Integrales POR PARTES

UNIDAD II METODOS DE INTEGRACION

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN La idea que aparece detrás de esta regla es reemplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x. El reto principal en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada. Intente elegir u como alguna función en el integrando cuya diferencial también esté presente. Si no es posible esto escoa u como alguna parte complicada del integrando. Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. !o es raro que la primera conetura sea errónea" si la suposición no funciona se debe intentar con otra. En general este método se usa siempre que tenemos una integral de la forma Si #$  f entonces la derivación

.  #%g&x'( ) c porque la regla de la cadena de

=

=

#%g&x'(  #$ %g&x'( . g$ &x' =

Si *acemos el +cambio de variable+ o +la sustitución+ u  g&x'" entonces" tenemos =

 #%g&x'( ) c  #&u' ) c

=

=

=

a bien si se escribe #$  f se =

obtiene

=

Se probó la siguiente regla, REGLA DE SUSTITUCIÓN, Si u  g&x' es una función diferenciable cuyo conunto de imágenes es un intervalo I y f es continua sobre I" entonces =

=

.

REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS

-uando se evala una integral definida por sustitución" se pueden aplicar dos métodos. /no es evaluar primero la integral indefinida y" enseguida la segunda parte del teorema fundamental. 0tra" que suele ser más preferible" es cambiar los l1mites de integración cuando se cambia la variable. 2egla de sustitución para integrales definidas,

Si g3 es continua sobre %a" b( y f lo es sobre el conunto de llegada de u  g&x' =

entonces Demostración ,

Sea # la primitiva de f. Entonces #%g&x'( es una antiderivada de f%g&x'(g$ &x' con lo que

#%g&b'(  #%g&a'(. −

4ero si aplicamos nuevamente la segunda parte del teorema

 #%g&b'(  #%g&a'(.

=

=

−

En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una integral definida" debemos poner todo en términos de la nueva variables u" no sólo x y dx sino también los l1mites de integración. Los nuevos l1mites de integración son los valores de u que corresponden a x  a y x  b. =

=

5olver 

INTEGRACIÓN POR PA PARTES RTES 6oda oda regla de derivación tiene una correspondiente de integración. La regla de sustitución de la integración corresponde a la regla de la cadena en la derivación. La regla que corresponde a la regla del producto de la derivación se llama regla de la integración por partes. La regla del producto expresa que si f y g son funciones diferenciables entonces

 f&x'g$ &x' ) f$ &x'g&x'

=

Si *allamos la integral indefinida

)

=

f&x' . g&x'

)

=

 f&x' . g&x'

=

−

.

Esta es la fórmula de integración por partes.

4ara que resulte más fácil de recordar se puede utilizar la siguiente notación, sea u  f&x' y v  g&x'. Entonces du  f$ &x'dx y dv  g$ &x'dx. 4or la regla de =

=

=

sustitución resulta,

=

.

El obetivo al aplicar la integración por partes es obtener una integral más sencilla que la inicial. 7l decidir una selección par u y dv se trata que u  f&x' sea una función que se simplifique cuando se derive &o al menos no se complique' mientras que dv  g$ &x'dx se pueda integrar fácilmente para encontrar v. =

=

4ara integrales definidas" si f$ y g$ son continuas

La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la derivada de un producto de funciones. Veamos:

Ejercicios resueltos En los ejercicios siguientes efectúe la integral indefinida:

Soluciones

1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

. Solución:

!. Solución:

". Solución:

#. Solución:



si

entonces

si dv =

dx entonces

v=  para x  Note que sin afectar el resultado final, la constante C  de integración puede adjuntarse cuando se lleva a cao la última integración, ! no cuando se determina v a partir de dv. n algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente ejemplo: 

n algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente ejemplo:



si si

#uego:

entonces entonces

a$ora

! %or tanto:



si

si

entonces

entonces v = x

#uego:



si #uego:

si

entonces

entonces



si

si

entonces

entonces

#uego:

nuevamente:

&'()V)*&* + )N(-&')/N %/ %&(S

 Nos permitimos recordar la fórmula de integración por partes:

espuestas: +.0

2.0

+.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

+.0

7.0

++.0

8.0

+2.0

4.0

6.0

7.0

8.0

1.0

3.0

5.0

+.0

++.0

 +2.0

)ntegrales trigonom9tricas

Inte$r%les &ue in'olucr%n (otenci%s ) (ro*uctos *e +unciones tri$ono,-tric%s

&ntes de proceder a determinar este tipo de integrales es conveniente recordar las fórmulas siguientes:

a.

 .

c.

d. e.

f. studiaremos mediante ejemplos los casos generales que se enuncian a continuación:

+.

con n un entero positivo par.

jemplos: a.

 .

se utili;a la fórmula dada en e.<

jercicio para el estudiante

c.

en la última integral se utili;a nuevamente la fórmula dada en e<, solo que en este caso es igual a 2x<

n forma similar se procede con ! en general con las integrales de las  potencias pares de las funciones seno ! coseno. 2.

con n un entero positivo par.

jemplos: a.

Note que

Similarmente, utili;ando la identidad c puede determinarse  .

c.

d.

jercicio para el estudiante tili;ando el procedimiento anterior pueden calcularse las integrales de las potencias pares de las funciones secante ! cosecante. n el caso de potencias impares dee utili;arse el m9todo de la integración por partes que se estudiar> m>s adelante.

4.

con n un entero positivo par.

jemplos: a.

tili;ando la fórmula dada en .

 . tili;ando la fórmula dada en c, calcule c.

d.

*etermine

6.

con m un entero positivo impar.

E jemplos:

a.

ecuerde que

 .

c.

*etermine

<

d.

'alcule

e.

f.

g.

*etermine

7.  

con n ! r  amos enteros positivos pares.

jemplos a.

tili;ando las fórmulas e ! f.

 .

c.

*etermine

*etermine

d.

e.

jercicio para el estudiante

8. con n ! r  amos enteros positivos, siendo por lo menos uno de los exponentes impar. Eje,(los

a.

 .

jercicio para el estudiante

c.

d.

e. &'()V)*&* ++ a.

 .

c.

d.

jercicio para el estudiante

e.

f.

g.