INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS. Sean X11, X12, … X1n1, una muestra aleatoria de n1 observaciones tomadas de una primera población con valor esperado esperado µ1 µ 1 y varianza s 1, y X21, X22, … X2n2 una muestra aleatoria de n2 observaciones observaciones tomada de la segunda población población con valor esperado µ2 µ 2 y varianza s 2. Si son las medias muestrales, muestrales, la estadística es un estimador puntual puntual de µ1 µ 1 - µ 2, y tiene una distribución normal si las dos poblaciones son normales, o aproximadamente normal si cumple con las condiciones del teorema del limite central (tamaños de muestras relativamente grandes). grandes). Es decir, . Por lo tanto, Para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias se debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas, y en caso de que sean desconocidas, desconocidas, se debe probar si son iguales o diferentes. Cada uno de estos tres casos se analizarán por separado Varianzas conocidas Si las varianzas poblacionales son conocidas, los pasos a seguir para encontrar el intervalo de confianza son los siguientes: a) El estadístico usado como como estimador puntual de la diferencia diferencia de medias µ1 - µ2 µ 2 será T = , que es un estimador suficiente b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable normal estándar dada por: c) Para calcular el intervalo i ntervalo de confianza se debe tener en cuenta la siguiente probabilidad: Manipulando la expresión anterior en forma similar a como se hizo en los casos de una sola muestra se llega al siguiente teorema que nos define el intervalo i ntervalo de confianza para la diferencia entre dos medias µ1 - µ 2 con varianzas conocidas conocidas s 1ys 2. Teorema. Si son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones que tienen varianzas conocidas s
1ys 2, respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1-a)% para µ 1 - µ 2 es: Ejemplo. Construya un intervalo de confianza del 94% para la diferencia real entre las duraciones de dos marcas de bombillos, si una muestra de 40 bombillos tomada al azar de la primera marca dio una duración media de 418 horas, y una muestra de 50 bombillos de otra marca dieron una duración media de 402 horas. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente. Solución. Tenemos que:, , s1 = 26, s2 = 22, n1 = 40, n2 = 50, Z0.03 = 1.88. El intervalo de confianza es, entonces: El hecho de que ambos límites sean positivos, y por lo tanto no contengan el valor cero indican que ambas marcas no tienen la misma duración media, y sugiere que pueda pensarse que la primera marca de bombillos tenga una duración media superior a la segunda. Varianzas desconocidas e iguales ( = = ) Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente una prueba estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes. Para realizarlo debemos hacer uso de la distribución F, bien sea mediante el cálculo de la probabilidad de que la muestra tomada provenga de dos poblaciones con varianzas iguales, o mediante el uso de un intervalo de confianza para la relación de dos varianzas, según se estudiará más adelante. Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las varianzas son iguales, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente: a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 - µ2 será T = , que es un estimador suficiente. b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida como: donde es un estimador combinado de s , mejor que por separado, y c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta la siguiente probabilidad:
De nuevo, manipulando la expresión anterior en forma similar a los casos se llega al siguiente teorema que nos define el intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias µ1 - µ2 con varianzas desconocidas s 1ys 2, pero iguales: Teorema. Si son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100(1-a)% para la diferencia entre medias µ1 - µ2 es: Ejemplo. La siguiente tabla presenta los resultados de dos muestras aleatorias para comparar el contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos. Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas desconocidas, construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia real de nicotina de las dos marcas. Solución. Inicialmente mediante la distribución F debemos verificar si las varianzas son iguales (==) Buscando en la tabla de la distribución F para 7 grados de libertad en el numerador y 9 en el denominador, vemos que el valor de la probabilidad está entre 0.10 y 0.25 (aproximadamente 0.19, mediante interpolación lineal). Como esta probabilidad es muy alta, concluimos que no hay evidencia para rechazar la hipótesis de que las varianzas sean iguales. Como las varianzas son iguales, calculamos que está dado por: El intervalo de confianza del 95% está dado por (t0.025,16 = 2.12): Debido a que la diferencia real puede ser cero, no se puede concluir que existe una diferencia en el contenido de nicotina de las dos marcas de cigarrillos. Ejemplo. El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a partir de petróleo crudo. El gerente hará la modificación sólo si la gasolina promedio que se obtiene por este nuevo proceso (expresada como un porcentaje del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en experimentos de
laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso en uso es de 24.6 con una desviación estándar de 2.3, y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso? Varianzas desconocidas y desiguales s 1¹s 2 Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las varianzas son diferentes, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente: a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 - µ2 será T = , que es un estimador suficiente b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida como: donde
c) El intervalo de confianza esta dado por el siguiente teorema, basado en la distribución t con n grados de libertad. Teorema. Si son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas y desiguales, entonces un intervalo de confianza aproximado del 100(1-a)% para la diferencia entre medias µ1 - µ2 es: Problema. Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se seleccionan 12 ejemplares y cada uno de éstos se somete a una tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los ejemplares, en kilogramos por centímetro cuadrado: Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 95 y 99% para la diferencia entre los dos procesos. Interprete los resultados.
