Integrales por reducción La integración por reducción se aplica a integrales con funciones de exponentes enteres pero muy grandes, buscando obtener una parte integrada y una sin integrar, en la que aparecerá la misma integral inicial pero con los exponentes disminuidos, de esta forma, aplicando la fórmula se puede ir rebajando el exponente hasta llegar a integrales de resolución directa. En cada caso se puede obtener la fórmula de reducción directamente y posteriormente aplicarla al problema concreto. Muchas fórmulas de reducción están tabuladas (veremos algunas de uso frecuente en la tabla inferior. El procedimiento es básicamente similar en cada caso; primero una integración por partes, que nos conducirá a una parte ya integrada y una integral en la que se debe, o conseguir directamente la misma integral inicial reducida de exponente, o descomponerla en suma de integrales una de las cuales sea la misma integral inicial reducida y la otra la integral inicial. Las fórmulas de reducción más usuales, obtenidas aplicando procedimientos descritos en el párrafo anterior se ven en la tabla siguiente: Integral
Fórmula de reducción
A. Integrales inmediatas:
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====== =======
A. Integrales inmediatas:
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====== =======
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EJEMPLOS VARIOS
A.1.Integrales reducibles a inmediatas de tipo potencial: Siempre que en el integrando aparezca una función elevada a una constante, si lo que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá ajustar con constantes y será una integral inmediata de tipo potencial. Ejemplo:
A.2. Integrales reducibles a inmediatas de tipo exponencial. Siempre que en el integrando aparezca una función, si lo que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá ajustar con constantes, y será una inmediata de tipo exponencial. Ejemplo:
A.3. Integrales reducible a inmediatas de tipo logarítmico. Si en el integrando aparece un cociente, si el numerador es al menos en su parte variable la derivada del denominador, se podrá ajustar con constantes, y será una integral inmediata de tipo logarítmico. Ejemplo:
A.4. Integrales reducibles a inmediatas de tipo trigonométricas inversas. Si en el integrando aparece una expresión de alguno de los tipos:
O incluso sin raíz en el denominador. podemos aplicar el método de los 4 pasos que consiste en: Paso 1:: Se multiplican numerador y denominador por la raíz cuadrada de cuatro veces el valor absoluto del coeficiente numérico del término en x2. Paso 2: :Se expresa el término interior a la raíz obtenido anteriormente en la forma , identificando coeficientes con esta expresión. Paso 3:: Se divide numerador y denominador por la raíz cuadrada de p. Paso 4:: Se ajusta por constantes el resultado obtenido a alguna de las integrales inmediatas de tipo inversa de las trigonométricas. Ejemplo:
_________________________________________________________________________________ __
B. Integrales racionales: B.1.El grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x) Realizamos la división de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto se ha de cumplir que: P(x)=Q(x)C(x)+R(x) Si R(x)=0 la división es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) será menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos:
La integral se descompone en dos:
Si la división es exacta, la integral ha quedado reducida a una inmediata de tipo potencial, si no lo es actuaremos como se explicará en el caso B.3. B.2. El grado de P(x) es igual al grado de Q(x): Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a:
La 1* inmediata y la segunda la estudiaremos en el caso B.2. B.3. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x): Seguimos el siguiente proceso: •
Obtenemos las raíces del polinomio denominador Q(x).y éstas pueden ser:
B.3.1. Raíces reales simples.
B.3.2. Raíces reales múltiples. B.3.3. Raíces complejas simples. B.3.4. Raíces complejas múltiples. B.3.1. Raíces reales simples: a) Podemos poner la integral racional así:
b) Descomponemos P(x)/Q(x) en fracciones simples de la forma:
c) Obtenemos los coeficientes Ai expresando ambos miembros de la igualdad anterior en común denominador que será Q(x) y utilizando el método de identificación de coeficientes o dando valores a arbitrarios a x y resolviendo el sistema de ecuaciones que resulte. d) Integramos el segundo miembro en el que todas las integrales que aparecen son inmediatas de tipo logaritmo neperiano. Ejemplo:
Hacemos:
Quedando la integral:
B.3.2. Raíces reales múltiples: Si Q(x) es de grado n y sus raíces son r 1, r 2,...r m con órdenes de multiplicidad s1, s2,...sp (verificándose que s1+s2+...+sp=n). Se tiene que el radicando se puede descomponer así:
Es decir, de cada raíz múltiple con orden de multiplicidad s, obtenemos s+1 fracciones simples. Por identificación de coeficientes obtenemos las constantes y de ahí la integral queda recducida a inmediata: Ejemplo:
El radicando se descompone así:
Quedando la integral:
B.3.3. Raíces complejas simples: Supongamos el caso particular, para fijar ideas, de que el polinomio Q(X) fuese de 5: grado y sus raíces fuesen x=r 1 (raíz real simple), x=r 2 (raíz real de orden de multiplicidad 2) y x=a+bi, x=a-bi (raíces complejas simples conjugadas). Q(x) quedaría descompuesto así:
Los dos últimos términos pueden expresarse así:
Y la descomposición de Q(x) quedaría así:
Si sacamos 1/a0 fuera de la integral, el coeficiente principal de Q(x) es uno.
En la descomposición de en fracciones simples las fracciones correspondientes a la raíz real simple y a la múltiple ya las hemos tratado en puntos anteriores. En cuanto a las raíces complejas simples obtendríamos, en el numerador un polinomio completo de primer grado Mx+N y en denominador la expresión (x-a)2+b2. Resolvamos una integral de este tipo:
Calculemos ahora I1 e I2
Y para la integral I tenemos:
Y para esta última integral nos queda:
Con lo cual finalmente queda:
Con lo que el problema está ya resuelto: Ejemplo:
Las raíces del denominador son:
Quedando el radicando:
Con lo que:
B.3.4. Raíces complejas múltiples: Aplicaremos el método de Hermite, descomponemos P(x)/Q(x) de la siguiente manera: •
Las raíces reales simples se descomponen como en el apartado B.3.1.
Las raíces reales múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tener en cuenta su orden de multiplicidad) • Las raíces complejas simples se descomponen como en el caso B.3.3. •
Las raíces complejas múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tener en cuenta su orden de multiplicidad). • Se añade un término característico llamado de Hermite que se forma como: •
1. La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raíces reales múltiples y las raíces complejas múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno. 2. Se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio del denominador •
Se deriva este último término con relación a x
•
Se expresan ambos términos con el común denominador Q(x).
•
Se calculan los coeficientes indeterminados.
•
Se integra la expresión resultante.
Ejemplo:
El denominador tiene una raíz real simple x=1 y dos raíces complejas dobles El denominador pues, puede ser descompuesto así:
La descomposición de Hermite es:
Identificando coeficientes tenemos:
De donde
De donde resulta el sistema:
Que resuelto da:
Y la integral pedida queda:
C.- Integración por partes. Si u y v son dos funciones cualesquiera, se puede demostrar la siguiente fórmula de integración llamada por partes
Con esta fórmula transformamos una integral en otra que, si es de más fácil cálculo, nos permitirá resolver la integral inicial. Como norma general elegiremos como u la parte del integrando fácil de derivar y como dv la parte fácil de integrar. Ejemplo:
Hacemos:
Pudiéndose reiterar el método cuantas veces sea necesario hasta obtener una integral inmediata o fácilmente integrable. D. Integración por reducción. La integración por reducción se aplica a integrales con funciones de exponentes enteres pero muy grandes, buscando obtener una parte integrada y una sin integrar, en la que aparecerá la misma integral inicial pero con los exponentes disminuidos, de esta forma, aplicando la fórmula se puede ir rebajando el exponente hasta llegar a integrales de resolución directa. En cada caso se puede obtener la fórmula de reducción directamente y posteriormente aplicarla al problema concreto. Muchas fórmulas de reducción están tabuladas (veremos algunas de uso frecuente en la tabla inferior. El procedimiento es básicamente similar en cada caso; primero una i ntegración por partes, que nos conducirá a una parte ya integrada y una integral en la que se debe, o conseguir directamente la misma integral inicial reducida de exponente, o descomponerla en suma de integrales una de las cuales sea la misma integral inicial reducida y la otra la integral inicial. Las fórmulas de reducción más usuales, obtenidas aplicando procedimientos descritos en el párrafo anterior se ven en la tabla siguiente:
Integral
Fórmula de reducción
EJEMPLOS
Métodos de integración De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función f ( x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F ( x) tal que
, lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F (x) tal que f ( x) es su derivada: 1
Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f ( x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. Ejemplo Calcular la integral
.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan( x) es sec2( x). Por tanto: Ejemplo Calcular la integral
.
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que modo, la solución del problema es
. De este .
No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|) [ editar ] Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. [editar ] Procedimiento práctico
Supongamos que la integral a resolver es:
En la integral reemplazamos
con ( u):
(1) Ahora necesitamos sustituir también Tenemos que
Se despeja
para que la integral quede sólo en función de :
por tanto derivando se obtiene
y se agrega donde corresponde en (1):
Simplificando:
Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo. En este caso, como se hizo
: (límite inferior)
(límite superior) Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
[editar ] De interés
Supongamos ahora que la integral a resolver es:
Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: y la sustitución conveniente resulta ser :
, Entonces (por Teorema de la suma y la resta)
por otra parte
o
la integral queda después de dicha sustitución:
[ editar ] Método de integración por partes
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
Regla mnemotécnica: " Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme". Eligiendo adecuadamente los valores de y resolución de la integral.
, puede simplificarse mucho la .
. Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:
. "Sentado ( ) un ( ) día vi ( vestido ( ) de uniforme ( )" .
) (=) un ( ) valiente ( ) soldado (
)
"Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme". "Una vaca menos la vaca de uno" "un (u) viejo (v) soldado(integral) vestido (v) de uniforme (du). solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme "Sentado ( ) un ( ) día vi ( vestida ( ) de uniforme ( )"
) una vaca (
Eligiendo adecuadamente los valores de y resolución de la integral. •
1.
) sin ( ) cola (
)
, puede simplificarse mucho la
Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas: Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S .
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES. 2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. I L A T E . ⇒
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE. 3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas I L P E T ⇒
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET. [ editar ] Integrales Trigonométricas [editar ] Integral que contiene potencias de senos y cosenos
•
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor
•
seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno). La identidad sen2 x + cos2 x = 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
[editar] Tendremos 3 casos [editar] Cuando n es impar
Cuando n = 2k + 1, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad sen2 x = 1 − cos2 x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:
Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo u = cos( x), du = − sen( x)dx. Como en la expresion no tenemos un − sen( x)dx multiplicamos ambos lados por * ( − 1) y nos queda la expresión − du = sen( x)dx que ya podemos sustituir:
[ editar ] Cuando m es impar
Cuando m = 2k + 1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear cos2 x = 1 − sen2 x para poder expresar los factores restantes en términos del senx:
al hacer u = senx y du = cosxdx tendríamos
[ editar ] Cuando m y n son pares
Cuando dichas potencias son pares a la vez n = 2k y m = 2 p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo
-y-
algunas veces nos sera útil utilizar la identidad
seria igual a:
[editar] Ejemplo #1
Determine
•
Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función
seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,
Sustituyendo
, tenemos
luego
[editar ] Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes
•
Se puede usar una estrategia similar a la anterior. Puesto que: , se puede separar un factor sec2 x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad sec2 x = 1 + tan2 x. O bien, puesto que: , se puede separar un factor secxtanx y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
[editar] Tendremos 5 casos [editar] 1. Cuando n es par
n = 2k separar un factor de sec2 x y utilice sec2 x = 1 + tan2 x para lograr expresar los factores restantes en términos de tanx:
de esta manera podemos hacer u = tanx y du = sec2 xdx y el integral quedaría así:
[editar] 2. Cuando m es impar
m = 2k + 1 apartar un factor de secxtanx y emplear tan2 x = sec2 x − 1 para poder los factores que restan en términos de secx:
expresar
de esta manera podemos hacer u = secx y du = secx * tanxdx y nos queda
[ editar ] 3. La tangente tiene potencia par
[ editar ] 4. La Secante tiene potencia impar
Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes . [ editar ] 5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4
Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a senx y cosx recordando que:
y
Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva. •
•
A veces será necesario poder integrar tanx por medio de la fórmula establecida:
Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:
Primero se mutiplican numerador y denominador por secx + tanx :
Si se sustituye u = secx + tanx, después du = ( secxtanx + sec2 x)dx, también, la integral se convierte en: Así, se tiene:
Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad: csc2 x = 1 + cot 2 x NOTA
[ editar ] Notas 1. ↑ Para cada función f ( x) existe una infinidad de funciones que tienen a f ( x) por derivada, y por tanto hay una infinidad de soluciones a la integral ∫ f ( x) dx. Todas estas soluciones difieren por una constante. Por ejemplo: x²+5, x²-20, x²+ 13.41 son tres soluciones para ∫ 2x dx-. De este modo, si F ( x) es una antiderivada de f ( x), cualquier función de la forma F ( x)+C también lo es. Esto se representa como ∫ f ( x)dx = F ( x)+C pero por simplicidad de la presentación se omite la constante arbitraria C en cada uno de los ejemplos.
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2 S e s us ti tu ye l a e xp re si ón d e e st a i nc óg ni ta e n l a o tr a ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación. 4 E l v al or o bt en id o s e s us ti tu y e e n l a e cu ac ió n e n l a q ue aparecía la incógnita despejada.
5
L os
do s
v al or es
o bt en id os
c on st it uy en
la
s ol uc ió n
d el
sistema.
1 D e s p e j a m o s u na d e l as i nc ó gn it as e n u na d e l as d os ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3 Resolvemos la ecuación obtenida:
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5 Solución
Fundamentos del método de los elementos finitos Se trata de un método general para la solución de problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En esencia se trata de una técnica que sustituye el problema diferencial por otro algebraico, aproximadamente equivalente, para el cual se conocen técnicas generales de resolución. Para ello hace uso de la "discretización" o subdivisión de una región sobre la cual están definidas las ecuaciones en formas geométricas simples denominadas elementos finitos. Las propiedades materiales y relaciones
gobernantes en estos elementos se expresan en función de los valores desconocidos en las "esquinas" de los elementos o nodos (ver Figura 1). Una de las ventajas de este método es su facilidad de implementación en un programa computacional, que a su vez es una condición básica para su utilización ya que para el tratamiento de un problema en particular debe efectuarse un número muy elevado de operaciones para resolver sistemas algebraicos del orden de cientos o miles de ecuaciones. No obstante, esta cantidad no es una limitación con las computadoras estándar de hoy. Las ideas básicas de este método se originaron en avances en el análisis estructural de la industria aeronáutica en la década del '50. En la década del '60 el método fue generalizado para la solución aproximada de problemas de análisis de tensión , flujo de fluidos y transferencia de calor. El primer libro sobre elementos finitos fue publicado en 1967 por Zienkiewicz y Cheung. En la década del '70 el método fue extendido al análisis de problemas no lineales de la mecánica del continuo. Hoy el método permite resolver prácticamente cualquier situación física que pueda formularse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales. En sus principios el método de los elementos finitos no llegó masivamente a la práctica de la ingeniería debido a la no disponibilidad de computadoras en los estudios de ingeniería y por el otro al requisito de conocimientos profundos no solamente de la técnica y de los modelos matemáticos pertinentes sino también de programación computacional. Actualmente, la situación es completamente diferente, ya que las modernas computadoras personales soportan sin inconvenientes poderosos programas de propósito general de fácil utilización.
Figura 1 El proceso de análisis de un problema físico mediante elementos finitos se muestra en la figura 1. La geometría puede ser definida por el analista o creada a partir de algún programa CAD. El segundo paso consiste en definir el modelo matemático a resolver. Este es el paso fundamental donde se especifica el tipo de ecuaciones a determinar, las condiciones de borde, propiedades materiales, y otros detalles acerca del método en sí mismo. Una vez efectuada dicha definición el programa resuelve automáticamente las ecuaciones pertinentes y provee los resultados en una forma apropiada para el analista.
Aplicaciones Modelo Elastohidrodinámico de un cojinete. En la figura 2 se observa la distribución de presiones en un cojinete desarrollado. Se arribó a dicha solución considerando el problema acoplado elastohidrodinámico bidimensional, es decir tratando conjuntamente la obtención de las presiones debidas al flujo de lubricante dentro del cojinete (aplicando la ecuación de Reynolds modificada) y la modelización del mismo como una placa elástica simplemente apoyada en sus extremos. Este tratamiento permite aproximar mejor que los modelos analíticos convencionales la distribución de presiones en el interior del cojinete al considerar simultáneamente la deformación por los efectos de ésta. También es posible considerar los efectos en los bordes del cojinete al trabajar con un modelo bidimensional.
Figura 2 Estudio dinámico de un sistema presa - embalse En este ejemplo se ha desarrollado el análisis dinámico de una presa de gravedad junto con el reservorio de líquido que interactúa con ella. Se ha considerado para esto una excitación sinusoidal horizontal (representativa, por ejemplo, de un movimiento sísmico) sobre la parte sólida del dominio (presa). Desde el punto de vista analítico clásico, este problema debe ser tratado obteniendo, en primer lugar, las presiones hidrodinámicas en el embalse, considerando al dique como un cuerpo rígido; en un paso posterior se puede determinar el problema elástico en la estructura. Mediante un modelo computacional de elementos finitos puede analizarse simultáneamente la
dinámica en el embalse y en la presa. Fácilmente pueden considerarse otras complejidades como interacción con fundaciones estratificadas, existencia de galerías de inspección en la presa, geometrías complejas del embalse, etc. En la figura 3 puede observarse la malla de elementos finitos del modelo, mientras que en la figura 4 se describe la presión en la interface entre el medio sólido y el líquido.
Figura 3
Figura 4 Observaciones finales En este artículo se ha intentado difundir someramente una de las herramientas más importantes con las que cuenta la ingeniería para el análisis de complejos problemas que hasta hace algunos años resultaban inabordables. Paradójicamente, el diseño curricular de las carreras de ingeniería aún no le da a este método el lugar que le corresponde, reduciéndose así las posibilidades de análisis de los futuros ingenieros. Esta situación debe ser remediada a corto plazo a fin de formar ingenieros que sean capaces de utilizar la poderosa tecnología computacional que tienen al alcance de la mano para realizar modernos y más eficientes diseños.
Método de los elementos finitos De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda
Solución de MEF en 2D para una configuración de un magnetostato, (las líneas muestran la dirección de la densidad de flujo calculada, y el color, su magnitud).
La malla 2D para la imagen superior (la malla es más densa alrededor del nuestro objetivo, aquellas zonas de mayor interés, o de mayor complejidad en el cálculo).
Una función en H 10, con valor cero en los puntos finales (azul), y una aproximación lineal (rojo).
Triangulación. El método de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en inglés) es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física. El MEF está pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico sobre geometrías complicadas. El MEF se usa en el diseño y mejora de productos y aplicaciones industriales, así como en la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos. La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisito básico que las
ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evolución temporal del problema a considerar sean conocidas de antemano. Breve reseña histórica
El Método de Elementos Finitos (MEF) fue al principio desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utilizó el método de Ritz de análisis numérico y minimización de las variables de cálculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema de vibración. Poco después, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableció una definición más amplia del análisis numérico.1 El documento se centró en “la rigidez y deformación de estructuras complejas”. Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el cálculo matricial de estructuras. Éste parte de la discretización de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura. Este sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera: (*) Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se hallan a partir de las "fuerzas" o "solicitaciones" en los nodos (vector ) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez ). Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La solución obtenida es exacta. [editar ] Uso práctico del método hacia 1950
Cuando se produce la llegada de los primeros equipos de cómputo en la década de 1950, el cálculo de estructuras se encontraba en un punto en el que los métodos de cálculo predominantes consistían en método iterativos (métodos de Cross y Kani) que se realizaban de manera manual y, por tanto, resultaban bastante tediosos. El cálculo de una estructura de edificación de varios pisos, por ejemplo, podía llevar varias semanas, lo cual suponía un coste sustancial de tiempo en detrimento de la posibilidad de invertir este en la optimización de la estructura. La llegada de la computadora permitió el resurgimiento del método de los desplazamientos ya conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difíciles de aplicar dado que al final conducían a la resolución de enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual. [editar ] De 1960 a 1970
Cuando las aplicaciones prácticas de elementos finitos crecieron en tamaño, los requerimientos de tiempo de cálculo y memoria de los ordenadores creció. En ese punto el desarrollo de algoritmos más eficientes se volvió importante. Para la resolución de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabilidad de los algoritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc). El ahorro de tiempo es impensable y con ello el uso del método matricial se extiende. Este desarrollo se hace especialmente notable en estructuras de edificación donde la discretización de los pórticos en barras, es prácticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares.
Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante barras (losas con emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos, etc.), se plantean grandes dificultades ante estructuras continuas (superficies y volúmenes) y con geometrías complejas. De ahí que sea precisamente dentro del campo aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas técnicas del MEF. Dada su generalidad el método se amplió a otros campos no estructurales como la conducción de calor, la mecánica de fluidos, etc. donde compitió con otros métodos numéricos como el de método de las diferencias finitas que aún siendo más intuitivos, tenían de nuevo dificultades de planteamiento para geometrías complejas. Con la llegada de los centros de cálculo y los primeros programas comerciales en los años 60, el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus bases teóricas en los centros universitarios. En los años 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografía así como la extensión del método a otros problemas como los no lineales. En esta década, el MEF estaba limitado a caros ordenadores centrales generalmente poseído por las industrias aeronáuticas, de automoción, de defensa y nucleares. Se estudian nuevos tipos de elementos y se sientan las bases matemáticas rigurosas del método, que había aparecido antes más como técnica de la ingeniería que como método numérico de la matemática. [editar ] A partir de 1980
Por último, a partir de la década de los 80, con la generalización de los ordenadores personales, se extiende el uso de los programas comerciales que se especializan en los diversos campos, instaurándose el uso de pre y postprocesadores gráficos que realizan el mallado y la representación gráfica de los resultados. Se continúa en el estudio de la aplicación del método a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, daño continuo, etc.) y en el análisis de los errores. En la actualidad, dentro del campo estructural, el MEF comparte protagonismo con el método matricial, siendo muchos los programas que mezclan el análisis por ambos métodos, debido sobre todo a la mayor necesidad de memoria que requiere el análisis por elementos finitos. Así se ha dejado la aplicación del MEF para el análisis de elementos continuos tipo losa o pantalla, mientras que los pórticos siguen todavía discretizándose en barras y utilizando el método matricial. Y desde el rápido declive en el coste de los ordenadores y el fenomenal incremento en la potencia de cálculo, el MEF ha desarrollado una increíble precisión. A día de hoy, los superordenadores son capaces de dar resultados exactos para todo tipo de parámetros. [ editar ] Descripción matemática del método
El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas: 1. El problema debe reformularse en forma variacional. 2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial para problemas dependientes del tiempo) debe dividirse mediante una partición en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se
construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos una combinación lineal en dicho espacio vectorial. 3. Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un número de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida. 4. El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones. Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita. En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y N el número de nodos total. [editar ] Formulación débil Artículo principal: Formulación débil
La formulación débil de una ecuación diferencial permite convertir un problema de cálculo diferencial formulado en término de ecuaciones diferenciales en términos de un problema de álgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach, generalmente de dimensión no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de ecuaciones algebraicas. Dada una ecuación diferencial lineal de la forma: (1) Donde la solución es una cierta función definida sobre un dominio d -dimensional , y se han especificado un conjunto de condiciones de contorno adecuadas, puede suponerse que la función buscada es un elemento de un espacio de funciones o espacio de Banach V y que la ecuación (2) es equivalente a:
(2a)
Donde V' es el espacio dual de V , la forma variacional débil se obtiene buscando la única solución tal que:
(2b) Cuando el operador lineal es un operador elíptico, el problema se puede plantear como un problema de minimización sobre el espacio de Banach. [editar ] Discretización del dominio
Dado un dominio con una frontera continua en el sentido de Lipschitz una partición en n "elementos finitos", es una colección de n subdominios que satisfece: 1. 2. Cada Ω(e) es un conjunto compacto con una frontera Lipschitz-continua. 3. Usualmente por conveniencia práctica y sencillez de análisis, todos los "elementos finitos" tienen la misma "forma", es decir, existe un dominio de referencia y una colección de funciones biyectivas:
Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemente también dominio isoparamétrico. En los análisis 2D ( d = 2) el dominio de referencia se suele tomar como un triángulo equilátero o un cuadrado, mientras que en los análisis 3D ( d = 3), el dominio de referencia típicamente es un tetraedro o un hexaedro. Además sobre cada elemento se considerarán algunos puntos especiales, llamados nodos y que generalmente incluirán los vértices del elemento finito y se requerirá la condición adicional de que dos elementos adyacentes compartan los nodos sobre el subconjunto , es decir:
Una vez definida la partición en elementos finitos, se define sobre cada elemento un espacio funcional de dimensión finito, usualmente formado por polinomios. Este espacio funcional servirá para aproximar localmente la solución del problema variacional. El problema variacional en su forma débil se plantea sobre un espacio de dimensión no-finita, y por tanto la función buscada será una función de dicho espacio. El problema en esa forma exacta es computacionalmente inabordable, así que en la práctica se considerará un subespacio de dimensión finita del espacio vectorial original . Y en lugar de la solución exacta de (2b) se calcula la proyección de la solución original sobre dicho subespacio vectorial de dimensión finita, es decir, se resolverá numéricamente el siguiente problema:
(2c) Donde: , es la solución aproximada. es el proyector ortogonal del espacio original sobre el subespacio vectorial asociado a la discretiación. Si la discretización es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada elemento está bien escogido, la solución numérica obtenida aproximará razonablemente bien la solución original. Eso implicará en general considerar un número muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de proyección de dimensión elevada. El error entre la solución exacta y la solución aproximada puede acotarse gracias al lema de Ceá, que en esencia afirma que la solución exacta y la solución aproximada satisfacen: (LC) Es decir, el error dependerá ante todo de lo bien que el subespacio vectorial asociado a la discretización en elementos fintios aproxime el espacio vectorial original . [editar ] Funciones de forma y espacio de la solución
Existen muchas formas de elegir un conjunto de funciones que formen una base vectorial sobre la que aproximar la solución exacta del problema. Desde un punto de vista práctico resulta útil definir un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre el dominio de referencia formado por todos los polinomios de grado igual o inferior a cierto grado:
Entonces mediante las aplicaciones que aplican el dominio de referencia a cada elemento finito se define el espacio vectorial que servirá para aproximar la solución como: (3) Cuando es una función lineal y el espacio está formado por polinomios entonces la restricción de es también un polinomio. El espacio vectorial es un espacio polinómico en que la base de dicho espacio está formada por funciones de forma , que dado el conjunto de nodos del dominio de referencia se definen como:
Esto permite definir de manera unívoca unas funciones de forma sobre el dominio real sobre el que se define el problema:
Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto de subdominios o elementos finitos constituye una partición de todo el dominio:
Las funciones de forma permiten proyectar sobre el espacio de elementos finitos cualquier función definida sobre el dominio original mediante el proyector :
(4) [editar ] Resolución de las ecuaciones
Fijada una base asociada a una determinada discretización del dominio, como por ejemplo la dada por las funciones la forma débil del problema (, cuando la función es bilineal) puede escribirse como una ecuación matricial simple:
Donde N es el número de nodos. Agrupando los términos y teniendo en cuenta que v^h es arbitario y que por tanto la ecuación anterior debe cumplirse para cualquier valor de dicho vector arbitrario se tiene que: (5)
Este es la forma común del sistema de ecuaciones de un problema de elementos asociado a una ecuación diferencial lineal, no dependiente del tiempo. Esta última forma es precisamente la forma (*) de la reseña histórica. Para resolver numéricamente el sistema de ecuaciones (*), que usualmente consta de miles o incluso centenares de miles de ecuaciones se requieren algoritmos eficientes que optimicen el número de operaciones que debe realizarse y ahorren memoria. En general las complicaciones computacionales que deben resolverse en la resolución numérica son:
1. El cálculo de la matriz de coeficientes , esto generalmente requiere integración numérica aproximada lo cual es una nueva fuente de errores en el cálculo por el MEF. 2. El uso de un método eficiente para resolver el sistema de ecuaciones obtenido. Por ejemplo el método de Cramer es totalmente impracticable para , un ordenador de unos 10 GFlops tardaría más de 2 años en resolver el sistema por dicho método, mientras que si se usa el método de eliminación gaussiana tardaría menos de una diez milésima de segundo. Para entender la necesidad de la integración numérica necesitamos ver qué forma tiene típicamente la forma débil del problema, expresada en términos de los subdominios o elementos finitos. Esa forma débil involucra integrales de la forma:
Donde: son el domino sobre el que se plantea el problema. , representan a cada uno de los elementos finitos y al dominio isoparamétrico que da la forma de los elementos finitos. , representan la función que debe integrarse y su expresión sobre el dominio isoparamétrico. , la aplicación que relaciona el dominio isoparamétrico con cada elemento finito. wm,ξm, son los pesos y los puntos de integración usados para integración gaussiana. n,n PI , son el número total de elementos y el número de puntos de integración por elemento. [editar ] Aproximación del error
De acuerdo con el lema de Ceá ( LC) el error cometido en la aproximación de una solución exacta mediante elementos finitos viene acotada por el error de aproximación, es decir, la solución obtenida mediante el MEF es, tanto más buena cuanto mejor sea la aproximación . A continuación acotamos este error de aproximación que acotará el error de la solución de elementos finitos. Para ello necesitamos definir el diámetro de cada subdominio o elemento finito:
h es un medida de la finura de la discretización es el máximo de los anteriores valores.
Puede comprobarse que el error de aproximación (y por tanto el error de la solución mediante elementos finitos) viene acotada por:
(AE) Donde: , son respectivamente la solución exacta y la solución obtenida mediante elementos finitos. , es un número real que depende de la forma del dominio, entre otros factores. , es el k +1-ésimo espacio de Sobolev de funciones sobre el dominio Ω. , es la seminorma dada por:
siendo un multiíndice y espacio L2(Ω).
la derivada parcial de u asociada al mismo. La norma del
[ editar ] ¿Cómo trabaja el MEF en la práctica?
El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución exacta sólo en un número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea sólo aproximada debido a ese último paso. El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número de finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente sólo una solución aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por retículos. Cada uno de los retículos contenidos en dicha malla es un "elemento finito". El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volúmenes y barras). Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas necearias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en: •
•
Preproceso, que consiste en la
definición de geometría, generación de la malla, las condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una mejor convergencia del cálculo. Cálculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de
•
sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior. Postproceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación.
[editar ] Preproceso y generación de la malla
La malla se genera y ésta en general consta de miles (e incluso centenares de miles) de puntos. La información sobre las propiedades del material y otras características del problema se almacena junto con la información que describe la malla. Por otro lado las fuerzas, los flujos térmicos o las temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensión mecánica u otra propiedad. Las regiones que recibirán gran cantidad de tensión tienen normalmente una mayor densidad de nodos (densidad de malla) que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de interés consisten en: puntos de fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y áreas de elevada tensión. La malla actúa como la red de una araña en la que desde cada nodo se extiende un elemento de malla a cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando varios elementos. Las tareas asignadas al preproceso son: 1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados a programas informáticos de mallado durante la etapa de preproceso. 2. Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número discreto de puntos o “nodos”, situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos serán las incógnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre en el análisis simple de estructuras por el método matricial. 3. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de desplazamientos dentro de cada “elemento finito” en función de los desplazamientos nodales de dicho elemento. Por ejemplo el campo de desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podría venir definido por: u = N1 u1 + N2 u2, siendo N1 y N2 las funciones comentadas (funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2. 4. Estas funciones de desplazamientos definirán entonces de manera única el estado de deformación del elemento en función de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del material, definirán a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos. 5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando así una relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = k . u, que como vemos es similar a la del cálculo matricial.
[editar ] Cálculo y resolución de sistemas de ecuaciones
En un problema mecánico lineal no-dependientes del tiempo, como un problema de análisis estructural estático o un problema elástico, el cálculo generalmente se reduce a obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definir de manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito. Cuando el problema es no-lineal en general la aplicación de las fuerzas requiere la aplicación incremental de las fuerzas y considerar incrementos numéricos, y calcular en cada incremento algunas magnitudes referidas a los nodos. Algo similar sucede con los problemas dependientes del tiempo, para los que se considera una sucesión de instantes, en general bastante cercanos en el tiempo, y se considera el equilibrio instantáneo en cada instante. En general estos dos últimos tipos de problemas requieren un tiempo de cálculo subtancialmente más elevado que en un problema estacionario y lineal. [editar ] Postproceso
Actualmente, el MEF es usado para calcular problemas tan complejos, que los ficheros que se generan como resultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resulta conveniente procesarlos de alguna manera adicional para hacerlos más comprensible e ilustrar diferentes aspectos del problema. En la etapa de post-proceso los resultados obtenidos del la resolución del sistema son tratados, para obtener representación gráficas y obtener magnitudes derivadas, que permitan extraer conclusiones del problema. El post-proceso del MEF generalmente requiere software adicional para organizar los datos de salida, de tal manera que sea más fácilmente comprensible el resultado y permita decidir si ciertas consecuencias del problema son o no aceptables. En el cálculo de estructuras por ejemplo, el post-proceso puede incluir comprobaciones adicionales de si una estructura cumple los requisitos de las normas pertinentes, calculando si se sobrepasan tensiones admisibles, o existe la posibilidad de pandeo en la estructura. [editar ] Problemas termomecánicos
Un amplio rango de funciones objetivo (variables con el sistema) están disponibles para la minimización ó la maximización: • • • •
Masa, volumen, temperatura Energía tensional, esfuerzo tensional Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración Sintética (definidas por el usuario)
Hay múltiples condiciones de carga que se pueden aplicar al sistema. Algunos ejemplos son: • • • • •
Puntuales, presión, térmicas, gravedad, y cargas centrífugas estáticas Cargas térmicas de soluciones del análisis de transmisión de calor Desplazamientos forzados Flujo de calor y convención Puntuales, de presión, y cargas de gravedad dinámicas
Cada programa MEF puede venir con una biblioteca de elementos, o una que es construída con el tiempo. Algunos ejemplos de elementos son: • • • • • • • • •
Elementos tipo barra Elementos tipo viga Placa/Cáscara/Elementos compuestos Panel de sándwich Elementos sólidos Elementos tipo muelle Elementos de masa Elementos rígidos Elementos amortiguadores viscosos
Muchos programas MEF también están equipados con la capacidad de usar múltiples materiales en la estructura, como: • • • •
Modelos elásticos isotrópicos / ortotrópicos / anisótropicos generales Materiales homogéneos / heterogéneos Modelos de plasticidad Modelos viscosos
[ editar ] Tipos de análisis ingenieriles
El programador puede insertar numerosos algoritmos o funciones que pueden hacer al sistema comportarse de manera lineal o no lineal. Los sistemas lineales son menos complejos y normalmente no tienen en cuenta deformaciones plásticas. Los sistemas no lineales toman en cuenta las deformaciones plásticas, y algunos incluso son capaces de verificar si se presentaría fractura en el material. Algunos tipos de análisis ingenieriles comunes que usan el método de los elementos finitos son: •
•
•
Análisis estático se emplea cuando la estructura está sometida a
acciones
estáticas, es decir, no dependientes dal tiempo. Análisis vibracional es usado para analizar la estructura sometido a vibraciones aleatorias, choques e impactos. Cada uno de estas acciones puede actuar en la frecuencia natural de la estructura y causar resonancia y el consecuente fallo. Análisis de fatiga ayuda a los diseñadores a predecir la vida del material o de la estructura, prediciendo el efecto de los ciclos de carga sobre el especimen. Este análisis puede mostrar las áreas donde es más probable que se presente una grieta. El análisis por fatiga puede también predecir la tolerancia al fallo del material.
Los modelos de análisis de transferencia de calor por conductividad o por dinámicas térmicas de flujo del material o la estructura. El estado continuo de transferencia se refiere a las propiedades térmicas en el material que tiene una difusión lineal de calor.
[editar ] Resultados del MEF
El MEF se ha vuelto una solución para la tarea de predecir los fallos debidos a tensiones desconocidas enseñando los problemas de la distribución de tensiones en el material y permitiendo a los diseñadores ver todas las tensiones involucradas. Este método de diseño y prueba del producto es mejor al ensayo y error en donde hay que mantener costos de manufactura asociados a la construcción de cada ejemplar para las pruebas. Las grandes ventajas del cálculo por ordenador se pueden resumir en: •
•
Hace posible el cálculo de estructuras que, bien por el gran número de operaciones que su resolución presenta (entramados de muchos pisos, por ejemplo) o por lo tedioso de las mismas (entramados espaciales, por ejemplo) las cuales eran, en la práctica, inabordables mediante el cálculo manual. En la mayoría de los casos reduce a límites despreciables el riesgo de errores operativos.
[editar ] MEF de Orden Superior
Los últimos avances en este campo indican que su futuro está en métodos de adaptación de orden superior, que responde satisfactoriamente a la creciente complejidad de las simulaciones de ingeniería y satisface la tendencia general la resolución simultánea de los fenómenos con múltiples escalas. Entre las diversas estrategias de adaptación para los elementos finitos, los mejores resultados se pueden lograr con la hp-adaptabilidad . La adaptatividad orientada a un objetivo esta basada en la adaptación de la malla de elementos finitos, con el objetivo de mejorar la resolución en una cantidad específica de interés (en lugar de reducir al mínimo el error de la aproximación en alguna norma global), y la hp-adaptabilidad se basa en la combinación de refinamientos espaciales (h-adaptabilidad ), con una variación simultánea del orden del polinomio de aproximación ( p-adaptabilidad ). Existen ejemplos donde la 'hp-adaptabilidad' resultó ser la única manera de resolver el problema en un nivel requerido de exactitud. [editar ] Limitaciones
En general el MEF tal como se usa actualmente tiene algunas limitaciones: •
•
•
El MEF calcula soluciones numéricas concretas y adaptadas a unos datos particulares de entrada, no puede hacerse un análisis de sensibilidad sencillo que permita conocer como variará la solución si alguno de los parámetros se altera ligeramente. Es decir, proporciona sólo respuestas numéricas cuantitativas concretas no relaciones cualitativas generales. El MEF proporciona una solución aproximada cuyo margen de error en general es desconocido. Si bien algunos tipos de problemas permiten acotar el error de la solución, debido a los diversos tipos de aproximaciones que usa el método, los problemas no-lineales o dependientes del tiempo en general no permiten conocer el error. En el MEF la mayoría de aplicaciones prácticas requiere mucho tiempo para ajustar detalles de la geometría, existiendo frecuentemente problemas de mal condicionamiento de las mallas, desigual grado de convergencia de la solución aproximada hacia la solución exacta en diferentes puntos, etc. En general una
simulación requiere el uso de numerosas pruebas y ensayos con geometrías simplificadas o casos menos generales que el que finalmente pretende simularse, antes de empezar a lograr resultados satisfactorios.
Análisis de elementos finitos De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda
Visualización de como un vehículo se deforma en un impacto asimétrico, obtenido usando elementos finitos. El análisis por elementos finitos (FEA por sus siglas en inglés para: Finite Element Analysis) es una técnica de simulación por computador usada en ingeniería. Usa una técnica numérica llamada Método de los elementos finitos (FEM).
Existen muchos Paquetes de software, tanto libres como no libres. El desarrollo de elementos finitos en estructuras, usualmente, se basa en análisis energéticos como el principio de los trabajos virtuales.[cita requerida] Aplicaciones
En estas aplicaciones, el objeto o sistema se representa por un modelo geométricamente similar que consta de múltiples regiones discretas simplificadas y conectadas — véase: Método de los elementos finitos. Ecuaciones de equilibro, junto con consideraciones físicas aplicables así como relaciones constitutivas, se aplican a cada elemento, y se construye un sistema de varias ecuaciones. El sistema de ecuaciones se resuelve para los valores desconocidos usando técnicas de álgebra lineal o esquemas no lineales, dependiendo del problema. Siendo un método aproximado, la precisión de los métodos FEA puede ser mejorada refinando la discretización en el modelo, usando más elementos y nodos. Comúnmente se usa FEA en determinar los esfuerzos y desplazamientos en sistemas mecánicos. Es además usado de manera rutinaria en el análisis de muchos otros tipos de problemas, entre ellos Transferencia de calor , dinámica de fluidos, y electromagnetismo. Con FEA se pueden manejar sistemas complejos cuyas soluciones analíticas son difícilmente encontradas.
[ editar ] Revisión de la literatura del análisis por elementos finitos
Análisis estádistico no lineal de una estructura 3D sujeta a deformaciones plásticas, realizado en Code-Aster en CAELinux La Ingeniería asistida por computadora (CAE, del inglés: Computer Aid Engineering ) es la aplicación de programas computacionales de ingeniería para evaluar componentes o ensambles. Contiene simulación, validación y optimización de productos y herramientas de manufactura. La aplicación principal de CAE, usada en ingeniería civil, mecánica, aeroespacial, y electrónica, se trata de FEA al lado del Diseño Asistido por Computador (CAD). [editar ] Análisis por elementos finitos
En general, hay tres fases en cualquier tarea asistida por computador: 1. Pre-procesamiento. Definir el modelo de elementos finitos y los factores ambientales que influyen en él. 2. Solución del análisis. Solucionar el modelo de elementos finitos. 3. Post-procesamiento de resultados usando herramientas de visualización. [editar] Pre-procesamiento
El primer paso en FEA, pre-procesamiento, es construir un modelo de elementos finitos de la estructura a ser analizada. En muchos paquetes de FEA se requiere de la entrada de una descripción topológica de las características geométricas de la estructura. 3 Ésta puede ser 1D, 2D, o 3D. El objetivo principal del modelo es replicar de manera realista los parámetros importantes y características del modelo real. 3 La manera mas sencilla para conseguir similaridad en el análisis es utilizar planos pre existentes, modelos CAD, o datos importados de un ambiente FEA. Una vez se ha creado la geometría, se utiliza un procedimiento para definir y dividir el modelo en "pequeños" elementos. En general, un modelo de elementos finitos esta definido por una malla, la cual está conformada por elementos y nodos. Los nodos representan puntos en los cuales se calcula el desplazamiento (análisis estructural). Los paquetes de FEA enumeran los nodos como una herramienta de identificación. Los elementos están determinados por conjuntos de nodos, y definen propiedades localizadas de masa y rigidez. Los elementos también
están definidos por la numeración de la malla, la cual permite referenciar la correspondiente deflexión o esfuerzo (en análisis estructural) para una localización específica.3 [editar] Análisis (cómputo de la solución)
En la siguiente etapa en el proceso de análisis de elementos finitos se lleva a cabo una serie de procesos computacionales que involucran fuerzas aplicadas, y las propiedades de los elementos de donde producir un modelo de solución. Tal análisis estructural permite la determinación de efectos como lo son las deformaciones, estiramiento o estrés que son causados por fuerzas estructurales aplicadas como lo son la fuerza, la presión y la gravedad. [editar] Post-procesamiento (visualización)
Estos resultados entonces pueden ser estudiados utilizando herramientas visuales dentro del ambiente de FEA para ver y para identificar completamente las implicaciones del análisis. Herramientas numéricas y gráficas permiten la localización precisa de información como esfuerzos y deformaciones a ser identificadas.
[editar ] Aplicación de FEA a la industria de la ingeniería mecánica
Una variedad de especializaciones bajo el ámbito de la ingeniería mecánica tal como lo es la aeronáutica, biomecánica, y las industrias automotrices, todas comúnmente usan el análisis de elementos finitos integrado en el diseño y desarrollo de sus productos. Varios paquetes modernos de FEA incluyen componentes específicos como el térmico (termal), electromagnético, fluido y ambientes de trabajo estructural. En una simulación estructural el análisis de elementos finitos ayuda a producir visualizaciones de rigidez y fuerza y además ayuda a minimizar peso, materiales y costos. El análisis de elementos finitos permite una detallada visualización de en donde las estructuras se doblan o tuercen, e indica la distribución del esfuerzo y los desplazamientos. Los programas computacionales de análisis de elementos finitos proveen un amplio rango de opciones de simulación para controlar la complejidad de ambos, el modelado y el análisis de un sistema. De forma similar, el nivel deseado de precisión y los requerimientos de tiempo computacional asociados pueden ser manejados simultáneamente para atender a la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. El análisis de elementos finitos, permite la construcción de diseños enteros, su refinación y la optimización de éstos antes de que el diseño sea manufacturado. Esta poderosa herramienta de diseño ha mejorado en gran forma, ambos, el estándar de diseños en ingeniería y la metrología del proceso del diseño en muchas aplicaciones industriales.4 La introducción del análisis de elementos finitos ha reducido el tiempo que se toma para llevar productos desde el concepto hasta la línea de producción. 4 A través de la mejora de diseños de prototipos iniciales usando el análisis de elementos finitos se han acelerado, principalmente, las pruebas y el desarrollo. 5 En resumen, los beneficios del análisis de elementos finitos son: una alta precisión, diseño mejorado, y una mejor percepción de los parámetros críticos de diseño, prototipos virtuales, menos prototipos
de hardware, y ciclo de diseño más rápido y económico, alza en la productividad y en las ganancias. 4 [editar ] Ingeniería asistida por computadora (CAE) y el FEA en la industria
La habilidad de modelar un sistema estructural en 3D puede proveer un poderoso y preciso análisis de casi cualquier estructura. Los modelos tridimensionales, en general, pueden ser producidos usando un rango de paquetes comunes de diseño asistido por computadora. Los modelos tienden a entrar en un rango amplio variando en complejidad y en formato de archivo, dependiendo del programa computacional (software) de creación del modelo en 3D y en la complejidad de la geometría del modelo. El análisis de elementos finitos es una industria creciente en el análisis de diseño de productos y desarrollos en ingeniería. El uso de FEA como una herramienta de ingeniería de manera habitual está creciendo rápidamente. Los avances en el poder de procesamiento de las computadoras, del FEA y del software de modelado ha permitido la continua integración de FEA en los campos de ingeniería en diseño de productos y desarrollo. Han habido muchas cosas que han restringido el desempeño y finalmente la aceptación y utilización de FEA en conjunción con el CAD en las etapas de diseño del producto y su desarrollo. Las separaciones en compatibilidad entre los formatos de archivos de programas de CAD y FEA limitaban el grado en que las compañías podían diseñar fácilmente y probar sus productos usando la combinación de CAD y FEA respectivamente. Típicamente, los ingenieros usan software CAD especializado en el modelado en el diseño del producto, y después se exporta ese diseño a un paquete de FEA para ser el análisis. Pero, esos ingenieros que dependen de el intercambio de información a través de traductores o estándares de intercambio tales como IGES o STEP citan problemas ocasionales en la fiabilidad los cuales causan intercambios poco existosos de geometría.6 Así es que la creación de muchos modelos externos al ambiente de FEA se consideran como problemáticos en el éxito de análisis de elementos finitos. La tendencia actual en el software de FEA y la industria en ingeniería ha sido la creciente demanda por la integración entre el modelado sólido y el análisis de elementos finitos. Durante el diseño y desarrollo de productos, los ingenieros requieren actualizaciones automáticas entre sus últimos modelos en los ambientes de CAD y FEA. Todavía hay una necesidad de mejorar la relación entre CAD y FEA, haciéndolo técnicamente más cercanos y unidos. Aunque la demanda de una integración CAD-FEA unida con las mejoras en los desarrollos de ordenadores y software ha introducido una tendencia más colaborativa y robusta donde los problemas de compatibilidad empiezan a ser eliminados. Los diseñadores están ahora introduciendo simulaciones en computadora capaces de usar archivos pre existentes de CAD sin la necesidad de modificar y recrear los modelos para acoplarse a los ambientes de FEA. 6 Uno de estos programas con análisis de elementos finitos integrado es SolidWorks de la compañía SolidWorks Corporation, que es una herramienta de diseño de medio rango que ofrece un nivel introductorio al programa de FEA llamado CosmoExpress. Entre los módulos mas avanzados para SolidWorks está COSMOSMotion que simula las
colisiones cinemáticas de diversos cuerpos y maneja mas avanzadas simulaciones lineales estáticas. Véase también: Pro/Engineer (ProE). [ editar ] Tendencias actuales de FEA en la industria [editar ] Modelado Dinámico
Hay una creciente demanda por modelado dinámico en FEA en la industria de vehículos pesados. Muchas compañías de vehículos pesados se están alejando del tradicional análisis estático y están haciendo uso de software de simulación dinámica. La simulación dinámica incluye la aplicación de FEA en un sentido mas realista para tener en cuenta los efectos complicados de analizar varios componentes y ensambles con características reales. [editar ] Modelado de ensambles
La simulación dinámica, usada en conjunción con el modelado de ensambles, introduce la necesidad de unir componentes de distintos materiales y geometrías. Así que, las herramientas para la ingeniería asistida por computador deben tener capacidades comprensivas para utilizar fácilmente fiables conectores en los modelos, los cuales pueden incluir uniones que permiten movimiento relativo entre los componentes, remaches, y soldaduras. Modelos típicos de MSS están compuestos de cuerpos rígidos (ruedas, ejes, cuadros, motores, cabina, y remolque) conectados por uniones ideales y elementos de fuerza. Las uniones y los eslabones pueden ser modelados como eslabones rígidos, resortes o amortiguadores para así simular las características dinámicas de los componentes de un camión real. 7 La transferencia de fuerza a través de los componentes de un ensamble por conducto de conectores, los hace susceptibles a esfuerzos altos. Es más sencillo y fácil el idealizar conectores como uniones rígidas en estos sistemas. Esta idealización provee un estudio básico del comportamiento del ensamble en términos de entender las características del sistema; los ingenieros deben modelar uniendo parámetros como lo son las piezas de enlace en forma precisa para cuando se realice el análisis de esfuerzos puedan determinarse posibles fallas. 6 "El representar conectores como uniones rígidas asume que los conectores transfieren las cargas a través de los componentes sin deformarse ni sin ellos pasar por estrés. Esta idealización no realista lleva a predicciones incorrectas de estrés en las regiones locales a los conectores, exactamente las cuales son los lugares donde más posiblemente la falla se iniciará."6 Comprensiblemente, la inclusión detallada de cada punto de connexión y/o mecanismo en un ensamble es impráctico para ser modelado, 6 Así es que representaciones mejoradas de conectores que son simples de usar y fiables deben ser investigados para su uso caso por caso. 6 [editar ] Técnicas actuales de modelado en la industria
Ingenieros en varias compañías automotrices actualmente moldean sus vehículos usando especializado software dinámico de FEA. Cada modelo contiene un cuerpo y
