III Bimestre Razonamiento Matemático 4to Secundaria

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Juegos lógicos I

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCECOLEGIO • TRILCE • COLEGIO TRILCECOLEGIO •

Principio de Suposición En estos problemas debemos suponer a manera de hipótesis la respuesta y verificar que cumpla con todos los datos del enunciado. Por tanto, se trata de aplicar la siguiente estrategia:

Cuando un problema tenga una sola respuesta y esta se encuentre en un conjunto pequeño de posibilidades, podemos descartar candidatos a ser solución, si llegamos a una contradicción. Esta forma de razonar se llama "Principio de Suposición"

Test de Aprendi zaje e previo Tes t de a prendizaj Enunciado Después de un examen de R.M. tres alumnos de 4to. grado comentan sobre sus notas lo siguiente: Diego: "Yo tengo veinte" "Denis tiene diecisiete" "Dante tiene dos puntos menos que yo"

2. Si Denis siempre dijo la verdad, se cumple que: a) b) c) d) e)

Diego tiene quince Dante es el que tiene mayor nota que todos Dante mintió a lo más dos veces Diego mintió al menos dos veces Dante tiene menos nota que Diego

Dante: "Yo tengo veinte" "Denis tiene dos puntos menos que yo" "Diego tiene quince" Denis: "Yo tengo diecisiete" "Dante tiene tres puntos más que yo" "Diego y Dante tienen la misma nota"

3. Si Dante siempre dijo la verdad, es cierto que:

1. Si Diego siempre dijo la verdad, se puede afirmar con certeza que: a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

Denis tiene dieciocho Diego mintió a lo más una vez Denis mintió a lo más una vez Diego mintió a lo más dos veces Más de una es correcta

Dante siempre dijo la verdad Dante mintió siempre Denis siempre dijo la verdad Denis mintió siempre Denis mintió dos veces

Organización Educativa TRILCE

161

4. Si Den is mintió siempre, e ntonces necesariamente que:

ocurre

7. Si el tutor sabe que solo uno ha mentido, ¿quién le envió el mensaje?

I. Diego mintió al menos una vez II. Denis tiene dieciocho III.Dante mintió al menos una vez

8. Si el tutor sabe que solo uno ha mentido, ¿quién mintió? 5. Se sabe que cada uno de ellos dijo la verdad solo una vez y que todos obtuvieron la misma nota. Luego, ¿cuál es la nota de Diego?

Enunciado Cuatro alumnos son interrogados por su tutor, pues uno de ellos le ha enviado un mensaje anónimo indicando que necesita ayuda. Ellos le contestaron de la siguiente manera:

9. Si el tutor sabe que todos dicen la verdad, ¿quién le envió el mensaje?

Erick: "Uno de nosotros fue" Mariano: "Yo no fui" Diego: "Erick no fue" Juan: "Diego fue"

10.Si el tutor sabe que Mariano envió el mensaje, ¿cuál afirmación es correcta? 6. Acerca de los enunciados que respondió cada uno de ellos, es posible que: I. Todos los enunciados sean falsos II. Todos los enunciados sean verdaderos III.A lo más dos enunciados sean falsos

162

I. Mariano miente II. Diego dice la verdad III.Juan miente

Cuarto Año de Secundaria

Pract iquemos

Practiquemos

Bloque I

a) SoloI c)S oloIII e) Ninguna

Enunciado I

b) SoloII d)S oloIyII

Cuatro acusadas de haber ocasionado apagones en 5. Si se sabe que sólo uno de ellos dice la verdad, ¿quién TRILCEPOLIS son interrogadas y responden de la siguiente es el asesino y quién dice la verdad, respectivamente? manera: a) Toribio - Eleuterio - Mariel: "Laura participó" b) Toribio - Gregorio - Laura: "Irina participó" c) Gregorio - Eleuterio - Irina: "Laura miente" d) Gregorio - Toribio - Alicia: "Yo no participé" e) Eleuterio - Eleuterio 1. Si se sabe que tres de ellas mienten y que la otra, que dice la verdad, es la única inocente, ¿quién dice la verdad? a) b) c) d) e)

I. Eleuterio miente. II. Gregorio es culpable del asesinato III.Eleuterio es culpable del asesinato

Mariel Laura Irina Alicia Faltan datos

2. Si la única qu e partici pó fue A licia, ent onces necesariamente es cierto que: a) b) c) d) e)

a lo más hay dos personas que mienten. Irina es la única que miente. al menos una dice la verdad. al menos dos dicen la verdad. Ninguna de las anteriores

3. Si se sabe que tres de ellas dicen la verdad y la otra, que miente, es la única culpable, ¿quién es la culpable? a) Mariel c) Irina e) Faltan datos

6. Considerando que sólo uno de ellos miente, entonces es necesariamente cierto que:

a) b) c) d) e)

Enunciado III Cuatro alumnas, Mónica, Lucero, Estrella y Sol, responden un examen de tres preguntas de la siguiente manera: alumna Mónica preg.

b) Laura d) Alicia

Enunciado II La policía detiene a tres amigos sospechosos de un asesinato y al interrogarlos responden: Eleuterio: "Yo soy el asesino" Toribio: "El asesino es Eleuterio" Gregorio: "Yo no soy el asesino" Se sabe además que al menos uno de ellos es culpable. 4. Si sólo hay un culpable, entonces es necesariamente cierto que: I. todos dicen la verdad. II. todos mienten. III.Gregorio miente.


Solo I y II Solo I y III Solo II y III Todas Ninguna de las anteriores

Lucero

Estrella

Sol

1

V

V

F

F

2

V

F

F

V

3

F

F

V

F

7. Si se sabe que una de ellas contestó todas las preguntas correctamente, que otra falló en todas y que las otras dos fallaron sólo en una pregunta cada una, ¿quién falló en todas las preguntas? a) Mónica

b) Lucero

d) Sol

e) faltandatos

c) Estrella

8. Si se sabe que sólo una de ellas contestó todas las preguntas correctamente y que las otras tres contestaron por lo menos una pregunta correctamente, ¿quién acertó sólo en dos preguntas? a) b) c) d) e)

Mónica Lucero Estrella Sol No se puede precisar 163

Enunciado IV

13.Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad?

Cuatro alumnas comentan sus resultados de una evaluación: : "Yo hice treinta preguntas de Razonamiento Matemático" Valeria : "Yo no hice treinta preguntas de Razonamiento Matemático" Rocío : "Valeria dice la verdad" Julissa : "Layla miente"

a) b) c) d) e)

Layla

14.Si tres de ellas dicen la verdad, ¿quién miente? a) b) c) d) e)

9. Si se sabe que sólo una dice la verdad y que sólo una de ellas hizo treinta preguntas de Razonamiento Matemático, podemos afirmar con certeza que: a) Layla dice la verdad b) Julissa hizo treinta pre guntas de Razona miento Matemático c) Rocío dice la verdad d) Valeria hizo treinta preguntas de Razonamiento Matemático e) Julissa miente

Carla Verónica María Patricia No se puede precisar


15.Si sólo una de ellas miente, ¿quién se co mió el chocolate? a) b) c) d) e)


10.Si se sabe que sólo una de ellas miente, ¿quién miente? Bloque II a) b) c) d) e)

Layla Valeria Rocío Julissa No se puede precisar

Enunciado VI Tres amigas, Eliana, Carmen y Dora, fueron las ganadoras del primer, segundo y tercer puesto en un torneo de tenis, aunque no necesariamente en ese orden. Ellas afirmaron:

11.Si sólo Layla miente, entonces es necesariamente cierto que: I. Julissa dice la verdad II. Valeria miente. III.Rocío dice la verdad.

-

Eliana : "Yo quedé en primer lugar" Carmen : "Lamentablemente, Dora y quien habla no ocupamos el primer lugar" Dora : "Felizmente, quedé mejor ubicada que Carmen"

1. Si sólo una miente, entonces es cierto que: a) b) c) d) e)

Solo I Solo II Solo II y III Solo III Ninguna de las anteriores

a) b) c) d) e)

Eliana miente Carmen miente Dora miente Cualquiera de las tres puede estar mintiendo Ninguna de las anteriores

Enunciado V Cuatro hermanas son interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso: -

Carla Verónica María Patricia

: : : :

"Verónica fue" "María fue" "Verónica miente al decir que fui yo" "Yo no fui"

12.Si la madre sabe que sólo una de ellas dice la verdad, ¿quién se comió el chocolate? a) Carla d) Patricia 164

b) Verónica c) María e) Faltand atos

2. Con el dato anterior, el orden de los puestos del primer al tercer lugar fue: a) b) c) d) e)

Eliana, Carmen y Dora Eliana, Dora y Carmen Carmen, Eliana y Dora Carmen, Dora y Eliana Ninguna de las anteriores

3. Es imposible que: a) Ninguna mienta b) Todas mientan c) Dora pueda decir la verdad Cuarto Año de Secundaria

d) Entre Eliana y Carmen sólo una miente e) Carmen miente y Eliana no miente

7. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Antonio está mintiendo II. Hernán está mintiendo III.Hay sólo un día de la semana en que ambos dicen la verdad.

Enunciado VII Un arqueólogo, que realiza excavaciones en las ruinas de Ceprelandia, encuentra tres cofres: uno de plata, otro de bronce y el otro de madera. Se sabe que en uno de ellos hay un tesoro y al pie de cada cofre hay un mensaje: -

Cofre de plata: "El tesoro está aquí" Cofre de bronce: "El tesoro no está aquí" Cofre de madera: "El tesoro no está en el cofre de bronce"

a) b) c) d) e)

8. Se deduce necesariamente que:

4. ¿En cuál de los cofres está el tesoro, si solo uno de los mensajes es incorrecto? a) b) c) d) e)

Solo I Solo II Solo III Solo I y III Ninguna de las anteriores

I. es un domingo de primavera II. es un lunes de primavera III.es un lunes pero no de primavera

Plata Bronce a) SoloI b) SoloII c) SoloIII Madera d) Solo I y III e) Solo II y III Con la información dada, podrían ser correctas "a" o"b" Con la información dada, podrían ser correctas "a" o"c" Bloque III

5. Si sólo uno de los mensajes es incorrecto, entonces debe ser verdad que:

Enunciado IX Tres amigas sostienen la siguiente conversación:

I. el mensaje del cofre de bronce es correcto. II. el mensaje del cofre de plata es correcto. III.el tesoro no está en el cofre de bronce. a) b) c) d) e)

Solo I y II Solo I y III Solo II y III Todas Ninguna de las anteriores

6. Si el tesoro se encuentra en el cofre de madera, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. El mensaje del cofre de plata es incorrecto II. El mensaje del cofre de madera es incorrecto III.El mensaje del cofre de bronce es correcto. a) b) c) d) e)

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III Ninguna de las anteriores

Enunciado VIII Dos hermanos gemelos tienen una rara característica: uno de ellos miente los lunes, miércoles y viernes, y dice la verdad los otros días; el otro miente los martes, jueves y sábados, y dice la verdad los otros días. Cierto día se les escuchó la siguiente conversación: -

-

Andrea: "Aprobé Química" Blanca: "Yo no aprobé Química" Carla: "Andrea dice la verdad"

1. Si se sabe que sólo una de ellas no aprobó Química y que sólo una de ellas miente, ¿quién miente y quién no aprobó, respectivamente? a) b) c) d) e)

Blanca - Andrea Andrea - Carla Blanca - Carla Andrea - Blanca Carla - Andrea

2. Si se sab e que sólo un a de ellas di ce la ver dad, entonces, de las tres, ¿cuántas como máximo pudieron aprobar Química? a) Una b) Dos c) Tres d) Ninguna e) No se puede determinar 3. Si sólo una de ellas dice la verdad, es posible que: a) b) c) d) e)

Andrea diga la verdad. Blanca diga la verdad. Carla diga la verdad. Andrea haya aprobado Química. Blanca haya aprobado Química.

Antonio : "Hoy es domingo" Hernán : "Ayer fue domingo" Antonio : "Estamos en primavera" Organización Educativa TRILCE

165

Enunciado X Cuatro alumnas comentan los resultados de una evaluación: -

Amelia Blanca Cecilia Carolina

: : : :

"Carolina m iente" "Cecilia no miente" "Obtuve el más alto puntaje" "Yo no obtuve el más alto puntaje"

4. Si se sabe que sólo una de ellas dice la verdad y que sólo una de ellas obtuvo el más alto puntaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) b) c) d) e)

Carolina dice la verdad Amelia dice la verdad Carolina obtuvo el más alto puntaje Cecilia obtuvo el más alto puntaje Ninguna de las anteriores

5. Si se sabe que solo una de ellas miente y que solo una de ellas obtuvo el más alto puntaje, ¿quién es la que miente? a) Amelia d) Carolina

b) Blanca c) Cecilia e) No se puede determinar

6. Si Carolina miente, entonces es necesariamente cierto que: I. Amelia dice la verdad. II. Blanca también miente. III.Cecilia dice la verdad. a) SoloI d) Solo I y II

b) SoloII c) SoloIII e) Ninguna de las anteriores

Autoevaluaciòn Ac epta el r eto TRILCE...! 1. Cuatro amigos de 15; 17; 18 y 20 años de edad tienen la siguiente conversación: Mario: Yo Yo tengo tengo 18 15 años años Lucio: Carlos: Mario tiene 17 años Víctor: Yo tengo 17 años

3. Con el dato anterior, ¿qué se puede c oncluir co n certeza? a) b) c) d) e)

José no miente Leopoldo no miente Gonzalo no miente Gonzalo miente José miente

Si uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, ¿cuánto suman las edades, en años de Marcos y Víctor? 4. Si se sabe que solo un enunciado pronunciado por los personajes es falso, entonces es siempre cierto que: a) 38 b) 33 c) 34 a) José miente d) 32 e) 37 b) Leopoldo no miente c) Gonzalo se sacó el premio mayor Enunciado d) José ganó José, Leopoldo y Gonzalo deciden comprar YALA. e) Gonzalo no miente Después de saber los resultados del sorteo, que da como ganador a uno de ellos, sostienen la siguiente 5. Con el dato anterior, ¿quiénes pudieron ganar el premio conversación: mayor? José: "Yo gané el premio mayor" Leopoldo:"José "Yo no mayor" Gonzalo: no gané ganó el el premio premio mayor" 2. Si se sabe que solo una de tales afirma ciones es verdadera, ¿qué podemos concluir necesariamente? a) b) c) d) e)

166

I. Leopoldo José II. III.Gonzalo a) SoloI d) Solo I y II

b) SoloII e) Solo I y II

c) SoloIII

José ganó Leopoldo no ganó Gonzalo ganó Leopoldo ganó Ninguna de las anteriores


Tarea domiciliaria Enunciado I

9. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Al menos una de ellas dice la verdad durante dos días consecutivos. II. A lo mucho una de ellas miente durante dos días consecutivos. III.Por lo menos hay un día en que ambas dicen la verdad.

Cuatro hermanas son interrogadas por su padre, pues una de ellas rompió su perfume favorito. Ellas respondieron: -

Cecilia Vielka María Paula

: : : :

"Vielka fue" "Maríafue" "Vielka miente al decir que fui yo" "Yonofui"

1. Si sólo una de las cuatro hermanas dice la verdad, ¿quién rompió el perfume? 2. Si tres de las cuatro hermanas mienten, ¿quién dice la verdad?

Enunciado III En la competencia de natación dedamas, Carla, Carmen y Diana ocuparon los tres primeros puestos, aunque no necesariamente en ese orden. Al ser cuestionadas acerca del resultado de la competencia, por una compañera gravosa, ellas contestaron:

3. Si tres de ellas dicen la verdad, ¿quién miente?

- Carla : - Carmen : - Diana :

4. Si sólo una de las hermanas miente, ¿quién rompió el perfume? 5. Si sólo dos de ellas dicen la verdad, ¿cuáles de las siguientes parejas pueden haber dicho ambas la verdad?

"Yo gané la competencia" "Yo no gané la competencia" "Yo terminé mejor ubicada que Carmen"

10.Si sólo una miente, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Carla miente. II. Carla dice la verdad. III.Diana miente.

I. Cecilia - Vielka II. María - Paula III.Cecilia - Paula 6. Es verdad que: a) b) c) d) e)

Las cuatro hermanas dicen la verdad. Al menos una de las hermanas dice la verdad. Las cuatro hermanas mienten. Si Cecilia miente, María miente. Si María dice la verdad, Paula dice la verdad.

11.Para determinar los puestos que ocuparon Carla, Carmen y Diana al final de la competencia, es suficiente saber que: I. Sólo una de las tres miente. II. Diana terminó en tercer lugar. 12.Es imposible que:

Enunciado II

I. Todas digan la verdad. II. Todas mientan. III.Si Carla miente, Carmen no miente.

Dos hermanas tienen una rara característica: Una de ellas miente los lunes, miércoles y viernes, y dice la verdad los otros días; la otra hermana miente los martes, 13.Si Carmen terminó en segundo lugar, ¿cuáles de las jueves y sábados, y dice la verdad los otros días. Cierto siguientes afirmaciones son verdaderas? día se les oyó la siguiente conversación: -

Cecilia Marlene Cecilia

: : :

I. Al menos una de las tres miente. II. Diana ganó la competencia. III.Diana dice la verdad.

"Mañana iré al cine" "Mañana es lunes" "Hace dos días fue domingo"

7. ¿Qué día se realizó dicha conversación? 8. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Mañana es viernes II. Ayer fue lunes III.Dentro de dos días será jueves


Enunciado IV Cuatro alumnas comentan los resultados de una evaluación. -

Hilda: " Carolina miente" Blanca: "Cecilia no miente" Cecilia: "obtuve el más alto puntaje" Carolina: "Yo no obtuve el más alto puntaje" 167

14.Si se sabe que sólo una de ellas miente y que sólo una de ellas obtuvo el más alto puntaje, ¿quién es la que mient e? 15.Si Carolina miente, entonces es necesariamente cierto que: I. Hilda dice la verdad II. Hilda también miente III.Cecilia dice la verdad 16.Si se sabe que sólo una de ellas dice la verdad y que sólo una de ellas obtuvo el más alto puntaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. Carolina dice la verdad II. Hilda dice la verdad III.Carolina obtuvo el más alto puntaje IV. Cecilia obtuvo el más alto puntaje 17.Si sólo una de ellas miente, ¿quién obtuvo el puntaje más alto?

-

Raúl Martín Javier Manuel Frank

: : : : :

"Yonolamaté" "Raúl miente". "Martín miente". "Martín la mató" "Manuel dice la verdad"

Si solamente una de las afirmaciones es cierta, ¿quién no es el asesino? 22.Fernando realizó una encuesta entre 3 amigos: Miguel, Oscar y Willy, para conocer cierta información de Aldo. MIGUEL ¿Esprofesional?

OSCAR

WILLY

SI

SI

¿Tieneauto?

NO

NO

NO SI

¿Legustaviajar?

SI

NO

NO

Pero luego recordó que uno de ellos miente siempre, otro sólo miente una vez cada tres preguntas que se le hace y el otro siempre dice la verdad. ¿Quién miente siempre?

18.Una señora preparó deliciosos panes: pan de yema, pan de aceituna, pan de chirimoya. Por lo que decidió enviarlos a su hija, para ello ol s colocó en cajas distintas. 23.Tres amigos conversaban amenamente preguntándose Por error los nombres han sido puestos en cajas que mutuamente sobre la tenencia de ciertos bienes de no corresponden al tipo de pan quecontienen. ¿Cuántas Ana. A continuación ofrecemos un resumen de las cajas se deben abrir para saber con seguridad el tipo preguntas y las correspondientes respuestas: de pan que contiene cada una? María Nuria Paola 19.Un explorador encontró a tres indígenas y les preguntó a qué raza pertenecían. ¿Tienesmascota? Si Si No ¿Erescasada? No No Si * El primero contestó tan bajo que el explorador no ¿Tegustaelpollo? Si No No oyó. * El segundo dijo señalando al primero "Ha dicho que Pero no te confies en estas respuestas, porque sólo es un taca". una de ellas siempre dice la verdad y la otra miente. * El te rcero inter peló al se gund o "T ú ere s un La otra miente una vez cada tres respuestas. ¿Quién mentiroso". dice siempre la verdad? * Los indígenas sólo pueden ser tacas o tiquis. Si se sabe que los tacas siempre mienten y los tiquis siempre dicen la verdad, ¿de qué raza era el tercer indígena? 20.Cuatro sospechosos de haber atropellado con un auto a un peatón, hicieron las siguientes afirmaciones cuando fueron interrogados por la policía: -

María Lucía Irene Leticia

: : : :

"FueLucía" "FueLeticia" "Yonofui" "Lucía miente"

24.Cuatro amigas se encuentran en la playa cada una con lentes para el sol. Se escucha la siguiente conversación: -

María Lucía Irene Leticia

: : : :

"Yo no tengo ojos azules" "Yo no tengo ojos pardos" "Yo tengo ojos pardos" "Yo no tengo ojos verdes"

Si se sabe queojos unapardos de ellas tienesólo ojosuna azules y las demás tienen y que de las afirmaciones es incorrecta, ¿quién tiene os l ojos azules?

Si sólo una de ellas miente, ¿quién atropelló al peatón? 21.Un juez estaba convencido de que cuatro de los cinco sospechosos, Raúl, Martín, Javier, Manuel o Frank, eran los asesinos de "Lolita". Cada sospechoso hizo una afirmación: 168


25.Tres amigos ejercen oficios distintos y por casualidad 26.Supongamos que los casados siempre mienten y los sus apellidos coinciden con los nombres de estos oficios, solteros siempre dicen la verdad, Félix dice: "Luis y yo aunque no cada uno con el suyo. Al ser preguntados somos solteros", y Luis dice: "Félix es casado". Si solo por sus respectivos oficios, respondieron así: uno de ellos miente, ¿cuáles de las siguientes "De las siguientes proposiciones, tres son falsas y una afirmaciones son verdaderas? es verdadera" I. Félix dijo la verdad. I. El señor Carpintero no es pintor II. Félix es casado y Luis es soltero. II. El señor Albañil no es carpintero III.Félix es soltero y Luis es casado. III.El señor Carpintero es carpintero IV. Luis dijo la verdad. IV. El señor Albañil no es pintor V. Félix es soltero y Luis miente. ¿Cuál es la proposición verdadera?


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Juegos lógicos II


Juegos lógicos Indagan de pensar clara y deductivamente a partir de un grupo de reglas condiciones dadas; la habilidadladehabilidad comprender y ordenar varios datos y de manejarlos simultáneamente en laosolución de problemas.

Tes t de a prendizaj Test de Aprendi zaje e previo Enunciado:

4. ¿Cuántos cubitos tendrán tres caras pintadas?

Se tiene el siguiente sólido de madera.

Enunciado

Si se pintan todas las caras y luego se corta con un serrucho por las marcas.

El siguiente esquema muestra una red de caminos. Las flechas que unen los puntos representan el camino por donde se puede transitar y el sentido en el que se debe hacerlo. Observa el esquema y contesta las preguntas:

1. ¿Cuántos cubitos se obtendrán?

2

4

3

6

5

1

2. ¿Cuántos cubitos tendrá una cara pintada?

7

9

10

8

5. Si una persona se encuentra en el punto 5 y desea ir al punto 7, ¿cuál de las siguientes rutas son válidas?

3. ¿Cuántos cubitos tendrán dos caras pintadas?


I. 5 - 4 - 3 - 6 - 7 II. 5 - 9 - 8 - 6 - 7 III.5 - 6 - 8 - 7

171

6. Si alguien se encuentra en el punto 1 y desea viajar al punto 6, sin pasar dos veces por un mismo punto ni por el punto 3, ¿cuántas rutas puede escoger?

8. Iris se encuentra en Berlín y desea ir a Hannover, sin pasar dos veces por una misma ciudad, ¿cuántas rutas diferentes puede escoger?

9. 7. Patty, Elisa y Rosa tienen diferente nac ionalidad: argentina, colombiana y uruguaya y cada una es catedrática en una universidad distinta: Católica, San Marcos y UNI. Además tienen una profesión distinta: contadora, socióloga y antropóloga. Se sabe lo siguiente:

Augusto se encuentra en Berlín y desea ir a Hannover, sin pasar dos veces por una misma ciudad, ¿cuántas ciudades podrá visitar como máximo, sin contar Berlín ni Hannover?

• Rosa no es colombiana y enseña en la UNI. • Elisa es vecina de la contadora, quien no enseña en la universidad San Marcos. • La argentina es antropóloga y vive en el mismo edificio donde vive Elisa, quien enseña en la universidad Católica. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Patty enseña en la universidad San Marcos. II. La socióloga es colombiana. III.Rosa es uruguaya y contadora

10.El siguiente esquema muestra una red de caminos. Las flechas que unen los puntos representan el camino por donde se puede transitar y el sentido en el que se debe hacerlo, y los números representan la cantidad de horas de cada trayecto. Observa el esquema y contesta la pregunta. 5

8

Huancayo

Lima

Ayacucho

12 6 4 9

Enunciado: El siguiente esquema muestra una red de caminos. Las flechas que unen las ciudades representan el camino por donde se puede transitar y el sentido en el que se debe hacerlo. Observa el esquema y contesta las preguntas: Berlín

Hamburgo

¿Cuál es el mínimo número de horas que tomará ir de Lima a Cuzco, sin pasar dos veces por una misma ciudad?

Essen

Leipzig

Hannover Munich 172


Pract iquemos

Practiquemos

Bloque I

Enunciado II

Enunciado I

Se traza un triángulo ABC en sentido horario, con "D", "E" y "F" puntos medios de AB , BC y CA , respectivamente. Unir los puntos "D" con "F", y "D" con "E". Los lados del triángulo y las líneas trazadas son la única forma de desplazarse entre los puntos "A", "B", "C", "D", "E" y "F".

Una pequeña empresa cuenta con tres secretarias: Alexia, Brenda y Clarisa. Pueden tomar sus vacaciones en solo uno de los siguientes meses: enero, febrero, marzo, junio, julio y agosto. Pero, no pueden salir dos secretarias de vacaciones al mismo tiempo. Se sabe queAlexia solo puede

tomar sus vacaciones en enero, febrero, marzo o junio. 6. Si ir de "A" aentonces, "C", sin pasar dos más veces porseundesea mismo punto, ¿cuáles deolas siguientes Brenda solo puede tomar sus vacaciones en enero, marzo, rutas se pueden elegir? julio o agosto. Clarisa solo puede tomar sus vacaciones en enero, febrero, junio o julio. I. A - D - B - E - C II. A - D - F - C 1. ¿De cuántas formas pueden tomar sus vacaciones, si los III.A - F - D - B - C meses programados para ello son junio, julio y agosto? a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

2. ¿De cuántas formas pueden tomar sus vacaciones, si los meses programados para ello son enero, febrero y marzo? a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

a) SoloI b) SoloII d) Solo II y III e) Todas

c) SoloIyII

7. Si se desea ir de "F" a "D", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, entonces, ¿cuántas rutas se pueden elegir? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

8. Si se desea ir de "F" a "B", sin pasar dos o más veces 3. ¿De cuántas formas pueden tomar sus vacaciones, si los por un mismo punto, entonces, ¿cuál es el máximo meses programados para ello son enero, marzo y julio? número de puntos por el que se puede pasar, sin contar "F" ni "B"? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 a) 1 b) 2 c) 3 4. Si los meses programados para las vacaciones son febrero, marzo y junio, entonces es verdad que: a) b) c) d) e)

Alexia saldrá en febrero. Alexia saldrá en junio. Brenda saldrá en marzo. Clarisa saldrá en junio. Clarisa saldrá en febrero.

5. Si Brenda sale de vacaciones en julio, entonces es imposible que: I. alguna de las secretarias salga de vacaciones en agosto. II. a lo más una de las secretarias salga de vacaciones en junio. III.al menos una de las secretarias salga de vacaciones en enero. a)S oloI c) SoloIyIII e) Ninguna

b)S oloIIyIII d)T odas


d) 4

e) Másde4

9. Si se desea ir de "F" a "B", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, entonces ¿cuántas rutasse pueden elegir? a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

10.Si se desea ir de "E" a "A", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, y sin pasar por C, entonces, ¿cuántas rutas se pueden elegir? a) 1 d) 4

b) 2 e) Másde4

c) 3

Enunciado III En cierto restaurante, encima de la puerta de la cocina hay cuatro focos pequeños, ordenados en una fila horizontal y numerados consecutivamente, de izquierda a derecha, desde el uno hasta el cuatro. Las luces de los focos son usadas para indicar a los mozos cuando las órdenes están listas. En cierto turno hay exactamente cinco mozos: Armando, Carlos, Felipe, Raúl y Sergio. 173

-

Para avisar a Armando, los cuatro focos son encendidos. Para avisar a Carlos sólo se encienden los focos uno y dos. Para avisar a Felipe, sólo se enciende el foco uno. Para avisar a Raúl, sólo se encienden los focos dos, tres y cuatro. Para avisar a Sergio, sólo se encienden los focos tres y cuatro.

11.Si los focos dos y tres están apagados, entonces el mozo indicado puede ser: a) Armando d) Raúl

b) Carlos e) Sergio

c) Felipe

12.Si los focos tres y cuatro están encendidos, entonces, ¿para cuáles de los siguientes mozos podría ser la señal? I. Armando II. Felipe III.Sergio a) SoloI d) Solo I y II

b) SoloII c) SoloIII e) Solo I y III

1. Si Ariana comienza a jugar y saca una bola azul y luego una roja, ¿de cuántas maneras puede ganar un punto? a) 2 d) 6

b) 3 e) Másde6

c) 4

2. Si Ariana comienza a jugar y saca una bola roja, ¿de cuántas maneras puede ganar un punto? a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

3. Si Ariana ganó un punto sacando dos bolas verdes, ¿de cuántas maneras pudo producirse las jugadas que la llevaron a ganar ese punto? a) 4 d) 7

b) 5 e) Másde7

c) 6

4. Si se sabe que ganó un punto en tres jugadas, ¿de cuántas maneras pudo producirse las jugadas que la llevaron a ganar ese punto? a) 6 d) 3

b) 5 e) Másde6

c) 4

a) 3 d) 21

b) 7 e) 28

c) 14

13.Si el foco uno no está encendido, entonces, ¿para cuáles de los siguientes mozos podría ser la señal? 5. ¿De cuántas maneras se puede ganar un punto? I. Carlos II. Raúl III.Sergio a) SoloI c) SoloIyIII e) Todos

b) SoloIyII d) SoloIIyIII

Enunciado V En una mesa hay cinco cartas:

14.Si el foco tres está encendido y el foco dos estáapagado, entonces el mozo señalado puede ser: a) Armando d) Raúl

b) Carlos e) Sergio

c) Felipe

15.Si uno de los cinco mozos está siendo avisado, ¿cuáles de los siguientes pares de focos no pueden estar ambos apagados? a)U noydos c) Dosytres e) Tres y cuatro

b)U noytres d) Dosycuatro

Bloque II Enunciado IV Un juego consiste en extraer de una urna bolas de colores . En dicha urna hay bolas rojas, azules y verdes. Se sabe además que: - para ganar un punto se deben sacar consecutivamente dos bolas del mismo color como máximo en cuatro jugadas. - las bolas se extraen una por una y al azar. 174

PQ346 Cada carta tiene de un lado un número y del otro lado una letra. Carlos afirma: "Cualquier carta que tenga de un lado una vocal tiene un número par del otro lado". Luis demostró que Carlos mentía dando vuelta solo a una carta. 6. ¿De cuál de las cinco cartas se trata, si se cuenta desde la izquierda? a) Laprimera c) Latercera

b) Lasegunda d) Lacuarta

e) La quinta 7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con seguridad? a) b) c) d) e)

Al reverso del 4 hay una vocal. Al reverso de la "Q" hay un número impar. Al reverso del 3 hay una vocal. Al reverso del 6 no hay una vocal. Al reverso de la "P" hay un número par.


8. Ahora se muestran las mismas cartas pero volteadas y no necesariamente en el mismo orden:

E

AI

2

8

Si se sabe que a las no vocales se les oponen números pares, entonces los números y las letras correspondientes a una misma carta podrían ser: a) b) c) d) e)

El 3 El 4 El 6 El 2 Con esta información no se puede determinar.

10.Considerando el orden inicial y que a las no vocales se les oponen números pares, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. A la derecha del 3 se encuentra el "A". II. A la izquierda del 4 se encuentra el 8. III.A la izquierda de la "I" se encuentra el 2. a) SoloIyII c) SoloIyIII e) Ninguna

a) "M" b) "N" c) "O" d) "P" e) No se puede determinar 2. ¿Cuál d e las sigu ientes afir maciones debe se r verdadera? a) b) c) d)

P4, Q8, E2, I3 y A6. P6, Q4, I3, E8 y A2. P4, Q3, I8, E6 y A2. P2, Q8, I3, E4 y A6. P4, Q2, I6, E3 y A8.

9. Con las condiciones anteriores y sabiendo que al reverso de "P" se encuentra el 8, ¿quién se opone a "Q"? a) b) c) d) e)

1. ¿Quién es el expositor que figura en tres conferencias consecutivas?

b) SoloIIyIII d)T odas

Bloque III Enunciado VI El administrador de un evento planea presentar cinco conferencias. Los expositores disponibles son "M", "N", "O", "P", "Q" y "R". Cada expositor debe participar en exactamente tres de las conferencias. Además, se cumplen las siguientes condiciones: -

Sólo "O" y "P" participan en la primera conferencia.

-

"R" y otros tres participan en la segunda conferencia. Solamente "N" participa en la ter cera conferencia. Más personas participan en la cuarta que en la quinta conferencia.


"N" y "Q" participan en la segunda co nferencia. "N" y "R" participan en la quinta conf erencia. "Q" no participa en la quinta conferencia. Exactamente cuatro personas participan en la cuarta conferencia. e) Exactamente cinco personas participan en la quinta conferencia. 3. ¿Para cuál de los siguientes pares de expositores se cumple que si uno de ellos participa en una conferencia, entonces el otro también participa en dicha conferencia? a) "M" y "N" d) "P" y "R"

b) "M" y "R" e) "Q" y "O"

c) "P" y "O"

4. ¿Cuál de los sigui entes en unciados no pue de ser verdadero? a) b) c) d) e)

"N" participa en la segunda conferencia. Ni "O" ni "P" participan en la segunda conferencia. Ni "O" ni "P" participan en la quinta conferencia. "N" y "Q" participan en la segunda co nferencia. "O", "P" y "Q" participan en la quinta conferencia.

5. Si "N" no participa en la quinta conferencia, todas las siguientes afirmaciones son verdaderas, EXCEPTO: a) b) c) d) e)

"P" participa en la segunda conferencia. "N" participa en la segunda conferencia. "O" participa en la quinta conferencia. "P" participa en la quinta conferencia. "Q" participa en la quinta conferencia.

175

AcAutoevaluaciòn epta el reto TRILCE...! 3. ¿Qué símbolo está grabado en la cara inferior de la figura "C"?

Enunciado: La figura representa tres vistas de un determinado tetraedro, que tiene en cada una de sus caras grabado un símbolo.

a) d) ¿

b) $ e) %

c)

4. ¿Qué símbolo puede estar grabado en la cara inferior de la figura que tiene como vista frontal a "¿"?

&

$

%

A

?

$

B

¿

C

1. ¿Qué símbolo está grabado en la cara inferior de la figura "A"? a) % d)

b) $ e)

I. a) SoloI d) II o III

II. %

III.$

b) SoloII c) SoloIII e) Cualquiera de los tres

5. ¿Qué símbolo puede estar grabado en la cara inferior de la figura que tiene como vista frontal a " "?

c) ? I.

II.

III.

2. ¿Qué símbolo está grabado en la cara inferior de la figura "B"? b) $ e)

a) d) %

c) &

Tarea domiciliaria Enunciado I

Enunciado II

Una empresa de transportes dispone de cuatro choferes: Luis, Aldo, César y Mariano. Se sabe que:

Alma, Brenda y Claudia conforman un equipo de trabajo en el curso de Literatura Peruana y deben redactar una monografía sobre las obras de Mario Vargas Llosa; por ello, deben leer, cada una, uno de los siguientes libros: Los jefes, Los cachorros, La Casa Verde, La fiesta del chivo, El pez en el agua y Conversación en la catedral. Se sabe lo siguiente:

• • • • •

Luis puede partir a las 8, 9 ó 10 a.m. Aldo puede partir a las 9, 11 o 12 m. César puede partir a las 7, 9 o 10 a.m. Máximo puede partir a las 6, 8, 9 ó 10 a.m. Los choferes parten en horas diferentes

1. Si Aldo parte a las 9 a.m. y Luis a las 10 a.m., ¿a qué hora partirá César? 2. Si los 4 parten desde las 6 a.m. hasta las 9 a.m., ¿cuántas partidas diferentes se podrán programar? 3. Si los 4 parten desde las 7 a.m. hasta las 10 a.m., ¿cuántas partidas diferentes se podrán programar? 4. Si los 4 parten desde las 8 a.m. hasta las 11 a.m., ¿cuántas partidas diferentes se podrán programar? 5. Si Luis parte después que Aldo, ¿a qué hora parte César? 176

-

Alma solo puede leer Los jefes, Los cachorros, La Casa Verde o La fiesta del chivo. Brenda solo puede leer Los jefes, La Casa Verde, el pez en elsolo agua o Conversación en laLos catedral. Claudia puede leer Los jefes, cachorros, La fiesta del chivo o El pez en el agua. Cada una debe leer un libro diferente.

6. ¿De cuántas formas pueden distribuirse la lectura de los libros, si los libros seleccionados son La fiesta del chivo, El pez en el agua y Conversación en la catedral? 7. ¿De cuántas formas pueden distribuirse la lectura de los libros, si los libros seleccionados son Los jefes, Los cachorros y La Casa Verde? Cuarto Año de Secundaria

8. Si los libros seleccionados son Los cachorros, La Casa Verde y La fiesta del chivo, entonces es verdad que: a) b) c) d) e)

Alma leerá Los cachorros. Alma leerá La fiesta del chivo. Brenda leerá La Casa Verde Claudia leerá La fiesta del chivo. Claudia leerá Los cachorros.

9. Si Brenda lee El pez en el agua, entonces es verdad que: I. ninguna lee Conversación en la Catedral. II. a lo más una lee La fiesta del chivo. III.al menos una lee Los jefes. Enunciado III

Enunciado IV Al comenzar un campeonato de desafios de ping-pong, seis competidores "F", "G", "H", "I", "J" y "K", están ubicados del primer (mejor) al sexto (peor) puesto, aunque no necesariamente en dicho orden. -

Durante el torneo, un jugador puede desafiar solamente al jugador situado inmediatamente encima suyo o al jugador situado dos lugares por encima. 13.¿Cuál de las siguientes son posibles posiciones iniciales, del mejor al peor, para las seis personas?

Los parientes más cercanos (padre, madre, hermana, hermano, tía, esposa e hija) de Jaimito son: "M", "N", "P", "Q", "R", "S" y "T", pero no necesariamente en el orden indicado. Además, se sabe que: -

"P" y "Q" son del mismo sexo. "M" y "N" no son del mismo sexo. "S" nació antes que "M". "Q" no es la madre de Jaimito.

"F" está ubicado mejor que "G". "J" está ubicado mejor que "H" y mejor que "I". "K" está ubicado dos puestos encima de "H". "F" está ubicado en el tercer o cuarto puesto.

a) J, H, K, F, I y G c) K, G, H, F, J e I e) J, K, H, F, I y G

b) K, I, H, J, F, y G d) J, K, F, H, I y G

14.Para determinar una posibilidad de formar los grupos, basta saber que: I. "C" y "K" deben estar en el mismo grupo. II. "D", "E" y "F" deben estar en un grupo diferente al de "J".

10.¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera?

Enunciado V a) b) c) d) e)

"M" es una mujer. "N" es una mujer. "P" es una mujer. "Q" es un varón. "S" es un varón.

11.Si "T" es la hija de Jaimito, ¿cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera? a) b) c) d) e)

"M" y "P" son del mismo sexo "M" y "Q" son del mismo sexo "P" no es del mismo sexo que "N". "R" no es del mismo sexo que "S". "S" no es del mismo sexo que "T".

Con un número "n" (entero positivo) se realizan las siguientes operaciones: • Si es par, se divide entre dos • Si es impar, se le agrega tres unidades. • Se repite el proceso hasta obtener 1. 15.Si n=8, ¿cuál es la suma de todos los valores que toma "n" hasta convertirse en 1? 16.Si n=36, ¿cuál es el valor de "n" luego de cinco operaciones? 17. Si n=100, ¿luego de cuántas operaciones se obtiene 1?

12.Si "S" es el abuelo de "N", ¿cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera? a) b) c) d) e)

"R" es la tía de "N". Jaimito es el hijo de "P". "M" es el hermano de Jaimito. "Q" es el esposo de "S". "P" es la tía de "N".

18.Si n = 33, ¿luego de cuántas operaciones se obtiene 1? Enunciado VI Se tiene un tablero de nueve casillas formado por tres filas y tres columnas, donde se ubicarán nueve fichas. Cada ficha lleva escrita solo un dígito del 1 al 9. Las fichas serán ubicadas en las casillas teniendo en cuenta las siguientes condiciones: -


En cada fila y en cada columna se debe colocar al menos un dígito impar. Un dígito no se puede repetir más de dos veces en el tablero. 177

19.Si se coloca solo un dígito impar por fila, ¿cuál es la menor suma de todos los dígitos del tablero?

25.Si Elvira empieza a armar el rompecabezas colocando cuatro fichas negras en las casillas que no están en el contorno, ¿de cuántas formas podrá terminar de armar 20.Si en una misma columna se colocan los dígitos 5; 6 y 7, el rompecabezas? ¿cuál es la mínima suma de todos ol s dígitos del tablero? 26.¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 21.Si en tres de las casillas se colocan los dígitos 4; 6 y 8, ¿cuál es la máxima suma de todos los dígitos del I. Las fichas rojas pueden estar ubicadas en las cuatro tablero? casillas de las esquinas. II. Una ficha tiene a lo más ocho fichas vecinas. 22.Si la suma de todos los dígitos del tablero es 25, ¿cuáles III.Una ficha tiene al menos tres fichas vecinas. de las siguientes afirmaciones son ciertas? 27.Para determinar el lugar que ocupa cada ficha en el I. La mínima s uma de los d ígitos de una mism a tablero al terminar de armar el rompecabezas, es columna es 6. suficiente saber que: II. La máxima suma de los dígitos de una misma fila es 13. I. todas las fichas negras se encuentran ubicadas en III.Todos los dígitos colocados en las dos diagonales las casillas que forman las diagonales del tablero. no pueden ser números pares. II. todas las fichas negras se encuentran ubicadas exactamente en dos columnas. 23.Si todos los dígitos que se colocan en el tablero son diferentes y da una suma de 15 en todas las filas, 28.Si Elvira decide que cuando una ficha negra esté en columnas y en las diagonales, ¿cuáles de las siguientes una casilla ubicada en una esquina del tablero, esta afirmaciones pueden ser verdaderas? deberá tener tres fichas rojas vecinas, ¿de cuántas formas podrá armar el rompecabezas? I. Una de las columnas está formado por los dígitos 2; 5 y 8 Enunciado VIII II. La fila del centro está conformado por los dígitos 1; 5 y 9. Se traza un cuadrado ABCD en sentido horario, con E, F, G III.Una diagonal está conformada por los números 6; y H puntos medios de , AB BC , CD y DA respectivamente. 5 y 4. se unen E con F, F con H, A con F y D con F. Si los lados del cuadrado y las líneas trazadas sin la única forma de Enunciado VII desplazaría entre los puntos: Elvira recibió un juego de rompecabezas y se decide armarlo, para lo cual lo inspecciona y encuentra ocho fichas 29.Si se desea ir de "A" a "E", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, ¿cuáles de las siguienes rutas cuadradas rojas y ocho fichas cuadradas negras, todas de son válidos? iguales dimensiones, y un tablero cuadrado que tiene 16 casillas iguales, en las cuales sólo entra una ficha. Además, I. A - F - B - E encontró un papelito con las siguientes reglas: II. A - H - D - F - B - E III.A - H - D - G - C - F - A - E - Todas las fichas deben ser usadas. -

Se llaman fichas vecinas a aquellas cuyas casillas tienen por lo menos un punto en común. Toda ficha roja que se ubique en una esquina del tablero debe ser vecina de tres fichas negras.

30.Si se desea ir de "H" a "C" sin pasar dos o más veces por un mismo punto, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá elegir la ruta a seguir?

24.Si Elvira decide colocar solo dos fichas rojas en las casillas de las esquinas, ¿de cuántas maneras podrá armar el rompecabezas?

178


19

Planteo de ecuaciones


"Plantear una ecuación es traducir al lenguaje matemático todo lo expresado en lenguaje común" Isaac Newton

¿Qué es una ecuación? Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una incógnita. Esta igualdad puede verificarse o no, en el primer caso si al menos hay una solución y en el segundo caso si no presenta solución. ¿Cómo plantear una ecuación? Para plantear una ecuación es recomendable los siguientes pasos: 1. Leer el problema dos veces - la primera para saber de que se trata - la segunda de manera más lenta para poder analizar profundamente. 2. Identifique a qué representa la incógnita y separe los datos . 3. Relacionar los datos con la incógnita. 4. Buscar dos expresiones con la participación de la incógnita, en uno de ellos o en los dos, que presenten lo mismo e igualar (ecuación formada) 5. Resolver la ecuación 6. Comprobar los resultados Para un mejor trabajo nos ejercitaremos en la parte de traducción de expresiones verbales a lenguaje simbólico.

1. El triple de un número


179

6. La mitad de un número es aumentado en 6

3 10 3 10

Problemas Re suelto s 1. El triple de un número es aumentado en 6, lo cual es igual al cuádruplo de su diferencia con 8. Hallar la mitad del número, aumentado en 10. Resolución: Sea "x" el número Del enunciado tenemos: 3x + 6 = 4(x - 8) 3x + 6 = 4x - 32 38 = x

38  10  29 2 2. En una granja hay 20 pollos más que patos. Si se vendiesen 25 pollos y se compraran 20 patos, resultaría que el número de patos sería el doble del número de pollos. ¿Cuántos pollos hay en la granja? Resolución: Pollos = x + 20

Patos = x

Si se vendiese 25 pollos, quedarían: (x - 5) pollos Si se compraron 20 patos, quedarían: (x + 20) patos

180


Luego:

El número de patos = 2(número de pollos) 

x + 20

=

2(x - 5)

x = 30 En la granja hay: 30 + 20 = 50 pollos. 3. El largo de un rectángulo es el triple del ancho. Si el largo disminuiría 12 m y el ancho se duplicara, su área seguiría siendo la misma. ¿Cuál es el perímetro de dicho rectángulo? Resolución: Graficando ambos casos: Real

Supuesto

2x

x 3x

3x - 12

Área = 3x 2

Área = (3x - 12)2x

Por condición:(áreas iguales) 3x2 = 2x(3x - 12) 3x = 2(3x - 12) 3x = 6x - 24 x=8 El perímetro de dicho rectángulo es:

3x x

24 x



8

3x

8 24

2 del resto que 3

había quedado después de la primera compra. Sabiendo que en las dos compras se adquirió la misma longitud, ¿cuántos metros se compraron la primera vez? Resolución: Primera(40 compra: queda: - x)m "x" metros

Segunda compra:

2 (40  x)m 3

Por condición:

2 x  (40 x)5x  80 3 x=16 Organización Educativa TRILCE

Laprimeravezsecompró16m 181

5. En una reunión hay 5 hombres más que mujeres, luego llegaron un grupo de personas cuyo número era igual al de los hombres inicialmente presentes, de modo que en la reunión todos están en pareja y hay 50 hombres en total. Hallar el número de hombres inicialmente presentes. Resolución: Número de hombres = x + 5;

Número de mujeres = x

Si llegan (x + 5) personas y al final hay 50 hombres y todos están en pareja, quiere decir que al final hay 100 personas. Total de personas = x + 5 + x + x + 5 = 100 x = 30 Número de hombres al inicio: 35

Test de Aprendizaje Tes t de a prendizaj e previo 1. El triple de un número, aumentado en 5 es menor o igual que 121. La suma de las cifras del mayor número entero es:

4. Se realizó una colecta entre amigos para comprar un libro a una compañera por el día de su cumpleaños. Si cada amigo colabora con S/. 8 sobraría S/. 6, pero si cada uno de ellos diera S/. 6 faltarían S/. 12, luego: 2. Si a 38 le agregamos la suma de 45 números impares consecutivos, ¿en qué cifra termina el resultado?

I. Son 9 amigos (sin la compañera) II. El libro cuesta S/. 66 III.Si cada uno diera S/. 5, estaría faltando S/. 21 para comprar el libro.

3. Para pagar una deuda, un individuo penso cobrar a cada uno de sus deudores S/. 1 520, pero le faltarían S/. 3 110, entonces si le cobran S/. 1 715 a cada uno, le sobraría S/. 205. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Los deudores son 17 II. La deuda a pagar es S/. 28 950 III.Si los deudores fueron 25, entonces cada uno pagaría S/. 1 158 cubriendo exactamente la deuda. 182


5. Un comerciante compra un lote de 60 tv por $ 27 000. Vendió 3 docenas de ellos ganando $ 150 en cada uno de ellos. Halle el precio de venta de cada uno de los restantes, si quiere obtener una ganancia total de $ 12 600.

6. Un comerciante compra varios cajones de naranja a S/. 30 c/u. Cada cajón contiene 30 kg. Vende la mitad a S/. 1,80 el kg y el resto a S/. 1, 20 cada kg, ganando en total S/. 180. ¿Cuántos cajones compró?

7. Si se posa ran 3 palo mas en cad a poste so brarían 4 postes, pero si se posara una paloma en cada poste sobrarían 6 palomas. ¿Cuántas palomas hay?


8. En un corral hay 92 patas (extremidades) y 62 ojos. Si lo único que hay son gallinas y conejos, ¿cuál es la diferencia entre el número de conejos y gallinas?

9. En un concurso de admisión, la prueba tiene 100 preguntas. Por respuesta correcta se le asigna un punto y por cada respuesta incorrecta tiene un puntaje de 1/4 de punto menos. Un alumno de dicha prueba ha obtenido 50 puntos habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. ¿En cuántas preguntas se equivocó?

10.Dos empleados trabajan juntos, el primero gana S/. 10 más por día que el segundo. Si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/. 270 y el segundo S/. 180, ¿cuánto gana diariamente el segundo?

183

Practiquemos Bloque I 1. Juan tiene dos veces más de lo que tiene José. Si Juan le diera S/. 15 a José entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre los dos? a) S/.60 d) 90

b) 70 e) 100

b) 24 e) 30

b) 375 e)4 00

b) 6 e) 12

c) 8

9. Los nietos de don Federico desean regalarleun televisor.

c) 42

3. Tres canasta s contiene n 575 naranj as. La primera canasta tiene 10 naranjas más que la segunda y 15 más que la tercera. ¿Cuántas naranjas tienen la segunda y tercera canastas juntas? a) 200 d)3 85

a) kg 4 d) 10

c)8 0

2. La suma de un número más los tres cuartos del mismo es igual a 21 unidades, más la mitad de aquella suma. ¿Cuál es la tercera parte del número? a) 8 d) 16

8. Se pesan 2 patos y 3 pollos y luego 3 patos y 2 pollos y la balanza marcó 14 y 16 kg respectivamente. Si un pavo pesa el doble que un pato, hallar el peso del pavo.

Si cada unosoles, da 20les soles les sobraría soles y sinietos cada uno da 18 sobraría 4 soles.96¿Cuántos tiene don Federico? a) 44 d) 47

b) 45 e) 48

c) 46

10.Di a mi hermano los 2/7 de lo que tenía y a mi primo, 380 soles. Si aún me queda 3/8 del dinero srcinal, ¿cuánto tenía? a) S/.1020 d) 1480

b) 1400 e) 1220

c) 1120

c) 390

11.Un comerciante ofrece a un empleado un sueldo anual de S/. 60 000; un televisor y un juego de 4. Se reparten 540 kg de azúcar en tres mercados. En el comedor. A los diez meses el empleado es despedido primero dejamos 120 kilos más que en el segundo y y recibe S/. 44 000, más las dos cos as que le en el tercero una quinta parte menos que en elsegundo. prometieron. Si se hubiera retirado a los siete meses, ¿Cuántos kg dejamos en el tercero? hubiera obtenido S/. 36 000 y el jue go de comedor. ¿Cuál es el precio del juego de comedor? a) 60 b) 90 c) 120 d)1 50 e)2 70 a) S/. 20 000 b) 10 000 c) 15 000 d) 5000 e) 16000 5. Dividir 196 en tres partes, tales que la segunda sea el doble de la primera y la suma de las dos primeras exceda12.Un comerciante rehusa vender en S/. 150 000un cierto a la tercera en 20. ¿Cuál es la mayor de estas partes? número de pacas de algodón. Dos meses más tarde, cuando el precio ha subido S/. 50 por pacas, las vende a) 36 b) 72 c) 88 en S/. 151 900. Si en el curso de los dos meses se d) 86 e) 89 destruyeron dos pacas, ¿cuántas pacas vendió? 6. Estuve en una competencia y me enfrenté a 180 rivales, gané a 22 rivales menos de los que no gané. ¿A cuántos gané? a) 101 d) 79

b) 202 e) 22

c) 158

7. En un salón de clase, si los alumnos se sientan de 3 en 3 se quedarían de pie 8 alumnos. En cambio, si se sientan de 4 en 4, una carpeta quedaría vacía. El número de alumnos es: a) 46 d) 44

184

b) 39 e) 40

c) 42

a) 100 d) 42

b) 40 e) 36

c) 98

13.Un número más la mitad de su mitad es igual a 50. ¿Cuál es el número? 14.Un pantalón y una camisa cuestan, respectivamente, 80 y 60 soles. Pedro tiene una cantidad de dinero tal que si compra 2 camisas, le queda una cantidad que es el triple de lo que le quedaría, si compra 3 pantalones. ¿Cuántos soles tiene Pedro? a) 280 d)4 50

b) 300 e)6 00

c) 350


15.A una fiesta asistieron 150 personas. El primer caballero bailó con 5 damas, el segundo caballero bailó con 6 damas y el tercer caballero bailó con 7 damas y así sucesivamente hasta que el último bailó con todas. ¿Cuántas damas asistieron en total? a) 70 d) 77

b) 73 e) 80

c) 75

Bloque II 1. Al jugar naipes con un amigo, me doy cuenta al final de que él tiene el triple de dinero de lo que yo tenía cuando él tenía el doble de lo que tengo. Si juntamos lo que él tenía y lo que yo tengo, obtendríamos 60 soles. ¿Cuánto tenemos entre ambos? a) S/.50 d) 60

b) 30 e) 40

c)2 0

a) 3m  2n

b) m  n

d) m  1 3

e) 2m  3n 2

2

2

c) m  n

2

7. Si el cuadrado de la edad de Jéssica es igual a la suma de 15/4 con la inversa del cuadrado de su misma edad, hallar la suma de las cifras de la edad de Jéssica. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

8. A 10 parejas de jóvenes les van a entregar 2canarios por pareja. En el momeno de la entrega se escapan algunos canarios y luego se ordena traer tantos, como la mitad de los que quedaban; más medio canario para ser más efectiva la entrega. ¿Cuántos canarios se escaparon?

a) 6 b) 7 c) 8 2. Jaimito estaba indeciso entre comprar 72 ovejas o, por d) 9 e) 10 el mismo dinero, 9 vacas y 9 conejos. Decide comprar el mismo número de animales de cada tipo con el mismo 9. Una sala tiene 3 metros más de largo que de ancho. Si dinero. ¿Cuántos animales compró? el largo fuese 3 metros más de lo que es y el ancho fuese dos metros menos, la superficie del piso sería la a) 28 b) 30 c) 20 misma. Halle el área de dicha superficie. d) 24 e) 40 3. Un terreno tiene forma rectangular. Si tuviera 5 metros más de largo y 5 metros más de ancho, su área se duplicaría. Si tuviera 3m menos de largo y 3m menos de ancho, el área disminuiría en 66 m 2. Hallar el área del terreno. a) 125 m 2 d) 150

b) 130 e)1 20

c)1 80

a) 150 m 2 d)1 70

b) 7 e) 10

c) 8

c)1 60

10.Un grupocuatro de personas alquiló un ómnibus en 800 y pesetas, de ellos no pudieron ir a la excursión entonces cada uno de los que fueron tuvieron quepagar 10 pesetas más. ¿Cuántos amigos habían al principio en el grupo?

a) 10 4. En un grupo de conejos y gallinas el número de patas d) 40 excede en 14 al doble, del númerode cabezas. ¿Cuántos conejos hay? Bloque III a) 6 d) 9

b)1 80 e)1 20

b) 20 e) 50

c) 30

1. En una familia, el hermano mayor dice: "mis hermanos son el doble de mis hermanas". Y la hermana mayor dice: "Tengo 5 hermanos más que hermanas". ¿Cuántas hijas tiene la familia?

5. Carlos le dice a Alex: "Dame 5 de tus canicas y tendremos tanto el uno como el otro" a) 4 b) 3 c) 2 Alex le responde: d) 1 e) 0 "Mejor dame 10 de las tuyas y tendré el triple de las que te quedan" 2. Un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ¿Cuántas canicas tiene Alex? ratoncita dando saltos de 11 cm, luego regresa dando saltos de 7 cm. Pero habiend o recorrido en total a) 40 b) 20 c) 25 1,23 m se detiene a descansar. ¿Cuánto le falta aún d) 30 e) 35 por recorrer? 6. En una reunión hay "m" mujeres más que hombres, y cuando llegan "n" parejas a la reunión, resulta que el número de hombres constituye los 3/8 de los reunidos. ¿Cuántos hombres habían inicialmente?


a) 48cm d) 71

b) 53 e) 37

c) 60

185

3. Se tienen 180 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 3 niños, los restantes reciben 5 caramelos más, ¿cuántos niños había inicialmente? a) 10 d) 11

b) 12 e) 9

c) 13

4. Si se posaran (n-1) jilgueros en cada uno de los "n" postes, sobrarían 10 jilgueros. Pero si en cada poste se posaran 3 jilgueros más, quedarían 2 postes vacios. ¿Cuánto es la mitad del número de postes?

a) 14 d) 12

b) 10 e) 7

c) 8

5. Se quiere colocar cierto número de fichas de modo que formen un cuadrado compacto. En una primera disposición sobran 8 fichas, en una segunda disposición se forma el cuadrado con una ficha más por lado y faltan 23 fichas. ¿Cuántas son las fichas? a) 233 d)2 25

b) 208 e)2 41

c) 227

Autoevaluaciòn Ac epta el r eto TRILCE...! 1. En un banquete, habían sentados 8 invitados en cada mesa, luego trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados más en cada mesa. ¿Cuántos invitados habían? a) 32 d) 21

b) 64 e) 96

c) 36

2. A los habitantes de un pueblo les corresponde 60 litros de agua diaria. Al aumentar la población en 44 habitantes, a cada uno le corresponde 2 litros menos, ¿cuántos habitantes tiene ahora el pueblo? a)1 276 d) 2310

b)1 320 e) 1220

c) 1762

3. Con un ala mbre se c onstru ye un arm azón que corresponde a las aristas de un cubo. Si se sabe que una hormiga hace el mismo recorrido de todas las aristas y equivale a 120 cm, ¿cuánto mide una arista? a) 12cm d) 7

186

b) 10 e) 6

4. En una reunión hay 241 personas, Pedro baila con 2 muchachas, Juan baila con 5 muchachas, Ruben con 10 muchachas, Jorge con 17 muchachas y así sucesivamente hasta que Walter baila con todas las muchachas. ¿Cuántos hombres habían bailado antes que Walter? a) 17 d) 14

b) 16 e) 13

c) 15

5. Una canasta 120 frutas, entreplátano naranjas y plátanos, cadacontiene naranja pesa 90 g y cada 80 g. Si la canasta en total pesa 12 kg y además las frutas pesan 8 kg más que la canasta vacía, ¿cuál es la diferencia entre naranjas y plátanos? a) 32 d) 40

b) 36 e) 42

c) 38

c) 8


Tarea domiciliaria 1. "Un número x, disminuido en a veces b", se expresa por: 2. En una clase con "x" estudiantes hay 8 niñas más que niños. ¿Cuántos niños hay en clase? 3. Un ladrillo pesa 10 kg más medio ladrillo. ¿Cuánto pesa ladrillo y medio? 4. Se ha repartido una suma de dinero entre tres personas: La segunda recibió "y" soles más que la primera, la tercera "z" soles más que la segunda. Siendo "x" la parte de la primera, entonces la suma repartida es: 5. Una persona tiene 4 000 soles y otra 1 500 soles. Cada una ahorra 200 soles mensuales. ¿Dentro de cuántos meses, la cantidad que habrá acumulado la primera será el doble de la segunda?

13.Un granjero compró 5 caballos y 3 burros. Si hubiera comprado un caballo menos y un burro más habría gastado S/. 5 000 menos, ¿en cuánto difieren el precio de un caballo y el de un burro? 14.En una reunión el número de hombres es el triple del número de mujeres. Se retiran 8 parejas y el número de hombres que aún quedan es 5 veces el de mujeres que quedan. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? 15.En un estante se pueden colocar 15 libros de ciencias y 3 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias únicamente entran en el estante? 16.En una práctica de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta - 1 y en blanco 0 puntos. Un estudiante obtuvo 82 puntos y observó que por cada respuesta en blanco tenía tres respuestas correctas. ¿Cuántas incorrectas respondió?

6. En una fiesta un grupo de hombres y mujeres deciden bailar de la siguiente manera: Un hombre baila con 6 mujeres, otro con 7 mujeres, otro con 8 y así 17. Los ahorros de un niño constaban de (p+1); (3p-5) y sucesivamente hasta que el último baila con todas las (p+3) monedas de 5; 10 y 20 céntimos de nuevo sol mujeres. Si "H" representa al número de hombres y respectivamente. En términos hipotéticos, ¿a cuánto "M" al de mujeres, ¿cuántas mujeres más que hombres ascenderían sus ahorros, si al cambiarlos en monedas hay? de 25 céntimos el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 céntimos? 7. Un niño tenía 20 bolas, unas rojas y otras azules. Si pierde 4 bolas de cada color, entonces el triple del número de bolas azules equivaldría al número de bolas rojas. ¿Cuántas bolas rojas tenía? 8. La cabeza de un pescado mide 20 cm. La cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo, y el cuerpo tanto como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuál es la longitud del pescado? 9. Carlos tiene (5q + 1) monedas de 25 centavos y Ricardo tiene (q+5) monedas de 25 centavos. La diferencia de dinero que tienen en monedas de 10 centavos es:

18.Lo que un obrero gana en 6 días, un técnico lo gana en 4 días. Si el obrero trabaja 60 días y el técnico 50 días, entre ambos cobran 810 soles. ¿A cuánto asciende lo que ambos cobran en un día? 19.Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de soles. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

10.En un lote de 154 abrigos hay 3 abrigos blancos menos que abrigos de color rojo, pero 5 abrigos blancos más que verdes. Si todos los abrigos son rojos, blancos o verdes, ¿cuántos abrigos rojos hay?

20.La suma de tres números es 6. Si el doble del primero más el segundo es igual al triple del tercero, aumentado en 5, y si además sabemos que el triple del primero, menos el tercero es igual al segundo aumentado en 6, entonces el doble del primero más el triple del segundo es:

11.En un aula los alumnos están agrupados en un número de bancas con 6 alumnos cada una. Si se les coloca en bancas de 4 alumnos se necesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay?

21.Se debía repartir 1 800 soles entre cierto número de personas. Si cuatro de ellas renuncian a su parte, por consiguiente a cada una de las restantes les tocó 15 soles más. ¿Cuántas personas eran srcinalmente?

12.En un hotel de 3 pisos hay 112 personas en el primer y el segundo piso, 116 en el segundo y el tercer piso y 118 personas en el primer y tercer piso. ¿Cuántas personas hay en el primer piso?

22.En un rebaño el número de ovejas más bueyes es 30, el de bueyes más vacas es 50, el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. Podemos afirmar que el número de bueyes más cabras es:


187

23.Un pollero tiene 12 pollos y 5 pavos. Permuta con otro, 27. Un estudiante gasta S/. 5 en pasajes, cuando va a una 3 de sus pollos por un pavo, luego vende en el mercado conferencia. Si en "a" días ha gastado "k" soles, todas las aves por 135 soles. ¿Cuánto costaban los ¿cuántos días no asistió a la conferencia durante los pollos? "a" días? 24.Una inmobiliaria ha comprado 4 casas. La segunda ha costado "x" soles más que la primera, la tercera "y" soles más que la segunda y la cuarta "z" soles más que la tercera. Si la primera casa ha costado "a" soles, ¿cuánto se ha gastado en total?

28.Yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes, más 10 soles. Si tú tuvieras el doble de ol que tienes, tendrías 5 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto me quedaría si comprara un artículo que cuesta la cuarta parte de lo que no gastaría?

25.Si un ladrillo pesa "x" kg, dos ladrillos pesan juntos "2y - 1" kg y tres ladrillos pesan juntos "x+y" kg. ¿Cuánto pesan (en kg) cuatro ladrillos juntos? Los ladrillos son del mismo peso.

29.Veintidos estudiantes de un colegio, entre alumnos del 3ro y 4to reciben un conjunto de revistas de matemáticas; los alumnos del 3ro reciben 60 revistas, lo mismo que los alumnos del 4to. ¿Cuántos alumnos hay de 3ro y cuántos de 4to si cada uno de éstos recibe una revista menos que un alumno de 3ro?

26.Luego de realizar ciertas compras, Daniel razonaba: "Si gastara la mitad de lo que no gasté, de esta manera no habría gastado S/. 800 menos de lo que realmente 30.En un fiesta hay 8 mujeres sentadas y tantas parejas no gasté. ¿Cuánto tenía en total, si al principio gastó bailando como hombres sentados. Luego se observa S/. 600? que todas las mujeres se encuentran bailando y 8 hombres se encuentran sentados. ¿Cuántas personas hay en la fiesta?

188


20

Edades


En este capítulo se debe tener en cuenta que en los problemas intervienen: sujetos, tiempos y edades. SUJETOS: Son los protagonistas que generalmente son personas y en algunos casos los animales, los objetos, etc. TIEMPOS: Es uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado se complicará la resolución del problema. Expresiones comunes usados en los problemas. PASADO

Tenía, tenías, teníamos, cuando él tenía, hace 3 años, etc.

PRESENTE

Tengo, tienes, tenemos, mi edad es, tú tienes, la suma de nuestras edades es, ... , etc.

FUTURO

Tendré, tengas, dentro de 4 años, él tendrá, tendremos, etc.

EDAD: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en años, pero puede darse en días o meses.

"La diferencia de las edades entre dos sujetos permanece constante" Para una mejor resolución de los problemas clasificaremos a estos en 3 tipos: I. Cuando interviene la edad de un sol o sujeto Ejemplo 1 La edad de Evelyn dentro de 9 años será el doble de la edad que tenía hace 6 años. ¿Cuántos años cumplirá dentro de 5 años? Resolución:

6 Hace6años

6

-

x

+9 H oy

x

Dentrode9años

9 + x

Por condición: x + 9 = 2(x - 6) x = 21 Luego dentro de 5 años tendrá: 21 + 5 = 26 años


189

Ejemplo 2 Hace 8 años Mariella tenía las

2 partes de la edad que tendrá dentro de 4 años. ¿Cuántos tenía hace 6 años? 5

Resolución:

II. Cuando intervienen las edades de 2 o más sujetos: A. Con tiempo especificado Ejemplo 3 Las edades de Piero y Lucía está en la relación de 3 a 2 respectivamente. Dentro de 14 años la edad de Lucía será el doble de la edad que Piero tenía hace 7 años. ¿Qué edad tiene Piero? Resolución:

7-

+14

Hace7años

Piero: Lucía:

7 -3x

H oy

3x

Dentrode14años

2x

2x 14 +

Por condición: 2x + 14 = 2(3x - 7) 28 = 4x x=7 Piero tiene: 3(7) = 21 años. Ejemplo 4 Dentro de 6 años André tendrá el doble de la edad que Laura tenía hace 8 años. Hoy sus edades actuales suman 32 años. ¿Cuántos años tiene Laura? Resolución:

190


B. Con tiempo no especificado: Ejemplo 5 Sebastián le dice a Alessandro: "Yo tengo 6 años y mi edad es el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. ¿Cuántos años tiene Alessandro? Resolución: Antes de pasar a la resolución, recordemos lo siguiente: Supongamos que "A" tiene 20 años y "B" 16 años

Hace6años

Dentrode8años

Pasado

Presente

Futuro

A

14

20

28

B

10

16

24

Notamos que la diferencia de las edades es la misma (permanece constante), en todo momento. También notamos que la suma en aspa (a lugares simétricos) es la misma. Así por ejemplo:

Pasado

Presente

Futuro

A

14

20

28

B

10

16

24

Presente-Pasado

Presente-Futuro

20+10=14+16

28+16=20+24

Pasado-Futuro 28+10=14+24

Del ejemplo 5

Pasado

Presente

Sebastián

x

6

Alessandro

2

x

De la tabla: 2x = 8 x=4


191

Ejemplo 6 Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. ¿Cuántos años tengo, si nuestras edades dentro de 4 años sumarán 48 años? Resolución:

Pasado

Presente

Yo Tu

Ejemplo 7 Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo nuestras edades sumarán 99 años. ¿Cuántos años tienes? Resolución:

Pasado

Presente

Futuro

Tu Yo

III. Cuando interviene la edad y el año de nacimiento de una persona y además el año actual.

Año nacimiento + Edad = Año actual

(1)

"Si la persona ya cumplió años"

Año nacimiento + Edad = Año actual - 1

(2)

"Si la persona aún no cumple años"

Ejemplo 8 Emilia en 1972 descubrió que su edad era igual al doble del número formado por las 2 últimas cifras del año de su nacimiento (en ese orden). ¿En qué año nació Emilia? Resolución: Año de nacimiento :

19ab

Edad

:

2(ab)

Año actual

:

1972

192


Sabemos que:

Año nacimiento + Edad = Año Actual reemplazando:  19ab  2(ab)1972    1900  ab 2(ab)1900

72

 3(ab)72

ab  24 Emilia nació en 1924. Ejemplo 9 Se le pregunta por su edad a Jessica y ella responde: "Al año en que cumplí los 15 se le agrega el año en que cumplí los 20 y a este resultado se le resta el año en que nací y el actual, obteniéndose 11". ¿Cuántos años tiene Jessica? Resolución: Año de nacimiento Edad Año actual

: : :

a b a+b

Del enunciado: a + 15 + a + 20 - (a + a + b) = 11 b = 24 Jessica tiene 24 años

Test de Tes t d eAprendizaje ap rendizaj e previo 1. Carla le dice a Miguel, yo tengo los 5/3 de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas el doble de mi edad, mi edad será 44 años. Calcular la edad de Miguel.

3. Merly tuvo su primer hijo a los 21 años, a los 27 años su segundo hijo y a fines de 1995 la suma de edades de dichos hijos es 32 años. ¿En qué año nació Merly?

2. Pablo y su abuelo tenían en 1928 tantos años como 4. Noemí tuvo a los 30 años , quintillizos; hoy las edades indicaba las dos últimas cifras delaño de su nacimiento. de los 6 suman 60 años. ¿Qué edad tiene uno de los ¿Cuál era la edad del abuelo cuando nació Pablo? quintillizos?


193

5. Renzo le dice a Carmen: "Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la edad que tengo y sabes que cuando tenía 10 años, tu tenías la edad que tengo". ¿Cuánto suman las edades actuales de Renzo y Carmen?

6. Hace 10 años la edad de Luis era el cuádruple de la edad de Pedro, pero dentro de 8 años la edad de Luis será igual a los 4/3 de la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad de Luis?

8. Dentro de 5 años, tu edad será a mi edad como 5 es a 4 y hace 5 años esa relación era como 3 es a 2. ¿Cuántos años tengo?

9. La edad de Alejandro en 1975 era tanto como la mitad del número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tendrá en 1999?

7. Le preguntan a Juan por su edad y este responde: "mi 10.Yo tengo el doble de la edad que tenías cuando yo edad, más el duplo de ella, más el triple de ella y así tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la sucesivamente, hasta tantas veces mi edad comoedad edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será tengo, suman en total 4 200. ¿Cuál es la edad de Juan? 54 años. ¿Cuál es mi edad?

194


Practiquemos Bloque I 1. Mi edad es la mitad de la edad que tendré dentro de 10 años. ¿Cuántos años tengo? a) 8años d) 15

b) 10 e) 20

c)1 2

2. Mi edad hace 8 años fue la tercera parte de la edad que tendré dentro de 16 años. ¿Cuántos años tengo? a)2 0años d) 30

b) 24 e) 12

c)2 6

3. Natalie dice: "Si al doble de la edad que tendré dentro de 4 años le restamos el doble de la edad que tenía hace 4 años, resultará la edad que tuve hace 2 años". ¿Cuántos años tiene Natalie? a) 8 d) 14

b) 10 e) 16

c) 18

4. Hace 6 años tenía la mitad de los años que tendré dentro de 8 años. ¿Cuántos años tenía hace 5 años? a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

5. Hace 6 años la edad que tenía Roxana eran las 2/3 partes de la edad que tendrá dentro de cuatro años. ¿Hace cuántos tenía la cuarta parte de los años que tendrá dentro de 2 años? a) 12años d) 19

b) 16 e) 21

c)9

9. Las edades de Lady y Sebastián están en la relación de 5 a 3 respectivamente. Dentro de 12 años la edad que tenga Sebastián será el doble de la edad que tenía Lady hace 8 años. ¿Cuántos años tenía Lady cuando nació Sebastián? a) 6 d) 12

b) 8 e) 14

c) 10

10.Dentro de 20 años la edad de José será a la de Miguel como 4 es a 3. ¿Cuál es la edad de José, si hace 13 años la edad de José era el quíntuple de la edad de Miguel? a) 12 d) 24

b) 16 e) 28

c) 20

11.Hace 12 años las edades de Antonio y Milagros estaban en la relación de 4 a 1, pero dentro de 16 años dicha relación será de 5 a 6. ¿Cuál es la edad de Antonio? a) 18 d) 28

b) 20 e) 36

c) 24

12.Estando reunidas en una cena, Melissa, Karen y Beatriz, se escuchó la siguiente conversación: - Karen: "Mi edad es la misma que tuvo Melissa, cuando Beatriz nació". - Melissa: "Así es y en ese entonces nuestra edades sumaban 30 años". - Beatriz: "Mi edad actual es la misma que tuvo Karen cuando yo nací" ¿Cuál será la edad que tendrá Melissa, cuando Beatriz tenga la edad que tiene Karen?

a) 25 b) 35 c) 40 d) 45 e) 48 6. En el año 1918 la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo y en 1923 la relación de sus edades era como 13.Tú tienes 16 años, pero cuando tú tengas la edad que 5 es a 1. La edad del padre en el año 1950 era: yo tengo, la suma de nuestras edades será 44 años. a) 88 b) 76 c) 77 ¿Qué edad tengo? d) 79 e) 74 a)1 8años b)2 0 c)2 2 d) 24 e) 26 7. Soledad tenía 30 años cuando Verónica nació. Si la suma de sus edades actuales es 28 años más que la edad de 14.Luis le dice a Manuel: "Yo tengo el triple de la edad Milagros, que tiene medio siglo, ¿cuántos años tiene que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes". Patricia si cuando ella nació, Verónica tenía 11 años? ¿Cuántos años tiene Luis, si dentro de 6 años, sus edades sumarán 52 años? a) 13 b) 42 c) 54 d) 24 e) 45 a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32 8. Hallar la suma de las edades de un padre y su hijo, sabiendo que hace 5 años, la edad del padre fue 4 15.Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, más 6 veces la del hijo; y que dentro de 5 años, será solamente años, cuando yo tenía la edad que tú tienes. Si la suma el doble de la de su hijo. de nuestras edades es 58, ¿cuántos años tengo? a) 30 b) 35 c) 32 a) 32 b) 30 c) 34 d) 36 e) 45 d) 36 e) 38 Organización Educativa TRILCE

195

Bloque II 1. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 63 años. ¿Cuántos años tengo? a) 21 d) 28

b) 24 e) 30

b)1 985 e) 1988

c) 1986

3. Ana María tiene en el año 1988, tantos años como el producto de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de la edad que tenía en el año 1980? a) 6 d) 7

b) 4 e) 8

c) 5

4. Al preguntarle a Sofia su edad respondió: Si al año en que cumplí los 18 años le agregan el año en que cumplí los 23 y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual, obtendrán 15. ¿Cuál es la edad de Sofía? a)227 4años d)

b)e)25 30

c)2 6

5. Una persona en el mes de Agosto suma a los meses que ha vivido los años que tiene y obtiene 270. ¿En qué mes nació dicha persona? a) octubre d) junio

b) setiembre e) julio

b) 30 e) 45

b) 24 e) 32

c) 28

9. Dentro de 4 años mi edad será a tu edad como 3 es a 2. Pero hace 6 años mi edad era a tu edad como 2 es a 1. ¿Cuántos años tendré dentro de 10 años? a) 36

b) 26

d) 34

e) 38

c) 32

10.Yo tengo la edad que tú tendrás, cuando yo tenga el quíntuplo de la edad que tú tienes. Si la diferencia de nuestras edades actuales es 22 años, ¿qué edad tengo? a) 16 d) 37

b) 33 e) 29

c) 25

Bloque III 1. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tuviste cuando yo tuve la novena parte de la edad que tengo ahora. Si nuestras edades suman 57 años, ¿cuántos años tengo? a) 27 d) 30

b) 28 e) 31

c) 29

2. Luis le dice a Carmen. Tú tienes la edad que yo tenía cuando tu tenías la edad que yo tuve cuando tu naciste. Si el doble de tú edad menos mi edad es igual a 15, ¿cuántos años tenía Luis cuando Carmen tenía 8 años? a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

c) noviembre

6. Rosario le dice a Beatriz: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la quinta parte de la edad que tienes; y cuando tú tengas el doble de mi edad, en ese entonces la suma de nuestras edades será de 90 años. ¿Cuál es la edad actual de Beatriz? a) 25 d) 40

a) 36 d) 30

c) 27

2. Un alumno nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a+b) años. ¿En qué año tendrá (2a + b) años? a)1 984 d) 1987

8. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas 4/3 de la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 72 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 12 años?

c) 35

3. La suma de las edades de Cristina y Alonso es 68 años. Al acercarse Lorena, Cristina le dice: "cuando tú naciste, yo tenía 6 años, pero cuando Alonso nació tenías 4 años, ¿cuál es la edad de Lorena? a)2 1años d) 20

b) 33 e) 29

c)2 4

4. La edad de Vanessa y Ricardo es 5 veces la suma de las edades de sus hijos; hace 2 años, esta suma era 10 veces la de sus hijos y, dentro de 3 años, será 4 veces

la edad de sus hijos. ¿Cuántos hijos tiene esta pareja? 7. Conversando Rosa y María, ésta le decía a aquella: "Dentro de 10 años la suma de nuestras edades será a) 2 b) 3 c) 4 de 57 años", por lo que Rosa le responde: "Así es, d) 5 e) 6 aunque hace 3 años la diferencia de nuestras edades era de 3 años". ¿Cuántos años tiene actualmente Rosa, 5. Cuando yo tenía la edad que él tiene, tú tenías la tercera si ella es la mayor? parte de la edad que tienes ahora y cuando yo tenga la edad que tú tienes el tendrá la edad que yo tengo y tú a) 12 b) 15 c) 17 tendrás 24 años más de lo que yo tengo. Entonces la d) 20 e) 24 suma de las edades de los tres es: a) 15 d) 18 196

b) 16 e) 17

c) 19 Cuarto Año de Secundaria

AcAutoevaluaciòn epta el r eto TRILCE...! 1. En 1928, la edad de un padre fue 6 veces la edad de su hijo. En 1932, la relación de sus edades fue de 4 a 1. La edad del padre en 1928 fue: a) 32 d) 40

b) 36 e) 44

b) 3 e) 10

19ba. ¿En qué año cumpliré "a x b" años?

c) 48

2. Un padre tiene 30 años y su hija 3. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el cuádruplo de la edad de su hija? a) 15 d) 6

4. Yo nací en el año 19ab y tuve "b" años en el año

c) 4

5. Noemí le dice a Iris: "Mi edad es 4 años mayor de la edad que tu tenías, cuando yo tenía 8 años menos de la edad que tu tienes. Cuando tu tengas el doble de la edad que tengo nuestras edades sumarán 82 años. ¿Qué edad tengo?"

3. Augusto nació en el año 19xy y en 1993 tuvo (x + y) años, ¿en qué año tendrá (3x + y) años? a)2 012 d) 2010

b)2 007 e) 2014

c) 2003

Tarea domiciliaria 1. Oscar tendrá "x" años dentro de 4 años. Alex hace 5 años tuvo "x" años. ¿Por cuántos años supera Alex a Oscar? 2. Luis tiene su primer hijo a los 18 añ os. Si actualmente su edad es el doble de la de su hijo, ¿cuál es la suma de las edades? 3. La edad de Carlos es "x" años y la de Jorge es el doble de la de Carlos. ¿Cuántos años tendrá Jorge cuando Carlos tenga 2x años? 4. Hace "x - y" años Félix tenía "x" años más que Sandra. Si actualmente Sandra tiene "y" años, ¿cuál será la suma de sus edades dentro de "x+y" años? 5. La edad actual de Manuel es el triple de la edad que tenía hace 20 años. ¿Cuál es su edad actual? 6. José tiene 7 años y Luis tiene 25 años. ¿Dentro de cuántos años, la edad de Luis será el triple de la edad de José? 7. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años? 8. La edad de un padre es el cuádruplo de la edad de su


hijo. Hace 3 años era el quíntuplo. ¿Cuál es la edad actual del padre? 9. Un automóvil tiene la mitad de los años que tenía Gabriel cuando el coche era nuevo. Gabriel tiene ahora 15 años. ¿Cuántos años tiene el coche? 10.Un padre tiene "a" años y su hijo "b" años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de la edad de su hijo? 11.La suma de las edades de dos hermanos dentro de 9 años será 98. Si el mayor tiene 30 años más que el menor, hallar la edad del menor. 12.La edad actual de Luis es el doble de la de Fernando. Hace 5 años, Luis tenía el triplede la edad de Fernando. ¿Cuántos años tiene Fernando? 13.La edad de un padre y la de su hijo suman 90 años. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años, ¿cuántos años tiene el hijo? 14.Dentro de 8 años la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo y hace 3 años la edad del padre era el triple de la del hijo. La diferencia de edades es: 15.José tiene 13 años y su padre 49. ¿Cuántos años tienen que transcurrir para que la edad del padre sea el triple de la de su hijo? 197

16.La edad de Juan más el duplo de la edad de Pedro, suman 65 años. El duplo de la edad de Juan menos la edad de Pedro da 30 años. ¿Qué edad tiene el mayor de ellos? 17. Si Ud. pregunta a Luis su edad, él dirá: "La edad que yo tenía hace 42 años elevada al cuadrado". ¿Cuántos años tiene Luis? 18.Lucy tiene 20 años, ella tiene el doble de la edad que Roxana tenía cuando Lucy tenía la edad que Roxana tiene ahora. ¿Cuántos años tiene Roxana? 19.Dentro de 8 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 4 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace 6 años?

25.Una persona que nació en la primera mitad del siglo XIX tenía "x" años en el año x 2. ¿En qué año nació? 26.Pedro le dice a Juan: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63". Determinar las edades de Pedro y Juan. 27. La edad de Alberto es el doble de la edad que tendrá Bernardo cuando Carlos tenga la edad que actualmente tiene Alberto. ¿Cuál es el orden de mayor a menor de estas tres edades? 28.En el mes de mayo, un estudiante sumó a los años que tiene todos los meses que ha vivido, obteniendo como resultado 232. ¿En qué mes nació?

20.La raíz cuadrada de la edad que tendrá un joven dentro de 7 años, más la raíz cuadrada de la edad que tuvo 29.Teresa le dice a Silvia: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y hace 2 años, es igual a nueve. ¿Cuál es la edad del cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de joven? nuestras edades será 54 años". ¿Cuál es la edad de Silvia? 21.Manolo cuenta que cuando cumplió años en 1994, descubrió que su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 1990? 30.Estando reunidas Ana, Betty y Carmen, se escucha la siguiente conversación: - Betty: "Mi edad es la misma que tenía Ana 22.Un padre tiene "n" años y su hijo "m" años. ¿Dentro de cuando Carmen nació". cuántos años tendrá el padre el doble de la edad de su - Ana: "Así es, y en ese entonces nuestras edades hijo? sumaban 30 años" - Carmen: "Mi edad actual es la misma que tenía 23.Las edades de un padre y su hijo son las mismas, pero Betty cuando yo nací". con los digitos al revés. Si hace un año la edad del ¿Cuál será la edad que tendrá Ana cuando Carmen padre era el doble de la de su hijo, la diferencia de tenga la edad que tiene Betty? edades es: 24.En 1984 la edad de una persona era igual a la suma de las cifras del año en que nació. ¿Cuál era el valor de esa suma?

198


21

Móviles


En este capítulo veremos problemas enmarcados dentro del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) donde la aceleración es igual a cero y la velocidad constante.

donde:

d v

d = distancia v = velocidad t = tiempo

t

v= d t

d=v.t

t= d v

Ejemplo 1 Mariella va de su casa al colegio a 25 km/h y cuando regresa lo hace a 20 km/h, demorándose en total 9 horas. ¿Qué distancia hay de su casa al colegio? Resolución:

Vuelta Ida

25km/h

20km/h

Colegio

Casa

d Tiempo de ida = d 25

;

Tiempo de vuelta = d 20

tiempo de ida

+

tiempo de vuelta

=

tiempo total

d 25

+

d 20

=

9

d = 100 km


199

Ejemplo 2 Isabel y David separados por 1 500 metros corren al encuentro uno del otro con velocidades de 20 m/s y 30 m/s respectivamente. ¿Después de que tiempo se encontrarán, si parten al mismo instante? ¿Qué distancia recorrió Isabel al momento del encuentro? Resolución:

m/s 20

m/s 30

Isabel

David

1500 m d Tiempo de encuentro = V1 + V2 (Te)

Te



1500 s 30 20  30

Isabel recorrió: (20 m/s)(30 s) = 600 m Otra solución: Si los tiempos son iguales, las distancias recorridas son directamente proporcional a sus velocidades, es por esa razón que la distancia de Isabel es como 2 y la distancia de David es como 3. Así tenemos: 2k + 3k = 1 500 k = 300 Isabel recorrió: 2(300) = 600 m Tiempo que empleó Isabel para el encuentro:

600  30 s 20

Ejemplo 3 Luis y Gina separados 480 m corren en el mismo sentido con velocidades de 50 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Después de cuánto tiempo de haber partido (ambos al mismo tiempo), Luis alcanzará a Gina? Resolución:

m/s 50 Luis

m/s 10 Gina 480 m

Tiempo de alcance (Ta)

Ta 200



=

d V1 - V2

V 1 > V2

480 s 12 50  10 Cuarto Año de Secundaria

Otra solución: Cada segundo que pasa Luis se acerca: 50- 10 = 40 m decimos entonces:

1s

se acerca

40 m

x

se acercará

480 m

x = 12 s Ejemplo 4 Liliana pega un grito entre dos montañas y el eco lo escucha a los 2s y 4s respectivamente. ¿Qué distancia hay entre las dos montañas? Resolución: V SONIDO = 340 m/s 1s

2s

1s

2s

d1 = 340 x 1 = 340 m

d 2 = 340 x 2 = 680 m

d' 

distancia entre las montañas = 340 + 680 = 1020 m

Ejemplo 5 Un tren de 120 m de longitud demora 20 s en pasar completamente un puente de 480 m de largo. Hallar la velocidad del tren. Resolución:

V

V

120

480 m Para que un móvil pase completamente un puente, un túnel o una estación, etc.; la distancia que debe recorrer es su longitud más la longitud del puente, túnel, estación, etc. Así tenemos que la distancia que debe recorrer el tren será 120 + 480 = 600 m, demorándose 20 s. Por lo tanto la velocidad que lleva el tren será: 600  30 m/s

20


201

Test de Aprendizaje Tes t de a prendizaj e previo 1. Un ómnibus con turistas sale de Trujillo en dirección al 4. Dos ciudades están distanciados ab km. Si Augusto norte, viaja a 50 km/h y no se detiene hasta llegar a viaja con una rapidez de "a" km/h emplea 12 horas. Cajamarca. Otro ómnibus sale de Cajamarca dos horas ¿Cuántas horas emplearía, si va con una rapidez de mas tarde que el primero y viaja a 65 km/h. Este "b" km/h? ómnibus llega a Trujillo al mismo tiempo que el primero llega a Cajamarca. ¿Qué distancia hay entre Cajamarca y Trujillo?

2. Dos nadadores se encuentran en el centro de una piscina de 60 m de largo, parten simultáneamente cada uno hacia un extremo con rapidez de 2 m/s y 3 m/s respectivamente. Si no pierden tiempo al voltear y recorren varias veces el largo de la piscina, ¿al cabo de qué tiempo se volverán a encontrar en el centro de la piscina?

5. Dos camiones están separados 320 km y van en sentidos opuestos desplazándose con rapidez constante. Si 2 horas después están separados 80 km, ¿cuánto tiempo después volverán a estar separados 80 km?

6. El ruido sentido por el avión en "A" es escuchado por un peatón en "C" cuando el avión se encuentra en "B". Calcule la rapidez del avión.

A

B 53º 3. Iris va manejando su auto y se dirige desde Lima a la ciudad de Chincha empleando un tiempo de 30 horas. Al regreso, aumenta su rapidez inicial en 5 km/h, demorándose esta vez, 6 horas menos para arribar a Lima. ¿Qué espacio total ha recorrido?

202

37º

C


7. Un bote se desplaza río a bajo de C hosica a Lima, distantes 90 km. En el viaje de ida y vuelta emplea 16h, además la rapidez de la corriente del río es de 3 km/s. Calcule la rapidez del bote en aguas tranquilas.

9. Dos tren es de 200 m y 300 m de longitud está n separados 500 m y recorren al encuentro uno del otro con rapidez de 10 m/s y 15 m/s respectivamente. Determine después de qué tiempo a partir del instante indicado, los trenes se cruzan totalmente.

8. Tres autos pasan por un mismo punto y en la misma dirección, a las 06:00 h ; 07:00 h y 09:00 h con rapidez constante de 25; 30 y 40 km/h respectivamente. ¿A qué hora el auto de mayor rapidez equidistará de los otros dos?

10.Un tren demora 8 s en pasar delante de un observador y 10 s en pasar totalmente por un túnel de 400 m de longitud. ¿Cuál es la longitud del tren?

Pract iquemos

Practiquemos

Bloque I 1. ¿En qué tiempo cruzará un tren de 30 m de longitud a un puente de 180 m de largo, si el tren tiene una velocidad de 30 m/s?

3. En una carrera un ciclista corrió a 20 m/s y llegó a la meta 4 segundos antes que el otro. Si los tiempos empleados por ambos suman 28 segundos, ¿cuál fue la velocidad de este último? a) 14m/s

a) s9 7 d)

c)1 2

d) 15 e) 17 4. Un ciclista que se desplaza en una pista rectilínea pasa 2. Dos automóviles parten simultáneamente al encuentro frente a un poste con una rapidez constante de 5 m/s. con rapideces que están en la relación de 5 a 4. El Si luego de 10 s pasa frente al poste un automóvil con encuentro se produce cuando el más veloz ha recorrido una rapidez constante de 15 m/s y enla misma dirección 60 km más que el otro. ¿Cuál es la distancia recorrida que el ciclista, determine luego de cuánto tiempo el por el más lento hasta el encuentro? ciclista es alcanzado por el automóvil. a)2 50km d) 240

b) e) 6 10

b) 16

b)5 60 e) 35

c) 8

c) 300


a) s5 d) 6

b) 9 e) 10

c) 8

203

5. Dos partículas "A" y "B" se encuentran separadas 200 m. 11.Dos móviles "A" y "B" se encuentran separados 2 000 m. Si parten una hacia la otra con velocidades constantes Ambos parten simultáneamente en sentidos opuestos de 20 m/s y 50 m/s respectivamente, ¿qué distancia con velocidades de 5 m/s y 7 m/s uno al encuentro del separa a las partículas cuando "B" pasa por el punto otro. ¿Cuánto tiempo demorarán en estar separados de partida de "A"? 800 m por primera vez? a)2 00m d) 80

b) 180 e) 40

c)1 20

6. Dos trenes de 100 m y 200 m de longitud se acercan mutuamente con velocidades constantes de 70 m/s y 80 m/s respectivamente. Calcular el tiempo que tardan en cruzarse totalmente. a) 0,2s d) 2

b) 0,5 e) 2,5

c) 1

a) 20s d) 80

b) 40 e) 100

c) 60

12.Un automóvil recorre 350 km en 7 horas y otro recorre el doble de esa distancia en 10 horas. Si los dos marchan simultáneamente durante 9 horas, calcular la diferencia de los recorridos. a) 180km d) 49

b) 56 e) 135

c)8 0

7. Un tren demora 3 minutos para pasar delante de un 13.Empujada por un agente "Trinity" cae desde el punto semáforo y 8 minutos para atravesar completamente un "A" y se sabe que en 9s llegaría hasta el punto "B"; si túnel de 250 m de longitud. Calcule la velocidad del tren. ella pasa de este punto será imposible salvarla. En el preciso instante de su caída "Neo" se encuentra volando a)3 0m/min b)4 0 c) 50 sobre el punto "C" y va rumbo al punto "B" con rapidez d) 45 e) 35 de 108 km/h. A partir de ese momento, ¿en cuánto deberá aumentar su velocidad "Neo" para poder salvar 8. Una liebre y una tortuga parten simultáneamente en un a su amada Trinity? mismo punto, la tortuga recorre encada minuto 10 m y la liebre 100 m. Si ambos se dirigen hacia un mismo punto, además la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta la meta y así sucesivamente hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga A recorrió 1 km, ¿cuánto recorrió la liebre? a)1 0km d) 1

b)1 00 e) 120

c)1 000

9. Dos móviles se encuentran separadas 200 km y se dirigen uno al encuentro del otro con velocidades de 60 y 40 km/h. Indicar después de cuánto tiempo estarán separados 100 km por segunda vez. a) 1hora

1 d) 2 2

b) 2

B

c) 3

1 e) 3 4

2700 m

10.A partir del instante mostrado el perro emplea 5 s en alcanzar el microbús y 11 s en pasarlo completamente. Determine la longitud del microbús, sabiendo que ambos mantienen su velocidad constante.

a)3 00m/s d)2 90

b)2 70 e)1 90

C

c) 380

14.Un tren demora en pasar delante de un observador 20 s y en cruzar un túnel 30 s. ¿En cuánto tiempo cruzará el tren puente que tiene una longitud cuádruple que la delun túnel?

4 m/s

a) 40s d) 49

10 m a) 22 m d) 12

204

b) 9 e) 18

c) 10

b) 60 e) 35

c) 50

15.Dos autos separados una distancia de 810 km, salen a encontrarse con velocidades de 45 km/h y 54 km/h. Si el primero sale a las 05:30 h, ¿a qué hora tiene que salir el otro, para llegar al lugar que salió el primero a la misma hora en que el primero llega al segundo lugar?


a) 08:30 d) 12:40

b) 11:30 e) 11:40

c) 10:28

Bloque II 1. En un circuito cuadrado compiten dos ciclistas, ambos llevan una rapidez uniforme. Se cruzan por primera vez en una esquina, el segundo cruce también ocurre en una esquina pero diferente a la primera. El tercer cruce también ocurre en otra esquina. Si la rapidez del más lento es 5 m/s, ¿cuál es la rapidez del otro?

2.

3.

4.

5.

a) 10m/s d) 16

b) 15 e) 25

c)2 0

a)7 50km d) 350

b)3 65 e)4 00

c) 380

a) 80m d)1 80

b) 480 e)1 20

c)1 00

7. Se tiene un circuito cerrado de 420 m. Dos corredores pasan por un mismo punto, en el mismo sentido, y al cabo de 1/2 hora uno de ellos saca dos vueltas de ventaja al otro. Pero si pasaran en sentidos contrarios a los 6 minutos se cruzan por segunda vez. ¿Cuál es la rapidez del más lento? a)4 9m/min d) 60

b)5 8 e) 56

c) 55

8. Un tren salede una estación con una velocidad de36 km/h. A los 5 minutos de marcha, obedeciendo a una señal de La rapidez en aguas tranquilas de un yate es de 25 km/h. precaución, disminuye su velocidad a 20 km/h, Sabiendo que cuando avanza contra la corriente recorre recorriendo con esta 2 km y volviendo a marchar con 4,2 km en el mismo tiempo que recorre a favor de ella la velocidad primitiva hasta la estación inmediata, a la 5,8 km. Calcular la rapidez de la corriente. que llega a los 21 minutos de haber partido. ¿Qué distancia hay entre las dos estaciones? a) 3km/h b) 5 c) 2 d) 4 e) 3,5 a) 8km b) 12 c) 10 d) 11 e) 13 Dos jine tes corren en un hip ódromo de 9 0 m de circunferencia y en el mismo sentido. El primero que 9. Un automóvil debe hacer un cierto trayecto en 4 horas. tiene 20 m de adelanto corre a 5 m/s y el segundo a Una hora después de la partida el piloto acelera la 3 m/s. Calcular la suma de las distancias recorridas velocidad a fin de llegar media hora antes y hace hasta su encuentro. entonces 16 km más por hora. ¿Cuál fue la distancia recorrida? a)2 80m b) 260 c)3 00 d) 240 e)2 70 a)2 90km b)3 40 c) 310 d)3 20 e)3 50 Los móviles mostrados se mueven con velocidades constantes. ¿Después de qué tiempo "1" dista de "B" 10.¿A qué hora alcanza Jan a Nena; si estando separados lo mismo que "2" dista de "A"? por 40 km Jan la busca con una rapidez de 90 km/h, después de 5 horas que Nena emprendió viaje a la rapidez de 20 km/h? (Se sabe que Jan partió a las 36 km/h 54 km/h 11:07 a.m.) 1 2 a) 2:05 p.m. b) 1:56 p.m. c) 1:07 p.m. d) 7:49 p.m. e) 1:35 p.m. A B 1 200 m Bloque III a) 96s b) 100 c) 240 d) 60 e) 120 1. Roxana debe realizar un viaje de 820 km en 7 horas. Si realiza parte del viaje en avión a 200 km/h y el resto Dos ciudades Lima y Casma distan 350 km. De Lima en auto a razón de 55 km/h, ¿cuál es la distancia parte un triciclo que va a 10 km/h y de Casma partió 3 recorrida en avión? horas antes en la misma dirección y sentido una carreta que va a 5km/h. ¿A qué distancia de Casma se a)2 00km b)4 00 c) 500 encontrarán? d)6 00 e)2 75

6. Dos trenes marchan en sentido contrario y sobre vías paralelas con velocidades de 18 y 30 km/h respectivamente. Un pasajero en el segundo tren calculó que el primero demoró en pasar 9 segundos. ¿Cuál es la longitud de éste último tren? Organización Educativa TRILCE

2. Un tren de 4m de ancho, se desplaza con una rapidez constante de 30 m/s. ¿Cuál debe ser la menor rapidez constante del automóvil de 5 m de longitud, para poder cruzar la vía del tren a partir del instante mostrado, antes que el tren cruce la pista?

205

4. Dos móviles parten de un mismo punto en direcciones opuestas dirigiéndose respectivamente a "P" y a "Q". Luego de llegar a su destino emprenden el retorno. ¿A qué distancia de "Q" se vuelven a encontrar?

3 m/s 300 m

a) 30m/s d) 40

b) 15 e) 20

191 m

c) 8

3. Si en el instante mostrado se enciende la vela, ¿qué rapidez posee el extremo de la sombra en la pared si la vela se consume a razón constante de 2 cm/s?

Pared

20cm

a) 2cm/s d) 5

b) 3 e) 6

2 m/s

P

Q 60m

a) 20m d) 10

140m

b) 30 e) 25

c) 15

5. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista a 90 km. Si el tiempo que emplea en recorrer 5 km a favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h? a) 1,8 d) 1,5

b) 2 e) 3

c) 2,5

30cm

c) 4

AcAutoevaluaciòn epta el reto TRILCE...! 1. Un microbús debía cubrir una cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era novato, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llegó con un retraso de 4 horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente? a) 12 h d) 16

b) 18 e) 19

c) 15

2. La velocidad de Juan es 10 km/h mayor que la de Beto. Si Juan en 16 horas recorre lo mismo que Beto en 20 horas, ¿en cuánto tiempo se encontrarían, si salieran

4. Un hombre debe realizar un viaje de 820 km en 7 horas. Si realiza parte del viaje en tren a 200 km/h y el resto en auto a 55 km/h, calcular la distancia que recorrió en auto. a)3 60km d)4 20

b)2 20 e)1 60

5. Un automóvil recorre a/6 pies en "r" segundos. Si mantienen su velocidad constante, ¿cuántas yardas recorre en 3 minutos?

en sentidos contrarios desde 2 ciudades distantes 450km?

a)

a 1080r

b) 30 r

a) h3 d) 5

d)

10 r a

e)

b) 9 e) 7

c) 600

c) 4

a

c) 30 a

r

10 a r

3. Un tren demora 13 minutos para pasar por delante de "Noemí" y 25 minutos en cruzar un puente de 600 m. Calcular la longitud del tren. a)4 80m d) 1300 206

b) 680 e) 650

c)5 60


Tarea domiciliaria 1. Dos móviles distantes 2 000 metros se acercan con 13.Una madre y su hija trabajan en la misma oficina. La velocidades de 10 m/s y 40 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo hija de su casa a la oficina emplea 30 minutos y la se encuentran? madre 40 minutos. ¿En cuántos minutos alcanzará la hija a su madre si ésta sale 8 minutos antes? 2. Dos móviles están separados por una distancia de 2300 metros. Si se desplazan al encuentro con rapideces de 14.Para ir de un punto a otro, una persona camina a razón 60 m/s y 40 m/s respectivamente, ¿al cabo de qué de 8 km/h y para volver al punto de partida lo hace a tiempo están separados 1 300 m por primera vez? razón de 5 km/h. Se desea saber la distancia que hay entre los puntos sabiendo que en el viaje de da i y vuelta 3. ¿Cuántos metros recorre una liebre en 10 segundos, sí ha empleado en total 13 horas. en 1/5 de minuto recorre 40 metros más? 15.Pedro sale de su casa con una rapidez de "a" km/h y 3 4. Luis y Alberto pa rten de un a ciudad a otr a, situada a horas más tarde, su padre sale a buscarlo, siguiendo 24 km de la primera, Luis lo hace con una rapidez de el mismo camino, con una rapidez de (a+b) km/h. ¿En 2 km por hora menos que Alberto;llegando a su destino cuántas horas lo alcanzará? con una hora de retraso. ¿Cuál es (en km/h) la rapidez de Luis? 16.Hallar la rapide z que debe emplear un móv il "A" para alcanz ar a otro "B" que se d esplaza a 30 km/h, 5. Una persona camina a razón de 7 km por cada 5 horas; sabiendo que "A" parte 2 h d espués que "B" y debe 8 horas después sale de la misma ciudad otra persona alcanzarlo en 90 min. que recorre 5 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido la primera al ser alcanzada por la segunda? 17.Respecto al problema anterior, ¿cuántos km, debe recorrer "A" para alcanzar a "B"? 6. Un tren de 1 00 m de la rgo llev a una rap idez de 144 km/h. Hallar cuánto demora en cruzar un puente 18.Hallar la rapidez de una lancha en km/h, sabiendo que de 40 m. emplea 2 h en navegar 30 km a favor de la corriente y 6 h en recorrer dicha distancia en dirección contraria. 7. Dos automóviles separados 280 km empiezan a moverse el uno hacia el otro con rapideces de 30 y 40 km/h. 19.Dos móviles parten de dos puntos distantes 1 000 m. ¿Cuántas horas demoran en encontrarse? El primero en partir lo hace a 40 m/s y el otro 10 s después a 72 km/h. Calcular el espacio recorrido antes 8. Dos móviles "A" y "B" parten de un mismo punto. El de encontrarse con el otro. primero lo hace a las 6 de la mañana y el segundo a las 9 de la mañana. Se desea saber la hora en que se 20.Dos trenes marchan sobre vías paralelas en direccio nes encuentran, si van a 35 y 50 km/h respectivamente. contrarias con rapideces de 18 km/h y 24 km/h respectivamente. ¿Cuál es la longitud del segundo tren 9. Dos móviles parten en la misma dirección a 10 y 30 m/s. si un pasajero colocado en el primero observa que Calcular después de qué tiempo se encuentran demora 12 segundos en pasar al lado de él? distanciados 1 000 m 21.Un tren que pasa por delante de un observador 10.Dos automóviles "A" y "B" separados por una distancia inmóvil, demora 7 segundos y al pasar por una de 240 km, parten al mismo tiempo, uno al encuentro estación de 360 m demora 22 segundos. Evaluar su del otro, con rapideces de 42 km/h y 38 km/h velocidad. respectivamente. ¿Después de cuántas horas se encuentran y a qué distancia de los respectivos puntos 22.Un automóvil para recorrer la distancia entre A y B; de partida? que es 900 km va de ida a 30 km/h y de regreso por la misma ruta a 50 km/h. ¿Cuál fue (en km/h) su rapidez 11.Dos atletas están separados 150 m, si se mueven al media en el recorrido de ida y vuelta? encuentro este se produce al cabo de 10 segundos, pero si corren el uno en pos del otro el encuentro se 23.Un ciclista va a 40 km/h y llega a su destino a las 13 produce a los 30 segundos. Hallar la rapidez del más horas. Si va a 60 km/h llega a las 11 horas. ¿Con qué veloz. rapidez debe ir para llegar a las 12 horas? 12.Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un semáforo y el triple de tiempo en cruzar un puente de 400 m de largo. ¿Cuál es su longitud?


24.Si voy a 10 km/h me retraso 1 hora, pero si camino 5km más en cada hora me adelanto una hora. ¿Con qué velocidad debo ir para llegar a la hora exacta? 207

25.Un estudiante aborda todos los días un microbús para llegar a su clase a las 8:00 a.m. pero hoy perdió el microbús y éste pasó 10 minutos después del primero y arribó en el doble del tiempo normal, llegando a las 8:24 a.m. ¿A qué hora partió? 26.¿Cuántas horas emplea un tren que viaja con una rapidez media de 40 km/h entre dos ciudades para recorrer "a" kilómetros si hace "n" paradas de "m" minutos cada una? 27. Un tren de carga que va a 42 km/h es seguido 3 horas después por un tren de pasajeros que va a 60 km/h. ¿En cuántas horas el tren de pasajeros alcanzará al de carga y a qué distancia del punto de partida?

208

28.Un tren tardó 6 segundos en pasar por un semáforo y 24 segundos en atravesar un túnel de 240 metros de longitud. ¿Cuánto tardará en pasar al lado de una estación de 160 metros de longitud? 29.En una carrera sobre una distancia dada "d", a rapidez uniforme, "A" puede vencer a "B" por 20 metros, "B" puede vencer a "C" por 10 metros, y"A" puede vencer a "C" por 28 metros. Entonces "d", en metros, es igual a: 30.Dos botes parten a las 2:00 p.m. de un mismo punto y viajan en un ángulo recto. Alas 4:00 p.m. se encuentran a 20 km de distancia entre si. Si el primer bote se desplaza 2 km/h más rápido que el segundo, ¿a qué velocidad se desplazan ambos botes?


22

Cronometría I


A. Problemas sobre campanadas y afines Cuando nos referimos a un evento que implica una acción, como campanadas, golpes, contactos seguidos a velocidad constante, debemos considerar que el tiempo transcurrido es propiamente el de los períodos comprendidos entre contacto y contacto, y no la duración del contacto. Ejemplo 1 Un reloj da 10 campanadas en 18 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 30 segundos? Resolución: Entre campanada y campanada hay un intervalo de tiempo que es constante; si este reloj da 10 campanadas implica que hay 9 intervalos (I). Por una simple regla de tres podemos decir que: #intervalos

I 9

tiempo

s 18

x

x = 15 intervalos

s 30



16 campanadas Podemos concluir que: # de intervalos (I) = # de campanadas - 1

Ejemplo 2 Un reloj da tantas campanadas en cada hora como la hora marca en ese instante. Si cuando el reloj marca las 08:00 h las campanadas que dará en esa hora demoran en total 21 segundos, ¿cuánto demorará para marcar las 12:00 h? Resolución:

# campanadas

#intervalos

tiempo

8

7

21

12

11

x x = 33 seg


209

B. Problemas sobre calendarios En los problemas a tratar debemos tener a consideración los años bisiestos, los cuales son todos aquellos cuyas dos últimas cifras dan un número multiplo de 4. Ejemplo 1:

1964

64

1974

74

Si

4 , si es bisiesto

No

4 , no es bisiesto

Un año bisiesto tiene 366 días y febrero de ese año tiene 29 días. Además en aquellos años que terminan en 2 ceros solo será bisiesto, si es que es múltiplo de 400. Ejemplo 2:

1600

Si fue bisiesto

1900

No fue bisiesto

Observación: "En un problema nos interesa si el año es bisiesto o no, si es que involucra al mes de febrero". Ejemplo 3: Si el 1 de enero de 1970 fue lunes, ¿qué día fue el 24 de enero de ese mismo año? Resolución: Si el 1 es lunes, el 8 será lunes, el 15 y el 22 también serán lunes, el 23 martes y el 24 será miércoles. Cada semana se repite el mismo día. Método práctico Cada 7 días el octavo se repite. Así tenemos: del 2 al 24, hay 23 días, luego:

23

7

2

3

semanas enteras (de lunes a domingo)

3 semanas + 2 días

Hay que agregarle dos días Rpta. Miércoles Ejemplo 4: Si el 8 de enero de 1972 fue sábado, ¿qué día fue el 23 de marzo de ese mismo año? Resolución: Como el problema involucra íntegramente al mes de febrero nos interesa saber si el año es bisiesto o no. Por que como sabemos febrero tiene 28 días y cuando el año es bisiesto tiene 29 días.

19 7 2

210

72 32

4 18

División exacta


72 es múltiplo de 4. Por lo tanto el año es bisiesto y febrero tiene 29 días (año de 366 días) Averiguaremos luego cuántos días hay desde la fecha dato hasta la fecha dato incógnita. Osea desde el 8 de enero hasta el 23 de marzo. Enero tiene 31 días pero le resto 8 días, para solo considerar los días adicionales. Enero : Febrero : Marzo :

31 - 8 = 23 días 29 días (año bisiesto) 23 días (hasta ahí será el conteo)

Total de días: 75 Luego:

75 5

7 10 domingo lunes martes miércoles jueves

  

 Se agregan cinco días    Rpta.: jueves

C. Problemas sobre tiempo transcurridos La referencia en éste caso es a problemas que en su enunciado establezcan una relación entre un intervalo de tiempo transcurrido y otro aún por transcurrir; de tal manera que ambos intervalos suman un período conocido como son las 24 horas de un día, los 7 días de la semana, los 30 días del mes de setiembre, los 365 días de un año ordinario, etc. Ejemplo 5: Si el tiempo que falta transcurrir del día es la quinta parte del tiempo transcurrido, ¿qué hora es? Resolución: Llamaremos "x" al tiempo transcurrido y por lo tanto (24 - x) al tiempo que falta transcurrir. Del enunciado:

Tiempo que falta transcurrir

=

Tiempo transcurrido 5



24 - x

=

x 5

6x = 120 x = 20 horas


211

Otro método: De los datos haciendo el siguiente esquema:

Falta transcurrir

Tiempo transcurrido

6x = 24 x=4

   

5x

x

Transcurrió: 5(4) = 20 h

24 h

La hora es: 20:00 h (8 p.m.)

Ejemplo 6 Los 2/3 del tiempo que transcurrió del mes de abril, es igual al tiempo que falta transcurrir. Además el 1 de enero de ese año fue sábado. ¿Qué fecha es, si el año es 1996? Resolución: El año 1996 es bisiesto, por que 96 es múltiplo de 4, entonces febrero de ese año tendrá 29 días.

Transcurrió

= x

Abril: 30 días

falta transcurrir = 30 - x Luego:

2 x  30  x 3 x = 18

Transcurrieron 18 días, la fecha es 19 de abril para averiguar el día, tenemos:

Enero Febrero Marzo Abril

: 30 : 29 : 31 : 19











109 40 4

7 15 domingo lunes martes miércoles



 al sábado

 se le agrega  4 días 

La fecha exacta será entonces: Miércoles 19 de abril de 1996

212


Test de Aprendizaje Tes t de a prendizaj e previo 1. Un reloj da 4 campanadas en 9 segundos, ¿cuántas campanadas dará en 15 segundos?

2. Un reloj da 15 campanadas en 28 segundos, ¿cuántas campanadas dará en 36 segundos?

3. Un reloj demora 12 segundos en dar 7 campanadas, ¿cuánto demora en dar 11 campanadas?

4. Un reloj da "m" campanadas en "m 2 - 1" segundos. ¿Cuántas campanadas dará en "m + 1" segundos?

5. Si han transcurrido 3/5 partes del mes de junio del 2007, ¿qué día es, si el 3 de febrero del mismo año fue sábado?


6. Si el 12 de enero de cierto año bisiesto fue domingo, ¿qué día de la semana será el13 de agosto del mismo año?

7. Si el 25 de enero de 1974 fue viernes, ¿qué día fue el 18 de mayo de ese mismo año?

8. En un cierto mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. ¿Qué día fue el 12 del siguiente mes?

9. Un reloj da tantas campanadas en cada hora como la hora marca en ese instante. Si para marcar las 06:00h demora 10 segundos, ¿cuánto demorará para marcar las 12:00 h?

10.Supongamos que el 20 de febrero de 1980 fue martes, ¿qué día caerá el 20 de febrero de 1996?

213

Pract iquemos

Practiquemos a) 272 d)2 80

Bloque I 1. Un reloj da 5 campanadas en 8 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 24 s? a) 12 d) 14

b) 11 e) 15

c) 13

b) 288 e)2 90

c) 300

10.Si el 7 de marzo de 1992 fue sábado, ¿qué día será el 19 de agosto de ese mismo año? a) lunes d) miércoles

b) sábado e) jueves

c) domingo

2. Un reloj da 10 campanadas en 36 s. ¿En qué tiempo dará 20 campanadas? a) 72 s d) 73

b) 76 e) 74

11.Si de enero de mismo 1974 fue viernes, ¿qué día fue el 18elde18mayo de ese año? c) 80

3. Sabiendo que el 6 de ene ro de 1978 fue viernes, ¿qué día fue el 24 de febrero de ese mismo año? a) domingo d) miércoles

b) viernes e) jueves

c) martes

4. Si el 12 de enero de 1932 fue martes, ¿qué día fue el 8 de abril de ese mismo año? a) domingo d) miércoles

b) lunes e) jueves

c) martes

5. Si el 19 de agosto de 1990 fue domingo, ¿qué día fue el 12 de diciembre de ese mismo año? a) viernes d) jueves

b) miércoles e) lunes

c) martes

6. Si el 13 de enero de 1996 fue sábado, ¿qué día fue el 28 de diciembre de ese mismo año? a) martes d) lunes

b) sábado e) domingo

c) miércoles

7. Se le pregunta la hora a Natalie y ella responde: "han transcurrido las 2/3 partes de lo que falta transcurrir de este día". ¿Qué hora es? a) 09:24h d) 09:30

b) 09:36 e) 09:00

c) 09:48

8. Un reloj da "m" campanadas en "n" segundos. ¿Cuántas campanadas dará en "2n" segundos? a) m+n d) m

b) 2m e) 2m+n

c)2 m-1

9. Un reloj da tantas campanadas en cada hora como la hora marca en ese instante. Además da 1 campanada para el primer cuarto de hora, 2 campanadas para el segundo cuarto de hora y 3 campanadas para el tercer cuarto de hora. ¿Cuántas campanadas dará en un día entero? 214

a) lunes d) domingo

b) viernes e) jueves

c) sábado

12.Un reloj da tantas campanadas en cada hora como la hora marca en ese instante. Si para marcar las 04:00 h demora 9 segundos, ¿cuánto demorará para marcar las 11:00 h? a) 28,5s d) 45

b) 24 e) 30

c)3 2

13.En un cierto mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. ¿Qué día fue el 25 de dicho mes? a) viernes

b) domingo

c) lunes

d) martes e) miércoles 14.Si el 16 de abril de 1969 fue miércoles, ¿qué día fue el 16 de mayo de 1971? a) viernes d) jueves

b) martes e) lunes

c) domingo

15.Si el 5 de mayo de 1970 fue martes, ¿qué día fue el 5 de mayo de 1982? a) jueves d) lunes

b) miércoles e) viernes

c) martes

Bloque II 1. Si fuera 4 horas más tarde de lo que es , faltaría para acabar el día, el cuádruple de las horas que han transcurrido. ¿Qué hora es? a) 02:00h d) 05:00

b) 03:00 e) 06:00

c) 04:00

2. Si han transcurrido 2/5 partes del mes de abril del 2006, ¿qué día es, si el 1 de enero del 2006 fue domingo? a) jueves d) domingo

b) viernes e) lunes

c) sábado


3. Trilcito se casó en 1992, cuando los días transcurridos del mes de junio exceden en 6 a los días que faltan por transcurrir de ese mes. ¿En qué fecha se casó trilcito? a) 6 de junio b) 8 de junio c) 16 de junio d) 18 de junio e) 20 de junio

10.Si el 20 de junio de 1950 fue martes, ¿qué día fue el 25 de julio de 1952? a) domingo d) miércoles

b) sábado e) viernes

c) lunes

Bloque III 4. Sabiendo que el 12 de enero de 1988 fue martes, ¿qué día será el 14 de febrero de 1994? a) jueves d) domingo

b) viernes e) lunes

c) sábado a) sábado d) viernes

5. Sabiendo que el 16 de marzo de 1928 fue viernes, ¿qué día fue el 5 de mayo 1972? a) viernes d) miércoles

b) sábado e) domingo

b) lunes e) martes

c) sábado

b) lunes 2 de abril d) domingo 1 de abril

8. Si el 28 de julio d e 1948 fue miércoles, ¿qué día será el 5 de agosto del año 2018? a) lunes d) domingo

b) martes e) viernes

c) miércoles

9. Si del mes de abril de 1972 han transcurrido 2/3 de lo que falta transcurrir. Hallar la fecha exacta si el 5 de enero de ese año fue miércoles. a) b) c) d) e)

c) martes

2. Si el 6 de diciembre de 1952 fue viernes, ¿qué día fue el 16 de enero de 1984? a) domingo d) sábado

7. María le dice a Luis: "Nos encontramos en Iquitos en el año 1996, cuando los días transcurridos de ese año sean 1/3 de los días que faltan transcurrir". ¿En qué fecha fue el encuentro, si el 1 de enero de ese año fue lunes? a) lunes 1 de abril c) martes 2 de abril e) miércoles 3 de abril

b) lunes e) domingo

c) jueves

6. Si el 13 de abril de 1937 fue martes, ¿qué día será el 13 de abril de 1995? a) domingo d) jueves

1. Si el 6 de marzo de 1950 fue lunes, ¿qué día fue el 6 de marzo de 1973?

miércoles 12 de abril jueves 13 de abril viernes 12 de abril miércoles 13 de abril martes 12 de abril


b) martes e) lunes

c) miércoles

3. Un alumno del colegio TRILCE le dice a su compañero cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual al doble de las horas que quedan por transcurrir, será la hora de salida. ¿A qué hora terminan las clases en el colegio? a) 9p.m. d) 7p.m.

b) 10p.m. e) 6p.m.

c) 11p.m.

4. Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada, pero dentro de 40 minutos faltarían para las 4 el mismo tiempo que transcurrió desde la 1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es? a) 2:15 a.m. d) 2:12 a.m.

b) 2:30 a.m. e) 2:17 a.m.

c) 2:24 a.m.

5. Son más de las 11:00 h, pero menos de las 12:00 h, además dentro de 13 minutos faltarápara las 13:00 h la misma cantidad de minutos que habían transcurrido desde las 11:00h hasta hace 7 minutos. ¿Qué hora es? a) 11:32 d) 11:37

b) 11:47 e) 11:43

c) 11:57

215

AcAutoevaluaciòn epta el reto TRILCE...! 1. Si quedan del día 6 horas m enos que las transcurridas, ¿qué hora es? a) 3:00 am d) 4:00 pm

b) 3:00 pm e) 9:00 am

c) 2:00 pm

2. Al preguntarle la hora a Pepe, este respondió, quedan del día en horas, la suma de las 2 cifras que forma el número de las horas transcurridas. ¿Qué hora es? a) pm 9 d) 7

b) 11 e) 4

c) 8

3. Faltan para las 8 horas, la mitad de minutos que pasaron desde las 6 horas. ¿Qué hora marcará el reloj? a) 5 h 2 0 m d) 9 h 2 0 m

b) 4 h 2 0 m e) 3 h 1 5 m

4. Un reloj demora (m + 1) s egundos en to car "m 2" campanadas, ¿cuántas campanadas tocará en 1 segundo? a) m-1 d) m2+ 1

b) m -2 1 e)m +1

c) m

(n  1)2 5. Un reloj da n2  1 campanadas en (n2 + 1) segundos, ¿cuántas campanadas dará en (n 2 + 1)2 segundos? a) 2n+1 d) 2n2+ 4

b) 2n 2 e)2 n2 - 1

c) 2n

c) 7 h 2 0 m

Tarea domiciliaria 1. Un reloj da 5 campanadas en 8 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 40 segundos?

11.Si el 28 de julio de 1821 fue sábado, ¿qué día fue el 25 de diciembre de ese mismo año?

2. Un reloj d a 10 campanadas en 27 segundos. ¿En cuántos segundos dará 20 campanadas?

12.Gabriel García Marquez nació el domingo 6 de marzo de 1927, ¿qué día cumplió tres años?

3. Si el 1ro de enero de 1984 fue domingo, ¿qué día fue el primero de febrero del mismo año?

13.El domingo 2 de setiembre de 1945 terminó la segunda guerra mundial, ¿qué día se inició si ello ocurrió el 1ro de setiembre de 1939?

4. El 29 de marzo de 1970 fue domingo. Si nací el 25 de junio de 1970, ¿qué día nací? 5. Mi sobrina nació el 27 de enero del 2007, ¿qué día nació? (trabaje con la fecha actual) 6. Mario Bross cumple años el 12 de agosto. En el año 2007, ¿qué día fue su cumpleaños? 7. Son las 3 p.m. ¿Qué parte de lo ya transcurrido del día falta transcurrir? 8. Si lo transcurrido del día representa la mitad de lo que falta transcurrir, ¿qué hora es? 9. Si lo transcurrido del día representa la tercera parte de lo que falta transcurrir, ¿qué hora es?

14.Si el 3 de enero de 1964 fue viernes, ¿qué día fue el 12 de marzo de 1968? 15.Un reloj indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 8 a.m. tardó 14 segundos, ¿qué hora indicó cuando tardó 20 segundos? 16.¿Qué día será el 31 de diciembre del año 2008? (considera la fecha actual) 17.¿A qué hora del día, las horas transcurridas son excedidas en 3 horas por el doble de las horas que faltan transcurrir? 18.Faltan para las 4 p.m. tanto como la mitad de lo que faltarán para las 4 a.m. de mañana pero dentro de 4 horas. ¿Qué hora es?

10.Si el 10 de enero de 1980 fue jueves, ¿qué día será el 10 de enero de 1990?

216


19.El Papa Benedicto XVI nació el sábado 16 de abril de 24.Un reloj da "c" campanadas en "s" segundos. ¿Cuánto 1927. ¿Qué día fue elegido Papa, si ello ocurrió el 19 tardará en dar "c2" campanadas? de abril del 2005? 25.En un cierto mes, el primero y el último día fue 20.Nando nació el jueves 6 de enero de 1972. Si se lesionó miércoles, ¿qué día fue el 21 de setiembre de dicho el 22 de marzo del año 1987, ¿qué día se lesionó? año? 21.Claudio Pizarro nació el 3 de octubre de 1978, ¿qué día nació?

Trabajo final: Averigua el día que naciste, a partir de la fecha actual.

22.Jefferson Farfán nació el 20 de octubre de 1984, ¿qué día nació? 23.Un reloj demora "m+1" segundos en tocar "m 2 " campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en un segundo?


217

23

Cronometría II


Historia del reloj Ante la necesidad en controlar el tiempo las antiguas civilizaciones se guiaban por el día y la noche o los ciclos de la luna. El primer reloj creado por el hombre fue el solar que indicaba los momentos del día por la sombra del sol, estimándose que los Chinos lo usaron aproximadamente 3000 años antes de Cristo, también fue empleado por los Egipcios e Incas. Estos relojes tenían el inconveniente de ser nulos en el amanecer, crepúsculo, días nublados y noche. Los romanos marcaban velas en forma de regla para controla r el tiempo en la noche. Las Clepsidras se usaron en Babilonia, Egipto, Grecia y Roma. Se guiaban por medio de agua que pasaba de un recipiente graduado a otro. Siendo este sistema el antecesor al reloj de arena. El reloj de arena se destacó en el siglo III. Consistía en dos recipientes esféricos de vidrio unidos con un estrecho canal que unía ambas partes llegando a poder controlar todo un día. Según los libros de Alfonso X "El Sabio", copilados en el año 1267/77 se logró controlar el tiempo con un movimiento rotario continuo y regular mecánicamente. Con este mecanismo nació el reloj mecánico, a partir de esos principios fue constante la evolución hasta nuestros días. Teniendo fundamental relación LEONARDO DA VINCI, GALILEO, HUYGENS, HOOKE y muchos más que aportaron sus conocimientos e inventiva con cambio y perfeccionamiento. El primer motor de reloj fue el de pesas creado por Pacífico en el siglo VIII. En la década del año 1300 fue posible ver estos relojes en iglesias de Europa. El reloj más antiguo se conserva en la Catedral de Salisbury y similares en Reven y Wells. En Suiza, entre las cadenas montañosas del Jura y los Alpes, allá por 1535 una importante cantidad de refugiados se dirigen a Ginebra escapando de persecuciones religiosas, hallando en estos parajes la tranquilidad deseada, base indiscutible para el desarrollo técnico artesanal de quienes forjaron la máquina de controlar el tiempo. Otros refugiados se dirigen a Neuenburg, Alemania, internándose en la Selva negra, sus bosques de abetos y hayas de intenso color, a veces sombrío, han sugerido el nombre de la selva, en dicho bosque es común un pájaro de plumaje gris ceniza que lo hace poco visible y emite en primavera (con más intensidad en época de celo) el conocido canto Cu-cu, dicho pájaro dio srcen para que la imaginación del hombre realizara el famoso reloj Cu-cu que traslada el alegre cantar del bosque a nuestros hogares. En el siglo XV se inventó el motor de Muelle y la Conoide según bocetos de Leonardo Da Vinci, permitiendo la construcción de los primeros relojes portátiles, conservándose algunos Alemanes de 1540 y Franceses de 1551. En 1641 Galileo concibió el principio de las oscilaciones de un péndulo desarrollando el proyecto, pero la construcción del primer reloj mecánico de péndulo fue llevado a cabo por Huygens en 1657, asombrando las oscilaciones rítmicas pendulares y la dulce solemnidad del campanario. Suiza cuenta con el Museo Internacional de Ginebra que se ubica en una bellisima mansión decimonómica en medio de una frondosa arboleda, hay aproximadamente 10000 piezas de todos los tiempos que el visitante puede apreciar y comprobar la evolución relojera.


219

Relación entre los recorridos del horario y minutero Observamos el siguiente reloj:

11 10

12

1 2

M

H

9

5 divisiones 30°

3

8

4 7

5

6

En la circunferencia de un reloj hay: 60 divisiones < > 60 minutos < > 360° Simplificando se obtiene: 1 división < > 1 minuto < > 6° Cada hora: Espacio recorrido por el horario (ERH) = 5 divisiones Espacio recorrido por el minutero (ERM) = 60 divisiones Se deduce que:

ERH 1 = ERM 12 Observación:

x

Horario

 

 1 

2 3

Esta es la relación respecto a los espacios recorridos

220

  

 x

n

12 Minutero 12 24 36 12x 12n


Ejemplo 1 ¿Qué hora indica el reloj de la figura?

12

11

1

10

2

9

3 H

M

8 7

6

Resolución: Antes de graficar la hora en punto, señalemos los arcos correspondientes a los ángulos con "x"

12

12 Mf

ERH = "x" divisiones ERM = "12x" divisiones Del gráfico tenemos:

3

9

H 

8

M

9

12x

Hi

Mi



8

Hf 

7

x

6

x

7

x

6

x

12x + x = 30 minutos 13x = 30 x = 30 13

Luego el número de minuto es: 12 30 13 360 = 27 9 minutos 13 13  la hora será: 6h 27 9 minutos 13


221

Uso de la fórmula general

  

11 (M) 2

30(H)

Caso I

12 Cuando a partir de la marca de las 12, el horario se ha alejado más que el minutero (en sentido horario), el horario (H) será positivo (+) y el minutero (M) negativo (-).

M 9

3





H

11 (M)  30(H) 2

6

Caso II

12 M 9



Cuando a partir de la marca de las 12, el minutero se ha alejado más que el horario (siempre en sentido horario), el minutero (M) será positivo (+) y el horario (H), será negativo (-).

H

3 

 11 2 (M) 30(H)

6 Observación: Cuando las agujas de un reloj están superpuestas (una encima de otra), formando 0°, se cumple que:

11 (M)  30(H) 2 Ejemplo 2 ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 04:28 h?. Dar como respuesta el ángulo menor. Resolución: Grafiquemos:

12 Notamos en el gráfico que el minutero se ha alejado más que el horario, por lo tanto el M = (+) y el H = (-). Reemplazando en la fórmula

9 

M

3

H 4



11  (28)30(4) 2

6 222


Ejemplo 3 Hallar el mayor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 09:32 Resolución: A las 09:32 notamos en el reloj que el horario ha recorrido más que el minutero, entonces: H = (+) y M = (-) reemplazando en la fórmula tenemos:

12

11

11 (32)30(9)  2  176  270   94 

10 H 9

3



M 6 Ejemplo 4 ¿A qué hora entre las 4 y las 5, las agujas de un reloj forman un ángulo de 90° por primera vez? Resolución: Graficando 90° por primera vez.

12 H  () y M  () 11  90 (M)30(4)

M 9

3 H

4 5

6

2 11 (M)30  2 60 5 M   5 min 11 11 4h 5

5 min 11

Ejemplo 5 ¿A qué hora entre las 4 y las 5, las agujas de un reloj forman un ángulo de 90° por segunda vez? Resolución: Graficando 90° por segunda vez

12

9

3 M

H 6

4 5

H  () y M  () 11 90  (M)30(4)  2 11 (M)210  2 420 2 M  38 min 11 11 4h 38


2 min 11 223

Test de Aprendizaje Tes t de a prendizaj e previo 1. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 4:20 pm?

7. ¿Qué hora indica el reloj?

12

1 

2 3

3 2. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 7:42 pm?

8 7

6

8. ¿Qué hora indica el reloj? 3. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 12:38 pm?

12

9

3 78º

8 4. ¿A qué hora entre las 6 y la s 7, las agujas de un reloj forman un ángulo de 15º por primera vez?

7

6

4 5

5. Hallar el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 04:50 h

9. Entre las 4 y las 5 de la tarde, ¿a qué hora exactamente se forma el segundo ángulo recto?

6. Faltan para las 9 horas la mitad de minutos que pasaron desde las 7 horas. ¿Qué hora marca el reloj?

10.Noemí confunde las agujas de un reloj y dice que son las 7:48 ¿Qué hora es en realidad?

224


Ejercicios

a) 57° d) 61°

Bloque I ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las: 1. 3 p.m. a) 60° d) 30°

b) 75° e)8 0°

c) 90°

c) 20°

3. 7:00 p.m.

b)1 70° e) 250°

c) 38°

b)1 44° e) 150°

c) 146°

b) 2h

41 73 min

d) 2h 41 11 3 min

3 min e) 2h 40 11

c) 190°

15.¿A qué hora entre las 3 y las 4, las agujas de un reloj están superpuestas? a)3 h17min 7 min c) 3h 19 11

5. 11:00 p.m. b) 40° e)3 30°

b) 36° e)4 2°

14.¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un reloj se oponen?

7 min c) 2h 43 11

4. 8:20 p.m.

a) 15° d)9 0°

a) 35° d) 40°

a) 2h46min

a)2 10° b)9 0° c) 150° d)7 5° e) Más de una es correcta

a)1 50° d)2 30°

c) 59°

12.Hora: 18:40h

a)1 45° d)1 48° b) 15° e)4 5°

b) 58° e)6 2°

13.Hora: 22:28h

2. 6:30 a.m. a) 0° d) 30°

11.¿Qué ángulo forman las agujas del reloj en los siguientes casos? Hora: 09:38h

c) 60°

b)3 h19min 4 min d) 3h 16 11

7 min e) 3h 17 11

Bloque II 6. 8:24 a.m. a)1 02° d) 92°

b)1 08° e)9 6°

c)9 8°

1. ¿A qué hora entre las 4 y las 5, las agujas de un reloj forman 60° por primera vez? a) 4h12min

7. 3:32 a.m. a) 72° d) 86°

7 min c) 4h 13 11

b) 78° e)9 2°

c) 82°

8. Hallar el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 07:28 h a) 52° d) 58°

b) 46° e)4 8°

c) 56°

9. Hallar el mayor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 03:46 h. a)1 53° d)1 67°

b)1 57° e) 197°

c) 163°

10.¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 12:34? a)1 41° d)1 78°

b)1 61° e) 163°

c) 173°

b) 4h

16 113 min

d) 4h 13 57 min

e) 4h 10 10 11min 2. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un reloj forman 120° por primera vez? a) 2h 10 10 11 min

8 min b) 2h 32 11

6 min c) 2h 12 11

7 min d) 2h 34 17

e) 2h 17

7 13min

3. ¿A qué hora entre las 9 y las 10, las agujas de un reloj forma 90° por primera vez? 8 min a) 9h 33 11

8 min b) 9h 32 11

5 min c) 9h 5 11

7 min d) 9h 8 11

3 min e) 9h 4 11


225

4. ¿A qué hora inmediatamente después de las 3 el horario adelanta a la marca de las 12 tanto como el minutero adelanta a la marca de las 3?

3h 34 117 min

a) 3h31min

b)

c) 3h36min

d)3 h32min

8 min e) 3h 32 11

a) 6h 14 79 min

b) 6h 13 79 min

c) 6h 16 20 25 min

d) 6h 13 27 min

e) 6h 12 67 min 10.¿Qué hora es en el gráfico mostrado?

12

5. ¿A qué hora inmediatame nte desp ués de las 5 el minutero adelanta al horario 9 divisiones?

M 

1 min a) 5h 37 11

c) 5h 36

7 min 13

e) 5h 36

1 min 11

9

7 min b) 5h 38 13

d) 5h 36min

5

6

6. ¿Qué hora es, si las agujas de un reloj forman un ángulo de 80° por primera vez, entre las 5 y las 6? 8 min a) 5h 12 11

3 min b) 5h 11 11

c) 5h 10 67 min

3 min d) 5h 11 11

3 min e) 5h 10 11

7. Pasan las 7 sin ser las 8 de esta hermosa noche y las agujas de un reloj forman 100° por segunda vez. ¿Qué hora es? a) 7h 47 59 min

3 min b) 7h 49 11

4 min c) 7h 51 11

6 min d) 7h 53 11

8 min a) 5h 47 11

2 min b) 5h 46 13

1 min c) 5h 49 11

8 min d) 5h 46 11

e) 5h 47 67 min Bloque III 1. ¿Qué hora es en el reloj mostrado? 12

9

3 H 



4 min e) 7h 56 11

a) 2h 22min

b) 2h 23min

c) 2h 24 min

d) 2h 25min

2 min e) 2h 17 14

9. ¿Qué hora marca el reloj de la figura adjunta?

4

M 5

6

8. ¿A qué ho ra inmediatamente después de las 2, e l minutero adelanta al horario tantas divisiones como el horario adelanta a la marca de las 12?

3 4

H 

7 min a) 7h 26 13

7 min b) 7h 24 13

7 min c) 7h 27 13

9 min d) 7h 27 13

3 min e) 7h 26 11

2. ¿Qué hora marca el reloj de la figura? 12

12 M

2

9

H

7

6

2 

3

H

8

226

9

2

3

M

6 a) 6h 21min

b) 6h 20 13 min c) 6h 18min

d) 6h 21 13 min e) 6h 20min Cuarto Año de Secundaria

3. ¿Qué hora marca el reloj de la figura?

12

9 min b) 12h 27 13

7 min c) 12h 28 11

7 min d) 12h 29 11

7 min e) 12h 25 13

H 

9

7 min a) 12h 26 11

3

2

5. ¿Qué hora marca el reloj de la figura?

M

12

6 a) 2h 16min

b) 2h 17min

d) 2h 19 min

6 min e) 2h 21 14

9

c) 2h 18min

3

4. ¿Qué hora es en la figura mostrada?

6

12

5 min a) 12h 55 13



c) 12h 59

H 9

2

H

M

3 

1



b) 12h 53min 6 min d) 12h 57 11

7 min 11

5 min e) 12h 57 13

M

6

AcAutoevaluaciòn epta el r eto TRILCE...! 1. ¿Qué ángulo forma las manecillas del reloj?

2. Según el gráfico, el ángulo que forma las agujas del reloj es:

12 12 9

3 9



8 7

4 6

3 8

5

4 7

23 divisiones a) 15º d) 45º

b) 20º e)5 0º

5 6

c) 30º a)1 28º d) 140º


b)1 38º e) 136º

c) 126º

227

3. Si las horas transcurridas del día es igual a los 3 /5 de las horas que quedan, ¿qué hora es? a) 2:00 am d) 9:00 pm

b) 2:00 pm e) 6:00 pm

5. En cierto día, las horas transcurridas exceden a las que faltan transcurrir en 6 horas 32 minutos. ¿A qué hora ocurre esto?

c) 9:00 am a) 10:28 am d) 6:32 pm

b) 10:28 pm e) 3:16 pm

c) 6:32 am

4. Si queda del día 9 horas menos que lo transcurrido, ¿qué hora es? a) 04:30 d) 16:30

b) 09:30 e) 14:30

c) 15:30

Tarea domiciliaria ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las: 1.

4a.m.

2.

8p.m.

3.

7:10 a.m.

4.

3:20 p.m.

5.

6:10 a.m.

6.

4:40 p.m.

7.

5:20 a.m.

8.

9:30 p.m.

9.

10:12 a.m.

10.

4:21 a.m.

17.El ángulo formado por las manecillas de un reloj que marca las 8h 32 minutos es (x+18)°, hallar el valor de "x". 18.¿A qué hora entre las 6 y las 7 las manecillas de un reloj están superpuestas? 19.¿A qué hora entre las 4 y las 5 horas las manecillas de un reloj se encuentran en sentido opuesto? 20.¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a aquella hora en que han transcurrido del día las 3/5 partes de lo que falta por transcurrir? 21.Determinar el complemento del complemento del menor ángulo que forman las agujas del reloj a las 12 horas 15 minutos. 22.¿Qué hora será entre las 6 y las 7 cuando las agujas forman un ángulo de 15° por vez primera?

11.¿Qué ángulo forman las agujas del reloj en cada caso?

23. ¿A qué hora exactamente entre las 7 y 8 las manecillas de un reloj forman un ángulo de 40° por segunda vez?

24.Tito tiene un desayuno entre las 6 y 7 cuando las agujas del reloj se superponen; y tienen un almuerzo entre las 1 y las 2, cuando las agujas están en sentido opuesto. ¿Qué tiempo transcurrió desde el desayuno 12.¿Cuál es el menor ángulo que forman las agujas (horario hasta el almuerzo? y minutero) de un reloj a las 6:20 p.m.? a) 6h28' d) 12h17'

b) 5h59' e) 7h35'

c) 4h05' f) 12h01'

13.¿Cuál es el mayor ángulo formado por las agujas de un reloj cuando sean las 8:27 p.m.? 14.¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 12:44?

25.Mónica empezó a estudiar después de las 4 horas, pero antes 5 horas, en superpuestas el momento justo que las agujasde dellasreloj estaban y terminó de estudiar antes de las 11 horas pero después de las 10 horas, cuando las agujas formaban un ángulo de 180°. ¿Cuánto tiempo estuvo estudiando?

15.A las 10 horas 20 minutos, ¿qué ángulo forman las agujas de un reloj? 16.¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las

2h 43 117 minu tos?

228


26.¿Qué hora es según el gráfico? 29.¿Qué hora es en el gráfico adjunto? 12

11 10



1

9

3 M

8 7

6

1

10

2

9

4



12

11

2

H

8

5





7

3

H

M

4 5

6

27. ¿Qué hora es en el gráfico adjunto? 30.¿Qué hora indica el reloj de la figura? 12

11 10



1

9

3 H

8

6

10 M

8

5

1 H

9

4



7

12

11

2

M

7

2 



6

3 4

5

28.Según el gráfico, ¿qué hora es?

11 10 9

12

1 2

M H

3 

8

4 7

6

5


229

24

Repaso


Ejercicios

a) d) 101 104km/h

Bloque I 1. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuánto tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años? a) 6años d) 12

b) 8 e) 14

c) 10

2. La diferencia de do s números es 36. Si el may or disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor. Hallar el producto de los números dados. a) 352 d)2 24

velocidad viajó el policía, si capturó al asaltante después de 50 minutos de persecución?

b) 328 e)3 30

c) 334

b) e)1102 05

c) 103

8. En un determinado mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el segundo lunes de dicho mes? a) 11 d) 13

b) 10 e) 9

c) 12

9. La suma de las edades actuales de 2 hermanos es 60 años, dentro de 5 años el mayor tendrá el doble de la edad que tenía el menor hace 5 años. Hallar la suma de cifras de la edad actual del mayor. a) 2 d) 7

b) 4 e) 10

c) 8

3. La suma de tres números es 72. El segundo es un

10.A cierto número par, se le suma los dos números pares

quinto el delmenor tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar número.

que le preceden y los 968 dos unidades. impares que lo siguen,de obteniéndose en total El producto los dígitos del número par en referencia es:

a) 6 d) 12

b) 8 e) 16

c) 10

4. La edad de Eduardo es el triple de la edad de Juana. Si hace 3 años la edad de ella era (a+3b), ¿dentro de cuántos años la edad de Eduardo será el doble de la edad de Juana? a) a + 3b - 3 d) a - 3b - 3

b) a - 3b + 3 e) a + b + 3

c) a + 3b + 3

5. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del ma yor excede en 10 a los 3/8 del menor. Hallar los números. a) 56y62 d) 56 y 60

b) 52y64 e) 52 y 60

c) 54y62

a) 162 d) 150

b) 120 e) 36

c) 194

11.Si el 20 de junio de 1975 fue viernes, ¿qué día fue el 23 de setiembre del mismo año? a) lunes d) jueves

b) martes e) viernes

c) miércoles

12.Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un semáforo y el triple de tiempo en cruzar un puente de 500 m de largo. ¿Cuál es su longitud? a)3 00m

b) 350

c)2 00

d) 250 e)1 80 6. Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50. Después de que 13.¿A qué hora entre las 5 y las 6 de la mañana las cada una de ellas gastó la misma cant idad de dinero, a la manecillas de un reloj forman un ángulo de 70° por primera le queda el triple de lo que le queda a la segunda. segunda vez? ¿Cuánto le queda en conjunto a ambas personas? a) 140 d)1 00

b) 150 e)2 40

c) 120

7. Un asaltante después de robar en un banco huye con el botín en un auto a razón de 80 km/h. Un policía empieza a perseguirlo después de 15 minutos. ¿A qué Organización Educativa TRILCE

a) 05 h 12 min b) 05 h 19 min c) 05 h 24 min d) 05 h 36 min e) 05 h 40 min 14.Un camión sale de una ciudad "A" a otra ciudad "B" a razón de 60 km/h. Diez minutos después sale un automóvil de "A" hacia "B". ¿Cuál es la velocidad del 231

automóvil, si el camión es alcanzado por el automóvil después de 1 hora 15 minutos? a)6 5km/h d) 68

b)7 2 e) 70

c)7 5

15.Un granjero tiene un total de 56 aves entre pollos, patos y pavos. Si tuviera 3 pollos más, 7 patos menos y 5 pavos más, tendría la misma cantidad de cada tipo de aves. Hallar el número de patos. a) 19 d) 21

b) 26 e) 25

c) 24

Bloque II 1. Tres Nigerianos ("N", "O" y "P") y tres cubanos ("K", "L" y "M") participan en una carrera. No hay empates y se sabe que: • "P" llega tres puestos antes que "K" • "N" llega junto a "P" • Un nigeriano no es el ganador • Dos cubanos no llegan juntos ¿Quién llega en quinto lugar? a) L d) K

b) M e) N

c) O

2. Si el 7 de febrero de 1984 fue lunes, ¿qué día fue el 28 de julio de ese mismo año?

6. Si el 24 de enero de 1975 fue lunes, ¿qué día cayó el 19 de octubre de ese mismo año? a) domingo d) miércoles

b) lunes e) jueves

c) martes

7. La relación de las velocidades de dos personas es como 13 es a 10. Si uno de ellos es 9 km/h más veloz, ¿qué tiempo empleará el más lento en recorrer 900 m? a) 90s d)2 00

b) 100 e)1 08

c) 40

8. Cuando nació Diana, Carmen tenía 3 años, cuando nació Maritza, Diana tenía 2 años y cuando nació Ana, Carmen tenía 8 años. Si las edades actuales de Carmen y Maritza suman 25 años, ¿cuánto suman las edades de Ana y Diana? a) 22 d) 17

b) 21 e) 15

c) 19

9. Si el 18 de febrero de 1918 fue lunes, ¿qué día será el 10 de enero de 1934? a) domingo d) miércoles

b) lunes e) jueves

c) martes

10.¿Qué hora indica el reloj de la figura?

12 a) viernes martes d)

b) sábado miércoles e)

c) jueves

M

3. Al preguntarle a Claudio por su edad respondió: "Si el año en que cumplí 8 años, le suman el año en que cumplió los 16 y le restan el año en que nací y el actual obtienen 5". La suma de las cifras de la edad de Claudio es: a) 8 d) 6

b) 10 e) 9

a) 7 d) 13

b) 8 e) 15

9 

6 a) 6h 50 10 13 min

9 min b) 6h 47 11

9 min c) 6h 48 13

7 min d) 6h 49 11

e) 6h 49 10 13 min Bloque III

c) 9 1. ¿Qué hora es en el gráfico mostrado?

12

5. Luis y Pedro parten de una ciudad a otra, situada 24 km de la primera; Luis lo hace con una rapidez de 2 km por hora menos que Pedro; llegando a su destino con una hora de retraso. ¿Cuál es la rapidez de Luis? a) 3km/h d) 6

b) 4 e) 7

3 H

c) 12

4. Una pieza de género tiene 20 metros de longitud. En una segunda compra que hizo, se adquirió los 2/3 del resto que había quedado después de la primera. Sabiendo que las dos compras son iguales, ¿cuántos metros se compraron la primera vez?



c) 5

H 

9 

2 3

m

6 232


9 min a) 2h 27 13

b) 2h 26min

7 min c) 2h 26 11

7 min d) 2h 27 11

7 min e) 2h 28 11

2. Cuando Ramona nació, Mafalda tenía 30 años. Ambas edades suman 28 años más que la edad de Elisa que tiene 32 años. ¿Qué edad tiene Jesús que nació cuando Ramona tenía 11 años? a) 12

b) 18

d) 4

e) 6

c) 8

3. ¿A qué hora inmediatamente después de las 15:00 horas el minutero adelanta al horario, tanto como el horario adelanta a la marca de las 12? a) 15:45h d) 15:15

b) 15:55 e) 12:00

c) 15:36

4. Dos ciu dades " A" y "B" están unidas por un río navegable y distan entre sí 480 km. Cuando un bote va de "A" hacia "B" a favor de la corriente emplea 24 horas en llegar, pero el retorno lo hace en 40 horas. Cierto día cuando iba de "A" a "B" se malogró el motor del bote, dejándose llevar por la corriente y llegando así con 8 horas de retraso. Hallar a qué distancia de "A" se apagó el motor. a)3 20km d)4 20

b)3 60 e)4 40

c) 380

5. Cuando yo tenía la edad que él tiene, tú tenías la tercera parte de la edad que tienes; cuando yo tenga el doble de la edad que tienes, él tendrá la edad que yo tengo y tú tendrás 2 años más de lo que yo tengo. Entonces la suma de las edades de los tres es: a) 15 d) 18

b) 16 e) 17

c) 19

Tarea domiciliaria 1. Caperucita Roja va por el bosque llevando una cesta 6. Un reloj emplea "a" segundos en dar "b" campanadas. de manzanas para su abuelita. Si en el camino ladetiene ¿Cuántas campanadas dará en (ab + a) segundos? el Lobo y le pregunta ¿cuántas manzanas llevas en tu cesta? Caperucita responde: "llevo tantas decenascomo 7. En el año 1918 la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo, en el año 1923 la relación de sus el número de docenas más uno". ¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta? edades era como 5 es a 1. La edad del padre en el año 1950 era: 2. ¿Qué hora es? Si la mitad del tiempo transcurrido desde 8. Una sala tiene 3 metros más de largo que de ancho. Si las 09:00 horas, es igual a la tercera parte del tiempo el largo fuese 3 metros más de lo que es y el ancho que falta transcurrir para ser las 19:00 hrs. fuese dos metros menos, la superficie del piso sería la misma. Halle el área de dicha superficie. Enunciado 9. Si el 6 de enero de 1972 fue jueves, ¿qué día fue el 8 Se desea codificar un lote de paquetes. Cada código tendrá de abril de ese mismo año? dos dígitos y dos letras. Los símbolos a utilizar son los dígitos: 1; 2; 3 y 4 y las letras W, X, Y y Z. Además, de los 10.Si el 14 de febrero de 1990 fue miércoles, ¿qué día fue dígitos, el de la izquierda debe ser menor que el de la el 18 de febrero del año siguiente? derecha, y los dígitos deben estar juntos, al igual que las dos letras. 11.Dos móviles parten simultáneamente de un punto en diferentes sentidos y a través de una circunferencia. Si 3. ¿Cuál de los siguientes códigos no será posible? uno puede dar la vuelta en 10 min y el otro en 15 min, ¿cada qué tiempo se encontrarán dichos móviles? a) WW12 b)W X34 c) YX23 d) 14ZY e) 42XZ 12.Un número de dos cifras es igual a "m" veces la suma 4. Si el primer símbolo es X, ¿cuántos códigos son posibles? 5. Si el últim o símbolo es 3, ¿cuál de los siguientes símbolos no puede ocupar ninguna de las posiciones restantes? a) 1 d) Y

b) 4 e) Z

c) X

de sus cifras, en cambio el mismo número pero con las cifras invertidas, resulta ser "n" veces la suma de sus cifras, entonces (m+n) es: 13.Un reloj de pared da 6 campanadas en 10 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 24 segundos? 14.¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 18:44 h? 15.¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 7:24 p.m.?


233

Enunciado

B Se sabe que Mirtha es mas alta que Renata y tiene más dinero que Lucía, quien no es más alta que Mirtha ni tiene menos dinero que Renata, y se sabe que Valeria no es más alta que Lucía y que no tiene menos dinero que Renata. 16.Podemos afirmar con certeza que: a) b) c) d) e)

Valeria no es más alta que Mirtha Renata es la mas baja Lucía tiene mas dinero que Valeria Mirtha es la que tiene mas dinero Valeria tiene mas dinero que Renata

A

53°

37°

C 24.De un punto "A" parten dos móviles simultáneamente hacia un punto "B" distante a700 km, con una velocidad constante de 20 y 50 km/h respectivamente, el que llega primero regresa inmediatamente hacia "A". ¿Qué espacio recorrió el más lento hasta cruzarse con el otro?

17. ¿Quiénes no pueden tener la misma cantidad de dinero? 25.Cristian y Susan discuten acaloradamente en una de las esquinas del parque "El Olivar", de pronto dan por a) Lucía y Renata b) Lucía y Valeria terminada su relación partiendo en direcciones c) Valeria y Renata d) Mirtha y Renata perpendiculares con velocidades de 16 y 12 m/s e) Mirtha y Valeria respectivamente. ¿Después de qué tiempo estos personajes estarán a una distancia de 90 m, 18.Si se supiese que tres de ellas que tienen la misma lamentando su decisión? estatura, tienen la misma cantidad de dinero, ¿quiénes podrían ser? 26.Con los alumnos de un salón se formaron dos cuadrados compactos, colocando en cada lado de los cuadrados a) Valeria, Lucía y Mirtha dos alumnos en la relación de 1 a 2. Si en el salón b) Valeria, Lucía y Renata hubieran 20 alumnos más se formaría un solo cuadrado c) Mirtha, Renata y Valeria compacto. Hallar la cantidad de alumnos del aula si es d) Mirtha, Lucía y Renata la menor posible. (Dar como respuesta la suma de e) No se puede determinar cifras) 19.El sonido recorre en el agua 1 440 m/s y en el aire 360 m/s. Calcular la distancia a la que se encuentra un buque de la orilla, si un observador calculó que una explosión del buque demoró en escucharse 7,5 s más por aire que por agua.

27. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 de la mañana, las agujas de un reloj se oponen?

21.Dos trenes uno de 92 metros de largo y otro de 100 metros van por vías paralelas, el más corto alcanza al otro y lo pasa en 24 segundos, pero si hubiera venido en sentido contrario tardarían en pasarse únicamente 6 segundos. Hallar la velocidad expresada en metros por segundo, del tren más veloz.

12

28.Dos relojes colocados en los extremos de una calle de 1804 m de longitud, dan las horas con 3s de intervalo. ¿Cuál es el punto de la calle desde el cual se oye a los 20.Hace "n" años la relación de las edades de dos personas dos relojes dar la hora al mismo tiempo? (Dar como es de 6 a 5. Si la diferencia de los cuadrados de sus respuesta la mayor distancia) edades es 111, ¿cuál será la relación de sus edades dentro de "2n" años? 29.¿Qué hora es en el gráfico mostrado?

22.A una fiesta asistieron 495 personas, la primera dama bailó con 1 caballero, la segunda con 3, la tercera con 6, la cuarta con 10 y así sucesivamente, hasta que la última bailó con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros acudieron a la fiesta? 23.El ruido emitido por el avión situado en la posición "A", es escuchado por un observador ubicado en "C" cuando el avión se encuentra en la posición "B". Determine la rapidez del avión. 234

M



9

3 H

8 7



6

30.En una carrera toman parte 3 caballos "A", "B" y "C" que han de recorrer 1 800 m, el caballo "A" llega a la meta con una ventaja de 60 m sobre "B" y 8 segundos antes que "C" y "B" luego 2 segundos antes que "C". ¿Cuánto tiempo tardó en la carrera, el caballo "B"?


III Bimestre Razonamiento Matemático 4to Secundaria

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