IV Bimestre Razonamiento Matemático 4to Secundaria

25

Sumatorias I

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

SERIES INTRODUCCIÓN En el mundo actual muchos de los avances en la ciencia y la tecnología se deben al desarrollo incesante de la matemática y en ese sentido el cálculo integral juega un papel importante. Una de las herramientas fundamentales empleadas en el cálculo integral lo constituyen las series cuyo origen y uso datan de la antigüedad.

En la obra china "El espejo precioso" del precioso" del matemático Chu Shih Chie encontramos la expresión: S

1 8

30

80 175 ...

n2 (n 1)(n 2) 3!

...

problema que es resuelto mediante el método denominado de las diferencias finitas cuyas bases se remontan al siglo VII d.C. El matemático matemát ico Aryabhata Aryabhata consigna consigna en su obra "Arybhatiya" las "Arybhatiya" las fórmulas para el cálculo de la suma de En nuestro curso desarrollaremos el tema de forma sencilla los términos de una progresión aritmética y la de una pero sentando las bases para una posterior ampliación en progresión geométrica aunque no brinda la demostración de dichas fórmulas. Una de las más conocidas series es la tus estudios universitarios, aplicaremos además algunas llamada de Maclaurin. Colin Maclaurin fue uno de los de sus conclusiones en el capítulo Conteo de figuras. matemáticos más grandes del siglo XVIII y no goza de toda la popularidad que merece pues su figura se ve RESEÑA HISTÓRICA eclipsada por su contemporáneo protector y amigo Isaac La operación aritmética fundamental en el antiguo Egipto Newton. Maclaurín elevó a un nivel muy alto los estudios era la adición y los escribas llegaron a realizar cálculos matemáticos en Escocia y mantuvo junto con Landen e muy complicados con series finitas compuestas por Ivory la reputación de los matemáticos británicos por más fracciones. Durante la época griega encontramos en la de 70 años. La serie que lleva su nombre aparece en la obra "Treatise of Fluciones" publicado Fluciones" publicado en 1742. proposición 35 del libro IX de Los Elementos de Euclídes una fórmula para hallar la suma de los términos de una Fuente "Historia de la matemática" C.B. Boyer serie geométrica finita expresada elegantemente elegante mente en prosa y cuyo equivalente actual sería: LOS CONEJITOS DE FIBONACCI "... supongamos que tenemos una pareja de conejos a ar n macho y hembra en un corral donde pueden anidar anida r y criar. criar. Sn 1 r Supongamos además que los conejos empiezan a procrear a los dos meses de su nacimiento engendrando siempre un único por macho y hembra y a partir de ese momento El gran Arquímedes empleo la expresión: cada uno de los meses siguientes un par más de iguales T T T T características. Asimismo que no se muere ningún conejito. K T ...... ...... 4 42 43 4n ¿Cuántos conejos contendría el corral al cabo de un año?" Para calcular el área de un segmento parabólico con lo Veamos: conejitos de Fibonacci. que logro resolver el problema de cuadratura de la Árbol genealógico de los conejitos parábola parábola cuestión que desde hacia un siglo atrás FINAL TOTAL DE atormentaba a los matemáticos griegos. Aunque el genio DEL MES PAREJAS no habla de Series Infinitas pues los "procesos infinitos" no eran aceptados en aquella época no se hace problemas probl emas 0 1 para trabajar con ellas, situándose así muy cerca del 1 2 moderno cálculo integral y convirtiéndose en el único matemático de la antigüedad que estuvo a punto de 2 3 lograrlo. Nicomaco es Nicomaco es quien demuestra que la suma de los "n" primeros cubos perfectos es igual al cuadrado de la suma de los "n" primeros números enteros. Organización Educativa TRILCE

3

5

4

8

5

13 235

Observación: 1° 2° Sucesión de Fibonacci

1, 1,

3° 2,

4° 5° 6° 3,

5,

8,

..... 12° ..... 144

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + ..... + 144

Serie

¿Qué es una serie numérica? Se denomina serie numérica a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Al resultado de la adición si es que este existe se le llama suma o valor de la serie. serie. • Ejemp Ejemplo lo:: Si tene tenemo moss la suc suces esió ión: n: 4; 7; 10; 13; 16; ..........; (3n + 1); ...... La serie asociada a ella será: 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + .... + (3n + 1) + .... Puede observarse que el término enésimo de la sucesión dada es: T n = 3n + 1 entonces recordemos que podemos escribir la serie dada de forma abreviada empleando la notación sigma (

Resolución: Sabemos que: S

S S

1 10

2 10

1 2

3 10

3

.........

100 10

4 ........ 100 10

1 100 101 10 2

505

n

 2k = 2 + 4 + 6 + 8 + ...... + 2n = n(n + 1)

k=1

"n" sumandos

Ejemplo 1: Hallar el valor de "S" S

24  6 8  .......   20 tér min os

Resolución: 



n1

n1

 Tn   (3n  1)4 7 10 13 ...

S = 2 + 4 + 6 + 8 + ....... = 20(21)  S = 420

PRINCIPALES SERIES NOTABLES 1. La suma de los "n" "n" primeros primeros números números enteros enteros positivos. n

 k = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n 2+ 1)

k=1

Ejemplo 1: Hallar el valor de "R" R = 1 + 2 + 3 + ....... + 40 Resolución: R = 1 + 2 + 3 + ....... + 40 aplicando la fórmula: donde: n = 40 R

40( 41) 2

20 sumandos

n(n 1) 2

Ejemplo 2: Dino camina entre dos puntos "A" y "B" de la siguiente manera. Avanza 3m y retrocede 1m; luego avanza 5m, 7m, 9m y así sucesivamente, retrocediendo siempre 1m cada vez que avanza. Si la última vez que camino hacia adelante avanzó 41m y ya no retrocedió, calcular "AB". Resolución: Según el enunciado:

1° Avances: 3 Retroceso: 1 Avance real: 2

2° 5 1 4

3° 7 1 6

4° 19° 20° 9 ... 39 41 1 ... 1 0 8 ... 38 41

último avance ya no retrocede

Luego; la distancia AB vendría dada: 820

Por:

  ...  38  41 S  24 68   19 sumandos

S = 19 (20) + 41

236

Cuarto Año de Secundaria

3. Suma de los "n" primeros primeros impares impares

4. Suma de los los "n" primeros primeros números números cuadrado cuadradoss perfectos

n

(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n - 1) = n2  k=1 "n" sumandos

n

k 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = n(n + 1) (2n + 1)  6 k=1

Ejemplo 1: Hallar 1: Hallar el valor de "A"

Ejemplo:

A

En el siguiente arreglo triangular, triangular, hallar la suma de las 20 primeras filas.

1 3 5 7 ....... 79

Resolución: Calculamos la cantidad de sumandos como: tn = 2n - 1  2n - 1 = 79  n = 40

F1 F2

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4

F3

la serie bajo el signo radical tiene ti ene 40 sumandos, así:

F4

1 + 3 + 5 + 7 + ....... + 79 = (40) 2 40 sumandos

Resolución: Sumando los números que conforman cada fila tendremos.

entonces:

A

1 3 5 ........ 79

402  A = 40

F1

F2

F3

F4

F20

20(21)(41) = 2870 6

S = 12 + 22 + 32 + 4 2 + ... + 20 2 =

A

20 sumandos

Ejemplo 2: Hallar la suma de los 25 primeros términos, de la sucesión determinada por la diferencia de los respectivos términos de las sucesiones definidas por: tn = 2n2 - n y tn = 2n2 - 3n + 1 Nota: Los términos de la nueva sucesión pertenecen pertenecen a ZZ +

luego: S = 2870 5. Suma de los "n" primeros primeros números números cubos cubos perfectos. n



Resolución:

k3

=

13 + 23 + 33 + 43 +

... +

n3

k=1

Para n: t = 2n 2 - n

1 2 3 4 ..... 25 1 6 15 28 ..... 1225

t = 2n 2 - 3n + 1 diferencia:

0 3 10 21 ..... 1176 1 3 5 7 ..... 49

-

n(n + 1) = 2

Ejemplo: Hallar el resultado de sumar: 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 20 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 20

luego:

S = 1 + 3 + 5 + ........ + 49 = (25) 2 25 sumandos

3 + 4 + 5 + . . . + 20 4 + 5 + . . . + 20 2

 S = 625

Organización Educativa

TRILCE

2

19 + 20 20

2

2

2

2

2

2

237

Resolución:

Ejemplo 2

Ordenando adecuadamente y sumando tendremos:

Calcular el valor de la siguiente serie:

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+ 3

2

+ 4

2

+ . . . + 19 + 20

2

+ 3

2

+ 4

2

+ . . . + 19 + 20

2

+ 42

+ . . . + 19 + 20

+ 2 2

3

4

2

2

2

Resolución: (+)

+ . . . + 19 + 20 2

2

S = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + ... + 38

19 + 20

2

20

2

2

2

Cálculo de la cantidad de sumandos: La sumandos: La serie dada tiene como sucesión asociada a la progresión aritmética: 2

S = 1(1 ) + 2(2 ) + 3(3 ) + 4(4 ) + ... + 19(19 ) + 20(20 ) 3

3

3

3

3

S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20 =

20(21) 2

2

Para calcular el valor de la serie es necesario conocer la cantidad de sumandos. Entonces como primer paso calcularemos la cantidad de sumandos:

P.A. 2 ; 6; 10 ; 14 ; 18 ; ... ; 38 cuyo término enésimo es:

2

= (210)

t n = 4n - 2

Ahora hacemos 4n - 2 = 38 resolviendo: n = 10 Lo cual nos indica que el número de términos de la l a sucesión y por ende la cantidad de sumandos de la serie formada con dichos términos es diez. De acuerdo a esto planteamos: 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° S = 2 + 6 + 10 + 14 +18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 40 40 40 40 40

Observa que en esta oportunidad hemos procedido de manera distinta al ejemplo anterior pues, hemos formado parejas y como eran 10 sumandos se formarán 5 parejas siendo la suma de cada una de ellas, ell as, 40. Luego: S = 40 + 40 + 40 + 40 + 40

(5 sumandos)

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° S = 4+7+10+13+16+19+22+25+28+31+34 Invirtiendo: S = 34+31+28+25+22+19+16+13+10+7+4

S = 40(5)

dando forma:

S=

(2 + 38) (10) 2

Sumando: 2S = 38+38+38+38+38+38+38+38+38+38+38 Primer sumando Último sumando

11 sumandos 2S  38 3 8(11)S



38(11)(4  2

34)1 4)11 209 2

Primer sumando Último sumando

luego: S =

Así:

S=

(2 + 38) (10) # Sumandos 2 Constante

(4 + 34)11 2 # de términos Constante

238


De los ejemplos (1) y (2) podemos concluir que para hallar el valor de una serie aritmética finita basta con emplear: t1 + t n

S=

2

Luego: K = t1 + tn = t2 + tn-1 = t3 + tn-2 = ... Ahora, escribiendo la serie aritmética asociada a esta progresión aritmética como se muestra a continuación, y sumando término a término tendremos:

n

donde:

S = t 1 + t 2 + t 3 + ... + tn-2 + tn-1 + tn +

t1 : primer término tn : último término n : número de términos

S = t n + t n-1 + t n-2 + ... + t 3 + t2 + t1

Invirtiendo:

Sin embargo no podemos basarnos únicamente en estos dos casos estudiados para afirmar lo anterior, tenemos que demostrar necesariamente que la expresión deducida siempre se podrá utilizar para calcular el valor de una serie aritmética finita. Afirmación: Dada Afirmación: Dada la P.A. finita: t 1; t2; t3; ... ; t n y la serie aritmética asociada a ella:

Sumando término a término:

2S = K + K + K + ... + K + K + K

Despejando "S": S

t t  K.n  S   1 n  n 2  2 

 t1  tn  n  2 

Hemos probado entonces que: S  

adicionalmente podemos también utilizar:

n

S = t1 + t2 + t3 + ... + t n =  tk k 1

El valor de la serie aritmética viene dada por la expresión: n

 t1  tn  n  2 

(n - 1)r n (Demuéstralo!!) 2

* Obs Observ ervació ación n

S   tk   k 1

S = t1+

Una de las formas de obtener la razón aritmética es: r = t2 - t1 = t3 - t2 = t4 - t3 = ...

donde: t1 : 1er sumando tn : últi último mo suma sumanndo n : cantidad de sumandos

Ejemplo 3

Prueba:

Hallar el valor de la siguiente serie: S = 4 + 7 + 10 + ... + 61

Consideramos la P.A.: Resolución:

t 1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 .. .... ; t n r

r

r

- Cálcu Cálculo lo del del núm númer eroo de suma sumand ndos os::

...

Recordemos una observación hecha en el capítulo de sucesiones sobre las progresiones aritméticas: "En una progresión aritmética la suma de los términos equidistantes de los extremos es siempre constante", así en la progresión aritmética se cumple: t 1; t 2; t 3 ;

t4;

;t n-3; t n-2; t n-1; t n

4; 7; 10; 13; ... ; 61

(K=cte.)  4  61  S    20  2 

K K K K Organización Educativa

Como la P.A. asociada es:

TRILCE

239

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Calcular:

Calcular: R = 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 119 A  17  21  25   ...     20 sumandos

Resolución:

Resolución: P.A. asociada: 2; 5; 8; 11; ... ; 119 n = 3n - 1 t

No hace falta conocer el último término para hallar el valor de esta serie pues podemos utilizar la expresión: S = t1 +

Luego: A  17  

(n - 1)r 2

n

 2  119  R    40  2 

R = 2420

(20  1)4   20 2 

Test de Aprendizaje Tes t de apr pren endizaj dizaje e pr previ evio o 1. Determine Determine la cantidad cantidad de bolitas bolitas blanca blancass que hay en en el arreglo, si en total hay 29 filas.

3. Calcular Calcular la suma de de las cifras cifras de "  - B"  = 7 + 10 + 13 + 16 + ... + 64 B = 78 + 73 + 68 + 63 + ... + 3 - 2 - 7 - 12

4. Calcul Calcular ar el valo valorr de "S". "S". 2. Si:

S = 9 + 12 + 17 + 24 + ... + 177 2

2

2

2

E  2  3  4  ...  84  "n" suma sumand ndos os

entonces el valor de "n" es:

240


5. Halla llar: 3  9  15  21  ... (1 (12 términos) S 46  42  38  34  ...  6  12

8. Determinar Determinar el número número de palitos palitos que que tiene la la figura figura 20.

........... Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig. 20

6. Obtene Obtenerr la la suma suma de: S = 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 240 y dar la suma de sus cifras

9. Determinar Determinar la cantidad cantidad de de bolitas bolitas negras negras que hay hay en el arreglo, si en total hay 30 filas.

7. Halle lle: S = 3 + 10 + 29 + 66 + ... + 1 730


TRILCE

241

Pract iquemos Practiquemos Bloque I

9. Calcular Calcular la suma suma total del del siguiente siguiente arreglo arreglo de 15 filas. filas.

Calcular: 1.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 30 = a) 435 d) 46 465

2.

b) 475 e) 48 485

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 80 = a) 1 640 d) 3 220

3.

b) 1 680 e) 1 780

13

c) 515

c) 6 480

a) 14 300 d) 16 900

4.

b) 625 e) 1 251

5.

b) 13 259 e) 12 529

c) 676

c) 12 329

1 + 8 + 27 + 64 + ... + 9 261 = a) 56 245 d) 49 241

b) 54 221 e) 37 241

c) 53 361

a) 12 875 d) 11 325

9

17

11

b) 14 400 e) 12 100

19

c) 15 400

b) 11 029 e) 11 030

c) 11 115

11.Calcular "3x - y", si: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + x = 91 1 + 3 + 5 + 7 + ... + y = 289 a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

12.El valor de la suma será:

6. Sumar:

S = 74 + 76 + 78 + 80 + ... + 140 0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 4

a) 800 d) 80 804

b) 801 e) 80 806

7. Calc Calcul ular ar::

c) 802

2 + 6 + 10 + 14 + ... + 38

a) 180 d) 21 210

b) 190 e) 22 220

c) 200

8. Calcular Calcular la suma suma total del del siguiente siguiente arreglo arreglo::

a) 3 640 d) 3 680

100 a) 3 025 d) 1 225

b) 4 225 e) 4 525

c) 2 025

b) 3 670 e) 3 634

c) 3 638

13.La suma de los "N" primeros números pares consecutivos e impares consecutivos es 64N. Halla la suma de los "N" primeros números impares consecutivos. a) 25 d) 425

b) 125 e) 52 525

c ) 62 5

14.Hallar la suma de los términos de la fila 10

1 + 4 + 9 + 16 + ... + 100 4 + 9 + 16 + ...... + 100 9 + 16 + ...... + 100 16 + ...... + 100

242

15

5

S = 21 + 22 + 23 + 24 + ... + 150

1 + 4 + 9 + 16 + ... + 1 089 = a) 11 229 d) 11 239

3

10.Calcular:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 51 = a) 729 d) 2 601

7

1

1 2 4 7

a) 1 110 d) 1 540

3 5

8

b) 505 e) 1 624

6 9 10

c) 1 820


15.Hallar la suma del siguiente arreglo: 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 60 4 + 6 + 8 + ... + 60

6. Un virus se se reproduce reproduce de la siguien siguiente te forma cada cada hora hora 2 más de los que hay en ese momento. Si llegó al país en un número de 20, ¿cuántos habrá ahora que ya pasaron 2 días de su llegada exactamente? a) 3 032 d) 3 232

6 + 8 + ... + 60 8 + ... + 60

b) 3 332 e) 3 132

c) 3 216

7. Hallar Hallar la suma suma total. total. 60

F1 F2

a) 16 241 d) 18 910

b) 21 431 e) 13 241

c) 17 431

1. ¿Cuántas ¿Cuántas veces veces aparecer apareceráá la letra "S" "S" en el siguiente siguiente arreglo de 12 filas?

F20

S S A S S A S A S S A S A S A S c ) 78

2. ¿Cuántas ¿Cuántas bolitas bolitas blancas blancas habrá habrá en la figura figura 30?

(1 )

(2 )

a) 480 d) 485 3.

C

a

l

c

u

l

a

b) 470 e) 46 465 r

( a

+

3

)

2,

(3 )

c ) 460

si:

b) 169 e) 14 144

c ) 361

4. Un alumno alumno recibe recibe S/. 1 por por el primer primer problema problema resuelto, resuelto, S/. 4 por el segundo, S/. 9 por el tercero y así sucesivamente. sucesivamente. Si en total son 30 problemas y resolvió todos, ¿cuánto obtuvo de dinero en total? a) S/. 8 357 d) 12 144

b) 9 455 e) 7 899

a) 948 d) 874

c) 10 500

b) 294 e) 29 296


c ) 290 TRILCE

5

3 2

2 2

5 2

2

7 2

9

c) 951

8. Lucila resuelv resuelvee 66 problemas problemas cada cada día, mientras mientras su hermana María resuelve dos el primer día, cuatro el segundo, seis el tercero, y así sucesivamente. Si empezaron el mismo día, ¿después de cuántos días habrán resuelto el mismo número de problemas? a) 62 d) 64

b) 63 e) 66

c) 65

9. Leticia debe debe leer un un libro en en un número número determinado determinado de días, y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día lo logrará, pero si lee 1 página el primer día, tres el segundo, cinco el tercero, ... etc, le faltarían aún 12 páginas por leer. leer. ¿Cuántas páginas tiene el libro? b) 156 e) 21 216

c) 169

10.Inés recibe un chocolate un día y cada día que pase un chocolate más que el e l día anterior. anterior. Si en total recibió reci bió 2016 chocolates, ¿cuántos días estuvo recibiendo chocolates? a) 60 d) 64

b) 61 e) 71

c) 63

Bloque III 1. En la siguiente siguiente secuen secuencia, cia, determin determinar ar el número número de círculos no sombreados en la colección de círculos que ocupa la figura 20.

5. Cada día Sebast Sebastián ián aprende aprende una palabr palabraa más de las que aprendió el día anterior. anterior. Si el primer día aprendió 4 palabras, ¿cuántas palabras habrá aprendido a pronunciar en total, hasta dentro de 20 días más? m ás? a) 292 d) 288

4

b) 965 e) 92 927

a) 144 d) 182

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2a + 3) = 7 + 14 + 21 + ... + 49 a) 220 d) 225

3

F4 F5

b) 70 e) 76

2

F3

Bloque II

a) 75 d) 72

1

F(1)

a) 400 d) 861

F(2)

F(3)

b) 461 e) 36 360

c) 561 243

2. Una persona persona debe debe vaciar vaciar un balde balde de agua a cada cada uno de los 20 árboles que están sembrados en fila y separados uno del otro 8 m. Si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua y el pozo donde sacará el agua está a 10 m del primer árbol, ¿qué distancia habrá recorrido después de haber terminado con su tarea y haber vuelto el balde hasta donde está el pozo? a) 1 160 m d) 3 440

b) 2 520 e) 5 640

c) 3 820

a) 24 d) 22

b) 25 e) 21

c) 26

4. Angélica Angélica camina camina cinco cinco pasos pasos hacia adelant adelantee y dos hacia hacia atrás, luego da 10 hacia ad adelante elante y cuatro hacia atrás; y así sucesivamente en P.A. ¿Cuántos pasos habrá dado en el momento que por primera vez se encuentra a 1 105 pasos del punto de partida? a) 2 305 d) 2 405

b) 97 975 e) 1 405

c) 2 905

3. Un tren salió salió de su paradero paradero inicial inicial con 7 pasajero pasajeross y en cada parada suben dos pasajeros más de los que hay. Si al llegar a su paradero final se contaron conta ron 616 pasajeros, ¿en cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros?

Autoevaluaciòn Ac epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Cuántos Cuántos términos términos tiene tiene la siguiente siguiente serie: serie:

3. Simp Simplif lific icar ar::

20 + 19 + 18 + 17 + .... + x = 200 a) 18 d) 16

b) 19 e) 15

c ) 20

2. La suma de 50 números números naturale naturaless consecuti consecutivos vos es "I". "I". ¿Cuál será la suma de los 50 números naturales siguientes? a) I + 1 000 d) I + 2 500

b) 2I2 - 1 e) 3I

c) I2 + 1

B 

1, 1  2, 2  3, 3  ...  9, 9 1,1  2, 2  3, 3  ...  9, 9

a)

100 99

b)

100 80

d)

100 60

e)

100 50

c)

100 70

4. El valor alor de: de: E  10, 1  20, 2  30, 3  ...  70, 7  80, 8

a) 370 d) 350

244

b) 384 e) 37 370

c) 364


Tarea domiciliaria Calcular las siguientes sumas

18. 18.

1 + 8 + 27 27 + .. .... + 729 729 = 9 + 27 + 45 45 + .. .... + x

1. S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + 30 30

19.

1 + 2 + 3 + ... + x = 171

20.

1 + 4 + 9 + ... + x = 1 015

2. S = 2 + 4 + 6 + ... ... + 42

Hallar la suma total en los siguientes arreglos triangulares

3. S = 1 + 3 + 5 + ... ... + 51

21.

Si hay 10 filas: 1

4. S = 1 + 4 + 9 + 16 16 + ... ... + 400

2 4

6. S = 1 + 8 + 27 + ... + 1000 1000

5

7

5. S = 17 17 + 20 20 + 23 23 + ... ... + 62

3

8

6 9 10

22.Si hay 15 filas:

2

7. S = 1 + 5 + 9 + ... ... + 57

4 8

8. S = 20 20 + 40 40 + 60 60 + ... ... + 420

6 10

14 16

12 18 20

9. S = 3 + 5 + 7 + 9 + ... ... + 27 27 10.S = 0,1 + 0,2 + 0,3 + ... + 5

23.Si hay 10 filas: 1 3

11.S = 4,01 + 4,02 + 4,03 + ... + 4,20 12. 12.

S = 2,01 2,01 + 4,0 4,044 + 6,09 6,09 + ... ... + 18, 18,81 81

13. 13.

S = 9,02 9,02 + 10, 10,04 04 + 11, 11,06 06 + ... ... + 38, 38,60 60

7 13 15

5 9

11 1 7 19

24. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 12

14. 14.

S = 15,0 15,066 + 17,0 17,088 + 19, 19,10 10 + ... ... + 33, 33,24 24

2 + 3 + 4 + ... + 12

, 0 1 2,  02 3,  03 4, 04 ...    15. S  1 

3 + 4 + ... + 12

Hallar "x" en las sumatorias que se proponen a continuación:

12

30 términos

16. 16.

1 + 3 + 5 + 7 + .. .... + x = 900 900

17. 17.

1 + 3 + 5 + 7 + .. .... + (2x (2x + 5) = 3 025 025


TRILCE

4 + ... + 12

25.José Daniel reparte a su primer nieto S/. 4, S/. 8 al segundo y a cada uno de los restantes S/. 4 más que el anterior. anterior. Si en total tiene 15 nietos, ¿cuántos soles repartió?

245

26.En un camino hay 21 piedras equidistantes cada 10 m y en línea recta, una persona traslada todas las piedras hacia la piedra central. Si cada vez puede cargar solamente una y empieza por uno de los extremos, ¿cuántos metros recorre en total? 27. 27. Lucas ahorró su dinero del siguiente modo: El primer día 3 monedas de 50 céntimos, el segundo día 3 soles más que el primer día; el tercer día 5 soles más que el segundo día, el cuarto día 7 soles más que el tercer día y así sucesivamente, hasta que el último día ahorró 801 monedas de cincuenta céntimos. ¿A cuánto asciende sus ahorros?

246

28.Hallar "m" en: m + (m+4) + (m+8) + (m+12) + ... + 5m = 720 29.Una tina se encuentra en reparación. El primer día da 63 goteadas y cada día que transcurre da 2 gotas menos que el día anterior, ¿cuántos días goteará la tina? 30.Sea: A = 3 + 5 + 7 + ... + 91 B = 36 + 42 + 48 + ... + 90 hallar: A + B


26

Sumatorias II


El problema del tablero de ajedrez Según la leyenda un rey quedó entusiasmado con el juego del ajedrez, de esta manera el rey prometió al inventor todo lo que éste le pidiera. - Deseo tener -dijo el inventor modestamente-, suficiente trigo como para poder poner un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la siguiente y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez, hasta llegar a la última casilla del tablero. El rey ordenó que trajeran inmediatamente bolsas de trigo para satisfacer su pedido, pero cuando las bolsas vacías ya llenaban la habitación, el monarca empezó a preocuparse e hizo venir al matemático de la corte. Este, después de hacer algunos cálculos, dijo: -Majestad, según mis cálculos no hay bastante trigo en todo el reino, ni lo habrá con muchos siglos de cosechas, para satisfacer el pedido de este señor. El número total de granos de trigo, se obtiene sumando los términos de la progresión geométrica. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2 63 = 264 - 1 Posteriormente, se agregó la siguiente continuación al problema del ajedrez. Un matem ático se enteró del compromiso contraido por su rey y propuso sacarlo del atolladero en el que se había metido. Hizo la siguiente propuesta al inventor: te vamos a pagar no solo lo que hemos convenido, sino lo que resulte de agregar más y más casillas, sin fin, al tablero de ajedrez. El inventor aceptó, pensando que iba a aumentar todavía más su fabulosa ganancia, ganancia, pero cuando hicieron los cálculos obtuvieron el resultado siguiente. El rey debe pagar al inventor: S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Sumatorias II El objetivo en este capítulo será reforzar lo aprendido del capítulo anterior (el uso correcto de las sumas notables) basándonos en los problemas de sumas especiales y de la suma infinita creciente (suma límite)

Organización Educativa TRILCE

247

1. Suma de los "n" primeros productos consecutivos consecutivos Tomados de 2 en 2 n

 k (k  1)1.2

k 1

2.3 3.4

4.5 ... n(n 1)



     

"n" sumando sumandoss

n(n  1)(n  2) 3

Como deseamos determinar la mínima cantidad de naranjas, dichas naranjas formarán exactamente a las dos pirámides. Como son 2 pirámides tendremos: 2(1 + 3 + 6 + ... + 210) luego: S = 2 + 6 + 12 + ... + 420 S = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 20 x 21

Ejemplo 1: Calcular: S = 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 110

S

20(21)(22) 3

Resolución: Podemos escribir la serie así: S = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ... + 10 x 11 Aplicando ahora la expresión expresión dada tendremos: S

S = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + ... + n(n+1)(n+2) "n" sumandos

10  11  12 3

n

S   k (k  1)(k  2)  k=1

n(n+1)(n+2)(n+3) 4

Ejemplo: Calcular: S = 6 + 24 + 60 +... + 1320 Resolución: Dando forma ordenada tendremos: S = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + ... + 10x11x12 #'s triangulares 1° nivel

1

2° nivel

3

3° nivel

6

4° nivel

10

20° nivel

210

    Colocando  adecuadamente  un nivel sobre el  otro se forma una  pirámide tetraédrica  de naranjas    

S

10  11  12  1 3 4

1 2

248

1 4

1 8

1 16


Sumemos ahora las partes: S 

1 1 1 1     ... 2 4 8 16 1 2

1 1  1 2 1 1  2  S  2  S  1   1 2 y aquí se puede notar que:

3 4 7 8



S

15 16

Podemos apreciar la suma de 1; 2; 3 y 4 términos respectivamente. Cabe preguntarse ¿cuánto será la suma de los 20 primeros términos? y ¿de los 1000 primeros? y en general ¿la suma de los "n" primeros?. Son casos ya vistos en el apartado anterior sobre series geométricas finitas; pero gráficamente la suma se va acercando hasta el extremo de la regla "sin llegar"; claro está, a dicho extremo. Si vamos sumando así una cantidad sumamente grande de términos, estaremos tan cerca del extremo como queramos siendo la suma "casi 1" es decir "casi toda la regla". Diremos que la suma límite será S=1 (es decir, decir, toda la regla) cuando la cantidad de sumandos sea fínita. Luego:

1

Primer término 1 2

Razón geométrica

Ejemplo 2 Calcular: S = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + ... +

S = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + ...  x

1 2

x

1 2

x

1 2

x

1 2

Si multiplicamos por la razón: q 

1 1 2

Tendremos:

1 1 1 1 S     ...  Slímite  1 2 4 8 16

Pero, calcularemos la suma de otra forma, como: S

1 2

1 S  16  8  4  2  1  ...  2 1 2

Restamos: S  S

1 1 1 1 1      ...  2 4 8 1 6 32

S:

 32 + 16 + 8 + 4 + 2 ... 

(-) 1 Multiplicación por a ambos miembros queda: 2

1 S  0 + 16 + 8 + 4 + 2 2 S

1 1 1 1 1 S     ...  2 4 8 1 6 32 1 2

Ahora restamos S  S :

(-)

1 S  32 2

Como notarás, hemos acomodado convenientemente los términos de ambas expresiones de tal manera que al restar se cancelan términos iguales:

32  1  64  1  2  S  32  1   1

S:  1  1  1  1  1  ...  2 4 8 16 32 1 S  0  1  1  1  1  ...  2 4 8 16 32 S  1 S  1 ¡Se cancelan los infinitos términos! 2 2 Claro está, excepto el que se muestra


... 

TRILCE

2

Podemos observar que: S

Primer término

32 1

1 2

Razón geométrica

249

De aquí concluimos que: Dada la P.G. infinita: t 1 ; t2 ; t3 ; t4 ; ... xq

xq

xq

xq

donde 0 < |q| < 1, recordemos que la serie asociada a ella es: S = t 1 + t2 + t3 + t4 + ...

S 

1. Calcular Calcular la suma suma total total del siguient siguientee arreglo arreglo

1 1+2 1+2+3 1+2+3+4

t1 1-q

Como dijimos al principio del capítulo; no debemos olvidar que "la suma de infinitos sumandos" por sí misma carece de sentido y por lo tanto lo que estamos haciendo es calcular una suma límite; es decir; hallar un número hacia el cual se van acercando (van convergendo) las sumas de una cantidad de sumandos cada vez mayor (sumas parciales). Entonces, a medida que vayamos aumentando la cantidad de sumandos y que dicha cantidad sea tan grande como queramos los números que indican las sumas parciales irán formando una sucesión numérica que va a converger a un número dado el cuál será la "suma límite". Podemos también afirmar que este número (la suma límite) es una cota para todas las sumas parciales; es decir, decir, aunque tomemos una gran cantidad canti dad de sumandos, la suma nunca "rebasara" dicho número y a lo más "cuando la cantidad de sumandos sea infinita" la suma será igual a dicho número. Ejemplo 3

1 + 2 + 3 + 4 + ............ + 150 Solución:

2. Hallar Hallar el valo valorr de "S" S = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + ... + 20 x 21 x 22

Calcular el valor de la suma límite en: S

3. Suma de producto productoss compuestos compuestos por factore factoress consecutivos

Solución:

3 1 1 2     ... 4 2 3 9

Resolución: Observamos que:

S

3 1 1 2     ... 4 2 3 9 x

2 3

x

2 x2 3 3

x

2 q  1 3

2 3

3 9 Luego: SL  4  SL  2 4 1 3

250


4. Suma de productos productos compuestos compuestos por factores, factores, cuya diferencia es constante

5. Suma de productos productos compuestos compuestos por por factores, factores, cuya suma es constante

3. Hallar la suma total del del siguiente siguiente arreglo arreglo

5. Hallar Hallar el valo valorr de "M" M = 1 x 30 + 2 x 29 + 3 x 28 + ... + 30 x 1

3 + 4 + 5 + 6 + ... + 22 4 + 5 + 6 + ...... + 22 5 + 6 + .......... + 22 6 + .............. + 22

Solución:

22 Solución:

6. Hallar la suma de todos los los términos términos del siguiente siguiente arreglo.

3 3+6 3+6+9 3 + 6 + 9 + 12 4. Hallar Hallar el valo valorr de "S" S = 5 + 2 x 6 + 21 + 4 x 8 + 45 + ... + 30 x 34 Solución:


3 + 6 + 9 + 12 + ............ + 150 Solución:

TRILCE

251

6. Suma de las inversas inversas de los productos productos compuestos por factores cuya diferencia es constante 7. Hallar Hallar el valo valorr de "R" R

10.Hallar el valor de la siguiente serie: M

5 1 3 35 97     ... 6 36 21 6 1 2 96

Solución:

1 1 1 1 1     ...  4  7 7  10 10  1 3 13  1 6 81  84

Solución:

8. Suma de términos términos de de una serie serie geométrica geométrica finita finita 11.Calcular el valor de "R" 8. Calcul Calcular ar el valo valorr de "N" "N" 3 3 3 3 3 N     . ..  6  5 1 5  8 24  1 1 33  1 4 27 0  93

R = 101 + 102 + 103 + 104 + ... + 10 40 Solución:

Solución:

7. Suma de términos términos de una una serie geométrica geométrica decreciente infinita 9. Una niña deja deja caer caer una pelotita pelotita desde desde una altura altura de 27 m y en cada rebote se eleva la tercera parte de la altura anterior. anterior. ¿Cuál es el espacio total recorrido por la pelota hasta detenerse?

12.Una pelota se deja caer desde una altura de 243 cm y 2 en cada rebote se eleva de la altura anterior. anterior. Cuando 3 llega al suelo para dar el noveno rebote, ¿qué distancia habrá recorrido hasta ese instante? Solución:

Solución:

252


Test de Aprendizaje Tes t de apr pren endizaj dizaje e pr previ evio o 1. Ulises dispone dispone sus canicas canicas en forma triangula triangularr, tal que en la primera fila hay 1 canica, en la segunda fila 2 canicas, en la tercera fila 3 canicas y así sucesivamente. ¿Cuántas filas formará, si tiene 300 canicas?

2. Trilcito escribe escribe ordenadamente ordenadamente 40 enteros consecutivos. La suma de los 20 primeros es 110. Calcular la suma de los otros 20 enteros consecutivos.

5. Edgar compró compró un artículo artículo a plazos, plazos, comprome comprometiénd tiéndose ose a pagar de la siguiente manera: la primera semana S/.4, la segunda semana S/. 9, la tercera semana S/. 16 y así sucesivamente durante 19 semanas. El precio del artículo es:

3. El valor alor de: de: E  100, 1  200, 2  300, 3  ...  700, 7  800, 8

6. La suma de los los 20 términos términos de de una sucesió sucesiónn lineal creciente es 650. Si el producto de los términos extremos es 244, hallar la razón.

4. Calcular Calcular cuánto cuánto ahorró ahorró una persona persona durante durante 23 semanas, si se sabe que en la primera semana ahorró 4 soles, en la segunda 9 soles, en la tercera 16 soles y así sucesivamente. Organización Educativa

TRILCE

253

7. Hallar la la suma de de todos los términos términos hasta hasta la fila fila 10.

1 2 1 2 1 2  2  3  4  5  6  ... 7 7 7 7 7 7

3

6 6 9 9 9 12 12 12 12 







8. Carlos posee posee 10 10 troncos troncos de árbol árbol que los planta planta en línea recta, separados 7m y 2m alternadamente. alternadame nte. Hallar el recorrido total a partir del instante que muestra el gráfico hasta que termina.

2do. tronco

1er. tronco 2m

254

9. Calcular Calcular la suma de de los infinitos infinitos términos términos dados: dados:

7m

10.En el siguiente arreglo triangular, triangular, calcular la suma de los términos de F 10 (Dar la suma de cifras del resultado) F1  F2  F3  F4 

49

F10 

  

16

4 64 

1 25

9 81

36

  

100  

.........


Pract iquemos Practiquemos Bloque I 1. Calcul Calcular ar el valo valorr de "S" "S" S = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 15 x 16 a) 1 360 d) 1 340

b) 1 380 e) 1 370

c ) 1 350 Calcular: f (1) (1) + f (2) (2) + f (3) (3) + ... + f (20) (20)

2. Hallar Hallar la suma suma total: total: 2   2 3  S  20 21 2 2 4 . ..   64 términos

a) 264 - 1 d) 263 + 1

6. Si: f (1) (1) = 2 f (2) (2) = 2 + 2 f (3) (3) = 2 + 4 + 2 f (4) (4) = 2 + 6 + 6 + 2

b) 263 - 1 e) 265 - 1

a) 221 - 1 d) 221 - 4

c) 221 - 3

7. ¿Cuántas ¿Cuántas bolitas bolitas habrán habrán en total total hasta la figura figura 30? 30?

c) 264 + 1

3. Sumar el siguien siguiente te arreglo, arreglo, si en total total hay 10 10 filas.

F(1)

a) 4 930 d) 4 980

1 1,2,1 1,2,3,2,1 1,2,3,4,3,2,1

F ( 2)

F (3 )

b) 4 960 e) 4 970

F (4 )

c) 4 950

8. Nancy esta esta aplicando aplicando sus sus vasos vasos de cristal cristal formando formando una pirámide tetraédrica. ¿Cuántos vasos tiene Nancy como máximo sabiendo que solamente le es posible obtener una pirámide de 25 niveles? a) 2 870 d) 2 475

a) 365 d) 375

b) 221 - 2 e) 221 - 6

b) 395 e) 38 385

c ) 355

30 + ................ + 3 + 2 + 1 30 + ................... ................... + 3 + 2 30 + ....................... +3

30

c) 2 925

9. Calcula Calcularr el valo valorr de "S" "S" S = 1 x 20 + 2 x 19 + 3 x 18 + ... + 20 x 1 a) 1 530 d) 1 540

4. Sumar mar:

b) 2 755 e) 2 945

b) 1 510 e) 1 380

c) 1 570

10.José ahorrará en el mes de Agosto tanto como el producto de la fecha en que se encuentra con la cantidad de días que faltan para acabar dicho mes. Si ahorra cada día, y para ese mes tendrá ahorrados ya S/. 1200, ¿cuánto tendrá al acabar agosto? a) S/. 6 600 d) 6 170

b) 6 150 e) 6 160

c) 6 180

11.Calcular la suma del siguiente arreglo. a) 9 455 d) 9 155

b) 9 355 e) 9 055

c ) 9 265

5. Calcular Calcular el valor valor de de la siguient siguientee serie: serie:

5 + 6 + 7 + 8 + ................ . ............... + 20 6 + 7 + 8 + 9 + .............. . ............. + 20 7 + 8 + 9 + 10 + .......... + 20 8 + 9 + 10 + 11 + ...... + 20

R = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 + 3 x 4 x 5 x 6 + ............... + 20 x 21 x 22 x 23 a) 1 002 096 d) 1 040 086

b) 2 550 240 e) 1 080 096

c) 1 020 096

20 a) 1 496 d) 2 040


TRILCE

b) 1 796 e) 2 140

c) 1 980 255

12.Calcular el valor de "M" en:

2. Calcular Calcular la suma límite límite de los infinitos infinitos términos términos dados: dados:

M = 1 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + ... + 20 x 22 a) 3 720 d) 3 290

b) 3 270 e) 3 920

c) 3 890

13.Si: Sn = n2 - 4n Calcular: S  S5  S 6  S 7  ...  ... 15 términos

b) 1 730 e) 1 740

b) 4 350 e) 4 530

9 45

b)

9 70

d)

7 16

e)

11 21

c) 1 720

14.Luis regresa a trabajar en una fábrica con la condición de que se la pagará por cada artículo S/. 7 más que la cantidad de artículos artículo s que vende. Si el primer día vendió un artículo y cada día vende un artículo artí culo más que el día anterior, ¿cuánto cobrará Luis por los 20 días que trabajó? a) S/. 4 280 d) 4 340

a)

c) 4 430

E

6 23

b)

5 26

d)

6 25

e)

4 23

6 29

1

a)

1 50

b)

1 51

d)

3 50

e)

3 57

c)

1 57

2 3 3 4 5 4 5 6 7 5 6 7 8 9

1. Calcul Calcular ar el valo valorr de "S" "S" en: 5 5 5    ... 8  7 14  1 0 2 0  13     20 términos

a)

61 128

b)

25 128

d)

60 256

e)

50 257

a) 325 d) 350

b) 340 e) 36 360

c) 330

5. En un camino camino hay 21 piedras piedras equidistan equidistantes tes cada cada 10 m y en línea recta, una persona traslada todas las piedras piedra s hacia la piedra central y cada vez puede cargar solo una piedra. Si empieza por uno de los extremos, ¿cuántos metros recorre en total?

Bloque II

256

c)

4. Hallar Hallar la suma de de los elementos elementos de la fila fila 15

1 1 1 1    ...  5  8 8  11 11  14 14 47  5 0

S

3 16

1 2 3 4     ... 6 3 6 21 6 1 2 96

a)

15.Calcular "A", si: A 

c)

3. Hallar Hallar la la suma suma total total de:

   

a) 1 750 d) 1 770

1 2 1 2 1 2       ... 7 72 73 7 4 7 5 7 6

a) 2 200 d) 2 100

b) 2 000 e) 2 350

c) 2 150

6. Sumar: c)

61 256

S

1 2 3 4  2  3  4  ... 1 10 10 10 10

a)

1 9

b)

5 42

d)

3 25

e)

10 101

c)

10 81


7. Sumar mar:

Bloque III

R = 1 x 30 + 2 x 29 + 3 x 28 + ... + 30 x 1 a) 4 800 d) 4 820

b) 4 520 e) 4 960

c ) 4 352

8. Hallar la la suma de de las áreas áreas de los los infinitos infinitos arcos arcos de semicircunferencia así formados, tomando como diámetro el radio del anterior. Considerar a la semicircunferencia mayor. AB  diámetro diáme tro

1. Calcula Calcularr la suma suma total: total:

3 + 4 + 5 + 6 + ................ . ............... + 15 4 + 5 + 6 + 7 + .............. . ............. + 15 5 + 6 + 7 + 8 + ........... . .......... + 15 6 + 7 + 8 + 9 + ...... + 15

15 a) 1 111 d) 1 100

8m A

B

O

a) 18

b) 1 212 e) 1 001

2. El 1 de febrero febrero nacieron nacieron 2 niños, niños, el 2 de febrero febrero nacier nacieron on 4 niños, el 3 de febrero nacieron 6 niños, y así sucesivamente hasta que terminó el mes en cuestión. ¿Cuántos niños nacieron en dicho mes, si esto ocurrió en 1972? a) 812 d) 842

128  3

c) 1 210

b) 870 e) 86 860

c) 800

3. Hall Hallar ar "S" "S"

9. Halla Hallarr la la suma suma:: S S

2 2 2 2    ...  2  5 5  8 8  11 11 59  62 62

a)

10 163

b)

10 31

d)

10 43

e)

1 2

c)

5 62

a) 0,1 d) 1,9

9 1 8 36 72     ... 20 8 0 32 0 1 2 8 0

b) 0,7 e) 0,9

4. Calcular Calcular la suma suma de los 100 primeros primeros términos términos de: de: 1, 2, 3, -4, 5, 6, 7, -8, 9, 10, 11, -12, .....

10.Hallar la suma total, si el arreglo tiene t iene 15 filas.

a) 2 500 d) 2 450

b) 2 540 e) 2 480

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4

b) 7 100 e) 7 820

c) 2 400

5. En el siguiente siguiente arreglo triangular triangular,, calcular calcular la suma de los términos de F 20

1

a) 7 240 d) 7 260

c) 0,6

c ) 7 120

9

16 25 36 49 64 81 100

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 Fila 20

a) 944 470 d) 945 070


TRILCE

b) 944 670 e) 804 670

c) 946 470

257

Autoevaluaciòn Ac epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Un día Trilcito Trilcito debe debe vaciar vaciar un balde balde de agua a cada cada uno de los 20 árboles que está sembrando en fila y separados uno del otro 8 m. Si Trilcito en cada viaje solo puede llevar un balde con agua y el pozo donde sacará el agua está a 10 m del primer árbol, ¿qué distancia habrá recorrido después de haber terminado t erminado con su tarea y haber vuelto el balde donde esta el pozo? a) 2 880 m d) 3 440

b) 3 660 e) 3 400

c) 3 540

Hallar: "S2 + S1" a) 5 b) 4 14 d) e) N.A. 2 4. Calcular Calcular el el valor valor de la serie: 1 8 27 64 1 44     ....  5 1 0 15 20 5

a) 130 d) 120

2. Calcul Calcular ar el valo valorr de "S". "S". S  1 (1   4) (1  4 7  )( 1 4  7 1 0)...     

c) 10

b) 140 e) 15 150

c) 180

5. Halla Hallarr la sum sumaa de: de:

20 parént paréntesis esis

a) 861 d) 76 760

b) 860 e) 59 599

c ) 761

1 1 1 1    ...  4 x 7 7 x 10 10 x 13 22 x 25 y dar como respuesta su numerador

3. Dados:

a) 4 d) 7

S2 = 1 x 2 + 2 x 3 x 4 + ... + 20 x 21

b) 5 e) 3

c) 6

S1 = 10 x 11 + 11 x 12 + 12 x 13 + ... + 20 x 21

Tarea domiciliaria 5. Calcular Calcular el valor valor de la la siguiente siguiente expresi expresión: ón:

1. Calcular Calcular el valor valor de de la siguiente siguiente suma: S = 4 + 2 + 1 + 1 + ... 2

"n" sumand sumandos os 

A 

2. Calc Calcul ular ar:: S

"n" sumandos

1 1 1 1    ...  1 3 35 5 7 61  6 3

3. Hallar Hallar la suma de las las áreas de de los infinitos infinitos semicír semicírculos culos que se van formando como muestra la siguiente figura:

6. Calcul Calcular ar el el valor valor de de "R" "R" R = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... - 90 7. Calcul Calcular ar el el valo valorr de: de: S = 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,04 + ... + 3

18

8 12

16 3

8. Calcular Calcular la suma suma de los los elementos elementos de la la fila 20. 20.

2

4. Calcul Calcular ar el el valo valorr de: de: A = 101 + 102 + 103 + ... + 10 20

258

(1  3+3  5  5  7  ...)n 2 2 2 1 + + 3 + ... 2 

3 4 5

1 4

5 6

3 5 6

7

7 8

9

fila 1 fila 2 fila 3 fila 4 fila 5


9. Calc Calcul ular ar:: 1 1 1 1    ...  12 23 3 4 20  2 1

10.Calcular: 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + ... + 10 x 11 x 12 11.Dado el siguiente arreglo de números. Si la suma de los elementos de la n-ésima fila es 645, hallar "n".

3 4 5 6

2 2

3 4

5

3 3

3 4

4 4

4

5 5

6

12.Hallar el valor de "S", si: S

17.El primer día de trabajo gané S/. 3, el segundo día gané S/.7, S/.7, el tercer día gané S/. 13, el cuarto día gané S/. 21. Si el número de días que trabajé es 20, ¿cuánto gané en total? 18.Un abuelo tiene 20 nietos, repartió cierta cantidad de caramelos de la siguiente forma: al primero le dio 10; al segundo 12; al tercero 14 y así sucesivamente. ¿Cuántas bolsas de caramelos ha tenido que comprar el abuelo, si cada bolsa trae 21 caramelos?

1 2

16.María decide ahorrar en el mes de febrero de un año no bisiesto de la siguiente manera: "cada día ahorrará tanto como el producto de la fecha en que se encontraba con el número de días que falta falt a para acabar el mes". ¿Cuánto es lo que puede ahorrar María en total?

19.Un biólogo observa grupos de hormigas y nota que el primero tiene 3 hormigas; hor migas; el segundo tiene 7, el tercero tiene 13; el cuarto tiene 21 y así sucesivamente hasta el último grupo que tiene 601 hormigas. ¿Cuántos grupos hay en total? 20.Escriba la serie natural de los términos en la forma:

3 3 3 3    ...  2  6 6  10 10  14 78  82

1 2 4

13.Hallar 13.Hall ar la suma total del siguiente arreglo, si los términos de la última fila suman 420. 2 2 4 2 2 2 2 4 6 8

14.Hallar la suma total del siguiente arreglo.

4 + 5 + 6 + 7 + ..... + 23 5 + 6 + 7 + ...... + 23 6 + 7 + ......... + 23 7 + .......... + 23

7 11

3 5

8

6 9

12 13 14

10 15

Determinar la suma de los términos que componen la vigésima cuarta fila 21.Determinar el valor de la siguiente suma: R 1

5 7 11  3  ...  17 3 3 3

22.Hallar "R", sabiendo que: 1 + 8 + 27 + ... + 343 = 4 + 12 + 20 + ... + R 23.¿Cuántos sumandos debe tener "S"? si: S = 3-1 + 3-2 + 3-3 + 3-4 + ...

23 15.Hallar la suma total del siguiente arreglo: 20 19; 19 18, 18; 18 17; 17; 17; 17

además: S 

3280 6561

24.Hallar el valor de "R" R

1 2 3 4     ...  2 8 28 7 7

1; 1; 1; 1; ............; 1 Organización Educativa

TRILCE

259

25.Hallar el valor de "K". K = 12 - 22 + 32 - 42 + ... - 202 26.Xiomara empieza a resolver r esolver todos los días 66 problemas de razonamiento matemático, mientras que su hermana Patricia resuelve 2 el primer día, 4 el segundo, 6 el tercero y así sucesivamente. Si empezaron el mismo día, ¿después de cuánto tiempo habrá resuelto el mismo número de problemas? 27.Noemy lleva flores de un depósito a otro, la primera vez lleva 28 pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 flores por viaje con respecto al viaje anterior, anterior, pero las flores que van cayendo aumentan en 4 con respec respecto to al viaje viaje anteri anterior or.. Si en to ta l de sea se a llevar 750 flores, ¿cuántos viajes hará?

260

28.Roxana tiene varias monedas antiguas, con ellas hizo varios montones de la siguiente forma: en el primer montón pusó 1, en el segundo puso 3, en el tercero puso 6, en el cuarto puso 10 y así sucesivamente. Si logró hacer 15 montones y no le sobró ninguna moneda, ¿cuántas monedas tiene en total Roxana? 29.Si: f (n) (n) = (2n)2 ; n

3 S 625

si: S 

62 5 1 25 2 5    ... 8 4 2


Análisis combinatorio I

27


Es la parte de la matemática que estudia el ordenamiento de las cosas o elementos

Factorizando 20!

Factorial de un número

E=

Sea "n "n" un número entero positivo, el factorial de "n " n", se denota por n! o n y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n ó desde n hasta la unidad inclusive. n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n - 1)n Ejemplos: 1! = 1 2! = 1 x 2 3! = 1 x 2 x 3 4! = 1 x 2 x 3 x 4 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 Se observa: 4!



5 !  5  4  3  2 1

n! = n(n - 1)!

* Ejercicio Calcular: E=

20! + 21! + 22! 20! + 21!

Resolución:

E=

22  22  21 22

Factorizando 22

E

22(1  21)  22 22 Principios fundamentales del conteo

A. Principio de adición Si una actividad "A" ocurre de "M" maneras y otra actividad "B" ocurre de "n" maneras, entonces la actividad A ó B, es decir, decir, no simultáneamente, ocurre de (m + n) maneras. Observaciones 1. En este principi principio, o, la ocurrenc ocurrencia ia no es simultáne simultáneaa es decir ocurre la actividad "A" o la actividad "B", pero no ambos a la vez. 2. Este principio principio se puede puede general generalizar izar para para más de dos actividades.

5! = 5 x 4! Entonces:

E

20! (1  21 + 22  21) 20! (1 + 21)

20! + 21  20! + 22  21  20! 20! + 21  20!

Ejemplo 1 Liliana puede viajar de Lima a Huancayo por vía aérea o por vía terrestre, tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? Resolución: Liliana viajará a Huancayo o bien por vía aérea o vía terrestre, nunca por ambas vías a la vez Vía aérea: 3 líneas Vía terrestre: 6 líneas


Podrá realizar dicho viaje de 3 + 6 = 9 maneras diferentes.

261

Ejemplo 2

Ejemplo 4

¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al lanzar un dado legal o una moneda?

¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener en el lanzamiento simultáneo de un dado legal y una moneda?

Resolución

Resolución:

En moneda:

= {1; 2; 3; 4; 5 ó 6} = 6

50

céntimos

50

céntimos

= {C ó S} = 2

Cada resultado en la moneda se puede combinar con todos los resultados del dado. Por lo tanto el total de resultados será: 2 x 6 = 12 Ejemplo 5 Jessica tiene a su disposición 4 blusas y 3 pantalones y 2 pares de zapatos todos de diferentes colores. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse correctamente usando dichas prendas? Resolución: blusas 4

pantalones x

3

zapatos x

2

= 24

Observación: Cada blusa puede combinarse con cada uno de los pantalones y estos a su vez con cada par de zapatos.

PERMUTACIÓN Una permutación es un arreglo de objetos de un conjunto en un orden particular. En una permutación si interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar tres casos: Permutación lineal Es un arreglo u ordenación de elementos en línea lí nea recta. Ejemplo 6 Tumbes

1 2 3

A

Lima

B

Tacna

¿De cuántas maneras diferentes se puede ubicar en fila 5 amigas? Resolución:

Total de caminos: 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B = 6 caminos diferentes. Observación: Por cada camino de Tumbes a Lima hay 2 caminos de Lima a Tacna. Por lo tanto se puede calcular también así: 3 x 2 = 6 caminos.

262

Sean las amigas: A, B, C, D y E y P 1, P2, P3, P4 y P5, los lugares a ubicarse. Entonces el lugar P 1, lo pueden ocupar cualquiera de las 5 amigas, para el lugar P 2 habrían solo 4 amigas disponibles, para el lugar P 3, cualquiera de las 3 restantes y así sucesivamente. Así tenemos:


P1 P2 P3 P4 P5

5  4  3  2  1  120 5! Pn = n!

Luego:

Entonces será una permutación de 4 elementos: P4 = 4! = 24; pero internamente y sin separarse las 3 amigas que están juntas podrán cambiar de lugar, y lo harán de: P 3 = 3! = 6 maneras. Luego el número de maneras diferentes que podrán ordenarse estas 6 amigas estará dado por:

Cuando intervienen todos los elementos a la vez.

P

4 x

P3 = 24 x 6 = 144

Ejemplo 7

Ejemplo 8

¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en fila 6 amigas (Marisol, Jessica, Norma, Natalie, Analia y Evelyn). Si Natalie, Evelyn y Norma estarán siempre juntas?

¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar 6 personas en una banca con capacidad solo para 4 personas, si 2 siempre estarán a la espera?

Resolución:

Resolución: 6!

6

Natalie

Evelyn

Norma

n

Como siempre estarán juntas serán consideradas como una sola persona.

6!

P 4  (6  4)!  2 !  360 n!

P m  (n  m)! Cuando no intervienen todas las personas a la vez.

Tes t de apr pren endizaj dizaje e pr previ evio o Test de Aprendizaje 1. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferente diferentess se pueden pueden comprar comprar 3 refrescos en una tienda donde lo ofrecen en 4 sabores distintos, sin mezclarlos?

3. A parti partirr del del gráfi gráfico: co:

A

B

¿De cuántas maneras se puede ir de "A" hacia "B" sin retroceder?

2. ¿Cuántos ¿Cuántos números números de cuatro cuatro cifras cifras pueden pueden formarse formarse con 5 bolillas numeradas con los dígitos 2; 3; 5; 7 y 8? 4. Determina Determina "p" tal que: p!=(2 p!=(2 15) (36) (53) (72) (11) (13)


TRILCE

263

5. Mónica Mónica desea compra comprarr una fruta, fruta, va al supermer supermercado cado "NETRO" y aquí encuentra 6 manzanas, 9 plátanos y 13 melones. ¿De cuántas maneras puede realizar su compra? (todas las frutas son diferentes)

6. Si Noemí tiene para para vestirse vestirse 5 pantalones pantalones,, 3 minifaldas, minifaldas, 6 blusas, 4 polos (3 iguales) y 8 pares de zapatos, ¿de cuántas maneras podría vestirse?

8. Simp Simplif lific icar ar::

[(n !)! 1]!  ((n!) n!)!)! ((n !)!  1)!

9. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferentes diferentes podrá podrá viajar una una persona de "A" a "D" sin retroceder?

A

7. ¿De cuántas cuántas maneras maneras pueden pueden sentarse sentarse 5 personas personas en en una fila de 5 asientos?

264

B

C

D

10.¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 amigos en una misma fila, si Julio debe ir en un extremo?


Pract iquemos Practiquemos Bloque I

9. Cinco amigas, amigas, ¿de ¿de cuántas cuántas maneras maneras diferentes diferentes podrán podrán hacer cola para comprar pan, si claudia estará siempre adelante y Andrea siempre estará última?

1. Simp Simplilififica car: r: E=

a) 100 d) 20 200

100! + 101! + 102! 100! + 101!

b) 102 e) 20 2004

c ) 104

2. Cuál Cuál es la cifr cifraa termina terminall de: E = 1! + 3! + 5! + 7! + ... + 99! a) 1 d) 2

b) 0 e) 5

c) 3

3. Calc Calcul ular ar:: R=

a) 22 d) 42

20! + 21! + 22! 20!  22

b) 20 e) 1

2

c ) 21

4. Silvia Silvia Pilar tiene tiene a su disposición disposición 4 blusas blusas y 6 faldas. faldas. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse utilizando dichas prendas, si todas son de diferentes colores? a) 16 d) 48

b) 10 e) 12

c ) 24

5. Del problema problema anterior, anterior, ¿de cuántas cuántas maneras maneras podrá vestirse con dichas prendas, si la blusa blanca se la pondrá siempre con la falda negra? a) 20 d) 19

b) 18 e) 21

c ) 17

6. ¿Cuántos ¿Cuántos resultados resultados difere diferentes ntes se puede puede obtener obtener al lanzar simultáneamente un dado y 3 monedas? a) 36 d) 144

b) 48 e) 24

c ) 64

7. ¿Cuántos ¿Cuántos resultado resultadoss diferentes diferentes se podrá podrá obtener obtener en el lanzamiento simultáneo de 2 dados y 4 monedas? a) 624 d) 712

b) 498 e) 57 576

c ) 600

8. ¿Cuántos ¿Cuántos resultados resultados diferentes diferentes se podrá podrá obtener obtener al lanzar 2 dados o 3 monedas? a) 48 d) 36

b) 52 e) 44


c ) 144 TRILCE

a) 24 d) 12

b) 10 e) 8

c) 6

10.Seis amigos (3 hombres y 3 mujeres), ¿de cuántas maneras diferentes podrán ubicarse en fila, si en ningún momento 2 personas del mismo sexo estarán juntas? a) 48 d) 72

b) 144 e) 24

c) 36

11.¿De cuántas maneras diferentes siete amigos se podrán ubicar en fila, si 3 amigos en particular (Luis, Rimmel y Alex), estarán siempre juntos? a) 360 d) 720

b) 1 440 e) 64 640

c) 84 840

12.Depositamos en una urna 6 bolas numeradas del 1 al 6 y en otra urna 3 bolas numeradas del 7 al 9. Sacamos Saca mos una bola de cada urna y con los números obtenidos formamos un numeral (de 2 cifras). ¿Cuántos son todos los posibles valores de este numeral? a) 32 d) 40

b) 36 e) 24

c) 18

13.¿Cuántas señales diferentes de 2 banderas, se podrán hacer, si se dispone de 8 banderas de diferentes colores? a) 28 d) 56

b) 72 e) 36

c) 48

14.¿De cuántas maneras diferentes 6 amigos se podrán ubicar dentro de un auto sólo con capacidad para 4, si Edwin será siempre el conductor? a) 60 d) 36

b) 20 e) 72

c) 64

15.¿De 15. ¿De cuántas maneras diferentes 7 amigos podrán ubicarse en fila, si Sebastián y Matías estarán siempre en los extremos y además Alessandro estará en el medio? a) 64 d) 36

b) 96 e) 48

c) 24

Bloque II 1. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferentes diferentes 4 varones varones y 3 mujeres, mujeres, se podrán ubicar en fila, juntos los varones y juntas las mujeres? 265

a) 144 d) 32 320

b) 288 e) 19 196

c) 280

2. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferentes diferentes se se podrá irir de "A" a "B", sin retroceder en ningún momento?

A

a) 15 d) 18

C

b) 16 e) 20

B

c ) 17

3. ¿De cuántas cuántas maneras maneras difere diferentes ntes 6 amigos amigos A, B, C, D, D, E y F, F, pueden ubicarse en fila, si A y B estarán siempre juntos y en un extremo? a) 24 d) 96

b) 48 e) 120

c ) 36

4. Con todas las letras letras de la palabra palabra SARGENTO, SARGENTO, ¿cuántas ¿cuántas palabras diferentes difere ntes se podrán formar, formar, sin importar que tengan o no sentido y además todas las palabras deben empezar por la letra "S" y llevar consigo la sílaba "TO"? a) 600 d) 50 5 040

b) 120 e) 36 3 60

c ) 720

5. ¿Cuántos ¿Cuántos resultados resultados difere diferentes ntes se podrá podrá obtener obtener en el lanzamiento simultáneo de 3 dados y 5 monedas? a) 6 726 d) 3 806

b) 8 242 e) 4 121

c) 6 912

6. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferentes diferentes se puede puede selecciona seleccionarr una casilla blanca y una negra, de tal manera que no estén en la misma vertical ni horizontal?

8. José Manuel Manuel tiene tiene 4 pantalones pantalones y 6 camisas camisas (2 pantalones del mismo color y 3 camisas del mismo color), ¿de cuántas maneras diferentes podrá vestirse correctamente? a) 6 d) 12

b) 24 e) 16

c) 18

9. Con todas todas las letras letras de de la palabra palabra AMORES, AMORES, ¿de cuántas cuántas maneras diferentes se podrá elegir una vocal y una consonante de tal manera que el par de letras así escogidas tengan distinto sonido? a) 15 d) 9

b) 16 e) 18

c) 24

Bloque III 1. El aula especia especiall del colegio colegio consta consta de 20 alumnos, alumnos, a los cuales se les toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? a) 6 860 d) 6 840

b) 6 480 e) 6 920

c) 6 720

2. ¿De cuántas cuántas maneras maneras difere diferentes ntes 8 amigos amigos se podrán podrán ubicar dentro de un auto con capacidad para 5, si Roberto o Juan será el conductor? a) 1 740 d) 1 860

b) 1 490 e) 1 680

c) 1 640

3. ¿De cuántas cuántas maneras maneras difere diferentes ntes 6 amigas: amigas: Marisol, Marisol, Analia, Lisseth, Ornella, Norma y Caroll, se podrán ubicar en una carpeta con capacidad para 6, si en ningún momento Marisol y Norma estarán juntos y además Analia estará en el extremo? a) 288 d) 72

b) 144 e) 120

c) 100

4. ¿De cuántas cuántas maneras maneras se podrá viajar viajar de "P" "P" a "Q", ida y vuelta, si el camino de regreso tiene que ser distinto al de ida?

P a) 48 d) 24

b) 16 e) 32

c ) 56

7. El capitán capitán de un yate yate solicita solicita 2 oficiales oficiales y 4 marineros marineros;; pero se presentan 4 oficiales y 6 marineros. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá elegir la tripulación si tanto los oficiales como los marineros deben desempeñar cargos diferentes? a) 4 280 d) 5 040 266

b) 4 360 e) 5 080

a) 23 d) 132

M b) 24 e) 14 144

Q c) 121

5. ¿Cuántas ¿Cuántas placas placas de automóviles automóviles de 6 símbolos símbolos se podrá confeccionar, si los 2 primeros símbolos deben ser vocales y los restantes dígitos (del 0 al 9)? a) 156 200 d) 10 080

b) 200 000 e) 24 200

c) 250 000

c) 4 320 Cuarto Año de Secundaria

Autoevaluaciòn Ac epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. ¿De cuántas cuántas formas formas se se puede sentar sentar en una una fila de 5 asientos, 2 hombres, 2 mujeres y un niño de modo que a la derecha e izquierda se encuentra siempre una mujer? a) 10 d) 14

b) 11 e) 16

c ) 12

2. Jaime ha visto visto un atropel atropello lo en el cual cual se dio a la fuga fuga el chofer responsable. Investigando por las autoridades, Jaime solo recuerda que las 3 primeras cifras de la placa del automóvil era 523, no recordando acerca de los 4 dígitos que le faltan, mas que todos ellos eran diferentes entre si y a los que ya recordó. ¿Cuántos números de placas diferentes tendrá que investigar la policía? a) 1 860 d) 70

b) 840 e) 96

c) 18 180

3. Si: (k (k + 1)! 1)! + k! = 24k + 48 Hallar "k" a) 2 d) 4

b) 5 e) 3

c) 6

4. Elena tiene tiene 6 faldas y 4 blusas blusas de diferente diferentess modelos. modelos. ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la blusa del modelo "A" puede usarse solamente con la falda del modelo "Z"? a) 20 d) 22

b) 24 e) 19

c) 23

5. En una carrera carrera participan participan 5 atletas. atletas. ¿De ¿De cuántas cuántas maneras distintas puede llegar a la meta, si llegan uno a continuación del otro? a) 360 d) 720

b) 120 e) 60

c) 240

Tarea domiciliaria 9. Del problema problema anterior, anterior, ¿cuántas ¿cuántas palabras palabras se podrán formar, formar, si todas deben terminar en "O"?

1. Del Del esqu esquem ema: a:

A

B

C

¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de "A" a "C" pasando por "B"? 2. ¿De cuántas cuántas maneras maneras ida y vuelta? vuelta? 3. ¿De cuántas cuántas maneras maneras ida y vuelta, vuelta, y que que además el el camino de vuelta tiene que ser distinto al de ida? 4. Alfredo Alfredo tiene a su dispos disposición ición 4 pantalo pantalones nes y 6 camisas camisas todos de diferentes colores. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse usando pantalón y camisa? 5. Del problema problema anterior, anterior, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá vestir si el pantalón negro se lo pondrá siempre con la camisa celeste? 6. Se lanzan lanzan en simultáne simultáneoo un dado dado y 3 monedas. monedas. ¿Cuántos resultados posibles se podrá obtener? 7. Se lanza un dado o 3 monedas. monedas. ¿Cuántos ¿Cuántos resulta resultados dos posibles se podrá obtener? 8. ¿Cuántas ¿Cuántas palabras palabras diferente diferentess se podrá formar formar con con todas las letras de la palabra ESTADIO?


TRILCE

10.¿Cuántas palabras se podrán formar con todas las letras de la palabra TRILCE, si la "C" y la "E", no pueden estar juntas? 11.Simplificar:

A =

(a - 1)! + a! + (a + 1)! (a - 1)! + a!

12.Una persona puede viajar de "A" a "B" por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? 13.Sebastián tiene 5 camisas diferentes y 6 pantalones también diferentes. ¿De cuántas maneras se puede vestir Sebastián? 14.Hallar el valor de "m", si: (m + 1)! (m - 1)! = 36m + (m!) 2 15.¿Cuántas placas de automóviles de 8 símbolos pueden hacerse, siendo las primeras vocales y los 5 últimos dígitos son diferentes?

267

16.Un club tiene 24 miembros, de los cuales 20 son hombres, ¿cuántas juntas directivas de 3 miembros: presidente, vicepresidente y vocal, pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente vicepresidente un hombre? 17.Calcular "x" en: 3

(x+3) (x + 1)! 5 (x + 1)! + (x + 2)!+(x + 3)!

18.¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 12 libros iguales en un estante cuya forma es la que se indica en la figura, si se desea que en cada casilla haya a lo más un libro y en cada fila fil a y en cada columna 3 libros?

23.Calcular: E=

15! + 16! + 17! 15! x 17

24.Se puede adquirir un producto en 3 mercados diferentes. En el primero es posible en 6 tiendas, en el segundo en 5 y en el tercer mercado en 4 tiendas. ¿De cuántas maneras maneras podrá adquirir dicho producto? 25.De mi casa al colegio hay 9 caminos. ¿De cuántas maneras puedo ir y regresar si de regreso no puedo usar el camino de ida? 26.Si hay 5 candidatos para presidente y 6 para alcalde. ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos dos cargos? 27.Una persona tiene para vestirse 5 pantalones; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá vestir? 28.Calcular el valor de la siguiente expresión: 3

(10! + 2)(10!)! S= (10! + 2)! + (10! + 1)! + 10!

19.Andrea tiene 4 pantalones, 3 blusas y 5 faldas. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse correctamente? 20.El 20.E l aula "especial" de la academia consta de 15 alumnos a los cuales se les toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 4 primeros puestos, si no hay empate? 21.Siete amigos, ¿de cuántas maneras se podrán ubicar en fila, si Betty y Roxana estarán siempre juntos? 22.Del 22.De l problema anterior, ¿de cuántas maneras se podrán ubicar, si Betty y Roxana estarán siempre en los extremos?

268

29.¿Por cuántos caminos diferentes se puede ir de "A" a "B"?

A

C

D

B

30.Del problema probl ema anterior, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir de "A" a "B" pasando por "D" y no por "C"?


Análisis combinatorio II

28


Permutación circular PCn = (n - 1)! Ejemplo 1

Ejemplo 3 ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra CARRETA, sin importar que las palabras tengan o no sentido? Resolución:

¿De cuántas maneras diferentes 4 amigos se podrán ubicar alrededor de una mesa circular? Resolución: Se toma un lugar como punto de referencia, eso implica que a los otros tres lugares se les tomará como si fuese una permutación lineal. PC4 = (4 - 1)! = 3! = 6 Ejemplo 2

CARRETA tiene 7 letras (7 elementos) donde la letra "A" se repite 2 veces y la letra "R" se repite también 2 veces entonces: 7

PR 2;2 

7!  1 26 0 2 ! x2 !

Ejemplo 4 Federico tiene 7 banderas del mismo tamaño y modelo (2 blancas, 2 rojas y 3 azules) ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer, hacer, si las iza iz a todas a la vez en un mismo mástil? m ástil? Resolución:

¿De cuántas maneras diferentes 6 amigos se ubicarán alrededor de una mesa circular, si Juan y José estarán siempre juntos?

7

PR 2;2;3 

7!  21 0 2 ! x 2 ! x3 !

Resolución:

Combinación

2! (4!) = 48 maneras

La selección de un grupo de objetos de un conjunto sin tener en cuenta el orden en el que estos son elegidos es llamada combinación

José

Cnm 

Juan

n! (n  m)! xm !

donde: 0 < m

Permutación con elementos repetidos PR n, ,... 

n!  !  !  !...

donde:


269

decimos que:

C52 

Resolución:

5!  10 grupos (5  2)! x2 !

Ejemplo 6 Con las frutas: Plátano, manzana, papaya y fresa, ¿cuántos jugos surtidos de 2 frutas se podrá hacer?

El jugo de papaya con plátano tiene el mismo sabor que el plátano con papaya, verás que no interesa el orden en que han sido seleccionadas las frutas. Por lo tanto diremos que es una:

C24 

4!  6 jugos diferentes (4  2)! x2 !

Test de Aprendizaje Tes t de apr pren endizaj dizaje e pr previ evio o 1. Con 4 oficiales oficiales y 8 soldados, soldados, cuántos cuántos grupos grupos de 6 diferentes pueden formarse de manera que: A. En cada grupo entra un oficial B. Cuando Cuando meno menoss un ofici oficial al

4. De 8 person personas as se necesitan necesitan 3 para: • Forma Formarr un com comititéé de 3 miemb miembro ros. s. • Formar Formar una una junta junta directiv directivaa con con 3 cargos cargos diferente diferentes. s. • Forma Formarr un comité comité de 3 miemb miembros ros dond dondee siempr siempree esté Juan. • Formar Formar una una junta junta directiv directivaa con 3 cargos cargos diferente diferentess con Juan como presidente. Dar como respuesta la suma de los resultados.

2. Calc Calcul ular ar "P" "P" 1  C TT  1  CPT 32

5. La nona Ayda acostu acostumbra mbra darle darle a su bebé bebé papillas papillas 4 días a la semana, no necesariamente juntos y los días restantes una sopa especial. ¿De cuántos modos podrá distribuir estos alimentos durante la semana, si diariamente o da papilla o da sopa especial?

3. De la palabra palabra EUCALIPTO EUCALIPTO se escoge escogenn 2 consonantes consonantes y 3 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse sin que las palabras tengan necesariamente significado? 6. Un monomio monomio de tres tres letras "x", "y", "y", "z" y de exponentes exponentes 5; 6 y 7. ¿De cuántas maneras distintas pueden escribirse, teniendo en cuenta el orden orde n de la colocación de letras y exponentes?

270


7. En un lado lado de un triángulo se se escogen escogen 2 puntos puntos diferentes (no se toma los vértices). ¿Cuántos triángulos se pueden formar con los puntos formados de cada lado?

8. En un internado internado,, una sección sección tiene tiene 5 habitacion habitaciones, es, distribuida de la siguiente manera: 2 a la derecha del corredor, 2 a la izquierda y uno al final fina l del mismo corredor, co rredor, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 5 alumnos, cada uno en una habitación diferente, si en particular 2 de ellos no desean estar al final del corredor?

Pract iquemos

1. ¿Cuántas ¿Cuántas palabras palabras diferente diferentess se pueden formar formar con todas las letras de la palabra PAPAYA, PAPAYA, sin importar el significado de las palabras? b) 360 e) 720

c ) 60

2. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferente diferentess 7 amigos se ubicarán ubicarán alrededor de una mesa circular, si Andrea y Piero estarán siempre juntos? a) 24 d) 240

b) 60 e) 36 360

c ) 120

3. Del problema anterior, anterior, ¿de cuántas maneras maneras se ubicarán, si Andrea y Piero no estarán juntos? a) 360 d) 480

b) 600 e) 54 540

c ) 240

4. Con las pesas pesas de: de: 2 kg, kg, 3 kg, 7 kg kg y 10 kg, kg, ¿cuántas ¿cuántas pesadas diferentes se podrán hacer, hacer, tomándolas de 2 en 2? a) 6 d) 8

b) 4 e) 10


c ) 12

TRILCE

10.Ana, Betty y Cecilia van de campamento con 3 muchachas más, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar alrededor de una fogata, si entre dos chicas hay un muchacho?

Practiquemos

Bloque I

a) 30 d) 72

9. Adan, Beto y Carlos llegan a la ciudad y visitan 3 hoteles. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar cada uno una habitación, si además desean estar en hoteles diferentes? En el primer hotel hay 3 habitaciones libres, en el segundo hotel hay 4 y en el último 2.

5. Sebastián Sebastián quiere quiere ir al cine cine acompañad acompañadoo de 2 amigas; amigas; pero se presentan 7 amigas. ¿De cuántas maneras diferentes puede ir Sebastián acompañado de 2 amigas? a) 20 d) 15

b) 36 e) 21

c) 42

6. Con los dígitos: dígitos: 1; 3; 3; 5; 6; 7 y 9. ¿Cuántos ¿Cuántos producto productoss diferentes se podrán formar, formar, tomando a los dígitos de 2 en 2? a) 30 d) 18

b) 24 e) 15

c) 28

7. Ocho amigos amigos se sientan alrededor alrededor de una una mesa circular circular.. ¿De cuántas maneras diferentes lo podrán hacer, si Matías, Alessandro, Juan y Diego, no podrán estar juntos? a) 5 796 d) 5 478

b) 4 796 e) 5 844

c) 4 464

8. En un campeonato campeonato de de fútbol donde donde juegan juegan todos todos contra contra todos participan 10 equipos. ¿Cuántos partidos se podrán realizar? a) 16 d) 28

b) 30 e) 45

c) 50 271

9. Del problema problema anterior anterior, ¿cuántos ¿cuántos partidos partidos más se podrán realizar, realizar, si llegan 2 equipos más? a) 2 d) 19

b) 21 e) 12

c ) 42

10.¿De cuántas maneras se puede seleccionar 3 camisas de un total de 6 camisas diferentes? a) 16 d) 20

b) 12 e) 21

b) 28 e) 16

c ) 20

12.Con 8 puntos no colineales y coplanares, ¿cuántos segmentos se podrán formar? a) 16 d) 28

b) 30 e) 32

c ) 24

13.Del problema anterior, anterior, ¿cuántos triángulos se podrán formar? a) 54 d) 50

b) 56 e) 48

c ) 52

14.¿Cuántos jugos surtidos se pueden hacer con 4 frutas diferentes? a) 15 d) 12

b) 10 e) 9

c ) 11

15.¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar de un barco a otro con 6 banderolas de diferentes colores, izándolas de 2 en 2? a) 15 d) 12 120

b) 30 e) 14 144

a) 12 d) 20

c ) 210

1. ¿Cuántos cuadriláteros cuadriláteros se pueden formar tomando como vértices los puntos mostrados en la circunferencia?

c) 15

Cn(n2)  36 a) 7 d) 12

b) 9 e) 18

c) 8

4. Se tienen tienen 7 colores colores distintos. distintos. ¿Cuántas ¿Cuántas bander banderas as diferentes de 3 posiciones rectangulares y verticales se pueden formar? a) 180 d) 280

b) 210 e) 32 320

c) 240

5. ¿Cuántos ¿Cuántos grupos grupos de 4 personas personas se pueden pueden formar formar con 6 personas? a) 12 d) 21

b) 15 e) 30

c) 18

6. Se extraen extraen dos cartas cartas de de un juego de de 52 cartas, cartas, ¿de cuántas maneras se puede hacer esto? a) 1 250 d) 1 400

b) 1 326 e) 1 260

c) 1 350

7. En una reunión hay 30 30 personas. personas. ¿Cuántos ¿Cuántos apretones apretones de de manos se produjeron al saludarse todos ellos entre sí? a) 415 d) 465

b) 425 e) 49 495

c) 435

8. Se tiene tiene 8 puntos puntos en el plano, plano, de los los cuales cuales 3 ó más no pueden estar en línea recta. ¿Cuántos segmentos diferentes se podrán formar? a) 56 d) 336

Bloque II

b) 24 e) 10

3. Calcular Calcular "n" "n" de la siguiente siguiente igualdad igualdad::

c ) 28

11.Con todas las letras de la palabra ARAÑA, ¿cuántas palabras diferentes difere ntes se podrán formar, formar, sin importar que las palabras tengan o no sentido? a) 40 d) 10

2. Del problema problema anterior anterior, ¿cuántos ¿cuántos triángulos triángulos se pueden formar tomando como vértices los puntos mostrados?

b) 28 e) 16 168

c) 8!

9. Un marino marino tiene 7 bandero banderolas las del mismo mismo tamaño, tamaño, pero pero de colores diferentes. Si las iza en un mástil, una a continuación de otra, ¿cuántas señales diferentes podrán hacer 3 de ellas? a) 35 d) 6

b) 210 e) 21

c) 5 040

10.Con 5 de ellas, pero la primera siempre blanca y la última amarilla. a) 10 d) 6

272

b) 15 e) 9

c ) 30

a) 60 d) 210

b) 10 e) 20

c) 120


Bloque III Se tienen 4 libros de Raz. Matemático y 3 de Raz. Verbal. 1. ¿De cuántas cuántas maneras maneras difere diferentes ntes se podrán podrán ordenar ordenar en un estante, uno a continuación del otro? a) 24 d) 144

b) 12 e) 28 288

c ) 5 0 40

2. ¿De cuántas cuántas,, si de izquierda izquierda a derecha derecha deben irir los de R.M. primero y luego l uego los de R.V.? a) 24 d) 144

b) 12 e) 28 288

c ) 5 0 40

3. El capitán capitán de un yate yate solicita solicita 3 marineros marineros,, pero se presentan 7. ¿De cuántas maneras diferentes podrá elegir la tripulación? a) 35 d) 21

b) 210 e) 6

c) 5 040

4. ¿De cuántas, cuántas, sisi Sandro Sandro debe pertenecer a la tripulación tripulación y además cada uno debe desempeñar un cargo diferente? a) 30 d) 15

b) 60 e) 20

c) 90

5. De 8 candidatos candidatos se se desea elegir elegir a un presiden presidente, te, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar? a) 336 d) 4

b) 56 e) 24

c) 81

AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Se quiere formar formar comisione comisioness integradas integradas por un doctor doctor y 2 ingenieros de un grupo de 4 doctores. Se podría nombrar dicha comisión, si cierto doctor rehusa integrar la comisión estando el ingeniero "A" o el ingeniero "B" presente en dicha comisión. ("A" y "B" son parte de los 6 ingenieros señalados) a) 45 d) 66

b) 46 e) 65

c ) 51

2. Carolina Carolina tiene 8 amigos de confianza confianza y desea desea hacer una reunión, ¿de cuántas maneras diferentes puede enviar a 5 de ellas, si 2 de ellas no se llevan l levan bien y no asisten juntas? a) 3 d) 9

b) 5 e) N.A.


c) 7

3. Determinar Determinar la última cifra cifra del resultado resultado:: 1x(2!)+2x(3!)+3x(4!)+4x(5!)+...+19x(20!)+20x(21!) a) 3 d) 6

c) 5

4. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferent diferentes es se pueden pueden sentar sentar 8 personas en una mesa redonda de 4 asientos, si además, 4 deben esperar? a) 1 032 d) 1 680

b) 756 e) 420

c) 8! 8!

5. En un examen examen se proponen proponen 6 temas temas para para que el el alumno escoja cuatro. ¿De cuántas maneras podrá hacerlo? a) 30 d) 180

TRILCE

b) 4 e) 7

b) 15 e) 60

c) 360

273

T a r e a d o m i c i l i a r i a 1. ¿De cuántas cuántas maneras maneras puede puede elegirse elegirse 3 persona personass para ejecutar un trabajo si se dispone de 6 personas con igual eficiencia? 2. Diez invitado invitadoss se han dividi dividido do en 2 grupos grupos de 5 para para ocupar 2 mesas. ¿De cuántas maneras puede repartirse a los invitados en dichos grupos? 3. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferentes diferentes puede puede ser contestado contestado un formulario de 10 preguntas, pregunt as, si cada una se contesta con un si o un no? 4. ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferente diferentess se pueden pueden repartir repartir tres premios a tres personas, si cada uno debe recibir por lo menos un premio? 5. ¿De cuántas cuántas maneras maneras puede puede un padre padre repartir repartir un par de premios entre sus 4 hijos, si no puede repartir ambos premios a un mismo hijo? 6. Una composici composición ón musical musical tiene 5 notas. notas. ¿Cuántas ¿Cuántas melodias diferentes se pueden componer si cada nota interviene una vez? 7. Cuatro person personas as entran entran en un vagón vagón de ferrocarri ferrocarrill en el que hay 7 asientos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse? 8. ¿De cuántas cuántas maneras maneras pueden pueden ubicars ubicarsee 5 personas personas en una fila de 5 asientos? 9. Se deben selecci seleccionar onar 2 personas personas para para ocupar los cargos cargos de Director y Subdirector de un grupo de 5 personas igualmente capacitadas. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar dichos cargos? 10.¿Cuántos números enteros enteros mayores mayores que 10 y menores menores que 100, se pueden formar con las 8 primeras cifras significativas (1; 2; ... 8), 8), siendo siendo las cifras cifras diferent diferentes? es? 11.Con 7 banderas de diferentes colores. ¿Cuántas señales distintas de 3 banderas se pueden hacer? 12.Se tienen 12 puntos coplanares, no situados 3 de ellos en línea recta. ¿De cuántas maneras pueden formarse triángulos teniendo a un punto determinado como vértice? 13.¿Cuántas palabras diferentes (sin importar su sentido) se pueden formar intercambiando de lugar las letras de la palabra "PROBLEMA"? 14.En una oficina hay 4 escritorios que pueden ser ocupados c/u hasta por 2 personas. Si hay 3 secretarias, ¿de cuántas maneras pueden sentarse? 15.Juan 15.J uan ve desde la ventana de una casa, que las personas allí reunidas se han dado en total 105 apretones de manos. Diga Ud. ¿cuántas personas ha visto Juan?

274

16.En un estante hay 5 libros de Aritmética y 7 de Geografía. ¿De cuántas maneras diferentes pueden escogerse 2 libros de Aritmética y 5 de Geografía? 17. 17. Una bolsa contiene 4 bolas blancas, 2 negras y 3 rojas. Calcular el número de formas que se pueden seleccionar 5 bolas de modo que 2 sean blancas, 1 sea negra y 2 sean rojas. 18.Tenemos 18.Tenemos una urna con 7 bolas numeradas y se quiere saber de cuántas maneras podemos sacar, sacar, primero 2 bolas, luego 3 y finalmente las 2 últimas. 19.En el problema anterior, si las bolas que se van sacando se regresan a la urna, ¿de cuántas maneras podemos sacar las bolas? 20.¿De cuántas maneras se puede distribuir 9 juguetes entre 4 niños si el menor recibe 3 juguetes y cada uno de los restantes recibe 2? 21.¿De cuántas maneras diferentes se pueden acomodar 6 personas en un auto de 5 asientos, sabiendo sabie ndo que sólo 2 de ellos manejan y que una persona no viajará en el auto? 22.En el consejo de una ciudad hay 10 consejales y 6 regidores. ¿Cuántos comités pueden conformarse si deben constar de 8 consejales y 3 regidores? 23.Un club tiene 8 miembros, los cuales han pagado sus aportes correspondientes correspondientes al mes de Enero. El tesorero ha perdido la hoja en la que figuraba el nombre de cada persona con su respectivo aporte, sin embargo emba rgo se acuerda de todos los nombres y de todos los aportes que le hicieron. ¿Cuántas hojas diferentes deberá hacer para que en una de ellas figure cada nombre con su respectivo aporte? 24.Con 4 atletas y 8 nadadores, ¿cuántos grupos pueden formarse de 6 integrantes c/u, de tal manera que en cada grupo entre tres atletas y tres nadadores? 25.Con las frutas: piña, manzana, papaya y naranja. ¿Cuántos jugos de diferentes sabor se podrán hacer? 26.El capitán de un yate solicitó, 2 oficiales y 3 marineros. Si se presentaron 5 oficiales y 6 marineros, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá elegir la tripulación? 27. 27. ¿De cuántas maneras diferentes podrían ubicarse siete personas, si deben ubicarse alternadamente hombres y mujeres, sabiendo que son 3 mujeres? 28.¿Cuántos productos diferentes de 3 factores pueden formarse con los números 7; 9; 11; 13 y 17? 29.¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 5 personas en una hilera de 5 butacas, sí dos de ellos no deben estar juntos? 30.Se tiene 6 números positivos y 8 números negativos, se eligen 4 números arbitrariamente sin sustitución y se multiplican. ¿De cuántas formas el producto es un número positivo? Cuarto Año de Secundaria

29

Probabilidades I


Concepto de probabilidades

Latín

"Probabilitas"

Verosimilitud Calidad de probable fundada en razón prudente

la probabilidad de que ocurra un determinado suceso (A) se define como la relación entre el número de casos favorables favorables para ese suceso y el número de casos posibles o total (C)

P(A) =

# de casos favorab favorables les para A # de casos posibles o totales

=

N(A) N(C)

Cardinal del conjunto A Cardinal del conjunto C

Ejemplo 1 Beatriz dará a luz con seguridad un bebé. ¿Cuál es la probabilidad de que el bebé sea varón? Resolución: El bebé puede ser: Varón o mujer: casos posibles (total) de que sea varón hay un solo caso (favorable) Entonces la probabilidad de que el bebé sea varón es, un caso de un total de 2 casos. P(varón)=

1  0 , 5  50% 2

Ejemplo 2 Se lanzan 2 monedas en simultáneo. ¿Cuál es la l a probabilidad de obtener 2 caras? Resolución: 50

50

céntimos

céntimos

= {CC, CS, SC, SS} = 4 posibles resultados  espacio muestral ()

la probabilidad de obtener 2 caras es: un caso de un total tot al de 4 casos. P(2 caras) =

1 4


275

Test de Aprendizaje Tes t de apr pren endizaj dizaje e pr previ evio o 1. Una caja caja contiene contiene 12 bolas bolas negras negras y 8 rojas, rojas, ¿qué probabilidad hay de no sacar una bola negra?

6. Se lanza un un dado. dado. Halle la probab probabilidad ilidad de de obtener obtener una suma múltiplo de 3.

2. Al lanzar dos dos monedas, monedas, ¿qué ¿qué probabilidad probabilidad hay hay de obtener una cara y un sello?

7. Entre los números: 1; 2; 3; 3; ...; 50 se escoge un número al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido sea divisible por 6 ó 8?

3. ¿Qué probabil probabilidad idad tiene tiene Iris en en ganar un premio premio en una rifa donde hay 400 talonarios, si ella compra 4 talonarios?

8. En una urna urna hay 10 bolilla bolillass numeradas numeradas del 1 al al 10. Se extrae 2 bolillas al azar. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento aleatorio?

4. ¿Cuál de las las siguientes siguientes expresio expresiones nes no correspo corresponde nde a un suceso aleatorio? a) b) c) d) e)

Jugar Jugar un un juego juego de azar azar Enfria Enfriarr agua agua a 0ºC 0ºC Lanzar una piedra piedra y medir medir su alcanc alcancee Preguntarle Preguntarle a un descon desconocido ocido sisi fuma Apostar Apostar en una una carrera carrera de de caballos caballos

9. ¿Cuál es es la probabilid probabilidad ad de obtener obtener 9 puntos puntos al lanzar lanzar 2 dados simultáneamente?

5. ¿Qué probabi probabilidad lidad hay hay de que al lanzar 2 dados dados se se obtenga una suma menor que 6? 10.Si la probabilidad de que Edgar no hable es 0,03; entonces, la probabilidad de que hable, será:

276


Pract iquemos Practiquemos Bloque I En una caja oscura se depositan 2 esferas blancas, 3 esferas rojas y 4 esferas azules. 1. Si extraemos extraemos una esfera esfera,, ¿cuál es la probab probabilidad ilidad de que sea roja? a)

1 9

b)

1 6

d)

2 5

e)

1 4

c)

1 3

2. Si extraemos extraemos una esfera esfera al azar, azar, ¿cuál es la la probabilidad probabilidad de obtener roja o azul? a)

3 9

b)

7 9

d)

8 9

e)

4 9

c)

5 9

3. Se lanzan lanzan 3 monedas monedas en simultáne simultáneo, o, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y un sello? a)

3 8

b)

5 8

d)

1 8

e)

1 4

c)

7 8

4. Del problema anterior, anterior, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de de obtener por lo menos una cara? a)

1 2

b)

1 4

d)

3 8

e)

3 4

c)

7 8

6. Calcular Calcular la probabilidad probabilidad de que que los valores valores obtenidos obtenidos sean iguales. a)

1 3

b)

1 6

d)

3 5

e)

1 24

a)

2 3

b)

5 36

d)

1 18

e)

1 9


c)

TRILCE

7 36

1 12

7. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de obtener obtener una suma suma de puntos puntos menor a 5? a)

1 4

b)

1 9

d)

1 6

e)

2 17

c)

1 18

8. ¿Cuál es la la probabilidad probabilidad de obtene obtenerr la suma de puntos puntos 8 ó 9? a)

1 4

b)

1 8

d)

5 18

e)

1 9

c)

1 6

9. ¿Cuál es es la probabilid probabilidad ad de que salga salga un cuatro cuatro y seis? seis? a)

1 6

b)

1 8

d)

1 4

e)

1 12

c)

1 18

10.¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo? a)

5 12

b)

7 12

d)

15 37

e)

1 6

• Si lanz lanzamo amoss dos dos dado dadoss en simult simultáne áneo. o. 5. ¿Cuál es es la probabilida probabilidadd de que la suma suma de los valores valores obtenidos sea 6?

c)

c)

17 36

• De un un mazo mazo de 52 cart cartas; as; 13 de de cada cada palo palo.. 11.Se extrae una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea espada? a)

1 13

b)

1 4

d)

3 4

e)

12 52

c)

12 13

277

12.¿Cuál será la probabilidad de sacar un as? a)

1 10

b)

1 6

d)

1 13

e)

1 15

c)

1 4

13.Se extraen dos cartas a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de corazones? a)

1 4

b)

1 17

d)

3 4

e)

1 16

c)

7 36

14.Se extraen dos cartas, ¿cuál será la probabilidad de que se saque una espada y la otra corazón, en ese orden? a)

13 102

b)

15 103

d)

3 102

e)

13 204

c)

15 104

15.Se sacan 3 cartas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean ases? a)

4 539

b)

3 1725

d)

1 5525

e)

2 5625

c)

1 2552

Bloque II Al arrojar 3 monedas al aire: 1. ¿Cuántos ¿Cuántos elementos elementos tiene el espacio espacio muestral? muestral? a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

2. ¿Cuál es es la probabilida probabilidadd de que el resulta resultado do de las tres tres sean iguales? a)

1 4

2 d) 3

278

b)

1 2

3 e) 4

c)

1 3

3. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de obtener obtener 2 caras caras por lo menos? a)

1 4

b)

5 8

d)

3 4

e)

1 2

c)

3 8

4. ¿Cuál es es la probabili probabilidad dad de que que el resultad resultadoo sea a lo más 3 caras? a)

7 8

b)

3 8

d)

3 4

e) 1

c)

1 2

5. Marcar Marcar lo correc correcto: to: I. Si se lanza lanza dos dos monedas monedas la probab probabilidad ilidad que ambas ambas sean cara es de 1/4 II. En una caja hay 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. La probabilidad que se tiene al sacar una de ellas y ésta no sea azul es de 2/3. III.Al lanzar dos dados, la probabilidad que se tiene de que los números que salgan en sus caras sumen 10 es de 1/12. a) I y II d) todas

b) II y III e) sólo II

c) I y III

6. Al arrojar 2 dados en en simultáneo, simultáneo, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad de obtener puntaje mayor que 10? a)

1 6

b)

1 18

d)

1 9

e)

1 12

c)

3 10

7. Marcar Marcar lo lo incor incorrec recto to en: en: I. Se tiene tiene una caja caja con con 12 cartas cartas rojas, rojas, 6 blancas blancas y 8 negras. La probabilidad de sacar una carta roja r oja es 6/13. II. Del enunciado anterior anterior,, la probabilidad que sea blanca es 3/13. III.En un ómnibus viajan 15 varones, 18 damas y 20 niños. La probabilidad de que el primero en bajar sea un niño es de 18/53. a) I y III d) Solo II

b) II y III e) Ninguna

c) Solo III


8. Hallar el valor valor de verdad verdad de las siguientes proposiciones: I. La probabil probabilidad idad que se tiene de sacar sacar 2 ó 3 al lanzar lanzar un dado es 1/3. II. La probabilidad probabilidad de aparición aparición de un número número impar en una tirada de un dado es de 50% III.La probabilidad de sacar una vocal en una máquina de escribir de 27 letras es 5/27 a) VVV d) FFF

b) VVF e) VF VFV

c) VFF

9. Se lanza un dado y una una moneda en en simultáneo. simultáneo. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par acompañado de sello? a)

1 3

b)

1 4

d)

3 4

e)

5 12

c)

1 2

10.Relacionar correctamente: I. Al lanzar lanzar dos dados, dados, la la probabilid probabilidad ad de obten obtener er una suma de valores que sea 9 es: II. Una caja que tiene 5 bolas azules, 3 bolas blancas blancas y 2 bolas negras, la probabilidad de extraer una bola y esta sea blanca o negra es: III.Al lanzar un dado dos veces consecutivas, ¿cuál será la probabilidad de obtener un solo tres? A. a) b) c) d) e)

1 2

B.

1 9

C.

IB - IIA IIA - III IIICC IA - IIB IIB - III IIICC IC - IIB IIB - III IIIAA IA - IIC IIC - III IIIBB Ning Ningun unaa

5 18

Bloque III 1. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de de que al lanzar un dado dado "cargado", el resultado sea un número primo, si se carga el dado de tal manera que los números pares tienen el triple de posibilidades de presentarse que los números impares? a)

1 4

b)

3 4

d)

1 12

e)

5 12

c)

3 10

2. Hallar la probab probabilidad ilidad de obtene obtenerr sólo un 6 al lanzar lanzar dos dados en simultáneo. a)

1 36

b)

5 36

d)

10 18

e)

1 18

c)

5 18

3. ¿Cuál es la probabilid probabilidad ad de que que en una familia familia de de 3 hijos hayan 2 varones y una mujer? a)

3 8

b)

1 16

d)

1 18

e)

5 8

c)

1 9

4. Hallar la probab probabilidad ilidad de de obtener obtener por lo menos menos un 2 al tirar una vez 2 dados en simultáneo. a)

1 36

b)

1 12

d)

11 36

e)

1 6

c)

1 24

5. Una caja caja contiene contiene 40 bolas bolas numerada numeradass del 1 al 40. 40. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola esta sea múltiplo de 3 y par?


TRILCE

a)

1 20

b)

1 10

d)

1 5

e)

1 4

c)

3 20

279

Autoevaluaciòn Ac epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Determinar Determinar la probab probabilida ilidadd de obtener obtener un mismo resultado al lanzar una moneda 3 veces. a)

1 2

b)

1 4

d)

1 6

e)

2 3

c)

1 3

2. Si se lanza un un dado, calcul calcular ar la probabilida probabilidadd de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3. a)

1 2

b)

2 3

d)

1 6

e)

5 6

c)

1 3

4. Calcular Calcular la probabilid probabilidad ad de que al sacar sacar dos fichas fichas de de una bolsa que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas. a)

3 4

b)

2 7

d)

1 7

e)

9 49

c)

6 49

5. ¿Cuál es es la probabilid probabilidad ad de obtener obtener siete siete puntos puntos en el lanzamiento de dos dados? a)

1 6

b)

1 2

d)

7 36

e)

7 2

c)

7 12

3. Calcular Calcular la probabili probabilidad dad de obtene obtenerr dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. a)

1 26

b)

1 352

d)

1 221

e)

3 674

c)

4 663

Tarea domiciliaria I. En una caja oscura oscura hay cuatro cuatro bolas bolas blancas blancas,, cinco rojas y siete negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar: 1. Una Una bola bola bla blanc nca? a? 2. Una Una bol bolaa roj roja? a? 3. Una bola bola blanca blanca y a continuaci continuación ón una roja, roja, dado dado que la primera fue blanca? 4. Una blanca blanca o una una roja? roja? 5. Una bola de cada cada color, color, dado que las dos dos primeras primeras fueron de colores diferentes? 6. Dos bolas bolas blancas, blancas, dado que la primera primera bola fue fue blanca? blanca? 7. Dos bolas bolas blancas blancas con reposic reposición ión de bola? bola? 280

8. Dos bolas bolas blancas blancas y una una negra, negra, dado dado que las las dos primeras fueron blancas? 9. Una Una bola bola ver verde de?? 10.Una bola blanca o roja o negra? II.De un juego de naipes, ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar: 11.Un as? 12.Una figura? 13.Un as y a continuación una figura, dado que la primera fue as? 14. Dos ases, dado que la primera carta fue as? 15. Dos ases, con devolución de carta? Cuarto Año de Secundaria

24. Tres resultados iguales?

16. Una carta de color roja? 17. 17. Una carta roja o una negra? 18. Una carta menor que cinco? 19. Una carta roja menor que cinco?

25. A lo más dos sellos? 26. Por lo menos dos caras? 27. 27. A lo más tres sellos?

20. Una carta cualquiera?

IV. Si se lanzan dos dados simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado:

III. Si se lanzan tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado:

28. Los dos resultados iguales? 29. Los dos resultados diferentes?

21. Solamente dos sellos?

30. Que la suma sea 7?

22. Dos caras y un sello? 23. Dos resultados iguales y uno diferente?


TRILCE

281

30

Probabilidades II


Test d e Aprendizaje de Aprendi zaje e pr Tes t de apr pren endizaj dizaje previ evio o 1. Se tiene tiene dos urnas urnas con bolas. bolas. La primera primera contie contiene ne 2 bolas blancas y 3 bolas negras, mientras que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?

4. Se lanza una una moneda 5 veces, veces, ¿cuál es la la probabilidad probabilidad de obtener 3 caras y dos sellos? 2. Se lanza un dado dado y sale 4. 4. ¿Qué probabili probabilidad dad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 9?

5. De una baraja baraja de naipes naipes,, se extrae extrae al azar 3 cartas. cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 cartas sean del mismo palo?

3. Se le pide pide a Julia que sombree sombree un un cuadro cuadro en la siguiente siguiente figura, ¿cuál es la probabilidad de que sombree de 2 cm de lado? 1 cm 1 cm 1 cm 1 c m 1 cm 1 cm Organización Educativa TRILCE

283

6. Tres amigos: amigos: Juan, Juan, Alex y Raúl Raúl intervienen intervienen en una prueba. Juan y Raúl tienen la misma probabilidad de ganar y es el doble que tiene Alex. Halle la probabilidad probabili dad de que gane la prueba Juan o Alex.

9. César desea desea viajar viajar al Cuzco, Cuzco, pero solo solo puede hacerlo hacerlo por avión y por ómnibus. Si la probabilidad que viaje en avión es el cuádruple de que viaje en ómnibus, además la probabilidad de que no viaje es 0,75, ¿cuál es la probabilidad de que viaje en ómnibus?

7. Desde un un avión se suelta suelta un proyectil proyectil (bomba) (bomba) dirigida dirigida hacia un blanco (región circular de radio 40 m). ¿Cuál es la probabilidad que la bomba caiga en el blanco, si este esta sobre una región circular de radio 200 m?

10.¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 puntos al lanzar dos dados simultáneamente?

8. En una carrera carrera automovi automovilístic lísticaa participan participan 3 peruanos, peruanos, 3 bolivianos y 5 colombianos. Si todos tienen igual posibilidad de ganar, ¿cuál es la probabilidad de que llegue primero un colombiano y segundo un peruano?

284


Pract iquemos Practiquemos Bloque I 1. Depositamos Depositamos en una una urna 4 bolas bolas negras negras y 3 rojas. rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas a la vez estas sean negras? a)

1 3

b)

5 7

d)

1 7

e)

2 7

c)

3 7

2. Del problema problema anterior anterior,, ¿cuál es la probabilid probabilidad ad que una sea negra y la otra roja? a) d)

6 7

b)

2 7

e)

1 3

c)

3 4

5 7

3. Seis amigos amigos se ubican ubican en en una banca banca con capaci capacidad dad para 6. ¿Cuál es la probabilidad de que Andrea y Sebastián se sienten siempre juntos? a) d)

1 3

b)

1 4

e)

2 5

c)

3 13

2 3

4. Del problema problema anterior anterior, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que Andrea y Sebastián se sienten en los extremos? a)

8 15

b)

1 15

d)

7 30

e)

1 5

c)

11 120

5. En una bolsa bolsa hay 6 fichas fichas verdes verdes,, 4 negras negras y 6 rojas. rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 fichas, estas sean negras? a)

4 19

b)

1 20

d)

19 20

e)

1 19


c)

TRILCE

3 20

6. Depositamos Depositamos en en una anfora anfora 8 bolas bolas numeradas numeradas del del 1 al 8, se extraen 3 bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad probabi lidad de que estas sean números primos? a)

3 8

b)

5 12

d)

3 14

e)

1 14

c)

7 8

7. Siete amigos amigos se ubican ubican alrededor alrededor de una una fogata. fogata. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de que tres amigos am igos en particular se sienten siempre juntos? a)

1 3

b)

3 5

d)

2 5

e)

1 5

c)

2 7

8. Se lanza lanza un dado "cargado", "cargado", de de tal manera manera que los los números pares tienen el doble de posibilidades de presentarse que los números impares. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo? a)

1 3

b)

5 6

d)

2 3

e)

2 9

c)

4 9

9. Se lanza lanza 3 monedas monedas y un dado dado en simultán simultáneo. eo. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de obtener como resultado un número no mayor que 4 acompañado de por lo menos m enos una cara en las monedas? a)

1 6

b)

3 7

d)

7 12

e)

1 4

c)

5 12

10.De un juego de cartas (13 cartas de cada palo, 52 cartas en total) se extraen 2 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que estas sean corazones? a)

3 17

b)

2 17

d)

4 17

e)

1 17

c)

5 17

285

11.Del problema anterior, anterior, ¿cuál es la probabilidad de que estas sean pares? (As=1) a)

46 221

b)

23 221

d)

13 122

e)

13 221

c)

23 122

12.¿Cuál es la probabilidad de que estas sean 1 diamante y 1 trebol? a) d)

13 204

b)

17 204

e)

13 200

c)

13 102

1 204

3. Del problema problema anterior anterior, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que A, B y C se sienten sienten juntos y en un extremo? a)

1 420

b)

1 210

d)

5 7!

e)

3! 7!

13 204

b)

25 102

d)

25 204

e)

17 204

c)

15 102

14.¿Cuál es la probabilidad que estas sean números primos?

23 a) 221 13 d) 122

46 b) 221 13 e) 221

23 c) 122

a)

5 12

b)

5 22

d)

1 3

e)

5 14

a)

1 5

b)

2 5

d)

5 9

e)

2 3

c)

3 5

2. Siete Siete amig amigos: os: A, B, B, C, D, E, F y G, se sien sientan tan en en fila. fila. ¿Cuál es la probabilidad de que A, B, C y D se sienten juntos? a)

1 35

b)

2 35

d)

4 35

e)

1 7

286

c)

3 35

c)

1 4

5. Las letras letras de la palabr palabraa AMOR se colocan colocan al al azar en fila. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 vocales queden juntas? a)

1 2

b)

1 3

d)

1 6

e)

1 12

c)

1 4

6. Una caja caja contiene contiene 40 bolas bolas numerad numerados os del 1 al al 40. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar 1 bola, resulte par o múltiplo de 5? a)

1 5

b)

2 5

d)

4 5

e)

1 2

Bloque II 1. Se escribe escribe un número de 2 cifras. cifras. ¿Cuál es la probabilidad que dicho número sea múltiplo de 5?

1 105

4. De una bolsa bolsa que contiene contiene 5 bolas bolas negras, negras, 4 blancas blancas y 3 rojas, se extrae 5 bolas al azar. azar. Calcular la probabilidad pr obabilidad de que 2 sean blancas, 2 sean negras y 1 sea roja.

13.¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? a)

c)

c)

3 5

7. En una carrera carrera particip participan an 10 personas personas.. ¿Cuál es la probabilidad de que Luis llegue primero y Alex llegue último? a)

1 10 !

b)

2 10 !

d)

1 60

e)

1 120

c)

1 90

8. En un salón salón de clase clase hay 4 niños niños y 6 niñas. niñas. Se escoge escogenn 2 personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estas personas sean un niño y una niña? a)

4 15

b)

3 8

d)

2 15

e)

8 15

c)

4 17


Enunciado En una caja hay cinco pares de guantes blancos, cinco pares marrones y cinco pares negros; ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar: 9. Un guan guante te blan blanco co?? a)

1 2

b)

1 3

d)

1 4

e)

1 5

c)

1 10

10.Un guante izquierdo? a) d)

1 2

b)

1 6

e)

1 3

c)

1 4

1 5

2. Los dos dos dados dados con el el mismo número? número? a)

1 6

b)

5 6

d)

1 2

e)

1 3

a)

1 6

b)

5 6

d)

1 2

e)

1 3

d)

1 b) 18

1 6

c)

1 12

c)

1 4

c)

3 4

4. Suma Suma igua iguall a 7? a)

1 2

b)

1 3

d)

1 5

e)

1 6

5. Una suma suma no may mayor or que que 6? 6?

1. Dos Dos cinc cincos os?? 1 a) 36

1 12

3. Los dos dados con números números difere diferentes? ntes?

Bloque III • Se lanza lanzann dos dados dados simultá simultáneam neamente ente,, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado:

c)

e)

1 c) 9

1 12

a)

5 12

b)

5 18

d)

1 6

e)

3 5

Autoevaluaciòn Ac epta ept a el ret reto o TRILCE...! 1. Si la probabilid probabilidad ad de que Edgar Edgar camine camine es 0,75, 0,75, entonces la probabilidad de que no camine será: a) 0, 0,15 d) 0, 0 ,50

b) 0, 0,25 e) 0,75

c) 0, 0 ,35

2. Al lanzar dos dos dados, dados, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad probabilidad de de obtener obtener un puntaje menor que 5 ó mayor m ayor que 10? a)

1 72

b)

1 12

d)

1 6

e)

4 9

c)

1 4

3. Se lanzan lanzan dos dados, dados, ¿cuál ¿cuál es la probabilid probabilidad ad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4? a)

1 3

b)

1 4

d)

3 10

e)

7 18


c)

TRILCE

5 18

4. Se extraen extraen dos cartas, cartas, una una tras otra, sin sin devolució devolución, n, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. a)

1 100

b)

1 5

d)

23 130

e)

1 20

c)

1 130

5. Determinar Determinar la probabil probabilidad idad de que que al lanzar lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6. a) 0

b)

1 1296

2 3

e)

625 1296

d)

c)

10 3

287

Tarea domiciliaria • Al arr arroj ojar ar 3 mone moneda dass al al aire aire:: 1. ¿Cuál es es la probabilida probabilidadd de que el resulta resultado do de las tres tres sean iguales? 2. ¿Cuál es es la probabilid probabilidad ad de obtener obtener 2 caras caras y un sello? sello? 3. ¿Cuál es la la probabilida probabilidadd de que el resulta resultado do sean 2 caras o dos sellos? 4. Determinar Determinar la probabili probabilidad dad de obtener obtener sello, sello, cara cara y sello en ese orden. 5. ¿Cuál es es la probabilid probabilidad ad que en una familia familia de de tres hijos hayan 2 niños y una niña? 6. Se lanzan lanzan 2 dados uno uno rojo y otro otro azul. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de valores igual a 8 y que el dado rojo represente un valor mayor que el dado azul?

16.Se escogen al azar 4 sillas entre 10 de los cuales 6 son defectuosos. Hallar la probabilidad de que 2 exactamente sean defectuosos. 17. 17. De una bolsa que contiene 6 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas. Calcular la probabilidad de que 3 sean blancas, 2 negras y 1 roja. 18.Con 18.Co n 7 médicos y 4 ingenieros se debe formar un comité de 6 miembros. ¿Cuál es la probabilidad que el comité incluya a tan sólo dos ingenieros? 19.De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes de uno en uno y se vuelven a introducir en el mazo después de cada extracción. Hallar la probabilidad que los tres naipes sean corazones. 20.La probabilidad de que Ericka ingrese a la UNMSM es 0,7 que ingrese a la Católica es 0,4. Si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12; hallar la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez.

7. En una caja caja hay 5 fichas fichas blancas blancas y 5 fichas fichas rojas. rojas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una ficha roja y otra blanca?

21.Tres varones y 2 chicas van al cine y encuentran una fila de 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse. Determinar cuál es la probabilidad de que las chicas no se sienten juntas.

8. Si se lanzan lanzan al aire aire 4 monedas. monedas. ¿Cuál ¿Cuál es la la probabilidad probabilidad de obtener 4 caras?

22.Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3 respectivamente es tirada 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 12?

9. Una caja contien contienee 4 tubos malos malos y 6 buenos, buenos, se sacan sacan 2 a la vez y se prueba uno de ellos y se encuentra que es bueno. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también sea bueno?

23.Diez jugadores compiten en una carrera de 500 m. Existe un primer, segundo y tercer premio. Si un país cuenta con cuatro participantes en la carrera, ¿cuál es la probabilidad que obtenga los tres premios?

10.¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres dados la suma de sus caras sea más que quince?

24.Si tenemos 12 libros en un estante, ¿cuál es la probabilidad que siempre se incluya un libro determinado en una colección de 5 libros?

11.Se dispone de 5 envases de gaseosas dos de Coca Cola, dos de Inca Kola y una de Watts. Si se les ordena en una fila, ¿cuál es la probabilidad de que las de Coca Cola y la de Watts estén juntas?

25.Se conoce que de cada 100 panetones se observa que 64 tienen pasas y los restantes no, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 panetones con pasas y 2 sin pasas al escoger 5 panetones?

12.Si se lanzan dos dados y el resultado es 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado se halla obtenido mediante un tres en cada dado?

26.Seis maratonistas (A, B, C, D, E, F) compiten en la maratón de los Andes. ¿Cuál es la probabilidad de que "A" llegue antes que B?

13.¿Cuántos números menores que 10000 pueden formarse con los ocho dígitos 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7?

27.Un par de dados son lanzados. Hallar la probabilidad probabil idad de que el máximo de los dos números sea mayor que 4.

14.De un mazo de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una carta esta sea un diez ó carta roja?

28.Siete personas se sientan al azar en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad que 3 personas queden contiguas?

15.Se tiene en un depósito guardados 6 pares de guantes negros, 6 pares de guantes rojos y 10 pares de guantes g uantes marrones. ¿Cuántos guantes tendrán que extraerse al azar y como mínimo para tener la certeza de haber extraído 2 pares útiles y del mismo color?

29.Se lanzan 3 dados, ¿cuál es la probabilidad de que los resultados de cada dado sea un número impar?

288

30.Con las letras de la palabra ARCOS se colocan al azar en una línea, ¿cuál es la probabilidad de que las 2 vocales queden juntas? Cuarto Año de Secundaria

31

Repaso


Calcular: 1.

• En una una reunión reunión hay hay 4 mujeres mujeres y 3 hombres. hombres. ¿De cuánta cuántass maneras diferentes se podrá escoger:

1 + 3 +5 +7 + ... + 99 a) 25 2 500 d) 2401

2.

b) 22 2250 e) 2704

8. Dos Dos homb hombre res? s? c) 26 2 601

1x2 + 2x3 + 3x4 + ... + 31x32 a) 84 8 412 d) 9642

3.

b) 87 8732 e) 12142

4.

b) 12 e) 10

c) 10912

b) 11 1131 e) 1071

b)

1 3

d)

1 6

e)

2 3

a) 24 d) 10

c) 10 1 041

a) 9 d) 14

d)

1 5

1 b) 3

e)

12 . c)

1 4

1 2

1 d) 5

b)

1 c) 4

1 6

1 4

2 e) 3


b) 12 e) 36

c) 18

b) 8 e) 16

c) 12

MAR a) 6 d) 4

13 .

b) 3 e) 5

c) 2

b) 12 e) 20

c) 16

b) 120 e) 15

c) 90

CASA a) 24 d) 14

14.

MUSAS a) 30 d) 60

• En una bols bolsaa hay hay 3 fichas fichas roja rojas, s, 4 ficha fichass azules azules y 5 fichas blancas. Si se extrae dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de que:

7. Obtene Obtenerr un núme número ro impar impar?? a)

c) 6

• Cuántas Cuántas palabra palabrass diferen diferentes tes se se podrá podrá formar formar con las letras de la palabra:

6. Obtener Obtener cara y un número número menor menor que 5?

1 a) 2

b) 24 e) 16

11.Dos mujeres o dos hombres?

5. Obtener Obtener sello sello y un número número par?

1 2

a) 12 d) 8

c ) 14

• Se lanza lanza un un dado dado y una una moneda moneda,, ¿cuál ¿cuál es es la probabilidad de:

a)

c) 4

10.Dos mujeres y dos hombres?

31 + 33 + 35 + 37 + ... + 71 a) 13 1 341 d) 1221

b) 3 e) 12

9. Una mujer mujer y un homb hombre? re?

8 + 4 + 2 + 1 + ... a) 16 d) 24

a) 2 d) 6

c)

1 3

15.Las dos sean rojas? a)

1 11

b)

1 22

d)

1 6

e)

3 11

c)

1 44

289

16.Las dos sean blancas? 24. a)

2 11

b)

5 33

d)

2 33

e)

1 11

c)

1 33

• Alreded Alrededor or de una una mesa mesa se sient sientan an 8 perso personas nas,, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán sentar sabiendo que: 17.Luisa se sienta junto a Ana? a) 720 d) 18 1 80

b) 1440 e) 10 1 0080

c) 36 360

18.Carla se sienta adyacente a César y Raúl? a) 360 d) 48 480

b) 240 e) 60 600

b) 14 1480 e) 3600

c ) 29 60

20.Los dos primeros lugares? b) 56 e) 28

c ) 42

b) 70 e) 42 420

c ) 210

22. 22.

1x3 1x3 + 2x4 2x4 + 3x5 3x5 + .. .... + 10x1 10x122 a) 495 d) 52 525

b) 485 e) 62 625

c ) 475

a) d)

290

b)

5 4

d)

4 5

e)

4 25

31 32

b)

32 31

32 33

e) 1

1

26. S 

m

2

m d) m 1

c)

34 33



2 m

2

c)

3



m

3

4



m

(m  1) 2 b) m  m  e)    m 1 

4

2 9

 ...

c)

m (m  1) 2

2

• Ana tien tienee 7 camiset camisetas as y 5 pantal pantalone oness de difere diferente ntess colores. ¿De cuántas maneras diferentes podrá escoger una camiseta y un pantalón sabiendo que: 27.La camiseta roja tiene que ir con el pantalón blanco? b) 25 e) 28

c) 31

28.El pantalón verde tiene que ir con la camiseta amarilla? b) 25 e) 24

c) 23

29.La camiseta blanca va con el pantalón celeste y viceversa? a) 28 d) 31

2 2 2 2 2     ...  1x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 3 1 x 33

23.

1 2 3 4     ... 5 2 5 1 25 62 5

5 16

a) 29 d) 27

• Calcular:

c) 54

a)

a) 30 d) 33

21.Los tres últimos puestos? a) 35 d) 18 180

S

25.

4 + ... 3

b) 72 e) 84

m a) (m  1)

• En una una carrera carrera participan participan 7 caballo caballos. s. ¿De ¿De cuántas cuántas maneras diferentes podrán ser ocupados:

a) 21 d) 12

a) 60 d) 90

c ) 120

19.Marlene no se sienta junto a César? a) 17 1720 d) 2840

36 + 12 + 4 +

b) 27 e) 25

c) 29

30.Se lanza un dedo hasta obtener un seis o un uno. Con seis se gana y con uno se pierde. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? a)

1 3

b)

1 4

d)

1 5

e)

1 6

c)

1 2


IV Bimestre Razonamiento Matemático 4to Secundaria

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