, resultaría el cuádruple de su edad actual, disminuido en 12? 17. 17. Hallar el número de lapiceros que tiene Alfredo tal que si lo multiplicamos por 6 para luego restarle 12, y después extraerle la raíz cuadrada obtendremos 6. 18.Hallar la edad de José, si sabemos que al multiplicarla por 4 y añadirle 18, para luego a dicha suma dividirla entre 19 obtendremos finalmente dos años. 19.Hallar la longitud de un túnel, si sabemos que el séxtuplo de dicha longitud, disminuido en 300 m es equivalente al triple de la longitud inicial, disminuido en 60 m. 20.¿Cuál es el número que excede a 50 en la misma medida que 180 excede a 40? 21.¿Cuál es el número que excede a 72 en la misma medida que 136 excede al número? 22.¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es excedido por 87?
25.El doble de la suma de un número con 3 es tanto como el triple de la diferencia del mismo m ismo número con 5. Hallar dicho número. 26.El séxtuplo de la diferencia de un número con 10 es tanto como el cuádruple de la suma del mismo número con 24. Hallar dicho número. 27. 27. Hallar tres números consecutivos, tal que si al doble del del intermedio le agregamos el quíntuplo del mayor para luego disminuirlo en el triple del menor, entonces se obtendría como resultado 76. 28.¿Cuántos amigos tiene Verónica, tal que si al doble de ellos le quitamos 80 y al resultado lo triplicamos para luego quitarle 20 obtendremos obtendremo s 50 amigos menos de los que tiene? 29.De los S/.20 que tenía, gasté la tercera parte de lo que no gasté. ¿Cuánto gasté? 30.El profesor López recibió S/.4 y tuvo entonces cuatro veces de lo que hubiera tenido si hubiera perdido S/.2. ¿Cuánto tenía al principio?
23.Hallar un número, tal que su doble excede a 60 tanto como su triple excede a 96. 24.¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto como su doble excede a 18?
Organización Educativa TRILCE
257
Planteo de ecuaciones II
30
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO
"Una anécdota matemática" “H ab ía un a vez un ca caba ba llo y u n m ul ulo o qu quee ca cami mina naba ba n jun tos lle llevan van do sobre sus lomos pesados sacos, lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya; en cambio, si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía” mía”.. ¿Puede decirme cuántos sacos llevaba el caballo?
3. En tres canastas canastas se se tienen un total de de 640 manzanas. manzanas. Si primera canasta tiene el doble de manzanas que la P r o b l e m a s R e s u e l t o s lasegunda Problem as r es u elt el t os y 15 más que la tercera, ¿cuántas manzanas hay en la tercera canasta? 1. Hallar el menor menor de tres números números consec consecutivo utivos, s, si sabemos sabemos a) 262 b) 131 c) 247 que la mitad del menor sumada con la quinta parte del d) 23 237 e) 22 222 número medio, equivale al mayor disminuido en 9. a) 18 d) 26
b) 22 e) 28
c) 24
Resolución: Sean los números consecutivos: x; x + 1; x + 2 Por dato del problema: x x 1 x 29 2 5
Entonces: 5x + 2x + 2 = 10x - 70 72 = 3x x = 24
Resolución: Primera canasta = 2m Segunda canasta = m Tercera canasta = 2m - 15 Por dato del problema: 2m + m + 2m - 15 = 640 5m = 655 m = 131 Nos piden: 2m - 15 2(131) - 15 = 247 Rpta.: c
4. La suma de de tres números números es 200. 200. Si el mayor mayor excede excede al del medio en 32 y al menor en 65, hallar el número Rpta.: c intermedio. 2. Hallar el mayor mayor de tres tres números números enteros enteros consecutiv consecutivos, os, a) 69 b) 67 c) 60 si se sabe que la diferencia de cuadrados entre entr e el medio d) 62 e) 65 y el menor, excede al mayor en 10 unidades. unidade s. a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
Resolución: Sean los números consecutivos: n; n + 1; n + 2 Por dato del problema: (n + 1)2 - n2 = n + 2 + 10 n2 + 2n + 1 - n 2 = n + 12 n = 11 Nos piden: n + 2 11 + 2 = 13
Resolución: Número mayor = x Número intermedio = x - 32 Número menor = x - 65 Por dato del problema: x + x - 32 + x - 65 = 200 3x = 297 x = 99 Nos piden: x - 32 99 - 32 = 67 Rpta.: b
Rpta.: b
Organización Educativa TRILCE
259
Planteo de ecuaciones II 5. Un número excede a otro en 200 unidades unidades y la suma de ambos números es 416. ¿Cuánto vale el mayor? a) 311 d) 31 315
b) 306 e) 30 308
c) 314
6. Un sapo sapo avanza en en cada salto salto el doble doble de lo avanzad avanzadoo en el salto anterior, anterior, más 3 centímetros. Si en 4 saltos avanzó 63 cm, ¿cuánto avanzó en el segundo salto? a) 12 cm d) 13
Resolución: Número mayor = N Número menor = N - 200 Por dato del problema: N + N - 200 = 416 2N = 616 N = 308
b) 7 e) 15
c) 11
Resolución: Primer salto = x Segundo salto = 2x + 3 Tercer salto sal to = 2(2x + 3) + 3= 4x + 9 Cuarto salto = 2(4x + 9) + 3 = 8x + 21 Rpta.: e
Por dato del problema: x + 2x + 3 + 4x + 9 + 8x + 21 = 63 x = 2 Nos piden: 2x + 3 2(2) + 3 = 7 Rpta.: b
Test d e Aprendizaje de Aprendi zaje e pr Tes t de apr pren endizaj dizaje previ evio o 1. La suma de tres números consecutivos consecutivos es 168. Hallar Hallar el menor de ellos.
3. La suma de cinco cinco números números consecutiv consecutivos os es 475. 475. Hallar el número intermedio.
2. La suma de de cuatro números consecutivos consecutivos es 286. Hallar Hallar el mayor de ellos.
4. Se tiene dos números números consecutiv consecutivos os tal que que si al séxtuple séxtuple del mayor le aumentamos el quíntuple del menor obtendríamos obtendrí amos 193. Hallar el número menor. menor.
260
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5. Se tiene tres tres números números consecuti consecutivos. vos. Si al cuádrup cuádruple le del intermedio le restamos el triple del mayor y a dicho resultado le agregamos el doble del menor resultaría 100. Hallar el mayor de ellos.
8. Hallar Hallar un número número que excede excede a 58 58 tanto como como es excedido por 96.
6. ¿Cuál es es el número número que que excede excede a 70 en la la misma medida medida 9. Hallar Hallar un número número tal que que su doble doble exceda exceda a 33 tanto tanto en que 170 excede a 40? como su quíntuple excede a 69.
10.El triple del exceso de un número equivale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 90. Hallar el 7. ¿Cuál es es el número número que que excede excede a 29 en la la misma medida medida mencionado número. en que 83 excede a dicho número?
Organización Educativa TRILCE
261
Planteo de ecuaciones II 9. Si tres números números consecutivo consecutivoss suman 39, hallar hallar el mayor. mayor.
PractEjercicios iquemos Nivel I 1. Hallar un un número, número, tal que si si a su doble le disminuimos disminuimos 39 obtendríamos 25. a) 30 d) 33
b) 31 e) 34
c) 32
2. ¿Cuál es la edad de José, si sabemos sabemos que al sextuplicarla, sextuplicarla, y luego restarle 32 obtenemos tres veces su edad aumentada en 4? a) 15 15 años d) 12
b) 13 13 e) 14
c) 11 11
3. ¿Cuántos ¿Cuántos hermanos hermanos tiene tiene Andrea, sabiendo sabiendo que si al doble de ellos le agregamos 14, nos da el quíntuple de ellos, disminuido en 10? a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
4. ¿Cuántos ¿Cuántos buzos buzos tiene Diego, Diego, si sabemo sabemoss que al octuplicarlos y restarle 8 obtenemos 7 veces dicha cantidad, aumentada en 3? a) 15 d) 14
b) 11 e) 16
c) 13
5. Hallar Hallar un número número tal que al triplica triplicarlo rlo y restarle restarle 18, 18, nos da el doble del número aumentado en 2. a) 18 d) 20
b) 21 e) 28
c) 24
6. ¿Cuál es es el número número cuyo cuyo óctuplo óctuplo aumentado aumentado en 24 24 es tanto como su quíntuplo más 60? a) 13 d) 16
b) 12 e) 17
c) 14
7. ¿Cuál es es el lado de un un cuadrado cuadrado tal que que el doble doble de su perímetro, disminuido en 20 es igual al triple de su lado, aumentado en 30? a) 10 d) 25
b) 12 e) 30
c) 15
8. Tres veces veces el número número de alumnos alumnos del primer año; año; aumentado en 50 nos da el doble del número de alumnos; aumentado en 80. ¿Cuántos alumnos son? a) 30 d) 50
262
b) 38 e) 32
c) 40
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
10.Calcular el menor de dos números consecutivos, si al quíntuplo del mayor le restamos 22 obtenemos el doble del menor, menor, aumentado en cuatro. cua tro. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
11.Dado tres números consecutivos: el doble del mayor más el triple del menor es igual al intermedio aumentado en 67. Hallar el mayor. a) 16 d) 19
b) 17 e) 20
c) 18
12.Calcular el menor de tres números consecutivos tal que si sumamos los tres nos da el cuádruple del mayor, disminuido en 11. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
13.Se tienen dos números impares consecutivos tal que el séxtuplo del menor más el doble del mayor nos da 76. Hallar el par siguiente al mayor. mayor. a) 10 d) 14
b) 8 e) 6
c) 12
14.Dado cuatro números consecutivos tal que la suma de los dos menores, aumentado en nueve es igual al doble de la suma de los dos mayores, disminuido en 10. Calcular Calcula r el menor. menor. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
15.Tres 15.Tres serpientes "A", "B" y "C" tienen las características siguientes: la longitud de "A" excede a la l a de "B" en 8 cm y a la de "C" en 4 cm. Si la suma de las longitudes de las tres es 102 cm, ¿cuánto mide "A"? a) 100 cm d) 38
b) 40 e) 42
c) 30 30
Nivel II 1. Si se sabe sabe que Leonardo Leonardo mide tres tres centímet centímetros ros más que Mike y tres centímetros menos que Jhon y la suma de la talla de los tres es 549 cm, ¿cuánto mide Jhon? a) 18 180 cm d) 18 183
b) 18 186 e) 14 146
c) 184
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2. La suma de cuatro cuatro números números impares impares consecu consecutivos tivos es es 80. ¿Cuál es el número mayor? a) 25 d) 27
b) 23 e) 19
c) 21
3. ¿Cuál es es el número número que excede excede a 36 36 tanto como como es excedido por 64? a) 40 d) 45
b) 50 e) 32
c) 55
4. Betty tiene tiene el triple triple que que Ana y Carmen Carmen S/.8 S/.8 más que que Betty. Si entre las tres tienen S/.71, ¿cuánto tiene Carmen? a) S/.30 d) 36
b) 9 e) 35
c) 27
5. El doble de la suma suma de un número número con con 7 es el triple triple del del exceso del número sobre 8. Hallar dicho número. a) 32 d) 38
b) 34 e) 35
c) 36
6. Un niño tenía tenía S/.65. S/.65. Si gastó gastó el cuádruple cuádruple de lo que que no gasto, ¿cuánto gastó el niño? a) S/.13 d) 18
b) 12 e) 14
c) 52
7. En una caja caja registrador registradoraa hay S/.700, S/.700, en en billetes billetes de S/.10 y S/.50. Si hay doble número de billetes de los primeros que de los segundos, ¿cuántos billetes de S/.10 hay? a) 20 d) 10
b) 60 e) 40
c) 30
8. En un teatro teatro hay cierta cierta cantidad cantidad de de espectadore espectadores. s. Si hubieran entrado 800 espectadores más, habría el triple de espectadores que hay en este momento, disminuido en 60. Diga usted cuántos espectadores hay en la sala. a) 240 d) 48 480
b) 430 e) 64 640
c) 210
9. Si ganara ganara S/.60 S/.60 tendría el cuádruple cuádruple de lo que me quedaría si perdiera S/.75. ¿Cuánto tengo? a) S/ S/.100 d) 12 120
b) 80 80 e) 13 130
10.Si comprara 40 libros tendría entonces el quíntuple de lo que me quedaría si hubiera vendido ven dido 3, más 15 libros. ¿Cuántos libros tengo? a) 8 d) 16
b) 10 e) 21
c) 12
Nivel III 1. Dentro Dentro de 16 años años tendré tendré el cuádruple cuádruple de la edad edad que tuve hace 14 años. ¿Qué edad tengo? a) 10 10 años d) 28
b) 22 22 e) 32
c) 24 24
2. En cada día día de lunes lunes a jueves jueves gané gané S/.2 más más que el día día anterior. anterior. Si luego de los cuatro cuatro días he recibido en total tot al S/.60, ¿cuánto gané el martes? a) 12 d) 22
b) 14 e) 18
c) 16
3. El martes martes gané el el doble de de lo que gané gané el lunes, lunes, el miércoles el doble de lo que gané el martes, marte s, el jueves el doble de lo que gané el miércoles, el viernes S/.30 menos men os que el jueves y el sábado S/.10 más que el viernes. Si en los seis días he ganado S/.911, ¿cuánto gané el miércoles? a) S/ S/.124 d) 12 126
b) 13 131 e) 13 132
c) 133
4. En un corral corral el número número de gallos gallos es el cuádruple cuádruple del del número de gallinas. Si se venden cuatro gallos y cuatro gallinas, entonces el número de gallos es seis veces el número de gallinas. ¿Cuántas aves habían inicialmente? a) 40 d) 60
b) 50 e) 20
c) 30
5. Caperucita Caperucita Roja Roja va por el bosque bosque llevan llevando do una cesta cesta con manzanas para su abuelita; si en el camino la detiene el lobo y le pregunta: "¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta?". Caperucita le responde: "Llevo tantas decenas como el número de docenas más uno". ¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta? a) 30 d) 60
b) 6 e) 180
c) 120
c) 14 140
Organización Educativa TRILCE
263
Planteo de ecuaciones II
AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Hallar dos dos números números consecutiv consecutivos, os, si sabemos sabemos que que los 5/6 del menor al ser sumados con los 7/9 del mayor, nos da 33 de resultado. Dar el menor de ellos. a) 19 d) 26
b) 21 e) 20
c) 24
2. Hallar el mayor mayor de tres tres números números enteros enteros consecutiv consecutivos, os, si se sabe que la diferencia de cuadrados entre ent re el medio y el menor m enor,, excede al mayor en tres unidades. a) 8 d) 5
b) 7 e) 4
c) 6
3. Hallar el menor menor de tres números números enteros enteros consecuti consecutivos, vos, si sabemos que los 3/4 del menor sumados con la tercera parte del número medio, equivale al mayor. mayor. a) 22 d) 18
b) 21 e) 20
4. Hallar tres tres números números consecutiv consecutivos, os, si se sabe sabe que los 8/15 del intermedio sumados con la mitad m itad del mayor, mayor, equivale al menor de ellos aumentado en 3. El E l menor de ellos es: a) 42 d) 46
b) 41 e) 43
c) 44
5. Se tienen tres tres números números consecutiv consecutivos. os. Si dividimos dividimos al menor entre 17, el intermedio entre 7, y el mayor entre 9, observamos que la suma de los dos primeros cocientes excede en 3 al tercer cociente que obtuvimos. ¿Cuál es el menor de los consecutivos? a) 34 d) 35
b) 32 e) 38
c) 37
c) 24
Tar area ea do ddomiciliaria omiciliar ariia Tarea 1. En una granja granja hay 20 animales entre conejos conejos y gallinas. gallinas. Si en total hay 56 patas, ¿cuántos conejos hay?
12.Si Rosa recibe S/.12, tendría el doble que si hubiera recibido S/.2. ¿Cuánto tiene Rosa?
2. En el problema anterior anterior,, ¿cuántas ¿cuántas gallinas hay? 3.
4.
5. 6.
13.Un sapo recorrió 20 metros dando cuatro saltos y en cada salto avanzó dos metros menos que en el salto Un número se aumenta aumenta en 6, al resultado resultado se le duplica y anterior. anterior. ¿Cuántos metros avanzó en el tercer salto? al resultado se divide entre 4 obteniéndose 9. Hallar la suma de las cifras del número. 14.Calcular el valor de “x” en: x = 4(x + 9) - 5(x - 2) Un número número se multiplica multiplica por por 3, al resultado se le agrega agrega 3; al resultado se le divide entre 3 y al resultado se le 15.Si al doble de un número le quitamos 3 resulta el doble resta 3. Si se obtiene 13, ¿cuál es el número? del exceso de 4 sobre 1/2. Calcular el triple del cuadrado de dicho número. Calcular Calcular “x” “x”, en: en: x - (2x + 1) = 8 - (3x + 3) 16.¿Qué número es tanto más de la mitad de 20 como Calcular Calcular “x” “x”,, en: en: 2(3x + 3) 3) - 4(5x - 3) = - 8x tanto menos de la mitad de 80?
7. La suma de tres números consecutivos consecutivos es 129. Hallar Hallar el número intermedio. 8. Ana tiene S/.12 S/.12 más que que el doble de lo que tiene tiene Betty Betty. Si entre ambas tienen S/.48, ¿cuánto tiene Ana? 9. En el problema anterior, anterior, ¿cuánto ¿cuánto tiene Betty? 10.Un número aumentado en su triple es 120. Hallar el número. 11.La suma de las edades de César y Óscar es 48. Si la edad de César es el triple que la de Óscar, Óscar, ¿cuál es la edad actual de este último? 264
17. 17. El exceso del triple de un número sobre 10, equivale al exceso de 10 sobre el doble del mismo número. Hallar el triple de la raíz cuadrada del número. 18.La edad de Mario es el doble que la de Ricardo, pero hace ocho años era el triple. ¿Cuántos años tiene Ricardo? 19.Las edades actuales de un padre y su hijo suman 49 años. Dentro de siete años la edad del hijo será la mitad que la del padre. ¿Cuál es la relación actual de las edades?
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 20.Calcular 20.Cal cular el mayor de dos números sabiendo que el doble de uno de ellos equivale al otro y la suma de ambos es 36. 21.Calcular el menor m enor de dos números, sabiendo que el triple de uno de ellos equivale al otro y la suma de ambos es 112. 22.El triple de un número aumentado en 5 es igual a 38. Si éste es duplicado y aumentado en un segundo número, se obtiene 32. Calcular el producto de los números.
26.La mitad m itad de la edad de Julio es igual al triple de la octava parte de 40. ¿Qué edad tendrá dentro de ocho años? 27.Dados tres números pares consecutivos, al sumar la mitad del menor con la onceava parte del intermedio int ermedio se obtiene el mayor disminuido en 21. Hallar el menor. 28.Dados tres números consecutivos, la tercera parte de la suma de los dos menores es igual al mayor disminuido en 5. Hallar el menor de ellos.
29.Dados tres números consecutivos, al sumar la cuarta 23.En 23.E n cierta reunión hay inicialmente 200 asistentes; luego parte del menor con la tercera parte del intermedio y la de una hora se retira la cuarta parte de los que no se mitad del mayor se obtiene 23. 2 3. Hallar el número mayor m ayor.. retiran, ¿cuántos se retiran? 30.Hallar un número, donde la suma de su mitad, cuarta y 24.En 24.E n cierta reunión hay inicialmente 900 asistentes; luego octava parte, resulta dicho número disminuido en 2. de una hora se retira la cuarta parte de los que no se retiran, ¿cuántos se retiran? 25.La tercera tercer a parte de la edad de Jorge es igual al doble de la quinta parte de 35. ¿Qué edad tuvo hace cinco años?
Organización Educativa TRILCE
265
31
Repaso
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO
O bO j eB t iJ v oE T I V O Ahora es momento de repasar todo lo aprendido en este bimestre. bimestre.
* ¿Qué ¿Qué parte parte del del total total está está somb sombrea reado? do? 1.
a)
1 3
b)
1 2
d)
1 6
e)
2 3
c)
1 5
4. Calc Calcul ular ar:: 3 5 7 2 2 2 3 3
a)
1 3
2 d) 5
b)
1 2
c)
1 5
3 e) 4
a)
7 2
b)
2 7
d)
1 4
e) -
c)
1 3
7 2
1 1 1 5. Si: K = 2 , E = 3 - ; N 2 3 1 1 4 hallar: (K - N) E
2.
a) 5 a) 8
3 b) 8
6 d) 8
7 e) 9
4 c) 5
2 5
d) -
3 2
b) e)
c)
3 2
c)
5 9
1 5
6. Calc Calcul ular ar::
1 1
3.
1 1
3 4
b)
9 5
d) 2
e)
9 7
a)
Organización Educativa TRILCE
2 5
1 4
267
Repaso 7. Si: a =
13.Tengo $13 200, gasto la mitad en un terreno y del resto
1 1 ; b = 2 4
gasto
hallar: ab 1 1 b a
3 en una bicicleta. ¿Cuánto me queda? 10
a) $4 580 d) 4 660
b) 4 540 e) 4 690
c) 4 620
• Hallar "x" en: a)
3 8
b)
3 d) 4
8. Si: a =
1 2
c)
4 3
14.
8 e) 3 2 5 1 ;b= ;c= 3 5 2
1 2
b)
d) 3
e) 4
c)
b) 48 e) 42
10.¿Qué parte de 120 es 1 a) 4
1 3
d)
1 2
c) 36
e)
b) 4 200 e) 4 250
8 de $2 700, ¿cuánto tengo 9
c) 4 350
2 9 12.¿Cuánto le sobra a 450 respecto a los de de 150? 5 2
a) 175 d) 18 180
b) 190 e) 20 200
16.
b) 2 e) 3
c) 1
3x + 3 - 6x = 7 - 5x a) 7 d) -3
17. 17.
b) 1 e) 5
c) 2
14 + 2x - 5 + 3x = 7x + 5x - 5 b) 0 e) -2
c) -1
1 5x 4 x 1 10 4 7 2
c) 195
a)
85 94
b) -
d)
94 85
e) 15
84 95
c)
17 15
19.Dados tres números consecutivos se sabe que si al cuádruple de la suma de los dos mayores le restamos el menor nos da 82. ¿Cuál es el intermedio? a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
20.Calcular el menor de dos impares consecutivos tal que el triple del menor aumentado en 77 nos da el quíntuple del mayor, más 45. a) 10 d) 15
268
1 2
32x - 13 = 13x + 25
1 c) 6
en total? a) $4 150 d) 4 240
e)
c) 2
18.
1 9
11.Si tengo $1 850 y gano los
d) 1
a) 1 d) 2
1 de 60? 3
1 b) 12
b) 3
a) 4 d) -4
3 9. ¿Cuánt ¿Cuántoo le falta falta a los de 20 para ser igual a 60? 5 a) 40 d) 38
a) - 1
15.
abc hallar: ac b
a) 2
42 - 5x = 15x + 62
b) 11 e) 9
c) 13
Primer Año de Secundaria
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 21.Si a la suma de tres números pares consecutivos le agregamos el impar siguiente se obtiene 99. ¿Cuál es el número par intermedio? a) 18 d) 26
b) 22 e) 28
c) 24
22.La suma de dos números impares consecutivos con los dos pares que le siguen resulta 38. ¿Cuál es el menor impar? a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
c) 9
23.Si a un número par le sumamos los dos pares que le siguen y los dos impares que le anteceden resulta 102. ¿Cuál es el número? a) 18 d) 24
b) 20 e) 27
c) 22
24.¿Qué número es mayor que 36 en la misma medida en que es menor que 120? a) 75 d) 91
b) 49 e) 39
c) 78
25.¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 20 tanto como su doble es excedido por 52? a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 12
Organización Educativa TRILCE
26.Un niño tenía S/.85. Si gastó el cuádruple de lo que no gastó, ¿cuánto gastó? a) S/.34 d) 68
b) 92 e) 74
c) 96
27.Betty tiene el triple que Ana y Carmen S/.6 más que Betty. Si entre las tres tienen S/.62, ¿cuánto tiene Carmen? a) S/.30 d) 36
b) 8 e) 32
c) 24
28.En un corral el número de patos es el séxtuple del número de patas. Si se venden cinco patos y tres patas, entonces el número de patos es siete veces el número de patas. ¿Cuántas aves habían inicialmente? a) 133 d) 15 150
b) 112 e) 12 122
c) 140
29.En una caja registradora hay S/.2 400, en billetes de S/.10 y de S/.100. Si hay doble número de los primeros que de los segundos, ¿cuántos billetes de S/.10 hay? a) 20 d) 10
b) 60 e) 40
c) 30
30.La 30. La suma de dos números pares consecutivos con el impar que sigue es 59. ¿Cuál es el menor par? a) 20 d) 18
b) 16 e) 24
c) 22
269
Repaso
270
Primer Año de Secundaria