IV Bimestre 2012

25

Razones

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Razón

Escala de un plano o mapa

Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división. Analicemos el siguiente ejemplo:

Al hacer el plano de una casa o de una ciudad, o al hacer un mapa de un país o continente se establece una escala, que es la razón entre la distancia sobre el plano y la distancia real. Escala =

"Compara las edades de Frank y Gaby que son 40 y 8 años respectivamente".

distancia sobre el plano distancia real

• Comparando por sustracción:

Observación: Dichas distancias se deben encontrar en las mismas unidades.

Razón aritmética:

Ejemplo:

40 años - 8 años = 32 años "La edad de Frank excede a la de Gaby en 32 años".

Resolución:

• Comparando por división: Razón geométrica:

40 años 5 8 años "La edad de Frank es el quíntuple de la edad de Gaby" En General:

A   B  R A 

Razón Aritmética

En ambos casos:

A  RG B    Razón Geométrica

"A" es antecedente "B" es consecuente

R A = valor de la razón aritmética R G = valor de la razón geométrica Observación: * " "A" es a "B" como dos es a cinco" A = 2k y B = 5k * "Las edades de "A" y "B" están en la relación de 3 a 7" A = 3k y B = 7k * " "A"; "B" y "C" son entre sí como 4; 5 y 6" A = 4k ; B = 5k y C = 6k * Cuando se menciona simplemente la razón de dos cantidades consideraremos la razón geométrica. Organización Educativa TRILCE

¿Cuál es el largo de un terreno si en el plano mide 5 cm y está en la escala de 1:100?

Planteamos:

1 5 cm  100 distancia real

La distancia real es: 100(5 cm) = 500 cm = 5 m Ejemplo: En un colegio de 684 alumnos la razón entre el número de 47 alumnos de primaria y secundaria es , encontrar el 10 número de alumnos de secundaria.

Resolución: Sea: P : número de alumnos de primaria S : número de alumnos de secundaria Del enunciado, tenemos que: P + S = 684 ........ (1) P 47  ........ (2) S 10 De (2): P = 47 k y S = 10 k ........ (3) Reemplazando en (1): 47k + 10k = 684 57k = 684 k = 12 Al sustituir en (3) obtenemos el número de alumnos en secundaria:  S = 10k = 120

175

Razones

Test de aprendizaje previo • Sabiendo que Juan tiene S/. 200 y Hugo S/. 50 me piden: 1. ¿Cuál es su razón aritmética?

2. ¿Cuál es su razón geométrica?

a 4  y 2a + b = 105 b 7 hallar el valor de "a + b"

5. Sabiendo que:

a 11  y 2a - b = 48 b 6 hallar la razón aritmética de dichos números.

6. Sabiendo que:

3. Dos números son entre sí como 9 es a 5 y su razón aritmética es 24. Hallar el mayor de dichos números. a 3  y ab = 24 b 2 hallar el valor de "a + b"

7. Sabiendo que:

4. La razón de dos números es 2/3 y la suma de los dos es igual a 40. Hallar el menor de dichos números. 8. Hallar el mayor de dos números, sabiendo que su suma es igual a 40 y su razón aritmética es igual a 12.

176

Segundo Año de Secundaria

ARITMÉTICA 9. Dos números están en la relación de 2 a 5. Si se añade 80 a uno y 50 al otro se hacen iguales. ¿Cuál es la diferencia entre estos números?

10.¿En qué relación se encuentra la parte sombreada de la no sombreada en la siguiente figura?

Practiquemos Bloque I

a) 3 d) 42

A 3  y A + B = 30 B 2 hallar el valor de "A"

b) 9 e) 8

c) 18

A 7  y A - B = 12 B 4 hallar "A + B"

a b  y 3 4 hallar "a + b"

3. Si:

a) 28 d) 14

b) 4 e) 44

c) 28

b) 34 e) 38

c) 35

a) 15 d) 20

b) 10 e) 8

c) 12

7. En una caja hay caramelos de fresa y limón. Si por cada caramelo de fresa hay 3 caramelos de limón, ¿cuántos caramelos de fresa hay, si en total hay 80 caramelos en la caja?

a2 + b2 = 100

b) 11 e) 50

a) 33 años d) 36

6. Dos números están en relación de 2 a 3. Si se aumenta 15 a uno de ellos y 10 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el mayor?

2. Si:

a) 15 d) 16

c) 7

5. Las edades de David y Jorge son entre sí como 8 es a 9. Si David tiene 32 años, ¿cuántos años tiene Jorge?

1. Si:

a) 6 d) 12

b) 12 e) 17

c) 9

a b  y 2a + 3b = 111 5 9 calcular "b - a"

4. Si:

Organización Educativa TRILCE

a) 18 d) 30

b) 20 e) 40

c) 25

8. La razón aritmética de las edades de Frank y Aldo es 20 y su razón geométrica es 9/4. Hallar la edad de Frank. a) 20 años d) 16

b) 45 e) 54

c) 36

177

Razones 9. Se tienen dos recipientes con agua: "A" y "B". En el primero hay 20 litros y en el segundo el doble. Si del primer recipiente se pasan 5 litros al segundo, entonces el número de litros que quede en el recipiente "A" es al número de litros que ahora hay en "B" como: a) 1 es a 3 d) 2 es a 5

b) 2 es a 3 e) 2 es a 1

c) 1 es a 2

10.Si las edades de Pilar y Gaby hoy son 19 y 7 años, determinar la razón aritmética dentro de 8 años. a) 9 a 5 d) 12 años

b) 5 a 9 e) 20 años

c) 8 años

Bloque II

A2 B2  y A + B = 100 9 49 hallar el valor de "B" b) 7 e) 21

c) 10

a2 b2  y b - a = 18 8 50 hallar "a + b" b) 20 e) 42

c) 14

3. La razón de las edades de César y Luis es 5/4 y dentro de dos años sus edades sumarán 31 años. ¿Qué edad tiene César? a) 15 años d) 14

b) 12 e) 30

c) 17

4. Las edades de Juan y Norma son 32 y 24 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6? a) 10 d) 12

b) 18 e) 24

c) 15

5. En una granja el número de pollos es al número de gallinas como 3 es a 5, siendo su diferencia 24. ¿Cuál es la nueva relación de pollos a gallinas si se mueren 12 gallinas? a)

3 5

b)

3 4

d)

1 5

e)

2 7

c)

2 3

6. La suma de las edades de dos hermanos es 42 años. Si su razón geométrica es 5/2, hallar la edad del hermano menor dentro de 4 años. a) 15 años d) 8

178

b) 12 e) 16

c) 10

b) 120 e) 210

c) 150

8. Dos números son entre sí como 4 es a 7. Si su suma es 88, hallar su diferencia. a) 24 d) 18

b) 32 e) 36

c) 16

9. La razón geométrica de dos números es 3/5. Si se aumenta 46 unidades a uno de ellos y 78 al otro se obtendrían cantidades iguales. Dar la suma de cifras del número menor. b) 12 e) 16

c) 8

10.Las edades de Juan y Arturo son 12 y 18 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años la razón de sus edades será 9/11? a) 10 años d) 18

2. Si:

a) 30 d) 16

a) 100 d) 180

a) 10 d) 7

1. Si:

a) 30 d) 70

7. Dos números son entre sí como 7 es a 3. Si su razón aritmética es 120, hallar el número mayor.

b) 12 e) 20

c) 15

Bloque III 1. En una caja hay 150 cuadernos, 90 de pasta roja y el resto de pasta azul. ¿Cuántos cuadernos rojos se deben retirar para poder afirmar que por cada 5 cuadernos rojos hay 4 azules? a) 15 d) 30

b) 20 e) 35

c) 25

2. En una fábrica trabajan 240 personas y se observa que por cada 4 hombres hay 1 mujer. ¿Cuántas mujeres deben contratarse de tal forma que se tenga 3 hombres por cada 2 mujeres? a) 50 d) 75

b) 60 e) 80

c) 70

3. La razón geométrica de las velocidades de "A" y "B" es 4/3. Si en 10 minutos "A" recorre 200 m, ¿cuánto recorrerá "B" en media hora? a) 300 m d) 150

b) 450 e) 360

c) 600

4. Francesca nació 8 años antes que Gaby y hace 6 años sus edades estaban en la misma relación que los números 9 y 5. Si dentro de "n" años la razón de sus edades será 5/4, hallar "n". a) 15 años d) 18

b) 12 e) 16

c) 20


ARITMÉTICA 5. A un evento deportivo asistieron 4 hombres por cada 5 mujeres y 3 mujeres por cada 7 niños. Si en total asistieron 1860 personas, hallar la razón aritmética entre el número de hombres y el número de niños. a) 540 d) 690

b) 360 e) 510

c) 480

6. En una caja hay 280 bolas de tres colores distintos. Si se observa que por cada 2 bolas azules hay 5 blancas y por cada 3 blancas hay 7 verdes, ¿cuántas bolas verdes hay? a) 135 d) 175

b) 145 e) 196

c) 155

7. Si Frank le da a Aldo 10 m de ventaja para una carrera de 100 m y Aldo le da a Freddy una ventaja de 20 m para una carrera de 180 m, ¿cuántos metros de ventaja debe dar Frank a Freddy para una carrera de 200 m? a) 40 m d) 45

b) 30 e) 55

c) 50

8. Lo que cobra y lo que gasta diariamente una persona suman S/.60, y lo que gasta y lo que cobra está en la relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5? a) S/.4,2 d) S/.4,8

b) S/.2,4 e) S/.6,8

c) S/.4,5

9. En una fábrica embotelladora se tiene tres máquinas "A", "B" y "C"; por cada 7 botellas que produce la máquina "A", la máquina "B" produce 5 y por cada 3 botellas que produce la máquina "B", la máquina "C" produce 2. En un día la máquina "A" produjo 4400 botellas más que "C". ¿Cuántas botellas produjo la máquina "B" ese día? a) 5 000 d) 8 000

b) 2 000 e) 6 000

c) 4 000

10.En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presentó una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? * No hubo abstenciones. a) 915 d) 840

b) 812 e) 816

c) 810

Autoevaluaciòn 1. En un salón de clase, el número de varones es al de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo se retiran 1/5 de las mujeres y 1/3 de los varones, ¿cuál es la nueva relación entre el número de varones y de mujeres? a) 3 a 5 d) 4 a 2

b) 3 a 2 e) 6 a 5

c) 5 a 2

2. Juan y Hugo tienen entre los dos $ 4 200 y su dinero está en relación de 5 a 2. ¿Cuánto dinero debe darle Juan a Hugo para que la nueva relación sea de 3 a 4? a) $ 1 000 d) 2 100

b) 1 200 e) 2 400

c) 1 600

3. Un comerciante tiene lapiceros rojos y azules en razón de 7 a 4. Si vende los 2/5 del total de lapiceros de los cuales 3/5 son rojos y el resto azules, ¿cuál es la nueva relación de lapiceros rojos y azules?

3 a) 2

4 b) 11

5 c) 7


d)

7 11

e)

109 56

4. Al restar 4 unidades a cada uno de los términos de una razón geométrica, se obtiene el doble del cuadrado de dicha razón. Indique la razón aritmética de los términos de la razón geométrica inicial. a) 18 d) 21

b) 19 e) 22

c) 20

5. A una fiesta, asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta?

a)

2 3

b)

4 5

d)

3 4

e)

5 3

c)

1 3

179

Razones

Tarea domiciliaria 1. Halle la razón aritmética y geométrica de 91 y 7. 2. Calcula la razón aritmética y geométrica de 144 y 32.

18.Hallar el mayor de dos números "a" y "b" enteros, sabiendo que son proporcionales a 4 y 5; además cumplen la condición: a² – ab + b² = 84.

3. Si:

a 2  y además: a + b = 35; hallar "a". b 3

19.Las habilidades de dos obreros son como 7 y 12. Cuando el primero haya hecho 350 m de una obra, ¿cuánto habrá hecho el otro?

4. Si:

a 2  y a.b = 1 000; calcular "a + b". b 5

20.Si "M" y "N" son entre sí como 5 es a 9, ¿cuál será el valor de: 5N  3M L  ? NM

5. La razón de dos números es 17 y el consecuente es 5. Hallar el antecedente. 6. La razón de dos números es 3/5 y la suma de dichos números es 72. ¿Cuál es la razón aritmética? 7. Si "a" es a "b" como 4 es a 5 y además la suma de dichos números es 90, hallar "2a – b". 8. Si "x" es a "y" como 4 es a 5 y su diferencia es 6, hallar el mayor de los números. 9. Tres números están en la misma relación que los números 2; 3 y 7; además la diferencia entre el segundo y el primero es 5. Hallar el tercer número. 10.Tres números son entre sí como 2; 8 y 7 respectivamente; además la suma de los dos primeros es 30. ¿Cuánto vale el tercero? 11.Si:

A 5  y A² – B² = 2 100 ; hallar "A". B 2

12.Si:

A 9  B 4

y

A 

B  4 ; hallar "A+B".

13.Tres números son entre sí como 3; 4 y 7. Hallar el mayor de los números, sabiendo que la suma de ellos vale 4 200.

21.Frank tuvo a su hijo cuando él tenía 25 años. Si actualmente la relación de sus edades es de 8 a 3, ¿cuántos años tiene el hijo? 22.Un recipiente tiene 7 litros de vino menos que otro. Si la relación de sus contenidos es de 5 a 4, ¿cuántos litros hay en total entre los dos recipientes? 23.La edad de un hijo es a la edad de su padre como 3 es a 5 y dentro de 20 años la relación de sus edades será como 5 es a 7. ¿Cuántos años tiene el padre? 24.La suma de las edades de Pepa y Pepe es 40 años. Si sus edades están en relación de 1 a 4, ¿cuántos años han de pasar para que la relación de sus edades sea de 2 a 5? 25.La razón de un número y su recíproco es 49. Hallar dicho número. 26.La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el mayor de los dos números. 27. Dos números están en relación de 2 a 5, pero agregando 175 al primero y 115 al segundo, los dos serían iguales. Hallar la suma de los números.

14.Si "a"; "b" y "c" son entre sí como 5; 7 y 11 y cumplen la condición: a² + b² + c² = 780; hallar "abc".

28.La riqueza de "A" es a la de "B" como 2 es a 3 y la riqueza de "B" es a la de "C" como 4 es a 5. Sabiendo que "A" y "C" tienen juntos 230 soles, hallar la riqueza de "B".

15.¿Dentro de cuántos años, la relación de las edades de dos personas será 6/5; si sus edades actuales son 30 y 20 años?

29.¿Cuál es la mayor de las tres partes en que se divide a 205, de tal manera que la primera sea a la segunda como 2 es a 5 y la segunda a la tercera como 3 es a 4?

16.La razón de dos números es 3/8 y su suma es 2497. Encontrar el menor de los números y señalar su cifra mayor

30.La suma del antecedente y consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su diferencia, si su razón vale 0,04?

17. Dos personas tienen juntas S/. 952 y la cantidad que tiene la primera es a la cantidad que tiene la segunda como 2/3 es a 3/4. ¿Cuánto tiene la segunda?

180


26

Proporciones


Proporción geométrica

Proporción Se llama proporción a la igualdad de dos razones aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismo valor, puede ser de dos clases:

Cuando se igualan dos razones geométricas que tienen el mismo resultado, es decir: A C  B D

Proporción aritmética Cuando se igualan dos razones aritméticas que tienen el mismo resultado, es decir: A-B=C-D "A" y "D" son términos extremos. "B" y "C" son términos medios. La proporción aritmética puede ser: • Proporción aritmética discreta Cuando los términos medios son diferentes, es decir: A-B=C-D

donde: B  C

a "D" se le llama cuarta diferencial de "A", "B" y "C". • Proporción aritmética continua Cuando los términos medios son iguales, es decir: A-B=B-D a "B" se le llama media diferencial de "A" y "D"; a "D" se le llama tercera diferencial de "A" y "B". * Ejemplo de proporción aritmética continua: Sean las razones aritméticas: 30 - 24 = 6 24 - 18 = 6 Al igualar dichas razones se obtiene la proporción aritmética:

30 - 24

=

24 - 18

"A" y "D" son términos extremos. "B" y "C" son términos medios. La proporción geométrica puede ser: • Proporción geométrica discreta Cuando los términos medios son diferentes, es decir: A C  donde: B  C B D a "D" se le llama cuarta proporcional de "A", "B" y "C".

• Proporción geométrica continua Cuando los términos medios son iguales, es decir: A B  B D a "B" se le llama media proporcional de "A" y "D"; a "D" se le llama tercera proporcional de "A" y "B".

* Ejemplo de proporción geométrica discreta: Sean las razones geométricas: 12 1 32 1  y  24 2 64 2 Las cuales al igualar obtenemos la proporción geométrica: 12 32  24 64

12 y 64 son términos extremos y 24 y 32 son términos medios. Propiedad Fundamental

Propiedad fundamental En las proporciones aritméticas se cumple: "La suma de sus términos extremos es igual a la suma de sus términos medios". En el ejemplo:

30 + 18 = 24 + 24


En la proporción geométrica se cumple: "El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios". En el ejemplo: 12 × 64 = 24 × 32

181

Proporciones

E je rc ic io s 1. Hallar la cuarta diferencial de 11; 5 y 19.

Resolución: 11 - 5 = 19 - d d = 13 2. Halle la media diferencial de 60 y 24.

Resolución: 60 - b = b - 24 60  24 2 b = 42

b=

3. Hallar la cuarta proporcional de 4; 8 y 6.

Resolución: 4 6  8 d 86 4 d = 12

d=

4. Halle la media proporcional de 9 y 25.

Resolución: 9 b  b 25 Luego:

b2 = 9 × 25 b = 15

Bloque I

Test de Aprendizaje 1. Hallar la cuarta diferencial de 25 ; 17 y 23.

4. Hallar la tercera proporcional de 12 y 18.

5. Hallar la media proporcional de 12 y 75. 2. Hallar la media diferencial de 21 y 17.

• Sabiendo que la cuarta proporcional de 6 ; 15 y "a" es 20 y la media proporcional de 36 y "b" es 12. 6. Hallar el valor de "a" 3. Hallar la cuarta proporcional de 12; 18 y 28.

182


ARITMÉTICA 7. Hallar el valor de "b"

9. En una proporción geométrica continua un extremo es el cuádruplo del otro y la media proporcional es 18. Hallar el mayor extremo.

8. Hallar la cuarta proporcional de "a"; "b" y 60.

10.El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 256. Si uno de los extremos es 8, dar el otro extremo.

Practiquemos 1. Hallar la media diferencial de 18 y 22. a) 14 d) 20

b) 18 e) 22

c) 16

b) 16 e) 9

b) 40 e) 90

c) 60

5. Hallar la cuarta diferencial de 25; 17 y 32.

2. Hallar la media proporcional de 36 y 64. a) 12 d) 10

a) 20 d) 80

c) 48

3. Hallar la tercera diferencial de 52 y 40. a) 28 b) 26 c) 24 d) 22 e) 20 4. Hallar la tercera proporcional de 40 y 60. Organización Educativa TRILCE

a) 20 d) 26

b) 22 e) 28

c) 24

6. Hallar la cuarta proporcional de 35; 5 y 42. a) 10 d) 7

b) 9 e) 6

c) 8

7. En una proporción geométrica continua, la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia es 21. ¿Cuál es

183

Proporciones la media proporcional? a) 5 d) 20

b) 10 e) 8

términos medios. c) 15

8. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 45 y la diferencia de los mismos es 27. Hallar la media proporcional. a) 42 d) 32

b) 45 e) 15

c) 18

9. En una proporción geométrica continua, el producto de los cuatro términos es 4096. Hallar la media proporcional. a) 3 d) 6

b) 4 e) 12

c) 8

10.En una proporción geométrica continua cuya razón es 2/3; la media proporcional es 36. Hallar la suma de los extremos de la proporción. a) 72 d) 78

b) 60 e) 42

c) 52

Bloque II 1. En una proporción geométrica uno de los extremos es 9 y la media proporcional es 36. Hallar el otro extremo. a) 142 d) 132

b) 145 e) 144

c) 118

2. En una proporción aritmética continua, se sabe que la suma de los medios es 18 y el segundo consecuente es 5. Calcular la diferencia de los extremos. a) 3 d) 6

b) 4 e) 12

c) 8

3. En una proporción geométrica discreta los antecedentes son 12 y 3 y la cuarta proporcional es 2. Determinar la suma de todos los términos de esta proporción. a) 20 d) 26

b) 22 e) 25

c) 24

4. Si los antecedentes de una proporción geométrica continua son 9 y 6, halle la tercera proporcional. a) 3 d) 6

b) 4 e) 12

c) 8

5. En una proporción geométrica continua el producto de los extremos es 144. Hallar la media proporcional. a) 12 b) 16 c) 48 d) 10 e) 9 6. En una proporción geométrica continua el producto de los cuatro términos es 625. Hallar la suma de los

184

a) 5 d) 20

b) 10 e) 8

c) 15

7. En una proporción geométrica los extremos suman 75 y su diferencia es 15. Hallar el producto de los medios. a) 1 400 d) 1 350

b) 1 450 e) 1 440

c) 1 300

8. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 60 y la diferencia de los mismos es 48. Hallar la media proporcional. a) 5 d) 20

b) 10 e) 18

c) 15

9. En una proporción geométrica continua, el primer término es 1/9 del cuarto término. Si la suma de los medios es 72, hallar la diferencia de los extremos. a) 20 d) 96

b) 92 e) 25

c) 24

10.En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Hallar la media proporcional. a) 20 d) 80

b) 30 e) 90

c) 60

Bloque III 1. Hallar la cuarta proporcional de 9; 12 y 15. a) 20 d) 16

b) 27 e) 30

c) 24

2. Hallar la media proporcional de 8 y 18. a) 12 d) 27

b) 15 e) 30

c) 18

3. En una proporción aritmética continua la media diferencial es 18 y uno de los extremos es 10, hallar el otro extremo. a) 18 d) 32

b) 21 e) 36

c) 26

4. La suma de los extremos de una proporción geométrica es 36 y su diferencia es 4. Hallar el producto de los términos medios. a) 160 d) 144

b) 240 e) 320

c) 180

5. En una proporción geométrica continua los extremos son entre sí como 9 es a 4 y su razón aritmética es 15. Segundo Año de Secundaria

ARITMÉTICA Hallar la media proporcional. a) 18 d) 24

6. Si:

b) 15 e) 32

c) 21

a 7  b 5

Hallar:

términos extremos es 130 y su diferencia es 120. Indicar la cifra mayor de dicha media proporcional. a) 1 d) 2

b) 5 e) 3

c) 4

9. El producto de los cuatro términos de una proporción es 176 400. Si el primero de estos términos es 12, ¿cuál es el cuarto término?

a2  b2 2b2

a)

37 50

b)

37 25

d)

37 100

e)

17 15

c)

74 25

7. Hallar la cuarta proporcional de 4; 7 y 12. Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número. a) 1 b) 5 c) 21 d) 2 e) 3 8. Determinar la media proporcional de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de los

a) 15 d) 32

b) 25 e) 35

c) 21

10.En una proporción geométrica continua el mayor de los términos es 25 y el término intermedio es 20. Hallar la suma de los cuatro términos. a) 75 b) 92 c) 81 d) 105 e) 115 1. Hallar los números que completan las siguientes proporciones aritméticas:

Autoevaluaciòn 1. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 18. Si la diferencia de sus extremos es 6, calcular el producto de los cuatro términos. a) 81 d) 625

b) 256 e) 100

c) 16

2. La media proporcional entre "a" y "b" es 12 y la tercera proporcional entre "a" y "b" es 96. Hallar: a2 + b a) 40 d) 30

3. Sabiendo que: Además:

b) 50 e) 20

c) 60

a b  b c a - c = 16

a 

a) 20 d) 28

b) 24 e) 64

c) 15

a c  y (a - b) (c - d) = 36 b d Hallar: E  ac  bd

4. Si:

a) 2 d) 8

b) 4 e) 12

c) 6

5. Hallar la suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua, si se sabe que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 17 es a 15 y la diferencia entre el cuarto término y la razón es 3. a) 175 d) 223

b) 164 e) 195

c) 324

c 8

Hallar "b"


185

Proporciones

Tarea domiciliaria a)

– 15 = 91 - 84

b) 109 - 90 = c) 37 -

- 30

= 25 - 11

2. Hallar los números que completan las siguientes proporciones geométricas: a.

12

=

20 30

c.

4. Hallar la media diferencial de 30 y 16. 5. Hallar la tercera diferencial de 29 y 17. 6. Hallar la cuarta proporcional de 25; 35 y 45. 7. Hallar la cuarta proporcional de 12 ; 15 y 20. 8. Hallar la tercera proporcional de 18 y 24. 9. Hallar la media proporcional de 12 y 3. 10.Los ángulos de un triángulo están en la relación de 4; 7 y 9. Calcular el mayor de los ángulos. 11.La media proporcional de 16 y "a" es 12. ¿Cuál es la media proporcional de "a" y 49? 12.Si la cuarta proporcional de 15; 40 y 6 es "b", ¿cuál es la media proporcional de "b" y 49? 7 91  3 n

y

132 11  m 3

hallar "m + n" a 8 81 36   14.Si: y 36 12 b 16

hallar "a . b" 15.El producto de los términos extremos (enteros positivos) de una proporción geométrica es 36 y la suma de los medios (enteros positivos) es 13. Hallar la diferencia de los medios. 16.En una proporción aritmética discreta los términos extremos están en la relación de 7 a 5. Si la suma de los

186

18.La suma, diferencia y producto de dos números están en la misma relación que los números 15; 7 y 44. Hallar el mayor.

20.Dos números son entre sí como 7 es a 9. Si la suma de los cuadrados de estos números es 3 250, hallar la diferencia de dichos números.

26 = 34

3. Hallar la cuarta diferencial de 39 ; 15 y 28.

13.Si:

17. En una proporción aritmética continua los extremos son entre sí como 7 es a 3. Si el término medio es 45, hallar la diferencia de los extremos.

19.La suma, diferencia y producto de dos números están en la relación de 7; 1 y 48. Hallar el mayor.

15 19 b. = 30 13

medios es 180, calcular la cuarta diferencial.

21.En una reunión por cada cinco hombres hay siete mujeres. Si la diferencia entre hombres y mujeres es 42, ¿cuántos hombres asistieron a la reunión? 22.Si:

a b  y a2 - 2b2 + c2 = 169; hallar "a - c". b c

23.Si a los números 4; 9; 32 y 47 se le añade una misma cantidad se forma entre ellos una proporción geométrica. Hallar dicha cantidad. 24.Si a los números 4; 7; 14 y 22 se le añade una misma cantidad se forma entre ellos una proporción geométrica. Hallar dicha cantidad. 25.En un instante el número de varones y el número de mujeres están en la relación de 7 a 8, cuando se retiran seis varones están en la relación de 25 a 32. ¿Cuántas mujeres hay? 26.La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 104. Hallar la media proporcional, si la razón es 2/3. 27. En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 39 y la diferencia de los mismos es 15. En consecuencia la media proporcional es: 28.En una proporción continua se tiene que todos los términos suman 50; además el primer y el tercer término están en la razón de 1 a 4. ¿Cuánto suman los extremos? 29.Si:

ab 3 bc 3 ac  ;  ; calcular: ab 5 bc 7 ac

30.En una proporción geométrica continua, el producto de los cuatro términos es 20736. Si el segundo término es cuádruplo del primero, hallar el mayor de los términos.


27

Regla de tres simple


Regla de tres Es un método especial de resolución para problemas de magnitudes proporcionales donde intervienen dos o más magnitudes.

Regla de tres simple En este caso intervienen sólo dos magnitudes proporcionales. Dependiendo de las magnitudes que intervienen, la regla de tres simple puede ser: Directa o inversa. 1. Regla de tres simple directa "Cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P.)" Magnitud "A" a c

D.P.

Método práctico: x 

Magnitud "B" b x

b.c a

* Ejemplo: Si un carpintero hace 35 carpetas en una semana, ¿cuántas carpetas fabricará en 12 días?

2. Regla de tres simple inversa "Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (I.P.)" Magnitud "A" a c

Método práctico: x =

Resolución:

Las dos magnitudes que intervienen son: obreros y tiempo; pues la obra es la misma. Notamos que a "mayor" número de días se necesitará "menor" número de obreros. Obreros 10 x

I.P.

Las magnitudes que intervienen son: obra y tiempo.

x=

35.12 = 60 carpetas 7

Tiempo (días) 7 12

Tiempo (días) 12 15

10 .12 = 8 días 15

E jercicios

Notamos que a "mayor" tiempo el carpintero podrá fabricar "mayor" número de carpetas.

D.P.

a.b c

Si una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en 12 días, ¿con cuántos obreros se hará la misma obra en 15 días?

x=

Además los valores de una magnitud deben estar en las mismas unidades. Así: 1 semana = 7 días

Magnitud "B" b x

* Ejemplo:

Resolución:

Obra (N° de carpetas) 35 x

I.P.

1. Un barco tenía 1 900 kg de alimentos que serviría para un viaje de 38 días; sin embargo, el viaje sólo duró 30 días. Calcule qué cantidad de alimentos sobró.

Resolución:

Si el viaje duró "menos" días se habrá utilizado "menos" alimento (D.P.) kg de alimento 1 900 x

D.P.

Tiempo (días) 38 30

1 900 .30  x = 1 500 kg 38 Se utilizó 1 500 kg, entonces sobró: 1 900 - 1 500 = 400 kg

x=


187

Regla de tr es sim ple 2. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días y después de 5 días de trabajo se retiran tres obreros. ¿Con cuántos días de atraso se terminó la obra?

obreros 8 5

Resolución:

x=

En este tipo de problemas debemos plantear la regla de tres en "lo que falta" por hacer.

8 obreros en 15 días (1er grupo) “lo hubiera hecho” 5 días se hizo

I.P.

FALTA

tiempo (días) 15 x

15 . 8  x = 24 días 5

Retraso = 24 - 15 = 9 días Respuesta: La obra se entregó con 9 días de atraso.

Bloque I

5 obreros en "x" días (2do grupo) "lo hicieron"

Test de Aprendizaje 1. Si 12 lapiceros cuestan S/. 48, ¿cuál será el precio de 4 lapiceros?

4. 24 sastres pueden hacer un trabajo en 30 días, ¿cuántos sastres habrá que aumentar para hacer dicho trabajo en 20 días?

2. Si 20 obreros pueden hacer una obra en 30 días. ¿Cuántos días se demorarán 15 obreros en hacer la misma obra?

5. Si 18 señoras tejen 60 chompas; 54 señoras, ¿cuántas chompas tejerán?

3. Si media docena de cuadernos cuesta S/. 21, ¿cuántos cuadernos se podrán comprar con S/. 35?

188

6. Si 20 obreros pueden construir un muro en 9 días, ¿cuántos días se demorarán 15 obreros?


ARITMÉTICA 7. Un empleado realiza su labor en 5 días trabajando 8 horas diarias. Si aumenta 2 horas más de trabajo por día, ¿cuántos días demoraría en realizar dicha labor?

9. Del problema anterior, ¿cuántos hombres más hubieran hecho falta?

8. Si 8 hombres pueden hacer una obra en 3 días, ¿cuántos hombres harían la misma obra en 2 días?

10.Para cortar un árbol en 4 pedazos me cobran S/. 12, ¿cuánto me cobrarían para cortarlo en 10 pedazos?

Practiquemos 1. Un grupo de 5 jardineros iban a podar un jardín en 6 horas. Sólo fueron 3 jardineros. ¿Qué tiempo emplearán en podar el jardín? a) 12 h d) 8

b) 9 e) 14

c) 10

2. El precio de 2 1 2 docenas de naranjas es S/.24. ¿Cuál será el precio de 18 naranjas? a) S/.12,20 d) 14,40

b) 15,30 e) 10,50

c) 16,20

a) $ 2 000 d) 1 500

b) 1 800 e) 2 250

c) 1 750

4. Un terreno se vende por partes, los 2/5 se vendieron en $ 30 000. ¿En cuánto se vendería 1/3 del terreno? a) $ 28 000 d) 27 500

b) 16 000 e) 25 000

c) 22 000

5. Un automóvil consume 3 3 4 galones de gasolina cada 120 km. ¿Cuántos galones consumirá para recorrer una distancia de 180 km?

3. Se vendió los 5/9 de un terreno en $2500, ¿en cuánto se venderá la otra parte?


189

Regla de tr es sim ple 3 5 a) 6 galones b) 5 8 8

d) 3

4 5

e) 5

1 c) 6 2

4 5

a) 37,5 km d) 22,5

6. Una secretaria escribe a máquina a razón de 180 palabras por minuto. ¿A qué hora terminará con un dictado de 5 400 palabras, si comenzó a las 9:52 a.m.? a) 10:42 a.m. b) 10:18 d) 10:22 e) 10:24

c) 10:28

7. Un grupo de amigos disponía de S/. 360 para gastar vacacionando durante 4 días. ¿Para cuántos días les alcanzarían S/.630? a) 7 días d) 6

1 2

b) 6 e) 8

c) 8 1 2

d) 22

b) 26 1 2

e) 21

c) 20

1 3

1 2

9. En el hogar de los Petizos, hay desayuno para 24 niños durante 20 días. Después de 5 días, se retiraron 9 niños. Calcular el número de días que habrá desayuno para los restantes. a) 21 d) 25

b) 24 e) 23

c) 22

10.El anfitrión de una fiesta calculó que para sus 40 invitados tendría licor durante 4 horas. Pero resultó que después de 1 hora que comenzó la fiesta, llegaron a un mismo tiempo 20 amigos de su promoción. ¿Qué tiempo más durará el licor? a) 3 h d) 2

1 2

b) 3

1 4

c) 2

1 4

1. Un pintor emplea 45 minutos en pintar una pared cuadrada de 3 metros de lado. ¿Qué tiempo empleará en pintar otra pared de 4 metros de lado?

190

c) 17,2

a) 45 d) 48

b) 42 e) 40

c) 36

4. Un grupo de 9 peones pueden cavar una zanja en 4 días. ¿Cuántos peones más se deberían contratar, para cavar la zanja en sólo 3 días? b) 3 e) 15

c) 6

5. Por pintar todas las caras de un cubo, se cobró S/.15. ¿Cuánto se cobrará por pintar sólo dos de sus caras? a) S/.2,50 d) 4,50

b) 5 e) 6

c) 7,50

6. Tres de cada 576 encendedores que se fabrican resultan defectuosos; ¿cuántos encendedores, sin defecto, habrán en un lote de 2 880 encendedores? a) 2 877 d) 2 865

b) 2 875 e) 2 855

c) 2 868

7. Si 36 naranjas cuestan 18 soles, ¿cuánto se pagará por tres decenas de naranjas? a) S/. 7 d) 15

b) 10 e) 16

c)12

8. Un agricultor demoró 8 horas en sembrar un terreno de forma cuadrada, de 120 m de lado. ¿Qué parte de otro terreno de 160 m de lado podrá sembrar en 12 horas?

a)

5 6

b)

25 48

d)

9 16

e)

15 36

c)

27 32

e) 2

Bloque II

a) 75 min d) 72

b) 43,5 e) 24,5

3. Si 18 obreros pueden terminar una obra en 65 días, ¿cuántos obreros se requieren para terminarla en 26 días?

a) 12 d) 9

8. Un grupo de gallinas tiene maíz para 18 días; después de 3 días, se sacrifica a la tercera parte. ¿Cuántos días durará el maíz para las restantes? a) 24

2. Un ciclista recorre 75 m cada 3 segundos, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 1/4 de hora?

b) 81 e) 76

c) 80

9. Un grupo de 9 secretarias se comprometió en hacer un trabajo de mecanografía en 6 horas. Después de 2 horas de trabajo, se retiran 3 secretarias. ¿En cuántas horas más, del tiempo acordado, terminarán el trabajo las secretarias que quedan? a) 3 h d) 3,5

b) 1,5 e) 2,5

c) 2


ARITMÉTICA 10.Un burro atado a una soga de 4 m demora 6 horas en comer el pasto que está a su alcance. ¿Qué tiempo hubiera empleado en comer el pasto a su alcance, si la soga fuera de 6 m? a) 10

1 h 2

b) 7

1 3

d) 15

1 2

e) 14

c) 13

1 2

1 3

1. Para recorrer los 4 lados de un rectángulo de tres metros de largo y dos de ancho, una hormiga demora 8 minutos. ¿Cuántos minutos tardará la misma hormiga en recorrer los lados de otro rectángulo de 9 metros de largo y 6 de ancho? b) 15 e) 24

c) 18

2. Con 20 obreros se podría terminar una obra en 10 días. Si trabajaran 5 obreros más, ¿cuántos días tardarían en terminar la misma obra? a) 4 d) 10

b) 6 e) 12

c) 8

3. Los 3/8 de una obra se pueden hacer en 15 días, ¿en cuántos días se terminará lo que falta de la obra? a) 20 d) 28

b) 25 e) 22

c) 30

4. Con una ración de tres veces por día un destacamento se alimenta durante 60 días. Si se reduce a dos raciones diarias, ¿cuántos días se podría alimentar adicionalmente el destacamento? a) 30 d) 80

b) 60 e) 50

a) 9 d) 20

b) 18 e) 10

c) 27

6. Si cierto número de sastres hacen 30 ternos, y tres sastres menos hacen 12 ternos, ¿cuántos ternos harán tres sastres?

Bloque III

a) 12 d) 20

5. Un ingeniero debidamente preparado tiene un rendimiento promedio de 90%. Si éste puede formular y evaluar un proyecto en 15 días, ¿en cuántos días podría hacer el mismo trabajo otro ingeniero con un rendimiento del 50%?

c) 90

a) 5 d) 18

b) 10 e) 24

c) 15

7. Un tornillo perfora 3/10 de milímetro en 25 vueltas, ¿cuántas vueltas necesitará para perforar 4,5 milímetros? a) 375 d) 527

b) 357 e) 735

c) 537

8. Si las 3/4 partes de una obra se pueden hacer en 15 días, ¿en cuántos días se haría la obra entera? a) 5 d) 20

b) 10 e) 25

c) 15

9. Un fusil automático ligero puede disparar 6 balas en 2 segundos, ¿cuántas balas disparará en un minuto? a) 149 d) 151

b) 181 e) 150

c) 180

10.Dos engranajes de 30 y 36 dientes están en contacto. Si el primero da 42 RPM, halla cuántas RPM dará el segundo engranaje. a) 25 d) 38

b) 35 e) 28

c) 45

a) 36 d) 132

b) 72 e) 144

c) 120

Autoevaluaciòn 1. Dos hombres y 4 niños pueden hacer una obra en 6 días, pero con 2 hombres más pueden hacer el mismo trabajo en 4 días. ¿En cuántos días hará dicha obra un hombre trabajando solo? a) 42 días d) 22

b) 43 e) 24

c) 44

2. Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 8 días. ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular, pero del doble de dimensiones? a) 40 días d) 28

b) 32 e) 16

c) 36

3. Un reloj se atrasa 10 minutos cada día. ¿En cuántos días volverá a marcar la hora correcta? Organización Educativa TRILCE

4. Si Juan es 25% más eficiente que Pepo, ¿en cuántos días terminará una obra Pepo, si Juan lo hace en 20 días? a) 15 d) 25

b) 18 e) 32

c) 24

5. Una ventana cuadrada es limpiada en 2 horas 40 minutos. Si la misma persona limpia otra ventana cuadrada cuyo lado es 25% menor que la anterior, ¿qué tiempo demora? a) 90 min. d) 2 horas

b) 80 min. e) 85 min.

c) 1 hora

191

Regla de tr es sim ple

Tarea domiciliaria 1. Treinta pintores tardan 40 días en pintar una casa. Si duplicamos el número de pintores, ¿cuántos días tardarán en pintar otra casa de iguales dimensiones a la primera? 2. Una expedición de 80 hombres tiene víveres para 30 días. Si se incrementan 20 hombres, ¿para cuántos días alcanzarán los víveres? 3. El costo de 17 cuadernos es de S/. 91. ¿Cuánto costarán 85 cuadernos? 4. De cada 120 alumnos se sabe que 35 viven en zona residencial. ¿Cuántos no viven en zona residencial de un total de 1 080 alumnos? 5. Una cuadrilla de campesinos tarda 18 horas en cosechar un terreno de forma cuadrada de 12 m de lado. ¿Cuántas horas tardarán en cosechar otro terreno de forma cuadrada, pero de 16 m de lado? 6. Si con 50 obreros se puede hacer una obra en 20 días, ¿cuántos días tardarán en hacer la misma obra 200 obreros? 7. Un alumno lee un libro de 200 páginas en 4 días, ¿cuántos días tardará en leer otro libro de 400 hojas? 8. Las 3/4 partes de la carga de una batería se consumen en 12 horas, ¿en cuántas horas se consumirán los 5/8 de la carga de dicha batería?

16.Si 9 lapiceros cuestan S/.3, ¿cuánto costarán 45 lapiceros? 17. Una docena de peras cuesta S/.4, ¿cuánto costarán 3 decenas de peras? 18.Pablo es el doble de rápido que Víctor, pero la tercera parte de Rafael. Si Víctor y Rafael hacen una obra en 27 días, ¿en cuántos días harán la misma obra los tres juntos? 19.Una vaca atada a un poste, con una cuerda de 2 m, tarda 16 horas en comer todo el pasto que está a su alcance. Si la cuerda fuese de 5 m, ¿cuántas horas tardaría la vaca, en comer todo el pasto que está a su alcance? 20.Un cubo de hielo de 40 cm de arista, cuesta S/. 64. ¿Cuánto costará otro cubo de hielo, de 50 cm de arista? 21.En un balón esférico de 20 cm de diámetro caben 1,6 kg de maíz. En otro balón de 50 cm de diámetro, ¿qué peso de maíz podrá caber? 22.Noventa litros de agua de mar contienen 3 libras de sal. ¿Cuánto de agua dulce habrá que agregarle para que en cada 12  de la nueva mezcla, haya 1/3 de libra de sal? 23.Se mezclan 80  de agua con 2 kg de azúcar. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar para que en cada 10  de la mezcla, haya 1/6 de kg de azúcar?

9. Dos secretarias tipean 350 problemas en una semana. En ese mismo tiempo, ¿cuántas secretarias serán necesarias para escribir 1 050 problemas?

24.El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante cuesta S/. 16 000 y pesa el doble de otro diamante, del cual no se conoce su precio. Calcúlelo.

10.La habilidad de 2 trabajadores es como 5 es a 13. Cuando el primero haya realizado 280 m3 de cierta obra, ¿cuánto habrá realizado el otro?

25.Una expedición de 1 800 hombres tiene víveres para 40 días. Al cabo del 7º día, se retiran 150 hombres. ¿Cuántos días durarán los víveres para el resto de los hombres?

11.Un grupo de obreros tenía que hacer un trabajo en 20 días, pero debido a que 3 de ellos faltaron, los restantes tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron?

26.Treinta y cinco obreros inician un trabajo, que lo entregarán en 24 días. Al cabo del sexto día de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Cuántos días más necesitarán el resto de los obreros para culminar la obra?

12.Con cierto número de máquinas se terminará un trabajo en 3 días. Si se adquieren 3 máquinas más, el trabajo se acabaría en un día menos, ¿cuántas máquinas habían inicialmente?

27. Dos engranajes de 240 dientes y 60 dientes se acoplan. Si el engranaje de mayor tamaño da 7 vueltas, ¿cuántas vueltas dará el otro?

13.Con 4 kg de uvas se obtienen dos botellas de vino, ¿cuántas botellas de vino se producirán con 12 kg de uvas? 14.Si 3 minutos de conversación telefónica en celular cuesta S/.1,20; ¿cuánto costará hablar por este medio 18 minutos? 15.Si para hacer la tarea Ana tarda 2 horas usando una rapidez de 12. ¿Cuánto se demorará, si usa una rapidez de 6?

192

28.Dos engranajes acoplados tiene respectivamente 75 y 40 dientes. Si la de menor tamaño da 15 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la de mayor tamaño? 29.Un obrero trabajó 16 días, en lugar de 12, por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas diarias trabajó? 30.Con cierto número de máquinas de igual potencia se puede realizar un trabajo en 15 días. Si aumentamos en 6 el número de máquinas, el trabajo se entregaría con 5 días de anticipación. ¿Cuántas máquinas hay?


28

Regla de tres compuesta


Regla de tres compuesta Es una regla de tres donde intervienen más de dos magnitudes proporcionales. Este procedimiento de cálculo nos permite hallar un valor, cuando se conocen un conjunto de valores correspondientes a varias magnitudes. Método de resolución 1. Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema. 2. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud se ubiquen en una misma columna, además que deben estar expresados en las mismas unidades de medida. 3. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás, verificando si son directa (D) o inversa (I). 4. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud, si son inversa (I) se copia igual y si son directas (D) se copia recíprocamente. * Ejemplo: Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días, trabajando 5 horas diarias?

Resolución: Obreros 20 x

Obra 120 80 D x = 20 .

días 18 24 I

h/d 8 5 I

80 18 8 . . 120 24 5

x = 16 obreros

Ejercicios 1. Si 12 máquinas pueden producir 35 mil lapiceros en 21 horas, ¿cuántos miles de lapiceros podrán producir 24 máquinas en 18 horas?

Resolución: N° de máquinas 12 24 D

Miles de lapiceros 35 x

x = 35 .

N° horas 21 18 D

24 18 . 12 21

x = 60 mil lapiceros 2. Diez obreros en ocho días han avanzado 2/5 de una obra. Si se retiran dos obreros, los restantes, ¿en qué tiempo terminarán lo que falta de la obra?

Resolución:

Si se avanzó los 2/5, falta por hacer los 3/5. Obreros

días

obra

10

8

2 5

8

x

 2

3  3 5 D

I x=8.

10 3 . 8 2

x = 15 Rpta.: Lo terminarán en 15 días.

Observación: Nótese que la obra debe estar en la misma unidad de medida (pares de zapatos). Así: 160 zapatos = 80 pares de zapatos


193

Regla de t res co mpuest a 3. Si 15 obreros trabajando 8 horas diarias durante 15 días han hecho 120 metros de una obra, ¿cuántos días demorarán 25 obreros trabajando 10 horas diarias para hacer 100 metros de obra en un terreno de doble dificultad?

Resolución: Obrero 15 25 I

h/d 8 10 I

días 15 x

x = 15 .

obras 120 100 D

dificultad 1 2 D

15 8 100 2 . . . 25 10 120 1

x = 12 días Bloque I

T es t de A

p re n d iz a je

1. 5 hornos consumen 30 toneladas de carbón en 20 días; 8 hornos consumirán en 25 días una cantidad de carbón igual a:

4. Veinte operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días?

2. Del problema anterior, si en vez de 8 hornos fueran 10 hornos, ¿qué cantidad de carbón se consumiría?

5. 5 cocinas necesitan 5 días para consumir 5 galones de kerosene, ¿cuántos galones consumía una cocina en 5 días?

3. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra, ¿en cuántos días acabarán toda la obra?

6. 8 máquinas trabajan 6 horas diarias durante 5 días, ¿cuántos días tardarán 4 máquinas en realizar el mismo trabajo, si funcionan durante 8 horas diarias?

194


ARITMÉTICA 7. En 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de un edificio. ¿Cuántas horas demorarán 12 pintores en terminar de pintar el edificio?

8. En 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra. Si se retiran 6 obreros, ¿cuántos días demorarán los obreros que quedan para terminar la obra?

9. Cincuenta hombres tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Cuántos días durarán los víveres para 60 hombres a razón de 2 raciones diarias?

10.Tres gatos cazan 6 ratones en 9 minutos, ¿en cuántos minutos 5 gatos cazarán 5 ratones?

Practiquemos 1. Tres alumnos pueden resolver 20 problemas en 5 horas. ¿Cuántas horas se demorarán 5 alumnas de igual rendimiento en resolver 40 problemas de la misma dificultad? a) 3 d) 10

b) 5 e) 12

c) 6

2. Si 20 máquinas pueden hacer 5 000 envases en 50 días, ¿en cuántos días 50 máquinas pueden hacer 10 000 envases? a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

3. Si tres gatos comen tres ratones en tres horas, ¿cuántos ratones comerán 9 gatos en dos horas? a) 9 d) 3

b) 6 e) 2

c) 4


4. Cinco sastres pueden hacer 10 ternos en 8 días, trabajando dos horas diarias. ¿En cuántos días 10 sastres podrán hacer 50 ternos, si trabajan 5 horas diarias? a) 8 d) 5

b) 10 e) 4

c) 12

5. Si 7 monos comen en 14 días 7 plátanos, ¿en cuántos días 14 monos comerán 28 plátanos? a) 1 d) 21

b) 7 e) 28

c) 14

6. Dieciséis señoras pueden confeccionar 40 camisas en 20 días, trabajando 9 horas diarias. ¿En cuántos días 40 señoras podrían confeccionar 50 camisas, si trabajan 6 horas diarias? a) 6 d) 18

b) 10 e) 20

c) 15

195

Regla de t res co mpuest a 7. En 12 días, 8 obreros hicieron 2/3 de una obra. ¿En cuántos días más harán el resto de la obra? a) 12 d) 6

b) 8 e) 9

c) 3

8. Si con 6 máquinas se pueden hacer 250 pares de zapatos en dos días, trabajando 5 h/d; para hacer en la misma cantidad de días 1 000 zapatos trabajando 6 h/d, ¿cuántas máquinas se necesitarán? a) 2 d) 10

b) 5 e) 20

c) 6

9. Cinco balones de gas se utilizan para el funcionamiento de 8 cocinas durante 10 días. Si se tienen 10 cocinas, ¿para cuántos días alcanzarán 20 balones de gas? a) 8 d) 20

b) 16 e) 10

c) 32

10.Doce obreros pueden hacer una obra en 20 días. Si 6 de ellos aumentan su rendimiento en un 50%; ¿en cuántos días harán la obra? a) 8 d) 20

b) 12 e) 18

c) 16

Bloque II 1. Si 20 obreros pueden hacer un cuarto de una obra en 10 días, ¿en cuántos días 50 obreros harán lo que falta de la obra, sabiendo que esta última parte tiene el doble de dificultad que la primera? a) 5 d) 18

b) 6 e) 24

c) 12

2. Si 4 máquinas pueden fabrican 200 envases de un litro en 5 h, ¿en cuántas horas 5 máquinas pueden fabricar 500 envases de dos litros? a) 20 d) 25

b) 30 e) 10

c) 40

3. Si 20 obreros pueden arar un terreno cuadrado de 20 m de lado en 5 h, ¿en cuántas horas podrán arar otro terreno cuadrado de 40 m de lado, 50 obreros? a) 2 d) 10

b) 4 e) 20

c) 8

4. Tres hombres, trabajando 8 h/d, han hecho 80 m de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 h/d, para hacer 60 m de la misma obra? a) 2 d) 10

196

b) 3 e) 5

c) 6

5. Una guarnición de 1 600 hombres tienen víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias por cada hombre. ¿Cuántos días durarán los víveres, si se refuerzan con 400 hombres y cada hombre toma 2 raciones diarias? a) 12 d) 10

b) 14 e) 6

c) 16

6. Dos hombres han cobrado S/. 350 por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 h/d y recibió S/. 150. ¿Cuántos días a razón de 6 h/d trabajó el segundo? a) 18 d) 40

b) 20 e) 28

c) 30

7. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete en terminar en 14 días una obra. Al cabo de 9 días solo han hecho los 3/7 de la obra, ¿con cuántos hombres tendrán que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado? a) 7 d) 15

b) 9 e) 24

c) 14

8. Un terreno rectangular de 2 m de ancho y 5 m de largo, 20 obreros lo pueden pintar en 5 horas. ¿En cuántas horas 10 obreros podrán pintar otro terreno de 8 m de largo y 5 m de ancho? a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

9. Se emplean 12 hombres durante 6 días para cavar una zanja de 30 m de largo, 8 de ancho y 2 de alto, trabajando 6 h/d. Si se emplea el doble del número de hombres durante 9 días, para cavar otra zanja de 20 m de largo, 12 de ancho y 3 de alto, ¿cuántas horas diarias han trabajado? a) 3 d) 12

b) 6 e) 20

c) 9

10.Si 20 obreros en 40 días pueden hacer 200 m de una carretera, ¿cuántos obreros en la mitad del tiempo anterior podrían hacer la mitad de lo que se hizo anteriormente, en un terreno cuya dureza es el doble que la del terreno anterior? a) 50 d) 20

b) 40 e) 10

c) 30

Bloque III 1. En 25 días, 12 obreros han hecho los 3/5 de una obra. Si se retiran dos obreros, ¿cuántos días emplearán los que quedan para terminar la obra? a) 21 d) 19

b) 20 e) 24

c) 18


ARITMÉTICA 2. Si 6 leñadores de 80% de eficiencia pueden construir un albergue en 20 días, ¿cuántos días se demorarán 8 leñadores de 75% de eficiencia para construir el mismo albergue?. a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 15

3. Si 40 hombres pueden cavar una zanja de 200 m3 en 12 días, ¿cuántos hombres se necesitan para cavar otra zanja de 150 m3 en 10 días? a) 36 d) 40

b) 32 e) 45

c) 38

4. Doce agricultores se demoran 10 días de 8 horas diarias en sembrar 240 plantones. ¿Cuántos plantones podrán sembrar ocho de estos agricultores en 15 días de 9 horas diarias? a) 280 d) 320

b) 270 e) 350

c) 300

5. Una empresa posee 4 máquinas de 70% de rendimiento, que producen 2000 artículos cada 8 días. Si se quiere implementar otra sección con 3 máquinas de 80% de rendimiento, ¿cuántos artículos producirá en 14 días? a) 1 800 d) 3 000

b) 2 200 e) 3 600

c) 2 400

6. Seis monos comen 12 plátanos en 6 minutos. ¿Cuántos plátanos comerán 12 monos en 30 minutos? a) 100 d) 180

b) 120 e) 240

7. En una guarnición hay 120 soldados que tienen víveres para 30 días, recibiendo cada uno 3 raciones diarias de comida. Si estos mismos víveres se repartieran a 150 soldados recibiendo cada uno dos raciones diarias, ¿cuántos días durarán los víveres? a) 32 d) 40

b) 34 e) 42

c) 36

8. Una empresa constructora puede pavimentar 800 m de una carretera en 25 días empleando 15 obreros. ¿Cuántos días emplearán 20 obreros de esta misma empresa para pavimentar 640 m de una carretera en un terreno del doble de dificultad? a) 18 d) 30

b) 32 e) 28

c) 24

9. Cinco carpinteros pueden fabricar 25 sillas ó 10 mesas en 24 días de 8 horas diarias, ¿cuántos días de 7 horas diarias emplearán 6 carpinteros para fabricar 15 sillas y 8 mesas? a) 18 d) 30

b) 32 e) 28

c) 24

10.Un edificio puede ser pintado por 16 obreros en cierto tiempo, ¿cuántos obreros se necesitarán para pintar 1/4 del edificio en un tiempo que es los 2/7 del anterior? a) 10 d) 14

b) 12 e) 18

c) 15

a) 39 d) 28

b) 24 e) 30

c) 36

c) 150

Autoevaluaciòn 1. Doce hombres se comprometen a terminar una obra en 8 días. Luego de trabajar 3 días juntos, se retiran 3 hombres, ¿con cuántos días de retraso terminan la obra?

1 a) 1 días 4 d) 1

2 b) 1 3 e) 2

1 c) 2 3

2. 8 carpinteros pueden confeccionar 40 mesas o 60 sillas en 2 semanas. ¿Cuántas semanas necesitarán 6 carpinteros para confeccionar 25 mesas y 30 sillas? a) 3 d) 4

1 3

b) 3

2 5

e) 2

1 5

c) 4

3. Un navío con 84 tripulantes tienen víveres para "n" días; pero cuando ya han consumido la tercera parte reciben a 20 náufragos, por ello los víveres duran 5 días menos. Calcule "n". Organización Educativa TRILCE

4. 20 obreros cavan una zanja de 40 metros de largo en 12 días. Después de cierto tiempo de trabajo se decide aumentar el largo en 20 metros, para lo cual se contratan 10 obreros más cuya habilidad es 2/3 de las anteriores. Si la obra acaba a los 15 días de empezado, ¿a los cuántos días se aumentó el personal? a) 9 d) 6

b) 3 e) 8

c) 12

5. Para hacer una obra se necesitan 200 obreros. Si se aumentan "x" obreros con doble rendimiento (desde el inicio) harían la obra en "x" días menos. Si se disminuye "x" obreros (desde el inicio) lo harían en "x" días más. ¿En cuántos días normalmente harían la obra? a) 200 d) 50

b) 100 e) 5

c) 150

197

Regla de t res co mpuest a

Tarea domiciliaria 1. Ocho hombres han cavado en 20 días una zanja de 50 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos? 2. Si 20 obreros, trabajando 5 h/d durante 10 días, pueden hacer 500 m de una carretera cuya dureza es como uno. ¿En cuántos días 50 obreros, trabajando 8 h/d, pueden hacer 2000 m de una carretera cuya dureza es como 2? 3. Si 10 sastres en 10 horas pueden hacer 50 camisas, ¿cuántas camisas podrán hacer 15 sastres en 8 h? 4. Si 5 obreros pueden pintar una pared cuadrada de tres metros de lado en 4 h, ¿en cuántas horas 10 obreros podrían pintar una pared cuadrada de 9 m de lado? 5. Si Ana y 7 de sus amigas pueden hacer la limpieza de los 4/5 de un patio en 6 horas, ¿en cuántas horas Ana y tres de sus amigas harán la limpieza de lo que falta del patio? 6. Si 10 obreros pueden hacer 2/5 de una obra en 20 días, ¿en cuántos días 30 obreros podrán hacer lo que falta de la obra? 7. Se emplean 14 hombres para hacer 45 m de una obra, trabajando durante 20 días. ¿Cuánto tiempo empleará la mitad de esos hombres para hacer 15 m de la misma obra, habiendo en esta obra el triple de dificultad que en la anterior?

14.Una compañía industrial posee 8 máquinas que trabajan a un 90 % de rendimiento y producen 1600 envases cada 6 días de 8 horas diarias. Si se desea producir 3600 envases en 4 días trabajando 9 horas diarias, a cambio de las que posee, ¿cuántas máquinas de 80 % de rendimiento debería tener? 15.Doce obreros se demoran 12 días de 8 horas diarias en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, ¿cuántos días de 6 horas diarias se demorarán 10 obreros doblemente hábiles en sembrar un campo cuadrado de 25 m de lado? 16.Dieciocho obreros pueden hacer un muro en 24 días trabajando 8 horas diarias con una eficiencia de 60% cada uno. ¿Qué tiempo emplearán 15 obreros en hacer el mismo muro trabajando una hora diaria más con una eficiencia de 48 %? 17. Un reservorio puede suministrar diariamente 1,2 m3 de agua a cada una de las 25 familias vecinas durante 150 días. ¿En cuántos litros deberá reducirse el consumo diario de cada familia, si el número de ellas aumenta a 40 y se desea que la provisión dure 50 días más? ( 1 m3 = 1000 litros) 18.Una obra la pueden hacer 35 obreros en cierto tiempo. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer los 3/5 de la obra en 3/4 del tiempo anterior, trabajando 2/3 de las horas iniciales?

8. Un obrero emplea 9 días a razón de 6 h/d en hacer 270m de una obra. ¿Cuántas horas deberá trabajar ese obrero para hacer otra obra de 300 m en 10 días, si la dificultad de la primera obra y la segunda están en la relación de 3 a 4?

19.Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 100 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad en 25 días, ¿cuántos días necesitarán 100 hombres 50 % más eficientes para cavar una zanja de 80 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de profundidad y cuya dificultad es tres veces la del terreno anterior?

9. En el Tahuantinsuyo se sabía que 20 yanaconas podían elaborar 40 aríbalos en dos días. Si la mitad de los yanaconas se enferman y quisieran elaborar 60 aríbalos, ¿en cuántos días podrían elaborarlos?

20.Diez pintores demoran 2 días para pintar 5 murales. ¿Cuántos pintores extras es necesario contratar para que en 5 días se pinte 5 murales, cuyo largo es el cuádruple de los primeros?

10.Trabajando 6 h/d, 4 obreros tardaban cierto número de días en hacer 20 m de una obra. Si ahora son 3 obreros y trabajan 8 h/d, demorándose un día más para hacer 30 m de la misma obra, ¿cuántos días demorarán?

21.Un ganadero tiene 1500 ovejas y tiene alimentos para un mes. Decide vender cierto número de ellas y a las restantes proporcionarles 5/6 de la ración para que los alimentos duren 2 meses más. ¿Cuál es el número de ovejas que se vendió?

11.Durante la construcción de las torres de San Borja, 20 albañiles hacen un edificio de 80 m de alto, 20 m de ancho y 40 m de largo; en 8 días. ¿En cuántos días harán otro edificio de 150 m de alto, 10 m de largo y 20 m de ancho, si se enferman 4 albañiles? 12.Se contratan 30 obreros de igual rendimiento para hacer un trabajo en 20 días. Antes de iniciar los trabajos, el capataz decide reemplazar a 10 de estos por otros 10 obreros, pero doblemente hábiles. ¿Con cuántos días de anticipación entregarán la obra? 13. Cuarenta obreros de igual rendimiento pueden realizar una obra en 36 días. Si antes de empezar se reemplaza a 10 de estos obreros, por otros tantos cuya eficiencia es el triple, ¿con cuántos días de anticipación entregarán la obra?

198

22.En un cuartel se calculó que los alimentos almacenados alcanzarían para 65 días a razón de tres raciones diarias. Al término de 20 días llegaron al cuartel 33 soldados más y por esta razón ahora a cada soldado le corresponderá sólo dos raciones diarias. ¿Cuántos soldados había inicialmente sabiendo que los víveres duraron 5 días menos? 23.Un grupo de 10 costureros confeccionan 100 camisas durante cierto número de días a razón de 8 horas diarias. Otro grupo de 12 costureras han hecho 135 camisas similares trabajando 6 horas diarias. Si el tiempo, en días, que han empleado los dos grupos en hacer sus trabajos suman 15 días, hallar el tiempo que emplea el segundo grupo en hacer su trabajo. Segundo Año de Secundaria

29

Porcentaje


Tanto por ciento Si una cantidad se divide en 100 partes, cada parte representa 1 100 del total, que se puede representar por 1%, al que denominaremos "uno por ciento". Así por ejemplo: El cuadrado grande ha sido dividido en 100 partes iguales, donde la parte sombreada es:

2. Cuando se tenga porcentaje de porcentaje; una forma práctica es convertir cada uno en fracción y luego se efectúa la multiplicación. Ejemplo: Calcular el 15% del 20% de 1 200. 15 20   1 200 = 36 100 100

3. Los porcentajes se pueden sumar o restar si son referidos a una misma cantidad. Ejemplo: 10% A + 20% A = 30% A 25 1  25.  25 % 100 100 Y la parte no sombreada es: 75 1  75.  75 % 100 100

Porcentajes notables • 100% = 1 (Es igual al total) • 50% =

1 (Es igual a la mitad del total) 2

• 25% =

1 (Es igual a la cuarta parte del total) 4

• 20% =

1 (Es igual a la quinta parte del total) 5

Cálculo de porcentajes 1. Porcentaje de una cantidad El a% de N =

a N 100

Ejemplo: a. ¿Qué porcentaje es 133 de 380? Cantidad 380 133 x=

Porcentaje 100% x 133 . 100%  35% 380

Descuentos y aumentos sucesivos Descuentos sucesivos Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 25%?

Resolución:

Ejemplos:

a. El 30% de 50 =

4. En algunos casos para el cálculo de porcentajes es conveniente emplear una regla de tres simple directa. Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a cancelar un porcentaje, se considera como el cien por ciento (100%).

30 . 50 = 15 100

b. El 13 % de 100 = c. El 40 % de 75 = Organización Educativa TRILCE

Supongamos que la cantidad inicial es "N", al realizar el primer descuento quedaría: N - 20%N = 80%N El segundo descuento se realizará sobre el 80%N que queda. Entonces tendremos: 80%N - 25% (80%N) que equivale a: 100% (80%N) - 25%(80%N)

199

Porcentaje queda al final:

75% (80%N) = 60%N Por lo tanto, descuento único: N - 60%N = 40%N Dos descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un: ab   % Descuento único =  a  b  100   20.25   %  40% D.U. = 20  25  100  

Aumentos sucesivos Ejemplo: ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 30%?

Resolución:

Supongamos que la cantidad inicial es "N" Al realizar el primer aumento se tendrá: N + 20%N = 120%N Luego se realiza el segundo aumento que será sobre el 120%N. 120%N + 30% (120%N) 100% (120%N) + 30% (120%N) Al final: 130% (120%N) = 156%N Por lo tanto el aumento único: 156%N - N = 56%N Dos aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un: ab   % Aumento único =  a  b  100   20.30   %  56% A.U. = 20  30  100  

Test de Aprendizaje 1. Hallar el 20% de 80

3. ¿Qué tanto por ciento de 60 es 12?

2. Hallar el 30% de 25

4. ¿Qué tanto por ciento de 240 es 30?

200


ARITMÉTICA 5. ¿Qué tanto por ciento de 1 es 0,2?

8. El 30% de qué número es igual a 360

6. En un salón de clases el 40% son hombres y las mujeres son 21. ¿Cuántos alumnos hay en total?

9. El 20% más de qué número es 480

7. Del problema anterior, ¿cuántos son hombres?

10.El 10% menos de qué número es 450.


201

Porcentaje

Practiquemos Bloque I

a) 45% d) 33,3%

1. De 56, el 25% es: a) 18 d) 7

b) 14 e) 9

c) 12

2. ¿Qué % de 192 es 144? a) 66% d) 75%

b) 72% e) 63%

c) 80%

3. 240 es el 80% de: a) 280 d) 310

b) 320 e) 300

c) 360

4. 64, de 320, ¿qué % es? a) 25 % d) 32 %

b) 20 % e) 22 %

c) 30 %

5. El 25% más de 360 es: a) 480 d) 450

b) 420 e) 560

c) 500

a) 80% d) 40%

b) 20% e) 60%

c) 10%

7. Si Rosa Elvira ganaba S/.520 y ahora gana S/.650, ¿en qué % aumentó su sueldo? a) 20% d) 21%

b) 25% e) 22%

c) 75%

8. En una población de 24 600 habitantes, el 63% son menores de 18 años. ¿Cuántos menores de 18 años hay en dicha población? a) 15 498 d) 15 844

b) 15 948 e) 14 945

c) 16 248

9. En una tienda, se venden camisas a S/.15 cada una, pero si se desea una docena, descuentan el 20%. ¿Cuánto se pagará por 3 docenas de camisas? a) S/.423 d) 450

b) 512 e) 432

c) 460

10.Una empresa encuestadora, manifiesta que en el horario que pasan cierto programa 3 de cada 5 televisores encendidos sintonizan dicho programa. ¿Qué % representa dicha sintonía?

202

c) 40%

Bloque II 1. Una casa está valorizada en $ 64 000. Para comprarla se pide el 15% de cuota inicial y el resto en 8 letras mensuales iguales. ¿Cuál es el pago mensual de cada letra? a) $5 200 d) 6 800

b) 8 600 e) 6 200

c) 5 800

2. Un anciano padre dispone en su testamento la repartición de su fortuna entre sus tres hijos, el primero recibirá el 36%, el segundo recibirá el 24% y el tercero recibirá el resto. Si la fortuna asciende a $ 75 000, ¿cuánto recibirá el tercer hijo? a) $ 27 000 d) 32 000

b) 25 000 e) 36 000

c) 30 000

3. Un vendedor recibe una comisión de 20% sobre la venta de cierta mercadería. Si sus ventas fueron de S/.640, ¿cuánto recibirá de comisión? a) S/.120 d) 96

6. ¿Qué % menos es 240 de 300?

b) 37,5% e) 60%

b) 128 e) 108

c) 162

4. A inicios del mes, una familia gastaba $ 120. Si la inflación durante dicho mes fue de 4,5%, ¿cuánto gastará dicha familia a fines de mes? a) $ 124,50 d) 145,20

b) 125,40 e) 132

c) 122,50

5. Una compañía "A" tiene 32% menos de capital, que una compañía "B". Si el capital de "A" es de $ 340 000, ¿cuál es el capital de "B"? a) $ 450 000 d) 560 000

b) 500 000 e) 480 000

c) 550 000

6. El 15% del 20% de 8 500, es: a) 2 550 d) 205

b) 850 e) 265

c) 255

7. La población en cierta ciudad fue de 65 200 habitantes. Si la tasa de mortalidad fue de 8%, ¿cuántos fallecidos hubo en dicha ciudad? a) 5 214 d) 5 416

b) 5 126 e) 5 621

c) 5 216


ARITMÉTICA 8. Me deben el 15% de S/.540 y me pagan el 20% de S/.300. Entonces, me deben aún: a) 25% de S/.72 c) 60% de S/.36 e) 75% de S/.60

b) 20% de S/.75 d) 50% de S/.42

9. Una empresa tiene al año una ganancia bruta de $ 6 240 000. Invierte 30% en salarios, 12% en mejorar su infraestructura, 38% en la adquisición de bienes y el resto en publicidad. ¿Cuánto invirtió en publicidad? a) $ 1 248 000 c) 1 240 000 e) 1 824 000

4. Dos descuentos sucesivos del 28% y 75% equivalen a un único descuento de:

b) 1 324 000 d) 1 428 000

a) 68 % d) 46 %

ab c) a% (b) = 100 e) Todas son correctas

a) 60 % d) 71,6 %

a) 10 % d) 21 % 7

.

d) a % (b) = b% (a)

E

l

l a

d

i s

m

a

1. En lugar de descontar sucesivamente el 10% y luego el 20% a un artículo cuyo valor es S/.360, se puede hacer un único descuento de:

b) 50 % e) 36 %

b) 520 e) 560

.

9

.

c) 460

)

)

e

)

L

b) 20 % e) 42 %

a

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o

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c) 64 %

3. Un empleado gana S/.500. Si se le aumenta el 20% y luego se le descuenta el 20% de su nuevo sueldo, entonces el empleado recibirá: a) S/.420 d) 480

8

c) 28 %

2. En un gran almacén de ropa, se ofrecen descuentos sucesivos del 20% y 30% en el departamento de lencería. ¿Cuál sería el descuento único? a) 44 % d) 54 %

c) 72 %

b) 15% de 100 es 15

Bloque III

b) 30 % e) 32 %

b) 66,6 % e) 73,3 %

6. Si el lado de un cuadrado se incrementa en 10%, ¿en qué % se incrementa su área?

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a) 38 % d) 26,6 %

c) 82 %

5. Aumentos sucesivos de 10%, 20% y 30% equivalen a un único aumento de:

10.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) 20% de 10 es 2

b) 93 % e) 86 %

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c) 10

Autoevaluaciòn 1. El 20% de (x + y) es igual al 40% de (2x - y). ¿Qué tanto por ciento representa (12x + 15y) respecto de (12y - 13x)? a) 120% d) 200%

b) 150% e) 250%

c) 300%

2. El precio de un artículo se rebaja el 10%; para volverlo al precio original, el nuevo precio se debe aumentar en: 100% 9 d) 10%

a)

b) 9%

c) 12%

e) 11%


3. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería 156 soles. ¿Cuántos soles tengo? a) S/. 1 500 d) 3 200

b) 1 600 e) 1 560

c) 2 500

4. Si el precio de una tela se rebaja en un 15%, entonces compraría 6 metros más. En las actuales condiciones, ¿cuántos metros puedo comprar? a) 40 d) 42

b) 28 e) 38

c) 34

203

Porcentaje 5. En un colegio nacional se matricularon 7 500 estudiantes. Si el 87% de las mujeres y el 12% de los varones se retiran, el 12% de los que quedan serían mujeres. ¿Cuántos varones se han retirado?

a) 449 d) 507

b) 457 e) 512

c) 468

Tarea domiciliaria 1. Hallar el 20% de 250. 2. Hallar el 20% del 30% de 600. 3. Hallar el 10% del 20% de los 2/3 de 900. 4. Hallar el 10% de la cuarta parte del 40% de los 3/7 de 5 600. 5. Sumar el 20% del 15% de 300 y el 40% del 10% de 150. 6. ¿Qué porcentaje de 32 es 8? 7. ¿Qué porcentaje de 0,001 es 0,0003? 8. ¿De qué número es 15 el 5%? 9. ¿De qué número es 160 el 20% menos? 10.¿De qué número es 330 el 10% más? 11.Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30%, equivalen a un descuento único de: 12.Dos aumentos sucesivos del 10% y el 20%, equivalen a un aumento único de: 13.Dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, y un aumento del 10%, equivalen a un descuento único de: 14.Si el radio de un círculo se incrementa en un 30%, ¿en qué porcentaje se incrementa el área? 15.¿De qué número es 315 el 5% más? 16.¿De qué número es 575 el 15% más? 17. ¿De qué número es 720 el 10% menos?

21.Juan tenía 120 lápices. Regala a su hermano el 20%, a su prima el 10% y a su vecina el 30%. ¿Con cuántos lápices se queda Juan? 22.Pedro reparte su herencia de la siguiente manera: El 20% a su esposa, el 35% a su hijo mayor, el 25 % a su hija, y los S/. 200000 restantes para el jardinero. ¿A cuánto ascendía la herencia de Pedro? 23.María compra una cartera y le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y el 30%. Si pagó S/. 11,20; ¿cuánto costaba la cartera? 24.Si el área de un triángulo se incrementa en un 32%, habiendo aumentado la base en un 20%, ¿en qué porcentaje aumentó la altura? 25.Si el radio de un círculo se incrementa en un 50%, ¿en qué porcentaje se incrementa el área? 26.La base de un triángulo se incrementa en un 20% y la altura disminuye en un 20%. ¿Cómo varía el área del triángulo? 27. ¿Qué porcentaje de 920 es igual a la suma del 10% del 20% de 3 200 y el 20% del 15% de 4 000? 28.De 60 empleados que hay en una empresa, el 40% son mujeres. Cierto día faltó a trabajar el 50% de las mujeres y el 25% de los varones. ¿Cuántos asistieron a trabajar? 29.En una oficina trabajan 24 empleados, de los cuales el 25% son mujeres. ¿Cuántas más se deben contratar para que las mujeres representen el 40% del total de empleados? 30.Una embarcación tenía 120 tripulantes; al naufragar perece el 30%. De los sobrevivientes el 25% son casados. ¿Cuántos de los sobrevivientes son solteros?

18.¿De qué número es 357 el 15% menos? 19.Hallar el 20% del 30% del 10% de 9 000. 20.¿Qué porcentaje de 2 400, es igual al 20 % del 30% de 4 800?

204


30

Aplicaciones comerciales del tanto por ciento


Para las transacciones comerciales los términos que se utilizan son los siguientes: Pv Pc G P Pf D

     

Precio de venta Precio de costo Ganancia Pérdida Precio fijado o Precio de lista (P) Descuento

2. Todo descuento, mientras no se diga nada será referido al precio de lista. Ejemplo: El precio de un pantalón se ha fijado en $ 50 pero esta semana está con el 30% de descuento. ¿Cuál será el precio de venta?

Resolución:

Casos:

Si hay descuento sabemos que:

1. Si en la transacción comercial hay ganancia: Pv > Pc

Pv = Pf - D

Pv = Pc + G 2. Si en la transacción comercial se origina pérdida: Pv < Pc

Pv = Pc - P 3. Si en la transacción comercial se hace un descuento:

Pv = Pf - 30% Pf Pv =

70 × 50  Pv = $ 35 100

3. Al fijar el precio de un artículo se está incluyendo en él, el costo, la ganancia y el descuento que se piense hacer. Así: Pf = Pc + G + D Ejemplo:

Pv = Pf - D Observaciones 1. Todo porcentaje de ganancia o pérdida que no refiera unidad se sobreentiende que es referida al precio de costo. Ejemplo: Se vende un artefacto en $ 600 ganando el 20%. ¿Cuál era el precio de costo?

Resolución:

¿Qué precio se debe fijar a una computadora que costó $460, de tal manera que al venderlo se haga un descuento de $120 y aún así se esté ganando $180?

Resolución: Tenemos los siguientes datos: Pc = $ 460 D = $ 120

G = $ 180 Pf =

Sabemos que: Pf = Pc + G + D Pf = 460 + 180 + 120 Pf = $ 760

Sabemos que cuando hay ganancia la venta se compone de: Pv = Pc + G La ganancia es el 20% ¿de qué?, como no nos dicen asumimos que es respecto al costo. Reemplazando los datos tenemos: 600 = Pc + 20% Pc 600 = 120% Pc 600 =

120 Pc  Pc = $ 500 100


205

Apli caci ones com er ci ales del t anto por cient o

Test de Aprendizaje • Ximenita vendió en S/. 480 una cámara fotográfica la cual le había costado S/. 400; según esto se pide responder:

5. Dos descuentos sucesivos del 30% y 20%, ¿a qué descuento único equivale?

1. ¿Cuánto ganó en dicha venta?

2. ¿Qué porcentaje representa la ganancia con respecto al precio de costo?

6. Al vender una cocina eléctrica en 840 dólares se ganó el 20%. ¿Cuál fue su precio de costo?

3. ¿Qué porcentaje representa la ganancia con respecto al precio de venta?

7. El precio de costo de una máquina panificadora es $ 21 000 . Si se quiere ganar el 30% del precio de venta, ¿a cuánto se debe vender?

4. Dos aumentos sucesivos del 30% y 40%, ¿a qué aumento único equivalen?

8. Al vender una cocina eléctrica en 825 dólares se ganó el 32%, ¿cuál fue su precio de costo?

206


ARITMÉTICA 9. Se ha vendido una computadora en 3600 soles con una ganancia del 25% del precio de venta. ¿Cuánto se ganó en la venta?

10.Del problema anterior, ¿cuál fue su precio de costo?

Practiquemos Bloque I 1. ¿A cómo debo vender lo que me costó S/.150 para ganar el 30%? a) S/.180 d) 200

b) 190 e) 210

c) 195

2. ¿A cómo debo vender lo que me costó S/.270 para ganar el 10% del precio de venta? a) S/.300 d) 297

b) 310 e) 350

c) 292

3. ¿A cómo debo vender lo que me costó S/. 160 para ganar el 10% del precio de costo, más el 20% del precio de venta? a) S/.200 d) 260

b) 220 e) 280

c) 240

4. ¿A cómo debo vender lo que me costó S/.270 para ganar el 20% del precio de costo, más el 10% del precio de venta, más S/.18? a) S/.350 d) 400

b) 360 e) 420

c) 380

5. ¿A cómo debo vender lo que me costó S/.180 para ganar el 30%? a) S/.230 d) 233

b) 231 e) 234

c) 232


6. ¿A cómo debo vender lo que me costó S/.360 para ganar el 10% del precio de venta? a) S/.396 d) 380

b) 400 e) 450

c) 420

7. Gumersindo decide aumentar en 20% el precio a un artículo. Pasados diez días, como nadie compra, disminuye en 20% el precio del mismo artículo y logra así la venta. Entonces Gumersindo: a) Ni ganó ni perdió c) Perdió el 20% e) Perdió el 4%

b) Ganó el 20% d) Ganó el 4%

8. Se vendió un escritorio en S/.240, ganando el 20% del costo. ¿Cuál es el precio del escritorio? a) S/.180 d) 216

b) 196 e) 220

c) 200

9. Se vendió un escritorio en S/.240, ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuánto costó el escritorio? a) S/.192 d) 200

b) 180 e) 205

c) 196

10.En cierto negocio, se vendió en S/.600 lo que había costado S/.560, ¿qué % del costo se ganó? (Aproximadamente) a) 8,2% d) 7,8%

b) 7,1% e) 6,7%

c) 6,5%

207

Apli caci ones com er ci ales del t anto por cient o Bloque II 1. Si compré un televisor en $240 y lo quiero vender ganando el 30% del costo, ¿cuál es el precio de venta? a) $288 d) 272

b) 312 e) 252

c) 324

2. Frank vendió su bicicleta en $150 ganando el 25% de lo que le costó. ¿Cuánto pagó Frank por la bicicleta? a) $100 d) 110

b) 120 e) 125

c) 90

3. ¿Qué tanto por ciento del costo se pierde, cuando se vende en S/.104, lo que había costado S/.160? a) 25% d) 35%

b) 30% e) 40%

c) 32%

4. Al vender una cocina en $ 170 se perdió el 15% del costo. ¿Cuál fue el precio de costo? a) $180 d) 240

b) 200 e) 250

c) 220

5. ¿A qué precio se debe vender un reloj que costó S/.255 y se quiere ganar el 15% del precio de venta? a) S/.320 d) 300

b) 306 e) 310

c) 340

6. Un mayorista vende computadoras en $ 700, ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuál es el precio de costo de cada computadora? a) $ 560 d) 480

b) 540 e) 490

c) 504

7. Se vendió un artículo en S/. 450 ganándose el 25% del costo. ¿Cuál sería el precio de venta, si se quiere ganar el 40% del costo? a) S/.520 d) 480

b) 540 e) 490

c) 504

8. Se vende dos filmadoras en $ 720 cada una. En una de ellas se gana el 20% del costo y en la otra se pierde el 20%. ¿Cuánto se ganó o perdió en esta venta? a) se ganó $ 60 c) se ganó $ 80 e) no se ganó ni perdió

b) se perdió $ 60 d) se perdió $ 80

9. Al precio de costo de un artículo se le recarga el 25%, ¿cuál es el mayor tanto por ciento de rebaja que se puede hacer sobre este precio para no perder? a) 15% d) 20%

208

b) 17% e) 18%

c) 25%

10.Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en 40% y al momento de venderlo se hace una rebaja del 10% del precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del precio de costo se gana finalmente? a) 30% d) 25%

b) 20% e) 26%

c) 24%

Bloque III 1. El costo de fabricación de un producto es S/.260. Si se vendió dicha mercadería en S/.600, ¿qué % de la venta se ganó? (Aproximadamente) a) 79,4% d) 86,4%

b) 84,6%  e) 56, 6 %

c) 82,1%

2. El dueño de una tienda compra mercadería por S/.420. Si vendió dicha mercadería en S/.600, ¿qué % de la venta ganó? a) 27% d) 26,6%

b) 33% e) 32%

c) 30%

3. Se adquirió un lote de camisas por S/.120. Si se quiere vender ganando el 10% del costo, ¿cuál será dicho precio de venta? a) S/.132 d) 148

b) 144 e) 160

c) 142

4. Una persona compró un reloj en S/.69. Como tenía necesidad urgente de dinero, tuvo que vender el reloj perdiendo el 15% de la venta. ¿Cuál fue el precio de venta? a) S/.62 d) 52

b) 48 e) 60

c) 58

5. Se vendió un artículo en S/.450 ganándose el 25% del costo. ¿Cuál sería el precio de venta, si se quiere ganar el 50% del costo? a) S/.520 d) 480

b) 540 e) 490

c) 504

6. ¿Qué tanto por ciento del costo se pierde, si una bicicleta que costó $ 140 se vende en $ 119? a) 10% d) 18%

b) 12% e) 15%

c) 30%

7. Para fijar el precio de venta de un artículo, se aumentó el costo en un 40%, pero al vender se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado? a) 10% d) 16%

b) 12% e) 20%

c) 14%


ARITMÉTICA 8. El precio de venta de un objeto es de S/.897, el comerciante ganó en esta operación el 15%. Si el beneficio neto fue de S/.97, calcular los gastos que se producen en la venta. a) S/.10 d) 25

b) 15 e) 30

c) 20

9. La venta de un artículo produce un cierto gasto. Se vende un artículo en $ 3 300, en el cual se está ganando el 10% del costo y la ganancia neta que es $ 240. ¿A cuánto ascendió el gasto?

a) $ 50 d) 65

b) 60 e) 80

c) 70

10.Al vender una huerta, gané el 14% de lo que me costó más el 40% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del costo estoy ganando? a) 64% d) 80%

b) 56% e) 90%

c) 70%

Autoevaluaciòn 1. Oscar compró una calculadora y para venderla recargó al precio que le costó en un 30%. Al momento de venderla a su amigo Juan, le hizo una rebaja del 30% resultando perjudicado en S/. 54. Determinar cuál fue su precio de venta. a) S/. 540 d) 564

b) 546 e) 645

c) 560

2. El precio de un artículo sufre dos aumentos sucesivos de 20% y luego 30%. ¿Qué porcentaje debe aumentar ahora para que el porcentaje total de aumento sea de 69%? a) 13%

b) 10%

d) 10,5%

e) 9

1 c) 8 % 3

2 % 3

4. Se tienen dos artículos con el mismo precio de costo: 360 nuevos soles; en uno gana el x% del costo y en el otro se gana el x% del precio de venta. Si la ganancia que se obtiene en ambos artículos fue de 76 soles, hallar "x". a) 20 d) 10

b) 22 e) 15

c) 8

5. Dos televisores se han vendido en S/. 2970 cada uno. Si en el primero se gana el 10% y en el segundo se perdió el 10%, entonces: a) b) c) d) e)

No se ganó ni se perdió Se ganó S/. 60 Se perdió S/. 20 Se perdió S/. 60 Se ganó S/. 20

3. ¿En qué porcentaje se debe aumentar el precio de costo de un artículo, para fijar su precio de venta al público, tal que si luego se hace dos descuentos sucesivos del 20% y 20% aún se gane el 60% del precio de costo? a) 110% d) 120%

b) 130% e) 140%

c) 150%


209

Apli caci ones com er ci ales del t anto por cient o

Tarea domiciliaria 1. Un pantalón cuesta $60. Si se quiere ganar el 20% del costo, hallar el precio de venta. 2. El costo de una camisa es de $ 80. Si se vendió a $ 56, decir qué tanto por ciento del costo se perdió. 3. Una casa se vendió a $ 11000 ganando el 30% del precio de venta. Hallar el precio de costo de la casa. 4. Un artículo se vende ganando el 24 % de su costo. Si el precio de venta fue $744, hallar su costo. 5. Una moto se vende perdiendo el 8% de su costo. Si el precio de venta fue de $ 575, hallar su costo. 6. ¿Qué tanto por ciento se pierde, si se vende en S/. 13, lo que había costado S/. 65? 7. Se vende un producto ganando el 20% del precio de venta. Hallar en qué relación se encuentran los precios de venta y de costo. 8. El valor total de un artículo es $360 más el 10% de su valor total. ¿Cuál es su valor total? 9. Un comerciante está ganando el 60% del precio de costo. ¿Qué tanto por ciento del precio de venta está ganando? 10.Un comerciante que vendió un artículo en $ 2800, lo hizo ganando el 12% del costo más el 8% de su precio de venta. Hallar el precio de costo.

17. Se vende un artículo en S/. 4200 ganando el 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuánto costó el artículo? 18.¿A qué precio se debe fijar un artículo que costó 200 soles, si al hacer una rebaja de 20% aún así se gana el 20% del precio de costo? 19.Para vender un televisor se recargó el precio de costo en 30%. Al momento de venderlo se hizo una rebaja del 30% y se perdió 54 soles. ¿A qué precio se vendió? 20.Dos televisores se han vendido en S/.2970 cada uno. Si en el primero se ganó el 10% y en el segundo se perdió el 10%, entonces: 21.Compré un televisor en 630 soles. ¿En cuánto debo aumentar este precio para que durante la venta realice una rebaja del 10% y aún así gane el 40% del precio de costo? 22.Una casa comercial ofrece un descuento del 20% al valor de cada uno de sus artículos. Un artículo que tiene un costo de S/.3120, ¿qué precio tendrá en dicha casa comercial, si desea ganar el 10%? 23.Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en 60%, pero al venderse se hizo una rebaja del 30% de este precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?

11.Al vender un cierto artículo en S/.54000, se ganó el 25% de su costo. Si la ganancia neta fue de S/. 4800, calcule los gastos que produce la venta.

24.Si se vende un artículo con un descuento del 30%, se pierde el 12,5% del costo. Hallar el precio de costo del artículo, si inicialmente se fijó su precio al público en $ 1500.

12.Aldo compró un equipo de sonido en S/.1800. ¿A cuánto debe ofrecerlo, si al momento de la venta efectúa una rebaja del 10% y aún así gana el 40% del costo?

25.Un comerciante que vendió un artículo en $ 2240, lo hizo ganando el 12% del costo más el 15% de su precio de venta. Hallar el precio de costo.

13.Una persona compró dos televisores; el primero a 250 soles y el segundo a 350 soles. Si decidió venderlos a 280 y 290 soles respectivamente, calcular si ganó o perdió y en qué porcentaje.

26.El costo de un artículo es $3300, ¿qué precio se debe fijar para su venta, sabiendo que al hacer un descuento del 20% se obtiene un beneficio del 20% del costo?

14.Se vendió una radio en 126 soles, ganando el 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuál es el costo del radio? 15.Al aumentar el precio de entrada en el estadio en un 20%, la asistencia bajó en un 10%, entonces la recaudación: 16.Se vende un pantalón en S/.130 ganando el 30% del precio de costo más el 9% del precio de venta. ¿Cuál es precio de costo del pantalón?

210

27. Un comerciante fija el precio de venta de un artículo aumentando su costo en 64%. Al venderlo hace un descuento del 15% sobre el precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo resulta ganando el comerciante? 28.Sobre el precio de lista de un artículo se hace un descuento del 20%, de tal manera que se obtiene una utilidad equivalente al 30% del costo. Si no se hiciera este descuento, ¿qué tanto por ciento del costo se habría ganado?


31

Repaso IV


E jercicio s Bloque I

b) 36 e) 54

c) 42

a b  y a2 + b2 = 676 5 12 hallar "a + b"

b) 24 e) 48

c) 34

3. Hallar la tercera proporcional de 90 y 120. a) 105 d) 160

b) 110 e) 180

c) 130

4. En una proporción geométrica continua el producto de los cuatro términos es 6561. Hallar la media proporcional. a) 3 d) 18

b) 6 e) 27

c) 9

a b c   5 6 7 8

hallar "a + b + c" b) 95 e) 135

c) 105

6. En la serie: a b c   5 2 3 5

hallar "a.b.c" a) 2 750 b) 2 950 c) 3 750 d) 3 950 e) 4 250 7. Un grupo de amigos disponía de S/.240 para gastar vacacionando durante 3 días. ¿Para cuántos días les Organización Educativa TRILCE

a) 15 d) 30

a) 35% d) 36%

c) 7

b) 25 e) 24

c) 18

b) 30% e) 39%

c) 32%

10.¿A cómo se debe vender lo que costó 60 soles para ganar el 60% del precio de costo? a) S/.150 d) 96

b) 80 e) 120

c) 90

Bloque II 1. En un colegio de 684 alumnos la razón entre el número de alumnos de primaria y secundaria es 47/10, encontrar el número de alumnos de secundaria. a) 470 d) 160

5. En la serie:

a) 85 d) 120

b) 6 e) 9

9. En una bolsa se tiene 20 lapiceros, 28 borradores y 32 reglas. ¿Qué tanto por ciento del total de artículos son borradores?

2. Si:

a) 10 d) 68

a) 5 d) 8

8. Si por cada 6 caramelos que compra Pedro, Luis compra 10. Entonces, ¿cuántos caramelos compra Luis, si Pedro compra 15?

A 6  1. Si: y A + B = 117 B 7 hallar el valor de "A".

a) 24 d) 49

alcanzarían S/.720?

b) 564 e) 140

c) 120

2. La razón aritmética y la razón geométrica de dos números son 20 y 7/3 respectivamente, hallar el valor del antecedente de dichas razones. a) 28 d) 49

b) 35 e) 56

c) 42

3. Siendo "a" y "b" la cuarta diferencial y cuarta proporcional respectivamente de 20; 5 y 80. Indicar el valor de "a+b". a) 20 d) 130

b) 65 e) 185

c) 85

4. En una proporción geométrica continua, la suma de sus términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es

211

Repaso I V la media proporcional? a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

de 7 a 3. ¿Qué edades tienen actualmente? c) 5

5. La suma de dos números es 200 y su diferencia es 50, hallar la razón geométrica entre el menor y mayor de dichos números.

a) 3 d)

1 3

b)

1 5

c)

3 5

e) 5

6. La suma de dos números, cuya razón es 2/3, es 80, ¿cuál es la razón aritmética? a) 16 d) 8

b) 32 e) 10

c) 20

7. Un corredor pierde 920 gramos de su peso en agua por cada 8 km que corre. ¿Cuánto peso en agua perderá en una carrera de maratón (42 km)? a) 4,5 kg d) 4 500 g

b) 4,83 kg e) 4 160 g

c) 5,20 kg

8. Un auto asciende 600 m por cada 3 km de recorrido. ¿Cuánto debe recorrer para ascender 75 m? a) 375 m d) 200

b) 80 e) 350

c) 325

9. El a% del b% del c% de "N", es: a)

10N abc

b)

1000N abc

d)

abcN 10000000

e)

abcN 1000000

c)

abcN 1000

10.Un objeto fue vendido en S/.2340 dejando una utilidad del 30%. ¿En cuánto debería venderse para ganar solamente el 20% sobre el costo? a) S/. 2 120 d) 1 980

b) 2 160 e) 1 990

c) 2 000

1. La relación entre el número de pasajeros de dos micros es de 7 a 5. Si bajan 4 pasajeros de uno y suben al otro se igualan el número de pasajeros en ambos. ¿Cuántos pasajeros llevan entre ambos? b) 36 e) 48

c) 15 y 7

3. Si 18 es la tercera proporcional de 8 y "x"; y "z" es la tercera diferencial de 18 y "x". Hallar "x + z". a) 6 d) 24

b) 12 e) 72

c) 18

4. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus cuatro términos es 128. Hallar el valor de la razón aritmética, sabiendo que los extremos son entre sí como 5 es a 3. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

5. Las edades de tres hermanos están en la relación de 2; 5 y 6. Si el mayor excede al menor en 24 años, ¿cuántos años tiene el segundo hermano? a) 12 d) 18

b) 24 e) 9

c) 30

6. Los ángulos internos de un triángulo son entre sí como 2; 3 y 5. Hallar el mayor ángulo. a) 90° d) 18°

b) 54° e) 9°

c) 36°

7. Un caballo atado con una soga de 3 metros de largo demora 5 días en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga es de 6 metros, ¿en cuántos días comerá todo el pasto a su alcance? a) 20 d) 10

b) 30 e) 9

c) 25

8. Para abrir una zanja de 200 m de largo se emplearon cierto número de obreros; si la zanja fuese 150 m más de largo se necesitarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearon? a) 10 d) 13

b) 15 e) 12

c) 11

a)

100A % B

d)

100(A  B) % A

b)

100B % BA

c)

100(A  B) % B

e)

100A % BA

c) 72

2. Hace 5 años, las edades de Luis y María estaban en la relación de 3 a 1 y dentro de 4 años estarán en la relación

212

b) 24 y 8 e) 44 y 29

9. ¿Qué % más es "A" de "B"?

Bloque III

a) 54 d) 60

a) 59 y 23 d) 15 y 9

10.¿Cuál es el descuento equivalente a tres descuentos sucesivos de 20%; 25% y 30%? Segundo Año de Secundaria

ARITMÉTICA a) 55% d) 58%

b) 52% e) 59%

c) 60%

Ejercicios 1. En un campamento para niños y niñas, la razón de niñas a niños es 5:3. Si el total es 160 entre niños y niñas. ¿Cuántos son niños? 2. La razón entre 6 kilogramos y 30 gramos se puede escribir: 3. Lo que cobra y gasta un profesor suman S/.600. Lo que gasta y lo que cobra están en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? 4. A un obrero le ofrecen pagar anualmente 1400 soles y una sortija. Al cabo de 8 meses es despedido y le pagan 900 soles más la sortija. ¿Cuál es el valor de la sortija? 5. La suma , la diferencia y el producto de dos números, están en la misma relación que los números 4; 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números? 6. Un albañil pensó hacer un muro en 15 días pero se demoró 6 días más por trabajar dos horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente? 7. Frank al comprar una docena de lapiceros recibe 3 de regalo y al vender una decena, da 2 de regalo . Frank compró 1944 lapiceros, ¿cuántos lapiceros vendió Frank? 8. Veintisiete náufragos tenían agua para 30 días y comida para 20 días. Después de pasar 6 días, mueren 9 de los náufragos. ¿Para cuántos días habrá agua pero no comida para los que quedan? 9. Un sastre vende dos camisas a 60 soles cada una. En una gana 25 % de lo que costó hacerla y en la otra pierde el 25 % de su costo. ¿Ganó o perdió en la venta ? ¿Cuánto? 10.En una urna hay 160 bolas; por cada 3 bolas blancas hay 20 negras y 17 rojas. El número de bolas negras es: 11.La razón entre la suma de dos números y su diferencia es 5 : 3 . El cociente del mayor entre el menor es: 12.Un segmento de 30 centímetros se divide en dos partes cuyas longitudes están en la relación 2 : 3. Hallar la medida de la parte mayor. 13.Un inspector de control de calidad examinó 200 focos y encontró 18 defectuosos. ¿Cuántos focos defectuosos se espera encontrar en un lote de 5000 focos? Organización Educativa TRILCE

14.Dos números son entre sí como 2 es a 7. Si al menor se le suma 75 se iguala al mayor. Hallar el menor número. 15.Seis obreros han tardado 12 días para cavar la mitad de una zanja. ¿Cuánto tiempo demorarán si se aumenta 2 obreros más, 50 % más eficientes, para cavar la otra mitad de la zanja? 16.Cuarenta obreros trabajando 10 horas diarias, pueden terminar en 30 días una obra cuya dificultad es como 3. ¿Cuántos obreros, cuyas eficiencias son 5/7 de los anteriores, se requiere para que terminen en 28 días, un trabajo similar, pero de dificultad como 4, trabajando 8 horas diarias? 17. ¿A cómo se debe vender lo que costó 60 soles para ganar el 60 % del precio de venta? 18.Por la compra de un televisor, una persona obtuvo un descuento del 20% sobre el precio del artefacto. Si se hubiera comprado en la tienda vecina, habría obtenido un descuento del 30 % y habría ahorrado 10 dólares. ¿Cuál era el precio del televisor? 19.En un avión viajan 170 personas. Si se sabe que por cada 2 peruanos hay 20 brasileños y 12 uruguayos. ¿En cuánto excede el número de brasileños al número de peruanos? 20.Dos móviles cuyas velocidades son entre sí como 7 es a 5, parten al encuentro. ¿Cuál es la distancia de separación inicial, si en el momento del encuentro el más veloz recorrió 20 km más que el otro? 21.En una proporción geométrica continua, el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuentes es 6 400. Hallar la suma de los cuatro términos 22.Un grupo de caballos tienen alimentos para 15 días, pero si hubiese 2 caballos más, los alimentos sólo durarían 12 días. ¿Cuántos caballos se tiene? 23.Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. Con 10 obreros 3 veces más rápidos que los anteriores, ¿en cuántos días harán una obra cuya dificultad es 10 veces la anterior? 24.Diez orfebres hacen 12 anillos en 15 días. Si se desean hacer 60 anillos en 25 días, ¿cuántos orfebres doblemente rápidos se deben contratar además de los que se tienen? 25.En un salón de clases el 70 % de los alumnos son hombres. Si el 25 % de las mujeres faltan, solo se cuentan 18 mujeres. ¿Cuántos alumnos tiene el salón? 26.Al precio de una tela se le hace un descuento del 20 %, luego se hace otro descuento del 30 %, pagando por la

213

Repaso I V tela 336 soles.¿Cuál era el precio original de la tela? 27. Hallar el descuento equivalente a dos descuentos sucesivos de 20 % y 25 %. 28.El precio de un artículo aumentó de 24 a 30 soles. ¿Cuál fue el % de aumento?

214


IV Bimestre 2012

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