PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES (μ1-μ2)
Se tienen dos poblaciones y se toman muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2, se pueden comparar el comportamiento comportamiento de dichas poblaciones a través de los promedios.
HIPÓTESIS -
Prueba de hipótesis a dos colas H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2
o o
H0 : μ1 - μ2 = k H1 : μ1 - μ2 ≠ k
-
Prueba de hipótesis a una cola superior H0 : μ1 = μ2 o H0 : μ1 - μ2 ≤ k H1 : μ1 > μ2 o H1 : μ1 - μ2 > k
-
Prueba de hipótesis a una cola inferior H0 : μ1 = μ2 o H0 : μ1 - μ2 ≥ k H1 : μ1 < μ2
o
H1 : μ1 - μ2 < k
REGLA DE DECISIÓN Si se ha planteado la hipótesis alternativa como: -
H1 : μ 1 ≠ μ2 o H1 : μ 1 - μ2 ≠ k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el error tipo I (α) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución.
Si el valor de la estadística de trabajo está entre Z α/2 y Z1- α/2 no se rechaza H0, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1.Es decir, Si Zα/2 < Z < Z1- α/2 no se rechaza H0 -
H1 : μ1 > μ2 o H1 : μ1 - μ2 > k, se tiene una prueba prueba de hipótesis hipótesis a una cola superior, superior, quedando el error tipo I (α) en la parte superior de la distribución.
Si el valor de la estadística de trabajo es menor que Z1-α se acepta H0, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H 1. Es decir, Si Z < Z1-α no se rechaza H0. -
H1 : μ1 < μ2 o H1 : μ1 - μ2 < k se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el error tipo I en la parte inferior
Si el valor de la estadística de trabajo es mayor que Z α no se rechaza H0, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir, Si Z > Zα no se rechaza H0.
CASOS PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS P OBLACIONALES (μ1-μ2) CASO I: VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS: Distribución normal estándar
EJEMPLO: Un constructor está considerando dos lugares alternativos para construir un centro comercial. Como los ingresos de los hogares de la comunidad son una consideración importante en ésta selección, desea probar que el ingreso promedio de la primera comunidad excede al promedio de la segunda comunidad en por lo menos $1.500 diarios. Con la información de un censo realizado el año anterior sabe que la desviación estándar del ingreso diario de la primera comunidad es de $1.800 y la de la segunda es de $2.400 Para una muestra aleatoria de 30 hogares de la primera comunidad, encuentra que el ingreso diario promedio es de $35.500 y con una muestra de 40 hogares de la segunda comunidad el ingreso promedio diario es de $34.600. Pruebe la hipótesis con un error tipo I del 5%. Solución Se desea probar si la diferencia entre los ingresos de la comunidad 1 y la 2 es de $1.500 o más, por lo tanto: H0 :
-
1.500
H1 :
-
< 1.500
El tamaño de las muestras es grande y las varianzas poblacionales son conocidas
Para un nivel de confianza del 95%, en la distribución normal se tiene un valor de Z de -1,64. La estadística de trabajo se ubica en la zona de aceptación de la hipótesis nula; por lo tanto, con una confiabilidad del 95 por ciento, la diferencia entre el ingreso promedio por hogar entre las dos comunidades es mayor o igual a $1.500 diarios.
CASO II: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS Y TAMAÑO DE LA MUESTRA GRANDE (n1≥30 y n2≥30): Distribución normal estándar
EJEMPLO: Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la fábrica A presenta una resistencia promedio a la ruptura de 1.230 lbs con una desviación estándar de 120 lbs. Una muestra de 100 alambres de acero producidos por la fábrica B presenta una resistencia promedio a la ruptura de 1.190 lbs con una desviación estándar de 90 lbs. Con base en ésta información pruebe si la resistencia promedio a la rotura de los alambres de acero de la marca A es significativamente mayor que la de los alambres de acero de la marca B. Asuma un error tipo I del 1%. Solución H0 : A = B H1 : A > B El tamaño de las muestras es grande, las varianzas poblacionales son desconocidas.
Con un nivel del confianza del 99%, en la distribución normal el valor de Z es 2,33, la estadística de trabajo está en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente, con una confiabilidad del 99 por ciento se acepta que la resistencia promedio de los alambres de la marca A es significativamente mayor que la resistencia promedio de los alambres de la marca B.
CASO III: VARIANZAS DESCONOCIDAS Y TAMAÑO DE MUESTRAS PEQUEÑAS (n 1 < 30 y n2 < 30): Distribución T-Student Cuando se presenta una situación de este tipo, es necesario considerar adicionalmente si las dos varianzas poblacionales, aunque desconocidas, son iguales o diferentes. Si se supone que las varianzas son iguales se debe utilizar como estadístico de prueba a:
Si se presume que las varianzas son diferentes, y si la prueba de hipótesis para la diferencia de medias es de dos colas, se debe usar como estadístico de prueba a:
Y se usa t* como valor crítico para la zona de rechazo.
EJEMPLO: Un investigador que trabaja sobre la interacción insecto/planta piensa que las plantas cianogénicas es decir las que producen HCN tienden a ser rechazadas por los insectos herbívoros no especializados. Para poner a prueba esta hipótesis se efectúo un experimento en el cual se le ofreció a las larvas de un insecto generalista hojas de una planta cianogénica como la parchita y hojas de una planta no cianogénica como al espinaca. Como una medida de la aceptación o rechazo del alimento ofrecido se determinó el peso de tejido foliar consumido por las larvas de la polilla. Los resultados fueron los siguientes: Especie vegetal Parchita espinaca
Tamaño de la muestra 5 5
Con un error tipo I de 0,01
Media muestral 74.70 124.44
Desviación estándar 20.13 8.28
Solución: H0 : μ1 = μ2 o H0 : μ1 - μ2 ≤ 0 H1 : μ1 > μ2 o H1 : μ1 - μ2 > 0 Verificar si las dos varianzas son iguales o diferentes
es mayor a 3.5 se acepta que las dos varianzas son diferentes
Como T=-5.11 < t*(0.99) = -3.75 el valor del estadístico de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo de H0 Por lo tanto se afirma que los datos proporcionan suficiente evidencia para rechazar H0 Se puede concluir que se tiene un 99% de confianza que las larvas de la polilla tienden a rechazar los tejidos de las plantas cianogénicas.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES
MAZZIE LOBO NAVARRO
UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA DE SISTEMAS V SEMESTRE RIOHACHA, LA GUAJIRA 2012
