Alfonso
Rojos
Puemop e
RAZONAM
lEN
,
EDUCACION
T 0
matico SECUNDARIA
•
Hense Roia5
Puemape
• ,
EDUCACION
SECUNDARIA
co
© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puemape
© Derechos
de edicion y artes graficas reservados.
2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite S21 Miami, Florida 331S6·7840.
USA
etm@grupo·etm.com Director
Editorial:
Antonio Sabogal Editora General: Marife Vargas-Ccrbacho Editor de Matematica: Alfonso Rojas Puemape Especialistas
del Area:
Giovanna Rojas Jorge Chavez Johnny Legufa Eddy Chirinos Edson Tacanga Disello de portada:
Delfin Blanco Comunicaciones
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de interfores:
lIustraciones:
Jorge Huamani, Giulianno
Jorge Huamani, Ivan Tejada, Maria Isabel Flores Delgado
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sin el
Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultades decidiendo por las mejores alternativas de resoluci6n y con alta velocidad de procesamiento mental son tareas pendientes en todos las instituciones escolares. Nuestra colecci6n para la Educaci6n Secundaria presenta una propuesta de razonamiento logico - maternatico por medio de la cual se pone al alcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas, juegos, rnaternatica recreativa y todo tipo de materiales relacionados con situaciones 16gicas, busqueda de regularidades y habilidad operativa, que permiten desarrollar las capacidades de observaci6n, abstracci6n, generalizaci6n, comprensi6n, analisis y sintesis. Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decir afrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o critico, En esta edici6n se ha disefiado en la parte final de cada unidad una secci6n denominada AUTOEVALUACION, que ha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros son acumulativos parciales, cuya ternatica cubre aleatoriamente los tres temas de la unidad correspondiente, mientras que el nivellV es acumulativo total, cuya tematica es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esa posici6n. La colecci6n de RAZONAMIENTO MATEMATICO de ETM ofrece diversos personajes y mufiecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigos Maite, Dalma y Luchfn, quienes realizan el papel de mediadores del aprendizaje. Entre los muriecos hemos dado vida a elementos tecnol6gicos como una laptop, un USB, un celular y una tableta, asl como a materiales que los estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como una regia, un block, un clip; adernas, los acompafia una ilustraci6n del planeta Tierra que promueve transversalmente su cuidado y conservaci6n. De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otros de sintetizadores. Los primeros aparecen en tarnano pequerio e indican que alguna idea del contenido se aclarara en un cuadradito de margen. Esa aclaraci6n se ve precedida por un sintetizador en tarnano mas grande. Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para la practica del razonamiento 16gico-matematico ya que 10consideramos un excelente material que permite un intense entrenamiento para exarnenes de admisi6n a cualquier centro superior de estudios.
Alfonso Rojas Puemape
• Nombre de unidad • Problema motivador • Contenido
(temas)
Conjunto de situaciones hJdicas que permiten eI desarrollo del pensamiento rnatematico.
NUMERO __ DEL TEMA
D~~LTEMA ,
l
Conjunto de tecnicas que nos gufan en la tesolucion de problemas diversos.
SINTETIZADOR
DlRECC10NADOREl Ideas Queresumen. subrayan 0 recuerdan conceptos Quenos ayudan a resolver un problema.
Im4gtlh. qJJe ttliadClnmei c:orrtmldO .. un tema c:on
un siit..... dClr.
'-:,.
~
Conjunto de ejercicies y problemas resueltos eIIeenades para mostrar formas de resoiuci6n de una gran diversidad de situaciales que exigen razonamiento.
--------
PISTA Una Quia 0 ayuda Quepermite desarrollar el problema.
J
Claves
de respuestas
• • • • •
.9·g,li;l,,#:t. Conjunto de 12 ejercicios 0 problemas elaborados para evaluar parcialmente en aula los niveles de razonarniento del tema tratado.
1) 9 2) 12 3) 10 4) 40
7) 6 8) 42 9)
3
10) 2 11) 7 12) 6
Procedimientos 0 artificios de calculo basados en propiedades matematicas elementales que nos permiten desarrollar c81culos mentalmente .
.
--Win; 'St'nBSu.t.I.
RECREA"'~A Ejercicios de Matematica ludica concebidos para desarrollar pensarniento creanvo.
Paginas con problemas variados de los tres temas que conforman la unidad, de los cuales los tres primeros son acumulativos parciales (nivel I, II Y III) Y eI ultimo es acumulativo total (nivellV).
-"'~o:~7~'D--rr: ..~-........ ..
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!'!"~~'i'~':It;I~!IoP,1
,
.
UNlOAD
1)
TITULO
Aplicamos fracciones
JUEGO
La granja de Beto
Pag.8
~
Igualdades especiales
Rueda de operaciones
TEMA 1
TEMA2
Regia de tres • porcentaje
Eficiencia y rendimiento
PRy PP*
PRy PP*
Control 1
Control 2
Cardinal de un conjunto
Numeraci6n PRy PP*
PR y PP*
Control 5
Control 4
Cuatro operaciones pag.64
Ordenando las cajas
Operaciones combinadas PRy PP*
Descubre la figura
pag.92
Razonamiento geometrico II
Razonamiento analftico
Completando cuadrados
Cumple los deseos
parnueve • Multiplicando par la cis1ributiva
PRy PP*
• Suma instantanea II
Semejanza de triangulos
• Cuadrados mentales I • Cuadrados mentales II
PR y PP*
PR Y PP*
Control 10
Control 11
Perfmetros y areas PR y pp.
Volumenes
Control 13
Control 14
PRy PP*
• Pon y quita • Dividiendo pCX'0,5 (cinco d8cimos)
Sucesionesy anaJogias • Cuadrado de un nlimero de dos citas aJfanumencasy graficas qui terminaen nueve PRy pp. • Mlltiplicando nlimeros Control 17 p.es par 25
Orden de informaci6n PR y pp*
Comparaciones cuantitativas
Romp ecab ezas de operaciones
Comparaciones cuantitativas Control 19
Suficiencia de datos
Encontrando el camino
Suficiencia de datos
Q Pruebas de evaluaci6n
• Multiplicando
• Suma instantanea I
Triangulos y circunferencias
Control 20
Q Problemas propuestos en concursos interescolares pag.204
nlimeros multiplos de 3 par 15
Control 8
Control 16
~
par 11 • Ilviciendo
Falsa suposici6n y rnetodo de las diferencias
Control 7
Razonamiento geometrico I
• Wtiplicando nUmerosde dos citas
• Sumando de 10 en 10 • Grupos convenientes
• Multiplicando por cinco • Multiplicando pCX'veinticinco
TEMA3
AUTOEVALUACION
MATEMAnCA AECAEAnVA ACUMULATIVO
Problemas comerciales
• Los primeros arios • Tomando decisiones
PRy PP*
• Un descuido costoso
Control 3
• Se nos va el tiempo
Planteode ecuaciones PR y PP* Control 6
Retroalgoritmo y conjunta PR y PP* Control 9
Relaciones mefricas PR y PP* Control 12 Coordenadas cartesian as PR y PP* Control 15
Analisis de figuras PR y PP* Control 18
• Los chicos de mi cuadra • Haciendo malabares • Operadores rnaternaficos • Usemos las operaciones elementales • Reparto justo • Problemasy mas problemas • A formar filas • Una tarea dificil
• Un reparto extrario • Super ofertas • Una reuniOnfamiliar • Rumbo a 10 desconocido
• Una tarea en mi corrao • Construyendo puentes • Pesos y pesas • Un vecino muy extrario • La geometrra de la hora • De regreso a casa • iA completar se ha dicho! • iCuestiOn de tamario!
Nivell
PAR:.:C.;;,IA.;:L:__~
(18 problemas)
Nivelll (18 problemas) Nivel III (17 problemas)
Nivel I (20 problemas) Nivelll (19 problemas) Nivellll (18 problemas)
Nivell
(18 problemas)
Nivelll (18 problemas) Nivel III (18 problemas)
Nivel I (19 problemas) Nivelll (19 problemas)
Nivell
(17 problemas)
Nivelll (16 problemas) Nivellll (17 problemas)
Nivel I (21problemas) Nivel II (19 problemas) Nivellll (17 problemas)
Nivel I (25 problemas)
• BJoquesy mas bloques • Gran descubrimiento • Una mosca golosa • La aventura del rio
Nivel I (16 problemas)
PP: Problemas propuestos
A_C~U_M_U_LA_T1_V_O_T_O_T._'A_L __
NivellV (17 problemas de unidad 1)
NivellV (19 problemas de unidad 1 y 2)
NivellV (19 problemas de unidad 1, 2 Y 3)
NivellV (15 problemas de unidad 1, 2, 3 Y 4)
Nivellll (15 problemas)
• IY se hizo la luz! • Kakuro primo • Mas y mas conejos • Cuadro numerico
* PR: Problemas resueltos
__
Nivelll (22 problemas) Nivellll (17 problemas)
Nivelll (18 problemas) Nivellll (16 problemas)
NivellV (18 problemas de unidad 1, 2, 3, 4 Y 5)
Nivel IV (12 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5 Y 6)
NivellV (13 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 Y 7)
NivellV (16 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Y 8)
Oqe.Skanito este
recorrtdo siempre 10 ~ago en ~ora y media.
~A~, sl? iPues eres muy lento! Yosoy el do17lede rapido que tu. ~Cuanto crees que tardare?
.... REGLA DE TRES - PORCENTAJE .... EFICIENCIA Y RENDIMIENTO .... PROBLEMAS COMERCIALES
La granja de Beto Beto tiene ovejas y patos en su granja. Cada dia, el forma un grupo mixto y diferente con estos animales para sacartos a pasear. Coloca en los recuadros, segun la condici6n, el numsro de ovejas y patos que tendra cada grupo, si siempre procura sacar a pasear el maximo nurnero de animales.
En cada grupo debe haber:
N.O ovejas
• 50 patas en total. • 9 cabezas y 24 patas en total.!'-• 26 patas en total. • 16 cabezas y 48 patas en total. • 28 patas en total.
_)
N.O patos
ReGlI8nla '{118 siempl"e debes o!YLfol" el mlIximo nUl!Iel"o de o NmoieS.
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
I
~------
REGLA DE TRES · PORCENTAJE
REGLA DE TRES
Es el procedimiento practico que permite calcular una cantidad, conociendo tres cantidades correspondientes a dos magnitudes proporcionales. La regia de tres simple puede ser directa 0 inversa.
o REGLA
AI comparar dos magnitudes, estas seran DP cuando una aumentey la otra tambien 0 cuando una disminuyay la otra lambien.
DE TRES SIMPLE DIRECTA
Se aplica cuando las magnitudes que se comparan son directamente proporcionales (DP). Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente de sus cantidades correspondientes permanece constante. magnitud
A
magnitud
o REGLA
DE TRES COMPUESTA
Es aquella en la cual intervienen mas de dos magnitudes proporcionales. Esquema general: magnitud
A
magnitud
Ejemplo:
DE TRES SIMPLE INVERSA
Se aplica cuando las magnitudes que se comparan son inversamente proporcionales (IP). Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando el producto de sus cantidades correspondientes permanece con stante.
·N.·ObrerosDP Obra ,COSloDPN.·Articulos
magnitud
A
magnitud
magnitud
x
c2
Luego de comparar la magnitud B con las otras dos, se puede obtener los siguientes casos: 1)
Si: A DP B y
2)
3)
a2
c2
a1
c1
a1 x=b·-·-1 a 2
c1 c2
a ._._2 1 a 1
c1 c2
x=b1·_·_
C DPB
Si: AIPB y
B
CIPB
Si: A DP B
x=b
Y CIP B
Rodrigo fue de compras y por 3 camisas D pago S/.150. Si al hubiera comprado 7 camisas, zcuanto hubiera pagado?
Las magnitudes Ahora: mas". => Las
iATENCIONI AI comparar dos magnitudesestas seran IP cuando una aumentey la otra disminuya 0 viceversa. Ejemplo: • VelocidadIP liempo • N.· obreros IP Rendimiento
Identifica las magnitudes y luego establece s! son DP 0 IP.
Seis amigos se fueron de campamento y lIevaron alimentos para 12 dias. Si aI campamento asistieran 8 personas, zcuantos dias menos durarla dicho campamento?
son N.· de articulos y costo.
"Si compra
magnitudes
3 camisas 7 camisas
mas camisas,
paqara
son DP, luego:
X
• Hubiera pagado
D
C
a1----b1----C1
B
a2
o REGLA
B
St. 150
=- x =
x
I S/. 350
(7).(150) 3
,.
Las magnitudes son N.· de personas y tiempo de duracion de los alimentos. 'Si hay mayor cantidad de personas, los alimentos ourarsn menos tiernpo" . => Las
magnitudes
6 personas ~ 8 personas ~ Luego, duraria:
son IP: 12 dias x
I
=
(6). (12) x=--=9 8
12 - 9 = 3 dras menos
I.
IJ
Un grupo de 8 cocineros demoran 5 horas en preparar un banquete para 20 personas. {'Cuanto tiempo tardaran 10 cocineros, igualmente habiles, para preparar el mismo banquete, pero para 50 personas? o
Estrategia
0
Compara las magnitudes y establece si sonDP 01P.
o TANTO POR CIENTO
8
5
10
x
Descuentos sucesivos, esquema general: a%
N.· Porciones 20 50
1\
IP
DP
b%
(100- a)%x (1OO-b)% = (100-a)(100-b)% 100
t
I.
Luego, tardaran 110 horas
L
Aumentos: Resulta:
a% (100 + a)% x
b% (
a
100% _ (100 - a)(100 - b) % 100
iIMPORTANTE!
L
Podemos tomar como regia pracnca 10siguiente: • Si es IP, la raz6n se mantiene,
100 + b)%
• Si es DP,la raz6n se invierte.
= (100+ a)(100+b) % 100 ~umento = (100 + a)(100 + b) % _ 100% (Au) 100
UniCO
o PROBLEMAS DE COMPRA Y VENTA En un negocio de compra - venta se cumplen las siguientes relaciones: Pv = Pc + 9
Pv= Pc- P
~
Donde: Octo. unico (Du)
i>
Ahora: x = 5 . ~ . 50 = x = 10 10 20
a%deN=~xN 100
o DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
Queda:
Tiempo
Aumentos sucesivos, esquema general:
EI tanto por ciento de una cantidad es una o varias de las cien partes iguales en que se divide dicha cantldad.
Descuentos:
N.· Cocineros
t
Identifica la cantidad de magnitudes, si hay 3 0 mas se trata de un problema de regia de tres compuesta.
Regia practice:
Las magnitudes son N.· de cocineros, tiempo de preparaci6n y N.· de porciones.
• '!II
Pc: precio de costa Pv: precio de venta
g: ganancia p: perdida
............. D
Juan compr6 un pantal6n, el cual ofredan con un 10% de descuento; pero antes de pagar Ie ofrecieron un segundo descuento del 20% por pagar con una tarjeta de credito. Si cancel6 con una tarjeta de crsdito, {,cuanto fue el descuento que Ie efectuaron?
Aplicamos la relaci6n de descuento unico: Octo. unico
= 100% _ (100 - 10)(100 - 20)% 100
= 100% _ 90 x 80 % 100 Octo. unico - 100% - 72%
Observe que si se ofrece un primer descuento y luego otro, estamos frente a un problema de descuentos sucesivos.
JATENCII1N!
= 128%
I
A menos Que se indique otra cosa, la ganancia y la perdida son respecto al precio de coste.
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
D
Una vaca atada a una cuerda de 6 m puede comer todo el pasto a su alcance en 4 horas. Si la cuerda fuera de 3 m, ;'cuanto tiempo tardaria en comer todo el pasto a su alcance?
demoraran 10 ovejas en comer todo el pasto de otro terreno cuadrado cuyo lade es el doble que el del terreno anterior? Resolvemos: Intervienen Ires magnitudes:
Resolvemos:
f'f\ U
EI pasto a su alcance es: Tiempo
Area
><
n.6 22=
4h --
r-:: iOBSERVACIONI
X
Como el tiempo es el mismo, solo hay dos magnitudes a comparar.
n.3
--
t
X
R3SD
32 4..n =-2-=X= 6 .R
N.Oovejas
.h X
• Luego, tardara ,-,u-n-a-h-o-ra--'I.
IJ
Un grupo de 10 campesinos puede sembrar papa en un terreno rectangular de 50m de largo y 30m de ancho en 8 horas. ;'Cuantos campesinos mas, igualmente haoiles, se necesltarsn para sembrar, en el mismo tiempo, otro terreno de 60m de largo y 40m de ancho?
y area del terreno.
;;,
N.·campesinos Area X
t
(50).(30) (60).(40) ~ R3SD t
><
• Luego, se nscesitaran:
X
= (10).(60).(40)
X
= 16
(50).(30) 16 - 10
= 16 mas I
En un zooloqico se observe que 10 monos pueden comer 20 platanos en 5 minutos. <.Cuantos platenos corneran 15 monos en 10 minutos?
• No olvldes que los descuenlos o aumentos sucesivos no son acumulativos. • Es decir el descuento Ilnico no es: 10%+ 15%-25%
Resolvemos: • Las magnitudes que intervienen son 3, entonces estamos en el caso de regia de tres simple compuesta. N.·monos
N.oplatanos
10 15 t X
X
DP
= 20 . ~
. ..:!.Q_ 10 5
/\
=
N.onempo
5 min
20 DP X
102
10
X
202
IP
= 5. _g_. 20: 10
10
n
DP
X
= I 24 horas
=
t
I
Mario gana mensualmente Sf 2400. Si este mes el fue elegido como el Irabajador del mes y 10 premiaon con un incremento en su sueldo del 30%, ;'cuanto redbira este mes? Resolvemos: Calculamos
cuanto mas recibira: 30%(2400) = 720
I
Ricardo gano un premio econornico, pero solo recibio Sf. 6800 ya que Ie hicieron los descuentos correspondientes. Si Ie descontaron el15% del prernio.ca cuanto ascendia el premio? Resolvemos: Sea P el premio, si Ie descontaron el15%, entonces rscibira el 85% del premio. 85% P = 6800
=
P
= 8000
I
Luego, el premio ascendia a Sf 8000 ~ Sonia compro una blusa, que por estar en oferta, se la dieron con un 15% de descuento. Si por pagar con la tarjeta de credito de la tienda Ie hicieron un 2.' descuento del 10%, ;'·cuai es el descuento unico al que equivalen ambos descuentos? Resolvemos:
10 min t
= I 60 platanos
5
I
son N .. de campesinos
10 -
12
• Luego, este mes recibira: .----..., 2400 + 720 = Sf 3120
Resolvemos: • Las magnitudes
Area
t
I
t
N"tiempo
I
Un rebano de 12 ovejas pueden comer todo el pasto de un terreno cuadrado de 10m de lade en 5 horas. ;'Cuanto tiempo
1.. Descuento 15% Queda: 85% Octo. unico
2.. Descuento 10% 90%
= 100% _ 85 x 90 % 100
D
Un grupo de 15 campesinos fueron contratados para sembrar un terreno cuadrado de 20m de lado en 8 dias. Si antes de empezar el trabajo 3 campesinos renundaron, por motivos de salud, icon cu&ntos elias de retraso se terrninara la obra?
Indica el descuento unico aI que equivalen tres descuentos sucesivos de 10%, 12% Y 20%.
EI sueldo de Pedro fue sometido a un aumento del 20% y luego a un descuento del 20%. Rnalmente, lPedro gano 0 perdi6 en este proceso? Rpta.: Perdio 4 %
Rpta.: 2 dias AI vender un producto se hace un descuento del 30% y luego, por a1gun motivo, se hace un aumento del 30%. lCuaJ es el aumento 0 descuento unico equivalente? Rpta.: Descuento 9 %
EJ
ED
Rpta.: Aumenta 44 %
Seis obreros pueden realizar una obra en 20 dias. Si dos de los obreros duplican su rendimiento, zcuanto tiempo antes terrninaron la obra? Rpta.: 5 dias
Ie cost6? Rpta.: SI. 3000
Veinte sobrevivientes de un nen a1imentos para 15 dias. dias se les unen 4 naufraqos tos dias menos curaran los
naufragio tieSi luego de 3 mas, zcuanalimentos?
Un grupo de 5 panaderos pueden preparar 500 panes en 8 horas. lCuantos panes podran preparar 3 panaderos, igualmente haoites, pero en el doble del tiempo? Rpta.: 600
En una fabrica, 12 calderas tienen combustible para 8 dfas. Luego de 4 dfas de trabajo, 4 calderas se descomponen. lCuantos dlas mas de 10 planeado durara el combustible? Rpta.: 2 dias InElsvsndio su automovil en $ 7000 luego de hacerle dos descuentos sucesivos del 20% y 30%. l.Cuanto Ie coste el auto?
Si el radio de un circulo se reduce a su mitad, len cuanto yarra su area?
Tito vendi6 su auto ganando el 20% del predo de costo y el 10% del predo de venta. Si el auto Ie cost6 $12 000, l.a cuanto 10vendi6? Rpta.: $ 16 000
••
Recuerda que el volumen de un cubo esta dado por:
(fry v _ {3
Sonia vendi6 su refrigeradora perdiendo el 10%. Si vendi6 la refrigeradora en Sf. 3600, lcuaJ fue el precio de costo de la refrigeradora? Rpta.: SI. 4000
Con seis maquinas de coser se pueden confecdonar 3000 polos en 18 dras, trabajando 12 horas diarias. Para confecdonar 5000 polos en 15 dras, trabajando 8 horas diarias, lcuantas maqeinas de coser seran necesarias? Rpta.: 18
en 75 %
PISTA 12
Si la altura de un triangulo se reduce en un 30 % Y la base se incrementa en un 30 %, zcomo varia el area de dicho triangulo? Rpta.: Se reduce en 9 %
Rpta.: 2 dias
Rpta.: Se reduce
••
~------,
{
vendi6 su computadora ganando el D Saul 10% del costo. Si vendi61a computadora
EJ
Si la arista de un cubo se incrementa en un 20%, len cuanto se incrementa su volumen? Rpta.: 72,8 % Seis a1bariiles pueden construir una casa en 50 dias. lCuantos a1bariiles mas habra que contratar para terminar la casa en 30 dias? Rpta.: 4
Si el lado de un cuadrado se incrementa en 20%, len cuanto varia su area?
a Sf. 3300, lcuanto
Rpta.: 36,64 %
Rpta.: S 12500 •
Una lavadora coste Sf 600. Si para su venta se Ie fija un predo de Sf 1000, len cuanto por dento se debe redudr el precio fijado para ganar el 40% de su costo? Rpta.: 16 %
II II II II II
Si 2 trabajadores duplican su rendimiento, trabajaran com 0 si fuesen 4 trabajadores.
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
Un grupo de 6 panaderos deben entregar un pedido de 1000 panes dentro de 5 horas. Si a ultima hora les indican que el pedido debe entregarse 2 horas antes de 10 acordado, zcuantos panaderos mas se deben contratar para cumplir con el pedido?
Si cinco albaliiles Irabajan con el doble del rendimienlo, se puede considerar como sl fuesen 10 albaniles. L
--
---~-
-
Ie. Un grupo de 15 a1bafliles tiene prograI-"'I' mado construir una casa en 80 dias. Si aI empezar la obra 5 a1bafliles acordaron trabajar con el doble del rendimiento normal durante toda la obra, .!.cuimto tiempo antes de 10 program ado se terminara la obra?
«
(
EI aumento de Carlos y el descuen10 del vendedor se aplica a una misma canndad, es decir, al precio del producto.
Seis obreros pueden pintar toda la tacnada de un edificio en 10 dias, trabajando 8 horas diarias . .!.Cuantos obreros se necesitaran para pintar el mismo edificio, pero en 8 dias, trabajando 5 horas diarias?
~ _,
Un taller de confecciones para cumplir con un pedido de 10 000 polos cuenta con 8 rnaquinas que trabajan 14 horas diarias durante 12 dias . .!.Cuantas rnaquinas se necesitaran comprar para cumplir con un pedido de 15 000 polos trabajando 7 horas diarias durante 9 dfas?
Si R es el 10% del 25% del 70% de ...... 10000 Y Pes el 30% del 40% del 80% de 20000, calcula el 25 % del cuadruple de R + P.
Carlos Ie propuso a un vendedor pagarle 20% mas por un producto, pero con la condici6n de que, aI momenta de pagar, el vendedor Ie haga un descuento del 20% . .!.Quien se beneficia con esta propuesta?
AIod"lirir un nugvo concepto. proc.uro relociooorio con 10"ug !JO sabes.
..
EI precio de un producto surre dos descuentos sucesivos del 20% y 10%. Luego sufre dos aumentos sucesivos del 30% y 20%. iC6mo ha variado el precio inicial del producto?
~' Si los lados verticales de un cuadrado I'-" aumentan en 30% y los lados horizontales se reducen en 20%, l.en cuanto varia el area?
• Qf\i tI. Volumen (V) de una
piramide: V _ S.h
3 Donde:
s:
Area de la base.
h: Altura de la pircimide.
u u u u u t-
Del problema anterior, si el precio final (Pf) es SI. 22 464, icuaJ es el precio inidal (Pi)?
lL.
Aldo, por pintar un muro cuadrado de Bm I'-" de lado, cobra S/. 140. l.Cuanto cobrara por pintar otro muro cuyo lade mide 50% mas que el anterior?
Volumen de un cilindro:
0· 9 (U sl£ls Si la altura de una piramide se duplica, icuaJ es la variaci6n porcentual de su volumen?
Tres obreros pueden hacer un agujero ciIIndrico en 100 horas. l.Cuantos obreros mas se tendran que contratar para hacer otro agujero cilfndrico, en 36 horas, cuyo radio y altura son 20% mas y 25% menos, respectivamente?
tu
%~ eluawn'o'(Ol e:>gdnpas (6 000 OZ"lS (S %Z£'U (L sOf1l!:l (9 SSOZ (S seu!nb~w~Z (~ sOJaJqoZl (£ selPOZ (Z sOJapeuedV (l
• • • • •
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
:~ ~,.-----------
~ ~_EFICIENCIA de mora 2 horas en hacer D Julio maternaticas. Si Maria demora
una tarea de 6 h en hacer la misma tarea, ~cuanto tiempo dernoraran si hacen juntos dicha tarea?
Y RENDIMIENTO Cada uno tarda:
En una hora:
Julio:
2h
~ de la tarea
Maria: 6h
~ de la tarea
j_ + .l, _1._ de la tarea 2 6 3
Juntos: • Analiza te cantidad de tarea que hace cede uno en una unidad de tiempo. Determina cUBI es la parte de la tere« que hecen en esa misma unidad de tiempo, si trabajan juntos.
Ahora:
1h -
_g_ de la tarea 3
x -
D
A Y B son dos empresas constructor as. Un empresario solicit6 informes a dichas empresas para determinar el tiempo que tardarian en construir un edificio. Observ6 que A tardaria 12 meses y que B es 1/3 mas eficiente que A. Si contrat6 ala empresa B, ~en cuanto tiempo se construira el edificio?
• Determinamos
11 h 30 min
tarnbien es chef y es 1/2 mas eficiente que Alfredo, zcuanto tiempo tardaran en preparar el mismo banquete trabajando juntos?
Fijate que aqu! se trabaj6 de una rnanera directa: - Si juntos hacen el trabajo en x horas, en una hora naran { del trabajo.
,.
la eficiencia de cada uno:
A: Eficiencia B: Eficiencia
1 + j_ 3
=
± 3
Ahora usamos una regia de tres para determinar el tiempo que Ie tom aria a B en hacer el mismo trabajo.
x
Determina la eticiencia de una respecto ala otra.
es chef y puede preparar un banII Alfredo quete para 10 personas en 9 horas. Si Juan
h < > 1 h 30 min
2
12 meses ----
• Usa la regia de tres simple para determiner el tiempo que Ie tomaria hacer el trabajo a la otra empresa.
-
1(toda la tarea)
Luego, juntos dernoraran
Para calcular cual es la parte de la tarea que realizan juntos en una hora, solo debes sumar 10que cad a uno realiza en una hora.
3
=x =
1 (eficiencia)
t
---
t
(eficiencia)
IP x-~
=
(4/3)
x-9
Luego, B 10 consfruira en 1 9 meses ,.
Analizamos las eficiencias:
19
Alfredo: 1 Juan:
1 +j__~
2
2
1
h
~ =x-6h x --2 tL_..:.;IP,----,
• Juan tardara 6 horas trabajando solo. Ahora buscamos cuanto hace cada uno en una hora:
En una hora -1
.......... ~
Determinamos el tiempo que Ie toma a cede uno hacer el trabajo, teniendo en cuenta las eticiencias.
Alfredo:
9h
Juan:
6h
9 j_ 6
• Analiza cuanto hace cada uno por unidad de tiempo.
Juntos:
X h····· .............•
j_ - j_ +
X Finalmente:
j_ - _§_ )( 1A
=
9
x_..1§. h < > 3 ~ h 1:;
1:;
Luego, juntos tardaran:
D
Un albafiil A tarda 8 seman as en construir una piscina; otro albafill B tarda 12 sernanas en construir la misma piscina. Si el albafiil A comienza la obra y despues de 3 seman as se Ie une B y juntos terminaron la piscina, i.en cuanto tiempo se construy6 dicha piscina?
I.
J
EI albanil A en una semana hace 1/8 de la piscina y en las 3 primeras semanas (donde trabaj6 solo) hizo: 3" ~ = ~
=>
falta hacer:
A Y B trabajando
~
juntos
....
en una semana
hacen:
1
1
5
"8 + 12 = Nota que en este tipo de problemas la obra se ha realizado en 2 partes, por 10 tanto analizamos cede parte como en los casos anteriores.
13h 36 min
24
Luego, A y B juntos hacen:
5
1 seman a
24
=> x
=
3 semanas
iRECUERDAI
.§.
x
8
La piscina se construy6 en: 3+ 3-16 semanas~
Un tanque tiene dos tuberias. Se sabe que una demora 8 horas en lIenarlo y la otra 12 horas en vaciarlo. Si las dos tuberias se abren al mismo tiempo cuando el tan que esta vacio, len cuanto tiempo se llenara el tanque?
Toda la obra se considera como el total (1) y como ya se hizo los 3/8, falta hacer:
EI tanque se lIena en 8 horas, entonces en una hora se lIena: 1/8 • EI tanque se vacia en 12 horas, entonceS' en una hora se vacia: 1/12
• . 9
1-i -i
Luego, en una hora se lIena:
.1 _ _1_ En este tipo de problemas, una tuberia es de IIenado y la otra de veciedo. De modo que 10que quede en el tanque sera la diferencia entre 10que agrega y quita cede tubetle, por unidad de tiempo.
8
12
= _1_ tan que
24
Ahora: 1 hora
1/24 tanque
x
=>x= 24 horas
1 tanque
Luego, se llenara en 2-4-"h-or-as'l.
)
rI
Se usa dos bombas (A y B) para extraer el agua de una piscina. La bomba, A tarda 18 horas en vaciar la piscina, adernas la bomba B tiene un rendimiento 20% mayor que A. Si trabajan juntas, zcuanto tiempo tardaran en vaciar toda la piscina?
Del enundado: Rendimiento A: 100% - 1 Rendimiento B: 120% - 6/5 Usamos una regia de tres para determinar cuanto tardaria B trabajando solo. 18 horas ---
• fn este tipo de prol?lemas tenemos que ap~Ulr todo 10 que f1emos aprendido hasta el momento. Tral?6jalo por partes distinguiendo codo etapa.
x
--=>
1
Rendimiento:
6/5
x -15horas
La bomba B vaciara la piscina en 15 horas, trabajando sola. • Si A Y B trabajan juntas, en una hora vaciaran:
1 1 18 + 15 iVamos ... tu puedesl
Rendimiento:
11 d I .. 90 e a pisona.
• Toda la piscina se vaciara en: 1 hora---11
x
90
En realidad en cada hora no se vacia 1/12 del deposito, porque la salida del agua no es con stante ya que depende de la altura. Solo por razones pracncas se hace esa consideraci6n.
l'----------"l
,~~
~
ALFONSO
X_=_~_~ __=_X_=_1_8_f_1_hm_a_s_I __
ROJAS PUEMAPE
D
Juan es albaflil y puede construir un muro en 8 dias. Si Rodrigo puede construir el mismo muro en 6 dias, .!.cuanto tiempo tardaran si construyen el muro juntos?
En una hora
Ricardo: Felipe: Juntos:
Resolvemos: •
Rodrigo:
iATENCIII NI
Ahora:
1 dia -
x =>
•
x : -24
7
<>
x horas
1/x
12 horas
1/12
1 + - 1 : -1 16 x 12
..
]_ del muro
D
24 1 muro.
33- d'las
Lucia tarda 40 minutos en limpiar la sala de su casa. Si Sara, su hermana, es 60% mas eficiente, .!.cuanto tiempo tardarsn si limpian la sala juntas?
7
Luego, si trabajan juntos
Resolvemos:
tardaran:
Determinamos el tiempo que terdarasara, de acuerdo a su eficiencia, si limpia sola: 40 min -
• Aliena el cilindro en 30 minutos, minuto lIena: 1/30
...L 30
+ .1.
x
:...L12
-
160% (eficiencia)
= x: 20
Luego, e 10 lien a en 1 20 minutos I.
25 minutos
f~
......
Si trabajando juntas terminan la limpieza en y minutos, en un minuto limpiaran:
...L
+
•
...L : ...L =
y : 15_§_min 13
Y
25
Luego, si limpian la sala juntas
15
en un
e lien a el cilindro en x minutos, en un minuto lIena: 1/X Juntos:
100% (eficiencia)
X :
40
• Analizamos cuanto lIenan juntos en una unidad de tiempo (un minuto): 1/12
La eficiencia es inversamente proporcional (IP) al tiempo; es decir, si uno es mas eficiente demerara menos en hacer un trabajo.
x
Dos grifos Aye pueden lIenar un cilindro en 12 minutos, trabajando juntos. Si el grifo A, trabajando solo, puede lIenar el cilindro en 30 minutos, .!.en cuanto tiempo el grifo B, trabajando solo, poora lIenar el cilindro?
Resolvemos:
•
48 horas
1 48 horas I.
;4
13 ~ dias I. D
x:
=;>
Luego, si Felipe trabajara solo tardaria:
i i: +
1/16
-
6 dfas; en un dfa: 1/6
Si trabajan juntos haran:
16 horas
Entonces:
Determinamos cuanto construye cada uno en una unidad de tiempo (un dial. Juan: 8 dias; en un dia: 1/8
Las partes del trabajo que realiza cada uno se relacionan de manera independiente, en la unidad de tiempo que se este usando.
~J
f3
tarderan:
minutos
Fredy demora 4 horas en hacer un trabajo, pero debido a un resfriado baj6 su rendimiento en 1/5 . .!.Cuanto tiempo tardara Fredy en hacer el trabajo estando enfermo?
Resolvemos: Ricardo hace un trabajo en 16 horas. Si aI trabajar con Felipe terminan el trabajo en 12 horas, .!.cuanto tiempo tardaria Felipe trabajando solo?
Resolvemos: Felipe hace el trabajo en x horas.
Determinamos el tiempo que tarda Fredy en hacer el trabajo, estando enfermo. 4 horas
-
1 (rendimiento)
x
-
(1 -
x:
5 horas
...L) (rendimiento) 5
Anora, oetsrmmamos ra pane oel traoaJo que hace cada uno en una hora,
Rpta.: 4 horas Jairo es panadero y trabajando 10 horas puede lograr la producci6n diaria establecida Si Dario es 25 % mas eficiente que Jairo, lcuanto tiempo Ie tomara a Dario a1canzar dicha producci6n diana?
Rpta.: ~O minutos
Una piscina tiene dos tuberlas, una la lIena en 12 horas y la otra la vada en 18 horas. Si las dos tuberias se abren aI mismo tiempo con la piscina vacfa, len cui¥1to tiempo se lIenara dicha piscina? Rpta.: 36 horas
D
Juan puede pintar la fachada de una casa en 4 dfas y Mario la puede pintar en 6 dfas. Si Juan, durante 2 dlas, trabaj6 solo y aI tercer dfa se Ie uni6 Mario, len cuanto tiempo se pint6 la fachada? Rpta.: 3 1/5 dias Un tractor A puede remover cierta cantidad de tierra en 8 horas y un tractor B puede remover la misma cantidad de tierra en 4 horas. Si el tractor A, durante 3 horas, trabaj6 solo y luego se Ie une el tractor B, zcuanto tiempo menos dur6 el trabajo para A? Rpta.: 3 1/3 horas Un tan que tiene 2 tuberias, la primera 10 lIena en 5 horas y la segunda 10 vacia en 12 horas. Si se abre solo la primera tuberra durante 2 horas y luego se abre la segunda tuberia, len cuanto tiempo se Ilenara el tan que?
I 5 horas I.
Andres tarda 4 horas en hacer su tare a de rnatematicas. Si una tarde se enferm6 y su rendimiento se redujo en 1/3, zcuanto tiempo tard6 en hacer la tarea esa tarde? Rpta.: 6 horas
Rpta.: 8 horas
.'
Luego, tardara
Una piscina esta lIena y en la parte inferior tiene 2 tuberias A y B que la vacian, independientemente, en 6 y 9 horas, respectivamente. Si se abre la tuberia A solo por 3 horas y luego se abre la tuberla B hasta que la piscina se termine de vaciar, len cuanto tiempo se terminera de vaciar toda la piscina? Rpta.: 7 1/2 horas
Maribel tarda 4 horas en hacer su tarea de matemancas. Si ella se juntara con Juana para hacer dicha tarea, la terminarfan en 2 horas. lCuanto tiempo tardara Juana en hacer sola la tarea?
Una maquina puede podar todo el pasto de un jardin en 60 minutos. zcuanto tiempo tardara otra maquna 20% mas eficiente que la anterior? ~
•
I
Se tienen 3 pintores: A, By C. Sabemos que A y B juntos pueden hacer un trabajo en 12 dlas: B y C juntos pueden hacer el trabajo en 8 dias, A y C juntos pueden hacer el trabajo en 6 elias. lCuanto tiempo tardaria C si hace el trabajo solo?
L
iRECUERDA!
L
La eficiencia se puede operar com 0 tanto por ciento, o expresarcomo fracci6n: 120%
=
120 _ ~ 100 5
Rpta.: 9 3/5 dfas Una piscina puede lIenarse con 2 tuberias A y B en 4 4/5 h. Si la tuberia A tarda 4 horas menos que la tuberia B en lIenar la piscina, len cuanto tiempo la tuberia B, sola, lIenara la piscina? Rpta.: 12 horas Una cuadrilla de peones puede sembrar un terreno en 30 dfas. Si trabajan en el mismo terreno con otra cuadrilla que es 50% mas eficiente, len cusntos dlas sembraran el terreno? Rpta.: 12 dlas
Un reservorio puede ser lIenado por 3 grifos de manera independiente en 3, 6 Y 9 horas; tambien puede ser vaciado completamente por dos conductos de manera independiente en 12 y 36 horas. Si estando el reservorio vade se abren los 3 grifos Y los dos conductos, len cuanto tiempo se lIenara? Rpta.: 2 horas Un sastre puede confeccionar un temo en 12 horas y su ayudante es 40% menos eficiente. Si trabajan juntos, len cuanto tiarnpo confeccionaran el terno?
Averigua cual es la parte del trabajo que hacen loskesjunlos, en una unidad de tiempo.
J
Rpta.: 7 1/7 horas
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
Carla demora 3 horas en hacer su tarea. Sandra demora 2 horas en hacer la misma tarea. Si se juntan para hacer la tare a, len cuanto tiempo terminaran?
PISTA 2
Rpta.: 7,5 horas
~L _,
Una piscina es abastecida por 2 tuberias A Y B. A puede lIenar la piscina en 6h y la tuberfa B la puede lIenar en 9 h. Si las dos tuberias se abren aI mismo tiempo, len cuanto tiempo se llenara la mitad de la piscina?
lZ:I
Si es mas eficiente, tardara menos tiempo. ~ I-
EI tanqae:
L,8: Nota que cuando el nivel del agua baja a la mitad del tanque, solo funcionara la tllht"rf!a R
Una empresa A puede construir un edifi· cio de 10 pisos en 12 meses. Si otra empresa B es 20% mas eficiente, len cuanto tiempo construira el edificio?
Un tanque tiene dos tuberias. Una 10 lie· na en 10h y la otra 10 vada en 15h. Si se abren las dos tuberias aI mismo tiempo, estando el tanque vaclo, lcuat es la parte del tanque que llenaran juntas luego de 15 horas?
Maria es costurera y puede confeccionar 20 polos en 6h. Si Sandra es 50% mas eficiente, len cuanto tiempo podra confeccionar la misma cantidad de polos?
Un tanque tiene 2 tuberias de desaque: A y B. A esta ubicada exactamente a la mitad del tanque y puede vaciar esta parte en 8 horas. Si el desague B, que esta en el fondo, puede vaciar todo el contsnido del tanque en 12 horas, len cuanto tiempo se vaciara todo el tanque con los dos desaques abiertos?
- -J l.__
_....J l...._
J
!:.entirse bien luego de resolver un problema nos motiva a seguir aprendiendo.
u u u u u PISTA 8
E -
De tres empresas: A, Bye, dedicadas al mismo rubro, se observe que A puede producir un lote de productos en 20 dias, B 10 puede hacer en 10 dfas y C en 16 dias. Si las tres empresas deciden trabajar juntas, len cuanto tiempo termineran la misma proouccion?
I
Rodrigo tarda 12 horas en pintar la fachada de una casa. Si Diego es 50% mas eficiente, lcuanto tiempo tardaran si pintan dicha fachada juntos?
Determina cual es la parte del trabajo Que hace cada par de amigos en una unidad de tiempo .
• Phi6If.
F- Andres
IIL!!_
...
~
y Beto hacen, juntos, un trabajo en 15 horas, Beto y Carlos 10 hacen en 12 horas, y Andres y Carlos 10 hacen en 20 horas. Si finalmente decidieron trabajar juntos, len cuanto tiempo terminaron el trabajo?
Un tractor puede remover cierta cantidad de tierra en 6 horas. lCuanto tiempo tardara otro tractor 40% menos eficiente en hacer 1/3 de dicho trabajo?
Por: ...• el doble de voraz .. .", se debe entender Que demora la mitad del tiempo en comer la misma canndad,
SeJ04 ~ (U
U!WOZ4£ tu U!WS~4~ (Ol 4 £l Gl (S ~ Tres tuberias: A, Bye, abastecen a una piscina. Adsmas sabemos que A y B la pueden lIenar en 8 horas, Bye en 16 horas, yAy C en 10 horas. Si se abre solo la tuberia A, zcuanto tardara en lIenar la piscina?
Una vaca, sujeta a una estaca mediante una cuerda, puede comer todo el pasto que esta a su alcance en 12 horas. Si ala misma estaca y con la misma longitud de cuerda se sujeta a otra vaca, el doble de voraz que la anterior, len cuanto tiempo terminaran de comer todo el pasto a su disposicion?
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ALFONSO
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•• • • •
ROJAS PUEMAPE
MULTIPLICANOO
NUMEROS DE DOS CIFRAS POR 11
1. En un centro comercial se venden cocinas a S/.780 cada una. Si cierto dfa se vendieron 11, i.cuanto dinero se obtuvo por la venta?
Resolvemos: Solamente multiplicamos mente. Procedamos:
780
x
11
780 x 11 menta/-
= 10
x ~
Escribimos el factor 78, dejando un espacio entre los dfgitos 0 cifras. 10x(7_8) Si la suma de las cifras es un ruirn ero de una cifra, esta se coloca al centro y se acabo la operaci6n.
Sumamos
sus cifras: 7 + 8
= 15
Colocamos el 5 a! centro y el 1 10 sumamos a la cifra de adelante. Asi :
r--7+1
>
10x (8.§8) = 8580 Respondemos: Se obtuvo por la venta
I SI. 8580 I.
NOTITA Esteartificio es solo paranllmeros de 2 cifras; sin embargo, un metodo altemativo para multiplicar nil meros de 3 cifras por 11 consiste en multiplicar el numero por 10 Y luego sumane el mismo
Un rnecanico debe vi sitar 11 departamentos para realizar algunas reparaciones. Si en cada viaje gasta $ 96, zcuanto gastara en total?
Nueve amigos se reunen en un restaurante, pero a mitad de la cena se les unen dos mas. Si cada uno paga S/. 54, i.cuaJ fue el gasto total?
A un paseo asisten 89 estudiantes.
EI sueldo de un operario de maquinaria pesada es de S/. 3400. l.CuaJ es el monte que se debe pagar en total a 11 de estos operarios?
numero. Ejemplo: 240 x 11 - 240(10) + 240
cada uno debe invertir la inversi6n total?
Si
SI. 110, i.cuaJ sera
- 2400 + 240 - 2640 Efectua: • 36 x 11 • 47 x 11 • 73 x 11 • 11 x 96 • 59 x 11
En una florerfa, por la compra de un paquete de 10 rosas, regalan una. Si un comerciante compra 48 paquetes de rosas, i.cuantas rosas se uevara en total?
Un generador de energfa eh~ctrica consume 110m 3 de gas a! mes, i.cuanto consumira en 2 anos?
• '10
x
I I
• 11 x 68
EI cerebro eSla conformado por 100 000 millones de netronas qlR delJenestar en actividad S/EMPRE. EI catclio rapido permite lambien tal aclividad.
DIVIDIENDO
NUMEROS MULTIPLOS DE 3 POR 15
8. Se reparten, en partes iguales, 840 bolsas de cemento en 15 distribuidoras. ('Cuantas bolsas recibe cada distribuidora?
Resolvemos: Dividimos por el nurnero de distribuidoras: 840:15 •
0 tambierr 84.0 x
~
,,'"
t
= (81+3)x3 2 (27 + 1) x 2
N:15 es 10 mismo que:
N
Nx2 15x2
0
15 Respondemos: Cada una recibe 1r-56-b-o-'s-a-s-'l.
N x2 30 donde N -
Se distribuyen 7800 galones de combustible en 15 tabricas. Si todas reciben la misma cantidad de combustible, (.cuantos galones Ie corresponden a cada una?
En una bolsa se pueden colocar 15 chocolates. Para embolsar 930 chocolates, (.cuantas bolsas saran necesarias?
Un envase grande de pintura puede contener, como maximo, 15 litros. Si hoy se han producido 2700 litros de pintura, zcuantos de estos envases seran necesarios para envasar la pintura?
Una revista de curiosidades matematicas cuesta Sf. 15. Si el duefto de una libreria recaudo, por la venta de estas revistas Sf 1440, zcuantas revistas vendi6?
N
0
3
Efectlia: 660:15 690: 15 930:15 810: 15
720: 15 870: 15 570: 15 Un operario puede elaborar una pieza de metal en 15 minutos. Si el trabaja diariamente 480 minutos, Zcuantas de estas piezas podra elaborar en 5 dfas?
Pararealizar un paseo, 16 personas acuerdan pagar en partes iguales el gasto total, que es de Sf. 3200. Si aI cancelar, uno de ellos da solamente Sf 125, (.cuanto ten-
2 x30
540: 15
restsntesr
ora que oar caoa uno oe lOS
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
:~ ~.... ...--...-------I
~ ~~ROBLEMAS
COMERCIALES
En la pracfica comercial diaria hay relaciones ci6n, que se verifican de manera practice.
entre los elementos
que intervienen
en una transac-
Por ejemplo: •
Si una calculadora se
paqara
cuesta
Sf. so,
i.cuanto
Es evidente que se pagara:
4 x 50 Luego, podemos
I
Se entiende y es evidente que la vendi6 a:
= Sf. 200 I
3500 + 300
generalizar:
En donde:
=
I Sf. 3800
1
general:
donde: C: costa total N: cantidad de unidades
Para operar de manera rapida precedemos ast
a Sf. 3500.
Rodrigo compr6 una computadora
Si luego la vendi6 y gan6 Sf. 300 en la venta, l.a cuanto la vendi6?
por 4 calculadoras?
Pv: precio de venta Pc: precio de costa g: ganancia
P: precio de cada unidad
a%xb%=axb% 100
comerciante decidi6 impulsar la venta D deUn sus productos, para 10 cual decidi6 bajar el precio de cada producto en 20%. De esta manera el numero de productos vendidos aument6 en 50%. i.CuaJ es el porcentaje que aument6
de sus ingresos?
Sabemos que el ingreso (costo total)
esta
dado
por: C=N.P Inicialmente: N= 100%,
Y
P= 100%
C= 100%
Luego de la rebaja: P Consideramos las cantidades iniciales como un 100% y luego obsetvemos las variaciones.
=
Los ingresos:
80%
C = 150%
En algunos casos la ganancia puede estar com puesta por un porcentaje del costo y otro del precio de venta.
fJ
N x
=
150%
80%
Carlos vendi6 un auto ganando el 20% del costa y el 10% del precio de venta. Si Carlos recibe por el auto $ 20 000, i.cuaJ es el
Del enunciando:
costa de dicho auto?
Adernas sabemos
9=
aumentaron
20%Pc
+ 10%Pv
que:
Pv= Pc + 9 '=
Pv= Pc « (20% Pc + 10%Pv) 90%Pv
En problemas
donde imetvieren
pre-
" ~
C = 120% Luego, sus ingresos
ilMPORTANTEI
Y
Pero:
Pv
m
=
120%Pc
20 000
en 120%
I.
CIO ae vema, ganancla y preclo costo, usamos: Pv = Pc + 9
\.-------)
Mario se compr6
una computadora
a
Sf. 4300. Si Mario tuvo que hacer un viaje urgente y para ello vendi6 su computadora perdiendo Sf. 900, (.a cuanto la vendi6? Notamos que: 4300 - 900 - 3400 Luego, pod emos generalizar:
l Pv -
=- 00%
ae
(::!U UUUJ - 1::!U%t"'C
Pc
-I $ 15 000 1
Una tienda de electrodomesncos exhibe un televisor 3D con un precio fijado en Sf. 9000. Si luego vendi6 el televisor haciendo un descuento de Sf. 550, (.en cuanto 10 vendi6? Si hacemos un anallsis sencillo notaremos que: 9000 - 550 - 8450 Luego, generalizamos:
Pc - P
donde:
Pv- PF- d Pv: precio de venta Pc: precio de costo p: perdida
Una tienda ofrece un reproductor MP3, II pero como este es un modele antiguo, 10 vendera con una perdida del 10% de la venta. Si el precio de costo del MP3 es Sf. 1100, (.a cuanto se vsndera?
donde:
'" Pv: precio de venta PF: precio fijado d: descuento
Segun el enunciado: p - 10% Pv Ahora sabemos que: Pv~ Pc -
ilMPORTANTEI AI precio fijado (PF) tam bien se Ie llama precio de tista (Pl).
P
= Pv~ 11OO-10%Pv 110%Pve
1100 "'" Pv - 1000
• Luego, el MP3 se vendera a:
I st. 10001.
• Identifica los elementos que inteNienen en el enunciado. • Usamos la teleckm correspondiente a tales elementos.
Rodrigo observ6 un auto cerokil6metros con D un precio de lista de $ 24 000. Si luego de una Iarga conversaci6n con el representante de ventas logr6 un descuento del 20% de la venta, (.cua! es el porcentaje del precio de lista que representa el descuento?
Nos encontramos en el ultimo caso, ya que intervienen: Pv, PF y d. Del enunciado: PF_ S24000 d - 10%Pv
iOBSERVACION!
Ahora sabemos que: Pv - PF- d
=- 120%Pv -
=-
24000
Pv~S20ooo • Rnalmente: • Identificamos en que caso nos encontramos.
• iueao
cotnoeremos
el descuento
Una vez determinado el descuenlo, usamos una R3S para com pararto con el PF.
Pv - 24 000 - 20%Pv
=-
d-S4ooo " L
24000 --100% 4000 -x
0x
-16,66%
j
l
y
ALFONSO
j
el precio de lista.
• Luego, el descuento equivale (aprox.) del precio de lista.
ROJAS PUEMAPE
Pv = Pc + (20% Pc + 25%Pv)
Juana com pro una cartera en Sf. 320, pero luego dscidio venderla y ganar el 20% del precio de venta. iA cuanto vendio la cartera?
75%Pv
••
:'''
Pv = 320 + 20%Pv 80%Pv = 320 "'"
iRECUERDAI
Resolvemos: •
Pv = 400
Luego, venoio la cartera a 1S/.400
I.
Resolvemos: Cuando no se indica respecto a que cantidad es la ganancia, se debe considerar que es respecto aI costo.
se debe ofrecer un producto II iAque cusnto coste Sf. 3600, para que aI hacer un descuento del 10%, aon se gane eI10%? Resolvemos:
=
104%
Luego, aumentaron en ~ Si el precio de un articulo aumenta 25% y debido a eso, las ventas disminuyen 20%, ien cuanto varian los ingresos? Resolvemos: =
(80%)(125%)
I
"'" C
C = NP = 100%
I no varian
~
Con la finalidad de prom over la asistencia aI estadio, los dirigentes bajaron el precio de las entradas en 10%, 10 cual origino un aumento en el publico del 20%. iCuaJ es la variacion de los ingresos del club? Resolvemos:
la relacion:
PF = Pv + d
Pv = Pc + PF = 3600 + 10%(3600) + 10%PF 90%PF = 3960 "'" PF = 4400
I
• Se debe ofrecer a S/.4400
Y como el publico se increm ent6 en
= (130%)(80%)
Luego, observamos que
• Luego, la venders a '-1S-/.-9-00-'1.
100% -10% - 90%
•
I
Pv = 750 + 150
Com 0 el precio de las entradas baj6 en 10%, tenemos:
I
CI
C
Pv = 900
-
C
• Analizamos con la rslacion:
Pv = 750 + 20%(750)
Establecemos
Identificamos el caso en el cual nos encontramos: C = N. P Entonces:
Aldo com pro una bicicleta en Sf. 750 Y la qui ere vender ganando el 20%. iA cuanto la vsndera?
• Con ello:
iOBSERVACION I
I.
Ahora relacionamos:
••
Cuando no se especifica respecto a Que es el descuento, se debe entender Que es respecto al precio fijado 0 precio de lista.
Pv = 128000
"'"
La gerencia de una cadena de cines decidio reducir los precios en un 20% y con esto logro un aumento de 30% en la asistencia de publico. iCuaJ es el porcentaje de aumento de los ingresos?
Del enunciado, observamos que los elementos que intervienen son: Pc, Pv y g; donde: 9 = 20%Pv ",'_ifif"''''
= 120%Pc
Luego, debe venderse a 1$ 128 000
Resolvemos:
..................... -
a 16,7%
9
I.
Una empresa dedicada a la venta de autos adquirlo uno a $ 80 000. lA cuanto debe venderse dicho auto para obtener una ganancia del 20% del costa mas 25% de la venta?
Veamos el nuevo ingreso: CI = (120%)(90%) "'" CI = 108% Luego, aumentaron en 18%
I.
Marla vendio un producto con un descuento del 50%, por 10 cual perdio el 20%. iCuaJ es la relacion entre el precios de costa y el precio fijado? Resolvemos: Sabemos que: PF = Pv + d
UII l.VIO
ICIICIIIV~.
I
Resolvemos:
100%+ 20%-120%
• Se quiere ganar:
g; 20%Pc Pc; 80 000
Usamos la relaci6n:
D
Pv; Pc
Rodrigo vendi6 su laptop a $1100. esta transacci6n gan6 el 10% del mas el 20% de la venta.zcuanto Ie la laptop a Rodrigo? Rpta.:
+
Una empresa importadora vende algunas refrigeradoras, que se golpearon en el viaje, con una peroida del 10% de la venta. Si las vende a SI. 2500, l.cual es el precio de costo de cada refrigeradora? Rpta.: SI.2750 Juan compr6 una PC hace 5 alios, la misrna que aver vendi6 con una psrdida del 20% de 10 que Ie cost6. Si la vendi6 a SI. 2400, zcuanto pag6 por ella? Rpta.: SI.3000 Sandra compr6 una cocina con un descuento del 30% del precio de venta. Si el precio de lista de la cocina era de S/. 3900, zcuanto shorro con el descuento? Rpta.: Sf. 900 Mario com pro un auto y esta muy contento ya que obtuvo un descuento del 10% de la venta mas el 30% del precio fijado. Si el auto estaba fijado en S 22 000, l,a cuanto 10 compr6? Rpta.: $14 000 Con la finalidad de disminuir el consumo de cigarros, la municipalidad de un distrito elevo los precios en un 40%. Si los ingresos por la venta de este producto se redujeron en un 16%,l.cual es el porcentaje de reducci6n del consumo? Rpta.: 40 % Una empresa dedicada a la venta de zapatos baj6 los precios en 25%, 10 cual traio un aurnanto An la cantidad vendida
I
""
-
t'
9
5O%PF; 8O%Pc
[E
Pc - = PF 8
Jose compr6 un producto con un descuento del 20% para luego venderlo a SI. 1200, ganando as! el 25% de la venta. Determina el precio fijado del producto.
$ 800
Rpta.: Sf. 750
-
+ 25%Pv
Si en costo cost6
Maria vendi6 su lavadora a S/. 1200, ganando con esto el 6O%.l.Cuanto Ie cost6?
"I
Sabemos que: PF ; Pc - 20%Pc + 5O%PF
Rpta.: Sf. 112~ •
Diego compr6 un terreno y para 10 fij6 un precio de S/. 24 000. AI 10 hizo un descuento del 20% y gan6 el 20% de la venta l,Cuanto t6 a Diego dicho terreno?
vendervenderaun as! Ie cosPISTA 2
Rpta.: Sf. 1~ 360 Cuando no se indica respecto a Que precio es la ganancia, se debe asumir Que es respeclo aI precio de costo.
EI precio de un auto se fij6 en $ 32 000, pero se hicieron dos descuentos sucesivos de 5% y luego de 10%. Si luego de la venta aun gan6 el 20% de dicha venta, l.cual es el precio de costo del auto? Rpta.: $ 21 888 lKt tenista que ha disputado 300 juegos de los cuales ha ganado 282, decide retirarse cuando tenga el 95% de triunfos en su carrera. l,Cuantos juegos mas, como minimo, debera disputar para retirarse? Rpta.: 60 Juegos Una empresa produce aI mes 8000 camisas en dos talleres. EI taller A produce el 45% de las camisas. Si el 6% de la produccion del taller A y el 4% del taller B es defectuosa, l,cuantas camisas en total resultaron con defectos? Rpta.: 392 camfsas En una tienda se ofrecen pantalones con un 20% de descuento, pero si se paga con la tarjeta MASvlSA se hace un descuento adicional del 10%. Si por 3 pantalones se pagaron S/.162 con tarjeta, l,cual es el precio de lista de cada pc:¥1ta16n? Rpta.: Sf. 75 EI precio de costo de un TV3D es de S/.6ooo. Para ganar el 25% del precio
••
PISTA 5
No olvides Que: Pv-PF-d Pv- Pc + g
••
de venta, luego de hacerle un descuento del 36%, {,cual debe ser el precio de lista? Rpta.: Sf. 12500
de 40%. {'En que porcentaje varia la cantidad recaudada por este producto? Rpta.: Aument6 5 %
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
R6mulo
vendi6
su bicicleta
perdiendo
Sf. 150. Si dicha perdida equivale al15% del costo, {,a cuanto la vendi6?
Sonia vendi6 su lavadora, ganando el ...... 12 % del costo y el12 % de la venta. {'CuaJ es la relaci6n entre el preci6 de venta y el precio de costo?
=
PISTA2
Busca una relacion entre el precio de venta y el precio de
coste. Recuerda que:
s:. ~b =>
=
§.7
a=6k y b=7k Saul vendi6 su moto la venta mas el 15% rencia entre el precio de costo es Sf. 1000, moto?
u PISTA 6
Recuerda que el descuento se aplica sobre el precio de lista. Ademas: PL - Pv + d PL: precio de usta
ganando el10% de del costo. Si la difede venta y el precio {,a cusnto vendi6 la
Julio vendi6 su auto con una psrdida del 5% de la venta mas eli 0% del costo. Si el precio de venta y el costo suman $ 39 000, {,a cuanto vendi6 su auto?
~
Ricardo cornpro
un auto con un des-
IiGr cuento del 20% para luego venderlo a $ 24 000, ganando as! el16% de la venta. {'CuaJ fue el precio fijado del auto inicialmente?
Una casa comercial tiene en su mostrador un televisor 3D con un precio de lista de Sf. 10000. Si a Roberto Ie hicieron dos descuentos sucesivos de 5% y 10%, zcuanto pag6 Roberto por dicho televisor?
Pv: precio de venta d: descuento.
l.____J Tumemoria se fortoleu 01 utifzor hallitoolmen-re 10aprenado.
Karina quiere vender su casa ganando el 20%. pero como no la puede vender. flnalmente hace un descuento del 20% y logra venderla. En la venta, i..Karinagano o perdi6? <..Cuanto?
I-
Una casa comercial vende dos televisores a S/.3910 cada uno. Si en la venta de uno gana e115% y en la del otro pierde eI15%. luego de estas ventas, i..gana 0 pierde? {'Cuanto?
~
Rocio pag6 Sf. 648 por una refrigeradora
Oetermina los precios de costo de cada uno de los articulos y luego com para con sus respeclivos precios de venta.
t-- luego de ser beneficiada con dos descuentos sucesivos de 10% cada uno. {'Cua! fue el precio fijado de la refrigeradora iniciaJmente?
~
Para prom over el consumo de un producto. la gerencia decidi6 hacer dos descuentos sucesivos aJ precio de este producto: el 1.· del 10% Y el 2.· del 20%. Si finaJmente esta medida trajo un incremento del 8% en los ingresos de la empres a, {,cua! es el porcentaje en el que aument6 el consumo?
••
PISTA 12
••
No olvides que los porcentajes siempre estan aplicados a una cantidad.
OOrllS (Zl '%OS u3 Luis piensa vender su caJculadora a SI. 240 ganando el 10% de la venta. i..A cuanto debe venderla para ganar el 20% de la venta?
EIdueno de una discoteca redujo el precio de las entradas en un 30% pensando que con esta medida duplicarfa el numsro de asistentes. Si el publico solo aument6 en 50% y con esto solo recaud6 Sf. 1050. {,cuanto tenia planeado recaudar iniciaJmente?
tu
0081S COl OLlIS (6 'O~H·/S 3pJ3!d (S %r 139!PJ3d (L OSSS'/S
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ALFONSO ROJAS PUEMAPE
1. LOS PRIMEROS ANOS Despues de mucho tiempo, Rodrigo se encuentra con su amigo Alfredo.
fs Valeria. !IV tija ma~. pero adem6s tengo trilfzas.
p>oiYias deter!IVnar las edades de coda una de las tijas de Alfredo?
a
Justamente en el Gamino venia pensando en ello !:I me Guenta de que el producto de sus edades aGtuales es 48.
2. TOMANDO DECISIONES Carlos tiene una rnaquina que procesa nurneros. AI presionar el boton gito y al presionar
:, se borrara el ultimo dl-
0, se duplicara
el numero.
Si ingresa el nurnero 254, i-de cuantas maneras se puede obtener 10, dsspues de realizar cuatro procesos seguidos?
(l
3. UN DESCUIDO COSTOSO Maite borro el nurnero de celular de su prima par error y ahara necesita comunicarse urgentemente can ella. Si solo recuerda los nurneros que aparecen en la pantalla de su celular, ecuantas veces tendra que marcar, como minima, para saber con certeza el nurnero de su prima?
4. SE NOS VA EL TIEMPO
)JCI:::r=::-n LLis. wonlos
Gi Carlos. pero que bien se te ve. por
ti no
han
pasodo los anos.
... Erase un viernes de verano del aria 2012, dos buenos amigos se reencuentran.
Adivioo mi edad. 51tengo tantos anos como incican las dos ultimas dfras del ano en que nad. '------'
L
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
1I~6t1I_ Acumulativo parcial D
i..A cuanto debe vender 10 que me cost6 5/.75 para ganar el 30% del precio de costo, mas e125% del precio de venta, mas 5/. 15? a) 5/.140 d) 5/.160
b) 5/.148 e) 5/.165
a) 4
II
b) 5
c) 6
d) 8
D
e) 10
a) 3/8
b) 5/8
d) 5/12
e) 7/12
c) 5/6
Un temo de casimir se ha vendido a S/.500, ganando el 30% del precio de venta. i.A cuanto se debe vender para ganar eI 30% del precio de
a) 5/.455
2 m de arista se almacenan 5600 kg de trigo. Si se cuenta con otro dep6-
a) 18000 kg
d) S/.650
se abren la tuberia y el desague, i.en cuanto tiempo se lIenara el tanque?
a un articulo que cost6 5/.450 para que, aun descontando ell 0%, se gane el40%? b) 5/.640 e) 5/. 720
a) 24 h d) 36 h
b) $ 147 e) 5210
La construcci6n
de
c)
un
b) 22
c) 24
d) 28
If.)
a) S/.600
b) Sf. 560
d) S/. 720
e) Sf. 800
c) Sf. 750
Para
oonstruir una pared de 24 m de largo y 3 m de alto, 6 obreros tardan 12 dlas. i.Cuanto tiempo necesitaran estos obreros para construir otra
de
carretera demora 54 dias. Si se ha avanzado hasta los 5/9, i.cuantos dias faltan para concluir la obra? a) 20
c) 30h
i.a ctianto se debe vender para ganar el 25% del precio de costa?
S 161
tramo
b) 28h e) 40h
oUa arrocera se vendi6 a Sf. 600 II Una ganando el 20% del precio de venta,
c) S/.690
EI precio de un cuba compacta de madera de 20 em de arista cuesta S 56. i..Cuanto costara otro cuba de la misma madera pero de 30 em de arista? a) 5140 d) S 189
c) S/.520
cuenta oon un desague que 10 vacia en 12 h. Si estando vacio el tanque
i..Cuill es el precio que se debe fijar
a) S/. 600 d) 5/. 700
b) S/.435 e) S/.468
Un tanque vacio cuenta con una tuberia que 10lIena en 9 horas. Iambien
b) 18900kg d) 28 OOOkg
c) 21 OOOkg e) 35700 kg
D
c) 5/.400
de forma cubica de
dran almacenar?
D
e) S/.450
costo? En un dep6sito
sito de forma cublca de 3 m de arista, i..cuantos kilogramos de trigo se po-
D
b) S/.390
d) S/.420
Un tanque de 481itros de capacidad oontiene solo 18 litros. La fracci6n del total que faHa para lIenar el tanque es:
c) S/.150
Un grupo de 12 hombres tienen viveres para 40 dias. AI cabo del decimo sexto dia de trabajo se integran 4 hombres. i..Cuantos dias menos duraran los vlveres?
a) S/.360
pared de 30 m de largo y 6 m de ancho? a) 28 dlas c) 32 dlas
b) 30 dias d) 36 dias
e) 40 dias
e) 30
Marla compra una cocina y luego de haber side beneficiada con dos descuentos sucesivos del 10% v ..130%
Un tanque cuenta con 2 tuberfas: A y B, que pueden lIenar independientemente un tanque en 8h y 12h, resnRr.tiv:unente. Tambien cuenta con un
se cierra para abrir la tuberia B, tambien durante una hora. Finalmente se abren las dos tuberias y el desague hasta lIenar el tanque. Indique el tiempo total en el cual se lIenara el tanque. a) 3 1~ h
b) 4 1~ h
c) 51~ h
i.A cuanto debe vender 10 que me cast6 S/.170 para ganar eI 15% del precio de venta? a) S/.I89 d) 5/.180 Nueve
b) S/.195
c) S/.I90
e) 5/.200
hombres
han
pavimentado
160m2 deuna explanada, en 10 dias, trabajando 8 horas diarias. i.Cuantos dias necesitaran 15 hombres para pavimentar 120m2, trabajando 2 horas diarias menos cada dia? a) 6
b) 8
c) 10
d) 1
e) 15
Un obrero puede realizar una obra en 9 dias, mientras otro obrero puede realizar la misma obra en 18 dias. Si trabajan juntos, i.en cuantos dias terrninaran la obra? a) 1
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
Una obra puede ser reaJizada per 8 obreros en 24 dias. Si se contrata, antes de empezar la obra, 4 obreros mas, i.en cuantos dias terrninaran la obra? a) 12
b) 14
c) 16
Ay B
d) 18
e) 20
pueden realizar juntos una obra en 12 dias; Aye pueden realizar tos la misma obra en 18 dias; Bye pueden haoer la misma obra, trabajando juntos, en 15 dias. Si los 3 trabajan juntos, i.en cuantos dias entregaran la obra? al g27
;.10-
bl Q29
paga por ella S/. 252. ('Cual es el precio de la cocina sin la aplicacion de los descu entos?
desagiie que 10 puede vaciar, estando lIeno el tanque, en 18 h. Primero se abre la tuberia A y luego de una hora
37
37
33
d) 9
37
35 e) 9 37
37
Acumulativo parcial
D
('CuaJ es el porcentaje
d) 9 dias
en el que se
debe incrementar eI costo de un articulo para que, aun descontando el
D
b) 42%
d) 48%
e) 50%
c) 46%
horas. Si el recipiente esta lIeno hasta su tercera parte y se abren simultaneamsnte el cafio y el desagiie, i.en cuantas horas se vaciara dicho recipiente? H
!i.
a)3
b)
d) _g_H
e)~H
5
5
a) S/.680 d) S/.720
II
2 c)-H 3
las 2 juntas a vaciar el deposito lIeno y luego de 4 horas se cierra la primera. i.En cuanto tiempo termina de vaciar el deposito, la segunda
b) 60%
d) 75%
e) 90%
Un vigilante gana
si trabaja 8:20p.m?
Si incremento en 40% el costo de 40% de los articulos que ten go, ganare S/. 192. i.Cuanto ganare si incremento en 60% el COstO del 60% de
a) S/.47,60 c) S/.52,80
los articulos que ten go?
e) S/.48,40
b) 2000 e) 7200
c) 70%
ID
15 dias en sembrar
b) 10 dias
c) 11 dias
e) 9 dias
i.CuaJ es el porcentaje en el que se incrementa el area de un rectangulo,
si su largo aumenta en 60% y el ancho disminuye
en 40%?
a) Aumenta 10% b) Aumenta 12%
S/. 11 por
hora y re-
d) Disminuye 8% e) Disminuye
desde las 4 p.m hasta las
d) S/.42,60
m
b) 6100 e) 5024
cJ 7097
Benito demora 6 dias mas que Anselmo en efectuar un lrabajo. i.Cuanto demora Benito en hacer el solo el tra-
6%
Se sabe que 35 obreros pueden terminar una obra en 27 elias. AI cabo de 6 dias de trabajo, se les une cierto numero de obreros de tal man era que en 15 dias terminan la obra. (,Cuantos obreros se incorporaron?
b) S/.27,10
Una fabrica tiene gastos fijos de S/.l0 000 Y adsrnas hace un gasto adicional de S/.4 por cada articulo fabricado, que se vende a S/.5,95 cada uno. i.Cuantos articulos se deben vender, como minimo, para obtener una ganancia aproximada del 10% del total de sus gastos? a) 7100 d) 7200
c) 2800
Un negocio pertenece a 2 socios. La parte de uno equivale a los 5/13 y esta valorizada en S/. 15 300. Halla el
de una munlcipali-
demoran
a) 4dias d) 7 dias
c) S/.433
En un deposito esferico de 2 m de radio se almacenan 1600kg de maiz amarillo. i.Cuantos kilogramos de maiz amarillo se podran almacenar en 011'0 deposito esferico, pero de 3 m de radio?
d) 5400
jardineros
brar 80 m2 de 011'0 jardin, si los obreros son doblemente habiles respecto a los primeros y adsmas trabajan 8 horas diarias?
cibe 20% mas cuando trabaja luego de las 6 p.m. i.Cuanto recibira
e) S/.432
c) S/.54
50m2 de plantas ornamentales, trabajando 7 horas diarias. i.Cuanto demoraran 15 jardineros en sem-
c) 21
b) 24 e) 20
b) S/.56 e) S/.69
c) Disminuye 4%
c) 1,5 h
e) 2,5 h
II
a) 50%
d) 28
a) 1800
Diez II dad,
EI precio de un diamante es proporclonal al cuadrado de su peso. AI dividir el diamante en 4 partes iguales, i.en cuanto por ciento disminuye el
a) 9
tuberia?
b) S/.435
c) S/.600
Un tanque de pelr6leo se lIena en 4 horas abriendo la valvula A y se descarga en 5 horas abriendo la valvula B. i.En euantas horas se llenara el tanque si se abren las 2 valvulas simultaneamente?
tiene 2 tuberias de 10 vacian en 8 y 10 horas, respectivamente. Comienzan
a) S/.430 d) S/.340
b) S/.510 e) S/.700
precio de venta?
deposito II Un desague que
D
a) S/.48 d) S/.62
el articulo?
4
b) 1 h
se gastara en pintar otra esfera de 15 cm de radio?
to de 25% y compra ahi el articulo, ahorrandose S/. 35. i.Cuanto costaba
Un cario lIena un recipiente en H II horas y un desaque 10 vacia en H/2
e) 16 dias
Para pintar una esfera de 10cm de radio se gastaron Sf. 24 . i.Cuanto
por un articulo y Ie responden 20%; en o1ra tienda Ie hacen un descuen-
20%, se gane eI20%? a) 40%
Una persona pregunta en una tienda por el descuento que pueden hacerle
a) 10
m
b) 16
c) 14
d) 20
e) 18
i.CuaJ es el precio que debe fijarse a un vestido que coste S/.400 para que aI hacer un descuento del 20%, aun se gane el 20% del costo?
a) S/.540
b} S/.600
d) S/.420
e) S/.705
c) S/.650
SaUl puede hacer un trabajo en 20 elias; Martin puede haoer eI mismo lrabajo en 60 elias. Despues de trabajar juntos 5 dias, se retira Saul. i.En cuanto tiempo +-_: _ l
~
I
"",,,-I)
bajo, si cuando
valor de la parte del otro socio.
10 realiza
con Ansel-
mo, demoran 4 dlas en terminarlo? b) 5/.24480 d) 5/.22460
a) 5/.26400 c) 5/.24840
~
');~ ~rlO
a) 12 dias
b) 14 dias
c) 15 dias
a) 60 dias
b) 30 dias
c) 42 dias
d) 40 dias
e) 45 dias
~
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
Acumulativo parcial
D
lentes y hombres que usan lentes es 275; ademas la diferencia entre hombres que no usan lentes y mujeres
Un pintor demora 12 horas en pintar una fachada,
otro pintor que es 1/3
mas eficiente que el anterior demora cierto tiempo en pintar la misma fachada.
i.Cuanto
222
demoraran juntos
d) 11
D
b)l0'lh
-¥ h
D
equivalente
a 1/10
de
que falta por lIenar y luego se agrega 1/4 de 10 que queda. Si finalmente hay en el deposito 250 ml, calcula la quinta parte de
10
c) 6750
e) 8050
Dos recipientes contienen alcohol al 80% y 60%, Y sus volurnenes estan
que con tenia in i-
a) 40%
b) 45%
d) 52,5%
e) 55%
a) 25ml
b) 50ml
d) 250ml
e) 500ml
c) 100ml
D
Alex y Bruno pueden hacer una obra en 12 dias. Despues de 9 dias de em-
m
pezada la obra se retira Alex, y continua Bruno hasta terminar la obra en 9 dias mas. i.En cuantos dias terminaria Alex toda la obra trabajando solo?
vende una cocina al contado. D Juan Con los 2/5 de la venta se compra una cafetera y con los 4/9 del resto,
a) 14
una plancha. Ademas, el costo total de estos dos artefactos fue 5/.800. Si luego se compra una tostadora que cuesta 5/. 350, i.cuilnto dinero Ie queda al final?
D
c) 18
d) 20
e) 5/. 1927
b) 100% e) 300%
c) 200%
Un contratista debe terminar una obra en 30 dlas. La inicia con 10 obreros trabajando 6 horas diarias. Transcurridos 20 dias han realizado solo el 50% de la obra, por ello decide aumentar la jomada a 8 horas diarias y contratar mas obreros. i.Cuantos obreros adicionales contrato?
e) 21
a) 1
II
c) Sf. 1827
EI precio de costo de un articulo es 5/.3000. Para fijar su precio de venta al publico se Ie hacen 2 aumen-
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Dos cirios de igual altura se encienII den simultaneamente; eI primero se consume en 5 horas y el segundo en
tos sucesivos del 25% y 30%, pero al momento de venderlo, se ofrecen dos descuentos sucesivos del 15% y 20%. i.Cual es la fracci6n del precio fijado que representa la ganancia?
3 horas. i.Cuantas horas despues de haberlos encendido, la altura del primere sera el triple de la del segundo?
zanja en 40 dias; Beto y Claudio pueden hacer la misma zanja en 30 dias;
a) 51/325
b) 41/327
d) 2,8
Andres y Claudio la pueden hacer en
d) 21/325
e) 23/227
a) 5/.50
b) 5/. 60
d) 5/.70
e) 5/.100
Andres
c) 5/. 65
y Beto pueden
24 dias. i.En cuantos zanja los tres juntos?
a) 12
b) 15 e) 25
d) 20
IJ
b) 15
b) 5/.1772
a} 50% d) 250%
c) 50%
cialmente el deposito.
a) 5/.1670 d) 5/. 1872
i.En cuanto por ciento se debe aumentar aI precio de costo de un articulo para fijar eI precio de lista, de modo que luego de hacer tres descuentos sucesivos del 10%, 20% Y 50%, se gane el 44 % del costo?
tros de agua y resulta que ahora ambos tienen la misma concentraci6n. i.Cual es la nueva concentraci6n?
10
en 20%, el aneho en 10%
y el alto aumenta en 30%, i.cuanto costara la nueva caja?
en la relacion de 1 a 2, respectivamente. Se agrega igual numero de li-
Un deposito con agua contiene 1/6 de 10 que no contiene. Se retira un volumen
b) 5450
a) 4000 d) 7050
c)115h
e) 5 ~ h
disminuye
que usan lentes es 430. i.Cuantos habitantes tiene dicha poblaci6n?
en pintar dos fachadas similares? a)5'lh
caja de metal en forma de paraII Una lelepipedo cuesta 5/.2000. Si ellargo
hacer
una
a)
c) 39/425
Cada 3 horas, un reloj se atrasa 12 minutos. Si el reloj empezo a atrasarse a las 9 a.m., i.que hora marcara a las 8p.m.? a) 6:16p.m.
b) 6:44p.m.
a) 5/. 1000
c) 7:10p.m.
d) 7:16p.m.
d)
tras que otro atleta da 13 vueltas en
e) 8:44p.m.
horas el atleta mas veloz sacara una ventaja de 9 vueltas?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
m
Dos carios
A y B lIenan juntos
un
tanque en 60 min. Si B fuese desague, se tardarian 2 horas en lIenar el tanque. i.En cuanto tiempo lIenara el cario B el tanaue. estando
c) 2,5
obtuvo una ganancia de 5/. 75, i.cual fue el costo de su mercaderia?
Un atleta da 15 vueltas en 12 minutos alrededor de una pista circular mien10 minutos. Si ambos atletas parten juntos del mismo lugar, i.en euantas
b) 2,4 e) 2,9
Pep a es una comerciante que vendio la mitad de su mercaderla ganando el 20%,la cuarta parte ganando ell0% y el resto perdiendo el 20%. Si al final
dias haran la
c) 18
2
m
51. 2000
b) 5/. 1200 e)
c)
51. 1500
51. 2500
Un tanque puede ser lien ado por un cario en 25 minutos y puede ser vaciado por un desague en 50 minutos. Estando vacio el tanque, se abre el cario y 5 minutos mas tarde 01 rfA~~,.,tjlD
i_Fn ,....:'n+n«: minlltn«:
«:0
-_
II
--_ .._-
_. ----;::,-_. .. llenara totalmente
este vacio?
En una poblacion, el 60% son hombres y el 45% usan lentes. La diferencia entre las mujeres que no usan
a) 2h 30min
b) 4h
d) 3h 15min
e) 4h 30 min
c) 3h
a) 30 min d) 45 min
_--
--
el tanque?
b) 35 min e) 50 min
c) 40 min
Acumulativo total
D
Un contratista se compromete a realizar una obra que cornenzara el 1 de marzo y terminara el 4 de mayo, trabajando todos los dias. Empiezan a trabajar 9 obreros, a razon de 8 ho-
Para fijar el precio de un articulo
II
aumente
aumentado el costo en 60%, se habria ganado 5/.728 mas. i.Cual fue el precio
que necesita la obra terminada para el dia 8 de abril. Entonces, a partir del
b) 5/.10920
c) 5/.14560
d) 5/.11 648
10 horas diarias. i.Cuantos mas se contrataron?
e) 5/.9100
d) 7
obreros
e) 8
D
grupo de obreros pueden construir D Un una carretera en 60 dias. Si trabajan con otro grupo igual de obreros que es un 50% mas eficiente, i.en cuantos dias construiran tal carretera? a) 18
D
b) 21
c) 24
d) 27
b) 8
c) 10
d) 12
e) 16
Estando vacia una cisterna, un grifo demoraria 6 horas en lIenarla, mientras que otro grifo demoraria 9 horas. Cierta mariana, estando vacia la cisterna, se abre el primer grifo a las 8:00 a.m. y una hora despues se abre el otro grifo. i.A qua hora se lieno la cisterna? a) 11 :00 a.m.
b) 11 :30 a.m.
c) 12:00m.
d) 12:30 p.m.
e) 1 :00 p.m. Pepe vendiolos
D con
3/8 de
su mercaderia
un beneficio del 40%, la quinta parte del resto con un beneficio del 20% y 10 que aun Ie quedaba
con
un tanto por ciento de perdida que solo Ie permitio obtener, en todo el ...
,..
.........
;,..
0."",
.........
,...,;,..i ... ""... 1
C;:0l
b) 45% e) 80%
c) 55%
Alex puede cavarunazanja en 9horas mientras que Renzo puede cavarla en 15 horas. Si empiezan a cavar la misma zanja simultaneamente desde extremos opuestos, aI encontrarse, i.cuill es la fracci6n de la zanja que habra cavado Renzo? a} 8/9
b) 1/12
d) 5/8
e) 2/9
Si a = 150%b, i.cual es el porcentaje
EI producto
de dos numeros
de b que representa
Si el valor de m se incrementa en 50% y el de n se reduce en 50%,
2a?
a) 75%
b) 90%
d) 200%
e) 300%
c) 120%
i.en
c) 3/8
es m n.
cuanto varia dicho producto?
a) No varia
iii
e) 30
Un grifo lIena un reservorio en 8 horas y un desaque 10 vacia en 12 horas. Ambos se abren durante 5 horas, luego se cierra solo el desague durante 4 horas y finalmente se vu elve a abrir hasta lIenar el reservorio. i.En cuantas horas se lleno el reservorio? a) 7
D
de venta del ar-
a) 5/.13650
c) 6
II
ticulo?
16 de marzo se contratan mas obreros y todos trabajan ahora a razOn de
b) 4
a) 16% d) 74%
aI
momento de realizar la venta se hizo un descuento del 20%. Si se hubiese
ras diarias. AI terminar la jomada del dia 15 de marzo, el propietario Ie dice
a) 2
se
su costo en 50%, pero
Un cario IIena un pozo en cierto tiempo y un desague 10 vacia en la
b) Se reduce en 25%
tercera parte de dicho tiempo.
d) Se reduce en 15%
c) Aumenta en 25%
Si el
pozo estuviera IIeno hasta sus 2/5 y se abriera simultaneamente
y el desague, se vaciaria en 6 horas. i.En
cuanto
pozo,
II
tiempo
si funcionara
a) 10h
b) 15h
d) 30h
e) 35h
e) Aumenta en 15%
el cario
se IIenaria
el
una reunion el 60% del numero II deEn damas que asistieron equivale at 40% de los varones. i.Cuill es el por-
solo el cario?
centaje de los asistentes que son damas?
c) 20h
a) 60% d) 40%
Miguel adquirio un artefacto luego de que Ie hicieron 3 descuentos
sucesi-
Un frasco contiene
vos del 20%, 50% Y 20%. Si al pago 5/. 640 por el artefacto, i.a cuanto se
b) 5/.2000 e) 5/. 1920
horas en hacer tal recorrido. EI primer bus, desde Lima, sale a las 7 a.m. y el primer bus, desde Arequipa, sale a las 9 a.m. i.Con cuantos buses se han cruzado este tras recorrer los 3/4 de su camino?
b) 3
c) 5
d) 7
saque devuelvo el 60% de 10 que no mp n"prt"
41';0 r I "pno
pi
cm3 480 cm3
cm3 520 cm3
c) 320
cm3
Clara gasta el 20% del dinero
que
a} 480
b) 600
d)
e)
tiene. Si luego recibiera el 15% de 10 que aun Ie queda, tendria 5/.32 menos de 10 que tenia inicialmente. i.Cuanto tenia
e) 9
recipiente contiene agua. Si saco II Un el 40% de 10 que no saco y de 10 que rtpv"plvn
un litro de acido
agua. i.Cuantos centimetros cUbicos de agua hay ahora en el frasco?
c) 5/.3600
Los buses de Lima a Arequipa y viceversa salen cada hora y tardan 12
a) 2
c) 45%
suifUrico al 80%. Se retiran los 2/5 de su contenido y se reemplazan por
ofrecia dicho artefacto? a) 5/. 1280 d) 5/. 2400
b) 54% e) 36%
aI inicio?
a) 5/.500
b) 5/.450
c) 5/.480
d) 5/.400
e) 5/.360
II
Si la medida de los lados de un triangulo equilatero se incrementa en
agua que no devolvi la vacie en un recipiente que contiene 25 ( de alcohol aJ 80%, (.cua! sera el porcentaje de pureza de esta mezcla?
Determina el porcentaje de perdida. a) 52% d) 25%
b) 20% e) 75%
c) 48%
40%, i.en euanto se incrementara su area?
16%
b) 32%
d) 72%
e) 96%
a)
c) 40%
iAn, sH Anor-a que nuestms edcdes suman 34 anos, entonces tu !:Ja
debes tener ...
Hole, ~te ccuerdos de mi? So~ Bet~, fuimos de wando tu tenias 5 anos ~ ~o 9 anos.
~
CARDINAL DE UN CONJUNTO
~
NUMERACION
~
PlANTEO
DE ECUACIONES
Rueda de operaciones En las intersecciones de las circunferencias coloca los signos de las operaciones (+; -; x ; :) de tal manera que se cumpla la igualdad. Debes colocar dichos signos de manera secuencial, por ejemplo: + ; -; x ; :; +; -; x ; : 0 -; x ; +; :; -; x: +; :, etc., efectuando las operaciones una a continuaci6n de la otra, segun la flecha.
iNc> es cifid~ ITIi puedes!
, ALFONSO
,
ROJAS PUEMAPE
I
~------
CARDINAL DE UN CONJUNTO
CARDINAL
DE UN CONJUNTO
(n)
La cantidad 0 numero de elementos diferentes que posee un conjunto recibe el nombre de cardinal 0 numeral de un conjunto.
o Cuando iATENCIONI
menestras. Si todos compran al menos uno de estos productos, zcuantas compran ambos productos?
A on(A)=5
o
O~)-5
,
...';
A = {a; e; i; 0; u}
=- n(A) = 5
B={0;1;2;
= n(B) =10
... ;9}
dos conjuntos
De 40 personas que van al mercado, sabeD mos que 30 compran arroz y 28 compran
srancam ente:
©
se relacionan
Ejemplos:
Sean los conjuntos:
o tambien:
• Identificamos dos conjuntos : compran
arroz ~ A
compran
Graficamos y colocamos
datos:
n(AUM) -40
• cotocemos
Calculamos n(A - M): n(A - M) = n(AUM) - n(M) n(A - M) = 40 - 28 = 12
• Analizamos el gratico y determinamos la opeteaion a efectuar.
Ahara calculamos n(AnM): n(AnM) = n(A) - n(A - M) n(AnM) = 30-12 = 18
inteNienen y luego graficamos dichos conjuntos.
Luego, compran 118 personas
A Lima liegan 90 turistas, de los cuales 50 D visitan Puno y 56 Cuzco. Si 8 de los turistas no visitaran estas ciudades, zcuantos visitaran ambas ciudades?
i1MPORTANTEI
Identificamos dos conjuntos: Puno -+ P
B
Cuzco
-+
C
Observamos que para graficar el ultimo dato se requiere del conjunto universal (U).
L
En el diagrama observamos: A
I.
Graficamos:
nIp) - 50
I
~ M
"c:E:S
• Se identifican los con juntos que
en el grafico los datos indicados.
L
menestras
• Se identifican conjuntos y se qrafican.
~
8
n(e) - 56
n(U)_ 90
C?:S:::\UBj'
'\_yJ
• Oosetvemos si es neeesario grafiear e! eonjunto universal (U).
U
• Colocamos eOl'Tlfenientemente datos en el gratieo.
don de:
CaJculamos n(P - C): n(P - C) - n(lJ) - n(PUC)1 - n(C)
los
n(P - C) - 90 - 8 - 56 ; 26 CaJculamos n(pnC):
• A partir del grafieo, determinamos las
n(AnB) n(A)+n(B)-n(AUB)
operaeiones que
se deben
n(pnC) n(pnC)
efeetuar.
- n(P) - n(P - C) .. 50 - 26; 24
Luego, 124 turistas
o Cuando
Ivisitarim
ambas ciudades.
se relacionan tres conjuntos
En un bus que sufri6 un accidente, viajaII ban 70 personas, de las cuaJes 30 tienen heridas en los brazos, 33 en las piemas, 27 en la cabeza, 11 en los brazos y piernas, 9
Identificamos
tres conjuntos:
brazos ..... B; piernas ..... P y cabeza -+ C Graficamos:
en las piernas y cabeza, 10 en la cabeza y brazos y 3 resultaron ilesos. i.Cuimtas personas sufrieron heridas en la cabeza, brazos y piernas?
Como muchos datos no se pueden • ubicar directamente, indicamos una - . letra.
En el grafico:
~
~I
3 • Identifieamos cuemos con juntos estan presentes en el problema y grafieamos. • ObseNamos si los datos se pueden indiear direetamente en el grafieo. • Indieamos una letra (incognita) en un lugar donde se re/aeionen varios datos. • Formamos una ecuecion y resolve mos.
n(U) -70 Ahora con los vaJores indicados a partir de x, formamos una ecuaci6n:
30 + (13 + x) + (9 - x) + (8 + x) + 3 _ 70 => x .. 7 Luego,
104 socios a un club. De D ellHoyos, asistieron los que practican fUtbol son el triple de los que practican solo basquet y nataci6n. Los que practican solo nataci6n son el doble de los que practican solo basquet y estos a su vez son el doble de los que no practican estos tres deportes. Si 32 practican solamente nataci6n, i.cuimtos practican fUtbol?
I 7 personas I sufrieron
Identificamos • Graficamos,
) heridas.
tres conjuntos. indicando
la inc6gnita
y su
re-
laci6n con otros datos: n(F) -
3x
n(B)
'M-1041@. Ahora relacionamos
los datos:
Del grafteo:
II~BII
• Identificamos y graficamos juntos que se re/acionan.
los conIn(U)-1~
• Analizamos los datos para determinar cusl debe ser la incognita.
l
,~
......... ....
A:
_
..,~~~:.:;,
IATENCIIIN!
Luego, 136 socios
De 90 estudiantes encuestados, sabemos que ala mitad les gusta el rock y los que gustan de la salsa son el triple de los que gustan solo del rock. Si 18 no gustan de la salsa y ni del rock, zcuantos de los encuestados gustan solamente de la salsa?
x
Los que guslan 3x de la salsa =
fUtbol.
J
~
~
J
estas revistas. Si 18 compraron COSAS y VEA, 15 VEA Y SOMOS, Y 12 SOMOS Y COSAS, c.cuantos no compraron estas revistas? Resolvemos: • G rafi cam os, ubicamos datos y asignamos una letra aI valor desconocido:
una letra aI va-
Graficamos y asignamos lor desconocido:
n(V) - 39
n(R) - 45
nISI - 3x
GEY1B
ast "Los que gustan de la salsa son el triple de los que gustan solo del rock".
I practican
a+b+c+m+o +p+q+x=U
ROJAS PUEMAPE
Resolvemos:
EIvalor desconocido es aquel que se relaciona con otro de manera directa,
Los que guslan solo del rock -
3x + 16 + X + 32 + 8 ; 104 =:> X ; 12 .
D ___
I
• Form am os una ecuacion:
Re/acionamos los datos entre elloe y formamos la ecuaciOn.)
ALFONSO
0
x
nISI - 51
+
15
n(U) - 120
In(U) =90 • Del grafico: • Del grafico:
x + 3x +18
=
c
90
48+ (6+X) + (15-X) + (24+ x) + (X+ 15) ~ 120
x~ 18
2x~12=x~6
• Luego, los que gustan solo de la salsa son: 4x - 45 = 72 - 45 = 127 estudiantes
I
En un deposito vehicular hay 120 autos, de los cuales a 361es fallan los frenos y a 481as luces. Si los que no presentan fallas son el cuadruple de los que presentan ambas fallas, c.a cuantos autos les fallan solo los frenos? Resolvemos: una letra aI va-
Graficamos y asignamos lor desconocido:
Luego, los que no compraron estas revistas son: x + 15 ~ 6 + 15 ~ 121 personas
I
A una reunion asistieron 120 personas, de las cuales 62 hablan castellano, 60 ingles y 53 frances, ademas 20 hablan castellano y frances, 28 frances e ingles, y 22 castellano e ingles. Si las que hablan solo frances son el triple de los que no hablan estos idiomas, zcuantas hablan los tres idiomas? Resolvemos:
"ElJi""
Graficamos y asignamos lor desconocido:
una letra aI va-
I n(U) -120
En el siguiente diagrama:
Del grafico:
36 - x + 48 + 4x
=
5.x
-3-
= 120
x~ 12 n(Fl- 53
nllll _ l?O
I~I ~ se cumpie que: Im+n+p+r-n(U)1
Luego, a los que les tall an solo lOStrenos son: 36 - x m 36 - 12 = 124 autos I
Del grafico: 62+ (10+x) + (28-x) + (5+x) +(5;
A un puesto de revistas acuden 120 personas, de ellos 48 compraron la revista COSAS, 39 VEA Y 51 SOMOS; los que compraron las tres revistas son 15 menos de los que no compraron
Una persona va todas las mananas del mes de junio a la panaderia. Si cornpro pan durante 26 mananas, tostadas durante 16 mananas y siempre cornpro algunos de estos productos, zcuantes mananas com pro ambos productos?
-=
.i(5 + x) _ 20 =3
X) = 120
x - 10
Luego, las que hablan los tres idiomas son 110 personas
I.
76 personas viajaran a Europa. Sabemos adsmas que 24 visitaran Francia, 42 Inglaterra, 31 Espana, 15 Francia e Inglaterra, 17 Inglaterra y Espana, y 9 Espana y Francia. Si los que no viajaran a estos tres paises son el triple de los que viajaran a los tres paises, i.cuantos viajaran solamente a Espana? Rpta.: 10
Rpta.: 12 En una entrevista de trabajo a 50 [ovenes, se observ6 que 36 usaban saco y 33 corbatao Si 2 de los entrevistados no usaban corbata ni saco, zcuaotos usaban solamente corbata? Rpta.: 12
A un paseo asisten 150 estudiantes. Sabemos que 60 compraron churros, 80 helados y 50 gaseosas, adem as los que compraron churros y helados, helados y gaseosas, gaseosas y churros, y los que no compraron estos productos son el cuaoruple, triple, doble y cuadrupla respectivamente de los que compraron los tres productos. i.Cuantos de los asistentes no compraron estos productos?
Los alumnos del 4.· grado de secundaria son 90, de ellos 41 saben jugar ajedrez. 48 saben jugar domin6 y 16 ambos jusgos, i.cuantos de los alumnos no saban jugar estos juegos? Rpta.: 17
u u u u u P1STA 4
En el gra1ico:
Rpta.: 40 En un avi6n viajan 130 personas. Sabiando que en clsrto momento 60 no coman, 50 no beben y 8 duermen placidamente, i.cuantas personas comen y beben? Rpta.: 28 De las 85 personas que viajan en un bus, los que tienen solo gorro son el doble de los que tienen solo zapatillas. Si los que no tienen estos artfculos son 5 menos de los que tienen ambos artfculos y 55 tienen gorro, i.cuantas tienan solamanta zapatillas? Rpta.: 20 Entre 75 personas se determin6 que a 25 les gustan las pelfculas de terror y a 35 las c6micas. Si los que no gustan de estos tipos de pelfculas son el triple de los que gustan solo las de terror, i.cuantas personas gustan de ambos tipos de pelfculas? Rpta.: 15
I
A un centro deportivo asisten 180 personas. EI nurnero de personas que practican solo v6ley, solo nataci6n y solo rutbol es respectivamente el triple, doble y cuadrupls del numero de personas que practica los tres deportes. Adernas 72 practican v61ey, 54 nataci6n y 90 rutbol. Si 18 practican v61ey y nataci6n, y 24 no practican estos deportes, i.cuantos practican nataci6n y rutbol? Rpta.: 24 En una casa de empleos estan regstradas 66 empleadas, de elias 32 saben planchar, 16 cocinar y lavar, 141avar y planchar, y 18 plancharycocinar. Si las que sabencocinar y lavar son respectivamente el qufntuple y triple de las que no saben realizar estas tres actividades y ademas 10 empleadas realizan estas tres actividades, i.cuantas empleadas solamente saben cocinar? On'" .
I)
Uno de los datos que resulta interesante en problem as de tres conjuntos es la intersecci6n de ellos. va aile se
D
Cuarenta personas visitan una joyerfa, de elias 15 compraron sortijas, 14 cadenas y 18 esclavas, adernas 5 compraron sortijas y cadenas, 7 cadenas y esclavas, y 4 esclavas y sortijas. Si 6 no compraron algunas de estas joyas, i.cuantas personas compraron las tres joyas?
De 200 personas que gustan de al menos dos pasatiempos sabemos que a 75 les gustan los paseos y conciertos, a 90 los conciertos y exposiciones, y a 85 las exposiciones y paseos. i.A cuantas personas les gustan los tres pasatiempos?
Rpta.: 3
Rpta.: 25
ALFONSO
relaciona con los demas datos.
ROJAS PUEMAPE
Una empleada dornestica trabaj6 en una casa durante 40 dlas consecutivos. Si 28 dlas trabajo por la manana y 30 dlas por la tarde, zcuantos dlas trabajo manana y tarde?
K:;_ _.
De 100 estudiantes sabemos que 66 se comunican via facebook, 62 via twitter y 4 solamente por hotrnail. lCuantos estudiantes emplean las redes sociaJes facebook y twitter?
PISTA 3
Si uenen al menos uno de los servicios, esto significa que existen cero departamentos que no tienen estos servicios. l
- -
Relaciona solo dos conjuntos, ya que
~ I--
Clara rue al supermercado todos los dias durante el mes de enero. Adernas durante 16 dias compro frutas y 25 dlas compte pan. Si 4 dlas no compro ninguno de estos productos, i.cuantos dias compro solamente fruta?
A un concierto asisten 130 personas. Se observa que 90 usan lentes y 60 gorros. Si los que usan ambos articulos son el triple de los que no usan ninguno de estos articulos, lcuantas personas usan solo lentes?
En un edificio hay 40 departamentos, de ellos 28 tienen cable y 30 internet. Si todos tienen al menos uno de estos servicios, i.cuantos departamentos tienen solo internet?
En un concurso se prernio a 70 estudiantes, de ellos los que recibieron trofeos y los que recibieron medaJlas son el triple y euadrupie, respectivamente, de los que recibieron solo diploma. Si 10 recibieron trofeos y medallas, lcuantos estudiantes recibieron
IU~ que I~\;IU~II ~UIU
solo rnedallas?
diplom a form an un conjunto disjunlo al de los trofeos y medallas.
Relaciona los procesos de solucion que presenta n dos 0 mas problemas.
Los finalistas de una olimpiada fueron 300. Sabiendo que 31 obtuvieron medallas de oro, 45 de plata, 68 de bronce, 12 de oro y plata,14 de plata y bronce, y 11 de bronce y oro. Si 188 de los finalistas no obtuvieron medallas, (,cuantos obtuvieron los tres tipos de medalla?
t-
l.i
I
I""-"
A una feria acuden 100 personas de las cuales las que cornen anticuchos, picarones y churros son el sextuple, quintuple y cuadruple respectivamente de las que comen los tres productos. Si 30 personas comen anticuchos y picarones, 20 picarones y churros, 20 churros y anticuchos, y 10 no cornen estos productos, ('cuantos comen solo anticuchos?
Se sortearon juguetes entre 80 nifios, Sabiendo que 42 obtuvieron carritos, 38 robots, 30 pelotas, 12 carritos y robots, 18 robots y pelotas, 14 pelotas y carritos, y los que obtuvieron solo carritos son el cuadruple de los que no recibieron juguetes, (,cuantos recibieron solo robots?
Un pueblo tiene 200 casas, de elias a 90 les falta el servicio de electricidad, a 120 agua y a 80 telefono. Sabemos que a los que les faltan solo agua son el quintuple de los que les faltan solo electricidad y teletono, y estos a su vez son la mitad de aquellos a los que les faltan solo electricidad y agua. Si a 20 les faltan los tres servicios y 10 casas tienen todos estos servicios, (,a cuantas casas les falta agua y telefono?
Una distribuidora de golosinas atiende a 150 clientes, de los cuales 81 cornpran caramelos, 51 galletas, y 72 mentitas, 27 caramel os y galletas, y 33 galletas y mentitas. Si los que cornpran solo caramel os y mentitas son el doble de los aue cameran sola aalletas
De 150 socios de un club sabemos que 45 tienen moto, 39 lancha y 54 auto, 15 moto y auto, 21 lancha y auto, los que tienen solo auto y moto, y los que lienen solo moto y lancha suman 12. Si los que no lienen estos vehfculos son el doble de los aue lienen
Procura que en el grafico la incognita este ubicada de tal manera que se relacione con el mayor numero de datos posible.
• -
1_.
......
I ....
. . y caramel os, adernas los que compran los tres productos son la mitad de los que no compran estos productos, (,cuantos compran solamente gaJletas y mentitas?
V<.
solo auto, (,cuantos de los socios solo tienen moto?
I('~
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OS (U oz (O~
09 (S l£
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S~ (6 9~ (S
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(l
S (L
S~ (~
• • • • •
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
Ifl~ o SISTEMA
N_U_M_E_R_A_C_16_N
....
DE NUMERACION
Conjunto de principios, reglas y simbolos con los cuales se da nombre y representan todos 10 nomeros. Los simbolos que se utilizan para representar los rumeros reciben el nombre de cifras.
~,(:;l~ ~~
t
HhW·!;J@ilW
Nlimero: Es la idea de cantidad. Numeral: Es la representacion de esa idea. Ejemplo: ·5762 numeralde cuatro cifras diferentes.
o BASE
DE UN SISTEMA DE NUMERACION
Es el nurnero que indica la cantidad de unidades necesarias para formar una unidad de orden inmediato superior. En nuestro sistema de numeraci6n decimal) se tiene que:
(sistema
10 unidades forman una decena. 10 decenas forman una centena. • 10 centenas forman un millar y as! sucesivamente. La base de un nurnero entero adsrnas indica que se pueden
sistema de numeraci6n es un positivo mayor que uno, que la cantidad de cifras diferentes emplear en dicho sistema.
o REPRESENTACION
nurnero de dos cifras en base n.
5m3(b):
nurnero de tres cifras en base b.
3ab21
nurnero de 5 cifras en base 7.
3a8b:
BASE
CIFRAS DISPONIBLES
:f"I'1~ NOMBRE
2
0; 1
BINARIO
3
0; 1;2
TERNARIO
4
0; 1; 2;3
CUATERNARIO
5
0; 1;2;3;4
QUINARIO
6
0; 1; 2; 3; 4; 5
SENARIO
7
0; 1;2;3;4;5;6
HEPTANAR.IO
8
0; 1;2;3; 4;5;6;7
OCTANARIO U OCTAL
9
0; 1;2;3;4:5;~
7;8
NONARIO
10
0; 1;2;3;4;5;
6;7;8; 9
DECIMAL
DE UN NUMERO EN UN SISTEMA DE NUMERACION
3a(n):
(7):
I~"",~".
• -1I~let,• ~"'I
nurnero de 4 cifras en base 10 ( la base no se indica)
Ejemplo: Si los numerales
a35(6) y 42(<0estan correcta-
mente escritos, halla el valor de a.
• Determinamos una re/aci6n entre la base
y
1
denomina capicila, cuando al invertir el orden de sus cifras, no varia su valor,
ast ,.._
2n2:
nurnero caplcua de 3 cifras en ~ el sistema decimal ( base 10) ,
m33m:
numero capicUa de 4 cifras en base 10.
595 _. 595
las cifras de cada numeral. • Unimos ambas re/aciones el valor que buscamos.
De a35(6) - a
'-.JI
Debemos tener presente que en todo sistema de nurneracion, la base es siempre mayor que cualquiera de sus cifras.
3773 -+ 3773
De 42(1!Ij
<
6
= a>
4
luego, el valor de a es
o DESCOMPOSICI6N
POLlN6MICA
y determinamos
o [IJ.
DE UN NUMERO
Consiste en expresar un numsro en terminos de potencias de su base . .j
J 2 1 0
---abcde(n)
= a.n 432 + b.n + c.n + d.n + e
Ejemplo: • 342(6) - 3 x 62 + 4 x 6 + 2 • 2131(4)- 2x43+1 x42+3x4+1
o CAMBIO
• 7356(8)
=
7
x
83 + 3 x 82 + 5 )(8 + 6
• 2343\5) = 2)( 54 + 3 )(53 + 4 )(52 + 3 x 5 + 1
DE BASE
CASO I
ts..
782
Convierte un numero del sistema de base 10 aI sistema de base n (n ~ 10).
86 lJ!_ ®®9lJ!_ "--'\._@ CD "--'
Ejemplo: Convierte 782 aI sistema de base 9 (0 simplemente a base 9). Para tal conversi6n procedemos a efectuar divislones suceslvas por 9, considerando a los cocien1es como dividendos hasta que sean menores que 9, asl;
NOlITA
62
.-
1< 9
EI numsro equivalente se forma con el ultimo cociente seguido de los demas residuos tom ados de derecha a izquierda.
= 782 -11058(9)
I
Se sumankls numeros en una columna, el resultado se multiplica por el numero Que representa la base y el producto se coloca en la siguiente columna.
l 11.2
CASO II Convierte un numsro de una base diferente de 10 al sistema de base 10. Ejemplo:
Por el metoda
de Ruffini:
Se procede de la siguiente manera: 5
Convierte 4532(6) a base 10.
3
2 1062
Esta conversion se puede realizer de dos formas, veamos: II . 1 Por descomposlci6n
J
polinomica:
Se descompone el nomero y se efecrua: 4532(6) - 4 )(63 + 5 x 62 + 3 x 6 + 2 4532(6) - 864 + 180 + 18 + 2 -1064
• CASO III
Convierte 356(7) a base 10:
Convierte un numero de una base diferente de 10 a otra base tambisn diferente de 10. Ejemplo:
Convierte 356(7) a base 5.
7
3
5
6
l
21
182
3
26
188
iOBSERVAClllNI AI comparar dos
Para realizar estas conversiones demos en dos partes:
Convirtiendo
proce-
numerales en bases diferentes, a mayor base, menor numeral y a menor base mayor numeral.
188 a base 5:
1.0 Convertimos el numeto inicial a base 10 (por descompoeicion polin6mica el metodo de Ruffini).
o por 2.0 EI
numero
ya expresado en
base 10
10 convertimos a la base requerida
sucesivas).
(por divisiones
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
D
i.Cuantos nurneros de la forma a(a + 1)(a - 1)(8) existen? Resolvemos: los posibles
a(a + 1)(a - 1)(8)
L
IRECUERDAI
L
En a3(b} se cumple que: ·3
l l
l 0
2 3 4 5 6 7 8
./ ./ ./
2 3 4 5 6
2) =
105(n + 1)
,
Resolvemos:
Analizamos y determinamos val ores para a:
1 2 3 4 5 6 7
que: 234(n _ D Sihallsea elcumple valor de n.
Existen 6 nurneros:
o
./ ./ ./
120(8) ;
23\8) ;
342(8) ;
453(8) ;
Descomponemos ambos miembros resolvemos:
polin6micamente de la igualdad y _...~ "
2(n - 2)2 + 3(n - 2) + 4 = (n + 1)2 + 5 n(n - 7) = 0 =>nz[I] Calcula el valor de n, si: 34(n} + 52(n) = 130(n)
564(8) Y 675(8)
)C
Resolvemos:
fJ
Convierte el numeral (4a)(a + 6)(a)(8) al sistema de base 6 y da como respuesta la citra de mayor orden.
Descomponemos solvemos:
polin6micamente
(3n + 4) + (511 + 2)
= n2 + 3n
0= n2_ 511 - 6 n -6 n +1 o = (n - 6)(n + 1)
Resolvemos: • No se puede convertir directamente, bido a que no se sabe el valor de a.
de-
el valor de a analizando
• Calculamos numeral:
y re-
X
el Entonces:
n- 6
&
0 => n
a
[I]
(4a)(a + 6)(a)(8)
~
~
t
Para a
«
1:
4
7
1
./
Para a
= 2:
8
8
2
)C
Entonces:
(4a)(a + 6)(a)(8)
= 47\8) = 313
Ahora convertimos el numero a la base 6 (divisiones sucesivas) 313
lL
13 52
l.§_
CD @
8
l.§_
CD .....__,
.....__, \__@
Descom posicion polinomlca de un
Si los numerales:
= CD24\6J
l cifra orden de mayor
3b41"1; a52'Cl y 3c5171
Un obrero dispone de un juego de reglas especiales de 1; 5; 25; 125; ... centimetros cada una. Para medir una longitud de 2 metros, i.cuantas de estas reglas necesltara? Resolvemos: Observamos que las longitudes de cada regia estan representadas por potencias de 5. • Las potencias de un numero se indican siempre en una descomposici6n polin6mica. • Expresamos la longitud a medir en el sis-
j
IIUIII~I dl U~ Id IUlllid
sstan correctamente valor de a + C,
abc(n): an2 + bn + C
l2_ @40l2_ \_@8L2._
2 m < > 200 cm = 200
=*
b
a52(C)
=a
3C5(7)
=c<7
0
y 5
a + C= 5 + 6
=
D
2(X): 1300(5)
Convierte al sistema de base 9 el numeral a(2a)(3a)( a + 2) (4) Y da como respuesta la cifra de menor orden. Rpta.: 3 Convierte el numeral a(a + 3)( a + 2)
(5)
aI
sistema de base 7, luego determina la suma de las cifras de mayor y menor ordsn.
Rpta.: 6 pesas Indica la base del sistema de numeraci6n en el cual el mayor nurnero de tres cifras y el menor numero de 3 cifras, convertidos aI sistema decimal, suman 1451. Rpta.: 11 Determina la base del sistema de ci6n en el cualla suma del mayor de 3 cifras diferentes y el menor de 3 cifras suman, en el sistema 798.
Si: aaa(8) = 1ooa(6) ;
25c (b); a16(8); 42b(a); halla el valor de a + b.
halla el valor de ~.
76b(9); 536'\b) Y m65n(a)
estan correctamente de a + b.
escritos, halla el valor
calcula el valor de
n.
Si: 140(a _ 2) = 85(a), determina de a,
Rpta.: 8
calcula el valor de
-ha + 1. Rpta.: 3
Si: mnn(8)
= 1&n(9);
determina
el valor de m + n. Rpta.: 5
Sabiendo
Sabiendo que: 215(n) + 327(n) - 544(n) , calcula el valor de n. Rpta.: 8 Calcula
Si se cumple que: aaa(9) = 1ao~6):
el valor Rpta.: 9
el valor de a que verifica la si-
Compara cada citra del numeral con la base indicada.
Rpta_: 2
Rpta.: 15
Si se cumple que: 48(n + 1) = 62( n _ 1) ,
numeranumero nurnero decimal, Rpta.: 9
Sabiendo que los siguientes numerales estan escritos de forma correcta:
Si los numerales:
•
I
Para pesar joyas se tiene un conjunto de pesas de 1; 3; 9; 27; 81; ... gramos. Si se pes6 una joya de 500 gramos de oro, t.cuantas de estas pesas se emplearon?
Rpta.: 13
D
= 14 reglas
s2
a(a + 3)(a - 4)( ~ )(16)que existen.
Rpta.: 12
D
"--"
1300(5): 1 x 53 + 3 x
• Luego, se us6: 1 + 3
de nurneros de la
Rpta.: 3
IJ
Entonces:
Descomponiendo:
@]
Rpta.: 2 la cantidad
•
5 6
~(a + 4)(2a)(12) que existen. Determina
\_®CD
4
Indica la cantidad de numeros de la forma
forma
tema de base 5 (divisores sucesivas)
cada numeral:
3b4(a)
Entonces:
B
halla 'e1
Resolvemos: Analizando
D
escntos,'
que: aabb (5) = (a + 4)ba(7):
halla el valor de b - a. Rpta.: 2 Halla el valor de n, si: 410(n) - 243(n) = 134(n)' Rpta.: 7
Debes descomponer nnlinnnir.~mp.nlp.
r
guiente igualdad: 43(a+ 1) + 54(a+ 1)
mil -
117 (a+ 1)
Rpta.: 7
En un laboratorio aI vender alcohol se emplean envases de 1; 2; 4; 8; 16; ... litros. Si un comerciante compra 100 litros de alcohol, lcuantos envases emplean para envasar tal cantidad de alcohol?
Calcula el valor de a, si se cumple:
.
a(2a)(38) - (a + 1)( a + 2)(7),
Rpta.: 3 Indica, en el sistema decimal, el nomero de la forma:
Rpta.: 547
Rpta.: 3 envases
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
Determina la cantidad de nurneros de la
Si los numerales:
forma (a - 3)(a + 2)(~)(a)(I2) que existen.
1mm( ....; mn(6) y 2123(m) estan escritos de forma correcta, icuanto suman myn?
Recuerda que en el sistem a de base 10 (sistema decimal) la base no se coloca, esta sobreentendicia. 37 - 37(10)
1i.Cuimtos numeros de la forma (n - 3)(n - 2)n(n - 2)(n - 3) existen?
Los numerales: tabba(CI;
7cc(9); a 142(b)
y 325(1)
estan adecuadamente escritos. Determina el valor de a + b + c.
.Whitt.
Convierte al sistema de base 7 el numeral de la forma: (a + 5)(3a)(a)(a - 2)(9) Y da como respuesta la suma de las ci-
_
_.._-
cada numeral de la igualdad.
Sabiendo que: 342(,.. - 14\n+3)' el valor de n.
calcula
J
IVII
p,VVVln.v
'1"'V
,~
mayor de las cifras que conform an un num eral siempre es menor que la base del sistem a en el que esta escrilo.
lIi:I::i
ue iuayor y nreuor oruen.
Recuerda kI teorla apropiada !I tram de emplearla en Ia solution de nuevos protllemas.
Si: mnm(9) - (2n)(2n)m(8)' halla el valor de m - n.
I~
i.En que sistema de numeraci6n el mayor y menor nomero de tres cifras suman. en el sistema decimal. 575?
Recuerda que a menor numeral aparente, la base es mayor. Ejemplo: 2318 - 421.
Como: 231
Calcula el mayor valor que puede tomar n, si:
<
421
Sabiando que: (n - 1)(n - 2)n(8) - nnn(7)'
(n)(n + 1)(n+2I - (n - 1)(n)(9)
calcula el valor de
n.
Asum e una letra para indicar la base y luego efecllia una descompeslcen polinomica de todos los numerus.
Detarmina al sistema de numeraci6n en al cual sa cumpla la siguiente opsracion: 24+34+41-143
Si se cum pie que: (2b)(a + b)(a - b)(6) -
6'baii(4)'
determina el valor de a2 - b2. S (ll
S (9
stu
IZ (S
8 aseq (01
6 (~
9 (6
Z (£
S (8 SO.laW~U9 (Z Z (l sOlaw~u £ (I
.• ..•
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
MULTIPLICANDO
1. Para preparar una torta se requieren 640 gramos de harina. Si se prepararan 9 tortas, i.cuimtos gramos de harina se necesitaran?
POR NUEVE
Resolvemos: Multiplicamos la cantidad de harina que se requiere para preparar una torta por el numero de tortas; ... ihazlo menta/mente! Multiplicando 64 por 10: 64x10=640 A esta cantidad Ie restamos el nurnero multiplicado: 640- 64= 576
EI artificio proviene de efectuar la operaci6n: 64
x
:;
Respondemos: Se necesitaran r-15-7-6-0-g-ram-o-s--.t
9 = 64 (10 - 1) =
576
iCUIOAOOI
Un autobus recorre 85 kil6metros en una hora. i.Cuantos kil6metros recorrera en 9 horas?
En una empresa, cada una de las nueve recepcionistas recibe un sueldo de Sf. 840. i.Cuanto dinero se emplea en el pago de las recepcionistas?
Nueve amigos van a realizar un viaje y acuerdan aportar S/. 320 cada uno. i.A cuanto asciende el monte aportado?
Un sobre de mermelada pesa 125 gramos. i.Cuanto pesaran 9 de estos sobres?
CII,;CIU
UC O'fU
IU
escribimos allado del resultado de multiplicar 64 x 9. Sabemos que para preparar una hamburguesa se emplean 144 gramos de carne. Para preparar 9 hamburguesas, zcuantos gramos de carne se necesitaran?
Una carretilla puede lIevar en un solo viaje un maximo de 9 cajas de medicina. Si cada caja pesa 4,50 kg. ;"cua! es el peso que transporta como maximo por viaje?
AI hacer caIctio rapido 10hacemos mentaimente empleando tecnicas basac1asen propiedac1es marem:ilicas.
MULTIPLICANDO
8. Una costurera
puede confeccionar un vestido en 42 minutos. ;"Cuanto tiempo demerara en confeccionar 56 vestidos?
POR LA DISTRIBUTIVA
Resolvemos: Multiplicamos el nernero de vestidos por el tiempo de conteccion de cada uno ... imentalmente! 42 Descomponemos
x
56
42 y efectuarnos: (40 + 2)56.
40x56+2x56 2240 + 112 2352 Respondemos: Demerara 2352 minutos nutos.
0
39 horas 12 mi-
EI factor a descomponer como una suma 0 diferencia, debe ser el mas simple. sin importar su valor. Ejemplo: 51
x
36
(5Q.;:1) ~
x
36
33x25
(30 + 3) x 25 • 35 x 27 35(30:3)
EI jefe de compras de una empresa requiere 72 sillas giratorias. Si cada una cuesta Sf. 120. ;"cuanto dinero necesita para realizar la compra?
EI costa para ver una pelfcula. en el cine. es Sf. 25. Si hoy asisten 240 personas. (..cuanto se ha recaudado?
Un atleta recorrio diariamente 32 kilornetros. Si tal atleta como durante 27 dias,
Se han envasado 35 bidones con disolvente. cuyo contenido es de 521itros cada uno. ("Cuantos litros de disolvente se han envasado?
zcuantos kilometres recorrio?
Efeclua:
• 45 x 12 • 21 x 38
·42
x
34
• 55 x 45 • 64 x 25 Una caiierfa averiada desperdicia 180 litros de agua mensualmente. iCuantos litros de agua se desperdician en 2 aiios?
Sabiendo que un estante pesa 24 kilogramos y un carnion transporta 32 de estos, zcuantos kilogramos de carga transporta el camlon?
ALFONSO
ROJAS PUEMAPE
~~~..... ~-------I :: ~_
PLANTEO DE ECUACIONES
Plantear una scuacion significa traducir un enunciado expresado en lenguaje habitual allenguaje sirnbolico 0 rnatematico.
0
cotidiano
1. Piensa un numero de una cifra:
Luchin . ,isoves que puedo deteY'minaY' el numeY'o que piensas?
x
2. Sumale 6:
x«6
3. Multiplica la suma por 2:
2x + 12
4. Resta al producto el numero pensado:
x+12
5. Despues ala diferencia, restele 12:
x
Ahora dime tu respuesta ... , entonces el numero que pensaste es ese.
iRECUERDAI
Para plantear la ecuacion debemos establecer com 0 se relacionan los datos con el valor asumido(x).
I. PLANTEO DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Cada D tarea,
vez que un estudiante presenta su el profesor 10 bonifica con 5 puntos y cuando no la presenta Ie resta 3 puntos. Si el profesor propone 18 tare as en el mes y un estudiante obtiene una bonincacion de 42 puntos, zcuantas tare as presento?
Ya que nos piden determinar el nurnero de tareas que presento, entonces
N: de tareas que presento ~ x Como sabemos el total de tare as (18), tenemos:
N: de tare as que no prssento ~ 18 - x • Relacionando • Lee el enunciado procurando identificar el valor que se desconoce. • Asignamos una letra (x) a dicho valor y planteamos la ecuecion. • Resolvemos la ecuecion.
ICUIDADOI
~.
Jt ,
datos: 5(x) - 3(18 - x) ~ 42
Efectuando y resolviendo: 8x - 54 - 42
=-
x
s
Luego, el estudiante presentol12
12 tare as ,.
0
Ana tiene ahorrado el doble de dinero aue
• Asumimos aue la incoonita (x) es 10 aue tiene
I
Como la incognita no coincide con el valor que se pide, aSignamas par incognita al valor que se relaciona con mas datos.
Betty y Carmen tiene Sf. 100 mas que el doble de 10 que tiene Ana. Si entre las tres tienen ahorrado Sf. 1500, zcuanto tiene ahorrado Carmen?
Betty: Betty: Relacionamos
Ana: 2x
II. PLANTEO DE SISTEMAS
x + 2x + (4x + 100) : 1500
= x: 200
Luego, Carmen tiene:
I
y
5 cuadernos y 2 lapiceros. Si Juana compr6 3 cuadernos y 41apiceros, zcuanto pag6? 0
• Identificamos los va/ores inc6gnitas. • Refacionamos las incOgnitas con los datos para formar ecuaciones. • Reso/vemos el sistema de ecuaciones determinado.
D
2(2x) + 100
4(200) + 100 : Sf. 900
DE ECUACIONES
gast6 Sf. 19 al comprar 2 cuademos II Maria 31apiceros y Luisa gast6 Sf. 31 al comprar
=
Planteando y resolviendo:
• Identificamos la inc6gnita (x).
• Reso/vemos la ecuecion.
Estrategia
con los dernas datos:
Carmen
• Relacionamos la inc6gnita con los datos y formamos fa ecuscion.
o
X
Si a los dos terminos de una fracci6n Ie sum amos 4 unidades, resulta la fracci6n 3/4 y si a los dos terminos Ie restamos 2 unidades, resulta la fracci6n 1/2. {'Cuimto suman los terminos de dicha fracci6n?
I
LINEALES 0 DE PRIMER GRADO Como los precios de cada articulo no se conocen, entonces: cuademo : x; lapicero , y Planteando las ecuaciones:
ax + 3y:
19 5x + 2y : 31
CD } SISTEMA
®
DE DOS ECUACIONES
Resolvemos:
!
(-2) CD: -4x - 6y = -38 (+) ,_. (3) 15x + 6y = 93 11x: 55"", x:5
®:
• Luego: 3(5) + 4 (3)
= I Sf. 271
y=3
METODO DE REDUCCION
Sea la fracci6n (~); del enunciado tenemos:
~:!= % a- 2 b- 2
=;>
4a - 3b
=-4
Se multiplica cada ecuacion por un mlmero tal que los coeficientes de una misma variable se anulen al sumarse la ecuaciones.
CD
= 1. "'" 2a - b = 2
®
2
• Resolvemos: Los terminos de una froc,e;on son sl numerodor ~ el denominador.
III. PLANTEO DE ECUACIONES
CD+(-3)®:
2a=10
• Luego: a + b
a=5 b=8
=:>
J
l
= @]
DE SEGUNDO GRADO
Sabiendo que las medidas de los lados de un rectanquto estan representadas por dos numsros pares consecutivos y su area es 48 cm2, zcuanto mide el largo del rectangulo?
• Sean las medidas: ancho
=x
• Planteamos y resolvemos: x(x + 2)
=
48
=:>
x2 + 2x - 48 = 0 xX+8
x
(x + 8)(x - 6) : 0 Si teecuecionque se formaes de segundo grado, esta se resue/ve factorizando por aspa simple.
=x+2
largo
=:>
-6 X
=6
Luego, ellargo mide: x +2
=
18 cm
I NonTA
Para verificar la
tactonzacion:
Un desaque demora tres horas mas en vaclar una cisterna completamente lIena que un grlfo en lien aria. Si estando la cisterna vacla se abre simultaneernente el grifo y el desague, esta se lIena en 18 horas. i.Cuanto tiempo demora el grifo en lIenar la cisterna?
1. Sean los tiempos que emplean: grifo: xh desague: 2. En una hora: grifo:
3. Planteamos 1 1
1.
X-X+3-TB
x
1
0
desaqde: - x + 3 . t . 1 jun os: 18
x2 + 3x-
x ~-6=-6x
1
~
54 = 0
9 xX+ x -6 (x + 9)(X - 6) .. 0
4. Luego. la cistema demora 16 horas
x2+ 2x- 48 - 0 x ~+8=+8x
(x + 3) h
= x-6
I.
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
Si al cuadruplo de la longitud de un puente Ie aumentamos 150 metros. se obtiene un equivalente a 7 veces su longitud, disminuida en 210 metros. i.CUanto mide dicho puente?
ResoIvemos:
ResoIvemos: • Sea x la longitud del puente. Planteamos: 4x + 150 = 7x - 210 Resolviendo: 3x = 360 = x = 120 Luego, el puente mide 1120 metros
Cuando se aplica el m etodc de recuccion para resolver un sistem a de ecuaciones, la variable a reducir debe ser la que presenta coeficientes numertcos opuestos.
de faldas. Antes de realizar el acuerdo de trabajo hace un descuento de Sf. 5 por falda y ahora su ganancia se reduce en Sf. 60. i.Cuanto invirti6 en materiales?
I.
• Sea: •
nurneros de faldas - n y costa de materiales - m Planteamos: 25n - m = 270
CD
®
2Dn-m-210
ResolViendo (restando ambas ecuaciones): 25n - m - 270 2Qi-m-210 5n _ 60
(- )
Una persona visita los negocios cercanos a su casa. AI euenc de la bodega Ie propone: ·Prestame tanto dinero como el que tengo ahora en mi billetera y gastare en tu negocio Sf. 200'; Ie ace pta y despues va a la farmacia y luego a la ferreteria con la misma propuesta. Si al lIegar a casa no tiene dinero, i.cuanto tenia alliegar a la bodega?
Si al cuadrado de un numero positivo se Ie disminuye 13 veces el mismo nornero. el resultado es 30 unidades. i.CuaJ es el valor de la tercera parte del nurnero?
ResoIvemos:
ResoIvemos:
Sea el dinero que tiene inicialmente x • Planteamos: Bodega: (x + x) - 200 = zx - 200 Farmacia: 2(2x - 200) - 200 = 4x - 600 Ferreterfa: 2(4X - 600) - 200 = ax - 1400 Aillegar a casa: 8x - 1400 = 0 • Resolviendo: x = 175 • Luego, alliegar a la bodega tenia Sf. 175 ~
I
Entre Antonio y Cesar tienen S/.288. Si Antonio Ie diese Sf. 40 a Cesar, este tendrfa el doble de 10 que Ie quedaria a Antonio. i.Cuanto dinero tiene Antonio? Rasa/vamos:
= n = 12;
m
Luego, en materiales invirti61 Sf. 30
= 30
I.
Sea x el nurnero. Planteamos: • Resolvemos: x2
-
13x .. 30
13x - 30 _ 0 = (x - 15}(x + 2)
Xx x
x2 -
-15
x-1S
v
=0
x=-2
+2
Luego, la tercera parte del numero es~. Juan compr6 cierto numero de sacos de arroz por Sf.720. Si cada saco hubiese costado Sf.12 menos. hubiera comprado 3 sacos mas. i.Cuantos sacos compr6? ResoIvemos:
1
iATENCIONI Si: (x-15)(x+ 2) - 0
• Asumimos: Antonio %a y Cesar %c Planteamos: a + C %288 2(a - 40) • c + 40 •
2a - c %120
x-15-0=x-15
o x+2-0=x--2
CD ®
a +15 288 2a - t 120 3a~408 %
720 _ 12 % 720 x x«3 Etectuamos y reducimos:
! (+)
Luego, Antonio tiene 1 Sf. 1361. Una costurera cobra Sf. 25 por coser una talda, incluyendo materiales. Se sabe que piensa ganar Sf. 270 por cierto numero
Juan tiene cierta cantidad de dinero en su billetera. Su jete Ie promete dar por cada dla de trabajo, tanto como la cantidad de dinero que lIeva ese dia. Sabiendo que despuss que Ie pagan, cancela Sf. 30 en gastos y que luego de 3 dias consecutivos aun Ie quedan Sf. 110, l.cuanto tenia inicialmente? Rpta.: Sf. 40 Maria y Ada han logrado coleccionar un total de 156 pulseras. Si Maria Ie da a Ada 32 de sus pulseras, ahora Ada tendra el triple de 10 que Ie queda a Maria. l.Cuantas pulseras tenia Ada inicialmente? Rpta.: 85 pu/seras Por soldar los tubos de un andamio, un soldador cobra Sf. 8 por punto, incluyendo la soldadura y piensa ganar Sf. 100 por todo el trabajo. AI momento de cerrar el trato hace un descuento de Sf. 2 por punto, resultando que ahora gana Sf. 70. l.Cuanto invirti6 en soldadura? Rpta.: Sf. 20 Si aI sumar el cuadrado de un numsro positivo con 15 veces dicho nurnero se obtiene 216, l.cuat sera el valor del triple de dicho numero? Rpta.: 27 I In menil"" tr","'",i.. on I,n", I"lIn;I"'" I': h"r",,,
_ 12 = 180 ~ x(x + 3)
x2+3x-180_0
= (X+15)(x-12);0
_1 -) x+3 Resolvemos:
= a% 136
Rpta.: BOm
(-1. -
720
;-
Determina la longitud de un tUnel, sabiendo que el qulntuplo de su longitud disminuido en 180 metros equivale aI doble de su longitud aumentado en 60 metros.
N.· de sacos inicial a X N.· de sacos final %x + 3
Planteamos:
Resolviendo (sumando ambas ecuaciones):
%
Entonces:
• Sea:
x
XX+15 x •
-12
Luego, compr6112
sacos
I.
Sabemos que una lampara cuesta Sf. 30 Y una lintema Sf. 18. Si un minorista compr6 30 de estos articulos por un monte de Sf. 648, l.cuantas lamparas compr6? Rpta.: 9 /amparas Tres amigos reunen 10 que tienen para comprar una impresora. Si Beto aporta Sf. 40 mas que Angel, Carlos aporta tanto como Angel y Beto y la impresora cost6 Sf. 440, l.cuanto aport6 Beto? Rpta.: Sf. 130 Se tiene una fracci6n propia Si aI numerador Ie aumentamos 5 unidades y aI denominador Ie disminuimos 2, la fracci6n que resulta es 5/6; en cambio, si aI numerador Ie disminuimos 2 unidades y aI denominador Ie aumentamos 1, la fracci6n que resulta es 1/5. l.Cuat es dicha fracci6n? Rpta.: 5/14 Si a los dos terminos de una fracci6n propia Ie aumentamos 3 unidades, la fracci6n que ahora resulta es 5/6, pero si Ie disminuimos 5 unidades, la fracci6n resultante es 1/2. l.Cuat es la fracci6n? Rpta.: 7/9 EI area de un rectangulo es 675 cm2. Si el largo excede aI ancho en 2 ern, l.cuanto mide el ancho del rectangulo? Rpta.: 25 em La longitud de los lados de un rsctangulo ssta determinada por dos nurnsros cuya diferencia es 6. Si su diagonal mide 3Ocm, l.cuanto mide ellargo?
Oarletanto com0 10 que lIeva equivale a que ahora tenga el doble de 10 que tenia.
diarias. Cierto dfa decide atender 3 minutos menos a cada paciente y as! poder atender a 4 pacientes mas. iA cuantos pacientes atiende normalmente? Rpta.: 20 pacientes
La senora Luda com pro 8 platos y 5 tazas por Sf. 49 Y la senora Martha com pro 5 platos y 2 tazas por Sf. 25. Si la senora Ruth com pro un plato y una taza, icuanto pago?
"PI"..
fracci6n propia numerador
r:
~; (a
[ denominador
Un cano tarda 3 horas mas que otro en lIenar un tanque vado. Si estando vado el tanque se abren los dos canos, este se lIena en 2 horas, ien cuanto tiempo 10 llensrta el ceno que vierte mas agua?
Rpta.: Sf. 8
Rpta.: 3 horas
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
(
Se tienen tres numsros pares consecuti- ') vos, tales que si el mayor se divide por 5, el intermedio por 7 y el menor por 2, la suma de los cocientes resulta 23. Determina el numero mayor.
Si a cada termino de una fraccion propia se Ie aumentan 5 unidades, se obtiene la fraccion 4/5, pero si a cada termino se Ie disminuyen 4 unidades, se obtiene la fracci6n 1/2. Determina la diferencia de tales terminos.
II II II U II
Los mimeros pares consecutivos se diferencian siempre en dos unidades. 10; 12; 14; 16; ... '-" '-" '-" +2 +2 +2 Cuatro hermanos acuerdan dar una colaboracion para el regalo de mama. Antonio da la rnltad de 10 que da Bruno, Bruno da Sf. 20 mas de 10 que da Carmen y Carmen da el cuadruplo de 10 que da Doris. Si entre todos logran juntar Sf. 360, icuanto eporto Antonio?
t-
Las longitudes de los tres lados de un triangulo rectangulo estan representadas por tres nurneros pares consecutivos. Halla la medida dellado menor.
Una heladeria vende solo helados de __
,_._
......
_,_-1
__
-1
11
_
En un lriangulo rectanqulo se curnple el leorem a de Pilagoras. ~
I
IIIClIIIQ
Y
uu:, uc ~u~ ."CIIVI
C~ IIIJd:t,
yc:t:..
ta en pasajes Sf. 520, en cambio cuando viaja con su hermana mayor y sus tres menores hijas gasta Sf. 480. Si las menores pagan menos, zcuanto se paga por cada una de elias?
Y
tJan:HCl
'ICIClUVO) Utf \..'.Cilia.
UIIQ
tJC1~UIICl
pens6 comprar 4 helados de paleta y 3 de crema y asf pagar S/. 17, pero compr6 5 de pal eta y 2 de crema, pagando S/. 16. i.Cuanto cuestan dos helados de paleta?
c
Relaciona tus ronocimientos odquir-idos. para determinarnuevo5 sstru 1'8905 de solution.
r-
c.
Hace dos arios la edad de Nelly fue el tripie de la edad de Juana y dentro de 2 anos la edad de Nelly sera el doble de la edad de Juana. Indica la edad actual de Juana.
Un arquitecto ofrece realizar un proyecto en 18 dias. pero tarda 6 elias mas, por trabajar 2 horas menos cada dia i.Cuantas horas trabaj6 diariamente?
Dos hermanos ganaron, en cierto negocio, Sf. 79 050. Si los 3/4 de 10 que gan6 el mayor equivale a los 4/5 de 10 que gan6 el menor, i.cuanto gan6 el menor?
La altura de un triangulo mide la tercera parte de 10 que mide su base. Si el area de dicho triangulo es 216 cm2, i.cuanto mide su base?
Un obrero realiza un trabajo en la cuarta
r-
Una cuadrilla de obreros pueden cons-
Para relacionar el trabajo, determinamos emil es la parte del mismo que realea eada uno y tam bien en forma eonjunta, en un dia.
I
sew O£ (U UJ39£
tu
parte del tiempo que emplea su ayudanteo Si trabajando juntos hacen el trabajo en 4 dras, ien cuantos dias hace dicho trabajo el ayudante, si trabaja solo?
truir una pared perimetrica de un campo deportivo en cierto nurnero de dias, mientras que otra cuadrilla demoraria 30 dfas men os. Si ambas cuadrillas trabajaran juntas. dicha pared se construiria en 20 dias. iCuantos dfas demora la cuadrilIa mas eficiente?
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
1. LOS CHICOS DE MI CUADRA En mi cuadra, los Azurra tienen 4 hijos mas que los Reyes, los Alvarez 4 menos que los Velarde, los Velarde 3 mas que los Reyes y los Nieto 2 menos que los Velarde. Cuando IIegaron a vivir a la cuadra los Bautista. notaron que la cantidad de hijos en nuestras familias, incluidos ellos, eran nurneros consecutivos. 6Cuantos hijos tienen los Bautista en relacion a los Alvarez?
2. HACIENDO MALABARES Dos equilibristas han colocado 5 trozos de madera en posicion vertical; adernas la longitud de cada uno de estos es 7; 10; 8,5; 12 y 9 centimetres. respectivamente. Si en cierto momento durante la funcion,
~~JU4 ~
IU~
se!p OZ (6 OSZ~1S (S sope 9 (L V 1s (9 "9 (S £ (t OS 1s (£ OL 1S (Z O£ (L
uno de los trozos de los extremos cae, (,cual es el trozo de madera que no tocara a los dsmas, si la distancia entre trozo y trozo es 8 cm?
3. OPERADOREs MATE MATICOS Coloca operadores maternaticos entre los nurneros, de tal manera que se cumpla la igualdad.
Vl>iquen operadolres entre los numeros para que se ,umplo 10iguoldod.
4. UsEMOs LAS OPERACIONEs ELEMENTALEs En los espacios en blanco, horizontales y verticales, coloca "+, -, x 0 :" de tal manera que obtengas 0, 1, 2, ... Y 9, tal como se indica.
2
2
2
2
2 -1
2
2
2
2
2 -2
2
2
2
2
2 -3
2
2
2
2
2 -4
-9
-8
-7
_6
_5
ALFONSO ROJAS PUEMAPE
_~tllli Acumulativo parcial D Un protesor
de literatura deja como trabajo domiciliario, a sus 45 alumnos, la lectura de tres obras (LI, ~ y L3). AI tomar los respectivos examenes observa que:
- 15 han leido L I
-
25 han Ie/doL2
- 35 han leido L3
- 10 han Ie/doL I Y L2
-20hanleidoL2yL3-10hanleldoL1
y L3
- 9 han leldo L,. L. Y L. l.Cuantos alumnos no han leido ninguna de las tres obras? a) 1
D
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Halla b, si se cumple la siguiente igualdad: 1213
-
22(9)
I.
IS(b)
a) 6
D
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Dos nurneros son tales que su suma es (-4) y su diferencia (-2). Calcula la suma de sus inversas. a) 4/3
b) 3/4
d) - 3/4
e) - 4/3
c) 1
D
D
EI triple de un
nurnero excede a otro en 10; mientras que el triple del otro excede aI primero en 26. Da como respuesta eI nurnero menor.
Dos nurneros se diferencian en 4; y la mitad del menor, mas eI triple del mayor es 5. Da como respuesta eI numero mayor.
a) 5
a) 2
d) 11
e) 13
La suma de los cuadrados de dos numeres reales es igual a 2, y la suma de los mismos es igual a -2. EI producto de ellos es: a) 1
b) -1
c) 3
d) -3
e) 2
l.Cufil es el sistema de numerar.i6n
c) 1
d) -1
e) 7
Entre dos Omnibus tienen 120 pasajeros. Si del Omnibus con mas pasajeros se trasladan los 2/5 de ellos aI otro Omnibus, ambos tendrian igual numero de pasajeros. i.Cuilntos pasajeros tiene cada Omnibus? a)110yl0 d) 70y 50
- 12 eran nilias - 18 asistieron con uniforme - 4 ninas asistieron sin uniforme
420(b)- 110l2b)'i.cuaJ es eI valor de b?
l.CuaJ fue la cantidad de nilios que asistieron sin uniforme? a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Si la siguiente igualdad es correcta, calcula eI valor de a.
a) 2
b) 4
c) 6
1)(~)
d) 8
e) 10
Si aI dividir 368 por un numero entero positivo, el cociente excede en dos unidades al duplo del divisor y el resto es 4, halla el producto de los digitos del numero. b) 2
c) 3
d) 5
b)90y30 c)100y20 e) 80y 40
Si se cumple la siguiente igualdad:
a) 5 b) 6 c) 7 d) Cualquier valor entero y positivo e) Cualquier valor entero mayor que 4
e) 5
e) 4
c) 60
e) 50
b) -2
AI primer dia de dases de un coIegio de educaci6n primaria asistieron 25 estudiantes (entre nilios y nilias). De ellos:
a) 6 b) 80
c) 9
aaa(8) - (~)(2a +
De un grupo de personas, 56 han viajado alguna vez al sur, 43 han viajado aI norte y 31 han viajado a ambos lugares. Si adem as el numero de personas que no ha viajado a ningun lugar es igual al numero de personas que solo ha viajado al norte, caleula el total de personas. a) 70 d) 90
b) 7
A una reuniOn familiar asistieron 80 personas en total, de las cualas, 30
Si se cumple que: halla eI valor de x.
XXXX(4) -
2010(5)'
a)1
b) 2
d)253
e) Falta informaciOn
c) 3
La suma y la diferencia de dos cantidades son, respectivamente, eI cuba y eI cuadrado de 2. Indica la suma de cuadrados de dichos nurneros. a) 40
b) 30
c) 36
d) 64
e) 48
De un total de 120 estudiantes de ingenieria electrOnica, se sabe que 60 aprobaron Matematica I; 35 aprobaron Flsica I; 45 el curso de Qulmical; 15 aprobaron Fisica I y
ttl dll
en el que el maximo numero de tres cifras diferentes se representa, en el sistema decimal, como 501? a) Quinario
IIIU Jt:1t:::>.
Quimica I; 20 Fisica I y Matematica I; 10 Quimica I y Matematica I, y solo 5 del total aprobaron los lres cursos.
Si 60 de los asistentes bailaron y 10 mu jeres no bailaron, indica el numero de hombres que no bailaron.
('Cuantos alurnnos ningun curso?
b) Senario c) Heptanario
d) Octanario e) Notario
a)13
Se conlrata un empleado por un ario,
AI sumar el mayor numero de lres cifras, no todas iguales, con el menor numero de tres cifras de un mismo sistema de numeraciOn se obtiene 390. Halla el nurnero que representa la base de este sistema de numeraciOn.
acordando pagarle 5/.7000, mas un televisor; pero al cumplir 7 meses se Ie despide paqandole 5/. 2500, mas el televisor. EI precio del televisor es: a) 4200 d) 3500
b) 3600 e) 3800
c) 4000
a) 6
b)14
c)10
b) 7
d)12
c) 8
e)15
d) 9
a) 24
b) 25
c) 21
no
aprobaron
d) 20
e) 19
Se han escrito la serie de los numeros naturales desde el 1 hasta el 2001. ('Cuantas veces ha sido utilizada la cifra 2?
a) 600 d) 603
e) 10
b) 601 e) 604
c) 602
Acumulativo parcial
D
Para el aniversario de un colegio, la direcci6n acuerda realizar 3 concursos: Matematicas, Fisica y Quimica. AI final de las 165 inscripciones observ6 que:
D
tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades sera 72 aries".
se
-
87 se inscribieron en Matematicas.
-
91 se inseribieron
('Cual es la edad actual de Carlos?
en Fisica.
-
75 se inseribieron
en Quimica.
-
35 se inseribieron y Fisica.
en M atemaficas
-
17 se inscribieron
en Quimica
a) 25
D y
Matematicas.
a) 20
se inscribieron
b) 12
c) 5
e) 32
tumbran viajar al interior del pais, se observa que 26 conocen Cusco, 31
a) 15
b) 18
c) 21
Dada la igualdad: halla:
ID
halla: b - a.
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
a) 18
d) 27
abba(7)
=
b) 15
c) 25
d) 20
9
y
7
d) 7 Y 13
En una encuesta efectuada a 100 esD tudiantes, se obtuvieron los siguienrutbol.
- 50 practicaban
basquet.
- 30 practicaban
ajedrez.
_ ?n "I"~,-..ti,..~h~n
""lthl"\l H h~cl1l1at
c) 32
d) 30
e) 40
utilizado en total 5169 cifras. Halla N y da como respuesta la suma de sus cifras.
c) 15
d) 8
a) 20
e) 18
b) 7 y 5
b) 21
c)
22
d) 23
e) 24
Calcula el jornal que se Ie paga a un obrero, si el dueiio de la tab rica paga por dia 5/. 1140 correspondientes a 25 jornales de obreros y a 40 jomales de ayudantes, sabiendo que con el mismo gasto podria aumentar a 45 el namero de obreros y reducir a 15 el numero de ayudantes.
c) 11 Y 9
e) 9 y 17
a) 20
Ii
b) 18
c) 16
d) 22
e) 24
Para escribir los 23 ultimos numeros de una serie que empieza en el numero 1, se han utilizado 75 cifras. i.CuaJ es la suma de las cifras del ul-
a) 30
b) 14
c) 12
d) 23
e) 25
tes resultados: - 60 practicaban
b) 25
914(12)
En un conocido instituto de idiomas, se han matrieulado 55 personas, de las cuales 25 desean estudiar portugues, 32 espaiiol, 33 italiano y 5 los tres idiomas. i.Cuantas desean estudiar solo 2 idiomas?
e) 30
Si 9 alurnnos dejan
Se han escrito la serie de los numeros naturales desde el 1 hasta N y se han
a. b. b) 12
c) 1232
e) 41
Calcula dos numsros de modo que 5 veces el mayor excede en 44 a 1/7 del menor, y el doble del menor excede en 11 a 1/3 del mayor. a)
Se pag6 una deuda de 5/.900 con billetes de S/. 50 Y de 5/.20. i.Cuantos billetes de 5/. 20 se han uti liz ado, si se sabe que hay 3 billetes mas de 5/.20 que de 5/. 50? a) 18
e) 1234
el estudio por el ~ego, entonces ahora jreqan tantos como conversan y estudian juntos. i.Cuantos alumnos hay en el salOn de clase?
Si se cumple la siguiente igualdad:
a) 0
b) 1231
el
de clase, unos converII Ensan,unotrossalOnestudian y la quinta parte
personas conocen aI menos 2 de los tres lugares?
e) 42
10a3(7) - abb(ll)'
II
d) 30
De un total de 46 personas que acos-
a) 10
D
c) 12
conocen Trujillo, 28 conocen Ica y 12 conocen los 3 lugares. ('Cuantas
en los tres
d) 9
b) 15
a) 1230
d) 1233
del total jreqan.
Los que se inscribieron en Matematicas y Quimica pero no en Fisica son la tercera parte de los que se inscribieron en Fisica y Quimica pero no en Matematicas. i.Cuantos cursos?
de un libro y son 3817. Indica numero de la ultima pagina.
Carlos Ie dice a Juan: "Ten go dos veces la edad que tenias, cuando yo tenia la edad que tienes, y cuando
ID
a) 6
EI numeral de la forma: (a - 2)(a + 1)a(5)' aI representarlo
timo numeral?
en
base 7, se obtiene 011'0 numeral cuya
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Un motociclista recorre un trayecto de 100 km con velocidad uniforme.
-- f".------ ..._-_.,-_._,--- 10 practicaban
Los que practicaban
pero no basquet. i.Cu€lntos practicaban los 3 deportes ala vez?
EI
b) 10
c) 5
i.Cuantos numeros
a) 10
basquet y aje-
drez pero no rutbol son el doble de los que practicaban rutbol y ajedrez
a) 15
suma ae C11Tases:
rutbol y ajedrez.
d) 30
a) 60
ALFONSO
d) 13
e) 14
e) 22
existen en el sis-
a) 150
b) 200
d) 300
e) 350
a) 5h
cun.c;:t ut::
IIUlQ
en 10 km/h? b) 7h e) 16h
d) 13h
Si: aaaa(5) - (a
c) 250
halla:
Se han contado las cifras que se han utilizado para enumerar las paginas
c) 120 d) 150 e) 180
"Ilia
IIC~Cl.I
velocidad
nota que 210 de elias se van a cenar y 260 se van a caminar. i.Cuantas personas salen solo a cenar?
(a - 2)b(8 - a) ? b) 90
c) 12
En una funci6n de teatro se observan II 410 parejas; al finalizar la misma, se
tema decimal que tienen la siguiente forma:
b) 11
ra.la
c) 10h
+ 2) (a
- 2)a ,
(a+ 2)/(a - 2)
a) 2
b) 1,5
d) 1,5
e) 3
c) 2,5
ROJAS PUEMAPE
Acumulativo parcial
D
meros que son mulfiplos no de 4 ni de 9. a) 50
D
b) 60
de 2 pero
d) 80
i.cuantos existen?
D
a)8
+ 1)(a + 1)(a + b - 3)(15) numeros
b)9
de esta forma
b) 8250 e) 9250
e)16
d)12
n=m+2
b) 11
c) 13
d) 14
De un grupo de 95 personas,
paqara cju y al final ambos paqaran el mismo precio por docena, i.cuanto
40 lIe-
sin lentes y la cantidad de damas con lentes es la mitad de los varones sin lentes. i.Cual es la cantidad de varones de dicho grupo? b) 45
II Se cumple:
c) 50
d) 55
e) 60
eOe - 1211 0ce}, adsmas d > 5
a) 21
b) 25
a+b
c) 27
+c
d) 29
Juan comi6 una manzana
e) 5/.57
+ d + e. e) 31
y/o
man-
a) 1 d)
5/.46
4
c) 4
b) 2 e) 5
c) 3
En una clase de 65 alumnos, 9 aprobaron solo fisica, 12 solo quimica, 8 solo trigonometria y 5 aprobaron los 3 cursos; de los que aprobaron fisica, 23 aprobaron quimica 0 trigonometria; de los que aprobaron quimica, 18 aprobaron fisica 0 trigonometria y de los que aprobaron trigonometria, 13 aprobaron fisica 0 quimica. i.Cuantos no aprobaron estos cursos? a)1 d)4
c) 5/.50
b) 2
c) 3
e) 5
Si se cumple que: Calcula la cantidad de cifras que se han utilizado para escribir los numeros consecutivos desde 85 hasta 2834. a) 10066 d) 10061
aba(C) - d1c(9)
calcula el valor de:
b)
d) 5/.54
D=13 b} 3 e) 6
336 = mmO(n)
pagara Juan al final?
a) S/.40
y
II Halla el valor de n - m, si:
A Luis Ie cobraran 51. 29 por eI trasla-
a) 280 b) 128 c) 500 d) 256 e) 502
van lentes. La cantidad de varones con lentes es tanto como las damas
a) 2 d) 5
e) 15
do de 5 docenas de frutas y a Juan 5/.35 por 8 docenas, pero como cju lIeva una misma cantidad extra de docenas de frutas, ahora les cobraran a c/u una misma cantidad adicional. Si el numero de docenas extras que lIeva cju es igual al cobro adicional que
Se forma un conjunto empleando las letras de la palabra RAZONAMIENTO. i.Cutli es la cantidad de subconjuntos que contienen a 10 mas 7 ele-
a) 40
p .
mn(p) + nm(p) -7(D)(p~'
c) 9272
Un nurnero de tres cifras significativas y diferentes en base 10, aI convertirlo a base 7, se sscribatambien con 3 cifras, pero cada una de elias es eI doble de la cifra que Ie corresponde en base 10. Halla el nurnero en base 8 y da como respuesta la suma de sus cifras. a) 9
c) 11
mentos?
D
a) 8272 d) 9724
que:
2 -
e) 90
Sea el nurnero de la forma:
(t)(~)(b
D
c) 70
Halla el valor de p, sabiendo
hacian era n. i.Cual fue el numero de asistentes, si fue el mayor posible?
En los 360 primeros numeros naturales, determina la cantidad de nu-
b) 10068 e} 10070
[a4(12)]2 - 2bab(12)' calcula el valor de a + b
c} 10067
M etropolitano parti6 de la estaci6n II EIcentral hacia Matellini, lIegando a esta con 54 pasajeros. Solo viajaron adultos quienes pagaron S/.1 ,5 cada uno, recaudandose 51. 108. Si en cada paradero baj6 un pasajero y subieron dos, i.cuantos pasajeros partieron de
IV
previsto, aumenta en 5 km/h dicha velocidad. i.En que tiempo recorreria dicho trayecto, si disminuyese su
a) 3 d) 7
m
b) 4
c) 5
e) 9
Empleando solo dos cifras se forman dos nurneros capicuas de 4 cifras, en el sistema de base 8, cuya suma termin a en 4. Indica la maxima suma de dichas cifras.
ano
2008.
Si 20 mananas
comi6
manzanas y 18 mananas mandarinas, l.cuantos dlas comi6 solo man-
la estaci6n cenlral?
a) 12
b) 64
d) 48
e) 72
zan as?
a) 7
D
b) 9
c) 11
d)15
e)20
A un evento asistieron menos de 10000 personas. En cierto momento se observ6 que el nurnero de rnujeres que bailaban era m:3 y el numero de las que no 10hacian era m; el numero de hombres que bailaban era n2 y el nurnero de los que no 10
De una encuesta
genieros, se supo que 82 son de sistemas, 91 son de eleclr6nica y 107 son de mecanica. Si 130 ingenieros tienen solo una carrera y 6 tienen las
a) 48
ingenieros
c) 62
b) 55 e) 70
d) 66
c)
8
Sean A Y B dos conjuntos diferentes del vacio. Si el numero de subconjuntos propios del conjunto potencia de A es 15 y eI numero de elementos de B es una unidad mas que eI numero de elementos de A,l.cuantos subconjuntos propios, diferentes del vacio, tieneB?
realizada a 280 in-
Ires carreras, l.cuantos tienen solo dos carreras?
b) 10 e) 4
a) 12 d)6
c) 36
I
b) 4
a) 2 d)8
c) 6
e) 10
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Acumulativo total
D
Javier compr6 cierta cantidad de CD's para venderlos. Pero al lIegar a su tienda se da cuenta de que el 40% de los CD's que compr6 se rompieron. Luego, cuando Ie faltaba vender la quinta parte de 10que vendi6, decide subir el precio. Si en la primera venta gan6 el 70%, l.cual es el tanto por ciento en que deb era incrementar eI
•
b) 60% e) 85%
D
c) 70%
d) 25
a) 5
D
b) 7
c) 4
d) 6
e) 8
Un ingeniero conlrata 3 albaniles, 8 ayudantes y 4 aprendices para una obra, invirtiendo semanalmente 5/.5070, ademas el pago diario de 4 albafiiles equivale al de 5 ayudantes y el de 7 ayudantes al de 12
e) 2876
VIViana vendio 3 mochilas mas que carteras, recaudando 10 mismo en ambas ventas. Si cada cartera la vendi6 a S/.57 mas que cada mochila y 10 recaudado fue 5/.1520 en total, i.cuantos articulos vendi6? b) 9
cJ 11
i.CuaJ es el precio lavadora?
e) 243
De 48 nines que gustan de los caramelos, a 24 Ie gustan los de lim6n, a 23 los de fresa, a 5 los de lim6n y fresa, pero no los de naranja, a 4 los de naranja y lim6n pero no los de fresa, a 13 solo los de naran ja y a 8 solo los de fresa. Si solo gustan de estos Ires sabores, i.a cuantos les gustan los Ires sabores?
c) 1877
d} 12
e) 13
II
aI que
a) S/.700
b) 5/.756
d) 5/. 1200
e) 5/.1680
a) 22
II
k - nm(z),
b) 2
c) 3
c) 28
a) 1
d) 4
e) 5
un albariil?
En una urna hay 24 canicas blancas
d) 30
e) 33
+ l)(n) - ppm(S),
l.en cuantos sistemas de numeraci6n de base impar se expresara el
b) 11
c) 15
b) S
c) 8
d) 17
e) 18
d) 10
e) 12
5/.24 mas que eI 40% de 10 que tengo, i.cual es el % de 10que tuve aver representa 10 que tendria mariana? a) 5%
b) 10%
d) 30%
e) 3S%
c) 18%
Si el valor de a aumenta en un 10% y eI valor de b disminuye en un 20%, i.en cuanto varia la expresion 3a2b?
aprendices. Si no trabajan los domingos, l.cuanto gana diariamente
e) 12
Tengo el 70% de 10 que tenia aver, que era Sf. so mas. Si hoy perdiese
II
Si: lmnpq(4) -1030(1<) y
b) 26
(m - l)m(m
a) 4
c) 4 dias
calcula el valor de z.
d) 18
Antonio ha comprado cierta cantidad de melros de tela por S/.l44. Si eI melro hubiese costado S/.S menos, con la misma suma de dinero hubiera comprado 2 metros mas, i.cuantos metros de tela compr6?
se vendi61a
reservorio en 6 horas. Si funcionaran solo la 1: y la 2: cisterna lIenarian todo el reservorio en 24 horas y si funcionaran la 2: y la 3:, 10 llenarian en 48 horas. i.En cuanto tiempo lIenaria la tercera parte del reservorio solo la 2: cisterna?
d) 5 dias
c) 24
numeral nmp con tres cifras?
c) 5/.924
b) 3 dias e) 6 dias
Si:
a) 9
Tres cistern as, funcionando juntas, pueden lIenar la tercera parte de un
a} 2 dias
b) 30
la cantidad de j6venes que usan solo dos articulos y solo un articulo.
momento de venderla, se hizo una rebaja del 45% y se perdio 5/.276.
calcula el valor de (a + c) b. c) 32
De 116 jOvenes, se sabe que 62 usan rei oj, 57 usan collar y 56 usan lentes. Adernas, 8 usan los tres articulos y el dable de ellos no usan articulo a1guno. Deterrnina la diferencia entre
b) 1767
Para vender una lavadora se recargo el precio de costo en 40%. AI
a(a + l)(a + 2)(C) - bab(4) ,
b) 7
n y p.
a) 8
Si se cumple que:
a) 36
a) 25
a) 1776 d) 2767
costo original de los CD's restantes para ganar en total eI2%? a) 40% d) 75%
halla la suma de los nurneros de 3 cifras que se puede formar con m,
a) Aumenta en 10% b) Disminuye "'\
Art."..
.................
en 10% .,
')O!
VI
a) S/.65
b) S/.72
d) S/.78
e) S/.80
c) S/.75
De 110 personas que compran frusabemos que 40 compran fresas
tas,
y manzanas, 55 manzanas y platanos, y 45 platanos y fresas. Si tales personas compran aI menos dos de estas frutas, l.cuantas compraron las tres clases de fruta? a) 14 Si:
b) 10
c) 13
d) 15
4m53(p) - 2n44(8) ,
e) 12
Y 36 canicas negras. l.Guimtas canicas negras se deberan aumentar para que el porcentaje de las blancas disminuya en 8%? a) 12
b) 15
c) 18
d} 20
f
~...........
_
....
f
v,_
IV
d) Disminuye
en 3,2%
e) Disminuye
en 5%
Indica la cantidad de sistemas de numeraci6n donde el numero 325 se
e) 24
puede escribir con 3 cifras. Si 30 hombres 0 50 mujeres pueden confeccionar 400 casacas de doble dificultad, trabajando 25 dias a raz6n de 8 horas diarias, l.cuantas mujeres deben reforzar a 30 hombres para poder confeccionar 400 casacas de triple dificultad en 20 dias trabajando 10 horas diarias?
a) 8
lID
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
Halla la suma de las cifras del numero que en el sistema de base 5 y 7 se escribe con dos cifras iguales, pero en diferente orden.
a) 9
b) 7
c) 10
d) 6
e) 8
