III Bimestre Razonamiento Matemático 1ro Secundaria (1)

17

Psicotécnico

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Juego con círculos

Fila 1  O O O O O O O

El juego consiste en tachar tantos círculos como se quiera; pero de una sola fila en forma alternada entre los dos contrincantes; quien tache el último pierde.

El principal objetivo del presente capítulo es el de incentivar, desarrollar y fortalecer la aptitud de cada alumno, lograr agilizar su razonamiento y potenciar su capacidad de abstracción y entendimiento. En el presente capítulo analizaremos las sucesiones gráficas, analogías gráficas, matrices con figuras y elementos discordantes.

1. Sucesiones gráficas Ejemplos:

Fila 2  O O O O O Fila 3  O O O

2. Analogías gráficas En cada caso dibujar la figura que falta:

a)

es a

como

es a ...

Resolución: El círculo grande se relaciona con el círculo pequeño en la misma forma que el triángulo grande se relaciona con un triángulo pequeño. Existe una relación de tamaño.

a) Rpta.: ... Como puedes notar el triángulo se va haciendo cada vez más pequeño y el círculo cada vez más grande.

b)

es a

como

es a ...

b) Resolución: ... Se va eliminando progresivamente una línea de la figura original.

Las figuras que envuelven ingresan, y viceversa, lo sombreado se blanquea.

c) Rpta.: ... Las figuras exteriores disminuyen en el número de lados de uno en uno, pero los trazos interiores aumentan.

3. Matrices con figuras Ejemplo:

d)

... La mitad negra del cuadrado va girando en la dirección de las agujas del reloj (sentido horario).

? Organización Educativa TRILCE

139

Psicotécnico Resolución:

b)

En cada fila y en cada columna hay un cuadrado, un triángulo y un círculo, entonces en la posición que falta debe ir un cuadrado. Además la figura deberá ir sombreada.

A B C D E El círculo negro se ubica siempre a la izquierda del triángulo sombreado, salvo en la opción “C” en la cual el círculo está a la derecha.

Rpta.: c)

4. Elemento discordante Ejemplos: a)

A

A B C D E Las figuras “A”, “B”, “C” y “E” son las fases correctas de una sucesión de giros en sentido antihorario; por lo tanto la figura que no corresponde a esta secuencia es la “D”.

B

C

D

E

Todas las figuras son iguales; sin embargo, al girar las figuras en sentido horario ( ) o antihorario ( ) todas podrán tomar la posición de “E”, salvo la alternativa “C”. d)

C A B D E Las figuras "A" y "D", "B" y "C" son parejas iguales. No tiene pareja "E".

Test Testde de aprendizaje Aprendizaje previo I. Sucesiones gráficas

II. Analogías gráficas

En cada caso dibujar la figura que continúa:

En cada caso dibujar la figura que falta:

1.

1. Si:

?

es a

Rpta.: ____________

entonces: es a: ________

2. 2. Si:

? es a

Rpta.: ____________ 3.

entonces:

? es a: ________ Rpta.: ____________

140

Primer Año de Secundaria

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO IV.Elemento discordante

3. Si:

*

es a

En los gráficos adjuntos, encontrar la figura que no guarda relación con las demás:

*

entonces:

1.

# es a __________

a)

III. Matrices con figuras

b)

d)

c)

e)

2.

Dibujar el gráfico que falta en cada matriz propuesta: 1.

a)

b)

d)

c)

e)

3.

?

a)

b)

d)

c)

e)

Rpta.: ____________ V. Criterio de paridad

2.

En los ejercicios propuestos, hallar la figura que no corresponde con los demás:

* *

1.

* *

* *

? Rpta.: ____________

a)

b)

c)

d)

e)

3. 2.

a)

b)

c)

d)

e)

? Rpta.: ____________

Organización Educativa TRILCE

141

Psicotécnico

PractEjercicios iquemos Nivel I

6. ¿Qué figura no corresponde al grupo?

a)

b)

d)

e)

c)

1. ¿Qué figura no corresponde con las demás?

a)

b)

d)

e)

c)



a)

d)

b)

a)

b)

d)

e)

c)

c)

e) 8. ¿Qué figura no tiene relación con las demás?

3. ¿Qué figura no tiene relación con las demás?

a)

d)

b)

a)

b)

d)

e)

c)

c)

e) 9. ¿Qué figura no tiene relación con las demás?


a)

b)

d)

e)

c)


a)

b)

d)

e)

142

c)

a)

b)

d)

e)

c)

10.¿Qué figura no tiene relación con las demás?

a)

b)

d)

e)

c)


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 11.¿Qué figura sigue en la siguiente sucesión?

16.Indicar la figura que falta.

? ...?

a)

b)

d)

e)

?

c)

a)

b)

d)

e)

c)

12.¿Qué figura no corresponde con las demás?

a)

b)

d)

e)

c)

17. Indicar la figura que falta.


a)

d)

b)

c)

e)

? a)

b)

d)

e)

c)

18.¿Qué figura falta?


a)

d)

b)

?

c)

e)

a)

b)

d)

e)

c)

19.¿Qué figura falta? 15.Indicar la figura que no corresponde con las demás.

a)

b)

d)

e)

c)


? a)

b)

d)

e)

c)

143

Psicotécnico 20.¿Qué figura falta en el círculo inferior? a)

b)

d)

e)

c)


? a)

b)

d)

e)

c)

?


? a)

b)

d)

e)

a)

b)

d)

e)

c)


c)

?

22.¿Qué figura falta en el recuadro inferior?

?

a)

b)

d)

e)

c)

26.¿Qué figura falta? a)

b)

d)

e)

c)


?

?

144

a)

b)

d)

e)

c)


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 27. ¿Qué figura sigue?

31.¿Qué figura falta? ? ...

?

a)

b)

d)

e)

?

c)


a)

b)

d)

e)

c)

32.Indicar la figura que no corresponde a las demás. a)

d)

b)

c) a)

b)

d)

e)

c)

e)

29.¿Qué figura falta? 33.¿Qué figura falta?

?

? a)

b)

d)

e)

c)


a)

b)

c)

d)

e) 34.¿Qué figura sigue?

?

a) d)

b)

c)

;

;

a)

b)

d)

e)

;

? ; ?...

c)

e)


145

Psicotécnico 35.¿Qué figura sigue en la siguiente sucesión?

;

a)

? ; ...

;

b)

38. Señale cuál es la figura correcta entre las seis numeradas:

c)

? d)

e)

36.Señale cuál es la figura correcta entre las cuatro figuras numeradas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

39. Señale cuál de las seis figuras numeradas debe ponerse en lugar de la incógnita:

?

?

1

2

3

4

37. Señale cuál es la figura correcta entre las numeradas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

40. Señale cuál es la figura correcta entre las seis numeradas:

?

1

2

3

4

5

6

?

1.

146

2.

3.


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 43.Señale cuál es la figura de las cuatro numeradas que debe ocupar la incógnita: 4.

5.

6.

41. Señale cuál de las seis figuras numeradas debe colocarse en el sitio donde falta:

? ? 1. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

2.

3.

4.

44. Señale cuál de las seis figuras numeradas debe colocarse en lugar de la incógnita:

42.Señale cuál de las seis figuras numeradas siguientes debe colocarse en lugar de la incógnita:

?

?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

45. ¿Qué figura sigue?

?

? ... 1.

4.

2.

5.


3. a)

b)

d)

e)

c)

6.

147

Psicotécnico Nivel II

7.

• Resolver las siguientes analogías gráficas (dibuja la respuesta)

es a

1.

como

es a ..................

es a

8.

como

es a

es a ..................

2. como

es a

es a ..................

9. como

es a ..................

es a

3. es a

como

es a ..................

como

10.

es a ...................

4.

es a es a como como

es a ..................

es a ..................

5. es a como

es a ..................

6. es a como

148

es a ..................


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Nivel III • De cada grupo de cinco figuras asignados con las letra A, B, C, D, E señala la que no pertenece al grupo.

A

B

C

D

E

2

9

8

6

4

A

I

K

U

E

Rpta.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


149

Psicotécnico

Autoevaluaciòn Acept a el ret o TRILCE ...! 1. ¿Qué figura continúa?

4. Indicar qué figura continúa en la siguiente secuencia:

;

;

a)

b)

d)

e)

,

; ...

c)

,

a)

b)

d)

e)

,

, ...

c)

2. ¿Cuál de los siguientes animales no guarda relación con los demás? 5. Hallar la figura que sigue:

A. ALUGIA B. OBLLACA C. TREIUB

D. NISEC E. LOMPAA F. OTPA

;

3. Indique la figura que continúa en la siguiente secuencia:

;

;

a)

b)

d)

e)

150

;

;

a)

b)

d)

e)

;

; ...

c)

; ...

c)


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Tareadomiciliaria domiciliaria Tarea 1. ¿Qué figura no corresponde respecto a las demás? d) a)

b)

d)

e)

c)

e)

6. Indicar la figura que falta:

2. ¿Qué figura no corresponde respecto a las demás?

a)

b)

d)

e)

3. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?

a)

b)

d)

e)

c)

b)

a)

b)

d)

e)

c)

7. ¿Qué figura sigue?

?

4. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?

a)

?

c)

c)

a)

b)

d)

e)

c)

8. ¿Qué figura no corresponde con las demás? d)

e) a)

b)

d)

e)

c)

5. Indicar la figura que falta:

9. Relacione lo siguiente:

?

a)

b)

es a

como

es a ...

c)


151

Psicotécnico

a)

b)

d)

e)

a)

b)

d)

e)

c)

c)

14.Indicar qué figura falta:

10.Indicar la figura que falta:

?

?

a)

b)

d)

e)

c)

11.Indicar la figura que no corresponde:

a)

b)

d)

e)

a)

b)

d)

e)

c)

15.Indicar qué figura no corresponde con las demás:

c)

a)

b)

d)

e)

c)

12.¿Qué figura falta? 16.¿Qué figura falta?

?

a)

b)

d)

e)

?

c)

13.¿Qué figura sigue?

;

152

;

;

a)

b)

d)

e)

c)

? ...


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 17. Indicar la figura que falta:

b)

d)

e)

b)

d)

e)

c)

b)

e)

a)

b)

d)

e)

c)

23.¿Qué figura continúa?

?

c)


a)

d)

c)

?


a)

b)


? a)

a)

a)

b)

d)

e)

c)


c)

? ... d)

e) a)

b)

d)

e)

c)

20.¿Qué figura continúa? ? ...

?

a)

b)

d)

e)

c)

25.

es a

?

como

es a ...


?


a)

b)

d)

e)

c)

153

Psicotécnico 26. ¿Qué figura no guarda relación con las otras?

a)

b)

d)

e)

? ...

c)

27.

es a


a)

b)

d)

e)

c)

?

como

es a ... 30.Señalar la figura que falta:

a)

b)

d)

e)

c)

?


?...? a)

b)

d)

e)

154

c)

a)

b)

d)

e)

c)


18

Situaciones Lógicas I


OBJETIVO Objet ivo 1. Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio. 2. Potenciar la habilidad analítica. 3. Ejercitar los aspectos recreativos de la realidad con la Matemática.

Introducción La lógica recreativa combina la belleza de una estructura matemática con el entretenimiento que aporta la resolución de un problema dado, haciendo así que la Matemática sea fascinante. Los problemas que se presentan en las situaciones lógico-recreativas aportan, en ese sentido, diversión y desarrollo del pensamiento recreativo.

Observación: La madre de Melanie es hija única de mi madre. Las líneas punteadas nos señalan las relaciones que estamos deduciendo según el enunciado. Luego, el parentesco que tenemos Melanie y yo es de tío-sobrina.

I. Situaciones de parentesco Debemos tener presente, al momento de realizar la resolución, que cada uno de los integrantes de una familia puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes; así por ejemplo, una persona puede ser al mismo tiempo: padre, hijo, hermano, cuñado, esposo,abuelo, etc. En los problemas de esta clase, debemos asumir que básicamente la familia la componen padres e hijos pero hay problemas en los cuales es necesario "extender" dicha composición incluyendo a los hermanos de nuestros padres (tíos) y los hijos de estos (nuestros primos); abuelos; bisabuelos, etc.

Mi madre (hija única) Hijo

Madre de Melanie

Juan Hermanos de abuela a nieta

Problema 1

de tío a sobrina

Hija (Melanie)

Juan se pregunta: ¿Qué parentesco tiene conmigo Melanie, si se sabe que su madre es la única hija de mi madre? Resolución:

Problema 2

Tenemos: - Melanie - Madre de Melanie - Mi madre - Yo

¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?


155

Situaciones lógicas I Problema 5

Resolución:

Mi madre Mi esposa

Soy el único vástago de mi madre

Yo

de padre a hija

En un almuerzo estaban presentes: padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos. ¿Cuál es el menor número de personas presentes? Resolución: Haciendo un esquema:

Hija de mi esposa

Hermanos

Del diagrama deducimos que dicha "mujer" es mi hija. de madre a hijo

Problema 3 Juan es el padre de Carlos, Óscar es hijo de Pedro y a la vez hermano de Juan. ¿Quién es el padre del tío del padre del hijo de Carlos? Resolución:

1

2

de padre a hija

primos 1: de tío a sobrino

2: de tía a sobrina

 Deben estar presentes un mínimo de cuatro personas.

De la condición se deduce que Óscar es tío de Carlos. II. Problemas sobre la relación de tiempo

Analizando la pregunta:

¿Padre del tío del padre hijo del  de Carlos ?

Escuchemos el siguiente diálogo y observemos, a continuación, el esquema que se deriva del él.

Carlos

¿Padre del tío de Carlos    ? Óscar

 La respuesta es: Pedro

Elizabeth, ¿"El ayer del pasado mañana", equivale a referirse al mañana de hoy?

Problema 4

Claro que sí Emmanuel, te recomiendo empezar el análisis de la oración, partiendo de la parte final de la misma

En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos. ¿Cuál es el menor número de personas que pueden trabajar en esa fábrica? Resolución: En primer lugar, no nos olvidemos de atribuir las mayores características a las personas para que su número sea mínimo. Veamos:

Mañana Ayer

Bisabuelo

Abuelo

Padre

y padre a la vez

Padre e hijo a la vez

e hijo a la vez

Respuesta: Cuatro personas

Hijo

Hoy

Mañana

Pasado mañana Pasado mañana

Ayer del pasado mañana

Vemos que nuestro análisis nos conduce, en efecto, al mañana de hoy. Observación: Al momento de resolver problemas de este tipo se sugiere tener en consideración el criterio de analizar las condiciones de la parte final y siguiendo un procedimiento regresivo, en forma análoga a lo que hizo en problemas sobre parentescos.

156


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Problema 1

Así:

Siendo miércoles el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana del anteayer de pasado mañana?

Mínimo Cantidad de días

4

4

Máximo

4

Resolución:

4

5

5

5

En total 31 días

¡Presta mucha atención!... en principio, ubicamos en forma horizontal el devenir del tiempo: ayer, hoy, mañana, etc. Del dato: El pasado mañana del ayer <> Es ¡miércoles!

Luego confeccionamos el mes que cumple esta condición. Un mes de 31 días: Domingo

Lunes

Ayer Ayer

Hoy

Mañana

Pasado mañana

Ayer

Hoy

Mañana

Pasado mañana

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Ahora, nos piden averiguar qué día será "el mañana de pasado mañana", utilizando el segundo esquema daremos respuesta a la pregunta. Veamos: 1º Pasado mañana

Ayer

Hoy

Mañana

Pasado mañana

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Entonces el día pedido será miércoles. Problema 2 En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. ¿Qué día de la semana caerá el 23 de dicho mes y cuántos días tiene? Resolución: Sabemos que un día cualquiera de la semana se representa como mínimo cuatro veces y como máximo 5 veces en un mes, y como el dato menciona que hay 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos, entonces la cantidad de días lunes, martes, miércoles y jueves, será mínimo, es decir, cuatro de cada uno de ellos.

Viernes

Sábado

1

2

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Como ves, hay 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos

 El 23 de este mes cae sábado. Problema 3 Si el ayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día será el mañana de ayer de anteayer? Resolución: Dato: el ayer de pasado mañana es lunes. Hagamos un esquema para ubicar el hoy, y a partir de ahí, averiguar el ayer de pasado mañana. Anteayer

Ayer

Hoy

Mañana

3º mañana de anteayer de pasado mañana 2º anteayer de pasado mañana

Jueves

4

Hoy es martes, el pasado de ayer es miércoles

entonces hoy es martes, además, y complementando el esquema anterior tendríamos:

Miércol

31 3

Tenemos:

Martes

Pasado mañana

El ayer de pasado mañana (lunes)

Luego, se completan los días de la semana. Anteayer viernes

Ayer

Hoy

Mañana

Pasado mañana

lunes

martes

sábado domingo

Ahora, sobre este esquema podemos encontrar la respuesta a la interrogante planteada. Veamos: ¿Qué día será el mañana de ayer de anteayer? 2 Ayer de anteayer

Anteayer

jueves

1 Anteayer

Ayer

Hoy

viernes sábado domin

Mañana

Pasado mañana

lunes

martes

Mañana de ayer de anteayer 3

 Será día viernes Organización Educativa TRILCE

157

Situaciones lógicas I

Testde de aprendizaje Aprendizaje previo Test A. Situaciones de parentesco

B. Relaciones de tiempo

1. ¿Qué es de mí el hermano de mi padre?

6. Si hoy es lunes, ¿qué día fue anteayer?

Rpta.: ________ 2. ¿Qué es de mí la madre de mi madre?

Rpta.: ________ 3. ¿Qué es de mí la esposa de mi hermano?

Rpta.: ________ 4. ¿Qué es de mí el hijo de mi primo hermano?

Rpta.: ________ 7. Si hoy es jueves, ¿qué día será pasado mañana?

Rpta.: ________ 8. Si ayer fue martes, ¿qué día será mañana?

Rpta.: ________ 9. Si mañana será miércoles, ¿qué día fue ayer?

Rpta.: ________ Rpta.: ________ 5. ¿Qué es de mí la hermana de mi tía que no es mi tía?

Rpta.: ________

158

10.Si anteayer fue sábado, ¿qué día será dentro de tres días?

Rpta.: ________ Primer Año de Secundaria


PractEjercicios iquemos Nivel I 1. ¿Qué representa para Miguel el único nieto del abuelo del padre de Miguel? a) él mismo d) su papá

b) su nieto e) su abuelo

c) su hijo

2. La mamá de Luisa es la hermana de mi padre. ¿Qué representa para mí el abuelo del mellizo de Luisa? a) mi hermano c) mi tío e) mi hijo

b) mi sobrino d) mi abuelo

3. Pedro se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano, ¿por qué? a) es su hermana c) es su tía e) es su abuela

b) es su hija d) es su mamá

4. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) es mi madre c) es mi suegra e) es mi nieta

b) es mi hija d) es mi sobrina

5. La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: a) hija d) sobrina

b) madre e) prima

c) nieta

6. Se sabe que Jaime es sobrino de Pedro, quien es hermano de Juan, el que a su vez es padre de Víctor. Si Jaime no es hijo de Juan, ¿qué relación existe entre Jaime y Víctor? a) Jaime es tío de Víctor c) Jaime es sobrino de Víctor e) Víctor es padre de Jaime

b) Son hermanos d) Son primos

7. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? a) soy su hijo c) soy su esposo e) soy su nieto

b) soy su hermano d) soy su sobrino

8. En una reunión se encuentran un abuelo, dos padres, dos hijos y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3


9. Los esposos Ramírez tienen cuatro hijos varones. Cada hijo tiene una hermana y cada hermano tres sobrinos. ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia? a) 9 d) 11

b) 8 e) 12

c) 10

10.Si hoy es domingo, ¿qué día fue el ayer del pasado mañana de hace dos días? a) jueves d) domingo

b) viernes e) martes

c) sábado

11.Si anteayer de mañana fue lunes, ¿qué día de la semana era el mañana de anteayer? a) lunes d) sábado

b) viernes e) martes

c) domingo

12.Si el anteayer del pasado mañana de anteayer fue viernes, ¿qué día es el ayer del pasado mañana de ayer? a) domingo d) jueves

b) lunes e) sábado

c) martes

13.Si el anteayer de mañana de pasado mañana será viernes, ¿qué día fue ayer? a) miércoles d) jueves

b) lunes e) martes

c) sábado

14.Si ayer del anteayer de mañana fue lunes, ¿qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? a) lunes d) jueves

b) sábado e) domingo

c) miércoles

15.En un determinado mes existen cinco lunes, cinco martes y cinco miércoles, se pide hallar qué día de la semana es 25 y cuántos días trae dicho mes. a) martes 30 c) miércoles 31 e) jueves 31

b) sábado 31 d) jueves 30

Nivel II 1. Si dentro de tres días será lunes, entonces el ayer del pasado mañana del anteayer del ayer del mañana fue: a) lunes d) domingo

b) miércoles e) viernes

c) jueves

2. Si el mañana del pasado mañana del ayer de mañana de hace tres días es miércoles, ¿qué día será el ayer del pasado mañana del mañana de pasado mañana? a) lunes d) domingo

b) miércoles e) martes

c) sábado

159

Situaciones lógicas I 3. Mi tía Julia es la hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha? a) sobrino - tía c) primo - prima e) no se sabe

b) hijo - madre d) hermano - hermana

4. Sabiendo que el mañana de anteayer del mañana de pasado mañana será jueves, ¿qué día fue el anteayer del ayer del mañana de hace dos días? a) viernes d) jueves

b) lunes e) martes

c) domingo

5. Hace dos días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será, cuando a partir de hoy transcurran tantos días como los días que pasaron desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy? a) sábado d) jueves

b) lunes e) domingo

c) martes

6. Una familia está conformada por dos padres, dos madres, cuatro hijos, dos hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos esposos y una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia? a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

7. ¿Cuántas personas como mínimo forman una familia que consta de un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, dos sobrinos, un tío, una tía, una nieta, dos nietos, una nuera, una suegra y un suegro? a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

8. Gildder es el único compadre del padrino del único hijo de la madre de Rommel. Si Gildder también es hijo único, ¿qué parentesco tiene el bisnieto del padre de Gildder con Rommel? a) Es su nieto d) Es su hijo

b) Es su hermano c) Es su padre e) Es su tío

9. Una familia está compuesta por cuatro parejas de hermanos, cuatro tíos, dos padres, dos sobrinos, dos primos y dos primas. ¿Cuál es el mínimo número de personas que la conforman? a) 8 d) 10

160

b) 7 e) 11

c) 9

10.En una reunión se encuentran presentes un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, dos esposos, dos esposas, una tía, una nuera, un nieto, una nieta, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran presentes en la reunión? a) 6 d) 9

b) 7 e) 5

c) 8

Nivel III 1. La señorita Janeth, al mirar el retrato de un hombre le dijo a su padre (quien es hijo único) lo siguiente: "La madre de ese hombre era la suegra de mi madre". ¿Qué parentesco hay entre la señorita Janeth y el hombre del cuadro? a) sobrina - tío c) prima - primo e) suegra - yerno

b) hija - padre d) nieta - abuelo

2. "Los parentescos son curiosos -observó Andrés- Jaime tiene el mismo parentesco contigo que el que yo tengo con tu hijo". "Así es, -respondió Carlos- y tú tienes el mismo parentesco que Jaime contigo". ¿Cuál es el parentesco entre Carlos y Jaime? a) padre - hijo c) son hermanos e) son primos

b) tío - sobrino d) nieto - abuelo

3. ¿Qué parentesco existe entre el tío del hijo del tío de Alejandro y el hijo del hijo del tío de Alejandro, si se sabe además que Alejandro tiene un solo hijo? a) tío - abuelo c) nieto - abuelo e) son hermanos

b) son primos d) padre - hijo

4. Emilio invitó al cuñado de su padre, al suegro de su hermano, al hermano de su suegro y al padre de su cuñado. ¿Cuántos invitados tuvo? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían dos días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy? a) sábado d) jueves

b) viernes e) miércoles

c) domingo



Autoevaluaciòn Acept a el ret o TRILCE ...! 1. El señor Lazo tiene dos hijos únicamente, estos a su vez son padres de Juan y Marco, respectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Marco? a) Juan d) Marco

b) El Sr. Lazo e) Iván

c) Mario

2. Si el mañana del pasado mañana, del ayer del anteayer de hace dos días fue miércoles, ¿qué día será el mañana de dentro de tres días? a) Lunes d) Jueves

b) Martes e) Sábado

c) Miércoles

3. El hermano del hijo de Rommel tiene un amigo tocayo del padre del hermano suyo. Siendo su amigo tocayo hijo de Luis, hermano político de Rommel, ¿cómo se llama dicho amigo y qué parentesco tiene con Rommel?

c) Rommel y es su tío d) Luis y es su primo e) Rommel y es su sobrino 4. Jorge es el único compadre del padrino del único hijo de la madre de Ricardo. Si Jorge también es hijo único, ¿qué parentesco tiene el bisnieto del padre de Jorge, con Ricardo? a) Nieto d) Hijo

b) Hermano e) Tío

c) Padre

5. Si el ayer del mañana del pasado mañana de hace tres días es el día que subsigue al ayer del anteayer del mañana del viernes. ¿Qué día de la semana será el inmediato anterior al día que sigue al mañana del pasado mañana del mañana de hoy? a) Domingo d) Jueves

b) Martes e) Viernes

c) Miércoles

a) Rommel y es su primo b) Luis y es su amigo

Tareadomiciliaria domiciliaria Tarea 1. Luis se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano, ¿por qué?

10.Si el anteayer de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer?

2. La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi:

11.Si el ayer del anteayer de mañana del pasado mañana del ayer de hace dos días fue lunes, ¿qué día será el mañana de hace un día?

3. En una cena familiar se encuentran dos padres, dos hijos y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo la cena? 4. ¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mellizo de Leonel, si la madre de Leonel es la hermana de mi hermano gemelo? 5. Siendo lunes el mañana de ayer, ¿qué día será el ayer de pasado mañana? 6. Luis es el único hijo del abuelo de Miguel y Ángel es el hijo de Luis, ¿qué es Miguel de Ángel? 7. Si el anteayer de mañana fue lunes, ¿qué día de la semana será el mañana de anteayer? 8. Si hoy es jueves, ¿qué día será el mañana del anteayer del mañana del pasado mañana de hace dos días? 9. ¿Quién es el nieto de mi abuela que no es mi hermano? Organización Educativa TRILCE

12.Gildder estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: “¿De quién es esa fotografía?”, a lo que él contestó: “Soy hijo único; pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre”. De quién era la fotografía que estaba mirando Gildder. 13.¿Qué día será el mañana del anteayer del subsiguiente día del ayer, si el mañana del anteayer del ayer fue sábado? 14.El señor Lazo tiene dos hijos únicamente, estos a su vez son padres de Juan y Marco, respectivamente. ¿Qué parentesco tiene con Lazo el único hijo del sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Marco? 15.Si el ayer del anteayer de mañana era sábado, ¿qué día será el mañana del mañana del pasado mañana del ayer? 16.El nieto de mis padres es uno de mis sobrinos y tengo tres sobrinos más que no son hermanos entre sí. Como mínimo, ¿cuántos hijos e hijas tienen mis padres?

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Situaciones lógicas I 17. ¿Cuál es el menor número de personas que se necesitan para conseguir obtener un grupo que contenga dos tíos y dos sobrinos? 18.El otro día en los jardines del parque escuché a dos personas la siguiente conversación: "Ten en cuenta que mi madre es la suegra de tu padre". ¿Qué parentesco une a las dos personas? 19.Si el mañana del mañana del ayer del pasado mañana del mañana del ayer será jueves, ¿qué día será dentro de cuatro días? 20.Si el mañana del pasado mañana, del ayer del anteayer de hace dos días fue miércoles, ¿qué día será el mañana de dentro de tres días?

24.Si el ayer del mañana del pasado mañana de hace tres días es el día que subsigue al ayer del anteayer del mañana del viernes, ¿qué día de la semana será el inmediato anterior al día que sigue de la mañana del pasado mañana del mañana de hoy? 25.Si el mañana del pasado mañana del ayer de anteayer de hace dos días fue miércoles, ¿qué día será el pasado mañana de dentro de tres días? 26.Si el día de ayer fuese como hoy, faltarían tres días para ser lunes. ¿Qué día será el ayer del pasado mañana del mañana de hoy? 27. Si hoy es jueves, ¿qué día será el mañana del anteayer del mañana del pasado mañana de hace dos días?

21.¿Cuál es el día que está anterior al siguiente día del que subsigue al posterior día del que está después del día que precede al anterior día de hoy sábado?

28.En una cena estaban presentes: padre, madre, tío, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos. ¿Cuál es el menor número de personas que hay en dicha cena?

22.Atendiendo un almuerzo el mozo de un restaurante preguntó a una familia: "¿Cuántos son?". El papá contestó: "Somos: padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos". ¿Cuál es el mínimo número de personas en dicha familia?

29.Si el día de ayer fuese como mañana, faltarían cuatro días para ser sábado. ¿Qué día de la semana fue anteayer?

23.La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi:

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30.Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían dos días para ser domingo a partir de hoy, ¿qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy?


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Situaciones Lógicas II


En este capítulo analizaremos cierto tipo de situaciones donde nuestra imaginación y creatividad al responder serán la base para dar una respuesta correcta e interesante a la vez. A este tipo de situación se les conoce como PENSAMIENTO LATERAL.

¿ Qué es el Pensamiento Lateral? Este tipo de pensamiento fue concebido en 1970 por Edward de Bono para salir del formato de respuestas numéricas o del tipo algebraico, es decir, en este tipo de preguntas hay que pensar "de lado" y no en forma vertical, pues ello nos conlleva a dar solamente una respuesta la cual, por lo general, está asociada a nuestro razonamiento operativo más que a nuestro razonamiento lógico. En otras palabras, las preguntas y respuestas del Pensamiento Lateral están en función a nuestra imaginación e inventiva al dar una posible respuesta. El Pensamiento Lateral reestructura patrones de pensamiento eliminando las “Trabas” mentales que nos hacemos, concibe temporalmente un resultado incorrecto y lo encamina a otras alternativas, lo ajusta y obtiene nuevas rutas de solución a veces las menos evidentes y sujetas a dudas. No acepta solo dos opciones, nos obliga a utilizar todo nuestro intelecto y creatividad para brindar más. Veamos a continuación algunos ejemplos a este tipo de preguntas: 1. ¿Por qué los barberos prefieren cortarle el pelo a diez gordos antes que a un flaco? Rpta. 1 Porque se gana más al cortar a 10 personas que solo a una. Rpta. 2 Porque si un gordo se duerme no le cuelga la cabeza. Rpta. 3 Porque el flaco que siempre va a la peluquería tiene piojos. Rpta. 4 Porque los gordos suelen comer mientras les cortan el cabello y platican menos. Rpta. 5 Porque el gordo se atora en la silla y ya no se mueve, por lo tanto es más fácil cortarle el cabello. Rpta. 6 Porque los gordos tienen más dinero que los flacos.


Como ya te habrás dado cuenta estimado alumno de primer año las respuestas que acabas de leer son imaginativas e interesantes a la vez, salen del patrón común de respuestas numéricas que solemos hallar cuando resolvemos problemas. Estas son las respuestas utilizando tu Pensamiento Lateral. 2. Un hombre entra a un bar y le solicita al cantinero un vaso con agua; ellos no se conocían de antemano. El cantinero toma un arma y le apunta al hombre. El hombre dice 'Gracias' y se retira. ¿Que sucedió? Rpta. 1 El hombre tenía hipo y con el susto se le quitó. Rpta. 2 El cantinero pertenecía a un grupo racista y el hombre era de color. Rpta. 3 El cantinero estaba de mal humor. Rpta. 4 El hombre no tenía agua en su casa y al ver que en la cantina tampoco entonces dijo gracias y se fue. ¿No te parecen interesantes y creativas este tipo de respuestas? Esperamos eso de ti cuando te pongas a resolver este tipo de preguntas. 3. ¿Qué podemos hacer para tener más agua en nuestras ciudades? Rpta. 1 Rpta. 2 Rpta. 3 Rpta. 4 Rpta. 5

Campañas de conciencia sobre el ahorro. Procesar aguas negras. Desalinizar agua de mar. Traer un iceberg y derretirlo en Lima. Danzar al dios de la lluvia.

En conclusión: Estamos acostumbrados a pensar en una sola dirección y dar por obvio algo que no lo es; el Pensamiento Lateral es la práctica de idear distintas direcciones de pensamiento. El Pensamiento Lateral no es más que encontrar varias soluciones a un mismo problema, ser creativo, pensar como niño, imaginar lo que a nadie se le ha ocurrido, y ofrecer soluciones y/o caminos para una cuestión; así que a pensar ... pero REALMENTE PENSAR!!

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Situaciones lógicas II

Testde de aprendizaje Aprendizaje previo Test 1. El reverendo Pedro Buenaspalabras anunció que cierto día, a cierta hora, realizaría un gran milagro: durante veinte minutos caminaría sobre la superficie del lago sin hundirse en sus aguas. Una gran muchedumbre se apiñó para presenciar la hazaña. El reverendo Buenaspalabras realizó exactamente lo que afirmó que haría. ¿Cómo pudo lograrlo?

Mi esposa: Ok. Pero no comprendí su apellido. ¿Podría

2. En una línea de ferrocarril, las rieles tienen doble vía excepto en un túnel, que no es lo bastante ancho para acomodar ambas. Por ello, en el túnel la línea es de vía simple, es decir que solo puede pasar uno de ellos. Una tarde, entró un tren en el túnel marchando en un sentido, y otro tren entró en el mismo túnel, pero en sentido contrario. Ambos iban a toda velocidad y sin embargo no llegaron a colisionar. ¿Sabría Ud. explicar por qué?

4. El Sr. Fernández se dio cuenta, al llegar a su oficina, que había dejado, entre las páginas del libro que estaba leyendo, un billete de 200 soles. Preocupado, no fuese a extraviarse, llamó a su casa y dijo a la doncella que le diese el libro que contenía el billete a su chofer, quien iría a recogerlo. Cuando el chofer se lo trajo, el billete había desaparecido. Al tomar declaración al chofer y a la doncella, ésta última dijo que comprobó personalmente que el billete estaba dentro del libro cuando se lo dio al chofer, precisamente entre las páginas 99 y 100. A su vez el chofer declaró que al darle el libro a la doncella él miró el reloj y vio que eran las 9:30 am, dirigiéndose a la oficina del Sr. Fernández, situada a 20 cuadras, adonde llegó a las 9:45 am. ¿Quién miente de los dos?

3. Suena el teléfono en casa y se escucha la siguiente conversación: Mi esposa: Buenos días, dígame. Mi amigo: Buenos días. ¿Con quién tengo el gusto? Mi esposa: Con María, la esposa de Miguel Mi amigo: ¿Me podría comunicar con él? Mi esposa: Lo siento, ha salido a comprar. ¿Quién lo llama? Mi amigo: José Szcrych. Él tiene mi número de teléfono, ¿podría decirle que me llame por favor?

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deletreármelo? Mi amigo: Szcrych. S de sol, Z de zapato, C de cloro, R de ... Mi amigo: De cloro. R de razón, Y de yunta, CH de chaleco. Mi esposa: Gracias, señor. Sorprendido, mi hijo Carlos que escuchó el diálogo anterior, nos hizo notar que en la conversación había ocurrido algo totalmente ilógico. ¿Puede Ud. descubrir de qué se trataba?

5. Una ventana cuadrada mide un metro de lado. Como estaba orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuyó su tamaño a la mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana seguía teniendo forma cuadrada y tanto su ancho como su altura seguían siendo de 1 metro. ¿Puede dar una explicación de tan extraño fenómeno? Primer Año de Secundaria


S

S

O P

H

S

P

E H

8. Un juego que consiste en formar palabras, utiliza dados con una letra en cada cara. Uno de estos dados se ve en la figura en tres posiciones.

¿Qué letra está en la cara opuesta a la que ocupa la "H"?

6. Carlos iba a camino a la playa Asia a pasar sus vacaciones, cuando, al atravesar un pueblo, se le averió el coche. Mientras se lo arreglaban, decidió hacerse cortar el pelo. El pueblo solo tenía dos barberías, la de Pepe y la de Tony. Carlos echó un vistazo por la luna de la barbería de Pepe. El espectáculo no fue de su agrado. Carlos comenta: ¡Vaya suciedad! Hay que limpiar el espejo, el suelo está lleno de pelo, el barbero está sin afeitar y lleva un corte de pelo horrible. No es de extrañar que Carlos se marchara de allí, y fuera a dar un vistazo a la peluquería de Tony. Carlos miró a través del escaparate. Carlos vuelve a comentar. ¡Qué diferencia! El espejo está limpio, el suelo bien barrido y Tony lleva un corte de pelo perfecto. Pero Carlos no entró. Regresó en cambio a la otra peluquería, pese a lo sucia que estaba, para que le cortaran el pelo allí. ¿A qué obedece su conducta?

7. El jurado del proceso de dos hombres acusados de asesinato, declara culpable a uno e inocente al otro. El juez se dirige al culpable y le dice: "¡Este es el caso más extraño que he visto en mi vida! Aunque su culpabilidad está probada y más que probada, la ley me obliga a ponerlo en liberdad". ¿Cómo explica Ud. esto?


9. Coloque un dígito en cada casilla de manera que el número de la primera casilla indique la cantidad de ceros del total de casillas, el de la segunda la cantidad de números uno, el tercero la cantidad de números dos, así sucesivamente hasta el décimo indique la cantidad de números nueve.

0

1 2 3

4 5 6 7

8

9

10.El siguiente mensaje fue interceptado por el servicio de espionaje de los Estados Unidos: EN VIAJE TAL RES CATEDEL OSA MI GOSRU ¡SOS! ¿Qué es lo que dice?

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PractEjercicios iquemos Nivel I 1. Pendiente en el café Esta mañana se me cayó un pendiente en el café y aunque la taza estaba llena, el pendiente no se mojó, ¿cómo sucedió esto?

2. Olvidar el carnet de conducir Una señora dejó olvidado en su casa el permiso de conducir. No se detuvo en un semáforo rojo, despreció una señal de dirección prohibida y viajó tres cuadras en dirección contraria por una calle de sentido único. Todo esto fue observado por un policía de tránsito quien, sin embargo, no hizo el menor intento para impedírselo. ¿Por qué actuó así dicho policía?

6. El gorrión del bloque de hormigón Unos obreros están preparando hormigón para los cimientos en un edificio. Uno de los grandes bloques de cemento tiene un pequeño agujero de sección rectangular y unos dos metros de profundidad. En él ha caído un polluelo de gorrión. El agujero es demasiado estrecho para poder introducir el brazo; además, el pajarito se ha hundido tanto que resulta imposible alcanzarlo con la mano. Si intentásemos sujetar al pajarito con dos palos largos podríamos herirlo. ¿Se le ocurre a Ud. algún método para sacar al polluelo del agujero?

7. Una memoria extraordinaria Un amigo mío, después de escribir en una hoja de papel una larga fila de cifras (40 ó 50) dice que puede repetirla, sin equivocarse, cifra a cifra. Y, en efecto lo hace, a pesar de que en la sucesión de cifras no se nota ninguna regularidad, ni tampoco mira el papel. ¿Cómo puede hacer esto?

3. Ingenio canino Un perro está atado por el cuello a una cuerda de dos metros de longitud. ¿Cómo podrá alcanzar un sabroso hueso situado a cuatro metros de él?

4. El vendedor verídico "Este lorito es capaz de repetir todo lo que oiga", le aseguró a la señora el dueño de la pajarería. Pero una semana después, la señora que lo compró estaba de vuelta en la tienda, protestando porque el lorito no decía ni una sola palabra. Y sin embargo, el vendedor no había mentido. ¿Puede usted explicarlo?

5. En el refugio de la montaña Al entrar una noche de mucho viento en un refugio de cierta montaña, se encuentra usted con que tiene una sola cerilla y hay sobre la mesa una vela y en la chimenea una antorcha. ¿Qué encendería primero?

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8. La mosca en la sopa En un restaurante, un cliente encontró una mosca en la sopa. El camarero, al observar ello, de inmediato, se llevó el plato a la cocina y regresó con (aparentemente) otro plato de sopa. Un instante más tarde el cliente lo llama otra vez y enérgicamente le dice: “¡La sopa de este plato es la misma que mandé llevarse!”. ¿Cómo lo supo?

9. Los siete pescadillos Hay siete personas sentadas a la mesa. Entra la criada con una fuente con siete pescadillos; cada uno de los comensales se sirve uno y queda uno en la fuente. ¿Cómo es posible?


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 10. Problemático accidente Supongamos que un avión de vuelo regular, viajando en el trayecto París-Madrid, empieza a perder altura en el sur de Francia y se estrella justo en el límite fronterizo hispano-francés. Precisamente en la línea que separa ambos países, sin que se pueda decir si está en un país u otro. Ante esta situación, ¿dónde habría que enterrar a los sobrevivientes?

11. Comer la liebre Un cazador va de caza, hoy come la liebre, y mañana la mata. ¿Cómo es posible esto?

12. Sacar el aire del vaso Si tenemos un vaso con agua hasta la mitad, ¿cómo se las arreglaría usted para sacar el aire de la otra mitad?

13. Camino del bosque Andrea y su perro deciden entrar en el bosque. ¿Hasta qué parte del mismo pueden hacerlo?

Nivel II 1. Sobre una hoja de periódico ¿Cómo pueden permanecer dos personas en pie sobre una hoja de periódico al mismo tiempo sin que puedan tocarse aunque quisieran? Naturalmente, no se puede pisar fuera del periódico.

2. Última pregunta En un examen, un alumno no ha sabido contestar a nada de lo que se le preguntó. Profesor: Voy a hacerle la última pregunta. Si la contesta lo apruebo; si no, lo desapruebo. ¿Cuántos pelos tiene la cola de un caballo? Alumno: Treinta mil quinientos ochenta y tres. Profesor: ¿Y cómo lo sabe? ¿Qué contestó el alumno?


3. Una cuestión de inclinación En una casa las dos alas del tejado tienen diferente inclinación; un ala tiene una inclinación de 60º y la otra de 70º. Supongamos que un gallo pone un huevo exactamente en la cumbre. ¿Hacia qué lado del tejado caería el huevo?

4. El relato de la guillotina En un caluroso día de verano, en el transcurso de la misa, el señor González se quedó dormido, soñando que vivía en tiempos de la revolución francesa y estaba a punto de ser guillotinado. En ese preciso momento la señora González se volvió hacia su marido, y dándose cuenta que se había dormido, le dio un ligero golpe en el cuello con el abanico, lo que le produjo la muerte sin que llegase a emitir ningún sonido. ¿Es verdadero o falso este relato? Explique porqué.

5. Ocho ruedas y no contamina ¿Qué clase de transporte o vehículo tiene ocho ruedas, es estrictamente individual y no produce en ningún caso contaminación de la atmósfera?

6. Regalo de reyes Carlos y Daniel comenzaron el año con solo 1 000 soles cada uno. No pidieron prestado dinero ni robaron nada, y el día de Semana Santa de ese mismo año tenían más de mil millones de soles entre los dos. ¿Cómo lo hicieron?

7. Dos latas con agua Tenemos dos latas llenas con agua y un gran recipiente vacío. ¿Hay alguna manera de colocar toda el agua dentro del recipiente grande de manera que luego se pueda distinguir qué agua salió de cada lata?

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Situaciones lógicas II 8. Salvarse del incendio Situémonos en una isla pequeña de vegetación abundante, la cual está rodeada de tiburones. Si un lado de la isla comienza a arder, y el viento está a favor del fuego, ¿cómo haremos para salvarnos de ese infierno?

9. Adivino en el fútbol Juan Mentesiniestra, famoso por sus proezas psíquicas, es capaz de predecir el resultado de un partido de fútbol antes de que comience el encuentro. Hasta ahora nunca ha fallado. ¿Será posible que acierte siempre?

10. El túnel y los trenes En una línea de ferrocarril, el riel tiene doble vía excepto en un túnel, que no es lo bastante ancho para acomodar ambas. Por ello, en el túnel la línea es de vía simple. Una tarde, entró un tren en el túnel marchando en un sentido, y otro tren entró en el mismo túnel, pero en sentido contrario. Ambos iban a toda velocidad; y sin embargo no llegaron a colisionar. Explíquelo.

2. La cuerda misteriosa Un preso intenta escapar de la cárcel por una ventana de una torre que está a 60 metros de altura. Sólo dispone de una cuerda muy gruesa de aproximadamente 30 metros. Si ata la cuerda a los barrotes de la ventana, se desliza 30 metros y después salta los restantes 30 metros, moriría por el impacto. ¿Cómo cree usted que pudo escapar?

3. El naranjo Melissa subió a un árbol de naranjas, sin naranjas, y bajó con naranjas. ¿Cómo explica esto?

4. Zapatero estafado Una señora compra unos zapatos y paga con un billete de 200 soles los 180 que valen. Como el zapatero se encuentra sin cambio, acude al bar de al lado a cambiar el billete de 200 soles, devuelve 20 soles a la señora y ambos quedan satisfechos. Al poco tiempo llega el dueño del bar alegando que el billete que le cambió es falso y que no quiere perder dinero. El zapatero entrega otro billete de 200 soles legal al dueño del bar. ¿Cuánto perdió en total el desventurado zapatero?

Nivel III 1. El esclavo y los diamantes Cleopatra guarda sus diamantes en un joyero de tapa corrediza. Para disuadir a los ladrones, dentro de la caja hay una cobra viva cuya mordedura es letal. Un día un esclavo se quedó solo durante unos pocos minutos en la estancia de las joyas, y fue capaz de robar unas cuantas gemas de enorme valor sin sacar la cobra de la caja, y sin tocar ni influir en la serpiente de ninguna forma. Tampoco tuvo que hacer nada para protegerse las manos. Empleó tan solo unos cuantos segundos en el robo. Cuando el esclavo salió de la habitación, el joyero y la serpiente se encontraban exactamente en el mismo estado que antes, salvo por las gemas robadas. ¿De qué ingenioso método se valió el esclavo?

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5. Aviso a los navegantes Un barco, fondeado en el puerto, tiene desplegada una escalera para poder embarcar en los botes. La escalera desde cubierta al agua, tiene 22 escalones de 20 cm de altura cada uno. La marea sube a razón de 10 cm por hora. ¿Cuántos escalones cubrirá el agua al cabo de 10 horas? (Atención a la periodicidad de las mareas).



Autoevaluaciòn Acept a el ret o TRILCE ...! 1. Un profesor y su hijo mantienen el siguiente diálogo: Hijo: Papá, mira este papel que se te acaba de caer. ¿Te sirve?

3 5 2 3 1 5 1 0 4 1 1 3 5 6

4 6 3 3

2 6 6 6 2 2 1 2 2 1

Profesor. Sí, sí, son los cálculos de un problema para mis alumnos. Hijo: Supongo que se trata de una multiplicación y una suma. Profesor: En efecto, así es. Hijo: Pues he de decirte que quien las haya hecho es pésimo en aritmética. Profesor: No lo creas; he sido yo mismo y sus resultados están comprobados. ¿Está Ud. de acuerdo con el profesor? 2. Tres hermanos, que volvían del cine a casa, llegaron al paradero de cierto microbús dispuestos a tomar el primero que pasase. El microbús no llegaba, pero el hermano mayor dijo que debían esperar. El hermano mediano comenta: "Mejor es que caminemos hacia adelante. Cuando el microbús nos alcance, lo tomamos y como ya habremos recorrido parte del camino llegaremos antes a casa". Pero el hermano menor dice: "Si nos ponemos a andar, será preferible que vayamos hacia atrás; así encontraremos antes al microbús que venga y por lo tanto estaremos antes en casa". Como los hermanos no pudieron llegar a un acuerdo, cada uno hizo como pensaba; el mayor se quedó a esperar el microbús, el mediano, echó a andar hacia adelante, y el menor, hacia atrás. ¿Qué hermano llegó antes a casa y cuál de los tres procedió más lógicamente?


3. -¡Imposible, es imposible! ¡Parece una inocentada!exclamó Carlos a su amigo dejando a un lado el periódico que leía. Dirigiéndose a su amigo dice que va a leerle dicho párrafo: Un extraño y lamentable suceso ocurrió ayer en las proximidades de la localidad de Caraz. El conductor de un automóvil que viajaba con su esposa, empezó a adormilarse. Por indicación de ésta, aparcó su vehículo en la vía izquierda de la carretera, abrieron las puertas delanteras para mitigar el calor y, en el mismo coche, se quedó profundamente dormido. Soñó que organizaba el atraco a una importante central bancaria. Sería "el atraco del siglo". Planos, señales de alarma, sistemas de seguridad, reuniones clandestinas, controles de tiempos y un sinfín de detalles ocurrieron en su mente. Todo estaba perfectamente preparado. Nada podía fallar. Los acontecimientos se desarrollaron según lo previsto y consiguió llegar hasta una enorme cámara acorazada donde quedó impresionado ante los cientos de millones de dólares que contemplaba. En ese instante, la esposa, creyendo que ya había dormido demasido y que el viaje se estaba demorando en exceso, le dio unos suaves golpes en el hombro, con tan mala fortuna que el cuerpo de su marido se inclinó hacia la izquierda, cayó fuera del coche y se despeñó por un barranco, muriendo en el acto. ¿Por qué dijo Carlos que el suceso era imposible? 4. ¿Qué representa la siguiente secuencia? S, S, S, S, S, O, O Apuesto a que Ud. no lo saca ni en una semana. 5. En un pueblo se celebró un concurso de martillazos. Cada concursante tomaba un martillo y le daba con él a otro; si gritaba perdía. ¿Quién cree Ud. que ganó el concurso?

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Tareadomiciliaria domiciliaria Tarea 1. El loro tartamudo Un vendedor de pájaros elogia a su loro ante un cliente: "En un par de días aprende todo lo que se le dice". El cliente compra el loro. Al cabo de cinco días lo devuelve porque el loro es tartamudo. ¿Qué cree usted que le contestó el cliente cuando el vendedor le preguntó por el motivo de la devolución? 2. Cumpleaños especial Un hombre dice: "Anteayer yo tenía 33 años, y el año que viene cumpliré 36". ¿Qué opina de esto? ¿Es posible que sea cierto? ¿Por qué sí o por qué no? 3. Edad del griego Un griego nació el séptimo día del año 40 a.C., y murió el séptimo día del año 40 d.C. ¿Cuántos años vivió? 4. Ayer, hoy y mañana Cuando mañana sea ayer, el día de hoy estará tan próximo al domingo como lo estaba cuando ayer era mañana. ¿Qué día es hoy? 5. Las tapas cambiadas Se tienen tres botes, de los cuales uno contiene dos bolas blancas, otro dos bolas negras y el tercero una bola blanca y otra negra. Las tapas están rotuladas acordemente con las letras BB, NN y BN. Cambiamos las tapas de modo que ninguno de los botes tenga la que le corresponde. ¿Cómo determinaremos el color de las bolas de cada bote, tomando sólo una bola de uno de los botes? 6. Una barca para tres Tres aficionados al deporte del remo tienen una barca común y quieren arreglárselas de tal modo que cada uno pueda utilizar la barca en cualquier instante, sin que ningún extraño pueda llevársela. Para esto, piensan atar la barca con una cadena cerrada por tres candados. Cada uno de los amigos tiene una sola llave, pero con ella pueden abrir el candado y coger la barca sin esperar a que lleguen los otros con sus llaves. ¿Qué hicieron para que todo les saliera bien? 7. La caída del huevo sin romperse Si estamos de pie sobre un piso de mármol, ¿cómo nos las arreglaremos para soltar un huevo de gallina y hacer que éste recorra en su caída un metro sin romperse? No vale colocar ninguna almohada ni cosas blandas para amortiguar el golpe contra el mármol. 8. ¿Será posible? Dos padres deciden dar propina a sus respectivos hijos. Uno de ellos dio a su hijo S/.150, mientras que el otro dio a su hijo S/.100, sin embargo los dos hijos aumentaron su capital sólo en S/.150. ¿Cómo es posible esto?

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9. La moneda extraviada Tres amigos, luego de consumir en un restaurante, piden la cuenta, el mozo cobra S/.30, sacando entonces cada uno S/.10. Pero el cajero le dice al mozo que había una equivocación, pues el consumo sólo ascendía a S/.25; el mozo se da cuenta que devolver S/.5 a tres personas en partes estrictamente iguales era molestoso así que decide quedarse con S/.2 y devuelve S/.1 a cada uno, por consiguiente, cada uno de los amigos habría gastado sólo S/.9. Pero al principio había S/.30 y ahora hay: 9 × 3 = 27 soles más dos soles con los que se quedó el mozo entonces son S/.29 soles. ¿Qué pasó con el otro sol? 10. Pregunta curiosa TRILCITO intentado hacer razonar a Luchín le comenta: "Luchín, ¿cómo podrías demostar que la mitad del número nueve es exactamente cuatro?". ¿Usted cómo lo haría? 11. Pregunta discordante Dos personas van por un camino, el de adelante dice: "Me sigue mi hijo", pero el que está atrás dice: "Yo no sigo a mi padre". ¿Quién está adelante? 12. Extraña muerte Un hombre yace muerto en un campo. A su lado hay un paquete sin abrir. No hay nadie más en el campo. ¿Cómo murió? Nota: Conforme se acercaba el hombre al lugar donde se le encontró muerto, sabía que irremediablemente moriría. 13. Olvidó la licencia de conducir El profesor Medrano dejó olvidada en su casa la licencia de conducir. No se detuvo en un paso a nivel, despreció una señal de dirección prohibida y viajó tres cuadras en dirección contraria por una calle de sentido único. Todo esto fue observado por un policía de tránsito quien, sin embargo, no hizo el menor intento para impedírselo. ¿Por qué? 14. El sastre cortador Un sastre corta cada minuto un metro de una tela que mide diez metros. ¿Cuánto tardará en tenerla completamente cortada? 15. Persona caprichosa Una persona un tanto caprichosa, construyó una casa de base cuadrada, con una ventana en cada pared, y de modo que las cuatro daban al sur. ¿Cómo se puede hacer esto? En otras palabras, ¿dónde se puede construir una casa de este tipo? 16. Regresar a casa ¿Dónde puede un hombre, salir de su casa, andar 5 km en dirección sur, 5 km hacia el oeste y otros 5 km hacia el norte y encontrarse de nuevo en su propia puerta? Primer Año de Secundaria

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 17. Encontremos nuestro lugar en el planeta Un explorador camina 3 km hacia el sur, después 3 km hacia el este, se encuentra a un oso recorre 3 km hacia el norte, volviendo así al lugar de partida. ¿De qué color es el oso? 18. Criminal en el cine Un criminal americano fue al cine con su mujer a ver una película de vaqueros. Aprovechando una secuencia donde las descargas de bala eran continuas, asesinó a su mujer de un disparo en la cabeza. A continuación salió del cine con el cadáver de su mujer, sin que nadie hiciera nada por detenerlo. ¿Cómo se las arregló el asesino? 19. Problemático accidente Supongamos que un avión de vuelo regular, viajando en el trayecto Perú-Chile, empieza a perder altura en el sur de Perú y se estrella justo en el límite fronterizo peruano-chileno. Precisamente en la línea que separa ambos países, sin que se pueda decir si está en un país u otro. Ante esta situación, ¿dónde habría que enterrar a los sobrevivientes? 20. Camino a Villavieja Yendo yo para Villavieja me crucé con siete viejas, cada vieja llevaba siete sacos, cada saco siete ovejas. ¿Cuántas viejas y ovejas iban para Villavieja? 21. ¿Fue el mayordomo? “¿Dónde están esas valiosas monedas de la colección que dejé esta mañana sobre la mesa, Genaro? Las puse en formación cuadrada y ahora sólo quedan dos. ¿No


las tomó usted, verdad?” ¡No señor!, respondió el mayordomo. “Poco después de que usted saliera entraron tres ladrones. Se repartieron las monedas en partes iguales entre ellos, pero dejaron estas dos porque no podían repartírselas equitativamente”. ¿Decía la verdad, o mentía el mayordomo? 22. A dormir se ha dicho Una persona se fue a acostar a las 8 de la noche, puso el despertador de agujas para las 9 de la mañana y se fue a dormir de inmediato. ¿Cuántas horas había dormido cuando el despertador lo despertó? 23. Pobre carnicero Realizan una inspección para controlar el peso de las balanzas de una carnicería. No le pusieron ninguna multa. A pesar de ello, el dueño estaba muy triste y hubiera preferido la multa. ¿Cómo es posible esto? 24. Quitarse el zapato Estando yo de pie, un amigo mío me propuso lo siguiente: "Si tú solo eres capaz de quitarte el zapato del pie derecho, moviendo exclusivamente la mano izquierda, te invito a un café irlandes". Aquí hay truco, pensé, ya que el dinero de mi amigo era insuficiente para comprar una taza de café. ¿Dónde está el truco? 26. La cuerda floja Tenemos dos postes de 12 metros de altura cada uno, en cuyos extremos superiores hay atada una cuerda que mide 20 metros. Dicha cuerda está colgando, de modo que el punto más bajo de ella dista dos metros del suelo. Se trata de hallar la distancia entre los dos postes.

171

20

Intervalos de longitud


Los problemas que vamos a desarrollar y aprender en el presente capítulo, están relacionados con cortes, estacas y postes, pues son con estos casos con los que comprenderemos mejor los criterios que se tienen al trabajar con intervalos de longitud.

Cortes, estacas y postes Este tipo de problemas de carácter recreativo, se refiere a los cortes que en número suficiente se debe realizar a objetos de una longitud determinada, para obtener pequeños trozos (pedazos) de igual longitud. NÚMERO DE CORTES Para determinar la fórmula que nos permita calcular el número de cortes, consideremos previamente a una varilla de 12 cm de longitud que se corta, para obtener piezas de 6 cm, 4 cm, 3 cm y 2 cm respectivamente..

12cm 6cm

6cm

12cm 4cm

4cm

4cm

12cm 3cm

3cm

3cm

3cm

12cm 2

2 Generalizando:

2

2

2

2

Nº cortes 

12 1  1 6

Nº cortes 

12 1  2 4

Nº cortes 

12 1  3 3

Nº cortes 

12 1  5 2

Lt = Longitud total Lu = Longitud unitaria

Lt Lu

Lu Lu

Lu Lu

Lu ...

Nº cortes 

Lt 1 Lu

Por lo tanto, para determinar el número de cortes, la fórmula es la siguiente: N° cortes 


Lt 1 Lu

(1)

173

I nt er valo s de longi tud NÚMERO DE ESTACAS Consideramos una pista de 12 m de longitud (Lt), en la cual se deben colocar estacas (  ), a las distancias de: 6 m, 4 m, 3 m y 2 m respectivamente.

12m 6m

6m 12m 4m

4m

4m

12m 3m

3m

3m

3m

12m 2

2

2

2

2

2

Nº estacas 

12 1  3 6

Nº estacas 

12 1  4 4

Nº estacas 

12 1  5 3

Nº estacas 

12 1  7 2

Generalizando tenemos:

Lt Lu

Lu

Lu

Nº estacas 

Lu

Lt 1 Lu

Por lo tanto, para determinar el número de estacas la fórmula es la siguiente: N° estacas 

Lt 1 Lu

(2)

Caso especial: Cuando se trate de calcular el número de cortes y estacas en objetos circulares (aros) o figuras cerradas, la fórmula es la siguiente: N° de cortes  N° de estacas 

Lt Lu

(3)

Ejemplo: ¿Cuántos cortes se deben dar a un aro de 80 cm para dividirlo en cuatro partes iguales?

4 80  20 cm 4 Lt 80 N° cortes   4 Lu 20 Lu 

1

3 2

174



P r o b le m a s R e s u e lt o s os Problemas resuelt 1. ¿Cuántos cortes debe darse a una soga de 72 m de largo, para tener pedazos de 4 m de largo cada uno? a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

Resolución: Analizando el problema, deducimos que el número de cortes es igual al número de horas; entonces se debe hallar solamente la cantidad de cortes; sabiendo que: Longitud total: Longitud unitaria:

c) 19

Lt = 392 m Lu = 14 m Nº cortes 

Resolución:



Ilustrando gráficamente el problema tenemos:

Lt 1 Lu 392 m  1  28  1 14 m

Nº cortes = 27

Lt = 72 m 4 m 4 m 4 m 4 m ...

Como el número de cortes es 27, entonces el número de horas que se emplearon es también 27.

Lu

Respuesta: a

Nº cortes 

Lt 1 Lu 72 m  1  18  1 4m  Nº cortes = 17 

Respuesta: a

4. ¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 40 metros de longitud, para tener pedazos de 5 m de longitud? a) 5 d) 10

b) 7 e) 9

Resolución: Sea el diagrama siguiente:

6

5m

5

3 4

5m

Como observarás, en total se realiza ocho cortes.

Nuestros datos son: Longitud total: Lt = 960 m Longitud unitaria: Lu = 8 m Luego, para calcular el número de postes (estacas), aplicamos lo siguiente, resultando:

Nº cortes 

Lt 40 m   8 Lu 5m

Respuesta: c 5. ¿Cuántos árboles deben colocarse a lo largo de una avenida que tiene 15 km de longitud, si los árboles se colocan cada 15 metros? (1 km = 1000 m)

Lt 1 Nº de postes  Lu 960 m  1  120  1 8m  Nº de postes = 121 

a) 1 500 d) 1 000

b) 1 100 e) 1 001

c) 1 010

Resolución:

3. En una ferretería se tiene un stock de 392 metros de alambre y cada hora cortan 14 metros. ¿En cuántas horas cortaron totalmente el alambre? a) 27 d) 32

5m

c) 124

Resolución:

Respuesta: e

Nº de cortes

7

5m

b) 120 e) 121

5 5m 1 m 8 2

5m

2. En una avenida de 960 metros de longitud, se quiere colocar postes pequeños cada 8 m de distancia entre cada uno de ellos, ¿cuántos postes serán necesarios para cubrir toda la avenida? a) 116 d) 140

c) 8

5m

Para calcular el número de cortes que se deben realizar, aplicamos lo siguiente: (1)iiiiiii

b) 28 e) 26

c) 29


Primero calculamos la longitud total (Lt) de la avenida, en metros: Lt = 15 km = 15 (1 000 m) Lt = 15 000 m

175

I nt er valo s de longi tud Como los árboles se colocan cada 15 m, entonces la longitud unitaria es: Lu = 15 m.

Por lo tanto cada corte cuesta: S/. 2. Respuesta: b

Para hallar el número de árboles, aplicamos lo siguiente: Nº de árboles



Lt 1 Lu



15 000 m 1 15 m

7. Un terreno rectangular mide 24 metros de largo por 6 m de ancho. Cada 3 m se coloca una estaca de 1,20 m. ¿Cuántas estacas se debe colocar en todo su perímetro?

 1 000  1

a) 18 d) 24

 Nº de árboles  1 001

Resolución:

Respuesta: e

b) 20 e) 19

c) 21

Previamente calculamos el perímetro del terreno, en base al siguiente diagrama referencial:

6. Se tiene una fibra de vidrio de 84 cm de largo, que se desea dividir en trozos de 3 cm de largo cada uno. ¿Cuánto nos cobra el cortador por cada corte, si recibe en total S/. 54? a) S/. 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

24m 6m

6m 3m

24m

Perímetro = 24 m + 6 m + 24 m + 6 m = 60 m

Resolución: Previamente calculamos el número de cortes, resultando: Nº cortes



Lt 1 Lu



84 cm 1 3 cm

 28  1  27

estacas

Como se trata de una línea cerrada, entonces aplicamos: Nº de estacas 

Perímetro Lu



60 m  20 3m

Respuesta: b

 Nº de estacas = 20

Luego, si multiplicamos el número de cortes por lo que cobran por cada corte (n) obtenemos el costo total de S/. 54; o sea: 27 × n = S/. 54 De donde: n 

176

S / . 54  S/. 2 27



Testde de aprendizaje Aprendizaje previo Test Lea los enunciados y complete los espacios en blanco. 1. Si al cortar una soga he obtenido 10 pedazos, entonces he tenido que realizar ____ cortes.

2. Si deseo realizar 17 cortes a un alambre, entonces debo de obtener ___ pedazos.

3. Si al cortar un aro he obtenido 24 pedazos, entonces he tenido que realizar _____ cortes.

6. Para obtener el número de pedazos del problema anterior debo de realizar ___ cortes.

7. Un pasaje mide 200 m. Si se desea dividirlo en longitud de 10 m cada uno, entonces se debe de obtener ___ intervalos.

8. Si se desea plantar árboles (desde el inicio hasta el final del pasaje) utilizando los datos del problema anterior, entonces se deben de plantar ___ árboles.

9. Se tiene el siguiente terreno: 4. Si a un collar le he hecho 35 cortes, entonces he obtenido _____ pedazos.

28 m

40 m

56 m Entonces su perímetro es ____ m.

5. Si un listón de madera mide 42 m y deseo cortarlo en pequeños listones de 3 m cada uno, entonces debo de obtener ___ pedazos.


10.Si deseo cercar el terreno anterior colocando estacas cada 4 m. (una en cada vértice), entonces necesito utilizar ____ estacas.

177

I nt er valo s de longi tud

PractEjercicios iquemos 1. ¿Cuántos cortes debemos efectuar en una varilla de fierro de 60 m para obtener pedazos de 4 m de longitud cada uno? b) 14 e) 13

c) 15

2. Una larga soga debe ser dividida en trozos de 27 cm de largo cada uno. Si la longitud de la soga inicialmente es de 1 215 cm, ¿cuántos cortes se debe realizar? a) 90 d) 28

b) 45 e) 46

c) 44

3. En un anillo, ¿cuántos cortes se deben realizar, si se desea obtener 10 partes iguales? a) 8 d) 10

b) 9 e) 11

c) 4

4. ¿Cuántos cortes se debe hacer a un triángulo equilátero cuyo perímetro es 72 cm, debiendo ser cada parte de 6 cm cada una? a) 10 d) 24

b) 12 e) 13

c) 11

5. ¿Cuántos cortes debemos dar a un cable de 300 metros de longitud, para obtener pedazos de 25 metros cada uno? a) 11 d) 25

b) 12 e) 13

c) 15

6. A una soga de 60 metros se le hacen 11 cortes para tener pedazos de 5 metros de largo. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomara la mitad del largo de la soga? a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

7. Se desea cercar un terreno rectangular de 39 m de largo y 21 m de ancho con estacas puestas cada 3 m. ¿Cuántas estacas se necesitarán? a) 40 d) 41

b) 50 e) 39

c) 48

8. La siguiente línea curva representa el borde de un lago contaminado que debe ser cercado con estacas y alambre. ¿Cuántas estacas se deberán colocar cada 3 m sobre dicha curva, si el perímetro mide 2 100 m?

a) 15 d) 10

c) 699

b) 14 e) 11

c) 12

10.¿Cuánto se tardará cortar una pieza de tela de 80 metros de largo en trozos de 4 m, si se emplean 15 segundos en hacer cada corte? a) 300 s d) 280

b) 299 e) 285

c) 290

11.¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 24 cm de longitud para tener pedazos de 1,2 cm de longitud? a) 12 d) 30

b) 18 e) 20

c) 24

12.Una persona cercó un jardín de forma rectangular y utilizó 40 estacas. Puso 14 por cada uno de los lados más largos del jardín. ¿Cuántas puso en cada lado más corto? a) 10 d) 5

b) 8 e) 9

c) 6

13.Se tiene una barra de aluminio de 8 m de longitud. Si se quiere tener (n+1) partes iguales, ¿cuántos cortes debe efectuarse? a) 8(n+1) d) n

b) n + 8 e) n + 2

c) n + 1

14.En una pista de atletismo de 320 metros de longitud se quiere colocar obstáculos cada 4 metros de distancia entre sí. ¿Cuántos obstáculos serán necesarios para cubrir toda la pista, si se les colocó desde el inicio hasta el final de la misma? a) 40 d) 84

b) 80 e) 79

c) 81

15.A un aro de 20 cm de longitud, se hacen 10 cortes para tener pedazos de 2 cm de largo. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomará la mitad del largo del aro? a) 6 d) 3

b) 5 e) 7

c) 4

Nivel II 1. ¿Cuántos cortes se deben hacer en un listón de madera de dos metros de largo, si se necesitan pedazos de 8 cm de longitud? a) 24 d) 32

178

b) 701 e) 698

9. En una ferretería tienen un stock de alambre de 84 m y diario cortan 7 m. ¿En cuántos días cortarán todo el alambre?

Nivel I

a) 12 d) 16

a) 700 d) 702

b) 26 e) 30

c) 28


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2. Calcular el número de estacas que se requieren para plantarlas (desde el inicio hasta el final) a lo largo de una línea recta de 300 metros, si se sabe que entre cada estaca debe existir una longitud de 4 m. a) 70 d) 78

b) 72 e) 74

c) 76

3. ¿Cuál es la longitud total de una regla de madera, a la que se aplicó 17 cortes, obteniéndose pequeñas reglitas de 15 cm cada una? a) 2 m 40 cm c) 2 m 80 cm e) 2 m 70 cm

b) 2 m 60 cm d) 2 m 90 cm

4. En una pista de salto con vallas, hay 15 de éstas, separadas por una distancia de 4 m. ¿Cuál es la longitud entre la primera y última valla? a) 68 m d) 52

b) 60 e) 64

c) 56

5. Un joyero cobra S/.15 por partir una barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto tendré que pagar si deseo partirla en ocho pedazos? a) 105 d) 60

b) 120 e) 80

c) 100

6. Un electricista tiene un cable de 180 m y debe cortarlo en pedazos de 5 m. ¿Cuántos cortes debe dar? a) 36 d) 33

b) 35 e) 37

c) 34

7. Un carpintero para cortar una pieza de madera en dos partes cobra S/.30. ¿Cuánto cobrará como mínimo para cortarla en siete partes? a) S/.100 d) 210

b) 180 e) 190

b) 390 e) 500

b) 18 e) 10

c) 225

Nivel III 1. ¿Cuál es la longitud total de una viga de madera a la que se aplica 20 cortes y se obtienen pequeñas vigas de 20 cm cada una? a) 4 m 20 cm d) 3 m 50 cm

b) 3 m 40 cm e) 4 m

c) 5 m 20 cm

2. Para cortar una pieza de madera en dos partes cobran “N” soles. ¿Cuánto cobrarán como mínimo para cortarlo en nueve partes? a) 8 N d) 9 N

b) 5 N e) 9 + N

c) N

3. ¿Cuántos cortes debe darse a una soga de (N2 - 1) metros de largo para tener pedazos de (N - 1) metros de largo? a) N d) 2N

b) N - 1 e) N + 2

c) N + 1

4. Un hojalatero para cortar una cinta metálica de (K2-1) metros de largo, cobra (K + 1) soles por cada corte que hace, si cada corte lo hace cada (K - 1) metros, ¿cuánto cobrará por toda la cinta? a) S/.K2(K - 1) b) K(K + 1) d) K2 - 1

c) K2

e) K2 + 1

5. En la siguiente figura se muestra el plano de un corral para caballos, ¿cuántas estacas como mínimo se necesitan si se van a plantar cada dos metros? (La zona de las puertas debe quedar libre)

40 m

20 m

c) 14

a) 140 d) 143

50 m 2m (Puerta)

30 m

c) 360

9. Se desea efectuar cortes de ocho centímetros de longitud de arco en un aro de 120 centímetros de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes podremos efectuar? a) 15 d) 9

b) 220 e) 1 200

c) 120

8. Una varilla de fierro ha sido seccionada en pedazos de 30 cm. Si para esto se hicieron 12 cortes, ¿cuál fue la longitud inicial de la varilla de fierro? a) 300 cm d) 400

a) S/.200 d) 280

2m (Puerta)

30 m 2m (Puerta)

92 m b) 141 e) 144

20 m

c) 142

10.Un sastre para cortar una cinta de tela de 80 metros de largo, cobra S/.15 por cada corte que hace. Si cada corte lo hace cada cinco metros, ¿cuánto cobrará por toda la cinta? Organización Educativa TRILCE

179

I nt er valo s de longi tud

Tareadomiciliaria domiciliaria Tarea 1. ¿Cuántos cortes se debe realizar a una varilla de fierro de 247 cm de longitud, si se desea obtener pedazos de 13 cm cada uno? 2. Se tienen cinco trozos de cadena con cuatro eslabones cada uno, se desea formar una cadena continua de forma circular con esos trazos. ¿Cuál es el menor número de eslabones que hay que abrir y cerrar? 3. ¿Cuántas estacas se deben colocar en el borde de un rectángulo de 20 m de largo por 10 m de ancho, si entre estaca y estaca debe haber tres metros de distancia? 4. ¿Cuántos postes debemos colocar a lo largo de una calle de 60 m de largo, si entre uno y otro poste debe haber 4 m de distancia?

14.Se ha formado un triángulo donde en un lado hay seis personas, en el segundo lado hay ocho personas y en el tercer lado hay cinco personas. ¿Cuántas personas hay en total, si en cada vértice hay una persona? 15.Se va a electrificar una avenida de 3 km de largo, con la condición que en uno de sus lados, los postes se colocarán cada 30 m y en el otro lado 20 m. Si los postes se colocan desde que empieza la avenida, ¿cuántos postes se necesitan en total? 16.En una pista de atletismo de 320 m de longitud se quiere colocar estacas cada 4 m de distancia cada una de ellas. ¿Cuántas estacas serán necesarias para cubrir toda la pista?

5. Se ha trozado lana en madeja, logrando pedazos de ocho metros cada uno. Si para esto fue necesario realizar 20 cortes, hallar la longitud inicial de lana.

17. Se tiene un aro de 20 m de longitud y se hacen 10 cortes para tener pedazos de 2 m de largo. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomara la mitad del largo del aro, para tener pedazos de la misma longitud anterior?

6. Se desea efectuar cortes de cinco metros de longitud de arco, en un aro de 45 metros de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes se debe efectuar?

18.¿Cuántos cortes se deben hacer en un listón de madera de 2 m de largo, si se necesitan pedazos de 8 cm de longitud?

7. En una varilla de madera de 196 cm de longitud se colocaron 29 clavos desde el inicio hasta el final. ¿Cada cuántos centímetros se colocaron dichos clavos?

19.Calcular el número de estacas de 8 m de altura que se requieren para plantarlas en una línea recta de 300 m, si se sabe que entre cada estaca debe existir una longitud de 4 m.

8. Un joyero cobra S/.25 por partir una barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto se deberá pagar si se desea partirla en seis pedazos? 9. Se tiene un terreno de forma cuadrada con 336 m por lado. Si deseamos cerrar el terreno con estacas colocadas cada 8 m, ¿cuántas estacas necesitaremos? 10.El ancho de un terreno es de 40 m. Si en todo el perímetro se colocan 80 estacas cada 5 m, calcular el largo de dicho terreno. 11.Un terreno rectangular mide 40 m de largo por 14 m de ancho, necesitamos cercarlo con postes cada 6 m. Si cada poste mide 2 m, ¿cuántos postes se necesitan? 12.Un carpintero para cortar una pieza de madera en dos partes, cobra S/.15. ¿Cuánto cobrará como mínimo para cortarlo en 6 partes? 13.Una varilla se ha partido en “n” partes iguales y a un aro en “m” partes iguales. Entonces el número de cortes que se ha hecho a la varilla menos el número de cortes que se ha hecho al aro es:

180

20.¿Cuál es la longitud total de una regla de madera, a la que se aplicó 17 cortes, obteniéndose pequeñas reglitas de 15 cm cada una? 21.En un terreno cuadrado se han colocado 80 estacas en todo su perímetro, las estacas están distanciadas entre sí 6 metros cada una. ¿Cuál es el perímetro del terreno? 22.En una pista de forma exagonal se ubican en cada lado: 7; 8; 9; 10; 11 y 12 adornos fluorescentes, de modo que en cada vértice hay solamente un adorno. ¿Cuántos adornos se colocaron en total? 23.Una varilla de fierro ha sido seccionada en pedazos de 24 cm de largo; si para esto se hicieron 11 cortes, ¿cuál es la longitud inicial de la varilla de fierro? 24.En una pista de salto con vallas hay 15 de estas separadas por una distancia de 4 m. ¿Cuál es la longitud entre la primera y última valla? 25.Se tiene “m” tubos y a cada uno se le practicó tres cortes. ¿Cuántos trozos se obtendrán?


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 26.Si el área de un círculo es 100 cm2, ¿cuántos cortes es necesario dar para obtener 16 partes iguales? 27. Se han hecho 37 cortes iguales y se tienen ocho pedazos de 7 cm cada uno. ¿Cuál fue la longitud total, si el corte se realizó a un cable? 28.A un alambre de 552 cm se hacen tantos cortes como longitud tiene cada corte. ¿Cuántos cortes se han hecho y qué longitud tiene dicho corte?


29.Una varilla de oro de 96 cm de largo debe ser cortada en retazos de 6 cm de longitud cada uno. Si al final se paga S/.75 por todo, ¿cuánto cuesta cada corte? 30.Se tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 60 m. ¿Cuántos postes deberían colocarse cada 3 m, si cada uno de estos mide 2 m de longitud?

181

21

Intervalos de tiempo


O bOBJETIVO jetivo - Brindar al estudiante las pautas teóricas para reconocer y resolver problemas de cronometría. - Dar a conocer al estudiante las diversas técnicas empleadas en la resolución de problemas de cronometría. - Aplicar las técnicas a situaciones propias de la vida diaria, referentes a la medición del tiempo.

Introducción Los problemas de intervalos de tiempo relacionados a la vida diaria, involucran a las campanadas y pastillas. Ambas serán motivo de estudio en el presente capítulo. Aplicaremos aquí, las técnicas estudiadas en los temas de razonamiento lógico y el razonamiento deductivo, poniendo énfasis en la observación y el análisis de la información dada.

Intervalos Cuando nos referimos a un evento que implica una acción repetitiva, como campanadas, golpes, contactos seguidos a velocidad constante, debemos considerar que el tiempo transcurrido, es propiamente el de los periodos comprendidos entre contacto y contacto y no la duración del contacto.

P r o b le m a s R e s u e lto s os Problemas resuelt 1. Un reloj de pared da tres campanadas en seis segundos. ¿Cuánto se demorará para dar siete campanadas?

Luego en nuestro problema:

3s 3s 1

2

3

4

5

6

7

Campanadas

6s 3 campanadas <> 2 intervalos de tiempo 7 campanadas <> 6 intervalos de tiempo Entonces:

Campanadas 3 7

Intervalos Tiempo 2 6 segundos x 6

Aplicando Regla de Tres Simple: 2x = 6 × 6  x =

36 = 18 segundos 2

Observación: Número de intervalos de tiempo es uno menos que el número de campanadas. 2. El campanario de una iglesia da nueve campanadas en 12 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 18 segundos? Resolución:

Resolución: Observación 1: Como es evidente, para que golpee al extremo izquierdo y luego al derecho debe haber transcurrido solo un intervalo de tiempo, es decir, el “número de intervalos de tiempo es uno menos que el número de campanadas”.


e

e e e e e e 3ra 4ta 5ta 6ta 7ma 8va 2da campanada

9na

1era campanada

183

I nt er valo s de t iempo Resolución:

Campanadas Intervalos Tiempo 12 segundos 9 8 18 segundos x x-1

Gráficamente: Empieza

Culmina

Aplicando Regla de Tres Simple: 1

4

2

6h

3

6h

e

6h

6h

6h

Segundo día

2 días <> 48 horas

3. Una pistola automática dispara siete balas en dos segundos. ¿Cuántas balas disparará en cinco segundos?

e

6h

Escogemos las tres primeras pastillas y logra tomarlas en 12 horas, todas las pastillas las tomará en:

 En 18 segundos dará 13 campanadas.

e

6h

Primer día

12(x - 1) = 8 18 x - 1 = 12 x = 13

e

6h

e

e

Pastillas 3 x

Intervalos 2 (x-1)

Aplicando Regla de Tres Simple:

Resolución:

4

1

12(x - 1) = 2 x 48 x-1=8 x=9

 Siete balas determinan seis intervalos. Balas Intervalos Tiempo 2 segundos 7 6 5 segundos x x-1 Aplicando Regla de Tres Simple: 15

2(x - 1) = 30 x - 1 = 15 x = 16  En cinco segundos disparará 16 balas. 4. ¿Cuántas pastillas tomará Arturo durante los dos días que estará en cama por una enfermedad viral, si toma una cada seis horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo, hasta que culminó?

Tiempo 12 horas 48 horas

 En dos días tomará nueve pastillas. 5. Un reloj demora dos segundos en dar cinco campanadas. ¿Cuánto se demora para dar 11 campanadas? Resolución:

Campanadas 5 11

Intervalos 4 10

Tiempo 2 segundos x

Aplicando Regla de Tres Simple: 4x = 20  x = 5 segundos  Dará 11 campanadas en cinco segundos.

184



Testde de Aprendizaje Test aprendizaje previo 1. Si un reloj da cinco campanadas en seis segundos, ¿cuántas campanadas dará en tres segundos?

6. El campanario de una iglesia ha dado 31 campanadas en nueve minutos. ¿Cuántas campanadas ha dado en 180 segundos?

2. Si un reloj da siete campanadas en ocho segundos, ¿en cuántos segundos dará cuatro campanadas?

7. Al amanecer un gallo canta cinco veces en 12 segundos, ¿cuántas veces cantaría en 24 segundos?

3. Una pistola dispara 11 balas en dos minutos. ¿Cuántas balas disparará en cinco minutos?

8. Giovanni toma una pastilla cada seis horas. En un día, ¿cuántas pastillas ha tomado, si las debe tomar desde el inicio hasta el final de su medicación?

4. Lionel Messi patea nueve penales en 20 segundos. En 15 segundos, ¿cuántos penales podrá patear?

9. Lincol toma una cápsula cada ocho horas. En cuatro días, ¿cuántas cápsulas ha tomado, si las debe de tomar desde el inicio hasta el final de su medicación?

5. Arturo tocó tres veces una puerta en tres segundos. Si tocará cinco veces, ¿qué tiempo se demoraría?


10.Jorge toma dos píldoras cada cuatro horas. En una semana, ¿cuántas píldoras habrá tomado, si las debe de tomar desde el inicio hasta el final de su medicación?

185

I nt er valo s de t iempo

PractEjercicios iquemos

9. Un gallo al amanecer, canta cinco veces en dos minutos. ¿Cuántas veces cantará en siete minutos? a) 15 d) 12

Nivel I

b) 14 e) 11

c) 13

1. Un reloj da siete campanadas en 10 segundos. ¿Cuántas 10.Trilcito para escribir tres letras se ha demorado tres campanadas dará en 15 segundos? segundos. ¿Cuánto se demorará en escribir nueve letras? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 a) 9 s b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 2. El campanario de una iglesia da nueve campanadas en 12 segundos. ¿En cuántos segundos dará 15 11.Gildder para tocar una puerta cuatro veces ha tardado campanadas? cinco segundos. ¿Cuánto se tardará para tocar la misma puerta siete veces? a) 20 s b) 19 c) 18 d) 22 e) 21 a) 11 s b) 8 c) 9 d) 7 e) 10 3. Un reloj da 11 campanadas en cinco segundos. ¿Cuántas campanadas dará en ocho segundos? 12.Si para tocar un timbre seis veces Rommelito ha tardado 10 segundos, ¿cuánto tardará en tocar el mismo timbre a) 15 b) 16 c) 17 nueve veces? d) 18 e) 19 4. Todos los domingos a las ocho de la noche el sacerdote de una catedral da cuatro campanadas en cuatro segundos. ¿En cuántos segundos dará 13 campanadas? a) 16 s d) 13

b) 17 e) 14

c) 15

5. Si para que un reloj toque 16 campanadas se ha demorado 18 segundos, ¿qué tiempo demorará para que toque seis campanadas? a) 5 s d) 6

b) 4 e) 3

c) 7

6. Una ametralladora dispara 100 balas en dos minutos. ¿Cuántas balas disparará en seis minutos? a) 300 d) 297

b) 299 e) 298

c) 296

7. Ronaldinho patea nueve penales en tres minutos. ¿Cuántos penales pateará en seis minutos? a) 18 d) 15

b) 17 e) 14

c) 16

a) 15 s d) 18

b) 16 e) 19

c) 17

13.Si Cristina tiene que darle una pastilla cada media hora a su hijita Valeria que está enferma, ¿cuántas pastillas le dará desde las 2:00 p.m. hasta las 8:00 p.m.? a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

14.¿Cuántas pastillas tomará Ricardo (que está enfermo con gripe) durante una semana, si toma una cada cuatro horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó? a) 41 d) 44

b) 42 e) 45

c) 43

15.Un paciente toma una pastilla cada ocho horas durante 14 días. Si empezó a tomar desde un comienzo hasta el final, ¿cuántas pastillas consumió? a) 39 d) 44

b) 42 e) 40

c) 43

Nivel II

8. Hollyfield (campeón mundial de boxeo) da a su 1. Rosaura compra un frasco cuyo contenido tiene cápsulas contrincante 17 golpes en medio minuto. ¿Cuántos golpes vitamínicas y tiene que tomarlas durante los tres días de box le dará en cuatro minutos? que va a hacer deportes, a razón de dos pastillas cada tres horas. Si empezó a tomarlas apenas empezó a a) 128 b) 129 c) 130 realizar deportes, hasta que los culminó, ¿cuántas d) 127 e) 126 cápsulas contenía el frasco? a) 50 d) 45

186

b) 48 e) 49

c) 52


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2. Un reloj da tres campanadas cada tres minutos. ¿En cuántos minutos dará 13 campanadas? a) 18 d) 9

b) 15 e) 19

c) 39

3. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 5:00 a.m. demora seis segundos, ¿cuánto demorará indicar las 9:00 a.m.? a) 15 s d) 54

b) 12 e) 30

c) 18

4. Una campana da cinco campanadas en siete segundos. ¿Cuántos segundos tardará en tocar 25 campanadas? a) 56 d) 42

b) 39 e) 18

c) 21

5. Un boxeador da cinco golpes en 40 segundos. ¿Cuánto se demorará para dar 17 golpes? a) 2 min 30 s d) 3 min 40 s

b) 2 min 40 s e) 3 min 50 s

c) 2 min 35 s

6. Un boxeador da 15 golpes en cinco segundos. ¿Cuántos golpes dará en 15 segundos? a) 43 d) 15

b) 42 e) 75

c) 36

7. Un reloj da tres campanadas en tres segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 27 segundos? a) 18 d) 22

b) 9 e) 20

c) 19

Nivel III 1. Para tocar tres campanadas, el campanario tardó seis segundos. ¿Cuántas campanadas tocará en un tiempo de 15 segundos? a) 6 d) 10

b) 8 e) 18

c) 9

2. Una campana da ocho campanadas en siete segundos. ¿Cuántos segundos tardará en dar 20 campanadas? a) 42 d) 21

b) 20 e) 28

c) 19

3. La campana de un campanario tarda cinco segundos en dar tres campanadas. ¿Cuántas campanadas dará en un tiempo de 25 segundos? a) 11 d) 13

b) 10 e) 12

c) 14

4. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 4:00 a.m. demora seis segundos, ¿cuánto demorará para indicar las 12 m? a) 12 s d) 11

b) 13 e) 22

c) 21

5. El campanario de un reloj demora (m + 1) segundos en tocar “m2”campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en cuatro segundos? a) 4m - 3 d) m + 11

b) 4m + 4 e) 4(m2 - 1)

c) 4m - 4

8. Carla toma dos pastillas cada tres horas. ¿Cuántas pastillas tomará en cuatro días? a) 66 d) 64

b) 70 e) 68

c) 62

9. ¿Cuántas pastillas tomó un enfermo durante una semana que estuvo en cama, si tomaba una cada tres horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó? a) 57 d) 21

b) 58 e) 28

c) 56

10.Una doctora escucha 80 latidos de un corazón por minuto. ¿Cuánto demorará en escuchar 238 latidos? a) 150 s d) 200

b) 180 e) 250

c) 170


187

I nt er valo s de t iempo

Autoevaluaciòn Acept a el ret o TRILCE ...! 1. Un reloj de pared toca tantas campanadas en cada hora como la hora marca en ese instante. ¿Cuántas campanadas tocará en tres días? a) 465 d) 460

b) 463 e) 468

c) 348

2. Un reloj de manecillas da tantas campanadas como la hora marca en ese instante y además da uno campanada en el primer cuarto de hora, dos campanadas en el segundo cuarto de hora y tres campanadas para indicar el tercer cuarto de hora. ¿Cuántas campanadas dará en un día completo? a) 280 d) 310

b) 300 e) 296

3. Un reloj despertador indica la hora con igual número de campanadas y para indicar las 6:00 am demora nueve segundos. ¿Qué hora indica si dicho reloj ha tocado campanadas durante 18 segundos? a) 9:00 am d) 12:00 am

b) 11:00 am e) 1:00 pm

c) 8:00 am

c) 228

Tareadomiciliaria domiciliaria Tarea 1. Una campana en seis segundos da cuatro campanadas, ¿cuánto demora en dar 12 campanadas? 2. En 20 segundos una campana da siete campanadas, ¿en qué tiempo dará 10 campanadas? 3. Un doctor receta a un paciente dos pastillas cada seis horas, ¿cuántas pastillas deberá comprar el paciente para cinco días, si las debe tomar desde el instante en que fue recetado? 4. Un reloj da seis campanadas en cinco segundos, ¿en cuántos segundos dará doce campanadas? 5. Una campana tañe cinco veces en 12 segundos, ¿cuánto demora en tañir 10 veces? 6. Un carpintero da cuatro golpes con el martillo en 10 segundos, ¿cuántos golpes dará en 20 segundos? 7. Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada ocho horas, ¿cuántas inyecciones aplicará en dos días, si ello ocurrirá desde el inicio hasta el final del mismo? 8. Cierto boxeador golpea sobre un saco con arena, tardando cinco segundos en dar quince golpes. ¿En cuántos segundos dará ocho golpes? 9. Un gallo canta cinco veces en ocho segundos, ¿qué tiempo demora en cantar siete veces?

188

10.Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada seis horas. Si debe aplicar seis inyecciones, indicar el tiempo que debe transcurrir. 11.¿Cuántas pastillas tomará un enfermo durante una semana que esté en cama, si toma una cada tres horas desde este instante? 12.Un carpintero da cinco golpes con el martillo en cinco segundos, ¿en qué tiempo dará 13 golpes? 13.Julio tomó dos pastillas cada ocho horas durante cuatro días, ¿cuántas pastillas tomó desde el inicio hasta el final de esos cuatro días? 14.Se escuchan ocho campanadas en cinco segundos, ¿cuánto tiempo se demora en escuchar 15 campanadas? 15.Una ametralladora dispara cinco tiros por segundo, ¿cuántos disparos hace en un minuto? 16.Una campana tañe ocho veces en 14 segundos, ¿cuánto demorará en tañir 11 veces? 17. Un boxeador tira siete golpes en 30 segundos. En 50 segundos, ¿cuántos golpes dará? 18.Un baterista de un grupo musical en determinado momento golpea la tarola nueve veces por segundo. Si el "solo" duró 15 segundos, ¿cuántas veces golpeó la tarola?


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 19.Las campanas del reloj demoran ocho segundos en indicar las cinco horas. ¿Cuánto demoran en indicar las diez horas? 20.Una campana da siete campanadas en 24 segundos, ¿en qué tiempo dará 13 campanadas? 21.Juan toma una pastilla cada cuatro horas, ¿cuántas pastillas toma desde las 6 a.m. hasta las 10 p.m.? 22.Se escuchan cinco campanadas en 20 segundos, ¿cuántas campanadas se escucharán en un minuto?

25.Un boxeador da cuatro golpes en tres segundos; en un minuto ¿cuántos golpes dará? 26.Gisella da cinco golpes en ocho segundos. En medio minuto, ¿cuántos golpes dará? 27. Giselle toma dos pastillas cada ocho horas, debido a una enfermedad, durante cuatro días. Si toma las pastillas desde el inicio del primer día hasta el final del último día, ¿cuántas pastillas consumió?

23.César toma una pastilla cada 15 minutos, ¿cuántas pastillas tomará desde las 10 a.m. hasta las 2 p.m.?

28.Pepito toma una pastilla cada cuatro horas. ¿Cuántas pastillas tomará en el mes de noviembre, si toma las pastillas desde el inicio del primer día hasta e final del último día?

24.Una enfermera le da dos pastillas a un paciente cada seis horas, ¿en cuatro días cuántas pastillas habrá tomado, si las tomó desde el inicio hasta el final del mismo?

29.Un paciente debe tomar dos tipos de pastillas, del tipo “A”: una cada cuatro horas; otra del tipo “B”: dos cada seis horas. ¿Cuántas pastillas tomará durante una semana? 30.Juan tomó 39 tabletas vitamínicas en tres días y lo hacía cada "n" horas. ¿Cada cuántas horas tomaba sus pastillas y cuántas pastillas tomaba en cada dósis?


189

22

Operaciones arbitrarias


Los operadores matemáticos son símbolos que se usan de acuerdo a reglas previamente establecidas. De hecho, el desarrollo de la matemática se debe en gran parte al avance en el simbolismo para representar todo tipo de operaciones. Alfred North Whitehead dice en su "Introducction to Mathematics" (1911): "Gracias al simbolismo avanzamos en el razonamiento casi matemáticamente, solo con la mirada; sin él tendríamos que usar centros más especializados del cerebro. Una buena notación nos libera del trabajo innecesario y nos permite concentrarnos en los aspectos más difíciles del problema".

Concepto Una operación matemática es un conjunto de procedimientos que nos permiten transformar una o más cantidades en otra cantidad, llamada resultado, mediante la aplicación de ciertas reglas de cálculo previamente establecidas.

Veamos los ejemplos siguientes: 1. Operación universal: Se le llama así porque su ley de definición es conocida universalmente, por ejemplo la multiplicación.

Operandos a × b = a + a + a + ... ("b" veces) Operador

Ley de definición

Aplicación: 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15 5 × 3 = 15 2. Operación arbitraria: Se le llama de esa manera porque su ley de definición no está determinada universalmente, por ejemplo la operación asterisco representada por *.

Elementos En forma general, toda operación matemática tiene tres elementos principales, que son los siguientes: 1. El operador matemático: Es el signo, símbolo, o disposición especial que representa una operación específica. 2. Los operandos: Son las cantidades que van a sufrir la transformación. 3. La Ley de Definición: Es el conjunto de reglas que vamos a utilizar para llevar a cabo la transformación de los operandos en el resultado. También se le llama Ley de Correspondencia o Algoritmo Operativo.

Clases de operaciones Las principales son: 1. Operaciones unitarias: Es cuando el operador afecta a un solo operando. Por ejemplo: 9 ; |-2|; etc. 2. Operaciones binarias: Es cuando el operador afecta a dos operandos. Por ejemplo: 8 + 3; 25 ÷ 2; etc. Además cuando un operador afecta a tres operandos, la operación recibe el nombre de ternaria y así sucesivamente. Organización Educativa TRILCE

Operandos a * b = Operador

3a

+

5b

Ley de definición

Aplicación: 4 * 6 = 3(4) + 5(6) 4 * 6 = 12 + 30 4 * 6 = 42

Consideraciones generales 1. Para un mejor entendimiento de lo anteriormente descrito observemos el siguiente cuadro:

Universales

Arbitrarias

Operación

Operador

Adición Sustracción Multiplicación División Radicación . . .

+ × ÷ . . .

Operación Asterisco Arroba Nabla Grilla Corazón . . .

Operador * @  #  . . .

2. En este capítulo haremos mayor referencia a nuevas operaciones (llamadas en algunos casos operaciones arbitrarias), pues nos permiten aplicar en forma conjunta las reglas operativas ya estudiadas o conocidas.

191

Oper acio nes ar bi tr ar ias

P r o b le m a s R e s u e lto s os Problemas resuelt 1. Si: m n = m + n2 calcular " 5 3 " a) 11 d) 12

b) 10 e) 13

c) 14

Resolución: Dado: a * b podemos calcular primero: 1 * 2 haciendo: a = 1 y b = 2 Recurriendo a la misma operación: a * b, podemos hallar (2 * 3) haciendo: a = 2 y b = 3. Finalmente en la expresión "E", se hace necesario aplicar otra vez: a * b, donde "a" y "b" son los dos resultados anteriores. Cálculo de 1 * 2:

Resolución:



En este caso el operador es es "m + n2"

m

n

5

3

1 * 2 = 9 .......................... 1

Cálculo de 2 * 3:

2 * 3 = 25 ........................ 2

n = m + n2

5

3 = 5 + 32

Cálculo de "E":

Reemplazando 1 y 2 : E = 9 * 25 = 92 + 2(9)(25) + 252 E = 81 + 2(9)(25) + 625 E = 81 + 450 + 625 = 1 156

3=5+9

3 = 14

Importante Al efectuar operaciones combinadas se procede en el siguiente orden:

El valor de "E" será 1 156 (Respuesta: a) Recuerda que ... Si se nos da:

a * b

y se nos pide:

1 * 2

Solo tenemos que identificar ambas expresiones de modo tal como lo indican las flechas:

1º Potenciación o radicación 2º Multiplicación o división 3º Adición o sustracción

a=1

b=2

3. Si: x  y = x2 - 2y calcular: 4  2

2. Si: a * b = a2 + 2ab + b2 hallar el valor de la expresión "E", si: E = (1 * 2) * (2 * 3)

Resolución: De la condición:

c) 725

 4  2 = 12

192



E= 1 * 2

3 es 14 (Respuesta: c)

b) 618 e) 1 256

a * b = a2 + 2ab + b2 

Efectuando operaciones combinadas:

a) 1 156 d) 846



2 * 3 = 22 + 2(2)(3) + 32

m

- Luego la adición: 5

a * b = a2 + 2ab + b2 

Luego de identificar los valores de “m” y “n”, procedemos a reemplazarlos en la regla de formación:

- Primero la potenciación: 5



1 * 2 = 12 + 2(1)(2) + 22

. La regla de formación

Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: m = 5 y n = 3, ya que:

El valor de 5

a * b = a2 + 2ab + b2

x  y = x2 - 2y   4  2 = 42 - 2(2) 4  2 = 16 - 4


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4. Si: calcular: 3 * 4

a * b = 3a + b2

Resolución: De la condición:

 3 * 4 = 25

a *  3 * 3 *

b = 3a + b2  4 = 3(3) + 42 4 = 9 + 16

Resolución: Para hallar b * a, por ejemplo, primero debemos ubicar al primer elemento (b) en la columna de entrada, y al segundo elemento (a) en la fila de entrada; el resultado de la operación lo encontraremos en la intersección de la fila y columna correspondiente al primer y segundo elemento. Veamos:

5. Si: x  y= 3 x - 2 y calcular: 16  4

Columna de entrada

Resolución: De la condición: x  y =3 x -2 y 

 16  4 = 8



16  4 = 3 16 - 2 4 16  4 = 3(4) - 2(2) 16  4 = 12 - 4

Fila de entrada

* a b c d

b b c d a

c c d a b

a a b c c

d d a b c

b*a=b

Análogamente: a*b=b

c*c=a

d*a=c

Luego: N=

(b * a) * (a * b) b*b c = = =1 (c * c) * (d * a) a*c c N=1

6. En el conjunto: M = {a; b; c; d}, se define:

* a b c d

b b c d a

c c d a b

a a b c c

d d a b c

Hallar: N=

(b * a) * (a * b) (c * c) * (d * a)


193


Test de de Aprendizaje Test aprendizaje previo 1. Si:

x

hallar:

= 2x + 3

5. Sabiendo que:

a

5

b = ab + 7

calcular:

4

6

5

2

+ 2. Si: a * b =

ab 4

hallar: 9 * 7

3. Se define: m # n = 8m - 6n

6. Si se conoce que: p @ q =

p2  q2

hallar: (3 @ 4) @ 12

calcular: 10 # 12

r = r2 - 1

4. Se define:

7. Se define: a  b = 3a + 2b hallar: (1  5) (0  1)

calcular:

194

2


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 8. Si:

y  4z = y - z 2


hallar: 6  8

Nivel I 1. Si: a * b = 4a + 5b calcular: 2 * 3 a) 21 d) 25

b) 23 e) 26

c) 19

2. Si: m # n = m2 + n2 calcular: 1 # 5 a) 21 d) 26

9. Se sabe que: m3 .

n =m+n

hallar: 8 . 5

b) 18 e) 15

c) 12

3. Si  es un operador, de tal modo que: x  y = x2 + 5y Según esto, calcular: 2  5 a) 21 d) 20

b) 29 e) 17

c) 27

4. Si: a # b = (a + b)(a - b) calcular: 7 # 2 a) 46 d) 45

10.Se define el operador "*" en el conjunto A = {1;2;3;4} mediante la siguiente tabla:

* 1 2 3 4 1 4 1 2 3 2 3 2 4 1 3 1 4 3 2 4 2 3 1 4 calcular: a) 2 * 3 b) (3 * 2) * 4 c) (1 * 4) * (2 * 4)

b) 44 e) 49

c) 42

5. Si: m * n = (m + n)(m2 - mn + n2) calcular: 2 * 1 a) 6 d) 3 6. Si:

b) 5 e) 9

c) 18

x = 5x + 1 2

calcular: a) 8 d) 11

b) 3 e) 17

c) 15

7. Sabiendo que: m = 2m + 3 hallar: a) 11 d) 15

5 b) 13 e) 19

c) 16

8. Si se conoce que: m @ n = 5m2 - 2n3 calcular el valor de: 1 @ 0 a) 6 d) 1


b) 5 e) 0

c) 10

195

Oper acio nes ar bi tr ar ias 9. Calcular: 7 * 1 , sabiendo que: m * n = 5(m + n) - 5(m - n) a) 11 d) 18

b) 16 e) 13

c) 10

10.Sabiendo que: a = 2a + 5

11.Si:

y

1

b) 16 e) 31

c) 18

x

b) 10 e) 9

c) 13

1)

a) 742 d) 845

b) 901 e) 615

a) 47 d) 100

b) 45 e) 104

hallar: (3  2)  2

1

b) 25 e) 47

c) 37

14.Se define el operador "*" en el conjunto: A = {1; 2; 3} mediante la siguiente tabla:

1 3 2 1

2 1 3 2

c) 3

2 4 1 2 3

3 1 2 3 4

4 2 3 4 1

el resultado de efectuar: S=

196

c) 96

c) 94

 N = MN - 1

b) 24 e) 35

c) 63

5. Si se sabe que: a (3

a) 12 d) 84

15.El operador "#" se define en el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} mediante la siguiente tabla:

1 3 4 1 2

c) 118

b = (a + 1)(b + 2) 1) b) 48 e) 81

c) 62

6. Si: a # b = ab hallar: (1 # 0) # (2 # 1)

b) 2 e) 2 ó 3

# 1 2 3 4

a) 64 d) 15

hallar: 5

3 2 1 3

Hallar: (3 * 2) * (2 * 1) a) 1 d) 1 ó 2

2)

b) 111 e) 120

M

* 1 2 3

(-3

2. Si: a # b = (a + b)2 - (a - b)2 hallar: (2 # 1) # 3

4. Si se sabe que:

13.Sabiendo que: x = 2x + 7

a) 57 d) 55

y = x2 + y2

3. Si: m  n = 5m - n hallar: (2 1)  (-2)

calcular el valor de: 1 + 2

calcular:

c) 3

calcular: (5

a) 92 d) 114

12.Si se sabe que: z = z2 + z + 1

a) 8 d) 15

1 4

e) 2

c) 15

= 5y + 1

a) 17 d) 62

b)

1. Sabiendo que:

b) 18 e) 11

hallar el valor de:

1 2 1 d) 3

a)

Nivel II

hallar el valor de: 3 + 1 a) 13 d) 16

es:

(2#4)# (3#1) (4#3)#2

a) 8 d) 12

b) 10 e) 0

7. Calcular: 5

c) 3

2 , sabiendo que: x

a) 51 d) 69

y = (x + y)2 + (x - y)2 b) 16 e) 70

c) 58

8. Se sabe que:

a * b = 2a - b m  n = (m + 1)(n -1) hallar: (5 * 1)  (2 * 1) Primer Año de Secundaria

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 20 d) 9 9. Si:

b) 26 e) 15

c) 12

3. Se define el operador “*” en el conjunto: B = {C,A,T,S} de acuerdo a la tabla que se da a continuación:

hallar: (8  2)  (3  3) a) 4 d) 2

b) 6 e) 1

c) 8

10.Se sabe que: m # n = (m + n)2 - m2 - n2 hallar: 9 # (3 # 2) a) 108 d) 208

b) 144 e) 216

c) 288

a) T d) C

hallar:

a)

G

A B

A B Y A L

Y Y A L B

L Y

T R I L C E

c)

Y B

2. Se define el operador “•” en el conjunto: A = {1;2;4;8} mediante la siguiente tabla:

hallar:

1 4 8 1 2

2 8 2 4 1

4 2 1 8 4

b) S e) S o C

T L C E T R I

R C E T R I L

a) T d) L

c) A

I E T R I L C

L T R I L C E

C R I L C E T

E I L C E T R

8 1 4 2 8

b) R e) C

L

c) I

5. Se define la operación " " en el conjunto: A = {1;3;5;7} mediante la tabla adjunta:

e) A L

• 1 2 4 8

S S T C A

hallar el valor de "x", si sabemos que: (I C) (x E) = (R T)

( AB)  (BY) ( YL)  (LA)

b)

d) B A

B L B Y A

T C S A T

4. Se define la operación " " en el conjunto A = {T,R;I;L;C;E} mediante la siguiente tabla:

1. El operador “” se define en el conjunto: B = {L;A;B,Y} mediante la siguiente tabla: L A L B Y

A T A S C

hallar "x", si: (x * A) * T = S

Nivel III

 L A B Y

C A C T S

* C A T S

p pq 2 q

1 3 5 7 hallar "m" en: [(m 7) a) 1 d) 7

1 1 3 5 7

3 3 5 7 1

(3 b) 3 e) 4

5 5 7 1 3 1)]

7 7 1 3 5

5=5

(7

3)

c) 5

( 4 • 2) • 8 1• 4

a) 1

b) 2

d) 8

e)

c) 4

1 2


197


Autoevaluaciòn Acept a el ret o TRILCE ...! 4. Se define:

1. Si: p = 2p + 3

2 2 m  n ; si " m" es par m* n   2 2 m  n ; si " m" es impar

1

a) 62 d) 63

b) 60 e) 61

2. Se define: x

calcular: (2 * 1) * (1 * 2) a) 25 d) 30

y = 4x - 7y

Hallar "m" si: m a) 9 d) 7

c) 59

b) 32 e) 32

5. Se define:

6=-2

b) 8 e) 6

mn ; si m  n mn   m  n ; si m  n

c) 10 calcular:

3. Se sabe que:

a =

b Hallar el valor de "x" en:

a b b

x

a) 1

21

d)

= 5 a) 25 d) 30

c) 36

1 2

E

(7  5)(3  4)  (2  3)(5  1) 

b)

1 4

c) 4

e) 2

3

b) 35 e) 40

c) 45

Tarea domiciliaria domiciliaria Tarea 1. Sabiendo que: hallar:

m = 2m + 3

hallar: 3

5 2

2. Se sabe que: a = a - 1 calcular: 7

3. Si: t

5. Si: m

4

6. Si: x = x 2 + 1 calcular:

= 3t - 5

n = (m2 + n)m

3

7. Sabiendo que: n = 2n + 7 calcular:

hallar: 8 + 6 4. Si “” es un operador de tal modo que: q = p2 - q3 calcular: 3  2

1

p

198


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 8. Si se sabe que: a # b = ab hallar: (2 # 3) # (1 # 2) 2

9. Se define: k

17. Si se cumple que:

a * b = 2a + b hallar el valor que va en el recuadro, si se sabe que:

2

n=k +n

calcular: (2

0)

(1

5 *

3)

= 13

18.Si: m  n = 2(m + 1) + 3(n - 1) hallar el número que va en el recuadro, si se sabe que:

10.Sabiendo que:

 2 = 11

A B C = AB - C 3 8 9

hallar:

19.De acuerdo a esta definición:

+ 7 4 12

a

a b    ad  bc  c d

b

11.Si: a b = a + b hallar:

3 2

hallar el valor de "x" en:

2 1

3 x 1 5 9      8 2  5 x 

12.Si:

L

R S =

L+R+S L-R-S

calcular el valor de:

9

20.Si: m

hallar "x" en: (3

x2 + y2

hallar la siguiente expresión:

(3

4)

m n p q m

m n p q

13.Se define:

y=

8)

n p q m n

y

12

E=

mn

m 1 n

calcular el valor de la expresión "P": P = (18 * 12)  (23 * 20)

15.Dadas las siguientes operaciones definidas como:

b = 2a + 5b según lo anterior, hallar:

x

y = 3x - 4y ; a (7

5)

(m

n)

(q

p)

(q

p)

(n

n)

(9

6)

22.Se define el operador " " en el conjunto: A = {2;5;8} mediante la siguiente tabla:

2 5 8

16.Se define la operación:

2 8 5 2

5 5 2 8

8 2 8 5

hallar el valor de:

L = a

p q q m m n n p p q

calcular:

14.Dos operaciones se definen de la siguiente manera: a*b=a-b

x = 31

21. En el conjunto A={m; n; p; q} se define el operador “ ” mediante la siguiente tabla:

2 5

x

n = 5m - n

(2 [(8

5) + (8 5)

2] + (5

2) 2)

b = ab + b - a

hallar "x" en: 5

x = (7

4)


10

199

Oper acio nes ar bi tr ar ias 23. En el conjunto: A={1; 2; 3; 4} se define el operador “ ” mediante la siguiente tabla:

1 2 3 4

1

2

3

4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

1 2 3 4

28. Se define el operador “ ” en el conjunto: A = {2;4;6} de acuerdo a la tabla adjunta:

2 4 6

2 4 2 6

4 2 4 6

6 6 4 2

qué número falta en el recuadro: (4

6)

=2

calcular el valor de la expresión: M = [(2

3)

(3

4)]

1

29.Se define el operador “

24.Se definen los operadores “” y “ ” en el conjunto A = {1;2;3}; de acuerdo a las tablas adjuntas:  1 2 3

1 3 2 3

2 3 1 2

3 2 1 1

3 1 1 2

3 2 1

hallar: [(3  2)

2 1 2 3

1]  (1

2)

2 6 4 2

4 2 4 6

6 6 2 4

6 6 2 4

6 4 2

hallar el valor de: [(6

4 2 6 2

2)

2 4 2 4

4]

[2

(4

6)]

26.Se definen los operadores "@" y "*" en el conjunto A = {a;b;c} mediante las siguientes tablas: @ a b c

a a b c

b b c a

c c a b

* c b a

c b a c

b c b a

1

2

4

8

4 8 1 2

8 1 2 4

1 2 4 8

2 4 8 1

qué número falta en el recuadro: (4

25.Se definen los operadores “ ” y “ ” en el conjunto A = {2;4;6} con las tablas que se muestran a continuación: 2 4 6

A = {1;2;4;8}, de acuerdo a la tabla mostrada:

1 2 4 8

1 2 3 3

” en el conjunto:

)

30.Se define el operador “ ” en el conjunto: A = {2;4;6;8} mediante la siguiente tabla:

2 4 6 8 hallar: [8 - (4

2

4

6

8

6 8 2 4

8 6 4 2

2 4 8 6

4 2 6 8

6)]

[(2

6)

(8

8)]

a a c b

según lo anteriormente definido, calcular:

(c @ b)

* (b @ a) (a * b) @ (c * c)

P=

27. Se define el operador “#” en el conjunto: A = {1;2;3;4} de acuerdo a la siguiente tabla: # 1 2 3 4 hallar:

200

1 2 3 4 1

2 3 4 1 2

3 4 1 2 3

8=2

4 1 2 3 4

[3(2#3) # 2(3#3)] # [4#(3#1)]


23

Interpretación de gráficos estadísticos


Hoy en día, cuando la población crece con rapidez, cuando hay grandes avances científicos y muchas de las cosas que nos rodean se van desarrollando a gran velocidad, adquiere una gran importancia la Estadística. Gracias a esta disciplina podemos observar un conjunto de datos muy grande y elegir subconjuntos de éste, a partir de los cuales se pueden clasificar y representar los datos para su análisis y toma de decisiones. Luego de procesados los datos estadísticos, estos se presentan en cuadros y gráficos estadísticos. Precisamente estudiaremos algunos de estos gráficos, realizando diversos análisis que nos permitirán comprender mejor los datos ahí contenidos. Veamos a continuación algunos conceptos previos: Gráficas Las gráficas son diagramas que muestran relación entre dos o más factores. La mayoría de las gráficas tienen dos escalas, tal como lo indican las siguientes gráficas. Ejemplo: Para conocer la preferencia de los 42 alumnos de una sección de primer año, con respecto a los deportes: fútbol, natación, voleybol y ajedrez, se ha tomado el siguiente cuestionario: Marca con una X en el cuadro correspondiente al deporte que más prefieres: Fútbol

Voleybol

Natación

Ajedrez

15

Ajedrez

Natación

Las gráficas lineales o poligonales se llaman así porque las líneas representativas de la función son quebradas o poligonales. Generalmente se acostumbra a graficar sobre el papel milimetrado o cuadriculado. Se toma dos ejes coordenados y sobre uno de los cuales se representan los valores de una de las magnitudes y sobre el otro, los correspondientes de la otra magnitud. Se determinan los puntos y luego, uniendo estos puntos se obtiene la gráfica poligonal. Gráficas de barras La gráfica de barras se utiliza mucho en el campo de los negocios, y en muchas otras actividades, para comparar hechos que no están determinadamente relacionados entre sí; en esta clase de gráficas, se utilizan barras horizontales o verticales.

Preferencias

Número de alumnos 15 13 4 10

10

Gráficas lineales

Después de llenado este cuestionario, las respuestas fueron:

Deporte preferido Fútbol Voleybol Natación Ajedrez

4

Voleybol

Fútbol

13

15 10 5

Fútbol

Voleybol

Natación

Ajedrez

Deportes

Estos datos obtenidos pueden representarse gráficamente de la siguiente manera:


201

Interpretaci ón de gr áf icos est adísti co s Gráfico de sectores circulares En este tipo de gráficas se toma el círculo como representación de la totalidad de las cantidades consideradas, y cada sector circular es proporcional a la cantidad que se va a representar.

3. ¿Cuánto más gastó el martes que el lunes? ________________________________________ 4. ¿Qué día gastó más? ________________________________________

F: 15

N: 4

2. ¿Cuánto gastó en la semana? ________________________________________

Gráfico 3 La gráfica corresponde a las temperaturas tomadas cada hora durante un día en una ciudad.

A: 10

El objetivo en este capítulo es analizar e interpretar las gráficas anteriormente expuestas de una manera adecuada y óptima para llegar a conclusiones numéricas correctas. Antes de resolver los problemas para la clase, practiquemos los ejercicios que se proponen a continuación: Gráfico 1 El siguiente gráfico muestra las personas matriculadas en un curso de Matemática en los últimos tres años: 120

30

Temperatura en grado Cº

V: 13

1. ¿Cuánto gastó en los tres primeros días? ________________________________________

25

20

15

2

4

8 10 12 2 Medio día

4

6 p.m.

8 10 12 Media noche

1. ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora fue? ________________________________________

90 60

2. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿A qué hora fue? ________________________________________ 2006

2007

Año

2008

3. ¿Cuánto subió la temperatura de las seis de la mañana al mediodía? ________________________________________

1. ¿Cuántos alumnos llevaron el curso en los últimos tres años? ________________________________________ 2. ¿Cuál fue el aumento en las matrículas del año 2007 respecto al 2006? ________________________________________ 3. ¿Cuál fue el aumento en las matrículas del año 2008 respecto al 2006? ________________________________________ Gráfico 2 La gráfica muestra el gasto de un alumno en una semana:

PractEjercicios iquemos Nivel I Gráfico 1 Se encuesta a un grupo de personas sobre su entretenimiento preferido y cada una escogió una sola opción. El resultado fue el siguiente:

# personas Gasto (S/.)

radio 45

televisión 50

cine 35

teatro 20

Responder lo siguiente:

20 15 12 10

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?

6 Días Lun

202

6 a.m.

Mar

Mie

Jue

a) 120 d) 150

b) 125 e) 160

c) 145

Vie


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2. La mayoría prefiere: a) radio d) teatro

11.¿En qué periodo un hombre crece más por año?

b) televisión c) cine e) radio o teatro

a) 0 a 3 años d) 14 a 19

3. ¿En qué lugar de preferencia está el cine? a) 1º d) 4º

b) 2º e) 5º

c) 3º

Gráfico 3 El siguiente es un diagrama elaborado con las estaturas en centímetros de un grupo de estudiantes. Estudiantes

4. ¿Cuántas personas prefieren televisión? a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

6 5

c) 30

4 3 2

5. ¿Cuántas personas prefieren radio o teatro? a) 55 d) 75

b) 60 e) 65

b) 3 a 9 c) 9 a 14 e) hay dos respuestas

1

c) 70

cm 120 130 140 150 160 170 180

12.¿Cuántos estudiantes tienen entre 140 y 150 cm?

Gráfico 2 La relación de la estatura de un hombre promedio y su edad es mostrado en el siguiente gráfico:

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

13.¿Cuántos miden más de 150 cm?

Estatura (cm)

a) 7 d) 12

175 150 100

Edad (años) 3

9

14

19

6. ¿Cuánto mide en promedio un hombre cuando nace? b) 30 e) 80

c) 40

7. ¿Cuánto mide a los tres años? a) 60 cm d) 58

b) 64 e) 70

b) 16 e) 17

c) 56

b) 80 e) 90

b) 12 e) 17

a) 16 d) 14

c) 21

b) 12 e) 15

c) 17

Gráfico 4 De un grupo de 100 alumnos han escogido los siguientes deportes: béisbol: 15 25: fútbol atletismo: 10 golf: 5

c) 82

tenis: 5 otros

10.Si un hombre promedio midiera 130 cm, ¿qué edad tendría? a) 13 años d) 14

b) 24 e) 16

15.¿Cuántos estudiantes miden más de 130 cm pero menos de 170 cm?

c) 15

9. ¿Cuántos centímetros mide a los seis años? a) 70 cm d) 84

a) 20 d) 18

Nivel II

8. ¿A partir de qué edad la estatura de una persona permanece constante? a) 19 años d) 20

c) 9

14.¿Cuántos estudiantes hay en total?

64 40

a) 20 cm d) 50

b) 8 e) 10

c) 10


30: básquet

1. ¿Cuántos alumnos prefieren fútbol, atletismo o tenis? a) 35 d) 30

b) 40 e) 50

c) 45

203

Interpretaci ón de gr áf icos est adísti co s 2. ¿Cuántos alumnos escogieron un deporte diferente de los mencionados? a) 20 d) 30

b) 15 e) 16

c) 10

El siguiente es el resultado de un examen de Matemática cuya nota mínima aprobatoria es 12. N° Alumnos hombres 10

mujeres

20

25

20

10 4

b) 160 e) 170

c) 175

8

12

a) 210 d) 220

b) 270 e) 200

c) 250

10.¿Cuántos de los encuestados pesan entre 52 kg y 84 kg? a) 248 d) 260

b) 250 e) 280

c) 220

Nivel III

25 25

a) 180 d) 165

9. ¿Cuántos de los encuestados pesa más de 60 kg?

Gráfico 5

20

8. ¿Cuántas personas pesan menos de 70 kg?

10 5 20

16

Gráfico 8 Nota

En la siguiente gráfica se muestra la producción de cierta industria durante los nueve primeros meses del año.

3. ¿Cuántos alumnos han obtenido 16 de nota? Toneladas métricas

a) 35 d) 30

b) 45 e) 40

c) 15

6000 5000 4000 3000 2000 1000

4. ¿Cuántos hombres aprobaron? a) 85 d) 55

b) 60 e) 75

c) 70

E

5. ¿Cuántos hombres no aprobaron? a) 35 d) 55

b) 45 e) 30

c) 85

b) 5 e) 0

El siguiente gráfico muestra los pesos de un grupo de "n" profesores del colegio:

50

60

204

b) marzo e) enero

J

A

S

c) agosto

b) 3° e) 1° y 3°

c) 1°

N° Asistentes

70

80

90

Peso (en kg)

100

7. ¿Cuál es el valor de "n"? a) 350 d) 380

J

Gráfico 9

70

20 50

M

3. ¿En cuál de los tres trimestres hay una mayor producción? a) 1° y 2° d) 2°

110

40

40

A

a) entre febrero y marzo b) entre mayo y junio c) entre agosto y setiembre d) entre junio y julio e) más de una es correcta

a) setiembre d) mayo

Gráfico 6

60

M

2. La producción del mes de abril representa la mitad de la producción del mes de:

c) 20

Cantidad de personas

F

1. ¿Entre qué meses se produjo el mayor decremento en la producción?

6. ¿Cuál es la diferencia de las mujeres que aprobaron con los hombres que desaprobaron? a) 10 d) 15

Meses

b) 360 e) 400

Parejas

500

Hombres solos

400

Mujeres solas

300 200

c) 340

100 0

Viernes

Sábado

Día

Asistencia a una discoteca


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4. El total de asistencia el día sábado es: a) 600 d) 1 200

b) 800 e) 1 400

5. El número de hombres que asistieron el sábado excede al número de hombres que asistieron el viernes en:

c) 1 000

a) 100 d) 250

b) 150 e) 300

c) 200

Tareadomiciliaria domiciliaria Tarea Gráfico 1 La cantidad de autos vendidos por "CAR-EASY" viene mostrado en el siguiente gráfico de barras: (periodo Enero - Mayo 2008) 105

20% s io Servic

55 Mes

Enero Febrero Marzo

Abril

15% Transporte

Mayo

im 30% en ta c ió n

70

25% 1 Ot 0% Educación ro s

90

80

Al

Autos vendidos

Gráfico 3 Los gastos familiares de la familia Díaz se muestran en el siguiente gráfico:

1. ¿Cuántos autos se vendieron en el mes de abril? 2. ¿Cuántos autos más se vendieron en el mes de mayo con respecto al mes de enero? 3. ¿Cuántos autos se vendieron en los cinco meses? 4. ¿En qué periodo de dos meses consecutivos se obtuvo la mayor venta de autos? 5. ¿En qué mes se vendió menos? Gráfico 2 El gráfico siguiente muestra la distribución de pesos de “n” alumnos del colegio TRILCE:

11.¿Qué porcentaje representa los gastos en transporte? 12.¿Qué porcentaje representan los gastos en alimentación? 13.Si la mitad de sus otros gastos la familia Díaz lo designa para su recreación y entretenimiento, ¿qué porcentaje es? Gráfico 4 El gráfico muestra los componentes de una mezcla alcohólica:

40

Número de personas

Número de litros

30

40

20

16

12 40

50

10

24

20

60

70

80

8

90 100

6. ¿Cuál es el valor de "n"? 7. ¿Cuántas personas pesan más de 70 kg? 8. ¿Cuántas personas pesan entre 50 y 80 kg?

Grados 30º

40º

50º

60º

70º

Peso (kg)

14.¿Cuántos litros tiene la mezcla en total? 15.¿Cuántos litros más hay en el componente alcohólico de 50° respecto al componente de 30°? 16.¿Cuántos litros menos hay en el componente alcohólico de 40° respecto al componente alcohólico de 70°?

9. ¿Cuántos alumnos pesan más de 80 kg? 10.¿Cuántos alumnos pesan menos de 60 kg? Organización Educativa TRILCE

205

Interpretaci ón de gr áf icos est adísti co s Gráfico 5 El gráfico muestra la distribución del nivel socioeconómico de 400 familias encuestadas.

D 70 C 80

A

Gráfico 7 El gráfico adjunto muestra la cantidad de mujeres y hombres que aprobaron un examen de Aptitud Numérica, durante el periodo 2004 - 2008. (Cada año fueron evaluados 100 hombres y 100 mujeres)

90

80

160

50

B 90

30

2004

17. ¿Cuántas familias más fueron encuestadas en “A” que en “C”? A D B-C

18.Calcular:

40

2005

2006

70

mujeres

50

2007

2008

24.¿Cuántos hombres aprobaron el año 2007? 25.¿Cuántas mujeres desaprobaron el año 2005?

Gráfico 6 El siguiente gráfico muestra las ventas de una empresa en el periodo (2003 - 2008)

26.Desde el año 2004 hasta el año 2006, ¿cuántos son los hombres que desaprobaron la prueba? 27. ¿Cuántas mujeres aprobaron la prueba en los cinco años? 28.¿Cuántas personas, en promedio, han aprobado el examen cada año (2004 - 2008)?

Ventas

(en miles de soles) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

29.¿Cuántas mujeres, en promedio, han desaprobado el examen cada año (2004 - 2008)?

Año 2003

2004

2005

2006

2007

2008

Gráfico 8 Los impuestos pagados por una empresa en cinco años consecutivos son mostrados en el siguiente gráfico: Impuestos

19.¿Cuánto dinero se recaudó en el año 2008? 20.Desde el año 2004 hasta el año 2007, ¿cuánto dinero se obtuvo por las ventas? 21.Hallar el promedio anual de las ventas. 22.¿En cuántos años las ventas de la empresa se incrementaron con respecto al año anterior? 23.Hasta qué año como máximo las ventas acumuladas desde el año 2003 fueron menores a S/. 230 000.

206

60

60

hombres

80

13 11 10 8 6 4 2

(Miles de dólares)

Año 2004

2005

2006

2007

2008

30.En promedio, ¿cuánto paga de impuestos al año? (en miles de dólares).


24

Repaso


O bOBJETIVO jetivo El objetivo de este capítulo es repasar todo lo aprendido en este bimestre, para ello, te recomendamos reforzar tus conocimientos adquiridos practicando los problemas que se proponen a continuación.

3. Encuentre la relación gráfica y marque la alternativa correcta:


?

1. Encuentre la relación gráfica y marque la alternativa correcta.

a)

b)

d)

e)

c)


?

a)

b)

d)

e)

?

c)


a)

b)

d)

e)

c)

5. Dados los siguientes esquemas gráficos, encuentre la figura que falta.

?

? a)

d)

b)

e)


c) a)

b)

d)

e)

c)

207

Repaso 6. Dados los siguientes esquemas gráficos, encuentre la figura que falta.

?

a)

b)

d)

e)

c)

10.Todas las mañanas una persona baja por el ascensor de un edificio del piso 23 y se va a trabajar al circo. De regreso sube por el ascensor hasta el piso 8 de donde termina subiendo por las escaleras hasta el piso 23. ¿De qué trabaja esta persona en el circo? a) payaso d) boletero

c) acróbata

11.¿Quién es el único primo del hijo del padre que es hermano único de mi padre? a) mi primo d) mi tío


b) enano e) domador

b) mi hijo c) yo e) mi hermano

12.Un reloj marca las horas con igual número de campanadas. Para dar las seis emplea 10 segundos. ¿Cuántos segundos empleará en dar las 11 horas? a) 18 d) 16

b) 12 e) 24

c) 20

13.¿Qué viene a ser de mí, el hijo de la hermana de mi madre?

? a)

b)

d)

e)

c)

a) es mi sobino c) mi primo e) no somos parientes

b) mi tío d) mi hermano

14.El campanario de una iglesia da 11 campanadas en siete segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 21 segundos?


a) 33 d) 30

b) 32 e) 34

c) 31

15.¿Cuántos cortes debe darse a una soga de 100 m de largo para obtener pedazos de 5 m de largo?

? a)

b)

d)

e)

c)

9. Cuando Eucalipta llegó a casa vio que su marido le había dejado sobre la mesa de la cocina un recado escrito, lamentablemente Querubín, el más pequeño de los hijos, mientras esperaba para ir al colegio lo había cortado con una tijera en cuatro partes tales como aparece aquí. ¿Cuál era el mensaje?

T T E V

I O S I

R D T N

A O E O

a) 20 d) 18

c) 21

16.¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 20 m de longitud para obtener pedazos de 4 m de longitud? a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

17. ¿Cuántas estacas se necesitan para cercar un terreno de forma cuadrada cuyo lado mide 40 metros, si las estacas se colocan cada cinco metros? a) 36 d) 40

b) 35 e) 32

c) 28

18.¿Cuántos árboles pueden colocarse a lo largo de una avenida que tiene dos kilómetros de longitud, si los árboles se colocan cada 50 metros desde el inicio hasta el final del mismo? a) 40 d) 41

208

b) 19 e) 22

b) 39 e) 38

c) 42 Primer Año de Secundaria

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 19.Se cercó un jardín de forma cuadrangular y se observó que habían 10 postes en cada lado. ¿Cuántos postes se utilizaron, si se sabe además que hay uno en cada esquina? a) 40 d) 36

b) 32 e) 44

b) 2b + 1 e) b

c) 2b - 1

21.Se tiene una barra de aluminio de 20 metros de longitud; si se quiere tener (n + 1) partes iguales, ¿cuántos cortes deben efectuarse?

a) n + 1

b) 20(n + 1)

d) n

e)

c)

n 1 8

n 1 4

b) 34 e) 40

b) 83 e) 86

b) -1 e) 0

b) 4 e) 5

Sector A

B

C

26.¿Cuántos habitantes hay en total? a) 5 000 d) 16 000

b) 10 000 e) 20 000

c) 15 000

27. ¿Cuántos habitantes hay en "C" más que en "B"? a) 1 000 d) 4 000

b) 2 000 e) 5 000

c) 3 000

28.¿Cuántos habitantes tiene el sector "B"? b) 600 e) 10 000

c) 6 000

29.Si:

1 3 4 5 1 2

1 2 3 4 5 hallar: a) 1 d) 2

2 2 3 4 5 1

3 4 5 3 2 1

4 1 2 3 4 5

5 5 1 2 3 4

E = (1  2)  (4  3) b) 3 e) 4

c) 5

30.Si:

* a b c d

c) 6

25.Si: a * b = a + 4b - 3ab; hallar el valor de "x" en: x*2=3 a) 2 d) 3

4

c) 64

24.Se define: a * b = 3a - 4b a  d = a2 - 2ab + 47 El valor de: (5 * 3)  10, es: a) -2 d) -4

6

c) 32

23.Si: a  b = a2 - 2ab + b2, hallar el valor de: R = (4  3)  (5  2) a) 81 d) 82

10

a) 6 d) 1 000

22.Si se sabe que: a  b = 2a + 8b, calcular el valor de: (4  3) a) 36 d) 28

Habitantes (miles)

c) 48

20.Se tiene una barra de cobre de “5a” metros de longitud. Si se quiere tener “2b” partes iguales, ¿cuántos cortes deben efectuarse? a) 2b d) b + 1

* Del siguiente gráfico interpreta y responde:

c) 1


hallar: a) a d) d

a c b a d

b d c b a

c a b c d

d c a b d

N = {[(a * b) * d] * c} * a b) b e) a o b

c) c

209

Repaso

Tareadomiciliaria domiciliaria Tarea 4 a  5b 3 calcular: 9 * 6

1. Si: a * b =

2. Se define: m # n = m3 - n2 calcular: 4 # 5 3. ¿Cuántos cortes hay que hacer a un aro para obtener "n" partes? 4. Hay 20 postes en línea recta equidistantes cada 5 metros. ¿Qué distancia hay desde el tercer poste hasta el penúltimo poste? 5. ¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mellizo de Mauro, si la madre de Mauro es la hermana de mi hermano gemelo? 6. La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: 7. Si dentro de dos días será lunes, ¿qué día será el ayer del pasado mañana de hoy? 8. Si el anteayer del ayer del pasado mañana del anteayer del mañana es sábado, ¿qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana de mañana? 9. Si: p @ q =

p 2  q2 + 6

calcular: 5 @ 12 10.Se define: a = a(a+1), calcular: 7 - 8 11.¿Cuántos cortes se le debe hacer a una varilla para obtener "P" partes? 12.¿Cuántos cortes debemos dar a un alambre de 320 m de longitud para obtener pedazos de 8 m? 13.El tío del hijo de la única hermana de mi padre es mi: 14.Luis se jacta de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano. ¿Por qué? 15.En una reunión se encuentran dos abuelos, un bisabuelo, tres padres, tres hijos, dos nietos y un bisnieto; si cada uno pide dos panes, ¿cuántos panes como mínimo se comerán en total? 16.¿Quién es el hijo del abuelo del bisnieto de mi abuelo? 17. La señorita Laura Sofía, al mirar el retrato de un hombre le dijo a su padre (que es hijo único): "La madre de ese hombre era la suegra de mi madre". ¿Qué parentesco hay entre la señorita Laura Sofía y el hombre del cuadro? 18.Un sastre tiene una tela de 40 m de longitud, la misma que necesita cortar en retazos de 2 m cada uno. Sabiendo que en cada corte se demora 8 segundos, ¿qué tiempo emplearía como mínimo para cortar toda la tela?

210

19.Se desea efectuar cortes de 5 cm de longitud en un aro de 45 cm de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes podremos efectuar? 20.Calcular el número de estacas de 20 cm de altura que se requieren para plantarlas en una línea recta de 300 m, si se sabe que entre estaca y estaca la distancia debe ser de 4 m. 21.Si el ayer del anteayer de mañana es sábado, ¿qué día será el mañana del pasado mañana del ayer? 22.Un reloj se demora 6 segundos en dar "a" campanadas, ¿cuántos segundos se demorará en dar "a2" campanadas? 23.Se sabe que “Diana es hija de Lourdes, quien a su vez es madre de la madre de Katty, quien es hija de la hermana de Martha”. Si Estela es hermana de Katty y Diana no es su madre, ¿cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) ciertas? I. Diana y Martha son hermanas. II. Lourdes es madre de Estela. III. Martha es tía de Estela. 24.No es cierto que Jaime no sea sobrino de Pedro que es hermano de Juan el que a su vez es padre de Víctor. Si es falso que Jaime es hijo de Juan, ¿qué relación existe entre Jaime y Víctor? 25.Hace dos días se cumplía que el antes de ayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será, cuando a partir de hoy transcurren tantos días como los días que pasaron desde el ayer de antes de ayer hasta el día de hoy? 26.Una familia está compuesta por un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, cuatro hijos, tres nietos, un hermano, dos hijas, un suegro, una suegra y una nuera. ¿Cuál es el menor número de personas? 27. Si: x * y = 3x + y2; hallar "m" en: (2 * 3) + m = (3 * 5) + (1 * 2) 28.Si: x  y = y3 + 3x; hallar "m" en: ((1  0)  2) + m = (2  1) 29.Si: x # y = x + y x * y = x + 2y hallar: F = [(3 # 2) # 7] * [(-3) * (-2)] 30.Sean las operaciones  y , definidas en ZZ como: a  b = 7a - 3ab + b2 ab=a-b calcular el valor de: [(-5)  (3)]  [(3)  (-2)]


III Bimestre Razonamiento Matemático 1ro Secundaria (1)

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