Razonamiento Matemtico II

Índice UNIDAD I

conociendo nuestra el idiomacreatividad de la matemática desafiando

.......................................... 4

Capítulo 1 Ruedas, figuras y palitos de fósforo ...................... 5

Capítulo 4 Relaciones de parentesco y tiempo ............... 31

Capítulo 2 Cuadros numéricos

Capítulo 5 Repaso I

........................................ 14

.................................. 38

Capítulo 3 Multiplicaciones abreviadas ................................ 23

UNIDAD II

jaqueando nuestros pensamientos

Capítulo 1 Pensamiento lateral

piensa, y y lo lo encontrarás encontrarás piensa,

Capítulo 1 Psicotécnico

Capítulo 4 Repaso II

.......................................... 70

Cuenta como jugando

.................................. 65

................................................................... 69

Capítulo 2 Sucesiones ......................................... 78

UNIDAD IV

42

Capítulo 3 Orden de información II ................................. 58

........................................ 43

Capítulo 2 Orden de información I ....................................... 50

UNIDAD III

..................................................

Capítulo 3 Analogías y distribuciones .............................. 84 Capítulo 4 Repaso III

.................................... 91

........................................................................

94

Capítulo 1 Conteo de figuras

......................................... 95

Capítulo 3 Perímetros y áreas

...................................108

Capítulo 2 Trazado de figuras

........................................ 102

Capítulo 4 Repaso IV

.................................. 114

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO UNIDAD UNIDADVV

Aprendiendo con las cuatro operaciones fundamentales

........... 118

........................................ 119

Capítulo 4 Operaciones combinadas II I ............................ 139

Capítulo 2 Criptoaritmética II ....................................... 126

Capítulo 5 Operaciones inversas .................................. 145

Capítulo 1 Criptoaritmética I

Capítulo 3 Operaciones combinadas I .................................. 133

UNIDAD VI

Analizando los intervalos iguales..................................................

Capítulo 1 Intervalos de longitud ...................................... 153

154

Capítulo 3 Repaso V ................................. 167

Capítulo 2 Intervalos de tiempo ....................................... 161

UNIDAD UNIDADVII VI

analizando situaciones fraccionarias

171

Capítulo 1 Operaciones con fracciones ............................................................................................................................. 172 Capítulo 2 Fracciones: Situaciones básicas ....................................................................................................................... 178

UNIDAD VIII

encontrando valores desconocidos

................................................ 167

Capítulo 4

Capítulo 1 Resolución de ecuaciones ................................... 184

Interpretación de gráficos estadísticos ... 202

Capítulo 2 Planteo y resolución de ecuaciones ...................190

Capítulo 5 Repaso VI

Capítulo 3 Operaciones matemáticas arbitrarias.................. 196

.................................. 210

UNIDAD I

Desafiando nuestra creatividad Vendo casa con jardín En este predio, se venderán cada una de las casas, con dos árboles en su jardín. ¿Cómo se divide el terreno en partes iguales, para que cada comprador adquiera su casa, con la misma superficie de jardín y dos árboles?

. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar las diferentes situaciones que se presentan en los ejercicios de Matemática Recreativa. Resolución de problemas •

Aplicar estrategias para resolver los ejercicios de Matemática Recreativa.

Razonamiento y demostración • Analizar los datos disponibles para construir, en base al juego, esquemas básicos de lógica recreativa.

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático

Ruedas, figuras y palitos de fósforo

1

En este capítulo aprenderemos a: •

Observar figuras hechas con palitos de fósforo y luego de algunos cambios, formar otras figuras.

•

Identificar y reconocer el giro horario o antihorario de una rueda.

•

Dividir y comparar figuras geométricas.

D

El matemático y el jugador

os amigos se encontraban en el café. La conversación entre ellos era nula. Dos taciturnos: uno de ellos, un consumado jugador casi arruinado, capaz de jugarse todo, apostar por todo, en fin, lo que podríamos llamar "loco por el juego". El otro, un matemático con otra locura, los números; pero además, un pertinaz avaro capaz de no hablar con tal de no gastar la lengua. Este último rompiendo el silencio le dice al jugador: M: ¿Tú sabes que mil es igual a mil cuarenta y nueve? J: ¿Me crees tonto? ¡Cómo va a ser igual mil y mil cuarenta y nueve! M: Muy fácil, mira: MIL = MIL

... Y como es eso. No soy tan tonto para creerte

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¡Sabías que mil es igual que mil cuarenta y nueve?

Unidad I

5


M: Uno se lee como mil y el otro como número romano, o sea mil cuarenta y nueve. J: Me parece muy bien. Entonces tú serías capaz de darme mil cuarenta y nueve soles y yo te doy mil ¿vale? M: ¡Claro que vale! Dame mil soles. Yo te doy a ti mil cuarenta y nueve soles ...pero en un talón (cheque bancario) J: Sí, te lo acepto porque sé que tienes dinero en el banco, pero yo no tengo ni siquiera una cuenta bancaria donde ingresarlo. M: No te preocupes, te lo pongo al portador, te acercas a cobrarlo y te ganas cuarenta y nueve soles ...según tú

Llegaron a un acuerdo y al ver el talón o cheque, el otro dijo:

J: ¡Pero este banco está al otro extremo de la ciudad! Para ir allí tengo que hacerlo en autobús que me cuesta 70 soles ida y vuelta, luego ¡pierdo dinero! Pierdo 21 soles. M: Sí, pero tú has sido un perdedor, ya que no creías que mil era igual a mil cuarenta y nueve y ahora resulta que mil es igual a mil setenta.

Saberes previos

•

Nociones sobre el recorrido de las agujas de un reloj.

•

Nociones básicas sobre el concepto de regiones iguales.

•

Ingenio y creatividad.

•

Buena comprensión lectora.

Conceptos básicos En el presente capítulo vamos a analizar tres tipos de problemas: • Palitos de fósforo • Transmisiones y engranajes • División de figuras

Palitos de fósforo

En esta parte trataremos de resolver situaciones en los cuales intervienen palitos de fósforos o cerillas. Las situaciones problemáticas se dividen en tres tipos de análisis.

• • •

Quitando palitos Moviendo palitos Agregando palitos

Recuerda que...? que... • No es válido doblar o romper palitos. • No es válido dejar palitos libres.

Colegios

6

TRILCE

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Ejemplo


¿Cuántos palitos debemos mover como mínimo para obtener solo tres cuadrados?

1

Resolución Al mover los tres palitos indicados, quedarán tres cuadrados de la siguiente manera:

Transmisiones y Engranajes Existen dos tipos de giro: Giro horario Giro antihorario Para una mejor comprensión del tema analizaremos las siguientes situaciones:

A

B

Si la rueda "A" gira en sentido horario, entonces la rueda "B" gira en sentido antihorario. Por lo tanto: "Dos ruedas en contacto girarán en sentidos opuestos".

A

B

Si la rueda "A" gira en sentido horario, entonces "B" girará en sentido horario. Por lo tanto: "Dos ruedas unidas por una faja abierta girarán en sentidos iguales".

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A

B

Si la rueda "A" gira en sentido horario, entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario. Por lo tanto: "Dos ruedas unidas por una faja cruzada girarán en sentidos opuestos".

A

B

Si la rueda "A" gira en sentido horario, entonces "B" girará en sentido horario. Por lo tanto: "Dos ruedas unidas por el mismo eje girarán en sentidos iguales".

Unidad I

7

Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿cuántas ruedas giran en sentido antihorario?

Ejemplo

Ejemplo


A Resolución

A

H

A

H H

A

H

A A

A A

H : Horario A: Antihorario

A

Rpta: 7

Dividir la figura en cuatro partes exactamente iguales en tamaño y forma. (La figura está compuesta por tres cuadrados de lado "L")

L L

L

Resolución

Colegios

8

TRILCE

Ejemplo

Ejemplo

División de figuras

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1

Síntesis teórica

por

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC •

En cada uno de los siguientes casos completar con la menor cantidad de palitos para obtener lo pedido:

1. Uno

•

En cada caso, indicar cuántos engranajes se mueven en sentido contrario al engranaje "A".

3.

A

2. Ocho cuadrados

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Rpta.:

Unidad I

9


4.

5. Dividir la siguiente figura en dos partes iguales usando las líneas trazadas. Indicar dos posibles soluciones

A

Comunicación matemática

1. Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda en el sistema: 1

2

3

4

5

6

7

8

10

9

I. Si se extraen los engranajes negros, el sistema puede moverse ________________________ ( )

II. Sin extraer engranajes, el sistema puede moverse ___________________________________ ( )

•

Dado el siguiente diagrama, contestar cada pregunta:

7. Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿cuántas ruedas giran en sentido horario? A

A

I

B

C

D

A

II

E

F G

2. En la figura I, ¿cuántos engranajes giran en el mismo sentido que "A"?

8. ¿En qué sentido se mueve el engranaje "A" y "D" respectivamente, si "C" se mueve como indica la flecha?

3. En la figura II, ¿cuántos engranajes giran en sentido horario?

A B

4. En la figura II, ¿cuántos engranajes giran en el mismo sentido que "A"?

C

D

5. ¿Cuál de las dos figuras no tiene movimiento? ¿Por qué? 6. En la figura I, ¿cuántos engranajes pueden girar en sentido contrario que "A"?

Colegios

10

TRILCE

E

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9. Si la rueda "x" se mueve como indica la flecha, ¿cuántas se mueven en sentido antihorario? F

x

B E

12. Dividir la siguiente figura en cuatro partes iguales.

1

D

A

13. Dividir la siguiente figura en tres partes iguales (Usando las líneas trazadas).

C

Resolución de problemas 10. Un día Mathías estaba aburrido y se puso a jugar con los palitos de fósforo de su casa, pero solo había seis palitos, entonces para probar la capacidad mental de su hermanita Laira le dijo que si podía formar cuatro triángulos con estos seis palitos sin romper ninguno de ellos y si era capaz le invitaría un helado. Luego de tres minutos Mathías tuvo que ir a comprar el helado para su hermana, pues ella había logrado realizar el reto propuesto por su hermano. ¿Cómo lo hizo?

14. Dividir la siguiente figura en dos partes iguales (Usando las líneas trazadas).

(Dibuje Ud. la figura formada por Laira)

11. ¿Cuántos palitos como mínimo se debe mover para obtener 139?

15. Dividir la siguiente figura en siete partes, trazando únicamente tres rectas que corten a la figura.

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. ¿En qué sentido se moverán los engranajes 30; 52 y 71 (Horario = H; Antihorario = A)? 1 2 3 4 5 6 7

...

2. ¿En qué sentido gira la rueda 7? 2

3

1

a) H ; H ; H c) A ; A ; A e) H ; A ; H

5

b) A ; H ; H d) A ; A ; H

4

a) Horario d) Igual que 5 Central: 619-8100

6 7

b) Antihorario c) No gira e) Ninguna Unidad I

11


3. ¿Cuántos palitos de fósforo se deben de mover como mínimo para que la manzana quede fuera y el "recogedor" en otro lugar?

¿Cuántos palitos de fósforo habrá que retirar como mínimo para que solamente queden nueve cuadrados, sin alterar su eje de simetría?

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

5. En el siguiente sistema hay 90 engranajes, ¿cuál es la diferencia entre el número de engranajes que giran en sentido horario y los que giran en sentido antihorario?

a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

4. Observe Ud. la siguiente figura:

a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Un día Gina quiso ver la hora en su fino reloj "GUCHI" que le había regalado, por el día de los enamorados, su adorado esposo. Pero se dio con la ingrata sorpresa que el reloj no funcionaba; entonces tuvo que abrir el reloj y encontró el siguiente sistema de engranajes:

2. Si el engranaje sombreado se mueve como indica la flecha, ¿cuántos se mueven en sentido antihorario?

A B

G

C

F

3. ¿Cuántos engranajes giran en sentido horario y cuántos en sentido antihorario?

D E

Diga usted qué engranaje tuvo que retirar para que su fino reloj pueda funcionar. A Colegios

12

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B

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4. ¿Cuántos palitos hay que retirar como mínimo para que no quede ningún triángulo?

5. ¿En qué sentido giran "B" y "C", si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha? B

10. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes agregar para formar seis cuadrados?

1

11. Mover un palito de fósforo para lograr una igualdad real.

C

12. Indicar cuántos giran en sentido horario, si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha.

A

B: ................

A

C:...................

6. ¿Cuántos palitos como mínimo debes mover para que la igualdad sea correcta? 7. Si el engranaje 5 se mueve en sentido antihorario, ¿hacia dónde giran los engranajes 16 y 22 respectivamente?

•

...

1

2

3

4

8. Quitar seis palitos de la figura, de tal manera que queden dos cuadrados.

Se define como números digitales, a aquellos que aparecen en la pantalla de una calculadora,: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. En las siguientes operaciones incorrectas, ¿cuántos palitos de fósforo hay que mover como mínimo para transformar la operación en correcta?

13.

14.

9. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar cuatro triángulos iguales?

15.

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Unidad I

13

Cuadros numéricos

Cuadros numéricos En este capítulo aprenderemos a: •

Desarrollar tu capacidad de razonar tanto lógica como analíticamente, resolviendo los problemas en forma recreativa y directa.

El número mágico 153

E

n el evangelio, según San Juan (Cap 21; versículo 11) se lee que: "Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red, la cual Simón Pedro, la levantó y la trajo a tierra; estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo tantos la red no se rompió. Por eso el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico, buscándose distintas propiedades del mismo. Por ejemplo: Es un número triangular:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 15 + 16 + 17 = 153 13 + 53 + 33 = 153

1+2×1+3 ×2×1+4×3×2×1+5×4×3×2×1 = 153

Si se parte de un número natural, cualquiera que sea múltiplo de 3, y se suma el cubo de sus cifras, el resultado también será múltiplo de 3, se aplica la misma operación. Continuando así se llegará al número 153. 252 → 23 + 53 + 23 =141

141 → 13 + 43 + 13 = 66 66 → 63 + 63 = 432 432 → 43 + 33 + 23 = 99 99 → 93 + 93 = 1458

1458 → 13 + 43 + 53 + 83 = 702 702 → 73 + 03 + 23 = 351

351 → 33 + 53 + 13 = 153

Fuente:http://enroquedeciencia.blogspot.com

"Subió Simón Pedro y trajo a tierra la red llena de ciento cincuenta y tres grandes peces" Juan, 21; 11

Colegios

14

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2

Saberes previos

•

Jerarquía de las operaciones fundamentales: Operaciones entre signos de agrupación, multiplicaciones y divisiones y finalmente las adiciones y sustracciones.

•

Comprensión Lectora buena para entender los pasos a seguir en la resolución de los ejercicios.

Conceptos básicos

Ejemplo

Formación de números

Con cuatro cifras 3 y las operaciones "+" ; "-" ; "×" y "÷ " obtener 14.

Resolución

Completar los números que faltan en los casilleros en blanco de la torre mostrada, con la condición que el casillero superior sea la suma de los dos inferiores y adyacentes a él.

12 7

2 Resolución Para un mejor entendimiento completaremos paso a paso los casilleros en blanco.

12 7 5

2

12



7 5

5 2

Ejemplo

Ejemplo

Para formar el número 14 hay que emplear las cuatro cifras "tres" de la siguiente forma: 14 = 33 +3 3

12



7 5

5 2

Rpta. 3

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Unidad I

15

Cuadros numéricos

Tableros En cada casilla de un tablero cuadriculado de cinco filas y cinco columnas se coloca uno de los siguientes números: 1;2;3;4 ó 5, de tal modo que cada uno de estos números aparezca exactamente una vez en cada fila, una vez en cada columna y una vez en cada una de las dos diagonales. ¿En qué orden deben ir escritos los números en la fila faltante del tablero mostrado a continuación? Resolución

4

1

2

3

5

4

1

2

3

5

5

2

4

1

3

5

2

4

1

3

1

5

3

2

4

1

5

3

2

4

3

4

1

5

2

2

3

5

4

1

2

3

5

4



1

Ejemplo

Ejemplo

Cuadrado mágico Es un tablero de 3×3, en el cual están escritos nueve números diferentes, uno en cada casilla, donde la suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada una de las dos diagonales es el mismo valor "S". Por ejemplo, en la figura se muestra un cuadrado mágico donde "S" es igual a 30.

Colegios

16

TRILCE

9

4

17

18

10

2

3

16

11

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2

Síntesis teórica

Colocando cifras en

En base a

En forma de

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Con tres cifras 3 y utilizando únicamente las cuatro operaciones fundamentales, obtener los números: 6 =

12 =

18 =

30 =

•

Complete los números que faltan en los casilleros de las siguientes pirámides, teniendo en cuenta que la suma de los números de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediatamente superior.

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2. 21 13 7 3. A cada cuadrado asignarle un número del 1 al 8, con la condición que en dos cuadrados contiguos los números no sean consecutivos.

Unidad I

17

Cuadros numéricos

•

En cada una de las casillas de un tablero cuadriculado de 3×3 se escribe uno de los siguientes números: 1;2;3;4;5;6;7;8 y 9, sin repetir ninguno, de tal modo que en cada fila y en cada columna, se cumpla que la suma de los tres números que en ella aparecen sea un múltiplo de 5.

4. En el tablero mostrado, ¿qué números deben ir ubicados en las posiciones "a" y "b", respectivamente?

a

8

6

9

4

c

5

b

7

5. Al completar el tablero mostrado, ¿qué número debe ir en el lugar marcado con la letra "x"?

6

x 9

5

7 2

Conceptos básicos Aprende más... •

La calculadora mostrada abajo es realmente peculiar. Tiene una pantalla y solamente dos teclas "A" y "B". Al encenderla muestra en la pantalla un número entero positivo. Si se presiona la tecla "A", el número "x" de la pantalla es reemplazado por el número (2x+1). Si se presiona la tecla "B", el número "x" de la pantalla es reemplazado por el número (3x - 1).

A

1. Si en la pantalla aparece el número 6 y se presiona la tecla "B", y luego la tecla "A", el número que se obtiene en la pantalla es el : ....................... 2. Si en la pantalla aparece el número 5, ¿cuántas teclas se deben presionar como mínimo para obtener en la pantalla un número que termine en cero? 3. Si en la pantalla aparece el número 8 y se presiona dos veces la tecla "A", dicho resultado es mayor, menor o igual al que resulta de presionar dos veces la tecla "B" cuando aparece sobre la pantalla el número 4.

Colegios

18

TRILCE

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•

Se tiene un cuadrado mágico de nueve casillas cuadradas. Al ubicar los dígitos del 1 al 9 en las siguientes casillas:

8

8. Colocar los números del 1 al 9 uno en cada casillero y sin repetir de manera que cumplan las igualdades en las horizontales y las verticales. -

6

2

= ×

÷

=

+

=

=

5 4

2

4. La suma de los números faltantes es igual a: ____________________ 5. La suma de cada fila y columna es igual a: ____________________ 6. Completar los números que faltan en cada casillero en blanco de las pirámides, sabiendo que la suma de dos números contiguos tiene como resultado el número de la casilla superior.

• Hallar: A - B

9. Con cuatro cifras 2 y las operaciones: "+" ; "-" ; "×" y "÷ " formar los siguientes números:

• 8 =_______________________________

• 13 =_______________________________

• 46 =_______________________________

• 44 =_______________________________

10. Con ocho cifras 8 y utilizando solamente la operación de la adición obtener el número 1000. 11. Colocar las cifras del 1 al 6 en los círculos correspondientes y lograr que la suma de los lados sea:

A 83

• Igual a 10 10=

40 199 125

103 43

8

72

B

Hallar: A+2 A

13 99

55

6 33

33

1

22

7. ¿Qué símbolos deben ir en los paréntesis para formar una igualdad correcta?

3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 = 10

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• Igual a 12 = 12

17

10 =

=10

=12

12 =

•

Unidad I

19

Cuadros numéricos

12. Al cuadrado mágico le faltan algunos números, ¿qué número debe ir en lugar de "B"? 11

2

4

14

B

13. La casilla central del tablero tiene el número:

Enunciado : • Se tiene un tablero con cinco casillas grises y cuatro blancas, de manera que cada casilla blanca tiene tres casillas grises vecinas, tal como se muestra en la figura. En cada casilla se ha colocado un número entero diferente mayor que 4 pero menor que 20, además

-

-

-

-

La diferencia entre el número de una casilla blanca y el número de cualquiera de sus vecinas grises es por lo menos 3. En cada fila y en cada columna del tablero hay exactamente un número par. Los números ubicados en las diagonales son múltiplos de 3. Al sumar los tres números de cualquier diagonal se obtiene el mismo resultado.

_______________

14. Al sumar los número de tres casillas grises vecinas a una misma casilla blanca se puede obtener como resultado cualquiera de los siguientes números, excepto: 33

27

39

45

51

15. Indique Verdadero (V) o Falso (F) en: I. La casilla central del tablero tiene el número 6. ................................ ( ) II. El número 7 se encuentra en una casilla blanca. ................................ ( ) III. El número 9 se encuentra en una casilla gris. ................................ ( )

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Las letras colocadas en los casilleros de la siguiente figura representan a los ocho primeros números enteros positivos y están ubicados de tal manera que, no existen dos números consecutivos en casilleros que tengan algún elemento en común (lado o vértice).

e

b

f

g

c

d

E

h

Calcular : ( a + b) (c + d) - (e - h) (f + g)

Colegios

20

a

TRILCE

2. En el gráfico, las letras representan dígitos diferentes entre sí y diferentes de 8. Si se cumple que: M . E . N = T . A . L calcular: M+E+N+T+A+L

T

A

M

N L

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3. Ubicar los números del 1 al 12 de modo que cada lado del cuadrado sume la misma cantidad y esta sea la máxima posible. Indicar como respuesta la suma de los números que están en los vértices.

• En el siguiente tablero, cada letra representa un dígito diferente del 1 al 9. Dos casillas del tablero son vecinas si tienen un lado común. Por ejemplo, las casillas con letras "G" y "H" son vecinas pero las casillas con letras "E" y "C" no son vecinas.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

2

 La diferencia de los números de dos casillas vecinas cualesquiera debe ser por lo menos 2.  La suma de los tres números de cada una de las diagonales del tablero debe ser la misma.  Las letras "A", "C", "I" y "G" representan números pares.  El valor de "A" solo puede ser 6 u 8.

4. El valor de "E" es:________________ 5. El mayor valor que se puede obtener al sumar "G +H +I" es:

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC Enunciado (Preg.: 1 ; 2 y 3) El siguiente tablero va dar origen a la formación de un pequeño "ROBOT" el cual va estar formado por las casillas blancas, además en él se ubican los números del 1 al 17, uno en cada casilla, de manera que se cumplan las siguientes reglas:  No habrá números repetidos.  Los números múltiplos de cinco deben estar contenidos exclusivamente en la fila I.  Los números de la fila III deben sumar 72.  Los números de la fila IV deben sumar 6.  Los números de la fila V deben sumar 18.  Los números múltiplos de tres deben estar contenidos exclusivamente en la columna C.  Los números de la columna B deben sumar 47.  En las extremidades del robot (AIII, EIII, BVI y DVI) solo pueden haber números primos. A

B

C

D

1. ¿Cuál será la suma de los números ubicados en las extremidades? 2. ¿Cuánto suman los números de la columna D? 3. Calcular: (CIII ÷ DIV) - DI •

4. El número 5 va en el casillero central.........( ) 5. Una diagonal está conformada solo por múltiplos de 3 .................................( ) •

E

I II

Indicar verdadero (V) o falso (F), si en el cuadrado mágico de nueve casillas cuadradas se ubican los números del 1 al 9; luego:

Completar los números que faltan en cada casillero en blanco de las pirámides, sabiendo que la suma de dos números contiguos dan como resultado el número de la casilla superior.

6. Completar, hallar "x"

x

III

114 50

IV V VI

Central: 619-8100

9 29 135 173 3 7 2 8

4

Unidad I

21

Cuadros numéricos

7. Completar, hallar "x+y"

11. Si se forma un cuadrado mágico utilizando los números: 8; 17; 11; 26; 20; 32; 2; 14 y 23, ¿cuál debe ser el valor de la suma común "S"?

560 240 100

180

609 255

100 453

153

2 25

y 5

x

8. Distribuir en los círculos los números del 1 al 9 con la condición que la suma de cada lado sea 20, indicar la suma de los vértices.

12. Si se forma un cuadrado mágico utilizando los números: 11; 20; 14; 29; 23; 35; 5; 17 y 26, ¿cuál debe ser el número ubicado en la casilla central del tablero?

SUDOKU •

Considerar que cada casilla será nombrada por fila y columna a la que pertenece. Por ejemplo en el tablero, la casilla HR se encuentra escrito el número 9. P Q A

7

C

4

D

9

a

+

G

2

+

4 × =4

+ + c =13

=4

=3

10. Al cuadrado mágico le faltan algunos números. ¿Qué número debe ir en lugar del ∗? 11

4

Colegios

22

TRILCE

2

14

I

U

V

1

7

2

9

8

1

5 9 3

3

1 2

1

W X 1

9

7

H

× b + 3 =5 +

T

F

=9 2 × ÷ -

+

2

6

E 9. Hallar el valor de "a + b + c"

S 5

8

B

R

7 4

4

3 6 9

8 9

8

3 6

13. ¿Qué valor se obtendrá al sumar los números escritos en las casillas HT y EX? 14. ¿Qué valor se obtendrá al sumar los números escritos en las casillas AV y FR? 15. ¿Qué número debe ir escrito en la casilla CR?

∗

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Razonamiento Matemático

3

Multiplicaciones abreviadas En este capítulo aprenderemos a: •

Afrontar ejercicios que aparentemente tienen una solución larga y tediosa, pero que con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más rápida.

Multiplicación con los dedos de la mano

E

n la Edad Media, los mercaderes acostumbraban multiplicar valiéndose de los dedos. Usaban este tipo de cálculo solo para los números comprendidos entre 5 y el 10. El sistema será práctico cuando te falle el recuerdo de la tabla de multiplicar.

Veamos como multiplican los mercaderes 6 por 9. Primero señalaban el 9 con una mano, extendiendo los cinco dedos, cerrando luego el puño y extendiendo otra vez cuatro dedos, uno a uno: 6 - 7 - 8 - 9. Quedan así cuatro dedos extendidos. Para señalar el 6, extiende primero los cinco dedos de la otra mano, cierra el puño y extiende después un dedo más, el pulgar. Así habrás extendido un total de seis dedos. Para llevar a cabo la multiplicación, se procede así: se suman los dedos extendidos y se multiplican los doblados. En el caso del grabado, habría que sumar 1 (el pulgar) con 4 (los cuatro dedos), los que nos daría un total de 5 este número corresponde a las decenas, es decir 50. Multiplica ahora los dedos doblados: 4x1=4; sumando las dos respuestas, obtendríamos: 50+4=54, que es igual a 6×9. Efectúa ahora otras multiplicaciones, naturalmente, en este caso no se dará al final ninguna solución.

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Unidad I

23

Multiplicaciones abreviadas

Saberes previos •

Destreza en adiciones y sustracciones (rapidez mental).

•

Manejo óptimo de las tablas de multiplicar básicas.

•

Ejercitar las potencias particularmente de los números elevados a la potencia 2 (al cuadrado).

Conceptos básicos • Multiplicaciones por 5

paso 2

•

• Multiplicaciones por: 9 ; 99 ; 999 ; ... Ejemplo

56 × 5 = 560 ÷ 2 = 280

paso 2 •

paso 1

paso 1

paso 2 •

75 × 99 = 7500 - 75 = 7425 paso 1

• Multiplicaciones por 11 Ejemplo

63 × 9 = 630 - 63 = 567

Paso 1 × 1 1 = 2 5 9 6

2 3 6 ++

Paso 2 Paso 3

Paso 4

Ejemplo

Ejemplo


Recuerda Recuerdaque...? que... Cuando la suma de dos cifras del multiplicando, en un determinado paso, sea de dos cifras, se coloca la cifra de las unidades y se "lleva" la otra cifra para sumarla con el resultado del siguiente paso.

Colegios

24

TRILCE

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Ejemplo


3

Paso 1 × 1 1 = 9 2 8 2 9

Ejemplo

8 4 3 9 ++ +

Paso 2

Paso 3+1 Paso 4 Paso 4+1 • Multiplicación de dos números de dos cifras cada uno Observemos el siguiente ejemplo:

Paso 1: Se multiplican las unidades : 6 ×3 = 18 (se coloca 8 y se lleva 1)

Paso 2: Se multiplica en aspa y los resultados se suman, agregando lo que se llevaba

lo que se llevaba

2 × 6+3 × 5=12+15=27 + 1 = 28 (se coloca 8 y se lleva 2) Paso 3: Se multiplica las decenas : 5 × 2 = 10 y se agrega lo que se llevaba: 10 + 2 = 12

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Unidad I

25


•

3 22 = 1 0 2 4 Paso 1 123 Paso 2

•

Paso 3

7 4 2 = 123 5 4 7 6

72 + 5 4 2 = 11 6 Ll eva 2×7×4 = 56 56 + 1 = 55 7 Ll eva

Paso 1: 22=4 Paso 2: 2×3×2=12 (Lleva 1 ) Paso 3: 32+1=10

Ejemplo

Ejemplo

• Cuadrado de un número de dos cifras

Ejemplo

• Cuadrado de un número que termina en 5

Paso 2 Paso 1 3 52 = 1 2 2 5 3×4

Colegios

26

TRILCE

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3

Central: 619-8100

62 + 4 = 40

42 = 16 2 × 6 × 4+1=49

Síntesis teórica

Unidad I

27


10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Completar los espacios en blanco, para cada uno de los siguientes casos de multiplicaciones abreviadas:

•

• 563×11=

•

÷

156×5=156 234×11=2

1

=

V/F

JUSTIFICACIÓN

852 = 5625

3 4

Columna "A"

Columna "B"

A 851×9

452

23×12+45×16

B 942×11

C 2025

7659

10 362

PROPOSICIÓN

• 83×99= 83 = 2. Relacionar cada elemento de la columna "A" con un elemento de la columna "B", sabiendo que tienen el mismo resultado.

3. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso en:

D 996

472 × 11 = 4192

73 × 5 = 355

4. Calcular: 452 5. Si: a5 = 4225; hallar el valor de: a2 + a 2

Conceptos básicos Aprende más... 1. El profesor del 2º año de secundaria del Colegio Trilce propuso el siguiente ejercicio en la pizarra:

2. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda: Proposición

21677 × 11

•

Ximenita lo resolvió así : 2 1 6 7 7 × 11 = 2 3 8 4 4 7

y dada su habilidad lo hizo en cuestión de segundos. • Fátima lo resolvió así:

365 × 11 = 3015 372 = 1159

Demoró un poco más pero también lo hizo correctamente. Ahora el profesor pidió una forma distinta de resolver dicha multiplicación. ¡Encuentra TÚ otra forma de efectuar la operación!

Colegios

28

3. Colocar los signos < ; > ó = ; según corresponda:

21677× 11 21677 21677 2 3 8 4 4 7

TRILCE

Justificación

752 = 4225

V/F

•

31×11+43×11 42×11+32×11

•

53 × 35

63 × 25

•

87 × 46

94 × 33

• 822

412 × 4

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En cada caso calcular: 4. • 49×5

9. Si: abc × 11 = a595 hallar "a × b × c"

= ______________________

• 1649×5 = ______________________

• 168 × 5 = ______________________

• 326 × 5 =

5. • 89×99 = ______________________ • 124×9 = ______________________

• 456×99 = ______________________

• 81×999 = ______________________

6. • 76×28 =

• 56×72 = ______________________

• 96×27 = ______________________

• 84×76 = ______________________

a) 2125 d) 3025

b) 2025 e) 2505

a) 40 d) 72

b) 32 e) 42

a) 12 d) 10

b) 14 e) 8

a) 26 d) 21

b) 22 e) 30

Resolución de problemas 8. Si: 292 = abc ; hallar: bb × cc

b) 848 e) 364

c) 30

c) 6

13. Si: XIFER × 999 = ...56322 hallar: X + I + F + E + R

14. Calcular: 3A + 2B + C Si: 11×A = 385 (B5) 2 = 5625 11×C = 220

a) 464 d) 454

c) 2225

12. Si: (x5) 2 = 7yy5 ; hallar "x + y"

7. • 542 = ______________________ • 922 = ______________________ • 362 = ______________________ • 792 = ______________________

c) 28

11. Si: (xx) 2 = 3025 ; hallar "x2 + x"

______________________

b) 24 e) 30

10. Si: 223 × 11 = PQRS ; hallar (QR) 2

______________________

a) 25 d) 20

3

c) 484

a) 163 d) 173

b) 139 e) 193

c) 24

c) 129

15. Si: 666 ...666 × 11 = 73...ABCDE hallar "A + B + C + D + E "

a) 15 d) 17

b) 16 e) 19

c) 71

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 2

1. Si: PQ = P69; hallar: 2P + 3Q

a) 16 d) 14

b) 13 e) 15

c) 11

2. Calcular la suma de cifras del resultado de:

12345678 × 99999999

a) 70

b) 71

d) 73

e) 74

2

3. Si: x6 = 73yz hallar: 5x + 4y - 2z

Central: 619-8100

b) 64 e) 39

c) 58

4. Si: a8b6c4 × 11 = 10d6419e hallar: (a+b)2 - (c+d)2+3e

c) 72

a) 45 d) 47

a) 54 d) 99

b) 76 e) 104

c) 87

5. Al elevar al cuadrado a7, se obtiene un número de tres cifras. Hallar la suma de todos los valores que puede tomar "a".

a) 2 d) 10

b) 3 e) 15

c) 6

Unidad I

29

Multiplicaciones abreviadas 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Dado el plano "OPS" (correspondiente al primer piso de una casa), se pide calcular de manera rápida (multiplicaciones abreviadas) el área de las siguientes regiones: • Sala = _________________________ • Patio = _________________________ • Jardín = _________________________ • Área total = _________________________ 13

12

baño

cocina

patio

sala

jardín

36

4. A= 72 × 38 = _________________________ B= 64 × 14 = _________________________ C= 94 × 72 = _________________________ D= 63 × 35 = _________________________ 5. 6. 7.

Si: 332 = a (a - 1) b (b + 1) hallar: aa×bb Si: pqr × 11= p732 hallar "p × q × r" Si: (aa) 2 = 4225 hallar "a2 - a"

15 8. Si: VELIN × 99 = ...81849 hallar: V + E + L + I + N 24

25

11

Plano "OPS" 2. Relacionar cada elemento de la columna "A" con un elemento de la columna "B", sabiendo que tienen el mismo resultado. Columna "A"

Columna "B"

A. 324 × 99

I. 752

B. 768 × 11

II. 46×14+57×18

C. 5625

D. 1670

•

A ( )

III. 32076 IV. 8448 B ( )

En cada caso, calcular el valor de "A","B","C" y "D"

D= 6052 = _________________________

Colegios

30

TRILCE

10. Si: (x8) 2 = 23yx hallar "x + y" 11. Si: 9A0B41 = 11 8C4DE

hallar: C + E + B 2

12. Si: 8N = MP24 hallar: M + N × P

C ( ) D ( )

3. A= 1252 = _________________________ B= 8752 = _________________________ C= 752 = _________________________

9. Calcular: A + 2B + 3C, si: 11 × A = 264 (B5) 2 = 1225 C × 11 = 209

13. 8q4nm×11 = 9r0p41 hallar "p+q" 14. Si: 452 = a025 2 hallar: a5 15. Si: abc x 99 = ... 177 hallar: a + b + c

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Relaciones de parentesco y tiempo

4


Determinar los parentescos que hay entre los miembros de una familia.

•

Manejar los distintos términos que se emplean con respecto a los días de la semana

Relaciones familiares

..ah... eres mi tío

Fuente: http://es.123rf.com

. yo Hola.. jo l hi soy e amá m a l de apá p u t de

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Unidad I

31 31


Conceptos básicos Relaciones familiares En cada problema de parentesco debemos buscar la forma de emplear la menor cantidad de personas partiendo del siguiente principio: • • •

Ejemplo

Para que exista un padre o una madre debe haber un hijo. Para que exista un tío tiene que haber un sobrino. Para que exista un abuelo tiene que haber un nieto. En una reunión hay un abuelo, dos padres, dos hijos y un nieto. ¿Cuál es la menor cantidad de personas en la reunión?

Papá

Abuelo

1

Hijo

Papá

2

Hijo

Ejemplo

Resolución

3

Nieto

Rpta.: 3

Relaciones de tiempo Considerar la siguiente analogía gráfica:

Hace "n" días -n

Ayer

Hoy

Mañana

Pasado mañana

-2

-1

0

+1

+2

Dentro de "n" días ...

+n

Método práctico de resolución Consiste en transformarlo en un problema numérico, colocando en lugar de ayer "-1", mañana como "+1"; y así los demás, y luego sumar todos los equivalentes obteniendo un resultado que de nuevo lo transformaremos a su equivalente en días.

Colegios

32

...

Anteayer

TRILCE

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4

Si el anteayer de mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer? Resolución

Ejemplo

Ejemplo


Anteayer del mañana de pasado mañana <> Viernes 144444444444244444444443 -2 +1 +2 14243 14243

+1 <> Mañana <> Viernes

⇒ Hoy <> Jueves

∴ Ayer fue miércoles

Síntesis teórica

A

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B

-1 (Ayer)

0 (Hoy)

+1 (Mañana)

Unidad I

33 33


10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos •

•

Dado el siguiente esquema:

Velin

4. ¿Cuál sería el pasado mañana de hace tres días?

Bene

Óscar

Rolo

Lily

Si hoy es martes , responder correctamente:

Wily

_______________________________________

5. ¿Cuál sería el anteayer de dentro de cinco días? Xime

Fátima

Luciana

_______________________________________

Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1. Rolo es sobrino solo de Luciana ............... ( ) 2. Rolo y Lily son primos .............................. ( ) 3. El abuelo paterno de Xime es Óscar .......... ( )

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. El 1 de noviembre visité uno de los cementerios de Lima, al colocar flores a las tumbas de unos familiares y al caminar por una lareda observé una placa en la cual decía:

Aquí yace El padre, el esposo, el abuelo, la madre, la hija, la esposa, la hermana, el hijo, el hermano, el nieto

2. Dado el esquema:

Rosa

Edú

Mía

Colegios

34

TRILCE

• Si el primer apellido de Juan es Bustamante, entonces el segundo apellido de Mía tambien es Bustamante. ..................... ( ) • La hija de la hija de Juan se llama Mía..( )

• Juan tiene tres nietas ....................... ( )

•

Edú es cuñado de Hugo ..................... ( )

• Mañana es lunes ................................ ( ) • Pasado mañana de mañana será jueves ............................... ( ) • El ayer del anteayer del ayer de mañana fue domingo ............................... ( ) 4. Dada la siguiente información:

Frida

Valentina

3. Si el ayer del anteayer de mañana del ayer de hace dos días del mañana del pasado mañana es jueves, indicar verdadero (V) o falso (F):

¿Podría usted ayudarme y decir cuál es la menor cantidad de personas que hay en esta cripta (si es la mínima posible) ?

Juan

Colocar verdadero (V) o falso (F); según corresponda:

•

Hugo

•

Beto

• •

Luis Flores es abuelo de Renato Flores Gutiérrez. Laira Flores Gómez es tía de Amara Flores Silva. Gina Gómez es bisabuela de Claudia. Mathías Flores es abuelo de Claudia.

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Completar:

10. Si el anteayer de mañana de pasado mañana será viernes, ¿qué día fue ayer?

a) miércoles d) jueves

b) lunes e) martes

4

c) sábado

11. Si dentro de tres días será lunes, entonces el ayer del pasado mañana del anteayer del mañana fue: 5. Completar los siguientes manera que sean correctos:

•

• • •

enunciados

de

La madre de la hermana de mi madre es mi .................. Mi esposo es ...................... de mi padre. El hermano de mi esposa es mi ............... Mis primos hermanos son los ..................... carnales de mis padres.

Resolución de problemas 6. La hija de Rosa es la madre de mi hijo. ¿Qué parentesco tengo con el hijo del hijo de Rosa?

a) Es mi hijo c) Es mi sobrino e) Es mi suegro

b) Es mi primo d) Es mi cuñado

7. Si Juan es padre de Carlos, Óscar es hijo de Pedro y a la vez hermano de Juan, ¿quién es el padre del tío del padre del hijo de Carlos?

a) Juan d) Pedro

b) Carlos c) Óscar e) Hijo de Juan

8. Si el mañana del mañana del pasado mañana de ayer del anteayer es lunes, ¿qué día será el ayer del mañana del pasado mañana de hace dos días del ayer del pasado mañana?

a) lunes d) jueves

b) martes e) viernes

c) miércoles

9. Siendo viernes el mañana del día anterior al pasado mañana del ayer de antes de ayer de mañana, ¿qué día será el ayer del pasado mañana del ayer de mañana? a) jueves d) viernes

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b) domingo e) lunes

c) sábado

a) lunes d) domingo

b) miércoles e) viernes

c) jueves

Enunciado (Preg.: 12-15) • Álvaro y Claudia tuvieron solo tres hijos: Hernán, Emperatriz y Micaela. Leopoldo es el único vástago de Segundo y Hortensia. Emperatriz es hermana de la esposa de Leopoldo. Leopoldo y su esposa tienen solo dos hijos: Diego y Laura; entonces: 12. ¿Qué parentesco hay entre Micaela y Leopoldo?

a) Son cuñados b) Son esposos c) Son consuegros d) Son hermanos e) Son primos de sangre

13. Es cierto que:

I. Micaela es la madre de Laura. II. Hernán es tío de Diego. III. Álvaro no es abuelo de Laura.

a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) I y III

c) Solo III

14. Es cierto que Hernán es:

I. Cuñado de Leopoldo. II. Yerno de Leopoldo. III. Tío de Laura.

a) Solo I d) I y II


c) Solo III

15. Es cierto que Emperatriz es:

I. Nuera de Hortensia. II. Cuñada de Leopoldo. III. Soltera.

a) Solo I d) I y II


c) Solo III

Unidad I

35 35


¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si dentro de tres días ocurrirá que el mañana del antes de ayer del pasado mañana de ayer será jueves, ¿qué día fue el pasado mañana del mañana del ayer de hace tres días?

a) martes

b) jueves

c) miércoles

d) domingo

e) lunes

2. En una reunión están presentes un bisabuelo, tres hijos, tres padres, dos nietos y un bisnieto. Cada uno lanzó dos dados obteniendo entre todos 17 puntos. Si todos excepto el bisabuelo obtuvieron el mismo valor cada uno y la cantidad de personas reunidas es la mínima, ¿cuál es el máximo valor obtenido por el bisabuelo?

a) 9

b) 7

c) 11

d) 5

e) 10

3. En una reunión se encuentran presentes un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, dos esposos, dos esposas, una tía, una nuera, un nieto, una nieta, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran presentes en la reunión?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 5

4. Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían dos días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy?

a) sábado

b) viernes

c) domingo

d) jueves

e) miércoles

5. Hace dos días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será, cuando a partir de hoy transcurran tantos días como los días que pasan desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy? a) lunes b) martes c) jueves d) sábado e) domingo

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. El 12 de setiembre del año pasado salí con unos parientes a cenar, estábamos en la reunión: tres padres, tres tíos, tres hermanos, tres hijos, tres sobrinos y tres primos; cada uno al final de la cena pidió una gaseosa y un keke de postre. Si cada gaseosa costó S/. 2 y cada keke S/. 1,50, ¿cuánto fue el monto a pagar generado por el consumo solo de las gaseosas y kekes?

3. Si hace cuatro días se cumplió que el ayer del ayer de pasado mañana del mañana fue jueves, relacionar correctamente

2. Del problema anterior, si cada uno de los que cenamos dicho día consumió un plato cuyo precio fue de S/. 12, ¿cuánto se tuvo que pagar por todo lo consumido?

Colegios

36

TRILCE

I. Mañana será ...

(A) domingo

II. Ayer fue ...

(B) sábado

III. Hace tres días fue ...

(C) lunes

(D) jueves

(E) viernes

I ( )

II ( )

III ( )

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4. Esquema: Pedro

Luisa

Luis

César

Ana

Carlos

Gustavo

Natalia

Miluska

Según el esquema anterior, colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: • Luis es hermano de Gustavo ................. ( ) • Miluska es sobrina de Carlos ................. ( ) • Natalia es hija de Ana ........................... ( ) • Pedro es suegro de Luisa ......................... ( ) 5. Pepe le dice a su papá que la hermana de su tío no es su tía y su papá le responde: "Tienes razón". ¿Quién es entonces la hermana de su tío que no es su tía? 6. Los esposos Flores tienen siete hijas y cada hija tiene un hermano, ¿cuántas personas como mínimo hay en la familia Flores? 7. Si el día de ayer fuese igual al de mañana, faltarían dos días para ser domingo. ¿Qué día es hoy? 8. Si el mañana del mañana del ayer del pasado mañana del mañana del ayer será jueves. ¿Qué día será dentro de cuatro días? 9. Mi tía Julia es hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha?

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10. Me preguntaron: ¿Cuántos hermanos tengo? y respondí: "Tengo ocho, pero conmigo no somos nueve; porque somos seis y somos cuatro y además porque soy el último y el primero". ¿De cuántas personas se habla? (Sin contarme a mí) 11. Si el día de ayer fuese como hoy, faltarían tres días para ser lunes. ¿Qué día será el ayer del pasado mañana de mañana de hoy? 12. Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado mañana será jueves. ¿Qué día fue el anteayer del ayer del mañana de hace dos días?

4

13. Rosa es soltera, no tiene hermanos y su única hermana se casó una sola vez con Álex. Si Amelia es sobrina de Rosa, entonces Álex es de Amelia, su: Enunciado: (Preg.: 14 - 15) Luis está casado con Ana y tiene únicamente tres hijos varones: José, Miguel y Raúl. Lina es hija de Tania y su abuela paterna es Ana. Miguel es soltero (no tiene hijos) y la esposa de Raúl se llama Karla. Tadeo es nieto de Luis y es primo de Lina. 14. Sobre Tadeo se sabe que:

a) Es sobrino de Ana b) Es primo de Miguel c) Es tío de José d) Es hijo de Raúl e) Es hijo de Tania

15. Si la mamá de Karla se llama Julia, es necesariamente cierto que: I. Raúl es yerno de Julia. II. Tadeo es nieto de Julia. III. Julia es hermana de Ana.

Unidad I

37 37

Repaso I

Repaso I ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente . • • • •

Colegios

38

TRILCE

Palitos de fósforo, ruedas. Juegos con cuadros numéricos. Multiplicaciones abreviadas. Relaciones de parentesco y tiempo.

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5

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para obtener cinco cuadrados y once cuadrados?

a) 4 y 2 d) 3 y 3

b) 2 y 3 e) 2 y 4

c) 1 y 2

2. Usando tres cifras 5 y las operaciones fundamentales formar los números 11 y 30. Enunciado: (Preg.: 3 al 7) Un juego consiste en escribir números en un arreglo de forma triangular, que está compuesto por nueve círculos. Daniel ha comenzado a jugar y ya ha escrito tres números como muestra la figura. Complete el gráfico, teniendo en cuenta las siguientes condiciones: • • •

5. Si al completar el arreglo se ha escrito tres veces el dígito 7, entonces ¿cuál de los siguientes números puede haberse escrito en el lado con vértices 3 y 2?

En cada círculo se ubicará un dígito del 1 al 9. No puede haber dos dígitos iguales en un mismo lado del triángulo. Cada lado del triángulo debe sumar lo mismo.

a) 4 d) 8

b) 5 e) 9

6. Si cada lado del triángulo debe sumar 12 y no se puede repetir el 3, ¿de cuántas formas diferentes se pueden ubicar los números?

a) 2 d) 8

b) 4 e) Más de 8

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

•

Completa los números que faltan en los casilleros:

8.

17 32

4

a) 10 d) 6

b) 5 e) 12

c) 7

13 64

9 6 5 12 3 20 3 7 2

9.

3. Si se han escrito los números faltantes en los círculos del triángulo, ¿cuál es la mínima suma que puede tomar un lado del triángulo?

c) 6

A 192

1

2

c) 6

7. Si cada lado del triángulo debe sumar 17, ¿cuál de los siguientes dígitos no puede escribirse en el lado con vértices 3 y 2?

1

3

c) 6

A

17 13 144 176 9 6 32 5 40 3 48 3 2 1

7

9

11

13

10. Utiliza los números 1;2;3;4;5;6 sin repetir, de tal manera que la suma sea la misma de cada lado de la figura. 10 =

4. Si se han escrito los números faltantes en los círculos del triángulo, ¿cuál es la máxima suma que puede tomar un lado del triángulo? b) 22 e) 19

c) 21 =10

=

a) 23 d) 20

10

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Unidad I

39

Repaso I

11. Del esquema responder Verdadero "V" o Falso "F" si:

a) Su hijo c) Su nieto e) Su sobrino

b) Su esposo d) Su hermano

Rosa

Juan

13. Si el ayer de pasado mañana es lunes, ¿que día será el mañana de ayer de anteayer? Anita

Pepe

Julio

Jorge

José

• • • • • •

Fátima

Mily

a) jueves d) martes

b) viernes e) sábado

c) lunes

14. Si dentro de tres días será lunes, entonces el ayer del pasado mañana del anteayer del ayer del mañana fue:

Pepe es hermano de Jorge ............. ( ) Mily es sobrina de Julio ............. ( ) a) lunes b) miércoles c) jueves Fátima es hija de Rosa ............. ( ) d) domingo e) viernes José es primo de Mily .............. ( ) Juan es suegro de Anita .............. ( ) 15. Si: XIMENA×999999=...603541 El abuelo materno de Mily es Juan ....... ( ) hallar: X + I + M + E

12. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único?

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. ¿Cuántos palitos como mínimo debes quitar para formar cuatro triángulos iguales?

1

•

2. Se tienen "dos copas" y se pide cambiar de posición de "x" cerillas para que resulte "una casa". Calcular "x" . (Obs.: "x" es la menor cantidad de cerillas)

4.

Completa los números que faltan en los casilleros y calcular "x+y"

20A

8 717 39

16

y

5. 18A 9

3. Si el engranaje 1 se mueve como indica la flecha, ¿cuántos se mueven en sentido horario?

Colegios

TRILCE

x

17

40

313

x

4

19

13

y

26

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6. Utiliza los números 1;2;3;4;5;6;7;8 sin repetir, de tal manera que la suma sea la misma en cada línea indicada.

8. Del 1 al 16 16

13 11 10

15 =

6 1

9. Del 1 al 25

=

=

15 = 15

•

5

3

15

8

Cuadrado mágico: Colocar números diferentes de tal manera que la suma en la fila y columna y diagonal sea la misma.

7. Impares del 1 al 17

7

13 18

11

23

2

3

10. Si: 8N = MP24 , hallar: M + N × P

17

11. Si: 8q4nm× 11 = 9r0p41 hallar: p + q

7

9

12. Del esquema responder Verdadero (V) o Falso (F) si: Luis

Manuel

Ana

Emilio

Karen

Beto

Julia

Carla

Martha

Greta

Carlos

• • • • •

Emilio es yerno de Beto ...........................................................................................( ) Karen es sobrina de Greta ...........................................................................................( ) La abuela paterna de Carlos es Carla ......................................................................................( ) Julia es cuñada de Manuel ...........................................................................................( ) Luis y Beto son consuegros ...........................................................................................( )

13. Siendo miércoles el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana del anteayer de pasado mañana? 14. En un determinado mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día de la semana será 22 de dicho mes y cuántos días tiene? 15. Carlos se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano ¿por qué?

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Unidad I

41

UNIDAD II

UNIDAD II

Jaqueando nuestros pensamientos

J

uan Impostor y su esposa Juana esperaban en su auto que se abra un denso tráfico. "Es como cada mañana", se quejó Juan. "Me siento aquí por cinco minutos a esperar que el tráfico se abra". "No empieces a ponerte nervioso", le dijo Juana, "ten en cuenta tu úlcera". De pronto se abrió un hueco. Juan movió hacia atrás el pequeño coche deportivo y rápidamente lo lanzó a la otra mano, chillando sus neumáticos. "Tómatelo con calma" le advertía Juana. "Y que vas a hacer de cenar esta noche?" cambió de tema Juan. "Secreto" respondió Juana, mirando para la ventana.

Poco tiempo después Juan avanzó hacia una intersección y chocó contra un camión de basura que cruzó en rojo. Juan voló a través del parabrisas. Juana, quién tenía el corazón afuera, estaba literalmente histérica mientras que intentaba marcar el 911. Cuando le preguntaron a Juana en dónde había ocurrido exactamente el accidente, no podía decirlo. ¿Por qué no?

. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • •

Identificar las diferentes situaciones lógicas que se presentan en los ejercicios. Organizar los datos estableciendo una correspondencia entre sujetos, características y eventos.

Resolución de problemas •

Interpretar los datos disponibles para resolver ejercicios de situaciones lógicas.

Razonamiento y demostración • •

Desarrollar la capacidad de analizar y recrear para responder en forma ingeniosa cada situación lógica que se presenta. Formular estrategias para dar solución a los ejercicios de orden de información.


1

Pensamiento lateral En este capítulo aprenderemos a: •

Analizar los problemas desde distintas direcciones, de tal manera que encontremos diferentes, nuevas e ingeniosas soluciones.

La puerta de la vida

U

n preso condenado a la pena de muerte, tiene una oportunidad de salvar su vida si es capaz de resolver el siguiente problema: El juez mostrándole dos puertas 1 y 2, cada una cuidada celosamente por un guardia, le dijo: "Una de estas puertas conduce a la libertad y la otra a la silla eléctrica; los guardias las conocen, solo que uno de ellos siempre miente y el otro guardia dice la verdad. Tienes la opción de hacer una sola pregunta a uno de ellos". Tras unos minutos de titubeo, el reo preguntó al guardia "A". "Si le preguntó al guardia "B" ¿Cuál de las puertas conduce a la libertad? ¿Qué me responderá?" "Te dirá que la puerta 2", respondió el custodio. Luego de oír la respuesta el preso se encaminó con toda seguridad hacia la "puerta de la vida" y salió libre. ¿Por cuál de las puertas salió?

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Unidad II

43

Pensamiento lateral

Saberes previos •

Buena comprensión lectora.

•

Ser ingenioso y creativo.

Conceptos básicos Pensamiento lateral

El término pensamiento lateral fue propuesto por Edward De Bono para representar todos esos caminos alternativos que no estamos acostumbrados a tomar al momento de encontrar soluciones a un problema. Según De Bono la mayoría de la gente tiende a enfocarse en una sola forma de resolver un conflicto solo porque las otras vías para resolverlo no son visibles a simple vista. Pensamiento lateral es un tipo de pensamiento creativo y perceptivo, como su nombre lo indica, es aquel que nos permite movernos hacia los lados para mirar el problema con otra perspectiva y esta es una habilidad mental adquirida con la práctica. El pensamiento vertical o lógico se caracteriza por el análisis y el razonamiento mientras que el pensamiento lateral es libre, asociativo y nos permite llegar a una solución desde otro ángulo. Ambos pensamientos son importantes. El lateral incentiva nuestro ingenio y creatividad. El vertical nos ayuda a desarrollar nuestra lógica. Creo que es muy valedero aplicar un poco del pensamiento lateral a nuestras vidas, observar nuestros problemas desde distintas direcciones, ver el panorama con otros ojos y empujarnos a encontrar diferentes, nuevas e ingeniosas respuestas para los viejos y los mismos conflictos humanos. Aquí te presentamos un cuadro resumen de las principales diferencias entre el pensamiento vertical y el pensamiento lateral. Pensamiento vertical

Colegios

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Pensamiento lateral

Se mueve solo si hay una dirección en que moverse.

Se mueve para crear una dirección.

Sabe lo que está buscando.

Busca pero no sabe lo que busca hasta que lo encuentra.

Es analítico.

Es provocativo.

Se basa en la secuencia de las ideas.

Puede y debe efectuar saltos.

Se usa la negación para bloquear bifurcaciones.

No se rechaza ningún camino y se exploran todos por absurdos que aparezcan.

Se excluye lo que parece no relacionado con el tema.

Se investiga hasta lo que parece totalmente ajeno al tema.

Las categorías, clasificaciones y etiquetas son fijas.

En el pensamiento lateral nunca lo son.

Se siguen los caminos más evidentes.

Se buscan los menos evidentes.

Es un proceso finito.

Es un proceso probabilístico.

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1

Síntesis teórica

6

5

4

3

2

1

Conceptos básicos Aprende más... 1. Un gato saltó desde el borde de la ventana de un decimoquinto piso, y sin embargo no se mató. ¿Cómo es posible? 2. Un perro está atado por el cuello a una cuerda de tres metros de largo. Sin embargo, consigue alcanzar un hueso que se encontraba a ocho metros de él. ¿Cómo lo pudo lograr? 3. Dos personas de nacionalidad americana, esperaban en la entrada del Museo Británico. Una de ellas era el padre del hijo de la otra persona. ¿Cómo puede ser posible? 4. Antes de ayer Alex tenía 17 años y el año que viene tendrá 20. ¿Qué día nació? 5. Un amanecer de verano, dos padres y dos hijos fueron a pescar, tres peces pescaron y tocó a un pez cada uno. ¿Cómo es posible?

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Unidad II

45

Pensamiento lateral

Conceptos básicos Aprende más... 1. Componer la pulsera A un experto joyero le llevan cuatro trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, para que los una formando una pulsera. "Para ello, dijo el joyero, tendré que cortar cuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar a continuación cada eslabón cortado. Tendré, en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro soldaduras". Pero la persona que le encarga el trabajo dice: "No, no es necesario hacer cuatro empalmes. Puede formarse la pulsera con solo tres". ¿Cómo podría hacerse esto? 2. La moneda más pesada de toda la docena El amigo Jacinto tiene doce monedas, pero sabe que una de ellas es falsa, esto es, que tiene un peso mayor que el peso de cada una de las restantes. Le dicen que use una balanza y que con solo tres pesadas averigüe, ¿cuál es la moneda de peso diferente? 3. Las etiquetas Sin acertar con ninguna de las tres, un empleado etiquetó erróneamente tres cajas que contenían lápices, bolígrafos y grapas. Cuando alguien le comunica el error, dice: "No hay problema, con solo abrir una de las tres cajas y mirar su contenido, ya podré colocar las tres etiquetas correctamente". ¿Cómo lo hace? 4. Con los relojes de arena Solamente dispones de dos relojes de arena, cuyas capacidades son de ocho minutos y de cinco minutos. ¿Podrás solo con ellos medir un intervalo de once minutos? 5. Repartir los ocho litros Un tonelero quiso repartir entre dos personas, por partes iguales, una jarra con ocho litros de vino pero al intentar hacer las medidas se vio con el problema de que solamente disponía, aparte de la jarra de ocho litros, de dos jarras con capacidades de tres y de cinco litros. Dijo: "No importa. Trasvasando adecuadamente el vino, puede ha-cerse la medición de forma que queden cuatro litros en jarra que ahora contiene ocho y otros cuatro litros en la jarra de capacidad para cinco". ¿Cómo lo va a hacer? 6. Las peinetas de la feria En la caseta de María tenemos cinco peinetas; dos blancas y tres rojas. Se ponen tres bailadoras en fila india y, sin que ellas vean el color, se les

Colegios

46

TRILCE

coloca una peineta en la cabecita a cada una de ellas. Está claro que la bailadora que queda en tercer lugar si ve el color de las peinetas de las otras dos y la bailadora que está en segundo lugar verá solo el color de la peineta de la bailadora que tiene delante, la primera de la fila. Bueno, pues cuando alguien le preguntó a la última bailadora si podía deducir cuál era el color de la peineta que tenía en la cabeza, dijo: "No, no puedo". A la misma pregunta, la bailadora segunda, que solo veía a la que tenía delante, dijo: "Yo tampoco puedo". En cambio cuando la pregunta se le hizo a la primera bailadora, que escuchó las respuestas de las dos compañeras de atrás, dijo: "Mi peineta es roja", a pesar de que no veía el color de ninguna de las peinetas. ¿Cómo lo dedujo? 7. Nueve puntos Traza cuatro segmentos rectilíneos, que sean horizontales, verticales y oblicuos, es decir, en las cuatro direcciones posibles, que pasen solo una vez por los nueve puntos siguientes:

8. Las colillas Comprendiendo el daño que le puede causar a su salud, Nicolás decidió dejar de fumar definitivamente, cuando aún le quedan 27 cigarrillos. Pensó en hacerlo cuando terminara de fumar ese resto que aún le quedaba. Pero entonces recapacitó en que él habitualmente consideraba que se había fumado un cigarrillo cuando se había fumado solo los dos tercios, tirando un tercio como colilla e inmediatamente, pensó en aprovechar también esas colillas uniendo cada tres de ellas con una cinta adhesiva para formar nuevos cigarrillos. Nicolás quiere saber, entonces, cuántos cigarrillos se habrá fumado al terminar, siguiendo con su inveterada costumbre de los dos tercios. 9. Problema del paso del río Una persona que dispone de una barca para atravesar un río desde una orilla a la otra, tiene que pasar un lobo, una cabra y un arbusto. El problema es que en cada viaje solo puede pasar a uno de los tres y no puede dejar solos, en ninguna de las dos orillas, al lobo y a la cabra porque el lobo la mataría, y tampoco puede

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dejar solos a la cabra y el arbusto porque la cabra se lo comería. ¿Cómo podría esa persona resolver el problema con la barca de que dispone y sin ninguna otra ayuda externa? 10. Mitad más tercio más noveno Sin romper ninguno, un comerciante pretende repartir 35 televisores entre tres individuos, de modo que uno de ellos le corresponda la mitad, al otro la tercera parte y al tercero la novena parte. Se encuentra con el evidente problema de que no puede hacer las proporciones porque no salen televisores enteros. Entonces piensa: "Voy a regalar a los tres un televisor más, con lo cual serán 36, y entonces, si podemos hacer el reparto, pues al primero le corresponderían 18, al segundo 12 y al tercero 4, con lo que sumarían 34 televisores. De esta manera yo podría recuperar el televisor que les había regalado y quedaría para mí un televisor más, llevándome yo dos de los 36 televisores, y todos quedaríamos tan contentos". ¿Cómo se explica lógicamente este reparto? 11. El asunto de los tres interruptores En el inicio de un largo pasillo oscuro se encuentra un hombre, con tres interruptores de la luz delante. Quiere saber cuál de los tres interruptores es el que enciende la bombilla de su habitación, situada al final del pasillo dichoso. Y llega, después de una profunda reflexión, a la conclusión de que, pulsando uno o más interruptores y haciendo a continuación un solo recorrido hasta la habitación, podrá ya tener la seguridad de cuál es el interruptor que busca. ¿Cómo pensó el asunto nuestro amigo? 12. El preso listillo El alcaide de una prisión ofrece la libertad inmediata a uno de los diez presos que mantiene entre rejas, elegido al azar. Para ello

prepara una caja con diez bolas, nueve negras y una sola blanca y les dice que aquel que extraiga la bola blanca será el preso que quede libre. Pero el alcaide, persona con mala idea, coloca, sin que nadie lo sepa, las diez bolas negras, para, de esta manera, asegurarse que ninguno de sus diez presos quede en libertad. El preso Andrés, que tiene fama de listillo, se enteró casualmente de la trampa que iba a hacer el alcaide, e ideó una estrategia que le dio la libertad. ¿Cómo lo hizo Andrés?

1

13. Lo que dijo el reo En un determinado país donde la ejecución de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o la silla eléctrica, se da la situación siguiente, que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecución y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: "Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica". El preso hace entonces una afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla eléctrica. ¿Qué es lo que dijo el reo? 14. El hombre en el bar Un hombre entra en un bar y le pide al barman un vaso de agua. El barman se arrodilla buscando algo, saca un arma y le apunta al hombre que le acaba de hablar. El hombre dice "gracias" y se va. ¿Por qué? 15. El hombre del edificio Un hombre va bajando las escaleras de un edificio cuando advierte súbitamente que su mujer acaba de morir. ¿Cómo lo sabe?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Se tiene tres recipientes de 9; 13 y 7 litros:

13 L

9L

7L

¿Cómo se podría medir exactamente diez litros de agua utilizando solo los tres envases?, señalar el número de veces que tuvo que pasar el agua de un recipiente a otro.

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Unidad II

47

Pensamiento lateral

2. Se encuentran en el extremo de un río tres hombres blancos y tres caníbales. ¿Cómo deben pasar al otro extremo, si únicamente caben dos en una barca y nunca debe haber mayor número de caníbales que de blancos en un extremo? 3. En una calle del centro de Lima ocurrió el siguiente problema de tránsito:

B

A

C

D

Los autos "A" y "B" desean pasar al otro lado de la calle pero los autos "C" y "D" no lo permiten. ¿Cómo podrán pasar aprovechando una pequeña zona libre, en cuyo espacio solamente puede ser ocupado por un auto?

4. En un pueblo se celebró un concurso de martillazos. Cada concursante tomaba un martillo y le daba con él a otro y si gritaba perdía. ¿Quién cree Ud. que ganó el concurso? 5. Se tienen cuatro gorros de fiesta de cumpleaños (forma de cono) : dos de color verde y dos de color rojo; los cuales son colocados sobre las cabezas de cada uno de los personajes, tal como se indica en el gráfico, sin que ellos sepan que color tiene el gorro; ¿quién de los cuatro personajes podrá decir con seguridad de qué color es el gorro que tiene puesto? ¿Por qué? ¿Debido a qué?

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En un funeral de la madre de dos hermanas, una de ellas se enamora profundamente de un hombre que jamás había visto y que estaba prestando sus condolencias a los deudos. Las dos hermanas eran las únicas que quedaban ahora como mienbros de esa familia. Con la desaparición de la madre ellas dos quedaban como únicas representantes. Después del funeral y ya en la casa de ambas, una hermana le cuenta a la otra lo que le había pasado (y le estaba pasando con ese hombre) del que no sabía quién era y nunca había visto antes. Inmediatamente después, mata a la hermana.

Colegios

48

TRILCE

2. Cuatro trayectorias El mayor multimillonario del mundo ha prometido regalar su fortuna a aquel que consiga, con cinco objetos, cuatro trayectorias de tres objetos cada una. Cada trayectoria ha de ser tal que caminando en la misma dirección uno se topa con al menos tres objetos diferentes. 3. En una casa hay dos padres, dos hijos, un abuelo y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo hay en una casa?

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4. Si: (x - a) (x - b) (x - c) ... (x - z) = p, ¿cuál es el valor que tiene "p"? 5. Tienes a tu disposición dos relojes de arena: uno de siete y otro de cuatro minutos. ¿Cómo puedes medir exactamente diez minutos? 6. Un hombre estaba caminando sobre la vía de tren, cuando observó que un tren expreso se precipitaba sobre él. Para evitarlo, saltó fuera de la vía, pero antes de saltar corrió cinco metros en dirección al tren. ¿Por qué? 7. Tres señoras realmente gordas paseaban por el camino debajo de un paragua de tamaño normal. ¿Cómo es posible que no se mojaran? 8. A un experto joyero le llevan cuatro trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, para que los una formando una pulsera. "Para ello, dijo el joyero, tendré que cortar cuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar a continuación cada eslabón cortado. Tendré, en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro soldaduras". Pero la persona que le encarga el trabajo dice: "No, no es necesario hacer cuatro empalmes. Puede formarse la pulsera con solo tres". ¿Cómo podría hacerse esto? 9. Un hombre de edad mediana con lentes negros, un perro y un bastón blanco está caminando lenta y cautelosamente por la acera de una calle muy transitada a plena luz del día. Tiene visión perfecta, no está tratando de mendigar, ni tiene algún propósito criminal, ni es espía. ¿Qué está haciendo? 10. Valverde vivía en una hermosa aldea ubicada en un valle al sur de Turquía. Avido deportista, cada fin de semana trepaba a la montaña cercana. Sin embargo, aunque era un montañista muy eficaz, siempre regresaba antes de haber llegado a la cima, ¿por qué? 11. Alejandro, el excéntrico y anciano Rey de Draconia, decidió abdicar pero no podía decidir cuál de sus hijos debía heredar el trono. Por último decidió que, como los dos hijos eran buenos jinetes, haría una carrera en la cual el perdedor, es decir, quien tuviera

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el caballo más lento sería el Rey. Cada uno de los hijos tenía un caballo buenísimo y temía que el otro lo engañara retrasando su propio caballo, así que acordaron consultar al hombre más sabio del reino. Con solo dos palabras, el sabio aseguró que la carrera fuera limpia. ¿Qué dijo?

1

12. Una pareja iba a toda velocidad hacia la ciudad cuando el auto se quedó sin combustible. El hombre fue a buscar ayuda después de asegurarse de que la esposa cerrara las ventanillas y pusiera seguro a las puertas. Al regresar encontró a la esposa desmayada acompañada de una persona. Las ventanillas seguían cerradas, las puertas estaban aseguradas, y el coche no había sufrido el menor daño. ¿Quién es la persona que estaba acompañando a la esposa? 13. ¿Cuánto cuesta uno? - preguntó el cliente en una ferretería. - Dos soles - contestó el empleado. - ¿Y doce? - Cuatro soles. - De acuerdo. Llevaré ciento treinta y dos. - Muy bien. Eso costará seis soles. ¿Qué estaba comprando el cliente? 14. Robin Solórzano, de 32 años, vive en un rascacielos que queda a poca distancia de la fundición local, donde está empleado como supervisor de la planta. Cada mañana a las ocho, baja caminando un tramo de escaleras; al llegar al destino se sirve una taza de té. Después lee el diario de la mañana, que ha recogido en el kiosco de la esquina. Cuando llega a la mitad del diario se le ponen pesados los párpados y cae dormido durante ocho horas. Aun así, a fin de mes recibe un espléndido sobresueldo por productividad. ¿Cómo lo logra Robin? 15. Era un día soleado y cálido, y Luisa decidió llevar a Sally, de tres años, al parque. Cuando llegaron Luisa desplegó una toalla sobre el suelo y observó como Sally jugaba cerca, en la hierba. De pronto un perro (nunca visto por Luisa) corre hacia donde se encuentra Sally. En vez de entrar en pánico, Luisa siguió mirando, al parecer nada preocupada. ¿Por qué?

Unidad II

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Pensamiento lateral

Orden de información I En este capítulo aprenderemos a:

Colegios

50

•

Ordenar información en forma creciente o decreciente.

•

Ordenar información en forma lateral.

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1

Conceptos básicos Ordenamiento Lineal En estos problemas encontramos elementos relacionados de menor a mayor, de abajo hacia arriba o de sur a norte. Ejemplo

Ordenamiento creciente o decreciente

Hugo es más alto que Juan pero más bajo que Italo, Óscar es más alto que Italo, pero más bajo que Martín. ¿Quién es el más alto de todos? ¿Quién es el más bajo de todos? Resolución Una forma práctica de resolver este problema es trazar una línea vertical que nos servirá de guía para no confundir la información dada, es decir, de la siguiente manera:

Italo

Martín

Hugo

Óscar

Juan

Italo

Ejemplo

Finalmente: Martín Óscar Italo Hugo Juan

Respondiendo:

Más alto : Martín Más bajo : Juan

Ordenamiento lateral

En estos problemas encontramos elementos ordenados de izquierda a derecha, de Oeste a Este o de Occidente a Oriente.

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Unidad II

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El volcán Temboro está ubicado al este del Krakatoa. El volcán Singapur al oeste de Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado más al este?

Ejemplo

Ejemplo

Orden de información I

Resolución

¡Recuerda! Krakatoa

Temboro

Oeste

Este

Singapur

Krakatoa

Sumatra

Singapur

N

E

O

S

Juntando los datos:

Sumatra Oeste

Singapur

Krakatoa

Temboro Este Rpta.

Síntesis teórica

Colegios

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10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC

2

1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda, dado el siguiente esquema: Juan

José

PROPOSICIÓN Javier se encuentra adyacente a José y Julio.

Javier

V/F

Jorge

Julio

JUSTIFICACIÓN

José está a dos asientos a la izquierda de Julio. 2. Esquematizar las siguientes situaciones (cada una es independiente de las otras)

•

"P" está adyacente a "Q" y "R"

•

"X" está dos asientos a la derecha de "Y" y dejando tres asientos a la izquierda de "Z".

3. Sobre la ubicación de cuatro ciudades que están ubicadas en una línea Norte - Sur, se sabe que:

• • •

Barranca está al norte de Huaura Chancay está al sur de Huacho Huacho está al sur de Huaura

¿Cuál de las ciudades está más al norte?

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Unidad II

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4. Tres amigos viven en casas adyacentes. Si Quintín vive a la izquierda de Luchín pero a la derecha de Pitín, ¿quién vive a la izquierda de los demás?

5. Carlos es mayor que Luis, este tiene la misma edad que Pedro y Juan es mellizo de Luis. Julio es mayor que Carlos pero menor que José. Entonces cuáles son ciertas:

I. Julio no es menor que Pedro. II. José es menor que Luis. III. José no es menor que Juan y Luis.

Rpta.: _______________

Conceptos básicos Aprende más... Enunciado • Al llegar las vacaciones del primer bimestre, cinco amiguitas del segundo año, que viven en el edificio de seis pisos "Las mariposas de la Molina", deciden ir al cine del "Megapolo". Al regresar del cine se olvidaron en qué piso vive cada una, pero por suerte se encontraron con el portero y les dijo:  El cuarto piso está desocupado.  Marisol vive en un piso junto al de Norma y Martha.  Karina no vive en el último piso.  Jéssica es muy atleta. 1. Indicar verdadero (V) o falso (F):

I. Jéssica vive en el primer piso ................. ( )

II. Karina vive más arriba que Norma ........ ( )

III. Junto al piso vacío vive Marisol.............. ( )

2. Del enunciado anterior, relacionar el piso donde vive cada uno: I. Jéssica A. 5to piso

II. Marisol

III. Karina

B. 2do piso C. 6to piso D. 1er piso E. 4to piso

Colegios

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I ( )

TRILCE

II ( )

III ( )

3. Sabemos que:

 "A" está al este de "P"  "Q" está al oeste de "R"  "P" está junto al oeste de "Q"  "A" no está más al este del resto

Según los datos, ordenar y completar: Oeste

Este

4. Si el cerro "Candela" está al este del cerro "Camote", el río "Chillón" está al este del cerro "Candela", el lago "Chiquitanta" está al lado del cerro "Candela" pero al oeste del río Chillón ¿cuál está más al este? Enunciado • Las ciudades "A", "B", "C" y "D" están alineadas de este a oeste en algún orden de acuerdo a las siguientes condiciones:

 La ciudad "A" está ubicada al este de la ciudad "B".  La ciudad "C" está ubicada al oeste de la ciudad "D".  La ciudad "C" se encuentra al este de la ciudad "B".

5. ¿Qué ciudad se encuentra más al oeste? ....................................................... www.trilce.edu.pe


6. ¿Qué ciudad se encuentra más al este? ....................................................... 7. ¿Cuál de las siguientes es un posible ordenamiento de las cuatro ciudades, de este a oeste?

I. A, B, C y D II. B, A, C y D III. B, C, D y A

IV. A, D, C y B V. B, D, C y A

 Debe realizarse una tarea por día  "P" debe realizarse antes que "S" y que "T"  "Q" debe realizarse antes que "R" y que "S"

8. ¿Qué tarea no puede realizar Violeta el día martes? ....................................................... 9. ¿Cuál de las siguientes es una lista completa de las tareas que podría realizar Violeta el día jueves?

I. P y Q II. R y S III. Q, R, S y T

IV. T y R V. R, S y T

10. ¿En qué orden puede Violeta realizar sus actividades, empezando por la primera?

• • • • •

P , S , T , Q y R P , Q , S , T y R P , T , S , Q y R Q , R , S , P y T Q , S , R , P y T

( ( ( ( (

) ) ) ) )

Enunciado • Una ama de casa debe comprar los artículos siguientes: verduras, carne, frutas, abarrotes, pan, pescado, pero no necesariamente en ese orden. Con respecto al orden de las compras se sabe que:

 No compra más de un artículo a la vez.  No compra el mismo artículo a la vez.  Compra las frutas antes que el pan pero después que las verduras.

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 Compra la carne justo después de haber comprado los primeros tres artículos.  Los abarrotes son comprados justo después de haber comprado el pescado.  Los abarrotes son comprados antes que las frutas.

11. ¿Cuál de los artículos fue comprado al final?

Enunciado • Violeta debe realizar cinco tareas: "P", "Q", "R", "S" y "T" - en una semana, empezando el lunes y terminando el viernes. Las tareas serán realizadas de acuerdo a las siguientes reglas:

2

a) Fruta c) Verduras e) Falta información

b) Pan d) Pescado

12. ¿Cuál de los artículos fue comprado primero?

a) Verduras c) Abarrotes e) Falta información

b) Pescado d) Frutas

Enunciado • Una persona compra seis libros y los decide ubicar en un estante. Se sabe que:

 El libro de Álgebra está junto a la derecha del libro de Lenguaje.  El libro de Literatura está adyacente a los libros de Química y Física.  El libro de Historia está entre los libros de Lenguaje y Física.

13. ¿Cuántos ordenamientos son posibles?

a) 1 d) 4

b) 2 e) Más de 4

c) 3

14. Contando de izquierda a derecha, ¿qué posición podría ocupar el libro de Álgebra?

a) Solo 2 d) Solo 4

b) 2 y 4 e) Solo 6

c) 2 y 6

15. Para obtener un único ordenamiento bastaría que:

a) El libro de Historia está junto al libro de Química. b) El libro de Álgebra está en un extremo. c) El libro de Física está en un extremo. d) Los libros de Lenguaje y Física están a los extremos. e) El libro de Historia está junto al libro de Física.

Unidad II

55


¡Tú puedes!básicos Conceptos Enunciado Lucrecia debe realizar siete actividades en siete días consecutivos, una actividad cada día. Se sabe que la actividad "Z" debe realizarse después de "V" e "Y", pero antes que "X", y la actividad "Y" debe realizarla después de "W" pero antes que "T". Además, la actividad "U" debe realizarla antes que "V". 1. ¿Cuál de las siguientes no es una posible secuencia, de la primera a la última tarea, respectivamente?

a) U , V , W , Y , Z , T y X b) U , V , W , Z , Y , T y X c) W , U , V , Y , T , Z y X d) W , U , V , Y , T , Z y X e) W , U , Y , V , Z , T y X

2. ¿Cuál de las siguientes actividades puede Lucrecia dejar para el final?

a) T d) V

b) Z e) U

c) Y

3. Es imposible que "T" sea la ... actividad que realice Lucrecia.

a) última d) tercera

b) penúltima c) quinta e) segunda

4. Si Lucrecia decide realizar la primera tarea un lunes, ¿en cuál de los siguientes días puede realizar la tarea "Z"?

a) Lunes d) Jueves

b) Martes e) Viernes

c) Miércoles

5. Si Lucrecia decide realizar la tarea "Z" un domingo, ¿en cuál de los siguientes días podrá realizar la tarea "X"? I. Lunes II. Martes III. Miércoles

a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) Ninguno

c) Solo III 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Interpretar:

• Óscar no es más alto que Benedicta. • Ximena no es más baja que Fátima

2. Dada la siguiente gráfica, responder:

•

Fernando

•

Humberto

•

Rolando

Javier Eduardo Elio • Humberto vive adyacente a ............... y ....................

•

Colegios

56

Eduardo vive tres pisos abajo de: .............

TRILCE

3. Datos: "A", "B", "C", "D", "E", "F" y "G" son personas sentadas en una banca de siete asientos. "A" está a la izquierda de "B" y "D", pero a la derecha de "C" y "E" y "F" está a la derecha de "E". Luego, indica si es verdadero (V), falso (F) o indefinida (?) cada una de las siguientes proposiciones: A lo más hay cuatro personas a la derecha de "A". ..............................................( ) Como máximo hay cuatro personas entre "C" y "D". .........................................( ) Hay dos personas a la derecha de "G"..( )

Enunciado Tres nigerianos (Nemo , Ono y Papuo) y tres cubanos (Karlo, Lino y Menco) participaron en una carrera. No hubo empates, y se sabe lo siguiente:  Papou llegó tres puestos antes que Karlo.  Nemo y Papuo llegaron en puestos consecutivos.  Un nigeriano no fue el ganador.  Ninguno de los cubanos llega en puestos consecutivos.

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4. ¿Quién llegó en quinto lugar? 5. De las siguientes afirmaciones podemos afirmar con certeza:

•

Menco llegó antes que Nemo ............. ( )

•

Karlo no llegó último .......................... ( )

•

Nemo llegó antes que Papuo .............. ( )

•

Papuo llegó antes que Menco ............. ( )

6. A lo largo de una fila se van a colocar a cuatro peruanos ("A", "B", "C" y "D") y a tres colombianos ("E", "F" y "G") teniendo en cuenta las siguientes condiciones: • La persona que ocupe el primer lugar será un peruano. • No puede haber dos colombianos que estén juntos. • Las posiciones de "A" y "B" son consecutivas (no necesariamente en ese orden) • "E" está adyacente a "A" y "C". • "F" no está junto a "C".

¿ Quién ocupa la posición 5, si "B" quedó en la posición 3?

7. A lo largo de una fila se colocan seis fichas numeradas del 1 al 6. Se sabe que: • La ficha con el número 1 está junto a dos fichas con un número par, la menor a su derecha y la mayor a su izquierda. • La ficha 6 se encuentra junto y a la izquierda de la ficha 3. • Las fichas 2 y 5 se encuentran a los extremos. Contando a partir del extremo derecho, ¿cuál es la suma de las fichas que ocupan las posiciones 3 y 5? 8. En un edificio de tres pisos hay dos departamentos por piso donde viven Sandra, Karen, Daniel, Michael, Rolando y Luciana. Se sabe además que: • Michael vive más arriba que Luciana. • Para ir del departamento de Sandra al de Rolando, hay que subir dos pisos. • En el segundo piso viven dos chicas. ¿Quiénes viven en el primer piso?

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Enunciado Sobre la ubicación de cinco cerros se sabe que: • El Humus está a la derecha del Maine. • El Yala está adyacente al cerro Rojo. • El Pastoruri está junto y a la izquierda del Humus. • El Yala está al extremo izquierdo

2

9. De izquierda a derecha, ¿quién ocupa el tercer lugar? 10. De derecha a izquierda, ¿quién ocupa el cuarto lugar? Enunciado Sobre el precio de seis frutas se sabe que: • Una naranja cuesta más que una manzana pero menos que un mango. • Una pera cuesta más que una naranja pero menos que una chirimoya. • Un plátano cuesta menos que una manzana. 11. ¿Cuál es la fruta que cuesta más barato? Enunciado Cinco autos de color diferente: rojo, azul, blanco, amarillo y verde, están ubicados en una fila horizontal, uno al lado del otro. Ni el auto blanco ni el auto azul está al lado del rojo. El auto azul está entre el verde y el blanco. Entre el auto amarillo y el rojo hay exactamente tres autos. 12. ¿Cuántos ordenamientos de los autos son posibles? 13. ¿Qué color tiene el auto que se encuentra en la posición central? 14. ¿Cuál de los siguientes son los autos que están en los extremos? • El rojo y el azul ..................................( ) • El rojo y el verde ................................( ) • El blanco y el verde ............................( ) • El blanco y el rojo ..............................( ) • El rojo y el amarillo ............................( ) 15. Es verdad que:

I. El auto blanco está más lejos del rojo que del verde II. El auto rojo es el que está más a la derecha. III. A la derecha del auto verde hay dos autos

Unidad II

57

Orden de información II

Orden de Información II En este capítulo aprenderemos a: • •

Ordenar elementos en forma circular. Ubicar a otros elementos respecto al ordenamiento.

Ordenamiento circular

Fuente:http://www.aapa-ports.org

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3

Saberes previos • • • • •

Tener claro el concepto de punto de referencia. Definiciones básicas de elementos geométricos (lados, diámetros). Conceptos básicos de los polígonos regulares (cuadrados, hexágono, octógono). Cuando las personas se sientan alrededor de una mesa, lo hacen mirando hacia el centro. Lugares simétricos alrededor de una mesa significa a igual distancia unos de otros.

Conceptos básicos Ordenamiento circular •

Número par de personas

•

Número impar de personas Nadie hay frente a "P"

Esta frente a "P" S R

R

T

S Está a la derecha de "P"

Está a la derecha de "P" Q

Q

U P

Referencia

T P

Está junto y a la derecha de "P"

Referencia

Está junto y a la derecha de "P"

En este tipo de problemas aparece la expresión "sillas distribuidas simétricamente", la cual quiere decir que las sillas que se coloquen alrededor de una mesa guardan la misma distancia una con respecto a otra.

Ana, Carmen, Julio y Eduardo se sientan alrededor de una mesa circular de cuatro asientos distribuidos simétricamente. Si sabemos que: • Carmen se sienta a la izquierda de Eduardo. • Dos personas del mismo sexo no se sientan juntos. ¿Quién se sienta a la derecha de Eduardo? Dato 1

Dato 2

Julio

Eduardo

Ana

Eduardo

Resolución

Ejemplo

Ejemplo

No olvidar que el primer elemento en un ordenamiento circular se coloca en cualquiera de las sillas y a partir de allí se ordena el resto de elementos.

Carmen

Respuesta: A la derecha de Eduardo se sienta Ana.

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Unidad II

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Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos • Alrededor de una mesa hexagonal hay seis amigos sentados, sabemos que:

 Juan está frente a José.  Luis está junto a Juan.  Rubén está junto y a la derecha de José y frente a Ricardo.  Víctor es amigo de colegio de Luis.

Responder:

1. Víctor está sentado frente a : .......................... 2. A la derecha de Víctor se ubican: ...................

• Alrededor de una mesa circular hay seis sillas distribuidas simétricamente (dos de ellas vacías) y se sabe que:

 Betty está frente a Nancy.  Patty está junto a una silla vacía.  Marcela está junto y a la izquierda de una silla vacía.  Nancy está a la derecha de Patty pero no junto a ella. Responder:

4. Frente a Marcela está: ....................................

3. Víctor está ubicado entre ................... y 5. Patty se ubica a ........................ asientos a la ................. . izquierda de .....................

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3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Dado el siguiente esquema:

4. Cuatro amigas: Meda, Paola, Inés y Rada se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco sillas, sabiendo que: • Junto a Paola e Inés hay un asiento vacío. • Rada no se sienta junto a Inés.

C E

H

B

A

F

G

D

Responder: • ¿Quién o quiénes están frente a "F"? • ¿Quién está diametralmente opuesto a "A"? • ¿Quién o quiénes están a la derecha de "H"?

2. Relacionar:

Rolo Paco Javicho

Fer Bartolo Coqui

I. Frente a Rolo (A) Fer II. Junto y a la derecha (B) Rolo y Fer de Bartolo (C) Coqui III. A la izquierda de (D) Rolo Paco I ( ) II ( ) III ( ) 3. Indicar con (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda y explique:

• Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que:  "A" se sienta junto y a la derecha de "B" y diametralmente opuesto a "C"  "D" no se sienta junto a "B"  "E" no se sienta junto a "C" PROPOSICIÓN

A la derecha de "C" se ubican "C" y "D" Junto y a la derecha de "F" se ubica "E".

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V/F

¿POR QUÉ?

Son verdaderas: I. Paola se sienta junto a Meda. II. Inés se sienta junto a Meda. III. Meda se sienta junto a Rada.

5. Alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan cinco amigos: Rommel, Alex, Luis, Enrique y José, se sabe que:  José se sienta frente a Rommel, y este se sienta a la izquierda del lugar vacío.  Alex no se sienta al lado de José, pero sí al frente de Luis. ¿Entre quiénes se sienta Enrique? 6. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa circular donde hay cinco sillas simétricamente separadas. Sabemos que:  Marco no está junto a Luis.  Vanessa no está junto a Patty.  A la derecha y junto a Patty hay una silla vacía.  Marco no está junto a Patty.

Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso

• • • • •

Marco está a la derecha de Vanessa..... ( ) Marco está a la izquierda de Luis ........ ( ) Vanessa está a la derecha de Patty ....... ( ) Luis está a la izquierda de Patty ........... ( ) Patty está al frente de Marco ................ ( )

Enunciado • Cierto día del mes de junio, para ser exacto un 21, se juntaron por el cumpleaños de Polo cinco grandes amigos en el restaurante "XIFER" cuya especialidad es la comida norteña. Los cinco grandes amigos se ubicaron en una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente de la siguiente manera:  Polo se sienta junto y a la derecha de Juan.  Hugo se sienta a dos asientos y a la derecha de Juan.  Martín se sienta frente a Polo.  Italo y Hugo no se sientan juntos.

Responder:

7. ¿Quién se sentó frente al asiento vacío? 8. ¿Quiénes se ubicaron a la derecha de Italo?

Unidad II

61


Enunciado En una mesa con seis asientos distribuidos simétricamente se van a sentar cuatro personas y se sabe que:  Roberto estará junto a los asientos vacíos.  Manuel no estará frente a un asiento vacío.  Alonso y Diego son hinchas de la "U". 9. ¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles? 10. Según la pregunta anterior, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I. Alonso se sienta frente a un lugar vacío. II. Diego no está sentado junto a Alonso. III. Manuel está sentado a la derecha de Diego.

Enunciado En las esquinas de una mesa cuadrada se sientan cuatro personas y se sabe que:  El ingeniero se sienta junto y a la derecha de Sandro.  Roberto se sienta frente al arquitecto.  Sandro y el arquitecto son amigos del profesor.  El contador se sienta frente a Eduardo.  Rubén es fanático de la salsa.

 Cuatro de ellos llevan puestos polos rojos, dos llevan puestos polos blancos y los dos últimos están con polo azules.  Los que usan polo rojo no se sientan juntos.  Cada uno de los que usa polo azul se sienta frente a uno que lleva un polo blanco.  "B" se sienta a la derecha de "A" y "C", pero frente a "E".  "D" no se sienta junto a "C" ni a "E".  "F" se sienta frente a "D" y a la derecha de "B". 13. Es posible que los cuatro que lleven polo rojo sean:

a) A, B, E y F c) C, D, E y G e) A, C, E y G

b) A, B, E y G d) C, D, F y B

14. Si "A" usa polo rojo y "H" está a la derecha de "G", es imposible que:

I. "G" use polo rojo. II. "F" use polo blanco. III. "D" use polo azul.

a) Solo I d) Todas

b) I y II e) Ninguna

c) I y III

11. ¿Quién es el arquitecto?

15. Para determinar en qué orden están sentados alrededor de la mesa, basta saber que:

12. Según el enuciado anterior, el contador y Rubén son amigos de: ...........................

I. "D" usa polo azul. II. "H" usa polo blanco.

Enunciado "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H" se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente. Se sabe lo siguiente:

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC Seis amigos: Gianella, Hilda, Israel, Joel, Kenzo y Lorenzo, se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente. Se sabe lo siguiente: • Gianella se sienta junto y a la derecha de Hilda. • Isabel se sienta frente a Gianella. • Joel no se sienta junto a Hilda ni a Isabel. • Kenzo no se sienta junto a Isabel ni a Lorenzo. 1.

Es verdad que: I. Joel se sienta junto a Gianella. II. Hilda no se sienta junto a Isabel. III. Isabel se sienta junto al menos a un lugar vacío.

a) I y II

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TRILCE

b) Solo II

c) Solo III

d) II y III

e) Ninguna

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2.

Es posible que: I. Joel se siente junto a Lorenzo. II. Kenzo se siente junto a Joel. III. Lorenzo se siente junto a Isabel.

a) I y II

b) II y III

c) Solo III

d) I y III

3

e) I, II, III

3. Si Lorenzo se sienta frente a un lugar vacío, ¿cuántos posibles ordenamientos hay? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4.

Si Isabel se sienta adyacente a los dos lugares vacíos, entonces es cierto que: I. Hay cuatro ordenamientos posibles. II. Kenzo se sienta frente a Lorenzo. III. Lorenzo se sienta junto a un lugar vacío.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) I y II

e) Ninguna

5. Para determinar las posiciones en las que se sientan los amigos, basta saber que: I. Kenzo se sienta frente a Joel. II. Kenzo se sienta junto a Hilda.

a) b) c) d) e)

El dato I es suficiente y el dato II no lo es El dato II es suficiente y el dato I no lo es. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. Se necesitan más datos.

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar con (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda y explique: •

Seis amigos están sentados alrededor de una mesa circular. Si se sabe que Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José. Fernando no está al lado de Gustavo ni de José. Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando, y Pedro está sentado junto a Enrique, a su derecha; entonces: Proposición

V/F Justificación

• Alrededor de una mesa circular hay cuatro asientos distribuidos simétricamente. Se sabe además que:

 El abogado está frente a Lucho.  El arquitecto se sienta junto y a la izquierda de Mariano.  El ingeniero se sienta frente al arquitecto.  El médico es amigo de Max y del arquitecto.  Aldo tiene puesto un pantalón verde.

2. ¿Quién es el arquitecto? José no está sentado a la izquierda de Enrique.

Pedro y Fernando se ubican a la izquierda de Enrique.

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3. Frente a Max se sienta: 4. ¿Quién es amigo del ingeniero y de Aldo? 5. ¿Cuántos ordenamientos se pueden realizar?

Unidad II

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Enunciado Alrededor de una mesa circular se sientan cuatro mujeres: "A", "B", "C" y "D" y cuatro hombres: "M", "N", "P" y "Q". Los ocho asientos que se ubican alrededor de la mesa están distribuidos simétricamente. Se sabe además que: • • •

No hay dos hombres que se sienten juntos. "A", "Q" y "C" están a la derecha de "M". "B" y "D" están a la derecha de "P".

6. ¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles? 7. Frente a "Q", ¿quién se encuentra? Enunciado Ocho amigos: Anaís, Blanca, Diana, Helga, Carlos, Ever, Franco y Guido, se sientan alrededor de una mesa circular cuyos ocho asientos se encuentran distribuidos simétricamente. Se sabe lo siguiente:

 Anaís se sienta adyacente a Franco y Ever.  Diana no se sienta junto a Blanca.  Carlos se sienta al frente de Franco.  Helga se sienta al frente de Blanca.  Guido no se sienta junto a Carlos.

8. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. Anaís se sienta frenta a Diana. II. Ever se sienta frente a Guido. III. Diana se sienta adyacente a Carlos y Guido.

9. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.

Al menos un hombre se sienta frente a una mujer. II. Diana se sienta junto a Blanca. III. No hay dos mujeres que se sienten juntas.

Colegios

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TRILCE

10. Si Franco se sienta a la derecha de Blanca, entonces es cierto que:

a) Guido se sienta al frente de Ana b) Blanca se sienta junto a Guido. c) Ana está a la izquierda de Blanca. d) Ana está a la derecha de Franco. e) Guido está sentado junto a Diana.

11. Si Helga se sienta a la izquierda de Ana, entonces es cierto que:

a) Blanca está a la izquierda de Franco. b) Blanca está a la derecha de Franco. c) Guido está junto a Blanca. d) Diana está frente a Ever. e) Guido está junto a Helga.

12. Si Helga se sienta al lado de Carlos y Ever, ¿cuántos ordenamientos posibles hay? Enunciado Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:  Mariana se sienta adyacente a Javier y Alonso (Alonso a su izquierda)  Beto se sienta frente a Tito.  Carolina está sentada junto a solo un asiento vacío. 13. ¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles? 14. Sobre Carolina podemos afirmar que:

a) Se sienta junto a Beto. b) Se sienta junto a Tito. c) Se sienta frente a Javier. d) No está frente a Mariana. e) Se sienta a la izquierda de Alonso.

15. Sobre los asientos vacíos podemos afirmar que: a) Están juntos. b) Están separados por una persona. c) Se encuentran uno frente al otro. d) Uno de ellos está junto a Beto. e) Uno de ellos está junto a Tito.

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4

Repaso II ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente

. Relaciones de parentesco y tiempo. Pensamiento lateral Orden de información I y II

http://www.emezeta.com/articulos/acertijos-de-pensamiento-lateral

• • •

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Unidad II

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Repaso II

Conceptos básicos Aprende más... 1. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi hija?

a) Hija d) Nuera

b) Nieta e) Bisnieta

c) Sobrina

2. ¿Qué parentesco tiene la hija de mi hermana, con el hermano del hijo de mi hija?

a) Tía - sobrino c) Sobrina - Tío e) Madre - hijo

b) Abuela - nieto d) Hija - padre

3. Yo tengo un hermano únicamente. ¿Quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del hijo de mi padre, que sin embargo, no es mi hermano? a) Mi padre b) Mi tío c) Yo d) MI hijo e) Mi nieto

a) Sara es menor que Arturo b) Vanessa es menor que Arturo c) Manuel es menor que Arturo d) Sara es menor que Manuel e) Vanessa es menor que Manuel

9. Cuatro hermanos viven en un edificio de cuatro pisos. Fidel vive en el primer piso, Antonio vive más abajo que Manuel, y Freddy vive un piso más arriba que Antonio. ¿En qué piso vive Freddy?

a) 1º d) 4º

b) 2º e) Ninguno

c) 3º

4. Construyendo tu árbol genealógico, ¿cuántos bisabuelos tuvieron tus bisabuelos?

10. Se tiene un edificio de seis pisos, en el cual viven seis personas: "A", "B", "C", "D", "E" y "F", cada una en un piso diferente. Si se sabe que:

a) 32 d) 1024

b) 64 e) 16

c) 256

5. Siendo martes el mañana de ayer, ¿qué día será el pasado mañana de ayer?

a) Miércoles d) Domingo

b) Jueves e) Martes

a) Sábado d) Lunes

 "E" vive adyacente a "C" y "B".  Para ir de la casa de "E" a la de "F" hay que bajar tres pisos.  "A" vive en el segundo piso.

¿Quién vive en el último piso?

a) B d) E

c) Sábado

6. Si el día de ayer fuese igual al de mañana, faltarían dos días para ser domingo. ¿Qué día es hoy? b) Miércoles c) Martes e) Jueves

b) C e) F

c) D

11. Seis amigos: Francisco, Rafael, Luis, Úrsula, Carolina y Ana van al cine y se sientan en una fila de seis asientos contiguos vacíos. Si sabe que:

 Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas.  Rafael se sienta en el extremo derecho.  Francisco y Úrsula se sientan a la izquierda de los demás.

7. Se deben realizar cinco actividades: "A", "B", "C", "D" y "E", una por día, desde el lunes hasta el viernes, se sabe que:

 "D" se realizó antes de la "B"  "C" se realiza dos días después de "A"  "D" se realiza jueves o viernes

¿Cuál de las afirmaciones es correcta?

¿Qué actividad se realiza el martes?

a) E d) A

a) Ana se sienta junto a Rafael. b) Carolina se sienta junto a Luis. c) Carolina se sienta junto a Rafael. d) Francisco se sienta junto a Ana. e) Ninguna.

Colegios

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8. Si se sabe que Manuel es mayor que Sara y que Arturo, pero este último es mayor que Vanessa y que Sara, ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

TRILCE

b) D e) C

c) B

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12. Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. Toño no está sentado al lado de Nino ni de Pepe; Félix no está al lado de Raúl ni de Pepe. Nino no está al lado de Raúl ni de Félix, Daniel está junto a Nino, a su derecha. ¿Quién está sentado a la izquierda de Félix?

a) Toño d) Nino

b) Pepe e) Daniel

c) Raúl

13. Cuatro amigos: José, Juan, Carla y Karen, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que:

 Entre dos personas del mismo sexo hay un asiento vacío adyacente a ellas.  Karen se sienta junto a José.

Podemos afirmar que:

I. Carla se sienta junto a Juan. II. José se sienta frente a Carla. III. Karen se sienta frente a Juan.

a) I d) II y III

b) II e) Ninguno

c) I y II

18:10:45

14. Seis personas juegan al póquer alrededor de una mesa redonda: Lito no está sentado al lado de Elena ni de Juana, Félix no está al lado de Gino ni de Juana, Pedro está junto a Elena a su derecha. ¿Quién está sentado a la derecha de Pablo?

a) Félix d) Juana

b) Lito e) Gino

4

c) Elena

15. Alicia, Beatriz, Carmen, Diana, Emilia y Fabiola se sientan sobre seis sillas simétricamente distribuidas alrededor de una mesa circular. Si se sabe que:

• Alicia no se sienta frente a Beatriz. • Diana está frente a Emilia. • Carmen está junto y a la siniestra de Alicia.

Podemos afirmar que:

I. Carmen se sienta frente a Beatriz. II. Alicia se sienta junto a Diana. III. Fabiola se sienta frente a Alicia.

a) I y II d) Todas

b) I y III e) Ninguna

c) II y III

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Una familia consta de dos padres, dos madres, cuatro hijos, dos hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos esposos, una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia? 2. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? 3. Los esposos Ramírez tienen cuatro hijos varones. Cada hijo tiene una hermana y cada hermano tiene tres sobrinos. ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia? 4. El hermano de Carla tiene un hermano más que hermanas. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Carla? 5. Si el anteayer de mañana es lunes, ¿qué día de la semana será el mañana de anteayer?

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6. Sabiendo que: Dora tiene más dinero que Sandra pero menos que Ana, quien a su vez tiene lo mismo que Betty, quien tiene menos que María. Si Rocío no tiene más que Ana, podemos afirmar: I. María tiene más que Dora. II. Sandra tiene menos que Betty. III. Sandra es la que tiene menos. 7. En una carrera intervienen siete participantes. Los jueces determinan que no puede haber empates. Sabiendo que:  "L" llegó un puesto detrás de "M"  "N" llegó dos puestos detrás de "K"  "P" llegó cinco puestos detrás de "M"  "Q" llegó un puesto detrás de "P"

Luego "R" llegó:

8. En cada vértice de una mesa cuadrada se sienta una persona. Si se sabe que: • Chana está frente a Juana. • Giuliana no está a la derecha de Chana ni al costado de Mariana.

¿Quién está a la izquierda de Mariana?

Unidad II

67

Repaso II

9. Cinco autos numerados del 1 al 5 participan en una carrera. Si se sabe que:

 El auto 1 llegó en tercer lugar.  La diferencia en la numeración de los dos últimos autos en llegar fue igual a dos.  La numeración del auto no coincidió con su orden de llegada. Podemos afirmar: I. No es cierto que el auto 2 llegó en último lugar. II. El auto 3 ganó la carrera. III. El auto 4 llegó después del auto 2.

10. Las notas en un pentagrama están dispuestas de la siguiente manera:

 La semifusa se encuentra dos líneas debajo de la corchea.  La fusa se encuentra dos líneas debajo de la blanca.  La corchea se encuentra una línea abajo de la fusa.  La blanca se encuentra una línea arriba de la semicorchea.

 Dos personas del mismo sexo no pueden sentarse juntas.  "X" está entre "A" y "B".  "Z" no está al costado de "B" ¿Quién está a la derecha de "Y"?

13. En una mesa circular se sientan tres parejas distribuidas simétricamente. Se sabe que:

 Cada varón está frente a su novia.  Andrés está entre María y Sonia.  Roberto está frente a Sonia y al costado de Esther.  Juan es el otro chico.

¿Quién es la novia de Juan y de Andrés?

14. Alrededor de una mesa circular hay cuatro asientos simétricamente distribuidas y tres personas una por asiento, si se sabe que:

Representa el orden relativo de abajo hacia arriba.

 Manuel está al costado del asiento vacío.  José no está frente al asiento vacío.

11. Cinco automóviles: "P", "Q", "R", "S" y "T" son comparados de acuerdo a su costo y a su tiempo de fabricación. Si:

¿Entre quiénes se sienta Ana?

• "P" es menos caro que "R" y menos moderno que "Q". • "Q" es más caro que "P" y más moderno que "S". • "R" es más caro que "T" y más moderno que "S". • "S" es menos caro que "P" y más moderno que "T". • "T" es más caro que "Q" y más moderno que "P". ¿Cuál(es) de los siguientes autos es más caro que "P" y más moderno que "T"?

Colegios

68

12. En cada lado de una mesa triangular se sientan dos personas siendo tres hombres ("X", "Y", "Z") y tres mujeres ("A", "B", "C") y además se sabe que:

TRILCE

15. Alrededor de una mesa rectangular, se sientan seis personas, dos en los lados más grandes y uno en los más cortos. Se sabe que:

 "A" está al costado de "C" y a la izquierda de "D".  "D" no está al costado de "B" ni de "F".  "E" está frente "F" y "D". Indica el orden comenzando por "B" y siguiendo el sentido horario.

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2

4

UNIDAD III Piensa, y lo encontrarás Juego dinámico • • • •

Juegan dos personas, diciendo del 1 al 38. Para empezar el juego, uno de los jugadores dice un número mayor o igual que 1 pero menor que 4. El juego continúa de la siguiente manera: cada jugador dice, en su turno, un número que sea mayor que el número que dijo su contrincante, pero a lo más mayor por cuatro unidades. Gana el jugador que en su turno dice 38.

Actividades en parejas a. Jueguen por lo menos cuatro veces con un compañero el juego descrito. b. Examinen si existe una estrategia ganadora para este grupo. . AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar los diferentes tipos de sucesiones, analogías y distribuciones tanto numéricos como literales. Resolución de problemas • Elaborar estrategias para la resolución de problemas de sucesiones, analogías y distribuciones tanto numéricos como literales. Razonamiento y demostración • Analizar los datos disponibles para deducir la regla de formación que se presentan en las sucesiones, analogías y distribuciones tanto numéricos como literales.


Psicotécnico En este capítulo aprenderemos a: • •

Identificar los diferentes modelos de test psicotécnicos. Analizar los gráficos y datos disponibles en los diferentes test psicotécnicos.

Fuente:http://www.psicofxp.com

Test de Warteg

Es una técnica proyectiva mediante la cual a través de un símbolo o estímulo tienes que crear algo. Sirve para ver algunos aspectos de la personalidad completando los dibujos mostrados.

Colegios

70

TRILCE

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1

Saberes previos • •

Capacidad de abstracción Ingenio y creatividad

Conceptos básicos En el presente capítulo analizaremos las sucesiones y analogías gráficas, matrices con figuras, elementos discordantes; así como el desarrollo de sólidos. El principal objetivo del presente capítulo es el de incentivar, desarrollar y fortalecer la aptitud de cada alumno, lograr agilizar su razonamiento y potenciar su capacidad de abstracción y entendimiento.

Sucesiones gráficas

En estos casos debemos buscar la relación existente entre las figuras que participan para luego concluir qué figura debe continuar.

Del gráfico:

* *

;

* ;

;

...

Ejemplo

Ejemplo

Resolución

Observamos que la parte sombreada gira en el sentido horario de dos en dos posiciones. Luego el cuadrado gira en el sentido antihorario de dos en dos. Por último, la figura con "*" gira en el sentido horario de tres en tres. Con este tipo de enfoque podemos deducir que la figura que continúa será:

*

Analogías gráficas

Ejemplo

En cada una de estas series de figuras, busque aquella que hará que el segundo par de figuras, guarde la misma relación que el primer par.

¿Qué figuras es? es a

como

es a ......

Resolución Las figuras externas ingresan, y viceversa, lo sombreado se blanquea. Rpta.:

Central: 619-8100

Unidad I

71


Elemento discordante

¿Qué figura no guarda relación con las otras?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Resolución El círculo negro se ubica siempre a la izquierda del triángulo sombreado, salvo en la opción (c) en la cual el círculo está a la derecha.

Ejemplo

Ejemplo

En cada una de las siguientes series de figuras determine aquella que no guarda relación con las otras restantes.

Matrices con figuras

¿Qué figura falta? Resolución En cada fila y en cada columna hay un cuadrado, entonces en la posición que falta debe ir un cuadrado. Además la figura deberá ir sombreada.

?

Rpta.:

Ejemplo

Ejemplo

Consiste en determinar la figura que complete el arreglo de filas y/o columnas.

Desarrollo de sólidos

Consiste en determinar a partir de la plantilla (figura plana ubicada en la parte izquierda) la figura espacial que se forma al doblarla.

¿Qué figura se forma? 1. (a)

Colegios

72

TRILCE

(b)

(c)

(d)

Ejemplo

Ejemplo

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1

Síntesis teórica Psicotécnico

Explota las habilidades y nuestro razonamiento mediante pruebas ordenadas con figuras

?

? ?

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Unidad I

73


10 x 5 50


En cada una de las siguientes series de figuras, determine la que no guarda la misma relación que las cuatro restantes.

1.

2.

•

4.

a)

b)

c)

d)

En cada una de las siguientes series de figuras, busque la figura que guarde la misma relación que el primer par.

?

e)

a)

a)

b)

c)

d)

e)

b)

c)

d)

e)

5.

es a

como

es a:

3.

a)

b)

c)

d)

e) a)

¿Qué figura sigue en cada una de las sucesiones gráficas siguientes? (Del 1 al 4)

c)

d)

e)

sociAprende sáb sotpemás... cnoC

•

b)

?

3.

1.

?

a)

b)

c)

a)

b)

c)

d)

e)

?

4.

2.

d)

e) a)

?

•

b)

c)

d)

e)

Indicar la figura que no guarda relación con las otras:

5.

a)

b)

c)

d)

e)

Colegios

74

TRILCE

a)

b)

c)

d)

e)

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6.

11.

1

H I K T A a)

b)

c)

d)

e)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

12.

7.

a)

a)

b)

c)

d)

e)

8.

13.

9.

a)

b)

c)

d)

e)

a)

b)

c)

d)

e)

14.

a)

10. Indicar la figura que falta.

b)

c)

d)

15.

?

a)

b)

c)

a)

d)

b)

c)

d)

e)

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. La figura muestra un sólido y su desarrollo (despliegue). De acuerdo a la información brindada. identifique la "cara incógnita". M

W

P

T

Q S

W

R

T

Z

R

Z

P

Cara inferior incógnita

a) S

Central: 619-8100

b) P

c) Z

d) Q

e) M

Unidad I

75


2. Indique la alternativa que continúa adecuadamente la siguiente secuencia gráfica:

a)

b)

c)

d)

e)

3. Seleccione la figura que no tiene la misma característica de las demás:

a)

b) c) d) e)

4. Indique la alternativa que no tiene relación con las demás: a)

b) c) d) e)

5. Indique la alternativa que no guarda relación con los demás: a)

b) c) d) e) 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos •

¿Qué figura sigue en cada una de las sucesiones gráficas siguientes? 3.

1.

?

?

a)

b)

c)

2.

e)

a)

TRILCE

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

e)

4.

?

Colegios

76

d)

? e)

a)

b)

c)

d)

e)

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5.

? a)

b)

c)

1

11. ¿Qué figura falta?

d)

e) ?

6.

?

a)

b)

c)

d)

e)

•

a)

b)

c)

d)

13.

b)

c)

c)

d)

e)

Desarrollo de sólidos

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

e)

8. ¿Qué figura no corresponde con las demás?

a)

b)

12.

7. ¿Qué figura no corresponde al grupo?

a)

d)

e)

9. Indicar la figura que falta: 14.

?

15.

a)

b)

c)

d)

e)

10. Indicar la figura que falta:

?

a)

b)

Central: 619-8100

c)

d)

e)

Unidad I

77

Sucesiones

Sucesiones .

En este capítulo aprenderemos a: • • •

Descubrir la ley de formación entre los términos de una sucesión. Calcular el término que corresponde en las distintas sucesiones propuestas. Discriminar los distintos tipos de sucesiones (numéricos y alfabéticas).

La sucesión de Fibonacci 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; ...

A

finales del siglo XII, la República de Pisa era una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de África. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional. Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia, ... ; para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo Los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de Artimética y Álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace en 1202, el Liber abaci, la primera suma matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; ... que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría: "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?

Colegios

78

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2

Saberes previos • Destreza en las cuatro operaciones fundamentales (rapidez mental)

Conceptos básicos Sucesión

Es un conjunto ordenado de elementos que pueden ser números, letras o figuras o una combinación de las anteriores. Estos elementos se caracterizan por seguir una regla de formación y lo que buscaremos en cada uno de los ejercicios es encontrar esa regla de formación.

Sucesiones numéricas

La regla de formación puede encontrarse de la siguiente manera: Aritmética: Mediante suma o resta de cantidades.

Ejemplo

•

9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 +2 +2 +2 +2

Geométrica: Mediante multiplicación o división de dos cantidades.

Ejemplo

•

1 ; 2 ; 4 ;

8 ; 16

×2 ×2 ×2 ×2

Combinadas: Cuando intervienen los dos anteriores.

Ejemplo

•

1 ; 2 ; 5 ;

10

; 13 ; 26

×2 +3 ×2 +3 ×2 •

2 ; 6 ; 8 ;

24

; 26 ; 78

; 80

×3 +2 ×3 +2 ×3 +2

Sucesiones literales

Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a los siguientes criterios: •

Lugar que ocupa la letra en el abecedario (no considerar "CH" ni "LL")

Central: 619-8100

A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

10

11

12

13

14

15

16

17

18

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

19

20

21

22

23

24

25

26

27

Unidad III

79

Indicar la letra que sigue en la siguiente sucesión: A ; C ; F ; J ; Ñ ; ...

Resolución

A

C

F

J

Ñ

1

3

6

10

15

...

+2 +3 +4 +5 +6

Ejemplo

Ejemplo

Sucesiones

La letra que sigue está asociada con el número: 15+6=21. La letra que sigue es la "T"

Síntesis teórica

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80

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10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

•

Los elementos de una sucesión se denominan términos de la sucesión..... ( ) • Las sucesiones numéricas son de dos tipos: Aritmética y Geométrica............ ( ) • Cuando la razón es un factor la sucesión es Aritmética ...................................... ( )

2. Relacionar correctamente: (a) Sucesión aritmética (b) Sucesión geométrica (c) Sucesión combinada (d) Sucesión literal 3. Dadas las siguientes fichas:

F

C

I

y sabiendo que en su cara opuesta está el numeral que representa el lugar que ocupa cada letra en el abecedario.

¿Cuál es el mayor numeral de cuatro cifras que se puede formar utilizando las fichas?

• ¿Cuál es el menor numeral de cuatro cifras que se puede formar utilizando las fichas? 4. Hallar el término que sigue en cada sucesión numérica:

( ) Factor ( ) Factor y sumando ( ) Letras ( ) Sumando

G

•

•

2 ; 5 ; 8 ; 11 ; ...

•

3 ; 8 ; 13 ; 18 ; ...

•

1 ; 3 ; 9 ; 27 ; ...

•

2 ; 6 ; 12 ; 36 ; ...

5. ¿Qué número sigue? 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; ...

Conceptos básicos Aprende más... 1. Juanito decide resolver su tarea de Razonamiento Matemático de la siguiente manera: Primer día: Resolvió dos ejercicios Segundo día: Resolvió tres ejercicios más que el primer día. Tercer día: Resolvió el doble de los que hizo el día anterior. Cuarto día: Resolvió tanto como los días anteriores (suma de los tres primeros días).

3. Analiza, detecta y corrige el error ¿Qué letra sigue en la siguiente sucesión? B ; E ; H ; K ; ... Resolviendo:

Proposición

V/F

Justificación

E

H

K

2

5

8

11

...

+3 +3 +3 +3

Ayúdelo Ud. averiguar cuántos ejercicios tendrá que resolver el quinto día. 2. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en:

B

•

•

La letra que sigue está asociada con el número: 11+3=14 La letra que sigue es la "M"

El error es:

Dada la sucesión: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; A El valor de "A"es 21 Dada la sucesión: 2; 3; 5; A; 11; B; 17 El valor de "A+B" es 22

Central: 619-8100

Unidad III

81

Sucesiones

•

Determinar el número o letra que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

11. ¿Qué término continúa? 8; 16; 17; 34; 35; 70; ...

4. 3; 5; 8; 13; 21; ...

5. 2; 4; 7; 28; 33; ...

12. Hallar el valor de "x+y+z", en: 23; 44; 66; 89; xy; 12z

6. 7; 12; 19; 28; 39; ...

7. A; F; K; O; ...

9. Determinar el valor de "x" en: 3; 6; 11; 19; 31; x a) 46 d) 68

b) 48 e) 72

c) 58

a) 960 d) 240

a) 40 d) 39

c) 61

b) 43 e) 45

c) 41

b) 480 e) 360

c) 720

a) H d) K

b) I e) L

c) J

14. ¿Qué letra continúa? A ; D ; H ; M ; R ; ...

10. Hallar el valor de "x" en: 1; 1; 2; 6; 24; 120; x

b) 54 e) 71

13. ¿Qué letra falta ? E ; F ; M ; A ; M ; J ; ...

8. A; B; I; FD; ...

a) 64 d) 81

a) V d) T

b) X e) U

c) Y

15. ¿Qué letra continúa? C ; P ; E ; R ; G ; P ; ... a) A b) W c) V d) Y e) I

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Una pareja de conejos da cría cada mes, dando origen a otra pareja; cada una de las nuevas parejas pueden dar cría a partir del segundo mes de vida. Sin considerar la posibilidad de que alguno muera, ¿cuántas parejas de conejos habrá al cabo de ocho meses?

4. C ; D ; Q ; V ; V ; T ; ...

a) 85 d) 110

•

En cada uno de los siguientes casos ¿qué número o letra sigue?

b) 64 e) 55

c) 256

2. 114 ; 57 ; 54 ; 27 ; 24 ; 12 ; ...

a) 7 d) 12

Colegios

82

TRILCE

b) 8 e) 20

3. 0 ; 7 ; 26 ; 63 ; ...

a) 120 d) 124

a) R d) S

b) 25 e) 64

b) V e) T

c) 125

c) W

5. E ; L ; F ; M ; M ; M ; ...

a) J ; J d) A ; J

b) J ; A e) P ; Q

c) L ; X

c) 9

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 18:10:45

2

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Un profesor repartió cierta cantidad de caramelos de la siguiente manera: el primer alumno recibió dos caramelos, el segundo recibió seis caramelos, el tercer alumno recibió diez caramelos y así sucesivamente hasta el último que recibió 30 caramelos.

• •

¿Cuántos alumnos recibieron caramelos? ¿Cuántos caramelos repartió el profesor?

2. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso: Proposición

V/F

Justificación

Dada la sucesión: A; D; I; O ; ? El término que sigue es "S"

Dada la sucesión: U; D; T; C ; C ; ... El término que sigue es "S"

3. Analiza, detecta y corrige el error. Determinar el valor de "x" en: 3; 6; 11; 19; 31; x Resolución •

3 ; 6

5. Hallar el valor de "x" e "y" en: 2; 3; 4; 6; 8; 11; 16; 18; x; y 6. Hallar el par de letras que sigue en: (C;F) ; (F;H) ; (K;L) ; (N;N) ; (R;Q) ; ... 7. Hallar el par de elementos que sigue en: (1;a) ; (1;c) ; (2;e) ; (6;g) ; ... •

En cada caso, hallar el número o letra que continúa:

8. 1; 8; 27; 64; 125; 216; ... 9. 5; 9; 14; 21; 31; ... 10. P; S; T; C; Q; S; S; O; N... 11. R; 1; Z; 16; N; 1; M; 9; E; 14; T; ... 12. A; F; K; O; ... 13. Hallar el valor de "x+y"; en:

; 11 ; 19 ; 31 ; x

+3 +5 +8 +12 +y • •

4. ¿Qué número sigue? 2; 5; 10; 25; 42; 93; x

+2 +3 +4 +6

y=12+6=18 x=31+18=49

5 6 8 11 x ; ; ; ; ; .... 17 16 14 11 y

14. ¿Qué término continúa? A C F J ; ; ; ... ; B D H N 15. ¿Qué termino continúa? AB; BD; DG; GK; ...

El error es:

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Unidad III

83


Analogías y distribuciones .


Discriminar entre una analogía y distribución numérica. Descubrir la ley de formación entre las filas de una analogía numérica. Descubrir la ley de formación entre las filas o columnas de una distribución numérica.

2 4 1 3 5 6 7 8

¿Qué nombre le pondríamos a este peculiar corazón? •

Colegios

84

Una pista, está formado por dos palabras: G

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3

Saberes previos •

Destreza en las cuatro operaciones fundamentales (rapidez mental)

Conceptos básicos Analogías numéricas

Hallar el valor de "x" 14

(12)

13 19

(15) ( x )

Resolución Fila 1 14 + 10 = 12 2

10 → Fila 1 17 → Fila 2 23 → Fila 3 Incógnita Fila 2

Fila 3

13 + 17 = 15 2

19 + 23 = x 2

Ejemplo

Ejemplo

Es una disposición de números en tres columnas, en donde los valores de la columna central van entre paréntesis. Lo que se requiere es encontrar una ley de formación que se verifique en cada fila (la primera y la segunda), para poder hallar el valor pedido en la tercera fila.

x=21  x=21

Distribuciones numéricas

Calcular el valor de "a" 4 8 11 3 2 1 8 4 a Resolución •

E n las columnas: 4 ×3+8=12+8=20 8 ×2+4=16+4=20 1 1×1+a=11+a=20  a=9 a=9

Central: 619-8100

Ejemplo

Ejemplo

En este caso, a diferencia de la analogía numérica, la relación puede ser horizontal o vertical (nunca diagonal) y ningún número va entre paréntesis.

Unidad I

85


Distribuciones gráficas

Hallar el valor de "x"

5 Resolución

6

3

5

32

23

x

2

7

•

En cada figura:

5×6+2=30+2=32

7×3+2=21+2=23

8×5+7=40+7=x

2



8

Ejemplo

Ejemplo

En este caso se dispone de números en un gráfico mediante una relación que debe ser identificada para hallar el valor de la incógnita.

7

x = 47

Síntesis teórica

Colegios

86

3

(13)

2

8

5 7

(26) ( ? )

1 3

7 3 26 9 1 ?

TRILCE

2 23

8 2 3

3 3 1

? 4 2

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10 x 5 50

3

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC • 1.

En las siguientes analogías numéricas hallar el valor de "x" 5

(12)

7

8 6

(23) ( x )

15 19

2.

( 8 )

4

5 7

(30) ( x )

6 9

•

Hallar el valor de "x" en:

5. 5

(17)

64

41 93

(12) ( x )

52 72

12

x =

27

34

3

7 3 6 16 5 2 8 x

x =

5

2

3.

4

x =

4. En la siguiente distribución numérica, hallar el valor de la incógnita.

30 4

2

3

x 4

5

7

4 3

x =


Hallar el valor de "x" en cada ejercicio:

1. 123

(12)

42

234 342

(16) ( x )

61 85

a) 20 d) 24

2.

8 23 9

b) 21 e) 25 (80)

5

(92) ( x )

2 6

a) 54 d) 108

b) 57 e) 15

3. 57

(22)

46

421 925

(20) ( x )

652 873

a) 50 d) 18

Central: 619-8100

b) 32 e) 20

4. 5

(225)

3

6 7

(900) ( x )

5 2

c) 22

c) 34

b) 121 e) 169

5. 3

( 2 )

10

5 6

( 3 ) ( 2 )

17 x

c) 104

a) 196 d) 125

6.

a) 22 d) 17

b) 4 e) 23

c) 400

c) 13

2 3 1 2 2 3 7 x 0 a) 2 d) 8

b) 1 e) 10

c) 5

Unidad I

87


7. 12

(171)

3

8 20

(72) ( x )

2 2

a) 422 d) 413

12. Hallar el valor de "x". 9 3 7 21

b) 380 e) 424

c) 408

8. Hallar el valor de "x". 17

13 23

15

x

24

17 43

2

a) 51 d) 7

a) 21 d) 18

9. Hallar el valor de "x". 25 7

x 2 8

a) 65 d) 36

13

49

7

9

3

6

3 2

8

1

14

2

8

4

1

a) 17 d) 47

23

2 a) 49 d) 24

5

2

7

7

5 3

c) 23

28

6

a) 12 d) 4

Colegios

TRILCE

4

9

13

5

2

1 c) 37

a) 13 d) 19

7

9

2

5

1

x

4

3 c) 37

3

x

b) 15 e) 21

7 11

c) 17

6 x

3 b) 23 e) 87

4

6

b) 27 e) 57

15. Hallar el valor de "x".

2

9

b) 34 e) 43

25

8

35

7

x


88

5

16

b) 64 e) 33

3 c) 47

x

a) 31 d) 40

3 c) 64

3 4

4

b) 61 e) 57

3

5

10. Hallar el valor de "x". 6

2


1

b) 18 e) 81

x

5

27

c) 19

5


52

b) 20 e) 17

9

41 1

8

3

7

5 c) 3

www.trilce.edu.pe


3

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. ¿Cuál es el valor de "x"? 16 8


4 2

6

a) 1 d) 4

8

9 3

6

b) 2 e) 5

x

c) 3

2. ¿Qué palabra debe escribirse en el espacio mostrado?

1 2

a) 9 d) 12

3

5 11 5

4 13 24 6 11 x

2 3 a) 16 d) 12

(10) ( x )

x

8

7 c) 11

5. Hallar el valor de "x". 8 5 16

49 (..........) 71

3. ¿Cuál es el valor de "x"? 4 (20)

4

b) 10 e) 8

2 10 9

b) DIGA e) BEJE

6

9

31 ( CAFE ) 65

a) LECHE d) DIHA

5

4

c) DIME

a) 32 d) 26

b) 29 e) 30

c) 31

4 6 4

b) 13 e) 18

c) 19

18:10:45


En cada caso hallar el valor de "x"

1.

7 12 9

2. 26 32 18 3.

442 537 927

4.

( 8 ) ( 8 ) ( x )

9 4 31

( 6 ) ( 7 ) ( x )

14 18 12

( 4 ) ( 7 ) ( x )

213 341 554

4 6 9

5.

5 2 4 14

6 3 5 23 7 5 3 x

6.

12 20 40 2 5 4 5 7 x

7.

2 3 4 10

3 2 3 9 5 1 9 x

8.

3 7 8

6 4 7 17

12 42

Central: 619-8100

x

5 6 5 25 9 3 6 x

Unidad I

89


9.

10.

16

(12)

3

36 49

(30) ( x )

5 2

9 5

4 3

33

6

3 2

x

2

13.

5

3

27

7

14 17 11 20 8 x 5 2

14. 5

4

3

1

3

9

2

2

11.

8

45

x

24

6

3

5

3

6

2

8

3

7

4

9

1

4

8 2

Colegios

TRILCE

4 5

2 9

42

x 7 2

5 6

4

2 2

2

36

16

15.

12.

90

7

2

x

8 3

6

4

8 14

7

16

x

14

3 4

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4

Repaso III ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente.

. • • •

Central: 619-8100

Psicotécnico. Sucesiones. Analogías y distribuciones

Unidad III

91

Repaso III


8. Indique el par de letras que continúan: D; C; S; O; ...

¿Qué figura sigue en cada caso?

?

1.

a)

b)

c)

d)

e)

?

a)

b)

c)

d)

e)

b) N; C e) Q; C

c) D; D

9. ¿Qué letras siguen? L; M; M; J; ...

2.

a) S; D d) D; Q

a) O; D d) S; O

b) N; C e) O; T

c) V; S

10. ¿Qué letra continúa? E; C; L; I; R; ... a) R b) T d) A e) M

c) Ñ


?

3.

a)

b)

c)

d)

e)


4. Hallar el número que continúa: 5; 6; 12; 3; 4; 8; ...

a) 6 d) 12

b) 2 e) 16

5. Hallar "X+P+R" en: • 1; 4; 27; 256; X • 2; 16; 64; 128; R

a) 3039 d) 1582

• 1 ; 2; 9 ; 8; 25 ; P 2 2 2

b) 2876 e) 3271

a) Ñ; Z d) Ñ; D

b) Q; Y e) O; Z

2 x

16 15

a) Ñ; S d) N; T

Colegios

92

TRILCE

b) Ñ; R e) M; U

18

a) 20 b) 15 c) 25 d) 30 e) 32

x 24

22 14. Hallar el número que falta:

5 3 8 2 7 6 2 9 9 12 11 ?

7. ¿Qué letras continúan? B; A; E; F; H; K; K; O; ...

26

4 7


c) 3266

c) N; D

a) 63 b) 65 c) 72 d) 73 e) 35

3

c) 8

6. ¿Qué letras siguen? • A; C; F; J; ... • C; G; M; T; ...

a) 169 b) 123 c) 284 d) 264 e) 236

7 11 5 17 x 23 117 46

c) M; S

a) 13 d) 11

b) 9 e) 10

c) 12

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15. ¿Qué número falta? 18 9 5 7 15 10 ? 6 18

a) 10 d) 8

4

1 0 1 2 2 3 4 1 2 1 4 x

b) 6 e) 12

c) 7

a) 1 d) 2

b) 3 e) 4

c) 5 18:10:45


¿Qué figura sigue en cada caso?

1.

? a)

b)

c)

2.

d)

e)

? a)

b)

c)

d)

e)

?

3.

a)

b)

c)

d)

e)

8. Indicar la letra que continúa: E; G; I; K; M; ... 9. Indicar la letra que continúa: H; L; O; S; ... 10. Calcular: TRILCE + UNI + EXITO

• 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; TRILCE

• 47; 29; 18; 11; 7; 4; UNI

• 1; 1; 2; 4; 7; 13; 24; EXITO 11. Hallar el valor de: a+b

• 1; 1; 4; 9; 25; 64; 169; a

• 2; 3; 4; 9; 16; 29; b

12. Hallar el número que continúa en: 2; 3; 4; 9; 16; 29; ... 13. Hallar el valor de "x". 2

1 x

4.

4

3 1

14. ¿Qué número falta? a)

b)

c)

d)

e)

5. ¿Qué número continúa? 1; 1; 2; 3; 5; ... 6. Hallar el término que sigue en la siguiente sucesión: 3; 5; 9; 15; 23; ... 7. Complete en la sucesión el número que falta: 1; 10; 2; 9; 3; ...

Central: 619-8100

46

(58)

70

73 48

(79) ( ? )

85 56

15. ¿Qué número falta?

4

(64)

16

9 7

(108) ( ? )

12 15

Unidad III

93

UNIDAD IV

Cuenta como jugando Puentes de Konigsberg El problema de los siete puentes de Konigsberg es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos. Konigsberg es el antiguo nombre de la ciudad de Kaliningrado. El problema consiste en lo siguiente: "Dos islas en el río Pregel que cruza Konigsberg se unen entre ellos con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?"

. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar las figuras simples y compuestas para su posterior contabilización. Resolución de problemas • Elaborar estrategias para la resolución de problemas de perímetros y áreas. Razonamiento y demostración • Analizar los datos disponibles para realizar los gráficos de un solo trazo.


Conteo de figuras

1

.


Descubrir y aplicar métodos para realizar el conteo de diversas figuras. Encontrar la máxima cantidad de figuras de un determinado tipo presente en una figura principal. Encontrar todos los caminos o recorridos posibles desde un punto a otro.

Figuras geométricas •

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Central: 619-8100

Unidad II

95

Pensamiento lateral


Conocer y reconocer regiones triangulares y cuadrangulares. Buena comprensión lectora.

Conceptos básicos En el presente capítulo estudiaremos la técnica de conteo directo para determinar la cantidad máxima de figuras de una determinada forma presentes en una figura dada y, luego de ello, también estudiaremos el conteo de caminos.

Conteo de figuras

Conteo directo Consiste en calcular el número máximo de figuras del tipo deseado, procediendo de la siguiente manera:

• •

¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Ejemplo

Ejemplo

Numeración de las figuras simples mediante números y/o letras. Conteo ordenado de las figuras con una letra, con dos letras, con tres letras y así sucesivamente.

Resolución

b a

c

•

De una letra: a , b , c , d ...... 4

•

De dos letras: (a,d) (b,c) ....... 2

•

De tres letras: .................. 0

• De cuatro letras: (a,b,c,d) ..... 1 Total de triángulos = 7

d

Conteo de caminos

¿De cuántas maneras se puede viajar de la ciudad "A" a la ciudad "B", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje? C A

D E

Colegios

96

TRILCE

Resolución

•

Para partir de "A" tenemos tres posibilidades: C A

B

D E

B

Ejemplo

Ejemplo

Encontraremos gran variedad de situaciones que requieren mucho ingenio.

i. Analicemos el primer caso: AC: Te encuentras en "C", puedes seguir los caminos: CB y CDEB

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ii. Luego: AD: Te encuentras en "D", se puede seguir: DCB, DEB

iii. Finalmente: AE:Te encuentras en "E", se puede seguir: EB, EDCB

1

• Es decir, todos los caminos son: ACB, ACDEB, ADCB, ADEB, AEB, AEDCB

⇒ Respuesta: Se puede ir de seis maneras.

Síntesis teórica

Llegada 10 x 5 50


En la siguiente figura:

c a

d

b e

f

C

A

M : Triángulo de 1 letra N : Triángulos de 2 letras P : Triángulos de 3 letras

H

• Hallar: 1.

3. A continuación se indican los distintos caminos que existen para llegar de "A" hacia "B", sin pasar dos veces por un mismo punto de viaje, indicar si es (V) verdadero o (F) si es falso.

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E

B

G

• • • •

ACDB ............... ( ) AHGFB.............. ( ) ACDEB .............. ( ) AHGFEB ........... ( )

F

¿Cuántos cuadriláteros hay en las siguientes figuras?

4.

M+N P

2. M+P×N

D

5.

Unidad II

97

Pensamiento lateral

Conceptos básicos Aprende más... 1. En la siguiente figura: M : Triángulo de una letra N : Triángulos de dos letras P : Triángulos de tres letras

b c a

f

e

•

d

•

Hallar: M×N+P

•

•

Hallar: M+N P Número total de triángulos

a

c

d

e g

C

B

A

M : Triángulo de una letra N : Triángulos de dos letras P : Triángulos de cinco letras

f

3.

E

2. Analiza, detecta y corrige el error, al contar en la siguiente figura:

b

En cada caso determinar la cantidad máxima de caminos a seguir para trasladarse de "A" a "E" teniendo en cuenta que no puede pasar en cada recorrido, más de una vez por cada uno de los puntos.

Hallar: M+N×P

Resolviendo

•

De una letra: a,b,c,e,f,g

•

De dos letras: (a,b) (a,c) (b,d) (e,d) (e,f) (f,g)  6

•

De tres letras: (b,d,g) (c,d,e)  2

•

De cinco letras: (a,b,c,d,g) (c,d,e,f,g) 

•

Luego:

Por lo tanto: M+N×P

El error es:

4.

D B

C

D

E

A

5 . ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

 7

a) 12 d) 18

b) 15 e) 16

c) 13

6. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

2

M= 7; N= 6; P = 2

a) 17 d) 12

b) 13 e) 15

c) 16

7. Hallar el número de triángulos.

Colegios

98

TRILCE

a) 15 d) 24

b) 18 e) 16

c) 20

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8. Calcular el número de triángulos.

12. Hallar el número total de cuadriláteros y triángulos en la figura, luego suma estos valores.

9. Hallar la totalidad de cuadriláteros.

a) 18 d) 7

b) 23 e) 12

c) 9

10. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

1

a) 13 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16 13. En la figura, ¿en cuánto excede el número de triángulos al número de cuadriláteros?

a) 8 d) 11

b) 9 e) 7

c) 10

14. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?

a) 15 d) 18

b) 16 e) 19

c) 17

11. Hallar la totalidad de triángulos.

a) 45 d) 48

Central: 619-8100

b) 46 e) 42

c) 47

a) 16 b) 25 c) 28 d) 30 e) 32 15. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 16 d) 24

b) 17 e) 20

c) 18

Unidad II

99

Pensamiento lateral

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

a) 67 d) 69

b) 68 e) 70

c) 65

4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

a) 29 d) 32

b) 30 e) 28

c) 31

2. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

a) 66 d) 69

b) 67 e) 70

c) 68

5. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura adjunta?

a) 6 d) 8

b) 7 e) 9

c) 5

3. ¿Cuántos triángulos que por lo menos tengan un * en su interior hay en la figura?

* *

a) 50 d) 56

b) 51 e) 54

c) 52

* *

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Cuando TRILCITO desea ir desde su casa al colegio sigue siempre un camino diferente. Si comienza el día 6 de marzo, ¿qué día deberá volver a repetir una de sus rutas? (El desplazamiento debe ser solo hacia el norte o este)

N

Colegios

100

TRILCE

E

2. En la siguiente figura: b a d c

e

M : Triángulo de una letra N : Triángulos de dos letras P : Triángulos de tres letras

•

Hallar: P+M×N

•

•

Hallar: M+N P Total de triángulos

•

En cada caso determinar la cantidad de caminos a seguir para trasladarse de "A" a "E" teniendo en cuenta que no puede pasar en cada recorrido, más de una vez por cada uno de los puntos.

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3.

B

E

• A

D 4.

Hallar el número de triángulos en:

1

10.

C D

A

E

11.

C B • ¿Cuántos triángulos hay en cada una de las siguientes figuras? 5.

12.

6.

13. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?

7. •

•

En las figuras que se proponen a continuación, encuentre el número de los triángulos que tienen un asterisco (*) en su interior.

¿Cuántos cuadriláteros hay en cada una de las 14. siguientes figuras?

*

8.

*

15.

* *

*

9.

Central: 619-8100

Unidad II

101


Trazado de figuras .

En este capítulo aprenderemos a: • •

Discriminar entre un vértice par y un vértice impar. Analizar las distintas condiciones para realizar gráficos de un solo trazo.

• Unir los puntos de la figura usando seis trazos continuos y sin levantar el lápiz (tiempo estimado 30 s).

Fuente:http://2.fimagenes.com

Colegios

102

TRILCE

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2

Saberes previos • Conceptos elementales de Geometría (punto, vértice, trazos) • Buena comprensión lectora.

Conceptos básicos Introducción

El matemático Leonardo Euler demostró que una gráfica se puede dibujar de un solo trazo siempre y cuando tenga como máximo dos vértices impares. Para poder comprenderlo explicaremos qué fue considerado como vértice par e impar.

Vértice par (P)

Se llama así a todo punto de una gráfica en la cual convergen una cantidad par de líneas. Ejemplos

P

P

P

Vértice impar (I)

Se llama así a todo punto de una gráfica en la cual convergen una cantidad impar de líneas. Ejemplos

I I

I

Analicemos los casos si se pueden o no realizar un gráfico de un solo trazo y ¿por qué?

• Caso I

• Caso II

P

P

I

• Caso III P

I I

I I

P

I P P

P

Sí se puede, porque en la gráfica todos sus vértices son pares.

Central: 619-8100

P

I

P

Sí se puede, porque en la gráfica existen solo dos vértices impares.

I

I

I

NO se puede, porque en la gráfica hay más de dos vértices impares.

Unidad II

103


Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

•

Un vértice es la intersección de dos líneas o más ............................. ( ) Vértice Par es aquel donde convergen un número par de líneas ...................... ( ) Vértice Impar es aquel donde convergen tres líneas ............................. ( )

•

•

•

En las siguientes figuras, hallar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente.

2.

Vértices pares =

Vértices impares =

•

Determine si los siguientes gráficos se pueden o no realizar de un solo trazo.

4.

Rpta. :

5.

3. Vértices pares = Vértices impares =

Colegios

104

TRILCE

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2


socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. ¿Qué figuras se pueden hacer de un solo trazo?

• En cada caso, indicar si la figura se puede realizar de un solo trazo e indicar la cantidad de puntos impares que tiene. 3.

(I)

(II)

a) Solo I d) II y III

(III)

b) Solo II e) Todas

c) Solo III

2. ¿Qué figura(s) se puede(n) hacer de un solo trazo sin levantar el lápiz, ni pasar dos veces por el mismo lugar?

(I)

(II)

a) Solo I d) Todas

(III)

b) Solo II e) Ninguna

c) Solo III

4.

5. Intenta realizar una figura de un solo trazo, que tenga tres puntos impares. ¿Es posible realizar esa figura?

Conceptos básicos Aprende más... 1. Un maratonista desea recorrer una ciudad con la condición de pasar tan solo una vez por cada calle o avenida. ¿Podrá lograrlo?

3.

4.

• Determinar qué gráficas se pueden dibujar de un solo trazo. • Para cada una de las siguientes figuras, es posible dibujarlas de un solo trazo comenzando desde un vértice y terminando en el mismo vértice.

Gráfico

V/F

5.

Justificación

2. Rpta. :

Central: 619-8100

Unidad II

105


12.

6.

I

Rpta. :

7.

a) II y III d) Solo II

II

III

b) I y II e) Solo III

c) Solo I

II b) Solo II e) II y III

III c) Solo III

13.

Rpta. :

8.

14. ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado el cual se ha dividido en cuatro partes iguales. ¿Cuántos centímetros como mínimo se debe recorrer con el lápiz, sin levantar del papel para dibujarlo?

Rpta. :

9.

•

A continuación, de las preguntas 11 al 18, se dan tres pares de figuras. ¿Cuál de ellas es posible dibujarlo o recorrerlo de un solo trazo?

II

a) I d) Todas

b) II e) II y III

106

D

c) I y II

I a) Solo III d) I y III

Colegios

C

III

11.

B

15. En el gráfico, indicar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente.

I

A Rpta. :

10.

I a) Solo I d) I y II

TRILCE

II

III

b) Solo I e) II y III

c) Solo II

a) 8 y 12 d) 17 y 3

b) 11 y 9 e) 14 y 6

c) 15 y 5

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2

soPractica cisáb soten peccasa noC 8.

Puente

Puente

Puente

Puente

1. ¿Se podrá hacer un paseo pasando por todos los puentes del gráfico tan solo una vez?

Puente

Puente

Puente

2. En un triángulo de 6 cm de lado, el cual se ha dividido en cuatro partes, ¿cuántos centímetros como mínimo se debe recorrer con el lápiz para dibujarlo sin levantar del papel?

• Para cada una de las siguientes figuras, es posible dibujarlas en un solo trazo comenzando desde un vértice y terminando en el mismo vértice. Gráfico

V/F

Justificación

3.

9.

10.

11.

•

A continuación, de las preguntas 12 al 15, se dan tres pares de figuras. ¿Cuál de ellas es posible dibujarla de un solo trazo?

12. 4.

5.

•

I

13.

Determinar qué gráficos se pueden dibujar de un solo trazo.

14.

I

15.

I

II

III

II

III

6.

7.

Central: 619-8100

I

II

II

III

III

Unidad II

107


Perímetros y áreas .


Manejar y despejar fórmulas sobre perímetros y áreas. Establecer estrategias para la resolución de ejercicios sobre perímetros y áreas. Discriminar las figuras geométricas.

Estadio Monumental del Perú •

¿Podrías encontrar el perímetro y el área del campo principal del Estadio Monumental del Perú?

•

¿Con datos adicionales podríamos encontrar el valor perimetral de todo el estadio?

a http://www.cafedelasciudades.com.ar

b

Colegios

108

TRILCE

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3


Manejo de operaciones básicas Despejar fórmulas

Conceptos básicos Perímetro (P)

Es la suma de los lados que rodea una región.

Área (A)

El área de una región es la medida de dicha región y se expresa en unidades cuadradas.

Fórmulas principales • Cuadrado

• Rectángulo

P=4L A=L2

L

L

P = 2b+2h

h

A = b×h b

• Triángulo B c

A

h b

P = a+b+c

a

Área=

b×h 2

C

Síntesis teórica

h

Central: 619-8100

Unidad II

109


10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda. Proposición

V/F

Justificación

Si el área que encierra un cuadrado es igual a 144 m2, entonces su lado mide 12 m.

2. Calcular la longitud del lado de un cuadrado cuya área es 121 cm2. 3. Calcular el área de una región cuadrada, si su perímetro es igual a 48 cm. 4. Calcular el área de una región rectangular, si su perímetro es igual a 40 cm, siendo su largo el triple de su ancho.

Si el perímetro de un cuadrado es igual a 24 unidades entonces su lado es igual a cuatro unidades.

5. Si la base de un triángulo es el quíntuplo de su altura y esta además mide 3 cm, calcular el área de dicha región triangular.

Conceptos básicos Aprende más... 1. Si todas las habitaciones son regiones cuadradas, calcular el área del Salón de actos, si además se sabe que: Área Sala = 25 m2

A

Q

Área Oficina = 9 m2

B

Sala

P

D

a) 36 cm d) 40

E R

F b) 56 e) 64

Oficina

7

2. Hallar el perímetro de la siguiente figura: 2

2

a) 24 µ d) 34

3

b) 52 e) 36

c) 48

3. Si los triángulos ABC, DEF y PQR son equiláteros; además el lado del triángulo ABC es 8 cm, hallar la suma de los perímetros de los triángulos ABC, DEF y PQR.

Colegios

110

TRILCE

9

4

c) 42

4. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

Salón de actos

10

C

a) 15 d) 32

b) 16 e) 36

c) 30

5. Desde un punto situado a 24 m de una torre de 7 m de alto, se observa la parte superior de dicha torre. ¿Qué distancia hay entre dicho punto y la parte superior de la torre?

a) 20 m d) 21

b) 22 e) 24

c) 25

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6. Hallar el perímetro de la región sombreada. 5 9

a) 1901mm2 d) 1910

b) 901 e) 1190

c) 1019

3

12. Calcular el área de la región sombreada. 12

70 mm 20 mm

a) 33 d) 53

b) 50 e) 54

c) 42 55 mm

7. Dos postes de 5 y 12 metros, están separadas 24m, ¿cuál es la distancia entre sus extremos superiores? a) 25m b) 30 c) 28 d) 26 e) 18 8. Calcular el área que encierra un cuadrado cuyo lado mide 7,5 m.

a) 49,5 m2 d) 56

b) 49,25 e) 56,25

c) 48,6

9. Calcular el área de la región sombreada.

15 mm

a) 2950 mm2 d) 1580

b) 2590 e) 1000

13. Si la base de un rectángulo y su altura suman 120 cm, y su altura es los 2/3 de su base; calcular el área de la región rectangular.

a) 3456 cm2 d) 4365

b) 4563 e) 5463

c) 6 43

14. Calcular el área de la región sombreada. 12 mm

B

C

12 mm 12 mm

12 mm

18 u

A

D 17 mm

34 u

a) (612 - 81 π)u2 b) 600 π d) 821+8 π e) 8 π - 14

a) 120 cm2 d) 140

b) 125 e) 150

c) 150

11. Calcular el área de la región sombreada. 24 mm 8 mm

E

H

c) 340 - 9 π

12 mm 12 mm

10. Calcular el área de la región triangular cuya base es los 2/5 de su altura, siendo su altura de 25 cm.

c) 1850

G

F

12 mm

17 mm

a) 3391 mm2 d) 1963

b) 3931 e) 1393

c) 1339

15. Calcular el área de una región triángular, si un cateto es triple del otro, siendo el cateto menor de 6 cm.

a) 45 cm2 d) 18

b) 9 e) 72

c) 54

22 mm

14 mm

Central: 619-8100

34 mm

Unidad II

111


¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Un ave que se encuentra en el punto "A", desea llevar hacia "B" un maíz de los que se encuentran en el piso DC . ¿Cuál será el menor recorrido que hará el ave?

A B

70 cm

30 cm D

C

75 cm

a) 175 cm b) 125 c) 120 d) 115 e) 110 2. Calcular el menor recorrido del punto "A" hacia el punto "B" en el sólido mostrado. A 10

B

30

30

a) 15 cm b) 20 c) 70 d) 60 e) 50 3. Los lados de un triángulo miden 9; 16 y 18 cm. ¿En cuánto habrá que disminuir los tres lados para que el triángulo sea rectángulo? a) 1 cm b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. En la figura: 169cm2

225cm2 12

S Calcular el área cuadrangular "S"

a) 144 cm2 b) 196 c) 289 d) 361 e) 121

5. Sean tres barriles de radio "R" atados de la forma "A" y "B". ¿En cuál se gasta menos alambre y cuál es la diferencia?

•

a) "B"; R Colegios

112

Forma "A"

TRILCE

•

b) "B"; 3R

c) "B"; 2R

Forma "B"

d) "A"; 2R

e) "A"; R www.trilce.edu.pe


3

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcular el perímetro de la siguiente figura.


12m

9u

10m

19u

15u

12u

5m 24m

23u

2. En lugar de ir por los lados de un terreno de 60×80 m, para ir de una esquina a otra, una persona lo atraviesa por su diagonal. ¿Cuántos metros se ahorra?

11. Calcular el área de la región sombreada. 30u

3. Hallar el perímetro de la región sombreada si el área rectangular es 168 cm2. 5 9

20u

18u

12. Calcular el área de la región sombreada, sabiendo que es un cuadrado.

4. Dados los cuadrados "A", "B" y "C". Hallar el perímetro de la figura que forman.

2x - 4

B 10

x+3

2

A


C (a+1) cm

5. Hallar el perímetro de la siguiente figura.

20m

(3a - 5)

14. Calcular el área de la región sombreada. 10m

6. Calcular el área de la región rectangular donde su base es un tercio de su altura, si ambas suman 20 cm.

8u R

7. Calcular el área que encierra un triángulo rectángulo de catetos 7 cm y 18 cm. 8. La base de un rectángulo y su altura suman 60 cm. Calcular el área de la región rectangular, si su altura es los 2/3 de su base. 9. Calcular el área que encierra un cuadrado cuyo lado mide 12,5 cm.

Central: 619-8100

R

R

R

8u


18 mm

36 mm

Unidad II

113

Repaso II

Repaso IV ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados durante el bimestre

. • • •

6 2

2

Conteo de figuras. Trazado de figuras. Perímetros y áreas

6 2

2

2

2

2

6

2

2

Colegios

114

TRILCE

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4

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Calcule cuántos triángulos se cuentan en la siguiente figura:

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

6. ¿Cuántos cuadriláteros se observa en la siguiente figura?

c) 8

2. Calcule el número de triángulos en la siguiente figura:

a) 16 d) 15

b) 17 e) 18

c) 19

7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 24 d) 19

b) 29 e) 33

c) 32

3. En la siguiente figura, indique el número total de cuadriláteros que no sean cuadrados.

a) 58 d) 45

b) 57 e) 44

c) 41

4. ¿Cuántos cuadriláteros en total se observa en cada caso? •

a) 35 d) 22

b) 39 e) 38

c) 40

8. Hallar el perímetro de la siguiente figura, si existen seis rectángulos iguales cada uno de largo "L" y de ancho "A".

•

A L

a) 24 - 5 d) 26 - 7

b) 24 - 7 e) 22 - 5

c) 26 - 8

a) 6L+4A d) 4(L+A)

b) 8L+6A e) 6L+8A

c) 6(L+A)

9. Hallar el perímetro de la siguiente figura: c

5. Calcule el número total de cuadriláteros. a

c a

a) 55 d) 50

Central: 619-8100

b) 58 e) 44

c) 56

a) 4a - 4c d) 8a - 2c

b) 8a - 4c e) 4a - 2c

c) 4a

Unidad II

115

Repaso II

10. Del siguiente gráfico, hallar la suma de la longitud de todas las semicircunferencias. B

40cm

9m

30cm

A

11m

C

a) 40 π cm d) 100π

10m

b) 60π e) 120π

c) 80π

11. En la figura, las regiones son semicírculos de radios diferentes. Hallar el perímetro de la región sombreada; si: AB = 12 u ; BC=9 u. C

a) $ 1000 d) 2000

b) 1600 e) 2400

c) 1800

14. Dado el cuadrado ABCD y el triángulo isósceles EFG de lados: EF=FG=a, calcular el perímetro de la región sombreada. C a B F E

A

a) 6(π+2) u d) 13 π +8

D A

B b) 8(π+1) e) 12(π +1)

G

c) 10π+8

12. Halle el perímetro de la región sombreada, si L=4. B C

a) (4+ 2 )a

b) (1+ 2 )a

d) 8a

e) (4+2 2 )a

15. Hallar el perímetro de la siguiente figura: b

A

a) 3 d) 6

L

b

a

D

b) 1 e) 4

c) (5 2 )a

c) 8

13. Se desea alfombrar la escalera que se muestra en la figura (la escalera consta de 20 escalones) si el metro cuadrado de alfombra cuesta 10 dólares, calcular el costo de la alfombra.

b

a) a+2b c) 2(a+2b ) e) a+2b+2c

b b) 2(a+2b - 2c) d) 2a+b - c 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Hallar el número de cuadriláteros:

Colegios

116

TRILCE

2. Calcular la cantidad de triángulos en la figura:

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3. Calcular el número de cuadriláteros en la figura:

10. Si "h" es el lado del cuadrado ABCD, entonces el perímetro de la figura ADCFEG, es: B F C

G 4. Hallar el número de triángulos en:

5. Hallar el número total de triángulos en:

4

E

A

D

11. Se suelta una hormiga y una mosca del punto "A", si ambas llegan al punto "B", ¿cuál es la suma de las mínimas distancias que recorrerán la mosca y la hormiga? (Suponer que es un cubo formado por palitos apoyado en el piso). A

8u

8u

B 8u

6. Hallar el número de triángulos en:

8u

12. Tres rectángulos de 7 cm de largo y 2 cm de ancho se han superpuesto en la forma en que se indica en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la figura resultante? 7. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

8. Halle el número de cuadrados en:

13. Hallar el perímetro de figura sombreada si el lado del triángulo ABC es 12 cm. B

A

9. En la siguiente figura, ¿cuántos cuadrados se puede contar?

C

14. Hallar el perímetro de la región sombreada. 2a 2b

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Unidad II

117

UNIDAD V Aprendiendo con las cuatro operaciones fundamentales

T

res chicas universitarias desean adquirir un Home Theater que han visto en las tiendas locales y que cuesta S/. 3000. Cada una pone S/. 1000 y lo compran. El gerente de los almacenes le dice a la vendedora que debería habérselo vendido por S/. 2500. Cuando las chicas pasan frente a los almacenes, la vendedora les hace señas para que entren. Les explica que cometió un error con respecto al precio y que les devuelve S/.100 a cada una. Había retirado un billete de S/. 500 de la caja y da cien soles a cada chica, o sea, que estas pagan S/. 900 en lugar de S/. 1000. La vendedora se guarda a hurtadillas los S/.200 restantes. Es decir, las muchachas pagaron tres veces los S/. 900, esto es: 2700+200=2900; no 3000. ¿A dónde han ido a parar los S/.100 restantes? . AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Reconocer datos ocultos implícitos en un proceso operativo en las diferentes situaciones. Resolución de problemas • Organizar estrategias de resolución vinculando coherentemente el uso de las cuatro operaciones fundamentales. Razonamiento y demostración • Elaborar procedimientos operativos a los que corresponden a la resolución de cada caso.

Colegios

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1

Criptoaritmética I En este capítulo aprenderemos a: • •

Desarrollar la capacidad de construir operaciones incompletas utilizando conceptos básicos. Completar el desarrollo de las operaciones de adición y sustracción mediante el uso de métodos como el ensayo - error y analítico.

E

n las sumas de palabras o de letras, estas últimas ocupan el lugar de las cifras. Se trata de encontrar los dígitos que corresponden a dicha suma. Solo se necesita aplicar el método de ensayo - error y un poco de sentido común. He aquí un ejemplo para que lo resuelvas, donde la letra "O" representa el 4 y hay varias soluciones posibles. Encuéntralas:

U N O +U N O T R E S

U N O +U N O T R E S

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Unidad V

119

Criptoaritmética I

Conceptos básicos Criptoaritmética

En las operaciones "normales" se conocen los números con los cuales se van a efectuar para encontrar el resultado. Así tenemos que: •

•

237 + 654 891

245 79 166

Pero hay ejercicios muy interesantes por su planteamiento, como los siguientes:: •

•

x58 + 12y 4z5

8*5 + *69 40C

Donde se observa que los números con los cuales se van a efectuar presentan cifras que no se conocen y en su lugar se han colocado letras, asteriscos o cuadraditos; es más en algunos casos hasta el resultado presenta algunas cifras desconocidas; este tipo de ejercicios se presentan en la "CRIPTOARITMÉTICA" y el objetivo es encontrar el valor de las "cifras desconocidas", para ello se tiene que analizar la operación buscando y satisfaciendo las condiciones que deben reunir las cifras desconocidas en los números. Consideraciones:  Letras iguales ocultan cifras iguales: AL AL

+

Para el ejercicio: L=3 y A=2

46

 Letras diferentes ocultan cifras diferentes: PP + AA 44

Para que "P+A" sea igual a 4 podría ser que: P=1 y A=3 ó A=3 y A=1. Pero no debo considerar: P=A=2 ya que letras diferentes ocultan cifras diferentes.

 La letra "O" no necesariamente es cero:

Colegios

120

TRILCE

PAPO + 4645 7777

En este caso podrás notar que la letra "O" equivale a 2. Por ello, no asumas que la letra "O" siempre es cero. Ello no es correcto.

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 Los problemas pueden tener más de una solución posible:

1

Posibles soluciones: XF FX

+

77

⇒

16 + 61 77

25 + 52 77

34 + 43 77

43 + 34 77

52 + 25 77

61 + 16 77

 En el caso de tener que encontrar los valores ocultos detrás de los asteriscos, estos sí pueden tener un mismo valor. Ocurre lo mismo con los casilleros en blanco. 3* *4

3 5 5 4

+

+

8 9

89

Síntesis teórica

CRIPTOARITMÉTICA I son

considerando

se aplican en la

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Unidad V

121

Criptoaritmética I

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Relacionar correctamente si se cumple que: X3R + 7P5 1 3 8 7 X+P+R

A

3

X+P×R

B

1

C

13

D

16

X R X-P

E 4 2. Completar los espacios en blanco. • 4 2 1 7 9 1 5 6 • La suma máxima de tres cifras iguales es:

• La suma máxima de tres cifras diferentes es:

•

Al sumar dos numerales pares siempre resulta un numeral:

•

Al sumar dos numerales impares siempre resulta un numeral:

3. Hallar el valor de "X+P+R" RPX + XPX 874 4. Calcular: 8 4 7

-

3 8 6 5. Hallar: + 1 2 1 5 6 5

+

Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar (V) si es Verdadero o (F) si es Falso, sabiendo que: CBA+CAA+B57=9AA, luego: Nº

Proposicióm

I

A+B+C=8

II

A#B = 6 C

III

A+B×C=14

IV

A - B+C= -1

V

AA+BB+CC=99

VI

ABC+CAB+BCA=888

V/F

2. Analiza, detecta y corrige el ERROR. Calcular "x+y+m"; sabiendo que: 1x+2x+3x+...+9x= ym5 El alumno

El profesor

Colocamos la operación en forma vertical: 1x + 2x 3x 9x ym5 Como son 9 sumandos: x=5 y llevamos 4. (1+2+3+...+9)+4=40 123 Lleva Finalmente: ym = 40 x+y+m=5+4+0=9

Colegios

122

TRILCE

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 Hallar la suma de los valores ocultos en cada operación: 3.

2

9 1 + 3 4 8 1 4 3 7

4. 5

4 1 9 3

1 2 3

4

Rpta.: ________

+

10. Sabiendo que:

S I N + S I N NADA

hallar el valor de: S+A+N+D+I+A

a) 27 d) 24

11. Sabiendo que: Rpta.: ________

1

b) 25 e) 26

c) 23

S A L+ MA S A LLA

5.

4

6 +

5 3 2 9

hallar el valor de: M+A+L+L+A+S

a) 21 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

Rpta.: ________ 12. Determinar la suma de todas las cifras ocultas en los asteriscos. 6. 4 * 3 *+ 6 2 8 5 6 * 7 3 9 * 4 2 6 8 Rpta.: ________ 1 7 * 7 8 6 5 a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20 7. Si: A+B+C+D=14, hallar el valor de: ABCD+BCDA+CDAB+DABC 13. Si: xyz - ab4=zyx ; además: x+y+z=20 calcular: 4x+3y - 2z a) 14 444 b) 15 444 c) 15 555 d) 15 554 e) 16 554 a) 54 b) 58 c) 53 d) 55 e) 59 8. Si: (a+b+c)2 = 169 hallar: aa+bb+cc 14. Hallar "a+b+c", si: acba < 2000; además: acba=abc+bac+ac+ba a) 126 b) 143 c) 152 d) 163 e) 196 a) 15 b) 12 c) 9 d) 14 e) 8 9. Si: P86P + 5Q1=5Q95 hallar: 2P+Q 15. Si: COCA + COLA = OASIS hallar: C+O+L+A+S a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 11 a) 21 b) 22 c) 13 d) 18 e) 17

0 6 8

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Unidad V

123

Criptoaritmética I

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Hallar el mayor valor que puede tomar la suma siguiente, si "O"es cero: B E B E+ MEME

ROROO

b) 11 100 e) 10 200

c) 10 010

a) 10 100 d) 11 200

2. Si se conoce que:

Calcular: (X+A+B - P - R)8

a) 1 d) 256

b) 64 e) 6561

a) 3018 d) 3408

b) 3208 e) Absurdo

c) 3108

5. Hallar "M+O+R+A+D+O" si: A M O R+ A M O R A M O R

XPR+ APR B P R 1 5 2 2

4. Si: (a+b+c)2 = 784; hallar la siguiente suma: aaa + bbb + ccc

O D I O a) 32 b) 34 c) 30 d) 28 e) 26 c) 128

3. Sabiendo que: a+b+c=24 (a > b > c) hallar el valor de: ab43 + c53a + bba5

a) 26 277 d) 35 267

b) 26 342 e) 25 377

c) 25 357 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, sabiendo que: AA+BB+CC=ABC. Nº

Proposicióm

I

A+B+C=19

II

A+C = 1 B

III

C+A×B=81

2. Analiza, detecta y corrige el error. Calcular: "E+R+S"; sabiendo que: 1E+2E+3E+...+9E=RS6 El alumno

V/F

Colocamos la operación en forma vertical: 1E + 2E 3E 9E RS6

IV A×B×C=72 V

El profesor

ABC+BCA+CAB=1998

Como son 9 sumandos E=4 y llevamos 3.

VI (A+C) – B=1

(1+2+3+...+9)+3=58 123 Lleva Luego: RS = 58

Colegios

124

TRILCE

Finalmente: E+R+S=4+5+8=17

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•

En cada caso, hallar el valor de "A+B+C" (Desde la pregunta 3 hasta la pregunta 10).

3.

4.

5.

6.

7.

A B C + 3 4 2 9 5 5 A B C 3 4 2 6 1 5 A A + B B C B 3 A B C A B

A + B C C

B C 1 7

A + 5 B B

B B A 4

B A C 1 6

A + B B C C C D E C 4 11. Si: ab+aba+abab=5044, hallar: b - a.

8.

9.

10.

1

C B A 6

A + C B 5

12. Hallar "A+B+C+D"; si: A B C D + 4 5 7 3 6 C D 5

13. Hallar "C – B + D"; si: C B 9 D B A 0 9 1 A B 3

14. Se sabe que:

U N O + U N O T R E S

Hallar la suma de las cifras del resultado, sabiendo adicionalmente que la letra “O” equivale a 4 y “N” es 3.

15. Hallar "A+B+C" 7 A B B A C 6

A + B 5 A

A A A + B B B C C 7

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Unidad V

125

Criptoaritmética II

Criptoaritmética II .


Desarrollar la capacidad de construir operaciones incompletas utilizando criterios básicos. Completar el desarrollo de las operaciones de multiplicación y división mediante el uso de métodos como el ensayo - error y analítico.

Cifras ocultas Actividad 1. Calcular el máximo valor de la siguiente suma: D A M E + M A S A M O R

Sabiendo que letras diferentes representan dígitos diferentes y "O" es cero.

2. En la siguiente multiplicación: TOC × TOC = ENTRE

Calcular "C+E+N+T+R+O" , si "O" es cero.

Colegios

126

TRILCE

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2

Conceptos básicos Criptoaritmética II

Consideraciones importantes: a) Cuando una cifra PAR se multiplica por una cifra desconocida y se conoce la cifra en que termina el producto, entonces existen dos posibles valores para la cifra desconocida.

Ejemplo: 4 ×

⇒

a=3; porque: 6×3=1 8

123

Supongamos que la cifra desconocida del rectángulo es "a", entonces: 6×a = ...8

= ...8 (termina en 8). 123

Ejemplo: 6 ×

a=4; porque: 4×4=1 6

a=8; porque: 6×8=4 8

= ...6 (termina en 6).

Supongamos que la cifra desconocida del rectángulo es "a", entonces 4×a = ...6

⇒

a=9; porque: 4×9=3 6

b) Cuando una cifra IMPAR se multiplica por una cifra desconocida y se conoce la cifra en que termina el producto, entonces existe un solo valor para la cifra desconocida. Ejemplos

•

3×

= ...1 ⇒

= 7 (único valor) porque: 3×7=2 1

•

7×

= ...9 ⇒


•

7×

= ...3 ⇒


c) Cuando se multiplican las cifras pares e impares; se tiene: PAR × PAR = PAR PAR × IMPAR = PAR IMPAR × PAR = PAR IMPAR × IMPAR = IMPAR d) En una división después de cada resta se debe "bajar" una sola cifra del dividendo para continuar la división, cuando esta no es suficiente entonces se "baja" otra, pero antes hay que colocar un "cero" en el cociente. Forma normal 2 4 5 2 4 - - 5 0 5 5 -

Central: 619-8100

6

6 6 -

8 3 0 7

Forma abreviada 2 4 5 6 2 4 - - 5 6 - -

8 3 0 7 "En forma abreviada se nota fácilmente que debe colocarse un "cero" en el cociente cuando se "bajan" dos cifras seguidas del dividendo".

Unidad V

127


•

2 1 5 1 2 9 1 0 8 0 1 2 0 9

6 × 6 6 6

123

e) Recordemos los siguientes esquemas:

Dividendo •

Factores Primer producto parcial Segundo producto parcial Producto final

8 4 8 0 4 3 1 1

5 8 4 5 2 3 8 2 8 1 0 4 9 6 8

1 6 5 2 8 6

Divisor Cociente

Resto o residuo

Síntesis teórica

CRIPTOARITMÉTICA II son

considerando

se aplican en la

Colegios

128

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Relacionar correctamente, si se cumple que: 1 A B C × 7 C 3 8 6 A

0

B

1

C

80

A+C B

D

18

E

17

B+A×C

F

72

A+B+C A×B×C

a) El producto de dos numerales pares siempre termina en cifra _____________ .

b) El producto de dos numerales impares siempre termina en cifra __________ .

•

Completar los espacios vacíos: 5 _ × _ 3 _ _ _ _ _

7

5.

5 3

4

4.

2. Completar los espacios en blanco:

-

3. Contestar:

_ _ _ 3 2 - 2 _ _ _

2 - 1 1

-

_ _ 1 1 _ 2 _

- 9

3 8

- 7 Indicar como respuesta la suma de cifras del dividendo.

Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, si se cumple: 1 X I F E R × 3 X I F E R 1 Luego: Nº

Proposición

I

X.I = F

II

X+I + F + E + R=27

III

F.E = 10 X

IV

F.R = 17 X

V

X + I . R=42

VI X. I . F=16

Central: 619-8100

2. Analiza, detecta y corrige el error. Si: aocd×m=14245 boo ×m = 4200 Calcular la suma de cifras de los productos parciales en: abcd × mm ; o = cero El alumno

V/F

•

aocd×m+boo×m=m(abcd)

•

m×( abcd )=18 445

•

El profesor

a b c d × mm 1 8 4 4 5 1 8 4 4 5 2 0 2 8 9 5

• Respuesta: 2+0+2+8+9+5=26

Unidad V

129


3. Hallar la suma del dividendo más el divisor. 1 2 4

5

a) 89 d) 101

b) 7 e) 19

c) 96

4. Indicar la suma de la mayor y menor cifra encontrada. 7 1 2

7

a) 9 d) 6

b) 16 e) 17

b) 8 e) 10

c) 7

5. Indicar el producto de cifras del dividendo.

**** 3 **2

4 *5 *0 a) 10 d) 15

1

5

a) 45 d) 44

3 b) 81 e) 72

c) 3

6. Calcular el cociente. 6

8

3

c) 12

c) 47

a) 0 d) 4

b) 1 e) 5

5 × 7 5 +

5

c) 2

11. En la división: A 7B 3 A C23

3

b) 42 e) 46

2 3 4 A 1 6 4 1 B 1 0 9 4 0 1 0 C 7 4

5 a) 76 d) 15

10. Hallar "A2 – B . C", si:

6

b) 18 e) 17

**3 ** ***

1

c) 15

9. Hallar la suma de cifras que reemplazan a los asteriscos. 4 * × *7

1

a) 14 d) 18

8. Al reconstruir, hallar la suma de cifras del producto. * 6 * × 4*

1

a) 673 d) 84

b) 8 e) 86

c) 1

7. Indicar la suma de cifras del dividendo. 2

1 1 7

3 6

C B C 2 D3 E F - G Calcular: A+B+C+D+E+F+G a) 30 d) 25

b) 26 e) 27

c) 28

12. Si: abc×999=…352; calcular: 2 a + 3 b + c 5

Colegios

130

TRILCE

6

a) 34 d) 32

b) 37 e) 25

c) 27

www.trilce.edu.pe


13. Calcular "T+O+U", si: TOU×3=2OU1 (O ≠cero)

a) 21 d) 24

b) 16 e) 20

c) 18

14. Si: 1CABLE×3=CABLE1; hallar: C+A+B+L+E

a) 16 d) 26

b) 31 e) 28

c) 20

15. Sabiendo que: XIF× Q=3148 XIF× P=4576 Hallar el valor de: XIF×QPQ

a) 364 708 c) 4 643 368 e) 365 786

2

b) 363 708 d) 244 706

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular la suma de las cifras del dividendo en la siguiente división: 7 * * * 1 * * * - * 5 * * -

a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

a) 1189 d) 1099

b) 1079 e) 1098

a) 19 d) 16

b) 20 e) 15

8

-

-

-

c) 1089

3. Sabiendo que: ROMA×4=AMOR Hallar: A+M+O+R

c) 11

2. Calcular "SAT+TAS" sabiendo que: LEN - TAS = NEL

4. Calcular la suma de las cifras del dividendo en la siguiente división:

- b) 30 e) 18

a) 33 d) 15

5. Hallar la suma de las cifras del dividendo en la siguiente división:

c) 18

-

-

8

-

Central: 619-8100

c) 36

a) 21 d) 24

b) 19 e) 25

c) 23

Unidad V

131

Criptoaritmética II 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, si:

_ _ 9 _ - _ _ -

5.

7 A B 3 -

2

8 -

-

Proposición

V/F

La suma de cifras del dividendo es igual a 18. La suma de las cifras halladas es igual a 48. A+B=5 El producto de las cifras del cociente es igual a 24.

2. Analiza, detecta y corrige el error. Si: abc × m= 2312 abc × n = 1734 ¿cuánto es: abc×mn ? El alumno

•

El profesor

En forma vertical: a b c × mn m× a b c n× a b c Producto final

•

a b c × m n 2 3 1 2 1 7 3 4 1 9 6 5 2

•

En cada caso completar los espacios en blanco e indicar la suma de cifras del dividendo.

3.

_ _ _

5 1 _

Colegios

132

_ _ _ _ _ _ 6. _ _ 1 _ 8 - 2 _ _ 6 - 8 3 _ _ - 3 7. 3 _ _ _ _ 2 6 2 _ _ _ _ _ _ _ _ 5 _ _ _ 4 _ _ _ _ 6 _ _ _ _ - - - • En cada uno de los siguientes casos, completar los espacios en blanco e indicar la suma de las cifras del producto. 8.

9.

9 3 5 _ _ 6 _ 6 5 5 _ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ 3 5 3 _ _

_ × 2 2 2

_ × 4 _

0 10. Si: AA×99=…78; el valor de "A" es: 12. Si: ABA×7= BOB8; hallar "A+B". 13. Si: ABB×6= 2C30; hallar "A+B+C".

- 1

TRILCE

2 _ 3

11. Si: (A-5)B=A×B; el valor de "A+B", es:

3 6 _ _ 4. _ _ _ _ 0 - 3 _ 3 0 - 4

_ 3 4 _

_

5 2 _

14. Si: AA=MERA; el valor de “M+A+R+E+A” es: 15. Sabiendo que: R A D A R × 5 C R A A C

Hallar el valor de “C+A+D+A” www.trilce.edu.pe


Operaciones combinadas I

3

.


Resolver los problemas de operaciones combinadas utilizando las cuatro operaciones fundamentales(+ , - , × , ÷).

•

Desarrollar operaciones combinadas en gráficos.

×

Completar el siguiente esquema con los números del 1 al 9, sin repetir ninguno, para llegar a los resultados en cada fila y columna.

+ +

+ -

÷

=

41

=

6

=

11

÷

×

+ +

=

=

=

Central: 619-8100

+

+

16

10

15

Unidad V

133


Conceptos básicos Operaciones combinadas

Los problemas considerados en el presente capítulo son retos matemáticos que involucran las cuatro operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división).

•

Dada las tarjetas: Multiplique por 2

Sume 7

Reste 5

Ordene las tarjetas para que, a partir del número inicial 11, obtenga por resultado el número 19.

Resolución

11 -5 = 6 ×2 =12 +7 =19

Ejemplo

Ejemplo

 Operaciones con tarjetas En estos problemas se muestra un grupo de tarjetas cada una de las cuales tiene una determinada operación. El objetivo consiste en ordenar todas las tarjetas para llegar a un resultado "R" a partir de un número inicial "P".

Resolución •

+ ×

+

2 7

= 36

+ -

× ÷

9

5

+

+ 4

×

+ = 15

+

3

+

×

+

× +

= 10

+

+ 8 = 36

+

-

× ÷

1

= 10

6 = 15

+

=

=

=

=

=

=

23

7

7

23

7

7

Ejemplo

Ejemplo

 Operaciones cruzadas En este caso debemos completar los esquemas con los números del 1 al 9, sin repetir ninguno, para llegar a los resultados indicados en cada fila y columna.

Ejemplo

 Problemas con fichas En estos problemas deberá encontrar dos o más fichas que cumplan ciertas condiciones pedidas. Resolución

Dadas las siguientes fichas: A 23

B 45

C 31

D 64

E 24

F 43

G 40

H 12

B 43

F 43

H 12

¿Es la única solución?

Encontrar tres fichas que sumen 100.

Colegios

134

TRILCE

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3

Síntesis teórica

+7

×2

÷5

+

+

= 14

×

×

= 36

+

+

= 15

=

=

=

23

7

4 10 x 5 50


En cada caso se presenta un grupo de tarjetas. Usted debería ordenar las tarjetas para llegar al valor final a partir del valor inicial.

1. Sume 6

Reste 3

Divida entre 2

Valor inicial: 20 Valor final: 10

2. Reste 9

Multiplique por 4

Divida entre 11

Sume 4

Reste 11

Sume 5


3.

Multiplique por 6

Divida entre 7


Central: 619-8100

Unidad V

135


4. Completar:

5. Completar:

5 × 3 +

9 = 24

+

+

+ ÷ + ×

×

= 28

9

= 13

+

×

×

+

6 ×

-

= 11

+

+ = 11

+

×

+

× ÷

+

3 ×

= 24

=

=

=

=

=

=

11

9

10

56

12

20


8.

Dada las siguientes fichas: A 43

B 76

C 32

D 87

E 56

F 91

G 14

H 72

I 29

J 17

Multiplique Sume 12 por 2

Valor inicial: 5 → Valor final: 88

Divida entre 6

2. Si una ficha excede a la suma de otras dos fichas en 60, ubicar las tres fichas.

Sume 3

Dado el gráfico, ubicar los números del 1 al 9 en donde faltan números. 2

+

C

+ D

+

B = 16 +

-

×

+

F

+ G +

E

= 10

× 9 = 19

=

=

=

Divida entre 3

Reste 8

Sume 12


17

17

17

10. Calcular: C+D+E a) 13 d) 20

b) 12 e) 17

c) 15

Divida entre 3

Divida entre 2

Sume 20

a) 12 d) 18

b) 27 e) 32

c) 11

c) 23

12. Calcular: A×D+E

7. Reste 6

a) 26 d) 18

b) 25 e) 27


Colegios

136

A

×

+

11. Hallar: B+F Multiplique por 4

Multiplique por 7

•

5. Si el producto de dos de las fichas es el mínimo posible, ubique las fichas e indique su producto.

6.

Sume 5


4. Si la diferencia de dos de las fichas es máxima, ubique las dos fichas e indique la diferencia.

En cada caso se presenta un grupo de tarjetas. Usted deberá ordenar las tarjetas para llegar al valor final a partir del valor inicial.

Reste 9

3. Si la suma de cuatro fichas es máxima, ubicar las fichas e indique la suma.

Multiplique por 4

9.

1. Ubicar tres fichas cuya suma sea 157.

•

Multiplique Reste 16 por 3

TRILCE

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13. Hallar: D+E - G a) 0 d) 10

14. Hallar: B×D+D×E b) 2 e) 20

c) 3

• Completar con los números: 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45 en los recuadros que faltan.

a) 180 d) 230

A

+

×

B

+ 10 ×

-

-

b) 250 e) 70

c) 225

15. Hallar: A+B+C a) 82 d) 90

+ 40 = 1165

45 ×

3

b) 75 e) 105

c) 60

C = 215 -

30 × D +

E

=

=

=

30

245

-15

= 185

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Cada fila, columna y diagonal de cinco cifras deben sumar 15; para lograrlo, hay que colocar exclusivamente cuatro números diferentes de una cifra todas las veces que sea necesario. Hallar dichos números. (Los números no necesariamente coinciden con los que ya se encuentran en el tablero) 2

3. En la siguiente figura, hay que empezar por el círculo central y desplazarse de un círculo adyacente a otro sumando los elementos de la ruta. ¿Cuál debe ser la ruta a seguir para que la suma de los elementos sea 43? (no se puede pasar más de una vez por el círculo). 7 8 5 3 2 5 5 1 9

1

2

1 2 2 2 2 2 6 2 2 2

2. En la siguiente figura, hay que desplazarse del extremo inferior izquierdo al extremo superior derecho siguiendo la dirección de las flechas. Sumar los números de la ruta y considerar que cuando se cae en un círculo negro hay que restar 2. Hallar una ruta donde el resultado sea 22. 8

8 6

3

5

9

Central: 619-8100

Dada las siguiente fichas: A 12

B 20

C 32

D 42

E 50

F 36

G 17

H 22

I 15

J 35

K 48

L 96

4. Encontrar tres fichas de tal manera que la suma de dos de ellas dividida entre la tercera resulte 12. 6

7 9

6 3 1 6 8 7 8 3 5

4 8

7

•

4 3 7 4 3 4 4

5. Encontrar tres fichas de tal manera que el producto de dos de ellas dividida entre la tercera resulte 98.

9

Unidad V

137

Operaciones combinadas I 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos • 1.

En cada caso se presenta un grupo de tarjetas para llegar al valor final a partir del valor inicial. Multiplicar por 5

Sume 12

7. Si el valor inicial es 20 se realizan las operaciones "I" , "G" y "B" (en ese orden), ¿cuál es el valor final?

Restar 6


2.

• Dividir entre 5

Restar 4

Sumar 7


3.

Multiplicar por 7

Dividir entre 3

Sumar 6

Multiplica por 4

Suma 5

Resta 12


•

Dadas las siguientes operaciones:

Divide entre 3

B

C

D

E

Suma 5

Resta 6

Divide entre 2

Divide entre 4

Suma 8

F

G

H Suma 12

I

J

Resta 9

Divide entre 5

5. Si el valor inicial es 12, ¿cuál es el valor final si de realizan las operaciones “D” y “H” (en ese orden)?

Colegios

TRILCE

A 7

B 9

C 11

D 23

E 34

F 20

G 4

H 19

I 25

J 41

K 47

L 53

9. ¿Cuál es la mínima suma de dos fichas? 10. Ubicar tres fichas que sumen 69. 11. Ubicar tres fichas que sumen 111.

A

Multiplica Multiplica por 5 por 5

Dadas las siguientes fichas:

8. ¿Cuál es la máxima suma de dos fichas?


4.

138

6. Si el valor inicial es 5, ¿qué par de operaciones se deben realizar para obtener el máximo valor final?

12. El producto de dos fichas es 275, ¿cuáles son dichas fichas? 13. La diferencia entre dos fichas es mínima, ¿cuáles son dichas fichas? 14. El exceso de una ficha sobre la suma de otras dos es 3, ¿cuáles pueden ser esas fichas? 15. Calcular:

H+J +K F

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4

Operaciones combinadas II .


Analizar datos disponibles y resolver problemas utilizando las cuatro operaciones fundamentales.

•

Resolver situaciones cotidianas y contextuales a través de las cuatro operaciones fundamentales.

Lista de productos

V

elin acude al supermercado a comprar los productos que aparecen en la lista. ¿A cuánto asciende el pago total? Ayúdela usted a encontrar dicho monto

Central: 619-8100

•

4 six-pack de → S/.15 el six-pack leche

•

5 kg de arroz

•

4 kg de azúcar → S/. 2,50 × kg 2 paquetes de → S/. 1,80 ×paquete fideos

• •

→ S/. 3,00 × kg

3 botellas con → S/. 2,70 ×botella gaseosa de 1,5

Unidad V

139

Operaciones combinadas II

Conceptos básicos En el presente capítulo resolveremos problemas de compra - venta utilizando únicamente las cuatro operaciones fundamentales. Problemas resueltos 1. Lucianita acude a la bodega "KARLITA" y compra tres botellas con agua y cinco paquetes de galletas. Si cada botella con agua cuesta S/. 1,20 y cada paquete de galleta S/. 0,50; ¿cuánto dinero tuvo que pagar?

Resolución

Resolución

•

Por las tres botellas con agua pagará:

3× S/. 1,20 = S/.3,60

• Pagó por los cinco televisores (costo total): $120×5=$600

•

Por los cinco paquetes de galleta pagará: 5× S/. 0,50 = S/.2,50

•

En total pagará: S/.3,60 + S/. 2,50 = S/.6,10

• En la venta debe recuperar los $600 pero para ello solo dispone de cuatro televisores ya que uno de ellos está malogrado. Luego, cada televisor debe ser vendido a:

Observamos que:

 Pago por las botellas con agua: S/.1,20+S/.1,20+S/.1,20; es decir, sumamos tres cantidades que abreviamos con la operación de multiplicación (3×S/.1,20), en forma análoga sucede con los paquetes de galleta.



Para el pago total sumamos los montos abtenidos tanto para las botellas con agua como para los paquetes de galleta.

2. Del problema anterior, si Luciana pagara con un billete de S/.10; ¿cuánto le deben dar de vuelto? Resolución

•

Observamos que:

 La operación a utilizar en este caso ha sido la sustracción.

Colegios

140

3. Manuel compra cinco televisores de 14" a $120 cada uno. Si uno de ellos estaba malogrado, ¿a cuánto debe vender cada uno de los restantes para recuperar su dinero?

S/. 10,00 - S/. 6,10 = S/. 3,90

TRILCE

$600 =$150 4 4. Fátima compra globos a cuatro soles la docena. Si vende cada globo a un sol, ¿cuántos globos debe vender para ganar 800 soles?

Resolución

• Por una docena (de globos) paga cuatro soles

• Por una docena (de globos) vendida recibe: 1×12=12 soles

•

Luego en una docena (de globos) gana: 12 - 4=8 soles

•

Para ganar 800 soles necesita vender:

800 = 100 docenas de globos 8

•

Finalmente 100 docenas equivale a: 100×12=1200 globos

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4

Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos  Completar: La señora Velin ha ido al supermercado y luego de comprar cierta cantidad de productos, le han dado la siguiente boleta de venta: Cantidad

Precio Unitario

Pago parcial

Botella de aceite

3

S/. 5,50

A

Bolsa de arroz

5

S/.4,50

B

Tarro de leche

6

S/.2,50

C

Paquete de galletas

8

S/.0,50

D

Pago total

E

Producto

1. Pagos parciales: • Por las botellas de aceite pagará: A=3 × S/. 5,50=

• Por las bolsas de arroz pagará: B=5×S/. 4,50=

• Por los tarros de leche pagará: C=6×S/. 2,50=

Central: 619-8100

• Por los paquetes de galleta pagará: D=8×S/. 0,50=

• Pago total ⇒ E=A+B+C+D=

2. Si doña Velin pagó con un billete de S/. 100, ¿cuánto recibió de vuelto? 3. Si una docena de lapiceros cuesta 36 soles, ¿cuánto debo pagar por 31 lapiceros? •

Un carpintero fábrica sillas a un costo de 30 soles. Si cada una las vende a 50 soles cada una, ¿cuántas sillas debe vender para ganar 1620 soles? Entonces:

4. Ganancia por cada silla: 50 - ___ = ________

5. Sillas vendidas=

20

= _________

Unidad V

141

Operaciones combinadas II

Conceptos básicos Aprende más... 1. Analiza, encuentra y corrige el error. En una galería de Gamarra se observaron los siguientes precios:

4. Un comerciante compró once trajes a S/. 3300 y vendió cinco a S/.240 cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para ganar S/.900?

Polo

Pantalón

S/. 20

Chompa

S/. 55

Camisa

S/. 80

S/. 30

• Pago total= 150+220+120+160 = 650

2. Si una decena de botellas con gaseosa cuestan S/. 36; indicar "V" si es verdadero o "F" si es falso, según corresponda: Proposición

V/F

c) 250

a) 120 y S/.5 c) 160 y S/.7 e) 140 y S/.4

b) 140 y S/.5 d) 120 y S/.7

a) 20 d) 80

b) 40 e) 100

c) 60

a) Gana $28 c) Gana $21 875 e) No gana ni pierde

b) Pierde $28 d) Pierde $20 875

8. Dos secretarias tienen que escribir 300 cartas cada una. La primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su tarea, ¿cuántas cartas faltarán por escribir a la segunda?

I

Cada botella con gaseosa cuesta tres nuevos soles.

II

La docena de botellas con gaseosa costará S/.43,20.

III

Si cada botella con gaseosa se vende a S/.4 ganaría un nuevo sol por botella.

9. Por la compra de una docena de borradores, pago siete nuevos soles y recibo dos borradores gratis. Si compro 120 borradores y decido vender cada uno a un nuevo sol, ¿cuánto dinero ganaré?

Si cada botella con gaseosa se vende a IV S/.3,80 ganaría S/.0,20 por botella. 3. Un comerciante compró varias camisas a 12 por S/.240 y las vende a 10 por S/.250. ¿Cuántas debe vender para ganar S/.500? a) 50 d) 100 Colegios

142

7. Un hacendado compró 64 bueyes por $12 800 y en mantenerlos ha gastado $800. Si se mueren 14 bueyes y el resto los vende en $300, ¿ganó o perdió y cuánto en cada buey de los que quedaron?

• Dos chompas: 2×80=160 soles

Seis camisas: 6×20=120 soles

Nº

b) 200 e) 1000

6. Se vendió 60 sacos de azúcar por S/.480 ganando S/.3 en cada uno. ¿Por cuántos sacos estaba integrado un pedido que se hizo al mismo precio y por el cual pagué S/.400?

El alumno

• Cinco polos: 5×30=150 soles • Cuatro pantalones: 5×55=220 soles •

5. Un comerciante compró cierto número de sacos de arroz por S/.600 y los vendió por S/.840, ganando S/.2 en cada saco. ¿Cuántos sacos compró y cuánto pagó por cada uno?

¿Cuánto se debe pagar por la compra de cinco polos,cuatro chompas, seis camisas y dos chompas? El profesor

a) S/.100 d) 500

TRILCE

b) 60 e) 120

c) 80

a) 20 d) 80

a) S/.60 d) 75

b) 40 e) 100

b) 65 e) 70

c) 60

c) 68

10. Un ganadero desea vender sus 50 vacas: 10 de ellas son vendidas a $250 cada una; 15 a $300 cada una y las restantes a $500 cada una. ¿Cuánto dinero ganó en la venta, sabiendo que en cada una de las vacas invirtió $280?

a) $5250 d) 5500

b) 5400 e) 6000

c) 5750

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11. El costo de producir una chocoteja es de 20 céntimos. Si se desea vender por docena (en una caja que cuesta 60 céntimos), ¿cuánto se ganará en la venta de 100 cajas de chocotejas, si el precio de venta de cada caja es de ocho nuevos soles?

a) S/.400 d) 200

b) 300 e) 600

c) 500

12. Un conocido restaurante vende una pieza de pollo a S/.3, una porción de papas a S/.4, una alita a S/.2 y una ensalada a S/.6. ¿Cuánto ahorraría si en lugar de comprar los productos por separado decide comprar un combo familiar de 12 piezas de pollo, tres porciones de papa, media docena de alitas y dos ensaladas pagando S/.40?

a) S/.28 d) 32

b) 24 e) 40

c) 18

13. El agricultor vende al mayorista, un costal de papa (50 kg) a S/.30. El mayorista vende al minorista 10 kg por S/.8 y el minorista vende al consumidor un kilo a S/.2. En la venta de una tonelada (1000 kg), ¿cuánto dinero ganará el minorista?

a) S/.200 d) 1000

b) 500 e) 1200

c) 700

4

14. Sandra gana S/.30 por día y Martha S/.18 por día; luego de cuántos días Sandra habrá ganado S/.156 más que Martha.

a) 16 d) 15

b) 14 e) 13

c) 12

15. Mercedes gastó S/.42 en una blusa, luego gastó S/.10 más que en la blusa en comprar un pantalón. Si tenía S/.150, ¿cuánto le queda?

a) S/.54 d) 57

a) 300 d) 350

b) 55 e) 58

c) 56

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuya área es de 93 025 m2 con una cerca de cuatro hileras de alambre. ¿Cuánto costará toda la obra, si el metro de alambre cuesta S/.2 y la mano de obra total S/.1000?

a) S/. 17 600 d) 9640

b) 10 760 e) 9760

c) 10 076

2. Un comerciante compró cierto número de trajes por S/. 15 600 a S/. 130 cada uno y por cada 12 trajes que compró le regalaron 1. Vendió 60 trajes ganando S/.50 en cada uno; 30 trajes, perdiendo S/.50 en cada uno; si se le echaron a perder seis trajes y el resto lo vendió perdiendo S/. 30 en cada uno. ¿Ganó o perdió en total y cuánto?

a) Perdió S/.2400 c) Ganó S/. 1000 e) Ganó S/. 3200

b) Ganó S/.1200 d) Perdió S/. 2600

3. Un comerciante compró artículos a tres por S/.35 y los vende a cinco por S/.70. Si los 50 artículos que le quedan representa su ganacia, ¿cuántos artículos en total compró?

Central: 619-8100

b) 400 e) 450

c) 250

4. El automóvil de Julio recorre 36 km por galón de gasolina. Al malograrse su coche va de su casa a la fábrica y lo regresa en la tarde. Julio calcula que de lunes a jueves, ahorra en gasolina S/. 18. Si el galón de gasolina cuesta S/.9 determinar la distancia de la fábrica a la casa.

a) 8 km d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

5. Un comerciante compró 40 jarrones a S/.70 cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de S/.20 por jarrón se le rompieron 5. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la utilidad fue de S/. 810?

a) S/.70 d) 72

b) 65 e) 110

c) 42

Unidad V

143

Operaciones combinadas II 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. La siguiente tabla es parte de una boleta de venta que tiene que pagar la señora Benedicta que compró en un supermercado. Artículo

Cantidad

Aceite(L) Leche Azúcar(kg) Arroz(kg)

Precio Unit.(S/.)

6 5 3 8

Pago parcial

5. Un criador de caballos compró cierto número de caballos por S/. 10 000. Vendió una parte por S/.8 400 a S/.210 cada uno y ganó en esta operación S/.400. ¿Cuántos caballos había comprado en total?

5,80 2,40 2,10 2,20

Total a pagar (S/.)

• •

¿A cuánto asciende el pago total? Si pagó con un billete de S/. 100, ¿cuánto le dieron de vuelto?

2. Analiza, encuentra y corrige el error. En una galería de Gamarra se observaron los siguientes precios: Polo

Pantalón

Chompa

Camisa

S/. 25

S/. 60

S/. 75

S/. 35

¿Cuánto se debe pagar por la compra de seis polos, tres pantalones, cuatro camisas y dos chompas? El profesor

El alumno

• Seis polos: 6×35=210 soles • Tres pantalones: 3×60=180 soles • Cuatro camisas: 4×25=100 soles • Dos chompas: 2×75=150 soles • Pago total= 210+180+100+150 = 640 soles

Proposición

I

Cada botella con gaseosa cuesta S/.2,40

II

La decena de botellas con gaseosa costará S/.20

Si cada botella con gaseosa se vende a S/.3 ganaría un nuevo sol por botella Si cada botella con gaseosa se vende a IV S/.2,80 ganaría S/.0,80 por botella III

Colegios

144

TRILCE

6. Se compró 514 libros por S/.4626. Vendí una parte por S/.3600, ganando S/.3 en cada libro y otra parte por S/.912, perdiendo S/.1 en cada libro. ¿A cómo vendí los restantes si en total gané S/.1186? 7. Un librero compró 15 libros, cada uno a S/.12. Habiéndose deteriorado nueve de ellos tuvo que venderlos a S/.8 cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para no perder? 8. Dos profesores tenían que corregir 400 exámenes cada uno. Uno corrige 20 exámenes por hora y el otro 15 exámenes. Cuando el primer profesor terminó de corregir, ¿cuántos exámenes le faltaban corregir al segundo? 9. En una caja hay dos cajas amarillas, en cada caja amarilla hay seis cajas rojas, en cada caja roja hay ocho azules. ¿Cuántas cajas hay en total? 10. Luego de comprar 12 revistas, me quedan 10 nuevos soles y me faltan doce nuevos soles si quiero comprar una revista más. ¿Cuánto cuesta cada revista y cuanto tenía? 11. Mariana compra 12 piñas por S/.48, ¿a cuándo debe vender cada piña si desea ganar S/.36? 12. Por la compra de tres chocolates "Sublime" recibo uno gratis. Si cada chocolate cuesta un nuevo sol, ¿cuántos chocolates debo comprar para ganar 20 nuevos soles? (El precio de venta será el mismo que el precio de compra)

3. Si una docena de botellas con gaseosa cuestan S/. 24; indicar "V" si es verdadero o "F" si es falso, según corresponda: Nº

4. Un comerciante compró 600 sacos de frijoles a S/.8 cada uno. Por la venta de cierto número de ellos a S/.6 cada uno, recibe S/.540. ¿A cómo tendrá que vender los restantes para ganar en total S/.330?

V/F

13. Por 12 manzanas pago 24 nuevos soles. Si al comprar 17 manzanas pago con un billete de 50 nuevos soles, ¿cuánto recibo de vuelto? 14. Compro 32 vasos a tres nuevos soles cada uno. Si vendo 10 de ellos a cuatro nuevos soles cada uno y se me rompen siete, ¿a cómo debo vender cada uno de los vasos restantes para ganar cuatro nuevos soles? 15. Eduardo compra 50 focos a dos nuevos soles cada uno. Si luego de venderlos a cuatro nuevos soles cada uno, le devuelven 12 de ellos por estar malogrados, ¿cuánto dinero ganó en la venta de los focos? www.trilce.edu.pe


5

Operaciones inversas .


Resolver los diferentes casos donde se utiliza el método de las operaciones inversas. Desarrollar la capacidad de efectuar operaciones inmediatas en forma inversa.

L

a calculadora mostrada es realmente peculiar. Tiene una pantalla y solamente dos teclas "A" y" B". Al encenderla muestra en la pantalla un número entero positivo. Si se presiona la tecla "A", el número de la pantalla se multiplica por 5. Si se presiona la tecla "B", el número de la pantalla se multiplica por 3. Si obtuve 1575 después de presionar dos veces la tecla "A" seguida de dos veces la tecla "B", ¿cuál fue el número inicial mostrado en la pantalla?

A Central: 619-8100

B Unidad V

145

Operaciones inversas

Conceptos básicos Operaciones inversas El método de las operaciones inversas se aplica a aquellos problemas donde encontramos una cantidad inicial (desconocida) que después de una sucesión de operaciones, resulta en una cantidad final (dato).

•

El procedimiento de solución es efectuar en forma inversa a las operaciones convencionales.

Operación

Operación inversa

Adición

Sustracción

Sustracción

Adición

Multiplicación

División

División

Multiplicación

Potenciación

Radicación

Radicación

Potenciación

Un número se aumenta en 1, al resultado se multiplica por 3, luego se le resta 5 y por último se divide entre 7 y se obtiene como cociente 7. Calcular dicho número.

Resolución Dato incial (desconocido)

1442443

Operaciones sucesivas

+1

-1

×3

÷3

-5

+5

÷7

×7 7

Colegios

146

TRILCE

3442441

17


Ejemplo

Ejemplo

•

Dato final (conocido)

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5

Síntesis teórica Operaciones inversas

Se efectúa las operaciones hacia atrás como Operación directa ?

–2=

×3=

+6=

=

36 = 6 ÷ 2 = 3

12 – 2 = 10 × 3 = 30 + 6 = ÷3

+2

÷2= 3

( )2

–6

×2

Operación inversa 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos Hallar el valor de la incógnita(?) en cada caso: 1.

8 ×5=

+5=

÷5=

- 5=

?

2.

12 +4=

×2=

- 4=

÷7=

?

3.

68 - 4=

=

4.

5.

?

+6=

×4=

?

×2=

+2=

Central: 619-8100

×5=

÷8=

?

- 5=

?

- 80= 40 7

=

×17= 34

Unidad V

147


Conceptos básicos Aprende más... 1. Una persona ingresa a un restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejó tres nuevos soles de propina; luego ingresó a una heladería, gastó la mitad de lo que aún le quedaba y dejó dos nuevos soles de propina, quedándose sin dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente?

→ ÷2 - 3

÷2 - 2 ← 0

Operaciones directas


Tenía ______ soles al inicio.

2. Analiza, encuentra y corrige el error. Al preguntarle a “Pepito” por su edad, él contestó con evasivas diciendo lo siguiente: “Si le agregas 10, al resultado lo multiplicas por 5 y enseguida le restas 26, para luego extraerle la raíz cuadrada y, por último, lo multiplicas por 3, obtendrás 24”. ¿Cuál es la edad de “Pepito”? El profesor

El alumno

16 ×5

÷5

+10

- 10

- 26

+26 ( )2 ÷3

×3

Nº

Colegios

148

I

Luciana tenía inicialmente 35 nuevos soles

II

Fátima fue la única que ganó

III

Ximena perdió 25 nuevos soles

IV

La suma total de dinero es igual a 120 nuevos soles

a) S/.36 d) 34

b) 38 e) 32

c) 40

5. A un número se le multiplica por 5, se le resta 18, se le multiplica por 4, se le divide entre 8, se eleva al cuadrado, se le resta 40 y se le extrae la raíz cúbica, obteniéndose 6. Hallar dicho número.

a) 9 d) 11

b) 10 e) 12

c) 8

6. A la cantidad de nuevos soles que tengo le añado 10; al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 9; al número así obtenido le extraigo la raíz cuadrada, al resultado le suma 12, para finalmente dividirlo entre 3 y obtener 7 nuevos soles. ¿Cuánto tenía inicialmente?

a) S/.10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 14

7. Un número se divide entre 2, el resultado se eleva al cuadrado, al resultado se le aumenta 25 y al resultado se le extrae la raíz cúbica obteniéndose 5. ¿Cuál es el número inicial?

24

TRILCE

V/F

4. Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 5, lo divido luego entre 15, al cociente lo multiplico por 4 y le añado 32, entonces tendré 80 nuevos soles. ¿Cuánto tenía inicialmente?

3. Ximena, Luciana y Fátima están jugando a las cartas con la condición de que el que pierda tiene que duplicar el dinero de las otras dos. Si cada uno ha perdido un partido en el orden que fueron nombrados, quedándose luego de haber perdido el último con 40 nuevos soles cada uno. Indicar "V" si es verdadero o "F" si es falso, según corresponda.

Proposición

a) 18 d) 20

b) 100 e) 25

c) 125

8. El profesor de Razonamiento Matemático divide entre 4 el número de alumnos, al resultado le suma 2, luego se extrae la raíz cuadrada, al número así obtenido le suma 2 y finalmente lo eleva al cubo obteniendo 125. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

a) 56 d) 14

b) 72 e) 25

c) 28

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9. Jackie dice: “Si a mi edad lo multiplico por 3, al producto le resto 2 y a la diferencia le extraigo la raíz cuadrada, al número así obtenido le agrego 1, para finalmente extraerle la raíz cuadrada obtengo así 3”. ¿Cuál es la edad Jackie?

a) 21 años d) 22

b) 20 e) 23

c) 11

10. Con un cierto número se realizó las siguientes operaciones: elevé al cubo, al resultado le agrego 9 y le extraigo la raíz cuadrada, al número así obtenido lo divido entre 3 para luego restarle 1 y por último al resultado lo elevo al cuadrado obteniendo como resultado final 16. Hallar el número inicial.

a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

a) 20 d) 36

b) 24 e) 48

c) 30

12. De una combi, en cada paradero bajan la tercera parte de los pasajeros. Si después de tres

a) 53 d) 56

b) 54 e) 57

c) 55

13. Un recipiente está lleno con agua y al abrirse el caño cada hora desagua la tercera parte de su contenido más 16 litros. Hallar la capacidad del recipiente, si al cabo de tres horas se vacía.

a) 112 litros b) 118 d) 116 e) 130

c) 114

14. Cada vez que una persona ingresa a una tienda, gasta la mitad del dinero que tiene más S/.5. Si después de ingresar y salir tres veces, todavía tiene S/.10. ¿Cuánto ha gastado en total?

11. Alejandro gasta su dinero de la siguiente forma: el primer día gasta un tercio de lo que tenía; más 4 nuevos soles. El segundo día gasta 2/5 del resto; más 5 nuevos soles. ¿Cuánto tenía inicialmente si al final se quedó con 2 nuevos soles?

paraderos la combi se quedó con 16 pasajeros, ¿cuántos pasajeros había inicialmente?

5

a) S/.100 d) 60

b) 140 e) 180

c) 150

15. Jorge, Alex y Luis están jugando con la condición que aquel que pierda tiene que duplicar el dinero de los otros dos. Si cada uno ha perdido una partida en el orden en que han sido nombrados, quedándose luego de haber perdido el último, con 20 nuevos soles cada uno. ¿Cuánto tenía inicialmente Jorge?

a) S/.32,50 d) 15

b) 17,50 e) 20

c)10,5

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. La señora Raquel tiene "x" naranjas de las cuales vende los 3/4, luego regala a sus amistades los 2/5 de lo restante; de este nuevo resto se malograron los 5/9 quedándole aún 23 naranjas. ¿Cuál es el valor de "x"?

a) 315 d) 365

b) 325 e) 370

x ; 5x b) x ; x c) 4 2 4 4 x 7 x 3 x 5 x d) ; e) ; 4 4 4 4 a) x ; x

3. Se tiene 48 fósforos divididos en tres grupos diferentes. Si el primer grupo pasó al segundo tantos fósforos como hay en este: luego del segundo pasó al tercero tanto como hay en este y del tercero al primero, tantos como hay ahora Central: 619-8100

c) 345

2. Dos jugadores convienen en que cada vez que uno gane, el otro le pague tanto como para duplicar lo que tiene. Después de dos jugadas en la que uno ganó un juego ambos tienen la misma cantidad "x" de dinero. Lo que tenían al empezar, es respectivamente.

en el primero, resulta que habrá el mismo número de fósforos en cada grupo. ¿Cuántos habían en cada grupo inicialmente? a) 20; 16; 12 c) 30; 14; 14 e) 16; 16; 16

b) 22; 14; 12 d) 18; 16; 14

4. Una piscina se ha estado desocupando durante tres días, hasta que solamente ha quedado 10 galones de agua. Si en cada día se extraía sus 2/3 partes, más tres galones, ¿cuál es el volumen total desalojado hasta el momento (en galones)?

a) 261 d) 337

b) 126 e) 378

c) 387

5. Ximena gasta de su propina los 2/5 en un par de zapatos, 3/7 de lo que le queda en un pantalón y por último los 2/3 de lo que le quedaba en alimentos; quedándole aún 60 soles. ¿Cuál es la propina de Ximena?

a) S/. 425 d) 225

b) 525 e) 625

c) 325

Unidad V

149

Operaciones inversas 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 4. A un cierto número lo multiplicamos por 8, al resultado le restamos 10 y a dicha suma la dividimos entre 5 obteniendo finalmente 6. ¿Cuál es el número?

1. Una persona ingresa a un restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejó seis nuevos soles de propina; luego ingresó a una heladería, gastó la mitad de lo que aún le quedaba y dejó cuatro nuevos soles de propina, quedándose sin dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente?


2. Analiza, encuentra y corrige el error. Ricardo dice: “Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 20 nuevos soles, a ese resultado lo multiplico por 5, luego le quito 24 nuevos soles, posteriormente le saco la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3, obteniendo 8 nuevos soles”. Indicar la cantidad inicial que tenía Ricardo. El profesor

El alumno

×5

÷5

+20

- 20

- 24

+24

×3

Multiplicamos por 8 →

Dividimos entre : 40 ÷ __ = 5

Restamos 10 →

Añadimos __: 30 + __ = 40

Dividimos entre 5 →

Multiplicamos por __ : 6 ×__ = 30


8

- 13

⇒


30+__= 50

Número pedido

3. Ximena, Luciana y Fátima están jugando a las cartas con la condición de que el que pierda tiene que duplicar el dinero de los dos. Si cada una ha perdido una partida en el orden que fueron nombradas, quedándose luego de haber perdido la última con 80 nuevos soles cada una, indicar "V" si es verdadero o "F" si es falso, según corresponda. Nº

Proposición

Luciana tenía nuevos soles

II

Fátima fue la única que ganó

III

Ximena perdió 50 nuevos soles

IV

La suma total de dinero es igual a 240 nuevos soles

TRILCE

inicialmente

÷5

⇒

6 × __ =30

( )2

⇒

__ = 6

+6 ⇒

V/F

I

Colegios

150

Número inicial= 5

5. A un cierto número le restamos 20, al resultado hallado lo dividimos entre 5, a este nuevo resultado lo elevamos al cuadrado a este resultado le sumamos 6, obteniendo finalmente 42. ¿Cuál es el número inicial?

( )2 ÷3

Número inicial →

Obteniendo finalmente = 6 6→

Rpta.

116


= 42 ⇒

42 - ___ = 36 42

6. Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 3, y luego lo divides entre 12, el cociente lo multiplicas por 9, luego añades 43 obteniendo finalmente 160, ¿cuál era tal cantidad inicial?

70

7. A un número se le multiplica por 2, se le divide entre 18, se eleva al cubo, se le suma 5 obteniéndose 13. Hallar dicho número.

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8. A un número se le aumenta 5, el resultado se cuadruplica, el nuevo resultado se divide entre 5 y el cociente obtenido se eleva al cuadrado resultando 256. ¿Cuál es el número inicial?

se le multiplica por 7, luego le agregamos 8, finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniéndose como resultado final 6. Hallar dicho número.

9. A un número se le multiplica por 6, al resultado se le aumenta 24 y al nuevo resultado se le extrae la raíz cuadrada obteniéndose 6. ¿Cuál es el número?

13. Si a un número lo multiplico por 8, luego lo divido entre 10 y el cociente lo multiplico por 3 añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180. ¿Cuál es el número inicial?

10. Al número de páginas de un libro lo multiplico por 5, al resultado le quito 70, a todo esto lo divido entre 5, al cociente le sumo 18, al resultado le extraigo la raíz cuadrada y obtengo 12. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

14. Pablo y Tania se ponen a jugar casino, primero pierde Pablo S/.30, luego pierde Tania y tiene que duplicarle el dinero a Pablo, quedando de esta manera Pablo con S/.80 y Tania con S/.40, ¿cuánto tenía Pablo inicialmente?

11. A un número se le multiplica por 3; se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva la cuadrado, se le resta 171 obteniéndose 729. ¿Cuál es el número?

15. Tres amigos “A”, “B” y “C” acuerdan de que el que pierda la partida triplicará el dinero de los otros dos. Pierde una partida cada uno de ellos en el orden de presentación, quedándose al final de las tres partidas cada uno con 180 nuevos soles. ¿Cuánto tenía “C” inicialmente?

12. A un cierto número se eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 5, a este nuevo resultado

Central: 619-8100

Unidad V

5

151

UNIDAD VI

Analizando los intervalos iguales Espacios y tiempos iguales En la imagen presentada, el camino es de 800 m y a sus lados se han colocado árboles cada 5 m, ayude usted a encontrar, ¿cuántos árboles existen?

. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Reconocer los intervalos de longitud o de tiempo en las diferentes situaciones que se plantean. Resolución de problemas • Aplicar las diferentes relaciones que hay entre los elementos de los intervalos. Razonamiento y demostración • Elaborar procedimientos operativos y elegir los que corresponden a la solución de cada caso.


1

Intervalos de longitud .


Analizar datos disponibles para resolver problemas de intervalos de longitud. Aplicar los algoritmos y teoremas para cada situación de intervalos de longitud.

25 m

20 m

25 m

20 m

Dada la siguiente situación, ¿cuántos soldados existen, si la longitud de cada tramo es 400 m y 500 m respectivamente?

Central: 619-8100

Unidad VI

153

Intervalos de longitud

Conceptos básicos Intervalos Situación I 1. ¿Cuántos cortes debo dar a la soga mostrada si quiero un total de "x" partes?

Resolución

•

Aplicando inducción:

2 partes :  Si se quiere __ entonces se realiza un corte. 3 partes :  Si se quiere __ entonces se realizan dos cortes. 4 partes :  Si se quiere __ entonces se realizan tres cortes.

• En general:

Situación II 1. Si la longitud de la soga fuera de 18 metros, ¿cuál será la longitud de cada parte?

Resolución

 En dos partes; cada parte= 18 = 9 m 2 18 =6m  En tres partes; cada parte= 3  En cuatro partes; cada parte= 18 = 4,5 m 4

• En general:

Colegios

154

TRILCE

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Situación III

1

1. Si en una pista de 60 m de longitud se desea colocar postes cada 6 m, ¿cuántos postes serán necesarios?

6m

6m

6m

6m

Resolución • Por inducción: 1 espacio → 2 postes 2 espacios → 3 postes

3 espacios → 4 postes

•

En general:

Situación IV 1. ¿Cuántos cortes serán necesarios dar a una figura cerrada para tener "n" partes?

Resolución

•

Por inducción:

3 cortes → 3 partes



• En general:

Central: 619-8100

Unidad VI

155


Síntesis teórica

Números Números de cortes = de partes - 1

Números Nº de = + 1 de partes espacios

Longitud de Longitud total = cada parte Nº de partes

Números Números = de cortes de partes

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Completar los espacios en blanco:

•

Número de partes = Número de cortes

•

Número de partes=

•

Número de espacios=Número de postes

1

Longitud total

1

2. Se desea dividir un alambre en 12 partes. ¿Cuántos cortes se deben realizar? 3. Se desea dividir un aro en 21 partes. ¿Cuántos cortes deben realizarse? 4. A lo largo de una avenida de 930 m se han colocado 31 postes igualmente espaciados. ¿Qué distancia hay entre poste y poste?

Colegios

156

TRILCE

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5. A lo largo de una avenida de 300 metros se plantan árboles cada 10 metros. ¿Cuántos se necesitan?

1

Análisis previo

:

1 espacio; entonces

:

2 espacios; entonces

árboles

:

3 espacios; entonces

árboles

árboles

10 m

10 m

10 m

10 m

10 m

10 m

 Número de espacios= 300 = 100  Concluimos de nuestro análisis: Número de árboles=Número de espacios+1  Entonces: Número de árboles =

+1

Número de árboles =

Conceptos básicos Aprende más... 1. Se va a realizar un desfile escolar por una calle de 500 m de largo. Para contener el desborde de los estudiantes las autoridades han previsto colocar un policía cada 25 m en una vereda y un policía cada 20 m en la otra vereda. En total, ¿cuántos policías se necesitarán, si se colocan desde el inicio de la calle? 2. Indicar "V" si es verdadero o "F" si es falso. Nº

Proposición

V/F

A

Si se realizan tres cortes en una figura cerrada se obtienen cuatro pedazos

B

Si en una soga se obtuvieron seis pedazos, entonces se realizaron siete cortes

C

Si se han obtenido ocho partes de una figura cerrada, entonces se ha hecho siete cortes.

D

Si en un alambre longitudinal se realizaron seis cortes, luego se obtuvieron cinco pedazos.

Central: 619-8100

Unidad VI

157


3. Analiza, encuentra y corrige el error. A lo largo de una avenida de 540 m se plantan árboles cada 18 m. ¿Cuántos árboles se plantaron? El profesor

El alumno

Longitud total • Número de 540 espacios = Longitud cada espacio = 18 = 30m

• Número de árboles = Número de espacios - 1

• Número de árboles = 30 - 1 = 29

4. Calcular el número de estacas de 8 m de altura en una línea recta de 390 m, si se sabe que entre estaca y estaca la longitud debe ser 13 metros.

a) 28 d) 31

b) 29 e) 32

c) 30

5. Para cortar una lámina de aluminio cobran “N” nuevos soles. ¿Cuánto cobrarán como mínimo para cortarlo en ocho partes?

a) S/. 2N d) 7N

b) (2N+1) c) 3N e) (4N-1)

6. Si tengo un terreno de forma triangular como el mostrado en la figura siguiente, ¿cuántas estacas necesitaré para cercarlo, si la distancia entre estaca y estaca es de 4 m? (Se debe considerar colocar una estaca en cada vértice del triángulo)

48

Terreno a cercar

m

b) 25 e) 24

c) 26

7. Un hacendado desea cercar el siguiente terreno mediante estacas separadas una de otra una distancia de 4 m. ¿Cuántas estacas necesitará? (ABCD y EFGH son cuadrados de lados de 12 m y 20 m respectivamente y se debe colocar una estaca en cada vértice). E

H

Colegios

158

TRILCE

F A

B

D

C

Terreno a cercar

b) 64 e) 48

c) 20

a) 30 d) 32

b) 31 e) 28

c) 33

9. ¿Cuántas estacas se necesitan para cercar un terreno de forma cuadrada, cuya área es igual a 8100 m2, si las estacas se colocan cada 9 m?

a) 39 d) 20

b) 40 e) 10

c) 41

10. Se instalan 35 postes alineadas y separadas cada 15 m, ¿cuál es la distancia entre el primer y último poste?

a) 32 d) 36

8. ¿Cuántas estacas se necesitan para cercar un terreno en forma rectangular de 36 m de largo por 28 m de ancho, si las estacas se colocan cada 4 m?

32 m

24 m

a) 21 d) 27

a) 520 m d) 495

b) 525 e) 515

c) 510

11. Para cercar un terreno de forma rectangular se ha utilizado 64 estacas de 3 m de altura. Si las estacas se colocan cada 7 m, calcular el perímetro del terreno.

a) 484 m d) 192

b) 448 e) 441

c) 446

12. Para cercar un terreno de forma circular se ha puesto 60 estacas cada 2 m. ¿Cuántas estacas se necesitan para cercar el mismo terreno si la separación de estaca a estaca es de 3 m?

a) 20 d) 50

b) 30 e) 60

c) 40

G

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•

13. ¿Cuánto gastará César en cercar su terreno?

Los hermanos César y Rosario han heredado de sus padres dos terrenos contiguos. El terreno de César tiene forma cuadrada y el de Rosario tiene la forma de un triángulo equilátero (sus tres lados iguales)

b) 172 e) 204

c) 180

14. ¿Cuánto gastará Rosario en cercar su terreno?

40 m

Terreno de César

a) S/.160 d) 192

1

Terreno de Rosario

a) S/.144 d) 168

b) 132 e) 120

c) 156

15. Si la parte que limita sus terrenos es pagada por ambos hermanos, en partes iguales, ¿cuánto gastará César en cercar su terreno?

Si deciden cercar sus terrenos con estacas igualmente espaciadas una distancia de 5 m y el costo de cada estaca es de seis nuevos soles, entonces:

a) S/.165 d) 162

b) 168 e) 154

c) 174

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Un empleado de aserradero coge un listón de 272 cm y desea realizar tantos cortes como longitud tenga cada una de las partes iguales que resulte. ¿Cuántos cortes debe hacer y cuánto debe medir cada parte obtenida respectivamente?

a) 18; 18 cm ; 16 b) 16; 16 cm; 17 c) 16; 17 cm; 17 d) 17; 17 cm; 16 e) 15; 15 cm; 16

2. Se ha formado un triángulo con personas donde en un lado hay cinco personas, en el segundo lado hay siete personas y en el tercer lado hay diez personas. ¿Cuántas personas hay en total, si en cada vértice hay una persona? a) 20 b) 18 c) 23 d) 19 e) 17 3. A un alambre se le hizo "n+2" cortes resultando pedazos de medida "n" metros. Si la longitud del alambre era 180 m, hallar el número de cortes realizados. a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 16 4. ¿Cuántos árboles pueden plantarse a lo largo de una avenida, en su parte central, que tiene [20 (a - 6)] metros de longitud, si se colocan cada ( a ) metros? 3 b) 61+ 360 c) 60 - 360 d) 61 - 360 e) 20 - 61 a) 60+ 360 a a a a a 5. Un agricultor tiene una chacra como muestra la figura y desea cercarla con el menor número posible de estacas igualmente separadas. ¿Cuántas estacas debe colocar? 16 m 32 m 20 m

24 m

8m

48 m

a) 36 b) 32 c) 37 d) 38 e) 40

Central: 619-8100

Unidad VI

159

Intervalos de longitud 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Con motivo de celebrar un Congreso Internacional, en el frontis de un hotel se han colocado banderas cuyas astas están separadas 1,20 m. Si la distancia de la primera a la última asta es de 84 m, ¿cuántas astas se han colocado? 2. Indicar "V" si es verdadero o "F" si es falso, en: Nº

Proposición

V/F

I

Si se realizan cuatro cortes en una figura cerrada se obtienen cinco pedazos.

II

Si en una soga se obtuvieron ocho pedazos, entonces se realizaron nueve cortes.

III Si se han obtenido 10 partes de una figura cerrada, entonces se ha hecho nueve cortes.

IV Si en un alambre longitudinal se realizaron 15 cortes, luego se obtuvieron 14 pedazos de alambre.

3. Analiza, encuentra y corrige el error. • A lo largo de una avenida de 640 m se plantan árboles cada 16 m. ¿Cuántos árboles se plantaron? El profesor

El alumno

• Número de Longitud total 640 espacios = Longitud cada espacio = 16 = 40m • Número de árboles = Número de espacios - 1

• Número de árboles = 40 - 1 = 39

4. Se desea cercar un terreno de forma rectangular de 18x30 m y para ello se disponen de estacas que son colocadas cada 3 m (se debe considerar una estaca en cada esquina). ¿Cuántas estacas se necesitan?

18m

• Número de estacas en el lado de 18 m: _____ • Número de estacas en el lado de 30 m: ____ • Total de estacas: _________

5. ¿Cuántos cortes se darían a una varilla de 20 m de largo para obtener pedazos de 2 m de longitud? 6. ¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 51 m de longitud para tener pedazos de 1,7 m? 7. Un sastre tiene una tela de 86 m de longitud que desea cortarla en pedazos de 2 m cada uno. ¿Cuántos cortes son necesarios? 8. ¿Cuántas estacas separadas entre sí 4 m, se pueden colocar a lo largo de una distancia de 100 m?

Colegios

160

TRILCE

10. Un campesino quiere cercar su terreno de 40 m de largo por 24 m de ancho con postes separados 4 m uno de otro. ¿Cuántas estacas va a utilizar? 11. Para cortar una pieza de madera en dos partes un carpintero cobra 0,50 nuevos soles. ¿Cuánto cobrará para cortar en cinco partes?

30m

9. Se requiere cercar un terreno cuadrado de 18 m de lado con estacas separadas 1 m entre sí. ¿Cuántas de ellas se emplearán?

12. ¿Cuántos árboles separados 10 m entre sí se pueden colocar en una avenida de 200 m de largo? 13. En un terreno rectangular de 340 m x 280 m se desea plantar árboles a una distancia de 5 m entre árbol y árbol tanto a lo largo como a lo ancho. Calcular el número total de árboles para sembrar todo el terreno. 14. Un carpintero nos cobra S/.8 por partir una madera en tres pedazos. ¿Cuánto se pagará si se desea partir en 17 pedazos? 15. A lo largo de la avenida Javier Prado Este (3,6 km) se plantan árboles separados uno de otro una distancia de 20 m. ¿Cuántos árboles se necesitan, si se empieza colocando un árbol en uno de los extremos?

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2

Intervalos de tiempo .

En este capítulo aprenderemos a:

D

•

Analizar datos disponibles para resolver problemas de intervalos de longitud.

•

Aplicar los algoritmos y teoremas para cada situación de intervalos de tiempo.

espués de su consulta médica a Alex le dieron esta receta. ¿Cuántas pastillas tendrá que comprar en su botica preferida?

RECETA M

ÉDICA

ERITROCIN

A 500 mg × 5 días c / 8 horas MAPROXE ×3 días c/

Central: 619-8100

NO 500 mg

6 horas

Unidad VI

161

Intervalos de tiempo

Conceptos básicos  Situación 1 Un reloj de pared campanadas?

da cinco campanadas en ocho segundos. ¿Cuánto demorará en dar siete

Resolución

•

Si se realizan dos campanadas:

entonces hay un intervalo de tiempo (t).

•

Si se realizan tres campanadas:

entonces hay dos intervalos de tiempo (2t).

•

Si se realizan cuatro campanadas:

entonces hay tres intervalos de tiempo (3t).

∴ Se concluye que:

Número de intervalos

C

C t

C

C

C

t

=

C

t

C t

C t

C t

Número de - 1 campanadas

En el ejercicio: • Número de intervalos = 5 - 1 = 4 • Si cuatro intervalos de tiempo duran ocho segundos, cada uno tiene una duración de: 8 =2 segundos 4 • Finalmente, en siete campanadas habrán seis intervalos de tiempo por lo tanto: Tiempo (7 C) = 6×( 2" ) = 12" 14243 123 Tiempo entre Tiempo total cada intervalo

Colegios

162

TRILCE

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2

Situación 2 1. Juanito está agripado y por eso el doctor le indica tomar una cápsula cada seis horas durante tres días. ¿Cuántas cápsulas debe comprar Juanito para cumplir lo recetado por el doctor?

Resolución

• De lo concluído anteriormente:

•

Número de cápsulas = Número de intervalos +1 (o pastillas)

Número de intervalos =

Tiempo total tratamiento Tiempo entre cápsulas 4

3 (24h) = 12 Número de intervalos= 6h

• Finalmente: Número de cápsulas = 12+1=13

Síntesis teórica

• Número de Nº de - 1 = intervalos campanadas

•

Número Tiempo Tiempo de × entre cada = total intervalos intervalo

Central: 619-8100

• Número de Número de + 1 = pastillas intervalos

•

Tiempo total tratamiento Número de = Tiempo entre pastilla intervalos

Unidad VI

163


10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Completar los espacios en blanco:

•

Número de campanadas= Número de intervalos

•

Número de pastillas =

•

Número de intervalos =

1 + 1

Tiempo total de tratamiento

2. Completar los datos para el siguiente cuadro: • Si un campanario da ocho campanadas en 14 segundos, ¿cuánto demorará en dar 10 y 20 campanadas? Número de Número de Tiempo entre campanadas intervalos cada intervalo 8

2

10

2

Tiempo total 14

19

20

•

Tiempo total de tratamiento: 4 días Tiempo entre pastilla y pastilla: 8 horas

123

Nº de intervalos: ___________________

•

Tiempo total del tratamiento : 1 semana Tiempo entre pastilla y pastilla: 12 horas

123

3. Hallar el número de intervalos para cada una de las siguientes situaciones:

Nº de intervalos: ___________________

4. Una campana suena dos veces en cuatro segundos, ¿cuántas veces sonará en 12 segundos? 5. Ítalo debe tomar una pastilla cada ocho horas. ¿Cuántas pastillas tomará en un día?

Conceptos básicos Aprende más... 1. Un médico indicó a su paciente tomar una pastilla “P” cada cuatro horas y una pastilla “Q” cada seis horas. Si para empezar le hizo tomar ambas pastillas, ¿después de cuántas horas el paciente habrá tomado 22 pastillas?

3. Si se escuchan cinco campanadas en 20 segundos, ¿cuántas se escucharán en un minuto?

2. Un campanario da ocho campanadas en siete segundos. ¿Cuánto demorará en dar 13 campanadas?

4. Si se escucha siete campanadas en 36 segundos, ¿cuántas campanadas se escucharán en un minuto?

a) 13 s d) 8

Colegios

164

TRILCE

b) 12 e) 6,6

c) 11

a) 18 d) 13

a) 6 d) 11

b) 15 e) 12

b) 7 e) 13

c) 11

c) 10

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5. Martín debe tomar una pastilla cada 45 minutos. ¿Cuántas pastillas tomará desde las 10:00 am hasta la 1:00 pm del mismo día?

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

6. Una enfermera aplica una inyección al señor Bustamante cada 12 horas. ¿Cuántas inyecciones le aplicará desde las10:00 am del 26 de febrero hasta las 10:00 pm del 2 de marzo? (Considerar año bisiesto)

a) 9 d) 13

b) 10 e) 14

c) 12

7. Un boxeador da siete golpes en dos segundos. ¿Cuántos golpes dará en cinco segundos?

a) 13 d) 16

b) 14 e) 17

c) 15

a) 14 d) 3,5

b) 7 e) 6

c) 3

9. Un gallo cantó cinco veces en cuatro segundos. ¿Cuántas veces cantó en un minuto?

a) 59 d) 62

b) 60 e) 30

c) 61

10. Un gallo cantó seis veces en tres segundos. ¿Cuántas veces cantó en nueve segundos?

a) 15 d) 10

b) 14 e) 11

c) 16

11. Juan toma una pastilla cada cuatro horas. ¿Cuántas pastillas toma desde las 6:00 am hasta las 10:00 pm?

a) 5 d) 2

b) 4 e) 6

c) 3

12. ¿Cuántas pastillas tomará un enfermo que está en coma durante una semana, si toma una cada tres horas?

a) 56 d) 62

b) 57 e) 63

c) 58

13. Una enfermera da tres pastillas a un paciente cada cuatro horas. ¿Cuántas pastillas dará al paciente en dos días?

8. Un boxeador da cinco golpes por segundo. ¿Cuánto demora en dar 15 golpes?

2

a) 13 d) 24

b) 26 e) 40

c) 39

14. Pedro toma una pastilla cada quince minutos. ¿Cuántas pastillas tomará desde las 10:00 am hasta las 2:00 pm?

a) 20 d) 16

b) 18 e) 15

c) 17

15. Jorge toma dos pastillas cada ocho horas durante cuatro días. ¿Cuántas pastillas tomó?

a) 26 d) 13

a) 2m

m+1 b) m - 1 c) 2 2

d) 2m+1

e) 2m - 1

b) 23 e) 42

c) 29

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. El campanario de un reloj demora (m+1) segundos en tocar "m2" campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en cuatro segundos?

a) 2m+3 d) 2m - 3

b) 4m+3 e) 4m

c) 4m - 3

2. Se sabe que el campanario de un reloj toca una campanada cada vez que transcurre 1/4 de hora, pero cuando sucede una hora en punto la indica con un número de campanadas igual a la hora que señala. ¿Cuántas campanadas tocará hasta el mediodía de hoy?

a) 114 d) 120

b) 116 e) 122

c) 118

3. Si una campana suena "m" veces en "n" segundos, ¿cuántas veces sonará en "2n" segundos?

Central: 619-8100

4. Una campana suena "m" veces en "n" segundos y "m+1" veces en "n+4" segundos. ¿Cuántas veces sonará la campana en 40 segundos?

a) 9 d) 41

b) 11 e) 6

c) 21

5. Una campana suena dos veces en "m" segundos y cinco veces en "2m+8" segundos. ¿Cuál es el valor de "m"?

a) 3 d) 6

b) 4 e) 2

c) 5

Unidad VI

165

Intervalos de tiempo 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar "V" si es verdadero o "F" si es falso. • Si se escucha siete campanadas en 48 segundos, entonces: Proposición

El tiempo entre campanada campanada es de seis segundos

V/F

y

En dos minutos se escucharán 21 campanadas 2. Analiza, encuentra y corrige el error. • Ítalo toma dos pastillas cada seis horas durante seis días. ¿Cuántas pastillas tomó? El profesor

El alumno

• Nº de intervalos= Tiempo tratamiento

Tiempo entre pastilla

• Nº de intervalos= 6×24 6

• Nº de intervalos=24 • Nº de pastillas= Nº de intervalos + 1 • Nº de pastillas= 24+1= 25 3. Una ametralladora USI dispara seis proyectiles por segundo. ¿Cuántos proyectiles disparará en 10 segundos? 4. Cierto boxeador golpea sobre una pera de entrenamiento tardando cinco segundos en dar seis golpes. ¿En cuántos segundos dará 12 golpes? 5. Un cartero da cinco golpes a una puerta en dos segundos. ¿Cuántos golpes da en cuatro segundos?

7. Se escuchan cinco campanadas en cuatro segundos. ¿Cuánto se demora en escucharse doce campanadas? 8. Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada tres horas. ¿Cuántas inyecciones aplicará en un día? 9. Una enfermera aplica una inyección a una paciente cada cuatro horas. ¿Cuántas inyecciones aplicará en un día? 10. A Hugo le recetan tomar dos pastillas, la primera cada cuatro horas y la segunda cada doce horas. ¿Cuántas pastillas tomará en tres días? 11. Luciana y Fátima tocan una tecla de piano cada tres segundos y cada siete segundos respectivamente. Luego de 21 minutos, ¿cuántas veces más que Fátima tocó Luciana? 12. Juan e Ítalo toman cada uno una pastilla, el primero cada dos horas y el segundo cada tres horas. Luego de una semana, ¿cuántas pastillas habrán tomado? 13. Un paciente debe ser inyectado cada cuatro horas. En dos semanas, ¿cuántas veces lo habrán inyectado? 14. Un reloj indica la hora con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 4 am tardó nueve segundos, ¿cuánto tardará para indicar que son las 6 am? 15. Juan toma “z” pastillas en doce horas. Si el tiempo entre toma y toma es de dos horas, ¿cuál es el valor de “z”?

6. Un campanario da cinco campanadas en cuatro segundos. ¿Cuánto demorará en dar diez campanadas?

Colegios

166

TRILCE

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3

Repaso V

Central: 619-8100

•

Criptoaritmética

•

Operaciones combinadas

•


•


•


Unidad VI

167

Repaso V

Conceptos básicos Aprende más... 1. Marco compra un frasco cuyo contenido tiene cápsulas vitamínicas y tiene que tomarlos durante los tres días que va hacer deportes, a razón de dos pastillas cada tres horas. Si empezó a tomarlas apenas empezó a realizar deportes, hasta que los culminó, ¿cuántas cápsulas contenía el frasco? •

Enunciado Si una docena de botellas con agua cuesta S/. 14,40, indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda: Nº

•

Proposición

V/F

2.

Cada botella con agua cuesta S/. 1,40

3.

La decena de botellas con agua costará S/. 12,0

4.

Si cada botella con agua la vende a S/. 1,50 ganaría S/. 0,30 por botella

5.

Si compra cinco docenas pagaría un total de S/. 72,00

Completar:

6. Número de intervalos =

Tiempo total de tratamiento

7. En una figura cerrada se cumple que: Número de cortes =

1

8. Número de partes= Número de cortes

9. Dada la siguiente boleta de venta, completar realizando las operaciones necesarias: Cantidad

Precio Unitario (S/.)

Aceite(L)

6

5,80

Leche

8

2,40

Azúcar (kg)

10

2,10

Arroz( kg)

15

2,20

Producto

Precio parcial

Total a pagar (S/.)

10. Si: a + aa + aaa + ... = ..xy24 , indicar el valor de "a+x+y" 1 4444 2 4444 3 6 sumandos

Colegios

168

TRILCE

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11. Si: ANA×156=...876; calcular la suma de las tres últimas cifras del resultado de: ANA×468

3

12. Cada día, de un reservorio de agua, se consume la mitad del contenido más 20 litros. Si después de tres días consecutivos quedan 10 litros en el reservorio, ¿cuántos litros de agua se consumieron? 13. Pepito compra cierto número de caballos por $2120 a $40 cada uno. Si vendió 40 caballos por $1680, ¿cuántos caballos le quedan y cuánto ganó en cada uno de los que vendió? 14. Un reloj tarda "m" segundos en dar dos campanadas. ¿Cuánto tardará en dar cuatro campanadas? 15. Una campana demora "p" segundos en dar "q" campanadas. ¿Cuál es el tiempo que hay entre campanada y campanada? 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Claudio compra un frasco cuyo contenido tiene cápsulas vitamínicas y tiene que tomarlos durante los cinco días que va hacer deportes, a razón de tres pastillas cada dos horas. Si empezó a tomarlas apenas empezó a realizar deportes, hasta que los culminó, ¿cuántas cápsulas contenía el frasco? •

Enunciado Si una docena de botellas con agua cuesta S/. 18,6; indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda: Nº

•

Proposición

V/F

2.

Cada botella con agua cuesta S/. 1,50

3.

La decena de botellas con agua costará S/. 15,50

4.

Si cada botella con agua la vende a S/. 1,80 ganaría S/. 0,25 por botella

5.

Si compra cinco docenas pagaría un total de S/. 93,00

Completar:

6. Número de intervalos =

Tiempo entre cápsulas

7. En las figuras abiertas se cumple que: Número de cortes=

8. Longitud de cada parte=

Central: 619-8100

- 1

Longitud total

Unidad VI

169

Repaso V

9. Dada la siguiente boleta de venta, completar realizando las operaciones necesarias: Cantidad

Precio Unitario (S/.)

Aceite(L)

4

5,80

Leche

10

2,40

Azúcar (kg)

9

2,10

Arroz( kg)

12

2,20

Producto

Precio parcial

Total a pagar (S/.)

10. Si: a + aa + aaa + ... = ...xy67; ..xy67 indicar el valor de "a+x+y" 1 4444 2 4444 3 9 sumandos

11. Si: UHU×156=...876; calcular la suma de las tres últimas cifras del resultado de: UHU×624 12. Cada día, de un reservorio de agua, se consume la mitad del contenido más 40 litros. Si después de dos días consecutivos quedan 30 litros en el reservorio, ¿cuántos litros de agua se consumieron? 13. Diego compra cierto número de vacas por $1840 a $40 cada uno. Vendió 40 vacas por $1680, ¿cuántos le quedan y cuánto ganó en cada uno de los que vendió? 14. Un reloj tarda "x" segundos en dar tres campanadas. ¿Cuánto tardará en dar seis campanadas? 15. Una campana demora "m" segundos en dar "n" campanadas. ¿Cuál es el tiempo que hay entre campanada y campanada?

Colegios

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UNIDAD VII

Analizando situaciones fraccionarias •

Si la terraza representa la sexta parte del área total, ¿qué área ocupa?

• Si los dos dormitorios tienen las mismas dimensiones y entre los dos representan la octava parte del área total, ¿qué área ocupa cada dormitorio?

. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y analizar las estrategias a realizar en las distintas situaciones con fracciones. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles en la resolución de ejercicios de operaciones con fracciones y sus representaciones gráficas. Razonamiento y demostración • Elaborar procedimientos operativos y elegir los correspondientes a la solución de cada caso.

Operaciones con fracciones

Operaciones con fracciones En este capítulo aprenderemos a: Identificar y aplicar los procedimientos para realizar operaciones con fracciones.

•

Analizar representaciones gráficas referentes al concepto de fracciones.

http://2.bp.blogspot.com/_rPM3K-wbYII/Ss3JPkAAOlI/AAAAAAAAAB0/GqgLntvQZm0/s400/Fracciones.jpg

•

Colegios

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TRILCE

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1

Conceptos básicos  Adición Si las fracciones son homogéneas, únicamente se proceden a sumar sus numeradores. 3 3 2 5 3+2+5 10 Ejemplos + + = = = • 7 7 7 7 7 7

1

•

5 1 7 5+1+7 13 + + = = = 8 8 8 8 8

5

18

Si las fracciones son heterogéneas, se deberá buscar el denominador común (mínimo común múltiplo de los denominadores).

Ejemplos

•

•

3 1 20 3 5×3+2×1+1×3 15+2+3 + + = = = =2 2 5 10 10 10 10 mcm (2;5;10)=10 19 3 1 2 3×3+2×1+4×2 9+2+8 = = = + + = 12 4 6 3 12 12 mcm (4;6;3) = 12

7

1 12

 Sustracción Se procede de manera similar a la adición. Ejemplos • 7 - 3 = 7-3 = 4 = 1 2 8 8 8 8 •

1 3 1 6-5 2×3 - 5×1 = = = 10 5 2 10 10 mcm (5;2)=10

 Multiplicación a c a×c × = b d b×d

Producto de numeradores Producto de denominadores

Ejemplos

Central: 619-8100

•

1 1 3 2 1 3×2 × = = 4 9 6 4×9 2 3

•

1 1 1 5 7 1 3 5×3 ×7 × × = = 7 10 6 4 7×10×6 1 2 2

Unidad VII

173


 División a c a d a×d ÷ ⇒ × = b d b c b×c

a)

a b c d

b)

Ejemplos

= Pr oducto de extremos = a×d Pr oducto de medios b×c

•

2 2 14 3 7 2×7 ÷ = × = = 11 11 7 3 11×3 33

•

2 2 2 10 4 7 2×10 ÷ = = × = 5 10 5 7 5×7 7 1

 Representación gráfica

a

•

3 4

a

→

2 9

→

a a

a •

a

a

a a

a

a a

3 8

→

5 • 2

→

•

a a

a

a a

a

a

a

a

a a

Síntesis teórica

Colegios

174

TRILCE

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10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Realiza las siguientes operaciones:

•

7 + 2 - 5 = 13 13 13

•

3#4 = 8 9

•

4 #7 #1= 7 2 5

•

3 '6 = 10 5

•

c

1+ 1 ' 1+ 1 = m c m 2 3 4 3

4. En cada caso, ¿qué parte del total está sombreado?

• 3 + 1 - 1 = 8 2 4 2. Calcular:

•

a

•

a

a

a

a

a a

a

a • b b

a

5 '1= 12 6

3. Calcular:

Rpta.:

a

a Rpta.:

5.

•

1 1 c1 + m ' = 3 2

•

1 1 1 c3 m ' c2 m # c 4 m = 4 3 5

Rpta.:

Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar (V) si es Verdadero o (F) si es Falso, según corresponda. Proposición

1+3+2 = 4 2 2 3 3 3+5'9 = 8 4 4 4 9 3 5 7 10

s s s s a

b

Central: 619-8100

<> a

a

5 16

a

Sabiendo que: a= 3 ; b= 2 ; c= 1 ; d= 1 ; 5 3 2 6 calcular:

4. a # b = c#d

<>

1 4

<>

3 8

a

b

a

a

3. a + b = c+d

= 35 = 7 30 6

s s

a •

2. Completar el gráfico y sombrea para que represente la fracción indicada (lo sombreado respecto al total). s s

a

V/F

a

5. a - b+c - d 6.

a b +1 c d

7. Calcular: 1+ 2 1+ 1 3 3 + 2 1 113 3 a) 4 b) 6 d) 8 e) 9

c) 7

Unidad VII

175


8. Calcular:

12. Efectuar:

1 1 1 1 1 c1 - mc1 - mc1 - mc1 - mc1 - m 2 3 4 5 6

1 b) 1 c) 1 a) 4 7 6 1 e) 1 d) 5 8

170 b) 83 c) 70 a) 63 63 63 79 e) 93 d) 63 63

2- 1 5 3+ 1 2 4 b) 6 c) 1 a) 5 5 5 1 e) 18 d) 2 35 9. Efectuar:

10. Hallar:

2#5+1 7 3 3 E= 3'5 8 4

13. ¿Cuánto le sobra a 2 para ser igual a la dife3 rencia entre 1 y 1 ? 2 6 1 b) 1 c) 1 a) 3 4 6 1 e) 3 d) 12 4

1+1 4 2 '5 1- 1 3 3 6

14. ¿Qué parte de 5 1 es lo que le falta a 2 , para 3 7 2 1 ser igual a los de ? 3 2

4 b) 6 c) 1 a) 5 5 5 1 e) 27 d) 2 10

1 b) 2 c) 1 a) 112 3 12 3 e) 1 d) 125 6

11. Efectuar:

15. ¿Cuánto le falta a 7 para ser igual a 1 4 ? 10 7

1 1 1 1 - 1 c + + m ' c3 m 2 3 4 2 4

51 b) 41 c) 61 a) 70 70 70

13 b) 26 c) 13 a) 8 5 4 13 39 d) e) 27 16

71 e) 53 d) 70 70

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Hallar el valor que toma la siguiente operación: J 1N 2+ 1 K1 + 2 O 1 4 O'1 5 + K 1 2 K1 + O 34P 3 L

a) 2 5 28

2. Calcular:

b) 1 23 28

c) 2 23 28

4+ 1 3 2 + 3 4

7+ 3 1+ 6

d) 1 27 28

e) 3 23 28

1 4 ' 93 1 56 2

43 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 9

Colegios

176

TRILCE

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3. Calcular:

7

4. Sombrear las 3 partes del siguiente triángulo 8 equilátero.

1+ 1 1+ 1 2 3 + 8 8 1 + 1 2+ 1 12 2 6 5 + 6 13 14

a) 3 d) 8

1

c) 10

b) 5 e) 1

5. Si sabemos que: 2 = 1 + 1 (m,n ∈ 7 m n encontrar una posible solución.

18:10:45

+),

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda. Proposicióm

V/F

1+ 2#3 = 3 3 3 2 2

a d 6. b c

2+ 6'8 = 1 5 5 5

4 9 2 5

• Si: a= 2 ; b=1 3 ; c= 1 ; d=1 1 ; calcular: 3 4 5 2 + a c 5. b+d

•

= 9 10

7.

Calcular: 2 1+

2. Relacionar correctamente: A

7 - 5 8 8

B

2 - 1 3 3

C

5 - 1 6 3

D 3 - 2 5 5

a •

a

a

a

a a

a

a

a

a a

a

E

3 + 1 4 2

F

5 - 3 16 16

Representar gráficamente las siguiente fracciones:

3.

4.

Central: 619-8100

← 5 12

← 1 4

1

1+ 1 2

8. 1+ 1 + 1 + 1 + 1 2 4 8 16 1+ 9.

1

1+ 1 3 3 21+ 2 3

10. 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 156 6 12 20 30 9' 1 ×4 × 5 1 5 p 12 3 11. 6' 1 1 2

f

12. ¿Cuánto le falta a 2 para ser igual a 5 ? 5 8 13. ¿Cuánto le sobra a 19 respecto a 2 1 ? 8 3 14. ¿En cuánto excede 8 a 3 ? 5 7 15. ¿En cuánto es excedido 2 por 5 ? 3 4

Unidad VII

177

Fracciones: Situaciones básicas

Fracciones: Situaciones básicas .


Interpretar los datos disponibles para resolver ejercicios de fracciones en situaciones básicas. Emplear en forma adecuada las operaciones básicas en el desarrollo de situaciones cotidianas en las que se aplican el concepto de fracciones.

imenita recibió de propina S/. 600 por parte de sus abuelitos y realizó las siguientes compras en su tienda comercial favorita: •

La tercera parte en cuatro shorts (de igual precio cada uno).

•

La quinta parte en cinco polos (de igual precio cada uno). Los 3 lo dispuso para dos pares de zandalias. 10

• •

Con lo que le sobró compró un "regalo sorpresa" para su hermanito.

Luego: • ¿Qué parte del total de su propina representa el precio de un solo polo? • ¿Qué parte de su propina representa lo que pagó por el "regalo sorpresa"?

Colegios

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2

Conceptos básicos En el presente capítulo, estudiaremos las diferentes situaciones básicas y comunes que se presentan, las cuales se resuelven a través de las operaciones fundamentales con fracciones. A. Relación: Parte - Todo

•

¿Qué parte de 10 es 2?

Todo = 10 Parte = 2

→

Parte = 2 = 1 Todo 5 10

B. Fracción de una cantidad

•

¿Qué parte de 1 es 1 ? 2 4

1 Todo = 1 2 2 Parte 4 → = = 1 = 2 Todo 1 4 Parte = 1 2 4

•

¿Cuánto es 2 de 12 → 3

Del gráfico observamos que la unidad representada por 12 ha sido dividida en tres partes iguales (4) tal como nos indica el denominador y hemos sombreado dos de ellas (2×4=8), luego los 2 3 de 12 es igual a 8.

•

¿Cuánto es los 3 de 30? → 5

Del gráfico observamos que la unidad representada por 30 ha sido dividida en cinco partes iguales (6) tal como nos indica el denominador y hemos sombreado tres de ellas (3×6=18), luego las 3 de 30 es igual a 18. 5

4

4

6

6

4

6

6

6

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad VII

179

Fracciones: Situaciones básicas

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Responder correctamente:

•

•

4. De un total de 4800 postulantes a la PUCP; se sabe que:  2000 postulan a Ingeniería  1600 postulan a Derecho  600 postulan a Educación  400 postulan a Arquitectura  200 postulan a Arte Luego: • ¿Qué parte del total postulan a Ingeniería? • ¿Qué parte del total postulan a Educación? • De los 1600 postulantes a Derecho los 2 ocuparon las vacantes. ¿Cuántos 5 ingresaron?

¿Qué parte de 4 es 1 ? 2 ¿Qué parte de 30 es 12?

2. Completar y resolver: 2 de 24 → (24 ÷ 3

)×

=

• 7 de 36 → (36 ÷ 9 3. Representar gráficamente:

)×

=

•

•

•

3 de 45 5

→

3 de 48 4

→

5. A las 2 pm, ¿qué parte del día falta transcurrir?

Conceptos básicos Aprende más...

1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda. Proposición

V/F

• Si gasté los 2 de mi dinero, me 5 quedan aún 3 5

• A las 6 pm faltan transcurrir los 3 4 del día. • Si gasté los 7 de mi dinero, me 9 quedan aún sus 2 9

2. Analiza, detecta y corrige el error. De los S/. 800 que tenía, gasté la mitad en pagar una deuda y la cuarta parte de lo que quedaba en la compra de un pantalón. ¿Cuánto me queda? El profesor

• Pago de deuda= 1 de 800=400 2 • Compra pantalón= 1 de 800=200 4 • Queda=800 - (400+200)=600 • Respuesta: Le quedan aún 600 soles

Colegios

180

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El alumno

3. Si Juan es dueño de los 4 de una hacienda y 7 ya regaló los 2 de una parte, ¿qué parte de la 5 hacienda aún es de su propiedad? 34 b) 1 c) 12 a) 35 7 35 6 e) 4 d) 35 35 4. Juan tiene 320 soles y regaló los 3 . ¿Cuánto 5 dinero regaló?

a) S/. 182 d) 212

b) 164 e) 192

c) 132

5. Marco gana 1500 soles al mes y gasta los 3 10 en el alquiler del departamento donde vive. ¿Cuánto paga en el alquiler?

a) S/. 320 d) 600

b) 450 e) 150

c) 350

6. Si pierdo 1 de mi dinero, ¿qué parte del dinero 5 aún me queda? 6 b) 1 c) 4 a) 5 5 5 3 e) 1 d) 5 6

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7. Ya han transcurrido los 3 del día. ¿Qué hora es? 8 a) 8 am b) 6 am c) 9 am d) 10 am e) 10:30 am 8. Ya han transcurrido los 5 del mes de abril. ¿Cuán6 tos días, de dicho mes, ya han transcurrido?

a) 24 d) 25

b) 22 e) 26

c) 21

9. Un auto debe viajar desde Lima a Chincha (240 km). Si ya recorrió los 5 del viaje, 12 ¿cuántos kilómetros le falta recorrer?

a) 100 d) 135

b) 120 e) 140

c) 130

10. Renato duerme la tercera parte del día y estudia los 2 del día, ¿cuántas horas del día le quedan 5 para realizar otras actividades?

a) 5 h 48 min d) 6 h 48 min

b) 6 h c) 6h 24 min e) 7 h 12 min

11. Una casa pertenece a cuatro hermanos, al primero le toca los 2 , al segundo los 5 , al 5 12 tercero 1 y al cuarto lo restante. Si se vende 20 la casa a 90 000 dólares, ¿cuánto recibe el

a) $6000 d) 3000

b) 1200 e) 9000

c) 12 000

2

12. Si regalo 3 de lo que no regalo, ¿qué parte del 4 total regalo? 3 b) 1 c) 3 a) 5 2 7 4 e) 1 d) 7 4 13. En un salón de 32 alumnos, faltaron los 3/16, ¿cuántos alumnos asistieron?

a) 28 d) 9

b) 30 e) 32

c) 26

14. En una reunión de amigos, ocho son hinchas de Alianza Lima, seis de Cienciano y cuatro de Cristal. ¿Qué parte del total de amigos, son hinchas de Alianza Lima? 3 b) 4 c) 3 a) 8 9 9 2 e) 3 d) 9 5 15. Ricardo le pregunta a Carmela la hora y ella le responde: "Han transcurrido los 5 del día". 8 ¿Qué hora es en ese momento?

a) 5:00 pm d) 7:00

b) 4:00 e) 3:00

c) 6:00

cuarto hermano?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Doña Lucha ingresa al mercado de frutas de Cercado con S/. 60. Si gasta los 2 en mangos, 3 los 3 del resto en manzanas y los 3 del nuevo 4 5 resto en tunas, ¿cuántas frutas compró, si cada mango, manzana y tuna cuesta, respectivamente, cuatro soles, tres soles y un sol?

a) 24 d) 15

b) 21 e) 30

c) 18

2. ¿Cuánto se obtiene al aumentar dos quintos en los dos quintos de sus dos quintas partes? 14 b) 4 c) 58 a) 25 5 125 6 e) 12 d) 5 25 3. Si pierdo de manera sucesiva 1 ; 2 y 3 del 3 5 4 dinero que me iba quedando, ¿qué parte de mi dinero me sobra al final?

Central: 619-8100

1 b) 1 c) 1 a) 5 8 10 5 e) 1 d) 12 20 4. Luego de regalar los 2 de mi dinero y perder 5 3 de lo que me sobraba, termino con 30 soles. 4 ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

a) S/. 180 d) 300

b) 200 e) 240

c) 250

5. Luego de ganar 3 de lo que tenía y prestar 1 5 2 de lo que tenía acumulado en ese momento, me sobraron 96 soles. ¿Cuánto dinero gané?

a) S/. 60 d) 90

b) 54 e) 72

c) 84

Unidad VII

181

Fracciones: Situaciones básicas 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda. Proposición

V/F

Si gasté los 3/7 de mi dinero, me quedan aún sus 4/7 A las 15 horas del día han transcurrido los 3/8 del día. Los 3/5 de 150 es equivalente a la mitad de 160. 2. Analiza, detecta y corrige el error. De los S/. 600 que tenía gasté la mitad en pagar una deuda y la cuarta parte de lo que quedaba en la compra de una camisa. ¿Cuánto he gastado en total? El profesor

•

El alumno

Pago de deuda=

1 de 600=300 2 • Compra camisa= 1 de 600=150 4 • Gasto total=300+150 = 450 Rpta.: Gasté en total 450 soles 3. Si Juan es dueño de los 4 de una hacienda y 7 ya regaló los 3 de su parte, ¿qué parte de la 5 hacienda aún es de su propiedad? 4. Juan tiene 360 soles y regaló los 2 . ¿Cuánto 5 dinero regaló? 5. Marco gana 2500 soles al mes y gasta los 3 10 en el alquiler del departamento donde vive.

5 7. Ya han transcurrido los del día. ¿Qué hora 8 es? 5 del mes de abril. 6 ¿Cuántos días, de dicho mes, faltan transcurrir?

8. Ya han transcurrido los

9. Un auto debe viajar desde Lima a Huacho (180 km). Si ya recorrió los 5 del viaje, 12 ¿cuántos kilómetros le falta recorrer? 10. En una fiesta, los 5 son mujeres. Si en total 13 hay 156 personas, ¿cuántos hombres hay en dicha fiesta? 11. Renato duerme la tercera parte del día y estudia 1 del día, ¿cuántas horas del día le 4 quedan para realizar otras actividades? 12. Me deben los 3 de 630 soles y me pagan 7 los 3 de 150 soles. ¿Cuánto dinero aún me 5 deben? 13. Una casa pertenece a cuatro hermanos, al primero le toca los 2 , al segundo los 5 , al 5 12 1 y al cuarto lo restante. Si se vende tercero 20 la casa a 180 000 dólares, ¿cuánto recibe el cuarto hermano? 14. Si gasto 2 de lo que no gasto, ¿qué parte del 5 total gasto? 15. Si regalo 3 de lo que no regalo , ¿qué parte 11 del total no regalo?

¿Cuánto paga en el alquiler? 1 de mi dinero, ¿qué parte del dinero 3 aún me queda?

6. Si pierdo

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UNIDAD VIII

Encontrando valores desconocidos Gráficos estadísticos

E

l gráfico es la representación en el plano, de la información estadística, con el fin de obtener una impresión visual global del material presentado, que facilite su rápida comprensión. Los gráficos son una alternativa a las tablas, para representar las distribuciones de frecuencias.

. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y analizar las estrategias a realizar en las distintas situaciones con las ecuaciones y las operaciones arbitrarias. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles en la resolución de ejercicios de ecuaciones, de operaciones arbitrarias y de gráficos estadísticos. Razonamiento y demostración • Elaborar procedimientos operativos y elegir los correspondientes para cada caso.

Resolución de ecuaciones

Resolución de ecuaciones .


Analizar estrategias de resolución en las diversos ejercicios presentados en ecuaciones de primer grado.

•

Identificar las ecuaciones de primer grado.

Si se cumplen las ecuaciones horizontales y verticales, hallar: xyz

4x

+

y+1

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=

+

= 4

x-2

z

=

= +

-2

13

11 =

=

2

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1

Conceptos básicos  Ecuaciones de primer grado •

Una ecuación de primer grado es un enunciado abierto, expresado como una igualdad, que solo es verdadero para un determinado valor de la variable.

•

Una ecuación es de primer grado si el exponente de la variable es uno. Ejemplo

Es solo verdadero

Conjunto solución

x+3 = 5

x=2

{2}

→

2x+8=20 3x+6=-3

x=6

→

{6}

x =-3

{-3}

Ten en cuenta

Solo un valor satisface cada una de las ecuaciones, este valor recibe el nombre de solución de la ecuación.

 Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Forma general: ax+b=c

;a≠0

•

Resolver una ecuación es encontrar el valor con el cual el enunciado abierto se hace verdadero, para esto debemos despejar la variable o incógnita.

•

Despejar la incógnita, significa dejarla sola en una de los dos miembros de la ecuación, por lo general en el primer miembro.




Ecuación: Es un conjunto abierto en el cual aparece el signo igual (=), se caracteriza porque es verdadero para algún o algunos valores de la variable, como por ejemplo: →

•

3x + 6 = 21

•

x2 + 7x + 12 = 0 →

x=5 x= - 4 ; x= - 3

Conjunto Solución: Conjunto solución es el conjunto formado por el valor o los valores que satisfacen un enunciado abierto. Este valor o valores pertenecen a un conjunto dado llamado conjunto universal, conjunto universo, o conjunto dominio de la variable.

{1 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11 ; 16} {-4 ; -3 ; 2 ; 7 ; 9}

Central: 619-8100

"x" es impar

{1 ; 7 ; 9 ; 11}

x-6=3

{9}

Unidad VIII

185


Ten en cuenta

De cada conjunto universo hemos escogido los valores que hacen verdaderos los enunciados abiertos, estos valores han formado el conjunto solución.

Finalmente, para saber si la ecuación es correcta se reemplaza "x" por el valor hallado. 3x + 8 = 17 ↓ 3(3) + 8 = 17

9 + 8 = 17

17 = 17

Observemos que la igualdad se cumple, por lo tanto, el enunciado abierto es verdadero y el conjunto solución es {3}.

Síntesis teórica

es

de

que tiene

por

es

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en

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10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Completar: Ecuación

3a Es verdadero solo para

Conjunto solución

a-1

+

b+2

x+2=6

+

5

7x=21

-

c

=

4x=12

15

=

=

9

= +

=

1

=

6

4. Un cuadrado mágico es un cuadrado de números en el que todos las filas, columnas y diagonales suman el mismo valor, hallar el valor de "x".

x - 7=2 2. Crea una ecuación que tenga como solución: • x = 7 _____________________________ • x = 11 _____________________________ • x = -3 _____________________________ 3. Si se cumplen las ecuaciones horizontales y verticales, hallar "a.b.c"

x-1

2x+1 3(x - 1)

5x+6

x+2

x- 2

x+1

x

2(x+1)

5. Resolver: 3x - 2(5x - 7)=5x+12(3x+1)

Conceptos básicos Aprende más... 1. Colocar una (V ) o una (F) entre los paréntesis según las proposiciones sean verdaderas o falsas, respectivamente:

• La solución de: 2(x+4)=8; es 2............ ( )

• La solución de: x+7=9; es -2 .............. ( )

• La solución de: 7 - x=12; es 5 .............. ( ) • La solución de: x =12; es 6 .............. ( ) 2

2. Para que exista equilibrio la tensión de la cuerda y el peso del cuerpo deben ser iguales pero de sentido opuesto. ¿Cuál es el peso del cuerpo en kilogramos? 2(x+1)+26 4x+12

•

Hallar el valor de "x" en cada una de las siguientes ecuaciones:

4. -2(2 - x)=3(-3+2x) 4 b) 3 c) -5 a) 5 2 4 2 5 d) e) 3 4 5. x - (3 - 2x) - (5 - 4x)=3(x - 2) 1 b) 2 a) c) 1 4 5 1 e) - 1 d) 2 2 6. x + x + x - x = 3 - 2x 2 3 4 2 9 b) 18 c) 11 a) 23 43 23 13 e) 17 d) 43 41 7. 2(x - 5)+3(x - 6)=7

3. ¿Cuál es el valor de "n" para que la solución de la ecuación: 5x+8 - 2n = x+2+n; sea 3?

Central: 619-8100

a) 6 d) 7

b) 5 e) 10

c) 9

Unidad VIII

187


8. x =3(x - 3) - 7 3

12. x + 2 + x + 3 = x + 4 + 5 2 3 4 12

a) 2 d) 9

b) 6 e) 1

c) 8

9. x + 2 = 3x + 1 - 5 2 2 2

a) 3 d) 12

13.

b) 2 e) 10

c) 5

10. x - 2 = x + 5 + 1 3 8

a) 16 d) 15

b) 11 e) 14

c) 3

11. 3x - 1 = 2x + 2 - 4 5 4 5

a) 2 d) -1

a) 1 d) 3

b) 2 e) -5

c) -1

2 (x + 3) 1 - = x + 23 5 2 4 20 a) 3 d) 5

b) 2 e) -6

14. 2x - 1 - 3x - 2 = 1 3 5 5 a) 3 b) 2 d) -2 e) -5

c) 8

c) -3

15. 10 (x - 2) = x + 3 - 201 5 5

b) -3 e) 5

c) -2

a) 3 d) -6

b) -5 e) 1

c) -2

¡Tú puedes!básicos Conceptos x +2 x -3 3 - 2 1. Resolver: = 5-x 4 3 2 6

a) 6 d) 18

2. Resolver:

a) 2 d) 5

b) 12 e) 24 1 1+

1

2+ 1 x

x +1 x +2 x +3 x 2 2 2 + + =5 4. Resolver: + 2 3 4 5 c) 15

a) 3 d) 4

b) 2 e) 5

c) 1

x -2 x -3 x -3 3 x3 2 4 5. Resolver: = 4 2 3

= 9 13

b) 3 e) 6

c) 4

3. Resolver: (x+3)(x - 4)+(3x - 1)(2x+3)=(x - 5)(7x+2)

- 37 a) 10

b) 6

e) 12

d) 24

c) 8

3 b) 4 c) 5 a) 37 31 39 7 e) 11 d) 33 23

Colegios

188

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1

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Colocar una (V) o una (F) entre los paréntesis según las proposiciones sean verdaderas o falsas, respectivamente.

• La solución de: 3(x+5)=21; es 3 ......... ( )

5. Para que exista equilibrio la tensión de la cuerda y el peso del cuerpo deben ser iguales pero de sentido opuesto. ¿Cuál es el peso del cuerpo en kilogramos?

• La solución de: x+7=8; es -1 ............. ( )

2x - 5

• La solución de: 10 - x= -3; es 7............. ( ) • La solución de: x =32; es 8 ............. ( ) 4 2. Analiza, encuentra y corrige el error. • Hallar el valor de "x" en: 5x - 17=x+7 El profesor

El alumno

Paso 2: 6x=24

8. 2x - 3 = x 3 2

Paso 5: x=4 3. Asocia cada ecuación con su solución:

5x - 3=3x - 9

A x=-13 B x=5

3x - 4(x+1)=9

C x=3

D x=-3 E

x=-5

F

x=7

4. Hallar la masa que hay en cada platillo si la balanza está equilibrada.

(3x - 7+2x)

(4x +5)

9. x + x = 20 2 3 10. x + x - x = 17 3 5 11. 4(x - 2) - 3(x - 3)=2+2x 12. 3x - 5 - x + 2 = x - 6 3 4 x + 1+ 3 13. 2 =1 4 x - x +1 2 3 = x-8 14. 5 3 5 15.

Central: 619-8100

Hallar el valor de "x" en cada una de las siguientes ecuaciones:

7. 3(x+2)=5(3 - x)

Paso 4: x= 24 6

8=3(x - 1)+2

6. ¿Cuál debe ser el valor de "n" para que la solución de la ecuación: 5x+3 - 2n=2x+n - 1; sea 2? •

Paso 1: 5x+x=7+17

4x - 2(x-1)=12

15 - 3x

1 1+

1

1+ 1 x

= 6 11

Unidad VIII

189

Planteo y resolución de ecuaciones

Planteo y resolución de ecuaciones .


Traducir expresiones verbales a un lenguaje de símbolos (matemático).

•

Formular ecuaciones a través de la traducción y relación de datos para su posterior resolución.

El cóndor y las palomas El cóndor se encuentra con una bandada de blancas palomas y les pregunta: • • • •

Colegios

190

¿A dónde se dirigen, centenar de palomas? No somos cien -contestó una de ellas. Entonces, ¿cuántas son? Las que somos y tantas como las que somos y la mitad de las que somos y la mitad de la mitad de las que somos y contigo, majestuoso cóndor, somos un centenar. ¿Cuántas palomas hay?

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2

Conceptos básicos  Plantear una ecuación es un proceso reflexivo y crítico, en el cual se observa la transformación de un lenguaje gramatical a un lenguaje simbólico que usa letras y signos (+, - , = , etc.). 

Es muy importante una buena compresión lectora que nos va llevar a una correcta interpretación de los enunciados, ya que de ello depende el planteamiento correcto de la ecuación, cabe también mencionar el uso adecuado y correcto de un vocabulario matemático, así por ejemplo:

• • • • • •

Aumentado Disminuido Veces La mitad La tercera parte Tanto como, es, equivale

→ + → → × → 1/2 → 1/3 → =

Ejercicios resueltos 1. El triple de mi edad aumentado en seis es igual a 105.

Resolución

• • • •

El dato desconocido es mi edad, la cual la representaré por la letra "E". El triple de mi edad; debo multiplicar mi edad por 3, es decir "3E". Aumentada en 6: 3E+6 Finalmente igualar dicha suma a 105, es decir:

3E+6 =105 (quitando 6 a cada miembro de la igualdad) 3E+6 - 6 = 105 - 6 3E = 99 (dividiendo ÷3 a cada miembro de la igualdad)

3E÷ 3 = 99÷ 3 →

• •

E=33

Entonces, mi edad es igual a 33 Verificando : 3E+6 =105 3(33)+6 =105 99+6 =105 105 =105

2. La suma de tres números enteros consecutivos es igual a 60. Indicar la suma de cifras del mayor de ellos.

Resolución

• Los números enteros consecutivos difieren en una unidad por lo cual tres de ellos serían de esta forma: n ; (n+1) y (n+2) • La suma de ellos: n+n+1+n+2 • Igualamos dicha suma a 60, es decir: 3n+3=60 (restando 3 a cada miembro de la igualdad) 3n + 3 - 3=60 - 3 3n=57 (dividiendo ÷3 a cada miembro de la igualdad) 3n÷3=57÷3

Central: 619-8100

n=19

Unidad VIII

191


•

Los números consecutivos serían: 19; 20 y 21. El mayor=21 ⇒ Suma de cifras: 2+1=3

• Verificando: n + n +1+ n +2 = 60 ↓ ↓ ↓ 19+19+1+19+2 = 60 1442443 60 = 60

Síntesis teórica

Forma

como

Resueltos

Colegios

192

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10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC •

Traducir los siguientes enunciados verbales a un lenguaje matemático.

1. El doble de un número aumentado en cinco:

•

Dado los siguientes íconos, expresarlos en un lenguaje verbal.

4. 3(n+8) : 5. x2 - y2 :

2. El triple de la diferencia de un número y seis: 3. El doble del cuadrado de un número :

Conceptos básicos Aprende más... 1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso según corresponda: •

El doble de un número aumentado en cinco : 2(n+5) ...................................................( )

•

La suma de tres números consecutivos : 3n ....................................................................( )

•

El triple de un número aumentado en su mitad : 3n+ 1 ..................................................( ) 2

•

El triple del cuadrado de un número : (3n)2

La mitad de la diferencia de un número con seis : n - 6 ................................................( ) 2

•

2. Analiza, encuentra y corrige el error. • El triple de la suma de un número con 6 es igual a 24. Hallar dicho número. El profesor

•

Número: n

•

Triple del número: 3n

•

La suma con 6: 3n+6

•

Igual a 24: 3n+6=24

•

Resolviendo:

3n+6-6=24-6

(3n=18) ÷ 3

n=6

•

El número buscado es 6

a) 40 d) 60

Central: 619-8100

b) 10 e) 15

4. Relacionar:

El alumno

Un número aumentado en su mitad .

A n+ 1 2

La suma de cinco números consecutivos

B 5n+5

El doble de la suma de un número con siete La mitad de la diferencia de un número con nueve

3. El cuádruplo de un número aumentado en 16 es igual a 96. Hallar dicho número.

................................................................................................. ( )

c) 20

C 2(n+7) D 5n E

2n+7

n+ n 2 n -9 G 9 H n - 9 2 F

5. El triple de un número aumentado en el quíntuplo de dicho número es 2808. ¿Cuál es el número?

a) 251 d) 351

b) 821 e) 341

c) 321

Unidad VIII

193


6. El dinero que tiene Carito, aumentado en sus 7 es igual a S/. 760. ¿Cuánto tenía Carito? 12

a) S/. 200 d) 430

b) 300 e) 480

c) 380

11. Entre cerdos y gallinas que tengo cuento 86 cabezas y 246 patas. ¿Cuantos cerdos tengo?

a) 25 d) 43

b) 38 e) 54

c) 37

7. Un niño tenía S/. 85 soles. Si gastó el cuádruplo de lo que no gastó, ¿cuánto gastó?

12. Si ganara S/. 880 más tendría nueve veces lo que me quedaría si perdiera S/. 40. ¿Cuánto tengo?

a) S/. 34 d) 68

b) 92 e) 74

c) 96

8. Betty tiene el triple de Ana y Carmen S/. 6 más que Betty. Si entre las tres tienen S/. 62, ¿cuánto tiene Carmen?

a) S/. 30 d) 36

b) 8 e) 32

c) 24

9. En un corral el número de gallos es el cuádruplo del número de gallinas, si se venden cuatro gallos y cuatro gallinas, entonces el número de gallos es seis veces el número de gallinas. ¿Cuántas aves habían inicialmente?

a) 33 d) 50

b) 63 e) 95

c) 40

a) S/. 120 d) 155

b) 400 e) 180

c) 260

13. Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el triple del hijo?

a) 5 d) 12

b) 10 e) 15

c) 20

14. Un reloj cuesta 30 soles más que una pulsera. Si el precio del reloj se duplicara y el precio de la pulsera se cuadruplicara, entonces el precio del reloj sería el doble del precio de la pulsera. ¿Cuánto cuesta comprar dos relojes y tres pulseras?

a) S/. 90 d) 110

b) 130 e) 150

c) 105

10. En una caja registradora hay S/. 2400, en billetes de 10 soles y 100 soles. Si hay doble número de las primeras que de las segundas, ¿cuántos billetes hay de 10 soles?

15. En un salón de clase, si los alumnos se sientan de cuatro en cuatro, quedarían de pie once alumnos. En cambio, si se sientan de seis en seis, quedarían nueve asientos libres. ¿Cuántos alumnos hay en el salón?

a) 20 d) 10

b) 60 e) 40

c) 30

a) 47 d) 53

b) 49 e) 55

c) 51

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En una huerta se observa que el número de patos excede en ocho al número de pavos; además si incluimos doce pavos más y quitamos diez patos, entonces el número de pavos sería el triple del número de patos. ¿Cuál es el número de patos?

a) 10 d) 9

c) 12

a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 18

2. Un granjero tiene un total de 56 aves entre pollos, patos y pavos. Si tuviera tres pollos más, siete patos menos y cinco pavos más, tendría la misma cantidad de cada tipo de aves. Indicar como respuesta el número de patos.

4. A una reunión asistieron 200 personas; si el primer caballero bailó con 11 damas, el segundo con 12, el tercero con 13 y así sucesivamente hasta que el último bailó con todas las damas. ¿Cuántos hombres concurrieron?

a) 16 d) 30

Colegios

194

b) 8 e) 17

3. Una mula y un caballo llevan sobre sus lomos pesados sacos. La mula le dice al caballo: "Si yo tomara dos sacos de los tuyos, mi carga sería el doble de la tuya". El caballo le dice a la mula: "Es cierto, pero si yo tomara dos sacos de los tuyos, nuestras cargas se igualarían". ¿Cuántos sacos hay en total?

TRILCE

b) 26 e) 24

c) 14

a) 100 d) 90

b) 95 e) 85

c) 105

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5. En un rectángulo el largo excede al ancho en 20 metros. Si el ancho se reduce en su tercera parte y su largo se reduce a su mitad, el perímetro del nuevo rectángulo es los 5 del perímetro original. Indicar 9 el ancho original del rectángulo.

2

a) 12 b) 16 c) 20 d) 40 e) 15 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Marcar (V) si es verdadero o (F) si es falso según corresponda: • El cuádruple de la suma de un número y seis es: 4n+6 (V) (F) •

La suma de siete números consecutivos es: 7n

•

El doble de un número aumentado en su tercera parte es: 2n+ 1 3 El cuadrado del triple de un número es: (3n)2

• •

La tercera parte de la suma de un número con 8 es: n +8 3

(V) (V)

•

Número: n

•

Triple del número: 3n

•

La suma con 3: 3n+3

•

Igual a 30: 3n+3=30

•

Resolviendo: 3n+3 - 3=30 - 3 (3n=27) ÷ 3 n=9

•

El número buscado es 9.

A 7n

La suma de siete números consecutivos

B

(F) (F)

La tercera parte de la suma de un número con cinco

(V)

(F)

(V)

(F)

El alumno

3. ¿Qué número dividido por 43 dará como resultado 24? 4. ¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre los 2/5 y 1/8 del número? 5. ¿Cuál es el número cuyo 3/4 exceden en 420 a su sexta parte?

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Un número aumentado en su tercera parte

El triple de la suma de un número con once

2. Analiza, encuentra y corrige el error. • El triple de la suma de un número con 3 es igual a 30. Hallar dicho número. El profesor

6. Relacionar correctamente:

n+5 3

C n+ n 3 D 3(n+11)

7. Si al cuadrado de la cantidad que tengo le disminuyo el doble de la misma, me quedaría S/. 24. ¿Cuánto tengo? 8. Aumentado un número en su centésima parte, se obtiene 707. ¿Cuál es el número? 9. Disminuyendo el doble de un número de 25, se obtiene 1. ¿Cuál es el número? 10. Dividir 260 en dos partes, tales que el duplo del mayor dividido entre el triple del menor nos da 2 de cociente y 40 de residuo. Hallar el mayor de ellos. 11. Ana tiene el triple de pasteles que Tomás. Diego tiene la mitad que Tomás. Ana tiene 16 pasteles más que Tomás. ¿Cuántos pasteles tiene Tomás? 12. Me falta para tener 486 soles el doble de lo que me falta para tener 384 soles. ¿Cuánto tengo? 13. César y Ana pesan juntos 125 kg. La diferencia entre dos veces el peso de Ana y tres veces el peso de César es 45 kg. ¿Cuánto pesa César? 14. La suma de cuatro números pares consecutivos es 196. ¿Cuál es el valor del número impar que está entre los dos números intermedios? 15. Hallar el menor de tres números consecutivos, si sabemos que los 3/4 del menor, sumados con la tercera parte del número medio, equivale al mayor.

Unidad VIII

195

Operaciones matemáticas arbitrarias

Operaciones matemáticas arbitrarias .


Discriminar entre el operador universal y el operador arbitrario. Discriminar entre operaciones universales y arbitrarias. Organizar estrategias de resolución en ejercicios sobre operaciones matemáticas.

Actividad La utilidad "U" de una empresa, en miles de dólares, está dada por la siguiente expresión: U(x)= - (x - 5)2+4, donde "x" representa el número de cientos de unidades producidas y vendidas. Hallar la utilidad que obtendrá la empresa si vende 500 unidades y explica qué significa el resultado obtenido.

* Operador matemático 7

Colegios

196

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2

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3

Conceptos básicos Operación matemática: Es el procedimiento que aplicado a una o más cantidades, producen un resultado, el cual se obtiene después de utilizar reglas previamente definidas. Operador matemático: Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer la operación con su respectiva regla de definición. Así por ejemplo: Operación

Operador

Adición

+

Sustracción

-

Multiplicación

×

División

÷

Potenciación

( )n

Radicación

n

•

Las operaciones mencionadas (cuadro) son conocidas universalmente, lo que haremos en esta sección, es definir operaciones matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos de forma arbitraria.

•

El operador matemático puede ser cualquiera símbolo, incluso figuras como: * ; # ; % ; ∆ ;  ; etc.

•

Las reglas de definición se basarán en operaciones matemáticas ya definidas.

a ⊕ b = 2a2 - a×b ↓ 14243 Operador Regla de matemático definición

•

P = p2 - p + 2 ↓ 14243 Operador Regla de matemático definición

•

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Unidad VIII

197


Síntesis teórica

son

definidas

como

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Se define: 2M # 3N=M2 - N; indicar los respectivos valores de "M" y "N" para cada uno de los siguientes casos:

•

4 # 15 → M= _______ ; N=________

•

8 # 18 → M= _______ ; N=________

• Sabiendo que: x→ y = x2+y x← y = 2x+3y x ↓ y = 3x - y x ↑ y = 4y - x

•

12 # 3 → M= _______ ; N=________

2. Si: m =m2+m+3; calcular:

5

3. Se define: m ∅ n=m2+2mn+n2; calcular:

•

5 ∅ 3=

•

10 ∅ 20=

•

55 ∅ (-25)=

Colegios

198

TRILCE

Calcular:

4. 3→(4↓2) 5. (2→3)↓(2←1)

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3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Si se conoce que: m@n=5m2 - 2n3; calcular el valor de: 1@0

a) 6 d) 1

b) 5 e) 0

9. Se define:

c) 10

2. Si: x*y=2x2+(2y)2; calcular: 3*4

a) 100 d) 52

b) 82 e) 72

c) 28

a) 6 d) 66

a) 6 d) 3

b) -6 e) 36

b) 7 e) 9

a) 8 d) 16

b) 12 e) 24

Hallar "x", en: x

a) 9 d) 11

c) 30

c) 18

c) 10

c) 16

a) 15 d) 30

2a+1 ; si "a" es par 3a - 1 ; si "a" es impar

=

Hallar: 8 - 9

a) 9 d) 8

b) -8 e) -9

c) -7

n =2m+3n

5

x =19

a) 5 d) 6

Central: 619-8100

a) 71 d) 63

13. Si:

c) 6

b) 24 e) 34

c) 6

b) 41 e) 54

c) 27

2a - b ; si: a≤ b 3

Hallar: (5⊗1)⊗7

2 b) 3 c) 1 a) 7 7 3 1 4 d) e) 4 9

3m - n ; si m ≥ n 2n - m ; si m
Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda: Proposición

b) 2 e) 3

3a + b ; si: a>b 4

14. Si: m◊n =

8. Sabiendo que: m Hallar "x", en:

123

12. Si: (2m)Ψ(3n)=m+4n+3 calcular: 8 Ψ 15

123

a

c) 8

x - 3 x , hallar: 65

b) 4 e) 8

a⊗b=

7. Definimos:

calcular: 3%4

b) 19 e) 17

a) 5 d) 9

1442443

a) 15 d) 18

=13

b) 10 e) 12

6. Si: x =x+3; hallar: 7

9

y 11. Si: ` x j %` j =x+2y 2 3

5. Si: x⇔y = 5x - 2y; calcular: (2⇔3)⇔ 6

=K + H + 8 2

10. Se sabe que: x+1 =

4. Si: m*n=(m+n)(m2 - mn+n2); calcular: 2*1

H

3. Sabiendo que: x@=x2 - 5x; calcular: [(2@)]@

K

V/F

Para: m=2 y n=1 → m◊n = -4 c) 4

Para: m=-2 y n=1 → m◊n = -7 Para: m=0 y n=-1 → m◊n = -2

Unidad VIII

199


15. Juan y Hugo son dueños de una empresa de alquiler de autos. La utilidad en soles que ellos tienen por alquilar un auto durante un tiempo "t" (en horas) está dada por: U(t)= -t2+8t, entonces:

•

Si ellos alquilan un auto durante dos horas, ¿cuánto obtendrán de utilidad?

•

Si ellos alquilan un auto durante seis horas, ¿cuánto obtendrán de utilidad?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si: x =3x+2, hallar el valor de "a" sabiendo que: a = 71 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2. Sabiendo que: m⇔n=3m+4n; hallar el valor de "x" en: (2x+3)⇔(x - 1)=55 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Si: x =mx+b, calcular "m+b" sabiendo que: x =9x+8

a) 5 b) 7 c) -7 d) -5 e) Más de una es correcta

2 4. Si: a*b= a + 3 ; calcular: 5 * (6 * (7 * (8...))) 1 4444 2 44 44 3 2 50 operadores

a) 12

b) 14

c) 18

d) 21

e) Falta información

5. Si: n = 1+2+3+4+...+n, calcular: 97 - 96 a) 193 b) 96 c) 97 d) 98 e) 95 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos

• •

2. Analiza, encuentra y corrige el error:

200

calcular el valor de: (-2)%(-1) El alumno

Paso 1: -2 > -1

Si ellos alquilan un auto durante medio día, ¿ganan o pierden?

Paso 2: m%n=m+n Paso 3: m=-2 y n=-1

Colegios

m+n ; si: m ≥ n m - n ; si: m
El profesor

Si ellos alquilan un auto durante tres horas, ¿cuánto obtendrán de ganancia?

TRILCE

Se define: m%n=

123

1. Shere e Ítalo son dueños de una empresa de alquiler de autos. La ganancia en soles que ellos tienen por alquilar un auto durante un tiempo "t" (en horas) está dado por: G(t)= -t2+10t, entonces:

Paso 4: (-2)%(-1)= -2+(-1) = -3

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3. Relacionar correctamente, si se define: p * q=(p - q)(p2+pq+q2)

A 0

2 * (-1)

9. Si: mn

nm= m + n ; calcular: 2

10. Si: A*B=

A ; calcular: (2*3)+(3*2) A+B

B 1

3 * (-2)

C 117

11. Una operación se define así:

D 9

5*2

E -2 F

17

G 35

x+y 2 m , indicar (V) si es verda2 dero o (F) si es falso, según corresponda:

4. Si: 2x ⊕ 3y= c

Proposición

V/F

x =

2x; si "x" es par x; si "x" es impar

123

-1* 1

1

3

Hallar el valor de: 3 + 7 5 - 3 - 7

12. Si:

a = 2a; hallar el valor de:

2

13. Si: x∆y=(x+y)(x2 - xy+y2)

calcular el valor de: P=(2∆1)∆(1∆2)

6 ⊕ 12=81

-2 ⊕ - 6=16

14. Si:

8 ⊕ - 9=1

P - 3 = (P)(-1)

hallar: 4 +

2

2

5. Sabiendo que: m*n= m + n; calcular: 6*3 2

15. Si: 2 x - 1=x

6. Si: x#y=(x+y)(x - y); calcular: (3#4)#2

hallar: 5 + 9 - 3

7. Si: (2x)%(y)=4x+y; calcular: 4%6 8. Si: (x+3)

Central: 619-8100

(y - 2)=2x+3y; calcular: 7

4

Unidad VIII

201

Interpretación de gráficos estadísticos

Interpretación de gráficos estadísticos .


Analizar representaciones gráficas en la resolución de ejercicios sobre interpretación de gráficos estadísticos.

•

Relacionar los gráficos estadísticos con las diferentes situaciones que se presentan en la vida cotidiana.

A

un grupo de alumnos del Segundo año de secundaria, se les preguntó cuál era su curso preferido dentro del Área de Matemática.

Curso preferido Razonamiento Matemático (RM)

Número de alumnos 20

Aritmética (A)

15

Álgebra (X)

10

Geometría (G)

5

Total

50

A continuación, se presentan dos gráficos pero solo uno de ellos corresponde a la información dada en la tabla anterior: G 10% X 20% A 30%

RM 40%

G 14% RM 46%

X 16% A 24%

¿Cuál de los dos gráficos corresponde a la información dada en la tabla? Colegios

202

TRILCE

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4

Conceptos básicos •

Los gráficos son medios popularizados y a menudo los más convenientes para presentar datos, se emplean para tener una representación visual de la totalidad de la información. Los gráficos estadísticos presentan los datos en forma de dibujo de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos principales y compararlos con otros.

•

Durante el presente capítulo nos ocuparemos de dos de los más importantes gráficos estadísticos: los gráficos de barras y los gráficos circulares.

 Gráficos de barras

Un gráfico de barras es aquella representación gráfica bidimensional (dos dimiensiones) en la que los objetos gráficos elementales son un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente de manera que la extensión de los mismos es proporcional a la magnitud que se quiere representar. Plato típico preferido 900

Número de personas

800 700 600 500 400 300 200 100 0

Arroz con pollo

Ají de gallina

Pachamanca

Ocopa

Carapulcra

Cebiche

Tipos principales de gráficos de barras A. Sencillo: Contiene solamente una serie de datos. Por ejemplo, las ventas en distintos meses de un modelo de auto.

Número de autos vendidos (modelo Yaris) 700 cantidad de autos

600 500 400 300 200 100 0

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mes

Central: 619-8100

Unidad VIII

203


cantidad de autos vendidos

B. Agrupados: Contiene varias series de datos. Por ejemplo, las ventas en distintos meses de varios modelos de autos. En este caso, cada serie de datos se representa mediante un conjunto de rectángulos que comparten color o textura. 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mes Yaris

Corolla

Starlet

cantidad de autos vendidos

C. Apilados: Similar al agrupado pero, a diferencia del anterior, en este se puede resaltar el total de los autos vendidos por mes y además la cantidad vendida de cada modelo. 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mes Yaris

Corolla

Starlet

Colegios

204

TRILCE

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 Gráficos circulares

4

Estos gráficos nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, generalmente en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar. Así por ejemplo: Comida preferida de los limeños Otro tipo 4% Árabe 8%

Criolla 34%

China 14% Francesa 18%

Italiana 22%

Síntesis teórica INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

como

Ventas Abril- Junio 1000 600

70 60

300

40 10 50

Central: 619-8100

150

250

Cant. minutos

Wáfers 14%

500 400

Chiclets 7%

Chocolates 23% Caramelos 6%

280 Gomitas 18%

Galletas 32%

Unidad VIII

205


10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos Enunciado 1 La importadora de mototaxis EL CHASQUI nos brinda informacón sobre los volúmenes de ventas registrados durante los últimos cinco años: Unidades vendidas

560

320

4. ¿Cuál es el número promedio anual de mototaxis vendidos por la importadora en el periodo 2008 - 2012?

280 180

2009

2. ¿En qué año ha vendido menos mototaxis la importadora? 3. ¿Cuántos mototaxis ha vendido la importadora en el periodo 2008-2012?

450

2008

1. ¿Cuántos mototaxis ha vendido la importadora en el año 2011?

2010

2011

Año

2012

5. ¿En cuántos de los años, el número de mototaxis vendidos es mayor que el número promedio anual de mototaxis vendidos en el periodo 2008-2012?

Conceptos básicos Aprende más... Enunciado Un almacén recibe donativos para distribuir entre los pobladores de los sectores marginales de Lima. El gráfico siguiente muestra los donativos recibidos por el almacén durante cinco meses del año 2011: Donativos: mayo-septiembre 60

20

Agosto

100

80

80

Junio

60 60

Mayo

40

0

200

120

80

Leche en polvo Arroz

50

Azúcar

Colegios

206

b) 80 e) 110

c) 100

a) 490 d) 210

b) 470 e) 240

c) 480

3. ¿Cuál es el número promedio mensual de bolsas de azúcar que se han recibido durante el periodo mayo-septiembre del 2011?

a) 45 d) 98

b) 52 e) 48

c) 54

50

50

100

150

Cantidad de bolsas

TRILCE

a) 60 d) 120

2. ¿Cuántas bolsas de leche en polvo se han recibido en los cinco meses?

100

30

Julio

1. ¿Cuántas bolsas de arroz se recibieron en julio?

Mes Setiembre

Se sabe además que las bolsas de leche en polvo, arroz y azúcar pesan respectivamente 30 kg, 50 kg y 60 kg, entonces:

200

4. ¿Cuántos kilos de donativos recibió en agosto del 2011?

a) 7900 d) 8700

b) 8200 e) 9300

c) 10600

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Enunciado La empresa "VENDE TODO" se dedica a la venta de televisores de 14", computadoras, impresoras, equipos de música y hornos microondas. Los gráficos siguientes muestran los volúmenes de ventas en julio y agosto del 2012: Unidades vendidas julio 2012

Horno microondas 320

Televisores 50

Computadoras 150

8. Si juntamos la información de los gráficos circulares de julio y agosto del 2012, ¿qué porcentaje de los artículos vendidos son televisores?

b) 8% e) 10%

c) 12%

Enunciado Un alumno universitario dedica el tiempo del día a estudiar, dormir, hacer deporte, alimentarse y escuchar clases. La distribución de dichos tiempos viene mostrada en el siguiente gráfico: Dedicación diaria de un alumno universitario

Impresoras 120

Día Dom Sáb Vie Jue Mié Mar Lun

Equipos de música 360

Unidades vendidas agosto 2012 Horno microondas 400

a) 5% d) 15%

4

0

Televisores 250

5

10

15

20

Horas Estudiar

Dormir

Hacer Alimentarse Derporte

Escuchar clases

Computadoras 400 Equipos de música 600

9. Durante el día jueves, ¿cuántas horas duerme el alumno? Impresoras 350

5. En julio del 2012, ¿qué porcentaje de los artículos vendidos son televisores?

a) 5% d) 12,5%

b) 8% e) 7%

a) 25% d) 30%

b) 20% e) 35%

a) 70º d) 81,4º

Central: 619-8100

b) 75º e) 75,6º

c) 72º

c) 7

a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

c) 23

11. ¿Cuál es la cantidad promedio de horas diarias que duerme? (aprox.)

c) 60%

7. En agosto del 2012, ¿qué ángulo central le corresponde al sector hornos microondas?

b) 6 e) 9

10. ¿Cuántas horas hace deporte a la semana?

c) 10%

6. En agosto del 2012, ¿qué porcentaje de los artículos vendidos son equipos de música?

a) 5 d) 8

a) 6,56 d) 7,42

b) 7,23 e) 7

c) 6,86

12. ¿Cuántos días de la semana estudia más de seis horas?

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

Unidad VIII

207


Enunciado Las siguientes gráficas muestran la asistencia al cine en un centro comercial, así como el precio de las entradas en cierta semana.

13. De lunes a miércoles se recaudó entre los hombres:

Asistencia (en cientos) 30 20 15 12

12 6

L

10

M

6

M

12

12 10

6

J

V

Hombres

S

c) 28 200

a) S/. 15 000 d) 20 300

b) 17 000 e) 25 000

c) 19 000

15. De martes a miércoles la asistencia al cine disminuyó (aprox.) en:

D

Mujeres

Precio de las entradas

b) 26 200 e) 24 300

14. Los días viernes y sábados se recaudó entre las mujeres:

25 20

a) S/. 29 200 d) 26 800

L

M

M

J

V

S

D

Hombres

7

5

7

7

8

10

10

Mujeres

4

3

4

4

5

8

10

a) 30% d) 40%

b) 45% e) 50%

C) 66,%

¡Tú puedes!básicos Conceptos La empresa "Fullventas" se dedica a las ventas de cuatro productos "A", "B", "C, "D". Se sabe que las ventas y los ingresos obtenidos por la venta de dichos productos durante el año 2012 son mostradas en los siguientes gráficos circulares: Volumen de ventas 2012

Ingreso de ventas 2012 D 10%

A 20 %

D 40%

C 10%

C 30%

B 30%

B 20%

el precio de venta de cada unidad del producto "D"?

1. ¿Cuál fue la relación de precios de los productos "A" y "C" durante el año 2012? 1 b) 2 c) 2 a) 3 3 5 3 e) 2 d) 4 1 2. Si el ingreso por ventas del año 2012 fue de $50 000, vendiendo en total 2000 unidades, ¿cuál fue el precio de venta de cada unidad del producto "A"?

a) $30 d) 50

b) 40 e) 60

c) 45

3. Si se han vendido 600 unidades del producto "C" recaudando en su venta $21 600, ¿cuál fue

Colegios

208

TRILCE

A 40 %

a) $25 d) 8

b) 30 e) 12

c) 3

4. ¿Cuál fue, durante el año 2012, el producto más caro?

a) "A" d) "D"

b) "B" c) "C" e) Falta información

5. ¿En qué porcentaje debe aumentar el precio del producto "B" para que sea igual al precio del producto "A" (durante el año 2012)?

a) 300% d) 150%

b) 250% e) 100%

c) 200%

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4

soPractica cisáb soten peccasa noC Enunciado 1 La empresa "Auto fácil" se dedica a la venta de autos. La cantidad de autos vendidos durante los primeros mese del año 2012 es mostrada en el siguiente gráfico:

6. ¿Cuántas bolsas de arroz vendió en los tres primeros meses del año 2012?

Ventas Enero-Junio 2012

8. ¿En cuántos de los meses se ha vendido más bolsas de azúcar que de arroz?

Cantidades de autos

150 136

120 80

90

9. ¿En cuántos de los meses se ha vendido más kilos de arroz que de azúcar?

Mayo

10. Si cada bolsa de arroz se vende a dos soles, y cada bolsa de azúcar a tres soles, ¿en qué mes su ingreso fue mayor?

60

Enero

Febrero Marzo

Abril

7. ¿Cuántas bolsas de azúcar vendió en promedio mensual durante el periodo enero-mayo 2012?

Junio

Mes

1. ¿Cuántos autos se vendió en los seis meses? 2. ¿Cuál es el promedio mensual de autos vendidos durante el periodo enero - junio del 2012?

Enunciado 3 La empresa de transportes "EL TUMI" ofrece los servicios de transporte a Ica, Nazca y Moquegua. El gráfico siguiente muestra la cantidad de pasajeros transportados durante los últimos cuatro meses: Pasajeros transportados por "TUMI"

3. ¿Cuántos autos más que en febrero, se vende en junio?

5. ¿Cuántos autos menos que en junio se vende en enero? Enunciado 2 La comercializadora "San Carlos" se dedica a la venta de dos productos: Bolsas de arroz de 750 gramos y Bolsas de azúcar de un kilo. El gráfico siguiente muestra los volúmenes de ventas de la comercializadora durante el periodo enero - mayo 2012:

cantidad de bolsas

200

Enero

400 450

Febrero

600 300

500 400

400 250

Marzo

Abril

Mayo

Mes Arroz (bolsas de 750g)

Central: 619-8100

60

80 30

50

45

Abril

70

80

70 40

Mayo

30

Junio

Julio

Mes Ica

Nazca

Moquegua

11. ¿Cuántos pasajeros fueron transportados por "EL TUMI" durante el mes de junio? (en miles) 12. ¿Cuántos pasajeros fueron transportados a Ica durante el mes de julio? 13. ¿En qué mes se transportó a un mayor número de pasajeros?

Ventas "San Carlos" periodo enero - mayo 2012

300

cant. de pasajeros (miles)

4. ¿En cuántos de los meses vendió más autos que el promedio mensual registrado en el periodo enero - junio del 2012?

120 90

Azúcar (bolsas de un kilo)

14. Si los pasajes a Ica, Nazca y Moquegua cuestan respectivamente 20; 30 y 50 soles, ¿cuánto dinero recaudó "EL TUMI" durante el mes de abril? (en miles) 15. ¿Cuántos pasajeros en promedio mensual viajaron a Nazca durante el periodo abril-julio (en miles)?

Unidad VIII

209

Repaso VI

Repaso VI

• • •

Colegios

210

TRILCE

Resolución de ecuaciones Operaciones matemáticas arbitrarias Interpretación de gráficos estadísticos

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5

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Analiza, detecta y corrige el error.

La suma de dos números es 406 y el triple del menor excede en 150 al mayor. Hallar los números. El alumno

El profesor

• Paso 1: Primer número: x Segundo número: 406 - x • Paso 2: 3x - (406 - x)=150 3x - 406 - x= 150 3x - x=150+406 2x=556 x=278 • Paso 3: Primer número: x=278 Segundo número: 406 - x 406 - 278 128 Mayor: 278 Menor: 128 2. Relacionar:

2x+4=5+x

A x=5

6x+9=4x+17

B x=10

5x+7=32

C x=1

x + 2 =3 4

D x=4

3. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda: Proposición V/F El doble de un número disminuido en 9 es: 2(x - 9) Un número disminuido en 15 es: x - 15 El triple de la suma de un número y 9 es: 3x+9

El doble de un número aumentado en 6 resulta 18; es equivalente a: 2(x+6)=18

Central: 619-8100

Unidad VIII

211

Repaso VI

4. El gráfico siguiente muestra el puntaje de "n" alumnos en el último examen de la Universidad Católica: Nº de alumnos 400 360 300 180 160

800

400

1200

1600

puntaje

2000

Responde:

A) ¿Cuál es el valor de "n"? B) ¿Cuántos alumnos obtienen más de 800 puntos?

C) ¿Qué fracción de los alumnos obtuvieron menos de 1600 puntos?

D) Si ingresaron 540 alumnos, ¿cuál fue el puntaje mínimo para ingresar?

5. Ximena tiene S/. 40 menos que Luciana y Fátima tiene S/.60 más que Luciana. Si entre las tres tiene 290 soles, ¿cuánto tiene cada una? 6. Calcular: 3+

1

1- 1 2 A) 3-1 4 2

2-

3

1+ 2 3 B) 1 1+ 1+ 1 3

7. Velin decide irse de compras y para ello dispone de 1000 soles. Primero gasta los 3 en un vestido, 5 luego gasta 1 del resto en una blusa, y finalmente gasta los 3 del nuevo resto en un par de 10 20 zapatos. ¿Cuánto dinero le sobró luego de realizar dicha compra?

8. Si: p*q=

p2 + 3 ; calcular: 6 * (7 * (8 * (9...))) 1 4444 2 4 4 44 3 3 50 operadores

Colegios

212

TRILCE

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5

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Analiza, detecta y corrige el error.

La suma de dos números es 600 y el cuádruple del menor excede en 150 al mayor. Hallar los números. El alumno

El profesor

• Paso 1: Primer número: x Segundo número: 600 - x • Paso 2: 4x - (600 - x)=150 4x - 600 - x= 150 3x - x=150+600 2x=750 x=375 • Paso 3: Primer número: x=375 Segundo número: 600 - x 600 - 375 225 Mayor: 375 Menor: 225 2. Relacionar:

3x+6=8+2x

A x=9

10x+15=8x+17

B x=17

C x=2

D x=1

5x - 3=42

x - 2 =3 5

3. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda: Proposición V/F El triple de un número disminuido en 12 es: 3x - 12 Un número aumentado en 14 es: x+14 El doble de la diferencia de un número y 10 es: 2x - 10

El triple de un número disminuido en 7 resulta 35; es equivalente a: 3x - 7=35

Central: 619-8100

Unidad VIII

213

Repaso VI

4. El gráfico siguiente muestra el puntaje de "n" alumnos en el último examen de la Universidad Nacional de Ingeniería: Nº de alumnos 600 450 400 250 200

800

400

1200

1600

Puntaje

2000

Responde:

A) ¿Cuál es el valor de "n"? B) ¿Cuántos alumnos obtienen más de 1200 puntos?

C) ¿Qué fracción de los alumnos obtuvieron hasta 800 puntos?

D) Si ingresaron 700 alumnos, ¿cuál fue el puntaje mínimo para ingresar?

5. Mathías tiene S/. 80 menos que Diego y Edú tiene S/. 100 más que Diego. Si entre los tres tienen S/. 620, ¿cuánto tiene cada uno? 6. Calcular: 8+

1

1- 1 2 A) 5+1 4 2

4-

2

1+ 2 5 B) 1 1+ 1+ 1 5

7. Marco decide irse de compras y para ello dispone de $1600. Primero gasta los 3 en una camisa, 4 luego gasta 1 del resto en un pantalón, y finalmente gasta los 3 del nuevo resto en un reloj. 2 20 ¿Cuánto dinero le sobró luego de realizar dicha compra?

8. Si: a@b= ab+a2+b2; calcular: (6@2)@1

Colegios

214

TRILCE

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Razonamiento Matemtico II

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