• Alfonso
Rojo s
Puerno p e
RAZONAMIENTO
m tematico ,
EDUCACION
SECUNDARIA
RAZONAMIENTO
ma ematico ,
EDUCACION
SECUNDARIA
© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puemape
© Derechos
de edicion y artes graficas reservados.
2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite S21 Miami, Florida 331S6·7840.
USA
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Editorial:
Antonio Sabogal Editora General: Marife Vargas-Ccrbacho Editor de Matematica: Alfonso Rojas Puemape Especialistas
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Giovanna Rojas Jorge Chavez Johnny Legufa Eddy Chirinos Edson Tacanga Disello de portada:
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lIustraciones:
Jorge Huamani, Giulianno
Jorge Huamani, Ivan Tejada, Maria Isabel Flores Delgado
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sin el
Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultades decidiendo por las mejores alternativas de resoluci6n y con alta velocidad de procesamiento mental son tareas pendientes en todos las instituciones escolares. Nuestra colecci6n para la Educaci6n Secundaria presenta una propuesta de razonamiento logico - maternatico por medio de la cual se pone al alcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas, juegos, rnaternatica recreativa y todo tipo de materiales relacionados con situaciones 16gicas, busqueda de regularidades y habilidad operativa, que permiten desarrollar las capacidades de observaci6n, abstracci6n, generalizaci6n, comprensi6n, analisis y sintesis. Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decir afrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o critico, En esta edici6n se ha disefiado en la parte final de cada unidad una secci6n denominada AUTOEVALUACION, que ha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros son acumulativos parciales, cuya ternatica cubre aleatoriamente los tres temas de la unidad correspondiente, mientras que el nivellV es acumulativo total, cuya tematica es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esa posici6n. La colecci6n de RAZONAMIENTO MATEMATICO de ETM ofrece diversos personajes y mufiecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigos Maite, Dalma y Luchfn, quienes realizan el papel de mediadores del aprendizaje. Entre los muriecos hemos dado vida a elementos tecnol6gicos como una laptop, un USB, un celular y una tableta, asl como a materiales que los estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como una regia, un block, un clip; adernas, los acompafia una ilustraci6n del planeta Tierra que promueve transversalmente su cuidado y conservaci6n. De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otros de sintetizadores. Los primeros aparecen en tarnano pequerio e indican que alguna idea del contenido se aclarara en un cuadradito de margen. Esa aclaraci6n se ve precedida por un sintetizador en tarnano mas grande. Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para la practica del razonamiento 16gico-matematico ya que 10consideramos un excelente material que permite un intense entrenamiento para exarnenes de admisi6n a cualquier centro superior de estudios.
Alfonso Rojas Puemepe
• Nombre de unidad • Problema motivador • Contenido
(tamas)
_.'" -=====-:::-_._-
, •
•
. I
•
Conjunto de tecnicas que
NOMBRE DEL TEMA '"""'\
NUMERO DEL TEMA-
Conjunto de situac:iones hidicas que permiten eI desarrollo del pensamiento rnaternatico.
nos gu{an en la resolucion de problemas diversos.
SINTETIZADOR
:s.~'" r-:·, ...-- .. ..:
.... ~~:~ ..... ~..
D111!CC1ONADOR!8
j
INTERESANTE!
'
_
.... ::
_-
II'n4sJawt
que reladonln II c:am..nldo en un tImI can un IintdZaclCII
......... -r.. ~
.....
-: ,.,.
-:::r.; ... ,..
_-..~... ..
'
Ideas Queresumen, subrayan 0 recuerdan conceptos Que nos ayudan a resolver un problema .
ConjLntD de ejerc:icios problemas para d.. ~
en~. ConjuntlO de ejerddOl
Y probl.".. reeuelliDe dleei\1d0l p•• rnoetr. bmu de reeolud6n de una gran dIvertIdad de lituaclon .. que exIa-
razonamlento.
I
Una gura 0 ayuda Quepermite desarrollar el problema.
0
Claves de respuestas
.'ij,h"'ijliJ#:f . .. . i_
I
Conjunto de 12 ejercicios 0 problemas elaborados para evaluar parcial mente en aula los niveles de razonamiento del tema tratado.
6
1) 9
7)
2) 12
8) 42
3) 10
9) 3
4) 40
10) 2
5) 40
11) 7
6) 0
12) 6
Procedimientos 0 artificios de calculo basados en propiedades matematicas elementales que nos permiten desarrollar c81culos mentalmente.
~:~
-=-
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Ejercicios de Matematica ludica concebidos para desarrollar pensamiento creativo.
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1!l1Jl.~
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':' I!I'!I~',!,
Paginas con problemas variados de los tres temas que conforman la unidad, de los cuales los tres primeros son acumulativos parciales (nivel I, II Y III) Y eI ultimo es acumulativo total (nivellV).
UNlOAD
'il
TITULO
JUEGO
M6vilesy relojes
TEMA 1
i Mueve solo uno!
~
Combinatorias probabilidades
y
el men or!
AJcancesy encuentros
Adelantos, atrasos y calendarios
• t.Utiplicaci6n de ntimeros que empiezan en uno • t.UtiplicaciOn de ntimeros que lIIrminan en uno
PRYPP*
PRY PP*
Control 1
Control 2
Certezas - maximos y mfnimos
Variaciones , permutaciones y combinaciones
Pag.8
IBuscando
TEMA2
PRY PP*
PRYPP*
Control 4
Ecuaciones y exponentes
ISiempre
ControlS Leyes de exponentes y ecuaciones exponenciales
Planteo de ecuaciones
100!
PRYPP·
Pag.68
PRY PP*
Control 7
Regia de tres y porcentaje
Porcentaje I problemas comerciales
PRY PP*
Pag.96
PRYPP*
Control 10
Razonamiento geometrico
Razonamiento analftico
ICorto, uno y calculo!
IKen ken!
Triangulos y circunferencias
Distancias y perimetros
Suficiencia de datos
IA formar triangulos!
Control 13
Control 14
• Cuadrado de rUneros que comienzan an 5
Juegos l6gicos
Inducciones graticas y nurnericas
• Mlltiplicando por 12
PRY PP*
pag.208
Comparaciones
Q Pruebas de evaJuaci6n
concursos
Suficiencia
interescolares
• MJItipIicando por 1,5; 2,5; 3,5; ele.
Control 17
cuantitativas
de datos
Control 20
en
2 rUneros
cuya ciferencia es 2
PRY PP*
Control 19
Q Problemas propuestos
~
• ~do
PRY pp.
Control 16
IRectangulos!
• Mlltiplicando por 5/2 • Mlltiplicando por 7/2
Control 11
PRY PP*
Comparaciones cuantitativas
• MJltiplicaciOn por 75 • 8evando II cuaaado un nUmero que lIIrmina en 5
Control 8
Regia de tres simple y compuesta
ILos pu entes!
• Mlltiplicaci6n de numeros que lIIrminan en5
• DivisiOn por 4 • DivisiOn por 8
• Mlltiplicando por 3/4 • Mlltiplicando
por 4/5
TEMA3
AUTOEVALUACION
MATEMAnCA AECAEAnVA ACUMULATIVO
Angulos entre manecillas
• iProductos interesantes!
PRY PP*
• iLas porciones de pan!
Control 3
• Ciudades y carreteras
• Palitos numericcs
PAR::C:.:::IA::L:__~
Nivel I (20 problemas) Nivelll
(19
problemas)
Nivel III
(16
problemas)
_
_;"A_C~U_M_U_LA_T1_V_O_T_O_T._A_L __
NivellV
problemas de unidad 1)
(16
----:===: Probabilidades PRY PP* Control 6
Logaritmos
• iSumas para pensarl • iEquisumas! • POOemosa1canzar eI infinito... • En equilibrio tOOoes mejor • Una manera facil deobtener 100
PRY PP*
• iCuatro operaciones!
Control
• Juntos, pero no revueltos ...
9
Nivel I (22 problemas) Nivelll (22 problemas)
NivellV
Nivellll (17 problemas)
Nivell
(21 problemas)
Nivelll (23 problemas) Nivel III (22 problemas)
(16 problemas de unidad 1 y 2)
Nivel IV (20 problemas de unidad 1, 2 Y 3)
• La torre triangular Variaciones porcentuales y mezclas
• i La ruleta magical • IEnteros y fracciones!
PRY PP*
• Las ecuaciones no mienten
Control 12
• Cliente muy inteligente
Area de regiones sombreadas
• iNueve son suficientes!
PRY PP*
• Ayudemos aI granjero
Control 15
• EI enano y eI gigante
Sucesiones y analogfas
• I Mayor y menor!
• iTOOosa uno! • i Dos fracciones interesantesl
PR Y PP*
• La culebrita nurnerica
Control
• EI ano mas grande
18
• ISoio potencias de 2! • IPotencias de 3! • Aparentemente absurdo • Los palitos Y los mimeros • I Puros ochos! • lUna pequeria equisumal • EIverdadero mentiroso
Nivel I (20 problemas) Nivelll
(22
problemas)
Nivellll (15 problemas)
Nivell (15 problemas) Nivelll (19 problemas) Nivellll (14 problemas)
Nivell
(16
problemas)
Nivel II (20 problemas) Nivellll (14 problemas)
Nivel I
(24
problemas)
Nivelll
(23
problemas)
Nivel III (18 problemas)
Nivel I (19 problemas) Nivelll (20 problemas) Nivellll (17 problemas)
NivellV (17 problemas de unidad 1, 2, 3 Y 4)
NivellV (14 problemas de unidad 1, 2, 3, 4 Y 5)
Nivel IV (15 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5 Y 6)
NivellV (19 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 Y 7)
Nivel IV (15 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Y 8)
.cue~6nd=e~c=m=CU=I~O_~==~~==================~~===-~_-=~======~ * PR: Problemas resueltos PP: Problemas propuestos
Si amvos mantienen sus velocidades, el verde logY'aY'(lotconzcrto.
.... AlCANCES
Y ENCUENTROS
.... ADElANTOS. .... ANGUlOS
ATRASOS Y CALENDAR lOS
ENTRE MANEClllAS
iMueve solo uno! Aqur te planteamos algunos desafios. En cada caso, cambia de lugar un dfgito para obtener una igualdad correcta:
J
U
v
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
I
~------
ALCANCES Y ENCUENTROS VELOCIDAD (v): Es una cantidad cuya medida nos indica que tan rapido un rnovil cambia de posicion. En un movimiento rectilfneo a velocidad constante se cumple que:
___ t------...
• La trayectoria es la union de todos los puntos por donde ha pasado el m6vil; puede ser curviHnea 0 rectilfnea. • En este tema solo trataremos los problemas en los Queel movirniento es rectilfneo y la velocidad es constante (no varia).
Referencia
D
La casa de Rodrigo esta a 72 km de su trabajo. Si el tard6 2 horas en lleqar, l.cual fue la velocidad que emple6?
fiifmi
viaj6 a 40 km/h durante 2 h, luego su velocidad a 50 km/h y as! continu6 durante 3 h. l.Cuar fue la distancia que recorri6 dicho auto aI cabo de las 5 h?
L
De fa ecuecion:
• Ahora relacionamos·
~
: ••
d: distancia en metros (m). I: tiempo en segundes (5). Luego, la unidad de la velocidad es:
m S
d - vt
Y
t--d v
En ocasiones sera necesario expresar aIgunas magnitudes en unidades equivalentes. Recordemos algunas: • Longltud
cotidiana se usa, con mayor frecuencia: km
• Tlempo 1 h = 60 min = 3600 s
v
I
= 722hkm I.
• Anallzamos el problema
por tram os:
___ 2h__
~~",
__3h---...
~~krrVh
d1 = (40)(2)
~
Y
d2
d1 = 80km Luego, recorri6:
= (50)(3)
d2= 150km d, + d2
=
I 230km I
Ejemplos:
II Convierte 1,05km·
1 m = 100cm = 1000mm t dam s torn 1 hm = 100m 1 km = 1000m
Aanque en la vida
.
• Luego, viaja a 36 km/h
• Ahora:
v- ~ ,
se puede obtener:
Donde:
T
»>: 2h
a,
Un auto D aument6
IATENCION!
planteamos:
72km fdentifica fas cantidades que intervienen para fuego usar fa ecuecion que re/aciona t Y II.
'--
L
Del enunciado,
II Convierte
1,05 km a metros. 1~mm
=I1050m
I
4,2 h a segundos.
4 2 h . 60 min . 60 ~ = " -15-1-2-0-S-', ' 1h 1 min· .
Ahora trataremos problemas relacionados a las velocidades y orientaciones de dos m6viles. Veamos los siguientes casos: Tiempo de encuentro (tel Si dos m6viles estan separados una distancia d y parten aI mismo tiempo, tal como se muestra:
Tiempo de alcance (to) Si dos m6viles sstan separados una distancia d y parten aI mismo tiempo, en la misma direcci6n, tal como se muestra:
se encontraran luego de un tiempo igual el m6vil A alcanzara aI m6vil B en un tiempo:
a:
I
Dos m6viles separados una distancia 500 km parten, aI mismo tiempo, aI cuentro uno de otro con velocidades 60 km/h y 40 km/h. i.Cuantos minutos daran en encontrarse?
de ende tar-
t••
t,
I
D
Dos m6viles parten aI mismo tiempo y del mismo punto en direcciones opuestas. Si sus velocidades son 40km/h y 20km/h, i,luego de cuanto tiempo sstaran separados 300km?
VA> Va
500km 500 te ~ 60 + 40
=;>
te ~ 5h
En minutes: 5 h . 60 min . 1h
I 300 minutos I.
Analizamos:
Determina el tiempo de alcance y tuego calcula la distancia que recorre uno de los autos en ese tiempo.
l--------------------~/
~
d~vA Tardaran en encontrarse
Dos m6viles separados una distancia de 400 km parten al mismo tiempo y en la misma direcci6n con velocidades de 50 km/h y 30 km/h. i.Cual es la distancia que recorre el auto mas lento antes de ser alcanzado?
Para que ocurra el alcance se debe cumplir que:
Del enunciado:
• Se encuentran: Usamos la ecuecion del caso correspondiente, luego expresamos el tiempo en minutos.
i -. J
VA ~ Va
ta ~ 50400 _ 30
=;>
I
ta ~ 20 h
Luego: d, ~ 30 x 20 ~ 600 km
Esle tiempo tambien es lIamado tiempo de
I
separacion (Is) Y se calcula como el r,
Del enunciado: t
t
;
~~
300km
=
40 t + 20 t ~ 300
=
Luego de
I}E].
=;>
t = ~~O
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
D
Un auto recorre una distancia de 72 000 m
11/3
en en
h. Determina la velocidad
del auto
m/s.
Nos pi den la velocidad para ello trasformamos
del auto en mjs; el tiempo a se-
gundos.
3 • Luego:
D
3600s 1h
x
3
..
........
-.:
_-
I
Ahora:
Un motociclista recorre una distancia de 7,5 km en 12 minutos 30 segundos.l.CuaJ es la velocidad a la que viaja la moto?
la distancia
d
iATENCU1NI
=
por
5
km
5
h
18
=>v~10~
s
cada una de las velocidades
- 20m/s - 30m/s
a
x
km
h
=
mjs
s
5 5
_10mx18
s
D
140 s I.
que los
30min
• Del grilfico:
d
... G)
= 90 t + 72 t
Del
1km ~
72 km/h
de 90G)
+ 72G)
d = 181 km
1
problema
anterior,
si
los
autos
hubieran seguido la misma direccion, l.cuaJ serfa la distancia de separaci6n, en el mismo tiempo?
Resolvemos:
_15m)(18
s
luego de
a 72 kmjh, l.cuaJ es la distancia luego de 30 minutos?
a
• Entonces: _30mx1§.
= 40s
Dos autos parten al mismo tiempo y del mismo punto, pero en direcciones opuestas. Si uno viaja a 90 kmjh Y el otro
Entonces:
--:;t1 x
5
t9
- 10m/s
20P'f x 3600,
20 x 18
Se encuentran
=>
• ~asamos el : t = 3Omin. ~ = lh tiempo a horas 60 min 2
15m/s
• Para convertir la velocidad de km/h, multiplicamos por 18/5.
-s;:
480 5+ 7
'-=JlfaJlY;:'--.JIS,;.r-=lfCIf';.IS.-=.IIS.'--"-.-=lr=Jl(;
Resolvemos:
=
=
~~r::~ ------d------
v~ 7755~ => v=110m/sl
km/h.
18'
v~36-x-
Convierte
e
30min
t ~ 750s
D
t
Resolvemos:
60s +30s 1min
Rnalmente:
=0>
5mjs
separara
= 7500m
=> d
7,5km
t~12min. Si se tiene la velocidad en kmjh podemos convertirla a mjs multiplicandola
en metros y el
tiempo en segundos:
••
Los atletas van al encuentro, entonces aplicamos la ecuacion correspondiente, pero antes expresamos una de las velocidades en metros por segundo. 18x~= 18
Resolvemos:
.. ., ..... {lO.".Go
de
= 4800s
= 115m/s
v = 7:8~
• Expresamos
del otro, con velocidades
18 km/h y 7 m/s. l.Luego de cuanto tiempo se encuentran?
Resolvemos:
Resolvemos:
11h ~ ih
encuentro
5
=>
108km h
=
54
=
km
h
36km
h
Dos corredores parten de los extremos de una pista atletica de 480 m, uno al
.tII'EiI/faAniiJlf'a
I/If&I&.rclliial/niliD.-_,,_,_.--.1/1f6
....
---d. ---..:..._--d2---• La distancia:
d--
.. ....
d = d2 - d.
d=90a)-72(~)
=
d=19km
I
velocidad con stante de 120km/h. Si los delincuentes Ie lIevaban una ventaja de 3 km a una patrulla y fueron atrapados luego de 6 minutos, lcuaJ es la velocidad a la que viaj6 la patrulla? Rpta.: 150 kmlh
Dos m6viles estan separados 640 m y parten aI mismo tiempo y aI encuentro con velocidades proporcionales a 3 y 5. Si el encuentro ocurrira luego de 8 s, lcual es la velocidad mayor? Rpta.: 50
ml«
Mario y Juan son dos ciclistas y estan se· parados una distancia de 300 m. Si Juan va a una velocidad de 10m/s y Mario 10 a1canza luego de 30 segundos, lcuaJ es la velocidad de Mario? Rpta.: 20 mls
Dos m6viles estan separados 1000 m y parten hacia el encuentro con velocidades de 60m/s y 40m/s. Si el mas lento parti6 10 s despuss, lcuaJ es la distancia que recorri6 el auto mas rilpido hasta en· contrarse con el otro auto? Rpta.: 840m Dos buses interprovindales sal en de las ciudades A y B; distanciadas 1020km, con velocidades de 110km/h y 9Okm/h, respectivamente. Si el que sale de A parte a las 8:00 a.m. y el que sale de B 10 hace a las 10:00 a.m., determina la hora a la que ocurre el encuentro. Rpta.: 2:00 p.m. Dos ciudades, M y N, estsn conectadas por una carretera recta de 1240 km. Una empresa de transporte tiene unidades en ambas ciudades y todos los dras, a las 9:00 a.m., sale un auto de una ciudad con destino a la otra. Hoy, de la ciudad M, parti6 un auto con una velocidad de 80 km/h y el auto que sali6 de la otra ciudad parti6 3 horas despues a 120 km/h. lA cuantos kil6metros de la ciudad M ocurri6 el encuentro? Rpta.: 640 km Se observaron 3 m6viles: A, B Y C, con velocidades de 72 km/h, 1,2 km/min y 20 mIs, respectivamente. Indica cuaJ de los tres m6viles es el mas veloz. Rpta.: Las ve/ocldades son fgua/es. Tres cidistas: A, B Y C, recorren 36km, 36 ooom y 3600 ooocm en 18 ooos. 300min y 5h, respectivamente. lQuien es el mas veloz? Rpta.: T/enen la mlsma ve/ocidad. Unos delincuentes
fugaron en un auto a
PISTA2
Una moto Ie lIeva una ventaja de 500 m a un taxi. Si la moto va a una veloddad de 15 m/s y el taxi a 20 mIs, lcuaJ es la distancia que recorre la moto antes de ser a1canzada? Rpta.: 1500 m •
Dos automovilistas parten de un mismo punto con direcciones opuestas. Si sus veloddades suman SOmis, calcula la distancia que estaran separados luego de 2 minutos.
Averiguala distancia que recomo el primer auto durante los 105 y luego analizael tiempo de encuentro. 1
Rpta.: 6 km
Un avi6n realiz6 un aterrizaje de emergencia. Inmediatamente despuss de tocar tierra, una ambulancia parti6 a su a1cance. Si la velocidad de la ambulancia fue 20m/s mayor que la del avi6n y tard6 5 minutos en alcanzarlo, la cusntos kil6metros de la ambulancia el avi6n toc6 tierra? Rpta.: 6km Dos ciclistas estan separados 200m. Si fuesen aI encuentro uno del otro, tardarian 10 s en encontrarse; pero si el mas veloz persiguiese aI otro, 10 a1canzaria en 20 s. Determina la velocidad del mayor. Rpta.: 15 m/s En cierto instante, en una carrera el corredor que va primero Ie lIeva una ventaja de 30 m al segundo. Si ellos corren con velocidades de 6 y 8 mIs, respectivamente; y aI que va primero solo Ie faltan 100m para lIegar a la meta, llograra el corredor que va segundo remontary ganar lacarrera? leon cuantos metros de ventaja lograrfa ganar? "-,,_ . ,..,. "
.-
Parapoder comparar las velocidades, debenestar en las mismas unidades.
"fI'"'' ~',",oJ
III
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
Dos atletas se encuentran en los extremos de una pista de 4,8 km y parten aI mismo tiempo uno aI encuentro del otro. Si uno va a una velocidad de 13m/s y el otro a 12m/s, ~Iuego de cuanto tiempo se encontraren?
Rodrigo, Carlos y Saul viajan en sus autos a velocidades de 54 km/h, 12 m/s y 1,2 km/min, respectivamente. ~Quien de los tres va mas rapido?
~uelve
Parapodercomparar, expresaenlas mismasunidades.
oqui! )
;(i (
David, en su auto, puede recorrer 450 km en 5 horas; mientras que Roy puede recorrer 175 m en 7 segundos. Podemos asegurar, respecto de las velocidades de los autom6viles, que: I. Vo> VA
Noolvidesquela velocidaddelos mevileses considerada constante.
II. Vo
8
VA
III. Vo
<
VA
Un bus interprovincial recorre, a velocidad constante, una carretera recta la cual tiene un letrero cada kil6metro. Si a las 10:00 a.m. pas6 por un letrero y a las 11:30 a.m. ya habra pasado por 61 letreros, ;'cuaJ es la velocidad a la que viaja el bus, en km/h?
I
Dos autos parten aI mismo tiempo de dos ciudades, A y B, distantes 84 km. Si el que sale de A va a 15 km/h Y el otro a 13km/h, ;'cuaJ es la distancia que recorre el auto que sale de B hasta que se encuentra con el otro?
Dos ciclistas parten al mismo tiempo y aI encuentro desde dos ciudades distantes 120km. Si las velocidades de los ciclistas estsn en la relaci6n de 3 a 2 y tardan 2 h en encontrarse, ~cuaJes la velocidad mayor?
Ante nue'lOs conceptos, 10 ....eromendable ss ....eladooo ....los ron 10 "ue sobes.
r-
Dos ciclistas estim separados 900 m y parten al mismo tiempo uno al encuentro del otro, con velocidades de 48 m/min y 52 m/min. "AI cabo de cuanto tiempo despuss de encontrarse, su separaci6n sera de 400 m? Expresa tu respuesta en minutos.
~. ~
Dos autos deben partir del mismo punto y en la misma direcci6n, pero uno de ellos se retrasa 15 minutos por fallas tecnicas, mientras que el otro parte a 36 km/h. "Cua! es la velocidad a la que debe partir el auto retrasado para alcanzar al otro en los siguientes 15 minutos? Expresa tu respuesta en m/s.
No olvides que para determinar el nempo de alcance no es necesario conocer cada una de las velocidades.
J
L
En una carrera, Roberto sale desde el punto de partida cuando Jose Ie lieva 100m de ventaja. Si Roberto es 4m/s mas rapido que Jose, "cuanto tiempo tardsra en alcanzarlo?
Un delincuente fuga en una moto y Ie lIeva una ventaja de 1200 m a una patrulla Si la moto es atrapada luego de 5 minutos, "cuanto mas rapida es la patrulla?
Considera las longitudes de los trenes como el espacio de separacion.
u (u s/w ~ (H s/w oz (Ol
IJ/Ullt
Dos trenes de igual longitud se encuentran en rieles paralelos y tardan 45 segundos en cruzarse completamente. Si sus velocidades son 54km/h y 18km/h, "cua! es la longitud de los trenes, en metros?
Dos m6viles estan separados 48km y tardan 3 horas en encontrarse, pero si con la misma separaci6n el mas veloz pretendiese alcanzar aI otro, necesitaria 6 horas. "CuaJ es la velocidad del m6vil mas rapido? Expresa tu repuesta en km/h.
WOSt (6 SSl U!wt
(S (L
IJ/Ullt 9£ (9 Ullt 6£ (S
sl6l (i' IJ/Ullt O~ (£ II (Z
1~1!S(l
• • • • •
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
:~ ~,.-----------
~ ~~ELANTOS,
ATRASOS Y CALENDARIOS
EL TIEMPO: Es un perametro de medida; segun el sistema internacional de unidades (SI), su unidad es el segundo (s), pero tarnbien se puede utilizar : - EI minuto - EI dla
D
- Lahora
i.Cuanto resulta al sumar 3 h 39 min 20 s con 5h 28min 45s?
iRECUERDAI
Adernas sabemos que:
•
1 minuto 1 hora 1 hora 1 dia
60 segundos
=
= 60 minutos = 3600 segundos 24 horas
=
Colocamos en forma vertical y de manera ordenada:
3h ; 39min ;20s + 5h 128min 145s 8h 167min ;65s
• Resulta: 8h 67min 65s. • Ahora fijate que:
se esta usandoel mism0 criterioque empleamosal restar.
Co/oca los sumandos en forma vertical, manteniendo el orden de las unidades y subunidades.
65s - 67min
60s + 5s 60min + 7min
<> <>
1min 5s 1h 7min
=> =>
Entonces: 8h (1h 7min)(1 min 5s) (8 + 1)h (7 + 1)min 5s Rnalmente obtenemos: 19h 8min 5s 1
D
i.Culmto resulta al restar 7h 40min 50s de 9h 20min 30s?
En la parte de minutos y segundos notamos que el minuendo es menor que el sustraendo. • Procedemos
---
1h <> 60nin Procedemos de igual manera que en el caso anterior, peto esta vez consideteremos el criterio de prestar unidades a la unidad inmediata inferior.
• Ordenamos:
9h 7h
1
i
20min 40min
1 1
30s 50s
asl:
1nin
<>
60s
~ 20 s 9 h 20 min
=<>
8h 79min 80s .1
Ahora:
8h 7h 1h
79min 40min 39min
8Os50s 30s
w
Luego, obtenemos: 11h 39min 30s
I
Como: 1d - 24h Dividimos: 121 h lli.!!_ 1h 5d
II Expresa 436 236 s en unidades
de minu-
tos, horas y dlas,
Calculamos la cantidad de minutos dividiendo por 60 (1 min = 60s) 436 236 s 6::,::0:.___ 7270min
® 1..,;1
X
• Dividimos 7270 min por 60 ( 1 h 7270 min ~121h
5d + 1h Recuerda las equivalencias divisiones sucesivas.
y
usa
• Rnalmente:
121h L£1.. 1h@)
= 60 min)
l.§Q__ • v
I ~
~~------------------------
Entonces: 436 236s = I 5d 1h 10min 36s 1
J
Ahora veremos algunos problemas de apncacion relativos a adelantos, atrasos y calendarios. se adelanta 3 minutos cada hora. D SiUnareloj las 10:00 a.m. marcaba la hora exacta, determina la hora que marcara a las 6:00p.m.
De las 10:00 a.m. a las 6:00 p.m. transcurren Bh. Usamos una regia de tres simple para determinar el adelanto total: Adelanto
Encuentra el adelanto total que tendra e/ re/oj en el tiempo indicado.
Tiempo
3min><
1h
x
sh
En 8h se adelanta:
x = 24min
Luego, marcaral6:24
EJ
Un reloj se atrasa 2 minutos cada 4 horas. Si a las B:OO a.m. el reloj indica la hora exacta, (,cua! es la hora que marcara a las 10:00p.m.?
p.m.
I
DelasB:OOa.m. alas 10:00p.m. transcurren 14 horas. Entonces: Atraso
iVamos ...! Intentalo
Tiempo
2min>< x
es mU!j faeil
4h 14h
"*
x= 7min Luego, el reloj marcara. 10:00 - 7 min = 'I 9'-:-=-53'-p-.m---'. 1
Un reloj se adelanta 5 minutos cada 3 horas. Si a las 10:00 a.m. del 1 del agosto el reloj marcaba la hora exacta, (,cuando volvera a marcar la hora exacta?
Calculamos: Adelanto 12h = 12 x
Las 6:00 p.m. equivale a las 18:00 h, de esta manera es mas rapido obtener el tiempo transcurrido.
" *0*
J
Tiempo
5min 60min ><
3h x
x = 432h
I
Para que un re/oj que se adelanta vue/-
I ~~:
marcar /a hora exacta, terdr« que \___,antarse 12h.
D
Rodrigo nacio en mayo del 2003. Si en el 2015 su cumplsanos sera un martes, (,cual es el dia de la semana en el que nacio Rodrigo?
• Marcara la hora exacta dentro de 432 h 0 18 dias. Luego, el119 de agosto
I.
• Del 2003 aI 2015 han transcurrido 12 anos, entonces dividimos 12 por 7. 12 5
I.!... ;..1.)-
L Considera:
Coincide con el dia martes.
Dias previos a la coincidencia.
• En dos siios consecutivos, no bisiestos, /a fecha aumenta un dia.
=
• Cada siete anos e/ dia serfa e/ mismo, de no ser por los anos bisiestos.
Resultaria jueves si no fuera porque cada ana bisiesto implica un dla menos y los alios bisiestos son: 2004, 200B Y 2012
juev. vier. sab, dom. lun. mar. ~
Tres dfas menos: lun. mar. mier, juev. ~
IATENCII1NI Para convertir unidades usamos:
_ 432 h x ~~~a
l-
18 dias
J
I ALFONSO
Luego, nacio un Ilunes
Resolvemos:
Determina el resultado de sumar 4h 45min 38s con 7h 35min 50s.
De las 7 de la manana a las 11 de la noche transcurren 16 horas.
Resolvemos: Ordenamos:
• Usamos una regia de tres simple para determinar el atraso total.
4 h :: 45 min: : 38 s +
i
7 h 35 min
i 50 s
11 h i 80min! Ahora: 80min 88 s Finalmente:
Atraso
88s
7min x
< > 1h < > 20min < > 1 min < > 28 s
11 h
80 min
Un rei oj se adelanta5 minutos cada 6 horas. Si hoy a las 10: 00 a. m. el reloj marcaba la hora exacta, l.dentro de cuantos dias el reloj volvera a indicar la hora exacta?
1h
• Para que el reloj vuelva a marcar la hora exacta debera adelantarse 12 h.
1min
f'\f'\
Adelanto
9 h : 18 min : 11 s _ :
:
i
2 h 55 min
i 55 s
x= 12
8 h : 77 min: 71 s 2 h 55 min
i 55 s
6 h i 22 min
i
i 16 s
6h
"'"
x= 864h
a dias:
Raul nacic en el ano 1995. Si en el 2010 su cumplealios fue un dia martes, halla el dia en el cual nacio Raul.
Mos transcurridos: ~
• Usamos una regia de tres para determinar el adelanto total.
D
x
Resolvemos:
• De las 5 de la maliana a las 5 de la tarde han trascurrido 12 horas.
= 15 alios
2
(1":J Hay que retroceder un dia:
3h 12h
2010 - 1995
Cada siete alios debio caer martes: 15 LZ._
Tiempo
X
• Luego,marcara:
60 min 5min
6h x
Finalmente, dentro de 136 dias I.
Resolvemos:
x
X
864h x 1 dia = 36 dias 24h
3 minutos cada 3 se sincroniza a las 5:00 a.m., l.cual es la hora que rnarcara a las 5:00 p.m.?
3min
x
• Ahora convertimos
Un rei oj se adelanta II horas. Si dicho reloj
Adelanto
tiempo
5min 12h<>12x60min
Luego, resulta: 1 6h 22min 16s
ocurre cada 4 anos.
x= 28min
Resolvemos:
Resolvemos: • Ordenamos:
Un ano bisiesto tiene 366 dias y
=
11: 00 - 28 min = 1'1-0-:3-2p.-m-'.I
l.Cuanto se obtiene aI restar 2h 55min 55s de 9h 18min 11 s?
• Ahora:
4h 16h
(1~s)
Luego: 'I -12--:h-2-1-m-i-n -28-S~1
B
Tiempo
X
• Luego, el rei oj rnarcara;
88 s
(1'h2O;in)
IATENCUlNI
J
ROJAS PUEMAPE
D
Las 5:00 p.m. tambien se puede expresar como las 17:00 horas.
I.
"'"
1 5:12p.m.
lunes
x% 12min 1
Un reloj se atrasa 7 minutos cada 4 horas. Si a las 7:00 a.m. el reloi marco la hora
martes
'---.--/
Pero como entre 1995 y 2010 hay 4 alios ~, • bisiestos, retrocedemos 4 dias mas: .' juev.
vier. ,
sab.
dom.
lun.
exacta, l.cuaJ es la hora que rnarcara a las 11:00 p.m.?
D
3 h 51 min 17 s y 9 h 37 min 22 s
II Determina
el resultado de sumar:
4 h 18 min 25 s y 11 h 35 min 52 s Rpta.: 15h 54mln 17s
II Si:
A-10h22min15s B ~ 4h 45min 38s,
calcula: A-B. Rpta.: 5h 36 min 37s
D
A ~ 2 h 25 min 35 s
Si:
B ~ 8h 10min 15s
= Naci6 un dia
"---"
1 jueves I.
m
Se tiene 2 relojes, uno se adelanta 5 minutos cada 3 horas y el otro se atrasa 4 minutos cada 3 horas. Si se sincronizan ambos relojes, l.aI cabo de cuantos dias ambos relojes marcaran la misma hora? Rpta.: 10 dias Un reloj se atrasa 4 minutos por hora y otro se adelanta 2 minutos por hora. Si hoy los dos relojes se sincronizan, l.dentro de cuantos dfas los relojes rnarcaran la misma hora? Rpta.: 5 dias
C ~ 3h 51 min 55s, determina:
A + B - C. Rpta.: 6h 43min 55s
Un reI oj se adelanta 4 minutos cada 3 horas. Si a las 8:30a.m. marc6 la hora exacta, indica la hora que marcara a las 11 :30p.m. Rpta.: 11: 50 p.m.
D
Com pre un reloj a las 11 :40 a.m. y luego me di cuenta de que el relo] se adelanta 30s cada 1,5h. Si cuando 10com pre marcaba la hora exacta, l.cuaJ es la hora que marcara a las 8:40p.m.? Rpta.: 8:43 p.m.
D
Un reloj Si a las exacta, las 6:30
se atrasa 2 minutos cada 4 horas. 6:30a.m. el relo] marc61a hora l.cuaJ es la hora que mercara a p.m.? Rpta.: 6:24p.m.
Un reI oj se atrasa 3 minutos cada 2 horas. Si a las 5:00 a.m. marc6 la hora correcta, l.cual es la hora que rnarcara a las 7:00p.m.? Rpta.: 6:39p.m. Un relo] se atrasa 6 minutos cada 5 horas. Si hoy a las 8:00 a.m. marc6 la hora exacta, l.dentro de cuantos dfas volvera a marcar la hora exacta? Rpta.: 25 dfas •
Se tiene un reloj que se adelanta 5 mi-
"---"
zcuando volvera a indicar la hora exacta, nuevamente? Rpta.: 20 de mayo
Calcula el resultado de sumar: Rpta.: 13h 28min 39s
"---"
"---"
Moises naci6 en el ano 1981. Si en el 2012 su cumpleanos fue un dia lunes, l.cuaJ fue el dia de la semana en el que naci6?
EI adelanto: 30s cada 1,5h se puede expresar como: 1 min cada 3h
Rpta.: Jueves Un reloj se atrasa 5 minutos cada 2 horas y media. Si el reloj se sincroniza un lunes a las 10:00 a.m., l.cuaJ es la hora que marcara el martes a las 9:00 p.m.? Rpta.: 7:50 p.m. Un reloj se adelanta 3 minutos cada 2 horas. Si se sincroniz6 elide mayo a las 8:00 a.m., l.cuaJ es el dia en el que volvera a marcar la hora correcta? Rpta.: 21 de mayo Un reloj se atrasa 6 minutos cada 3 horas. Si se sincroniz6 un jueves a las 6:00 p.m., l.cuaJ sera el dia y la hora a la que volvera a marcar la hora correcta? Rpta.: Viernes a las 6:00 p.m. Sim6n tiene 26 anos de casado y su aniversario en el 2011 fue el viemes 1 de mayo. l.CuaJ fue el dia de la semana en el que se cas6 Sim6n? Rpta.: Lunes Un futbolista decide retirarse, despuss de haber jugado desde 1992, el mismo dia en el que inicio su carrera. Si su ultimo partido 10jug6 el viemes 1 de junio del 2012, hall a el dla en el cual empez6
Para que ambos relojes marquen la misma nora, la diferencia de las horas que senalan debe ser 12.
L.._-
,.J
nutos caoa ;j noras. ::'1 noy, ~ ae mayo, marc6 la hora exacta a las to.oo a.rn.,
'"''''\,.tWT
....'U.
Rpta.: Lunes
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
Determina el resultado de sumar: 5h 34 min 32s y 8h 28 min 34s.
I-
Carlos note que su rslo] se atrasa 3 min cada 4 horas. Si a las 7: 00 a.m. el reloj marcaba la hora exacta y el tiene que salir de su casa a las 7: 00 p.m., pues tiene una cita con su medico, ia que hora deberia saJir de su casa, segun su reloj para negar puntuaJmente a la cita?
(iResuelve aquil )
u Recuerda las equivalencias: 1 min 1h lh
<> <> <>
60s 60 min 3600s
{: Si: A-10h
B _7h 35 min 19s, determina:
PISTA 5
Recuerda que para que vuetva a marcar la nora exacta debe adelanlarse 12 h.
15min 18s A-B.
Susana Ie cornpro un relo] a su novio y no se percato de que este relo] se adelantaba 7 minutos cada 3 horas. Si hoy a las 6:00 a.m. sus relojes estaban sincronizados y quedaron en verse a las 9:00p.m., icon cuantos minutos de adelanto, segun su reloj, negara el novio?
Un reloj se adelanta 3 minutos cada 2 horas. Si hoy a las 11: 00 a.m. el relo] marc61a hora exacta, identro de cuantos dfas volvera a marcar la hora exacta?
Lucia compr6 un reloj y luego note que el relo] se atrasaba 8 minutos cada media hora. Si hoy a las 5: 00 a.m. el relo] marco la hora exacta, identro de cuantas horas volvera a marcar la hora exacta?
l.__
_....J l...._
J
Resolver- pr-oi:Jlemas nos hace sentir- i:Jien !J nos motiva a r-esolver- nuevos pr-oi:Jlemas.
E -
Un reloj se atrasa 5 minutos cada 3 horas. Si dicho reloj se sincroniza el 8 de diciembre a las 10:00 a.m., i.en que fecha volvera a marcar la hora exacta?
I
Marfa tiene 2 relojes y ella sabe que uno se atrasa 5 minutos cada 3 horas y el otro se adelanta 4 minutos cada 3 horas. Si ella los sincroniza el4 de julio a las 12:00, len que fecha volvera a indicar la hora exacta?
En un ana bisiesto el mes de febrero tiene 29 dfas.
PISTA 11
r:t ...
Un reloj se adelanta 6 minutos cada 5 horas. Si dicho reloj se sincroniza un 25 de febrero a las 12: 00, len que fecha volvera a marcar la hora exacta?
~
Roberto naci6 el 24 de junio de 1990. Si en el 2010 celebr6 su cumpleanos un dia viemes, i.que dla de la semana naci6?
Considera un ano bisiesto.
Cada 7 alios, de no existir los anos bisiestos, deberfa coincidir el mismo dfa de la semana con la fech a.
a
06u!wo
(U
saum (ll Se tiene 2 relojes, uno se atrasa 3 rninutos cada 4 horas y el otro se adelanta 2 minutos cada 4 horas. Si hoy se sincronizaron, ldentro de cuantos dias votveran a marcar la hora exacta?
Marlene naci6 el 8 de octubre de 1996. Si ella naci6 un dia lunes, lque dia de la semana festej6 su cumpleanos en el 2012?
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l ALFONSO
..... V83nUdWO:J
ROJAS PUEMAPE
MULTIPLICACION
DE NUMEROS QUE EMPIEZAN
EN UNO
Multiplica 1a x 1b. Descomponiendo polinomicernente:
Este artificio solo es para numeros de dos cifras.
(10+ a)(10 + b)
Operando y arreglando:
[(10+a)+b)10+ab
Otambiem:
[1a + b)10 + ab
Ejemplo:
17x18=
1. Un salon de clase tiene 19 metros de largo y 13 metros de ancho. Se desea colocar un tapizon que cuesta Sl 10 el metro cuadrado. i.Cuanto dinero necesitamos para realizar tal operacion?
[17+8)10+56=306
Resolvemos: Calculamos menta/mente gion rectangular:
el area de la re-
19 x13 = [19+3)10+27 = 247m2 Respondemos: Para realizar el tapizado necesitamos: 247
--
---
.,.iI ....
.:. .,V ..
Cir"g.
..
IATENCIDN! Acabo de explicar aqul las razones del artificio que en form a pracuca se aplica ast sum amos el prim er num ero y la cifra de unidades del segundo numero. Este resultado se multiplica por 10 (agregando un cero) y Ie agregamos finalmente el producto de las unidades de ambos numeros.
x
10 =
I Sl2470 I
Un colegio tiene una capacidad determinada de alumnos de primaria y secundaria. Si se sabe que hay 18 aulas con 15 carpetas en cada una de elias, i.cuantos alum nos hay en primaria sabiendo que son la mitad del total?
Para colocar grama en un jardfn de forma rectangular se cuentan con 180 metros cuadrados de grama. Si las dimensiones de dicho jardfn son de 14 m de largo por 12 m de ancho, i.cuantos metros cuadrados de grama sobraran?
Un vendedor de relojes gana $ 18 diariamente. Si en 15 dfas obtuvo el dinero suficiente para comprar un televisor y sun sobraron $ 30, zcuanto Ie coste el televisor?
Una librerfa tiene en su alrnacen 17 cajas con 18 archivadores en cad a una, los cuales se deb en transportar a otro alrnacen en un carnion, pero aI subirlos solo se pudo contabilizar 270. i.Cuantos archivadores se quedaron en el primer
almacen?
En una pesquera procesan 160 toneladas de pescado semanalmente. Si trabajaron durante 14 semanas, zcuantas toneladas se procesaron?
A los cines STU asisten diariamente 1300 personas. Si las entradas cuestan Sf. 10, zcuanto recauda en 16 dfas?
iCompruebalo!
Efeclwr operaciones mentaJmente desarrolla nlRstras habilidades para el calcUo.
MULTIPLICACION
DE NUMEROS QUE TERMINAN
8. Un comerciante compra, aI por mayor, 81 camisas a Sf. 31 cada una. Si aI venderlas desea ganar Sf. 1000, (,cua! sera el total a recaudar luego de vender to do ellote?
EN UNO
Resolvemos: Para saber cuanto invirtio aI comprar camisas, multiplicamos menta/mente 81 x 31, asf: 1. Cifra de unidades del resultado: 1 2. Cifra de decenas del resultado: sumamos las decenas de los factores y escribimos solo la cifra de la izquierda (·lIevamos· la de la derecha). 3. Cifras de centenas yfo millares: muttiplicamos las decenas de los factores y Ie agregamos 10 que "lievamos' en la operadon anterior: 81 x 31 - Sf. 2511. Respondemos:
Un grupo de estudiantes recauda Sf. 5500 para su viaje de promocion. EI gasto por persona es de Sf. 61, destin ados a los pasajes, comida y estadfa. Si en total son 91 alumnos, zcusnto dinero les falta reunir?
Antonio y Carlos realizan una caminata diana por separado. EI primero la realiza en 21 minutos y el ritmo de su corazon es de 91 latidos por minuto. EI segundo la hace en 31 minutos y su corazon va a 81 latidos por minuto. i.Quien tuvo el mayor numero de latidos aI finalizar la caminata?
Un banco realiza prestamos hipotecerios para financiar la adquisiclon de viviendas y paga el 91 % del valor del inmueble. La vivienda que Carlos quiere comprar cuesta $ 8100. ('Cua! sera el monto del dinero prestado por el banco?
Una fabrica de chocolates reporta su producto en 21 tiendas de Uma. Si por tienda deja 41 cajas de chocolates y el resto de su produceion va a provincias, i.a cuanto equivale 10que se lIeva a provincias. si su produccion total es de 900 cajas de chocolates?
Un distribuidor de artfculos de vidrio vendio 41 cajas de copas que contienen 81 copas cada una. Si durante el transporte de dicha mercaderfa se rompieron 121 co. . . ..
Una botella contiene 1.1 litros de gaseosa. En un cemion se transportan 2100 de estas botellas. i.Cuantos litros de gas eosa se transportan?
iCUIDADO! Este artificio se aplica solo para mlmeros de dos cifras.
'71
DESAFfO
• • •
• • • •
18 x 14 19x12 18 x 17 16 x 13 15 x 11 13 x 19 11 x 18 71 x 31 91 x 51 61 x 41 81 x 71
pas, zcuentas lIegaron en ouenas conorciones a su destino?
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
1
i U~_A_N_G_U_L_O_S_E_N_T_R_E_M_A_N_E_C_IL_L_A_s En este tema estudiaremos la relacion que hay entre las manecillas de un reloj (horario y minutero) con sus anqulos correspondientes. Analicemos el movimiento de las manecillas:
8 horario
recorre un arco de 30° en cada hora, entonces recorre 300/hora.
8 minutero recorre 360° en cada hora, entonces recorre 360° /hora.
En minutos: - Horario:
300/60min
- Minutero:
3600/60min
-(~pmin
12
iRECUERDAI
De 10 anterior conduimos horario avanza
EI horario esta representado por la manecilla mas corta. • EI minutero esta representado por la manecilla mas larga.
~ En
D
Determina el angulo que tormaran manecillas del reloj a las 12: 10.
las
x
(tf
- eo/min que: en un minuto el
y el minutero avanza 6".
minutos la diferencia de grados sera:
• Representamos la hora en un grafteo y luego analizamos eI angulo de giro de cada manecilla:
Dibuja el reloj, representa la hora indicada y luego analiza el angulo de giro en cada manecilla.
• Para 10 minutos, giraron:
iATENCIONI
Calcula el {mgulo que tormaran D del reloj a las 4: 40.
las manecillas
EI arco recorrido por la manecilla del horario correspondiente a una hora mide 30°.
rm
Debes tenet en cueme que el angulo de giro del minutero se mide desde las 12, mientras que el angulo de giro del horario sa mide a partir de la hora indicada.
Minutero:
60°
Horario:
5°
Lueqo, forman:
(1
= 60° - 5°
Representamos
la hora:
=>
(1
= 1550
I
l \__/J
~
~J
.........
x
las 7 y las 8, la que hora las manecillas 11 Entre del reloj tormaran un angulo de 34·?
:::f' _ .....
= 40·
\""~J
_.
=>
" . \2J .-
240· - 120· + 20· +
(X
Determina el angulo en la hora inicial, en este caso a las 7:00. 1~'"
~ - 30°(7) ~ _ 210° Tomllmos como reterencie une bore iniciel y de IIhi buscemos III bore pedide.
iVamos ... 1 Tii puedes • Ahora, de la condici6n:
(~r [210·
l.
- (6X)·] - 34·
+
x -32
D
Entre las 4 y las 5, la que hora las manecilias del reloj forrnaran un angulo de 90· por segunda vez?
iRECUEROAI
EI horario cada hora gira 30°, se deduce pues que a las 4:00 la medida del angulo es:
•
Formaran 34· alasI7:321.
•
Un angulo de 90· por segunda vez: 1~
4(30)° _ 120°
l
.(6x) 9
3
Se formllrs un sngulo por segundll vez cuendo et minutero pase III borerio.
---) •
Un angulo de 90· por primera vez:
.......... • Del gratico y la condici6n:
1@1112 12 9
(6x)· - 90· +
x - 38.1. min
3
11
-, 8
'4. 7
D
6
(~r+ 120·
Luego, sera a las 14: 38 1~ ,.
5
Entre las 8 y las 9, la que hora las manecillas del reloj determinaran un angulo de 180°?
•
Del enunciado:
'lCT ,2 IQue fadll ... Proudemos como en los cases a nteriore s.
• Del grilfico:
(6x)· - 60· +
(~r
Dos angulos opuestos por el verlice lien en la misma medida.
x _ 10 10 11 • Entonces, sera a las
ALFONSO
I
8: 10 ~~
I·
ROJAS PUEMAPE
D
Determina el angulo que forman las rnanecillas del reloj a las 3: 30.
Resolvemos: • Del grafico:
Resolvemos: • Hacemos un grafico para representar hora y luego determinar el angulo. Del grafico y para X=30min:(30)0 180°=90°+ -
10BSERVACU)N!
2
En cada nora, los anqulos que recorren el horario y el minutero estan en la relaci6n de 1 a 12, respectivam ente,
a
=
11
+a
1~
~(BbY! a.
8
75°
7
la ~?-
f?
x= 28
=>
2.~·!l~X.
<«.
I@
4" '"
• Luego, a las 18:281.
5
• Luego, forman un angulo de 175°
que hora, entre las 8 y las 9, las maneII i.A cillas del reloj forman un angulo de 75°?
I.
Resolvemos:
D
Calcula el angulo que forman las manecilias del rei oj a las 6:40 am.
• Del grafico:
Resolvemos: • Del grafico: (6xj" = 180° +(~r
11
1~
+a 9
• Para: x = 40 min
= 180° + 20° + a a = 40
240°
0
~
Db180~~\ (6x)'
~1t:Y
Luego, forman un angulo de 1400
I.
i.Cual es la medida del angulo que determinan las manecillas del reloj a las 9:30p.m.?
75°
= (240- 6Xj" +(~r
I.
Luego, sera a las 18: 30
i.A que hora, entre las 6 y las 7, las manecillas del reloj determinan un angulo de 700 por segunda veZ? ";-
Resolvemos: • Por 1: vez:
Por 2: vez:
Resolvemos:
11 12 1
Del enunciado:
Las manecillas del reloj tormaran 70° por segunda vez cu ando el minutero pase al horario.
x= 30°
=>
.~ 10
x = 30 min
i
2
3 O~'8
a=900+15°
5
.:~(ID'
a = 105° • La medida del angulo es 11050
4
l :
:
• Del 2.° grafico:
I.
(6Xt = 180° +
(~r+ 70°
(6x)'
\"&./
x-45- 5 11
Entre las 8 y las 9, l.a que hora las manecillas del reloj determinan un angulo de 86·?
l.Cual es la medida del angulo que forman las manecillas del ralo] a las 8:20 arn.? ~
• Luego, a las 16: 451~
I·
Entre las 9 y las 10, l.a que hora las rnanecillas del reloj forman un angulo de 180 ? Rpta.: 9: 16 _i_ 0
Rpta.: 130·
11
Determina el angulo que forman las manecillas del relo] a las 12: 24.
Despuss de las 5, l.a que hora las manecillas del reloj tormaren por primera vez un angulo de 18O·?
Rpta.: 132·
Calcula el angulo que forman las manecilias del reloj a las 11 :52.
rw q,l¥I!;iP®·1 1
Las manecillas delrelojsiempre determinan2 angulos,perose da como respuestael menor,a menosque especifiqueny pidan el angulomayor.
Rpta.: 6:00
Rpta.: 440
lA que hora, entre las 3 y las 4, el menor angulo formado por las manecillas del reloj sera la octava parte del mayor?
l.Cuai es la medida del angulo que forman las manecillas del reloj a las 8: 12? Rpta.: 1740
l.A que hora, entre las 2 y las 3, las manecillas del reloj formaran un angulo de 38"?
Rpta.: 3:9 /1
•
Rpta.: 2:04
l.A que hora, entre las 4 y las 5, las manecillas del reloj formaran un angulo de 43·?
Entre las 6 y las 7, la que hora la retacion entre el menor y el mayor angulo formado por las manecillas del reloj sera de 4 a 5? Rpta.: 6:31~
Rpta.: 4:14
Entre las 6 y las 7, l.a que hora las manecillas del reloj forman un angulo de 15·?
Laura salio de su casa entre las 6 y las 7 de la noche, cuando las manecillas del reloj formaban un angulo de 30·. Se supo que regreso entre las lOy las 11 de la misma noche, cuando las manecillas formaban un angulo recto. lCuanto tiempo estuvo tuera de casa? 2 Rpta.: 3h 38rr min
Rpta.: 6:30
Entre las 3 y las 4, l.a que hora las manecillas del reloj torrnaran un angulo de 53· por segunda vez? Rpta.: 3:26
Entre las 4 y las 5, l.a que hora las manecillas del reloj forman un angulo de 45 por segunda vez?
0
Mauricio sale a trabajar entre las 9 y lOde la manana, cuando las manecillas del reloj se encuentran superpuestas, y regresa entre las 8 y las 9 de la noche, cuando las manecillas del reloj se encuentran en prolonqacion. lCuanto tiempo permanece Mauricio tuera de casa? 9 min Rpta.: 10h 21 1 1
Rpta.: 4:30 I
l.A que hera, entre las 8 y las 9, las manecillas del reloj forman un angulo de 3SO por segunda vez? Rpta.: 8:50
l.A que hora, entre las ioy las 11, las manecillas del relo] forman un angulo de 19 por segunda vez?
0
•
Rpta.: 10:58
Entre las 7 y las 8, l.a que hora las manecillas del reloj forman un angulo de 90· por primera y segunda vez, respectivat"Il"U'\f"\t,,?
J
l
____
lA que hora, entre las 5 y las 6 de la tarde, las manecillas del reloj se superponen? 3 Rpta.: 5:27 p.m. rr ; A
.....
J.. ..............
__ t ...... 1__
..
n
.*
1_ .........
..J_
1_
Cuandono se especificala posici6nde lasmanecillas,se debeentenderque esel cinguloformado porprimeravez.
PlSTA 18
Lasmanecillasdel relolestanenpro-
"'..,IUg:
Rpta.: 7:21 9 1 1 Rpta.: 7:54
;1
•
c,,1"\
'1UC
IIVIO,
~IIU'CI
IO~
IV
Y
IQ..,
I I
U'CI 10
manana, las manecillas del reloj estan en prolongaci6n?
longaci6ncuando formanun angulo de 180°.
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
3 Determina la medida del angulo que forman las manecillas del reloj a las 5:20.
l-
Entre las 5 y las 6, (.a que hora las manecillas del reloj tormeran un angulo de 84°?
En 1 hora,el horario giraun angulode 30° mientrasque, enel mismotiempo, el minuterogiraun cingulode360°.
~
Halla la medida del angulo que forman las manecillas del reloj a las 4: 36.
('A que hora, entre las 6 y las 7, las rnanecillas del reloj tormaren un angulo de 48°?
Calcula la medida del angulo que forman las manecillas del reloj a las 2: 08. Cuandono se especifica ta posicionde las manecillas,se entiendequees el cinguloqueseforma por primeravez.
('A que hora, entre las 2 y las 3, las manecillas del reloj tormaran un angulo de SO?
l..__...J r....' r"
t:mplear con frec:uencia 10aprenado for1
iIfJ Entre las 6 y las 7, l.a que hora las mane..,
cillas del reloj forman un anqulo de 40·, por segunda vez1
~ ~
l.A que hora, entre las 11 y las 12, las manecillas del reloj determinaran un anqulo recto?
lZl
PISTA 7
Guando se forma un angulo por 2.° vez, por 10 general el m inutero "pasa" aI horario.
r:t ...
l.A que hora, entre las 8 y las 9, las manecillas del reloj forman un anqulo de 13°, por segunda vez?
r-~
l.A que hora, entre las 6 y las 7, las manecillas del rei oj tormaran un angulo de 90°, por segunda vez1
Si las manecillas indican sentidos opuestos, el angu10 que form an es de 180°.
~~ gVS:V (U ~~~6v:9 (U Entre las 4 y las 5, l.a que hora las manecillas del reloj forman un angulo de 5~, por segunda vez?
l.A que hora, entre las 4 y las 5, las manecillas del reloj estaran en sentidos opuestos?
H
T£n~ (O~ l£:v (6 gv:B (B Ov:g
(L
or.z
(g
vl:9 (S l~:S (v _Q I It'
oSL (l .OV (l
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
1. IPRODUCTOSINTERESANTES! En cada caso, escribe el producto.
1 11 111 1111 111 ... 1
x
1 11 111 1111
= = = =
x
111 ... 1
=
x x x
iTantos unos!
t.... 9 cifras C/U _}
2. PALITOS NUMERICOS Cambia de lugar solo dos palitos para obtener una igualdad correcta.
3. iLAS PORCIONES DE PAN! Skanito, Maite y Dalma fueron de excursion y el ultimo dia, Skanito se qusdo sin provisiones, por 10 que Maite aporto 3 panes y Dalma 5 panes, para que sean repartidos en partes iguales, entre los tres. Si en cornpensaoion Skanito dio S/8 para que se repartieran Maite y Oalma, 6cuanto Ie corresponde a cada una?
4. CIUDADES Y CARRETERAS
®
®
®
(2)
0
0
e
0
0 0
® 0
0
0
Cada cfrculo representa una ciudad y el numero escrito en el, indica la cantidad de carreteras que de ahi salen. Las carreteras van solo en lineas rectas, horizontales 0 verticales, sin cruzarse.
ITt'"ozolos wrrerel'os!
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
II~"'_
Acumulativo parcial
D
Si partieran al mismo tiempo, en direcciones opuestas, se encontrarian
cabo de euanto tiempo el mas veloz atcanzara al mas lento?
cabo de cuantos dias el rei oj rnarcara la hora exacta?
en 15 minutos. Si partieran al mismo tiempo, en la misma direcci6n, el mas
a) 1 h
a) 45 dias d) 36 dias
III
veloz?
b) 2h
c) 3h
d) 4h
e) 5h
EI 1 de junio de 1996 fue sabado. i,Que dia de la semana fue el 1 de junio de12010?
a) 70 m/min
b) 60m/min
c) 40 m/min
d) 18 m/min
a) Sabado d) Jueves
b) Lunes e) Martes
c) Domingo
e) 35 m/min i,A que hora, entre la 1 y las 2, las manecillas del reloj determinaran un angulo recto?
i,A que hora, entre las 8 y las 9, las manecillas del reloj determinaran un angulo de 75·? b) 8:28
a) 8:20 d) 8:36
c) 1:137/11
e) 8:40
e) 1 :21 9/11 Dos atletas se encuentran en los extremos de una pista recta de 3600 m. Parten al mismo tiempo, en direcciones opuestas, con velocidades de
angulo de 180·? a)9:137/11
b) 9:119/11
c) 9: 12 8/11
d) 9:228/11
8m/s y 12m/s. i.AI cabo de cuantos segundos la distancia entre los atle-
e)9:164/11
tas sera de 400 m, por segunda vez?
Dos m6viles, distantes 10 km, se encuentran en una pista recta. Parten al mismo tiempo y en la misma direcci6n con velocidades de 20 y 18km/h. i,AI cabo de cuanto tiempo estaran separados 6 km, por segunda vez? a) 6h
b) 7h
c) 8h
d) 9h
e) 10h
EI 1 de mayo del ario 2009 fue viernes. En el ario 1991, i,que dia de la semana coincidi6 a) Lunes d) Jueves
b) 1 :055/11 d)1:246/11
a) 1 :182/11
c) 8:30
que hora, entre las 9 y las 10, las II i,Amanecillas del reloj determinan un
D
Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. Luego de sincronizaJio, i.aI
po, en la misma direcci6n, con velocidades de 30km/h y 24km/h. i,AI
veloz alcanzaria al otro en 20 minutos. i,CuaJ es la velocidad del ciclista mas
D
m
Dos ciclistas se encuentran en los extremos de una pista recta de 1200m.
con esta fecha?
b) Martes e) Viernes
c) Miercoles
que hora, entre las 4 y las 5, las II i,Amanecillas del reloj dsterminaran un angulo de 180·? a) 4:36 4/11
b) 4:428/11
c) 4:52 8/11
d) 4:537/11
a) 180 b) 190 c) 200 d) 220 e) 240
m
Un reloj se adelanta 5 minutos cada 4 horas. i.AI cabo de euantos dias el reloj marcara la hora exacta, luego de sincronizarlo? a) 20 dias
b) 22 dias
d) 21 dias
e) 30 dias
c) 24 dias
a) 5:40 d) 5:43
b) 5:41
c) 5:42
e) 5:44
Dos atletas se encuentran en los extremos de una pista recta de 3200 m. Parten al mismo tiempo, uno al encuentro del 011'0, con velocidades de 7m/s y 9m/s. i.AI cabo de cuanto tiempo la distancia que los separa
e) 35 elias
i.A que hora, entre las 4 y las 5, las manecillas del reloj determinarim un angulo de 34·, por segunda vez? a) 4:20
b) 4:26
d) 4:32
e) 4:40
c) 4:28
Dos atletas se encuentran en los extremos de una pista recta de 2800 m. Parten al mismo tiempo, uno aI encuentro del 011'0, con velocidades de 18 m/s y 10 m/s. i.AI cabo de cuantos segundos los atletas se enconfraran? a) 80s d) 95s
b) 85s e) 100s
c) 90s
reloj se atrasa 3 minutos cada 2 II Un horas. Se sincroniza a las 9:00 a.m. i.Que hora marcara a las 11 :00 p.m.? a) 10:30 p.m.
b) 10:36 p.m.
c) 10:38 p.m. e) 10:41 p.m.
d) 10:39p.m.
i.A que hora, entre las 3 y las 4, las manecillas del reloj deterrninaran un angulo de 130·? a) 3:32
i.A que hora, entre las 5 y las 6, las manecillas del reloj determinaran un angulo de 92°, por segunda vez?
b) 32 elias e) 40 dias
d) 3:40
b) 3:34 e) 3:48
c) 3:36
Un reloj se adelanta 7 minutos cada 4 horas. Hace 16 horas se puso en funcionamiento y ahora marca las 9:16 p.m. i.CuiIJ es la hora exacta? a) 8:40 p.m. c) 8:08p.m.
b) 8:44p.m. d) 8:48p.m.
e) 8:52 p.m. i.A que hora, entre las 2 y las 3, las manecillas del reloj determinaran un
~) ..,..'-'.,.01 I I
D
angulo de 1 ;jlj"!
sera de solo 400 m?
Dos m6viles que se encuentran
dis-
tantes 18 km, parten al mismo tiem-
b) 175 s e) 200 s
a) 170 s d) 190 s
a) 2:30
cJ 180 s
b) 2:32 e) 2:40
d) 2:36
cJ 2:34
Acumulativo parcial
D
Un ciclista pensaba: 'Si mi velocidad
bala en eI blanco. Si la velocidad
fuera de 10 km/h lIegaria a mi destine a las 13 horas, pero si mi velocidad
la bala es de 60m/s y la velocidad del sonido es de 340 mis, calcula la distancia desde el punto de disparo hasta el blanco.
fuera de 15 km/h lIegaria a mi destino a las 11 horas". i.Cual debe ser la velocidad del ciclista para que pueda lIegar a su destine a las 12 horas? a) 12,5km/h
b) 12km/h
c) 10km/h
d) 13km/h
a) 9:30 p.m. c) 9:39 p.m. e) 9:40 p.m.
B
a) 9:15p.m. c) 7:35 p.m. e) 9:25p.m.
cJ 6:36 4/11
d) 6:47 3/11
la velocidad promedio ida y vuelta? a) 50 km/h
b) 48 km/h
d) 42 km/h
e) 36 km/h
b) 32 dias e) 45 dias
a) 100km d) 160km
m
c) 44 km/h
Un reloj se atrasa 5 minutos cada 6 horas. i.AI cabo de cuantos dlas el reloj volvera a marcar la hora exacta luego de sincronizarlo? a) 30 dias d) 40 dias
D
del viaje de
c) 36 dias
m
a) 9:52
b) 9:58
d) 11: 10
e) 12:00
c) 140km
c) Jueves
c) 3s
b) 2s e) 5s
Un reloj malogrado se adelanta 7 minutos cada 3 horas. Si hace 2 dias que se puso en funcionamiento y ahora marca las 8:42 p.m., i.cuaJ es la hora exacta? b) 7:52 p.m. d) 8:02p.m.
a) 6:50p.m. c) 7:42p.m. e) 10:12 p.m.
m
En el
ano
2010, un empleado
cele-
brara sus 14 anos de labor en una empresa. Esta celebraci6n la realizara el sabado 1 de julio del 2010. i.CuaJ fue el dia de la semana en el cual iniei6 sus labores? a) Lunes d) Jueves
b) Martes e) Viemes
c) Miercoles
i.Que hora marca el reloj? a) 2:33
c)11:12
b) 2:35 c) 2:32
i.A que hora, entre la 1 y las 2, las manecillas del reloj astaran en senti-
d) 2:34 e) 2:31
dos opuestos?
a) 1:346/11 c) 1:428/11 e) 1 :382/11 Dos
a) 7:43 7/11
parados mismo
b) 7:451/11 d) 7:42 8/11
b) 120km e) 180km
Hace 16 horas que esta funcionando un reloj que se atrasa 5 minutos cada 2 horas. Si el reloj marca las 10:32, i.cual es la hora exacta?
i.A que hora, entre las 7 y las 8, las manecillas del reloj determinan un angulo de 90', por segunda vez?
c) 7:48 2/11
b) Martes e) Domingo
d) 4s
cJ 15 dias
Dos m6viles se encuentran en un punto A. EI primero parte a las 9:00 a.m. con una velocidad constante de 20 km/h y 3 horas despues parte el otro a su alcance con una velocidad constante de 30km/h. i.A que distancia del punto A, el m6vil mas veloz alcanzara al otro?
Una embarcaci6n con motor fuera de borda desarrolla una velocidad
largo de un rio, cuyas aguas tienen una velocidad de 10 km/h, i.cual es
b) 12 dias e) 20 dias
c) 24km/h
Un avi6n desarrolla una velocidad en tierra aproximada de 144 km/h. i.AI cabo de cuanto tiempo recorrera 200m?
b) 8:20 p.m. d) 8:35p.m.
a) 9 dias d) 18 dias
de 50 km/h en aguas tranquilas. AI realizar un viaje de ida y vuelta a 10
D
a) Lunes d) Sabado
3 horas. i.Luego de euantos dias el rei oj volvera a marcar la hora exacta?
i.A que hora, entre las 6 y las 7, las manecillas del reloj formaran un angulo de 90', por segunda vez? b) 6:41 9/11
e) 30 km/h
a) 1 s
e)6:491/11
D
c) 180m
Un rei oj se adelanta 10 minutos cada
b) 9:31 p.m. d) 9:20p.m.
a) 6:42 5/11
b) 22km/h
Mariela naci6 el dia 7 de abriJ del afio Si el7 de abril del ario 2007 fue sabado, i.que dia de la semana naci6 Mariela?
horas. Si se sincronizaa las 6:00 a.m., i.que hora marcara a las 9:00 p.m.?
Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas. Si se sincroniza a las 8: 00 a.m., i.que hora marcara el reloj cuando la hora exacta sea las 10:00 p.m.?
a) 20km/h d) 28 km/h
II 19n.
Un reloj se adelanta 5 minutos cada 3
e) 13,5km/h
D
b) 144m e) 288m
a) 112m d) 204m
de
b) 1:391/11 d) 1:28 2/11
m6viles
opuestas,
se encuentran
24km. tiempo
Si en
se-
partieran al direcciones
se en contrarian
en 40
Un reloj se adelanta 6 minutos cada hora y cuarto, mientras que otro se atrasa 2 minutos cada cuarto de hora. Si ambos se sincronizan un martes a las 7:00 p.m., i.que dia y a que hora volveran a marcar la hora correcta? a) Jueves 3:15 a.m. &..\
.,.I")n
_
e}
D
I
.o+
minutes.
011 I
Un tirador
dispara una bala y a los
4 s, este escucha
ALFONSO
ROJAS
el impacto
::>1 parneran
IJI
en ra mrs-
n'IQI
"... ~
U.C...V
g..tli.
ma direcci6n, el mas veloz alcanzaria al otro en 2 horas. <-Cual es
c) Jueves 3:15 p.m
la velocidad
e) Viemes 3:15
de la
d) Martes 3:20 p.m,
del mas veloz?
a.m.
PUEMAPE
Acumulativo parcial a) 10min d) 30min
bus interprovincial D Un para ir de una ciudad
recorre 200 km a otra. Hoy sali6 con 2 horas de retraso, por 10 cual
debe viajar 5 km/h mas rapido de 10 habitual para lIegar a tiempo. Determina la velocidad a) 10km/h d) 40 km/h
D
D
habitual del bus.
b) 15km/h
c) 20km/h
horas. <'Luego de cuanto tiempo volveran a marcar simultaneamente la
b) 12 dias d) 11 dias 6h
D
e) 15 dias
b) 3 h 21 min 9
IT s
c) 3h 20 min
a) 5·
b) 2h 44
c) 2h 44~min
d) 2h 44min
Dos atletas A de 6 m/s y 9 se encuentran delante de A).
II
IT s
Dos autos parten de dos puntos A y B, separados 240 m, uno al encuentro del otro. La primera vez que se encuentran ocurre cuando el que parti6 de B ha recorrido 120 m mas que el otro. Si cad a vez que uno lIega al otro extremo regresa y asl sucesivamente, i.a que distancia de A ocurre el tercer encuentro? a) 100m d) 180m
D
b) 120m
d) aye
c) 150m
e) 200m
Dos relojes se sincronizan a las 6a.m. EI primero de ellos se atrasa 30 segundos cada tres cuartos de
D
Calcula
el angulo
manecillas a) 11·
c)11
e)13
que forman
las
del rei oj a las 4 h 24 min.
b) 12"
c) 13,5· d) lJOe) W
Dos perritos que se encuentran en las posiciones A y B, separados 180 m, parten simultanearnente al encuentro uno del otro, con velocidades
. 3 b) 6.16
11
c) 6:49
e) bye
que parti6 hasta que fue alcanzado por el espanol. a) 450km d) 480 km
b) 510km e) 440 km
c) 420km
un rei oj, eI cual
M aritza se compr6
estaba defectuoso pues se adelantaba 5 minutos cada 7horas. Si a las 7:23p.m. senalaba las 7:48p.m., i.a que hora empez6 a adelantarse?
a) 8:23a.m.
b) 8:23p.m.
c) 6:23a.m. e) 7:23a.m.
d) 6:23p.m.
Un autom6vil pasa a traves de un tUnel subtsrraneo de 316 m en 5 minutos y 20 segundos. Si para pasar delante de un poste solo demora 4 segundos, determina la longitud del autom6vil.
a)2m d)4,5m
b)3,5m e)5m
cj4m
Deterrnina el valor de a: 12
de
1Om/s y 8m/s, respectivamente. <.Luego de coanto tiempo, el perrito A dista de B 10 mismo que el perrito B dista deA? a) lOs
b) 15s
c) 20s
1
11
cidad de 320 km/h. Determina cuanto habra recorrido el aleman desde
c) 40s
d)12
e) 200
En una carrera de F6rmula 1, el piloto aleman parte con una velocidad de 280 km/h y luego de media hora parte el piloto espariol con una velo-
IE) b) 10
4
11
EI carnpanario de una iglesia emplea 20 segundos en tocar tantas campanadas como segundos transcurren entre campanada y campanada. En un minuto, <.cuantas campanadas to-
a) 9
D
a) 6:16
cara?
e) 3h 21 min 9s
c) 100 d) lao
de 900?
y B, con velocidades m/s respectivamente, separados 210m (B Ambos parten al mis-
b) 30s e) 60s
b) 15·
Entre las 6 y 7 horas, i.a que hora las II manecillas del reloj forman un angulo
IT min
a) 2h 43~min
a) 20s d) 50s
IT s
d) 3 h 20 min 4
8 a.m., cuando las agujas del reioj se encontraban en sentidos opuestos.
contraba B inicialmente hay una banderilla, <'despues de cuanto tiempo A y B equidistaran de la banderilla?
par segunda vez?
IT s
angulo que forman las agujas del reloj en este in stante.
mo tiempo yen la misma direcciOn. Si 270 m mas alia de donde se en-
<'A que hora, inmediatamente despuss de las 3:00p.m.,las manecillas de un reloj forman un angulo de 30·,
a) 3 h 20 min 8
Para lIegar a tiempo a su trabajo, Javier sali6 de su casa entre las 7 y las
e) 2h 43~min
hora correcta?
ha pasado el mis-
mo tiempo que faJtara dentro de 30 minutes para las 7p.m. Determina el
puestas, ccuanto tiempo demor6 en lIegar a su trabajo?
Dos relojes marcan la hora exacta a las 3 p.rn. y a partir de ese instante, uno comienza a adelantarse a raz6n de un minuto cad a media hora y el otro se atrasa dos minutos cada tres
c) 11 dias 8h
hace 30 minutos
c) 40 min
Si lIeg6 entre las 9 y 10 arn., cuando las agujas del reloj estaban super-
e) 45 km/h
a) 12 dias8h
b) 20 min e) 50 min
9
3
d) 25s
hora, mientras que el segundo se adelanta 40 segundos cada media hora. i.Cual es la diferencia de tiem-
e) 30s
II Son mas
po entre estos relojes a las 9 p.m.?
p.m.;
de las 5 p.m. sin ser las 6 pero desde las 4p.m. hasta
I
a) 161·
b) 160,5·
d) 161,S-
e) 162,5·
c) 162,75·
~~~~~~~~~~~~~~~
Acumulativo total
D
Dos trenes, uno de SOm y otro de 60 m de longitud, van aJ encuentro, en neles paralelos con velocidades
Despues de las 3 p.m., i.a que hora el numero de minutos transcurridos desde las 3 p.m. es igual al nurnero de grados que adelanta el minutero aJ horario? a) 3:19p.m.
b) 3:20p.m.
c) 3:24p.m.
d) 3:25p.m.
de 60 m/s y 40 tnl», respectivamente. Si estan distanciados 600 m, i.dentro de cuanto tiempo mente?
raloj forman 40°, i.cuantos grados habra recorrido la punta del minutero cuando sea mas de las 7 y las agujas formen un angulo de 30°, por primera vez?
se cruzaran totalb) (420 10)" 11
a) 6,5s b) 6,4s c) 6,Ss d) 7s e) 7,4s
e) 3:30p.m.
e) (2345.L
11
D
Indica a que hora despues de las 2 se forma un angulo de 90° por primera vez.
Cuando un auto, que se dirige hacia un muro alto, se encuentra a 170 m de este, toca el elaxon. Si su velocidad es de 72 m/s y la del sonido
a) S5 s 206
b) S5 s 103
..!!Z. s
e) 75 s 103
d)
206
c) 2h 27~min
D
d) 2h 27 1~ min
D
CD alcanza a ®, @
3
CD 10alcanza.
En este ultimo in stante,
a) 1 h 41 9min
i.cuantos metros dista
b) 1 h 42;min
a) 30m
b) 40m
d) 60m
e) SOm
® de @?
c) 5h 46 min
d) 5h 47 ?:3min
Determina el angulo que forman las manecillas de un reloj a las S:50. b) 35° e) 30,5°
c) 27,5°
i.A que hora, entre las 9 y 10
am.,
1
b) 9:4S
las
aumentar
II en
mi velocidad
del colegio,
i.cual es la distancia en-
km/h.
d) (
(fa + YZ)h
b)
ra~
+ X)h
d) (4X + 3YZ)h 240
en c m/min.
Si en la misma direcciOn se encuentra una iglesia que esta a ac metros
a)
e) (3X + 4YZ)h 240
Un reloj se adelanta 1,5 minutos cada cuarto de hora. Si ahora esta siendo
e) 1 h 429min
una, determina al tiempo que tarda en realizar dicho viaje si avanza a SO
c) (io+XZ)h
2 TI a.m.
d) 9:45a.m.
las 3:45p.m.
Para ir de mi casa aI coIegio me demoro a minutos, pero si quisiera de-
Si en el trayecto hace Y paradas, las cuales demoran Z minutos cada
a)
e) 9:49a.m.
marcando
d) 1 h 431min
tre mi casa y la iglesia?
agujas de un raloj se superponen?
11 a.m. 3 c) 9: 47 TI a.m.
c) 1 h 43~min
Un bus viaja de una ciudad M a otra ciudad N, distantes X kilOmetros.
e) 5h 45min
a) 25,5· d) 25·
c) 50m
morarme solo b minutos tendria que
5 b) 5h 46 1 :3min
a) 5h 47min
los tres m6se empieza a
al lIegar a casa de su tia,
6
II
En eI in stante mostrado,
mover en direceion opuesta hasta que
observe en su reloj que el horario estaba entre el 5 y 6, y el min utero entre
a) 9:49
300m
Determina la hora que marca el relo].
cambiado de posiciones, entonces Estefani lIego a casa de su tia a las:
D
@=-
e) falta informaciOn
el 9 y 10. Cuando parte de regreso a su casa las man ecillas habian inter-
D
8rJ\fs
viles se estan moviendo, pero cuando
12 Estefani,
-
-2(j)=® 10rJ\fs 6nVs
SOm
c) ~ s 103
r
b) 2h 25f1 min
a) 2h 251~ min
340 mis, i.luego de cuanto tiempo el chofer oye el eco?
c) 2250'
(aa~) m b) (aa.cb) m 2
b
c ) m e) (
a-b
2 bC )
a-b
q (:~~) m
m
Dos eiclistas estan separados 30 km. Si se desplazan en direcciones contrarias se encuentran en 1 hora, pero si 10 hacen en la misma direccion, uno alcanza al otro en 5 horas. i.Cual es la velocidad de uno de ell os?
Determina a que hera, entre las 7 y las S, las manecillas de un reloj forman un angulo de 155°.
a) 10 km/h
b) 11 km/h
d) 15km/h
e) 20kmjh
c) 12 km/h
a) 7h 10min
b) 7h simin
Son mas de las 9 pero menos de las lOde la manana. Si hubieran pasado 15 minutos mas, faltarian para las
c) 7h 20 min
d) 7h stmin
11 a.m.
los mismos
minutos
que
verdad
las 3:00 p.m.,
i,a que hora
empez6 a adelantarse? a) 7:20p.m. d) 7:30p.m.
b) 7:25a.m. e) 7:45a.m.
c) 7:30a.m.
pasaron aesae las II a.m., nasta nace 5 minutos. Luego, la hora es:
e) 7 h 15min
II
a) 9.55 a.m. b) 9:50 a.m. c) 9:45 a.m.
Ahora son mas de la 1p.m. pero menos de las 2p.m. y las manecillas del
L
d) 9:40 a.m. e) 9:30 a.m.
9
s ,__
A ver, Jque eligen?
CERTEZAS - MAxlMOS VARIACIONES,
Y MjNIMOS
PERMUTACIONES
Y
vVIVID 1I'Il-\vIVI'IC';'
.... PROBABILIDADES
I
iBuscando el menor!
I
I I
I.
•
•
•
Necesitamos tres dados. Pueden partidpar dos, tres
0
mas jugadores.
Las reglas del juego son: 1.· Cada participante lanza los tres dados, cuando Ie toea jugar. 2.· Los numsros obtenidos en las caras superiores de los dados son distribuidos adecuadamente en los casilleros de la expresion, formando el menor resultado posible.
3.· Se anotan los resultados en la cartilla y aI final se suman todos. 4.· Gana aquel que tiene la menor suma total.
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
I
~------
CERTEZAS - MAxlMOS Y MiNIMOS
CERTEZAS
Son todas aquellas situaciones en las cuales debemos determinar, con plena seguridad, cion de un evento 0 suceso.
la ejecu-
Los problemas con estas caracteristicas se debsran resolver partiendo del an8lisis de las diversas situaciones que se derivan de tal evento 0 suceso.
ilMPORTANTE! Una manera muy senciila de analizar los enunciados, bajo ciertas condiciones, es ponernos en el peor de los casos, es decir, no oblener 10que describe el evento o suceso, sino 10 contrario.
En una bolsa de papel hay 24 fichas de D igual forma y tamario, pero de tres colores diferentes (8 de cada color). Determina la menor cantidad de fichas que debe extraer, aI azar, para tener la plena seguridad de obtener: I. 3 fichas de un mismo color. II. 2 fichas de cada color. III. 3 fichas de diferentes colores.
Para I: Loideal
Lo no ideal
0 0 0
00\
00-0 OOJ
(3 extracciones)
Lo no ideal ~ ~
o 0 0 ...0 extracciones) o 0 (2 extracciones)
• Analizamos el enunciado, partiendo del tipo de evento 0 suceso.
00 00
• Nos ponemos en el caso donde tal evento 0 suceso no ocurre como de-
(6 extracciones)
(8
o 0 0 ...0 extracciones) o 0 0 ...0 (8 extracciones) o (1 extracci6n) (8
(3 extracciones)
C"':
I
:
...
118 extraccionesl
Lo no ideal
0 0 0
tes negros (gn) y 4 pares de guantes rojos (gr). l.Cuantos pares de guantes debemos extraer al azar de tal antora, para tener la certeza de haber obtenido un par de guantes usables del mismo color?
TOTAL:
Para III: Loideal
Como los Ires tipos de fichas se encuentran en igual cantidad, nos es indiferente el color de la primera ficha.
"
o 0 0 ...0 (8 extracciones)
00
un antora hay guantes de box, 6 pares D deEn guantes blancos (gb) , 5 pares de guan-
17 extracciones I
Para II: Loideal
seamos.
TOTAL:
TOTAL:
117 extraccionesl
• Nos ponemos en el peor de los casos: Extraemos guantes de una misma mano y de aquel color que se encuentre en mayor cantidad.
Q Q Q Q Q Q-69b
".
'-5gn
_4gr
"I Id~ \'dIiIiUdUC~
fuesendiferentes, el color de la primera ficha sera el de aquellaque se encuentreen mayor cantidady ast sucesivamente.
Para que sean • Con los guantes extrafdos no hemos formado un par usable; pero con la siguiente extraccion obtendremos necesariamente un guante derecho, que con cualquiera de los dernas tormara una pareja usable.
usobles uno debe
ser para Ia mono derecho (d) !:l otro para Ia izqlieroo (j).
-
6 + 5 + 4 + 1 _1r-1-6-e-xtr-a-cc-j-on-e-s-'1
MAxIMOS Y MfNIMOS En estos problemas, debemos calcular un maximo posibilidades de ocurrencia de un evento 0 suceso.
D
Para formar 5 filas de 4 alumnos cada una, zcuantos alumnos como minimo se requieren?
0
un minimo valor dentro del conjunto de
Ahora crucemos algunas filas:
-n
~
Debes re/acionar la mayor cantidad de filas can un mismo alumno.
• Si los formamos tendrian:
como en el colegio,
D
C
13 alumnos
• Pen sando un poquito mas:
se
·. ....
• • • • • • • • • •
C
20 alumnos
Siendo a y b dos nerneros reales, tales que a + b _ 5, determina el maximo valor de abo
Un a1umnopodria pertenecer ados 0 mas filas. =Segun
el grafico,
alumnos sera:
el minimo
nernero de
0:£].
•
Analizando: a+b=5;
a; bEIR-{O}
~ ~
4 .. 41
Toma como referencia algunos nUmeros enteros para cada una de las letras y analiza el producto.
1 x 2 x 3 .. 6 3 x 2 .. 6 4 x 1 .. 4
Observamos que, a men or diferencia entre ambos nurneros, el producto se hace mayor.
Ahora: a+b- 5 -
2,5 + 2,5 - 5
Luego; el maximo valor de ab es: ab - (2,5)(2,5) -16,251
Se tienen 12 bolas de igual tamafio y color, pero una de elias es menos pesada que las dernas, que presentan igual peso. Si disponemos de una balanza de platillos, i.cuantas pesadas, como minimo, debes realizar, para tener la plena seguridad de encontrar dicha bola?
• Analizamos, forman do dos grupos de 6 y luego tres grupos de dos:
NOTITA (1.0 pesada)
(2.0 pesada)
(s.o pesada)
La menor diferenrj:l nllp. ~p nliPtip
• Ademas, se pueden formar 3 grupos de 4 y luego dos grupos de 2, vearnos: Dividir /a cantidad total de bolas en grupos que contengan /a misma cantidad.
(1.0 pesada)
(2.· pesada)
•._ ..-. '-_y---dar entre dos numeros es cero, es decir cuando tales numerus sean iguales.
(3.· pesada)
= En tres pesadas se encuentra la bola.
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
D
En una caja hay 18 canicas: 7 arnarillas, 5 marrones y el resto verdes. i.Cuantas canicas debe extraer aI azar como minimo, para tener la seguridad de haber obtenido cuatro canicas del mismo color?
• Observa que un trozo de cadena (4 eslabones) es necesario para unir los trozos restantes, luego el gasto sera: 4x8-1
Sabemos que la suma de dos nurneros de cuatro cifras es 3281. Si uno de ellos es el menor numero posible de 4 cifras diferentes, i.cuanto suman las cifras del otro nurnero?
Resolvemos: • Considerando el peor de los casos, sacaremos: l.
IATENCION!
L
000. 000-0<:1 _)
Comienza con la peor situaci6n, es decir, con la que no obtengas el resultado que quieres.
Esta bola sera de cualquiera de los tres colores y forrnara las cuatro requeridas.
• Entonces se deberan extraer: 3 + 3 + 3 + 1 ; 110 canicas
Resolvemos: • Delerminarnos el menor numero posible de 4 cifras diferentes: 1023 • Calcularnos el otro numsro:
I
3281 - 1023
En un estante hay pares de zapatos del II mismo modelo y talla, adem as 6 pares son negros, 8 pares son marrones y 4 pares son blancos. Si durante un apag6n deseo conseguir 2 pares de zapatos usables de dicho estante, zcuantos zapatos debo extraer como minimo?
Considerando el peor de los casos, extraemos zapatos de un mismo pie:
- 4 zapatos blancos izquierdos
• Entonces se deberan extraer: 8+6+4+1+1;1~2-0-zap--a-to-s~1 persona liene 5 trozos de cadena de II Una 4 eslabones cada uno. Por cortar y sol'110'"1
......
I .......... J.. ........
Luego, sus cifras suman:
DIJ
2+2+5+8e
B
Un kilogramo de huevos conliene de 15 a 20 huevos. Si un comerciante compra 5 docenas de huevos, i.cuill es el menor peso que puede comprar?
,.. .............
CoJ
0
c:'i,..,..
• Calcularnos el nemero de huevos: 5 x 12 - 60 huevos
N.· de kg _
• Los 2 siguientes zapatos que se extraigan seran derechos y sean del color que sean, tormaran 2 pares usables.
..
2258
• Si un kg de huevos contiene mas huevos, el peso tolal sera menor, enlonces:
- 8 zapatos marrones izquierdos - 6 zapatos negros izquierdos
,.,,..
e
Resolvemos:
Resolvemos:
Con lin eslab6n, unimos dos trozos.
S/.32 1
,.4,..,..,.. ...
60 huevos ; 13kg 1 20 huevos/kg
Un minorista compra pulseras cuyos precios varian desde Sf. 25 hasta S/. 35 Y luego las vende a precios que varian de Sf. 45 a S/. 65. i.Cuill es la mayor ganancia que puede obtener aI comprar y vender 5 pulseras?
\,AQI
D
""'II Q.;JIC:UJVII
\"VUI
c:u
I
'>J/.
U. '>JI
..-:tv
yv..-:tQQ
formar una cadena continua, i.cuanto se gastara como minimo? Resolvemos:
• Para obtener la mayor ganancia se compra aI menor precio posible y se vende aI mayor precio:
t
- costo - 5
x
25 .. SI. 125
- venta - 5
x
65 - SI. 325
Luego, la mayor ganancia sera:
I
325 - 125 .. SI. 200
En una carretilla de helados hay 8 pal etas de helado de chocolate y 12 paletas de helado de vainilla. Si deseo comer un helado de chocolate y uno de vainilla, i.cuantas pal etas debe sacar como mlnimo?
tenido un par de zapatillas utiles de cada color? Rpta.: ~3zapatlllas En una bolsa hay 6 pares de guantes azules, 7 pares de guantes marrones, 8 pares de guantes blancos y 5 pares de guantes negros. i.Cuantos guantes se deben extraer aI azar de la bolsa, como minimo, para tener la plena seguridad de haber obtenido 3 pares Utiles de un mismo color?
Rpta.: 13 paletas Para una t6mbola se han impreso 1200 boletos que tienen un costo de S/. 2 cada uno, adsmas 650 de los boletos estan premiados. Si una persona qui ere obtener necesariamente uno de los premios, i.cuanto dinero debe invertir?
Rpta.: 3~guantes
De un juego de naipes, zcuantos se deben extraer aI azar, como minimo, para tener la seguridad de haber obtenido un par de espadas y un trebol?
En el interior de una secadora de ropa hay 9 pares de medias celestes, 11 pares de medias verdes, 13 pares de medias negras y 15 pares de medias blancas. i.Cuantas medias debe extraer, sin ver, para tener la seguridad de haber obtenido un par util de medias?
Rpta.: 41 naipes
Rpta.: ~ medias
Rpta.: Sf. 1102
D
En una urna hay 9 bolas negras, 11 bolas azules, 7 bolas rojas y 14 bolas bla1cas. i.Cua,tas bolas, como mlnimo, se deben extraer de la uma, paa tener la seguridad de haber obtenido 4 bolas de colores diferentes, si todas son del mismo tamaiio? Rpta.: 3~ bolas En una bolsa hay 28 lapiceros de la rnisma marca, pero de diferentes colores; hay 8 azules, 11 negros y el resto rojos. i.Cuantos lapiceros debe extraer sin ver, como mlnimo, para tener la plena seguridad de haber obtenido cinco lapiceros de un solo color? Rpta.: 13 laplceros En un anfora hay 32 caramel os con sabor a fresa, 26 de naranja y 42 de Iim6n. Si todos tienen la misma presentaci6n, i.cuantos, como mlnimo, debe extraer del antora oara tener la seauridad de haber
I
•
PlSTA 2
12:
EI peor de los casos se da cuando compras un boleto y no recibes premio.
Se divide el numero 1542 en dos nomeros de 3 cifras cada uno. Si uno de ellos es el menor posible, determina la suma de sus cifras. Rpta.: 12 i.Cuantas personas se requieren, como minimo, para formar 3 !Has de 4 personas cada una? Rpta.: 9 personas Si la suma de dos numeros reales es 7, i.cua! sera su maximo producto? Rpta.: 12,2~ En una galerfa funcionan 8 tiendas y dan trabajo a 40 personas. Si ninguna tienda tiene menos de 4 empleados, i.cua! es el mayor nurnero de empleados que podrfa tener una de las tiendas? Rpta.: 12 emp/eados Si 15 dura2l1os pesei desde 1,8I
10
"'110""0
ho.har o.n aIJ.,...?
Recuerda que debemos empezar las exlracciones por aquellos articulos que se encuentren en mayor cantidad.
-
·
obtenido 10 caramel os de cada saber? Rpta.: 84 carame/os
D
En un caj6n hay 12 pares de zapatillas blancas, 10 pares de zapatillas negras y 8 pares de zapatillas amarillas. lCuantas zapatillas debe sacar aI azar, como minimo, para tener la seguridad de haber ob-
ALFONSO
••
PISTA 1
...,~-t'~_-_..__ ._..
-":;J'
Rpta.: 45 duraznos Se compran relojes cuyos precios varian desde 25 hasta Sf. 40 Y se venden a precios que varian de 42 a Sf. 60. lCuaJ es la minima ganancia que se puede obtener en la venta de 12 relojes? Rpta.: SI. 24
ROJAS PUEMAPE
•• AI interior de una caja hay 15 bolas rojas, 17 bolas amarillas y 21 bolas verdes. lCuantas debe extraer aI azar, como minirno, para tener la plena seguridad de haber obtenido 3 bolas de diferentes colores?
Consideramos el peor de los casos, extrayendo 10que no es lltil.
~ ~t:I
En una tacho hay 13 chapas de la marI ca A, 15 de la marca B, 9 de C y 6 de D. lCuantas chapas debo extraer como minimo del tacho, aI azar, para tener la seguridad de haber obtenido 4 chapas de una misma marca?
K:~ En una caja se guardan 4 pares de guan_.
tes blancos, 6 pares de guantes azules y 5 pares de guantes verdes. lCuantos debemos extraer aI azar, para tener la seguridad de haber obtenido un par de guantes usables de cada color?
~.
lCuantas personas como minimo se necesitan, para formar 7 filas de 6 personas cadauna?
Podem os sacar primero todos los zapatos de un mismo pie.
PISTA 5
EI mfnimo numero de personas se
Una caja grande contiene 24 pares de zapatos marrones y 8 pares de zapatos negros. lCuantos zapatos debe extraer como minimo de la caja, sin verios, para tener la seguridad de haber obtenido un par de zapatos utiles?
Si se divide el nurnero 159 en dos numeros de dos digitos cada uno, siendo uno de ellos el menor posible, zcuanto suman las cifras de dicho numsro?
oara cuanoo una 0 mas filas contengan a una misma persona.
lt®
Forma patrones 0 eusco regularidades como parte de Ia estrate~a de solucionde un provlema.
II I~ II II II Se tienen 20 bolillas numeradas del 1 aJ zo.zcuantas de estas bolillas se deberan extraer de un antora, aJ azar, para tener la plena seguridad de haber obtenido 3 bolillas con numeros pares?
~
EI promedio de las edades de 4 amigos
~
es de 36 anos. Si ninguno de ellos es mayor de 40 anos, lcuaJ es la edad minima que podria tener uno de ellos?
Consideramos el peor de los casos y extraemos inicialmente 10 que no requerimos (ntlmems impares).
PISTA 9 De un juego de cartas, lcuantas se deben extraer al azar, como minimo, para tener la certeza de haber obtenido una
J?
La edad promedio de tres hermanos es 27 anos. Si ninguno de ellos es menor de 24 anos, lcuaJ es la edad maxima que podria tener uno de ellos?
EI senor Vasquez tiene 4 candados de diferentes marcas y solo dos lIaves. Sabiendo que cada lIave abre solamente un candado, lcuaJ es el minimo nurnero de intentos que debera reaJizar,tratando de abrir el candado correspondiente, para determinar con seguridad los candados que se abren con dichas lIaves?
En un estante hay 36 copas, todas del mismo tamailo y forma, pero una de elias con mas peso. Con una baJanza de dos platillos, lcuantas pesadas como minimo serian necesarias para identificar dicha ,..,,..,.......
Si queremos la edad maoma de uno de ellos, los otros deberan tener la minima edad posible.
sepesad V SOIU31U! !1 soue vl SO!)l! ££ sejJe:l6v Sl!IOQ £~
(U (H (O~ (6 (g (l
~~.... ~.
9 (9 SIWOSJ3d S3lUen6
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•• • • •
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
~~ ~~
.........__ I.
V_A_A_I_A_C_I_O_N_E_S_'_P_E_A_M_u_'t_a_C_I_O_N_E_S Y COMBINACIONES
FACTORIAL DE UN NUMERO (n!
0
l.!!.)
EI factorial de un numero entero posifivo n esta definido como el producto de los enteros consecutivos desde 1, hasta el mismo nurnero n.As[: n! -
l!l. -
Aplicando propiedad:
D
2! = 1 x 2
=
2
E
4! = 1 x 2 x 3 x 4 - 24
• lQ.=1
• 7! - 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 _ 5040
E-
Propiedad:
I
n! - (n -1)!
x n
21 x 22 + 20! x 21 + 20! 4 x 20! x 112
I ...
~x?l' 4xJ1>d-1
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320
• 01-1
x
en terrnincs de 20!:
Agrupando . E _ .20! (21 x 22 + 21 + 1) y simplificando 4 x..20! x 112
6! - 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 - 720
Se definen:
20! =
• 5! - 1 x 2 x 3 x 4 x 5 - 120
[II
Halla el valor de E si: E = 22! + 21! + 20! ,. 4 x 20! x 112 Descomponiendo
• 3! = 1 x 2 x 3 = 6
26 x 25! x 12! 13 x 12! x 25!
26 x 2-51 x 12!' = 13 x j,l! x _a51
Simplificando y efectuando·
Ejemplos: • 1! - 1
26! x 12! 1 I 51 3. x2 .
D Reduce:
1 x 2 x 3 x ... x (n - 1) x n
_
D
Reduce:
_2x2_f"iI 4 ~
(m + 9)! (m + 5)! (m + 4)! (m + 10)!
Descomponiendo Para reducir expresiones que contengan faetoriales, debemos deseomponer un factorial empleando la propiedad (J).
5
+-rn « 10
adecuadamente:
(m + 9)! (m + 5) (m + 4)! (m + 1OHm + 9)!(m + 4)!
5
+-m + 10
II. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
o Principio
de adiclon
Si un evento A ocurre de m maneras diferen- • tes y otro evento B ocurre de n maneras diferentes, entonces el evento A 0 el evento B ocurren de (m + n) maneras.
Analizamos los eventos y observamos si son o no excluyentes, es decir, si se eumplen 0 no simultaneamente.
IIMPORTANTE! va del trabajo a casa. Si puede viajar D Maria empleando 4 Ifneas de microbuses 3 lmeas 0
Juan, se refresca tornando solo una bebida helada, luego de un partido de fulbito. Si
Descom poniendo un factorial: a! - a.(a -1)! b! - b.(b -1).(b - 2)!
de eoleetivo, i.de cuantas maneras distintas puede efeetuar el viaje? Es evidente que si viaja en microbus, no podrs viajar en colectivo, en eonsecuencia, son eventos exeluyentes, es decir, si oeurre uno no ocurre el otro sirnultanearnente, entonees: N° de maneras microbuses
calectivos
o Principio
t t
==...__j
Una camisa se puede usar con cualquiera de los tres pantalones, luego con las 4 camisas me podre vestir de: N.o de maneras - 4 x 3 - ~
Camisas
I: Pantalones
III. VARIACIONES (V) Son los diferentes grupos que se pueden formar con m elementos, tornados de n en n, de tal manera que cada grupo se diferencia de otro por 10 menos en un elemento, o por el orden en el cual se han dispuesto diehos elementos. Sean los elementos a, bye, las variaciones de estos elementos tornados de dos en dos, seran: Considerando la diferencia de por 10 menos un elemento: ab, ac, be. Considerando
el orden de los elementos:
ba, ca, cb. o
o
°
Entonces el total de variaciones sera 6. Numero de variaciones de m elementos tornados de n en n: Vm m! n - (m _ n)!
Estrategia o
N.Ode maneras - 5 + 4 -
t
~aseosa Juga
J
1
0
de multiplicacion
Para ir a una fiesta, dispongo de 4 camisas de diferentes colores y 3 pantalones de diferentes colores. i.Oe cuantas maneras diferentes me podre vestir?
o
Como toma solo una bebida, esta podrla ser gaseosa 0 jugo, entonees:
= 4 + 3 =[2]
Si un evento A puede ocurrir de m maneras diferentes y despues de ocurrido dicho evento, otro evento B puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces ambos eventos podran ocurrir de m )( n maneras.
o
tiene a disposici6n 5 tipos de gaseosas y 4 tipos de jugos, i.de cuantas maneras se podra refrescar?
°
Obsetv« si el orden de los elementos en los grupos genera nuevos grupos.
o
Analiza si los eventos son exeluyentes. Oosetv« si uno puede primero y luego el otro.
0
no
ocurrir
Para ir del Rimae Cereado, puedo D plear 5 rutas diferentes y para ir del
emCereado a JesUs Maria puedo emplear 4 rutas diferentes. i.De cuantas maneras diferentes podre ir del Rimae a Jesus Marfa, pasando por el Cercado? a)
Sean los alumnos a, b, c. dye; tenemos:
Si por eada camino para ir del Rimae al Cereado puedo tomar 5 caminos para ir a Jesus Marfa, el total de maneras en que podre realizar el trayecto seran: N.o de maneras:
5
x
4- ~
)
IV. PERMUTACIONES (P) Son los diferentes grupos que se pueden formar con todos los elementos que presenta cierto eonjunto, de tal manera que eada grupo se diferencia de otro solamente en el orden en el que se ubican los elementos.
.1J.' a
fE b
c
b
c
d
C
d
d
e a c
e a
e a
.~
b b
-~-I
Sean los elementos a, bye, las permutaciones de estos elementos seran: abc,acb,bac,bca,eab y eba. Numero de permutaciones
de n elementos:
Pn = n! i.De cuantas maneras diferentes se podran estacionar 4 autom6viles en el borde de una aeera, si estan en el mismo sentido y uno a eontinuaci6n del otro?
NOTITA
-
Variaciones COD repeticion de m elementos tomados de n en n.
Son los dlferentes grupos que pueden formarse con m plpmpntn~rl~rln~
u.u.oou
• Como solo se trata de 4 autom6viles, el orden en el que se estacionen genera las diferentes posibilidades, es decir, solo intercambiando las posiciones de los autom6viles generamos las diferentes maneras de estacionar, entonces estamos ante una permutaci6n.
Cinco alumnos participan en una carrera. <-De cuantas maneras podran ocupar los tres primeros lugares? Como eI orden de ubicaci6n de los tres alumnos que pueden lIegar en los primeros lugares es importante, estamos ante una variaci6n de 5 elementos tomados de 3 en 3.
P<- 4! - 1 x 2
• Entonces:
x
3
x
.. ._u
I VR~ _mn I
4-~
-160 I....
V5 _ ~ _ ~ _ 5 x 4 x 3 x2f 3 (5 _ 3)! 2!
zr
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
IV.1. PERMUTACIONES
CIRCULARES
(PC)
Son aquellos grupos formados sobre una I(nea cerrada, donde no hay primer ni ultimo elemento.
Como se trata de un reordenamiento de los mismos elementos alrededor de una superficie circular, tomamos a uno de los elementos como punto de referencia
Sean los elementos a, b, c y d, las permutaciones circulares de los mismos alrededor de un clrculo seran:
(0--- @ o Una forma muy sencilla para determinar las diferentes permutaciones es ubicar un elemento (cualesquiera) y un sentido alrededor del cfrculo y a partir de dicho elemento calculamos el mimero de permutaciones.
o @
@
®O@
®
@
®
® ®
@
@
®O® ® ®
<-De cuantas maneras diferentes se podran ubicar alrededor de una mesa redonda 5 miembros de una familia?
I
o ~.
@
@)O@
@)
-"
@ r
• Como se trata de ubicar a las mismas personas alrededor de una mesa redonda, estamos ante una permutaci6n circular. PCs- (5 -1)1-
Entonces el total de permutaciones seran 6. Numero de permutaciones elementos:
4!
-@:l
circulares de n
PCn = (n -1)!
IV.2. PERMUTACIONES
CON REPETlCION
<-De cuantas maneras diferentes puedo ubicar, en el borde de una acera, 7 autos del mismo modelo, si 3 son blancos y el resto de color negro, y estan estacionados en un mismo sentido y uno a continuaci6n del otro?
Son aquellos grupos formados por cierto nurnero de elementos, entre los cuales algunos son iguales. Sean los elementos a, que se repiten 3 veces, y b que se repiten 2 veces, las permutaciones seran: aaabb, aabab, aabba,
• Como se van a estacionar solo los 7 autos y algunos de estos son de igual color, estamos ante una permutaci6n con repetici6n:
abaab, ababa, abbaa, 7 71 P:l4----
baaab, baaba, babaa,
31 x 4!
bbaaa
7 x 6 x 5 x 4!
I
x
2
x
3
x
4!
Numero de permutaciones de n elementos, de los cuales algunos se repiten cierto numero de veces (x, y, z, ... veces).
pn
[
iATENCI6NI
]
r com: los au,,: son l
x;y;l -
x!
x
n! y!
x
z!
IV.3. PERMUTACIONES CON ELEMENTOS FIJOS
m
<-De cuantas
maneras
;
tornados de n en n, en los que pueden aparecer elementos repetidos.
diferentes
ouedo
del mismo modelo, solo se diferencian en el color: 3 autos blancos, 4 autos negros.
Son aquellos grupos formados por cierto nurnero de elementos, entre los cuales algunos ocupan lugares fijos.
ubi car en una fila a 6 alumnos, si los dos primeros deben ser respeetivamente el deleg ado y el presidente del aula?
Sean los elementos a, b, e, dye. donde a y b ocupan lugares fijos, las permutaciones
• Como los dos primeros tendran un lugar fijo, los que se pueden intereambiar son los res-
tantes, as!:
seran: abede,
abeed,
abeed
abede,
abdae,
abdca
~~~~~~ fijas
Numero de permutaeiones de n elementos con k elementos fijos: PnFk = (n - k)1
V. COMBINACIONES
(C)
Son los diferentes grupos que se pueden formar con m elementos tomados de n en n de tal manera que dos grupos se ditereneienentre sf, aJ menos en un elemento. No se toma en cuenta el orden en el que estan ubicados los elementos. Sean los elementos a, bye, las eombinaciones de estos elementos tomados de dos en dos seran: ab, ae, be. Entonees el total de eomblnaciones Numero de eombinaeiones tomados de n en n: Cmn-
VI. COMBINACIONES
Pl2-
Se pueden Irtercambiar
(6-2)! -4!-~
Clara debe haeer la tarea de historia referente a 3 temas diferentes. Si eI profesor Ie da para escoger 5 temas, lde cuantas maneras podra escoger dichos temas? Observamos que solo se requiere determinar cuaJes son los temas que se van a emplear, mas no eI orden, entonces estamos ante una combinaci6n:
C5 3-
5! 3!(5-3)!
sera 3.
de m elementos '
La combinacicn tambien se denomina NUMERO COMBINATORIO.
m! n!{m -n)1
CON REPETICI6N (CR)
Son los diferentes grupos que se pueden formar con m elementos, tomados de n en n, en los que pueden apareeer elementos repetidos, de modo que dos grupos se difereneien entre sf, euando al menos un elemento sea diferente. Sean los elementos a, bye, las combinaciones con repetiei6n de estos elementos tomados de dos en dos seran: aa, abo ae, bb, be, ee. Entonees, el total de eombinaciones peticion sera 6.
lCuantos productos diferentes, cada uno de tres factores, se podran determinar con las cifras: 3; 4; 6 Y 8?
C~ -(~)
t
Nlimero combinatOlio
Como deben ser 3 factores donde algunos 0 todos ellos se podran repetir y puesto que el orden de los factores no altera el producto, estamos ante una combinaci6n con repetici6n: CR43- C4.3-1 3
-
C6
3
Efectuando: con re-
Numero de eombinaciones con repeticion de m elementos tomados de n en n:
C6 3-
6! 3!{6-3)!
C~_ 6 x 5 x 4 x 3! _ f201 3! x 1 x2x 3 ~ iIMPORTANTE!
VII. PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES
..·CD _m
Im\
_m-I
Reduee: T2C 5 12 5 Por propiedad
Combinatorias notables:
®:
n
~ W "';7>C-;:rX
C12-1
~Cll
"_1-IC_4-1
• C1 -n
L
... \6)
m
• C~ -1 n
Efecrua: C~
m
Cn =Cm-n
Per propiedad
Cn
@:
C~_32_C~5 Ejemplos: • •
C~ + C~
Efecrua: .
Por propiedad
ALFONSO
Ii\
I.!;:
Per propiedad 8+1
C4
-
C
9 ~ 4 =~
o
Expresamos los factoriales de los numeradores en terminos del denominador: 12
11! 11 x 10! 11! 10! • Reducimos y efectuamos: L
D
Propiedad:
I
Hallan, en: [(2n - i)!)! ; 720
c 7, x-
0
X+5=7=>X=0
• Como los cortes son diferentes, son eventos excluyentes, entonces aplicamos el principio de adicion: N.o de cortes
= 2 + 3 + 4 + 5 = 114 cortes
Resolvemos: • Dando forma de factorial al nurnero: [(2n - 1)!)! - 720 e
6!
• Entonces se cumple que: (2n-1)!~6~3! 2n -1 ~3
Raul tiene, para ir de paseo, 5 buzos de diferentes model os, 7 pares de zapatillas de diferentes colores y 2 gorras de diferentes model os. lDe cusntes maneras se podra vestir Raul para ir de paseo?
n~2 Luego, el valor de n sera:
Con un modelo de buzo puede usar cualquiera de los pares de zapatillas que tiene y con un par de zapatillas puede usar cualquiera de las gorras, en consecuencia, el total de maneras de vestir se calculara aplicando el principio de multiplicacion: Buzos:
ee-
[II.
Zapatillas:
EI
(a - 5)!(a + 4)! - 1 (a + 3)!(a - 4)!
Resolvemos: • Empleando propiedad: (a- 5)!(a+ 4)(a+ 3)! -1 (a + 3)!(a - 4j(a - 5)! a+4 a-4
·'lMau;lWill· Ilc::tnc:
(:4)
nll4)rllln
D
Reduce:
1 ~ -
-L8J
7 x 101 x 20! x 71 x 331 31 x 301 x 81 x 211 x 111
Resolvemos:
N.O de maneras
'-1 L.J
..... L..J ..... ,'-'
/i'6,
Gorras: Efectua:
I
Resolvemos:
[(2n - i)!)!
Aplicando la propiedad del factorial,
-
x
;12-11;0]
[n!-n.(0-1)!
• Cn -1 -165451
Resolvemos:
12! _ 11! 11! 10!
Resolvemos:
IRECUERDAI
@:
1
ROJAS PUEMAPE
Etsctua:
L
7
Halla x, en: Cx -
=
n
m
5x7x2-
L..J
[2Q]
Una junta directiva debe estar conformada por un presidente, un secretario y un vocal. Si hay 8 personas para formar la directiva, lcuantas juntas directivas diferentes se podran formar? Resolvemos:
• Solo 3 personas pueden ocupar estos cargos, adem as el orden de las personas en cada grupo determina directivas diferentes, luego estamos ante una vertaoon.
n
vv
..vv
vv
r....... v~u
..
y reduciendo:
• Dando forma a los factoriales
descomponer de manera sucesiva.
7 x).0f" ~f Jr" 33 x 32 x..J'( x~ .2'(x..201 x 8 x,Jr. 21 x;wf x 11 )(%.
33!-33.32!
Calculando el numero de variaciones 8 elementos, tomados de 3 en 3: VB __ 8_'__ 3 (8 _ 3)1
'(
~
33! - 33x32 x31! L, 33! - 33x32x3i:'3o!
Wi hermana visita cuatro peluquerfas
Como los dos defensas son los mismos, las dernas posiciones solo poeren ser ocupadas por los dernas jugadores, y como el orden 0 disposici6n en el campo determinan los diferentes equipos, estamos ante una variaci6n con elementos fijos. • Calculando las variaciones de 7 elementos tom ados de 5 en 5 con 2 elementos V~ F2
fijos, tenemos:
= V~:~;
vg
• Efectuando: V5 3
__
5_1 __ (5 _ 3)1
5.4x3)(2! 2!
=1601
~, ..
iDe cuantas maneras diferentes puedo ubicar en un estante 9libros, uno a continuaci6n de otro, si 4 son de matemaucas, 3 son de razonamiento rnatematico y 2 son de quimica? Resolvemos: Como todos los libros se cotocaran uno a continuacion del otro y algunos se repiten, estamos ante una permutacion con repeticion. Calculando el nurnero de permutadones de 9 elementos con 4, 3 Y 2 elementos repetidos:
9!
9
iCuantos numerales de tres cifras se pueden formar con los digitos 1, 3, 4, 5 Y 7?
8)( 7)(6 )(5! ;13361 51
Se disponen de 7 jugadores de basquet para formar un equipo, ocupando 5 posiciones diferentes en el campo. i.Cuantos equipos diferentes se podran formar, sl los 2 defensas son siempre los mismos, en dichas posiciones?
en
las que realizan respectivamente 2, 3, 4 Y 5 diferentes cortes de cabello. iDe cuantas maneras distintas se poora cortar el cabello mi hermana?
Resolvemos:
de
P U 2 - 4! • 3! )(21
Variaciones con elementos fijos.. 5i en una variacion de m elementos tomados de n en n, hay x elementos fijos, el numero de variaciones sera:
Resolvemos: EI orden que ocupan las tres cifras determina los diferentes nurneros, pero como estos se pueden repetir, estamos ante una variaci6n con repetici6n. Calculamos la variaci6n con repeticion de 5 elementos tom ados de 3 en 3: VR~ _ 53 -1125 numeros
I ..
iDe cuantas maneras diferentes se podran distribuir 6 jugadores en un campo de fulbito, si el arquero y el mediocampista son siempre los mismos? Resolvemos:
En una reunion de la Comision de Economla conformada por 7 miembros, se solicita hacer uso de la palabra. iDe cuantas formas diferentes podran hacer uso de la palabra todos los miembros de la comisi6n?
• Solo habra un intercambio de posiciones, excepto en aquellas posiciones fijas para dertos jugadores, entonces estamos ante una permutaci6n con elementos fijos. Calculando el nomerc de permutaciones de los elementos, considerando 2 elementos fijos:
iRECUERDA! ,
Resolvemos: • Como todos los miembros de la comisi6n deben hacer uso de la palabra, los grupos se diferenclan solo en el orden en el que se presentan, luego estamos ante una PERMllTACI6N. • Calculando la permutaci6n de 7 elementos: P7
-
Pl2
-
P(6-21- P4
-
41
-~
Un campeonato de fulbito se realiza entre 6 equipos. iCuantos partidos se deberan efectuar para que jueguen todos contra todos?
71 - 150401 Resolvemos:
Forma practica Para determinar la canlidad de mimeros que se pueden form ar con cierta cantidad de cifras, tenemos: at)
lOe cuantas maneras se podran sentar alrededor de una mesa circular los 6 miembros de una familia?
• Como juegan todos contra todos, el orden no es importante para la formaci6n de los partidos, adernas, en un partido solo participan 2 equipos, luego, estamos ante una COMBINACION.
Resolvemos: • Va que se trata de una mesa circular y los elementos son los mismos, estamos ante una permutaci6n circular.
(6-1)1-
n
6
C 2-
5!-~
Entonces.
.
6! 2!(6-2)1 6
C2
-
30
-
n
5 P
Calculando el nurnero de combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2:
Calculando una permutaci6n circular para 6 elementos: PC6-
~l m m Q
~
s ~
5
6x5x41 1 x2x41
P 6
Q
x
numeros
~
2"" - ~
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
EfectUa' 181 25! . 17! + 24!
Rpta.:43
EfectUa: 151 - 141 13!
Rpta.: 196
EfectUa: 36! x 17! 18! x 35! Simplifica:
(2n + 7)!(311- 7)! (311- 8)!(2n + 8)!
Simplifica:
90 x 4! x 11! x 29! -.-..,.-....,..,..,--...,..,... 6! x 8! x 30! x 99
PISTA 1
n!-n(n-1)!
Simplifica:
(n-3)!-(n-3)(n
-4)!
(n+8)!-(n + 8)(n + 7)!
Rpta.: 2
1 Rpta.: ~
"+4
Rpta.: 2
Sabiendo que hay 3 canadatos para director y 5 candidatos para subdirector, lde cuantas maneras se puede elegir estos cargos?
Rpta.: 15
Se dispone de 9 jugadores de fulbito para formar un equipo de 6 jugadores que ocupen diferentes posidones en el campo. lCuantos equipos dlferentes se podrian formar? Rpta: 60 480
Para una actuaci6n se deben formar en una fila 3 alum nos. Si se dispone de 8 a1umnos para estas formaciones, don de el primero debera ser siempre el delegado de dicho grupo, zcuantas posibles formaciones se podran generar? Rpta.: 42
Rpta.: 2
Hay 4 empresas que me pueden lIevar aI Cuzco y 5 empresas que me pueden lievar a Cajamarca. lOe cuantas maneras podrla efectuar un viaje, comprando un pasaje en estas empresas? Rpta.: 9
Rpfa.: 120
Los c6digos de unos libros de matematica estan determinados por 5letras. Si se dispone de las letras A, F, K, L, M Y R, lcuantos c6digos diferentes se podrian formar si las dos primeras letras deben ser siempre L y M. respectivamente? Rpta.: 24
Rpta.: 1
Si: (3x + 1)! - 5040, halla x.
I
•
3 7 Rpta.: ....!!.=._ 2n+8
(n + l)!(n + 3)! (n + 4)!n!
Si: (xl + 1)! - 6, halla x.
En una carrera partidpan 6 corredores . lDe cuantas maneras diferentes podran lIegar los tres primeros a la meta, si no hay empates?
•
lCuantos nomeros de cuatro cifras se podran formar con las cifras 1, 3, 5, 7 Y 9? Rpta.: 625
I
lCuantos numeros de cinco cifras se pueden formar con los agitos 0, 1, 2 Y 5? Rpta.: 768
.
PISTA 15
ml
U1a persona desea viajcr a Trujllo y tiene a disposid6n 4 Ifneas aereas y 7 lineas terrestres. We cuanas m~eras podra viajar djcha persona a Trujillo? Rpta.: 11
lCuantos numeros pares de 5 cifras rnayores que 49 999, se pueden formar con los digitos 0, 3, 4, 6, 8 Y 9? Rpta.: 2592
Un estudiante desea comprar un libro de razonamiento matematico, el que se vende solamente en tres distritos: en Ate hay
En una carrera de autos participan 8 autos. lOe cuantas maneras distintas podran cruzar la meta, uno a continuaci6n de otro? ~_._ .
A
lik ..~... (,.u'~ n .... I ;.... ,..,..h,..u 0 li .... r""'~,.. "
"n
6 = 30
AA
AAA
IVn-~1
.,. IIIJIOlla""
o tam bien
v~- m(m -l)(m
01 I
LJII',..'O Ilay
v
Y
.. ...,1 CIIQ'"
01.
Brena hay 6librerfas.lOe cuantas maneras podra adquirir dicho libro? Rpta.: 18 lOe cuantas maneras diferentes se puede seleccionar una vocal y una consonante de las letras de la palabra MURCIELAGO? Rpta.: 25
-2)
... (m-n+ 1)
III
Rpta.: 720 lOe euantas maneras distintas se podran colocar en una linea recta 3 chapas de gaseosa A, 4 de gaseosa B y 5 de gaseosaC? Rpta.: 27 720
Si se arrojan sobre una mesa dos dados de colores diferentes, lcuantos puntos diferentes se podran obtener? Rpta.: 36
We cuantas maneras se podran dibujar en la pizarra, uno a contnuacion de otro, 8 cuadrados y 5 triangulos? Rpta.: 1287 En una primero cabo y cuantas
En una reunion de directorio, se ubi can alrededor de una mesa circular, el presidente, el vicepresidente y 5 gerentes. lOe cusntas maneras se podren ubicar?
En el estante de una bodega hay 6 botell as de aceite Prinor, 6 de aceite Chef y 6 de aceite Copri. Un cliente com pro tres botellas de aceite. i.Oe cuantas rnaneras diferentes pudo comprar las tres
fila constituida par 9 soldados, el es el sargento, el segundo es el el resto son soldados rasos. lOe maneras se les podran formar?
bote lias? Oetermina el valor de A, en: 7
Rpta.: 5040
A - C3
7
B-
15
18 CI2 + CI3 + CI4 + CIS + C16
28
4C25 + 5C
rg~.
n
m! (m-n)!. n!
o tam bien
28 3
28 + 9C26
m(m -1) ...(m -n + 1) 1.2.3...n
Rpta.: 3
J
Halla el valor de x: 2C~ = 3C~ Rpta.: 14 Oetermina el valor de
X,
en:
b
C: + C; _.1 Cx4- CX3 3 Rpta.: 31
Halla la suma de los val ores de x, en: 18
Cx
18
+ Cx+l =Cg
Calcu Ia el valor de
19
. C2x C2x C2xx+1 S + 6 -
X, st:
Un club deportivo identifica a los socios mediante un camet, en el cual se indica una letra del abecedario y luego dos dlgitos. lCuantas personas podrfan asociarse, como maximo, a dicho club? Rpta.: 2700 '.
PISTA 34
Rpta.: 17
Rpta.: 6
Rpta.: 20
rlohar",n
17
E - ---'=--=---= 3C~
En una juguerfa se dispone de seis frutas diferentes. Si se toman tres frutas diferentes, lcuantos jugos se podran preparar?
~Q
16
Calcula el valor de E, en:
Rpta.: 5
tnnnc:: Lr« tQntn~ il u:,rt"e
em =
15
Rpta.: 969 .,
Con cinco pesas de 1; 2; 4; 8 y 16 gramos, lcuantos pesos diferentes se podran determinar, tornendolas de 4 en 4?
En un torneo de tenis, se clasificaron 8 jugadores. Si ahora juegan todos contra
9
Halla el valor de B, en:
Un edificio de 10 pisos va a ser ocupado por 10 familias, una en cada piso. Si el primero, cuarto y sexto piso ya fueron adjudicados a tres de estas familias, lde cuantas maneras diferentes se ubicaran las demas? Rpta.: 5040
Un grupo de 12 obreros de sea escoger, entre ellos, un comlte de 3 personas que los represente ante los duenos.lOe cuantas formas distintas se podra seleccionar dicho comite? Rpta.: 220
8
+ C4 + Cs + C6
Rpta.: 210
En una fila de 6 butacas, en un cine, se ubican 6 amigos. lOe cusntas maneras diferentes se podran ubicar? Rpta.: 720 lOe cusntas maneras pueden ubi carse , alrededar de una fogata, cuatro parejas de enamorados, de modo que cada pareja permanezca junta, lntercalandose un hombre y una mujer? Rpta.: 6
Rpta.: 1140
Cuatro amigas se ubican en una fila de 9 butacas vadas. lOe cuantas maneras diferentes 10 podran hacer? Rpta.: 3024
Las fichas de domino empiezan con::::::::r::::::y term inan en I: : : I : : : I
,
·"''''''''''',
"''''_
......, ..''''''
J-"'::;:I"''''
................ _ .....-
lizar?
..........
Un estudiante rendira un exam en de 12 preguntas, de las cuales solo debe responder 10. Si las 5 primeras preguntas son de caacter obligatorio, ide cuantas maneras podra elegir las dernas preguntas?
Rpta.: 28
lCUantas fichas tiene un juego de domino? Rpta.: 28 En una pasteleria se venden 5 tipos ciferentes de pasteles. iDe cuantas meneras se pueden escoger 3 pasteles? Rpta.: 35 •
en + c a
n a+1 -
Rpta.: 21 En una fila se pueden ubicar a 4 mujeres y 3 hombres, de tal manera que los hombres ocupen los lugares pares de tal fila. iDe cuantas maneras se podra formar dicha fila? Rpta.: 144
lCuantas sumas diferentes, de tres suman dos, se pueden obtener con los numeros 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7? Rpta.: 84
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
(
Reduce: 801 x 39! + 29! x 50! [ 79! x 4O! 30! x 59!
]0.5
Para una obra teatral se han presentado 9 hombres y 8 mujeres, los que
ocoparan
los papeles principales (Rey y Reina) de la obra iDe cuantas maneras el director podra escoger a dicha pareja?
PISTA 1
Recuerda que: a! - a(a -1)!
Halla el valor de x, en:
En una banca para 5 personas, ide cuantas form as diferentes se podran ubicar a 5 personas?
xl(x! - 3) ~ 18 x! + 4
Podemos aplicar el principlo de multipUcachin.
En una biblioteca hay 52 libros distintos de matemancas y 48 libros distintos de rA7nnAmiAntn
mAtAmMi~n
i.nA r: .... ntA<:
lCuantos numeros de cuatro cifras diferentes se pueden formar con los digitnc: 1 ~ ~
n
7 v A?
I
Cn+1
a+-l
formas distintas un estudiante podra escoger un libro de cualquiera de estas dos asignaturas? Si de un grupo de elementos, podemos determinar distintos arreglos cambiando el orden de los m ismos, estamos ante una variaci6n.
Relacionando Ia teoria adewada. con Ia infoYmacion del pyoblema, podYemos elaboyay PYOUSOS simples de solucion.
t-
;'Cuantos nurneros de 4 cifras se pueden formar con los digitos 2, 3, 4, 5 Y 8?
r ~
N termino de una reunion, hubo 28 estrechadas de mano. Suponiendo que cada uno de los participantes fue cortes con los dernas, ;'cua! es el nurnero de personas que asistio a dicha reuni6n?
~
PISTA 7
m
EI orden genera los mimeros, pero algunos elementos se pueden repelir.
zcuantos equipos diferentes de baloncesto se pueden conformar con 9 estudiantes preseleccionados?
Sabiendo que el numero de combinaciones de n objetos, tom ados de 3 en 3, es aI nurnero de variaciones de los mismos elementos, tomados de 2 en 2, como 1 es a 2, halla el valor de n.
Observa que los 8 estudiantes pueden pedir 10 mismo.
Ocho alum nos se reunen en la cafeteria a la hora del recreo, donde cada uno
Para trabajar en un centro de investigacion se presentaron 5 ffsicos, 7 qufmicos
(JUtlUtl
tl::;l,;U!::Jtll enu tl UII
(Ji:U1 l,;UII
(JUIIU,
yo
un pan con hot dog, una hamburguesa y un sandwich mixto. lCuantos pedidos diferentes podran hacer?
II 1aiemauccs. ;:'1 urcr IU !::Jru(Ju UI:!UI:! I:!::;'
tar conform ado por 3 fisicos, 4 qufmicos y 3 matematicos, lde cuantas maneras diferentes se podria hacer dicha eleccion?
OOOL (U S (H 8 (O~
O££ (6
sa
(8
SlS (L
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
MULTIPLICACI6N
DE NUMEROS QUE TERMINAN
EN 5
•
... cuando la suma de las decenas es par
1. Se compraron 1132 losetas y
)
a(
colocar-
las en un piso de forma rectangular, se pueden contar ts losstas a 10ancho y 75 a 10largo. lCuantas losetas sobran?
Resolvemos: • Para saber cuantas losetas se colocaron, solo multiplicamos menta/mente asl: A 7x1-f...D.
8
5
J
Solo para numeros de dos cifras.
(7+1):2-0 iCompruebalo! Respondemos: Como se emplearon 1125 losetas y se compraron 1132, entonces sobran: 1132 -1125 - 710setas Otro eJemplo: 35 x 75 ~ ...25
1
Con las decenas:
Y
3 x 7 - 21 ] 26 (3 + 7) : 2 - 5
Luego: 35 x 75 -126251 l..
l..
AQuf la sum a de las cifras de decenas es un mlmero par.
dia, obteniendo como ganancia Sf. 2000. lCuill tue el total del dinero obtenido a( fi· nal del dia, por la venta?
En una fabrica de plasticos, una de las maqotnas lIamada molino 0 demoledora trabaja a 55 gramos por minu1o. Si durante 35 minutes se fue la electricidad y ninguna maquina pudo continuar trabajando, lcuill es la cantidad que dejo de producir dicha maqoina?
Pablo solicito un prestemo de Sf. 2000 a un banco. La devoluclon del dinero se hacla en 35 meses y las cuotas eran de
Juan com pro un refrigerador a Sf. 1200 que pag6 en cuotas de Sf. 75 cada una durante 15 meses. Si hubiera pagado a(
Un comerciante com pro 45 camisas a
Sf. 25 cada una y las vendio todas en un
,..",..~
1_
••• __
:"
••
L_ .. __
I!
L
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••
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,
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09£
(9
OU
(S
lL
(tr
DOl (£ tr (z Z
«
ot. ~::> I,;i:lUCI una. (.\..;UClIItU uruer U total por intereses?
1- -
fJi:lYU
curuauu,
eu
(.I,;Ui:U ItU 11i:UJlli:I i:UlUll
auor
NOTITA
En este tipo de multiplicaciones, el resultado siempre term ina en: 25.
En una pared, 25 azulejos cubren una su-
Una secretaria demora 35 minutos en digitar un informe. Si cierto dia debe digitar 15 informes y solo trabaja 8 horas diarias, (.cuantos minutos de sobretiempo debera emplear?
perticie de 1m2de area Si porcolocarcada azulejo cobran Sf. 1, (.cuanto cobraran por colocar 65m2 de azulejos?
EI cfJlclio rfJpicJo es III DlRn aliado
Cl.llndo rendimos ex{Jmenes.
MULTIPLICACION
DE NUMEROS QUE TERMINAN
EN 5
.., cuando la suma de las decenas es impar 8. Un industrial compra como insumo un minerai, que se vende en bolsas de 65kg cada una. Si compra 75 bolsas y cada kg Ie cuesta $ 10, (.cuaJ es el costa de esta inversion?
Resolvemos: •
Solo tenemos que multiplicar 75 bolsas por 65 kg que contiene cada una, asi: 6x7s~
iCUIDADOI
~ Q5
-1~751
(6 + 7) : 2 - 6,5
T
Parte entera:
6.+ 0 •
Solo para numerus de dos cifras.
®
Respondemos: EI total de kg comprados es 4875 y como cada kg cuesta $ 10, entonces la inversion sera: $ 48 750. Otro ejemplo: Con las decenas:
45 x 55 _ ...75
4t
4 x 5 - 20J }4
y (4 + 5) : 2 -
Luego: 45 x 55 _124751 Tomamos: 4
r-WjaBNa.l Un bote realiza paseos para turistas en un lago. Si en un bote caben 25 personas y aI final del dra el bote hizo 35 paseos, zcuantas personas subieron aI bote en el dra?
Un bus de la empresa Cruz del Este consume 45 galones de combustible cada mesoSi el precio de un galen es de Sf. 15, (.cuanto dinero se gasta en combustible para un bus durante 10 meses?
Las entradas a un concierto costaran Sf. 25 cada una. Si asistieron 5500 personas y adsmas por el a1quiler de almo-
Una empresa paga a los colaboradores Sf. 35 por hora. Si trabajan 85 colaboradores en dicha empresa y se trabaja 10
Aqui,la suma de las cifras de las decenas es impar,
l
J
hadas recaudaron Sf. 600, zcuanto fue 10 recaudado en total?
horas aI dia, ccuanto dinero invirtio la empresa en el pago de dicho personal?
En un avicn viajan 150 pasajeros y cada uno pago $ 85. Si por impuestos pagan el1 0% de la recaudacion, zcuanto pagan de impuestos?
Una botella de lubricante para auto contiene 2,5 litros de aceite y tiene un costa de Sf. 10 el litro. Si en un grifo se ha vendido 55 de estas botellas, zcuanto se ha recaudado?
En este lipo de mulliplicaciones el resultado siempre termina en 75. l
ALFONSO
J
ROJAS PUEMAPE
:~~,......-......-----____...I
~ ~_
PROBABILIDADES
CONCEPTOS PREVIOS
o
L
Experimento a1eatorio
Ejemplos:
Uamado tambien fenomeno casual 0 fortuito, es aquel que no obedece a leyes especfficas, por el contrario, depende plenamente del azar.
(1) El tipo de carta que resulta aI extraer una, de una baraja. (2) Los puntos que se obtienen a1lanzar un dado. (3) La superficie que se obtiene allanzar una moneda
L
iATENCION!
o
• Todo subconjunto de E que presenta un solo elemento se denomina suceso 0 evento elemental.
Espacio muestral (E) Esel conjunto de todos los posibles resultados que presenta un determinado experimento aleatorio.
• Cada posible resu Itado de un experim ento aleatorio se denomina PUNTO MUESTRAL 0 MUESTRA.
o
Ejemplos:
(2) Lanzar un dado sobre una mesa:
(1) Extraer una carta de una baraja. E = {13 espadas; 13 corazones; 13 treboles; 13 diamantes}
(3) Lanzar una moneda sobre una mesa:
Suceso
0
evento (S)
Dado un experimento a1eatorio, cuyo espacio muestral es E, cualquier subconjunto de E se denomina suceso 0 evento. ~, Ejemplos: .... (1) Si extraemos una carta de una baraja, se puede obtener un 7 de espadas. • EI espacio muestral sera: E - {13 espadas; 13 corazones; 13treboles; 13 diamantes} • Suceso: SI - {7 de espadas}
o ilMPORTANTEI • Un suceso que
0
=> neE) - 52 donde: n(E): numero de elementos del espacio muestral.
= n(SI) - 1
Sucesos compatibles e incompatibles Dos sucesos se den om inan compatibles cuando pueden suceder de manera simultansa, y se denominan incompatibles cuando no pueden suceder de manera simultanea. Ejemplo:
E - {1; 2; 3; 4; 5; 6} E - {cara, sello}
=>
=>
n(E) - 6
n(E) - 2
(2) Si lanzarnos un dado sobre una mesa se puede obtener 4. • EI espacio muestral sera: E - {1; 2; 3; 4; 5; 6} • Suceso: 82 = {4}
=>
n(8~ = 1
(3) Si lanzarnos una moneda sobre una mesa, se puede obtener un sello. El espacio muestral sera: E - {cara; sello} Suceso: 83
-
{sello}
=>
n(S} - 1
corazones}, son compatibles, ya que el suceso elemental {unaJ} cumple con las doscondiciones de los sucesos simultaneamente. Si tomamos un suceso 83 - {un as}, este sera incompatible con el suceso SI' puesto que de ninguna forma una carta podra cumplir simultaneamente con ambas condiciones, y respecto aI suceso 80)es
, u
los puntos muestrales de un espacio muestral se denomina SUCESO SEGURO.
"
~
,
'"
o
Sucesos
""""
"'J
'"
J} y el suceso
81 = {una
dependientes
_,
'""',
82 = {una
....
carta
compatible.
de
e independientes
Si luego del suceso 81 se extrae un caramelo,
• Un suceso que no presenta puntos muestrales en un espacio m uestral se denomina SUCESO IMPOSIBlE.
gundo, puesto que no altera las condiciones les, dichos eventos se denominan
inicia-
independientes,
Y 82 se denominan
mientras que si el primero inftuye en el otro, puesto que altera las condiciones sucesos se denominan
• 8i luego
iniciaJes, entonces estos
y luego
dependientes.
sucesos
del suceso se devuelve
Ejemplo;
ceso 82, el espacio
En una balsa hay 10 caramelos de difefentes sabores.
consecuencia
81,
dependientes.
se extrae
a la bolsa, muestral
los sucesos
81
un caramelo
respecto
aI su-
no ha variado,
y 82
en
se denominan
independientes.
51 - {extraer un caramelo de manzana}
Luego:
res-
pecto aI suceso 82 el espacio muestral ha variado (se ha reducido en un elemento), por 10 tanto, 81
Sean dos sucesos, si el primero no inftuye en el se-
82 - {extraer un caramelo de menta}
PROBABILIDAD DE UN SUCESO
( ) - N.o
aleatoric, la probabilidad
Dado un experimento
de que un suceso 8 ocurra, se podra considerar como
el cociente
favorables numero
Veamos
el nurnero
(N." de sucesos de casos
del espacio
D
entre
de casos
elementales)
y
el
(N." de elementos
posibles
N." de sucesos elementaJes de 8
P 8
de elementos del espacio muestral
8egun
Pierre
P(8) _
N.o
Laplace,
se define la probabilidad:
de casos favorables casos posibles
- N: de
muestral).
algunos
ejemplos:
AI arrojar una moneda
sobre una mesa, c,cuaJ de obtener una cara?
es la probabilidad
AI arrojar la moneda
podemos
sus dos superficies
D
Allanzar un dado aI suelo, iA:uaJ es la probabilidad de obtener un puntaje que sea multiple de 3?
obtener una de
(cara 0 sello), entonces:
8abemos
que un dado tiene 6 caras (6 punta-
jes diferentes),
entonces:
Casos favorables:
{3; 6}
=> n(CF) - 2
• Ntimero de casos favorables: n (CF) • Numero de casos posibles: n(CP}
•
Cas os favorables: Casos posibles:
{cara}
=> n(CF) - 1
{cara; sello}
Casos posibles:
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
=> n(CP) - 2
•
o
Luego:
P(8)
Diagrama
=> n(CP) - 6
-I ~I
•
•
de arbot
Es un procedimiento
que se usa para determi-
nar todas las posibilidades
16gicas de ocurren-
cia de un suceso.
arrojar 3 monedas
bilidad
P(8) _
3. _11 3 6
I
Donde: E _ ICC,
c, C,);
(C, C, 8); (C, 8, C); (C, 8, 8);}
(8, C, C); (5, C, 5); (5, 5, C); (5, 5, 5) Entonces:
Ejemplo;
II AI
Luego:
al suelo, c,cuaJ es la proba-
de que resulten
3 superficies
iguales?
Casos favorables: => n(CF) - 2
{(C, C, C) ; (8, 8, 8)}
Cara: C
1." moneda
t
=
Selio: S
-c::::::::::
C - (C, c, C) S-(C,C,S) C -(C, S, C) S -(C, S,S)
S
< -c:::::::: C
S
-c::::::::::::
S
J.l1 VUl.UJIIIUUU
tambien se puede expresar como un porcentaje, asi:
2m
8" -lIJ
.L,
t
< -c:::::::: C
C
Luego: P(S) -
2: moneda 3: moneda t
LU.
Casos posibles: E n(CP) - 8
• Aplicamos el diagram a de arbol:
C -(S,
2
i-A que poyuntoje represen10 Ia frOGci6n que
.I
100% = 50%
ol1tuYi1II05?
C, C)
S-(S,C,S) C -(S, S, C) S -(S, S, S).1
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
AI arrojar 2 monedas sobre una mesa, GcuaJ es la probabilidad de obtener aI menos un sello? Resolvemos: • Como en cada resultado debe haber como mlnimo un sello, esto significa que pueden haber mas y cumplir con la condiciOn.
01
2
a
1
3
4
4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8
5 6 7 8
9
9
10 11 12
2
2
a
4
1.· mono
5 6 6 7
5 6 7 8 7 8 9 8 9 10
Luego:
Calcui amos la probabilidad para cada caso: 4 1 P(obtener J) - 52 -13
(C, C))(
(C, S).1 (S, C).1
4
(S, S).1
P(obtener Q) - 52
-I % 1
P(S)
J
Resolvemos: • Si el resultado no es par, entonces sera impar.
• AI analizar los resultados que se pueden obtener (36 posibilidades), mos:
tene-
1- [""-=~:::-::::::'b=-'es--'I-I~
1
IATENCION! Probabllldad de
P(S) -~
36
_11 2
AI extraer una carta de una baraja y aI arrojar aI suelo un dado, l.cuaJ es fa probabilidad de obtener una espada y un numero impar en el dado? Resolvemos: • Se trata de dos sucesos independientes, ya que fa ocurrencia de uno no influye en la del siguiente. en cada caso:
P(obtener una espada) - ~~ - ~ P(obtener un N.· impar) - ~ - ~
-36-18-18 Luego:
_I 13 2 I
Calculamos la probabilidad
casos posibles - 36
r::ables
1
-13
Luego: P _ .i. + .i. 13 13
Si se arrojan dos dados sobre una mesa, GcuaJ es la probabilidad de que el puntaje obtenido no sea un numero par?
10 11
L
2.· mono
C-=::::::::::~ S-=::::::::::~
Resolvemos: • Se trata de dos sucesos incompatibles, pues la ocurrencia de uno excluye la del otro.
• Empleamos un diagrama de ilrbol:
Cuando se lanzan dos dados se pueden obtener los siguientes puntas:
AI extraer una carta de un juego de naipes, GcuaJ es fa probabilidad de obtener unaJ 0 una Q?
I
De una baraja se extrae una carta. GCuaJ es la probabilidad de obtener un as 0 un
Luego: P-
!x~-I ~ 1
En el caj6n de una c6moda hay 8 camisas blancas y 2 camisas azules. l.CUaJ es I..,. _ .. "
:1:",_", ...,
1 _~
__
..
0
•
..
sucesos IncompatIbles.
Por ser S, y S2 sucesos incompatibles, adem as: S,rlS2-0 tenemos:
cor ct,UI1
(
Observamos que se trata de dos sucesos compatibles, que pueden ocurrir simultaneamente: es decir, al sacar un as este tambien puede ser a la vez un corazOn. la probabilidad
para cada
'"tUO
QI CAuaCI
=
Resolvemos: Nos damos cuenta de que son dos sucesos dependientes, ya que al sacar una camisa, eI rnimero de las que estan en la c6moda disminuye; es decir, un suceso influye en eI siguiente.
• Como, ahora quedan en el cajon 9 camisas, tenemos: P =..!_ 2 9 • Luego: P = ..!_ )( ..!_ 5 9 45
.!. 4
P(obtener un as de corazones) - ;2
-1.1.1
En un salon estudian 30 alumnos, de los cuales 12 tienen 16 MOS; 10 tienen 17 MOS Y el resto 18. Si se escoge un alumno para representar al salon, {,cuaJ es la probabilidad de que dicho estudiante sea mayor de edad? Rpta.: 4/15
cambiados durante dicho encuentro, {,cuaJ es la probabilidad que tiene un se-
Sobre una mesa se tienen las fichas de un juego de domino. {'CuaJ es la probabilidad de que al voltear una de tales fichas se obtenga un nemero de puntos mayor que 8 0 que sea un mulnplo de 4?
aprobatoria?
leccionado
partido?
Rpta.: 29/50 AI arrojar dos dados sobre una mesa, {,cuaJ es la probabilidad de que el puntaje obtenido sea 7 u 11? Rpta.: 2/9 En una caja hay 10 bolas amarillas, 4 bolas rojas y 6 bolas verdes. AI extraer una bola de la caja, l.cuaJ es la probabilidad de obtener una bola roja 0 una bola amarilla? Rpta.:7/10
Rpta.: l/S
Rpta.: 1/2
En una uma hay 40 bolas rojas y 20 bolas negras. Si se extrae una, {,cuaJ es la probabilidad de que ssta sea negra? Rpta.: 1/3
Rpta.: 10/21
den a los que estf¥1 en buen estado en 8, {,cua! es la prOOabilidad de saca- de la caja un vaso que no este en buen estado?
En una carrera a campo traviesa participan 24 deportistas. Si solo los tres primeros recibiran medallas, {,cuaJ es la prOOabilidad de que uno de los participantes pueda 00-
Para un partido de voley se han reunido 18 alumnas. Si durante el partido se han realizado 3 carnbios, {,cuaJ es la probabilidad de que juegue una alumna en dicho
Rpta.: 7/20
En una caja hay 50 vasos. Si los rotos exce-
De un juego de cartas se extrae una. {'CuaJ es la probabilidad de que sea una de trebolss? Rpta.: 1/4
Se lanzan dos dados sobre una mesa, {,cuaJ es la probabilidad de obtener un puntaje total de 9. Rpta.: 1/9
de no jugar?
Un alumno rinde un exam en, cuya nota es de 0 a 20. {'CuaJ es la probabilidad de que el alumno no obtenga una nota des-
Rpta.: 3/7
tener medalla?
UIIClt--'V'
Calculamos la probabilidad 2 para la primera camisa: P, - 1 0- ~
P(obtener un as) - 5~ - 113 P(obtener un corazon) - ~ 52
EJ
ue:;
una, dos camisas, ambas sean azules?
Resolvemos:
Calculamos caso:
PIS, U S2)PIS,) + P(S2)
IQ tJlUUCUJUlUQU
•
AI arrojar dos dados sobre una mesa, {,cuaJ es la probabilidad de obtener un puntaje impar 0 mUltiplo de 5? Rpta.: 7/12 AI extraer una carta de una baraja, (,cuaJ es la probabilidad de obtener una K 0 un trebol?
Rpta.: 4/13
l.CuaJ es la probabilidad de obtener sello y 6 en el lanzamiento simultaneo de una moneda y un dado?
Rpta.: 1/12
PISTA 15 Probabifidad de sucesos compatibles. Aplicando el
teorema de Morgan: Por ser S, y S2 sucesos compatibles, adernas: S,rlS2",0 Tenemos: PIS, U S2)PIS,) + P(S2)
II
De 30 personas que viajan a Huaraz, 8 son de lea, 10 son de Tacna y el resto de Uma. i.CuaJ es la probabilidad de que uno de los viajeros no sea de Tacna? Rpta.: 2/3
fJ
AI extraer una carta de una baraja, i.cuaJ es la probabilidad de obtener una carta que no sea 10? Rpta.: 12/13
1m
AI arrojar tres monedas sobre una mesa, i.cuaJ es la probabilidad de que no se obtengan figuras iguales? Rpta.: 3/4
m
Si de 20 futbolistas seleccionados para disputar un encuentro, dos de ellos son
ALFONSO
. Em
m
Se arroja dos veces una misma moneda sobre una mesa. i.CuaJ es la probabilidad de obtener 2 veces cara? Rpta.: 1/4 Se extraen dos cartas de forma consecutiva, de un juego de naipes. i.CUaJ es la probabilidad de que ambas cartas sean trebolas? Rpta.: 1/17 En un recipiente hay 8 chocolates con man! y 12 chocolates con pasas; si extraemos 2 de los chocolates, uno a continuaci6n del otro, i.cuaJ es la probabilidad de obtener uno de cada tipo? Rpta.: 24/95
~ PISTA18
Probabilidad de sucesos independientes.
I
P - P(Sl)
ROJAS PUEMAPE
Para un partido de rutbol se han convocado a 18 jugadores. Si durante dicho partido se han realizado tres cambios, i.cuaJ es la probabilidad de que uno de los convocados juegue en dicho partido?
~ ..
i.CuaJ es la probabilidad de extraer una carta de diamantes, de una baraja?
AI lanzar una moneda tres veces en forma consecutiva, i.cuaJ es la probabilidad de obtener dos caras?
IlL _.
Se lanzan simultaneamente un dado y una moneda. i.CuaJ es la probabilidad de obtener una cara y un nurnsro par?
En un equipo de fUtboljuegan 11 jugadores.
hs ~" ••
PISTA4
••
Una baraja contiene 52 cartas 0 naipes,
x
P(Sz)
I
{.CuaJes ra probabilidad de que aJlanzar un dado sobre una mesa, resulte un numere mayor que 2?
{.CuaJes ta prooaomoao de obtener 9 0 10 aI arrojar dos dados simultaneamente?
Observamos que los sucesos indicados son Incompatibles.
E.sfuerza el pellsamiellto, !J obteniYas posibles formes de resoluecn de los problemas.
En una bolsa se han colocado 50 bolas numeradas correlativamente desde eli. l.Cual es la probabilidad de que aI extraer una, esta represente un nurnoro par o multiplo de 7?
Iii ~
En una urna hay 15 bolas y 25 dados. l.Cuai es la probabilidad de que aI extraer dos objetos, estos sean diferentes?
PISTA 7 Consideramos que algunos numeros multiplos de 7 son pares.
Se extraen tres cartas de un juego de naipes, en forma consecutiva. l.Cuai es la probabilidad de que se obtengan solamente diamantes?
I-
AI arrojar dos dados, uno negro y otro blanco, l.cual es la probabilidad de obtener un numero impar en el dado negro 0 un numero par en el dado blanco?
Utilizamos el diagrama de arbol para identificar los casos favorables.
Se arrojan cuatro monedas aI suelo. i..CuaJes la probabilidad de que se obtengan 3 caras y un sello?
i..CuaJes la probabilidad de que aI lanzar tres dados sirnultaneemente se obtengan puntos pares y diferentes?
9'i/l (ll
v/'i (ll zs/sz (O~ v/l (s
oss/~ ~ (s os/sz (L
9'iIL (9 v/l (s v/l (v 'iIZ ('i S/'i (Z sIL
«
• • • • •
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
1. iSUMAS PARA PENSAR! Escribe los numeros del 1 al 16, teniendo en cuenta que la suma de los nurneros escritos en una horizontal, vertical 0 diagonal sumen 34.
=34 -34 =34 =34 =34 =34 =34
=34
=34
=34
2. iEQUISUMAS! Escribe los numsros del 1 al 9, en los circulos psquenos, de modo que la suma en cada diamstro del circulo mayor, sea la misma.
3. PODEMOS ALCANZAR EL INFINITO ... lCual es el valor de E?
4. EN EQUILIBRIO TODO ES MEJOR A
comer
frutas ...
En el ce de como como
mercado, el precio de las frutas se estableacuerdo al peso. Dos naranjas pesan tanto tres manzanas y dos manzanas pesan tanto dos duraznos,
Si tengo para comprar cinco duraznos, con ese dinero, (,cuantas naranjas podre comprar?
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
II~"'II Acumulativo D
En una carrera participan 7 atletas. We cuantas formas pueden ser OCUpados los tres primeros no hay empates? a) 35
D
b) 21
c) 70
lugares,
5i tengo D tetraedro
caras inferiores yor que 6?
d) 210 e) 215
a) 1/16
Un grupo de 235 personas van a elegir un representante. 5i se presentan 6 candidatos para el puesto,
d) 7/16
D
obtener as! mas que cualesquiera de los otros 5? a) 41
D
b) 39
d) 40
e) 38
la certeza de haber obtenido tres espad as y dos treboles? b) 45
c) 42
d) 41
e) 43
En una urna hay 10 bolas rojas y 5 bolas azules. Si se extrae una al azar, 1.cual es la probabilidad de que esta sea azul?
a) 1/2 dl1l3
b) 1/15 e12/3
c) 3/15
Un equipo de basquet esta conformade por 5 jugadores. 5i hay 8 jugadores, <.cuantos equipos de basquet se podran formaT?
Lorenzo tiene 7 pantaiones, 6 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre si, 1.De
En la expresi6n E = x + y, los valores de x e y solo pueden ser numeros primos menores que 20. <'Cuantos resultados diferentes pueden obtenerse?
a) 28
m
b) 56
m
b) 56
c) 28
d) 64
e) 112
1.Cuantos numeros de tres cifras distintas, todas significativas, tien en un
c) 72
d) 50
e) 29
Para ir al poblado de Conchan en Cajamarca, puedo utilizar un caballo, una moto 0 un carnien que transporta ovejas. We euantas formas podre ir y regresar, si al volver debe hacerlo en un medio de transporte distinto al que utilice en la ida? a) 3
b) 6
<'Cuantos a) 14
de eleccien tienen?
a) 150 b) 162 c) 172 d) 182 e) 190
c) 5/16
c) 48
De un juego de naipes, 1.cuantos hay que extraer como minimo, para tener
a) 40
b) 3/16 e) 2/16
a) 180 b) 185 c) 165 d) 175 e) 160
maneras, 5 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningun momenta las parejas estaran separadas y se intercalan un hombre y una mujer?
b) 24 e) 72
posibilidades
sea un numero ma-
euantas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalon azul?
We cuantas
a) 120 d) 144
D
c) 42
nes, 4 buenos restaurantes, 5 discotecas y 31ugares de paseo, <.cuantas
dos dados en forma de (ambos con las caras nu-
meradas a partir dell), 1.cua! es la probabilidad de que la suma de las
si
1.cual es el menor numero de votos que puede obtener uno de ellos y
parcial
c) 10
d) 12
e) 5
numeros de dos digitos,
pueden obtenerse con los nurneros primos de una citra? a) 8
b) 12
c) 16
d) 20
e) 24
7 en su escritura? Con tres banderas de diferente color, a) 128 b) 136 c) 142 d) 168 e) 172 En una playa hay cinco parejas de enamorados, ras diferentes
1.de cuantas manepuede ubicarse, cada
<.cuantas seiiales se pueden realizar izandolas en un asta? a) 7
b) 15
c) 21
d) 9
e) 12
pareja, alrededor de una fogata, de modo que los hombres y mujeres queden altern ados?
<'Cuantos numerales de 3 cifras significativas pueden formarse con los digitos no impares del sistema decimal?
a) 24
a) 98
b) 36
c) 48
d) 54
e) 63
b) 96
c) 80
d) 64
e) 60
i.Cuantos total de 153 estrechadas de mane II Un se efecruaron al final de una fiesta. Si cada participante fue cortes con los demas, el numero de personas eran: a) 16
D
b) 18
c) 20
d) 21
e) 22
Se debe formar una comisi6n de tres profesionales: un abogado, un ingeniero y un contador. i.Cuantas posibilidades de formar dicha comisi6n hay, si se cuentan con 3 abogados, 4 ingenieros y 6 contadores? a) 13
b) 72
c) 48
d) 36
e) 18
numsros
de
3
diferentes pueden formarse digitos 2, 5, 6, 7 y 9? a) 20
m
b) 30
c) 40
d) 50
cifras con los
e) 60
i.Cuantos nurneros de 3 cifras pueden formarse con los digitos 0, 1, 3, 5y 7? a) 80
c) 100 d) 110 e) 120
b) 90
Ruben y Julia, en su aniversario, gustan de ir al cine, luego a cenar 0 a bailar, y luego a pasear a algun lugar rornantico. Si en la ciudad hay 6 ci-
En una circunferencia se marcan 11 puntos. i.Cuantos segmentos, que tengan por extremos dichos puntos, se pueden trazar? a) 60
b) 50
c) 66
d) 45
e) 55
i.Cuantos resultados diferentes pueden obtener, al reemplazar digitos {1; 2; 3; 4}, en:
IT
se los
de modo que en cada casillero
solo haya una citra? a)12
b)ll
c)10
d)9
e)8
Acumulativo parcial
D
i.Cuantos alumnos, como rmrumo, se requieren para formar 9 filas de 5 alumnos en cad a fila? a) 45
D
b) 36
c) 27
d) 23
e) 19
En un baul hay 6 pares de zapatos negros, 8 pares de zapatos marro-
b) 19
c) 13
d) 17
minimo, para tener la seguridad de haber obtenido una carta de dia-
15
b) 16
d) 12 25
e)J1
a)
D
9
3
a)T3
a) 6
c) 12
4
d)T3
7
c) 52
7
de que al una mesa
se obtengan puntajes diferentes y la suma de estos sea un numero par?
1
2
a)
3"
b)
"5
d)
i
e)
1-
6
3
3
c) 10
c) 9
a) 120 c) 142506 e) Faltan datos
d) 10
a) 14
b) 17100720 d) 30!
b) 29
c) 40
d) 51
e) 13
Clara Ie da a su hija Maite S/.5 de propina, cada viernes, S/. 10 cada sabado y S/. 15 cada domingo. i.Curu es la maxima cantidad de dinero que podria recibir en un mes de 30 dias?
e) 13
III
a) S/.155 d) Sf. 140
b)S/.150 e) S/.130
EI numero
2575 se expresa
c) S/.145
como
la suma de 3 nurneros de 3 cifras diferentes cada uno. Si uno de ellos es el menor posible, halla la suma de sus oifras. a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
Una fannacia tiene 8 locales y 90 em-
II
i.De euantas maneras distintas pueden colocarse en una linea recta 4 bolas blancas, 3 amarillas y 2 azules? a) 9! d) 1260
e) 26
i.Cual es la probabilidad lanzar dos dados sobre
b) 8
En una clase de 30 alumnos se formara una comisi6n conformada por 5 de estos alumnos. i.De cuantas maneras se podra formar esta cornisi6n?
28
5 b) 26
mantes?
7
c) 50
i.De cuantas maneras diferentes pueden Hegar a la meta 3 autom6viles en una carrera de autos?
7
De un juego de naipes se extrae una carta. i.Cual es la probabilidad de que esta sea mayor que 7 y de color rojo?
accidente,
75
traen dos al mismo tiempo, i.cua.1 es la probabilidad de que haya una de cada color?
7
d) 1372
e)1Z
En una urna hay 8 bolas, 3 de color II verde y 5 de color amarillo. Si se ex-
c) 1715
a una persona de dicho pero que este ilesa? 21 b) 100
e) 3
b) 2058 e) 1575
De un juego de cartas, i.cuantas cartas se deben extraer al azar, como
nes y 4 pares de zapatos azules. i.Cuantos zapatos se deben extraer del baul, como minimo, para tener la certeza de haber obtenido un par de zapatos usables del mismo color? a) 9
a) 2401
En un accidente, el 38% de las personas result6 con heridas en las piernas, 56% con heridas en los brazos y 15% con heridas en ambos lugares. i.Cual es la probabilidad de elegir
b) 3024 e) 729
c) 288
pleados trabajando en ellos. Si ningun local tiene menos de 9 empleados ni mas de 12, i.curu es el menor nurnero de empleados que pueden haber en 3 locales? a) 27
b) 30
c) 33
d) 24
e) 36
En una bolsa hay 12 fichas numeradas dell al12 y se van a extraer dos, una por una. i.Cuantos resultados diferentes se pueden obtener? a) 144 b) 72 i.Cuantos
c) 66
numsros
d) 132 e) 108 de tres cifras di-
Tengo 3 pares de zapatos de diferentes modelos, 4 pantalones, 5 camisas y 6 polos. Si todas las prendas son combinables, i.de cuantas formas me puedo vestir? a) 128
b) 132
c) 140
D
.!
b) _g_
d)
1
e)
234
4
c)
tJUt:lUt:lll
cifras significativas cimal?
nazca varOn y mediante cesarea?
a)
::at:
1t:l1t:'Ilt:~
a una gestante, I.cuill II Considerando es la probabilidad de que el bebe
a) 1000 d) 630
.!
.L
m
6
b) 900 e) 504
sobre una mesa?
a) 10! d) 512
4 b) 13
5
d)
11
e)
36
c) .§. 6
a(2a}b"3
ey
numeros
a) 12
cifras
numerales
de la forma
,se pueden obtener, en el
b) 20
c) 16
d) 24
En una circunferencia
o?
e) 25
se marcan los
puntos A, B, C, 0, E, F, G Y H. We cuantas formas se pueden obtener poligonos, puntos?
impares de cua-
a} 219 d)222
11'0 cifras se pueden formar con las
52
IOU
sistema decimal?
b) 20 c) 1024 e) Falta informaciOn
i.Cuantos
11
I
II I.cuan(~s)
I.Cuantas palabras de 10 lelras (con o sin significado) se pueden escribir utilizando solo las lelras
til
UI,)OU
Id::a
de-
c) 720
I.Cuill es la probabilidad de obtener al menos un 5, aI arrojar dos dados
a)T2
""~1I
IVlllld.
del sistema
1; 2; 3; 5; 7; 8 Y 9?
cuyos vertices sean
b) 220 e) 223
c)
estos
221
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
l~tI"11Acumulativo Melina D correo
oIvido
la contraseria
de su
D
D
d) 4/21
b) 7/9 e) 55/63
tiene en un baul, 4 pares de zaD Diego patos, 5 pares de zapatillas y 3 pares de sand alias, enlI'everados.
c) 37!/33!
Si presta
b) 371/34! e) 271/10!
un par de zapatillas a su hermano, i.cuantas extracciones, al azar, debe
En una urna hay 6 bolitas numeradas
realizar como minimo, para estar seguro de poder usar cualquier tipo de calzado, excepto sandalias?
del 1 al 6. Julian extrae las bolitas de 2 en 2, reponiendolas y verifican-
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
a) 5
D
b) 10
c) 15
d) 19
e) 22
i.Cuantos nurneros imp ares de 6 cifras existen, tal que el producto de su s cifras sea 21O? a) 360 b) 300 c) 240 d) 100 e) 60
D
Jose, Leslie, Tania, Melissa, Yull, Silvia y Noelia van aJ cine y se sientan en una fila para 7 personas. i.Cuill es la probabilidad de que Jose, Melissa y Yuli no se sienten juntos? a) 1/5 bJ 1/7
cJ 6/7
d) 4/5
e) 3/5
dos a la vez, i.cual es la probabilidad de que los delegados sean de
Una esfera grande contiene 24 esferas median as; a la vez, cada
sexos diferentes?
esfera mediana, 0 bien contiene 15 esferas pequerias 0 esta vacia .. Si
b) 53/103
d) 55/104
e) 27/52
c) 53/105
cada esfera pequelia esta vacia y se han contado en total 19 esferas lien as, i.cuantas estan vacias?
En una caja hay 78 cubitos de madera del mismo color y taman 0; pero, de ellos, 3 son mas pesados que los otros. 5i se tiene una balanza que compara &I peso de solo dos cubitos ala vez, determina el numero mlnimo de pesadas
a) 5
m
b) 7
c) 10
aJ 6
m
b) 140 c) 158 d) 270 e) 276
De una baraja de 48 naipes (no estan los ases), se extraen 3 cartas al azar. i.Cuill es la probabilidad de sacar 2
d) 8
e) 6
En un salOn estudian 7 hombres y 9 mujeres. EI protesor desea formar un equipo que represente al salOn Y este formado por 2 mujeres y 3 hombres. Si en el aula hay un grupo de trillizos (dos mujeres y un hombre) y en el equipo no puede haber parientes, i.de euantas maneras podra el profesor formar el equipo? a) 1250
b) 1260
d) 1050
e) 1015
Un bus lI'ansportara
En un salon de clases hay 9 hombres y 6 mujeres, de los cuales se van a escoger dos delegados. Si Edgardo y Zeila no se lIevan bien, por 10 cual no pueden ser delega-
a) 51/105
ademas debe vigilar que el gato no se oorna aI ratOn, ni este al queso. i.Cuantos viajes oorno minimo debe reaizar SaUl, si iii conduce siempre la canoa?
c) 4/63
d) 271
a) 13
D
a) 43/63
a) 37!
do que un mismo par de bolitas no salga mas de una vez. i.Cuantas exlracciones diferentes, como minimo, debe reallzar Julian para tener la certeza de que con los numeros de las bolitas que exlrae, se pueda formar un nurnero mayor que 65?
no ratOn Y un molde de queso grande. SaUl piensa auzar en una canoa y
probabilidad de que un blanco haya side derribado.
elec1rOnico. Solo recuerda que est{! compuesta por 4 caracteres
(digitos y/o letras) diferentes. i.Cuantos intentos, como maximo, debe realizar, para recuperar su contrasaria? (Tener en cuenta que el abecedario consta de 27 lelras).
parcial
c) 1100
12 pasajeros.
Este cuenta con 4 asientos individuales en el lado Izquierdo y 5 asientos para dos en ellado derecho, siendo uno de los asientos para dos, reservado. Sabiendo que Jaime sera ubicado en el lado izquierdo, y Edison y Maria se sentaran juntos en ellado derec:ho, i.de cuantas maneras se puede ubicar a los pasajeros? a}30xlO!
b) 32x8'
d) 32x9'
e)20xl0!
c) 30x 71
En una uma hay 9 bolas negras, 7 blancas y 6 rojas. Si Miguel Ie pide a su papa que saque 3 bolas de cada color y ademas 2 rojas mas. Determina, cuantas extracciones aI azar y sin reposici6n, debe realizar como minimo el papa de Miguel, para estar
que se deben realizar, para enconlrar uno de los cubitos mas pesados. a) 34
D
b) 35
c) 36
d) 38
J2.
a) 4/2161 d) 2/3
e) 39
Calcula el valor de a, si: 22. 1! +
onces y un lrece?
II
2! + 42. 3! + ...
II
b) 25
c) 26
d) 27
Julio dispara al blanco y
e) 28
10 derriba
veces cad a 7 tiros, mienlras tin 10 derriba 4 veces cada ambos disparan aI mismo sus respectivos blancos,
3
que Mar9 tiros. Si tiempo, a calcula la
c) 3/5
m
Una pareja de esposos van de campamento con sus 4 hijos (2 hombres y 2 mujeres). aI anochecer encienden una fogata y se sientan alrededor de ella. Determina la probabilidad de que los hijos hombres se sienten junto a la madre.
2 241 4! ... + 25 . . - a! - 2 . 3!
a) 24
b) 3/2162 e) 7/2124
a) 0,1
lID
b) 0,2
c) 0,3
d) 0,4
e) 0,5
En uno de los ex1remos de un rio se encuenlran Saul, su gato, un peque-
I
:S~!::IUIU
ue
a) 16
b) 17
:Sd.U:Sld\,;~,[
d.:SU (IIJU.
c) 18
d) 20
e) 21
Un club de fU1bol esta recibiendo j6venes para las divisiones menores. A la prueba se presentaron 3 arqueros, 4 defensas, 5 volantes y 1 centro delantero. i.De cuantas maneras se les podra ordenar en una fila, de tal rnanera que los que jueguen en eI mismo puesto, siempre esten juntos? a) 20 x 3!2 x 4!2
b) 3! x4!2x5!
c) 10x3!
d) 4!
x 51
e) 3!x5!
~~~~~~~~~~~~~~~~~
Acumulativo total
D
En unaurnahay m bolillasnumeradas de 1 hasta m, donde las primeras son blancas y el resto negras. Si
Jesus tiene en su cajOn 12 pares de
maneras pueden
medias nuevas, 7 pares blancas y el resto de pares negras. Si desea rega-
una carpeta, de tal manera que Juan y Diego esten siempre en el medio?
la tercera parte de las bolillas son blancas, determina la probabilidad
lar a su hermano 3 pares de medias negras y 2 pares de medias blancas,
a) 6400
de ex1raer 2 bolillas de distinto color, que sumen m + 1.
i.cuantas extracciones al azar, media por media, debe realizar Jesus,
3 a) 2(m+1)
m! b) m(m-1)
como minimo, para estar segura de haber formado su regalo?
2m c) 3m!
3
2 d) 3(m-1)
D
D
a) 12
b) 13
c) 14
d) 18
d) 6480
II
e) 20
e) 2(m-1)
En una bolsa hay 19 papelitos enumerados dell al 19. De ellos, los 6 primeros son verdes y el resto, rojos. i.Cuantas extracciones al azar, se deben realizar, para tener la seguridad de obtener 2 papelitos de diferente
D
De 20 relojes, 12 son defectuosos. i.De cuantas maneras podemos ele-
i.Cuantas a)10120 d) 11912
b) 10160 e) 11924
c) 10912
b) 15
c) 14
d) 17
e) 16
En una caja hay 13 cuadraditos, 5 lriangulos, 8 circulos, 10 rectangulos, 4lrapecios y 7 rombos. i.Cual es el menor numsro de objetos que se deben sacar para tener la seguridad de haber extraido 3 grupos diferentes de 6 objetos del mismo tipo? a) 41
D
b) 42
c) 43
d) 50
e) 53
i.A que hora, entre las 4 y las 5, las manecillas de un reloj estan super-
Un bus parte de un punto A, con una D velocidad de c m/s y la mantiene con stante. En ese mismo in stante, aI interior del bus, desde sus ex1remos parten dos personas con velocidades a y b m/s respecto del bus. Si en el instante de la partida, eJ que se mueve con a m/s esta a la altura del punto A, i. a que distancia de A se encuenlran las personas, si la longitud del bus es dmelros?
a)
(a+ d)cm
as c
b) 4h 20 ~ min
c) 4h 21 1~ min
d) 4h 21 ~ min
e) 4h 21 min
D
Luis para ir de su casa al colegio camina a razon ~e 3,6~Lmi~
v
cuando
c) (a + b)cm
a:td
e) (a+b)d
b) 20/899 e) 22/4495 personas,
c) 4/899
como
minimo,
a} 733 d) 365
m
b) 732 e) 360
c) 730
Roberto quiere lIegar puntual aI trabajo, asi que sale de su casa a una velocidad de 36 km/h, pero cierto dia, cuando aun Ie faltaban recorrer los 5/6 de su lrayecto, duplica su velocidad lIegando a su lrabajo con una anticipaciOn de 16 minutos 40 segundos. i.Cuiti es la distancia que hay de su casa allrabajo?
puestas? a) 4h 19 1~ min
c) 3240
deb en reunirse, para asegurar que esten presentes un par y un trio de personas cuyos cumpleaiios se celebran el mismo dia?
color, que sumen 19? a) 13
b) 6420 e) 3500
EI primer dia de cierto mes caera lunes, adernas dicho mes tiene 31 dias. Determina la probabilidad de que, aI escoger 3 dias de dicho mes, estos resulten ser consecutivos y de la misma semana. a) 21/4495 d) 19/4495
gir 5 relojes, de tal manera que, al menos hayan 3 defectuosos?
ubicarse juntos en
m
a+c Determina la hora que marca el rei oj, sisesabeque a-~-7,25·.
a) 18km
b) 21 km
d) 27km
e) 30km
c) 24km
La cornpafiia de telefonia m6vil ·CeIustar'", confrato un empleado para que active las lineas de celulares. i.Cuantas lineas como maximo podra activar el empleado, si el numero de cada celular tiene 9 diaitos. don de el
regresa, a ralon ae JU m/mln. ::'1 en ir y venir ha empleado 44 minutos, i.cual es la distancia que hay de su casa al colegio? a) 960m d) 780m
D
b)900m e) 720m
c) 840m
La clave de la caja fuerte del senor Rodriguezconsta de 5 dlgitos difefentes, donde el primer nurnero no es cero. Si una persona desea abrirla, i.cuantos intentos fallidos como maximo tendra que realizar? 9! 9! a)Si b)9xSf -1 c)4Ix91-1 d)9!x5!
e)9x~-1 4!
:ip, -:: 765
~J
.....
3 ......
b)6h 57~ min
a)5.1OS
b)4.107
c)Gh 56~ min
d) 4.1OS
e)6.1OS
d) Gh56~ min
Una urna contiene 15 bolillas numeradas del 1 al 15. Las seis primeras son rojas,las tres siguientes verdes y las restantes azules. Determina la probabilidad de que al extraer 3 bolillas al azar, salgan de distintos col ores y la suma de los numeros sea par.
e)Gh 55~ min
ID
Luis, Juan, Diego y Federico desean escuchar una clase de electr6nica que se dictara en los 3 locales de dicha facultad. Cada local tiene 6 aulas y cada aula 15 carp etas, para 6 personas cada una. i.De euantas
6
primero siempre es 9 y el segundo puede ser 1, 2, 6, 70 9?
a) 1/455 d) 54/455
b) 27/455 e) 72/455
c) 5.107
c) 53/455
