1ro SECUNDARIA Ã-LGEBRA.pdf

COLEGIO SANTISIMA CRUZ

“Educación de calidad para la vida profesional “

San Miguel

ÁLGEBRA PRIMER BIMESTRE

ÍNDICE:

Tema 1: Resolución de Ecuaciones……………………....……………. 2 Tema 2: Planteo de Ecuaciones …...…………………………………. 5 Tema 3: Expresiones Algebraicas …………….………..……………. 9 Tema 4: Monomios ……...…………….…………...….…………….. 12 Tema 5: Polinomios I………..……………….…………..….……… 15 Tema 6: Polinomios II…………….……………………….……… 20

Cuaderno de trabajo de Álgebra 1ro Sec. - I Semestre.

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TEMA 1: RESOLUCION DE ECUACIONES 1. ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticos. Esta igualdad debe presentar como mínimo una variable.

Para la clase I.

2. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Resolver una ecuación consiste en hallar el valor que la convierta en una igualdad verdadera. Para ello se tiene las siguientes reglas prácticas: Ejemplo:

x+3=5

Resuelve las siguientes ecuaciones: 1.

x+3 =5

2.

x+3 =1

3.

x+3 =-2

4.

x–3 =2

5.

x–3 =-1

6.

x–3 =-5

3 es un sumando con signo (+) Transponemos el sumando 3: x+3=5



x = 5–3 x = 2

Valor que reemplazado en la igualdad original la convierte en verdadera Ejemplo:

4x = 12

4 es un número que está multiplicando Transponiendo el 4: 4x = 12



x =

12

4 x = 3

Valor que reemplazado en la igualdad original la convierte en verdadera

Cuaderno de trabajo de Álgebra 1ro Sec. - I Semestre.

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7.

2x = 4

8.

3x = - 9

13. 4X + 5 = - 7

14. 5X – 3 = 7

9.

7x = 14

10. 5x = 10

15. 3X – 10 = - 1

II. Resuelve las siguientes ecuaciones: 11. 2x + 5 = 9

16. 7X – 3 = - 17

12. 3X + 5 = 2

17. 8x + 2 = 10

Cuaderno de trabajo de Álgebra 1ro Sec. - I Semestre

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18. 5x + 7 = 2

22.

– 4x = 12

19. 6x + 7 = - 11

23.

4x + 2 = x + 8

20. 4x – 5 = 7

24.

18 – 4x + 6x = 3x + 9x + 8

25.

4(3x – 2) = 3(3x – 2) + 1

III. Resuelve las siguientes ecuaciones: 21.

-x–2=-7


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TEMA 2: PLANTEO DE ECUACIONES Consiste en que a partir de un ENUNCIADO se escriba una IGUALDAD relacionando los DATOS y la INCOGNITA (lo que se pide en el problema)

I. Plantea y resuelve los siguientes enunciados:

Ejemplos: FORMA VERBAL (Enunciado) Un número El doble de un número La suma de dos números La suma de dos números consecutivos El doble de un número, aumentado en 6 es igual 18 El doble de un número aumentado en 6 es igual 18 Dentro de 3 años tendré 14 años

Para la clase

FORMA SIMBÓLICA (Lenguaje matemático) x 2x x+y (x) + (x + 1)

1. La suma de 2 números es 7. Si uno de ellos es 3 ¿cuál es el otro?

2x + 6 = 18 2( x + 6) = 18 x + 3 = 14

OBSERVACIÓN: No existe un método único para plantear una ecuación, pero a continuación te damos algunas recomendaciones:

2. Al sumar 2 números resulta – 2. Si uno de ellos es 3 ¿cuál es el otro?.

1. Lee atentamente el problema las veces que sea necesario. El objetivo es comprender el enunciado. 2. Representa con una letra lo que pide el problema (incógnita) y escribe los datos que te ofrecen. 3. Relaciona mediante una igualdad lo que pide el problema y los datos brindados.

3. Entre María y Rosa tienen 12 años. Si Rosa tiene 5 años. ¿Qué edad tiene María?

4. Resuelve la igualdad (ecuación) planteada.


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4. Graciela tiene cierta cantidad de dinero. Si le dan S/. 8 tendría S/. 15. ¿Cuánto dinero tiene Graciela?

8. Al duplicar un número resulta 10. ¿Cuál es el número?

5. Luego de hacer ejercicios Angela bajo 3 kg y ahora pesa 47 kg. ¿Cuánto pesaba Angela antes de hacer los ejercicios?

9. Si triplicamos un número se convierte en 15. ¿De qué número se trata?

6. Carlos gasta S/. 3 en comida y le sobra S/. 7. ¿Cuánto tenía al inicio?

10. El cuádruple de mi edad es 20. ¿Qué edad tengo?

7. Si a un número se le multiplica por 2 resultaría 8. ¿Cuál es el número?

II. Plantea y resuelve los siguientes problemas:


11. Si al doble de un número, se le adiciona 4 resulta 10. ¿Cuál es el número?

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12. Si al triple de un número, se le adiciona 7 resulta 4. ¿Cuál es el número?

15. El triple de mi edad, disminuido en 3 resulta 12. ¿Qué edad tengo?

13. El doble de la edad de Juan, aumentado en 3 años resulta 11 años. ¿Cuál es la edad de Juan?

16. Hoy gasté el doble de lo que ayer gasté. Si ayer gasté S/. 4. ¿Cuánto fue el gasto de los 2 días?

14. El cuádruple de mi dinero, disminuido en S/. 5 resulta S/. 7. ¿Cuánto dinero tengo?

17. Luego de haber caminado el triple de la distancia de mi casa al colegio recorro 2 km más. Si en total he caminado 14 km. ¿Cuál es la distancia de mi casa al colegio?


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18. Si Pedro cuadruplica su dinero y le regalan S/. 5 tendría lo que yo tengo. Si mi dinero es S/. 17. ¿Cuánto es el dinero de Pedro?

III. Lee cuidadosamente los siguientes problemas y revuélvelos: 20. Yo tengo el doble de tu dinero, si entre los dos tenemos S/. 24. ¿Cuánto dinero tengo? a) 8 d) 2

19. Juan razona: “Si triplicó mi peso y subo a una balanza con mi hermano que pesa 7 kg esta marcaría 127 kg”. ¿Cuál es el peso de Juan?

c) 24

21. Yo tengo S/. 20 menos que tú. Si el dinero que tienes es el triple del dinero que tengo. Halla la suma del dinero que tenemos. a) 30 d) 50


b) 16 e) 3

b) 10 e) 60

c) 40

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TEMA 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS I 1. TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son: Parte Constante (coeficiente): Es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2,

OBSERVACIÓN: Un término algebraico NO puede tener como exponentes a: * Números Irracionales Ejemplos:  4x

4

Parte Variable: Es aquella que varía y se representa generalmente por letras (x, y, z, …). Ejemplo: x2, xyz, x5y7.

4x3y4 ; -x3y4

 ………… son semejantes



x5y3

 ………… son semejantes



-a3b4 ;

;

x7y3

no es término algebraico.

Términos: Expresión unitaria que conforma un tono. Álgebra: Estudio de la unión de parte variable con parte constante y sus diversas operaciones.

2. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma parte Variable.




VOCABULARIO: Semejantes: Entes que guardan algo en común.

Variable

la misma parte variable. AHORA TÚ:


 -2x2y3za no es término algebraico.

Exponente

Ejemplo: 3x4y5 es semejante con  2x4 y5 porque tiene

2

* Letras Ejemplos:  -xxyyzz

La unión de dichas partes origina el Término Algebraico. Así: En General:

Coeficiente

y 4z 5

 2xy3z

3

ax n

3

Para la clase 1. Completa las siguientes proposiciones con su respectiva constante:

-3b4a3  ………… son semejantes

a) La cantidad de meses de un año. ( b) Los colores del semáforo. ( c) Días de la semana. ( d) Las vocales. (

)

)

)

)

e) El número de días del mes de Agosto. (


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)



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f) El número de estaciones del año. (

)

2. ¿Cuántas variables existen en la siguiente oración? Subráyalas.

d) Menos cuatro veces el tiempo transcurrido. _________ 4. Completa el siguiente cuadro:

Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas del

Término Algebraico

mar en una noche despejada de pronto Mario

Parte Constante

Parte Variable

3x

pregunto papá. ¿Cuál es el número de estrellas

x

en el universo? Es una cantidad mucho más

5x3

grande que el tiempo de tu vida en la Tierra.

-2x2y

Quizás tan grande como la cantidad de granos

x3yz2

de arena en la playa, contesto Pedro. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) Los números son constantes. II) Las variables se representan con

3. Representa mediante términos algebraicos las siguientes proposiciones:

números. III) 5 es una variable.

a) La edad de una persona. ______

a) Sólo I y III b) Sólo II

b) El doble del número de personas en el mundo. _______

c) Sólo I

c) El triple del número de pasajeros que

e) Ninguna

suben a un autobús. ________ d) Menos el doble de la altura de un árbol. _________

d) Sólo III

6. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son Falsas? I) 3 es un término algebraico.

a) El dinero de una persona. ______ b) El quíntuple de la temperatura ambiental. _______ c) Siete veces la distancia Tierra – Sol. ________


II) 3x2yw es un término algebraico. III) x es un término algebraico. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) I y II

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7. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones. a) Dos veces el número de postulantes a la universidad. ________

9. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son falsas: I) -3 es un término algebraico. II) En un término algebraico las variables pueden tener exponentes negativos. III) Un término algebraico tiene tres partes: parte constante, parte variable y exponentes.

b) Cinco veces el dinero que gaste. ____

a) I y III b) Sólo I c) Sólo II d) I y III e) Todas

c) Menos tres veces el número de colegios del Perú. ________ d) Menos ocho veces el área de un cuadrado. __________ e) Menos cuatro veces el área de un rectángulo. _______

10. Se busca un término algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. De los siguientes ¿cuál cumple con la condición?

f) Menos el doble del área de un triángulo. _______

a) 4x3 d) 12y8

b) 8w5 e) 14m7

c) 10z4

g) Menos tres veces el área de un círculo. ________ h) El cuádruple del área de un cuadrado. ________ 8. Completa la siguiente tabla: Término Parte Parte Exponentes Algebraico Constante Variable 5x-9y2 4x-1wz3 -25x3y8w-4 -14x-4w5z3


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TEMA 4: MONOMIOS MONOMIO: Es un término algebraico, donde los exponentes de las variables deben ser números enteros y positivos.

b) 3w + (-5w) = c) 8z + (-4z) =

Ejemplos:

d) (-7y) + 3y = 7y5w -8x3z6 12x2yz3

3x 5yw -2w3

e) (-2x) + 5x = f) (-8w) + (-3w) =

NOTA: Los exponentes en un término algebraico son cualquier número. Los exponentes en un Monomio son enteros y positivos.

g) 2z – 7z = h) 5y – 3y = i) (-8x) – (-5x) =

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS: Para sumar o restar Monomios estos deben ser términos semejantes, es decir, tener la misma parte variable.

j) (-4w) – 3w = II. Reduce en cada caso:

Ejemplos: 3x + 2x Se pueden sumar porque tienen la misma parte variable. 5x + 3x2 No se pueden sumar pues sus partes variables no son iguales. 4w – 5x No se pueden restar porque las partes variables son diferentes.

Para la clase I. Halla el resultado en cada operación: a) 2x + 5x =

a) 3x2 + 4x2 + 7x2 = b) 4w3 + 2w3 – 8w3 = c) 5z4 + 7z4 – 2z4 = d) -12y5 + 3y5 + 2y5 = e) -5x7 + 7x7 + 2x7 = f) -3w2 – 2w2 – 4w2 = g) 3z3 – 2z3 – 4z3 = h) 10y4 – 4y4 – 3y4 =


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i) 9xw + 2xw + 4xw = III. Resuelve: 2

3. Si: 3xw + 8xw = axw 2

Hallar: a

2

1. Si: ax + bx = 7x Hallar: a + b a) 7 d) 2

b) 5 e) 4

n

n

c) 6

3

2. Si: mx + px = 10x Hallar: m + n + p a) 10 d) 14

b) 13 e) 11

a) 3 d) 7

b) 11 e) 4

2

n

c) 8

2

4. Si: 5x – 3x = mx Hallar: m + n c) 12


a) 2 d) 16

b) 4 e) -1

c) 8

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2

2

2

m n

5 m

5. Si: 3x y – 10x y + 5x y = ax y Hallar: a + m + n a) 4 d) 2

b) 3 e) -2

3 2

3 2

5 n

p m

p 3

7. Si: 3x z – 7x z + 5x z = ax z Hallar: n+p m+a

c) 1 a) 1 d) -3

3 2

b) 5 e) 2

c) 3

3 2

6. Si: -7w z + mw z – 2w z = 3w z Hallar: m a) 9 d) 12

b) -9 e) 5

c) -12


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TEMA 5: POLINOMIOS I POLINOMIO: Es una suma limitada de monomios no semejantes. En esta suma se puede incluir alguna constante. Ejemplos:  5x + x2

 4xy – 5xz + 4 – 3x2

 3xw + x

 4x2y + yz4 – 3

 2w2 + 5

 3x2y3 – 8xy3

 -3y5 + 2x – 1

 -5 – 10x2 – x

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS: Para sumar o restar polinomios debemos recordar que: SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión interior no cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un signo de colección la expresión interior cambia de signo.

b) (3w + 5) + (4w + 4) =

c) (4x2 + 2) + (5x2 + 3) =

d) (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) =

e) (9y3 + y) + (3y3 + y) =

f) (3x + 2) – (x + 1) =

Ejemplo: (3x + 2) + (2x + 5) = 3x + 2 + 2x + 5 = 5x + 7 g) (5w + 4) – (2w + 2) = Polinomio polinomio

términos semejantes h) (8z2 + 5) – (4z2 + 2) =

Para la clase I. Opera (suma o resta) los siguientes polinomios

i) (7y3 + 9y) – (2y3 + 4y) =

a) (x + 2) + (2x + 1) =


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j) (10x4 + 3x) – (5x4 + 2x) =

II. Opera los siguientes polinomios:

f) (3x2 + 4x) – (2x2 - x) =

a) (2x2 + 3x) + (3x2 - x) =

g) (4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) = b) (5x2 – 4x) + (2x2 – 3x) =

h) (5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) = c) (3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) =

i) (9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) = d) (4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) =

e) (8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) =


j) (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) =

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k) 3y – {2y – (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w}

c) 4w – {-8x – [8y – 4w + (8x – 8y)]} – 9x a) 0 d) 3w

b) 7x e) -7y

c) 7y

III. Reducir: a) {(3y – 7 - w) + 4 – [-2y – 3x - 3] – 5y} + 10x a) 3 d) 7

b) 5 e) 9

c) 8

d) 3x + {9xw – {2x – 4xw – (5xy2 – 4 – 7x) + [3x + 13xw – (-3x + 4)]} + 10xy2}

b) -3x + {5w – [5z – 3x – (-5w + 4z)]} + z a) –z d) –x

b) x e) 0

a) 12x – 15xy2 b) -12x + 15xy2 c) 15x – 12xy2 d) -12x – 15xy2 e) 15x + 12xy2

c) –w


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IV. Resuelve los siguientes problemas 1. Si: A = 3x2 + x – 7 B = 8x2 – 5x – 10 C = 5x2 + 3x - 1 Hallar: A + B – C a) 6x2 – 7x - 16 b) 6x2 – 7x c) 6x2 – 7x – 15 d) 6x2 + 7x - 16 e) 6x2 – 7x + 16

2. Si: A = w3 – 8w + 4 B = 2w2 – 4w Hallar: A – 2B 3

2

a) w + 4w - 4 b) w3 – 4w2 – 2 c) w3 – 4w2 + 4 d) w3 + 4w2 + 4 e) w3 – 4w2 – 4


3. Si: A = -8x2y + 3xy – 3y3 B = 4y3 – 7x2y + 2xy Hallar: 2A – 3B a) 5x2y + 18y3 b) 5x2y – 18y3 c) 5x2y – 18y2 d) 5xy – 18y3 e) 5xy2 – 18y3

4. Si: (3x + 4) + (5x - 2) = mx + n Hallar: m – n a) 9 d) 7

b) 8 e) 5

c) 6

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5. Si: (mx + n) – (-3x - 2) = 10x – 2 Hallar: m + n a) 4 d) 8

b) 5 e) 3

c) 7

7. Si: A = -2x – 5 B = 4x2 – 3x + 2 Hallar: 3A - 2B a) -8x2 - 19 b) 8x2 + 19 c) -8x2 + 19 d) -8x - 19 e) 8x2 - 19

6. Si: (2x + 4) + (3x - 8) = mx + n Hallar: m + n a) -1 d) 5

b) 1 e) 4

c) 0


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TEMA 6: POLINOMIOS II GRADOS DE UN MONOMIO Para un monomio cualquiera pueden determinarse dos tipos de grados:

Para la clase

Grado Absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de sus variables.

1. En los siguientes monomios de el valor de los GR de cada variable : a. M(x, y) = 28x3 y3

Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable referida. Ejemplo:

P(x, y,z)  7 2x 4 y5 z2 b. M(x, y) = -12x5 y7z

G.A.: 4+ 5 +2 = 11 G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 5 G.R.(z) = 2

c. M(x, y, z) = 33xy4 z5

GRADOS DE UN POLINOMIO d. M(x, y) = 10xy3

Grado Absoluto (G.A.): Está dado por el Mayor de los grados de sus términos. Grado Relativo (G.R.): Está dado por el Mayor de los exponentes de la variable referida.

e. M(x, y) = 3x5 y

Ejemplo: P(x,y) = 5x2y7 - 3x4y2 9°

6°

+ 4x2y2

2. El siguiente monomio es de GA = 12. Hallar “n” : M(x, y) = 2xn-2 y6

4°

Luego: El grado absoluto (G.A.) del polinomio es 9.

a) 7 d) 0

b) 6 e) 8

c) 10

Además: G.R.(x) = 4 (Mayor exponente de x) G.R.(y) = 7 (Mayor exponente de y)


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3. Halle el valor del coeficiente si sabemos que el monomio es de GRx = 3. M(x, y) = -3nxn-3 y a) 18 d) 12

b) 15 e) -9

b) 10 e) 0

a) 3 d) 5

c) –18

4. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x, y) = 11xn y7 si sabemos que GA = 12 a) 4 d) 7

6. Hallar el coeficiente si GA = 14. M(x, y) = (n + 2)xn+5 y2n b) 4 e) 6

c) 2

7. Halle el coeficiente si GRx = 2; GRy = 3 en : M(x, y) = (a + b - 5)xa+1 yb-3 a) 7 d) 5

b) 6 e) 12

c) 2

c) 5

8. Calcule el GRx si GRy = 12 en : M(x, y) = 12xn-2 yn+4 5. Calcular “n” si el monomio : M(x, y) = 44 x3n y2 es de GA = 11 a) 3 d) –9

b) 2 e) 5/3

a) 8 d) 10

b) 7 e) 4

c) 6

c) 9


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9. En el monomio M(x, y) = 4xn-3 y4n. Calcule GRy si GRx = 4 a) 21 d) 24

b) 28 e) 18

c) 3

10. En el siguiente polinomio: P(x) = 2xa-2 – 7xa + 12xa+4. Calcule el valor de a si GA = 12 a) 8 d) 11

b) 14 e) 10

11. En el polinomio: P(x,y) = x2a+4y – 7xay2 – 8xa-3y2. Calcular el valor de a si GRx = 8 a) 11 d) 7

b) 8 e) 4

c) 2

12. Calcule el valor de “a” si GA = 14 en : P(x) = 7x2 ya+2 – 12xa+1 ya+3 + 18xa+2

c) 12


a) 5 d) 6

b) 10 e) 8

c) 12

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13. Calcule la suma de coeficientes Si GRx = 3. P(x) = xa+1 – axa+2 + xa+3 a) 2 d) –3

b) 3 e) -2

c) 4 a) 10 d) 15

14. Halle “a” en P(x) = ax22+a – 12x2 + 27x3 si la suma de coeficientes es cero. a) –15 d) –27

b) 15 e) 18

16. Halle el valor de “n” en: M(x, y) = 2x2 yn – 2yn+2 + 3xn-3 y; Si: GA = 12 b) 5 e) 12

c) 8

17. Del problema anterior, ¿cuánto vale el GRy?

c) 12

a) 10 d) 12

b) 6 e) 2

c) 8

15. ¿Cuál es el GRx en el problema anterior? a) 15 d) 7

b) 3 e) 5

c) 2


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ÁLGEBRA SEGUNDO BIMESTRE

ÍNDICE:

Tema 1: Polinomios III……………………………....….....………. 25 Tema 2: Polinomios IV ………………………………..………..…. 29 Tema 3: Productos Notables I …………….……...………….……. 32 Tema 4: Productos Notables II……………….………..…….…… 35 Tema 5: Productos Notables III …….…………..……….……… 37 Tema 6: Repaso ………………..………..………………………… 41

Cuaderno de trabajo de Álgebra 1ro Sec. – I Semestre

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TEMA 1: POLINOMIOS III POLINOMIOS ESPECIALES 1. POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor. Ejemplos: P(x)  5x3 + 2x – 4x2 + 7 OjO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7). P(x) = 2x + 3

…. Es polinomio completo.

P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 …………… Es polinomio completo. P(x) = x4 – 2x3 + 5x – 4 ……………. Es polinomio completo.

2. POLINOMIO ORDENADO Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos. Ejemplos: P(x) = x2 + 2x3 – x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente) P(x) = x7 – 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma descendente) Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una: 3 7

2 9

4

P(x, y) = 4x y – 5x y + 2xy (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”) P(x, y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”)


POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores. Ejemplo: P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo por que presenta todos los exponentes de “x” y además están ordenados en forma descendente) P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente) 3. POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto. Ejemplo: P(x, y)  4x3y4 – 3x7 + 2xy6 – x5y2 GA = 7 GA = 7

GA = 7

GA = 7

4. POLINOMIOS IDÉNTICOS Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión. Ejemplos: P(x) = (x + 1)2

Q(x) = x2 + 2x + 1

P(0) = Q(0) = 1 P(1) = Q(1) = 4  P(x) y Q(x) son idénticos. Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.

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5. POLINOMIOS IDÉNTICAMENTE NULO Es cuando todos sus coeficientes son iguales a cero. Ejemplos:

d) P(x, y) = 4x8 y9 – 3z7 y17 + 13y16 x

P(x) = 0x2 + 0x + 0 P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) ….. = P(1000) = 0 Así si tenemos: Que si P(x) = (A - 2)x2 + (B - 3)x + c + 2 es idénticamente nulo. Entonces: A = 2; B = 3; C = -2

2. Determinar “a + b” si los polinomios son homogéneos:

a) P(x, y) = 8x4 ya – 3x2 yb + 12x9

Para la clase 1. Determinar el grado de homogeneidad de cada uno de los problemas:

a) P(x, y) = -3x4 y5 z + 2xy8 z2 b) P(x, y) = -13xya + 7xb y7 + 13x3 y12

b) P(x,y,z) = 12x3 y7 z –3xy8 z2 + 2x9 y2 – 3z11

3. Diga Ud. si los siguientes polinomios son idénticos:

c) P(x, y) = 7x2 y2 – 2x4 + 3x3 y


a) (x + 4)2 + 3  x2 + 8x + 19

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b) x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3  x3 + y3 + 3xy(x + y)

e) (x - 1)2 – 1  x2 + 2x

c) x7 + 4x3 y4 - 4x4 y3  4x3 y3(y + x + 1) + x7 4. Determinar los valores de A y B si cada polinomio es idénticamente nulo:

a) P(x) = (5A)x2 + (2 + B)x + 0x

d) (x – 3)2 + 8  x2 – 6x + 17

b) P(x) = (A + 3)x7 + (B + 7)x3 + 0x


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c) P(x) = 5x3 – 0.7x4 + Ax3 + Bx4

d) P(x) = 9x5 – 3x3 + Ax3 – Bx5

b) P(x) = 7x8 – 27x4 + (7A)x8 – (9B)x4

c) P(x) = -3x2 + Ax2 + 0.3x2 + Bx2

e) P(x) = (A + B)x3 + (B - 7)x2 + 0x4 d) P(x) = 8x3 – 7Ax3 – 6x4 + 7Bx4

5. Halle Ud. El valor de “A + B” en cada polinomio si sabe que son polinomios idénticamente nulos

e) P(x) = 9x5 – 27x29 + Bx5 – Ax29

a) P(x) = Ax5 + Bx3 – 5x3 + 8x5


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TEMA 2: POLINOMIOS IV VALOR NUMÉRICO (V.N): Consiste en reemplazar las variables de un monomio por números determinados. Así, se obtendrán un resultado, denominado VALOR NUMÉRICO. Ejemplo:

2. Calcule el VN de los siguientes polinomios Para: x = 2 ; y = 1 ; z = 3

a) P(x, y) = 7x – 10y

P(x) = 6x + 7 , hallar P(-2)

Solución: Reemplazamos: x = 4 P(-2) = 6(-2) + 7 P(-2) = -12 + 7 P(-2) = -5

b) P(x, y, z) = 8z + 3x – y

Para la clase 1. Halle el VN de 5ab + 3b – 2a Para a = 1; b = 2

a) 12 d) 10

b) 13 e) 18

c) 14

c) P(x, y, z) = 3z + 3x + 3y


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d) P(x, y, z) = y – 3x + 7z

g) P(x) = x2 + x + 1

e) P(x, y, z) = 93x – 3y2 – 2

h) P(x) =

2

f) P(x, y) = 12y + 3x + 32


1 3

(x - 1) (x - 3)

i) P(x, y) = y2(x - 4)

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3. Calcule el valor de E para los siguientes Casos:

a) P(x) = x(x - 4)(x - 7)

d) P(x, y, z) = 3x – 1 E = P(2) + P(-2)

E = P(1) – P(3)

b) P(x, y) = 7x – 10y E = P(1, 2) – P(3, 1)

e) P(x, y, z) = 5xy + yz + z E = P(1, 1, 1) + P(2, 1, 3)

c) P(x, y, z) = 8x2 – 3y + 7z E = P(1, 3, 2) – P(0, 1, 2)

f) P(x) = 3x - 1 E = P(7) – P(x - 7) – 42


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TEMA 3: PRODUCTOS NOTABLES I BINOMIO AL CUADRADO: Cuando es una suma:

Para la clase

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1. Resolver usando los productos notables: Cuando es una resta:

a) (8 + 2)2 =

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2 Ejemplos: (x + 1)2 = x2 + 2x(1) + 12 2

= x + 2x + 1

b) (a + b)2 =

(x - 2m)2 = x2 - 2x(2m) + (2m)2 = x2 - 4xm + 4m2 (3x - m)2 = (3x)2 – 2(3x)(m) + (m)2 = x2 - 6xm + m2

c) (3a + 5)2 =

DIFERENCIA DE CUADRADOS: (a + b) ( a - b)= a2 - b2

d) (x + 3y)2 =

Ejemplos: (x + 3y) (2x – 3y) = (x)2 - (3y)2 = x2 – 9y2 (2x - 3y) (2x + 3y) = (2x)2 - (3y)2 = 4x2 – 9y2

e) (2a + 3y)2 =


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f) (5 – 3b)2 =

g) (5a – 3b)2 =

d) 32 – 32 = 1

(V)

(F)

e) 72 – 112 = -72

(V)

(F)

2. Diga Ud. si es verdadero ó falso:

a) 52 – 32 = 17

(V)

(F) 3. Hallar el valor de E E=

( a  b) 2  ( a  b) 2

a) 2a d) 1

b) 82 – 22 = 60

(V)

(F)

c) 42 – 12 = 15

(V)

(F)


4 ab b) 3b e) 4ab

c) ab

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4. Hallar el valor de E

( a  b) 2  ( a  b) 2 E= 4( a 2  b 2 )

a) 2 d) a – b

b) 1/2 e) a + b

6. Demostrar que:

(a + b)2 – (a - b)2 = 4ab

c) a2 + b2

7. Demostrar que: 5. Demostrar que:

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b) (a - b) = a2 – b2


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TEMA 4: PRODUCTOS NOTABLES II MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMUN:

d) (x + 2) (x + y)

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab (px + a) (px + b) = p2x2 + (a + b)px + ab

Ejemplos:

e) (x - 5) (x + 2)

(x + 3) (x + 2) = (x)2 + (3 + 2)x + (3)(2) = x2 + 5x + 6 (2x + 4) (2x + 3) = (2x)2 + (4 + 3)2x + (4)(3) = 4x2 + 14x + 12

f) (2y + 3) (2y - 1)

Para la clase 1. Resolver usando el producto notables:

a) (a + b) (a + c)

2. Indicar si es verdadero ó falso:

a) (x - 2) (x + 3) = x2 – x – 6

(V)

(F)

b) (y + 1) (y - 2) = y2 – y + 2

(V)

(F)

b) (x + 2) (x + 4)

c) (y - 1) (y - 2)


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

c) (2y + 3) (2y - 1) = 4y2 + 4y – 3 (V) (F)

3y  1

5. Reducir:



3y  1



5(3y 2  1)

a) 1 d) 1/5

b) 5 e) y

c)

3y

3. Reducir:

(x - 6) (x + 3) + 3x + 18 a) 1 d) 18

b) 3x e) 3x + 18

c) x2

6. Reducir: (3 + x) (3 - y) – (3x – 3y - xy) a) 0 d) 1

b) 3 e) 0

c) 9

4. Reducir:

(x - 3) (x + 4) – x2 – x + 10 a) 2 d) x

b) x2 e) 0

c) –2 7. Reducir: P = a) 2 d) 5


4

1  (2  1)(22  1)

b) 4 e) 1

c) 3

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TEMA 5: PRODUCTOS NOTABLES III b) (2x - 3)3 =

BINOMIO AL CUBO: Cuando es una suma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 En forma abreviada: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

c) (x + 2y)3 =

Cuando es una resta: (a - b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 En forma abreviada: (a - b)3 = a3 – b3 – 3ab(a - b)

Suma de Cubos: 3

3

2

2

a + b = (a + b) (a – ab + b )

d) (x - 3)3 =

Diferencia de Cubos: a3 – b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Para la clase

e) (3x + 1)3 =

1. Resolver usado el binomio al cubo:

a) (x + 3)3 = f) (2x – 3y)3 =


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2. Resolver usado suma ó diferencia de cubos:

e) (2x - 1) (4x2 + 2x + 1) =

a) (x + 3) (x2 – 3x + 9) =

b) (x - 4) (x2 + 4x + 16) =

f) (x2 + 3) (x4 – 3x2 + 9) =

c) (x3 - 83) =

g) (x4 + 3x2 + 9) (x2 - 3) =

d) (2 - x) (4 + 2x + x2) =


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h) (4x6 – 2x3 + 1) (2x3 + 1) =

3. Resolver:

E = (3

2

a) 1 d) 4

i) ( 3

10

-

3

2)

(( 3

10 )

2

+

3

+

20

3

4

- 1) (( 3

2)

2

+

3

b) 2 e) 5

2

+ 1) c) 3

)=

4. Resolver:

(2x  1)( 4x2  2x  1) E= 16x3  2 a) 1 d) –1

j) (2 +

3

2)

(4 - 2 3

2

+ (3

b) 1/2 e) 3

c) 1/16

2

2)

)=


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San Miguel

5. Resolver:

(3

10

-

3

a) 1 d) 5

2)

(3

100

+

b) 8 e) -2

3

20

+

3

7. Resolver: 4

(3

) c) 3

6. Resolver:

(2 - y) (2 + y) (4 – 2y + y2) (4 + 2y + y2) +y6 – 60 a) 1 d) 4

b) 2 e) y

c) 3


12

a) 15 d) 18

+ 2) ( 3

144

- 23

2

+ 4)

b) 12 e) N.A.

c) 20

 3 4  3  3 4  3        8. Resolver: 3 16  9

a) 1/2

b) 2

d) 9

e) N.A.

c) 1

Pág. - 40



San Miguel

TEMA 6: REPASO a+1

Para la clase 1. Halle “a + b” si el polinomio es homogéneo:

P(x) = -7xa yb+4 + 8x3 y7 + 3xc yf a) 6 d) Faltan datos

b) 9 e) N.A.

a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

3

2

2

3

4. P(x) = (a + b)x – bx + 3x – 2x ; halle el valor de a y b si este polinomio es nulo.

P(x)=-8x5 + 3x2 – 2xa – 1 + 3x4 + xb+4? b) 2 e) 4

a-5

c) 4

2. ¿Cuánto vale (a + b) si este es un polinomio completo:

a) 1 d) 3

a+3

3. P(x) = x + 2x +7x ; Calcular el valor de “a” si GA = 14

c) 0


a) –1, 3 d) –1, -3

b) 1, -3 e) N.A.

c) 1, 3

Pág. - 41



San Miguel a+3

a-1

a+5

5. P(x) = 7x – 2x + 8x ; calcular el valor de “a” si el polinomio es de grado GA = 8 a) 2 d) 3

b) 5 e) -2

2

2

c) 9

3

3

6. P(x) = (a - b)x – (-b + 2)x + 2x ; Si el polinomio nulo además a > 0; Halle (a + b) a) 7 d) 6

b) 2 e) -6

c) –2


7. Halle el V.N. de:

P(x, y) =

7 4

x2 – 3y + 2xy

Cuando: x = 0, y = 1 a) –3 b) 3 d) 2 e) 7/8

c) 7/4

2

3

8. Halle el V.N. de: P(x) = 8x – 3x + 1 – x ; Cuando x = 2 a) –19 d) 8

b) 2 e) 3

c) 19

Pág. - 42



San Miguel 2

9. Si P(x) = x – 1. Halle: P(3) + P(5) – P(2) a) 32 d) 29

10. Reducir: P = a) 2 d) 5

b) 24 e) 35

4

c) –3

a) 1/2 d) 9

1  (2  1)(22  1)

b) 4 e) 1

 3 4  3  3 4  3        11. Reducir: P = 3 16  9

c) 3


b) 2 e) N.A.

c) 1

12. Reducir: 32 1  80(9 2  1)( 9 4  1)( 9 8  1) P= a) 9 d) 1

b) 3 e) 6

c) 81

Pág. - 43



San Miguel

(3x  2)( 9x 2  12x  4) 15. Reducir: E = 27x 3  8

13. Reducir: 4 1  8(32  1)(3 4  1)(38  1) E= a) 81

b) 3

d) 9

e) N.A.

c)

4

318

b) 3x e) 3y

b) 1/6 e) 1/2

c) 1

16. Reducir:

2

14. Resolver: (x - 3)(x + y) – x + 3y a) (y - 3)x d) y

a) 1/3 d) 0

(1 + y)(1 - y)(1 – y + y2)(y2 + y + 1) + y6

c) xy


a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

Pág. - 44

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