Ejercicios de Integrales por sustitución trigonométrica

Ejercicios de Integrales por sustitución trigonométrica? a) ∫ dx dx / √4-x √4-x^2 ^2.. x^2 x^2 SOLUCIÓN: I) ∫ dx /[√(4 - x²) x²] = sea: x = 2senθ → senθ = x/2 dx = 2cosθ dθ substituyendo, obtenemos: ∫ dx /[√(4 - x²) x²] = ∫ 2cosθ dθ /{√[4 - (2senθ)²] (2senθ)²} = ∫ 2cosθ dθ /[√(4 - 4sen²θ) 4sen²θ] = ∫ 2cosθ dθ /{√[4(1 - sen²θ)] 4sen²θ} = (reemplazando 1 - sen²θ con cos²θ) ∫ 2cosθ dθ /[√(4cos²θ) 4sen²θ] = ∫ 2cosθ dθ /(2cosθ 4sen²θ) = (simplificando y llevando fuera la constante) (1/4) ∫ (1/sen²θ) dθ = (1/4) ∫ - d(cotθ) = (-1/4)cotθ + C recordémos que senθ = x/2, por tanto: cosθ = √(1 - sen²θ) = √[1 - (x/2)²] = √[1 - (x²/4)] = √[(4 - x²)/4] = [√(4 - x²)] /2 cotθ = cosθ/senθ = {[√(4 - x²)] /2} /(x/2) = {[√(4 - x²)] /2} (2/x) = [√(4 - x²)] /x luego substituyendo:

(-1/4)cotθ + C = (-1/4){[√(4 - x²)] /x} + C concluimos con: ∫ dx /[√(4 - x²) x²] = {[- √(4 - x²)] /(4x)} + C

 b) ∫ dx / x √ x ^2+ 4 SOLUCIÓN: II) ∫ dx /[x √(x² + 4)] = sea: x = 2tanθ → tanθ = (x/2) dx = 2sec²θ dθ luego, substituyendo: ∫ dx /[x √(x² + 4)] = ∫ 2sec²θ dθ /{2tanθ √[(2tanθ)² + 4]} = ∫ 2sec²θ dθ /[2tanθ √(4tan²θ + 4)] = ∫ 2sec²θ dθ /{2tanθ √[4(tan²θ + 1)]} = (recordando que tan²x + 1 = sec²x) ∫ 2sec²θ dθ /{2tanθ √(4sec²θ)] = ∫ 2sec²θ dθ /(2tanθ 2secθ) = (1/2) ∫ secθ dθ /tanθ = multipliquémos el numerador y el denominador por tanθ: (1/2) ∫ secθ tanθ dθ /tan²θ = reemplacémos tan²θ con sec²θ - 1:

(1/2) ∫ secθ tanθ dθ /(sec²θ - 1) = sea: secθ = t diferenciémos ambos miembros: d(secθ) = dt → tanθ secθ = dt luego, substituyendo: (1/2) ∫ secθ tanθ dθ /(sec²θ - 1) = (1/2) ∫ dt /(t² - 1) (#) descompongámos la integranda en fracciones parciales: 1 /(t² - 1) = 1 /[(t - 1)(t + 1)] = A/(t - 1) + B/(t + 1) 1 /[(t - 1)(t + 1)] = [A(t + 1) + B(t - 1)] /[(t - 1)(t + 1)] 1 = A(t + 1) + B(t - 1) 1 = At + A + Bt - B 1 = (A + B)t + (A - B) A+B=0 A-B=1 A=-B -B-B=1 A=-B - 2B = 1 A = 1/2 B = -1/2  por tanto: 1 /(t² - 1) = 1 /[(t - 1)(t + 1)] = A/(t - 1) + B/(t + 1) = (1/2)/(t - 1) - (1/2)/(t + 1) la integral (#) se vuelve (ve sobre): (1/2) ∫ dt /(t² - 1) = (1/2) ∫ {[(1/2)/(t - 1)] - [(1/2)/(t + 1)]} dt =  partámos llevando fuera las constantes:

(1/2)(1/2) ∫ [1 /(t - 1)] dt - (1/2)(1/2) ∫ [1 /(t + 1)] dt = (1/4) ∫ [1 /(t - 1)] dt - (1/4) ∫ [1 /(t + 1)] dt = (1/4) ln |t - 1| - (1/4) ln |t + 1| + C = (recordando las propiedades de los logaritmos) (1/4) (ln |t - 1| - ln |t + 1|) + C = (1/4) ln |(t - 1)/(t + 1)| + C substituyamos de nuevo t = secθ: (1/4) ln |(secθ - 1)/(secθ + 1)| + C además, recordémos que tanθ = (x/2), por tanto: secθ = √(tan²θ + 1) = √[(x/2)² + 1] = √[(x²/4) + 1] = √[(x² + 4)/4] = [√(x² + 4)] /2 luego, substituyendo: (1/4) ln |(secθ - 1)/(secθ + 1)| + C = (1/4) ln |{{[√(x² + 4)] /2} - 1}/{{[√(x² + 4)] /2} + 1}| + C = (1/4) ln | {[√(x² + 4) - 2]/2}/{[√(x² + 4) + 2] /2}| + C = (1/4) ln | {[√(x² + 4) - 2]/2}{2 /[√(x² + 4) + 2]}| + C = concluyendo con: ∫ dx /[x √(x² + 4)] = (1/4) ln {[√(x² + 4) - 2] /[√(x² + 4) + 2]} + C (el valor absoluto no hace falta ya que el argumento del logaritmo es siempre positivo)

c) ∫ √ 4 - x2 dx / x2 SOLUCIÓN: III) ∫ √(4 - x²) dx /x² = sea: x = 2senθ → senθ = x/2 ↔ θ = arcsen(x/2) dx = 2cosθ dθ obteniendo: ∫ √(4 - x²) dx /x² = ∫ √[4 - (2senθ)²] 2cosθ dθ /(2senθ)² = ∫ √(4 - 4sen²θ) 2cosθ dθ /(4sen²θ) = ∫ √[4(1 - sen²θ)] 2cosθ dθ /(4sen²θ) = ∫ √(4cos²θ) 2cosθ dθ /(4sen²θ) = ∫ 2cosθ 2cosθ dθ /(4sen²θ) = ∫ 4cos²θ dθ /(4sen²θ) = ∫ (cos²θ /sen²θ) dθ = reemplacémos cos²θ con 1 - sen²θ: ∫ [(1 - sen²θ) /sen²θ] dθ = (partiendo) ∫ (1 /sen²θ) dθ - ∫ (sen²θ /sen²θ) dθ = ∫ (- dcotθ) - ∫ dθ = - cotθ - θ + C recordémos que senθ = x/2 ↔ θ = arcsen(x/2)  por tanto: cosθ = √(1 - sen²θ) = √[1 - (x/2)²] = √[1 - (x²/4)] = √[(4 - x²)/4] = [√(4 - x²)] /2 cotθ = cosθ/senθ = {[√(4 - x²)] /2} /(x/2) = {[√(4 - x²)] /2} (2/x) = [√(4 - x²)] /x

luego substituyendo: - cotθ - θ + C = - {[√(4 - x²)] /x} - arcsen(x/2) + C concluyendo con: ∫ √(4 - x²) dx /x² = {[- √(4 - x²)] /x} - arcsen(x/2) + C

Integración Sustitución Trigonométrica

Sustitución utilizada:

Comprobación de esta integral...

Sustitución trigonométrica:

Recuerda que senθ=(cateto opuesto)/Hipotenusa cosθ=(cateto adyacente)/Hipotenusa